Isi kandungan
BIL
PERKARA
MUKA SURAT
1
Pendahuluan
3
2
Senarai nama dan maklumbalas
4
3
Senarai formula
5
4
Jadual Taburan Normal
7
5
Fungsi / Functions
8
6
Fungsi Kuadratik / Quadratic Functions
18
7
Sistem Persamaan / Systems of Equations
28
8
Indeks, Surd dan Logaritma / Indices, Surds and
Logarithms
39
9
Janjang / Progressions
52
10
Hukum Linear / Linear Law
61
11
Geometri Koordinat / Coordinate Geometry
75
12
Vektor / Vectors
87
13
Penyelesaian Segi tiga / Solution of Triangles
104
14
Nombor Indeks / Index Number
116
2 |© Modul Jom Lulus Additional Mathematics MRSM Pulau Pinang 2.0
Pendahuluan
Saya, Cikgu Noraini binti Ismail selaku penyelaras modul ini ingin merakamkan
setinggi-tinggi penghargaan kepada Ketua Penolong Pengarah Matematik
Tambahan
dari
Bahagian
Pendidikan
Menengah
(BPM)
MARA,
Puan Radziah bt. Abdullah yang menyambut baik idea kami untuk menambah
baik modul yang telah terhasil sebelumnya. Penghargaan juga diberikan
kepada pihak Bahagian Sumber Manusia (BSM) atas kesudian menyumbang
dana untuk kami duduk bersama membuat penambahbaikan. Saya juga
amat berterima kasih kepada Pengetua, Ketua Jabatan dan guru-guru
Matematik Tambahan dari MRSM Transkrian, MRSM Balik Pulau dan MRSM
Kepala Batas yang telah memberikan komitmen yang sangat baik.
Kepada para guru yang bakal menggunakan modul, semoga ia dapat
menjadi satu medium untuk kita sama membantu anak-anak murid kita dalam
memperoleh keputusan yang lebih baik dalam SPM nanti.
Kepada para pelajar, manfaatkanlah modul ini sebaiknya. Selagi kita berusaha
pasti akan ada ganjarannya. Jangan mudah mengalah selagi belum berjuang.
Anda pasti berjaya mengubahnya.
Kami juga amat mengalu-alukan sebarang komen dan maklum balas yang
anda boleh berikan melalui QRcode yang telah disediakan.
Sekian, terima kasih.
TEAM EDIT JLAM 2.0 2023
TEAM GUBAL JLAM 2022
AMARAN ! ! !
SEBARANG BENTUK URUS NIAGA DENGAN NIAT
MENDAPATKAN KEUNTUNGAN PERIBADI DENGAN
MENGGUNAKAN MODUL INI ADALAH DILARANG SAMA
SEKALI.
3 |© Modul Jom Lulus Additional Mathematics MRSM Pulau Pinang 2.0
PEMBINA MODUL
Noraini binti Ismail
Mohd. Amir Yuzaini b. Mohd Yusof
Nirliana bt. Noh
Sharifah Nur Farah bt. Syed Khalid
Busyra bt. Rosli
Chempaka bt Saad
Norhayati binti Abd Rahim
Syazwina Laily Bt Ismail
Mohamad Fauzi bin Razak
Maisurah bt Amir
Hakimah bt Sepihie
Saidatul Syazana binti Al Amin Malim
Mohd Fitri Bin Baharin
ILUSTRASI KULIT DEPAN
Mohd Fitri Bin Baharin
RUJUKAN
My Add Maths Notes
(Norani Hashim, Omairah Omar, Raja Anita Baizura Raja Ahmad Shouse)
Bahan Modul KJ dan GC
(Mesyuarat KJ dan GC Mac 2022)
Untuk maklumbas sila imbas QRcode berikut.
Terima kasih atas maklum balas yang diberikan.
4 |© Modul Jom Lulus Additional Mathematics MRSM Pulau Pinang 2.0
RUMUS
FORMULAE
1
2
3
b  b 2  4ac
2a
m
n
a  a  am  n
am  an  am  n
x
18 Isipadu kisaran
Volume of revolution
b
   y 2 dx atau (or)
a
b
4
   x 2 dy
(a m )n  a m n
a
5
log a mn  log a m  log a n
6
log
m
 log m  log n
an
a
a
7
log a mn  n log a m
8
log a b 
9
T  a  ( n 1 ) d
n
10
S
11
Tn  a r n 1
12
13
n

logc b
logc a
n
[ 2a  ( n  1 ) d ]
2
a(r n  1) a(1  r n )

,r 1
r 1
1 r
a
S 
, r 1
1 r
Sn 
dy
dv
du
u
v
dx
dx
dx
y  uv ,
15
u dy
y ,

v dx
16
dy
dy
du


dx
du
dx
v
du
dv
u
dx
dx
2
v
Luas di bawah lengkung
Area under a curve
b
  y dx atau (or)
a
b
  x dy
a
I
20
I 
Q1
100
Q0
W I
W
i i
i
21
22
14
17
19
23
n P  n!
r (n  r )!
n!
nC 
r (n  r )!r!
nr
P ( X  r )  nC p r q
, p q  1
r
24 Min/ Mean = np
25
  n pq
26
Z
X 

27 Panjang lengkok, s = j θ
Arc length, s = r θ
28 Luas sektor , L 
1 2
jθ
2
Area of sector, A 
1 2
rθ
2
29 sin 2 A + kos 2 A = 1
sin 2 A + cos 2 A = 1
30 sek 2 A = 1 + tan 2 A
sec 2 A = 1 + tan 2 A
31 kosek 2 A = 1 + kot 2 A
cosec 2 A = 1 + cot
5 | |© Modul Jom Lulus Additional Mathematics MRSM Pulau Pinang 2.0
32
sin 2A = 2 sin A kos A
sin 2A = 2 sin A cos A
33
kos 2A = kos2 A - sin 2 A
= 2 kos 2 A – 1
= 1 – 2 sin 2 A
cos 2A = cos2 A - sin 2 A
= 2 cos 2 A – 1
= 1 – 2 sin 2 A
34
tan 2 A =
35
sin (A  B) = sin A kos B  kos A sin B
sin (A  B) = sin A cos B  cos A sin B
36
kos (A  B) = kos A kos B  sin A sin B
cos (A  B) = cos A cos B  sin A sin B
37
tan (A  B) =
38
a
b
c


sin A sin B sin C
39
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc kos A
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A
40
Luas segitiga / Area of triangle
2 tan A
=
41
1
2
1 - tan 2 A
tan A  tan B
1 m tan A tan B
ab sin C
Titik yang membahagi suatu tembereng garis
A point dividing a segment of a line
 nx  mx2 ny1  my2 
( x, y)   1
,

mn 
 mn
42
Luas segitiga / Area of triangle

1
2
43
44
( x1 y2  x2 y3  x3 y1 )  ( x2 y1  x3 y2  x1 y3 )
r  x2  y 2
r̂ =
𝑥𝒊+𝑦𝒋
√𝑥2 +𝑦2
6 | |© Modul Jom Lulus Additional Mathematics MRSM Pulau Pinang 2.0
7 | |© Modul Jom Lulus Additional Mathematics MRSM Pulau Pinang 2.0
bab 1
fungsi
functions
8
Function
FUNCTIONS
1. 𝑓
1. – is a relation
– every object is mapped onto only one image.
2.
x
1. Representations of Relations:
–2•
0•
2•
“Squares of ”
•0
•3
•4
x
–2•
0•
2•
y
•0
•3
•4
–2•
0•
2•
A function
x
y
•0
•3
•4
Not a function
(b) Ordered pairs {(−2,4), (0,0), (2,4)}
(c) Graph
•
(a) the image of 9,
•
4
3
2
1
𝒇: 𝒙 → 𝒙𝟐
𝑓
Not a
function
(a) 𝑓(9) = 92
= 81
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
∴ 𝑔
2.
(b) One to many
•
•
•
•
•
•
•
•
(c) Many to one
•
•
•
•
•
•
•
4
3
2
1
•
–2 –1 •
0 1 2
•
•
•
–2 –1 0 1 2
•
4
3
2
1
•
–2 –1 •
0 1 2
g
y
•0
3
•
•4
–2•
1•
2•
=
1−2𝑢
h
•
•
•
•
•
•
–2 –1 •
0 1 2
𝑦
3𝑢−1
1−2𝑥
3𝑥−1
, 𝑥 ≠ 13
I
•
0
––5
–7
I
𝑥
I
5 3
2
1
I
–1
0
𝑦 = |2𝑥 − 5|
•
I
I
5 3
2
Given a function & a composite
function, find the other function
z
•–1
•5
•6
𝑦 = 2𝑥 − 5
•
1
• –7
–5
ℎ𝑔(2) = −1
Notes:
1. 𝑔(𝑥) = 𝑔ℎ(ℎ−1 (𝑥))
2. 𝑔(𝑥) = ℎ−1 (ℎ𝑔(𝑥))
𝑔−1 ℎ−1 (5) = 1
More Example:
•
•
•
4
3
2
1
𝑦.
–1
(d) Many to
many
{(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑒, 𝑓)} {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑑), (𝑒, 𝑓)} {(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑏), (𝑒, 𝑓)} {(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑏), (𝑎, 𝑓)}
4
3
2
1
x
𝑓(𝑥) = 3
|2𝑥 − 5| = 3
2𝑥 − 5 = ±3
𝑓(3)
𝑥 = 1, 𝑥 = 4
= |2(3) − 5|
=1
(b) Sketch the graph of 𝒇(𝒙) for −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑
3𝑥+2
1. Examples : 𝑔𝑓 , 𝑓𝑔, 𝑔2 , 𝑓 −1 𝑔
3. Types of Relations:
•
•
•
,
Composite Function
Objects of 4 are –2 and 2.
Image of 2 is 4.
Domain = {−2,0,2}
Codomain = Second set. Eg: Codomain of 1(a) = {0,3,4}
Range = {0,4}
(a) One to one
=2
(ii)
𝑥+1
𝑥=
2. Other Terms:
(a) (i) 𝑓(2)
= |2(2) − 5|
=1
Then 𝑢(3𝑥 + 2) = 𝑥 + 1
−1 (𝑥)
Example:
Given 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟓| .
(a) Find (i) the image of 2 and of 3,
(ii) the values of 𝒙 when 𝒇(𝒙) = 𝟑.
:𝑦 →𝑥
−1 (3)
𝑢=
Let
(b) the objects of 9.
(b) 𝑓(𝑥) = 9
𝑥2 = 9
𝑥 = ±3
–2 –1 0• 1 2
−1
3. More Examples:
𝒙+𝟏
Given 𝒈(𝒙) =
, 𝒙 ≠ −𝟐𝟑
𝟑𝒙+𝟐
find 𝒈−𝟏 (𝒙).
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 . Find
or
y
•0
•3
•4
𝑓
3. Notation:
Example: Given
f
–2•
0•
2•
y
•0
•3
•4
–2•
0•
2•
Absolute Value Function
= inverse function of 𝑓.
x
2. Examples:
Relations
(a) Arrow Diagram
Inverse Function
−1
𝒙+𝟏
3. More Example:
Given 𝒈(𝒙) =
𝒙+𝟏
𝟑𝒙+𝟐
(c) 𝒈𝟐
(a) 𝒈𝒉
𝑔(ℎ(𝑥)) =
, 𝒙 ≠ −𝟐𝟑 and 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 , find
𝒙𝟐 +𝟏
𝟑𝒙𝟐 +𝟐
,
(b) 𝒉𝒈
9
ℎ(𝑔(𝑥)) = (
𝑔
2 (𝑥)
ℎ−1 (𝑥) =
= 𝑔𝑔(𝑥)
=
𝒙+𝟏
𝟑𝒙+𝟐
)
𝟐
Given 𝒈𝒉(𝒙) =
, 𝒙 ≠ −𝟐𝟑 and
𝟑𝒙+𝟐
𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙, find 𝒈 .
=
𝑥+1
+1
3𝑥+2
𝑥+1
3(
)+2
3𝑥+2
4𝑥+3
9𝑥+7
, 𝑥 ≠ −79
𝑥
2
𝑔(𝑥) = 𝑔ℎ(ℎ−1 (𝑥))
𝑥
= 𝑔ℎ ( )
2
=
=
𝑥
2+1
3(𝑥
2)+2
𝑥+2
3𝑥+4
, 𝑥 ≠ −43
𝑥
Fungsi
FUNGSI
2. Contoh:
x
4. Perwakilan hubungan:
x
–2•
0•
2•
y
•0
•3
•4
–2•
0•
2•
“Kuasa dua bagi”
–2•
•0
0•
•3
•4
2•
(d) Gambarajah
Anak panah
1. 𝑓 −1 = fungsi songsang bagi 𝑓. Contoh:
Diberi 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟓| .
f
2.
1. – adalah hubungan
– setiap objek memetakan kepada satu imej sahaja
Hubungan
Fungsi
x
y
•0
•3
•4
y
•0
•3
•4
–2•
0•
2•
Bukan fungsi
(a) imej bagi 9,
(e) Pasangan tertib {(−2,4), (0,0), (2,4)}
• 4
•
3
(f) Graf
2
(a) 𝑓(9) = 92
= 81
1
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 . Cari
•
•
•
2.
–2 –1 •
0 1 2
=2
𝑢=
,
𝑥=
∴ 𝑔
−1 (𝑥)
=
3𝑥−1
x
g
y
•0
3
•
•4
h
𝑦.
𝑦
, 𝑥 ≠ 13
𝑦 = 2𝑥 − 5
•
1
I
–1
•
0
––5
–7
I
𝑥
I
5 3
2
1
I
–1
0
𝑦 = |2𝑥 − 5|
•
I
I
5 3
2
ℎ𝑔(2) = −1
Nota:
1. 𝑔(𝑥) = 𝑔ℎ(ℎ−1 (𝑥))
2. 𝑔(𝑥) = ℎ−1 (ℎ𝑔(𝑥))
𝑔−1 ℎ−1 (5) = 1
(c) Banyak kepada satu
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(b) Satu kepada
banyak
•
• –7
–5
•
•
•
•
•
•
(d) Banyak kepada
banyak
4
3
2
1
•
•
–2 –1 0 1 2
•
4
3
2
1
•
–2 –1 •
0 1 2
•
4
3
2
1
•
•
–2 –1 •
0 1 2
𝒙+𝟏
3. Contoh tambahan:
Diberi 𝒈(𝒙) =
𝒙+𝟏
𝟑𝒙+𝟐
𝑔(ℎ(𝑥)) =
, 𝒙 ≠ −𝟐𝟑 dan 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 , cari
(c) 𝒈𝟐
(a) 𝒈𝒉
𝒙𝟐 +𝟏
𝟑𝒙𝟐 +𝟐
,
(b) 10
𝒉𝒈
ℎ(𝑔(𝑥)) = (
𝑔
2 (𝑥)
𝒙+𝟏
𝟑𝒙+𝟐
)
𝟐
Diberi 𝒈𝒉(𝒙) =
, 𝒙 ≠ −𝟐𝟑 dan
𝟑𝒙+𝟐
𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙, cari 𝒈 .
ℎ−1 (𝑥) =
= 𝑔𝑔(𝑥)
=
=
𝑥
Diberi fungsi dan fungsi gubahan,
Cari fungsi yang lain
z
•–1
•5
•6
𝑓(3)
𝑥 = 1, 𝑥 = 4
= |2(3) − 5|
=1
(b) Lakarkan graf bagi 𝒇(𝒙) for −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑
3𝑥+2
1−2𝑢
3𝑢−1
1−2𝑥
𝑓(𝑥) = 3
|2𝑥 − 5| = 3
2𝑥 − 5 = ±3
𝑥+1
Kemudian 𝑢(3𝑥 + 2) = 𝑥 + 1
–2•
1•
2•
{(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑒, 𝑓)} {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑑), (𝑒, 𝑓)} {(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑏), (𝑒, 𝑓)} {(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑏), (𝑎, 𝑓)}
•
:𝑦 →𝑥
−1 (3)
(ii)
Contoh tambahan:
(a) Satu kepada satu
4
3
2
1
(a) (i) 𝑓(2)
= |2(2) − 5|
=1
1. Contoh : 𝑔𝑓 , 𝑓𝑔, 𝑔2 , 𝑓 −1 𝑔
6. Jenis-jenis hubungan:
•
−1
(a) Cari (i) imej bagi 2 dan 3,
(ii) nilai bagi x apabila 𝒇(𝒙) = 𝟑.
Fungsi Gubahan
Objekof 4 are –2 and 2.
Imej of 2 is 4.
Domain = {−2,0,2}
kodomain = Set kedua. Contoh: Kodomain bagi 1(a) = {0,3,4}
Julat = {0,4}
•
•
•
•0
•3
•4
Andaikan
(b) objek bagi 9.
5. Istilah lain:
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
–2•
0•
2•
3. Contoh tambahan:
𝒙+𝟏
Diberi 𝒈(𝒙) =
, 𝒙 ≠ −𝟐𝟑
𝟑𝒙+𝟐
cari 𝒈−𝟏 (𝒙).
(b) 𝑓(𝑥) = 9
𝑥2 = 9
𝑥 = ±3
–2 –1 0• 1 2
y
𝑓
Bukan fungsi
𝒇: 𝒙 → 𝒙𝟐 atau
x
𝑓
3. Tatatanda:
Contoh: Diberi
Fungsi Mutlak
Fungsi Songsang
𝑥+1
+1
3𝑥+2
𝑥+1
3(
)+2
3𝑥+2
4𝑥+3
9𝑥+7
, 𝑥 ≠ −79
𝑥
2
𝑔(𝑥) = 𝑔ℎ(ℎ−1 (𝑥))
𝑥
= 𝑔ℎ ( )
2
=
=
𝑥
2+1
3(𝑥
2)+2
𝑥+2
3𝑥+4
, 𝑥 ≠ −43
JOM UJI PENGETAHUAN SEDIA ADA ANDA!
Selesaikan persamaan berikut.
Solve the following equation:
1. x  2  3
2. x  2  3
3. 7  x  3
4. 9  x  2
5. x  y  3 when x = 2
6. 2 x  y  7 when x = 4
7. 3x  y  3 when y = 3
8. 7 x  y  12 when y = 9
Kembangkan.
Expand.
9. 2(𝑥 + 3)
10. 5(𝑦 − 2)
11. 5(2𝑦 − 2)
12. 5(1 − 2𝑥)
11
JOM MULA!
Nyatakan domain, kodomain dan julat bagi fungsi berikut.
State the domain, codomain and the range of the following functions.
13.
●1
a●
14.
●2
b●
●6
4●
●4
Set X
●5
3●
●3
c●
●2
2●
●8
Set A
Set B
Set Y
Domain =
Kodomain / Codomain =
Julat / Range =
Domain =
Kodomain / Codomain =
Julat / Range =
Set K
15. {(g, 10), (h, 20), (i, 30), (j, 40)}
16.
Domain =
Kodomain / Codomain =
Julat / Range =
R
●
Q
●
P
●
●
A B C
Domain =
Kodomain / Codomain =
Julat / Range =
17. Cari imej bagi fungsi, 𝑓: 𝑥 → 7𝑥 + 3; 𝑥 = 2
Find the image for, 𝑓: 𝑥 → 7𝑥 + 3; 𝑥 = 2
12
Set L
3𝑥 + 2
;𝑥 = 6
4
3𝑥 + 2
Find the image for, 𝑓: 𝑥 →
;𝑥 = 6
4
18. Cari imej bagi fungsi, 𝑓: 𝑥 →
19. Diberi bahawa 𝑓: 𝑥 → 3 + 𝑥 , cari objek apabila
imej ialah 10.
It is given that 𝑓: 𝑥 → 3 + 𝑥 , find the object when
the image is 10.
20. Diberi bahawa 𝑓: 𝑥 → 3𝑥 + 4 , cari objek
apabila imej ialah 5.
It is given that 𝑓: 𝑥 → 3𝑥 + 4 , find the object
when the image is 5.
21. Dua fungsi ditakrifkan oleh,
Two functions are defined by,
𝑔: 𝑥 → 𝑥 + 2
ℎ: 𝑥 → 4𝑥 − 2
Tentukan fungsi gubahan bagu dua fungsi yang diberikan.
Determine the composite functions of the two functions given.
a) gh (x)
b) hg (x)
c) gg (x)
d) h2 (x)
22. Diberi dua fungsi 𝑓: 𝑥 → 𝑥 − 2 dan 𝑔: 𝑥 → 3𝑥 + 2 . Cari
Given the two functions 𝑓: 𝑥 → 𝑥 − 2 and 𝑔: 𝑥 → 3𝑥 + 2 . Find
b) g2 (x)
a) fg (2)
13
c) nilai x apabila gf ( x)  3
the value of x when 𝑔𝑓(𝑥) = 3
d) nilai x apabila f 2 ( x)  7
2
the value of x when 𝑓 (𝑥) = 7
23. Dalam rajah di bawah, fungsi f memetakan x kepada y.
Cari
In the diagram, function f maps x to y. Find
24. Cari fungsi songsang bagi f ( x)  x  2
Find the inverse function for f ( x)  x  2
f
x
y
2●
●5
3●
●6
2
●7
4●
25. Cari fungsi songsang bagi 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2
Find the inverse function for 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2
a) 𝑓 −1 (5)
b) 𝑓 −1 (6)
c) 𝑓 −1 (7)
26. Cari fungsi songsang bagi 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥
Find the inverse function for 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥
𝑥−2
5
𝑥−2
Find the inverse function for 𝑓(𝑥) =
5
27. Cari fungsi songsang bagi 𝑓(𝑥) =
14
28.
X
x
f
Y
x+2
k
Z
29.
3-x
Gambarajah menunjukkan fungsi f memetakan
set X kepada set Y dan fungsi k memetakan set
Y kepada set Z. Cari
The diagram shows the function f mapping set
X to set Y and the function k maps the set of Y
to set Z. Find
a) Fungsi yang memetakan set Y kepada
X, dalam sebutan x.
Function that maps the set of Y to X, in
terms of x.
b) k(x)
X
x
h
Y
2x - 1
k
Z
6x - 1
Gambarajah menunjukkan fungsi h memetakan set X
kepada set Y dan fungsi k memetakan set Y kepada set
Z. Cari
The diagram shows the function h mapping set X to set
Y and the function k maps the set of Y to set Z. Find
a) Fungsi yang memetakan set Y kepada X, dalam
sebutan x.
Function that maps the set of Y to X, in terms of
x.
b) k(x)
15
30. Diberi fungsi 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 , dan 𝑔𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 , cari
Given the functions 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 , and 𝑔𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 , find
a) 𝑓 −1 (𝑥) ,
b) 𝑔(𝑥) .
4
4
, cari f(x)
, 𝑥 ≠ 2 , dan 𝑔𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 11
𝑥−2
4
4
Given the functions 𝑔(𝑥) =
, find f(x)
, 𝑥 ≠ 2, and 𝑔𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 11
𝑥−2
31. Diberi fungsi 𝑔(𝑥) =
16
JAWAPAN:
No.
1
2
3
4
JAWAPAN
x=1
x=5
x=4
x=7
20
y=1
6
7
8
9
10
y = -1
11
10y – 10
12
5 – 10x
Domain = {a, b, c}
Kodomain = {1, 2, 3, 4}
Julat = {2, 3, 4}
Domain = {2, 3, 4}
Kodomain = {2, 5, 6, 8}
Julat = {2, 6, 8}
Domain = {g, h, i, j}
Kodomain = {10, 20, 30, 40}
Julat = {10, 20, 30, 40}
Domain = {A, B, C}
Kodomain = {P, Q, R}
Julat = {P, Q, R}
14
15
16
No.
17
18
19
5
13
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
(a)
21
x=2
x=3
2x + 6
5y – 10
22
23
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
17
5
7
1
3
4x
4x + 6
x+4
16x – 10
6
9x + 8
(d)
7
3
11
(a)
2
(b)
3
(c)
4
(c)
x–2
24
x2
3
3 x
2
5x  2
25
26
Sila imbas QRCode untuk memberi maklum balas
tentang modul ini.
Terima kasih.
𝑥−2
𝑓 −1 (𝑥) =
(a)
4
30
𝑥
𝑔(𝑥) = + 3
(b)
2
ANSWER
27
(a)
𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥 − 2
(b)
𝑘(𝑥) = 5 − 𝑥
(a)
ℎ−1 (𝑥) =
(b)
𝑘(𝑥) = 3(𝑥 − 2) + 1
28
𝑥+1
2
29
31
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9
17
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
BAB 2
Fungsi Kuadratik
Quadratic
functions
18
FUNGSI KUADRATIK
Persamaan kuadratik boleh diselesaikan dengan menggunakan : / Quadratic equation can be solved by using :



