Matem tica e Realidade

Matemˊatica e Realidade GUIA DE ESTUD OS Guia de Estudos escrito por Deividi Pansera 2020 i K ;A< J Conteúdo Prólogo Matemática e Realidade 1 3 1.1 Apologia da Matemática 3 1.2 Da Necessidade de se Estudar Outras Áreas 4 1.3 Sobre a Beleza e a Matemática 5 1.4 Matemática e Humildade 6 Como estudar matemática? 9 Conceitos 11 Demonstrações 13 3.1 Estrutura Geral 13 3.2 A Atenção 15 Considerações Finais Listas de Estudo Tópicos de Matemática 5.1 Nı́vel Elementar 5.1.1 Divulgação Matemática 5.1.2 Noções Preliminares 17 19 21 21 21 22 i ii K ;A< 5.2 Nı́vel Básico 22 5.2.1 Geometria 22 5.2.2 Teoria dos Conjuntos 23 5.2.3 Teoria dos Números 23 5.2.4 Álgebra Linear 23 5.2.5 Álgebra 24 5.2.6 Cálculo Diferencial e Integral 24 5.2.7 Probabilidade e Estatı́stica 24 5.3 Nı́vel Intermediário 25 5.3.1 Análise Real e Complexa 25 5.3.2 Topologia 25 5.3.3 Geometria Diferencial 25 5.3.4 Equações Diferenciais 26 5.4 Nı́vel Avançado 26 5.4.1 Análise Funcional 26 5.4.2 Teoria da Medida 27 5.4.3 Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos 27 5.4.4 Teoria de Categorias 28 5.4.5 Grupos Quânticos e Álgebras de Hopf 28 Tópicos de Lógica, Fundamentos e História da Matemática ii J 29 6.1 Lógica 29 6.2 Fundamentos da Matemática 30 6.3 História da Matemática 31 iii K ;A< J Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Natureza e Filosofia da Linguagem 33 7.1 Filosofia da Matemática 33 7.2 Filosofia da Ciência e Filosofia da Natureza 34 7.3 Filosofia da Linguagem 37 Literatura 8.1 Literatura Considerações Finais 39 41 45 iii iv K iv ;A< J 1 K ;A< J Prólogo 1 Prólogo K 3 ;A< J 1. Matemática e Realidade Bem-vindo ao seu guia de estudos matemática e realidade. Este guia é um compilado de indicações de livros de matemática e, correlacionado com ela, de filosofia. O objetivo deste guia, completamente embasado na minha experiência pessoal e na estrutura da alma humana, é fazer com que você potencialize a sua capacidade de cognição e apreensão de conceitos, de raciocı́nio, de emissão de juı́zos etc. Obviamente, isso só ocorrerá se você, ao mesmo tempo, levar uma vida intelectual séria, estudar matemática com profundidade e estudar outros assuntos, especialmente a filosofia. 1.1. Apologia da Matemática Matemática é essencial para a vida intelectual e estrutura do pensamento. Todo intelectual sério, até bem pouco tempo, sabia do que se tratava Os Elementos de Euclides e, mais ainda, sabia demonstrar teoremas nele presentes. Segundo uma tradição, na Academia de Platão existia uma inscrição que proibia a entrada de pessoas que não sabiam geometria. Ademais, ao longo da República, alguns argumentos em favor do aprendizado da matemática são dados. Aristóteles, no Órganon, √ em Primeiros Analı́ticos, utiliza a demonstração da irracionalidade de 2 como um exemplo de um argumento Reductio ad Absurdum. Aliás, todo o pensamento filosófico grego está, de uma forma ou de outra, entrelaçado com o pensamento matemático e vice-versa. Diversos foram os filósofos que estudaram, e alguns até desenvolveram, matemática. Platão, Aristóteles, Boécio, Hugo de São Vitor, Ro3 Prólogo K Capı́tulo 1: Matemática e Realidade ;A< J berto Grosseteste, Thomas Bradwardine, Santo Alberto Magno, Santo Tomás de Aquino, Duns Scotus, Francisco Suárez, João de São Tomás, Descartes, Leibniz, Frege, Edmund Husserl, Alfred Whitehead, Henri Poincaré, Charles Peirce, Pascal, Hilary Putnam, Alfred Tarski, Bernard Lonergan, James Franklin etc. A matemática, devidamente estudada e compreendida, além de ser, muitas vezes, um elemento de validação de sistemas filosóficos (por exemplo, Kant e as geometrias não-euclidianas), potencializa o intelecto para as abstrações e, consequentemente, para a absorção de conceitos e universais, desenvolve o raciocı́nio e a capacidade argumentativa. Isto é, é uma disciplina basilar na vida intelectual e compreensão da realidade. Tão basilar que as quatro disciplinas que compõem o Quadrivium - Aritmética, Geometria, Música e Astronomia -, precedidas pelas disciplinas do Trivium e consideradas fundamentos para o estudo da Filosofia e da Teologia, são, essencialmente, o estudo dos números (aritmética), números no espaço (geometria), números no tempo (música) e números no espaço e tempo (astronomia). O problema moderno, que deixa turvo o intelecto para a importância da matemática, penso eu, é compreender a matemática apenas a partir de sua utilidade, o que é evidente nos nossos tempos. Não podemos deixar a beleza e a importância da matemática se perderem no meio do útil e, assim, do ponto de vista humano, torná-la inútil. Resgatar a cultura também significa resgatar a matemática como disciplina basilar na estrutura do pensamento. Significa entendê-la como uma das maiores conquistas da inteligência humana. 