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MATEMÁTICAS
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Matemáticas | Bachillerato-Funciones
Las funciones describen situaciones en las que una cantidad determina otra. Por
ejemplo, el rendimiento de 10.000 $ invertidos a una tasa porcentual anualizada del
4,25% es una función del tiempo que se invierte el dinero. Dado que continuamente
elaboramos teorías sobre las dependencias entre cantidades en la naturaleza y la
sociedad, las funciones son herramientas importantes en la construcción de
modelos matemáticos.
En matemáticas escolares, las funciones suelen tener entradas y salidas numéricas y
a menudo se definen mediante una expresión algebraica. Por ejemplo, el tiempo en
horas que tarda un coche en recorrer 160 kilómetros es función de la velocidad del
coche en kilómetros por hora, v; la regla T(v) = 100/v expresa algebraicamente esta
relación y define una función cuyo nombre es T.
El conjunto de entradas de una función se denomina dominio. A menudo inferimos
que el dominio son todas las entradas para las que la expresión que define una
función tiene un valor, o para las que la función tiene sentido en un contexto
determinado.
Una función puede describirse de varias formas: mediante un gráfico (por ejemplo,
el trazo de un sismógrafo); mediante una regla verbal, como "yo te doy un estado,
tú me das la capital"; mediante una expresión algebraica como f(x) = a + bx; o
mediante una regla recursiva. La gráfica de una función es a menudo una forma útil
de visualizar la relación de los modelos de la función, y la manipulación de una
expresión matemática para una función puede arrojar luz sobre las propiedades de
la función.
Las funciones presentadas como expresiones pueden modelizar muchos fenómenos
importantes. Dos familias importantes de funciones caracterizadas por leyes de
crecimiento son las funciones lineales, que crecen a un ritmo constante, y las
funciones exponenciales, que crecen a un ritmo porcentual constante. Las funciones
lineales con un término constante de cero describen relaciones proporcionales.
Se puede utilizar una utilidad gráfica o un sistema de álgebra computacional para
experimentar con las propiedades de estas funciones y sus gráficas y para construir
modelos computacionales de funciones, incluidas las funciones definidas
recursivamente.
Conexiones con expresiones, ecuaciones, modelización y coordenadas.
Determinar un valor de salida para una entrada concreta implica evaluar una
expresión; encontrar entradas que produzcan una salida dada implica resolver una
ecuación. Las preguntas sobre cuándo dos funciones tienen el mismo valor para la
misma entrada conducen a ecuaciones, cuyas soluciones pueden visualizarse a partir
de la intersección de sus gráficas. Como las funciones describen relaciones entre
cantidades, se utilizan con frecuencia en modelización. A veces, las funciones se
definen mediante un proceso recursivo, que puede visualizarse eficazmente
utilizando una hoja de cálculo u otra tecnología.
INSTITUTO - FUNCIONES | 67
ESTÁNDARES ESTATALES COMÚNES para las
MATEMÁTICAS
Resumen de funciones
Interpretar funciones
Prácticas matemáticas
• Comprender el concepto de función y utilizar
la notación de función
1.
Dar sentido a los problemas y perseverar
en su resolución.
2.
Razonar abstracta y cuantitativamente.
3.
Construir argumentos viables y criticar el
razonamiento de los demás.
4.
Modelar con matemáticas.
5.
Utilizar estratégicamente las herramientas
adecuadas.
6.
Atiende a la precisión.
7.
Busca y aprovecha la estructura.
• Interpretar las funciones que surgen en las
aplicaciones en función del contexto.
• Analizar funciones utilizando
diferentes representaciones
Funciones del edificio
• Construye una función que modele una
relación entre dos cantidades
8.
Buscar y expresar regularidades en
razonamientos repetidos.
• Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes
Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales
• Construir y comparar modelos lineales,
cuadráticos y exponenciales y resolver
problemas.
• Interpretar expresiones de funciones en
función de la situación que modelan.
Funciones trigonométricas
• Ampliar el dominio de las funciones
trigonométricas utilizando el círculo unitario
• Modelizar fenómenos periódicos con funciones
trigonométricas
• Demostrar y aplicar identidades trigonométricas
INSTITUTO - FUNCIONES | 68
ESTÁNDARES ESTATALES COMÚNES para las
MATEMÁTICAS
Funciones de interpretación
HSF-IF
A. Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función
1.
