第22卷第 3期
2005年6月
长
江
科
学
院
院
报
Vol. 22 N o. 3
Jun. 2 0 0 5
Journal of Yangtze River Scientifi c Research Insti tute
文章编号: 1001 5485( 2005) 03 0032 03
单纯形积分的递推公式
林绍忠a, b
( 长江科学院 a. 非连续变形分析实验室; b. 水利部岩土力学与工程重点实验室, 武汉
430010)
摘要: 石根华提出的单纯形积分是一种精确积分 , 被广泛应用 于非连续 变形分析和 数值流形 法中。基于 Kronecker
积、
Hadamard 积和拉直等矩阵特殊运算, 将单项式函数在单纯形上的积分表示为矩阵形式, 提出了单纯形积分的递
推公式。与石根华的单纯形积分公式相比, 递推公式计算 量大为减少, 而且在计算 高阶函数积 分的同时, 还附带 获
得所有低阶函数的积分。
关
键
词: 单项式函数; 单纯形积分; 递推公式; 矩阵特殊运算
中图分类号: O242
文献标识码: A
1 概 述
2 单纯形积分的矩阵表示
与有限元法中的单元一样, 非连续变形分析中
的块体和数值流形法中的流形元是基本计算单元,
但可具有复杂的形状。为在其上进行积分, 复杂区
以三维积 分为例, 设体 积坐标 为 l 1 , l 2 , l 3 , l 4
( l 1 + l 2 + l 3 + l 4 = 1) 。x , y , z 用体积坐标表示为
域被分解为单纯形有向区域分别进行单纯形积分后
求其有向和。基于坐标转换和多项式定理, 石根华
[ 1]
提出了单项式 函数的单纯形 积分公式 。以 三维
为例, 其积分公式为( 已适当改形, 以节省计算量)
l ! m! n!
( l + m + n+ 3) !
l x ix 1 x ix 2 x ix 3 x ix 4
1
2
3
4
ix 1 ! ix 2 ! ix 3! ix 4!
i ,i ,i ,i
x1
x2
x3
x4
0
iy1 + iy 2 + iy 3 + iy 4 = m
iy 1 , iy 2, iy 3 , iy 4
0
i + i + i + i = n
z1
z2
z3
iz 1 , iz2 , iz 3 , i z4
z4
0
i
i
z = Z T L,
Z = { z 1, z 2, z 3, z 4} T ;
根据 Kronecker 积的定义及性质, 有
x y = x
y = ( XT L )
( YT L ) =
Y) T ( L
L) 。
( 2)
2
A = A
A。 直 积 一 般 不 满 足 交 换 率, 但 因
l m n
x y z 是标量, 本文涉及的直 积满足交换率, 所以
i
以下不加说明地利用了交换率。
同理 x ly mz n = ( X l Y m
i 1 ! i 2 ! i 3 ! i4 !,
Z
n T
) L
p
当被积函数的阶数 p = l + m + n 较大时, 该公
式涉及大量的乘积运算。对于大型问题的数值流形
法分析, 当采用高阶多项式覆盖函数时, 就会存在大
量不同阶次的单纯形积分。因此, 简化单纯形积分,
减少计算量, 就显得十分必要。基于 Kronecker 积、
Hadamard 积和拉直等矩阵特殊运算[ 2] , 本文提出了
,
( 3)
( 1)
因此
式中: V 为三维单纯形( 四面体) v 的体积; x i , y i , z i
为 v 的顶点 i 的坐标; l , m , n 为非负整数。
单纯形积分的递推公式, 使计算量显著减少。
Y = { y 1, y 2, y 3, y 4} T ;
式中, 符号
表示矩阵的 Kronecker 乘积或直积
运算。矩 阵 A 的 k 次 Kronecker 幂记 为 A k , 如
z 1 z 1 z 2 z2 z 3 z 3 z 4 z4
iz 1! iz2 ! iz 3 ! iz 4 !
ij = ix j + iyj + i zj , j = 1, 2, 3, 4。
y = Y T L,
(X
y 1 iy 1 y 2 iy 2 y 3 iy 3 y 4 iy 4
iy1 ! iy 2 ! iy 3 ! iy4 !
i
X = { x 1, x 2, x 3, x 4} T ;
L = { l 1, l 2, l 3, l 4} T 。
l m n
v x y z dx dy dz = 3! V
ix 1+ ix 2 + ix 3 + ix 4=
x = X T L,
l m n
v
l
x y z dx dy d z = ( X
v
L
p
dx dy dz =
l
Y
m
Z
n T
3! V s
。
( p + 3) ! l , m , n
m
n T
式中, s l , m , n = ( X
Y
Z ) Sp ,
( p + 3) !