Kaedah Pemfaktoran / Factorisation
Kaedah Penyempurnaan kuasa dua / Completing the square
Kaedah Rumus Kuadratik / Formula
Membentuk persamaan kuadratik dari[ada
punca-punca yang diberi (𝛼 𝑑𝑎𝑛 𝛽)
Forming quadratic equations from given
roots (𝛼 𝑎𝑛𝑑 𝛽)
Menyeleaikan Ketaksamaan Kuadratik / Solving Quadratic Inequalities
Jenis-jenis punca / Types of Roots
b2-4ac>0
Dua punca nyata dan berbeza
b2-4ac=0
Dua punca nyata yang sama
atau satu punca sahaja
Lakaran Graf Fungsi Kuadratik
Quadratic Function Graph Sketching
Two real and different roots
f(x) = x2 + 2x – 15
Two real and equal roots or only
one root
b2-4ac<0
Tiada punca nyata
No real roots
19
1.
Selesaikan/ Solve.
2𝑥 2 − 10𝑥 + 12 = 0
Jawapan/ Answer:
2.
Selesaikan/ Solve.
3𝑥 2 + 5𝑥 − 2 = 0
(menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua/ by using completing the square
method)
Jawapan/ Answer:
20
3.
Selesaikan/ Solve.
2𝑥 2 = 4𝑥 − 1
(menggunakan rumus kuadratik. Nyatakan jawapan betul kepada 3 tempat
perpuluhan/ by using quadratic formula. State the answer correct to 3 decimal
places)
Jawapan/ Answer:
4.
Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca −
Form the quadratic equation that has roots −
2
3
Jawapan/ Answer:
21
and
3
.
2
2
3
dan
3
.
2
5.
Persamaan kuadratik 𝑥 2 + (𝑝 + 3)𝑥 − 20 = 0 mempunyai punca 5 and -4. Cari nilai
bagi p.
The quadratic equation 𝑥 2 + (𝑝 + 3)𝑥 − 20 = 0 has root of 5 and -4. Find the value
of p.
Jawapan/ Answer:
6.
Jika α and β adalah punca-punca bagi persamaan kuadratik 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0,
bentukkan persamaan kuadratik dengan punca-punca 2α and 2β.
If α and β are the roots of the quadratic equation 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0, form a quadratic
equation that has root of 2α and 2β.
Jawapan/ Answer:
7.
Cari julat bagi nilai x yang memenuhi ketaksamaan 𝑥 2 − 10𝑥 + 21 ≥ 0
Find the range of value of x that satisfies the inequality 𝑥 2 − 10𝑥 + 21 ≥ 0
Jawapan/ Answer:
22
8.
Cari julat bagi nilai x yang memenuhi ketaksamaan (𝑥 − 1)2 > (𝑥 − 1)(2𝑥 + 3)
Find the range of value of x that satisfies the inequality (𝑥 − 1)2 > (𝑥 − 1)(2𝑥 + 3)
Jawapan/ Answer:
9.
Cari julat bagi nilai q jika fungsi kuadratik 𝑥 2 − 𝑞𝑥 + 𝑞 + 3 = 0 tidak mempunyai
punca-punca nyata.
Find the range of value of q if the quadratic equation 𝑥 2 − 𝑞𝑥 + 𝑞 + 3 = 0 does not
have real roots.
Jawapan/ Answer:
10.
Tentukan jenis punca-punca bagi persamaan kuadratik berikut.
Determine the type of roots for the following quadratic equationsI.
a) 3𝑥 2 + 4 = 7𝑥
b) 2𝑥 2 = 4𝑥 − 3
c) 9 = 12𝑥 − 4𝑥 2
Jawapan/ Answer:
23
11.
Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik dengan label A, B dan C. Padankan abjad
A, B dan C dengan fungsi kuadratik yang betul.
Diaram shows the graphs of quadratic function labelled A, B and C. Match the
alphabets A, B and C with the correct function
y
C
B
A
x
Jawapan/ Answer:
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
A
𝑔(𝑥) = 𝑥 2
B
1
ℎ(𝑥) = 𝑥 2
9
12.
C
Nyatakan persamaan paksi simetri bagi graf kuadratik berikut.
State the equation of the axis of symmetry for the following quadratic graphs.
a)
b)
c)
24
Jawapan/ Answer:
a)
b)
c)
13.
Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x). Tentukan fungsi kuadratik tersebut
dalam bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘.
The diagram shows the graph of a quadratic function f(x). Determine the quadratic
function in the form 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘.
Jawapan/ Answer:
25
14.
Diberi fungsi kuadratik 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5
Given the quadratic function 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5
a) Ungkapkan fungsi kuadratik dalam bentuk 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 dimana a, p dan q
adalah pemalar.
Express the quadratic function in the form 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 where a, p and q are
constant.
Jawapan/ Answer:
b)
Tentukan titik maksimum atau minimum dan nyatakan persamaan paksi simetri
bagi f(x).
Determine the maximum or the minimum point and state the equation of axis of
symmetry of f(x).
Jawapan/ Answer:
c)
Lakarkan graf bagi fungsi f(x).
Sketch the graph of the function f(x).
Jawapan/ Answer:
26
JAWAPAN :
No.
BERJAYA DIJAWAB?
(√/X)
JAWAPAN
1
x = 2, x = 3
2
𝑥=3
1
, -2
3
x = 1.707, 0.293
4
6𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = 0
5
𝑝 = −4
6
𝑥 2 + 4𝑥 − 32 = 0
𝑥 ≤ 3, 𝑥 ≥ 7
7
8
−4 < 𝑥 < 1
9
−2 < 𝑞 < 6
a) 2 punca nyata dan berbeza/ 2 real and
distinct roots
b) Tiada punca nyata/ No real root
c) 2 punca nyata dan sama/ 2 real and equal
roots
A = h(x)
B = g(x)
C = f(x)
a) 𝑥 = 2
3
b) 𝑥 = 2
c) 𝑥 = 3
2
𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 1) + 3
10
11
12
13
(a)
(𝑥 − 3)2 − 4
(b)
𝑀𝑖𝑛(3, −4), 𝑥 = 3
14
(c)
Sila imbas QRCode untuk memberi maklum balas tentang
Terima kasih.
27
modul ini.
bab 3
sistem persamaan
SYSTEMS OF
EQUATION
28
NOTES:
SYSTEMS OF
LINEAR
EQUATIONS IN
THREE VARIABLES
SIMULTANEOUS EQUATIONS:
(i) ONE LINEAR EQUATION
(ii) ONE NON-LINEAR EQUATIONS
3 types of solutions:
(i) unique solution
(ii) no solution (0 = k)
elimination
method
substitution
method
elimination
method
(iii) infinite solutions (0 = 0)
substitution
method
graphical
method
Elimination method:
1. Eliminate one variable from any two
equations.
2. You will now have 2 equations with two
variables.
3. Eliminate one variable and solve for another
variable left.
4. Substitute the value obtained in step 3 into
the equation in steps 2 to find the value of
another variable.
5. Substitute the value of the two variables
obtained into any of the original equation to
obtain the third value.
Substitution method:
1. Make one variable as the subject from any
of the equations.
2. Substitute equation obtained in steps 1 into
the other 2 equations.
3. You will now have 2 equations with two
variables.
4. Repeat steps 1 and 2 and solve the equation
to obtain the first value.
5. Substitute the first value into equation in
steps 3 to obtain the second value.
6. Now substitute the first and second value
into original equation to obtain the third
value.
29
NOTA:
SISTEM PERSAMAAN
DALAM TIGA
PEMBOLEHUBAH
PERSAMAAN SERENTAK:
(i) SATU PERSAMAAN LINEAR
(ii) SATU PERSAMAAN BUKAN LINEAR
3 jenis penyelesaian:
(i) penyelesaian unik
(ii) tiada penyelesaian (0 = k)
(iii) penyelesaian tak terhingga
(0 = 0)
kaedah
penghapusan
kaedah
penggantian
kaedah
penghapusan
kaedah
penggantian
kaedah graf
Kaedah penghapusan:
1. Hapus satu pemboleh ubah daripada manamana dua persamaan
2. Sekarang anda akan ada dua persamaan
dengan dua pemboleh ubah.
3. Hapuskan satu pemboleh ubah dan
selesaikan untuk satu lagi pemboleh ubah.
4. Gantikan nilai yang diperoleh dalam
Langkah 3 ke dalam persamaan dalam
Langkah 2 untuk mencari nilai pemboleh
ubah yang satu lagi.
5. Gantikan nilai dua pemboleh ubah yang
telah diperoleh ke dalam mana-mana
persamaan asal untuk memperoleh nilai
pemboleh ubah yang ketiga.
Kaedah penggantian
1. Jadikan satu pemboleh ubah sebagai
perkara rumus dari mana-mana persamaan.
2. Gantikan persamaan yang diperoleh dalam
Langkah 1 ke dalam dua lagi persamaan
sedia ada,
3. Sekarang anda akan ada 2 persamaan
dengan dua pemboleh ubah.
4. Ulang Langkah 1 dan 2 dan selesaikan
persamaan untuk memperoleh nilai
pemboleh ubah yang pertama.
5. Gantikan nilai yang diperoleh dalam
Langkah 4 ke dalam persamaan yang
diperoleh dalam Langkah 4.
6. Sekarang gantikan nilai pemboleh ubah
pertama dan pemboleh ubah kedua ke dalam
persamaan asal untuk memperoleh nilai
pemboleh ubah ketiga.
30
JOM UJI PENGETAHUAN SEDIA ADA ANDA!
1. Dengan menggunakan kaedah penggantian dan penghapusan, selesaikan persamaan
serentak berikut :
By using substitution and elimination method, solve the following simultaneous
equations:
(a) x  7 y  11
(b) 2 x  3 y  20
5x  2 y  18
7 x  2 y  53
(a) Kaedah penggantian
Substitution method
(b) Kaedah penggantian
Substitution method
(a) Kaedah penghapusan
Elimination method
(b) Kaedah penghapusan
Elimination method
2.
Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut:
Solve the following quadratic equations:
(a) 4 x 2  2 x  12  0
(b) 9 x 2  7 x  4  0
31
3. Bentukkan persamaan berdasarkan situasi yang diberikan:
Form equations from the given situations:
(a) Ahmad, Bakar dan Daud membeli beberapa barang untuk persiapan Hari Raya. Ahmad
beli 3 paket coklat masakan, 2 paket kurma dan sekotak gula-gula dengan jumlah harga
RM56. Bakar beli 4 paket coklat masakan, 3 paket kurma dan sekotak gula-gula dengan
jumlah harga RM77. Daud beli 6 paket coklat masakan, sepakat kurma dan 4 kotak gulagula dengan jumlah harga RM83.
Ahmad, Bakar, and Daud bought some items for the preparation of Hari Raya. Ahmad
bought 3 packets of cooking chocolate, 2 packets of dates and a box of candy for RM56.
Bakar bought 4 packets of cooking chocolate, 3 packets of dates and a box of candy for
RM77. Daud bought 6 packets of cooking chocolate, a packet of dates and 4 boxes of
candy for RM 83.
(b) Hipotenus bagi sebuah segi tiga bersudut tegak ialah (2x + 3) cm. Panjang dua sisi lagi
ialah x cm dan (x + y) cm masing-masing. Diberi perimeter segi tiga tersebut ialah 30 cm.
The hypotenuse of a right-angled triangle is (2x + 3) cm. The lengths of two other sides
are x cm and (x + y) cm respectively. Given that the perimeter of the triangle is 30 cm.
(c) Sebuah stadium mempunyai 49000 kerusi. Tiket untuk kerusi dijual RM25 di Bahagian
A, RM20 di Bahagian B dan RM15 di Bahagian C. Bilangan kerusi di Bahagian A
bersamaan dengan jumlah kerusi di Bahagian B dan Bahagian C. Stadium memperolehi
RM1 052 000 untuk suatu acara yang tiketnya terjual habis.
A stadium has 49000 seats. Seats are sold RM25 in Section A, RM20 in Section B and
RM15 in Section C. The number of seats in Section A equals the total number of seats in
Sections B and C. Suppose the stadium earns RM1 052 000 from each sold-out event.
32
JOM MULA!
4. Selesaikan sistem persamaan berikut:
Solve the following systems of equations:
(a) 7 x  5 y  3z  16
3x  5 y  2 z  8
5x  3 y  7 z  0
(b) 2 x  y  z  0
3x  3 y  2 z  3
5x  5 y  z  8
5. Selesaikan sistem persamaan linear berikut. Seterusnya, tentukan sifat penyelesaiannya.
Solve the following system of linear equations. Hence, state the nature of the solution.
4 x  8 y  2 z  14
x  2y  z  3
(a)
(b)  3x  6 y  3z  9
2 x  4 y  z  2
x  2 y  0.5 z  1.5
4 x  8 y  4 z  12
33
6. Selesaikan persamaan serentak berikut:
Solve the following simultaneous equations:
(a) 4 x  y  9
5x 2  y 2  3xy  15
(b) x  3 y  4
x 2  xy  2 y 2  6
(Berikan jawapan anda kepada 4 angka bererti).
(Give your answer to 4 significant figures)
7. Cari koordinat bagi titik persilangan garis y  3x  13 dengan lengkung x 2  y 2  25 .
Find the coordinates of points of intersection on the line y  3x  13 with the curve
x 2  y 2  25
34
8. Selesaikan persamaan serentak berikut dengan menggunakan kaedah graf.
Solve the following simultaneous equations using the graphical representation method.
x  3y  4  0
x  xy  40  0
2
x
-8
-6
-4
-2
Sila tampal kertas graf anda di sini
35
0
2
4
6
9. Rajah di bawah menunjukkan harga bagi set makanan yang mengandungi kopi, nasi
lemak dan donut.
Diagram below shows the prices of set of food that contain coffee, nasi lemak and
doughnut.
RM 22
RM 32
Cari harga bagi segelas kopi, sebungkus nasi lemak dan sebiji donut.
Find the price for a glass of coffee, a packet of nasi lemak and a doughnut.
36
RM 10
10.
Seutas dawai yang panjangnya 60 cm dibengkokkan menjadi sebuah trapezium seperti
dalam rajah di bawah. Trapezium yang terbentuk mempunyai keluasan 228 cm2.
A piece of wire with length 60 cm is bent to form a trapezium as shown in diagram
below. The trapezium formed has an area of 228 cm2.
x cm
y cm
(3x – 2) cm
Cari nilai-nilai x dan nilai-nilai y yang mungkin.
Find the possible values of x and of y.
37
JAWAPAN:
No.
JAWAPAN
(a)
x  4, y  1
(b)
x  7, y  2
(a)
x  2, x 
(b)
x  0.3829, x  1.161
1
3
2
2
(a)
3
3x  2 y  z  56
4 x  3 y  z  77
6 x  y  4 z  83
4 x  y  27
(b)
2 x 2  2 xy  y 2  12 x  9  0
(c)
x  y  z  49000
x yz
25x  20 y  15z  1052000
(a)
x  1, y  3, z  2
(b)
(a)
x  2, y  1, z  3
Tiada penyelesaian
(b)
Penyelesaian tidak terhingga
(a)
(b)
9
x  2, x  1; y  1, y  5
x  2.310, x  9.308; y  0.5635, y  4.436
24 7
(-3, 4) , ( 
, )
5 5
2
x  6, x  5; y   , y  3
3
Kopi = RM5, Nasi Lemak = RM3.50, Donut = RM1.50
10
x  10, x 
4
5
6
7
8
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
29
95
; y  12, y 
10
2
Sila imbas QRCode untuk memberi maklum balas tentang modul ini.
Terima kasih.
38
BAB 4
INDEKS , SURD DAN
LOGARITMA
INDICES, SURD AND
LOGARITHM
39
Notes:
1. 𝑎
𝑚+𝑛
=𝑎 ×𝑎
𝑎
𝑚−𝑛
=
2.
3.
4.
𝑎𝑚
𝑛
𝑎𝑏
𝑚
𝑚
= 𝑎𝑚𝑛
=𝑎 ×𝑏
𝑎𝑚
𝑏
𝑏𝑚
5.
( ) =
6.
𝑎0 = 1
7.
𝑎1 = 𝑎
8.
9.
𝑎𝑛
𝑎 𝑚
1
𝑛
Note:
To simplify, the base /index must be the same.
Examples:
(a)Simplify (i) 𝟏𝟔𝐚𝟐 × 𝟐𝐚𝟑 ÷ 𝟐𝟐 𝐚 𝟐 .
(ii) 𝟖𝒙 × 𝟑𝟑𝒙
𝑛
𝑎𝑚
𝑚
= 24 a2 × 2a3 ÷ 22 a
𝑚
2
= 23
= 24+1−4 a2+3−2 = 2a3
= 63𝑥
𝐧+𝟏
𝐧+𝟐
𝑥
Note:
Use law of indices to simplify equation to either one of the three forms below.
(a)
𝑎 = √𝑎
𝒂𝒎 = 𝒂𝒏
(a) (i) 𝟑𝟐𝒙−𝟒 =
𝐧−𝟏
𝟑𝒙
𝟐𝟕
23
𝑥
(c) 𝒎 = 𝒏
∴ 𝑚 = log 𝑎 𝑛
(ii) 𝟖𝒙 × 𝟑𝟑𝒙 = 𝟔
𝟑𝟐𝒙−𝟒 = 𝟑𝒙−𝟑
𝟑𝟐𝒙 =
(b)
𝟓
32𝑥 × 3𝑥 = 5
2𝑥 − 4 = 𝑥 − 3
𝟔𝟑𝒙 = 𝟔
𝟑𝟑𝒙 = 𝟓
𝑥=1
3𝑥 = 1
𝑥=
𝑎𝑛
∴ log 𝑎 𝑚 = log 𝑎 𝑛
𝟓
𝟑
2𝑥 log10 𝟑 = log10 𝟓 − 𝑥 log10 𝟑
1 log10 5
𝑥= (
3
3 log10 3
1.4313 𝑥 = 0.6990
)
𝑥=
𝑥 = 0.4883
Simplify Expressions
INDICES, SURDS &
LOGARITHMS
Law of Logarithms
Notes:
1. log 𝑎 𝑚𝑛 = log 𝑎 𝑚 + log 𝑎 𝑛
𝑚
𝑛
2. log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑚 − log 𝑎 𝑛
3. log 𝑎 𝑚𝑛 = 𝑛 log 𝑎 𝑚
4. log 𝑎 𝑚 =
6. log 𝑎 1 = 0
log𝑚 𝑚
log𝑚 𝑎
log 2
22
log 8 2 = 3log2
(a) Simplify the following: (ii)
(i) 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟏𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟐𝟕
= log 2 (
123
27
)
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟔−𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟓
=
= log 2 64
= log 2 26
= 6
=
=
√27.√8
)
√125
6
log𝑎 ( )
5
3
6
log
(
)
𝑎
2
5
6
log𝑎 ( )
5
log𝑎 (
3 3
32 .22
3 )
52
6
log𝑎 ( )
5
=
1
log𝑚 𝑎
log
2
= log10 8
10
=
log8 2𝑥
log8 4
=
log8 2+log8 𝑥
log8 4
=
=
1
+𝑡
3
2
3
1+3𝑡
2
=
=
=
log8 32
log8 𝑥
Examples:
Solve the following equations:
(a) 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒙 − 𝟏 = 𝟏 (b) 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝒙 = 𝟏 + 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟓
𝟐
𝐥𝐨𝐠 𝒙 (𝒙−𝟏) = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒙
2
5
( )
3
𝑡
5
3𝑡
=
=
=
1
( )
3
𝑡
− (log 8
−
1
(− 3
1
( )+
2
2
𝑥−1
3𝑡
=𝑥
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
log 8 𝑥)
𝑥−2 𝑥+1 =0
+ 𝑡)
𝑥 ≠ −1,
∴𝑥=2
log 5
log 5 𝑥 − 2 (log5 𝑥) = 1
5
log 5 𝑥
log 5 𝑥
1
5
2
2
− 2 = log 5 𝑥
− log 5 𝑥 − 2 = 0
log 5 𝑥 − 2 log 5 𝑥 + 1 = 0
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝒙 = 𝟐 ,
2
1+𝑡−3𝑡 2
40
∴ 𝑚 = 𝑎𝑛
∴ 𝑚=𝑛
3
log8 2
log8 𝑥
𝑥 = 0.4884
Solve Equations
log𝑎 (
=
0,6990
1.4313
Note:
Use law of logarithm and algebra to simplify equation to
either one of the two forms below.
(a) 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏
(b) 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒎 = 𝒏
(b) Given that 𝒕 = 𝐥𝐨𝐠 𝟖 𝒙, find each of the following in
terms of 𝒕
(i) 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟐𝒙
(ii) 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟑𝟐 (iii) 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟖(𝟏𝟐𝒙)
log𝑏 𝑚
log𝑏 𝑎
5. log 𝑎 𝑎 = 1
7. log 𝑎 𝑚 =
Note:
To simplify, the base must be the same.
Examples:
𝐥𝐨𝐠 𝒂 √𝟐𝟕+𝐥𝐨𝐠 𝒂 √𝟖−𝐥𝐨𝐠 𝒂 √𝟏𝟐𝟓
𝟓
𝟑𝒙
log10 𝟑𝟐𝒙 = log10 ( 𝒙)
3𝑥 = log 3 5
1
𝟑𝟐𝒙 =
(c)
𝟑𝒙
× 33𝑥 = 6
= 37
3𝑛
3
1
(b) 𝒂𝒎 = 𝒏
∴ 𝑚=𝑛
Examples:
Solve the following equations:
× 33𝑥
(b)Show that 𝟑
+𝟑
+𝟑
is divisible by 37 for all
positive integer values of n.
𝟑𝒏+𝟏 + 𝟑𝒏+𝟐 + 𝟑𝒏−𝟏
= 3 3𝑛 + 9 3𝑛 + 13 3𝑛
𝑛
𝑎−𝑛 =
Solve Equations
Simplify Expressions
Law of Indices
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝒙 = −𝟏
𝑥 = 5 = 25, 𝑥 = 5−1 =
SURDS
Law of Surds
1.
a a a
2.
a  b  ab
3.
a
a

