Rantai Markov
BAB 12
Kelompok 5
Adhisti Micellia Syaharani (012)
Rasthania Silva Fadlila(020)
Vina Fatimatuzzahri (022)
21 November 2023
Sub Bab Pembahasan:
1. PENDAHULUAN
2. ANALISIS RANTAI MARKOV
3. STUDI KASUS
4. PENYELESAIAN MENGGUNAKAN POM-QM & LINGO
Kelompok 5
2/54
PENDAHULUAN
Kelompok 5
Definisi
Rantai Markov (Markov Chains) adalah suatu teknik matematika yang biasa digunakan
untuk melakukan pemodelan (modelling) bermacam-macam sistem dan proses
bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-perubahan di
waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar
perubahan-perubahan dari variabel-variabel dinamis tersebut di waktu yang lalu.
Teknik ini dapat digunakan juga untuk menganalisis kejadian-kejadian di waktu waktu
mendatang secara matematis.
Analisis Markov (disebut sebagai Proses Stokastik) merupakan suatu bentuk khusus
dari model probabilistik. Proses Stokastik merupakan suatu proses perubahan
probabilistik yang terjadi secara terus menerus, di mana perubahan-perubahan
variabel di masa yang akan datang didasarkan atas perubahan-perubahan variabel di
waktu yang lalu.
Kelompok 5
3/54
Misalkan Xt adalah variable random yang mencirikan keadaan sistem pada titik-titik
diskrit dalam waktu t = 1, 2, . . . Himpunan variable random {Xt } membentuk proses
stokastik dengan jumlah keadaan yang terbatas atau tidak terbatas.
Perawatan Mesin
Kondisi mesin pada saat dilakukan pemeliharaan preventif bulanan dikategorikan
dengan cukup, baik, atau sangat baik. Untuk bulan t, proses stokastik situasi ini dapat
direpresentasikan sebagai berikut:


0, jika kondisinya buruk
Xt = 1, jika kondisinya cukup


2, jika kondisinya baik
Variable random Xt terbatas (finite) karena merepresentasikan 3 keadaan yaitu buruk
(0), cukup (1), dan baik (2)
Kelompok 5
4/54
Job Shop
Pekerjaan-pekerjaan ada secara acak di toko dengan rata-rata 5 pekerjaan masuk
per jam. Proses kemunculan perkerjaan-pekerjaan mengikuti Distribusi Poisson, yang
secara teoritis memungkinkan sejumlah pekerjaan masuk atau muncul di toko selama
interval waktu (0, t). Proses keadaan tak terbatas yang menggambarkan jumlah
pekerjaan yang masuk adalah Xt = 0, 1, 2, . . . , t > 0
Proses Markov
Proses stokastik adalah proses Markov jika keadaan masa depan bergantung hanya
pada keadaan sebelumnya. Artinya diberikan waktu kronologis t0′ , t1 , . . . , tn′ ,
himpunan variable random {Xtn } = {x0 , x1 , . . . , xn } adalah proses Markov jika
P Xtn = xn | Xtn−1 = xn−1 , . . . , Xt0 = x0
Kelompok 5
= P Xtn = xn | Xtn−1 = xn−1
5/54
Dalam proses Markov dengan n keadaan yang lengkap dan saling eksklusif,
probabilitasnya pada titik waktu tertentu t = 0, 1, 2, . . . didefinisikan sebagai
pij = P Xt = j | Xtn−1 = i , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n, t = 0, 1, 2, . . . , T
Hal ini dikenal sebagai probabilitas transisi satu langkah untuk berpindah dari
keadaan i pada t − 1 ke keadaan j di t. Berdasarkan definisi, kita mempunyai
X
pij = 1, i = 1, 2, . . . , n
j
pij ≥ 0, (i, j) = 1, 2, . . . , n
Probabilitas transisi satu langkah dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai:

p11
p21

P= .
 ..
pn1
Kelompok 5
p12
p22
..
.
pn2

· · · p1m
· · · p2m 

.. 
..
.
. 
· · · pnm
6/54

p11
p21

P= .
 ..
pn1
p12
p22
..
.
pn2

· · · p1m
· · · p2m 

.. 
..
.
. 
· · · pnm
Matriks P mendefinisikan rantai Markov, yang mana memiliki sifat dimana semua
probabilitas transisi pij sifatnya tetap dan saling bebas setiap waktu
Tukang Kebun
Setiap tahun, selama musim tanam pada bulan Maret hingga September, seorang
tukang kebun menggunakan bahan kimia untuk memeriksa kondisi tanah. Tergantung
pada hasil tes, produktivitas untuk musim baru dapat berupa salah satu dari tiga
keadaan: (1) baik, (2) cukup, dan (3) buruk. Selama bertahun tahun, tukang kebun
telah mengamati bahwa kondisi tanah tahun lalu berdampak pada produktivitas
tahun ini dan hal tersebut dapat dijelaskan dengan rantai Markov berikut:
Kelompok 5
7/54


