SECRETARIA DE EDUCACIÓN MAYOR DE BOGOTA D.C
INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL
GENERAL SANTANDER – ENGATIVÁ
RESOLUCION 2570 DE AGOSTO 22 DE 2002
“FORMACIÓN CON SENTIDO HUMANO Y TECNOLÓGICO HACIA UN
FUTURO SOLIDARIO Y EQUITATIVO”
GUIA N° 7 y 8 - 2021
CAMPO
ASIGNATURA
GRADO
CURSOS
MATEMÁTICO
TRIGONOMETRIA
10°
DÉCIMO JM - JT
OBJETIVOS /
PROPÓSITOS
Resolver problemas de aplicación utilizando los teoremas del seno y coseno para triángulos no
rectángulos.
Desarrollar el pensamiento lógico matemático en los estudiantes a través de la solución de diversas
actividades
APRENDIZAJES
/ CONTENIDOS
Teorema del seno.
Pensamiento lógico matemático
EVALUACIÓN Y
DESEMPEÑOS
ESPERADOS
-Orden en la entrega de las imágenes.
-Desarrollar la Guía en el cuaderno y realizar los procedimientos de todos los ejercicios.
-Veracidad y honestidad en su trabajo.
-Identifica el uso de la ley del seno en situaciones de diversos contextos.
-Resolver situaciones problema la ley del seno.
-Expresar ideas y relaciones matemáticas utilizando la terminología y notación apropiadas.
RECURSOS
VIRTUALES
TIEMPO
ESTABLECIDO
FORMA DE
ENVÍO
Pueden visitar los siguientes enlaces para reforzar el contenido de la guía:
OVA Ley del Seno:
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/G_10/M/menu
_M_G10_U03_L04/index.html
Explicación de la ley del seno y planteamiento de triángulos: https://youtu.be/e2_WDo5yK_Q
Encontrar un ángulo con la ley del seno: https://youtu.be/blOkYHt7fJE
Visita el blog de matemáticas del profesor Raúl Moreno (JM)
https://matematicasgeneral.wixsite.com/misitio/ayudas-virtuales-grado-10
Fecha Máxima de entrega:
Guía 7: Semana del 3 al 14 de mayo 2021
Guía 7: 14 de mayo de 2021
Guía 8: Semana del 18 al 28 de mayo 2021
Guía 8: 28 de mayo de 2021
1.
2.
3.
4.
Envía fotos nítidas de tu trabajo, debes numerar cada página
Marcar cada página con tu nombre, curso y jornada
En el asunto del correo coloca curso + jornada + apellidos + nombre + nombre actividad
ejemplo: 1001_JT_Pérez_Juan_taller_1_mayo
Envía a los correos:
JM: Raúl Moreno - remorenop@educacionbogota.edu.co
JT: Miguel Blanco
- matematicas7y10jt@gmail.com
TEOREMA DEL SENO
La ley de los senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y
ángulos de un triángulo cualesquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de
triángulos oblicuángulos.
Dado un triángulo ABC, con ángulos 𝛼, 𝛽 y 𝛾 cuyos lados correspondientes tienen longitudes y a, b, c
(como el de la imagen). La ley del seno establece que
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
sen 𝛼
sen 𝛽 sen 𝛾
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos (medidas de ángulos y longitudes de los lados) que faltan a partir de los datos
que se proporcionan. Por lo general, si en un problema de triángulos dan como datos:
•
•
Conocidos dos ángulos y la longitud del lado opuesto a uno de ellos. Usando el Teorema del Seno se puede calcular el lado
opuesto al otro ángulo.
Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Usando el Teorema del Seno podemos conocer el seno del ángulo
opuesto al otro lado. Luego, por medio de las inversas de las razones trigonométricas podemos conocer del ángulo opuesto
al otro lado.
Razones Trigonométricas Inversas
Las razones trigonométricas inversas son las inversas de las razones trigonométricas que ya
conocemos: seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente; y nos permiten
calcular los ángulos de un triángulo a partir de las medidas de los lados.