b
b
 25
5
2. a)
2  7  2 7
 14
b)
12  4  3
 4 3
2 3
3.
Let A = 3.575757….
Assume,
5  5  5 5
18a
18a

6a
6a
Surd
Conjugate
𝑚 √𝑎
𝑚 √𝑎
𝑚√𝑎 + 𝑛√𝑏
𝑚√𝑎 − 𝑛√𝑏
𝑚√𝑎 − 𝑛√𝑏
𝑚√𝑎 + 𝑛√𝑏
1. 3. 57575757…
A=3+N
Example :
1.
Rationalising the denominators
Convert Recurring Decimals To
Fraction
…①
N = 0.57575757….
…②
100N = 57.575757….
② - ① : 99 N = 57
N=
57
99
2 5
5
1
b.
2 3 5 7

19
N=
33
A=3+
19
33
3. 57575757… = 3
1. Rationalise the denominator and simplify
2
a.
5
Multiply with the
2
5


conjugate surd
5
5
19
33
=
2 3 5 7
1

2 3 5 7
2 3 5 7
=
2 3 5 7
(2 3  5 7)(2 3  5 7)
=
2 3 5 7
(2 3) 2  (5 7) 2
=
2 3 5 7
163
 3
41
Permudahkan Ungkapan
Hukum Indeks
Nota:
1.
𝑎
𝑚+𝑛
= 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛
2.
𝑎
𝑚−𝑛
=
3.
𝑎𝑚
𝑛
4.
𝑎𝑏
𝑚
5.
Nota:
Untuk permudahkan, asas /index mesti kena sama.
Contoh:
(a)Permudahkan (i) 𝟏𝟔𝐚𝟐 × 𝟐𝐚𝟑 ÷ 𝟐𝟐 𝐚 𝟐 .
(ii) 𝟖𝒙 × 𝟑𝟑𝒙
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚𝑛
= 24 a2 × 2a3 ÷ 22 a
= 𝑎𝑚 × 𝑏 𝑚
𝑎 𝑚
𝑎𝑚
𝑏
𝑏𝑚
( ) =
𝑎 =1
7.
𝑎1 = 𝑎
1
𝑛
𝑎 = √𝑎
9.
𝑎−𝑛 =
= 23
= 24+1−4 a2+3−2 = 2a3
= 63𝑥
𝐧+𝟐
𝑥
Note:
Guna hukum indeks untuk permudah persamaan kepada mana-mana dari tiga bentuk di bawah.
𝒂𝒎 = 𝒂𝒏
(a)
(b) (i) 𝟑𝟐𝒙−𝟒 =
𝐧−𝟏
𝟑𝒙
𝟐𝟕
𝟑𝟐𝒙−𝟒 = 𝟑𝒙−𝟑
∴ 𝑚 = log 𝑎 𝑛
(ii) 𝟖𝒙 × 𝟑𝟑𝒙 = 𝟔
23
𝑥
(c) 𝒎 = 𝒏
𝟑𝟐𝒙 =
(b)
𝟓
32𝑥 × 3𝑥 = 5
2𝑥 − 4 = 𝑥 − 3
𝟔𝟑𝒙 = 𝟔
𝟑𝟑𝒙 = 𝟓
𝑥=1
3𝑥 = 1
𝑥=
𝑎𝑛
∴ log 𝑎 𝑚 = log 𝑎 𝑛
𝟓
𝟑
2𝑥 log10 𝟑 = log10 𝟓 − 𝑥 log10 𝟑
1 log10 5
𝑥= (
3
3 log10 3
1.4313 𝑥 = 0.6990
)
𝑥=
𝑥 = 0.4883
INDEKS, SURD &
LOGARITHMA
Hukum Logarithma
Notes:
1. log 𝑎 𝑚𝑛 = log 𝑎 𝑚 + log 𝑎 𝑛
𝑚
𝑛
2. log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑚 − log 𝑎 𝑛
3. log 𝑎 𝑚
𝑛
4. log 𝑎 𝑚 =
= 𝑛 log 𝑎 𝑚
5. log 𝑎 𝑎 = 1
6. log 𝑎 1 = 0
7. log 𝑎 𝑚 =
log 2
22
log 8 2 = 3log2
=
1
log𝑚 𝑎
log
Untuk permudahkan, asas /index mesti kena sama.
𝐥𝐨𝐠 𝒂 √𝟐𝟕+𝐥𝐨𝐠 𝒂 √𝟖−𝐥𝐨𝐠 𝒂 √𝟏𝟐𝟓
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟔−𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟓
= log 2 (
123
27
=
)
= log 2 64
= log 2 26
= 6
√27.√8
)
√125
6
log𝑎 ( )
5
3
6
log𝑎 (5)
2
6
log𝑎 ( )
5
log𝑎 (
=
3 3
32 .22
3 )
52
6
log𝑎 ( )
5
log𝑎 (
=
3
=
2
= log10 8
=
log8 2𝑥
log8 4
=
log8 2+log8 𝑥
log8 4
=
10
=
1
+𝑡
3
2
3
1+3𝑡
2
=
=
=
log8 32
log8 𝑥
2
5
( )
3
𝑡
5
3𝑡
=
=
=
log8 2
log8 𝑥
1
( )
3
𝑡
𝑥 = 0.4884
−
− (log 8
1
(− 3
1+𝑡−3𝑡 2
423𝑡
Nota:
Guna hukum logarithma dan algebra untuk permudahkan
persamaan sama ada satu daripada dua bentuk di bawah.
(a) 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏
(b) 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒎 = 𝒏
∴ 𝑚 = 𝑎𝑛
∴ 𝑚=𝑛
Examples:
Selesaikan setiap persamaan berikut:
(a) 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒙 − 𝟏 = 𝟏 (b) 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝒙 = 𝟏 + 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟓
(b) Diberi 𝒕 = 𝐥𝐨𝐠 𝟖 𝒙, cari setiap yang berikut dalam
sebutan t
(i) 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟐𝒙
(ii) 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟑𝟐 (iii) 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟖(𝟏𝟐𝒙)
log𝑏 𝑚
log𝑏 𝑎
log𝑚 𝑚
log𝑚 𝑎
Note:
(ii)
(a) permudahkan yang berikut:
(i) 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟏𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟐𝟕
0,6990
1.4313
Selesaikan Persamaan
Permudahkan Ungkapan
Contoh:
𝟓
𝟑𝒙
log10 𝟑𝟐𝒙 = log10 ( 𝒙)
3𝑥 = log 3 5
1
𝟑𝟐𝒙 =
(c)
𝟑𝒙
× 33𝑥 = 6
= 37
3𝑛
3
1
(b) 𝒂𝒎 = 𝒏
∴ 𝑚=𝑛
Contoh:
Selesaikan persamaan-persamaan berikut:
× 33𝑥
(b)Tunjukkan 𝟑
+𝟑
+𝟑
boleh dibahagi dengan 37
untuk semua nilai integer positif bagi n.
𝟑𝒏+𝟏 + 𝟑𝒏+𝟐 + 𝟑𝒏−𝟏
= 3 3𝑛 + 9 3𝑛 + 13 3𝑛
𝑛
8.
2
𝐧+𝟏
0
6.
Selesaikan Persamaan
1
( )+
2
+ 𝑡)
log 8 𝑥)
𝟐
)
𝒙−𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒙 (
= 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒙
2
𝑥−1
=𝑥
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
𝑥−2 𝑥+1 =0
𝑥 ≠ −1,
∴𝑥=2
log5 5
)
log5 𝑥
log 5 𝑥 − 2 (
log 5 𝑥
log 5 𝑥
2
2
=1
− 2 = log 5 𝑥
− log 5 𝑥 − 2 = 0
log 5 𝑥 − 2 log 5 𝑥 + 1 = 0
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝒙 = 𝟐 ,
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝒙 = −𝟏
1
𝑥 = 52 = 25, 𝑥 = 5−1 = 5
SURD
Hukum Surd
4.
a a a
5.
a  b  ab
6.
a
a

b
b
 25
5
2  7  2 7
 14
b)
12  4  3
 4 3
2 3
6.
Conjugat
𝑚 √𝑎
𝑚 √𝑎
Let A = 3.575757….
𝑚√𝑎 + 𝑛√𝑏
𝑚√𝑎 − 𝑛√𝑏
𝑚√𝑎 − 𝑛√𝑏
𝑚√𝑎 + 𝑛√𝑏
Andaikan, N = 0.57575757…. …①
5  5  5 5
5. a)
Surd
2. 3. 57575757…
A=3+N
Contoh :
4.
Menisbahkan penyebut
Menukar perpuluhan berulang
kepada pecahan
18a
18a

6a
6a
100N = 57.575757…. …②
Nisbahkan penyebut dan permudahkan
② - ① : 99 N = 57

57
N=
99
N=
A=3+
5
5
2 5
5
1
2 3 5 7

19
33
c.
19
33
3. 57575757… = 3
2

5
=
2 3 5 7
1

2 3 5 7
2 3 5 7
=
2 3 5 7
(2 3  5 7)(2 3  5 7)
=
2 3 5 7
(2 3) 2  (5 7) 2
=
2 3 5 7
163
19
33
 3
43
2
5
Mendarab
dengan surd
conjugat
JOM UJI PENGETAHUAN SEDIA ADA ANDA!
HUKUM INDEKS
1. Permudahkan ungkapan algebra berikut.
Simplify the following algebraic expressions
a)
 pq 
3 2
 p4q6
b)
5 
3n 4
 58n
c)
xy  6 xy 5
2. Tanpa menggunakan kalkulator , hitung nilai setiap yang berikut.
Without using calculator, calculate the value of each the following.
2
3
1
5


b) 9  32  ( 81)3
3
3
2
8
2

256
 
c) (125)  (25)  (625) 4
a)
3. Hitung nilai x untuk setiap yang berikut.
Calculate the value of x for each of the following equations.
1
a) 26  2x  8
b) 25x  125  x
5
44
c)
m 
2 x
 m( x 1)  m2
JOM MULA!
HUKUM INDEKS
4. Permudahkan ungkapan algebra berikut .
Simplify the following algebraic expressions.
a) 16  4 p4  64 p3
b) 6n  6n1  6n2
25h 3
 1 ungkapkan p dalam sebutan h
125 p 1
25h 3
Given
 1 , express p in terms of h
125 p 1
5. Diberi,
6. Diberi 2 p  2 p  2k , ungkapkan p dalam sebutan k.
Given 2 p  2 p  2k , express p in terms of k
45
7. Diberi 32 x  k ,3y  h dan 3y 2 x  7  9x . Ungkapkan k dalam sebutan h.
It is given 32 x  k ,3y  h and 3y 2 x  7  9x . Express k in terms of h.
8. Diberi 3n3  27n  243 , cari nilai n.
Given 3n3  27n  243 , find the value of n.
9. Selesaikan persamaan:
Solve the equation:
3y 2  3y 
8
9
10. Selesaikan persamaan:
Solve the equation:
27(32 x 4 )  1
46
HUKUM SURD
11. Ungkapkan perpuluhan berulang 0.818181…sebagai pecahan termudah.
Express the recurring decimal 0.818181…as a fraction in its simplest form.
12. Ungkapkan perpuluhan berulang 14.633633633…sebagai pecahan termudah.
Express the recurring decimal 14.633633633… as a fraction in its simplest form.
2
1
dalam pecahan tunggal.

2 x 1 2 x 1
2
1
Write
as a single fraction.

2 x 1 2 x 1
13. Tuliskan
47
1
.
5 37 2
1
Rationalise the denominator and simplify
.
5 37 2
14. Nisbahkan penyebut dan permudahkan
15. Nisbahkan penyebut dan permudahkan
6 3
.
9  12
Rationalise the denominator and simplify
48
6 3
.
9  12
HUKUM LOGARITMA
16. Diberi P  log a Q , nyatakan syarat bagi a.
Given P  log a Q , state the conditions of a.
17. Diberi log a 7  r , ungkapkan dalam sebutan r.
Given log a 7  r , express in term of r.
a) log a 49
b) log7 343a 2
18. Diberi log k 2  x dan log k 5  y , ungkapkan log5 8k 2 dalam sebutan x dan y.
Given log k 2  x and log k 5  y , express log5 8k 2 in terms of x and y.
19. Diberi log 2 3  h dan log 2 5  k , ungkapkan log8 45 dalam sebutan h dan k.
Given log 2 3  h and log 2 5  k , express log8 45 in terms of h and k
49
20. Diberi log5 x  h dan log5 y  k , ungkapkan log 5
Given log5 x  h and log5 y  k , express log 5
21. Selesaikan persamaan :
Solve the equation :
1  log 2 ( x  2)  log 2 x
22. Selesaikan persamaan :
Solve the equation :
log3 2  log3 ( x  4)  2
50
x3
dalam sebutan h dan k.
y
x3
in terms of h and k.
y
JAWAPAN:
No.
1
JAWAPAN
12
14
(b)
1
625n
13
2 x 3
4x 1
14
7 2 5 3
23
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
4
(a)
(b)
2
3
x y
4
3
4
1
27
1
16
(a)
17
x3
(b)
x 1
18
x  1
432 p
43(6n )
6
p  k 1
8
2r
2
r
3x  2
y
3
21
22
x
20
9  2h
3
p
211
333
k  2h
3
3h  k
x4
19
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
16  3
23
a  1, a  0
15
5
7
JAWAPAN
1
p2
(a)
3
No.
(a)
(c)
2
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
17
2
7
h 1
n2
k
9
y  2
10
x
11
9
11
Sila imbas QRCode untuk memberi
maklum balas tentang modul ini.
Terima kasih
7
2
51
BAB 5
Janjang
PROGRESSIONS
52
JANJANG
53
JOM MULA!
1. Tentukan sama ada turutan nombor berikut adalah janjang aritmetik atau tidak.
Determine whether each of the following number sequences is an arithmetic
progression or not.
a) 5, 11, 17, 23, ………..
( _________________________ )
b) -20, -50, -30, -35, ………
( __________________________ )
c) 1, 4, 9, 16, …………….
( __________________________ )
d) 2 x  y,4 x  y,6 x  3 y,...........
( __________________________ )
2. Lengkapkan setiap turutan nombor yang diberi untuk membentuk janjang aritmetik.
Complete each of the sequence below to form an arithmetic progression.
a) 2, ___ , 8, ___, 14, 17
b) -2, -5, ___, -11, ___
c) -4, ___, ___, 0.5, 2
d) 2x – 3, 2x – 1, ___, ___, 2x + 5
3. k + 3, 2k + 6 dan 8 adalah 3 sebutan pertama bagi janjang aritmetik. Cari nilai k.
k + 3, 2k + 6 and 8 are the first 3 terms of an arithmetic progression. Find the value of
k.
4. Cari nilai sebutan ke-9 bagi janjang aritmetik.
Find the 9th term of the arithmetic progression.
2, 5, 8, . …
54
5. Cari nilai sebutan ke-11 bagi janjang aritmetik .
Find the 11th term of the arithmetic progression.
5
3, 2, 2, …
6. Diberi bahawa janjang aritmetik 9 + 6x, 9 + 4x, 9 + 2x, … Cari sebutan ke-10 bagi
janjang itu.
Given that arithmetic progression 9 + 6x, 9 + 4x, 9 + 2x, … Find the 10th term of the
progression.
7. Cari bilangan sebutan bagi janjang aritmetik berikut.
Find the number of terms of the arithmetic progression below.
a) 4, 9, 14, … , 64
b) -2, -7, -12, …, -127
8. Cari hasil tambah 12 sebutan pertama bagi janjang aritmetik berikut.
Find the sum of the first 12 terms of the arithmetic progression.
-10, -7, -4, …..
55
9. Cari hasil tambah semua sebutan bagi janjang aritmetik berikut.
Find the sum of all the terms of the arithmetic progression.
38, 31, 24, …, -18
10. Cari hasil tambah 15 sebutan yang pertama bagi janjang aritmetik 11, 4, -3, -10, …
Find the sum of the first 15 terms of the arithmetic progression 11, 4, -3, -10, …
11. Bagi janjang aritmetik -4, 1, 6, …, cari hasil tambah sebutan ke 6 sehingga sebutan ke
14.
For the arithmetic progression, -4, 1, 6, …, find the sum of all the terms from the 6th term
to the 14th term.
12. Tentukan bahawa turutan nombor berikut merupakan janjang geometri.
Determine whether each of the following sequence number is a geometric progression.
a) -8, 4, -2, …
( _______)
b) 5, 11, 17, 23, …
( _______)
c) 16, -8, 4, …
( _______)
1
2
4
d) 3 𝑥, 9 𝑥, 27 𝑥, …
( _______)
56
13. Cari nilai x bagi janjang geometri berikut.
Find the value of x for the following geometric progression.
a) x, x+4, 2x + 2, …
b) x + 3, 5x + 3, 7x + 3, …
14. Cari sebutan ke-7 bagi janjang geometri -8, 4, -2, …
Find the 7th term of the geometric progression -8, 4, -2, …
15. Cari nilai sebutan ke-10 bagi janjang geometri a5, a4b, a3b2, …
Find the 10th term of the geometric progression a5, a4b, a3b2, …
16. Cari bilangan sebutan bagi janjang geometri berikut.
Find the number of terms for each following geometric progression.
1
4 2
81
a) 64, -32, 16, …, − 8
b) 9, 3, 1, …, 16
57
17. Cari hasil tambah 7 sebutan pertama bagi janjang geometri berikut.
Find the sum of first 7 terms of the following geometric progression.
1
2
4
a) 2, -4, 8, …
b) 5, 10, 20, …
c) 3 𝑥, 9 𝑥, 27 𝑥, …
1
27
18. Sebutan pertama dan ke-4 bagi sebuah janjang geometri adalah 2 dan 128. Cari nilai
nisbah sepunya.
1
27
The 1st and the 4th term of geometric progression are 2 and 128. Find the value of the
common ratio.
2
19. Cari hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang geometri 6, -2, 3, …
2
Find the sum to infinite of geometric progression 6, -2, 3, …
58
20. Hasil tambah ketakterhinggan bagi janjang geometri adalah 8. Diberi bahawa sebutan
pertama adalah 2. Cari
The sum to infinity of geometric progression is 8. Given that the first term is 2. Find
i) nisbah sepunya/ the common ratio
ii) sebutan ke-3 / the 3rd term
243
21. Sebutan ke-3 dan sebutan ke-6 bagi sebuah janjang geometri ialah 45 dan 25 . Cari
nilai sebutan yang pertama dan nisbah sepunya.
243
The 3rd term and the 6th term of a geometric progression is 45 and 25 . Find the value
of the first term and the common ratio.
22. Diberi A = 0.565656… adalah perpuluhan berulang. Ungkapkan A sebagai pecahan
yang termudah.
Given A = 0.565656… is a recurring decimal. Express A as a fraction in its simplest
form.
59
JAWAPAN :
JAWAPAN
No.
1
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
2
(c)
(d)
Ya / Yes
Tidak / No
Tidak / No
Ya / Yes
5, 11
-8,-14
4
5
6
26
-2
7
(b)
8
9
10
11
13
2x+1, 2x + 3

No.
12
-2.5, -1
3
(a)
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
1
3
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
Ya / Yes
Tidak / No
Ya / Yes
Ya / Yes
8 , -2
(b)
0,-3
15
b9
a4
(a)
(b)
(a)
(b)
(c)
18
78
19
90
(a)
20
-570
(b)
369
1
8