1.2. Da Necessidade de se Estudar Outras Áreas O estudo da matemática apenas do ponto de vista técnico e utilitarista, como dito anteriormente, a torna completamente inútil do ponto de vista humano e, paradoxalmente, cria no estudante uma tendência muito elevada a erros de raciocı́nio lógico e argumentativo a respeito da realidade, outras disciplinas de humanidade e, inclusive, sua própria experiência 4 Prólogo K Capı́tulo 1: Matemática e Realidade ;A< J pessoal. Com efeito, pois o sujeito fica preso em construções simbólicas que estão, para ele, fechadas em si mesmas e, assim, são apenas isso, sı́mbolos desprovidos de significados. Subjacente à essa visão, embora o sujeito não perceba, está pressuposta uma filosofia da matemática nominalista. É assim, por exemplo, que se forma a mentalidade cientificista moderna, uma verdadeira ofensa à razão e cheia de erros ginasianos. É devido à essa má filosofia da matemática vigente, embora não professada, e a igualmente má educação matemática dos nossos tempos. Se estudada devidamente, porém, o estudo da matemática estrutura o próprio pensamento e, como consequência, potencializa o poder da razão. Quando o estudo da matemática é acompanhado do estudo de outras disciplinas, especialmente das de humanidades, a capacidade dedutiva, inclusive na busca pela verdade, é potencializada. Um bom curso de lógica clássica e geometria euclidiana, para exemplificar, acompanhando de um estudo das artes, da filosofia e da antropologia, já livraria o estudante da sedução dos sofistas de hoje. Ao estudar a prova da infinidade do conjunto dos números primos, feita por Euclides há muitos séculos, o estudante já começaria a identificar pressupostos em argumentos filosóficos, polı́ticos, sociais etc. e, assim, não ser enganado por sofismas e erros argumentativos, que muitas vezes são de chorar. 1.3. Sobre a Beleza e a Matemática G. H. Hardy, um dos grandes matemáticos do século passado, em seu livro A Mathematician’s Apology, escreveu que “os padrões criados por um matemático, como os do pintor ou do poeta, devem ser bonitos; as idéias, como as cores ou as palavras, devem se entrelaçar de maneira harmoniosa. A beleza é o primeiro critério: não há lugar no mundo para a matemática feia.” Veja bem, a beleza como critério. Na fı́sica, a beleza matemática também é critério. Paul Dirac, o fı́sico que uniu as matrizes de Heisenberg com as ondas de Schöredinger, afirmou que “os fı́sicos teóricos aceitam 5 Prólogo K Capı́tulo 1: Matemática e Realidade ;A< J a necessidade da beleza matemática como um ato de fé. . . Por exemplo, a principal razão pela qual a teoria da relatividade é tão universalmente aceita é a sua beleza matemática.” Matemáticos relatam experiências estéticas genuı́nas, às vezes os levando às lágrimas, com o seu objeto de estudo. Eu, por exemplo, já cheguei a lacrimar diante do que eu conhecia. Por que isso? O critério não deveria ser a verdade? Depois de estudar os transcendentais do Ser, eu pude compreender perfeitamente o que acontece e encontrar uma explicação para Beleza na matemática e, inclusive, para entendê-la como critério. Como a Beleza, a Bondade e a Verdade são três aspectos do Ser, ao contemplarmos a Beleza, estamos contemplando a Verdade e também a Bondade. Quando enxergamos beleza na matemática, o fazemos por estarmos contemplando a verdade. Sim, a verdade, que, na matemática, tem a caracterı́stica de se manifestar de maneira apodı́tica. É assim que eu compreendi Aristóteles quando disse que “erram os que afirmam que as ciências matemáticas nada dizem sobre a Beleza e a Bondade” e afirmou que ela - a matemática - fala desses transcendentais em supremo grau. Os objetos matemáticos são imutáveis e eternos. Eles não sofrem com a queda. Neles, Verdade, Bondade e Beleza são uma coisa só. Assim, ao enxergarmos a Beleza na matemática, estamos pura e simplesmente contemplando a Verdade. Hardy está certo. Quando a matemática é feia, não há verdade. É por isso que se você estudar matemática corretamente, além de treinar o seu intelecto, você estará contemplando a Verdade e, quem sabe, lacrimando aqui e acolá. 1.4. Matemática e Humildade Obrigado por apontar meu erro. Essa foi a frase dita por Edward Nelson, um matemático americano, que percorreu o mundo da internet. Contextualizando, no final de setembro de 2011, uma notı́cia abalou o submundo dos fundamentos da matemática. Nelson alegou que ele havia 6 Prólogo K Capı́tulo 1: Matemática e Realidade ;A< J provado - veja bem!, DEMONSTRADO - a inconsistência da aritmética. A inconsistência da aritmética. Isso mesmo. Esqueça Bóson de Higgs. Esqueça Teoria das Cordas. Esqueça multiversos. Memore inconsistência da aritmética. Isso seria um estrondo, um desastre, um desmoronamento intelectual em nosso tempo. Seria. Não foi. Não é. Um outro matemático, Terence Tao, encontrou um erro na demonstração do Edward Nelson. Tao apontou o erro e, depois de uma discussão, Nelson enxergou, e reconheceu, que estava errado e escreveu: “You are quite right, and my original response was wrong. Thank you for spotting my error.” Isso pode parecer insignificante, mas não é. Veja, o coração da matemática está nas demonstrações. O que um matemático faz é provar teoremas, buscar argumentos para justificar uma