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LAS MATEMÁTICAS DE LA GESTIÓN DEL DINERO:
TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE RIESGOS PARA COMERCIANTES
por Ralph Vince
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Publicado por John Wiley & Sons, Inc.
Datos de catalogación en publicación de la Biblioteca del
Congreso Vince. Ralph. 1958­Las matemáticas de la gestión del dinero: técnicas de análisis de riesgos para traders/por Ralph Vince.
Incluye referencias bibliográficas e indice.
ISBN 0­471­54738­7
1. Análisis de inversiones—Matemáticas.
2. Gestión de riesgos: Matemáticas 3.
Negociación de programas (valores)
HG4529N56 1992 332,6'01'51­dc20 91­33547
Prefacio y dedicatoria
La acogida favorable de Portfolio Management Formulas superó incluso las mayores expectativas que jamás había tenido sobre el libro. Se lo había escrito a
promover el concepto de f óptima y comenzar a sumergir a los lectores en la teoría de la cartera y su relación faltante con f óptima.
Además de encontrar amigos, Portfolio Management Formulas se encontró sorprendentemente con un gran apetito por las matemáticas relacionadas con la gestión del
dinero. De ahí este libro. Estoy en deuda con Karl Weber, Wendy Grau y otros de John Wiley & Sons que me permitieron la libertad necesaria que requería este libro.
Hay muchas otras personas con quienes he mantenido correspondencia de un modo u otro, o que de una forma u otra han contribuido, ayudado o influido en el material
de este libro. Entre ellos se encuentran Florence Bobeck, Hugo Rourdssa, Joe Bristor, Simon Davis, Richard Firestone, Fred Gehm (con quien tuve la suerte de trabajar durante
un tiempo), Monique Mason, Gordon Nichols y Mike Pascaul. También deseo agradecer a Fran Bartlett de G & H Soho, cuyo magistral trabajo ha transformado una vez más mi
pequeña montaña de caos, mi pequeño camión lleno de leña, en el producto terminado que ahora tienes en tus manos.
Esta lista no está ni cerca de ser completa, ya que hay muchos otros que, en diversos grados, influyeron en este libro de una forma u otra.
Este libro me ha dejado completamente agotado y pretendo que sea el último.
Teniendo esto en cuenta, me gustaría dedicárselo a las tres personas que más me han influido. A Rejeanne, mi madre, por enseñarme a apreciar una imaginación vívida;
a Larry, mi padre, por mostrarme desde pequeño cómo apretar números para hacerlos saltar; a Arlene, mi esposa, socia y mejor amiga. Este libro es para ustedes tres. Tus
influencias resuenan a lo largo de él.
Chagrin Falls, Ohio RV
marzo de 1992
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Índice
Capítulo 5 ­ Introducción a múltiples posiciones simultáneas bajo el
Introducción ................................................ ................................................ 5 Ámbito de
Enfoque paramétrico ................................................ ................................61 Estimación
de la volatilidad ................. ................................................. .........61 Ruina, riesgo y
este libro ................................................ ................................5 Algunos conceptos
realidad ................................. ................................. 62 Modelos de precios de
erróneos prevalentes ................. ................................................6 Peor­ Escenarios
opciones ......... ................................................. .................62 Un modelo europeo
de casos y estrategias ................................................ ...........6 Notación
matemática ................................. ........................................7 Construcciones
de valoración de opciones para todas las distribuciones ................65 La opción
.................................................
larga única y f óptima 66 La única opción corta
................................. .................................69
sintéticas en este texto... ................................................. ...... 7 8 Capítulo 1­Las
.................................................
La posición única en el Instrumento Subyacente ................. ............... 70 Múltiples
Cantidades comerciales óptimas y f óptima
posiciones simultáneas con una relación causal ............... 70 Múltiples posiciones
técnicas empíricas ................................. ....................9 Decidir la
simultáneas con una relación aleatoria .... ........ 72 Capítulo 6 ­ Relaciones
cantidad ......................... ................................................. .9 Conceptos
correlativas y derivación de las variables eficientes
básicos ................................................ ........................................9 La prueba de
carreras..... ................................................. ................................10 Correlación
Frontera ................................................. ................................................. 73 Definición
serial ................ ................................................. ................11 Errores comunes de
del problema ................................................. ...................... 73 S oluciones de
dependencia .................. ................................. 12 Expectativa
sistemas lineales utilizando matrices equivalentes a filas ........76 Interpretación de
Matemática ................. ................................................. .. 13 Para reinvertir o no las
los resultados . ................................................. .................77 Capítulo 7 ­ La
ganancias comerciales ........................................ ............... 14 Cómo garantizar un
geometría de las carteras .................. ........................80 Las Líneas del Mercado de
buen sistema de reinversión la Media Geométrica ..... 14 ¿Cuál es la mejor manera
de reinvertir ............? ................................................. ............15
Capitales (CML) ................ .................................80 La frontera geométrica
eficiente ......... ................................................81 Sin restricciones
Negociación óptima con fracciones fijas ................................. ............15 Fórmulas
carteras ................................................. ...................83 Cómo encaja optima lf con
de Kelly ................................. ................................................. dieciséis Encontrar la
las carteras óptimas ......... ................. 84 Umbral de The Geométrico para
Portafolios ......................... .................85 Completando el
f óptima por la media geométrica ................................16 Para resumir hasta
ahora ................................................. .................... 17 Comercio medio
bucle ................................ ........................................ 85 Capítulo 8 ­ Gestión de
geométrico ......................... ........................................17 Por qué debe conocer su
.................................................
nivel óptimo f 18 La gravedad de la reducción
......................................... ....................
riesgos . ................................................. .................88 Asignación de
activos ................................. ................................................88 Volver asignación:
18 Teoría moderna de carteras ........................ .................................................19 El
cuatro métodos ................................................ .................90 ¿Por qué
modelo de Markovitz . ................................................. ......................19 La estrategia
de cartera de media geométrica ......... ........................21 Procedimientos diarios
reasignar? ................................................. .................................92 Seguro de cartera
– La cuarta técnica de reasignación ......... .......92 La restricción del
para utilizar carteras óptimas ................. ................ 21 Asignaciones superiores al
margen ................................. .................................95 Mercados
100% ........................... ................................22 Cómo la dispersión de los resultados
afecta el crecimiento geométrico ......... ......23 La ecuación fundamental del
rotativos ................. ................................................. ................96 Para
resumir ................................ ................................................. .....96 Aplicación a la
trading ................................. ......... 24 Capítulo 2 ­ Características del comercio
negociación de acciones ................................. ......................97 Un comentario de
fraccionario fijo y saludable
clausura ......................... ................................................. 97 AP PÉNDICE A ­ La
prueba de chi­cuadrado ......................... .................98 AP PÉNDICE B ­ Otras
distribuciones comunes .................. ......... 99 La Distribución
Técnicas ................................................. ................................................26 Óptimo si
para Los pequeños comerciantes que recién comienzan ........................................26
Uniforme ................................. ................................. 99 La Distribución
El umbral de lo geométrico. ................................................. ................... 26 Un
Bernouli ................. ................................................ 100 El Binomio
bankroll combinado versus bankrolls separados ........................ .....27 Thre en cada
Distribución ................................................. ................. 100 La distribución
jugada como si se repitiera infinitamente .................................... ......28 Pérdida de
geométrica ................................ ................................. 101 La distribución
eficiencia en apuestas simultáneas o negociación de carteras ..........28 Tiempo
hipergeométrica ................. ................................... 101 La distribución de
necesario para alcanzar un objetivo específico y problemas con las operaciones fraccionarias
Poisson ........... ................................................. .....102
f ................................................. ................................................. ...... 29
La distribución exponencial ................................................ ............102 La distribución
Comparación de sistemas comerciales ................................................ ..................30
Chi­Cuadrado ................................. ................................103 La distribución del
Demasiada sensibilidad ante la mayor pérdida ......................... ......................... 30
estudiante ................. ................................................103 La distribución
Igualación de f óptima ......................... ................................................. ...31
multinomial ................................................. ........ 104 La distribución paretiana
Promediar dólares y compartir ideas promediadoras ......................... 32 Las leyes
del arco­seno y los paseos aleatorios ................................. ... 33 Tiempo invertidoen
una reducción ......................................... ........................34 Capítulo 3 ­ F óptima
estable ................................. .................104
APÉNDICE C ­ Más sobre la dependencia: los puntos de inflexión y la fase
Pruebas de longitud ................................................ .......................................... 106
paramétrica en la distribución normal ................. .35 Los conceptos básicos de las
distribuciones de probabilidad ................................. ....35 Medidas descriptivas de
distribuciones ......................................... ........35 Momentos de una
distribución.................................. ................................36 La distribución
normal ................. ................................................. ..37 El teorema del límite
central ................................................ .................... 38 Trabajando con la Distribución
Normal ......................... .........................38 Probabilidades
normales .................. ................................................. 39 Otras derivadas de lo
normal .......................................... ........41 La distribución
lognormal ................................. .......................... 41 El óptimo paramétrico
f .................. ................................................. 42 La distribución de las pérdidas y
ganancias comerciales ................................. ..............43 Cómo encontrar f óptima
en la distribución normal ................. ........ 44 La mecánica del
procedimiento ................................. .................... 45 Capítulo 4 ­ Técnicas
paramétricas en otras distribuciones .................... 49 La prueba de Kolmogorov­Smirnov
(KS) ........................................ .....49 Creando nuestra propia Función de Distribución
de Características .....50 Ajustando los Parámetros de la
distribución ........ ...................................52 Uso de los parámetros para encontrar la
f óptima 54 Realización de "¿Qué pasaría si?"................................................
................................................. ....................
56 Ecualización f ......................... ................................................. .............56 Optima
lf sobre otras distribuciones y curvas ajustadas ................. 56 Planificación de
escenarios ................................................. .................................57 Optima lf en
datos agrupados ........... ................................................. ........60 ¿Cuál es la mejor
f óptima? ................................................. ............60
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Los lectores encontrarán que este libro es más abstruso que su predecesor.
Introducción
Por tanto, este no es un libro para principiantes. Muchos lectores de este texto habrán leído
Fórmulas de gestión de carteras. Para aquellos que no lo han hecho, el Capítulo 1 de este libro
resume, a grandes rasgos, los conceptos básicos de las Fórmulas de gestión de carteras. La
ALCANCE DE ESTE LIBRO
inclusión de estos conceptos básicos permite que este libro sea "independiente" de las Fórmulas
de gestión de carteras.
En la primera frase del prefacio de Portfolio Management Formulas, el precursor de este
libro, escribí que se trataba de un libro sobre herramientas matemáticas.
Muchas de las ideas tratadas en este libro ya están en práctica por administradores de
dinero profesionales. Sin embargo, las ideas que están muy extendidas entre los administradores
Este es un libro sobre máquinas.
Aquí tomaremos herramientas y construiremos máquinas­herramientas más grandes, más
elaboradas y más poderosas, donde el todo sea mayor que la suma de las partes. Intentaremos
diseccionar máquinas que de otro modo serían cajas negras de tal manera que podamos
de dinero profesionales no suelen estar fácilmente disponibles para el público inversor. Como
hay dinero de por medio, todo el mundo parece ser muy reservado respecto de las técnicas de
cartera. Encontrar información a este respecto es como intentar encontrar información sobre las
bombas atómicas. Estoy en deuda con numerosos bibliotecarios que me ayudaron a través de
entenderlas completamente sin tener que cubrir todos los temas relacionados (lo que habría
hecho imposible este libro). Por ejemplo, un discurso sobre cómo construir un motor a reacción
puede ser muy detallado sin tener que enseñarte química para que sepas cómo funciona el
muchos laberintos de revistas profesionales para llenar muchos de los vacíos en la redacción de
este libro.
combustible para aviones. Lo mismo ocurre con este libro, que se basa en gran medida en
Este libro no requiere que usted utilice un sistema de comercio objetivo y mecánico para
muchas áreas, particularmente en estadística, y toca el cálculo. No estoy tratando de enseñar
matemáticas aquí, aparte de las necesarias para comprender el texto. Sin embargo, he intentado
poder emplear las herramientas que se describen en este documento. En otras palabras, alguien
escribir este libro de modo que, si entiendes cálculo (o estadística), tenga sentido y, si no, habrá
que utiliza Elliott Wave para tomar decisiones comerciales, por ejemplo, ahora puede emplear f
poca o ninguna pérdida de continuidad, y aún podrás utilizarlo y comprenderlo. (en su mayor
óptima.
Sin embargo, las técnicas descritas en este libro, como las de Fórmulas de gestión de
parte) el material cubierto sin sentirse perdido.
carteras, requieren que la suma de sus apuestas sea un resultado positivo. En otras palabras,
estas técnicas harán mucho por ti, pero no harán milagros. Mezclar dinero no puede convertir las
pérdidas en ganancias. Para empezar, debes tener un enfoque ganador.
Ciertas funciones matemáticas se utilizan de vez en cuando en estadística. Estas funciones,
La mayoría de las técnicas defendidas en este texto son técnicas que le resultarán
que incluyen las funciones gamma y gamma incompleta, así como las funciones beta y beta
incompleta, a menudo se denominan funciones de física matemática y residen justo más allá del
ventajosas a largo plazo. A lo largo del texto encontrará el término "un sentido asintótico" que
perímetro del material de este texto. Cubrirlos con la profundidad necesaria para hacer justicia al
significa el resultado final de algo realizado un número infinito de veces, cuya probabilidad se
lector está más allá del alcance y de la dirección de este libro. Este es un libro sobre gestión de
acerca a la certeza a medida que continúa el número de intentos. En otras palabras, algo de lo
cuentas para traders, no sobre física matemática, ¿recuerdas? Para aquellos verdaderamente
que podemos estar casi seguros a largo plazo. La raíz de esta expresión es el término matemático
interesados en conocer la "química del combustible para aviones", sugiero Recetas Numéricas,
"asíntota", que es una línea recta considerada como límite de una línea curva en el sentido de
a las que se hace referencia en la Bibliografía.
que la distancia entre un punto en movimiento en la línea curva y la línea recta tiende a cero
cuando el El punto se mueve una distancia infinita desde el origen.
He tratado de cubrir mi material lo más profundamente posible considerando que no es
El comercio nunca es un juego fácil. Cuando la gente estudia estos conceptos, a menudo
necesario saber cálculo o funciones de física matemática para ser un buen comerciante o
administrador de dinero. En mi opinión, no existe mucha correlación entre la inteligencia y ganar
tiene una falsa sensación de poder. Digo falso porque la gente tiende a tener la impresión de
dinero en los mercados. Con esto no quiero decir que cuanto más tonto seas, creo que mayores
que algo muy difícil de hacer es fácil cuando entienden la mecánica de lo que deben hacer. A
serán tus posibilidades de éxito en los mercados. Quiero decir que la inteligencia por sí sola no
medida que lea este texto, tenga en cuenta que no hay nada en este texto que lo convierta en un
es más que un aporte muy pequeño a la ecuación de lo que caracteriza a un buen trader. En
mejor operador, nada que mejore su momento de entrada y salida de un mercado determinado,
términos de qué aportaciones hacen a un buen trader, creo que la fortaleza mental y la disciplina
nada que mejore su selección de operaciones.
superan con creces a la inteligencia. Todos los traders exitosos que he conocido o de los que he
oído hablar han tenido al menos una experiencia de pérdida catastrófica. El denominador
Estos ejercicios difíciles seguirán siéndolo incluso después de que haya terminado y comprendido
común, al parecer, la característica que separa a un buen comerciante de los demás, es que el
este libro.
buen comerciante levanta el teléfono y pone orden cuando las cosas están en su punto más
Desde la publicación de Portfolio Management Formulas , algunas personas me han
sombrío. Esto requiere mucho más de un individuo de lo que el cálculo o la estadística pueden
preguntado por qué elegí escribir un libro en primer lugar. El argumento suele tener algo que ver
enseñarle.
con que el mercado es un ámbito competitivo y, en su opinión, escribir un libro es análogo a
educar a los adversarios.
En resumen, he escrito esto como un libro para que lo utilicen los comerciantes en el
Los mercados son vastos. Muy pocas personas parecen darse cuenta de lo enormes que
mercado del mundo real. No soy un académico. Mi interés está en la utilidad del mundo real
son los mercados actuales. Es cierto que los mercados son un juego de suma cero (en el mejor
antes que en la pureza académica.
de los casos), pero como resultado de su enormidad usted, el lector, no es mi adversario.
Además, he tratado de proporcionar al lector más información básica de la que requiere el
texto con la esperanza de que el lector profundice en los conceptos más allá de lo que yo he
Como la mayoría de los traders, yo mismo soy a menudo mi mayor enemigo.
Esto no sólo es cierto en mis esfuerzos dentro y alrededor de los mercados, sino en la vida en
llegado aquí.
general. Otros comerciantes no representan para mí la amenaza que yo mismo represento. No
creo que esté solo en esto. Creo que la mayoría de los traders, como yo, son sus peores
Una cosa que siempre me ha intrigado es la arquitectura de la música: la teoría musical.
enemigos.
Disfruto leyendo y aprendiendo sobre esto. Sin embargo, no soy músico. Ser músico requiere
cierta disciplina que la simple comprensión de los rudimentos de la teoría musical no puede
A mediados de la década de 1980, a medida que la microcomputadora se estaba
otorgar. Lo mismo ocurre con el comercio. La administración del dinero puede ser el núcleo de
convirtiendo rápidamente en la herramienta principal para los operadores, había una gran
un programa comercial sólido, pero simplemente comprender la administración del dinero no lo
cantidad de programas comerciales que entraban en una posición con una orden stop, y la
convertirá en un operador exitoso.
colocación de estas paradas de entrada era a menudo una función de la volatilidad actual. en un
mercado determinado. Estos sistemas funcionaron maravillosamente durante un tiempo. Luego,
cerca del final de la década, este tipo de sistemas parecieron colapsar. En el mejor de los casos,
Este es un libro sobre teoría musical, no un libro de instrucciones sobre cómo tocar un
sólo pudieron obtener una pequeña fracción de las ganancias que estos sistemas obtenían
instrumento. Del mismo modo, este no es un libro sobre cómo vencer a los mercados y no
encontrará un único gráfico de precios en este libro. Más bien es un libro sobre conceptos
apenas unos años antes. La mayoría de los comerciantes de estos sistemas los abandonarían
matemáticos, que da ese importante paso de la teoría a la aplicación, que usted puede emplear.
más tarde, afirmando que si "todo el mundo los comerciaba, ¿cómo podrían seguir funcionando?".
No le otorgará la capacidad de tolerar el dolor emocional que el comercio inevitablemente le
depara, gane o pierda.
La mayoría de estos sistemas negociaban en el mercado de futuros de Bonos del Tesoro.
Consideremos ahora el tamaño del mercado al contado subyacente a este mercado de futuros.
Los árbitros en estos mercados intervendrán cuando los precios del contado y de los futuros
Este libro no es una secuela de Fórmulas de gestión de carteras.
diverjan en una cantidad apropiada (normalmente no más de unos pocos ticks), comprando el
Más bien, las fórmulas de gestión de carteras sentaron las bases de lo que se tratará aquí.
menos costoso de los dos instrumentos y vendiendo
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el más caro. Como resultado, la divergencia entre el precio del efectivo y los futuros se
PEORES ESCENARIOS Y ESTRATEGIA
disipará en poco tiempo. El único momento en que la relación entre efectivo y futuros
La parte de "esperar lo mejor" es bastante fácil de manejar. Prepararse para lo peor
realmente puede salirse de control es cuando un shock exógeno, como algún tipo de
es bastante difícil y algo que la mayoría de los traders nunca hacen. Prepararse para lo
acontecimiento noticioso, hace que los precios diverjan más de lo que normalmente
permitiría el proceso de arbitraje. Estas perturbaciones suelen ser de muy corta duración y
bastante raras. Un arbitrajista capitaliza las discrepancias de precios, un tipo de las cuales
es la relación de un contrato de futuros con su instrumento en efectivo subyacente. Como
resultado de este proceso, el mercado de futuros de bonos del Tesoro está intrínsecamente
ligado al enorme mercado de bonos del Tesoro en efectivo. El mercado de futuros refleja,
al menos con una precisión de unos pocos ticks, lo que está pasando en el gigantesco
peor, ya sea en el comercio o en cualquier otra cosa, es algo que la mayoría de nosotros
posponemos indefinidamente. Esto es particularmente fácil de hacer si consideramos que
los peores escenarios suelen tener probabilidades de ocurrencia bastante remotas. Sin
embargo, prepararnos para el peor de los casos es algo que debemos hacer ahora. Si
queremos estar preparados para lo peor, debemos hacerlo como punto de partida de
nuestra estrategia de gestión del dinero.
A medida que avance en este texto verá que siempre elaboramos una estrategia a
mercado de efectivo. El mercado de efectivo no está, ni nunca ha estado, dominado por
partir del peor de los casos. Siempre comenzamos con el peor de los casos y lo
operadores de sistemas. Todo lo contrario.
incorporamos a una técnica matemática para aprovechar situaciones que incluyen la
realización del peor de los casos.
Volviendo ahora a nuestro argumento, ¡es bastante inconcebible que todos los
Finalmente, debes considerar el siguiente axioma. Si juegas un juego con
operadores en el mercado de contado comenzaran a operar con los mismos tipos de
responsabilidad ilimitada, arruinarás con una probabilidad que se acerca a la certeza a
sistemas que aquellos que ganaban dinero en el mercado de futuros en ese momento!
Tampoco es más concebible que estos participantes en efectivo decidieran unirse contra
aquellos que se estaban beneficiando del mercado de futuros. No hay ninguna razón válida
por la que estos sistemas deberían haber dejado de funcionar, o dejar de funcionar tan bien
como lo habían hecho, simplemente porque muchos Los comerciantes de futuros los
negociaban. Ese argumento también sugeriría que un gran participante en un mercado muy
medida que la duración del juego se acerca al infinito. No es una perspectiva muy
agradable. La situación se puede entender mejor diciendo que si sólo puedes morir al ser
alcanzado por un rayo, eventualmente morirás al ser alcanzado por un rayo. Simple. Si
intercambia un vehículo con responsabilidad ilimitada (como futuros), eventualmente
experimentará una pérdida de tal magnitud que perderá todo lo que tiene.
reducido estaría condenado al mismo fracaso que los operadores de estos sistemas en los
Por supuesto, las probabilidades de ser alcanzado por un rayo son extremadamente
bonos. Del mismo modo, es una tontería creer que se eliminará toda la grasa de los
pequeñas para usted hoy y extremadamente pequeñas para usted durante los próximos cincuenta años.
mercados sólo porque escribo un libro sobre conceptos de gestión de cuentas.
Sin embargo, la probabilidad existe, y si vivieras lo suficiente, eventualmente esta
Eliminar el exceso del mercado requiere más que una comprensión de los conceptos
de administración del dinero. Se requiere disciplina para tolerar y soportar el dolor emocional
a un nivel que 19 de cada 20 personas no pueden soportar.
Esto no lo aprenderás en este libro ni en ningún otro. Cualquiera que diga estar intrigado
por el "desafío intelectual de los mercados" no es un comerciante.
Los mercados son tan desafiantes intelectualmente como una pelea a puñetazos. En ese
probabilidad microscópica se haría realidad. Del mismo modo, la probabilidad de
experimentar una pérdida catastrófica en una posición hoy puede ser extremadamente
pequeña (pero mucho mayor que la de ser alcanzado por un rayo hoy). Sin embargo, si
opera durante el tiempo suficiente, eventualmente esta probabilidad también se hará
realidad.
Hay tres posibles cursos de acción que puede tomar. Una es comercializar sólo
vehículos donde la responsabilidad es limitada (como las opciones largas).
sentido, el mejor consejo que conozco es cubrirse siempre la barbilla y golpear mientras
corre. Ya sea que ganes o pierdas, hay importantes derrotas en el camino. Pero en realidad
La segunda es no comerciar durante un período de tiempo infinitamente largo. La mayoría
los mercados tienen muy poco que ofrecer como desafío intelectual. En última instancia,
de los traders morirán antes de ver manifestarse la pérdida catastrófica (o antes de ser
el trading es un ejercicio de autodominio y resistencia. Este libro intenta detallar la estrategia
alcanzados por un rayo). También existe la probabilidad de una enorme operación
de la pelea a puñetazos. Como tal, este libro es de utilidad sólo para alguien que ya posee
ganadora, y una de las cosas buenas de ganar en el trading es que no es necesario tener
la fortaleza mental necesaria.
una operación ganadora gigantesca. Muchas victorias menores serán suficientes. Por lo
tanto, si no va a comercializar vehículos de responsabilidad limitada y no va a morir,
decida que dejará de comercializar vehículos de responsabilidad ilimitada por completo
siempre y cuando el capital de su cuenta alcance algún objetivo preespecificado. . Si logras
ALGUNOS CONCEPTOS ERRÓNEOS PREVALENTES
ese objetivo, sal y no vuelvas nunca más.
Te encontrarás cara a cara con muchos conceptos erróneos prevalentes en este
texto. Entre ellas se encuentran:
Hemos estado discutiendo los peores escenarios y cómo evitarlos, o al menos reducir
− La ganancia potencial frente al riesgo potencial es una función lineal. Es decir, cuanto
las probabilidades de que ocurran. Sin embargo, esto no nos ha preparado realmente para
más arriesgues, más ganarás.
que ocurran y debemos prepararnos para lo peor. Por ahora, considera que hoy tuviste esa
pérdida catastrófica. Su cuenta ha sido bloqueada. La firma de corretaje quiere saber qué
− Su posición en el espectro de riesgo depende del tipo de vehículo.
va a hacer con ese gran débito en su cuenta. No esperabas que esto sucediera hoy. Nadie
cle que está comercializando.
que alguna vez experimente esto lo espera.
− La diversificación reduce las caídas (puede hacerlo, pero sólo en una medida muy
pequeña: mucho menos de lo que la mayoría de los comerciantes creen).
− El precio se comporta de forma racional.
El último de estos conceptos erróneos, que el precio se comporta de manera racional,
es probablemente el menos comprendido de todos, considerando lo devastadores que
Tómate un tiempo e intenta imaginar cómo te sentirás en tal situación. A continuación,
intente determinar qué hará en tal caso. Ahora escriba en una hoja de papel exactamente
lo que hará, a quién puede llamar para obtener ayuda legal, etc. Hágalo lo más definitivo
pueden ser sus efectos. Por "manera racional" se entiende que cuando se realiza una
posible. Hazlo ahora para que si sucede sepas qué hacer sin tener que pensar en estos
operación a un precio determinado, se puede estar seguro de que el precio avanzará de
manera ordenada hasta el siguiente tick, ya sea hacia arriba o hacia abajo, es decir, si un
precio se está moviendo desde de un punto a otro, se negociará en todos los puntos
asuntos. ¿Hay medidas que pueda tomar ahora para protegerse antes de esta posible
pérdida catastrófica? ¿Está seguro de que no preferiría cambiar un vehículo con
responsabilidad limitada?
intermedios. La mayoría de la gente es vagamente consciente de que el precio no se
comporta de esta manera, sin embargo, la mayoría de la gente desarrolla metodologías
Si va a cambiar un vehículo con responsabilidad ilimitada, ¿en qué punto positivo se
comerciales que asumen que el precio actúa de esta manera ordenada.
detendrá? Anota cuál es ese nivel de beneficio.
Pero el precio es un valor percibido sintético y, por tanto, no actúa de manera tan
No se limite a leer esto y luego seguir leyendo el libro. Cierra el libro y piensa en estas
racional. El precio puede dar saltos muy grandes en ocasiones al pasar de un precio a otro,
cosas por un rato. Éste es el punto a partir del cual construiremos.
evitando por completo todos los precios intermedios. El precio es capaz de dar saltos
gigantescos y con mucha más frecuencia de lo que la mayoría de los comerciantes creen.
Estar en el lado equivocado de tal movimiento puede ser una experiencia devastadora, que
aniquila por completo a un operador.
El objetivo aquí no ha sido hacerte pensar de forma fatalista.
Eso sería contraproducente, porque para operar eficazmente en los mercados se
necesitará mucho optimismo de su parte para superar las inevitables y prolongadas rachas
¿Por qué mencionar este punto aquí? Porque la base de cualquier estrategia de
de pérdidas. El objetivo aquí ha sido hacerle pensar en el peor de los casos y hacer planes
juego eficaz (y la gestión del dinero es, en última instancia, una estrategia de juego) es
de contingencia en caso de que se produzca el peor de los casos. Ahora, tome esa hoja
esperar lo mejor pero prepararse para lo peor.
de papel con sus planes de contingencia (y con la cantidad en la que dejará de operar con
vehículos de responsabilidad ilimitada escrita en ella) y colóquela en el cajón superior de
su escritorio. Ahora bien, si el peor de los casos
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Si el escenario se desarrolla, sabes que no saltarás por la ventana.
Piramidar (agregar contratos a lo largo del curso de una operación) es
vistos en el sentido de gestión del dinero como sistemas de mercado separados y distintos,
más que como la entrada original. Por ejemplo, si está utilizando un
Espera lo mejor, pero prepárate para lo peor. Si no lo has hecho
estos ejercicios, entonces cierre este libro ahora y manténgalo cerrado. Nada
técnica comercial que las pirámides, debe tratar la entrada inicial como una
puede ayudarle si no tiene esta base sobre la cual construir.
sistema de mercado. Cada complemento, cada vez que avanzas en pirámide, constituye
otro sistema de mercado. Suponga que su técnica comercial requiere que usted
agregue cada vez que tenga una ganancia de $1,000 en una operación. Si detecta una
NOTACIÓN MATEMÁTICA
operación realmente grande, agregará más y más contratos a medida que avance la operación.
Dado que este libro está infectado con ecuaciones matemáticas, he intentado
progresa a través de estos niveles de ganancia de $1,000. Cada complemento por separado
para hacer que la notación matemática sea lo más fácil de entender y fácil de
debería tratarse como un sistema de mercado independiente. Hay un gran beneficio en
llevar del texto al teclado de la computadora, en la medida de lo posible. Multiplicación
haciendo esto. El beneficio es que las técnicas discutidas en este libro
siempre se indicará con un asterisco (*) y la exponenciación siempre se indicará con un signo
producir las cantidades óptimas para un sistema de mercado dado como
de intercalación elevado (^). Por lo tanto, la raíz cuadrada de un
función del nivel de patrimonio en su cuenta. Al tratar cada complemento
El número se indicará como ^(l/2). Nunca tendrás que encontrarte con el
Como sistema de mercado independiente, podrá utilizar las técnicas analizadas en este libro
signo radical. La división se expresa con una barra (/) en la mayoría de los casos. Desde
para conocer la cantidad óptima que debe agregar a su nivel actual de capital.
el signo radical y la forma de expresar la división con una horizontal
línea también se utilizan como operador de agrupación en lugar de paréntesis, es decir
Otro constructo sintético muy importante que utilizaremos es el concepto de unidad. Los
Se evitará confusión utilizando estas convenciones para la división y
HPR que calculará para el proceso separado
exponenciación. Los paréntesis serán el único operador de agrupación utilizado,
Los sistemas de mercado deben calcularse sobre la base de "1 unidad". En otras palabras, si
y pueden usarse para ayudar en la claridad de una expresión incluso si
son contratos de futuros u opciones, cada operación debe ser por 1 contrato.
no son matemáticamente necesarios. En determinados momentos especiales, paréntesis
Si está negociando acciones, debe decidir qué tan grande es 1 unidad. Puede
({ }) también se puede utilizar como operador de agrupación.
ser 100 acciones o puede ser 1 acción. Si opera en mercados al contado o en divisas (forex),
La mayoría de las funciones matemáticas utilizadas son bastante sencillas.
debe decidir el tamaño de 1 unidad. Al utilizar resultados basados en el comercio de 1 unidad
(p. ej., la función de valor absoluto y la función logarítmica natural). Uno
como entrada para los métodos de este libro, usted
Sin embargo, una función que puede no ser familiar para todos los lectores es la función
Podrá obtener resultados de salida basados en 1 unidad. Es decir, lo harás
exponencial, indicada en este texto como EXP(). Esto es más común
Sepa cuántas unidades debe tener para una operación determinada. no lo hace
expresado matemáticamente como la constante e, igual a 2,7182818285,
No importa el tamaño que decidas que sea 1 unidad, porque es solo una situación hipotética.
elevado a la potencia de la función. De este modo:
constructo necesario para realizar los cálculos. Para cada mercado
EXP(X) = e^X = 2,7182818285^X
sistema, debes calcular qué tan grande será 1 unidad. Por ejemplo, si
La razón principal por la que opté por utilizar la notación de función EXP(X)
usted es un comerciante de divisas, puede decidir que 1 unidad será un millón
es que la mayoría de los lenguajes informáticos tienen esta función de una forma u otra. Dado
Dólares estadounidenses. Si es comerciante de acciones, puede optar por un tamaño de 100
Comparte.
que gran parte de las matemáticas de este libro terminarán transcritas a
código de computadora, encuentro esta notación más sencilla.
Finalmente, debes determinar si puedes intercambiar unidades fraccionarias.
O no. Por ejemplo, si opera con materias primas y define 1
unidad como si fuera 1 contrato, entonces no puedes intercambiar unidades fraccionarias (es decir, un
CONSTRUCCIONES SINTÉTICAS EN ESTE TEXTO
tamaño unitario menor que 1), porque la denominación más pequeña en la que
A medida que avance en el texto, verá que hay una cierta
puede negociar contratos de futuros es de 1 unidad (posiblemente pueda negociar unidades
geometría a este material. Sin embargo, para llegar a esta geometría debemos
cuasifraccionales si también negocia minicontratos). Si usted es un comerciante de acciones y
Tendrá que crear ciertas construcciones sintéticas. Por un lado, convertiremos
Si define 1 unidad como 1 acción, entonces no podrá negociar la unidad fraccionaria.
transfiera las ganancias y pérdidas a lo que se denominará rendimientos del período de
Sin embargo, si define 1 unidad como 100 acciones, entonces puede negociar la unidad
tenencia o HPR para abreviar. Un HPR es simplemente 1 más lo que hiciste
fraccionaria, si está dispuesto a negociar el lote impar.
o perdido en la operación como porcentaje. Por lo tanto, una operación que generó un 10%
Si está negociando futuros, puede decidir que 1 unidad sea 1 minicontrato y no permitir
la ganancia se convertiría a un HPR de 1+.10 = 1.10. De manera similar, un comercio
la unidad fraccionaria. Ahora, suponiendo que 2 minicontratos equivalen a 1 contrato regular,
que perdió el 10% tendría un HPR de 1+(­.10) = .90. La mayoría de los textos, cuando
si obtienes una respuesta de las técnicas de este libro para intercambiar 9 unidades, eso
refiriéndose al rendimiento del período de tenencia, no agregue 1 a la ganancia porcentual
significaría que deberías intercambiar 9
o pérdida. Sin embargo, a lo largo de este texto, siempre que nos referimos a un HPR,
minicontratos. Dado que 9 dividido por 2 es igual a 4,5, lo óptimo sería
siempre será 1 más la ganancia o pérdida como porcentaje.
negocie 4 contratos regulares y 1 minicontrato aquí.
Otro constructo sintético que debemos utilizar es el de un sistema de mercado.
Un sistema de mercado es cualquier enfoque comercial determinado en cualquier mercado determinado (el
(un enfoque no tiene por qué ser un sistema de comercio mecánico, pero a menudo lo es). Por
ejemplo, digamos que estamos utilizando dos enfoques separados para negociar dos
Generalmente, desde el punto de vista de la gestión del dinero, es muy ventajoso poder
negociar la unidad fraccionaria, pero esto no siempre es cierto.
Consideremos dos comerciantes de acciones. Se define 1 unidad como 1 acción y no se puede
negociar la unidad fraccionaria; el otro define 1 unidad como 100 acciones y puede
mercados, y decir que uno de nuestros enfoques es una media móvil simple
sistema cruzado. El otro enfoque realiza operaciones basadas en nuestra interpretación de El­
liott Wave. Además, supongamos que negociamos en dos mercados separados, por ejemplo,
negociar la unidad fraccionaria. Supongamos la cantidad óptima para negociar hoy.
para el primer comerciante es negociar 61 unidades (es decir, 61 acciones) y para el segundo
El comerciante para el mismo día debe negociar 0,61 unidades (nuevamente 61 acciones).
los bonos del Tesoro y el combustible para calefacción. Por lo tanto tenemos un total de
Otros me han dicho que, para ser un mejor maestro, debo
cuatro sistemas de mercado diferentes. Tenemos el sistema de media móvil activado.
bonos, la Onda de Elliott negocia con bonos, el sistema de media móvil en
Llevar el material a un nivel que el lector pueda entender. A menudo
combustible para calefacción, y Elliott Wave comercializa combustible para calefacción.
Las sugerencias de estas otras personas tienen que ver con la creación de analogías entre el
concepto que estoy tratando de transmitir y algo que ya son.
Un sistema de mercado puede diferenciarse aún más por otros factores, uno
familiar con. Por lo tanto, a modo de instrucción, encontrará numerosas analogías en este
de los cuales es la dependencia. Por ejemplo, digamos que en nuestra media móvil
texto. Pero aborrezco las analogías. Mientras que las analogías pueden
sistema discernimos (a través de los métodos discutidos en este texto) que ganar
ser una herramienta eficaz tanto para la instrucción como para la argumentación, no me gusta
las operaciones engendran operaciones perdedoras y viceversa. Por tanto, romperíamos
porque toman algo extraño para la gente y (a menudo de manera bastante engañosa) lo
nuestro sistema de media móvil en cualquier mercado determinado en dos sistemas de
mercado distintos. Uno de los sistemas de mercado aceptaría transacciones sólo después de un
pérdida (debido a la naturaleza de esta dependencia, este es un sistema más ventajoso), el
ajustan a la fuerza a un modelo de lógica de algo que la gente ya
saber es verdad. Aquí hay un ejemplo:
La raíz cuadrada de 6 es 3 porque la raíz cuadrada de 4 es 2 y 2+2 =
otro sistema de mercado sólo después de una ganancia. Referente
4. Por lo tanto, como 3+3 = 6, entonces la raíz cuadrada de 6 debe ser 3.
Volvamos a nuestro ejemplo de negociación de este sistema de media móvil junto con bonos
del Tesoro y combustible para calefacción y utilizando la onda de Elliott.
Las analogías explican, pero no resuelven. Más bien, una analogía hace
Además de las operaciones, ahora tenemos seis sistemas de mercado: el sistema de media
la suposición a priori de que algo es cierto, y esta "explicación"
móvil después de una pérdida en bonos, el sistema de media móvil después de una ganancia en
luego se hace pasar por la prueba. Tienes mis disculpas de antemano por
bonos, la Onda de Elliott opera con bonos, el sistema de media móvil después de una ganancia en el
el uso de las analogías en este texto. He optado por ellos sólo por el
combustible para calefacción, el sistema de media móvil después de una pérdida en el combustible
propósito de la instrucción.
para calefacción, y la Onda de Elliott opera con combustible para calefacción.
­7­
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cuando van a leerlo si inconscientemente están buscando un solo
CANTIDADES COMERCIALES ÓPTIMAS Y F ÓPTIMA
corazón. No me disculpo por esto; Esto no debilita la lógica de la
La teoría moderna de carteras, quizás el pináculo de los conceptos de gestión del
texto; más bien, lo enriquece. Este libro puede llevarte más de una lectura para descubrir
dinero en el ámbito del comercio de acciones, no ha sido adoptada por muchos.
muchos de sus corazones, o simplemente para sentirte cómodo con él.
el resto del mundo comercial. Los operadores de futuros, cuyas operaciones técnicas
Uno de los muchos núcleos de este libro es el concepto más amplio de toma de
Las ideas generalmente son adoptadas por sus primos del comercio de acciones, se han
mostrado reacios a aceptar ideas del mundo del comercio de acciones. Como consecuencia,
decisiones en entornos caracterizados por consecuencias geométricas. Un entorno de
La teoría moderna de carteras nunca ha sido realmente adoptada por los futuros.
consecuencias geométricas es un entorno.
comerciantes.
donde una cantidad con la que tienes que trabajar hoy es una función de la anterior
resultados. ¡Creo que esto cubre la mayoría de los entornos en los que vivimos! f óptima es
Mientras que la teoría moderna de carteras determinará las ponderaciones óptimas
el regulador del crecimiento en tales entornos, y los subproductos de
de los componentes dentro de una cartera (para dar la menor variación a un
f óptima nos proporciona una gran cantidad de información sobre la tasa de crecimiento de un
retorno preespecificado o viceversa), no aborda la noción de cantidades óptimas. Es decir,
entorno dado. En este texto aprenderá cómo determinar la f óptima y sus subproductos para
para un sistema de mercado dado, existe una situación óptima.
cualquier forma de distribución. Esta es una estadistica
monto a negociar por un nivel determinado de capital de la cuenta para maximizar
herramienta que es directamente aplicable a muchos entornos del mundo real en los negocios
crecimiento geométrico. A esto nos referiremos como el f óptimo. Este libro propone que la
y la ciencia. Espero que busques aplicar las herramientas para encontrar
teoría moderna de carteras puede y debe ser utilizada por los traders en
el f óptimo paramétricamente en otros campos donde existen tales entornos, para numerosas
cualquier mercado, no sólo los mercados de valores. Sin embargo, debemos unir la teoría
distribuciones diferentes, no solo para negociar en los mercados.
moderna de carteras (que nos da ponderaciones óptimas) con la noción de
cantidad óptima (f óptima) para llegar a una cartera verdaderamente óptima. Es
esta cartera verdaderamente óptima que puede y debe ser utilizada por los operadores en cualquier
Durante años, la comunidad comercial ha discutido el concepto amplio de
"administración del dinero." Sin embargo, en general, la gestión del dinero ha sido
mercados, incluidos los mercados de valores.
caracterizado por una colección vaga de reglas generales, muchas de las cuales
En una situación no apalancada, como una cartera de acciones que no están
fueron incorrectos. En última instancia, espero que este libro haya proporcionado
sobre margen, ponderación y cantidad son sinónimos, pero de forma apalancada
comerciantes con exactitud bajo el título de gestión del dinero.
situación, como una cartera de sistemas de mercado de futuros, ponderación y
cantidad son realmente diferentes. En este libro verás primero una idea.
introducido aproximadamente en las Fórmulas de gestión de carteras, ese óptimo
Lo que buscamos saber son cantidades, y que esto es una función de ponderaciones óptimas.
Una vez que modifiquemos la teoría moderna de carteras para separar las nociones de
peso y cantidad, podemos volver al ámbito del comercio de acciones con esto
herramienta ahora reelaborada. Veremos cómo casi cualquier cartera no apalancada
La rentabilidad de las acciones puede mejorarse drásticamente convirtiéndola en una cartera
apalancada y uniendo la cartera con el activo libre de riesgo. esto se convertirá
intuitivamente obvio para usted. El grado de riesgo (o conservadorismo) es
luego lo dicta el operador en función de cuánto o poco apalancamiento desea aplicar a esta
cartera. Esto implica que donde un
El comerciante está en el espectro de aversión al riesgo es una función del apalancamiento.
utilizado y no una función del tipo de vehículo comercial utilizado.
En resumen, este libro le enseñará sobre la gestión de riesgos. Muy pocos
Los comerciantes tienen una idea de lo que constituye la gestión de riesgos. No lo es
simplemente es una cuestión de eliminar el riesgo por completo. Hacerlo es eliminar
regresar por completo. No se trata simplemente de maximizar la recompensa potencial
al riesgo potencial tampoco. Más bien, la gestión de riesgos se trata de estrategias de toma
de decisiones que buscan maximizar la proporción de recompensa potencial.
al riesgo potencial dentro de un nivel de riesgo aceptable dado.
Para aprender esto, primero debemos aprender acerca de f óptima, el componente de
cantidad óptima de la ecuación. Entonces debemos aprender a combinar
f óptima con la ponderación óptima de la cartera. Tal cartera
maximizar la recompensa potencial frente al riesgo potencial. Primero cubriremos estos
conceptos desde un punto de vista empírico (como se introdujo en Portfolio
Fórmulas de Gestión), luego estudiarlas desde un punto de vista más potente, el punto de
vista paramétrico. En contraste con un enfoque empírico,
que utiliza datos pasados para generar respuestas directamente, un método paramétrico
El enfoque utiliza datos pasados para generar parámetros. Estas son ciertas medidas sobre
algo. Estos parámetros luego se utilizan en un
modelo para llegar a esencialmente las mismas respuestas que se derivaron
desde un enfoque empírico. El punto fuerte del enfoque paramétrico es que puedes alterar
los valores de los parámetros para ver el efecto.
sobre el resultado del modelo. Esto es algo con lo que no puedes hacer
una técnica empírica. Sin embargo, las técnicas empíricas tienen sus fuertes
puntos también. Las técnicas empíricas son generalmente más sencillas.
y menos intensivo en matemáticas. Por lo tanto, son más fáciles de utilizar y comprender.
Por esta razón, se tratan primero las técnicas empíricas.
Finalmente, veremos cómo implementar los conceptos dentro de un nivel de riesgo
aceptable especificado por el usuario y aprenderemos estrategias para maximizar este
situación aún más.
Hay mucho material que cubrir aquí. he tratado de hacer
este texto sea lo más conciso posible. Es posible que parte del material no quede bien
con usted, el lector, y tal vez pueda plantear más preguntas de las que responde. Si ese es
el caso, entonces he tenido éxito en una faceta de lo que
he intentado hacer. La mayoría de los libros tienen un único "corazón", un concepto central
hacia el que fluye todo el texto. Este libro es un poco diferente en
que tiene muchos corazones. Por lo tanto, algunas personas pueden encontrar este libro difícil
­8­
Machine Translated by Google
50.000/(5.000/.l) = 1
Capítulo 1­Las técnicas empíricas
12
Este capítulo es una condensación de las fórmulas de gestión de carteras. El propósito
10
aquí es llevar a aquellos lectores que no están familiarizados con estas técnicas empíricas al
mismo nivel de comprensión que aquellos que sí lo están.
8
t
W.
DECIDIR LA CANTIDAD
6
R
Cada vez que ingresa a una operación, ha tomado dos decisiones: no solo ha decidido si
ingresará en largo o en corto, sino que también ha decidido la cantidad a negociar. Esta
4
decisión con respecto a la cantidad es siempre una función del capital de su cuenta . Si tiene
una cuenta de $10,000, ¿no cree que se inclinaría un poco hacia el comercio si contratara 100
2
contratos de oro? Del mismo modo, si tienes una cuenta de 10 millones de dólares, ¿no crees
que serías un poco liviano si solo firmaras un contrato de oro?
0 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75
Lo reconozcamos o no, la decisión de qué cantidad tener para una operación determinada es
inseparable del nivel de capital en nuestra cuenta.
0,85 0,95
valores f
Figura 1­1 20 secuencias de +2, ­1.
A este divisor lo llamaremos por su nombre de variable f. Por lo tanto, ya sea consciente
o inconscientemente, en cualquier operación determinada usted está seleccionando un valor
Sin embargo, es un hecho muy afortunado para nosotros que una cuenta crecerá más
para f cuando decide cuántos contratos o acciones colocar.
rápido cuando operamos con una fracción de la cuenta en todas y cada una de las
Consulte ahora la Figura 1­1. Esto representa un juego en el que tienes un 50% de
operaciones; en otras palabras, cuando operamos una cantidad relativa al tamaño de nuestra participación.
posibilidades de ganar $2 frente a un 50% de posibilidades de perder $1 en cada jugada.
Sin embargo, la decisión cuantitativa no es simplemente una función del patrimonio en
nuestra cuenta, sino que también es una función de algunas otras cosas. Es una función de
Observe que aquí la f óptima es 0,25 cuando el TWR es 10,55 después de 40 apuestas (20
nuestra pérdida percibida en el "peor de los casos" en la siguiente operación. Es función de la
secuencias de +2, ­1). TWR significa Terminal Wealth Relative. Representa el rendimiento de
velocidad con la que deseamos hacer crecer la cuenta. Es una función de dependencia de
su apuesta como un múltiplo. Un TWR de 10,55 significa que habría ganado 10,55 veces su
operaciones pasadas. Es posible que se asocien más variables que las que acabamos de
apuesta original, o un 955% de ganancia. Ahora mire lo que sucede si apuesta solo un 15%
mencionar con la decisión cuantitativa, pero intentamos agrupar todas estas variables, incluido
del óptimo .25 f. Con una f de .1 o .4, su TWR es 4.66. ¡Esto no es ni la mitad de lo que es en
el nivel de capital de la cuenta, en una decisión subjetiva con respecto a la cantidad: ¿cuántos
0,25, sin embargo, estás sólo a un 15% del óptimo y sólo han transcurrido 40 apuestas!
contratos o acciones debemos poner? ¿en?
¿De cuánto estamos hablando en términos de dólares? En f = 0,1, estarías haciendo 1
En esta discusión, aprenderá cómo tomar la decisión matemáticamente correcta con
respecto a la cantidad. Ya no tendrás que tomar esta decisión de forma subjetiva (y muy
apuesta por cada $10 de tu apuesta. En f = 0,4, estarías haciendo una apuesta por cada $2,50
posiblemente errónea). Verá que hay que pagar un alto precio por no tener la cantidad correcta,
de tu apuesta. Ambos ganan la misma cantidad con un TWR de 4,66. En f = 0,25, estás
y este precio aumenta a medida que pasa el tiempo.
haciendo 1 apuesta por cada $4 de tu apuesta. Tenga en cuenta que si realiza 1 apuesta por
cada $4 de su apuesta, ganará más del doble después de 40 apuestas que si hiciera 1 apuesta
La mayoría de los comerciantes pasan por alto esta decisión sobre la cantidad. Sienten
que es algo arbitrario en el sentido de que no importa mucho la cantidad que tengan. Lo que
importa es que tengan razón sobre la dirección del comercio. Además, tienen la impresión
por cada $2,50 de su apuesta. Claramente no vale la pena apostar en exceso. A 1 apuesta
por cada $2,50 de tu apuesta, ganas la misma cantidad que si hubieras apostado una cuarta
parte de esa cantidad, ¡1 apuesta por cada $10 de tu apuesta! Observe que en un juego 50/50
en el que gana el doble de lo que pierde, con una f de 0,5 ¡solo está alcanzando el punto de
errónea de que existe una relación lineal entre el número de contratos que tienen y lo que
equilibrio! Eso significa que solo estarás en equilibrio si hiciste 1 apuesta por cada $2 de tu
pueden ganar o perder a largo plazo.
apuesta. Con una f mayor que 0,5 estás perdiendo en este juego, ¡y es simplemente cuestión
de tiempo hasta que estés completamente agotado! En otras palabras, si su aleta en este
Esto no es correcto. Como veremos en un momento, la relación entre la ganancia
juego 50/50, 2:1 es 0,25 más allá de lo óptimo, arruinará con una probabilidad que se aproxima
potencial y la cantidad arriesgada no es una línea recta. Es curvo. Esta curva tiene un pico, y
es en este pico donde maximizamos la ganancia potencial por cantidad en riesgo. Además,
a la certeza a medida que continúe jugando. Nuestro objetivo, entonces, es encontrar
objetivamente el pico de la curva f para un sistema comercial determinado.
como verá a lo largo de esta discusión, la decisión con respecto a la cantidad para una
operación determinada es tan importante como la decisión de entrar en largo o en corto en
primer lugar. Contrariamente a la idea errónea de la mayoría de los comerciantes, si usted está
en lo cierto o no en la dirección del mercado cuando ingresa a una operación, no influye en si
tiene o no la cantidad correcta. En última instancia, no tenemos control sobre si la próxima
En esta discusión se aclararán ciertos conceptos en términos de ilustraciones de juegos
de azar. La principal diferencia entre el juego y la especulación es que el juego crea riesgo (y
operación será rentable o no.
por eso muchas personas se oponen a él), mientras que la especulación es una transferencia
de un riesgo ya existente (supuestamente) de una parte a otra. Las ilustraciones de los juegos
Sin embargo, tenemos control sobre la cantidad que tenemos. Dado que uno no domina al
de azar se utilizan para ilustrar los conceptos de la forma más clara y sencilla posible. Las
otro, es mejor gastar nuestros recursos concentrándonos en poner la cantidad justa.
matemáticas de la gestión del dinero y los principios implicados en el comercio y los juegos de
azar son bastante similares. La principal diferencia es que en las matemáticas del juego
En cualquier operación determinada, se percibe la pérdida en el peor de los casos. Puede
que ni siquiera seas consciente de esto, pero cada vez que inicias una operación tienes una
normalmente tratamos con resultados de Bernoulli (sólo dos resultados posibles), mientras
que en el comercio tratamos con la distribución de probabilidad completa que puede tomar la
idea en mente, aunque sea de forma subconsciente, de lo que puede suceder con esta
operación.
operación en el peor de los casos. Esta percepción del peor de los casos, junto con el nivel de
capital de su cuenta, determina su decisión sobre cuántos contratos negociar.
CONCEPTOS BÁSICOS
Por lo tanto, ahora podemos afirmar que existe un divisor de esta mayor pérdida
percibida, un número entre 0 y 1 que utilizará para determinar cuántos contratos negociar. Por
ejemplo, si tienes una cuenta de $50,000, si esperas, en el peor de los casos, perder $5,000
por contrato, y si tienes 5 contratos, tu divisor es .5, ya que: 50,000/(5,000/.5 ) = 5 En otras
Una declaración de probabilidad es un número entre 0 y 1 que especifica qué tan probable
es un resultado, donde 0 es ninguna probabilidad de que ocurra el evento en cuestión y 1 es
que el evento en cuestión seguramente ocurrirá. Un proceso de pruebas independientes
(muestreo con reemplazo) es una secuencia de resultados donde la declaración de
palabras, tiene 5 contratos para una cuenta de $50 000, por lo
probabilidad es constante de un evento al siguiente. Un lanzamiento de moneda es un
que tiene 1 contrato por
ejemplo de tal proceso. Cada lanzamiento tiene una probabilidad de 50/50 independientemente
cada $10 000 en capital. En el peor de los casos, espera perder $5,000 por contrato, por
lo que su divisor aquí es 0,5. Si tuvieras solo 1 contrato, tu divisor en este caso sería .1 ya que:
del resultado del lanzamiento anterior. Incluso si los últimos 5 lanzamientos de una moneda
fueran cara, la probabilidad de que este lanzamiento salga cara no se ve afectada y
permanece en 0,5.
­9­
Machine Translated by Google
Naturalmente, el otro tipo de proceso aleatorio es aquel en el que el resultado de eventos
anteriores sí afecta la declaración de probabilidad y, naturalmente,
C. El número total de ejecuciones en una secuencia. Llamaremos a esto R.
2. Construyamos un ejemplo a seguir. Asuma los siguientes oficios:
el enunciado de probabilidad no es constante de un evento al siguiente.
Este tipo de eventos se denominan procesos de pruebas dependientes (muestreo).
­3 +2 +7 ­4 +1 ­1 +1 +6 ­1 0 ­2 +1
sin reemplazo). El blackjack es un ejemplo de tal proceso.
El beneficio neto es +7. El número total de operaciones es 12, por lo que N = 12, para
Una vez que se juega una carta, la composición del mazo cambia. Supongamos que un
Mantenga el ejemplo simple. Ahora no nos preocupa el tamaño del
Se baraja una nueva baraja y se retira una carta, por ejemplo, el as de diamantes. Previo
son las victorias y las derrotas, sino cuántas victorias y derrotas hay y
al retirar esta carta la probabilidad de sacar un as era 4/52 o
cuantas rachas. Por lo tanto, podemos reducir nuestra serie de operaciones a una secuencia
.07692307692. Ahora que se ha sacado un as de la baraja, y no
simple de ventajas y desventajas. Tenga en cuenta que una operación con una P&L de 0 es
reemplazado, la probabilidad de sacar un as en el próximo sorteo es 3/51 o
.05882352941.
considerado como una pérdida. Ahora tenemos:
­++­+­
­
++­
­
+
Como se puede observar, hay 6 ganancias y 6 pérdidas; por lo tanto, X =
Intenta pensar en la diferencia entre independiente y dependiente.
2*6*6 = 72. Como también se puede observar, hay 8 ejecuciones en esta secuencia; por lo
Los procesos de prueba son simplemente si el enunciado de probabilidad es fijo.
(ensayos independientes) o variables (ensayos dependientes) de un evento a otro.
tanto, R = 8. Definimos una carrera como cada vez que encuentra un cambio de signo
el siguiente basándose en resultados anteriores. De hecho, ésta es la única diferencia.
al leer la secuencia como se muestra de izquierda a derecha (es decir,
cronológicamente). Suponga también que comienza en 1.
LA PRUEBA DE CARRERAS
1. Por tanto, contarías esta secuencia de la siguiente manera:
­++­+­
12
Cuando tomamos muestras sin reemplazo de una baraja de cartas,
podemos determinar mediante inspección que existe dependencia. Por cierto
Para eventos (como el flujo de ganancias y pérdidas de las operaciones de un sistema) en los que
no se puede determinar la dependencia mediante una inspección, tenemos la prueba de ejecución.
3
4
5
++­
6
­
­
7
+
8
2. Resuelve la expresión:
N*(R­.5)­X
La prueba de ejecuciones nos dirá si nuestro sistema tiene más (o menos) rachas de
Para nuestro ejemplo esto sería:
victorias y derrotas consecutivas que una distribución aleatoria.
La prueba de carreras es esencialmente una cuestión de obtener las puntuaciones Z para el
rachas de victorias y pérdidas de las operaciones de un sistema. La puntuación AZ es cuántas
12*(8­5)­72
12*7,5­72
90­72
desviaciones estándar estás lejos de la media de una distribución. Así, una Z
18
una puntuación de 2,00 está a 2,00 desviaciones estándar de la media (la expectativa de una
3. Resuelve la expresión:
distribución aleatoria de rachas de victorias y derrotas).
(X*(XN))/(N­1)
La puntuación Z es simplemente el número de desviaciones estándar que tienen los datos.
de la media de la distribución de probabilidad normal. Por ejemplo, una Z
Para nuestro ejemplo esto sería:
(72*(72­12))/(12­1)
Una puntuación de 1,00 significaría que los datos que está probando están dentro de 1
(72*60)/11
4320/11
desviación estándar de la media. Por cierto, esto es perfectamente normal.
392.727272
Luego, la puntuación Z se convierte en un límite de confianza, a veces
También llamado grado de certeza. El área bajo la curva de la función de probabilidad normal a
1 desviación estándar a cada lado de la
4. Saca la raíz cuadrada de la respuesta del número 3. Para nuestro ejemplo
esto sería:
La media equivale al 68% del área total bajo la curva. Entonces tomamos nuestra Z
392,727272^(l/2) = 19,81734777
puntuación y convertirlo a un límite de confianza, siendo la relación que el
La puntuación Z es un número de desviaciones estándar de la media y el límite de confianza es
5. Divide la respuesta del número 2 por la respuesta del número 4. Esto es
el porcentaje de área bajo la curva ocupada en ese momento.
tu puntuación Z. Para nuestro ejemplo esto sería:
18/19.81734777 = .9082951063
muchas desviaciones estándar.
6. Ahora convierta su puntuación Z en un límite de confianza. La distribución de
Límite de confianza (%) Puntuación Z
99,73
3,00
99
2,58
98
2,33
97
2,17
96
2,05
95,45
2,00
95
1,96
90
1,64
las ejecuciones se distribuyen binomialmente. Sin embargo, cuando hay 30 o más
operaciones involucradas, podemos usar la Distribución Normal para analizar muy de cerca
aproximar las probabilidades binomiales. Por lo tanto, si está utilizando 30 o
más operaciones, simplemente puede convertir su puntuación Z en una confianza
límite basado en la Ecuación (3.22) para probabilidades de 2 colas en el
Distribución normal.
La prueba de carreras le dirá si su secuencia de victorias y derrotas contiene más o menos
rachas (de victorias o derrotas) de las que normalmente serían.
Con un mínimo de 30 operaciones cerradas ahora podemos calcular nuestra Z
esperado en una secuencia verdaderamente aleatoria, una que no tenga dependencia entre los
puntuaciones. Lo que estamos tratando de responder es ¿cuántas rachas de victorias (pérdidas)
ensayos. Dado que nos encontramos en un límite de confianza relativamente bajo en
podemos esperar de un sistema determinado? ¿Son las rachas de victorias (derrotas) de los
En nuestro ejemplo, podemos suponer que no hay dependencia entre los ensayos.
¿El sistema que estamos probando se ajusta a lo que podríamos esperar? Si no, ¿hay
en esta secuencia particular.
un límite de confianza lo suficientemente alto como para que podamos asumir que existe dependencia
entre operaciones, es decir, ¿el resultado de una operación depende del resultado?
Si su puntuación Z es negativa, simplemente conviértala a positiva (tome la
valor absoluto) al encontrar su límite de confianza. Una puntuación Z negativa
de operaciones anteriores?
implica dependencia positiva, lo que significa menos rachas que el Normal
Aquí está entonces la ecuación para la prueba de carreras, la puntuación Z del sistema:
La función de probabilidad implicaría y, por tanto, que las victorias engendran victorias y
las pérdidas engendran pérdidas. Una puntuación Z positiva implica dependencia negativa,
(1.01) Z = (N*(R­.5)­X)/((X*(XN))/(N­1))^(1/2)
lo que significa más rachas de las que implicaría la función de probabilidad normal y, por lo tanto,
dónde
las ganancias engendran pérdidas y las pérdidas engendran victorias.
N = El número total de operaciones en la secuencia.
¿Cuál sería un límite de confianza aceptable? Los estadísticos generalmente recomiendan
R = El número total de ejecuciones en la secuencia.
X = 2*An*L
seleccionar un límite de confianza al menos en los noventa.
Algunos estadísticos recomiendan un límite de confianza superior al 99% para asumir
W = El número total de operaciones ganadoras en la secuencia.
dependencia, otros recomiendan un mínimo menos estricto.
L = El número total de operaciones perdedoras en la secuencia.
del 95,45% (2 desviaciones estándar).
Rara vez, o nunca, encontrará un sistema que muestre límites de confianza.
A continuación se explica cómo realizar este cálculo:
superior al 95,45%. Los límites de confianza más frecuentemente encontrados
1. Recopile los siguientes datos de su ejecución de operaciones:
son menos del 90%. Incluso si encuentra un sistema con un límite de confianza entre el 90 y el
A. El número total de operaciones, en adelante denominado N.
95,45%, no es exactamente una pepita de oro. Asumir
B. El número total de operaciones ganadoras y el número total de operaciones perdedoras.
que hay una dependencia involucrada que puede aprovecharse para hacer una
vientos alisios. Ahora calcule lo que llamaremos X. X = 2*Número total de
Ganancias*Número total de derrotas.
diferencia sustancial, realmente necesita exceder el 95,45% como mínimo
mamá.
­ 10 ­
Machine Translated by Google
Mientras la dependencia esté en un límite de confianza aceptable, usted
8. Para cada período, encuentre la diferencia entre cada X y el promedio.
puede alterar su comportamiento en consecuencia para tomar mejores decisiones comerciales,
aunque no comprenda la causa subyacente de la dependencia. Si pudieras conocer la causa,
X y cada Y y el Y promedio.
9. Ahora calcula el numerador. Para hacer esto, para cada período multiplicar
entonces podrías estimar mejor
las respuestas del paso 2; en otras palabras, para cada período multiplique
cuándo estuvo vigente la dependencia y cuándo no, así como cuándo
juntas las diferencias entre el X de ese período y el X promedio
Se podría esperar un cambio en el grado de dependencia.
y entre el Y de ese período y el Y promedio.
Hasta ahora sólo hemos analizado la dependencia desde el punto de vista
10. Sume todas las respuestas al paso 3 para todos los períodos. Esto es
el numerador.
de si la última operación fue ganadora o perdedora. Estamos tratando de determinar si la
secuencia de victorias y pérdidas muestra dependencia o no. El
11. Ahora encuentra el denominador. Para hacer esto, lleve las respuestas al paso 2.
ejecuta la prueba de dependencia automáticamente toma el porcentaje de victorias y
para cada período, tanto para las diferencias X como para las diferencias Y,
pérdidas en cuenta. Sin embargo, al realizar la prueba de ejecuciones en ejecuciones de
y los eleva al cuadrado (ahora todos serán números positivos).
victorias y derrotas, hemos contabilizado la secuencia de victorias y derrotas
12. Sume las diferencias de X al cuadrado para todos los períodos en un total final. Haz lo
pero no su tamaño. Para tener una verdadera independencia, no sólo debe
mismo con las diferencias Y al cuadrado.
la secuencia de victorias y derrotas sea independiente, el tamaño de las victorias
13. Saca la raíz cuadrada a la suma de las diferencias de X al cuadrado que
y las pérdidas dentro de la secuencia también deben ser independientes. Es posible
que acaba de encontrar en el paso 6. Ahora haga lo mismo con las Y tomando el
para que las victorias y las pérdidas sean independientes, pero sus tamaños sean dependientes
raíz cuadrada de la suma de las diferencias Y al cuadrado.
(o viceversa). Una posible solución es ejecutar la prueba de ejecución solo en el
operaciones ganadoras, segregando las carreras de alguna manera (como aquellas que son
14. Multiplica las dos respuestas que acabas de encontrar en el paso 1, es decir,
mayor que la ganancia mediana y aquellos que son menores), y luego buscar
multiplique la raíz cuadrada de la suma de las diferencias X al cuadrado por la raíz
dependencia entre el tamaño de las operaciones ganadoras. Entonces haz esto para el
cuadrada de la suma de las diferencias Y al cuadrado.
operaciones perdedoras.
Este producto es tu denominador.
15. Divide el numerador que encontraste en el paso 4 por el denominador que encontraste
CORRELACIÓN EN SERIE
encontrado en el paso 8. Este es su coeficiente de correlación lineal, r.
El valor de r siempre estará entre +1,00 y ­1,00. un valor de
Hay una manera diferente, quizás mejor, de cuantificar esta posible dependencia entre
0 indica que no hay correlación alguna.
el tamaño de las victorias y las pérdidas. La técnica para ser
Lo que se analiza a continuación analiza los tamaños de las victorias y las derrotas desde una
perspectiva matemática completamente diferente a la de la prueba de carreras y, por lo tanto,
Ahora mire la Figura 1­4. Representa la siguiente secuencia de 21
vientos alisios:
cuando se utiliza junto con la prueba de carreras, mide la relación de
1, 2, 1, ­1, 3, 2, ­1, ­2, ­3, 1, ­2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, ­1, 2, ­1, 3
operaciones con más profundidad de la que podría proporcionar la prueba de ejecución por sí
4
sola. Esta técnica utiliza el coeficiente de correlación lineal, r, a veces llamado
r de Pearson , para cuantificar la relación de dependencia/independencia.
Ahora mire la Figura 1­2. Representa dos secuencias perfectamente
2
correlacionados entre sí. A este efecto lo llamamos correlación positiva.
0
­2
­4
Figura 1­4 Resultados individuales de 21 operaciones.
Podemos utilizar el coeficiente de correlación lineal de la siguiente manera para ver si
existe alguna correlación entre la operación anterior y la
comercio actual. La idea aquí es tratar las pérdidas y ganancias comerciales como los valores X en
Figura 1­2 Correlación positiva (r = +1,00).
la fórmula para r. Superpuesto sobre eso duplicamos el mismo comercio.
P&L, solo que esta vez las sesgamos en 1 operación y las usamos como Y
valores en la fórmula para r. En otras palabras, el valor de Y es el X anterior.
valor. (Ver Figura 1­5.).
4
2
0
Figura 1­3 Correlación negativa (r = ­1,00).
Ahora mire la Figura 1­3. Muestra dos secuencias que están perfectamente
­2
correlacionados negativamente entre sí. Cuando una línea zigzaguea sobre la otra
está zagging. A este efecto lo llamamos correlación negativa.
La fórmula para encontrar el coeficiente de correlación lineal, r, entre
­4
dos secuencias, X e Y, es la siguiente (una barra sobre una variable significa la
media aritmética de la variable):
Figura 1­5 Resultados individuales de 21 operaciones sesgadas por 1 operación.
(1.02) R = (∑a(Xa­X[])*(Ya­Y[]))/((∑a(Xa­X[])^2)^(1/2)*(∑a( Ya­ Y[])^2)^(l/2))
A(X) 1
B(X)
C(XX[]) D(YY[]) E(C*D) F(C^2) G(D^2)
1,2
0,3
0,36
1,44
21
12
0,2
1,3
0,26
0,04
1,69
­1
1
­1,8
0,3
­0,54
3,24
0,09
A continuación se explica cómo realizar el cálculo:
7. Promedie las X y las Y (mostradas como X[] e Y[]).
­ 11 ­
0,09
Machine Translated by Google
­1
3
2,2
­1,7
­3,74
4,84
2,89
conceptos, se remite al lector a la sección sobre validación estadística de
1,2
2,3
2,76
1,44
5,29
un sistema de comercio bajo "La Distribución Binomial" en el Apéndice B.