17
26
1
14
16
9 – 12x
13
JAWAPAN
21
22
10
7
86
635
2059
x
2187
3
4
9
2
3
4
9
8
3
125 ,
5
56
99
Sila imbas QRCode untuk memberi maklum balas tentang modul ini.
Terima kasih.
60
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
BAB 6
HUKUM LINEAR
LINEAR LAW
61
JOM UJI PENGETAHUAN SEDIA ADA ANDA!
NOTA
1. Graf bagi fungsi linear y = mx + c ialah satu garis lurus.
The graph of a linear function y = mx + c is a straight line.
1. Nyatakan kecerunan, m dan pintasan-y, c bagi setiap garis lurus berikut.
State the gradient, m and the y-intercept, c of each of the following straight lines.
(a) 2y = –3x + 8
(b) y = 2x – 7
(c) y = –5x + 6
(d) 5y = 3x + 15
(e) 2y = –x – 5
(f) –3y = –2x + 4
62
GARIS PENYESUAIAN TERBAIK
NOTA
1. Garis lurus penyesuaian terbaik ialah satu garis lurus yang paling baik mengungkapkan
hubungan antara titik-titik data.
A line of best fit is a straight line that best expresses the relationship between a set of
data points.
2. Garis lurus penyesuaian terbaik mempunyai ciri-ciri berikut:
Line of best fit have the following characteristics:
(a) Garis lurus itu melalui seberapa banyak titik yang mungkin.
It passes through as many points as possible.
(b) Titik-titik berterabur secara seimbang di kiri dan kanan garis lurus itu.
Points are evenly distributed on both the left and right sides of the lines.
2. Plot graf bagi nilai pemboleh ubah dalam setiap jadual berikut dan lukis garis lurus
penyesuaian terbaik dalam setiap kes berikut.
Plot a graph of the variable for each of the following tables and draw the line of best
fit in each case.
(a) Plot graf √y melawan x2.
Plot a graph of √𝑦 against x2.
x2
0
1
2
3
4
√𝒚
–2
3
8
13
18
Sila lekatkan kertas graf (jawapan) anda disini.
63
(b) Plot graf log10 𝑞 melawan log10 𝑝.
Plot a graph of log10 𝑞 against log10 𝑝.
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒑
2
4
6
8
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒒
1.34
2.13
2.55
3.32
Sila lekatkan kertas graf (jawapan) anda disini.
(c) Plot a graph of x2y against x.
Plot graf x2y melawan x.
x
2
4
6
8
10
x2y
24.96
45.12
64.44
85.12
105.0
Sila lekatkan kertas graf (jawapan) anda disini.
64
(d) Plot graf ln y melawan x.
Plot a graph of ln y against x.
x
1
2
3
4
5
ln y
10.4
9.51
8.55
7.62
6.69
65
3. Tuliskan persamaan garis lurus penyesuaian terbaik bagi graf berikut.
Write the equation of the straight line of best fit of the following graphs.
(a)
𝑦
𝑥
(8, 4)
x
0
(–4, 0)
(b)
y
(8, 7)
(0, 1)
log10 x
0
66
HUKUM LINEAR DAN HUBUNGAN TAK LINEAR
NOTA
1. Suatu persamaan tak linear boleh ditukarkan kepada bentuk linear Y = mX + C
dengan keadaan Y dan X ialah fungsi dalam x dan/atau y.
A non-linear equation can be reduced to linear form Y = mX + C where X and Y are
the functions of x and/or y.
4. Tukarkan setiap persamaan tak linear berikut kepada bentuk linear Y = mX + c
berdasarkan pembolehubah dalam kurungan. Seterusnya, nyatakan X, Y, m dan c.
Reduce each of the following non-linear equations to linear form Y = mX + c based on
the variable in the bracket. Hence, state X, Y, m and c.
(a)
(b)
y = 4x – 9x
3
(c)
𝑦=
2
2
√𝑥 3
[c = 4]
𝑝
𝑥
where k and p are constant.
dengan keadaan k dan p ialah pemalar.
𝑦 = 𝑘𝑥 2 +
[X = x3]
(d)
y = q(5)–rt
where q and r are constant.
dengan keadaan q dan r ialah pemalar.
+ 𝑛𝑥
where n is a constant.
dengan keadaan n ialah pemalar.
𝑦
[Y = 𝑥 ]
67
[X = t]
(e)
(f)
2
2
4
𝑦 = 3𝑥 (7 − 𝑥)
ey = rxt
[m = 21] where r and t are constant.
dengan keadaan r dan t ialah pemalar.
(g)
(h)
2
xy = 1
𝑥√𝑦 = 8
2
[Y = y ]
(i)
(j)
y2 = pbx
[X = x]
𝑦=
68
𝑝𝑥 2 +𝑞
𝑥
[Y = y]
1
[X = 𝑥]
[m = p]
5. Express y in terms of x of the following non-linear graphs.
(b) 1
(a)
𝑦
lg y
(–2, 1)
(8, 9)
(–6, 0)
lg x
0
(5, 0)
0
x
The diagram shows a straight line of best fit of graph A = 10 – 2C. Find the value of p and
q.
A
(1, p)
0
(q, 0)
C
69
APPLIKASI HUKUM LINEAR
6. Selesaikan setiap masalah yang berikut.
Solve each of the following problem.
(a) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai daripada experimen mengenai jarak
dilalui, s meter, dan masa yang diambil, t saat, oleh suatu zarah.
The table shows the experimental values of the distance travelled, s metres, and
time taken, t seconds, by a particle.
t
s
2
3.9
4
20
6
48
8
88
10
141
Diketahui bahawa s dan t dihubungkan oleh persamaan s = pt2 + qt, dengan keadaan
p dan q ialah pemalar yang perlu ditentukan.
It is known that s and t are related by the equation s = pt2 + qt, where p and q are
constants to be determined.
(i)
Tukarkan persamaan linear tak linear tersebut kepada persamaan linear.
Convert the non-linear equation to a linear equation.
(ii)
Gunakan skala 2 cm kepada 2 s pada paksi-t dan 2 cm kepada 2 ms-1 pada
𝑠
𝑠
paksi-𝑡 , plot 𝑡 melawan t dan lukis garis lurus penyesuaian terbaik.
Use a scale of 2 cm to 2 s on the t-axis and 2 cm to 2 ms-1 on the
𝑠
𝑠
-axis, plot 𝑡 against t and draw the line of best fit.
𝑡
(iii)
Daripada graf yang diperolehi, tentukan nilai p dan q.
From the graph obtained, determine the values of p and q.
(iv)
Terangkan keertian kecerunan garis lurus itu.
Explain the significance of the gradient of the straight line.
(v)
Tanpa membuat sebarang pengiraan lanjutan, cari
Without further calculation, find
(a) halaju awal/the initial velocity,
(b) pecutan/the acceleration/.
70
(b) Tekanan pada bukaan paip, P, dan halaju aliran air yang sepadan, v direkodkan.
Persamaan yang menghubungkan P dan v ialah v = kPq, dengan keadaan k dan q ialah
pemalar. Bacaan adalah seperti berikut.
The pressure at the opening of the pipe, P, and the corresponding velocities of the flow
of water, v, are recorded. The equation relating P and v is v = kPq, where k and q are
constants. The readings are as follows.
P
10.6
13.3
17.2
24.7
29.3
v
9.8
11.0
12.4
14.9
16.3
(i)
Gunakan skala 2 cm kepada 0.2 unit paksi-log10P dan 2 cm kepada 0.2 unit paksilog10v, plot log10v melawan log10P dan seterusnya lukis garis lurus penyesuaian
terbaik.
Use a scale of 2 cm to 0.2 unit on the log10P-axis and 2 cm to 0.2 unit on the
log10v-axis, plot log10v against log10P and hence draw the line of best fit.
(ii)
Daripada graf dalam (b)(i), tentukan nilai k dan q.
From the graph of (b)(i), determine the values of k and q.
(iii)
Seterusnya, cari nilai
Hence, find the value of
(a) v apabila P = 9.2,
v when P = 9.2,
(b) P apabila v = 7.6.
P when v = 7.6.
71
JAWAPAN :
SOALAN
1.
JAWAPAN
3
,c=4
2
(a)
m= −
(b)
(c)
m = 2, c = –7
m = –5, c = 6
(d)
m=
(e)
m= −
(f)
m=
3
,c=3
5
5
1
,c=−
2
2
2
4
,c= −
3
3
(a)
2.
(b)
(c)
(d)
72
BOLEH
DIJAWAB? (√/X)
(a)
𝑦 1
4
= 𝑥+
𝑥 3
3
(b)
𝑦=
3
log 𝑥 + 1
4 10
(a)
𝑌=
𝑦
1
, 𝑋 = , 𝑚 = −9
3
𝑥
𝑥
3.
𝑌 = 𝑥𝑦, 𝑚 = 𝑘, 𝑐 = 𝑝
(b)
𝑋=
(c)
(e)
= 2, 𝑐 = 𝑛
𝑋 = ln 𝑥 , 𝑚 = 𝑡, 𝑐 = ln 𝑟
(f)
(h)
1
, 𝑚 = 1, 𝑐 = 0
𝑥
𝑌 = √𝑥, 𝑚 = 8, 𝑐 = 0
(i)
𝑌 = log10 𝑦 , 𝑚 =
𝑋=
(g)
log10 𝑏
log10 𝑝
,𝑐 =
2
2
𝑌 = 𝑥𝑦, 𝑋 = 𝑥 2 , 𝑐 = 𝑞
(j)
(i)
(ii)
5
5,𝑚
𝑥2
𝑌 = log10 𝑦 , 𝑋 = 𝑡, 𝑚 = −rlog10 5 , 𝑐
= log10 𝑞
𝑦
𝑌 = , 𝑋 = 𝑥, 𝑐 = −12
𝑥
(d)
4
1
𝑠
= 𝑝𝑡 + 𝑞
𝑡
t
2
𝑠
1.95
𝑡
4
6
8
10
5
8
11
14.1
(a)
p = 1.5
q = –1
The gradient of the straight line is the rate of
(iv) change of velocity (acceleration) which is 1.5 ms–
2
.
(iii)
73
(v)
Initial velocity is –1 ms–1.
The acceleration is 1.5 ms–2.
log10P
log10v
1.03
0.99
1.12
1.04
1.24
1.09
1.39
1.17
1.47
1.21
(i)
(b)
k = 3.162
q = 0.49
v = 9.12
(iii)
P = 6.03
(ii)
Sila imbas QRCode untuk memberi maklum balas tentang
modul ini.
Terima kasih.
74
BAB 7
GEOMETRI KOORDINAT
Coordinate
geometry
75
Gradient of a straight line
Midpoint or point that divides a line
segment according to a given ratio
Distance between two points
Distance of two points (x1, y1) and (x2, y2)
= √(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 )𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 )𝟐
1. Midpoint of two points (x1, y1) and (x2, y2)
𝒙𝟏 +𝒙𝟐 𝒚𝟏 +𝒚𝟐
=( 𝟐 , 𝟐 )
2. Point (𝑥, 𝑦) divides the line segment joining
points (𝑥1 , 𝑦1 ) and (𝑥2 , 𝑦2 ) with a ratio of m: n.
n
m
•
(𝑥1 , 𝑦1 )
COORDINATE
GEOMETRY
𝒙=
𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙𝟏
𝒎+𝒏
𝒚=
𝒎𝒚𝟐 + 𝒏𝒚𝟏
𝒎+𝒏
2. Give the equation of the
straight line y =mx + c
1. Area of the triangle
•(𝑥1 , 𝑦1 )
(𝑥2 , 𝑦2 )
•
- will be negative when orientation of points is clockwise.
- will be positive when orientation of points is anticlockwise
Equation of a straight line
Point of intersection of 1. in gradient form : y =mx + c where
m = gradient, c = y-intercept.
two lines
2. in intercept form:
𝒙
𝒂
𝒚
+ =𝟏
(𝑥3 , 𝑦3 )
•
4 , 𝑦4 )
•
Equation of locus
Example: A(2, –4), B(5, 7) and P are three points such that
PA : PB = 1 : 2. Find the equation of the locus of P.
Parallel and perpendicular lines
2. Line y =m1x + c1 is
perpendicular
to line y = m2x + c2
•
(𝑥
𝒃
3. in general form : ax + by + c = 0
𝑷𝑨
} m1 =m2
} m1.m2= – 1
•
(𝑥2 , 𝑦2 )
2. Area of the quadrilateral
𝒙
𝒙
𝒙
𝒙
𝒙
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
= 𝟐 |𝒚 𝒚 𝒚 𝒚 𝒚 |
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
𝟏
= 𝟐 | (𝒙𝟏 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝒙𝟑 𝒚𝟒 + 𝒙𝟒 𝒚𝟏 ) − (𝒙𝟐 𝒚𝟏 + 𝒙𝟑 𝒚𝟐 + 𝒙𝟒 𝒚𝟑 + 𝒙𝟏 𝒚𝟒 )|
where
a = x-intercept, b = y-intercept
1. Line y =m1x + c1 is parallel
to line y = m2x + c2
(𝑥3 , 𝑦3 )
𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟏
= 𝟐 |𝒚 𝒚 𝒚 𝒚 |
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟏
(𝒙𝟏 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝒙𝟑 𝒚𝟏 ) − (𝒙𝟐 𝒚𝟏 + 𝒙𝟑 𝒚𝟐 + 𝒙𝟏 𝒚𝟑 )|
= 𝟐 |⏟
(𝑥1 , 𝑦1 )•
Solve the equations of the
two lines simultaneously
} gradient = m
Area of polygons
•(𝑥2 , 𝑦2 )
•(𝑥, 𝑦)
1. Given two points on the line
𝟐
} 𝒎 = 𝒚𝒙𝟏𝟏−𝒚
(x1, y1) and (x2, y2).
−𝒙𝟐
𝑷𝑩
76
=
𝟏
𝟐
2PA = PB
Steps:
1. Let P(x,y)
2. Use the info. to
form an equation
𝟐√(𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟒)𝟐 = √(𝒙 − 𝟓)𝟐 + (𝒚 − 𝟕)𝟐
3x2 + 3y2 – 6x + 46y + 6 = 0
3. Simplify
Jarak antara dua titik
1. Titik Tengah bagi dua titik (x1, y1) dan (x2, y2)
𝒙𝟏 +𝒙𝟐 𝒚𝟏 +𝒚𝟐
=( 𝟐 , 𝟐 )
2. Titik (𝑥, 𝑦) membahagi tembereng garis joining
points (𝑥1 , 𝑦1 ) and (𝑥2 , 𝑦2 ) dengan nisbah m: n.
n
m
•
2. Diberi persamaan bagi garis } kecerunan
lurus y =mx + c
=m
Luas poligon
•(𝑥2 , 𝑦2 )
•(𝑥, 𝑦)
(𝑥1 , 𝑦1 )
Jarak antara dua titik (x1, y1) dan (x2, y2)
= √(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 )𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 )𝟐
1. Diberi dua titik di atas garisan
(x1, y1) and (x2, y2).
𝒙=
𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙𝟏
𝒎+𝒏
𝒚=
𝒎𝒚𝟐 + 𝒏𝒚𝟏
𝒎+𝒏
GEOMETRI
KOORDINAT
2. Luas segitiga
•(𝑥1 , 𝑦1 )
(𝑥2 , 𝑦2 )
•
𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟏
= 𝟐 |𝒚 𝒚 𝒚 𝒚 |
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟏
|
(𝒙
= 𝟐 ⏟ 𝟏 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝒙𝟑 𝒚𝟏 ) − (𝒙𝟐 𝒚𝟏 + 𝒙𝟑 𝒚𝟐 + 𝒙𝟏 𝒚𝟑 )|
- akan jadi negatif apabila orientasi titik mengikut arah jam.
- akan jadi positif apabila orientasi titik lawan arah jam.
(𝑥1 , 𝑦1 )•
Persamaan garis lurus
• ,𝑦 )
(𝑥
4 4
(𝑥3 , 𝑦3 )
•
(𝑥3 , 𝑦3 )
•
• ,𝑦 )
(𝑥
2 2
1. Dalam bentuk kecerunan : y =mx + c 2. Luas segiempat
Titik persilangan bagi dua
𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟏
di mana
= 𝟐 |𝒚 𝒚 𝒚 𝒚 𝒚 |
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
garis
𝟏
m = kecerunan, c = persilangan-y.
= 𝟐 | (𝒙𝟏 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝒙𝟑 𝒚𝟒 + 𝒙𝟒 𝒚𝟏 ) − (𝒙𝟐 𝒚𝟏 + 𝒙𝟑 𝒚𝟐 + 𝒙𝟒 𝒚𝟑 + 𝒙𝟏 𝒚𝟒 )|
Selesaikan persamaan bagi
𝒙
𝒚
dua garis secara serentak. 2. Dalam bentuk persilangan: + = 𝟏
𝒂
𝒃
di mana
a = persilangan-x, b = persilangan-y
3. Dalam bentuk am : ax + by + c = 0
Persamaan Lokus
Contoh : A(2, –4), B(5, 7) dan P adalah 3 titik yang mana
PA : PB = 1 : 2. Cari persamaan lokus bagi P.
Garis selari dan serenjang
1. Garis y =m1x + c1 selari
dengan garis y = m2x + c2
2. Garis y =m1x + c1 adalah
serenjang
dengan garis y = m2x + c2
} m1 =m2
𝑷𝑨
𝑷𝑩
} m1.m2= – 1
=
Langkah-langkah:
1. Andaikan P(x,y)
𝟏
2. Gunakan info
𝟐
2PA = PB
77
𝟐√(𝒙 −
3x2
+
𝟐)𝟐
3y2
+ (𝒚 +
𝟒)𝟐
= √(𝒙 −
– 6x + 46y + 6 = 0
𝟓)𝟐
+ (𝒚 −
𝟕)𝟐
untuk membentuk
persamaan
3. Permudahkan
JOM UJI PENGETAHUAN SEDIA ADA ANDA!
Hitung jarak, titik tengah dan kecerunan antara dua titik yang diberikan. Berikan jawapan anda betul
kepada dua tempat perpuluhan.
Calculate the distance, midpoint and gradient between the two points given. Give your answer correct to
two decimal places.
1.
A(0, 2) and B(4, 6)
2.
A(-1, 3) and B(-3, -5)
Tukarkan semua persamaan linear di bawah kepada bentuk umum. Seterusnya tentukan kecerunan, m dan
pintasan-y, c.
Covert all the linear equation below to general form. Hence determine the gradient, m and y-intercept, c.
3.
x=y+5
4.
x+y=7
5.
2y = x – 3
6.
3y = x + 6
7.
𝑦
=𝑥+3
7
8.
𝑥
=𝑦+3
7
78
JOM MULA!
9. Rajah di bawah menunjukkan titik B membahagikan garis AC dalam nisbah AB : BC = 3 :
2.
The diagram below shows point B which divides straight line AC in the ratio
AB : BC = 3 : 2.
y
A(-11,5)
B
C(4, 0)
x
Cari koordinat B.
Find the coordinate of point B.
10. Diberi titik A(-2, -1) dan B(5, -6). Jika B ialah titik tengah AC, cari koordinat titik C.
Given that A(-2, -1) and B(5,-6). If B is the midpoint of AC, find the coordinate of point
C.
11. Diberi bahawa garis lurus y = (p + 2)x – 3 adalah selari dengan 5x + y = 13. Cari nilai
bagi p.
Given that the straight line y = (p + 2)x – 3 is parallel to 5x + y = 13. Find the value of
p.
79
12. Diberi titik-titik P(3, 1), Q(4,5) dan R(-11, -2). Cari luas bagi segitiga PQR.
Given that P(3, 1), Q(4,5) and R(-11, -2). Find the area of triangle PQR.
13. Titik P bergerak dari A(5, -4) dengan keadaan jaraknya sentiasa 3 unit. Cari persamaan
lokus titik P.
Point P moves such that its distance from A(5, -4) is always 3 units. Find the equation of
locus of P.
14. Satu titik R bergerak dengan keadaan sentiasa sama jarak dari titik K (3,2) dan L (2,1).
Cari persamaan lokus titik R.
A point R moves such that it is equidistant from points K (3,2) and L (2,1). Find the
equation of the locus R.
15.
Maklumat di bawah merujuk kepada dua persamaan garis lurus AB dan HK yang
saling berserenjang antara satu sama lain.
The following information refers to the equations of two straight lines, AB and HK, which
are perpendicular to each other.
AB: y = px + b
HK: y = (b – 2) x + p
p dan b adalah pemalar
p and b are constants
Ungkapkan p dalam sebutan b
Express p in terms of b.
80
16. Diberi titik-titik P(-3, 2), Q(4, -3), R(1, 5) dan S(6, p). Luas segi tiga PQR adalah sama
dengan luas segi tiga PQS. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi p.
Given the points P(-3, 2), Q(4, -3), R(1, 5) and S(6, p). The area of triangle PQR is same
as the area of triangle PQS. Find the possible values of p.
17. Titik W berada 12 cm dari titik A di sepanjang tembereng garis AB dengan panjang 18 cm.
Cari nisbah :
Point W is 12 cm from point A along the line segment AB with the length of 18 cm. Find
the ratio :
a)
b)
AW : AB
AW : WB
18. DEF ialah sebuah segi tiga dengan bucu D(3, 5), E(-5, 9) dan F(a, a + 2). Cari nilai-nilai
yang mungkin bagi a jika luas segi tiga DEF ialah 18 unit².
DEF is a triangle with vertices D(3, 5), E(-5, 9) and F(a, a + 2). Find the possible values
of a if the area of triangle DEF is 18 units².
81
19.
Persamaan suatu garis lurus ialah 3x  y  2  0 . Cari
The equation of a straight line is 3x  y  2  0 . Find
(a) kecerunan bagi garis lurus itu,
the gradient of the straight line,
(b) persamaan garis lurus yang berserenjang dengan 3x  y  2  0 dan melalui (0, 2)
the equation of the straight line which is perpendicular to the line 3x  y  2  0 and
passes through (0, 2).
20.
Rajah menunjukkan garis lurus JQ dan PR yang berserenjang pada titik Q. Garis lurus JQ
menyilang paksi-x pada titik J dan PR menyilang pada titik Q. Diberi persamaan garis lurus
JQ ialah 2 y  3x  4  0 .
The diagram shows straight lines JQ and PR which perpendicular at point Q. The straight
line JQ intersecting on x-axis at point J and PR intersect at point Q. Given the equation of
straight line JQ is 2 y  3x  4  0 .
y
P
Q
R
J
O
a) Nyatakan koordinat Q
State the coordinates of Q
b) Cari persamaan garis lurus PR.
Find the equation of straight line PR
82
x
21. Titik-titik P, Q dan R masing-masing mempunyai koordinat (-5,-2), (1,4) dan (3,6). Jika
titik Q membahagi garis lurus PQR dengan nisbah k : 1, cari nilai k.
Coordinates of point P, Q and R are (-5,-2), (1,4) dan (3,6) respectively. If point Q divides
the straight line PQR with ratio k:1, find the value of k.
22.
Diberi garis lurus 4x  3 y  6  0 adalah selari dengan garis lurus y  mx  n yang melalui
titik (-12, 5), cari nilai m dan n.
Given the straight line 4x  3 y  6  0 is parallel with the straight line y  mx  n which
passes through point (-12, 5), find the value of m and n.
83
23.
Rajah menunjukkan satu garis lurus AB yang melalui titik (-3, 0) dan (0, 5).
Diagram shows a straight line AB that passes through points (-3, 0) and (0, 5).
y
B
O
A
x
x y
 1.
a b
x y
State the equation of straight line AB in form of   1
a b
b) Satu titik P(x,y) yang bergerak dengan keadaan PA = PB. Cari persamaan lokus bagi P.
Point P(x,y) move such that PA=PB. Find the equation of locus of P.
a) Tulis persamaan garis lurus AB dalam bentuk
84
24. Penyelesaian secara lukisan berskali tidak diterima.
Solutions by scale drawing is not accepted.
Rajah menunjukkan segi tiga ABD. Sisi BD bersilang dengan paksi-y pada titik C.
Diagram shows a triangle ABD. Side BD intersects the y-axis at point C.
y
D (-5, 9)
●
●
C (0, 4)
●B
O
x
●
A (-2, -4)
a) Diberi BC : CD = 2 : 7, cari
Given BC : CD = 2 : 7, find
(i) koordinat B,
the coordinates of B,
(ii) persamaan garis lurus AB
the equation of the straight line AB
(iii) luas, dalam unit2, segi tiga ABD
the area, in unit2, of triangle ABD
b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik D adalah sentiasa dua kali jaraknya dari
titik A. Cari persamaan lokus P.
Point P moves such that its distance from point D is always twice its distance from point A.
Find the equation of the locus P.
85
JAWAPAN :
No.
JAWAPAN
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
Jarak / Distance = 5.66
Titik tengah / Midpoint = (2, 4)
Kecerunan / Gradient = 1
Jarak / Distance = 8.25
Titik tengah / Midpoint =
(-2, -1)
Kecerunan / Gradient = 4
y=x-5
m=1
c = -5
y = -x + 7
m = -1
c=7
1
2
3
4
No.
(b)
18
JAWAPAN
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
AW : WB =2:1
a=0, a=8
(a)
3
(b)
1
y  x2
3
(a)
(0, 2)
19
x 3

