ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ
Συγγραφική Οµάδα :
∆ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΒΑΡΣΟΣ
∆ΗΜΗΤΡΙΟΣ ∆ΕΡΙΖΙΩΤΗΣ
ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ
ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΛΙΑΚΑΣ
ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΕΛΑΣ
ΟΛΥΜΠΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ
2
Πρόλογος
Το ιβλίο αυτό στοχεύει στη διδασκαλία ενός εισαγωγικού πανεπιστηµιακού µαθήµατος
δύο εξαµήνων, που αφορά στη ασική ύλη της Γραµµικής ΄Αλγεβρας.
Στην Ελλάδα κυκλοφορούν ήδη πολλά εισαγωγικά ιβλία Γραµµικής ΄Αλγεβρας. Τα τελευταία όµως χρόνια έχει υπάρξει µια ιζική αλλαγή της ύλης των Μαθηµατικών που διδάσκονται
στη ∆ευτεροβάθµια Εκπαίδευση. Είναι αναγκαίο λοιπόν ένα σύγγραµµα που λαµβάνει υπ’
όψιν αυτήν την αλλαγή.
Αθήνα, Ιούνιος 2008
Η Συγγραφική Οµάδα
3
Εισαγωγή
...
4
Περιεχόµενα
1 Εισαγωγικές ΄Εννοιες
1.1 Σύνολα . . . . . . . .
1.2 Καρτεσιανά Γινόµενα .
1.3 Σχέσεις Ισοδυναµίας .
1.4 Απεικονίσεις . . . . .
1.5 Μαθηµατική Επαγωγή
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Πίνακες
2.1 Ορισµοί και Παραδείγµατα . . . . . . . .
2.2 ΄Αθροισµα και Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός
2.3 Γινόµενο Πινάκων . . . . . . . . . . . . .
2.4 Αντιστρέψιµοι Πίνακες . . . . . . . . . . .
3 Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων
3.1 Γραµµικά Συστήµατα . . . . . . . . .
3.2 Γραµµοϊσοδυναµία Πινάκων . . . . .
3.3 Επίλυση ενός Γραµµικού Συστήµατος
3.4 Ορίζουσα ενός Τετραγωνικού Πίνακα
3.5 Ορίζουσες και Γραµµικά Συστήµατα .
4 ∆ιανυσµατικοί Χώροι
4.1 Ορισµοί και Παραδείγµατα . .
4.2 Υπόχωροι και Χώροι Πηλίκο . .
4.3 Γραµµικοί Συνδυασµοί . . . . .
4.4 Η ΄Εννοια της Βάσης . . . . . .
4.5 ∆ιάσταση ∆ιανυσµατικού Χώρου
4.6 Ιδιότητες ∆ιάστασης και Βάσεων
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Γραµµικές Απεικονίσεις
5.1 Ορισµοί και Παραδείγµατα . . . .
5.2 Γραµµικές Απεικονίσεις και Βάσεις
5.3 Ο Πυρήνας και η Εικόνα . . . . . .
5.4 ΄Αλγεβρα Γραµµικών Απεικονίσεων .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
10
12
14
20
.
.
.
.
25
25
28
33
42
.
.
.
.
.
47
47
49
63
73
89
.
.
.
.
.
.
93
93
97
104
109
118
122
.
.
.
.
129
129
134
142
149
ΠΕΡΙΕΧý
ΟΜΕΝΑ
6
6 Γραµµικές Απεικονίσεις και Πίνακες
6.1 Πίνακας Γραµµικής Απεικόνισης . . . . . . . . .
6.2 Ισοδυναµία και Οµοιότητα Πινάκων . . . . . . . .
6.3 Ιδιότητες Οριζουσών . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Εφαρµογή στην Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
155
155
167
178
183
Κεφάλαιο 1
Εισαγωγικές ΄Εννοιες
Σ’ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις
σηµαντικές µεθόδους απόδειξης ϑεωρηµάτων της Γραµµικής ΄Αλγεβρας και των Μαθηµατικών
γενικότερα.
1.1 Σύνολα
Η έννοια του συνόλου είναι µια πρωταρχική ϑεµελιώδης έννοια στη Μαθηµατική επιστήµη.
Η ϑεωρία των συνόλων εισάγεται από τον Georg Cantor (1845-1918) περί το 1900 µ.Χ. και
αποτελεί τη άση πάνω στην οποία ενοποιείται και ϑεµελιώνεται η Μαθηµατική επιστήµη.
΄Ενα σύνολο είναι µια συλλογή διακεκριµένων αντικειµένων. Τα αντικείµενα αυτά λέγονται στοιχεία του συνόλου. Για κάθε σύνολο υπάρχει µια σαφής περιγραφή µε άση την
οποία µπορούµε να αποφανθούµε κατά πόσο ένα δεδοµένο στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο
αυτό. Τα παραπάνω ασφαλώς δεν αποτελούν ένα µαθηµατικό ορισµό του συνόλου. Η έννοια
του συνόλου, όπως αυτή του σηµείου, είναι ϑεµελιακή και δεν µπορεί να αναχθεί σε απλούστερες έννοιες. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται να δει µια αξιωµατική έκθεση της ϑεωρίας
των συνόλων ϑα πρέπει να ανατρέξει σε ειδικά συγγράµµατα.
Τα σύνολα και τα στοιχεία τους συνήθως συµβολίζονται µε γράµµατα. ΄Ετσι, αν A είναι ένα
σύνολο και a ένα στοιχείο του, τότε εκφράζουµε το γεγονός αυτό µε το συµβολισµό «a ∈ A»,
ο οποίος διαβάζεται «το a ανήκει στο A». Ο συµβολισµός «y 6∈ A» διαβάζεται «το y δεν
ανήκει στο A» και σηµαίνει ότι το y δεν είναι στοιχείο του A. Επίσης, αναφέρουµε ότι ένα
στοιχείο ενός συνόλου A πολλές ϕορές λέγεται και µέλος του A.
΄Ενα σύνολο καθορίζεται από τα στοιχεία του. ∆ηλαδή,
Ορισµός 1.1.1 ∆ύο σύνολα A, B λέγονται ίσα αν και µόνο αν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.
Για να περιγράψουµε ένα σύνολο γράφουµε τα δύο άγκιστρα { } και στον χώρο µεταξύ
αυτών περιγράφουµε τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο. Υπάρχουν τρεις κυρίως τρόποι
να περιγραφεί ένα σύνολο.
(i) Πλήρης αναφορά όλων των στοιχείων του. Κάτι τέτοιο µπορεί να γίνει αν το σύνολο έχει
λίγα στοιχεία. Για παράδειγµα, γράφουµε A = {1, 2, 3} και B = {Αθήνα, Θεσσαλονίκη}.
7
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚý
ΕΣ ý
ΕΝΝΟΙΕΣ
8
(ii) Με αναγραφή αρκετών στοιχείων του συνόλου (όχι απαραίτητα όλων), έτσι ώστε να γίνει
σαφής η ιδιότητα που χαρακτηρίζει τα στοιχεία του συνόλου. Εδώ χρησιµοποιούνται και οι
τρεις τελείες «...», τα λεγόµενα αποσιωπητικά. Για παράδειγµα, γράφουµε {1, 2, 3, ..., n},
{1, 2, 3, ..., n, ...}, {2, 4, 6, ..., 2n} και {2, 4, 6, ..., 2n, ...}, όπου n είναι ένας ϑετικός ακέραιος.
(iii) ΄Εστω S ένα σύνολο και P µια ιδιότητα. Τότε το {x ∈ S | το x έχει την ιδιότητα P }
παριστά το σύνολο όλων των στοιχείων του S που έχουν την ιδιότητα P .
Παράδειγµα 1.1.2 Στα ακόλουθα σύνολα, τα οποία ϑεωρούµε γνωστά, ϑα αναφερθούµε πολλές ϕορές στη συνέχεια :
N = {0, 1, 2, . . .} = το σύνολο των ϕυσικών αριθµών
Z = το σύνολο των ακεραίων αριθµών
Q = το σύνολο των ητών αριθµών
R = το σύνολο των πραγµατικών αριθµών
C = το σύνολο των µιγαδικών αριθµών
Ορισµός 1.1.3 Το σύνολο που δεν έχει στοιχεία λέγεται κενό και συµβολίζεται µε ∅.
Ορισµός 1.1.4 Αν A, B είναι δυο σύνολα και κάθε στοιχείο του A είναι στοιχείο του B , τότε
το A λέγεται υποσύνολο του B και γράφουµε A ⊆ B . Αν επιπλέον υπάρχει κάποιο στοιχείο
του B που δεν ανήκει στο A, τότε το A λέγεται γνήσιο υποσύνολο του B και γράφουµε A ( B .
Εύκολα λέπουµε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, ενώ κάθε σύνολο
είναι υποσύνολο του εαυτού του. Τέλος, δυο σύνολα A και B είναι ίσα αν και µόνο αν A ⊆ B
και B ⊆ A.
Παράδειγµα 1.1.5 Παρατηρούµε ότι N ( Z ( Q ( R ( C.
Παράδειγµα 1.1.6 ΄Εχουµε ότι
(i) {x ∈ Z | το x είναι πολλαπλάσιο του 2} είναι το σύνολο των αρτίων ακεραίων αριθµών.
(ii) {x ∈ R | 2x2 − 4x + 1 = 0} = {1 +
√
2
,1
2
−
√
2
}.
2
(iii) {x ∈ Q | x2 = 3} = ∅.
Ορισµός 1.1.7 Καλούµε ένωση δύο συνόλων A, B το σύνολο που έχει ως στοιχεία του εκείνα
τα στοιχεία που ανήκουν στο A ή το B , και το συµβολίζουµε µε A ∪ B .
Ορισµός 1.1.8 Καλούµε τοµή δύο συνόλων A, B το σύνολο που έχει ως στοιχεία του εκείνα
τα στοιχεία που ανήκουν και στο A και στο B , και το συµβολίζουµε µε A ∩ B .
Από τους ορισµούς έπεται ότι αν A, B είναι δύο σύνολα τότε A ⊆ A ∪ B και B ⊆ A ∪ B .
Επίσης, αν Γ είναι ένα σύνολο µε A ⊆ Γ και B ⊆ Γ τότε A ∪ B ⊆ Γ. Αν δεν υπάρχουν
στοιχεία που ανήκουν και στο A και στο B , τότε A ∩ B = ∅.
Ας ϑεωρήσουµε σύνολα A1 , A2 , . . . , Aν . Τότε, η ένωση των Ai , i ∈ {1, 2 . . . , ν}, είναι το
σύνολο µε στοιχεία εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα Ai , 1 ≤ i ≤ ν ,
Sν
και συµβολίζεται µε i=1 Ai ή µε A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Aν . Η τοµή των Ai , i ∈ {1, 2 . . . , ν}, είναι το
1.1. Σý
ΥΝΟΛΑ
9
σύνολο µε στοιχεία εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε όλα τα Ai , 1 ≤ i ≤ ν , και συµβολίζεται
Tν
µε i=1 Ai ή µε A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Aν .
Ανάλογα, αν Λ είναι ένα σύνολο συνόλων, τότε το σύνολο που περιλαµβάνει εκείνα ακριβώς
τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα µέλη του Λ λέγεται ένωση των συνόλων
S
που ανήκουν στο Λ και συµβολίζεται µε A∈Λ A. Αν Λ 6= ∅, τότε η τοµή των συνόλων που
ανήκουν στο Λ είναι το σύνολο που περιλαµβάνει εκείνα ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν
T
σε όλα τα µέλη του Λ, και συµβολίζεται µε A∈Λ A.
Ορισµός 1.1.9 Η διαφορά ενός συνόλου Y από ένα σύνολο X είναι το σύνολο που περιλαµάνει ακριβώς εκείνα τα στοιχεία του X που δεν ανήκουν στο Y , και συµβολίζεται µε X\Y . Αν
το Y είναι ένα υποσύνολο του X τότε η διαφορά του Y από το X λέγεται συµπλήρωµα του Y
στο X και συµβολίζεται µε Y c .
Παράδειγµα 1.1.10 ΄Εστω A το σύνολο των αρτίων ακεραίων. Τότε Z\A = {x ∈ Z | x 6∈ A}
είναι το σύνολο των περιττών ακεραίων.
Ορισµός 1.1.11 Το σύνολο µε στοιχεία τα υποσύνολα ενός συνόλου S λέγεται δυναµοσύνολο
του S και συµβολίζεται µε P(S).
Παράδειγµα 1.1.12 ΄Εστω S = {1, 2}. Τότε P(S) = {∅, {1, 2}, {1}, {2}}.
Πρόταση 1.1.13 (Η άλγεβρα των συνόλων) ΄Εστω S ένα σύνολο και A, B, Γ ∈ P(S). Τότε
ισχύουν τα εξής :
A∪A=A
A∪B =B∪A
(A ∪ B) ∪ Γ = A ∪ (B ∪ Γ)
A ∩ (B ∪ Γ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Γ)
A ∩ (A ∪ B) = A
A∪∅=A
A∪S =S
A ∪ Ac = S
A∩A=A
A∩B =B∩A
(A ∩ B) ∩ Γ = A ∩ (B ∩ Γ)
A ∪ (B ∩ Γ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ Γ)
A ∪ (A ∩ B) = A
A∩S =A
A∩∅=∅
A ∩ Ac = ∅
(Ac )c = A
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
Οι τελευταίες δύο ισότητες λέγονται νόµοι του De Morgan.
Απόδειξη. Η απόδειξη της πρότασης είναι άµεση από τους ορισµούς. Ενδεικτικά, επαληϑεύουµε την τελευταία ισότητα. Για να δείξουµε ότι (A ∩ B)c = Ac ∪ B c αρκεί να δείξουµε
ότι (A ∩ B)c ⊆ Ac ∪ B c και Ac ∪ B c ⊆ (A ∩ B)c . Πράγµατι, αν x ∈ (A ∩ B)c τότε x ∈ S και
x 6∈ A ∩ B και άρα ένα ακριβώς από τα ακόλουθα ισχύει :
(i) x ∈ A και x 6∈ B
(ii) x 6∈ A και x ∈ B
(iii) x 6∈ A και x 6∈ B
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚý
ΕΣ ý
ΕΝΝΟΙΕΣ
10
Στην περίπτωση (i) έχουµε ότι x ∈ B c , στην περίπτωση (ii) έχουµε ότι x ∈ Ac και στην
περίπτωση (iii) έχουµε ότι x ∈ Ac ∩ B c . ΄Αρα, σε κάθε περίπτωση, έχουµε x ∈ Ac ∪ B c .
∆είξαµε ότι (A ∩ B)c ⊆ Ac ∪ B c . ΄Εστω τώρα ότι x ∈ Ac ∪ B c . Τότε x ∈ Ac ή x ∈ B c , συνεπώς
x 6∈ A ή x 6∈ B και άρα x 6∈ A ∩ B , δηλαδή x ∈ (A ∩ B)c .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να επαληθευτούν όλες οι ισότητες της Πρότασης 1.1.13.
2. Αν A είναι ένα πεπερασµένο σύνολο τότε µε | A | συµβολίζουµε το πλήθος των στοιχείων
του. Να δειχτεί ότι αν A, B είναι πεπερασµένα σύνολα τότε :
|A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |.
3. ΄Εστω S ένα σύνολο και A, B ∈ P(S). Να δειχτεί ότι A ∩ B c = ∅ αν και µόνο αν A ⊆ B .
4. ΄Εστω S ένα σύνολο και A, B ∈ P(S) µε Ac και B c πεπερασµένα σύνολα. Να δειχτεί
ότι το σύνολο (A ∩ B)c είναι επίσης πεπερασµένο.
5. ΄Εστω S ένα σύνολο και X, Y ∈ P(S). Η συµµετρική διαφορά των συνόλων X και Y
ορίζεται ως
(X\Y ) ∪ (Y \X)
και συµβολίζεται µε X +̇Y . Να δειχτεί ότι αν A, B, Γ ∈ P(S), τότε
(i) A+̇B = B +̇A
(ii) A+̇(B +̇Γ) = (A+̇B)+̇Γ
(iii) A+̇A = ∅.
(iv) A ∩ (B +̇Γ) = (A ∩ B)+̇(A ∩ Γ)
6. ΄Εστω S, I µη-κενά σύνολα και έστω ότι για κάθε i ∈ I µας δίνεται ένα σύνολο Ai µε
Ai ∈ P(S). Η τοµή των συνόλων Ai , i ∈ I , είναι το σύνολο
µε στοιχεία τα στοιχεία που
T
ανήκουν σε όλα τα Ai , i ∈ I , και συµβολίζεται µε i∈I Ai . Η ένωση των συνόλων Ai ,
i ∈ I , είναι το σύνολο µε στοιχεία
S τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα
Ai , i ∈ I , και συµβολίζεται µε i∈I Ai . Να δειχτεί ότι :
¡S
¢c T
= i∈I Aci
(i)
A
i
i∈I
¡T
¢c S
(ii)
= i∈I Aci
i∈I Ai
1.2 Καρτεσιανά Γινόµενα
΄Εστω A, B δυο σύνολα. Το σύµβολο (α, β) µε α ∈ A και β ∈ B λέγεται διατεταγµένο
εύγος µε πρώτη συντεταγµένη το α και δεύτερη συντεταγµένη το β . Αν (α, β) και (α0 , β 0 )
είναι δύο διατεταγµένα εύγη, τότε (α, β) = (α0 , β 0 ) αν και µόνο αν α = α0 και β = β 0 .
Ορισµός 1.2.1 Το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων A και B είναι το σύνολο µε στοιχεία
τα διατεταγµένα εύγη (α, β) µε α ∈ A και β ∈ B , και συµβολίζεται µε A × B .
1.2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝý
Α ΓΙΝý
ΟΜΕΝΑ
11
Παράδειγµα 1.2.2 Αν A = {1, 2, 3} και B = {1, 4}, τότε
• A × B = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}
• B × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
• A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
• B × B = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4)}
Η έννοια του καρτεσιανού γινοµένου µπορεί να γενικευθεί για περισσότερα από δύο
σύνολα. ΄Ετσι, αν A1 , A2 , . . . , Aν είναι σύνολα, τότε το σύµβολο (α1 , α2 , . . . , αν ) µε αi ∈ Ai ,
1 ≤ i ≤ ν , λέγεται διατεταγµένη ν -άδα µε i-συντεταγµένη το αi για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Αν
(α1 , α2 , . . . , αν ) και (α10 , α20 , . . . , αν0 ) είναι δύο διατεταγµένες ν -άδες, τότε (α1 , α2 , . . . , αν ) =
(α10 , α20 , . . . , αν0 ) αν και µόνο αν αi = αi0 για κάθε i = 1, 2, . . . , ν , δηλαδή αν και µόνο
αν η i-συντεταγµένη της ν -άδας (α1 , α2 , . . . , αν ) ισούται µε την i-συντεταγµένη της ν -άδας
(α10 , α20 , . . . , αν0 ) για κάθε i = 1, 2, . . . , ν .
Ορισµός 1.2.3 Το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων A1 , A2 , . . . , Aν είναι το σύνολο µε στοιχεία τις διατεταγµένες ν-άδες (α1 , α2 , . . . , αν ), όπου αi ∈ Ai , 1 ≤ i ≤ ν , και συµβολίζεται
µε A1 × A2 × . . . × Aν . Στην περίπτωση που A1 = A2 = . . . = Aν = A, τότε το καρτεσιανό
γινόµενο των A1 , A2 , . . . , Aν συµβολίζεται µε Aν , δηλαδή A1 × A2 × . . . × Aν = Aν .
΄Ετσι, το σύνολο Aν ορίζεται για κάθε ϑετικό ακέραιο ν . Θεωρούµε ότι A1 = A. Για
παράδειγµα, το σύνολο R2 είναι το σύνολο των διατεταγµένων ευγών πραγµατικών αριθµών,
το σύνολο R3 είναι το σύνολο των διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών και το σύνολο
Rν είναι το σύνολο των διατεταγµένων ν -άδων πραγµατικών αριθµών.
Παρατήρηση ∆εν ϑεωρήσαµε σκόπιµο να δώσουµε έναν αυστηρό ορισµό του καρτεσιανού
γινοµένου. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται µπορεί να συµβουλευτεί οποιοδήποτε ιβλίο της
ϑεωρίας συνόλων.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. ΄Εστω A = {1, 2, 3} και B = {1, 4}. Να ρεθεί το | (A × B) ∪ (B × A) |.
2. ΄Εστω A, B, Γ, ∆ σύνολα. Να δειχτεί ότι
(i) A × B = ∅ αν και µόνο αν A = ∅ ή B = ∅
(ii) Αν A 6= ∅ και B 6= ∅ τότε
(α) A × B = B × A αν και µόνο αν A = B
(β) A ⊆ Γ και B ⊆ ∆ αν και µόνο αν A × B ⊆ Γ × ∆
(iii) (A ∪ B) × Γ = (A × Γ) ∪ (B × Γ)
(iv) (A ∩ B) × (Γ ∩ ∆) = (A × Γ) ∩ (B × ∆)
(v) (A\B) × Γ = (A × Γ)\(B × Γ)
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚý
ΕΣ ý
ΕΝΝΟΙΕΣ
12
3. ΄Εστω A, B δύο σύνολα. Να δειχτεί ότι A × B =
{α} × B και Aβ = A × {β}.
S
α∈A
Bα =
S
β∈B
Aβ , όπου Bα =
4. ΄Εστω I, J, S µη-κενά σύνολα και έστω ότι για κάθε i ∈ I µας δίνεται ένα σύνολο Ai µε
Ai ∈ P(S) και για κάθε j ∈ J ένα σύνολο Bj µε Bj ∈ P(S). Να δειχτεί ότι :
!
Ã
! Ã
[
[
[
Bj =
Ai × Bj .
Ai ×
i∈I
j∈J
(i,j)∈I×J
1.3 Σχέσεις Ισοδυναµίας
Ορισµός 1.3.1 ΄Εστω A, B δύο σύνολα. Μια διµελής σχέση από το A στο B είναι ένα
υποσύνολο R του καρτεσιανού γινοµένου A × B . Ιδιαίτερα, ένα υποσύνολο R ⊆ A × A λέγεται
µια διµελής σχέση στο A. Αν (x, y) ∈ R, τότε συνήθως γράφουµε xRy .
Παράδειγµα 1.3.2 ΄Εστω A ένα σύνολο.
(i) R = {(x, y) ∈ A × A | x = y} είναι µια διµελής σχέση στο A.
(ii) R = {(x, Y ) ∈ A × P(A) | x ∈ Y } είναι µια διµελής σχέση από το A στο P(A).
(iii) R = {(X, Y ) ∈ P(A) × P(A) | X ⊆ Y } είναι µια διµελής σχέση στο P(A).
Ορισµός 1.3.3 ΄Εστω A ένα σύνολο και R ⊆ A × A µια διµελής σχέση στο A. Τότε
(i) Η R λέγεται αυτοπαθής αν (x, x) ∈ R για κάθε x ∈ A.
(ii) Η R λέγεται συµµετρική αν έχει την ακόλουθη ιδιότητα : αν (x, y) ∈ R, τότε (y, x) ∈ R.
(iii) Η R λέγεται µεταβατική αν έχει την ακόλουθη ιδιότητα : αν (x, y) ∈ R και (y, z) ∈ R,
τότε (x, z) ∈ R.
Μία διµελής σχέση στο A, η οποία είναι αυτοπαθής, συµµετρική και µεταβατική λέγεται
σχέση ισοδυναµίας στο A. Για τις σχέσεις ισοδυναµίας χρησιµοποιούµε συνήθως το σύµολο ∼. ΄Ετσι, αν R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο A τότε αντί για xRy γράφουµε x ∼ y .
Οι τρεις χαρακτηριστικές ιδιότητες της ∼ εκφράζονται ως εξής :
• Αυτοπαθής : x ∼ x για κάθε x ∈ A
• Συµµετρική : Αν x ∼ y τότε y ∼ x
• Μεταβατική : Αν x ∼ y και y ∼ z , τότε x ∼ z
Παράδειγµα 1.3.4 ΄Εστω A ένα σύνολο.
(i) Η ισότητα στο σύνολο A είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο A.
(ii) Αν A 6= ∅, τότε η σχέση X ⊆ Y στο σύνολο P(A) δεν είναι σχέση ισοδυναµίας, καθώς
δεν είναι συµµετρική.
1.3. ΣΧý
ΕΣΕΙΣ ΙΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑΣ
13
Ορισµός 1.3.5 ΄Εστω A ένα σύνολο και ∼ µια σχέση ισοδυναµίας στο A. Αν α ∈ A τότε η
κλάση ισοδυναµίας του α είναι το σύνολο Kα = {x ∈ A | α ∼ x}. Παρατηρούµε ότι, λόγω
της συµµετρικής ιδιότητας, Kα = {x ∈ A | x ∼ α}. Το σύνολο {Kα | α ∈ A} των κλάσεων
ισοδυναµίας συµβολίζεται µε A/ ∼.
Παράδειγµα 1.3.6 Θεωρούµε το σύνολο X των σηµείων του επιπέδου και σταθεροποιούµε ένα
σηµείο O ∈ X . Ορίζουµε µια σχέση στο X , ως εξής : Αν P, Q ∈ X τότε ϑέτουµε P ∼ Q αν
και µόνο αν τα σηµεία P, Q ισαπέχουν από το O . Είναι εύκολο να δειχτεί ότι η σχέση αυτή
είναι µια σχέση ισοδυναµίας. Η κλάση ισοδυναµίας ενος στοιχείου P ∈ X είναι το σύνολο των
σηµείων του κύκλου µε κέντρο O , ο οποίος διέρχεται από το P . (Αν P = O τότε ο κύκλος αυτός
εκφυλίζεται σε ένα σηµείο.) Το σύνολο X/ ∼ είναι το σύνολο όλων των κύκλων του επιπέδου µε
κέντρο O.
Πρόταση 1.3.7 ΄Εστω A ένα σύνολο και ∼ µια σχέση ισοδυναµίας στο A. Τότε :
(i) Αν α, β ∈ A τότε Kα = Kβ αν και µόνο αν α ∼ β .
(ii) Αν α, β ∈ A τότε Kα = Kβ ή Kα ∩ Kβ = ∅.
S
(iii) α∈A Kα = A.
Απόδειξη.
(i) Αν Kα = Kβ τότε, επειδή β ∈ Kβ , έπεται ότι β ∈ Kα και άρα α ∼ β . ΄Εστω τώρα
α ∼ β . Θα δείξουµε ότι Kα ⊆ Kβ και Kβ ⊆ Kα . Αν x ∈ Kα τότε x ∼ α. Αλλά από υπόθεση
έχουµε ότι α ∼ β και άρα από τη µεταβατική ιδιότητα έπεται ότι x ∼ β . ΄Ετσι, x ∈ Kβ και
άρα δείξαµε ότι Kα ⊆ Kβ . Ανάλογα δείχνουµε ότι Kβ ⊆ Kα .
Οι αποδείξεις των (ii) και (iii) αφήνονται ως ασκήσεις στον αναγνώστη.
Ορισµός 1.3.8 ΄Εστω A ένα σύνολο. ΄Ενα υποσύνολο S ⊆ P(A) λέγεται διαµέριση του A
αν
(i) ∅ 6∈ S ,
(ii)
S
Γ∈S
Γ = A και
(iii) αν X, Y ∈ S τότε X = Y ή X ∩ Y = ∅.
΄Ετσι, µια διαµέριση ενός συνόλου A είναι ένα σύνολο µη-κενών υποσυνόλων του A, τα οποία
ανά δύο έχουν τοµή το κενό σύνολο ή συµπίπτουν και η ένωσή τους είναι το A.
΄Από την Πρόταση 1.3.7 έπεται ότι άν ∼ είναι µια σχέση ισοδυναµίας σε ένα σύνολο A,
τότε το σύνολο A/ ∼ των κλάσεων ισοδυναµίας είναι µια διαµέριση του A. Στην επόµενη
πρόταση ϑα δείξουµε ότι ισχύει και το αντίστροφο.
Πρόταση 1.3.9 ΄Εστω A ένα σύνολο και S µια διαµέριση του A. Τότε, υπάρχει µια σχέση
ισοδυναµίας ∼ στο A, έτσι ώστε οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναµίας να είναι ακριβώς τα στοιχεία
του S (δηλαδή, A/ ∼ = S ).
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚý
ΕΣ ý
ΕΝΝΟΙΕΣ
14
Απόδειξη. Ορίζουµε µια σχέση στο A ως εξής : Για x, y ∈ A ϑέτουµε x ∼ y αν και µόνο
αν υπάρχει Γ ∈ S µε x, y ∈ Γ. Είναι εύκολο να δούµε ότι η σχέση ∼ είναι µια σχέση
ισοδυναµίας στο A και αν x ∈ A µε x ∈ Γ, τότε Kα = Γ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να εξεταστεί ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις είναι σχέσεις ισοδυναµίας.
1. Στο σύνολο των ακεραίων Z:
Αν α, β ∈ Z τότε α ∼ β αν ο ακέραιος β − α είναι πολλαπλάσιο του 2.
2. Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R:
Αν α, β ∈ R τότε α ∼ β αν ο ο πραγµατικός αριθµός β − α είναι ητός.
3. Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R:
Αν α, β ∈ R τότε α ∼ β αν αβ ≥ 0.
4. Στο σύνολο Z × Z:
Αν (α1 , α2 ), (β1 , β2 ) ∈ Z × Z τότε (α1 , α2 ) ∼ (β1 , β2 ) αν α1 β2 = α2 β1 .
1.4 Απεικονίσεις
Ορισµός 1.4.1 ΄Εστω X, Y δύο σύνολα. Μια απεικόνιση f από το X στο Y είναι ένας
κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο x του X ακριβώς ένα στοιχείο f (x) του Y . Το
σύνολο X λέγεται το πεδίο ορισµού της απεικόνισης f και το σύνολο Y το πεδίο τιµών της. Για
συντοµία, γράφουµε f : X −→ Y . Το στοιχείο f (x) του Y λέγεται η εικόνα του x µέσω της
απεικόνισης f . Τις απεικονίσεις ονοµάζουµε επίσης και συναρτήσεις.
Ορισµός 1.4.2 ΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση και A ⊆ X , B ⊆ Y . Τότε, το σύνολο
{f (x) ∈ Y | x ∈ A} λέγεται η εικόνα του A µέσω της f και συµβολίζεται µε f (A). Ιδιαίτερα, το
f (X) λέγεται η εικόνα της f . Το σύνολο {x ∈ X | f (x) ∈ B} λέγεται η αντίστροφη εικόνα του
B µέσω της f και συµβολίζεται µε f −1 (B).
Παράδειγµα 1.4.3
(i) Η πρόσθεση των πραγµατικών αριθµών είναι µια απεικόνιση
πρ : R × R −→ R µε (x, y) 7−→ x + y .
(ii) Ο πολλαπλασιασµός των πραγµατικών αριθµών είναι µια απεικόνιση
πoλ : R × R −→ R µε (x, y) 7−→ xy .
(iii) Μια απεικόνιση δεν είναι απαραίτητο να ορίζεται µέσω ½
κάποιου τύπου. ΄Ετσι, µπορούµε
1 αν ο x είναι ητός
να ϑεωρήσουµε την απεικόνιση f : R −→ R µε f (x) =
0 αν ο x είναι άρρητος
(iv) Η π1 : R × R −→ R µε (x, y) 7−→ x είναι µια απεικόνιση.
1.4. ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
15
½
(v) Η σ : N −→ Z µε σ(0) = 0 και σ(ν) =
κ αν ν = 2κ
για κάθε ν > 0 είναι µια
−κ αν ν = 2κ − 1
απεικόνιση.
(vi) Η % : N −→ Z µε ν 7−→ −ν είναι µια απεικόνιση.
Ορισµός 1.4.4 ∆ύο απεικονίσεις f : X −→ Y και g : A −→ B λέγονται ίσες αν X = A,
Y = B και f (x) = g(x) για κάθε x ∈ X .
½
Παράδειγµα 1.4.5 Οι απεικονίσεις f : Z −→ Z µε f (ν) =
−1 αν ο ν είναι περιττός
και
1 αν ο ν είναι άρτιος
g : Z −→ Z µε g(ν) = συν(νπ) είναι ίσες.
Ορισµός 1.4.6 ΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση.
(i) Η f λέγεται ένα προς ένα, και γράφουµε 1-1, αν για κάθε x, x0 ∈ X µε x 6= x0 είναι
f (x) 6= f (x0 ) ή, ισοδύναµα, αν για κάθε x, x0 ∈ X µε f (x) = f (x0 ) είναι x = x0 .
(ii) Η f λέγεται επί αν για κάθε y ∈ Y υπάρχει x ∈ X µε f (x) = y ή, ισοδύναµα, αν
f (X) = Y .
Παράδειγµα 1.4.7 Για τις απεικονίσεις στο Παράδειγµα 1.4.3 έχουµε :
(i) Η πρ είναι επί, αφού αν r ∈ R τότε πρ((r, 0)) = r, αλλά δεν είναι 1-1, αφού πρ((1, 3)) =
4 = πρ((2, 2)).
(ii) Η πoλ είναι επί, αφού αν r ∈ R τότε πoλ((r, 1)) = r, αλλά δεν είναι 1-1, αφού
πολ((3, 4)) = 12 = πoλ((2, 6)).
(iii) Η f δεν είναι επί, αφού f (R) = {1, 0} ( R, ούτε 1-1, αφού f (2) = 1 = f (3).
(iv) Η π1 είναι επί, αφού αν r ∈ R τότε π1 ((r, 2)) = r, αλλά δεν είναι 1-1, αφού π1 ((1, 2)) =
1 = π1 ((1, 3)).
(v) Εύκολα λέπουµε ότι η σ είναι 1-1 και επί.
(vi) Η % είναι 1-1, αφού αν %(x) = %(y), τότε −x = −y και άρα x = y , αλλά δεν είναι επί,
αφού %(N) ( Z.
Ορισµός 1.4.8 ΄Εστω M ένα σύνολο. Η απεικόνιση M −→ M που αντιστοιχεί το x στο x για
κάθε x ∈ X λέγεται η ταυτοτική απεικόνιση του M και συµβολίζεται µε 1M ή idM .
Ορισµός 1.4.9 ΄Εστω f : X −→ Y και g : Y −→ Z δύο απεικονίσεις. Τότε ορίζεται η
απεικόνιση
g ◦ f : X −→ Z
µε (g ◦ f )(x) = g(f (x)) για κάθε x ∈ X , η οποία λέγεται σύνθεση των f και g .
Παράδειγµα 1.4.10 ΄Εστω f : Z −→ Z και g : Z −→ Z οι συναρτήσεις µε f (ν) = 2ν + 1 και
g(ν) = 2ν για κάθε ν ∈ Z. Τότε, για τις συνθέσεις g ◦ f και f ◦ g είναι (g ◦ f )(ν) = 4ν + 2 και
(f ◦ g)(ν) = 4ν + 1. Παρατηρούµε ότι f ◦ g 6= g ◦ f .
16
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚý
ΕΣ ý
ΕΝΝΟΙΕΣ
Πρόταση 1.4.11 Αν f : A −→ B είναι µια απεικόνιση, τότε 1B ◦ f = f = f ◦ 1A .
Απόδειξη. Είναι άµεση και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.
Πρόταση 1.4.12 (Η προσεταιριστική ιδιότητα της σύνθεσης απεικονίσεων) ΄Εστω f : A −→ B ,
g : B −→ Γ και h : Γ −→ ∆ απεικονίσεις. Τότε, οι απεικονίσεις h ◦ (g ◦ f ) : A −→ ∆ και
(h ◦ g) ◦ f : A −→ ∆ είναι ίσες.
Απόδειξη. ΄Εστω φ = h◦(g◦f ) : A −→ ∆ και ψ = (h◦g)◦f : A −→ ∆. Τότε, για κάθε α ∈ A
έχουµε φ(α) = (h ◦ (g ◦ f ))(α) = h((g ◦ f )(α)) = h(g(f (α))) και ψ(α) = ((h ◦ g) ◦ f )(α) =
(h ◦ g)(f (α)) = h(g(f (α))). ΄Αρα φ(α) = ψ(α) για κάθε α ∈ A, δηλαδή φ = ψ .
Πρόταση 1.4.13 ΄Εστω f : X −→ Y και g : Y −→ Z δυο απεικονίσεις.
(i) Αν οι f και g είναι 1-1, τότε η g ◦ f είναι επίσης 1-1.
(ii) Αν οι f και g είναι επί, τότε η g ◦ f είναι επίσης επί.
(iii) Αν οι f και g είναι 1-1 και επί τότε η g ◦ f είναι επίσης 1-1 και επί.
Απόδειξη.
(i) ΄Εστω x1 , x2 ∈ X µε x1 6= x2 . Επειδή η f είναι 1-1, έπεται ότι f (x1 ) 6= f (x2 ). Τώρα,
επειδή η g είναι 1-1, έπεται ότι g(f (x1 )) 6= g(f (x2 )). ΄Αρα, η g ◦ f είναι 1-1.
(ii) Εστω z ∈ Z . Επειδή η g είναι επί, έπεται ότι z = g(y) για κάποιο y ∈ Y . Τώρα,
επειδή η f είναι επί, έχουµε ότι y = f (x) για κάποιο x ∈ X . ΄Αρα, έχουµε z = g(y) =
g(f (x)) = (g ◦ f )(x). ∆είξαµε ότι για κάθε z ∈ Z υπάρχει κάποιο x ∈ X µε z = (g ◦ f )(x).
΄Αρα, η g ◦ f είναι επί.
(iii) Αυτό έπεται άµεσα από τα (i) και (ii).
΄Εστω f : A −→ B και g : B −→ A δυο απεικονίσεις. Τότε, ορίζονται οι απεικονίσεις
g ◦ f : A −→ A και f ◦ g : B −→ B.
Στην περίπτωση που g ◦ f = 1A και f ◦ g = 1B , η g λέγεται µια αντίστροφη της f (και η f
µια αντίστροφη της g ). Θα εξετάσουµε παρακάτω πότε µια απεικόνιση f έχει αντίστροφη και
ϑα δούµε ότι αυτή, αν υπάρχει, είναι µοναδική.
Πρόταση 1.4.14 Μια απεικόνιση f : A −→ B έχει αντίστροφη αν και µόνο αν είναι 1-1 και
επί.
Απόδειξη. ΄Εστω ότι η f έχει µια αντίστροφη g : B −→ A. ΄Ετσι, έχουµε g(f (α)) = α
για κάθε α ∈ A και f (g(β)) = β για κάθε β ∈ B . Θα δείξουµε ότι η f είναι 1-1 και επί.
Πράγµατι, έστω α1 , α2 ∈ A µε f (α1 ) = f (α2 ). Τότε, έχουµε α1 = g(f (α1 )) = g(f (α2 )) = α2
και έτσι η f είναι 1-1. ΄Εστω τώρα β ∈ B . Τότε f (g(β)) = β , δηλαδή το β είναι η εικόνα του
στοιχείου g(β) ∈ A µέσω της f . ΄Αρα, η f είναι επί.
Ας υποθέσουµε τώρα ότι η f είναι 1-1 και επί. Θα δείξουµε ότι υπάρχει απεικόνιση
g : B −→ A µε f ◦ g = 1B και g ◦ f = 1A . ΄Εστω β ∈ B . Καθώς η f είναι επί, υπάρχει
τουλάχιστον ένα α ∈ A µε f (α) = β . Αν κάποιο στοιχείο α0 ∈ A είναι τέτοιο ώστε f (α0 ) = β ,
1.4. ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
17
τότε f (α) = β = f (α0 ). Επειδή όµως η f είναι 1-1, έπεται ότι α = α0 . ΄Αρα, αν β ∈ B τότε
υπάρχει ένα µοναδικό α ∈ A µε f (α) = β . Συνεπώς, µπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση
g : B −→ A, ώς εξής : Αν β ∈ B τότε η εικόνα g(β) του β µέσω της g είναι το µοναδικό
στοιχείο α ∈ A το οποίο έχει την ιδιότητα f (α) = β . ∆ηλαδή, g(β) = α, όπου α το µοναδικό
στοιχείο του A µε την ιδιότητα f (α) = β . Εύκολα τώρα λέπουµε ότι f (g(β)) = β για κάθε
β ∈ B και g(f (α)) = α για κάθε α ∈ A. ΄Αρα, έχουµε f ◦ g = 1B και g ◦ f = 1A .
Πρόταση 1.4.15 Αν µια απεικόνιση f : A −→ B είναι 1-1 και επί τότε έχει µοναδική αντίστροφη, την οποία συµβολίζουµε µε f −1 .
Απόδειξη. Είδαµε στην Πρόταση 1.4.14 ότι αν µια απεικόνιση f : A −→ B είναι 1-1
και επί τότε έχει αντίστροφη. ΄Εστω g1 , g2 : B −→ A δυο αντίστροφες της f . Τότε, έχουµε
g1 ◦ f = 1A = g2 ◦ f και f ◦ g1 = 1B = f ◦ g2 . ΄Ετσι, µε άση τις Προτάσεις 1.4.11 και 1.4.12,
συµπεραίνουµε ότι g1 = 1A ◦ g1 = (g2 ◦ f ) ◦ g1 = g2 ◦ (f ◦ g1 ) = g2 ◦ 1B = g2 .
Από τα παραπάνω έπεται ότι αν µια απεικόνιση f : A −→ B είναι 1-1 και επί τότε η
αντίστροφη απεικόνιση f −1 : B −→ A είναι επίσης 1-1 και επί, ενώ η αντίστροφη της f −1
είναι η f .
Παράδειγµα 1.4.16 Από τις απεικονίσεις του Παραδείγµατος 1.4.3 µόνο η απεικόνιση σ στο
(v) είναι 1-1 και επί και άρα µόνο αυτή έχει αντίστροφη. Η σ −1 : Z −→ N0 ορίζεται ϑέτοντας
σ −1 (0) = 0 και
½
2κ
αν κ ϑετικός ακέραιος
−1
σ (κ) =
−2κ − 1 αν κ αρνητικός ακέραιος
Πρόταση 1.4.17 Αν οι απεικονίσεις f : A −→ B και g : B −→ Γ έχουν αντίστροφες, τότε η
απεικόνιση g ◦ f : A −→ Γ έχει επίσης αντίστροφη και µάλιστα ισχύει (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Απόδειξη. ΄Εχουµε τις σχέσεις f −1 ◦ f = 1A και f ◦ f −1 = 1B , όπως επίσης και τις σχέσεις
g −1 ◦ g = 1B και g ◦ g −1 = 1Γ . Με άση τις Προτάσεις 1.4.11 και 1.4.12, έχουµε ότι
(g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1 ) = g ◦ (f ◦ (f −1 ◦ g −1 )) = g ◦ ((f ◦ f −1 ) ◦ g −1 ) = g ◦ (1B ◦ g −1 ) = g ◦ g −1 = 1Γ .
Ανάλογα δείχνουµε ότι (f −1 ◦g −1 )◦(g ◦f ) = 1A . ΄Ετσι, δείξαµε ότι η g ◦f έχει µια αντίστροφη,
την f −1 ◦ g −1 . Καθώς γνωρίζουµε ότι αν µια απεικόνιση έχει αντίστροφη, τότε αυτή είναι
µοναδική, έπεται ότι (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Ορισµός 1.4.18 ΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση και M ένα υποσύνολο του X . Η απεικόνιση M −→ Y µε x 7−→ f (x) λέγεται περιορισµός της f στο M και συµβολίζεται µε f |M .
Ορισµός 1.4.19 ΄Εστω ρ : A −→ B µία απεικόνιση και Γ ένα σύνολο µε A ⊆ Γ.
σ : Γ −→ B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε ρ = σ |A , τότε η σ λέγεται επέκταση της ρ.
Αν
Παράδειγµα 1.4.20 Θεωρούµε την απεικόνιση ρ : N −→ Z µε
½ ν 7−→ −ν . Τότε, οι απεικονί−ν αν ο ν είναι ϑετικός
σεις σ1 : Z −→ Z µε ν 7−→ −ν και σ2 : Z −→ Z µε σ2 (ν) =
ν
αν ο ν είναι αρνητικός
είναι επεκτάσεις της ρ µε σ1 6= σ2 .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚý
ΕΣ ý
ΕΝΝΟΙΕΣ
18
Ορισµός 1.4.21 ΄Εστω A, B δυο σύνολα. Η απεικόνιση π1 : A × B −→ A µε (α, β) 7−→ α
λέγεται προβολή στον πρώτο παράγοντα του καρτεσιανού γινοµένου A × B . Ανάλογα ορίζεται
η προβολή π2 : A × B −→ B στον δεύτερο παράγοντα του A × B .
Παρατήρηση 1.4.22 Ο ορισµός της απεικόνισης που δώσαµε (Ορισµός 1.4.1) δεν είναι διατυπωµένος αυστηρά στη γλώσσα των συνόλων. ΄Ενας αυστηρός ορισµός είναι ο ακόλουθος : Μια
απεικόνιση f είναι µια διατεταγµένη τριάδα (X, Y, R) όπου X, Y είναι σύνολα και R ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινοµένου X × Y , το οποίο έχει τις επόµενες δύο ιδιότητες :
(i) για κάθε x ∈ X υπάρχει y ∈ Y ώστε (x, y) ∈ R και
(ii) αν x ∈ X και y, y 0 ∈ Y είναι στοιχεία µε (x, y) ∈ R και (x, y 0 ) ∈ R, τότε y = y 0 .
΄Ετσι, µια απεικόνιση f = (X, Y, R) είναι µια διµελής σχέση ειδικής µορφής από το X στο Y .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
(i) Ποιες από τις ακόλουθες απεικονίσεις είναι 1-1;, ποιες είναι επί ;
f1
f2
f3
f4
f5
: N −→ N, x 7−→ x2
: Z −→ Z, x 7−→ x2
: Z −→ Z, x 7−→ x3
: R −→ R, x 7−→ x3
: N −→ N, x 7−→ x + 1
(ii) Είναι οι συναρτήσεις f5 ◦ f1 και f1 ◦ f5 ίσες ;
2. ΄Εστω π1 : R × R → R η προβολή στον πρώτο παράγοντα. Αν r1 , r2 ∈ R να δειχτεί ότι
υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση απο το σύνολο π1−1 (r1 ) στο π1−1 (r2 ).
3. ΄Εστω f : A −→ B µια απεικόνιση, X, Y ⊆ A και Γ, ∆ ⊆ B . Να δειχτεί ότι :
(i) Αν X ⊆ Y τότε f (X) ⊆ f (Y )
(ii) Αν Γ ⊆ ∆ τότε f −1 (Γ) ⊆ f −1 (∆)
(iii) X ⊆ f −1 (f (X))
(iv) f (f −1 (Y )) ⊆ Y
4. ΄Εστω f : A → B µια απεικόνιση, X, Y ⊆ A και Γ, ∆ ⊆ B . Να δειχτεί ότι :
(i) f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y )
(ii) f −1 (Γ ∪ ∆) = f −1 (Γ) ∪ f −1 (∆)
(iii) f (X ∩ Y ) ⊆ f (X) ∩ f (Y )
(iv) f −1 (Γ ∩ ∆) = f −1 (Γ) ∩ f −1 (∆)
Να δειχτεί επίσης ότι στο (iii) έχουµε ισότητα για κάθε X, Y ∈ P(A) αν και µόνο αν η
f είναι 1-1.
1.4. ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
19
5. ΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση. Θεωρούµε ένα µη-κενό σύνολο I και υποθέτουµε
ότι για κάθε i ∈ I µας δίνεται ένα σύνολο Ai µε Ai ∈ P(X) και ένα σύνολο Bi µε
Bi ∈ P(Y ). Να δειχτεί ότι :
¡S
¢ S
(i) f −1
B
= i∈I f −1 (Bi )
i
i∈I
¡
¢
T
T
−1
(ii) f −1
(Bi )
i∈I Bi =
i∈I f
¢ S
¡S
(iii) f
i∈I Ai =
i∈I f (Ai )
¡T
¢ T
(iv) Αν η f είναι 1-1 τότε f
i∈I Ai =
i∈I f (Ai )
6. ΄Εστω f : A −→ B και % : B −→ Γ δυο απεικονίσεις. Να δειχτεί ότι :
(i) Αν η % ◦ f είναι επί, τότε η % είναι επί.
(ii) Αν η % ◦ f είναι 1-1, τότε η f είναι 1-1.
7. ΄Εστω f : A −→ X µια απεικόνιση και B, Γ υποσύνολα του A, τέτοια ώστε οι περιορισµοί f |B και f |Γ είναι 1-1. Μπορούµε να συµπεράνουµε ότι ο περιορισµός f |B∪Γ είναι
επίσης 1-1;
8. ΄Εστω f : A −→ B µια απεικόνιση. Να δειχτεί ότι :
(i) Η f είναι 1-1 αν και µόνο αν | f −1 ({β}) | = 1 για κάθε β ∈ f (A).
(ii) Η f είναι επί αν και µόνο αν f −1 ({β}) 6= ∅ για κάθε β ∈ B .
9. ΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση. Τότε ορίζονται οι απεικονίσεις f : P(X) −→ P(Y )
µε A 7−→ f (A) και f −1 : P(Y ) −→ P(X) µε B 7−→ f −1 (B). Να δειχτεί ότι :
(i) Αν η f είναι επί τότε f ◦ f −1 = 1P(Y ) .
(ii) Αν η f είναι 1-1 τότε f −1 ◦ f = 1P(X) .
10.
(i) ΄Εστω A, B δυο σύνολα και S το σύνολο των απεικονίσεων f : {1, 2} −→ A ∪ B µε
f (1) ∈ A και f (2) ∈ B . Να δειχτεί ότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση από το
S στο A × B .
(ii) ΄Εστω A ένα σύνολο και ν ένας ϕυσικός αριθµός. Αν M είναι το σύνολο όλων των
απεικονίσεων f : {1, 2, 3, . . . , ν} −→ A, τότε να δειχτεί ότι υπάρχει µια 1-1 και
επί απεικόνιση από το A στο Aν = A × A × · · · × A.
{z
}
|
ν−ϕορές
11. Μια απεικόνιση f : A −→ B λέγεται σταθερή αν f (α) = f (α0 ) για κάθε α, α0 ∈ A. Να
δειχτεί ότι αν f, % : A −→ A είναι σταθερές απεικονίσεις και f 6= %, τότε % ◦ f 6= f ◦ %.
12. ΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση. Να δειχτεί ότι η f είναι σταθερή αν και µόνο αν για
κάθε απεικόνιση g : X −→ X έχουµε f ◦ g = f .
13. Να ρεθεί µια 1-1 και επί απεικόνιση f : N −→ M , όπου M ( N.
14. ΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση. Να δειχτεί ότι το σύνολο {f −1 ({y}) | y ∈ f (X)}
είναι µια διαµέριση του X .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚý
ΕΣ ý
ΕΝΝΟΙΕΣ
20
15.
(i) ΄Εστω f : X −→ Y µια 1-1 απεικόνιση. Να ορίσετε µια απεικόνιση % : Y −→ X
µε % ◦ f = 1X .
(ii) ∆ώστε παράδειγµα απεικονίσεων σ, τ : A −→ A µε τ ◦ σ = 1A και σ ◦ τ 6= 1A .
16. ΄Εστω f, g : X −→ Y δυο απεικονίσεις. Να δειχτεί ότι :
(i) f = g αν και µόνο αν για κάθε απεικόνιση h : Y −→ {3, 7} ισχύει h ◦ f = h ◦ g .
(ii) f = g αν και µόνο αν για κάθε απεικόνιση σ : {3} −→ X ισχύει ότι f ◦ σ = g ◦ σ .
17. ΄Εστω A = A1 × A2 και R1 , R2 σχέσεις ισοδυναµίας στα A1 και A2 αντίστοιχα. ΄Εστω
R η σχέση στο A που ορίζεται ϑέτοντας (α1 , α2 )R(β1 , β2 ) αν α1 R1 β1 και α2 R2 β2 . Να
δειχτεί ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας στο A και υπάρχει µια 1-1 και επί αντιστοιχία
από το σύνολο A/R στο καρτεσιανό γινόµενο (A1 /R1 ) × (A2 /R2 ).
1.5 Μαθηµατική Επαγωγή
Θα αποδείξουµε την αρχή της επαγωγής χρησιµοποιώντας την ακόλουθη ιδιότητα των ϕυσικών
αριθµών.
Αξίωµα του ελαχίστου ή Αξίωµα καλής διάταξης: Κάθε µη-κενό υποσύνολο M του
συνόλου N των ϕυσικών αριθµών περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο. ∆ηλαδή, υπάρχει m0 ∈ M
τέτοιο ώστε m0 ≤ m για κάθε m ∈ M .
Θεώρηµα 1.5.1 (Μαθηµατική επαγωγή ή αρχή της επαγωγής) ΄Εστω ότι σε κάθε ϑετικό ακέραιο
αριθµό ν αντιστοιχεί µια πρόταση p(ν) που αφορά το ν , µε τέτοιον τρόπο ώστε :
(i) η p(1) αληθεύει και
(ii) αν η p(µ) αληθεύει για κάποιο ϕυσικό αριθµό µ, τότε η p(µ + 1) αληθεύει.
Τότε, η p(ν) αληθεύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν .
Απόδειξη. ΄Εστω S το υποσύνολο του N που έχει ως στοιχεία του εκείνους τους ϑετικούς
ακέραιους αριθµούς ν , για τους οποίους η πρόταση p(ν) δεν αληθεύει. Θα δείξουµε ότι
S = ∅. ΄Εστω ότι S 6= ∅. Τότε, από το αξίωµα ελαχίστου, το S περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο,
έστω µ. Από την υπόθεση (i), έχουµε ότι µ > 1. Από τον ορισµό του µ, έχουµε ότι µ − 1 ∈
/S
και άρα η πρόταση p(µ − 1) αληθεύει. Τότε όµως, από την υπόθεση (ii), έπεται ότι και η
p(µ) αληθεύει, που είναι άτοπο καθώς µ ∈ S .
Μια άλλη µορφή της µαθηµατικής επαγωγής είναι η ακόλουθη :
Θεώρηµα 1.5.2 (∆εύτερη µορφή της επαγωγής) ΄Εστω ότι σε κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν
αντιστοιχεί µια πρόταση p(ν) που αφορά το ν , µε τέτοιον τρόπο ώστε :
(i) η p(1) αληθεύει και
(ii) αν µ ∈ N και η p(r) αληθεύει για κάθε r ≤ µ, τότε η p(µ + 1) αληθεύει.
1.5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚý
Η ΕΠΑΓΩΓý
Η
21
Τότε, η p(ν) αληθεύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν .
Απόδειξη. Αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο S = {ν ∈ N | ν ≥ 1 και η p(ν) δεν αληθεύει}
είναι κενό. Αν το S δεν είναι κενό, τότε λόγω του αξιώµατος του ελαχίστου, ϑα περιέχει ένα
ελάχιστο στοιχείο, έστω µ. Από την υπόθεση (i), έχουµε ότι µ > 1. Από τον ορισµό του µ
προκύπτει ότι η πρόταση p(r) αληθεύει για κάθε r ≤ µ − 1. Από την υπόθεση (ii), έχουµε
ότι η p(µ) αληθεύει, που είναι άτοπο.
Παρατήρηση 1.5.3 Η υπόθεση (i) στα προηγούµενα δύο ϑεωρήµατα λέγεται συνήθως «αρχικό
ήµα της επαγωγής», ενώ η υπόθεση (ii) «επαγωγικό ήµα». Επίσης, η υπόθεση «αν η p(ν)
αληθεύει» στην (ii) του Θεωρήµατος 1.5.1 (αντίστοιχα «αν η p(r) αληθεύει για κάθε r ≤ µ»
στην (ii) του Θεωρήµατος 1.5.2) λέγεται «υπόθεση επαγωγής».
Πριν προχωρήσουµε σε παραδείγµατα, είναι χρήσιµο να εξετάσουµε µια ιδιότητα που
αφορά την πρόσθεση πραγµατικών αριθµών :
Παρατήρηση 1.5.4 Γνωρίζουµε ότι αν α, β, γ είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε (α + β) + γ =
α + (β + γ). ∆ηλαδή, αν προσθέσουµε το άθροισµα των α και β µε το γ , τότε το αποτέλεσµα είναι
το ίδιο µε αυτό που ρίσκουµε αν προσθέσουµε το α µε το άθροισµα των β και γ . Συνεπώς, δεν
έχει σηµασία πώς µπαίνουν οι παρενθέσεις. ΄Ετσι, µπορούµε να παραστήσουµε χωρίς κίνδυνο
σύγχυσης τον αριθµό (α + β) + γ = α + (β + γ) ως α + β + γ .
Γενικότερα, αν α1 , α2 , . . . , αν είναι πραγµατικοί αριθµοί τότε µπορεί να αποδειχτεί µε επαγωγή ως προς ν ότι µε όποιον τρόπο και να προσθέσουµε τα α1 , α2 , . . . , αν , δηλαδή µε όποιον
τρόπο και να άλουµε τις παρενθέσεις, το αποτέλεσµα είναι πάντα το ίδιο και το συµβολίζουµε
Pν
µε α1 + α2 + · · · + αν ή
i=1 αi . ΄Ετσι, για παράδειγµα, έχουµε (α1 + α2 ) + (α3 + α4 ) =
α1 + (α2 + (α3 + α4 )) = ((α1 + α2 ) + α3 ) + α4 = (α1 + (α2 + α3 ) + α4 ).
΄Εστω B ένα πεπερασµένο υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών µε στοιχεία τους αριθµούς
β1 , β2 , . . . , βν . Χρησιµοποιώντας την αντιµεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης των πραγµατικών
αριθµών (δηλαδή τη σχέση r1 + r2 = r2 + r1 , r1 , r2 ∈ R), µπορεί να αποδειχτεί µε επαγωγή ως
προς ν ότι για κάθε 1-1 και επί απεικόνιση φ : {1, 2, . . . , ν} −→ {1, 2, . . . , ν} ισχύει
β1 + β2 + · · · + βν = βφ(1) + βφ(2) + · · · + βφ(ν) .
΄Αρα, χωρίς κίνδυνο σύγχυσης, µπορούµε να παραστήσουµε το άθροισµα β1 + β2 + · · · + βν µε
P
β∈B β .
Παράδειγµα 1.5.5 Για κάθε ν ∈ N µε ν ≥ 1 ισχύει
ν
X
(?)
i2 = 12 + 22 + 32 + · · · + ν 2 =
i=1
ν(ν + 1)(2ν + 1)
.
6
Απόδειξη. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή. Η p(ν) είναι η ισότητα (?). Η p(1) αληθεύει,
P1
1
2
αφού
i=1 = 1 = 6 · 1 · (1 + 1) · (2 · 1 + 1). Υποθέτοντας ότι ισχύει η p(µ), ϑα δείξουµε ότι
ισχύει η p(µ + 1). ΄Εστω λοιπόν ότι
µ
X
i=1
i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + µ2 =
µ(µ + 1)(2µ + 1)
.
6
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚý
ΕΣ ý
ΕΝΝΟΙΕΣ
22
Τότε
Pµ+1
i=1
i2 =
=
=
=
=
Pµ
2
2
i=1 i + (µ + 1)
1
µ(µ + 1)(2µ + 1) + (µ + 1)2
6
1
(µ + 1)[µ(2µ + 1) + 6(µ + 1)]
6
1
(µ + 1)(2µ2 + 7µ + 6)
6
1
(µ + 1)(µ + 2)(2µ + 3)
6
και άρα ισχύει η p(µ + 1). Συνεπώς, από την αρχή της επαγωγής έπεται ότι η (?) ισχύει για
κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν .
Παράδειγµα 1.5.6 ΄Εστω x ένας πραγµατικός αριθµός µε x 6= 1. Τότε, για κάθε ν ∈ N µε
ν ≥ 1 ισχύει
(??)
ν
X
xi = 1 + x + x2 + · · · + xν =
i=0
1 − xν+1
.
1−x
Απόδειξη. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή. Η p(ν) είναι η ισότητα (??). Η p(1) αληθεύει,
P1
1−x2
i
αφού
i=0 x = 1 + x = 1−x . Υποθέτοντας ότι ισχύει η p(µ), ϑα δείξουµε ότι ισχύει η
p(µ + 1). ΄Εστω λοιπόν ότι
µ
X
xi = 1 + x + x2 + · · · + xµ =
i=0
1 − xµ+1
.
1−x
Τότε
µ+1
X
i=0
i
x =
µ
X
xi + xµ+1 =
i=0
1 − xµ+1
1 − xµ+1 + xµ+1 (1 − x)
1 − xµ+2
+ xµ+1 =
=
1−x
1−x
1−x
και άρα ισχύει η p(µ + 1). Συνεπώς, από την αρχή της επαγωγής έπεται ότι η (??) αληθεύει
για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν .
Παρατήρηση 1.5.7 Συχνά οι επαγωγικές αποδείξεις δεν αρχίζουν από τον αριθµό 1, αλλά από
κάποιον άλλο µεγαλύτερο. Ισχύουν τα αντίστοιχα των Θεωρηµάτων 1.5.1 και 1.5.2 και στην
περίπτωση αυτή. Για παράδειγµα, αναφέρουµε το παρακάτω :
Θεώρηµα 1.5.8 (∆εύτερη µορφή της επαγωγής µε αρχικό ήµα στο κ) ΄Εστω κ ένας ϕυσικός
αριθµός και έστω ότι σε κάθε ϕυσικό αριθµό ν µε ν ≥ κ αντιστοιχεί µια πρόταση p(ν) που αφορά
το ν . ΄Εστω επιπλέον ότι
(i) Η p(κ) αληθεύει και
(ii) Αν µ είναι ένας ϕυσικός αριθµός µε µ ≥ κ και η p(r) αληθεύει για κάθε κ ≤ r ≤ µ, τότε
η p(µ + 1) αληθεύει.
Τότε, η p(ν) αληθεύει για κάθε ϕυσικό αριθµό ν ≥ κ.
Απόδειξη. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.
1.5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚý
Η ΕΠΑΓΩΓý
Η
23
Παράδειγµα 1.5.9 ΄Ενας ϕυσικός αριθµός p ≥ 2 λέγεται πρώτος αν δε µπορεί να γραφτεί ως
γινόµενο δύο µικρότερών του ϕυσικών αριθµών. Θα δείξουµε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός ν ≥ 2
µπορεί να γραφτεί ως γινόµενο (ενός ή περισσοτέρων) πρώτων αριθµών.
Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή. Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα 1.5.8. Για ν = 2
ο ισχυρισµός ισχύει, αφού ο 2 είναι πρώτος. ΄Εστω ότι ο ισχυρισµός ισχύει για όλους τους
ϕυσικούς r µε 2 ≤ r ≤ µ. Θα δείξουµε ότι ο ισχυρισµός ισχύει για τον µ + 1. Αν ο µ + 1 είναι
πρώτος, τότε έχουµε τελειώσει. Αν ο µ + 1 δεν είναι πρώτος, τότε µ + 1 = µ1 µ2 µε µ1 < µ + 1
και µ2 < µ + 1. Αλλά τότε, από την υπόθεση της επαγωγής, οι αριθµοί µ1 και µ2 είναι πρώτοι ή
γινόµενα πρώτων. Συνεπώς, το γινόµενό τους, δηλαδή ο αριθµός µ + 1, είναι επίσης γινόµενο
πρώτων. Το αποτέλεσµα τώρα έπεται από το Θεώρηµα 1.5.8.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να δειχτεί ότι
(i) Ο ϕυσικός αριθµός 8ν+1 + 92ν−1 είναι ένα πολλαπλάσιο του 73 για κάθε ν ∈ N.
Pν
1
i 2
ν
(ii)
i=1 (−1) i = 2 (−1) ν(ν + 1) για κάθε ν ∈ N
(iii) 2ν ≤ 2ν για κάθε ν ∈ N
Pν
(iv)
i=1 i! < (ν + 1)! για κάθε ν ∈ N
2. ΄Εστω A ένα πεπερασµένο σύνολο µε ν στοιχεία. Να δειχτεί ότι το πλήθος των στοιχείων
του P(A) είναι 2ν .
3. ΄Εστω κ ένας ϕυσικός αριθµός και M ⊆ {1, 2, · · · , κ}, τέτοιο ώστε :
(i) 1 ∈ M και
(ii) αν λ ∈ {1, 2, . . . , κ − 1} και λ ∈ M , τότε λ + 1 ∈ M .
Να δειχτεί ότι M = {1, 2, . . . , κ}.
4.
(i) ΄Εστω A, B δυοP
πεπερασµένα υποσύνολα των πραγµατικών αριθµών µε A ∩ B = ∅.
P
P
Να δειχτεί ότι x∈A∪B x = α∈A α + β∈B β .
(ii) ΄Εστω A1 , A2 , . . . , Aν πεπερασµένα υποσύνολα
των πραγµατικών αριθµών µε Ai ∩
P
P
P
Aj = ∅ για κάθε i 6= j . Να δειχτεί ότι x∈∪ν Ai x = x∈A1 x + x∈A2 x + · · · +
i=1
P
P
P
P
x. Το άθροισµα x∈A1 x + x∈A2 x + · · · + x∈Aν x το συµβολίζουµε µε
x∈A
ν
¢
P ν ¡P
i=1
x∈Ai x .
5. ΄Εστω A, B δυο πεπερασµένα σύνολα και f : A × B −→ R µια απεικόνιση. Αν A =
{α1 , α2 , . . . , αν } και B = {β1 , β2 , . . . , βµ }, να δειχτεί ότι
(i)
(ii)
P
P
x∈A×B
f (x) =
x∈A×B
f (x) =
P
P
β∈B
f (α1 , β) +
α∈A
f (α, β1 ) +
P
P
β∈B
f (α2 , β) + · · · +
α∈A
f (α, β2 ) + · · · +
P
β∈B
f (αν , β)
α∈A
f (α, βµ )
P
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚý
ΕΣ ý
ΕΝΝΟΙΕΣ
24
´
f
(α,
β)
, ενώ το δεύτερο
¡P α∈A
¢β∈B
P
µέλος της (ii) το γράφουµε και ως
β∈B
α∈A f (α, β) . ΄Ετσι, από τις (i) και (ii),
έπεται ότι
Ã
!
Ã
!
X
X X
X X
f (x) =
f (α, β) .
f (α, β) =
Το δεύτερο µέλος της (i) το γράφουµε και ως
x∈A×B
α∈A
β∈B
P
³P
β∈B
α∈A
Κεφάλαιο 2
Πίνακες
2.1 Ορισµοί και Παραδείγµατα
Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ορίσουµε την έννοια του πίνακα και ϑα µελετήσουµε ορισµένες ασικές
τεχνικές του λογισµού των πινάκων. Στο επόµενο κεφάλαιο ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία των
πινάκων για την επίλυση ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων.
Ξεκινάµε µε µια αναφορά σε ορισµένα ασικά σύµβολα.
Ορισµός 2.1.1 Θα συµβολίζουµε µε F το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών ή το σύνολο C
των µιγαδικών αριθµών.
Ορισµός 2.1.2 Για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν ϑα συµβολίζουµε µε Fν το καρτεσιανό
γινόµενο ν αντιτύπων του F. ΄Ετσι, τα στοιχεία του Fν είναι οι διατεταγµένες ν -άδες (α1 , α2 , . . . , αν ),
όπου α1 , α2 , . . . , αν ∈ F.
Μια διατεταγµένη ν -άδα (α1 , α2 , . . . , αν ) ∈ Fν είναι ουσιαστικά η παράθεση ν στοιχείων
του F σε µια σειρά. Πολλές ϕορές είναι χρήσιµο να παραθέτουµε στοιχεία του F όχι σε µια
σειρά, αλλά σε περισσότερες. ΄Ετσι, οδηγούµαστε στον επόµενο ορισµό.
Ορισµός 2.1.3 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί. ΄Ενας πίνακας A µε ν γραµµές και
µ στήλες επί του F (ή, απλούστερα, ένας ν × µ πίνακας επί του F) είναι µια παράθεση στοιχείων
του F σε µια διάταξη σχήµατος ορθογωνίου παραλληλογράµµου, η οποία τοποθετείται µέσα σε
δύο µεγάλες παρενθέσεις




A =

a11 a12 . . . a1µ
a21 a22 . . . a2µ 

..
..
.. .
.
.
. 
aν1 aν2 . . . aνµ
Εδώ, το στοιχείο aij ∈ F ρίσκεται στην ϑέση που καθορίζει η i-γραµµή και η j -στήλη του
πίνακα, για κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ. Θα συµβολίζουµε έναν
πίνακα A όπως παραπάνω µε (aij )ν×µ ή, στην περίπτωση που οι διαστάσεις ν και µ εννοούνται,
µε (aij ).
∆ύο ν × µ πίνακες A = (aij ) και B = (bij ) επί του F καλούνται ίσοι αν aij = bij για κάθε
εύγος δεικτών (i, j) µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ. Θα συµβολίζουµε µε Fν×µ το σύνολο των
ν × µ πινάκων επί του F.
25
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
26


1 3 9
Παράδειγµα 2.1.4 Ο 3 × 3 πίνακας A =  3 1 3  γράφεται και ως A = (aij )3×3 , όπου
9 3 1
|i−j|
aij = 3
.

1 2 3 4
Παράδειγµα 2.1.5 Ο 3 × 4 πίνακας B =  5 6 7 8  γράφεται και ως B = (bij ),
9 10 11 12
όπου bij = 4i + j − 4 για κάθε εύγος (i, j) µε 1 ≤ i ≤ 3 και 1 ≤ j ≤ 4.

µ
Παράδειγµα 2.1.6 Ο 2 × 3 πίνακας C =
2 3 4
4 6 8
¶
γράφεται και ως C = (cij ), όπου
cij = i2 + ij .
Ορισµός 2.1.7 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός. ΄Ενας πίνακας A ∈ Fν×ν λέγεται
τετραγωνικός πίνακας διάστασης ν .
Αν A = (aij ) ∈ Fν×ν είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε τα στοιχεία aii , i = 1, 2, . . . , ν ,
ονοµάζονται διαγώνια στοιχεία του πίνακα.
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας A = (aij ) λέγεται διαγώνιος άν aij = 0 για κάθε i 6= j . Στην
περίπτωση αυτή, γράφουµε A = D(a11 , a22 , . . . , aνν ).
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας A = (aij ) λέγεται άνω τριγωνικός άν aij = 0 για κάθε i > j
και κάτω τριγωνικός άν aij = 0 για κάθε i < j .


1 0 0
Παράδειγµα 2.1.8 Ο πίνακας A =  0 4 0  είναι διαγώνιος και A = D(1, 4, −6), ο
0 0 −6




1 −2 3
1 0
0
0  είναι
πίνακας B =  0 −4 5  είναι άνω τριγωνικός, ενώ ο πίνακας C =  2 3
0
0 6
4 0 −5
κάτω τριγωνικός.
Ορισµός 2.1.9 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί. ΄Ενας ν × 1 πίνακας επί του F λέγεται
πίνακας-στήλη, ενώ ένας 1 × µ πίνακας επί του F λέγεται πίνακας-γραµµή.
΄Ετσι, ένας πίνακας-στήλη A ∈ Fν×1 είναι µια παράθεση ν στοιχείων του F σε µια στήλη,
ενώ ένας πίνακας-γραµµή B ∈ F1×µ είναι µια παράθεση µ στοιχείων του F σε µια γραµµή :

a1
 a2 


A =  .. 
 . 
aν

και B =
¡
b1 b2 . . . bµ
¢
.
Είναι ϕανερό από τους παραπάνω ορισµούς ότι τα σύνολα F1×µ και Fµ είναι ίσα.
2.1. ΟΡΙΣΜΟý
Ι ΚΑΙ ΠΑΡΑ∆Εý
ΙΓΜΑΤΑ
27
Ορισµός 2.1.10 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A = (aij ) ένας ν × µ πίνακας µε
στοιχεία από το F. Ο πίνακας-γραµµή
ri =
¡
ai1 ai2 . . . aiµ
¢
λέγεται i-γραµµή του πίνακα A για κάθε i ∈ {1, 2, . . . , ν}. Ο πίνακας-στήλη


a1j
 a2j 


cj =  .. 
 . 
aνj
λέγεται j -στήλη του πίνακα A για κάθε j ∈ {1, 2, . . . , µ}.
΄Ετσι, ένας ν×µ πίνακας A επί του F προκύπτει παραθέτοντας τις µ στήλες του c1 , c2 , . . . , cµ
σε µια σειρά ή, ισοδύναµα, τις ν γραµµές του r1 , r2 , . . . , rν σε µια στήλη :

A=
¡
c1 c2

r1

¢ 
 r2 
. . . cµ =  ..  .
 . 
rν
Παράδειγµα 2.1.11 ϑεωρούµε τον πίνακα


1 −2
3 −4
6 −7
8  ∈ F3×4 .
A =  −5
9 −10 11 −12
Τότε, η δεύτερη γραµµή και η τρίτη στήλη του A είναι αντίστοιχα

r2 =
¡
−5 6 −7 8
¢

3
και c3 =  −7  .
11
Ορισµός 2.1.12 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A = (aij ) ένας ν × µ πίνακας µε
στοιχεία από το F. Τότε, ο µ × ν πίνακας At = (bij ) που ορίζεται ϑέτοντας bij = aji για κάθε
εύγος (i, j) µε 1 ≤ i ≤ µ και 1 ≤ j ≤ ν , λέγεται ανάστροφος του A.
΄Ετσι, ο ανάστροφος ενός πίνακα-γραµµή είναι ένας πίνακας-στήλη και αντίστροφα. Γενικά,
ο ανάστροφος At ενός ν × µ πίνακα A είναι ο µ × ν πίνακας που προκύπτει γράφοντας την
πρώτη γραµµή του A ως πρώτη στήλη του At , τη δεύτερη γραµµή του A ως δεύτερη στήλη
του At , κ.ο.κ. Αν λοιπόν r1 , r2 , . . . , rν και c1 , c2 , . . . , cµ είναι οι γραµµές και οι στήλες του A
αντίστοιχα, τότε


At =
¡
r1t r2t
¢ 

t
. . . rν = 

ct1
ct2 

..  .
. 
ctµ
Βλέπουµε λοιπόν ότι οι γραµµές του At είναι οι ανάστροφοι ct1 , ct2 , . . . , ctµ των στηλών του A,
ενώ οι στήλες του At είναι οι ανάστροφοι r1t , r2t , . . . , rνt των γραµµών του A.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
28


1 3
 5 7 
4×2

είναι ο πίνακας
Παράδειγµα 2.1.13 Ο ανάστροφος του πίνακα A = 
 9 11  ∈ F
13 15
µ
¶
1 5 9 13
At =
∈ F2×4 .
3 7 11 15
Ορισµός 2.1.14 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός και A = (aij ) ένας τετραγωνικός
ν × ν πίνακας µε στοιχεία από το F. Ο πίνακας A λέγεται συµµετρικός αν A = At .