2­1
32
­1,8
1,3
­2,34
3,24
1,69
­2
­1
­2,8
­1,7
4.76
7,84
2,89
­3
­2
­3,8
­2,7
10,26
14,44
7.29
1
­3
0,2
­3,7
­0,74
0,04
13.69
­2.8
0,3
­0,84
7,84
0,09
­2
31
ERRORES DE DEPENDENCIA COMUNES
Como comerciantes, generalmente debemos asumir que la dependencia no existe.
en el mercado para la mayoría de los sistemas de mercado. Eso es cuando
1­2
2,2
­2,7
­5,94
4,84
7.29
Al operar en un sistema de mercado determinado, normalmente estaremos operando en un
3
0,2
2,3
0,46
0,04
5.29
entorno donde el resultado de la siguiente operación no depende de la
0,2
0,3
0,06
0,04
0,09
resultado(s) de transacciones anteriores. Esto no quiere decir que nunca haya dependencia
1,2
0,3
0,36
1,44
0,09
entre operaciones para algunos sistemas de mercado (porque para algunos sistemas de
mercado la dependencia sí existe), sólo que deberíamos actuar como si
1
2
1
2,2
1,3
2,86
4,84
1,69
33
123
2,2
2,3
5,06
4,84
5.29
­1,8
2,3
­4,14
3,24
5.29
1,2
­1,7
­2,04
1,44
2,89
­1
2
3
­1
­1 2
­1,8
1,3
­2,34
3,24
1,69
3
­1
2.2
­1,7
­3,74
4,84
2,89
Totales
0,8
73.2
68.2
La dependencia no existe a menos que exista evidencia muy fuerte que
contrario. Tal sería el caso si la puntuación Z y la correlación lineal
El coeficiente indicó dependencia, y la dependencia se mantuvo a lo largo de
mercados y en valores de parámetros optimizables. Si actuamos como si
hay dependencia cuando la evidencia no es abrumadora, podemos
3
X[] = .8 Y[] = .7 Los
Estaremos engañándonos a nosotros mismos y causándonos más daño autoinfligido que
bueno como resultado. Incluso si un sistema mostrara dependencia hasta un límite de confianza
promedios difieren porque solo se promedian las X y las Y que
del 95% para todos los valores de un parámetro, todavía no es un límite lo suficientemente alto.
tener un valor X o Y correspondiente (es decir, solo se promedian esos valores
límite de confianza para suponer que la dependencia de hecho existe entre
que se superponen), por lo que el último valor de Y (3) no se incluye en el promedio de Y ni
las operaciones de un mercado o sistema determinado.
es el primer valor de X (1) calculado en el promedio de x.
Se comete un error tipo I cuando rechazamos una hipótesis que
El numerador es el total de todas las entradas de la columna E (0,8). Encontrar _
el denominador, tomamos la raíz cuadrada del total en la columna F,
debe ser aceptado. Sin embargo, si aceptamos una hipótesis cuando debería
que es 8.555699, y le sacamos la raíz cuadrada al total en la columna
ser rechazada, hemos cometido un error de tipo II. Ausencia de conocimiento de
G, que es 8,258329, y multiplíquelos para obtener un denominador de 70,65578. Ahora
Si una hipótesis es correcta o no, debemos decidir las penalizaciones.
dividimos nuestro numerador de 0,8 por nuestro denominador de 70,65578 para obtener
0,011322. Este es nuestro coeficiente de correlación lineal, r.
más grave que el otro, y en tales casos debemos decidir si
asociado con un error tipo I y tipo II. A veces un tipo de error es
aceptar o rechazar una hipótesis no probada basándose en la pena menor.
Supongamos que está considerando utilizar un determinado sistema comercial, pero
El coeficiente de correlación lineal de 0,011322 en este caso difícilmente es
no estás muy seguro de que aguante cuando vayas a intercambiarlo
indicativo de cualquier cosa, pero está más o menos en el rango que se puede esperar
tiempo real. En este caso, la hipótesis es que el sistema comercial aguantará
para la mayoría de los sistemas comerciales. Una correlación positiva alta (al menos 0,25)
tiempo real. Decides aceptar la hipótesis y cambiar el sistema. Si se
generalmente sugiere que las grandes ganancias rara vez van seguidas de grandes pérdidas y viceversa.
no aguanta, habrás cometido un error tipo II, y
viceversa. Las lecturas de correlación negativa (por debajo de ­0,25 a ­0,30) implican que
pague la penalización en términos de las pérdidas que haya incurrido al operar con el sistema
Las pérdidas tienden a ir seguidas de grandes victorias y viceversa. La correlación
en tiempo real. Por otro lado, si decide no operar con el sistema,
Los coeficientes se pueden traducir mediante una técnica conocida como Fisher's Z.
y te sale rentable, habrás cometido un error tipo I. En este caso, la multa que usted paga es la
transformación, en un nivel de confianza para un número determinado de operaciones.
pérdida de beneficios.
Este tema se trata en el Apéndice C.
¿Cuál es la pena menor a pagar? Claramente se trata de lo último, las ganancias perdidas
La correlación negativa es tan útil como la correlación positiva. Por ejemplo, si parece
por no operar con el sistema. Aunque de este ejemplo usted
haber una correlación negativa y el sistema acaba de
sufrido una gran pérdida, podemos esperar una gran victoria y, por lo tanto,
podemos concluir que si vas a operar con un sistema en tiempo real, será mejor
tener más contratos de los que normalmente tendríamos. Si este comercio demuestra
ser rentable, hay un motivo oculto para utilizar este ejemplo. Si asumimos que hay dependencia,
Si es una pérdida, lo más probable es que no sea una pérdida grande (debido a la correlación
cuando en realidad no la hay, habremos cometido un error de tipo II. Una vez más, la pena que
negativa).
pagamos no se perderá.
Finalmente, al determinar la dependencia también se deben considerar las pruebas fuera
de la muestra. Es decir, divida su segmento de datos en dos o más partes. Si
ganancias, sino en pérdidas reales. Sin embargo, si asumimos que no hay dependencia cuando
en realidad la hay, habremos cometido un error tipo I y
nuestra pena será la pérdida de beneficios. Claramente, es mejor que paguemos
ves dependencia en la primera parte, luego ves si esa dependencia también existe en la
la pena de renunciar a beneficios que sufrir pérdidas reales. Por lo tanto,
segunda parte, y así sucesivamente. Esto ayudará a eliminar los casos en los que
A menos que haya evidencia absolutamente abrumadora de dependencia, usted
parece haber dependencia cuando en realidad no existe dependencia.
Es mucho mejor asumir que las ganancias y pérdidas en el comercio
El uso de estas dos herramientas (la prueba de carreras y el coeficiente de correlación
(ya sea con un sistema mecánico o no) son independientes de resultados previos.
lineal) puede ayudar a responder muchas de estas preguntas. Sin embargo, sólo pueden
llega.
respóndelas si tienes un límite de confianza lo suficientemente alto y/o un límite alto
suficiente coeficiente de correlación. La mayoría de las veces estas herramientas son de poca
ayuda, porque con demasiada frecuencia el universo de las operaciones con sistemas de
Parece que aquí se presenta una paradoja. En primer lugar, si hay dependencia en los
intercambios, entonces el sistema es "subóptimo". Sin embargo, la dependencia puede
nunca podrá demostrarse más allá de toda duda. Ahora bien, si asumimos y actuamos como si
futuros está dominado por la independencia. Si obtiene lecturas que indican dependencia, y
hay dependencia (cuando en realidad no la hay), hemos cometido un
Si desea aprovecharlo en sus operaciones, debe regresar y
error más costoso que si asumimos y actuamos como si la dependencia
incorpore una regla en su lógica comercial para explotar la dependencia. En
no existe (cuando en realidad sí existe). Por ejemplo, supongamos que tenemos un
En otras palabras, debe regresar y cambiar la lógica del sistema comercial a
sistema con un historial de 60 operaciones, y supongamos que vemos dependencia de un
cuenta de esta dependencia (es decir, pasando ciertas operaciones o rompiendo
nivel de confianza del 95% basado en la prueba de carreras. Queremos que nuestro sistema
dividir el sistema en dos sistemas diferentes, como uno para operaciones después
ganancias y otro para intercambios después de pérdidas). Por lo tanto, podemos afirmar que si
aparece dependencia en sus operaciones, no ha maximizado su sistema. En
ser óptimo, por lo que ajustamos sus reglas en consecuencia para explotar esta aparente
dependencia. Después de haberlo hecho, digamos que nos quedan 40 operaciones y la
dependencia ya no es evidente. Por lo tanto, estamos satisfechos de que las reglas del sistema
En otras palabras, la dependencia, si se encuentra, debe explotarse (cambiando el
sean óptimas. Estas 40 operaciones ahora tendrán una f óptima más alta
reglas del sistema para aprovechar la dependencia) hasta que ya no
que los 60 completos (más sobre f óptima más adelante en este capítulo).
ya no parece existir. Por lo tanto, la primera etapa en la gestión del dinero es explotar y, por
Si vas y cambias este sistema con las nuevas reglas para explotar la dependencia y el
tanto, eliminar cualquier dependencia en las operaciones.
Para obtener más información sobre la dependencia de lo que se cubrió en las Fórmulas
de gestión de cartera y se reiteró aquí, consulte el Apéndice C, "Más información sobre la
óptimo concomitante más alto f, y si la dependencia
no está presente, su rendimiento será más cercano al de las 60 operaciones,
en lugar de las 40 operaciones superiores. Así, la f que has elegido será
dependencia: los puntos de inflexión y las pruebas de duración de las fases".
demasiado a la derecha, lo que resulta en un alto precio a pagar por asumir dependencia. Si
Hemos estado discutiendo la dependencia en el flujo de ganancias comerciales.
existe dependencia, entonces estarás más cerca del
y pérdidas. También puede buscar dependencia entre un indicador y
pico de la curva f suponiendo que la dependencia está ahí. ¿Tuviste
la operación posterior, o entre dos variables cualesquiera. Para más sobre estos
decidiste no asumirlo cuando en realidad había dependencia, lo harías
­ 12 ­
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tienden a estar a la izquierda del pico de la curva f y, por lo tanto, su rendimiento sería
subóptimo (pero sería un precio menor a pagar que estar a la derecha del pico).
Este axioma es cierto sólo en ausencia de una barrera absorbente superior.
Por ejemplo, supongamos que un jugador que comienza con una apuesta de $100
dejará de jugar si su apuesta aumenta a $101. Este objetivo superior de 101 dólares se
denomina barrera de absorción. Supongamos que nuestro jugador siempre apuesta $1
En pocas palabras, busque dependencia. Si se muestra en un grado
suficientemente alto en todos los valores de los parámetros y mercados para ese
por jugada al rojo en la ruleta. Por tanto, tiene una expectativa matemática ligeramente
sistema, entonces altere las reglas del sistema para capitalizar la dependencia. De lo
negativa. Es mucho más probable que el jugador vea crecer su apuesta a 101 dólares
contrario, en ausencia de evidencia estadística abrumadora de dependencia,
y abandone el juego que ver su apuesta llegar a cero y verse obligado a abandonar.
supongamos que no existe (optando así por pagar la pena menor si en realidad la
Sin embargo, si repite este proceso una y otra vez, se encontrará con una expectativa
matemática negativa. Si tiene la intención de jugar este juego así solo una vez, entonces
dependencia existe).
el axioma de arruinarse con certeza, eventualmente, no se aplica.
EXPECTATIVA MATEMÁTICA
La diferencia entre una expectativa negativa y una positiva es la diferencia entre
la vida y la muerte. No importa tanto cuán positivas o negativas sean tus expectativas;
Del mismo modo, es mejor no comerciar a menos que exista evidencia
absolutamente abrumadora de que el sistema de mercado en el que está pensando
lo que importa es si es positivo o negativo. Por lo tanto, antes de que siquiera se pueda
operar será rentable; es decir, a menos que espere plenamente que el sistema de
mercado en cuestión tenga una expectativa matemática positiva cuando lo comercializa
en tiempo real.
considerar la administración del dinero, se debe tener un juego de expectativas
positivo. Si no lo hace, ni toda la gestión del dinero del mundo podrá salvarle1 . Por
otro lado, si tiene una expectativa positiva, puede, mediante una gestión adecuada del
La expectativa matemática es la cantidad que espera ganar o perder, en promedio,
en cada apuesta. En el lenguaje del juego, esto a veces se conoce como ventaja del
dinero, convertirla en una función de crecimiento exponencial. ¡Ni siquiera importa
cuán marginalmente positivas sean las expectativas!
jugador (si es positiva para el jugador) o ventaja de la casa (si es negativa para el
jugador): (1.03) Expectativa
En otras palabras, no importa mucho qué tan rentable sea su sistema de comercio
Matemática = ∑[i = 1,N](Pi*Ai)
por contrato, siempre y cuando sea rentable, aunque sea marginalmente. Si tiene un
dónde
sistema que gana $10 por contrato por operación (una vez deducidas las comisiones y
P = Probabilidad de ganar o perder.
el deslizamiento), puede usar la administración del dinero para que sea mucho más
A = Monto ganado o perdido.
rentable que un sistema que muestra una operación promedio de $1,000 (una vez que
se han deducido las comisiones y el deslizamiento). deducido). Lo que importa,
N = Número de resultados posibles.
entonces, no es qué tan rentable ha sido su sistema, sino qué tan seguro es de que el
La expectativa matemática se calcula multiplicando cada posible ganancia o
sistema mostrará al menos una ganancia marginal en el futuro. Por lo tanto, la
pérdida por la probabilidad de esa ganancia o pérdida y luego sumando estos
preparación más importante que puede hacer un operador es asegurarse lo más posible
productos.
de tener una expectativa matemática positiva en el futuro.
Veamos la expectativa matemática para un juego en el que tienes un 50 % de
posibilidades de ganar $2 y un 50 % de posibilidades de perder $1 según esta fórmula:
La clave para garantizar que tenga una expectativa matemática positiva en el
futuro es no restringir los grados de libertad de su sistema. Desea mantener los grados
de libertad de su sistema lo más altos posible para garantizar la expectativa matemática
Expectativa Matemática = (.5*2)+(.5*(­1)) = 1+(­5) = .5
positiva en el futuro. Esto se logra no sólo eliminando, o al menos minimizando, el
En tal caso, por supuesto, su expectativa matemática es
número de parámetros optimizables, sino también eliminando, o al menos minimizando,
gana 50 centavos por lanzamiento en promedio.
tantas reglas del sistema como sea posible. Cada parámetro que agrega, cada regla
Considere apostar a un número en la ruleta, donde su expectativa matemática
que agrega, cada pequeño ajuste y calificación que agrega a su sistema disminuye sus
es: ME = ((1/38)*35)+
grados de libertad. Idealmente, tendrá un sistema que sea muy primitivo y simple, y
((37/38)*(­1)) = (.02631578947*35)+(.
que continuamente obtenga ganancias marginales a lo largo del tiempo en casi todos
9736842105*(­1)) = (9210526315)+(­.9736842105)
los diferentes mercados. Nuevamente, es importante que se dé cuenta de que realmente
no importa qué tan rentable sea el sistema, siempre que sea rentable. El dinero que
ganará con el comercio dependerá de la eficacia de la gestión del dinero que emplee.
= ­.05263157903
En este caso, si apuesta 1 dólar a un número de la ruleta (doble cero americano),
esperaría perder, en promedio, 5,26 centavos por tirada. Si apuestas 5$, esperarías
El sistema de comercio es simplemente un vehículo que le brinda una expectativa
matemática positiva sobre la cual utilizar la administración del dinero. Los sistemas que
funcionan (muestran al menos una ganancia marginal) en sólo uno o unos pocos
perder, en promedio, 26,3 centavos por tirada. Observe que diferentes cantidades
apostadas tienen diferentes expectativas matemáticas en términos de cantidades, pero
la expectativa como porcentaje de la cantidad apostada es siempre la misma. La
expectativa del jugador para una serie de apuestas es el total de las expectativas para
las apuestas individuales. Entonces, si juegas $1 en un número en la ruleta, luego $10
en un número, luego $5 en un número, tu expectativa total es: ME = (­.0526*1)+
(­.0526*10)+(­. 0526*5) =
mercados, o que tienen diferentes reglas o parámetros para diferentes mercados,
probablemente no funcionarán en tiempo real por mucho tiempo. El problema con la
mayoría de los comerciantes con orientación técnica es que dedican demasiado tiempo
y esfuerzo odiando a la computadora que genera ejecución tras ejecución de diferentes
reglas y valores de parámetros para los sistemas comerciales. Este es el mejor juego
de "sería, debería, podría". Es completamente contraproducente. En lugar de concentrar
sus esfuerzos y tiempo de computadora en maximizar las ganancias de su sistema
­.0526­.526 .263 = ­.8416 Por lo tanto, esperaría perder, en promedio, 84,16 centavos.
comercial, dirija la energía hacia maximizar el nivel de certeza de una ganancia marginal.
Este principio explica por qué los sistemas que intentan cambiar el tamaño de sus
apuestas en relación con el número de ganancias o pérdidas observadas (suponiendo
un proceso de prueba independiente) están condenados al fracaso. ¡La suma de las
apuestas con expectativas negativas es siempre una expectativa negativa!
El punto más fundamental que debes entender en términos de administración del
dinero es que en un juego de expectativas negativas, no existe ningún esquema de
1
administración del dinero que te convierta en un ganador. Si continúa apostando,
Esta regla es aplicable a la negociación de un único sistema de mercado. Cuando
comienzas a operar con más de un sistema de mercado, entras en un ambiente
independientemente de cómo administre su dinero, es casi seguro que perderá y
extraño donde es posible incluir un sistema de mercado con una expectativa matemática
perderá toda su apuesta, sin importar cuán grande fuera al principio.
negativa como uno de los mercados en los que se negocia y en realidad tener una
expectativa matemática neta más alta que ¡la expectativa matemática neta del grupo
Este axioma no sólo es válido para un juego de expectativas negativas, sino que
antes de la inclusión del sistema de expectativas negativas! Además, es posible que la
también lo es para un juego de dinero par. Por lo tanto, el único juego que tiene
expectativa matemática neta para el grupo con la inclusión del sistema de mercado de
posibilidades de ganar a largo plazo es un juego de expectativas aritméticas positivas.
expectativas matemáticas negativas pueda ser mayor que la expectativa matemática
Entonces, solo podrás ganar si apuestas siempre el mismo tamaño de apuesta
de cualquiera de los sistemas de mercado individuales. Por el momento consideraremos
constante o apuestas con un valor f menor que el valor f correspondiente al punto
sólo un sistema de mercado a la vez, por lo que lo más probable es que tengamos una
donde la media geométrica HPR es menor o igual a 1. (Cubriremos el segundo parte
expectativa matemática positiva para que las técnicas de administración del dinero
de esto, con respecto a la media geométrica HPR, más adelante en el texto.)
funcionen.
­ 13 ­
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REINVERTIR O NO LAS GANANCIAS COMERCIALES
Sistema A
Sin reinversión
Llamemos al siguiente sistema "Sistema A". En él tenemos 2 oficios:
Comercio No. P&L
el primero ganó un 50% y el segundo perdió un 40%. Si no reinvertimos nuestro
100 100 150 150 110 90 111 90,9
devoluciones, ganamos el 10%. Si reinvertimos, la misma secuencia de operaciones
pierde el 10%.
112
1
2
Sistema A
Sin reinversión
100
50
150
50
2
­40
110
­60 90
150
3
0,86
Estándar Desarrollo.
1,3 31,88
39,00
Promedio. Comercio/Std. Desarrollo. 0.09 ­0.05 Ahora
Ahora veamos el Sistema B, una ganancia del 15% y una pérdida del 5%, que
tomemos el Sistema B y agreguemos 2 perdedores más de 1 punto cada uno.
Sistema A. Pero mire los resultados del Sistema B con reinversión: a diferencia
Sistema B
Sin reinversión con reinversión
sistema A, genera dinero.
N° de operación P&L Acumulado P&L Acumulado 100 115 110 109
Sistema B
Sin reinversión
100
Con Reinversión
15
15
115
1
­5
­5,75
109,25
23
­1
­1,0925 108,1575
4
­1
Comercio No. P&L Acumulado P&L Acumulado
100
100
15
115
15
115
­5
110
­5,75 109,25
108
­1,08157 107,0759 25%
Porcentaje de victorias 25 % promedio.
Una característica importante del trading con reinversión que debe
2
Riesgo comercial/
Lo que hay que tener en cuenta es que reinvertir las ganancias comerciales puede convertir un
sistema ganador en un sistema perdedor, ¡pero no al revés! Un sistema ganador se convierte
en un sistema perdedor en el comercio con reinversión si los rendimientos no son
1,768981
Rew. 2.14 Estándar Desarrollo. 7,68
1,89
promedio. Comercio/Std. Desarrollo.
7,87
0,26
0,22
suficientemente consistente.
Ahora bien, si lo que realmente buscamos es coherencia, miremos un banco.
Cambiar el orden o secuencia de las operaciones no afecta el resultado final.
cuenta, el vehículo perfectamente consistente (en relación con el comercio), pagando 1
resultado. Esto no sólo es cierto en el caso de la no reinversión, sino también
punto por período. Llamaremos a esta serie Sistema C.
sobre una base de reinversión (contrariamente a la idea errónea de la mayoría de la gente).
Sistema C
Sin reinversión
Sistema A
Sin reinversión
Con Reinversión
100
Con Reinversión
PyG acumuladas 100
Comercio No. P&L
Acumulado 100
101
Comercio No. P&L Acumulado P&L Acumulado
100
1
1
40
60
40
60
2
1
102
1,01 102,01
50
110
30
90
3
1
103
1.0201 103.0301
4
1
104
1.030301 104.0604
Sistema B
Sin reinversión
Con Reinversión
Comercio No. P&L Acumulado P&L Acumulado
100 100
12
­ 2,04775
promedio.
Riesgo comercial/Rew.
también obtiene un 10% en 2 operaciones sin reinversión, al igual que
12
75%
Porcentaje de victorias 75 %
100
1
50­60 0,9 0,909 91,809
50­40 1 1
34
Con Reinversión
Comercio No. P&L Acumulado P&L Acumulado
12
Con Reinversión
P&L Acumulado Acumulado
­5
95 95
15
110 14,25 109,25
­5
1
Porcentaje de victorias 1,00 Promedio.
1 .00
Riesgo
comercial/Rew.
1 Infinito
Infinito
Estándar Desarrollo.
0.00
0,01
101
1.015100
promedio Comercio/Std. Desarrollo. Infinite 89.89 Nuestro
Como puede verse obviamente, la secuencia de operaciones no tiene relación con
el resultado final, ya sea visto desde el punto de vista de la reinversión o de la no reinversión. (Un
objetivo es maximizar nuestras ganancias mediante el comercio de reinversión. Con
que como objetivo, podemos ver que nuestra mejor secuencia de reinversión viene
beneficio adicional de negociar sobre la base de la reinversión es que
del Sistema B. ¿Cómo podríamos haberlo sabido, dada sólo la información?
las reducciones tienden a amortiguarse. A medida que un sistema entra y atraviesa un
con respecto al comercio sin reinversión? ¿Por porcentaje de operaciones ganadoras?
período de reducción, cada operación perdedora es seguida por una operación con menos
¿Por dólares totales? ¿Por comercio promedio? La respuesta a estas preguntas es
y menos contratos.)
"no", porque responder "sí" nos haría cambiar el Sistema A (pero esto
es la solución por la que optan la mayoría de los operadores de futuros). ¿Y si optáramos por la mayoría?
Si lo examinamos, parecería que es mejor operar sin reinversión que reinvertir porque su
probabilidad de ganar es mayor. Sin embargo, esta no es una suposición válida, porque en el
consistencia (es decir, la relación más alta promedio de comercio/desviación estándar o la más baja
En el mundo real no retiramos todas nuestras ganancias ni recuperamos todos nuestros
tampoco son las respuestas. Si lo fueran, deberíamos poner nuestro
pérdidas al depositar efectivo nuevo en una cuenta. Además, la naturaleza de la inversión o el
dinero en el banco y olvídese del comercio.
Desviación Estándar)? ¿Qué tal el riesgo/recompensa más alto o la reducción más baja? Estas
comercio depende de los efectos de la capitalización. Si
El Sistema B tiene una combinación perfecta de rentabilidad y coherencia. Sistemas
eliminamos la capitalización (como en la base de no reinversión),
A y C no. Es por eso que el Sistema B se desempeña mejor en el comercio de reinversión. ¿Cuál
Podemos planear hacer en el futuro poco mejor que lo que podemos hacer hoy, sin importar
es la mejor manera de medir esta "combinación adecuada"? Da vueltas
cuán exitoso será nuestro comercio de aquí a entonces. esta compuesto
Existe una fórmula que hará precisamente eso: la media geométrica. Esto es
que toma la función lineal del crecimiento de la cuenta y la convierte en una función geométrica.
simplemente la raíz enésima del relativo de riqueza terminal (TWR), donde N es
el número de períodos (operaciones). El TWR es simplemente lo que hemos sido
calcular cuando calculamos cuál es el monto acumulado final
Si un sistema es lo suficientemente bueno, las ganancias generadas por una reinversión
serán mucho mayores que los generados sin reinversión, y esa brecha se ampliará a medida que
pase el tiempo. Si tienes un sistema que
reinversión. En otras palabras, los TWR para los tres sistemas que acabamos de
sierra son:
TWR
puede ganarle al mercado, no tiene ningún sentido negociarlo en ningún otro
Sistema
manera que aumentar la cantidad apostada a medida que aumenta su apuesta.
Sistema A .91809 Sistema
B 1.070759 Sistema C 1.040604
Como hay 4 operaciones en
MEDIR UN BUEN SISTEMA DE REINVERSIÓN
cada una de estas, llevamos los TWR a la
LA MEDIA GEOMÉTRICA
Cuarta raíz para obtener la media geométrica:
Hasta ahora hemos visto cómo un sistema puede ser saboteado si no se
Sistema
Significado geometrico
bastante consistente entre un comercio y otro. ¿Significa esto que deberíamos cerrar?
Sistema A 0. 978861 Sistema
¿Levantarnos y poner nuestro dinero en el banco?
B 1.017238 Sistema C
1.009999 (1.04) TWR = ∏[i =
Volvamos al Sistema A, con sus 2 primeras operaciones. Por el bien de il­
En la ilustración vamos a sumar dos ganadores de 1 punto cada uno.
1,N]HPRi
(1.05) Media geométrica = TWR^(1/N)
­ 14 ­
Machine Translated by Google
dónde
probabilidad de perder a medida que se acorta la duración del juego, es decir, a medida que el
N = Número total de operaciones.
número de pruebas se acerca a 1. Si juegas un juego en el que tienes un 49% de posibilidades de
HPR = Rentabilidad del período de tenencia (igual a 1 más la tasa de rentabilidad; por ejemplo,
una HPR de 1,10 significa una rentabilidad del 10 % durante un período, apuesta o operación
ganar $1 y un 51% de perder $1, eres mejor. fuera de apuestas en solo 1 intento. Cuantas más
pruebas apuestes, mayor será la probabilidad de perder, y la probabilidad de perder se acerca a la
certeza a medida que la duración del juego se acerca al infinito. Eso no quiere decir que tengas una
determinados).
expectativa positiva para la primera prueba, pero al menos has minimizado las probabilidades de ser
TWR = La cantidad de dólares de valor al final de una serie de períodos/apuestas/operaciones
un perdedor jugando solo una prueba.
por dólar de inversión inicial, asumiendo que se permite que las ganancias y pérdidas se acumulen.
Regresemos ahora a un juego de expectativas positivas. Al comienzo de esta discusión
Aquí hay otra forma de expresar estas variables: (1.06) TWR =
determinamos que en cualquier operación dada, la cantidad que un comerciante pone puede
Apuesta final/Apuesta inicial La media geométrica (G)
expresarse como un factor, f, entre 0 y 1, que representa la cantidad del comerciante con respecto
tanto a la percepción pérdida en la siguiente operación y el patrimonio total del comerciante. Si sabe
es igual a su factor de crecimiento por jugada, o:
que tiene una ventaja sobre N apuestas pero no sabe cuáles de esas N apuestas serán ganadoras
(1.07) G = (Apuesta final/Apuesta inicial)^(I/Número de jugadas)
Piense en la media geométrica como el "factor de crecimiento por jugada" de su apuesta. El
sistema o mercado con la media geométrica más alta es el sistema o mercado que obtiene el mayor
beneficio operando sobre la base de la reinversión de los rendimientos. Una media geométrica menor
que uno significa que el sistema habría perdido dinero si lo hubiera comercializado mediante
(y por cuánto), y cuáles serán perdedoras (y por cuánto), estará en mejor situación (a largo plazo).
run) tratando cada apuesta exactamente igual en términos de qué porcentaje de su apuesta total
está en riesgo. Este método de negociar siempre una fracción fija de su apuesta ha demostrado una
y otra vez ser el mejor sistema de apuestas. Si hay dependencia en sus operaciones, donde los
ganadores engendran ganadores y los perdedores engendran perdedores, o viceversa, es mejor que
reinversión.
apueste una fracción de su apuesta total en cada apuesta, pero esa fracción ya no es fija. En tal
El desempeño de las inversiones a menudo se mide con respecto a la dispersión de los
caso, la fracción debe reflejar el efecto de esta dependencia (es decir, si aún no ha "eliminado" la
rendimientos. Medidas como el índice de Sharpe, la medida de Treynor, la medida de Jensen, Vami,
dependencia de su sistema creando reglas del sistema para explotarla).
etc., intentan relacionar el desempeño de la inversión con la dispersión. La media geométrica aquí
puede considerarse otro de este tipo de medidas. Sin embargo, a diferencia de las otras medidas,
la media geométrica mide el desempeño de la inversión en relación con la dispersión en la misma
forma matemática en la que se ve afectado el capital de su cuenta.
"Espera", dices. "¿No son tontos los sistemas de apuestas para empezar?
¿No hemos visto que no superan la ventaja de la casa, sino que sólo aumentan nuestra acción
total?" Esto es absolutamente cierto para una situación con una expectativa matemática negativa.
La ecuación (1.04) confirma otro punto. Si sufres un HPR de 0, serás completamente aniquilado,
Para una expectativa matemática positiva, es una historia completamente diferente. En una situación
porque cualquier cosa multiplicada por cero es igual a cero. Cualquier operación con grandes
de expectativas positivas, el comerciante/jugador se enfrenta a la cuestión de cuál es la mejor
pérdidas tendrá un efecto muy adverso en el TWR, ya que es una función multiplicativa y no aditiva .
manera de explotar las expectativas positivas.
Por lo tanto, podemos afirmar que en el trading usted es tan inteligente como su error más tonto.
COMERCIO FRACCIONAL FIJO ÓPTIMO
Hemos pasado el transcurso de esta discusión sentando las bases para esta sección. Hemos
CÓMO REINVERTIR MEJOR
visto que para considerar apostar o operar en una situación o sistema determinado, primero se debe
Hasta ahora hemos hablado de la reinversión de los rendimientos en las operaciones, mediante
determinar si existe una expectativa matemática positiva. Hemos visto que lo que aparentemente
la cual reinvertimos el 100% de nuestra participación en todas las ocasiones. Aunque sabemos que
es una "buena apuesta" desde el punto de vista de la expectativa matemática (es decir, la expectativa
para maximizar una situación potencialmente rentable debemos recurrir a la reinversión, una
matemática es positiva) puede en realidad no ser una buena apuesta cuando se considera la
reinversión del 100% rara vez es lo más inteligente.
reinversión de rendimientos, si se está reinvirtiendo demasiado. un porcentaje de sus ganancias en
relación con la dispersión de resultados del sistema.
Tomemos el caso de una apuesta justa (50/50) en un lanzamiento de moneda. Alguien está
dispuesto a pagarle $2 si gana el sorteo, pero le cobrará $1 si pierde.
Reinvertir los rendimientos nunca aumenta la expectativa matemática (como porcentaje, aunque
Nuestra expectativa matemática es .5. En otras palabras, esperaría ganar 50 centavos por
puede aumentar la expectativa matemática en términos de dólares, lo cual lo hace geométricamente,
lanzamiento, en promedio. Esto se aplica al primer lanzamiento y a todos los lanzamientos
razón por la cual queremos reinvertir).
posteriores, siempre que no aumente la cantidad que está apostando. Pero en un proceso de juicio
Si de hecho existe una expectativa matemática positiva, por pequeña que sea, el siguiente paso es
independiente esto es exactamente lo que debe hacer. A medida que ganes, deberás comprometerte
explotar esta expectativa positiva en su máximo potencial.
más y más en cada lanzamiento.
Para un proceso de prueba independiente, esto se logra reinvirtiendo una fracción fija de su
Suponga que comienza con una apuesta inicial de un dólar. Ahora suponga que gana el primer
participación total.
lanzamiento y le pagan dos dólares. Como tenía toda su apuesta ($1) en juego en la última apuesta,
también apuesta toda su apuesta (ahora $3) en el siguiente lanzamiento. Sin embargo, el próximo
2
¿Y cómo encontramos esta f óptima? En las últimas décadas se ha trabajado mucho sobre
este tema en la comunidad de juegos de azar, el más famoso y preciso de los cuales se conoce
lanzamiento es perdedor y toda su apuesta de $3 se acaba. Ha perdido su $1 original más los $2
como el Sistema de Apuestas Kelly. En realidad, esto es una aplicación de una idea matemática
que había ganado. Si hubiera ganado el último lanzamiento, le habría pagado $6 ya que tenía tres
desarrollada a principios de 1956 por John L. Kelly, Jr.3 El criterio de Kelly establece que debemos
apuestas de $1. El punto es que si estás apostando el 100% de tu apuesta, serás eliminado tan
apostar esa fracción fija de nuestra apuesta (f) que maximiza la función de crecimiento G(f) : (1.08)
pronto como te encuentres con una apuesta perdedora, un evento inevitable. Si volviéramos a jugar
G(f) = P*ln(l+B*f)+(1 ­P)*ln(lf)
el escenario anterior y usted hubiera apostado sin reinversión (es decir, con un tamaño de apuesta
constante), habría ganado $2 en la primera apuesta y habría perdido $1 en la segunda. Ahora
tendrías una ventaja neta de $1 y una apuesta total de $2.
dónde
f = La fracción fija óptima.
P = La probabilidad de ganar una apuesta o una operación.
En algún punto entre estos dos escenarios se encuentra el enfoque de apuestas óptimo para
B = La relación entre el monto ganado en una apuesta ganadora y el monto perdido en una
una expectativa positiva. Sin embargo, primero deberíamos discutir la estrategia de apuestas óptima
para un juego de expectativas negativas. Cuando sabes que el juego que estás jugando tiene una
apuesta
expectativa matemática negativa, la mejor apuesta es no apostar. Recuerde, no existe ninguna
perdedora. ln() = La función del logaritmo natural.
estrategia de gestión del dinero que pueda convertir un juego perdedor en uno ganador. 'Sin embargo,
si debes apostar en un juego de expectativas negativas, la siguiente mejor estrategia es la estrategia
de máxima audacia. En otras palabras, desea apostar en la menor cantidad de intentos posible (a
diferencia de un juego de expectativas positivas, donde desea apostar en el mayor número de
2
Para un proceso de prueba dependiente, al igual que para un proceso de prueba independiente,
la idea de apostar una proporción de su apuesta total también produce la mayor explotación de
una expectativa matemática positiva. Sin embargo, en un proceso de prueba dependiente, usted
intentos posible). Cuantas más pruebas, mayor será la probabilidad de que se cumplan las
apuesta de manera óptima una fracción variable de su apuesta total, y la fracción exacta de cada
expectativas positivas y, por tanto, mayor será la probabilidad de que se pierdan las apuestas por el
apuesta individual está determinada por las probabilidades y los pagos involucrados para cada
lado de las expectativas negativas. Por lo tanto, el lado de las expectativas negativas tiene cada vez
apuesta individual. Esto es análogo a negociar un proceso de pruebas dependientes como dos
sistemas de mercado separados.
menos importancia.
3
Kelly, JL, Jr., Una nueva interpretación de la tasa de información, Bell System Technical Journal,
págs. 917­926, julio de 1956.
­ 15 ­
Machine Translated by Google
Resulta que, para un evento con dos resultados posibles, este f4 óptimo se puede
los comerciantes se equivocan). La ganancia promedio es 9 y la pérdida promedio es 8.
encontrar con bastante facilidad con las fórmulas de Kelly.
Por tanto decimos que B = 1,125. Sustituyendo los valores obtenemos: f = ((1.125+1)
FÓRMULAS DE KELLY
= (1.179375­1)/1.125
.555­1)/1.125 = (2.125*.555­1)/1.125
A finales de la década de 1940, los ingenieros de Bell System estaban trabajando en el
problema de la transmisión de datos a través de líneas de larga distancia. El problema al que
se enfrentaban era que las líneas estaban sujetas a un "ruido" aparentemente aleatorio e
= .179375/1.125
= .159444444
inevitable que interferiría con la transmisión.
Entonces decimos f = .16. Verá más adelante en este capítulo que este no es el f óptimo.
Los ingenieros de Bell Labs propusieron algunas soluciones bastante ingeniosas. Curiosamente,
existen grandes similitudes entre este problema de comunicación de datos y el problema del
La f óptima para esta secuencia de operaciones es 0,24. Aplicar la fórmula de Kelly cuando
crecimiento geométrico en lo que respecta a la gestión del dinero del juego (ya que ambos
todas las ganancias no son por la misma cantidad y/o todas las pérdidas no son por la misma
problemas son producto de un entorno de incertidumbre favorable). Una de las consecuencias
cantidad es un error, ya que no producirá la f óptima.
de estas soluciones es la primera fórmula de Kelly. La primera ecuación aquí es: (1.09a) f =
Observe que el numerador en esta fórmula es igual a la expectativa matemática para un
2*Pl
evento con dos resultados posibles como se definió anteriormente.
Por lo tanto, podemos decir que siempre que todas las ganancias sean por la misma cantidad
o
y todas las pérdidas sean por la misma cantidad (sea o no que la cantidad que se puede ganar
(1.09b) f = PQ
sea igual a la cantidad que se puede perder), la f óptima es: (1.10 b) f = Expectativa
dónde
Matemática/B
f = La fracción fija óptima.
dónde
P = La probabilidad de ganar una apuesta o una operación.
f = La fracción fija óptima.
Q = La probabilidad de una pérdida, (o el complemento de P, igual a 1­ P).
B = La relación entre el monto ganado en una apuesta ganadora y el monto perdido en una
apuesta perdedora.
Ambas formas de la ecuación (1.09) son equivalentes.
La ecuación (1.09a) o (1.09b) dará la respuesta correcta para f óptima siempre que las
La expectativa matemática se define en la ecuación (1.03), pero como debemos tener
una distribución de resultados de Bernoulli, debemos hacer
cantidades sean las mismas tanto para victorias como para derrotas. Como ejemplo, considere
Estamos seguros al utilizar la ecuación (1.10b) de que sólo tenemos dos resultados posibles.
el siguiente flujo de apuestas:
llega.
­1, +1, +1,­1,­1, +1, +1, +1, +1,­1
La ecuación (1.10a) es la forma más común de la ecuación (1.10) (todas ellas
equivalentes). Sin embargo, la fórmula se puede reducir a la siguiente forma más simple:
Hay 10 apuestas, 6 ganadoras, por lo tanto:
(1.10c) f = PQ/B donde
f = (.6*2)­l = 1.2­1 = .2
Si los ganadores y perdedores no fueran todos del mismo tamaño, entonces esta fórmula
no daría la respuesta correcta. Un caso así sería nuestro ejemplo de lanzamiento de moneda
dos a uno, donde todos los ganadores fueron por 2 unidades y todos los perdedores por 1
f = La fracción fija óptima.
unidad. Para esta situación la fórmula de Kelly es: (1.10a) f = ((B+1)*P­1)/B
P = La probabilidad de ganar una apuesta o una operación.
Q = La probabilidad de una pérdida (o el complemento de P, igual a 1­P).
dónde
ENCONTRAR LA F ÓPTIMA POR LA MEDIA GEOMÉTRICA
f = La fracción fija óptima.
P = La probabilidad de ganar una apuesta o una operación.
En el trading podemos contar con que nuestras ganancias serán de cantidades variables
y que nuestras pérdidas serán de cantidades variables. Por lo tanto, las fórmulas de Kelly no
B = La relación entre el monto ganado en una apuesta ganadora y el monto perdido en una
pudieron darnos la f óptima correcta. ¿Cómo podemos entonces encontrar nuestra f óptima
apuesta perdedora.
para saber cuántos contratos tener y que sea matemáticamente correcta?
En nuestro ejemplo de lanzamiento de moneda
dos a uno: f = ((2+
Aquí está la solución. Para empezar, debemos modificar nuestra fórmula para encontrar
l).5­l)/2 = (3*.5­
HPR para incorporar f: (1.11) HPR =
l)/2 = (1.5 ­l)/2
1+f*(­Comercio/Pérdida mayor)
= .5/2
dónde
= .25
Esta fórmula arrojará la respuesta correcta para f óptima siempre que todas las ganancias
sean siempre por la misma cantidad y todas las pérdidas sean siempre por la misma cantidad.
Si esto no es así, entonces esta fórmula no dará el resultado correcto.
f = El valor que estamos usando para f.
­Trade = La ganancia o pérdida en una operación (con el signo invertido para que las
pérdidas sean números positivos y las ganancias sean negativas).
Mayor pérdida = Las pérdidas y ganancias que resultaron en la mayor pérdida. (Esto
respuesta correcta.
siempre debe ser un número negativo).
Las fórmulas de Kelly son aplicables sólo a resultados que tienen una distribución de
Bernoulli. Una distribución de Bernoulli es una distribución con dos resultados discretos
Y nuevamente, TWR es simplemente el producto geométrico de los HPR y la media
posibles. Los juegos de apuestas suelen tener una distribución de Bernoulli. Los dos resultados
geométrica (G) es simplemente la raíz enésima de TWR.
son cuánto gana cuando gana y cuánto pierde cuando pierde. Desafortunadamente, el comercio
(1.12) TWR = ∏[i = 1,N](1+f*(­Tradei/Mayor pérdida))
no es tan sencillo. Aplicar las fórmulas de Kelly a una distribución de resultados que no es la
(1.13) G = (∏[i = 1,N](1+f*(­Negocio/ Pérdida mayor))]^(1/N)
de Bernoulli (como el comercio) es un error. El resultado no será el verdadero óptimo f. Para
obtener más información sobre la distribución de Bernoulli, consulte el Apéndice B. Considere
la siguiente secuencia de apuestas/intercambios:
dónde
f = El valor que estamos usando para f.
­Tradei = La ganancia o pérdida en la iésima operación (con el signo invertido
de modo que las pérdidas son números positivos y las ganancias son negativas).
+9, +18, +7, +1, +10, ­5, ­3, ­17, ­7 Dado que
Mayor pérdida = Las pérdidas y ganancias que resultaron en la mayor pérdida. (Esto
esta no es una distribución de Bernoulli (las ganancias y pérdidas son de diferentes
cantidades), la fórmula de Kelly no es aplicable . Sin embargo, intentémoslo de todos modos y
siempre debe ser un número negativo).
N = El número total de operaciones.
veamos qué obtenemos.
G = La media geométrica de los HPR.
Dado que 5 de los 9 eventos son rentables, entonces P = 0,555. Ahora tomemos
promedios de las victorias y derrotas para calcular B (aquí es donde tantas
Al recorrer todos los valores de I entre 0,01 y 1, podemos encontrar el valor de f que da
4
Como se usa a lo largo del texto, f siempre está en minúscula y en tipo romano. No
debe confundirse con la constante universal, F, igual a 4,669201609…, perteneciente
a bifurcaciones en sistemas caóticos.
­ dieciséis ­
como resultado la TWR más alta. Este es el valor de f que nos proporcionaría el máximo
rendimiento de nuestro dinero utilizando una fracción fija. También podemos afirmar que la f
óptima es la f que produce el
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media geométrica más alta. No importa si buscamos lo más alto
En el futuro, el apostador f óptimo tendrá una riqueza infinitamente mayor que cualquier otro
TWR o media geométrica, ya que ambos se maximizan al mismo valor para f.
apostador de sistemas de administración de dinero con una probabilidad cercana a 1.
Además, si un apostador tiene como objetivo alcanzar una fortuna específica y
Hacer esto con una computadora es fácil, ya que tanto la curva TWR como
La curva media geométrica es suave con un solo pico. Tu simplemente
se enfrenta a una serie de apuestas u oportunidades comerciales favorables, el tiempo esperado
bucle desde f = .01 hasta f = 1.0 por .01. Tan pronto como obtenga un TWR que sea
para alcanzar la fortuna será menor (más rápido) con una f óptima
menor que el TWR anterior, sabes que la f correspondiente a la
que con cualquier otro sistema de apuestas.
La TWR anterior es la f óptima. Puede emplear muchos otros algoritmos de búsqueda para
Volvamos atrás y reconsideremos la siguiente secuencia de apuestas (intercambios):
facilitar este proceso de encontrar la f óptima en el rango de
+9, +18, +7, +1, +10, ­5, ­3, ­17, ­7
0 a 1. Una de las formas más rápidas es con la búsqueda por interpolación parabólica.
Recuerde que determinamos anteriormente en este capítulo que la fórmula de Kelly no era
procedimiento detallado en Fórmulas de Gestión de Cartera.
aplicable a esta secuencia, porque no todas las victorias fueron
por la misma cantidad y tampoco las pérdidas. También decidimos promediar las ganancias y
PARA RESUMEN HASTA AHORA
las pérdidas y tomar estos promedios como nuestros valores en la fórmula de Kelly (como hacen
muchos traders por error). Haciendo esto
Has visto que un buen sistema es aquel que tiene la media geométrica más alta. Sin
embargo, para encontrar la media geométrica debes saber f. Tú
llegamos a un valor f de 0,16. Se afirmó que ésta es una aplicación incorrecta de Kelly, que no
Puede que esto le resulte confuso. A continuación presentamos un resumen y una aclaración de los
produciría la f óptima. La fórmula de Kelly debe ser específica para una apuesta única. No
proceso:
puedes promediar tus ganancias y
pérdidas del trading y obtener el verdadero óptimo fusionando la fórmula de Kelly.
Tomemos como ejemplo la cotización comercial de un sistema de mercado determinado.
Nuestro TWR más alto en esta secuencia de apuestas (intercambios) se obtiene en
1. Encuentre la f óptima, ya sea probando varios valores de f de 0 a 1 o
.24, o apostar $1 por cada $71 de nuestra apuesta. Ese es el crecimiento geométrico óptimo
mediante iteración. La f óptima es aquella que produce la mayor
TWR.
que se puede obtener de esta secuencia de apuestas (oficios).
fracción fija. Miremos los TWR en diferentes puntos a lo largo de 100
2. Una vez que haya encontrado f, puede tomar la raíz enésima del TWR que
recorre esta secuencia de apuestas. En 1 bucle (9 apuestas o intercambios),
corresponde a su f, donde N es el número total de operaciones. Esto es
la TWR para f = ,16 es 1,085 y para f = 0,24 es 1,096. Esto significa que
su media geométrica para este sistema de mercado. Ahora puedes usar esto
para 1 pase por esta secuencia de apuestas, una f = .16 hizo el 99% de lo que
f = 0,24 habría hecho. Continuar:
media geométrica para hacer comparaciones de manzanas con manzanas con otras
sistemas de mercado, así como utilizar la f para saber cuántos contratos
Pases
Apuestas totales
TWR para
TWR para
Agonía
o Comercios
f=.24
f=.16
1.096
1.085
cantidad dividiendo la mayor pérdida por el óptimo negativo f. Por ejemplo, si nuestra mayor
1
9
2.494
2.261
pérdida es $100 y nuestra f óptima es 0,25, entonces ­$100/­
10 40
90
38.694 26.132 32.5 9313.312
0,25 = $400. Es decir, deberíamos apostar 1 unidad por cada 400$ que tengamos
360 100 900
comercio para ese sistema de mercado en particular.
Una vez que se encuentra la f más alta, se puede convertir fácilmente en dólares.
en nuestra apuesta.
Porcentaje
Diferencia
1 9.4
3490.761 62.5
Como puede verse, usando un valor f que calculamos erróneamente a partir de
Kelly solo ganó el 37,5% de nuestra f óptima de 0,24 después de 900
Si tiene problemas con algunos de estos conceptos, intente pensar en
términos de apuestas en unidades, no en dólares (por ejemplo, una ficha de $5 o una de futuros).
apuestas o intercambios (100 ciclos a través de la serie de 9 resultados). En otra
contrato o una unidad de acciones de 100 acciones). La cantidad de dólares que asigna a cada
palabras, nuestra f óptima de .24, que es sólo .08 diferente de .16 (50%
unidad se calcula calculando su pérdida más grande dividida por
más allá del óptimo) obtuvo casi el 267% de la ganancia que obtuvo f = .16 después
¡900 apuestas!
el óptimo negativo f.
Repasemos otros 11 ciclos a través de esta secuencia de operaciones, para que
La f óptima es el resultado del equilibrio entre la capacidad de un sistema para generar
ganancias (sobre una base de 1 unidad constante) y su riesgo (sobre una base de 1 unidad constante).
ahora tenemos un total de 999 operaciones. Ahora nuestra TWR para f = 0,16 es
8563.302 (ni siquiera lo que era para f = .24 en 900 operaciones) y nuestro TWR
base unitaria).
para f = 0,24 es 25.451,045. En 999 operaciones, f = 0,16 tiene solo un 33,6 % de descuento = 0,24,
La mayoría de la gente piensa que la fracción fija óptima es ese porcentaje
o f = 0,24 tiene un 297 % de descuento = 0,16.
de su apuesta total a apostar, esto es absolutamente falso. Hay un interino
Como puede ver, utilizar la f óptima no parece ofrecer muchas ventajas a corto plazo, pero
paso involucrado. La f óptima no es en sí misma el porcentaje de su apuesta total
Para apostar, es el divisor de tu mayor pérdida. El cociente de esta división
a largo plazo se vuelve cada vez más ventajosa.
es entre lo que divides tu apuesta total para saber cuántas apuestas hacer
o contratos para tener.
más importante. El punto es que debes darle tiempo al programa cuando
operar a la f óptima y no esperar milagros en el corto plazo. El
Cuanto más tiempo (es decir, apuestas o intercambios) transcurra, mayor será la diferencia
También notarás que el margen no tiene nada que ver
entre usar la f óptima y cualquier otra estrategia de administración del dinero.
¿Cuál es el número matemáticamente óptimo de contratos a tener?
en. El margen no importa porque el tamaño de las ganancias individuales y
Las pérdidas no son producto de la cantidad de dinero aportada como margen.
COMERCIO MEDIO GEOMÉTRICO
(serían iguales cualquiera que fuera el tamaño del margen). Más bien, el
Las ganancias y pérdidas son el producto de la exposición de 1 unidad (1 futuro
En este punto, el operador puede estar interesado en calcular su promedio geométrico de
contrato). El importe aportado como margen pierde además su significado en un
operaciones, es decir, cuál es el promedio obtenido por contrato.
sentido de administración del dinero, porque el tamaño de la pérdida no se limita a
por operación asumiendo que las ganancias siempre se reinvierten y los contratos fraccionados
el margen.
se pueden comprar. Esta es la expectativa matemática cuando estás
La mayoría de la gente cree incorrectamente que f es una función rectilínea que se eleva
negociación sobre una base fraccionaria fija. Esta figura le muestra qué efecto
Hay perdedores que ocurren cuando tienes muchos contratos y
hacia arriba y hacia la derecha. Creen esto porque piensan que sería
Esto significa que cuanto más esté dispuesto a arriesgar, más podrá ganar.
Los ganadores se producen cuando tienes menos contratos. En efecto, esto
La gente razona de esta manera porque piensa que una matemática positiva
se aproxima a cómo le habría ido a un sistema por contrato por operación
la expectativa es sólo el reflejo de una expectativa negativa. Creen erróneamente que si
haciendo fracción fija. (En realidad, el comercio promedio geométrico es su
aumentar su acción total en un juego de expectativas negativas resulta en perder más rápido,
expectativa matemática en dólares por contrato por operación. La media geométrica menos 1
entonces aumentar su acción total
es su expectativa matemática por operación; una media geométrica de 1,025 representa una
en un juego de expectativas positivas resultará en ganar más rápido. Esto no es
expectativa matemática del 2,5% por operación.
verdadero. En algún momento en una situación de expectativa positiva, aumentando aún más
comercio, independientemente del tamaño.) Muchos comerciantes sólo miran el comercio promedio
toda tu acción actúa en tu contra. Ese punto es una función tanto de la
de un sistema de mercado para ver si es lo suficientemente alto como para justificar la
rentabilidad del sistema y su consistencia (es decir, su media geométrica), ya que
comercialización del sistema. Sin embargo, deberían observar el comercio promedio geométrico.
estás reinvirtiendo los retornos en el sistema.
(GAT) a la hora de tomar su decisión.
(1.14) GAT = G*(Pérdida mayor/­f)
Es un hecho matemático que cuando dos personas enfrentan la misma secuencia de
apuestas u oportunidades comerciales favorables, si una usa la f óptima y la otra usa cualquier
dónde
sistema de administración de dinero diferente, entonces
G = Media geométrica­1.
La relación entre la apuesta óptima del apostador y la de la otra persona aumentará a medida
que pase el tiempo, con una probabilidad cada vez mayor. en el largo
­ 17 ­
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f = Fracción fija óptima. (y, por supuesto, nuestra mayor pérdida es también
$1 por cada $2 de tu apuesta en el ejemplo anterior de un juego 5:1. En
formas un número negativo).
En tal caso, ganarías más dinero si apostaras $1 por cada $2,50.
en tu apuesta. No vale la pena arriesgar más que el valor óptimo. De hecho,
Por ejemplo, supongamos que un sistema tiene una media geométrica de 1,017238,
¡Pagas un precio por hacerlo!
la mayor pérdida es de $8 000 y la f óptima es 0,31. Nuestro comercio promedio geométrico
sería:
Obviamente, cuanto mayor sea la capitalización de una cuenta, con mayor precisión podrá
atenerse a la f óptima, ya que los dólares requeridos por cada contrato son un porcentaje menor
GAT = (1,017238­1)*(­$8 000/­0,31) =
del capital total. Por ejemplo, supongamos
0,017238*$25 806,45 =
La f óptima para un sistema de mercado determinado dicta que se debe negociar 1 contrato por
$444,85
cada 5.000 dólares en una cuenta. Si una cuenta comienza con $10,000 en capital,
necesitará ganar (o perder) 50% antes de que sea necesario un ajuste de cantidad. Compare
POR QUÉ DEBE CONOCER SU F ÓPTIMA
esto con una cuenta de $500 000, donde habría un ajuste de contrato por cada cambio del 1%
en el capital. Claramente, la cuenta más grande puede aprovechar mejor los beneficios
El gráfico de la Figura 1­6 demuestra además la importancia de utilizar el comercio
fraccional fijo de aleta óptima. Recuerde nuestra curva f para un juego de lanzamiento de
proporcionados por una f óptima.
moneda 2:1, que se ilustra en la figura 1­1.
que la cuenta más pequeña. Teóricamente, la f óptima supone que puedes
comerciar en cantidades infinitamente divisibles, lo que no ocurre en la vida real,
Aumentemos el pago ganador de 2 unidades a 5 unidades tal como está
donde la cantidad más pequeña que puede intercambiar es un solo contrato. En el
demostrado en la Figura 1­6. Aquí su f óptima es .4, o apostar $1 por
En sentido asintótico esto no importa. Pero en la apuesta de números enteros de la vida real
cada $2,50 de tu apuesta. Después de 20 secuencias de +5,­l (40 apuestas), tu
En este escenario, se podría presentar un buen caso para negociar un sistema de mercado.
La apuesta de $2,50 ha aumentado a $127,482, gracias a la óptima f. Ahora mira lo que
eso requiere un porcentaje tan pequeño como sea posible del capital de la cuenta, especialmente
sucede en esta situación extremadamente favorable si se pierde la f óptima
para cuentas más pequeñas. Pero aquí también hay una compensación. Desde
en un 20%. Con valores de f de 0,6 y 0,2 no ganas ni una décima parte de lo que ganarías
hazlo en .4. Esta situación particular, una apuesta 50/50 que paga 5 a 1, tiene una expectativa
matemática de (5*.5)+(1*(­.5)) = 2, pero si apuesta usando un valor f mayor que .8 usted pierde
dinero.
Nos esforzamos por comerciar en mercados que nos exigirían comerciar en
múltiplos mayores que otros mercados, estaremos pagando mayores comisiones, costos de
ejecución y deslizamientos. Tenga en cuenta que el monto requerido por contrato en la vida real
es el mayor entre el requisito de margen inicial y el monto en dólares por contrato dictado por el
140
f óptimo.
Cuanto más fino pueda cortarlo (es decir, más frecuentemente podrá ajustar el
120
tamaño de las posiciones que está negociando para alinearse con lo que
lo dicta la f óptima), mejor será su situación. Por lo tanto, la mayoría de las cuentas
100
sería mejor operar en los mercados más pequeños. Puede que el maíz no parezca una opción muy
t
80
mercado interesante para usted en comparación con el S&P. Sin embargo, para la mayoría de las personas la
60
El mercado del maíz puede volverse tremendamente emocionante si tienen unos cientos de
contratos.
W.
R
Quienes negocian con acciones o contratos a plazo (como los operadores de divisas) tienen una
40
tremenda ventaja aquí. Ya que debes calcular tu f óptima
basado en los resultados (las pérdidas y ganancias) sobre la base de 1 contrato (1 unidad), usted
20
Primero debe decidir qué unidad es en acciones o en forex. Como comerciante de acciones, digamos
decides que la unidad será de 100 acciones. Utilizará el flujo de pérdidas y ganancias
0
0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85
generado al negociar 100 acciones en todas y cada una de las operaciones para determinar
tu óptimo f. Cuando vaya a negociar con esta acción en particular (y digamos
valores f
su sistema requiere negociar 2,39 contratos o unidades), podrá
Figura 1­6 20 secuencias de +5, ­1.
intercambie la parte fraccionaria (la parte .39) colocando 239 acciones. Así, por
Aquí hay que destacar dos puntos. La primera es que siempre que
pudiendo intercambiar la parte fraccionaria de 1 unidad, podrás llevarte más
discutir un TWR, asumimos que al llegar a ese TWR permitimos
ventaja del óptimo f. Lo mismo ocurre con los operadores de Forex, quienes primero deben decidir
contratos fraccionarios a lo largo del camino. En otras palabras, el TWR supone
qué es 1 contrato o unidad. Para el operador de Forex, 1 unidad puede ser un millón.
Dólares estadounidenses o un millón de francos suizos.
que puede negociar 5.4789 contratos si es necesario en algún momento
punto. Esto se debe a que el cálculo de TWR permite contratos fraccionados.
que el TWR siempre será el mismo para un conjunto determinado de resultados comerciales
independientemente de su secuencia. Se puede argumentar que en la vida real esto no es así.
LA SEVERIDAD DE LA REDUCCIÓN
Es importante tener en cuenta en este punto que la reducción que puede esperar con el
el caso. En la vida real no se pueden negociar contratos fraccionados. Su argumento es
comercio fraccional fijo, como porcentaje de retroceso de su
correcto. Sin embargo, estoy permitiendo que el TWR se calcule de esta manera.
manera porque al hacerlo representamos el TWR promedio para todos los posibles
El capital de la cuenta, históricamente habría sido al menos del f por ciento. En otras palabras,
apuestas iniciales. Si requiere que todas las apuestas sean por cantidades enteras, entonces
si f es 0,55, entonces su reducción habría sido de
el importe de la apuesta inicial se vuelve importante. Sin embargo, si usted
al menos el 55% de su capital (dejándolo con el 45% en un momento). Es tan
promediar los TWR de todas las apuestas iniciales posibles
porque si está operando en la f óptima, tan pronto como su mayor pérdida
fue golpeado, experimentarías la reducción equivalente a f. Nuevamente, suponiendo que f para
valores usando solo apuestas enteras, llegarías al mismo TWR
un sistema es 0,55 y suponiendo que eso se traduce en negociar 1 contrato por cada $10 000,
Valor que calculamos permitiendo la apuesta fraccionaria. Por lo tanto, la
esto significa que su mayor pérdida fue
El valor TWR calculado es más realista que si lo limitáramos
$5,500. Como ya debería ser obvio, cuando se produjo la mayor pérdida (nuevamente estamos
a apuestas enteras únicamente, en el sentido de que es representativo del universo de
hablando históricamente de lo que habría
resultados de diferentes apuestas iniciales.
sucedió), habría perdido $5,500 por cada contrato que tenía,
Además, cuanto mayor sea el capital de la cuenta, más operaciones
y habría tenido 1 contrato por cada $10,000 en la cuenta. En
sobre la base de un contrato entero será lo mismo que negociar sobre una base fraccionaria
En ese momento, su reducción es del 55% del capital. Además, la reducción
por contrato. El límite aquí es una cuenta con una cantidad infinita de
podría continuar: La próxima operación o serie de operaciones podría hacer que su cuenta
capital donde la apuesta entera y la apuesta fraccionada son por las mismas cantidades
caiga aún más. Por tanto, cuanto mejor sea un sistema, mayor será la f.
exactamente.
Cuanto mayor sea f, generalmente mayor será la reducción, ya que la reducción (en términos
Esto es interesante porque, en general, cuanto más se acerque a la f óptima, mejor. Es
de porcentaje) nunca puede ser menor que la f como
decir que cuanto mayor sea la capitalización de una
porcentaje. Aquí se produce una paradoja: si un sistema es bueno
cuenta, mayor será el efecto de f óptimo. Dado que f óptima será
suficiente para generar un f óptimo que sea un porcentaje alto, entonces la reducción de un
Para hacer que una cuenta crezca al ritmo más rápido posible, podemos afirmar que opti­mal f
sistema tan bueno también será bastante alta. Mientras que óptimo
funcionará cada vez mejor para usted al ritmo más rápido posible.
te sigue para experimentar el mayor crecimiento geométrico, también te da
Tienes suficiente cuerda para ahorcarte.
Los gráficos (Figuras 1­1 y 1­6) confirman algunos aspectos más interesantes.
puntos. La primera es que con ninguna otra fracción fija ganarás más
dinero del que tendrá en el estado óptimo f. En otras palabras, no vale la pena apostar.
­ 18 ­
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La mayoría de los comerciantes se hacen grandes ilusiones sobre la gravedad de las reducciones.
futuro, esto es más probable que los parámetros óptimos del sistema de
el pasado será óptimo o casi óptimo en el futuro. Mientras que óptimo
Además, la mayoría de la gente tiene ideas falaces sobre la relación entre ganancias
potenciales y dispersión de esas ganancias.
Los parámetros del sistema cambian con bastante rapidez de un período de tiempo a otro, las
combinaciones óptimas de cartera cambian muy lentamente (al igual que los valores f óptimos).
Sabemos que si utilizamos la f óptima cuando operamos con fracciones fijas, podemos
En general, las correlaciones entre los sistemas de mercado tienden a permanecer constantes.
esperar caídas sustanciales en términos de retrocesos porcentuales de las acciones. La f
óptima es como el plutonio. Te da un
Esta es una buena noticia para un operador que ha encontrado la cartera óptima.
enorme cantidad de poder, pero es terriblemente peligroso. Estas importantes reducciones
mix, la diversificación óptima entre los sistemas de mercado.
son realmente un problema, especialmente para las notificaciones, en el sentido de que
operar en el nivel f óptimo les da la oportunidad de experimentar una pérdida catastrófica antes
EL MODELO MARKOVITZ
de lo normal. La diversificación puede
Los conceptos básicos de la teoría moderna de carteras emanan de una
amortiguar en gran medida las reducciones. Así lo hace, pero se advierte al lector que no
esperar eliminar la reducción. De hecho, el beneficio real de la diversificación es que le permite
realizar muchas más pruebas, muchas más jugadas, en
monografía escrita por el Dr. Harry Markowitz.
5
Básicamente, Markowitz
propuso que la gestión de cartera sea una gestión de composición, no de selección de
acciones individuales como se practica más comúnmente. Markowitz argumentó
el mismo período de tiempo, aumentando así su beneficio total. Diversificación,
que la diversificación es efectiva sólo en la medida en que el coeficiente de correlación entre
aunque suele ser el mejor medio para amortiguar las reducciones, no
los mercados involucrados sea negativo. Si tenemos una cartera compuesta por una acción,
no necesariamente reduce las reducciones y, en algunos casos, en realidad puede
nuestra mejor diversificación se obtiene si
¡aumentarlos!
Elija otra acción tal que la correlación entre las dos acciones
Mucha gente tiene la impresión errónea de que la reducción puede ser
Los precios son lo más bajos posible. El resultado neto sería que la cartera, como
completamente eliminados si se diversifican con suficiente eficacia. Hasta el punto
un todo (compuesto por estas dos acciones con correlación negativa),
Esto es cierto, ya que las reducciones pueden amortiguarse mediante una diversificación
tendría menos variación en el precio que cualquiera de las acciones por separado.
efectiva, pero nunca pueden eliminarse por completo. No os dejéis engañar. No importa cuán
buenos sean los sistemas empleados, no importa cuán efectivamente se diversifique, todavía
encontrará reducciones sustanciales. El
Markowitz propuso que los inversores actuaran de manera racional y, si tuvieran que
elegir, optarían por una cartera similar con el mismo rendimiento que
la que tienen, pero con menor riesgo, u optar por una cartera con mayor
La razón es que no importa cuán no correlacionados estén sus sistemas de mercado,
rentabilidad que la que tienen pero con el mismo riesgo. Además, para un determinado
Llega un período en el que la mayoría o todos los sistemas de mercado de su país
nivel de riesgo existe una cartera óptima con el mayor rendimiento, y de la misma manera
su cartera zigzaguea al unísono contra usted cuando deberían hacerlo. Tú
para un determinado rendimiento existe una cartera óptima con el menor riesgo.
tendrá enormes dificultades para encontrar una cartera con al menos 5 años de antigüedad.
Un inversor con una cartera cuyo rendimiento podría aumentar sin que el riesgo se
datos históricos y todos los sistemas de mercado que emplean el f óptimo que
incrementara, o un inversor con una cartera cuyo riesgo podría aumentar.
¡Ha tenido una reducción inferior al 30% en términos de retroceso de acciones!
se dice que tienen carteras ineficientes . La Figura 1­7 muestra todas las carteras disponibles
Esto es independiente de cuántos sistemas de mercado emplee. Si quieres
bajo un
Para estar en esto y hacerlo matemáticamente correctamente, es mejor que esperes estar
estudio dado. Si posee la cartera C, estaría mejor con la cartera A, donde tendría el mismo
clavado para retrocesos de acciones del 30% al 95%. Esto requiere una enorme disciplina y
rendimiento con menos riesgo, o con la cartera B, donde tendría más rendimiento con el
muy pocas personas pueden manejarlo emocionalmente.
mismo riesgo.
Cuando se diluye f, aunque se reducen las pérdidas aritméticamente, también se reducen
Premio
1.130
los rendimientos geométricamente. ¿Por qué comprometer fondos para
operaciones de futuros que no son necesarias simplemente para nivelar el valor del capital
curva a expensas de sus ganancias finales? Puedes diversificar
1.125
B
barato en otro lugar.
1.120
Cada vez que un operador se desvía de operar siempre con la misma constante
tamaño del contrato, se encuentra con el problema de qué cantidades
1.115
comerciar. Esto es así ya sea que el comerciante reconozca este problema o no.
1.110
El comercio de contratos constantes no es la solución, ya que nunca se puede experimentar
un crecimiento geométrico operando con contratos constantes. Entonces, nos guste o no, el
A
1.105
C
La cuestión de qué cantidad asumir en la próxima operación es inevitable para todos.
Seleccionar simplemente una cantidad arbitraria es un error costoso. La f óptima es fáctica; es
1.100
matemáticamente correcto.
1.095
1.090
0,290 0,295 0,300 0,305 0,310 0,315 0,320 0,325 0,330
TEORÍA MODERNA DE LA PORTAFOLIO
Recordemos la paradoja de la f óptima y la caída de un sistema de mercado. Cuanto
Riesgo
Figura 1­7 Teoría moderna de carteras.
mejor sea un sistema de mercado, mayor será el valor de f. Sin embargo, el
reducción (históricamente) si está operando, la f óptima nunca puede ser
Al describir esto, Markowitz describió lo que se llama la eficiencia
inferior a f. Entonces, en términos generales, cuanto mejor es el sistema de mercado,
frontera. Este es el conjunto de carteras que se encuentran en los lados superior e izquierdo.
mayor será la reducción como porcentaje del capital de la cuenta si
del gráfico. Se trata de carteras cuyo rendimiento ya no se puede aumentar sin aumentar el
usted está negociando óptimo f. Es decir, si desea tener el mayor crecimiento geométrico en
riesgo y cuyo riesgo no se puede reducir.
una cuenta, entonces puede contar con fuertes reducciones.
sin bajar el rendimiento. Las carteras que se encuentran en la frontera eficiente son
por el camino.
se dice que son carteras eficientes . (Ver Figura 1­8.)
La diversificación efectiva entre otros sistemas de mercado es la forma más eficaz de
amortiguar y superar esta reducción.
sin dejar de permanecer cerca del pico de la curva f (es decir, sin odiar
recortar de nuevo a, digamos, f/2). Cuando un sistema de mercado entra en crisis,
otro que se esté comercializando en la cuenta se fortalecerá, por lo tanto
anulando la disposición del otro. Esto también proporciona un catalizador
efecto en toda la cuenta. El sistema de mercado que acaba de experimentar la
reducción (y ahora está volviendo a funcionar bien) no tendrá
menos fondos para empezar que cuando comenzó la reducción (gracias a
el otro sistema de mercado anula la reducción). Diversificación
no obstaculizará las ventajas de un sistema (más bien al contrario: las ventajas están lejos
mayor, ya que después de una reducción no se comienza con menos contratos), sin embargo,
amortiguará la desventaja (pero sólo de forma muy limitada).
Existe una combinación de cartera óptima y cuantificable dado un grupo de
sistemas de mercado y sus respectivos fs óptimos. Aunque no podemos ser
5
Markowitz, H., Selección de cartera: diversificación eficiente de las inversiones.
Yale University Press, New Haven, Connecticut, 1959.
seguro de que la combinación óptima de cartera en el pasado será óptima en el futuro.
