Xos son va xos vektorlarni topishning sonli usullari
- Krilov usuli
- Danilevskiy usuli
- Xos qiymatlarning qismiy muammolarini hal etishda Levere va boshqa
metodlar. Moduli bo`yicha eng katta xos son va xos vektorni berilgan aniqlikda
topish.
Tayanch iboralar.
Vektor, matrisa, xos son, xos vektor, matrisaning spektri, spektral radiusi, xarakteristik
tenglama, xarakteristik ko`phad, minor, to`liq muammo, qismiy muammo, chiziqli
tenglamalar sistemasi.

Noldan farkli x vektor uchun


Ax  x
(1)
tenglik bajarilsin. Undagi  soni A kvadrat matrisaning xos son yoki xarakteristik soni,


x vektor A matrisaning  ga mos xos vektori (umuman, а x xam A ning xos vektori,
bunda а –ixtiyoriy son). A matrisaning barcha xos sonlari tuplami A matrisaning
spektri, xos sonlar modullarining maksimumi A matrisaning (a) spektral radiusi,
a11  
D()=det(A– E)=
a21
a12
...
a1n
a22   ...
a2n
...
...
an1
an 2
...
....
=0
(2)
... ann  
A matrisaning asriy eki xarakteristik tenglamasi , (2) tenglamaning chap kismidan
iborat.
(3)
 ()=det(A–E)=(–1)n(n–p1n–1–p2n–2–…–pn)
n–darajali ko`phad A matrisaning xarakteristik ko`phadi,
R()=n–r1n–1–p2n–2–…–pn
(4)
esa A matrisaning xos ko`phadidir. Xos sonlar va xos vektorlarni topish uchun:
1) R() tuziladi;
2) R()=0 tenglamadan barcha i (i=1, n ) xos sonlar topiladi;
3) ushbu
(A–iE) x  0
(5)
bir jinsli tenglamalar sistemasidan х xos vektorlar aniqlanadi.
(4) ko`phadning ri koeffisentlari A matrisaning (–1)i–1 ishora bilan olingan i–tartibli
diagonal minorlar yigindisiga teng:
p1 
p3 
n
 a jj ,
j 1

j  k l
p2 
a jj
 akj
j k
a jk
,
akk
a jj
akj
a jk
akk
a jl
akl , ... pn  (1) n 1 det A
alj
alk
all
Bu tengliklardan kam foydalanadilar: n ning katta qiymatlarida hisoblashlar
ogirlashadi. Amalda esa aniq (to`g`ri) usullar va iterasion usullardan foydalaniladi.
Aniq usullar qo`llanilganda oldin pi koeffisentlar topiladi, sung R() ko`phad tuzilib,
uning ildizlari (i lar ) va keyin x lar aniqlanadi. Iterasion usullardan xrakteristik
ko`phad tuzib utirilmay, to`g`ridan–to`g`ri xos sonlar va xos vektorlar bir vaktning
uzida topiladi. Aniq usullar xos sonlarning xammasini topishga (muammoni tulik xal
kilishga), iterasion usullar esa bitta eki bir nechta xos son va xos vektorni topishga
(muammoni kisman xal kilishga) imkon beradi. Hisoblashlarda
1+2 +… +n=a11+a22+…+ann=tr A
1* 2*…*n=det A
(6)
tengliklardan keng foydalanadilar.
A.N.Krilov usuli.
1) Noldan farkli ixtieriy c (0)=(s01,s02,…,s0n)’ vektor tanlanadi, qolgan c (i) (i=1,2,. . . n)
vektorlar c (i)=A c (0) eki c (0)=A c (i–1) munosabat bo`yicha aniqlanadi;
2) ushbu
 p1cn1,1  p 2 cn2,1  ...  p n c01  cn1

 p1cn1, 2  p 2 cn2, 2  ...  p n c02  cn 2
(7)

..........
..........
..........
..........
..........
.......

 p1cn1,n  p 2 cn2,n  ...  p n c0 n  cnn

sistema tuziladi va undan ri lar aniqlanadi;
3) (3) xarakteristik ko`phad tuziladi va undan i xos sonlar aniqlanadi; 4) xos
vektorlar aniqlanadi:
x (i)=  i1 c (0) +  i2 c (1) +… +  im c (m–1), m  n,
bunda
  im  1,

 i ,m1  i  p1 ,

2
  i ,m2  i  p1i  p 2 ,
......................................