0 1 4
Παράδειγµα 2.1.15 Ο πίνακας A =  1 2 5  είναι συµµετρικός, ενώ ο πίνακας B =
4 5 10
µ
¶
1 11
δεν είναι συµµετρικός.
0 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. ΄Εστω A ένας ν × µ πίνακας µε στοιχεία από το F. Να δειχτεί ότι A = (At )t .
2. ΄Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας επί του F. Να δειχτεί ότι :
(i) Αν ο A είναι διαγώνιος, τότε ο A είναι συµµετρικός.
(ii) Ο A είναι άνω τριγωνικός αν και µόνο αν ο ανάστροφός του At είναι κάτω τριγωνικός.
3. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω πίνακες είναι συµµετρικοί :
(i) A = (aij ) ∈ Fν×ν µε aij = i + j + ij .
(ii) B = (bij ) ∈ Fν×ν µε bij = i + j − ij .
(iii) C = (cij ) ∈ Fν×ν µε cij = i − j + ij .
2.2 ΄Αθροισµα και Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός
Θα δούµε στην παράγραφο αυτή ότι στο σύνολο Fν×µ των ν × µ πινάκων µε στοιχεία από
το F µπορούν να οριστούν πράξεις, οι οποίες οδηγούν στην ανάπτυξη ενός λογισµού που
είναι ανάλογος µε τον αριθµητικό λογισµό των στοιχείων του F (δηλαδή, των πραγµατικών ή
µιγαδικών αριθµών).
Ορισµός 2.2.1 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί.
Αν A = (aij ) και B = (bij ) είναι δύο ν × µ πίνακες επί του F, τότε ο πίνακας A + B =
(aij + bij ) ∈ Fν×µ λέγεται άθροισµα των A και B .
Αν A = (aij ) είναι ένας ν × µ πίνακας επί του F και κ ∈ F, τότε ο πίνακας κA = (κaij ) ∈
Fν×µ λέγεται αθµωτό γινόµενο του κ µε τον A.
2.2. ý
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΒΑΘΜΩΤý
ΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜý
ΟΣ
29
΄Ετσι, αν




a11 a12 . . . a1µ
b11 b12 . . . b1µ
 a21 a22 . . . a2µ 
 b21 b22 . . . b2µ 




A =  ..
..
..  και B =  ..
..
.. ,
 .
 .
.
. 
.
. 
aν1 aν2 . . . aνµ
bν1 bν2 . . . bνµ
τότε

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1µ + b1µ
 a21 + b21 a22 + b22 . . . a2µ + b2µ

A + B =
..
..
..

.
.
.
aν1 + bν1 aν2 + bν2 . . . aνµ + bνµ


κa11 κa12 . . . κa1µ
 κa21 κa22 . . . κa2µ



 και κA =  ..
..
..
 .

.
.
κaν1 κaν2 . . . κaνµ





για κάθε κ ∈ F.
Ορισµός 2.2.2 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί.
Ο ν × µ πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα µε 0 ∈ F λέγεται µηδενικός πίνακας
και συµβολίζεται µε Oν×µ ή, όταν οι διαστάσεις ν και µ εννοούνται, µε O.
Αν A = (aij ) είναι ένας ν × µ πίνακας επί του F, τότε ο πίνακας −A = (−aij ) ∈ Fν×µ
λέγεται αντίθετος του A.
΄Ετσι, αν
τότε


a11 a12 . . . a1µ
 a21 a22 . . . a2µ 


A =  ..
..
.. ,
 .
.
. 
aν1 aν2 . . . aνµ

−a11 −a12 . . . −a1µ
 −a21 −a22 . . . −a2µ

−A =  ..
..
..
 .
.
.
−aν1 −aν2 . . . −aνµ



.

Ας δούµε τώρα µερικές ασικές ιδιότητες των πράξεων που ορίστηκαν παραπάνω.
Θεώρηµα 2.2.3 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί. Τότε, για κάθε A, B, C ∈ Fν×µ και
κ, λ ∈ F ισχύουν τα εξής :
1. A + (B + C) = (A + B) + C (προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης)
2. A + Oν×µ = A (ύπαρξη µηδενικού στοιχείου)
3. A + (−A) = Oν×µ (ύπαρξη αντίθετου στοιχείου)
4. A + B = B + A (µεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης)
5. 1A = A
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
30
6. (κλ)A = κ(λA)
7. (κ + λ)A = κA + λA (επιµεριστική ιδιότητα)
8. κ(A + B) = κA + κB (επιµεριστική ιδιότητα)
Απόδειξη. ΄Ολες οι παραπάνω ιδιότητες αποδεικνύονται µε άση αντίστοιχες ιδιότητες της
πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού στοιχείων του F. Ενδεικτικά, ϑα δείξουµε τις ιδιότητες
1 και 8, αφήνοντας την απόδειξη των υπολοίπων ως άσκηση στον αναγνώστη.
1. ΄Εστω λοιπόν ότι A = (aij ), B = (bij ) και C = (cij ). Για να δείξουµε ότι οι πίνακες
(A + B) + C και A + (B + C) είναι ίσοι, ϑα πρέπει να δείξουµε ότι τα στοιχεία του F που
ρίσκονται στην (i, j)-ϑέση των δύο αυτών πινάκων είναι ίσα για κάθε εύγος δεικτών (i, j)
µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ. Σταθεροποιούµε ένα τέτοιο εύγος δεικτών και παρατηρούµε ότι
το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα A + B είναι το aij + bij . Συνεπώς, το
στοιχείο που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα (A+B)+C είναι το (aij +bij )+cij . Με τον
ίδιο τρόπο, λέπουµε ότι το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα A + (B + C)
είναι το aij +(bij +cij ). Καθώς όµως (aij +bij )+cij = aij +(bij +cij ) ∈ F, έπεται το ητούµενο.
8. ΄Εστω ότι A = (aij ) και B = (bij ). Σταθεροποιούµε ένα εύγος δεικτών (i, j) µε
1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ. Τότε, το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα A + B
είναι το aij + bij και άρα το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα κ(A + B) είναι
το κ(aij + bij ). Ανάλογα, λέπουµε ότι το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα
κA + κB είναι το κaij + κbij . ΄Οµως κ(aij + bij ) = κaij + κbij ∈ F και άρα συµπεραίνουµε
ότι κ(A + B) = κA + κB .
Ως λογική συνέπεια των ιδιοτήτων του προηγούµενου ϑεωρήµατος, µπορούµε να δείξουµε
και ορισµένες άλλες ιδιότητες των πράξεων που ορίστηκαν στο σύνολο των πινάκων.
Πρόταση 2.2.4 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί, A, B δύο ν × µ πίνακες επί του F και
κ ∈ F. Τότε :
1. Ο πίνακας −A είναι ο µοναδικός µε την ιδιότητα A + (−A) = O ∈ Fν×µ (µοναδικότητα
του αντιθέτου).
2. −(−A) = A
3. −(A + B) = (−A) + (−B)
4. 0A = O ∈ Fν×µ
5. κO = O ∈ Fν×µ
6. (−κ)A = −κA = κ(−A)
Απόδειξη.
1. ΄Εστω ότι ο πίνακας B ∈ Fν×µ είναι τέτοιος ώστε A + B = O. Τότε, χρησιµοποιώντας
την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, συµπεραίνουµε ότι
B = O + B = ((−A) + A) + B = (−A) + (A + B) = (−A) + O = −A.
2.2. ý
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΒΑΘΜΩΤý
ΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜý
ΟΣ
31
2. Με άση το 1, η σχέση A + (−A) = O δείχνει ότι ο A είναι ο αντίθετος του πίνακα −A,
δηλαδή ότι A = −(−A).
3. Αρχικά παρατηρούµε ότι
(A + B) + (−B) = A + (B + (−B)) = A + O = A.
΄Ετσι, µε άση το 1, η σχέση
(A + B) + ((−B) + (−A)) = ((A + B) + (−B)) + (−A) = A + (−A) = O
δείχνει ότι ο πίνακας (−A) + (−B) = (−B) + (−A) είναι ο αντίθετος του A + B , δηλαδή ότι
(−A) + (−B) = −(A + B).
4. Χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα, έπεται ότι 0A = (0 + 0)A = 0A + 0A και
άρα
0A = O + 0A = ((−0A) + 0A) + 0A = (−0A) + (0A + 0A) = (−0A) + 0A = O.
5. Εδώ έχουµε κO = κ(O + O) = κO + κO και άρα
κO = O + κO = ((−κO) + κO) + κO = (−κO) + (κO + κO) = (−κO) + κO = O.
6. Με άση το 4, έχουµε (−κ)A + κA = (−κ + κ)A = 0A = O και άρα ο πίνακας (−κ)A
είναι ο αντίθετος του κA, δηλαδή (−κ)A = −κA. Χρησιµοποιώντας τώρα το 5, έπεται ότι
κ(−A) + κA = κ((−A) + A) = κO = O και άρα ο πίνακας κ(−A) είναι ο αντίθετος του κA,
δηλαδή κ(−A) = −κA.
΄Οπως συµβαίνει και µε την αριθµητική των στοιχείων του F, έτσι και στην περίπτωση των
πινάκων µπορούµε να ορίσουµε την πράξη της αφαίρεσης. Αν A, B ∈ Fν×µ , τότε ορίζουµε
A − B = A + (−B).
΄Ετσι, αν A = (aij ) και B = (bij ), τότε −B = (−bij ) και άρα A − B = A + (−B) = (aij +
(−bij )) = (aij −bij ). Είναι ϕανερό ότι ο αντίθετος πίνακας του A−B είναι ο B−A = (bij −aij ),
δηλαδή έχουµε
−(A − B) = B − A = B + (−A) = (−A) + B.
Σε σχέση µε το αθµωτό πολλαπλασιασµό, η αφαίρεση ικανοποιεί ιδιότητες ανάλογες µε
αυτές που ικανοποιεί η πρόσθεση, οι οποίες γενικεύουν τις αντίστοιχες ιδιότητες της αφαίρεσης
και του πολλαπλασιασµού στο F (πρβλ. την ΄Ασκηση 2 στο τέλος αυτής της παραγράφου).
Παράδειγµα 2.2.5 Θεωρούµε τους 3 × 2 πίνακες


1
2
5  ,
A =  −3
4 −1




−2
3
6 −3
B =  −5 −4  και C =  8 −4 .
1 −1
9 −1
Τότε, υπολογίζουµε

 
 
 

1
2
−4
6
18 −9
−21 17
5  +  −10 −8  −  24 −12  =  −37 9 .
A + 2B − 3C =  −3
4 −1
2 −2
27 −3
−21 0
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
32
Παράδειγµα 2.2.6 Ας ϑεωρήσουµε δύο ν × µ πίνακες A, B επί του F. Τότε για τον πίνακα
C = 2(3A − 4B) + (A + 5B) − 2(2A − 9B)
είναι
C = (6A − 8B) + (A + 5B) − (4A − 18B)
= 6A − 8B + A + 5B − 4A + 18B
= 6A + A − 4A − 8B + 5B + 18B
= (6 + 1 − 4)A + (−8 + 5 + 18)B
= 3A + 15B.
΄Εχουµε δει ότι ένας τετραγωνικός πίνακας A επί του F λέγεται συµµετρικός αν είναι
ίσος µε τον ανάστροφό του At . Με άλλα λόγια, ο τετραγωνικός πίνακας A = (aij ) είναι
συµµετρικός αν ισχύει aij = aji για κάθε εύγος δεικτών (i, j).
Ορισµός 2.2.7 Ενας τετραγωνικός πίνακας A επί του F λέγεται αντισυµµετρικός αν At = −A.
΄Ετσι, ένας τετραγωνικός πίνακας A = (aij ) είναι αντισυµµετρικός αν ισχύει aji = −aij
για κάθε εύγος δεικτών (i, j).

0
2 −3
0
6  είναι αντισυµµετρικός, ενώ ο πίνακας
Παράδειγµα 2.2.8 Ο πίνακας A =  −2
3 −6
0


−2
3 0
B =  0 −6 2  δεν είναι αντισυµµετρικός.
−3
6 0

Παράδειγµα 2.2.9 Θεωρούµε έναν τετραγωνικό πίνακα A = (aij ) επί του F καθώς και τους
πίνακες
B = 12 (A + At ) και C = 12 (A − At ).
Για τους πίνακες B = (bij ) και C = (cij ) ισχύει bij = 12 (aij + aji ) και cij = 12 (aij − aji ). Από τις
τελευταίες σχέσεις έπεται εύκολα ότι ο πίνακας B είναι συµµετρικός και ο C αντισυµµετρικός.
Καθώς είναι εύκολο να δούµε ότι A = B + C , συµπεραίνουµε ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας
είναι το άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντισυµµετρικού πίνακα.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να αποδείξετε τις ιδιότητες της πρότασης 2.2.4, χρησιµοποιώντας τις αντίστοιχες ιδιότητες
των στοιχείων του F, όπως στην απόδειξη του ϑεωρήµατος 2.2.3.
2. Να δείξετε ότι αν A, B, C είναι ν × µ πίνακες επί του F και κ, λ ∈ F, τότε ισχύουν οι
επόµενες σχέσεις :
(i) A − (B − C) = (A − B) + C
2.3. ΓΙΝý
ΟΜΕΝΟ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
33
(ii) κ(A − B) = κA − κB
(iii) (κ − λ)A = κA − λA
3. Να δειχτεί ότι για κάθε A, B, C ∈ Fν×µ ισχύει ότι
2(A − B + 3C) + 3(2A + 6B − 6C) − 4(2A + 4B − 3C) = O.
4. ΄Εστω A, B, C τρεις τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης, τέτοιοι ώστε A = B +
C . Αν ο B είναι συµµετρικός και ο C αντισυµµετρικός, να δειχτεί ότι B = 12 (A +
At ) και C = 12 (A − At ). (΄Ετσι, η ανάλυση ενός τετραγωνικού πίνακα σε άθροισµα
ενός συµµετρικού και ενός αντισυµµετρικού πίνακα που περιγράφεται στο παράδειγµα
2.2.9 είναι µοναδική.)
5. Να δειχτεί ότι τα διαγώνια στοιχεία ενός αντισυµµετρικού (τετραγωνικού) πίνακα είναι
ίσα µε 0.
6. ΄Εστω A, B δύο τετραγωνικοί πίνακες επί του F και κ ∈ F. Να δειχτεί ότι :
(i) Αν οι A, B είναι συµµετρικοί, τότε οι πίνακες A + B, κA είναι επίσης συµµετρικοί.
(ii) Αν οι A, B είναι αντισυµµετρικοί, τότε οι πίνακες A + B, κA είναι επίσης αντισυµµετρικοί.
(iii) Αν οι A, B είναι άνω τριγωνικοί, τότε οι πίνακες A + B, κA είναι επίσης άνω
τριγωνικοί.
(iv) Αν οι A, B είναι κάτω τριγωνικοί, τότε οι πίνακες A + B, κA είναι επίσης κάτω
τριγωνικοί.
2.3 Γινόµενο Πινάκων
Ορίσαµε στην προηγούµενη παράγραφο το γινόµενο ενός στοιχείου του F µε έναν ν × µ
πίνακα επί του F, που έχει ως αποτέλεσµα έναν άλλο ν × µ πίνακα. Στην παράγραφο αυτή
ϑα δούµε ένα διαφορετικό τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε δύο πίνακες
(κατάλληλων διαστάσεων) και ϑα µελετήσουµε ορισµένες ιδιότητες του γινοµένου αυτού.
Ορισµός 2.3.1 ΄Εστω ν, µ, σ τρεις ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί, A = (aij )ν×σ ένας ν × σ πίνακας
και B = (bij )σ×µ ένας σ × µ πίνακας. Τότε, ο ν × µ πίνακας C = (cij )ν×µ , που είναι τέτοιος
ώστε
cij =
σ
X
ais bsj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aiσ bσj
s=1
για κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ, ονοµάζεται γινόµενο των A και B
και συµβολίζεται µε A · B ή, απλόυστερα, µε AB .
Βλέπουµε λοιπόν ότι το γινόµενο AB δύο πινάκων A και B ορίζεται µόνον όταν το πλήθος
των στηλών του A είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του B . Επιπλέον, στην περίπτωση
αυτή, το πλήθος των γραµµών του AB είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του A, ενώ το
πλήθος των στηλών του AB είναι ίσο µε το πλήθος των στηλών του B .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
34
µ
¶
µ
¶
4 −2
1 2 0
Παράδειγµα 2.3.2 Θεωρούµε τους πίνακες A =
και B =
. Τότε,
−1µ 2
−4 3 1
¶
12 2 −2
το γινόµενο AB ορίζεται και είναι ο 2 × 3 πίνακας
. Για παράδειγµα, το
−9 4
2
στοιχείο 12 στην (1, 1)-ϑέση του πίνακα AB προκύπτει ως το άθροισµα 4 · 1 + (−2) · (−4). Εδώ,
παρατηρούµε ότι το γινόµενο BA δεν ορίζεται.
Παράδειγµα 2.3.3 Θεωρούµε τον πίνακα-γραµµή A =

¡

2 1 −2
¢
και τον πίνακα-στήλη
−2
0 . Τότε, το γινόµενο AB είναι ο 1 × 1 πίνακας (−12), ενώ το γινόµενο BA είναι
4


−4 −2
4
0
0 . Στην περίπτωση αυτή, λέπουµε ότι και τα δύο γινόµενα
ο 3 × 3 πίνακας  0
8
4 −8
AB και BA ορίζονται και είναι τετραγωνικοί πίνακες διαφορετικών διαστάσεων.
B =
Ας ϑεωρήσουµε ένα ν × σ πίνακα A = (aij ), ένα σ × µ πίνακα B = (bij ) και το γινόµενο
AB ∈ Fν×µ . Τότε, µε άση τον ορισµό 2.3.1, το στοιχείο του F που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση
του AB είναι το άθροισµα
σ
X
ais bsj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aiσ bσj
s=1
για κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ. Παρατηρούµε ότι το παραπάνω
άθροισµα είναι ακριβώς το στοιχείο του F που συνιστά τον 1 ×
1 πίνακα
 ri · cj , όπου ri =
¡
ai1 ai2 . . . aiσ

¢

είναι η i-γραµµή του πίνακα A και cj = 

b1j
b2j 

..  είναι η j -στήλη του
. 
bσj
πίνακα B .
΄Ετσι, αναφερόµενοι στο παράδειγµα 2.3.2, το στοιχείο −9 που ρίσκεται ατην (2, 1)-ϑέση
του γινοµένου AB προκύπτει ως το γινόµενο
r2 · c1 =
¡
−1 2
¢
µ
·
1
−4
¶
της δεύτερης γραµµής r2 του A µε την πρώτη στήλη c1 του B .
µ
0
Παράδειγµα 2.3.4 Θεωρούµε τους 2 × 2 πίνακες A =
−1
έχουµε
µ
¶
µ
8 −2
0
AB =
και BA =
6 −2
1
2
2
4
6
¶
µ
και B =
2
0
4 −1
¶
. Τότε,
¶
.
Στην περίπτωση αυτή, λέπουµε ότι τα δύο γινόµενα AB και BA ορίζονται, είναι τετραγωνικοί
πίνακες διάστασης 2, αλλά AB 6= BA.
2.3. ΓΙΝý
ΟΜΕΝΟ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
35
µ
Παράδειγµα 2.3.5 Θεωρούµε τους 2 × 2 πίνακες A =
µ
έχουµε AB =
0 0
0 0
¶
µ
= O2×2 και BA =
0 1
0 0
¶
0 1
0 0
¶
µ
και B =
1 0
0 0
¶
. Τότε,
6= O2×2 .
Τα παραπάνω παραδείγµατα δείχνουν ότι ο πολλαπλασιασµός των πινάκων παρουσιάζει
ορισµένες ασικές διαφορές συγκρινόµενος µε την πράξη του πολλαπλασιασµού στο F. Παρά
τις διαφορές, ϑα δούµε ότι ο πολλαπλασιασµός των πινάκων έχει αρκετές κοινές ιδιότητες µε
τον πολλαπλασιασµό των αριθµών. Προς την κατεύθυνση αυτή, δίνουµε τον επόµενο ορισµό.
Ορισµός 2.3.6 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός. Ο διαγώνιος ν × ν πίνακας Iν =
D(1, 1, . . . , 1) λέγεται ταυτοτικός πίνακας διάστασης ν . ΄Οταν η διάσταση ν εννοείται,
γράφουµε I αντί Iν .
΄Ετσι, ο ταυτοτικός πίνακας Iν είναι ο ν × ν πίνακας που έχει 1 κατά µήκος της διαγωνίου
και 0 εκτός της διαγωνίου, δηλαδή

1 0 ...
 0 1 ...

Iν =  .. ..
 . .
0 0 ...

0
0 

.. .
. 
1
Ισοδύναµα, έχουµε Iν = (δij )ν×ν , όπου δij είναι το δελτα του Kronecker
½
δij =
1 αν i = j
0 αν i 6= j
Ας δούµε τώρα ορισµένες ασικές ιδιότητες που έχει ο πολλαπλασιασµός των πινάκων.
Θεώρηµα 2.3.7 ΄Εστω ν, µ, σ, τ ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A = (aij )ν×σ , A0 = (a0ij )ν×σ
B = (bij )σ×µ , B 0 = (b0ij )σ×µ , C = (cij )µ×τ πίνακες επί του F µε διαστάσεις όπως ϕαίνεται. Τότε,
ισχύουν τα εξής :
(i) (AB)C = A(BC) (προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού)
(ii) (A + A0 )B = AB + A0 B (επιµεριστική ιδιότητα)
(iii) A(B + B 0 ) = AB + AB 0 (επιµεριστική ιδιότητα)
(iv) Iν A = A = AIσ (ύπαρξη µονάδων)
(v) (κA)B = κ(AB) = A(κB) για κάθε κ ∈ F.
Απόδειξη.
(i) Αρχικά παρατηρούµε ότι τα γινόµενα AB, (AB)C, BC και A(BC) ορίζονται. Για να
δείξουµε ότι οι ν ×τ πίνακες (AB)C και A(BC) είναι ίσοι σταθεροποιούµε ένα εύγος δεικτών
(i, j) µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ τ . Θα δείξουµε ότι τα στοιχεία που ρίσκονται στην (i, j)-ϑέση
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
36
των πινάκων (AB)C και A(BC) είναι ίσα. Με άση τον ορισµό του γινοµένου, η i-γραµµή
του πίνακα AB ∈ Fν×µ είναι η
Ã
Ri =
σ
σ
σ
X
X
X
ais bs1
ais bs2 . . .
ais bsµ
s=1
s=1
!
.
s=1
Αν λοιπόν cj είναι η j -στήλη του πίνακα C , τότε το στοιχείο του F που ρίσκεται στην (i, j)ϑέση του πίνακα (AB)C είναι το
Ã
Ri · cj =
!
à σ
!
à σ
!
σ
X
X
X
ais bs1 c1j +
ais bs2 c2j + · · · +
ais bsµ cµj
s=1
=
σ
X
s=1
s=1
σ
σ
X
X
(ais bs1 )c1j +
(ais bs2 )c2j + · · · +
(ais bsµ )cµj
s=1
s=1
s=1
µ
σ
X
X
=
(ais bsm )cmj .
m=1 s=1
Εργαζόµαστε ανάλογα για να ρούµε το στοιχείο του F που ρίσκεταιστην (i, j)-ϑέση του
πίνακα A(BC). ΄Ετσι, ϑεωρούµε την i-γραµµή ri του πίνακα A και τη j -στήλη Cj του πίνακα
BC ∈ Fσ×τ . ΄Οµως, µε άση τον ορισµό του γινοµένου, έχουµε ότι


µ
X
b1m cmj

 m=1
 µ
 X

b2m cmj

Cj =  m=1

..

.

µ
 X

bσm cmj






.





m=1
΄Αρα το στοιχείο του F που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα A(BC) είναι το
Ã
ri · Cj = ai1
=
=
µ
X
µ
X
Ã
!
+ ai2
b1m cmj
m=1
ai1 (b1m cmj )
m=1
µ
σ X
X
+
µ
X
µ
X
Ã
!
b2m cmj
+ · · · + aiσ
m=1
ai2 (b2m cmj ) + · · · +
m=1
µ
X
µ
X
!
bσm cmj
m=1
aiσ (bσm cmj )
m=1
ais (bsm cmj ).
s=1 m=1
Pµ
Pσ
Pσ
Pµ
Καθώς τα διπλά αθροίσµατα
m=1 ais (bsm cmj ) είναι προs=1
s=1 (ais bsm )cmj και
m=1
ϕανώς ίσα, δείχτηκε το ητούµενο.
(ii) Για να δείξουµε ότι οι ν×µ πίνακες A(B+B 0 ) και AB+AB 0 είναι ίσοι, σταθεροποιούµε
ένα εύγος δεικτών (i, j) µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ. Θα δείξουµε ότι τα στοιχεία που
ρίσκονται στην (i, j)-ϑέση των δύο αυτών πινάκων είναι ίσα. Με άση τον ορισµό του
2.3. ΓΙΝý
ΟΜΕΝΟ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
37
γινοµένου, το στοιχείο του F που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα AB (αντίστοιχα, του
Pσ
Pσ
0
πίνακα AB 0 ) είναι το
s=1 ais bsj (αντίστοιχα, το
s=1 ais bsj ). ΄Ετσι, το στοιχείο του F που
ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του αθροίσµατος AB + AB 0 είναι το άθροισµα
σ
X
ais bsj +
s=1
σ
X
ais b0sj
s=1
=
σ
X
(ais bsj +
ais b0sj )
=
σ
X
s=1
ais (bsj + b0sj ).
s=1
Καθώς το παραπάνω στοιχείο είναι ακριβώς αυτό που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα
A(B + B 0 ), το ητούµενο έπεται.
(iii) Η απόδειξη είναι ανάλογη µε αυτήν του (ii) και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.
(iv) Θα δείξουµε ότι Iν A = A. Για το σκοπό αυτό, σταθεροποιούµε ένα εύγος δεικτών
(i, j) µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ σ . Τότε, το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του
γινοµένου Iν A είναι το άθροισµα
σ
X
δis asj = δi1 a1j + · · · + δi i−1 ai−1 j + δii aij + δi i+1 ai+1 j + · · · + δiσ aσj ,
s=1
όπου δis είναι το δέλτα του Kronecker. Καθώς το παραπάνω άθροισµα είναι προφανώς ίσο µε
0a1j + · · · + 0ai−1 j + 1aij + 0ai+1 j + · · · + 0aσj = aij ,
δηλαδή µε το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα A, το ητούµενο έπεται.
Η απόδειξη της ισότητας AIσ = A είναι παρόµοια και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.
(v) Θα δείξουµε ότι A(κB) = κ(AB) ∈ Fν×µ , αφήνοντας την απόδειξη της ισότητας
(κA)B = κ(AB) ως άσκηση στον αναγνώστη. Σταθεροποιούµε λοιπόν ένα εύγος δεικτών
(i, j) µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ. Τότε, το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του
γινοµένου A(κB) είναι το άθροισµα
σ
X
ais (κbsj ) =
s=1
σ
X
s=1
κ(ais bsj ) = κ
σ
X
ais bsj .
s=1
Καθώς το παραπάνω στοιχείο είναι αυτό ακριβώς που ρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα
κ(AB), το ητούµενο έπεται.
Ας δούµε τώρα ορισµένες άµεσες συνέπειες των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασµού που
µόλις αποδείξαµε.
Πρόταση 2.3.8 ΄Εστω A ένας ν × σ πίνακας και B ένας σ × µ πίνακας επί του F. Τότε,
ισχύουν τα εξής :
(i) Oτ ×ν · A = Oτ ×σ και A · Oσ×τ = Oν×τ για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό τ .
(ii) (−A)B = −AB = A(−B)
(iii) (−A)(−B) = AB
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
38
Απόδειξη.
(i) Θα δείξουµε ότι Oτ ×ν ·A = Oτ ×σ , αφήνοντας την απόδειξη της ισότητας A·Oσ×τ = Oν×τ
ως άσκηση στον αναγνώστη. Για να απλοποιήσουµε κάπως το συµβολισµό, ϑα παραλείπουµε
τους δείκτες που υποδηλώνουν τις διαστάσεις των µηδενικών πίνακων. Χρησιµοποιώντας την
επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων, έπεται ότι OA = (O+O)A = OA+OA
και άρα
OA = O + OA = ((−OA) + OA) + OA = (−OA) + (OA + OA) = (−OA) + OA = O.
(ii) Καθώς ο αντίθετος ενός πίνακα είναι το αθµωτό γινόµενο του −1 µε τον πίνακα, οι
ισότητες (−A)B = −AB = A(−B) έπονται από τις ισότητες του Θεωρήµατος 2.3.7(v) για
κ = −1.
(iii) Με άση το (ii), έχουµε (−A)(−B) = −(A(−B)) = −(−AB) = AB .
Ορισµός 2.3.9 ΄Εστω ν, µ, a, b ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί µε 1 ≤ a ≤ ν και 1 ≤ b ≤ µ. Θα
ν,µ
συµβολίζουµε µε Eab ή, απλούστερα, µε Eab τον ν × µ πίνακα που έχει 1 στην (a, b)-ϑέση και
0 παντού αλλού.
Με άλλα λόγια, χρησιµοποιώντας το δελτα του Kronecker, ο πίνακας Eab ∈ Fν×µ είναι
αυτός που έχει στην (i, j)-ϑέση του το στοιχείο δia δjb για κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε 1 ≤
i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ.
Παράδειγµα 2.3.10 Αν κ είναι ένα στοιχείο του F, τότε κEab είναι ο πίνακας που έχει το κ
στην (a, b)-ϑέση και 0 παντού αλλού. ΄Ετσι, αν A είναι ένας ν × µ πίνακας επί του F, τότε
Pν Pµ
έχουµε A = i=1 j=1 aij Eij .
Πρόταση 2.3.11 Θεωρούµε τους πίνακες Eab ∈ Fν×σ και Ecd ∈ Fσ×µ , όπου οι a, b, c, d είναι
ακέραιοι αριθµοί µε 1 ≤ a ≤ ν , 1 ≤ b, c ≤ σ και 1 ≤ d ≤ µ. Τότε, ισχύει Eab Ecd = δbc Ead ∈
Fν×µ , όπου δbc είναι το δέλτα του Kronecker, δηλαδή έχουµε
½
Eab Ecd =
Ead αν b = c
Oν×µ αν b 6= c
Απόδειξη. Γνωρίζουµε ότι τα στοιχεία του γινοµένου Eab Ecd προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας
τις γραµµές του Eab µε τις στήλες του Ecd . Καθώς ο Eab έχει µόνο µία µη-µηδενική γραµµή
και ο Ecd µόνο µία µη-µηδενική στήλη, λέπουµε ότι το µοναδικό πιθανώς µη-µηδενικό
στοιχείο του πίνακα Eab Ecd ρίσκεται στην (a, d)-ϑέση και προκύπτει πολλαπλασιάζοντας
την a-γραµµή ra του Eab µε την d-στήλη cd του Ecd . Ο πίνακας-γραµµή ra όµως έχει 1 στην
b-ϑέση και 0 παντού αλλού, ενώ ο πίνακας-στήλη cd έχει 1 στην c-ϑέση και 0 παντού αλλού.
Συνεπώς, το γινόµενο ra · cd δίνει 1 αν b = c και 0 αν b 6= d. Τελικά, έχουµε Eab Ecd = Ead αν
b = c και Eab Ecd = Oν×µ αν b 6= d.
Πόρισµα 2.3.12 ΄Εστω A = (aij ) και B = (bij ) δύο τετραγωνικοί πίνακες διάστασης ν . Τότε,
ισχύουν τα εξής :
(i) Αν οι A και B είναι διαγώνιοι, τότε ο AB είναι επίσης διαγώνιος.
2.3. ΓΙΝý
ΟΜΕΝΟ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
39
(ii) Αν οι A και B είναι άνω τριγωνικοί, τότε ο AB είναι επίσης άνω τριγωνικός.
(iii) Αν οι A και B είναι κάτω τριγωνικοί, τότε ο AB είναι επίσης κάτω τριγωνικός.
Απόδειξη.
Pν
Pν (i) Καθώς aij = bij = 0 για i 6= j , µπορούµε να γράψουµε A = i=1 aii Eii και B =
i=1 bii Eii . Συνεπως, χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του γινοµένου των πινάκων, έχουµε
Ã
AB =
ν
X
aii Eii
!Ã
i=1
ν
X
bjj Ejj
!
=
j=1
ν X
ν
X
i=1 j=1
aii Eii bjj Ejj =
ν X
ν
X
aii bjj Eii Ejj .
i=1 j=1
΄Οµως το γινόµενο Eii Ejj είναι ίσο µε Eii αν i = j και µηδενίζεται αν i 6= j . ΄Ετσι, συµπεραίPν
νουµε ότι AB = i=1 aii bii Eii και άρα ο πίνακας AB είναι διαγώνιος.
P
(ii)
Καθώς aij = bij = 0 για i > j , µπορούµε να γράψουµε A =
i≤j aij Eij και
P
B = s≤t bst Est . Συνεπως, όπως και πριν, έχουµε
Ã
AB =
X
aij Eij
i≤j
!Ã
X
bst Est
s≤t
!
=
XX
XX
aij Eij bst Est =
aij bst Eij Est .
i≤j s≤t
i≤j s≤t
Ο προσθετέος aij bst Eij Est στο παραπάνω διπλό άθροισµα µηδενίζεται αν j 6= s και ισούται
µε aij bst Eit αν j = s. Καθώς όµως είναι πάντα i ≤ j και s ≤ t, στην περίπτωση που j = s ϑα
είναι i ≤ t. Το συµπέρασµα είναι ότι όλοι οι πιθανώς µη-µηδενικοί προσθετέοι στο παραπάνω
άθροισµα είναι της µορφής aij bst Eit µε i ≤ t. Καθώς οι πίνακες αυτοί είναι άνω τριγωνικοί,
ο πίνακας AB είναι επίσης άνω τριγωνικός (λ. ΄Ασκηση 6(iii) της παραγράφου 2.2).
(iii) Η απόδειξη είναι παρόµοια µε αυτήν του (ii) και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.
Παρατήρηση Από την απόδειξη του Πορίσµατος 2.3.12(i) παραπάνω προκύπτει και ένα
επιπλέον συµπέρασµα. Πιο συγκεκριµένα, λέπουµε ότι το γινόµενο δύο διαγωνίων πινάκων είναι ο διαγώνιος πίνακας µε διαγώνια στοιχεία τα γινόµενα των αντίστοιχων διαγωνίων
στοιχείων των παραγόντων. Με άλλα λόγια, έχουµε
D(a11 , a22 , . . . , aνν ) · D(b11 , b22 , . . . , bνν ) = D(a11 b11 , a22 b22 , . . . , aνν bνν ).
Ορισµός 2.3.13 ΄Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας διάστασης ν . Τότε, ορίζουµε τις δυνάµεις Aµ για κάθε ϕυσικό αριθµό µ µε επαγωγή, ως εξής :
(i) A0 = Iν
(ii) Aµ+1 = Aµ A για κάθε µ ≥ 0.
΄Οπως και στην περίπτωση των δυνάµεων στοιχείων του F, έτσι και για τις δυνάµεις τετραγωνικών πινάκων ισχύουν µερικές ασικές ταυτότητες.
Πρόταση 2.3.14 ΄Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας επί του F και ν, µ δύο ϕυσικοί αριθµοί.
Τότε, ισχύουν τα εξής :
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
40
(i) Aν Aµ = Aν+µ
(ii) (Aν )µ = Aνµ
Απόδειξη. Η απόδειξη γίνεται µε επαγωγή στο µ.
(i) Αν µ = 0 τότε η αποδεικτέα Aν A0 = Aν είναι άµεση, αφού A0 = I . Ας υποθέσουµε
τώρα ότι Aν Aµ = Aν+µ για κάποιο µ ≥ 0. Τότε, χρησιµοποιώντας την προσεταιριστική
ιδιότητα του πολλαπλασιασµού των πινάκων, έχουµε
Aν Aµ+1 = Aν (Aµ A) = (Aν Aµ )A = Aν+µ A = Aν+µ+1 .
(ii) Αν µ = 0 τότε η αποδεικτέα (Aν )0 = A0 είναι άµεση, αφού και τα δύο µέλη της είναι
ίσα µε τον ταυτοτικό πίνακα I . Ας υποθέσουµε τώρα ότι (Aν )µ = Aνµ για κάποιο µ ≥ 0.
Τότε, χρησιµοποιώντας το (i), έχουµε
(Aν )µ+1 = (Aν )µ Aν = Aνµ Aν = Aνµ+ν A = Aν(µ+1) .
Αν A, B είναι δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης, τότε τα γινόµενα AB και BA
δεν είναι απαραίτητα ίσα (λέπε Παράδειγµατα 2.3.4 και 2.3.5).
Ορισµός 2.3.15 ΄Εστω A, B δύο τετραγωνικοί πίνακες διάστασης ν . Θα λέµε ότι οι πίνακες
A και B µετατίθενται αν AB = BA.
µ
Παράδειγµα 2.3.16 Για κάθε a, b, c, d ∈ F οι πίνακες A =
a b
−b a
¶
µ
και B =
c d
−d c
¶
µετατίθενται. Πράγµατι, υπολογίζουµε
µ
AB = BA =
ac − bd ad + bc
−ad − bc ac − bd
µ
1
Παράδειγµα 2.3.17 Θεωρούµε τον πίνακα A =
µ 0
a
2 × 2 πίνακες που µετατίθενται µε αυτόν. Αν B =
c
µ
AB =
a+c b+d
c
d
¶
.
¶
1
∈ F2×2 και ϑα ρούµε όλους τους
1¶
b
µε a, b, c, d ∈ F, τότε υπολογίζουµε
d
¶
µ
και BA =
a a+b
c c+d
¶
.
΄Ετσι, ο πίνακας B µετατίθεται µε τον A, δηλαδή AB = BA, αν και µόνο αν a + c = a,
b + d = a + b και d = c + d. Είναι εύκολο να δει κάποιος ότι οι ισότητες αυτές ισχύουν αν και
µόνο αν µ
c = 0 και
¶ a = c. ΄Ετσι, οι πίνακες που µετατίθενται µε τον A είναι ακριβώς αυτοί της
µορφής
a b
0 a
για a, b ∈ F.
Υποθέτοντας ότι οι εµπλεκόµενοι πίνακες µετατίθενται µεταξύ τους, µπορούµε να γενικεύσουµε ορισµένες γνωστές ταυτότητες που ισχύουν στο F.
2.3. ΓΙΝý
ΟΜΕΝΟ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
41
Πρόταση 2.3.18 ΄Εστω A, B δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης, οι οποίοι µετατίϑενται. Τότε, ισχύουν τα εξής :
(i) AB ν = B ν A για κάθε ϕυσικό αριθµό ν
(ii) (AB)ν = Aν B ν για κάθε ϕυσικό αριθµό ν
Απόδειξη. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή στο ν .
(i) Αν ν = 0 τότε η αποδεικτέα AB 0 = B 0 A έπεται άµεσα, καθώς B 0 = I . Ας υποθέσουµε
τώρα ότι AB ν = B ν A για κάποιο ν ≥ 0. Τότε, έχουµε
AB ν+1 = A(B ν B) = (AB ν )A = (B ν A)B = B ν (AB) = B ν (BA) = (B ν B)A = B ν+1 A.
(ii) Αν ν = 0 τότε η αποδεικτέα (AB)0 = A0 B 0 είναι άµεση, καθώς και τα δύο µέλη της
είναι ίσα µε τον ταυτοτικό πίνακα I . Ας υποθέσουµε ότι (AB)ν = Aν B ν για κάποιο ν ≥ 0.
Τότε, χρησιµοποιώντας το (i), έχουµε
(AB)ν A = (Aν B ν )A = Aν (B ν A) = Aν (AB ν ) = (Aν A)B ν = Aν+1 B ν
και άρα
¡
¢
(AB)ν+1 = (AB)ν (AB) = ((AB)ν A)B = Aν+1 B ν B = Aν+1 (B ν B) = Aν+1 B ν+1 .
Παράδειγµα 2.3.19 Αν A, B είναι δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης, οι οποίοι
µετατίθενται, τότε έχουµε (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 . Πράγµατι, υπολογίζουµε
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B 2 = A2 + AB + AB + B 2 = A2 + 2AB + B 2 .
Πρόταση 2.3.20 ΄Εστω A, B δύο τετραγωνικοί πίνακες διάστασης ν . Τότε, ο ανάστροφος του
γινοµένου AB είναι ίσος µε το γινόµενο B t At , δηλαδή ισχύει (AB)t = B t At .
Απόδειξη. ΄Εστω ότι A = (aij ), B = (bij ), AB = (cij ), At = (a0ij ), B t = (b0ij ), (AB)t = (c0ij )
και B t At = (dij ). Για να δείξουµε ότι (AB)t = B t At , ϑα πρέπει να δείξουµε ότι c0ij = dij
για κάθε εύγος δεικτών (i, j). Ας σταθεροποιήσουµε λοιπόν ένα εύγος δεικτών (i, j) µε
1 ≤ i, j ≤ ν . Με άση τους ορισµούς, έχουµε
c0ij
= cji =
ν
X
s=1
ajs bsi και dij =
ν
X
s=1
b0is a0sj
=
ν
X
bsi ajs .
s=1
Το ητούµενο έπεται, καθώς ajs bsi = bsi ajs ∈ F για κάθε s = 1, . . . , ν .
Παρατήρηση Στο σηµείο αυτό, ϑα µπορούσαν να τεθούν ορισµένα ερωτήµατα : Γιατί ορίστηκε
µε τον τρόπο που ορίστηκε ο πολλαπλασιασµός των πινάκων ; Πώς δικαιολογείται η απαίτηση
σχετικά µε την ισότητα του πλήθους των στηλών του πρώτου παράγοντα µε το πλήθος των
γραµµών του δεύτερου ; (Και αυτά σε αντιδιαστολή µε τον ορισµό του αθροίσµατος και του
αθµωτού πολλαπλασιασµού, οι οποίοι είναι απόλυτα ϕυσιολογικοί.) Η απάντηση στα παραπάνω ερωτήµατα ϑα δοθεί έµµεσα σε επόµενα κεφάλαια του ιβλίου αυτού. Θα γίνει εκεί
σαφές ότι αυτός ο τρόπος πολλαπλασιασµού είναι χρήσιµος για τις εφαρµογές της ϑεωρίας
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
42
των πινάκων στην επίλυση γραµµικών εξισώσεων και τη µελέτη των γραµµικών απεικονίσεων
µεταξύ διανυσµατικών χώρων.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να δειχτούν οι ιδιότητες της Πρότασης 2.3.8, χρησιµοποιώντας µόνο τον ορισµό του
γινοµένου των πινάκων.
µ
2. Θεωρούµε τους πίνακες A =
−4 0
2
0 1 −2
¶


−1
0
4 . Να υπολογιστούν
και B =  −2
0 −1
οι πίνακες AB ∈ F2×2 και BA ∈ F3×3 .
3. ΄Εστω A, B δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης. Να δειχτεί ότι οι A, B µετατίϑενται αν και µόνο αν ισχύει η σχέση (A − B)(A + B) = A2 − B 2 .
4. ΄Εστω A, B δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης που µετατίθενται µεταξύ τους.
Να δειχτεί ότι :
(i) A3 − B 3 = (A − B)(A2 + AB + B 2 )
(ii) Αν οι A, B είναι συµµετρικοί, τότε ο πίνακας AB είναι επίσης συµµετρικός.
(iii) Αν οι A, B είναι αντισυµµετρικοί, τότε ο πίνακας AB είναι συµµετρικός.
¶
¶
µ
µ
1
−
2ν
4ν
−1 4
για
. Να δειχτεί ότι Aν =
5. Θεωρούµε τον πίνακα A =
−ν
2ν + 1
−1 3
κάθε ϕυσικό αριθµό ν .
6. ΄Εστω A, B δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης. Να δειχτεί ότι (AB)ν =
A(BA)ν−1 B για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν .
7. ΄Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας και ν ένας ϕυσικός αριθµός. Να δειχτεί ότι ο
ανάστροφος του Aν είναι η ν -οστή δύναµη του αναστρόφου At , δηλαδή ότι ισχύει η
σχέση (Aν )t = (At )ν .
µ
¶
µ
¶
1 0
0 1
2×2
8. Θεωρούµε τους πίνακες E11 , E12 ∈ F
µε E11 =
και E12 =
.
0 0
0 0
(i) Να ρεθούν όλοι οι 2 × 2 πίνακες A επί του F που µετατίθενται µε τον E11 .
(ii) Να ρεθούν όλοι οι 2 × 2 πίνακες A επί του F που µετατίθενται και µε τον E11 και
µε τον E12 .
2.4 Αντιστρέψιµοι Πίνακες
Γνωρίζουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο κ ∈ F έχει ένα (µοναδικό) αντίστροφο κ−1 ∈ F.
Θα εξετάσουµε τώρα αν αυτή η ιδιότητα ισχύει στους πίνακες.
2.4. ΑΝΤΙΣΤΡý
ΕΨΙΜΟΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
43
Ορισµός 2.4.1 ΄Ενας τετραγωνικός πίνακας A διάστασης ν λέγεται αντιστρέψιµος αν υπάρχει τετραγωνικός πίνακας B διάστασης ν , τέτοιος ώστε να ισχύει AB = BA = Iν . ΄Ενας
τέτοιος πίνακας B λέγεται αντίστροφος του A.
Πρόταση 2.4.2 ΄Εστω A ∈ Fν×ν ένας αντιστρέψιµος πίνακας. Τότε, ο A έχει ένα µοναδικό
αντίστροφο, τον οποίο ϑα συµβολίζουµε µε A−1 .
Απόδειξη. ΄Εστω ότι για τους πίνακες B, C ∈ Fν×ν ισχύει AB = BA = Iν και AC = CA =
Iν . Τότε, χρησιµοποιώντας την προσεταιριστικότητα του πολλαπλασιασµού των πινάκων,
έχουµε
B = BIν = B(AC) = (BA)C = Iν C = C.
µ
Παράδειγµα 2.4.3 Ο 2 × 2 πίνακας A =
µ
πίνακα
1 −5
0
1
µ
¶
1 5
0 1
¶
είναι αντιστρέψιµος µε αντίστροφο τον
. Πράγµατι, υπολογίζουµε
1 5
0 1
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
1 −5
1 −5
1 5
1 0
·
=
·
=
.
0
1
0
1
0 1
0 1
µ
Παράδειγµα 2.4.4 Ο 2 × 2 πίνακας A =
0 5
0 1
¶
δεν είναι αντιστρέψιµος. Πράγµατι, καθώς
η πρώτη στήλη του A αποτελείται από µηδενικά, συµπεραίνουµε ότι για κάθε 2 × 2 πίνακα B το
γινόµενο BA έχει 0 στην (1, 1)-ϑέση και άρα BA 6= I2 .
µ
Παράδειγµα 2.4.5 Ας εξετάσουµε αν ο πίνακας A =
2 3
5 8
¶
είναι αντιστρέψιµος. Θέλουµε
µ
να δούµε αν υπάρχουν στοιχεία a, b, c, d ∈ F, τέτοια ώστε για τον πίνακα B =
a b
c d
¶
να
ισχύει AB = BA = I2 . Καθώς
µ
AB =
2a + 3c 2b + 3d
5a + 8c 5b + 8d
¶
,
η σχέση AB = I2 ισοδυναµεί µε τα συστήµατα των εξισώσεων
½
2a + 3c = 1
5a + 8c = 0
¾
½
και
2b + 3d = 0
5b + 8d = 1
¾
.
Τα συστήµατα αυτά
µ λυνονται¶εύκολα και δίνουν a = 8, c = −5, b = −3 και d = 2. ΄Ετσι, για
τον πίνακα B =
8 −3
−5
2
ισχύει AB = I2 . Υπολογίζοντας το γινόµενο, λέπουµε ότι ισχύει
και η σχέση BA = I2 . ΄Ετσι, ο A είναι αντιστρέψιµος και µάλιστα A−1 = B =
µ
8 −3
−5
2
¶
.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
44
µ
Παράδειγµα 2.4.6 Ας εξετάσουµε αν ο πίνακας A =
2 4
3 6
¶
είναι αντιστρέψιµος. Θέλουµε
µ
να δούµε αν υπάρχουν στοιχεία a, b, c, d ∈ F, τέτοια ώστε για τον πίνακα B =
a b
c d
¶
να
ισχύει AB = BA = I2 . Καθώς
µ
AB =
2a + 4c 2b + 4d
3a + 6c 3b + 6d
¶
,
η σχέση AB = I2 ισοδυναµεί µε τα συστήµατα των εξισώσεων
½
2a + 4c = 1
3a + 6c = 0
¾
½
και
2b + 4d = 0
3b + 6d = 1
¾
.
Τα συστήµατα αυτά δεν έχουν λύση. Για παράδειγµα, η εξίσωση 3a + 6c = 0 δίνει a = −2c και
έτσι η εξίσωση 2a + 4c = 1 γίνεται −4c + 4c = 1, δηλαδή 0 = 1. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι δεν
υπάρχει 2 × 2 πίνακας B µε AB = I2 και άρα ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος.
Από τα τελευταία παραδείγµατα λέπουµε ότι ο έλεγχος της αντιστρεψιµότητας ενός
τετραγωνικού πίνακα και η εύρεση του αντιστρόφου, αν υπάρχει, µπορεί να γίνει επιλύοντας
συστηµάτα γραµµικών εξισώσεων. Στη συνέχεια του ιβλίου, ϑα δώσουµε κριτήρια για την
αντιστρεψιµότητα ενός τετραγωνικού πίνακα και ϑα περιγράψουµε µεθόδους για τον υπολογισµό του αντιστρόφου. Θα δουµε τώρα ότι στην ειδική περίπτωση των διαγωνίων πινάκων
τα προβλήµατα αυτά επιδέχονται µια πολύ απλή λύση.
Πρόταση 2.4.7 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός και a1 , a2 , . . . , aν στοιχεία του F. Τότε,
ο διαγώνιος πίνακας A = D(a1 , a2 , . . . , aν ) ∈ Fν×ν είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν ai 6= 0
για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Επιπλέον, στην περίπτωση που ο A είναι αντιστρέψιµος, έχουµε
−1
−1
A−1 = D(a−1
1 , a2 , . . . , aν ).
Απόδειξη. Ας υποθέσουµε αρχικά ότι ai 6= 0 για κάθε δείκτη i = 1, 2, . . . , ν . Τότε, ορίζεται
−1
−1
ο πίνακας B = D(a−1
1 , a2 , . . . , aν ) και έχουµε
AB = BA = D(1, 1, . . . , 1) = Iν
(λέπε την Παρατήρηση που ακολουθεί το Πόρισµα 2.3.12). Συνεπώς, ο A είναι αντιστρέψι−1
−1
µος και A−1 = B = D(a−1
1 , a2 , . . . , aν ).
Ας υποθέσουµε τώρα ότι υπάρχει κάποιος δείκτης i ∈ {1, 2, . . . , ν} µε ai = 0. Για κάθε
πίνακα B ∈ Fν×ν τα στοιχεία της i-γραµµής του γινοµένου AB προκύπτουν πολλαπλασιάοντας την i-γραµµή του πίνακα A µε την αντίστοιχη στήλη του πίνακα B . Καθώς η i-γραµµή
του διαγώνιου πίνακα A αποτελείται από µηδενικά, συµπεραίνουµε ότι η i-γραµµή του γινοµένου AB αποτελείται επίσης από µηδενικά. Ειδικότερα, έχουµε AB 6= Iν και έτσι ο A
δεν είναι αντιστρέψιµος.
Ας δούµε στη συνέχεια ορισµένες ασικές ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων.
Πρόταση 2.4.8 ΄Εστω A, B ∈ Fν×ν δύο αντιστρέψιµοι πίνακες και κ ένα µη-µηδενικό στοιχείο
του F. Τότε, ισχύουν τα εξής :
2.4. ΑΝΤΙΣΤΡý
ΕΨΙΜΟΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
45
(i) Ο πίνακας A−1 είναι αντιστρέψιµος και (A−1 )−1 = A.
(ii) Ο πίνακας AB είναι αντιστρέψιµος και (AB)−1 = B −1 A−1 .
(iii) Ο πίνακας κA είναι αντιστρέψιµος και (κA)−1 = κ−1 A−1 .
(iv) Ο ανάστροφος πίνακας At είναι αντιστρέψιµος και (At )−1 = (A−1 )t .
Απόδειξη.
(i) Αυτό είναι ϕανερό, καθώς AA−1 = A−1 A = Iν .
(ii) Χρησιµοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων, έχουµε
(AB)(B −1 A−1 ) = ((AB)B −1 )A−1 = (A(BB −1 ))A−1 = (AIν )A−1 = AA−1 = Iν
και ανάλογα (B −1 A−1 )(AB) = Iν .
(iii) Εδώ είναι
(κA)(κ−1 A−1 ) = (κ−1 (κA))A−1 = ((κ−1 κ)A)A−1 = (1A)A−1 = AA−1 = Iν
και ανάλογα (κ−1 A−1 )(κA) = Iν .
(iv) Με άση την Πρόταση 2.3.20, υπολογίζουµε
At (A−1 )t = (A−1 A)t = Iνt = Iν
και ανάλογα (A−1 )t At = Iν .
΄Εχοντας ορίσει τις δυνάµεις ενός τετραγωνικού πίνακα µε εκθέτες ϕυσικούς αριθµούς,
µπορούµε να ορίσουµε για τους αντιστρέψιµους πίνακες δυνάµεις µε ακεραίους εκθέτες, σε
αναλογία µε τον αντίστοιχο ορισµό για τα µη-µηδενικά στοιχεία του F.
Ορισµός 2.4.9 ΄Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας επί του F, ο οποίος είναι αντιστρέψιµος.
Τότε, για κάθε ακέραιο αριθµό ν ορίζουµε
½
ν
A =
Aν
αν ν ≥ 0
−1 −ν
(A )
αν ν < 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να εξετάσετε αν οι επόµενοι πίνακες είναι αντιστρέψιµοι και, αν υπάρχουν, να ρείτε
τους αντιστρόφους τους :
µ
(i) A =
µ
(ii) B =
0 1
1 1
1 1
1 1
¶
¶
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 2. Πý
ΙΝΑΚΕΣ
46
2. ΄Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας διάστασης ν . Να δειχτεί ότι ο A δεν είναι αντιστρέψιµος αν ικανοποιείται µία από τις επόµενες δύο συνθήκες :
(i) Υπάρχει ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός µ και ένας ν × µ πίνακας B µε B 6= Oν×µ ,
τέτοιος ώστε AB = Oν×µ .
(ii) Υπάρχει ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός σ και ένας σ × ν πίνακας C µε C 6= Oσ×ν ,
τέτοιος ώστε CA = Oσ×ν .
3. ΄Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας, ο οποίος είναι αντιστρέψιµος. Να δειχτεί ότι :
(i) Αν ο A είναι συµµετρικός, τότε ο A−1 είναι επίσης συµµετρικός.
(ii) Αν ο A είναι αντισυµµετρικός, τότε ο A−1 είναι επίσης αντισυµµετρικός.
4. ΄Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας, ο οποίος είναι αντιστρέψιµος, και ν, µ δύο ακέραιοι
αριθµοί. Να δειχτεί ότι :
(i) Aν Aµ = Aν+µ
(ii) (Aν )µ = Aνµ
5. ΄Εστω A, B δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης, οι οποίοι είναι αντιστρέψιµοι
και µετατίθενται µεταξύ τους. Να δειχτεί ότι :
(i) AB ν = B ν A για κάθε ακέραιο αριθµό ν
(ii) (AB)ν = Aν B ν για κάθε ακέραιο αριθµό ν
Κεφάλαιο 3
Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων
Στο Κεφάλαιο αυτό ϑα χρησιµοποιήσουµε τη ϑεωρία των πινάκων για να αναπτύξουµε συστηµατικές µεθόδους για την επίλυση γραµµικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριµένα, ϑα περιγράψουµε δύο τέτοιες µεθόδους : η πρώτη ασίζεται στη ϑεωρία των γραµµοπράξεων και η δεύτερη
στη ϑεωρία των οριζουσών.
3.1 Γραµµικά Συστήµατα
Ας δούµε αρχικά µερικούς ασικούς ορισµούς.
΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί. ΄Ενα γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ
αγνώστους x1 , x2 , . . . , xµ αποτελείται από ν εξισώσεις
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1µ xµ = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2µ xµ = b2
···
aν1 x1 + aν2 x2 + · · · + aνµ xµ = bν
για κατάλληλα στοιχεία aij , bi ∈ F.
Τα στοιχεία aij ονοµάζονται συντελεστές του συστήµατος, ενώ ο ν × µ πίνακας

a11 a12 . . . a1µ
 a21 a22 . . . a2µ 


A =  ..
..
.. 
 .
.
. 
aν1 aν2 . . . aνµ

ονοµάζεται πίνακας των συντελεστών του συστήµατος ή, απλόυστερα πίνακας του συστήµατος. Τα στοιχεία b1 , b2 , . . . , bν ονοµάζονται σταθεροί όροι του συστήµατος, ενώ ο πίνακαςστήλη




b=

b1
b2 

.. 
. 
bν
47
48
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
ονοµάζεται στήλη των σταθερών όρων του συστήµατος. Παραθέτοντας τη στήλη των σταϑερών όρων δίπλα από τον πίνακα των συντελεστών προκύπτει ο ν × (µ + 1) πίνακας
¯
a11 a12 . . . a1µ ¯¯ b1
 a21 a22 . . . a2µ ¯ b2

¯
(A|b) =  ..
..
.. ¯ ..
 .
.
. ¯¯ .
aν1 aν2 . . . aνµ ¯ bν






ο οποίος ονοµάζεται επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος. ΄Ετσι, κάθε γραµµικό σύστηµα
καθορίζεται από τον επαυξηµένο πίνακά του.
Μια λύση του συστήµατος είναι ένα στοιχείο


ξ1
 ξ2 


ξ =  ..  ∈ Fµ×1 ,
 . 
ξµ
που είναι τέτοιο ώστε να ισχύουν οι ισότητες
a11 ξ1 + a12 ξ2 + · · · + a1µ ξµ = b1
a21 ξ1 + a22 ξ2 + · · · + a2µ ξµ = b2
···
aν1 ξ1 + aν2 ξ2 + · · · + aνµ ξµ = bν
Το σύστηµα λέγεται συµβιβαστό αν έχει τουλάχιστον µία λύση και ασυµβίβαστο αν δεν έχει
καµία λύση.
Αν όλοι οι σταθεροί όροι είναι ίσοι µε 0, τότε το σύστηµα ονοµάζεται οµογενές. ΄Ενα
οµογενές σύστηµα είναι πάντα συµβιβαστό, αφού έχει τη µηδενική λύση ξ = Oµ×1 . Η
µηδενική λύση ενός οµογενούς συστήµατος ονοµάζεται τετριµµένη λύση.
Παρατηρούµε ότι ένα στοιχείο ξ ∈ Fµ×1 είναι λύση του συστήµατος αν ισχύει
A · ξ = b ∈ Fν×1 .
΄Ετσι, το γραµµικό σύστηµα µε πίνακα συντελεστών A και στήλη σταθερών όρων b µπορεί να
γραφεί ως µια εξίσωση πινάκων
A · x = b,
όπου η ητούµενη λύση x είναι ένας µ × 1 πίνακας. Αυτή ακριβώς η ϑεώρηση ϑα µας
επιτρέψει να εφαρµόσουµε τον αλγεβρικό λογισµό των πινάκων για την επίλυση του γραµµικού συστήµατος.
Για το σκοπό αυτό, ας ϑεωρήσουµε έναν αντιστρέψιµο ν × ν πίνακα E . Τότε, για κάθε
ξ ∈ Fµ×1 είναι
Aξ = b ⇐⇒ (EA)ξ = Eb.
Πράγµατι, αν Aξ = b τότε
(EA)ξ = E(Aξ) = Eb.
3.2. ΓΡΑΜΜΟϊΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
49
Αντίστροφα, αν (EA)ξ = Eb τότε
Aξ = Iν Aξ = E −1 EAξ = E −1 Eb = Iν b = b.
∆ύο γραµµικά συστήµατα λέγονται ισοδύναµα αν έχουν ακριβώς το ίδιο σύνολο λύσεων.
Συνεπώς, έχουµε αποδείξει την επόµενη πρόταση.
Πρόταση 3.1.1 ΄Ενα γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους µε επαυξηµένο πίνακα
(A|b) είναι ισοδύναµο µε το γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους µε επαυξηµένο
πίνακα (EA|Eb) για κάθε αντιστρέψιµο ν × ν πίνακα E .
Ο στόχος µας στη συνέχεια είναι να δούµε πώς µπορεί να επιλεγεί ο αντιστρέψιµος πίνακας E , έτσι ώστε το γραµµικό σύστηµα µε επαυξηµένο πίνακα (EA|Eb) να είναι απλούστερο του αρχικού.
3.2 Γραµµοϊσοδυναµία Πινάκων
Θα δούµε στη συνέχεια έναν αλγόριθµο, που είναι γνωστός ως µέθοδος απαλοιφής του Gauss,
ο οποίος µας επιτρέπει να απλοποιήσουµε τον επαυξηµένο πίνακα ενός γραµµικού συστήµατος εξισώσεων, λαµβάνοντας ένα ισοδύναµο σύστηµα που λύνεται πιο εύκολα από το αρχικό.
Η µέθοδος αυτή ασίζεται στον ορισµό που ακολουθεί.
Υπενθυµίζουµε ότι για κάθε ν × µ πίνακα A µε στοιχεία από το F οι γραµµές r1 , r2 , . . . , rν
είναι στοιχεία του συνόλου F1×µ , στο οποίο έχουµε ορίσει άθροισµα και αθµωτό πολλαπλασιασµό µε στοιχεία του F. ΄Ετσι, µπορούµε να προσθέτουµε δύο γραµµές του A ή
να πολλαπλασιάζουµε µια γραµµή του µε κάποιο λ ∈ F.
Ορισµός 3.2.1 ΄Εστω A = (aij ) ένας ν × µ πίνακας µε στοιχεία από το F. Οι παρακάτω
µετασχηµατισµοί του πίνακα A ονοµάζονται στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί των γραµµών
του A.
(i) Θεωρούµε ένα δείκτη i ∈ {1, 2, . . . , ν}, ένα στοιχείο λ ∈ F µε λ 6= 0 και πολλαπλασιάουµε όλα τα στοιχεία της i-γραµµής ri του A µε το λ (αφήνοντας όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του
A αµετάβλητα). ΄Ετσι, προκύπτει ένας πίνακας A1 ∈ Fν×µ , του οποίου η i-γραµµή είναι ίση µε
λri . Ο µετασχηµατισµός που οδηγεί από τον A στον A1 ϑα λέγεται τύπου Ι και ϑα συµβολίζεται
γράφοντας ri 7→ λri .
(ii) Θεωρούµε δύο διακεκριµένους δείκτες i, j ∈ {1, 2, . . . , ν}, ένα στοιχείο λ ∈ F και
προσθέτουµε στην i-γραµµή ri του A την j -γραµµή του rj πολλαπλασιασµένη µε λ (αφήνοντας
όλες τις άλλες γραµµές του A αµετάβλητες). ΄Ετσι, προκύπτει ένας πίνακας A2 ∈ Fν×µ , του
οποίου η i-γραµµή είναι ίση µε ri + λrj . Ο µετασχηµατισµός που οδηγεί από τον A στον A2 ϑα
λέγεται τύπου ΙΙ και ϑα συµβολίζεται γράφοντας ri 7→ ri + λrj .
(iii) Θεωρούµε δύο διακεκριµένους δείκτες i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} και εναλλάσσουµε την iγραµµή ri του A µε την j -γραµµή του rj (αφήνοντας όλες τις άλλες γραµµές του A αµετάβλητες).
΄Ετσι, προκύπτει ένας πίνακας A3 ∈ Fν×µ , του οποίου η i-γραµµή είναι ίση µε rj και η j -γραµµή
ίση µε ri . Ο µετασχηµατισµός που οδηγεί από τον A στον A3 ϑα λέγεται τύπου ΙΙΙ και ϑα
συµβολίζεται γράφοντας ri ↔ rj .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
50
Παράδειγµα 3.2.2 Ας ϑεωρήσουµε τον πίνακα


1 −2
3 −4
5
0
6 .
A = 0
8
4 −7 −2
Τότε, εφαρµόζοντας στον A τον µετασχηµατισµό r1 7→ 2r1 , προκύπτει ο πίνακας


2 −4
6 −8
5
0
6 .
A1 =  0
8
4 −7 −2
Επίσης, εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό r2 7→ r2 − r3 , προκύπτει ο πίνακας


1 −2
3 −4
1
7
8 ,
A2 =  −8
8
4 −7 −2
ενώ εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό r1 ↔ r3 , προκύπτει ο πίνακας


8
4 −7 −2
5
0
6 .
A3 =  0
1 −2
3 −4
Ορισµός 3.2.3 ΄Εστω A, B δύο ν × µ πίνακες επί του F. Θα λέµε ότι ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον B αν ο B µπορεί να προκύψει από τον A εφαρµόζοντας µια πεπερασµένη
ακολουθία στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών.
Με άση τον παραπάνω ορισµό, είναι σαφές ότι κάθε πίνακας A είναι γραµµοϊσοδύναµος
µε τον εαυτό του. Επίσης, αν A, B, C είναι τρεις ν × µ πίνακες µε στοιχεία από το F, τέτοιοι
ώστε ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον B και ο B γραµµοϊσοδύναµος µε τον C , τότε ο A
είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον C .
Παράδειγµα 3.2.4 Θεωρούµε τον πίνακα


1 −2 −3
2
1
1
3
5 −3 
A = 0
2
1
8 −4
4
και εφαρµόζουµε τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών, όπως ϕαίνεται παρακάτω

A
r1 ↔r2
−→
r3 7→−2r3
−→

0
1
3
5 −3
 1 −2 −3
2
1 
1
8 −4
4 
 2
0
1
3
5 −3
 3 −1
5 −2
5 
−4 −2 −16
8 −8

r2 7→r2 +r3
−→
r1 7→r1 −r3
−→

0
1 3
5 −3
 3 −1 5 −2
5 
2
1 8 −4
4 

4
3
19 −3
5
 3 −1
5 −2
5 .
−4 −2 −16
8 −8
3.2. ΓΡΑΜΜΟϊΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
51
΄Ετσι, συµπεραίνουµε ότι ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον πίνακα


4
3
19 −3
5
5 −2
5 .
B =  3 −1
−4 −2 −16
8 −8
Στον ίδιο πίνακα A µπορούµε επίσης να εφαρµόσουµε τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς
γραµµών, όπως ϕαίνεται παρακάτω

A
r3 7→r3 −2r1
−→
r3 7→−r3
−→
r1 7→r1 −3r3
−→
1
 0
 0
1
 0
0
1
 0
0
−2
1
5
−2
1
0
0
1
0

−3
2
1
3
5 −3 
14 −8
2 
−3 2
1
3 5 −3 
1 33 −17
0 −87
46
3
5 −3 
1
33 −17

r3 7→r3 −5r2
−→
r1 7→r1 +2r2
−→
r2 7→r2 −3r3
−→

1 −2 −3
2
1
 0
1
3
5 −3 
0
0 −1 −33 17


1 0 3 12 −5
 0 1 3 5 −3 
 0 0 1 33 −17 
1 0 0 −87
46
 0 1 0 −94
48 .
0 0 1
33 −17
΄Ετσι, συµπεραίνουµε ότι ο A είναι επίσης γραµµοϊσοδύναµος µε τους πίνακες




1 −2 −3 2
1
1 0 0 −87
46
1
3 5 −3  και D =  0 1 0 −94
48 .
C = 0
0
0
1 33 −17
0 0 1
33 −17
Είναι ϕανερό ότι υπάρχουν πολλοί (άπειροι το πλήθος) πίνακες µε τους οποίους ο A είναι
γραµµοϊσοδύναµος. Αν και ο πίνακας B δεν ϕαίνεται να είναι κατά καµία έννοια απλόυστερος
του A, λέπουµε ότι οι πίνακες C και D έχουν περισσότερα µηδενικά από τον A και δείχνουν
κάπως απλούστεροι από αυτόν.
Πριν περιγράψουµε τη µέθοδο που ϑα µας επιτρέψει να ρούµε έναν απλό πίνακα µε
τον οποίο ένας δεδοµένος πίνακας A είναι γραµµοϊσοδύναµος, ϑα πρέπει να ορίσουµε ποιοι
ακριβώς είναι οι απλοί πίνακες τους οποίους αναζητούµε.
Ορισµός 3.2.5 ΄Εστω A = (aij ) ένας ν × µ πίνακας µε στοιχεία από το F και i ∈ {1, 2, . . . , ν}
ένας δείκτης, τέτοιος ώστε η γραµµή ri δεν είναι µηδενική (δηλαδή, ri 6= O ∈ F1×µ ). Τότε, το
ηγετικό στοιχείο της γραµµής ri είναι το πρώτο µη-µηδενικό στοιχείο της, δηλαδή εκείνο το
aij ∈ F για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις aij 6= 0 και aik = 0 για κάθε k < j .
Ορισµός 3.2.6 ΄Ενας ν × µ πίνακας A µε στοιχεία από το F λέγεται κλιµακωτός αν ισχύουν
τα εξής :
(i) Το ηγετικό στοιχείο κάθε µη-µηδενικής γραµµής του A είναι το 1 ∈ F.
(ii) Αν µια γραµµή του A είναι µηδενική τότε κάθε εποµένη γραµµή του A είναι επίσης µηδενική.
(iii) Το ηγετικό στοιχείο κάθε µη-µηδενικής γραµµής ρίσκεται στα δεξιά του ηγετικού στοιχείου κάθε προηγουµένης γραµµής.
52
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
Ορισµός 3.2.7 ΄Ενας κλιµακωτός πίνακας A ∈ Fν×µ λέγεται ανηγµένος κλιµακωτός αν το
ηγετικό στοιχείο κάθε µη-µηδενικής γραµµής είναι το µοναδικό µη-µηδενικό στοιχείο της στήλης
στην οποία ρίσκεται.
Με άση τους παραπάνω ορισµούς, παρατηρούµε ότι ο µηδενικός πίνακας είναι ανηγµένος κλιµακωτός.
Παράδειγµα 3.2.8 Αναφερόµενοι στο Παράδειγµα 3.2.4, ο πίνακας B δεν είναι κλιµακωτός, ο
πίνακας C είναι κλιµακωτός, αλλά όχι ανηγµένος κλιµακωτός, ενώ ο πίνακας D είναι ανηγµένος
κλιµακωτός.
Παράδειγµα 3.2.9 Ο πίνακας


1 2 4 −2
5
3 −3 
A = 0 0 1
0 0 0
0
0
είναι κλιµακωτός, αλλά όχι ανηγµένος κλιµακωτός, ενώ ο πίνακας

1 0
5 0 −4
2 
B =  0 1 −1 0
0 0
0 1
6

είναι ανηγµένος κλιµακωτός.
Γενικεύοντας τη διαδικασία που ακολουθήσαµε στο δεύτερο µέρος του Παραδείγµατος
3.2.4, τα επόµενα ασικά αποτελέσµατα περιγράφουν µια µέθοδο αναγωγής ενός πίνακα A
σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή. Η µέθοδος αυτή είναι γνωστή ως µέθοδος απαλοιφής του
Gauss.
Πρόταση 3.2.10 Κάθε πίνακας A = (aij ) ∈ Fν×µ είναι γραµµοϊσοδύναµος µε κάποιον κλιµακωτό πίνακα.
Απόδειξη. Αρχικά παρατηρούµε ότι ο µηδενικός πίνακας, ως κλιµακωτός, είναι γραµµοϊσοδύναµος µε έναν κλιµακωτό πίνακα. Η απόδειξη στη γενική περίπτωση ϑα γίνει µε
επαγωγή στο πλήθος ν των γραµµών του A.
΄Εστω ότι ν = 1, οπότε ο A είναι ένας πίνακας-γραµµή. Αν ο πίνακας A είναι µηδενικός,
τότε το ητούµενο ισχύει, όπως παρατηρήσαµε παραπάνω. Αν ο A δεν είναι µηδενικός, τότε
µπορούµε να εφαρµόσουµε ένα στοιχειώδη µετασχηµατισµό γραµµών τύπου Ι και να λάβουµε
έναν πίνακα-γραµµή, µε τον οποίον ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος και έχει ως ηγετικό στοιχείο
το 1 ∈ F. Καθώς ο τελευταίος πίνακας είναι προφανώς κλιµακωτός, το ητούµενο δείχτηκε.
Ας υποθέσουµε τώρα ότι ν > 1 και κάθε ν 0 × µ0 πίνακας µε στοιχεία από το F είναι
γραµµοϊσοδύναµος µε έναν κλιµακωτό πίνακα αν ν 0 < ν . Θεωρούµε ένα ν × µ πίνακα
A = (aij ). Αν ο πίνακας A είναι µηδενικός, τότε το ητούµενο ισχύει, όπως είπαµε παραπάνω.
Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι ο A δεν είναι µηδενικός. Τότε, τουλάχιστον µία απο τις στήλες
c1 , c2 , . . . , cµ του A δεν είναι µηδενική. ΄Εστω ότι η cj0 είναι η πρώτη µη-µηδενική στήλη του
A. ΄Ετσι, cj = O ∈ Fν×1 για κάθε j < j0 και cj0 6= O ∈ Fν×1 . Εφαρµόζοντας ένα στοιχειώδη
3.2. ΓΡΑΜΜΟϊΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
53
µετασχηµατισµό γραµµών τύπου ΙΙΙ, µπορούµε να αναχθούµε στην περίπτωση όπου a1j0 6= 0.
Εφαρµόζοντας τώρα ένα µετασχηµατισµό τύπου Ι στην πρώτη γραµµή, αναγόµαστε στην
περίπτωση που a1j0 = 1. Αφαιρώντας στη συνέχεια κατάλληλα πολλαπλάσια της πρώτης
γραµµής από τίς άλλες γραµµές (εφαρµόζοντας δηλαδή κατάλληλους µετασχηµατισµούς
τύπου ΙΙ), µπορούµε να υποθέσουµε ότι aij0 = 0 για κάθε i > 1. Βλέπουµε λοιπόν ότι
ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε έναν πίνακα A1 του οποίου οι πρώτες j0 − 1 στήλες είναι
µηδενικές, ενώ η j0 -στήλη έχει 1 στην πρώτη ϑέση και 0 παντού αλλού. ΄Ετσι, ο πίνακας A1
είναι της µορφής




A1 = 

0 . . . 0 1 b1 j0 +1 . . . b1µ
0 . . . 0 0 b2 j0 +1 . . . b2µ 

..
.. ,
..
.. ..
. 
.
.
. .
0 . . . 0 0 bν j0 +1 . . . bνµ
για κατάλληλα bij ∈ F. Τώρα ϑεωρούµε τον (ν − 1) × (µ − j0 ) πίνακα


B =
b2 j0 +1 . . . b2µ
..
.
..
.


.
bν j0 +1 . . . bνµ
Από την επαγωγική υπόθεση, γνωρίζουµε ότι ο πίνακας B είναι γραµµοϊσοδύναµος µε έναν
κλιµακωτό (ν − 1) × (µ − j0 ) πίνακα


C =
c2 j0 +1 . . . c2µ
..
.
..
.