­ 19 ­
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1.130
Como ejemplo, supongamos que está analizando los sistemas de mercado A, B,
y C. Cada combinación sería: A
1.125
B
1.120
C
AB
1.115
C.A.
Recompensa
1.110
antes de Cristo
ABC
1.105
1.100
Pero no te detienes ahí. Para cada combinación, también debe calcular cada
asignación de porcentaje. Para hacerlo, necesitará tener un incremento porcentual
1.095
mínimo. El siguiente ejemplo, una continuación del ejemplo de la cartera A, B, C,
ilustra esto con una asignación mínima de cartera del 10% (0,10):
1,090
0,290 0,295 0,300 0,305 0,310 0,315 0,320 0,325 0,330
Riesgo
Un 100%
B 100%
Figura 1­8 La frontera eficiente
100%
AB 90% 10% 80%
Las carteras que se encuentran altas y a la derecha y bajas y a la izquierda
generalmente no están muy bien diversificadas entre muchas emisiones.
20% 70% 30%
60% 40% 50%
Las carteras que se encuentran en el medio de la frontera eficiente suelen estar muy
bien diversificadas. La cartera que elige un inversionista en particular es una función
50% 40% 60%
30% 70% 20%
de su aversión al riesgo o de su disposición a asumir riesgos. En el modelo de
Markowitz se dice que cualquier cartera que se encuentre en la frontera eficiente es
80% 10% 90%
una buena elección de cartera, pero dónde se encuentra la frontera eficiente es una
cuestión de preferencia personal (más adelante veremos que hay un punto óptimo
exacto en la frontera eficiente). frontera para todos los inversores).
El modelo de Markowitz se introdujo originalmente para aplicarse a una cartera
de acciones que el inversor mantendría durante mucho tiempo. Por lo tanto, los
CA 90% 10% 80% 20%
datos básicos fueron los rendimientos esperados de las acciones (definidos como la
apreciación esperada del precio de las acciones más cualquier dividendo), la
70% 30% 60%
40% 50% 50%
variación esperada en esos rendimientos y las correlaciones de los diferentes
rendimientos entre las diferentes acciones. . Si tuviéramos que trasladar este
40% 60% 30%
70% 20% 80%
concepto a los futuros, sería lógico (ya que los futuros no pagan dividendos) que
midiéramos las ganancias esperadas de los precios, las variaciones y las
correlaciones de los diferentes futuros.
10% 90%
Surge la pregunta: "Si estamos midiendo la correlación de precios, ¿qué pasa si
tenemos dos sistemas en el mismo mercado que están correlacionados
BC 90% 10% 80%
20% 70% 30%
60% 40% 50%
negativamente?" En otras palabras, supongamos que tenemos los sistemas A y B.
Existe una correlación negativa perfecta entre los dos. Cuando A está en reducción,
50% 40% 60%
30% 70% 20%
B está en reducción y viceversa. ¿No es ésta realmente una diversificación ideal?
Entonces, lo que realmente queremos medir no son las correlaciones de precios de los
80% 10% 90%
mercados que estamos utilizando. Más bien, queremos medir las correlaciones de los
cambios diarios en las acciones entre los diferentes sistemas de mercado.
Sin embargo, ésta sigue siendo una comparación de manzanas y naranjas.
Digamos que dos de los sistemas de mercado en los que vamos a examinar las
correlaciones operan ambos en el mismo mercado, sin embargo, uno de los sistemas
ABC 80% 10% 10% 70% 20%
10% 70% 10% 20% 10%
30% 60%
tiene una f óptima correspondiente a un contrato por cada $2,000 en capital de la
cuenta y el otro sistema tiene una f óptima f correspondiente a 1 contrato por cada
$10.000 de patrimonio de la cuenta. Para superar esto e incorporar los fs óptimos de
los diversos sistemas de mercado considerados, así como para contabilizar el
comercio fraccionario fijo, convertimos los cambios diarios de capital para un sistema
de mercado determinado en HPR diarios. El HPR en este contexto es cuánto ganó o
perdió un mercado en particular durante un día determinado sobre la base de 1
contrato en relación con cuál es la f óptima para ese sistema. Así es como se puede
resolver esto. Supongamos que el sistema de mercado con una f óptima de 2.000
dólares generó 100 dólares en un día determinado. Entonces, el HPR para ese
10% 20% 70% 10% 10%
80%
Ahora, para cada CPA, revisamos cada día y calculamos un HPR neto para
cada día. El HPR neto para un día determinado es la suma del HPR de cada sistema
de mercado para ese día multiplicado por su asignación porcentual. Por ejemplo,
supongamos que para los sistemas A, B y C estamos considerando asignaciones
porcentuales del 10%, 50% y 40% respectivamente. Además, supongamos que las
HPR individuales para esos sistemas de mercado para ese día son 0,9, 1,4 y 1,05
respectivamente. Entonces el HPR neto para este
sistema de mercado para ese día es 1,05.
día es: HPR neto = (.9*.1)+(1.4*.5)+(1.05*.4)
Para encontrar el HPR diario,
= .09+.7+.42
entonces: (1.15) HPR diario = (A/B)+1 donde
= 1,21
A = Dólares ganados o perdidos ese día.
Debemos realizar ahora dos tabulaciones necesarias. El primero es el del HPR
neto diario medio de cada CPA. Esto comprende la recompensa o eje Y del modelo
B = Dólares finitos óptimos.
Comenzamos convirtiendo las ganancias y pérdidas diarias en dólares de los
sistemas de mercado que estamos analizando en HPR diarias en relación con los
de Markowitz. La segunda tabulación necesaria es la de la desviación estándar de
las HPR netas diarias para un CPA determinado; específicamente, la desviación
dólares finitos óptimos para un sistema de mercado determinado. Al hacerlo,
hacemos que la cantidad sea irrelevante. En el ejemplo que acabamos de citar,
estándar de la población. Esta medida corresponde al riesgo o eje X del modelo de
Markowitz.
donde su HPR diario es 1,05, ese día ganó el 5 % con ese dinero. Esto es el 5%
independientemente de si tenía 1 contrato o 1000 contratos.
La teoría moderna de carteras a menudo se denomina teoría EV, correspondiente
a los otros nombres dados a los dos ejes. El eje vertical a menudo se denomina E,
Ahora está listo para comenzar a comparar diferentes carteras. El truco aquí
consiste en comparar todas las combinaciones posibles de carteras, desde carteras
de 1 sistema de mercado (para cada sistema de mercado considerado) hasta carteras
de N sistemas de mercado.
para el rendimiento esperado, y el eje horizontal V, para la varianza en los
rendimientos esperados.
A partir de estas dos primeras tabulaciones podemos encontrar nuestra frontera eficiente.
Hemos incorporado efectivamente varios mercados, sistemas y fábricas.
­ 20 ­
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tors, y ahora podemos ver cuantitativamente cuáles son nuestros mejores contadores públicos (es decir,
El sistema de mercado A, con un valor f de 1 contrato por cada 5.000 dólares de capital de la
qué CPA se encuentran a lo largo de la frontera eficiente).
cuenta y un porcentaje de asignación del 10%, produce 1 contrato por cada 50.000 dólares de capital.
patrimonio total de la cuenta ($5,000/.10). Sistema de mercado B, con un valor f de 1
contrato por $2,500 en capital de la cuenta y una asignación porcentual de
LA ESTRATEGIA DE CARTERA DE MEDIA GEOMÉTRICA
50%, produce 1 contrato por cada $5000 en el capital total de la cuenta ($2500/0,50).
¿En qué punto particular de la frontera eficiente decide estar?
(es decir, qué CPA eficiente en particular) es una función de su propia preferencia de aversión
al riesgo, al menos según el modelo de Markowitz. Sin embargo, hay un punto óptimo en el
El sistema de mercado C, con un valor f de 1 contrato por cada $2 000 de capital de la cuenta
y un porcentaje de asignación del 40%, produce 1 contrato por cada $5 000 de capital total de
la cuenta ($2000/0,40). Por lo tanto, si tuviéramos $50,000 en total en la cuenta
que estar en la frontera eficiente, y encontrar
acciones, negociaríamos 1 contrato por el sistema de mercado A, 10 contratos por
este punto es matemáticamente solucionable.
sistema de mercado B, y 10 contratos para el sistema de mercado C.
Si elige el CPA que muestra la media geométrica más alta de
Mañana haríamos lo mismo. Digamos que el patrimonio total de nuestra cuenta asciende
los HPR, llegará al CPA óptimo. Podemos estimar la media geométrica a partir de la media
a $59,000. En este caso, dividir $59 000 en $50 000 produce
aritmética HPR y el estándar poblacional.
1,18, que se reduce al número entero 1, por lo que cambiaríamos 1 contrato por
desviación de los HPR (los cuales son cálculos que ya tenemos,
sistema de mercado A mañana. Para el sistema de mercado B, negociaríamos 11
¡ya que son los ejes X e Y del modelo de Markowitz!). Ecuaciones
contratos ($59.000/$5.000 = 11,8, que se redujo al número entero = 11).
(1.16a) y (1.16b) nos dan la fórmula para la media geométrica estimada
Para el sistema de mercado C también negociaríamos 11 contratos, ya que el mercado
(EGM). Esta estimación es muy cercana (generalmente dentro de cuatro o cinco decimales).
El sistema C también negocia 1 contrato por cada $5,000 en el capital total de la cuenta.
lugares) a la media geométrica real, y es aceptable usar la media geométrica estimada y la
Supongamos que ayer realizamos una operación desde el sistema de mercado C y
media geométrica real indistintamente.
Estamos largos 10 contratos. No necesitamos entrar y agregar otro hoy.
(1.16a) EGM = (AHPR^2­SD^2)^(1/2)
para llevarnos hasta 11 contratos. Más bien, los montos que estamos calculando utilizando el
o
capital a partir del cierre de mercado más reciente son solo para nuevas posiciones. Entonces,
(l.16b) EGM = (AHPR^2­V)^(1/2)
para mañana, dado que tenemos 10 contratos vigentes, si conseguimos
dejado fuera de esta operación (o salir de ella con un objetivo de ganancias), iremos
dónde
11 contratos en una nueva operación si ocurriera. Determinar nuestra cartera óptima utilizando
EGM = La media geométrica estimada.
los HPR diarios significa que debemos entrar y modificar
AHPR = El promedio aritmético HPR, o la coordenada de retorno de
nuestras posiciones día a día y no operación por operación, pero esto
el portafolio.
Realmente no es necesario a menos que esté operando con un sistema a largo plazo, y
SD = La desviación estándar en HPR, o la coordenada de riesgo del
entonces puede que no sea beneficioso ajustar el tamaño de su posición día a día debido al
portafolio.
aumento de los costos de transacción. En un sentido puro, deberías
ajusta tus posiciones día a día. En la vida real, normalmente eres
V = La varianza en HPR, igual a SD^2.
Es casi igual de beneficioso modificarlos operación por operación, con pocas pérdidas.
Ambas formas de la ecuación (1.16) son equivalentes.
de exactitud.
El CPA con la media geométrica más alta es el CPA que
Esta cuestión de implementar las posiciones diarias correctas no es tan
maximizar el crecimiento del valor de la cartera a largo plazo; además, minimizará el tiempo
problema. Recuerde que para encontrar la cartera óptima utilizamos el diario
necesario para alcanzar un nivel específico de equidad.
HPR como entrada. Por lo tanto, deberíamos ajustar el tamaño de nuestra posición diariamente (si
podría ajustar cada posición al precio al que cerró ayer). En la vida real
Sin embargo, esto se vuelve poco práctico, ya que los costos de transacción comienzan a
PROCEDIMIENTOS DIARIOS PARA UTILIZAR EL PORTAFOLIO ÓPTIMO
superar los beneficios de ajustar nuestras posiciones diariamente y, de hecho, pueden costar
LIOS
nosotros más que el beneficio de ajustarnos diariamente. Por lo general, es mejor que
En este punto, puede haber algunas dudas sobre cómo implementar
ajustemos sólo al final de cada operación. El hecho de que la cartera esté temporalmente
este enfoque de cartera en el día a día. De nuevo un ejemplo será
desequilibrada después del día 1 de una operación es un precio menor a pagar que
utilizado para ilustrar. Suponga que su CPA óptimo requiere que usted esté en tres
el costo de ajustar la cartera diariamente.
diferentes sistemas de mercado. En este caso, supongamos que las asignaciones porcentuales
Por otra parte, si adoptamos una posición que vamos a mantener durante
son 10%, 50% y 40%. Si estuviera mirando una cuenta de $50,000,
al año, es posible que deseemos ajustar dicha posición diariamente en lugar de ajustarla
su cuenta se "subdividiría" en tres cuentas de $5,000,
dentro de más de un año cuando realicemos otra operación. Generalmente,
$25 000 y $20 000 para cada sistema de mercado (A, B y C) respectivamente. Para el saldo
Sin embargo, en sistemas a más largo plazo como este, es mejor que ajustemos
de subcuenta de cada sistema de mercado, luego calcula cuánto
la posición cada semana, digamos, en lugar de cada día. El razonamiento aquí
muchos contratos que podrías negociar. Digamos que los factores f dictaron lo siguiente:
Nuevamente es que la pérdida de eficiencia al tener la cartera temporalmente
desequilibrado es un precio menor a pagar que los costos de transacción agregados de
Sistema de mercado A, 1 contrato por cada 5.000 dólares de capital de la cuenta.
un ajuste diario. Tienes que sentarte y determinar cuál es el
Sistema de mercado B, 1 contrato por cada $2,500 en patrimonio de la cuenta.
penalización menor que usted deberá pagar, según su estrategia comercial (es decir, cómo
Sistema de mercado C, contrato por $2,000 en capital de cuenta.
(durante el que suele estar en una operación), así como los costos de transacción involucrados.
Entonces estaría negociando 1 contrato para el sistema de mercado A
($5.000/$5.000), 10 contratos para el sistema de mercado B ($25.000/$2.500),
¿Cuánto período de tiempo debería considerar al calcular las carteras óptimas? Al igual
y 10 contratos para el sistema de mercado C ($20.000/$2.000).
que la pregunta "¿Cuánto tiempo debe durar un período?"
Cada día, a medida que cambia el capital total de la cuenta, todas las subcuentas
están recapitalizados. Lo que se quiere decir aquí es, supongamos que esta cuenta de $50,000
cayó a $45,000 al día siguiente. Ya que recapitalizamos las subcuentas.
¿Qué miras para determinar la f óptima para un sistema de mercado dado?"
No hay una respuesta definitiva aquí. Generalmente, cuantos más datos antiguos utilice, más
mejor debería ser su resultado (es decir, que las carteras casi óptimas en el
cada día, tenemos $4,500 para la subcuenta A del sistema de mercado,
El futuro se parecerá a lo que su estudio concluyó que era el nivel casi óptimo.
$22 500 para la subcuenta B del sistema de mercado y $18 000 para la subcuenta C del
carteras). Sin embargo, las correlaciones cambian, aunque lentamente. Uno de los
sistema de mercado, desde la cual negociaríamos cero contratos el siguiente
El problema de utilizar un período de tiempo demasiado largo es que habrá una tendencia a
día en el sistema de mercado A ($4,500 7 $5,000 = .9, o, como siempre
utilizar los mercados calientes de ayer. Por ejemplo, si ejecutaste esto
piso al número entero, 0), 9 contratos para el sistema de mercado B
programa en 1983 durante 5 años de datos anteriores que probablemente tendría
($22,500/$2,500), y 9 contratos para el sistema de mercado C
Uno de los metales preciosos se muestra muy claramente como parte de la cartera óptima.
($18,000/$2,000). Siempre recapitalizas las subcuentas cada día, independientemente de si
Sin embargo, a los metales preciosos les fue muy mal en la mayoría de los casos.
hubo ganancias o pérdidas. No te confundas.
sistemas de comercio durante bastantes años después de los mercados de 1980­1981. Entonces
La subcuenta, como se usa aquí, es una construcción mental.
Verás, hay un equilibrio entre usar demasiada historia pasada y demasiado
Otra forma de hacer esto que nos dará las mismas respuestas y
poco en la determinación de la cartera óptima del futuro.
Lo que tal vez sea más fácil de entender es dividir el monto f óptimo de un sistema de mercado
por su asignación porcentual. Esto nos da una cantidad en dólares.
que luego dividimos el capital total de la cuenta para saber cuántos contratos negociar. Dado
que el patrimonio de la cuenta cambia diariamente, recapitalizamos
Finalmente, surge la pregunta de con qué frecuencia se debe repetir todo este
procedimiento para encontrar la cartera óptima. Lo ideal es que corras
esto de forma continua. Sin embargo, rara vez cambiará la composición de la cartera. De
manera realista, probablemente deberías ejecutar esto cada 3
esto diariamente al nuevo patrimonio total de la cuenta. En el ejemplo que hemos citado,
meses. Incluso ejecutando este programa cada 3 meses todavía hay un
­ 21 ­
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alta probabilidad de que llegue a la misma composición óptima de cartera, o a una muy similar,
fondos para asignar para 1 contrato a cada sistema de mercado, cuando se ve en
a la que llegó antes.
a la luz de la relación de cada sistema de mercado entre sí.
ASIGNACIONES SUPERIORES AL 100%
han dado como resultado el mayor crecimiento geométrico en el pasado pueden exceder el
Tenga en cuenta que las asignaciones porcentuales de la cartera que
100% y generalmente lo son. Esto se logra en esta técnica dividiendo el f óptimo en dólares
Hasta ahora, hemos estado restringiendo la suma de las asignaciones porcentuales al
100%. Es muy posible que la suma de las asignaciones porcentuales para la cartera que daría
como resultado el mayor crecimiento geométrico
para cada sistema de mercado por un
un número entero específico (que generalmente es el número de sistemas de mercado) e
incluye efectivo que no devenga intereses (es decir, un sistema de mercado con una HPR de
superaría el 100%. Consideremos, por ejemplo, dos sistemas de mercado, A y
B, que son idénticos en todos los aspectos, excepto que existe una correlación negativa (R<0)
1,00 cada día) como otro sistema de mercado. Las correlaciones de los diferentes sistemas de
mercado pueden tener un efecto profundo en una cartera. Es importante que te des cuenta de
entre ellos. Supongamos que la f óptima, en dólares, para
que una cartera puede ser mayor que la suma de sus
cada uno de estos sistemas de mercado cuesta $5,000. Supongamos que la cartera óptima
partes (si las correlaciones de sus partes componentes son lo suficientemente bajas). Es
(basado en la media geográfica más alta) demuestra ser la cartera que asigna
También es posible que una cartera sea menor que la suma de sus partes (si las
50% a cada uno de los dos sistemas de mercado. Esto significaría que usted
las correlaciones son demasiado altas).
debería negociar 1 contrato por cada $10,000 en capital para el sistema de mercado A
Consideremos nuevamente un juego de lanzamiento de moneda, un juego en el que ganas 2 dólares
y lo mismo para B. Sin embargo, cuando hay correlación negativa, puede
sale cara y pierde $1 si sale cruz. Un juego así tiene una expectativa matemática.
demostrarse que el crecimiento óptimo de la cuenta se obtiene realmente negociando
1 contrato por un monto inferior a $10,000 en capital para el sistema de mercado
(aritmética) de cincuenta centavos. La f óptima es 0,25, o apuesta $1 por cada $4 en
A y/o el sistema de mercado B. En otras palabras, cuando hay una correlación negativa, la
su apuesta y da como resultado una media geométrica de 1,0607. Ahora considere un
suma de las asignaciones porcentuales puede exceder el 100%.
Segundo juego, uno en el que la cantidad que puedes ganar lanzando una moneda es de $ 0,90.
Además, es posible, aunque no muy probable, que las asignaciones porcentuales individuales
y la cantidad que puedes perder es $1,10. Un juego de este tipo tiene una expectativa
matemática negativa de ­$.10, por lo tanto, no existe una f óptima y, por lo tanto,
a los sistemas de mercado excedan el 100% individualmente.
tampoco hay media geométrica.
Consideremos lo que sucede cuando jugamos ambos juegos simultáneamente. Si
Es interesante considerar lo que sucede cuando la correlación entre dos sistemas de
mercado se aproxima a ­1,00. Cuando ocurre tal evento, el monto para financiar las operaciones
el segundo juego tenía un coeficiente de correlación de 1,0 con el primero, es decir, si
de los sistemas de mercado tiende a volverse infinitesimal. Esto es así porque la cartera, el
Ganamos en ambos juegos por cara o siempre salían ambas monedas.
resultado neto de la
ambas caras o ambas cruces, entonces los dos posibles resultados netos serían
sistemas de mercado, tiende a no sufrir nunca un día de pérdidas (ya que una cantidad perdida
que ganamos $2,90 si sale cara o perdemos $2,10 si sale cruz. Un juego así sería
por un sistema de mercado en un día determinado se compensa con la misma cantidad
entonces tenemos una expectativa matemática de $.40, una f óptima de .14 y una
ganado por un sistema de mercado diferente en la cartera ese día). Por lo tanto,
media geométrica de 1,013. Obviamente, este es un enfoque inferior al de simplemente
Con la diversificación es posible tener la cartera óptima asignando un
intercambiando el juego de las expectativas matemáticas positivas.
factor f en dólares más pequeño para un sistema de mercado dado que operar con ese
Ahora supongamos que los juegos están correlacionados negativamente. Eso es cuando
el sistema de mercado por sí solo lo haría.
Viene la moneda del juego con la expectativa matemática positiva.
cara a cara, perdemos los $1.10 del juego de expectativas negativas y viceversa.
Para dar cabida a esto, puede dividir la f óptima en dólares por
cada sistema de mercado por el número de sistemas de mercado que está ejecutando.
viceversa. Por lo tanto, el resultado neto de los dos juegos es una ganancia de $0,90 si las monedas
En nuestro ejemplo, en lugar de ingresar $5,000 como f óptima para el mercado
sale cara y una pérdida de ­$.10 si las monedas salen cruz. el matematico
sistema A, ingresaríamos $2,500 (dividiendo $5,000, la f óptima, por 2,
La expectativa sigue siendo $0,40, pero el f óptimo es 0,44, lo que produce una media
el número de sistemas de mercado que vamos a ejecutar), y lo mismo para
geométrica de 1,67. Recuerde que la media geométrica es el factor de crecimiento en
sistema de mercado b.
tu apuesta promedio por jugada. Esto significa que en promedio en este juego
esperaríamos ganar más de 10 veces más por jugada que en el
Ahora, cuando usamos este procedimiento para determinar la geomedia óptima
juego de expectativas matemáticas absolutamente positivo. Sin embargo, este resultado se
cartera como la que asigna el 50% a A y el 50% a B,
obtiene tomando ese juego de expectativas matemáticas positivas y combinándolo con un juego
significa que deberíamos negociar 1 contrato por cada $5,000 en capital por
de expectativas negativas. La razón del dramático
sistema de mercado A ($2,500/.5) y lo mismo para B.
La diferencia en los resultados se debe a la correlación negativa entre los dos.
También debes asegurarte de utilizar el efectivo como otro sistema de mercado. Este
sistemas de mercado. A continuación se muestra un ejemplo en el que la cartera es mayor que
es efectivo que no devenga intereses y tiene un HPR de 1,00 por cada día.
la suma de sus partes.
Supongamos en nuestro ejemplo anterior que el crecimiento óptimo se obtiene en
Sin embargo, también es importante tener en cuenta que su reducción, históricamente,
50% en el sistema de mercado A y 40% en el sistema de mercado B. En otras palabras,
habría sido al menos tan alta como el f por ciento en términos de porcentaje de capital
negociar 1 contrato por cada $5,000 en capital para el sistema de mercado A y 1
retrocedido. En la vida real, debes esperar que en el futuro
contrato por cada $6,250 para B ($2,500/.4). Si utilizáramos el efectivo como otro sistema de
será mayor que esto. Esto significa que la combinación de los dos
mercado, esta sería una combinación posible (mostrando la
Los sistemas de mercado, aunque estén correlacionados negativamente, habrían
cartera óptima es tener el 10% restante en efectivo). si no lo fuéramos
resultó en un retroceso de al menos el 44% de las acciones. Esto es más alto que la expectativa
Si se utilizara el efectivo como otro sistema de mercado, esta combinación no sería posible.
matemática absolutamente positiva que resultó en una f óptima de
,25 y, por lo tanto, una caída histórica mínima de al menos un 25% de retroceso de la renta
Si su respuesta obtenida mediante este procedimiento no incluye la
variable. La moraleja es clara. La diversificación, si se hace correctamente, es
efectivo que no devenga intereses como uno de los componentes de la producción, entonces
una técnica que aumenta los rendimientos. No necesariamente reduce
debe aumentar el factor que está utilizando para dividir el fs óptimo en dólares que
reducciones en el peor de los casos. Esto es absolutamente contrario a la noción popular.
están utilizando como entrada. Volviendo a nuestro ejemplo, supongamos que utilizamos
efectivo que no devenga intereses con los dos sistemas de mercado A y B. Supongamos
La diversificación amortiguará muchos de los pequeños retrocesos de la renta variable
además que nuestra cartera óptima resultante no incluía al menos algunos
máximos, pero no reduce las caídas en el peor de los casos. Además, como tenemos
asignación porcentual a efectivo que no devenga intereses. En cambio, supongamos que
Visto con f óptima, las reducciones son mucho mayores de lo que la mayoría de la gente
la cartera óptima resultó ser 60% en el sistema de mercado A y 40%
imagina. Por lo tanto, incluso si está muy bien diversificado, aún debe esperar retrocesos
en el sistema de mercado B (o cualquier otra combinación porcentual, siempre que
sustanciales de las acciones.
sumaron hasta el 100% como suma de las asignaciones porcentuales para el
Sin embargo, volvamos atrás y veamos los resultados si el coeficiente de correlación entre
dos sistemas de mercado) y 0% asignado al efectivo que no devenga intereses. Este
los dos juegos fuera 0. En tal juego, cualesquiera que fueran los resultados de un lanzamiento
significaría que incluso si dividiéramos nuestros fs óptimos en dólares por
dos, eso no fue suficiente, debemos dividirlos por un número
no tendría relación con los resultados del otro.
mayor que 2. Entonces regresaremos y dividiremos nuestro fs óptimo en dólares por
sacudida. Por tanto, hay cuatro resultados posibles:
3 o 4 hasta que obtengamos una cartera óptima que incluya un cierto porcentaje de asignación
Juego 1
a efectivo que no devenga intereses. Este será el óptimo.
Resultado Monto Resultado Monto Resultado Monto
portafolio. Por supuesto, en la vida real esto no significa que debamos
Gana $2.00 Gana $.90 Gana $2.00 ­$1.10 Gana Gana ­
asignar parte de nuestro capital comercial a efectivo que no devenga intereses, más bien,
Pierde
El efectivo que no devenga intereses se utilizó para derivar la cantidad óptima de
Perder
­S.10
Perder
­$2.10
­ 22 ­
Juego 2
Neto
Perder
$1.00 Gana $.90
Pierde ­$1 .00 Pierde ­$1.10
$2.90
$.90
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La expectativa matemática es así:
¿Que está pasando aqui? ¿Esto se debe a que el Sistema B tiene un mayor porcentaje
de operaciones ganadoras? La razón por la que B está superando a A tiene que ver con
ME = 2.9*.25+.9*.25­.1*.25­2.1*.25 = .725+.225­.025­.525 = .4
con la dispersión de resultados y su efecto sobre la función de crecimiento.
Una vez más, la expectativa matemática es 0,40 dólares. La f óptima
esta secuencia es .26, o 1 apuesta por cada $8.08 en el capital de la cuenta (desde el
La mayoría de la gente tiene la impresión errónea de que la función de crecimiento, la
la mayor pérdida aquí es ­$2,10). Por lo tanto, lo mínimo que pueda ocurrir es la reducción histórica.
TWR, es:
sido del 26% (más o menos lo mismo que en el juego de las expectativas totalmente positivas).
(1.17) TWR = (1+R)^N
Sin embargo, aquí hay un ejemplo donde hay almacenamiento en búfer de
dónde
los retrocesos de las acciones. Si simplemente estuviéramos jugando lo absolutamente positivo
R = La tasa de interés por período (por ejemplo, 7% = 0,07).
juego de expectativas, la tercera secuencia nos habría golpeado para la reducción máxima.
N = El número de períodos.
Dado que estamos combinando los dos sistemas, la tercera secuencia se almacena en buffer.
Dado que 1+R es lo mismo que HPR, podemos decir que la mayoría de las personas
Pero ese es el único beneficio. La geométrica resultante
La media es 1,025, menos de la mitad de la tasa de crecimiento si se jugara simplemente el
Tengo la impresión errónea de que la función de crecimiento,6 la TWR, es:
juego de las expectativas positivas. Hicimos 4 apuestas al mismo tiempo que
(1.18) TWR = HPR^N
Habríamos realizado 2 apuestas en el juego de expectativas positivas,
Esta función sólo es verdadera cuando el retorno (es decir, el HPR) es constante,
pero como puedes ver, todavía no ganó tanto dinero:
lo cual no es el caso en el comercio.
1,0607^2 = 1,12508449 1,025^4 = 1,103812891
La función de crecimiento real en el trading (o en cualquier evento en el que el HPR sea
Claramente, cuando diversificas debes utilizar sistemas de mercado que tengan
no constante) es el producto multiplicativo de los HPR. Supongamos que somos
una correlación lo más baja posible en los rendimientos entre sí y preferiblemente una
comercializando café, nuestra f óptima es 1 contrato por cada $21,000 en capital,
uno negativo. Debe darse cuenta de que su retroceso de capital en el peor de los casos
y tenemos 2 operaciones, una pérdida de $210 y una ganancia de $210, para HPR de 0,99
La diversificación difícilmente le ayudará, aunque puede que le resulte
y 1,01 respectivamente. En este ejemplo nuestro TWR sería:
capaz de amortiguar muchos de los otros retrocesos menores de las acciones. lo mas
TWR = 1,01*,99 = ,9999
Lo importante que hay que tener en cuenta acerca de la diversificación es que su mayor
Se puede obtener una idea utilizando la media geométrica estimada.
beneficio está en lo que puede hacer para mejorar su media geométrica. La técnica para
encontrar la cartera óptima observando las HPR diarias netas
(EGM) para la ecuación (1.16a):
elimina tener que observar cuántas operaciones realizó cada sistema de mercado para
(1.16a) EGM = (AHPR^2­SD^2)^(1/2)
o
determinar las carteras óptimas. El uso de esta técnica le permite observar únicamente la
media geométrica, sin tener en cuenta la frecuencia de las operaciones. Por tanto, la media
(1.16b) EGM = (AHPR^2­V)^(1/2)
geométrica se convierte en el estadístico único.
de lo beneficiosa que es una cartera. No se puede obtener ningún beneficio diversificando en
más sistemas de mercado que el que da como resultado la media geométrica más alta. Esto
puede significar que no hay diversificación alguna si una cartera de un sistema de mercado
Ahora elevamos la ecuación (1.16a) o (1.16b) a la potencia de N para estimar la TWR.
Esto se aproximará mucho al "multiplicativo"
función de crecimiento, la TWR real:
(1.19a) TWR estimada = ((AHPR^2­SD^2)^(1/2))^N
da como resultado la media geométrica más alta. Puede
o
También significa combinar sistemas de mercado que nunca querrías utilizar.
comerciar por sí mismos.
(1.19b) TWR estimada = ((AHPR^2­V)^(1/2))^N
dónde
CÓMO AFECTA LA DISPERSIÓN DE RESULTADOS GEO­
N = El número de períodos.
CRECIMIENTO MÉTRICO
AHPR = La media aritmética HPR.
Una vez que reconocemos el hecho de que lo queramos o no,
SD = Desviación estándar de la población en HPR.
conscientemente o no, determinamos nuestras cantidades para comerciar como
V = La varianza de la población en HPR.
En función del nivel de capital en una cuenta, podemos considerar los HPR en lugar de los
Las dos ecuaciones de (1.19) son equivalentes.
montos en dólares para las operaciones. Al hacerlo, podemos dar especificidad y exactitud a
la gestión del dinero. Podemos examinar nuestras estrategias de gestión del dinero, establecer
La idea obtenida es que podemos ver aquí, matemáticamente, la
reglas y sacar conclusiones. uno de los grandes
compensación entre un aumento en el promedio aritmético del comercio (el HPR)
conclusiones, que sin duda nos generarán muchas otras, saludos
y la variación en los HPR, y de ahí la razón por la que el 70% 1:1
La relación del crecimiento geométrico y la dispersión de los resultados.
¡El sistema funcionó mejor que el sistema 10% 28:1!
(HPR).
Nuestro objetivo debería ser maximizar el coeficiente de esta función, para
maximizar:
Esta discusión utilizará una ilustración de los juegos de azar en aras de la simplicidad.
Consideremos dos sistemas, el Sistema A, que gana el 10% de las veces.
(1.16b) EGM = (AHPR^2­V)^(1/2)
y tiene una proporción de victorias/pérdidas de 28 a 1, y el Sistema B, que gana el 70% de las
tiempo y tiene una proporción de victorias/pérdidas de 1 a 1. Nuestra expectativa matemática, por
apuesta unitaria, para A es 1,9 y para B es ,4. Por tanto, podemos decir que por cada
Expresado literalmente, nuestro objetivo es "Maximizar la raíz cuadrada de
la cantidad HPR al cuadrado menos la varianza poblacional en HPR."
El exponente de la TWR estimada, N, se cuidará solo. Eso
apuesta unitaria El Sistema A devolverá, en promedio, 4,75 veces más que el Sistema
B. Pero examinemos esto en el marco del comercio fraccionado fijo. Podemos encontrar nuestro
Es decir, aumentar N no es un problema, ya que podemos aumentar el número de mercados
fs óptimo aquí dividiendo las expectativas matemáticas por el
que seguimos, podemos comerciar con más tipos de sistemas a corto plazo, etc.
ratios de ganancias/pérdidas. Esto nos da una f óptima de 0,0678 para A y 0,4 para B.
Sin embargo, estas medidas estadísticas de dispersión, varianza y
Las medias geométricas para cada sistema en sus niveles f óptimos son entonces:
desviación estándar (V y DE respectivamente), son difíciles de imaginar para la mayoría de
A = 1,044176755
los no estadísticos. Por lo tanto, lo que mucha gente usa en lugar de estos
B = 1,0857629
medidas se conoce como desviación media absoluta (que llamaremos M).
% de victorias del sistema Ganancia: Pérdida ME f Geomean
Esencialmente, para encontrar M simplemente se toma el valor absoluto promedio de
Un 1,9 0,067810
1,0441768
28:1
B
70
1:1
.4 .4
diferencia de cada punto de datos con un promedio de los puntos de datos.
1.0857629
(1.20) M = ∑ABS(Xi­X[])/N
Como puede ver, el Sistema B, aunque representa menos de una cuarta parte de la
En una distribución en forma de campana (como casi siempre ocurre con el
expectativa matemática de A, gana casi el doble por apuesta (devolviendo
8,57629% de tu apuesta total por apuesta en promedio cuando reinviertes en
distribución de pérdidas y ganancias de un sistema comercial), la desviación absoluta media
los niveles f óptimos) al igual que A (que devuelve un 4,4176755% de su apuesta total por
equivale aproximadamente a 0,8 de la desviación estándar (en una distribución normal,
apuesta en promedio cuando reinvierte en los niveles f óptimos).
es .7979). Por tanto, podemos decir:
Ahora bien, asumir una reducción del 50% del capital requerirá una ganancia del 100%.
6
Mucha gente utiliza erróneamente la media aritmética HPR en la ecuación para
HPH^N. Como se demuestra aquí, esto no dará la TWR verdadera después de N jugadas.
Lo que debe utilizar es el HPR^N promedio geométrico, en lugar del aritmético.
Esto le dará la verdadera TWR. Si la desviación estándar en HPR es 0, entonces la
La media aritmética HPR y la media geométrica HPR son equivalentes, y
No importa cuál uses.
para recuperarse, entonces 1.044177 elevado a X es igual a 2.0 en aproximadamente X es
igual a 16.5, o más de 16 operaciones para recuperarse de un 50%
reducción para el Sistema A. Compare esto con el Sistema B, donde 1.0857629 a
la potencia de X es igual a 2,0 en aproximadamente X es igual a 9, o 9 operaciones
para que el Sistema B se recupere de una reducción del 50%.
­ 23 ­
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(1.21) M = .8*DE y
(1.19c) TWR estimada = (A^2­SD^2)^(N/2)
(1.22) SD = 1.25*M
fundamental para el comercio, ya que describe cómo los diferentes factores, A, SD y N
A esta última ecuación, la simplificación del TWR estimado, la llamamos ecuación
afectan nuestro resultado final en el comercio.
Denotaremos el HPR promedio aritmético con la variable A y el HPR promedio
geométrico con la variable G. Usando la ecuación (1.16b), podemos expresar la media
geométrica estimada como: (1.16b) GRAMO = (A^2­V)^(1/2)
Algunas cosas son evidentes. La primera de ellas es que si A es menor o igual a 1,
entonces, independientemente de las otras dos variables, SD y N, nuestro resultado no
puede ser mayor que 1. Si A es menor que 1, entonces cuando N se acerca al infinito, A
tiende a cero. Esto significa que si A es menor o igual a 1 (expectativa matemática menor
De esta ecuación podemos obtener: (1.23)
o igual a cero, ya que expectativa matemática = A­1), no tenemos ninguna posibilidad de
G^2 = (A^2­V)
obtener ganancias. De hecho, si A es menor que 1, es simplemente cuestión de tiempo
Ahora sustituyendo la varianza por la desviación estándar al cuadrado [como en
(es decir, a medida que N aumenta) hasta que quedemos en quiebra.
(1.16a)]:
(1.24) G^2 = A^2­SD^2
Siempre que A sea mayor que 1, podemos ver que aumentar N aumenta nuestras
De esta ecuación podemos aislar cada variable, así como aislar el cero para obtener
ganancias totales. Por cada aumento de 1 operación, el coeficiente se multiplica por su
raíz cuadrada. Por ejemplo, suponga que su sistema muestra una media aritmética de
las relaciones fundamentales entre la media aritmética, la media geométrica y la
1,1 y una desviación estándar de 0,25.
dispersión, expresadas como SD ^ 2 aquí: (1.25) A^2­C^2­SD^ 2 = 0 (1.26) G^2
De este modo:
= A^2­SD^2 (1.27) SD^2 = A^2­
TWR estimado = (1,1^2­0,25^2)^(N/2) = (1,21­0,0625)^(N/2) = 1,1475^(N/2)
G^2 (1.28) A^2 = G^2+SD^2
Cada vez que podemos aumentar N en 1, aumentamos nuestra TWR en un factor
equivalente a la raíz cuadrada del coeficiente. En el caso de nuestro ejemplo, donde
En estas ecuaciones, el valor SD^2 también se puede escribir como V o como
tenemos un coeficiente de 1,1475, entonces 1,1475^(1/2) = 1,071214264. Por lo tanto,
(1,25*M)^2.
cada aumento comercial, cada aumento de 1 punto en N, equivale a multiplicar nuestra
apuesta final por 1,071214264. Observe que esta figura es la media geométrica. Cada
Esto nos lleva al punto en el que podemos imaginar exactamente cuáles son las
vez que se produce una operación, cada vez que N aumenta en 1, el coeficiente se
relaciones. Observe que la última de estas ecuaciones es el conocido teorema de
Pitágoras: ¡la hipotenusa de un triángulo rectángulo al cuadrado es igual a la suma de los
multiplica por la media geométrica. Aquí está el beneficio real de la diversificación
cuadrados de sus lados! Pero aquí la hipotenusa es A, y queremos maximizar uno de
expresado matemáticamente en la ecuación fundamental del trading. La diversificación
los catetos, G.
le permite obtener más N en un período de tiempo determinado.
Al maximizar G, cualquier aumento en D (el tramo de dispersión, igual a SD ^ (1/2)
cero, o 1,25*M) requerirá un aumento en A para compensar. Cuando D o V es igual a
El otro punto importante a tener en cuenta sobre la ecuación comercial fundamental
entonces A es igual a G, lo que se ajusta a la función de crecimiento mal interpretada
es que muestra que si reduce su desviación estándar más de lo que reduce su HPR
TWR = (1+R)^N. En realidad, cuando D es igual a cero, entonces A es igual a G según
promedio aritmético, estará en mejor situación. Por lo tanto, es lógico que reducir sus
pérdidas, si es posible, le beneficie. Pero la ecuación demuestra que en algún momento
la ecuación (1.26).
ya no se beneficia al reducir sus pérdidas. Ese punto es el punto en el que le impedirían
Entonces, en términos de su efecto relativo sobre G, podemos afirmar que un
aumento en A ^ 2 es igual a una disminución de la misma cantidad en (1,25*M)^2. (1.29)
∆A^2 = ­A((1.25*M)^2)
realizar demasiadas operaciones con una pequeña pérdida que luego se habría vuelto
rentable, reduciendo así su A en mayor medida que su SD.
Para ver esto, considere cuando A pasa de 1.1 a 1.2: A SD
MGA^2 SD^2 = (1.25*M)^2 1.1 .1 1.095445 1.21 .01 1.2
.4899 .39192.08
1.095445 1.44 .24
En la misma línea, reducir las grandes operaciones ganadoras puede ayudar a su
programa si reduce su SD más de lo que reduce su A. En muchos casos, esto se puede
lograr incorporando opciones en su programa de operaciones. Tener una posición en una
.23 .23
opción que vaya en contra de su posición en el subyacente (ya sea comprando una
Cuando A = 1,1, se nos da una DE de 0,1. Cuando A = 1,2, para obtener una G
opción en largo o emitiendo una opción) posiblemente pueda ayudar. Por ejemplo, si
equivalente, la SD debe ser igual a 0,4899 según la ecuación (1,27). Dado que M =
tiene una posición larga en una determinada acción (o materia prima), comprar una
0,8*SD, entonces M = 0,3919. Si elevamos los valores al cuadrado y tomamos la
opción de venta (o emitir una opción de compra) puede reducir su SD en esta posición
diferencia, ambos son iguales a 0,23, como lo predice la ecuación (1.29).
neta más de lo que reduce su A. Si es rentable en el subyacente , no será rentable con
Considera lo siguiente:
la opción, pero sí en general, sólo que en menor medida que si no hubiera tenido la
Un SD MG
A^2 DE^2 = (1,25*M)^2
1,1 0,25 0,2 1,071214 1,21 0,0625 1,2
0,5408 0,4327 1,071214 1,44 0,2925
.23 .23
posición de opción.
Por lo tanto, ha reducido tanto su SD como su A. Si no es rentable en el subyacente,
habrá aumentado su A y disminuido su SD. En total, tenderá a haber reducido su SD en
mayor medida que su A. Por supuesto, los costos de transacción son una consideración
Observe que en el ejemplo anterior, donde comenzamos con valores de dispersión
más bajos (SD o M), se requirió un aumento proporcionalmente mayor para obtener el
importante en tal estrategia, y siempre deben tenerse en cuenta. Su programa puede
estar demasiado orientado al corto plazo para aprovechar dicha estrategia, pero señala
mismo G. Por lo tanto, podemos afirmar que cuanto más reduzca su dispersión, mejor ,
el hecho de que se deben considerar diferentes estrategias, junto con diferentes reglas
y cada reducción proporciona un beneficio cada vez mayor. Es una función exponencial,
comerciales, en relación con la ecuación comercial fundamental. Al hacerlo, obtenemos
con límite en la dispersión igual a cero, donde G es entonces igual a A.
una idea de cómo estos factores afectarán el resultado final y en qué podemos trabajar
específicamente para mejorar nuestro método.
Un operador que opera sobre una base fraccionaria fija quiere maximizar G, no
necesariamente A. Al maximizar G, el operador debe darse cuenta de que la desviación
estándar, SD, afecta a G en la misma proporción que A, según el teorema de Pitágoras. !
Supongamos, por ejemplo, que nuestro programa de negociación fuera lo
Por lo tanto, cuando el operador reduce la desviación estándar (SD) de sus operaciones,
suficientemente a largo plazo como para que la estrategia antes mencionada de comprar
equivale a un aumento igual en el promedio aritmético HPR (A), ¡y viceversa!
una opción de venta junto con una posición larga en el subyacente fuera factible y diera
como resultado una TWR estimada mayor. Tal posición, una posición larga en el
subyacente y una opción de venta larga, equivale simplemente a estar abiertamente en
largo en la opción call. Por lo tanto, es mejor simplemente alargar la llamada, ya que resultará
LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL COMERCIO
Podemos aprender mucho más aquí que simplemente recortar el tamaño de nuestra
pérdidas mejora nuestro resultado final. Volvemos ahora a la ecuación (1.19a):
(1.19a) TWR estimada = ((AHPR^2­SD^2)^(1/2))^N Nuevamente
reemplazamos AHPR con A, que representa el HPR promedio aritmético. Además,
dado que (X^Y)^Z = X^(Y*Z), podemos simplificar aún más los exponentes de la
ecuación, obteniendo así:
­ 24 ­
Machine Translated by Google
en costos de transacción considerablemente más bajos'7 que mantener una posición larga en la opción
así como qué serie de opciones comprar) deben analizarse a la luz de la ecuación fundamental
subyacente y larga en la opción de venta.
para la negociación para poder ser juzgados adecuadamente.
Para demostrar esto, usaremos el ejemplo extremo de los índices bursátiles de 1987.
Como puede ver, la ecuación comercial fundamental se puede utilizar para
Supongamos que realmente podemos comprar el activo subyacente.
dictan muchos cambios en nuestro comercio. Estos cambios pueden estar en el camino
Índice OEX. El sistema que utilizaremos es una simple ruptura de canales de 20 días. Cada día
de endurecer (o aflojar) nuestras barreras, fijar objetivos, etc. Estos
calculamos el máximo más alto y el mínimo más bajo de los últimos 20
Los cambios son el resultado de ineficiencias en la forma en que estamos llevando a cabo
días. Luego, a lo largo del día, si el mercado sube y toca el
nuestro comercio, así como las ineficiencias en nuestro programa o metodología de comercio.
Punto álgido, entramos en largo con un stop. Si el sistema se cae y
toca el punto más bajo, nos quedamos cortos en un stop. Si las aperturas diarias son
Espero que ahora empieces a ver que la mayoría de los traders han hecho un uso terrible
A través de los puntos de entrada, entramos al aire libre. El sistema siempre está en
El mercado:
del ordenador. Optimización y búsqueda de los sistemas.
y los valores de los parámetros que generaron la mayor cantidad de dinero en comparación con los datos anteriores son, por
y grande un proceso inútil. Sólo necesitas algo que sea
Fecha Posición Entrada P&L Volatilidad acumulada
870106 L 24107 0 0 .1516987
marginalmente rentable en el futuro. Por una correcta gestión del dinero
870414 S 27654 35,47 35,47 .2082573
se puede sacar muchísimo provecho de un sistema que sólo es marginalmente rentable. Entonces,
870507 L 29228 ­15,74 19,73 .2182117
870904S
31347 21,19 40,92 32067
.1793583
871001L
­7,2 33,72 30281 ­17,86
.1 848783
871012S
15,86 24294 59,87 75,73
.2076074
871221L
en general, el grado de rentabilidad está determinado por la
La gestión del dinero se aplica al sistema más que al sistema.
sí mismo
Por lo tanto, usted debe construir sus sistemas (o técnicas comerciales,
.3492674
para aquellos que se oponen a los sistemas mecánicos) sobre qué tan seguro se puede
Si tuviéramos que determinar la f óptima en este flujo de operaciones,
ser que serán rentables (aunque sólo sea marginalmente) en el futuro. Esto se logra principalmente
encontraríamos su media geométrica correspondiente, el factor de crecimiento en nuestro
al no restringir un sistema o
La apuesta por jugada será de 1,12445.
grados de libertad de la técnica. La segunda cosa que debes hacer con respecto a la construcción
Ahora tomaremos exactamente las mismas operaciones, sólo que, usando el modelo de
fijación de precios de opciones sobre acciones de Black­Sc­holes del Capítulo 5, convertiremos el
precios de entrada a precios teóricos de opciones. Los datos del modelo de fijación de precios son
la volatilidad histórica determinada sobre una base de 20 días (el cálculo de la volatilidad histórica
también se proporciona en el Capítulo 5), una tasa libre de riesgo de
del dinero, ya sean empíricas, como se detalla en este capítulo, o paramétricas (en las que
Quedan 0,5 años hasta el vencimiento (6 meses) y que están al día.
Es decir, que exista un precio de ejercicio correspondiente al precio de entrada exacto. Comprar
una call en largo cuando el sistema se pone largo en el subyacente,
y comprar una opción de venta en largo cuando el sistema se pone corto en el subyacente, utilizando
los parámetros del modelo de valoración de opciones mencionado, habrían resultado en un flujo
comercial de la siguiente manera:
870414F
Posición Entrada P&L Acción subyacente acumulada
9.623 0 0 24107 LLAMADA LARGA
35,47 25,846 25,846 27654
870414L
15.428 0 25.846 27654 8.792 ­6.637
870507F
19.21 29228
870507L
17.116 0
870904F
21.242 4.126 23.336
19.21 29228 31347
870904L
14.957 0
871001F
10,844 ­4,113 19,223
32067
871001L
15,797 0 19,223 9,374
32067
871012F
­6,423 12,8 12,8
30281
23.336
31347
871012L
16.839 0
30281
871221F
61.013 44.173 56.974 23
24294
871221L
56.974 0
24294
junto con el principio de no restringir los grados de libertad, habrás obtenido una técnica o sistema
ahora emplean las técnicas de administración del dinero. El uso de estas técnicas de administración
un año). Además, asumiremos que estamos comprando opciones con exactamente
870106L
ecuación de trading en mente Le guiará en la dirección correcta con respecto a las ineficiencias
en su sistema o técnica, y cuándo se utiliza
en el que podrás
6%, y un año de 260,8875 días (este es el número promedio de días laborables en
Fecha
de tu sistema o técnica es asumir los principios fundamentales.
PUESTA LARGA
LLAMADA LARGA
PUESTA LARGA
LLAMADA LARGA
PUESTA LARGA
LLAMADA LARGA
Si tuviéramos que determinar la f óptima en este flujo de operaciones,
encontraríamos su media geométrica correspondiente, el factor de crecimiento en nuestro
apuesta por jugada, es 1.2166, que se compara con la media geométrica en
la f óptima para el subyacente de 1,12445. Esta es una enorme diferencia. Como hay un total de
6 oficios, podemos elevar cada geométrico
significa elevado a 6 para determinar el TWR de nuestra apuesta al final del
los 6 oficios. Esto devuelve un TWR sobre el subyacente de 2,02 frente a un
TWR sobre las opciones de 3.24. Restar 1 de cada TWR se traduce
estos resultados a ganancias porcentuales sobre nuestra participación inicial, o una ganancia del 102%
negociando el subyacente y una ganancia del 224% haciendo las mismas operaciones en el
opciones. Las opciones son claramente superiores en este caso, ya que el fundamento
La ecuación del comercio lo atestigua.
Operar en largo con las opciones directamente como en este ejemplo puede no siempre
ser superior a ser largo el instrumento subyacente. Este ejemplo es un
caso extremo, sin embargo, ilumina el hecho de que las estrategias comerciales (como
7
Hay otro beneficio aquí que no es evidente pero que tiene un enorme mérito. Es decir,
sabemos de antemano cuál será nuestra peor pérdida. Teniendo en cuenta cuán sensible es
la ecuación f óptima a cuál será la mayor pérdida en el futuro, dicha estrategia puede hacer
que estemos mucho más cerca del pico de la curva f en
el futuro al permitirle a Estados Unidos predeterminar con certeza cuál puede ser nuestra mayor
pérdida. En segundo lugar, el problema de una pérdida de 3 desviaciones estándar o más teniendo un
probabilidad de ocurrencia mucho mayor que la que implica la Distribución Normal es
eliminado. Son las gigantescas pérdidas superiores a 3 desviaciones estándar las que matan
la mayoría de los comerciantes. Una estrategia de opciones como esta puede eliminar totalmente dicho terminal.
pérdidas.
­ 25 ­
profundizaremos a partir del Capítulo 3), permitirá
determinar el grado de rentabilidad de su técnica o sistema.
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habría negociado 3 contratos ($22,500/$7,500). Como puede ver, esta técnica se puede
utilizar sin importar cuán grande sea el capital de una cuenta (sin embargo, cuanto mayor
Capítulo 2 ­ Características del comercio
fraccionario fijo y técnicas saludables
sea el capital, más cercanas serán las dos respuestas). Además, cuanto mayor sea el capital,
es menos probable que eventualmente experimentemos una reducción que nos haga
Hemos visto que el crecimiento óptimo de una cuenta se logra mediante f óptima. Esto
es cierto independientemente del vehículo subyacente.
negociar solo 1 contrato. Para cuentas más pequeñas o para cuentas que recién comienzan,
esta es una buena idea.
Ya sea que estemos negociando futuros, acciones u opciones, o gestionando un grupo de
operadores, logramos un crecimiento óptimo en el f óptimo y alcanzamos un objetivo
UMBRAL A GEOMÉTRICO
específico en el menor tiempo.
Aquí hay otra buena idea para las cuentas que recién comienzan, una que puede no
También hemos visto cómo combinar varios sistemas de mercado en sus niveles f
óptimos en una cartera óptima desde un punto de vista empírico. Es decir, hemos visto
ser posible si emplea la técnica que acabamos de mencionar.
cómo combinar f óptima y la teoría de la cartera, no desde el punto de vista de un modelo
Esta técnica utiliza otro cálculo subproducto de f óptimo llamado umbral geométrico. Los
matemático, sino desde el punto de vista de utilizar los datos pasados directamente para
subproductos del cálculo de f óptima incluyen cálculos, como la TWR, la media geométrica,
determinar las cantidades óptimas para intercambiar por los componentes de la cartera
etc., que se derivaron para obtener la f óptima y que nos dicen algo sobre el sistema. El
umbral de lo geométrico es otro de estos cálculos subproductos. Esencialmente, el umbral
óptima.
geométrico nos dice en qué punto debemos cambiar al comercio fraccional fijo, asumiendo
Ciertas características importantes sobre el comercio fraccionario fijo
aún es necesario mencionarlo. Ahora cubrimos estas características.
que estamos comenzando con el comercio de contrato constante.
F ÓPTIMA PARA LOS PEQUEÑOS COMERCIANTES QUE RECIEN COMENZANDO
¿Cómo una cuenta muy pequeña, una cuenta que va a comenzar a operar con 1
Vuelva al ejemplo de un lanzamiento de moneda en el que ganamos $2 si el lanzamiento
sale cara y perdemos $1 si el lanzamiento sale cruz. Sabemos que nuestra f óptima es 0,25,
contrato, utiliza el enfoque f óptimo? Una sugerencia es que dicha cuenta comience
o hacer 1 apuesta por cada $4 que tengamos en el capital de la cuenta. Si comenzamos a
negociando 1 contrato, no por cada cantidad f óptima en dólares (mayor pérdida/­f), sino que
operar con un contrato constante, sabemos que obtendremos un promedio de 0,50 dólares
la reducción y el margen deben considerarse en la fase inicial. La cantidad de fondos
por unidad y por jugada. Sin embargo, si empezamos a operar sobre una base fraccionaria
asignados al primer contrato debe ser la mayor entre la cantidad f óptima en dólares o el
fija, podemos esperar realizar una operación promedio geométrica de 0,2428 dólares por
margen más la reducción histórica máxima (sobre una base de 1 unidad): (2.01) A = MAX
unidad y jugada.
{(Pérdida mayor/ ­f), (Margen+ABS(Reducción))}
Supongamos que comenzamos con una apuesta inicial de $4 y, por lo tanto, hacemos
1 apuesta por jugada. Con el tiempo, cuando lleguemos a $8, la f óptima nos haría pasar a
hacer 2 apuestas por jugada. Sin embargo, 2 apuestas multiplicadas por el promedio
dónde
geométrico de la operación de $0,2428 son $0,4856. ¿No sería mejor seguir con una apuesta
al nivel de equidad de $8, por lo que nuestra expectativa por jugada seguiría siendo de
A = El monto en dólares que se asignará al primer contrato.
$0,50? La respuesta es sí." La razón por la que la f óptima se calcula sobre la base de
f = La f óptima (0 a 1).
contratos que son infinitamente divisibles, lo que puede no ser el caso en la vida real.
Margen = El margen especulativo inicial para el contrato dado.
Drawdown = La reducción máxima histórica.
Podemos encontrar ese punto en el que deberíamos pasar a intercambiar dos
MAX{} = El valor máximo de los valores entre corchetes.
contratos por la fórmula para el umbral de la geométrica, T: (2.02) T = AAT/
ABS() = La función de valor absoluto.
GAT*Pérdida mayor/­f donde
Con este procedimiento, una cuenta puede volver a experimentar la reducción máxima
y aún tener fondos suficientes para cubrir el margen inicial en otra operación. Aunque no
podemos esperar que la peor caída en el futuro no supere la peor caída histórica, es bastante
improbable que comencemos a operar justo al comienzo de una nueva caída histórica.
T = El umbral de lo geométrico.
AAT = El comercio promedio aritmético.
GAT s El comercio promedio geométrico, f =
El f óptimo (0 a 1).
Un operador que utilice esta idea restará la cantidad de la ecuación (2.01) de su capital
cada día. Con el resto, lo dividirá entre (Pérdida mayor/­f). La respuesta obtenida se
En nuestro ejemplo del lanzamiento de una moneda de 2 a 1:
T = 0,50/0,2428*­1/­0,25 = 8,24
redondeará a la baja al número entero y se sumará 1. El resultado es cuántos contratos
Por lo tanto, es mejor que cambiemos a negociar 2 contratos cuando nuestro capital
negociar.
llegue a $8,24 en lugar de $8,00. La figura 2­1 muestra el umbral geométrico para un juego
con un 50% de probabilidad de ganar $2 y un 50% de probabilidad de perder $1.
Un ejemplo puede ayudar a aclarar. Supongamos que tenemos un sistema donde el f
óptimo es 0,4, la mayor pérdida histórica es ­3.000 dólares, la reducción máxima fue ­6.000
dólares y el margen es 2.500 dólares. Empleando la ecuación (2.01), entonces: A = MAX{( ­
$3000/­.4),
($2500+ABS(­$6000))}
Umbral en $
120
100
= MÁXIMO(($7500), ($2500+$6000))
80
= MAX($7,500, $8,500) =
$8,500 Así
asignaríamos $8,500 para el primer contrato. Ahora supongamos que estamos tratando
con $22,500 en capital de cuenta. Por lo tanto, restamos esta asignación del primer contrato
del capital: $22,500­$8,500 = $14,000
60
La f óptima es 0,25,
40
donde el umbral es 8,24 dólares.
20
Luego dividimos esta cantidad por los dólares finales óptimos:
$14,000/$7,500 = 1,867
0 0 0,5 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55
valores f
Luego llevamos este resultado al número entero:
INT( 1,867) = 1 y
Figura 2­1 Umbral de lo geométrico para el lanzamiento de moneda 2:1.
sumamos 1 al resultado (el contrato 1 representado por los $8,500 que
Observe que el valle del umbral de la curva geométrica se produce en el f óptimo. Esto
hemos restado de nuestro patrimonio):
significa que dado que el umbral geométrico es el nivel óptimo de patrimonio para ir a
1+1 = 2
negociar 2 unidades, se pasa a 2 unidades en el nivel más bajo de patrimonio, de manera
Por lo tanto, negociaríamos 2 contratos. Si simplemente estuviéramos negociando al
óptima, al incorporar el umbral geométrico en el f óptimo.
nivel f óptimo de 1 contrato por cada $7,500 en capital de la cuenta,
­ 26 ­
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Ahora la pregunta es: "¿Podemos utilizar un enfoque similar para saber cuándo
Es por esta razón que "recapitalizamos" las subcuentas diariamente
pasar de 2 autos a 3 autos?" Además, '¿Por qué el tamaño de la unidad no puede ser de 100 autos?
base a medida que fluctúa el patrimonio de una cuenta. Lo que sigue es una serie de dos
comenzando, suponiendo que esté comenzando con una cuenta grande, en lugar
sistemas similares, el Sistema A y el Sistema B. Ambos tienen un 50% de posibilidades de
que simplemente una cuenta pequeña comenzando con 1 automóvil?" Para responder primero
ganando, y ambos tienen una relación de pago de 2:1. Por lo tanto, la f óptima
a la segunda pregunta, es válido utilizar esta técnica al comenzar con
dicta que apostemos $1 por cada S4 unidades en capital. La primera carrera que vemos.
un tamaño de unidad mayor que 1. Sin embargo, es válido sólo si no recorta
muestra estos dos sistemas con correlación positiva entre sí. Nosotros
retroceda las unidades en el lado negativo antes de cambiar al modo geométrico.
Comience con $100, dividiéndolos en 2 unidades de subcuenta de $50 cada una. Después
La razón es que antes de cambiar al modo geométrico se supone que está operando en un
Se registra una operación, solo afecta la columna acumulativa de ese sistema, ya que cada
tamaño de unidad constante.
sistema tiene su propio bankroll separado. El tamaño de los fondos separados de cada
sistema se utiliza para determinar el tamaño de la apuesta en el siguiente
Suponga que comienza con una apuesta de 400 unidades en nuestro juego de
jugar:
lanzamiento de moneda de 2 a 1. Tus dólares finales óptimos son negociar 1 contrato (hacer 1 apuesta)
por cada $4 en capital. Por lo tanto, comenzará a operar con 100 contratos.
Sistema A
Sistema B
P&L Comercial Acumulado P&L Comercial Acumulado
(haciendo 100 apuestas) en la primera operación. Tu umbral hacia lo geométrico es
50,00
a $ 8,24 y, por lo tanto, comenzaría a negociar 101 contratos a un precio de renta variable
2
nivel de $ 404,24. Puedes convertir tu umbral al geométrico,
el cual se calcula sobre la base de avanzar de 1 contrato a 2, como:
(2.03) T convertido = EQ+T­(Pérdida mayor/­f)
50.00
25,00 75,00
25,00 75,00
2
­1
­18,75 56,25
­1
­18,75 56,25
2
28,13 84 ,38
2
28,13 84,38
­1
­21,09 63,28
­1
­21.09 63.28
dónde
2
31,64 94 ,92
2
31,64 94 ,92
EQ = El nivel de capital inicial de la cuenta.
­1
­23,73 71,19
­1
­23,73 71,19
­50,00
T = El umbral geométrico para pasar de 1 automóvil a 2.
­50.0
Beneficio neto 21,19140
f = La f óptima (0 a 1).
21.19140
Beneficio neto total de los dos bancos = $42,38
Ahora veremos lo mismo, solo que esta vez operaremos desde
Por lo tanto, dado que el capital inicial de su cuenta es de $400, su T es
un banco combinado a partir de 100 unidades. En lugar de apostar $1 por cada
$8.24, su mayor pérdida ­$1, y su f es .25:
T convertido = 400+8,24­(­1/­,25)
$4 en la apuesta combinada para cada sistema, apostaremos $1 por cada $8 en
= 400+8,24­4
el banco combinado. Cada operación para cualquiera de los sistemas afecta el resultado combinado.
banco, y es el banco combinado el que se utiliza para determinar el tamaño de la apuesta en
= 404,24
la jugada siguiente:
Por lo tanto, avanzaría hasta negociar 101 contratos (haciendo 101
Sistema A Sistema B
apuestas) siempre y cuando el capital de su cuenta alcance $404,24. asumiremos
Banco combinado
P&L de operaciones P&L de operaciones
está operando en un modo de contrato constante hasta que el capital de su cuenta
100.00
alcanza $404.24, momento en el cual comenzarás el modo geométrico.
2
25.00 2
25.00
150.00
Por lo tanto, hasta que el capital de su cuenta alcance $404,24, operará
­1
­18,75 ­1
­18.75
112,50
100 contratos en la siguiente operación independientemente del capital restante en
2
28,13 2
28,13
168,75
su cuenta. Si, después de cruzar el umbral geométrico (es decir, después de
­1
­21,09 ­1
­21,09
126,56
31,64 2
31,64
189,84
­23,73 ­1
­23,73
el capital de su cuenta llega a S404.24), sufre una pérdida y su capital
2­1
cae por debajo de $ 404,24, volverá a operar sobre una base constante de 100 contratos
142,38
­100.00
hasta que vuelva a cruzar el umbral geométrico.
Beneficio neto total del banco combinado = $42,38
Esta incapacidad para recortar contratos a la baja cuando estás
Tenga en cuenta que utilizar un banco combinado o un banco separado en el
por debajo del umbral geométrico es el inconveniente de utilizar este procedimiento
cuando se encuentra en un nivel de equidad de negociación de más de 2 contactos. Si usted
solo están negociando 1 contrato, el umbral geométrico es una técnica muy válida para
El ejemplo anterior muestra una ganancia sobre los $100 de $42,38. Sin embargo, ¿qué fue
Se muestra el caso en el que existe una correlación positiva entre los dos.
sistemas. Ahora veremos la correlación negativa entre los mismos
determinar a qué nivel de capital comenzar a negociar 2 contratos
(ya que no puede recortar más de 1 contrato si experimenta una disminución del capital). Sin
dos sistemas, primero con ambos sistemas funcionando desde sus propios
fondos:
embargo, no es una técnica válida para avanzar de 2 contratos a 3, porque la técnica se basa
Sistema A
Sistema B
P&L Comercial Acumulado P&L Comercial Acumulado
en
el hecho de que actualmente está operando sobre una base de contrato constante. Eso
50,00
es decir, si está negociando 2 contratos, a menos que esté dispuesto a no recortar
2
a 1 contrato si sufre una caída de capital, la técnica no es válida,
y lo mismo si comienzas a negociar 100 contratos. Podrías hacer solo
50.00
25,00 75,00
­1
­12,50 37,50
­1
­18,75 56,25
2
18,75 56,25
2
28,13 84,38
­1
­14.06 42.19
21.09 63.28
eso (no recortar el número de contratos que está negociando actualmente si
­1
­21,09 63,28
2
experimenta una caída de capital), en cuyo caso el umbral de la geometría, o su versión
2
31,64 94,92
­1
­15,82 47,46
convertida en la ecuación (2.03), sería el umbral válido
­1
­23,73 71,19
2
23,73 71,19
punto de capital para agregar el siguiente contrato. El problema de hacer esto (no
­50,00
­50.00
recortar a la baja) es que ganará menos (su TWR
Beneficio neto 21,19140
21.19140
será menor) en un sentido asintótico. No ganarás tanto como si
Beneficio neto total de los dos bancos =
$42.38
Como puede ver, cuando se opera con fondos separados, ambos sistemas obtienen la
simplemente intercambiaste el f óptimo completo. Además, sus reducciones serán
misma cantidad, independientemente de la correlación. Sin embargo, con el banco combinado:
mayor y su riesgo de ruina mayor. Por lo tanto, el umbral geométrico solo es beneficioso si
comienza con la denominación más baja del tamaño de la apuesta (1 contrato) y avanza a 2,
y solo es un beneficio si
Sistema A Sistema B
P&L comercial P&L comercial Banco combinado
el comercio promedio aritmético es más del doble del tamaño del comercio geométrico
100.00
comercio promedio. Además, es beneficioso utilizarlo sólo cuando no puedas
intercambiar unidades fraccionarias.
2
25.00
­12,50 112,50
­1
­1 ­14,06 2
28,12 126,56
UN BANKROLL COMBINADO VERSUS SEPARADO
BANCOS
2
31,64 ­1 ­17,80
­15,82 142,38
­1
2 ­1 ­22,53 2
35,59 160,18
2
40.05
­20,02 180,20
45,00 202,73
­1
Algunos puntos muy importantes con respecto al comercio fraccionario fijo deben
­100.00
cubriremos antes de discutir las técnicas paramétricas. Primero, cuando
Beneficio neto total del banco combinado = $102,73
operando en más de un sistema de mercado simultáneamente, generalmente
hacerlo mejor en un sentido asintótico usando solo un bankroll combinado de
Con el banco combinado, los resultados mejoran dramáticamente.
para calcular el tamaño de sus contratos, en lugar de separar los fondos para
cada.
Cuando utilice operaciones fraccionarias fijas, lo mejor será operar desde un
banco combinado único.
­ 27 ­
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B
AMENAZA CADA JUGADA COMO SI SE REPETIERA INFINITAMENTE
Banco combinado
2.535,87
El siguiente axioma del comercio fraccionario fijo se refiere a maximizar el
1.700,80
­1 ­391,18 ­1 ­391,18 918,43
evento actual como si fuera a realizarse un número infinito de
2 422,48 2 422,48
1.763,39
A continuación vemos exactamente lo mismo, la única diferencia es que
veces en el futuro. Hemos determinado que para ensayos independientes
proceso, siempre debes apostar a que f es óptima (y constante)
cuando A apuesta solo (es decir, cuando B no tiene una apuesta al mismo
y así mismo cuando hay dependencia de por medio, sólo que con dependencia
f no es constante.
vez como A), hacemos 1 apuesta por cada 4 unidades en el banco combinado para
Sistema A, ya que esa es la f óptima en la jugada única e individual. En
Supongamos que tenemos un sistema en el que hay dependencia para que lo similar
las jugadas donde las apuestas son simultáneas, seguimos apostando 1 unidad por
engendre lo similar, y supongamos que éste es uno de esos raros tesoros en los que el límite
cada 4,347826087 unidades en el patrimonio de la cuenta tanto para A como para B. Observe que
de confianza está en un nivel aceptable para nosotros, que sentimos que podemos lograr con seguridad.