1,
P = keadaan sistem tahun ini 2,


3,


0, 2 0, 5 0, 3
0, 0 0, 5 0, 5
0, 0 0, 0 1
Jika sistem berada dalam keadaan 1 (baik), terdapat 20% peluang tetap berada di
keadaan 1, 50% peluang beralih ke keadaan 2 (cukup), dan 30% peluang beralih ke
keadaan 3 (buruk). Jika sistem berada dalam keadaan 2 (cukup), tidak ada peluang
untuk tetap di keadaan 2, 50% peluang beralih ke keadaan 2, dan 50% peluang beralih
ke keadaan 3. Jika sistem berada dalam keadaan 3 (buruk), tidak ada peluang untuk
beralih ke keadaan lain; sistem akan tetap di keadaan 3.
Probabilitas transisi menunjukkan bahwa keadaan tanah dapat memburuk atau tetap
sama, tetapi tidak pernah membaik. Probabilitas di setiap baris matriks memberikan
distribusi probabilitas untuk keadaan berikutnya berdasarkan keadaan saat ini.
Kelompok 5
8/54
Tukang kebun dapat mengatasi probabilitas transisi P menggunakan fertilizer untuk
memperbaiki kondisi tanah. Sehingga matriks transisinya menjadi:


1,
P1 = 2,


3,


0, 3 0, 6 0, 1
0, 1 0, 6 0, 3 
0, 5 0, 4 0, 55
Dengan pemberian pupuk, probabilitas transisi berubah. Misalnya, jika tanah saat ini
baik, ada 30% peluang tetap baik, 60% peluang menjadi cukup, dan 10% peluang
menjadi buruk, dan sebagainya. Pemberian pupuk mempengaruhi probabilitas
perubahan keadaan sistem pada tahun berikutnya
Kelompok 5
9/54
ANALISIS RANTAI MARKOV
Kelompok 5
Probabilitas Absolut
n
(0)
Dengan diketahui aj
o
dan P dari sebuah rantai Markov, probabilitas absolut dari
sistem tersebut
setelah sejumlah transisi tertentu ditentukan sebagai berikut.
Anggaplah aj (0) adalah probabilitas absolut dari sistem tersebut setelah n transisi,
yaitu pada saat tn . Ekspresi umum dari aj (0) dalam bentuk aj (0) dan P dapat
ditemukan sebagai berikut.
(1)
aj
(0)
(0)
Juga
(2)
aj
=
X
i
(2)
(1)
ai Pij =
P
(0)
= a1 P1j + a2 P2j + a3 P3j + . . . =
X X
i
k
!
(0)
ak Pki
Pij =
X
k
(0)
ak
X
X
i
(0)
ai Pij
!
Pki Pij
=
X
(0) (2)
ak Pkj
k
dimana Pkj = i Pki Pij adalah probabilitas transisi dua langkah atau order kedua (two
step atau second-order transition probability), yaitu probabilitas untuk bergerak dari
keadaan k ke keadaan j dalam tepat dua transisi.
Kelompok 5
10/54
Demikian pula dapat diperlihatkan berdasarkan induksi bahwa
(n)
aj
=
X
(0)
ai
X
i
(n−1)
Pik
Pkj =
X
(0) (n)
ai Pij
i
k
dimana Pij(n) adalah probabilitas transisi n langkah atau order n dengan diketahui
rumus rekursif
X (n−1)
(n)
Pik
Pkj
Pij =
k
Secara umum, untuk semua i dan j
(n)
Pij
=
X
(n−m) (m)
Pik
Pkj ,
0<m<n
k
Kelompok 5
11/54
Persamaan-persamaan ini dikenal sebagai persamaan Chapman-Kolmogorov
Elemen-elemen dan matriks transisi yang lebih tinggi Pij(n) dapat diperoleh secara
langsung dengan perkalian matriks. Jadi
(2)
= ∥Pij ∥ ∥Pij ∥ = P2
(3)
= Pij 2 ∥Pij ∥ = P3
Pij
Pij
dan secara umum,
(n)
Pij
= Pn−1 P = Pn
Jadi, jika probabilitas absolut didefinisikan dalam bentuk vektor, maka
a(n) =
n
a1 (n) , a2 (n) , a3 (n) , . . .
o
a(n) = a(0) Pn
Kelompok 5
12/54
Contoh
Pertimbangkan rantai Markov berikut ini dengan dua keadaan P =
a(0) =
dengan
7 3 . Tentukan a(1) , a(4) , a(8) Penyelesaian:
2
P =
2 8
6 4
4
2 2
8
4 4
P =P P =
P =P P =
Kelompok 5
2 8
6 4
52 48
=
36 64
52 48
443
48
=
64
36 64
417
557
443 557
=
583
417 583
2 8
6 4
52
36
443
417
557
583
4281 5719
4274 5726
13/54
Jadi
a
a
(4)
(1)
=
=
7 3
a(8) =
7 3
7 3
443
417
4281
4274
2 8
= 32 68
6 4
557
= 435 565
583
5719
= 4279 5721
5726
Hasil yang menarik adalah bahwa baris-baris dari P8 cenderung identik. Juga, a8
cenderung identik dengan baris-baris dari P8 . Hasil ini berkaitan dengan sifat jangka
panjang dari rantai Markov, hasil tersebut menyiratkan bahwa probabilitas absolut
jangka panjang tidak bergantung dari a(0) . Dalam kasus ini, probabilitas yang
dihasilkan dikenal sebagai steady-state probabilities.
Kelompok 5
14/54
Klasifikasi Keadaan di Rantai Markov
Keadaan rantai Markov dapat diklasifikasikan berdasarkan probabilitas transisi pij dari
P, adalah sebagai berikut:
1. Suatu keadaan j absorbing (menyerap) apabila sistem kembali ke dirinya sendiri
dalam hanya satu transisi-yaitu pij = 1.
2. Suatu keadaan j bersifat transient (sementara) jika sistem dapat mencapai
keadaan lain tetapi tidak dapat dijangkau kembali dari keadaan lain. Secara
matematis, hal ini akan terjadi jika pij (n) = 0, untuk semua i.