Echemos un vistazo a un nuevo tipo de problema de trigonometría. Como dato interesante,
estos problemas no pueden resolverse con seno, coseno o tangente.
El problema: En el triángulo de la imagen, ¿cuál es la medida del ángulo señalado?.
Llamaremos al ángulo desconocido 𝜃. Lo que sabemos con respecto al ángulo 𝜃, es que las
longitudes de los lados opuesto y adyacente son 35 y 65 respectivamente así que podemos
escribir:
tan 𝜃 =
𝐶𝑂
sustituyendo adecuadamente
𝐶𝐴
tan 𝜃 =
35
.
65
Pero esto no nos ayuda a determinar la medida de 𝜃. Necesitamos nuevas herramientas matemáticas para resolver problemas como
este. Nuestros viejos amigos seno, coseno y tangente no son suficientes. Estos toman ángulos y regresan razones de lados, pero
necesitamos lo opuesto: Usar las razones entre los lados para obtener los ángulos. ¡Necesitamos las razones trigonométricas inversas!.
Estas son:
•
Seno inverso sin−1 ( ) hace lo opuesto del seno.
•
Coseno inverso cos−1 ( ) hace lo opuesto del coseno.
•
Tangente inversa tan−1 ( ) hace lo opuesto de la
𝐶𝑂
ℎ
𝐶𝐴
ℎ
𝐶𝑂
𝐶𝐴
tangente.
En general, si conoces la razón trigonométrica, pero no el
ángulo, se puede utilizar la correspondiente función
trigonométrica inversa para determinar el ángulo.
Solución: Así el ángulo desconocido de nuestro problema se determina según
𝐶𝑂
𝜃 = tan−1 ( )
sustituyendo adecuadamente y usando calculadora científica
𝐶𝐴
35
𝜃 = tan−1 ( )
𝜃 ≈ 28,3° ≈ 0,49 𝑟𝑎𝑑
65
Ley del seno: Ejemplo 1.
La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de elevación de un
globo con respecto a dichos puntos son de 58°20′ y 67°32′. ¿A qué altura del
suelo se encuentran?
La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de elevación de un
globo con respecto a dichos puntos son de 𝛼 = 58°20′ y 𝛽 = 67°32′. ¿A qué altura
del suelo se encuentran?
Solución:
1.
2.
Primero hay que convertir nuestros ángulos a grados decimales y luego aplicar la ley de senos:
𝛽 = 67°32′ = 67.5333°
Determinamos el ángulo faltante.
𝛾 = 180° − 𝛼 − 𝛽
𝛼 = 58°20′ = 58.3333°
𝛾 = 180° − 58.3333° − 67.5333° = 54.14°
Ahora, tenemos los 3 ángulos completos.
3.
Vamos a calcular el lado 𝑎, que sería el lado opuesto al ángulo A, recurrimos aplicar la ley de senos.
𝑎
sen 𝛼
=
𝑏
sen 𝛽
=
𝑐
sen 𝛾
(únicamente usamos las razones que tengan más datos conocidos)
Tenemos que, 𝛼 = 58.3333°, 𝑐 = 20Km, y 𝛾 = 54.14°, entonces tomamos esos datos para aplicar la ley de senos, a cualquier otro
lado.
𝑎
sen 𝛼
4.
=
𝑐
entonces
sen 𝛾
𝑎=
𝑐
sen 𝛾
sen 𝛼
sustituyendo adecuadamente y usando calculadora científica 𝑎 = 21km
Ahora podemos aplicar la razón seno del ángulo 𝛽 = 67°32′para obtener el cateto opuesto, que sería nuestra altura.
sen 67.5333° =
ℎ
20.95
Despejando ℎ = altura del globo y sustituyendo
ℎ = (sen 67.53)(21𝑘𝑚) = 19.40 𝑘𝑚
Por lo que la altura del globo, es de 19.4 kilómetros aproximadamente (Redondeando).