Al hacerlo, tomamos cada apuesta, ya sea individual o simultánea, y aplicamos esa f óptima
Supongamos que realmente hay dependencia aquí. Por el bien de la simplicidad
que maximizaría el juego como
Usaremos una relación de pago de 2:1. Nuestro sistema ha demostrado que, históricamente, si
aunque se realizaría un número infinito de veces en el futuro.
la última jugada fue una victoria, entonces la siguiente jugada tiene un 55% de posibilidades de
A
B
Banco combinado
ser una lata. Si la última jugada fue perdida, nuestro sistema tiene un 45% de posibilidades de ganar.
1.000,00
la próxima jugada será una pérdida. Por lo tanto, si la última jugada fue una victoria, entonces desde el
­ 1­250,00 750,00
Fórmula de Kelly, ecuación (1.10), para encontrar el f óptimo (ya que el índice de rentabilidad
2 345,00 ­1 ­172,50 922,50
tiene una distribución de Bernoulli):
­ 1 ­212,17 2 424,35 1.134,67
(1.10) f = ((2 +1)*.55­1)/2 = (3*.55­1)/
567,34
2 1.702,01
­ 1 ­391,46 ­1 ­391,46 919,09
2
2
= .65/2
2
422,78
422,78 1.764,65
Como puede verse, se puede obtener una ligera ganancia al hacer esto,
= .325
y cuantas más operaciones transcurran, mayor será la ganancia. El mismo principio
se aplica a la negociación de una cartera en la que no todos los componentes de la cartera
Después de una jugada perdedora, nuestra f óptima es:
están en el mercado todo el tiempo. Deberías operar en los niveles óptimos para
f = ((2+ l)*.45­l)/2 =
la combinación de componentes (o componente único) que da como resultado la
(3*.45­l)/2
crecimiento óptimo como si esa combinación de componentes (o un solo
= .35/2
componente) se negociarían un número infinito de veces en el futuro.
= .175
PÉRDIDA DE EFICIENCIA EN APUESTAS SIMULTÁNEAS O
Ahora dividiendo nuestras mayores pérdidas (­1) por estos fs óptimos negativos
COMERCIO DE CARTERA
dicta que hagamos 1 apuesta por cada 3,076923077 unidades de nuestra apuesta después de
una victoria, y que hagamos 1 apuesta por cada 5,714285714 unidades de nuestra apuesta después
Volvamos nuevamente a nuestro juego de lanzamiento de moneda 2:1. Supongamos nuevamente que
una pérdida. Al hacerlo, maximizaremos el crecimiento a largo plazo. Tenga en cuenta que
Vamos a jugar dos de estos juegos, a los que llamaremos Sistema A y
tratamos cada obra individual como si fuera a representarse
un número infinito de veces.
resultados de los dos juegos. Podemos determinar nuestro fs óptimo para tal
Sistema B, simultáneamente y que existe correlación cero entre los
caso como apostar 1 unidad por cada 4.347826 en el patrimonio de la cuenta cuando el
Observe en este ejemplo que apostar después de las victorias y las pérdidas
todavía tiene una expectativa matemática positiva individualmente. ¿Qué pasa si, después
Los juegos se juegan simultáneamente. Al empezar con un banco de 100
una pérdida, la probabilidad de ganar era .3? En tal caso, la expectativa matemática es negativa,
unidades, fíjate que terminamos con un banco de 156,86 unidades:
por lo tanto no hay f óptima y como resultado
Sistema A Sistema B
P&L comercial Banco P&L comercial
no deberías tomar esta obra:
La f óptima es 1 unidad por cada 4,347826 de patrimonio: 100,00
­1
­23.00 ­1 ­23.00 54.00
(1.03) ME = (.3*2)+ (.7*­1) = .6­.7 =
­.1
2 24,84 ­1 ­12,42 66,42
En tales circunstancias, apostaría la cantidad óptima sólo después
­1 ­15,28 2 30,55 81,70
una victoria y no apostarías después de una pérdida. Si hay dependencia presente,
2 37,58 2 37,58 156,66
debe segregar las operaciones del sistema de mercado en función de la dependencia y tratar
Sistema A Sistema B
P&L comercial Banco P&L comercial
las operaciones segregadas como sistemas de mercado separados.
La f óptima es 1 unidad por cada 8,00 de capital:
­1
­12,50 ­1
El mismo principio, a saber, que el crecimiento asintótico se maximiza si
cada obra se considera representada un número infinito de veces
en el futuro, también se aplica a las apuestas simultáneas (o al comercio de una cartera).
Considere dos sistemas de apuestas, A y B. Ambos tienen un pago de 2:1.
proporción, y ambos ganan el 50% de las veces. Supondremos que la correlación
100.00
­12,50 75,00
2
18,75 2
18,75 112,50
­1
­14,06 ­1
­14,06 84,38
2
21,09 2
21,09 126,56
Ahora consideremos el Sistema C. Este sería lo mismo que el Sistema A.
El coeficiente entre los dos sistemas es 0, pero eso no es relevante para el
y B, solo que este juego lo vamos a jugar solos, sin otro juego.
punto que se ilumina aquí. El fs óptimo para ambos sistemas (si
yendo simultáneamente. También vamos a jugarlo durante 8 jugadas, en lugar de
se comercializaban solos, en lugar de simultáneamente) son .25, o para hacer
al esfuerzo anterior, donde jugamos 2 juegos para 4 simultáneos
1 apuesta por cada 4 unidades en equidad. El fs óptimo para operar con ambos sistemas
obras de teatro. Ahora nuestra f óptima es apostar 1 unidad por cada 4 unidades de equidad.
simultáneamente son .23, o 1 apuesta por cada 4.347826087 unidades en cuenta
Lo que tenemos son los mismos 8 resultados que antes, pero diferentes y mejores.
resultado final:
equidad.1 El sistema B sólo opera dos tercios del tiempo, por lo que algunas operaciones
hacerse cuando los dos sistemas no estén operando simultáneamente. Esto primero
Sistema C
La secuencia se demuestra con un banco combinado inicial de 1.000 unidades,
PyG comerciales
y cada apuesta para cada sistema se realiza con una f óptima de 1 apuesta por
La f óptima es 1 unidad por cada 4,00 de capital:
­1
­25,00
cada 4,347826087 unidades:
A
B
Banco
100.00
75.00
Banco combinado
37,50
112,50
1.000,00
­28,13
84,38
42,19
126,56
­1 ­230,00 770,00
2 354,20 ­1 ­177,10 947,10
2­1 2 2
63,28
189,84
­1 ­217,83 2 435,67 1.164,93
2
94.92
284,77
­1
­71.19
213.57
­1
­53.39
160.18
1
El método que utilizamos aquí para llegar a estos tamaños de apuesta óptimos se describe en
Capítulos 6 y 7. En efecto, estamos utilizando tres sistemas de mercado, los Sistemas A y B, como
descrito aquí, ambos con un HPR aritmético de 1,125 y una posición y desviación
en HPR de .375, y efectivo nulo, con un HPR de 1.0 y una desviación estándar de 0.
El resultado final aquí es mejor no porque los fs óptimos difieran ligeramente (ambos están
en sus respectivos niveles óptimos), sino porque hay una
pequeña pérdida de eficiencia involucrada con las apuestas simultáneas. Esta ineficiencia es el
Por lo tanto, el promedio geométrico se maximiza en aproximadamente E = 0,23, donde el
resultado de no poder recapitalizar su cuenta después
las ponderaciones para A y B son 0,92. Por lo tanto, los fs óptimos tanto para A como para B son
cada apuesta como podría hacerlo apostando solo en 1 sistema de mercado. En el si­
transformado a 4.347826. El uso de tales factores maximizará el crecimiento en este juego.
­ 28 ­
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En el caso de 2 apuestas simultáneas, sólo puedes recapitalizar 3 veces, mientras que en el caso
SD = Desviación estándar de la población en HPR.
En un solo caso de apuesta B, se recapitaliza 7 veces. Por lo tanto, la pérdida de eficiencia en
Por tanto, podemos estimar la desviación estándar, DE, como:
apuestas simultáneas (o en el comercio de una cartera de sistemas de mercado).
(2.04) DE^2 = AHPR^2­EGM^2
Acabamos de presenciar el caso en el que las apuestas simultáneas no fueron
Volviendo a nuestro juego de lanzamiento de moneda 2:1, tenemos una expectativa
correlacionado. Veamos qué sucede cuando nos ocupamos de lo positivo.
matemática de $0,50 y una f óptima de apostar $1 por cada $4 en capital,
(+1,00) correlación:
lo que produce una media geométrica de 1,06066. Podemos usar la ecuación (2.05)
Observe que después de 4 jugadas simultáneas donde la correlación entre
para determinar nuestro promedio aritmético HPR:
los sistemas de mercado empleados es +1,00, el resultado es una ganancia de 126,56 en un
apuesta inicial de 100 unidades. Esto equivale a un TWR de 1,2656, o una media geométrica,
un factor de crecimiento por jugada (aunque estos se combinan
(2.05) AHPR = l+(ME/f$)
dónde
AHPR = El HPR promedio aritmético.
jugadas) de 1,2656^(1/4) = 1,06066.
Ahora volvamos al caso de la apuesta única. Observe aquí que después de 4 jugadas,
ME = La expectativa matemática aritmética en unidades.
el resultado es 126,56, también con una apuesta inicial de 100 unidades. Por lo tanto, la
f$ = La mayor pérdida/­f. f = La f óptima (0 a 1).
media geométrica de 1,06066. Esto demuestra que la tasa de crecimiento es
Así, tendríamos una HPR media aritmética de:
lo mismo cuando se negocia con las fracciones óptimas para valores perfectamente correlacionados
mercados. Tan pronto como el coeficiente de correlación descienda por debajo de +1,00,
AHPR = 1+(.5/( ­1/ ­.25)) =
la tasa de crecimiento aumenta. Así, podemos afirmar que al combinar
1+(.5/4) =
sistemas de mercado, su tasa de crecimiento nunca será menor que con
1+.125
En el caso de la apuesta única, no importa cuán altas sean las correlaciones, siempre que el
= 1,125
sistema de mercado que se agrega tenga una expectativa aritmética matemática positiva.
Ahora, dado que tenemos nuestro AHPR y nuestro ECM, podemos emplear
ción (2.04) para determinar la desviación estándar estimada en los HPR:
Recuerde el primer ejemplo de esta sección, donde había 2 mercados
sistemas que tenían un coeficiente de correlación cero entre ellos. Este sistema de mercado
ganó 156,86 por 100 unidades después de 4 jugadas, para una media geométrica.
(2.04) DE^2 = AHPR^2­EGM^2 =
1,125^2­1,06066^2
= 1,265625­1,124999636
de (156,86/100)^(1/4) = 1,119. Veamos ahora un caso en el que los coeficientes de
= .140625364
correlación son ­1,00. Dado que nunca hay una jugada perdedora bajo el
siguiente escenario, la cantidad óptima para apostar es infinitamente alta
Por lo tanto, SD^2, que es la varianza en HPR, es 0,140625364. Tomando
cantidad (en otras palabras, apuesta 1 unidad por cada cantidad infinitamente pequeña de
la raíz cuadrada de esto produce una desviación estándar en estos HPR de
patrimonio de la cuenta). Pero, en lugar de volvernos tan codiciosos, simplemente haremos 1
.140625364^(1/2) = .3750004853. Debe tener en cuenta que esta es la desviación estándar
apostar por cada 4 unidades de nuestra apuesta para que podamos hacer la ilustración
estimada porque utiliza la media geométrica estimada.
aquí:
como entrada. Probablemente no sea del todo exacto, pero se acerca lo suficiente como para
Sistema A
Sistema B
P&L comercial Banco P&L comercial
nuestros propósitos.
Sin embargo, supongamos que queremos convertir estos valores para el estándar
La f óptima es 1 unidad por cada 0,00 en capital (se muestra 1 por cada 4): 100,00
­1
­12,50 2
25,00 112,50
desviación (o varianza), HPR media aritmética y geométrica para reflejar
cotizando al fraccionario f. Estas conversiones ahora se dan:
2
28,13 ­1
­14,06 126,56
­1
­15,82 2
31,64 142,38
(2.06) FAHPR = (AHPR­1)*FRAC+1
2
35,60 ­1
­17,80 160,18
(2.07) FSD = DE*FRAC
Hay dos puntos principales que extraer de esta sección. El primero es
(2.08) FGHPR = (FAHPR^2­FSD^2)^(1/2)
que hay una pequeña pérdida de eficiencia con las apuestas simultáneas o el comercio de
carteras, una pérdida causada por la incapacidad de recapitalizarse después de cada jugada
dónde
individual. El segundo punto es que combinar sistemas de mercado, siempre que tengan una
FRAC = La fracción de f óptima que estamos resolviendo.
expectativa matemática positiva, e incluso si tienen
AHPR = El HPR promedio aritmético en el f óptimo.
correlación positiva perfecta, nunca disminuye su crecimiento total por tiempo
SD = La desviación estándar en HPR en el f óptimo. FAHPR =
período. Sin embargo, a medida que se añaden más y más sistemas de mercado, la pérdida
de eficiencia se vuelve considerablemente mayor. Si tienes, digamos,
La media aritmética HPR en el fraccionario f.
FSD = La desviación estándar en HPR en la fracción f FGHPR =
10 sistemas de mercado y todos sufren una pérdida simultáneamente, esa pérdida
El HPR promedio geométrico en el fraccionario f.
podría ser terminal para la cuenta, ya que no ha podido recortar
Por ejemplo, supongamos que queremos ver qué valores tendríamos
tamaño de respaldo para cada pérdida como lo habría hecho si las operaciones se hubieran realizado
para FAHPR, FGHPR y FSD a la mitad del f óptimo (FRAC = .5) en nuestro
secuencialmente.
Juego de lanzamiento de moneda 2:1. Aquí sabemos que nuestro AHPR es 1.125 y nuestra SD es
Por lo tanto, podemos decir que hay una ganancia al agregar cada nuevo
.3750004853. De este modo:
sistema de mercado a la cartera siempre que el sistema de mercado tenga una
(2.06) FAHPR = (AHPR­1)*FRAC+1 = (1.125­
coeficiente de correlación menor que 1 y una expectativa matemática positiva, o una
expectativa negativa pero una correlación suficientemente baja con la otra
1)*.5+1
componentes de la cartera para compensar con creces el impacto negativo
= .125*.5+1
expectativa. Hay un beneficio marginalmente decreciente para el modelo geométrico.
= .0625+1
media para cada sistema de mercado agregado. Es decir, cada nuevo sistema de mercado
= 1,0625
beneficia a la media geométrica cada vez en menor grado. Además, como
Si se agrega cada nuevo sistema de mercado, se produce una pérdida cada vez mayor de
(2.07) FSD = DE*FRAC
eficiencia como resultado de resultados simultáneos en lugar de secuenciales. En algún
= ,3750004853*.5
momento, añadir otro sistema de mercado hará más daño
= .1875002427
entonces bien.
(2.08) FGHPR = (FAHPR^2­FSD^2)^(1/2)
= (1,0625^2­.1875002427^2)^(1/2)
TIEMPO REQUERIDO PARA ALCANZAR UNA META ESPECÍFICA Y
EL PROBLEMA CON LA F FRACCIONAL
= (1.12890625­.03515634101)^(1/2) =
1.093749909^(1/2)
Supongamos que tenemos el HPR promedio aritmético y el HPR promedio geométrico
para un sistema dado. Podemos determinar la desviación estándar en HPR a partir de la
= 1,04582499
Por lo tanto, para una f óptima de 0,25, o hacer 1 apuesta por cada $4 en equidad,
fórmula para la media geométrica estimada:
tenemos valores de 1.125, 1.06066 y .3750004853 para la aritmética
(1.19a) EGM = (AHPR^2­SD^2)^(1/2)
promedio, promedio geométrico y desviación estándar de los HPR respectivamente. Ahora
dónde
hemos resuelto una f fraccionaria (.5) de .125 o hacer 1 apuesta por
AHPR = La media aritmética HPR.
cada $8 de nuestra participación, lo que arroja valores de 1,0625, 1,04582499 y
­ 29 ­
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.1875002427 para la media aritmética, la media geométrica y la desviación estándar de los HPR,
respectivamente.
La media geométrica no implica nada con respecto a la reducción. Es decir, una media
geométrica más alta no significa una reducción mayor (o menor). La media geométrica sólo se
refiere al retorno. La f óptima es la medida de la caída histórica mínima esperada como porcentaje
Ahora podemos echar un vistazo a lo que sucede cuando practicamos una estrategia f
fraccionaria. Ya hemos determinado que bajo f fraccional ganaremos geométricamente menos
del retroceso del capital. Una f óptima más alta no significa un rendimiento mayor (o menor).
dinero que bajo f óptima. Además, hemos determinado que las reducciones y la variación en los
rendimientos serán menores
También podemos usar estos puntos de referencia para comparar un sistema dado en un valor f
fraccionario y otro sistema dado en su valor f óptimo completo.
con f fraccionaria. ¿Qué pasa con el tiempo necesario para alcanzar un objetivo específico?
Podemos cuantificar el número esperado de operaciones necesarias para alcanzar un objetivo
ue.
Por lo tanto, cuando se analizan sistemas, se deben observar en términos de qué tan altas
específico. Esto no es lo mismo que el tiempo esperado requerido para alcanzar una meta
específica, pero como nuestra medición es en operaciones, usaremos las dos nociones de tiempo
son sus medias geométricas y cuáles son sus fs óptimas. Por ejemplo, supongamos que tenemos
el Sistema A, que tiene una media geométrica de 1,05 y una f óptima de 0,8. Además, tenemos el
y operaciones transcurridas indistintamente aquí: (2.09) N = ln(Objetivo)/ln( Media
Sistema B, que tiene una media geométrica de 1,025 y una f óptima de 0,4. El Sistema A en el nivel
Geométrica) donde
medio f tendrá el mismo retroceso (reducción) de capital mínimo histórico en el peor de los casos
del 40%, al igual que el Sistema B en el nivel f completo, pero la media geométrica del Sistema A
N = El número esperado de operaciones para alcanzar un objetivo específico.
en la mitad f seguirá siendo mayor que la del Sistema B. al importe total de f. Por tanto, el Sistema
Objetivo = El objetivo en términos de un múltiplo de nuestra apuesta inicial, un TWR. ln() = La
A es superior al Sistema B.
función del logaritmo natural.
"Espera un minuto", dices, "pensé que lo único que importaba era que teníamos una media
Volviendo a nuestro ejemplo de lanzamiento de moneda 2:1. En f óptima tenemos una media
geométrica de 1,06066, y en la mitad de f es 1,04582499. Ahora calculemos el número esperado
de operaciones necesarias para duplicar nuestra apuesta (objetivo = 2). En f completa: N = ln(2)/
geométrica mayor que 1, que el sistema tenía que ser sólo marginalmente rentable, que podíamos
ganar todo el dinero que queramos mediante la administración del dinero. " Eso sigue siendo cierto.
Sin embargo, la tasa a la que ganarás dinero sigue siendo función de la media geométrica en el
ln( 1.06066) =
nivel f que estás empleando. La variabilidad esperada será función de qué tan alta sea la f que esté
.6931471/.05889134 = 11.76993
utilizando. Entonces, si bien es cierto que debe tener un sistema con una media geométrica en el
Por lo tanto, con la cantidad f completa en este juego de lanzamiento de moneda 2:1,
f óptimo que sea mayor que 1 (es decir, una expectativa matemática positiva) y que aún puede
anticipamos que nos llevará 11,76993 jugadas (intercambios) duplicar nuestra apuesta. Ahora, a la
mitad de la cantidad f:
ganar virtualmente una cantidad ilimitada con dicho sistema después de suficientes operaciones, la
norte = ln(2)/ln(1.04582499) = .6931471/.04480602 = 15.46996
depende de la media geométrica del valor f empleado. La variabilidad en el camino hacia ese
tasa de crecimiento (el número de operaciones necesarias para alcanzar un objetivo específico)
objetivo también es función del valor f empleado.
Por lo tanto, a la mitad de la cantidad f, anticipamos que nos llevará 15,46996 operaciones
duplicar nuestra participación. En otras palabras, operar con la mitad de f en este caso nos llevará
un 31,44% más para alcanzar nuestro objetivo.
Bueno, eso no suena tan mal. Al ser más pacientes, permitiendo un 31,44% más de tiempo
Sin embargo, estas consideraciones, el grado de la media geométrica y la f empleada, son
para alcanzar nuestro objetivo, eliminamos nuestra reducción a la mitad y nuestra variación en las
operaciones a la mitad. Half f es una forma aparentemente atractiva de hacerlo. Cuanto menor sea
secundarias al hecho de que se debe tener una expectativa matemática positiva, aunque son útiles
la fracción de f óptima que utilice, más suave será la curva de capital y, por tanto, menos tiempo
para comparar dos sistemas o técnicas que tienen expectativas matemáticas positivas y una
podrá esperar estar en el peor de los casos.
confianza igual. de su trabajo en el futuro.
Ahora, veámoslo desde otra perspectiva. Suponga que abre dos cuentas, una para negociar
la f completa y otra para negociar la mitad de la f. Después de 12 jugadas, su cuenta f completa se
DEMASIADA SENSIBILIDAD A LA PÉRDIDA MÁS GRANDE
habrá más que duplicado a 2,02728259 (1,06066^12) veces su apuesta inicial. Después de 12
Una crítica recurrente al enfoque completo de f óptima es que depende demasiado de la
operaciones, su cuenta de media f habrá aumentado a 1,712017427 (1,04582499^12) veces su
operación con mayores pérdidas. Esto parece bastante inquietante para muchos comerciantes.
apuesta inicial. Esta cuenta de media f se duplicará en 16 operaciones hasta un múltiplo de
Argumentan que la cantidad de contratos que se firman hoy no debería depender tanto de una única
2,048067384 (1,04582499^16) veces su apuesta inicial. Entonces, al esperar alrededor de un tercio
mala operación en el pasado.
más, se logra el mismo objetivo que con f óptima completa, sólo que con la mitad de conmoción.
Sin embargo, en la operación 16, la cuenta f completa ahora es un múltiplo de 2,565777865
(1,06066^16) veces su apuesta inicial. Full f continuará saliendo y alejándose. Al realizar la operación
100, su cuenta media f debería ser un múltiplo de 88,28796546 veces su apuesta inicial, ¡pero la f
completa será un múltiplo de 361,093016!
La gente ha elaborado numerosos algoritmos diferentes para aliviar esta aparente
hipersensibilidad a la pérdida mayor. Muchos de estos algoritmos funcionan ajustando la pérdida
más grande hacia arriba o hacia abajo para que la pérdida más grande sea una función de la
volatilidad actual en el mercado.
La relación parece ser cuadrática. Es decir, el valor absoluto de la mayor pérdida parece aumentar
a un ritmo más rápido que la volatilidad.
Por lo tanto, cualquiera que afirme que lo único que se sacrifica al operar a f fraccional versus
(Estos profesionales suelen definir la volatilidad como el rango diario promedio de las últimas
f completa es el tiempo necesario para alcanzar un objetivo específico, tiene toda la razón. Sin
semanas, o el valor absoluto promedio del cambio neto diario de las últimas semanas, o cualquiera
embargo, el tiempo es de lo que se trata. ¡Podemos poner nuestro dinero en Letras del Tesoro y
de las otras medidas convencionales de volatilidad). Sin embargo, esto no es así. una relación
alcanzarán un objetivo específico en un tiempo determinado con un mínimo absoluto de reducción
determinista. Es decir, sólo porque la volatilidad sea X hoy no significa que nuestra mayor pérdida
y variación! El tiempo es realmente esencial.
será X^Y. Simplemente significa que normalmente está cerca de X^Y.
COMPARACIÓN DE SISTEMAS COMERCIALES
manejar mucho mejor nuestra administración del dinero.2 Aquí nuevamente tenemos un caso en el
Si pudiéramos determinar de antemano cuál sería la mayor pérdida posible hoy, podríamos
Hemos visto que dos sistemas comerciales pueden compararse basándose en sus medias
que debemos considerar el peor de los casos y construir a partir de ahí. El problema es que no
geométricas en sus respectivos fs óptimos. Además, podemos comparar sistemas en función de
sabemos exactamente cuál puede ser nuestra mayor pérdida hoy. Un algoritmo que pueda predecir
qué tan altos son sus fs óptimos, siendo el f óptimo más alto el sistema más riesgoso. Esto se debe
esto realmente no nos resulta muy útil debido a la única vez que falla.
a que lo mínimo que puede haber sido la reducción es al menos un retroceso del capital del cinco
por ciento. Entonces, hay dos medidas básicas para comparar sistemas, las medias geométricas
en el fs óptimo, siendo la media geométrica más alta el sistema superior, y las fs óptimas mismas,
siendo el f óptimo más bajo el sistema superior. Por lo tanto, en lugar de tener una medida única y
unidimensional del desempeño del sistema, vemos que el desempeño debe medirse en un plano
bidimensional, siendo un eje la media geométrica y el otro el valor de f mismo. Cuanto mayor sea
la media geométrica en la f óptima, mejor será el sistema. Además, cuanto menor sea la f óptima,
mejor será el sistema.
2
Aquí es donde resulta tan útil el uso de opciones en una estrategia comercial. Ya sea comprando
una opción de venta o de compra en oposición a la posición subyacente para limitar la pérdida del
precio de ejercicio de las opciones, o simplemente comprando opciones directamente en lugar de la
posición subyacente, se obtiene un piso, una pérdida máxima absoluta. Saber esto es extremadamente
útil desde el punto de vista de la administración del dinero, particularmente desde el punto de vista
de la f óptima. Además, si sabe cuál es su pérdida máxima posible con antelación (por ejemplo, en
una operación intradía), entonces siempre podrá determinar cuál es la f en dólares. perfectamente
para cualquier operación por la relación dólares en riesgo por unidad/óptimo] f. Por ejemplo,
supongamos que un comerciante intradía supiera que su 1 óptimo era 0,4. Su parada hoy, por unidad I, será de
Por lo tanto, lo óptimo será negociar 1 unidad por cada $2250 ($900/0,4) en el capital de la cuenta.
­ 30 ­
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A este nuevo flujo de pérdidas y ganancias traducido lo llamamos datos igualados, porque
Consideremos, por ejemplo, la posibilidad de que se produzca un shock exógeno en un
mercado de la noche a la mañana. Supongamos que la volatilidad era bastante baja antes de este
se igualan con el precio del instrumento subyacente cuando se produjo la operación.
shock nocturno y que el mercado se bloqueó en su contra durante los próximos días. O supongamos
que no hubiera límites de precios y que el mercado simplemente abriera una cantidad enorme en
su contra al día siguiente. Este tipo de eventos son tan antiguos como el comercio de materias
Para contabilizar las comisiones y el deslizamiento, debe ajustar el precio de salida a la baja
en la ecuación (2.10a) por un monto proporcional al monto de las comisiones y el deslizamiento.
primas y acciones. Pueden suceder y suceden, y no siempre son avisados con anticipación por una
Asimismo, debería ajustar al alza el precio de salida en (2.10b). Si está utilizando (2.10c), debe
mayor volatilidad.
deducir el monto de las comisiones y el deslizamiento (nuevamente en puntos) del numerador P&L
en Puntos.
En general, entonces es mejor no "reducir" su mayor pérdida histórica para reflejar un
mercado actual de baja volatilidad. Además, existe la posibilidad concreta de experimentar una
A continuación determinamos nuestra f óptima sobre estos porcentajes de ganancias y
pérdida mayor en el futuro que la pérdida históricamente mayor. No existe ningún mandato que
pérdidas. La f óptima es .09. Ahora debemos convertir esta f óptima de 0,09 en una cantidad en
indique que la mayor pérdida vista en el pasado sea la mayor pérdida que se pueda experimentar
dólares basada en el precio actual de las acciones. Esto se logra mediante la siguiente fórmula:
hoy.3 Esto es cierto independientemente de la volatilidad actual que se avecina hoy.
(2.11) f$ = Mayor % de pérdida*Precio actual*$ por
punto/­f Por lo tanto, dado que nuestra mayor pérdida porcentual fue ­0,15, el
precio actual es de 100 dólares por acción, y la cantidad de dólares por punto completo es 1
El problema es que, empíricamente, la f que ha sido óptima en el pasado es función de la
mayor pérdida del pasado. No hay forma de evitar esto. Sin embargo, como verá cuando entremos
en las técnicas paramétricas, puede presupuestar una pérdida mayor en el futuro. Al hacerlo, estará
(dado que solo estamos tratando con la compra de 1 acción), podemos determinar nuestro f$ como:
f$ = ­.15*100*1/­.09 = ­15/­.09 = 166,67
preparado si se produce una pérdida mayor, casi inevitable.
Por lo tanto, lo óptimo sería comprar 1 acción por cada 166,67 dólares del capital de la cuenta.
En lugar de intentar ajustar la pérdida más grande al clima actual de un mercado determinado de
Si usáramos 100 acciones como tamaño de unidad, la única variable afectada habría sido la
modo que su óptimo empírico f refleje el clima actual, será mucho mejor que aprenda las técnicas
cantidad de dólares por punto completo, que habría sido 100. El f$ resultante habría sido $16
paramétricas.
666,67 en capital por cada 100 acciones.
La técnica que sigue es una posible solución a este problema y se puede aplicar ya sea que
Supongamos ahora que las acciones bajaron a 3 dólares por acción. Nuestra ecuación f$
obtengamos nuestro f óptimo empíricamente o, como aprenderemos más adelante, de manera
sería exactamente la misma excepto por la variable de precio actual que ahora sería 3. Por lo tanto,
paramétrica.
la cantidad para financiar 1 acción por
llega:
ECUALIZACIÓN ÓPTIMA F
La f óptima producirá el mayor crecimiento geométrico en una serie de resultados. Este es un
f$ = ­.15*3*1/­.09 = ­.45/­.09 = 5
Lo óptimo sería comprar 1 acción por cada 5 dólares que tuviéramos en el capital de la
hecho matemático. Considere el flujo hipotético de resultados:
cuenta.
Observe que la f óptima no cambia con el precio actual de la acción. Se mantiene en .09. Sin
+2, ­3, +10, ­5 Esta
es una secuencia a partir de la cual podemos determinar nuestra f óptima como .17, o apostar
1 unidad por cada $29.41 en equidad. Hacerlo en una corriente de este tipo generará el mayor
embargo, el f$ cambia continuamente a medida que cambia el precio de la acción. Esto no significa
que deba modificar diariamente una posición en la que ya se encuentra, pero sí hace que sea más
probable que sea beneficioso hacerlo. Por ejemplo, si mantiene una posición larga en una acción
crecimiento de nuestro capital.
determinada y ésta cae, los dólares que debe asignar a 1 unidad (100 acciones en este caso) de
Considere por un momento que esta corriente representa las ganancias y pérdidas comerciales
de una acción. Lo ideal sería comprar una acción por cada 29,41 dólares que tengamos en el capital
de la cuenta, independientemente del precio actual de las acciones. Pero supongamos que el precio
actual de las acciones es de 100 dólares por acción. Además, supongamos que la acción costaba
esta acción también disminuirán, con la f óptima determinada a partir de datos igualados. Si su f
óptima se determina a partir de los datos brutos de pérdidas y ganancias comerciales, no disminuirá.
En ambos casos, su patrimonio diario está disminuyendo. El uso de la f óptima ecualizada hace que
sea más probable que ajustar el tamaño de su posición diariamente sea beneficioso.
20 dólares por acción cuando se produjeron las dos primeras operaciones y 50 dólares por acción
cuando se produjeron las dos últimas operaciones.
Igualar los datos para su f óptima requiere cambios en los subproductos.4 Ya hemos visto
Recuerde que con f óptima estamos utilizando el flujo de pérdidas y ganancias comerciales
que tanto la f óptima como la media geométrica (y por tanto la TWR) cambian. El promedio
pasadas como indicador de la distribución de las pérdidas y ganancias comerciales esperadas actualmente.
Por lo tanto, podemos preprocesar los datos de pérdidas y ganancias comerciales para reflejar esto
aritmético del comercio cambia porque ahora también debe basarse en la idea de que todos los
intercambios en el pasado deben ajustarse como si se hubieran producido a partir del precio actual.
convirtiendo los datos de pérdidas y ganancias comerciales anteriores para reflejar una ganancia o
pérdida porcentual proporcional basada en el precio actual.
Por lo tanto, en nuestro ejemplo hipotético de resultados en 1 acción de +2, ­3, +10 y ­5, tenemos
Para nuestras dos primeras operaciones, que ocurrieron a un precio de acción de $20 por
una operación promedio de $1. Cuando tomamos nuestras ganancias y pérdidas porcentuales de
acción, la ganancia de $2 corresponde a una ganancia del 10% y la pérdida de $3 corresponde a
+.1, ­15, +.2 y ­.1, tenemos una operación promedio (en porcentaje) de +.5. A 100 dólares por
una pérdida del 15%. Para las dos últimas operaciones, tomadas a un precio de acción de 50
acción, esto se traduce en una operación promedio de 100*0,05 o 5 dólares por operación. A 3
dólares por acción, la ganancia de 10 dólares corresponde a una ganancia del 20% y la pérdida de
dólares por acción, la operación media se convierte en 0,15 dólares (3*0,05).
5 dólares corresponde a una pérdida del 10%.
Las fórmulas para convertir las pérdidas y ganancias comerciales brutas en ganancias y pérdidas
El comercio promedio geométrico también cambia. Recuerde la ecuación (1.14) para el
porcentuales para posiciones largas y cortas son las
comercio promedio geométrico: (1.14) GAT =
siguientes: (2.10a) % P&L = Precio de salida/Precio de entrada­1 (para
G*(Pérdida mayor/­f)
dónde
largos) (2.10b) % P&L = Precio de entrada/Precio de salida ­1 (para pantalones cortos)
G = Media geométrica 1.
o podemos usar la siguiente fórmula para convertir tanto en largos como en cortos:
f = Fracción fija óptima. (y, por
(2.10c) P&L% = P&L en puntos/precio de entrada Por lo
supuesto, nuestra mayor pérdida es siempre un número negativo).
tanto, para nuestras 4 operaciones hipotéticas, ahora tenemos el siguiente flujo de ganancias
Esta ecuación es el equivalente a: GAT =
y pérdidas porcentuales (asumiendo que todas las operaciones son operaciones largas): +.l, ­.15,
(media geométrica­1)*f$
+ .2, ­.l
4
3
La prudencia exige que suframos una pérdida mayor, al menos tan grande como la pérdida más
Las ecuaciones de riesgo de ruina, aunque no se abordan directamente en este texto, también
deben ajustarse para reflejar datos ecualizados cuando se utilizan. Generalmente, las ecuaciones de
grande observada en el pasado. A medida que se desarrolle el futuro y obtengamos más y más datos,
riesgo de ruina utilizan los datos brutos de pérdidas y ganancias comerciales como entrada. Sin
obtendremos rachas de pérdidas más largas. Por ejemplo, si ] lanza una moneda 100 veces, es
embargo, cuando utiliza datos igualados, el nuevo flujo de ganancias y pérdidas porcentuales debe
posible que vea que sale cruz 12 veces en una fila en la serie más larga de cruces. Si lo doy la vuelta
multiplicarse por el precio actual del instrumento subyacente y el flujo resultante utilizado. Por lo tanto,
1000 veces, lo más probable es que vea una serie de colas más largas. Este mismo principio se aplica
un flujo de ganancias y pérdidas porcentuales como 0,1, ­0,15, 0,2, ­0,1 se traduce en un flujo de 10,
cuando comerciamos. No sólo deberíamos esperar rachas más largas de operaciones perdedoras en
­15, 20, ­10 para un subyacente a un precio actual de 100 dólares. Esta nueva corriente debería
el futuro, sino que también deberíamos esperar una mayor operación perdedora.
utilizarse entonces como datos para las ecuaciones de riesgo de ruina.
­ 31 ­
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Ya hemos obtenido una nueva media geométrica igualando la
cosa como es? Esto es más una cuestión de creencias que de un hecho matemático. Es una
datos pasados. La variable f$, que es constante cuando no igualamos
cuestión de qué es más pertinente en el artículo que estás negociando, cambios porcentuales
los datos pasados, ahora cambian continuamente, ya que es una función de los datos actuales.
precio subyacente. Por lo tanto, nuestro comercio promedio geométrico cambia continuamente
o cambios absolutos. Es un movimiento de $2 en un $20
¿Es lo mismo una acción que un movimiento de $10 en una acción de $100? ¿Qué pasa si
a medida que cambia el precio del instrumento subyacente.
estamos hablando de dólares y marcos alemanes? ¿Es un movimiento de 30 puntos a .4500 el
¿Es lo mismo que un movimiento de 0,40 puntos a 0,6000?
Nuestro umbral hacia lo geométrico también debe cambiarse para reflejar la
datos ecualizados. Recuerde la ecuación (2.02) para el umbral de la geometría:
Mi opinión personal es que probablemente estés mejor con el
datos ecualizados. A menudo la cuestión es discutible, ya que si una acción se ha movido
de $20 por acción a $100 por acción y queremos determinar el f óptimo, queremos utilizar
(2.02) T = AAT/GAT*Pérdida mayor/­f
datos actuales. Las operaciones que ocurrieron a $20 por
dónde
la acción puede no ser representativa de la forma en que se cotizan actualmente,
T = El umbral de lo geométrico.
independientemente de si están igualados o no.
AAT = El comercio promedio aritmético.
Entonces, en general, es mejor no utilizar datos en los que el precio subyacente tenía un
GAT = El comercio promedio geométrico.
precio dramáticamente diferente al actual, ya que las características de la forma en que se
f = La f óptima (0 a 1).
comercializa el artículo también pueden haber cambiado. En eso
sentido, la f off óptima de los datos sin procesar y la f off óptima de la
Esta ecuación también se puede reescribir como: T = AAT/GAT*f$
Los datos igualados serán idénticos si todas las operaciones se realizaron al mismo precio
Ahora bien, no sólo las variables AAT y GAT cambian continuamente
subyacente.
a medida que cambia el precio del subyacente, también lo hace la variable f$.
Así que podemos afirmar que si importa mucho si igualas o no tus datos, entonces
Finalmente, al armar una cartera de sistemas de mercado,
probablemente estés usando demasiados datos de todos modos.
debe calcular los HPR diarios. Éstas también son función de f$:
Has ido tan lejos en el pasado que los intercambios generados en aquel entonces
(2.12) HPR diario = D$/f$+1
Probablemente no sean muy representativos del próximo comercio. En resumen, podemos
dónde
decir que no importa mucho si usas datos ecualizados o no,
D$ = La ganancia o pérdida de dólares en 1 unidad del día anterior. Esto es
y si es así, probablemente haya un problema. Si no hay ningún problema y
hay una diferencia entre usar los datos ecualizados y los datos sin procesar,
igual a (Cierre de esta noche­Cierre de anoche)*Dólares por punto.
debes optar por los datos ecualizados. Esto no significa que la f óptima calculada a partir de los
f$ = Los dólares finitos óptimos actuales, calculados a partir de la ecuación
datos ecualizados hubiera sido óptima en el caso
(2.11). Aquí, sin embargo, la variable de precio actual es el cierre de anoche.
Por ejemplo, supongamos que una acción cerró esta noche a 99 dólares por acción. Último
noche fue de 102 dólares por acción. Nuestra mayor pérdida porcentual es ­15. Si nuestra f
pasado. No lo hubiera sido. La f óptima calculada a partir de los datos sin procesar.
hubiera sido lo óptimo en el pasado. Sin embargo, en términos de determinar la respuesta aún
desconocida a la pregunta de cuál será la f óptima (o más cerca de ella mañana), la f óptima
es .09 entonces nuestro f$ es:
calculada a partir de los datos ecualizados tiene más sentido. ya que los datos ecualizados son
f$ = ­.15*102 *1/­.09 =
una representación más justa de la distribución de posibles resultados en la siguiente operación.
­15.3/­.09
= 170
Las ecuaciones (2.10a) a (2.10c) darán diferentes respuestas dependiendo de si la
operación se inició en largo o en corto. Para
Dado que estamos tratando con sólo 1 acción, nuestro valor en dólares por punto es
Por ejemplo, si una acción se compra a 80 y se vende a 100, la ganancia porcentual
$1. Ahora podemos determinar nuestro HPR diario para hoy mediante la ecuación (2.12)
es 25. Sin embargo, si una acción se vende en descubierto a 100 y se cubre a 80, la ganancia
como:
es sólo el 20%. En ambos casos, las acciones se compraron a 80 y se vendieron a 100,
(2.12) HPR diario = (99­102)*1/170+1 = ­3/170+1 = ­.01764705882+1
= .9823529412
pero es necesario tener en cuenta la secuencia, la cronología de estas transacciones. Como la
cronología de las transacciones afecta la distribución de ganancias y pérdidas porcentuales,
Volvamos ahora a lo que se dijo al principio de esta discusión. Dado
suponemos que la cronología de las transacciones
En un flujo de pérdidas y ganancias comerciales, la f óptima generará la mayor geometría
en el futuro se parecerá más a la cronología del pasado que a no serlo. De este modo,
crecimiento en esa corriente (siempre que tenga una expectativa matemática aritmética
Las ecuaciones (2.10a) a (2,10c) darán respuestas diferentes para largos
positiva). Utilizamos el flujo de pérdidas y ganancias comerciales como indicador de la
y pantalones cortos.
distribución de posibles resultados en la siguiente operación. En esta línea de
Por supuesto, podríamos ignorar la cronología de los oficios (usando
razonamiento, puede ser ventajoso para nosotros igualar la corriente del pasado
2,10c para largos y utilizando el precio de salida en el denominador de 2,10c para
las ganancias y pérdidas comerciales sean lo que serían si se realizaran
cortos), pero hacerlo sería reducir el contenido informativo del
al precio actual del mercado. Al hacerlo, podremos obtener una imagen más realista.
la historia del comercio. Además, el riesgo involucrado con una operación es una función de la
proxy de la distribución de ganancias y pérdidas comerciales potenciales en el próximo
comercio. Por lo tanto, debemos calcular nuestra f óptima a partir de esta distribución ajustada
de ganancias y pérdidas comerciales.
Esto no significa que habríamos ganado más usando la f óptima de los datos ecualizados.
cronología del comercio, un hecho que nos veríamos obligados a ignorar.
PROMEDIO DE DÓLARES Y COMPARTIR IDEAS DE PROMEDIO
He aquí una técnica antigua y poco utilizada de gestión del dinero que es una
No tendríamos, como sigue
espectáculos de demostración:
Herramienta ideal para afrontar situaciones en las que te faltan conocimientos.
Porcentaje de pérdidas y ganancias
f$
Precio subyacente
Número de
286952343. Cada semana, pone $20 de gasolina en su automóvil, independientemente del
+2,1 ­3
20
$33,33 300
$10,600
­,15 +10,2
20
$33,33 318
$9,646
­5 ­,1
50
$83,33 115,752
$10.803,52
50
$83,33 129,642 f$
$10.155,31
Acumulativo
Número de
Precio subyacente
precio de la gasolina esa semana. Siempre recibe $20 y
$10,000
En f = 0,09, operando con el método igualado:
Porcentaje de pérdidas y ganancias
Consideremos un automovilista hipotético, Joe Putzivakian, número de caso.
Acumulativo
Comparte
Cada semana usa los $20 que valen, sin importar lo mucho o poco que sean.
lo compra. Cuando el precio de la gasolina es más alto, lo obliga a ser más
austero en su forma de conducir.
Como resultado, Joe Putzivakian habrá pasado la vida comprando
más gasolina cuando es más barata y comprar menos cuando es más cara. Por lo tanto, habrá
pasado la vida pagando un coste por galón de gasolina inferior al promedio. En otras palabras,
Comparte
si promediaste el costo
En f = 0,17, operando con el método no igualado: 10.000 dólares
20
+2,1 $29,41 340,02 $10.680,04
de un galón de gasolina durante todas las semanas en las que Joe fue automovilista,
20
­3 ­0,15 $29,41 363,14 $9.590,61
el promedio habría sido mayor que el promedio que pagó Joe.
+10.2 ­5
50
$29,41 326,1 $12.851,61
­.1
50
$29,41 436,98 $10.666,71
Consideremos ahora a su hipotético primo, Cecil Putzivakian, número de caso 286952344.
Siempre que necesita gasolina, simplemente llena su camioneta.
Sin embargo, si todas las operaciones se calcularan a partir del precio actual
y se queja del alto precio de la gasolina. Como resultado, Cecil tiene
(digamos $100 por acción), el óptimo igualado f habría generado más
usó una cantidad constante de gasolina cada semana y, por lo tanto, pagó el
que el óptimo bruto f.
precio medio del mismo a lo largo de su vida como motor.
¿Cuál es entonces mejor usar? ¿Deberíamos ecualizar nuestros datos y determinar
nuestra f óptima (y sus subproductos), o deberíamos simplemente ejecutar todos­?
­ 32 ­
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Ahora supongamos que usted está considerando un programa de inversión a largo
acciones que está "cobrando" esta semana. Continuará haciendo esto hasta que no le
plazo. Decide que quiere poner dinero en un fondo mutuo para usarlo en su jubilación dentro
queden acciones, momento en el cual no quedará ningún capital en su cuenta. Al hacer
de muchos años. Cree que cuando se jubile el fondo mutuo tendrá un valor mucho mayor
esto, probablemente haya obtenido un mejor precio promedio por salir de su cuenta que el
que el actual. Es decir, usted cree que en un sentido asintótico el fondo mutuo será una
que habría recibido si hubiera salido de la cuenta en algún momento arbitrario durante este
inversión que generará dinero (por supuesto, en un sentido asintótico, el rayo cae dos
período de retiro de 20 semanas.
veces). Sin embargo, no se sabe si aumentará o disminuirá durante el próximo mes o el
próximo año. No tiene conocimiento sobre el desempeño a corto plazo del fondo mutuo.
Este principio de promediar dentro y fuera de una cuenta comercial es tan simple que
uno se pregunta por qué nadie lo hace. Siempre pregunto a las cuentas que logro hacer
esto. Sin embargo, hasta la fecha nunca he tenido a nadie que me haya aceptado. La razón
es sencilla. El concepto, aunque completamente válido, requiere disciplina y tiempo para
Para hacer frente a esto, puede ingresar el dólar promedio en el fondo mutuo.
funcionar: exactamente los mismos ingredientes que se requieren para que el concepto de f
Supongamos que desea espaciar su entrada en el fondo mutuo en el transcurso de dos
óptima funcione.
años. Además, digamos que tiene $36 000 para invertir. Por lo tanto, cada mes durante los
próximos 24 meses invertirás $1,500 de estos $36,000 en el fondo, hasta que después de
Pregúntele a Joe Putzivakian. Una cosa es comprender los conceptos y creer en ellos.
Otra cosa es hacerlo.
24 meses estés completamente invertido. Al hacerlo, habrá obtenido un coste inferior al
promedio en el fondo. "Promedio", como se utiliza aquí, se refiere al precio promedio del
LAS LEYES DEL ARCO SINO Y LOS PASEO ALEATORIO
fondo durante el período de 24 meses durante el cual está invirtiendo. No significa
Ahora dirigimos la discusión hacia las reducciones. Sin embargo, primero necesitamos
necesariamente que obtendrá un precio más barato que si invirtiera los $36,000 completos
hoy, ni garantiza que al final de estos 24 meses de ingresar al fondo obtendrá una ganancia
estudiar un poco de teoría sobre las leyes del primer y segundo arcoseno. Estos son
sobre sus $36,000. . La cantidad que tenga en el fondo en ese momento puede ser inferior
principios que pertenecen a los paseos aleatorios. El flujo de pérdidas y ganancias
a los $36,000.
comerciales con el que está tratando puede no ser verdaderamente aleatorio. El grado en
Lo que sí significa es que si simplemente ingresara arbitrariamente en algún momento
es el grado en que esta discusión no pertenecerá a su flujo de ganancias y pérdidas. Sin
que el flujo de pérdidas y ganancias que está utilizando difiere de ser puramente aleatorio
durante los siguientes 24 meses con sus $36,000 completos de una sola vez, probablemente
embargo, en general, la mayoría de los flujos de ganancias y pérdidas comerciales son casi
habría terminado comprando menos acciones de fondos mutuos y, por lo tanto, habría
aleatorios, según lo determinado por la prueba de ejecución y el coeficiente de correlación
pagado un precio más alto que si hubiera ingresado en dólares. promediado en.
lineal (correlación en serie).
Además, las leyes del arcoseno no sólo suponen que usted sabe de antemano cuál es
Lo mismo ocurre cuando se sale de un fondo mutuo, sólo que el lado de salida funciona
con un promedio de acciones en lugar de un promedio en dólares. Digamos que ha llegado
la cantidad que puede ganar o perder, sino que también suponen que la cantidad que puede
el momento de jubilarse y que tiene un total de 1000 acciones en este fondo mutuo. No sabe
ganar es igual a la cantidad que puede perder, y que esto siempre es una cantidad constante.
si es un buen momento para retirarse o no, por lo que decide tomarse 2 años ( 24 meses),
En nuestra discusión, asumiremos que la cantidad que puedes ganar o perder es $1 en cada
como promedio del fondo. Así es como se hace. Tomas el número total de acciones que
jugada. Las leyes del arcoseno también suponen que tienes un 50% de posibilidades de
tienes (1000) y lo divides por el número de períodos que deseas retirar (24 meses). Por lo
ganar y un 50% de posibilidades de perder. Por tanto, las leyes del arcoseno suponen un
tanto, dado que 1.000/24 = 41,67, venderá 41,67 acciones cada mes durante los próximos
juego donde la expectativa matemática es 0.
24 meses. Al hacerlo, habrá terminado vendiendo sus acciones a un precio superior al precio
medio durante los próximos 24 meses. Por supuesto, esto no es garantía de que las haya
vendido a un precio más alto del que podría haber recibido hoy por ellas, ni de que haya
Estas advertencias crean un juego que es considerablemente diferente y
considerablemente más simple que el comercio. Sin embargo, las leyes del primer y segundo
vendido sus acciones a un precio más alto del que podría obtener si las hubiera vendido.
arcoseno son exactas para el juego que acabamos de describir. En la medida en que el
venda todas sus acciones dentro de 24 meses. Lo que obtendrá es un precio más alto que
comercio difiere del juego que acabamos de describir, las leyes del arcoseno no se aplican.
el promedio durante el período de tiempo que está promediando. Eso está garantizado.
Sin embargo, en aras de aprender la teoría, no dejaremos que estas diferencias nos
preocupen por el momento.
Imagine una secuencia verdaderamente aleatoria, como por ejemplo al lanzar una
moneda5, en la que ganamos 1 unidad cuando ganamos y perdemos 1 unidad cuando
perdemos. Si tuviéramos que trazar nuestra curva de capital sobre X lanzamientos, podríamos
Estos mismos principios se pueden aplicar a una cuenta comercial. Al depositar dinero
en dólares en una cuenta de operaciones en lugar de simplemente "dar el paso" en algún
referirnos a un punto específico (X,Y), donde X representa el X lanzamiento e Y nuestra
ganancia o pérdida acumulada a partir de ese lanzamiento.
momento durante el período de tiempo en el que está promediando, habrá ingresado en la
Definimos territorio positivo cuando la curva de acciones está por encima del eje X o
cuenta a un mejor "precio promedio". Sin conocimiento de cuáles serán los cambios de
en el eje X cuando el punto anterior estaba por encima del eje X.
capital a corto plazo en la cuenta, es mejor, en promedio, ingresar al promedio en dólares
Del mismo modo, definimos territorio negativo como cualquier momento en que la curva de
en un programa de negociación.
acciones esté por debajo del eje X o en el eje X cuando el punto anterior estaba por debajo
No confíe sólo en su instinto y su olfato, utilice las medidas de dependencia analizadas en
del eje X. Esperaríamos que el número total de puntos en territorio positivo se acerque al
el Capítulo 1 sobre los cambios mensuales en el capital de un programa de negociación.
número total de puntos en territorio negativo. Pero este no es el caso.
Intente ver si existe dependencia en los cambios mensuales del capital. Si existe una
dependencia de un nivel de confianza lo suficientemente alto como para poder lanzarse en
un punto favorable, entonces hágalo. Sin embargo, si no hay una confianza suficientemente
alta en la dependencia de los cambios mensuales de las acciones, entonces el promedio en
dólares entra (y el promedio de acciones sale de) un programa de negociación. Al hacerlo,
Si lanzaras la moneda N veces, tu probabilidad (Prob) de
gastar K de los eventos en territorio positivo es: (2.13) Prob~l/
(Pi*K^.5*(NK)^.5) donde
estarás por delante en un sentido asintótico.
Pi = 3,141592654.
Lo mismo ocurre con el retiro de dinero de una cuenta. La forma de compartir el
promedio de un programa de negociación (cuando no hay acciones, como una cuenta de
El símbolo ~ significa que ambos lados tienden a la igualdad en el límite. En este caso,
materias primas) es decidir una fecha para comenzar a promediar, así como durante cuánto
cuando K o (NK) se aproximan al infinito, los dos lados de la ecuación tenderán a la igualdad.
tiempo se promediará. En la fecha en que va a comenzar a promediar, divida el capital de la
cuenta entre 100. Esto le dará el valor de "1 acción". Ahora, divide 100 por la cantidad de
Así, si lanzáramos una moneda 10 veces (N = 10) tendríamos las siguientes
períodos que deseas promediar. Supongamos que desea promediar el gasto de la cuenta
semanalmente durante las próximas 20 semanas. Eso hace 20 períodos. Dividir 100 entre
20 da 5. Por lo tanto, promediará su cuenta en 5 "acciones" por semana. Multiplique el valor
que había calculado para 1 acción por 5 y eso le indicará cuánto dinero retirar de su cuenta
de operaciones esta semana. Ahora, de cara a la próxima semana, debes realizar un
probabilidades de estar en territorio positivo para K de los lanzamientos:
K probabilidad
5
6
Aunque las pruebas empíricas muestran que el lanzamiento de una moneda no es una secuencia
verdaderamente aleatoria debido a ligeras imperfecciones en la moneda utilizada, asumiremos aquí, y en
seguimiento de cuántas acciones te quedan.
otras partes del texto cuando nos referimos al lanzamiento de una moneda, que estamos lanzando una
moneda ideal con exactamente un .5 probabilidad de caer cara o cruz.
6
Como se quedó sin 5 acciones la semana pasada, le quedan 95. Cuando llegue el momento
del retiro número 2, divida el capital de su cuenta por 95 y multiplíquelo por 5. Esto le dará
el valor de las 5.
­ 33 ­
Tenga en cuenta que dado que ni K ni N pueden ser iguales a 0 en la ecuación (2.13) (ya que entonces
estaría dividiendo por 0), podemos discernir las probabilidades correspondientes a K = 0 y K = N sumando
las probabilidades de K = l a K = Nl y restando esta suma de 1. Dividiendo esta diferencia por 2 obtendremos
las probabilidades asociadas con K = 0 y K = N.
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0.14795
la segunda ley, donde, en lugar de buscar un máximo absoluto
1.1061
y mínimo, buscábamos un máximo por encima del matemático
2.0796
expectativa y un mínimo por debajo de ella. El mínimo por debajo de la expectativa matemática
3 .0695 4
podría ser mayor que el máximo por encima si la
.065 5
mínimo ocurrió más tarde y la expectativa matemática aritmética
.0637 6
era una línea ascendente (como en el comercio) en lugar de una línea horizontal en cero.
.065 7
Por tanto, podemos interpretar que el espíritu de las leyes del arcoseno se aplica a
.0695 6
.0796 9
comerciar de las siguientes maneras. (Sin embargo, en lugar de imaginar la línea importante
.1061
como una línea horizontal en cero, deberíamos imaginar una línea
10 .14795
que tiene una pendiente ascendente a la tasa del comercio promedio aritmético (si
negociación de contratos constantes). Si somos operaciones fraccionarias Axed, la línea
Esperarías estar en territorio positivo en 5 de los 10 lanzamientos,
¡Sin embargo, ese es el resultado menos probable! De hecho, los resultados más probables son
será uno que se curva hacia arriba, volviéndose cada vez más pronunciado, "a tal ritmo que
que estarás en territorio positivo para todos los lanzamientos o para ninguno de
¡a ellos!
el siguiente punto es igual al punto actual multiplicado por la media geométrica).
Podemos interpretar la ley del primer arco seno como si estableciésemos que deberíamos esperar ser
a un lado de la línea de expectativa matemática para muchas más operaciones que
Este principio se detalla formalmente en la ley del primer arco seno que
estados:
gastamos al otro lado de la línea de expectativas matemáticas. Con respecto a la ley del segundo
arco seno, deberíamos esperar las desviaciones máximas de la línea de expectativa matemática,
Para un A fijo (0<A<1) y cuando N se acerca al infinito, la probabilidad
ya sea por encima o por debajo de ella,
que K/N gastado en el lado positivo es < A tiende a:
como lo más probable es que ocurra cerca del comienzo o el final del capital
(2.14) Prob{(K/N)<A} = 2/Pi*ARCSIN(A^.5)
gráfico de curva y menos probable cerca del centro del mismo.
dónde
Notarás otra característica que sucede cuando estás
Pi = 3,141592654.
operar en los niveles óptimos de f. Esta característica se refiere a la duración de
Incluso con N tan pequeño como 20, se obtiene una aproximación muy cercana
tiempo que pasa entre dos puntos altos de equidad. Si está operando en el
nivel f óptimo, ya sea que esté negociando solo un sistema de mercado o una cartera de sistemas
para la probabilidad.
de mercado, el tiempo que tarda en transcurrir la reducción más larga7 (no necesariamente la
La ecuación (2.14), la primera ley del arco seno, nos dice que con probabilidad
.1, podemos esperar ver el 99.4% del tiempo invertido en un lado del origen, y con probabilidad
.2, la curva de acciones gastará el 97.6% del tiempo.
tiempo en el mismo lado del origen! Con una probabilidad de 0,5, podemos esperar que la curva
de acciones pase más del 85,35% del tiempo en el
peor o la más profunda) es generalmente de 35 a
55% del tiempo total que estás mirando. Esto parece ser cierto sin importar
¡Qué período de tiempo tan largo o corto estás viendo! (Nuevamente, el tiempo en este
El sentido se mide en los oficios.)
Esta no es una regla estricta. Más bien, es el efecto del espíritu de
mismo lado del origen. Así de perversa es la curva de acciones de una
Las leyes del arco seno en acción. Es perfectamente natural y debería esperarse.
¡La moneda justa es!
Este principio parece ser válido sin importar cuán largo o corto sea el período que estemos
Ahora aquí está la segunda ley del arco seno, que también usa la ecuación
(2.14) y por tanto tiene las mismas probabilidades que la ley del primer arco seno, pero
analizando. Esto significa que podemos esperar estar en el
se aplica a un incidente completamente diferente, el máximo o mínimo de
mayor reducción para aproximadamente del 35 al 55% de las operaciones durante el
la curva de equidad. La segunda ley del arco seno establece que el máximo (o
¡La vida útil del programa comercial que estamos empleando! Esto es cierto ya sea que estemos
mínimo) de una curva de acciones probablemente ocurrirá en los puntos finales y menos probable
operar con 1 sistema de mercado o con una cartera completa. Por lo tanto, debemos aprender
en el centro. La distribución es exactamente la misma.
esperar estar dentro de la reducción máxima durante el 35 al 55% de la vida
de un programa que deseamos comercializar. Saber esto antes del hecho permite
¡como la cantidad de tiempo pasado en un lado del origen!
que estemos mentalmente preparados para comerciar a través de él.
Si lanzaras la moneda N veces, tu probabilidad de lograr
Ya sea que esté a punto de administrar una cuenta o de tener una
el máximo (o mínimo) en el punto K de la curva de acciones también está dado
administrado por otra persona, o a punto de negociar su propia cuenta, usted
por la Ecuación (2.13):
debe tener en cuenta el espíritu de las leyes del arcoseno y cómo funcionan en
(2.13) Prob~l/(Pi*K^.5*(NK)^.5) ]donde Pi = 3.141592654.
su curva de capital en relación con la línea de expectativa matemática, a lo largo
Por lo tanto, si lanzaras una moneda 10 veces (N = 10) tendrías
con la regla del 35% al 55%. Al hacerlo, estarás sintonizado con la realidad con respecto a qué
las siguientes probabilidades de que ocurra el máximo (o mínimo) en
el lanzamiento Kth:
esperar a medida que se desarrolle el futuro.
K probabilidad
0,14795
Hemos discutido muchas características del comercio fraccionario fijo y
1,1061
han introducido algunas técnicas saludables, que serán utilizadas
Ahora hemos cubierto las técnicas empíricas por completo. Más,
2,0796
a lo largo de la secuela. Hemos visto que al operar al nivel óptimo
3,0695
niveles de gestión del dinero, no sólo podemos esperar sustanciales
4,065
reducciones, pero el tiempo transcurrido entre dos máximos de las acciones también puede ser
5,0637
bastante sustancial. Ahora centramos nuestra atención en el estudio de las técnicas paramétricas,
6,065
tema del próximo capítulo.
7,0695
8 .0796
9 .1061 10
.14795 En
pocas palabras, la ley del segundo arco seno establece que el máximo o
Los mínimos son más probables que ocurran cerca de los puntos finales de la curva de acciones.
y es menos probable que ocurra en el centro.
TIEMPO PASADO EN UNA ETIQUETA
Recuerde las advertencias relacionadas con las leyes del arcoseno. Es decir, el arco
Las leyes de los senos suponen un 50% de posibilidades de ganar y un 50% de posibilidades de perder.
Además, asumen que usted gana o pierde exactamente las mismas cantidades y
que la corriente generadora es puramente aleatoria. El comercio es considerablemente
más complicado que esto. Por lo tanto, las leyes del arco seno no se aplican en un estado puro.
sentido, pero se aplican en espíritu.
Considere que las leyes del arcoseno funcionaron con una expectativa matemática
aritmética de 0. Por lo tanto, con la primera ley, podemos interpretar el porcentaje de tiempo a
7
7Aquí por reducción más larga nos referimos al tiempo más largo, en términos del número de
operaciones transcurridas, entre un pico de acciones y el tiempo (o número de operaciones
cada lado de la línea cero como el porcentaje de tiempo
a cada lado de la expectativa matemática aritmética. Lo mismo ocurre con
operaciones) hasta que ese pico sea igualado o superado.
­ 34 ­
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Capítulo 3 ­ Óptimo paramétrico f en el
Distribución normal
Ahora que hemos terminado con nuestra discusión sobre los aspectos empíricos.
técnicas, así como las características del comercio fraccionario fijo,
entrar en el ámbito de las técnicas paramétricas. En pocas palabras, estas técnicas difieren
de las empíricas en que no utilizan la historia pasada en sí misma como los datos para operar
en Bather, sino que observamos la historia pasada para desarrollar una descripción
matemática de esa distribución de esa información.
datos Esta descripción matemática se basa en lo que ha sucedido
en el pasado y lo que esperamos que suceda en el futuro. En el
Técnicas paramétricas que operamos en estas descripciones matemáticas.
Figura 3­1 Una distribución continua es una serie de contenedores infinitamente delgados
en lugar de en la historia pasada misma
Cuando hablamos de las ganancias y pérdidas de las operaciones, esencialmente
Las descripciones matemáticas utilizadas en las técnicas paramétricas.
estamos hablando de una distribución continua. Una operación puede tomar una multitud de
Son más a menudo lo que se conoce como distribuciones de probabilidad. Por lo tanto, si
valores (aunque podríamos decir que los datos están agrupados al centavo más cercano).
vamos a estudiar las técnicas paramétricas, debemos estudiar las distribuciones de
Para trabajar con dicha distribución, es posible que sea necesario agrupar los datos, por
probabilidad (en general) como base. Luego continuaremos
ejemplo, en contenedores de cien dólares de ancho.
para estudiar un determinado tipo de distribución, la Distribución Normal.
Tal distribución tendría un contenedor para las operaciones que no generaron nada que
Luego veremos cómo encontrar la f óptima y sus subproductos en el
Distribución normal.
$99,99, el siguiente contenedor sería para operaciones que generaron entre $100 y $199,99, y
pronto. Hay una pérdida de contenido de información al agrupar de esta manera, sin embargo,
El perfil de distribución de las ganancias y pérdidas comerciales permanece relativamente sin
LOS FUNDAMENTOS DE LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
cambios.
Imagina si quieres que estás en una pista de carreras y quieres seguir
un registro de la posición en la que terminan los caballos en una carrera. Específicamente,
MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE LAS DISTRIBUCIONES
desea registrar si el caballo en la pole position llegó primero,
La mayoría de la gente está familiarizada con el promedio, o más específicamente con el
segundo, y así sucesivamente para cada carrera del día. Sólo grabarás diez.
significado aritmetico. Esto es simplemente la suma de los puntos de datos en una distribución
lugares. Si el caballo quedó peor que el décimo lugar, lo registrarás.
dividida por el número de puntos de datos:
como décimo puesto. Si haces esto durante varios días, obtendrás
(3.01) A = (∑[i = 1,N] Xi)/N
Hemos recopilado suficientes datos para ver la distribución de las posiciones finales.
para un caballo que comienza en la pole position. Ahora tomas tus datos y
dónde
trazarlo en una gráfica. El eje horizontal representa dónde terminó el caballo, siendo el
A = La media aritmética.
extremo izquierdo la peor posición final (décimo) y el
Xi = El iésimo punto de datos.
la extrema derecha es una victoria. El eje vertical registrará cuántas veces
N = El número total de puntos de datos en la distribución.
El caballo de la pole position terminó en la posición indicada en el eje horizontal.
La media aritmética es el más común de los tipos de medidas.
Comenzaría a ver desarrollarse una curva en forma de campana.
de ubicación, o tendencia central de un conjunto de datos, una distribución. Sin embargo,
En este escenario, hay diez posiciones finales posibles para
debe tener en cuenta que la media aritmética no es la única medida de tendencia central
cada carrera. Decimos que hay diez contenedores en esta distribución. Y si,
disponible y, a menudo, no es la mejor. La media aritmética tiende a ser una mala medida
¿En lugar de usar diez contenedores, usamos cinco? El primer contenedor sería para un
cuando una distribución tiene muy
primer o segundo lugar, el segundo lugar para un tercer o cuarto lugar
colas anchas. Supongamos que selecciona aleatoriamente puntos de datos de una distribución.
terminar, y así sucesivamente. ¿Cuál hubiera sido el resultado?
y calcular su media. Si continúa haciendo esto encontrará que el
Usar menos contenedores en el mismo conjunto de datos habría resultado en una
las medias aritméticas así obtenidas convergen mal, si es que lo hacen, cuando se
distribución de probabilidad con el mismo perfil que la determinada en el
Se trata de una distribución con colas muy anchas.
Los mismos datos con más contenedores. Es decir, se verían más o menos como
Otra medida importante de ubicación de una distribución es la mediana. La mediana se
lo mismo gráficamente. Sin embargo, utilizar menos contenedores reduce el contenido de
describe como el valor medio cuando se organizan los datos.
información de una distribución. Del mismo modo, usar más contenedores aumenta la
Contenido informativo de una distribución. Si, en lugar de registrar la posición final del caballo
de la pole position en cada carrera, registramos el tiempo
en una matriz según el tamaño. La mediana divide una distribución de probabilidad en dos
mitades de modo que el área bajo la curva de una mitad es
igual al área bajo la curva de la otra mitad. La mediana suele ser una mejor medida de
el caballo entró corriendo, redondeado al segundo más cercano, obtendremos más de
tendencia central que la media aritmética.
diez contenedores; y por tanto el contenido informativo de la distribución obtenida
A diferencia de la media aritmética, la mediana no se ve distorsionada por valores atípicos
será mayor.
Si registráramos la hora exacta de finalización, en lugar de redondear la hora de finalización
veces para usar el segundo más cercano, estaríamos creando lo que se llama un
extremos. Además, la mediana se puede calcular incluso para casos abiertos.
distribuciones. Una distribución abierta es una distribución en la que todos
los valores que exceden un determinado contenedor se arrojan a un contenedor. Un ejemplo
distribución continua. En una distribución continua no hay contenedores.
Piense en una distribución continua como una serie de contenedores infinitamente delgados (ver
Figura 3­1). Una distribución continua se diferencia de una distribución discreta , el tipo que
de una distribución abierta es la que estábamos compilando cuando
registró la posición final en las carreras de caballos para el caballo que comenzó
en la pole position. Se registraron resultados peores que el décimo lugar.
analizamos primero, en que una distribución discreta es una distribución agrupada.
como décimo lugar. Por tanto, teníamos una distribución abierta. La mediana es
distribución. Aunque la agrupación reduce el contenido de información de un
ampliamente utilizado por la Oficina del Censo de EE. UU.
distribución, en la vida real a menudo es necesario agrupar los datos. Por lo tanto, en
La tercera medida de tendencia central es la moda, la más frecuente.
En la vida real, a menudo es necesario perder parte del contenido informativo de un
ocurrencia. La moda es el pico de la curva de distribución. En algunas distribuciones no existe
ningún modo y en ocasiones hay más de un modo.
distribución, manteniendo el mismo perfil de distribución, de modo que
que puedas procesar la distribución. Finalmente debes saber que es
Es posible tomar una distribución continua y hacerla discreta agrupandola, pero no es posible
tomar una distribución discreta y hacerla
continuo.
Al igual que la mediana, la moda a menudo puede considerarse una medida superior.
de tendencia central. El modo es completamente independiente del extremo.
valores atípicos, y se obtiene más fácilmente que la media aritmética
o la mediana.
