Mavzu: Kombinatorika elementlari. O‘rinlatishlar va o‘rin almashtirishlar. Gruppalashlar. Nyuton binomi.
Reja:
1.Kombinatorika haqida tushuncha
2.O‘rin almashtirish
3.O‘rinlashtirish
4.Guruhlash
5.Nyuton binomi
Kombinatorika (lot. combinare -birlashtirish), kombinator analiz, kombinator matematika — matematikaning
chekli toʻplamlar ustida bajariladigan amallarni oʻrganadigan boʻlimi. Eng koʻp qullanadigan amallari: 1)
toʻplamni tartiblash, yaʼni berilgan p elementli toʻplam elementlarini nomerlab (ag a2,..., ap), ketma-ketlik hosil
qilish. Bunday ketma-ketlik p elementdan tuzilgan urin almashtirish deyiladi va qisqacha ag a2,..., ap kabi
yoziladi. Mas, 3 ta a,, s elementdan 6 ta oʻrin almashtirish tuzish mumkin: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Umuman, p elementdan tuzilgan oʻrin almashtirishlar soni:Ri= 1 -2-3...(ya- 1)l = i formula bilan hisoblanadi; 2)
toʻplamning qismlarini tuzish. p elementli toʻplamning m elementli qismi p elementdan m tadan tuzilgan
kombinatsiya deyiladi. Mas, {a,, s, d) toʻplamning 2 elementli 6 ta qism toʻplami bor {a, ), {a, s}, {a, d], {, s}, {b,
d], {s, d). Umuman, p elementdan m tadan tuzilgan kombinatsiyalar soni:l(p-1)(p-2)...(p-sh+1) S = l-2-Z...tm\{n—
m)\formula bilan hisoblanadi. Sp sonlari (a+)" ikki hadli yoyilmasining koeffitsiyentlari boʻlib, binomial
koeffitsiyentlar ham deyiladi (qarang Nyuton binomi); 3) toʻplamning tartiblangan qismlarini tuzish. i elementli
toʻplamning tartiblangan t elementi p elementdan t tadan tuzilgan oʻrinlashtirish deyiladi. Mas, uchta a,, s
elementdan 2 tadan tuzilgan urinlashtirishlar ab, as, be, ba, ca, cb bu-ladi. Umuman, p elementdan t tadan tuzilgan
oʻrinlashtirishlar soniA™ = p(p — 1)(l — 2)...(p — t + 1) formula bilan hisoblanadi. Rp, S™, A™ sonlari uchun
Ap =Rt- Sp, Sp =Sp s™ + s"+| = s™+|, s" + s[ + +s] +... + s" + s" = 2° tengliklar oʻrinli. K.dashu singari
masalalarni yechish kridalari ishlab chiqilgan.
K.ning kombinator geometriya deb ataladigan boʻlimida elementlari soni cheksiz koʻp boʻlgan baʼzi toʻplamlar
(geometrik figuralar) ham oʻrganiladi. Masalan, tekislikda yotuvchi chegaralangan qavariq figuralar berilgan
boʻlib, ulardan har uchtasi umumiy nuqtaga ega boʻlsa, shu figuralarning barchasiga tegishli nuqta ham mavjud
boʻladi (J. Xelli teoremasi).
Kombinatorika(kombinatorik tahlil) – bu diskret matematikaning diskret to’plamelementlarini berilgan qoidalar
asosida tanlash va joylashtirish bilan bog’liq bo’lganmasalalarni echish usullarini o’rganuvchi bo’limidir.
Qandaydir predmetlardan (masalan, harflar, sharlar, kubchalar, sonlar va h.k )tashkil topgan guruhlar birikmalar
yoki kombinatsiyalardeb ataladi. Ana shubirikmalarni tashkil etgan predmetlar elementlardeyiladi. Uch xil turdagi
birikmalar mavjud:o’rin almashtirish (permutation -perestanovki), o’rinlashtirish (arrangent - razmeheniya) va
mosliklar(combination -sochetaniya).
