Përkufizimi i sistemeve
• Sistemi është një entitet që e përpunon një bashkësi të
sinjaleve hyrëse për të prodhuar një bashkësi tjetër, të sinjaleve
dalëse.
• Kur sistemi ndërtohet nga komponentët fizikë (mekanikë,
elektrikë, etj.) thuhet se është realizuar në mënyrë harduerike.
• Por
P sistemi
i t i mund
d të realizohet
li h t edhe
dh nëë mënyrë
ë ë softuerike
ft ik kur
k
shprehet si një algoritëm matematikor që e llogaritë sinjalin
dalës në bazë të sinjalit hyrës.
• Pra, sistemi përbëhet nga një bashkësi fizike apo matematike e
komponentëve i cili në një ngacmim hyrës x përgjigjet me një
j në dalje
j të tijj yy.
sinjal
• Sistemi me një hyrje x dhe një dalje y në literaturë haset me
shkurtesën SISO (“Single Input Single Output”) me simbolikë
grafike zakonisht paraqitet si në figurë.
figurë
Ligjërata e 2.
Si t
Sistemet
t
• Përkufizimi i sistemeve
• Lidhjet themelore të sistemeve
• Vetitë e sistemeve
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
1
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
2
Përkufizimi i sistemeve
Lidhjet themelore të sistemeve
• Sistemi shënohet me shkurtesë MIMO (“Multiple Input
Multiple Output”) kur ka më shumë se një hyrje dhe më
j dalje.
j Në këtë lëndë do të trajtohen
j
vetëm
shumë se një
sistemet SISO.
• Përkufizim: Sistemi me një hyrje dhe një dalje përkufizohet
matematikisht si një pasqyrim,
pasqyrim ku hyrjes x i bashkëngjitet dalja
apo përgjigjja e sistemit y, që shënohet si në vijim.
• Sistemi njësi, apo i identitetit i shënuar me I e pasqyron
sinjalin hyrës x në vetveten y=I(x)=x.
S
x 
 y apo y  S  x 
ku S paraqet rregullin (operatorin) e pasqyrimit të dhënë me një
shprehje të qartë matematikore.
matematikore
• Kur sinjali hyrës në sistem dhe ai dalës janë të vazhduar
y  t   S  x  t  
thuhet se sistemi është i vazhduar. Në rastin tjetër, kur hyrja dhe
dalja e sistemit janë sinjale diskrete kemi sistemin diskret, ku
vlen:
y  n   S  x  n 
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
3
x
I
y=x
y  I  x  x
Lidhjet themelore të sistemeve
• Sistemet më të përbëra shpesh zbërthehen në lidhje të nënsistemeve
it
mëë të thjeshta.
thj ht Konfiguracionet
K fi
i t themelore
th
l
të lidhjes
lidhj
janë:
j serike
a)) Lidhja
b) Lidhja paralele
c) Lidhja me riveprim (“feedback”)
• Lidhja serike e dy sistemeve S1 dhe S2 definohet me
pasqyrimin:
y  S 2  S1  x  
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
4
Lidhjet themelore të sistemeve
Lidhjet themelore të sistemeve
• që do të thotë se S1 vepron i pari në x, e pastaj S2 vepron në
përgjigjen e sistemit të parë, që rezulton me përgjigjen e
përgjithshme
p
gj
yy. Kjo
j lidhje
j është pparaqitur
q
në figurën
g
vijuese.
j
• Lidhja paralele e dy sistemeve S1 dhe S2 definohet me
pasqyrimin:
y  S1  x   S 2  x    S1  S2  x   Se  x 
y  S 2  S1  x  
S1  x 
• dhe mund të ekuivalentohet me sistemin Se.
S1
• Lidhja serike mund të ekuivalentohet me një sistem të vetëm
Se, të definuar
d fi
sii kompozicionin
k
i i i i veprimeve,
i
S1 dhe
dh S2.
y  Se  x    S2 S1  x  ku Se   S2 S1 
• Vërejtje: Në rastin e përgjithshëm për Se nuk vlen vetia e
komutacionit
S 2 S1  S1S 2
• Shembull: Le të jenë:
y  S1  x   dx
dh y  S 2  x   x 2
dt dhe
atëherë:
2
2
 S2 S1  x    dxdt    S1S2  x   dxdt  2 x dxdt
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
5
S1  x 
y  S1  x   S 2  x 
+
x
+
S2
S2  x 
Se
Lidhja paralele
• Te lidhja paralele sinjali hyrës x vepron në të dy sistemet, S1
dhe S2, ashtu që sinjali dalës y formohet si shumë e përgjigjeve
të veçanta.
veçanta Në këtë rast edhe nga skema shihet se vlen ligji i
komutacionit
Se   S1  S 2    S2  S1 
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
6
Lidhjet themelore të sistemeve
Vetitë e sistemeve
• Lidhja me riveprim negativ (“negative feedback”) e dy
sistemeve S1 dhe S2 definohet me pasqyrimin:
1. Lineariteti
• Sistemi është linear në qoftë se është homogjen dhe aditiv.
• Sistemi është homogjen nëse në hyrjen e shkallëzuar me
konstantë a, ai përgjigjet me dalje të shkallëzuar me të njëjtin
konstantë të shkallëzimit.
S a  x  a  S  x
x  S2  y 
y  S1  x  S 2  y  
y  S1  x  S 2  y  
S2  y 
• Interpretimi grafik i vetisë së homogjenitetit
x
• Në këtë lidhje duhet të vërehet se sinjali dalës y i modifikuar
me veprimin e sistemit S2 kthehet me parashenjë negative në
hyrje të sistemit S1. Dega e S1 quhet degë direkte (paravajtëse)
e lidhjes, derisa dega e S2 quhet degë rivepruese
(
(prapavajtëse).
jtë )
• Sistemi ekuivalent Se mund të përcaktohet vetëm pas zgjidhjes
së ekuacionit:
y  S 2  y    I  S 2  y   S1  x 
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
7
ax
S a  x