Hemos visto cómo la mediana divide la distribución en dos
áreas iguales. De la misma manera una distribución se puede dividir por tres
cuartiles (para dar cuatro áreas de igual tamaño o probabilidad), o nueve deciles
(para dar diez áreas de igual tamaño o probabilidad) o 99 percentiles (para dar
100 áreas de igual tamaño o probabilidad). El percentil 50 es la mediana y, junto con los
percentiles 25 y 75, nos dan los cuartiles. Fi­
­ 35 ­
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Finalmente, otro término con el que deberías familiarizarte es el de cuan­tile. Un cuantil es
percentiles). Esto es similar al rango del percentil 10­90, excepto que con esta medida el
cualquiera de los N­1 valores variables que dividen la frecuencia total en N partes iguales.
rango comúnmente se divide por 2.
La mitad del ancho es una medida de dispersión aún más utilizada. Aquí, tomamos la
Ahora volvemos a la media. Hemos discutido la media aritmética como medida de
altura de una distribución en su punto máximo, la moda. Si encontramos el punto a mitad de
tendencia central de una distribución. Debes tener en cuenta que también existen otros tipos
esta medida vertical y pasamos una línea horizontal a través de él perpendicular a la línea
de medios. Estos otros medios son menos comunes, pero tienen importancia en determinadas
vertical, la línea horizontal tocará la distribución en un punto a la izquierda y un punto a la
aplicaciones.
derecha.
La distancia entre estos dos puntos se llama medio ancho.
Primero está la media geométrica, que vimos cómo calcular en el primer capítulo. La
media geométrica es simplemente la raíz enésima de todos los puntos de datos multiplicados.
A continuación, la desviación media absoluta o desviación media es el promedio
aritmético del valor absoluto de la diferencia entre los puntos de datos y el promedio aritmético
de los puntos de datos. En otras palabras, como su nombre lo indica, es la distancia promedio
(3.02) G = (∏[i = 1,N]Xi)^(1/N)
a la que se encuentra un punto de datos de la media. Expresado matemáticamente: (3.06) M
dónde
= 1/N ∑[i = 1,N] ABS (Xi­A) donde
G = La media geométrica.
Xi = El iésimo punto de datos.
N = El número total de puntos de datos en la distribución.
M = La desviación absoluta media.
La media geométrica no se puede utilizar si alguno de los valores variables es cero o
N = El número total de puntos de datos.
negativo.
Xi = El iésimo punto de datos.
Podemos afirmar que la expectativa matemática aritmética es el resultado promedio
aritmético de cada jugada (sobre una base de I unidades constantes) menos el tamaño de
A = El promedio aritmético de los puntos de datos.
la apuesta. Asimismo, podemos afirmar que la expectativa matemática geométrica es el
ABS() = La función de valor absoluto.
resultado promedio geométrico de cada jugada (sobre una base de unidad I constante)
La ecuación (3.06) nos da lo que se conoce como desviación absoluta media
poblacional . Debes saber que la desviación absoluta media también se puede calcular como
menos el tamaño de la apuesta.
lo que se conoce como desviación absoluta media muestral . Para calcular la desviación
Otro tipo de media es la media armónica. Este es el recíproco
de la media de los recíprocos de los puntos de datos. (3.03) 1/
absoluta media de la muestra, reemplace el término 1/N en la ecuación (3.06) con 1/(N­1). La
versión de muestra se utiliza cuando se hacen juicios sobre la población basándose en una
∏ = 1/N ∑[i = 1,N]1/Xi
muestra de esa población.
dónde
H = La media armónica.
Las siguientes dos medidas de dispersión, varianza y desviación estándar, son las más
Xi = El iésimo punto de datos.
utilizadas. Ambos se utilizan ampliamente, por lo que no podemos decir que uno sea más
N = El número total de puntos de datos en la distribución.
común que el otro; Basta decir que ambos son los más comunes. Al igual que la desviación
media absoluta, se pueden calcular de dos formas diferentes, tanto para una población como
La medida final de tendencia central es la media cuadrática o techo.
para una muestra.
cuadrado medio.
Se muestra la versión de población, y nuevamente se puede modificar fácilmente a la versión
(3.04) R^2 = l/N∑[i = 1,N]Xi^2
de muestra reemplazando el término 1/N por 1/(N­1).
dónde
La varianza es lo mismo que la desviación absoluta media excepto que elevamos al
R = La raíz cuadrática media.
cuadrado cada diferencia entre un punto de datos y el promedio de los puntos de datos.
Xi = El iésimo punto de datos.
Como resultado, no necesitamos tomar el valor absoluto de cada diferencia, ya que multiplicar
N = El número total de puntos de datos en la distribución.
cada diferencia por sí misma hace que el resultado sea positivo, ya sea que la diferencia sea
Debes darte cuenta de que la media aritmética (A) siempre es mayor o igual que la
positiva o negativa. Además, dado que cada distancia se eleva al cuadrado, los valores
media geométrica (G), y la media geométrica siempre es mayor o igual que la media
atípicos extremos tendrán un efecto más fuerte en la varianza que en la desviación media
armónica (H): (3.05) H<= G<=A donde
absoluta.
Expresado matemáticamente:
(3.07) V = 1/N ∑[i = 1,N] ((Xi­A)^2)
donde V = La varianza.
H = La media armónica.
N = El número total de puntos de datos.
G = La media geométrica.
Xi = El iésimo punto de datos.
A = La media aritmética.
A = El promedio aritmético de los puntos de datos.
Finalmente, la desviación estándar está relacionada con la varianza (y por lo tanto con
MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN
la desviación absoluta media) en el sentido de que la desviación estándar es simplemente la
El valor central o la ubicación de una distribución es a menudo lo primero que desea
saber acerca de un grupo de datos y, a menudo, lo siguiente que desea saber es la variabilidad
o el "ancho" de los datos alrededor de ese valor central. A las medidas de tendencia central
de una distribución las llamamos primer momento de una distribución. La variabilidad de los
puntos de datos alrededor de esta tendencia central se denomina segundo momento de una
raíz cuadrada de la varianza.
El tercer momento de una distribución se llama asimetría y describe el grado de
asimetría en torno a la media de una distribución (Figura 3­2).
Mientras que los dos primeros momentos de una distribución tienen valores que pueden ser
considerada dimensional (es decir, que tiene las mismas unidades que las cantidades
distribución. Por tanto, el segundo momento mide la dispersión de una distribución con
medidas), la asimetría se define de tal manera que la vuelve adimensional. Es un número
respecto al primer momento.
puro que no representa más que la forma de la distribución.
Al igual que con la medida de tendencia central, hay muchas medidas de dispersión
disponibles. Cubrimos siete de ellas aquí, comenzando con las medidas menos comunes y
terminando con las más comunes.
El rango de una distribución es simplemente la diferencia entre los valores más grandes
y más pequeños de una distribución. Asimismo, el rango percentil 10­90 es la diferencia
entre los puntos percentiles 90 y 10. Estas dos primeras medidas de dispersión miden la
propagación de un extremo al otro. Las cinco medidas de dispersión restantes miden la
desviación de la tendencia central (y, por tanto, miden la mitad del diferencial).
El rango semiintercuartil o desviación cuartil equivale a la mitad de la distancia entre el
primer y el tercer cuartil (los cuartiles 25 y 75).
­ 36 ­
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Oblicuidad
platicúrtico
mesocúrtico
Sesgado = 0
leptocúrtico
Positivo
Negativo
Figura 3­4 Curtosis.
Finalmente, el cuarto momento de una distribución, la curtosis (consulte la Figura 34)
mide el pico o la planitud de una distribución (en relación con la distribución normal). Al igual
Figura 3­2 Asimetría
que la asimetría, es una cantidad adimensional. Una curva con menos pico que la Normal se
Un valor positivo de asimetría significa que las colas son más gruesas en el lado positivo
de la distribución y viceversa. Una distribución perfectamente simétrica tiene una asimetría de
0.
dice platicúrtica (la curtosis será negativa), y una curva con más pico que la Normal se llama
lep­tocúrtica (la curtosis será positiva). Cuando el pico de la curva se asemeja a la curva de
Distribución Normal, la curtosis es igual a cero, y llamamos a este tipo de pico en una
distribución mesocúrtica.
Modo
Significar
Como los momentos anteriores, la curtosis tiene más de una medida.
Los dos más comunes son:
Mediana
(3.12) K = Q/P
donde
K = La curtosis.
Q = El rango semiintercuartil.
P = El rango percentil 10­90.
(3.13) K = (1/N (∑[i = 1,N] (((Xi­A)/D)^ 4)))­3
dónde
K = La curtosis.
N = El número total de puntos de datos.
Xi = El iésimo punto de datos.
A = El promedio aritmético de los puntos de datos.
Figura 3­3 La asimetría altera la ubicación.
D = La desviación estándar de la población de los puntos de datos.
En una distribución simétrica, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor. Sin
embargo, cuando una distribución tiene un valor de asimetría distinto de cero, esto cambia
Finalmente, cabe señalar que hay mucha más "teoría" detrás de los momentos de una
distribución de la que se cubre aquí. Para una discusión más profunda se debe consultar uno
como se muestra en la Figura 3­3. La relación para una distribución asimétrica (cualquier
de los libros de estadística mencionados en la Bibliografía. La profundidad de la discusión
distribución con una asimetría distinta de cero) es: (3.08) Media­Moda = 3*(Media­
sobre los momentos de una distribución presentada aquí será más que adecuada para
Mediana)
nuestros propósitos a lo largo de este texto.
Al igual que con los dos primeros momentos de una distribución, existen numerosas
medidas de asimetría, que con mayor frecuencia darán respuestas diferentes. Estas medidas
ahora siguen:
Hasta ahora, hemos cubierto las distribuciones de datos en un sentido general.
Ahora cubriremos la distribución específica llamada Distribución Normal.
(3.09) S = (Media­Moda)/Desviación estándar (3.10) S =
(3*(Media­Mediana))/Desviación estándar Estas dos últimas
ecuaciones, (3.09) y (3.10), a menudo se denominan la primera de Pearson. y segundo
coeficientes de asimetría, respectivamente. La asimetría también se determina comúnmente
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Con frecuencia se hace referencia a la distribución normal como distribución gaussiana,
o distribución de De Moivre, en honor a quienes se cree que la descubrieron: Karl Friedrich
como: (3.11) S = 1/N ∑[i = 1,N] (((Xi­A)/D)^3)
Gauss (1777­1855) y, aproximadamente un siglo antes y de manera mucho más oscura,
Abraham de Moivre (1667­1754).
dónde
La Distribución Normal se considera la distribución más útil en el modelado. Esto se
S = La asimetría.
debe al hecho de que la Distribución Normal modela con precisión muchos fenómenos. En
N = El número total de puntos de datos.
términos generales, podemos medir alturas, pesos, niveles de inteligencia, etc., de una
Xi = El iésimo punto de datos.
población, y estos valores se parecerán mucho a la distribución normal.
A = El promedio aritmético de los puntos de datos.
Consideremos lo que se conoce como tablero de Galton (Figura 3­5). Se trata de un
D = La desviación estándar de la población de los puntos de datos.
tablero montado verticalmente con forma de triángulo isósceles. El tablero está tachonado de
clavijas, una en la fila superior, dos en la segunda, y así sucesivamente. Cada fila hacia abajo
tiene una clavija más que la fila anterior. Las clavijas están dispuestas en forma triangular de
modo que cuando se deja caer una bola, tiene una probabilidad de 50/50 de ir hacia la
derecha o hacia la izquierda con cada clavija que encuentre. En la base del tablero hay una
serie de canales para registrar la puerta de salida de cada bola.
­ 37 ­
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La distribución se distribuye según la Distribución Exponencial (Figura 3­
6), entonces puede ser necesario utilizar un N de 100 aproximadamente.
Exponencial
Incluso los medios de las muestras tomadas.
de la exponencial tenderá a ser
Normalmente distribuido
Normal
Figura 3­5 Tablero de Galton.
Figura 3­6 La distribución exponencial y la normal.
Las bolas que caen a través del tablero de Galton y llegan a los comederos.
comenzará a formar una Distribución Normal. Cuanto más "profundo" sea el tablero (es decir,
cuantas más filas tiene) y cuantas más bolas se dejan caer, más
El teorema del límite central, así de sorprendentemente simple y hermoso
De hecho, valida la importancia de la Distribución Normal.
El resultado final se parecerá mucho a la distribución normal.
TRABAJANDO CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Lo Normal es útil por derecho propio, pero también porque tiende a ser
Al utilizar la distribución normal, con mayor frecuencia queremos encontrar
la forma limitante de muchos otros tipos de distribuciones. Por ejemplo, si X
el porcentaje de área bajo la curva en un punto dado a lo largo de la curva.
se distribuye binomialmente, entonces como N tiende hacia el infinito, X tiende a ser
Normalmente distribuido. Además, la distribución normal es también la forma limitante de
En el lenguaje del cálculo, esto se llamaría integral de la función de la curva misma. De la
otras distribuciones de probabilidad útiles, como
misma manera, podríamos llamar a la función para el
la distribución de Poisson, la de Student o la T. En otras palabras, como el
la curva misma es la derivada de la función para el área bajo la curva.
Los datos (N) utilizados en estas otras distribuciones aumentan, estas distribuciones
Las derivadas a menudo se indican con un número primo después de la variable de la
se parecen cada vez más a la Distribución Normal.
función. Por lo tanto, si tenemos una función, N(X), que representa el porcentaje de área
EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
derivada de esta función, N'(X) (llamada N prima de X), es la función
bajo la curva en un punto dado, X, podemos decir que
para la curva misma en el punto X.
Una de las aplicaciones más importantes para fines estadísticos de la Distribución
Comenzaremos con la fórmula de la curva misma, N'(X). Este
Normal tiene que ver con la distribución de promedios. Los promedios de muestras de un
la función se representa como:
tamaño dado, tomadas de manera que cada elemento muestreado se seleccione
(3.14) N'(X) = 1/(S*(2*3.1415926536)^(1/2))*EXP(­((XU)^2)/(2*S^2))
independientemente de los demás, producirán una distribución
eso está cerca de lo normal. Este es un hecho extremadamente poderoso, porque significa
que se puede generalizar sobre un proceso aleatorio real a partir de promedios
dónde
calculado utilizando datos de muestra.
U = La media de los datos.
Por tanto, podemos afirmar que si se extraen N muestras aleatorias de un
S = La desviación estándar de los datos.
población, entonces las sumas (o promedios) de las muestras estarán aproximadamente
X = El punto de datos observado.
distribuidas normalmente, independientemente de la distribución de la población de la que
EXP() = La función exponencial.
se extraen las muestras. La cercanía a la distribución normal mejora a medida que N (el
Esta fórmula nos dará el valor del eje Y, o la altura de la curva.
número de muestras) aumenta.
si lo desea, en cualquier valor dado del eje X.
Como ejemplo, considere la distribución de números del 1 al 100.
A menudo es más fácil referirse a un punto a lo largo de la curva con referencia a
Esto es lo que se conoce como distribución uniforme: todos los elementos (números
en este caso) ocurren sólo una vez. El número 82 aparece una vez y sólo una vez,
su coordenada X en términos de cuántas desviaciones estándar está lejos
al igual que 19, y así sucesivamente. Supongamos ahora que tomamos una muestra de
de la media. Por lo tanto, un punto de datos que estaba a una desviación estándar de distancia
cinco elementos y tomamos el promedio de estos cinco elementos muestreados (podemos
es mejor tomar sus sumas). Ahora, reemplazamos esos cinco elementos nuevamente.
de la media se diría que es una unidad estándar de la media.
Además, suele ser más fácil restar la media de todos los datos.
en la población, tomamos otra muestra y calculamos la media muestral. Si seguimos
puntos, lo que tiene el efecto de desplazar la distribución de modo que quede centrada
repitiendo este proceso, veremos que las medias muestrales están distribuidas normalmente,
sobre cero en lugar de sobre la media. Por lo tanto, un dato que
aunque la población de
había una desviación estándar a la derecha de la media ahora tendría una
que se dibujan se distribuye uniformemente.
valor de 1 en el eje X.
Además, ¡esto es cierto independientemente de cómo esté distribuida la población! El
teorema del límite central nos permite tratar la distribución.
puntos de datos, luego dividiendo la diferencia por la desviación estándar de la
Cuando hacemos estas conversiones, restando la media de la
de las medias muestrales como Normales sin tener que conocer la distribución de la
puntos de datos, estamos convirtiendo la distribución a lo que se llama normal estandarizada,
población. Este es un hecho enormemente conveniente para muchos
que es la distribución normal con media = 0 y
áreas de estudio.
varianza = 1. Ahora, N'(Z) nos dará el valor del eje Y (la altura del
curva) para cualquier valor de Z:
Si la población en sí está distribuida normalmente, entonces la
La distribución de las medias muestrales será exactamente (no aproximadamente) normal.
(3.15a) N'(Z) = l/((2*3.1415926536)^(1/2))*EXP(­(Z^2/2)) =
Esto es cierto porque la rapidez con la que se distribuye la muestra
.398942*EXP(­(Z^2/2))
La media se acerca a la Normal, a medida que N aumenta, es una función de qué tan cerca
la población es normal. Como regla general, si una población
dónde
(3.16) Z = (XU)/S
tiene una distribución unimodal : cualquier tipo de distribución donde hay una
y U = La media de los datos.
concentración de frecuencia alrededor de un solo modo, y frecuencias decrecientes en
ambos lados del modo (es decir, es convexo), o es uniformemente
S = La desviación estándar de los datos.
distribuido, usar un valor de 20 para N se considera suficiente, y un valor de 10 para N se
X = El punto de datos observado.
considera probablemente suficiente. Sin embargo, si la población
EXP() = La función exponencial.
­ 38 ­
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La ecuación (3.16) nos da el número de unidades estándar a las que corresponde
X = El punto de datos observado.
el punto de datos; en otras palabras, a cuántas desviaciones estándar de la media se
EXP() = La función exponencial.
encuentra el punto de datos. Cuando la ecuación (3.16) es igual a 1, se denomina
desviación normal estándar. Una desviación estándar o una desviación estándar.
A los no estadísticos a menudo les resulta difícil imaginar el concepto de
La unidad estándar a veces se denomina sigma. Por lo tanto, cuando alguien habla de
que un evento es un "evento cinco sigma", se refiere a un evento cuya probabilidad de
ocurrencia es la probabilidad de estar más allá de cinco desviaciones estándar.
desviación estándar (o su varianza cuadrática) . Una solución para esto es utilizar lo
que se conoce como desviación absoluta media y convertirla hacia y desde la
desviación estándar en estas ecuaciones. La desviación media absoluta es exactamente
lo que su nombre implica. La media de los datos se resta de cada punto de datos.
Luego se suman los valores absolutos de cada una de estas diferencias y esta suma
0,5
se divide por el número de puntos de datos.
N'(Z)
Lo que obtienes es la distancia promedio que cada punto de datos está lejos de la
media. La conversión para desviación media absoluta y estándar
La desviación estándar se da
0,4
ahora: (3.17) Desviación absoluta media = S*((2/3.1415926536)^(1/2)) =
S*.7978845609
0.3
dónde
M = La desviación absoluta media.
0,2
S = La desviación estándar.
Así podemos decir que en la Distribución Normal, la media absoluta
0.1
La desviación es igual a la desviación estándar multiplicada por 0,7979.
Asimismo: (3.18) S = M*1/.7978845609 = M*1.253314137
0­3
­2
­1
0
<­­ Z ­­>
1
2
dónde
3
S = La desviación estándar.
Figura 3­7 La función de densidad de probabilidad normal.
M = La desviación absoluta media.
Considere la Figura 3­7, que muestra esta ecuación para la curva Normal.
Entonces también podemos decir que en la Distribución Normal la desviación
Observe que la altura de la curva Normal estándar es .39894.
estándar es igual a la desviación absoluta media multiplicada por 1,2533. Dado que
De la ecuación (3.15a), la altura es: (3.15a)
la varianza es siempre la desviación estándar al cuadrado (y la desviación estándar es
N'(Z) = .398942*EXP(­(Z^2/2))
siempre la raíz cuadrada de la varianza), podemos realizar la conversión entre la
varianza y la desviación absoluta media.
N'(0) = .398942*EXP(­(0^2/2))
(3.19) M = V^(1/2)*((2/3.1415926536)^(1/2)) = V^(l/2)*.7978845609
N'(0) = 0,398942
dónde
Observe que la curva es continua, es decir, no hay "interrupciones" en la curva
M = La desviación absoluta media.
mientras va desde menos infinito a la izquierda hasta infinito positivo a la derecha.
Observe también que la curva es simétrica, el lado a la derecha del pico es la imagen
especular del lado a la izquierda del pico.
V = La varianza.
(3.20) V = (M*1.253314137)^2 donde
Supongamos que tenemos un grupo de datos donde la media de los datos es 11
y la desviación estándar del grupo de datos es 20. Para ver dónde se ubicaría un punto
de datos en ese conjunto en la curva, primero podríamos calcularlo. como unidad
estándar. Supongamos que el punto de datos en cuestión tuviera un valor de ­9. Para
V = La varianza.
M = La desviación absoluta media.
Dado que la desviación estándar en la curva normal estándar es igual a 1,
podemos afirmar que la desviación absoluta media en la curva normal estándar es
calcular cuántas unidades estándar son, primero debemos restar la media de este
punto de datos: ­9 ­11 = ­20
igual a 0,7979.
Además, en una curva en forma de campana como la Normal, el rango
A continuación debemos dividir el resultado por la desviación estándar:
semiintercuartil equivale aproximadamente a dos tercios de la desviación estándar y,
­20/20 = ­1
por lo tanto, la desviación estándar equivale aproximadamente a 1,5 veces el rango
Por lo tanto, podemos decir que el número de unidades estándar es ­1, cuando el
punto de datos es igual a ­9, la media es 11 y la desviación estándar es 20. En otras
palabras, estamos a una desviación estándar del pico de la curva, la media, y como
semiintercuartil. Esto es cierto para la mayoría de las distribuciones en forma de
campana, no sólo para la Normal, como lo son las conversiones dadas para la
desviación media absoluta y la desviación estándar.
este valor es negativo sabemos que significa que estamos una desviación estándar a
la izquierda del pico. Para ver dónde nos ubica esto en la curva misma (es decir, qué
tan alta está la curva a una desviación estándar a la izquierda del centro, o cuál es el
valor del eje Y de la curva para un valor correspondiente del eje X de ­1) , necesitamos
ahora introduzca esto en la ecuación (3.15a): (3.15a) N'(Z) = .398942*EXP(­(Z^2/2)) =
PROBABILIDADES NORMALES
Ahora sabemos cómo convertir nuestros datos sin procesar a unidades estándar
y cómo formar la propia curva N'(Z) (es decir, cómo encontrar la altura de la curva o la
coordenada Y para una unidad estándar determinada), así como N'. (X) (Ecuación
(3.14), la curva misma sin convertir primero a unidades estándar).
.398942*2.7182818285^(­(­1^2/2) ) =
Sin embargo, para utilizar realmente la distribución de probabilidad normal, queremos
.398942*2.7182818285^(­1/2) =
saber cuáles son las probabilidades de que ocurra un determinado resultado. Esto no
.398942*.6065307
está dado por la altura de la curva. Más bien, las probabilidades corresponden al área
= .2419705705
estudiado hasta ahora. Ahora nos ocuparemos de N(Z), la integral. a N'(Z), para
bajo la curva. Estas áreas están dadas por la integral de esta función N'(Z) que hemos
encontrar las áreas bajo la curva (las probabilidades).1 (3.21) N(Z) = 1
Por tanto podemos decir que la altura de la curva en X = ­1 es
­N'(Z)*((1.330274429*Y ^ 5)­
.2419705705. La función N'(Z) también se suele expresar como: (3.15b)
(1.821255978*Y^ 4)+(1.781477937*Y^3)­
N'(Z) = EXP(­(Z^2/2))/((8*ATN(1))^(1/2)
(.356563782*Y^2)+(.31938153*Y))
= EXP(­(Z^2/2))/((8*.7853983)^(1/2)
= EXP(­(Z^2/2))/2,506629 donde
Si Z<0 entonces N(Z) = 1­N(Z)
(3.15a) N'(Z) = .398942*EXP(­(Z^2/2)) donde
(3.16) Z = (XU)/S
y
Y = 1/(1+2316419*ABS(Z))
ATN() = La función arcotangente.
U = La media de los datos.
1
La integral real de la densidad de probabilidad normal no existe en forma cerrada,
pero puede aproximarse muy estrechamente mediante la ecuación (3.21).
S = La desviación estándar de los datos.
­ 39 ­
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y
Por lo tanto, diríamos que hay alrededor de un 2,275% de posibilidades de que un
evento en un proceso aleatorio normalmente distribuido sería igual o superior
ABS() = La función de valor absoluto.
+2 unidades estándar. Esto se muestra en la Figura 3­9.
EXP() = La función exponencial.
Siempre convertiremos nuestros datos a unidades estándar cuando encontremos
1
0,9
probabilidades bajo la curva. Es decir, no describiremos un N(X)
función, sino que usaremos la función N(Z) donde:
N(Z) y N'(Z)
0,8
(3.16) Z = (XU)/S
0,7
0,6
y U = La media de los datos.
S = La desviación estándar de los datos.
0,5
X = El punto de datos observado.
NUEVA ZELANDA)
N(Z) sin el 1­
0,4
0.3
Consulte ahora la ecuación (3.21). Supongamos que queremos saber cuál es el
La probabilidad es de un evento que no excede +2 unidades estándar (Z = +2).
y ­Z disposición
0,2
Y = 1/(1+2316419*ABS(+2)) =
NUEVA ZELANDA)
0.1
1/1,4632838
0
­3
= .68339443311
­2
­1
(3.15a) N'(Z) = .398942*EXP(­(+2^2/2))
= .398942*EXP(­2) =
1
0
z
2
3
Figura 3­9 Eliminación de la disposición 1 y Z en la ecuación (3.21).
.398942*.1353353
Hasta ahora hemos analizado las áreas bajo la curva (probabilidades)
= .05399093525
donde sólo estamos tratando con lo que se conoce como probabilidades "de una cola".
Es decir, hasta ahora hemos buscado resolver cuestiones como,
Observe que esto nos indica la altura de la curva en +2 unidades estándar.
Al sustituir estos valores para Y y N'(Z) en la ecuación (3.21), podemos obtener la
"¿Cuáles son las probabilidades de que un evento sea menor (más) que tal o cual unidad
probabilidad de que un evento no exceda +2 unidades estándar:
estándar de la media?" Supongamos ahora que planteáramos la
pregunta como: "¿Cuáles son las probabilidades de que un evento ocurra dentro de un plazo tan
N(Z) = 1­N'(Z)*((1.330274429*Y^5)­
¿Cuántas unidades estándar de la media?" En otras palabras, deseamos averiguar
(1,821255978*Y^4)+(1,781477937*Y^3)­
cuáles son las probabilidades "e­tailed".
(.356563782*Y^2)+(.31938153*Y))
= 1­.05399093525*((1.330274429*.68339443311^5)­
0,5
1­((1­N(Z))*2)
N'(Z)
(1.821255978*.68339443311^4+1.781477937*.68339443311^3)­
(.356563782*.68339443311^2)+(.31938153*.68339443311))
0,4
= 1­.05399093525*((1.330274429*.1490587)­
(1.821255978*.2181151+(1.781477937*.3191643)­
0.3
(­356563782*.467028+.31938153*.68339443311))
= 1­.05399093525*(.198288977­.3972434298+.5685841587­
0,2
.16652527+.2182635596)
= 1­.05399093525*.4213679955
0.1
= 1­.02275005216
= .9772499478
0
­3
Así podemos decir que podemos esperar el 97,72% de los resultados en un
Proceso aleatorio normalmente distribuido para no llegar a +2 unidades estándar.
­1
0
<­­ Z ­­>
1
2
3
Figura 3­10 Una probabilidad de dos colas de que un evento sea +o­2 sigma.
Esto se muestra en la Figura 3­8.
1
0,9
­2
Considere la Figura 3­10. Esto representa las probabilidades de ser
N(Z) y N'(Z)
dentro de 2 unidades estándar de la media. A diferencia de la Figura 3­8, esta probabilidad
El cálculo no incluye el área de la cola extrema izquierda, el área de menos
de ­2 unidades estándar. Para calcular la probabilidad de estar dentro de Z
0,8
unidades estándar de la media, primero debe calcular la probabilidad de cola I del valor
0,7
0,6
absoluto de Z con la ecuación (3.21). Esta será su entrada para la siguiente ecuación
(3.22), que nos da las probabilidades de dos colas.
0,5
(es decir, las probabilidades de estar dentro de las unidades estándar ABS(Z) del
NUEVA ZELANDA)
significar):
0,4
0.3
(3.22) probabilidad de cola e = 1­((1­N(ABS(Z)))*2)
0,2
Si estamos considerando cuáles son nuestras probabilidades de ocurrencia dentro de 2
NUEVA ZELANDA)
las desviaciones estándar son (Z = 2), entonces de la ecuación (3.21) sabemos que
0.1
0
­3
N(2) = .9772499478, y usando esto como entrada para la ecuación (3.22):
­2
­1
0
z
1
2
3
Probabilidad de dos colas = 1­((1­.9772499478)*2) = 1­(.02275005216* 2) =
1­.04550010432 = .9544998957
Por tanto, podemos afirmar a partir de esta ecuación que la probabilidad de un evento
Figura 3­8 Ecuación (3.21) que muestra la probabilidad con Z = +2.
en un proceso aleatorio normalmente distribuido que cae dentro de 2 unidades estándar
de la media es aproximadamente 95,45%.
Si quisiéramos saber cuáles son las probabilidades de un evento
igualar o exceder un número prescrito de unidades estándar (en este
caso +2), simplemente modificaríamos la ecuación (3.21), eliminando el 1­ en
el comienzo de la ecuación y eliminando la disposición ­Z (es decir,
eliminando "Si Z < 0 entonces N(Z) = 1­N(Z)"). Por tanto, la segunda
a la última línea en el último cálculo se cambiaría de
= 1­.02275005216
simplemente
.02275005216
­ 40 ­
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0,5
= ­212,506628274*EXP(­2)
(1­N(Z))*2
N'(Z)
= ­2/2.506628274*.1353353
= ­.1079968336
0,4
Por lo tanto, podemos afirmar que la tasa de cambio instantánea en la
Función N'(Z) cuando Z = +2 es ­.1079968336. Esto representa ascenso/ejecución,
0.3
entonces podemos decir que cuando Z = +2, la curva N'(Z) aumenta ­.1079968336
para siempre) 1 unidad ejecutada en Z. Esto se muestra en la Figura 3­13.
0,2
0,5
NUEVA ZELANDA)
0.1
0,4
0
­3
­2
­1
0
<­­ Z ­­>
1
2
3
0.3
Figura 3­11 Probabilidad de dos colas de que un evento supere 2 sigma.
Al igual que con la ecuación (3.21), podemos eliminar el 1­in principal
0,2
Ecuación (3.22) para obtener (1­N(ABS(Z)))*2, que representa las probabilidades de que
un evento quede fuera de las unidades estándar ABS(Z) de la media.
0.1
Esto se muestra en la Figura 3­11. Para el ejemplo donde Z = 2, podemos
afirman que las probabilidades de un evento en una distribución aleatoria normalmente
0
­3
El proceso que queda fuera de 2 unidades estándar es:
Probabilidad de 2 colas (exterior) = (1­.9772499478)*2 = .02275005216*2 =
.04550010432
Finalmente, llegamos al caso en el que queremos encontrar cuál es la probabilidad.
La tangente al punto Z=2
­2
­1
1
0
<­­ Z ­­>
2
3
Figura 3­13 N"(Z) que muestra la pendiente de la línea tangente a N'(Z)
en Z = +2.
Las capacidades (áreas bajo la curva N'(Z)) son para dos valores diferentes de Z.
Para referencia del lector, a continuación se proporcionan más derivados.
0,5
Estos no serán necesarios a lo largo del resto de este texto, pero son
NUEVA ZELANDA)
proporcionado en aras de la integridad:
(3.24) N'"(Z) = (Z^2­1)/2.506628274*EXP(­(Z^2)/2)
0,4
(3.25) N""(Z) = ((3*Z)­Z^3)/2.506628274*EXP(­(Z^2)/2)
0.3
(3.26) N'""(Z) = (Z^4­(6*Z^2)+3)/2.506628274*EXP(­(Z^2)/2)
0,2
consciente de que la distribución no es tan “pico” como el gráfico
0.1
La distribución se muestra en la Figura 3­14.
Como nota final con respecto a la Distribución Normal, usted debe ser
los ejemplos presentados en este capítulo implican. La forma real de lo Normal
4
0
­3
­2
­1
0
<­­ Z ­­>
1
2
3
Figura 3­12 El área entre ­1 y +2 unidades estándar.
3
Supongamos que queremos encontrar el área bajo la curva N'(Z) entre ­1
unidad estándar y +2 unidades estándar. Hay un par de formas de lograrlo. Para empezar,
podemos calcular la probabilidad de no exceder +2 unidades estándar con la ecuación
2
(3.21), y a partir de esto podemos
restar la probabilidad de no exceder ­1 unidades estándar (ver Figura 3­
12). Esto nos daría:
.9772499478­.1586552595 = .8185946883
1
Otra forma en que podríamos haber realizado esto es tomando el número 1,
representando toda el área bajo la curva, y luego restar la suma de
la probabilidad de no exceder ­1 unidad estándar y la probabilidad de
0
superior a 2 unidades estándar:
­3
= 1­(.022750052+.1586552595) = 1 .1814053117 = .8185946883
Con las herramientas matemáticas básicas relacionadas con la Distribución Normal
cubiertas hasta ahora en este capítulo, ahora puedes usar tus poderes de
­2
­1
0
1
2
3
Figura 3­14 La forma real de la Distribución Normal.
Observe que aquí las escalas de los dos ejes son las mismas, mientras que en
razonamiento para calcular las probabilidades de ocurrencia de variables aleatorias
normalmente distribuidas.
los otros ejemplos gráficos se diferencian para exagerar la forma de
la distribución.
OTRAS DERIVADAS DE LA NORMAL
LA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL
A veces es posible que desees conocer la segunda derivada de N(Z)
Muchas de las aplicaciones comerciales del mundo real requieren una pequeña pero
modificación crucial a la Distribución Normal. Esta modificación lleva
función. Dado que la función N(Z) nos da el área bajo la curva en Z,
y la función N'(Z) nos da la altura de la curva misma en Z, entonces
la Normal y la cambia a lo que se conoce como Distribución Lognormal.
la función N"(Z) nos da la pendiente instantánea de la curva en un
dado Z:
Considere que el precio de cualquier artículo de libre comercio tiene cero como precio más bajo.
(3.23) N"(Z) = ­Z/2.506628274*EXP(­(Z^2/2)
límite.2 Por lo tanto, cuando el precio de un artículo cae y se acerca a cero,
dónde
En teoría, debería volverse progresivamente más difícil para el artículo obtener
más bajo. Por ejemplo, considere el precio de una acción hipotética a $10 por
EXP() = La función exponencial.
compartir. Si la acción cayera $5, a $5 por acción, una pérdida del 50%, entonces, de
Para determinar cuál es la pendiente de la curva N'(Z) en el estándar +2
acuerdo con la Distribución Normal, podría caer con la misma facilidad de $5 a $5 por acción.
unidades:
$0. Sin embargo, bajo el Lognormal, una caída similar del 50% desde un precio
N"(Z) = ­2/2,506628274*EXP(­(+2^2)/2)
­ 41 ­
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EL ÓPTIMO PARAMÉTRICO F
de 5 dólares por acción a 2,50 dólares por acción sería tan probable como una caída de 10
dólares a 5 dólares por acción.
Ahora que hemos estudiado las matemáticas de las distribuciones Normal y Log­normal,
La Distribución Lognormal, Figura 3­15, funciona exactamente igual que la Distribución
veremos cómo determinar una f óptima en función de resultados que tienen una distribución
Normal excepto que con la Lognormal estamos tratando con cambios porcentuales en lugar de
Normal.
cambios absolutos.
La fórmula de Kelly es un ejemplo de f óptima paramétrica en el sentido de que la f óptima
devuelta es una función de dos parámetros. En la fórmula de Kelly, los parámetros de entrada
son el porcentaje de apuestas ganadoras y la tasa de pago. Sin embargo, la fórmula de Kelly
sólo proporciona la f óptima cuando los posibles resultados tienen una distribución de Bernoulli.
En otras palabras, la fórmula de Kelly solo dará la f óptima correcta cuando solo haya dos
Lognormal
resultados posibles. Cuando los resultados no tienen una distribución de Bernoulli, como los
resultados normalmente distribuidos (que estamos a punto de estudiar), la fórmula de Kelly no le
dará la f óptima correcta.4 Cuando son aplicables, las técnicas paramétricas son mucho más
Normal
poderosas. que sus homólogos empíricos. Supongamos que tenemos una situación que puede
describirse
completamente mediante la distribución de Bernoulli. Podemos derivar aquí nuestro f
óptimo mediante la fórmula de Kelly o la técnica empírica detallada en Fórmulas de gestión de
carteras. Supongamos que en este caso ganamos el 60% de las veces. Digamos que estamos
lanzando una moneda sesgada y sabemos que a la larga el 60% de los lanzamientos serán
cara. Por lo tanto, vamos a apostar a que cada lanzamiento saldrá cara y el pago es 1:1. La
fórmula de Kelly nos diría que apostemos una fracción de 0,2 de nuestra apuesta en la siguiente
Figura 3­15 Distribuciones normal y lognormal.
apuesta. Supongamos además que de los últimos 20 lanzamientos, 11 fueron cara y 9 cruces. Si
Consideremos ahora las ventajas. Según Lognormal, un movimiento de 10 dólares por
acción a 20 dólares por acción es tan probable como un movimiento de 5 dólares a 10 dólares
por acción, ya que ambos movimientos representan una ganancia del 100%.
utilizáramos estas últimas 20 operaciones como entrada para las técnicas empíricas, el resultado
sería que deberíamos arriesgar 0,1 de nuestra apuesta en la siguiente apuesta.
Eso no quiere decir que no usaremos la Distribución Normal. El propósito aquí es presentarle
el Lognormal, mostrarle su relación con el Normal (el Lognormal usa cambios de precio
porcentuales en lugar de cambios de precio absolutos) y señalar que generalmente se usa
cuando se habla de movimientos de precios, o en cualquier momento. que se aplicaría la Normal
pero estaría limitada en el extremo inferior a cero.2 Para usar la distribución Lognormal,
¿Cuál es correcto, el 0,2 devuelto por la técnica paramétrica (la fórmula de Kelly en este
caso distribuido de Bernoulli) o el 0,1 devuelto empíricamente por los últimos 20 lanzamientos?
simplemente convierta los datos con los que está
La respuesta correcta es .2, la respuesta surgió de la técnica paramétrica. La razón es que el
trabajando a logaritmos naturales.3 Ahora los datos convertidos se distribuirán Normalmente
si los datos sin procesar tenía una distribución lognormal.
siguiente lanzamiento tiene un 60% de probabilidad de salir cara, no un 55% de probabilidad
como indicarían los últimos 20 lanzamientos. Aunque sólo estamos hablando de una diferencia
de probabilidad del 5%, 1 lanzamiento entre 20, el efecto sobre cuánto debemos apostar es
Por ejemplo, si estamos discutiendo la distribución de los cambios de precios
dramático. Generalmente, las técnicas paramétricas son inherentemente más precisas en este
sentido que sus contrapartes empíricas (siempre que conozcamos la distribución de los
como
Al ser Lognormal, podemos usar la distribución Normal en él. Primero, debemos dividir cada
resultados). Ésta es la primera ventaja de lo paramétrico frente a lo empírico. Esta es también
precio de cierre por el precio de cierre anterior. Supongamos que en este caso estamos viendo
una condición crítica: debemos saber cuál es la distribución de los resultados en el largo plazo
la distribución de los precios de cierre mensuales (podríamos usar cualquier período de tiempo:
para poder utilizar las técnicas paramétricas. Este es el mayor inconveniente del uso de técnicas
horario, diario, anual o lo que sea). Supongamos que ahora vemos $10, $5, $10, $10 y luego
paramétricas.
$20 por acción como precios de cierre de nuestros primeros cinco meses. Esto equivaldría
entonces a una pérdida del 50% en el segundo mes, una ganancia del 100% en el tercer mes,
una ganancia del 0% en el cuarto mes y otra ganancia del 100% en el quinto mes. Entonces,
La segunda ventaja es que la técnica empírica requiere una historia pasada de resultados,
respectivamente, tenemos cocientes de 0,5, 2, 1 y 2 para los cambios de precios mensuales de
mientras que la paramétrica no. Además, esta historia pasada debe ser bastante extensa. En el
los meses 2 a 5. Estos son los mismos que los HPR de un mes al siguiente en sucesión. Ahora
ejemplo que acabamos de citar, podemos suponer que si tuviéramos un historial de 50
debemos convertir a logaritmos naturales para poder estudiar su distribución según las
matemáticas de la Distribución Normal. Por lo tanto, el logaritmo natural de 0,5 es ­0,6931473,
lanzamientos habríamos llegado a un óptimo empírico f más cercano a 0,2. Con un historial de
1.000 lanzamientos, estaría aún más cerca según la ley de los promedios.
de 2 es 0,6931471 y de 1 es 0. Ahora podemos aplicar las matemáticas relativas a la distribución
normal a estos datos convertidos.
El hecho de que las técnicas empíricas requieran un flujo bastante largo de datos pasados
casi las ha restringido a sistemas de negociación mecánicos. Alguien que opere con algo que
no sea un sistema de negociación mecánico, ya sea mediante Elliott Wave o fundamentos, casi
se ha visto excluido del uso de la técnica f óptima. Con las técnicas paramétricas esto ya no es
cierto. Alguien que desee seguir ciegamente a algún gurú del mercado, por ejemplo, ahora tiene
una manera de emplear el poder de la f óptima. Ahí radica la tercera ventaja de la técnica
paramétrica sobre la empírica: puede ser utilizada por cualquier operador en cualquier mercado.
2
Esta idea de que el precio más bajo al que se puede comercializar un artículo es cero no siempre es del todo cierta.
Por ejemplo. Durante la caída del mercado de valores de 1929 y el consiguiente mercado bajista, los accionistas de
muchos bancos en quiebra fueron considerados responsables ante los depositantes de esos bancos. Las personas
Sin embargo, aquí hay una gran suposición para alguien que no emplea un sistema de
comercio mecánico. El supuesto es que la distribución futura de ganancias y pérdidas se
parecerá a la distribución del pasado (que es lo que calculamos como f óptima). Esto puede ser
menos probable que con un sistema mecánico.
que poseían acciones en dichos bancos no sólo perdieron toda su inversión, sino que también asumieron
responsabilidades superiores al monto de su inversión. El punto aquí no es decir que tal evento pueda o no volver a
ocurrir. Más bien, no siempre podemos decir que cero es el extremo inferior absoluto al que se puede fijar el precio
de un artículo que se comercializa libremente, aunque normalmente lo es.
3
Esto también arroja nueva luz sobre el rendimiento esperado de cualquier técnica que no
sea puramente mecánica. Incluso los mejores practicantes de tales técnicas, ya sea por los
Aquí se reitera la distinción entre logaritmos comunes y naturales. Un logaritmo común es un logaritmo en base 10,
mientras que un logaritmo natural es un logaritmo en base e, donde e = 2,7182818285. El logaritmo común de X se
fundamentos, Gann, Elliott Wave, etc., están condenados al fracaso si están demasiado lejos del
pico (a la derecha de) la curva f. Si están demasiado a la izquierda del pico, terminarán con
ganancias geométricamente inferiores a su experiencia en su área.
denomina matemáticamente log(X), mientras que el logaritmo natural se denomina ln(X). La distinción se vuelve
borrosa cuando observamos el código de programación BÁSICO, que a menudo utiliza una función LOG(X) para
devolver el registro natural. Esto es diametralmente opuesto a la convención matemática.
4
BASIC no tiene una disposición para registros comunes, pero el registro natural se puede convertir en registro común
Aquí estamos hablando de las fórmulas de Kelly en un sentido singular, aunque, de hecho, hay dos fórmulas de
Kelly diferentes, una para cuando la relación de pago es 1:1 y la otra para cuando el pago es cualquier relación. En
multiplicando el registro natural por .4342917. Del mismo modo, CM convierte registros comunes en registros
los ejemplos de Kelly en esta discusión asumimos un pago de 1:1, por lo tanto, no importa cuál de las dos fórmulas
naturales multiplicando el registro común por 2,3026.
de Kelly estemos usando.
­ 42 ­
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debería haber hecho para ellos. Además, los practicantes de técnicas
N° comercial P&L N° comercial P&L N° comercial P&L N° comercial P&L
que no son puramente mecánicos debemos darnos cuenta de que todo lo dicho sobre
173, 0,17 190, ­1,88 224, 0,37
­0,65 207.
f óptima y se aplican las técnicas puramente mecánicas. Esto debería ser
174, 0,62 191, 0,35 225, ­0,51
­0,78 208.
considerados al contemplar las reducciones esperadas de dichas técnicas. Recuerde que las
175. 0,77 192. ­1,28 209. 0,92 226. 176. 0,37 193. 0,32 210.
0,34
reducciones serán sustanciales, y este hecho
1,55 227. 177. ­1,33 194. 1,24 211. 1,17 228. 178. ­1,18 195,
­1,28
No significa que la técnica deba abandonarse.
La cuarta y quizás la mayor ventaja del método paramétrico sobre
2 0,05 212 0,67 229 179 0,97 196. 0,75 213. 0,82 230. 180.
1,80
0,70 197. 0,17 214. ­0,98 231. 181. 1,64 198. 0,67 215. ­0,85
2.12
232. 182. 0,57 199. ­0,56 216. 0 .22
0,77
El método empírico para determinar f óptima es que el parámetro paramétrico
­1,33
El método le permite realizar tipos de modelado del tipo "¿Qué pasaría si?". Por ejemplo,
1,52
supongamos que está operando en un sistema de mercado que ha estado funcionando muy caliente.
Quiere estar preparado para cuando ese sistema de mercado deje de funcionar.
Si quisiéramos determinar un óptimo paramétrico ecualizado f,
tan bien, como usted sabe, inevitablemente lo hará. Con las técnicas paramétricas,
ahora convertiría estas ganancias y pérdidas comerciales en ganancias porcentuales y
usted puede variar sus parámetros de entrada para reflejar esto y así ubicarse en cuál será la f
pérdidas [basadas en las ecuaciones (2.10a) a (2.10c)]. A continuación, haríamos
óptima cuando el sistema de mercado se enfríe a
convertir estos porcentajes de ganancias y pérdidas multiplicándolos por el
el estado que reflejan los parámetros que ingresa. Por tanto, las técnicas paramétricas son
precio actual del instrumento subyacente. Por ejemplo, P&L #1 es 0,18.
mucho más poderosas que las empíricas.
Supongamos que el precio de entrada a esta operación fuera 100,50. Por lo tanto, la ganancia
porcentual en esta operación sería 0,18/100,50 = 0,001791044776. Ahora supongamos que el
Entonces, ¿por qué utilizar técnicas empíricas? Las técnicas empíricas son más
intuitivamente obvias que las paramétricas. Por eso,
precio actual de este instrumento subyacente es 112,00. Multiplicar 0,001791044776 por 112,00
Las técnicas empíricas son lo que uno debe aprender primero antes de pasar.
se traduce en unas pérdidas y ganancias igualadas de
Pasamos a lo paramétrico. Ahora hemos cubierto las técnicas empíricas en
.2005970149, Si buscáramos hacer este procedimiento en un nivel ecualizado
detalle y por tanto están preparados para estudiar las técnicas paramétricas.
base, realizaríamos esta operación en las 232 ganancias y pérdidas comerciales.
es.
Si vamos a realizar o no nuestros cálculos en un
LA DISTRIBUCIÓN DE LAS P&L'S COMERCIALES
base igualada (en este capítulo no operaremos sobre una base igualada), ahora debemos
Considere la siguiente secuencia de 232 ganancias y pérdidas comerciales en
calcular la media (aritmética) y la desviación estándar poblacional de estas 232 ganancias y
puntos. No importa cuál sea el producto o qué sistema generó este flujo; podría ser cualquier
pérdidas comerciales individuales como
sistema en cualquier mercado.
.330129 y 1.743232 respectivamente (nuevamente, si estuviéramos haciendo cosas en
N° comercial P&L N° comercial P&L N° comercial P&L N° comercial P&L
sobre una base igualada, necesitaríamos determinar la media y el estándar
1.
0,18 42.
­1,58 83.
­4,13 124.
­2,63
2.
­1,11 43.
­0,5 84.
­1,63 125.
­0,73
3.
0,42 44.
0,17 85.
­1,23 126.
­1,83
4.
­0,83 45.
0,17 86.
1,62 127.
0,32
5.
1,42 46.
­0,65 87.
0,27 128.
1,62
6.
0,42 47.
0,96 88.
1,97 130.
1.02
dónde
1.
­0,99 48.
­0,88 89.
­1,72 131.
­0,81
­0,74
U = La media de los datos.
8.
0,87 49.
0,17 90.
1,47 132.
9.
0,92 50.
­1,53 91.
­1,88 133.
1.09
10.
­0,4 51.
0,15 92.
1,72 134.
­1.13
11.
­1,48 52.
­0,93 93.
1,02 135.
0,52
12.
1,87 53.
0,42 94.
0,67 136.
0,18
13.
1,37 54.
2,77 95.
0,67 137.
0,18
14.
­1,48 55.
8,52 96.
­1,18 138.
1.47
15.
­0,21 56.
2,47 97.
3,22 139.
­1.07
16.
1,82 57.
­2,08 98.
­4,83 140.
­0,98
17.
0,15 58.
­1,88 99.
8,42 141.
1.07
18.
0,32 59.
­1,88 100.
­1,58 142.
­0,88
desviación en las pérdidas y ganancias comerciales igualadas). Con estos dos números tenemos
Puede utilizar la ecuación (3.16) para traducir cada ganancia y pérdida comercial individual.
en unidades estándar.
(3.16) Z = (XU)/S
S = La desviación estándar de los datos.
X = El punto de datos observado.
Por lo tanto, para traducir la operación n.° 1, una ganancia de 0,18, a unidades estándar:
Z = (.18­.330129)/1.743232 = ­.150129/1.743232 = ­.08612106708
Asimismo, las siguientes tres operaciones de ­1,11, 0,42 y ­0,83 se traducen en
­.8261258398, .05155423948 y ­.6655046488 unidades estándar respectivamente.
Si utilizamos datos ecualizados, simplemente estandarizamos restando
la media de los datos y dividiendo por la desviación estándar de los datos.
19.
­1,18 60.
1,67 101.
­1,88 143.
­0,51
20.
­0,43 61.
­1,88 102.
1,23 144.
0,57
Una vez que hayamos convertido todas nuestras ganancias y pérdidas comerciales
21.
0,42 62.
3,72 103.
1,72 145.
2.07
individuales a unidades estándar, podemos agrupar los datos ahora estandarizados. Recordar
22.
0,57 63.
2,87 104.
1,12 146.
0,55
que con el binning hay una pérdida de contenido de información sobre un particular
23.
4,72 64.
2,17 105.
­0,97 147.
0,42
distribución (en este caso la distribución de las operaciones individuales) pero la
24.
12,42 65.
1,37 106.
­1,88 148.
1.42
El carácter de la distribución permanece sin cambios.
25.
0,15 66.
1,62 107.
­1,88 149.
0,97
26.
0,15 67.
0,17 108.
1,27 150.
0,62
27.
­1,14 68.
0,62 109.
0,16 151.
0,32
28.
1,12 69.
0,92 110.
1,22 152.
0,67
29.
­1,88 70.
0,17 111.
­0,99 153.
0,77
30.
0,17 71.
1,52 112.
1,37 154.
0,67
31.
0,57 72.
­1,78 113.
0,18 155.
0,37
32. 0,18 156.
0,47 33.
73. 2,07 157. 34.
0,22
1,47
114.
158. 35. 4,87 159. 36.
Supongamos que ahora tomáramos estas 232 operaciones individuales y las
en 10 contenedores. Estamos eligiendo arbitrariamente aquí: podríamos haber elegido 9
contenedores o 50 contenedores. De hecho, uno de los grandes argumentos sobre el binning
datos es que lo más frecuente es que exista una considerable arbitrariedad en cuanto a cómo
Se deben elegir los contenedores.
Siempre que desechamos algo, debemos decidir los rangos del
0,87
contenedores. Por tanto, seleccionaremos un rango de ­2 a +2 sigmas, o desviaciones estándar.
­1,08 160.
­1,88
37. 1,27
74. 161. 38. 0,92
0,62 115.
162. 39. ­1,03 163. 40. 1,82
1.32
Esto significa que tendremos 10 contenedores igualmente espaciados entre ­2
164. 41. 0.42
0,17 165.
75.
0,32 116.
0,16
unidades estándar a +2 unidades estándar. Dado que hay 4 unidades estándar en
­1,93 76.
0,17 117.
0,18
total entre ­2 y +2 unidades estándar y estamos dividiendo este espacio
0,92 77.
0,57 118.
0,52
en 10 regiones iguales, tenemos 4/10 = ­4 unidades estándar como tamaño o
1,45 78.
0,17 119.
­2.33
0,17 79.
1,18 120.
1.07
1.32
1,87 80.
0,17 121.
0,52 81.
0,72 122.
1.42
0,67 82.
­3,33 123.
2.72
"ancho" de cada contenedor. Por lo tanto, nuestro primer contenedor, el "más alejado del
izquierda", contendrá aquellas operaciones que estaban dentro de ­2 a ­1,6 unidades estándar,
el siguiente cambia de ­1,6 a ­1,2, luego de ­1,2 a ­0,8, y así sucesivamente, hasta que nuestro
El contenedor final contiene aquellas operaciones que eran de 1,6 a 2 unidades estándar. Aquellos
operaciones que son inferiores a ­2 unidades estándar o superiores a +2 estándar
N° comercial P&L N° comercial P&L N° comercial P&L N° comercial P&L
Las unidades no se agruparán en este ejercicio y las ignoraremos. Si nosotros
166, 1,37 183, ­0,98 217, ­1,08
0,24 200.
167. ­1.93 184. 0.17 218. 0.25
0,57 201.
así lo deseamos, podríamos haberlos incluido en los contenedores extremos, colocando
168, 2,12 185, ­0,96 219, 0,14
0,35 202.
aquellos puntos de datos inferiores a ­2 en el contenedor ­2 a ­1,6, y lo mismo para aquellos
169, 0,62 186, 0,35 220, 0,79
1,57 203.
puntos de datos mayores que 2. Por supuesto, podríamos haber elegido un rango más amplio
170, 0,57 187, 0,52 221, ­0,55
­1,73 204.
rango para agrupar, pero dado que estos intercambios están más allá del rango de nuestro
171, 0,42 188, 0,77 222, 0,32
­0,83 205.
contenedores, hemos decidido no incluirlos. En otras palabras, estamos eliminando de este
172, 1,58 189, 1,10 223, ­1,30
­1,18 206.
ejercicio aquellas operaciones con P&L inferiores a .330129­.
­ 43 ­
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(1.743232*2) = ­3.156335 o mayor que .330129+(1.743232*2) =
3.816593.
parámetros como entrada, el promedio y la desviación estándar de los resultados, para devolver
el f óptimo.
Recuerde que la distribución normal es una distribución continua, en
Lo que hemos creado ahora es una distribución del comercio de este sistema.
P&L. Nuestra distribución contiene 10 puntos de datos porque elegimos
Para utilizar esta técnica necesitamos que esta distribución sea discreta.
trabajar con 10
Recuerde además que la distribución normal es ilimitada. Eso es el
La distribución va desde menos infinito a la izquierda hasta más infinito a la izquierda.
bien.
232 operaciones reales
Por lo tanto, los dos primeros pasos que debemos dar para encontrar la f óptima
sobre datos distribuidos normalmente es que debemos determinar (1) a cuántos
sigmas de la media de la distribución truncamos la distribución,
y (2) en cuántos puntos de datos igualmente espaciados dividiremos el
rango entre los dos extremos determinados en (1).
Por ejemplo, sabemos que el 99,73% de todos los puntos de datos estarán entre más y
menos 3 sigmas de la media, por lo que podríamos decidir utilizar 3 sigmas.
sigmas como nuestro parámetro para (1). En otras palabras, estamos decidiendo considerar la
Distribución normal
Distribución Normal sólo entre menos 3 sigmas y más 3
sigmas de la media. De esta manera abarcaremos el 99,73% de todos los
actividad bajo la Distribución Normal. Generalmente querremos usar un
valor de 3 a 5 sigmas para este parámetro.
Con respecto al paso (2), el número de puntos de datos igualmente espaciados,
Generalmente querrás utilizar un mínimo de diez veces el número de
Figura 3­16 232 transacciones individuales en 10 contenedores de ­2 a +2 sigma versus
la Distribución Normal.
sigmas que estamos usando en (1). Si seleccionamos 3 sigmas para (1), entonces deberíamos
seleccione al menos 30 puntos de datos igualmente espaciados para (2). Esto significa que nosotros
contenedores. Cada punto de datos representa el número de operaciones que cayeron en
vamos a tomar el eje horizontal de la Distribución Normal, de
ese contenedor. Cada operación no puede caer en más de 1 contenedor, y si la operación
que estamos usando el área desde menos 3 sigmas hasta más 3 sigmas desde
estaba más allá de 2 unidades estándar a cada lado de la media (PyG <­3,156335
la media y divídala en 30 puntos equiespaciados. Puesto que hay
o >3.816593), entonces no está representado en esta distribución. Figura 3­16
6 sigmas entre menos 3 sigmas y más 3 sigmas, y queremos dividir esto en 30 puntos
muestra esta distribución tal como la acabamos de calcular.
equidistantes, debemos dividir 6 entre 30­1, o 29.
"Espera un minuto", dices. "¿No debería la distribución de un comercio
Esto nos da .2068965517. Entonces, nuestro primer punto de datos será menos 3, y
Las pérdidas y ganancias del sistema estarán sesgadas hacia la derecha porque probablemente vamos a
sumaremos .2068965517 a cada punto anterior hasta llegar a más 3, en
¿Tienes algunas ganancias importantes?"
punto en el que habremos creado 30 puntos de datos igualmente espaciados entre
menos 3 y más 3. Por lo tanto, nuestro segundo punto de datos será ­3
Esta distribución particular de 232 pérdidas y ganancias comerciales procede de un
sistema que muy a menudo obtiene pequeños beneficios a través de un objetivo. Mucha gente tiene
+.2068965517 = ­2.793103448, tercer punto de datos
la impresión errónea de que las distribuciones de pérdidas y ganancias van a estar sesgadas
2,79310344+.2068965517 = ­2,586206896, y así sucesivamente. Al hacerlo, nosotros
a la derecha para todos los sistemas comerciales. Esto no es del todo cierto, como se muestra en la Figura 3­16.
Habrá determinado las 30 coordenadas horizontales de entrada a este sistema.
da fe. Diferentes sistemas de mercado tendrán diferentes distribuciones y
nuestro
Cuantos más puntos de datos decidas, mejor será la resolución.
No debes esperar que todos sean iguales.
de la curva Normal. Usar diez veces el número de sigmas es una aproximación
regla para determinar el número mínimo de puntos de datos que
debería usar. Recuerde que la distribución Normal es una distribución continua . Sin embargo,
También en la Figura 3­16, superpuesta a la distribución tenemos
acabamos de juntar, es la Distribución Normal como se vería para 232
negociar pérdidas y ganancias si estuvieran distribuidas normalmente. Esto se hizo para que
debemos hacerlo discreto para encontrar la f óptima en
Puede comparar gráficamente las pérdidas y ganancias comerciales tal como las acabamos de
él. Cuanto mayor sea el número de puntos de datos igualmente espaciados que utilicemos, mayor
nuestro modelo discreto estará más cerca de la distribución continua real en sí misma, con el
calcular con las normales. La distribución normal aquí se calcula mediante
primero tomando los límites de cada contenedor. Para el contenedor más a la izquierda de
límite del número de puntos de datos igualmente espaciados acercándose al infinito donde el
nuestro ejemplo, esto sería Z = ­2 y Z = ­1,6. Ahora ejecutamos estos valores Z
modelo discreto se aproxima a la distribución continua.
a través de la ecuación (3.21) para convertir estos límites en un valor acumulativo
exactamente.
probabilidad. En nuestro ejemplo, esto corresponde a .02275 para Z = ­2 y
¿Por qué no utilizar una cantidad extremadamente grande de puntos de datos? Cuanto más
.05479932 para Z = ­1,6. A continuación, tomamos el valor absoluto de la diferencia entre estos
puntos de datos que utilice en la curva Normal, más cálculos serán
dos valores, lo que nos da ABS(.02275­.05479932)
necesario para encontrar la f óptima en él. Aunque normalmente utilizará una computadora para
= .03204932 para nuestro ejemplo. Por último, multiplicamos esta respuesta por el número de
resolver la f óptima, será más lenta cuanto más
puntos de datos, que en este caso es 232 porque hay 232 en total.
puntos de datos que utiliza. Además, cada punto de datos agregado resuelve la curva.
intercambios (todavía debemos usar 232 a pesar de que algunos han sido eliminados)
en menor medida que el dato anterior. nos referiremos
porque estaban fuera del alcance de nuestros contenedores). Por lo tanto, podemos
a estos dos primeros parámetros de entrada como parámetros delimitadores.
indique que si los datos se distribuyeran normalmente y se colocaran en 10 contenedores
Ahora, el tercer y cuarto paso son determinar el comercio promedio aritmético y la desviación
de igual ancho entre ­2 y +2 sigmas, entonces el contenedor más a la izquierda sería
estándar de la población para el sistema de mercado.
contiene .03204932*232 = 7.43544224 elementos. Si tuviéramos que calcular
estamos trabajando en. Si no tienes un sistema mecánico, puedes conseguir
esto para cada uno de los 10 contenedores, calcularíamos la curva Normal superpuesta en la
estos números de sus estados de cuenta de corretaje o puede estimar
Figura 3­16.
a ellos. Ese es uno de los verdaderos beneficios de esta técnica: que no
Es necesario tener un sistema mecánico, ni siquiera se necesitan estados de cuenta de corretaje
ENCONTRAR LA F ÓPTIMA EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
ni resultados comerciales en papel para utilizar esta técnica. La técnica puede
Se puede utilizar estimando simplemente estos dos insumos, la media aritmética del comercio
Ahora podemos construir una técnica para encontrar la f óptima en datos normalmente
promedio (en puntos o en dólares) y la desviación estándar poblacional del comercio (en puntos
distribuidos. Al igual que la fórmula de Kelly, esta será una fórmula paramétrica.
o en dólares, siempre que sea consistente con lo que
técnica. Sin embargo, esta técnica es mucho más poderosa que la Kelly.
Fórmula, porque la fórmula de Kelly permite sólo dos resultados posibles para un evento, mientras
utiliza para el comercio de media aritmética). Sin embargo, tenga en cuenta que su
Los resultados sólo serán tan precisos como sus estimaciones.
que esta técnica permite el espectro completo.
Si tiene dificultades para estimar la desviación estándar de su población, simplemente
de los resultados (siempre que los resultados estén distribuidos normalmente).
La belleza de los resultados normalmente distribuidos (aparte del hecho de que
intente estimar en cuánto, en promedio, una operación
ocurren con tanta frecuencia, ya que son el límite de muchas otras distribuciones) es que pueden
diferirá del comercio promedio. Al estimar la desviación absoluta media de esta manera, puede
describirse mediante 2 parámetros. Las fórmulas de Kelly
le dará la f óptima para los resultados distribuidos de Bernoulli ingresando los 2 parámetros de la
usar la ecuación (3.18) para convertir su desviación absoluta media estimada en una desviación
estándar estimada:
relación de pago y la probabilidad de ganar. La técnica que vamos a describir también sólo
(3.18) S = M*1/.7978845609 = M*1.253314137
necesita dos pasos.
dónde
­ 44 ­
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S = La desviación estándar.
Para ver qué pasaría si la dispersión se calmara, utilice un valor inferior a 1.
M = La desviación absoluta media.
Nos referiremos a estos dos parámetros, la media aritmética del comercio promedio
Al utilizar esta técnica, observará que reducir el tramo hacia cero tenderá a
aumentar los cálculos de subproductos, lo que dará como resultado una evaluación más
y la desviación estándar de los intercambios, como el parámetro de entrada real .
optimista del futuro y viceversa. La contracción funciona de manera opuesta, ya que
parámetros.
Ahora queremos tomar todos los puntos de datos igualmente espaciados del paso
(2) y encontrar sus valores de precio correspondientes, con base en la media aritmética
y la desviación estándar. Recuerde que nuestros puntos de datos equidistantes se
reducir la contracción a cero dará como resultado evaluaciones más pesimistas sobre el
futuro y viceversa.
Una vez que hayamos determinado qué valores queremos usar para estirar
expresan en términos de unidades estándar. Ahora, para cada uno de estos puntos de
y reducir (y por el momento usaremos valores de 1 para ambos, lo que significa no
datos equidistantes encontraremos el precio correspondiente como:
afectar los parámetros reales) podemos modificar la ecuación (3.27) a: (3.28) D =
(U*Shrink)+(S*E
(3.27) D = U+(S*E) donde
*Estirar) donde
D = El valor del precio correspondiente a un valor unitario estándar.
D = El valor del precio correspondiente a un valor unitario estándar.
E = El valor unitario estándar.
E = El valor unitario estándar.
S = Desviación estándar de la población.
S = Desviación estándar de la población.
U = La media aritmética.
Una vez que hayamos determinado todos los valores de precios correspondientes
a cada punto de datos, realmente habremos logrado mucho. Ahora hemos construido la
distribución que esperamos que tiendan los puntos de datos futuros.
a.
U = La media aritmética.
Para resumir hasta ahora, los primeros dos pasos son determinar los parámetros
límite del número de sigmas a cada lado de la media que vamos a usar, así como cuántos
puntos de datos igualmente espaciados vamos a usar dentro de este rango. Los dos
pasos siguientes son los parámetros de entrada reales del promedio aritmético del
Sin embargo, esta técnica nos permite hacer mucho más que eso. Podemos
incorporar dos parámetros más que nos permitirán realizar tipos de escenarios "Qué
pasaría si" sobre el futuro. Estos parámetros, que llamaremos parámetros " Qué pasaría
comercio y la desviación estándar de la población. Podemos derivar estos parámetros
si", nos permiten ver el efecto de un cambio en nuestro promedio. comercio o un cambio
utilizando declaraciones de corretaje o resultados comerciales en papel. También
en la dispersión (desviación estándar) de nuestros intercambios.
podemos derivar estas cifras mediante estimación, pero recuerde que los resultados
empíricamente observando los resultados de un sistema comercial determinado o
obtenidos sólo serán tan precisos como sus estimaciones. Los pasos quinto y sexto son
El primero de estos parámetros, llamado contracción, afecta el comercio promedio.
La contracción es simplemente un multiplicador de nuestra operación promedio. Recuerde
que cuando encontramos la f óptima también obtenemos otros cálculos, que son
determinar los factores que se utilizarán para estirar y encoger si va a realizar un
escenario del tipo "¿Qué pasaría si?". Si no es así, simplemente use valores de 1 tanto
para estirar como para encoger.
Una vez que haya completado estos seis pasos, ahora puede usar la ecuación (3.28)
subproductos útiles de la f óptima. Dichos cálculos incluyen la media geométrica, la
para realizar el séptimo paso. El séptimo paso es convertir los puntos de datos
TWR y el comercio promedio geométrico. La contracción es el factor por el cual
multiplicaremos nuestra operación promedio antes de realizar la técnica f óptima en ella.
Por lo tanto, la contracción nos permite ver cuál sería la f óptima si nuestro comercio
equidistantes de valores estándar a una cantidad real de puntos o dólares (dependiendo
de si utilizó puntos o dólares como entrada para su promedio aritmético de comercio y
desviación estándar de la población).
promedio se viera afectado por la contracción, así como cómo se verían afectados los
demás cálculos de subproductos.
Ahora el octavo paso es encontrar la probabilidad asociada con cada uno de los
Por ejemplo, supongamos que está operando con un sistema que ha estado
funcionando muy intensamente últimamente. Usted sabe por experiencia pasada que es
probable que el sistema deje de funcionar tan bien en el futuro. Le gustaría ver qué
puntos de datos igualmente espaciados. Esta probabilidad se determina usando la
ecuación (3.21): (3.21)
pasaría si el comercio promedio se redujera a la mitad. Al utilizar un valor de contracción
N(Z) = 1­N'(Z)*((1.330274429*Y^5)­
de 0,5 (ya que la contracción es un multiplicador, el comercio promedio multiplicado por
(1.821255978*Y^4)+(1.781477937*Y ^3)­
0,5 equivale al corte comercial promedio a la mitad), puede realizar la técnica f óptima
(.356563782*Y^2)+(.31938153*Y))
para determinar cuál debería ser su f óptima si el comercio promedio iban a ser cortados
a la mitad. Además, puede ver cómo dichos cambios afectan su comercio promedio
Si Z<0 entonces N(Z) = 1­N(Z)
donde
geométrico, etc.
Y = 1/(1+.2316419*ABS(Z))
Al utilizar un valor de reducción de 2, también puede ver el efecto que tendría
ABS() = La función de valor absoluto.
duplicar su operación promedio. En otras palabras, el parámetro de reducción también
se puede utilizar para aumentar (¿reducir?) su operación promedio.
Es más, le permite tomar un sistema no rentable (es decir, un sistema con un comercio
N'(Z) = .398942*EXP(­(Z^2/2))
EXP() = La función exponencial.