2 2
1
3
m , c
2
2
x
y  2
3
1
m , c2
3
20
7
y = 7x + 21
m=7
c = 21
21
k=3
8
x
3
7
1
m  , c  3
7
22
4
𝑚=− ,
3
𝑛 = −11
y
5
6
2
𝑦 =− 𝑥+2
3
(b)
y
(-2, 2)
9
23
C(12, -11)
p = -7
10
11
(b)
26.5 unit2
12
(a)
24
x2 + y2 – 10x + 8y +32 = 0
𝑦 =4−𝑥
13
14
1
2b
10
70
p ,p
7
7
p
16
(a)
x y
 1
3 5
3x  5 y  8  0
(i) B (2,2)

((ii) y 
3
x 1
2
(iii) 35
(b)
15
17
(a)
3x2+3y2+6x+50y26=0
Sila imbas QRCode untuk
memberi maklum balas tentang
modul ini.
Terima kasih.
AW : AB = 2:3
86
BAB 8
Vektor
VECTOR
87
VEKTOR
Diberi 𝑎 dan 𝑏 ialah vektor bukan sifar dan
~
~
tidak selari. Cari nilai m dan n jika
(m – 2n – 3)𝑎– (2m – n – 3)𝑏= 0
~
~
Given 𝑎 and 𝑏 are non-zero and non-parallel
~
Vektor Selari / Parallel Vector
~
vector. Find the value of m and n if
(m – 2n – 3)𝑎– (2m – n – 3)𝑏= 0
~
~
Penambahan dan Penolakan Vektor Tidak Selari / Addition and Subtraction of non-Parallel Vector
HUKUM SEGITIGA /
TRIANGLE LAW
HUKUM SEGI EMPAR SELARI /
PARALLELOGRAM LAW
Vektor Dalam Satah
Cartes
Vectors in Catersian
Plane
88
HUKUM POLIGON
POLYGON LAW
1.
Grid segiempat sama berikut menunjukkan vector 𝑢 dan 𝑣.
~
~
The following square grid shows the vectors 𝑢 and 𝑣.
~
~
Pada grid segiempat sama dibawah, lukis dan labelkan dengan jelas garisan berarah
yang mewakili vektor
On the given square grid below, draw and label clearly directed line segment that
represent the vector
a)
−2𝑣
b)
0.5𝑢
c)
𝑢+𝑣
d)
2𝑣 − 3𝑢
~
~
~
~
~
~
Jawapan/ Answer:
89
2.
⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝑎 , 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑏, 2𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ dan BP : PA = 2:3.
Dalam rajah berikut, 𝑂𝐴
~
~
⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝑎, 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑏, 2𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ and BP : PA = 2:3.
In the following diagram, 𝑂𝐴
~
~
Cari vector berikut dalam sebutan 𝑎 dan 𝑏.
~
~
Find each of the following vectors in terms of 𝑎 and 𝑏.
~
a)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵
b)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑃
c)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃
Jawapan/ Answer:
90
~
3.
⃗⃗⃗⃗⃗ dalam bentuk
Ungkapkan 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ in the form of
Express 𝑂𝐵
a)
xi  y j
b)
 x
 