.
cν j0 +1 . . . cνµ
Παρατηρούµε ότι εφαρµόζοντας τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών που οδηγούν
από τον πίνακα B στον C στις αντίστοιχες γραµµές του πίνακα A1 δεν µεταβάλλονται οι
πρώτες j0 στήλες του. Συνεπώς, ο A1 είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον πίνακα

0 ...
 0 ...

A2 =  ..
 .
0 ...

0 1 b1 j0 +1 . . . b1µ
0 0 c2 j0 +1 . . . c2µ 

.. ..
..
.. .
. .
.
. 
0 0 cν j0 +1 . . . cνµ
Καθώς ο πίνακας C είναι κλιµακωτός, είναι ϕανερό ότι ο A2 είναι επίσης κλιµακωτός. ΄Ετσι,
ο αρχικός πίνακας A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον κλιµακωτό πίνακα A2 και άρα δείχτηκε
το ητούµενο.
Πρόταση 3.2.11 Κάθε κλιµακωτός πίνακας A = (aij ) ∈ Fν×µ είναι γραµµοϊσοδύναµος µε
κάποιον ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα.
Απόδειξη. Καθώς το ητούµενο είναι ϕανερό αν ο πίνακας A είναι µηδενικός, µπορούµε
να υποθέσουµε ότι ο A δεν είναι µηδενικός. ΄Εστω ότι οι πρώτες κ γραµµές του A είναι
µη-µηδενικές, ενώ οι τελευταίες ν − κ είναι µηδενικές. Για κάθε i ∈ {1, 2, . . . , κ} ϑεωρούµε
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
54
την i-γραµµή ri του A και υποθέτουµε ότι το ηγετικό στοιχείο της ρίσκεται στην ji -στήλη.
Από την υπόθεσή µας, είναι j1 < j2 < . . . < jκ και άρα ο A είναι της µορφής






0 . . . 0 1 a1 j1 +1 . . . a1 j2 −1 a1 j2 a1 j2 +1 . . . a1 j3 −1 a1 j3 a1 j3 +1 . . .
0 ... 0 0
0
...
0
1 a2 j2 +1 . . . a2 j3 −1 a2 j3 a2 j3 +1 . . . 

.
0 ... 0 0
0
...
0
0
0
...
0
1 a3 j3 +1 . . . 

..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
΄Ετσι, αφαιρώντας ένα κατάλληλο πολλαπλάσιο της δεύτερης γραµµής από την πρώτη (µετασχηµατισµός τύπου ΙΙ), λέπουµε ότι ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε έναν πίνακα A1 της µορφής






0 . . . 0 1 a1 j1 +1 . . . a1 j2 −1 0 a01 j2 +1 . . . a01 j3 −1 a01 j3 a01 j3 +1 . . .
0 ... 0 0
0
...
0
1 a2 j2 +1 . . . a2 j3 −1 a2 j3 a2 j3 +1 . . . 

,
0 ... 0 0
0
...
0
0
0
...
0
1 a3 j3 +1 . . . 

..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
για κάποια a01j ∈ F, j > j2 . Αφαιρώντας στη συνέχεια κατάλληλα πολλαπλάσια της τρίτης
γραµµής από την πρώτη και τη δεύτερη (εφαρµόζοντας δηλαδή κατάλληλους µετασχηµατισµός τύπου ΙΙ), λέπουµε ότι ο A1 (και άρα ο A) είναι γραµµοϊσοδύναµος µε έναν πίνακα
A2 της µορφής






0 . . . 0 1 a1 j1 +1 . . . a1 j2 −1 0 a01 j2 +1 . . . a01 j3 −1 0 a001 j3 +1 . . .
0 ... 0 0
0
...
0
1 a2 j2 +1 . . . a2 j3 −1 0 a002 j3 +1 . . . 

,
0 ... 0 0
0
...
0
0
0
...
0
1 a3 j3 +1 . . . 

..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
για κάποια a001j , a002j ∈ F, j > j3 . Συνεχίζοντας µε τον τρόπο αυτό, λέπουµε ότι µπορούµε
να εφαρµόσουµε κατάλληλους στοιχειώδεις µατασχηµατισµούς γραµµών τύπου ΙΙ και να
οδηγηθούµε σε έναν ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα Aκ−1 µε τον οποίο ο αρχικός πίνακας A
είναι γραµµοϊσοδύναµος.
Θεώρηµα 3.2.12 Κάθε πίνακας A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε κάποιον ανηγµένο κλιµακωτό
πίνακα.
Παράδειγµα 3.2.13 Ας ϑεωρήσουµε τον 3 × 5 πίνακα


0 2 12 11 −20
12 .
A =  2 8 26 0
1 3 2 3 −1
Εφαρµόζοντας στον A τους µετασχηµατισµούς που περιγράφονται στην Πρόταση 3.2.10, παίρνουµε
3.2. ΓΡΑΜΜΟϊΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
55
διαδοχικά τους παρακάτω πίνακες

A
r1 ↔r3
−→
r2 7→ 12 r2
−→
1
r3 7→ 17
r3
−→
1
 2
 0
1
 0
0
1
 0
0
3
8
2
3
1
2
3
1
0
2
16
12
2
6
12
2
6
0

−1
12 
−20 
−1
7 
−20
−1
7 .
−2
3
0
11
3
−3
11
3
−3
1

r2 7→r2 −2r1
−→
r3 7→r3 −2r2
−→
1
 0
0
1
 0
0
3
2
2
3
1
0

2
3 −1
12 −6
14 
12 11 −20 
2
3 −1
6 −3
7 
0 17 −34
΄Ετσι, ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον κλιµακωτό πίνακα


1 3 2
3 −1
7 .
B =  0 1 6 −3
0 0 0
1 −2
Εφαρµόζοντας στη συνέχεια στον πίνακα B τους µετασχηµατισµούς που περιγράφονται στην
Πρόταση 3.2.11, παίρνουµε διαδοχικά τους παρακάτω πίνακες

B
r1 7→r1 −3r2
−→
r2 7→r2 +3r3
−→

1 0 −16 12 −22
 0 1
6 −3
7 
0
1 −2
0 0
1 0 −16 0
2
 0 1
6 0
1 .
0 0
0 1 −2

r1 7→r1 −12r3
−→

1 0 −16
0
2
 0 1
6 −3
7 
0 0
0
1 −2
΄Ετσι, συµπεραίνουµε ότι ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα


1 0 −16 0
2
6 0
1 .
C = 0 1
0 0
0 1 −2
Παράδειγµα 3.2.14 Ας ϑεωρήσουµε τώρα τον 4 × 4 πίνακα


1
3 −2 −5
 4
9
1 −2 
.
A =
 0 −6
2 24 
5
9
0
5
Εφαρµόζουµε στον A τους µετασχηµατισµούς που περιγράφονται στην Πρόταση 3.2.10 και
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
56
παίρνουµε διαδοχικά τους παρακάτω πίνακες

A
r2 ↔r2 −4r1
−→
r2 7→− 13 r2
−→
r4 7→r4 +6r2
−→
r4 7→r4 +8r3
−→
1
 0

 0
 5
1
 0

 0
 0
1
 0

 0
0
1
 0

 0
0

3 −2 −5
−3
9 18 

−6
2 24 
9
0
5 
3 −2 −5
1 −3 −6 

−6
2 24 
−6 10 30 
3 −2 −5
1 −3 −6 

0 −16 −12 
0 −8 −6
3 −2 −5
1 −3 −6 
.
0
1 3/4 
0
0
0

r4 7→r4 −5r1
−→
r3 7→r3 +6r2
−→
1
r3
r3 7→− 16
−→
1
3
 0 −3

 0 −6
 0 −6
1
3
 0
1

 0
0
0 −6
1 3
 0 1

 0 0
0 0
−2
9
2
10
−2
−3
−16
10
−2
−3
1
−8

−5
18 

24 
30 
−5
−6 

−12 
30
−5
−6 

3/4 
−6
΄Ετσι, ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον κλιµακωτό πίνακα

3 −2 −5
1 −3 −6 
.
0
1 3/4 
0
0
0

1
 0
B =
 0
0
Εφαρµόζοντας στη συνέχεια στον πίνακα B τους µετασχηµατισµούς που περιγράφονται στην
Πρόταση 3.2.11, παίρνουµε διαδοχικά τους παρακάτω πίνακες

B
r1 7→r1 −3r2
−→
r2 7→r2 +3r3
−→
1
 0

 0
 0
1
 0

 0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
7 13
−3 −6
1 3/4
0
0
0
31/4
0 −15/4
1
3/4
0
0





r1 7→r1 −7r3
−→

1
 0

 0
0

0
0 31/4
1 −3
−6 

0
1 3/4 
0
0
0

.

΄Ετσι, συµπεραίνουµε ότι ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα

1
 0
C =
 0
0
0
1
0
0

0
31/4
0 −15/4 
.
1
3/4 
0
0
Προκειµένου να συνδέσουµε την έννοια της γραµµοϊσοδυναµίας µε τον αλγεβρικό λογισµό
των πινάκων που αναπτύξαµε στο προηγούµενο Κεφάλαιο, δίνουµε τον επόµενο ορισµό.
3.2. ΓΡΑΜΜΟϊΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
57
Ορισµός 3.2.15 ΄Ενας ν × ν πίνακας ονοµάζεται στοιχειώδης αν µπορεί να προκύψει εφαρµόζοντας ένα στοιχειώδη µετασχηµατισµό γραµµών στον ταυτοτικό ν × ν πίνακα Iν .
΄Ετσι, για κάθε i ∈ {1, 2, . . . , ν} και λ ∈ F µε λ 6= 0, έχουµε τον στοιχειώδη πίνακα
D(i, λ) ∈ Fν×ν , ο οποίος προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την i-γραµµή του Iν µε λ. Με άλλα
λόγια, ο πίνακας D(i, λ) είναι ο διαγώνιος πίνακας µε 1 σε όλα τα στοιχεία της διαγωνίου
εκτός αυτού που ρίσκεται στην (i, i)-ϑέση, το οποίο είναι ίσο µε λ. Θα λέµε ότι ο D(i, λ)
είναι ένας στοιχειώδης πίνακας τύπου Ι. Για παράδειγµα, έχουµε τους 2 × 2 πίνακες
µ
¶
µ
¶
4 0
1 0
D(1, 4) =
και D(2, 7) =
.
0 1
0 7
Επίσης, για κάθε δύο διακεκριµένους δείκτες i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} και λ ∈ F ϑεωρούµε τον
στοιχειώδη πίνακα M (i, j, λ) ∈ Fν×ν , ο οποίος προκύπτει προσθέτοντας στην i-γραµµή του
Iν την j -γραµµή του πολλαπλασιασµένη µε λ. ΄Ετσι, ο πίνακας M (i, j, λ) έχει 1 κατά µήκος
της διαγωνίου, λ στην (i, j)-ϑέση και 0 παντού αλλού. Θα λέµε ότι ο M (i, j, λ) είναι ένας
στοιχειώδης πίνακας τύπου ΙΙ. Για παράδειγµα, έχουµε τους 3 × 3 πίνακες




1 9 0
1 0 0
M (1, 2, 9) =  0 1 0  και M (3, 1, 2) =  0 1 0 .
0 0 1
2 0 1
Τέλος, για κάθε δύο διακεκριµένους δείκτες i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} ϑεωρούµε τον στοιχειώδη
πίνακα E(i, j) ∈ Fν×ν , ο οποίος προκύπτει εναλλάσσοντας την i-γραµµή του Iν µε την j γραµµή του. Θα λέµε ότι ο E(i, j) είναι ένας στοιχειώδης πίνακας τύπου ΙΙΙ. Για παράδειγµα,
έχουµε τους 3 × 3 πίνακες



0 0 1
0 1 0
E(1, 2) =  1 0 0  και E(1, 3) =  0 1 0 .
1 0 0
0 0 1

Θεώρηµα 3.2.16 ΄Εστω A = (aij ) ένας ν × µ πίνακας επί του F.
(i) Για κάθε i ∈ {1, 2, . . . , ν} και κάθε λ ∈ F µε λ 6= 0, ο πίνακας D(i, λ) · A είναι αυτός που
προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την i-γραµµή του A µε λ.
(ii) Για κάθε δύο διακεκριµένους δείκτες i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} και κάθε λ ∈ F, ο πίνακας
M (i, j, λ) · A είναι αυτός που προκύπτει προσθέτοντας στην i-γραµµή του A την j -γραµµή
του πολλαπλασιασµένη µε λ.
(iii) Για κάθε δύο διακεκριµένους δείκτες i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} ο πίνακας E(i, j) · A είναι αυτός
που προκύπτει εναλλάσσοντας την i-γραµµή του A µε την j -γραµµή του.
Απόδειξη.
(i) Χρησιµοποιώντας το δέλτα του Kronecker, παρατηρούµε ότι για κάθε εύγος δεικτών
s, t ∈ {1, 2, . . . , ν} το (s, t)-στοιχείο του πίνακα D(i, λ) είναι ίσο µε δst αν s 6= i και µε λδit αν
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
58
s = i. Ας ϑεωρήσουµε τώρα ένα εύγος δεικτών (s, l) µε s ∈ {1, 2, . . . , ν} και l ∈ {1, 2, . . . , µ}.
Αν s 6= i, τότε το στοιχείο που ρίσκεται στην (s, l)-ϑέση του πίνακα D(i, λ) · A είναι το
ν
X
δst atl = asl .
t=1
Επίσης, το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, l)-ϑέση του πίνακα D(i, λ) · A είναι το
ν
X
λδit atl = λail .
t=1
Συνεπώς, ο πίνακας D(i, λ) · A είναι αυτός που προκύπτει από τον A πολλαπλασιάζοντας την
i-γραµµή του µε λ.
(ii) Για κάθε εύγος δεικτών s, t ∈ {1, 2, . . . , ν} το (s, t)-στοιχείο του πίνακα M (i, j, λ)
είναι ίσο µε δst αν s 6= i και µε δit + λδjt αν s = i. Ας ϑεωρήσουµε τώρα ένα εύγος δεικτών
(s, l) µε s ∈ {1, 2, . . . , ν} και l ∈ {1, 2, . . . , µ}. Αν s 6= i, τότε το στοιχείο που ρίσκεται στην
(s, l)-ϑέση του πίνακα M (i, j, λ) · A είναι το
ν
X
δst atl = asl .
t=1
Επίσης, το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, l)-ϑέση του πίνακα M (i, j, λ) · A είναι το
ν
X
t=1
(δit + λδjt )atl =
ν
X
t=1
δit atl +
ν
X
λδjt atl = ail + λajl .
t=1
Συνεπώς, ο πίνακας M (i, j, λ) · A προκύπτει από τον A προσθέτοντας στην i-γραµµή του την
j -γραµµή του πολλαπλασιασµένη µε λ.
(iii) Για κάθε εύγος δεικτών s, t ∈ {1, 2, . . . , ν} το (s, t)-στοιχείο του πίνακα E(i, j) είναι
ίσο µε δst αν s 6= i, j , µε δjt αν s = i και µε δit αν s = j . Ας ϑεωρήσουµε ένα εύγος δεικτών
(s, l) µε s ∈ {1, 2, . . . , ν} και l ∈ {1, 2, . . . , µ}. Αν s 6= i, j , τότε το στοιχείο που ρίσκεται
στην (s, l)-ϑέση του πίνακα E(i, j) · A είναι το
ν
X
δst atl = asl .
t=1
Επίσης, το στοιχείο που ρίσκεται στην (i, l)-ϑέση του πίνακα E(i, j) · A είναι το
ν
X
δjt atl = ajl ,
t=1
ενώ το στοιχείο που ρίσκεται στην (j, l)-ϑέση του γινοµένου E(i, j) · A είναι το
ν
X
δit atl = ail .
t=1
Συνεπώς, ο πίνακας E(i, j) · A είναι αυτός που προκύπτει από τον A εναλλάσσοντας την
i-γραµµή του µε την j -γραµµή του.
3.2. ΓΡΑΜΜΟϊΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
59
Παράδειγµα 3.2.17 Ας ϑεωρήσουµε τον 3 × 4 πίνακα


0 −1
2 −3
0
3
8 .
A =  −1
5
0 −1
1
Με άση το προηγούµενο Θεώρηµα, πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά τον A µε τον στοιχειώδη πίνακα


1
0 0
D(2, −1) =  0 −1 0 
0
0 1
ρίσκουµε ακριβώς τον πίνακα που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη γραµµή του A µε
−1. ΄Ετσι, έχουµε


0 −1
2 −3
0 −3 −8 .
D(2, −1) · A =  1
5
0 −1
1
Επίσης, πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά τον A µε τον στοιχειώδη πίνακα


1 0 0
M (3, 1, −2) =  0 1 0 
−2 0 1
ρίσκουµε τον πίνακα που προκύπτει προσθέτοντας στην τρίτη γραµµή του A την πρώτη του
γραµµή πολλαπλασιασµένη µε −2 και άρα


0 −1
2 −3
0
3
8 .
M (3, 1, −2) · A =  −1
5
2 −5
7
Τέλος, πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά τον A µε τον στοιχειώδη πίνακα


1 0 0
E(2, 3) =  0 0 1 
0 1 0
ρίσκουµε ακριβώς τον πίνακα που προκύπτει από τον A εναλλάσσοντας τη δεύτερη µε την
τρίτη γραµµή του. Συνεπώς, είναι


0 −1
2 −3
0 −1
1 .
E(2, 3) · A =  5
−1
0
3
8
Στο επόµενο αποτέλεσµα ϑα δούµε ότι οι στοιχειώδεις πίνακες είναι αντιστρέψιµοι και
µάλιστα οι αντίστροφοί τους είναι επίσης στοιχειώδεις του ίδιου τύπου.
Πόρισµα 3.2.18 ΄Εστω i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} δύο διακεκριµένοι δείκτες και κ, λ ∈ F.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
60
(i) Αν κλ 6= 0 τότε D(i, κ) · D(i, λ) = D(i, κλ) ∈ Fν×ν
(ii) Αν λ 6= 0 τότε ο πίνακας D(i, λ) είναι αντιστρέψιµος και ισχύει D(i, λ)−1 = D(i, λ−1 ).
(iii) M (i, j, κ) · M (i, j, λ) = M (i, j, κ + λ) ∈ Fν×ν
(iv) Ο πίνακας M (i, j, λ) είναι αντιστρέψιµος και ισχύει M (i, j, λ)−1 = M (i, j, −λ).
(v) Ο πίνακας E(i, j) είναι αντιστρέψιµος και ισχύει E(i, j)−1 = E(i, j).
Απόδειξη.
(i) Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3.2.16, το γινόµενο D(i, κ) · D(i, λ) είναι ο πίνακας
που προκύπτει από τον D(i, λ) πολλαπλασιάζοντας την i-γραµµή του µε κ. Είναι ϕανερό
ότι ο τελευταίος πίνακας είναι ακριβώς ο D(i, κλ). (Εναλλακτικά, µπορούµε να αποδέιξουµε
την ισότητα D(i, κ) · D(i, λ) = D(i, κλ), χρησιµοποιώντας την Παρατήρηση που έπεται του
Πορίσµατος 2.3.12.)
(ii) Με άση το (i) παραπάνω, έχουµε
D(i, λ) · D(i, λ−1 ) = D(i, 1) = D(i, λ−1 ) · D(i, λ).
Το ητούµενο έπεται, καθώς D(i, 1) = Iν . (Εναλλακτικά, µπορούµε να αποδέιξουµε την
ισότητα D(i, λ−1 ) = D(i, λ−1 ) χρησιµοποιώντας την Πρόταση 2.4.7.)
(iii) Με άση το Θεώρηµα 3.2.16, το γινόµενο M (i, j, κ) · M (i, j, λ) είναι ο πίνακας
που προκύπτει από τον M (i, j, λ) προσθέτοντας στην i-γραµµή του την j -γραµµή του πολλαπλασιασµένη µε κ. Είναι ϕανερό ότι ο τελευταίος πίνακας είναι ακριβώς ο M (i, j, κ + λ).
(iv) Από το (iii) παραπάνω, έχουµε
M (i, j, λ) · M (i, j, −λ) = M (i, j, 0) = M (i, j, −λ) · M (i, j, λ).
Το ητούµενο έπεται, καθώς M (i, j, 0) = Iν .
(v) Από το Θεώρηµα 3.2.16 έπεται ότι το γινόµενο E(i, j) · E(i, j) είναι ο πίνακας που
προκύπτει από τον E(i, j) εναλλάσσοντας την i-γραµµή του µε την j -γραµµή του. Είναι
ϕανερό ότι ο τελευταίος πίνακας είναι ο ταυτοτικός πίνακας και άρα E(i, j) · E(i, j) = Iν .
Παράδειγµα 3.2.19 Οι στοιχειώδεις 3 × 3 πίνακες




1 0 0
1 0 1
D(2, 5) =  0 5 0  και M (1, 3, 1) =  0 1 0 
0 0 1
0 0 1
είναι αντιστρέψιµοι µε αντιστρόφους

D(2, 5)−1
και

1
0 0
= D(2, 1/5) =  0 1/5 0 
0
0 1

M (1, 3, 1)−1

1 0 −1
0 .
= M (1, 3, −1) =  0 1
0 0
1
3.2. ΓΡΑΜΜΟϊΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
61
΄Οπως είδαµε, το αποτέλεσµα που έχει σε έναν πίνακα ο πολλαπλασιασµός από αριστερά µε ένα στοιχειώδη πίνακα είναι η εφαρµογή στον πίνακα του αντίστοιχου στοιχειώδους
µετασχηµατισµού γραµµών. Στη συνέχεια, ϑα δούµε έναν εναλλακτικό τρόπο ορισµού της
γραµµοϊσοδυναµίας πινάκων, ο οποίος ασίζεται στους στοιχειώδεις πίνακες.
Πρόταση 3.2.20 Αν A, B είναι δύο ν × µ πίνακες µε στοιχεία από το F, τότε οι επόµενες
συνθήκες είναι ισοδύναµες :
(i) Ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον B .
(ii) Υπάρχει ένας ϕυσικός αριθµός n ≥ 1 και στοιχειώδεις πίνακες E1 , E2 , . . . , En , έτσι ώστε
B = En . . . E2 E1 A.
Απόδειξη.
Ας υποθέσουµε ότι ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον B . Τότε, ο B προκύπτει από τον
A εφαρµόζοντας διαδοχικά n στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών, για κάποιο n ≥ 1.
΄Εστω ότι E1 , E2 , . . . , En είναι οι στοιχειώδεις πίνακες που αντιστοιχούν στους παραπάνω
στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών. Θα δείξουµε ότι B = En . . . E2 E1 A µε επαγωγή
στο n.
Αν n = 1, τότε ο B προκύπτει από τον A εφαρµόζοντας τον στοιχειώδη µετασχηµατισµό
γραµµών µε αντίστοιχο στοιχειώδη πίνακα E1 . Συνεπώς, µε άση το Θεώρηµα 3.2.16, έχουµε
B = E1 A.
Υποθέτουµε τώρα ότι n > 1 και ότι το ητούµενο ισχύει για κάθε γραµµοϊσοδυναµία που
προκύπτει µε την εφαρµογή n − 1 στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών. Θεωρούµε τον
πίνακα C που προκύπτει εφαρµόζοντας στον A τους πρώτους n − 1 από τους n µετασχηµατισµούς που οδηγούν από τον A στον B . Τότε, µε άση την επαγωγική υπόθεση, έχουµε
C = En−1 . . . E2 E1 A. Καθώς ο πίνακας B προκύπτει από τον C εφαρµόζοντας τον στοιχειώδη µετασχηµατισµό γραµµών µε αντίστοιχο στοιχειώδη πίνακα En , από το Θεώρηµα 3.2.16
έπεται ότι B = En C = En (En−1 . . . E2 E1 A), δηλαδή το ητούµενο.
Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι B = En . . . E2 E1 A, για κάποιον ϕυσικό αριθµό n ≥ 1
και κάποιους στοιχειώδεις πίνακες E1 , E2 , . . . , En . Αν τώρα ϑεωρήσουµε τους στοιχειώδεις
µετασχηµατισµούς γραµµών που αντιστοιχούν σε αυτούς τους πίνακες, τότε µπορούµε να
δείξουµε (χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3.2.16 και επαγωγή στο n όπως παραπάνω) ότι η
εφαρµογή των µετασχηµατισµών αυτών στον πίνακα A οδηγεί ακριβώς στον πίνακα B . ΄Ετσι,
ο A είναι πράγµατι γραµµοϊσοδύναµος µε τον B .
Από τον τρόπο απόδειξης της παραπάνω πρότασης, λέπουµε επίσης πώς µπορούµε να
εκφράζουµε µια συγκεκριµένη γραµµοϊσοδυναµία δύο πινάκων ως µια αλγεβρική σχέση,
χρησιµοποιώντας στοιχειώδεις πίνακες. Ας δούµε τα επόµενα παραδέιγµατα.
Παράδειγµα 3.2.21 Ας ϑεωρήσουµε τους 3 × 5 πίνακες




1 −2 −3
2
1
4
3
19 −3
5
1
3
5 −3  και B =  3 −1
5 −2
5 .
A = 0
2
1
8 −4
4
−4 −2 −16
8 −8
΄Οπως είδαµε στο Παράδειγµα 3.2.4, ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον B . Πιο συγκεκριµένα,
ο B προκύπτει από τον A εφαρµόζοντας διαδοχικά τους µετασχηµατισµούς
r1 ↔ r2 , r2 7→ r2 + r3 , r3 7→ −2r3 και r1 7→ r1 − r3 .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
62
Συνεπώς, ο πίνακας B προκύπτει πολλαπλασιάζοντας από αριστερά τον A µε στοιχειώδεις 3 × 3
πίνακες ως εξής :
B = M (1, 3, −1) · D(3, −2) · M (2, 3, 1) · E(1, 2) · A.
Παράδειγµα 3.2.22 Ας ϑεωρήσουµε τον 2 × 3 πίνακα
µ
A=
τους στοιχειώδεις 2 × 2 πίνακες
µ
D(1, 3) =
3 0
0 1
¶
,
2 −3 5
1
4 0
¶
µ
, M (2, 1, 1) =
1 0
1 1
¶
µ
και E(1, 2) =
0 1
1 0
¶
και τον 2 × 3 πίνακα B , ο οποίος ορίζεται ϑέτοντας
B = E(1, 2) · M (2, 1, 1) · D(1, 3) · A.
Τότε, ο B προκύπτει από τον A εφαρµόζοντας διαδοχικά τρεις στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς
γραµµών, όπως ϕαίνεται παρακάτω
µ
r1 7→3r1
A −→
6 −9 15
1
4 0
µ
¶
r2 7→r2 +r1
−→
Με άλλα λόγια, έχουµε
µ
B=
6 −9 15
7 −5 15
7 −5 15
6 −9 15
µ
¶
r1 ↔r2
−→
7 −5 15
6 −9 15
¶
.
¶
.
Θα ολοκληρώσουµε την παράγραφο αυτή µε δύο άµεσα πορίσµατα της Πρότασης 3.2.20.
Πόρισµα 3.2.23 ΄Εστω A ένας ν × µ πίνακας. Τότε, υπάρχει ένας ανηγµένος κλιµακωτός
ν × µ πίνακας B , ένας ϕυσικός αριθµός n ≥ 1 και στοιχειώδεις ν × ν πίνακες E1 , E2 , . . . , En ,
τέτοιοι ώστε B = En . . . E2 E1 A.
Απόδειξη. Με άση το Θεώρηµα 3.2.12, ο πίνακας A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε κάποιον
ανηγµένο κλιµακωτό πινακα B . Το ητούµενο τώρα έπεται χρησιµοποποιώντας την Προταση
3.2.20.
Πόρισµα 3.2.24 Η γραµµοϊσοδυναµία είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο των ν × µ
πινάκων.
Απόδειξη. ΄Οπως σχολιάσαµε αµέσως µατά τον Ορισµό 3.2.3, η σχέση της γραµµοϊσοδυναµίας πινάκων έχει την ανακλαστική και τη µεταβατική ιδιότητα. Μένει να δείξουµε ότι
ικανοποιείται και η συµµετρική ιδιότητα. ΄Εστω λοιπόν δύο ν × µ πίνακες A και B , που είναι
τέτοιοι ώστε ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον B . Τότε, µε άση την Πρόταση 3.2.20, υπάρχουν στοιχειώδεις ν × ν πίνακες E1 , E2 , . . . , En , έτσι ώστε B = En . . . E2 E1 A. Οι πίνακες
E1−1 , E2−1 , . . . , En−1 είναι επίσης στοιχειώδεις (Πόρισµα 3.2.18) και A = E1−1 E2−1 . . . En−1 B .
Χρησιµοποιώντας πάλι την Πρότση 3.2.20, έπεται ότι ο B είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον A.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
3.3. ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΕΝý
ΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟý
Υ ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΟΣ
63
1. Να ρεθούν ανηγµένοι κλιµακωτοί πίνακες µε τους οποίους είναι γραµµοϊσοδύναµοι
οι επόµενοι πίνακες. Σε κάθε περίπτωση, να ρεθούν στοιχειώδεις πίνακες οι οποίοι
περιγράφουν τη γραµµοϊσοδυναµία όπως στην Πρόταση 3.2.20:

0 −1
2
3
 −1
2 −6
1 

(i) 
 −2
7
1 −3 
8 −3
4 −1


1 0 −1
8
2
1 −1 −3 
(ii)  2 3
0 3 −1 −7
0


2 −1
8
 −9
3 −2 

(iii) 
 2
6
0 
1 −2
5

2. ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός, i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} δύο διακεκριµένοι δείκτες
και κ, λ ∈ F µε λ 6= 0. Να δειχτεί ότι :
(i) M (i, j, κ) · D(j, λ) = M (i, j, κλ)
(ii) M (i, j, κ) · D(i, λ) = D(i, λ) · M (i, j, κ/λ)
(iii) E(i, j) = D(j, −1) · M (i, j, 1) · M (j, i, −1) · M (i, j, 1)
Η ισότητα του (iii) παραπάνω περιγράφει ένα στοιχειώδη µετασχηµατισµό γραµµών
τύπου ΙΙΙ ως τη σύνθεση τεσσάρων στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών τύπων Ι και
ΙΙ.
3.3 Επίλυση ενός Γραµµικού Συστήµατος
Ας ϑεωρήσουµε ένα γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1µ xµ = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2µ xµ = b2
···
aν1 x1 + aν2 x2 + · · · + aνµ xµ = bν
Γνωρίζουµε ότι το παραπάνω γραµµικό σύστηµα καθορίζεται πλήρως από τον επαυξηµένο
πίνακα (A|b), όπου A = (aij ) είναι ο ν × µ πίνακας των συντελεστών και b είναι η στήλη
των σταθερών όρων. Επιπλέον, µε άση την Πρόταση 3.1.1, το παραπάνω γραµµικό σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το γραµµικό σύστηµα του οποίου ο επαυξηµένος πίνακας είναι ο
(EA|Eb) για κάθε αντιστρέψιµο ν × ν πίνακα E . ΄Οπως είδαµε στην προηγούµενη Παράγραφο, µπορούµε να επιλέξουµε τον πίνακα E , έτσι ώστε ο επαυξηµένος πίνακας (EA|Eb)
του νέου συστήµατος να είναι ανηγµένος κλιµακωτός. ΄Ετσι, µπορούµε να αναχθούµε σε ένα
απλούστερο σύστηµα το οποίο λύνεται εύκολα.
Ας δούµε µερικά παραδείγµατα.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
64
Παράδειγµα 3.3.1 Ας ϑεωρήσουµε το παρακάτω σύστηµα 3 εξισώσεων µε 4 αγνώστους
2x2 + 12x3 + 11x4 = −20
2x1 + 8x2 + 26x3 = 12
x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = −1
Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο 3 × 5 πίνακας


0 2 12 11 −20
 2 8 26 0
12 ,
1 3 2 3 −1
ο οποίος (όπως είδαµε στο Παράδειγµα 3.2.13) είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα


1 0 −16 0
2
 0 1
6 0
1 .
0 0
0 1 −2
΄Ετσι, το αρχικό γραµµικό σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα
x1 − 16x3 = 2
x2 + 6x3 = 1
x4 = −2
Το τελευταίο σύστηµα λύνεται εύκολα δίνοντας
x1 = 16λ + 2, x2 = −6λ + 1, x3 = λ, x4 = −2,
όπου λ ∈ F. Με άλλα λόγια, το σύνολο των λύσεων του συστήµατος είναι το

16λ + 2



 −6λ + 1

λ



−2






 : λ ∈ F ⊆ F4×1 .




Παράδειγµα 3.3.2 Ας ϑεωρήσουµε το παρακάτω σύστηµα 4 εξισώσεων µε 3 αγνώστους
x1 + 3x2 − 2x3 = −5
4x1 + 9x2 + x3 = −2
− 6x2 + 2x3 = 24
5x1 + 9x2 = 5
Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο 4 × 4 πίνακας


1
3 −2 −5
 4
9
1 −2 

,
 0 −6
2 24 
5
9
0
5
3.3. ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΕΝý
ΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟý
Υ ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΟΣ
65
ο οποίος (όπως είδαµε στο Παράδειγµα 3.2.14) είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα


1 0
 0 1

 0 0
0 0
0
31/4
0 −15/4 
.
1
3/4 
0
0
΄Ετσι, το αρχικό γραµµικό σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα
x1 = 31/4
x2 = −15/4
x3 = 3/4
0=0
Εδώ λοιπόν, το σύστηµα έχει µια µοναδική λύση
x1 = 31/4, x2 = −15/4, x3 = 3/4.
Παράδειγµα 3.3.3 Ας ϑεωρήσουµε το παρακάτω σύστηµα 3 εξισώσεων µε 5 αγνώστους
x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 10
2x1 + x2 − x3 − 2x4 − x5 = −1
x1 − 4x2 + 4x3 − x4 + 4x5 = 1
Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο 3 × 6 πίνακας


1 −1
1 −1
1 10
 2
1 −1 −2 −1 −1 ,
1 −4
4 −1
4
1
για τον οποίο µπορούµε να δείξουµε ότι είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ανηγµένο κλιµακωτό
πίνακα


1 0
0 −1
0
3
 0 1 −1
0 −1 −7 .
0 0
0
0
0
1
΄Ετσι, το αρχικό γραµµικό σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα
x1 − x4 = 3
x2 − x3 − x5 = −7
0=1
το οποίο είναι προφανώς ασυµβίβαστο. Με άλλα λόγια, το σύνολο των λύσεων του συστήµατος
είναι το κενό.
Από τα παραπάνω παραδείγµατα έπεται ότι η µέθοδος της απαλοιφής του Gauss µας
επιτρέπει να ανάγουµε κάθε γραµµικό σύστηµα εξισώσεων σε ένα ισοδύναµο γραµµικό
σύστηµα, του οποίου ο επαυξηµένος πίνακας είναι ανηγµένος κλιµακωτός.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
66
΄Ετσι, ας ϑεωρήσουµε ένα γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους, του οποίου
ο επαυξηµένος πίνακας είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ανηγµένο κλιµακωτό ν × (µ + 1)
¡
¢t
πίνακα (A|b), όπου A = (aij ) ∈ Fν×µ και b = b1 b2 . . . bν
∈ Fν×1 . Είναι ϕανερό ότι
ο πίνακας A είναι επίσης ανηγµένος κλιµακωτός. ΄Εστω ότι οι κ πρώτες γραµµές του πίνακα
A έχουν ηγετικό στοιχείο (το 1), ενώ οι ν − κ τελευταίες είναι µηδενικές. Επιπλέον, έστω ότι
οι στήλες του A στις οποίες ρίσκονται τα ηγετικά στοιχεία των κ πρώτων γραµµών του είναι
οι j1 , j2 , . . . , jκ , όπου j1 < j2 < . . . < jκ , και έστω l1 , l2 , . . . , lµ−κ οι υπόλοιπες µ − κ στήλες
του. Τότε, το αρχικό σύστηµα εξισώσεων είναι ισοδύναµο µε το
P
xj1 + µ−κ
a1ls xls
Ps=1
µ−κ
xj2 + s=1 a2ls xls
···
P
xjκ + µ−κ
a
s=1 κls xls
0
···
0
= b1
= b2
= bκ
= bκ+1
= bν
΄Ετσι, η µορφή του επαυξηµένου πίνακα (A|b) καθορίζει τις δυνατότητες που υπάρχουν
σχετικά µε το πλήθος των λύσεων, όπως αυτό ϕαίνεται στο επόµενο αποτέλεσµα.
Πρόταση 3.3.4 ΄Εστω ένα γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους, του οποίου ο
επαυξηµένος πίνακας είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα (A|b), όπου
¡
¢t
A = (aij ) ∈ Fν×µ και b = b1 b2 . . . bν
∈ Fν×1 . ΄Εστω επίσης κ το πλήθος των µηµηδενικών γραµµών του A. Τότε, ισχύουν τα εξής :
(i) Αν bi 6= 0 για κάποιο i ∈ {κ + 1, . . . , ν}, τότε το σύστηµα είναι ασυµβίβαστο.
(ii) Αν bi = 0 για κάθε i ∈ {κ + 1, . . . , ν}, τότε το σύστηµα είναι συµβιβαστό. Επιπλέον, αν
κ = µ, τότε το σύστηµα έχει µια µοναδική λύση, ενώ αν κ < µ, τότε το σύστηµα έχει
άπειρες λύσεις.
Απόδειξη. Υποθέτουµε, όπως παραπάνω, ότι j1 , j2 , . . . , jκ είναι οι στήλες του πίνακα A στις
οποίες ρίσκονται τα ηγετικά στοιχεία των κ πρώτων γραµµών του, όπου j1 < j2 < . . . < jκ ,
και ότι l1 , l2 , . . . , lµ−κ είναι οι υπόλοιπες µ − κ στήλες του.
(i) Αν υπάρχει i ∈ {κ + 1, . . . , ν}, τέτοιο ώστε bi 6= 0, τότε το αρχικό γραµµικό σύστηµα
είναι ισοδύναµο µε ένα σύστηµα το οποίο περιέχει την εξίσωση 0 = bi . Καθώς η εξίσωση
αυτή δεν µπορεί να ισχύσει για καµιά τιµή των αγνώστων του συστήµατος, το σύστηµα είναι
ασυµβίβαστο.
(ii) Αν bi = 0 για κάθε i ∈ {κ + 1, . . . , ν}, τότε το αρχικό γραµµικό σύστηµα είναι
ισοδύναµο µε το σύστηµα
P
a1ls xls = b1
xj1 + µ−κ
Ps=1
µ−κ
xj2 + s=1 a2ls xls = b2
···
Pµ−κ
xjκ + s=1 aκls xls = bκ
3.3. ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΕΝý
ΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟý
Υ ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΟΣ
67
του οποίου οι λύσεις δίνονται από τους τύπους
Pµ−κ
= b1 − s=1
a y
Pµ−κ 1ls ls
= b2 − s=1
a2ls yls
xj 1
xj 2
···
xjκ
xl 1
xl 2
···
xlµ−κ
= bκ −
= yl1
= yl2
Pµ−κ
s=1
aκls yls
= ylµ−κ
όπου yl1 , yl2 , . . . , ylµ−κ ∈ F. Είναι ϕανερό ότι οι λύσεις είναι άπειρες αν κ < µ, καθώς
µπορούµε να επιλέξουµε αυθαίρετα τα yls ∈ F, s = 1, . . . , µ − κ. Αν όµως κ = µ, τότε
υπάρχει µια µοναδική λύση, αφού δεν υπάρχουν ελεύθερες µεταβλητές. (Στην περίπτωση
που ισχύει κ = µ, ϑα πρέπει αναγκαστικά να είναι j1 = 1, j2 = 2, . . . , jµ = µ και άρα η
µοναδική λύση του συστήµατος είναι x1 = b1 , x2 = b2 , . . . , xµ = bµ .)
Παράδειγµα 3.3.5 Ας ϑεωρήσουµε το γραµµικό σύστηµα
x + y − 6z = λ
2x + y − 2z = 8
2x + 3y − 22z = 5
όπου λ ∈ F. Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο


1 1 −6 λ
 2 1 −2 8 .
2 3 −22 5
Εφαρµόζουµε στον παραπάνω πίνακα τη µέθοδο της απαλοιφής του Gauss και παίρνουµε τον
γραµµοϊσοδύναµο πίνακα


1 0
4
8−λ
 0 1 −10 −8 + 2λ .
0 0
0 13 − 4λ
΄Ετσι, προκύπτει το ισοδύναµο γραµµικό σύστηµα
x + 4z = 8 − λ
y − 10z = −8 + 2λ
0 = 13 − 4λ
Το τελευταίο αυτό σύστηµα είναι συµβιβαστό αν και µόνο αν 13 − 4λ = 0, δηλαδή αν και µόνο
αν λ = 13/4. Στην περίπτωση αυτή, το γραµµικό σύστηµα παίρνει τη µορφή
x + 4z = 19/4
y − 10z = −3/2
και έχει άπειρες λύσεις που δίνονται από τους τύπους
x = 19/4 − 4t, y = −3/2 + 10t, z = t,
όπου t ∈ F.
68
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
Υπενθυµίζουµε ότι ένα γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους λέγεται οµογενές
αν οι σταθεροί όροι του είναι ίσοι µε 0. Η τετριµµένη λύση ενός οµογενούς συστήµατος είναι
η µηδενική λύση Oµ×1 . Θα δούµε στη συνέχεια δύο εφαρµογές της Πρότασης 3.3.4 στην
αναζήτηση µη-τετριµµένων λύσεων ενός οµογενούς συστήµατος.
Πόρισµα 3.3.6 ΄Εστω ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους, όπου
ν < µ. Τότε, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις.
Απόδειξη. ΄Εστω A ∈ Fν×µ ο πίνακας των συντελεστών του συστήµατος. Ως οµογενές, το
σύστηµα είναι συµβιβαστό και άρα ρισκόµαστε στην περίπτωση (ii) της Πρότασης 3.3.4.
Το πλήθος κ των µη-µηδενικών γραµµών σε κάθε ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα που είναι
γραµµοϊσοδύναµος µε τον A είναι προφανώς ≤ ν . ΄Ετσι, µε άση την υπόθεσή µας, είναι
κ < µ και άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (Πρόταση 3.3.4(ii)).
Πόρισµα 3.3.7 ΄Εστω ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε ν αγνώστους και A ∈
Fν×ν ο πίνακας των συντελεστών. Αν το σύστηµα έχει µόνο την τετριµµένη λύση, τότε ο πίνακας
A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ταυτοτικό πίνακα Iν .
Απόδειξη. ΄Εστω A0 ένας ανηγµένος κλιµακωτός ν ×ν πίνακας που είναι γραµµοϊσοδύναµος
µε τον A. Από την υπόθεσή µας και την Πρόταση 3.3.4(ii) έπεται ότι το πλήθος κ των µηµηδενικών γραµµών του A0 είναι ίσο µε ν . Καθώς ο µοναδικός ανηγµένος κλιµακωτός ν × ν
πίνακας µε ν µη-µηδενικές γραµµές είναι ο ταυτοτικός, συµπεραίνουµε ότι A0 = Iν . ΄Ετσι,
ο πίνακας A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον Iν .
Το προηγούµενο αποτέλεσµα µπορεί να συµπληρωθεί, δίνοντας ένα κριτήριο για την
αντιστρεψιµότητα ενός τετραγωνικόυ πίνακα.
Θεώρηµα 3.3.8 Οι επόµενες συνθήκες είναι ισοδύναµες για έναν ν × ν πίνακα A:
(i) Ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος.
(ii) Το οµογενές γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε ν αγνώστους και πίνακα συντελεστών A
έχει µόνο την τετριµµένη λύση.
(iii) Ο πίνακας A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον ταυτοτικό πίνακα Iν .
(iv) Ο πίνακας A είναι γινόµενο στοιχειωδών πινάκων.
Απόδειξη.
Αρχικά, ϑα δείξουµε ότι (i) → (ii). Το οµογενές σύστηµα ν εξισώσεων µε ν αγνώστους
και πίνακα συντελεστών A µπορεί να περιγραφεί ως µια εξίσωση πινάκων Ax = Oν×1 , µε
άγνωστο τον ν × 1 πίνακα x. Υποθέτοντας ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, έχουµε
x = Iν x = (A−1 A)x = A−1 (Ax) = A−1 Oν×1 = Oν×1
και άρα το οµογενές σύστηµα έχει µόνο την τετριµµένη λύση.
Η συνεπαγωγή (ii) → (iii) είναι ακριβώς το Πόρισµα 3.3.7.
3.3. ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΕΝý
ΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟý
Υ ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΟΣ
69
Θα δείξουµε τώρα ότι (iii) → (iv). Υποθέτοντας ότι ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον
Iν , µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Πρόταση 3.3.20 και να συµπεράνουµε ότι υπάρχουν
στοιχειώδεις πίνακες E1 , E2 , . . . , En , τέτοιοι ώστε
Iν = En . . . E2 E1 A.
Καθώς οι στοιχειώδεις πίνακες είναι αντιστρέψιµοι και µάλιστα οι αντίστροφοί τους είναι
επίσης στοιχειώδεις (Πόρισµα 3.2.18), έπεται ότι ο πίνακας
A = E1−1 E2−1 . . . En−1
είναι ένα γινόµενο στοιχειωδών πινάκων.
Τέλος, ϑα δείξουµε ότι (iv) → (i). Ας υποθέσουµε ότι ο A είναι γινόµενο στοιχειωδών
πινάκων. Καθώς οι στοιχειώδεις πίνακες είναι αντιστρέψιµοι (Πόρισµα 3.2.18), έπεται ότι ο
A είναι ένα γινόµενο αντιστρέψιµων πινάκων. ΄Ετσι, ο A είναι επίσης αντιστρέψιµος (λέπε
Πρόταση 2.4.8(ii)).
Παρατήρηση 3.3.9 Ας ϑεωρήσουµε έναν αντιστρέψιµο πίνακα A ∈ Fν×ν . Τότε, ο A είναι
γραµµοϊσοδύναµος µε τον Iν και άρα υπάρχουν στοιχειώδεις πίνακες E1 , E2 , . . . , En , τέτοιοι
ώστε
Iν = En . . . E2 E1 A.
Πολλαπλασιάζοντας την προηγούµενη σχέση από δεξιά µε A−1 , προκύπτει ότι
A−1 = En . . . E2 E1 = En . . . E2 E1 Iν .
Συνεπώς, το γινόµενο En . . . E2 E1 πολλαπλασιαζόµενο από αριστερά µε τον A µας δίνει τον
ταυτοτικό πίνακα Iν και πολλαπλασιαζόµενο από αριστερά µε τον ταυτοτικό πίνακα Iν µας δίνει
τον αντίστροφο A−1 . Με άση το Θεώρηµα 3.2.16, συµπεραίνουµε ότι αν εφαρµόσουµε στον
ταυτοτικό πίνακα Iν την ακολουθία των στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών που οδηγεί
από τον A στον Iν ϑα λάβουµε τον πίνακα A−1 . Αυτή είναι µια αποτελεσµατική µέθοδος για τον
αριθµητικό υπολογισµό του αντιστρόφου του A.
Παράδειγµα 3.3.10 Θεωρούµε τον πίνακα


0
1 −1
0
3 .
A = 2
1 −1
5
Εφαρµόζουµε στον A στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών για να τον ϕέρουµε σε ανηγµένη
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
70
κλιµακωτή µορφή :

r1 ↔r3
A
−→
r2 ↔r3
−→
r3 7→− 51 r3
−→
r1 7→r1 −4r3
−→
1
 2
 0
1
 0
 0
1
 0
0
1
 0
0
−1
0
1
−1
1
2
−1
1
0
0
1
0

5
3 
−1 
5
−1 
−7 
5
−1 
1
0
−1 
1

r2 7→r2 −2r1
−→
r3 7→r3 −2r2
−→
r1 7→r1 +r2
−→
r2 7→r2 +r3
−→
1 −1
 0
2
1
 0
1 −1
 0
1
0
0
1 0
 0 1
0 0
1 0
 0 1
0 0

5
−7 
−1 
5
−1 
−5
4
−1 
1
0
0 .
1
΄Ετσι, ως γραµµοϊσοδύναµος µε τον ταυτοτικό πίνακα I3 , ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος.
Για να ρούµε τον A−1 , εφαρµόζουµε την παραπάνω ακολουθία στοιχειωδών µετασχηµατισµών
γραµµών στον πίνακα I3

0 0 1
 0 1 0 
 1 0 0 
0 0
1
 1 0
0 
0 1 −2


0
0
1
 1
0
0 
 2/5 −1/5 2/5 
−3/5
4/5 −3/5

1
0
0 
2/5 −1/5
2/5

I3
r1 ↔r3
−→
r2 ↔r3
−→
r3 7→− 15 r3
−→
r1 7→r1 −4r3
−→
Συνεπώς, έχουµε

0 0
1
 0 1 −2 
0 
 1 0
0 0
1
 1 0
0 
 −2 1 −2 
1
0
1
 1
0
0 
 2/5 −1/5 2/5 
−3/5
4/5 −3/5
 7/5 −1/5
2/5 .
2/5 −1/5
2/5

r2 7→r2 −2r1
−→
r3 7→r3 −2r2
−→
r1 7→r1 +r2
−→
r2 7→r2 +r3
−→



−3
4 −3
−3/5
4/5 −3/5
1
2/5  =  7 −1
2 .
=  7/5 −1/5
5
2 −1
2
2/5 −1/5
2/5

A−1
Παρατήρηση 3.3.11 Συνήθως, η µεθοδολογία που είδαµε στο προηγούµενο παράδειγµα για
την εύρεση του αντιστρόφου ενός πίνακα, εφόσον έβαια αυτός υπάρχει, συντοµεύεται γράϕοντας τον πίνακα Iν τα δεξιά του A. Στη συνέχεια, εφαρµόζουµε στον ν × 2ν πίνακα (A|Iν )
στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών µε σκοπό να κάνουµε τον πίνακα A ανηγµένο κλιµακωτό. Στην περίπτωση που ο A είναι αντιστρέψιµος, ο τελικός πίνακας που ϑα προκύψει µε
αυτήν τη διαδικασία είναι ο (Iν |A−1 ).
Παράδειγµα 3.3.12 Θεωρούµε τον 3 × 3 πίνακα


1 −1
2
4 −1 .
A =  −1
1
7
5
3.3. ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΕΝý
ΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟý
Υ ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΟΣ
71
Στη συνέχεια, σχηµατίζουµε τον 3 × 6 πίνακα


1 −1
2 1 0 0
4 −1 0 1 0 
(A|I3 ) =  −1
1
7
5 0 0 1
και εφαρµόζουµε σε αυτόν στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών µε σκοπό να κάνουµε τον
A ανηγµένο κλιµακωτό, όπως ϕαίνεται παρακάτω

(A|I3 )
r2 7→r2 +r1

−→

r3 7→r3 −r1

−→

r2 7→ 13 r2

−→

r3 7→r3 −8r2

−→

r3 7→3r3

−→

r1 7→r1 +r2

−→

r1 7→r1 − 73 r3

−→

r1 7→r2 − 13 r3

−→
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0

−1 2 1 0 0
3 1 1 1 0 
7 5 0 0 1 
−1 2
1 0 0
3 1
1 1 0 
8 3 −1 0 1

−1
2
1
0 0
1 1/3 1/3 1/3 0 
0 1
8
3 −1

1
0 0
−1
2
1 1/3
1/3
1/3 0 
0 1/3 −11/3 −8/31
−1
2
1
0 0
1 1/3 1/3 1/3 0 
0
1 −11 −8 3
0 7/3 4/3 1/3 0
1 1/3 1/3 1/3 0 
0
1 −11 −8 3 
27 19 −7
0
0
1 1/3 1/3 1/3
0 
3
0
1 −11 −8 
27 19 −7
0 0
1 0
4
3 −1 
0 1 −11 −8
3
Συνεπώς, ο A είναι αντιστρέψιµος (ως γραµµοϊσοδύναµος µε τον I3 ) και µάλιστα

A−1

27 19 −7
4
3 −1 .
=
−11 −8
3
Παράδειγµα 3.3.13 Ας ϑεωρήσουµε τώρα τον 3 × 3 πίνακα


1 1
1
A =  1 4 −3 .
3 6 −1
Σχηµατίζουµε τον 3 × 6 πίνακα


1 1
1 1 0 0
(A|I3 ) =  1 4 −3 0 1 0 
3 6 −1 0 0 1
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
72
και εφαρµόζουµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών µε σκοπό να κάνουµε τον A ανηγµένο κλιµακωτό

(A|I3 )
r2 7→r2 −r1
−→


r3 7→r3 −3r1
−→


r2 7→ 31 r2
−→


r3 7→r3 −3r2
−→


r1 7→r1 −r2
−→

1
0
3
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
3
6
1
3
3
1
1
3
1
1
0
0
1
0

1
1 0 0
−4 −1 1 0 
0 0 1 
−1
1 0 0
1
−4 −1 1 0 
−4 −3 0 1

1
1
0 0
−4/3 −1/3 1/3 0 
−4
−3
0 1 
1
1
0 0
−4/3 −1/3 1/3 0 
0
−2 −1 1 
4/3 −1/3 0
7/3
−4/3 −1/3
1/3 0 
0
−2
−1 1
Συνεπώς, ο πίνακας A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον πίνακα


1 0
7/3
 0 1 −4/3 .
0 0
0
Με το συµβολισµό της Πρότασης 3.3.4, για τον τελευταίο πίνακα έχουµε κ = 2 < 3 = µ.
΄Ετσι, το οµογενές γραµµικό σύστηµα 3 εξισώσεων µε 3 αγνώστους και πίνακα συντελεστών
A έχει άπειρες λύσεις. Συνεπώς, από το Θεώρηµα 3.3.8 έπεται ότι ο πίνακας A δεν είναι
αντιστρέψιµος.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να λυθεί το επόµενο γραµµικό σύστηµα εξισώσεων
x + 5y − 3z + w = 4
2x − y + z − w = 1
4x + y − z + 2w = 6
2. Να ρεθούν οι τιµές της µιγαδικής παραµέτρου λ για τις οποίες το σύστηµα
x − iy = 2 − i
2x + y = 3 + i
ix − y = λ
είναι συµβιβαστό.
3.4. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΑ ΕΝý
ΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟý
Υ Πý
ΙΝΑΚΑ
73
3. Να ρεθούν οι τιµές της παραµέτρου a ∈ F για τις οποίες το οµογενές σύστηµα
x−y+z =0
2x + y − az = 0
x + y − 2z = 0
έχει άπειρες λύσεις.
4. Να εξετάσετε αν οι επόµενοι πίνακες είναι αντιστρέψιµοι και να ρείτε τους αντιστρόϕους τους (αν υπάρχουν).

2 −1 0

−4
2 1
(i)
−1
0 3

1
2
0

0 −1
2
(ii)
2
5 −2

1
2
0
 0 −1
2
(iii) 
 2
5 −2
0
2
0

1 −6 0
 0
1 2
(iv) 
 3 −5 10
2 −4 0





1
0 

0 
1

1
2 

11 
0
5. Να ρεθούν οι τιµές της µιγαδικής παραµέτρου λ για τις οποίες ο πίνακας


i 0
i
A =  1 1 −1 
2 λ2
4
είναι αντιστρέψιµος. Επιπλέον, για τις τιµές αυτές, να ρεθεί ο A−1 .
3.4 Ορίζουσα ενός Τετραγωνικού Πίνακα
Είδαµε στην προγούµενη παράγραφο πώς µπορούµε να συστηµατοποιήσουµε, µέσω της
ϑεωρίας των πινάκων, την εύρεση της λύσης ενός γραµµικού συστήµατος εξισώσεων. ΄Οµως,
ϑα ήταν επιθυµητό να είχαµε και έναν τύπο που να δίνει αυτές τις λύσεις. Για παράδειγµα, αν
στους συντελεστές του συστήµατος και τους σταθερούς όρους του εµφανίζονται παράµετροι,
µπορεί να µας ενδιαφέρει η µεγιστοποίηση κάποιων συναρτήσεων των λύσεων ή ακόµα µπορεί
να αναζητούµε λύσεις µε όλες τις συντεταγµένες ϑετικές. Σε τέτοιου είδους ερωτήµατα, η
µέθοδος που αναπτύξαµε δεν µπορεί να δώσει ικανοποιητικές απαντήσεις.
Για να εξηγήσουµε τι εννοούµε, ας ϑεωρήσουµε το απλό παράδειγµα της αριθµητικής
προόδου, η οποία ορίζεται ως µία ακολουθία a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . στοιχείων του F, για την
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
74
οποία υπάρχει στοιχείο b ∈ F τέτοιο ώστε an = a(n−1) + b για κάθε n ≥ 1. Είναι σαφές
ότι αν δοθούν οι τιµές για τα a1 και b και µια συγκεκριµένη τιµή του n, τότε µπορούµε να
υπολογίσουµε τον όρο an . Για παράδειγµα, αν a1 = 56, b = 36 και n = 22678, τότε είναι
απλά ϑέµα χρόνου που εξαρτάται από το είδος της τεχνολογικής υποστήριξης που έχουµε,
να υπολογίσουµε τον όρο a22678 και να ρούµε a22678 = 816428. ΄Οµως, έχουµε µια αθύτερη
κατανόηση του προβλήµατος µόνον αφού αποδείξουµε τον τύπο an = a1 + (n − 1)b.
Η ϑεωρία των Οριζουσών, την οποία ϑα αναπτύξουµε στη συνέχεια, δίνει µια απάντηση στα
παραπάνω ερωτήµατα (σχετικά µε ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων). Σε κάθε τετραγωνικό
πίνακα µε στοιχεία από το F ϑα αντιστοιχίσουµε ένα κατάλληλο στοιχείο του F, την ορίζουσά
του. Μέσω των οριζουσών ϑα πάρουµε έναν τύπο για τη λύση ενός συστήµατος ν εξισώσεων µε
ν άγνωστους (κανόνας του Cramer). Επιπλέον, µέσω των οριζουσών ϑα πάρουµε ένα σαφές
κριτήριο για την αντιστρεψιµότητα ενός τετραγωνικού πίνακα.
Υπενθυµίζουµε ότι αν A = (aij ) είναι ένας ν × ν πίνακας µε στοιχεία από το F, τότε
µπορούµε να γράψουµε




A =

όπου ri =
¡
ai1 ai2 . . . aiν
¢
r1
r2 

.. ,
. 
rν
∈ F1×ν είναι η i γραµµή του A, i = 1, 2, . . . , ν .
Ορισµός 3.4.1 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός. Μία απεικόνιση D : Fν×ν −→ F
λέγεται απεικόνιση ορίζουσας αν ικανοποιεί τις επόµενες ιδιότητες :
(D1 ) Για κάθε A ∈ Fν×ν και i = 1, 2, . . . , ν µε ri = r + r0



r1
r1
 r2 
 r2
 . 
 .
 . 
 .
 . 
 .



 ri−1 
 ri−1
D(A) = D
 = D
r
 i 
 r



 ri+1 
 ri+1
 . 
 .
 .. 
 ..
rν
∈ F1×ν έχουµε



r1

 r2 

 . 

 . 

 . 




 ri−1 
 + D  0 .

 r 




 ri+1 

 . 

 .. 
rν
rν
(D2 ) Για κάθε A ∈ Fν×ν , λ ∈ F και i = 1, 2, . . . , ν µε ri = λr ∈ F1×ν , έχουµε




r1
r1
 r2 
 r2 
 . 
 . 
 . 
 . 
 . 
 . 




 ri−1 
 ri−1 
D(A) = D
.
 = λD
 r 
 ri 




 ri+1 
 ri+1 
 . 
 . 
 .. 
 .. 
rν
rν
3.4. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΑ ΕΝý
ΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟý
Υ Πý
ΙΝΑΚΑ
75
(D3 ) Αν A ∈ Fν×ν είναι ένας πίνακας του οποίου δύο γραµµές είναι ίσες (για τον οποίο δηλαδή
υπάρχουν δύο διακεκριµένοι δείκτες i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} µε ri = rj ), τότε D(A) = 0.
(D4 ) Η ορίζουσα του ταυτοτικού πίνακα είναι ίση µε 1, δηλαδή D(Iν ) = 1.
Παράδειγµα 3.4.2 Για ν = 1, η απεικόνιση D : F1×1 −→ F µε
(a11 ) 7−→ a11
είναι µια απεικόνιση ορίζουσας. Παράγµατι, οι ιδιότητες D1 , D2 και D4 είναι προφανείς, ενώ η
D3 είναι (στην περίπτωση αυτή) κενή περιεχοµένου.
Παράδειγµα 3.4.3 Για ν = 2, η απεικόνιση D : F2×2 −→ F µε
µ
a11 a12
a21 a22
¶
7−→ a11 a22 − a12 a21
είναι µια απεικόνιση ορίζουσας. Η επαλήθευση των ιδιοτήτων D1 , D2 , D3 και D4 αφήνεται ως
άσκηση στον αναγνώστη.
Πριν εξετάσουµε το πρόβληµα της ύπαρξης και της µοναδικότητας της απεικόνισης ορίουσας, ϑα δούµε ορισµένες ιδιότητές της, οι οποίες προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό.
Pµ
Παρατήρηση 3.4.4 Αν A είναι ένας ν × ν πίνακας, i ∈ {1, 2, . . . , ν} και ri =
s=1 λs ρs ∈
F1×ν , όπου λs ∈ F και ρs ∈ F1×ν για κάθε s = 1, 2, . . . , µ, τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε
τις ιδιότητες D1 και D2 µιας απεικόνισης ορίζουσας D και επαγωγή ως προς µ για να δείξουµε
ότι










D(A) = D





r1

r2 


.. 

. 

µ


ri−1  X

λs D 
=
ri 

 s=1

ri+1 



.. 

.
rν
r1
r2 

.. 
. 

ri−1 
.
ρs 

ri+1 
.. 
. 
rν
Παρατήρηση 3.4.5 Αν A είναι ένας ν × ν πίνακας µε ri = O για κάποιο i ∈ {1, 2, . . . , ν},
τότε D(A) = 0 για κάθε απεικόνιση ορίζουσας D . Πράγµατι, στην περίπτωση αυτή, έχουµε
ri = 0ri και άρα από την ιδιότητα D2 έπεται ότι


r1

 r2 

 . 

 . 

 . 




 ri−1 
D(A) = D
 = D

 ri 




 ri+1 

 . 

 .. 

rν


r1

r2 


.. 

. 



ri−1 

 = 0D
0ri 



ri+1 


.. 

. 
rν

r1
r2 

.. 
. 

ri−1 
 = 0.
ri 

ri+1 
.. 
. 
rν
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
76
Η ιδιότητα D2 περιγράφει τη συµπεριφορά µιας απεικόνισης ορίζουσας ως προς τους
στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών τύπου Ι. Θα δούµε τώρα πώς συµπεριφέρεται µια
απεικόνιση ορίζουσας ως προς τους άλλους δύο τύπους στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών.
Πρόταση 3.4.6 ΄Εστω D : Fν×ν −→ F µια απεικόνιση ορίζουσας και A ένας ν × ν πίνακας
µε στοιχεία από το F.
(i) ΄Εστω B ∈ Fν×ν ο πίνακας που προκύπτει αν εφαρµόσουµε στον A ένα στοιχειώδη
µετασχηµατισµό γραµµών τύπου ΙΙ. Τότε, D(B) = D(A).
(ii) ΄Εστω C ∈ Fν×ν ο πίνακας που προκύπτει αν εφαρµόσουµε στον A ένα στοιχειώδη
µετασχηµατισµό γραµµών τύπου ΙΙΙ. Τότε, D(C) = −D(A).
Απόδειξη. ΄Εστω r1 , r2 , . . . , rν οι γραµµές του πίνακα A.
(i) Ας υποθέσουµε ότι ο πίνακας B προκύπτει από τον A προσθέτοντας στην i-γραµµή
του την j -γραµµή του πολλαπλασιασµένη µε λ, για κάποιους διακεκριµένους δείκτες i, j ∈
{1, 2, . . . , ν} και κάποιο λ ∈ F. ΄Ετσι, η i-γραµµή του B είναι ίση µε ri + λrj και άρα έχουµε
(υποθέτοντας, χωρίς λάβη της γενικότητας, ότι i < j )







D(B) = D










r1

 r2 





..

 .. 


 . 

.




 ri 

ri + λrj 



= D ..  + λD
..


.

 . 


 r 

rj

 j 





..
.

 .. 

.
rν
rν
r1
r2


r1

r2 


.. 


. 



rj 

..  = D 

. 


rj 




.. 

.
rν

r1
r2 

.. 
. 

ri 
.. 
 = D(A).
. 
rj 

.. 
. 
rν
Εδώ, η δεύτερη ισότητα έπεται από τις ιδιότητες D1 και D2 της απεικόνισης D , ενώ η τρίτη
έπεται από την D3 .
(ii) Ας υποθέσουµε ότι ο πίνακας C προκύπτει από τον A εναλλάσσοντας την i-γραµµή
του µε την j -γραµµή του, για κάποιους διακεκριµένους δείκτες i, j ∈ {1, 2, . . . , ν}. ΄Ετσι,
η i-γραµµή του C είναι ίση µε rj και η j -γραµµή του είναι ίση µε ri . Χωρίς λάβη της
γενικότητας, υποθέτουµε ότι i < j . Χρησιµοποιώντας δύο ϕορές την ιδιότητα D1 της D ,
3.4. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΑ ΕΝý
ΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟý
Υ Πý
ΙΝΑΚΑ
77
έπεται ότι

r1
r2


r1
r2


r1
r2













..
..
..












.
.
.






 ri 
 rj 
 ri + rj 






D
..
..
..

 + D
 = D
.
.
.






 r +r 
 r +r 
 r +r 
 i
 i
 i
j 
j 
j 






..
..
..






.
.
.
rν
ν

 rν 
 r
r1
r1
r1
 r2 
 r2
 r2 





 ..
 .. 
 .. 
 .
 . 
 . 





 r
 ri 
 ri 
 + D .  + D .j
= D
.
 ..
 .. 
 .. 





 r
 r 
 r 
 i
 j 
 i 
 .
 . 
 . 
.
.
 ..
 . 
 . 
rν
rν
rν

r1
 r2 




 .. 


 . 



 rj 

 + D . 
 .. 




 r 

 j 

 . 

 .. 

rν


Με άση την ιδιότητα D3 , η τελευταία σχέση γράφεται ως εξής
0 = 0 + D(A) + D(C) + 0.
΄Ετσι, D(A) + D(C) = 0 και άρα D(C) = −D(A).
Πόρισµα 3.4.7 ΄Εστω D : Fν×ν −→ F µια απεικόνιση ορίζουσας και A ένας ν × ν πίνακας µε
στοιχεία από το F. ΄Εστω B ∈ Fν×ν ένας πίνακας που προκύπτει αν εφαρµόσουµε στον A ένα
στοιχειώδη µετασχηµατισµό γραµµών. Τότε, D(A) = 0 αν και µόνο αν D(B) = 0.
Απόδειξη.
Στην περίπτωση που ο B προκύπτει εφαρµόζοντας στον A ένα στοιχειώδη
µετασχηµατισµό γραµµών τύπου ΙΙ ή ΙΙΙ, το αποτέλεσµα είναι άµεση συνέπεια της Πρότασης
3.4.6. Αποµένει να εξετάσουµε την περίπτωση ενός στοιχειώδους µετασχηµατισµού γραµµών
τύπου Ι. ΄Ετσι, ας υποθέσουµε ότι ο B προκύπτει από τον A πολλαπλασιάζοντας µια γραµµή
του µε λ, για κάποιο λ ∈ F µε λ 6= 0. Στην περίπτωση αυτή, από την ιδιότητα D2 της D
έπεται ότι D(B) = λD(A) και άρα D(A) = 0 αν και µόνο αν D(B) = 0.
Πρόταση 3.4.8 ΄Εστω D : Fν×ν −→ F µια απεικόνιση ορίζουσας και A, B δύο γραµµοϊσοδύναµοι ν × ν πίνακες µε στοιχεία από το F. Τότε, D(A) = 0 αν και µόνο αν D(B) = 0.
Απόδειξη. Ο πίνακας B προκύπτει από τον A εφαρµόζοντας διαδοχικά n στοιχειώδεις
µετασχηµατισµούς γραµµών, για κάποιο n ≥ 1. Θα δείξουµε ότι D(A) = 0 αν και µόνο αν
D(B) = 0, χρησιµοποιώντας επαγωγή στο n.
Αν n = 1, τότε ο B προκύπτει από τον A εφαρµόζοντας ένα στοιχειώδη µετασχηµατισµό
γραµµών. Συνεπώς, στην περίπτωση αυτή, το συµπέρασµα έπεται από το Πόρισµα 3.4.7.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
78
Υποθέτουµε τώρα ότι n > 1 και ότι το ητούµενο ισχύει για κάθε γραµµοϊσοδυναµία που
προκύπτει µε την εφαρµογή n − 1 στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών. Θεωρούµε τον
πίνακα C που προκύπτει εφαρµόζοντας στον A τους πρώτους n − 1 από τους n µετασχηµατισµούς που οδηγούν από τον A στον B . Τότε, µε άση την επαγωγική υπόθεση, έχουµε ότι
D(A) = 0 αν και µόνο αν D(C) = 0. Καθώς ο πίνακας B προκύπτει από τον C εφαρµόζοντας
ένα στοιχειώδη µετασχηµατισµό γραµµών, από το Πόρισµα 3.4.7 έπεται ότι D(C) = 0 αν και
µόνο αν D(B) = 0. Τελικά, προκύπτει ότι D(A) = 0 αν και µόνο αν D(B) = 0.
Πρόταση 3.4.9 ΄Εστω D : Fν×ν −→ F µια απεικόνιση ορίζουσας και A ένας ν × ν πίνακας
µε στοιχεία από το F. Τότε, ο A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν D(A) 6= 0.
Απόδειξη. Γνωρίζουµε ότι κάθε αντιστρέψιµος ν × ν πίνακας είναι γραµµοϊσοδύναµος µε
τον ταυτοτικό πίνακα Iν (Θεώρηµα 3.3.8). Καθώς ισχύει D(Iν ) = 1 6= 0, από την Πρόταση
3.4.8 έπεται ότι αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος τότε D(A) 6= 0.
Ας υποθέσουµε τώρα ότι ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος και ας ϑεωρήσουµε (χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3.2.12) έναν ανηγµένο κλιµακωτό ν × ν πίνακα B , ο οποίος είναι
γραµµοϊσοδύναµος µε τον A. Με άση το Θεώρηµα 3.3.8, ϑα είναι B 6= Iν . Είναι ϕανερό
ότι κάθε ανηγµένος κλιµακωτός ν × ν πίνακας, που είναι διάφορος του ταυτοτικού, έχει
τουλάχιστον µία µηδενική γραµµή. Συνεπώς, η τελευταία γραµµή του B είναι µηδενική και
άρα από την Παρατήρηση 3.4.5 έπεται ότι D(B) = 0. ΄Ετσι, χρησιµοποιώντας την Πρόταση
3.4.8, προκύπτει ότι D(A) = 0.
Τα παραπάνω αποτελέσµατα δείχνουν ότι µια απεικόνιση ορίζουσας D είναι ένα χρήσιµο
εργαλείο για τη µελέτη των πινάκων. Για να µπουν όµως τα αποτελέσµατα αυτά σε ένα σαφές
πλαίσιο, ϑα πρέπει να εξετάσουµε το πρόβληµα της ύπαρξης µιας τέτοιας απεικόνισης D .
Στη συνέχεια, ϑα δείξουµε την ύπαρξη και τη µοναδικότητα της απεικόνισης D και ϑα δούµε
πώς µπορεί να υπολογιστεί η τιµή της σε έναν τετραγωνικό πίνακα.
Γνωρίζουµε ήδη (Παραδείγµατα 3.4.2 και 3.4.3) πώς να ορίσουµε µια απεικόνιση ορίουσας στο σύνολο των 1 × 1 και 2 × 2 πινάκων. Η επόµενη Πρόταση δείχνει πώς να ορίσουµε
µια απεικόνιση ορίζουσας στο σύνολο των ν × ν πινάκων όταν έχουµε µια απεικόνιση ορίουσας στο σύνολο των (ν − 1) × (ν − 1) πινάκων.
Για κάθε πίνακα A ∈ Fν×ν και κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} ϑα
συµβολίζουµε µε Aij τον (ν − 1) × (ν − 1) πίνακα που προκύπτει από τον A αν διαγράψουµε
την i-γραµµή του και την j -στήλη του. Για παράδειγµα, αν


1 2
3
A =  0 1 −1  ∈ F3×3 ,
−2 1
7
τότε έχουµε
µ
A12 =
0 −1
−2
7
¶
µ
, A23 =
1 2
−2 1
¶
µ
και A31 =
2
3
1 −1
¶
.
Πρόταση 3.4.10 ΄Εστω ν ένας ϕυσικός αριθµός µε ν ≥ 2, D : F(ν−1)×(ν−1) −→ F µια απεικόνιση ορίζουσας στο σύνολο των (ν − 1) × (ν − 1) πινάκων και j ∈ {1, 2, . . . , ν}. Τότε, η απεικόνPν
i+j
αij D(Aij ) για κάθε
ιση fj : Fν×ν −→ F, η οποία ορίζεται ϑέτοντας fj (A) =
i=1 (−1)
ν×ν
A = (aij ) ∈ F , είναι µια απεικόνιση ορίζουσας στο σύνολο των ν × ν πινάκων.
3.4. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΑ ΕΝý
ΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟý
Υ Πý
ΙΝΑΚΑ
79
Απόδειξη. Θα πρέπει να δείξουµε ότι η απεικόνιση fj ικανοποιεί τις ιδιότητες D1 , D2 , D3
και D4 .
Πράγµατι, έστω s ∈ {1, 2, . . . , ν} και


r1
 r2 
 . 
 . 
 . 
A = (aij ) = 
 ∈ Fν×ν .
 rs 
 . 
 .. 
rν
Υποθέτουµε ότι rs = r + r 0 , όπου r =
ϑεωρούµε τους πίνακες
¡
x1 x2 . . . x ν

¢
και r 0 =


r1
 r2 

 . 

 . 

 . 




 rs−1 

B = (bij ) = 
 και C = (cij ) = 
 r 




r
 s+1 

 . 

 .. 