3. Suatu keadaan j dikatakan recurrent (berulang) jika probabilitas dikunjungi
kembali dari keadaan lain adalah 1 . Hal ini dapat terjadi jika, dan hanya jika,
keadaan tersebut tidak bersifat sementara.
4. Suatu keadaan j bersifat periodic dengan periode t > 1 jika pengembalian hanya
(n)
mungkin terjadi pada t, 2t, 3t, . . . Langkah. Artinya pjj
t.
Kelompok 5
= 0 jika n tidak habis dibagi
15/54
Syarat-Syarat dalam analisa markov
1. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem = 1.
2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem.
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu.
4. Kondisi merupakan kondisi yang independen sepanjang waktu.
Kelompok 5
16/54
Proses Analisis Markov
Terdapat 3 proses utama dalam Analisis Rantai Markov, yaitu :
1. Menyusun matriks probabilitas transisi.
2. Menghitung probabilitas suatu kejadian di waktu yang akan datang
• Tree Probability
• Perkalian Matriks
3. Menentukan kondisi steady state
Kasus Khusus
• Analisis First Passage Time
• Analisis Absorbing Time
Kelompok 5
17/54
Studi Kasus 1
Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 220 unit mobil. Namun tidak semua
mobil dapat beroperasi dikarenakan mesin rusak. Data mobil yang sedang beroperasi
(narik) dan rusak (mogok) adalah sebagai berikut :
Status saat ini
Narik
Mogok
Jumlah
Banyaknya Mobil
Hari 1
Hari 2
120
144
100
76
220
220
Dalam waktu dua hari terdapat perubahan, mobil yang tadinya beroperasi ternyata
rusak, begitu pula sebaliknya untuk mengetahui perubahan yang terjadi ada pada
tabel berikut :
Kelompok 5
18/54
Hari 1
Narik
Mogok
Jumlah
Hari 2
Narik Mogok
70
50
74
26
144
76
Jumlah
120
100
220
Dari data tersebut hitunglah :
1. Matriks Probabilitas Transisi
2. Probabilitas hari ke 3 narik jika hari ke 1 mogok
3. Probabilitas hari ke 5 mogok jika hari ke 1 mogok
4. Probabilitas Steady State kendaraan mogok dan narik yaitu peluang ketika
kendaraan mogok (atau narik) stabil/sama di setiap periode
5. Mean First Return Time (rata-rata waktu kembalinya pertama kali) yaitu waktu
rata-rata yang dibutuhkan suatu sistem untuk kembali ke suatu keadaan
tertentu setelah memulai dari keadaan awal
Kelompok 5
19/54
1. Matriks Probabilitas Transisi
Probabilitas Transisi adalah perubahan dari satu status ke status yang lain pada
periode (waktu) berikutnya dan merupakan suatu proses random yang dinyatakan
dalam probabilitas.
Table: Matriks Kemungkinan Transisi
Dari Keadaan
ke ;
1
2
...
i
...
n
Kelompok 5
Pindah ke keadaan ke
1
2
...
j
...
n
p11 p12 ... p1j ... p1n
p21 p22 ... p2j ... p2n
...
...
...
...
...
...
pil
pi2 ... pij ... pin
...
...
...
...
...
...
p1 n pn2 ... pnj ... pnn
20/54
keterangan:
• n = jumlah keadaan dalam proses
• Pij = kemungkinan transisi dari keadaan saat i ke keadaan j
• Jika saat ini berada pada keadaan i maka baris i dari tabel di atas berisi
angka-angka Pil , Pi2 , Pin merupakan kemungkinan berubah ke keadaan berikutnya.
• Oleh karena angka tersebut melambangkan kemungkinan, maka semuanya
merupakan bilangan non negatif dan tidak lebih dari satu.
0<pij <1
Σ pij = 1
Kelompok 5
i=1,2,...,n
i=1,2,...,n
21/54
Maka, matriks probabilitas transisinya adalah
Hari I
Narik
Mogok
Hari II
Narik
Mogok
70/120=0, 5833 50/120=0, 4167
74/100=0, 74
26/100=0, 26
Table: Matriks Probabilitas Transisi Kasus 1
Kelompok 5
22/54
2. Menghitung Probabilitas Kejadian
• Pendekatan Tree Probability Jika hari ke-1 naik
Kelompok 5
Gambar . Probabilitas Tree jika hari ke-1 naik
23/54
2. Menghitung Probabilitas Kejadian
• Pendekatan Tree Probability Jika hari ke-1 mogok
Kelompok 5
Gambar . Probabilitas Tree jika hari ke-1 mogok
24/54
2. Menghitung Probabilitas Kejadian
• Pendekatan Perkalian Matriks
Menggunakan perhitungan di Excel
Kelompok 5
25/54
3. Menghitung Steady State
Dalam rantai Markov ergodik (sistem cenderung mencapai keadaan stabil),
probabilitas keadaan tunak (steady) didefinisikan sebagai
(n)
πj = aj , j = 0, 1, 2, . . .
(0)
Probabilitas ini, yang tidak bergantung pada aj , dapat ditentukan dari persamaan
π = πP
X
πj = 1
j
(Salah satu dari persamamaan π = π P bersifat redundant). π = π P menyatakan
bahwa probabilitas π tetap tidak berubah setelah transisi sehingga disebut distribusi
steady-state.
Kelompok 5
26/54
Untuk mencari probabilitis Stedy State dari suatu matriks transisi, maka kita dapat
menggunakan rumus
Nn(i+1) Mn(i+1) = Nn(i) Mn(i) × Matriks Probabilitas Transisi
Karena Steady State akan menghasilkan probabilitas yang sama pada periode ke
depan maka rumus tersebut akan berubah menjadi:
Nn(i) Mn(i) = Nn(i) Mn(i) × Matriks Probabilitas Transisi
Dari contoh kasus sebelumnya dengan status hari ke�1 narik, maka kita dapatkan:
0.5833 0.4167
0.74
0.26
Untuk mengurangi kerumitan, periode (i) dapat kita hilangkan, karena pada saat
Steady State tercapai, periode tidak akan mempengaruhi perhitungan. Sehingga
perhitungan di atas akan menjadi:
Kelompok 5
27/54
0.5833 0.4167
Nn Mn = Nn Mn ×
0.74
0.26
Dari perhitungan di atas akan menghasilkan persamaan berikut:
Nn = 0.5833Nn + 0.74Mn
(1)
Mn = 0.4167Nn + 0.26Mn
(2)
Karena salah satu ciri proses markov adalah:
Nn (i) + Mn (i) = 1
maka
N n + Mn = 1
Kelompok 5
28/54
Dengan menstubstitusikan Mn = 1 − Nn ke persamaan (1) didapatkan:
Nn = 0.5833Nn + 0.74(1 − Nn )
Nn = 0.5833Nn + 0.74 − 0.74Nn
1.1567Nn = 0.74
Nn = 0.6398
Lalu kita masukkan nilai Nn = 0,6398 ke dalam persamaan (2) didapatkan: Mn = 0,3602
Dari contoh kasus kita ketahui bahwa Pemilik Kendaraan memiliki 220 kendaraan.
Dengan menggunakan Probabilitas Steady State yang sudah kita dapatkan, Pemilik
dapat mengharapkan jumlah kendaraan setiap harinya narik atau mogok sebanyak:
Narik: Nn × 220 = 0.6398 × 220 = 140.756 atau sebanyak 141 kendaraan
Mogok: Mn × 220 = 0.3602 × 220 = 79.244
Kelompok 5
atau sebanyak 79 kendaraan
29/54
4. Menghitung Mean First Return Time
Suatu hasil langsung dari probabilitas steady-state adalah penentuan jumlah transisi
yang diharapkan sebelum sistem kembali ke keadaan j untuk pertama kalinya. Hal ini
dikenal sebagai waktu rata-rata kembali pertama atau waktu kejadian ulang
rata-rata, dan dihitung dalam rantai Markov dengan n keadaan sebagai:
µjj =
1
,
πj
j = 1, 2, . . . , n
Maka, rata-rata waktu kembali pertama kali dihitung sebagai
µ11 =
1
≈ 1.56,
0.6398
µ22 =
1
≈ 2.77
0.3602
Artinya, rata-rata dibutuhkan waktu sekitar 2 hari agar kembali ke keadaan narik dan
sekitar 3 hari agar kembali ke keadaan mogok.
Kelompok 5
30/54
First Passage Time/Waktu Pertama Kali Berpindah
Kita telah menggunakan probabilitas steady-state untuk menghitung µjj yaitu mean
first return time untuk keadaan j. Pada bagian ini, kita akan membahas mean first
passage time (waktu rata-rata berpindah pertama kali) µij , didefinisikan sebagai
jumlah transisi yang diharapkan untuk mencapai keadaan j dari keadaan i untuk
pertama kalinya. Perhitungannya berakar pada penentuan probabilitas setidaknya
satu lintasan dari keadaan i ke keadaan j, didefinisikan sebagai fij =
P∞
(n)
n=1 fij ,
dimana
(n)
fij adalah probabilitas dari lintasan pertama dari keadaan i ke keadaan j dalam n
transisi.
1. Jika fij < 1, belum tentu sistem akan berpindah dari keadaan i ke keadaan j dan
µij = ∞
2. Jika fij = 1, rantai Markov bersifat ergodik, dan rata-rata waktu perjalanan
pertama dari keadaan i untuk menyatakan j dihitung sebagai
Kelompok 5
31/54
µij =
∞
X
(n)
nfij
n=1
Cara mudah untuk menghitung µij adalah dengan menggunakan ide berikut:
Kembali dari keadaan i ke keadaan j dapat terjadi dalam satu transisi dengan
probabilitas pij , atau dapat terjadi dengan transit melalui keadaan lain k dengan
probabilitas pik diikuti dengan transisi dari k ke j, baik secara langsung atau melalui
(beberapa) keadaan lain. Dalam kasus pertama, panjang transisi adalah 1, dan
panjang transisi kedua yang diharapkan adalah 1 + µij . Ini diterjemahkan ke dalam
persamaan berikut
µij = 1pij +
X
k̸=j
Kelompok 5
X
X
X
pik +
µkj pik = 1 +
µkj pik
1 + µkj pik =
k
k̸=j
k̸=j
32/54
atau, untuk rantai Marcov dengan keadaan m
µij −
X
µkj pik = 1, i, j = 1, 2, ..., m
k̸=j
Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi :
||µij || = (I − Nj )−1 1, j ̸= i
Dimana :
I = (m − 1) matriks identitas
Nj = Matriks transisi P dikurangi baris ke-j dan kolom ke-j dari keadaan target j
1 = (m − 1) Vektor kolom dengan semua elemen yang nilainya sama, yaitu 1
Operasi matriks (I − Nj )
Kelompok 5
−1
1 pada dasarnya menjumlahkan kolom-kolom dari (I − Nj )
−1
33/54
Contoh
Dipunyai rantai Markov pada contoh tukang kebun yang menggunakan pupuk. Matriks
P adalah matriks probabilitas transisinya.


0.30 0.60 0.10
P = 0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
Untuk menyatakan perhitungan waktu pertama kali mencapai keadaan tertentu dari
semua keadaan lain, pertimbangkan perpindahan dari keadaan 2 dan 3 (cukup dan
buruk) ke keadaan 1 (baik), artinya j = 1.
Digunakan persamaan untuk menyelesaikan formula matriks tersebut:
µ21 − 0.60µ21 − 0.30µ31 = 1
µ31 − 0.40µ21 − 0.55µ31 = 1
Kelompok 5
34/54
Maka persamaannya dapat dinyatakan dalam matriks:
µ21 − .60µ21 − .30µ31 = 1
µ31 − .40µ21 − .55µ31 = 1
atau
1 0
0 1
−
.60 .30
.40 .55
µ=
1
1
[I − N1 ] µ = 1 ⇒ µ = [I − N1 ]−1 1
Menggunakan contoh soal tadi,
(I − N1 )
Kelompok 5
−1
=
.4 −.3
−.4 .45
−1
=
7.50 5.00
6.67 6.67
35/54
Oleh karena itu,
µ21
µ31
=
7.50 5.00
6.67 6.67
1
1
=
12.50
13.34
Jadi, rata-rata yang diperlukan agar suatu tanah dapat berubah dari keadaan cukup
ke keadaan baik yaitu 12.5 musim, dan 13.34 musim untuk berubah dari keadaan buruk
ke keadaan baik.
Kelompok 5
36/54
Analisis Absorbing Time
Suatu keadaan dapat dianggap sebagai ”absorbing” jika setelah mencapainya, sistem
tidak dapat berpindah ke keadaan lain. ”Analysis Absorbing Time” dapat diartikan
sebagai analisis terhadap waktu yang diperlukan untuk mencapai keadaan
penyerapan dalam suatu sistem Markov.
Pada kasus tukang kebun, tanpa menggunakan pupuk matriks probabilitas transisinya
adalah


