* Chiziqli tenglamalar
sistemasini yechishning
Gauss va teskari
matritsa usuli
Biz noma‘lumlar soni tenglamalar soniga teng chiziqli tenglamalar sistemasini
yechishning Kramer va matritsa usuli bilan tanishdik. Bu usullarning zaif
tomonlari shundaki, noma‘lumlar soni biroz katta bo’lganda juda ko’p
hisoblashlarni bajarishga to’g’ri keladi. Masalan to’rt noma‘lumli to’rtta chiziqli
tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan yechish uchun beshta to’rtinchi tartibli
determinantlarni hisoblashga to’g’ri keladi. To’rtinchi tartibli determinant biror
satr yoki ustun elementlari bo’yicha yoyilganda yoyilmada to’rtta uchinchi tartibli
determinant qatnashadi. Demak jami 54=20 ta uchunchi tartibli determinantlarni
hisoblashga to’g’ri keladi. Besh va undan ortiq noma‘lumlar qatnashgan sistema
haqida gapirmasak ham bo’ladi.
Bunday hollarda chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss taklif etgan quyidagi
usul bilan yechgan ma‘qul.
Gauss usuli tenglamalardan noma‘lumlarni ketma-ket yo’qotishga asoslangan
bo’lib oxirgi tenglamada bitta noma‘lum qoladi xolos. Undan noma‘lumni topib
oxirgidan oldingi tenglamaga qo’yib ikkinchi noma‘lum topiladi va hokazo shu
jarayon davom ettirilib topilgan noma‘lumlarning qiymatlarini birinchi tenglamaga
qo’yib undan birinchi noma‘lum aniqlanadi.
Gauss usuli bilan misolda tanishib chiqamiz.
2х  3у  z  t  2,

3х  y  2z  3t  3,
2-misol. 
2х  y  z  2t  2,
x 2 y  z  t  1
(1)
sistema yechilsin.
Yechish. Sistemani Gauss usuli bilan yechamiz.
1-qadam ushbu







2
3
1
1
3
1
2
3
2
1
1
2
1
1
2
1
 2

 3
2


1
(2)
Matritsani birinchi ustunini ikkinchi satridan boshlab barcha elementlarini
nolga aylantiramiz. Birinchi satrni ikkiga bo’lib







1
3
3
2
1
2
1
1
2
1
2
2
3
1
1
2
2
1
1
 1 
3 
 (3)
2 
1 
ko’rinishida yozamiz.
a) (3) matritsaning birinchi satrinini -3 ga ko’paytirib ikkinchi satriga
qo’shsak, birinchi satrinini -2 ga ko’paytirib uchinchi satriga qo’shsak, birinchi
satrini -1 ga ko’paytirib to’rtinchi satriga qo’shsak:







1
0
0
0
3
2
11
2
2
7
2
1
2
7
2
0
3
2
1
2
9
2
1
3
2
1 
 0 
(4)
4 
2 

hosil bo’ladi.
2-qadam. (4) matritsaning uchinchi satrining ikkinchi ustuni elementidan
11
boshlab qolgan barcha elementlarini nolga aylantiramiz. Ikkinchi satrini
2
ga bo’lib ushbu







1
0
0
0
3
2
1
2
7
2
1
2
7
11
0
3
2
1
9
1 
0 
 (5)
4 
2 

2
11
1
3
2
ko’rinishda yozamiz.
(5) matritsaning ikkinchi satrini +2 ga ko’paytirib uchinchi satriga
7
qo’shsak,ikkinchi satrini
ga ko’paytirib to’rtinchi satrga qo’shsak:
2








1
3
0
2
1
0
0
0
0
1
2
7
11
14
11
8
11
1
9
2
11
29
11
15
11
1 
0 
 (6)
4 

2 

3-qadam. (6) matritsaning to’rtinchi satrini uchinchi ustun elementini nolga
14
aylantiramiz.Dastlab buning uchun matritsani uchinchi satrini 
ga bo’lib
11









3
0
2
1
1
2
7
11
0
0
1
0
0
1
8
11
1
2
9
11
 29
14
15
11
.. 1 
.....0 

 22 
7 

.... 2 

ko’rinishda yozamiz. Bu matrirsaning uchinchi satrini
8
ga ko’paytirib to’rtinchi
11
satriga qo’shsak :









3
0
2
1
1
2
7
11
0
0
1
0
0
0
1
1
2
9
11
 29
14
1
7
.. 1 
.....0 
 22  (7)
7 

2 
7 
matritsaga ega bo’lamiz. Bu matritsaga mos sistema qo’yidagicha bo’ladi.