x
S  x
a  S  x
S a  x  a  S  x
• Sistemi homogjen në hyrjen zero përgjigjet me dalje zero.
S 0  x  0  S  x  0
• Sistemi është aditiv nëse në shumën e hyrjeve përgjigjet me
shumën e daljeve.
S  x1  x2   S  x1   S  x2 
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
8
Vetitë e sistemeve
• Interpretimi grafik i vetisë së aditivitetit.
x1
x1
x1  x2
x2
S  x1  x2 
Vetitë e sistemeve
• Interpretimi grafik i vetisë së mbivendosjes.
S  x1 
S  x1   S  x2 

x2
S  x2 
x2
S  x1  x2   S  x1   S  x2 
S  a1 x1  a2 x2   a1S  x1   a2 S  x2 
• Kjo shprehje përkufizon parimin e mbivendosjes (superpozicionimit) që është veti e të gjitha sistemeve lineare.
• Parimi
i i i mbivendosjes
b
d
mundd të zgjerohet
j h edhe
dh për numër
arbitrar të hyrjeve.  N
N

S   ak xk    ak S  xk 
 k 1
 k 1
Ligj. 2
x1
a1 x1  a2 x2
• Për të qenë sistemi linear ai duhet të jetë njëkohësisht
h
homogjen
j dhe
dh aditiv.
diti
Sinjale&Sisteme
a1 x1
x1
9
S  a1 x1  a2 x2 
a1S  x1 
a1S  x1   a2 S  x2 