Sp =
L p dx dy dz 。
3! V v
若记 Ai = Z, i = 1~ n ,
Ai = Y, i = 1+ n~ m + n,
)
( 4)
( 5)
( 6)
收稿日期: 2004 10 19
基金项目: 长江科学院科研基金资助项目 三维流形法在结构静力分析中的应用研究
作者简介: 林绍忠( 1960 ) , 男, 福建福安人, 教授级高级工程师, 工学博士, 主要从事水工结构数值分析研究, ( 电话) 027 82820007( 电子信箱)
linsz@ mail. crsri. cn。
第3期
林绍忠
Ai = X,
则
单纯形积分的递推公式
i = 1+ m + n ~ l + m + n ,
s p = s l , m , n = ( Ap
Ap -
A2
1
( 如 p = 1, 2, 3, 4) s p 的显式[ 3] 。
A1 ) T Sp 。( 7)
若记
e,
( )
Si+
)
( )
Y
Z
( )
j+ k
( 12)
)
j
i
- 1
C j- 1
Ci e
= 1
i = 0 ~ l,j = 1 ~ m ,
( 8)
k
j
C k-- 11
s i, j , k =
i
Cj
= 0
Ci e
, ,
s i-
, j- , k-
,
= 0
i = 0 ~ l , j = 0 ~ m, k = 1~ n 。
Sk = Sk- 1 E T + ( Sk- 1 ET ) Pk- 1
( 13)
Sk = Sk- 1 E T + ( Sk- 1 ET ) Pk- 1
这就是本文提出的递推公式, 它已不包含直积
( 9)
P k- 1
运算, 即不出现式( 1) 中的不同顶点坐标间的交叉乘
T
S1 = E = { 1, 1, 1, 1} , P 1 = I 。
积运算。同理可得到高维单纯形积分的递推公式。
式中: I 为 4 阶单位矩阵。P k 是 4 列矩阵, 其第 i 行
的 4 个元素分别为 k i1 , ki 2 , k i 3, k i4 。符号
, , 0 s i- , j- , 0 ,
= 0
= 1
+ E
i = 1~ l ,
, 0, 0 s i- , 0, 0 ,
= 1
经推导得到 Sk 的递推公式:
( k- 1)
C i- 1 e
s i, j , 0 =
k 1 ! k 2 ! k3 ! k 4 !
。
( k 1 + k 2 + k 3 + k 4 + 3) !
E
-1
s i, 0, 0 =
l 1 k 1 l 2 k 2 l 3 k3 l 4 k 4 dx dy dz =
Pk = I
- 1) ! E ( X
k T
Z
i
L k 的第 i 个元素可以表示为 l 1 k i1 l 2 ki 2 l 3 ki 3 l 4 ki 4 ,
k i 1+ k i 2+ k i 3+ k i 4 k 。依据大家熟悉的公式:
3! V
j
Y
T
= ( + +
,
i
si , j , k = ( X
则针对式( 5) , 有如下递推公式:
3 积分递推公式
v
33
表示矩阵
式( 13) 的计算过程是先算第 1 分式, 然后算第
2 分式, 最后算第 3 分式。其中 e
, ,
事先算出, 供
的 Hadamard 乘积运算, 设 A 和 B 为同阶矩阵, A 与
B 的 Hadamard 积 A B 定 义 为 ( A B) ij = aij bij 。
式( 13) 递推计算时重复采用。由于 E 的元素均为
Hadamard 积满足交换率。 A 的 k 次 Hadamard 幂记
Y(
( 2)
( k)
为 A , 如 A = A A。符号
表示矩阵按列拉
直运 算, 只要 涉及 的运 算可 行, 则 有 性质: ABC=
T
T
T
(C
A) B, 特别地, 若 A BC 为标 量, 则 A BC=
AT BC= ( C A) T B。根据定义, 显然 S0 = 1。
单纯形积分的关键是计算 s l,
m , n ( s p ) 。根据矩
阵拉直的性质, 由式( 7) 推导得
s p = ( Ap - 1 A 2 A 1 ) T S p Ap =
( Ap -
1
E T Ap ( Ap -
1
A2
A 1 ) T Sp - 1 +
( ( Ap Ai )
Ap -
1
Ai+
1
Ai-
1
A2
A1 )
T
Sp - 1 。
( 10)
根据组合理论, 从 Ai ( i = 1~ p - 1) 中 取出 k
个向量, 共有 ck = Ckp - 1 种取法, 其中第 j 组的 k 个
向量记为 Aj 1 , Aj 2 ,
, Aj k , 剩余的 p - k - 1 个向量
记为 Aj k + 1 , Aj k + 2 ,
, Aj p - k - 1 。按直积的乘项中不出
现 H adamard 乘积项的原则对上式递推下去, 得
p- 1
sp =
c
k
T
k= 0
( Aj k+ 1
j= 1
k ! E ( Ap Aj 1 Aj 2
Aj k + 2
Aj p - k- 1 ) T Sp -
Aj k )
k - 1。
Y
( )
Z
( )
) 实 际 上是 对 ( X
Z ( ) ) 的各元素求和。( X (
)
Y(
)
( )
Z ( ) ) 也是
按一定的递推过程计算求出。
式( 13) 除了计算量小外( 见表 1) , 还具有如下
特点:
( 1) 计算 sl , m , n 的同时, 附带得到了所有低阶积
分。因此, 在同一单纯形上计算不同阶次的积分时,
( 2) 算出 e ,
,
后, 递推过程就与单纯形的类型
及其所在空间维数无关了。因此, 对于一维问题的
线段积分、
二维问题的线段积分和三角形积分以及
p-1
i= 1
)
( )
递推计算出其最高阶积分后, 低阶积分自然获得。
A 1 ) T ( Sp - 1 E T + ( Sp - 1 ET ) Pp - 1 ) Ap =
A2
T
1, 所以 E ( X
( 11)
这样就把高阶积分化为低阶积分的线性组合,
其中低阶积分又是更低阶积分的线性组合, 于是得
到针对式( 7) 的递推公式, 据此还可获得低阶 情况
三维问题的线段积分、三角形积分和四面体积分, 式
( 13) 均适用, 只是单纯形的顶点个数以及式( 4) 中的
常数 3 和 3! 要作相应修改。
表 1 三维单纯形积分计算时间比较
T able 1
Compar ison o f computatio nal time by present
for mula and Shi s formula
递推
公式( 13)
公式( 1)
l = 5,
m = n= 0
1. 55
10- 2
9. 30 10- 2
l = 12,
l = m = 6, l = m =