¡
¢
x01 x02 . . . x0ν , και

r1
r2 

.. 
. 

rs−1 
.
r0 

rs+1 
.. 
. 
rν
rν
Τώρα έχουµε
ν
X
X
(−1)i+j aij D(Aij ).
fj (A) =
(−1)i+j aij D(Aij ) = (−1)s+j asj D(Asj ) +
i=1
i6=s
΄Οµως asj = xj + x0j και, επειδή η D είναι απεικόνιση ορίζουσας, για κάθε i 6= s είναι
D(Aij ) = D(Bij ) + D(Cij ). ΄Ετσι, η προηγούµενη σχέση γίνεται
fj (A) = (−1)s+j (xj + x0j )D(Asj ) +
X
(−1)i+j aij (D(Bij ) + D(Cij )).
i6=s
Καθώς xj = bsj , x0j = csj , Asj = Bsj = Csj και aij = bij = cij για κάθε i 6= s, έπεται ότι
s+j
s+j
fj (A) = (−1)
bsj D(Bsj ) + (−1)P
csj D(Csj )+
P
i+j
(−1) bij D(Bij ) + i6=s (−1)i+j cij D(Cij )
P
Pi6ν=s
i+j
bij D(Bij ) + νi=1 (−1)i+j cij D(Cij )
=
i=1 (−1)
= fj (B) + fj (C).
΄Ετσι, δείχτηκε η ιδιότητα D1 για την απεικόνιση fj .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
80
Για να δείξουµε ότι η απεικόνιση fj έχει την ιδιότητα D2 , ϑεωρούµε ένα δείκτη s µε
1 ≤ s ≤ ν και τον πίνακα


r1
 r2 
 . 
 . 
 . 
A = (aij ) = 
 ∈ Fν×ν .
 rs 
 . 
 .. 
rν
Υποθέτουµε ότι rs = λr, όπου r =
¡
x1 x2 . . . x ν
¢
και λ ∈ F µε λ 6= 0. Αν

r1
 r2 
 . 
 . 
 . 


 r

B = (bij ) =  s−1 ,
 r 


 rs+1 
 . 
 .. 

rν
τότε έχουµε
ν
X
X
(−1)i+j aij D(Aij ).
fj (A) =
(−1)i+j aij D(Aij ) = (−1)s+j asj D(Asj ) +
i=1
i6=s
΄Οµως asj = λxj = λbsj και D(Asj ) = D(Bsj ). Επιπλέον, για κάθε i 6= s είναι aij = bij και,
επειδή η D είναι απεικόνιση ορίζουσας, έχουµε D(Aij ) = λD(Bij ). ΄Ετσι, συµπεραίνουµε
ότι
P
s+j
fj (A) = (−1)
λbsj D(Bsj ) + i6=s (−1)i+j bij λD(Bij )´
³
P
= λ (−1)s+j bsj D(Bsj ) + i6=s (−1)i+j bij D(βij )
= λfj (B).
Στη συνέχεια, ϑα δείξουµε ότι η απεικόνιση fj έχει την ιδιότητα D3 . Για το σκοπό αυτό,
ϑεωρούµε δύο διακεκριµένους δείκτες s, t ∈ {1, 2, . . . , ν} µε s < t και υποθέτουµε ότι ο
πίνακας

r1
 r2 


 .. 
 . 


 rs 
ν×ν

A = (aij ) = 
 ...  ∈ F


 r 
 t 
 . 
 .. 
rν

3.4. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΑ ΕΝý
ΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟý
Υ Πý
ΙΝΑΚΑ
81
είναι τέτοιος ώστε rs = rt . Τότε, έχουµε
fj (A) =
ν
X
(−1)i+j aij D(Aij ).
i=1
Καθώς η D είναι απεικόνιση ορίζουσας και ο πίνακας Aij έχει δύο γραµµές ίσες για κάθε
i 6= s, t, έπεται ότι D(Aij ) = 0 για κάθε i 6= s, t. ΄Ετσι, λέπουµε ότι
fj (A) = (−1)s+j asj D(Asj ) + (−1)t+j atj D(Atj ).
Είναι σαφές ότι ο πίνακας Asj προκύπτει από τον Atj µέσω t−s−1 αντιµεταθέσεων διαδοχικών
γραµµών. Πιο συγκεκριµένα, ϑεωρούµε τον Atj και αντιµεταθέτουµε την s-γραµµή του
πρώτα µε την s + 1, µετά µε την s + 2, . . ., και τέλος µε την t − 1, για να πάρουµε τον
Asj . Καθώς η D είναι απεικόνιση ορίζουσας, από την Πρόταση 3.4.6(ii) έπεται ότι D(Asj ) =
(−1)t−s−1 D(Atj ). Επιπλέον, έχουµε asj = atj και έτσι συµπεραίνουµε ότι
fj (A) = (−1)s+j atj (−1)t−s−1 D(Atj ) + (−1)t+j atj D(Atj ) = 0.
Αποµένει να δειχτεί ότι η απεικόνιση fj ικανοποιεί και την ιδιότητα D4 . Πράγµατι, έχουµε
Iν = (δij ) και άρα
ν
X
fj (Iν ) =
(−1)i+j δij D((Iν )ij ) = (−1)j+j D((Iν )jj ) = D((Iν )jj ).
i=1
΄Οµως (Iν )jj = Iν−1 και έτσι, επειδή η D είναι απεικόνιση ορίζουσας, έπεται ότι fj (Iν ) =
D(Iν−1 ) = 1.
Πόρισµα 3.4.11 Για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν υπάρχει τουλάχιστον µία απεικόνιση ορίουσας µε πεδίο ορισµού το σύνολο των ν × ν πινάκων µε στοιχεία από το F.
Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγή στο ν . Για ν = 1, η απεικόνιση F1×1 −→ F
µε (a11 ) 7−→ a11 είναι µία απεικόνιση ορίζουσας. ΄Εστω τώρα ν > 1 και D µια απεικόνιση
ορίζουσας στο σύνολο των (ν − 1) × (ν − 1) πινάκων µε στοιχεία από το F. Τότε, από την
Πρόταση 3.4.10, ορίζεται µέσω της D µία απεικόνιση ορίζουσας στο Fν×ν .
Παράδειγµα 3.4.12 ΄Οπως έχουµε δει, η απεικόνιση D : F2×2 −→ F µε
µ
D
a11 a12
a21 a22
¶
= a11 a22 − a12 a21
είναι µια απεικόνιση ορίζουσας. ΄Ετσι, µε άση την Πρόταση 3.4.10, έπεται ότι η απεικόνιση
f1 : F3×3 −→ F, η οποία ορίζεται ϑέτοντας

¶
¶
µ
¶
µ
µ
a11 a12 a13
a
a
a
a
a
a
12
13
12
13
22
23
,
+ a31 · D
− a21 · D
f1  a21 a22 a23  = a11 · D
a22 a23
a32 a33
a32 a33
a31 a32 a33

ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
82
είναι µια απεικόνιση ορίζουσας. Με ανάλογο τρόπο, ορίζονται οι απεικονίσεις ορίζουσας f2 , f3 :
F3×3 −→ F µε


µ
¶
µ
¶
µ
¶
a11 a12 a13
a
a
a
a
a
a
21
23
11
13
11
13
f2  a21 a22 a23  = −a12 · D
+ a22 · D
− a32 · D
a31 a33
a31 a33
a21 a23
a31 a32 a33
και


µ
¶
µ
¶
µ
¶
a11 a12 a13
a
a
a
a
a
a
21
22
11
12
11
12
f3  a21 a22 a23  = a13 · D
− α23 · D
+ a33 · D
.
a31 a32
a31 a32
a21 a22
a31 a32 a33
Θέλουµε τώρα να δείξουµε ότι για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν υπάρχει ακριβώς µία
απεικόνιση ορίζουσας µε πεδίο ορισµού το σύνολο Fν×ν των ν × ν πινάκων. Για το σκοπό
αυτό, ϑα χρειαστούµε ορισµένα προαπαιτούµενα.
Ορισµός 3.4.13 ΄Εστω ν ένας ϕυσικός αριθµός µε ν ≥ 2. Μια 1-1 και επί απεικόνιση από
το σύνολο {1, 2, . . . , ν} στον εαυτό του ϑα λέγεται µετάθεση σε ν σύµβολα (ή, απλόυστερα,
µετάθεση). Το σύνολο των µεταθέσεων σε ν σύµβολα είναι το Sν . Μία µετάθεση f ∈ Sν ϑα
λέγεται αντιµετάθεση αν υπάρχουν διακεκριµένοι δείκτες i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} µε f (i) = j ,
f (j) = i και f (s) = s για κάθε s ∈ {1, 2 . . . , ν} µε s 6= i, j .
Παράδειγµα 3.4.14 Το σύνολο S2 περιέχει δύο στοιχεία : την ταυτοτική απεικόνιση του συνόλου
{1, 2} και την αντιµετάθεση f : {1, 2} −→ {1, 2} µε f (1) = 2 και f (2) = 1.
Παράδειγµα 3.4.15 Το σύνολο S3 περιέχει έξι στοιχεία : την ταυτοτική απεικόνιση του συνόλου
{1, 2, 3} και τις µεταθέσεις f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , όπου
• f1 είναι η αντιµετάθεση µε f1 (1) = 2 και f1 (2) = 1
• f2 είναι η αντιµετάθεση µε f2 (2) = 3 και f2 (3) = 2
• f3 είναι η αντιµετάθεση µε f3 (1) = 3 και f3 (3) = 1
• η f4 δίνεται ϑέτοντας f4 (1) = 2, f4 (2) = 3 και f4 (3) = 1
• η f5 δίνεται ϑέτοντας f5 (1) = 3, f5 (2) = 1 και f5 (3) = 2
Είναι προφανές ότι αν η f ∈ Sν είναι µία αντιµετάθεση, τότε η σύνθεση f ◦ f είναι η
ταυτοτική απεικόνιση του συνόλου {1, 2, . . . , ν}. Η ακόλουθη πρόταση µας λέει ότι κάθε
µετάθεση είναι σύνθεση αντιµεταθέσεων.
Πρόταση 3.4.16 Κάθε µετάθεση σε ν σύµβολα, όπου ν ≥ 2, µπορεί να παρασταθεί ως σύνθεση
αντιµεταθέσεων.
3.4. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΑ ΕΝý
ΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟý
Υ Πý
ΙΝΑΚΑ
83
Απόδειξη. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή στο ν .
Για ν = 2, το ητούµενο είναι σαφές. Πράγµατι, είδαµε στο Παράδειγµα 3.4.14 ότι το
σύνολο S2 περιέχει την αντιµετάθεση f : {1, 2} −→ {1, 2} µε f (1) = 2 και f (2) = 1 και την
ταυτοτική µετάθεση του συνόλου {1, 2}, η οποία είναι ίση µε τη σύνθεση f ◦ f .
΄Εστω τώρα ότι ν > 2 και η πρόταση ισχύει για τις µεταθέσεις που ανήκουν στο Sν−1 .
Θεωρούµε µια µετάθεση f ∈ Sν και γράφουµε f (ν) = µ, για κάποιο µ ∈ {1, 2, · · · , ν}. ΄Εστω
τ ∈ Sν η αντιµετάθεση µε τ (ν) = µ και τ (µ) = ν . (Στην περίπτωση που ν = µ ϑέτουµε τ την
ταυτοτική απεικόνιση.) Τότε, έχουµε (τ ◦ f )(ν) = ν και έτσι µπορούµε να ϑεωρήσουµε την
απεικόνιση (τ ◦ f )0 : {1, 2, . . . , ν − 1} −→ {1, 2, . . . , ν − 1} µε (τ ◦ f )0 (s) = (τ ◦ f )(s) για κάθε
s ∈ {1, 2, . . . , ν − 1}. Καθώς είναι (τ ◦ f )0 ∈ Sν−1 , από την επαγωγική υπόθεση έπεται ότι
(τ ◦ f )0 = τ10 ◦ τ20 ◦ . . . ◦ τl0 ∈ Sν−1 ,
για κάποιες αντιµεταθέσεις τ10 , τ20 , . . . , τl0 ∈ Sν−1 . Θεωρούµε τώρα τις µεταθέσεις τi ∈ Sν ,
i = 1, 2, . . . , l, οι οποίες ορίζονται ϑέτοντας τi (s) = τi0 (s) για κάθε s ∈ {1, 2, . . . , ν − 1} και
τi (ν) = ν . Προφανώς οι τi είναι αντιµεταθέσεις και
τ ◦ f = τ1 ◦ τ2 ◦ . . . ◦ τl ∈ Sν .
Συνεπώς, έπεται ότι
f = τ ◦ τ ◦ f = τ ◦ τ1 ◦ τ2 ◦ . . . ◦ τl
και άρα η f είναι σύνθεση αντιµεταθέσεων.
Παράδειγµα 3.4.17 Θεωρούµε το σύνολο S3 και χρησιµοποιούµε το συµβολισµό του Πααδείγµατος 3.4.15. Εκεί, είδαµε ότι οι f1 , f2 και f3 είναι αντιµεταθέσεις. Επιπλέον, παρατηρούµε
ότι f4 = f1 ◦f2 και f5 = f1 ◦f3 , ενώ η ταυτοτική απεικόνιση του {1, 2, 3} είναι ίση µε τις συνθέσεις
f1 ◦ f1 = f2 ◦ f2 = f3 ◦ f3 .
Θεωρούµε τώρα το σύνολο F1×ν και ορίζουµε για κάθε i = 1, 2, . . . , ν τον πίνακα-γραµµή
ei ∈ ¡F1×ν , ο οποίος έχει
και 0 παντού
¢ 1 στην i-ϑέση
¡
¢ αλλού. Για παράδειγµα, έχουµε
e¡1 = 1 0 0 . ¢. . 0 και e2 = 0 1 0 . . . 0 . Τότε, κάθε πίνακας-γραµµή r =
a1 a2 . . . aν ∈ F1×ν µπορεί να γραφτεί στη µορφή
r = a1 e1 + a2 e2 + · · · + aν eν =
ν
X
ai ei .
i=1
Πρόταση 3.4.18 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός και D, D 0 : Fν×ν −→ F δύο απεικονίσεις ορίζουσας. Τότε, D = D 0 .
Απόδειξη. Θεωρούµε την απεικόνιση ∆ : Fν×ν −→ F µε ∆(A) = D(A) − D 0 (A) για κάθε
ν ×ν πίνακα A. Θα αποδείξουµε ότι D = D0 , δείχνοντας ότι η απεικόνιση ∆ είναι η µηδενική
απεικόνιση.
Κατ’ αρχήν, χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των απεικονίσεων D και D 0 , αποδεικνύεται
εύκολα ότι η απεικόνιση ∆ ικανοποιεί τις ιδιότητες D1 , D2 και D3 . ΄Ετσι, ακολουθώντας
την ίδια µέθοδο που ακολουθήσαµε στην απόδειξη της Πρότασης 3.4.6(ii), µπορούµε να
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
84
δείξουµε ότι ∆(B) = −∆(A) αν ο πίνακας B προκύπτει από τον ν × ν πίνακα A µε εναλλαγή
δύο γραµµών του.
Θεωρούµε τώρα έναν πίνακα A = (aij ) ∈ Fν×ν και τις γραµµές του r1 , r2 , . . . , rν . Συνεπώς,
έχουµε
¡
ri = ai1 ai2 . . . aiν
¢
= ai1 e1 + ai2 e2 + · · · + aiν eν =
ν
X
aij ej ∈ F1×ν
j=1
και άρα, χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες D1 και D2 για την απεικόνιση ∆, έπεται ότι

r1
 r2 


∆(A) = ∆ .. 
 . 
ν
 rP
ν
j1 =1 a1j1 ej1
P
ν

j2 =1 a2j2 ej2

= ∆
..

Pν .
jν =1 aνj
ν ejν







e
j
1
 Pν a2j ej 
Pν
2
2 
j2 =1

=

..
j1 =1 a1j1 ·∆


.
Pν
νjν ejν
jν =1 a
ej1

ej2
Pν Pν

=
a
a
·∆

..
1j
2j
1
2
j1 =1
j2 =1

Pν .
jν =1 aνjν ejν
···
=
Pν
j1 =1
Pν
j2 =1
...
Pν
jν =1
Pν
jν =1





a1j1 a2j2 . . . aνjν


ej1
 ej 
 2 
·∆ .. .
 . 
ejν
Για να δείξουµε ότι ∆(A) = 0, αρκεί να δείξουµε ότι κάθε ένας από τους ν ν προσθετέους του
τελευταίου αθροίσµατος µηδενίζεται. Για το σκοπό αυτό, ας ϑεωρήσουµε µια οποιαδήποτε
επιλογή δεικτών j1 , j2 , . . . , jν ∈ {1, 2, · · · , ν}. Αν δύο από τους δείκτες αυτούς είναι ίσοι, τότε
από την ιδιότητα D3 της ∆ έπεται ότι

ej1
 ej 
 2 
∆ ..  = 0.
 . 
ejν

Αν οι δείκτες j1 , j2 , . . . , jν είναι ανά δύο διαφορετικοί, τότε {j1 , j2 , . . . , jν } = {1, 2, . . . , ν} και
άρα η απεικόνιση
f : {1, 2, . . . , ν} −→ {1, 2, . . . , ν},
3.4. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΑ ΕΝý
ΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟý
Υ Πý
ΙΝΑΚΑ
85
η οποία ορίζεται ϑέτοντας f (i) = ji για κάθε i = 1, 2, . . . , ν είναι µια µετάθεση. ΄Ετσι,
µε άση την Πρόταση 3.4.16, η f είναι σύνθεση αντιµεταθέσεων. Αν η f είναι σύνθεση κ
αντιµεταθέσεων, τότε ο πίνακας






ej1
ej2 

.. 
. 
ejν
προκύπτει από τον ταυτοτικό πίνακα

e1
 e2 


Iν =  .. 
 . 
eν

εφαρµόζοντας διαδοχικά κ εναλλαγές γραµµών. ΄Οπως σχολιάσαµε στην αρχή της απόδειξης,
κάθε µία τέτοια εναλλαγή αλλάζει το πρόσηµο στην τιµή της ∆. ΄Ετσι, συµπεραίνουµε ότι


ej1
 ej 
 2 
∆ ..  = (−1)κ ∆(Iν ) = (−1)κ (D(Iν ) − D0 (Iν )) = (−1)κ (1 − 1) = 0
 . 
ejν
και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.
Θεώρηµα 3.4.19 Για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν υπάρχει ακριβώς µία απεικόνιση ορίουσας D : Fν×ν −→ F.
Απόδειξη. Η ύπαρξη µιας απεικόνισης ορίζουσας έπεται από το Πόρισµα 3.4.11, ενώ η
µοναδικότητά της έπεται από την Πρόταση 3.4.18.
Ορισµός 3.4.20 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός και D : Fν×ν −→ F η µοναδική
απεικόνιση ορίζουσας στο σύνολο των ν × ν πινάκων. Για κάθε πίνακα A ∈ Fν×ν η εικόνα
D(A) ∈ F του A µέσω της D καλείται ορίζουσα του A και συµβολίζεται µε det A.
Παρατήρηση 3.4.21 ΄Εστω A ∈ Fν×ν και fj : Fν×ν −→ F οι απεικονίσεις που ορίστηκαν στην
Πρόταση 3.4.10. Από την Πρόταση 3.4.18 έπεται ότι det A = fj (A) για κάθε A ∈ Fν×ν και κάθε
j = 1, 2, . . . , ν . Η παράσταση αυτή της ορίζουσας του A λέγεται ανάπτυγµα της ορίζουσας ως
προς την j -στήλη ή ανάπτυγµα κατά Laplace ως προς την j -στήλη. Ειδικότερα, συµπεραίνουµε
ότι το στοιχείο του F που προκύπτει αναπτύσσοντας κατά Laplace ως προς κάποια στήλη δεν
εξαρτάται από τη συγκεκριµένη στήλη.
Παράδειγµα 3.4.22 Μπορούµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα


1
1 −1
1
3  ∈ F3×3
A = 2
1 −5
1
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
86
µε ανάπτυξη ως προς την 3η-στήλη. ΄Ετσι, έχουµε
µ
det A = f3 (A) = (−1) det
2
1
1 −5
µ
¶
− 3 det
1
1
1 −5
µ
¶
+ det
1 1
2 1
¶
.
Υπολογίζοντας τις 2 × 2 ορίζουσες µε άση το Παράδειγµα 3.4.3, έπεται ότι
det A = (−1) · (−11) − 3 · (−6) + (−1) = 28.
Πρόταση 3.4.23 Η ορίζουσα ενός άνω τριγωνικού ν × ν πίνακα είναι ίση µε το γινόµενο των
διαγωνίων στοιχείων του.
Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγή στο ν . Για ν = 1, το ητούµενο είναι άµεσο
(λέπε Παράδειγµα 3.4.2). Ας υποθέσουµε τώρα ότι ν ≥ 2 και το ητούµενο ισχύει για τους
άνω τριγωνικούς (ν − 1) × (ν − 1) πίνακες. Θεωρούµε έναν άνω τριγωνικό ν × ν πίνακα
A = (aij ) και υπολογίζουµε την ορίζουσά του µε ανάπτυξη ως προς την 1η-στήλη. Καθώς
ai1 = 0 για κάθε i > 1, έπεται ότι
det A = a11 det A11 .
Ο (ν − 1) × (ν − 1) πίνακας A11 όµως είναι άνω τριγωνικός και έχει διαγώνια στοιχεία
a22 , a33 , . . . , aνν . Συνεπώς, από την επαγωγική υπόθεση, έπεται ότι
det A11 = a22 a33 . . . aνν
και άρα
det A = a11 a22 a33 . . . aνν .
Παράδειγµα 3.4.24 Για τον πίνακα


−1 0 2
A =  0 3 4  ∈ F3×3
0 0 5
έχουµε det A = (−1) · 3 · 5 = −15.
Παράδειγµα 3.4.25 Θα υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα


−1
0 1
1
 2 −1 0
2 
 ∈ F4×4 .
A =
 1
2 1 −1 
−1 −1 1
0
Αν και µπορούµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα του A αναπτύσσοντας ως προς οποιαδήποτε
στήλη ϑέλουµε, ϑα προσπαθήσουµε, χρησιµοποιώντας ιδιότητες της ορίζουσας, να κατασκευάσουµε από τον A έναν άλλο τετραγωνικό πίνακα A0 του οποίου η ορίζουσα υπολογίζεται πιο
3.4. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΑ ΕΝý
ΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟý
Υ Πý
ΙΝΑΚΑ
87
εύκολα. Πιο συγκεκριµένα, ϑα χρησιµοποιήσουµε την Πρόταση 3.4.6(i), σύµφωνα µε την οποία κάθε στοιχειώδης µετασχηµατισµός τύπου ΙΙ αφήνει την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα
αµετάβλητη. ΄Ετσι, έχουµε

det A
r2 7→r2 +2r1
=

det


r3 7→r3 +r1
=

det


r4 7→r4 −r1
=

det


r3 7→r3 +2r2
=

det


r4 7→r4 −r2
=

det


r4 7→r4 + 13 r3
=

det

−1
0
1
−1
−1
0
0
−1
−1
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
2
−1
0
−1
2
−1
0
−1
2
−1
0
−1
0
−1
0
−1
0
0
0
−1
0
0

1
4 

−1 
0
1
4 

0 
0 
1
4 

0 
−1 
1
4 

8 
−1 
1
1
2
4 

6
8 
−2 −5 
1
1
2
4 

6
8 
0 −7/3
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
0
1
2
6
0
Ο τελευταίος πίνακας είναι άνω τριγωνικός και άρα από την Πρόταση 3.4.23 έπεται ότι
det A = (−1) · (−1) · 6 · (−7/3) = −14.
Γνωρίζουµε ότι η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ίση µε 0 αν δύο γραµµές
του είναι ίσες (ιδιότητα D3 της απεικόνισης ορίζουσας). Θα δούµε στη συνέχεια ότι το ίδιο
συµβαίνει αν ο πίνακας έχει δύο στήλες ίσες.
Πρόταση 3.4.26 Αν ο ν × ν πίνακας A έχει δύο στήλες ίσες, τότε det A = 0.
Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγή στο ν . Για ν = 2, το ητούµενο έπεται άµεσα
από τον τύπο του Παραδείγµατος 3.4.3. Ας υποθέσουµε τώρα ότι ν ≥ 3 και το ητούµενο
ισχύει για τους τετραγωνικούς πίνακες διάστασης ν − 1. Θεωρούµε έναν ν × ν πίνακα
A = (aij ), του οποίου δύο στήλες είναι ίσες. ΄Ετσι, αν c1 , c2 , . . . , cν είναι οι στήλες του A, τότε
υπάρχουν διακεκριµένοι δείκτες j1 , j2 ∈ {1, 2, . . . , ν} µε cj1 = cj2 . Επιλέγουµε ένα δείκτη
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
88
j ∈ {1, 2, . . . , ν} µε j 6= j1 , j2 και υπολογίζουµε την ορίζουσά του A αναπτύσσοντας ως προς
τη j -στήλη. ΄Ετσι, έχουµε
ν
X
det A = fj (A) =
aij det Aij .
i=1
Καθώς όµως j 6= j1 , j2 και cj1 = cj2 , είναι ϕανερό ότι ο (ν − 1) × (ν − 1) πίνακας Aij έχει
δύο στήλες ίσες για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . ΄Ετσι, µε άση την υπόθεση της επαγωγής, έχουµε
det Aij = 0 για κάθε i = 1, 2, . . . , ν και άρα det A = 0.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να δειχτεί ότι η ορίζουσα ενός κάτω τριγωνικού ν × ν πίνακα είναι ίση µε το γινόµενο
των διαγωνίων στοιχείων του.
2. Να δειχτεί ότι για κάθε A ∈ Fν×ν και λ ∈ F έχουµε det(λA) = λν det A.
3. Να ρεθούν οι τιµές της παραµέτρου x ∈ F για τις οποίες


x−1
1
1
x−4
1 = 0
(i) det 0
0
0
x−2


1 x x

(ii) det x 1 x  = 0
x x 1
4. Να υπολογιστούν οι ορίζουσες


1
2
3 ...
ν−1 ν
 −1
0
3 ...
ν−1 ν 


 −1 −2
0 ...
ν−1 ν 


(i) det ..
..
..
.. .. 
 .
.
.
. . 


 −1 −2 −3 . . .
0 ν 
−1 −2 −3 . . . −ν + 1 0


0
1 + i 1 + 2i
0
2 − 3i 
(ii) det 1 − i
1 − 2i 2 + 3i
0


2
a
b2
c2

a+1
b+1
c+1
(iii) det
2
2
2
2a − a − 1 2b − b − 1 2c − c − 1
5. Να δειχτεί ότι :





(i) Αν A = 




1 1
1 1 

1 1 

ν×ν
, τότε det A = 2ν−1
.. ..  ∈ F
. . 

...
1 1 
. . . −1 1
1
1 1 ...
−1
1 1 ...
0 −1 1 . . .
..
.
..
.
..
.
0
0
0 0
0 0
3.5. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚý
Α ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ





(ii) Αν B = 



89
1 + x2
x
0
...
2
x
1+x
x
...
0
x
1 + x2 . . .
..
.
..
.
..
.
0
0
0
0
1 + x2 + x4 + · · · + x2ν
0
0
0
0
0
..
.
0
0
0
..
.
. . . 1 + x2
x
...
x
1 + x2





 ∈ Fν×ν , τότε det B =



3.5 Ορίζουσες και Γραµµικά Συστήµατα
Στην Παράγραφο αυτή, ϑα δούµε πώς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την έννοια της ορίουσας ενός τετραγωνικού πίνακα για να ρούµε έναν τύπο για τη λύση ενός συστήµατος ν
εξισώσεων µε ν αγνώστους, στην περίπτωση που ο πίνκας του συστήµατος είναι αντιστρέψιµος. Αρχικά, ϑα ρούµε έναν τρόπο για τον υπολογισµό του αντιστρόφου ενός αντιστρεψίµου
πίνακα.
Υπενθυµίζουµε ότι αν A ∈ Fν×ν και (i, j) είναι ένα εύγος δεικτών µε i, j ∈ {1, 2, . . . , ν},
τότε συµβολίζουµε µε Aij τον (ν − 1) × (ν − 1) πίνακα που προκύπτει από τον A αν διαγράψουµε την i-γραµµή του και την j -στήλη του.
Ορισµός 3.5.1 ΄Εστω A ένας ν × ν πίνακας. Ο ν × ν πίνακας adjA = (bij ), ο οποίος ορίζεται
ϑέτοντας bij = (−1)i+j det Aji για κάθε i, j = 1, 2, . . . , ν , λέγεται προσαρτηµένος πίνακας του
A.
Πρόταση 3.5.2 Αν A είναι ένας ν × ν πίνακας, τότε (adjA) · A = (det A) · Iν .
Απόδειξη. ΄Εστω ότι adjA = (bij ) µε bij = (−1)i+j det Aji για κάθε i, j ∈ {1, 2, . . . , ν} και
(adjA) · A = (cij ). Σταθεροποιούµε ένα εύγος δεικτών (i, j) και έχουµε
cij =
ν
X
s=1
bis asj =
ν
X
s=1
ν
X
asj bis =
(−1)i+s asj det Asi .
s=1
Θεωρούµε τώρα τις στήλες c1 , c2 , . . . , cν του πίνακα A και παρατηρούµε ότι το τελευταίο
άθροισµα παραπάνω είναι ακριβώς το ανάπτυγµα κατά Laplace ως προς την i-στήλη της
ορίζουσας του ν × ν πίνακα
¡
¢
A(i, j) = c1 . . . ci−1 cj ci+1 . . . cν ,
ο οποίος προκύπτει από τον A αντικαθιστώντας την i-στήλη του µε την cj . Συνεπώς, έχουµε
cij = det A(i, j)
για κάθε i, j = 1, 2, . . . , ν . Ο πίνακας A(i, j) όµως έχει δύο στήλες ίσες αν i 6= j και άρα,
στην περίπτωση αυτή, ϑα έχουµε cij = det A(i, j) = 0 (Πρόταση 3.4.26). Είναι ϕανερό
ότι A(i, i) = A και έτσι έχουµε cii = det A για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Τελικά, έπεται ότι
cij = δij det A για κάθε i, j και άρα δείχτηκε το ητούµενο.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
90
Πόρισµα 3.5.3 Αν A ∈ Fν×ν είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας, τότε A−1 =
1
det A
· adjA.
Απόδειξη. Πολλαπλάσιάζοντας την ισότητα της Πρότασης 3.5.2 από δεξιά µε τον A−1 , έπεται
ότι adjA = (det A) · A−1 . Καθώς η ορίζουσα του A είναι µη-µηδενική (Πρόταση 3.4.9), η
ητούµενη σχέση είναι άµεση.
Παρατηρούµε ότι ο παραπάνω τύπος για τον αντίστροφο ενός πίνακα έχει περισσότερο
ϑεωρητικό παρά χρηστικό ενδιαφέρον, καθώς για τον υπολογισµό του προσαρτηµένου πίνακα
απαιτούνται πολλές πράξεις.
Παράδειγµα 3.5.4 Θεωρούµε τον 3 × 3 πίνακα

1 0 −1
A =  2 1 −1  ,
1 2
5

για τον οποίο υπολογίζουµε ότι det A = 4 και




adjA = 



µ
¶
µ
¶
µ
¶ 
1 −1
0 −1
0 −1
det
− det
det

5 ¶
5 ¶
µ 1 −1 ¶ 
µ 2
µ 2

1 −1
1 −1
2 −1
.
− det
det
− det

2
−1
1
5
1
5
¶
µ
¶
µ
¶ 
µ

1 0
1 0
2 1
− det
det
det
1 2
2 1
1 2
Υπολογίζοντας τις 2 × 2 ορίζουσες που εµφανίζονται, έπεται ότι

A−1

7 −2
1
1
6 −1 .
= ·  −11
4
3 −2
1
Ας ϑεωρήσουµε τώρα ένα σύστηµα ν γραµµικών εξισώσεων µε ν αγνώστους
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1ν xν = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2ν xν = b2
···
aν1 x1 + aν2 x2 + · · · + aνν xν = bν
Αν A = (aij ) ∈ Fν×ν είναι ο πίνακας των συντελεστών και b ∈ Fν×1 η στήλη των σταθερών
όρων, τότε το σύστηµα µπορεί να γραφεί ισοδύναµα στη µορφή
A · x = b,
µε άγνωστο τον πίνακα στήλη x ∈ Fν×1 . Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε έχουµε
x = A−1 · b και άρα x = det1 A · adjA · b. Με άλλα λόγια, έχουµε


x1

 x2 
1



· adjA · 
 ..  =

 .  det A
xν


b1
b2 

.. 
. 
bν
3.5. ΟΡý
ΙΖΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚý
Α ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ
και έτσι
91
ν
1 X
xi =
(−1)i+j bj det Aji
det A j=1
για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Παρατηρούµε ότι το παραπάνω άθροισµα είναι ακριβώς το ανάπτυγµα κατά Laplace ως προς την i-στήλη της ορίζουσας του ν × ν πίνακα

a11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1ν
 a21 . . . a2 i−1 b2 a2 i+1 . . . a2ν

Ai =  ..
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
aν1 . . . aν i−1 bν aν i+1 . . . aνν



,

ο οποίος προκύπτει από τον A αντικαθιστώντας την i-στήλη του µε τη στήλη b των σταθερών
όρων. Συνεπώς, στην περίπτωση που ο πίνακας A των συντελεστών είναι αντιστρέψιµος, η
λύση του γραµµικού συστήµατος δίνεται από τους τύπους
xi =
det Ai
det A
για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Ο µαθηµατικός αυτός τύπος που δίνει τη λύση ενός γραµµικού
συστήµατος λέγεται τύπος του Cramer.
Παρατήρηση 3.5.5 Ο τύπος του Cramer δεν προσφέρεται ιδιαίτερα για υπολογισµούς, καθώς
για τον υπολογισµό οριζουσών συνήθως απαιτούνται πολλές πράξεις. Είναι χρήσιµος για άλλου
είδους ερωτήµατα. Η κύρια µέθοδος αριθµητικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος είναι
η µέθοδος απαλοιφής του Gauss και οι παραφυάδες της, οι οποίες αναπτύσσονται σε ιβλία
αριθµητικής ανάλυσης.
Παράδειγµα 3.5.6 Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα
x1 − x3 = 1
2x1 + x2 − x3 = 1
x1 + 2x2 + 5x3 = 2
µε πίνακα συντελεστών τον 3 × 3 πίνακα A του Παραδείγµατος 3.5.4. ΄Εχοντας υπολογίσει εκεί
τον πίνακα A−1 , έπεται ότι η λύση του συστήµατος δίνεται από τη σχέση


  

7 −2
1
x1
1
7/4
 x2  = 1 ·  −11
6 −1  ·  1  =  −7/4 .
4
x3
3 −2
1
2
3/4

Εναλλακτικά, χρησιµοποιώντας τους τύπους του Cramer, έχουµε


1 0 −1
7
1
1
· det 1 1 −1  = · 7 = ,
x1 =
det A
4
4
2 2
5


1 2 −1
1
7
1
x2 =
· det 1 1 −1  = · (−7) = −
det A
4
4
1 2
5
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΣΤý
ΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΕΞΙΣý
ΩΣΕΩΝ
92
και


1 0 1
1
1
3
x3 =
· det 2 1 1  = · 3 = .
det A
4
4
1 2 2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ


−4 −3 3
0 1  ∈ F3×3 . Να δειχτεί ότι adjA = A.
1. ΄Εστω A =  1
4
4 3
2. ΄Εστω A ∈ Fν×ν ένας άνω τριγωνικός πίνακας µε µή-µηδενικά διαγώνια στοιχεία. Να
δειχτεί ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφός του είναι επίσης άνω τριγωνικός.
3. Αν ο πίνακας A ∈ Fν×ν είναι αντιστρέψιµος, τότε να δειχτεί ότι adj(adjA) = (det A)ν−2 ·
A.
4. Να δειχτεί ότι αν ο πίνακας A ∈ Fν×ν είναι συµµετρικός, τότε ο adjA είναι επίσης
συµµετρικός.


5 3 2
5. ΄Εστω A =  2 3 1 . Να ρεθεί ο προσαρτηµένος πίνακας adjA και ο αντίστροφος
7 5 3
του A, αν υπάρχει.
6. Να χρησιµοποιηθεί ο τύπος του Cramer για την επίλυση των συστηµάτων :
2x1 − 3x2 + x3 = −1
(i) x1 + x2 + x3 = 6
2x1 + 3x2 + x3 = 11
x1 + x2 + x3 = −1
(ii) 2x1 − x2 − x3 = 4
x1 + 2x2 − 3x3 = 7
Κεφάλαιο 4
∆ιανυσµατικοί Χώροι
Σ’ αυτό το κεφάλαιο εισάγουµε την έννοια του διανυσµατικού χώρου (ή αλλιώς γραµµικού
χώρου) και µελετούµε ορισµένες ιδιότητές του.
4.1 Ορισµοί και Παραδείγµατα
Πριν δώσουµε τον ορισµό του διανυσµατικού χώρου, ας δούµε ορισµένα γνωστά µας πααδείγµατα :
(i) ΄Εστω F = R ή F = C και Fν×µ το σύνολο των ν × µ πινάκων µε στοιχεία από το F. Αν
A, B ∈ Fν×µ τότε το άθροισµά τους είναι επίσης ένας ν × µ πίνακας A + B ∈ Fν×µ . Αν
τώρα λ ∈ F και A ∈ Fν×µ , τότε ορίζεται ο πίνακας λA ∈ Fν×µ .
−→ −−→
(ii) ΄Εστω ∆2 το σύνολο των διανυσµάτων του επιπέδου µε αρχή το σηµείο O. Αν OA, OB ∈
−→ −−→
∆2 , τότε ορίζεται το άθροισµά τους OA + OB ∈ ∆2 (µε τον κανόνα του παραλληλο−→
−→
γράµµου). Αν τώρα λ ∈ R και OA ∈ ∆2 , τότε ορίζεται το λOA ∈ ∆2 .
(iii) ΄Εστω F(R, R) το σύνολο των πραγµατικών συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής.
Αν f, g ∈ F(R, R), τότε το άθροισµά τους είναι επίσης µία πραγµατική συνάρτηση µιας
πραγµατικής µεταβλητής, f + g ∈ F(R, R). Αν τώρα λ ∈ R και f ∈ F (R, R), τότε
ορίζεται η λf ∈ F(R, R).
Η πρόσθεση πινάκων και ο πολλαπλασιασµός ενός στοιχείου του F µε ένα πίνακα στο
παράδειγµα (i), η πρόσθεση διανυσµάτων και ο πολλαπλασιασµός ενός πραγµατικού αριθµού µε ένα διάνυσµα στο παράδειγµα (ii) και η πρόσθεση πραγµατικών συναρτήσεων
και ο πολλαπλασιασµός ενός πραγµατικού αριθµού µε µια πραγµατική συνάρτηση στο
παράδειγµα (iii) έχουν ορισµένες κοινές ϑεµελιώδεις ιδιότητες. Γιά παράδειγµα, αν x, y, z
είναι τρείς ν × µ πίνακες, ή τρία διανύσµατα του επιπέδου µε αρχή το Ο, ή τρεις πραγµατικές
συναρτήσεις, τότε ισχύει
(x + y) + z = x + (y + z),
ενώ αν λ είναι ένας πραγµατικός αριθµός, τότε
λ(x + y) = λx + λy.
Παραδείγµατα όπως τα προηγούµενα οδήγησαν στην έννοια του διανυσµατικού χώρου.
93
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
94
Ορισµός 4.1.1 ΄Εστω F = R ή F = C. ΄Ενας διανυσµατικός χώρος επί του F αποτελείται
από ένα µη-κενό σύνολο V , µια απεικόνιση V × V −→ V µε (v1 , v2 ) 7−→ v1 + v2 , που λέγεται
πρόσθεση, και µια απεικόνιση F × V −→ V µε (λ, v) 7−→ λv , που λέγεται πολλαπλασιασµός
ενός στοιχείου του F µε ένα στοιχείο του V , έτσι ώστε να ισχύουν :
(i) u + v = v + u για κάθε u, v ∈ V
(ii) (u + v) + w = u + (v + w) για κάθε u, v, w ∈ V
(iii) Υπάρχει ένα στοιχείο O ∈ V µε την ιδιότητα v + O = v για κάθε v ∈ V .
(iv) Για κάθε στοιχείο v ∈ V υπάρχει ένα στοιχείο −v ∈ V µε την ιδιότητα v + (−v) = O.
(v) λ(u + v) = λu + λv για κάθε λ ∈ F και u, v ∈ V
(vi) (λ + µ)v = λv + µv για κάθε λ, µ ∈ F και v ∈ V
(vii) (λµ)v = λ(µv) για κάθε λ, µ ∈ F και v ∈ V
(viii) 1v = v για κάθε v ∈ V
Παρατηρήσεις 4.1.2 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F.
(i) Το στοιχείο O ∈ V είναι µοναδικό µε την ιδιότητα v + O = v για κάθε v ∈ V . Πράγµατι,
αν O0 ∈ V και v + O0 = v για κάθε v ∈ V , τότε είναι O0 = O0 + O = O. Το O ∈ V
λέγεται το µηδενικό στοιχείο του V και συµβολίζεται µε 0V . Αν δεν υπάρχει κίνδυνος
σύγχυσης, τότε το µηδενικό στοιχείο ενός διανυσµατικού χώρου συµβολίζεται µε O.
(ii) Για κάθε v ∈ V υπάρχει µοναδικό στοιχείο −v ∈ V µε v + (−v) = O. Πράγµατι, αν το
στοιχείο v 0 ∈ V είναι τέτοιο ώστε v + v 0 = O, τότε
−v = −v + O = −v + (v + v 0 ) = (−v + v) + v 0 = O + v 0 = v 0 .
Το −v λέγεται το αντίθετο στοιχείο του v .
΄Ενας διανυσµατικός χώρος V επί του F λέγεται επίσης και γραµµικός χώρος επί του
F. ΄Οταν το σύνολο F είναι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών ϑα λέµε ότι έχουµε έναν
πραγµατικό διανυσµατικό χώρο και όταν το σύνολο F είναι το σύνολο των µιγαδικών αριθµών
ϑα λέµε ότι έχουµε ένα µιγαδικό διανυσµατικό χώρο. Υπάρχουν επίσης διανυσµατικοί χώροι
στους
σύνολο των συντελεστών F είναι το σύνολο των ητών αριθµών Q ή το σύνολο
√ οποίους το √
Q( 2) = {x + y 2 | x, y ∈ Q}. Εµείς ϑα µελετήσουµε παρακάτω µόνο πραγµατικούς ή
µιγαδικούς διανυσµατικούς χώρους.
Παραδείγµατα 4.1.3 Εύκολα επαληθεύουµε ότι :
(i) Το σύνολο Fν×µ των ν × µ πινάκων µε στοιχεία από το F µε τη συνήθη πρόσθεση πινάκων
και πολλαπλασιασµό ενός στοιχείου του F µε ένα πίνακα, είναι ένας διανυσµατικός χώρος
επί του F. Το µηδενικό στοιχείο 0Fν×µ είναι ο µηδενικός ν × µ πίνακας και ο αντίθετος του
A = (aij ) ∈ Fν×µ είναι ο πίνακας −A = (−aij ) ∈ Fν×µ .
4.1. ΟΡΙΣΜΟý
Ι ΚΑΙ ΠΑΡΑ∆Εý
ΙΓΜΑΤΑ
95
(ii) Το σύνολο ∆2 των διανυσµάτων του επιπέδου που έχουν ως αρχή το σηµείο O µε τη
συνήθη πρόσθεση διανυσµάτων και πολλαπλασιασµό ενός πραγµατικού αριθµού µε ένα
−→
διάνυσµα είναι ένας πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Το µηδενικό στοιχείο 0∆2 = OO
−→
−→
είναι το διάνυσµα µε αρχή και τέλος το O . Αν OA ∈ ∆2 , τότε το αντίθετο διάνυσµα −OA
−→
είναι το διάνυσµα που είναι συγγραµµικό µε το OA µε αρχή το O , ϕορά αντίθετη µε τη
−→
−→
ϕορά του OA και µέτρο ίσο µε το µέτρο του OA.
(iii) Το σύνολο F(R, R) των πραγµατικών συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής µε τη
συνήθη πρόσθεση συναρτήσεων και πολλαπλασιασµό ενός πραγµατικού αριθµού µε µια
συνάρτηση είναι ένας πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Το µηδενικό στοιχείο 0F(R,R)
είναι η µηδενική συνάρτηση, δηλαδή η σταθερή συνάρτηση µε τιµή 0, και αν f ∈ F (R, R),
τότε η −f ∈ F (R, R) είναι η συνάρτηση που ορίζεται µε x 7−→ −f (x).
Παράδειγµα 4.1.4 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός και Fν το σύνολο των διατεταγµένων ν -άδων µε στοιχεία από το F. Εύκολα επαληθεύουµε ότι µε πρόσθεση
(a1 , a2 , . . . , aν ) + (b1 , b2 , . . . , bν ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , aν + bν )
και πολλαπλασιασµό ενός στοιχείου του F µε ένα στοιχείο του Fν
λ(a1 , a2 , . . . , aν ) = (λa1 , λa2 , . . . , λaν ),
το Fν είναι ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Εδώ έχουµε 0Fν = (0, 0, . . . , 0) και αν
u = (a1 , a2 , . . . , aν ), τότε −u = (−a1 , −a2 , . . . , −aν ).
Παράδειγµα 4.1.5 ΄Εστω
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1µ xµ = 0
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2ν xµ = 0
···
aν1 x1 + aν2 x2 + . . . + aνµ xµ = 0
ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους µε πραγµατικούς συντελεστές.
Το σύνολο των λύσεων του συστήµατος, µε πρόσθεση δυο λύσεων και πολλαπλασιασµό ενός
πραγµατικού αριθµού µε µια λύση όπως στο σύνολο Fµ×1 , είναι ένας πραγµατικός διανυσµατικός
χώρος.
Παράδειγµα 4.1.6 Θεωρούµε το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ως έναν πραγµατικό διανυσµατικό χώρο µε πρόσθεση τη συνήθη πρόσθεση των µιγαδικών αριθµών και πολλαπλασιασµό το γινόµενο πραγµατικού αριθµού επί µιγαδικό.
Παράδειγµα 4.1.7 Θεωρούµε το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ως ένα µιγαδικό διανυσµατικό χώρο µε πρόσθεση τη συνήθη πρόσθεση των µιγαδικών αριθµών και πολλαπλασιασµό το
γινόµενο µιγαδικού αριθµού επί µιγαδικό.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
96
Παράδειγµα 4.1.8 ΄Εστω Rν [x] το σύνολο των πολυωνύµων µιας µεταβλητής µε πραγµατικούς
συντελεστές και αθµό το πολύ ν . Εύκολα επαληθεύουµε ότι µε πρόσθεση
(a0 + a1 x + · · · + aν xν ) + (b0 + b1 x + · · · + bν xν ) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (aν + bν )xν
και πολλαπλασιασµό ενός πραγµατικού αριθµού µε ένα στοιχείο του Rν [x]
λ(a0 + a1 x + · · · + aν xν ) = λa0 + λa1 x + · · · + λaν xν
το Rν [x] είναι ένας πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Το µηδενικό στοιχείο 0Rν [x] είναι το
µηδενικό πολυώνυµο 0 + 0x + · · · + 0xν και αν p(x) = a0 + a1 x + · · · + aν xν , τότε το αντίθετο
στοιχείο −p(x) είναι το πολυώνυµο −a0 − a1 x − · · · − aν xν .
Πρόταση 4.1.9 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Τότε ισχύουν τα παρακάτω :
(i) Για κάθε λ ∈ F έχουµε ότι λ0V = 0V .
(ii) Για κάθε v ∈ V έχουµε ότι 0F v = 0V .
(iii) Αν για τα στοιχεία λ ∈ F και v ∈ V ισχύει λv = 0V , τότε λ = 0F ή v = 0V .
(iv) Για κάθε λ ∈ F και κάθε v ∈ V έχουµε ότι (−λ)v = −(λv) = λ(−v).
Απόδειξη.
(i) ΄Εχουµε λ0V = λ(0V + 0V ) = λ0V + λ0V . ΄Ετσι, αν λ0V = ω τότε έχουµε τη σχέση
ω + ω = ω . Προσθέτοντας το στοιχείο −ω ∈ V και στα δύο µέλη της ισότητας, έχουµε
(ω + ω) + (−ω) = ω + (−ω) = 0V . Τώρα, από την ιδιότητα (ii) της πρόσθεσης, έχουµε ότι
0V = (ω + ω) + (−ω) = ω + (ω + (−ω)) = ω + 0V = ω .
(ii) ΄Εχουµε ότι 0F v = (0F + 0F )v = 0F v + 0F v . Αν ϑέσουµε 0F v = ω τότε έχουµε τη σχέση
ω + ω = ω και συνεχίζουµε όπως πριν.
(iii) ΄Εστω ότι λv = 0V . Αν λ = 0F , τότε έχουµε το ητούµενο. Αν λ 6= 0F , τότε ϑεωρούµε
τον αντίστροφο λ−1 ∈ F και έχουµε
v = 1v = (λ−1 λ)v = λ−1 (λv) = λ−1 0V .
Συνεπώς, µε άση το (i) παραπάνω, έπεται ότι v = 0V .
(iv) Χρησιµοποιώντας και πάλι το (i) παραπάνω, έπεται ότι
λv + λ(−v) = λ(v + (−v)) = λ0V = 0V
και άρα λ(−v) = −(λv) (λέπε Παρατήρηση 4.1.2(ii)). Ανάλογα, χρησιµοποιώντας το (ii)
παραπάνω, έχουµε
λv + (−λ)v = (λ + (−λ)v = 0F v = 0V
και άρα (−λ)v = −(λv).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να γίνουν οι επαληθεύσεις των ισχυρισµών στα Παραδείγµατα 4.1.3, 4.1.4 και 4.1.5.
4.2. ΥΠý
ΟΧΩΡΟΙ ΚΑΙ Χý
ΩΡΟΙ ΠΗΛý
ΙΚΟ
97
2. Να δειχτεί ότι το σύνολο R[x] των πολυωνύµων µιας µεταβλητής µε πραγµατικούς συντελεστές, µε πράξεις τη γνωστή πρόσθεση πολυωνύµων και το γνωστό πολλαπλασιασµό
πραγµατικού αριθµού µε πολυώνυµο, είναι ένας πραγµατικός διανυσµατικός χώρος.
3. ΄Εστω
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1µ xµ = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2ν xµ = b2
···
aν1 x1 + aν2 x2 + . . . + aνµ xµ = bν
ένα µη-οµογενές γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους µε πραγµατικούς
συντελεστές. Να δειχτεί ότι το σύνολο λύσεων του συστήµατος αυτού, µε τη γνωστή
πρόσθεση και πολλαπλασιασµό ενός πραγµατικού αριθµού µε µια λύση, δεν είναι
πραγµατικός διανυσµατικός χώρος.
4. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος έπί του F. Να δειχτεί ότι :
(i) (−1)v = −v για κάθε v ∈ V
(ii) Αν u, v, w ∈ V και u + v = u + w, τότε v = w.
(iii) Αν u, v ∈ V και λu = λv για κάποιο λ ∈ F µε λ 6= 0F , τότε u = v .
4.2 Υπόχωροι και Χώροι Πηλίκο
Ορισµός 4.2.1 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. ΄Ενα υποσύνολο A του V
λέγεται υπόχωρος του V αν ισχύουν τα ακόλουθα :
(i) 0V ∈ A
(ii) Για κάθε u, v ∈ A έχουµε u + v ∈ A.
(iii) Για κάθε λ ∈ F και v ∈ A έχουµε λv ∈ A.
Στην περίπτωση αυτή, γράφουµε A ≤ V .
Παρατήρηση 4.2.2 ΄Ενας υπόχωρος A ενός διανυσµατικού χώρου V κληρονοµεί από τον
V όλες τις ιδιότητες του Ορισµού 4.1.1, που απαιτούνται για τον ορισµό του διανυσµατικού
χώρου. ∆ηλαδή, ο A είναι και αυτός ένας διανυσµατικός χώρος ως πρός την ίδια πρόσθεση και
πολλαπλασιασµό µε στοιχεία του F, που ϑεωρήθηκε για τον ορισµό του V .
Παράδειγµα 4.2.3 Θεωρούµε τον πραγµατικό διανυσµατικό χώρο R2 . Το υποσύνολο A =
{(x, 0) ∈ R2 | x ∈ R} είναι ένας υπόχωρος του R2 . Πράγµατι, έχουµε :
(i) 0R2 = (0, 0) ∈ A
(ii) Αν u, v ∈ A, τότε u = (x1 , 0) και v = (x2 , 0) για κάποια x1 , x2 ∈ R και έτσι u + v =
(x1 + x2 , 0) ∈ A.
(iii) Αν λ ∈ R και u ∈ A, τότε u = (x, 0) για κάποιο x ∈ R και άρα λu = (λx, 0) ∈ A.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
98
Παράδειγµα 4.2.4 Το υποσύνολο B = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0} δεν είναι υπόχωρος του R2 .
Πράγµατι, εδώ έχουµε (1, 0) ∈ B αλλά (−1) · (1, 0) = (−1, 0) ∈
/ B.
Παράδειγµα 4.2.5 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Είναι προφανές ότι ο V
είναι υπόχωρος του εαυτού του. Επίσης, το µονοσύνολο {0V } είναι υπόχωρος του V .
Παράδειγµα 4.2.6 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και v ∈ V . Τότε, το σύνολο
hvi = {λv ∈ V | λ ∈ F} είναι ένας υπόχωρος του V .
Παράδειγµα 4.2.7 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και u, v ∈ V . Τότε, το
σύνολο hu, vi = {λu + µv ∈ V | λ, µ ∈ F} είναι ένας υπόχωρος του V .
Παράδειγµα 4.2.8 Στο παράδειγµα αυτό ϑα δούµε ποιοι είναι οι υπόχωροι του ∆2 . ΄Ενας
υπόχωρος είναι το σύνολο {0∆2 }. ΄Εστω τώρα A ≤ ∆2 ένας υπόχωρος διαφορετικός από τον
−−→
−−→
παραπάνω και OB ∈ A µε OB 6= 0∆2 . Υπάρχουν οι παρακάτω δύο περιπτώσεις :
−→
−→
−−→
(i) Για κάθε OΓ ∈ A υπάρχει λ ∈ R µε OΓ = λOB . Στην περίπτωση αυτή, ο υπόχωρος A
−−→
έχει τη µορφή A = {λOB ∈ ∆2 | λ ∈ R}.
−→
−→
(ii) Υπάρχει OΓ ∈ A, έτσι ώστε OΓ 6=
υπάρχουν λ, µ ∈ R µε την ιδιότητα
έχουµε A = ∆2 .
−−→
−→
λOB για κάθε λ ∈ R. Τότε, για κάθε OP ∈ ∆2
−→
−−→
−→
OP = λOB + µOΓ. ΄Αρα, στην περίπτωση αυτή,
Εξετάζοντας «γεωµετρικά» το παραπάνω παράδειγµα, λέπουµε ότι οι υπόχωροι του ∆2 είναι
όλος ο χώρος, κάθε «ευθεία» που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το συνολο που περιέχει
µόνο την αρχή των αξόνων.
Παράδειγµα 4.2.9 Το σύνολο T r α (ν, F) των άνω τριγωνικών ν × ν πινάκων µε στοιχεία από
το F είναι ένας υπόχωρος του Fν×ν (πρβλ. ΄Ασκηση 2.2.6(iii)).
Παράδειγµα 4.2.10 Το σύνολο λύσεων Λ ενός οµογενούς συστήµατος ν εξισώσεων µε µ αγνώστους
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1µ xµ = 0
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2µ xµ = 0
···
aν1 x1 + aν2 x2 + · · · + aνµ xµ = 0
µε συντελεστές από το F είναι υπόχωρος του F ν×1 .
΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A, B δύο υπόχωροί του. Μπορούµε
εύκολα να επαληθεύσουµε ότι το σύνολο A∩B είναι επίσης ένας υπόχωρος του V . Γενικότερα,
ισχύει το εξής :
Πρόταση 4.2.11 ΄Εστω Y ένα µη-κενό σύνολο υποχώρων ενός διανυσµατικού χώρου V . Τότε,
η τοµή των υποχώρων αυτών είναι ένας υπόχωρος του V .
4.2. ΥΠý
ΟΧΩΡΟΙ ΚΑΙ Χý
ΩΡΟΙ ΠΗΛý
ΙΚΟ
99
Απόδειξη. ΄Εστω A η τοµή των υπόχωρων που ανήκουν στο σύνολο Y . Κάθε υπόχωρος του
V , εποµένως και κάθε υπόχωρος που ανήκει στο σύνολο Y , περιέχει το στοιχείο 0V . ΄Ετσι το
0V ϑα ρίσκεται στην τοµή A. ΄Εστω u, v δύο στοιχεία του συνόλου A. Τα στοιχεία αυτά ϑα
ανήκουν σε κάθε υπόχωρο του Y . Συνεπώς, το άθροισµα u + v ϑα ανήκει επίσης σε κάθε
υπόχωρο του Y και άρα και στην τοµή τους A. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουµε ότι λv ∈ A
για κάθε λ ∈ F και v ∈ A. ΄Ετσι, το σύνολο A είναι ένας υπόχωρος του χώρου V .
Είδαµε ότι αν A, B είναι υπόχωροι του V , τότε η τοµή A ∩ B είναι επίσης ένας υπόχωρος
του V . Μπορούµε να κατασκευάσουµε ακόµη έναν υπόχωρο του V από τους A και B , ως
εξής : Θεωρούµε το σύνολο
A + B = {v ∈ V | v = v1 + v2 για κάποια v1 ∈ A και v2 ∈ B}.
Εύκολα επαληθεύουµε ότι αυτό το σύνολο είναι ένας υπόχωρος του V , ο οποίος λέγεται το
άθροισµα των A και B .
Γενικότερα, αν A1 , A2 , . . . , Aν είναι υπόχωροι ενός διανυσµατικού χώρου V τότε εύκολα
επαληθεύουµε ότι το σύνολο
{v ∈ V | v = v1 + v2 + · · · + vν για κάποια vi ∈ Ai , 1 ≤ i ≤ ν}
είναι ένας υπόχωρος του V , ο οποίος λέγεται το άθροισµα των A1 , A2 , . . . , Aν και συµβολίζεται
Pν
µε A1 + A2 + · · · + Aν ή i=1 Ai .
Παράδειγµα 4.2.12 ΄Εστω R2 ο διανυσµατικός χώρος των διατεταγµένων ευγών πραγµατικών
αριθµών. Αν X = {(x, 0) ∈ R2 | x ∈ R} και Y = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}, τότε οι X, Y είναι
υπόχωροι του R2 και έχουµε X ∩ Y = {0R2 }, X + Y = R2 . Παρατηρούµε ότι ο X (αντίστοιχα,
ο Y ) είναι ο «άξονας των x» (αντίστοιχα, «ο άξονας των y ») στο καρτεσιανό επίπεδο R2 .
Παράδειγµα 4.2.13 ΄Εστω R3 ο διανυσµατικός χώρος των διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών. Αν X = {(x, 0, 0) ∈ R3 | x ∈ R} Y = {(0, y, 0) ∈ R3 | y ∈ R} και
Z = {(0, 0, z) ∈ R3 | z ∈ R}, τότε οι X, Y, Z είναι υπόχωροι του R3 και X + Y + Z = R3 .
Παράδειγµα 4.2.14 ΄Εστω Fν×ν ο διανυσµατικός χώρος των ν ×ν πινάκων µε στοιχεία από το
F. Αν T rα (ν, F) (αντίστοιχα T rκ (ν, F)) είναι ο υπόχωρος των άνω (αντίστοιχα κάτω) τριγωνικών
ν × ν πινάκων µε στοιχεία από το F, τότε η τοµή T rα (ν, F) ∩ T rκ (ν, F) είναι το σύνολο των
διαγωνίων πινάκων του Fν×ν µε στοιχεία από το F, ενώ T r α (ν, F) + T r κ (ν, F) = Fν×ν .
Ορισµός 4.2.15 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A, B δύο υπόχωροι του.
Αν V = A + B και A ∩ B = {0V }, τότε ο V λέγεται το ευθύ άθροισµα των υποχώρων A και
B και γράφουµε V = A ⊕ B .
Πρόταση 4.2.16 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A, B δύο υπόχωροί του.
Τότε, οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες :
(i) V = A ⊕ B
(ii) Κάθε στοιχείο v ∈ V γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως v = v1 + v2 για κάποια v1 ∈ A και
v2 ∈ B . (∆ηλαδή, αν v = v1 + v2 = v10 + v20 µε v1 , v10 ∈ A και v2 , v20 ∈ B , τότε v1 = v10 και
v2 = v20 .)
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
100
΄Εστω ότι V = A ⊕ B . Από τον ορισµό προκύπτει ότι κάθε στοιχείο v ∈ V
άθροισµα v = v1 + v2 µε v1 ∈ A και v2 ∈ B . ΄Εστω ότι για το στοιχείο v ∈ V
µία δεύτερη γραφή αυτού του τύπου, έστω δηλαδή ότι v = v10 + v20 µε v10 ∈ A
Εξισώνοντας, έχουµε v1 + v2 = v10 + v20 και άρα v1 − v10 = v20 − v2 . Το στοιχείο
v1 − v10 = v20 − v2 ανήκει ταυτόχρονα και στον υπόχωρο A και στον υπόχωρο B , δηλαδή
ανήκει στην τοµή A ∩ B . Αλλά A ∩ B = {0V }, αφού V = A ⊕ B , και άρα έχουµε ότι
v1 − v10 = v20 − v2 = 0V . Συνεπώς, v1 = v10 και v2 = v20 .
Αντίστροφα τώρα, υποθέτουµε ότι κάθε στοιχείο του V γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως
άθροισµα της µορφής v1 +v2 , όπου v1 ∈ A και v2 ∈ B . Τότε, από τον ορισµό του αθροίσµατος
υποχώρων, έπεται ότι V = A + B . ΄Εστω τώρα ένα στοιχείο v ∈ A ∩ B . Τότε, έχουµε
v = v + 0B = 0A + v . (Γνωρίζουµε έβαια ότι 0B = 0A = 0V .) Από τη µοναδικότητα της
γραφής που υποθέσαµε, έχουµε ότι v = 0A = 0V .
Απόδειξη.
γράφεται ως
υπάρχει και
και v20 ∈ B .
Παράδειγµα 4.2.17 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του Παραδείγµατος 4.2.12, παρατηρούµε
ότι ο R2 είναι το ευθύ άθροισµα των X, Y , αφού R2 = X + Y και X ∩ Y = {0R2 }.
Παράδειγµα 4.2.18 Αναφερόµενοι στο Παράδειγµα 4.2.14, παρατηρούµε ότι ο χώρος Fν×ν
δεν είναι το ευθύ άθροισµα των υποχώρων T r α (ν, F) και T r κ (ν, F), αφού T r α (ν, F)∩T r κ (ν, F) 6=
{0Fν×ν }.
Θα δούµε στη συνέχεια µια κατασκευή που µας επιτρέπει να ορίσουµε, ξεκινώντας από
ένα διανυσµατικό χώρο και έναν υποχωρό του, έναν άλλο διανυσµατικό χώρο, το λεγόµενο
διανυσµατικό χώρο πηλίκο. Πιο συγκεκριµένα, ϑεωρούµε ένα διανυσµατικό χώρο V επί του
F και έναν υπόχωρο A ≤ V . Ορίζουµε µια σχέση ∼A στο σύνολο V , ϑέτοντας για κάθε
v1 , v 2 ∈ V
v1 ∼A v2 αν και µόνο αν v2 − v1 ∈ A.
Ας δούµε µερικές ασικές ιδιότητες της σχέσης αυτής.
Πρόταση 4.2.19 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F, A ≤ V ένας υπόχωρός του
και ∼A η σχέση στο V που ορίσαµε παραπάνω. Τότε :
(i) Η σχέση ∼A είναι µια σχέση ισοδυναµίας.
(ii) Η κλάση ισοδυναµίας [v] του στοιχείου v ∈ V είναι το σύνολο
{w ∈ V | w = v + a για κάποιο a ∈ A}.
(iii) Αν v1 , v2 , w1 , w2 είναι στοιχεία του V για τα οποία ισχύει v1 ∼A v2 και w1 ∼A w2 , τότε
v1 + w1 ∼A v2 + w2 .
(iv) Αν v1 , v2 είναι στοιχεία του V για τα οποία ισχύει v1 ∼A v2 και λ ∈ F, τότε λv1 ∼A λv2 .
Απόδειξη.
(i) Η σχέση είναι ανακλαστική, καθώς για κάθε v ∈ V έχουµε v − v = 0V ∈ A και άρα
v ∼A v . Αν v1 , v2 ∈ V και v1 ∼A v2 , τότε v2 − v1 ∈ A και άρα v1 − v2 = −(v2 − v1 ) ∈ A.
Συνεπώς, v2 ∼A v1 και έτσι η ∼A είναι συµµετρική. Τέλος, για να δείξουµε ότι η ∼A είναι
4.2. ΥΠý
ΟΧΩΡΟΙ ΚΑΙ Χý
ΩΡΟΙ ΠΗΛý
ΙΚΟ
101
µεταβατική, ϑεωρούµε τρία στοιχεία v1 , v2 , v3 ∈ V για τα οποία ισχύει v1 ∼A v2 και v2 ∼A v3 .
Τότε, v2 − v1 ∈ A και v3 − v2 ∈ A και έτσι v3 − v1 = (v3 − v2 ) + (v2 − v1 ) ∈ A, δηλαδή
v1 ∼A v3 .
(ii) Αυτό είναι άµεσο, αφού για κάθε στοιχείο w ∈ V ισχύει w = v + (w − v), ενώ w ∈ [v]
αν και µόνο αν v ∼A w δηλαδή αν και µόνο αν w − v ∈ A.
(iii) Καθώς v1 ∼A v2 και w1 ∼A w2 , οι διαφορές v2 −v1 και w2 −w1 ανήκουν στον υπόχωρο
A. Συνεπώς, (v2 + w2 ) − (v1 + w1 ) = (v2 − v1 ) + (w2 − w1 ) ∈ A και άρα v1 + w1 ∼A v2 + w2 .
(iv) Καθώς v1 ∼A v2 , έχουµε v2 − v1 ∈ A. Συνεπώς, λv2 − λv1 = λ(v2 − v1 ) ∈ A και άρα
λv1 ∼A λv2 .
Ορισµός 4.2.20 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F, A ≤ V ένας υπόχωρός του
και ∼A η σχέση ισοδυναµίας στο V που ορίσαµε παραπάνω.
(i) Η κλάση ισοδυναµίας [v] = {w ∈ V | w = v + a για κάποιο a ∈ A} του v ∈ V συµβολίζεται µε v + A και ονοµάζεται το σύµπλοκο του v ως προς τον υπόχωρο A.
(ii) Το σύνολο πηλίκο V / ∼A = {[v] | v ∈ V } = {v + A | v ∈ V } συµβολίζεται µε V /A.
΄Οπως συµβαίνει γενικά για τις κλάσεις ισοδυναµίας µιας σχέσης ισοδυναµίας, έτσι και
εδώ τα σύµπλοκα των στοιχείων του V ως προς τον υπόχωρο A αποτελούν µια διαµέριση του
V . Πιο συγκεκριµένα, έχουµε :
(i) Για κάθε v ∈ V ισχύειSv ∈ v + A. ΄Ετσι, τα σύµπλοκα ως προς τον A είναι µη-κενά
υποσύνολα του V και v∈V (v + A) = V .
(ii) Για κάθε v, v 0 ∈ V είναι v + A = v 0 + A αν v ∼A v 0 και (v + A) ∩ (v 0 + A) = ∅ αν v 6∼A v 0 .
΄Ετσι, δύο διαφορετικά σύµπλοκα είναι πάντα ξένα µεταξύ τους.
Θα δούµε τώρα ότι το σύνολο πηλίκο V /A, δηλάδή το σύνολο των συµπλόκων των στοιχείων
του V ως προς τον υπόχωρο A, µπορεί να λάβει τη δοµή ενός διανυσµατικού χώρου. Για να
ορίσουµε πρόσθεση στο V /A, ϑεωρούµε δύο στοιχεία ξ1 , ξ2 ∈ V /A. Τότε, υπάρχουν στοιχεία
v1 , v2 ∈ V , τέτοια ώστε ξ1 = v1 + A και ξ2 = v2 + A. Μπορούµε τώρα να ϑεωρήσουµε
το στοιχείο v1 + v2 ∈ V και το σύµπλοκο (v1 + v2 ) + A ∈ V /A. Ασφαλώς, η επιλογή
των αντιπροσώπων v1 , v2 ∈ V των κλάσεων ισοδυναµίας ξ1 , ξ2 ∈ V /A δεν είναι µοναδική.
Επιλέγοντας δύο άλλα στοιχεία w1 , w2 ∈ V µε ξ1 = w1 + A και ξ2 = w2 + A, οδηγούµαστε
στο στοιχείο w1 + w2 ∈ V και το σύµπλοκο (w1 + w2 ) + A ∈ V /A. Στην περίπτωση αυτή,
είναι v1 ∼A w1 και v2 ∼A w2 και άρα (Πρόταση 4.2.19(iii)) v1 + v2 ∼A w1 + w2 , δηλαδή
(v1 +v2 )+A = (w1 +w2 )+A ∈ V /A. ΄Ετσι, αν και τα στοιχεία v1 +v2 , w1 +w2 ∈ V είναι γενικά
διαφορετικά µεταξύ τους, τα σύµπλοκα (v1 + v2 ) + A και (w1 + w2 ) + A είναι ίσα. Βλέπουµε
λοιπόν ότι το σύµπλοκο (v1 + v2 ) + A είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των αντιπροσώπων
v1 και v2 , εξαρτάται δηλαδή µόνον από τα σύµπλοκα ξ1 και ξ2 . ΄Ετσι, µπορούµε να ορίσουµε
το άθροισµα των στοιχείων ξ1 , ξ2 ∈ V /A ως το στοιχείο (v1 + v2 ) + A ∈ V /A. Με άλλα λόγια,
καθώς ξ1 = v1 + A και ξ2 = v2 + A, ορίζουµε
(v1 + A) + (v2 + A) = (v1 + v2 ) + A.
Με εντελως ανάλογο τρόπο ορίζουµε και τον εξωτερικό πολλαπλασιασµό των στοιχείων του
V /A µε στοιχεία του F. ΄Ετσι, για κάθε λ ∈ F και ξ ∈ V /A επιλέγουµε v ∈ V µε ξ = v + A
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
102
και ϑεωρούµε το στοιχείο λv ∈ V και το σύµπλοκο λv + A ∈ V /A. Χρησιµοποιώντας την
Πρόταση 4.2.19(iv), έπεται ότι το σύµπλοκο λv + A ∈ V /A δεν εξαρτάται από την επιλογή
του αντιπροσώπου v . ΄Ετσι, µπορούµε να ορίσουµε το σύµπλοκο αυτό ως το γινόµενο λξ . Με
άλλα λόγια, καθώς ξ = v + A, ορίζουµε
λ(v + A) = λv + A.
Πρόταση 4.2.21 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A ≤ V ένας υπόχωρός
του. Τότε, το σύνολο πηλίκο V /A εφοδιασµένο µε τις πράξεις που ορίστηκαν παραπάνω αποκτά
τη δοµή ενός διανυσµατικού χώρου επί του F µε 0V /A = 0V + A ∈ V /A.
Απόδειξη. Η απόδειξη των ιδιοτήτων (i) − (viii) του Ορισµού 4.1.1 για τις πράξεις που
ορίστηκαν στο V /A είναι άµεση συνέπεια των αντίστοιχων ιδιοτήτων για τις πράξεις του διανυσµατικού χώρου V . Ενδεικτικά, ϑα αποδείξουµε την ιδιότητα (v), αφήνοντας την απόδειξη
των υπόλοιπων ιδιοτήτων ως άσκηση στον αναγνώστη.
΄Εστω λοιπόν λ ∈ F και ξ, ξ 0 ∈ V /A. Τότε, υπάρχουν v, v 0 ∈ V µε ξ = v + A και
ξ 0 = v 0 + A. Από τον ορισµό της πρόσθεσης στο V /A, είναι ξ + ξ 0 = (v + v 0 ) + A και
άρα λ(ξ + ξ 0 ) = λ(v + v 0 ) + A. Επίσης, έχουµε λξ = λv + A και λξ 0 = λv 0 + A και άρα
λξ + λξ 0 = (λv + λv 0 ) + A. Στον διανυσµατικό χώρο V όµως ισχύει λ(v + v 0 ) = λv + λv 0 και
έτσι έπεται ότι λ(ξ + ξ 0 ) = λ(v + v 0 ) + A = (λv + λv 0 ) + A = λξ + λξ 0 ∈ V /A.
Παράδειγµα 4.2.22 Θεωρούµε τον πραγµατικό διανυσµατικό χώρο ∆2 των διανυσµάτων του
επιπέδου µε αρχή το σηµείο O . ΄Εστω P το σηµείο του επιπέδου µε συντεταγµένες (1, 1) και
−→
A ≤ ∆2 ο υπόχωρος που παράγεται από το διάνυσµα OP . Γεωµετρικά, ο υπόχωρος A =
−→
{λOP | λ ∈ R} είναι η ευθεία L του επιπέδου που αποτελείται από τις διχοτόµους του πρώτου
και του τρίτου τεταρτηµορίου.
−−→ −→
−−→
−→
Επαληθεύεται εύκολα ότι για κάθε δύο διανύσµατα OB, OΓ ∈ ∆2 είναι OB ∼A OΓ αν και
µόνο αν το σηµείο Γ ανήκει στην ευθεία LB του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο B και
−−→
−−→
είναι παράλληλη µε την L. Γεωµετρικά λοιπόν, το σύµπλοκο OB + A του διανύσµατος OB ως
προς τον υπόχωρο A είναι ακριβώς η ευθεία LB . ΄Ετσι, ο διανυσµατικός χώρος πηλίκο ∆2 /A
αποτελείται από τη δέσµη όλων των ευθειών του επιπέδου που είναι παράλληλες µε την L.
Ας δούµε πώς προσθέτουµε δυο τέτοιες ευθείες L1 και L2 , σύµφωνα µε τον ορισµό της
πρόσθεσης στο διανυσµατικό χώρο ∆2 /A. Κατ’ αρχήν, ϑεωρούµε δυο σηµεία B1 και B2 του
επιπέδου µε B1 ∈ L1 και B2 ∈ L2 , οπότε L1 = LB1 και L2 = LB2 . Στη συνέχεια, ϑεωρούµε τα
−−→ −−→
−−→
−−→
−−→
διανύσµατα OB1 , OB2 ∈ ∆2 και το άθροισµά τους OB1 + OB2 = OB3 , όπου B3 είναι η τέταρτη
κορυφή του παραλληλογράµµου, του οποίου οι άλλες τρεις κορυφές είναι τα σηµεία O, B1 και
B2 . Τότε, το άθροισµα L1 + L2 είναι η ευθεία LB3 που είναι παράλληλη µε την L και διέρχεται
από το σηµείο B3 .
Ανάλογα, µπορεί να περιγραφεί γεωµετρικά και το γινόµενο ενός πραγµατικού αριθµού µε
ένα στοιχείο του ∆2 /A.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. ΄Εστω D(R, R) το σύνολο των παραγωγίσιµων πραγµατικών συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής. ∆είξτε ότι το σύνολο αυτό είναι ένας υπόχωρος του F(R, R).
4.2. ΥΠý
ΟΧΩΡΟΙ ΚΑΙ Χý
ΩΡΟΙ ΠΗΛý
ΙΚΟ
103
2. ΄Εστω A = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y + 4z = 0}. ∆είξτε ότι το σύνολο A είναι ένας
υπόχωρος του R3 .
3. Να εξεταστεί αν τα ακόλουθα υποσύνολα του R3×3 είναι υπόχωροί του :
(i) M = {A = (aij ) ∈ R3×3 | a11 = 1}
(ii) N = {A = (aij ) ∈ R3×3 | a22 = 0}
(iii) το σύνολο των συµµετρικών 3 × 3 πινάκων
(vi) το σύνολο των αντιστρέψιµων 3 × 3 πινάκων
4. Να εξεταστεί αν τα ακόλουθα υποσύνολα του R4 είναι υπόχωροί του :
(i) {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 = x2 , x3 = x4 }
(ii) {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0}
(iii) {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 x4 = x2 x3 }
5. ΄Εστω A και B δύο υπόχωροι του διανυσµατικού χώρου V . ∆είξτε ότι η ένωση A ∪ B
είναι υπόχωρος του V αν και µόνο αν A ⊆ B ή B ⊆ A.
6. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A, B δυο υπόχωροί του. Να δειχτεί
ότι :
(i) A ≤ A + B και B ≤ A + B
(ii) αν Γ ≤ V µε A ≤ Γ και B ≤ Γ, τότε A + B ≤ Γ
7. ΄Εστω A = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y + 4z = 0} και B = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0}.
Να δειχτεί ότι :
(i) Τα υποσύνολα A και B είναι υπόχωροι του R3 .
(ii) A + B = R3 .
Να εξετάσετε αν R3 = A ⊕ B .
8. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A, B δυο υπόχωροί του. Να δειχτεί
ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες :
(i) V = A ⊕ B
(ii) V = A + B και αν 0V = v1 + v2 µε v1 ∈ A και v2 ∈ B , τότε v1 = 0A και v2 = 0B .
9. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A, B, Γ τρεις υπόχωροί του. Να δειχτεί
ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες :
(i) Κάθε στοιχείο v ∈ V γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως v = v1 + v2 + v3 για κάποια
v1 ∈ A, v2 ∈ B και v3 ∈ Γ. (∆ηλαδή, αν v = v1 + v2 + v3 = v10 + v20 + v30 µε
v1 , v10 ∈ A, v2 , v20 ∈ B και v3 , v30 ∈ Γ, τότε v1 = v10 , v2 = v20 και v3 = v30 .)
(ii) V = A + B + Γ και αν 0V = v1 + v2 + v3 µε v1 ∈ A, v2 ∈ B και v3 ∈ Γ, τότε
v1 = v2 = v3 = 0 V .
(iii) V = A + B + Γ και A ∩ (B + Γ) = B ∩ (A + Γ) = Γ ∩ (A + B) = {0V }.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
104
4.3 Γραµµικοί Συνδυασµοί
Ορισµός 4.3.1 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και K ένα µη-κενό υποσύνολό
του. Λέµε ότι το στοιχείο v ∈ V είναι ένας γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του K αν
υπάρχουν λ1 , λ2 , . . . , λν ∈ F και v1 , v2 , . . . , vν ∈ K µε
v=
ν
X
λi vi .
i=1
Θα συµβολίζουµε µε hKi το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών στοιχείων του K .
Παρατηρούµε ότι ένα στοιχείο v του διανυσµατικού χώρου V ενδέχεται να µπορεί να
γραφτεί µε πολλούς τρόπους ως γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του K . Για παράδειγµα,
αν V = F2 και K = {(0, 1), (1, 0), (1, 1)}, τότε το στοιχείο (2, 2) ∈ V µπορεί να γραφτεί είτε
ως (2, 2) = 2(0, 1) + 2(1, 0) + 0(1, 1) είτε ως (2, 2) = 0(0, 1) + 0(1, 0) + 2(1, 1).
Από το επόµενο αποτέλεσµα έπεται ότι το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών ενός µηκενού υποσυνόλου ενός διανυσµατικού χώρου V έχει και αυτό τη δοµή ενός διανυσµατικού
χώρου.
Θεώρηµα 4.3.2 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος και K ένα µη-κενό υποσύνολό του. Τότε,
το σύνολο hKi των γραµµικών συνδυασµών στοιχείων του K είναι ένας υπόχωρος του V .
Απόδειξη. Καθώς K 6= ∅, υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο v0 ∈ K και άρα 0V = 0F v0 ∈
hKi. ΄Εστω τώρα u, v ∈ hKi.PΤότε, υπάρχουν λP
i , ρj ∈ F και ui , vj ∈ K , 1 ≤ i ≤ ν ,
ν
µ
1P≤ j ≤ µ, P
τέτοια ώστε u =
λ
u
και
v
=
i=1 i i
j=1 ρj vj . ΄Ετσι, το άθροισµα u + v =
ν
µ
i=1 λi ui +
j=1 ρj vj είναι
Pµ ένας γραµµικός
Pµ συνδυασµός στοιχείων του K . Αν τώρα λ ∈ F,
τότε το γινόµενο λv = λ( j=1 ρj vj ) =
i=1 λρj vj είναι επίσης ένας γραµµικός συνδυασµός
στοιχείων του K . ΄Ετσι, το σύνολο hKi των γραµµικών συνδυασµών στοιχείων του K είναι
ένας υπόχωρος του V .
Ορισµός 4.3.3 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και K ένα µη-κενό υποσύνολό
του. Το σύνολο hKi των γραµµικών συνδυασµών στοιχείων του K λέγεται ο υπόχωρος του V
που παράγεται από το K ή η γραµµική ϑήκη του K στον V . Αν K = {v1 , v2 , . . . , vν } τότε
πολλές ϕορές συµβολίζουµε τον hKi µε hv1 , v2 , . . . , vν i. Αν hKi = V , τότε λέµε ότι το σύνολο K
παράγει τον χώρο V ή ότι το K είναι ένα σύνολο γεννητόρων του V .
Ορισµός 4.3.4 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Αν υπάρχει πεπερασµένο
υποσύνολο του V το οποίο παράγει τον V , τότε ο V λέγεται πεπερασµένα παραγόµενος
διανυσµατικός χώρος.
Παράδειγµα 4.3.5 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F.
(i) Αν K = {v} ⊆ V , τότε hKi = {w ∈ V | w = λv, λ ∈ F} = hui (λ. Παράδειγµα 4.2.6).
(ii) Αν K = {u, v} ⊆ V , τότε hKi = {w ∈ V | w = λu + µv, λ, µ ∈ F} = hu, vi. (λ.
Παράδειγµα 4.2.7).
4.3. ΓΡΑΜΜΙΚΟý
Ι ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟý
Ι
105
(iii) Αν K = {v1 , v2 , . . . , vν }, τότε hKi = {w ∈ V | w = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λν uν , λi ∈ F, 1 ≤
i ≤ ν}.
Παράδειγµα 4.3.6 ΄Εστω K = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} ⊆ R3 . Τότε, hKi = {(x1 , 0, x3 ) ∈ R3 |
x1 , x3 ∈ R}.
Παράδειγµα 4.3.7 Ας εξετάσουµε αν το (1, 2, 3) ανήκει στον υπόχωρο του R3 που παράγεται από το σύνολο K = {(1, 0, 1), (−1, 1, 1)}. Με άση τον ορισµό της γραµµικής ϑήκης,
το στοιχείο (1, 2, 3) ανήκει στον hKi αν και µόνο αν υπάρχουν λ, µ ∈ R µε (1, 2, 3) =
λ(1, 0, 1) + µ(−1, 1, 1) = (λ − µ, µ, λ + µ), δηλαδή αν και µόνο αν το ακόλουθο σύστηµα
λ−µ=1
µ=2
λ+µ=3
έχει λύση. Καθώς το σύστηµα αυτό δεν έχει λύση, έπεται ότι (1, 2, 3) 6∈ hKi.
Παράδειγµα 4.3.8 Ας εξετάσουµε αν το σύνολο K = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (−1, 0, −1)} είναι
ένα σύνολο γεννητόρων του R3 . Αυτό συµβαίνει αν και µόνο αν κάθε στοιχείο του R3 είναι
ένας γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του K , δηλαδή αν και µόνο αν για κάθε (x, y, z) ∈ R3
υπάρχουν λ, µ, ν ∈ R µε
(x, y, z) = λ(1, 1, 1) + µ(0, 1, 1) + ν(−1, 0, −1) = (λ − ν, λ + µ, λ + µ − ν).
΄Ετσι, οδηγούµαστε στο επόµενο γραµµικό σύστηµα
x=λ−ν
y =λ+µ
z =λ+µ−ν
Το σύστηµα αυτό έχει λύση λ = x + y − z , µ = z − x, ν = y − z και άρα το K παράγει τον R3 .
Παράδειγµα 4.3.9 Θεωρούµε το ακόλουθο σύστηµα δύο εξισώσεων µε τρείς αγνώστους και
συντελεστές πραγµατικούς αριθµούς :
x1 + x2 + x3 = 0
3x2 − 6x3 = 0
Με τηµέθοδο
απαλοιφής
του Gauss
 ρίσκουµε ότι το σύνολο λύσεων του συστήµατος είναι το


−3x3

3×1

2x3 ∈ R
| x3 ∈ R , το οποίο είναι ένας υπόχωρος του R3×1 . Παρατηρούµε
Λ=


 x3




−3


 −3 
ότι Λ = x3  2  ∈ R3×1 | x3 ∈ R και έτσι το σύνολο K =  2  παράγει τον Λ.




