方法精讲-数量 1
（全部讲义+本节课笔记）
主讲教师：牟立志
授课时间：2023.03.15
粉笔公考·官方微信
第三篇
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数量关系与资料分析
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数量关系与资料分析课程设置
数量关系与资料分析课程设置
数量关系与资料分析的方法精讲阶段共 8 次课，数量关系和资料分析各占 4 次。
本阶段主要针对公务员考试中的必考题型和高频考点进行讲解，也是后续阶段学习的
基础，请大家认真学完本阶段课程后再进行后续阶段的学习。
方法精讲阶段授课安排如下。
课程名称
课程内容
授课时长
方法精讲——数量 1
代入排除法、倍数特性法、方程法
3 小时
方法精讲——数量 2
工程问题、经济利润问题
3 小时
方法精讲——数量 3
行程问题、几何问题
3 小时
方法精讲——数量 4
排列组合与概率问题、容斥原理问题
3 小时
方法精讲——资料 1
速算技巧、基期与现期
3 小时
方法精讲——资料 2
一般增长率、增长量
3 小时
方法精讲——资料 3
比重、平均数
3 小时
方法精讲——资料 4
倍数与比值、特殊增长率
3 小时
注：实际授课进度会根据老师的授课节奏和多数学员的接受情况适度微调，请各
位学员根据课程的进度提前做好预习，以保证听课效果。
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第三篇
数量关系与资料分析
第一章
数量关系
数量关系
方法精讲 1
学习任务：
1. 课程内容：代入排除法、倍数特性法、方程法
2. 授课时长：3 小时
3. 对应讲义：156 页～ 161 页
4. 重点内容：
（1）掌握代入排除法的适用范围及使用方法
（2）掌握倍数特性法的基础知识，以及余数型和比例型的解题思路
（3）掌握设未知数的技巧，熟悉不定方程的解题思路
第一节
代入排除法
【例 1】
（2020 广东）某部门正在准备会议材料，共有 153 份相同的文件，需要
装到大、小两种文件袋里送至会场，大的每个能装 24 份文件，小的每个能装 15 份文
件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋多少个？
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
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第一章 数量关系
【例 2】
（2022 上海）对于两个有序数组（a，b）和（c，d）
，将 a − c + b − d 称作
这两个数组的距离，那么，在下列选项中，与数组（13，26）的距离最大的是：
A.（20，21）
B.（21，20）
C.（22，19）
D.（23，18）
【例 3】
（2021 联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为 28 米的篱笆围成
一个三角形形状的场地，已知第一条边长为 m 米，由于条件限制，第二条边长只能
1
是第一条边长度的 多 4 米，若第一条边是唯一最短边，则 m 的取值可以为：
2
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
思维导图
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第二节
倍数特性法
一、整除型
【例】
（2021 北京）为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企业扩大
招聘规模，计划在年内招聘高校毕业生 240 名，但实际招聘的高校毕业生数量多于计
划招聘的数量。已知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到 7 个部门培训，并在培训
结束后将他们平均分配到 9 个分公司工作。问该企业实际招聘的高校毕业生至少比计
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第三篇
数量关系与资料分析
划招聘数多多少人？
A. 6
B. 12
C. 14
D. 28
二、余数型
【例 1】
（2022 陕西事业单位）某幼儿园组织春游，该园共有不超过一百名小朋
友，9 人一组剩 7 人，11 人一组剩 9 人。问该幼儿园有多少小朋友？
A. 95
B. 96
C. 97
D. 98
【例 2】
（2021 广东）某学校组织学生外出学农。如果每间宿舍住 6 名学生，就
会缺 7 张床位；如果每间宿舍住 8 名学生，就会空出 3 张床位。则这批学生一共有多
少人？
A. 50
B. 45
C. 43
D. 37
三、比例型
【例 1】
（2022 联考）某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志愿服
务队。其中，20 至 30 岁（不含 30 岁）的人数占总人数的 68%，30 岁及以上的人数
是不到 20 岁人数的 7 倍。已知 30 岁以下的人数比 30 岁及以上的人数多 66 人，问这
支服务队共多少人？
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第一章 数量关系
A. 90
B. 120
C. 150
D. 180
【例 2】
（2021 重庆选调）不到 30 岁的哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的 5 倍，
若干年后哥哥的年龄就是弟弟的 4 倍，又过了若干年，哥哥的年龄将是弟弟的 3 倍，
则今年两兄弟的年龄差是多少岁？
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
【例 3】
（2020 联考）甲、乙、丙三人去超市买了 100 元的商品，如果甲付钱，那
么甲剩下的钱是乙、丙两人钱数之和的
人钱数之和的
2
；如果乙付钱，则乙剩下的钱是甲、丙两
13
9
；如果丙付钱，丙用他的会员卡可享受 9 折优惠，结果丙剩下的钱
16
1
是甲、乙两人钱数之和的 。那么，甲、乙、丙三人开始时一共带了多少钱？
3
A. 850 元
B. 900 元
C. 950 元
D. 1000 元
思维导图
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第三篇
数量关系与资料分析
第三节
方程法
【例 1】
（2021 新疆）甲、乙、丙、丁四人捐款，甲、乙、丙共捐款 240 元，甲、
丙、丁共捐款 190 元，甲捐款额是丙的两倍，甲比乙少捐款 40 元。问丁捐款多少元？
A. 70
B. 80
C. 90
D. 120
【例 2】
（2021 重庆选调）为评选扶贫工作先进项目案例，某乡镇举行优秀扶贫
项目案例评选活动，共邀请 71 名评委参加投票评选，从甲、乙、丙、丁、戊五个案
例中评选“最佳案例”
，最终甲得选票 35 张，乙得选票为第二名，丙、丁票数一样，
戊得选票 8 张为最少，那么乙得选票多少张？
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
【例 3】
（2023 上海）足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这
是由当值主裁判决定的。某场比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增
加 30 秒，每次换人增加 20 秒，其他情况每次增加 10 秒。在下半场即将结束时，主
裁判确定伤停补时的时长为 4 分 30 秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人
和其他情况都存在且共计有 10 次，那么下半场两队总共换了多少次人？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例 4】
（2022 江苏）某企业年终评选了 30 名优秀员工，分三个等级，分别按每
人 10 万元、5 万元、1 万元给与奖励。若共发放奖金 89 万元，则获得 1 万元奖金的
员工有：
A. 14 人
B. 19 人
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第一章 数量关系
C. 20 人
D. 21 人
思维导图
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第三篇
数量关系与资料分析
数量关系
方法精讲 2
学习任务：
1. 课程内容：工程问题、经济利润问题
2. 授课时长：3 小时
3. 对应讲义：162 页 ～ 167 页
4. 重点内容：
（1）掌握工程问题的三种考法与对应的解题步骤，以及常用的赋值方法
（2）掌握工程问题的模型题——牛吃草问题
（3）掌握与售价、成本、利润、折扣、利润率等相关的公式
（4）掌握经济利润问题中的分段计费问题和函数最值问题
第四节
工程问题
一、给具体单位型
【例】
（2020 江苏）某装配式建筑企业接到一个生产 1033 套楼板的订单。甲班组
生产 5 天后，乙班组再生产 4 天，刚好完成任务。若甲班组比乙班组每天多生产 23
套，则甲班组生产楼板的套数是：
A. 625 套
B. 645 套
C. 535 套
D. 515 套
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第一章 数量关系
二、给完工时间型
【例 1】
（2021 广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人
员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200 天可完成该项目；如果由
乙队单独施工，则需要 300 天。甲、乙两队共同施工 60 天后，甲队被临时调离，由
乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需多少天？
A. 120
B. 150
C. 180
D. 210
【例 2】
（2022 事业单位联考）现有一批手工制品，若 A 和 B 一起制作需要 6 天
完成，A 和 C 一起制作需要 8 天完成。现在 B 和 C 先一起制作了 4 天之后，余下的
由 A 单独完成还需要 6 天。若这批手工制品由 C 单独完成，至少需要多少天？
A. 18
B. 22
C. 20
D. 24
【例 3】
（2022 联考）甲、乙、丙三个工程队接到 A、B 两个工程的施工任务，若
由甲单独完成 B 工程需要 30 天；若甲、乙两队合作施工，则完成 A 工程需要 30 天，
完成 B 工程需要 20 天；乙、丙合作完成 A 工程则需要 24 天。现在三个工程队合作
完成 A、B 两个工程，多少天可以完工？（不足 1 天按 1 天计算）
A. 24
B. 25
C. 26
D. 27
三、给效率比例型
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 1】
（2020 联考）某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了
A 和 B 两条生产线，A 和 B 的工作效率之比为 2 ∶ 3，计划 8 天可完成订单生产任务，
两天后公司又对这批订单投产了生产线 C，A 和 C 的工作效率之比为 2 ∶ 1，问该批
口罩订单任务将提前几天完成？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例 2】
（2019 国考）有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组 2 天的工作量与甲、丙
共同工作 1 天的工作量相同。A 工程如由甲、乙组共同工作 3 天，再由乙、丙组共同
工作 7 天，正好完成；如果三组共同完成，需要整 7 天。B 工程如丙组单独完成正好
需要 10 天，问如由甲、乙组共同完成，需要多少天？
A. 不到 6 天
B. 6 天多
C. 7 天多
D. 超过 8 天
【例 3】
（2022 辽宁事业单位）有 25 人铺设某足球场草坪，计划 20 天完成。动
工 6 天后抽出 5 人负责围栏围网的施工，留下的人继续铺设草坪。如果每人的工作效
率不变，那么铺设完该足球场的草坪实际要用多少天？
A. 23.5
B. 24.5
C. 25.5
D. 26.5
四、牛吃草类型
【例】
（2019 联考）某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用
挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用 1 台挖沙机 300 天
可完成清淤工作，使用 2 台挖沙机 100 天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，
上级部门要求工程队 25 天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台
挖沙机同时工作？
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
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第一章 数量关系
思维导图
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第五节
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经济利润问题
一、基础经济
【例 1】
（2022 事业单位联考）北京冬奥会某合作厂家仅日间生产“冰墩墩”
，月
产量达到了 30000 件，每件利润 25 元。冬奥期间，为了提高产量，决定夜间继续生
产，夜间产量仅为日间的一半，且每件利润比日间减少 10 元，问该厂在日夜生产模
式下预计该月盈利多少万元？
A. 22.5
B. 75
C. 97.5
D. 112
【例 2】
（2020 河北）某种蔬菜进价 5 元 / 斤，售价 10 元 / 斤，当天卖不完的蔬
菜不再出售。过去 7 天里，菜商每天购进该种蔬菜 100 斤，其中有 4 天卖完，有 2 天
各剩余 20 斤，有 1 天剩余 10 斤，这 7 天菜商共赚了多少元钱？
A. 2950
B. 3000
C. 3250
D. 3500
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 3】
（2021 浙江）超市采购一批食用油，其中玉米油每桶进价比花生油低
20%，若花生油利润定为进价的 24%，玉米油利润定为进价的 30%，则花生油比玉米
油每桶售价高 10 元。问玉米油每桶比花生油进价低多少元？
A. 10
B. 15
C. 24
D. 25
【例 4】
（2023 浙江）某商品上月售价为进价的 1.4 倍，销售 m 件。本月该商品进
价下降 20%，售价不变，销售利润为上月的 1.8 倍。那么本月的销量为多少件？
A. 1.3m
B. 1.25m
C. 1.2m
D. 1.15m
二、分段计费
【例 1】
（2022 事业单位联考）某汽车美容店正在开展充值优惠洗车活动。其中，
会员卡累计充值达到 1000 元可成为银卡会员，享受洗车 7 折优惠；累计充值达到
2000 元可成为金卡会员，享受洗车 6 折优惠；累计充值达到 3000 元可成为钻石会员，
享受洗车 5 折优惠。已知洗车原价是 50 元 / 次，李师傅固定每月洗一次车，他最开
始充值了 1000 元，半年后，又追加了 2000 元升级会员，升级后洗了 5 个月车，之后
他准备将洗车会员卡以八折转让，则转让价格是多少元？
A. 2665
B. 2132
C. 2640
D. 2112
【例 2】
（2020 浙江选调）某停车场的收费标准如下：7：00—21：00，每小时 6
元，不足一小时按一小时计算；21：00—次日 7：00，每两小时 1 元，不足两小时按
两小时计算；每日零时为新的计费周期，重新开始计时。小刘某天上午 10 时将车驶
入停车场，待其驶出时缴费 70 元，则小刘停车时长 t 的范围是：
A. 14 小时＜ t ≤ 16 小时
B. 15 小时＜ t ≤ 17 小时
C. 16 小时＜ t ≤ 18 小时
D. 17 小时＜ t ≤ 19 小时
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第一章 数量关系
三、函数最值
【例 1】
（2020 天津事业单位）某电脑商城出售 10 种价格档位的电脑。最低价格
档位的电脑每月可售出 120 台，每台可获利 160 元。每提升一个价格档位，则月销量
就会减少 10 台，但单台利润可增加 40 元。若某月该电脑商城只出售某一价格档位的
电脑，则当月可获得的最大利润是多少元？
A. 24000
B. 25600
C. 27040
D. 28000
【例 2】
（2022 联考）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅
销。销售期间某商家发现，进价为每个 40 元的“冰墩墩”
，当售价定为 44 元时，每
天可售出 300 个，售价每上涨 1 元，每天销量减少 10 个。现商家决定提价销售，若
要使销售利润达到最大，则售价应为：
A. 51 元
B. 52 元
C. 54 元
D. 57 元
思维导图
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第三篇
数量关系与资料分析
数量关系
方法精讲 3
学习任务：
1. 课程内容：行程问题、几何问题
2. 授课时长：3 小时
3. 对应讲义：168 页 ～ 172 页
4. 重点内容：
（1）掌握行程问题的基础公式及火车过桥问题
（2）掌握线形和环形相遇、追及和流水行船的计算公式，用图示来理解复杂的运
动过程
（3）掌握几何问题的基本公式及其运用
（4）掌握勾股定理、相似三角形等一些结论的应用
第六节
行程问题
【例 1】
（2019 河南司法所）某隧道长 1500 米，有一列长 150 米的火车通过这条
隧道，从车头进入隧道到完全通过隧道花费的时间为 50 秒，整列火车完全在隧道中
的时间是：
A. 43.2 秒
B. 40.9 秒
C. 38.3 秒
D. 37.5 秒
【例 2】
（2019 河南事业单位）有一辆火车以每小时 20 公里的速度离开 A 地直奔
B 地，另一辆火车以每小时 30 公里的速度从 B 地开往 A 地。如果有一只鸟，以 40
公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从 A 地出发，碰到另一辆车后返回，依次
在两辆火车间来回飞行，直到两辆火车相遇，这只小鸟飞行了：
A. A、B 间距离的一半
B. 正好为 A、B 间的距离
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第一章 数量关系
C. A、B 间距离的五分之四
D. A、B 间距离的三分之二
【例 3】
（2019 新疆事业单位）快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公
路追赶前面的一个骑车人，这三辆车分别用了 6min、10min、12min 追上骑车人，其
中快车每小时行 24km，中车每小时行 20km，则慢车每小时行：
A. 19km
B. 14km
C. 15km
D. 18km
【例 4】
（2020 重庆选调）甲、乙两人分别以不同速度在周长为 500 米的环形跑
道上跑步，甲的速度是 180 米 / 分钟。若两人从同一地点同时出发，反向跑步，75 秒
时第一次相遇；若两人保持各自的速度从同一地点同时出发同向而行，那么乙第一次
追上甲时跑的圈数是多少圈？
A. 5
B. 5.5
C. 6
D. 6.5
【例 5】
（2021 广东）小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为 3 公里。小
王每小时走 2 公里；小李每小时跑 4 公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两
人第 7 次相遇时，距离出发点多少公里？
A. 0
B. 1
C. 1.5
D. 2
【例 6】
（2020 新疆）一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要 6 天；逆流而行，从
乙地到甲地需要 8 天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A. 24
B. 36
C. 48
D. 56
思维导图
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169
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第三篇
数量关系与资料分析
第七节
几何问题
【例 1】
（2022 联考）某疫苗共需接种 2 剂次方可达到最佳效果。A 市的接种人
数占比统计如下图所示，其中，区域“0”表示尚未接种，区域“1”表示只接种 1 剂
次，区域“2”表示已接种 2 剂次。假设 ABC 是四分之一圆面，D、E 是中点，BDFE
是正方形，则 A 市该疫苗只接种 1 剂次的人数占比：
A
1
D
F
0
B
2
C
E
A. 超过 40% 但不到 50%
B. 刚好 50%
C. 超过 50% 但不到 60%
D. 超过 60%
【 例 2】
（2021 广 东 ） 如 图 所示，周长为 24 米的平行四边形绿化地被划分为
三块区域，两边为三角形的花坛，中间为矩形的草地。已知 a、b、c 长度之比为
4 ∶ 2 ∶ 3 ，则矩形草地的面积为多少平方米？
a
b
c
A. 6
B. 6 3
C. 12
D. 12 3
【例 3】
（2022 事业单位联考）某兴趣小组进行科学实验，在一个长方体的容器中
注入 5 厘米深的液体，已知这个长方体容器长 45 厘米、宽 35 厘米、高 15 厘米。现
170
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第一章 数量关系
将长方体容器内的液体全部倒入一个圆柱体容器内，已知圆柱体底圆半径为 20 厘米，
则圆柱体容器内的液体高度约为多少厘米？
A. 5.2
B. 6.3
C. 7.1
D. 8.0
【例 4】
（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方 500 米
处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的 5 倍。兔子先向
正东方跑了一会儿后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌
龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A. 600
B. 1200
C. 2400
D. 3000
【例 5】
（2022 国考）甲地在丙地正西 17 千米，乙地在丙地正北 8 千米。张从甲
地、李从乙地同时出发，分别向正东和正南方向匀速行走。两人速度均为整数千米 / 小
时，且 1 小时后两人的直线距离为 13 千米，又经过 3 小时后两人均经过了丙地且直
线距离为 5 千米。已知李的速度是张的 60%，则张经过丙地的时间比李：
A. 早不到 10 分钟
B. 早 10 分钟以上
C. 晚不到 10 分钟
D. 晚 10 分钟以上
【例 6】
（2022 广东事业单位）如图所示，一块正方形土地阴影部分为草地，草
地的总面积为 800 平方米，那么土地的边长：
A. 是 40 米
B. 是 60 米
C. 是 80 米
D. 不能确定
【例 7】
（2022 联考）商家门口摆放了一把正四棱锥形（底面为正方形，侧面为
四个全等的等腰三角形）的遮阳伞，第一次伞撑开到图 1 所示的位置，伞柄与伞骨成
，
角 ∠CPQ 为 30°，继续撑开到如图 2 所示的位置，伞柄与伞骨成角 ∠C ′ PQ′ 变为 60°
那么第二次伞撑开后形成的正方形 A′ B′C ′ D′ 是第一次撑开后正方形 ABCD 面积的：
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第三篇
数量关系与资料分析
P
D
Q
A
P
C
B
A'
图1
C'
Q'
D'
B'
图2
A. 3 2 倍
B.
