2éme année Génie Mécanique
Notes de Cours de:
Conception des liaisons mécaniques
par
Moez Ben Jaber
Année Universitaire 2012-2013
Conception des liaisons mécaniques
Plan du cours
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
M. Ben Jaber
Calcul d’arbre
Paliers à roulements
Paliers lisses
Généralités sur les liaisons complètes
Clavetage parallèle
Emmanchement conique
Assemblage par frettage
Assemblage par éléments filetés
CHAPITRE 1:
CALCUL d’ARBRE
M. Ben Jaber
Chapitre 1: Calcul d’arbre
I. PRESENTATION
I.1 Définition
❑ Un arbre est une pièce mécanique en forme de poutre droite de section généralement
circulaire.
❑ Les arbres peuvent être classés en deux catégories:
▪ Les arbres: sont munis d’un
mouvement de rotation autour de
leurs axes tout en transmettant un
couple entre plusieurs autres
organes mécaniques.
M. Ben Jaber
▪ Les axes (ou essieux): à la différence
des arbres, ils ne transmettent pas de
couple et servent comme support ou
axe de rotation pour d’autres organes
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
I. PRESENTATION
I.1 Définition
❑ La forme d’un arbre peut être décomposée en plusieurs surfaces fonctionnelles séparées,
en général, par des épaulements:
▪ Tourillon: c’est la surface en contact avec les éléments de guidage en rotation
▪ Pivot: C’est la surface d’appui axial de l’arbre
▪ Zone motrice: C’est la surface qui
assure la liaison avec le moteur ( à
travers un accouplement, une poulie,
un engrenage,…).
▪ Zones réceptrices: ce sont les surfaces
assurant la liaison avec les récepteurs
▪ Zones intermédiaires: ce sont les
surfaces reliant les zones décrites ci
haut.
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
I. PRESENTATION
I.2 Calcul de prédétermination des arbres
❑ Les arbres sont animés de certaines vitesses de rotations et sont sollicités par certains
efforts mécaniques qui peuvent engendrer des contraintes, des déformations et des
vibrations dont on doit vérifier qu’elles ne dépassent pas certaines limites pour assurer un
fonctionnement normal et sûre de la machine.
❑ On distingue deux aspect de calcul d’arbre:
▪ Calcul statique:
▪ vérification des contraintes maximales qui ne doivent pas dépasser la limite de
résistance du matériau
▪ vérification des déformations maximales qui ne doivent pas dépasser les limites de
de fonctionnement normal
▪ Calcul dynamique:
▪ vérification de la résistance à la fatigue
▪ vérification des vibrations .
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.1 Détermination des sollicitations appliquées à l’arbre
❑ Généralement, on connaît la disposition des éléments technologiques de liaison et les
efforts appliqués aux divers organes liés avec l’arbre.
❑ Une démarche classique de résistance de matériaux (théorie des poutres) permettra de:
▪ déterminer les actions mécaniques exercées sur l’arbre au niveau des liaisons
▪ déterminer le torseur des efforts intérieurs appliqué à chaque section de l’arbre
❑ Voici la forme générale du torseur des efforts intérieurs en G (centre d’inertie) :
• Résultante : 𝑁𝑥Ԧ + 𝑇𝑦 𝑦Ԧ + 𝑇𝑧 𝑧Ԧ
• Moments : 𝑀𝑡 𝑥Ԧ + 𝑀𝑓𝑦 𝑦Ԧ + 𝑀𝑓𝑧 𝑧Ԧ
❑ On pose :
• Résultante des moments de flexion: 𝑀𝑓 =
• Résultante des efforts tranchants: T =
𝑀𝑓𝑦 2 + 𝑀𝑓𝑧 2
𝑇𝑦 2 + 𝑇𝑧 2
❑ Les efforts intérieurs seront représentées par des diagrammes dans le but de localiser
l’emplacement de la section la plus sollicitée. C’est dans cette section que sera effectué le
dimensionnement en statique.
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.2 Relation entre les composantes du torseur des efforts intérieurs et les contraintes
• Contrainte due à la traction-compression: 𝝈𝒏 =
S est l’aire de la section droite considérée
• Contrainte due à la flexion : 𝝈𝒇𝒚 =
𝑴𝒇𝒚 .𝒛
𝑰𝑮𝒚
𝑵
𝑺
; 𝝈𝒇𝒛 = −
𝑴𝒇𝒛 .𝒚
𝑰𝑮𝒛
y et z: distance mesurée algébriquement du plan neutre au point considéré
𝐼𝐺𝑦 𝑒𝑡 𝐼𝐺𝑧 : moments quadratique de la section droite % aux axes (G,y) et (G,z)
• Contrainte due à la torsion : 𝝉𝒕 =
𝑴𝒕 .𝒓
𝑰𝑮
r: distance de l’axe de l’arbre au point M
𝐼𝐺 : moment quadratique polaire de la section droite % à G
𝑻 .𝑨 𝒛
.𝑰𝑮𝒚
• Contrainte de cisaillement due à l’effort tranchant: 𝝉𝒄 𝒛 = 𝒃 𝒛𝒛
𝐴 𝑧 : moment statique de la section S(𝑧)
𝑏 𝑧 : largeur de la section S(z)
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.2 Relation entre les composantes du torseur des efforts intérieurs et les contraintes
❑ En général, on néglige les contraintes dues à l’effort tranchant devant celles produites par
les moments de flexion et de torsion.
❑ Les contraintes retenues pour un arbre de section circulaire de diamètre d sont :
• Contrainte normale de traction / compression :
• Contrainte normale de flexion :
• Contrainte tangentielle de torsion :
𝝈𝒏 =
𝟑𝟐𝑴𝒇
σf = πd 3 avec 𝑀𝑓 =
4N
πd 2
2
2
(𝑀𝑓𝑦
+ 𝑀𝑓𝑧
)
𝟏𝟔𝑴
τt = πd 3𝒕
𝜎
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
❑ Dans le cas des arbres à section circulaire, dans une section droite le
tenseur des contraintes devient pour un point M dans la base (𝑥,
Ԧ 𝑦,
Ԧ 𝑧):
Ԧ
𝜏𝑥𝑦
0
0
𝜏𝑥𝑧
0
0
𝜎𝑛
𝜎𝑓
❑ Où 𝜎 est la contrainte normale totale vaut 𝜎 = 𝜎𝑛 + 𝜎𝑓
ou
❑ 𝜏𝑥𝑦 et 𝜏𝑥𝑧 contraintes tangentielles :
2
2
(𝜏𝑥𝑦
+ 𝜏𝑥𝑧
) = 𝜏 = 𝜏𝑡 (si on néglige 𝜏𝑐 )
M. Ben Jaber
𝜎𝑛
𝜎𝑓
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.2 Relation entre les composantes du torseur des efforts intérieurs et les contraintes
❑ Les contraintes principales du tenseur de contraintes valent:
1
• 𝜎1 = 2 [𝜎 + 𝜎 2 + 4𝜏 2 ]
1
• 𝜎2 = 2 [𝜎 − 𝜎 2 + 4𝜏 2 ]
• 𝜎3 = 0
❑ Le tenseur des contraintes dans la base principale s’écrit:
𝜎1 0 0
0 𝜎2 0
0 0 0
❑ La construction de Mohr permet de déterminer la
contrainte de cisaillement maximale qui est le rayon
du plus grand cercle de Mohr:
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
M. Ben Jaber
𝜏
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝜎2
𝜎1 𝜎
1
1
𝜎1 − 𝜎2 =
𝜎 2 + 4𝜏 2
2
2
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.3 Critère de résistance statique
❑ En pratique, le seul essai de caractérisation des
matériaux isotropes est l’essai de traction simple. Cet
essai permet principalement de déterminer la limite
de résistance élastique Re (ou Re0.2 relatif à une
déformation de 0.2%) et la limite de résistance à la
rupture Rm.
❑ En conception mécanique, en majorité des cas, on veille à ce que la déformation des pièces
mécaniques restent dans la zone élastique( sauf dans les cas où leur fonction est de se
déformer plastiquement).
❑ Lorsqu’une pièce est soumise à une traction simple, il est facile de comparer la contrainte à
la limite élastique Re pour mesurer la marge de sécurité donnée par le calcul.
❑ En pratique, en un point donné d’une section, on a souvent un état complexe de contrainte.
La méthode de calcul consiste alors à déterminer une contrainte normale équivalente σeq.
❑ Cette contrainte est alors la contrainte qu’il faut créer dans une éprouvette de traction pour
que son état de contrainte comporte le même degré de danger que l’état complexe
caractérisé par les trois contraintes principales
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.3 Critère de résistance statique
Suivant le comportement du matériau on utilise pour le calcul de 𝜎𝑒𝑞 des critères de calcul
différents:
a.Matériaux fragiles (critère de Rankine)
Le critère utilisé est de la plus grande contrainte principale (critère de Rankine):
𝟏
𝝈𝒆𝒒 = 𝜎1 = 𝟐 [𝝈 + 𝝈𝟐 + 𝟒𝝉𝟐 ]
b. Matériaux ductiles
Dans ce cas on utilise soit le critère de Tresca soit le critère de von Mises:
❑ critère de Tresca
Il est utilisé pour les aciers doux et les alliages légers: il stipule que la défaillance aura lieu
lorsque le cisaillement maximal atteint une valeur limite égale à la moitié de la limite
élastique
𝑅𝑒
2
d’où:
𝝈𝒆𝒒 = 𝜎1 − 𝜎2 =
𝝈𝟐 + 𝟒𝝉𝟐
❑ critère de von Mises
Il est utilisé pour l’ensemble des matériaux métalliques: il stipule que la défaillance aura lieu
lorsque l’énergie de déformation atteint une valeur limite fixée
𝝈𝒆𝒒 =
M. Ben Jaber
1
2
𝜎1 − 𝜎2
2
+ 𝜎1 − 𝜎3
2
+ 𝜎2 − 𝜎3
2
=
𝝈𝟐 + 𝟑𝝉𝟐
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.4 Coefficient de sécurité
❑ L’aptitude à l’emploi d’une pièce peut se traduire par l’inégalité:
𝑹𝒆
𝝈𝒆𝒒 ≤
∝𝒔
où le facteur ∝𝒔 est appelé facteur de sécurité . Il est toujours supérieur à 1 : ∝𝒔 > 1
❑ ∝𝒔 est choisi en fonction de l’étude réalisée par le concepteur. Il traduit l’incertitude liée :
• aux imperfections de modélisation (efforts appliqués, théorie utilisée pour déterminer
𝜎𝑒𝑞 ,…)
• aux incertitudes sur les propriétés mécaniques du matériau
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.4 Coefficient de sécurité
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.5 Facteurs de concentrations de contraintes
❑ Si l’arbre présente des discontinuités de forme ( épaulements, rainures, trous,…) autour de
ces zones les contraintes réelles sont beaucoup plus importantes que les contraintes
nominales obtenues à partir des calculs précédemment cités. Ce phénomène local est
appelé phénomène de concentration de contraintes.
❑ La Figure illustre ce problème pour un arbre entaillé par une gorge.
• contrainte nominales
dans une section sans
discontinuités.
• contraintes réelles
dues à l’effet d’entaille.
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.5 Facteurs de concentrations des contraintes
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.5 Facteurs de concentrations des contraintes
❑ Le coefficient de concentration de contraintes Kt est défini comme étant le rapport:
𝐾𝑡 =
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒
❑ Kt est toujours supérieur à 1.
❑ Il est déterminé soit par la théorie de l’élasticité ou, lorsque la géométrie des discontinuités
est complexe, par la photoélasticimétrie ou par les logiciels de calcul par éléments finis.
❑ La section considérée est la section nette qui tient compte de la section de matière enlevée
par la discontinuité si celle-ci est importante.
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.5 Facteurs de concentrations des contraintes
❑ Le coefficient Kt ne dépend que du mode de sollicitation et de la géométrie de la
discontinuité. On note Ktn , Ktf , Ktt les coefficients de concentration de contraintes relatifs
aux sollicitations dues à l’effort normal, à la flexion et à la torsion.
❑ Pour le calcul des contraintes équivalentes, les contraintes nominales sont affectées
individuellement du coefficient qui leur correspond.
❑ critère de Tresca
𝝈𝒆𝒒 =
(𝑲𝒕𝒏 𝝈𝒏 + 𝑲𝒕𝒇 𝝈𝒇 )𝟐 +𝟒(𝑲𝒕𝒕 𝝉𝒕 )𝟐
❑ critère de von Mises
𝝈𝒆𝒒 =
M. Ben Jaber
(𝑲𝒕𝒏 𝝈𝒏 + 𝑲𝒕𝒇 𝝈𝒇 )𝟐 +𝟑(𝑲𝒕𝒕 𝝉𝒕 )𝟐
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.5 Facteurs de concentrations des contraintes
Exemple: Détermination de Kt pour un arbre avec épaulement
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.5 Facteurs de concentrations des contraintes
Exemple: Détermination de Kt pour un arbre avec épaulement
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.5 Vérification à la déformation
❑ Un arbre subit, sous les charges appliquées, des déformations, principalement en torsion et
en flexion.
❑ La première entraine des défauts qui, si ils sont importants, peuvent nuire à la précision de
la transmission
❑ La seconde peut conduire à une détérioration rapide des paliers ou des éléments de
transmission
Effet de la déformation sur
la précision de guidage
C, 𝜃𝑒
rotulage des roulements sous
l’effet de la flexion de l’arbre
𝜃𝑒 ’
𝜃𝑠
Si pas de torsion de l ’arbre :𝜃𝑒′ = 𝜃𝑒 et 𝜃𝑠 = 𝑘. 𝜃𝑒
si torsion de l’arbre : 𝜃𝑒 ′ < 𝜃𝑒 et 𝜃𝑠 = 𝑘. 𝜃𝑒 ′ ≠ 𝑘. 𝜃𝑒 avec k est le rapport de transmission
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
II. CALCUL STATIQUE DES ARBRES
II.5 Vérification à la déformation
Effet de la déformation sur les
éléments de transmission
Déformée de l’arbre
❑ Le calcul des déformations due au moment de flexion permet de vérifier:
❑ Que la rotation des sections aux endroits des éléments de guidage reste, lorsque l’on
utilise des roulements, inférieure à leur angle de déversement admissible (voir
catalogue)
❑ Que la variation de flèche sur leur longueur, lorsque l’on utilise des coussinets, reste
très largement inférieure à l’épaisseur du film d’huile
❑ Que la flèche prise par l’arbre ne compromet pas la qualité de la transmission (ex:
contacts localisés des engrenages)
❑ Pour le calcul des déformations on peut utiliser les formules de Bress
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.1 Notions sur la fatigue des pièces mécaniques
a. Définition du phénomène de fatigue
▪ La plupart des pièces mécaniques, au
cours de leur fonctionnement, sont
soumises à des sollicitations variables
dans le temps.
▪ Ce type de sollicitations entraîne des
variations cycliques des contraintes.
▪ Pour ces pièces, on constate que la
rupture se produit au bout d’un
nombre de cycles N, pour une
amplitude de contrainte inférieure à la
contrainte de rupture statique Rm du
matériau utilisé.
 c’est le phénomène de fatigue.
M. Ben Jaber
23
Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.1 Notions sur la fatigue des pièces mécaniques
b. Essai de fatigue unidirectionnel
▪ Pour une contrainte donnée, on fait subir une série
d'éprouvettes à des cycles de sollicitations.
▪
On mesure ensuite le nombre N de cycles requis
pour entraîner la rupture de l'éprouvette (N=Nf).
▪ On répète plusieurs fois l’essai, à différentes
amplitudes de contraintes σa, puis on trace, en
échelle semi-logarithmique, une courbe σa= f(N)
qui a l’aspect de celle qui apparaît à la figure
suivante (courbe pour un acier doux).
▪ Compte tenu de la dispersion obtenue dans les
résultats, dans la pratique, on ne réalise pas un
seul essai mais des campagnes d’essais et les
valeurs exploitées dans les calculs sont indiquées
pour une probabilité de survie donnée.
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.1 Notions sur la fatigue des pièces mécaniques
b. La courbe de Wohler
▪ La figure suivante représente pour une contrainte moyenne nulle, l’évolution de la
contrainte alternée σa en fonction du nombre de cycles pour un pourcentage de survie p.
▪ Ce type de courbe issu de très nombreux résultats expérimentaux obtenus en flexion
rotative ou traction alternée est appelé courbe de Wohler.
M. Ben Jaber
25
Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.1 Notions sur la fatigue des pièces mécaniques
b. La courbe de Wohler
▪ Cette courbe montre le comportement caractéristique des aciers. On observe 3 zones :
1. La zone plastique: nombre de cycles inférieur à 103. La rupture intervient après un
tout petit nombre de cycles, on est proche du comportement statique du matériau.
2. La zone de fatigue limitée: la rupture intervient après un nombre de cycles d’autant
plus important que la contrainte est faible
3. La zone de fatigue illimitée: nombre de cycles supérieur à 107. Lorsque la contrainte
est en dessous d’un certain seuil σD, la rupture ne se produit plus quel que soit le
nombre de cycles.
▪ σD est appelé limite de fatigue. C’est la contrainte alternée la plus grande possible pour
laquelle la rupture ne se produit pas pour un nombre illimité de cycles.
▪ Dans la majorité des cas, les arbres sont calculés pour un nombre de cycles supérieur à 107
et σD est utilisé dans le calcul de fatigue.
▪ De plus, très peu de pièces d’un mécanisme sont soumises à des contraintes purement
alternées (σm =0).
M. Ben Jaber
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.1 Notions sur la fatigue des pièces mécaniques
c. Diagramme d’endurance
▪ Nous avons vu jusqu’ici le comportement d’un matériau en statique (σa = 0) et en
dynamique pure (σm = 0).
▪ Pour étudier le comportement d’un
matériau soumis à une sollicitation mixte
(σa et σm), on utilise un diagramme
limitant la zone de non rupture pour un
nombre illimité de cycles dans lequel
l’amplitude de contrainte σa est porté en
fonction de la contrainte moyenne σm.
▪ Une bonne approximation de ce
diagramme est donnée par un parabole,
appelé parabole de Gerber d’équation:
2
𝜎𝑚
𝜎𝑎 = 𝜎𝐷 1 −
𝑅𝑚
M. Ben Jaber
27
Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.1 Notions sur la fatigue des pièces mécaniques
d. Diagramme de Haigh et coefficient de sécurité en fatigue
▪ On peut approcher le parabole de
Gerber par le diagramme de Haigh
(voir figure).
