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⼩结-矩量⺟函数（moment-generating function）
（10/15/2020）
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⼈活着就是为了
2020 科学季
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之前⼀直不是很理解moment generating function（MGF）。今天终于狠下⼼挖⼀挖MGF，在这
⾥做⼀个⼩结，也是终于是帮我搞懂了moment和MGF的作⽤。⼤家如果也不明⽩的可以抽⼏分
钟看看这篇⽂章。
⾸先，什么是moment？
moment在统计学中表示的是期望，⽐如
（
） ，…，分别表示某个分布的first
）， （
moment，second moment，…
那么这些期望值在统计学中有什么运⽤呢，⽐较简单的，⼤家都知道first moment表达的是某种
分布的期望，⽽second moment某种程度则能够反映该分布的variance，因为我们有
（
）
（
） 。但是third和fourth moment同样也是反映分布特性的重要参数，
⽐如third moment反映的是该分布的不对称性（asymmetry），也可以说成是倾斜度？
（skewness），表达成公式是
（（
；fourth moment反映的则
） ）
是峰度（kurtosis：how heavy its tails are），
（（
。所以对我
） ）
们来说，moment是反映某样本分布很重要的参数。
然后我们接着看什么是moment generating function（MGF），我理解的是MGF是为了构建⼀个
帮助⼤家求解moment的⼀个⼯具式的函数（像它的名字⼀样，to generate moment），⾸先我
们看moment的求法:
⽽MGF是:
⼀眼看过去⼤家可能会⼀脸懵圈，我要求的是moment
（
） ，⽽不是
） 。那么继
（
续看下去，从我们学到过去统计学知识，我们知道根据MGF求moment的⽅法是：对MDF求n阶
导数，然后带⼊t=0，就可以得到
（
）。
n-th moment:
但是这是为什么呢？下⾯我们给出推导过程：
利⽤泰勒展式我们可以得到：
然后对这个式⼦求期望
在对该期望求1阶导，带⼊t=0
代⼊ t = 0
最后我们得到的是不是就是X的期望呢，如果我们想要second moment，那么在带⼊t=0之前继
续求⼀次导，再带去t=0就能得到second moment。同理，n-th moment就是在这个基础上做n阶
导数。
那么⼤家可能会有疑惑，为什么我们不直接求
（
） ，⽽要通过MGF来求moment呢？答案
也很明显，⽐起求⾼阶积分，求导数相对要容易太多了。
我们来看⼀个例⼦，假设我们的pdf是⼀个指数分布，那么我们有
然后他的MGF是
最后得到的结果是不是很简单，只需要对上⾯简单的例⼦求导就可以得到moment，⽐如求third
，⽽如果根据third moment定义求，
moment：
那么在做求导和积分，你更喜欢哪个呢？
编辑于 2022-03-26 02:14
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3 条评论
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Pluveto
有错，E ⾥⾯是 x 不是 t
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2021-12-12
1
⼈活着就是为了 作者
已改，感谢指正！
2022-03-26
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Mamammiya
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