3倍
C. 2 倍
D. 3 倍
思维导图
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ശᖒ˖2πrᕗ䮯˖2πr×
360°
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3
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3ǃ4ǃ5
5ǃ12ǃ13
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30°、60°、90°对应三边比例=1∶ 3∶ 2
45°、45°、90°对应三边比例=1∶1∶ 2
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172
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第一章
数量关系
数量关系
方法精讲 4
学习任务：
1. 课程内容：排列组合与概率问题、容斥原理问题
2. 授课时长：3 小时
3. 对应讲义：173 页 ～ 178 页
4. 重点内容：
（1）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难反易则从
反面求解
（2）掌握三种经典方法（捆绑法、插空法、插板法）的适用范围和操作步骤
（3）掌握常考的概率问题的两种题型——给情况求概率、给概率求概率
（4）掌握两集合容斥原理公式、三集合容斥原理的标准型和非标准型公式
（5）掌握画图法在容斥原理问题中的运用
第八节
排列组合与概率问题
一、排列组合问题
（一）基础概念
【例 1】
（2021 国考）某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满 300
元者可获得一个礼盒，其中装有 6 种干货中的随机 3 种各 1 小袋，以及 1 袋小米或红
豆。问内容不完全相同的礼盒共有多少种可能？
A. 50
B. 45
C. 40
D. 30
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 2】
（2021 联考）某高校开设 A 类选修课四门，B 类选修课三门。小刘从中
共选取四门课程，若要求两类课程各至少选一门，则选法有：
A. 18 种
B. 22 种
C. 26 种
D. 34 种
【例 3】
（2022 联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由
式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的 6 个分项，短道
速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的 3 个分项。小林打算去现场观看比赛，共
选择 6 个项目，并且每个大项不少于 1 个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的
观赛方式有：
A. 83 种
B. 84 种
C. 92 种
D. 102 种
（二）经典题型
【例 1】
（2022 联考）张师傅从事自行车、电动车、摩托车三种类型的车辆维修
工作，每辆维修工时费分别为 3 元、6 元和 9 元。若张师傅某时段维修工时费共收入
15 元，那么该时段张师傅维修车辆类型及相应数量的情况有：
A. 4 种
B. 5 种
C. 6 种
D. 7 种
【例 2】
（2019 四川下）某场科技论坛有 5G、人工智能、区块链、大数据和云计
算 5 个主题，每个主题有 2 位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，
问共有多少种不同的发言次序？
A. 120
B. 240
C. 1200
D. 3840
【例 3】
（2018 浙江事业单位）某地组织 9 名政协委员负责调研农民工子弟小学
教学情况。调研结束合影前有 3 名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排 3 名小学
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第一章 数量关系
生代表与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员，一共有多少
种不同的方式？
A. 7200
B. 29600
C. 43200
D. 362880
【例 4】
（2020 联考）某城市一条道路上有 4 个十字路口，每个十字路口至少有
1 名交通协管员，现将 8 个协管员名额分配到这 4 个路口，则每个路口协管员名额的
分配方案有：
A. 35 种
B. 70 种
C. 96 种
D. 114 种
二、概率问题
【例 1】
（2019 江苏）已知一个箱子中装有 12 件产品，其中有 2 件次品。若从箱
子中随机抽取 2 件产品进行检验，则恰好抽到 1 件次品的概率是：
A.
13
22
B.
10
33
C.
7
11
D.
8
11
【例 2】
（2022 江苏）某公益组织登记在册的男、女志愿者人数之比为 2 ∶ 3，男
性志愿者中 20% 为教师，女性志愿者中 25% 为教师。现从该公益组织登记在册的志
愿者中随机选出 1 人，恰好为教师，则该志愿者为男性的概率是：
A.
2
5
B.
3
7
C.
9
16
D.
8
23
【例 3】
（2022 辽宁事业单位）某公司下午 5：00 下班，当不堵车时，张某 6：20
之前到家；当堵车时，6：20 之前到家的概率为 0.4。若 5：00—6：20 堵车的概率为
175
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第三篇
数量关系与资料分析
0.4，则张某 6：20 之前到家的概率是：
A. 0.74
B. 0.76
C. 0.84
D. 0.89
【例 4】
（2020 联考）植树节期间，某单位购进一批树苗，在林场工人的指导下组
织员工植树造林。假设植树的成活率为 80%，那么，该单位职工小张种植 3 棵树苗，
至少成活 2 棵的概率是：
A.
27
125
B.
48
125
C.
64
125
D.
112
125
思维导图
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第九节
容斥原理问题
【例 1】
（2022 四川事业单位）某汽车制造厂一周内生产汽车共 68 辆，其中 45 辆
176
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第一章
数量关系
有空调，30 辆有高级音响，12 辆兼而有之。则既没有空调也没有高级音响的汽车有
多少辆？
A. 5
B. 8
C. 10
D. 15
【例 2】
（2023 浙江）某班级对 70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有
2
12% 的学生两个科目均不及格。已知有 的学生英语及格，数学及格的学生比英语多
3
10 人，那两科均及格的学生有多少人？
A. 31
B. 37
C. 41
D. 44
【例 3】
（2018 重庆选调）一社区居委会为丰富居民的业余生活，专门设立了多
个俱乐部邀请居民自愿参加。统计结果如下：22 人参加了棋类俱乐部、27 人参加了
音乐俱乐部、50 人参加了戏剧俱乐部、10 人参加了棋类和音乐俱乐部、14 人参加了
音乐和戏剧俱乐部、10 人参加了戏剧和棋类俱乐部、8 人参加了这三个俱乐部。那么
参与活动的居民人数是：
A.57
B.68
C.73
D.84
【例 4】
（2019 新疆兵团）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了
三场讲座。该机关共有 139 人，有 42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第二场
讲座，88 人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有 12 人，只报名参加两场讲座
的有 30 人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？
A. 12
B. 14
C. 24
D. 28
【例 5】
（2020 深圳）某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的
香蕉和香肠以研究其食性。结果表明，90% 的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香
2
肠的狒狒数量的 3 倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的 ，则未进食
3
的狒狒是只吃香蕉的狒狒数量的：
A.
1
5
B.
3
10
C.
2
13
D.
4
15
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第三篇
数量关系与资料分析
思维导图
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178
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第二章
第二章
资料分析
资料分析
资料分析
方法精讲 1
学习任务：
1. 课程内容：速算技巧、基期与现期
2. 授课时长：3 小时
3. 对应讲义：179 页 ～ 186 页
4. 重点内容：
（1）截位直除速算规则
（2）分数比较规则
（3）掌握基期的题型识别与计算公式
（4）掌握现期的题型识别与计算公式
第一节
速算技巧
一、截位直除
【例 1】
3380
≈？
37303
A. 5%
B. 7%
C. 9%
D. 15%
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第三篇
数量关系与资料分析
34177
≈？
22386
【例 2】
A. 1.2
B. 1.8
C. 1.5
D. 2.2
59260.61
≈？
1 + 7.9%
【例 3】
A. 52973.28
B. 54921.79
C. 56938.68
D. 63942.19
【例 4】
680
≈？
137462 − 680
A. 5.0%
B. 4.1%
C. 5.0‰
D. 4.1‰
【例 5】
4635.6
≈？
1575.1 + 250.2
A. 2.5
B. 2.9
C. 3.4
D. 4.0
【例 6】 4774 ÷
2828
≈？
1 + 10.6%
A. 1.3
B. 1.5
C. 1.7
D. 1.9
【例 7】
10.75 43.69
÷
≈？
2060 17581
A. 0.5
B. 0.8
C. 1.3
D. 2.1
思维导图
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180
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第二章 资料分析
二、分数比较
【例 1】比较分数：
85.1
90.6
和
。
4426.3 4335.7
【例 2】比较分数：
2580 5770
和
。
3787 7557
【例 3】比较分数：
1024
3726
和
。
2755 11178
【例 4】
3850
3350
3050
3700
、
、
、
这四个分数中最大的是：
40007 43852 47203 50251
A.
3850
40007
B.
3350
43852
C.
3050
47203
D.
3700
50251
【例 5】
1442 1240 1289 1386
、
、
、
这四个分数中最大的是：
7017 5575 4335 3046
A.
1442
7017
B.
1240
5575
C.
1289
4335
D.
1386
3046
【例 6】分数
248
121
156
、
、
由大到小排序正确的是：
5950 12157 1188
A.
248
156
121
>
>
5950 1188 12157
B.
156
248
121
>
>
1188 5950 12157
C.
121
156
248
>
>
12157 1188 5950
D.
156
121
248
>
>
1188 12157 5950
181
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 7】
1353.1 1301.5 587.6 12995.0
、
、
、
这四个分数中最大的是：
244.5
245.9 181.3
2757.6
A.
1353.1
244.5
B.
1301.5
245.9
C.
587.6
181.3
D.
12995.0
2757.6
思维导图
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第二节
基期与现期
基本术语：
² 基期量与现期量
资料分析中常涉及两个量的比较，作为对比参照的时期称为基期，对应的量称为
基期量；而相对于基期的时期称为现期，所对应的量称为现期量。
² 增长量与增长率
增长量：用来表述基期量与现期量变化的绝对量。
增长率：用来表述基期量与现期量变化的相对量。
² 同比与环比
同比：一般与上年同一时期相比较。
环比：与相邻的上一个时期相比较。
一、基期量
182
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第二章 资料分析
【例 1】
（2019 联考）2016 年全国供用水总量为 6040.2 亿立方米，较上年减少
63.0 亿立方米。其中，地表水源供水量 4912.4 亿立方米，占供水总量的 81.3%；地下
水源供水量 1057.0 亿立方米，占供水总量的 17.5%；其他水源供水量 70.8 亿立方米，
占供水总量的 1.2%。
2015 年全国供用水总量为：
A. 6040.2 亿立方米
B. 6103.2 亿立方米
C. 5977.2 亿立方米
D. 1057.2 亿立方米
【例 2】
（2020 新疆）2018 年，M 省煤、锯材、铜矿砂为进口值前三的商品，三
者合计占同期进口总值的 55.8%；钢材、机电产品、农产品为出口值前三的商品，三
者合计占同期出口总值的 53.9%。2018 年 M 省对“一带一路”沿线国家外贸进出口
699.3 亿元，增长 14.6%，占同期外贸进出口总值的 67.6%。其中对蒙古国外贸进出口
327.7 亿元，增长 24.1%。
2017 年 M 省对“一带一路”沿线国家外贸进出口总值为多少亿元？
A. 509.2
B. 610.2
C. 699.3
D. 819.3
【例 3】
（2021 联考）截至 2019 年 3 月 31 日，证券业协会对证券公司 2019 年第
一季度经营数据进行了统计，131 家证券公司当期实现营业收入 1018.94 亿元，同比
增长 54.47%。
其中，各主营业务收入分别为代理买卖证券业务净收入（含席位租赁）221.49 亿
元，同比增长 13.77%；证券承销与保荐业务净收入 66.73 亿元，同比增长 19.5%；财
务顾问业务净收入 20.95 亿元，同比增长 15.17%；投资咨询业务净收入 7.15 亿元，
同比增长 5.15%；资产管理业务净收入 57.33 亿元，同比下降 15.43%；证券投资收益
（含公允价值变动）514.05 亿元，同比增长 215.17%；利息净收入 69.04 亿元，同比增
长 4.94%；当期实现净利润 440.16 亿元，同比增长 86.83%；119 家公司实现盈利，同
比增长 10.19%。
2018 年第一季度，131 家证券公司资产管理业务净收入约为多少亿元？
A. 49.7
B. 58.6
C. 67.8
D. 75.6
183
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 4】
（2022 国考）
2020 年 H 省秋粮平均生产成本及同比增速
单位：元 / 亩（成本），%（增速）
秋粮
玉米
稻谷
成本
增速
成本
增速
成本
增速
440.6
–2.1
430.5
–1.9
525.7
–4.0
203.9
–0.3
205.4
–0.3
210.6
0.4
其中：种子
51.3
0.4
48.5
–0.1
68.4
1.8
化肥
125.3
–2.2
131.0
–2.6
107.7
–0.3
农药
26.9
8.6
25.6
14.0
34.3
–1.2
生产服务支出
130.3
–3.5
120.7
–5.8
194.4
4.3
其中：机耕
22.1
0.3
15.4
–3.1
61.8
3.0
机播
21.7
–1.1
21.2
–6.4
24.0
37.4
机收
62.3
–2.0
61.0
–1.2
78.4
–0.7
排灌
24.3
–12.0
23.1
–17.2
30.2
0.7
106.5
–3.5
104.4
–0.4
120.7
–20.3
生产成本
其中：物质费用
人工成本
注：部分数据因四舍五入的原因，存在总计与分项合计不等的情况。
2019 年，H 省秋粮稻谷的平均生产成本约为多少元 / 亩？
A. 439
B. 450
C. 533
D. 548
【例 5】
（2021 黑龙江公检法司）
M 市 2021 年 1—6 月降雨量
月份
降雨量（毫米）
同比增长率
1月
20
–10%
2月
30
2%
3月
35
6%
4月
40
5%
5月
42
–5%
6月
79
20%
184
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第二章 资料分析
M 市 2020 年 6 月的降雨量比同年 1 月的约高多少毫米？
A. 43.6
B. 45.8
C. 47.7
D. 56.8
二、现期量
【例 1】
（2021 四川下）
亿元
350000
332316
300931
300000
250000
271896
214433
242843
200000
150000
100000
50000
0
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2012—2016 年社会消费品零售总额
如从 2016 年开始，社会消费品零售总额年增量保持不变，社会消费品零售总额
首次超过 40 万亿元的年份是：
A. 2017 年
B. 2018 年
C. 2019 年
D. 2020 年
185
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 2】
（2019 联考）
2017 年我国服务分类进出口统计
金额单位：亿元人民币
服务类别
进出口
出口
进口
金额
同比（%）
金额
同比（%）
金额
同比（%）
加工服务
1235.0
–1.0
1223.0
–1.0
12.0
14.2
维护和维修服务
554.0
18.1
401.0
20.0
153.0
14.3
运输
8784.0
15.6
2506.0
12.0
6278.0
17.3
旅行
19826.0
–2.2
2615.0
–11.0
17210.0
–0.8
建筑
2197.0
57.8
1618.0
92.0
579.0
5.4
保险和养老金服务
976.0
–13.9
273.0
–1.0
703.0
–18.0
金融服务
359.0
3.0
250.0
17.0
109.0
–19.1
知识产权使用费
2252.0
34.7
322.0
315.0
1930.0
21.2
3171.0
22.1
1876.0
6.0
1295.0
55.0
7051.0
4.8
4157.0
8.0
2895.0
0.4
237.0
23.9
51.0
4.0
186.0
30.8
348.0
28.5
115.0
43.0
233.0
22.3
电信、计算机和
信息服务
其他商业服务
个人、文化和
娱乐服务
别处未提及的
政府服务
注：部分数据因四舍五入的原因，存在出口金额与进口金额加和不等于进出口金
额的情况。
按照 2017 年的同比增速，2018 年知识产权使用费出口额约为：
A. 992 亿元人民币
B. 1014 亿元人民币
C. 1336 亿元人民币
D. 1588 亿元人民币
思维导图
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186
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第二章
资料分析
资料分析
方法精讲 2
学习任务：
1. 课程内容：一般增长率、增长量
2. 授课时长：3 小时
3. 对应讲义：187 页 ～ 199 页
4. 重点内容：
（1）增长率相关术语的联系与区别
（2）一般增长率的题型识别及计算公式
（3）一般增长率的比较技巧
（4）增长量的计算与比较技巧
第三节
一般增长率
基本术语：
² 增长率
增长率是用来表述基期量与现期量变化的相对量。增长率又称增速、增幅或者增
长幅度、增值率等，增长率为负时表示下降，下降率也可直接写成负的增长率。
² 百分数与百分点
百分数：用来反映量之间的比例关系。
百分点：用来反映百分数的变化。
² 增长率与倍数
增长率指比基数多出的比率，倍数指两数的直接比值。
若 A 是 B 的 n 倍，则 n=r+1（r 指 A 相对于 B 的增长率）。
² 成数与翻番
成数：几成相当于十分之几。
翻番：翻一番为原来的 2 倍；翻两番为原来的 4 倍；依此类推，翻 n 番为原来的
n
2 倍。
² 增幅、降幅与变化幅度
增幅一般就是指增长率，有正有负。
降幅指下降的幅度，降幅比较大小时，只比较增长率的绝对值（前提必须为下降）
。
187
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第三篇
数量关系与资料分析
变化幅度指增长或下降的绝对比率，变化幅度比较大小时，用增幅（降幅）的绝
对值。
一、计算
【例 1】
（2022 江苏）2020 年江苏省实现以新产业、新业态、新模式为主要内容
的“三新”经济增加值 25177 亿元，比上年增长 5.6%，比全省地区生产总值的增速
快 1.5 个百分点，占全省地区生产总值的比重为 24.5%。全省战略性新兴产业产值增
长 11.0%，快于规模以上工业 5.5 个百分点。其中新能源汽车、数字创意、新能源和
高端装备制造业的产值增速分别为 21.0%、19.8%、15.6% 和 15.5%。高技术制造业增
加值增长 10.3%，占规模以上工业的比重为 23.5%，提高 1.7 个百分点。
2020 年江苏省数字创意产业产值增速比规模以上工业产值增速快：
A. 5.5 个百分点
B. 10.1 个百分点
C. 14.3 个百分点
D. 15.5 个百分点
【例 2】
（2021 联考）2020 年全年，汽车产销降幅收窄至 2% 以内。汽车产量为
2522.5 万辆，销量为 2531.1 万辆，同比分别下降 2.0% 和 1.9%，降幅分别比 2020 年