3
1
1
у 
z 
t  1,
2
2
2
7
9
y 
z 
t  0,
11
11
29
22
z 
t  
,
14
7
2
1

t  
7
7
х 
(8)
oxirgi tenglamasida bitta t noma‘lum, undan oldingisida ikkita z va t noma‘lumlar,
ikkinchi tenglamasida uchta y, z, t noma‘lumlar va birinchi tenglamasida barcha
noma‘lumlar - x, y, z, t lar qatnashadi.
Endi noma‘lumlarni topish unchalik qiyin emas.
4-qadam. (8) sistemaning to’rtinchi tenglamasi

1
7
t
2
7
dan t ni topamiz.
t=  2  :  1   2.
 7  7
5-qadam. t ning topilgan qiymati 2 ni (8) sistemaning uchinchi tenglamasiga
qo’yib z noma‘lumni topamiz: z  29  2   22 ;
14
7
z
29 22 7

  1.
7
7 7
6-qadam. t=2, z=1 qiymatlarni (8) sistemaning ikkinchi tenglamasi
y
7
z
11
9
t  0 ga qo’yib y noma‘lumni topamiz:
11
y
7
1
11
9
 2  0;
11
y+1=0, y=-1.
7-qadam. Topilgan y=-1, z=1, t=2 qiymatlarni (8) sistemaning birinchi
3
1
1
tenglamasi x  y  z  t  1 ga qo’yib x noma‘lumni aniqlaymiz:
2
2
2
3
1
1
x  (1)  1  2  1; x  0
2
2
2
Shunday qilib x  0, y=-1, z=1, t=2
berilgan sistemaning yechimi bo’lar ekan.
ya’ni (0; -1; 1; 2) sonlar to’plami
Gauss usulining muhim tomoni shundan iboratki sistemani yechishdan oldin
uni birgalikda yoki birgalikda emasligini aniqlashning hojati yo’q.
Agar sistema birgalikda va aniq bo’lsa bu usul xuddi yuqoridagi misoldagi
singari yagona yechimga olib keladi.
Agar sistema birgalikda bo’lmasa bu usulning qaysidir qadamida
yo’qotilishi lozim bo’lgan noma‘lum bilan birgalikda barcha noma‘lumlar ham
yo’qolib ketadi va tenglikning o’ng tomonida esa noldan farqli ozod son qoladi.
3-misol.
 3 х  у  4 z  6,

 х  2 у  z  3,

5х  3у  2z  8
(9)
sistema Gauss usuli bilan yechilsin.
Yechish. 1-qadam. Birinchi va ikkinchi tenglamalarni o’rin almashtirib
birinchi tenglamadagi x oldidagi koeffitsientni 1 ga keltiramiz:
 х  2 у  z  3,

 3 х  у  4 z  6,

5х  3у  2z  8
(10)
a) bu sistemaning birinchi tenglamasini –3 ga ko’paytirib ikkinchi
tenglamasiga qo’shamiz:
 3х  6у  3z  9,

3x  y  4z  6.

 7 y  7z  3
b) (3.10) sistemaning birinchi tenglamasini –5 ga ko’paytirib uchinchi
tenglamasiga qo’shsak
 5х 10у  5z  15,

5x  3y  2z  8.

 7y  7z  7
hosil bo’ladi. Shunday qilib (3.31) sistema
 х  2 у  z  3,

  7 y  7 z  3,

  7 y  7 z  7.
(10)
ko’rinishga ega bo’ladi.
2-qadam. (10) sistemaning ikkinchi tenglamasini –1 ga ko’paytirib
uchinchisiga qo’shsak uchinchi tenglamasidagi yo’qotilishi lozim bo’lgan у bilan
bir qatorda z noma‘lum ham yo’qolib ketadi, ya‘ni.
7у  7z  3,

 7y  7z  7

0  4
hosil bo’ladi.
Shunday qilib Gauss usuliga binoan sistema birgalikda emas, ya‘ni
yechimga ega emas ekan.
Agar sistema birgalikda, ammo aniqmas bo’lsa Gauss usulining qandaydir
qadamida ikkita bir xil tenglamalarga ega bo’lamiz.
Ya‘ni bu holda tenglamalar soni noma‘lumlar sonidan bittaga kam bo’ladi.
 3 х  у  4 z  6,

4-misol.  х  2 у  z  3,
sistema Gauss usuli bilan yechilsin.

