UMEÅ UNIVERSITET
Institutionen för matematik
och matematisk statistik
Konrad Abramowicz
Mehdi Moradi
Jonas Gustafsson
TENTAMEN 2022-12-02
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK
Stochastic Processes and Simulations
Allowed examination aid: Statistical Tables, Formula sheet, Calculator. Students can keep the
examination tasks sheet.
Examination time: 8 - 13
Grade limits : 12 - 15.75p results in grade 3, 16 - 19.75p results in grade 4, 20 - 24p results in
grade 5.
You need to note your examination code to be able to find your results on Canvas.
Requirements for the written solutions:
• Solutions should be presented in a way making reasoning and calculations possible and easy
to follow. All the solution and not only the answer is being evaluated.
• Define all new variables and notation that you are using.
• Always clearly state eventual assumptions you make to solve the task.
• Finish every task with clear answer.
• Even if the calculator is an allowed examination aid, your calculations need be made so that
the reasoning is possible to follow.
Note that each of the 6 tasks is presented in both, English and Swedish language. In case of
discrepancies in understanding it is the English version that shall prevail.
Good luck!
1
Uppgift 1. Slumpvariabel X är en kontinuerlig slumpvariabel med täthetsfunktion
f (x) =
1
1
,
log(2) x + 3
0<x<3
Konstruera en algoritm (samt redogör alla nödvändiga resonemang) för att skatta E(X) med hjälp
av Monte Carlo numerisk integrering.
(4p)
Task 1. Consider a continuous random variable X with density
f (x) =
1
1
,
log(2) x + 3
0<x<3
Construct an algorithm (providing all necessary reasoning) for estimating E(X) with help of Monte
Carlo numerical integration.
(4p)
2
Uppgift 2. Låt X vara en kontinuerlig slumpvariabel, definierad i Uppgift 1. Ge en algoritmbeskrivning för att simulera tal från X, baserat på inverse transform method.
(4p)
Task 2. Let X be a continuous random variable defined in Task 1. Use inverse transform
method to construct an algorithm to simulate numbers from X.
(4p)
3
Uppgift 3. Antag att förflyttningen av en viss partikel i en tunnel kan beskrivas med en enkel
slumpvandring. Rörelsen är dock inte symmetrisk utan sådan att partikeln tar ett steg uppåt med
sannolikhet 0.52. Antag vidare att tunneln definieras av nivåerna -7 och 3 samt att partikeln vid
tid noll startar vid position -3.
a) Vad är sannolikheten att partikeln lämnar tunneln genom den nedre nivån (nivå -7)?
(2p)
b) Vad är den förväntande tiden partikeln stannar i tunneln innan den hittar sin väg ut?
(2p)
Task 3. Movement of a given particle in a tunnel can be modelled with a simple random walk. The
walk is, however, not symmetric, and the particle moves up with a probability of 0.52. The walls of
the tunnel can be defined by levels -7 and 3. The particle starts in point -3 at time zero.
a) What is the probability that the particle leaves by the lower barrier (level -7)?
(2p)
b) What is the expected time the particle stays in the tunnel before leaving?
(2p)
4
Uppgift 4. Anta att vi har en Markov kedja med följande övergångsmatris:


0.6 a
a
c 0.6 
P = b
c 0.8 a
a) Vilka numeriska värden har a, b, c? Ge en kort förklaring.
b) Är Markov kedjan irreducibel? Vad kan vi säga om aperiodicitet?
(0.5p)
(1p)
c) Hitta den stationära fördelningen för den introducerade Markov kedjan. Har den även en
asymptotisk fördelning?
(2.5p)
Task 4. Consider a Markov chain with the following transition matrix:


0.6 a
a
c 0.6 
P = b
c 0.8 a
a) What are numerical values for a, b, c? Provide short reasoning.
b) Is this Markov chain irreducible? What about aperiodicity?
(0.5p)
(1p)
c) Find the stationary distribution for the introduced Markov Chain. Does it also have asymptotic distribution?
(2.5p)
5
Uppgift 5. Betrakta den stokastiska processen {X(t), t ∈ [0, 1]} som definieras enligt
X(t) = (1 − t)W1 (t) + tW2 (1 − t),
t ∈ [0, 1],
där {W1 (t), t ≥ 0} och {W2 (t), t ≥ 0} är två oberoende standardiserade Brownska rörelser.
a) Vad är fördelningen för X(t) för ett givet t ∈ [0, 1]?
(2p)
b) Vad är sannolikheten att
X(t) ≤ 1,
givet att W1 (t) = 1 för ett givet t ∈ [0, 1]? Uttryck svaret i termer av den kumulativa
fördelningsfunktionen Φ(·) för standardnormalfördelningen.
(2p)
Task 5. Consider random process {X(t), t ∈ [0, 1]} defined by
X(t) = (1 − t)W1 (t) + tW2 (1 − t),
t ∈ [0, 1],
where {W1 (t), t ≥ 0} and {W2 (t), t ≥ 0} are two independent standard Brownian motions.
a) What is the distribution of X(t) for fixed t ∈ [0, 1]?
(2p)
b) What is the probability that
X(t) ≤ 1,
given that W1 (t) = 1 for fixed t ∈ [0, 1]? Express the answer in terms of the cumulative
distribution function Φ(·) of standard normal distribution.
(2p)
6
Uppgift 6. Betrakta en fotbollsmatch mellan lag A och B. Antalet mål gjorda av varje lag kan
modelleras med två oberoende tidshomogena Poisson-processer. Intensiteten för båda processerna
är två mål per halva.
a) Vad är sannolikheten att det under andra halvlek görs exakt två mål (oavsett lag) om det inte
blev något mål i första halvlek?
(2p)
b) Givet att det blev fyra mål under hela matchen (tvåhalvlekar), hur stor är sannolikheten att
matchen slutar oavgjort?
(2p)
Task 6. Consider a football match between teams A and B. Number of goals scored by each team
can be modelled by two independent time homogenous Poisson processes. The intensity for both
processes is two goals per half.
a) What is the probability that during the second half, exactly two goals will be made (regardless
of the team) if there was no goal in the first half?
(2p)
b) Given that there were four goals scored in the whole match (two halves), what is the probability
that the match ends in a draw?
(2p)
7