Qarshi davlat universiteti
Ta’lim yo’nalishi: Amaliy matematika
Fan: Sonli usullari
Ma’ruza: 28 soat
Amaliy : 28 soat
Mustaqil ish: 60 soat
Jami: 116 soat
Fan o’qituvchisi. Amaliy matematika kafedrasi o`qituvchisi,
Zaripova Aziza Rahmanovna










Asosiy adabiyotlar
1. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. 1-qism. Toshkent, O‘qituvchi, 2003.
2. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. 2-qism. Toshkent, O‘qituvchi, 2008.
3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырний П.И. Вычислительные методы высшей
математики. 1, 2-том. Минск, Высшая школа. 1972, 1975.
Qo‘shimcha adabiyotlar
1. Ismatullayev G‘.P., Po‘latov S.I., Fayazov Q.S. Sonli usullardan qo‘llanma. –Toshkent,
Universitet. 2006.
2. Aloyev R.D., Sharipov T. Sonli usullardan ma’ruzalar to‘plami. BuxDU, 2005.
3. Ismatullayev G‘.P., Jo‘rayev G‘.U. Hisoblash usullaridan metodik qo‘llanma. Toshkent,
Universitet. 2005.
4. Aloyev R.D., Xudoyberganov M.O‘. Hisoblash usullari kursidan laboratoriya
mashg‘ulotlari to‘plami. O‘zMU. O‘quv qo‘llanma. 2008 y.110b.
5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М., Наука. 1989.
6. Сборник задач по методам вычислений. Под редакцией Монастырного П.И.
Минск, Высшая школа. 1983.
7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука. 1989.
1-Ma’ruza
Mavzu: Kirish.“Hisoblash usullari” fani zamonaviy
matematikaning bir ajralmas qismi sifatida.
Xatoliklar nazariyasi.
REJA:
1. Kirish
2. Taqribiy sonlar va ular ustida amallar.
3. Funksiya xatoliklari.
4. Ishonchli raqamlarni sanash qoidalari.
1. Kirish.
 “Sonli usullari” fani turli amaliy va nazariy fanlar tadqiqotlarida uchraydigan
masalalarni taqribiy yechish asoslarini hamda bu bilimlar yordamida muayyan
matematik masalani sonli yechishni о‘rganadi. Xatoliklar nazariyasi,
algebraning sonli usullari, funksiyalarni yaqinlashtirish, taqribiy integrallash,
oddiy differensial tenglamalar va matematik fizika masalalarini sonli yechish,
to’r tenglamalarni yechish usullari, integral tenglamalarni taqribiy yechish
usullarini о‘rganish va qо‘llash ko’zda tutiladi.
 “Hisoblash usullari” fanini о‘qitilishidan maqsad, talabalarda turli matematik
masalalarni sonli yechishga mо‘ljallangan hisoblash usullari algoritmlarini
yarata bilish, algoritmlar sifati va ishlatish imkoniyatlarini tahlil qila bilish,
hisoblash usullaridan foydalanish kо‘nikmalarini hosil qilishdan iboratdir.
 Fanning vazifalariga quyidagilar kiradi: qo’yilgan masalaning turini
aniqlashni, masalani yechishga yaroqli hisoblash usulini tanlash yoki
yaratishni, usulni amalga oshirish algoritmini yaratish yoki ma’lum
algoritmlarni tо‘g‘ri qо‘llay bilishni, usullarning turg‘unligini aniqlay
bilishni, zamonaviy yuqori darajali dasturlash tillaridan foydalanib
masalalarni yechish dasturlarini tuzishni, shaxsiy kompyuterlarda
masalalarni yechishni, kompyuterlarda olingan sonli natijalarni malakali
tahlil qila bilishni va qarorlar qabul qilishni о‘rgatishdan iborat.
 Kurs mobayinida funksiyalarni yaqinlashtirish, taqribiy differensiallash
va integrallash, algebraning sonli usullari hamda differensial
tenglamalarni taqribiy yechish о‘rganiladi.
2. Taqribiy sonlar va ular ustida amallar.
Taqribiy sonlar ustida amallar bajarilganda xatolikni baholash katta ahamiyatga ega. Xatolik
ikki xil bo‘ladi: absolyut va nisbiy xato. Absolyut xato sonning aniq va taqribiy qiymatlari orasidagi
farqdan iboratdir, ya’ni agar a biror miqdorning aniq qiymati bo’lib, a* uning ma’lum taqribiy
qiymati bo‘lsa, u vaqtda taqribiy a* sonning absolyut xatosi a* = a − a* ga aytiladi. Absolyut
xatodan kichik bo’lmagan har qanday songa taqribiy a* sonning limit absolyut xatosi (a* ) deb
ataladi. Bu ta’rifdan a − a*   (a* ) , bundan esa a* − (a* )  a  a* + (a* ) kelib chiqadi. Bu esa
qisqacha a = a*  (a* ) . Nisbiy xato sonning absolyut xatosini uning taqribiy qiymatiga nisbatiga
a*
teng, ya’ni  a* = * .
a
Arifmetik amallar bajarishda absolyut va nisbiy xatolarning o‘zgarishini ko‘rib
chiqaylik.
Yig‘indi (ayirma) xatoligi. n ta musbat taqribiy sonlar s = x1 + x2 + ... + xn yig’indisining
absolyut va nisbiy xatolari
xk*
( s ) =  ( x ),  ( s ) =  *  ( xk* )
k =1
k =1 s
n
n
*
*
k
*
Xususan, n=2 da
x1* ( x1* ) + x2* ( x2* )
( s ) = ( x ) + ( x ) ,  ( s ) =
s*
*
*
1
*
2
*
n=3 da
( s ) = ( x ) + ( x ) + ( x ) ,
*
*
1
*
2
*
3
x1*   ( x1* ) + x2*   ( x2* ) + x3*   ( x3* )
 (s ) =
s*
*
formulalar
orqali
hisoblanadi.
Xuddi shunday, ayirmaning absolyut xatoligi quyidagicha bo‘ladi: f = x1 − x2 ayirma
uchun (bunda x1  x2  0 ):
x1*   ( x1* ) + x2*   ( x2* )
.
( f ) = ( x ) + ( x ) ,  ( f ) =
f*
*
*
1
*
2
*
u = x1  x2  ...  xn ( xi  0)
taqribiy sonlar ko’paytmasining xatosi:
n
u*
*
*
(u ) =  * (xi ),  (u ) =   (xi* )
i =1 x
i =1
i
n
*
u=
x1
(x1 , x2  0)
x2
bolinmani xatosi:
(u * ) =
1
(x )
* 2
2
x
*
2
 (x1* ) + x1*  (x2* ),  (u * ) =  (x1* ) +  (x2* )
Misol -1.
x1 = 22  0.025, x2 = 15  0.022,
x1 + x2 = ? ,
x1 − x2 = ?
x1  x2 = ?,
x1
=?
x2
,
3. Funksiya xatoliklari. Ishonchli raqamlarni sanash qoidalari.
Biror u = u( x) = u( x ,..., x ) funksiyada x = ( x ,..., x ) argumentlar  = ( ,...,  ) xatoliklar
bilan berilgan bo‘lsa, funksiyaning absolyut va nisbiy xatoliklari quyidagi
ko‘rinishda aniqlanadi.
1
1
n
n
u = 
k =1
n
u = 
k =1
n
x
u ( x1 ,..., xn )
 xk ,
xk
 ln u ( x1 ,..., xn )
 xk .
xk
x1
xn
(1)
(2)
1. Agar x =