Domaine admissible
▪ Pour un état de contrainte donné
M(σa,σm), il est possible de calculer un
coefficient de sécurité en fatigue αF qui
correspond au rapport des distances
OM’/OM.
▪ Sur le diagramme, on distingue deux
lieux possibles pour M’, le segment AB
et le segment BC, on obtient donc
deux formulation possibles pour αF.
Sur le segment AB :
M. Ben Jaber
Sur le segment BC :
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Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.2 Calcul en fatigue des arbres (d’après CETIM)
Au moment du calcul en fatigue, les facteurs influents sur les caractéristiques de fatigue du
matériau sont généralement connus. Ainsi, le calcul d’un arbre en fatigue est majoritairement
un calcul de vérification.
𝒛
𝒛′
𝒚′
DETERMINATION DES SOLLICITATIONS
M 𝒛′
sollicitations moyennes N , Mt , Mf
DETERMINATION DES CONTRAINTES
𝟒𝑵
𝝈𝒕 = 𝝅𝒅𝟐 ; 𝝈𝒇 =
𝟔𝟒𝑴𝒇
𝝅𝒅𝟒
. 𝒛′; 𝝉 =
𝑴𝒇
𝒚
𝟏𝟔𝑴𝒕
𝝅𝒅𝟑
DETERMINATION DES CONTRAINTES MOYENNES ET ALTERNÉES
𝝈𝒕𝒎 , 𝝈𝒕𝒂 , 𝝈𝒇𝒎 , 𝝈𝒇𝒂 , 𝝉𝒎 , 𝜏𝑎
La contrainte moyenne équivalente σme
M. Ben Jaber
La contrainte alternée équivalente σae
29
Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.2 Calcul en fatigue des arbres (d’après CETIM)
Facteurs d’influence
▪ Pour les aciers, des recherches ont montré que l’on peut lier la valeur de σD avec la limite
statique de rupture Rm.
▪ L’état de surface a une influence importante sur la tenue en fatigue. Plus la rugosité est
faible plus la limite de fatigue est grande.
▪ De même, la perte d’endurance due à un mauvais état de surface est d’autant plus
importante que la résistance mécanique du matériau est grande.
▪ Lorsqu’on mesure la limite de fatigue, on n’obtient pas la même valeur suivant que l’on se
place en flexion, en traction/compression ou en torsion.
▪ De la même manière, on constate expérimentalement que la limite de fatigue est d’autant
plus basse que l’éprouvette utilisée est de grande dimensions.
▪ La limite de fatigue évolue aussi en fonction des défauts de forme.
M. Ben Jaber
30
Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.2 Calcul en fatigue des arbres (d’après CETIM)
Facteurs d’influence
❑ Le gradient de contrainte χ
▪ Le gradient de contrainte est un facteur
utilisé pour caractériser l’influence du
type de sollicitation, des dimensions et
du défaut de forme.
▪ Le gradient de contrainte χ(Figure)
exprimé en mm-1 est la valeur de la
pente de la tangente à fond d’entaille
du champ de contrainte rapportée à la
valeur maximale de la contrainte au
même point.
M. Ben Jaber
31
Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.2 Calcul en fatigue des arbres (d’après CETIM)
DETERMINATION DES χ
χn (traction), χf (flexion) et χt (torsion)
DETERMINATION DE LA RESISTANCE PRATIQUE A LA RUPTURE Rmp
Pour une sollicitation simple pure Rmp= Rm( 0.25 Log χ+ 1.4)
Pour une sollicitation combinée on remplace χ par une valeur équivalente χme
DETERMINATION DE LA LIMITE PRATIQUE DE FATIGUE σDP
(à 107 cycles et une probabilité à 90%)
Pour une sollicitation simple pure:
Pour une sollicitation combinée on remplace χ par une valeur équivalente χae
M. Ben Jaber
32
Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.2 Calcul en fatigue des arbres (d’après CETIM)
Les valeurs de a et b en
fonction de Rm
M. Ben Jaber
abaque permettant de définir le facteur
correctif KS en fonction de Rm et de la rugosité
totale Rt
33
Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.2 Calcul en fatigue des arbres (d’après CETIM)
DETERMINATION DU COEFFICIENT DE SECURITE EN FATIGUE αF
(σme et σae) et (Rmp et σDp)
tracer le diagramme de Haigh (approché)
Sur le segment AB
M. Ben Jaber
Sur le segment BC :
34
Chapitre 1: Calcul d’arbre
III. CALCUL DYNAMIQUE DES ARBRES
III.3 Vibrations, calcul des fréquences propres
▪ Un arbre possède des fréquences critiques de rotations Nc dues notamment aux fréquences
de résonance en flexion et en torsion.
▪ Lorsqu’un arbre tourne à une vitesse proche d’une vitesse critique, il peut subir des
détériorations importantes.
▪ En règle générale, on fait en sorte que la vitesse de rotation soit en dehors de la zone
comprise entre 0.7 Nc et 1.3 Nc.
▪ Une étude approfondie du comportement en flexion permet de mettre en évidence un
phénomène d’auto-stabilisation à haute vitesse.
▪ Pour le concepteur, cela veut dire qu’un arbre sera stable à haute vitesse si l’on prend la
précaution, lors de la mise en route, de franchir rapidement les zones de vitesse critique.
M. Ben Jaber
35
Chapitre 1: Calcul d’arbre
M. Ben Jaber
36
CHAPITRE 2:
LES PALIERS À ROULEMENTS
M. Ben Jaber
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.1 Définition
❑ Les roulements sont basés sur le principe de remplacer
le frottement de glissement par un frottement de
roulement.
❑ L’effort tangentiel de frottement étant alors diminué
d’un facteur supérieur à 10.
Remarques :
▪ Le coefficient de frottement de roulement vaut 𝒇 = 0,0015 pour les billes , 𝒇 ≈0,002 pour les
rouleaux, 𝒇 ≈0,004 pour les aiguilles.
▪ Ces valeurs sont à comparer avec le coefficient de frottement de glissement dans les
coussinets variant entre 0,05 et 0,15 suivant les réalisations : Nylon, PTFE...
M. Ben Jaber
38
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.2 Principaux éléments d’un roulement
❑ La liaison par roulement est donc réalisée en
intercalant entre l’arbre et l’alésage des éléments
roulants, les plus courants étant des billes.
❑ Une gorge torique est alors nécessaire pour
recevoir ces billes, c’est le chemin de roulement.
❑ Aussi place-t-on en insert des bagues, intérieure
et extérieure, réalisées dans des aciers de haute
qualité.
❑ Le dernier élément constituant un roulement est la cage, pièce en tôle emboutie en deux
morceaux assurant un écart constant entre les billes.
M. Ben Jaber
39
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.3 Différents types de roulements
Roulements à billes à contact radial
Roulements à billes à contact oblique
M. Ben Jaber
40
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.3 Différents types de roulements
Roulements à rotule sur billes
M. Ben Jaber
Butées à billes
Roulements à rotule sur rouleaux
41
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.3 Différents types de roulements
Roulements à
rouleaux cylindriques
Roulements à rouleaux coniques
M. Ben Jaber
42
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.4 Normalisation internationale des roulements (ISO)
▪
les principales dimensions normalisées sont le diamètre de
l'alésage du roulement (d), le diamètre extérieur (D), la largeur
(B) et le rayon de l'arrondi des bagues (r).
▪ Pour un même alésage d, plusieurs D (séries de diamètres :
7-8-9-0-1-2-3-4) sont possibles.
M. Ben Jaber
43
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.4 Normalisation internationale des roulements (ISO)
▪ Pour un même couple (d et D), plusieurs largeurs B sont possibles (séries de largeurs :
0-1-2-3-4).
▪ Quatre classes de tolérances sont proposées : 0-6-5-4 avec des caractéristiques de plus en
plus serrées en allant de 0 à 4.
▪
La classe 0 (nommé N) est la plus courante : roulements sans spécifications particulières.
▪ Pour chaque classe sont définies : la précision des dimensions (d, D, B et r), le voilage axial,
le voilage radial, le faux rond et le parallélisme des faces latérales.
M. Ben Jaber
44
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.4 Normalisation internationale des roulements (ISO)
❑ Désignation
Remarque : le numéro complémentaire précise les particularités : cages, flasques, joints, jeu
interne, tolérances, lubrifiant, exigences spéciales...
M. Ben Jaber
45
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.4 Normalisation internationale des roulements (ISO)
❑ Désignation
M. Ben Jaber
46
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.4 Normalisation internationale des roulements (ISO)
M. Ben Jaber
47
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.5 Charges supportées par les roulements
▪ L’effort supporté par chaque palier est transmis de l’arbre à l’alésage par l’intermédiaire
des éléments roulants.
▪ Le type de contact va donc imposer la direction et l’intensité des charges supportées et
transmises par le roulement
▪ Les actions mécaniques de contact exercées par les éléments roulants sur
l’une ou l’autre bague sont en général de trois types:
❑ Charge radiale (Fr) : sa direction, portée par un rayon, passe par le
centre géométrique du roulement.
❑ Charge axiale (Fa) : sa direction est celle de l’axe de rotation du
roulement.
❑ Charge combinée (F) : c’est la combinaison des deux cas précédents.
M. Ben Jaber
48
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.5 Charges supportées par les roulements
▪ L’intensité de l’effort transmissible dépend des dimensions des
éléments roulants. Il est clair que le contact ponctuel est limité
par rapport au contact linéaire.
▪ Le roulement à rouleaux cylindrique est de par sa géométrie,
parfaitement apte à recevoir des efforts radiaux.
▪ Les roulements à rouleaux coniques peuvent recevoir des efforts
axiaux unidirectionnels et radiaux combinés.
M. Ben Jaber
49
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.6 Critères de choix des roulements
M. Ben Jaber
50
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. PRESENTATION
I.6 Critères de choix des roulements
M. Ben Jaber
51
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.1 Règles de montage
▪ Dans les montages réels, l’arbre ne peut être
guidé en rotation par un seul roulement à
cause entre autre du rotulage introduit par le
jeu fonctionnel du roulement.
▪ En général, le guidage en rotation d’un arbre
est assuré par au moins deux roulements.
▪ Dans le cas particulier d’un arbre court on
peut utiliser un seul roulement ayant un angle
de rotulage nul comme c’est le cas du
roulement à deux rangées de billes à contact
radial ou oblique.
M. Ben Jaber
52
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.1 Règles de montage
▪ La fixation axiale des bagues des roulements doit permettre:
➢ d'éliminer toutes les translations possibles de l'arbre par rapport au moyeu
➢ de supporter aux mieux les charge axiales
➢ d'éviter une fixation surabondante
▪ Les bagues tournantes par rapport à la charge doivent être montées serrées et fixées
latéralement des deux cotés.
▪ Les bagues fixes par rapport à la charge doivent être montées avec jeu.
M. Ben Jaber
53
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.3 Choix de fixation radiale et axiale
M. Ben Jaber
54
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.3 Choix de fixation radiale et axiale
M. Ben Jaber
55
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.3 Choix de fixation radiale et axiale
M. Ben Jaber
56
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.4 Choix du procédé de fixation axiale
M. Ben Jaber
57
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.4 Choix du procédé de fixation axiale
M. Ben Jaber
58
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.5 Montage des roulements à contact oblique et à rouleaux coniques
a. Montage en X ou montage direct
▪ solution simple et économique : moins de pièces
adjacentes et moins d’usinages.
▪ Il est à préférer dans le cas des arbres tournants avec
organes de transmission situés entre les roulements
(engrenages, etc.,) .
▪ Les bagues intérieures tournantes par rapport à la
charge sont montées serrées et les bagues
extérieures montées glissantes.
▪ Le réglage du jeu interne de la
liaison est effectué sur les
bagues extérieures.
▪ Les dilatations de l’arbre ont
tendance à charger un peu plus
les roulements et â diminuer le
jeu interne.
M. Ben Jaber
59
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.5 Montage des roulements à contact oblique et à rouleaux coniques
b. Montage en O ou montage indirect
▪ Solution à adopter lorsque la rigidité de l’ensemble de
la liaison est recherchée  cas du plus grand écart
effectif entre les roulements.
▪ Il est à préférer dans le cas de logements tournants
▪ Les bagues extérieures, tournantes par rapport à la
charge, sont montées serrées.
▪ Il s’utilise aussi avec des arbres tournants lorsque les
organes de transmission sont situés en dehors de la
liaison (engrenage en porte à faux).
▪
Le réglage du jeu interne réalisé sur les
bagues intérieures.
▪ La dilatation de l’arbre a tendance
à diminuer les charges sur les
roulements et à augmenter le jeu
interne de la liaison, et
inversement s’il y a dilatation du
logement.
M. Ben Jaber
60
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.6 Choix des ajustements
▪ Les diamètres dr et Dr des
roulements et leurs
tolérances sont normalisés.
▪ Seuls les tolérances sur les
diamètres da (de l’arbre) et
DL (du logement) sont à
choisir par le concepteur.
M. Ben Jaber
61
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.6 Choix des ajustements
M. Ben Jaber
62
Chapitre 2: Paliers à roulements
II. MONTAGE DE ROULEMENTS
II.7 Choix des tolérances géométriques
II.8 Choix des états de surface
M. Ben Jaber
63
Chapitre 2: Paliers à roulements
III. CALCUL DES EFFORTS APPLIQUE’S SUR LES ROULEMENTS
III.1 Modélisation des liaisons par des paliers à roulements
▪ Selon les dispositions de fixation axiale et selon les ajustements (avec serrage ou jeu) entre
les bagues, l'arbre et le moyeu, les roulements permettent un certain nombre de degrés de
liberté entre l'arbre et le moyeu.
Rotule
M. Ben Jaber
Linéaire
annulaire
Linéaire
annulaire
Rotule unilatérale
à droite
Rotule unilatérale
à gauche
64
Chapitre 2: Paliers à roulements
III. CALCUL DES EFFORTS APPLIQUE’S SUR LES ROULEMENTS
III.1 Modélisation des liaisons par des paliers à roulements
L'association de deux montages de roulements permet de réaliser une liaison équivalente de
type pivot.
montage en O
cas
montage en O
Montage en X
Montage en X
M. Ben Jaber
Montage en O
Si force axiale vers la droite :
Si force axiale vers la droite :
Si force axiale vers la gauche:
Si force axiale vers la gauche:
65
Chapitre 2: Paliers à roulements
III. CALCUL DES EFFORTS APPLIQUE’S SUR LES ROULEMENTS
III.2 Détermination des efforts appliqués sur les roulements
▪ Dans le cas d’un montage isostatique, l’application du P.F.S. ou du P.F.D. sur l’arbre permettra
d’en déduire les efforts appliqués sur les roulements.
▪ Dans le cas d’un montage hyperstatique on aura recours aux méthodes de calcul de
poutres hyperstatiques (méthode des forces, Méthode des charges fictives, …) ou à
l’utilisation des moyens numériques comme la méthode des éléments finis.
M. Ben Jaber
66
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
▪ Le calcul des roulements est mené différemment selon qu’ils sont à l’arrêt ou animés de
faibles vitesses de rotation (calcul statique) ou en rotation avec des vitesses importantes
(calcul dynamique).
IV.1 Méthode de calcul en statique
▪ Le roulement est considérée à l’arrêt ou tournant à des vitesses très faibles ou animés de
faibles mouvements d’oscillation.
a. Capacité de charge statique C0
▪ La capacité de charge statique mesure la capacité de résistance en statique du roulement.
▪ D’après la norme, C0 est la charge purement radiale pour les roulements (purement axiale
centré pour les butées) sous laquelle la déformation maximale aux points de contact
atteint 0.0001 x le diamètre de l’élément roulant.
▪ Dans le cas d’un chargement purement radial 𝑭𝒓 sollicitant le roulement on doit vérifier
que:
𝑪𝟎
avec 𝜶𝒔 est le coefficient
≥ 𝜶𝒔
𝑭𝒓
de sécurité statique
M. Ben Jaber
67
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.1 Méthode de calcul en statique
b. Charge statique équivalente P0
▪ Lorsque la charge agissant sur le roulement est combinée, il sera nécessaire de calculer une
charge statique équivalente P0, charge fictive provoquant les mêmes déformations
permanentes que la charge réelle.
▪ On l’obtient à l’aide de la formule générale :
𝑷𝟎 = 𝑴𝒂𝒙 𝑿𝟎 . 𝑭𝒓 + 𝒀𝟎 . 𝑭𝒂 ; 𝑭𝒓
𝑷𝟎 : Charge statique équivalente
𝑭𝒓 : Composante radiale de la charge
𝑭𝒂 : Composante axiale de la charge
𝑿𝟎 : Coefficient radial statique du roulement.
𝒀𝟎 : Coefficient axial statique du roulement.
▪ Les valeurs de X0 et Y0 peuvent être déterminées à l’aide des catalogues constructeurs (voir
exemple ci-dessous).
M. Ben Jaber
68
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.1 Méthode de calcul en statique
b. Charge statique équivalente P0
M. Ben Jaber
69
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.1 Méthode de calcul en statique
c. Coefficient de sécurité statique s0
▪ on doit vérifier que:
𝑪𝟎
𝑷𝟎
≥ 𝜶𝒔
▪ La charge statique de base C0 minimale nécessaire vaut : 𝑪𝟎𝒎𝒊𝒏 = 𝜶𝒔 𝑷𝟎
▪ Des valeurs de principe basées sur l’expérience sont données dans le tableau ci-dessous
pour le coefficient de sécurité statique 𝜶𝒔 .
▪ Pour les butées à rotule sur rouleaux il est recommandé d’utiliser 𝜶𝒔 ≥4.
M. Ben Jaber
70
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
▪ Pour de grandes vitesses de rotation, la vérification de résistance statique des roulements
est insuffisante.
▪ D’autres phénomènes interviennent et font que les roulements n’auront pas une durée de
vie illimitée.
▪ Les forces au niveau du contact entre l’élément roulant et les bagues font subir à la matière
alternativement des pressions et des dépressions
▪
D’où un phénomène de fatigue des pièces constituant le roulement aura lieu et à terme
une détérioration de celles-ci par écaillage conduisent à la ruine du roulement.
Écaillage des roulements
M. Ben Jaber
71
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
a. Durée de vie nominale L10
▪ La durée de vie d’un roulement est le nombre de tours que celui-ci peut effectuer avant
l’apparition des premiers signes de détérioration par fatigue (écaillage) sur l’un des
éléments du roulement.