1
1


ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
106
Παράδειγµα 4.3.10 Θεωρούµε το ακόλουθο σύστηµα τριών εξισώσεων µε πέντε αγνώστους
και συντελεστές πραγµατικούς αριθµούς :
x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0
2x1 + 6x2 + 9x3 + 5x4 + 5x5 = 0
−x1 − 3x2 + 3x3 + 5x5 = 0
Με τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss ρίσκουµε ότι το σύνολο λύσεων του συστήµατος είναι το

−3x2 − x4 + 2x5





x2

−x
/3
− x5
Λ= 
4




x4



x5



 ∈ R5×1








| x2 , x 4 , x 5 ∈ R ,





το οποίο είναι ένας υπόχωρος του R5×1 . Παρατηρούµε ότι
 






−3
−1
2














1
0
0
 






5×1






Λ = x2  0  + x4  −1/3  + x5  −1  ∈ R
| x2 , x 4 , x 5 ∈ R .




 0 

 0 
1 






0
0
1
΄Ετσι, αν




−3
−1
2 






  0 

1
0





5×1



K= 
 0 , −1/3 , −1  ⊆ R


 0 
1   0 






0
0
1
τότε το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών στοιχείων του K είναι το σύνολο των λύσεων του
συστήµατος, δηλαδή hKi = Λ. Με άλλα λόγια, το K είναι ένα σύνολο γεννητόρων του Λ.
Παράδειγµα 4.3.11 Το σύνολο των πολυωνύµων µε συντελεστές στο F δεν είναι πεπερασµένα
παραγόµενος διανυσµατικός χώρος. (Γιατί ;)
΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και K ένα υποσύνολό του. Θεωρούµε επίσης
το σύνολο όλων των υπόχωρων του V που περιέχουν το K ,
SK = {A ∈ P(V ) | A ≤ V και K ⊆ A}.
T
Τότε το SK 6= ∅, αφού V ∈ SK . Ορίζουµε K ? = A∈SK A, δηλαδή το K ? είναι η τοµή όλων
των υπόχωρων του V που περιέχουν το K . Από την Πρόταση 4.2.11, έπεται ότι το K ? είναι
ένας υπόχωρος του V . Στη συνέχεια ϑα δούµε ότι, αν το K δεν είναι κενό, η παραπάνω
κατασκευή δίνει µια εναλλακτική περιγραφή του υποχώρου hKi του V που παράγεται από
το K .
4.3. ΓΡΑΜΜΙΚΟý
Ι ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟý
Ι
107
Πρόταση 4.3.12 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και K ένα µη-κενό υποσύνολό
του. Τότε, hKi = K ? .
Απόδειξη. Αρκεί να δείξουµε ότι hKi ⊆ K ? και hKi ⊇ K ? .
Pν
΄Εστω v ∈ hKi. Τότε v =
i=1 λi vi µε λi ∈ F και vi ∈ K , 1 ≤ i ≤ ν . Επειδή vi ∈ K ,
έπεται ότι vi ∈ K ? για κάθε 1 ≤ i ≤ ν . ΄Οµως ο K ? είναι ένας υπόχωρος του V και άρα
Pν
?
?
?
i=1 λi vi ∈ K , δηλαδή v ∈ K . ΄Ετσι, δείξαµε ότι hKi ⊆ K .
?
Θα δείξουµε τώρα ότι K ⊆ hKi. Είναι σαφές από τον ορισµό του hKi ότι K ⊆ hKi,
αφού αν v0 ∈ K τότε v0 = 1F v0 ∈ hKi. ΄Αρα, ο hKi είναι ένας υπόχωρος του V που περιέχει
το σύνολο K , δηλαδή hKi ∈ SK . Συνεπώς K ? ⊆ hKi.
Ορισµός 4.3.13 Ορίζουµε ως υπόχωρο του V που παράγεται από το ∅ τον {0V }, δηλαδή
h∅i = {0V }.
Παρατηρούµε ότι, µε άση τον ορισµό του K ? , αν K = ∅ τότε K ? = {0V }. ΄Ετσι, από
τον προηγούµενο ορισµό και την προηγούµενη πρόταση, έχουµε ότι K ? = hKi για κάθε
υποσύνολο K του V .
Πρόταση 4.3.14 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και v1 , v2 , . . . , vν στοιχεία του
V . Τότε
(i) hv1 , . . . , vi , . . . , vν i = hv1 , . . . , λvi , . . . , vν i για κάθε δείκτη i και κάθε λ ∈ F µε λ 6= 0
(ii) hv1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vν i = hv1 , . . . , vi , . . . , λvi + vj , . . . , vν i για κάθε εύγος δεικτών
(i, j) µε i 6= j και λ ∈ F
(iii) hv1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vν i = hv1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vν i για κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε
i 6= j
Απόδειξη. ΄Εστω A = hv1 , v2 , . . . , vν i.
(i) Σταθεροποιούµε ένα δείκτη i ∈ {1, 2, . . . , ν} και ϑεωρούµε ένα στοιχείο λ ∈ F µε
λ 6= 0. ΄Εστω B = hv1 , . . . , λvi , . . . , vν i. Θα δείξουµε ότι A ⊆ B και B ⊆ A. ΄Εστω v ∈ A.
Τότε, υπάρχουν λ1 , . . . , λi , . . . , λν ∈ F µε
v = λ1 v1 + · · · + λi vi + · · · + λν vν = λ1 v1 + · · · +
λi
(λvi ) + · · · + λν vν
λ
και άρα v ∈ B . Αντίστροφα, αν v ∈ B τότε υπάρχουν ρ1 , . . . , ρi , . . . , ρν ∈ F µε
v = ρ1 v1 + · · · + ρi (λvi ) + · · · + ρν vν = ρ1 v1 + · · · + (ρi λ)vi + · · · + ρν vν
και άρα v ∈ A.
(ii) Σταθεροποιούµε ένα εύγος δεικτών (i, j) µε i 6= j και ϑεωρούµε ένα στοιχείο λ ∈ F.
΄Εστω B 0 = hv1 , . . . , vi , . . . , λvi + vj , . . . , vν i. Θα δείξουµε ότι A ⊆ B 0 και B 0 ⊆ A. ΄Εστω
v ∈ A. Τότε, υπάρχουν λ1 , . . . , λi , . . . , λj , . . . , λν ∈ F µε
v = λ1 v1 + · · · + λi vi + · · · + λj vj + · · · + λν vν
= λ1 v1 + · · · + (λi − λj λ)vi + · · · + λj (λvi + vj ) + · · · + λν vν
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
108
και άρα v ∈ B 0 . Αντίστροφα, αν v ∈ B 0 τότε υπάρχουν ρ1 , . . . , ρi , . . . , ρj , . . . , ρν ∈ F µε
v = ρ1 v1 + · · · + ρi vi + · · · + ρj (λvi + vj ) + · · · + ρν vµ
= ρ1 v1 + · · · + (ρi + ρj λ)vi + · · · + ρj vj + · · · + ρν vν
και άρα v ∈ A.
(iii) Η απόδειξη είναι άµεση.
Πόρισµα 4.3.15 ΄Εστω A, B δύο γραµµοϊσοδύναµοι ν × µ πίνακες µε στοιχεία από το F. Τότε,
ο υπόχωρος του F1×µ που παράγεται από τις γραµµές του A ισούται µε τον υπόχωρο του F1×µ
που παράγεται από τις γραµµές του B .
Απόδειξη. Αν ο B προκύπτει από τον A µέσω ενός στοιχειώδους µετασχηµατισµού γραµµών,
τότε το ητούµενο έπεται από την προηγούµενη πρόταση. Η γενική περίπτωση αποδεικνύεται
µε επαγωγή και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.
Παράδειγµα 4.3.16 Θεωρούµε τον 3 × 5 πίνακα

1
2 −1 1
3
1 0
1 
A =  2 −1
3
1
0 8 −1

και εφαρµόζουµε σ’ αυτόν στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών, όπως ϕαίνεται παρακάτω

A
r2 7→r2 −2r1
−→


r3 7→r3 −3r1
−→


r3 7→r3 −r2
−→

1
0
3
1
0
0
1
0
0

2 −1
1
3
−5
3 −2 −5 
1
0
8 −1 
2 −1
1
3
−5
3 −2 −5 
−5
3
5 −10
2 −1
1
3
−5
3 −2 −5  = B
0
0
7 −5
Τότε, ο υπόχωρος του F1×5 που παράγεται από τις γραµµές του A ισούται µε τον υπόχωρο του
F1×5 που παράγεται από τις γραµµές του B .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να εξεταστεί αν το K = {1 + x, 1 + 2x, 1 + x2 , 1 + 2x2 } παράγει τον χώρο R2 [x]. Υπάρχει
γνήσιο υποσύνολο του K που παράγει το R2 [x];
2. ΄Εστω D το σύνολο των 3 × 3 διαγωνίων πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς.
(i) Να δειχτεί ότι D ≤ R3×3 .
4.4. Η ý
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ Βý
ΑΣΗΣ
109
(ii) Να εξεταστεί αν το σύνολο

 
 

1
0 0
1 0
0 
 1 0 0
0 
K =  0 1 0  ,  0 −1 0  ,  0 1


0 0 1
0
0 1
0 0 −1
παράγει τον D .
3. Να εξεταστεί αν το (1, −1, 0, 3) ανήκει στον υπόχωρο του R4 που παράγεται από το
σύνολο K = {(1, 0, 1, 7), (−1, 1, 0, −3)}.
4. Να εξεταστεί αν το σύνολο K = {(1, 0, −1), (−1, 1, 1)} είναι ένα σύνολο γεννητόρων του
διανυσµατικού χώρου R3 .
5. Να ρεθεί ένα σύνολο γεννητόρων του χώρου των λύσεων του ακόλουθου συστήµατος
µε πραγµατικούς συντελεστές :
2x1 + x2 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x2 + 2x3 + x4 = 0
6. Να δειχτεί ότι R = hαi για κάθε α ∈ R µε α =
6 0. ΄Εστω β ∈ C µε β 6= 0. Αληθεύει ότι
C = hβi ως διανυσµατικός χώρος επί του R; Επί του C;
7. ΄Εστω v1 , v2 , . . . , vν , v στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου V επί του F. Να δειχτεί ότι
hv1 , v2 , . . . , vν , vi = hv1 , v2 , . . . , vν i αν και µόνο αν το v είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των v1 , v2 , . . . , vν .
4.4 Η ΄Εννοια της Βάσης
΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και K = {v1 , v2 , . . . , vν } ένα σύνολο γεννητόρων
του. Ας υποθέσουµε ότι το vν είναι γραµµικός συνδυασµός των v1 , v2 , . . . , vν−1 . Τότε, έχουµε
Pν−1
vν =
j=1 ρj vj για κάποια ρj ∈ F , 1 ≤ j ≤ ν − 1. Για κάθε v ∈ V = hv1 , v2 , . . . , vν i
υπάρχουν λ1 , λ2 , . . . , λν ∈ F µε
v = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν−1 vν−1 + λν ³
vν
´
Pν−1
ρ
v
= λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν−1 vν−1 + λν
j
j
j=1
= (λ1 + λν ρ1 )v1 + (λ2 + λν ρ2 )v2 + · · · + (λν−1 + λν ρν−1 )vν−1 .
΄Ετσι, κάθε στοιχείο του V είναι γραµµικός συνδυασµός των v1 , v2 , . . . , vν−1 και άρα V =
hv1 , v2 , . . . , vν−1 i.
Η περιγραφή των στοιχείων του V ως γραµµικός συνδυασµός των v1 , v2 , · · · , vν ϑα ήταν
πιο χρήσιµη αν για την περιγραφή ήταν απαραίτητα όλα τα v1 , v2 , . . . , vν . ΄Οπως είδαµε πιό
πάνω, αν ένα από τα vi είναι γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων, τότε αυτό δεν χρειάζεται
για την περιγραφή των στοιχείων του V .
Πρόταση 4.4.1 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και v1 , v2 , . . . , vν στοιχεία του
V µε ν ≥ 2. Τότε, οι επόµενες συνθήκες είναι ισοδύναµες :
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
110
(i) ΄Ενα από τα vi είναι γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων.
(ii) Υπάρχουν στοιχεία λ1 , λ2 , . . . , λν ∈ F, όχι όλα µηδέν, έτσι ώστε
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν = 0V .
Απόδειξη. ΄Εστω ότι ένα από τα v1 , v2 , . . . , vν , ας πούµε το vi , είναι γραµµικός συνδυασµός
των υπολοίπων. Τότε, υπάρχουν στοιχεία λ1 , . . . , λi−1 , λi+1 , . . . , λν ∈ F, τέτοια ώστε
vi = λ1 v1 + · · · + λi−1 vi−1 + λi+1 vi+1 + · · · + λν vν .
Συνεπώς, ϑα είναι
λ1 v1 + · · · + λi−1 vi−1 − vi + λi+1 vi+1 + · · · + λν vν = 0V
και άρα δείχτηκε το ητούµενο, αφού οι συντελεστές των v1 , v2 , . . . , vν δεν είναι όλοι µηδέν (ο
συντελεστής του vi είναι −1).
Ας υποθέσουµε τώρα ότι υπάρχουν λ1 , λ2 , . . . , λν όχι όλα µηδέν µε λ1 v1 + λ2 v2 + · · · +
λν vν = 0V . Τότε, υπάρχει i ∈ {1, 2, . . . , ν} µε λi 6= 0F . Καθώς έχουµε
−λi vi = λ1 v1 + · · · + λi−1 vi−1 + λi+1 vi+1 + · · · + λν vν ,
έπεται ότι
vi = ρ1 v1 + · · · + ρi−1 vi−1 + ρi+1 vi+1 + · · · + ρν vν ,
λ
όπου ρj = − λji για κάθε j = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , ν . ΄Αρα, το vi είναι γραµµικός συνδυασµός
των υπολοίπων.
Η παραπάνω πρόταση οδηγεί στην ακόλουθη έννοια :
Ορισµός 4.4.2 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Τα στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν ∈ V
λέγονται γραµµικά εξαρτηµένα αν υπάρχουν λ1 , λ2 , · · · , λν ∈ F, όχι όλα µηδέν, έτσι ώστε
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν = 0V .
Ορισµός 4.4.3 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Τα στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν ∈ V
λέγονται γραµµικά ανεξάρτητα αν δεν είναι γραµµικά εξαρτηµένα. ΄Ετσι, τα v1 , v2 , . . . , vν
είναι γραµµικά ανεξάρτητα αν µια σχέση της µορφής
λ 1 v1 + λ 2 v2 + · · · + λ ν vν = 0 V
µε λi ∈ F για κάθε 1 ≤ i ≤ ν είναι δυνατή µόνο αν λ1 = λ2 = . . . = λν = 0F .
Παράδειγµα 4.4.4 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F.
(i) Αν v ∈ V και λ ∈ F, τότε ξέρουµε ότι λv = 0V αν και µόνο αν λ = 0F ή v = 0V . ΄Αρα,
αν v 6= 0V η σχέση λv = 0V συνεπάγεται ότι λ = 0F . Συνεπώς, το v είναι γραµµικά
ανεξάρτητο. Τώρα, επειδή 1 · 0V = 0V , έπεται ότι το 0V είναι γραµµικά εξαρτηµένο.
4.4. Η ý
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ Βý
ΑΣΗΣ
111
(ii) ΄Εστω u, v ∈ V µε u, v γραµµικά εξαρτηµένα. Τότε, υπάρχουν λ1 , λ2 ∈ F όχι και τα δύο
µηδέν, έτσι ώστε λ1 u + λ2 v = 0V . Αν, για παράδειγµα, είναι λ1 6= 0F , τότε έχουµε u = λv ,
όπου λ = −λ2 /λ1 .
(iii) ΄Εστω v1 , v2 , . . . , vν ∈ V µε vi = 0V για κάποιο i ∈ {1, 2, . . . , ν}. Τότε, τα v1 , v2 , . . . , vν
είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Πράγµατι, έχουµε
0V = 0F v1 + · · · + 0F vi−1 + 1vi + 0F vi+1 + · · · + 0F vν .
Παράδειγµα 4.4.5 Ας εξετάσουµε αν τα στοιχεία x + 1, x + 2, x2 − 1 του R3 [x] είναι γραµµικά
εξαρτηµένα. Θα πρέπει να ελέγξουµε αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί λ1 , λ2 , λ3 , όχι όλοι
µηδέν, έτσι ώστε
λ1 (x + 1) + λ2 (x + 2) + λ3 (x2 − 1) = 0R3 [x] = 0 + 0x + 0x2 + 0x3 .
Η παραπάνω εξίσωση είναι ισοδύναµη µε το ακόλουθο σύστηµα :
λ1 + 2λ2 − λ3 = 0
λ1 + λ2 = 0
λ3 = 0
Αλλά αυτό το σύστηµα έχει µόνο µία λύση, την τετριµµένη, λ1 = λ2 = λ3 = 0. ΄Ετσι, συµπεραίνουµε ότι τα x + 1, x + 2, x2 − 1 είναι γραµµικά ανεξάρτητα.
¶ µ ¶ µ
¶
1
2
−1
,
,
του R2×1 είναι
Παράδειγµα 4.4.6 Ας εξετάσουµε αν τα στοιχεία
2
−4
2
γραµµικά εξαρτηµένα. ΄Οπως πρίν, ϑεωρούµε λ1 , λ2 , λ3 ∈ R, τέτοια ώστε
µ
¶
¶ µ ¶
µ ¶
µ
−1
0
1
2
λ1
+ λ2
+ λ3
=
.
2
0
2
−4
µ
Η παραπάνω εξίσωση είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα
−λ1 + λ2 + 2λ3 = 0
2λ1 + 2λ2 − 4λ3 = 0
Γνωρίζουµε ότι το οµογενές αυτό σύστηµα των 2µεξισώσεων
¶ µ µε ¶3 αγνώστους
µ
¶ έχει και µητετριµµένες λύσεις (Πόρισµα 3.3.6). Συνεπώς, τα
−1
2
,
1
2
,
2
−4
είναι γραµµικά
εξαρτηµένα.
Παράδειγµα 4.4.7 Ας εξετάσουµε αν τα στοιχεία (1, −2, 1), (2, 1, −7), (1, 8, −17) του R3 είναι
γραµµικά ανεξάρτητα. Θεωρούµε λ1 , λ2 , λ3 ∈ R, τέτοια ώστε
λ1 (1, −2, 1) + λ2 (2, 1, −7) + λ3 (1, 8, −17) = (0, 0, 0).
Η εξίσωση αυτή είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα
λ1 + 2λ2 + λ3 = 0
−2λ1 + λ2 + 8λ3 = 0
λ1 − 7λ2 − 17λ3 = 0
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
112
Λύνοντας το σύστηµα, λέπουµε ότι αυτό έχει και µη-µηδενικές λύσεις. (Για παράδειγµα, µια
τέτοια λύση παίρνουµε ϑέτοντας λ1 = 3, λ2 = −2 και λ3 = 1.) Συνεπώς, τα διανύσµατα
(1, −2, 1), (2, 1, −7), (1, 8, −17) είναι γραµµικά εξαρτηµένα.
Παράδειγµα 4.4.8 ΄Εστω A ένας 5 × 4 πίνακας µε στοιχεία από το F της µορφής






a11 a12 a13 a14
0 a22 a23 a24
0
0 a33 a34
0
0
0
0
0
0
0
0



,


όπου a11 a22 a33 6= 0. Τότε, οι γραµµές r1 , r2 , r3 του A είναι γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία του
R1×4 . Πράγµατι, αν λ1 r1 + λ2 r2 + λ3 r3 = 0 ∈ F1×4 , τότε έχουµε
¡
¢
¡
¢
¡
¢ ¡
¢
λ1 a11 a12 a13 a14 + λ2 0 a22 a23 a24 + λ3 0 0 a33 a34 = 0 0 0 0 .
Ισοδύναµα, έχουµε το επόµενο σύστηµα εξισώσεων
λ1 a11
λ1 a12 + λ2 a22
λ1 a13 + λ2 a23 + λ3 a33
λ1 a14 + λ2 a24 + λ3 a34
=0
=0
=0
=0
Επειδή α11 6= 0, η πρώτη εξίσωση δίνει λ1 = 0. Αντικαθιστώντας την τιµή αυτή του λ1 στη
δεύτερη εξίσωση, παίρνουµε λ2 a22 = 0. ΄Ετσι, καθώς a22 6= 0, έπεται ότι λ2 = 0. Τέλος,
αντικαθιστώντας τις τιµές των λ1 και λ2 στην τρίτη εξίσωση, παίρνουµε λ3 a33 = 0, απ’ όπου
έπεται ότι λ3 = 0.
Παρατήρηση 4.4.9 Πρατηρούµε ότι τα στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν ενός διανυσµατικού χώρου V
επί του F είναι γραµµικά εξαρτηµένα αν το µηδενικό στοιχείο 0V µπορεί να γραφτεί ως ένας µητετριµµένος γραµµικός συνδυασµός τους. Τα στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν είναι γραµµικά ανεξάρτητα
αν το 0V µπορεί να γραφτεί µόνο µε τον τετριµµένο τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός τους.
Ορισµός 4.4.10 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F.
(i) ΄Ενα πεπερασµένο µη-κενό υποσύνολο S = {v1 , v2 , . . . , vν } του V λέγεται γραµµικά
εξαρτηµένο (αντίστοιχα γραµµικά ανεξάρτητο) αν τα v1 , v2 , . . . , vν είναι γραµµικά εξαρτηµένα
(αντίστοιχα γραµµικά ανεξάρτητα).
(ii) ΄Ενα υποσύνολο X του V λέγεται γραµµικά εξαρτηµένο αν υπάρχει µη-κενό πεπερασµένο γραµµικά εξαρτηµένο υποσύνολό S ⊆ X . Αν το X δεν είναι γραµµικά εξαρτηµένο
τότε λέγεται γραµµικά ανεξάρτητο. ΄Ετσι, το X είναι γραµµικά ανεξάρτητο αν κάθε µη-κενό
πεπερασµένο υποσύνολό του είναι γραµµικά ανεξάρτητο.
(iii) Εξ’ ορισµού, το κενό σύνολο ∅ ϑεωρείται γραµµικά ανεξάρτητο.
Πρόταση 4.4.11 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A, B δυο πεπερασµένα
µη-κενά υποσύνολά του, τέτοια ώστε B ⊆ A.
(i) Αν το A είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο, τότε και το B ϑα είναι γραµµικά ανεξάρτητο.
4.4. Η ý
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ Βý
ΑΣΗΣ
113
(ii) Αν το B είναι γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο, τότε και το A είναι γραµµικά εξαρτηµένο.
Απόδειξη. ΄Εστω ότι B = {v1 , v2 , . . . , vκ } και A = {v1 , v2 , . . . , vκ , vκ+1 , . . . , vν }.
(i) Ας υποθέσουµε ότι το A είναι γραµµικά ανεξάρτητο και το B γραµµικά εξαρτηµένο.
Τότε, ϑα υπάρχει µια εξίσωση της µορφής
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λκ vκ = 0V
µε λi ∈ F, 1 ≤ i ≤ κ, και ένα τουλάχιστον από τα λi διαφορετικό από το 0F . Τότε όµως
έχουµε
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λκ vκ + 0F vκ+1 + · · · + 0F vν = 0V
και άρα το A είναι γραµµικά εξαρτηµένο, άτοπο.
(ii) Αυτό είναι άµεση συνέπεια του (i) παραπάνω.
Ορισµός 4.4.12 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και B ένα υποσύνολό του. Το
B ϑα λέγεται µια άση του V αν είναι γραµµικά ανεξάρτητο και παράγει τον V .
Θεώρηµα 4.4.13 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και B ένα πεπερασµένο µηκενό υποσύνολό του. Τότε, τα παρακάτω είναι ισοδύναµα :
(i) Το σύνολο B είναι µια άση του V .
(ii) Κάθε στοιχείο v ∈ V γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός στοιχείων
του B .
Απόδειξη. ΄Εστω ότι B = {v1 , v2 , . . . , vν }.
Ας υποθέσουµε ότι ισχύει το (i) και ας ϑεωρήσουµε ένα στοιχείο v του διανυσµατικού
χώρου V . Τότε, επειδή V = hv1 , v2 , . . . , vν i, υπάρχουν λi ∈ F, 1 ≤ i ≤ ν , µε
v = λ 1 v1 + λ 2 v2 + · · · + λ ν vν .
Ας υποθέσουµε τώρα ότι το v γράφεται και ως
v = ρ1 v1 + ρ2 v2 + · · · + ρν vν ,
για κάποια ρi ∈ F, 1 ≤ i ≤ ν . Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη των παραπάνω σχέσεων, έχουµε
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν = ρ1 v1 + ρ2 v2 + · · · + ρν vν
και έτσι καταλήγουµε στη σχέση
(λ1 − ρ1 )v1 + (λ2 − ρ2 )v2 + · · · + (λν − ρν )vν = 0V .
Επειδή το σύνολο B είναι γραµµικά ανεξάρτητο, όλοι οι συντελεστές των vi στην τελευταία
σχέση πρέπει να είναι µηδέν και έτσι λi = ρi για κάθε 1 ≤ i ≤ ν .
΄Εστω τώρα ότι ισχύει το (ii). Από την υπόθεση µας, έχουµε ότι το σύνολο B παράγει
τον χώρο V . Μένει να αποδείξουµε ότι το B είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Θεωρούµε
λοιπόν ένα γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων του B που είναι ίσος µε το 0V :
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν = 0V ,
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
114
λi ∈ F, 1 ≤ i ≤ ν . Το 0V όµως γράφεται επίσης ως γραµµικός συνδυασµός και κατά τον
τετριµµένο τρόπο, ως εξής :
0F v1 + 0F v2 + · · · + 0F vν = 0V .
Από τη µοναδικότητα της γραφής κάθε στοιχείου του χώρου V ως γραµµικός συνδυασµός
των vi , έπεται ότι λi = 0F για κάθε 1 ≤ i ≤ ν .
Παράδειγµα 4.4.14 Θεωρούµε τα στοιχεία e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) και e3 = (0, 0, 1)
του F3 . Για κάθε (x1 , x2 , x3 ) ∈ F3 έχουµε ότι (x1 , x2 , x3 ) = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 και άρα
F3 = he1 , e2 , e3 i. Επιπλέον, εύκολα λέπουµε ότι τα e1 , e2 , e3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα. ΄Αρα,
το σύνολο {e1 , e2 , e3 } είναι µια άση του F3 , η οποία λέγεται η κανονική άση του F3 .
Με ανάλογο τρόπο, δείχνουµε ότι τα στοιχεία e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . .,
eν = (0, 0, 0, . . . , 1) παράγουν τον Fν και είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Συνεπώς, το σύνολο
{e1 , e2 , . . . , eν } είναι µια άση του Fν . ΄Οπως και πρίν, η άση αυτή ϑα λέγεται η κανονική
άση του Fν .
Παράδειγµα 4.4.15 ΄Οπως είδαµε παραπάνω, το σύνολο {(1, 0), (0, 1)} είναι µια άση του
διανυσµατικού χώρου F2 , η κανονική του άση.
Θα δείξουµε ότι το σύνολο {(1, 1), (1, −1)} είναι επίσης µια άση του F2 . Πράγµατι, αν
2
2
(x1 , x2 ) ∈ F2 τότε (x1 , x2 ) = λ1 (1, 1) + λ2 (1, −1), όπου λ1 = x1 +x
και λ2 = x1 −x
. ΄Αρα
2
2
2
R = h(1, 1), (1, −1)i. Αν τώρα είναι ρ1 (1, 1) + ρ2 (1, −1) = (0, 0) για κάποια ρ1 , ρ2 ∈ F, τότε
ρ1 + ρ2 = 0 και ρ1 − ρ2 = 0. Συνεπώς, ϑα πρέπει να είναι ρ1 = ρ2 = 0 και άρα τα (1, 1), (1, −1)
είναι γραµµικά ανεξάρτητα.
Θα δείξουµε ότι το σύνολο {(1, −1), (2, −3)} είναι µια άλλη άση του F2 . Πράγµατι, αν
(x1 , x2 ) ∈ F2 τότε (x1 , x2 ) = λ1 (1, −1) + λ2 (2, −3), όπου λ1 = 3x1 + 2x2 και λ2 = −x1 − x2 ,
και άρα F2 = h(1, −1), (2, −3)i. Τώρα, αν ρ1 (1, −1) + ρ2 (2, −3) = (0, 0) για κάποια ρ1 , ρ2 ∈ F,
τότε ϑα είναι ρ1 + 2ρ2 = 0 και −ρ1 − 3ρ2 = 0. Απο τις εξισώσεις αυτές έπεται ότι ρ1 = ρ2 = 0
και άρα τα (1, −1), (2, −3) είναι γραµµικά ανεξάρτητα.
Παρατηρούµε ότι και οι τρείς άσεις του διανυσµατικού χώρου F2 που ρήκαµε, δηλαδή οι
{(1, 0), (0, 1)}, {(1, 1), (1, −1)} και {(1, −1), (2, −3)} έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Αργότερα
ϑα δείξουµε ότι αν µια άση ενός διανυσµατικού χώρου V έχει ν στοιχεία, τότε κάθε άλλη άση
του έχει επίσης ν στοιχεία.
µ
Παράδειγµα 4.4.16 Θεωρούµε τους 2 × 3 πίνακες E11 =
µ
¶
µ
0 0 1
E13 =
,E =
0 0 0 µ 21
α11 α12
κάθε πίνακα A =
α21 α22
¶
µ
0 0 0
0 0 0
, E22 =
1 0¶ 0
0 1 0
α13
∈ F2×3 έχουµε
α23
¶
0 1 0
, E12 =
,
0 0¶ 0
µ
0 0 0
και E23 =
. Για
0 0 1
1 0 0
0 0 0
¶
¶
µ
A = α11 E11 + α12 E12 + α13 E13 + α21 E21 + α22 E22 + α23 E23
και άρα F2×3 = hE11 , E12 , E13 , E21 , E22 , E23 i. Επιπλέον, εύκολα λέπουµε ότι τα E11 , E12 , E13 ,
E21 , E22 , E23 είναι γραµµικά ανεξάρτητα. ΄Ετσι, το σύνολο {E11 , E12 , E13 , E21 , E22 , E23 } είναι
µια άση του F2×3 , η οποία λέγεται η κανονική άση του F2×3 .
4.4. Η ý
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ Βý
ΑΣΗΣ
115
Με ανάλογο τρόπο µπορούµε να ϑεωρήσουµε για κάθε δύο ϑετικούς ακεραίους ν, µ και κάθε
εύγος ακεραίων (i, j) µε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ τον πίνακα Eij ∈ Fν×µ ο οποίος έχει 1 στην
(i, j)-ϑέση και 0 παντού αλλού. Τότε, το υποσύνολο του Fν×µ που αποτελείται από τους πίνακες
Eij , 1 ≤ i ≤ ν , 1 ≤ j ≤ µ, είναι µια άση του Fν×µ , η οποία λέγεται η κανονική άση του Fν×µ .


 −3 
Παράδειγµα 4.4.17 Αναφερόµενοι στο Παράδειγµα 4.3.9, το σύνολο  2  ⊆ R3×1


1
είναι µια άση του χώρου λύσεων του συστήµατος.


 
 
2 
−1
−3





  0 
 

0
1


 
 

5×1

 
 
είναι µια άση
Παράδειγµα 4.4.18 Το σύνολο 
 0  ,  −1/3  ,  −1  ⊆ R









0 
1
0





1
0
0
του χώρου λύσεων του συστήµατος του Παραδείγµατος 4.3.10.
Παράδειγµα 4.4.19 ΄Εστω R[x] ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων µιας µεταβλητής µε
πραγµατικούς συντελεστές και έστω το υποσύνολο B = {1, x, x2 , . . . , xν , . . .} του R[x]. Είναι
σαφές ότι hBi = R[x]. Επιπλέον, το B είναι γραµµικά ανεξάρτητο αφού για κάθε ϕυσικό αριθµό
ν η σχέση a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + aν xν = 0 µε ai ∈ R για κάθε 1 ≤ i ≤ ν συνεπάγεται ότι
a0 = a1 = · · · = aν = 0. Συνεπώς, ο R[x] είναι ένας διανυσµατικός χώρος που έχει µια άση
µε άπειρο πλήθος στοιχείων.


1 2 1 2 1
Παράδειγµα 4.4.20 ΄Εστω A =  2 4 4 8 4  ∈ R3×5 . Θα ρούµε µια άση για τον
3 6 5 7 7
1×5
υπόχωρο του R
που παράγεται από τις γραµµές του A. Μέσω στοιχειωδών µετασχηµατισµών
γραµµών, έχουµε


1 2 1 2 1
A = 2 4 4 8 4 
3 6 5 7 7

r2 →r2 −2r1
r3 →r3 −3r1
−→



1 2 1 2 1
1 2 1
2 1
3 −r2
 0 0 2 4 2  r3 →r
 0 0 2
4 2 = B
−→
0 0 2 1 4
0 0 0 −3 2
Από το Πόρισµα 4.3.15, έπεται ότι ο υπόχωρος του R1×5 που παράγεται από τις γραµµές του
A ισούται µε τον υπόχωρο του R1×5 που παράγεται από τις γραµµές του B . ΄Αρα, οι γραµµές
του B είναι ένα σύνολο γεννητόρων του υποχώρου του R1×5 που παράγεται από τις γραµµές
του A. ΄Οπως ακριβώς στο Παράδειγµα 4.4.8, µπορούµε να δούµε ότι οι γραµµές του B είναι
γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία του R1×5 . ΄Αρα οι γραµµές του B είναι µια άση του υποχώρου
του R1×5 που παράγεται από τις γραµµές του A.


1
3 3 2
6 9 5  ∈ R3×4 . Θα ρούµε µια άση του
Παράδειγµα 4.4.21 ΄Εστω A =  2
−1 −3 3 0
1×4
υπόχωρου του R
που παράγεται από τις γραµµές του A. Μέσω στοιχειωδών µετασχηµατισµών
γραµµών, έχουµε


1
3 3 2
6 9 5 
A = 2
−1 −3 3 0

r2 →r2 −2r1
r3 →r3 +r1
−→



1 3 3 2
1 3 3 2
3 −2r2
 0 0 3 1  r3 →r
 0 0 3 1 = B
−→
0 0 6 2
0 0 0 0
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
116
΄Αρα, όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, έπεται ότι µια άση του υπόχωρου
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
h 1 3 3 2 , 2 6 9 5 , −1 −3 3 0 i ≤ R1×4
είναι το σύνολο
©¡
1 3 3 2
¢ ¡
¢ª
, 0 0 3 1 .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να εξεταστεί ποια από τα ακόλουθα υποσύνολα του R2×2 είναι γραµµικά εξαρτηµένα.
Γι’ αυτά που είναι γραµµικά εξαρτηµένα, να ρεθεί ένα στοιχείο που να είναι γραµµικός
συνδυασµός των υπολοίπων.
½µ
¶ µ
1
(i)
,
0
½µ
¶ µ
1 1
1
(ii)
,
1 1
2
1 0
1 1
¶ µ
0
,
0
¶ µ
1
0
,
1
3
0
3
1
0
1
0
¶¾
¶ µ
¶¾
−1
0
,
0 −1
2. Να εξεταστεί ποια από τα ακόλουθα υποσύνολα του R3 [x] είναι γραµµικά εξαρτηµένα.
Γι’ αυτά που είναι γραµµικά εξαρτηµένα, να ρεθεί ένα στοιχείο που να είναι γραµµικός
συνδυασµός των υπολοίπων.
(i) {x, 3 + x3 , x + 2x2 }
(ii) {−2 + x, 3 + x, 1 + x2 , 5 − x + 4x2 }
(iii) {3 − 2x + 4x2 + x3 , 4 − x + 6x2 + x3 , 7 − 8x + 8x2 + 3x3 }
3. Να δειχτεί ότι τα στοιχεία f (x) = e2x , g(x) = x2 , h(x) = x του διανυσµατικού χώρου
F(R, R) των πραγµατικών συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής είναι γραµµικά
ανεξάρτητα.
4. ΄Εστω v1 , v2 , v3 γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου επί του F. Να
δειχτεί ότι τα στοιχεία v1 + v2 , v1 − v2 , v1 − 2v2 + v3 του V είναι γραµµικά ανεξάρτητα.
5.
(i) Να δειχτεί ότι τα στοιχεία (1 + i, 2i), (1, 1 + i) του πραγµατικού διανυσµατικού
χώρου C2 είναι γραµµικά ανεξάρτητα.
(ii) Να δειχτεί ότι τα στοιχεία (1 + i, 2i), (1, 1 + i) του µιγαδικού διανυσµατικού χώρου
C2 είναι γραµµικά εξαρτηµένα.
6. Να δειχτεί ότι αν a ∈ R και a 6= 0, τότε το {a} είναι µία άση του πραγµατικού
διανυσµατικού χώρου R.
7. ∆ίνεται το σύνολο B = {(a1 , a2 , a3 ), (0, b2 , b3 ), (0, 0, c3 )} ⊆ R3 . ∆είξτε ότι το B είναι µια
άση του R3 αν και µόνο αν a1 b2 c3 6= 0.
8. Να δείξετε ότι τα ακόλουθα υποσύνολα του R3×3 είναι υπόχωροι του R3×3 και να ρείτε
µια άση τους :
4.4. Η ý
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ Βý
ΑΣΗΣ
117
(i) V1 = {A ∈ R3×3 | A διαγώνιος}
(ii) V2 = {A ∈ R3×3 | A συµµετρικός}
(iii) V3 = {A = (aij ) ∈ R3×3 | a11 = a22 = a33 }
9. Να ρεθεί µια άση του χώρου των λύσεων του επόµενου γραµµικού συστήµατος µε
πραγµατικούς συντελεστές :
x1 + 3x2 + x3 − 2x4 − 3x5
x1 + 4x2 + 3x3 − x4 − 4x5
2x1 + 3x2 − 4x3 − 7x4 − 3x5
3x1 + 8x2 + x3 − 7x4 − 8x5
=0
=0
=0
=0


1 0 −1
1  ∈ R3×3 και C(A) = {B ∈ R3×3 | AB = BA}. Να δειχτεί
10. ΄Εστω A =  0 2
−1 1
2
ότι ο C(A) είναι ένας υπόχωρος του R3×3 και να ρεθεί µια άση του.
11. ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A1 , A2 , . . . , Aκ ∈ Rν×µ . Υποθέτουµε ότι
υπάρχει ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός σ και ένας πίνακας X ∈ Rµ×σ µε X 6= 0Rν×σ
και Ai X = 0Rν×σ για κάθε i = 1, 2, . . . , κ. Να δειχτεί ότι το σύνολο {A1 , A2 , . . . , Aκ }
δεν είναι µια άση του Rν×µ .
12.
1×6
(i) Να ρεθεί µια άση
 για τον υπόχωρο του R  που παράγεται από τις γραµµές
1 −1
0 −1 −5 −1
 2
1 −1 −4
1 −1 
.
του πίνακα A = 
 1
1
1 −4 −6
3 
1
4
2 −8 −5
8
(ii) Να ρεθεί µια άση
 για
1 2
 1 2
του πίνακα B = 
 1 0
1 1
τον υπόχωρο
του R1×4 που παράγεται από τις γραµµές