  i1  mi1  p1mi2  ...  p m1 ,

1–misol . Ushbu
(8)
(9)
5 30  48 
3 14  24 

A= 
3 15  25 
Matrisaning xos sonlari va xos vektorlarini topamiz.
Echish.1) c (0)=(1,0,0)’ bo`lsin.(6) munosabatga asosan:
5 30  48 1 5
c (1)= 3 14  24  * 0  3,

    
3 15  25 0 3
 ( 2)
с
 (1)
 Aс
 29 
   15 ,


  15 
 ( 3)
с
 ( 2)
 Aс
125 
  63 
 
 63 
2) (7) sistema:
 29 p1  5 p 2  p3  125,

 15 p1  3 p 2  63,
 15 p  3 p  63.
1
2

 ( 0)
 (1)
 ( 2)
Ikkinchi va uchinchi tenglamalarning bir xil bulayotgani oldingi c , c , c
vektorlar chiziqli boglanganligini bildiradi. Sistemani shu vektorlarning chiziqli
kombinasiyasida tuzamiz:
5 p1  p 2  29,
bundan p1  5, p2  4;  ( )  2  5  4, 1  4 , 2  1; (6)

3 p1  15.
munosabatga ko`ra 3  5  14  25  4  1  1. 1 ва 2 ga mos bo`lgan
 (1)
 (3)
 ( 2)
x ва x xos vektorlarni topamiz ( x
tanlanishi kerak). m=2 bo`lganidan
 ( 0)
ni topish uchun с
boshkacha
12  1, 11  1  p1  4  5  1, 22  1, 21  2  p1  1  5  4,
shunga ko`ra
 (1)
x
 ( 2)
x
 ( 0)
 11 c
 12 c
 (0)
  21 c
 (1)
 (1)
  22 c
1 
1  21
 1  0  4  0  12 ,
 
   
0
0 12 
1 
5 9
 4  0  1  3  3.
 
   
0
3 3
Xos qiymatlarning qismiy muammolarini hal etishda Levere va boshqa
metodlar. Moduli bo`yicha eng katta xos son va xos vektorni berilgan aniqlikda
topish.
Xos sonlarning qismiy muammosini yechishning iteratsion metodlari
Bu paragrfda biz xos sonlarning qismiy muammosini yechishning eng soda
metotlarini ko’rib chiqamiz. Bundan tashqari qaraladigan motritsalarimiz oddiy
strukturaga ega deb faraz qilamiz.
Tarif. Agar n- tartibli A kvadrat matritsa n ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega
bo’lsa, bunday matritsa oddiy strukturaga ega deyiladi.
Chiziqli algebradan malumki, matritsalarning quyidagi siniflari oddiy strukturaga:
1.Simmetrik matritsa, chunki uning xos qiymatlari
haqiqiy sonlar bo’lib, xos vektorlardan tuzilgan ortogonal bazis mavjuddir.
2.Ermit matritsasi, uning barcha xos sonlari haqiqiy bo’lib, xos vektorlaridan mos
ravishdagi n o’lchovli kompleks fazoda ortanormol bozis tuzish mumkin.
3.Normol matritsa. Agar motritsa o’zining qo’shmasi A* bilan komitativ, yani
AA*=A*A bo’lsa, u holda A matritsa normol deyiladi. Umuman olganda, bu uchta
sinifli tegishli matritsalardan tashqari oddiy strukturaga ega bo’lgan boshqa
motritsalar ham mavjud.
Biz avval moduli bo’yicha eng katta xos son va unga mos keladiga mos vektorni
topamiz.
1.eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod.
Faraz qilaylik , A matritsa oddiy strukturaga ega va uning xos sonlari 1 ,  2 ,...,  n ,
bo’lib ,ularga mos keladigan chiziqli erkli xos vektorlar  (1) ,  ( 2 ) ,...  (n ) bo’lsin. Bu
yerga to’rt xolni ko’rib chiqamiz :
1-hol. A matritsaning xos sonlaridan bittasi moduli bo’yicha eng katta bo’lsin.
Umumiylikka zarar yetkazmasdan xos sonlar quyidagi tartibda joylashgan deb faraz
qilishimiz mumkun :
1  2  3  ...  n . (1)
Biz 1 ning taqribiy qiymatini topish usulini ko’satamiz.Ixtiyoriy no’ldan farqli 
vektorni olib ,uni A matritsa xos vektorlari bo’yicha yoyamiz :
(0)
 ( 0)  b1 x (1)  b2 x ( 2)  ...  bn x ( n ) .
Bu yerda bi lar o’zgarmas sonlar bo’lib, ayirmalari nol bo’lishi xam mumkun.  ( 0)
vektor ustida A k matritsa yordamida almashtirish bajaramiz :
n
 ( k )  A ( 0)   b j A k x ( j )
j 1
Bu yerda A x  kj x ( j ) ekanligini hisobga olib (2)
Ga ega bo’lamiz.
Endi n o’lchovli vektorlar fazosi Rn da ixtiyoriy e1 , e2 ,..., en bazis olamiz. Sh bazisda
k
( j)
y ( k )  ( y1( k ) , y 2( k ) ,..., y n( k ) )'
x ( j )  ( x1 j , x2 j ,..., xnj )'
bo’lsin. (9.2) tenglikni kardinatalarda yozib chiqamiz :
n
y n( k )   b j xij kj (i  1, n ) (3)
j 1
Shunga o’xshash
n
yi( k 1)   b j xij kk 1 (4)
j 1
Bu yerda cij  bx xij deb belgilab , (9.4) ni (9.3) ga bo’lamiz :
yik 1
ci11k 1  ci 21 k21 ...  cin kn1
 k
k
yi
ci11  ci 2k2  ...  cinkn
(5)
Faraz qilaylik, c i1  0 bo’lsin, bunga erishish uchun dastylabgi vektor y ( 0) va
e1 , e2 ,..., en bazisni kerakli ravishda tanlash kerak. Endi d ij 
cij
ci1
va  i 
i
deb (5) ni
1
quyidagicha yozamiz :
yik 1
1  d i 2  2k 1  ...  d in  nk 1
(6)