▪ Les essais de fatigue en laboratoire montrent que des roulements identiques, fonctionnant
dans les mêmes conditions (même machine d’essai, même montage, même charge,...) n’ont
pas la même durée de vie.
▪ C’est pour cela que l’on définit la Durée de vie avec une probabilité de survie.
▪ La Durée de vie nominale L10 correspond à la durée de vie minimale atteinte par 90 % des
roulements d’une population prise dans un même lot de fabrication lors d’un même essai.
Elle s’exprime en million de tours
▪ On appelle durée de vie moyenne Lm la durée atteinte par 50% des roulements d’un
échantillon représentatif. Lm ≈5 L10
M. Ben Jaber
72
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
b. Capacité de charge dynamique C
▪ C’est une charge purement radiale Fr pour les roulements et purement axiale Fa pour les
butées pour laquelle le roulement atteint une durée de vie nominale égale à 1 million de
tours.
c. Charge dynamique équivalente P
▪ Dans le cas d’un chargement quelconque, on détermine une charge équivalente P.
▪ D’une façon générale :
P= X.Fr + Y.Fa
P: Charge dynamique équivalente.
Fr : Composante radiale de la charge.
Fa : Composante axiale de la charge.
X : Coefficient radial du roulement.
Y : Coefficient axial du roulement.
▪ Les valeurs de X et Y peuvent être déterminées à l’aide des catalogues constructeurs (voir
exemple ci-dessous).
M. Ben Jaber
73
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
c. Charge dynamique équivalente P
M. Ben Jaber
74
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
c. Charge dynamique équivalente P
M. Ben Jaber
75
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
d. Calcul de la durée de vie nominale L10
▪ L’expérience a permis de mettre en place une relation liant la durée de vie et la charge pour
les roulements:
ou
L10: Durée de vie nominale en millions de tours.
L10h: Durée de vie nominale en heures de fonctionnement
N : vitesse de rotation (en tr/mn)
C : Charge dynamique de base (en Newton)
P : Charge dynamique équivalente appliquée au roulement (en Newton)
n : constante dépendant de la nature du contact : 3 pour ponctuel , 10/3 pour linéique.
e. Durée nominale des roulements oscillants
Si un roulement ne tourne pas mais oscille d’un angle de ±  à partir d’une position centrale:
L10osc: durée nominale, millions de cycles
 : amplitude d’oscillation degrés
M. Ben Jaber
76
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
f. Durée nominale souhaitée
Les valeurs rassemblées dans les Tableaux suivants pour L10h donnent un ordre d’idée des
durées de vie nominales souhaitables pour des mécanismes courants.
M. Ben Jaber
77
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
g. Influences des conditions de fonctionnement
▪ Le calcul de durée de vie ainsi présentée n’est vrai, que si l’on se trouve dans des conditions
de fonctionnement similaires à ceux réalisées en laboratoire.
▪ Dans la réalité ces conditions ne sont pas toujours respectées. Afin de tenir compte des
conditions de fonctionnement particulières on utilise la relation adoptée par ISO :
Lna= a1 .a23 . L10
▪ Lna: durée de vie corrigée en millions de tours
▪ l’indice n représente la différence entre 100 % et la fiabilité considérée qui représente
la probabilité pour qu’un roulement atteigne ou dépasse la durée de vie L
▪ a1: un facteur de correction relatif à la fiabilité (tableau)
▪ a23: un facteur de correction relatif à l’influence de la matière, de la lubrification et de la
température (abaques 1, 2 et 3).
M. Ben Jaber
78
Chapitre 2: Paliers à roulements
Tableau 1: Facteur d’influence
de la fiabilité
Abaque 1: Viscosité de fonctionnement préconisée 𝝂𝟏
M. Ben Jaber
Tableau 2: Viscosité cinématique des huiles à 40°C
79
Chapitre 2: Paliers à roulements
Abaque 3: Facteur d’influence a23
Abaque 2: Evolution de la viscosité cinématique
en fonction de la température
M. Ben Jaber
80
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
h. Influence de la variation de la charge au cours du temps
Lorsque la charge P est variable dans le temps, il est alors nécessaire de calculer une charge
dynamique équivalente afin de se ramener dans les conditions de validité de la méthode de
calcul précédente.
Cas 1 :
❑ Le diagramme de la charge réelle P peut être
décomposé en un certain nombre de régions pour
lesquelles la charge peut être considérée comme
constante.
▪ ti : durée d’application de la charge pour la région i.
▪ Pi : charge pour la région i.
𝑷𝒆𝒒 =
𝑳𝟏𝟎
M. Ben Jaber
𝒏
σ𝒎
𝒊=𝟏 𝒕𝒊 . 𝑷𝒊
σ𝒎
𝒊=𝟏 𝒕𝒊
𝑪
=
𝑷𝒆𝒒
𝟏
𝒏
𝒏
81
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
h. Influence de la variation de la charge au cours du temps
Cas 2 :
❑ Si la charge a une variation continue, alors :
𝑷𝒆𝒒 =
𝑻
‫𝟎׬‬
𝑷 𝒕
𝒏 𝒅𝒕
𝟏
𝒏
𝑻
Cas 3 :
❑ Alors que la vitesse est constante, la charge varie de façon linéaire ou quasi linéaire
entre une valeur mini et une maxi:
𝑷𝒆𝒒
M. Ben Jaber
𝑷𝒎𝒊𝒏 + 𝟐𝑷𝒎𝒂𝒙
=
𝟑
82
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
i. Cas des roulements à contact oblique
▪ Pour ce type de roulement, toute charge radiale Fr entraîne l’existence d’
une charge axiale 𝑭∗𝒂 dite « charge induite ».
▪ La résultante des actions de contact entre les éléments roulants et
chacune des deux bagues passe par un point particulier (O) de l’axe de
rotation appelé centre de poussée ou le moment de ces actions est nul .
▪ Pour un roulement travaillant avec jeu, la zone de contact entre les
bagues et les éléments roulants est au voisinage de 180°. Dans ce cas :
𝑭𝒓
𝒊𝒏𝒅
𝑭𝒂 =
𝟐𝒀
avec Y : valeur du coefficient de la charge équivalente pour Fa/Fr>e
▪ Dans le cas d’un montage de roulements de ce type, ces charges axiales
induites vont surcharger l’un des deux roulements et décharger l’autre.
M. Ben Jaber
83
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
i. Cas des roulements à contact oblique
▪ Dans un montage avec des roulements à contact
oblique , suivant la direction de la résultante des
efforts axiaux:
▪ l’un des deux roulements travaillera avec jeu
donc la force axiale qui le sollicite est 𝑭𝒊𝒏𝒅
𝒂
▪ L’autre en butée (celui qui empêchera la
translation axiale)
▪ Pour déterminer lequel des roulements travaille avec jeu ou sans jeu on procède à un test
de déplacement dans lequel on suppose que les deux travaillant avec jeu
▪ Dans ce cas les seules forces axiales agissants sur les deux roulements sont les forces axiales
induites 𝑭𝒊𝒏𝒅
𝒂 .
M. Ben Jaber
84
Chapitre 2: Paliers à roulements
IV. DIMENSIONNEMENT ET DUREE DE VIE DES ROULEMENTS
IV.2 Méthode de calcul en dynamique
i. Cas des roulements à contact oblique
▪ Prenons l’exemple de la figure ci-dessus.
▪ Soient 𝑭𝒆𝒙𝒕
𝒂 la charge axiale extérieure
𝒊𝒏𝒅
appliquée sur l’arbre et 𝑭𝒊𝒏𝒅
𝒂𝑨 et 𝑭𝒂𝑩 les
forces axiales induites appliquées par les
roulements sur l’arbre:
𝒊𝒏𝒅
𝒊𝒏𝒅
▪ Si 𝑭𝒆𝒙𝒕
𝒂 + 𝑭𝒂𝑩 - 𝑭𝒂𝑨 >0  l’arbre est poussée vers la gauche  le roulement en B
travaille avec jeu  𝑭𝒂𝑩 = 𝑭𝒊𝒏𝒅
𝒂𝑩 et 𝑭𝒂𝑨 sera déterminé par l’écriture de l’équilibre
de l’arbre
𝒊𝒏𝒅
𝒊𝒏𝒅
▪ Si 𝑭𝒆𝒙𝒕
𝒂 + 𝑭𝒂𝑩 - 𝑭𝒂𝑨 <0  l’arbre est poussée vers la droite  le roulement en A
travaille avec jeu  𝑭𝒂𝑨 = 𝑭𝒊𝒏𝒅
𝒂𝑨 et 𝑭𝒂𝑩 sera déterminé par l’écriture de l’équilibre
de l’arbre
M. Ben Jaber
85
Chapitre 2: Paliers à roulements
TD Calcul de roulements
TD 1
Déterminer un roulement rigide à une rangée de billes devant tourner à 1000 tr/mn, sous une
charge radiale constante de 3000 N, ayant une durée de vie nominale de 20 000 Heures de
fonctionnement sachant que la résistance de l’arbre exige un diamètre minimal de l’arbre
d=81mm
TD 2
Nous allons déterminer les valeurs des coefficients a1, a23 et la valeur de la durée de vie
corrigée d’un roulement à rotule sur rouleaux en acier standard 22318 CC/W 33 fonctionnant à
500 tr/mn, à une température de 70 °C, avec une huile ISO VG 220, sous une charge radiale
constante de Fr = 50 000 N, avec une fiabilité souhaitée de 98 %.
Dimensions du roulement :
d = 90 mm (Ø arbre)
D = 190 mm (Ø alésage)
M. Ben Jaber
86
Chapitre 1: Calcul de roulement
TD N°3
Nous allons traiter le cas de la conception d’un arbre d’entrée d’un réducteur. Cet arbre en
35CD4 doit transmettre une puissance de 50 kW à une vitesse de 1500 tr/min .
❑ Le roulement à rouleaux cylindriques en C a les caractéristiques suivantes :
d = 35 mm, D = 80 mm, B = 31 mm, C = 108000 N
❑ Le roulement à rotule sur rouleaux en A a les caractéristiques suivantes :
d = 40 mm, D = 90 mm, B = 33 mm, C = 115000 N
Compte tenu du pignon et du reste du mécanisme, on choisit la modélisation suivante pour
l’arbre :
B
𝐶𝑒 = 350 𝑁. 𝑚
𝐹𝑡 = 11525 𝑁
𝐹𝑟 = 4247 𝑁
𝐹𝑎 = 3991 𝑁
𝐹𝑎
Ԧ
𝐹𝐵 = −𝐹𝑟
𝐹𝑡
M. Ben Jaber
87
CHAPITRE 3:
LES PALIERS LISSES
M. Ben Jaber
Chapitre 2: Paliers à roulements
I. LES COUSSINETS
I.1 Définition
▪ les coussinets sont des bagues cylindriques, de forme tubulaire, avec ou sans collerette,
interposés entre un arbre et son logement pour faciliter le mouvement de rotation
en limitant les pertes par frottement.
▪ Construits à partir de matériaux présentant de bonnes qualités frottantes (bronze, étain,
plomb, graphite, Téflon-PTFE, polyamide),
▪ Ils peuvent être utilisés à sec ou avec lubrification.
▪ Economiques et souvent utilisés.
M. Ben Jaber
89
Chapitre 3: Paliers lisses
I. LES COUSSINETS
I.2 les principales familles
a. Les coussinets autolubrifiants
▪ Ils sont fabriqués à partir de métal fritté à base de bronze, poreux (porosités
entre 15 et 35% en volume),avec incorporation de lubrifiant (huile, graphite...)
dans les porosités.
▪ Dans le cas de l'huile, la structure, comparable à une éponge, restitue l'huile en
fonctionnement et l'absorbe à l'arrêt.
M. Ben Jaber
90
Chapitre 3: Paliers lisses
I. LES COUSSINETS
I.2 les principales familles
b. Les coussinets composites type "glacier"
▪ Ils sont constitués de 3 couches différentes:
▪ La base est une tôle d'acier roulée recouverte d'une couche de bronze fritté.
▪ La surface frottante peut être en résine acétal ou en PTFE avec addition d'un lubrifiant
solide: plomb, graphite, bisulfure de molybdène MoS2...
▪ Ils peuvent fonctionner à sec ou avec un léger graissage au montage sous des vitesses
périphériques inférieures à 3 m/s.
M. Ben Jaber
91
Chapitre 3: Paliers lisses
I. LES COUSSINETS
I.2 les principales familles
c. Les coussinets polymères (Nylon, PTFE, acétal...)
▪ Surtout utilisés lorsqu'il est nécessaire d'avoir une grande résistance chimique (acides,
bases...).
▪ Très économiques
▪ Faible coefficient de frottement
▪ Inconvénients:
▪ le fluage sous charge
▪ Température limite est faible
▪ et un faible coefficient de conductivité
thermique empêchant une bonne évacuation
des calories.
M. Ben Jaber
92
Chapitre 3: Paliers lisses
I. LES COUSSINETS
I.2 les principales familles
c. Autres types de coussinets
• Coussinets Métalliques en fonte douce (ou fonte grise) ou bronze phosphoreux, pour des
faibles charges et vitesses.
• Coussinets Métalliques antifriction : en bronze ou fonte avec revêtement antifriction ;
utilisé surtout dans la grande série comme l’automobile (montage bielle-manivelle ou
paliers d’arbre à cames), excellent rapport qualité-prix.
M. Ben Jaber
93
Chapitre 3: Paliers lisses
I. LES COUSSINETS
I.3 Le montage des coussinets
M. Ben Jaber
94
Chapitre 3: Paliers lisses
I. LES COUSSINETS
I.4 Dimensionnement des coussinets (en régime non hydrodynamique)
▪ La procédure de calcul varie sensiblement d'une famille à
l'autre et d'un fabricant à l'autre.
▪ Pour des choix précis utiliser les documents constructeurs.
▪ Cependant ces calculs (durée de vie, longueur du
coussinet...) font régulièrement intervenir les notions de
pression diamétrale P et de produit PV qui ne doivent pas
dépasser les valeurs admissibles fixées par le constructeur.
▪ Le produit PV est déterminant dans le dimensionnement
du coussinet.
▪ Sa valeur permet de mesurer la capacité du matériau à
supporter l'énergie engendrée par le frottement.
▪ En cas de dépassement, la température du palier
augmente et la destruction est rapide.
M. Ben Jaber
95
Chapitre 3: Paliers lisses
I. LES COUSSINETS
I.4 Dimensionnement des coussinets (en régime non hydrodynamique)
Remarque: La pression réelle sur la surface du coussinet n’est pas
constante. En effet le contact aura lieu dans les limites d’un angle
caractéristique du palier égal à 20 . La pression du contact maxi vaut:
4𝐹 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃0
𝑃𝑚𝑎𝑥 =
𝐷𝐿 2𝜃0 − 𝑠𝑖𝑛𝜃0
M. Ben Jaber
20
p
96
Chapitre 3: Paliers lisses
I. LES COUSSINETS
I.5 Evaluation des pertes par frottement
Fr: Effort radial sur l'arbre 2
F1/2: action mécanique du palier 1 sur l'arbre 2 qui se
décompose en une composante normale au contact (N) et
une composante tangentielle (T).
𝟏
𝟏
𝑪𝒇 = 𝒅. 𝑻 = 𝒇. 𝒅. 𝑭𝒓
𝟐
𝟐
En cas d'utilisation de coussinets à collerettes, il faut
ajouter le couple de frottement de l'arbre contre
l'épaulement.
𝒅
𝑪𝒇 = 𝒇𝑭𝒓 + 𝑹𝒎 𝒇𝑭𝒂
𝟐
avec
𝐑𝐦
𝟐 𝑹𝟑 − 𝒓𝟑
=
𝟑 𝑹𝟐 − 𝒓𝟐
𝒇:coefficient de frottement
M. Ben Jaber
97
Chapitre 3: Paliers lisses
I. LES COUSSINETS
I.5 Evaluation des pertes par frottement
▪ la puissance perdue par frottement :
P = Cf . 
▪ cette puissance correspond à l'énergie qu'il faut évacuer pour chaque unité de temps sous
forme de chaleur.
▪ La chaleur s'évacue:
o par le bâti : Surface d'échange importante, faible élévation de la température
o par l'arbre: Surface d'échange limitée, élévation de la température.
▪ Cette élévation de la température modifie:
o les jeux de fonctionnement (risque de grippage pour jeu initial insuffisant).
o la qualité du lubrifiant.
o les caractéristiques physiques des matériaux.
▪ Dans tous les cas le jeu initial installé au montage doit être supérieur à la réduction due à la
dilatation thermique.
M. Ben Jaber
98
Chapitre 3: Paliers lisses
II. LES PALIERS LISSES HYDRODYNAMIQUES
II.1 Présentation
▪ Ils ressemblent aux précédents, avec une différence fondamentale : en fonctionnement
normal il n'y a jamais contact métal sur métal entre l'arbre et le coussinet, sauf au
démarrage.
▪ La vitesse tangentielle de l'arbre par rapport au palier crée une portance hydrodynamique.
▪ En permanence un film d'huile sépare les deux surfaces respectives (régime
hydrodynamique). L'usure est alors pratiquement nulle et les frottements fortement
réduits.
M. Ben Jaber
99
Chapitre 3: Paliers lisses
II. LES PALIERS LISSES HYDRODYNAMIQUES
II.2 Régimes de fonctionnement
On distingue trois régimes de lubrification:
a. Régime onctueux
Dans le cas du frottement onctueux, un film de lubrifiant
recouvre les surfaces en contact sous la forme d'une très fine
couche. Le coefficient de frottement reste élevée du faite de
l’existence de contacts solides
b. Régime mixte
Le frottement mixte est un mélange de frottement onctueux et de frottement hydrodynamique,
caractérisé par une portance hydrodynamique intermittente avec quelques contacts locaux
épilamen sur épilamen.
c. Régime hydrodynamique
A condition que la vitesse soit suffisante et la viscosité
adaptée, le mouvement crée une portance hydrodynamique.
Le frottement est très réduit (f ≈ 0,002 à 0,01) et l'usure
pratiquement nulle. Il n'y a plus aucun contact entre les
surfaces.