0
3
1
1
3
3 
.
1 
2
13. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και B ένα υποσύνολο του V . Να δειχτεί
ότι τα παρακάτω είναι ισοδύναµα :
(i) Το σύνολο B είναι µια άση του V .
(ii) Κάθε στοιχείο του V γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός
στοιχείων του B .
14. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A, B δύο υποσύνολά του µε B ⊆ A.
Να δειχτεί ότι :
(i) Αν το A είναι γραµµικά ανεξάρτητο, τότε και το B είναι γραµµικά ανεξάρτητο.
(ii) Αν το B είναι γραµµικά εξαρτηµένο, τότε και το A είναι γραµµικά εξαρτηµένο.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
118
4.5 ∆ιάσταση ∆ιανυσµατικού Χώρου
Το ακόλουθο αποτέλεσµα είναι ένα κεντρικό ϑεώρηµα της Γραµµικής ΄Αλγεβρας. Απ’ αυτό
έπεται ότι κάθε πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος έχει µια άση. Επιπλέον,
αν η άση αυτή είναι πεπερασµένη και έχει ν στοιχεία, τότε κάθε άλλη άση του είναι επίσης
πεπερασµένη και έχει ν στοιχεία.
Θεώρηµα 4.5.1 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και ν , µ δυο ϕυσικοί αριθµοί.
Αν ν γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία του V ανήκουν σε έναν υπόχωρο του V που παράγεται από
µ στοιχεία, τότε ν ≤ µ.
Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε επαγωγή ως πρός ν .
΄Εστω ότι ν = 1 και v1 είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο στοιχείο του V , για το όποίο ισχύει
v1 ∈ A, όπου A είναι ένας υπόχωρος του V που παράγεται από µ στοιχεία. Επειδή το v1
είναι γραµµικά ανεξάρτητο, έπεται ότι v1 6= 0V και άρα A 6= {0V }. Συνεπώς µ ≥ 1.
Υποθέτουµε τώρα ότι ν > 1 και το ϑεώρηµα ισχύει για κάθε γραµµικά ανεξάρτητα ν − 1
στοιχεία του V . ΄Εστω v1 , v2 , . . . , vν γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία του V και έστω ότι vi ∈ A,
1 ≤ i ≤ ν , για κάποιον υπόχωρο A του V που παράγεται από µ στοιχεία, A = hu1 , u2 , . . . , uµ i.
Θα δείξουµε ότι ν ≤ µ. Επειδή vi ∈ A = hu1 , u2 , . . . , uµ i για κάθε 1 ≤ i ≤ ν , έχουµε ότι
(?)
v1 = a11 u1 + a12 u2 + · · · + a1µ uµ
v2 = a21 u1 + a22 u2 + · · · + a2µ uµ
...
vν = aν1 u1 + aν2 u2 + · · · + aνµ uµ
όπου aij ∈ F για κάθε 1 ≤ i ≤ ν και 1 ≤ j ≤ µ. ∆ιακρίνουµε τώρα τις εξής περιπτώσεις :
(i) ΄Εστω ότι aiµ = 0F για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Από τις παραπάνω σχέσεις έπεται ότι
αν B είναι ο υπόχωρος του V που παράγεται από τα u1 , u2 , . . . , uµ−1 , τότε ai ∈ B για κάθε
1 ≤ i ≤ ν . Ειδικότερα, έπεται ότι τα ν − 1 διανύσµατα a1 , a2 , . . . , aν−1 , τα οποία είναι
γραµµικά ανεξάρτητα, ανήκουν στον υπόχωρο B = hu1 , u2 , . . . , uµ−1 i. ΄Αρα, από την υπόθεση
της επαγωγής, έπεται ότι ν − 1 ≤ µ − 1 και έτσι ν ≤ µ.
(ii) Ας υποθέσουµε τώρα ότι aiµ 6= 0F για κάποιο i ∈ {1, 2, . . . , ν}. Μπορούµε, αλλάζοντας
αν χρειάζεται τη σειρά των εξισώσεων, να υποθέσουµε ότι i = ν . ΄Ετσι, aνµ 6= 0F . Θεωρούµε
τώρα τα στοιχεία
(??)
w i = vi −
aiµ
vν ,
aνµ
1 ≤ i ≤ ν − 1. Θα δείξουµε ότι τα w1 , w2 , . . . , wν−1 είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Για το σκοπό
αυτό, ϑεωρούµε ένα γραµµικό συνδυασµό
λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λν−1 wν−1 = 0V ,
για κάποια λi ∈ F, 1 ≤ i ≤ ν − 1. Με άση τις ισότητες (??) έπεται ότι
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν−1 vν−1 + λ0ν vν = 0,
1
όπου λ0ν = − aνµ
(λ1 a1µ + λ2 a2µ + · · · + λν−1 aν−1 µ ) ∈ F. Από την υπόθεση, έχουµε ότι τα
v1 , v2 , . . . , vν είναι γραµµικά ανεξάρτητα και άρα λ1 = λ2 = . . . = λν−1 = 0F . Συνεπώς, τα
4.5. ∆Ιý
ΑΣΤΑΣΗ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Υ Χý
ΩΡΟΥ
119
w1 , w2 , . . . , wν−1 είναι πράγµατι γραµµικά ανεξάρτητα. Παρατηρούµε ότι από τις (?) και (??)
έχουµε :
a
iµ
vν
wi = vi − aνµ
aiµ
= ai1 u1 + ai2 u2 + · · · + aiµ uµ − aνµ
vν
aiµ
= ai1 u1 + ai2 u2 + · · · + aiµ uµ − aνµ (aν1 u1 + aν2 u2 + · · · + aνµ uµ )
´
´
´
³
³
³
aiµ
aiµ
aiµ
= ai1 − aνµ
aν1 u1 + ai2 − aνµ
aν2 u2 + · · · + ai µ−1 − aνµ
aν µ−1 uµ−1
και άρα wi ∈ hu1 , u2 , . . . , uµ−1 i για κάθε i = 1, 2, . . . , ν − 1. Εφαρµόζοντας την επαγωγική
υπόθεση για τα γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα w1 , w2 , . . . , wν−1 , τα οποία ανήκουν στον
υπόχωρο του V που παράγεται από τα u1 , u2 , . . . , uµ−1 , έχουµε ότι ν − 1 ≤ µ − 1 και άρα
ν ≤ µ.
΄Ενα άµεσο πόρισµα του παραπάνω αποτελέσµατος είναι το ακόλουθο :
Πόρισµα 4.5.2 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F, ο οποίος παράγεται από µ
στοιχεία. Τότε, κάθε υποσύνολο του V που περιέχει τουλάχιστον µ + 1 στοιχεία είναι γραµµικά
εξαρτηµένο.
Πόρισµα 4.5.3 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και ν ένας ϕυσικός αριθµός. Αν
ο V έχει µία πεπερασµένη άση µε ν στοιχεία, τότε κάθε άση του V είναι πεπερασµένη και
έχει ν στοιχεία.
Απόδειξη. ΄Εστω {v1 , v2 , . . . , vν } µία άση του V . Τότε, V = hv1 , v2 , . . . , vν i. Αν B είναι
µία άση του V µε άπειρο πλήθος στοιχείων, τότε υπάρχουν υποσύνολα του B µε πλήθος
στοιχείων µεγαλύτερο από το ν . Αλλά κάθε υποσύνολο του B είναι γραµµικά ανεξάρτητο,
αφού το B είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Συνεπώς, υπάρχουν γραµµικά ανεξάρτητα υποσύνολα
του V µε πλήθος στοιχείων µεγαλύτερο από το ν , το οποίο είναι άτοπο από το Πόρισµα 4.5.2.
΄Αρα, κάθε άση του V είναι πεπερασµένη. ΄Εστω τώρα {u1 , u2 , . . . , uλ } µια άλλη άση του
V . Επειδή V = hv1 , v2 , . . . , vν i και τα u1 , u2 , . . . , uλ είναι γραµµικά ανεξάρτητα, από το
Θεώρηµα 4.5.1 έπεται ότι λ ≤ ν . Ανάλογα, επειδή V = hu1 , u2 , . . . , uλ i και τα v1 , v2 , . . . , vν
είναι γραµµικά ανεξάρτητα, έπεται ότι ν ≤ λ. ΄Αρα λ = ν .
ΣΧΟΛΙΟ. Στην περίπτωση που ένας διανυσµατικός χώρος V έχει µια άση µε πλήθος στοιχείων 0, τότε V = h∅i = {0V }.
Πόρισµα 4.5.4 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F και
B0 ένα γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολό του. Τότε, υπάρχει µια πεπερασµένη άση B του V
µε B0 ⊆ B .
Απόδειξη. Η περίπτωση που ο χώρος έχει µόνο ένα στοιχείο, το µηδενικό, είναι απλή
και παραλείπεται. Υποθέτουµε λοιπόν ότι V 6= {0V }. ΄Εστω ότι V = hu1 , u2 , . . . , uµ i και
B0 = {v1 , v2 , . . . , vν }. Θεωρούµε το σύνολο A όλων των υποσυνόλων του χώρου V , τα οποία
είναι γραµµικά ανεξάρτητα και περιέχουν το B0 , δηλαδή
A = {K ⊆ V | B0 ⊆ K και K γραµµικά ανεξάρτητο}.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
120
Το σύνολο A είναι µη-κενό διότι περιέχει από τον ορισµό του το B0 . Επίσης, από το Θεώρηµα
4.5.1 έχουµε ότι κάθε σύνολο K που ανήκει στο A έχει το πολύ µ στοιχεία, δηλαδή | K | ≤ µ.
΄Αρα, υπάρχει κάποιο σύνολο B ∈ A, τέτοιο ώστε | K | ≤ | B | για κάθε K ∈ A. Ας υποθέσουµε
ότι B = {v1 , v2 , . . . , vν , vν+1 , . . . , vρ }. Θα δείξουµε ότι το σύνολο B είναι µια άση του χώρου
V . Καθώς το B είναι γραµµικά ανεξάρτητο από τον ορισµό του, αρκεί να δειχτεί ότι hBi = V .
Για το σκοπό αυτό, ας ϑεωρήσουµε ένα στοιχείο v ∈ V . Αν το v ανήκει στο B , τότε είναι
ϕανερό ότι v ∈ hBi. Ας υποθέσουµε ότι v ∈
/ B . Στην περίπτωση αυτή, το σύνολο B ∪ {v} έχει
ένα στοιχείο περισσότερο από το B . ΄Αρα, µε άση τον ορισµό του B , το σύνολο B ∪ {v} είναι
γραµµικά εξαρτηµένο. Συνεπώς, υπάρχουν στοιχεία λ1 , λ2 , . . . , λν , λν+1 , . . . , λρ , λ ∈ F µε
(?)
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν + λν+1 vν+1 + · · · + λρ vρ + λv = 0V
και ένα τουλάχιστον από τα λ1 , λ2 , . . . , λν , λν+1 , . . . , λρ , λ διαφορετικό από το 0F . Αν είναι
λ = 0F , τότε
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν + λν+1 vν+1 + · · · + λρ vρ = 0V
µε ένα τουλάχιστον από τα λ1 , λ2 , . . . , λν , λν+1 , . . . , λρ διαφορετικό από το 0F . Αυτό όµως
είναι άτοπο, αφού το σύνολο B = {v1 , v2 , . . . , vν , vν+1 , . . . , vρ } είναι γραµµικά ανεξάρτητο.
΄Αρα, ϑα πρέπει να είναι λ 6= 0F . Αυτό, µας δίνει τη δυνατότητα να λύσουµε την εξίσωση (?)
ως πρός v και να συµπεράνουµε ότι v ∈ hBi. Συνεπώς, έχουµε δείξει ότι V = hBi και άρα
το B είναι πράγµατι µια άση του V .
Θεώρηµα 4.5.5 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F.
Τότε, ο χώρος V έχει τουλάχιστον µία πεπερασµένη άση.
Απόδειξη. Αν V 6= {0V }, τότε υπάρχει v ∈ V µε v 6= 0V . ΄Αρα το v είναι γραµµικά
ανεξάρτητο και από το Πόρισµα 4.5.4 υπάρχει µια πεπερασένη άση B του V µε v ∈ B . Αν
V = {0V }, τότε ϑεωρούµε ως άση του V το κενό σύνολο.
Παρατήρηση 4.5.6 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του
F µε V 6= {0V } και K = {v1 , v2 , . . . , vν } ένα σύνολο γεννητόρων του. ΄Ενας τρόπος να ρούµε
µια άση του V , που µάλιστα είναι υποσύνολο του K , είναι ο ακόλουθος :
Αν το σύνολο K είναι γραµµικά ανεξάρτητο, τότε αυτό ϑα είναι µια άση, διότι έχουµε ήδη
υποθέσει ότι παράγει το χώρο. Αν δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητο, τότε κάποιο διάνυσµά του ϑα
είναι γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι
vν = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν−1 vν−1
για κάποια λi ∈ F, 1 ≤ i ≤ ν − 1. Στήν περίπτωση αυτή, έχουµε ότι V = hv1 , v2 , . . . , vν−1 i.
Τώρα, αν το σύνολο K 0 = {v1 , v2 , . . . , vν−1 } είναι γραµµικά ανεξάρτητο, τότε ϑα είναι και άση.
Αν το K 0 είναι γραµµικά εξαρτηµένο, µπορούµε να αφαιρέσουµε ένα ακόµη στοιχείο και να
έχουµε ένα σύνολο γεννητόρων του χώρου V µε ν − 2 στοιχεία. Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο,
ϑα ϕτάσουµε µετά από ν − 1 το πολύ ήµατα σε ένα γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο του K ,
το οποίο ϑα αποτελεί µια άση του χώρου.
΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F. Από το Θεώρηµα
4.5.5 έπεται ότι ο V έχει τουλάχιστον µία πεπερασµένη άση, ενώ από το Πόρισµα 4.5.3
4.5. ∆Ιý
ΑΣΤΑΣΗ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Υ Χý
ΩΡΟΥ
121
προκύπτει ότι κάθε άση του V είναι πεπερασµένη και κάθε δύο άσεις του V έχουν το ίδιο
πλήθος στοιχείων. Συνεπώς, το πλήθος των στοιχείων µιας άσης του V δεν εξαρτάται από
τη συγκεκριµένη άση αλλά από το χώρο V . ΄Ετσι, µπορούµε να δώσουµε τον ακόλουθο
ορισµό :
Ορισµός 4.5.7 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F. Το
πλήθος των στοιχείων µιας οποιασδήποτε άσης του χώρου V λέγεται διάσταση του V και
συµβολίζεται µε dimF V .
Παράδειγµα 4.5.8 ΄Εστω ο διανυσµατικός χώρος Rν . Η κανονική άση του V (λ. Παράδειγµα
4.4.14) αποτελείται από ν διανύσµατα και άρα dimR Rν = ν .
Παράδειγµα 4.5.9 ΄Εστω Rν [x] ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων µιας µεταβλητής µε
πραγµατικούς συντελεστές αθµού το πολύ ν . Θεωρούµε τα παρακάτω πολυώνυµα :
f0 (x) = 1, f1 (x) = x, f2 (x) = x2 , . . . , fν (x) = xν .
Τα πολυώνυµα αυτά αποτελούν ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο και παράγουν τον χώρο.
΄Ετσι, έχουµε ότι dimR Rν [x] = ν + 1.
Παράδειγµα 4.5.10 Θεωρούµε το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ως πραγµατικό διανυσµατικό χώρο. Μια άση του χώρου αυτού είναι το σύνολο {1, i}. ΄Ετσι, η διάσταση του χώρου
είναι 2, δηλαδή dimR C = 2.
Αν τώρα ϑεωρήσουµε το C ως µιγαδικό διανυσµατικό χώρο, τότε µια άση του χώρου είναι
το σύνολο {1} και έτσι η διάσταση του χώρου είναι 1, δηλαδή dimC C = 1.
Παρατήρηση 4.5.11 Είδαµε ότι υπάρχουν διανυσµατικοί χώροι που δεν είναι πεπερασµένα
παραγόµενοι (λ. Παράδειγµα 4.3.11). Σηµειώνουµε ότι και αυτοί οι χώροι έχουν άση και ότι
ορίζεται και γι’ αυτούς διάσταση. Αυτά τα αποτελέσµατα δεν ϑα τα αποδείξουµε εδώ, καθώς η
απόδειξή τους απαιτεί πιο προχωρηµένη ϑεωρία συνόλων από αυτή που ϑεωρούµε γνωστή.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. ΄Εστω K =
½µ
α11 α12
α21 α22
¶
¾
2×2
∈R
| α12 = α21 .
(i) Να δειχτεί ότι K ≤ R2×2 .
(ii) Να ρεθεί µια άση του K και η διάσταση dimR K .
2. Να ρεθεί µια άση και η διάσταση του υπόχωρου του C3 που παράγεται από το σύνολο
{(3 − i, 2 + 2i, 4), (2, 2 + 4i, 3), (1 − i, −2i, −1)}.
3. Να ρεθεί µια άση και η διάσταση του χώρου λύσεων των ακολούθων οµογενών συστηµάτων µε πραγµατικούς συντελεστές :
x1 + x2 − 3x3 + x4 + x5 = 0
(i) x1 − x2 + x3 + x4 + x5 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
122
x1 + x2 + 2x3 − 4x4 = 0
(ii) x1 + x2 − x3 − x4 = 0
2x1 + 2x2 − x3 − 3x4 = 0
4. ΄Εστω A = {p(x) ∈ R3 [x] | p(0) = 0}.
(i) Να δειχτεί ότι A ≤ R3 [x].
(ii) Να ρεθεί µια άση του A και η διάσταση dimR A.
5. ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F. Να δειχτεί
ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες για ένα υποσύνολο S του V .
(i) Το S είναι µία άση του V .
(ii) Αν I είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο του V και S ⊆ I , τότε S = I .
(iii) Αν K είναι ένα σύνολο γεννητόρων του V και K ⊆ S , τότε K = S .
4.6 Ιδιότητες ∆ιάστασης και Βάσεων
Πρόταση 4.6.1 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και ν ένας ϕυσικός αριθµός.
Τότε, κάθε δύο από τις παρακάτω τρεις προτάσεις συνεπάγονται την τρίτη :
(i) Η διάσταση του χώρου V είναι ν .
(ii) Τα ν στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν παράγουν τον χώρο V .
(iii) Τα ν στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν είναι γραµµικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη. ΄Εστω ότι ισχύουν οι (i) και (ii), αλλά το σύνολο {v1 , v2 , . . . , vν } είναι γραµµικά
εξαρτηµένο. Τότε, ένα από τα διανύσµατα του συνόλου αυτού είναι γραµµικός συνδυασµός
των υπολοίπων. ΄Ετσι, ο χώρος V παράγεται από ν − 1 διανύσµατα και άρα (Θεώρηµα 4.5.1)
η διάσταση του χώρου είναι το πολύ ν − 1, άτοπο.
΄Εστω τώρα ότι ισχύουν οι (i) και (iii). Από το Πόρισµα 4.5.4 έπεται ότι υπάρχει µια άση
B του V που περιέχει το σύνολο {v1 , v2 , . . . , vν }. Αλλά, | B | = dimF V = ν και έτσι ϑα πρέπει
να είναι B = {v1 , v2 , . . . , vν }. Καθώς η άση B παράγει τον χώρο V , έπεται ότι ισχύει η (ii).
Τέλος, αν ισχύουν οι (ii) και (iii), τότε το σύνολο {v1 , v2 , . . . , vν } αποτελεί µια άση του
χώρου V και άρα η διάσταση του χώρου είναι ν .
Παράδειγµα 4.6.2 Γνωρίζουµε ότι ο πραγµατικός διανυσµατικός χώρος των τριωνύµων R2 [x]
έχει διάσταση 3. Για παράδειγµα, το σύνολο {f1 (x) = x2 , f2 (x) = x, f3 (x) = 1} είναι µια άση
του. Θεωρούµε το σύνολο {g1 (x) = x2 + 5x + 6, g2 (x) = x2 + 1, g3 (x) = x}. Με σκοπό να
δείξουµε ότι το σύνολο αυτό είναι γραµµικά ανεξάρτητο, ϑεωρούµε µια εξίσωση
λ1 g1 (x) + λ2 g2 + λ3 g3 = 0,
µε λ1 , λ2 , λ3 ∈ R. Τότε, έχουµε λ1 + λ2 = 0, 5λ1 + λ3 = 0 και 6λ1 + λ2 = 0, απ’ όπου έπεται
ότι λ1 = λ2 = λ3 = 0. ΄Ετσι, το σύνολο {g1 (x) = x2 + 5x + 6, g2 (x) = x2 + 1, g3 (x) = x} είναι
πράγµατι γραµµικά ανεξάρτητο. Σύµφωνα µε την Πρόταση 4.6.1, το σύνολο αυτό παράγει τον
χώρο R2 [x] και άρα αποτελεί µια άση του.
4.6. Ι∆Ιý
ΟΤΗΤΕΣ ∆Ιý
ΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ Βý
ΑΣΕΩΝ
123
Πρόταση 4.6.3 ΄Εστω V ένας πεπερασµένης διάστασης διανυσµατικός χώρος επί του F και A
ένας υπόχωρός του. Τότε, ισχύουν τα ακόλουθα :
(i) dimF A ≤ dimF V και
(ii) A = V αν και µόνο αν dimF A = dimF V .
Απόδειξη.
(i) ΄Εστω B0 µια άση του A. Τότε, το B0 είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο του
V . ΄Ετσι, σύµφωνα µε το Πόρισµα 4.5.4, υπάρχει µια άση B του χώρου V µε B0 ⊆ B . ΄Αρα
dimF A = | B0 | ≤ | B | = dimF V .
(ii) Αν A = V τότε είναι προφανές ότι dimF A = dimF V . ΄Εστω τώρα ότι dimF A = dimF V .
Θεωρούµε µια άση B0 του A. Από το Πόρισµα 4.5.4 έπεται ότι υπάρχει µια άση B του
V µε B0 ⊆ B . Καθώς τα σύνολα B0 και B έχουν το ίδιο πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, ϑα
πρέπει να είναι B0 = B . Συνεπώς, έχουµε A = hB0 i = hBi = V .
Το ακόλουθο ϑεώρηµα µας δείχνει τη σχέση που υπάρχει µεταξύ της διάστασης του
αθροίσµατος δυο υποχώρων ενός διανυσµατικού χώρου και του αθροίσµατος των διαστάσεων
των υποχώρων.
Θεώρηµα 4.6.4 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και A, B δύο πεπερασµένης
διάστασης υπόχωροί του. Τότε, ο υπόχωρος A + B του V έχει πεπερασµένη διάσταση και
dimF (A + B) = dimF A + dimF B − dimF (A ∩ B).
Απόδειξη. Η τοµή A ∩ B είναι ένας υπόχωρος του A, ο οποίος έχει πεπερασµένη διάσταση.
΄Ετσι, από την Πρόταση 4.6.3 έπεται ότι ο A ∩ B έχει επίσης πεπερασµένη διάσταση. Θεωούµε λοιπόν µια άση {v1 , . . . , vν } του A ∩ B . Σύµφωνα µε το Πόρισµα 4.5.4, η άση αυτή
επεκτείνεται σε µια άση {v1 , . . . , vν , u1 , . . . , uµ } του A και σε µια άση {v1 , . . . , vν , w1 , . . . , wρ }
του B . Θα δείξουµε ότι το σύνολο {v1 , . . . , vν , u1 , . . . , uµ , w1 , . . . , wρ } είναι µια άση του A+B .
΄Εστω v ένα στοιχείο του A + B . Από τον ορισµό του υποχώρου A + B , το v γράφεται ως
άθροισµα της µορφής vA + vB για κάποια vA ∈ A και vB ∈ B . Τώρα έχουµε
vA = λ1 v1 + · · · + λν vν + δ1 u1 + · · · + δµ uµ
και
vB = ²1 v1 + · · · + ²ν vν + ζ1 w1 + · · · + ζρ wρ
για κάποια λ1 , . . . , λν , δ1 , . . . , δµ , ²1 , . . . , ²ν , ζ1 , . . . , ζρ ∈ F. ΄Ετσι, προσθέτοντας έχουµε
v = vA + vB = (λ1 + ²1 )v1 + · · · + (λν + ²ν )vν + δ1 u1 + · · · + δµ uµ + ζ1 w1 + · · · + ζρ wρ
και άρα το σύνολο {v1 , . . . , vν , u1 , . . . , uµ , w1 , . . . , wρ } παράγει τον A + B .
Μένει να δείξουµε ότι το σύνολο {v1 , . . . , vν , u1 , . . . , uµ , w1 , . . . , wρ } είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Για το λόγο αυτό, ϑεωρούµε µια γραµµική σχέση
λ1 v1 + · · · + λν vν + δ1 u1 + · · · + δµ uµ + ζ1 w1 + · · · + ζρ wρ = 0V ,
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
124
όπου λ1 , . . . , λν , δ1 , . . . , δµ , ζ1 , . . . , ζρ ∈ F. Από τη σχέση αυτή, έχουµε
λ1 v1 + · · · + λν vν + δ1 u1 + · · · + δµ uµ = −ζ1 w1 − · · · − ζρ wρ = v0 .
Το στοιχείο v0 ∈ V , όπως ϕαίνεται από την παραπάνω σχέση, ανήκει και στον υπόχωρο A
και στον υπόχωρο B , δηλαδή v0 ∈ A ∩ B . ΄Ετσι, έχουµε ότι
v0 = κ1 v1 + · · · + κν vν
για κάποια κ1 , . . . , κν ∈ F και άρα
κ1 v1 + · · · + κν vν + ζ1 w1 + · · · + ζρ wρ = 0V .
΄Οµως το σύνολο {v1 , . . . , vν , w1 , . . . , wρ } είναι µια άση του υπόχωρου B και άρα κ1 = . . . =
κν = ζ1 = . . . = ζρ = 0F . Συνεπώς, v0 = 0V και άρα
λ1 v1 + · · · + λν vν + δ1 u1 + · · · + δµ uµ = 0V .
Καθώς το σύνολο {v1 , . . . , vν , u1 , . . . , uµ } είναι µια άση του υπόχωρου A, έπεται ότι λ1 =
. . . = λν = δ1 = . . . = δµ = 0F . ΄Ετσι, το σύνολο {v1 , . . . , vν , u1 , . . . , uµ , w1 , . . . , wρ } είναι
πράγµατι γραµµικά ανεξάρτητο.
Συνεπώς, ο διανυσµατικός χώρος A + B έχει µια άση {v1 , . . . , vν , u1 , . . . , uµ , w1 , . . . , wρ },
η οποία αποτελείται από ν +µ+ρ στοιχεία. Είναι τώρα ϕανερό ότι dimF (A+B) = ν +µ+ρ =
(ν + µ) + (ν + ρ) − ν = dimF A + dimF B − dimF (A ∩ B).
Παράδειγµα 4.6.5 ΄Εστω A και B υπόχωροι του R3 µε A = h(1, 2, 0), (2, 3, 1)i και B =
h(0, 0, 1), (3, 0, 1)i. Εύκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι τα διανύσµατα (1, 2, 0) και (2, 3, 1)
είναι γραµµικά ανεξάρτητα και άρα dimR A = 2. Το ίδιο ισχύει επίσης για τα διανύσµατα
(0, 0, 1) και (3, 0, 1) και άρα dimR B = 2. Παρατηρούµε ότι το διάνυσµα (0, 0, 1) ∈ B δεν
ανήκει στον υπόχωρο A. Πράγµατι, αν ήταν (0, 0, 1) ∈ A, τότε ϑα υπήρχαν λ1 , λ2 ∈ R µε
(0, 0, 1) = λ1 (1, 2, 0) + λ2 (2, 3, 1). Καταλήγουµε έτσι στο γραµµικό σύστηµα
λ1 + 2λ2 = 0
2λ1 + 3λ2 = 0
λ2 = 1
το οποίο εύκολα διαπιστώνουµε ότι είναι αδύνατο. Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι ο υπόχωρος
A + B περιέχει γνήσια τον A και άρα (Πρόταση 4.6.3) έχει διάσταση τουλάχιστον 3. Καθώς
ο A + B είναι υπόχωρος του R3 , ο οποίος έχει διάσταση 3, ϑα έχουµε dimR (A + B) = 3 και
τελικά A + B = R3 . ΄Ετσι, από το Θεώρηµα 4.6.4, έχουµε ότι dimR (A ∩ B) = 1.
Θεώρηµα 4.6.6 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και B = {w1 , w2 , . . . , wµ } ένα
σύνολο γεννητόρων του. Αν A = {v1 , v2 , . . . , vρ } είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο του
V , τότε υπάρχει υποσύνολο B0 του B µε µ − ρ στοιχεία, έτσι ώστε V = hB0 ∪ Ai. Αν επιπλέον
το σύνολο B είναι µια άση του V , τότε το σύνολο B0 ∪ A είναι επίσης µια άση του V .
4.6. Ι∆Ιý
ΟΤΗΤΕΣ ∆Ιý
ΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ Βý
ΑΣΕΩΝ
125
Απόδειξη. Από το Θεώρηµα 4.5.1 έχουµε ότι ρ ≤ µ. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή στο ρ.
Για ρ = 1, έχουµε ότι A = {v1 }. Το A είναι γραµµικά ανεξάρτητο και άρα v1 6= 0V . Επειδή
το σύνολο B παράγει το χώρο, ϑα υπάρχουν συντελεστές λ1 , λ2 , . . . , λµ ∈ F µε
v1 = λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λµ wµ .
Αν λ1 = λ2 = . . . = λµ = 0F , τότε v1 = 0V , άτοπο. ΄Αρα, κάποιο από τα λi ϑα είναι διάφορο
του µηδενός. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι λ1 6= 0F . Τότε, µπορούµε να λύσουµε ως πρός
w1 και να λάβουµε τη σχέση
w1 =
1
(v1 − λ2 w2 − · · · − λµ wµ ).
λ1
΄Ετσι, συµπεραίνουµε ότι w1 ∈ hv1 , w2 , . . . , wµ i και άρα
V = hw1 , w2 , . . . , wµ i = hv1 , w2 , . . . , wµ i.
Το ητούµενο έπεται ϑέτοντας B0 = {w2 , . . . , wµ }.
Ας υποθέσουµε τώρα ότι ρ > 1 και το ϑεώρηµα ισχύει για το ρ − 1. Θα δείξουµε ότι
ισχύει και για το ρ. Θεωρούµε το γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο A0 = {v1 , v2 , . . . , vρ−1 } και
χρησιµοποιούµε την επαγωγική υπόθεση για να ρούµε ένα υποσύνολο
0
B 0 = {w10 , w20 , . . . , wµ−(ρ−1)
} ⊆ B,
τέτοιο ώστε V = hB 0 ∪ A0 i. Καθώς vρ ∈ V , έχουµε µια σχέση της µορφής
0
vρ = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λρ−1 vρ−1 + σ1 w10 + σ2 w20 + · · · + σµ−(ρ−1) wµ−(ρ−1)
,
για κατάλληλα λ1 , λ2 , . . . , λρ−1 , σ1 , σ2 , . . . , σµ−(ρ−1) ∈ F. Αν σ1 = σ2 = . . . = σµ−(ρ−1) = 0F ,
τότε τα στοιχεία v1 , v2 , . . . , vρ−1 , vρ ϑα ήταν γραµµικά εξαρτηµένα, άτοπο. ΄Αρα, κάποιο σi
είναι µη-µηδενικό. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι σ1 6= 0F . Τότε, µπορούµε να λύσουµε ως
προς w10 και να λάβουµε τη σχέση
w10 =
¢
1 ¡
0
vρ − λ1 v1 − λ2 v2 − · · · − λρ−1 vρ−1 − σ2 w20 − · · · − σµ−(ρ−1) wµ−(ρ−1)
.
σ1
0
΄Ετσι, συµπεραίνουµε ότι w10 ∈ hv1 , v2 , . . . , vρ−1 , vρ , w20 , . . . , wµ−(ρ−1)
i και άρα
0
0
V = hv1 , v2 , . . . , vρ−1 , w10 , w20 , . . . , wµ−(ρ−1)
i = hv1 , v2 , . . . , vρ−1 , vρ , w20 , . . . , wµ−(ρ−1)
i.
0
}.
Το ητούµενο έπεται ϑέτοντας B0 = {w20 , . . . , wµ−(ρ−1)
Αν τώρα το σύνολο B είναι µια άση του χώρου V , τότε έχουµε dimF V = µ. ΄Ετσι, µε
άση την Πρόταση 4.6.1, το σύνολο B0 ∪ A (το οποίο παράγει τον χώρο V και έχει µ στοιχεία)
αποτελεί επίσης µια άση του V .
Παράδειγµα 4.6.7 Θα ακολουθήσουµε την απόδειξη του προηγούµενου Θεωρήµατος για να
ρούµε µια άση του χώρου R3 που περιέχει τα στοιχεία v1 = (1, −1, 0) και v2 = (0, 1, 1).
Θεωρούµε µια άση του R3 , έστω την κανονική {e1 , e2 , e3 }, όπου e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0)
και e3 = (0, 0, 1). Τότε, v1 = (1, −1, 0) = e1 − e2 και άρα e2 = e1 − v1 . Συνεπώς, είναι
R3 = hv1 , e1 , e3 i. Τώρα v2 ∈ hv1 , e1 , e3 i και v2 = e2 +e3 = e1 −v1 +e3 , δηλαδή e1 = v2 +v1 −e3 .
Συνεπώς, R3 = hv1 , v2 , e3 i και το σύνολο {v1 , v2 , e3 } είναι µια άση του R3 που περιέχει το v1
και το v2 .
126
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
Πρόταση 4.6.8 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F και
B µια άση του. Αν K ⊆ B και K 0 = B \ K , τότε V = hKi ⊕ hK 0 i.
Απόδειξη. Είναι άµεση από τους ορισµούς και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.
Παρατήρηση 4.6.9 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του
F και A ένας υπόχωρός του. Η απόδειξη του Θεωρήµατος 4.6.6 µας δίνει έναν τρόπο για να
ρούµε έναν υπόχωρο A0 του V µε V = A ⊕ A0 . Πράγµατι, έστω {w1 , w2 , . . . , wµ } µια άση
του V και {v1 , v2 , . . . , vρ } µια άση του A. Τότε, από το Θεώρηµα 4.6.6 έπεται ότι µπορούµε να
ρούµε µία άση B του V µε {v1 , v2 , . . . , vρ } ⊆ B και B\{v1 , v2 , . . . , vρ } ⊆ {w1 , w2 , . . . , wµ }.
Αν τώρα ϑέσουµε A0 = hB\{v1 , v2 , . . . , vρ }i, τότε από την Πρόταση 4.6.8 έχουµε ότι V = A⊕A0 .
Παράδειγµα 4.6.10 ΄Εστω v = (1, 0, −2) ∈ R3 και A = hvi ≤ R3 . Θα ρούµε έναν υπόχωρο
A0 του R3 µε A⊕A0 = R3 . ΄Εστω {e1 , e2 , e3 } η κανονική άση του R3 . Τότε, έχουµε v = e1 −2e3
και εποµένως e1 = v + 2e3 . Συνεπώς, έχουµε R3 = hv, e2 , e3 i. ΄Αρα, αν A0 = he2 , e3 i τότε
R3 = hvi ⊕ he2 , e3 i = A ⊕ A0 .
Παρατηρούµε ότι e3 = 12 e1 − 12 v και άρα R3 = hv, e1 , e2 i. Συνεπώς, αν A00 = he1 , e2 i
τότε έχουµε R3 = hvi ⊕ he1 , e2 i = A ⊕ A00 . ΄Ετσι, έχουµε R3 = A ⊕ A0 = A ⊕ A00 µε
A0 = {(0, b, c) ∈ R3 | b, c ∈ R} 6= {(a, b, 0) ∈ R3 | a, b ∈ R} = A00 .
Πρόταση 4.6.11 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F και
A ≤ V ένας υπόχωρός του. Τότε, ο διανυσµατικός χώρος πηλίκο V /A είναι επίσης πεπερασµένα
παραγόµενος και µάλιστα dimF (V /A) = dimF V − dimF A.
Απόδειξη. Καθώς ο V είναι πεπερασµένα παραγόµενος, υπάρχει ένα πεπερασµένο υποσύνολο K ⊆ V , τέτοιο ώστε V = hKi. Κάθε στοιχείο του πηλίκου V /A είναι ένα σύµπλοκο
της µορφής v + A για κάποιο v ∈ V . Γράφοντας το v ως γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων
του K , λέπουµε ότι v + A ∈ hKi, όπου K = {x + A | x ∈ K}. ΄Ετσι, το πεπερασµένο
υποσύνολο K ⊆ V /A παράγει το διανυσµατικό χώρο V /A και άρα ο V /A είναι πεπερασµένα
παραγόµενος.
Ας ϑεωρήσουµε µια άση {ξ1 , ξ2 , . . . , ξν } του V /A. Επιλέγοντας αντιπροσώπους των
κλάσεων, έχουµε ξi = vi + A για κάποιο vi ∈ V , 1 ≤ i ≤ ν . Θεωρούµε επίσης µια άση {u1 , u2 , . . . , uµ } του διανυσµατικού χώρου A, ο οποίος είναι επίσης πεπερασµένα
παραγόµενος (Πρόταση 4.6.3). Θα δείξουµε ότι το σύνολο B = {u1 , u2 , . . . , uµ , v1 , v2 , . . . , vν }
αποτελεί µια άση του V .
Θα δείξουµε αρχικά ότι το B παράγει τον V . Για το σκοπό αυτό, ϑεωρούµε ένα στοιχείο
v ∈ V και το σύµπλοκο v + A ∈ V /A. Καθώς το σύνολο {v1 + A, v2 + A, . . . , vν + A} παράγει
το διανυσµατικό χώρο V /A, µπορούµε να γράψουµε
v + A = λ1 (v1 + A) + λ2 (v2 + A) + · · · + λν (vν + A) ∈ V /A,
για κατάλληλα λi ∈ F, 1 ≤ i ≤ ν . Τότε όµως έχουµε
v + A = (λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν ) + A ∈ V /A
και άρα το στοιχείο v 0 = v − (λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν ) ανήκει στον υπόχωρο A. ΄Οµως το
σύνολο {u1 , u2 , . . . , uµ } παράγει τον A και άρα µπορούµε να γράψουµε
v 0 = κ 1 u1 + κ 2 u2 + · · · + κ µ uµ ,
4.6. Ι∆Ιý
ΟΤΗΤΕΣ ∆Ιý
ΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ Βý
ΑΣΕΩΝ
127
για κατάλληλα κj ∈ F, 1 ≤ j ≤ µ. Συνεπώς, έχουµε
v = κ1 u1 + κ2 u2 + · · · + κµ uµ + λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν
και άρα το B παράγει τον V .
Στη συνέχεια, ϑα δείξουµε ότι το B είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Ας υποθέσουµε ότι
κ1 u1 + κ2 u2 + · · · + κµ uµ + λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν = 0V ∈ V,
για κάποιους συντελεστές κ1 , κ2 , . . . , κµ , λ1 , λ2 , . . . , λν ∈ F. Τότε,
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν = −κ1 u1 − κ2 u2 − · · · − κµ uµ ∈ A
και άρα
λ1 (v1 + A) + λ2 (v2 + A) + · · · + λν (vν + A) = (λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν ) + A = 0V + A ∈ V /A.
΄Οµως 0V + A = 0V /A ∈ V /A και άρα λ1 = λ2 = . . . = λν = 0, λόγω της γραµµικής
ανεξαρτησίας του συνόλου {v1 + A, v2 + A, . . . , vν + A} ⊆ V /A. Τότε όµως είναι
κ1 u1 + κ2 u2 + · · · + κµ uµ = 0A ∈ A
και άρα, λόγω της γραµµικής ανεξαρτησίας του συνόλου {u1 , u2 , . . . , uµ } ⊆ A, έπεται ότι
κ1 = κ2 = . . . = κµ = 0.
΄Εχοντας δείξει ότι το σύνολο {u1 , u2 , . . . , uµ , v1 , v2 , . . . , vν } αποτελεί µια άση του V ,
συµπεραίνουµε ότι dimF V = µ + ν = dimF A + dimF (V /A), δηλαδή το ητούµενο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
(i) Να δειχτεί ότι τα p(x) = 1 + x + x2 και q(x) = x − x3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα
στοιχεία του R3 [x].
(ii) Να ρεθεί µία άση B του R3 [x] µε {p(x), q(x)} ⊆ B .
2×2
2. Να ρεθούν
δύο
B¶
1 , Bµ
2 του R¶¾ µε B1 6= B2 , οι οποίες περιέχουν το σύνολο
½µ
¶ άσεις
µ
1 1
0 0
1 0
B0 =
,
,
.
0 0
1 1
0 1
3. Θεωρούµε το διανυσµατικό χώρο R4 και τους υποχώρους του A και B , όπου A =
h(1, 0, 2, −1), (−1, 1, 1, 1)i και B = h(−1, −3, 0, 1), (5, 0, 3, 0)i. Να ρεθεί η διάσταση
dimR (A ∩ B) του υποχώρου A ∩ B .
4. ΄Εστω K = {(3, 2, 2, 1), (2, 1, 2, 1), (2, 2, 1, 3), (7, 5, 5, 5)} ⊆ R4 . Να ρεθεί µια άση B0
του hKi και µια άση B του R4 µε B0 ⊆ B .
5.
(i) ΄Εστω B = {p(x), q(x), σ(x), r(x)} η άση του R3 [x] που ρέθηκε στην άσκηση 1.
Αν A = hp(x), q(x)i και B = hσ(x), r(x)i, να δειχτεί ότι R3 [x] = A ⊕ B .
(ii) ΄Εστω B1 = B0 ∪ {α} και B2 = B0 ∪ {β} οι άσεις του R2×2 που ρέθηκαν στην
άσκηση 2. Αν A = hαi και B = hβi, να δειχτεί ότι R2×2 = hB0 i ⊕ A = hB0 i ⊕ B .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 4. ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟý
Ι Χý
ΩΡΟΙ
128
6.
(i) ΄Εστω A, B υπόχωροι του διανυσµατικού χώρου R6 [x] µε dimR A = 4 και dimR B =
5. Να δειχτεί ότι dimR (A ∩ B) ≥ 2.
(ii) Να ρεθούν υπόχωροι A0 , B0 του διανυσµατικού χώρου R6 [x] µε dimR A0 = 4,
dimR B0 = 5 και dimR (A0 ∩ B0 ) = 2.
7. ΄Εστω W ο υπόχωρος του R3 [x] που παράγεται από τα 1 + 2x, −3x + 5x2 . Να ρεθούν
υπόχωροι Z1 , Z2 του R3 [x], έτσι ώστε R3 [x] = W ⊕ Z1 = W ⊕ Z2 και Z1 6= Z2 .
µ
¶
1 −1
2×2
8. ΄Εστω W ο υπόχωρος του R
που παράγεται από τον πίνακα
. Να ρεθούν
0
1
διακεκριµένοι υπόχωροι Z1 , Z2 , Z3 του R2×2 , έτσι ώστε R2×2 = W ⊕ Z1 = W ⊕ Z2 =
W ⊕ Z3 .
9.
(i) Να ρεθεί µια άση και η διάσταση του χώρου Σ των συµµετρικών ν × ν πραγµατικών πινάκων.
(ii) Να ρεθεί µια άση και η διάσταση του χώρου A των αντισυµµετρικών ν × ν
πραγµατικών πινάκων.
(iii) Να δειχθεί ότι Rν×ν = Σ ⊕ A.
Κεφάλαιο 5
Γραµµικές Απεικονίσεις
Στο Κεφάλαιο αυτό ϑα ορίσουµε τις γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων
και ϑα µελετήσουµε ορισµένες ασικές ιδιότητές τους.
5.1 Ορισµοί και Παραδείγµατα
Ορισµός 5.1.1 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F. Μια απεικόνιση f : V −→ W
λέγεται γραµµική αν για κάθε u, v ∈ V και λ ∈ F ισχύουν τα εξής :
(i) f (u + v) = f (u) + f (v) ∈ W και
(ii) f (λu) = λf (u) ∈ W .
Μια γραµµική απεικόνιση f : V −→ V λέγεται επίσης γραµµικός µετασχηµατισµός του V .
΄Ετσι, οι γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων είναι ακριβώς οι
απεικονίσεις εκείνες που αντιστοιχούν στο άθροισµα δύο στοιχείων του πεδίου ορισµού τους
το άθροισµα των εικόνων τους στο πεδίο τιµών και αντίστοιχα για τα πολλαπλάσια µε στοιχεία
του F. Καθώς η γραµµική δοµή ενός διανυσµατικού χώρου περιγράφεται από το άθροισµα
των στοιχείων του και το γινόµενό τους µε στοιχεία του F, µπορούµε να πούµε ότι οι γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων είναι οι απεικονίσεις που διατηρούν τη
δοµή των χώρων.
Παραδείγµατα 5.1.2
(i) Θεωρούµε ένα διανυσµατικό χώρο V και σταθεροποιούµε ένα στοιχείο a ∈ F. Τότε, η
απεικόνιση Ta : V −→ V µε Ta (v) = av για κάθε v ∈ V είναι µια γραµµική απεικόνιση
από τον V στον εαυτό του.
(ii) ΄Εστω ϕ µια γωνία µε 0 ≤ ϕ < 2π . Τότε, η απεικόνιση Rϕ : R2 −→ R2 µε Rϕ (x, y) =
(xσυνϕ − y ηµϕ, xηµϕ + y συνϕ) για κάθε (x, y) ∈ R2 είναι γραµµική και λέγεται στροφή
του επιπέδου κατά γωνία ϕ.
129
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
130
(iii) Θεωρούµε την απεικόνιση J : C −→ C µε J(a + bi) = a − bi για κάθε µιγαδικό αριθµό
a + bi (µε a, b ∈ R). ΄Ετσι, η J απεικονίζει κάθε µιγαδικό αριθµό z στον συζυγή του z .
Η απεικόνιση J είναι ένας γραµµικός µετασχηµατισµός του πραγµατικού διανυσµατικού
χώρου C.
Αν όµως ϑεωρήσουµε τον C ως ένα µιγαδικό διανυσµατικό χώρο, τότε η απεικόνιση J δεν
είναι γραµµική. Πράγµατι, για λ = i και v = i έχουµε J(λv) = J(ii) = J(−1) = −1,
ενώ λJ(v) = iJ(i) = i(−i) = 1.
(iv) ΄Εστω ν, µ, σ τρεις ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A ένας ν × µ πίνακας µε στοιχεία από το
F. Τότε, η απεικόνιση LA : Fµ×σ −→ Fν×σ µε LA (B) = AB για κάθε B ∈ Fµ×σ είναι
γραµµική.
Ειδικότερα, ορίζεται η γραµµική απεικόνιση LA : Fµ×1 −→ Fν×1 µε LA (B) = AB για
κάθε πίνακα-στήλη B ∈ Fµ×1 .
(v) ΄Εστω ν, µ, σ τρεις ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A ένας µ × σ πίνακας µε στοιχεία από το
F. Τότε, η απεικόνιση RA : Fν×µ −→ Fν×σ µε RA (B) = BA για κάθε B ∈ Fν×µ είναι
γραµµική.
Ειδικότερα, ορίζεται η γραµµική απεικόνιση RA : F1×µ −→ F1×σ µε RA (B) = BA για
κάθε πίνακα-γραµµή B ∈ F1×µ .
(vi) ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί. Τότε, η απεικόνιση t : Fν×µ −→ Fµ×ν µε
A 7−→ At για κάθε A ∈ Fν×µ είναι γραµµική.
(vii) Για κάθε πολυώνυµο f (x) ∈ R[x] ορίζεται κατά τα γνωστά η παράγωγος f 0 (x) ∈ R[x].
Αν ν είναι ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός, τότε η απεικόνιση d : Rν [x] −→ Rν−1 [x] µε
d(f (x)) = f 0 (x) για κάθε f (x) ∈ Rν [x] είναι γραµµική.
P
(viii) Για
= νi=0 ai xi ∈ R[x] µπορούµε να ϑεωρήσουµε το πολυώνυµο
R x κάθε πολυώνυµο
Pν ai f (x)
f (t) dt = i=0 i+1 xi+1 ∈ R[x]. ΄Ετσι, αν ν είναι ένας ϕυσικός αριθµός, τότε ορίζεται
0
Rx
η γραµµική απεικόνιση I : Rν [x] −→ Rν+1 [x] µε I(f (x)) = 0 f (t) dt για κάθε f (x) ∈
Rν [x].
P
(ix) Για κάθε πολυώνυµο f (x) = νi=0 ai xi ∈ R[x] µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον πραγµατικό
R1
Pν ai
αριθµό 0 f (t) dt =
i=0 i+1 . ΄Ετσι, αν ν είναι ένας ϕυσικός αριθµός, τότε ορίζεται η
R1
γραµµική απεικόνιση S : Rν [x] −→ R µε S(f (x)) = 0 f (t) dt για κάθε f (x) ∈ Rν [x].
(x) Οι απεικονίσεις f : F2 −→ F2 µε f (x, y) = (y, x) για κάθε (x, y) ∈ F2 και g : F3 −→ F3
µε g(x, y, z) = (y, z, x) για κάθε (x, y, z) ∈ F3 είναι γραµµικές.
Γενικότερα, ας ϑεωρήσουµε ένα ϕυσικό αριθµό ν και µια µετάθεση σε ν σύµβολα π ∈ Sν .
Τότε, η απεικόνιση fπ : Fν −→ Fν µε f (x1 , x2 , . . . , xν ) = (xπ(1) , xπ(2) , . . . , xπ(ν) ) για κάθε
(x1 , x2 , . . . , xν ) ∈ Fν είναι γραµµική.
(xi) Η απεικόνιση f : F2 −→ F3 µε f (x, y) = (x + y, 2x − y, x + 3y) για κάθε (x, y) ∈ F2 είναι
γραµµική.
5.1. ΟΡΙΣΜΟý
Ι ΚΑΙ ΠΑΡΑ∆Εý
ΙΓΜΑΤΑ
131
(xii) ΄Εστω κ, ν δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί µε κ ≤ ν . Τότε, η απεικόνιση p : Fν −→ F µε
p(x1 , x2 , . . . , xν ) = xκ για κάθε (x1 , x2 , . . . , xν ) ∈ Fν είναι γραµµική και λέγεται προβολή
στην κ συντεταγµένη.
Ας δούµε τώρα ορισµένες άµεσες συνέπειες του ορισµού µιας γραµµικής απεικόνισης.
Πρόταση 5.1.3 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια απεικόνιση.
(i) Η f είναι γραµµική αν και µόνο αν f (λu + µv) = λf (u) + µf (v) για κάθε λ, µ ∈ F και
u, v ∈ V .
(ii) Αν η f είναι γραµµική, τότε
f (λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + · · · + λν f (vν )
για κάθε λ1 , λ2 , . . . , λν ∈ F και v1 , v2 , . . . , vν ∈ V .
Απόδειξη. (i) Αν η f είναι γραµµική τότε
f (λu + µv) = f (λu) + f (µv) = λf (u) + µf (v)
για κάθε λ, µ ∈ F και u, v ∈ V . Αντίστροφα, έστω ότι για την απεικόνιση f ισχύει η παραπάνω σχέση. Τότε, ϑέτοντας λ = µ = 1, έχουµε την πρώτη ιδιότητα που χαρακτηρίζει τη
γραµµικότητα της f . Τέλος, ϑέτοντας µ = 0, έπεται και η δεύτερη ιδιότητα.
(ii) Αυτό αποδεικνύεται εύκολα µε επαγωγή στο ν .
Πρόταση 5.1.4 Αν V, W είναι δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια
γραµµική απεικόνιση, τότε έχουµε f (0V ) = 0W και f (−u) = −f (u) για κάθε u ∈ V .
Απόδειξη. Για την πρώτη σχέση έχουµε f (0V ) = f (0F 0V ) = 0F f (0V ) = 0W . Ας ϑεωρήσουµε
τώρα ένα στοιχείο v ∈ V . Με άση την Πρόταση 4.1.9(iv), έχουµε −v = (−1)v ∈ V και
−f (v) = (−1)f (v) ∈ W και άρα f (−v) = f ((−1)v) = (−1)f (v) = −f (v).
Παραδείγµατα 5.1.5
(i) ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F. Τότε, η απεικόνιση f : V −→ W µε
f (v) = 0W για κάθε v ∈ V είναι γραµµική.
(ii) ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Τότε, η ταυτοτική απεικόνιση 1V : V −→ V
µε 1V (v) = v για κάθε v ∈ V είναι γραµµική.
(iii) ΄Εστω U, V και W διανυσµατικοί χώροι επί του F. Αν οι απεικονίσεις f : U −→ V και
g : V −→ W είναι γραµµικές, τότε η σύνθεση g ◦ f : U −→ W είναι επίσης γραµµική.
Πράγµατι, αν v, v 0 ∈ V και λ ∈ F τότε έχουµε
(g◦f )(v+v 0 ) = g(f (v+v 0 )) = g(f (v)+f (v 0 )) = g(f (v))+g(f (v 0 )) = (g◦f )(v)+(g◦f )(v 0 )
και
(g ◦ f )(λv) = g(f (λv)) = g(λf (v)) = λg(f (v)) = λ(g ◦ f )(v).
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
132
Ορισµός 5.1.6 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση.
(i) Η f καλείται µονοµορφισµός αν είναι 1-1.
(ii) Η f καλείται επιµορφισµός αν είναι επί.
(iii) Η f καλείται ισοµορφισµός αν είναι ταυτόχρονα µονοµορφισµός και επιµορφισµός.
Παραδείγµατα 5.1.7
(i) Αναφερόµενοι στα Παραδείγµατα 5.1.2, παρατηρούµε ότι οι γραµµικές απεικονίσεις των
(viii) και (xi) είναι µονοµορφισµοί, οι γραµµικές απεικονίσεις των (vii), (ix) και (xii)
είναι επιµορφισµοί, ενώ οι γραµµικές απεικονίσεις των (ii), (vi) και (ix) είναι ισοµορφισµοί.
(ii) Αν V είναι ένας διανυσµατικός χώρος επί του F, τότε η ταυτοτική απεικόνιση 1V : V −→ V
(πρβλ. Παράδειγµα 5.1.5(ii) είναι ισοµορφισµός.
(iii) ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και V0 ένας υπόχωρός του. Τότε, η απεικόνιση ι : V0 −→ V µε ι(v) = v για κάθε v ∈ V0 είναι ένας µονοµορφισµός. Επιπλέον, αν
V /V0 είναι ο αντίστοιχος διανυσµατικός χώρος πηλίκο, τότε η απεικόνιση p : V −→ V /V0
µε p(v) = v + V0 για κάθε v ∈ V είναι ένας επιµορφισµός.
Πρόταση 5.1.8 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση. Τότε, οι επόµενοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι :
(i) Η f είναι ισοµορφισµός.
(ii) Υπάρχει γραµµική απεικόνιση g : W −→ V , τέτοια ώστε f ◦ g = 1W και g ◦ f = 1V .
Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι η f είναι ισοµορφισµός. Τότε, η f είναι 1-1 και επί και
άρα υπάρχει η αντίστροφη απεικόνιση f −1 : W −→ V . Προφανώς, ισχύουν οι ισότητες
f ◦ f −1 = 1W και f −1 ◦ f = 1V . Θα δείξουµε ότι η f −1 είναι γραµµική. Για το λόγο αυτό,
ϑεωρούµε στοιχεία λ, λ0 ∈ F και w, w 0 ∈ W . Καθώς η f είναι επί, υπάρχουν v, v 0 ∈ V µε
w = f (v) και w0 = f (v 0 ). Συνεπώς, από την γραµµικότητα της f έπεται ότι
λw + λ0 w0 = λf (v) + λ0 f (v 0 ) = f (λv + λ0 v 0 )
(πρβλ. Πρόταση 5.1.3(i)) και άρα
f −1 (λw + λ0 w0 ) = λv + λ0 v 0 = λf −1 (v) + λ0 f −1 (v 0 ).
∆είξαµε λοιπόν ότι η f −1 είναι γραµµική.
Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι υπάρχει γραµµική απεικόνιση g : W −→ V , τέτοια ώστε
f ◦ g = 1W και g ◦ f = 1V . Τότε, χρησιµοποιώντας την Πρόταση 1.4.14, έπεται ότι η
απεικόνιση f είναι 1-1 και επί. ΄Ετσι, µε άση τον Ορισµό 5.1.6, συµπεραίνουµε ότι η f
είναι ισοµορφισµός.
5.1. ΟΡΙΣΜΟý
Ι ΚΑΙ ΠΑΡΑ∆Εý
ΙΓΜΑΤΑ
133
Ορισµός 5.1.9 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F. Θα λέµε ότι ο V είναι ισόµορϕος µε τον W , και ϑα γράφουµε V ' W , αν υπάρχει ισοµορφισµός f : V −→ W .
Η σχέση της ισοµορφίας που ορίσαµε παραπάνω µεταξύ των διανυσµατικών χώρων επί
του F έχει τις επόµενες ιδιότητες :
(i) Κάθε διανυσµατικός χώρος V είναι ισόµορφος µε τον εαυτό του. Πράγµατι, η ταυτοτική
απεικόνιση 1V : V −→ V είναι ένας ισοµορφισµός.
(ii) ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι. Αν ο V είναι ισόµορφος µε τον W , τότε και ο
W είναι ισόµορφος µε τον V . ΄Ετσι, στην περίπτωση αυτή, λέµε απλούστερα ότι οι
διανυσµατικοί χώροι V και W είναι ισόµορφοι. Πράγµατι, αν f : V −→ W είναι ένας
ισοµορφισµός, τότε η αντίστροφη απεικόνιση f −1 : W −→ V είναι επίσης ισοµορφισµός
(λ. την απόδειξη της Πρότασης 5.1.8).
(iii) ΄Εστω U, V και W τρεις διανυσµατικοί χώροι. Αν ο U είναι ισόµορφος µε τον V και ο V
είναι ισόµορφος µε τον W , τότε ο U είναι ισόµορφος µε τον W . Εδώ, αν f : U −→ V
και g : V −→ W είναι ισοµορφισµοί, τότε η σύνθεση g ◦ f : U −→ W είναι 1-1, επί και
γραµµική (Παράδειγµα 5.1.5(iii)), δηλαδή ισοµορφισµός.
Παραδείγµατα 5.1.10
(i) ΄Εστω f : R4 −→ R3 [x] η απεικόνιση που ορίζεται µε f (r1 , r2 , r3 , r4 ) = r1 + r2 x + r3 x2 +
r4 x3 για κάθε (r1 , r2 , r3 , r4 ) ∈ R4 . Είναι εύκολο να δειχτεί ότι η απεικόνιση f είναι
γραµµική, 1-1 και επί. ΄Ετσι, η f είναι ένας ισοµορφισµός και άρα R4 ' R3 [x].
µ
¶
r1 r2 r3
6
2×3
(ii) ΄Εστω f : R −→ R
η απεικόνιση µε (r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 ) 7−→
. Και
r4 r5 r6
εδώ µπορούµε να επαληθεύσουµε εύκολα ότι η f είναι γραµµική, 1-1 και επί, δηλαδή
ισοµορφισµός. ΄Ετσι, R6 ' R2×3 .
(iii) ΄Εστω f : R4 −→ R2 η απεικόνιση µε (r1 , r2 , r3 , r4 ) 7−→ (r1 + r3 , r2 − r4 ). Η απεικόνιση
f είναι γραµµική και µάλιστα επιµορφισµός. Πράγµατι, για κάθε (r, r0 ) ∈ R2 υπάρχει το
στοιχείο (r, r 0 , 0, 0) ∈ R4 , για το οποίο έχουµε f (r, r 0 , 0, 0) = (r, r 0 ). Καθώς f (1, 1, 1, 0) =
(2, 1) = f (2, 1, 0, 0), η f δεν είναι 1 − 1. ΄Ετσι, η f δεν είναι ισοµορφισµός.
(iv) ΄Εστω f : R2 −→ R3 η απεικόνιση µε (r1 , r2 ) 7−→ (r1 , r1 − r2 , r2 ). Είναι εύκολο να
δειχτεί ότι η απεικόνιση f είναι γραµµική και µάλιστα ένας µονοµορφισµός. Καθώς δεν
υπάρχει στοιχείο (r1 , r2 ) ∈ R2 µε f (r1 , r2 ) = (0, 1, 0), η f δεν είναι επί. ΄Ετσι, η f δεν
είναι ισοµορφισµός.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια απεικόνιση. Να
δειχτεί ότι η f είναι γραµµική αν και µόνο αν f (u + λv) = f (u) + λf (v) για κάθε
u, v ∈ V και λ ∈ F.
2. Να εξετάσετε ποιες από τις επόµενες απεικονίσεις είναι γραµµικές :
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
134
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
f
f
f
f
: R2
: R3
: R3
: R3
−→ R3
−→ R2
−→ R3
−→ R3
µε f (x1 , x2 ) = (x2 , x1 − 3x2 , x1 + x2 )
µε f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x3 , x1 − x2 + 10x3 )
µε f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 x2 , x3 , x2 )
µε f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x3 , x2 + x3 , x21 )
3. Να δειχτεί ότι η απεικόνιση ∆ : Rν [x] −→ Rν−1 [x] µε ∆(f (x)) = f (x + 1) − f (x) για
κάθε f (x) ∈ Rν [x] είναι ένας επιµορφισµός διανυσµατικών χώρων.
4. ΄Εστω A ένας αντιστρέψιµος ν × ν πίνακας. Να δειχτεί ότι οι γραµµικές απεικονίσεις
LA : Fν×σ −→ Fν×σ και RA : Fσ×ν −→ Fσ×ν , που ορίστηκαν στα Παραδείγµατα
5.1.2(iv), (v), είναι ισοµορφισµοί για κάθε ϕυσικό αριθµό σ .
5.2 Γραµµικές Απεικονίσεις και Βάσεις
Ας ϑεωρήσουµε ένα διανυσµατικό χώρο V επί του F µε διάσταση ν και µια άση του
{v1 , v2 , . . . , vν }. Τότε, κάθε στοιχείο v ∈ V γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως γραµµικός
συνδυασµός των v1 , v2 , . . . , vν :
v = λ 1 v1 + λ 2 v2 + · · · + λ ν vν .
Εποµένως, έχοντας σταθεροποιήσει

 τη άση {v1 , v2 , . . . , vν }, σε κάθε στοιχείο v ∈ V αντισ-
λ1
 λ2 


τοιχεί ένας πίνακας-στήλη  .  ∈ Fν×1 . Για να ορίζεται µε τον τρόπο αυτό µια απεικόνιση,
 .. 
λν
για να αντιστοιχεί δηλαδή ακριβώς ένας πίνακας στήλη σε κάθε στοιχείο v ∈ V , ϑα πρέπει
να ϑεωρήσουµε µία διατεταγµένη άση του V . Πράγµατι, αν v = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν =
λ
λ1 v1 + · · · + λν vν , τότε µέσω της πρώτης γραφής του v παίρνουµε
2 v2 +

 τον πίνακα-στήλη
λ1
λ2
 λ2 
 λ1 




 ..  και µέσω της δεύτερης γραφής του v τον πίνακα-στήλη  .. .
 . 
 . 
λν
λν
Ορισµός 5.2.1 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F διάστασης ν . Μια διατεταγµένη
άση του V είναι µια διατεταγµένη ν -άδα (v1 , v2 , . . . , vν ) στοιχείων του V , έτσι ώστε το σύνολο
{v1 , v2 , . . . , vν } να είναι µια άση του V .
b = (v1 , v2 , . . . , vν )
΄Εστω τώρα V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F διάστασης ν και B
µια διατεταγµένη άση του. Τότε, ορίζεται η απεικόνιση
[ ]Bb : V −→ Fν×1



λ1
λ1
 λ2 
 λ2 




µε v 7−→  . , όπου v = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν . Ο πίνακας-στήλη  .  λέγεται η
.
.
 . 
 . 
λν
λν
b και συµβολίζεται µε [v] b .
στήλη των συντελεστών του v ως προς τη διατεταγµένη άση B
B

5.2. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Βý
ΑΣΕΙΣ
135
Παραδείγµατα 5.2.2 Θεωρούµε τις ακόλουθες διατεταγµένες άσεις του R3 :
eb = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) και b
a = ((1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, −1, 1)).
Τότε, για
στοιχείο v = (1, 2, 3) ∈ R3 είναι v = 1(1, 0, 0) + 2(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1) και άρα
 το 
1

2 . ΄Ετσι, η στήλη των συντελεστών του w ως προς τη διατεταγµένη άση eb είναι
[v]eb =


 3
4
1
η  2 . Καθώς έχουµε v = 4(1, 1, 1) − 3(1, 0, 1) + 2(0, −1, 1), έπεται ότι [v]ba =  −3 .
3

 2
4

−3 .
΄Ετσι, η στήλη των συντελεστών του w ως προς τη διατεταγµένη άση b
a είναι η
2
Πρόταση 5.2.3 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F διάστασης ν . Τότε, για κάθε
b = (v1 , v2 , · · · , vν ) του V η απεικόνιση
διατεταγµένη άση B
[ ]Bb : V −→ Fν×1
που ορίστηκε παραπάνω είναι ισοµορφισµός.
Απόδειξη. Θα δείξουµε ότι η απεικόνιση [ ]Bb είναι γραµµική, 1-1 και επί.
Για να δείξουµε τη γραµµικότητα της [ ]Bb , ϑεωρούµε δύο στοιχεία v, v 0 ∈ V
. ΄Εστω
 ότι
0
v = λ1 v1 + · · · + λν vν και v =

λ01
λ01 v1
+ ··· +
λ0ν vν .
΄Αρα, ϑα είναι [v]Bb

λ1
 .. 
=  .  και
λν


[v]Bb =  ... . Καθώς v + v 0 = (λ1 + λ1 )v1 + · · · + (λν + λν )vν , έπεται ότι
λ0ν


[v + v 0 ]Bb = 
λ1 + λ01
 
λ1
 
  ..  
 =  . +
0
λν + λν
λν
..
.
λ01

.. 
.  = [v]Bb + [v]Bb .
λ0ν
Ανάλογα δείχνουµε ότι για κάθε λ ∈ F και v ∈ V ϑα είναι [λv]Bb = λ[v]Bb . Συνεπώς, η
απεικόνιση [ ]Bb είναι γραµµική.
 Γιανα δείξουµε ότι η απεικόνιση [ ]Bb είναι επί, παρατηρούµε ότι για κάθε στοιχείο
λ1
 .. 
 .  ∈ Fν×1 το στοιχείο
λν

λ1
 ..
είναι τέτοιο ώστε [v]Bb =  .
λν
v ∈ V που ορίζεται ϑέτοντας v = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν


.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
136
Για να δείξουµετέλοςότι η απεικόνιση [ ]Bb είναι 1-1, ϑεωρούµε δύο στοιχεία v1 , v2 ∈ V
λ1
 .. 
µε [v1 ]Bb = [v2 ]Bb =  . . Τότε όµως είναι v1 = λ1 v1 + · · · + λν vν = v2 και άρα δείχτηκε το
λν
ητούµενο.
Πόρισµα 5.2.4 Αν V είναι ένας διανυσµατικός χώρος επί του F διάστασης ν , τότε V ' Fν×1 .
Στη συνέχεια, ϑα εξετάσουµε τη συµπεριφορά των γραµµικών απεικονίσεων σχετικά µε τις
έννοιες της γραµµικής εξάρτησης, του συνόλου γεννητόρων και της άσης ενός διανυσµατικού
χώρου.
Πρόταση 5.2.5 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση.
(i) Αν τα v1 , v2 , . . . , vν ∈ V είναι γραµµικά εξαρτηµένα, τότε τα f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν ) ∈ W
είναι επίσης γραµµικά εξαρτηµένα.
(ii) Αν η f είναι 1-1 και τα στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν ∈ V είναι γραµµικά ανεξάρτητα, τότε τα
στοιχεία f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν ) ∈ W είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη. (i) Καθώς τα v1 , v2 , . . . , vν είναι γραµµικά εξαρτηµένα, υπάρχουν λ1 , λ2 , . . . , λν ∈
F, όχι όλα µηδέν, έτσι ώστε λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν = 0V . Συνεπώς, από τη γραµµικότητα
της f έπεται ότι
λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + · · · + λν f (vν ) = f (λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν ) = f (0V ) = 0W
και άρα τα f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν ) είναι γραµµικά εξαρτηµένα.
(ii) Ας υποθέσουµε ότι λ1 , λ2 , . . . , λν είναι στοιχεία του F, τέτοια ώστε λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) +
· · · + λν f (vν ) = 0W . Με άση τη γραµµικότητα της f , η τελευταία σχέση γράφεται ως εξής :
f (λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν ) = 0W = f (0V ).
΄Ετσι, καθώς η f είναι 1-1, έπεται ότι λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν = 0V . Τα στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν
είναι, από την υπόθεσή µας, γραµµικά ανεξάρτητα και άρα ϑα πρέπει να είναι λ1 = λ2 =
· · · = λν = 0. ΄Αρα, τα στοιχεία f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν ) είναι πράγµατι γραµµικά ανεξάρτητα.
Παράδειγµα 5.2.6 Το συµπέρασµα της Πρότασης 5.2.5(ii) δεν ισχύει αν η γραµµική απεικόνιση f δεν είναι 1-1. Για παράδειγµα, ας ϑεωρήσουµε τη γραµµική απεικόνιση f : R3 −→ R2 µε
f (x, y, z) = (x − y, y − z) για κάθε (x, y, z) ∈ R3 . Παρατηρούµε ότι τα στοιχεία v = (1, 1, 0)
και v 0 = (0, 0, 1) είναι γραµµικά ανεξάρτητα, αλλά τα στοιχεία f (v) = (0, 1), f (v 0 ) = (0, −1)
δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα.
Πρόταση 5.2.7 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση. Αν η f είναι επί και V = hv1 , v2 , . . . , vν i, τότε W = hf (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )i.
5.2. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Βý
ΑΣΕΙΣ
137
Απόδειξη. Ας ϑεωρήσουµε ένα στοιχείο w ∈ W . Καθώς η f είναι επί, υπάρχει στοιχείο
v ∈ V µε f (v) = w. ΄Οµως, V = hv1 , v2 , . . . , vν i και άρα υπάρχουν λ1 , λ2 , . . . , λν ∈ F µε
v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λν vν . ΄Ετσι, µε άση τη γραµµικότητα της f , έπεται ότι το στοιχείο
w = f (v) = f (λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + · · · + λν f (vν )
είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν ). Συνεπώς, δείξαµε ότι W =
hf (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )i.
Παράδειγµα 5.2.8 Το συµπέρασµα της Πρότασης 5.2.7 δεν ισχύει αν η γραµµική απεικόνιση
f δεν είναι επί. Για παράδειγµα, ας ϑεωρήσουµε τη γραµµική απεικόνιση f : R2 −→ R3
µε f (x, y) = (x, x − y, y) για κάθε (x, y) ∈ R2 . Παρατηρούµε ότι τα στοιχεία e1 = (1, 0)
και e02 = (0, 1) παράγουν τον R2 , αλλά τα στοιχεία f (e1 ) = (1, 1, 0), f (e2 ) = (0, −1, 1) δεν
παράγουν τον R3 .
Πόρισµα 5.2.9 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W ένας ισοµορφισµος. Τότε, το σύνολο {v1 , v2 , . . . , vν } είναι µια άση του V αν και µόνο αν το σύνολο
{f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )} είναι µια άση του W .
Απόδειξη. Ας υποθέσουµε κατ’ αρχήν ότι το σύνολο {v1 , v2 , . . . , vν } είναι µια άση του
V . Τότε, το υποσύνολο {f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )} ⊆ W είναι µια άση του W , καθώς είναι
γραµµικά ανεξάρτητο (Πρόταση 5.2.5(ii)) και παράγει τον W (Πρόταση 5.2.7).
Αντίστροφα, αν το σύνολο {f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )} είναι µια άση του W , τότε µπορούµε
να ϑεωρήσουµε τον ισοµορφισµό f −1 : W −→ V (λ. την απόδειξη της Πρότασης 5.1.8) και
να συµπεράνουµε όπως παραπάνω ότι το σύνολο {v1 , v2 , . . . , vν } είναι µια άση του V .
Το επόµενο ϑεµελιώδες αποτέλεσµα µας επιτρέπει να χαρακτηρίσουµε την ισοµορφία
δύο (πεπερασµένα παραγόµενων) διανυσµατικών χώρων µε έναν πολύ απλό τρόπο : µε την
ισότητα των διαστάσεών τους.
Θεώρηµα 5.2.10 ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F.
Τότε, οι V, W είναι ισόµορφοι αν και µόνο αν dimF V = dimF W .
Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι οι διανυσµατικοί χώροι V, W είναι ισόµορφοι και dimF V =
ν . Τότε, υπάρχει µια άση {v1 , v2 , . . . vν } του V µε ν στοιχεία. Αν f : V −→ W είναι
ένας ισοµορφισµός, τότε το σύνολο {f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )} αποτελεί µια άση του W (λ.
Πόρισµα 5.2.9) και άρα dimF W = ν = dimF V .
Αντίστροφα, αν dimF V = dimF W = ν , τότε οι διανυσµατικοί χώροι V, W είναι ισόµορφοι
µε τον Fν×1 (Πόρισµα 5.2.4). ΄Εστω ότι f : V −→ Fν×1 και g : W −→ Fν×1 ισοµορφισµοί.
Τότε, η σύνθεση f ◦ g −1 : V −→ W είναι ένας ισοµορφισµός και άρα οι διανυσµατικοί χώροι
V, W είναι ισόµορφοι (πρβλ. ιδιότητες (ii) και (iii) µετά τον Ορισµό 5.1.9).
Στη συνέχεια, ϑα εξετάσουµε τη σχέση που υπάρχει µεταξύ µιας γραµµικής απεικόνισης
f : V −→ W και του περιορισµού της f|B σε µια άση B του V . Θα δούµε ότι η γραµµική
απεικόνιση f καθορίζεται από τις τιµές της στη άση B και ότι κάθε απεικόνιση από τη άση
B του V στον W µπορεί να επεκταθεί σε µια γραµµική απεικόνιση από τον V στον W .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
138
Πρόταση 5.2.11 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f, g : V −→ W δύο
γραµµικές απεικονίσεις. Τότε, οι επόµενοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι :
(i) f = g
(ii) Αν το B ⊆ V είναι ένα σύνολο γεννητόρων, τότε ισχύει f (v) = g(v) για κάθε v ∈ B .
(iii) Υπάρχει ένα σύνολο γεννητόρων B ⊆ V , έτσι ώστε να ισχύει f (v) = g(v) για κάθε v ∈ B .
Απόδειξη. Είναι ϕανερό ότι αν ισχύει το (i), τότε f (v) = g(v) για κάθε στοιχείο v ∈ V και
άρα ϑα ισχύει το (ii). Αν τώρα ισχύει το (ii), τότε, επιλέγοντας ένα σύνολο γεννητόρων B του
V , λέπουµε ότι ισχύει το (iii).
Τέλος, για να δείξουµε ότι (iii) → (i), ας ϑεωρήσουµε ένα σύνολο γεννητόρων B ⊆ V ,
έτσι ώστε να ισχύει f (v) = g(v) για κάθε v ∈ B . Θέλουµε να δείξουµε ότι f = g , δηλαδή ότι
f (v) = g(v) για κάθε v ∈ V . ΄Εστω v ∈ V . Καθώς το υποσύνολο B ⊆ V είναι ένα σύνολο
γεννητόρων του V , συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν v1 , v2 , . . . , vν ∈ B και λ1 , λ2 , . . . , λν ∈ F
έτσι ώστε v = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vµ . ΄Οµως f (vi ) = g(vi ) για κάθε i = 1, 2, . . . , ν και άρα
f (v) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + · · · + λν f (vν ) = λ1 g(v1 ) + λ2 g(v2 ) + · · · + λν g(vν ) = g(v)
(λ. Πρόταση 5.1.3(ii)).
Πρόταση 5.2.12 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F µε τον V πεπερασµένα
παραγόµενο. Αν τα στοιχεία v1 , . . . , vν ∈ V είναι γραµµικά ανεξάρτητα, τότε για κάθε διατεταγµένη ν -άδα (w1 , . . . , wν ) ∈ W ν υπάρχει τουλάχιστον µία γραµµική απεικόνιση f : V −→ W
µε f (vi ) = wi για κάθε i = 1, . . . , ν .
Απόδειξη.
Καθώς ο διανυσµατικός χώρος V είναι πεπερασµένα παραγόµενος, γνωρίουµε ότι για τη διάσταση µ = dimF V ισχύει µ ≥ ν και µάλιστα υπάρχουν στοιχεία
vν+1 , . . . , vµ ∈ V , τέτοια ώστε το σύνολο {v1 , . . . , vν , vν+1 , . . . , vµ } να αποτελεί µια άση του
V (λ. Πόρισµα 4.5.4). ΄Ετσι, για κάθε στοιχείο v ∈ V υπάρχουν µοναδικοί συντελεστές
λ1 , . . . , λν , λν+1 , . . . , λµ ∈ F, τέτοιοι ώστε
v = λ1 v1 + · · · + λν vν + λν+1 vν+1 + · · · + λµ vµ .
Από τη µοναδικότητα των παραπάνω συντελεστών, συµπεραίνουµε ότι ο κανόνας που αντιστοιχίζει στο στοιχείο v ∈ V το στοιχείο λ1 w1 + · · · + λν wν ∈ W είναι µία απεικόνιση από τον
V στον W , την οποία συµβολίζουµε µε f .
Για να δείξουµε ότι η απεικόνιση f : V −→ W είναι γραµµική, ϑεωρούµε ένα άλλο
στοιχείο v 0 ∈ V και ένα λ ∈ F. Αν
v 0 = λ10 v1 + · · · + λ0ν vν + λ0ν+1 vν+1 + · · · + λ0µ vµ
είναι η (µοναδική) έκφραση του v 0 ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων της άσης, τότε
έχουµε
v + v 0 = (λ1 + λ01 )v1 + · · · + (λν + λ0ν )vν + (λν+1 + λ0ν+1 )vν+1 + · · · + (λµ + λ0µ )vµ
5.2. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Βý
ΑΣΕΙΣ
139
και
λv = (λλ1 )v1 + · · · + (λλν )vν + (λλν+1 )vν+1 + · · · + (λλµ )vµ .
Συνεπώς,
f (v + v 0 ) = (λ1 + λ01 )w1 + · · · + (λν + λ0ν )wν
= (λ1 w1 + · · · + λν wν ) + (λ01 w1 + · · · + λ0ν wν )
= f (v) + f (v 0 )
και
f (λv) = (λλ1 )w1 + · · · + (λλν )wν = λ(λ1 v1 + · · · + λν wν ) = λf (v),
δηλαδή η f είναι γραµµική.
Τέλος, παρατηρούµε ότι για κάθε i = 1, . . . , ν η έκφραση του vi ως γραµµικός συνδυασµός
των στοιχείων της άσης είναι η εξής :
vi = 0 · v1 + · · · + 1 · vi + · · · + 0 · vν + 0 · vν+1 + · · · + 0 · vµ .
΄Ετσι, µε άση τον ορισµό της f , έχουµε
f (vi ) = 0 · w1 + · · · + 1 · wi + · · · + 0 · wν = wi
και άρα δείχτηκε το ητούµενο.
Θεώρηµα 5.2.13 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και L(V, W ) το σύνολο
των γραµµικών απεικονίσεων από τον V στον W . Υποθέτουµε ότι ο V είναι πεπερασµένα
παραγόµενος και ϑεωρούµε µια άση του B = {v1 , v2 , . . . , vν }, όπου ν = dimF V . Τότε, η
απεικόνιση
a : L(V, W ) −→ W ν ,
µε f 7−→ (f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )), είναι 1-1 και επί.
Απόδειξη. Για να δείξουµε ότι η απεικόνιση a είναι 1-1, ϑεωρούµε δύο γραµµικές απεικονίσεις f, g : V −→ W µε a(f ) = a(g) ∈ W ν . Τότε,
(f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )) = (g(v1 ), g(v2 ), . . . , g(vν ))
και άρα f (vi ) = g(vi ) για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . ΄Ετσι, µε άση την Πρόταση 5.2.11, συµπεραίνουµε ότι f = g .
Για να δείξουµε ότι η απεικόνιση a είναι επί, ϑεωρούµε µια διατεταγµένη ν -άδα
(w1 , w2 , . . . , wν ) ∈ W ν .
Καθώς τα στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν ∈ V είναι γραµµικά ανεξάρτητα, από την Πρόταση 5.2.12
έπεται ότι υπάρχει τουλάχιστον µία γραµµική απεικόνιση f : V −→ W µε f (vi ) = wi για
κάθε i = 1, 2, . . . , ν . ΄Ετσι, ϑα είναι
a(f ) = (f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )) = (w1 , w2 , . . . , wν )
και άρα η a είναι επί.
Γνωρίζουµε ότι µια γραµµική απεικόνιση f : V −→ W είναι ισοµορφισµός (δηλαδή,
1-1 και επί) αν και µόνο αν υπάρχει µια γραµµική απεικόνιση g : W −→ V , τέτοια ώστε
f ◦ g = 1W και g ◦ f = 1V (λ. Πρόταση 5.1.8). Χρησιµοποιώντας τα προηγούµενα αποτελέσµατα, µπορούµε να χαρακτηρίσουµε µε έναν ανάλογο τρόπο τους µονοµορφισµούς και τους
επιµορφισµούς των διανυσµατικών χώρων.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
140
Πόρισµα 5.2.14 ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F
και f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση. Τότε, οι επόµενοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι :
(i) Η f είναι µονοµορφισµός.
(ii) Υπάρχει γραµµική απεικόνιση g : W −→ V µε g ◦ f = 1V .
Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι η γραµµική απεικόνιση f είναι 1-1 και ας ϑεωρήσουµε µια
άση {v1 , v2 , . . . , vν } του V . Τότε, τα στοιχεία f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν ) ∈ W είναι γραµµικά
ανεξάρτητα (Πρόταση 5.2.5(ii)). ΄Ετσι, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Πρόταση 5.2.12
και να ρούµε µια γραµµική απεικόνιση g : W −→ V , τέτοια ώστε g(f (vi )) = vi για κάθε
i = 1, 2, . . . , ν . Παρατηρούµε ότι για τις γραµµικές απεικονίσεις
g ◦ f : V −→ V
και 1V : V −→ V
ισχύει (g ◦ f )(vi ) = g(f (vi )) = vi = 1V (vi ) για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Καθώς το σύνολο
{v1 , v2 , . . . , vν } παράγει τον V , µε άση την Πρόταση 5.2.11, συµπεραίνουµε ότι g ◦ f = 1V .
Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι υπάρχει µια (γραµµική) απεικόνιση g : W −→ V µε
g ◦ f = 1V . Αν v, v 0 ∈ V είναι δύο στοιχεία µε f (v) = f (v 0 ) ∈ W , τότε έχουµε
v = 1V (v) = (g ◦ f )(v) = g(f (v)) = g(f (v 0 )) = (g ◦ f )(v 0 ) = 1V (v 0 ) = v 0 .
΄Αρα, η f είναι 1-1.
Πόρισµα 5.2.15 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F µε τον W πεπερασµένα
παραγόµενο και f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση. Τότε, οι επόµενοι ισχυρισµοί είναι
ισοδύναµοι :
(i) Η f είναι επιµορφισµός.
(ii) Υπάρχει γραµµική απεικόνιση g : W −→ V µε f ◦ g = 1W .
Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι η γραµµική απεικόνιση f είναι επί και ας ϑεωρήσουµε
µια άση {w1 , w2 , . . . , wν } του W . Τότε, υπάρχουν στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν ∈ V τέτοια ώστε
wi = f (vi ) για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Πρόταση 5.2.12
και να ρούµε µια γραµµική απεικόνιση g : W −→ V , τέτοια ώστε g(wi ) = vi για κάθε
i = 1, 2, . . . , ν . Παρατηρούµε ότι για τις γραµµικές απεικονίσεις
f ◦ g : W −→ W και 1W : W −→ W
ισχύει (f ◦ g)(wi ) = f (g(wi )) = f (vi ) = w1 = 1W (wi ) για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Καθώς το
σύνολο {w1 , w2 , . . . , wν } παράγει τον W , µε άση την Πρόταση 5.2.11, συµπεραίνουµε ότι
f ◦ g = 1W .
Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι υπάρχει µια (γραµµική) απεικόνιση g : W −→ V µε
f ◦ g = 1W . Τότε, για κάθε στοιχείο w ∈ W ϑεωρούµε το στοιχείο v = g(w) ∈ V και
παρατηρούµε ότι ισχύει f (v) = f (g(w)) = (f ◦ g)(w) = 1W (w) = w . ΄Αρα, η f είναι επί.
5.2. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Βý
ΑΣΕΙΣ
141
Παράδειγµα 5.2.16 ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του
F µε dimF V = dimF W = ν . Θεωρούµε δύο άσεις {v1 , v2 , . . . , vν } και {w1 , w2 , . . . , wν } των V
και W αντίστοιχα και δύο γραµµικές απεικονίσεις f : V −→ W και g : W −→ V , τέτοιες ώστε
f (vi ) = wi και g(wi ) = vi για κάθε i = 1, 2, . . . , ν (λ. Πρόταση 5.2.12). Τότε, για τις γραµµικές
απεικονίσεις
g ◦ f : V −→ V και f ◦ g : W −→ W
ισχύει (g ◦ f )(vi ) = vi και (f ◦ g)(wi ) = wi για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Συνεπώς, µε άση την
Πρόταση 5.2.11, συµπεραίνουµε ότι g ◦ f = 1V και f ◦ g = 1W . ΄Αρα, οι διανυσµατικοί χώροι
V και W είναι ισόµορφοι (λ. Πρόταση 5.1.8) και έχουµε µια εναλλακτική απόδειξη της µιας
συνεπαγωγής του Θεωρήµατος 5.2.10.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
b
1. Θεωρούµε τον πραγµατικό διανυσµατικό χώρο R3 και τις διατεταγµένες του άσεις B
c0 , όπου B
b = ((1, 0, 0), (1, 1, 1), (0, −1, 1)) και B
c0 = ((1, 1, 1), (0, −2, −1), (0, 0, −1)).
και B
3
Αν v = (1, 2, 3) ∈ R , να ρεθούν οι [v]Bb και [v]B
c0 .
2. ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση.
(i) Υποθέτουµε ότι για κάθε γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο {v1 , v2 , . . . , vν } του V
το υποσύνολο {f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )} του W είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητο.
∆είξτε ότι η f είναι 1-1.
(ii) Υποθέτουµε ότι υπάρχει µια άση {v1 , v2 , . . . , vν } του V , τέτοια ώστε το υποσύνολο
{f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )} του W είναι γραµµικά ανεξάρτητο. ∆είξτε ότι η f είναι
1-1.
(iii) Υποθέτουµε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο {v1 , v2 , . . . , vν } του V , τέτοιο ώστε τα
στοιχεία f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν ) παράγουν τον W . ∆είξτε ότι η f είναι επί.
(iv) Υποθέτουµε ότι υπάρχει µια άση {v1 , v2 , . . . , vν } του V , τέτοια ώστε το υποσύνολο
{f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )} να είναι επίσης µια άση του W . ∆είξτε ότι η f είναι ένας
ισοµορφισµός.
3. Θεωρούµε τους πραγµατικούς διανυσµατικούς χώρους R2×2 και , R3 [x]. Να δειχτεί ότι
υπάρχουν άπειροι το πλήθος ισοµορφισµοί f : R2×2 −→ R3 [x].
4. Να εξεταστεί αν οι ακόλουθοι πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι είναι ισόµορφοι :
(i) R5 και R4 [x],
(ii) C και R3 [x],
(iii) R και {(x, 2x, 3x) ∈ R3 |x ∈ R}.
5. ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F και f :
V −→ W ένας µονοµορφισµός. Να δειχτεί ότι ο f είναι ισοµορφισµός αν και µόνο
αν υπάρχει µια µοναδική γραµµική απεικόνιση g : W −→ V µε g ◦ f = 1V (πρβλ.
Πόρισµα 5.2.14).
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
142
6. ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F και f :
V −→ W ένας επιµορφισµός. Να δειχτεί ότι ο f είναι ισοµορφισµός αν και µόνο
αν υπάρχει µια µοναδική γραµµική απεικόνιση g : W −→ V µε f ◦ g = 1W (πρβλ.
Πόρισµα 5.2.15).
5.3 Ο Πυρήνας και η Εικόνα
Υπενθυµίζουµε ότι αν X, Y είναι δύο σύνολα και a : X −→ Y µια απεικόνιση, τότε για κάθε
υποσύνολο X0 ⊆ X ορίζεται η εικόνα a(X0 ) ⊆ Y , ως εξής :
a(X0 ) = {y ∈ Y : υπάρχει x ∈ X0 µε y = f (x)}.
Επίσης, για κάθε υποσύνολο Y0 ⊆ Y ορίζεται η αντίστροφη εικόνα a−1 (Y0 ) ⊆ X µε
a−1 (Y0 ) = {x ∈ X : f (x) ∈ Y0 }.
Πρόταση 5.3.1 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση.
(i) Αν ο V0 ≤ V είναι ένας υπόχωρος του V , τότε η εικόνα f (V0 ) είναι ένας υπόχωρος του
W.
(ii) Αν ο W0 ≤ W είναι ένας υπόχωρος του W , τότε η αντίστροφη εικόνα f −1 (W0 ) είναι ένας
υπόχωρος του V .
Απόδειξη. (i) Καθώς 0V ∈ V0 και f (0V ) = 0W , έπεται ότι 0W ∈ f (V0 ). Ας ϑεωρήσουµε τώρα
δύο στοιχεία w1 , w2 ∈ f (V0 ). Τότε, υπάρχουν στοιχεία v1 , v2 ∈ V0 , τέτοια ώστε w1 = f (v1 ) και
w2 = f (v2 ). Καθώς ο V0 είναι ένας υπόχωρος του V , είναι v1 + v2 ∈ V0 και άρα
w1 + w2 = f (v1 ) + f (v2 ) = f (v1 + v2 ) ∈ f (V0 ).
Επίσης, για κάθε λ ∈ F έχουµε λv1 ∈ V0 και άρα
λw1 = λf (v1 ) = f (λv1 ) ∈ f (V0 ).
΄Ετσι, η εικόνα f (V0 ) είναι πράγµατι ένας υπόχωρος του W .
(ii) Για να δείξουµε ότι η αντίστροφη εικόνα f −1 (W0 ) είναι ένας υπόχωρος του V , αρχικά
παρατηρούµε ότι f (0V ) = 0W ∈ W0 και άρα 0V ∈ f −1 (W0 ). Επιπλέον, αν ϑεωρήσουµε δύο
στοιχεία v1 , v2 ∈ f −1 (V0 ), τότε f (v1 ), f (v2 ) ∈ W0 και άρα
f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) ∈ W0 ,
δηλαδή v1 + v2 ∈ f −1 (W0 ). Τέλος, για κάθε λ ∈ F έχουµε
f (λv1 ) = λf (v1 ) ∈ W0
και άρα λv1 ∈ f −1 (V0 ). ΄Ετσι, ο f −1 (W0 ) είναι πράγµατι ένας υπόχωρος του V .
Ειδικότερα, αν V, W είναι δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση, µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον υπόχωρο {0W } ≤ W και την αντίστροφή του
εικόνα f −1 ({0W }) ≤ V , καθώς επίσης τον υπόχωρο V ≤ V και την εικόνα του f (V ) ≤ W .
5.3. Ο ΠΥΡý
ΗΝΑΣ ΚΑΙ Η ΕΙΚý
ΟΝΑ
143
Ορισµός 5.3.2 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση.
1. Ο υπόχωρος f −1 ({0W }) = {v ∈ V | f (v) = 0W } του V λέγεται πυρήνας της γραµµικής
απεικόνισης f και συµβολίζεται kerf .
2. Ο υπόχωρος f (V ) = {w ∈ W | w = f (v), v ∈ V } του W λέγεται εικόνα της γραµµικής
απεικόνισης f και συµβολίζεται imf .
Η µελέτη του πυρήνα και της εικόνας µιας γραµµικής απεικόνισης δίνει χρήσιµες πληροϕορίες για την απεικόνιση όπως αυτό ϕαίνεται από το επόµενο αποτέλεσµα.
Πρόταση 5.3.3 ΄Εστω V, W δυο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση.
(i) Η f είναι µονοµορφισµός αν και µόνο αν kerf = {0V }.
(ii) Η f είναι επιµορφισµός αν και µόνο αν imf = W .
Απόδειξη. (i) Ας υποθέσουµε αρχικά ότι η f είναι µονοµορφισµός. Τότε, για κάθε στοιχείο
v ∈ kerf έχουµε f (v) = 0W = f (0V ). Καθώς η f είναι 1-1, έπεται ότι v = 0V και άρα
kerf = {0V }. Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι kerf = {0V }. Αν τα στοιχεία v, v 0 ∈ V είναι
τέτοια ώστε f (v) = f (v 0 ), τότε ϑα είναι f (v − v 0 ) = f (v) − f (v 0 ) = 0W και άρα v − v 0 ∈ kerf .
Συνεπώς, v − v 0 = 0V , δηλαδή v = v 0 και έτσι η f είναι 1-1.
(ii) Αυτό είναι άµεση συνέπεια των ορισµών.
Παραδείγµατα 5.3.4
(i) Θεωρούµε την απεικόνιση f : R3 −→ R3 µε f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 , x2 − x3 , x3 − x1 ) για
κάθε (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . Η απεικόνιση f είναι γραµµική και µάλιστα ισχύει
kerf = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 = x2 = x3 }
και
imf = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0}.
Καθώς kerf 6= {(0, 0, 0)} (για παράδειγµα, έχουµε (1, 1, 1) ∈ kerf ), η f δεν είναι 1-1.
Επίσης, έχουµε imf $ R3 (για παράδειγµα, (1, 0, 0) ∈
/ imf ) και άρα η f δεν είναι επί.
(ii) Θεωρούµε τώρα την απεικόνιση d : R3 [x] −→ R2 [x] µε α0 + α1 x + α2 x2 + α3 x3 7−→
α1 + 2α2 x + 3α3 x2 . Είναι εύκολο να δειχτεί ότι η d είναι γραµµική και µάλιστα ένας
επιµορφισµός (πρβλ. Παράδειγµα 5.1.2(vii)). Η απεικόνιση d δεν είναι 1-1, καθώς ο
πυρήνας της kerd αποτελείται από όλα τα σταθερά πολυώνυµα (και άρα kerd 6= 0).
(iii) Η απεικόνιση f : R3 [x] −→ R6 [x] µε α0 + α1 x + α2 x2 + α3 x3 7−→ α0 + α1 x2 + α2 x4 + α3 x6
είναι γραµµική και µάλιστα ένας µονοµορφισµός. Είναι εύκολο να δειχτεί ότι η εικόνα
imf της f αποτελείται από όλα τα πραγµατικά πολυώνυµα µε αθµό ≤ 6, στα οποία οι
συντελεστές του x, του x3 και του x5 µηδενίζονται. ΄Ετσι, είναι imf $ R6 [x] και άρα η f
δεν είναι επί.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
144
Πρόταση 5.3.5 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση. Αν V0 ≤ V είναι ένας υπόχωρος του V και B0 ⊆ V0 ένα σύνολο γεννητόρων του,
τότε το υποσύνολο f (V0 ) ⊆ W είναι ένα σύνολο γεννητόρων της εικόνας f (V0 ) ≤ W .
Απόδειξη. Καθώς B0 ⊆ V0 , είναι σαφές ότι το f (B0 ) είναι υποσύνολο του f (V0 ). Θέλουµε
να δείξουµε ότι κάθε στοιχείο του f (V0 ) είναι ένας γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του
f (B0 ). Για το σκοπό αυτό, ας ϑεωρήσουµε ένα στοιχείο w ∈ f (V0 ). Τότε, από τον ορισµό
της εικόνας f (V0 ) του V0 , έπεται ότι υπάρχει v ∈ V0 µε w = f (v). Καθώς το B0 είναι ένα
σύνολο γεννητόρων του V0 , συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν στοιχεία v1 , v2 , . . . , vν ∈ B0 και
λ1 , λ2 , . . . , λν ∈ F, έτσι ώστε
v = λ 1 v1 + λ 2 v2 + · · · + λ ν vν .
Συνεπώς, χρησιµοποιώντας την Πρόταση 5.1.3(ii), έχουµε
w = f (v) = f (λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λν vν ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + · · · + λν f (vν ).
΄Ετσι, το w ∈ f (V0 ) είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν ) ∈
f (B0 ).
Πόρισµα 5.3.6 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση. Αν B ⊆ V είναι µια άση του V , τότε το υποσύνολο f (B) ⊆ W είναι ένα σύνολο
γεννητόρων της εικόνας imf της f .
Απόδειξη. Καθώς η άση B είναι ειδικότερα ένα σύνολο γεννητόρων του V και imf = f (V ),
το ητούµενο είναι µια άµεση συνέπεια της Πρότασης 5.3.5.
Πόρισµα 5.3.7 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση. Αν ο V0 είναι ένας πεπερασµένα παραγόµενος υπόχωρος του V , τότε η εικόνα του
f (V0 ) είναι ένας υπόχωρος του W , ο ο οποίος είναι επίσης πεπερασµένα παραγόµενος.
Απόδειξη. Αν B0 είναι ένα πεπερασµένο σύνολο γεννητόρων του V0 , τότε το σύνολο f (B0 )
είναι επίσης πεπερασµένο και παράγει τον υπόχωρο f (V0 ) του W .
Πόρισµα 5.3.8 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση. Αν ο V είναι πεπερασµένα παραγόµενος, τότε η εικόνα imf της f είναι ένας
πεπερασµένα παραγόµενος υπόχωρος του W .

a11 a12 · · · a1µ
 a21 a22 · · · a2µ 


ν×µ
ένας ν × µ πίνακας επί του
Παράδειγµα 5.3.9 ΄Εστω A =  .
..
..  ∈ F
.
 .
.
. 
aν1 aν2 · · · aνµ
µ×1
ν×1
F και LA : F
−→ F
η γραµµική απεικόνιση µε LA (B) = AB για κάθε B ∈ Fµ×1 (λ.
Παράδειγµα 5.1.2(iv)).
Αρχικά, παρατηρούµε ότι για τον πυρήνα της LA είναι

kerLA = {X ∈ Fµ×1 | AX = 0Fν×1 }.
5.3. Ο ΠΥΡý
ΗΝΑΣ ΚΑΙ Η ΕΙΚý
ΟΝΑ
145

x1
 x2 


΄Ετσι, ένας πίνακας-στήλη X =  .  ανήκει στον πυρήνα kerLA αν και µόνο αν ικανοποιούν .. 
xµ

ται οι εξισώσεις
a11 x1 + a12 x2 + · · ·
a21 x1 + a22 x2 + · · ·
+ a1µ xµ = 0
+ a2µ xν = 0
aν1 x1 + aν2 x2 + · · ·
+ aνµ xµ = 0
..
.
Με άλλα λόγια, ο πυρήνας kerLA της γραµµικής απεικόνισης LA είναι ακριβώς το σύνολο των
λύσεων του οµογενούς γραµµικού συστήµατος εξισώσεων AX = 0 (λ. Παράδειγµα 4.2.10).
Για να προσδιορίσουµε την εικόνα imLA της LA ϑεωρούµε το σύνολο












 
1

0 
 
,


..
.  
0

0
1 

.. , . . . ,
. 
0

0 

 0 

 
 ..  ⊆ Fµ×1 .
 . 


1 

Καθώς το σύνολο αυτό παράγει το διανυσµατικό χώρο Fµ×1 , µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε
την Πρόταση 5.3.5 και να συµπεράνουµε ότι ο υπόχωρος imLA ≤ Fν×1 παράγεται από τα
στοιχεία
 
 
 


LA 

δηλαδή από τα γινόµενα

1
0
 1
0 


.. , LA  ..
 .
. 
0
0
 
1
0
 0   1
  
A .. , A ..
 .   .
0
0




, . . . , L A 



0
0 

..  ,
. 
1


0

 0 

 
, . . . , A .. .