HSF-IF.A.1
2.
HSF-IF.A.2
3.
HSF-IF.A.3
Entender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto
(llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento
del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x)
denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica
de la ecuación y = f(x).
Utilizar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus
dominios e interpretar enunciados que utilicen la notación de funciones en
términos de un contexto.
Reconocer que las sucesiones son funciones, a veces definidas
r e c u r s i v a m e n t e , cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por
ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por f(0) = f(1) = 1, f(n+1) =
f(n) + f(n-1) para n ≥ 1.
B. Interpretar las funciones que surgen en las aplicaciones en función del contexto.
4.
HSF-IF.B.4
5.
HSF-IF.B.5
6.
HSF-IF.B.6
En el caso de una función que modele una relación entre dos magnitudes,
interpretar las características principales de gráficos y tablas en función de las
magnitudes y dibujar gráficos.
mostrar las características clave a partir de una descripción verbal de la relación.
Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es
creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos;
simetrías; comportamiento de los extremos; y periodicidad.★
Relaciona el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación
cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horaspersona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números
enteros positivos serían un dominio apropiado para la función.★
Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada
simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la
tasa de variación a partir de una gráfica.★
C. Analizar funciones utilizando diferentes representaciones
7.
Representar gráficamente funciones expresadas simbólicamente y mostrar las
características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando la
tecnología para casos más complicados.★
a.
Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar interceptos, máximos
y mínimos.
b.
Representar gráficamente la raíz cuadrada, la raíz cúbica y las funciones
definidas a trozos, incluidas las funciones escalonadas y las funciones de
valor absoluto.
c.
Representar gráficamente funciones polinómicas, identificando los ceros
cuando se dispone de factorizaciones adecuadas y mostrando el
comportamiento final.
d.
(+) Representar gráficamente funciones racionales, identificando ceros y
asíntotas cuando se dispone de factorizaciones adecuadas, y mostrando el
comportamiento final.
e.
Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando interceptos y
comportamiento final, y funciones trigonométricas, mostrando periodo,
línea media y amplitud.
HSF-IF.C.8
Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero
equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función.
a.
Utilizar el proceso de factorizar y completar el cuadrado de una
función cuadrática para mostrar los ceros, los valores extremos y la
simetría de la gráfica, e interpretarlos en función de un contexto.
b.
Utilizar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de
funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar el porcentaje de cambio
en funciones como y
= (1,02)t, y = (0,97)t, y = (1,01)12t, y = (1,2)t/10, y clasifíquelos según representen un
crecimiento exponencial o un decaimiento.
INSTITUTO - FUNCIONES | 69
8.
HSF-IF.C.7
ESTÁNDARES ESTATALES COMÚNES para las
MATEMÁTICAS
9.
HSF-IF.C.9
Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una
manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o
mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función
cuadrática y una expresión algebraica de otra, decir cuál tiene el máximo mayor.
Funciones del edificio
HSF-BF
A. Construye una función que modele una relación entre dos cantidades
1.
2.
HSF-BF.A.1
Escribe una función que describa una relación entre dos magnitudes.★
a.
Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el
cálculo a partir de un contexto.
b.
Combine tipos de funciones estándar utilizando operaciones aritméticas. Por
ejemplo, construye una función que modele la temperatura de un cuerpo que se
enfría añadiendo una función constante a una exponencial decreciente, y
relaciona estas funciones con el modelo.
c.
(+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en l a
a t m ó s f e r a e n f u n c i ó n d e l a altura, y h(t) es la altura de un globo
meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la
ubicación del globo meteorológico en función del tiempo.
HSF-BF.A.2
Escribir secuencias aritméticas y geométricas tanto recursivamente como con una
fórmula explícita, utilizarlas para modelizar situaciones y traducir entre ambas
formas.★
B. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes
3.
HSF-BF.B.3
4.
HSF-BF.B.4
5.