上半年收窄 14.8 和 15.0 个百分点。2020 年全年，新能源汽车销量为 136.7 万辆，同
比增长 10.9%。
2020 年上半年汽车销量降幅估计在：
A. 10 个百分点以内
B. 10 ～ 12 个百分点
C. 12 ～ 14 个百分点
D. 15 个百分点以上
【例 3】
（2022 广东）2020 年，全国职工基本医疗保险（以下简称职工医保）参
保人数持续增加，基金收支规模基本稳定。参加职工医保 34455 万人，比上年同比
增加 1530 万人。其中在职职工 25429 万人，比上年增长 5.0%；退休职工 9026 万人，
比上年增长 3.7%。企业、机关事业、灵活就业等其他人员三类参保人员（包括在职
职工和退休人员）分别为 23317 万人、6387 万人、4751 万人，分别比上年增加 1050
万人、155 万人、325 万人。
188
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第二章 资料分析
2020 年，全国参加职工医保人数同比增长约：
A. 4.6%
B. 5.4%
C. 6.2%
D. 7.1%
【例 4】
（2022 联考）
%
平方米
40.22 40.12 40.30 40.91 41.11 41.51 42.06 45.00
38.22 38.62 39.22 39.59 39.70
40.00
30.00
38.24 35.00
25.00
36.29 36.36 36.43 37.11 37.34 37.63
30.00
34.17 34.47 35.27 35.72 35.78
20.00
25.00
14.78
14.36
14.11
14.01
13.70
13.35
20.00
15.00
12.26 12.64 13.08
10.66 11.18 11.80
15.00
10.00
10.00
5.00
5.00
0.00
0.00
2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年
35.00
人均公园绿地面积
建成区绿化覆盖率
建成区绿地率
2009— 2020 年全国城市绿化状况
图中全国城市建成区绿地率首次超过 35% 的年份，当年人均公园绿地面积同比
约上升了：
A. 4%
B. 6%
C. 8%
D. 10%
【例 5】
（2019 联考）2014 年我国实施“单独两孩”生育政策，出生人口 1687 万
人，比上年增加 47 万人。2016 年实施“全面两孩”生育政策，出生人口 1786 万人，
比上年增加 131 万人；出生率与“十二五”时期年平均出生率相比，提高了 0.84 个
千分点。2017 年我国出生人口 1723 万人，虽然比上年减少 63 万人，但比“十二五”
时期年平均出生人口多出 79 万人；出生率为 12.43‰，比上一年降低 0.52 个千分点。
2017 年二孩数量进一步上升至 883 万人，二孩占全部出生人口的比重达到 51.2%，比
2016 年的占比提高了 11 个百分点。
2015 年我国出生人口同比：
A. 增长 3.2%
B. 降低 3.2%
C. 增长 1.9%
D. 降低 1.9%
189
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 6】
（2020 国考）
亿元
80
60
40
20
0
13.05
8.20
9.46
10.32
10.86
22.30
25.20
26.68
27.64
32.89
2010
2011
2012
2013
2014
门票收入
14.58
15.61
35.86
38.02
2015
2016
17.45
42.09
2017
21.18
50.60
2018 年
非门票收入
2010—2018 年我国海洋主题公园收入构成
2011—2018 年间，我国海洋主题公园非门票收入同比增速超过 10% 的年份有
几个？
A. 5
B. 6
C. 3
D. 4
二、比较
190
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第二章 资料分析
【例 1】
（2021 广东选调）
主要年份广东经济特区人均地区生产总值情况（单位：元）
年份
全省
经济特区
其中：深圳
其中：珠海
其中：汕头
1980
481
443
835
720
366
1990
2484
4917
11097
6678
2026
2000
12817
24067
33276
28068
9741
2010
44669
73066
99095
80024
21208
2019
94172
158610
203489
175533
47669
下列年份中，与上一个主要年份相比，汕头人均地区生产总值增长速度最快的是：
A. 1990 年
B. 2000 年
C. 2010 年
D. 2019 年
【例 2】
（2022 联考）
50000
3.1
41000
2.6
32000
23000
19861 20501
21362
21720
23308
24224
25429
2.1
1.6
14000
6624
5000
21041
22288
6942
7255
7531
7812
8034
8700
8373
9026
2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年
在职职工参保人数
退休职工参保人数
1.1
在职退休比
2012—2020 年职工医保参保人员结构（单位：万人）
下列年份中，在职职工参保人数同比增速大小排序错误的是：
A. 2017 年＞ 2016 年
B. 2018 年＞ 2017 年
C. 2019 年＞ 2018 年
D. 2020 年＞ 2019 年
191
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 3】
（2020 浙江）
4.00
3.66
3.50
3.80
3.09
3.00
2.43
2.50
2.02
2.00
1.50
1.43
1.55
1.72
1.00
0.50
0.00
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018 年
2011—2018 年中国保险行业原保险保费收入（单位：万亿元）
2014—2017 年，中国保险行业原保险保费收入同比增速最高的年份是：
A. 2014 年
B. 2015 年
C. 2016 年
D. 2017 年
思维导图
识别：增长/下降 +% ,成，倍
；
增长量
方法：无百分点， r =
基期量
速算：截位直除
识别：增长最快/慢；增长率最高/低
现期量
现期量
；
≥ 2 ，比较
基期量
基期量
现期量
增长量
＜ 2 ，比较
基期量
方法： 基期量
速算：分数比较法
192
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第二章 资料分析
第四节
增长量
基本术语：
增长量是用来表述基期量与现期量变化的绝对量，增长率则是用来表述两者变化
的相对量。
年均增长量 =（现期量 – 基期量）÷ 年份差。
一、计算
【例 1】
（2019 北京）
2009—2015 年我国会展业发展状况
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
4920
6200
6830
7189
7319
8009
9283
展览会展出面积（万平方米） 4990
7440
8120
8990
9391
10276
11798
会展业总产值（亿元）
1817
2482
3016
3500
3870
4184
4803
出境参展项目数量（个）
1183
1316
1375
1528
1391
1447
1385
出境参展净面积（万平方米） 42.64
51.75
60.50
69.73
61.80
70.70
63.90
30185
36007
40190
47376
47494
47787
46000
年份（年）
展览会数量（场）
出境参展企业数（家）
以下哪项的折线图可以准确表现 2011—2014 年间，我国会展业总产值同比增量
的变化情况（单位：亿元）？
600
800
600
500
A.
B.
400
300
400
200
2011 2012 2013 2014 年
0
2011 2012 2013 2014 年
193
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第三篇
数量关系与资料分析
800
1000
600
800
400
C.
D.
200
0
600
400
2011 2012 2013 2014 年
200
2011 2012 2013 2014 年
【例 2】
（2023 浙江）
亿元
7000
10.3
9.7
6000
8.1
7.5
6.8
4000
3000
2807
3079
3327
3577
7.8
6.2
5000
3820
4057
%
12.0
4087
8.0
4405
0.0
0.7
- 4.0
2000
- 8.0
1000
0
4.0
2014
2015
2016
2017
2018
销售额
2019
2020
- 12.0
2021 年
同比增速
2014—2021 年全国实体药店市场药品销售额及同比增速
2014—2021 年间，全国实体药店市场药品年均销售额增长约为多少亿元？
A. 228
B. 233
C. 238
D. 244
【例 3】
（2022 江苏）
2015—2020 年我国集成电路进出口数据
年份
进口量（亿块） 出口量（亿块） 进口额（亿美元） 出口额（亿美元）
2015
3140
1827
2299
691
2016
3425
1809
2270
610
2017
3770
2044
2601
669
194
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第二章 资料分析
续表
年份
进口量（亿块） 出口量（亿块） 进口额（亿美元） 出口额（亿美元）
2018
4176
2171
3121
846
2019
4451
2187
3055
1016
2020
5449
2698
3500
1166
“十三五”时期，我国集成电路出口额的年均增量是：
A. 79 亿美元
B. 95 亿美元
C. 111 亿美元
D. 139 亿美元
【例 4】
（2019 四川下）2016 年 4 月，保监会机关及各保监局共接收各类涉及保
险消费者权益的有效投诉总量为 2989 件，同比上升 43.15%，环比上升 24.44%。其
中，接收保险公司投诉 2980 件，其他非保险公司投诉 9 件。接收保险公司投诉中，
涉及保险公司合同纠纷类投诉 2721 件；涉嫌保险公司违法违规类投诉 259 件。
2016 年 4 月，保监会机关及各保监局接收各类涉及保险消费者权益的有效投诉
总件数较上月增加的数量最接近以下哪个数字？
A. 384
B. 451
C. 587
D. 756
【例 5】
（2020 江苏）2019 年 1—10 月，江苏民航机场旅客吞吐量 4901 万人次，
同比增长 13.4%，增速比华东地区（六省一市）高 6.2 个百分点，比上海高 9.7 个百
分点，比浙江高 5.7 个百分点，比山东高 4.4 个百分点，比福建高 8.7 个百分点，比
江西高 6.9 个百分点，与安徽持平。
2019 年 1—10 月，江苏民航机场旅客吞吐量同比增加：
A. 398 万人次
B. 435 万人次
C. 579 万人次
D. 657 万人次
【例 6】
（2020 青海）2019 年 6 月，全国发行地方政府债券 8996 亿元，同比增长
68.37%，环比增长 195.63%。其中，发行一般债券 3178 亿元，同比减少 28.33%，环
比增长 117.08%，发行专项债券 5818 亿元，同比增长 540.04%，环比增长 268.46%；
按用途划分，发行新增债券 7170 亿元，同比增长 127.11%，环比增长 332.71%，发行
置换债券和再融资债券 1826 亿元，同比减少 16.47%，环比增长 31.75%。
2019 年 6 月，全国发行的地方政府债券比 2018 年 6 月多约：
A. 6151 亿元
B. 5953 亿元
195
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第三篇
数量关系与资料分析
C. 3653 亿元
D. 3043 亿元
【例 7】
（2022 事业单位联考）
2020 年长三角地区 41 个城市及其中上海市六项污染物年平均浓度
地区
长三角地区
上海
指标
浓度单位
浓度
比 2019 年（%）
PM2.5
微克 / 立方米
35.0
–14.6
PM10
微克 / 立方米
56.0
–13.8
O3
微克 / 立方米
152.0
–7.3
SO2
微克 / 立方米
7.0
–22.2
NO2
微克 / 立方米
29.0
–9.4
CO
毫克 / 立方米
1.1
–8.3
PM2.5
微克 / 立方米
32.0
–8.6
PM10
微克 / 立方米
41.0
–8.9
O3
微克 / 立方米
152.0
0.7
SO2
微克 / 立方米
6.0
–14.3
NO2
微克 / 立方米
37.0
–11.9
CO
毫克 / 立方米
1.1
0.0
2020 年，长三角地区 41 个城市 O3 平均浓度同比下降了多少微克 / 立方米？
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
【例 8】
（2019 北京）2017 年上半年，B 市规模以上文化创意产业法人单位、战
略性新兴产业法人单位、高技术服务业法人单位分别实现收入 6902.7 亿元、3870.0
亿元和 6924.9 亿元，同比分别增长 8.6%、12.6% 和 9.1%。
2017 年上半年，B 市规模以上文化创意产业法人单位实现收入同比增量约是战略
性新兴产业法人单位的多少倍？
A. 0.7
B. 1.3
C. 1.8
D. 2.6
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第二章 资料分析
二、比较
【例 1】
（2020 江苏）
人
个
180000
160000
140000
120000
100000
125155
102471
80000
60000
5207
137173
111338
7737
5728
148095 146098 151430
161500 162600
9931
8421
8676
10160
12000
10000
8000
8954
6000
6124
4000
40000
2000
20000
0
0
2010
2011
2012
2013
2014
从业人员数
2015
2016
2017
2018
机构数
2010—2018 年全国文物机构及其从业人员情况
2011—2018 年全国文物机构数增加最多的年份是：
A. 2011 年
B. 2013 年
C. 2015 年
D. 2017 年
【例 2】
（2020 国考）2018 年前三季度，S 省物流相关行业实现总收入 1912.8 亿
元，同比增长 6.6%。其中：运输环节收入 1321.9 亿元，同比增长 6.0%；保管环节收
入 226.2 亿元，同比增长 6.4%；邮政业收入 82.8 亿元，同比增长 16.7%；配送、加
工、包装业收入 98.8 亿元，同比增长 6.4%。
2018 年前三季度，S 省社会物流总费用 2682.1 亿元，同比增长 6.3%，比上半年
放缓 0.9 个百分点。其中：物流运输环节总费用 1854.6 亿元，同比增长 6.3%；保管
环节总费用 612.4 亿元，同比增长 6.4%；管理环节总费用 214.9 亿元，同比增长 6.4%。
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第三篇
数量关系与资料分析
关于 2018 年前三季度 S 省物流情况，能够从上述资料中推出的是：
A. 略
B. 物流运输环节收入同比增量高于该环节费用同比增量
C. 略
D. 略
【 例 3】
（2020 浙 江 ）2018 年， 从 险 种 来 看， 财 产 险 业 务 原 保 险 保 费 收 入
10770.08 亿元，同比增长 9.51%；人身险原保险保费收入 27246.54 亿元，其中寿险
业务原保险保费收入 20722.86 亿元，同比下降 3.41%；健康险业务原保险保费收入
5448.13 亿元，同比增长 24.12%；意外险业务原保险保费收入 1075.55 亿元，同比增
长 19.33%。从保费收入结构来看，人身险、财产险的保费占比与上年相比趋于稳定。
2018 年，下列险种中，原保险保费收入同比增长额最大的是：
A. 财产险业务
B. 寿险业务
C. 意外险业务
D. 健康险业务
【例 4】
（2020 国考）2018 年前三季度，S 省物流相关行业实现总收入 1912.8 亿
元，同比增长 6.6%。其中：运输环节收入 1321.9 亿元，同比增长 6.0%；保管环节收
入 226.2 亿元，同比增长 6.4%；邮政业收入 82.8 亿元，同比增长 16.7%；配送、加
工、包装业收入 98.8 亿元，同比增长 6.4%。
将 2018 年前三季度 S 省物流相关行业不同类型的收入按照同比增量从高到低排
列，以下正确的是：
A. 运输收入 > 保管收入 > 邮政业收入 > 配送、加工、包装业收入
B. 运输收入 > 配送、加工、包装业收入 > 邮政业收入 > 保管收入
C. 运输收入 > 保管收入 > 配送、加工、包装业收入 > 邮政业收入
D. 运输收入 > 邮政业收入 > 配送、加工、包装业收入 > 保管收入
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第二章 资料分析
思维导图
识别
增长/下降+单位（人/元/吨）
增长量=现期量-基期量=基期量×r=
公式
年均增长量=
计算
速算
增
长
量
比较
现期量
×r
1+r
现期量-基期量
年份差
百分数化分数：近似转化、倍数转化、取中转化
1
现期量
｜r｜=
，若 r＞0 ，则增长量=
N
N+1
现期量
若 r＜0 ，则增长量=N-1
识别
增长最多/少
速算
给出每年数据：直接两两相减后比较，柱状图还可用直尺测量
给出现期量和r：两者都大则增长量必然大，否则百化分计算后比较
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第三篇
数量关系与资料分析
资料分析
方法精讲 3
学习任务：
1. 课程内容：比重、平均数
2. 授课时长：3 小时
3. 对应讲义：200 页 ～ 211 页
4. 重点内容：
（1）现期比重的计算公式及拓展
（2）两期比重的升降判断及数值计算
（3）不同条件下的现期平均数计算及基期平均数、两期平均数问题
第五节
比重
基本术语：
² 比重
比重指部分在整体中所占的比率，贡献率、利润率等也可以看成比重。
² 增长贡献率
增长贡献率指部分增量在整体增量中所占的比例。
² 利润率
资料分析中的利润率特指利润在收入中的占比。
一、现期比重
200
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第二章 资料分析
【例 1】
（2023 上海）
45000
40000
35000
30000
28633
30191
32119
33985
36692
39036
37303
25000
20000
15000
10000
5000
0
2573
2857
3161
3426
3554
4022
3380
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
人均教育文化娱乐支出（元）
人均消费支出（元）
2014—2020 年江浙沪地区年人均消费和教育文化娱乐支出
2020 年，江浙沪地区年人均教育文化娱乐支出在年人均消费支出中的占比约为：
A. 5%
B. 7%
C. 9%
D. 15%
【例 2】
（2020 北京）截至 2015 年 12 月底，北京市文化及相关产业企业共有
198948 户，同比增长 16.49%，占全市企业总数的 16.63%；2015 年新设文化及相关产
业企业 30323 户，同比增长 3.91%。
截至 2015 年 12 月底北京市企业总数约为多少万户？
A. 120
B. 23
C. 17
D. 3
【例 3】
（2021 联考）截至 2019 年 12 月 31 日，中国共产党党员总数为 9191.6 万
名，同比增长 1.46%。在党员的性别、民族和学历上，女党员 2559.9 万名，少数民
族党员 680.3 万名，大专及以上学历党员 4661.5 万名。在党员的入党时间上，新中
国成立前入党的 17.4 万名，新中国成立后至党的十一届三中全会前入党的 1550.9 万
名，党的十一届三中全会后至党的十八大前入党的 6127.7 万名，党的十八大以来入
党的 1495.6 万名。在党员的职业上，工人（含工勤技能人员）644.5 万名，农牧渔民
2556.1 万名，企事业单位、社会组织专业技术人员 1440.3 万名，企事业单位、社会
组织管理人员 1010.4 万名，党政机关工作人员 767.8 万名，学生 196.0 万名，其他职
业人员 710.4 万名，离退休人员 1866.1 万名。
截至 2019 年 12 月 31 日，资料所列 8 种党员职业类型中，党员人数占比不低于
201
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第三篇
数量关系与资料分析
15% 的有：
A. 3 类
B. 4 类
C. 5 类
D. 6 类
【 例 4】
（2021 广 东 ）2020 年 前 三 季 度，G 省 智 能 机 器 人 产 业 实 现 营 业 收 入
326.62 亿元，同比增长超 40%，四大行业营业收入均实现正增长，经济效益好于全部
规模以上工业企业。
2020 年前三季度 G 省智能机器人产业四大行业效益情况
行业名称
营业收入（亿元） 同比增速
利润总额（亿元）
工业机器人制造业
48.62
27.5%
–8.61
特殊作业工业机器人制造业
1.07
118.4%
0.22
智能无人飞行器制造业
233.07
46.0%
40.74
服务消费机器人制造业
43.86
40.3%
–0.90

利润总额 
2020 年前三季度，G 省智能机器人产业的总体利润率  利润率 =
 约为：
营业收入 

A. –0.6%
B. 4.6%
C. 9.6%
D. 14.6%
【例 5】
（2022 四川下）
2019 年 A 市城乡居民各类人均收入
单位：元
全市居民
城镇居民
农村居民
工资性收入
15475
22119
5316
经营净收入
4697
4361
5210
财产净收入
1792
2724
367
转移净收入
6956
8735
4240
以下饼图中，最能准确反映 2019 年 A 市全市居民工资性收入（白色）、经营净收
入（灰色）
、财产净收入（黑色）和转移净收入（斜线）占可支配收入比重关系的是：
202
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第二章
A.