1
y i( k )
d i 2  2k  ...  d in  nk
Bu yerda esa (1) ni hisobga olsak, k   da  nk  ...   2k  0
Kelib chiqadi.
Demak, (6) ni quyidagicha yozish mumkun :

yik 1
 1 1  0(  2
yi( k )
k 1

 

) 1  0(  2 )  1 1  0(  2 )  1  0(  2 ).
k
k
k
Bu yerda esa etarlicha katta k lar uchun
 
y i( k 1)
(7)
y i( k )
Deb olishimiz mumkun. Odatda x (1) vektorning bir necha kordinatalari noldan farqli
bo’ladi. Shuning uchun (9.7) da nisbatini i ning bir necha qiymatida hisoblash
mumkun. Agar bu nisbatlar yetarli aniqlikda ustma- ust tushsa , u holda biz 1 ni
yetarli aniqlik bilan topgan bo’lamiz. Ravshanki, bu jarayonning yaqinlashishi tezligi
 2 ning kichikligiga bog’liqdir.
Eslatma . Yuqoridagi itaratsion jarayonning yaqinlashishini tezlashtirish uchun
ayrim xollarda quyidagi matritsalar ketma-ketligini tuzish foydalidir.
A 2  A * A,
A4  A2 * A2 ,
A8  A 4 * A 4 ,
.........................
A2  A2
m
m 1
m 1
* A2 .
Bu yerda esa k= 2 m deb olib,
y ( k )  A k * y ( 0)
Va y ( k 1)  Ay ( k ) ga
ega bo’lamiz.
(k )
Topilgan eng katta xos son 1 ga mos keladigan xos vector sifatida y ni olishimiz
mumkun. Xaqiqatdan xam, (3)
Fo’rmuladan
N
Y K  B1 X ( 1)   BJ KJ X ( J ) ga
K
1
J 1
Ega bo’lamiz. Bu yerdan
n b


y ( k )  b11k  x (1)   j  kj x ( j )  .
j  2 b1


k
Agar biz  jk  0 ekanligini hisobga olsak, u holda etarli aniqlik bilan
y ( k )  b11k x (1) ga ega bo’lamiz , yani y (k ) xos vektor x (1) dan sonli ko’paytuvchi
bilan farq qilayapti va, demak, y 1 xos songa mos keladigan xos vektordir.
Misol . Quyidagi
 5 1

1 3
A= 
0
1


0

1 
1


Matritsaning eng katta xos soni va unga mos keladigan xos vektori topilsin .
( 0)
Echish. Dastlabki y  (2,1,1)' vektorni olib , uning iteratsioni hosil qilamiz .
Natijada 13-jadvalda keltirilgan.
y
Ay
A2 y
A3 y
A4 y
A5 y
A6 y
A7 y
2
-1
-1
11
-6
-2
61
-31
-8
336
-162
-39
1842
-861
-201
10071
-4626
-1062
54981
-25011
-5688
299916
-135702
-30699
A8 y
A9 y
A10 y
A11 y
A12 y
1635288
8914131
48586477
264798094
1442094008
-7377111
-4015822
-21865709
-11910358
-648894351
-166401
-904112
-4919934
-26785643
-145889181
Iteratsiani shu yerda to’xtatib
y 312 1442094008
y 2(12) 648894351