 . 
1
΄Ενας απλός υπολογισµός δείχνει ότι τα παραπάνω γινόµενα είναι ακριβώς οι στήλες


a12
a11
 a22
 a21 



c1 =  .. , c2 =  ..
 .
 . 
aν2
aν1


a1µ
 a2µ 




, . . . , cµ =  .. 
 . 

aνµ


του πίνακα A και άρα imLA = hc1 , c2 , . . . , cµ i ≤ Fν×1 .
Παράδειγµα µ
5.3.10 Για ένα
¶ συγκεκριµένο αριθµητικό παράδειγµα, ας ϑεωρήσουµε τον 2 × 3
1 3
1
∈ R2×3 και τη γραµµική απεικόνιση LA : R3×1 −→ R2×1 µε
7 1 −1
LA (B) = AB για κάθε B ∈ R3×1 .
πίνακα A =
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
146


x1
Τότε, ο πυρήνας kerLA αποτελείται ακριβώς από τους πίνακες  x2 , για τους οποίους
x3
είναι
x1 + 3x2 + x3 = 0
7x1 + x2 − x3 = 0
Επίσης, η εικόνα imLA της LA είναι ο υπόχωρος του R2×1 που παράγεται από τις στήλες του A,
δηλαδή
¿µ ¶ µ ¶ µ
¶À
imLA =
1
7
,
3
1
,
1
−1
.
Υπενθυµίζουµε ότι για κάθε διανυσµατικό υπόχωρο V0 ενός διανυσµατικού χώρου V
ορίζεται µια σχέση ισοδυναµίας στον V , ϑέτοντας
v ∼ v 0 ⇐⇒ v 0 − v ∈ V0
για κάθε v, v 0 ∈ V . Η κλάση ισοδυναµίας ενός στοιχείου v ∈ V είναι το σύµπλοκο v + V0 =
{v + v0 : v0 ∈ V0 } και το σύνολο πηλίκο V /V0 εφοδιάζεται µε τη δοµή ενός διανυσµατικού
χώρου επί του F, όπου
(v + V0 ) + (v 0 + V0 ) = (v + v 0 ) + V0 και λ(v + V0 ) = λv + V0
για κάθε σύµπλοκα v + V0 , v 0 + V0 ∈ V /V0 και λ ∈ F. Το µηδενικό στοιχείο του V /kerf είναι
το σύµπλοκο 0V + kerf .
Το επόµενο ασικό αποτέλεσµα, που συνδέει τον πυρήνα µε την εικόνα µιας γραµµικής
απεικόνισης, αναφέρεται συνήθως ως το 10 ϑεώρηµα των ισοµορφισµών διανυσµατικών
χώρων.
Θεώρηµα 5.3.11 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια
γραµµική απεικόνιση. Τότε, υπάρχει ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων
f : V /kerf −→ imf,
τέτοιος ώστε για κάθε στοιχείο ξ ∈ V /kerf µε ξ = v + kerf για κάποιο v ∈ V , να είναι
f (ξ) = f (v).
Απόδειξη. Αρχικά, παρατηρούµε ότι για κάθε v ∈ V το στοιχείο f (v) ∈ W ανήκει στον
υπόχωρο imf ≤ W . Θεωρούµε τώρα ένα άλλο στοιχείο v 0 ∈ V που είναι τέτοιο ώστε v +
kerf = v 0 + kerf ∈ V /kerf . Τότε, ϑα είναι v 0 − v ∈ kerf και άρα f (v 0 ) − f (v) = f (v 0 − v) =
0W . Συνεπώς, έχουµε f (v) = f (v 0 ). Αυτό σηµαίνει ότι το στοιχείο f (v) εξαρτάται µόνο από το
σύµπλοκο v + kerf ∈ V /kerf του v ∈ V . Με άλλα λόγια, ορίζεται πράγµατι µια απεικόνιση
f : V /kerf −→ imf,
µε v + kerf 7−→ f (v), v + kerf ∈ V /kerf .
Στη συνέχεια, ϑα δείξουµε ότι η απεικόνιση f είναι γραµµική. Για το σκοπό αυτό, ϑεωούµε δύο στοιχεία ξ1 , ξ2 ∈ V /kerf και ένα λ ∈ F. Τότε, υπάρχουν στοιχεία v1 , v2 ∈ V
5.3. Ο ΠΥΡý
ΗΝΑΣ ΚΑΙ Η ΕΙΚý
ΟΝΑ
147
µε ξ1 = v1 + kerf και ξ2 = v2 + kerf . Από τον ορισµό των πράξεων στον διανυσµατικό
χώρο V /kerf , ϑα είναι ξ1 + ξ2 = (v1 + kerf ) + (v2 + kerf ) = (v1 + v2 ) + kerf και
λξ1 = λ(v1 + kerf ) = λv1 + kerf . ΄Ετσι, χρησιµοποιώντας τη γραµµικότητα της f , έχουµε
f (ξ1 + ξ2 ) = f ((v1 + v2 ) + kerf ) = f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) = f (ξ1 ) + f (ξ2 )
και
f (λξ1 ) = f (λv1 + kerf )) = f (λv1 ) = λf (v1 ) = λf (ξ1 ).
΄Αρα, η απεικόνιση f είναι γραµµική.
Θέλουµε τώρα να δείξουµε ότι η f είναι 1-1, δηλαδή ότι kerf = {0V +kerf }. Αν ξ ∈ kerf
και ξ = v + kerf για κάποιο v ∈ V , τότε ϑα είναι
f (v) = f (v + kerf ) = f (ξ) = 0 ∈ imf
και άρα v ∈ kerf . Τότε όµως, ϑα είναι ξ = v + kerf = 0V + kerf .
Τέλος, παρατηρούµε ότι για κάθε w ∈ imf υπάρχει v ∈ V µε w = f (v) και άρα για
το σύµπλοκο v + kerf ∈ V /kerf ϑα ισχύει w = f (v) = f (v + kerf ). ΄Ετσι, η γραµµική
απεικόνιση f είναι επί.
Παρατήρηση 5.3.12 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια
γραµµική απεικόνιση. Θεωρούµε επίσης τον ισοµορφισµό f : V /kerf −→ imf του προηγούµενου ϑεωρήµατος. Τότε, η σύνθεση
p
f
ι
V −→ V /kerf −→ imf −→ W
είναι ακριβώς η απεικόνιση f . Εδώ, p είναι η κανονική απεικόνιση πηλίκο του V επί του
διανυσµατικού χώρου πηλίκο V /kerf και ι ο εγκλεισµός του υποχώρου imf στον W (λ.
Παράδειγµα 5.1.7(iii)). Πράγµατι, για κάθε στοιχείο v ∈ V έχουµε
¡
¢
¡
¢ ¡
¢
ι ◦ f ◦ p (v) = ι f (p(v)) = ι f (v + kerf ) = ι(f (v)) = f (v).
Συνεπώς, η γραµµική απεικόνιση f µπορεί να εκφραστεί ως σύνθεση ενός επιµορφισµού, ενός
ισοµορφισµού και ενός µονοµορφισµού.
Πόρισµα 5.3.13 Αν V, W είναι δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F
και f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση, τότε dimF V = dimF kerf + dimF imf .
Απόδειξη. Οι διανυσµατικοί χώροι V /kerf και imf είναι πεπερασµένα παραγόµενοι (λ.
Προτάσεις 4.6.11 και 4.6.3 αντίστοιχα) και ισόµορφοι (Θεώρηµα 5.3.11). Συνεπώς, ϑα είναι
dimF (V /kerf ) = dimF imf (Θεώρηµα 5.2.10) και έτσι η ητούµενη σχέση έπεται από την
Πρόταση 4.6.11.
Πρόταση 5.3.14 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F
και f : V −→ V µια γραµµική απεικόνιση. Τότε, οι επόµενοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι :
(i) Η f είναι µονοµορφισµός.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
148
(ii) Η f είναι επίµορφισµός.
(iii) Η f είναι ισοµορφισµός.
Απόδειξη. Αρκεί να δείξουµε ότι (i) → (iii) και (ii) → (iii).
Ας υποθέσουµε αρχικά ότι η γραµµική απεικόνιση f είναι 1-1. Τότε, ϑα είναι kerf =
{0V } (Πρόταση 5.3.3(i)) και άρα dimF kerf = 0. Συνεπώς, η σχέση του Πορίσµατος 5.3.13
γίνεται dimF V = dimF imf . Καθώς η εικόνα imf της f είναι ένας υπόχωρος του V , ο οποίος
είναι πεπερασµένα παραγόµενος, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Πρόταση 4.6.3(ii)
και να συµπεράνουµε ότι imf = V . ΄Ετσι, η f είναι επί και άρα ισοµορφισµός.
Ας υποθέσουµε τώρα ότι η f είναι επί. Τότε, ϑα ισχύει imf = V και άρα dimF imf =
dimF V . Από τη σχέση του Πορίσµατος 5.3.13, έπεται ότι dimF kerf = 0 και έτσι kerf =
{0V }. Συνεπώς, µε άση την Πρόταση 5.3.3(ii), η γραµµική απεικόνιση f είναι 1-1 και άρα
ισοµορφισµός.
Παρατήρηση 5.3.15 Η υπόθεση ότι ο διανυσµατικός χώρος V είναι πεπερασµένα παραγόµενος
είναι απαραίτητη στην Πρόταση 5.3.14. Πράγµατι, ας ϑεωρήσουµε τον πραγµατικο διανυσµατικό χώρο R[x] όλων των πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές και τις γραµµικές
απεικονίσεις
d : R[x] −→ R[x] και I : R[x] −→ R[x]
Rx
µε d(f (x)) = f 0 (x) και I(f (x)) = 0 f (t) dt για κάθε f (x) ∈ R[x] (πρβλ. Παραδείγµατα
5.1.2(vii), (viii)). Καθώς η σύνθεση d ◦ I είναι η ταυτοτική απεικόνιση του διανυσµατικού
χώρου R[x], συµπεραίνουµε ότι η I είναι 1-1 (Πόρισµα 5.2.14) και η d επί (Πόρισµα 5.2.15).
΄Οµως, η d δεν είναι ισοµορφισµός, αφού δεν είναι 1-1 (ο πυρήνας της kerd αποτελείται από
τα σταθερά πολυώνυµα), και η I δεν είναι ισοµορφισµός, αφού δεν είναι επί (η εικόνα της imI
αποτελείται από τα πολυώνυµα χωρίς σταθερό όρο).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να δειχτεί ότι οι επόµενες απεικονίσεις είναι γραµµικές και να ρεθεί µια άση για τον
πυρήνα και την εικόνα τους.
(i) f : R4 −→ R4 µε (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7−→ (x1 + x2 , x2 + x3 , x3 + x4 , x4 + x1 )
(i) f : R2 [x] −→ R2 [x] µε f (x) = f (−x) για κάθε f (x) ∈ R2 [x].
(iii) f : R3 −→ R5 µε (x1 , x2 , x3 ) 7−→ (x1 −x2 , x1 +x2 −2x3 , x2 −x3 , 2x1 −x2 −x3 , x3 −x1 )


1 −4 3
2. ΄Εστω A =  1 −1 7  ∈ R3×3 . Να ρεθεί µια άση για τους υπόχωρους imLA και
0 −1 8
kerLA του διανυσµατικού χώρου R3×1 .
3. ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F και V0 ≤ V
ένας υπόχωρός του. Να δειχτεί ότι :
(i) Υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : V −→ V µε kerf = V0 .
5.4. ý
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΩΝ
149
(ii) Υπάρχει γραµµική απεικόνιση g : V −→ V µε img = V0 .
4. ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι και f : V −→ W ένας
µονοµορφισµός. Να δειχτεί ότι :
(i) Αν V0 ≤ V είναι ένας υπόχωρος του V , τότε dimF f (V0 ) = dimF V0 .
(ii) Αν W0 ≤ W είναι ένας υπόχωρος του W , τότε dimF f −1 (W0 ) ≤ dimF W0 . Επιπλέον,
η τελευταία ανισότητα είναι ισότητα αν και µόνο αν W0 ⊆ imf .
5. ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι και f : V −→ W ένας
επιµορφισµός. Να δειχτεί ότι :
(i) Αν W0 ≤ W είναι ένας υπόχωρος του W , τότε dimF f −1 (W0 ) = dimF kerf +
dimF W0 .
(ii) Αν V0 ≤ V είναι ένας υπόχωρος του V , τότε dimF f (V0 ) ≤ dimF V0 . Επιπλέον, η
τελευταία ανισότητα είναι ισότητα αν και µόνο αν V0 ∩ kerf = {0V }.
6. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και V1 , V2 δύο υπόχωροί του. Να δειχτεί
ότι :
(i) Οι διανυσµατικοί χώροι (V1 +V2 )/V2 και V1 /(V1 ∩V2 ) είναι ισόµορφοι (20 ϑεώρηµα
των ισοµορφισµών διανυσµατικών χώρων).
(ii) Αν V1 ⊆ V2 , τότε ο διανυσµατικός χώρος πηλίκο V2 = V2 /V1 είναι ένας διανυσµατικός υπόχωρος του V = V /V1 και µάλιστα οι διανυσµατικοί χώροι V /V2 και
V /V2 είναι ισόµορφοι (30 ϑεώρηµα των ισοµορφισµών διανυσµατικών χώρων).
5.4 ΄Αλγεβρα Γραµµικών Απεικονίσεων
Στην ενότητα αυτή ϑα µελετήσουµε ορισµένες αλγεβρικές ιδιότητες του συνόλου L(V, W ) των
γραµµικών απεικονίσεων από τον διανυσµατικό χώρο V στον διανυσµατικό χώρο W .
Πρόταση 5.4.1 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F.
(i) Αν f, g : V −→ W είναι δύο γραµµικές απεικονίσεις, τότε η απεικόνιση
f + g : V −→ W,
που ορίζεται ϑέτοντας (f + g)(v) = f (v) + g(v) για κάθε v ∈ V , είναι επίσης γραµµική.
Η απεικόνιση f + g καλείται άθροισµα των f και g .
(ii) Αν f : V −→ W είναι µια γραµµική απεικόνιση και λ ∈ F, τότε η απεικόνιση
λf : V −→ W,
που ορίζεται ϑέτοντας (λf )(v) = λf (v) για κάθε v ∈ V , είναι επίσης γραµµική. Η
απεικόνιση λf καλείται γινόµενο του λ µε την f .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
150
Απόδειξη. ΄Εστω v, v 0 ∈ V και µ ∈ F. Από τον ορισµό της f + g και τη γραµµικότητα των
f, g , έχουµε
(f + g)(v + v 0 ) =
=
=
=
f (v + v 0 ) + g(v + v 0 )
f (v) + f (v 0 ) + g(v) + g(v 0 )
f (v) + g(v) + f (v 0 ) + g(v 0 )
(f + g)(v) + (f + g)(v 0 )
και
(f + g)(µv) = f (µv) + g(µv) = µf (v) + µg(v) = µ(f (v) + g(v)) = µ(f + g)(v).
΄Αρα, η απεικόνιση f + g είναι γραµµική. Για την απεικόνιση λf έχουµε
(λf )(v + v 0 ) = λf (v + v 0 ) = λ(f (v) + f (v 0 )) = λf (v 0 ) + λf (v 0 ) = (λf )(v) + (λf )(v 0 )
και
(λf )(µv) = λf (µv) = λµf (v) = µλf (v) = µ(λf )(v).
Συνεπώς, δείχτηκε η γραµµικότητα της λf .
Πρόταση 5.4.2 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F. Τότε, το σύνολο L(V, W ) των
γραµµικών απεικονίσεων από τον V στον W , εφοδιασµένο µε το άθροισµα και το γινόµενο µε
στοιχεία του F που ορίστηκαν στην Πρόταση 5.4.1, είναι επίσης ένας διανυσµατικός χώρος επί
του F. Το µηδενικό στοιχείο του L(V, W ) είναι η µηδενική απεικόνιση v 7−→ 0W , v ∈ V , ενώ το
αντίθετο ενός στοιχείου f ∈ L(V, W ) είναι η απεικόνιση v 7−→ −f (v), v ∈ V .
Απόδειξη. ΄Ολες οι ιδιότητες που ϑα πρέπει να δειχτούν προκύπτουν άµεσα από τους
ορισµούς. Για παράδειγµα, ϑα δείξουµε ότι αν f, g ∈ L(V, W ) και λ ∈ F, τότε είναι λ(f +g) =
λf + λg . Για να δείξουµε την ισότητα αυτή, ϑα πρέπει να δείξουµε ότι για κάθε v ∈ V ισχύει
(λ(f + g))(v) = (λf + λg)(v).
Με άση τους ορισµούς, έχουµε
(λ(f + g))(v) = λ(f + g)(v) = λ(f (v) + g(v))
και
(λf + λg)(v) = (λf )(v) + (λg)(v) = λf (v) + λg(v).
Καθώς είναι λ(f (v) + g(v)) = λf (v) + λg(v), το ητούµενο έπεται. Οι υπόλοιπες ιδιότητες
αφήνονται ως άσκηση στον αναγνώστη.
΄Εστω W ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και ν ένας ϕυσικός αριθµός. Είναι εύκολο
να δειχτεί ότι το σύνολο W ν µε πρόσθεση
(w1 , w2 , . . . , wν ) + (w10 , w20 , . . . , wν0 ) = (w1 + w10 , w2 + w20 , . . . , wν + wν0 )
και πολλαπλασιασµό ενός στοιχείου λ ∈ F µε ένα στοιχείο του W ν
λ(w1 , w2 , . . . , wν ) = (λw1 , λw2 , . . . , λwν ),
είναι ένας διανυσµατικός χώρος επί του F (πρβλ. Παράδειγµα 4.1.4).
5.4. ý
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΩΝ
151
Παρατήρηση 5.4.3 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F
και B = {v1 , v2 , . . . , vν } µια άση του, όπου ν = dimF V . Θεωρούµε επίσης ένα διανυσµατικό
χώρο W και την απεικόνιση
a : L(V, W ) −→ W ν ,
η οποία ορίζεται ϑέτοντας a(f ) = (f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )) για κάθε f ∈ L(V, W ) (Θεώρηµα
5.2.13). Η απεικόνιση a είναι γραµµική. Πράγµατι, αν f, g ∈ L(V, W ) και λ ∈ F, τότε
a(f + g) =
=
=
=
και
((f + g)(v1 ), (f + g)(v2 ), . . . , (f + g)(vν ))
(f (v1 ) + g(v1 ), f (v2 ) + g(v2 ), . . . , f (vν ) + g(vν ))
(f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )) + (g(v1 ), g(v2 ), . . . , g(vν ))
a(f ) + a(g)
a(λf ) =
=
=
=
((λf )(v1 ), (λf )(v2 ), . . . , (λf )(vν ))
(λf (v1 ), λf (v2 ), . . . , λf (vν ))
λ(f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν ))
λa(f ).
Καθώς γνωρίζουµε ήδη ότι η απεικόνιση a είναι 1-1 και επί (Θεώρηµα 5.2.13), συµπεραίνουµε
ότι η a είναι ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων.
Στη συνέχεια, ϑα δούµε πώς συµπεριφέρεται η γραµµική δοµή του συνόλου των γραµµικών απεικονίσεων αναφορικά µε τη σύνθεση.
Πρόταση 5.4.4 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f, g : V −→ W δύο
γραµµικές απεικονίσεις.
(i) Αν V 0 είναι ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και s : V 0 −→ V µια γραµµική απεικόνιση, τότε (f + g) ◦ s = f ◦ s + g ◦ s και (λf ) ◦ s = λ(f ◦ s) για κάθε λ ∈ F.
(ii) Αν W 0 είναι ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και t : W −→ W 0 µια γραµµική
απεικόνιση, τότε t ◦ (f + g) = t ◦ f + t ◦ g και t ◦ (λf ) = λ(t ◦ f ) για κάθε λ ∈ F.
Απόδειξη. Οι δύο ισότητες στο (i) είναι άµεσες συνέπειες των ορισµών. Πράγµατι, για κάθε
στοιχείο v 0 ∈ V 0 έχουµε
((f + g) ◦ s)(v 0 ) =
=
=
=
(f + g)(s(v 0 ))
f (s(v 0 )) + g(s(v 0 ))
(f ◦ s)(v 0 ) + (g ◦ s)(v 0 )
(f ◦ s + g ◦ s)(v 0 )
και
((λf ) ◦ s)(v 0 ) = (λf )(s(v 0 )) = λf (s(v 0 )) = λ(f ◦ s)(v 0 ) = (λ(f ◦ s))(v 0 ).
Ανάλογα, οι ισότητες στο (ii) έπονται από τους ορισµούς και τη γραµµικότητα της t. Πράγµατι, για κάθε v ∈ V έχουµε
(t ◦ (f + g))(v) =
=
=
=
=
t((f + g)(v))
t(f (v) + g(v))
t(f (v)) + t(g(v))
(t ◦ f )(v) + (t ◦ g)(v)
(t ◦ f + t ◦ g)(v)
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
152
και
(t ◦ (λf ))(v) = t((λf )(v)) = t(λf (v)) = λt(f (v)) = λ(t ◦ f )(v) = (λ(t ◦ f ))(v).
Ειδικότερα, ας ϑεωρήσουµε ένα διανυσµατικό χώρο V επί του F και τον διανυσµατικό
χώρο L(V, V ) των γραµµικών απεικονίσεων από τον V στον εαυτό του. Θεωρούµε επίσης την
πράξη της σύνθεσης
L(V, V ) × L(V, V ) −→ L(V, V ),
µε (f, g) 7−→ f ◦ g για κάθε f, g ∈ L(V, V ), και παρατηρούµε ότι για κάθε f, g, h ∈ L(V, V )
και λ ∈ F ισχύουν τα εξής :
(i) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
(ii) (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h και h ◦ (f + g) = h ◦ f + h ◦ g
(iii) (λf ) ◦ g = f ◦ (λg) = λ(f ◦ g)
΄Ενας διανυσµατικός χώρος επί του F που είναι εφοδιασµένος µε µια πράξη η οποία ικανοποιεί
τις ιδιότητες (i), (ii) και (iii) παραπάνω λέγεται άλγεβρα επί του F.
Ορισµός 5.4.5 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και f : V −→ V µια γραµµική
απεικόνιση. Τότε, ορίζουµε τη γραµµική απεικόνιση f ν : V −→ V για κάθε ϕυσικό αριθµό ν µε
επαγωγή, ως εξής :
(i) f 0 = 1V και
(ii) f ν = f ν−1 ◦ f για κάθε ν ≥ 1.
Στη συνέχεια, ϑα εξετάσουµε τον διανυσµατικό χώρο L(V, W ) στην περίπτωση όπου W
είναι ο µονοδιάστατος διανυσµατικός χώρος F.
Ορισµός 5.4.6 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Ο διανυσµατικός χώρος L(V, F)
καλείται δυϊκός χώρος του V και συµβολίζεται µε V ∗ .
Παράδειγµα 5.4.7 Ο πραγµατικός διανυσµατικός χώρος Rν είναι ισόµορφος µε το δυϊκό του
για κάθε ϕυσικό αριθµό ν . Πράγµατι, ϑεωρώντας την κανονική άση e1 , e2 , . . . , eν του Rν ,
µπορούµε να ορίσουµε τον ισοµορφισµό
a : (Rν )∗ −→ Rν ,
ϑέτοντας a(f ) = (f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (eν )) για κάθε f ∈ (Rν )∗ = L(Rν , R) (λ. Παρατήρηση
5.4.3).
Πρόταση 5.4.8 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και f : V −→ W µια γραµµική
απεικόνιση. Τότε, η απεικόνιση
f ∗ : W ∗ −→ V ∗ ,
η οποία ορίζεται ϑέτοντας f ∗ (g) = g ◦ f για κάθε g ∈ W ∗ = L(W, F) είναι επίσης γραµµική και
καλείται δυϊκή απεικόνιση της f .
5.4. ý
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΩΝ
153
Απόδειξη. Αρχικά, παρατηρούµε ότι για κάθε g ∈ W ∗ , δηλαδή για κάθε γραµµική απεικόνιση g : W −→ F, η σύνθεση g◦f : V −→ F είναι επίσης γραµµική (λ. Παράδειγµα 5.1.5(iii))
και άρα g ◦ f ∈ V ∗ . ΄Ετσι, ορίζεται πραγµατικά η απεικόνιση f ∗ . Για να δείξουµε ότι η f ∗
είναι γραµµική, ϑεωρούµε δύο στοιχεία g, g 0 ∈ W ∗ και ένα λ ∈ F. Θέλουµε να δείξουµε ότι
f ∗ (g + g 0 ) = f ∗ (g) + f ∗ (g 0 ) και f ∗ (λg) = λf ∗ (g),
δηλαδή ότι
(g + g 0 ) ◦ f = g ◦ f + g 0 ◦ f και (λg) ◦ f = λ(g ◦ f ).
΄Ετσι, το ητούµενο είναι µια ειδική περίπτωση της Πρότασης 5.4.4(i).
Πρόταση 5.4.9 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F. Τότε, η απεικόνιση
L(V, W ) −→ L(W ∗ , V ∗ ),
µε f 7−→ f ∗ , f ∈ L(V, W ), είναι γραµµική.
Απόδειξη. ΄Εστω f, f 0 ∈ L(V, W ) και λ ∈ F. Θέλουµε να δείξουµε ότι (f + f 0 )∗ = f ∗ + f 0∗
και (λf )∗ = λf ∗ . Συνεπώς, ϑα πρέπει να δείξουµε ότι για κάθε g ∈ W ∗ = L(W, F) είναι
(f + f 0 )∗ (g) = f ∗ (g) + f 0∗ (g 0 ) και (λf )∗ (g) = λf ∗ (g),
δηλαδή ότι
g ◦ (f + f 0 ) = g ◦ f + g ◦ f 0 και g ◦ (λf ) = λ(g ◦ f ).
΄Ετσι, το ητούµενο είναι µια ειδική περίπτωση της Πρότασης 5.4.4(ii).
Πρόταση 5.4.10 ΄Εστω U, V και W τρεις διανυσµατικοί χώροι επί του F. Θεωρούµε δύο
γραµµικές απεικονίσεις f : U −→ V και g : V −→ W και τις δυϊκές απεικονίσεις f ∗ : V ∗ −→
U ∗ και g ∗ : W ∗ −→ V ∗ . Τότε, η δυϊκή απεικόνιση (g ◦ f )∗ : W ∗ −→ U ∗ της σύνθεσης
g ◦ f : U −→ W είναι η σύνθεση f ∗ ◦ g ∗ : W ∗ −→ U ∗ .
Απόδειξη. Για να δείξουµε ότι (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ , ϑεωρούµε ένα στοιχείο s ∈ W ∗ = L(W, F)
και υπολογίζουµε
(g ◦ f )∗ (s) = s ◦ (g ◦ f ) = (s ◦ g) ◦ f = f ∗ (s ◦ g) = f ∗ (g ∗ (s)) = (f ∗ ◦ g ∗ )(s).
΄Αρα, δείχτηκε το ητούµενο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Θεωρούµε τις γραµµικές απεικονίσεις f, g : R2 −→ R2 , που είναι τέτοιες ώστε f (x1 , x2 ) =
(x1 + x2 , x1 − x2 ) και g(x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + 2x2 ) για κάθε (x1 , x2 ) ∈ R2 . Να δειχτεί
ότι f ◦ g 6= g ◦ f ∈ L(R2 , R2 ).
2. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και f : V −→ V µια γραµµικη απεικόνιση
µε f 2 = f . Να δειχτεί ότι V = kerf ⊕ imf .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ
154
3. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και f : V −→ V µια γραµµικη απεικόνιση
µε f 2 = 1V . Να δειχτεί ότι τα υποσύνολα
V1 = {v ∈ V : f (v) = v} και V−1 = {v ∈ V : f (v) = −v}
είναι υπόχωροι του V και µάλιστα ισχύει V = V1 ⊕ V−1 .
4. ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος και f :
V −→ V µια γραµµικη απεικόνιση µε f 2 = −1V . Να δειχτεί ότι :
(i) Υπάρχει µια άση του V της µορφής {v1 , f (v1 ), v2 , f (v2 ), . . . , vν , f (vν )}, για κατάλληλα v1 , v2 , . . . , vν ∈ V .
(ii) Η διάσταση dimR V είναι άρτια.
5. ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και f : V −→ V µια γραµµικη απεικόνιση
µε f ν = 0 για κάποιο ν ∈ N. Να δειχτεί ότι η γραµµική απεικόνιση 1V − f : V −→ V
είναι ισοµορφισµός.
6. ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F. Θεωρούµε δύο γραµµικές απεικονίσεις
f : V −→ W και g : W −→ V και υποθέτουµε ότι η γραµµική απεικόνιση
1V − g ◦ f : V −→ V
είναι ισοµορφισµός. Να δειχτεί ότι η γραµµική απεικόνιση
1W − f ◦ g : W −→ W
είναι επίσης ισοµορφισµός και µάλιστα ισχύει (1W −f ◦g)−1 = 1W +f ◦(1V −g ◦f )−1 ◦g .
Κεφάλαιο 6
Γραµµικές Απεικονίσεις και Πίνακες
6.1 Πίνακας Γραµµικής Απεικόνισης
Θα δούµε ότι κάθε γραµµική απεικόνιση µεταξύ δύο πεπερασµένα παραγόµενων διανυσµατικών χώρων µπορεί να παρασταθεί µε έναν πίνακα, αν σταθεροποιήσουµε δύο άσεις
των χώρων. Μέσω της περιγραφής αυτής, οι αλγεβρικές πράξεις στο σύνολο των γραµµικών
απεικονίσεων αντιστοιχούν σε πράξεις µεταξύ πινάκων.
Ας ϑεωρήσουµε δύο πεπερασµένα παραγόµενους διανυσµατικούς χώρους V και W επί
του F και µια γραµµική απεικόνιση f : V −→ W . Θεωρούµε επίσης µια διατεταγµένη άση
v = (v1 , v2 , . . . , vµ ) του V και µια διατεταγµένη άση w = (w1 , w2 , . . . , wν ) του W . ΄Οπως
κάθε στοιχείο του W , έτσι και οι εικόνες f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vµ ) των v1 , v2 , . . . , vµ µπορούν να
εκφραστούν µε µοναδικό τρόπο ως γραµµικοί συνδυασµοί των στοιχείων w1 , w2 , . . . , wν ∈ W .
΄Ετσι, έχουµε
f (v1 ) = λ11 w1 + λ21 w2 + · · · + λν1 wν
f (v2 ) = λ12 w1 + λ22 w2 + · · · + λν2 wν
..
.
f (vµ ) = λ1µ w1 + λ2µ w2 + · · · + λνµ wν
για κατάλληλα λij ∈ F. Συνεπώς, τα λij είναι τέτοια ώστε για τη στήλη των συντελεστών του
f (vi ) ∈ W ως προς τη διατεταγµένη άση w, να ισχύει

λ1i
 λ2i 


[f (vi )]w =  .. 
 . 
λνi

για κάθε i = 1, 2, . . . , µ. Θεωρούµε τώρα τον ν × µ πίνακα A, του οποίου η i-στήλη ci είναι
ακριβώς το παραπάνω διάνυσµα-στήλη [f (vi )]w για κάθε i = 1, 2, . . . , µ. Με άλλα λόγια,
ϑέτουµε




A =

λ11 λ12 . . . λ1µ
λ21 λ22 . . . λ2µ 

ν×µ
.
..
..
..  ∈ F
.
.
. 
λν1 λν2 . . . λνµ
155
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
156
Ορισµός 6.1.1 ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F και
f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση. Θεωρούµε µια διατεταγµένη άση v = (v1 , v2 , . . . , vµ )
του V και µια διατεταγµένη άση w = (w1 , w2 , . . . , wν ) του W . Τότε, ο πίνακας A ∈ Fν×µ
που ορίστηκε παραπάνω ονοµάζεται πίνακας της γραµµικής απεικόνισης f ως προς τις
διατεταγµένες άσεις v και w, και συµβολίζεται µε (f : v, w).
Παραδείγµατα 6.1.2
(i) Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : F4 −→ F3 , η οποία ορίζεται ϑέτοντας
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x1 − x2 , x1 + x3 − x4 , x1 + 3x2 − x3 − x4 , x2 + x3 )
για κάθε (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ F4 . Θεωρούµε επίσης τη διατεταγµένη άση e = (e1 , e2 , e3 , e4 ),
όπου {e1 , e2 , e3 , e4 } είναι η κανονική άση του F4 (λ. Παράδειγµα 4.4.14). Τότε, έχουµε
f (e1 ) = f (1, 0, 0, 0) = (2, 1, 1, 0) = 2 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3 + 0 · e4


2
 1 

και άρα [f (e1 )]e = 
 1 . Υπολογίζοντας µε τον ίδιο τρόπο τους πίνακες [f (e2 )]e =
0






−1
0
0
 0 





, [f (e3 )]e =  1  και [f (e4 )]e =  −1 , ρίσκουµε ότι
 3 
 −1 
 −1 
1
1
0


2 −1
0
0
 1
0
1 −1 
.
(f : e, e) = 
 1
3 −1 −1 
0
1
1
0
(ii) Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : F2 −→ F4 , η οποία ορίζεται ϑέτοντας
f (x1 , x2 ) = (x1 − 3x2 , 2x1 + x2 , x1 + x2 , x1 − 5x2 )
για κάθε (x1 , x2 ) ∈ F2 . Θεωρούµε επίσης τη διατεταγµένη άση e0 = ((1, −1), (2, 1)) του
F2 και τη διατεταγµένη άση e = (e1 , e2 , e3 , e4 ) του F4 που ορίστηκε στο προηγούµενο
παράδειγµα. Τότε, έχουµε
f (1, −1) = (4, 1, 0, 6) = 4 · e1 + 1 · e2 + 0 · e3 + 6 · e4


4
 1 

και άρα [f (1, −1)]e = 
 0 . Με τον ίδιο τρόπο, µπορούµε να υπολογίσουµε τον πίνακα
6
6.1. Πý
ΙΝΑΚΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΗΣ ΑΠΕΙΚý
ΟΝΙΣΗΣ
157


−1
 5 

[f (2, 1)]e = 
 3 . Συνεπώς, έχουµε
−3


4 −1
 1
5 
.
(f : e, e) = 
 0
3 
6 −3
(iii) Θεωρούµε το γραµµικό µετασχηµατισµό J : C −→ C του πραγµατικού διανυσµατικού
χώρου C, ο οποίος ορίζεται ϑέτοντας J(a + bi) = a − bi για κάθε a + bi ∈ C (όπου
a, b ∈ R). Θεωρούµε επίσης τη διατεταγµένη άση e = (1, i) του C. Καθώς
J(1) = 1 = 1 · 1 + 0 · i και J(i) = −i = 0 · 1 + (−1) · i,
συµπεραίνουµε ότι
µ
(J : e, e) =
1
0
0 −1
¶
.
΄Εστω z1 = 2 + i και z2 = 1 + i. Είναι εύκολο να δειχτεί ότι το σύνολο {z1 , z2 } είναι
επίσης µια άση του πραγµατικού διανυσµατικού χώρου C. Καθώς
J(1) = 1 = z1 − z2 και J(i) = −i = z1 − 2z2 ,
συµπεραίνουµε ότι, ϑέτοντας e0 = (z1 , z2 ), ϑα είναι
µ
0
(J : e, e ) =
1
1
−1 −2
¶
.
(iv) ΄Εστω ϕ µια γωνία µε 0 ≤ ϕ < 2π και Rϕ : R2 −→ R2 η γραµµική απεικόνιση µε
Rϕ (x, y) = (xσυνϕ − y ηµϕ, xηµϕ + y συνϕ) για κάθε (x, y) ∈ R2 . Θεωρώντας τη διατεταγµένη άση e = ((1, 0), (0, 1)), έχουµε
Rϕ (1, 0) = (συνϕ, ηµϕ) = συνϕ · (1, 0) + ηµϕ · (0, 1)
και
Rϕ (0, 1) = (−ηµϕ, συνϕ) = −ηµϕ · (1, 0) + συνϕ · (0, 1).
Συνεπώς, έχουµε
µ
(Rϕ : e, e) =
συνϕ −ηµϕ
ηµϕ συνϕ
¶
.
(v) Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση d : R3 [x] −→ R2 [x], η οποία ορίζεται ϑέτοντας
d(f (x)) = f 0 (x) για κάθε f (x) ∈ R3 [x]. ΄Εστω e3 και e2 οι διατεταγµένες άσεις των
διανυσµατικών χώρων R3 [x] και R2 [x] µε e3 = (1, x, x2 , x3 ) και e2 = (1, x, x2 ) αντίστοιχα. Τότε, για τον πίνακα της d ως προς αυτές τις άσεις έχουµε


0 1 0 0
(d : e3 , e2 ) =  0 0 2 0 .
0 0 0 3
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
158
Γενικότερα, έστω ν ≥ 1 ένας ϕυσικός αριθµός και d : Rν [x] −→ Rν−1 [x] η γραµµική
απεικόνιση που ορίζεται ϑέτοντας d(f (x)) = f 0 (x) για κάθε f (x) ∈ Rν [x]. Θεωρώντας τις διατεταγµένες άσεις eν = (1, x, x2 , . . . , xν ) και eν−1 = (1, x, x2 , . . . , xν−1 ) των
διανυσµατικών χώρων Rν [x] και Rν−1 [x] αντίστοιχα, έχουµε


0
0 

ν×(ν+1)
.
..  ∈ R
. 
ν
0 1 0 ...
 0 0 2 ...

(d : eν , eν−1 ) =  .. .. ..
 . . .
0 0 0 ...
Rx
(vi) Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση I : R2 [x] −→ R3 [x] µε I(f (x)) = 0 f (t) dt για κάθε
f (x) ∈ R2 [x]. ΄Εστω e2 και e3 οι διατεταγµένες άσεις των διανυσµατικών χώρων R2 [x]
και R3 [x], οι οποίες ορίστηκαν στο προηγούµενο παράδειγµα. Τότε, για τον πίνακα της I
ως προς αυτές τις άσεις, έχουµε


0 0 0
 1 0 0 

(I : e2 , e3 ) = 
 0 1 0 .
2
0 0 31
Γενικότερα, έστω ν ≥ 1 ένας ϕυσικός αριθµός
R x και I : Rν−1 [x] −→ Rν [x] η γραµµική
απεικόνιση που ορίζεται ϑέτοντας I(f (x)) = 0 f (t) dt για κάθε f (x) ∈ Rν−1 [x]. Θεωώντας τις διατεταγµένες άσεις eν−1 = (1, x, x2 , . . . , xν−1 ) και eν = (1, x, x2 , . . . , xν )
των διανυσµατικών χώρων Rν−1 [x] και Rν [x] αντίστοιχα, έχουµε

0 0 ...
1 0 ...
0 21 . . .



(d : eν−1 , eν ) = 
 ..
 .
0
..
.
0 ...

0
0
0



 ∈ R(ν+1)×ν .


..
.
1
ν+1
Παρατήρηση 6.1.3 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A ένας ν × µ πίνακας µε
στοιχεία από το F, του οποίου τις στήλες συµβολίζουµε µε c1 , c2 , . . . , cµ . Θεωρούµε τη γραµµική
απεικόνιση LA : Fµ×1 −→ Fν×1 , µε LA (B) = AB για κάθε πίνακα-στήλη B ∈ Fµ×1 , και τις
κανονικές άσεις

και


1
0
 0 
 1
 

E1 =  .. , E2 =  ..
 . 
 .
0
0




1
0
 1
 0 

 
E10 =  .. , E20 =  ..
 .
 . 
0
0




0
 0 

 

, . . . , Eµ =  ..  ∈ Fµ×1
 . 

1

0
 0 

 

0
, . . . , Eν =  ..  ∈ Fν×1
 . 

1
6.1. Πý
ΙΝΑΚΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΗΣ ΑΠΕΙΚý
ΟΝΙΣΗΣ
159
των διανυσµατικών χώρων Fµ×1 και Fν×1 αντίστοιχα. Παρατηρούµε ότι LA (Ej ) = AEj = cj
για κάθε j = 1, 2, . . . , µ και άρα για τον πίνακα της LA ως προς τις διατεταγµένες άσεις
E = (E1 , E2 , . . . , Eµ ) και E0 = (E10 , E20 , . . . , Eν0 ), ϑα είναι (LA : E, E0 ) = A.
Παρατήρηση 6.1.4 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του
F και V0 ≤ V ένας υπόχωρός του. Γνωρίζουµε ότι ο διανυσµατικός χώρος V0 είναι επίσης
πεπερασµένα παραγόµενος και µάλιστα dimF V0 ≤ dimF V (Πρόταση 4.6.3(i)). Επιπλέον, αν
{v1 , . . . , vκ } είναι µια άση του V0 , τότε µπορούµε να ρούµε µια άση του V της µορφής
{v1 , . . . , vκ , vκ+1 , . . . , vν } (Πόρισµα 4.5.4). Θεωρούµε τις διατεταγµένες άσεις v0 = (v1 , . . . , vκ )
και v = (v1 , . . . , vκ , vκ+1 , . . . , vν ) των διανυσµατικών χώρων V0 και V αντίστοιχα. Αν ι : V0 −→
V είναι η γραµµική απεικόνιση που ορίζεται ϑέτοντας ι(v) = v για κάθε v ∈ V0 , τότε

1 0 ...
 0 1 ...
 . .
 . .
 . .

0
(ι : v , v) =  0 0 . . .

 0 0 ...
 . .
 .. ..

0
0 

.. 
. 

1  ∈ Fν×κ .

0 

... 
0 0 ... 0
Είναι εύκολο να δειχτεί ότι το σύνολο των συµπλόκων {vκ+1 + V0 , . . . , vν + V0 } παράγει το
διανυσµατικό χώρο πηλίκο V /V0 . Καθώς dimF (V /V0 ) = ν − κ (Πρόταση 4.6.11), το σύνολο
αυτό αποτελεί µια άση του V /V0 . Θεωρούµε τη διατεταγµένη άση v = (vκ+1 +V0 , . . . , vν +V0 )
του V /V0 και τη γραµµική απεικόνιση p : V −→ V /V0 που ορίζεται ϑέτοντας p(v) = v + V0 για
κάθε v ∈ V . Τότε, είναι

0 0 ...
 0 0 ...

(p : v, v) =  .. ..
 . .
0 0 ...

0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0 

(ν−κ)×ν
.
.. .. ..
..  ∈ F
. . .
. 
0 0 0 ... 1
΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F. Γνωρίζουµε
ότι κάθε γραµµική απεικόνιση f : V −→ W καθορίζεται πλήρως από τις τιµές της σε µια
άση του V (Πρόταση 5.2.11). Κατά συνέπεια, ϑα δούµε ότι η f καθορίζεται πλήρως από
τον πίνακά που της αντιστοιχεί για κάθε επιλογή διατεταγµένων άσεων των V και W . Πιο
συγκεκριµένα, ισχύει το εξής :
Πρόταση 6.1.5 ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F και
f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση. Θεωρούµε µια διατεταγµένη άση v = (v1 , v2 , . . . , vµ )
του V , µια διατεταγµένη άση w = (w1 , w2 , . . . , wν ) του W και τον πίνακα (f : v, w) ∈ Fν×µ .
Τότε, για κάθε στοιχείο v ∈ V οι στήλες των συντελεστών [v]v ∈ Fµ×1 και [f (v)]w ∈ Fν×1 είναι
τέτοιες ώστε [f (v)]w = (f : v, w) · [v]v .
160
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
Απόδειξη. ΄Εστω c1 , c2 , . . . , cµ ∈ Fν×1 οι στήλες του πίνακα A = (f : v, w). Από τον ορισµό
του A, ϑα είναι cj = [f (vj )]w για κάθε j = 1, 2, . . . , µ. Θεωρούµε τη σύνθεση
[ ]w ◦ f : V −→ Fν×1
των γραµµικών απεικονίσεων f : V −→ W και [ ]w : W −→ Fν×1 (λ. Πρόταση 5.2.3) και τη
σύνθεση
LA ◦ [ ]v : V −→ Fν×1
των γραµµικών απεικονίσεων [ ]v : V −→ Fµ×1 και LA : Fµ×1 −→ Fν×1 (λ. Παράδειγµα
5.1.2(iv)). Θέλουµε να δείξουµε ότι ισχύει [f (v)]w = A·[v]v ∈ Fν×1 , δηλαδή ότι ([ ]w ◦f )(v) =
(LA ◦ [ ]v )(v) για κάθε v ∈ V . Με άλλα λόγια, ϑα πρέπει να δείξουµε ότι
[ ]w ◦ f = LA ◦ [ ]v : V −→ Fν×1 .
Με άση την Πρόταση 5.2.11, αρκεί να δείξουµε ότι οι δύο αυτές γραµµικές απεικονίσεις
παίρνουν την ίδια τιµή στα στοιχεία της άσης {v1 , v2 , . . . , vµ } του V , δηλαδή ότι [f (vj )]w =
A · [vj ]v για κάθε j = 1, 2, . . . , µ. Καθώς
vj = 0 · v1 + · · · + 0 · vj−1 + 1 · vj + 0 · vj+1 + · · · + 0 · vµ ,
η στήλη [vj ]v των συντελεστών του vj ως προς τη διατεταγµένη άση v του V είναι ο µ × 1
πίνακας-στήλη µε 1 στην j -ϑέση και 0 παντού αλλού. ΄Ετσι, το γινόµενο A·[vj ]v είναι ακριβώς
η j -στήλη cj του A. Συνεπώς, η ισότητα [f (vj )]w = A · [vj ]v είναι άµεση, αφού [f (vj )]w = cj .
΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F. ΄Εχουµε δει
ότι µπορούµε να ορίσουµε µια γραµµική απεικόνιση f : V −→ W , έτσι ώστε οι τιµές της
στα στοιχεία µιας άσης του V να είναι οποιαδήποτε στοιχεία του W (Πρόταση 5.2.12). Κατά
συνέπεια, ϑα δούµε ότι για κάθε πίνακα (κατάλληλων διαστάσεων) υπάρχει µια γραµµική
απεικόνιση f όπως παραπάνω που αντιστοιχεί στο δεδοµένο πίνακα, για κάθε επιλογή διατεταγµένων άσεων των V και W . Πιο συγκεκριµένα, ισχύει το εξής :
Πρόταση 6.1.6 ΄Εστω V, W δύο πεπερασµένα παραγόµενοι διανυσµατικοί χώροι επί του F.
Θεωρούµε µια διατεταγµένη άση v = (v1 , v2 , . . . , vµ ) του V , µια διατεταγµένη άση w =
(w1 , w2 , . . . , wν ) του W και ένα πίνακα A ∈ Fν×µ . Τότε, υπάρχει µία µοναδική γραµµική
απεικόνιση f : V −→ W , τέτοια ώστε (f : v, w) = A.
Απόδειξη. ΄Εστω c1 , c2 , . . . , cµ ∈ Fν×1 οι στήλες του πίνακα A. Καθώς η απεικόνιση
[ ]w : W −→ Fν×1
είναι ένας επιµορφισµός (Πρόταση 5.2.3), υπάρχουν στοιχεία z1 , z2 , . . . , zµ ∈ W , τέτοια ώστε
[zj ]w = cj για κάθε j = 1, 2, . . . , µ. Με άση την Πρόταση 5.2.12, γνωρίζουµε ότι υπάρχει
γραµµική απεικόνιση
f : V −→ W,
µε f (vj ) = zj για κάθε j = 1, 2, . . . , µ. Συνεπώς, η j -στήλη του πίνακα (f : v, w) είναι ίση µε
τον πίνακα-στήλη [f (vj )]w = [zj ]w = cj για κάθε j = 1, 2, . . . , µ. ΄Ετσι, οι πίνακες (f : v, w)
και A έχουν τις ίδιες στήλες και άρα (f : v, w) = A. Τέλος, η µοναδικότητα της γραµµικής
απεικόνισης f έπεται από την Πρόταση 6.1.5.
6.1. Πý
ΙΝΑΚΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΗΣ ΑΠΕΙΚý
ΟΝΙΣΗΣ
161
Παραδείγµατα 6.1.7
(i) Θεωρούµε τις διατεταγµένες άσεις v = (v1 , v2 , v3 ) και w = (w1 , w2 ) των διανυσµατικών
χώρων F3 και F2 αντίστοιχα, όπου v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 1), v3 = (1, 1, 0), w1 = (1, 1)
και w2 = (1, 0). ΄Εστω f : F3 −→ F2 η γραµµική απεικόνιση που είναι τέτοια ώστε
µ
¶
1 −2
3
(f : v, w) =
.
−4
5 −6
 
1

1 
Καθώς (2, 2, 2) = (0, 1, 1) + (1, 0, 1) + (1, 1, 0) = v1 + v2 + v3 , έχουµε [(2, 2, 2)]v =
1
και άρα
µ
[f (2, 2, 2)]w = (f : v, w) · [(2, 2, 2)]v =
1 −2
3
−4
5 −6
¶

µ
¶
1
2


· 1 =
.
−5
1

Συνεπώς, ϑα είναι f (2, 2, 2) = 2w1 − 5w2 = (2, 2) − (5, 0) = (−3, 2).
(ii) Θεωρούµε τις διατεταγµένες άσεις v = (v1 , v2 ) και w = (w1 , w2 , w3 ) των διανυσµατικών
χώρων F2 και F3 αντίστοιχα, όπου v1 = (2, 1), v2 = (5, 3), w1 = (1, 1, 1), w2 = (0, 1, −1)
και w3 = (1, 0, 1). ΄Εστω f : F2 −→ F3 η γραµµική απεικόνιση µε


0 −1
3 .
(f : v, w) =  −2
1
5
Κάθε στοιχείο (x1 , x2 ) ∈ F2 µπορεί να γραφτεί ως γραµµικός συνδυασµός (x1 , x2 ) =
λ
µ1 v1 + λ2 v2 , όπου
¶ λ1 = 3x1 − 5x2 και λ2 = −x1 + 2x2 . Συνεπώς, έχουµε [(x1 , x2 )]v =
3x1 − 5x2
−x1 + 2x2
και άρα



¶
x1 − 2x2
0 −1 µ
3x1 − 5x2
3 ·
[f (x1 , x2 )]w = (f : v, w)·[(x1 , x2 )]v =  −2
=  −9x1 + 16x2 .
−x1 + 2x2
−2x1 + 5x2
1
5

΄Ετσι, ϑα είναι
f (x1 , x2 ) = (x1 − 2x2 )w1 + (−9x1 + 16x2 )w2 + (−2x1 + 5x2 )w3
= (−x1 + 3x2 , −8x1 + 14x2 , 8x1 − 13x2 ).
Πρόταση 6.1.8 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F και v = (v1 , v2 , . . . , vν ), w =
(w1 , w2 , . . . , wµ ) δύο διατεταγµένες άσεις των V και W αντίστοιχα. Αν f, g : V −→ W είναι
δύο γραµµικές απεικονίσεις και λ ∈ F, τότε
(i) (f + g : v, w) = (f : v, w) + (g : v, w) ∈ Fµ×ν και
(ii) (λf : v, w) = λ(f : v, w) ∈ Fµ×ν .
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
162
Απόδειξη. ΄Εστω A = (aij ) = (f : v, w) και B = (bij ) = (g : v, w). Αυτό σηµαίνει οτι οι
στήλες των συντελεστών [f (vj )]w και [g(vj )]w δίνονται από τις σχέσεις


a1j
 a2j 


[f (vj )]w =  .. 
 . 
aµj


b1j
 b2j 


και [g(vj )]w =  . ,
.
 . 
bµj
δηλαδή ότι
f (vj ) = a1j w1 + a2j w2 + · · · + aµj wµ και g(vj ) = b1j w1 + b2j w2 + · · · + bµj wµ
για κάθε j = 1, 2, . . . , ν . Από τον ορισµό της γραµµικής απεικόνισης f + g : V −→ W ,
έπεται ότι
(f + g)(vj ) = f (vj ) + g(vj ) = (a1j + b1j )w1 + (a2j + b2j )w2 + · · · + (aµj + bµj )wµ
και άρα έχουµε

a1j + b1j
 a2j + b2j

[(f + g)(vj )]w = 
..

.
aµj + bµj





για κάθε j = 1, 2, . . . , ν . ΄Ετσι, κάθε στήλη του πίνακα (f + g : v, w) είναι το άθροισµα των
αντιστοίχων στηλών των πινάκων A και B , δηλαδή
(f + g : v, w) = A + B = (f : v, w) + (g : v, w).
Ανάλογα, από τον ορισµό της γραµµικής απεικόνισης λf : V −→ W , έπεται ότι
(λf )(vj ) = λf (vj ) = λa1j w1 + λa2j w2 + · · · + λaµj wµ
και άρα έχουµε


λa1j
 λa2j 


[(λf )(vj )]w =  .. 
 . 
λaµj
για κάθε j = 1, 2, . . . , ν . ΄Ετσι, λέπουµε ότι για τον πίνακα (λf : v, w) ισχύει
(λf : v, w) = λA = λ(f : v, w).
Πόρισµα 6.1.9 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F µε διαστάσεις ν και µ αντίστοιχα. Τότε, οι διανυσµατικοί χώροι L(V, W ) και Fµ×ν είναι ισόµορφοι.
Απόδειξη. Θεωρούµε δύο διατεταγµένες άσεις v = (v1 , v2 , . . . , vν ) και w = (w1 , w2 , . . . , wµ )
των V και W αντίστοιχα. Τότε, η απεικόνιση
s : L(V, W ) −→ Fµ×ν ,
η οποία ορίζεται ϑέτοντας s(f ) = (f : v, w) για κάθε f ∈ L(V, W ) είναι γραµµική (Πρόταση
6.1.8), 1-1 και επί (Πρόταση 6.1.6). ΄Ετσι, η s είναι ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων.
6.1. Πý
ΙΝΑΚΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΗΣ ΑΠΕΙΚý
ΟΝΙΣΗΣ
163
Πόρισµα 6.1.10 Αν V, W είναι δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F µε διαστάσεις ν και µ
αντίστοιχα, τότε dimF L(V, W ) = νµ.
Απόδειξη. Καθώς δύο ισόµορφοι διανυσµατικοί χώροι έχουν την ίδια διάσταση (Θεώρηµα
5.2.10), το ητούµενο έπεται από τη σχέση dimF Fµ×ν = νµ (πρβλ. Παράδειγµα 4.4.16).
Θα εξετάσουµε τώρα τη σχέση που υπάρχει µεταξύ του πίνακα της σύνθεσης δύο γραµµικών απεικονίσεων και των πινάκων των δύο αυτών γραµµικών απεικονίσεων.
Πρόταση 6.1.11 ΄Εστω U, V, W τρεις διανυσµατικοί χώροι επί του F και u = (u1 , u2 , . . . , uκ ),
v = (v1 , v2 , . . . , vν ), w = (w1 , w2 , . . . , wµ ) τρεις διατεταγµένες άσεις των U, V και W αντίστοιχα. Αν f : U −→ V και g : V −→ W είναι δύο γραµµικές απεικονίσεις, τότε
(g ◦ f : u, w) = (g : v, w) · (f : u, v).
Απόδειξη. ΄Εστω A = (aij ) = (f : u, v) ∈ Fν×κ και B = (bij ) = (g : v, w) ∈ Fµ×ν . Τότε, για
κάθε j = 1, 2, . . . , κ η στήλη των συντελεστών [f (uj )]v δίνεται από τη σχέση


a1j
 a2j 


[f (uj )]v =  .. 
 . 
aνj
και άρα
ν
X
f (uj ) = a1j v1 + a2j v2 + · · · + aνj vν =
alj vl .
l=1
Επίσης, για κάθε l = 1, 2, . . . , ν η στήλη των συντελεστών [g(vl )]w δίνεται από τη σχέση


b1l
 b2l 


[g(vl )]w =  .. 
 . 
bµl
και άρα
g(vl ) = b1l w1 + b2l w2 + · · · + bµl wµ =
µ
X
bil wi .
i=1
Καθώς
g(f (uj )) = g
à ν
X
!
alj vl
=
l=1
ν
X
alj g(vl ) =
l=1
ν
X
alj
l=1
µ
X
bil wi =
i=1
µ
ν X
X
l=1 i=1
συµπεραίνουµε ότι
(g ◦ f )(uj ) =
µ
ν
X
X
i=1 l=1
bil alj wi =
à ν
µ
X
X
i=1
l=1
!
bil alj wi .
alj bil wi ,
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
164
΄Αρα για τη j -στήλη [(g ◦ f )(uj )]w του πίνακα (g ◦ f : u, w) ϑα είναι
 Pν
l=1 b1l alj
 Pν b2l alj

l=1
[(g ◦ f )(uj )]w = 
..

Pν .
l=1 bµl alj





για κάθε j = 1, 2, . . . , κ. ΄Ετσι, το στοιχειο στην (i, j)-ϑέση του πίνακα (g ◦ f : u, w) είναι
Pν
ίσο µε l=1 bil alj , συµπίπτει δηλαδή µε το στοιχείο στην (i, j)-ϑέση του πίνακα BA για κάθε
i = 1, 2, . . . , µ και j = 1, 2, . . . , κ. ΄Εχουµε λοιπόν δείξει ότι (g ◦ f : u, w) = BA, δηλαδή ότι
(g ◦ f : u, w) = (g : v, w)(f : u, v).
Παράδειγµα 6.1.12 ΄Εστω f, g : F3 −→ F3 οι γραµµικές απεικονίσεις µε f (x1 , x2 , x3 ) =
(2x1 + x2 − x3 , x1 − x2 + 4x3 , x1 + x3 ) και g(x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 , x2 + x3 , 2x1 + x3 ) για κάθε
(x1 , x2 , x3 ) ∈ F3 . Θεωρούµε τη διατεταγµένη άση e = (e1 , e2 , e3 ) του F3 , όπου {e1 , e2 , e3 } είναι
η κανονική άση του F3 , και υπολογίζουµε τους αντίστοιχους πίνακες


2
1 −1
4 
A = (f : e, e) =  1 −1
1
0
1


1 −1 0
1 1 .
και B = (g : e, e) =  0
2
0 1
Θεωρούµε επίσης τή γραµµική απεικόνιση h = g ◦ f + f − 2g : F3 −→ F3 και χρησιµοποιούµε
τις Προτάσεις 6.1.8 και 6.1.11 για να συµπεράνουµε ότι


3
5 −6
7 .
(h : e, e) = (g : e, e) · (f : e, e) + (f : e, e) − 2(g : e, e) = BA + A − 2B =  3 −4
2
2 −2
΄Ετσι, αν v = (1, −2, 1) ∈ F3 τότε για την εικόνα h(v) ∈ F3 έχουµε

 
 

3
5 −6
1
−13
7 .  −2  =  18 .
[h(v)]e = (h : e, e) · [v]e =  3 −4
2
2 −2
1
−4
Συνεπώς, ϑα είναι h(v) = −13e1 + 18e2 − 4e3 = (−13, 18, −4).
Θεώρηµα 6.1.13 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F διάστασης ν και f : V −→
W µια γραµµική απεικόνιση. Τότε, οι επόµενες συνθήκες είναι ισοδύναµες :
(i) Η f είναι ισοµορφισµός.
(ii) Για κάθε δύο διατεταγµένες άσεις v, w των V και W αντίστοιχα, ο ν × ν πίνακας
(f : v, w) είναι αντιστρέψιµος.
(iii) Υπάρχουν δύο διατεταγµένες άσεις v, w των V και W αντίστοιχα, τέτοιες ώστε ο ν × ν
πίνακας (f : v, w) είναι αντιστρέψιµος.
6.1. Πý
ΙΝΑΚΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΗΣ ΑΠΕΙΚý
ΟΝΙΣΗΣ
165
Απόδειξη. Για να δείξουµε ότι (i) → (ii), υποθέτουµε ότι η f είναι ισοµορφισµός και
ϑεωρούµε δύο διατεταγµένες άσεις v, w των V και W αντίστοιχα. Η γραµµική απεικόνιση
f −1 : W −→ V είναι τέτοια ώστε f ◦ f −1 = 1W και f −1 ◦ f = 1V και άρα, χρησιµοποιώντας
την Πρόταση 6.1.11, έχουµε
(f : v, w)(f −1 : w, v) = (f ◦ f −1 : w, w) = (1W : w, w)
και
(f −1 : w, v)(f : v, w) = (f −1 ◦ f : v, v) = (1V : v, v).
Είναι ϕανερό από τους ορισµούς ότι (1W : w, w) = Iν = (1V : v, v) και άρα ο πίνακας
(f : v, w) είναι πράγµατι αντιστρέψιµος (µε αντίστροφο τον πίνακα (f −1 : w, v)).
Η συνεπαγωγή (ii) → (iii) είναι άµεση. Για να δείξουµε ότι (iii) → (i), ϑεωρούµε δύο
διατεταγµένες άσεις v και w των V και W αντίστοιχα, που είναι τέτοιες ώστε ο πίνακας
A = (f : v, w) είναι αντιστρέψιµος, καθώς επίσης και τον αντίστροφό του πίνακα A−1 .
Από την Πρόταση 6.1.6, γνωρίζουµε ότι υπάρχει γραµµική απεικόνιση g : W −→ V µε
A−1 = (g : w, v). Οι σύνθετες απεικονίσεις g ◦ f : V −→ V και f ◦ g : W −→ W είναι τέτοιες
ώστε
(g ◦ f : v, v) = (g : w, v)(f : v, w) = A−1 A = Iν = (1V : v, v)
και
(f ◦ g : w, w) = (f : v, w)(g : w, v) = AA−1 = Iν = (1W : w, w).
Χρησιµοποιώντας και πάλι την Πρόταση 6.1.6, συµπεραίνουµε ότι g ◦ f = 1V και f ◦ g = 1W .
΄Αρα η f είναι πράγµατι ισοµορφισµός.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. ΄Εστω f : F3 −→ F4 η γραµµική απεικόνιση µε f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 − 5x3 , x1 + x2 +
2x3 , −x1 + 2x2 − 3x3 , x1 + x3 ) για κάθε (x1 , x2 , x3 ) ∈ F3 . Θεωρούµε επίσης τα στοιχεία
v1 , v2 , v3 ∈ F3 , όπου v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1) και v3 = (1, 0, 1), καθώς επίσης και τα
στοιχεία w1 , w2 , w3 , w4 ∈ F4 µε w1 = (1, 2, 0, 0), w2 = (0, 1, 3, 0), w3 = (0, 0, 1, 4) και
w4 = (5, 0, 0, 1).
(i) Να δειχτεί ότι η v = (v1 , v2 , v3 ) είναι µια διετατεγµένη άση του F3 .
(ii) Να δειχτεί ότι η w = (w1 , w2 , w3 , w4 ) είναι µια διετατεγµένη άση του F4 .
(iii) Να ρεθεί ο πίνακας (f : v, w).
2. Θεωρούµε τα στοιχεία v1 , v2 ∈ F2 µε v1 = (5, 3) και v2 = (3, 2), καθώς επίσης και τα
στοιχεία w1 , w2 , w3 ∈ F3 µε v1 = (−1, 1, 1), v2 = (1, −1, 1) και v3 = (1, 1, −1).
(i) Να δειχτεί ότι η v = (v1 , v2 ) είναι µια διετατεγµένη άση του F2 .
(ii) Να δειχτεί ότι η w = (w1 , w2 , w3 ) είναι µια διετατεγµένη άση του F3 .


−1 2
(iii) ΄Εστω f : F2 −→ F3 η γραµµική απεικόνιση µε (f : v, w) =  2 0 . Να
0 1
υπολογιστούν οι τιµές f (1, 1) και f (2, −3).
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
166
3. ΄Εστω f : F3 −→ F3 η γραµµική απεικόνιση µε f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − 3x3 , 2x1 −
x2 − x3 , −x1 + x2 + x3 ) για κάθε (x1 , x2 , x3 ) ∈ F3 . Θεωρούµε επίσης την κανονική άση
{e1 , e2 , e3 } του F3 και την αντίστοιχη διατεταγµένη του άση e = (e1 , e2 , e3 ).
(i) Να ρεθεί ο πίνακας (f : e, e).
(ii) Να ρεθεί ο πίνακας (g : e, e), όπου g = f 2 − 3f + 1V ∈ L(V, V ).
(iii) Να ρεθεί η τιµή h(2, 1, −3) ∈ F3 , όπου h = f 3 + f 2 − 5f ∈ L(V, V ).
4. ΄Εστω A ένας ν × ν πίνακας επί του F. Να δειχτεί ότι οι επόµενες συνθήκες είναι
ισοδύναµες :
(i) Ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος.
(ii) Η γραµµική απεικόνιση LA : Fν×µ −→ Fν×µ είναι ισοµορφισµός για κάθε µ ≥ 1.
(iii) Η γραµµική απεικόνιση LA : Fν×1 −→ Fν×1 είναι ισοµορφισµός.
5. ΄Εστω f : V −→ W ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων επί του F και v =
(v1 , v2 , . . . , vν ) µια διατεταγµένη άση του V . Να δειχτεί ότι υπάρχει µια διατεταγµένη
άση w του W , τέτοια ώστε να ισχύει (f : v, w) = Iν .
6. ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F διάστασης ν και µ αντίστοιχα και
f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση. Να δειχτεί ότι οι επόµενες συνθήκες είναι
ισοδύναµες :
(i) Η f είναι µονοµορφισµός.
(ii) Για κάθε δύο διατεταγµένες άσεις v, w των V και W αντίστοιχα, ο πίνακας
A = (f : v, w) ∈ Fµ×ν είναι τέτοιος ώστε BA = Iν για κάποιο B ∈ Fν×µ .
(iii) Υπάρχουν δύο διατεταγµένες άσεις v, w των V και W αντίστοιχα, για τις οποίες ο
πίνακας A = (f : v, w) ∈ Fµ×ν είναι τέτοιος ώστε BA = Iν για κάποιο B ∈ Fν×µ .
7. ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F διάστασης ν και µ αντίστοιχα και
f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση. Να δειχτεί ότι οι επόµενες συνθήκες είναι
ισοδύναµες :
(i) Η f είναι επιµορφισµός.
(ii) Για κάθε δύο διατεταγµένες άσεις v, w των V και W αντίστοιχα, ο µ × ν πίνακας
A = (f : v, w) είναι τέτοιος ώστε AB = Iµ για κάποιο B ∈ Fν×µ .
(iii) Υπάρχουν δύο διατεταγµένες άσεις v, w των V και W αντίστοιχα, για τις οποίες ο
πίνακας A = (f : v, w) ∈ Fµ×ν είναι τέτοιος ώστε AB = Iµ για κάποιο B ∈ Fν×µ .
8. ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι, A ∈ Fν×µ και RA : F1×ν −→ F1×µ η γραµµική
απεικόνιση που ορίζεται ϑέτοντας RA (B) = BA για κάθε πίνακα-γραµµή B ∈ F1×ν .
Θεωρούµε τις κανονικές άσεις {E1 , E2 , . . . , Eν } και {E10 , E20 , . . . , Eµ0 } των F1×ν και
F1×µ αντίστοιχα και τις αντίστοιχες διατεταγµένες άσεις E = (E1 , E2 , . . . , Eν ) και
E0 = (E10 , E20 , . . . , Eµ0 ). Να δειχτεί ότι ο πίνακας (RA : E, E0 ) ∈ Fµ×ν είναι ο ανάστροφος
πίνακας At του A.
6.2. ΙΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙý
ΟΤΗΤΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
167
6.2 Ισοδυναµία και Οµοιότητα Πινάκων
΄Οπως είδαµε, κάθε γραµµική απεικόνιση µεταξύ δύο πεπερασµένα παραγόµενων διανυσµατικών χώρων αντιστοιχεί σε έναν πίνακα, ο οποίος ορίζεται αφού πρώτα επιλέξουµε δύο
διατεταγµένες άσεις των χώρων. Στη συνέχεια, ϑα εξετάσουµε τη σχέση που υπάρχει µεταξύ
δύο πινάκων που αντιστοιχούν στην ίδια απεικόνιση, ως προς δύο διαφορετικές επιλογές
άσεων.
Πρόταση 6.2.1 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F διάστασης ν και v, v0 δύο
διατεταγµένες άσεις του. Θεωρούµε τον ν × ν πίνακα P = (1V : v, v0 ). Τότε :
(i) Ο πίνακας P είναι αντιστρέψιµος.
(ii) Για κάθε v ∈ V οι στήλες των συντελεστών [v]v και [v]v0 είναι τέτοιες ώστε [v]v0 = P · [v]v .
Ο πίνακας P λέγεται ο πίνακας αλλαγής άσης από τη διατεταγµένη άση v στη v0 .
Απόδειξη. Ο πίνακας P είναι αντιστρέψιµος, ως πίνακας του ισοµορφισµού 1V ως προς
τις διατεταγµένες άσεις v και v0 (Θεώρηµα 6.1.13). Για να δείξουµε το (ii), ϑεωρούµε ένα
στοιχείο v ∈ V και τη γραµµική απεικόνιση g : F −→ V µε g(λ) = λv για κάθε λ ∈ F.
Θεωρούµε επίσης τη διατεταγµένη άση 1 = (1) του F και παρατηρούµε ότι (g : 1, v) = [v]v
και (g : 1, v0 ) = [v]v0 . Συνεπώς, χρησιµοποιώντας την Πρόταση 6.1.11, συµπεραίνουµε ότι
P · [v]v = (1V : v, v0 ) · (g : 1, v) = (1V ◦ g : 1, v0 ) = (g : 1, v0 ) = [v]v0 ,
δηλαδή το ητούµενο.
Παρατήρηση 6.2.2 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F διάστασης ν και v, v0 δύο
διατεταγµένες άσεις του. Από την απόδειξη του Θεωρήµατος 6.1.13, λέπουµε ότι ο αντίστρο0
ϕος του πίνακα αλλαγής άσης P = (1V : v, v0 ) είναι ο πίνακας P −1 = (1−1
V : v , v), δηλαδή ο
πίνακας αλλαγής άσης (1V : v0 , v) από τη v0 στη v.
Παράδειγµα 6.2.3 Θεωρούµε το διανυσµατικό χώρο F3 και τις διατεταγµένες άσεις του e =
((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) και v = ((0, −1, 2), (1, 1, −2), (2, 0, 1)). Για να ρούµε τον πίνακα
αλλαγής άσης P = (1V : v, e) από τη διατεταγµένη άση v στην e, ϑα πρέπει να εκφράσουµε
τα στοιχεία της v ως γραµµικούς συνδυασµούς των στοιχείων της e. ΄Ετσι, είναι ϕάνερό ότι


0
1 2
1 0 .
P =  −1
2 −2 1
Ο αντίστροφος πίνακας P −1 = (1V : e, v) είναι ο πίνακας αλλαγής άσης από τη διατεταγµένη
άση e στη v. ΄Ετσι, οι στήλες του P −1 προκύπτουν εκφράζοντας τα στοιχεία της e ως γραµµικούς συνδυασµούς των στοιχείων της v. Μπορούµε να δούµε ότι (1, 0, 0) = (0, −1, 2) +
(1, 1, −2), (0, 1, 0) = −5(0, −1, 2) − 4(1, 1, −2) + 2(2, 0, 1) και (0, 0, 1) = −2(0, −1, 2) −
2(1, 1, −2) + (2, 0, 1). Συνεπώς, ϑα είναι

P −1

1 −5 −2
=  1 −4 −2 .
0
2
1
168
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
Για να εκφράσουµε το στοιχείο (1, 2, 3) ∈ F3 ως γραµµικό
  συνδυασµό των στοιχείων της v,
1

2  και υπολογίζουµε
ϑεωρούµε τον πίνακα των συντελεστών [(1, 2, 3)]e =
3

  

1 −5 −2
1
−15
[(1, 2, 3)]v = (1V : e, v) · [(1, 2, 3)]e = P −1 · [(1, 2, 3)]e =  1 −4 −2 · 2  =  −13 .
0
2
1
3
7
Συνεπώς, ϑα είναι (1, 2, 3) = −15(0, −1, 2) − 13(1, 1, −2) + 7(2, 0, 1) (όπως µπορούµε άµεσα
να επαληθεύσουµε).
Στη συνέχεια, ϑα δούµε ότι κάθε αντιστρέψιµος πίνακας είναι ο πίνακας αλλαγής άσης
για κατάλληλες επιλογές των διατεταγµένων άσεων.
Πρόταση 6.2.4 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F µε dimF V = ν και v µία
διατεταγµένη άση του. Οι επόµενες συνθήκες είναι ισοδύναµες για έναν πίνακα P ∈ Fν×ν :
(i) Ο P είναι αντιστρέψιµος.
(ii) Υπάρχει µία διατεταγµένη άση v0 του V , έτσι ώστε P = (1V : v, v0 ).
Απόδειξη. Καθώς η συνεπαγωγή (ii) → (i) είναι ακριβώς η Πρόταση 6.2.1(i), αρκεί να
δείξουµε ότι (i) → (ii). Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι ο πίνακας P είναι αντιστρέψιµος. Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 6.1.6, µπορούµε να ρούµε µια (µοναδική) γραµµική απεικόνιση
f : V −→ V µε (f : v, v) = P . Από την υπόθεσή µας, ο πίνακας P είναι αντιστρέψιµος
και άρα η γραµµική απεικόνιση f είναι ένας ισοµορφισµός του V στον εαυτό του (Θεώρηµα
6.1.13). Αν v = (v1 , v2 , . . . , vν ), τότε το σύνολο {f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vν )} είναι επίσης µια
άση του V (Πόρισµα 5.2.9). Ας ϑεωρήσουµε τώρα τη διατεταγµένη άση v0 = (v10 , v20 , . . . , vν0 )
του V , όπου vi0 = f (vi ) για κάθε i = 1, 2, . . . , ν . Από τους σχετικούς ορισµούς, συµπεραίνουµε ότι η j -στήλη του πίνακα αλλαγής άσης (1V : v, v0 ) είναι η στήλη των συντελεστών [vj0 ]v
του vj0 ως προς τη διατεταγµένη άση v του V , δηλαδή η στήλη των συντελεστών [f (vj )]v του
f (vj ) ως προς τη διατεταγµένη άση v του V , δηλαδή η j -στήλη του πίνακα (f : v, v) = P .
Αυτό ισχύει για κάθε j = 1, 2, . . . , ν και άρα ϑα είναι (1V : v, v0 ) = P .
Είµαστε τώρα σε ϑέση να περιγράψουµε τον τρόπο µε τον οποίο σχετίζονται οι πίνακες
που αναπαριστούν µια γραµµική απεικόνιση ως προς διαφορετικές επιλογές άσεων.
Πρόταση 6.2.5 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F µε διαστάσεις ν και µ αντίστοιχα και f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση. Θεωρούµε δύο διατεταγµένες άσεις v, v0
του V και δύο διατεταγµένες άσεις w, w0 του W . Αν A = (f : v, w) και B = (f : v0 , w0 ), τότε
B = P AQ ∈ Fµ×ν ,
όπου P = (1W : w, w0 ) και Q = (1V : v0 , v) είναι οι πίνακες αλλαγής άσης.
Απόδειξη. Το ητούµενο έπεται άµεσα από την Πρόταση 6.1.11, καθώς
P AQ = (1W : w, w0 ) · (f : v, w) · (1V : v0 , v) = (1W ◦ f ◦ 1V : v0 , w0 ) = (f : v0 , w0 ) = B.
6.2. ΙΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙý
ΟΤΗΤΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
169
Ορισµός 6.2.6 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A, B δύο µ × ν πίνακες επί του F.
Ο πίνακας A λέγεται ισοδύναµος προς τον B αν υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες P ∈ F µ×µ
και Q ∈ F ν×ν µε B = P AQ.
Πρόταση 6.2.7 ΄Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί. Η σχέση της ισοδυναµίας των πινάκων που ορίστηκε παραπάνω είναι µια σχέση ισοδύναµίας στο σύνολο Fµ×ν .
Απόδειξη. Για την ανακλαστικότητα της σχέσης, ϑα πρέπει να δείξουµε ότι κάθε πίνακας
A ∈ F µ×ν είναι ισοδύναµος προς τον εαυτό του. Αυτό όµως είναι ϕανερό, καθώς A = Iµ AIν .
Για να δείξουµε ότι η σχέση είναι συµµετρική, ϑεωρούµε δύο πίνακες A, B ∈ F µ×ν και
υποθέτουµε ότι ο A είναι ισοδύναµος προς τον B . Τότε, υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες
P ∈ F µ×µ και Q ∈ F ν×ν , τέτοιοι ώστε B = P AQ. Καθώς οι πίνακες P −1 και Q−1 είναι
αντιστρέψιµοι (Πρόταση 2.4.8(i)) και A = P −1 BQ−1 , έπεται ότι ο B είναι ισοδύναµος προς
τον A.
Τέλος, για να δείξουµε τη µεταβατική ιδιότητα της σχέσης, ϑεωρούµε τρεις πίνακες
A, B, C ∈ F µ×ν , οι οποίοι είναι τέτοιοι ώστε ο A είναι ισοδύναµος προς τον B και ο B
είναι ισοδύναµος προς τον C . Τότε, ϑα είναι B = P AQ και C = P 0 BQ0 , για κάποιους
αντιστρέψιµους πίνακες P, P 0 ∈ F µ×µ και Q, Q0 ∈ F ν×ν . Καθώς οι πίνακες P P 0 ∈ F µ×µ και
QQ0 ∈ F ν×ν είναι αντιστρέψιµοι (Πρόταση 2.4.8(ii)) και C = P 0 (P AQ)Q0 = (P 0 P )A(QQ0 ),
συµπεράινουµε ότι ο A είναι ισοδύναµος προς τον C .
Αν ν, µ είναι δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A, B ∈ F µ×ν δύο πίνακες µε τον A ισοδύναµο προς τον B , τότε ϑα λέµε ότι οι A, B είναι ισοδύναµοι και ϑα γράφουµε A ∼ B . ΄Ετσι, µε
άση την Πρόταση 6.2.1(i), µπορούµε να αναδιατυπώσουµε την Πρόταση 6.2.5 ως εξής : Οι
πίνακες που αντιστοιχούν σε µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ δύο πεπερασµένα παραγόµενων
διανυσµατικών χώρων ως προς δύο διαφορετικές επιλογές διατεταγµένων άσεων είναι µεταξύ
τους ισοδύναµοι. Θα δούµε τώρα ότι ισχύει και το αντίστροφο.
Θεώρηµα 6.2.8 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F µε διαστάσεις ν και µ αντίστοιχα και f : V −→ W µια γραµµική απεικόνιση. Θεωρούµε δύο διατεταγµένες άσεις v, w
των V και W αντίστοιχα και τον πίνακα A = (f : v, w) ∈ Fµ×ν . Οι επόµενες συνθήκες είναι
ισοδύναµες για έναν πίνακα B ∈ Fµ×ν :
(i) Οι πίνακες A, B είναι ισοδύναµοι.
(ii) Υπάρχουν διατεταγµένες άσεις v0 , w0 των διανυσµατικών χώρων V και W αντίστοιχα,
τέτοιες ώστε B = (f : v0 , w0 ).
Απόδειξη. Με άση τα σχόλια που προηγήθηκαν, αρκεί να δείξουµε ότι (i) → (ii). Ας
υποθέσουµε λοιπόν ότι οι πίνακες A και B είναι ισοδύναµοι. Τότε, υπάρχουν αντιστρέψιµοι
πίνακες P ∈ F µ×µ και Q ∈ F ν×ν , τέτοιοι ώστε B = P AQ. Χρησιµοποιώντας την Πρόταση
6.2.4 για τους αντιστρέψιµους πίνακες P ∈ Fν×ν και Q−1 ∈ Fµ×µ , µπορούµε να ρούµε
διατεταγµένες άσεις v0 , w0 των V και W αντίστοιχα, έτσι ώστε P = (1W : w, w0 ) και Q−1 =
(1V : v, v0 ). Καθώς Q = (Q−1 )−1 = (1V : v0 , v) (Παρατήρηση 6.2.2), έχουµε
B = P AQ = (1W : w, w0 ) · (f : v, w) · (1V : v0 , v) = (1W ◦ f ◦ 1V : v0 , w0 ) = (1W : v0 , w0 ),
170
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
δηλαδή το ητούµενο.
΄Οπως κάθε σχέση ισοδυναµίας σε ένα σύνολο, έτσι και η ισοδυναµία των πινάκων διαµερίζει το σύνολο Fµ×ν σε κλάσεις ισοδυναµίας. Θα δούµε στη συνέχεια ότι υπάρχουν
ακριβώς k το πλήθος κλάσεις ισοδυναµίας, όπου k είναι ο ελάχιστος των ν και µ. Επιπλέον,
ας ϑεωρήσουµε για κάθε r = 1, 2, . . . , k τον πίνακα
µ
Ar =
Ir O
O O
¶
∈ F µ×ν ,
ο οποίος έχει r το πλήθος µονάδες στις ϑέσεις (1, 1), (2, 2), . . . , (r, r) και µηδέν παντού αλλού.
Τότε, όπως ϑα δούµε στη συνέχεια, κάθε µια από τις k το πλήθος κλάσεις ισοδύναµίας
περιέχει έναν και µόνο έναν από τους πίνακες Ar .
Πρόταση 6.2.9 ΄Εστω V, W δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F µε dimF V = ν και dimF W =
µ. Αν f : V −→ W είναι µια γραµµική απεικόνιση, τότε υπάρχουν διατεταγµένες άσεις v, w
των V και W αντίστοιχα, έτσι ώστε
µ
(f : v, w) = Ar =
Ir O
O O
¶
∈ F µ×ν ,
όπου r = dimF imf .
Απόδειξη. Θεωρούµε τον υπόχωρο kerf του V και παρατηρούµε ότι dimF kerf = dimF V −
dimF imf = ν − r (λ. Πόρισµα 5.3.13). Επιλέγουµε µια άση {u1 , u2 , . . . , uν−r } του
kerf και την επεκτείνουµε σε µια άση {u1 , u2 , . . . , uν−r , v1 , v2 , . . . , vr } του V (Πόρισµα
4.5.4). Αναδιατάσσοντας τα στοιχεία της άσης αυτής, ϑεωρούµε τη διατεταγµένη άση
v = (v1 , v2 , . . . , vr , u1 , u2 , . . . , uν−r ) του V . Από το Πόρισµα 5.3.6, γνωρίζουµε ότι ο υπόχωρος
imf του W παράγεται από τα στοιχεία f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vr ), f (u1 ), f (u2 ), . . . , f (uν−r ). ΄Ετσι, καθώς u1 , u2 , . . . , uν−r ∈ kerf , ϑα είναι imf = hf (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vr )i. Ο διανυσµατικός
χώρος imf έχει διάσταση r και έτσι µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Πρόταση 4.6.1
για να συµπεράνουµε ότι τα στοιχεία f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vr ) ∈ W είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Χρησιµοποιώντας και πάλι το Πόρισµα 4.5.4, µπορούµε να ρούµε µια άση του W
της µορφής {f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vr ), w1 , w2 , . . . , wµ−r }. Ας ϑεωρήσουµε τώρα τη διατεταγµένη άση w = (f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vr ), w1 , w2 , . . . , wµ−r ) του
µ W . Από
¶ την κατασκευή των
διατεταγµένων άσεων v και w είναι ϕανερό ότι (f : v, w) =
Ir O
O O
∈ F µ×ν .
Πόρισµα 6.2.10 Κάθε µ × ν πίνακας A µε στοιχεία από το F είναι ισοδύναµος µε έναν πίνακα
της µορφής
µ
¶
Ar =
Ir O
O O
∈ F µ×ν ,
για κάποιο r µε r ≤ µ, ν .
Απόδειξη. Ας ϑεωρήσουµε τους διανυσµατικούς χώρους Fν και Fµ και τις διατεταγµένες
τους άσεις e και e0 , που ορίζουν οι κανονικές τους άσεις {e1 , e2 , . . . , eν } και {e01 , e02 , . . . , e0µ }
αντίστοιχα. Γνωρίζουµε ότι υπάρχει (ακριβώς µία) γραµµική απεικόνιση f : Fν −→ Fµ ,
6.2. ΙΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙý
ΟΤΗΤΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
171
έτσι ώστε (f : e, e0 ) = A (Πρόταση 6.1.6). Με άση την Πρόταση 6.2.9, µπορούµε να
επιλέξουµε διατεταγµένες άσεις e0 , e00 των διανυσµατικών χώρων Fν και Fµ αντίστοιχα, έτσι
ώστε (f : e0 , e00 ) = Ar , για κάποιο r µε r ≤ µ, ν . Το ητούµενο δείχτηκε, καθώς οι πίνακες
(f : e, e0 ) και (f : e0 , e00 ) είναι ισοδύναµοι (Πρόταση 6.2.5).