B.
C.
D.
资料分析
二、基期比重
【例 1】
（2021 新疆兵团）
（2018 年）针叶原木从新西兰进口 1729.4 万立方米，
增长 23.2%；俄罗斯 795.3 万立方米，下降 10.1%；美国 502.8 万立方米，增长 2.3%；
澳大利亚 413.4 万立方米，下降 3.7%；乌拉圭 209.0 万立方米，同比增长 175.4%；从
日本进口针叶原木 92.3 万立方米，同比增长 23.0%。2018 年进口针叶锯材 2488.0 万
立方米，金额 49.91 亿美元，分别下降 0.7% 和增长 2.3%。其中来自俄罗斯针叶锯材
1567.4 万立方米，增长 9.7%，占进口针叶锯材的 63.0%；从加拿大进口 417.4 万立方
米，大幅下降 18.2%，占进口针叶锯材的 17.0%。
2017 年从加拿大进口的针叶锯材占总进口的比重约为：
A. 62.70%
B. 40.25%
C. 34.68%
D. 20.37%
【例 2】
（2021 联考）2020 年全年，汽车产销降幅收窄至 2% 以内。汽车产量为
2522.5 万辆，销量为 2531.1 万辆，同比分别下降 2.0% 和 1.9%，降幅分别比 2020 年
203
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第三篇
数量关系与资料分析
上半年收窄 14.8 和 15.0 个百分点。2020 年全年，新能源汽车销量为 136.7 万辆，同
比增长 10.9%。
2019 年新能源汽车销量占汽车总销量的比重为：
A. 不超过 3%
B. 4% 左右
C. 5% 左右
D. 大于 6%
三、两期比重
【例 1】
（2022 天津）2022 年 1 月份，我国银行间人民币市场以拆借、现券和回
购方式合计日均成交 6.31 万亿元，日均成交同比增长 18.0%。其中，同业拆借日均
成交同比增长 9.3%，现券日均成交同比增长 22.9%，质押式回购日均成交同比增长
18.2%。
2022 年 1 月，我国银行间人民币市场同业拆借、现券、质押式回购日均成交量
所占三者合计的比重高于上年同期的是：
A. 仅现券
B. 仅现券和质押式回购
C. 仅同业拆借和质押式回购
D. 同业拆借、现券、质押式回购
【例 2】
（2022 四川下）
2019 年一季度邮政行业业务状况及同比增速
一季度
邮政行业业务收入（亿元）
其中：邮政寄递服务（亿元）
快递业务（亿元）
3月
数量
增速（%）
数量
增速（%）
2173.9
19.5
799.1
19.4
110.4
7.4
37.1
–1.6
1543.0
21.4
596.0
23.0
601950.3
1.3
212252.2
0.4
邮政行业业务总量
邮政寄递服务（万件 / 万份 / 万笔）
204
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第二章 资料分析
续表
一季度
3月
数量
增速（%）
数量
增速（%）
62454.9
–20.3
23056.1
–21.3
588.1
–12.3
188.9
–10.8
订销报纸（万份）
419883.0
–2.5
148145.5
–1.7
订销杂志（万份）
20005.9
–4.5
6980.0
–4.9
498.9
–32.3
157.1
–32.1
1214633.0
22.5
486392.8
23.3
其中：同城（万件）
235701.3
–0.2
90111.2
1.2
异地（万件）
949709.7
30.3
384996.5
30.6
国际 / 港澳台（万件）
29222.0
8.9
11285.2
7.5
其中：函件（万件）
包裹（万件）
汇兑（万笔）
快递业务（万件）
注：部分数据因四舍五入的原因，存在总计与分项合计不等的情况。
在①同城快递、②异地快递和③国际 / 港澳台快递中，2019 年 3 月业务量占一季
度比重高于 2018 年 3 月业务量占一季度比重的是：
A. 仅①
B. 仅③
C. 仅①和②
D. 仅②和③
【例 3】
（2021 广东）2020 年全国社会消费品零售总额 391981 亿元，同比下降
3.9%，居家消费需求明显增长，
“宅经济”带动新型消费模式加快发展。2020 年，全
国网上零售额比上年增长 10.9%，增速比前三季度加快 1.2 个百分点。其中实物商品
网上零售额增长 14.8%，占社会消费品零售总额的比重为 24.9%。在线上消费快速增
长带动下，全年快递业务量超过 830 亿件，比上年增长超过 30%。
2020 年 G 省社会消费品零售总额 40207 亿元，同比下降 6.4%。一季度，消费市
场销售大幅下降 19.0%。二季度市场销售降幅较一季度收窄 10 个百分点，三季度消
费品零售总额与去年同期基本持平。四季度，社会消费品零售总额同比增长 1.9%，
整体回升态势明显。
与 2019 年相比，2020 年 G 省社会消费品零售总额占全国的比重：
A. 增加了 2.7 个百分点
B. 增加了 0.27 个百分点
C. 下降了 2.7 个百分点
D. 下降了 0.27 个百分点
205
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 4】
（2020 山东）2016 年国产工业机器人销量继续增长，全年累计销售 29144
台，较上年增长 16.8%，增速较上年提升。
从应用领域看，2016 年搬运与上下料仍是国产工业机器人的首要应用领域，全年
销售 1.65 万台，同比增长 22.0%，增速放缓，占国产工业机器人销售总量的 56.6%；
焊接和钎焊机器人销售 0.51 万台，同比增长 36.3%；装配与拆卸机器人销售 0.37 万
台，同比增长 129%。此外涂层与胶封机器人的销售也实现了 32.9% 的增长，特别是
其中的喷漆上釉机器人销量增长了 138%，而洁净室机器人和加工机器人的销售量均
出现了同比下降。
2016 年装配与拆卸机器人销量占国产工业机器人总销量的比重比上年约：
A. 下降了 2 个百分点
B. 下降了 6 个百分点
C. 提升了 2 个百分点
D. 提升了 6 个百分点
思维导图
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B
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A
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B
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B 1+a
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第六节
平均数
基本术语：
平均数指多个数的平均值，即
均收入 =
多个数的总和
；也可以指两个量的比值，例如，人
数的个数
收入
。
人数
206
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第二章 资料分析
一、现期平均数
【例 1】
（2020 国考）2018 年，B 市新经济实现增加值 10057.4 亿元，比上年增长
9.3%，占全市地区生产总值的比重为 33.2%，比上年提高 0.4 个百分点。全年全市新
设立的企业中，信息服务业、科技服务业企业合计达到 70661 家，占比为 38.5%，注
册资本达到 7311.4 亿元，同比增长 13.5%。
2018 年 B 市平均每家新设立的信息服务业、科技服务业企业注册资本：
A. 在 1000 ～ 1100 万元之间
B. 超过 1100 万元
C. 不到 900 万元
D. 在 900 ～ 1000 万元之间
【例 2】
（2022 湖北选调）2021 年上半年，湖北省 676 家规上信息软件业企业中
营业收入前 20 的企业共实现营业收入 355.46 亿元，同比增长 8.3%，拉动规上服务业
营业收入增长 1.1 个百分点。
2021 年上半年湖北省规上信息软件业中营业收入前 20 的企业，平均每家每月营
业收入约为多少亿元？
A. 1.18
B. 2.25
C. 2.32
D. 2.96
207
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 3】
（2018 四川下）
万吨
7000
15.4 17.9 11.8
5.6
6000
14.5
12.0 7.8
3.4
19.6
3720 3611 3474
3701
3398
3439
4000
1.5
-7.4
5000
3704
3103
3000
3370
14.7
0.6
%
25
0
4064
3226
3917 3946
- 25
- 50
2000
- 75
1000
- 100
11
月
年
12
18 月
年
1月
18
年
2月
18
年
3月
18
年
4月
进口量
17
月
年
10
17
年
9月
17
年
8月
17
年
7月
17
年
6月
17
年
5月
17
年
17
17
年
4月
0
增速
2017 年 4 月—2018 年 4 月我国原油进口量及同比增速
2017 年下半年，我国平均每月进口原油：
A. 不到 3300 万吨
B. 在 3300 ～ 3400 万吨之间
C. 在 3400 ～ 3500 万吨之间
D. 超过 3500 万吨
【例 4】
（2020 国考）
2013—2018 年中国集成电路进出口状况
进口
出口
数量（亿块）
金额（亿美元）
数量（亿块）
金额（亿美元）
2013 年
2663.1
2313.4
1426.7
877.0
2014 年
2856.5
2176.2
1535.2
608.6
2015 年
3140.0
2300.0
1827.7
693.2
2016 年
3425.5
2270.7
1810.1
613.8
2017 年
3770.1
2601.4
2043.5
668.8
2018 年
4175.7
3120.6
2171.0
846.4
关于中国集成电路产业销售及进出口状况，能够从上述资料中推出的是：
A. 略
B. 略
C. 略
D. 2014—2018 年，出口总量超过 1 万亿块
208
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第二章 资料分析
二、基期平均数
【例】
（2020 北京）2017 年全国共有各级各类民办学校 17.76 万所，占全国学校
总数的 34.57%；各类民办教育在校生达 5120.47 万人，比上年增长 6.12%。其中：民
办幼儿园 16.04 万所，比上年增长 4.00%；在园儿童 2572.34 万人，比上年增长 5.53%。
民办普通小学 6107 所，比上年增长 2.21%；在校生 814.17 万人，比上年增长 7.65%。
民办初中 5277 所，比上年增长 3.78%；在校生 577.68 万人，比上年增长 8.42%。民
办普通高中 3002 所，比上年增长 7.71%；在校生 306.26 万人，比上年增长 9.74%。
民办中等职业学校 2069 所，比上年下降 2.17%；在校生 197.33 万人，比上年增长
7.16%。
2016 年平均每所民办中等职业学校在校生人数约为：
A. 871 人
B. 991 人
C. 1091 人
D. 1181 人
三、两期平均数
【例 1】
（2022 江苏）2021 年上半年，我国进口集成电路 3123 亿块，同比增长
28.4%；进口额 1979 亿美元，增长 28.3%。出口集成电路 1514 亿块，增长 34.5%；
出口额 664 亿美元，增长 32.0%。
能够从上述资料中推出的是：
A. 略
209
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第三篇
数量关系与资料分析
B. 略
C. 2021 年上半年，我国集成电路出口平均价格同比有所提高
D. 略
【例 2】
（2020 国考）2018 年前三季度，S 省社会物流总额 35357.26 亿元，同比
增长 6.4%，增速比上半年放缓 0.7 个百分点。其中，工业品物流总额 16636.15 亿元，
同比增长 0.2%，增速比上半年放缓 2.1 个百分点；外部流入（含进口）货物物流总额
17357.31 亿元，同比增长 12.1%，增速比上半年加快 0.8 个百分点；农产品物流总额
875.06 亿元，同比增长 11.6%，增速比上半年加快 0.5 个百分点；单位与居民物品物
流总额 457.86 亿元，同比增长 40.7%，增速比上半年放缓 3 个百分点；再生资源物流
总额 30.88 亿元，同比下降 7.0%，降幅比上半年扩大 4.3 个百分点。
2018 年前三季度，S 省社会物流总费用 2682.1 亿元，同比增长 6.3%，比上半年
放缓 0.9 个百分点。其中：物流运输环节总费用 1854.6 亿元，同比增长 6.3%；保管
环节总费用 612.4 亿元，同比增长 6.4%；管理环节总费用 214.9 亿元，同比增长 6.4%。
2018 年前三季度，平均每万元社会物流总额产生的物流费用比上年同期：
A. 上升了不到 1%
B. 上升了 1% 以上
C. 下降了不到 1%
D. 下降了 1% 以上
【例 3】
（2019 国考）2017 年，A 省完成客运总量 148339 万人次，同比增长 5.4%，
增幅比前三季度提高 0.2 个百分点，比上年提高 0.5 个百分点；完成旅客周转总量
4143.84 亿人公里，增长 7.7%，增幅比前三季度提高 0.7 个百分点，比上年提高 1.8
个百分点。
2017 年前三季度，A 省平均每人次客运旅客运输距离（旅客周转量 ÷ 客运总量）
同比：
A. 下降了不到 2%
B. 下降了 2% 以上
C. 上升了不到 2%
D. 上升了 2% 以上
210
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第二章 资料分析
思维导图
⧠ᵏᒣ൷ᮠ
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B
A
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1+a 1+b
A
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ᒣ൷ᮠⲴ໎䮯⦷˖喍2喎ԓ‫ޜޕ‬ᔿ˖
1 b
211
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第三篇
数量关系与资料分析
资料分析
方法精讲 4
学习任务：
1. 课程内容：倍数与比值、特殊增长率
2. 授课时长：3 小时
3. 对应讲义：212 页 ～ 222 页
4. 重点内容：
（1）倍数与增长率的相互转化
（2）间隔增长率的对应公式
（3）年均增长率的比较技巧
（4）混合增长率的两个结论
第七节
倍数与比值
基本术语：
倍数用来表示两个量的相对关系。
A 是 B 的 n 倍：n=A÷B。
A 比 B 增长（多）r 倍：r=A÷B–1。
一、现期倍数
【例 1】
（2022 联考）近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础
设施布局也日渐完善。2021 年新能源汽车销量达 352.1 万辆，同比增长 157.51%；截
至 2021 年，我国新能源汽车保有量达 784 万辆，同比增长 59.25%。
212
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第二章 资料分析
140.0
114.7
120.0
100.0
80.7
80.0
60.0
51.6
40.0
20.0
0.0
15.0
5.7
2015年
30.0
21.4
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2015—2021 年我国公共充电桩数量（单位：万台）
2021 年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比约为：
A. 3.1 ∶ 1
B. 4.2 ∶ 1
C. 6.8 ∶ 1
D. 7.7 ∶ 1
【例 2】
（2022 江苏）2021 年 1—7 月，我国原油产量 11561 万吨，同比增长 2.4%，
比 2019 年同期增长 3.9%。其中，7 月我国原油产量 1686 万吨，增长 2.5%，比 2019
年同期增长 3.1%。1—7 月我国进口原油 30193 万吨，下降 5.6%。其中，7 月进口原
油 4124 万吨，下降 19.6%。
2021 年上半年，我国原油进口量比生产量多：
A. 1.6 倍
B. 1.8 倍
C. 2.6 倍
D. 2.9 倍
【例 3】