Identifica el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x
+ k) para determinados valores de k (tanto positivos como negativos); hallar el
valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de
los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de
funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para
ellas.
Encontrar funciones inversas.
a.
Resuelve una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que
tenga inversa y escribe una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3
o f(x)
= (x+1)/(x-1) para x ≠ 1.
b.
(+) Comprueba por composición que una función es la inversa de otra.
c.
(+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla,
dado que la función tiene inversa.
d.
(+) Producir una función invertible a partir de una función no
invertible restringiendo el dominio.
HSF-BF.B.5
(+) Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y utilizar esta
relación para resolver problemas en los que intervengan logaritmos y exponentes.
Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales★
HSF-LE
1.
HSF-LE.A.1
Distinguir entre situaciones que pueden modelizarse con funciones lineales y con
funciones exponenciales.
a.
Demuestra que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en
intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores
iguales en intervalos iguales.
b.
Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a un ritmo constante
por intervalo unitario con respecto a otra.
c.
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece en un
porcentaje constante por intervalo unitario con respecto a otra.
INSTITUTO - FUNCIONES | 70
A. Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y
resolver problemas.
ESTÁNDARES ESTATALES COMÚNES para las
MATEMÁTICAS
2.
HSF-LE.A.2
3.
HSF-LE.A.3
4.
HSF-LE.A.4
Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y
geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de
entrada-salida (incluir la lectura de éstas a partir de una tabla).
Observar mediante gráficos y tablas que una cantidad que aumenta
exponencialmente acaba superando a una cantidad que aumenta
linealmente, cuadráticamente o (de forma más general) como una
función polinómica.
Para modelos exponenciales, exprese como logaritmo la solución de
abct
= d donde a, c y d son números y la base b es 2, 10 o e; evalúa el logaritmo
utilizando la tecnología.
B. Interpretar expresiones de funciones en función de la situación que modelan.
5.
HSF-LE.B.5
Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en función de un contexto.
Funciones trigonométricas
HSF-TF
A. Ampliar el dominio de las funciones trigonométricas utilizando el círculo unitario
1.
HSF-TF.A.1
2.
HSF-TF.A.2
3.
HSF-TF.A.3
4.
HSF-TF.A.4
Entender la medida del radián de un ángulo como la longitud del arco en la
circunferencia unidad subtendido por el ángulo.
Explicar cómo el círculo unitario en el plano de coordenadas permite la extensión
de las funciones trigonométricas a todos los números reales, interpretados como
medidas de radianes de ángulos recorridos en sentido contrario a las agujas del
reloj alrededor del círculo unitario.
(+) Utilizar triángulos especiales para determinar geométricamente los valores del
seno, coseno y tangente para π/3, π/4 y π/6, y utilizar la circunferencia unitaria
para expresar los valores del seno, coseno y tangente para π-x, π+x y 2π-x en
términos de sus valores para x, donde x es cualquier número real.
(+) Utilizar el círculo unitario para explicar la simetría (par e impar) y la
periodicidad de las funciones trigonométricas.
B. Modelizar fenómenos periódicos con funciones trigonométricas
5.
HSF-TF.B.5
6.
HSF-TF.B.6
7.
HSF-TF.B.7
Elige funciones trigonométricas para modelizar fenómenos periódicos con
amplitud, frecuencia y línea media especificadas.★
(+) Comprender que restringir una función trigonométrica a un dominio en el
que sea siempre creciente o siempre decreciente permite construir su inversa.
(+) Utilizar funciones inversas para resolver ecuaciones trigonométricas que se
plantean en contextos de modelización; evaluar las soluciones utilizando la
tecnología e interpretarlas en función del contexto.★
C. Demostrar y aplicar identidades trigonométricas
8.
HSF-TF.C.8
9.
HSF-TF.C.9
Demuestra la identidad pitagórica sen2(θ) + cos2(θ) = 1 y utilízala para hallar
sen(θ), cos(θ) o tan(θ) dados sen(θ), cos(θ) o tan(θ) y el cuadrante del ángulo.
INSTITUTO - FUNCIONES | 71
(+) Demostrar las fórmulas de suma y resta de seno, coseno y tangente y
utilizarlas para resolver problemas.