proposição de tal forma que o êxtase surge com a beleza do resultado final, completamente necessário. E mais ainda, nessa busca de encadeamentos, extremamente ordenados, de raciocı́nios, o matemático deposita algo seu, ı́ntimo, que transparece em um estilo. Portanto, quando um erro demonstrativo é apontado, ele perfura a superfı́cie do matemático e atinge o seu interior. Logo, dizer “obrigado por apontar meu erro” é um ato de humildade. São exemplos como o do Nelson que me fazem pensar a matemática como uma disciplina da humildade da razão, um antı́doto para a soberba, pois os erros cometidos nas demonstrações não podem ser racionalizados, não podem ser contra-argumentados. Obriga-me a aceitar a fraqueza do meu pensar. Anteriormente, recomendei o estudo da matemática pelos seus efeitos no intelecto. Dessa vez, recomendo o seu estudo para o crescimento da virtude da humildade, indispensável a uma verdadeira vida intelectual. A matemática é a disciplina da humildade. 7 Prólogo K 8 Capı́tulo 1: Matemática e Realidade ;A< J 9 K ;A< J Como estudar matemática? 9 Como estudar matemática? K 11 ;A< J 2. Conceitos Na etapa inicial do estudo da matemática, a primeira coisa necessária é a clareza dos conceitos. E essa claridade acontece com definições bem formuladas. Livres de dubiedades. Assim, aqui, você precisa apreender os conceitos da disciplina, o que, às vezes, exigirá pre-requisitos. Por exemplo, na seguinte definição de função contı́nua, o que podemos extrair de pré-requisito? Definição 1. Uma função f : X → Y entre dois espaços topológicos X e Y é dita contı́nua se, para qualquer conjunto aberto V ⊆ Y , a imagem inversa f −1 (V ) = {x ∈ X : f (x) ∈ V } é um conjunto aberto de X. Veja bem, para compreender essa definição e o conceito de função contı́nua, você precisa saber o que é um espaço topológico e um conjunto aberto nele. E também entender o que é a imagem inversa. É essencial que você faça essa análise conceitual a cada definição e conceito novo encontrado. Depois, faça os exercı́cios sugeridos. Pois é com os exercı́cios que os conceitos serão apreendidos e propriedades deles serão derivadas. Em seguida, a cada definição, tente definir com as suas palavras. Tanto a própria definição quanto os conceitos necessários para que você entenda a definição que está em jogo. 11 Como estudar matemática? K 12 Capı́tulo 2: Conceitos ;A< J Como estudar matemática? K 13 ;A< J 3. Demonstrações Diz-se que Abraham Lincoln levava uma cópia dos Elementos de Euclides consigo a todo lugar. Tarde da noite, à luz de lamparinas, botavase a estudar. ”Você nunca poderá ser um advogado se não entender o que significa demonstração”, dizia ele. O coração da matemática está nas demonstrações. Mas, afinal, o que é uma demonstração? Ora, de maneira breve, é uma inferência dedutiva a partir de um conjunto de hipóteses. O resultado obtido é uma conclusão necessária. Assim, se as hipóteses são verdadeiras, a conclusão também o será. Com elas, aprende-se a fazer um raciocı́nio dedutivo e a provar o que se afirma. Em suma, aprende-se a raciocinar e argumentar; eleva o espı́rito que, com o pensamento, chega em verdades necessárias. 3.1. Estrutura Geral A estrutura geral de uma demonstração foi desenvolvida por Aristóteles no Órganon e, depois, sumarizada e aperfeiçoada com Euclides. Consiste, essencialmente, em três partes: • A Enunciação; • A Prova; • A Conclusão. E essas três partes, por claridade, podem ser abertas em outras seis. 13 Como estudar matemática? K Capı́tulo 3: Demonstrações ;A< J Protasis Nessa primeira fase, dá-se a enunciação, em termos gerais, da proposição que queremos provar. Quanto mais claros os conceitos envolvidos e mais unı́vocos os termos, melhor. Ecthesis Especificação dos dados particulares com letras pelas quais a demonstração, a prova, será desenvolvida. Diorismos Declaração das condições de possibilidade do que deve ser provado ou feito em termos dos dados particulares, que, às vezes, é seguida por uma discussão dos limites da prova. Kataskeve Construção de elementos adicionais necessários para a demonstração. Apodeixis A prova, que extrai a verdade do enunciado por meio da variedade de dados fornecidos ou construı́dos, com o auxı́lio de proposições, hipóteses e definições anteriores. Symperasma Conclusão afirmando que a declaração original satisfaz as condições da prova. 14 Como estudar matemática? K Capı́tulo 3: Demonstrações ;A< J Essa metodologia, conforme já mencionado, está, em certo sentido, na base do verdadeiro pensamento filosófico (a gênese está em Platão e Aristóteles, que se inspiraram nas deduções matemáticas dos seus tempos e foram aperfeiçoadas e sintetizadas por Euclides). Ela possui semelhanças diretas com a metodologia dos escolásticos, que, sem dúvidas, representa o auge do pensamento filosófico humano. Ademais, a variedade de teorias matemáticas, em que todas trabalham com conceitos, permitem um campo argumentativo realmente vasto. Imagine, então, o que o estudo da matemática pode fazer com a sua capacidade de compreensão de conceitos, capacidade argumentativa e dedutiva. Em suma, com o seu intelecto. 