（2019 国考）
2017 年 1 月—2018 年 4 月全国钓鱼网站处理情况
时间
处理数量（个）
处理数量占比（%）
CN 域名
非 CN 域名
支付交易类
金融证券类
2017 年 1 月
42
1870
64.9
34.4
2017 年 2 月
91
860
52.6
45.8
2017 年 3 月
76
2019
80.5
18.9
213
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第三篇
数量关系与资料分析
续表
时间
处理数量（个）
处理数量占比（%）
CN 域名
非 CN 域名
支付交易类
金融证券类
2017 年 4 月
32
761
49.4
50.3
2017 年 5 月
43
785
60.4
39.6
2017 年 6 月
19
810
66.0
33.3
2017 年 7 月
33
1445
53.0
46.8
2017 年 8 月
58
4675
87.3
12.4
2017 年 9 月
52
2572
83.2
15.9
2017 年 10 月
87
2246
78.2
21.2
2017 年 11 月
40
2626
83.6
13.5
2017 年 12 月
302
2693
79.8
19.1
2018 年 1 月
204
2598
79.3
20.2
2018 年 2 月
58
641
46.6
51.9
2018 年 3 月
254
3230
77.4
22.3
2018 年 4 月
229
1749
73.2
25.8
2017 年，全国处理的支付交易类钓鱼网站数量超过金融证券类钓鱼网站 2 倍的
月份有几个？
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、基期倍数
【例 1】
（2021 浙江）2017 年，国内旅游市场高速增长，入出境市场平稳发展，
供给侧结构性改革成效明显。国内旅游人数 50.01 亿人次，比上年同期增长 12.8%；
入出境旅游总人数 2.7 亿人次，增长 3.7%；全年实现旅游总收入 5.40 万亿元，增长
15.1%；全年全国旅游业对 GDP 的综合贡献为 9.13 万亿元，占 GDP 总量的 11.04%；
214
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第二章 资料分析
旅游直接就业 2825 万人，旅游直接和间接就业 7990 万人，占全国就业总人口的
10.28%。
2016 年，全国国内旅游人数约为入出境旅游总人数的多少倍？
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
【例 2】
（2022 青海）2020 年全国人口共 141178 万人，比 2010 年增长了约 5.38%。
从地区分布上看，2020 年东部地区人口占 39.93%，中部地区占 25.83%，西部地区占
27.12%，东北地区占 6.98%。与 2010 年相比，东部地区人口所占比重上升 2.15 个百
分点，中部地区下降 0.79 个百分点，西部地区上升 0.22 个百分点，东北地区下降 1.20
个百分点。
2010 年，东部地区人口是东北地区人口的：
A. 约 4.6 倍
B. 约 5.7 倍
C. 约 6.5 倍
D. 约 7.3 倍
思维导图
资料时间一致
A
B
资料时间
A
B
A÷B
A
1+ a
÷
B
1+ b
=
1
倍数问法
A
A
B n
B
n=A÷B
r
A 1+ b
×
B 1+ a
A
1+b
2 计算 B 且观察 1+a 与1的大小关系
r =A÷B 1
215
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第三篇
数量关系与资料分析
第八节
特殊增长率
一、间隔增长率
【例 1】
（2019 山东）
900.0
800.0
700.0
618.2
660.1
701.5
741.0
15
794.0
13
11
600.0
500.0
400.0
9
8.0
6.8
300.0
7
7.1
6.3
5
5.6
200.0
3
100.0
1
0.0
-1
2013
2014
床位数
2015
2016
2017
年
比上年增长
全国医疗卫生机构床位数（万张）及增长情况（%）
虽然 2014—2016 年间全国医疗卫生机构床位数增长速度持续下滑，但 2016 年床
位数仍然比 2014 年增加了：
A. 12.26%
B. 10.87%
C. 13.21%
D. 9.69%
【例 2】
（2017 国考）2015 年我国钟表全行业全年生产手表 10.7 亿只，同比增长
3.9%，完成产值约 417 亿元，同比增长 4.3%，增速提高 1.9 个百分点；生产时钟（含
钟心）5.2 亿只，同比下降 3.7%，完成产值 162 亿元，同比下降 4.7%，降幅扩大 1.3
个百分点；钟表零配件、定时器及其他计时仪器产值 96 亿元，同比增长 14.3%，增
216
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第二章 资料分析
速基本保持上年水平。
2015 年我国钟表全行业生产时钟（含钟心）的产值与 2013 年相比约：
A. 上升了 11%
B. 下降了 11%
C. 上升了 8%
D. 下降了 8%
【例 3】
（2017 新疆兵团）2017 年上半年医药工业规模以上企业实现主营业务收
入 15314.40 亿元，同比增长 12.39%，增速较上年同期提高 2.25 个百分点。各子行业
中，增长最快的是中药饮片加工，化学药品制剂、中成药、制药设备的增速低于行业
平均水平。
在医药工业规模以上企业实现主营业务收入上，2017 年上半年约是 2015 年上半
年的：
A. 1.13 倍
B. 0.13 倍
C. 1.24 倍
D. 0.24 倍
【例 4】
（2021 新疆兵团）2018 年全年全市保费收入 65.4 亿元，增长 0.7%。其
中，寿险业务保费收入 39.5 亿元，下降 5.1%；健康和意外险业务保费收入 9.1 亿元，
增长 21.6%，增速同比增加 5 个百分点；财产险业务保费收入 3.4 亿元，增长 25.2%；
车险业务保费收入 13.3 亿元，增长 1.8%。全年支付各类赔款及给付 21.2 亿元，增长
5.3%。其中，寿险业务保费赔付 11.0 亿元，增长 1.4%；健康和意外险业务保费赔付
3.0 亿元，增长 68.7%；财产险业务保费赔付 0.9 亿元，增长 5.7%；车险业务保费赔
付 6.4 亿元，下降 5.0%。
2016 年全年全市健康和意外险业务保费收入约为多少亿元？
A. 7.5
B. 6.9
C. 6.4
D. 6.1
二、年均增长率
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第三篇
数量关系与资料分析
【例 1】
（2021 联考）
我国分行业城镇就业人员平均工资（2009 年、2019 年）
单位：元
行业
非私营单位
私营单位
2009 年
2019 年
2009 年
2019 年
农、林、牧、渔业
14356
39340
14585
37760
采矿业
38038
91068
18553
49675
制造业
26810
78147
17260
52858
电力、燃气及水的生产和供应业
41869
107733
17795
49633
建筑业
24161
65580
19867
54167
交通运输、仓储和邮政业
35315
97050
19634
54006
信息传输、计算机服务和软件业
58154
161352
28166
85301
批发和零售业
29139
89047
17775
48722
住宿和餐饮业
20860
50346
15623
42424
金融业
60398
131405
30452
76107
房地产业
32242
80157
21334
54416
租赁和商务服务业
35494
88190
21344
57248
科学研究、技术服务和地质勘查业
50143
133459
26187
67642
水利、环境和公共设施管理业
23159
61158
17170
44444
居民服务和其他服务业
25172
60232
15688
43926
教育
34543
97681
21066
50761
卫生、社会保障和社会福利业
35662
108903
18641
57140
文化、体育和娱乐业
37755
107708
17339
49289
公共管理和社会组织
35326
94369
8191
—
2009—2019 年，城镇私营单位平均工资年均增长率最高的是：
A. 科学研究、技术服务和地质勘查业
B. 信息传输、计算机服务和软件业
C. 金融业
D. 建筑业
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第二章 资料分析
【例 2】
（2022 四川上）
亿件
700
600
500
400
300
200
100
0
2016年
2017年
2018年
2019年
同城快递
74.1
92.7
114.1
110.4
异地快递
232.5
299.6
381.9
510.5
6.2
8.3
11.1
14.4
国际/港澳台快递
2016—2019 年全国不同类型的快递业务量
将①同城快递、②异地快递、③国际 / 港澳台快递按 2016—2019 年业务年均增
速（以 2016 年为基期）从高到低排列，以下正确的是：
A. ①②③
B. ①③②
C. ③①②
D. ③②①
【例 3】
（2019 联考）2017 年全年马拉松直接从业人口数 72 万，间接从业人口数
200 万。年度产业总规模达 700 亿元，比去年同期增长约 20%，中国田径协会设置的
发展目标是到 2020 年，全国马拉松规模赛事超过 1900 场，其中中国田径协会认证赛
事达到 350 场，各类赛事参赛人数超过 1000 万人次，马拉松运动产业规模达到 1200
亿元。
在 2017 年马拉松运动年度产业总规模的基础上，从 2018 年开始，每年需要平均
增长多少才能实现中国田径协会设置的 2020 年马拉松运动产业规模目标？
A. 30%
B. 25%
C. 20%
D. 15%
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第三篇
数量关系与资料分析
三、混合增长率
【例 1】
（2022 江苏）2020 年江苏省实现以新产业、新业态、新模式为主要内容
的“三新”经济增加值 25177 亿元，比上年增长 5.6%，比全省地区生产总值的增速
快 1.5 个百分点，占全省地区生产总值的比重为 24.5%。全省战略性新兴产业产值增
长 11.0%，快于规模以上工业 5.5 个百分点。其中新能源汽车、数字创意、新能源和
高端装备制造业的产值增速分别为 21.0%、19.8%、15.6% 和 15.5%。高技术制造业增
加值增长 10.3%，占规模以上工业的比重为 23.5%，提高 1.7 个百分点。高技术服务
业营业收入增长 14.1%，占规模以上服务业的比重为 37.9%，提高 2.4 个百分点。全
省碳纤维增强复合材料、新能源汽车、城市轨道车辆、集成电路、太阳能电池等新产
品的产量分别增长 48.9%、42.0%、24.5%、22.3% 和 16.5%。全省现代设施农业占地
面积 100.5 万公顷，其中属于战略性新兴产业的中药材种植业种植面积 1.8 万公顷，
实现产值 32 亿元，产值增长 138.1%。全省网上零售额 10602 亿元，增长 10.0%。其
中，实物商品网上零售额增长 13.9%，增速比上年快 5.2 个百分点，占社会消费品零
售总额 37086 亿元的比重为 24.9%，提高 2.7 个百分点。
能够从上述资料中推出的是：
A. 略
B. 2020 年江苏省非实物商品网上零售额增速高于 13.9%
C. 略
D. 略
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第二章 资料分析
【例 2】
（2022 四川下）
2019 年一季度邮政行业业务状况及同比增速
一季度
3月
数量
增速（%）
数量
增速（%）
2173.9
19.5
799.1
19.4
110.4
7.4
37.1
–1.6
1543.0
21.4
596.0
23.0
601950.3
1.3
212252.2
0.4
62454.9
–20.3
23056.1
–21.3
588.1
–12.3
188.9
–10.8
订销报纸（万份）
419883.0
–2.5
148145.5
–1.7
订销杂志（万份）
20005.9
–4.5
6980.0
–4.9
498.9
–32.3
157.1
–32.1
1214633.0
22.5
486392.8
23.3
其中：同城（万件）
235701.3
–0.2
90111.2
1.2
异地（万件）
949709.7
30.3
384996.5
30.6
国际 / 港澳台（万件）
29222.0
8.9
11285.2
7.5
邮政行业业务收入（亿元）
其中：邮政寄递服务（亿元）
快递业务（亿元）
邮政行业业务总量
邮政寄递服务（万件 / 万份 / 万笔）
其中：函件（万件）
包裹（万件）
汇兑（万笔）
快递业务（万件）
注：部分数据因四舍五入的原因，存在总计与分项合计不等的情况。
2019 年 1—2 月，我国包裏寄递量比去年同期：
A. 下降了不到 10%
B. 下降了 10% 以上
C. 上升了不到 10%
D. 上升了 10% 以上
【例 3】
（2020 深圳）2018 年，全市年末常住人口 1302.66 万人，其中常住户籍
人口 454.70 万人，增长 4.6%，占常住人口比重 34.9%；常住非户籍人口 847.97 万人，
增长 3.6%，占比重 65.1%。年末城镇登记失业率为 2.3%。全年居民消费价格比上年
上涨 2.8%。全年完成一般公共预算收入 3538.41 亿元，比上年增长 6.2%。其中税收
收入 2899.60 亿元，增长 9.2%。一般公共预算支出 4282.54 亿元，下降 6.8%。
2018 年，该市年末常住人口同比增长约：
A. 3.6%
B. 3.9%
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第三篇
数量关系与资料分析
C. 4.7%
D. 4.2%
【例 4】
（2021 新疆兵团）2018 年 H 市完成邮电业务总量 108.2 亿元。其中，邮
政业务总量 40.8 亿元，同比增长 26.5%；电信业务总量 67.4 亿元，同比增长 56.7%。
年末移动电话用户达到 341 万户，其中，3G 移动电话用户达到 25.7 万户，4G 移动
电话用户达到 241.4 万户。全市互联网接入用户 89.9 万户，其中，新增互联网用户
23.8 万户。
2018 年 H 市邮电业务总量同比增速在下列哪一个范围内？
A. 23% ～ 41%
B. 41% ～ 57%
C. 57% ～ 71%
D. 高于 71%
思维导图
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方法精讲-数量 1（本节课笔记）
学习任务：
1.课程内容：代入排除法、倍数特性法、方程法
2.授课时长：3 小时
3.对应讲义：156 页～161 页
4.重点内容：
（1）掌握代入排除法的适用范围及使用方法
（2）掌握倍数特性法的基础知识，以及余数型和比例型的解题思路
（3）掌握设未知数的技巧，熟悉不定方程的解题思路
国考的数量
改变认知：数量牛，行测才牛
副省级：15 个
地市级、行政执法：10 个
考场策略建议：放到后面做，留 10～15 分钟时间，至少做出 1/3 题目，剩
下的连蒙带猜
备考策略：学习简单的“套路题”
【注意】国考的数量：
1.同学们普遍认为数量模块很难、没时间做，但这不是数量的问题，而是其
他模块耗时太久，要把其他模块提速，才能有时间做数量。
2.数量关系并没有想象的那么难。很多同学数量模块都没有认真做过 200
道题目，没怎么学过就说它难是很不公平的。
3.改变认知：数量牛，行测才牛。想上岸，言语、判断、资料大家都重视，
常识背了不一定会，学习成本高、见效慢，拉不开差距。剩余的数量模快，我们
学了就要比对手强，所以数量强，行测才能强。行测想要上 70、75、80 分，数
量必须突破较高正确率。
4.副省级：15 个；地市级、行政执法：10 个。
5.考场策略建议：放到后面做，留 10～15 分钟时间，至少做出 1/3 题目，
剩下的连蒙带猜。不需要做完，且数量题目中有 1～2 题很复杂，短时间内做不
出来，所以要有策略性的做题。数量关系分为好做的题（30%占比，列方程等基
础方法可以求解）、难做的题（中规中矩，例如排列组合，学完知识点也不难，
学就会，不学就不会）和好难做的题（学了也未必能会，占比 20%），我们要在
好做、难做的题内选题攻克，题目占比 80%，挑选 1/3 做出来，15 道题做 5 道，
10 道题做 3 道题，要对自己有信心。以 10 道题举例，A、B、C、D 四个选项几乎
平均分配，做出 3 道题，假如做出来的题目答案是 ABC，且都做对，剩余 7 题全
选 D 项，还能对 2～3 题，加起来对 5～6 个。如果做出来的题目选 CCC，剩余在
A、B、D 项中猜题，假如全选 B 项，对 5～6 题。数量关系不要求达到 80%正确率，
不现实。做对 1/3，做到不拉分即可。
6.备考策略：学习简单的“套路题”。
注：时长均为 3h，上下浮动 10 分钟，实际甚至半小时。
【注意】数量关系课程安排：
1.第一天：代入排除法、倍数特性法、方程法。
2.第二天：工程问题、经济利润问题。
3.行程问题、几何问题。
4.排列组合与概率问题、容斥原理问题。
5.4 天时间，提前了解考查内容，但没必要深入预习。
1
目录
01 代入排除法
02 倍数特性法
03 方程法
【注意】今天学习三大解题方法，分别是代入排除法、倍数特性法以及方程
法，同学们要专注听课，今天老师准备的内容很详细，认真听保证可以听得懂。
内容相对抽象，从方法入手。
代入排除法的学习要点
什么时候用→怎么用
【注意】代入排除法：顾名思义，将选项代入题目，是个朴实无华的方法，
方法好但不是每个题都能用，所以要学习什么时候用和怎么用。
问题 1：什么时候用
答：两个维度（题型、选项）
题型：年龄问题、多位数问题、余数问题、不定方程问题，优先考虑代入排
除
选项：
①选项信息充分，即选项代入后，可以验证题目所有条件
②剩二代一，必得答案
【注意】问题 1：什么时候用？
1.两个维度（题型、选项）。
2.题型：年龄问题、多位数问题、余数问题、不定方程问题，优先考虑代入
排除。一会详细讲解识别方法。
3.选项：
（1）选项信息充分，即选项代入后，可以验证题目所有条件。比较抽象，
后续讲解。
（2）剩二代一，必得答案。数量关系 4 个选项，通过条件排除两个选项，
2
剩余 C、D 项，代入 C 项，错了就选 D 项，对了就选 C 项。
年龄问题
识别：题干涉及年龄
常识：结婚生子的年龄，必须符合法定婚龄（男不得早于 22 周岁，女不得
早于 20 周岁）
引例：3 年前张三的年龄是他女儿的 17 倍，3 年后张三的年龄是他女儿的 5
倍，那么张三的女儿现在：
A.2 岁
B.3 岁
C.4 岁
D.5 岁
【注意】年龄问题：考虑代入排除，且要有基本认知。
1.识别：题干涉及年龄。
2.常识：结婚生子的年龄，必须符合法定婚龄（男不得早于 22 周岁，女不
得早于 20 周岁）。
3.引例：3 年前张三的年龄是他女儿的 17 倍，3 年后张三的年龄是他女儿的
5 倍，那么张三的女儿现在：
A.2 岁
B.3 岁
C.4 岁
D.5 岁
答：题干说到年龄，判定为年龄问题。优先考虑代入方式做，题干中有“三
年前”、“三年后”、“现在”，三年后不是现在，分为 3 个时间节点。问现在
女儿为几岁，考虑代入。女儿不能是 2 岁，因为女儿三年前要有年龄，即三年前
女儿已经出生，排除 A 项。也不能是 3 岁，三年前是 0 岁，没法和张三的年龄有
“17 倍”的关系，排除 B 项。剩二代一，如果女儿 4 岁，三年前女儿 1 岁，“张
三的年龄是他女儿的 17 倍”，1*17=17 岁，张三 17 岁，17 岁不能有 1 岁的女儿，
常理要先结婚再生子，C 项不符合，此时无需验证 D 项，题目必须有一个正确答
案，直接选择 D 项即可。验证：现在女儿 5 岁，三年前 2 岁，张三：2*17=34 岁，
三年后女儿 8 岁，张三三年后为 34+6=40，5*8=40，两者是 5 倍关系，当选，考
场上不要验证。
3
多位数问题
识别：研究数位上数字之间关系
常识：位数对调往往是考查的重点
引例：一个三位数，满足：3 个数字之和为 19，十位上的数比个位上的数大
2。若将百位上的数与个位上的数对调，比原数大 99，则这个三位数是：
A.397
B.586
C.675
D.964
【注意】多位数问题：
1.识别：研究数位上数字之间关系。
2.常识：位数对调往往是考查的重点。
3.引例：一个三位数，满足：3 个数字之和为 19，十位上的数比个位上的数
大 2。若将百位上的数与个位上的数对调，比原数大 99，则这个三位数是：
A.397
B.586
C.675
D.964
答：研究的是数位上数字间的关系，多位数问题考虑代入排除。分别验证四
个选项各个位数加和是不是 19，也可以验证十位数比个位数是否大 2，但多位数
考查对调较多，比如十位和个位或百位对调，数值比原来多了或少了多少。本题
前面条件简单，无法确定唯一答案，还是要考虑对调。对调后选项变为 793、685、
576、469，对调之后比原来数值大，先别管大多少，可以排除 C、D 项，这两项
小于对调之前数值。剩余 A、B 项，对调前后两者之间差 99，A 项差的不是 99，
排除 A 项，选择 B 项。考场上三个条件先验证对调，经验表明位数对调是重点考
查内容，可以确定唯一答案。也就是说去掉前两个条件，单独给第三个对调条件
也能选到答案。
余数问题
识别：题干出现“剩”、“余”字样
例：一堆苹果给小朋友，每人 5 个剩余 2 个，每人 6 个缺 2 个，„„。
不定方程
识别：列式发现，未知数个数＞方程个数，无法求解
4
例：3x+2y=10，求：x、y 的值
【注意】余数问题：
1.识别：题干出现“剩”、“余”字样。
2.例：一堆苹果给小朋友，每人 5 个剩余 2 个，每人 6 个缺 2 个，„„。
3.不定方程：
4.识别：列式发现，未知数个数＞方程个数，比如 1 个方程 2 个未知数，或
者 2 个方程 3 个未知数，无法求解。
5.例：3x+2y=10，求：x、y 的值。
6.后面题目涉及到该知识点，考查代入排除思维更深入，结合排除解题，所
以没有给出例题。
7.年龄问题、多位数问题直接代入的情况较多，余数问题要结合其它方法配
合着代入排除解题。
选项信息充分
识别：即选项代入后，可以验证题目所有条件，一般问法中有“分别”、
“各”
的字样
选项为一组数→甲乙共有 100 个苹果，甲比乙多 70 个，问：甲、乙分别有
多少？
A.90、10
B.85、15
C.80、20
D.75、25
选项可转化一组数→甲乙共有 100 个苹果，甲比乙多 70 个，问：甲有多少？
A.90
B.85
C.80
D.75
【注意】选项信息充分：
1.识别：即选项代入题目后，可以验证题目所有条件，一般问法中有“分别”、
“各”的字样。
2.选项为一组数→甲乙共有 100 个苹果，甲比乙多 70 个，问：甲、乙分别
有多少？
A.90、10
B.85、15
5
C.80、20
D.75、25
答：问甲、乙分别有多少，把 A 代入可以验证加和、差值，即选项信息充分。
3.选项可转化一组数→甲乙共有 100 个苹果，甲比乙多 70 个，问：甲有多
少？
A.90
B.85
C.80
D.75
答：选项充分与否标准在于把选项代入后能否验证所有条件，如果代入甲是
90，则乙是 100-90=10，可以验证甲比乙多多少，虽然没直接给出分别是多少，
但可以结合题目分析，也算选项信息充分。代入 B 项，甲是 85，乙是 100-85=15，
甲比乙多：85-15=70，验证 B 项正确，不用再看 C、D 项，答案有且只有 1 个，
直接选择 B 项。
【例 1】（2020 广东）某部门正在准备会议材料，共有 153 份相同的文件，
需要装到大、小两种文件袋里送至会场，大的每个能装 24 份文件，小的每个能
装 15 份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋多少个？
A.2
B.3
C.5
D.7
【解析】1.同学们普遍喜欢列方程，本题没告知个数，设个数大的为 x 个，
小的为 y 个，“共有 153 份相同的文件”，大+小=153→24x+15y=153，两个未知
数，一个方程，是不定方程。不定方程用代入排除，代入 A 项：x=2，则 24*2+15y=153，
15y=153-48→y=105/15=7。满足每个装满且总数为 153 个文件，满足所有条件，
不需要再验证其余选项，选择 A 项。【选 A】
【注意】思路梳理：列式后发现，一个方程，两个未知数，为不定方程→用
代入排除的方法做；24 大+15 小=153；代入 A 项，大文件袋为 2，解得小文件袋
为 7，满足所有条件，当选。
【例 2】（2022 上海）对于两个有序数组（a，b）和（c，d），将|a-c|+|b-d|
称作这两个数组的距离，那么，在下列选项中，与数组（13，26）的距离最大的
6
是：
A.（20，21）
B.（21，20）
C.（22，19）
D.（23，18）
【解析】2.题干一个数组，选项又有一个数组，如果两个数组都知道，则可
以求距离，代入之后哪个距离最大也可求，属于选项信息充分的题目，考虑代入
排除。A 项：|20-13|+|21-26|=7+5=12；B 项：|21-13|+|20-26|=8+6=14；C 项：
|22-13|+|19-26|=9+7=16；D 项：|23-13|+|18-26|=10+8=18，问距离最大，D
项的 18 最大，选择 D 项。还可以更快，问|a-c|+|b-d|的最大值，已经确定 13
和 26，如果 a-c 距离大，b-d 距离也大，则结果更大。选项的前面数字 23 和 13
距离最大，后面 18 和 26 距离最大，大大则大，选择 D 项。【选 D】
【注意】
1.思路梳理：代入选项即可验证所有条件，选项信息充分→代入排除；D 项：
23 与 13 的差距最大，18 与 26 的差距最大，加和最大。
2.题目不多，讲 3 个小时，是为了打牢基础，不要图快。
问题 2：怎么用
答：先排除（数字特性：尾数、倍数、奇偶、大小），再代入（从简、最值）
从简：
①简单条件
②简单选项
最值：
①问最大多少，先从最大的选项开始代
②问最小多少，先从最小的选项开始代
【注意】问题 2：怎么用。
1.答：先排除（数字特性：尾数、倍数、奇偶、大小），再代入（从简、最
值）。四个选项通过方法去掉两个再代入，可以提高速度。如果所求的数是奇数，
例如选项是 A.1、B.2、C.3、D.4，此时 B、D 项是偶数，排除。
2.从简：
7
（1）简单条件。一个题目有很多条件，第一个条件复杂，第二个条件比较
简单，第三个条件也复杂，此时先代入第二个条件。
（2）简单选项。排除两项之后，剩余 C 项（369）和 D 项（400），优先代
入 400。
3.最值：
（1）问最大多少，先从最大的选项开始代。假如问志哥收入最多为多少，
A.1、B.2、C.3、D.4，如果 A 项的 1 满足所有条件，但不一定是最多，如果验证
B 项 2 符合，也不敢确定是最多。所以问最大，就从 D 项的 4 代入，如果 4 满足，
就是满足且最大，符合条件，直接选择。
（2）问最小多少，先从最小的选项开始代。
【例 3】（2021 联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为 28 米的篱
笆围成一个三角形形状的场地，已知第一条边长为 m 米，由于条件限制第二条边
长只能是第一条边长度的 1/2 多 4 米，若第一条边是唯一最短边，则 m 的取值可
以为：
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】3.要用 28 米围一个三角形，第一条边为 m，第二条边是第一条的
一半多 4，即（1/2）m+4。如果知道 m，就知道所有边，可以验证所有条件，属
于选项信息充分，考虑代入排除。代入时先排除，
“若第一条边是唯一最短边”，
第一条要小于第二条，即（1/2）m＜4→m＜8，排除 C、D 项。剩二代一：如果
m=6，则（1/2）m +4=7，第三条边：28-6-7=15，6+7＜15，三角形两边之和要大
于第三边，则不能构成三角形，排除 A 项，选择 B 项。【选 B】
【注意】思路梳理：代入选项即可验证所有条件，选项信息充分→代入排除；
第一条边是唯一最短边→m＜（1/2）m+4→1/2m＜4→m＜8，排除 C、D 项；代入
A 项，第一条边=6、第二条边=7、第三条边=15，与“两边之和大于第三边”相
悖，排除 A 项，B 项当选。
8
【注意】代入排除法：
1.何时用：
（1）题型：
①年龄问题：题干涉及年龄。
②多位数问题：研究数位上数字之间关系。
③余数问题：题干出现“剩”、“余”字样。
④不定方程问题：列式发现，未知数个数＞方程个数，无法求解。
（2）选项：
①选项信息充分：即选项代入后，可以验证题目所有条件。一般问法中有“分
别”、“各”的字样。
②剩二代一：通过排除两个选项，剩下两个选项时，可代入其中一个。
2.怎么用：先排除，再代入。
（1）先排除：数字特性，包括尾数、倍数、奇偶、大小。
（2）再代入：
①从简：简单条件、简单选项。
②最值：问最大多少，先从最大的选项开始代；问最小多少，先从最小的选
项开始代。
3.代入过程中，遇到不符合题意的就排除，满足题目所有要求的就选择。
9
第二节
倍数特性法
倍数特性法的学习要点
整除型→余数型→比例型
【注意】倍数特性法的学习要点：技巧性较强，可以起到“秒杀”的效果，
但是不要过度追求“秒杀”，因为倍数特性法也是有限的。
1.整除型。
2.余数型。
3.比例型。
整除的基础知识
①若 A=B*C，B、C 均为整数，则 A 是 B 的整数倍，也是 C 的整数倍
例：10=2*5，10 是 2 的整数倍，也是 5 的整数倍
②若 A 是 B 的整数倍，A 是 C 的整数倍，则 A 是 B*C 的整数倍（B、C 互质）
例：24 是 3 的整数倍，24 是 4 的整数倍，24 是 12（3*4）的整数倍
【注意】整除的基础知识：
1.若 A=B*C，B、C 均为整数，则 A 是 B 的整数倍，也是 C 的整数倍。比如
10=2*5，10 是 2 的整数倍，也是 5 的整数倍。
2.若 A 是 B 的整数倍，A 是 C 的整数倍，则 A 是 B*C 的整数倍（B、C 互质）。
（1）比如 24 是 3 的整数倍，24 是 4 的整数倍，24 是 3*4=12 的整数倍。
（2）互质：3、4 除了 1 外没有其他公约数，是互质的；4、6 除了 1 外还有
公约数 2，不是互质的。
（3）比如有一堆苹果，可以平均分成 3 份，也可以平均分成 4 份，则这堆
苹果也可以分成 3*4=12 份。
整除判定的方法（只关注怎么用即可）
能被 2、5 整除→看最后一位
能被 4 整除→看最后两位能被 8 整除→看最后三位
能被 3、9 整除→看各数位上数字之和
能被 6、12、18 等整除→因式分解两个互质的数相乘的形式
10
例：11124、23240
【注意】整除判定的方法（只关注怎么用即可）：
1.能被 2、5 整除→看最后一位。
（1）能被 2 整除：最后一位是偶数即可。
（2）能被 5 整除：最后一位为 0 或 5 则能被 5 整除。
2.能被 4 整除→看最后两位。如 11124，最后两位为 24，24 能被 4 整除，
则 11124 能被 4 整除。100 可以被 4 整除，11124=11100+24，11100 是 4 的倍数，
只需判断 24 是否为 4 的倍数即可。
3.能被 8 整除→看最后三位。如 11124，最后三位为 124，124 不是 8 的倍
数，则 11124 不能被 8 整除；如 23240，最后三位为 240，240 是 8 的倍数，则
23240 是 8 的倍数。
4.能被 3、9 整除→看各数位上数字之和。即个位+十位+百位+千位+万位，
看加和能否被 3 或 9 整除，如果可以则是 3 或 9 的倍数。如 11124，1+1+1+2+4=9，
9 是 3、9 的倍数，则 11124 能被 3、9 整除；如 23240，2+3+2+4+0=11，11 不是
3、9 的倍数，则 23240 不能被 3、9 整除。
5.能被 6、12、18 等整除→因式分解两个互质的数相乘的形式。
（1）12=3*4=2*6，2 和 6 除了 1 之外还可以约掉一个 2，2 和 6 不互质，因
此不能因式分解为 2*6，只能分解为 3*4。
（2）18=3*6=2*9，3 和 6 不互质，只能分解为 2*9。
题型 1：整除型（平均分配）
识别：问题、题干中，存在平均分配（整数倍）
方法：优先利用倍数特性分析
例：一筐苹果，平均分配给 10 个人，刚好分完„„，这筐苹果有多少个？
A.20
B.21
C.22
D.23
【注意】整除型（平均分配）：
1.识别：问题、题干中，存在平均分配（整数倍）。
2.方法：优先利用倍数特性分析。
11
3.例：一筐苹果，平均分配给 10 个人，刚好分完，这筐苹果有多少个？
A.20
B.21
C.22
D.23
答：把苹果进行了平均分配，考虑倍数特性。“一筐苹果，平均分配给 10
个人”说明总数为 10 的倍数，对应 A 项。