 5.4460; (11) 
 5.4481;
y111 264798094
y1
119103538
y 3(12) 145889181

 5.4400;
y 3(11)
26785643
Ga ega bo’lamiz. Demak , 1 ning taqribiy qiymati
1
3
A matritsaning birinchi xos vektori sifatida
1442094008 
y (12)   648894351 


 145889181 
1  (5.4460  5.4481  5.4400 )  5.4447  5.445 ga teng.
(1)
ni olishimiz mumkun. Bu vektorni narmallashtirgandan so’ng x  (1;0.46;0.10)'
kelib chiqadi.
2-xol. A matritsa xos sonning moduli bo’yicha eng kattasi karrali bo’lsin. Faraz
qilaylik,
1  2  ...  s ,
1  s 1  s  2  ...  n
Bo’lsin. Bu holda (9.5) tenglik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
k 1
k 1
k 1
yik 1 (ci1  ...  cis )1  ci , s 1s 1  ...  cin n

(8)
y ik
(ci1  ..  cis )1k  ci , s 1ks 1  ...  cin kn
Bu yerda xam ci1  ...  c  0 deb faraz qilamiz va
cij

d ij 
( j  s),  i  i belgilashlarni kiritib, (8) ni quyidagicha yozamiz:
ci1  ...  cis
1
k 1
1  d i , s 1  sk11  ...  d in  nk 1
yi
 1
.
yik
1  d i , s 1  sk1  ...  d in  nk
is
y i( k 1)
k

0
(

) ga ega bo’lamiz.
Bunda esa , 
s

1
y i( k )
Shunday qilib, yuqorida keltirilgan jarayon bu yerda xam o’rinlidir. 1) holdagidek A
matritsaning 1 xos soniga mos keladigan xos vector sifatida taqribiy ravishda y k ni
olishimiz mumkin. Umuman aytganda ,boshqa dastlabki y 0 vektorini tanlab A k y 0 xos
vektorga ega bo’lamiz. Shunday qilib, 1 ga mos keladigan boshqa xos vektorlarni ham
topish mumkin
3-hol . Faraz qilylik ,A matritsaning xos sonlari quyidagi shartlarni qanoatlantirsin :
k
s 1
k
 0 ni hisobga olib, 1 

1  ...  r  r 1  ....  r  p
1  ...  r  p  r  p 1  ...  n
Bu yerda yuqoridagi iterattsion jarayonini qo’llab bo’lmaydi.
Haqiqatdan ham (9.3) tenglikni quyidagicha yozish mumkin.
yi( k )  (b1 xi1  ...  br xir )1k  (br 1 xi ,r 1  ...  br  p xi ,r  p )( 1 ) k  br  p 1 xi ,r  p 1kr  p 1  ....  bn xin kn 
d i11k  d i ,r 1 (1) k 1k  d i ,r  p 1kr  p 1  ...  d in kn
bu yerda d i11k va d i,r 1 (1) k 1k hadlar bir xil tartibga ega bo’lib, k ning o’zgarishi bilan
ikkinchisi o’z ishorasini o’zgartiradi. Demak
yi( k 1)
yi( k )
Nisbat k   da limintga ega bo’lmaydi. Lekin bu yerda yi( 2 k ) va y i( 2 k  2) yoki y i( 2 k 1)
va y i( 2 k 1) dan foydalanib, 12 ni topishimiz mumkin :
yi( 2 k  2)
 12  0(  r  p 1
(2k )
yi
2k
yi( 2 k 1)
), ( 2 k 1)  12  0(  r  p 1
yi
2k
),
Shunday qilib, bu holda A matritsaning moduli bo’yicha eng katta sonni topishimiz
mumkun. A matritsaning 1 va  1 xos sonlarga mos keladigan xos vektorlarni
toppish uchun y ( k 1)  1 y ( k ) va y ( k 1)   y ( k ) vektorlarni tuzamiz :
y ( k 1)  1 y ( k )  21k 1 (b1 x (1)  ...  br x ( r ) )  (1  r  p 1 )br  p 1kr  p 1 x ( r  p 1)  ...  (1  n )kn bn x ( n ) 