3.2. A Atenção Na etapa do estudo das demonstrações, a atenção deve estar concentrada no sentido de não deixar escapar nenhum detalhe da demonstração. Não deixe passar uma implicação sem entender o porquê dela. Abra a explicação, se necessário. Por exemplo, se, estudando teoria dos números, digamos, você se depara com a seguinte frase no meio de uma demonstração: Como p | ab, segue que p | a. Por que p - b? Qual é a relação entre p e b para que isso aconteça? Ademais, da mesma forma que você vai tentar definir os conceitos com as suas palavras, enuncie os lemas, proposições, teoremas etc. com as suas palavras também. 15 Como estudar matemática? K 16 Capı́tulo 3: Demonstrações ;A< J Como estudar matemática? K 17 ;A< J 4. Considerações Finais Não podemos ler matemática de maneira passiva. A matemática exige uma leitura ativa. No sentido que Mortimer Adler coloca no seu livro Como Ler Livros. E, mais ainda, dos quatro nı́veis de leitura descritos por Adler, a leitura da matemática deve ser sempre analı́tica. Isso se dá com a reserva de um horário diário, sentado e com um caderno ao lado. Como dito anteriormente, a cada definição, tente definir com as suas palavras. Tanto a própria definição quanto os conceitos necessários para que você entenda a definição que está em jogo. Nas demonstrações, abra os resultados ocultos e não deixe passar uma linha sem entendimento. Ademais, além das listas de matemática, coloquei listas de estudos de alguns tópicos especı́ficos de filosofia que estão conectados com a matemática. 17 Como estudar matemática? K 18 Capı́tulo 4: Considerações Finais ;A< J 19 K ;A< J Listas de Estudo 19 Listas de Estudo K 21 ;A< J 5. Tópicos de Matemática Segue, inicialmente, organizada por tópicos, uma lista de livros para cada tópico de matemática. Não há a necessidade de se estudar todos os livros de um tópico e não há a necessidade de se ler na ordem. O que há entre os diversos livros é uma relação de complementariedade. Ademais, as listas estão divididas por nı́veis. São quatro nı́veis: Elementar, Básico, Intermediário e Avançado. Ressalto, porém, que mesmo um tema de nı́vel básico pode se tornar avançado, como, por exemplo, Teoria dos Conjuntos. 5.1. Nı́vel Elementar 5.1.1 Divulgação Matemática • A Tour fo the Calculus - David Berlinski; • Tio Petros e a Conjectura de Goldbach - Apostolos Doxiadis; • How Not to be Wrong: The Power of Mathematical Thinking - Jordan Ellenberg; • A Mathematician’s Apology - G. H. Hardy; • The Music of the Primes - Marcus du Sautoy; • O Último Teorema de Fermat - Simon Singh; • Letters to a Young Mathematician - Ian Stewart. • O Homem que Calculava - Malba Tahan; 21 Listas de Estudo K Capı́tulo 5: Tópicos de Matemática ;A< J 5.1.2 Noções Preliminares • Temas e Problemas Elementares - Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado; • A Matemática do Ensino Médio (todos os volumes) - Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado; • Fundamentos de Matemática Elementar (todos os volumes) Gelson Iezzi e Carlos Murakami; • Tópicos de Matemática Elementar (todos os volumes) - Antonio Caminha Muniz Neto; • Proof in Mathematics: An Introduction - James Franklin. 5.2. Nı́vel Básico 5.2.1 Geometria • Elementos - Euclides; • Construções Geométricas - Eduardo Wagner; • Introduction to Geometry - H. S. Coxeter; • Elementary Geometry from an Advanced Standpoint - Edwin E. Moise; • Geometry: Euclid and Beyond - Robin Hartshorne. 22 Listas de Estudo Capı́tulo 5: Tópicos de Matemática K ;A< J 5.2.2 Teoria dos Conjuntos • Introdução à Teoria dos Conjuntos - Gilmar Pires Novaes; • Teoria Ingênua dos Conjuntos - Paul Halmos; • Set Theory: A First Course - Daniel W. Cunningham; • Introduction to Set Theory - K. Hrbaceck e T. Jech. 5.2.3 Teoria dos Números • Introdução à Teoria dos Números - José Plı́nio de Oliveira Santos; • Fundamentos da Aritmética - Hygino H. Domingues; • Elementary Number Theory - Gareth A. Jones e Josephine M. Jones; • An Invitation to Modern Number Theory - Steven J. Miller e Ramin Takloo-Bighash; • An Introduction to the Theory of Numbers - G. H. Hardy e Edward M. Wright; • Teoria dos Números Transcendentais - Diego Marques; • Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler. 5.2.4 Álgebra Linear • Geometria Analı́tica e Algebra Linear - Elon Lages Lima; • Álgebra Linear - Elon Lages Lima; • The Four Pillars of Geometry - John Stillwell; 23 Listas de Estudo K Capı́tulo 5: Tópicos de Matemática ;A< J • Linear Algebra - Kenneth Hoffmann e Ray Kunze; • Linear Algebra Done Right - Sheldon Axler. 5.2.5 Álgebra • Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves; • Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain; • Contemporary Abstract Algebra - Joseph Gallian; • Basic Algebra (Vol. 1 e 2) - Nathan Jacobson; • Abstract Algebra - David S. Dummit e Richard M. Foote; 5.2.6 Cálculo Diferencial e Integral • Um Curso de Cálculo (Vol. 1-4) - Hamilton Luiz Guidorizzi; • Calculus - Michael Spivak; • Calculus (Vol. 1 e 2) - Tom M. Apostol. 