x2
a2 x2
S  x1 
S  x2 
a2 S  x2 
• Në qoftë se për një sistem nuk e plotëson vetinë e linearitetit
(h
(homogjenitetit
j it tit dhe/ose
dh /
aditivitetit)
diti it tit) atëherë
tëh ë konsiderohet
k id h t se
sistemi është jolinear.
qy
vetia e linearitetit p
për sistemet:
• Shembull: Le të shqyrtohet
a) y  t   S  x  t    ax  t 
•
•
b) y  t   S  x  t    ax  t   b
Sistemi nën (a) është linear.
Sistemi nën (b) është jolinear,
jolinear por qenësishëm linear.
linear
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
10
Vetitë e sistemeve
Vetitë e sistemeve
2. Pandryshueshmëria në kohë (invarianca në zhvendosje)
• Sistemi është i pandryshueshëm në kohë në qoftë se ai në
hyrjen e vonuar përgjigjet me dalje të vonuar për të njëjtën
vonesë kohore.
Përkufizimi matematikor
• Sistemi i vazhduar
y  t   S  x  t    y  t  t0   S  x  t  t0  
• Sistemi diskret
3. Kujtesa
• Një sistem konsiderohet se nuk ka kujtesë në qoftë se dalja në
një moment të caktuar kohor varet vetëm nga vlera e sinjalit
hyrës në atë moment, e jo nga vlerat e mëparshme apo të
ardhshme të sinjalit hyrës.
• Nëse
Në sistemi
i t i nuk
k e ka
k këtë veti,
ti atëherë
tëh ë sistemi
i t i është
ë htë me
kujtesë.
j
quhen edhe sisteme dinamike.
q
• Sistemet me kujtesë
• Sistemet pa kujtesë quhen edhe sisteme statike.
• Shembull: Le të shqyrtohet vetia e kujtesës për sistemet
vijuese:
1 t
a) y  t   4 x  t 
b) y  t    x    d 
C 
3
c)) y  n   nx  n   3 x  n  1 d) y  n   nx  n   2 x 2  n 
y  n  S  x  n   y  n  k   S  x  n  k  
• Shembull: Le të shqyrtohet vetia e invariancës në zhvendosje
për sistemet vijuese:
a)) y  t   S  x  t   t x  t 
b) y  n   S  x  n    x  n   x  n  1
• Si
Sistemi
t i (a)
( ) është
ë htë i ndryshueshëm
d h hë nëë kohë,
k hë sistemi
i t i (b) është
ë htë
invariant
në
zhvendosje.
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
11
• (a) dhe (d) janë sisteme statike, (b) dhe (c) janë sisteme
di
dinamike.
ik
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
12
Vetitë e sistemeve
Vetitë e sistemeve
4. Shkakësia (Kauzaliteti)
• Sistemi është shkakësor, apo kauzal, në qoftë se dalja në
kohën e aktuale varet vetëm nga hyrja në këtë kohë dhe nga
hyrja në kohën e mëparshme, e jo edhe nga hyrja në kohën e
ardhshme.
• Sistemi
Si t i shkakësor
hk kë nukk ka
k aftësi
ftë i për
ë ta
t parashikuar
hik
të ardhmen.
dh
• Përgjigjja e sistemeve shkakësore mund të shprehet vetëm në
j
trajtën:
y  t   f  x  t  , x  t  t1  , x  t  t2  ,
5. Stabiliteti
• Në qoftë se sistemi në hyrjen e kufizuar përgjigjet me dalje të
kufizuar atëherë ai është stabil.
stabil
• Sistemi është stabil nëse implikimi vijues është i saktë
y  n   f  x  n  , x  n  1 , x  n  2 ,
• Shembull: Le të shqyrtohet
qy
vetia e shkakësisë për
p sistemet
vijuese:
a) y  n   x  n   x  n  1
b) y  n   x  n  1  x  n 
2t
x  Bx   
y  By  
• ku Bx është kufiri i sinjalit në hyrje, ndërsa By është kufiri i
sinjalit në dalje të sistemit.
sistemit
• Ky përkufizim i stabilitetit njihet me emërtimin BIBO
(Bounded Input Bounded Output).
• Shembull: Le të shqyrtohet vetia e stabilitetit për sistemet
vijuese:
a) y  t   S  x  t    x 2  t  b) y  t   S  x  t    et x  t 
c) y  t   x  t  1  x  3  t  d) y  t    x   d

• Vetëm sistemi nën (a) është shkakësor.
c) y  n   S  x  n   e
x n 
d) y  n  
n
 x k 
k 
• (a) dhe (c) janë stabile, (b) dhe (d) nuk janë stabile.
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
13
Vetitë e sistemeve
6. Invertibiliteti
• Sistemi është invertibil (i kthyeshëm) në qoftë se hyrjet e
ndryshme shkaktojnë dalje të ndryshme.
ndryshme
x
S
y=S[x]
Sistemi invertibil
S
x=S-1{S[x]}
-1
Sistemi invers
x  S 1  y   S 1S  x   I  x  , I  S 1S
• Sisteme joinvertibile:
y  t   S  x  t    a;
y  n   S  x  n   x 2  n 
• Sistemi invertibil:
y  n  S  x  n  
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
n
 x k 
k 
15
Sinjale&Sisteme
Ligj. 2
14