Ejemplo 2: Aplica la ley de senos en el siguiente triangulo para calcular la medida de b
5.
Se calcula la medida el ángulo γ mpleamos la propiedad de los triángulos que nos
indica que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es 180o
γ + 53o + 40o = 180o
γ = 180o - 53o - 40o
γ = 87o
6.
7.
Identificar: Si tengo los 3 ángulos del triangulo y la longitud de un lado, puedo emplear la ley del seno.
Emplear la ley del seno
𝑆𝑒𝑛 𝛼
𝑆𝑒𝑛 𝛽
𝑆𝑒𝑛 𝛾
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
En este caso, como tengo c y quiero calcular la medida de b
𝑆𝑒𝑛 𝛼
𝑆𝑒𝑛 𝛽
𝑆𝑒𝑛 𝛾
=
=
𝑎
𝒃
𝒄
Entonces solo utilizo las dos razones que utilizan estas medidas
𝑆𝑒𝑛 𝛽
𝑆𝑒𝑛 𝛾
=
𝒃
𝒄
Reemplazo los valores que tengo:
𝑆𝑒𝑛 40
𝑆𝑒𝑛 87
=
b
4,5
Despejar
4,5 𝑥
Operar
𝑆𝑒𝑛 40
= 𝑏
𝑆𝑒𝑛 87
0,64
= 𝑏
1
2,89 = 𝑏
4,5 𝑥
Ejemplo 3: Tres topógrafos quieren medir el ancho de una quebrada. Para esto, ubican dos puntos
A y B, y miden la distancia entre ellos. Luego, utilizan un teodolito para medir los ángulos de 𝛼 y
𝛽 con respecto a un punto C, como se muestra en la figura. Si 𝛼 = 50o y 𝛽 = 117o, ¿cuál es el
ancho de la quebrada?
1.
Se calcula la medida el ángulo γ empleamos la propiedad de los triángulos que nos indica que
la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es 180 o
γ + 50o + 117o = 180o
γ = 180o - 50o - 117o
γ = 13o
2.
3.
Identificar: Si tengo los 3 ángulos del triángulo y la longitud de un lado, puedo emplear la ley del seno.
Emplear la ley del seno
𝑆𝑒𝑛 𝛼
𝑆𝑒𝑛 𝛽
𝑆𝑒𝑛 𝛾
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
En este caso, como tengo c y quiero calcular la medida de a
𝑆𝑒𝑛 𝛼
𝑆𝑒𝑛 𝛽
𝑆𝑒𝑛 𝛾
=
=
𝒂
b
𝒄
Entonces solo utilizo las dos razones que utilizan estas medidas
𝑆𝑒𝑛 𝛼
𝑆𝑒𝑛 𝛾
=
𝒂
𝒄
Reemplazo los valores que tengo:
𝑆𝑒𝑛 50
𝑆𝑒𝑛 13
=
𝑎
40
Despejar
40 𝑥
Operar
𝑆𝑒𝑛 50
= 𝑎
𝑆𝑒𝑛 13
0,766
= 𝑎
0,225
136,2 = 𝑎
40 𝑥
GUÍA N° 7 - ACTIVIDADES
Actividades: Fecha máxima de entrega: (14 de mayo de 2021)
OLIMPIADAS MATEMÁTICAS
Puedes compartir tus resultados enviando la tabla de respuestas por correo electrónico o en ingresar al siguiente enlace
https://forms.gle/4qHRDyTTgTFEjGjB7 y diligencias el formulario de manera. Escoge solo una de las dos opciones.
INFORMACIÓN E INSTRUCCIONES:
1. Esta es una prueba de treinta (10) preguntas de selección múltiple. Cada problema está seguido por cuatro (4) opciones de
respuesta A, B, C, D. Sólo una de estas es correcta.
OPCIÓN DE ENVÍO POR CORREO ELECTRÓNICO
1.