 0,002 va y =  0,005 teng bo’lganda, u = 2sin(3x + 4 y) funksiyani hisoblang. Absolyut
32
24
va nisbiy xatosini toping.
Yechish:
(1)
formula
yordamida
funksiyaning
absolyut
xatosini
hisoblaymiz,
u
u
u =
x +
 y = 6cos(3x + 4 y )  0,002 + 8cos(3x + 4 y )  0,005 =
x
y
= 2cos(3x + 4 y )  (3  0,002 + 4  0,005) = 2cos

4
 (3  0,002 + 4  0,005) =
= 2  0,026  0,037.
Funksiya u ning taqribiy qiymati u = 2  1,414214 teng. Funksiyaning hisoblashdagi absolyut xatosini esa
topdik  u  0,04 , u holda funksiya u ning qiymati u = 1,4  0,04 teng. Funksiyaning nisbiy xatosini (2)
formuladan hisoblash mumkin, lekin boshqa sodda usulda hisoblashni ko’rsatamiz:
u =
0,04
 100% = 3%
1, 4
Hisoblashdan ko’rish mumkinki funksiya u ning hisoblashdagi nisbiy xatosi  u = 3% teng.
2. Agar sharning diametri d = 3,7sm  0,05, = 3,14 teng bo’lsa, sharning hajmini va hajmning hisoblashdagi
absolyut va nisbiy xatosini toping.
Yechish: Bizga ma’lumki sharning hajmi V =
1 3
 d teng.  va d ni o’zgaruvchi kattalik sifatida ko’rib,
6
quyidagi xususiy hosilalarni hisoblaymiz.
V 1 2
V 1 3
=  d  21,5 . Topilgan xususiy hosilalarni (1) formulaga quyib V
= d  8, 442 ,
 6
d 2
hisoblashdagi absolyut xatosini aniqlaymiz. Hajmning hisoblashdagi absolyut xatosi quyidagiga teng
V
V
V =
 +
 d , bunda  d = 0,05 va  = 0,0016 hisobga olib hisoblashlarni bajaramiz.