M. Ben Jaber
100
Chapitre 3: Paliers lisses
II. LES PALIERS LISSES HYDRODYNAMIQUES
II.3 Incidence sur le coefficient de frottement
L’incidence du régime de lubrification sur le coefficient de frottement est illustré par la Courbe
de Stribeck
Zone
préférée
M. Ben Jaber
101
Chapitre 3: Paliers lisses
II. LES PALIERS LISSES HYDRODYNAMIQUES
II.4 Epaisseur du film d’huile
𝒋
▪ Soit emax l’excentricité maximale : 𝒆𝒎𝒂𝒙 =
𝟐
avec j=dcoussinet−darbre
▪ En régime hydrodynamique cette excentricité s’abaisse vers e. Soit  l’excentricité relative
𝒆
définit comme suit:
𝜺=
𝒆𝒎𝒂𝒙
▪ L’excentricité relative est déterminée par des abaques ou des formules en fonction du
nombre de Sommerfeld S et du rapport
▪
On définit le nombre de Sommerfeld:
𝝁𝒏𝑳𝒅 𝒅
𝑺=
𝑭𝒓
𝒋
𝟐
avec 𝝁 = 𝝆 𝝑
𝑳
𝒅
.
: viscosité dynamique du fluide (en Pa.s);
n: vitesse de rotation de l’arbre % palier (en tr/s)
j: jeu radial
d: diametre de l’arbre (m)
L: longueur du palier (m)
𝑭𝒓 : Force radiale sur le palier en (N)
𝝑: la viscosité cinématique en m²/s
𝝆: masse volumique
M. Ben Jaber
102
Chapitre 3: Paliers lisses
II. LES PALIERS LISSES HYDRODYNAMIQUES
1/S
II.4 Condition d’établissement d’un
régime hydrodynamique
▪ L’épaisseur minimal du film d’huile est
donnée par:
𝒉𝒎𝒊𝒏 = 𝒆𝒎𝒂𝒙 (𝟏 − 𝜺𝒓 )
▪ 𝒉𝒎𝒊𝒏 doit vérifier:
𝒉𝒎𝒊𝒏 > 𝟒(𝐑𝐚𝐫𝐛𝐫𝐞
+ 𝐑𝐜𝐨𝐮𝐬𝐬𝐢𝐧𝐞𝐭
)
𝐭
𝐭
avec
𝐑𝐚𝐫𝐛𝐫𝐞
: rugosité totale de l’arbre
𝐭
𝒄𝒐𝒖𝒔𝒔𝒊𝒏𝒆𝒕
𝐑𝐭
: rugosité totale du coussinet
M. Ben Jaber
103
Chapitre 3: Paliers lisses
• Le couple de frottement 𝐶𝑓 peut être
déterminé en utilisant le second abaque
qui permet de retrouver la valeur du
couple de frottement adimensionnel 𝐶𝑓ҧ
en fonction de l’excentricité relative 𝜀 et
du rapport L/d où 𝐶𝑓ҧ est relié à 𝐶𝑓 par la
relation suivante:
𝐶𝑓ҧ
II. LES PALIERS LISSES HYDRODYNAMIQUES
𝝁𝑳𝒅𝟑 𝒏
ഥ𝒇
𝑪𝒇 =
𝑪
𝟐𝒋
M. Ben Jaber
104
Chapitre 3: Paliers lisses
III. Comparaison paliers lisses et roulements
• pour des vitesses et des charges très
importantes, les guidages par roulement
sont inefficaces.
• pour des gros réducteurs ou des paliers
de machines de grandes capacités, on
réalise toutes les liaisons pivots par palier
lisse.
• Les paliers et les butées
hydrodynamiques sont très sensibles à la
température, car la viscosité de l’huile
dont dépend le fonctionnement diminue
très vite lorsque la température
augmente.
• C’est pourquoi ces paliers se calculent
toujours sur la base d’un bilan
thermique.
M. Ben Jaber
105
Chapitre 3: Paliers lisses
II. LES PALIERS LISSES HYDRODYNAMIQUES
Exemple
• Palier: arbre en acier sur bague en bronze
• Jeu j=d/500
• Vitesse de rotation: N=3000 tr/mn
• Pression diamétrale : p = 15 daN/cm2
• d=L=35 mm
1. Déterminer la viscosité du l’huile minimale pour avoir une
excentricité relative de 0.7
2. Calculer dans ce cas la valeur de l’épaisseur du film d’huile
3. En déduire la valeur maximale de la somme des rugosités de
l’arbre et du coussinet
4. Calculer le couple de frottement au niveau de ce palier
5. En déduire le coefficient de frottement équivalent
M. Ben Jaber
106
CHAPITRE 4:
GENERALITES SUR LA LIAISON
COMPLETE
M. Ben Jaber
Chapitre 4: GENERALITES SUR LA LIAISON COMPLETE
1. Définition
• Une liaison complète entre deux pièces (appelée aussi liaison encastrement, ou liaison
fixe) est une liaison qui élimine tout mouvement possible entre ces deux pièces.
• Elle est dite démontable si on peut séparer les pièces sans les détériorer.
2. Pourquoi ?
Les ensembles cinématiques sont majoritairement multi-pièces à cause de:
•
•
•
•
•
la nécessité de matériaux différents.
formes de natures différentes
dimensions importantes
processus de fabrication différents
difficultés de montage des constituants…
3. Comment ?
En supprimant tous les degrés de liberté, pour cela il faut assurer différentes fonctions:
• MIse en Position (MIP) relative de S2 / S1
• MAintien en Position (MAP)
• Transmission d'actions mécaniques
M. Ben Jaber
108
Chapitre 4: GENERALITES SUR LA LIAISON COMPLETE
4. Comment bloquer un d.d.l. ?
• avec obstacle et serrage (MIP & MAP) :
▪ mise en position précise (risque hyperstatisme)
▪ transfert d'actions mécaniques de niveaux importants
• sans obstacle par adhérence, avec serrage (MAP) :
▪ mise en position assurée par maintien en position
▪ peu précis
▪ transfert limité d'actions mécaniques
5. Degrés de libertés-Torseur des efforts transmissibles
M. Ben Jaber
109
Chapitre 4: GENERALITES SUR LA LIAISON COMPLETE
6. Principes et moyens mis en œuvre
7. Critères de choix avec ou sans obstacle :
• actions mécaniques à transférer
• précision géométrique nécessaire
• coût (matière, procédé, maintenance...)
M. Ben Jaber
110
CHAPITRE 5:
ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
M. Ben Jaber
M. Ben Jaber
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.1 DEFINITIONS
▪ Vis : pièce constituée d’une tige filetée, avec ou sans tête, mais
comportant un dispositif d’immobilisation ou d’entraînement.
▪ Ecrou : pièce taraudée comportant un dispositif d’entraînement et
destinée à être vissée:
• soit à l’extrémité d’une vis pour constituer un boulon,
• soit à l’extrémité libre d’un goujon
pour assurer le serrage entre la face d’appui de la pièce d’implantation et
l’une des faces de l’écrou.
▪ Boulon : ensemble constitué d’une vis à tête et d’un écrou et destiné
normalement à assurer un serrage entre la face d’appui de la tête et celle
de l’écrou.
▪ Goujon : tige comportant un filetage à ses deux extrémités et destinée à
assurer un serrage entre la face d’une pièce dans laquelle une des
extrémités vient s’implanter à demeure par vissage et la face d’appui d’un
écrou vissé sur l’autre extrémité
M. Ben Jaber
113
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.1 DEFINITIONS
M. Ben Jaber
114
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.2 NORMALISATION
▪ La normalisation concernent en particulier les matériaux, les spécifications d’essais, les
dimensions et tolérances et les outillages de serrage.
▪ Il existe plusieurs profils de filetage (profil triangulaire ou métrique, rond, trapézoïdal, …)
▪ Le profil métrique ISO est utilisé par la majorité des pièces filetées d’assemblage
▪ Noyau: C’est la partie cylindrique intérieure de
la tige d’une vis qui n’a pas été entamée par le
filetage (diamètre d3).
M. Ben Jaber
115
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.2 NORMALISATION
M. Ben Jaber
116
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.2 NORMALISATION
M. Ben Jaber
117
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.3 CLASSES DE QUALITÉS
▪ Vis et goujon: formée par deux chiffres a et b notée a.b tels que:
𝑹𝒆𝒎𝒊𝒏 ≈ 𝟏𝟎. 𝒂. 𝒃 𝑴𝑷𝒂
𝒆𝒕 𝑹𝒎 ≈ 𝟏𝟎𝟎 . 𝒂 𝑴𝑷𝒂
où
• 𝑹𝒆𝒎𝒊𝒏 est la résistance minimale à la traction
• 𝑹𝒎 est la résistance à la traction de la vis ou du goujon.
Exemple :
pour une vis de classe 10.9 on a Re ≈10*9*10 = 900MPa et Rm ≈100 * 10 = 1000 MPa
▪ Ecrous : symbolisée par un nombre (par exemple 8) correspondant approximativement au
100ème de la contrainte maximale (exprimée en MPa) exercée sur la vis sans obtenir une
déformation plastique de l’écrou
Exemple :
pour un écrou de classe 8, on doit pouvoir appliquer sans obtenir une déformation plastique de
l’écrou une force produisant une contrainte d’environ 800 MPa dans la section résistante de la
vis
M. Ben Jaber
118
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.3 CLASSES DE QUALITÉS
▪ Boulons : formée par deux chiffres a et b notée a.b (par exemple 10.9).
▪ Le boulon doit être constitué d’une vis de classe de qualité identique à celle du boulon
▪ l’écrou aura une classe de qualité égale au premier nombre de la classe de qualité du
boulon (pour l’exemple :10).
Remarque:
o La limite élastique de l’écrou est toujours bien supérieure à celle de la vis (elle est
approximativement celle de la classe de qualité supérieure).
o On peut donc en conclure que dans un boulon qui respecte la normalisation, l’écrou
est toujours bien plus résistant que la vis et par conséquent il ne sera pas utile de
vérifier sa résistance.
Exemple : pour un boulon 10.9 la classe de qualité de la vis est 10.9 dont la limite élastique est
approximativement égale à 900 MPa. L’écrou de classe 10 ne doit pas se déformer
plastiquement sous une charge de presque 1000 MPa. Cela correspond sensiblement à la
charge limite de la vis de qualité supérieure (12.9) : 1080 MPa.
M. Ben Jaber
119
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.4 DETERMINATION DU COUPLE DE SERRAGE
▪ Pour réaliser un assemblage boulonné, il est nécessaire d’introduire
une force de serrage F0 dans la liaison afin de créer assez
d’adhérence au niveau des surfaces de contact des pièces
assemblées pour éliminer tout glissement possible entre elles.
▪ Pour cela, on applique en général à la tête de la vis (ou à l’écrou )
un couple de serrage C0 à l’aide d’une clé.
▪ Le frottement au dessous de la tête de la vis et entre les filets
implique un couple résistant de sens opposé . Il résulte:
▪ des forces de contact des filets de l’écrou avec ceux
de la vis : couple C1
▪ des forces de contact de la tête de la vis avec les
pièces assemblées (ou avec la rondelle) : couple C2
▪ L’équilibre des moments appliqués à la vis implique :
M. Ben Jaber
C0= C1+ C2
120
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.4 DETERMINATION DU COUPLE DE SERRAGE
a. Expression de C1
▪ On utilise couramment l’expression suivante :
𝑪𝟏 = 𝑭𝟎 𝝆𝟎 𝒕𝒈(𝜶 + 𝝋𝟏 )
avec :
• 𝑭𝟎 : force de serrage des pièces
• 𝝆𝟎 : rayon moyen du filet : 0 ≈ d2/2
• α : angle moyen de l’hélice
• ϕ1 : angle de frottement fictif tel que: ϕ1= arctg (f1/ cos β)
• f1 coefficient de frottement vis / écrou
• β angle d’ouverture du profil des filets
b. Expression de C2
𝑪𝟐 = 𝑭𝟎 𝝆𝒇𝟐
𝟑
𝟑
𝝆
−
𝝆
𝟐
𝟐
𝟏
avec
𝝆=
𝟑 𝝆𝟐𝟐 − 𝝆𝟏𝟏
• F0 : force de serrage des pièces
• f2 : coefficient de frottement pièce (ou rondelle)/écrou
• 1≈ d/2
• 2 =a/2
M. Ben Jaber
121
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.4 DETERMINATION DU COUPLE DE SERRAGE
c. Expression du couple de serrage C0
Le couple de serrage s’exprime sous la forme :
C0= = C1+ C2 = F0 (ρ0 tan(α+ ϕ1) + ρf2)
En exprimant que les angles α et ϕ1 sont petits
d’où:
tan(α+ ϕ1) ≈ α+ ϕ1
avec :
• 0 ≈ d2/2
• ϕ1 ≈ f1/ cos β
• P = πd2 tan α ≈ πd2 α  α ≈ P/ πd2
ou P est le pas du filetage
on obtient :
C0= F0(P/2π+ f1/2cosβ . d2 + f2 ρ)
Pour les assemblages filetés normalisés, le
couple de serrage peut s’exprimer sous la
forme usuelle suivante :
C0= F0(0.16 P + 0.583 d2 f1+ ρf2)
M. Ben Jaber
Pour les pièces assemblées en acier, on peut
utiliser les mêmes valeurs pour f1et f2.
122
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.4 DETERMINATION DU COUPLE DE SERRAGE
d. Incertitude sur la valeur de la précontrainte installée F0
Lors du serrage initial, La précontrainte axiale réellement installée sera différente de la valeur
théorique calculée F0. on trouve deux causes importantes de cette dispersion :
▪ L’incertitude sur les valeurs du coefficient de frottement
▪ L’incertitude sur le couple de serrage appliqué. En effet selon le moyen de serrage utilisé
une dispersion importante sur la valeur installée de la précontrainte F0 est observée
M. Ben Jaber
123
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
I. GÉNÉRALITÉS
I.4 DETERMINATION DU COUPLE DE SERRAGE
d. Incertitude sur la valeur de la précontrainte installée F0
Classe de
précision
D
C
B
A
M. Ben Jaber
124
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.1 DETERMINATION DE FB ET FP
▪ Soit
▪ F0 : la précontrainte installée au montage
▪ FE : la charge de service supportée par un élément de
l’assemblage
▪ Avant application de FE la vis est sollicitée par F0 et les pièces assemblées
sont comprimées par F0 .
▪ Après application de FE la vis est sollicité par FB et les pièces assemblées
par FP.
▪ On se propose de déterminer:
▪ FB qui doit vérifier les conditions de résistance de la vis
▪ FP qui doit vérifier les conditions de fonctionnement (étanchéité,
non décollement, non glissement…)
▪ FB et FP vont dépendre de F0 et FE et les rigidités des éléments de
l’assemblage.
M. Ben Jaber
125
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.1 DETERMINATION DE FB ET FP
Soient:
▪ KB la rigidité de la partie de la vis comprise entre la tête de la vis et l’écrou
▪ KP la rigidité de l’empilement des pièces entre la tête de la vis et l’écrou
Etat (1): Avant le serrage on a :
F0=0 , FE=0
Etat (2): Après serrage on a :
F00 , FE=0
U0P =
F0
KP
U0P
F0
U0B =
F0
KB
U0B
F0
KP
KB
F0
F0
M. Ben Jaber
126
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
On suppose que :
▪ DE
FE LA
estVIS
appliquée
sur le plan d’appui
de la tête de la vis ou de l’écrou
II. CHARGES AXIALES
ET DE L’EMPILEMENT
DE PIECES
▪ DE
Le Fcontact
II.1 DETERMINATION
ET F entre les pièces est maintenue après application de FE ( pas de d
B
P
Etat (3): après application de la charge de service : F0 0 , FE 0
FE
F0
U
F0
KP
F0
KB
F0
▪ l’allongement total du boulon est :
KP
KB
FE
KP + KB
(ressorts parallèles)
FE
U B = U0B + U =
▪ l’allongement total de l’empilement de pièces est: U P = U 0 P − U =
M. Ben Jaber
U=
F0
FE
+
KB KP +K B
F0
FE
−
KP KP +K B
127
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.1 DETERMINATION DE FB ET FP
▪ la force axiale appliquée au boulon est donc :
𝑲𝑩
𝑭𝑬
𝑩 +𝑲𝑷
𝑭𝑩 = 𝑲𝑩 𝑼𝑩 = 𝑭𝟎 + 𝑲
𝑲
𝑷
▪ la force axiale appliquée à l’empilement de pièces est donc: 𝑭𝑷 = 𝑲𝑷 𝑼𝑷 = 𝑭𝟎 − 𝑲𝑩 +𝑲𝑷 𝑭𝑬
𝑲𝑩
𝑩 +𝑲𝑷
▪ Soit 𝝀 = 𝑲
>0
𝑭𝑩 = 𝑭𝟎 + 𝝀𝑭𝑬
et
𝑭𝑷 = 𝑭𝟎 − (𝟏 − 𝝀)𝑭𝑬
▪ En tenant compte de cette notation, on aura :
▪ ∆𝑭𝑩 = 𝝀𝑭𝑬 : qui représente l'accroissement d’effort dans le boulon 𝑭𝑩 dû à
l'application de FE par rapport à la valeur initiale 𝑭𝟎 .
▪ ∆𝑭𝑷 = (𝟏 − 𝝀)𝑭𝑬 :
▪
qui représente la diminution de l’effort de serrage des pièces
𝑭𝑷 dû à l'application de FE par rapport à la valeur initiale 𝑭𝟎
La charge de service 𝑭𝑬 a pour effet :
▪ L’augmentation de 𝑭𝑩 appliquée sur la section de la vis ce qui est gênant pour la tenue
de la vis
▪ la diminution de 𝑭𝑷 maintenant l’empilement de pièces en contact ce qui est gênant
pour les conditions fonctionnelles ( étanchéité , non décollement…)
M. Ben Jaber
128
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.1 DETERMINATION DE FB ET FP
▪ 𝜆 est appelé coefficient de filtrage . En effet 𝜆 < 1 ce qui va en résulter un phénomène de
"filtrage" de l'effort extérieur, extrêmement bénéfique pour la tenue dynamique de la vis.
▪ Si KP diminue et/ou KB augmente alors 𝝀 augmente ce qui diminue l’effet de la charge de
service 𝑭𝑬 sur la force 𝑭𝑷 ce qui est bénéfique pour les conditions fonctionnelles
▪ Si KB diminue et/ou KP augmente 𝝀 diminue ce qui diminue l’effet de la charge de service
FE sur la force 𝑭𝑩 ce qui est bénéfique pour la tenue dynamique de la vis.
