1. Let ABC be a triangle with incentre I. A point P in the interior of the triangle satisfies ∠PBA +
∠PCA = ∠PBC + ∠PCB. Show that AP ≥ AI and that equality holds if and only if P coincides
with I.
2. Let ABC be a triangle inscribed into a circle Ω with center O. A circle Γ with center A
meets the side BC at points D and E such that D lies between B and E. Moreover, let F and
G be the common points of Γ and Ω. We assume that F lies on the arc AB of Ω not containing
C, and G lies on the arc AC of Ω not containing B. The circumcircles of the triangles BDF
and CEG meet the sides AB and AC again at K and L, respectively. Suppose that the lines
FK and GL are distinct and intersect at X. Prove that the points A, X, and O are collinear.
1. Դիցուք I-ն ABC եռանկյան ներգծած շրջանագծի կենտրոնն է: P-ն ABC-ի ներսում
այնպիսի կետ է, որ ∠PBA + ∠PCA = ∠PBC + ∠PCB: Ապացուցել, որ AP ≥ AI և
հավասարություն տեղի ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ P-ն համընկնում է I-ի հետ:
2. Տրված է O կենտրոնով Ω շրջանագծի մեջ ներգծված ABC եռանկյունը: A կենտրոնով Γ
շրջանագիծը BC կողմը հատում է D և E կետերում այնպես, որ D-ն գտնվում է B և E
կետերի միջև: F-ը և G-ն Γ-ի և Ω-ի հատման կետերն են: Ենթադրենք F-ը գտնվում է Ω-ի C-ն
չպարունակող AB աղեղի վրա, իսկ G-ն` B-ն չպարունակող AC աղեղի վրա: BDF և CEG
եռանկյունների արտագծած շրջանագծերը համապատասխանաբար հատում են AB-ն K,
իսկ AC-ն L կետերում: Ենթադրենք FK և GL ուղիղները տարբեր են և հատվում են X
կետում: Ապացուցել, որ A, X և O կետերը մի ուղղի վրա են: