)2( ‫حلول تمارين‬
)2( ‫حلول تمارين‬
(i) A  {x : x  N ,0  x  10} ,
: ‫) اكتب عناصر المجموعات اآلتية‬1(
(ii) B  {x : x  N , x is odd} ,
(iii) C  {x : x  Z ,2 x  2 x  12  0},
2
(iv) D  {x : x  N , ( x  2)( x  3)( x  4)  0, x is even} .
: ‫الحل‬
(i) A  {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(ii) B  {1,3,5,... }
(iii) C  {3,2 }
(iv) D  {2,4 }
.)1( ‫) أوجد متممة كل مجموعة من المجموعات السابقة في‬2(
: ‫الحل‬
c
(i) A  {x : x  N , x  10}
(ii) B c  {x : x  N , x is even}
(ii) C c  {x : x  Z , x  2, x  3}
(iv) Dc  {x : x  N , x  2, x  4}
A  {x  R :  3  x  12},
‫) إذا كانت‬3(
B  {x  R : 3  x  20} ,
C  {x  N : 5  x  7 } .
(ii) A  C
(iv) A  B
(vi) B  C
(i) A  B
(iii) A  B
(v) A  C
: ‫أوجد‬
: ‫الحل‬
257
‫أحمــد عــالم‬
‫حلول تمارين (‪)2‬‬
‫)‪(i) A  B  (3 , 20‬‬
‫]‪(ii) A  C  (3 , 5)  (5 , 6)  (6 , 12‬‬
‫]‪(iii) A  B  (3 , 12‬‬
‫)‪(iv) A  B  ( A  B)  ( B  A‬‬
‫ولكن‬
‫)‪A  B  (3 , 3] , B  A  (12 , 20‬‬
‫)‪ A  B  ( A  B)  ( B  A‬‬
‫)‪ (3 , 3]  (12 , 20‬‬
‫)‪(v) A  C  ( A  C )  (C  A‬‬
‫ولكن‬
‫‪C  A ‬‬
‫‪A  C  (3 , 5)  (5 , 6)  (6 , 12] ,‬‬
‫)‪ A  C  ( A  C )  (C  A‬‬
‫]‪ (3 , 5 )  (5 , 6)  (6 , 12‬‬
‫)‪(vi) B  C  (3 , 5)  (5 , 6)  (6 , 20‬‬
‫(‪ )4‬عين مجموعة شاملة للمجموعتين ‪ B، A‬في (‪ ،)3‬ثم أوجد ‪. B c ، Ac‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫المجموعة الشااملة لمجماوعتين اي مجموعاة ارتيارياة بشارا احتواى اا علا‬
‫المجمــوعتين معا ‪ ،‬لذلك فإننا نقترح المجمــوعة الشاملة للمــجموعتين‬
‫‪A  {x  R :  3  x  12},‬‬
‫‪B  {x  R : 3  x  20},‬‬
‫لتكون‬
‫)‪U  (3 , 20‬‬
‫مع مالحظة أن مجموعة اتحاا مجماوعتين اي أصا ر مجموعاة شااملة ل ماا ‪ ،‬وعلا‬
‫ذلك فإن ‪ U‬المقترحة ي أص ر مجمــوعة شاملة للمجموعتين ‪ . B، A‬كما أن‬
‫)‪Ac  (12 , 20‬‬
‫‪,‬‬
‫]‪B c  (3 , 3‬‬
‫(‪ )5‬ألي مجموعتين جزىيتين ‪ B ، A‬أثبت أن ‪:‬‬
‫)‪(i) A  B  ( A  B)  ( A  B‬‬
‫)‪(ii) A  B  ( A  B)  ( A  B‬‬
‫أحمــد عــالم‬
‫‪258‬‬
‫حلول تمارين (‪)2‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫لإلجابااااة علاااا ذلااااك نكااااون جاااادول اانتماااااال ولالرتسااااار ااااو نرمااااز‬
‫للمجموعااااااااااااااااااة )‪ ( A  B)  ( A  B‬بااااااااااااااااااالرمز ‪ ‬وللمجموعااااااااااااااااااة‬
‫)‪ ( A  B)  ( A  B‬بالرمز ‪ ‬لنحسل عل جدول اانتماال اآلت ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫جدول (‪)1-2‬‬
‫من الجدول السابق ومن رالل تطابق قيم اانتماال المتناظرة في العمو ين الثالث وقبل‬
‫األرـــــــــااـير ‪ ،‬وكااذلك ماان رــــــــااـالل تطااابق قاايم اانتماااال المتناااظرة فااي العمااو ين‬
‫الخامــــــــــس‬
‫واألرير نلحظ أن‬
‫)‪(i‬‬
‫‪A  B  ( A  B)  ( A  B) ,‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫)‪A  B  ( A  B)  ( A  B‬‬
‫(‪ )6‬للمجموعات الجزىية ‪ ، C ، B ، A‬ناقش صحة العبارة اآلتية ‪:‬‬
‫‪A  B  C  B A  B  C  B  A  C‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫المقسو بمناقشة صحة العبارة و محــاولة إثبات صحت ا في ااتجا ين‬
‫وإذا تعذر ذلك أي أن العالقة غير صحيحة في اتجاه ما فعند ا نحتاج إل مثال عكساي‬
‫يبرر عدم السحة في ذا ااتجاه ‪ ،‬مع مالحظاة أن عادم صاحة عالقاة فاي اتجااه ماا ا‬
‫يعني عدم السحة عل وجه العموم بل يعنا أن نااح حالاة واحادة علا األقال عناد ا‬
‫العالقة غير صحيحة ‪.‬‬
‫نبدأ بااتجاه األول وليكن‬
‫‪A  B  C  B A  B  C  B  A  C‬‬
‫أي نفرض أوا أن ‪ A  C‬ونحاول إثبات أن‬
‫‪A  B  C  B A  B  C  B‬‬
‫أحمــد عــالم‬
‫‪259‬‬
‫حلول تمارين (‪)2‬‬
‫) ‪A  C  (x  A  x  C‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪Let x  A  B  ( x  A  x  B)  ( x  C  x  B)  x  C  B‬‬
‫‪A  B  C  B‬‬
‫)‪(2‬‬
‫بالمثل‬
‫‪x  A  B  ( x  A  x  B)  ( x  C  x  B)  x  C  B‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪A  B  C  B‬‬
‫ج‬
‫يتضح مما بق أن الفرضية في (‪ ) 1‬أ ت إل صحة (‪ ) 3( ، ) 2‬وعل ذلك فإن‬
‫العالقة صحيحة في ذا ااتجاه ‪.‬‬
‫ااتجاه الثاني‬
‫‪A  B  C  B A  B  C  B  A  C‬‬
‫أي نفرض أن‬
‫‪A  B  C  B A  B  C  B‬‬
‫)‪(1‬‬
‫وعلينا بمحاولة إثبات أن ‪ ، A  C‬لذلك‬
‫)‪x  A  x  A  B  ( x  A  x  B‬‬
‫يوجد احتماان ما ‪:‬‬
‫‪(i) x  A  x  B  ( x  A  B)  ( x  C  B)  x  C  A  C‬‬
‫وعل ذلك فإن العالقة صحيحة ف ذا ااحتمال‬
‫)‪(i) x  A  x  B  ( x  A  B)  ( x  C  B‬‬
‫لكن ‪ ، x  C  B ، x B‬إذن ‪ ، x C‬وعليه فإن ‪ . A  C‬أي أن العالقة‬
‫صحيحة أيضا في ذا ااحتمال ‪.‬‬
‫مما تقدم يتضح أن العالقة صحيحة عامة في ذا ااتجاه ‪ ،‬أي أن العالقة‬
‫‪A  B  C  B A  B  C  B  A  C‬‬
‫صحيحة ‪.‬‬
‫(‪ )7‬للمجموعتين الجزىيتين ‪ B ، A‬من المجموعة الشاملة ‪ ، U‬أثبت أن‬
‫‪A  ( A  B)c  U‬‬
‫البرهان ‪:‬‬
‫أحمــد عــالم‬
‫‪260‬‬
‫حلول تمارين (‪)2‬‬
‫‪A  ( A  B ) c  A  ( Ac  B c )  ( A  Ac )  B c‬‬
‫‪ U  Bc  U‬‬
‫(‪ )8‬بفااارض أن ‪ C ، B ، A‬مجموعاااات جزىياااة مااان المجموعاااة الشااااملة ‪، U‬‬
‫ناقش صحة كال عباارة مان العباارات اآلتياة (أي أثبات فاي حالاة الساوا وأعا‬
‫مثااً عكسيا ً في حالة الخطأ)‪:‬‬
‫‪(1) A  B  A  B  A  B ,‬‬
‫‪(2) A  B  A  A  B ,‬‬
‫‪(3) A  B  C  B  A  C ,‬‬
‫‪(4) A  B    A  B ,‬‬
‫‪c‬‬
‫‪(5) A  B  A  A  B .‬‬
‫‪c‬‬
‫البرهان ‪:‬‬
‫)‪ (1‬نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه األول) ‪:‬‬
‫‪A  B A  B  A  B‬‬
‫أي نفرض أن ‪ ، A  B‬ونحاول إثبات أن ‪ ، A  B  A  B‬كما يلي ‪:‬‬
‫‪A  B A  A  A  A  A  A  B‬‬
‫أي أن العالقة صحيحة في ذا ااتجاه ‪.‬‬
‫نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه الثاني) ‪:‬‬
‫‪A  B A  B  A  B‬‬
‫أي نفرض أن ‪ ، A  B  A  B‬ونحاول إثبات أن ‪ ، A B‬كما يلي‬
‫)‪(i‬‬
‫أيضا‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪A B A B  A  B  A‬‬
‫‪A B A B  B  A  B‬‬
‫من (‪ )ii( ، )i‬يتضح أن ‪. A B‬‬
‫عل ما تقدم نكون قد أثبتنا أن العالقة ااتية‬
‫‪A  B A  B  A  B‬‬
‫صحيحة عل وجه العموم ‪.‬‬
‫)‪ (2‬نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه األول) ‪:‬‬
‫أحمــد عــالم‬
‫‪261‬‬
‫حلول تمارين (‪)2‬‬
‫‪A  B A  A  B‬‬
‫أي نفرض أن ‪A  B‬‬
‫)‪(i‬‬
‫كما أن‬
‫‪ ،‬ونحاول إثبات أن ‪ A  B  A‬وذلك كما يلي ‪:‬‬
‫‪A B  A‬‬
‫‪A  B  x  A  x  B  x  A  B‬‬
‫‪A  A B‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫من (‪ )ii( ، )i‬يتضح لنا أن‬
‫‪A  B A  A  B‬‬
‫أي أن العالقة صحيحة في ذا ااتجاه ‪.‬‬
‫نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه الثاني) ‪:‬‬
‫‪A  B A  A  B‬‬
‫أي نفرض أن ‪ A  B  A‬ونحاول إثبات أن ‪ ، A B‬وذلك كما يلي ‪:‬‬
‫‪x  A  x  A  B  x  B‬‬
‫‪A B‬‬
‫أي أن العالقة صحيحة في ذا ااتجاه ‪.‬‬
‫مما بق يتضح أن العالقة صحيحة ف ااتجا ين أي أن العالقة‬
‫‪A  B A  B  A  B‬‬
‫صحيحة عل وجه العموم ‪.‬‬
‫)‪ (3‬نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه األول) ‪:‬‬
‫‪A  B C  B  A  C‬‬
‫أي نفرض أن ‪، A  C‬أي أن‬
‫‪x  A  x  C‬‬
‫ونحاول اآلن إثبات أن ‪ ، A  B  C  B‬كما يلي ‪:‬‬
‫‪x  A  B  x  A  x  B  x  C  x  B  x  C  B‬‬
‫‪ A  B C  B‬‬
‫أي أن العالقة صحيحة في ذا ااتجاه ‪.‬‬
‫نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه الثاني) ‪:‬‬
‫‪A  B C  B  A  C‬‬
‫أحمــد عــالم‬
‫‪262‬‬
‫حلول تمارين (‪)2‬‬
‫أي نفرض أن ‪ A  B  C  B‬ونحاول إثبات أن ‪ ، A C‬إا أن المحاولة لن‬
‫تكلل بالنجاح ألن العالقة ليست صحيحة في ذا ااتجاه كما يتضح من المثال العكسي‬
‫التالي ‪:‬‬
‫مثال ‪:1-2‬‬
‫نفرض أن ‪ C ، B ، A‬مجموعات جزىية من ‪ ، N‬حيث‬
‫}‪A  {1,2,3‬‬
‫}‪, B  {2,3,4‬‬
‫}‪, C  {2,3,4,6‬‬
‫}‪A  B  {2,3}  C  B  {2,3,4‬‬
‫مع أن ‪ A‬ليست مجموعة جزىية من ‪. C‬‬
‫مما تقدم يتضح أن العالقة‬
‫‪A  B C  B  A  C‬‬
‫ليست صحيحة عل وجه العموم ‪ ،‬وإنما صحيحة عموما فق في ذا ااتجاه‬
‫‪A  B C  B  A  C‬‬
‫)‪ (4‬نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه األول) ‪:‬‬
‫‪A  Bc    A  B‬‬
‫أي نفرض أن ‪ ، A  B‬أي أن‬
‫‪x  A  x  B‬‬
‫ونحاول إثبات أن ‪ A  B c  ‬وذلك كما يلي ‪:‬‬
‫}‪A  B c  {x : x  A, x  B c }  {x : x  A, x  B‬‬
‫}‪ {x : x  B, x  B‬‬
‫‪‬‬
‫أي أن العالقة صحيحة في ذا ااتجاه ‪.‬‬