1 dan n gacha bo’lgan natural sonlar ko’paytmasi «n faktorial
1*2*3…(n-1)*n (0!=1). Ba’zan n! ni hisoblashdaquyidagi taqribiy Stirling formulasi qo’l keladi:
O‘RIN ALMASHTIRISHLAR
n ta elementli o’rin almashtirishlar deb bir-biridan faqat elementlarining tartibibilan farq qiladigan n ta elementli
birikmalarga aytiladi. Masalan, uchta A, B, C elementdan olti ta o’rin almashtirishbajarish mumkin: ABS, ACV,
BAC, SBA, VCA, CAB. n ta elementli o’rin almashtirishlar soni Pn bilan belgilanadi va quyidagi formula bilan
hisoblanadi:
Pn= 1*2*…(n-1)n=n!
Ta’rif: n elementni n tadan o’rinlashtirishlar o’rin almashtirishlar deyiladi.O’rin almashtirishlar Pn bilan
belgilanadi.O’rin almashtirishlar sonini o’rinlashtirishdagi k ning o’rniga n ni qo’yib keltirib chiqarish mumkin.
A = n (n-1)…(n-(k-1)) (1) k = n
A = n (n-1)…(n-(n-1)) = n (n-1) (n-2)…1=1·2·3·…(n-2) (n-1)n = n!
Pn =A = n!
Demak, n elementni o’rinlashtirishlar soni n faktorialga teng.Birdan n gacha bo’lgan sonlar ko’paytmasi factorial
deyiladi.
Pn =n!
GRUPPALASHLAR
Ta’rif: n ta elementni k tadan gruppalashlar deb kamida 1 tadan elementi bilan farq qiluvchi o’rinlashtirishlarga
aytiladi.
Teorema: n elementni k tadan gruppalashlar soni
Ckn = Akn / Pk ga teng
Isbot: Dastlab 4 ta elementdan 3 tadan a,b,c,d o’rinlashtirishlar tuzaylik.
abc, abd, acd, bcd
acb, adb, adc, bdc
bac, bad, bca, bda
cab, cad, cbd, cba
cda, cdb, dab, dbc
dac, dca, dba, dcb
4taA34 =24=6·4
P3 =6=1·2·36
Ckn = Akn / Pk = 4 · 3 · 2 / 1 · 2 · 3 = 24 / 6 = 4
Ckn = 4
Demak, bu to’g’ri bo’ladi.
Ckn =Akn /Pk
Ckn =n(n-1)(n-(k-1)/k!
TAKRORLANUVCHI O’RIN ALMASHTIRISHLAR
Ta’rif: bir necha elementi bir xil bo’lgan n ta elementni o’rin almashtirish takrorlanuvchi o’rin almashtirish
deyiladi.
k ta elementi bir xil bo’lgan n ta elementni o’rin almashtirishlar soni Pn(k) bilan yoziladi.
Bu n ta element turli xil bo’lganda Pn = n! edi. Uning k ta elementi bir xil bo’gani uchun bu elementlar o’rin
almashtirilib hosil qilingan gruppalarning hammasi bir xil.O’shancha gruppaning bittasinigina hisobga olinib n! ta
gruppa k! marta kamayadi. Demak, a,b, c ,c , c ,c ,…c ,d…f (n)
O’rin almashtirishlar soni
Pn(k) =n!/k!bo’larekan.
n ta elementning k tasi bir xil bo’lishi bilan yana m tasi bir xil bo’lsin.
a, b, b, b…b , c, c, c…c d…f(n)
Bu holda o’rin almashtirishlar soni yana m marta kamayadi.
Pn (m,k) = n!/k!m! (7)
O‘rinlashtirishlar
n ta elementdan m tadan o’rinlashtirishlar deb har birida berilgan n ta elementdan t tasi olingan shunday
birikmalarga aytiladiki, ularning har biri hech bo’lmagandabitta elementi bilan yoki faqat ularning joylashish
tartibi bilan farq qiladi.Masalan, uch element A, B, C dan ikkita elementli oltita o’rinlashtirish mavjud: AB, AC,
BC, BA, CA, CB.