1 1 −1 2
2 3  ∈ R3×4 . Ακολουθώντας
Παράδειγµα 6.2.11 Θεωρούµε τον πίνακα A =  2 1
1 2 −5 3
την απόδειξη του Πορίσµατος 6.2.10, ϑα ρούµε αντιστρέψιµους πίνακες P ∈ R3×3 και Q ∈
R4×4 , τέτοιους ώστε
µ
¶
Ir O
P AQ =
,
O O
για κάποιο r ≤ 3.
Για το σκοπό αυτό, ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : R4 −→ R3 µε f (1, 0, 0, 0) =
(1, 2, 1), f (0, 1, 0, 0) = (1, 1, 2), f (0, 0, 1, 0) = (−1, 2, −5) και f (0, 0, 0, 1) = (2, 3, 3). Είναι
εύκολο να δούµε ότι f (x, y, z, w) = (x + y − z + 2w, 2x + y + 2z + 3w, x + 2y − 5z + 3w) για
κάθε (x, y, z, w) ∈ R4 . Ο πυρήνας kerf της f αποτελείται από όλα τα στοιχεία (x, y, z, w) ∈ R4
για τα οποία είναι


x + y − z + 2w = 0 
2x + y + 2z + 3w = 0 .


x + 2y − 5z + 3w = 0

Λύνοντας το παραπάνω οµογενές σύστηµα, ρίσκουµε ότι
kerf = {(−3z − w, 4z − w, z, w) : z, w ∈ R}.
΄Ετσι, η διάσταση του πυρήνα kerf της f είναι ίση µε 2 και µια άση του αποτελεί το σύνολο
{(−3, 4, 1, 0), (−1, −1, 0, 1)}. Μπορούµε να επεκτείνουµε το σύνολο αυτό σε µια άση του
R4 , προσαρτώντας, για παράδειγµα, τα στοιχεία (1, 0, 0, 0) και (0, 1, 0, 0). ΄Ετσι, προκύπτει η
διατεταγµένη άση
v = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (−3, 4, 1, 0), (−1, −1, 0, 1))
του R4 . Με άση τη γενική ϑεωρία, γνωρίζουµε ότι τα διανύσµατα f (1, 0, 0, 0) = (1, 2, 1) και
f (0, 1, 0, 0) = (1, 1, 2) είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Μπορούµε να κατασκευάσουµε µια άση
του R3 προσαρτώντας σε αυτά, για παράδειγµα, το (0, 0, 1). ΄Ετσι, προκύπτει η διατεταγµένη
άση
v0 = ((1, 2, 1), (1, 1, 2), (0, 0, 1))
του R3 . Τότε, για τον πίνακα της f ως προς τις διατεταγµένες άσεις v και v0 ϑα είναι


1 0 0 0
(f : v, v0 ) =  0 1 0 0 .
0 0 0 0
Θεωρώντας τις διατεταγµένες άσεις
e = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)) και e0 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
172
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
των R4 και R3 αντίστοιχα, έχουµε
(f : v, v0 ) = (1R3 : e0 , v0 ) · (f : e, e0 ) · (1R4 : v, e).
Από την κατασκευή της, για τη γραµµική απεικόνιση f έχουµε (f : e, e0 ) = A και άρα οι πίνακες
αλλαγής άσης P = (1R3 : e0 , v0 ) και Q = (1R4 : v, e) είναι τέτοιοι ώστε

1 0 0
P AQ =  0 1 0 .
0 0 0

Εδώ, έχουµε

P −1 = (1R3
και

1 1 0
: v0 , e0 ) =  2 1 0 
2 2 1

Q = (1R4
1
 0
: v, e) = 
 0
0

0 −3 −1
1
4 −1 
.
0
1
0 
0
0
1
Μπορούµε να υπολογίσουµε τον πίνακα P αντιστρέφοντας τον P −1 και να συµπεράνουµε ότι

P = (P −1 )−1
−1 

1 1 0
−1
1 0
=  2 1 0  =  2 −1 0 .
2 2 1
−2
0 1
Ας ϑεωρήσουµε έναν πίνακα A ∈ Fν×µ µε στήλες c1 , c2 , . . . , cµ ∈ Fν×1 . ΄Οπως έχουµε δει
στο Παράδειγµα 5.3.9, η εικόνα της γραµµικής απεικόνισης
LA : Fµ×1 −→ Fν×1 ,
η οποία ορίζεται ϑέτοντας LA (B) = AB για κάθε B ∈ Fµ×1 , είναι ο υπόχωρος του Fν×1 που
παράγεται από το σύνολο {c1 , c2 , . . . , cµ }. Συνεπώς, η διάσταση dimF imLA της εικόνας imLA
της LA είναι ίση µε το µέγιστο πλήθος των γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του πίνακα A.
Ορισµός 6.2.12 ΄Εστω A ένας ν × µ πίνακας µε στοιχεία από το F. Η τάξη r(A) του πίνακα
A είναι το µέγιστο πλήθος των γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του A. Ισοδύναµα, η τάξη r(A)
του A είναι η διάσταση της εικόνας της γραµµικής απεικόνισης
LA : Fµ×1 −→ Fν×1 ,
η οποία ορίζεται ϑέτοντας LA (B) = AB για κάθε B ∈ Fµ×1 .
Στη συνέχεια, ϑα περιγράψουµε τη σχέση που υπάρχει µεταξύ της ισοδυναµίας των πινάκων και της έννοιας της τάξης, που µόλις ορίσαµε. Αρχικά, ϑα δούµε µια ασική ιδιότητα της
τάξης των πινάκων.
6.2. ΙΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙý
ΟΤΗΤΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
173
Πρόταση 6.2.13 ΄Εστω A ∈ Fν×µ και B ∈ Fµ×ρ δύο πίνακες. Τότε, ισχύουν τα εξής :
(i) r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}
(ii) Αν υπάρχει πίνακας B 0 ∈ Fρ×µ , τέτοιος ώστε BB 0 = Iµ , τότε r(AB) = r(A).
(iii) Αν υπάρχει πίνακας A0 ∈ Fµ×ν , τέτοιος ώστε A0 A = Iµ , τότε r(AB) = r(B).
Απόδειξη. (i) Θεωρούµε τις γραµµικές απεικονίσεις
LA : Fµ×1 −→ Fν×1 και LB : Fρ×1 −→ Fµ×1 ,
καθώς επίσης και τη σύνθεσή τους
LA ◦ LB : Fρ×1 −→ Fµ×1 .
Για κάθε C ∈ Fµ×1 έχουµε
(LA ◦ LB )(C) = LA (LB (C)) = LA (BC) = A(BC) = (AB)C = LAB (C)
και άρα LA ◦ LB = LAB . Μια άµεση συνέπεια της τελευταίας σχέσης είναι ότι η εικόνα της
γραµµικής απεικόνισης LAB περιέχεται στην εικόνα της LA , δηλαδή ότι imLAB ≤ imLA .
΄Ετσι, µε άση τους ορισµούς και την Πρόταση 4.6.3, προκύπτει ότι
r(AB) = dimF imLAB ≤ dimF imLA = r(A).
Για να δείξουµε την άλλη ανισότητα, ϑεωρούµε τον υπόχωρο imLB ≤ Fµ×1 και τον περιορισµό
L0A : imLB −→ Fν×1
της γραµµικής απεικόνισης LA σε αυτόν. Θα δείξουµε αρχικά ότι η εικόνα της L0A είναι
ίση µε την εικόνα της LAB . Πράγµατι, αν X ∈ imL0A , τότε υπάρχει Y ∈ imLB τέτοιο ώστε
X = L0A (Y ) = LA (Y ) = AY . Καθώς Y ∈ imLB , ϑα υπάρχει Z ∈ Fρ×1 , τέτοιο ώστε Y =
LB (Z) = BZ . ΄Ετσι, έχουµε X = A(BZ) = (AB)Z = LAB (Z) ∈ imLAB . Αντίστροφα, αν
X ∈ imLAB , τότε υπάρχει Z ∈ Fρ×1 , έτσι ώστε X = LAB (Z) = (AB)Z = A(BZ). Συνεπώς,
ϑεωρώντας το στοιχείο BZ = LB (Z) ∈ imLB , έχουµε L0A (BZ) = LA (BZ) = A(BZ) = X
και άρα X ∈ imL0A . ΄Εχοντας δείξει ότι η εικόνα της γραµµικής απεικόνισης L0A είναι ο
υπόχωρος imLAB ≤ Fν×1 , µπορούµε να εφαρµόσουµε τη σχέση του Πορίσµατος 5.3.13 (για
τη γραµµική απεικόνιση L0A ) και να συµπεραίνουµε ότι
r(AB) = dimF imLAB = dimF imL0A ≤ dimF imLB = r(B).
(ii) Καθώς γνωρίζουµε ήδη ότι r(AB) ≤ r(A) (από το (i)), αρκεί να δείξουµε ότι r(A) ≤
r(AB). Πράγµατι, ϑεωρώντας τους πίνακες AB και B 0 , έχουµε r(ABB 0 ) ≤ r(AB), δηλαδή
r(A) ≤ r(AB).
(iii) Καθώς γνωρίζουµε ήδη ότι r(AB) ≤ r(B) (από το (i)), αρκεί να δείξουµε ότι r(B) ≤
r(AB). Θεωρώντας όµως τους πίνακες A0 και AB , έχουµε r(A0 AB) ≤ r(AB), δηλαδή
r(B) ≤ r(AB).
174
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
Θεώρηµα 6.2.14 ∆υο πίνακες A, B ∈ F ν×µ είναι ισοδύναµοι αν και µόνο αν r(A) = r(B).
Απόδειξη. Ας υποθέσουµε αρχικά οι πίνακες A, B είναι ισοδύναµοι. Τότε, υπάρχουν
αντιστρέψιµοι πίνακες P ∈ F ν×ν και Q ∈ F µ×µ , τέτοιοι ώστε P AQ = B . Συνεπώς, µε άση
την Πρόταση 6.2.13(ii), (iii) ϑα είναι
r(B) = r(P AQ) = r(P A) = r(A).
Ας υποθέσουµε τώρα ότι οι πίνακες A, B έχουν την ίδια τάξη. Χρησιµοποιώντας το Πόρισµα 6.2.10, έπεται ότι ο πίνακας A είναι ισοδύναµος µε έναν πίνακα της µορφής
µ
Ir O
O O
¶
∈ F ν×µ ,
για κάποιο r ≤ µ, ν . Καθώς ισοδύναµοι πίνακες έχουν την ίδια τάξη, ενώ η τάξη του παραπάνω πίνακα είναι προφανώς ίση µε r , ϑα πρέπει να είναι r(A) = r . ΄Οµως, έχουµε υποθέσει
ότι r(A) = r(B) και άρα r(B) = r . ΄Ετσι, εφαρµόζοντας µε τον ίδιο τρόπο το Πόρισµα 6.2.10
για τον πίνακα B , συµπεραίνουµε ότι και αυτός είναι ισοδύναµος µε τον πίνακα
µ
Ir O
O O
¶
∈ F ν×µ .
Καθώς η ισοδυναµία των πινάκων είναι µια σχέση ισοδύναµίας (Πρόταση 6.2.7), προκύπτει
τελικά ότι οι πίνακες A και B είναι µεταξύ τους ισοδύναµοι.
Πρόταση 6.2.15 ΄Εστω A ένας µ × ν πίνακας µε στοιχεία από το F και At ∈ Fν×µ ο ανάστροφός του. Τότε, r(A) = r(At ).
Απόδειξη. Με άση το Πόρισµα 6.2.10, γνωρίζουµε ότι ο πίνακας A είναι ισοδύναµος µε
έναν πίνακα της µορφής
µ
¶
I=
Ir O
O O
∈ F µ×ν .
΄Ετσι, υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες P ∈ F µ×µ και Q ∈ F ν×ν , τέτοιοι ώστε A = P IQ ∈
Fµ×ν . Συνεπώς, παίρνοντας αναστρόφους στην προηγούµενη σχέση, συµπεραίνουµε ότι
At = Qt I t P t ∈ Fν×µ (λ. Πρόταση 2.3.20). Καθώς οι πίνακες Qt ∈ F ν×ν και P t ∈ F µ×µ
είναι αντιστρέψιµοι (Πρόταση 2.4.8(iv)), συµπεραίνουµε ότι οι πίνακες At , I t ∈ Fν×µ είναι
ισοδύναµοι. Καθώς ισοδύναµοι πίνακες έχουν την ίδια τάξη, έχουµε r(A) = r(I) και r(At ) =
r(I t ). ΄Ετσι, για να δείξουµε ότι r(A) = r(At ), αρκεί να δείξουµε ότι r(I) = r(I t ). Αυτό όµως
είναι ϕανερό, αφού
µ
¶
It =
Ir O
O O
∈ F ν×µ
και άρα r(I t ) = r = r(I).
Παρατήρηση 6.2.16 Ας ϑεωρήσουµε έναν πίνακα A ∈ Fν×µ µε γραµµές r1 , r2 , . . . , rν ∈ F1×µ
και τον ανάστροφό του At ∈ Fµ×ν . Οι στήλες του At είναι ακριβώς οι ανάστροφοι r1t , r2t , . . . , rνt ∈
Fµ×1 των γραµµών του A. ΄Ετσι, η τάξη του At , που είναι το µέγιστο πλήθος των γραµµικά
ανεξάρτητων στηλών του At , είναι ακριβώς το µέγιστο πλήθος των γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών του A. Καθώς r(A) = r(At ), συµπεραίνουµε ότι η τάξη ενός πίνακα, που ορίστηκε ως
το µέγιστο πλήθος των γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του, µπορεί ισοδύναµα να οριστεί ως το
µέγιστο πλήθος των γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών του.
6.2. ΙΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙý
ΟΤΗΤΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
175
Παρατήρηση 6.2.17 Ορίσαµε στην Παράγραφο 3.2 του ιβλίου την έννοια της γραµµοϊσοδυναµίας των πινάκων. Είδαµε ότι δύο πίνακες είναι γραµµοϊσοδύναµοι αν ο ένας προκύπτει
από τον άλλο µε αριστερό πολλαπλασιασµό µε ένα στοιχειώδη πίνακα (Πρόταση 3.2.20). Καθώς
οι στοιχειώδεις πίνακες είναι αντιστρέψιµοι (Πόρισµα 3.2.18), συµπεραίνουµε ότι δύο γραµµοϊσοδύναµοι πίνακες είναι ισοδύναµοι (µε την έννοια του Ορισµού 6.2.6) και άρα έχουν την ίδια
τάξη. ΄Ετσι, η µέθοδος απαλοιφής του Gauss δίνει µια απλή µέθοδο για τον υπολογισµό της
τάξης ενός πίνακα, όπως ϕαίνεται στο επόµενο παράδειγµα.


−1 2 1 1
Παράδειγµα 6.2.18 Θα ρούµε την τάξη του πίνακα A =  2 4 6 2 . Για το σκοπό
6 4 10 2
αυτό, χρησιµοποιούµε στοιχειώδεις γραµµοπράξεις, όπως ϕαίνεται παρακάτω :




−1 2 1 1
−1 2 1 1
r 7→r2 +2r1
r3 +6r1
 0 8 8 4  r3 7→−→
 0 8 8 4 
A 2 −→
6 4 10 2
0 16 16 8

r3 7→r3 −2r2
−→

−1 2 1 1
 0 8 8 4 .
0 0 0 0
Καθώς οι δύο πρώτες γραµµές του τελευταίου πίνακα είναι προφανώς γραµµικά ανεξάρτητα
στοιχεία του διανυσµατικού χώρου των γραµµών F1×4 , συµπεραίνουµε (Παρατήρηση 6.2.16)
ότι η τάξη του πίνακα αυτού είναι 2. ΄Ετσι, µε άση την Παρατήρηση 6.2.17, προκύπτει ότι
r(A) = 2.
Χρησιµοποιώντας την έννοια της τάξης, µπορούµε να δώσουµε ένα χαρακτηρισµό των
αντιστρέψιµων πινάκων.
Πρόταση 6.2.19 ΄Ενας τετραγωνικός πίνακας A ∈ F ν×ν είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν
r(A) = ν .
Απόδειξη. Ας υποθέσουµε αρχικά ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος. Τότε, από την
Πρόταση 6.2.13(iii) έπεται ότι r(AIν ) = r(Iν ), δηλαδή ότι r(A) = r(Iν ). Είναι ϕανερό όµως
ότι r(Iν ) = ν και άρα r(A) = ν .
Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι r(A) = ν και ας ϑεωρήσουµε τη γραµµική απεικόνιση
LA : Fν×1 −→ Fν×1 .
Γνωρίζουµε ότι υπάρχει µια διατεταγµένη άση E του Fν×1 , τέτοια ώστε (LA : E, E) = A (λ.
Παρατήρηση 6.1.3). ΄Ετσι, µε άση το Θεώρηµα 6.1.13, για να δείξουµε ότι ο πίνακας A είναι
αντιστρέψιµος αρκεί να δείξουµε ότι η γραµµική απεικόνιση LA είναι ισοµορφισµός. Καθώς
r(A) = ν , η εικόνα της LA είναι ένας υπόχωρος του Fν×1 διάστασης ν και άρα imLA = Fν×1
(λ. Πρόταση 4.6.3(ii)). Συνεπώς, η γραµµική απεικόνιση LA είναι ένας επιµορφισµός και
άρα (Πρόταση 5.3.14) ένας ισοµορφισµός.
Ορίσαµε την έννοια της ισοδυναµίας πινάκων εξετάζοντας τη σχέση που υπάρχει µεταξύ
µιας γραµµικής απεικόνισης και του πίνακα που την περιγράφει ως προς ένα εύγος διατεταγµένων άσεων του πεδίου ορισµού και του πεδίου τιµών της. Θα ορίσουµε στη συνέχεια
µια συναφή σχέση στο σύνολο των τετραγωνικών πινάκων, η οποία προκύπτει εξετάζοντας
176
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
τη σχέση που υπάρχει µεταξύ ενός γραµµικού µετασχηµατισµού ενός διανυσµατικού χώρου
και του πίνακα που τον αναπαριστά ως προς µια διατεταγµένη άση του.
΄Ετσι, ας ϑεωρήσουµε έναν πεπερασµένης διάστασης διανυσµατικό χώρο V επί του F
και µια γραµµική απεικόνιση f : V −→ V . Θεωρούµε επίσης µια διατεταγµένη άση v
του V και τον πίνακα A = (f : v, v). Αν v0 είναι µια άλλη διατεταγµένη άση του V και
B = (f : v0 , v0 ), τότε ϑα είναι
B = (f : v0 , v0 ) = (1V : v, v0 ) · (f : v, v) · (1V : v0 , v) = P AP −1 ,
όπου P = (1V : v, v0 ) είναι ο αντίστοιχος πίνακας αλλαγής άσης, ο οποίος είναι αντιστρέψιµος, µε αντίστροφο P −1 = (1V : v0 , v) (Παρατήρηση 6.2.2).
Ορισµός 6.2.20 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός και A, B δύο ν×ν πίνακες µε στοιχεία
από το F. Θα λέµε ότι ο A είναι όµοιος προς τον B αν B = P AP −1 , για κάποιον αντιστρέψιµο
πίνακα P ∈ Fν×ν .
Πρόταση 6.2.21 ΄Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός. Η σχέση της οµοιότητας των πινάκων που ορίστηκε παραπάνω είναι µια σχέση ισοδύναµίας στο σύνολο Fν×ν .
Απόδειξη. Για την ανακλαστικότητα της σχέσης, ϑα πρέπει να δείξουµε ότι κάθε πίνακας
A ∈ F ν×ν είναι όµοιος προς τον εαυτό του. Αυτό είναι ϕανερό, καθώς A = Iν AIν−1 .
Για να δείξουµε ότι η σχέση είναι συµµετρική, ϑεωρούµε δύο πίνακες A, B ∈ F ν×ν και
υποθέτουµε ότι ο A είναι όµοιος προς τον B . Τότε, υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P ∈ F ν×ν ,
τέτοιος ώστε B = P AP −1 . Καθώς ο πίνακας P −1 είναι επίσης αντιστρέψιµος και A = P −1 BP ,
έπεται ότι ο B είναι όµοιος προς τον A.
Τέλος, για να δείξουµε τη µεταβατική ιδιότητα της σχέσης, ϑεωρούµε τρεις πίνακες
A, B, C ∈ F ν×ν , οι οποίοι είναι τέτοιοι ώστε ο A είναι όµοιος προς τον B και ο B είναι
όµοιος προς τον C . Τότε, ϑα είναι B = P AP −1 και C = QBQ−1 , για κάποιους αντιστρέψιµους πίνακες P, Q ∈ F ν×ν . Καθώς ο πίνακας QP ∈ F ν×ν είναι αντιστρέψιµος (Πρόταση
2.4.8(ii)) και C = Q(P AP −1 )Q−1 = (QP )A(QP )−1 , συµπεραίνουµε ότι ο A είναι όµοιος
προς τον C .
Αν ν είναι ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός και A, B ∈ F ν×ν δύο πίνακες µε τον A όµοιο
προς τον B , τότε ϑα λέµε ότι οι A, B είναι όµοιοι. ΄Ετσι, µε άση τα παραπάνω, µπορούµε να
πούµε ότι : Οι πίνακες που αντιστοιχούν σε ένα γραµµικό µετασχηµατισµό ενός πεπερασµένης
διάστασης διανυσµατικού χώρου ως προς δύο διαφορετικές επιλογές της διατεταγµένης άσης
του είναι µεταξύ τους όµοιοι. Θα δούµε τώρα ότι ισχύει και το αντίστροφο.
Θεώρηµα 6.2.22 ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F µε διάσταση ν και f : V −→ V
µια γραµµική απεικόνιση. Θεωρούµε µια διατεταγµένη άση v του V και τον πίνακα A = (f :
v, v) ∈ Fν×ν . Τότε, οι επόµενες συνθήκες είναι ισοδύναµες για έναν πίνακα B ∈ Fν×ν :
(i) Οι πίνακες A, B είναι όµοιοι.
(ii) Υπάρχει διατεταγµένη άση v0 του διανυσµατικού χώρου V , τέτοια ώστε B = (f : v0 , v0 ).
6.2. ΙΣΟ∆ΥΝΑΜý
ΙΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙý
ΟΤΗΤΑ ΠΙΝý
ΑΚΩΝ
177
Απόδειξη. Με άση τα παραπάνω, αρκεί να δείξουµε ότι (i) → (ii). Ας υποθέσουµε
λοιπόν ότι οι πίνακες A και B είναι όµοιοι. Τότε, υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P ∈ F ν×ν ,
τέτοιος ώστε B = P AP −1 . Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 6.2.4, µπορούµε να ρούµε
µια διατεταγµένη άση v0 του V , έτσι ώστε P = (1V : v, v0 ). Καθώς P −1 = (1V : v0 , v)
(Παρατήρηση 6.2.2), έχουµε
B = P AP −1 = (1V : v, v0 ) · (f : v, v) · (1V : v0 , v) = (1V ◦ f ◦ 1V : v0 , v0 ) = (f : v0 , v0 ),
δηλαδή το ητούµενο.
Είναι ϕανερό ότι αν δύο τετραγωνικοί πίνακες είναι µεταξύ τους όµοιοι, τότε είναι ισοδύναµοι. Γνωρίζουµε ότι όλοι οι αντιστρέψιµοι ν × ν πίνακες έχουν τάξη ν (Πρόταση 6.2.19) και
άρα είναι µεταξύ τους ισοδύναµοι (Θεώρηµα 6.2.14). Από την άλλη µεριά, είναι προφανές
ότι ο µόνος πίνακας που είναι όµοιος προς τον ταυτοτικό πίνακα Iν είναι ο ίδιος ο Iν . ΄Ετσι,
αν ο πίνακας A ∈ Fν×ν είναι αντιστρέψιµος και A 6= Iν , τότε οι πίνακες A, Iν είναι µεταξύ
τους ισοδύναµοι, αλλά όχι όµοιοι.
΄Εχουµε δει ότι το πρόβληµα της ταξινόµησης των πινάκων ως προς ισοδυναµία ανάγεται
σε ένα απλό αριθµητικό κριτήριο (Θεώρηµα 6.2.14), ενώ κάθε κλάση ισοδύναµίας περιέχει ακριβώς ένα πίνακα µιας απλής κανονικής µορφής (Πόρισµα 6.2.10). Τα αντίστοιχα
προβλήµατα για τη σχέση της οµοιότητας είναι αρκετά πιο πολύπλοκα.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
(i) ΄Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F και u1 , u2 , . . . , uν , u01 , u02 , . . . , u0ν ∈ V .
Ορίζουµε τους υποχώρους U, U 0 και U 00 του V , ϑέτοντας U = hu1 , u2 , . . . , uν i,
U 0 = hu01 , u02 , . . . , u0ν i και U 00 = hu1 + u01 , u2 + u02 , . . . , uν + u0ν i. Να δειχτεί ότι
dimF U 00 ≤ dimF U + dimF U 0 .
(ii) ΄Εστω A, B δύο ν × µ πίνακες µε στοιχεία από το F. Να δειχτεί ότι r(A + B) ≤
r(A) + r(B).
2. Να εξεταστεί αν οι πίνακες A, B ∈ F3×4 µε


1
2 1 −1
A =  0 −2 1 −3 
3
4 4
0


−1
2 −3 0
5 1 
και B =  3 −1
5
0
7 2
είναι ισοδύναµοι.
3. Θεωρούµε τις διατεταγµένες άσεις
e = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) και v = (1, 0, −1), (1, 2, 0), (1, 1, 2))
του διανυσµατικού χώρου R3 .
(i) Να υπολογιστούν οι πίνακες αλλαγής άσης (1R3 : e, v) και (1R3 : v, e).
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
178
(ii) ΄Εστω f : R3 −→ R3 η γραµµική απεικόνιση µε


−1
1
3
0 .
(f : v, e) =  1 −2
0
1 −3
Να υπολογιστεί η τιµή f (1, 1, 1).
4. Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση ϕ : R3 [x] −→ R2×2 µε
µ
¶
f (0) f (1)
ϕ(f (x)) =
f (−1) f (0)
για κάθε f (x) ∈ R3 [x]. Να ρεθούν διατεταγµένες άσεις v, w των διανυσµατικών
χώρων
R3¶
[x] και R2×2 αντίστοιχα, έτσι ώστε ο πίνακας (f : v, w) να είναι της µορφής
µ
Ir O
O O
για κάποιο r ≥ 0.


0 −1 1
2
0 1 −1  ∈ R3×4 .
5. ΄Εστω A =  4
−2
1 2 −3
(i) Να ρεθεί η τάξη r(A) του πίνακα A.
3×3
(ii) Να
και Q ∈ F4×4 , τέτοιοι ώστε P AQ =
µ ρεθούν
¶ αντιστρέψιµοι πίνακες P ∈ F
Ir O
, όπου r = r(A).
O O
6.
(i) ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F και f :
V −→ V µια γραµµική απεικόνιση µε f 2 = 0 ∈ L(V ). Να δειχτεί ότι η εικόνα
imf της f είναι υπόχωρος του πυρήνα kerf και ότι dimF imf ≤ 12 dimF V .
(ii) ΄Εστω A ∈ Fν×ν ένας πίνακας µε A2 = 0. Να δειχτεί ότι r(A) ≤ 12 n.
7. ΄Εστω A ένας µ × ν πίνακας µε στοιχεία από το F. Να δειχτεί ότι :
(i) Η τάξη του A είναι ϊση µε µ αν και µόνο αν υπάρχει πίνακας B ∈ Fν×µ , τέτοιος
ώστε AB = Iµ .
(ii) Η τάξη του A είναι ϊση µε ν αν και µόνο αν υπάρχει πίνακας C ∈ Fν×µ , τέτοιος
ώστε CA = Iν .
8. ΄Εστω A, B ∈ F ν×ν δύο όµοιοι πίνακες. Να δειχτεί ότι οι πίνακες A + λIν και B + λIν
είναι όµοιοι για κάθε λ ∈ F.
6.3 Ιδιότητες Οριζουσών
Εδώ ϑα δούµε ότι η ορίζουσα του γινοµένου δύο τετραγωνικών πινάκων είναι ίση µε το
γινόµενο των οριζουσών των δύο πινάκων. Μέσω αυτής της ιδιότητας, ϑα προκύψουν και
άλλες σηµαντικές ιδιότητες των οριζουσών.
6.3. Ι∆Ιý
ΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣý
ΩΝ
179
Γνωρίζουµε ήδη πώς συµπεριφέρεται η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα αν εφαρµόσουµε σε αυτόν στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών (λ. ιδιότητα (D2) στον Ορισµό
3.4.1 και Πρόταση 3.4.6). Χρησιµοποιώντας την έννοια του στοιχειώδους πίνακα, µπορούµε
να αναδιατυπώσουµε αυτήν την ιδιότητα της ορίζουσας, ως εξής :
Πρόταση 6.3.1 Αν E ∈ Fν×ν είναι ένας στοιχειώδης πίνακας, τότε det(EA) = (det E)(det A)
για κάθε A ∈ Fν×ν .
Απόδειξη. Υπενθυµίζουµε ότι ένας πίνακας E ∈ Fν×ν λέγεται στοιχειώδης αν λαµβάνεται
από τον ταυτοτικό πίνακα Iν µέσω ενός στοιχειώδους µετασχηµατισµού γραµµών. Γνωρίζουµε
ότι ο πίνακας EA είναι ο πίνακας που προκύπτει αν εφαρµόσουµε στον A το στοιχειώδη µετασχηµατισµό γραµµών που εφαρµόζουµε στον Iν για να πάρουµε τον E (Θεώρηµα
3.2.16). Θα διακρίνουµε τρεις περιπτώσεις :
(i) Ο πίνακας E = D(i, λ) λαµβάνεται πολλαπλασιασιάζοντας την i-γραµµή του Iν µε
κάποιο µη-µηδενικό στοιχείο λ ∈ F. Τότε, από την ιδιότητα (D2) στον Ορισµό 3.4.1,
˙ ν = λ, αφού det Iν = 1. Ο πίνακας EA είναι ο πίνακας που
έχουµε det E = λdetI
προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την i-γραµµή του πίνακα A µε λ και άρα (εφαρµόζοντας
και πάλι την ιδιότητα (D2) του Ορισµού 3.4.1) έχουµε
det(EA) = λ(det A) = (det E)(det A).
(ii) Ο πίνακας E = M (i, j, λ) προκύπτει προσθέτοντας στην i-γραµµή του Iν την j -γραµµή
του πολλαπλασιασµένη µε κάποιο στοιχείο λ ∈ F. Τότε, από την Πρόταση 3.4.6(i)
έχουµε det E = det Iν = 1. Ο πίνακας EA είναι ο πίνακας που προκύπτει προσθέτοντας στην i-γραµµή του A την j -γραµµή του πολλαπλασιασµένη µε λ και άρα (χρησιµοποιώντας και πάλι την Πρόταση 3.4.6(i)) έχουµε
det(EA) = det A = (det E)(det A).
(iii) Ο πίνακας E = E(i, j) λαµβάνεται εναλλάσοντας την i-γραµµή του Iν µε την j -γραµµή
του. Τότε, από την Πρόταση 3.4.6(ii), έχουµε det E = − det Iν = −1. Ο πίνακας
EA είναι ο πίνακας που προκύπτει εναλλάσοντας την i-γραµµή του πίνακα A µε την
j -γραµµή του και άρα (εφαρµόζοντας και πάλι την Πρόταση 3.4.6(ii)) έχουµε
det(EA) = − det A = (det E)(det A).
΄Ετσι, ολοκληρώθηκε η απόδειξη της Πρότασης.
Πόρισµα 6.3.2 Αν ο πίνακας A ∈ Fν×ν είναι αντιστρέψιµος, τότε det(AB) = (det A)(det B)
για κάθε B ∈ Fν×ν .
Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3.3.8, µπορούµε να ρούµε στοιχειώδεις πίνακες
E1 , E2 , . . . , Ek ∈ Fν×ν , έτσι ώστε A = E1 E2 . . . Ek . Συνεπώς, από την Πρόταση 6.3.1 (και
επαγωγή στο πλήθος k των παραγόντων) συµπεραίνουµε ότι
det(AB) = (det E1 )(det E2 ) . . . (det Ek )(det B)
(6.1)
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
180
για κάθε B ∈ Fν×ν . Ειδικότερα, ϑέτοντας B = Iν , συµπεραίνουµε ότι
det A = (det E1 )(det E2 ) . . . (det Ek ).
΄Ετσι, η σχέση (6.1) µπορεί να ξαναγραφτεί στη µορφή det(AB) = (det A)(det B), τελειώνοντας την απόδειξη.
Θεώρηµα 6.3.3 Για κάθε δύο πίνακες A, B ∈ Fν×ν ισχύει det(AB) = (det A)(det B).
Απόδειξη. Με άση το Πόρισµα 6.3.2, αρκεί να εξετάσουµε την περίπτωση που ο πίνακας
A δεν είναι αντιστρέψιµος. Στην περίπτωση αυτή, γνωρίζουµε ότι για την τάξη r(A) του A
ϑα είναι r(A) < ν (Πρόταση 6.2.19). Συνεπώς, χρησιµοποιώντας την Πρόταση 6.2.13(i),
συµπεραίνουµε ότι r(AB) ≤ r(A) < ν και άρα ο πίνακας AB δεν είναι αντιστρέψιµος
(Πρόταση 6.2.19). Καθώς οι πίνακες A και AB δεν είναι αντιστρέψιµοι, έχουµε det A =
det(AB) = 0 (Πρόταση 3.4.9) και άρα η σχέση det(AB) = (det A)(det B) είναι προφανής.
Πόρισµα 6.3.4 Αν οι πίνακες A, B ∈ Fν×ν είναι όµοιοι, τότε det A = det B .
Απόδειξη. Καθώς οι A, B είναι όµοιοι, υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P ∈ Fν×ν , τέτοιος
ώστε B = P AP −1 . Συνεπώς, έχουµε P A = BP ∈ Fν×ν και άρα
(det P )(det A) = det(P A) = det(BP ) = (det B)(det P ) = (det P )(det B) ∈ F
(Θεώρηµα 6.3.3). Ως αντιστρέψιµος, ο πίνακας P έχει µη-µηδενική ορίζουσα, δηλαδή
det P 6= 0 (Πρόταση 6.2.19). ΄Ετσι, από την παραπάνω ισότητα µπορούµε να συµπεράνουµε
ότι det A = det B , δηλαδή το ητούµενο.
Ας ϑεωρήσουµε τώρα έναν πεπερασµένα παραγόµενο διανυσµατικό χώρο V επί του F
και µια γραµµική απεικόνιση f : V −→ V . Αν v, v0 είναι δύο διατεταγµένες άσεις του V ,
τότε γνωρίζουµε ότι οι πίνακες A = (f : v, v) και B = (f : v0 , v0 ) είναι µεταξύ τους όµοιοι
(Θεώρηµα 6.2.22). Συνεπώς, µε άση το Πόρισµα 6.3.4, ϑα είναι det A = det B .
Ορισµός 6.3.5 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F και
f : V −→ V µια γραµµική απεικόνιση. Η ορίζουσα det f της f είναι η ορίζουσα του πίνακα
(f : v, v), όπου v είναι µια διατεταγµένη άση του V . (Με άση τα παραπάνω σχόλια, η
ορίζουσα του πίνακα (f : v, v) είναι ανεξάρτητη από την επιλογή της διατεταγµένης άσης v
του V .)
Θεώρηµα 6.3.6 ΄Εστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος επί του F και
f : V −→ V µία γραµµική απεικόνιση. Τότε, οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες :
(i) Η f είναι ένας ισοµορφισµος.
(ii) det f 6= 0.
6.3. Ι∆Ιý
ΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣý
ΩΝ
181
Απόδειξη. ΄Εστω v µια διατεταγµένη άση του V και A = (f : v, v). Τότε, µε άση τον
Ορισµό 6.3.5, ϑα είναι det f = det A. Συνεπώς, det f 6= 0 αν και µόνο αν det A 6= 0, δηλαδή
αν και µόνο αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος (Πρόταση 3.4.9). ΄Ετσι, η ισοδυναµία των
(i) και (ii) είναι µια άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 6.1.13.
Στη συνέχεια, ϑα εξετάσουµε τη σχέση που υπάρχει µεταξύ της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα και αυτής του αναστρόφου του.
Πρόταση 6.3.7 Αν ο E ∈ Fν×ν είναι ένας στοιχειώδης πίνακας, τότε det E = det E t .
Απόδειξη. ∆ιακρίνουµε τρεις περιπτώσεις :
(i) Ο πίνακας E = D(i, λ) λαµβάνεται πολλαπλασιασιάζοντας την i-γραµµή του Iν µε
κάποιο µη-µηδενικό στοιχείο λ ∈ F. Καθώς ο πίνακας E είναι (στην περίπτωση αυτή)
συµµετρικός, έχουµε E = E t και άρα det E = det E t .
(ii) Ο πίνακας E = M (i, j, λ) προκύπτει προσθέτοντας στην i-γραµµή του Iν την j -γραµµή
του πολλαπλασιασµένη µε κάποιο στοιχείο λ ∈ F. Στην περίπτωση αυτή, ο ανάστροφος
E t είναι ο πίνακας M (j, i, λ) που προκύπτει προσθέτοντας στην j -γραµµή του Iν την
i-γραµµή του πολλαπλασιασµένη µε λ ∈ F. ΄Ετσι, χρησιµοποιώντας την Πρόταση
3.4.6(i), έπεται ότι det E = det Iν = det E t .
(iii) Ο πίνακας E = E(i, j) λαµβάνεται εναλλάσοντας την i-γραµµή του Iν µε την j -γραµµή
του. ΄Οπως και στην πρώτη περίπτωση, έτσι και εδώ, ο πίνακας E είναι συµµετρικός
και άρα det E = det E t .
Πόρισµα 6.3.8 Αν ο πίνακας A ∈ Fν×ν είναι αντιστρέψιµος, τότε det A = det At .
Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3.3.8, µπορούµε να ρούµε στοιχειώδεις πίνακες E1 , E2 , . . . , Ek ∈ Fν×ν , έτσι ώστε A = E1 E2 . . . Ek . Συνεπώς, από τό Θεώρηµα 6.3.3
συµπεραίνουµε ότι
det A = (det E1 )(det E2 ) . . . (det Ek ).
Καθώς At = (E1 E2 . . . Ek )t = Ekt . . . E2t E1t , έπεται ότι
det At = (det Ekt ) . . . (det E2t )(det E1t ).
Γνωρίζουµε ότι det Ei = det Eit για κάθε i = 1, 2, . . . , k (Πρόταση 6.3.7) και έτσι οι παραπάνω
σχέσεις δείχνουν ότι det A = det At .
Θεώρηµα 6.3.9 Για κάθε πίνακα A ∈ Fν×ν ισχύει det A = det At .
Απόδειξη. Με άση το Πόρισµα 6.3.8, αρκεί να εξετάσουµε την περίπτωση που ο πίνακας
A δεν είναι αντιστρέψιµος. Στην περίπτωση αυτή, γνωρίζουµε ότι για την τάξη r(A) του
A ϑα είναι r(A) < ν (Πρόταση 6.2.19). Συνεπώς, χρησιµοποιώντας την Πρόταση 6.2.15,
συµπεραίνουµε ότι r(At ) = r(A) < ν και άρα ο πίνακας At δεν είναι αντιστρέψιµος (Πρόταση
6.2.19). Καθώς οι πίνακες A και At δεν είναι αντιστρέψιµοι, έχουµε det A = 0 = det At
(Πρόταση 3.4.9).
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
182
Παρατήρηση 6.3.10 Η ορίζουσα των πινάκων ορίστηκε στην §3.4 ως µια απεικόνιση από
το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων µε στοιχεία από το F στο F, η οποία είναι γραµµική
ως προς τις γραµµές του πίνακα, αλλάζει πρόσηµο αν εναλλάξουµε δύο γραµµές του πίνακα
και απεικονίζει τον ταυτοτικό πίνακα στο 1 ∈ F. Ας ϑεωρήσουµε έναν πίνακα A ∈ Fν×ν
µε στήλες c1 , c2 , . . . , cν ∈ Fν×1 και τον ανάστροφό του At ∈ Fν×ν . Οι γραµµές του At είναι
ακριβώς οι ανάστροφοι ct1 , ct2 , . . . , ctν ∈ Fν×1 των στηλών του A. ΄Ετσι, καθώς det A = det At ,
συµπεραίνουµε ότι όλες οι ιδιότητες, σχετικά µε ορίζουσες, που αφορούν τις γραµµές ενός πίνακα
ισχύουν και για τις στήλες του. Πιο συγκεκριµένα :
(i) Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι γραµµική ως προς κάθε στήλη του.
(ii) Αν δυο στήλες ενός τετραγωνικού πίνακα A είναι ίσες τότε det A = 0.
(iii) Αν ο πίνακας B προκύπτει από έναν τετραγωνικό πίνακα A µέσω αντιµετάθεσης δύο
στηλών του, τότε det B = − det A.
(iv) Αν οι στήλες ενός τετραγωνικού πίνακα A είναι γραµµικά εξαρτηµένες, τότε det A = 0.
P
(v) Αν A = (aij ) ∈ Fν×ν , τότε det A = νj=1 (−1)i+j aij det Aij , όπου Aij είναι η ορίζουσα
του υποπίνακα του A που προκύπτει διαγράφοντας την i-γραµµή και την j -στήλη του. (Η
παράσταση αυτή της ορίζουσας λέγεται ανάπτυγµα της ορίζουσας ως προς την i-γραµµή ή
ανάπτυγµα κατά Laplace ως προς την i-γραµµή. Το ανάπτυγµα αυτό δεν εξαρτάται από
τη γραµµή ως προς την οποία αναπτύσσουµε.)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. ΄Εστω f : R3 −→ R3 η γραµµική απεικόνιση µε f (x, y, z) = (2x+y +3z, x−y +2z, 4x+
5y − 2z) για κάθε (x, y, z) ∈ R3 .
(i) Να υπολογιστεί ο ορίζουσα det f της f .
(ii) Να εξετασθεί αν η f είναι ισοµορφισµός.
2. ΄Εστω A ∈ Fν×ν . Να δειχτεί ότι :
(i) Αν Ak = 0 για κάποιο k ≥ 0, τότε det A = 0.
(ii) Αν ο A είναι αντιστρέψιµος, τότε det A−1 = (det A)−1 .
3. Χρησιµοποιώντας επαγωγή ως προς ν , να δειχτεί ότι


1
1
...
1
 x1
x2 . . . x ν 


Y
 x2
x22 . . . x2ν 
(xj − xi ).
det 1
=
 ..
..
..  1≤i<j≤ν
 .
.
. 
ν−1
ν−1
ν−1
x1
x2
. . . xν
(Η ορίζουσα αυτή λέγεται ορίζουσα του Vandermonde.)
6.4. ΕΦΑΡΜΟΓý
Η ΣΤΗΝ ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΣΥΣΤΗΜý
ΑΤΩΝ
183


1
1 1
1
 2 −1 4 −3 
.
4. Να υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα A = 
 4
1 16
9 
8 −1 64 −27
ν×ν
ν×µ
5. Θεωρούµε τρεις
και C ∈ Fµ×µ , καθώς επίσης και τον
µ πίνακες
¶ A ∈ F , B ∈ F
A B
πίνακα D =
∈ F(ν+µ)×(ν+µ) . Να δειχτεί ότι det D = (det A)(det C).
0 C
6.4 Εφαρµογή στην Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Χρησιµοποιώντας την έννοια της τάξης των πινάκων, ϑα µελετήσουµε ιδιότητες του συνόλου
των λύσεων ενός γραµµικού συστήµατος εξισώσεων. Πιο συγκεκριµένα, ϑα δούµε ότι ένα
γραµµικό σύστηµα έχει λύση αν και µόνο αν η τάξη του πίνακά του είναι ίση µε την τάξη του
αντίστοιχου επαυξηµένου πίνακα.
Ας ϑεωρήσουµε αρχικά ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1µ xµ = 0
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2µ xµ = 0
..
.
aν1 x1 + aν2 x2 + · · · + aνµ xµ = 0
όπου aij ∈ F, 1 ≤ i ≤ ν , 1 ≤ j ≤ µ. Το σύστηµα αυτό γράφεται σε µορφή πινάκων
ως AX = 0, όπου A = (aij ) ∈ Fν×µ είναι ο πίνακας των συντελεστών και X ∈ Fµ×1 ο
πίνακας-στήλη των αγνώστων. Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση
LA : Fµ×1 −→ Fν×1 ,
η οποία ορίζεται πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά µε A, και παρατηρούµε ότι ο πυρήνας
kerLA είναι ακριβώς το σύνολο των λύσεων {X ∈ Fµ×1 | AX = 0 ∈ Fν×1 } του συστήµατος
(λ. Παράδειγµα 5.3.9).
Πρόταση 6.4.1 Το σύνολο των λύσεων ενός οµογενούς γραµµικού συστήµατος ν εξισώσεων µε
µ αγνώστους είναι ένας διανυσµατικός υπόχωρος του Fµ×1 διάστασης µ − r(A), όπου A είναι ο
πίνακας των συντελεστών του συστήµατος.
Απόδειξη.
Χρησιµοποιώντας τον παραπάνω συµβολισµό και το Πόρισµα 5.3.13, έχουµε
dimF ker LA = µ − dimF imLA και άρα το ητούµενο έπεται καθώς r(A) = dimF imLA .
Πόρισµα 6.4.2 ΄Ενα οµογενές γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους έχει µη-τετριµµένες
λύσεις αν και µόνο αν ισχύει r(A) < µ, όπου A είναι ο πίνακας των συντελεστών.
Απόδειξη. Αυτό έπεται άµεσα από την προηγούµενη πρόταση.
Πόρισµα 6.4.3 ΄Ενα οµογενές γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε ν αγνώστους, AX = 0, έχει
µοναδική λύση αν και µόνο αν det A 6= 0.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
184
Απόδειξη. Από το Πόρισµα 6.4.2, έπεται ότι το σύστηµα AX = 0 έχει µοναδική λύση αν
και µόνο αν r(A) = ν . Ο πίνακας A είναι ένας τετραγωνικός ν × ν πίνακας και άρα r(A) = ν
αν και µόνο αν ο A είναι αντιστρέψιµος (Πρόταση 6.2.19), δηλαδή αν και µόνο αν det A 6= 0
(Πρόταση 3.4.9).
Παράδειγµα
 6.4.4 Θα ρούµε
 µια άση του χώρου των λύσεων του συστήµατος AX = 0,
όπου A = 
1
3 2 3
2
6 5 9  ∈ F3×4 .
−1 −3 0 3
Μέσω στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών, παίρνουµε






1
3 2 3
1 3 2 3
1 3 2 3
r2 →r2 −2r1
r →r +r1
r3 →r3 −2r2
 0 0 1 3 −
6 5 9  −−3−−3−−→
A= 2
−−−−−→  0 0 1 3  = A0 .
0 0 2 6
0 0 0 0
−1 −3 0 3
Γνωρίζουµε ότι το σύστηµα AX = 0 είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα A0 X = 0 (λ. Πόρισµα 3.1.1
και Πρόταση 3.2.20), δηλαδή ότι
{X ∈ F4×1 | AX = 0} = {X ∈ F4×1 | A0 X = 0}.
Καθώς r(A0 ) = 2, ο χώρος των λύσεων του συστήµατος έχει διάσταση 4 − 2 = 2. Λύνοντας το
σύστηµα A0 X = 0, δηλαδή το σύστηµα
x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = 0
x3 + 3x4 = 0
λέπουµε ότι το σύνολο λύσεων του συστήµατος είναι :

−3x2 + 3x4



x2


−3x4



x4


 ∈ F4×1

 


−3
3


 

 0
1


| x2 , x 4 ∈ F = x2 
 0  + x4  −3




 
0
1






 ∈ F4×1






| x2 , x 4 ∈ F .






−3
3
 1 


 και v2 =  0 , τότε λέπουµε ότι ο χώρος των λύσεων του συστήµατος
Αν v1 = 
 0 
 −3 
0
1
παράγεται από τα v1 , v2 . Επιπλέον, εύκολα λέπουµε ότι τα v1 , v2 είναι γραµµικά ανεξάρτητα
και άρα αποτελούν µια άση του χώρου των λύσεων.
Ας ϑεωρήσουµε τώρα ένα γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1µ xµ = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2µ xµ = b2
..
.
aν1 x1 + aν2 x2 + · · · + aνµ xµ = bν
6.4. ΕΦΑΡΜΟΓý
Η ΣΤΗΝ ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΣΥΣΤΗΜý
ΑΤΩΝ
185
όπου aij ∈ F, 1 ≤ i ≤ ν , 1 ≤ j ≤ µ και bi ∈ F, 1 ≤ i ≤ ν . Το σύστηµα αυτό γράφεται
σε µορφή πινάκων ως AX = B , όπου A = (aij ) ∈ Fν×µ είναι ο πίνακας των συντελεστών,
X ∈ Fµ×1 ο πίνακας των αγνώστων και B ∈ Fν×1 ο πίνακας των σταθερών όρων. Θεωρούµε,
όπως και πριν, τη γραµµική απεικόνιση
LA : Fµ×1 −→ Fν×1 ,
η οποία ορίζεται πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά µε A.
Πρόταση 6.4.5 Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες για ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων
AX = B , όπου A ∈ Fν×µ :
(i) Το σύστηµα έχει λύση.
(ii) Ο πίνακας B ∈ Fν×1 είναι γραµµικός συνδυασµός των στηλών c1 , c2 , . . . , cµ του A.
(iii) B ∈ imLA .
Απόδειξη. Για ναδείξουµε
 ότι οι ισχυρισµοί (i) και (ii) είναι ισοδύναµοι, παρατηρούµε ότι
λ1
λ2 

µ×1
είναι µία λύση του συστήµατος AX = B αν και µόνο αν
..  ∈ F
. 
λµ
AΛ = B ή, ισοδύναµα, αν και µόνο αν B = λ1 c1 + λ2 c2 + · · · + λµ cµ . Η ισοδυναµία των
ισχυρισµών (ii) και (iii) έπεται άµεσα, καθώς ο υπόχωρος imLA ≤ Fν×1 παράγεται από τις
στήλες c1 , c2 , . . . , cµ του A (λ. Παράδειγµα 5.3.9).


ένα στοιχείο Λ = 

Υπενθυµίζουµε ότι ο επαυξηµένος πίνακας ενός γραµµικού συστήµατος ν εξισώσεων και
µ αγνώστων είναι ο ν × (µ + 1) πίνακας που προκύπτει από τον πίνακα των συντελεστών
του συστήµατος, προσαρτώντας τον πίνακα των σταθερών όρων στην τελευταία στήλη. ΄Ετσι,
αν γράψουµε το σύστηµα σε µορφή πινάκων ως AX = B , τότε ο επαυξηµένος πίνακας
είναι ο (A | B) ∈ Fν×(µ+1) . Μπορούµε να αναδιατυπώσουµε την προηγούµενη πρόταση,
χρησιµοποιώντας τον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος, ως εξής :
Θεώρηµα 6.4.6 ΄Ενα γραµµικό σύστηµα AX = B όπως παραπάνω έχει λύση αν και µόνο αν
r(A) = r(A | B).
Απόδειξη. Από τον ορισµό τους, οι τάξεις των πινάκων A και (A | B) είναι οι διαστάσεις των
υποχώρων του Fν×1 , οι οποίοι παράγονται από τις στήλες τους. ΄Ετσι, έχουµε
r(A) = dimF hc1 , c2 , . . . , cµ i και r(A | B) = dimF hc1 , c2 , . . . , cµ , Bi.
Καθώς ο υπόχωρος hc1 , c2 , . . . , cµ i περιέχεται στον υπόχωρο hc1 , c2 , . . . , cµ , Bi, συµπεραίνουµε ότι r(A) ≤ r(A | B) (λ. Πρόταση 4.6.3(i)). Επιπλέον, ϑα είναι r(A) = r(A | B)
αν και µόνο αν hc1 , c2 , . . . , cµ i = hc1 , c2 , . . . , cµ , Bi (Πρόταση 4.6.3(ii)). Είναι ϕανερό ότι οι
υπόχωροι hc1 , c2 , . . . , cµ i και hc1 , c2 , . . . , cµ , Bi είναι ίσοι αν και µόνο αν B ∈ hc1 , c2 , . . . , cµ i
και άρα το ητούµενο έπεται από την Πρόταση 6.4.5.
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
186
Παράδειγµα 6.4.7 Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα
x 1 + x2 + x3 = 1
x1 + 2x2 + x3 = a
2x1 − x2 + 2x3 = 1
Θα καθορίσουµε τις τιµές του a, για τις οποίες αυτό έχει λύση.


1
1 1
2 1 
Σε µορφή πινάκων το παραπάνω σύστηµα γράφεται ως AX = B , όπου A =  1
2 −1 2
 
1
και B =  a . Γνωρίζουµε ότι το σύστηµα AX = B έχει λύση αν και µόνο αν r(A) =
1
r(A | B). Θεωρούµε τον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος και, εφαρµόζοντας στοιχειώδεις
µετασχηµατισµούς γραµµών, έχουµε :






1
1 1 1
1
1 1
1
1 1 1
1
r2 →r2 −r1
r3 →r3 −2r1
r3 →r3 +3r2
2 1 a  −−
1 0 a − 1  −−
(A | B) =  1
−−−−→  0
−−−−→  0 1 0 a − 1 .
2 −1 2 1
0 −3 0
−1
0 0 0 3a − 4
΄Ετσι, λέπουµε ότι r(A) = 2, ενώ r(A | B) = 2 αν και µόνο αν a = 4/3. Συνεπώς, το σύστηµα
AX = B έχει λύση αν και µόνο αν a = 4/3.
Υπενθυµίζουµε ότι για κάθε υπόχωρο V0 ενός διανυσµατικού χώρου V και κάθε στοιχείο
v ∈ V ορίζεται το σύµπλοκο
v + V0 = {v + v0 | v0 ∈ V0 }.
Πρόταση 6.4.8 ΄Εστω AX = B ένα γραµµικό σύστηµα µε ν εξισώσεις και µ αγνώστους.
Υποθέτουµε ότι Λ είναι µια λύση του συστήµατος και ϑεωρούµε τον υπόχωρο kerLA του διανυσµατικού χώρου Fµ×1 , που αποτελεί το σύνολο των λύσεων του αντίστοιχου οµογενούς συστήµατος
AX = 0. Τότε, το σύνολο των λύσεων του συστήµατος AX = B είναι το σύµπλοκο Λ + kerLA .
Απόδειξη. Ας ϑεωρήσουµε αρχικά ένα στοιχείο Λ0 ∈ Λ + kerLA . Τότε, ϑα υπάρχει Λ0 ∈
kerLA , τέτοιο ώστε Λ0 = Λ + Λ0 . ΄Ετσι, ϑα είναι
AΛ0 = A(Λ + Λ0 ) = AΛ + AΛ0 = B + 0 = B
και άρα το Λ0 είναι µια λύση του συστήµατος AX = B .
Αντίστροφα, έστω ότι το Λ0 ∈ Fµ×1 είναι µια λύση του συστήµατος AX = B . Τότε, ϑα
είναι AΛ0 = B και άρα
A(Λ0 − Λ) = AΛ0 − AΛ = B − B = 0.
Συνεπώς, το Λ0 − Λ είναι µια λύση του οµογενούς συστήµατος AX = 0, δηλαδή Λ0 − Λ ∈
kerLA . ΄Ετσι, το Λ0 = Λ + (Λ0 − Λ) είναι ένα στοιχείο του συµπλόκου Λ + kerLA .
Πόρισµα 6.4.9 ΄Εστω AX = B ένα γραµµικό σύστηµα ν εξισώσεων µε µ αγνώστους και
v1 , v2 , . . . , vρ ∈ Fµ×1 µια άση του χώρου των λύσεων του οµογενούς συστήµατος AX = 0. Αν
Λ είναι µια λύση του συστήµατος AX = B , τότε το σύνολο των λύσεών του είναι το
{Λ + a1 v1 + a2 v2 + · · · + aρ vρ ∈ Fµ×1 | ai ∈ F, 1 ≤ i ≤ ρ}.
Επιπλέον ρ = µ − r(A).
6.4. ΕΦΑΡΜΟΓý
Η ΣΤΗΝ ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΣΥΣΤΗΜý
ΑΤΩΝ
187
Απόδειξη. Καθώς ο διανυσµατικός χώρος των λύσεων του οµογενούς γραµµικού συστήµατος
AX = 0 είναι ακριβώς το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών των v1 , v2 , . . . , vρ , το ητούµενο
έπεται άµεσα από την Πρόταση 6.4.8.
Πόρισµα 6.4.10 ΄Ενα γραµµικό σύστηµα AX = B µε A ∈ Fν×µ έχει µοναδική λύση αν και
µόνο αν r(A) = r(A | B) = µ.
Απόδειξη.
Από το Θεώρηµα 6.4.6 γνωρίζουµε ότι το σύστηµα έχει λύση αν και µόνο αν
r(A) = r(A | B). Στην περίπτωση αυτή, η λύση είναι µοναδική αν και µόνο αν kerLA = 0
(Πρόταση 6.4.8), δηλαδή αν και µόνο αν dimF kerLA = 0. Το ητούµενο έπεται, καθώς
r(A) = dimF imLA = µ − dimF kerLA (Πόρισµα 5.3.13).
Πόρισµα 6.4.11 ΄Ενα γραµµικό σύστηµα AX = B µε A ∈ Fν×ν έχει µοναδική λύση αν και
µόνο αν det A 6= 0.
Απόδειξη. Γνωρίζουµε ότι r(A) ≤ r(A | B) ≤ ν και άρα οι ισότητες του Πορίσµατος 6.4.10
είναι ισοδύναµες µε την ισότητα r(A) = ν . ΄Οµως, r(A) = ν αν και µόνο αν ο πίνακας A
είναι αντιστρέψιµος (Πρόταση 6.2.9), δηλαδή αν και µόνο αν det A 6= 0 (Πρόταση 3.4.9).
Παράδειγµα 6.4.12 Θα ρούµε το σύνολο των λύσεων του συστήµατος AX = B , όπου


 
1 −2 1
0
1
3×4



2  ∈ R3×1 .
και B =
A = 1 −2 0 −1 ∈ R
0
0 1
1
1
Πρώτα ϑα εξετάσουµε αν το σύστηµα έχει λύση. Από το Θεώρηµα 6.4.6, γνωρίζουµε ότι αυτό
συµβαίνει αν και µόνο αν r(A) = r(A | B). Εφαρµόζοντας στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς
γραµµών, παίρνουµε :



1 −2 1
0 1
r2 →r2 −r1
(A | B) =  1 −2 0 −1 2  −−
−−−−→ 
0
0 1
1 1



1 −2
1
0 1
r3 →r3 +r2
r2 →−r2
0 −1 −1 1  −−
−−
−−−−→  0
−−→ 
0
0
0
0 0

1 −2
1
0
1
0
0 −1 −1
1 
0
0
1
1 −1

1 −2 1 0
1
0
0 1 1 −1 
0
0 0 0
0
΄Ετσι, λέπουµε ότι r(A) = r(A | B) = 2 και άρα το σύστηµα έχει λύση.
Από το Πόρισµα 6.4.9 συµπεραίνουµε ότι για να ρούµε το σύνολο των λύσεων του συστήµατος ϑα πρέπει να ρούµε µία λύση του Λ, καθώς επίσης και µια άση του χώρου των λύσεων του
οµογενούς συστήµατος AX = 0. Οι στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί γραµµών που εφαρµοσαµε
παραπάνω στον επαυξηµένο πίνακα (A | B), σε συνδυασµό µε τις Προτάσεις 3.1.1 και 3.2.20,
δείχνουν ότι τα γραµµικά συστήµατα AX = B και AX = 0 είναι ισοδύναµα µε τα συστήµατα
A0 X = B 0 και A0 X = 0 αντίστοιχα, όπου




1 −2 1 0
1
0 1 1  και B 0 =  −1 .
A0 =  0
0
0 0 0
0
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
188
΄Ετσι, ας ϑεωρήσουµε το γραµµικό σύστηµα A0 X = B 0 , δηλαδή το σύστηµα
x1 − 2x2 + x3 =
1
x3 + x4 = −1


2
 0 

Θέτοντας x4 = x2 = 0, έπεται ότι το στοιχείο Λ = 
 −1  είναι µια λύση του συστήµατος
0
A0 X = B 0 , άρα και του συστήµατος AX = B . Στη συνέχεια, ϑεωρούµε το οµογενές γραµµικό
σύστηµα A0 X = 0, δηλαδή το σύστηµα
x1 − 2x2 + x3 = 0
x3 + x4 = 0
Βλέπουµε εύκολα ότι το σύνολο των λύσεων του οµογενούς αυτού συστήµατος είναι το

2x2 + x4



x2


−x4



x4






 ∈ R4×1 | x2 , x4 ∈ R ,




δηλαδή το

  


2
1





  


1
0
4×1
 + x4 
∈ R
.
x2 
|
x
,
x
∈
R
2
4
 0 
 −1 






0
1
 


2
1
 1 


 και v2 =  0 , τότε τα v1 , v2 αποτελούν µια άση του χώρου των
΄Ετσι, αν v1 = 
 0 
 −1 
0
1
λύσεων του AX = 0. Συνεπώς, το σύνολο των λύσεων του συστήµατος AX = B είναι το

2



 0
 −1



0


2
1
 1 
 0

 + x2   + x 4 
 0 
 −1

0
1




 ∈ R4×1





| x2 , x 4 ∈ R .



Παράδειγµα 6.4.13 Θα ρούµε το σύνολο των λύσεων του γραµµικού συστήµατος AX = B ,
όπου




−3
 1
A =
 −2
1
1
4
−5



1
1 
4×3
 2  ∈ R4×1 .
∈
R
και
B
=
 −3 
0
1 
1 −2
5
6.4. ΕΦΑΡΜΟΓý
Η ΣΤΗΝ ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΣΥΣΤΗΜý
ΑΤΩΝ
189
Μέσω στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών, παίρνουµε :



−3 1
4 −5
1 1

 1 1

1
2  r2 ↔r1  −3 1
(A | B) = 
−−−→ 
 −2 0
1 −3 
−2 0
1 1 −2
5
1 1



1 1
1
1 1
1 2
 r2 ↔r3  0 2
 0 4
3
7
1
 −−−→ 



 0 2
0 4
7
3 1
0 0 −3
0 0 −3 3



1 1 1
1 1 1
2


 0 2 3
1  r4 →r4 +r3  0 2 3

 0 0 1 −1  −−−−−−→  0 0 1
0 0 1 −1
0 0 0

1
2
r2 →r2 +3r1
r →r +2r

4 −5  r34 →r34 −r11
−−−−−−→
1 −3 
−2
5

2
r3 →r3 −2r2
1 
4 →−1/3r4
 −r−
−−−−→

1
3

2
1 

−1 
0
΄Ετσι, λέπουµε ότι r(A) = 3 = r(A | B) και άρα το σύστηµα AX = B έχει λύση. Τώρα, το
σύστηµα AX = B είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα A0 X = B 0 , όπου

1

0
A0 = 
 0
0
1
2
0
0


1
2


3 
1
και B 0 = 
 −1
1 
0
0


,

δηλαδή µε το σύστηµα
x1 + x2 + x3 =
2
2x2 + 3x3 =
1
x3 = −1
0
0
Εύκολα λέπουµε ότι µια
 λύσητου συστήµατος A X = B (και άρα και του συστήµατος AX = B )
είναι το στοιχείο Λ = 
1
2  ∈ R3×1 . Επιπλέον, καθώς r(A) = r(A | B) = 3, το Λ είναι η
−1
µοναδική λύση του συστήµατος (Πόρισµα 6.4.10).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να ρεθεί µια άση για το χώρο των λύσεων του συστήµατος AX = 0, όπου


1 −5 −3
2 −6  ∈ R3×3
(i) A =  −4
3
1
7


2 3 1
1
(ii) A =  −3 i 4 −7  ∈ C3×4
1 2 1
0
ΚΕΦý
ΑΛΑΙΟ 6. ΓΡΑΜΜΙΚý
ΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝý
ΙΣΕΙΣ ΚΑΙ Πý
ΙΝΑΚΕΣ
190


6 −1 1
0 1  ∈ R3×3 , έχει
2. Για ποιες τιµές του λ ∈ R το σύστηµα AX = 0, όπου A =  λ
0
1 λ
περισσότερες από µία λύσεις ;
3. Για ποιες τιµές του µ το σύνολο λύσεων του συστήµατος AX = 0, όπου


1
1
0
1 4
 2
0
0
4 7 
 ∈ R4×5 ,
A =
 1
1
1
0 5 
1 −3 −1 −10 µ
έχει διάσταση 1;
4. Να ρεθεί µια άση του χώρου των λύσεων της γραµµικής εξίσωσης x1 + 2x2 − x3 +
x4 + x5 = 0 .
5. ΄Εστω ότι γ1 , γ2 , . . . , γν είναι µη-µηδενικοί πραγµατικοί αριθµοί, ανά δύο διαφορετικοί
µεταξύ τους. Να δειχτεί ότι η µόνη λύση του γραµµικού συστήµατος
γ1 x 1 + γ2 x 2 + · · · + γν x ν = 0
γ12 x1 + γ22 x2 + · · · + γν2 xν = 0
···
γ1ν x1 + γ2ν x2 + · · · + γνν xν = 0
είναι η τετριµµένη.
6. Να ρεθεί το σύνολο των λύσεων των παρακάτω γραµµικών συστηµάτων :
x1 + x2 − x3 = 3
(i) x1 − 3x2 + 2x3 = 1
2x1 − 2x2 + x3 = 4
(ii)
−x1 + x2 + x4 = 0
x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
3x1 + x3 = 1
(iii)
4x1 + x2 + 2x3 = 1
7. Να ρεθούν οι τιµές της παραµέτρου a, για τις οποίες το ακόλουθο γραµµικό σύστηµα
έχει λύση :
x1 − 3x2 − x3 − 10x4 = a
x1 + x2 + x3 = 5
2x1 − 4x4 = 7
x1 + x2 + x4 = 4
Για τις τιµές αυτές να ρεθούν τα αντίστοιχα σύνολα των λύσεων.
6.4. ΕΦΑΡΜΟΓý
Η ΣΤΗΝ ΕΠý
ΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚý
ΩΝ ΣΥΣΤΗΜý
ΑΤΩΝ
191
8. Να δειχτεί ότι το σύστηµα
2x1 + x2 + x3 = 0
2x1 + x2 + (b + 1)x3 = 4
bx1 + 3x2 + 2x3 = 0
έχει µοναδική λύση για κάθε b 6= 0, 6. Τι συµβαίνει όταν b = 0 ή b = 6;
9. Να ρεθεί ένα οµογενές γραµµικό
AX

σύστηµα


 = 0,του οποίου ο χώρος των λύσεων
2
1
1





1 , −1 ,
3  ∈ R3×1 .
παράγεται από τα στοιχεία
−3
0
−4
10. ΄Εστω A ∈ Rν×µ . Να δειχτεί ότι το γραµµικό σύστηµα AX = B έχει λύση για κάθε
B ∈ Rν×1 αν και µόνο αν r(A) = ν .