【例】（2021 北京）为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企
业扩大招聘规模，计划在年内招聘高校毕业生 240 名，但实际招聘的高校毕业生
数量多于计划招聘的数量。已知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到 7 个部门
培训，并在培训结束后将他们平均分配到 9 个分公司工作。问该企业实际招聘的
高校毕业生至少比计划招聘数多多少人？
A.6
B.12
C.14
D.28
【解析】例.“实际招聘的高校毕业生数量多于计划招聘的数量”即实际人
数＞240 人，“已知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到 7 个部门培训”即实
际人数是 7 的倍数，“并在培训结束后将他们平均分配到 9 个分公司工作”即实
际人数是 9 的倍数，既是 7 的倍数，也是 9 的倍数，故实际人数是 7*9=63 的倍
数。问该企业实际招聘的高校毕业生至少比计划招聘数多多少人，即求“实际计划”的最小值，已知计划是 240 人，想要差值最小，只要实际人数最小即可，
实际人数需要满足＞240 人，且是 63 的倍数，63 的倍数有 63、126、189、252„„，
故实际人数至少为 252 人，所求=252-240=12 人，对应 B 项。【选 B】
【注意】思路梳理：实际招聘总人数可平均分配→倍数特性。既是 7 的倍数，
又是 9 的倍数，则总数为 63（7*9）的倍数，设实际招聘总数为 63n（n=1、2、3、„„），
n=4 时，实际招聘总数为 252，比计划招聘数 240 大，且差距最小，差为 12。
【拓展】（2018 国考）一辆汽车第一天行驶了 5 个小时，第二天行驶了 600
公里，第三天比第一天少行驶 200 公里，三天共行驶了 18 个小时。已知第一天
的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？
12
A.800
B.900
C.1000
D.1100
【解析】拓展.行程问题，有些同学读完题可能考虑放弃，先不要放弃，看
问题。问三天共行驶了多少公里，S=v*t，已知 t=18，即三天行驶的路程被平均
分为 18 份，验证 S 是否为 18 的倍数，18 分解为 2*9，只有 B 项是 9 的倍数，B
项当选。【选 B】
【注意】有同学担心 v 不是整数：
1.题目设置的数据通常都是整数。
2.本身题目就不会做，考场上能猜就猜。
题型 2：余数型（平均分配后，有多有少）
识别：平均分配后，有多有少
方法：转化成“整除”→多几个，减掉；少几个，加上，俗称“多退少补”
一筐苹果，每人分 10 个，还剩 3 个„„问：苹果个数
A.117
B.120
C.123
D.126
一筐苹果，每人分 10 个，还缺 3 个„„问：苹果个数
A.117
B.120
C.123
D.126
【注意】余数型：
1.识别：平均分配后，有多有少。
2.方法：转化成“整除”→多几个，减掉；少几个，加上，俗称“多退少补”。
3.例：
（1）一筐苹果，每人分 10 个，还剩 3 个„„问：苹果个数？
A.117
B.120
C.123
D.126
答：每人分 10 个，多了 3 个，丢掉 3 个后则可以满足平均分配，即“苹果
个数-3”为 10 的倍数，只有 C 项符合。
13
（2）一筐苹果，每人分 10 个，还缺 3 个„„问：苹果个数？
A.117
B.120
C.123
D.126
答：每人分 10 个，还缺 3 个，再补 3 个则可以满足平均分配，即“苹果个
数+3”为 10 的倍数，只有 A 项符合。
多退少补，转化整除倍数特性
例 1：一堆苹果，平均分给 8 个人，还多出 2 个，苹果总数___2 后，是___
的倍数
例 2：一堆苹果，平均每人 5 个，但缺 1 个，苹果总数___1 后，是___的倍
数
例 3：一个数除以 6 余 3，这个数___3 后，是___的倍数
【注意】多退少补，转化整除倍数特性：
1.例 1：一堆苹果，平均分给 8 个人，还多出 2 个，苹果总数-2 后，是 8
的倍数。
2.例 2：一堆苹果，平均每人 5 个，但缺 1 个，苹果总数+1 后，是 5 的倍数。
3.例 3：一个数除以 6 余 3，这个数-3 后，是 6 的倍数。
【例 1】（2022 陕西事业单位）某幼儿园组织春游，该园共有不超过一百名
小朋友，9 人一组剩 7 人，11 人一组剩 9 人。问该幼儿园有多少小朋友？
A.95
B.96
C.97
D.98
【解析】1.平均分配有剩余，考虑余数型倍数特性。已知“不超过一百名小
朋友”。
方法一：已知“9 人一组剩 7 人”，多退少补，则“总数-7”是 9 的倍数，
只有 C 项满足。
方法二：已知“9 人一组剩 7 人”，多退少补，也可以“总数+2”是 9 的倍
数，只有 C 项满足。【选 C】
14
【注意】思路梳理：平均分配，有剩余→多退少补，倍数特性。每组 9 人剩
7 人，“多退”→“总数–7”为 9 的倍数。A 项：95-7=88；B 项：96-7=89；C：
97-7=90；D：98-7=91，只有 C 项符合，当选。
【例 2】
（2021 广东）某学校组织学生外出学农。如果每间宿舍住 6 名学生，
就会缺 7 张床位；如果每间宿舍住 8 名学生，就会空出 3 张床位。则这批学生一
共有多少人？
A.50
B.45
C.43
D.37
【解析】2.平均分配有剩余，考虑余数型倍数特性。问“学生”，已知“如
果每间宿舍住 6 名学生，就会缺 7 张床位”，即多 7 名学生，多退少补，即“人
数-7”是 6 的倍数，排除 A、B 项；已知“如果每间宿舍住 8 名学生，就会空出
3 张床位”，即少 3 人，多退少补，即“人数+3”是 8 的倍数，“C、D 项-8”分
别为 46、40，排除 C 项，对应 D 项。【选 D】
【注意】思路梳理：平均分配，有剩余→多退少补，倍数特性。每间 6 人多
7 人，“多退”→“总数–7”为 6 的倍数。A 项：50-7=43；B 项：45-7=38；C
项：43-7=36；D 项：37-7=30，排除 A、B 项。每间 8 人少 3 人，“少补”→“总
数+3”为 8 的倍数，C 项：43+3=46；D 项：37+3=40，排除 C 项，D 项当选。
题型 3：比例型
识别：出现比例，求具体数，优先考虑倍数特性
方法：①看问法→直接看问题的主体
②化比例→找和其相关的比例
③验选项→通过倍数验证选项
例：某班男女比例为 3：5，„„，问：女生人数为多少？
A.22
B.23
C.24
D.25
【注意】比例型：
15
1.识别：出现比例，求具体数，优先考虑倍数特性。和差倍比问题（关于加
和、差值、倍数、比例的题目都可以成为和差倍比问题）分为两种，给比例求比
例，考虑赋值；给比例求具体值，先考虑倍数，不行再列方程。
2.方法：
（1）看问法→直接看问题的主体。
（2）化比例→找和其相关的比例。
（3）验选项→通过倍数验证选项。
3.例：某班男女比例为 3：5，„„，问：女生人数为多少？
A.22
B.23
C.24
D.25
答：给比例，求具体数，优先考虑倍数特性。（1）看问法→直接看问题的
主体，问女生的人数；（2）化比例→找和其相关的比例，“男女比例为 3：5”，
即男生/女生=3/5，则男生是 3 的倍数、女生是 5 的倍数；（3）验选项→通过倍
数验证选项，只有 D 项是 5 的倍数，对应 D 项。
化比例
A/B=M/N（M、N 最简比），则 A 为 M 倍数，B 为 N 倍数，A±B 为 M±N 倍数、
例：某班男女比例为 3：5
①男生人数是___的倍数
②女生人数是___的倍数
③全班人数是___的倍数
④男女生人数差是___的倍数
【注意】化比例：
1.A/B=M/N（M/N 最简整数比），则 A 为 M 倍数，B 为 N 倍数，A±B 为 M±N
倍数。
2.例：某班男女比例为 3：5。男生/女生=3/5，3 和 5 互质。
（1）男生人数是 3 的倍数。
（2）女生人数是 5 的倍数。
（3）全班人数是 3+5=8 的倍数。
16
（4）男女生人数差是 5-3=2 的倍数。
比例转化的“无脑方法”
记：谁比谁，就谁除以谁，分母不动，分子：多→加、少→减
用：
①A 比 B 多 3/7
②A 比 B 少 3/7
③B 比 A 多 3/7
【注意】比例转化的“无脑方法”：
1.记：谁比谁，就谁除以谁，分母不动，分子：多→加、少→减。
2.用：
（1）A 比 B 多 3/7：
①理解：类似增长率，（A-B）/B=3/7，把 B 看成 7，则 A 比 B 多了 7*（3/7）
=3，即 A 为 7+3=10，则 A/B=10/7。或者 A=B*（1+3/7），则 A/B=10/7。
②无脑法：“A 比 B”记为 A/B，分母不动，看分子，多→加，则 A/B=（3+7）
/7=10/7。
（2）A 比 B 少 3/7→“A 比 B”记为 A/B，分母不动，看分子：少→减，则
A/B=（7-3）/7=4/7。
（3）B 比 A 多 3/7→“B 比 A”记为 B/A，分母不动；看分子：多→加，则
B/A=（7+3）/7=10/7。
（4）A 比 B 多 7/13→“A 比 B”记为 A/B，分母不动，看分子：多→加，则
A/B=（7+13）/13=20/13。
化比例，转化整除倍数特性
例 1：A 占 B 的 60%，A 是___的倍数，B 是___的倍数
例 2：A 比 B 多 20%，A 是___的倍数，B 是___的倍数
例 3：A 比 B 少 5/12，A 是___的倍数，B 是___的倍数
例 4：A 是其他的 1/5，总数是___的倍数
【注意】化比例，转化整除倍数特性：
17
1.例 1：A 占 B 的 60%，A/B=6/10=3/5，A 是 3 的倍数，B 是 5 的倍数。
2.例 2：A 比 B 多 20%，20%=1/5，A/B=6/5，A 是 6 的倍数，B 是 5 的倍数。
3.例 3：A 比 B 少 5/12，A/B=7/12，A 是 7 的倍数，B 是 12 的倍数。
4.例 4：A 是其他的 1/5，A/其他=1/5，A 是 1 份，其他是 5 份，则总数是 6
份，总数是 6 的倍数。
【例 1】（2022 联考）某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志
愿服务队。其中，20 至 30 岁（不含 30 岁）的人数占总人数的 68%，30 岁及以
上的人数是不到 20 岁人数的 7 倍。已知 30 岁以下的人数比 30 岁及以上的人数
多 66 人，问这支服务队共多少人？
A.90
B.120
C.150
D.180
【解析】1.给比例（68%、7 倍），求具体值，优先考虑倍数特性。问“服
务队共多少人”，找与问题相关的条件，已知“20 至 30 岁（不含 30 岁）的人
数占总人数的 68%”，则 20 至 30 岁/总数=68/100=17/25，则总数是 25 的倍数，
只有 C 项满足。【选 C】
【注意】思路梳理：给比例，问具体→优先考虑倍数特性。（1）看问法→
总数；（2）化比例→20 至 30 岁（不含 30 岁）的人数占总人数的 68%，（20 岁～
30 岁）/总数=68/100=17/25；（3）验选项→总数为 25 的倍数，只有 C 项，当
选。
【例 2】（2021 重庆选调）不到 30 岁的哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的
5 倍，若干年后哥哥的年龄就是弟弟的 4 倍，又过了若干年，哥哥的年龄将是弟
弟的 3 倍，则今年两兄弟的年龄差是多少岁？
A.12
B.13
C.14
D.15
【解析】2.给比例（5、4、3 倍），求具体值，优先考虑倍数特性。问“今
年两兄弟的年龄差”，找与问题相关的条件，已知“哥哥今年的年龄正好是弟弟
18
年龄的 5 倍”，则哥哥今年的年龄/弟弟今年的年龄=5/1，年龄差为 5-1=4 的倍
数，只有 A 项满足。【选 A】
【注意】思路梳理：给比例，问具体→优先考虑倍数特性。①看问法→今年
年龄差；②化比例→哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的 5 倍，哥哥/弟弟=5/1；
③验选项→年龄差为 4（5-1）的倍数，只有 A 项，当选。
【例 3】（2020 联考）甲、乙、丙三人去超市买了 100 元的商品，如果甲付
钱，那么甲剩下的钱是乙、丙两人钱数之和的 2/13；如果乙付钱，则乙剩下的
钱是甲、丙两人钱数之和的 9/16；如果丙付钱，丙用他的会员卡可享受 9 折优
惠，结果丙剩下的钱是甲、乙两人钱数之和的 1/3。那么，甲、乙、丙三人开始
时一共带了多少钱？
A.850 元
B.900 元
C.950 元
D.1000 元
【解析】3.给比例（2/13、9/16、1/3），求具体值，优先考虑倍数特性。
问“共带了多少钱”，找与问题相关的条件，已知“三人去超市买了 100 元的商
品，如果甲付钱，那么甲剩下的钱是乙、丙两人钱数之和的 2/13”，则（甲-100）
/（乙+丙）=2/13，“甲-100+乙+丙=总数-100”是 2+13=15 的倍数，总数-100
分别为 750、800、850、900，排除 B、C 项；已知“如果乙付钱，则乙剩下的钱
是甲、丙两人钱数之和的 9/16”，则（乙-100）/（甲+丙）=9/16，材料给出 3
个条件，出现丙打九折，说明条件 3 起到决定性作用，故不验证条件 2；已知“如
果丙付钱，丙用他的会员卡可享受 9 折优惠，结果丙剩下的钱是甲、乙两人钱数
之和的 1/3”，丙需要付 100*90%=90 元，则（丙-90）/（甲+乙）=1/3，“总数
-90”是 1+3=4 的倍数，“A、D 项-90”分别为 760、910，排除 D 项，对应 A 项。
【选 A】
【注意】思路梳理：给比例，问具体→优先考虑倍数特性。（1）看问法→
三人总钱数。（2）化比例→（甲-100）/（乙+丙）=2/13；（乙-100）/（甲+
19
丙）=9/16；（丙-90）/（甲+乙）=1/3。（3）验选项→总数-100 是 15 的倍数，
排除 B、C 项；总数-90 是 4 的倍数，排除 D 项，A 项当选。
【注意】倍数特性法：
1.整除型：
（1）识别：问题、题干中，存在平均分配（整数倍）。
（2）方法：优先利用倍数特性分析。
2.余数型：
（1）识别：平均分配后，有多有少。
（2）方法：转化成“整除”→多几个，减掉；少几个，加上，俗称“多退
少补”。
3.比例型：
（1）识别：出现比例，求具体数，优先考虑倍数特性。
（2）方法：
①看问法→直接看问题的主体。
②化比例→找和其相关的比例。
③验选项→通过倍数验证选项。
第三节
方程法
方程法的学习要点
普通方程→不定方程
【注意】方程法：
20
1.普通方程：比如 1 个未知数、1 个方程，2 个未知数、2 个方程，3 个未知
数、3 个方程，是可以求解的，往往是做题工具，比如配合工程问题、行程问题、
经济利润问题找等量关系、列方程、解未知数，一般不单独考查。
2.不定方程：未知数个数＞方程个数，无法正常求解，通过分析的方式求解。
普通方程设未知数的技巧
①设小不设大→避免分数计算
②设比例数→避免分数计算
③设关联多的→方便列式
④尽量求谁设谁→避免掉坑
注：做题时会出现冲突，灵活应对，方便即可
【注意】普通方程：
1.做题逻辑：设未知数→找等量关系→列方程→解方程。
2.设未知数的技巧：
（1）设小不设大。比如甲=3*乙，如果设甲为 x，则乙为 x/3，出现分数，
不好计算；可以设乙为 x，则甲为 3x，避免分数计算。
（2）设比例数。比如甲：乙=3：4，设甲为 3x、乙为 4x，可以避免分数计
算。
（3）设关联多的。比如给出甲和丁的关系、乙和丁的关系、丙和丁的关系，
如果把丁设为未知数，就可以很直接地把甲、乙、丙表示出来，方便列式。
（4）尽量求谁设谁。比如甲+乙=100，求甲，设甲为 x；如果设乙为 x，最
后需要计算 100-x，如果忘记这一步，就容易做错。
3.注意：做题时会出现冲突，灵活应对，方便计算即可。
【例 1】（2021 新疆）甲、乙、丙、丁四人捐款，甲、乙、丙共捐款 240
元，甲、丙、丁共捐款 190 元，甲捐款额是丙的两倍，甲比乙少捐款 40 元。问
丁捐款多少元？
A.70
B.80
C.90
D.120
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【解析】1.方法一：出现比例（2 倍），求具体值，优先考虑倍数特性。问
“丁捐款多少元”，求丁，比例与甲和丙有关，无法考虑倍数特性，考虑方程法。
已知“甲捐款额是丙的两倍”，设丙捐款 x 元，则甲捐款 2x 元；已知“甲比乙
少捐款 40 元”，相当于“乙比甲多捐款 40 元”，乙捐款 2x+40 元；已知“甲、
丙、丁共捐款 190 元”，丁捐款 190-2x-x 元；已知“甲、乙、丙共捐款 240 元”，