Sin embargo, usaremos la ecuación (3.21) sin su 1­ como primer término de la
promedio inferior a cero) y, utilizando un valor negativo para la contracción, ver qué
pasaría si ese sistema se volviera rentable. Por ejemplo, supongamos que tiene un
ecuación y sin la disposición ­Z (es decir, sin la cláusula "Si Z<0 entonces N(Z)­1­N(Z)") ,
sistema que muestra una operación promedio de ­$100.
ya que queremos saber cuáles son las probabilidades de que un evento iguale o exceda
Si utiliza un valor de reducción de ­0,5, esto le dará su f óptima para esta distribución
una cantidad prescrita de unidades estándar.
como si la operación promedio fuera de $50, ya que ­100*­0,5 = 50. Si usamos un factor
de reducción de ­2, obtendríamos la distribución centrada en una operación media de
Así que repasamos cada uno de nuestros puntos de datos igualmente espaciados.
200$.
Cada punto tiene un valor estándar, que usaremos como parámetro Z en la ecuación
Debe tener cuidado al utilizar estos parámetros "Qué pasaría si", ya que facilitan la
(3.21), y una cantidad en dólares o puntos. Ahora habrá otra variable correspondiente a
cada punto de datos igualmente espaciado: la probabilidad asociada.
mala gestión del rendimiento. Se acaba de mencionar cómo se puede convertir un
sistema con una media aritmética negativa en uno positivo. Esto puede generar problemas
si, por ejemplo, en el futuro todavía tienes expectativas negativas.
LA MECÁNICA DEL PROCEDIMIENTO
El otro parámetro "Qué pasaría si" se llama estiramiento. Esto no es, como su
El procedimiento se demostrará ahora con el ejemplo comercial presentado
nombre indica, lo opuesto a la reducción. Más bien, la extensión es el multiplicador que
anteriormente en este capítulo. Dado que nuestras 232 operaciones actualmente están
se utilizará en la desviación estándar. Puede utilizar este parámetro para determinar
en puntos, debemos convertirlas a sus representaciones en dólares. Sin embargo, dado
que el mercado no está especificado, asignaremos un valor arbitrario de 1.000 dólares
el efecto sobre f y sus subproductos por un aumento o disminución de la dispersión.
por punto. Por lo tanto, la operación promedio de 0,330129 ahora se convierte en
Además, a diferencia de la contracción, la extensión siempre debe ser un número
0,330129*$1000, o una operación promedio de 330,13 dólares. Del mismo modo, la
positivo, mientras que la contracción puede ser positiva o negativa (siempre que el tiempo
desviación estándar de la población de 1,743232 también se multiplica por 1.000 dólares
promedio de contracción comercial sea positivo). Si desea ver qué sucederá si su
por punto para obtener 1.743,23 dólares.
desviación estándar se duplica, simplemente use un valor de 2 para estirar. A
Ahora construimos la matriz. Primero, debemos determinar el rango, en sigmas de
la media, que queremos que abarquen nuestros cálculos. Para
­ 45 ­
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En nuestro ejemplo elegiremos 3 sigmas, por lo que nuestro rango irá desde menos
= .004431846678*((1.330274429*.07149022693)­
3 sigmas a más 3 sigmas. Tenga en cuenta que debe utilizar la misma cantidad para
(1.821255978*.1211706)+(1.781477937*.2053752)­
a la izquierda de la media que usas a la derecha de la media. Es decir, si usted
(.356563782*.3480957094)+(.31938153*.5899963639))
ve 3 sigmas a la izquierda (menos 3 sigmas) entonces no deberías ir solo 2
= .004431846678*(.09510162081­.2206826796+.3658713876­
o 4 sigmas a la derecha, sino que deberías ir 3 sigmas a la derecha como
.1241183226+.1884339414)
bien (es decir, más 3 sigmas de la media).
= .004431846678*.3046059476 = .001349966857
A continuación debemos determinar en cuántos puntos de datos igualmente espaciados
dividir este rango. Elegir 61 como nuestro valor proporciona un punto de datos en cada
Tenga en cuenta que aunque Z es negativo (Z = ­3), no ajustamos N(Z)
aquí haciendo N(Z) = 1­N(Z). Como no utilizamos la disposición ­Z,
décima parte de una unidad simple estándar. Así podemos determinar nuestra columna de
valores estándar.
simplemente dejamos que la respuesta sea.
Ahora, para cada valor en la columna de valor estándar habrá una entrada correspondiente
Ahora debemos determinar la media aritmética que vamos a
utilizar como entrada. Determinamos esto empíricamente a partir de las 232 operaciones como
$330,13. Además, debemos determinar la desviación estándar de la población,
en la columna de PyG asociada y en la columna de pérdidas y ganancias asociada.
columna de probabilidad. Esto se muestra en la siguiente tabla. Una vez que tengas
establecidas estas tres columnas estás listo para comenzar la búsqueda del
que también determinamos empíricamente a partir de las 232 operaciones como $1.743,23.
f óptima y sus subproductos.
Ahora para determinar la columna de pérdidas y ganancias asociadas. Es decir, debemos
determine un importe de pérdidas y ganancias para cada valor estándar. Antes de que podamos
ASOCIADO
STD VALOR ASOCIADO P&L ASOCIADO
PROBABILIDAD
HPR EN f=.01
determinar nuestra columna de pérdidas y ganancias asociada, debemos decidir los valores para la extensión.­3,0
($4.899,57)
0,001350
0.9999864325
y encogerse. Como no vamos a realizar ningún tipo de escenario "¿Qué pasaría si en este
­2,9
($4.725,24)
0,001866
0.9999819179
momento?", elegiremos un valor de 1 tanto para estirar como para
encoger.
­2,8
($4.550,92)
0,002555
0.9999761557
­2,7
($4.376,60)
0,003467
0.9999688918
Media aritmética = 330,13
­2,6
($4.202,27)
0,004661
0.9999598499
­2,5
($4.027,95)
0,006210
0.9999487404
­2,4
0,008198
0.9999352717
Estiramiento = 1
($3.853,63)
­2,3
($3.679,30)
0,010724
0.9999191675
Reducir = 1
­2,2
($3.504,98)
0,013903
0.9999001875
­2,1
($3.330,66)
0,017864
0.9998781535
­2,0
($3.156,33)
0,022750
0.9998529794
­1,9
($2.982,01)
0,028716
0.9998247051
­1,8
($2 .807,69)
0,035930
0.9997935316
­1,7
($2.633,37)
0,044565
0.9997598578
­1,6
($2.459,04)
0,054799
0.9997243139
­1,5
($2.284,72)
0,066807
0.9996877915
­1,4
($2.110,40) )
0,080757
0.9996514657
­1,3
($1.936,07)
0,096800
0.9996168071
S = Desviación estándar de la población.
­1,2
($1.761,75)
0,115070
0.9995855817
U = La media aritmética.
­1,1
($1.587,43)
0,135666
0.999559835
­1,0
($1.413,10)
0,158655
0.9995418607
­0,9
($1.238,78)
0,184060
0.9995341524
­6,8
($1.064,46)
0,211855
0.9995393392
­0,7
($890,13)
0,241963
0.999560108
­0,6
($715,81)
0,274253
0.9995991135
­0,5
0,308537
0.9996588827
= 330,129­5229,696
($541,49)
­0,4
($367,16)
0,344578
09997417168
= 4899,567
­0,3
($192,84)
0,382088
0.9998495968
­0,2
0,420740
0.9999840984
­0,1
($18,52)
$155,81
0,460172
1.0001463216
0,0
$330,1 3
0,500000
1.0003368389
0,1
$504,45
0,460172
1.0004736542
0,2
$678,78
0,420740
1.00058265
0,3
$853,10
0,382088
1.0006649234
columna de valor estándar como entrada Z para la ecuación (3.21).
0,4
$1.027,42
0,344578
1.0007220715
sin la disposición 1 anterior y sin la disposición Z (es decir, la disposición "Si Z < 0
0,5
$1.201,75
0,308537
1.0007561259
entonces N(Z) = 1­N(Z)"). Para el valor estándar de ­3 (Z = ­3), esto es:
0,6
$1.376,07
0,274253
1.0007694689
0,7
$1.550,39
0,241963
1.0007647383
0,8
$1.724,71
0,211855
1.0007447264
0,9
$1.899,04
0,184060
1.0007122776
1,0
$2.073,36
0,158655
1.0006701921
1,1
$2.247,68
0,135666
1.0006211392
1,2
$2,422.01
0,115070
.0005675842
1,3
$2,596.33
0,096800
.0005117319
1,4
$2,770.65
0,080757
.0004554875
1,5
$2,944.98
0,066807
1.0004004351
1,6
$3,119.30
0,054799
1.0003478328
1,7
$3,293.62
0,044565
.0002986228
1,8
$3,467.95
0,035930
.0002534528
1,9
$3,642.27
0,028716
1.0002127072
N'(3) = .398942*EXP(­((­3)^2/2)) = .398942*EXP(­(9/2)) =
2,0
$3,816.59
0,022750
1.0001765438
.398942*EXP(­4.5) = .398942*.011109 = .004431846678
2,1
$3,990.92
0,017864
.000144934
2,2
$4,165.24
0,013903
.0001177033
2,3
$4,339.56
0,010724
.0000945697
2,4
0,008198
.0000751794
N(­3) = .004431846678*((1.330274429*.5899963639^5)­
$4,513.89
2,5
$4,68 8,21
0,006210
1.0000591373
(1.821255978*.5899963639^4)+(1.781477937*.5899963639^3)­
2,6
$4.862,53
0,004661
1.0000460328
(.356563782*.5899963639^2)+(.31938153*.5899963639))
2,7
$5.036,86
0,003467
1.0000354603
2,8
$5.211,18
0,002555
1.0000270338
2,9
$5.385,50
0,001866
1.0000203976
3,0
$5.559,83
0,001350
1.0000152327
Desviación estándar de la población = 1743,23
Usando la ecuación (3.28) podemos calcular nuestra columna de pérdidas y ganancias asociada.
Hacemos esto tomando cada valor estándar y usándolo como E en la ecuación
(3.28) para obtener la columna de PyG asociadas:
(3.29) D = (U*Contracción)+(S*E*Estiramiento)
dónde
D = El valor del precio correspondiente a un valor unitario estándar.
E = El valor unitario estándar.
Para el valor estándar ­3, las pérdidas y ganancias asociadas son:
D = (U*Contracción)+(S*E*Estiramiento)
= (330,129*1)+(1743,232*(­3)*1)
= 330,129+(­5229,696)
Por lo tanto, nuestra columna de pérdidas y ganancias asociada con un valor estándar de ­3 equivale
4899.567. Ahora queremos construir las pérdidas y ganancias asociadas para el próximo
valor estándar, que es ­2,9, por lo que simplemente realizamos la misma ecuación,
(3.29), nuevamente, solo que esta vez usamos un valor de ­2.9 para E.
Ahora para determinar la columna de probabilidad asociada. Esto se calcula usando la
N(Z) = N'(Z)*(( 1.330274429*Y^5)­
(1,821255978*Y^4)+(1,781477937*Y^3)­
(.356563782*Y^2+(.31938153*Y))
Si Z<0 entonces N(Z) = 1­N(Z)
dónde
Y = 1/(1+.2316419*ABS(Z))
ABS() = La función de valor absoluto.
N'(Z) = .398942*EXP(­(Z^2/2))
EXP() = La función exponencial.
De este modo:
Y = 1/(1+2316419*ABS(­3)) = 1/(1+2316419*3) = 1/(1+6949257) =
1/1.6949257 = .5899963639
­ 46 ­
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Subproductos atf­.01:
También podemos calcular el comercio promedio geométrico (GAT). Esta es la
TWR = 1,0053555695
cantidad que habría ganado, en promedio, por contrato y por operación, si estuviera
operando con esta distribución de resultados a un valor f específico.
Suma de probabilidades = 7,9791232176 Geomedia
(3.33) GAT = (G(f)­1)*(w/(­f)) donde
= 1,0006696309 GAT = $328,09 Así es como se
puede encontrar la f óptima. Primero, debe determinar el método de búsqueda de f.
G(f) = La media geométrica para un valor f dado. f = El
Puede simplemente realizar un bucle de 0 a 1 en una cantidad predeterminada (por
ejemplo, 0,01), utilizar una técnica iterativa o utilizar la técnica de interpolación parabólica
valor f dado.
descrita en Fórmulas de gestión de cartera. Lo que se busca encontrar es qué valor de f
W = P&L asociado al peor caso.
(entre 0 y 1) dará como resultado la media geométrica más alta.
En el caso de nuestro ejemplo, el valor f es .01:
GAT = (1,00066963­1)*(­4899,57/(­0,01))
Una vez que haya decidido una técnica de búsqueda, debe determinar cuál es el
= .00066963*489957
peor caso de pérdidas y ganancias asociado en su tabla. En nuestro ejemplo es el P&L
= 328,09
correspondiente a ­3 unidades estándar, 4899,57. Deberá utilizar este valor particular
repetidamente a lo largo de los cálculos.
Por lo tanto, esperaríamos ganar, en promedio por contrato y por operación, $328,09.
Para encontrar la media geométrica para un valor f dado, para cada valor de f que
vaya a procesar en su búsqueda del óptimo, debe convertir cada P&L y probabilidad
Ahora vamos a nuestro siguiente valor para f que debe ser probado de acuerdo con nuestro
asociada a un HPR. La ecuación (3.30) muestra el cálculo del HPR: (3.30) HPR = (1+(L/(W/
procedimiento de búsqueda elegido para el f óptimo. En el caso de nuestro ejemplo, estamos
(­f))))^P
haciendo un bucle de 0 a 1 por 0,01 para f, por lo que nuestro siguiente valor de prueba para f es .02.
Volveremos a hacer lo mismo. Calcularemos una nueva columna de HPR asociada y
calcularemos nuestro TWR y nuestra media geométrica. El valor de f que da como
dónde
resultado la media geométrica más alta es aquel valor de f que es el óptimo según los
L = Las pérdidas y ganancias asociadas.
parámetros de entrada que hemos utilizado.
W = Las pérdidas y ganancias asociadas al peor de los casos en la tabla (este
En nuestro ejemplo, si continuáramos con nuestra búsqueda del f óptimo,
siempre será un valor negativo).
encontraríamos el óptimo en f = 0,744 (estoy usando un incremento de paso de 0,001 en
f = El valor probado para f.
mi búsqueda del f óptimo aquí). da como resultado una media geométrica de 1,0265. Por
P = La probabilidad asociada.
lo tanto, la operación media geométrica correspondiente es de 174,45 dólares.
Trabajando ahora con un ejemplo donde usamos el valor de .01 para el valor probado
para f, encontraremos el HPR asociado en el valor estándar de ­3. En este caso, nuestras
Es importante señalar que el TWR en sí no tiene ningún significado real como
pérdidas y ganancias asociadas en el peor de los casos son 4899,57, al igual que nuestras
subproducto. Más bien, cuando calculamos nuestra media geométrica de forma
pérdidas y ganancias asociadas. Por lo tanto, nuestro
paramétrica, como lo hacemos aquí, la TWR es simplemente un paso intermedio para
obtener esa media geométrica. Ahora, podemos calcular cuál sería nuestra TWR después
HPR aquí es: HPR = (1+(­4899.57/­4899.57/(­.01))))^.001349966857
de que X se negocie elevando la media geométrica a la potencia de X.
= (1+(­4899.57/489957))^.001349966857 = (1+(­
Por tanto, si queremos calcular nuestro TWR para 232 operaciones a una media
.01))^.001349966857
geométrica de 1,0265, elevaríamos 1,0265 a la potencia de 232, obteniendo 431,79. Por
= .99^.001349966857
lo tanto, podemos afirmar que operando a una f óptima de 0,744, esperaríamos ganar el
= 0,9999864325
43,079% ((431,79­1)*100) de nuestra participación después de 232 operaciones.
Ahora bajamos a nuestro siguiente valor estándar, de ­2,9, donde tenemos unas
pérdidas y ganancias asociadas de ­2866,72 y una probabilidad asociada de 0,001865.
Nuestro HPR asociado aquí será:
Umbral geométrico
HPR = (­4725.24/(­4899.57/(­.01))))^.001866 = (1+
= 330,13/174,45*­4899,57/­0,744 = 12.462,32
Otro subproducto que calcularemos es nuestro umbral geométrico Ecuación (2.02):
Tenga en cuenta que la operación promedio aritmética de $330,13 no es algo que
(­4725.24/489957))^001866 = (1+
hayamos calculado con esta técnica, sino que es un hecho, ya que es uno de los
(­4725.24/489957))^.001866 = ( 1+
parámetros de entrada.
(­.009644193266))^.001866 =
Ahora podemos convertir nuestra f óptima en cuántos contratos negociar mediante
.990355807^.001866
las ecuaciones:
= .9999819
Una vez que hayamos calculado un HPR asociado para cada valor estándar para un
valor de prueba determinado (.01 en nuestra tabla de ejemplo), estará listo para calcular
el TWR. La TWR es simplemente el producto de todas las HPR para un valor f dado
(3.34) K = E/Q
donde
K = El número de contratos para negociar.
E = El patrimonio en cuenta corriente.
multiplicadas entre sí: (3.31) TRW = (∏[i
(3.35) Q = W/( ­f)
= 1,N]HPRi)
dónde
dónde
N = El número total de puntos de datos igualmente espaciados.
W = P&L asociado al peor caso.
f = El valor f óptimo.
HPRi = El HPR correspondiente al i­ésimo punto de datos, dado por la Ecuación
(3.30).
Tenga en cuenta que esta variable, Q, representa un número por el que puede dividir
el capital de su cuenta a medida que su capital cambia día a día para saber cuántos
Entonces, para nuestra prueba con un valor de = 0,01, la TWR será:
contratos negociar.
TWR = .9999864325*.9999819179*...*1.0000152327 = 1.0053555695
Podemos convertir fácilmente una TWR en una media geométrica elevando la TWR
Volviendo ahora a nuestro ejemplo:
a la potencia de 1 dividida por la suma de todas las probabilidades asociadas.
Q = ­4.899,57/­0,744 = 6.585,44 dólares
(3.32) G = TRW^(1/∑[i = 1,N] Pi)
equidad. Para una cuenta de $25 000, esto significa que negociaríamos:
Por lo tanto, negociaremos 1 contrato por cada $6.585,44 en la cuenta.
K = 25000/6585,44 = 3,796253553
dónde
Como no podemos negociar contratos fraccionarios, debemos redondear esta cifra
N = El número de puntos de datos igualmente espaciados.
de 3,796253553 al número entero más cercano. Por lo tanto, negociaríamos 3 contratos
Pi = La probabilidad asociada del iésimo punto de datos.
Tenga en cuenta que si sumamos la columna que enumera las 61 probabilidades asociadas
idades es igual a 7,979105. Por lo tanto, nuestra media geométrica en f = .01 es: G
por una cuenta de $25,000. La razón por la que siempre redondeamos hacia abajo en
lugar de hacia arriba es que el precio extraído por estar ligeramente por debajo del óptimo
es menor que el precio por estar ligeramente por encima del óptimo.
= 1.0053555695^(1/7.979105) = 1.0053555695^.1253273393 = 1.00066963
Observe cuán sensible es el número óptimo de contratos a negociar ante la peor
pérdida. Esta peor pérdida es únicamente una función de cuántos sigmas
­ 47 ­
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has decidido ir a la izquierda de la media. Este parámetro delimitador,
comercio promedio geométrico, comercio promedio aritmético y umbral para
el rango de sigmas, es muy importante en este cálculo. Hemos elegido tres sigmas en nuestro
los geométricos sólo son válidos para el precio actual del subyacente
cálculo. Esto significa que, en efecto,
instrumento. Cuando el precio del instrumento subyacente cambia,
presupuestado para una pérdida de tres Sigma. Sin embargo, una pérdida superior a tres sigmas
se debe realizar nuevamente el procedimiento, volviendo al paso 1 y multiplicando el
realmente puede perjudicarnos, dependiendo de qué tan lejos esté de tres sigmas.
porcentaje de ganancias y pérdidas por el nuevo subyacente
Por lo tanto, debes tener mucho cuidado con el valor que elijas para este
precio. Cuando vaya a rehacer el procedimiento con un precio subyacente diferente,
parámetro de límite de rango. Tendrás mucho en juego.
obtendrá la misma f óptima, media geométrica y
TWR. Sin embargo, su comercio promedio aritmético, promedio geométrico
Tenga en cuenta que, para simplificar la ilustración, no hemos deducido las comisiones ni
comercio, y el umbral de lo geométrico diferirá, dependiendo del
los deslizamientos de estas cifras. Si quieres
nuevo precio del instrumento subyacente.
incorporar comisiones y deslizamientos, deberías deducir X dólares en
comisiones y deslizamientos de cada una de las 232 operaciones al comienzo de
3. El número de contratos a negociar según lo indicado en la ecuación (3.34) debe
este ejercicio. Calcularía su comercio promedio aritmético y
ser cambiado. Las pérdidas y ganancias asociadas al peor caso, la variable W en
desviación estándar de la población de este conjunto de 232 operaciones ajustadas, y
La ecuación (3.34) [como subecuación (3.35)] será diferente como resultado
luego realice el ejercicio exactamente como se describe.
de los cambios causados en los datos ecualizados por una corriente diferente
precio.
Ahora podríamos regresar y realizar un tipo de escenario "¿Qué pasaría si?"
aquí. Supongamos que queremos ver qué sucederá si el sistema comienza a funcionar.
En este capítulo hemos aprendido cómo encontrar la f óptima en un
rendir con sólo la mitad de la rentabilidad que tiene ahora (reducción = 0,5). Además,
Distribución de probabilidad. Hemos utilizado la Distribución Normal porque aparece con mucha
supongamos que el mercado en el que se encuentra el sistema que estamos analizando se vuelve muyfrecuencia en muchos procesos que ocurren naturalmente.
volátil, y que como consecuencia la dispersión entre las operaciones aumenta en un 60% (stretch
y debido a que es más fácil trabajar con él que muchas otras distribuciones,
= 1,6). Al bombear estos parámetros a través
ya que su función de densidad acumulativa, la ecuación (3.21), existe.5 Sin embargo, la
Con este sistema podemos ver cuál será el óptimo para que podamos hacer ajustes en nuestras
Lo normal a menudo se considera un modelo deficiente para la distribución del comercio.
operaciones antes de que estos cambios pasen a ser historia. Al hacerlo, encontramos que el f
ganancias y pérdidas. ¿Cuál es entonces un buen modelo para nuestros propósitos? En el
óptimo ahora se convierte en ,262, o negociar 1 contrato
En el próximo capítulo abordaremos esta pregunta y nos basaremos en las técnicas que hemos
por cada $31,305.92 en patrimonio de la cuenta (ya que el peor caso asociado
aprendido en este capítulo para trabajar con cualquier tipo de distribución de probabilidad, ya
Las pérdidas y ganancias se ven fuertemente afectadas por los cambios en la dilatación y la contracción). esto es bastante
sea que su función de densidad acumulativa sea conocida o no.
no.
un cambio. Esto significa que si estos cambios en el sistema de mercado comienzan a producirse
materializarse, vamos a tener que hacer algunos cambios en nuestra gestión del dinero con
respecto a ese sistema. La media geométrica caerá hasta 1,0027,
el comercio promedio geométrico se reducirá a $ 83,02 y el TWR por encima
232 operaciones serán 1.869. Esto ni siquiera se acerca a lo que es actualmente.
sería. Todo esto se basa en una disminución del 50% en el comercio promedio.
y un aumento del 60% en la desviación estándar. Es muy posible que esto suceda. También es
muy posible que el futuro resulte más favorable que el pasado. También podemos probar esto.
Supongamos que queremos ver
¿Qué pasará si nuestro beneficio medio aumenta sólo un 10%? Podemos
verifique esto ingresando un valor de reducción de 1.1. Estos parámetros del tipo “¿Qué pasaría
si?”, ampliados y reducidos, realmente nos dan un gran poder en nuestra gestión del dinero.
Cuanto más cerca esté su distribución de pérdidas y ganancias comerciales de Normal para comenzar
con, mejor funcionará la técnica para usted. El problema con casi cualquier técnica de
administración del dinero es que existe una cierta cantidad
de "desecho" involucrado. Aquí podemos definir la pendiente como la diferencia entre
la Distribución Normal y la distribución que realmente estamos usando. El
La diferencia entre los dos es la pendiente, y cuanto más pendiente hay, menos
efectiva se vuelve la técnica.
Para ilustrar, recuerde que usando este método hemos determinado que
negociar 1 contrato por cada $6.585,44 en el capital de la cuenta es óptimo.
Sin embargo, si repasáramos estas operaciones y encontráramos nuestra f óptima empíricamente,
encontraríamos que lo óptimo es negociar 1 contrato por cada
$7,918.04 en patrimonio de la cuenta. Como puede ver, usar la técnica de Distribución Normal
aquí nos tendría ligeramente a la derecha de la curva f,
negociando un poco más de contratos de lo que sugeriría la experiencia empírica.
Sin embargo, como veremos, hay mucho que decir a favor de esperar que
La distribución futura de los precios se distribuirá normalmente. Cuando alguien
compra o vende una opción, el supuesto de que la distribución futura de la
El registro de cambios de precio en el instrumento subyacente será Normal.
en el precio de la opción. En esta misma línea de razonamiento, alguien
quién ingresa a una operación en un mercado y no utiliza un sistema mecánico
Se puede decir que estamos mirando la misma posible distribución futura.
La técnica detallada en este capítulo se mostró utilizando datos que
no fue igualado. También podemos utilizar esta misma técnica en datos ecualizados incorporando
los siguientes cambios:
Antes de estandarizar los datos, se deben igualar convirtiendo primero todas las ganancias
y pérdidas comerciales en ganancias y pérdidas porcentuales.
según las ecuaciones (2.10a) a (2.10c). Entonces estos beneficios porcentuales y
las pérdidas deben traducirse en porcentajes del precio actual simplemente multiplicándolos por
el precio actual.
1. Cuando vaya a estandarizar estos datos, estandarice los datos ahora igualados usando la
media y la desviación estándar de los datos igualados.
datos.
5
Nuevamente, la función de densidad acumulada de la distribución normal no existe realmente,
sino que se aproxima mucho mediante la ecuación (3.21). sin embargo, el
La densidad acumulada de lo Normal puede al menos aproximarse mediante una ecuación, una
Un lujo que no todas las distribuciones poseen.
2. El resto del procedimiento es el mismo que está escrito en este capítulo en
términos de determinación de la f óptima, la media geométrica y la TWR. El
­ 48 ­
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Capítulo 4 ­ Técnicas paramétricas en
otras distribuciones
Para ver esto, mire la Figura 4­1. Observe que en el punto A la línea real
está por encima de lo teórico. Por lo tanto, queremos comparar el valor CDF real actual
con el valor teórico actual para encontrar la mayor diferencia. Sin embargo, en el punto B,
la línea real está por debajo de la teórica. Por lo tanto,
Hemos visto en el capítulo anterior cómo encontrar la f óptima
queremos comparar el valor real anterior con el valor teórico actual
y sus subproductos en la Distribución Normal. La misma técnica
valor. La razón es que estamos midiendo la mayor distancia entre las dos líneas. Dado
se puede aplicar a cualquier otra distribución donde la densidad acumulada
que estamos midiendo en este instante el valor real
Se conoce la función. Muchas de estas distribuciones más comunes y
salta, podemos considerar usar el valor anterior para el real como el
sus funciones de densidad acumulativa se tratan en el Apéndice B. Desafortunadamente, la
mayoría de las distribuciones de pérdidas y ganancias comerciales no encajan claramente en el
Funciones de distribución normales u otras funciones comunes. En este capítulo nosotros
Primero tratemos este problema de la naturaleza indefinida de la distribución de
negociar pérdidas y ganancias y luego observar la técnica de planificación de escenarios, una
valor actual para el instante real antes de que salte.
En resumen, entonces, para cada valor estándar, queremos tomar el valor absoluto
de la diferencia entre el valor CDF real actual y
el valor CDF teórico actual. También queremos tomar el valor absoluto de la diferencia
entre el valor CDF real anterior y el valor CDF teórico actual. Al hacer esto para todos los
consecuencia natural de la noción de f óptimo. Esta técnica tiene muchas
amplias aplicaciones. Esto luego lleva a encontrar la f óptima en un
valores estándar, todos
distribución agrupada, lo que nos lleva al siguiente capítulo sobre ambos
puntos donde la CDF real salta 1/N, y tomando la mayor
opciones y múltiples posiciones simultáneas.
diferencia, habremos determinado la variable D.
Antes de intentar modelar la distribución real de las pérdidas y ganancias comerciales,
Cuanto menor sea el valor de D, más parecidas serán las dos distribuciones.
Podemos convertir fácilmente el valor D a un nivel de significancia mediante la siguiente
debemos tener un método para comparar dos distribuciones.
fórmula:
LA PRUEBA DE KOLMOGOROV­SMIRNOV (KS)
(4.01) SIG = ∑[j = 1, ∞] (j%2)*4­2*EXP(­2*j^2*(N^(1/2)*D)^2)
dónde
La prueba de chi­cuadrado es sin duda el más popular de todos los métodos de
comparando dos distribuciones. Dado que muchas aplicaciones orientadas al mercado
SIG = El nivel de significancia para una D y N determinadas.
Además de los que realizamos en este capítulo, a menudo se utiliza el chi­cuadrado.
D = El estadístico KS.
prueba, se analiza en el Apéndice A. Sin embargo, la mejor prueba para nuestros propósitos
N = El número de operaciones sobre las que se determina la estadística KS.
bien puede ser la prueba KS. Esta prueba muy eficiente es aplicable a
distribuciones no agrupadas que son función de una única variable independiente (beneficio
por operación en nuestro caso).
% = El operador de módulo, el resto de la división. Como están las cosas
utilizado aquí, J % 2 produce el resto cuando J se divide por 2.
EXP() = La función exponencial.
Todas las funciones de densidad acumulativa tienen un valor mínimo de 0 y un
No es necesario seguir sumando los valores hasta que J llegue al infinito.
valor máximo de 1. Lo que sucede entre ellos los diferencia. El
La prueba KS mide una variable muy simple, D, que se define como la
Valor absoluto máximo de la diferencia entre dos distribuciones.
La ecuación converge (normalmente en poco tiempo) a un valor. Una vez el
funciones de densidad acumulativa.
Es necesario continuar sumando valores.
Si se obtiene la convergencia a una tolerancia del usuario lo suficientemente cercana, no hay
Para ilustrar la ecuación (4.01) con un ejemplo. Supongamos que tuviéramos 100
Realizar la prueba KS es relativamente sencillo. N objetos (comercios en nuestro
operaciones que arrojaron una estadística KS de .04:
caso) están estandarizados (restando la media y dividiendo por el
desviación estándar) y ordenados en orden ascendente. A medida que pasamos
J1 = (1%2)*4­2*EXP(­2*1^2*(100^(1/2)*.04)^2)
En estas operaciones ordenadas y estandarizadas, la probabilidad acumulada es cuántas
= 1*4­2*EXP(­2*1^2*(10*.04)^2)
operaciones hemos realizado divididas por N. Cuando llegamos a nuestro
primera operación en la secuencia ordenada, la operación con el valor estándar más bajo,
la función de densidad acumulativa (CDF) es igual a 1/N. Con cada
= 2*EXP(­2*1^2*.4^2)
=2*EXP(­2*1*.16)
Valor estándar que transmitimos en el camino hacia nuestro estándar más alto.
= 2*EXP(­.32)
valor, se suma 1 al numerador hasta que, al final de la secuencia, nuestro
= 2*.726149
CDF es igual a N/N o 1.
= 1,452298
Para cada valor estándar podemos calcular la distribución teórica.
Entonces nuestro primer valor es 1,452298. Ahora a esto le agregaremos el siguiente pase.
con el que queremos comparar. Por lo tanto, podemos comparar nuestra densidad
a través de la ecuación, y como tal debemos incrementar J en 1 para que J
acumulativa real con cualquier densidad acumulativa teórica. La variable D, la
ahora es igual a J2:
Estadístico KS, es igual a la mayor distancia entre cualquier valor estándar de nuestra
J2 = (2%2)*4­2*EXP(­2*2^2*(100^(1/2)*.04)^2)
densidad acumulada real y el valor de la CDF de la distribución teórica en ese valor
estándar. Cualquiera que sea el valor estándar que resulte
= 0*4­2*EXP(­2*2^2*(10*.04)^2)
en la mayor diferencia se asigna a la variable D.
= ­2*EXP(­2*2^2*.4^2)
= ­2*EXP(­2*4*.16)
Al comparar nuestro CDF real a un valor estándar dado con el
CDF teórica en ese valor estándar, también debemos comparar la CDF real del valor
estándar anterior con la CDF real del valor estándar actual.
= ­2*EXP(­1,28) =
­2*.2780373
CDF. La razón es que el CDF real sube instantáneamente.
= ­.5560746
en los puntos de datos, y, si lo real está por debajo de lo teórico, la diferencia entre las
Sumando este valor de ­.5560746 nuevamente a nuestra suma acumulada de
líneas es mayor el instante antes de que lo real salte.
1,452298 nos da una nueva suma acumulada de 0,8962234. Nuevamente incrementamos
1
0,9
Probabilidad acumulada
J por 1, por lo que es igual a J3, y realiza la ecuación. Tomamos el resultado
Suma y agrégala a nuestro total acumulado de .8962234. Seguimos haciendo esto
hasta que converjamos a un valor dentro de una tolerancia lo suficientemente cercana. Para nuestro
0,8
Por ejemplo, este punto de convergencia estará alrededor de .997, dependiendo
A
0,7
0,6
sobre cuántos decimales queremos tener precisión. esta respuesta
B
significa que para 100 operaciones donde el mayor valor entre las dos distribuciones fue
0,5
.04, podemos estar 99.7% seguros de que la distribución real
0,4
0.3
fue generado por la función de distribución teórica. En otras palabras,
0,2
podemos estar 99,7% seguros de que la función de distribución teórica representa la
distribución real. Por cierto, este es un nivel de significancia muy bueno.
Actual
0.1
0
­3
Teórico
­2
­1
0
Valores estándar
1
2
3
Figura 4­1 La prueba KS.
­ 49 ­
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CREANDO NUESTRA PROPIA DISTRIBUCIÓN CARACTERÍSTICA
1
FUNCIÓN
Hemos determinado que la distribución de probabilidad normal es
0,8
generalmente no es un muy buen modelo de distribución de los beneficios comerciales y
pérdidas. Además, ninguna de las distribuciones de probabilidad más comunes es
cualquiera. Por lo tanto, debemos crear una función para modelar la distribución de
0,6
nuestras ganancias y pérdidas comerciales nosotros mismos.
Generalmente se supone que la distribución de los registros de cambios de precios es
ser de la variedad paretiana estable (para una discusión sobre la variedad paretiana estable)
0,4
distribución, consulte el Apéndice B). La distribución de las pérdidas y ganancias comerciales puede
considerarse como una transformación de la distribución de precios. Esta transformación se
0,2
produce como resultado de técnicas comerciales como las de los comerciantes que intentan
para reducir sus pérdidas y dejar correr sus ganancias. Por tanto, la distribución de
Las pérdidas y ganancias comerciales también pueden considerarse de la variedad paretiana estable. Qué
que estamos a punto de estudiar, sin embargo, no es el paretiano estable.
La paretiana estable, como todas las demás funciones distributivas, modela una
fenómeno de probabilidad específico. El paretiano estable modela la distribución de sumas de
0
­3
­2
­1
0
1
2
3
Figura 4­3 LOC =­.5 ESCALA = 1 SESGO = 0 KURT = 2
Del mismo modo, si quisiéramos cambiar la ubicación hacia la derecha, usaríamos un
variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.
La función distributiva que estamos a punto de estudiar no modela un fenómeno de
valor positivo para la variable LOC. Mantener LOC en cero resultará en
probabilidad específico. Más bien, modela otras funciones de distribución unimodales. Como
sin cambio de ubicación, como se muestra en la Figura 4­2.
El exponente en el denominador afecta la curtosis. Hasta ahora, tenemos
tal, puede replicar la forma y, por lo tanto, el
Hemos visto la distribución con la curtosis establecida en un valor de 2, pero podemos
densidades de probabilidad, de la distribución paretiana estable así como de cualquier otra
distribución unimodal.
controlar la curtosis de la distribución cambiando el valor del exponente. Esto altera nuestra
función característica, que ahora aparece como:
Ahora crearemos esta función. Para empezar, considere la siguiente ecuación:
(4.04) Y = 1/((X­LOC)^KURT+1)
dónde
(4.02) Y = 1/(X^2+1)
Y = La ordenada de la función característica.
Esta ecuación se representa como una curva general en forma de campana, simétrica.
X = El importe del valor estándar.
alrededor del eje X, como se muestra en la Figura 4­2.
1
LOC = Una variable que representa la ubicación, el primer momento del
distribución.
0,8
KURT = Una variable que representa la curtosis, el cuarto momento del
distribución.
0,6
sobre nuestra función característica. Tenga en cuenta que cuanto mayor sea el exponente,
Las figuras 4­4 y 4­5 demuestran el efecto de la variable curtosis.
distribución más plana y de cola más delgada (platicúrtica), y la
Cuanto menor sea el exponente, más puntiagudo será el pico y más gruesas las colas de
0,4
la distribución (leptocúrtica).
1
0,2
0
­3
0,8
­2
­1
0
1
2
3
0,6
Figura 4­2 LOC = 0 ESCALA = 1 SESGO = 0 KURT = 2.
Así construiremos a partir de esta ecuación general. La variable X puede
0,4
considerarse como el número de unidades estándar que estamos a cada lado del
media o eje Y. Podemos afectar el primer momento de esta "distribución",
la ubicación, agregando un valor para representar un cambio de ubicación a X.
0,2
Así, la ecuación queda:
(4.03) Y = 1/((X­LOC)^2+1)
0
­3
dónde
Y = La ordenada de la función característica.
­2
­1
0
1
2
3
1
2
3
Figura 4­4 LOC = 0 ESCALA = 1 SESGO =0 KURT = 3.
X = El importe del valor estándar.
LOC = Una variable que representa la ubicación, el primer momento del
distribución.
1
Por lo tanto, si quisiéramos alterar la ubicación moviéndola hacia la izquierda 1/2
0,8
de una unidad estándar, estableceríamos LOC en ­0,5. Esto nos daría la
gráfico representado en la Figura 4­3.
0,6
0,4
0,2
0
­3
­ 50 ­
­2
­1
0
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(4.06) Y = (1/(ABS((X­LOC)*ESCALA)^KURT+1))^C
Figura 4­5 LOC = 0 ESCALA = 1 SESGO = 0 KURT = 1
dónde
Para que no nos encontremos con problemas con los números irracionales cuando
KURT<1, usaremos el valor absoluto del coeficiente en el denominador. Esto no afecta la
C = El exponente de la asimetría, calculado como:
forma de la curva. Así, podemos
(4.07) C = (1+(ABS(SKEW)^ABS( 1/(X­LOC))*signo(X)*­
reescriba la ecuación (4.04) como:
signo(SESGO)))^.5
(4.04) Y = 1/(ABS(X­LOC)^KURT+1)
Y = La ordenada de la función característica. X = El estándar
cantidad de valor.
Podemos poner un multiplicador al coeficiente en el denominador para permitirnos
controlar la escala, el segundo momento de la distribución. De este modo,
nuestra función característica ahora se ha convertido en:
LOC = Una variable que representa la ubicación, el primer momento del
distribución.
(4.05) Y = 1/(ABS((X­LOC)*ESCALA) ^ KURT+1)
ESCALA = Una variable que representa la escala, el segundo momento de
la distribución.
dónde
Y = La ordenada de la función característica.
SKEW = Una variable que representa la asimetría, el tercer momento de
la distribución.
X = El importe del valor estándar.
LOC = Una variable que representa la ubicación, el primer momento del
distribución.
KURT = Una variable que representa la curtosis, el cuarto momento del
distribución.
ESCALA = Una variable que representa la escala, el segundo momento de
la distribución.
para X distinto de 0. Si X es igual a cero, el signo
sign() = La función de signo, igual a 1 o ­1. El signo de X se calcula como X/ABS(X)
debe considerarse positivo.
KURT = Una variable que representa la curtosis, el cuarto momento del
distribución.
Las figuras 4­8 y 4­9 demuestran el efecto de la variable de asimetría
en nuestra distribución.
Las figuras 4­6 y 4­7 demuestran el efecto del parámetro de escala.
El efecto de este parámetro se puede considerar como mover la línea horizontal.
1
eje hacia arriba o hacia abajo en la distribución. Cuando el eje se mueve hacia arriba
(mediante una escala decreciente), el gráfico también se amplía. Esto resulta en lo que tenemos
0,8
en la Figura 4­6. Esto tiene el efecto de mover el eje horizontal hacia arriba y
ampliando la curva de distribución. El resultado es como si estuviéramos mirando
en el "límite" de la distribución. La figura 4­7 hace justo lo contrario. Como es
0,6
Como se muestra en la figura, el efecto es que el eje horizontal ha sido
bajó y la curva de distribución se redujo.
0,4
1
0,2
0,8
0
­3
0,6
­2
­1
0
1
2
3
1
2
3
Figura 4­8 LOC = 0 ESCALA = 1 SESGO = ­.5 KURT = 2.
0,4
1
0,2
0,8
0
­3
­2
­1
0
1
2
3
0,6
Figura 4­6 LOC = 0 ESCALA = 0,5 SESGO = 0 KURT = 2.
0,4
1
0,2
0,8
0
­3
0,6
­2
­1
0
Figura 4­9 LOC = 0 ESCALA = 1 SESGO = +.5 KURT = 2.
0,4
Algunas notas importantes sobre los cuatro parámetros LOC, SCALE,
SKEW y KURT. Con excepción de la variable LOC (que es
expresado como el número de valores estándar para compensar la distribución),
0,2
las otras tres variables son adimensionales , es decir, sus valores son
números puros que tienen significado sólo en un contexto relativo, caracterizan la forma
0
­3
de la distribución y son relevantes sólo para esta distribución.
­2
­1
0
1
2
3
Además, los valores de los parámetros no son los mismos valores que usted
Figura 4­7 LOC = 0 ESCALA = 2 SESGO = 0 KURT = 2.
obtendría si empleara cualquiera de las técnicas de medición estándar detalladas en
Ahora tenemos una función característica para una distribución mediante la cual
"Medidas descriptivas de distribuciones" en el Capítulo 3. Por ejemplo, si determinara uno
tener control total sobre tres de los primeros cuatro momentos de la distribución.
de los coeficientes de asimetría de Pearson en un
Actualmente, la distribución es simétrica respecto a la ubicación. Qué
conjunto de datos, no sería el mismo valor que usaría para el
Lo que ahora necesitamos es poder incorporar una variable para la asimetría, la
SKEW variable en las distribuciones ajustables aquí. Los valores para el
tercer momento de la distribución, en esta función. para dar cuenta de
asimetría, debemos modificar aún más nuestra función. Nuestra función característica ha
evolucionado ahora a:
­ 51 ­
cuatro variables son exclusivas de nuestra distribución y tienen significado sólo en un
contexto relativo.
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También es importante el rango que pueden tomar las variables. El
ción en el punto X, como N(X). Por lo tanto, dado que la ecuación (4.06) nos da la primera
ESCALA. La variable siempre debe ser positiva sin límite superior, y
derivada de la integral, definimos la ecuación (4.06) como N'(X).
lo mismo con KURT. Sin embargo, en la aplicación, generalmente utilizará valores entre 0,5 y
A menudo es posible que no puedas derivar la integral de una función, incluso
3, y en casos extremos entre 0,05 y 5. Sin embargo,
si dominas el cálculo. Por lo tanto, en lugar de determinar la
puedes usar valores más allá de estos extremos, siempre que sean mayores
que cero.
integral a la Ecuación (4.06), vamos a confiar en una técnica diferente,
una que, aunque requiere un poco más de mano de obra, es más difícil que la técnica de
La variable LOC puede ser positiva, negativa o cero. El parámetro SKEW debe ser mayor
o igual a ­1 y menor o igual a +1.
encontrar la integral.
Las probabilidades respectivas siempre se pueden estimar para cualquier punto.
Cuando SKEW es igual a +1, todo el lado derecho de la distribución (derecho de
en la línea característica de la función haciendo que la distribución sea una serie de muchas
el pico) es igual al pico, y viceversa cuando SKEW es igual a ­1.
barras. Luego, para cualquier barra determinada de la distribución, puedes
Los rangos de las variables se resumen como:
calcular la probabilidad asociada en esa barra tomando la suma de las
áreas de todas esas barras a la izquierda de su barra, incluida su barra, y dividiéndola por la
(4.08) ­infinito<LOC<+infinito
suma de las áreas de todas las barras en la distribución. El
(4.09) ESCALA>0
Cuantas más barras utilices, más precisas serán tus probabilidades estimadas.
(4.10) ­1<=SESGAR<=+1
ser. Si pudieras usar un número infinito de barras, tu estimación sería
exacto.
(4.11) KURT>0
Las figuras 4­2 a 4­9 demuestran cuán flexible es nuestra distribución. Podemos ajustar
Ahora analizamos el procedimiento para encontrar las áreas bajo nuestra distribución
estos cuatro parámetros de manera que la distribución resultante pueda ajustarse a casi
ajustable a modo de ejemplo. Supongamos que deseamos encontrar
cualquier otra distribución.
probabilidades asociadas con cada incremento de 0,1 en los valores estándar de
­3 a +3 sigmas de nuestra distribución ajustable. Observe que nuestra tabla (p.
163) comienza en ­5 unidades estándar y termina en +5 unidades estándar, la razón
AJUSTE DE LOS PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN
Al igual que con el proceso descrito en el Capítulo 3 para encontrar nuestra f óptima en
la Distribución Normal, debemos convertir nuestros datos comerciales sin procesar
siendo que usted debe comenzar y terminar 2 sigmas más allá de los parámetros límite (­3 y
+3 sigmas en este caso) para obtener resultados más precisos.
Por lo tanto, comenzamos nuestra tabla en ­5 sigmas y la terminamos en +5 sigmas.
a unidades estándar. Hacemos esto restando primero la media de
Observe que X representa el número de unidades estándar que estamos
cada comercio, luego se divide por la desviación estándar de la población. De esto
En adelante, trabajaremos con los datos en unidades estándar en lugar de
lejos de la media. A esto le siguen los cuatro valores de parámetros.
que en su forma cruda. Después de que tengamos nuestras operaciones en valores estándar, podemos
La siguiente columna es la columna N'(X), la altura de la curva en el punto X
ordenarlos en orden ascendente. Con nuestros datos comerciales organizados de esta manera,
dados los valores de estos parámetros. N'(X) se calcula mediante la ecuación (4.06).
podrá realizar la prueba KS en él.
Ahora trabajamos con la ecuación (4.06). Supongamos que queremos calcular N'(X) para
Nuestro objetivo ahora es encontrar qué valores para LOC, SCALE, SKEW,
y KURT se ajustan mejor a nuestra distribución comercial real. Para determinar este "mejor
X en ­3, con los valores para los parámetros de .02, 2.76, 0,
ajuste" nos basamos en la prueba KS. Estimamos los valores de los parámetros empleando la
calcule el exponente de asimetría, C en la ecuación (4.06), dada como ecuación (4.07), como:
y 1,78 para LOC, SCALE, SKEW y KURT respectivamente. Primero nosotros
"técnica de fuerza bruta del siglo XX".
x LOC SCA
combinación para KURT de 3 a .5 por ­.1 (podríamos ejecutarlo con la misma facilidad
de .5 a 3 por .1, ya que no importa si ascendemos o descendemos
a través de los valores). También ejecutamos todas las combinaciones para ESCALA desde 3
a .5 por ­.1. Por el momento dejamos LOC y SKEW en 0. Por lo tanto,
vamos a ejecutar las siguientes combinaciones:
LOC ESCALA SESGO KURT
030030
3 2.9
0303
0
2,8
03
0
2,7
0
2,6
0303
0
2,5
0303
0
2,4
0303
0
2,3
03
0
2,2
0
2,1
0
0
0 2,9 0
0
2,9 0 ,5 0
0
,5
0
0
2 1,9
3
2,9 ,6 ,5
Realizamos la prueba KS para cada combinación. La combinación
eso da como resultado la estadística KS más baja que asumimos que son nuestros valores de
parámetros óptimos y de mejor ajuste para SCALE y KURT (por el momento).
Para realizar la prueba KS para cada combinación, necesitamos tanto la distribución real
como la distribución teórica (determinada a partir de la
parámetros para la distribución ajustable que estamos probando). Ya hemos visto cómo
construir la densidad acumulada real como X/N,
donde N es el número total de operaciones y X es la clasificación (entre 1
y N) de un comercio determinado. Ahora necesitamos calcular la CDF (la función de qué
porcentaje del área de la función característica constituye un cierto punto) para nuestra
distribución teórica para el LOC dado,
Valores de los parámetros SCALE, SKEW y KURT que estamos repitiendo actualmente
a través de.
Contamos con la función característica para nuestra distribución regulable.
Esta es la ecuación (4.06). Para obtener una CDF a partir de la función característica de una
distribución debemos encontrar la integral de la función característica. Nosotros
Defina la integral, el porcentaje de área bajo la función característica.
­ 52 ­
SKE KURT N'(X)Ec.(4.06) RUNNING­LE
W.
SUMA
­5,0 0,02 2,76 0 1,78 0,0092026741 0,0092026741 0,000388
­4,9 0,02 2,76 0 1,78 0,0095350519 0,018737726 0,001178
­4,8 0,02 2,76 0 1,78 0,0098865117 0,0286242377 0,001997
­4,7 0,02 2,76 0 1,78 0,01025857 0,0388828077 0,002847
­4,6 0,02 2,76 0 1,78 0,0106528988 0,0495357065 0,003729
­4,5 0,02 2,76 0 1,78 0,0110713449 0,0606070514 0,004645
­4,4 0,02 2,76 0 1,78 0,0115159524 0,0721230038 0,005598
­4,3 0,02 2,76 0 1,78 0,0119889887 0,08411I9925 0,006590
­4,2 0,02 2,76 0 1,78 0,0124929748 0,0966049673 0,007622
­4,1 0,02 2,76 0 1,78 0,0130307203 0.I096356876 0,008699
­4,0 0,02 2,76 0 1,78 0,0136053639 0,1232410515 0,009823
­3,9 0,02 2,76 0 1,78 0,0142204209 0,1374614724 0,010996
­3,8 0,02 2,76 0 1,78 0,0148798398 0,1523413122 0,012224
­3,7 0,02 2,76 0 1,78 0,0155880672 0,1679293795 0,013509
­3,6 0,02 2,76 0 1,78 0,0163501266 0,184279506 0,014856
­3,5 0,02 2,76 0 1,78 0,0171717099 0,2014512159 0,016270
­3,4 0,02 2,76 0 1,78 0,0180592883 0,2195105042 0,017756
­3,3 0,02 2,76 0 1,78 0,0190202443 0,2385307485 0,019320
­3,2 0,02 2,76 0 1,78 0,0200630301 0,2585937786 0,020969
­3,1 0,02 2,76 0 1,78 0,0211973606 0,2797911392 0,022709
­3,0 0,02 2,76 0 1,78 0,0224344468 0,302225586 0,024550
­2,9 0,02 2,76 0 1,78 0,0237872819 0,3260128679 0,026499
­2,8 0,02 2,76 0 1,78 0,0252709932 0,3512838612 0,028569
­2,7 0,02 2,76 0 1,78 0,0269032777 0,3781871389 0,030770
­2,6 0,02 2,76 0 1,78 0,0287049446 0,4068920835 0,033115
­2,5 0,02 2,76 0 1,78 0,0307005967 0,4375926802 0,035621
­2,4 0,02 2,76 0 1,78 0,032919491I 0,4705121713 0,038305
­2,3 0,02 2,76 0 1,78 0,0353966362 0,5059088075 0,041186
­2,2 0,02 2,76 0 1,78 0,0381742015 0,544083009 0,044290
­2,1 0,02 2,76 0 1,78 0,041303344 0,5853863529 0,047642
­2,0 0,02 2,76 0 1,78 0,0448465999 0,6302329529 0,051276
­1,9 0,02 2,76 0 1,78 0,0488810452 0,6791139981 0,055229
­1,8 0,02 2,76 0 1,78 0,0535025185 0,7326165166 0,059548
­1,7 0,02 2,76 0 1,78 0,0588313292 0,7914478458 0,064287
­1,6 0,02 2,76 0 1,78 0,0650200649 0,8564679107 0,06951I
­1,5 0,02 2,76 0 1,78 0,0722644105 0,9287323213 0,075302
­1,4 0,02 2,76 0 1,78 0,080818341 1,0095506622 0,081759
­1,3 0,02 2,76 0 1,78 0,0910157581 1,1005664203 0,089007
­1,2 0,02 2,76 0 1,78 0,1033017455 1,2038681658 0,097204
­1,1 0,02 2,76 0 1,78 0.I182783502 1,322146516 0,106550
N(X)
Machine Translated by Google
x LOC SCA
SKE KURT N'(X)Ec.(4.06) RUNNING­LE
W.
SUMA
= .02243444681
N(X)
Por tanto, en el punto X = ­3, el valor de N'(X) es .02243444681. (Aviso
­1,0 0,02 2,76 0 ­0,9
1,78 0,1367725028 1,4589190187 0,117308
0,02 2,76 0 ­0,8 0,02
1,78 0,1599377464 1,6188567651 0,129824
2,76 0 ­0,7 0,02 2,76
1,78 0,1894070001 1,8082637653 0,144560
0 ­0,6 0,02 2,76 0
1,78 0,2275190511 2,0357828164 0,162146
­0,5 0,02 2,76 0
1,78 0,2776382822 2,3134210986 0,183455
suficiente. Ahora calculamos la columna N(X), las probabilidades resultantes
1,78 0,3445412618 2,6579623604 0,209699
asociado con cada valor de X, para los valores de parámetros dados. Hacer
­0,4 0,02 2,76 0 ­0,3
1,78 0,4346363128 3,0925986732 0,242566
Para ello debemos realizar la Ecuación (4.12):
0,02 2,76 0 ­0,2 0,02
1,78 0,5550465747 3,6476452479 0,284312
(4.12) N(C) = (∑[i = 1,C]N'(Xi)+∑[i = 1,C­1]N'(Xi))/2/ ∑[i =
2,76 0 ­0,1 0,02 2,76
1,78 0,7084848615 4,3561301093 0,337609
0 0,0 0,02 2,76 0 0,1
1,78 0,8772840491 5,2334141584 0,404499
1,M]N'(Xi)
0,02 2,76 0 0,2 0,02
1,78 1 6,2334141584 0,483685
2,76 0 0,3 0,02 2,76
1,78 0,9363557429 7,1697699013 0,565363
C = El valor X actual.
0 0,4 0,02 2,76 0 0,5
1,78 0,776473162 7,9462430634 0,637613
M = El recuento total de valores X.
0,02 2,76 0
1,78 0,6127219404 8,5589650037 0,696211
que calculemos una columna N'(X), que corresponde a cada valor de
X). El siguiente paso que debemos realizar, la siguiente columna, es la suma acumulada.
de las N'(X) a medida que avanzamos a través de las X. Esto es sencillo
dónde
La ecuación (4.12) dice, literalmente, sumar la suma corriente al valor actual
1,78 0,4788099392 9,0377749429 0,742253
valor de X a la suma acumulada en el valor anterior de X a medida que avanzamos
1,78 0,377388991 9,4151639339 0,778369
hasta las X. Ahora divide esta suma por 2. Luego toma el nuevo cociente y divídelo por el
0,6 0,02 2,76 0 0,7
1,78 0,3020623672 9,7172263011 0,807029
0,02 2,76 0 0,8 0,02
1,78 0,2458941852 9,9631204863 0,830142
2,76 0 0,9 0,02 2,76
1,78 0,2034532796 10,1665737659 0,849096
los N'(X) (el total de la columna N'(X)). Esto nos da la resultante
0 1,0 0,02 2,76 0 1,1
1,78 0,1708567846 10,3374305505 0,864885
probabilidades para un valor dado de X, para valores de parámetros dados.
0,02 2,76 0 1,2 0,02
1,78 0,1453993995 10,48282995 0,878225
2,76 0 1,3 0,02 2,76
1,78 0,1251979811 10,6080279311 0,889639
0 1,4 0,02 2,76 0 1,5
1,78 0,1089291462 10,7169570773 0,899515
.2797911392. La suma de estas dos sumas acumuladas nos da
0,02 2,76 0
1,78 0,0956499316 10,8126070089 0,908145
5820167252. Dividir esto por 2 nos da .2910083626. Luego dividiendo
último valor en la columna de la suma acumulada de
Por lo tanto, para el valor de ­3 para X, la suma acumulada de los N'(X) en ­3
es .302225586, y la X anterior, ­3.1, tiene un valor de suma acumulada de
1,78 0,0846780659 10,8972850748 0,915751
esto por el último valor en la columna de suma acumulada, el total de todos los
1,78 0,0755122067 10,9727972814 0,922508
N'(X), 11,8535923812, nos da un cociente de 0,02455022522. Esto es
1,6 0,02 2,76 0 1,7
1,78 0,0677784099 11,0405756913 0,928552
0,02 2,76 0 1,8 0,02
1,78 0,0611937787 11,10176947 0,933993
2,76 0 1,9 0,02 2,76
1,78 0,0555414402 11,1573109102 0,938917
0 2,0 0,02 2,76 0
1,78 0,0506530744 11,2079639847 0,943396
2,1 0,02 2,76 0 2,2
1,78 0,0463965419 11,2543605266 0,947490
distribución ajustable, podemos realizar la prueba KS para la
0,02 2,76 0 2,3 0,02
1,78 0,0426670018 11,2970275284 0,951246
valores de parámetros que estamos utilizando actualmente. Antes de hacerlo, sin embargo,
2,76 0 2,4 0,02 2,76
1,78 0,0393804519 11,3364079803 0,954707
debemos hacer ajustes por un par de consideraciones preliminares más.
0 2,5 0,02 2,76 0
1,78 0,0364689711 11,3728769515 0,957907
la probabilidad asociada, N(X), en el valor estándar de X = ­3.
Una vez que hayamos construido probabilidades acumuladas para cada operación en
la distribución real y las probabilidades para cada incremento de valor estándar en nuestra
En el ejemplo de la tabla de probabilidades acumuladas mostrada anteriormente
1,78 0,0338771754 11,4067541269 0,960874
Para nuestra distribución ajustable, calculamos probabilidades en cada incremento de 0,1
1,78 0,0315595472 11,4383136741 0,963634
en los valores estándar. Esto fue por simplicidad. En la práctica, puede obtener un mayor
2,6 0,02 2,76 0 2,7
1,78 0,0294784036 11,4677920777 0,966209
0,02 2,76 0 2,8 0,02
1,78 0,0276023341 11,4953944118 0,968617
2,76 0 2,9 0,02 2,76
1,78 0,0259049892 11,5212994011 0,970874
0 3,0 0,02 2,76 0 3,1
1,78 0,0243641331 11,5456635342 0,972994
0,02 2,76 0 3,2 0,02
1,78 0,0229608959 11,5686244301 0,974990
práctica, es decir, ¿cuántos sigmas a cada lado de la media debes ir?
2,76 0 3,3 0,02 2,76
1,78 0,0216791802 11,5903036102 0,976873
para determinar sus probabilidades para nuestra distribución ajustable. En nuestro
0 3,4 0,02 2,76 0 3,5
1,78 0,0205051855 11,6108087957 0,978653
Por ejemplo, estábamos usando 3 sigmas a cada lado de la media, pero en realidad
0,02 2,76 0
1,78 0,0194270256 11,6302358213 0,980337
debes utilizar el valor absoluto del punto más alejado de la media. Para
1,78 0,0184344179 11,6486702392 0,981934
En nuestro ejemplo de 232 operaciones, el valor estándar del extremo izquierdo (más bajo) es ­2,96
grado de precisión utilizando un paso más pequeño.
incremento. Considero que usar valores estándar de 0,01 es un buen incremento de paso.
Unas palabras sobre cómo determinar sus parámetros delimitadores en la actualidad
1,78 0,0175184304 11,6661886696 0,983451
3,6 0,02 2,76 0 3,7
1,78 0,0166712734 11,682859943 0,984893
0,02 2,76 0 3,8 0,02
1,78 0,0158861285 11,6987460714 0,986266
2,76 0 3,9 0,02 2,76
1,78 0,0151570063 11,7139030777 0,987576
unidades estándar y el extremo derecho (más alto) es 6.935321 estándar
unidades. Dado que 6,93 es mayor que ABS(­2,96), debemos tomar el 6,935321.
Ahora, agregamos al menos 2 sigmas a este valor, para mayor precisión,
y construir probabilidades para una distribución de ­8,94 a +8,94 sigmas.
0 4,0 0,02 2,76 0 4,1
1,78 0,014478628 11,7283817056 0,988826
0,02 2,76 0 4,2 0,02
1,78 0,0138463263 11,742228032 0,990020
2,76 0 4,3 0,02 2,76
1,78 0,0132559621 11,7554839941 0,991164
0 4,4 0,02 2,76 0 4,5
1,78 0,012703854 11,7681878481 0,992259
­8,94
0,02 2,76 0
1,78 0,0121867187 11,7803745668 0,993309
­8.93
Como queremos mucha precisión, usaremos un incremento de paso de
.01. Por lo tanto, calcularemos probabilidades para valores estándar de:
1,78 0,0117016203 11,7920761871 0,994316
­8,92
1,78 0,0112459269 11,8033221139 0,995284
4,6 0,02 2,76 0 4,7
1,78 0,0108172734 11,8141393873 0,996215
0,02 2,76 0 4,8 0,02
1,78 0,0104135298 11,8245529171 0,997110
2,76 0 4,9 0,02 2,76
1,78 0,0100327732 11,8345856903 0,997973
0 5,0 0,02 2,76 0
1,78 0,0096732643 11,8442589547 0,998804
­8,91
+8.94
Ahora, lo último que debemos hacer antes de poder realizar nuestra
1,78 0,0093334265 11,8535923812 0,999606
La estadística KS consiste en redondear los valores estándar reales de las operaciones clasificadas a
(4.07) C = (1+(ABS(SKEW)^ABS(1/(X­LOC))*signo(X)*­
el .01 más cercano (ya que estamos usando .01 como nuestro valor de paso en la
signo(SKEW)))^.5 =
distribución teórica). Por ejemplo, el valor 6,935321 no tendrá una probabilidad teórica
(1+(ABS(0)^ABS(l/(­3­.02))*­1*­1))^5 = (1+0)^.5 = 1
correspondiente asociada, ya que está entre
los valores de paso 6,93 y 6,94. Como 6,94 está más cerca de 6,935321, redondeamos
6,935321 a 6,94. Antes de que podamos comenzar el procedimiento de optimización de nuestro
Así, sustituyendo C por 1 en la ecuación (4.06):
parámetros de distribución ajustables a la distribución real empleando la prueba KS,
(4.06) Y= (1/(ABS((X­LOC)*ESCALA)^KUKT+1))^C
debemos redondear nuestras operaciones estandarizadas clasificadas reales a
= (l/(ABS((­3­.02)*2.76)^1.78+1))^1 = (1/
el incremento de paso más cercano.
((3.02*2.76)^1.78+1))^1 = (1/(8.3352^
En lugar de redondear los valores estándar de las operaciones al valor más cercano
1,78+1))^1 = (1/
Xésimo lugar decimal, puede utilizar la interpolación lineal en su tabla de probabilidades
(43,57431058+1))^1 =
acumulativas para derivar probabilidades correspondientes al valor real.
valores estándar de los oficios. Para obtener más información sobre la interpolación lineal, consulte a un
(1/44,57431058)^1
buen libro de estadísticas, como algunos de los sugeridos en la bibliografía o Commodity
= .02243444681^1
Market Money Management de Fred Gehm.
­ 53 ­
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Hasta ahora, hemos estado optimizando solo para el KURT que mejor se ajusta.
1.2
y valores de ESCALA. Lógicamente, parecería que si estandarizáramos nuestra
datos, como tenemos, entonces el parámetro LOC debe mantenerse en 0 y el
1
El parámetro SCALE debe mantenerse en 1. Esto no es necesariamente cierto, ya que
la verdadera ubicación de la distribución puede no ser la media aritmética, y
el verdadero valor óptimo para la escala puede no ser 1. KURT y SCALE
N(X)
0,8
Los valores tienen una relación muy fuerte entre sí. Por lo tanto, primero intentamos
para aislar la "vecindad" de los valores de parámetros que mejor se ajustan a
KURT y ESCALA. Para nuestras 232 operaciones, esto ocurre a una ESCALA igual a
0,6
N'(X)
2,7 y KURT igual a 1,9.
Ahora intentamos progresivamente concentrarnos en el parámetro que mejor se ajusta
valores. Este es un proceso que requiere mucho tiempo de computadora. Ejecutamos nuestro próximo pase.
0,4
A través de, ciclando el parámetro LOC de .1 a ­.1 por ­.05, la ESCALA
parámetro de 2,6 a 2,8 por 0,05, el parámetro SKEW de 0,1 a ­0,1 por
0,2
­.05, y el parámetro KURT de 1.86 a 1.92 por .02. Los resultados de
este ciclo proporciona el óptimo (estadística KS más baja) en LOC = 0,
0
­4899,56 ­3156,33 ­1413,1 330,13 2073,36 3716,59
ESCALA = 2,8, SESGO = 0 y KURT = 1,86.
Así realizamos un tercer ciclo. Esta vez ejecutamos LOC desde
Figura 4­10 Distribución ajustable ajustada a los 232 oficios.
.04 a ­.04 por ­.02, ESCALA de 2.76 a 2.82 por .02, SKEW de .04 a
­.04 por ­.02, y KURT de 1.8 a 1.9 por .02. Los resultados de la tercera
Si tomamos estos parámetros y encontramos la f óptima en esta distribución, limitando
el ciclo muestra valores óptimos en LOC = 0,02, ESCALA = 2,76,
la distribución de +3 a ­3 sigmas y usando 100
SKEW = 0 y KURT = 1,8.
puntos de datos igualmente espaciados, llegamos a un valor f óptimo de .206, o 1
Ahora nos hemos centrado en la vecindad óptima, las áreas
contrato por cada $23.783,17. Compare esto con el método empírico,
donde los parámetros logran el mejor ajuste de nuestra función característica ajustable a los
lo que demostró que el crecimiento óptimo se obtiene con 1 contrato por cada
datos reales. Para nuestro último ciclo vamos a
$7,918.04 en patrimonio de la cuenta.
ejecute LOC de 0 a 0,03 por 0,01, ESCALA de 2,76 a 2,73 por ­01, SKEW
Pero ese es el resultado que obtenemos si limitamos la distribución a 3 sigmas.
de 0,01 a ­01 por ­01, y KURT de 1,8 a 1,75 por ­01. Los resultados
cada lado de la media. En realidad, en la corriente empírica de los intercambios,
de este pase final muestran los parámetros óptimos para nuestras 232 operaciones en LOC =
tuvo una pérdida en el peor de los casos de 2,96 sigmas y una ganancia en el mejor de los
.02, ESCALA = 2.76, SESGO = 0 y KURT = 1.78.
casos de 6,94 sigmas. Ahora, si volvemos atrás y limitamos nuestra distribución a 2,96 sigmas en
el lado izquierdo (lado negativo) de la media y 6,94 a la derecha (y usaremos
USO DE LOS PARÁMETROS PARA ENCONTRAR LA F ÓPTIMA
300 puntos de datos igualmente espaciados esta vez), obtenemos una f óptima de .954
Ahora que hemos encontrado los valores de los parámetros que mejor se ajustan, podemos
o 1 contrato por cada $5,062.71 en capital de la cuenta. ¿Por qué esto difiere?
del óptimo empírico f de $7.918,04?
Encuentre la f óptima en esta distribución. Podemos hacer el mismo procedimiento.
La diferencia está en la "aspereza" de la distribución real. Recuerde que el nivel de
Solíamos encontrar la f óptima en la distribución normal analizada en
valor estándar (valor X) se calculan según el procedimiento
significancia de nuestros parámetros de mejor ajuste fue solo
7,8384%. Tomemos nuestra distribución de 232 operaciones y la agruparemos en 12 contenedores.
descrito para las ecuaciones (4.06) y (4.12). Con la Distribución Normal, encontramos nuestra
de ­3 a +3 sigmas.
el último capítulo. La única diferencia ahora es que las probabilidades asociadas para cada
columna de probabilidades asociada (probabilidades correspondientes a un cierto valor
Número de contenedores de operaciones
estándar) usando la Ecuación (3.21). aquí, a
­3,0 ­2,5 2
encontrar nuestras probabilidades asociadas, debemos seguir el procedimiento detallado
­2,5 ­2,0 1
previamente:
­2,0 ­1,5 2
­1,5 ­1,0 24 ­1,0
1. Para un valor estándar dado, X, calculamos su correspondiente N'(X) mediante
­0,5 39 ­0,5 0,0
Ecuación (4.06).
43 0,0 0,5 69
2. Para cada valor estándar, también tenemos el paso intermedio de mantener un
0,5 1,0 38 1,0
suma acumulada de los N'(X) correspondientes a cada valor de X.
1,5 7 1,5 2,0 2
2,0 2,5 0
3. Ahora, para encontrar N(X), la probabilidad resultante para un X dado, sume la suma
acumulada correspondiente al valor de X con la suma acumulada correspondiente al
valor de X anterior. dividir esta suma
2,5 3,0 2
por 2. Luego divide este cociente por la suma total de los N'(X), el
Observe que al final de la distribución hay espacios, áreas o contenedores.
última entrada en la columna de sumas corrientes. Este nuevo cociente es el
donde no hay datos empíricos. Estas áreas invariablemente obtienen
probabilidad asociada de una cola para una X dada.