k
 1( k 1) 2(b1 x (1)  ...  br x ( r ) )  0(  r  p 1 ) ,
y
k 1

k

 1 y ( k )  (1 ) k 1 2(br 1 x ( r 1)  ...  br  p x ( r  p ) )  0(  r  p 1 ) .
A matritsaning 1 xos soniga b1 x  ...  br x xos vector va 1 xos soniga
br 1 x ( r 1)  ...  br  p x ( r  p) xos vector mos keladi . Shuning uchun xam, 1 ga mos
keladigan xos vector sifatida y ( k 1)  1 y ( k ) ni olishimiz mumkun . Agar r va p yoki
bularning birortasi birdan katta bo’lsa , u holda boshqa dastlabki y ( 0) vektorni tanlab
shu jarayonni takrorlash kerak .
4-xol Bu xolga A matritsaning moduli bo’yicha eng katta xos sonlari qo’shma
qompleks bo’gan yoki mo’dullari bilan o’z aro juda yaqin bo’lgan xol kiradi . Faraz
qilaylik, 1 va  2 xos sonlari qo’shma kompleks sonlar bo’lib , quyidagi shartni
qanoatlantirsin .
(1)
(r )
1  2  3  ...  n .
Bu holda , quyidagi tarkibiy tengliklarning o’rinli ekanligiga osongina ishonch hosil
qilish mumkun :
 y ( k )  b11k x (1)  b2 k2 x ( 2) ,
 ( k 1)
 b11k 1 x (1)  b2 k21 x ( 2) ,
y
 ( k  2)
 b11k  2 x (1)  b2 k2 2 x ( 2) .
y
Demak , bu vektorlar orasida quyidagi taqribiy chiziqli bog’lanish mavjud:
y ( k  2)  (1  2 ) y ( k 1)  12 y ( k )  0.
Agar hisoblash jarayonida y (k ) , y ( k 1) , y ( k  2) vektorlar orasida y ( k 2)  py ( k 1)  qy ( k )  0
Chiziqli bog’lanish o’rinli bo’lsa , u holda 1 va  2 lar
u 2  pu  q  0
Kvadrat tenglamani qanoatlantiradi. Bu tenglamaning p va q kaifsentlarini quyidagi
muloxazalar yordamida topish mumkun . kompanentlarga o’tsak,
y ( k 1)  py i( k 1)  qy i( k )  0
y (jk  2 )  py (jk 1)  qy (jk )  0
bo’lib, i  j deb olamiz. Bu yerdan p va q ni topib, (11) ga qo’ysak, u holda (11) ni
quyidagicha yozsak bo’ladi:
1

u
 2
u
y i( k )
y i( k 1)
y i( k  2 )
y (jk ) 

y (jk 1)   0

y (jk  2) 
i, j  1, n;i  j .
(12)
(11) tenglikdan 1 va  2 topilgandan keyin ularga mos keladigan xos vektorlarni ham
topish mumkin, (9) dan
y ( k 1)  1 y ( k )  b2 k2 (2  1 ) x ( 2) , y ( k 1)  2 y ( k )  b11k (1  2 ) x (1)
Ga ega bo’lamiz. Bunatijalarni , mo’dullari teng yoki yaqin bo’lgan xos sonlarning
soni bir juftdan ko’p bo’lgan hol uchun xam umumlashtirish mumkin.
Misol.
2  1
7 5
A
0
1

0
1
1
2
3
1
1
4 
2

0
Matritsaning mo’dullari bho’yicha eng katta xos sonlarni va unga mos keladigan xos
vektorlari topilsin.
Yechish. Quyidagi y (0)  (1,1,1,1, )' vektorni olib uning iteratsiyalarini hosil qilamiz. Bu
iteratsiyalar 14-jadvalda keltirilgan.
y (0)
1
1
1
1
Ay ( 0) A2 y ( 0) A3 y ( 0) A4 y ( 0) A5 y ( 0) A6 y ( 0) A7 y ( 0) A8 y ( 0 ) A9 y ( 0)
-1
18
6
2
-28
103
40
5
-204
419
233
12
-1072
1181
1142
29
-6304 120126 1079100
16043 789083 3162093
3
-70750 -959363
27289
49376
408
Bu jadvaldan ko’rinib turibdiki, iteratsiyalar ketma ketligining mos ravishdagi
kompanentlarining nisbatlari tartibsiz ravishda o’zgaryapdi, xatto, ishoralar
lmashinishi ro’y bermoqda. Bu esa komplekls i9ldizlarning mavjudligidan dalolat
beradi. Endi  1 va  2 kompleks xos sonlarni topish uchun (12) tenglamani tuzamiz :
1