5.2.7 Probabilidade e Estatı́stica • Instroductory Statistics - Neil A. Weiss; • Statistics - David Freedman, Robert Pisani e Roger Purves; • Introduction to Probability Models - Sheldon M. Ross; • An Introduction to Probability Theory and its Applications William Feller; • Probability Theory: The Logic of Science - E. T. Jaynes. 24 Listas de Estudo Capı́tulo 5: Tópicos de Matemática K ;A< J 5.3. Nı́vel Intermediário 5.3.1 Análise Real e Complexa • Curso de Análise (Vol. 1 e 2) - Elon Lages Lima; • The Elements of Real Analysis - R. Bartle; • Principles of Mathematical Analysis - Walter Rudin; • Elementary Classical Analysis - J. E. Marsden; • Real and Complex Analysis - Walter Rudin; • A First Course in Complex Analysis with Applications - Dennis Zill e Patrick Shanahan; • Visual Complex Analysis - Tristan Needham. 5.3.2 Topologia • Espaços Métricos - Elon Lages Lima; • Elementos de Topologia Geral - Elon Lages Lima; • Introduction to Topology and Modern Analysis - George F. Simmons; • Introduction to Topology - Bert Mendelson. 5.3.3 Geometria Diferencial • Geometria Diferencial de Curvas e Superfı́cies - Manfredo Perdigão do Carmo; • Elementary Differencial Geometry - B. O’Neill; 25 Listas de Estudo K Capı́tulo 5: Tópicos de Matemática ;A< J • Differential Geometry - Will Merry; • Manifolds and Differential Geometry - Jeffrey Lee; • Introduction to Manifolds - Loring Tu; • Variedades Diferenciáveis - Elon Lages Lima. 5.3.4 Equações Diferenciais • Equações Diferenciais Ordinárias - Clauss I. Doering e Artur O. Lopes; • EDP: Um Curso de Graduação - Valéria Iório; • Differential Equations With Applications and Historical Notes - George Simmons; • Equações Diferenciais Aplicadas - Djairo Guedes de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves; • Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems - W. E. Boyce e R. C. DiPrima; • Stability, Instability and Chaos: An Introduction to the Theory of Nonlinear Differential Equations - P. Glendinning. 5.4. Nı́vel Avançado 5.4.1 Análise Funcional • Fundamentos de Análise Funcional - Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira; • Introdução à Análise Funcional - César R. de Oliveira; 26 Listas de Estudo Capı́tulo 5: Tópicos de Matemática K ;A< J • Functional Analysis - Walter Rudin; • Introduction to Banach Spaces and Algebras - Graham R. Allan; • Topology and Normed Spaces - G. J. O. Jameson. 5.4.2 Teoria da Medida • Introdução à Medida e Integração - Carlos Isnard; • Curso de Teoria da Medida - A. Armando de Castro Jr.; • Medida e Integração - Pedro J. Fernandez; • An Introduction to Measure Theory - Terence Tao; • Measure Theory - D. H. Fremlin. 5.4.3 Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos • Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Jr. e Weligton de Melo; • Introduction to Modern Theory of Dynamical Systems - Anatole Katok e A. B. Katok; • An Introduction to Dynamical Systems - D. K. Arrowsmith e C. M. Place; • An Introduction to Dynamical Systems and Chaos - G. C. Layek; • Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos - Morris W. Hirsch, Stephen Smale e Robert L. Devaney; • Laws of Chaos - Abraham Boyarsky e Pawel Góra. 27 Listas de Estudo K Capı́tulo 5: Tópicos de Matemática ;A< J 5.4.4 Teoria de Categorias • Categories for the Working Mathematician - Saunders MacLane; • Category Theory - Steve Awodey; • Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats - Jiřı́ Adámek, Horst Herrlich e George E. Strecker; • Categorical Logic and Type Theory - Bart Jacobs; • Fibred categories à la Bénabou - Thomas Streicher; • Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory - Saunders MacLane e Ieke Moerdijk; • Categories and Sheaves - Masaki Kashiwara e Pierre Schapira. 5.4.5 Grupos Quânticos e Álgebras de Hopf • Quantum Groups and Their Representations - Anatoli Klimyk e Konrad Schmudgen; • A Guide to Quantum Groups - Vijayanthi Chari e Andrew Pressley; • Foundations of Quantum Group Theory - Shahn Majid; • Quantum Groups - Christian Kassel; • Hopf Algebras - Moss E. Sweedler; • Hopf Algebras and Their Actions on Rings - Susan Montgomery; • Hopf Algebras - David Radford. 28 Listas de Estudo K 29 ;A< J 6. Tópicos de Lógica, Fundamentos e História da Matemática Aqui, não há mais uma divisão por nı́veis, apenas uma divisão pelas áreas de Lógica, Fundamentos da Matemática e História da Matemática. 