Ya que ahora tenemos un procedimiento para encontrar las probabilidades asociadas.
para un valor estándar dado, X, para un conjunto dado de valores de parámetros,
podemos encontrar nuestro f óptimo. El procedimiento es exactamente el mismo que el detallado.
para encontrar la f óptima en la distribución normal. La única diferencia es que calculamos la
columna de probabilidades asociada de manera diferente.
En nuestro ejemplo de 232 operaciones, los valores de los parámetros que dan como resultado el
La estadística KS más baja es 0,02, 2,76, 0 y 1,78 para LOC, ESCALA, SKEW,
suavizado cuando ajustamos nuestra distribución ajustable a los datos, y
Son estas áreas suavizadas las que causan la diferencia entre el fs óptimo paramétrico y
empírico. ¿Por qué nuestra distribución no se ajusta a las
¿Se observa mejor, especialmente a la luz de lo maleable que es? La razón
tiene que ver con que la distribución observada tiene demasiados puntos de inflexión.
Una parábola se puede ahuecar hacia arriba o hacia abajo. Sin embargo, en la medida
de una parábola, la dirección de la copa, ya sea que apunte hacia arriba o
y KURT respectivamente. Llegamos a estos valores de parámetros usando
hacia abajo, no cambia. Definimos un punto de inflexión como cualquier momento en el que
el procedimiento de optimización descrito en este capítulo. Esto dio como resultado una
La dirección de la concavidad cambia de arriba a abajo. Por lo tanto, un
estadística KS de 0,0835529 (lo que significa que en su peor punto, las dos distribuciones
la parábola tiene 0 puntos de inflexión, ya que la dirección de la concavidad
estaban separadas por un 8,35529%) y un nivel de significancia de 7,8384%.
nunca cambia. Un objeto con forma de letra S que yace de lado tiene
La Figura 4­10 muestra la función de distribución para esos valores de parámetros.
un punto de inflexión, un punto donde la concavidad cambia desde arriba
que mejor se ajusten a nuestras 232 operaciones.
a abajo.
­ 54 ­
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mencionado, debemos suponer que la f óptima para la siguiente operación está determinada
paramétricamente por la función generadora, aunque esto pueda
difieren del óptimo empírico f.
Obviamente, los parámetros delimitadores tienen un efecto muy importante en
Cóncavo hacia abajo
el óptimo f. ¿Dónde debería colocar los parámetros delimitadores para
obtener los mejores resultados? Mira lo que sucede a medida que movemos la parte superior.
vendó. La siguiente tabla se compila delimitando el extremo inferior en
3 sigmas y utilizando 100 puntos de datos igualmente espaciados y los parámetros óptimos para
nuestras 232 operaciones:
Cóncava arriba
Puntos de inflexión
Cóncava arriba
Límite superior ff$ 0,206
$23783,17 3
Sigmas 4
Sigmas 0,588 $8332,51 5 Sigmas
0,784 $6249,42 6 Sigmas 0,887
$5523,73 7 Sigmas 0,938 $5223,41
8 Sigmas 0,963 $5087,81 1 00
Figura 4­11 Puntos de inflexión en una distribución en forma de campana.
Sigmas .999 $4,904.46 Observe
que, manteniendo constante el límite
La Figura 4­11 muestra la Distribución Normal. Note que hay dos
inferior, mayor arriba nosotros
puntos de inflexión en una curva en forma de campana como la Distribución Normal. Dependiendo
mueve el límite superior, más se acerca la f óptima a 1. Por lo tanto, la
del valor de ESCALA, nuestra distribución ajustable puede
Cuanto más subamos el límite superior, más será la f óptima en dólares.
tener n cero puntos de inflexión (si la ESCALA es muy baja) o dos puntos de
acercarse exactamente al límite inferior (pérdida esperada en el peor de los casos). En esto
inflexión. La razón por la que nuestra distribución ajustable no se ajusta a la realidad
En el caso de que nuestro límite inferior esté en ­3 sigmas, cuanto más movamos el límite
distribución de operaciones mejor que lo que hace es que la distribución real
superior hacia arriba, más se acercará la f óptima en dólares al límite inferior.
Tiene demasiados puntos de inflexión.
consolidado como límite­$330,13­(1743,23*3) = ­$4.899,56.
¿Significa esto que nuestra distribución regulable ajustada está mal?
Ahora observe lo que sucede cuando mantenemos constante el límite superior.
Probablemente no. Si así lo deseamos, podríamos crear una distribución.
(en 3), pero mueva el límite inferior hacia abajo. Muy pronto en este proceso el
función que permitía más de dos puntos de inflexión, lo que
La expectativa matemática aritmética se vuelve negativa. Esto sucede porque más del 50% del
área bajo la función característica es para
Se ajustaría mejor la curva a la distribución observada real. Si creáramos un
función de distribución que permitía tantos puntos de inflexión como
la izquierda del eje cero. En consecuencia, a medida que movemos el límite inferior
deseado, podríamos ajustarnos perfectamente a la distribución observada. Nuestro óptimo
Si el parámetro es más bajo, la f óptima rápidamente llega a cero.
f derivada de allí sería entonces casi igual que la empírica.
Ahora considere lo que sucede cuando movemos ambos parámetros delimitadores al
Sin embargo, cuantos más puntos de inflexión agreguemos a nuestra función de distribución,
mismo ritmo. Aquí estamos utilizando el conjunto de parámetros óptimo de
menos robusta será (es decir, probablemente será menos robusta).
.02, 2.76, 0 y 1.78 en nuestra distribución de 232 operaciones y 100 igualmente
representante de los oficios en el futuro).
puntos de datos espaciados:
Sin embargo, no estamos tratando de ajustar el parámetro f al observado.
Límite superior e inferior ff$ 3 Sigmas
exactamente. Estamos tratando de determinar cómo se distribuyen los datos observados.
para que podamos determinar con bastante precisión cuál es la solución óptima.
.206 $23,783.17 4 Sigmas .158 $42,040.42 5
Así será el futuro si los datos se distribuyen como en el pasado.
Sigmas ,126 $66,550.75 .104 $97,387.87 6 Sigmas
10 Sigmas .053 $322,625.17 Observe que nuestra
Cuando observamos la distribución ajustable que se ha adaptado a nuestros oficios reales, los
f óptima se acerca
a0a
puntos de inflexión espurios desaparecen.
medida que movemos ambos delimitando
Una analogía puede aclarar esto. Supongamos que estamos usando el tablero de Galton.
Sabemos que asintóticamente la distribución de las bolas que caen
parámetros hasta más y menos infinito. Además, dado que nuestra pérdida en el peor de los
el tablero será Normal. Sin embargo, sólo vamos a ver 4 bolas.
casos es cada vez mayor y se divide por una cantidad cada vez más pequeña
rodó por el tablero. ¿Podemos esperar que los resultados de las 4 bolas sean
f óptimo más pequeño, nuestro f$, la cantidad para financiar 1 unidad, también se acerca al
¿Será perfectamente conforme a lo Normal? ¿Qué tal 5 bolas? 50 bolas?
infinito.
En un sentido asintótico, esperamos que la distribución observada en la carne
El problema de cuál es el mejor lugar para colocar los parámetros delimitadores se reformula
a lo esperado a medida que aumenta el número de operaciones. Ajustar nuestra distribución
mejor como: "¿Dónde, en el caso extremo, esperamos que se establezcan los parámetros delimitadores?".
teórica a cada punto de inflexión en la realidad no nos dará
¿Se producirán las mejores y peores operaciones en el futuro (en el transcurso del cual vamos a
un mayor grado de precisión en el futuro. A medida que se produzcan más intercambios,
comerciar con este sistema de mercado)?
Podemos esperar que la distribución observada converja hacia la esperada, como podemos
en realidad va a más y menos infinito. Para dar cuenta de esto nosotros
esperar que los puntos de inflexión extraños se completen.
financiaría óptimamente cada contrato por una cantidad infinitamente alta (como
con operaciones a medida que el número de operaciones se acerca al infinito. si el proceso
La generación de operaciones se modela con precisión mediante nuestros parámetros, la f óptima
derivada de la teórica será más precisa en el futuro.
secuencia de operaciones que la f óptima derivada empíricamente en el pasado
en nuestro último ejemplo, donde movimos ambos límites hacia afuera). Si fueramos
vamos a negociar durante un tiempo infinitamente largo en el futuro, nuestra f óptima en
Los dólares serían infinitos. Pero no vamos a comerciar con este sistema de mercado para
siempre. La f óptima en el futuro sobre la que vamos a negociar.
vientos alisios.
En otras palabras, si nuestras 232 operaciones son una aproximación de la distribución de
las operaciones en el futuro, entonces podemos esperar que las operaciones en el futuro lleguen en una
distribución más parecida a la teórica que hemos ajustado que a la distribución teórica que hemos ajustado.
como el observado con sus extraños puntos de inflexión y su aspereza por no tener infinidad de
oficios. Al hacerlo, podemos
este sistema de mercado es una función de lo que se negocia mejor y peor en ese
el futuro son.
Recuerde que si lanzamos una moneda 100 veces y registramos cuál es el tiempo más largo
racha de cruces consecutivas es, luego lanza la moneda otras 100 veces, la
La racha más larga de cruces consecutivas al final de 200 lanzamientos superará a
probablemente sea mayor de lo que era después de sólo los primeros 100 lanzamientos. De manera similar, si el
esperar que la aleta óptima el futuro se parezca más a la f óptima obtenida
La peor pérdida observada en nuestro historial de 232 operaciones fue una pérdida de 2,96 sigma.
de la distribución teórica que es como el f óptimo obtenido empíricamente sobre la distribución
(digamos una pérdida de 3 sigma), entonces deberíamos esperar una pérdida mayor que 3
observada.
sigmas en el futuro sobre los cuales vamos a negociar este sistema de mercado. Por lo tanto, en
Por lo tanto, en este caso es mejor utilizar el óptimo paramétrico f
lugar de limitar nuestra distribución a lo que los límites
en lugar de lo empírico. La situación es análoga al lanzamiento de 20 monedas.
de la historia pasada de las operaciones fueron (­2,96 y +6,94 sigmas), veremos
discusión del capítulo anterior. Si esperamos un 60% de ganancias con un pago de 1:1, la f
lo limitó a ­4 y +6,94 sigmas. Quizás deberíamos esperar la gama alta.
óptima es correctamente 0,2. Sin embargo, si sólo tuviéramos datos empíricos
seguramente será violado en el futuro, tal como esperamos que la gama baja
de los últimos 20 lanzamientos, 11 de los cuales fueron victorias, nuestra f óptima mostraría
obligado a ser violado. Sin embargo, no haremos esta suposición por un
como .1, aunque ,2 es lo que deberíamos apostar de manera óptima en el próximo lanzamiento
par de razones. La primera es que los sistemas comerciales notoriamente no
ya que tiene un 60% de posibilidades de ganar. Debemos suponer que el f óptimo paramétrico
comercio también en el futuro, en general, como lo han hecho con los datos históricos,
($5.062,71 en este caso) es correcto porque es el f óptimo de la función generadora . Al igual
incluso cuando no hay parámetros optimizables involucrados. vuelve a
que con el juego de lanzar una moneda, solo men­
el principio de que los sistemas de comercio mecánicos parecen sufrir de un
­ 55 ­
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Borde cada vez más deteriorado. En segundo lugar, el hecho de que paguemos una pena menor.
Observe que en la Figura 4­12, cambiando el parámetro de ubicación LOC
por equivocarnos en f óptima si nos equivocamos a la izquierda del pico de la curva f que
mueve la distribución hacia la derecha o hacia la izquierda en la "ventana" de los parámetros
si nos equivocamos hacia la derecha sugiere que deberíamos equivocarnos hacia el lado conservador
delimitadores. Pero los parámetros delimitadores no se mueven con la distribución. Por lo tanto,
lado en nuestros pronósticos sobre el futuro.
un cambio en el parámetro LOC también afecta cuántos puntos de datos equidistantes quedarán
a la izquierda del modo y a la derecha del modo de
Por lo tanto, determinaremos nuestro óptimo paramétrico f utilizando la
la distribución. Al cambiar la media aritmética real (o usar la
parámetros delimitadores de ­4 y +6,94 sigmas y utilice 300 igualmente espaciados
puntos de datos. Sin embargo, al calcular las probabilidades en cada uno de los 300
reducir la variable en la búsqueda de Distribución Normal para f), la ventana de
puntos de datos igualmente espaciados, es importante que comencemos nuestra distribución
los parámetros delimitadores también se mueven. Cuando modifica el promedio aritmético del
2 sigmas antes y después de nuestros parámetros delimitadores seleccionados. Por lo tanto,
comercio como entrada, o modifica la variable de reducción en el mecanismo de Distribución
determinamos las probabilidades asociadas creando barras de ­6 a
Normal, todavía tiene la misma cantidad de datos igualmente espaciados.
+8,94 sigmas, aunque solo vamos a utilizar las barras entre ­4
apunta a la derecha y a la izquierda del modo de distribución que tenías
antes de la alteración.
y +6,94 sigmas. Al hacerlo, hemos mejorado la precisión de nuestra
resultados.
ECUALIZACIÓN F
Usando nuestros parámetros óptimos de 0,02, 2,76, 0 y 1,78 ahora se obtiene
una f óptima de 0,837, o 1 contrato por cada $7.936,41.
La técnica detallada en este capítulo se mostró utilizando datos que
no fue igualado. También podemos utilizar esta misma técnica con datos ecualizados. Si
Mientras no se violen nuestros parámetros delimitadores seleccionados, nuestro
El modelo de la realidad es exacto en términos de los límites seleccionados. Eso es tan
queremos determinar un óptimo paramétrico ecualizado f, tenemos
siempre y cuando no veamos una pérdida mayor a 4 sigmas­$330.13­(1743.23*4)
convertiría las ganancias y pérdidas comerciales brutas en ganancias porcentuales
= ­$6.642,79­o una ganancia mayor a 6,94 sigmas­
y pérdidas, con base en las ecuaciones (2.10a) a (2.10c). A continuación, haríamos
$330,13+(1743,23*6,94) = $12.428,15: hemos modelado con precisión el
límites de la distribución de los oficios en el futuro.
convertir estos porcentajes de ganancias y pérdidas multiplicándolos por el
precio actual del instrumento subyacente. Por ejemplo, P&L número 1
es .18. Supongamos que el precio de entrada a esta operación fuera 100,50. El porcentaje
La posible divergencia entre nuestro modelo y la realidad es nuestra ciega.
La ganancia en esta operación sería 0,18/100,50 = 001791044776. Ahora supongamos
lugar. Es decir, la f óptima derivada de nuestro modelo (con nuestro seleccionado
que el precio actual de este instrumento subyacente es 112,00. Multiplicar 0,001791044776 por
parámetros delimitadores) es la f óptima para nuestro modelo, no necesariamente para
112,00 se traduce en unas pérdidas y ganancias igualadas de
.2005970149.
realidad. Si nuestros parámetros delimitadores seleccionados se violan en el futuro,
nuestro óptimo seleccionado f no puede ser entonces el óptimo. Seríamos inteligentes si
Si quisiéramos hacer este procedimiento en igualdad de condiciones,
defender este punto ciego con técnicas, como opciones largas, que limitan
realizaría esta operación en las 232 ganancias y pérdidas comerciales. Nosotros
nuestra responsabilidad hasta una cantidad prescrita.
Luego calcularía la media aritmética y la desviación estándar poblacional en los intercambios
Mientras discutimos las debilidades del método, una última
igualados y usaría la ecuación (3.16) para estandarizar los intercambios. A continuación,
Cabe señalar la debilidad. Una vez que haya obtenido su f óptima paramétrica, debe tener en
podríamos encontrar el conjunto de parámetros óptimo para LOC,
cuenta que la distribución real del comercio
SCALE, SKEW y KURT en los datos ecualizados exactamente como se muestra
pérdidas y ganancias es aquel en el que los parámetros cambian constantemente, aunque
en este capítulo para datos no ecualizados.
lentamente. Debes ejecutar frecuentemente la técnica en tu
El resto del procedimiento es el mismo en este capítulo en términos de determinar la f
opere ganancias y pérdidas para cada sistema de mercado con el que esté operando para
óptima, la media geométrica y la TWR. Los subproductos de
monitorear esta dinámica de las distribuciones.
el comercio promedio geométrico, el comercio promedio aritmético y el umbral para
los geométricos sólo son válidos para el precio actual del instrumento subyacente. Cuando el
REALIZANDO "QUÉ SI SI"
precio del instrumento subyacente cambia, se debe repetir el procedimiento, volviendo al paso
Una vez que haya obtenido su f óptima paramétrica, puede realizar
uno y multiplicando el
"¿Qué pasa si los tipos de escenarios en su distribución funcionan alterando el
parámetros LOC, SCALE, SKEW y KURT de la función de distribución para replicar diferentes
resultados esperados en el futuro cercano (diferentes
porcentaje de ganancias y pérdidas por el nuevo precio subyacente. cuando vas
para rehacer el procedimiento con un precio subyacente diferente, obtendrá
el mismo f óptimo, media geométrica y TWR. Sin embargo, su operación promedio aritmética,
distribuciones que podría tomar el futuro) y observar los efectos. Así como nosotros
su operación promedio geométrica y su umbral geométrico serán diferentes según el nuevo
puede jugar con el estiramiento y la contracción en la distribución Normal, así también,
precio del activo subyacente.
instrumento.
¿Podemos jugar con los parámetros LOC, SCALE, SKEW y KURT de
nuestra distribución ajustable.
El número de contratos a negociar según lo indicado en la ecuación (3.34) debe
El "¿Qué pasa si las capacidades de la técnica paramétrica son las
ser cambiado. Las pérdidas y ganancias asociadas al peor de los casos, la variable W, ecuación
fortalezas que ayudan a compensar las debilidades de la distribución real de
(3.35), será diferente en la ecuación (3.34) como resultado de los cambios
Las pérdidas y ganancias comerciales se mueven. Las técnicas paramétricas nos permiten ver
los efectos de los cambios en la distribución de las ganancias y pérdidas comerciales reales
antes de que ocurran, y posiblemente presupuestarlas.
causado en los datos igualados por un precio actual diferente.
F ÓPTIMA EN OTRAS DISTRIBUCIONES Y EQUIPADOS
Al jugar con los parámetros, es necesaria una sugerencia. Cuando
CURVAS
encontrar la f óptima, en lugar de jugar con el LOC, la ubicación
En este punto debes darte cuenta de que hay muchas otras maneras de
parámetro, es mejor que juegue con el promedio aritmético del comercio
puede determinar su óptimo paramétrico f. Hemos cubierto un procedimiento.
en dólares que estás utilizando como entrada. La razón se ilustra en la figura.
4­12.
para encontrar la f óptima en datos distribuidos normalmente en el artículo anterior
capítulo. Así tenemos un procedimiento que nos dará la f óptima para cualquier
Fenómeno normalmente distribuido. Ese mismo procedimiento se puede utilizar
Como es
para encontrar el óptimo en los datos de cualquier distribución, siempre que la función de
densidad acumulada de la distribución seleccionada esté disponible (estos
Las funciones se dan para muchas otras distribuciones comunes en el Apéndice.
B). Cuando la función de densidad acumulada no está disponible, el valor óptimo
f se puede encontrar para cualquier otra función mediante el método de integración utilizado
Alterar la merma o el
en este capítulo para aproximar las densidades acumuladas, las áreas bajo la curva.
comercio promedio
He elegido en este capítulo modelar la distribución real de
opera a través de nuestra distribución ajustable. Esto equivale a poco más
Alterando el
que encontrar una función y sus valores apropiados, que modelen la función de densidad real
ubicación
de las pérdidas y ganancias comerciales con un máximo de 2 puntos de inflexión. Podrías usar
o crear muchas otras funciones y métodos para
parámetro
hacer esto, como la interpolación polinomial y la extrapolación, racional
Figura 4­12 Modificación de los parámetros de ubicación.
función (cocientes de polinomios) interpolación y extrapolación, o
Usar splines para ajustar una función teórica a la real. Una vez que cualquier teoría
­ 56 ­
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Se encuentra la función física, las probabilidades asociadas se pueden determinar mediante
¿Qué pasa si surge un nuevo competidor? ¿Qué pasa si usted ha subestimado gravemente la
el mismo método de estimación integral que se usó para encontrar las probabilidades asociadas
demanda de este producto? ¿Qué pasa si estalla una guerra en tal o cual continente? ¿Y si se
trata de una guerra nuclear? Porque cada escenario es
de nuestra distribución ajustable o usando la integración
técnicas de cálculo.
Sólo uno de varios, cada escenario puede considerarse seriamente. Pero que
¿Qué haces una vez que has definido estos escenarios?
Existe un problema al adaptar cualquiera de estas otras funciones. Parte de
La idea central de este libro ha sido permitir a los usuarios de sistemas que no son
Para empezar, debes determinar qué objetivo te gustaría alcanzar.
puramente mecánico para tener el mismo poder de gestión de cuentas que
lograr para cada escenario dado. Dependiendo del escenario, el objetivo
los usuarios de sistemas puramente mecánicos. Como tal, la ruta de distribución ajustable que
no tiene por qué ser positivo. Por ejemplo, en un escenario sombrío su
tomé sólo requiere estimaciones de los parámetros. Estos
El objetivo puede ser simplemente el control de daños. Una vez que haya definido una meta para un
Los parámetros pertenecen a los primeros cuatro momentos de la distribución. Es
escenario dado, entonces es necesario elaborar los planes de contingencia correspondientes a
estos momentos (ubicación, escala, asimetría y curtosis) que describen la
ese escenario para lograr el objetivo deseado. Por ejemplo, en el
distribución. Por lo tanto, alguien que opere sobre alguna base no puramente mecánica (por
escenario bastante improbable y sombrío donde su objetivo es el control de daños, usted
ejemplo, la onda de Elliott) podría estimar los parámetros y tener acceso a
Necesita tener planes formulados para que pueda minimizar el daño.
f óptima y sus cálculos de subproductos. Una historia pasada de intercambios no es
Por encima de todo, la planificación de escenarios proporciona al planificador un curso de
un requisito previo para estimar estos parámetros. Si tuviera que utilizar cualquiera de
acciones a tomar en caso de que se desarrolle un determinado escenario. Te obliga a hacer
las otras técnicas de adaptación mencionadas, no necesariamente necesitarías un
planes antes del hecho; Te obliga a estar preparado para lo inesperado.
historial pasado de operaciones tampoco, pero las estimaciones de los parámetros de esas
Sin embargo, la planificación de escenarios puede hacer mucho más. Existe una estrecha
Las técnicas de ajuste no se refieren necesariamente a los momentos de la distribución. A lo
relación entre la planificación de escenarios y la f óptima. Optimal nos sigue a
que pertenecen es a una función de la función particular que usted
determinar la cantidad óptima para asignar a un conjunto dado de escenarios posibles. Sólo
están usando. Estas otras técnicas no necesariamente le permitirían ver
podemos existir en un escenario a la vez, aunque estemos
¿Qué pasaría si la curtosis aumentara o la asimetría cambiara o la
planificación para múltiples futuros (múltiples escenarios). Planificación de escenarios
se modificó la escala, etc. Nuestra distribución ajustable es la lógica.
nos coloca en una posición en la que debemos tomar una decisión sobre cómo
elección de una función teórica que se ajuste a la real, ya que los parámetros
Es un gran recurso para asignar hoy, dados los posibles escenarios del mañana. Éste es el
no sólo miden los momentos de la distribución, nos dan control
verdadero corazón de la planificación de escenarios: cuantificarlo.
sobre esos momentos en los que se pronostican cambios futuros en el
Podemos usar otro método paramétrico para determinar f óptima
distribución. Además, estimar los parámetros de nuestro ajustable
cuánto de un determinado recurso asignar dado un determinado conjunto de escenarios. Esta
La distribución es más fácil que ajustar cualquier otra función que esté
técnica maximizará la utilidad obtenida en un sistema asintótico.
conciente de.
sentido geométrico. Primero, debemos definir cada escenario único. En segundo lugar, nosotros
debe asignar un número a la probabilidad de que ocurra ese escenario.
PLANIFICACIÓN DE ESCENARIOS
Ser una probabilidad significa que este número está entre 0 y 1. Escenarios con una probabilidad
de 0 no necesitamos considerar más. Tenga en cuenta que
Las personas que se ganan la vida pronosticando (economistas, pronosticadores del
mercado de valores, meteorólogos, agencias gubernamentales, etc.) tienen un historial notorio de
estas probabilidades no son acumulativas. En otras palabras, la probabilidad asignada a un
pronósticos incorrectos, pero la mayoría de las decisiones que alguien debe tomar en la vida generalmente
escenario dado es única para ese escenario. Supongamos que somos un
requieren hacer una previsión sobre el futuro.
tomador de decisiones para XYZ Manufacturing Corporation. dos de los muchos
Los escenarios que tenemos son los siguientes. En un escenario Fabricación XYZ
Inmediatamente surgen aquí un par de trampas. Para empezar, la gente generalmente
se declara en quiebra, con una probabilidad de 0,15; en el otro escenario XYZ
hace suposiciones sobre el futuro que son más optimistas que las probabilidades reales. La
está siendo sacado del negocio por la intensa competencia extranjera, con una probabilidad de
mayoría de la gente siente que están lejos
.07. Ahora bien, debemos preguntarnos si el primer escenario, declararse en quiebra, incluye
Es más probable que ganen la lotería este mes que morir en un automóvil.
declararse en quiebra debido al segundo escenario, intenso
accidente, aunque las probabilidades de que ocurra lo último son mayores. Esto es
competencia extranjera. Si es así, entonces las probabilidades en el primer escenario
no sólo es cierto a nivel del individuo, sino que es aún más pronunciado
no han tenido en cuenta las probabilidades del segundo escenario, y
a nivel del grupo. Cuando las personas trabajan juntas, tienden a ver una
debemos modificar las probabilidades del primer escenario para que sean .08 (.15­.07).
el resultado más probable es un resultado favorable (todos los demás parecen hacerlo, de lo
Tenga en cuenta también que tan importante como la unicidad de cada probabilidad de
contrario no estarían trabajando aquí), de lo contrario abandonarían el
proyecto del que forman parte (a menos, por supuesto, que todos nos hayamos convertido en autómatas
que trabajan como esclavos sin pensar en barcos que se hunden).
El segundo y más dañino peligro es que la gente haga pronósticos lineales sobre el futuro.
cada escenario es que la suma de las probabilidades de todos los escenarios
que estamos considerando debe ser exactamente igual a 1, no 1,01 ni 0,99, sino 1.
Para cada escenario ahora hemos asignado una probabilidad de precisamente eso
escenario que ocurre. También debemos asignar un resultado final. Este es un valor numérico.
Pueden ser dólares ganados o perdidos como resultado de un escenario.
La gente intenta predecir el precio de un galón.
del gas dentro de dos años, predicen lo que sucederá con sus puestos de trabajo,
manifestándose, pueden ser unidades de utilidad, medicación o cualquier cosa.
quién será el próximo presidente, cuáles serán los próximos estilos, y así sucesivamente
en. Siempre que pensamos en el futuro, tendemos a pensar en términos de un resultado único
y más probable. Como resultado, siempre que debemos tomar decisiones, ya sea como individuo
o como grupo, tendemos a tomarlas basándonos en lo que pensamos que será el resultado
Sin embargo, nuestra salida estará en las mismas unidades que ingresamos como entrada.
Debe tener al menos un escenario con un resultado negativo en
para poder utilizar esta técnica.
Esto es obligatorio. Dado que estamos tratando de responder a la pregunta "¿Cómo
más probable en la vida.
el futuro. Como consecuencia, somos extremadamente vulnerables a situaciones desagradables.
¿Cuánto de este recurso deberíamos asignar hoy dados los posibles escenarios de mañana?",
sorpresas.
si no hay un escenario de resultado negativo, entonces
La planificación de escenarios es una solución parcial a este problema. Un escenario es
deberíamos asignar el 100% de este recurso. Además, sin negativo.
En el escenario de resultados, es cuestionable qué tan sintonizado con la realidad está realmente este
simplemente un posible pronóstico, una historia sobre una forma en que el futuro podría
desplegar. La planificación de escenarios es una colección de escenarios para cubrir el espectro
conjunto de escenarios.
Un último requisito previo para utilizar esta técnica es que las matemáticas
de posibilidades. Por supuesto, el espectro completo nunca puede ser
cubierto, pero el planificador del escenario quiere cubrir tantas posibilidades como sea posible.
expectativa, la suma de todos los resultados multiplicada por sus respectivos
él o ella puede. Al actuar de esta manera, a diferencia de una línea recta
probabilidades, debe ser mayor que cero.
pronóstico del resultado más probable, el planificador de escenarios puede prepararse para
(1.03) ME = ∑[i = 1,N] (Pi *Ai)
dónde
el futuro a medida que se desarrolla. Además, la planificación de escenarios permite al
planificador estar preparado para lo que de otro modo podría ser un evento inesperado.
Pi= La probabilidad asociada con el iésimo escenario.
La planificación de escenarios se ajusta a la realidad porque reconoce que la certeza
es una ilusión.
Ai = El resultado del iésimo escenario.
N = El número total de escenarios considerados.
Suponga que está involucrado en la planificación a largo plazo de su empresa.
Digamos que fabrica un producto en particular. En lugar de hacer un pronóstico en línea recta
Si la expectativa matemática es igual a cero o negativa, no se puede utilizar la siguiente
con el resultado más probable, usted decide ejercitar el escenario.
técnica. Eso no quiere decir que la planificación de escenarios en sí no pueda utilizarse. Puede
planificación. Tendrá que sentarse con los otros planificadores y hacer una lluvia de ideas sobre
y debe. Sin embargo, la f óptima puede
posibles escenarios. ¿Qué pasa si no puedes obtener suficiente comida cruda?
sólo se incorporará a la planificación de escenarios cuando exista un efecto positivo.
¿Materiales para fabricar su producto? ¿Qué pasa si uno de tus competidores fracasa?
­ 57 ­
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expectativa matemática. Cuando la expectativa matemática es cero o
La TWR devuelta por la ecuación (4.14) es sólo un valor provisional que
negativo, no deberíamos asignar nada de este recurso en este momento.
debe tener para obtener la media geométrica. Una vez que tenemos esta media
geométrica, la TWR real se puede obtener mediante la ecuación (4.17).
Por último, debe intentar cubrir la mayor parte del espectro de resultados
como sea posible. En otras palabras, realmente quieres representar el 99% de la
A continuación se explica cómo realizar estas ecuaciones. Para empezar, debemos
posibles resultados. Esto puede parecer casi imposible, pero muchos escenarios se
decidirnos por un esquema de optimización, una forma de buscar entre los valores f
pueden ampliar para que no se necesiten 10.000 escenarios para cubrir el 99% del
para encontrar esa f que maximiza nuestra ecuación. De nuevo, podemos hacer esto con
espectro. Al ampliar sus escenarios, debe
un bucle recto con f de .01 a 1, mediante iteración o mediante
Evite el error común de tres escenarios: uno optimista, otro pesimista y un tercero en el
interpolación parabólica. A continuación, debemos determinar cuál es el peor resultado
que las cosas siguen igual. Esto es demasiado simple, y las respuestas que de él se
posible para un escenario de todos los escenarios que estamos analizando,
derivan son a menudo demasiado crudas para ser de alguna utilidad.
independientemente de cuán pequeñas sean las probabilidades de que ese escenario ocurra.
valor. ¿Le gustaría encontrar su f óptima para un sistema de comercio basado
son. En el ejemplo de XYZ Corporation, esto es ­500.000 dólares. Ahora para cada
¿En sólo tres operaciones?
escenario posible, primero debemos dividir el peor resultado posible entre
negativo f. En nuestro ejemplo de XYZ Corporation, asumiremos que
Entonces, aunque puede haber una cantidad incognoscible de escenarios que
cubren todo el espectro, podemos cubrir lo que creemos que es
vamos a recorrer los valores f de .01 a 1. Por lo tanto, comenzamos
alrededor del 99% del espectro de resultados. Si esto genera un gran número de
con un valor f de .01. Ahora bien, si dividimos el peor resultado posible de
escenarios inmanejables, podemos ampliar los escenarios para
los escenarios considerados por el valor negativo de f:
reducir su número. Sin embargo, al reducir su número podemos
perder cierta cantidad de información. Cuando recortamos el número
­$500,000/­.01 = $50,000,000
de escenarios (ampliándolos) a sólo tres, un error común,
nuestro resultado en este caso es positivo. A medida que avanzamos en cada escenario,
Hemos eliminado efectivamente tanta información que esta técnica
divida el resultado del escenario por el resultado que acaba de obtener. desde el
se ve gravemente obstaculizada en su eficacia.
El resultado del primer escenario es también el peor escenario: una pérdida de
Los valores negativos divididos por valores negativos producen resultados positivos, por lo que
$500,000, ahora tenemos:
¿Cuál es una buena cantidad de escenarios a tener entonces? Tantos como tu
puede y todavía gestionarlos. Aquí, una computadora es un gran activo. Asumir
­$500.000/$50.000.000 = ­0,01
Nuevamente que estamos tomando decisiones para XYZ. Estamos pensando en
comercializar un nuevo producto nuestro en un pequeño país primitivo y remoto. Somos
mirando cinco escenarios posibles (en realidad deberías tener muchos más
que esto, pero usaremos cinco a modo de ilustración). Estos cinco escenarios retratan lo
que percibimos como futuros posibles para este país remoto y primitivo, sus probabilidades
de ocurrencia y la ganancia o pérdida de
El siguiente paso es sumar este valor a 1. Esto nos da: l+(­.01) = .99
Por último, elevamos esta respuesta a la potencia de la probabilidad de que ocurra,
que en nuestro ejemplo es .1:
.99^.1 = .9989954713
A continuación, pasamos al siguiente escenario denominado "Problema", donde hay un
invirtiendo allí.
.2 probabilidad de una pérdida de 200.000 dólares. Nuestro peor resultado sigue siendo...
Resultado de probabilidad del escenario
$500.000. El valor f en el que estamos trabajando sigue siendo .01, por lo que el valor que
Guerra .1 Problemas
queremos dividir el resultado de este escenario por sigue siendo $50,000,000:
­$500.000
.2 ­$200.000 Estancamiento .2 0 $500.000 Paz .45
­$200.000/$50.000.000 = ­0,004
$1.000.000
Trabajando con el resto de los pasos para obtener nuestro HPR:
1+(­.004) = .996
Prosperidad .05 Suma
1.00
.996^.2 = .9991987169
La suma de nuestras probabilidades es igual a 1. Tenemos al menos 1 escenario
Si continuamos con los escenarios para este valor de prueba de .01 para f,
con un resultado negativo, y nuestra expectativa matemática es positiva:
encontraremos los 3 HPR correspondientes a los 3 últimos escenarios:
(0,1*­$500 000)+(0,2*­$200 000)+.. = $185 000
Por tanto, podemos utilizar la técnica en este conjunto de escenarios.
Observemos primero, sin embargo, que si usáramos el resultado más probable
método concluiríamos que la paz será el futuro de este país,
Estancamiento
1.0
Paz
1.004467689
Prosperidad
1.000990622
Una vez que hemos convertido cada escenario en un HPR para el valor f dado,
y entonces actuaríamos como si la paz fuera a ocurrir, como si fuera una
debemos multiplicar estos HPR:
certeza, permaneciendo sólo vagamente consciente de las otras posibilidades.
.9989954713*.9991987169*1.0*1.004487689*1.000990622 =
Volviendo a la técnica, debemos determinar la f óptima. El
1.00366'7853
f óptima es aquel valor de f (entre 0 y 1) que maximiza la media geométrica:
Esto nos da la TWR provisional, que en este caso es 1,003667853.
Nuestro siguiente paso es llevar esto a la potencia de 1 dividido por la suma de
(4.13) Media geométrica = TWR^(1/∑[i = 1,N] Pi)
probabilidades. Como la suma de las probabilidades es 1, podemos afirmar que
y
debemos elevar la TWR a la potencia de 1 para darnos la media geométrica.
Como cualquier cosa elevada a la potencia de 1 es igual a sí misma, podemos decir que nuestra
(4.14) TWR = ∏[i = 1,N] HPRi
La media geométrica es igual a la TWR en este caso. Por tanto, tenemos una media
y
geométrica de 1,003667853. Sin embargo, si relajamos la restricción de que
(4.15) HPRi = (1+(Ai/(W/­f))) ^ Pi por lo tanto
cada escenario debe tener una probabilidad única, entonces podríamos permitir que
(4.16) Media geométrica = (∏[i = 1,N] (1+(Ai/(W/­f))) ^ Pi) ^ (1/∑[i =
suma de las probabilidades de los escenarios sea mayor que 1. En tal caso
1,N] Pi) Finalmente, podemos calcular la TWR real como:
En este caso, tendríamos que elevar nuestro TWR a la potencia de 1 dividido por este
(4.17) TWR = Media geométrica ^ X
suma de las probabilidades para derivar la media geométrica.
dónde
La respuesta que acabamos de obtener en nuestro ejemplo es nuestra geometría.
N = El número de escenarios diferentes.
media correspondiente a un valor f de .01. Ahora pasamos a un valor f
de .02, y repetimos todo el proceso hasta que hayamos encontrado la geometría
TWR = La riqueza terminal relativa.
media correspondiente a un valor f de .02. Seguimos adelante hasta
HPRi = El rendimiento del período de tenencia del iésimo escenario.
llegamos al valor de f que produce la media geométrica más alta.
Ai = El resultado del iésimo escenario.
En nuestro ejemplo encontramos que se obtiene la media geométrica más alta
Pi = La probabilidad del iésimo escenario.
a un valor f de 0,57, lo que produce una media geométrica de 1,1106. Divisor
W = El peor resultado de todos los N escenarios.
nuestro peor resultado posible para un escenario (­$500,000) por el negativo
f óptima produce un resultado de $877,192.35. En otras palabras, si XYZ Corporación
f = El valor de f que estamos probando.
quiere comprometerse a comercializar este nuevo producto en este control remoto
X = Por muchas veces que queramos "ampliar" este escenario.
país, lo ideal es que comprometan esta cantidad para esta empresa en este momento.
Es decir, lo que esperaríamos ganar si invirtiéramos f cantidad en
tiempo. A medida que pasa el tiempo y se desarrollan las cosas, también lo hacen los escenarios, y a medida que
estos posibles escenarios X veces.
sus resultados y probabilidades resultantes cambian, también cambia esta cantidad
cambiar. Cuanto más se mantenga al tanto XYZ Corporation de estos cambios
­ 58 ­
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escenarios, y cuanto más precisos sean los escenarios que desarrollan como entrada,
listado de un sistema de mercado determinado y utilizar cada una de esas operaciones como
más precisas serán sus decisiones. Tenga en cuenta que si XYZ Corporation
un escenario que podría ocurrir en el futuro, el monto de la ganancia o pérdida de la operación
no puede comprometer estos $877,192.35 a este compromiso en este momento, entonces
siendo el resultado final del escenario dado. Cada escenario (comercio)
están demasiado lejos del pico de la curva f. Es el equivalente a la
tendría la misma probabilidad de ocurrencia­1/N, donde N es el total
comerciante que tiene demasiados contratos de productos básicos con respecto a lo que
número de operaciones (escenarios). Esto nos dará la f óptima empíricamente.
la f óptima dice que él o ella debería tenerlo puesto. Si XYZ Corporation compromete más que
Esta técnica cierra la brecha entre lo empírico y lo paramétrico. No existe una línea muy fina
esta cantidad para este proyecto en este momento, la situación
que delinee las dos escuelas. Como puedas
sería análogo a un comerciante de materias primas con muy pocos contratos.
Mira, hay un área gris.
Cuando se nos presenta una decisión donde hay un conjunto diferente
Además, aunque la cantidad discutida aquí es una cantidad de
dinero, podría ser una cantidad de cualquier cosa y la técnica sería
de escenarios para cada faceta de la decisión, seleccionando el escenario cuyo
igual de válido. El enfoque se puede utilizar para cualquier decisión cuantitativa en
la media geométrica correspondiente a su óptimo f es mayor maximizará
un entorno de incertidumbre favorable.
nuestra decisión en un sentido asintótico. A menudo esto va en contra de las reglas
convencionales de toma de decisiones como la regla de Hutwicz, maximax,
Si crea diferentes escenarios para el mercado de valores, el f óptimo
minimax, arrepentimiento minimax y mayor expectativa matemática.
derivado de esta metodología le dará el porcentaje correcto para
Por ejemplo, supongamos que debemos decidir entre dos opciones posibles. Podríamos
invertirse en el mercado de valores en un momento dado. Por ejemplo, si la f
devuelto es .65, entonces eso significa que el 65% de su capital debe estar en el
tener muchas opciones posibles, pero por simplicidad
mercado de valores y el 35% restante, digamos, en efectivo. Este enfoque
Elegimos dos, a los que llamamos "blanco" y "negro". Si seleccionamos la decisión etiquetada
proporcionarle el mayor crecimiento geométrico de su capital en el
como "blanca", determinamos que nos presentará los posibles escenarios futuros:
largo plazo. Por supuesto, nuevamente, la salida es tan precisa como la entrada.
que ha proporcionado al sistema en términos de escenarios, sus probabilidades de ocurrencia
Decisión blanca
y los pagos y costos resultantes. Además, recuerda
Resultado de probabilidad del escenario
que todo lo dicho sobre f óptima se aplica aquí, y eso también significa
A
.3
que las reducciones esperadas se acerquen a un retroceso del 100% de las acciones.
0
.4
­20
Si aplica este enfoque de planificación de escenarios para la asignación de activos,
.3
BC 30 Expectativa
matemática
Podemos esperar que cerca del 100% de los activos asignados a la empresa en cuestión se
= $3,00
agoten en cualquier momento en el futuro. Por ejemplo, supongamos
Óptima f = .17
Media geométrica = 1 .0123
está utilizando esta técnica para determinar qué porcentaje de inversión
No importa cuáles sean estos escenarios, pueden ser cualquier cosa y
Los fondos deben estar en el mercado de valores y qué porcentaje deben estar en un
Para ilustrar aún más esto, simplemente se les asignarán letras, A, B, C en
activo libre de riesgo. Supongamos que la respuesta es tener el 65% invertido en el
esta discusión. Además, no importa cuál sea el resultado, puede ser simplemente
bolsa de valores y el 35% restante en el activo libre de riesgo. Se puede esperar que las
acerca de todo.
retiradas en el futuro se acerquen al 100% del importe asignado al mercado de valores. En
La decisión de las Negras presentará los siguientes escenarios:
otras palabras, puedes esperar ver, en algún momento
Decisión negra
punto en el futuro, casi el 100% de su total 65% asignado a la
el mercado de valores desaparecerá. Sin embargo, así es como logrará el máximo crecimiento
Resultado de probabilidad del escenario
A
geométrico.
.3
­10
B 5 C 6 D 20
.4 Expectativa
Este mismo proceso se puede utilizar como técnica paramétrica alternativa para
matemática.15
= $2,90
determinar la f óptima para una operación determinada. Supongamos que eres
.15
tomando sus decisiones comerciales basándose en los fundamentos. Si quieres,
podría delinear los diferentes escenarios que puede tomar el comercio. El
Óptima f = .31
Media geométrica = 1,0453
Más escenarios, y cuanto más precisos sean los escenarios, más precisos serán.
tus resultados serían. Digamos que está buscando comprar un bono municipal por
Mucha gente optaría por la decisión blanca, ya que es la decisión con mayor expectativa
ingresos, pero no planea mantener el bono hasta su vencimiento. Tú
matemática. Con la decisión blanca
Podría esbozar numerosos escenarios diferentes de cómo podría desarrollarse el futuro y
se puede esperar, "en promedio", una ganancia de $3,00 frente a la ganancia de $2,90 del negro.
utilizar estos escenarios para determinar cuánto invertir en esta emisión de bonos en particular.
Sin embargo, la decisión negra es en realidad la decisión correcta, porque resulta
en una media geométrica mayor. Con la decisión negra, uno esperaría
para hacer 4,53% (1,0453­1) "en promedio" en comparación con el 1,23% de los blancos
Este concepto de utilizar la planificación de escenarios para determinar la f óptima
Se puede utilizar para todo, desde estrategias militares hasta decidir el nivel óptimo para
ganar. Cuando se consideran los efectos de la reinversión, la decisión negra
participar en una suscripción y el pago inicial óptimo.
en una casa.
¡gana más del triple, en promedio, de lo que gana la decisión blanca!
"Espera, amigo", dices. "No vamos a hacer esto otra vez,
Para nuestros propósitos, esta técnica es quizás la mejor técnica, y
lo haremos solo una vez. No vamos a reinvertir en el mismo futuro
Sin duda, el más fácil de emplear para alguien que no utiliza un mecánico.
Medios de entrada y salida de los mercados. Aquellos que operan basándose en fundamentos,
escenarios aquí. ¿No saldremos ganando si siempre elegimos el más alto?
patrones climáticos, ondas de Elliott o cualquier otro enfoque que requiera cierto grado de
expectativa matemática aritmética para cada conjunto de decisiones que
juicio subjetivo, pueden discernir fácilmente su valor óptimo.
¿Se presentan de esta manera ante nosotros?
fs con este enfoque. Este enfoque es más fácil que determinar los valores de los parámetros
distribucionales.
El único momento en el que queremos tomar decisiones basadas en los mayores
La expectativa matemática aritmética es si planeamos no reinvertir el dinero arriesgado en la
decisión en cuestión. Dado que en casi todos los
El HPR promedio aritmético de un grupo de escenarios se puede calcular como:
En este caso, el dinero arriesgado en un evento hoy se arriesgará nuevamente en un evento
diferente en el futuro, y el dinero ganado o perdido en el pasado afecta
(4.18) AHPR = (∑[i = 1,N](1+(Ai/(W/­f)))*Pi)∑[i = 1,N]Pi
lo que tenemos disponible para arriesgar hoy (es decir, un entorno de geometría
dónde
consecuencias), debemos decidir basándonos en la media geométrica para maximizar
N = el número de escenarios.
el crecimiento a largo plazo de nuestro dinero. Aunque los escenarios que
f = el valor f empleado.
que se presentan mañana no serán los mismos que los de hoy, al decidir siempre en base a
Ai = el resultado (ganancia o pérdida) asociado con el iésimo escenario.
la mayor media geométrica estamos maximizando nuestra
decisiones. Es análogo a un proceso de pruebas dependientes como un juego de
Pi = la probabilidad asociada con el iésimo escenario.
veintiuna. En cada mano las probabilidades cambian y, por lo tanto, el valor óptimo
W = el resultado más negativo de todos los escenarios.
La fracción para apostar también cambia. Apostando siempre a lo que es óptimo para
La AHPR será importante más adelante en el texto cuando necesitemos
De esa manera, sin embargo, maximizamos nuestro crecimiento a largo plazo. Recuerda eso
discernir la frontera eficiente de numerosos sistemas de mercado. Necesitaremos
Para maximizar el crecimiento a largo plazo, debemos considerar la competencia actual como
para determinar el rendimiento esperado (aritmética) de un sistema de mercado determinado.
uno que se expande infinitamente hacia el futuro. En otras palabras, debemos
Este retorno esperado es simplemente AHPR­1.
Mirar cada evento individual como si fuéramos a jugarlo un tiempo infinito.
número de veces si queremos maximizar el crecimiento en muchas jugadas
de diferentes concursos.
No es necesario aplicar la técnica de forma paramétrica, como se detalla aquí;
también se puede aplicar empíricamente. En otras palabras, podemos tomar el comercio
­ 59 ­
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Como generalización, siempre que el resultado de un evento tenga un efecto
siempre es el caso. A menudo resulta útil hacer un único recipiente adicional para guardar el
En función del resultado de los eventos posteriores, es mejor que maximicemos
pérdida en el peor de los casos. Tal como se aplica a nuestro ejemplo de 3 contenedores, supongamos que tuviéramos un
para la mayor expectativa geométrica. En los raros casos en que el resultado
operación que supuso una pérdida de 1.000 dólares. Tal operación caería en los ­$1,000
de un gone no tiene efecto en eventos posteriores, entonces es mejor que
a ­$100 bin, y se registraría como ­$550, el punto medio del bin.
En su lugar, podemos agrupar estos mismos datos de la siguiente manera:
maximizar para la mayor expectativa aritmética. Expectativa matemática
(aritmética) no tiene en cuenta la varianza entre los resultados de los diferentes escenarios, y por
Bin Bin Trades Probabilidad asociada Resultado asociado
tanto puede llevar a decisiones incorrectas cuando se plantea la reinversión, o en cualquier
­1.000 ­1.000 1 ­1.000 ­999.1­100 1 ­550
entorno de consecuencias geométricas.
.1
­100 100 5 ,5 100 1000 3 0,3
El uso de este método en la planificación de escenarios lo posiciona cuantitativamente con
Ahora, el f óptimo es 0,04, o
0 550
1 contrato por cada $25 000 en capital.
respecto a los posibles escenarios, sus resultados y las consecuencias.
probabilidad de que ocurran. El método es inherentemente más conservador que posicionarse
¿Estás empezando a ver lo tosca que es esta técnica? Entonces, aunque esto
según la mayor aritmética matemática.
La técnica nos dará la f óptima para datos agrupados, podemos ver que la
expectativa. ecuación (3.05) Permitió que la media geométrica nunca sea
La pérdida de información involucrada al agrupar los datos para empezar puede hacer que
mayor que la media aritmética. Asimismo, este método nunca podrá tener
nuestros resultados sean tan inexactos que sean inútiles. Si tuviéramos más puntos de datos y
te posicionas (tienes un mayor compromiso) que seleccionar por el
Si hubiera más contenedores para empezar, la técnica no sería nada complicada. De hecho,
La mayor expectativa matemática aritmética sería. en lo asintótico
Si tuviéramos infinitos datos y un número infinito de contenedores, la técnica
En el sentido de largo plazo, este no es sólo un método superior para posicionarse, ya que logra
Sería exacto. (Otra forma en la que este método podría ser exacto es si
los datos en cada uno de los contenedores igualaron los puntos medios de sus respectivos
el mayor crecimiento geométrico, sino que también es un método más eficaz.
contenedores exactamente.)
conservador que posicionarse según la mayor aritmética
El otro problema con esta técnica es que el elemento promedio en
expectativa matemática, que invariablemente te pondría en el camino correcto
un contenedor no es necesariamente el punto medio del contenedor. De hecho, el promedio de
los elementos en un contenedor tenderán a estar más cerca de la moda de toda la distribución
del pico de la curva f .
Dado que la reinversión es casi siempre una realidad (excepto el día
antes de jubilarse1 ) ­ es decir, reutiliza el dinero que está usando hoy ­ debemos tomar la decisión
que el punto medio del contenedor. Por tanto, la dispersión tiende a
de hoy bajo el supuesto de que lo mismo
ser mayor con esta técnica que en el caso real. Hay maneras de
correcto para esto, pero estas correcciones en sí mismas a menudo pueden ser incorrectas,
decisión se presentará mil veces para maximizar
dependiendo de la forma de la distribución. Nuevamente, este problema
los resultados de nuestra decisión. Debemos tomar nuestras decisiones y posicionarnos.
aliviarse y los resultados serían exactos si tuviéramos un número infinito
nosotros mismos para maximizar la expectativa geométrica. Además, desde el
Los resultados de la mayoría de los eventos de hecho tienen un efecto sobre los resultados de
de elementos (oficios) y un número infinito de bins.
Si tiene un número suficientemente grande de operaciones y una gran
acontecimientos posteriores, debemos tomar nuestras decisiones y posicionarnos
basado en la expectativa geométrica máxima. Esto tiende a llevar a decisiones y posiciones que
suficiente número de contenedores, puede utilizar esta técnica con un buen grado de
no siempre son aparentemente obvias.
precisión si así lo desea. Puede realizar simulaciones del tipo "¿Qué pasaría si?"
F ÓPTIMA EN DATOS Agrupados
de los efectos de dichos cambios.
alterar el número de elementos en los distintos contenedores y obtener una aproximación justa
Ahora llegamos al caso de encontrar la f óptima y sus subproductos en datos agrupados.
¿CUÁL ES LA MEJOR F ÓPTIMA?
Este enfoque es también una especie de híbrido entre las técnicas paramétricas y empíricas.
Ahora hemos visto que podemos encontrar nuestra f óptima desde un punto de vista empírico.
Esencialmente, el proceso es casi idéntico al proceso de encontrar la f óptima en diferentes
escenarios, sólo que en lugar de diferentes resultados para cada contenedor (escenario),
procedimiento, así como de una serie de procedimientos paramétricos diferentes
Usamos el punto medio de cada contenedor. Por lo tanto, para cada contenedor tenemos una
ecualizar los datos como medio de preprocesamiento, para encontrar cuál es nuestro f óptimo
para datos agrupados y no agrupados. Además, hemos visto que podemos
probabilidad asociada calculada como el número total de elementos (comercios) en
debería ser si todas las operaciones se realizaron al precio subyacente actual. En esto
ese contenedor dividido por el número total de elementos (negocios) en todos los contenedores.
En este punto, probablemente esté pidiendo la f óptima real para ponerse de pie.
Además, para cada contenedor tenemos un resultado asociado de un elemento que termina
¿Qué f óptima es realmente óptima?
en ese contenedor. Los resultados asociados se calculan como el punto medio de
Para empezar, el óptimo empírico directo (no igualado) f dará
cada contenedor.
usted la f óptima en datos pasados. Usando la técnica f óptima empírica
Por ejemplo, supongamos que tenemos 3 contenedores de 10 operaciones. El primer contenedor que
detalladas en el Capítulo 1 y en las Fórmulas de gestión de carteras arrojarán
definirá como aquellas operaciones donde las pérdidas y ganancias fueron de ­$1,000 a ­$100. Decir
la f óptima que habría realizado el mayor crecimiento geométrico en
Hay 2 elementos en este contenedor. El siguiente contenedor, decimos, es para esos intercambios.
una corriente pasada de resultados. Sin embargo, queremos discernir cuál es el valor
que son ­$100 a $100. Este contenedor tiene 5 intercambios. Por último, el tercer contenedor.
para este f óptimo será en el futuro (específicamente, durante la próxima operación),
tiene 3 operaciones y es para aquellas operaciones que tienen pérdidas y ganancias de $ 100 a
considerando que estamos ausentes de conocimiento sobre el resultado de la
$1,000.
próxima operación. No sabemos si será una ganancia, en cuyo caso el
Bin Bin Trades Probabilidad asociada Resultado asociado
­1 000 ­100 2 ­550 ­ 100 100.25 ,5 100 1 000 3 ,3 Ahora es
simplemente cuestión de
Más bien, sólo podemos expresar el resultado de la siguiente operación como una estimación de
resolver la ecuación (4.16),
f óptima sería 1, o una pérdida, en cuyo caso la f óptima sería 0.
la distribución de probabilidad de los resultados de la siguiente operación.
0 550
Dicho esto, nuestra mejor estimación para los comerciantes que emplean un mecánico
sistema, es más probable que se obtenga utilizando la técnica paramétrica
donde cada
bin representa un escenario diferente. Por lo tanto, para el caso de nuestro ejemplo de S­bin aquí,
en nuestra función de distribución ajustable como se detalla en este capítulo sobre datos
encontramos que nuestra f óptima está en .2, o 1 contrato por cada
ecualizados o no ecualizados. Si hay una diferencia material en
$ 2,750 en capital (nuestra pérdida en el peor de los casos es el punto medio del primer contenedor,
Al utilizar datos ecualizados versus no ecualizados, lo más probable es que también haya
o (­$1000+­$100)/2 = ­$550).
muchos datos o datos insuficientes al nivel de precios actual. Para no sistema
Para los comerciantes, el enfoque de planificación de escenarios es el más fácil de emplear con
Esta técnica, aunque válida, también es muy tosca. Para empezar, es
precisión. En mi opinión, estas técnicas darán como resultado la mejor estimación de
Se supone que la mayor pérdida es el punto medio del peor contenedor. Esto no es
la distribución de probabilidad de los resultados en la siguiente operación.
1
Ahora tienes una buena concepción de las técnicas empíricas y paramétricas, así como de
Hay ciertos momentos en los que querrás maximizar para obtener la mayor aritmética.
algunas técnicas híbridas para encontrar la
expectativa matemática en lugar de geométrica. Tal caso es cuando una entidad es
operando en un tipo o forma de "contrato constante" y quiere cambiar a un
óptimo f. En el próximo capítulo, consideraremos encontrar el j óptimo (paramétricamente) cuando
modo de operación "fraccional fijo" en algún momento favorable en el futuro. Este
se ejecuta más de una posición al mismo tiempo.
El punto favorable se puede determinar como el umbral geométrico donde el comercio promedio
aritmético que se utiliza como insumo se calcula como la expectativa matemática aritmética (la
suma del resultado de cada escenario multiplicada por su probabilidad de
ocurrencia) dividido por (la suma de las probabilidades de todos los escenarios. Dado que
la suma de las probabilidades de todos los escenarios suele ser igual a 1, podemos afirmar
que el promedio aritmético del "comercio" es igual a la expectativa matemática aritmética.
­ 60 ­
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Los modelos de precios son una cifra anualizada, un período de tiempo mucho más corto,
Capítulo 5 ­ Introducción a múltiples
posiciones simultáneas bajo el enfoque
paramétrico
Ya se ha mencionado en este texto la idea de utilizar
opciones, ya sea por sí mismas o en conjunto con un puesto en el
subyacente, para mejorar la rentabilidad. Comprar una opción de venta larga junto con
una posición larga en el subyacente (o simplemente comprar una opción de compra en lugar de
ambos) o, a veces, incluso escribir (acortar) una llamada en conjunto
generalmente de 10 a 20 días, se utiliza para determinar la volatilidad histórica y
la respuesta resultante se anualiza.
A continuación se explica cómo calcular una volatilidad histórica anualizada de 20 días.
Paso 1 Divida el cierre de esta noche por el cierre del día de mercado anterior.
Paso 2 Tome el logaritmo natural del cociente obtenido en el paso 1. Por lo tanto,
para el yen japonés de marzo de 1991 en la noche del 910225 (esto se conoce
como formato AAMMDD para el 25 de febrero de 1991), tomamos el cierre de 74,82
y dividirlo por el cierre 910222 de 75,52:
74,82/75,52 = 0,9907309322
Luego tomamos el registro natural de esta respuesta. Dado que el registro natural de
con una posición larga en el subyacente puede aumentar el crecimiento geométrico asintótico.
Esto sucede como resultado de incorporar las opciones.
.9907309322 es ­.009312258, nuestra respuesta al paso 2 es ­.009312258.
en la posición, lo que a menudo (pero no siempre) reduce la dispersión
Paso 3 Después de que hayan transcurrido 21 días de datos anteriores, tendrá 20
en mayor medida que reduce el rendimiento promedio aritmético. Según el
valores para el paso 2. Ahora puede comenzar a ejecutar un promedio móvil de 20 días
ecuación fundamental de la negociación, esto da como resultado una TWR estimada mayor.
a las respuestas del paso 2.
Paso 4 Ahora desea ejecutar una variación de muestra de 20 días para los datos.
Las opciones se pueden utilizar de diversas formas, tanto entre sí.
del paso 2. Para una variación de 20 días, primero debe determinar la fecha de mudanza
y en conjunto con posiciones en el subyacente, para gestionar el riesgo.
promedio de los últimos 20 días. Esto se hizo en el paso 3. Luego, para cada día
En el futuro, a medida que los operadores se concentren cada vez más en la gestión de riesgos,
de los últimos 20 días, se toma la diferencia entre el promedio móvil de hoy y la respuesta de
es muy probable que las opciones desempeñen un papel cada vez mayor.
Las fórmulas de gestión de carteras analizaron la relación entre el j óptimo y las opciones.1
ese día al paso 2. En otras palabras, para cada uno de los últimos
20 días restarás el promedio móvil de la respuesta de ese día a
En este capítulo retomamos esa discusión y
paso 2. Ahora, eleva al cuadrado esta diferencia (multiplícala por sí misma). Al hacerlo, convierte
Llévelo más allá con una introducción de múltiples posiciones simultáneas, especialmente en lo
todas las respuestas negativas en positivas para que todas las respuestas sean
que respecta a las opciones.
ahora positivo. Una vez hecho esto, suma todas estas diferencias positivas de los últimos 20
Este capítulo nos brinda otro método para encontrar el fs óptimo.
para posiciones en las que no se entra ni se sale mediante el uso de un
días. Finalmente, divide esta suma por 19 y el resultado es la varianza de la muestra de los
últimos 20 días.
La siguiente hoja de cálculo mostrará cómo encontrar la muestra de 20 días.
sistema. Las técnicas paramétricas discutidas hasta ahora podrían utilizarse
por alguien que no comercia mediante un sistema mecánico, sino aparte
variación del yen japonés de marzo de 1991 para un solo día, 901226 (26 de diciembre de 1990):
Desde el enfoque de planificación de escenarios, todavía tienen algunas dificultades.
bordes. Por ejemplo, alguien que no utiliza un sistema mecánico y que
A
B
C
D
mi
F Col E
utilizar la técnica descrita en el Capítulo 4 necesitaría una estimación de
Fecha
Cerca
LN
20 días
Coronel C­
Promedio
Cambiar
al cuadrado (­.0029)
la curtosis de sus oficios. Puede que esto no sea demasiado fácil de conseguir.
Por lo tanto, este capítulo es para aquellos que utilizan medios puramente no mecánicos para
de parámetros para la distribución de las operaciones.
Sin embargo, necesitarán estimaciones de parámetros tanto para la volatilidad de
el instrumento subyacente y la previsión del operador para el precio del
901128 76,91 ­9,0136 901129
­0,0107 0,000113
74,93 ­0,0261 901130 75,37
­0,0232 0,000537
0,0059 901203 74,18 ­0,0159
0,0088 0,000076
901204 74,72 0,0073
­0,0130 0,000169
0,0102 0,000103
901205 74,57 ­0,0020 901206
0,0009 0,000000 0,0142
estimaciones para la distribución de operaciones que aún no se han producido.
75,42 0,0113 901207 76,44
0,000202 0,0163
0,0134 901210 75,54 ­0,0118
0,000266 ­0,0089
No utilizar un sistema mecánico y objetivo tiene un costo conveniente.
901211 75,37 ­0,0023 901212
0,000079 0,0006
etapa del libro, ya que es la entrada perfecta para múltiples presentaciones simultáneas.
75,9 0,0070 90 1213 75,57
0,000000 0,0099
­0,0044 901214 75,08 ­0,0065
0,000098 ­0,0015
901217 75,11 0,0004 901218
0,000002 ­0,0036 0.
¿Los medios para entrar y salir de operaciones no pueden participar en múltiples posiciones
simultáneas? No. El Capítulo 6 nos mostrará un método para encontrar múltiples posiciones
74,99 ­0,0016
000012 0,0033 0,000010
0,0013 0,000001
simultáneas óptimas para los operadores, ya sea que estén usando un sistema mecánico o no.
Este capítulo introduce el concepto
por 19
F
parámetros son más fáciles de conseguir que los parámetros.
posiciones. ¿Significa esto que alguien que esté usando un mecánico?
Dividido
últimos 20
901127 77,96
instrumento subyacente. Para un comerciante que no utiliza un sistema objetivo mecánico, estos
Esta discusión sobre f óptima y sus subproductos para esos comerciantes
901219 74,52 ­0,0063 901220
­0,0034 0,000011
de múltiples posiciones simultáneas, pero el punto de vista es el de alguien que no usa un
74,06 ­0,0062 901221 73,91
­0,0033 0,000010
sistema mecánico y posiblemente también usa opciones
­0,0020 901224 73,49 ­0,0057
0,0009 0,000000
como instrumentos subyacentes.
901226 73,5 0,0001 ­0,0029
­0,0028 0,000007
0,0030 0,000009 .001716
ESTIMACIÓN DE LA VOLATILIDAD
Un parámetro importante que debe introducir un operador que desee utilizar los siguientes
conceptos es la volatilidad. Analizamos dos formas de determinar la volatilidad. La primera es
utilizar la estimación determinada por el mercado. Esto se llama volatilidad implícita. Los modelos
de valoración de opciones.
H Col G
La suma de
Valores de col
(al menos, es posible que no esté disponible una estimación precisa de esto).
entrar y salir de sus operaciones. Los usuarios de estas técnicas no necesitarán estimaciones
GRAMO
.000090
Como puede ver, la variación de la muestra de 20 días para 901226 es 0,00009.
Debe hacer esto todos los días para haber determinado el
Variación de muestra de 20 días para cada día.
Paso 5 Una vez que haya determinado la variación de la muestra de 20 días para
todos los días, debe convertir esto en un estándar de muestra de 20 días
presentados en este capítulo utilizan la volatilidad como uno de sus datos para derivar
desviación. Esto se logra fácilmente sacando la raíz cuadrada de la
el precio teórico justo de una opción. La volatilidad implícita está determinada por
variación para cada día. Por lo tanto, para 901226, tomando la raíz cuadrada del
suponiendo que el precio de mercado de una opción es equivalente a su precio teórico justo.
La varianza (que resultó ser 0,00009) nos da una desviación estándar de muestra de 20 días de
0,009486832981.
Resolviendo para el valor de la volatilidad que produce un valor teórico justo
Un precio igual al precio de mercado determina la volatilidad implícita. Este
El valor de la volatilidad se obtiene mediante iteración.
El segundo método para estimar la volatilidad es utilizar lo que se conoce.
Paso 6 Ahora debemos "anualizar" los datos. Ya que estamos usando diariamente
datos, y supondremos que hay 252 días de negociación en el yen por
año (aproximadamente), debemos multiplicar las respuestas del paso 5 por el
como volatilidad histórica, que está determinada por los cambios reales de precios
raíz cuadrada de 252, o 15,87450787. Por lo tanto, para 901226, la desviación estándar de la
en el instrumento subyacente. Aunque la volatilidad como insumo de las opciones
muestra de 20 días es 009486832981 y multiplicada por
15.87450787 nos da una respuesta de .1505988048. Esta respuesta es la volatilidad histórica
1
Hubo algunos problemas de formulación menores con el material de opciones en Fórmulas de gestión
de cartera. Desde entonces, estos se resolvieron y se corrigieron.
Las formulaciones se presentan aquí. Mis disculpas por cualquier confusión que esto pueda
han causado.
(en este caso, 15,06%) y puede usarse como volatilidad
aportes al modelo de fijación de precios de opciones de Black­Scholes.
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La siguiente hoja de cálculo muestra cómo seguir los pasos para obtener
a esta volatilidad histórica anualizada de 20 días. Notarás que el
La ecuación del riesgo de ruina puede decirnos cuál es la probabilidad de ruina antes de que
Comience a operar con este sistema.
Los pasos intermedios para determinar la variación para un día determinado, que se detallaron en la
Si estuviéramos operando con este sistema sobre una base fraccionaria fija, la línea
hoja de cálculo anterior, no se encuentran en esta. Esto se hizo en
se curvaría hacia arriba, haciéndose más y más pronunciada con cada paso
ordena para que veas todo el proceso. Por lo tanto, tenga en cuenta que el
comercio. Sin embargo, la cantidad que podríamos dejar de esta línea siempre es
La columna de variación en la siguiente hoja de cálculo se determina para cada
proporcional a lo alto que estamos en la línea. Es decir, la probabilidad
fila exactamente como en la hoja de cálculo anterior.
UNA FECHA B
CERCA
C
D 20­
LN
E 20 días
Promedio Diferencia
Cambiar
diario
El riesgo de ruina no disminuye a medida que transcurren más y más intercambios. En teoria,
F 20 días
G Anual­SD
Sin embargo, el riesgo de ruina en el comercio fraccionado fijo es cero, porque
tamaño*15.8745
puede comerciar en unidades infinitamente divisibles. En la vida real esto no es necesariamente
1
901127 77,96
entonces. En la vida real, el riesgo de ruina en el comercio fraccionado fijo es siempre un poco mayor
que en el mismo sistema bajo el comercio de contrato constante.
901128 76,91 ­0,0136 901129
En realidad, no hay límite sobre cuánto puedes perder en un determinado
74,93 ­0,0261 901130 75,37
comercio.
0,0059 961203 74,18 ­0,0159
En realidad, las líneas de expectativas de equidad de las que estamos hablando pueden ser
901204 74,72 0,0073 901205 7
4,57 ­0,0020 901206 75,42
retrocedieron completamente en una operación, independientemente de cuán altos sean. De este modo,
0,0113 901207 76,44 0,0134
el riesgo de ruina, si vamos a comerciar durante un período de tiempo infinitamente largo en
un instrumento con responsabilidad ilimitada, independientemente de si operamos sobre una base
de contrato constante o fraccional fija, es 1. La ruina es segura. La única manera de desactivar esto
901210 75,54 ­0,0118 901211
es poder poner un límite a la pérdida máxima. Esto se puede lograr negociando opciones donde la
75,37 ­0,0023 961212 75,9
posición se inicia con un débito.2
0,0070 961213 75,57 ­0,0044
901214 75,08 ­0,0065 961217
75,11 0,0004 90 1218 74,99
MODELOS DE PRECIOS DE OPCIONES
­0,0016 901219 74,52 ­0,0063
901220 74,06 ­0,0062 901221
Imagine un instrumento subyacente (puede ser una acción, un bono, una moneda extranjera).
73,91 ­0,0020
moneda, materia prima o cualquier otra cosa) que pueda cotizar hacia arriba o hacia abajo en 1
marque en la siguiente operación. Si, digamos, medimos dónde estará esta acción 100
sigue el camino, y si hacemos esto una y otra vez, encontraremos que
901224 73,49 ­0,0057 901226
73,5 0,0001 ­0,0029 0,0001 901227 73,34 ­0,0022
0,0095 0,1508 0,0092
­0,0024 0,0001 901 228 74,07 0,0099 ­0,0006 0,0001
0,1460 0,0077 0,1222
901231 73,84 ­0,0031 ­0,0010 0,0001
0,0076 0,1206
la distribución de resultados es Normal. Esto, según la junta de Galton, es como
esperaríamos que así fuera.