▪ KP peut être diminué en utilisant des pièces minces
inversement si on veut l’augmenter
ou de matériaux souples et
▪ KB peut être diminué en utilisant des vis longues et/ou de sections réduites et inversement
si on veut l’augmenter
M. Ben Jaber
129
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.2 FACTEUR D’INTRODUCTION DE LA CHARGE
▪ Jusqu'à présent, on avait considéré que la force extérieure FE était appliquée sous la tête de
la vis où sous l’écrou.
▪ Or, suivant la forme des pièces assemblées la position du plan d’introduction de l’effort de
service 𝑭𝑬 peut être différent.
▪ Dans la plupart des cas, le niveau d’introduction de la charge se situe à l’intérieur des pièces
assemblées et une partie de la rigidité des pièces participe différemment au comportement
dynamique de l’assemblage
M. Ben Jaber
130
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.3 FACTEUR DE FILTRAGE
▪ Par conséquent, on définit le facteur d'introduction de la charge β qui tient compte de la
position de l’application de la charge de service 𝑭𝑬 :
𝜷=
𝐱
𝐋𝐏
avec x mesurant la largeur de la partie décomprimée
et 𝐋𝑷 la largeur totale de l’empilement des pièces.
▪ En appliquant la même démarche de calcul que précédemment on peut montrer que
l’expression générale du coefficient de filtrage 𝝀 sera modifiée comme suit:
𝑲𝑩
𝝀=𝜷
𝑲𝑩 + 𝑲𝑷
▪ Le coefficient 𝜷 rend le coefficient de filtrage 𝝀 encore plus petit que 1 ( λ<< 1 )
▪ Dans le cas d'assemblages correctement dimensionnés, ce facteur λ est voisin de 0,1.
▪ Dans le cas où il sera difficile de déterminer le niveau d’introduction de la charge on
prend 𝜷=0.5
M. Ben Jaber
131
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.4 DÉTERMINATION DES RIGIDITÉS
a. Rigidité du boulon
▪ Soit une poutre droite de longueur L de section S et de matériau dont le module de Young
est E.
▪ L’allongement de cette poutre sous l’action d’une force axiale F est :
FL
U =
ES
K: est appelé raideur en traction
compression de la poutre
▪ Si la poutre est de section variable alors :
1
=
K
M. Ben Jaber
L

0
1
dx =
ES

i
F
F
ES
=
=K
d’où
U
L
Li
ES i
d’où on en déduit K
S
L
E
U
-F
132
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.4 DÉTERMINATION DES RIGIDITÉS
a. Rigidité du boulon
d : diamètre nominal
EB: module d’élasticité
Ai: section réduite associée à di
As: section résistante de la vis
LP: Hauteur totale de pièces
serrées
0,4. 𝑑
𝑙0
𝑙1
0,4. 𝑑
▪ Le calcul de la rigidité KB du boulon est prise égale à celle d’un modèle équivalent prenant
en compte l’influence de la rigidité de la tête de la vis et de la liaison filetée vis-écrou.
Modèle de calcul simplifié de la rigidité de la vis
M. Ben Jaber
133
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.4 DÉTERMINATION DES RIGIDITÉS
a. Rigidité du boulon
▪ On introduit deux longueurs équivalentes supplémentaires en fonction du diamètre nominal
d et qui dépendent de coefficients associés aux types de fixation (vis-écrou, pièce taraudée).
▪ Le modèle global correspond à la somme de quatre rigidités :
1.
2.
3.
4.
rigidité de la tête ;
rigidité des tronçons lisses ;
rigidité de la partie filetée non en prise ;
rigidité de la partie des filets en prise de la vis et de la
pièce taraudée.
𝟏
𝟏 𝟎, 𝟒 𝒅 + 𝒍𝟎 𝟎, 𝟒 𝒅 + 𝒍𝟏
=
+
𝑲𝑩 𝑬𝑩
𝑨𝑺
𝑨𝟏
M. Ben Jaber
134
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.4 DÉTERMINATION DES RIGIDITÉS
b. Rigidité de l’empilement de pièces
▪ L’allure de la répartition des
contraintes au sein de l’assemblage
met en évidence les zones de
compression des pièces.
▪ La zone comprimée des pièces est
relativement limitée et est souvent
comprise dans une plage angulaire de
30° < ϕ < 45° (encore appelé cône de
Rötscher).
▪ Si les pièces sont massives, on remarque que l’étendue de la zone
de compression se stabilise et qu’une augmentation de l’épaisseur
a peu d’influence sur la surface de contact 𝑆𝑃 .
M. Ben Jaber
135
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.4 DÉTERMINATION DES RIGIDITÉS
b. Rigidité de l’empilement de pièces
▪ La plupart des modèles de calcul se ramènent à un modèle dans lequel les pièces sont
considérées de formes cylindriques de section circulaire équivalente égale à SP .
L pi
1
1
=
=
K P i K Pi i Ei S P
avec :
▪ SP :la section équivalente de l’empilement de
pièces (voir tableau ci-dessous)
▪ Ei : module de Young de la iéme pièce
▪ Lpi : épaisseur de la iéme pièce
▪ Dans le cas général KP>>KB
M. Ben Jaber
136
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.4 DÉTERMINATION DES RIGIDITÉS
b. Rigidité de l’empilement de pièces
M. Ben Jaber
137
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.4 DÉTERMINATION DES RIGIDITÉS
b. Rigidité de l’empilement de pièces
Surface de contact
∅W
Remarque:
▪ Dans le cas où la surface de prise des efforts est tronquée (voir
figure) on utilise la formule du cas n°2 en prenant:
𝑥+𝑦
𝐷𝑎 =
avec 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 < 𝐷𝑒
2
▪ W est le diamètre de la surface de reprise des forces (diamètre
maximal de la zone affectée par la compression) :
W= Lpmin + De
▪ X et y sont les dimensions de la surface d’intersection de la
zone de contact et le cercle de diamètre W
M. Ben Jaber
138
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.5 CAS D’UN EFFORT FE EXCENTRÉ PAR RAPPORT À L’AXE DE LA VIS
▪ Lorsque le support de l'effort extérieur FE ne coïncide pas avec
l'axe de la vis, lui même ne passant pas par le barycentre de la
surface de contact des pièces assemblées et dans le cas où cette
surface n’est pas assez étendue , on observe :
• Un décollement partiel de l’empilement des pièces ce qui
implique une modification de la rigidité des pièces 𝑲𝑷
• les vis subissent une sollicitation complémentaire de flexion
▪ La surface du cercle de diamètre W (zone maximale comprimée
s’il y avait assez de contact) est considérée comme la zone
pouvant participer à la reprise des moments de flexion dus à un
effort excentré.
▪ Lorsque la surface de contact des pièces assemblées inclut ce
cercle, on considère que le coefficient de filtrage  ne sera pas
affecté par l'effet de l'effort excentré.
M. Ben Jaber
W= Lpmin + De
139
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
II. CHARGES AXIALES DE LA VIS ET DE L’EMPILEMENT DE PIECES
II.5 CAS D’UN EFFORT FE EXCENTRÉ PAR RAPPORT À L’AXE DE LA VIS
▪ Dans le cas contraire on devra déterminer un autre  (figure):
𝝀=𝜷
𝒎
𝜹
𝒏
𝑲𝑷 + 𝑲𝑩 (𝟏 + 𝜹)
𝑲𝑩 𝟏 + 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒆(𝒏)
• G : barycentre de la surface réelle de reprise des efforts (ici
centre de la surface grisée).
• O : trace de l'axe de la vis.
• m: distance de FE à G.
• n: distance de G à O (trace de l'axe de la vis)
• 𝜹=
𝒏𝟐 𝑺𝑷
𝑰𝒙𝒙′
• SP : section équivalente des pièces assemblées
• lxx': moment d'inertie par rapport à (x‘Gx) de la surface de
reprise des efforts. Le calcul de lxx' peut être obtenu à l'aide
de logiciels de CAO-DAO.
•
+ 𝑠𝑖 𝑭𝑬 𝑒𝑡 𝑭𝟎 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑢 𝑚ê𝑚𝑒 𝑐𝑜𝑡é 𝑑𝑒 𝑙′ 𝑎𝑥𝑒 𝒙′ 𝑮𝒙
𝒔𝒊𝒈𝒏𝒆 𝒏 = ቊ
− 𝑠𝑖 𝑭𝑬 𝑒𝑡 𝑭𝟎 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑒𝑡 𝑑′𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑥𝑒 (𝒙′ 𝑮𝒙)
M. Ben Jaber
140
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
III. CHOIX DES RAIDEURS ET DE LA FORME DES PIÈCES
Pour un montage où les valeurs de F0 et de FE sont fixées, on peut définir trois stratégies :
❑ Minimiser l’effet de la charge de service FE sur la force de compression des pièces
assemblées Fp en augmentant le coefficient de filtrage 𝜆 et ceci :
• en utilisant des boulons rigides (c’est-à-dire de gros diamètre et de faible longueur)
• en utilisant des pièces souples (ç.à.d. avec un faible module d’élasticité et de faible
section, ce qu’on l’obtient en interposant un joint).
❑ Diminuer la valeur de FB, c’est-à-dire diminuer les contraintes dans la vis en diminuant le
coefficient de filtrage 𝜆 et ceci :
• en diminuant la rigidité KB par l’utilisation de boulons élastiques (c’est-à-dire de
grande longueur)
• En augmentant KP donc en utilisant des pièces rigides (c’est-à-dire de section et
épaisseurs suffisants et de grand module d’élasticité)
• éviter l’interposition d’un joint plan qui fait chuter considérablement KP.
❑ De plus, un bon dessin des pièces peut modifier de façon fondamentale le coefficient
d’introduction de la charge β et pratiquement le rendre nul (β ≈0) ce qui minimise le
supplément d’effort supporté par le boulon. Ces conditions sont fondamentales dans le cas
de sollicitations variables avec le temps (fatigue).
M. Ben Jaber
141
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
IV. TENUE STATIQUE D’UN BOULON
IV.1. Etat de contrainte d’une vis
▪ Dans le cas général de sollicitations axiales d’assemblages sans
flexion, la vis est tendue par un effort FB et tordue par un moment de
torsion MB
▪ En un point A de la périphérie du noyau , on aura donc un état
combiné de traction et de torsion :
• Une contrainte de traction
𝝈 = 𝑲𝒕𝒏 𝝈𝑵 =
𝟒𝑲𝒕𝒏 𝑭𝑩
𝝅𝒅𝟐𝟑
avec Ktn est le coefficient de concentration de contrainte en traction
et 𝝈𝑵 est la contrainte de traction nominale dans le noyau (diamètre 𝑑3 )
•
Une contrainte de cisaillement
𝝉 = 𝑲𝒕𝒐 𝝉𝑵 =
𝟏𝟔 𝑲𝒕𝒐 𝑴𝑩
𝝅𝒅𝟑𝟑
avec Kto est le coefficient de concentration de contrainte en torsion
et 𝝉𝑵 est la contrainte de torsion nominale dans le noyau (diamètre 𝑑3 )
M. Ben Jaber
142
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
IV. TENUE STATIQUE D’UN BOULON
IV.2. Causes de l’imprécision du calcul
▪ Ce calcul, bien que parfaitement correct pour la partie filetée située loin des zones
d’application des charges, il ne permet pas d’avoir une idée exacte de la résistance de la vis.
▪ En effet, la répartition de la charge sur les filets de la
vis en prise avec l’écrou n’est pas uniforme (figure).
▪ Dans le cas d’un écrou normal, le premier filet est le
plus chargé (environ 30% de la charge totale). C’est
pour cette raison que la rupture d’une vis au serrage
ou en utilisation se produit pratiquement toujours au
niveau du premier filet en prise (Figure).
▪ En plus les valeurs des coefficients de concentration
des contraintes ne peuvent être estimés qu’avec une
précision médiocre.
M. Ben Jaber
143
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
IV. TENUE STATIQUE D’UN BOULON
IV.3. Modèle simplifié de calcul de la résistance des boulons sous charge statique
▪ Vue la complexité du problème, une démarche de calcul simplifiée est adoptée
▪ Elle consiste à considérer la partie fileté de la vis comme une tige cylindrique de section
AS( section résistante de diamètre dS)
▪ Pour prendre en considération les effets de concentration des contraintes ainsi que la
répartition non uniforme de la charge , les valeurs de contraintes limites sont mesurées par
des essais de traction réalisés directement sur la vis équipée de son écrou.
▪ Un essai a été mis au point pour s’assurer que la vis pourra subir des sollicitations
supplémentaires de flexion sans abaissement important de ses performances. C’est l’essai
de traction avec cale biaise défini par la norme NF E 27-00.
▪ Ceci nous permettra d’ignorer l’effet du moment de flexion sur la tenue statique de la vis
puisque la valeur de la limite élastique considérée prenne en considération la présence d’un
moment de flexion supplémentaire sollicitant la vis.
M. Ben Jaber
144
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
IV. TENUE STATIQUE D’UN BOULON
IV.3. Modèle simplifié de calcul de la résistance des boulons sous charge statique
▪ Dans cet essai, la vis doit satisfaire aux exigences
minimales de résistance à la rupture de sa classe de
qualité, sa tête étant appuyée sur un plan incliné,
ce qui introduit un fort moment de flexion dans la
tige au voisinage de la tête.
Remarque: Une contrainte de flexion supplémentaire
diminuera toujours la tenue d’un boulon et on devra
l’éviter, dans la mesure du possible, par un dessin
judicieux des pièces.
M. Ben Jaber
Essai de traction avec cale biaise
cale biaise
145
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
IV. TENUE STATIQUE D’UN BOULON
IV.3. Modèle simplifié de calcul de la résistance des boulons sous charge statique
▪ On calcule la contrainte équivalente, par l’application du critère de Von Mises, sur la vis
modélisée par une tige cylindrique de section AS, soumise à un effort normal FB et à un
moment de torsion MB.
▪ On obtient ainsi :
𝝈𝒆𝒒 =
avec
𝝈𝑩 =
𝑭𝑩
𝑨𝒔
𝝈𝟐𝑩 + 𝟑𝝉𝟐𝑩
et
𝝉𝑩 =
𝟏𝟔 𝑴𝑩
𝝅𝒅𝟑𝒔
où
• 𝑨𝒔 section résistante de la tige de la vis
• 𝒅𝒔 est le diamètre de la section résistante.
▪ On vérifie que la contrainte normale équivalente maximale est telle que:
𝝈𝒆𝒒 ≤ 𝟎. 𝟗 𝑹𝒆
Re limite élastique de la classe de qualité considérée
(valeur obtenue par un essai de traction réalisé sur une vis muni de son écrou).
M. Ben Jaber
146
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
V. TENUE DYNAMIQUE D’UN BOULON
V.1. Comportement en fatigue des boulons
▪ Si la charge de service 𝐹𝐸 est cyclique ceci pourra conduire à la rupture de la
vis par fatigue même si la tenue statique est vérifiée.
▪ Il est possible de tracer, à partir des courbes de Wöhler un diagramme de
Haigh probabiliste (figure).
▪
Dans le domaine de contraintes moyennes couramment utilisées dans les
assemblages préserrés (σm=0.5Re à 0.8Re) on peut constater que :
o La contrainte alternée admissible σamax
dépend peu de la contrainte moyenne.
En effet, la figure met en évidence
qu’une variation de 100 MPa de σm
entraîne seulement une variation de 5
MPa de σamax.
M. Ben Jaber
147
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
V. TENUE DYNAMIQUE D’UN BOULON
V.1. Comportement en fatigue des boulons
o Elle est pratiquement indépendante de la classe de qualité (voir tableau).
o Elle varie de façon sensible avec le diamètre des vis (voir tableau).
o Le tableau ci-contre donne, pour une contrainte moyenne σm=0.7 Re min , la valeur limite
de la contrainte alternée σa max permettant d’atteindre un nombre de cycles supérieur à
3.106
o Dans le cas où le nombre de cycle demandé N
est différents de 3.106 la contrainte alternée
limite σa max sera multipliée par un coefficient de
correction KN déterminé à partir de la courbe cicontre
Coefficient de correction de le la tenue
dynamique KN en fonction du nombre
de cycles N
M. Ben Jaber
148
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
V. TENUE DYNAMIQUE D’UN BOULON
V.1. Comportement en fatigue des boulons
o Dans les assemblages boulonnés soumis à
des sollicitations de fatigue, les contraintes
alternées admissibles sont très faibles par
rapport à la limite élastique du boulon.
o Elles sont très faibles aussi par rapport aux
contraintes alternées admissibles des
pièces lisses.
▪ Il est donc nécessaire, pour les assemblages boulonnés travaillant en fatigue, de disposer de
modèles de calcul permettant d'évaluer avec une bonne précision les contraintes alternées
induites dans la vis.
M. Ben Jaber
149
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
V. TENUE DYNAMIQUE D’UN BOULON
V.2. Calcul de la contrainte dynamique et vérification de la tenue de la vis
❑ La sollicitation dynamique (FE dyn) s'exerce suivant l'axe de la vis
▪ On pose:
𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏 = (𝑭𝑬𝒎𝒂𝒙 −𝑭𝑬𝒎𝒊𝒏 )/𝟐
▪ La contrainte dynamique ( ou dite alternée) sollicitant la vis est :
𝑭𝑩 𝒅𝒚𝒏
𝝈𝒅 =
𝑨𝒔
avec
𝐹𝐵 𝑑𝑦𝑛 = (𝐹𝐵 𝑚𝑎𝑥 − 𝐹𝐵 𝑚𝑖𝑛 )/2
▪ Puisque 𝐅𝐁 = 𝑭𝟎 + 𝝀 𝑭𝑬 et 𝑭𝟎 est constante alors:
𝝈𝒅 = 𝝀
𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏
𝑨𝒔
▪ Cette contrainte doit vérifier:
𝝈𝒅 ≤ 𝝈𝒂 𝒎𝒂𝒙
M. Ben Jaber
150
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
V. TENUE DYNAMIQUE D’UN BOULON
V.2. Calcul de la contrainte dynamique et vérification de la tenue de la vis
❑ La sollicitation dynamique (FE dyn) s'exerce parallèlement à l'axe de la vis
▪ Vue que la contrainte alternée limite 𝝈𝒂 𝒎𝒂𝒙 est relativement faible
il sera dangereux d’ignorer l’effet de l’introduction d’un moment de
flexion dans la tige comme nous l’avons fait en statique.