0, 2 0, 5 0, 3
0, 5 0, 5
0, 0 0, 0 1
P = 0, 0
Kondisi 1 dan 2 (kondisi tanah yang baik dan cukup baik) bersifat transient, dan
kondisi 3 (kondisi tanah yang buruk) bersifat absorbing, karena sekali dalam keadaan
itu (menyerap) sistem akan tetap berada di sana tanpa batas waktu.
Sebuah rantai Markov dapat memiliki lebih dari satu keadaan absorbing, seperti
contoh berikut:
Kelompok 5
37/54
Contoh Kasus Absorbing
Terdapat dua mesin pada tempat produksi, Mesin I dan Mesin II, yang digunakan untuk
membuat suatu produk. Setelah produk selesai diolah di salah satu mesin, akan
dilakukan inspeksi. Sebelum inspeksi, ada kemungkinan 5% bahwa produk tersebut
jelek dan akan dibuang sebelum diperiksa.
Setelah inspeksi, ada tiga kemungkinan lagi:
• Ada kemungkinan 3% bahwa produk tersebut tetap jelek dan dibuang.
• Ada kemungkinan 7% bahwa produk tersebut kembali ke mesin yang sama untuk
diperbaiki.
Selain itu, ada kemungkinan bahwa produk tersebut lulus inspeksi di kedua mesin dan
dianggap bagus.
Kelompok 5
38/54
Pertanyaannya adalah:
1. Jika dimulai dengan mengolah produk di Mesin I, berapa rata-rata kali kita akan
melalui setiap keadaan (mulai di Mesin I, inspeksi setelah Mesin I, mulai di Mesin
II, inspeksi setelah Mesin II, dibuang, dan baik)
2. Jika kita memulai dengan batch 1000 unit di Mesin I, berapa rata-rata jumlah unit
yang akan selesai dengan baik?
Dalam kasus ini, keadaan ”dibuang” (J) dan ”baik” (G) adalah keadaan penyerapan
karena setelah kita mencapainya, kita tidak akan pindah ke keadaan lain lagi.
Kelompok 5
39/54
Maka ada 6 kemungkinan:
• S1(Mulai di Mesin I): Ini adalah awal produksi di Mesin I. Ada kemungkinan 5%
bahwa produk akan dibuang sebelum inspeksi (keadaan J) dan kemungkinan 95%
produk akan masuk ke keadaan I1 (Inspeksi setelah Mesin I).
• I1 (Inspeksi setelah Mesin I): Ini adalah keadaan setelah produk melewati Mesin I.
Ada peluang 90% bahwa produk tersebut dinyatakan baik (keadaan G), dan ada
peluang 7% bahwa produk akan dikembalikan ke Mesin I untuk dikerjakan ulang
(keadaan S1)
• S2 (Mulai di Mesin II): Ini adalah keadaan setelah produk melewati inspeksi
setelah Mesin I. Produk sekarang dimulai di Mesin II. Ada peluang 5% bahwa produk
akan dibuang setelah inspeksi (keadaan J), dan peluang 95% bahwa produk akan
melewati inspeksi dan masuk ke keadaan I2 (Inspeksi setelah Mesin II).
• I2 (Inspeksi setelah Mesin II): Ini adalah keadaan setelah produk melewati Mesin
II. Ada peluang 93% bahwa produk tersebut dinyatakan baik (keadaan G), dan ada
peluang 7% bahwa produk akan dikembalikan ke Mesin II untuk dikerjakan ulang
(keadaan S2).
Kelompok 5
40/54
• J (Dibuang): Ini adalah keadaan di mana produk dibuang setelah inspeksi.
• G (Baik): Ini adalah keadaan di mana produk dinyatakan baik setelah melewati
inspeksi di Mesin II.
Dipunyai rantai markov dipartisi
P=
N A
0 I
Maka, matriks probabilitas transisinya adalah
Kelompok 5
41/54
Maka,
Kelompok 5
42/54
Menggunakan perhitungan di Excel, diperoleh