 y
Jawapan/ Answer:
4.
Cari/ Find
a)
𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 dan tulis dalam bentuk (𝑦) dan 𝑥 𝑖 + 𝑦𝑗 .
~
~
𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗ and write it in the form of ( ) and 𝑥 𝑖 + 𝑦𝑗 .
𝐴𝐵
𝑦
~
~
b)
Magnitud bagi/ The magnitude of ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
c)
Unit vector dalam arah/ The unit vector in the direction of ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
Jawapan/ Answer:
91
5.
−8
−2
) dan 3𝑝 − 2𝑞 = ( ), cari |𝑞 |.
−3
1
~
~
~
Diberi bahawa 𝑝 = (
~
−8
−2
Given that 𝑝 = ( ) and 3𝑝 − 2𝑞 = ( ), find |𝑞 |.
−3
1
~
~
~
~
Jawapan/ Answer:
6.
Tentukan vector yang sama dalam setiap rajah berikut.
Determine the vectors that are equal in each of the following diagram.
a)
b)
Jawapan/ Answer:
92
7.
Tentukan vektor negatif seperti yang ditunjukkan dalam setiap rajah berikut.
Determine the negative vectors as shown in each of the following diagram.
a)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝑌
b)
⃗⃗⃗⃗
𝑆𝑇
c)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷
d)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑊
Jawapan/ Answer:
8.
Nyatakan vektor berikut dalam sebutan 𝑒 atau 𝑓.
~
~
State the following vectors in term 𝑒 or 𝑓 .
~
~
a)
b)
Jawapan/ Answer:
93
i)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 =
ii)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 =
i)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 =
ii)
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑅𝑆
9.
Tentukan vektor paduan bagi dua atau lebih vektor selari dengan operasi penambahan
dan penolakan vektor.
Determine the resultant vector of two or more parallel vectors by addition and
subtraction operation.
a)
6𝑥 − 4𝑦 − 𝑥 + 2𝑦
b)
6𝑠 − 8𝑡 − 9𝑠 − 2𝑡
~
~
~
~
~
~
~
~
Jawapan/ Answer:
10.
Tentukan vektor paduan bagi dua atau lebih vektor tidak selari dengan operasi
penambahan dan penolakan.
Determine the resultant vector of two or more non-parallel vectors by addition and
subtraction operations.
a)
b)
ABCD ialah sebuah parallelogram/
i)
𝑥+𝑦 =
ii)
𝑤+𝑥 =
iii)
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝐷𝐶 + 𝐶𝐵
iv)
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶
𝐶𝐴 =
i)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 =
ii)
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝐵𝐴 + 𝐵𝐶
iii)
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝐷𝐴
iv)
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵
𝐶𝐷 =
ABCD is a parallelogram.
Jawapan/ Answer:
94
~
~
~
~
11.
Ungkapkan vektor berikut dalam sebutan 𝑥 atau 𝑦.
~
~
Express the following vectors in term of 𝑥 or 𝑦.
~
a)
b)
EFGH ialah sebuah parallelogram.
EFGH is a parallelogram.
Jawapan/ Answer:
95
~
i)
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑇𝑄
ii)
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑃𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐺 =
12.
Bagi setiap vektor dalam sebutan 𝑖 dan 𝑗 berikut, cari magnitud dan vektor unit
~
~
dalam arah vektor yang diberi.
For each of the following vectors in term of 𝑖 and 𝑗 , find the magnitude and the unit
~
~
vector in the direction of the given vector.
a)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = 3𝑖 + 4𝑗
~
~
⃗⃗⃗⃗⃗
Magnitud bagi/ Magnitude of 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ | =
|𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗
Vektor unit dalam arah/ Unit vector in the direction of 𝑂𝑃
∧
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑂𝑃
b)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑊 = 12𝑖 + 5𝑗
~
~
Magnitud bagi/ Magnitude of ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑊
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =
|𝑂𝑊
Vektor unit dalam arah/ Unit vector in the direction of ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑊
∧
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑂𝑊
Jawapan/ Answer:
96
13.
𝑥
Bagi setiap vektor dalam bentuk (𝑦) berikut, cari magnitud dan vektor unit dalam
arah vektor yang diberi.
𝑥
For each of the following vectors in form of (𝑦), find the magnitude and the unit
vector in the direction of the given vector.
a)
8
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 = ( )
6
Magnitud bagi/ Magnitude of ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ | =
|𝑃𝑄
Vektor unit dalam arah/ Unit vector in the direction of ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
∧
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 =
b)
⃗⃗⃗⃗ = ( 15 )
𝑆𝑇
−8
⃗⃗⃗⃗
Magnitud bagi/ Magnitude of 𝑆𝑇
⃗⃗⃗⃗ | =
|𝑆𝑇
⃗⃗⃗⃗
Vektor unit dalam arah/ Unit vector in the direction of 𝑆𝑇
∧
⃗⃗⃗⃗ =
𝑆𝑇
Jawapan/ Answer:
97
14.
Diberi bahawa 3𝑚𝑎 − 𝑘𝑏 = 6𝑎 − 5𝑚𝑏, cari nilai m dan k jika 𝑎 dan 𝑏 adalah vector
~
~
~
~
~
~
bukan selari dan bukan sifar.
Given that 3𝑚𝑎 − 𝑘𝑏 = 6𝑎 − 5𝑚𝑏, find the value of m and of k if 𝑎 and 𝑏 are non~
~
~
~
~
parallel and non-zero vectors.
Jawapan/ Answer:
15.
Diberi bahawa 𝑝=(𝑥7) dan 𝑞 =(−6
),cari nilai-nilai x jika |𝑝 − 𝑞 |=13.
2
~
~
~
~
Given that 𝑝=(𝑥7) and 𝑞 =(−6
), find the values of x if |𝑝 − 𝑞 |=13.
2
~
~
~
Jawapan/ Answer:
98
~
~
16.
Titik-titik P, Q dan R adalah segaris. Diberi bahawa
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑎 + (1 + 𝑘)𝑏, dimana k adalah suatu pemalar. Cari
𝑃𝑄 = 4𝑎 − 2𝑏 dan 𝑄𝑅
~
~
~
~
The points P, Q and R are collinear. It is given that
⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑎 − 2𝑏 and 𝑄𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑎 + (1 + 𝑘)𝑏, where k is a constant. Find
𝑃𝑄
~
~
~
~
a)
nilai bagi/ the value of k
b)
nisbah bagi/ the ratio of PQ : QR
Jawapan/ Answer:
99
17.
Rajah dibawah menunjukkan sebuah segitiga AOB. Titik P terletak pada OA dan titik
Q terletak pada AB. Garis lurus BP bersilang dengan garisan OQ pada titik S.
Diagram below shows a triangle AOB. The point P lies on OA and the point Q lies on
AB. The straight line BP intersects the line OQ at point S.
⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝑦. Ungkapkan
Diberi bahawa OA : OP = 4:1, AB : AQ = 2:1, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 8𝑥 , 𝑂𝐵
~
~
dalam sebutan 𝑥 dan/atau 𝑦:
~
~
⃗⃗⃗⃗⃗ = 8𝑥, 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝑦. Express in
It is given that OA : OP = 4:1, AB : AQ = 2:1, 𝑂𝐴
~
~
terms of 𝑥 and/or 𝑦:
~
~
a)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑃
b)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑄
c)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , dimana h dan k adalah pemalar, cari
Menggunakan ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑆 = ℎ𝑂𝑄
𝐵𝑆 = 𝑘𝐵𝑃
nilai bagi h dan k.
⃗⃗⃗⃗⃗ = ℎ𝑂𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ and 𝐵𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐵𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ , where h and k are constants, find the value
Using 𝑂𝑆
of h and of k.
d)
⃗⃗⃗⃗⃗ │.
Diberi bahawa │𝑥│= 2 unit dan │𝑦│= 3 unit dan  AOB =90o, cari │𝐴𝐵
~
~
⃗⃗⃗⃗⃗ │.
Given that │𝑥│= 2 units and │𝑦│= 3 units and  AOB =90o, find │𝐴𝐵
~
~
100
JAWAPAN:
No.
JAWAPAN
1
2
(a)
3𝑎 + 4𝑏
(b)
6
8
𝑎− 𝑏
5~ 5~
(c)
21
12
𝑎+ 𝑏
5 ~
5 ~
(a)
3𝑖 + 4𝑗
(b)
3
( )
4
(a)
4
( ), 4𝑖 − 2𝑗
~
−2
~
(b)
√20 or 2√5
3
4
~
~
~
~
4𝑖 − 2𝑗
~
(c)
√20
√10
5
(a)
𝑎=𝑞
(b)
𝑎=𝑓
(a)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝑌 = −𝑥
(b)
⃗⃗⃗⃗ = −𝑎
𝑆𝑇
(c)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = −𝑐
6
7
~
~
~
~
~
~
~
~
101
BERJAYA
DIJAWAB?
(√/X)
(d)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑏
𝑉𝑊
~
(i) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 2𝑒
~
(a)
3
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑒
(ii) 𝐶𝐷
2
~
8
(i) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 = −𝑓
~
(b)
1
(ii) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅𝑆 = − 2 𝑓
~
(a)
5𝑥 − 2𝑦
(b)
−3𝑠 − 10𝑡
~
~
9
~
~
(i) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(ii) 𝐷𝐵
(a)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(iii) 𝐷𝐵
(iv) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴
10
(i) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(ii) 𝐵𝐷
(b)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(iii)𝐷𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
(iv) 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑥 + 𝑦
(i) 𝑇𝑄
~
(a)
11
~
1
(ii) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑅 = 𝑥 + 2 𝑦
~
~
(b)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐺 = 2𝑥 + 𝑦
(a)
5,
(b)
13,
~
12
~
3
4
𝑖+ 𝑗
5~ 5~
12
5
𝑖+
𝑗
13 ~ 13 ~
102
(a)
10,
4
(5)
3
5
17,
15
( 17 )
−8
17
13
(b)
14
m = 2 , k = 10
15
x = 6 , -18
5
2
(a)
𝑘=−
(b)
4: 3
(a)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑃 = 2𝑥 − 6𝑦
(b)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑥 + 3𝑦
𝑂𝑄
(c)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑥 + 3𝑦
𝑂𝑄
(d)
24.08
16
~
~
17
~
~
~
~
Sila imbas QRCode untuk memberi maklum balas tentang
Terima kasih.
103
modul ini.
BAB 9
PENYELESAIAN SEGI
TIGA
SOLUTION OF
TRIANGLE
104
1. Sine Rule
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶
4. Ambiguous Case of a Triangle
C
OR
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
2. Cosine Rule
b
a
A
c
𝑎2 =𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
B
Let’s recall Trigonometry Lower Form
𝑏 2 =𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐 2 =𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
C
ℎ = 𝑎 sin 𝐵
3. Area of Triangle
Area
1
= 𝑎𝑏 sin 𝐶
2
1
= 𝑎𝑐 sin 𝐵
2
1
= 𝑏𝑐 sin 𝐴
2
b
a
h
ℎ = 𝑏 sin 𝐴
𝜃
A
c
B
105
-
Two triangles can be constructed from
the given information.
-
This will only occur when the
information is as follows:
(i) Sides b and c and Angle B
are given,
and (ii) b < c
5. Area of a Triangle using the
Heron’s formula
The solving steps are as follows :
1. Calculate the semi perimeter,
𝑠=
𝑎+𝑏+𝑐
2
such that a, b, and c are the lengths of
sides.
2. Substitute the values of s, a, b, and c
into the following formula :
Area =√𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
NOTA:
1. Petua Sinus
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶
4. Kes berambiguiti
C
-
ATAU
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
2. Petua Kosinus
𝑎2 =𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 kos 𝐴
2
2
b
a
A
c
B
2
𝑏 =𝑎 + 𝑐 − 2𝑎𝑐 kos 𝐵
𝑐 2 =𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 kos 𝐶
Jom imbas trigonometri menengah rendah
C
ℎ = 𝑎 sin 𝐵
3. Luas segitiga
Luas
1
= 𝑎𝑏 sin 𝐶
2
1
= 𝑎𝑐 sin 𝐵
2
1
= 𝑏𝑐 sin 𝐴
2
b
a
h
ℎ = 𝑏 sin 𝐴
𝜃
A
-
c
Ini hanya terjadi jika diberi:
(i)
Sisi b, c dan sudut B
diberi
dan (ii) b < c
5. Luas segi tiga menggunakan
formula Heron
Langkah-langkah:
1. Kira semi perimeter,
𝑎+𝑏+𝑐
𝑠=
2
Dengan keadaan a,b dan c ialah panjang
sisi.
2. Gantikan nilai a, b, c dan s ke dalam
formula.
Luas =√𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
B
106
Dua segi tiga boleh dibina berdasarkan
maklumat yang diberi.
JOM UJI PENGETAHUAN SEDIA ADA!
1.
Rajah 1 menunjukkan segi tiga DEF dan EF ialah garis lurus.
Diagram 1 shows a triangle DEF and
is a straight line.
D
9 cm
7 cm
x
39°
E
F
15 cm
Rajah 1
Diagram 1
Cari nilai x .
Find the value of 𝑥.
JOM MULA!
2.
Rajah 2 menunjukkan segi tiga PQR .
Diagram 2 shows a triangle PQR .
P
14.6 cm
39
112
Q
R
𝑥 cm
Rajah 2
Diagram 2
Cari nilai bagi x .
Find the value of 𝑥.
107
3.
Rajah 3 menunjukkan segi tiga ABC .
Diagram 3 shows a triangle ABC .
23 cm
A
B
12 cm
C
Rajah 3
Diagram 3
Cari nilai bagi  , dalam darjah dan minit.
Find the value of  , in degree and minutes.
4.
Dalam Rajah 4, BCD ialah garis lurus
In Diagram 4, BCD is a straight line.
A
10 cm
7 cm
B
D
C
Rajah 4
Diagram 4
Diberi AB  7cm , AD  10cm , ACD  85 and ADC  40 , cari
Given that
,
, ACD  85 and ADC  40 , find
(a) panjang bagi AC
length of AC
(b) nilai bagi ABC
value of ABC
108
5.
Rajah 5 menunjukkan segi tiga ABC di mana AB  7cm , BC  6cm dan
BAC  40
Diagram 5 shows triangle ABC where
,
and
C
6 cm
C1
6 cm
A
B
7 cm
Rajah 5
Diagram 5
Cari nilai-nilai bagi C dan C1 dalam kes ambiguity di atas.
Find the values of C and C1 in the ambiguous case above.
6.
Rajah 6 menunjukkan segi tiga PQR .
Diagram 6 shows a triangle
.
Q
11 cm
P
16.2 cm
𝑥 cm
R
Rajah 6
Diagram 6
Cari nilai bagi x .
Find the value of .
109
.
7.
Rajah 7 menunjukkan segi tiga PQR
Diagram 7 shows a triangle
.
Q
12 cm