▪ Dans ce cas, la contrainte dynamique sollicitant la vis se calcule de
la manière suivante:
𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏 𝟑𝟐𝑴𝒇 𝒅𝒚𝒏
𝝈𝒅 = 𝝀
+
𝑨𝒔
𝝅𝒅𝟑𝒔
▪ Une démarche similaire à celle suivie pour déterminer la force
axiale 𝑭𝑩 permettra d’aboutir à évaluer le moment de flexion
dynamique Mfdyn agissant sur la vis suite à une charge de service
𝑭𝑬 excentrée par rapport à son axe :
𝑴𝒇𝒅𝒚𝒏
M. Ben Jaber
𝑲𝒇𝑩
𝒏
≈
. 𝟏 − 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒆(𝒏) 𝝀 . 𝒎. 𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏
𝑲𝒇𝑷
𝒎
151
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
V. TENUE DYNAMIQUE D’UN BOULON
V.2. Calcul de la contrainte dynamique et vérification de la tenue de la vis
❑ La sollicitation dynamique (FE dyn) s'exerce parallèlement à l'axe de la vis
o
𝟏
𝑲𝒇𝑩
=
𝟏 𝟎,𝟒 𝒅+𝒍𝟏
𝑬𝑩
𝑰
𝟒
𝝅𝒅
𝑰=
𝟔𝟒
M. Ben Jaber
𝟎,𝟒.𝒅+𝒍𝟎
+
𝑰𝒔
𝝅𝒅𝒔 𝟒
et 𝑰𝒔 =
𝟔𝟒
𝑙1
▪ Par analogie avec le calcul de rigidité en traction on
montre:
𝑙0
𝝈𝒅 ≤ 𝝈𝒂 𝒎𝒂𝒙
0,4. 𝑑
▪ Cette contrainte doit vérifier:
0,4. 𝑑
avec:
• KfB :rigidité en flexion de la vis ;
• KfP : rigidité en flexion des pièces assemblées ;
• m , n et signe(n) sont comme définit précédemment
152
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
V. TENUE DYNAMIQUE D’UN BOULON
V.2. Calcul de la contrainte dynamique et vérification de la tenue de la vis
❑ La sollicitation dynamique (FE dyn) s'exerce parallèlement à l'axe de la vis
o
𝟏
𝑲𝒇𝑷
=
𝟏
𝑰𝒙𝒙′
𝑳𝒑𝒊
𝒏
σ𝒊=𝟏
𝑬
𝒊
Avec Ixx’ est le moment d'inertie par rapport à (x‘,G,x) de la surface de
reprise des efforts. Le calcul de lxx' peut être obtenu à l'aide de logiciels
de CAO-DAO.
M. Ben Jaber
153
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
VI. CALCUL DE LA PRECONTRAINTE MINIMALE A INSTALLER F0MIN
▪ La charge préinstallé F0 (appliquée sur chaque vis )doit garantir:
• le non décollement des pièces  𝑼𝒑 ≥ 𝟎  𝑭𝒑 ≥ 𝟎  𝑭𝟎𝒎𝒊𝒏 = (𝟏 − 𝝀)𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙
avec 𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 est la charge de service max exercée sur une vis
• Un effort supplémentaire doit garantir le non glissement de l'assemblage
𝑻𝑬
𝑻𝑬
𝑭
≥
𝟏
−
𝝀
𝑭
+
 𝑻𝑬 ≤ 𝝁𝟎 𝑭𝒑
 𝑭𝒑 ≥
𝟎
𝑬 𝒎𝒂𝒙

𝝁𝟎
𝝁𝟎
Avec 𝑻𝑬 l'effort tangentiel sollicitant les pièces
𝝁𝟎 est le plus petit coefficient d’adhérence entre les pièces en contact
• L’application d’efforts particuliers 𝑭𝒋 pour compenser les tassements des pièces, le
soulèvement dus à l’excentration des efforts et/ou par exemple l’application d’une
pression minimale sur un joint pour assurer l’étanchéité . Pour les cas courants 𝑭𝒋
peut être estimée à :
𝑭𝒋 ≈ 𝟏𝟎𝟎𝑨𝒔 avec 𝐴𝑠 exprimée en mm²
▪ La tension minimale 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 à installer sur un seul boulon peut s'écrire:
𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 ≈
M. Ben Jaber
𝑻𝑬
+ 𝟏 − 𝝀 𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 + 𝑭𝒋
𝝁𝟎
154
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
VII. VÉRIFICATION DE LA PRESSION SOUS TÊTE (ou sous écrou, ou sous rondelle)
La pression sous tête doit vérifier:
𝒑=
Avec:
𝑭𝑩 𝐦𝐚𝐱 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙+ 𝝀𝑭𝑬 𝐦𝐚𝐱
=
≤ 𝒑𝒎
𝑨𝒎
𝑨𝒎
𝝅
• 𝑨𝒎 = 𝟒 (𝑫𝟐𝒆 − 𝑫𝟐𝒃 )
• De: diamètre extérieur d'appui sous tête, ou
sous écrou, ou sous rondelle;
• Db : diamètre du trou de passage de la vis.
• pm : pression de matage du matériau le
moins résistant.
M. Ben Jaber
155
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
VII. VÉRIFICATION DE LA PRESSION SOUS TÊTE (ou sous écrou, ou sous rondelle)
M. Ben Jaber
156
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
VIII. Calcul de prédétermination non optimisé du diamètre nominal des boulons
Détermination des sollicitations sur l'assemblage
𝑭𝑬
𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏
et 𝑻𝑬
𝑻𝑬
≈
+ 𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙
𝝁𝟎
Choix de diamètre nominal
d
Ceci est une sur-estimation de
𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 puisque ça néglige 𝝀
devant 1
On utilise les tableaux de la
norme NF E 25-030 (les valeurs
retenues garantissent 𝝈𝒆𝒒 < 0,85
Rel)
• 𝒇𝟏 = 𝟎, 𝟏 : visserie phosphatée ou zinguée, lubrification adaptée de bonne qualité
• 𝒇𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟓 : visserie noire ou zinguée, lubrification sommaire (état de livraison)
• 𝒇𝟏 = 𝟎, 𝟐 : visserie revêtue ou non, montage à sec
M. Ben Jaber
157
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
VIII. Prédétermination du diamètre nominal des boulons
M. Ben Jaber
norme NF E 25-030
158
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
VIII. Prédétermination du diamètre nominal des boulons
M. Ben Jaber
norme NF E 25-030
159
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
VIII. Prédétermination du diamètre nominal des boulons
M. Ben Jaber
norme NF E 25-030
160
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
VIII. Prédétermination du diamètre nominal des boulons
M. Ben Jaber
norme NF E 25-030
161
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
IX. DÉMARCHE DE CALCUL
M. Ben Jaber
162
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
X. DÉMARCHE DE CALCUL COMPLET
Détermination des sollicitations sur l'assemblage
𝑭𝑬 et 𝑻𝑬
Évaluation des caractéristiques nécessaires au calcul
▪ Section résistante de la vis ou du goujon
𝝅𝒅𝟐𝒔
et
𝒅𝒔 = 𝒅 − 𝟎. 𝟗𝟑𝟖𝟐𝑷
𝑨𝒔 =
𝟒
𝝅 𝟐
▪ Section d'appui sous tête
𝑨𝒎 = (𝑫𝒆 − 𝑫𝟐𝒃 )
𝟒
Rapport de rigidité de l'assemblage
▪ Rigidité de la vis KB
▪ Rigidité de l’empilement de pièces KP
▪ Rapport de rigidité 
M. Ben Jaber
163
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
X. DÉMARCHE DE CALCUL COMPLET
Estimation de 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏
𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 ≈
𝑻𝑬
+ 𝟏 − 𝝀 𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 + 𝑭𝒋
𝝁𝟎
Vérification de la tenue de la vis en statique
▪ tension maximale de la vis:
𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 = 𝜸𝑭𝟎 𝐦𝐢𝐧
𝜸=
avec
▪ L'effort maximum sur le boulon :
𝟏 + %𝜹
𝟏 − %𝜹
où %𝜹 la dispersion
du couple de serrage
𝑭𝑩 𝒎𝒂𝒙 = 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙+ 𝝀𝑭𝑬 𝐦𝐚𝐱
▪ La contrainte de traction a pour valeur:
▪ La contrainte de torsion a pour valeur :
𝑭𝑩𝒎𝒂𝒙
𝝈𝒎𝒂𝒙 =
𝑨𝒔
𝟏𝟔𝑪𝟏𝒎𝒂𝒙
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝝅𝒅𝟑𝒔
avec
𝑪𝟏𝒎𝒂𝒙 = 𝑭𝑩 𝒎𝒂𝒙 (𝟎. 𝟏𝟔 𝒑𝒂𝒔 + 𝟎. 𝟓𝟖𝟑 𝒅𝟐 𝒇𝟏 )
▪ Le critère de résistance de von Mises s’écrit:
M. Ben Jaber
𝝈𝒆𝒒 =
𝝈𝟐𝒎𝒂𝒙 + 𝟑𝝉𝟐𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝟎. 𝟗𝑹𝒆 𝒎𝒊𝒏
164
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
X. DÉMARCHE DE CALCUL COMPLET
Vérification de la tenue à la fatigue de la vis
▪ La sollicitation dynamique (FE dyn) s'exerce suivant l'axe de la vis
𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏
𝝈𝒅 = 𝝀
≤ 𝝈𝒂 𝒎𝒂𝒙
𝑨𝒔
▪
La sollicitation dynamique (FE dyn) s'exerce parallèlement à l'axe de la vis
𝝈𝒅 = 𝝀
𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏 𝟑𝟐𝑴𝒇 𝒅𝒚𝒏
+
≤ 𝝈𝒂 𝒎𝒂𝒙
𝟑
𝑨𝒔
𝝅𝒅𝒔
𝑴𝒇 𝒅𝒚𝒏 : partie dynamique du moment de flexion (dû à l'effort excentré appliqué par le boulon)
𝑴𝒇 𝒅𝒚𝒏 ≈
M. Ben Jaber
𝑲𝒇𝑩
𝒏
. 𝟏 − 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒆(𝒏) 𝝀 . 𝒎. 𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏
𝑲𝒇𝑷
𝒎
165
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
X. DÉMARCHE DE CALCUL COMPLET
Calcul du Couple de serrage
▪ tension moyenne de la vis:
𝑭𝟎𝒎𝒐𝒚 =
𝟏+𝜸
𝑭𝟎 𝐦𝐢𝐧
𝟐
▪ Le couple de serrage moyen s’écrit:
𝑪𝟎 𝒎𝒐𝒚 = 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚 (𝟎. 𝟏𝟔 𝒑𝒂𝒔 + 𝟎. 𝟓𝟖𝟑 𝒅𝟐 𝒇𝟏 + 𝝆𝒇𝟐 )
Vérification de la pression sous tête (ou sous écrou, ou sous rondelle)
𝑭𝑩 𝐦𝐚𝐱 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙+ 𝝀𝑭𝑬 𝐦𝐚𝐱
𝒑=
=
≤ 𝒑𝒎
𝑨𝒎
𝑨𝒎
M. Ben Jaber
166
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
TD ASSEMBLAGE FILETÉ
L'étude proposée concerne une pompe à pistons axiaux (voir figure format A3)
La liaison étudiée concerne l'assemblage de la pièce d'appui de la butée pivotante et du corps
de pompe.
Hypothèses
- Cinq des neufs pistons sont supposés actifs avec pour
chacun d'eux une pression effective de 600 bars.
- Les pions de positionnement encaissent seuls les actions
de cisaillement.
- La présence du joint plat est négligé.
M. Ben Jaber
167
CHAPITRE 5: ASSEMBLAGES PAR ELEMENTS FILETES
TD ASSEMBLAGE FILETÉ
L'assemblage sera réalisé par huit vis C HC M10-70 de classe 8-8.
La situation de l'étude pour la vis la plus chargée est donc celle définie par la figure ci-dessous.
L0 = 14mm
L1 =44mm
d= 10mm
Db= 10,5 mm
De= 16mm
SP= 545 mm2
lxx· = 32000 mm4
n=3,095mm
m=72 mm
FE max= 14240 N
FE min= 11392 N
E = 210 000 MPa
Coef. de frott. f1=f2 = 0,10
le serrage est fait à la clé dynamométrique
Travail demandé:
1. Vérification de la tenue dynamique de la vis
2. Vérification de la tenue statique de la vis
3. Calcul du couple de serrage
4. Vérification de la pression sous tête
M. Ben Jaber
168
CHAPITRE 6:
ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
M. Ben Jaber
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
I. CONCEPTION ET RÉALISATION
I.1. CONDITIONS DE REALISATION
▪ Les surfaces de liaison sont des cylindres de révolution de même diamètre nominal.
▪ L'ajustement normalisé correspondant doit être choisi de telle sorte qu'il existe toujours
un serrage (interférence) dans l'assemblage capable ainsi de transmettre un couple.
▪ Ainsi, en fonction des diamètres nominaux, le premier ajustement assurant un serrage au
montage est donné dans le Tableau ci-dessous.
▪ En annexe se trouve le même tableau détaillé intégrant les valeurs des tolérances pour
chaque ajustement préconisé.
Exemples :
• Pour Ø 20 H6, le plus petit arbre assurant un serrage est Ø 20 n5.
• Pour Ø 150 H8, c'est l'arbre de Ø 150 r7.
M. Ben Jaber
170
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
I. CONCEPTION ET RÉALISATION
I.1. CONDITIONS DE REALISATION
▪
Le frettage est strictement réservé aux assemblages par pénétration cylindrique sans
compléments genre clavette ou goupille.
▪
Les aciers dans lesquels sont réalisés les arbres et les moyeux doivent avoir une limite
d'élasticité Re ≥400 MPa.
▪
Le diamètre extérieur D du moyeu ne doit en aucune section être inférieur à 1,5 d
(d=diamètre de l'arbre).
▪
Avant montage, l'arbre et l'alésage doivent présenter un état de surface de rugosité telle
que : 0,8 μm < Ra < 1,6 μm
M. Ben Jaber
171
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
I. CONCEPTION ET RÉALISATION
I.1. CONDITIONS DE REALISATION
II existe deux procédés d'assemblage :
▪ Montage à la presse (emmanchement forcé ):
• La difficulté de mise en place impose un
aménagement des extrémités de l'arbre et
de l'alésage ainsi qu'une lubrification des
pièces avant le montage.
• Ce procédé simple présente l'inconvénient
d'un risque de grippage et une variation de
serrage après assemblage.
▪ Dilatation de l'alésage ou (et) contraction de l'arbre (emmanchement fretté):
• En chauffant le moyeu (dans un bain d'huile par exemple), on peut dilater son alésage.
• En y associant (ou non) le refroidissement de l'arbre (dans un bain d’azote liquide, par
exemple) on peut contracter son Ø et on peut, alors, effectuer le montage avec jeu.
• Le serrage apparaît lorsque l'ensemble est revenu à la même température.
• Cependant, les températures atteintes ne doivent pas modifier la structure des
matériaux. II ne faut pas dépasser 350 °C dans le cas d’un chauffage.
M. Ben Jaber
172
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
I. CONCEPTION ET RÉALISATION
I.2. MATIERE
▪ La capacité de transmission d'effort d'un assemblage fretté est fonction du coefficient de
frottement, du serrage, de la surface de contact et de la géométrie des pièces.
▪ Il convient donc de choisir des matériaux offrant une bonne résistance au frottement et aux
contraintes pour conserver dans le temps les qualités de l'assemblage.
▪ L'attention doit également être portée sur la température nécessaire au montage (voir le
paragraphe : conditions de montage).
I.3. CONCEPTION
▪ L'assemblage doit être étudié pour limiter les concentrations de contraintes et leurs
conséquences sur l’arbre, au droit de l'assemblage, ainsi que pour faciliter le montage et,
s'il est prévu, le démontage.
M. Ben Jaber
173
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
I. CONCEPTION ET RÉALISATION
I.3. CONCEPTION
▪ Les exemples de la figure rappellent les dispositions les plus couramment rencontrées dans
ce genre d'assemblage.
▪ Ces exemples ne sont à considérer que comme un guide, et doivent être adaptées par le
concepteur en fonction de son expérience propre et des contraintes dont il doit tenir
compte, contraintes mécaniques, économiques, etc.
▪ Des études théoriques montrent que l'augmentation de contrainte due à l'effet
d'encastrement peut être compensée par une augmentation du diamètre d'environ 10% à
l’endroit de l’assemblage (Exemple 1).
▪ Il est utile de prévoir cette augmentation de diamètre dans tous les cas (assemblage au
milieu de l'arbre ou arbre épaulé), afin de faciliter le montage et, éventuellement, le
démontage.
▪ L'augmentation de diamètre étant faible, elle n'aura qu'une incidence réduite sur l'effet
d'encastrement, et il faudra lui associer l'une des dispositions ci-dessous (gorge de
déconcentration de contrainte, évasement de l'entrée du moyeu).
M. Ben Jaber
174
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
I. CONCEPTION ET RÉALISATION
I.3. CONCEPTION
▪ Ces gorges rendent la pression d'encastrement progressive (Exemple 3)
▪ L'effet d'entaille dû à l’épaulement est diminué par un bon arrondi.
▪ Les dispositions adoptées sont destinées à éviter le cumul des concentrations de
contraintes dues à l’effet d’encastrement (assemblage) et à l’effet d’entaille (épaulement
dans une même section de l’arbre.
▪Le chanfrein du moyeu sépare la section de l'arbre affaiblie par l’effet d'encastrement,
de la section subissant l'effet d'entaille dû à l'épaulement.
Remarque importante : Dans tous les cas, l'usinage des raccordements doit être fait avec le
plus grand soin, les défauts de surface, mauvais raccordement des rayons, etc., pouvant
entraîner des concentrations de contraintes supérieures à celles que l'on cherche à éliminer.
M. Ben Jaber
175
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
II. MÉTHODE DE CALCUL
La méthode de calcul utilisée pour le dimensionnement de ce type de liaison suppose :
- l’arbre est creux ou plein ;
- le moyeu d'épaisseur constante ;
- les matériaux de l’arbre et du moyeu sont identiques ou différents ;
- la liaison assure la transmission d'un couple ou d'une poussée axiale ;
- la vitesse périphérique sur le diamètre extérieur de la frette est inférieure à 20 m/s ;
- les effets du fluage ne sont pas pris en compte.