−1 
1
−.95
0
0
1.07 1.02 .98 0.93



−.07
1
−.9
0
0.07
1.07 1.03 0.98
 =
(I − N)−1 = 
 0
 0
0
0
−.95 
0
1.07 1.02
0
0
−.07
1
0
0
0.07 1.07
 



.16 .84
.05 0
1.07 1.02 .98 0.93
 0.07 1.07 1.03 0.98   .03 0   .12 .88 

=

(I − N)−1 A = 
 0
0
1.07 1.02   .05 0   .08 .92 
.03 .9
.04 .96
0
0
0.07 1.07
Kelompok 5




43/54
 

0.05 0
0.16
1.07 1.02 0.98 0.93





0.07 1.07 1.03 0.98 0.03 0  0.12
=
(I − N)−1 A = 
 0
0
1.07 1.02 0.05 0  0.08
0.03 0.9
0.04
0
0
0.07 1.07


0.84
0.88

0.92
0.96
Baris teratas dari (I − N)−1 menunjukkan bahwa, secara rata-rata, mesin I dikunjungi
1,07 kali, inspeksi I dikunjungi 1,02 kali, mesin II dikunjungi 0,98 kali, dan inspeksi II
dikunjungi 0,93 kali. Misalkan, waktu pemrosesan di mesin I dan II adalah 20 dan 30
menit dan waktu inspeksi di I dan II adalah 5 dan 7 menit, maka produk-produk (baik
yang dibuang atau tidak) akan membutuhkan waktu proses jika dimulai di mesin I
adalah dalam 1.07 × 20 + 1.02 × 5 + 0.98 × 30 + 0.93 × 7 = 62.41 menit.
Kelompok 5
44/54
Untuk menentukan jumlah produk yang diselesaikan dalam batch awal sebanyak 1000
buah, kita dapat melihat dari baris (I − N)−1 bahwa:
Probabilitas sebuah produk menjadi sampah = 0,16
Probabilitas sebuah produk bagus = 0,84
Artinya, ada sebanyak 1000 × 0, 84=840 produk yang bagus dari 1000 produk pada
batch awal di mesin I
Kelompok 5
45/54
STUDI KASUS
Kelompok 5
Mencari Matrik Probabilitas Transisi
Untuk menggambarkan proses Markov, akan disajikan suatu contoh masalah tentang
kegiatan-kegiatan pemilihan merek dan peramalan probabilitas transisi yang
menunjukkan kemungkinan konsumen beralih dari satu merek ke merek lain. Dipunyai
sampel konsumen terdiri dari kombinasi 1000 responden yang tersebar pada 4 merek,
A, B, C, dan D. Dianggap sampel tersebut telah mewakili keseluruhan kelompok dalam
kesetiaanya terhadap suatu merek dan pola pergantian dari satu merek ke merek
lain. Konsumen berpindah dari satu merek ke merek lain dapat karena periklanan,
promosi khusus, harga, ketidakpuasan, dan lain-lain.
Dalam Tabel 1, sebagian besar pelanggan yang mula-mula membeli merek A, tetap
memilih merek tersebut pada periode kedua. Meskipun demikian, ada 50 konsumen
tambahan dibanding 45 konsumen yang berpindah dari merek A ke merek-merek lain.
Kelompok 5
46/54
Table: Perubahan Pelanggan
A
B
C
D
JML
Periode
Pertama
220
300
230
250
1000
A
175
20
10
15
220
Perpindahan
B
C
D
40
0
10
230
25
15
5 205
10
25
2 215
300 230 250
Periode Kedua
225
290
230
250
1000
Meskipun kita memiliki informasi pola perpindahan merek langganan dalam tabel di
atas, tetapi tidak ada perubahan pada jumlah dan total pelanggan. Hal ini merupakan
karakteristik dasar proses-proses Markov, yaitu serangkaian perubahan progresif
dan saling ketergantungan.
Kelompok 5
47/54
Selanjutnya adalah kita bentuk probabilitas transisi dan matriksnya
A