2.
3.
1.
No es necesario enviar los procedimientos.
Únicamente enviar la tabla de respuestas marcada con tu nombre, curso y jornada.
Marcar claramente la respuesta correcta en el siguiente formato
Las siguientes circunferencias tienen un radio de 10 m.
¿Cuál puede ser el valor de la distancia más corta recorrida
a través de ellas para llegar del punto A al punto C?
2.
Para un partido de baloncesto se registraron 17 niños y 32
niñas. Si con todos los registrados se deben conformar
equipos de 6 integrantes donde haya el mismo número de
niñas que de niños. ¿Cuántos niños y niñas como mínimo
hacen falta?
A.
B.
C.
D.
A. 19 𝜋
3.
B. 25 𝜋
C. 70 𝜋
Solo se necesita sacar un niño
Se necesita 1 niños y 4 niñas
Solo se necesita sacar una niña
Se puede sacar a 5 niños y 2 niñas
D. 17 𝜋
Cada digito de las siguientes operaciones fue reemplazado
por una letra. Al descubrir el número que corresponde a
cada letra, ¿Que numero le pertenece a la letra B?
4.
¿Cuántos triángulos hay en la figura?
A. 8
5.
B. 1
C.6
D. 9
El caballo del ajedrez se mueve desplazándose en forma de
L, como se observa en la imagen:
A.
17 triángulos
B. 19 triángulos
C.
20 triángulos
D. 22 triángulos
6.
¿Cuántos movimientos se necesitan para mover el caballo de la
posición A a la posición B?
Un campesino cultiva 1/6 el primer día. Los días siguientes
cultiva 1/6 más que el día anterior. ¿Cuántos días dura
cultivando el terreno completo?
A. 4.
A. 1
7.
B. 3
C. 5
8.
D.5
¿Cuál es el perímetro del siguiente triángulo?
A. 6𝑤 − 𝑥
9.
C. 6.
D. 8
Determinar el valor de “x” en el siguiente trapecio
rectángulo:
A. √30
B. 3
B. 2 √30
C. 6√30
B. 6𝑤 + 𝑥 + 4
C. 6𝑤 − 𝑥 + 4
D. 4 − 𝑥
D. √30
En la figura mostrada cada triangulito tiene 1cm2 de área.
¿Qué tanto por ciento representa la región no sombreada
respecto de la región sombreada?
10. Si las balanzas mostradas están en equilibrio
La siguiente balanza se equilibrará con una pesa de
A. 40 % B. 30%
C. 60%
D. 50%
A. 10 Kg.
B. 9 Kg
GUÍA N° 8 - ACTIVIDADES
Actividades: Fecha máxima de entrega: (28 de mayo)
TEOREMA DEL SENO (Una vez resuelto el ejercicio encerrar en un rectángulo la respuesta final)
1.
Encuentra el o los lados faltantes de los siguientes triángulos:
C.12 Kg
D. 7
A.
B.
C.
2.
La distancia entre dos casas ubicadas en los puntos A y C, es de 400m como
se muestra en la figura. Si la distancia entre la casa del punto A y un árbol
ubicado en un punto B, es de 200m, ¿Cuál es la distancia entre la casa del
punto C y el árbol?
3.
Un granjero quiere medir la distancia desde un punto A ubicado en una
propiedad vecina, sin pasar la cerca que se muestra en la figura. Calcular b si 𝛼=
45o y 𝛽= 60o.
4.
Un satélite meteorológico que orbita al Ecuador a una altura A =
36.000 km, detecta una tormenta eléctrica al norte, en P, a un
ángulo θ = 6,5o de su vertical. Si el radio de la tierra mide 6.378
km, ¿a que distancia se encuentra el satélite de la tormenta?
REFERENCIAS:
Buitrago, L. Romero, J… Texto colectivo “Los caminos del saber:
Matemáticas 10º”. Santillana. 2013
https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-solve-for-an-angle/a/inverse-trig-functions-intro