5х  3у  2z  12
Yechish. Birinchi tenglamadagi х oldidagi koeffitsientni 1 ga keltirish
maqsadida sistemadagi birinchi va ikkinchi tenglamalarni o’rinlarini almashtirib
uni
 х  2 у  z  3,

 3 х  у  4 z  6 , (11)

5х  3у  2z  12
ko’rinishda yozamiz.
a) (11) sistemaning birinchi tenglamasini –3 ga ko’paytirib sistemaning
ikkinchi tenglamasiga qo’shamiz:
 3х  6у  3z  9,

3x  y  4z  6.

 7y  7z  3
b) (11) sistemaning birinchi tenglamasini –5 ga ko’paytirib uchinchi
tenglamaga qo’shamiz:
 5х 10у  5z  15,

5x  3y  2z  12.

 7y  7z  3
Shunday qilib
 х  2 у  z  3,

  7 у  7 z  3,

 7 у  7z  3
sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistema uch noma‘lumli ikkita tenglamalar sistemasi
 х  2 у  z  3,

 7 у  7z  3
ga teng kuchli. Oxirgi sistema esa cheksiz ko’p yechimlarga ega.
Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yechish.
Endi matritsalar yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga o’tamiz.
a11 x1  a12 x2 …  a1n xn  b1 
a21 x1  a22 x2 …  a 2n x n  b2 

……………………………… 
an1 x1  a n2 x2 …  ann xn  bn 
n noma’lumli, n ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.
(12)
 a11 a12 a1n 


a
a22 a 2n 
A   21
         ,


 an1 an2 a nn 
b 1 
 
b 2 
B   ,
…
 
 bn 
 x1 
 
 x2 
X  
…
 
 xn 
belgilashlarni kiritamiz. Endi (12) sistemani matritsalarni ko’paytirish qoidasidan
foydalanib,
(13)
AX  B
ko’rinishda yozish mumkin. det A  0 bo’lsa, teskari matritsa A1 mavjud va
A1 AX  A1B hosil bo’ladi. SHunday qilib, noma’lum X matritsa A1B
matritsaga teng bo’ladi, yahni
X = A1B .
Bu (12) tenglamalar sistemasini yechishning matritsaviy yozuvini bildiradi.
1-misol.
Matritsalar yordamida ushbu tenglamalar sistemasini yeching:
x1  x2  x3  4,
x
 1  2x2  4x3  4,
 x  3x  9x  2 .
3
 1
2
Echish. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
1 1 1 
 x1 
 4
 
 

A  1 2 4; X   x2 ; B   4.


 2
x 
1 3 9 


 3
Bu matritsalar yordamida berilgan tenglamalar sistemasini
AX  B
(14)
ko’rinishda yozamiz. Endi A matritsaning determinantini hisoblaymiz.
1 1 1
  1 2 4  1 2  9 1 4 1 1 3 1 1 2 1 11 9 1 4  3  2 .
1 3 9
A matritsaning determinanti 0 dan farqli bo’lganligi uchun, unga teskari yagona
A1 matritsa mavjud va tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi. Endi
A1 teskari matritsani topish uchun  determinant elementlarining hamma
algebraik to’ldiruvchilarini hisoblaymiz:
A11 
2 4
 18  12  6,
3 9
1 1
A21  
 6,
3 9
A31 
1 1
2 4
 2,
A22
A32
1 4
A12  
 5,
1 9

1 4
 8,
1 9
1 1

 3,
1 4
A23  
A13 
1 2
1
1 3
1 1
 2
1 3
1 1
A33 
 1.
1 2
Teskari A1 matritsani topish formulasiga asosan,
A1
 6  6 2   3  3 1 
 
1
   5 8  3     2,5 4 1,5 
2
 

 1  2 1   0,5 1 0,5 
(14) tenglikning ikki tomonini chapdan A1 ga ko’paytirsak,
yoki X  A1B bo’lib, yahni
A1 AX  A1B
  2
 3  3 1   4   3  4  (3)  4  1 2
   
  

X    2,5 4 1,5   4     2,5  4  4  4  (1,5)  2    3 
  
 0,5 1 0,5   2   0,5  4 1 4  0,5  2
   
  1 

tenglik hosil bo’ladi.
 x1   2 
   
SHunday kilib, X   x 2    3 
 x   1 
 3  
yoki
х1  2 , х2  3 , х3  1.
(Topilgan yechimlarni tenglamalar sistemasiga
to’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin).
bevosita qo’yib, yechimning