‫نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه الثاني) ‪:‬‬
‫‪A  Bc    A  B‬‬
‫أي نفرض أن ‪ A  B c  ‬ونحاول إثبات أن ‪ ، A B‬وذلك كما يلي ‪:‬‬
‫‪x  A  x  A  B c  x  B c  x  B‬‬
‫‪A B‬‬
‫أي أن العالقة صحيحة أيضا في ذا ااتجاه ‪ ،‬وعليه فإن العالقة‬
‫‪A  Bc    A  B‬‬
‫صحيحة عل وجه العموم ‪.‬‬
‫أحمــد عــالم‬
‫‪263‬‬
‫حلول تمارين (‪)2‬‬
‫)‪ (5‬نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه األول) ‪:‬‬
‫‪A  B  A  Ac  B‬‬
‫أي نفرض أن ‪ ، Ac  B‬ونحاول إثبات أن ‪ A  B  A‬وذلك كما يلي ‪:‬‬
‫‪A  B  A  B c  A  ( Ac ) c‬‬
‫‪ A  A A‬‬
‫وعل ذلك فإن العالقة صحيحة في ذا ااتجاه ‪.‬‬
‫نحاول مناقشة صحة العبارة التالية (ااتجاه الثاني) ‪:‬‬
‫‪A  B  A  Ac  B‬‬
‫أي نفــرض أن ‪ A  B  A‬ونحاول إثبات أن ‪ ، A  B c‬إا أن المحاولة لن تكلل‬
‫بالنجاح ألن العالقة ليست صحيحة في ذا ااتجاه كما يتضح من المثال العكسي التالي‬
‫‪:‬‬
‫مثال ‪:2-2‬‬
‫نفرض أن ‪ B ، A‬مجموعتان جزىيتان من المجموعة الشاملة ‪ ، U‬حيث‬
‫}‪U  {1,2,3,4,5‬‬
‫‪,‬‬
‫}‪B  {3,4‬‬
‫‪A  B  A‬‬
‫‪,‬‬
‫}‪A  {1,2‬‬
‫مع أن ‪. Ac  {3,4,5}  B‬‬
‫مما تقدم يتضح أن العالقة‬
‫‪c‬‬
‫‪A  B A  A  B‬‬
‫ليست صحيحة عل وجه العموم وإنما صحيحة عموما فق في ذا ااتجاه‬
‫‪A  B  A  Ac  B‬‬
‫(‪ )9‬إذا علم أن ‪ ، x  ( A  B) c‬بين الخطأ من السوا فيما يلي‪:‬‬
‫‪(ii) x  ( A  B) ,‬‬
‫‪(iv) x  A  B .‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪(i) x  B c ,‬‬
‫‪(iii) x  B  A ,‬‬
‫‪x  ( A  B) c  x  ( A  B )  x  A , x  B‬‬
‫أي فاي اججابااة علا الفقاارات السااابقة ماان حيااث السااوا والخطااأ يجااب أن نضااع فااي‬
‫اعتبارنا أن ‪. x  A , x  B‬‬
‫‪(i) x  B c  x  B ,‬‬
‫إذن (‪ )i‬صوا حيث تتفق مع ما تم ا تنتاجه‬
‫أحمــد عــالم‬
‫‪264‬‬
)2( ‫حلول تمارين‬
(ii) x  ( A  B)  x  A , x  B ,
. ‫) رطأ‬ii( ‫ وعل ذلك فإن‬x B ‫و ذا يتعارض مع كون أن‬
(iii) x  B  A  x  B  Ac  x  B  x  A
x B ‫ و ذا يتعارض مع كون أن‬، x A ، x  B ‫أحد ااحتماات و أن تكون‬
. ‫) رطأ‬iii( ‫ وعل ذلك فإن‬x  A ،
(iv) x  A  B  x  ( A  B )  ( B  A)
.
 x  ( A  B )  x  ( B  A)
 ( x  A , x  B )  ( x  B , x  A)
، x B ‫ و ذا يتعارض مع كون أن‬x A ، x  B ‫أحد ااحتماات و أن تكون‬
. ‫) رطأ‬iv( ‫ وعل ذلك فإن‬x  A
: ‫) بس التعابير اآلتية إل واحد من الرموز التالية‬10(
A , B , A  B, A  B, A  B
(a) A  ( A  B) .
(b) A  ( A  B) .
(c) (( A  B)  Ac ) c .
(a) A  ( A  B)  ( A  A)  ( A  B)
 A  ( A  B)  A
: ‫الحل‬
.
(b) A  ( A  B)  A  ( A  B c )  A  ( A  B c ) c
 A  ( Ac  B )  ( A  Ac )  ( A  B )
   ( A  B)
 ( A  B)
(c) (( A  B)  Ac ) c  ( A  B) c  A  ( Ac  B c )  A
 ( Ac  A)  ( B c  A)    ( A  B c ) .
 ( A  B)
265
‫أحمــد عــالم‬