Ta’rif: n ta elementni k tadan o’rinlashtirish deb k tadan bitta elementi yoki elementlarining tartibi bilan farq
qiluvchi gruppalarga (kombinasiyalarga) aytiladi.
Teorema: n elementni k tadan o’rinlashtirishlar soniAkn = n (n-1) (n-2)…n- (k-1) ga teng.
Isbot. a, b, c, d…f n ta elementni 2 tadan o’rinlash tuzaylik.
ab , ac, ad…af
ba, bc, bd…bf
ca, cb, cd…cf
da, db,dc…df
……………..
fa, fb, fc…fdn-1 gruppa
Demak, A1n = n, A2n =n (n-1)
n elementni 2 tadan o’rinlashtirish soni.
Shu n ta elementni 3 tadan o’rinlashtiraylik.
ab c, abd…abf
acb, acd …asf
adb, adc…adf
……………..
afb, afc…afd
ba c,bad,…baf
bca,bcd,…bcf
b da,bdc,…bdf n ta
……………..
bfa,bfc,…bfd
ca b,cad,…caf
cba,cbd,…cbf
cda,cdb,…cdf
……………..
cfa,cfb,…cfd
da b,dac,…daf
dba,dbc,…dbf
dca,dcb,…dcf
……………..
dfa,dfb,…dfc…
n-2 gruppa
Demak, n ta elementni 3 tadan o’rinlashtirishlar soni
A3n = n (n-1) (n-2) bo’ladi.
Xuddi shutartibda n elementni 4 tadan o’rinlashtirishlar soni
A4n = n (n-1) (n-2) (n-3) ekanligini topish mumkin.Bu xulosalarimizni umumlashtirsak
Akn = n (n-1) (n-2)…(n-(k-1))
Demak, n elementni k tadan o’rinlashtirishlar soni haqiqatdan
Akn = n (n-1) (n-2)…(n-(k-1)) bo’ lar ekan.
Nyuton binomi
Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari
yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
Nyuton binomi formulasi Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar),
Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar.
Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan.Ko'pincha matematika va tabiiy
fanlarda biz kabi binomial darajalarni hisoblashimiz kerak.
(x + 3) 2 yoki (2x - 7) 5
(Binomial (x + a) ga o'xshash narsa, bu kamida bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi.)
Birinchi misol, binomial kvadratlar juda oddiy, biz buni doimo bajaramiz. Ikkinchi variant esa, xatolarga yo'l
qo'ymaslik uchun biroz ishlab chiqishni talab qiladi.
Yaxshi yangilik shundaki, ushbu kengaytmalar har doim ma'lum bir naqshlarga ega va biz ularni oson bajarilishini
ta'minlash uchun foydalanishimiz mumkin.
Kvadrat: (x + a) 2
Umumiy nuqtai nazar uchun kvadratik binomiyaning kvadratik funktsiyaga ajralishi quyidagicha ko'rinadi.
Ba'zida biz ko'paytirishimiz kerak bo'lgan barcha juftlarni eslab qolish uchun "birinchi, tashqi, ichki, oxirgi"
ma'nosini anglatuvchi Fo-l mnemonikasidan foydalanamiz.
Natijada har doim faqat bitta x, bitta y va bitta aralash a'zo, ikkalasini ham o'z ichiga oladi.
kengaytirilgan atamalar (x + a) 4 orqali chapdan o'ngga o'qishda koeffitsientlar 1, 4, 6, 4 va 1 ga teng.
Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi uchun zarur bo‘lgan ayrim
tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz.
Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,., ,.. u1 u2 un. Shu ketma-ketlik yordamida
tuzilgan.
Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,..., ,... u1 u2 un . Shu ketma-ketlik yordamida
tuzilgan U1+U2+…+Un+…= n_k=1 u k
ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb ataladi.
Sn= u1+ u2+…+ un yig‘indiga qatorning xususiy yig‘indisi deyiladi.
Agar qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan S1, S2,…,SN,…
ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati yaqinlashuvchi
qator yig‘indisi deb ataladi.
Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda qator uzoqlashuvchi deyiladi