B
C
D
 
175 40
0
10
0.796
 20 230 25 15  0.091

−
 10
5 205 10  0.046
0.067
15 25
0 215
0.133
0.767
0.017
0.083
0.000
0.109
0.891
0.000

0.040
0.060

0.040
0.860
Gambar 3. Perhitungan merek oleh pelanggan merek
Kelompok 5
48/54
Perhitungan Matriks Probabilitas Transisi
Merek
A
A
B
C
D
175/220 = 0, 796
20/220 = 0, 091
10/220 = 0, 046
15/220 = 0, 067
B
40/300 = 0, 133
230/300 = 0, 767
5/300 = 0, 017
25/300 = 0, 083
C
D
0/230 = 0
25/230 = 0, 109
205/230 = 0, 891
0/230 = 0
10/250 = 0, 040
15/250 = 0, 060
10/250 = 0, 040
215/250 = 0, 860
Data ini dapat meramalkan tingkat di mana suatu merek akan mendapatkan atau
kehilangan market share-nya dan dapat menunjukan kemungkinan market share
ekuilibrium di waktu yang akan datang sehingga manajemen dapat mengarahkan
usaha-usaha promosinya.
Kelompok 5
49/54
Menghitung Kemungkinan Market Share di Waktu yang Akan Datang
Market Share untuk merek A, B, C, dan D sekarang adalah 22, 30, 23, dan 25 persen
untuk periode pertama. Manajemen akan memperoleh manfaat bila mereka
mengetahui berapa market sharenya di periode waktu yang akan datang. Perhitungan
market share yang mungkin untuk merek A, B, C, dan D dalam periode kedua dapat
diperoleh dengan mengalikan matriks probabilitas transisi dengan market share pada
periode pertama.
A
B

C
D
0.796
A

B  0.091
C  0.046
D
0.067
Kelompok 5
0.133
0.767
0.017
0.083
0.000
0.109
0.891
0.000
 
0.040
0.22


0.060   0.30
×
0.040   0.23
0.860
0.25

0.225
  0.290 
=

  0.230 
0.254


50/54
Setelah pemecahan untuk periode kedua, periode ketiga dapat ditentukan dengan
dua cara.
1. Metode pertama adalah kelanjutan pendekatan perhitungan terdahulu,
mengalikan matriks probabilitas transisi mula-mula dengan market share
periode kedua yang akan menghasilka market share periode ketiga.
2. Metode kedua adalah mengkuadratkan matriks probabilitas transisi untuk jumlah
periode yang diinginkan kemudian mengalikan matriks yang dihasilkan dengan
market share awal.
Metode Pertama(Transisi Linear)
A
B

C
D
A
0.796
B 
 0.091
C  0.046
D
0.067
Kelompok 5
0.133
0.767
0.017
0.083
0.000
0.109
0.891
0.000
 
0.040
0.225
 0.290
0.060 
×
0.040   0.230
0.860
0.255



0.228
  0.283 
=

  0.231 
0.258
51/54
Metode Kedua (Metode Kuadratik)
A
B

C
D
A 0.796
B 
0.091
C 0.046
D 0.067

0.6484
0.1513
=
0.0818
0.1185
Kelompok 5
0.133
0.767
0.017
0.083
0.2112
0.6073
0.0375
0.1440
 
0.040
0.796
0.091
0.060
×
0.040 0.046
0.860
0.067

0.0145 0.742
0.1808 0.1056

0.7957 0.0729
0.0090 0.7473
0.000
0.109
0.891
0.000
0.133
0.767
0.017
0.083
0.000
0.109
0.891
0.000

0.040
0.060

0.040
0.860
52/54
A
B

C
D
0.6484
A

B  0.1513
C  0.0818
D
0.1185
0.2112
0.6073
0.0375
0.1440
0.0145
0.1808
0.7957
0.0090
 
0.22
0.742


0.1056   0.30
×
0.0729   0.23
0.7473
0.35

0.2279
  0.2834 
=

  0.2305 
0.2582


Jadi menggunakan Transisi Linear maupun Transisi Kuadratik sama-sama
menghasilkan market share sebesar 22, 8%, 28, 3%, 23, 1%, dan 25, 8% berturut-turut
merek A, B, C, dan D.
Kelompok 5
53/54
PENYELESAIAN MENGGUNAKAN POM-QM & LINGO
Kelompok 5
Thankyou!!
Kelompok 5
Adhisti Micellia Syaharani (012)
Rasthania Silva Fadlila(020)
Vina Fatimatuzzahri (022)
21 November 2023