M. Ben Jaber
176
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
II. MÉTHODE DE CALCUL
II.1. VALEUR MINIMALE DE LA PRESSION DE FRETTAGE p0min
❑ Cas de la transmission d'un couple C
𝑙𝑑0
𝑑𝜃
2
A la limite du glissement l’effort tangentiel transmissible par
adhérence vaut :
𝑓0 𝑝0 𝑙𝑑0
𝑑𝑇𝑎𝑑 = 𝑓0 𝑑𝑁 = 𝑓0 𝑝0 𝑑𝑆 =
𝑑𝜃
2
Soit dS un élément de surface de l’arbre défini par : 𝑑𝑆 =
avec f0 le coefficient d’adhérence entre les matériaux constituant
l’assemblage. Le couple élémentaire transmissible vaut:
𝑑0
𝑓0 𝑝0 𝑙𝑑02
𝑑𝐶𝑎𝑑 = 𝑑𝑇𝑎𝑑 =
𝑑𝜃
2
4
2𝐶
𝜋𝑓0 𝑝0 𝑙𝑑02
𝑝0𝑚𝑖𝑛 =
≥𝐶 
d’où 𝐶𝑎𝑑 =
𝜋𝑓0 𝑙𝑑02
2
Dans la pratique, on applique une correction sur le chargement à transmettre C. Il est d’usage
d’utiliser un couple corrigé par un coefficient de sécurité k suivant la sensibilité du domaine
d’application avec : 1 ≤k ≤3.
𝟐𝒌𝑪
𝒑𝟎𝒎𝒊𝒏 =
L’expression de la pression minimale devient :
𝝅𝒇𝟎 𝒍𝒅𝟐𝟎
M. Ben Jaber
177
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
II. MÉTHODE DE CALCUL
II.1. VALEUR MINIMALE DE LA PRESSION DE FRETTAGE p0min
❑ Cas de la transmission d'un effort axial FA
𝑙𝑑0
𝑑𝜃
Soit dS un élément de la portée de l’arbre défini par : 𝑑𝑆 =
2
A la limite du glissement l’effort tangentiel transmissible par adhérence vaut :
𝑓0 𝑝0 𝑙𝑑0
𝑑𝑇𝑎𝑑 = 𝑓0 𝑑𝑁 = 𝑓0 𝑝0 𝑑𝑆 =
𝑑𝜃
2
avec f0 le coefficient d’adhérence entre les matériaux constituant l’assemblage.
𝐹𝐴
𝑝0𝑚𝑖𝑛 =
d’où 𝑇𝑎𝑑 = 𝜋𝑓0 𝑝0 𝑙𝑑0 ≥ 𝐹𝐴

𝜋𝑓0 𝑙𝑑0
En tenant compte d’un coefficient de sécurité k (on surestime l’effort à transmettre
(FAcorrigé= k.FA), on définit ainsi une expression de p0min qui vaut :
𝒑𝟎𝒎𝒊𝒏 =
𝒌𝑭𝑨
𝝅𝒇𝟎 𝒍𝒅𝟎
❑ Cas de la transmission d'un effort axial FA et d'un couple C
𝒑𝟎𝒎𝒊𝒏 = 𝒎𝒂𝒙
M. Ben Jaber
𝟐𝒌𝑪
𝝅𝒇𝟎 𝒍𝒅𝟐𝟎
,
𝒌𝑭𝑨
𝝅𝒇𝟎 𝒍𝒅𝟎
178
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
II. MÉTHODE DE CALCUL
II.2. EXPRESSION DU SERRAGE MINIMAL 𝒔𝒎𝒊𝒏 EN FONCTION DE 𝒑𝟎𝒎𝒊𝒏
▪ Dans l’interface arbre moyeu, il règne après frettage une
pression p0.
▪ Il s’agit de déterminer à partir des dimensions de l’arbre et celles du
moyeu la relation entre la pression de frettage minimale p0min
obtenue avec le serrage minimal installé 𝒔𝒎𝒊𝒏 (minimal en module)
On peut montrer que:
𝒑𝟎𝒎𝒊𝒏
avec:
𝒔𝒎𝒊𝒏
=
𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒔𝒎𝒊𝒏
d’où:
𝒔𝒎𝒊𝒏 =
𝒅𝟎 𝒅𝟐𝟎 + 𝒅𝟐𝟐
𝒅𝟎 𝒅𝟐𝟎 + 𝒅𝟐𝟏
𝑪𝟏 =
+ 𝝂𝟐 +
− 𝝂𝟏
𝑬𝟐 𝒅𝟐𝟐 − 𝒅𝟐𝟎
𝑬𝟏 𝒅𝟐𝟎 − 𝒅𝟐𝟏
𝑪𝟏 𝒑𝟎𝒎𝒊𝒏
𝟏 − 𝑪𝟐 𝒑𝟎𝒎𝒊𝒏
𝟏 𝒅𝟐𝟎 + 𝒅𝟐𝟏
− 𝝂𝟏
et 𝑪𝟐 =
𝑬𝟏 𝒅𝟐𝟎 − 𝒅𝟐𝟏
Remarque:
▪ Un ajustement avec serrage donne une valeur de 𝒔𝒎𝒊𝒏 négative (minimale en module)
▪ Il faut définir une perte de serrage due à l’écrasement des aspérités de surface (lissage).
▪ Dans la pratique il convient de majorer les serrages théoriques d’un minimum de 3 x Ra
avec Ra =0.8 μm pour d < 180 et Ra =1.6 μm pour d > 180 mm.
M. Ben Jaber
179
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
II. MÉTHODE DE CALCUL
II.3. VALEUR MAXIMALE DE LA PRESSION DE FRETTAGE :
𝒑𝟎𝒎𝒂𝒙 =
𝒔𝒎𝒂𝒙
𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒔𝒎𝒂𝒙
▪ La pression maximale ne doit pas dépasser la pression de matage admissible des surfaces en
contact
𝒑
≤𝒑
𝟎𝒎𝒂𝒙
𝒂𝒅𝒎
▪ La valeur maximale du serrage théorique (maximal en module) :
𝒔𝒎𝒂𝒙 = 𝒔𝒎𝒊𝒏 − 𝑰𝑻𝑨 − 𝑰𝑻𝑴
avec ITA et ITM sont respectivement les intervalles de tolérances des diamètres de l’arbre
et du moyeu au niveau de la surface de contact
M. Ben Jaber
180
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
II. MÉTHODE DE CALCUL
II.4. EXPRESSION DES CONTRAINTES
❑ Etat de contraintes
▪ Pour l’arbre : 𝒓𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝒓𝟎
On montre :
avec :
𝜎𝑟𝑟
𝐵
𝑟 =A− 2
𝑟
𝑟12 𝑝𝑖𝑛𝑡 − 𝑟02 𝑝0
𝐴=
𝑟12 − 𝑟02
et
et
𝜎𝜃𝜃
𝐵
𝑟 =A+ 2
𝑟
𝑟12 𝑟02 (𝑝𝑖𝑛𝑡 − 𝑝0 )
𝐵=
(𝑟02 −𝑟12 )
▪ Pour le moyeu 𝒓𝟎 ≤ 𝒓 ≤ 𝒓𝟐
On montre: 𝜎𝑟𝑟
𝐵′
𝑟 = A′ − 2
𝑟
𝐵′
𝜎
𝑟
=
A′
+
et 𝜃𝜃
𝑟2
avec :
𝑟02 𝑝0 − 𝑟22 𝑝𝑒𝑥𝑡
𝐴′ =
𝑟02 − 𝑟22
M. Ben Jaber
et
𝐵′
𝑟02 𝑟22 (𝑝0 − 𝑝𝑒𝑥𝑡 )
=
(𝑟22 −𝑟02 )
181
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
II. MÉTHODE DE CALCUL
II.4. EXPRESSION DES CONTRAINTES
❑ Condition de résistance
▪ la contrainte équivalente de Von Mises est définie par la relation suivante :
𝟏
𝝈𝒆𝒒 =
𝝈𝟏 − 𝝈𝟐 𝟐 + 𝝈𝟐 − 𝝈𝟑 𝟐 + 𝝈𝟑 − 𝝈𝟏 𝟐
𝟐
où σ1, σ2, σ3 sont les contraintes principales, dans la pièce, au point considéré.
▪ pour l’étude du frettage en coordonnées cylindriques, la contrainte équivalente vaut :
𝝈𝒆𝒒 =
𝝈𝟐𝒓𝒓 + 𝝈𝟐𝜽𝜽 − 𝝈𝒓𝒓 𝝈𝜽𝜽
puisque
σ1 = σrr; σ2 = σ ;
σ3 = σz (dans notre cas σz = 0)
σeq ≤σad
▪ La contrainte équivalente de von Mises doit vérifier:
avec
• σad = Re/ Ks ou Rp0,2/ Ks
• Re : limite d’élasticité
• Rp0,2 : limite conventionnelle d’élasticité
• Ks : coefficient de sécurité du calcul Ks = 1,25 pour le frettage d’après NF E 22-621)
M. Ben Jaber
182
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
II. MÉTHODE DE CALCUL
II.5. TOLERANCES DE L'ARBRE ET DU MOYEU
❑ Tolérance de cylindricité : t
• Tolérance de cylindricité de l'arbre : tA = ITA/4
• Tolérance de cylindricité du moyeu tM = ITM/4
❑ État de surface
Arbre et moyeu :
• d ≤ 180 mm ; Ra = 0,8 ;
• d > 180 mm ; Ra = 1,6.
Ra : écart moyen arithmétique par rapport à la ligne moyenne
II.6. CONDITIONS DE MONTAGE PAR FRETTAGE
▪ Dans ce contexte d’assemblage, il est primordial de prendre en compte un jeu minimum
d’introduction lors de l'assemblage.
▪ Ce jeu doit être évolutif en fonction de la valeur du diamètre de frettage. Le Tableau cidessous préconise des valeurs du jeu (j).
M. Ben Jaber
183
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
II. MÉTHODE DE CALCUL
II.6. CONDITIONS DE MONTAGE PAR FRETTAGE
❑ Dilatation du diamètre du moyeu: ∆
▪ La dilatation du diamètre de l’alésage doit aussi rattraper le serrage maximal
d’où:
❑ Élévation de température (ΔT) :
∆
∆
=

∆𝑻
d’où
∆𝑻
=
𝒅𝟎
 𝒅𝟎
∆= j +smax
Où λ est le coefficient de dilatation thermique
du matériau du moyeu
Remarque : Il faut veiller à ce que la température du moyeu ne dépasse pas, même
localement, une valeur qui risque d'affecter les caractéristiques du matériau constitutif. Pour le
cas des aciers on ne dépasse pas 350°C.
II.7. CONDITIONS DE MONTAGE OU DEMONTAGE A LA PRESSE
La presse doit pouvoir développer un effort mini :
M. Ben Jaber
Fmin = π.l.d.f.pmax
184
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
Annexes
M. Ben Jaber
185
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
Annexes
M. Ben Jaber
186
CHAPITRE 6: ASSEMBLAGES PAR FRETTAGE
TD
Une manivelle en acier est montée sur un arbre en acier ayant un diamètre d1=240mm de manière à
produire un certain serrage.
Le serrage ainsi crée doit pouvoir transmettre un couple Ct=23,8 kN.m .
Données:
• Facteur de sécurité k=2
• Le diamètre extérieur du moyeu de la manivelle est d2=440 mm.
• La pression de matage maximale admissible est padm =100MPa.
• Le coefficient de frottement entre l'arbre et le moyeu f= 0,15
• le coefficient de Poisson est de =0,3.
• Coefficient de dilatation thermique 𝝀 = 10,8 . 10-6 /°C
• longueur du moyeu l=240 mm,
• Limite élastique du matériau de l’arbre et du moyeu Re=200 Mpa
Questions:
1. Déterminer La pression minimal à créer par serrage entre arbre et moyeu
2. Déterminer le serrage minimal nécessaire (min)
3. En déduire un ajustement adéquat entre l’arbre et la manivelle et déterminer le serrage maximal
(max)
4. Vérifier la condition de résistance au matage
5. Déterminer la différence de température (∆T)min nécessaire pour effectuer le montage à retrait,
6. Déterminer la capacité minimale de la presse hydraulique pour effectuer un montage à force
7. Vérifier la condition de résistance de l’arbre et du moyeu
M. Ben Jaber
187
CHAPITRE 7:
CLAVETAGE PARALLELE
M. Ben Jaber
Chapitre 7: CLAVETAGE
I. INTRODUCTION
I.1. Définition
▪ La clavette est l'élément rapporté d'une liaison encastrement ou d'une liaison glissière
assurant la transmission du couple.
▪ Les désignations, les dimensions, les tolérances et les matières associées aux différents
clavetages sont définies dans les normes.
Clavetages par clavettes parallèles
Dimensions et tolérances des logements
Clavettes parallèles :
• désignation, dimensions et tolérances, matières Clavettes parallèles
Clavettes parallèles fixées par vis :
• désignation, dimensions et tolérances, matières
NFE22-175
NF E 22-177
NFE 22-181
Clavetages forcés par clavettes inclinées
Dimensions et tolérances des logements
Clavettes inclinées pour clavetages forcés
NFE22-176
NF E 22-178
Clavetages par clavettes-disques
• désignation, dimensions et tolérances
• ébauches laminées
NF E22-179
NFE22-180
Clavetage par clavettes tangentielles
désignation, dimensions et tolérances, matières
M. Ben Jaber
NF E 22-182
189
Chapitre 7: CLAVETAGE
I. INTRODUCTION
I.1. Définition
▪ On se limite dans ce chapitre à l’étude des clavettes parallèles
▪ Elles sont utilisées pour les clavetages courts (longueur dépassant peu la valeur du diamètre
de l'arbre (l < 2,5 d)).
▪ Matière en acier de résistance à la traction à l'état fini 600 MPa.
▪ Du fait du léger jeu entre la clavette et la rainure dans le moyeu, ces clavetages ne
conviennent pas pour des assemblages précis soumis à des mouvements circulaires
alternatifs ou à des chocs (matage des portées).
▪ Préférer dans ces cas les cannelures à flancs, en développante
I.2 Formes, dimensions et tolérances
a. Forme de clavette
M. Ben Jaber
190
Chapitre 7: CLAVETAGE
I. INTRODUCTION
I.2 Formes , dimensions et tolérances
b. Forme du logement
▪ Le logement à bout droit (pour clavette forme B) est
d'exécution aisée (par fraise-disque).
▪ Il présente, cependant, les inconvénients d'être encombrant
en longueur, et de moins bien maintenir la clavette que le
logement à bouts ronds.
M. Ben Jaber
191
Chapitre 7: CLAVETAGE
I. INTRODUCTION
I.2 Formes dimensions et tolérances
c. Dimensions
M. Ben Jaber
192
Chapitre 7: CLAVETAGE
I. INTRODUCTION
I.2 Formes dimensions et tolérances
c. Dimensions
M. Ben Jaber
193
Chapitre 7: CLAVETAGE
I. INTRODUCTION
I.2 Formes, dimensions et tolérances
d. Bout d’arbre normalisé
▪ Les bouts d'arbres des machines tournantes
(moteurs, alternateurs, réducteurs ... )
doivent respecter cette normalisation.
Désignation : Bout d'arbre cylindrique, d =…. à trou
taraudé NF E 22-051
M. Ben Jaber
194
Chapitre 7: CLAVETAGE
I. INTRODUCTION
I.2 Formes, dimensions et tolérances
❑ L’ajustement arbre/moyeu
Liaison
encastrement
De précision courante
A jeu réduit (équilibrage)
Précis avec montage manuel
H8/e8
H8/h8
H7/g6
❑ les ajustements arbre/clavette
❑ les ajustements clavette/moyeu
M. Ben Jaber
Conditions de
fonctionnement
Conditions Mauvaises :
chocs, vibrations,
tolérances larges
Conditions moyennes
Très bonnes conditions
clavetage
Serré
Normal
Libre
195
Chapitre 7: CLAVETAGE
II. ÉLÉMENTS DE LA DÉTERMINATION DES CLAVETAGES PAR CLAVETTES PARALLELES
II.1. Longueur de contact clavette/moyeu (condition de non-matage)
a. Calcul de la pression moyenne au contact clavette/ moyeu : p
▪ La pression moyenne (ou conventionnelle) p sur la partie rectiligne de la clavette en contact
avec le moyeu doit être inférieure à la pression de contact admissible, padm :
p≤padm
▪ Cette pression sera calculée à partir de la donnée du couple Ct à transmettre par la liaison
et du diamètre de la portée d.
▪ La résultante des actions de contact
clavette/moyeu :
𝑭=
𝑪𝒕
𝟐𝑪𝒕
≈
𝒅/𝟐 + 𝜺
𝒅
▪ La pression moyenne du contact clavette/moyeu vaut:
𝒑=
𝑭
𝑺
M. Ben Jaber
avec S est la surface de contact clavette/moyeu
196
Chapitre 7: CLAVETAGE
II. ÉLÉMENTS DE LA DÉTERMINATION DES CLAVETAGES PAR CLAVETTES PARALLELES
II.1. Longueur de contact clavette/moyeu (condition de non-matage)
a. Calcul de la pression moyenne au contact clavette/ moyeu : p
▪
Si on prend le cas défavorable:
𝑺 ≈ 𝒍𝒄 × 𝒉
▪ 𝒍𝒄 : longueur du contact clavette/moyeu
▪ Calculons 𝒉 :
𝒉 = 𝒋 + 𝒃 − 𝒔 − 𝒅 = 𝒃 − 𝒔 − 𝒋′
avec
d’où:
𝒋′ = 𝒅- 𝒋
𝒑=
𝟐𝑪𝒕
𝒅𝒍𝒄 (𝒃 − 𝒔 − 𝒋′ )
La pression p doit vérifier :
M. Ben Jaber
𝑝 ≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚
197
Chapitre 7: CLAVETAGE
II. ÉLÉMENTS DE LA DÉTERMINATION DES CLAVETAGES PAR CLAVETTES PARALLELES
II.1. Longueur de contact clavette/moyeu (condition de non-matage)
b. Valeur minimale de la longueur de contact
▪ En remplaçant la pression de contact par son expression dans la condition de non-matage
on trouve:
𝟐𝑪𝒕
𝒍𝒄 𝒎𝒊𝒏 ≈
𝒑𝒂𝒅𝒎 𝒅(𝒃 − 𝒋′ − 𝒔𝒎𝒂𝒙 )
▪ si 𝒍𝒄 𝒎𝒊𝒏 < 0.6 d : on doit envisager une solution moins coûteuse telle que une clavette
disque, un ergot ou une goupille
▪ si 0.6 d 𝒍𝒄 𝒎𝒊𝒏 2.5d : on détermine alors la longueur minimale de la clavette :
➢ 𝒍𝒎𝒊𝒏 =𝒍𝒄 𝒎𝒊𝒏 + a
➢ 𝒍𝒎𝒊𝒏 = 𝒍𝒄 𝒎𝒊𝒏
➢ 𝒍𝒎𝒊𝒏 = 𝒍𝒄 𝒎𝒊𝒏 +a/2
forme A
forme B
forme C
On choisira Choisir la longueur normalisée L immédiatement supérieure à 1, parmi les valeurs
suivantes: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36, 40, 45, 50,56, 63, 70, 80, 90, 100, 110,
125, 140, 160, 180, 200, 220, 250, 280, 320,360, 400, 450, 500.