列式：2x+2x+40+x=240→5x=200→x=40，则丁捐款 190-80-40=70 元，对应 A 项。
方法二：已知“甲捐款额是丙的两倍”，设丙捐款 x 元，则甲捐款 2x 元；
已知“甲、丙、丁共捐款 190 元”，丁捐款 190-3x 元，则“190-丁”是 3 的倍
数，“190-选项”分别为 120、110、100、70，只有 120 是 3 的倍数，A 项当选。
【选 A】
【注意】
1.尽量求谁设谁，如果本题设丁为 x，甲、乙、丙不方便表示出来。
2.工程问题、行程问题、经济利润问题利用方程法比较多，最终需要转化成
等量关系求解。
3.思路梳理：给出等量关系，列方程。设丙为 x，则甲为 2x，乙为 2x+40，
丁为 190-3x，x+2x+2x+40=240，解得 x=40，丁=190-3*40=70。
不定方程的解题方法
通过列式，得到一个不定方程→直接考虑数字特性
建议顺序：尾数→倍数→奇偶→代入
通过列式，得到两个不定方程→一定要看所设未知数是否必须为整数
未知数必须为整数时，用消元法，转化成一个不定方程，分析数字特性
未知数不一定为整时，用赋 0 法，让其中一个未知数为 0，解出其他未知数
【注意】不定方程的解题方法：通过列式，得到 1 个不定方程（比如 2 个未
知数、1 个方程），直接考虑数字特性。比如 3x+4y=24，为 1 个不定方程，利用
22
数字特性求解；又如 3x+4y+5z=68，7x+y+2z=79，为 2 个不定方程（不定方程组），
后面会讲解解题方法。建议顺序：尾数特性→倍数特性→奇偶特性→直接代入。
【例 2】（2021 重庆选调）为评选扶贫工作先进项目案例，某乡镇举行优秀
扶贫项目案例评选活动，共邀请 71 名评委参加投票评选，从甲、乙、丙、丁、
戊五个案例中评选“最佳案例”，最终甲得选票 35 张，乙得选票为第二名，丙、
丁票数一样，戊得选票 8 张为最少，那么乙得选票多少张？
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】2.已知“丙、丁票数一样”，设乙得选票 x 张，丙和丁均得选票 y
张；已知“共邀请 71 名评委参加投票评选”，列式：35+x+y+y+8=71→x+2y=28，
为 1 个不定方程，优先考虑数字特性。
分析奇偶特性，2y 是偶数，28 也是偶数，偶数+偶数=偶数，则 x 是偶数，
排除 B、D 项；剩二代一，代入 A 项：当 x=8 时，y=10，乙并非第二名，或者“戊
得选票 8 张为最少”，此时乙和戊票数一样，不满足题干条件，排除 A 项，C 项
当选。【选 C】
【注意】
1.此类题目并不是单纯考查列方程、解方程，而是考查分析思维。分析思维
在行测考试中无处不在，言语理解、判断推理、数量关系、资料分析都需要分析。
2.思路梳理：给出等量关系，列方程。设乙=x，丙=丁=y，35+x+y+y+8=71，
化简得，x+2y=28，分析奇偶，x 为偶数，排除 B、D 项；代入 A 项，x=8，y=10，
与乙排第二相悖，排除，C 项当选。
如何看尾数？
识别：ax+by=M，当 a 或 b 尾数是 0 或 5 时，考虑尾数
例：37x+20y=271，x=？（x、y 均为正整数）
A.1
B.3
C.2
D.4
23
【注意】如何看尾数：
1.识别：ax+by=M，当 a 或 b 尾数是 0 或 5 时，考虑尾数特性。
2.例：37x+20y=271，x、y 均为正整数，x=？
A.1
B.3
C.2
D.4
答：20y 的尾数为 0，271 的尾数为 1，尾数 1+尾数 0=尾数 1，则 37x 的尾
数为 1，观察“37*选项”的尾数，只有“37*B 项”的尾数为 1，排除 A、C、D
项，B 项当选。
如何看倍数？
识别：ax+by=M，当 a 或 b 与 M 有公因子时，考虑倍数特性
例：7x+3y=60，x 为多少？（x、y 均为正整数）
A.1
B.2
C.3
D.4
例：7x+9y+15z=60，x 为多少？（x、y、z 均为正整数）
A.1
B.2
C.3
D.4
【注意】如何看倍数：
1.识别：ax+by=M，当 a 或 b 与 M 有公因子时，考虑倍数特性。
2.例：
（1）7x+3y=60，x、y 均为正整数，x 为多少？
A.1
B.2
C.3
D.4
答：x 的系数 7 与 60 不存在公因子，y 的系数 3 和 60 存在公因子 3，
7x=60-3y=3*（20-y），则 7x 存在 3 因子，7 不是 3 的倍数，故 x 是 3 的倍数，
C 项当选。
（2）7x+9y+15z=60，x、y、z 均为正整数，x 为多少？
A.1
B.2
C.3
D.4
24
答：x 的系数 7 与 60 不存在公因子，y 的系数 9 和 60 存在公因子 3，z 的系
数 15 和 60 存在公因子 3，则 7x 也应该有 3 因子，7 不是 3 的倍数，故 x 是 3
的倍数，C 项当选。虽然 z 的系数 15 和 60 存在公因子 15，但是需要保证三个量
有公因子，这样才能确定第四个量的因子。
3.结论：A+B=C，如果其中有两个量是 N 的倍数，那么另外一个量一定是 N
的倍数。
如何看奇偶？
识别：ax+by=M，当 a、b 恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性
例：3x+4y=25，x=？（x、y 均为正整数）
A.2
B.3
C.4
D.5
【注意】如何看奇偶：
1.识别：ax+by=M，当 a、b 恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。比如 3x+4y=25，
3 和 4 一奇一偶，可以考虑奇偶特性；又如 3x+5y=25，3 和 5 均为奇数，不能考
虑奇偶性。
2.例：3x+4y=25，x、y 均为正整数，x=？
A.2
B.3
C.4
D.5
答：任意整数*偶数=偶数，4y 是偶数，25 是奇数，奇数+偶数=奇数，则 3x
是奇数，故 x 是奇数，排除 A、C 项；剩二代一，代入 B 项：当 x=3 时，y=4，x
和 y 均为正整数，满足题干条件，B 项当选。
【例 3】
（2023 上海）足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，
这是由当值主裁判决定的。某场比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理
受伤增加 30 秒，每次换人增加 20 秒，其他情况每次增加 10 秒。在下半场即将
结束时，主裁判确定伤停补时的时长为 4 分 30 秒。若已知下半场比赛时间内，
处理受伤、换人和其他情况都存在且共计有 10 次，那么下半场两队总共换了多
少次人？
25
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】3.设受伤 x 次、换人 y 次、其他情况 z 次，已知“处理受伤、换人
和其他情况都存在且共计有 10 次”，列式：x+y+z=10①；已知“在下半场即将
结束时，主裁判确定伤停补时的时长为 4 分 30 秒”，统一时间单位，4 分 30 秒
=270 秒，列式：30x+20y+10z=270→3x+2y+z=27②，为 2 个不定方程。
未知数是次数，必须为整数，考虑消元法。问“下半场两队总共换了多少次
人”，求 y 不消 y，消 x 或者 z，建议消 z。②-①得：2x+y=17，为 1 个不定方
程。分析奇偶特性，2x 是偶数，17 是奇数，偶数+奇数=奇数，则 y 是奇数，排
除 B、D 项；剩二代一，代入 A 项：当 y=1，x=8，z=1，满足题干所有条件，无
需继续代入 C 项，A 项当选。【选 A】
【注意】
1.若代入 C 项仍满足题干所有条件，则本题出错了。
2.思路梳理：给出等量关系，列方程。设受伤 x 次、换人 y 次、其他 z 次，
根据次数：x+y+z=10；根据时间：30x+20y+10z=270，化简为 3x+2y+z=27。未知
数必须为整数，消元：2x+y=17；分析奇偶，y 为奇数，排除 B、D 项；代入 A 项，
y=1，x=8，z=1，满足所有题意，当选。
不定方程的解题方法
通过列式，得到一个不定方程→直接考虑数字特性
建议顺序：尾数→倍数→奇偶→代入
通过列式，得到两个不定方程→一定要看所设未知数是否必须为整数
未知数必须为整数时，用消元法，转化成一个不定方程，分析数字特性
未知数不一定为整时，用赋 0 法，让其中一个未知数为 0，解出其他未知数
【注意】不定方程的解题方法：通过列式，得到 2 个不定方程，一定要看所
设未知数是否必须为整数。
1.未知数必须为整数（比如人数、车数、零件个数等）时，考虑消元法，转
化成 1 个不定方程，利用数字特性分析。
26
2.未知数不一定为整数（比如时间、钱数等）时，考虑赋 0 法。
【例 4】（2022 江苏）某企业年终评选了 30 名优秀员工，分三个等级，分
别按每人 10 万元、5 万元、1 万元给与奖励。若共发放奖金 89 万元，则获得 1
万元奖金的员工有：
A.14 人
B.19 人
C.20 人
D.21 人
【解析】4.给出总钱数、总人数，不知道具体人数，设获得 10 万元、5 万
元、1 万元奖金的员工人数分别为 x、y、z，已知“评选了 30 名优秀员工”，列
式：x+y+z=30①；已知“共发放奖金 89 万元”，列式：10x+5y+z=89②，为 2
个不定方程。
未知数是人数，必须为整数，考虑消元法。问“获得 1 万元奖金的员工有多
少人”，求 z 不消 z，消 x 或者 y，因为 y 的系数小，所以建议消 y。①*5 得：
5x+5y+5z=150③；③-②得：4z-5x=61④，为 1 个不定方程。
5x 的尾数不唯一（可能为 0，也可能为 5），不能直接分析尾数特性。④*2
得：8z-10x=122，10x 的尾数一定是 0，122 的尾数是 2，尾数 2-尾数 0=尾数 2，
则 8z 的尾数是 2，代入选项验证，排除 C、D 项；剩二代一，代入 A 项：当 z=14
时，x=-1，x 不能是负数，排除 A 项，B 项当选。【选 B】
【注意】思路梳理：给出等量关系，列方程。设获得 10 万元奖励的员工有
x 人、获得 5 万元奖励的员工有 y 人、获得 1 万元奖励的员工有 z 人；根据人数：
x+y+z=30①；根据钱数：10x+5y+z=89②；未知数必须为整数，消元，①*5-②：
4z-5x=61；分析尾数，4z 尾数为 6，z 的尾数为 4 或 9，排除 C、D 项；代入 A
项，z=14，x 为负数，排除，B 项当选。
【拓展】（2018 上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲 1 件、乙 3 件、
丙 7 件共需 200 元；若购买甲 2 件、乙 5 件、丙 11 件共需 350 元。则购买甲、
乙、丙各 1 件共需多少元？
A.50
B.100
27
C.150
D.200
【解析】拓展.设甲单价为 x 元、乙单价为 y 元、丙单价为 z 元，已知“若
购买甲 1 件、乙 3 件、丙 7 件共需 200 元”，列式：x+3y+7z=200①；已知“若
购买甲 2 件、乙 5 件、丙 11 件共需 350 元”，列式：2x+5y+11z=350②，为 2
个不定方程。
未知数是单价，不一定是整数，考虑赋 0 法。z 的系数很大，赋值 z=0，则
x+3y=200③，2x+5y=350④。③*2 得：2x+6y=400⑤；⑤-④得：y=50，x=50。问
“购买甲、乙、丙各 1 件共需多少元”，所求=x+y+z=50+50+0=100 元，对应 B
项。【选 B】
【注意】
1.原理：未知数不一定是整数的不定方程有无数组解，但是对应唯一的答案，
利用特值思维解题，赋值 z=0，求出 x 和 y 的值，则题目可以求解。
2.思路梳理：给出等量关系，列方程。设甲单价为 x、乙单价为 y、丙单价
为 z，根据条件一：x+3y+7z=200；根据条件二：2x+5y+11z=350；未知数不一定
为整数，赋 0，z=0，解得：x=50，y=50；x+y+z=50+50+0=100，B 项当选。
【注意】方程法：
1.普通方程。
2.不定方程：
（1）一个不定方程：考虑数字特性。
（2）两个不定方程：根据所设未知数性质判断类型。
①未知数一定为整数，考虑消元法。
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②未知数不一定为整数，考虑赋 0 法。
【出门考】（2019 黑龙江边境）学校买来四种教材，语文教材是其余三种
的 1/4，数学教材是其余三种的 3/7，英语教材是其余三种的 7/13，科学教材比
数学教材少 30 本，则数学教材有：
A.30 本
B.60 本
C.100 本
D.200 本
【解析】拓展.课堂正确率为 68%。给出比例（1/4、3/7、7/13），求具体
值，优先考虑倍数特性。问“数学教材有多少本”，优先找与“数学教材”有关
的比例。已知“数学教材是其余三种的 3/7”，数学教材/其余三种=3/7，说明
数学教材是 3 的倍数，排除 C、D 项；已知“科学教材比数学教材少 30 本”，如
果数学教材有 30 本，那么科学教材有 30-30=0 本，不满足“学校买来四种教材”，
排除 A 项，B 项当选。【选 B】
鸡兔同笼（加餐）
【拓展】“假设法”巧解方程组
x+y=常数 1
nx+my=常数 2
例：A 重 4 克，B 重 3 克，A 与 B 共 100 个，总重 370 克，则 A、B 各多少个？
假设法：①求谁，假设全是另一个
②结果=理想与现实的差距/标准的差距
【注意】“假设法”巧解方程组：
1.形式：x+y=常数 1；nx+my=常数 2。
2.技巧：假设法（鸡兔同笼的思想）。
3.例：A 重 4 克，B 重 3 克，A 与 B 共 100 个，总重 370 克，则 A、B 各多少
个？
（1）正常解题需要列方程，A+B=100，4A+3B=370，可以解方程组求解。
（2）假设法：假设这 100 个全是 A，一共 100*4=400 克，比实际多算了
400-370=30 克，把一个 B 看成一个 A 会多算 4-3=1 克，则多算几个“1 克”就有
29
几个 B，一共多算了 30 个“1 克”，故一共 30 个 B。
（3）公式计算：
①题目求 B，假设全是 A，“理想”为 4*100=400 克，“现实”为 370 克，
“理想”与“现实”的差距为 400-370=30 克，标准之间的差距为 4-3=1 克，则
B 有 30/1=30 个。
②题目求 A，假设全是 B，“理想”为 3*100=300 克，“现实”为 370 克，
“理想”与“现实”的差距为 370-300=70 克，标准之间的差距为 4-3=1 克，则
A 有 70/1=70 个。
4.假设法：
（1）求谁，假设全是另一个。若求 A，则假设全是 B；若求 B，则假设全是
A。
（2）结果=理想与现实的差距/标准的差距。
【练习 1】（2019 上海）踢毽子有内踢、直踢、外踢、膝击、叉踢、背踢、
倒勾和踹毽八种基本动作。在一次踢毽子比赛中规定：前五种基本动作每次记 1
分；后三种基本动作由于难度较高，每次记 3 分。方华在 1 分钟内完成了 35 个
基本动作，总分为 69 分。那么方华完成了（
A.16
B.17
C.18
D.19
）个 3 分动作。
【解析】拓展 1.问“完成了多少个 3 分动作”，假设 35 个基本动作全是 1
分动作，“理想”为 35*1=35 分，“现实”为 69 分，“理想”与“现实”的差
距为 69-35=34 分，标准之间的差距为 3-1=2 分，则 3 分动作完成了 34/2=17 个，
对应 B 项。【选 B】
【练习 2】
（2017 联考）小明负责将某农场的鸡蛋运送到小卖部。按照规定，
每送达 1 枚完整无损的鸡蛋，可得运费 0.1 元；若有鸡蛋破损，不仅得不到该枚
鸡蛋的运费，每破损一枚鸡蛋还要赔偿 0.4 元。小明 10 月份共运送鸡蛋 25000
枚，获得运费 2480 元。那么，在运送过程中，鸡蛋破损了：
A.20 枚
B.30 枚
30
C.40 枚
D.50 枚
【解析】拓展 2.问“鸡蛋破损了多少枚”，假设 25000 枚都是完整无损的，
“理想”为 25000*0.1=2500 元，“现实”为 2480 元，“理想”与“现实”的差
距为 2500-2480=20 元，标准之间的差距为 0.1-（-0.4）=0.1+0.4=0.5 元，则鸡
蛋破损了 20/0.5=40 枚，对应 C 项。【选 C】
数量本不难，世人皆无心
若放弃于此，拿啥与人拼
学习要专注，日出到黄昏
方法与毅力，才为定海针
粉笔诗圣——牟铁头
【答案汇总】
代入排除法 1-3：ADB
整除型：B
余数型 1-2：CD
比例型 1-3：CAA
方程法 1-4：ACAB
31
遇见不一样的自己
Be your better self