m= n= 0
n= 0
n= 4
2. 02
1. 71
7. 96
10- 2
10- 1
10- 1
6. 87 10- 1
4. 72
12. 66
s
l= m =
n= 5
1. 97
46. 10
注:
表中计算 时间是 积分 10 000 次的 计算 时间, 计算 机 主频 为
2. 4 G Hz;
递推公式( 13) 的计算时 间不含阶 乘和组合 数的计算 时
间;
公式( 1) 的计算时间不含阶乘及其乘积的计算时间; 为节省 计
算量, 各坐标的幂方按递推过程计 算并存储起 来( 经比 较, 这是节 省
计算量的关键) , 求和公 式中的 分数也 在求 和前事 先计算 并存储 起
来, 以供重复采用。
长江科学院院 报
34
2005 年
参考文献:
4 结 语
[ 1]
本文提出的单纯形积分递推公式, 计算量小, 已
应用于自主开发的三维弹性连续体静力分析的高阶
数值流形法程序中。文中采用 的矩阵特殊运 算技
术, 用于推导高阶数值流形法的单元矩阵公式也是
[ 2]
[ 3]
石根华. 数值流 形方 法与非 连续 变形分 析[ M ] . 北京:
清华大学 出版社, 1997.
陈景良, 陈 向晖. 特殊 矩阵 [ M ] . 北京: 清华 大学 出 版
社, 2003.
董学晟. 水工岩 石力学 [ M ] . 北 京: 中国 水利水 电出 版
社, 2004.
十分方便的。
( 编辑: 周晓雁)
Recursive Formula for Simplex Integration
L IN Shao zhong
1, 2
( 1. DDA Center, Yangt ze River Scientif ic Research Instit ute, Wuhan 430010, China; 2. T he Key Laboratory
of Geotechnical M echanics and Engineering, t he M inist ry of Wat er Resources, Wuhan 430010, China)
Abstract: T he simplex integrat ion formula presented by Genhua Shi g ives analyt ical solut ion and is widely used
in t he discont inuous deformat ion analysis and the numerical manifold method. Based on t he special mat rix operat ions including Kronecker product , Hadamard product and vect orizat ion, t he int egration of monomial integ rand
on simplex domain is expressed in m at rix form and a recursive f ormula f or the simplex integrat ion is present ed.
Compared w it h Shi s int egrat ion formula, t he recursive formula requires much less computation and incident ally
obtains t he int egrals of all low er order integ rands at the same t ime of comput ing int egration of high order integ rand.
Key words: monomial function; simplex integrat ion; recursive formula; special matrix operation
( 上接第 31 页)
Abst ract ID: 1001 5485( 2005) 03 0029 EA
Analysis to Abnormal Values in Dam Safety Monitoring and
Its Module Creation
T ANG M in, HE Jin ping, L I Zhen zhao, WU Yun f ang
( State Key L aborat ory of Wat er Resources and Hydropow er Engineering Science, Wuhan Universit y,
Wuhan
430072, China)
Abstract: Among a dam saf et y monit oring dat a, there might be some abnormal values w hich have import ant inf luence to the appraisal for the st ruct ural condit ion and the safet y monit or of t he dam, so the work is needed t o
be done to identify and deal w it h them. T his paper has researched t he met hods of ident ifying and dealing w ith
the abnormal values in theory, and solved some key technolog ical problems in ident ifying and dealing w ith abnorm al value by computer, and set up t he module w hich ident ifies and handles t he abnormal values f or t he dam
safety information management system. Engineering applicat ion show s that the module possesses friendly, visible
user interf ace and t he capacit y of effect ively ident if ying treatment .
Key words: dam saf et y monit oring; abnormal value; procedure realizat ion