P
9 cm
R
18 cm
Rajah 7
Diagram 7
Cari nilai bagi  .
Find the value of .
8.
Rajah 8 shows segi tiga ABC .
Diagram 8 shows a triangle ABC .
A
7.5 cm
B
5.8 cm
10.7 cm
C
Rajah 8
Diagram 8
Diberi panjang bagi tiga sisi segi tiga ABC . Cari nilai-nilai bagi sudut di dalam segi
tiga ABC , dalam darjah dan minit.
Given the length of three sides of a triangle
. Find the angles of the triangle
, in degree and minutes.
110
9.
Rajah 9 menunjukkan segi tiga PQR .
Diagram 9 shows a triangle PQR .
Q
9.6 cm
4.5 cm
S
R
7.4 cm
3.3 cm
𝑥 cm
P
Rajah 9
Diagram 9
Dengan menggunakan petua kosinus, cari nilai bagi x dan 
By using the cosine rule, find the values of and .
10. Rajah 10 menunjukkan segi tiga ABC .
Diagram 10 shows a triangle
.
B
2.12 m
A
1.87 m
C
Rajah 10
Diagram 10
Cari luas bagi segi tiga ABC
Find the area of triangle
.
111
11. Rajah 11 menunjukkan segi tiga ABC .
Diagram 11 shows a triangle ABC .
A
8.7 cm
B
C
12.9 cm
Rajah 11
Diagram 11
Diberi luas bagi segi tiga ABC is 20 cm2 , cari nilai bagi  .
Given the area of triangle ABC is
, find the value of  .
12. Rajah 12 menunjukkan segi tiga ABC .
Diagram 12 shows a triangle ABC .
C
11.8 cm
B
4.9 cm
7.2 cm
A
Rajah 12
Diagram 12
Cari luas bagi segi tiga ABC .
Find the area of triangle ABC .
112
13.
Rajah 13 menunjukkan sebuah segi tiga PQR dengan PRQ ialah sudut cakah.
Diagram 13 shows a triangle PQR such that PRQ is an obtuse angle.
R
30º
P
18 cm
Rajah 13
Diagram 13
Q
Diberi bahawa luas segi tiga PQR ialah 22.5 cm2.
It is given that the area of the triangle PQR is 22.5 cm2
(a)
Hitung
Calculate
(i)
panjang, dalam cm, bagi QR
the length, in cm, of QR
(ii)
panjang, dalam cm, bagi PR
the length, in cm, of PR
(iii)
(b)
PRQ
Lakar segi tiga P' Q' R' yang mempunyai bentuk berlainan dengan keadaan
P' Q' R'  PQR , P' Q'  PQ dan P' R'  PR .
Sketch a different shape of triangle P’Q’R’ such that P' Q' R'  PQR ,
P' Q'  PQ and P' R'  PR .
(c)
Cari luas segi tiga PRR’
Find the area of triangle PRR’.
113
14.
Rajah 14 menunjukkan sebuah trapezium PQRS. PQ selari dengan RS dan PSR
adalah sudut cakah.
Diagram 14 shows a trapezium PQRS. PQ is parallel to RS and PSR is an obtuse
angle.
S
3.5 cm
R
P
29º
12.3 cm
82º
Rajah 14 Q
Diagram 14
Cari
Find
(a)
panjang, dalam cm, bagi PR
the length, in cm, of PR
(b)
panjang, dalam cm, bagi PS
the length, in cm, of PS
(c)
PSR
(d)
luas, dalam cm2, bagi trapezium PQRS
area, in cm2, of trapezium PQRS
114
JAWAPAN:
SOALAN
JAWAPAN
1
5.664
2
9.910
3
27.70
(a)
6.452
(b)
66.67
BERJAYA DIJAWAB ?
(√/X)
4
5
C  48.58 C1  131.42
6
13.19
7
117.28
8
A  106.42, B  31.33, C  42.25
9
10
11
12
x  6.042,   32.49
1.905
  20.88
7.748
(a)
(b)
(c)
5
13.90
139.65º
R
13
R sudut tirus
(d)
Q
P
Luas = 95.34
(a)
25.12
(b)
24.09
(c)
103.22º
(d)
185.27
14
Sila imbas QRCode untuk memberi maklum balas tentang modul ini.
Terima kasih.
115
Bab 10
Nombor indeks
Index number
116
Example 1: In the Diagram below, the angles of the sectors of the pie chart shows
the proportional expenditure of 4 items C, D, E and F for the year 2000.
Example 2: Table below shows the price indices of a few household items for a
family in the year 2000 and 2004 based on the year 1998. It includes the price
Indices for the same household items in the year 2004 based on the year 2000 and
the weightage of the expenditure, for the year 2000.
INDEX
NUMBER
Table below shows the prices and the price indices for the items.
Price in 2000 (RM)
Price in 2004 (RM)
Pride Index in 2004
based on 2000
1.20
1.35
x
D
3.40
y
125
E
z
6.00
120
Notes:
F
2.50
2.65
106
1. Price Index/Index Number:
Items
C
(a) Find the value of
(i) x,
(ii) y,
(iii) z.
(b) Calculate the composite index for the items in the year 2004
based on the year 2000.
(c) The total monthly expenditure of the 4 items in the year 2004 is
RM 1250. Calculate the corresponding monthly expenditure in
the year 2000.
(d) If the average total expenditure of the 4 items increases by 5%
from the year 2004 to the year 2005. Find the composite index
for the year based on the year 2000.
(a) Both ways can be used:
1.35
𝑥=
× 100 (the formula)
1.20
𝑥
or
100
=
(a) 𝐼1,0 =
𝑃1
𝑃0
× 100
(b) percentage :
Base year - 100
Items
Food
Rental
Transport
Others
2000(1998 = 100)
106
109
105
r
2004(1998 = 100)
124
126
q
111
2004 (2000= 100)
p
115
114
125
Weightage
10
15
3
7
(a) Find the values of p, q and r.
(b) Calculate the composite index in the year 2004 based on
the year 2000.
(c) If the average monthly expenditure for food in 1998 is RM850,
calculate the average monthly expenditure for food in the year
2004.
(a) As a problem on percentages:
(d) If the average household expenditure in the year 2004 is RM2450, calculate
the average household expenditure
1998 2000. 2000
2004
100
106
124
Food
100
p
2. Composite Index:
100
Transport
(a)
100
Others
(b) Price Index of all items:
𝑃1
𝐼1,0 = 𝑃 × 100
0
(c) percentage:
Base year - 100
Use
𝑝
100
=
124
106
,
𝑞
105
1.35
𝑦
1250
=
Use
105
100
100
Food
2000
100
y
𝑟
111
=
100
125
2000
106
100
2004
124
p
x
2000
100
y
2004
𝐼 from (b)
2450
124
Use
=
850
100
(d) As a problem on percentages:
2004
𝐼 from (b)
1250
1998
100
Composite
Index
𝐼 from (b)
2000
2004
100
𝐼 from (b)
× (𝐼 from (b))
,
850
𝑥
(d) As a problem on percentages:
Composite
Index
114
1998
100
1.20
(c) As a problem on percentages:
Use
=
2005
increases by 5% from
the year 2004
q
114
111
125
(b) Use the formula 2(a).
(c) As a problem on percentages:
(b) Use the formula 2(a).
Composite
Index
105
100
r
100
Use
117
𝑦
2450
=
100
𝐼 from (b)
Contoh 1: Dalam Rajah di bawah, sudut sektor carta pai menunjukkan
perbelanjaan berkadar 4 item C, D, E dan F bagi tahun 2000.
Contoh 2: Jadual di bawah menunjukkan indeks harga beberapa barangan isi rumah
untuk keluarga pada tahun 2000 dan 2004 berdasarkan tahun 1998. Ia termasuk
Indeks harga untuk barangan isi rumah yang sama pada tahun 2004 berdasarkan
tahun 2000 dan wajaran perbelanjaan, untuk tahun 2000.
NOMBOR
INDEKS
Jadual di bawah menunjukkan harga dan indeks harga bagi item tersebut.
Indeks harga pada tahun
Harga pada 2000
Harga pada 2004
Item
2004 berdasarkan tahun
(RM)
(RM)
2000
1.20
1.35
x
C
D
3.40
y
125
E
z
6.00
120
F
2.50
2.65
106
(a) Cari nilai bagi
(i) x,
(ii) y,
(iii) z.
(b) Hitung indeks komposit bagi item dalam tahun 2004
berdasarkan tahun 2000.
(c) Jumlah perbelanjaan bulanan 4 item pada tahun 2004 adalah
RM 1250. Kirakan perbelanjaan bulanan yang sepadan dalam
tahun 2000.
(d) Sekiranya jumlah perbelanjaan purata 4 item meningkat sebanyak 5%
dari tahun 2004 hingga tahun 2005. Cari indeks komposit
untuk tahun berdasarkan tahun 2000.
(a) Kedua-dua cara boleh digunakan:
1.35
𝑥=
× 100 (formula)
or
𝑥
1.20
100
=
Nota:
1. Indeks Harga/Nombor Indeks:
(a) 𝐼1,0 =
𝑃1
𝑃0
(b) peratusan :
Tahun asas - 100
𝑦
1250
=
Use
105
100
Pengangkutan
Lain-lain
2000(1998 = 100)
106
109
105
r
2004(1998 = 100)
124
126
q
111
2004 (2000= 100)
p
115
114
125
Pemberat
10
15
3
7
(a) Cari nilai p, q dan r.
(b) Hitung indeks komposit pada tahun 2004 berdasarkan
tahun 2000.
(c) Jika purata perbelanjaan bulanan untuk makanan pada tahun 1998 ialah RM850,
Hitung purata perbelanjaan bulanan untuk makanan pada tahun ini
2004.
(e) Jika purata perbelanjaan isi rumah pada tahun 2004 ialah RM2450, hitung
(a) As a problem on percentages:
purata perbelanjaan isi rumah 2000.
1998
2000
2004
100
106
124
Food
100
p
(b) Indeks Harga semua item:
𝑃1
𝐼1,0 = 𝑃 × 100
0
(c) peratusan:
Tahun asas - 100
1.35
1.20
𝑝
Use
100
2004
𝐼 from (b)
1250
100
𝐼 from (b)
2005
meningkat sebanyak
5% dari tahun 2004
106
𝑞
,
105
=
114
100
,
𝑟
111
=
100
125
2000
106
100
2004
124
p
x
2000
100
y
2004
𝐼 dari (b)
2450
124
1998
Indek
Gubahan
Guna
2004
100
q
114
111
125
Guna
=
850
100
(d) Sebagai masalah pada peratusan:
100
2000
124
105
100
r
100
(b) Gunakan formula 2(a).
(c) Sebagai masalah pada peratusan:
1998
100
Makanan
850
𝐼 from (b)
× (𝐼 from (b))
=
𝑥
2000
100
y
100
Transport
Others
(d) Sebagai masalah pada peratusan:
Indeks
gubahan
Penyewaan
(a)
(c) Sebagai masalah pada peratusan:
Use
Makanan
2. Indeks Gubahan:
(b) Menggunakan formula 2(a).
Indeks
gubahan
× 100
Item
118
𝑦
2450
=
100
𝐼 dari (b)
Indeks Harga
1. Hitung indeks harga bagi setiap yang berikut.
Calculate the price index of each of the following.
a) Harga sebatang pen ialah RM 1.20 pada tahun 2018. Harga pen tersebut telah meningkat
kepada RM 1.50 pada tahun 2021. Hitung indeks harga pada tahun 2021 berasaskan
tahun 2018.
The price of a pen is RM 1.20 in the year 2018. Its price increased to RM 1.50 in the
year 2021. Calculate the price index in the year 2021 based on the year 2018.
b)
Harga kereta A
Price of car A
RM 80 000
RM 60 000
Tahun
Year
2014
2019
Jadual di atas menunjukkan harga bagi sebuah kereta A pada tahun 2014 dan 2019.
Hitung indeks harga bagi tahun
The table shows price of car A in the years 2014 and 2019. Calculate the price index for
the year
(i) 2019 berasaskan pada tahun 2014,
2019 based on year 2014,
(ii) 2014 berasaskan pada tahun 2019.
2014 based on year 2019.
119
c) Dalam tempoh setahun, sebuah salinan majalah dijual pada harga RM 2.20. Walau
bagaimanapun, pada tahun 2013, pengguna perlu membayar RM 2.50 untuk sebuah salinan
majalah yang sama. Hitung indek harga majalah untuk tahun 2013 jika tahun 2012 diambil
sebagai tahun asas.
In a year, a copy of magazine was sold at RM 2.20. However, in a year 2013, a
consumer has to pay RM 2.50 for the same copy of magazine. Calculate the price
index of the magazine for the year 2013 if the year2012 is taken as the base year.
2. Hitung nombor indeks bagi setiap yang berikut
Calculate the number index of each of the following
a) Bilangan penuntut sebuah kolej pada tahun 2022 ialah 1800 orang berbanding 1440
pada tahun 2020. Hitungkan nombor indeks tahun 2022 berasaskan tahun 2020.
The number of students of a college in the year 2022 is 1800 compared to 1440 in
the year 2020. Calculate the index number in the year 2022 based on the year 2020.
b) Sebuah syarikat komputer mengeluarkan 16 000 unit komputer peribadi pada tahun
2015 dan 10 000 unit komputer peribadi pada tahun 2020. Hitungkan nombor indeks
pengeluaran komputer peribadi pada tahun 2020 berasaskan tahun 2015.
A computer company produces 16 000 units personal computers in the year 2015
and 10 000 units personal computers in the year 2020. Calculate the index number
of the personal computers produces in the year 2020 based on the year 2015.
120
c) Bilangan peserta suatu seminar pada tahun 2019 ialah 21 600. Manakala, bilangan
peserta pada tahun 2021 meningkat seramai 2 160 peserta berbanding tahun 2019.
Hitungkan nombor indeks bilangan peserta pada tahun 2021 berasaskan tahun
2019.
The number of participants of a conference in the year 2019 is 21 600. Meanwhile,