▪ Sinon envisager une solution plus performante
M. Ben Jaber
198
Chapitre 7: CLAVETAGE
II. ÉLÉMENTS DE LA DÉTERMINATION DES CLAVETAGES PAR CLAVETTES PARALLELES
II.1. Longueur de contact clavette/moyeu (condition de non-matage)
c. Pression de contact admissible
▪ la pression de contact admissible est liée aux conditions de fonctionnement et est à choisir
dans le tableau suivant :
Conditions de
fonctionnement
Mauvais conditions :
chocs, vibrations,
tolérances larges
Conditions moyennes
Très bonnes
conditions
Encastremen Glissant sans
t
charge
30 à 24 MPa 12 à 24 MPa
Glissant sous charge
45 à 75 MPa 16 à 32 MPa
60 à 115
24 à 48 MPa
MPa
4 à 12 MPa
8 à 15 MPa
3 à 8 MPa
▪ Les valeurs données dans ce tableau sont les valeurs approximatives, en MPa, utilisées dans
les cas moyens d'utilisation (matériaux de résistance à la traction R > 600 MPa).
M. Ben Jaber
199
Chapitre 7: CLAVETAGE
II. ÉLÉMENTS DE LA DÉTERMINATION DES CLAVETAGES PAR CLAVETTES PARALLELES
II.2. Condition de montage
▪ Il s'agit de permettre l'assemblage des éléments en autorisant un contact surfacique entre
le flanc de la clavette et la rainure du moyeu.
▪ Le dessin ci-contre présente les conditions les plus défavorables :
- les éléments sont usinés au maximum de matière ;
- les défauts de symétrie sont maximaux et disposés en opposition.
𝒂𝒎𝒂𝒙 : largeur maximale de la clavette;
𝒂𝑴
𝒎𝒊𝒏 :largeur minimale de la rainure du moyeu ;
𝒅𝑨𝒎𝒂𝒙 :diamètre maximale de l'arbre ;
𝒅𝑴
𝒎𝒊𝒏 :diamètre minimale du moyeu ;
𝒕𝑨 :tolérance de symétrie de la rainure de l'arbre ;
𝒕𝑴 :tolérance de symétrie de la rainure du moyeu ;
𝑱𝑨−𝑴
𝒎𝒊𝒏 :jeu minimale diamétral arbre/moyeu;
𝑱𝑪−𝑴
𝒎𝒊𝒏 :jeu latéral minimale clavette/rainure du moyeu;
𝑪−𝑴
(Hypothèses : 𝑱𝑨−𝑴
𝒎𝒊𝒏 ≥0 et 𝑱𝒎𝒊𝒏 ≥ 0)
𝑱𝑪−𝑨
𝒎𝒊𝒏 jeu latéral minimale clavette/rainure de l'arbre .
(𝑱𝑪−𝑨
𝒎𝒊𝒏 ≤ 0, quel que soit le type de clavetage)
M. Ben Jaber
200
Chapitre 7: CLAVETAGE
II. ÉLÉMENTS DE LA DÉTERMINATION DES CLAVETAGES PAR CLAVETTES PARALLELES
II.2. Condition de montage
▪ La condition de montage peut se traduire par une inéquation : c≥0
avec
𝑀
𝑀
𝐴
𝑎𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝐴 𝑑𝑚𝑎𝑥
𝑑𝑚𝑖𝑛
𝑡 𝑀 𝑎𝑚𝑖𝑛
𝑐=−
− −
+
−
+
2
2
2
2
2
2
d’où:
𝑀
𝑀
𝐴 ) − (𝑡 𝑀 + 𝑡 𝐴 ) ≥ 0
(𝑎𝑚𝑖𝑛
− 𝑎𝑚𝑎𝑥 ) + (𝑑𝑚𝑖𝑛
−𝑑𝑚𝑎𝑥
c.-à-d.:
𝑱𝑪−𝑴
𝒎𝒊𝒏
+
𝑱𝑨−𝑴
𝒎𝒊𝒏
− (𝑡 𝑀 + 𝑡 𝐴 ) ≥ 0
En résumé, la condition de montage se traduit par :
𝑨−𝑴
𝑴
𝑨
𝑱𝑪−𝑴
𝒎𝒊𝒏 + 𝑱𝒎𝒊𝒏 ≥ 𝒕 +𝒕
▪ En pratique, on adopte pour tA et tM les plus grandes valeurs compatibles avec cette
inéquation, ce qui revient à poser :
𝑨−𝑴
𝑴
𝑨
𝑱𝑪−𝑴
𝒎𝒊𝒏 + 𝑱𝒎𝒊𝒏 = 𝒕 +𝒕
▪ De plus, on choisit généralement la même tolérance de symétrie pour l'arbre et le moyeu,
tA =tM ,soit :
𝑀
𝑪−𝑴
𝑨−𝑴
𝑱𝑪−𝑴
= 𝑎𝑚𝑖𝑛
− 𝑎𝑚𝑎𝑥
𝒎𝒊𝒏
𝑱
+
𝑱
𝒎𝒊𝒏
𝒎𝒊𝒏
𝑨
𝑴
avec
𝒕 =𝒕 =
𝟐
𝑱𝑨−𝑴 = 𝑑 𝑀 − 𝑑 𝐴
𝒎𝒊𝒏
M. Ben Jaber
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
201
Chapitre 7: CLAVETAGE
II. ÉLÉMENTS DE LA DÉTERMINATION DES CLAVETAGES PAR CLAVETTES PARALLELES
II.2. Condition de montage
Remarques:
𝑨−𝑴
▪ Ces relations sont établies dans le cas où 𝑱𝑪−𝑴
𝒎𝒊𝒏 et 𝑱𝒎𝒊𝒏 sont positifs ou nuls :
𝑪−𝑴
- lorsque 𝑱𝑪−𝑴
𝒎𝒊𝒏 sera négatif, on posera 𝑱𝒎𝒊𝒏 = 0;
𝑨−𝑴
- lorsque 𝑱𝑨−𝑴
𝒎𝒊𝒏 sera négatif, on posera 𝑱𝒎𝒊𝒏 = 0.
▪ pour augmenter les tolérances de symétrie de l'arbre et du moyeu on peut :
- augmenter le jeu minimum arbre/moyeu (𝑱𝑨−𝑴
𝒎𝒊𝒏 ) ;
- adopter un clavetage libre (D10/h9 : 𝑱𝑪−𝑴
𝒎𝒊𝒏 > 0).
Application à la cotation du moyeu
M. Ben Jaber
Application à la cotation de l’arbre
202
Chapitre 7: CLAVETAGE
M. Ben Jaber
203
CHAPITRE 8:
EMMANCHEMENT CONIQUE
M. Ben Jaber
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
I. INTRODUCTION
▪ Les assemblages par cônes permettent d'obtenir des montages simples entre un arbre et un
moyeu tronconiques.
▪ Le centrage réciproque des deux pièces est assuré par une conicité identique sur les deux
éléments.
▪ La poussée axiale du moyeu contre l’arbre crée une pression de contact impliquant
l’adhérence des surfaces coniques ce qui élimine tout mouvement possibles entre les
pièces liées.
▪ Les emmanchements coniques permettent :
• une réduction de l’encombrement
• la réduction des balourds (centrage précis de l’arbre et
du moyeu)
• l’amélioration du comportement dynamique des
assemblages clavetés libres par élimination des chocs
• un soulagement des clavettes par un apport d’une
composante d’adhérence pour le couple transmissible
par l’assemblage
M. Ben Jaber
205
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
I. INTRODUCTION
Conicité:
M. Ben Jaber
𝑐=
𝐷−𝑑
α
= 2 tg
𝐿
2
206
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
II. Couple transmissible par adhérence
▪ L'assemblage à cône est prévu pour transmettre
un couple de torsion entre l'arbre et le moyeu.
▪ Il est admis que la pression sur les surfaces en
contact produite par l’effort axiale de montage est
uniforme et reste conservée après montage.
▪ Calculons le couple limite transmissible .
▪ Un élément de surface dS de la surface de contact
𝑑𝑙
vaut:
𝑑𝑟
𝑑𝑆 = 𝑑𝑙. 𝑟𝑑𝜃 =
𝛼 . 𝑟𝑑𝜃
sin 2
▪ L’effort normal appliqué à dS est :
𝑝
𝑑𝑁 = 𝑝. 𝑑𝑆 =
𝛼 . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
sin 2
▪ D’après la loi de Coulomb L’effort tangentiel maximal que peut supporter l’adhérence
est:
𝜇0 𝑝
avec 𝜇0 est le coefficient d’adhérence
𝑑𝑇𝑎𝑑 = 𝜇0 . 𝑑𝑁 =
𝛼 . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
sin 2
M. Ben Jaber
𝑑𝑇𝑎𝑑
207
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
II. Couple transmissible par adhérence
▪ Ainsi , le couple que peut supporter cet élément
de surface sans glissement est:
𝑑𝐶𝑡 = 𝑟. 𝑑𝑇𝑎𝑑
𝜇0 𝑝 2
=
𝛼 . 𝑟 . 𝑑𝑟𝑑𝜃
sin 2
▪ Après intégration sur toute la surface du cône de
contact on obtient l’expression du couple
maximale transmissible par adhérence comme
suit:
𝑟𝑒 2𝜋
𝜇0 𝑝 2
𝐶𝑡 = න
𝑑𝐶𝑡 = න න
𝛼 . 𝑟 . 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡
𝑟𝑖 0 sin
2
avec : 𝑟𝑒 =
𝐷
2
et 𝑟𝑖 =
𝑑𝑇𝑎𝑑
𝑑𝑙
𝑑
2
▪ Le couple limite transmissible, sans le glissement des surfaces, peut alors se calculer par :
𝒓𝟑𝒆 − 𝒓𝟑𝒊
𝟐
𝑪𝒕 = 𝝅𝝁𝟎 𝒑
𝜶
𝟑
𝐬𝐢𝐧 𝟐
M. Ben Jaber
208
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
II. Couple transmissible par adhérence
▪ Cette dernière équation permettra de déterminer la pression de contact à installer pour
pouvoir transmettre un couple donné 𝑪𝒕 comme suit:
𝒑=
𝜶
𝟑𝑪𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝟐𝝅𝝁𝟎 𝒓𝟑𝒆 − 𝒓𝟑𝒊
▪ Cette pression doit vérifier la condition de résistance au matage :
𝒑 ≤ 𝒑𝒂𝒅𝒎
Avec 𝒑𝒂𝒅𝒎 est la pression de matage admissible
▪ Il faut maintenant déterminer la force axiale à appliquer sur l’arbre pour développer
cette pression au niveau de la surface de contact
M. Ben Jaber
209
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
III. PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE
▪ La détermination de la pression sur les surfaces tronconiques de l'assemblage nécessite
l'introduction de quelques hypothèses simplificatrices :
1. la pression entre l'arbre et le moyeu est supposée répartie uniformément sur toute les
surfaces de contact,
2. les coefficients de frottement et d'adhérence après montage restent invariables,
3. la pression dépend seulement de la géométrie des deux surfaces en contact, l’effet de
la forme extérieure du moyeu étant négligé.
▪ Pour trouver la pression, supposons que l'arbre tronconique soit déplacé à l'intérieur du
moyeu par un système à vis et écrou. Soit Fa la force axiale produite par l'écrou pendant le
montage.
M. Ben Jaber
210
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
III. PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE
▪ Un élément de surface dS du cone de contact est sollicité par:
▪ Une force de pression normale 𝑑𝑁
▪ Une force de frottement 𝑑𝑇𝑓
▪ la somme de toutes les composantes radiales de ces deux forces
est nulle
▪ La résultante des composantes axiales s’oppose à la force de
montage et peut être exprimée en fonction de la pression p
comme suit:
𝛼
𝛼
dF 𝑜𝑝𝑝 = −𝑑𝑁. sin 2 − 𝑑𝑇𝑓 cos 2
𝛼
𝛼
= −𝑑𝑁. (sin 2 + 𝜇 cos 2 )
𝛼
2
𝛼
2
= −𝑝. 𝑑𝑆. (sin + 𝜇 cos )
𝛼
𝛼
= −𝑝. 𝑟𝑑𝜃. 𝑑𝑙. (sin 2 + 𝜇 cos 2 )
= −𝑝. 𝑟𝑑𝜃.
𝑑𝑟
𝛼
sin 2
𝛼
𝛼
. (sin 2 + 𝜇 cos 2 )
𝛼
2
= −𝑝(1 + 𝜇. 𝑐𝑜𝑡𝑔 ). 𝑟𝑑𝜃. 𝑑𝑟
Fa
avec  est le coefficient de frottement
M. Ben Jaber
211
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
III. PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE
▪ Après intégration sur toute la surface de contact on obtient:
𝐹
𝑜𝑝𝑝
=න
𝑑𝐹
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡
D’où:
𝑜𝑝𝑝
𝑟𝑒
2𝜋
=න න
𝑟𝑖
𝑭𝒐𝒑𝒑 = − 𝝅(1+
0
−𝑝(1 +
𝜇
𝛼 ). 𝑟𝑑𝜃. 𝑑𝑟
𝑡𝑔 2

𝟐 − 𝒓𝟐 )
)𝒑
(𝒓
𝒆
𝒊
𝜶
𝒕𝒈 𝟐
Ainsi , l'équilibre des efforts axiaux appliqués sur l’arbre s'écrit :
𝑭𝒎𝒐𝒏𝒕
+ 𝑭𝒐𝒑𝒑 =0
𝒂
𝑭𝒎𝒐𝒏𝒕
𝒂
M. Ben Jaber

= 𝝅(1+ 𝜶)𝒑 (𝒓𝟐𝒆 − 𝒓𝟐𝒊 )
𝒕𝒈 𝟐
212
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
IV. FORCE AXIALE DE DEMONTAGE
▪ Au moment de démontage les forces de pression ont tendances à repousser l’arbre par
rapport au moyeu ce qui favorise le démontage
▪ A l’inverse, les forces d’adhérences ont tendances à garder le contact et s’opposent ainsi au
démontage
▪ Le démontage peut avoir lieu sans nécessité d’un effort axial de démontage si les efforts de
pression dépassent les efforts d’adhérence , c’est-à-dire:
𝛼
𝛼
𝛼
𝛼
𝑑𝑁.
sin
>
𝜇
𝑑𝑁
.
cos
𝑑𝑁. sin > 𝑑𝑇𝑎𝑑 . cos
0
2
2
2
2
𝛼
D’où
𝜇0 < tg
2
M. Ben Jaber
213
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
IV. FORCE AXIALE DE DEMONTAGE
▪ On en déduit que la condition d’irréversibilité ( le démontage n’est possible que après
application d’u ne force axiale supplémentaire de démontage 𝑭𝒅𝒆𝒎
) est:
𝒂
𝛼
𝜇0 ≥ tg
2
𝑭𝒅𝒆𝒎
𝒂
Dans ce cas la force axiale minimale de démontage peut être calculée par l’équation :
𝟎
= 𝝅(1− 𝜶)𝒑 (𝒓𝟐𝒆 − 𝒓𝟐𝒊 )
𝒕𝒈
𝟐
C’est la force minimale nécessaire pour équilibrer la composante axiale de la résultante des
forces de pression et d’adhérence
𝑭𝒅𝒆𝒎
𝒂
M. Ben Jaber
214
Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
V. ARBRES ET MOYEUX TRONCONIQUES NORMALISÉS
▪ La norme ISO 775-1969 prévoient des extrémités d'arbre
tronconiques pour des diamètres d'arbre compris entre 6 et
630mm.
▪ Pour les diamètres d'arbre compris entre 6 et 220 mm, la
norme prévoit deux exécutions avec clavette à faces parallèles
disposée parallèlement à l'axe (figures a et b):
1. cône court avec l2 ≈1,2 d1
2. cône long avec l2 ≈ 1,6 d1
(a)
(figure a)
(figure b)
▪ Pour les diamètres compris entre 240 et 630 mm, la norme
prévoit seulement le cône court et une rainure de clavette
placée selon la direction de la génératrice du cône (figure c).
▪
(b)
La conicité est normée à 1:10 pour toutes les variantes.
▪ Le serrage des deux pièces est assuré par une extrémité filetée,
extérieurement pour la gamme usuelle, éventuellement
intérieurement pour les diamètres compris entre 12 et 120mm.
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(c)
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Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
V. ARBRES ET MOYEUX TRONCONIQUES NORMALISÉS
M. Ben Jaber
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Chapitre 8: EMMANCHEMENT CONIQUE
M. Ben Jaber
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Ressources bibliographiques
1. Aublin M, Boncompain R, Boulaton M, Caron D, et al. (2005). Systèmes
mécaniques: Théorie et dimensionnement, Dunod.
2. Drouin G, Gou M, Thiry P et Vinet R (1988). Éléments de machines,
Presses internationales Polytechnique.
3. Fanchon J L (1999) Guide des sciences et technologies
industrielles, Nathan
4. Barlier C, Bourgeois R (2003). Mémotech productique, conception et
dessin, Casteilla.
5. Cours de Nicolet G R (2006), "Conception et calcul des Éléments de
machines", École d‘Ingénieurs de Fribourg.
6. Cours de Daidie A et Paredes M (2009), "Modélisation des Systèmes
Mécaniques", INSA Toulouse.
7. Cours de Ben Rhima A (1996), "Conception mécanique 2", Ecole
Nationale d’Ingénieurs de Tunis.
8. Guillot J, "Assemblages par éléments filetés, Calcul" , Techniques de
l’Ingénieur, traité Génie mécanique.
9. …
M. Ben Jaber
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