6.1. Lógica • Órganon - Aristóteles; • An Introduction to Traditional Logic - Michael M. Sullivan; • Socratic Logic - Peter Kreeft; • Introdução à Lógica - Cezar A. Mortari; • O Desenvolvimento da Lógica - William Kneale e Martha Kneale; • Logic: A Very Short Introduction - Graham Priest; • A Concise Introduction to Logic - Patrick J. Hurley e Lori Watson; • Logic and Structure - Dick van Dalen; • Introduction to Metamathematics - Stephen Cole Kleene; • Introduction to Mathematical Logic - Elliot Mendelson; 29 Listas de Estudo Capı́tulo 6: Tópicos de Lógica, Fundamentos e História da Matemática K ;A< J • Fundamentals of Mathematical Logic - Peter G. Hinman; • Mathematical Logic - Joseph R. Shoenfield; • A Mathematical Introduction to Logic - Herbert B. Enderton; • Mathematical Logic and Model Theory: A Brief Introduction - Alexander Prestell e Charles N. Delzell; • Logic, Induction and Sets - Thomas Forster: • Language, Proof and Logic - John Etchemendy e Jon Barwise 6.2. Fundamentos da Matemática • The Foundations of Mathematics - Thomas Q. Sibley; • The Foundations of Mathematics - Kenneth Kunen; • Classic Set Theory for Guided Independent Study - Derek C. Goldrei; • Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction - M. Potter; • Set Theory and the Continuum Hypothesis - Paul Cohen; • Set Theory, Logic and their Limitations - Moshe Machover; • The Higher Infinite - Akihiro Kanamori; • Computability and Logic - George S. Boolos, John P. Burgess e Richard C. Jeffrey. 30 Listas de Capı́tulo Estudo 6: Tópicos de Lógica, Fundamentos e História da Matemática K ;A< J 6.3. História da Matemática • Mathematics: From the Birth of Numbers - Jan Gullberg; • Mathematics and its History - John Stillwell; • Mathematical Thought from Ancient to Modern Times - Morris Kline; • A Short Account of the History of Mathematics - W. W. Rouse Ball; • The History of Mathematics: An Introduction - David Burton; • An Introduction to the History of Mathematics - Howard Eves; • A History of Mathematics: An Introduction - Victor J. Katz; • A History of Mathematics - Carl B. Boyer; • The History of the Calculus and Its Conceptual Development - Carl B. Boyer; • A History of Greek Mathematics - Thomas Heath; • The Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal - James Franklin. 31 Listas de Estudo Capı́tulo 6: Tópicos de Lógica, Fundamentos e História da Matemática K 32 ;A< J Listas de Estudo K 33 ;A< J 7. Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Natureza e Filosofia da Linguagem Aqui, continuamos sem a divisão por nı́veis, apenas uma divisão pelas áreas de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Natureza e Filosofia da Linguagem. 7.1. Filosofia da Matemática • The Nature of Mathematical Knowledge - Philip Kitcher; • The Foundations of Arithmetic - G. Frege; • Thinking about Mathematics: the Philosophy of Mathematics - Stewart Shapiro; • Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology - Stewart Shapiro; • Platonism and Anti-Platonism in Mathematics - Mark Balaguer; • Wittgenstein, Finitism, and the Foundations of Mathematics Mathieu Marion; • Naturalism in Mathematics - Penelope Maddy; • Realism in Mathematics - Penelope Maddy; 33 Capı́tulo 7: Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Listas de Estudo Natureza e Filosofia da Linguagem K ;A< J • The Philosophy of Mathematics - Edward A. Maziarz; • Greek Mathematical Philosophy - Edward A. Maziarz e Thomas Greenwood; • Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures - James Robert Brown; • Uncertainty: The Soul of Modeling, Probability and Statistics - William Briggs; • From an Ivory Tower: A Discussion of Philosophical Problems Originating in Modern Mathematics - Bernard Hausmann; • An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics: Mathematics as the Science of Quantity and Structure - James Franklin; • St. Thomas on the Object of Geometry - Vincent Edward Smith; • La Filosofı́a de las Matemáticas en Santo Tomás - Jose Alvarez Laso. 7.2. Filosofia da Ciência e Filosofia da Natureza • Metafı́sica - Aristóteles; • Fı́sica - Aristóteles; • Understanding Philosophy of Science - James Ladyman; • What Science Knows: And How it Knows it - James Franklin; • Modern Physics and Ancient Faith - Stephen M. Barr; • The Mathematization of Physics and the Neo-Thomism of Duhem and Maritain - Stephen M. Barr; 34 Capı́tulo 7: Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Listas de Estudo Natureza e Filosofia da Linguagem K ;A< J • The Science Before Science - Anthony Rizzi; • The Modeling of Nature - William A. Wallace; • Causality and Scientific Explanation - William A. Wallace; • Philosophical Physics - Vincent Edward Smith; • The Philosophy of Physics - Vincent Edward Smith; • The General Science of Nature - Vincent Edward Smith; • La Mente del Universo - Mariano Artigas; • Karl Popper: Búsqueda sin Término - Mariano Artigas; • Galileo em Roma - Mariano Artigas; • Filosofia da Natureza - Mariano Artigas; • The Metaphysical Foundations of Modern Science - Edwin A. Burtt; • How the Laws of Physics Lies - Nancy Cartwright; • Philosophy and the New Physics - Jonathan Powers; • Physics and Phylosophy - Werner Heisenberg; • Against Method - Paul Feyerabend; • A Estrutura das Revoluções Cientı́ficas - Thomas Kuhn; • Conjecturas e Refutações - Karl Popper; • A Crise das Ciências Europeias e a Fenomenologia Transcendental - Edmund Husserl; • A Imagem Cientı́fica - Bas van Fraassen; 35 Capı́tulo 7: Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Listas de Estudo Natureza e Filosofia da Linguagem K ;A< J • Imposturas Intelectuais - Alan Sokal e Jean Bricmont; • The Rationality of Induction - David Stove; • Popper and After: Four Modern Irrationalists - David Stove; • Darwinian Fairytales - David Stove; • Structural Realism - Elaine Landry e Dean Rickles; • A Metaphysics for Scientific Realism: Knowing the Unobservable - Anjan Chakravartty; • Aristotle on Method and Metaphysics - Edward Feser; • Aristotle’s Revenge: the Metaphysical Foundations of Physical and Biological Science - Edward Feser; • The Limits of a Limitless Science: and Other Essays - Stanley L. Jaki; • The Saviour of Science - Stanley L. Jaki; • The Hollow Universe - Charles de Koninck; • Philosophy of Nature - Jacques Maritain e Yves Simon; • The Degrees of Knowledge - Jacques Maritain; • Thomism and Mathematical Physics - Bernard I. Mullahy; • Fı́sica e Realidade - Carlos A. Casanova; • O Enigma Quântico - Wolfgang Smith; • Ciência e Mito - Wolfgang Smith. 36 Capı́tulo 7: Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Listas de Estudo Natureza e Filosofia da Linguagem K ;A< J 7.3. Filosofia da Linguagem • De Magistro - Santo Agostinho; • Philosophy of Language - A. Miller; • Philosophy of Language: A Contemporary Introduction - W. G. Lycan; • Sourcebook in the History of Philosophy of Language - M. Cameron, B. Hill e R. J. Stainton; • La Búsqueda del Significado - L. V. Villanueva; • Las Palabras, las Ideas y las Cosas - M. G.-Carpintero; • Filosofı́a del Lenguaje - F. Conesa e J. Nubiola; • Quantifiers and Propositional Attitudes - W.V.O. Quine; • Two Dogmas of Empiricism - W.V.O. Quine; • Proper Names - John Searle; • The Structure of Illocutionary Acts - John Searle; • Thomist Realism and the Linguistic Turn: Toward a More Perfect Form of Existence - John O’Callaghan; • Aristotle’s Theory of Language and Meaning - Deborah K. W. Modrak. 37 Capı́tulo 7: Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Listas de Estudo Natureza e Filosofia da Linguagem K 38 ;A< J Listas de Estudo K 39 ;A< J 8. Literatura Aqueles que, como eu, acompanham Olavo de Carvalho há um tempo sabem que a educação da imaginação tem caráter basilar na atividade filosófica. Olavo argumenta que a construção do real se dá, acima de tudo, por imaginação. O estudo da matemática por si só não é capaz de formar o imaginário de uma pessoa, embora ele desenvolva a imaginação. Imaginação e memória são caracterı́sticas da alma que, entre outras funções, permitem uma compreensão da realidade sem a experiência sensı́vel. Os sentidos fornecem conhecimentos individuais e particulares que, ao entrarem na alma, fornecem o que Santo Tomás chama de “fantasmas”, que são imagens. O intelecto, então, opera nos sentidos interiores da alma (onde residem a imaginação e a memória) e é capaz de fazer abstrações, de captar universais. Por exemplo, o conceito de triangularidade. O conceito em si é completamente compreensı́vel para o intelecto. Mas a imagem é sempre de um particular. Quando pensamos em um triângulo, pensamos em um triângulo isósceles, escaleno, retângulo etc. Não temos uma ”imagem”do conceito de triângulo, que é um universal. Mas temos imagens (fantasmas) de triângulos particulares. Uma boa obra de literatura, que é aquela ligada à realidade, ao enriquecer o imaginário, esse horizonte de consciência de uma pessoa, fornece uma porção de imagens (fantasmas) para o intelecto poder operar. Portanto, fica muito mais fácil conhecer a verdade sobre a realidade. Especialmente a que nos cerca. Uma literatura de fantasia, ou um bom conto de fadas (penso em Tolkien aqui), fornece imagens para a compreensão de um outro estrato da realidade, o metafı́sico. Quando eu falo em estratos da realidade, eu só faço essa divisão no meu intelecto. Isto é, de forma abstrata para compreensão dela. Quando eu falo em “metafı́sica” e “fı́sica”, só faço essa divisão 39 Listas de Estudo K Capı́tulo 8: Literatura ;A< J no intelecto. Na realidade, os dois estratos estão agindo ao mesmo tempo e estão na totalidade dela. A realidade é extremamente complexa e envolve todos os estratos (matemáticos, metafı́sicos, cientı́ficos, linguı́sticos etc.). Depois de Descartes, porém, o mundo ocidental começou a fazer uma divisão ”atual”na realidade entre “metafı́sica” e “fı́sica”. E isso se espalhou como um vı́rus. Pense, por exemplo, nos conceitos de alma e corpo que você tem na cabeça. Eles não são duas coisas que têm substância em si mesmo. Antes, eles, juntos, corpo e alma, matéria e forma, dão a substância dos seres vivos. Somente juntos. A alma é a forma substancial dos seres vivos. Sim, um cachorro tem alma e uma árvore tem alma. O imaginário moderno é repleto de cientismo e cartesianismo. O conjunto de sı́mbolos e imagens que existe hoje é muito pobre e completamente materialista, incapaz de entender os estratos mais profundos da realidade. Um exemplo: caridade cristã. Hoje, pela pobreza de sı́mbolos e imagens da nossa cultura (onde a literatura tem papel fundamental), quando você fala de “caridade cristã”, as pessoas estarão pensando em