Cálculo I — Taller I
Universidad
Industrial de
Santander
Funciones, límites y continuidad
Prof. Doris González Rojas
Gilberto Arenas Díaz
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemáticas
Nombre:
Código:
1. Halle lı́m f (x), para el valor a indicado, si
x→a
⎧
1
⎪
⎨
, x < −3,
2 − 3x
a) f (x) =
a = −3;
⎪
⎩ √
3
x + 2, x ≥ −3,
⎧ √
x−1
⎪
⎪
⎪
⎨ x − 1 , 0 ≤ x < 1,
b) f (x) =
⎪
2
⎪
⎪
⎩ x − x , x > 1,
x2 − 1
a = 1.
2. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de las gráficas de las funciones indicadas:
x+2
2x
x2 + 1
a) f (x) = 2
.
c) f (x) =
.
b)
f
(x)
=
.
3
x −4
x
−3
x −x
3. Determine los valores de la constante a, para que la función
%
ax2 + 2x, x ≤ 1,
f (x) =
8x − a2 , x > 1,
sea continua en x = 1.
4. Sea f (x) = x3 − 5x2 + 7x − 9. Demuestre que existe un número real a, tal que f (a) = 0.
5. Dé un ejemplo de una función f tal que
a) f es continua en (a, b), f (a)f (b) < 0 y no existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
b) f está definida en [a, b], es discontinua en x0 ∈ (a, b), f (a)f (b) < 0 y no existe c ∈ (a, b) tal que
f (c) = 0.
6. Diga si las siguientes funciones son continuas en x = p. Justifique su respuesta usando la definición de
continuidad.
⎧ 2
⎧ 2
⎨ x , si x ∈ Q,
⎨ x − 1 , si x ̸= 1,
a) f (x) =
en x = 0.
b) f (x) =
en x = 1.
x−1
⎩
⎩
0,
si x ∈ Q′ ,
2,001,
si x = 1,
7. Dé un ejemplo de una función en cada caso:
a) lı́m f (x) no existe.
x→a
b) lı́m f (x) existe, f (a) existe y lı́m f (x) ̸= f (a).
x→a
x→a
8. Considere f (x) =
9. Sea f (x) =
&
x
. Muestre que existen lı́m f (x) y lı́m f (x). Es f continua en x = 0.
|x|
x→0+
x→0−
sen x
kx + 2
x<π
x≥π
Halle el valor de k tal que f sea continua en x = π.
10. Escriba cuidadosamente el teorema del valor intermedio (TVI).
a) Sea f (x) = tan x. Halle f (π/4) y f (3π/4). Muestre que no existe c ∈ [π/4, 3π/4] tal que f (c) = 0.
Contradice esto el TVI?
b) Compruebe el TVI para f (x) = x3 + 4x2 − 2x con x ∈ [0, 2]
Recopilación de material complementario: talleres y exámenes (propuestos y algunos resueltos); DEGR-GAD, octubre/2014.
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11. Dadas las funciones f y g, y sus gráficas. Úselas para evaluar cada límite, si existe. Si el límite no existe,
explique por qué.
⎧
2
x ≤ −1
⎪
⎨ x + 2x,
x,
−1
<x<2
f (x) =
1,
x=2
⎪
⎩
4 − x,
2<x
a) lı́m [f (x) + g (x)] .
c) lı́m [f (x) · g (x)] .
b) lı́m [f (x) + g (x)] .
f (x)
d ) lı́m
.
x→−1 g (x)
x→2
x→1
x→0
⎧ %
&
⎨ 2 1 − x2 , x ≤ 0
g (x) =
⎩ 1 − 1 x2 , 0 < x
4
e) lı́m x3 f (x) .
x→2
f ) lı́m
x→1
'
3 + f (x).
(∗) Determine si existen valores de x en el dominio de (f · g) (x) en los cuales el límite no exista.
12. Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), justificando su respuesta.
a) La ecuación x3 − 5 = 0 tiene una solución en el intervalo [1, 2].
(
cx + 1, si x ≤ 3
b) Sea f (x) =
. El valor c = 0 hace que la función f sea continua.
cx2 − 1 si x > 3
√ sen(π/x)
9−x
c) lı́m x e
= 0.
d ) El lı́m √
√ no existe.
x→0+
x→9
3− x
13. Evalúe los siguientes límites si existen:
2x2 − 3x + 1
.
x→1
x+1
|x − 7|
lı́m
.
+
7−
x→7
√x
1 − 1 − h2
lı́m
.
h→0
h2
sen 3x
lı́m
.
x→0 sen x
5x3 + 2x2 − 3
lı́m
.
x→∞ (x + 1) (x2 − 4)
cos x
.
x→∞ x
3x + cos x
lı́m
.
x→1 x + sen x
tan x − sen x
lı́m
,
x→0
1 − cos x
2x
lı́m
,
−
x→0 |x| − x
'
lı́m 4 − x2
a) lı́m
f ) lı́m
b)
g)
c)
d)
e)
h)
i)
j)
x→2
k) lı́m
√
x→0
1
1
−
4+x 2
,
x
sen x − x tan x
,
x
)) x **
m) lı́m
,
x→3 2
l) lı́m
x→0
n) lı́m
x→7−
7−x
+ 2.
|x − 7|
14. Teniendo en cuenta la gráfica de la función f (x), determine si la afirmación dada es verdadera o falsa (justifique
su respuesta):
a) f (x) tiene una discontinuidad removible en x = 3.
b) lı́m f (x) = ∞.
x→−1
c) El lı́m f (x) no existe.
x→3
d ) f (x) es continua en el intervalo (−1, 2] .
e)
lı́m f (x) = 0.
x→−∞
Recopilación de material complementario: talleres y exámenes (propuestos y algunos resueltos); DEGR-GAD, octubre/2014.
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