Klaus Herrmann
STAT 701 - Probabilités Université de Sherbrooke
STT 701 - Probabilités: Exercices 05
Version française
1. Soit R la droite réelle achevée. Démontrez
(a) B(R) est une vrai tribu,
(b) B(R) = {R ∩ B : B ∈ B(R)},
(c) B(R) est engendrée du ensemble [a, ∞], ou (b, ∞], ou [−∞, c], ou
[−∞, d) avec a, b, c, d ∈ R.
2. Soient (Ω, F ) et (Ω0 , F 0 ) deux espaces mesurable et f : Ω → Ω0 une application (pas nécessairement mesurable). Démontrez que
G = {A0 ∈ F 0 : f −1 [A0 ] ∈ F }
est une tribu sur Ω0 .
3. Soit g : R → R une fonction continue. Démontrez que g est B(R)-B(R)mesurable.
4. Soit f : (Ω, F ) → (R, B(R)) une fonction mesurable et g : R → R une
fonction continue. Démontrez h = g ◦ f est F -B(R)-mesurable.
5. Soient f, g : (Ω, F ) → (R, B(R)) deux fonctions mesurables. Démontrez
(a) h = f g est F -B(R)-mesurable,
Indice: f g = 21 ((f + g)2 − f 2 − g 2 ).
(b) |f | est F -B(R)-mesurable,
(c) max(f, g) et min(f, g) sont F -B(R)-mesurables.
Indice: max(x, y) = (x + y + |x − y|)/2 et min(x, y) = (x + y −
|x − y|)/2.
R1
R1
6. Soient Ω = [0, 1], F = B([0, 1]), P1 (A) = 0 1A (x)dx, P2 (A) = 2 0 x1A (x)dx,
et
X : Ω → R, ω 7→ log(ω),
Y : Ω → R, ω 7→ ω 2 .
Calculez FX;P1 (x) := P1X [(−∞, x]] = P1 [X −1 [(−∞, x]]], FX;P2 (x), FY ;P1 (x)
et FY ;P2 (x) et faites une graphique de X, Y , FX;P1 (x), FX;P2 (x), FY ;P1 (x)
et FY ;P2 (x).
klaus.herrmann@usherbrooke.ca
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Hiver 2020
Klaus Herrmann
STAT 701 - Probabilités Université de Sherbrooke
English Version
1. Denote by R the extended real line. Show that
(a) B(R) is in fact a σ-algebra,
(b) B(R) = {R ∩ B : B ∈ B(R)},
(c) B(R) is generated by sets of the form [a, ∞], or (b, ∞], or [−∞, c],
or [−∞, d) with a, b, c, d ∈ R.
2. Denote by (Ω, F ) and (Ω0 , F 0 ) two measurable spaces and by f : Ω → Ω0
a function (not necessarily measurable). Show that
G = {A0 ∈ F 0 : f −1 [A0 ] ∈ F }
is a σ-algebra in Ω0 .
3. Denote by g : R → R a continuous function. Show that g is B(R)-B(R)measurable.
4. Denote by f : (Ω, F ) → (R, B(R)) a measurable function and by g : R →
R a continuous function. Show that h = g ◦ f is F -B(R)-measurable.
5. Denote by f, g : (Ω, F ) → (R, B(R)) two measurable functions. Show
(a) h = f g is F -B(R)-measurable,
Hint: f g = 12 ((f + g)2 − f 2 − g 2 ).
(b) |f | is F -B(R)-measurable,
(c) max(f, g) and min(f, g) are F -B(R)-measurable.
Hint: max(x, y) = (x+y+|x − y|)/2 et min(x, y) = (x+y−|x − y|)/2.
R1
R1
6. Set Ω = [0, 1], F = B([0, 1]), P1 (A) = 0 1A (x)dx, P2 (A) = 2 0 x1A (x)dx,
and
X : Ω → R, ω 7→ log(ω),
Y : Ω → R, ω 7→ ω 2 .
Compute FX;P1 (x) := P1X [(−∞, x]] = P1 [X −1 [(−∞, x]]], FX;P2 (x), FY ;P1 (x)
and FY ;P2 (x) and trace the graph of X, Y , FX;P1 (x), FX;P2 (x), FY ;P1 (x)
and FY ;P2 (x).
klaus.herrmann@usherbrooke.ca
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Hiver 2020