doações materiais no máximo. Em doar dinheiro, essas coisas. Essas são as imagens que elas têm na cabeça. Agora, um medieval compreenderia perfeitamente o conteúdo do conceito “caridade cristã”. Porque dentro dos elementos do imaginário medieval, estava a santidade.Todo mundo tinha imagens muito bem formadas da santidade. Hoje, se você fala em santidade para uma pessoa normal, a imagem que, na cabeça dela, possivelmente, estará atrelada ao conceito de santidade será a de uma estátua em uma Igreja. E a estátua raramente indicará, para aquela pessoa, um elemento da realidade. Ela não tem sı́mbolos e imagens, por falta de literatura, de ensinamento de virtudes, de pessoas reais que vivem a santidade etc., que possibilitem a ela que o intelecto compreenda o conteúdo real da palavra “santidade”. Isto é, quando você fala “santidade”, a pessoa não faz a mı́nima ideia do que você está falando na realidade. O conteúdo real para ela é o conteúdo linguı́stico. É só um termo da lı́ngua. Isso jamais aconteceria no Mundo Medieval. E tudo graças ao imaginário. 40 Listas de Estudo Capı́tulo 8: Literatura K ;A< J Ou seja, a compreensão da realidade em si, por causa do empobrecimento do imaginário, sofre uma carência. Por mais que o conhecimento especı́fico de um estrato dela esteja avançado. Sobre a questão do gosto, eu não vou tocar. C.S. Lewis, juntamente com Tolkien, grande defensor da importância da literatura no imaginário, em seu livro A Abolição do Homem, escreveu: “Numa espécie de mórbida ingenuidade extirpamos o órgão e exigimos sua função. Produzimos homens sem peito e esperamos deles virtude e iniciativa. Caçoamos da honra e nos chocamos ao encontrar traidores entre nós. Castramos e ordenamos que os castrados sejam férteis”. O ponto é que, entre outros elementos, boa literatura, inclusive fantasia, também fornece os “fantasmas” necessários para aterrorizar este mundo hodierno. 8.1. Literatura • Ilı́ada - Homero; • Odisséia - Homero; • Antigo Testamento - Vários Autores; • Tragédias - Ésquilo; • História das Guerras Persas - Heródoto; • Tragédias - Eurı́pedes; • Comédias - Aristófanes; • Da Amizade - Cı́cero; • Eneida - Virgı́lio; • Meditações - Marco Aurélio; 41 Listas de Estudo K Capı́tulo 8: Literatura ;A< • Novo Testamento - Vários Autores; • Beowulf - Autor Desconhecido; • Sir Gawain e o Cavaleiro Verde - Autor Desconhecido; • A Canção de Rolando - Autor Desconhecido; • A Canção de Nibelungo - Autor Desconhecido; • A Saga Njal - Autor Desconhecido; • A Divina Comédia - Dante Alighieri; • Os Contos de Canterbury - Geoffrey Chaucer; • O Elogio da Loucura - Erasmo de Rotterdam; • Utopia - São Thomas More; • Ensaios - Michel de Montaigne; • Dom Quixote - Miguel de Cervantes; • Obras Completas - William Shakeaspeare; • Paraı́so Perdido - John Milton; • As Viagens de Gulliver - Jonathan Swift; • Orgulho e Preconceito - Jane Austen; • Emma - Jane Austen; • Fausto - Goethe; • Os Sofrimentos do Jovem Werther - Goethe; • Comédias - Moliere; 42 J Listas de Estudo K Capı́tulo 8: Literatura ;A< J • Robinson Crusoé - Daniel Defoe; • Poemas - William Wordsworth; • Poemas - Samuel Taylor Coleridge; • O Vermelho e o Negro - Stendhal; • Obras - Charles Dickens; • Moby Dick - Herman Melville; • O Idiota, Crime e Castigo e Os Irmãos Karamázov - Fiódor Dostoiévski; • Madame Bovary - Gustave Flaubert; • A morte de Ivan Ilitch, Guerra e Paz e Anna Karenina - Liev Tolstói; • O Homem que foi Quinta-Feira, Manalive, A Taberna Ambulante, Contos do Padre Brown - G.K. Chesterton; • As Aventuras de Huckleberry Finn - Mark Twain; • Coração das Trevas - Joseph Conrad; • Em Busca do Tempo Perdido - Marcel Proust; • O Pavilhão dos Cancerosos - Alexander Soljenı́tsin; • O Primeiro Cı́rculo - Alexander Soljenı́tsin; • Crônicas de Narnia e Trilogia Cósmica - C.S. Lewis; • O Hobbit, O Senhor dos Anéis, Contos Inacabados e O Silmarillion - J.R.R. Tolkien; • A Morte de Virgı́lio - Hermann Broch; 43 Listas de Estudo K Capı́tulo 8: Literatura ;A< J • O Mundo é dos Violentos, Um Bom Homem é Difı́cil de Encontrar e Tudo o que Sobe Deve Convergir - Flannery O’Connor; • Meridiano de Sangue, A Estrada e “No Country for Old Men” - Cormac McCarthy. 44 Listas de Estudo K 45 ;A< J 9. Considerações Finais Obviamente, muitas e muitas áreas poderiam ser adicionadas nas listas de matemática. Assim como nas áreas de Filosofia. Omiti, aqui, diversas outras áreas do conhecimento propositalmente. Decidi deixar algumas que, além de presentes na minha formação pessoal, também estão interconectadas com a matemática. Lembre-se, este guia é para você treinar o intelecto, que é um atributo da alma, e, com ele, compreender melhor a realidade que o cerca. Para isso, porém, é necessário complementariedade de estudos. Isto é, estude outras áreas do conhecimento. Estude e estude sempre! Inseri, ao final, uma lista de literatura. Obviamente, a lista não tem a pretensão de ser completa. Ela apenas apresenta algumas obras basilares no Ocidente. 45

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