the number of participants in the year 2021 increased by 2 160 participants.
Calculate the number index of the participants in the year 2021 based on the year
2019.
3. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
a) Indeks harga bagi kalkulator saintifik pada tahun 2019 adalah 125 apabila tahun 2015
digunakan sebagai tahun asas. Cari harga kalkulator saintifik pada tahun 2015 sekiranya
harga pada tahun 2019 ialah RM 63.
The price index for a scientific calculator in the year 2019 is 125 using the year 2015 as
base year. Find the price of the scientific calculator in the year 2015 if the price in the
year 2019 is RM 63.
b) Purata bil elektrik yang didiami oleh lima orang ialah RM 80 pada tahun 2010. Nombor
indeks bagi bil elektrik ialah 150 pada tahun 2020 dengan menggunakan 2010 sebagai
tahun asas. Hitung purata bil elektrik bagi rumah itu pada tahun 2020.
The average electricity bill in a house stayed by five people is RM 80 in the year 2010.
The index number for electricity bills is 150 in the year 2020 using 2010 as the base
year. Calculate the average electricity bill for the house in the year 2020.
121
c)
Barangan
Item
J
K
Harga / Price (RM)
2002
2008
288
y
x
175
Indeks harga pada tahun 2008 berasaskan
tahun 2002
Price index in the year 2008 based on the year
2002
125
140
Jadual di atas menunjukkan harga bagi barangan J dan K pada tahun 2002 dan 2008 dan
indeks harga pada tahun 2008 berasaskan tahun 2002. Cari nilai x dan y.
d) Harga sebotol minyak masak pada tahun 2000 ialah RM15.00. Diberi indeks harga bagi
tahun 2001 berasaskan tahun 2000 ialah 105, hitungkan harga minyak masak itu pada
tahun 2001.
The price of a bottle of cooking oil in the year 2000 was RM15.00. Given that the price
index for the year 2001 based on the year 2000 is 105, calculate the price of the cooking
oil in the year 2001.
4. Berdasarkan tahun 1994, nombor indeks ketuhar untuk tahun 1997 dan 2000 masingmasing ialah 110 dan 130. Cari nombor indeks bagi tahun 2000 berdasarkan tahun
1997.
Based on the year 1994, the index number of an oven for the years 1997 and 2000 are
110 and 130 respectively. Find the index number for the year 2000 based on the year
1997.
122
5. Jadual di atas menunjukkan indeks harga tiga item, A, B dan C, yang merupakan
bahan utama dalam penghasilan sejenis mainan.
Table above shows the price index of three items, A, B and C, which are the main
ingredients in the production of a type of toy.
Item
Item
A
Indeks harga bagi tahun 2007 berdasarkan tahun 2004
Price index for the year 2007 based on the year 2004
125
B
115
C
135
Hitung indeks harga A pada tahun 2007 berdasarkan tahun 2002 jika indeks harganya
pada tahun 2002 berdasarkan tahun 2004 ialah 110.
Calculate the price index of A in the year 2007 based on the year 2002 if its price index
in the year 2002 based on the year 2004 is 110.
123
Indeks Gubahan
6. Jadual di bawah menunjukkan indeks harga bagi empat jenis alat tulis yang dijual di
sebuah kedai buku pada tahun 2022 berasaskan tahun 2020.
The table shows the price indices of four types of stationery sold in a bookshop in the
year 2022 based on the year 2020.
Alat tulis
Stationery
Pensel / Pencil
Pemadam / Eraser
Pembaris / Ruler
Buku nota / Notebook
Indeks harga
Price index
105
110
125
118
Pemberat
Weightage
5
4
6
3
Cari indeks gubahan bagi keempat-empat jenis alat tulis itu pada tahun 2022 berasaskan tahun
2020.
Find the composite index for the four types of stationery in the year 2022 based on the year
2020.
7. Jadual di bawah menunjukkan harga dan pemberat bagi empat barangan pada tahun
2009 dan tahun 2011.
The table shows the prices and weightages of four items in the year 2009 and the year
2011.
Barangan
Item
P
Q
R
S
Harga / Price (RM)
Tahun
Tahun
Year
Year
2009
2011
8.40
10.50
15.00
18.00
6.40
7.20
14.40
13.50
Pemberat
Weightage
1
4
2
3
Cari indeks gubahan bagi semua barangan pada tahun 2011 berasaskan tahun 2009.
Find the composite index for all items in the year 2011 based on the year 2009.
124
8. Jadual di bawah menunjukkan harga empat empat barangan A, B, C dan D pada bulan
April 1998 dan April 1999 serta pemberat maisng-masing.
The table shows the prices of four items, A, B, C and D in April 1998 and April 1999
and their respective weightages.
Barangan
Item
A
B
C
D
Harga / Price (RM)
1998
1999
400
480
250
275
150
210
130
169
Pemberat
Weightage
5
4
y
2
Diberi indeks gubahan bagi harga semua barangan itu pada April 1999 berasaskan April 1998
ialah 124. Cari nilai y.
Given the composite index for the prices of all items in April 1999 based on April 1998 is 124.
Find the value of y.
125
9. Jadual di bawah menunjukkan indeks harga dan pemberat masing-masing bagi
perbelanjaan keluarga Moana.
The table shows the price indices and the respective weightages of the expenses of
Moana’s family.
Perbelanjaan
Expensrs
Makanan / Food
Pakaian / Clothing
Utiliti / Utility
Pengangkutan /
Transportation
Indeks harga pada tahun 2021 berasaskan
tahun 2019
Price index in the year 2021 based on the
year 2019
130
120
125
110
Pemberat
Weightage
(%)
60
10
18
12
Cari indeks gubahan bagi perbelanjaan keluarga Moana pada tahun 2021 berasaskan tahun
2019.
Find the composite index for the expenses of Moana’s family in the year 2021 based on the
year 2019
10. Jadual di bawah menunjukkan indeks harga dan pemberat masing-masing bagi tiga
bahan untuk membuat kek.
The table shows the price indices and the weightages of three ingredients to bake a
cake.
Bahan
Ingredients
Mentega / Butter
Tepung Serbaguna /
Multipurpose flour
Telur / Egg
Indeks harga pada tahun 2022 berasaskan
tahun 2017
Price index in the year 2022 based on the
year 2017
126
161
Pemberat
Weightage
(%)
156
m
126
5
3
Diberi indeks gubahan bagi harga semua bahan itu pada tahun 2022 berasaskan tahun 2017
ialah 142.5. Cari nilai m.
Given the composite index for the prices of all ingredients in the year 2022 based on the year
2017 is 142.5. Find the value of m.
11. Jadual di bawah menunjukkan harga dan indeks harga pada tahun 2018 berasaskan
tahun 2015 bagi 3 bahan yang diperlukan bagi membuat sebiji kek.
Table below shows the price and price index in the year 2018 based on year 2015 for
three ingredients of a cake.
Bahan/
Ingredients
Telur/Egg
Tepung/
Flour
Serbuk
koko/
Cocoa
powder
Harga/Price (RM)
Indeks harga bagi tahun
2018 berasaskan tahun
2015/ Price index in the
year 2018 based on 2015
x
Peratus/
Percentages
2015
2018
2.40
3.60
y
4.50
125
55
4.00
6.50
z
35
a) Cari/Find
(i) x
(ii) y
(iii) z
127
10
b) Hitungkan indeks komposit bagi tahun 2018 berasaskan tahun 2015.
Calculate the composite index in the year 2018 based on the year 2015
128
12. Sebuah telefon pintar mengandungi empat bahagian, P, Q, R dan S. Jadual
menunjukkan harga se unit dan indeks harga untuk empat bahagian tersebut pada
tahun 2022 berasaskan tahun 2019 yang digunakan untuk menghasilkan sebuah
telefon pintar.
A smartphone contains four parts, P, Q, R and S. The table show the unit prices and
price indices for the four parts in the year 2022 based on the year 2019 that used in
producing the smartphone.
Harga/Price (RM)
Bahagian/
Part
2017
2020
P
Q
R
S
p
20
32
28
55
22
r
42
Indeks harga bagi tahun 2020
berasaskan tahun 2017.
Price index in the year 2020
based on 2017
137.5
110
156.25
x
(a) Cari nilai p , r dan x .
Find the values of p, r and x .
(b) (i) Pemberat bahagian yang digunakan, P, Q, R dan S, untuk menghasilkan telefon
pintar masing-masing ialah 4, y, 2 dan 6. Cari nilai y jika indeks gubahan dalam
tahun 2020 berasaskan tahun 2017 ialah 139.50 .
The weightage of parts used, P, Q, R and S, to produce the smartphone are
4, y, 2 and 6 respectively. Find the value of y if the composite index in the year
2020 based on the year 2017 is 139.50 .
129
(ii) Harga kos setiap bahagian telefon pintar itu meningkat sebanyak 20% dari tahun
2020 hingga tahun 2023. Hitungkan indeks gubahan bagi tahun 2023 berasaskan
tahun 2017.
The cost price of each part of the smartphone increased by 20% from the year
2020 to the year 2023. Calculate the composite index for the year 2023 based on
the year 2017.
(c) Diberi harga telefon pintar pada tahun 2017 ialah RM2 050. Cari harga sepadan
telefon pintar pada tahun 2023.
Given the price of the smartphone in the year 2017 was RM2 050. Find the
corresponding price of the smartphone in the year 2023 .
130
13. Jadual dibawah menunjukkan bahan-bahan yang digunakan untuk membuat sebiji kek
oren. Peratusan kenaikan harga barang dan peratusan penggunaan setiap bahan
pada tahun 2022 berbanding tahun 2019 dalam menghasilkan sebiji kek oren
masing-masing dinyatakan dalam lajur kedua dan ketiga.
Diagram below shows the ingredients used to make an orange cake. The
percentage increase in the price of goods and the percentage of consumption of each
ingredient in 2022 compared to 2019 in producing an orange cake are stated in the
second and third columns respectively.
Bahan
Material
Peratusan
kenaikan harga /
Percentage
increase in price
Tepung/Flour
35%
Gula/Sugar
10%
Serbuk penaik/Baking powder
15%
Mentega/Butter
20%
Oren/Orange
25%
Peratusan dalam setiap
biji kek oren /
Percentage in each of
an orange cake
60
3a
a
3a
a
(a) (i) Jika tahun 2019 diambil sebagai tahun asas, tulis indeks harga bagi setiap bahan
itu pada tahun 2022.
If 2019 is taken as the base year, write the price index for each materials in 2022.
(ii) Hitung indeks gubahan bagi kos pengeluaran kek tersebut pada tahun 2022
berasaskan tahun 2019.
Calculate the composite index for the cost of production of the orange cake in
2022 based on 2019.
131
(b) Seterusnya, cari kos pengeluaran kek itu pada tahun 2019 jika kos pengeluarannya
pada tahun 2022 ialah RM 25 450
Hence, find the cost of production of the orange cake in 2019 if it’s cost of production
in 2022 is RM 25 450.
(c) Jika harga sebiji kek oren pada tahun 2019 ialah RM 20. Hitung kenaikan harga bagi s
sebiji kek oren itu pada tahun 2022.
If the price of an orange cake in 2019 is RM 20, calculate the price increase for an
orange cake in 2022.
132
JAWAPAN:
SOALAN
(a)
JAWAPAN
125
9
(i) 75
(ii) 133.33
113.64
125
62.5
110
RM 50.40
RM 120
x = 360, y = 125
RM15.75
118.18
113.64
114.94
111.13
y=4
125.7
10
m=2
1
2
3
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
(d)
4
5
6
7
8
BERJAYA DIJAWAB?
(√/X)
(i) 150
11
(a)
(ii) 3.60
(iii)162.5
(b)
140. 63
(a)
p  RM 40
(b)
(c)
(a)
r  RM 50
x  150
(i) y  3
(ii) 167. 4
RM3431.70
(i) Tepung 135, Gula 110, Serbuk penaik 115,
Mentega 120, Oren 125
(ii) 122.5
(b)
RM20775.51
(c)
RM4.50
Sila imbas QRCode untuk memberi maklum balas tentang modul ini.
Terima kasih.
133