d
V =
V
V
 +
 d = 8,442  0,0016 + 21,5  0,05 = 1,0881  1,1sm3

d
1
1
V =  d 3  26,5sm3 , shuning uchun V =  d 3  (26,5  1,1) sm3 . Bundan hajmni hisoblashdagi nisbiy
6
6
V 1,088
=
 4% kelib chiqadi.
xatosi V =
V
26,5
Funksiyani hisoblang. Absolyut va nisbiy xatosini toping.(1-20)
1. u = m sin( x + ky), x = 3,15  0,02, y = 1,15  5%, m = 2, n = 1,5
2. u = m sin x + cos(1 + ky), x = 1,25  0,002, y = 1,26  10%, m = 3, k = 1,6
3. u = x + y , x = 1,23  0,02, y = 1,58  5%, m = 4, k = 1,7
4. u = sin( x − m) + cos ky, x = 1,12  0,01, y = 1,28  2%, m = 5, k = 1,8
m
k
k −1
5. u = ( x + y ) , x = 1,32  0.01, y = 1,97  2%, m = 6, k = 1,9
6. u = ln(mx + ky), x = 3,56  0,04, y = 2,56  2%, m = 7, k = 2,1
m
7. u = mx + ky , x = 1,84  0,04, y = 6,21  2%, m = 8, k = 2,2
8. u = log 2 (mx + ky ), x = 5,12  0,02, y = 1,01  2%, m = 9, k = 2,3
2
2−m
2
−2
9. u = x
+ ky , x = 3,44  0,02, y = 1,21  3%, m = 8, k = 2,4
10. u = cos(mx + ky), x = 4,11  0,02, y = 1,06  4%, m = 7, k = 2,5
−y
11. u = me + ke , x = 1,32  0,02, y = 1,12  5%, m = 6, k = 2,7
x
mx+ky
12. u = e
, x = 2,12  0,02, y = 1,52  6%, m = −5, k = −2,9
13. u = cos(mx − ky), x = 2,11  0,02, y = 1,1  10%, m = 4, k = 2,5
14. u = 3m + 2ky, x = 1,54  0,002, y = 1,5  8%, m = −3, k = −2,6
x
u = m( x2 + ky 2 ), x = 1,12  0,02, y = 1,6  2%, m = 2, k = 2,7
u = 3mx + 2ky, x = 1,22  0,02, y = 1,9  2%, m = 9, k = −2,8
u = tg (mx − ky), x = 0,42  0,02, y = 0,14  2%, m = 2, k = 0,2
u = lg(mx − ky), x = 1,45  0,002, y = 1,5  2%, m = 2, k = 0,1
x
−y
19. u = m + ke , x = 1,22  0,02, y = 0,1  1%, m = 6, k = 3,5
x
−y
20. u = me + k , x = 0,52  0,004, y = 2  5%, m = 5, k = 3,4
15.
16.
17.
18.
21. Radiusi 1,6  0, 2 sm , yasovchisi 46  0,8 sm bo’lgan silindrning asos yuzi, yon sirti, hajmini ularni
hisoblashdagi absolyut va nisbiy xatolikni toping.
22. Aylana uzunligi, doira yuzi, konus va silindrning yon sirti uchun absolyut va nisbiy xatoni hisoblash
formulalarini chiqaring.
23. Kesik konus asoslarining radiuslari R va r , hamda tashkil etuvchisi l
quyidagicha:
R = 32,85sm  0,005 sm , l = 10,34 sm  0,003 sm aniqlangan bo’lsa, bu konusning to’la sirtini aniqlashda
yo’l quyiladigan absolyut va nisbiy xatoni toping.
24. To’gri burchakli uchburchakning katetlari a = 12  0,022 mm va b = 10  0,018 mm aniqlangan bo’lsa, bu
uchburchakning yusini aniqlashda yo’l quyiladigan absolyut va nisbiy xatoni toping.
x
k
25. Quyudagi a , x ( k -haqiqiy son), sin x,cos x, tgx, ctgx elementar funksiyalarning absolyut va nisbiy
xatolarini toppish uchun formulalar chiqaring.