u
u 2

2
Bu yerda u  7.95u  19.55  0 va
-4496
801
4665
70
-14528
-17857
-14936
169
 160433 

120126
 789083  =0
1079100
 3162093 
1, 2  3.975  i *1.936
 6304
Ga ega bo’lamiz. Xos sonlarning aniq qiymati esa 1, 2  4  2 * i dir.
Biz taqribiy yechimni uncha katta bo’lmagan niqlik bilan topdik. Chunki
iteratsiyamizning soni yetarli emas edi. Aniqroq natijaga ega bo’lish uchun
iteratsiyani yana davom ettirish kerak.
2. Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish.
Faraz qilaylik, A matritsaning xos sonlari quyidagi shartni qanoatlantirsin :
1  2  3  ...  n ,
yani A matritsaning bir – biridan farqli bo’lgan ikkita mo’dullari bo’yicha eng katta
xos son mvjud bo’lsin.
Bunday vaqtda 1-holda ko’rilgan usulga o’xshash usulni qo’llab,  2 va unga mos
keladigan xos vektorni topish mumkin. (9.2) fo’rmulaga ko’ra
y ( k )  b11k x (1)  b2 k2 x ( 2)  ...  bn kn x ( n )
y
( k 1)
b
k 1
1 1
x
(1)
 b2 
k 1
2
x
( 2)
 ...  bn 
k 1
n
(13)
x
(n)
(14)
bu tenglikda 1 ni yo’qotish uchun (9.13) ni 1 ga ko’paytirib (9.14) dan ayiramiz.
Natijada 00
y  1  1 y ( k )  b2 k2 (2  1 ) x ( 2 )  bn kn (n  1 ) x ( n ) .
(15) ga
ega bo’lamiz.
Yozuvni qisqartirish maqsadida y (k ) ning  -ayirmasi deb ataluvchi quyidagi
  y ( k )  y ( k 1)  y ( k )
belgilashni kiritamiz. Agar b2  0 bo’lsa , u holda k   da (9.15) da birinchi
qo’shiluvchi yig’indining bosh qismi bo’ladi va biz
 1 y ( k )  b2 k2 (2  1 ) x 2
(16)
taqribiy tenglilkka ega bo’lamiz. Bu yerda esa
 1 y ( k 1)  b2 k21 (2  1 ) x 2
(17)
Bu tengliklarni kompanentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz:
2 
 1 y (jk )
 1 y (jk 1)

y (jk 1)  1 y (jk )
y (jk )  1 y (jk 1)
.
(18)
Bu fo’rmula yordamida  2 ni topishimiz mumkin. Bir-biriga yaqin sonlar
y (kj ) va 1 y (jk 1) hamda y (jk 1) va y (kj ) bo’lganligi uchun aniqlik yo’qoladi. Shuning
uchun ham, praktikada  2 aniqlaydigan iteratsiya nomeri m ni 1 ni aniqlaydigan
iteratsiy nomeri k dan kichikroq qilib olish, yani 2 ni quyidagicha aniqlash maqulir :
2 
y (jn 1)  1 y (jm )
y (jn )  1 y (jm 1)
(m  k )
(19)
Agar l yetarlicha katta bo’lsa l2 ning l2 (j=3,4,…) dan ortiqligi sezilib qoladi, m
sifatida shu  larning eng kichigini olish kerak . Umumiy aytganda (19) formula  2
ning qo’pol qiymatini beradi. Shu usul bilan qolgan xos sonlarni xam topish mumkin,
lekin natija yana ham qo’polroq chiqadi.
(16) dan ko’rinib turibdiki, x ( 2)   y ( m) dan faqat o’zgarms ko’payuvchiga farq
qilyapti, shuning uchun ham
1
x ( 2)   1 y ( m)
deb olishimiz mumkin.
Nazorat savollari
1.Matrisaning xos soni va xos vektori nima?
2.Xos sonlarning to`liq muammosi nimadan iborat?
3.Xos sonlarning qismiy muammosi nimadan iborat?
4.Matrisaning spektori nima?
5.Matrisaning spektral radiusi nima?
6. Matrisaning xarakteristik tenglamallash nima?
7. Matrisaning xarakterichstik ko`phadi nima?
8. Matrisaning xos sonlari qanday topiladi?
9. Matrisaning xos vektori qanday topiladi?
10.Krilov A. N. usulining mohiyatini bayon qiling..