Si luego calculamos el precio de la opción basándonos en este principio
tal que no podría obtener ganancias comprando estas opciones, o
vendiéndolos en corto, habríamos llegado al Modelo Binomial de Valoración de Opciones (Modelo
RUINA, RIESGO Y REALIDAD
Recuerde el siguiente axioma de la Introducción a este texto: si
Si juegas un juego con responsabilidad ilimitada, arruinarás con una probabilidad que se acerca a la
certeza a medida que la duración del juego se acerca al infinito. ¿Qué constituye un juego de
responsabilidad ilimitada? La respuesta es una
distribución de resultados donde la cola izquierda (los resultados adversos) no está acotada y llega
a menos infinito. Las posiciones largas en opciones nos permiten
limitó la cola adversa de la distribución de resultados.
Puede que esté en desacuerdo con este axioma. Parece irreconciliable que el
riesgo de ruina sea menor que 1 (es decir, la ruina no es segura), pero sostengo que en
negociar un instrumento con responsabilidad ilimitada en cualquier operación determinada, la ruina es
cierto. En otras palabras, mi argumento aquí es que si intercambias algo
que no sean opciones y usted está pensando en negociar por una duración infinita
de tiempo, su riesgo real de ruina es 1. La ruina es segura en tales condiciones.
Esto puede conciliarse con las ecuaciones de riesgo de ruina en el sentido de que las ecuaciones utilizadas
para el riesgo de ruina utilice datos empíricos como entrada. Es decir, los datos de entrada para las
ecuaciones de riesgo de ruina provienen de una muestra finita de operaciones. Mi argumento de
ruina segura por jugar un juego infinitamente largo con responsabilidad ilimitada
en cualquier operación determinada se deriva de un punto de vista paramétrico. El punto de vista
paramétrico abarca las grandes operaciones perdedoras, esas operaciones
en la cola izquierda de la distribución, que aún no han ocurrido y
por lo tanto, no forman parte de la muestra finita utilizada como entrada en las ecuaciones de riesgo
del ron.
Para imaginar esto, supongamos por un momento un sistema de comercio que se realiza bajo
un contrato constante. Cada operación realizada se realiza con
solo 1 contrato. Para trazar dónde esperaríamos que estuviera el capital X
operaciones en el futuro, simplemente multiplicamos X por la operación promedio. De este modo,
si nuestro sistema tiene una operación promedio de $250 y queremos saber dónde
podemos esperar que nuestro capital sea, digamos, 7 operaciones en el futuro, podemos determinar
esto como $250*7 = $1,750. Observe que esta línea de aritmética
La expectativa matemática es una función de línea recta.
Binomial o Binomial). A esto a veces también se le llama
el modelo Cox­Ross­Rubenstein según quienes lo idearon. El precio de una opción de este tipo se
basa en su valor esperado (su expectativa matemática aritmética), ya que no se puede obtener
ganancias comprando estas opciones.
repetidamente y mantenerlos hasta su vencimiento o venderlos repetidamente y
mantener la posición hasta el vencimiento, perder en algunos y ganar en otros, pero al final obtener
una ganancia. Por tanto, se dice que la opción tiene un precio justo.
No cubriremos las matemáticas específicas del modelo binomial.
Más bien, hasta cubriremos las matemáticas de la opción sobre acciones de Black­Scholes.
Modelo y el modelo de opciones de futuros negros. Debes tener en cuenta que,
Dentro de estos tres modelos, existen otras opciones de precios válidas.
modelos que tampoco se cubrirán aquí, aunque los conceptos discutidos en este capítulo se aplican
a todos los modelos de valoración de opciones. Finalmente, el
La mejor referencia que conozco sobre las matemáticas de la fijación de precios de opciones.
modelos es Volatilidad de opciones y estrategias de fijación de precios de Sheldon Natenberg. El
libro de Natenberg cubre las matemáticas de muchas de las opciones.
modelos de precios (incluido el modelo binomial) con gran detalle. Las matemáticas
para el modelo de opciones sobre acciones de Black­Scholes y la opción de futuros negros
El modelo que vamos a comentar procede de Natenberg. Estos
Los temas ocupan un texto completo para discutirlos, más espacio del que tenemos aquí.
Aquellos lectores que quieran profundizar en los conceptos de f óptima y opciones.
Se remiten a Natenberg para obtener material fundamental sobre las opciones.
Debemos cubrir los modelos de fijación de precios en un nivel suficiente para trabajar con las
técnicas óptimas que se discutirán sobre los precios de opciones. por lo tanto, nosotros
A continuación analizaremos el modelo de fijación de precios de opciones sobre acciones de Black­
Scholes (en adelante, Black­Scholes). Este modelo lleva el nombre de quienes lo idearon,
Fischer Black de la Universidad de Chicago y Myron Scholes de
MIT, y apareció en el Journal of Political Econo­my de mayo­junio de 1973. Black­Scholes se
considera la forma limitante del Modelo Binomial (en adelante, Binomial). En otras palabras, con el
Binomio, debes
determine cuántas garrapatas hacia arriba o hacia abajo va a utilizar antes de
Ahora, en cualquier operación determinada, se puede perder una cierta cantidad, lo que nos
hace caer (temporalmente) de esta línea esperada. En este hipotético
situación tenemos un límite a lo que podemos perder en cualquier operación determinada. Desde
2
nuestra línea es siempre más alta que lo máximo que podemos perder en una operación determinada,
opciones con tiempo infinito hasta el vencimiento. Por lo tanto, si mantenemos posiciones largas en el subyacente
Veremos más adelante en este capítulo que los instrumentos subyacentes son idénticos a los call
no se puede arruinar en una sola operación. Sin embargo, una racha perdedora prolongada podría
cuota podemos asumir que nuestra pérdida en el peor de los casos es el valor total del instrumento.
dejarnos lo suficientemente lejos de esta línea como para que no podamos continuar
En muchos casos, esto puede considerarse como una pérdida de tal magnitud que
comercio, por lo tanto estaríamos "arruinados". La probabilidad de que esto ocurra disminuye a medida que
sinónimo de pérdida catastrófica. Sin embargo, estar en corto en el instrumento subyacente es
transcurren más operaciones a medida que la línea de expectativas se hace cada vez más alta. A
análogo a estar en corto en una opción de compra con un tiempo de vencimiento infinito, y la
responsabilidad es verdaderamente ilimitada en tal situación.
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registrar dónde podría terminar el precio. El siguiente pequeño diagrama muestra la idea.
(5.05) Llamada Delta = N(H)
(5.06) Ponga Delta = ­N(­H)
Estos deltas adquieren bastante importancia en el capítulo 7, cuando analizamos el
seguro de cartera.
Black pasó a aplicar el modelo a opciones de futuros, que tienen una liquidación tipo
acciones.4 El modelo de valoración de opciones de futuros de Black es el mismo que el
modelo de valoración de opciones sobre acciones de Black­Scholes, excepto por la
variable H: (5.07) H = ln(U/
E)/(V*T^(1/2))+(V*T^(l/2))/2
Precio inicial
La única otra diferencia en el modelo de futuros son los deltas, que
son:
(5.08) Llamada Delta = EXP(­R*T)*N(H)
(5.09) Ponga Delta = ­EXP(­R*T)*N(­H)
Por ejemplo, supongamos que estamos ante una opción de futuros que tiene un
precio de ejercicio de 600, un precio de mercado actual de 575 sobre el subyacente y una
volatilidad anual del 25%. Usaremos el modelo de opciones sobre materias primas, un año
de 252 días y una tasa libre de riesgo de 0 por simplicidad. Además, asumiremos que el
día de vencimiento de las opciones es el 15 de septiembre de 1991 (910915) y que el día
Aquí, comienza con un precio inicial, donde el precio puede bifurcarse en 2 direcciones
en el que observamos estas opciones es el 1 de agosto de 1991 (910801).
durante el siguiente período. El período posterior a eso, hay 4 direcciones en las que el
precio podría terminar. En última instancia, con el Binomio debes determinar de antemano
cuántos períodos en total vas a utilizar para calcular el precio justo de la opción.
Para empezar calcularemos la variable T, la fracción decimal del año que falta para
vencer. Primero, debemos convertir 910801 y 910915 a sus equivalentes en días julianos.
Para hacer esto, debemos utilizar el siguiente algoritmo.
Black­Scholes se considera la forma limitante del binomio porque asume un número
infinito de períodos (en teoría). Es decir, Black­Scholes supone que este pequeño diagrama
seguirá ramificándose y hacia la derecha infinitamente. Si determina el precio justo de una
opción mediante Black­Scholes, entonces tenderá hacia la misma respuesta con el
Binomial ya que el número de períodos utilizados en el Binomial tiende hacia el infinito.
(El hecho de que Black­Scholes sea la forma limitante del binomio implicaría que el
1. Establecer la variable 1 igual al año (1991), la variable 2 igual al año
mes (8) y variable 3 igual al día (1).
2. Si la variable 2 es menor que 3 (es decir, el mes es enero o febrero), entonces
establezca la variable 1 igual al año menos 1 y la variable 2 igual al mes más 13.
modelo binomial apareció primero. Curiosamente, el modelo Black­Scholes apareció
primero).
3. Si la variable 2 es mayor que 2 (es decir, el mes es marzo o después), entonces
establezca la variable 2 igual al mes más 1.
Las matemáticas de Black­Scholes son bastante sencillas. El
El valor razonable de una opción de compra de acciones
se da como: (5.01) C = U*EXP(­R*T)*N(H)­E*EXP(­R*T)*N(HV*T^( 1/2))
y para una
venta: (5.02) P = ­U*EXP(­R*T)*N(­H)+E*EXP(­R*T)*N(V*T^(l/2)­H )
dónde
C = El valor razonable de una opción de compra.
4. Establezca la variable 4 igual a la variable 3 más 1720995 más el número entero de la
cantidad 365,25 por la variable 1 más el número entero de la cantidad 30,6001 por
la variable 2. Matemáticamente: V4 =
V3+1720995+INT(365.25*V1)+INT(30.6001 *V2)
5. Establezca la variable 5 igual al número entero de la cantidad .01 multiplicada por la
variable 1:
Matemáticamente: V5 = INT(.01*V1)
Ahora para obtener la fecha juliana como variable 4 más 2 menos variable 5
P = El valor razonable de una opción de venta.
más el número entero de la cantidad .25 por la variable 5. Matemáticamente: FECHA
U = El precio del instrumento subyacente.
JULIAN = V4+2­V5+INT(.25*V5)
E = El precio de ejercicio de la opción.
Entonces, para convertir nuestra fecha de 910801 a juliana:
T = Fracción decimal del año que falta por vencer.3 V = La
Paso 1 V1 = 1991, V2 = 8, V3 = 1 Paso 2
volatilidad anual en porcentaje.
Dado que el año es posterior a enero o febrero, este paso no se aplica.
R = La tasa libre de riesgo.
ln() = La función del logaritmo natural.
N() = La función de densidad normal acumulativa, como se indica en la ecuación
(3.21).
(5.03) H = ln(U/(E*EXP(­R*T)))/(V*T^(l/2))+(V*T^(l/2))/2
Para acciones que pagan dividendos, debe ajustar la variable U para reflejar el
Paso 3 Dado que el año es posterior a enero o febrero, este paso sí se aplica. Por lo
tanto V2 = 8+1 = 9.
Paso 4 Ahora configuramos V4 como:
V4 = V3+1720995+INT(365,25*V1)+INT(30,6001*V2)
= 1+1720995+INT(365,25*1991)+INT(30,6001*9)
precio actual del subyacente menos el valor presente de los dividendos esperados: (5.04)
= 1+1720995+INT(727212,75)+INT(275,4009)
U = U­∑[i = 1,N] Di*EXP
= 1+1720995+727212+275
( ­R*Wi) donde
= 2448483
Paso 5 Ahora configuramos V5
Di = El iésimo pago de dividendo esperado.
Wi = El tiempo (fracción decimal de un año) hasta el iésimo pago.
Una de las cosas más interesantes del modelo Black­Scholes es el cálculo exacto
del delta, la primera derivada del precio de la opción. Esta es la tasa de cambio
como: V5 = INT(.01*V1)
=INT(.01*1991)
=INT(19,91) = 19
instantánea de la opción con respecto a un cambio en U, el precio del subyacente:
Paso 6 Ahora obtenemos la fecha juliana como:
FECHA JULIANA = V4+2­V5+INT(.25*V5)
3
En la mayoría de los casos, sólo se utilizan los días de mercado para calcular la fracción
de un año en las opciones. El número de días laborables en un año (gregoriano) se puede
determinar como 365,2425/7*5 = 260,8875 días laborables en promedio por año. Debido a
los días festivos, el número real de días hábiles en un año suele estar entre 250 y 252.
Por lo tanto, si utilizamos un año de 252 días hábiles y quedan 50 días hábiles hasta el
vencimiento, la fracción decimal del año restante hasta el vencimiento, T, sería 50/252 =
.1984126984.
4
La liquidación de tipo futuro no requiere pago inicial en efectivo, aunque se debe
contabilizar el margen requerido. Además, todas las ganancias y pérdidas se realizan
inmediatamente, incluso si la posición no se liquida. Estos puntos contrastan directamente
con la liquidación mediante acciones. En la liquidación de acciones, la compra requiere el
pago total e inmediato, y las ganancias (o pérdidas) no se obtienen hasta que la posición
tiene fecha de liquidación.
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= 2448483+2­19+INT(.25*19)
obtuvo el delta, la tasa de cambio instantáneo del precio del
= 2448483+2­19+INT(4.75) =
opción con respecto al precio del subyacente. El delta es N(H), o
2448483+2­19+4
la variable H se bombea como Z en la ecuación (3.21). Nuestro delta para
= 2448470
Así, podemos afirmar que la fecha juliana del 1 de agosto de 1991, es
2448470. Ahora si convertimos la fecha de vencimiento del 15 de septiembre de 1991
a Julian, obtendríamos una fecha juliana de 2448515.
Si estuviéramos usando un año de 365 días (o 365,2425, la duración del calendario
gregoriano), podríamos encontrar el tiempo que queda hasta el vencimiento simplemente tomando
la diferencia entre estas dos fechas julianas, restando 1 y dividiendo
la suma por 365 (o 365.2425).
Sin embargo, no utilizamos un año de 365 días; más bien estamos usando un
esta opción es por tanto .3262583.
Ahora tenemos todos los insumos necesarios para determinar el valor teórico.
precio de opción. Introduciendo nuestros valores en la ecuación (5.01):
(5.01) C = U*EXP(­R*T)*N(H)­E*EXP(­R*T)*N(HV *T^(1/2))
= 575*EXP(­0*.119047619)*N(­.4502688281)­600*EXP(­
0*.119047619)*N(­.4502688281­.25*.119047619^(1/2))
= 575*EXP(­0*.119047619)*.3262583­600*EXP(­
0*.119047619)*.2957971 =
575*EXP(0)*.3262583­600*EXP(0)*.2957971
Año de 252 días, ya que solo contamos los días en que el intercambio está abierto
= 575*1*.3262583­600*1*.2957971
(entre semana menos festivos). Así es como explicamos esto. Debemos examinar cada día
= 575*.3262583­600*.2957971
entre las dos fechas julianas para ver si es fin de semana.
= 187.5985225­177.47826
Podemos determinar qué día de la semana es una fecha juliana dada sumando
1 a la fecha juliana, dividiendo por 7 y tomando el resto (la operación de módulo). El resto
= 10.1202625
Así, el precio justo de la opción call 600 que vence el 15 de septiembre,
tendrá un valor de 0 a 6, correspondiente a domingo a sábado. Así, para el 1 de agosto de
1991, donde
1991, con el subyacente en 575 el 1 de agosto de 1991, con una volatilidad en
la fecha juliana es 2448470:
25%, y utilizando un año de 252 días y el modelo de futuros negros con R = 0,
es 10.1202625.
Día de la semana = ((2448470+l)/7) % 7 =
Es interesante notar la relación entre las opciones y sus
2448471/ % 7
= ((2448471/7)­INT(2448471/7))*7 =
instrumentos subyacentes mediante el uso de estos modelos de fijación de precios. sabemos que 0
es el precio límite a la baja de una opción, pero en el lado positivo el precio límite es el precio
(349781.5714­349781)*7 = .5714*7
del instrumento subyacente en sí. Los modelos
=4
su valor límite alcista del valor del subyacente, U, si alguno o todos
demostrar esto en que el precio justo teórico de una opción se acerca
Como el 4 corresponde al jueves, podemos afirmar que el 1 de agosto de 1991
es un jueves.
Ahora procedemos a través de cada fecha juliana hasta e incluyendo la
fecha de caducidad. Contamos todos los días de la semana entre esos dos.
fechas y encontramos que hay 32 días laborables entre ellas (e inclusive)
1 de agosto de 1991 y 15 de septiembre de 1991. De nuestra respuesta final podemos
Hay que restar 1, ya que contamos el día uno cuando llega el 2 de agosto de 1991.
tres de las variables T, R o V aumentan. Esto significaría, por ejemplo, que si incrementáramos
T, el tiempo hasta el vencimiento de la opción, a un
cantidad infinitamente alta, entonces el precio de la opción sería igual al de
el instrumento subyacente. En este sentido, podemos afirmar que todos los instrumentos
subyacentes son realmente iguales que opciones, sólo que con T infinita.
Por lo tanto, lo que sigue en esta discusión no sólo se aplica a las opciones, sino que también puede
Lo mismo ocurre con el subyacente como si fuera una opción.
con T infinita.
Por lo tanto, tenemos 31 días laborables entre 910801 y 910915.
Ahora hay que restar los días festivos, cuando el intercambio está cerrado. El lunes 2
de septiembre de 1991 es el Día del Trabajo en los Estados Unidos. A pesar de
Es posible que no vivamos en los Estados Unidos, el intercambio donde este particular
La opción en la que se negocia, al estar en los Estados Unidos, se cerrará el
2 de septiembre, y por tanto debemos restar 1 a nuestra cuenta de días.
Tanto el modelo de opciones sobre acciones de Black­Scholes como los futuros de Black
El modelo se basa en ciertas suposiciones. Los desarrolladores de estos modelos.
Eran conscientes de estas suposiciones y usted también debería serlo. Sin embargo, a pesar
de las deficiencias que implican los supuestos, estos
Los modelos siguen siendo muy precisos y los precios de las opciones tenderán a los valores de
estos modelos.
Por lo tanto, determinamos que tenemos 30 días "negociables" antes del vencimiento.
Ahora dividimos el número de días negociables antes del vencimiento por
la duración de lo que hemos determinado que será el año. Como utilizamos un año de 252
días, dividimos 30 entre 252 para obtener 0,119047619. Esto es
la fracción decimal del año que falta para vencer, la variable T.
A continuación, debemos determinar la variable H para el modelo de fijación de precios. Desde
Estamos usando el modelo de futuros, debemos calcular H como en la ecuación
El primero de estos supuestos es que la opción no puede ejercerse
hasta la fecha del ejercicio. Este acuerdo de opciones de estilo europeo tiende a
subvalorar ciertas opciones en comparación con el estilo americano, donde el
Las opciones pueden ejercerse en cualquier momento. Algunas de las otras suposiciones en
este modelo son que realmente conocemos la volatilidad futura del instrumento subyacente
y que permanecerá constante durante toda la vida del instrumento subyacente.
opción. Esto no sólo no sucederá (es decir, la volatilidad cambiará ), sino que
(5.07):
la distribución de los cambios de volatilidad es lognormal, una cuestión que los modelos no
abordan.5 Otra cuestión que los modelos suponen es que la
(5.07) H = ln(U/E)/(V*T^(1/2))+(V*T^(l/2))/2
La tasa de interés libre de riesgo permanecerá constante durante toda la vida de una opción.
= ln(575/600)/(.25*.119047619^(1/2))+(.25*.119047619 ^ (l/2))/2 = ln(575/600)/(.25*.
119047619^.5)+(.25*.119047619^.5)/2
Esto también es poco probable. Además, los tipos a corto plazo parecen ser
distribuida lognormalmente. Dado que cuanto más altas son las tasas a corto plazo,
mayores serán los precios de las opciones resultantes, este supuesto con respecto
= In(575/600)/(.25*.3450327796)+(.25*.3450327796)/2 =
que las tasas a corto plazo sean constantes puede subvaluar aún más el precio justo de
In(575/600)/.0862581949+.0862581949/2 =
la opción (el precio devuelto por los modelos) en relación con el esperado
In(.9583333)/.0862581949+ .0862581949/2 =
valor (su verdadera expectativa matemática aritmética).
.04255961442/.0862581949+.0862581949/2
= ­.4933979255+.0862581949/2
= ­.4933979255+.04312909745
= ­.4502688281
En la ecuación (5.01) notará que necesitamos usar la ecuación
Finalmente, otro punto (quizás el más importante) que podría
subvaluar el valor razonable de la opción generado por el modelo en relación con el
El verdadero valor esperado se refiere al supuesto de que los logaritmos del precio
los cambios se distribuyen normalmente. Si en lugar de tener un marco de tiempo en
que expiraron, las opciones tenían un número determinado de ticks hacia arriba y hacia abajo
antes de que expiraran, y solo podían cambiar 1 tic a la vez, y si
(3.21) en dos ocasiones. La primera es donde configuramos la variable Z en
cada tick era estadísticamente independiente del último tick, podríamos con razón
Ecuación (3.01) a la variable H tal como la acabamos de calcular; el segundo es donde lo
hacer este supuesto de normalidad. Los registros de cambios de precios, sin embargo,
configuramos con la expresión HV*T^(1/2). Lo sabemos
no tienen estas características limpias.
V*T^(1/2) es igual a .0862581949 de la última expresión, por lo que HV*T^(1/2) es igual a
­.4502688281­.0862581949 = ­.536527023. Por lo tanto, debemos usar la ecuación (3.21)
con la variable de entrada Z como ­.4502688281
y ­.536527023. Según la ecuación (3.21), esto produce .3262583 y
.2957971 respectivamente (la ecuación (3.21) se demostró en el capítulo 3, por lo que no es
necesario repetirla aquí). Observe, sin embargo, que ahora tenemos
5
El hecho de que la distribución de los cambios de volatilidad sea lognormal no es una prueba muy
hecho ampliamente considerado. A la luz de lo extremadamente sensibles que son los precios de las opciones a
la volatilidad del instrumento subyacente, esto ciertamente hace que la perspectiva de
comprar una opción larga (put o call) más atractiva en términos de expectativa matemática.
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dónde
Dejando a un lado todas estas suposiciones hechas por los modelos de precios, los precios
justos teóricos arrojados por los modelos son monitoreados por profesionales en el mercado.
Aunque muchos utilizan modelos que difieren
C = El valor teóricamente razonable de una opción, o el valor presente de
la expectativa matemática aritmética en el tiempo T.
A partir de los que se detallan aquí, la mayoría de los modelos arrojan resultados teóricos similares.
pi = La probabilidad de estar en el precio i al vencimiento.
precios. Cuando los precios reales divergen de los modelos en la medida en que un
ai = El valor intrínseco asociado con el instrumento subyacente
arbitrajista tiene una oportunidad de ganancias, comenzarán a converger nuevamente para
lo que los modelos afirman es el precio justo teórico. Este hecho de que podemos
estando al precio i.
R = La tasa libre de riesgo actual.
predecir con bastante precisión cuál será el precio de una opción
dados los diversos inputs (tiempo hasta el vencimiento, precio del instrumento subyacente, etc.)
T = Fracción decimal de un año restante hasta el vencimiento.
nos permite realizar los ejercicios sobre f óptima
y sus subproductos en opciones y posiciones mixtas. El lector debe
Tenga en cuenta que todas estas técnicas se basan en los supuestos
Acabo de mencionar los modelos de fijación de precios de opciones en sí.
La ecuación (5.11) es el modelo de valoración de opciones para todas las distribuciones,
que devuelve el valor presente de la expectativa matemática aritmética de
la opción al vencimiento.6 Tenga en cuenta que el modelo se puede utilizar para valores de venta
además, la única diferencia está en discernir los valores intrínsecos, los
términos ai , en cada incremento de precio, i.
UN MODELO EUROPEO DE PRECIOS DE OPCIONES PARA TODAS LAS DISPOSICIONES
TRIBUCIONES
Podemos crear nuestro propio modelo de precios sin suposiciones sobre la distribución de
los cambios de precios.
Cuando se trata de dividendos, se debe emplear la ecuación (5.04)
para ajustar el precio actual del subyacente por. Luego, este precio actual ajustado se utiliza
para determinar las probabilidades asociadas con ser
a un precio determinado, i, al vencimiento.
Un ejemplo del uso de la ecuación (5.11) es el siguiente. Supongamos que determinamos
En primer lugar, es necesario definir el término "teóricamente justo" cuando se hace
referencia al precio de una opción. Esta definición se da como la expectativa aritmética
que la distribución t de Student es un buen modelo de la distribución del logaritmo de los cambios
matemática de la opción al vencimiento, expresada en términos de su valor presente, suponiendo
de precios.
que no haya sesgo direccional en el subyacente. Esto es
están considerando comprar opciones en. Ahora utilizamos la prueba KS para determinar el
nuestro modelo de valoración de opciones en términos literales. El marco de referencia empleado
valor del parámetro que mejor se ajusta a los grados de libertad de la distribución t de Student.
aquí es: "¿Cuánto vale esta opción para mí hoy como comprador de opciones?"
Supondremos que 5 grados de
7
para un producto hipotético que
La libertad proporciona el mejor ajuste a los datos reales según la prueba KS.
Supondremos que estamos discerniendo el precio justo de una opción de compra.
En términos matemáticos, recuerde que la expectativa matemática
(aritmética) se define como la Ecuación (1.03):
(1.03) Expectativa matemática = ∑[i = 1,N] (pi*ai)
dónde
en 911104 que vence en 911220, donde el precio del subyacente es 100
y el precio de ejercicio es 100. Asumiremos una volatilidad anualizada de
20%, una tasa libre de riesgo del 5% y un año de 260,8875 días (el número promedio de días
laborables en un año; por lo tanto, ignoramos los días festivos que caen en un
p = Probabilidad de ganar o perder el iésimo ensayo.
entre semana, por ejemplo, Acción de Gracias en los Estados Unidos). Además, nosotros
a = Monto ganado o perdido en la iésima prueba.
asumirá que el tick mínimo que este producto hipotético puede
N = Número de resultados posibles (ensayos).
el intercambio es .10.
Si realizamos las ecuaciones (5.01) y (5.02) usando (5.07) para la variable II, obtenemos
La expectativa matemática se calcula multiplicando cada posible ganancia o pérdida por la
probabilidad de esa ganancia o pérdida y luego sumando estos productos. Cuando la suma de
valores razonables de 2,861 tanto para la compra de 100 como para la venta de 100.
las probabilidades, los términos pi, es
Estos precios de opciones son, por tanto, los valores razonables según el modelo de opciones
mayor que 1, la Ecuación 1,03 debe luego dividirse por la suma de los
sobre productos básicos negros, que supone una distribución lognormal de
probabilidades, los términos pi.
precios. Sin embargo, si utilizamos la ecuación (5.11), debemos calcular los términos pi .
En pocas palabras, nuestro modelo de valoración de opciones tomará todas esas opciones discretas.
incrementos de precio que tienen una probabilidad mayor o igual a .001 de
que ocurren al vencimiento y determinar una expectativa matemática aritmética sobre ellos.
Estos los obtenemos del fragmento de código BASIC en el Apéndice B. Nota
que el fragmento de código requiere un valor estándar, dada la variable
nombre Z, y los grados de libertad, dado el nombre de la variable
DEGFDM. Antes de llamar a este fragmento de código, podemos convertir el precio,
i, a un valor estándar mediante la siguiente fórmula:
(5.10) C = ∑(pi*ai)/∑pi
dónde
(5.12) Z = ln(i/precio subyacente actual)/(V*T^.5)
dónde
C = El valor teóricamente justo de una opción, o una expectativa aritmético­matemática.
i = El precio asociado con el estado actual de la sumatoria
proceso.
pi = La probabilidad de estar en el precio i al vencimiento.
V = La volatilidad anualizada como desviación estándar.
ai = El valor intrínseco asociado con el instrumento subyacente
T = Fracción decimal de un año restante hasta el vencimiento.
estando al precio i.
ln() = La función del logaritmo natural.
Al usar este modelo, primero comenzamos con el precio actual y trabajamos hacia arriba.
La ecuación (5.12) se puede expresar en BASIC como:
tick a la vez, sumando los valores tanto en el numerador como en el denominador hasta que el
precio, i, tenga una probabilidad, pi, menor que .001 (puede usar un
Z = LOG(I/U)/(V*T^.5)
valora menos que esto, pero creo que .001 es un buen valor para usar; eso implica
encontrar un valor justo suponiendo que tendrá 1000 operaciones de opciones
La variable U representa el precio subyacente actual (ajustado por
dividendos, si fuera necesario).
en tu vida). Luego, comenzando en ese valor que está 1 tick por debajo del
precio actual, bajamos 1 tick a la vez, sumando los valores de ambos
6
el numerador y denominador hasta que el precio, i, resulte en una probabilidad,
pensamiento convencional sostiene que, incluido en el precio de una opción sobre acciones,
pi, menos de 0,001. Tenga en cuenta que las probabilidades que estamos usando son de 1 cola.
es el interés de un bono de descuento puro que vence al vencimiento con un valor nominal
probabilidades, donde si una probabilidad es mayor que .5, estamos restando
la probabilidad de 1.
Es interesante observar que los términos pi, las probabilidades, pueden discernirse
Observe que la ecuación (5.11) no diferencia las opciones sobre acciones de las materias primas. El
igual al precio de ejercicio. Se cree que las opciones sobre materias primas tienen una tasa de interés de
0 en esto, entonces es como si no lo tuvieran. Desde nuestro marco de referencia, es decir,
"¿Cuánto vale esta opción para mí hoy como comprador de opciones?" ­ ignoramos esto. Si
Tanto una acción como un producto tienen exactamente la misma distribución esperada de resultados,
mediante cualquier distribución que el usuario considere aplicable, no sólo la
sus expectativas aritméticas matemáticas son las mismas y las expectativas racionales
Normal. Es decir, ¡el usuario puede derivar un valor teóricamente justo de una opción para
El inversor optaría por comprar el menos caro. Esta situación es análoga a
cualquier forma distributiva! Por lo tanto, este modelo nos da libertad para usar la estable
alguien que esté considerando comprar una de dos casas idénticas donde una tiene el precio
Paretiana, la t de Student, Poisson, nuestra propia distribución ajustable o cualquier otra.
mayor porque el vendedor ha pagado una tasa de interés más alta sobre la hipoteca.
otra distribución que consideramos que el precio se ajusta al determinar opciones justas
valores.
cambios. Sin embargo, dado que el único otro parámetro, además de la volatilidad como desviación
Todavía necesitamos modificar el modelo para expresar la expectativa matemática
aritmética al vencimiento como un valor presente:
(5.11) C = (∑ (pi*ai)*EXP(­R*T))/ ∑ pi
7
La distribución t de Student es generalmente un modelo deficiente de la distribución de precios.
estándar anualizada, que debe considerarse al utilizar la t de Student
distribución, son los grados de libertad, y dado que las probabilidades asociadas con
La distribución t de Student se determina fácilmente mediante el fragmento de código básico en
En el Apéndice B, aquí usaremos la distribución t de Student por razones de simplicidad y demostración.
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Por último, una vez que hemos obtenido una probabilidad del fragmento de código BASIC
1.288467. Ahora bien, si restamos este valor de cada término ai, cada valor intrínseco en
de la distribución t de Student en el Apéndice B, la probabilidad devuelta es de dos colas.
(5.11) (y establecemos cualquier valor resultante menor que 0 en 0), entonces la ecuación (5.11)
Necesitamos convertirla en una probabilidad de una cola y expresarla como una probabilidad
producirá valores teóricos que son consistentes con (5.13). Este procedimiento tiene el efecto
de desviarse del precio actual (es decir, limitarla entre 0 y 0,5). Estos dos procedimientos se
de forzar que la expectativa matemática aritmética del subyacente sea igual al precio actual
realizan mediante las siguientes dos líneas de BASIC:
del subyacente. En el caso de nuestro ejemplo que utiliza la distribución t de Student con 5
CF = 1­((1­ CF)/2) SI CF >.5 entonces CF = 1­CF
de 3,218. Por lo tanto, nuestra respuesta es consistente con la ecuación (5.13) y ya no existe
grados de libertad, obtenemos un valor tanto para la opción put como para la opción call de 100
Al hacer esto con los parámetros de opción que hemos especificado y 5 grados de
una oportunidad de arbitraje entre estas dos opciones y su instrumento subyacente.
libertad, se obtiene un valor justo de opción de compra de 3,842 y un valor justo de venta de
2,562. Estos valores difieren considerablemente de los modelos más convencionales por varias
razones.
Primero, las colas más gruesas de la distribución t de Student con 5 grados de libertad
generarán un valor de compra justo más alto. Generalmente, cuanto más gruesas sean las
colas de la distribución utilizada, mayor será el valor de llamada devuelto. Si hubiéramos
utilizado 4 grados de libertad, habríamos obtenido un valor de call justo aún mayor.
En segundo lugar, el valor de venta y el valor de compra difieren sustancialmente, mientras
que con el modelo más convencional el valor de venta y el valor de compra eran equivalentes.
Siempre que estemos utilizando una distribución que resulte en una expectativa matemática
aritmética al vencimiento del subyacente que difiere del valor actual del subyacente, debemos
restar la diferencia (expectativa­valor actual) del valor intrínseco al vencimiento de las opciones
y piso. esos valores intrínsecos resultantes son menores que 0 a 0. Al hacerlo, la ecuación
(5.11) nos dará, para cualquier forma distributiva que queramos usar, el valor presente de la
expectativa aritmética matemática de la opción al vencimiento, dada una expectativa aritmética
matemática sobre el instrumento subyacente equivalente a su precio actual (es decir, suponiendo
que no haya sesgo direccional en el instrumento subyacente).
Esta diferencia requiere cierta discusión.
El valor razonable de una opción de venta se puede determinar a partir de una opción de
compra con el mismo ejercicio y vencimiento (o viceversa) mediante la fórmula de paridad de
compra y venta: (5.13) P = C+(EU)*EXP(­
R*T) donde
P = El valor justo de venta.
C = El valor justo de compra.
E = El precio de ejercicio.
U = El precio actual del instrumento subyacente.
R = La tasa libre de riesgo.
T = Fracción decimal de un año restante hasta el vencimiento.
LA ÚNICA OPCIÓN LARGA Y LA F ÓPTIMA
Supongamos que estamos hablando de la simple compra directa de una opción de compra.
En lugar de tomar un historial completo de las operaciones de opciones que produjo un sistema
de mercado determinado y derivar nuestro f óptimo de ahí, vamos a echar un vistazo a todos los
resultados posibles de lo que esta opción en particular podría hacer durante el plazo que la
mantengamos.
Pondremos cada resultado según la probabilidad de que ocurra. Este resultado ponderado por
probabilidad se derivará como un HPR relativo al precio de compra de la opción. Finalmente,
veremos el espectro completo de resultados (es decir, la media geométrica) para cada valor de
f hasta que obtengamos el valor óptimo.
Cuando la ecuación (5.13) no es cierta, existe una oportunidad de arbitraje.
De (5.13) podemos ver que los precios del modelo convencional, al ser equivalentes, parecerían
correctos ya que la expresión UE es 0, y por tanto P = c.
En casi todos los modelos de valoración de buenas opciones, las variables de entrada que
tienen el mayor efecto sobre el precio teórico de las opciones son (a) el tiempo restante hasta
el vencimiento, (b) el precio de ejercicio, (c) el precio subyacente y (d) la volatilidad. Diferentes
Sin embargo, consideremos la variable U en la ecuación (5.13) como el precio esperado
del instrumento subyacente actual al vencimiento. El valor esperado del subyacente se puede
discernir mediante (5.10), excepto que el término ai simplemente es igual a i. Para nuestro
modelos tienen diferentes entradas, pero básicamente estos cuatro tienen la mayor influencia
en el valor teórico devuelto.
De los cuatro factores básicos, dos (el tiempo restante hasta el vencimiento y el precio
ejemplo con DEGFDM = 5, el valor esperado para el instrumento subyacente = 101,288467.
subyacente) seguramente cambiarán. Uno, la volatilidad, puede cambiar, pero rara vez en la
Esto sucede como resultado del hecho de que el mínimo por el que se puede negociar una
medida del precio subyacente o el tiempo hasta el vencimiento, y ciertamente no tan
mercancía en este modelo es 0, mientras que no hay límite alcista. Un movimiento de un precio
definitivamente como estos dos. Uno, el precio de ejercicio, seguramente no cambiará.
de 100 a un precio de 50 es tan probable como un movimiento de un precio de 100 a 200. Por
lo tanto, los valores de compra tendrán un precio mayor que los valores de venta. No sorprende
Por lo tanto, debemos observar el precio teórico que arroja nuestro modelo para todos
entonces que el valor esperado del instrumento subyacente al vencimiento sea mayor que su
estos valores diferentes de precios subyacentes diferentes y el precio diferente para todos estos
valor actual. Esto parece ser consistente con nuestra experiencia con la inflación. Cuando
valores diferentes de precios subyacentes diferentes y los tiempos restantes hasta el
reemplazamos la U en la ecuación (5.13), el precio actual del instrumento subyacente, con su
vencimiento. Por tanto, el HPR de una opción es función no sólo del precio del subyacente, sino
valor esperado al vencimiento, podemos derivar nuestro valor de venta justo de (5.13) como: P
también de cuánto tiempo queda en la opción: (5.14) HPR(T,U) = (1+f*(Z(T, UY)/S­1))^P(T,U)
= 3.842+(100­101.288467)*EXP (­.05*33/260.8875) = 3.842+­ 1.288467*EXP(­.006324565186)
= 3.842+­1.288467*.9936954 = 3.842+­1.280343731 = 2.561656269
dónde
HPR(T,U) = El HPR para un valor de prueba dado para T y U.
Este valor es consistente con el valor de venta determinado usando la ecuación (5.11)
para el valor actual de la expectativa matemática aritmética de la venta al vencimiento.
f = El valor probado para f.
S = El precio actual de la opción.
Z(T,UY) = El precio teórico de la opción si el subyacente estuviera al precio UY con el
Sólo hay un problema. Si tanto las opciones de venta como las de compra para el mismo
ejercicio y vencimiento tienen un precio justo según (5.11), entonces existe una oportunidad de
arbitraje. En el mundo real, la U en (5.13) es el precio actual del subyacente, no el valor
tiempo T restante hasta el vencimiento. Esto puede discernirse mediante cualquier modelo de
precios que el usuario considere apropiado.
P(T,U) = La probabilidad de cola I de que el subyacente esté al precio U en el tiempo T
esperado del subyacente, al vencimiento. En otras palabras, si el precio actual es 100 y el call
restante hasta el vencimiento. Esto puede discernirse mediante cualquier forma de distribución
de diciembre de 100 es 3,842 y el put de 100 es 2,561656269, entonces existe una oportunidad
que el usuario considere apropiada.
de arbitraje según (5.13).
Y = La diferencia entre la expectativa matemática aritmética del subyacente en el momento
T, dada por la Ecuación (5.10), y el precio actual.
La ausencia de paridad de compra y venta sugeriría, dados los precios de nuestras
opciones recién derivadas, que en lugar de comprar la opción de compra por 3,842, obtendríamos
una posición equivalente comprando la opción de venta por 2,562 y comprando el subyacente.
Esta fórmula nos dará el HPR (que está ponderado en función de la probabilidad del
resultado) de un posible resultado para esta opción: que el instrumento subyacente tendrá un
precio U en el momento T.
El problema se resuelve si primero calculamos el valor esperado del subyacente, discernido
por la Ecuación (5.10), excepto que el término ai simplemente es igual a i (para nuestro ejemplo
con DEGFDM = 5, el valor esperado para el instrumento subyacente es igual a 101,288467) y
restamos el precio actual del subyacente a partir de este valor. Esto nos da 101.288467­100 =
En la ecuación anterior la variable T representa la parte decimal del año que falta hasta el
vencimiento de la opción. Por lo tanto, al vencimiento T = 0. Si queda 1 año para el vencimiento,
T = 1. La variable Z(T, UY) se encuentra mediante cualquier modelo de opción que esté
utilizando. La única otra variable
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Lo que necesitas calcular es la variable P(T, U), la probabilidad de que el subyacente
esté al precio U con el tiempo T restante en la vida de la opción.
Si utilizamos el modelo Black­Scholes o el producto Black
A partir de esta ecuación, para determinar el punto que es X desviaciones estándar
por encima del precio subyacente actual: (5.17a) +X Std.
Desarrollo. = U*EXP(X*(V*T^(1/2)))
modelo, podemos calcular P(T, U) como: si
U < o = a Q: (5.15a)
Asimismo, X desviaciones estándar por debajo del precio subyacente actual se
calcula
P(T,U) = N((ln(U/Q))/(V*(L^( 1/2)))) si U > Q: (5.15b)
mediante: (5.17b) ­X Std. Desarrollo. = U*EXP(­X*(V*T ^ (1/2))) donde U = Precio
P(T,U) = 1­
actual del instrumento subyacente.
V = La volatilidad anual del instrumento subyacente.
N((ln(U/Q))/(V*(L^(1/2))))
T = Fracción decimal del año transcurrido desde que se puso la opción
dónde
U = El precio en cuestión.
Q = Precio actual del instrumento subyacente.
V = La volatilidad anual del instrumento subyacente.
L = Fracción decimal del año transcurrido desde que se puso la opción
en.
N() = La función de distribución normal acumulativa. Esto viene dado por la ecuación
(3.21). ln() = La función
del logaritmo natural.
Una vez realizadas estas ecuaciones, podemos derivar un HPR ponderado por
probabilidad para un resultado particular en la opción. Es posible obtener una amplia
gama de resultados, pero afortunadamente estos resultados no son continuos. Tómese
el tiempo restante hasta el vencimiento. Esta no es una función continua. Más bien,
quedan un número discreto de días hasta el vencimiento. Lo mismo ocurre con el precio
del subyacente. Si una acción tiene un precio de, digamos, 35 y queremos saber cuántos
resultados de precios posibles hay entre los precios posibles de 30 y 40, y si la acción se
negocia en octavos, entonces sabemos que hay 81 posibles. resultados de precios entre
30 y 40 inclusive.
en.
EXP() = La función exponencial.
X = El número de desviaciones estándar de la media que estás
tratando de discernir probabilidades.
Recuerde, primero debe determinar la antigüedad de la operación, como una
fracción de un año, antes de poder determinar qué precio constituye X desviaciones
estándar por encima o por debajo de un precio dado U.
A continuación se presenta un resumen del procedimiento para encontrar la f óptima
para una opción dada.
Paso 1 Determine si quedará fuera de la opción en una fecha definitiva.
De lo contrario, utilice la fecha de vencimiento.
Paso 2 Contando el primer día como día 1, determine cuántos días habrá estado en
el negocio para la fecha del número 1. Ahora convierta este número de días a una fracción
decimal de un año.
Paso 3 Para el día número 1, calcula aquellos puntos que están sin
en +3 y ­3 desviaciones estándar del precio subyacente actual.
Paso 4 Convierta estos rangos de valores de precios en el paso 3 a valores discretos.
En otras palabras, utilizando incrementos de 1 tick, determine todos los precios posibles
Lo que debemos hacer ahora es calcular todas las HPR ponderadas por probabilidad
entre los valores incluidos en el paso 3 que limitan el rango.
de la opción para la fecha de vencimiento o para alguna otra fecha de salida obligatoria
anterior a la fecha de vencimiento. Digamos que sabemos que estaremos fuera de la
opción a más tardar dentro de una semana a partir de hoy. En tal caso, no necesitamos
Paso 5 Para cada uno de estos resultados, calcule ahora las Z(T, UY) y P(T, U) para
calcular las HPR para el día de vencimiento, ya que eso es irrelevante para la pregunta
la ecuación HPR ponderada por probabilidad. En otras palabras, para cada uno de estos
resultados calcule ahora el precio teórico de la opción resultante, así como la probabilidad
de cuántas de estas opciones comprar, dada toda la información disponible (tiempo hasta
de que el instrumento subyacente esté a ese precio en las fechas en cuestión.
el vencimiento, tiempo que esperamos permanecer en el mercado). operación, precio del
instrumento subyacente, precio de la opción y volatilidad). Si no tenemos un tiempo
establecido en el que estaremos fuera de la operación, entonces debemos usar el día de
Paso 6 Después de haber completado el paso 5, ahora tiene todos los datos
necesarios para calcular los HPR ponderados por probabilidad para todos los resultados.
vencimiento como fecha para calcular los HPR ponderados por probabilidad.
(5.14) HPR(T,U) = (1+f*(Z(T,UY)/S­1))^P(T,U)
Una vez que sabemos para cuántos días calcular (y asumiremos aquí que
calcularemos hasta el día de vencimiento), debemos calcular los HPR ponderados por
probabilidad para todos los precios posibles para ese día de mercado. Nuevamente, esto
dónde
f = El valor probado para f.
no es tan abrumador como podría pensar. En la distribución de probabilidad normal, el
S = El precio actual de la opción.
99,73% de todos los resultados estarán dentro de tres desviaciones estándar de la media.
Z(T,UY) = El precio teórico de la opción si el subyacente estuviera al precio UY con
La media aquí es el precio actual del instrumento subyacente. Por lo tanto, en realidad
el tiempo T restante hasta el vencimiento. Esto puede discernirse mediante cualquier
sólo necesitamos calcular los HPR ponderados por probabilidad para un día de mercado
modelo de precios que el usuario considere apropiado.
particular, para cada precio discreto entre ­3 y +3 desviaciones estándar. Esto debería
acercarnos con bastante precisión a la respuesta correcta. Por supuesto, si quisiéramos,
podríamos llegar a 4, 5, 6 o más desviaciones estándar, pero eso no sería mucho más
preciso. Del mismo modo, si quisiéramos, podríamos contraer la ventana de precios
mirando sólo 2 o 1 desviaciones estándar.
Sin embargo, no se gana en precisión al hacer esto. La cuestión es que 3 desviaciones
estándar no están escritas en piedra, pero deberían proporcionar una precisión suficiente.
P(T,U) = La probabilidad unilateral de que el subyacente esté al precio U en el
tiempo T restante hasta el vencimiento. Esto se puede discernir por cualquier distribución
que el usuario considere adecuada.
Y = La diferencia entre la expectativa matemática aritmética del subyacente en el
momento T, dada por (5.10), y el precio actual.
Debe tener en cuenta que la forma distributiva utilizada para la variable P(T, U) no
tiene por qué ser la misma forma distributiva utilizada por el modelo de precios empleado
para discernir los valores de Z(T, UY). Por ejemplo, supongamos que está utilizando el
Si utilizamos el modelo de Black­Scholes o el modelo de opciones de futuros de
Black, podemos determinar cuánto 1 desviación estándar está por encima de un precio
subyacente determinado, U:
(5.16) Std. Desarrollo. = U*EXP(V*(T^(1/2)))
modelo de opciones sobre acciones de Black­Scholes para discernir los valores de Z(T,
UY). Este modelo supone una distribución lognormal de los cambios de precios. Sin
embargo, puede utilizar correctamente otra forma de distribución para determinar la P(T,
U) correspondiente. Literalmente, esto se traduce de la siguiente manera: usted sabe que
si el subyacente llega al precio U, el precio de la opción tenderá a ese valor dado por
dónde
Black­Scholes. Sin embargo, la probabilidad de que el subyacente fije el precio de U a
U = Precio actual del instrumento subyacente.
partir de aquí es mayor de lo que indicaría la distribución lognormal.
V = La volatilidad anual del instrumento subyacente.
T = Fracción decimal del año transcurrido desde que se puso la opción
en.
EXP() = La función exponencial.
Observe que la desviación estándar es función del tiempo transcurrido en la
Paso 7 Ahora puedes comenzar el proceso de encontrar la f óptima.
Nuevamente, puede hacer esto mediante iteración, recorriendo todos los valores f posibles
entre 0 y 1, mediante interpolación parabólica o mediante cualquier otro algoritmo de
búsqueda unidimensional. Al conectar los valores de prueba para f en los HPR (y tendrá
un HPR para cada uno de los posibles incrementos de precio entre +3 y ­3 desviaciones
operación (es decir, debe saber cuánto tiempo ha transcurrido para saber dónde están
estándar en la fecha de vencimiento o fecha de salida obligatoria), puede encontrar su
los tres puntos de desviación estándar).
media geométrica para un valor de prueba dado de f. La forma de obtener ahora esta
media geométrica es multiplicar
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todas estas HPR juntas y luego elevamos el producto resultante a la potencia de 1 dividido
por la suma de las probabilidades: (5.18a) G(f,T) = {∏[U = ­3SD,
+3SD]HPR(T, U)}^(1/∑[U = ­3SD,+3SD]P(T,U))
Por lo tanto:
(5.18b) G(f,T) = {∏[U = ­3SD,+3SD](l+f*(Z(T,UY)/S1))^P(T,U)}^(1/
∑[U = ­3SD,+3SD]P(T,U))
dónde
G(f, T) = La media geométrica HPR para un valor de prueba dado para f y a
tiempo restante hasta el vencimiento de una fecha de salida obligatoria.
TWR = La riqueza terminal relativa.
X = Por muchas veces que queramos "ampliar" este juego. Es decir, lo que esperaríamos
ganar si invirtiéramos f cantidad en estos posibles escenarios X veces.
Además, podemos determinar nuestros otros subproductos, como la expectativa
matemática geométrica, como la media geométrica menos 1. Si tomamos la mayor pérdida
posible (el costo de la opción en sí), dividimos esto por la f óptima, y multiplica el resultado
por la expectativa matemática geométrica, el resultado arrojará el comercio promedio
geométrico. Como ha visto, cuando se aplica a posiciones de opciones como ésta, la técnica
f óptima tiene el subproducto añadido de discernir cuál es la fecha de salida óptima.
f = El valor probado para f.
S = El precio actual de la opción.
Z(T,UY) = El precio teórico de la opción si el subyacente estuviera al precio U ­Y con el
tiempo T restante hasta el vencimiento. Esto puede discernirse mediante cualquier modelo de
precios que el usuario considere apropiado.
P(T,U) = La probabilidad de que el subyacente esté al precio U en el tiempo T restante
hasta el vencimiento. Esto puede discernirse mediante cualquier forma de distribución que el
usuario considere apropiada.
Y = La diferencia entre la expectativa matemática aritmética del subyacente en el
momento T, dada por (5.10), y el precio actual.
Hemos discutido la posición de opciones en su forma pura, desprovista de cualquier
sesgo subyacente que podamos tener en la dirección del precio del subyacente. Para una
fecha de salida obligatoria, los puntos de 3 desviaciones estándar por encima y por debajo se
calculan a partir del precio actual. Esto supone que no sabemos nada de la dirección futura
del subyacente. Según los modelos matemáticos de fijación de precios, no deberíamos poder
encontrar expectativas matemáticas aritméticas positivas si mantuviéramos estas opciones
hasta su vencimiento. Sin embargo, como hemos visto, mediante el uso de esta técnica es
posible encontrar expectativas matemáticas geométricas positivas si ponemos una determinada
cantidad y salimos de la posición en una fecha determinada.
El valor de f que da como resultado la media geométrica más grande es el valor de f
que es óptimo.
También podemos optimizar para la fecha de salida obligatoria óptima. En otras palabras,
Si tiene un sesgo hacia la dirección del subyacente, eso también puede incorporarse.
Supongamos que estamos analizando opciones sobre un instrumento subyacente en particular,
digamos que queremos encontrar cuál es la f óptima para una opción determinada para cada
que actualmente tiene un precio de 100. Supongamos además que nuestro sesgo, generado
día desde ahora hasta el vencimiento. Es decir, ejecutamos este procedimiento una y otra
por nuestro análisis de este mercado, sugiere un precio de 105 en la fecha de vencimiento,
vez, comenzando con mañana como fecha de salida obligatoria y encontrando la f óptima,
que es dentro de 40 días de mercado. . Esperamos que el precio suba 5 puntos en 40 días.
luego comenzamos todo el proceso nuevamente con el día siguiente como fecha de salida
Si asumimos un avance lineal para este avance, podemos afirmar que el precio debería
obligatoria. Seguimos adelantando la fecha de salida obligatoria hasta que la fecha de salida
aumentar, en promedio, 0,125 puntos por día de mercado. Por lo tanto, para el día de salida
obligatoria sea la fecha de vencimiento. Registramos los fs óptimos y las medias geométricas
obligatorio de mañana, calcularemos un valor de U de 100,125. Para la próxima fecha de
para cada fecha de salida obligatoria.
salida indicada por el hombre, U será 100,25. Finalmente, cuando la fecha de salida
Cuando hayamos terminado con todo este procedimiento, podremos encontrar la fecha de
obligatoria sea la fecha de vencimiento, U será 105. Si el subyacente es una acción, debe
salida fechada por el hombre que dé como resultado la media geométrica más alta. Ahora
restar los dividendos de esta U ajustada mediante la ecuación (5.04). El sesgo se aplica al
sabemos la fecha en la que debemos estar fuera
de la posición de la opción para tener la expectativa matemática más alta (es decir, la
proceso al tener un valor diferente para U cada día debido a nuestro pronóstico. Debido a
que afectan los resultados de las ecuaciones (5.17a) y (5.17b), estos diferentes valores de U
media geométrica más alta). También sabemos cuántos contratos comprar usando el valor f
afectarán dramáticamente nuestros cálculos óptimos de f y subproductos. Observe que
que corresponde a la media geométrica más alta. Ahora tenemos una técnica matemática
debido a que las ecuaciones (5.17a) y (5.17b) se ven afectadas por el nuevo valor de U cada
mediante la cual podemos salir a ciegas y comprar una opción y (siempre que estemos fuera
día, hay una ecualización automática de los datos. Por lo tanto, las f óptimas que obtenemos
de ella antes de la fecha de salida obligatoria que tenga la media geométrica más alta,
se basan en datos ecualizados.
siempre que sea mayor que 1,0, por supuesto) y comprar el número de contratos indicado por
el f óptimo correspondiente a esa media geométrica más alta) tener una expectativa
matemática positiva. Además, estas son expectativas matemáticas geométricas positivas. En
A medida que trabaje con esta idea y opciones óptimas, notará que cada día los números
otras palabras, la media geométrica (menos 1,0) es la expectativa matemática cuando se
cambian. Supongamos que usted compra una opción hoy a un precio determinado que tiene
reinvierten los rendimientos. (La verdadera expectativa matemática positiva aritmética sería,
una fecha de salida determinada. Supongamos que la opción tiene un precio diferente
por supuesto, mayor que la geométrica). Una vez que conozca la f óptima para una opción
después de mañana. Si vuelve a ejecutar el procedimiento f óptimo en esta nueva opción,
determinada, podrá convertirla fácilmente en cuántos contratos comprar basándose en la
también puede tener una expectativa matemática positiva y una fecha de salida obligatoria
siguiente ecuación: (5.19) K = INT(E/(S/f)) donde
diferente. ¿Qué quiere decir esto?
La situación es análoga a una carrera de caballos donde todavía puedes hacer apuestas
después de que la carrera haya comenzado, hasta que finalice. Las probabilidades cambian
continuamente y puedes cobrar tu boleto en cualquier momento, no necesitas esperar hasta
que termine la carrera . Digamos que usted apuesta $2 a un caballo antes de que comience
K = El número óptimo de contratos de opciones para comprar. f =
El valor de la f óptima (0 a 1).
S = el precio actual de la opción.
la carrera, basándose en una expectativa matemática positiva que tiene para ese caballo, y el
caballo corre penúltimo en el primer turno. Haces que el tiempo se detenga (porque puedes
hacerlo en situaciones hipotéticas) y ahora miras el tablero. Su billete de 2 dólares para este
caballo ahora sólo vale S 1,50. Usted determina nuevamente la expectativa matemática de su
E = El patrimonio total de la cuenta.
caballo, considerando cuánto de la carrera ya ha terminado, las probabilidades actuales de su
INT() = La función entera.
caballo y dónde se encuentra actualmente en el campo. Determinas que el precio actual de
La respuesta derivada de esta ecuación debe ser "reducida al número entero". Es decir,
por ejemplo, si la respuesta es comprar 4,53 contratos, comprarías 4 contratos. Podemos
ese billete de $1,50 para tu caballo está subvaluado en un 10%. Por lo tanto, dado que ahora
mismo podría cobrar su boleto de 82 que compró antes de la carrera por S 1,50, sufriendo
determinar el TWR para el comercio de opciones. Para ello debemos saber cuántas veces
una pérdida, y también podría comprar el boleto de $ 1,50 para el caballo ahora mismo con
realizaríamos esta misma operación una y otra vez. Es decir, si nuestra media geométrica es
una expectativa matemática positiva, no hace nada. La situación actual es que tenemos una
1.001 y queremos encontrar el TWR que corresponde para hacer esta misma jugada una y
situación matemática positiva, pero sobre la base de un billete de 1,50 dólares y no de 2
otra vez 100 veces, nuestro TWR sería 1.001^100 = 1.105115698. Por lo tanto, esperaríamos
dólares.
ganar el 10,3115698% de nuestra participación si hiciéramos que estas mismas opciones se
jugaran 100 veces. La fórmula para convertir de una media geométrica a una TWR se dio
como la ecuación (4.18): (4.18) TWR = Media geométrica^X donde
Esta misma analogía se aplica a nuestro comercio de opciones, que ahora está
ligeramente por debajo del nivel esperado pero tiene una expectativa matemática positiva
sobre la base del nuevo precio. Debería utilizar la nueva f óptima en el nuevo precio,
ajustando su posición actual si es necesario, e ir con la nueva fecha de salida óptima. Al
hacerlo, habrá incorporado la información de precios más reciente sobre el instrumento
subyacente. A menudo, hacer esto puede tener
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tome la posición hasta el vencimiento. Hay muchos inevitables
contar el patrimonio ($286.10/.0016). Tenga en cuenta que hacerlo tiene una expectativa
pérdidas en el camino siguiendo esta técnica de f óptima en opciones.
mucho menor que si entramos con 1 contrato por cada 33.549,63 en el patrimonio de la
cuenta y salimos al cierre de mañana, 911105.
Por qué debería poder encontrar expectativas matemáticas positivas
La tasa de cambio entre las dos funciones, la caída de la prima de tiempo y la ventana
en opciones que en teoría tienen un precio justo en primer lugar puede parecer
en expansión de X desviaciones estándar, pueden crear un
como una paradoja o simplemente una charlatanería para ti. Sin embargo, hay una muy válida
Expectativa matemática positiva de ser larga en una opción dada. Este
razón por la cual esto es así: las ineficiencias son una función de su marco de
La expectativa es mayor en el primer instante de la posición y declina a un ritmo decreciente
referencia. Comencemos afirmando que los precios teóricos de las opciones devueltos
a partir de allí. Por lo tanto, una opción que tiene un precio
por los modelos no dan una expectativa matemática (aritmética) positiva ni al comprador ni
Se puede encontrar que el vencimiento justo según los modelos tiene un efecto positivo.
al vendedor. En otras palabras, los modelos son teóricamente justos. La advertencia que
expectativa si se sale temprano en la caída de la prima.
falta aquí es "si se mantiene hasta el vencimiento". Es esto
Falta una advertencia que permita que una opción tenga un precio justo según los modelos.
sin embargo, tendrá una expectativa positiva si no se mantiene hasta el vencimiento.
Considere que las opciones decaen a razón de la raíz cuadrada del tiempo.
La siguiente tabla analiza nuevamente esta misma opción de compra de 100, solo que esta
vez que lo miramos usando ventanas de diferentes tamaños (diferentes cantidades de
desviaciones estandar):
Número de desviaciones estándar
restante hasta el vencimiento. Así, el día con el menor tiempo esperado de caída premium
2
3
5
8
10
siempre será el primer día que estés en la opción. Ahora considere las ecuaciones (5.17a) y
AHPR 1,000102 1,000379 1,000409 1,000409 1,000409 GHPR 1,000047 1,00018
(5.17b), el precio correspondiente a un movimiento
1,000195 1,000195 1,000195
f .0781 .0806.043989
Corte 911105 911105 911106 El
.0806
.0806
AHPR y el GHPR pertenecen a los HPR aritméticos
911106
911106
de X desviaciones estándar después de transcurrido tanto tiempo. Darse cuenta de
cada día la ventana devuelta por estas fórmulas se expande, pero menos
y menos. El día de mayor tasa de expansión es el primer día del
y geométricos
en los valores f óptimos si sale de la operación al cierre de 911105 (el
opción.
Así, durante el primer día de la opción, la prima de tiempo se reducirá.
lo mínimo, y la ventana de X desviaciones estándar expandirá la
lo más rápido. Cuanto menos decaiga el tiempo, más probabilidades tendremos de tener una
expectativa positiva en una opción larga. Además, cuanto más amplia sea la ventana de X
desviaciones estándar, es más probable que tengamos una expectativa positiva, ya que las
desventajas se solucionan con una opción, pero las ventajas no. Allá
fecha más oportuna para salir, porque tiene el AHPR más alto y
GHPR). La f corresponde a la f óptima para 911105. El encabezado
El límite se refiere a la última fecha en la que se cumplió una expectativa positiva (es decir, AHPR).
y GHPR ambos mayores que 1) existen.
El punto interesante a tener en cuenta es que los cuatro valores AHPR, GHPR, f,
y Cutoff convergen a puntos dados a medida que aumentamos el número de
es un tira y afloja constante entre la ventana de desviaciones estándar X que se hace cada
desviaciones estándar hacia el infinito. Más allá de 5 desviaciones estándar, el
vez más amplia con cada día que pasa (a un ritmo más lento y
Los valores apenas cambian. Más allá de 8 desviaciones estándar, parecen
tasa más lenta, aunque) y el tiempo disminuye la prima cada vez más rápido
dejar de cambiar. La desventaja de utilizar más desviaciones estándar es que se requiere
con cada día que pasa.
tiempo adicional de computadora. Esto parece un pequeño precio a pagar, pero como sabemos
Lo que pasa es que el primer día se registra la expectativa matemática más positiva,
Si adoptas múltiples posiciones simultáneas en este capítulo, notarás
que cada pierna adicional de una posición múltiple simultánea aumenta la
aunque puede que no lo sea. En otras palabras, el
La expectativa matemática (aritmética y geométrica) es mayor después
Has estado en la opción 1 día (en realidad es mejor el primer instante).
usted pone la opción y decae gradualmente a partir de entonces, pero estamos observando
esto a intervalos discretos (al cierre de cada día). A partir de entonces, cada día las
tiempo requerido exponencialmente. Para un tramo podemos argumentar que lo ideal es
utilizar 8 desviaciones estándar. Sin embargo, para más de una pierna simultáneamente,
Es posible que consideremos necesario recortar este número de desviaciones estándar.
Además, esta regla de las 8 desviaciones estándar se aplica sólo cuando
Supongamos normalidad en los registros de cambios de precios.
expectativas disminuyen, pero a un ritmo más lento.
La siguiente tabla muestra esta decadencia de la expectativa de una opción a largo
plazo. La tabla se deriva de la opción analizada anteriormente en este capítulo. Esta es la
opción de compra 100 donde el subyacente está en 100 y vence en 911220. La volatilidad
LA ÚNICA OPCIÓN CORTA
Todo lo dicho sobre la opción larga única es válido para una sola
es del 20% y ahora es 911104. Estamos usando
posición de opción corta. La única diferencia es con respecto a la ecuación
la fórmula de opciones sobre productos básicos negros (H discernida como en la Ecuación (5.07)
(5.14):
y R = 5%) y un año de 260,8875 días. Estamos usando 8 desviaciones estándar para calcular
(5.14) HPR(T,U) = (1+f*(Z(T,UY)/S­1))^P(T,U)
nuestras f óptimas y estamos usando un tick mínimo
dónde
incremento de .1 (que se explicará en breve).
Fecha de
AHPR
GHPR
F
salida mar.
1,000409
1,000195
.0806
HPR(T,U) = El HPR para un valor de prueba dado para T y U.
f = El valor probado para f.
911105 mié.
1,000001
1 ,000000
.0016
S = El precio actual de la opción.
911106 jue. 911107
<1
<1
0
Z(T,UY) = El precio teórico de la opción si el subyacente estuviera en
La columna AHPR es el HPR promedio aritmético (el cálculo
de las cuales se analizará más adelante en este capítulo), y GHPR es la media geométrica
HPR. La columna f es la f óptima a partir de la cual el AHPR
y se derivaron columnas GHPR. La expectativa matemática aritmética, como porcentaje, es
simplemente el AHPR menos 1, y la expectativa geométrica
La expectativa matemática, como porcentaje, es el GHPR menos 1.
Observe que las mayores expectativas matemáticas ocurren el día
después de activar la opción (aunque este ejemplo tiene una expectativa matemática positiva,
no todas las opciones mostrarán una expectativa matemática positiva).
expectativa). A partir de entonces, cada día las propias expectativas decaen.
El ritmo de descomposición también es cada vez más lento cada día. Después de 911106
las expectativas matemáticas (HPR­1) se vuelven negativas.
Por lo tanto, si quisiéramos operar con esta información, podríamos elegir
precio U con el tiempo T restante hasta el vencimiento.
P(T,U) = La probabilidad de que el subyacente esté al precio U en el tiempo
T restante hasta el vencimiento.
Y = La diferencia entre la expectativa matemática aritmética del subyacente en el
momento T, dada por (5.10), y el precio actual.
Para una única posición de opción corta, esta ecuación ahora se convierte en:
(5.20) HPR(T,U) = (1+f*(1­Z(T,UY)/S))^P(T,U)
dónde
HPR(T,U) = El HPR para un valor de prueba dado para T y U.
f = El valor probado para f.
S = El precio actual de la opción.
para entrar hoy (911104) y salir al cierre mañana (911105). El
Z(T,UY) = El precio teórico de la opción si el subyacente
El precio justo de la opción es 2.861. Si suponemos que se comercializa a un precio de 100 dólares por
estaban al precio U con el tiempo T restante hasta el vencimiento.
punto completo, el costo de la opción es 2.861*$100 = $286.10. Dividiendo esto
precio por el f óptimo de .0806 nos dice que compremos una opción por cada
$3,549.63 en patrimonio. Si quisiéramos mantener la opción hasta el cierre de
911106, el último día que aún tiene expectativa matemática positiva,
Tendríamos que iniciar la posición hoy usando el valor f correspondiente al óptimo para una
salida 911106 de .0016. Por lo tanto, entraríamos hoy (911104) con 1 contrato por cada
$178.812,50 en efectivo.
P(T,U) = La probabilidad de que el subyacente esté al precio U en el tiempo
T restante hasta el vencimiento.
Y = La diferencia entre la expectativa matemática aritmética del subyacente en el
momento T, dada por (5.10), y el precio actual.
Notarás que la única diferencia entre la ecuación (5.14),
la ecuación para una única posición de opción larga, y la ecuación (5.20), la
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La ecuación para una posición de opción corta única está en la expresión (Z(T,UY)/S­1), que
expectativa matemática positiva. Podemos tener esto sólo si tenemos un
se convierte en (1­Z(T,UY)/S) para la posición de opción corta única. Aparte de este cambio,
sesgo en el subyacente.
todo lo demás detallado sobre el single
La posición de opción larga se mantiene para la posición de opción corta única.
Ahora tenemos una metodología que se puede utilizar para darnos la solución óptima.
f (y sus subproductos) para opciones, ya sean largas o cortas, así como
negocia el instrumento subyacente (a través de varios métodos diferentes).
LA POSICIÓN ÚNICA EN EL INSTRUMENTO SUBYACENTE
MENTO
Tenga en cuenta que los métodos utilizados en este capítulo para discernir el fs óptimo
En el Capítulo 3 detallamos las matemáticas para encontrar la f óptima paramétricamente.
y subproductos para cualquiera de las opciones o el instrumento subyacente se basan en no
Ahora podemos usar el mismo método que con una única opción larga,
necesariamente utilizar un sistema mecánico para ingresar a su
sólo nuestro cálculo del HPR se toma de la ecuación (3.30).
vientos alisios. Por ejemplo, el método empírico para encontrar f óptima utilizó un
(3.30) HPR(U) = (1+(L/(W/(­f))))^P
dónde
Flujo empírico de pérdidas y ganancias comerciales generado por un sistema mecánico. En
En el capítulo 3 aprendimos sobre una técnica paramétrica para encontrar la f óptima.
a partir de datos que estaban distribuidos normalmente. Esta misma técnica puede ser
HPR(U) = El HPR para una U determinada.
L = Las pérdidas y ganancias asociadas.
W = Las pérdidas y ganancias asociadas al peor caso en la tabla (esto siempre será
Se utiliza para encontrar la f óptima a partir de datos de cualquier distribución, siempre que la
La distribución en cuestión tiene una función de densidad acumulativa. En el capítulo 4
aprendimos de un método para encontrar la f óptima paramétricamente para distribuciones que
no tienen una función de densidad acumulativa, como la distribución de las pérdidas y
un valor negativo).
f = El valor probado para f.
P = La probabilidad asociada.
La variable L, el P&L asociado, se discierne tomando el precio
ganancias comerciales (ya sea que se use un sistema mecánico o no) o
El enfoque de planificación de escenarios.
En este capítulo hemos aprendido sobre un método para encontrar la f óptima
cuando no se utiliza un sistema mecánico. Notará que todos los cálculos hasta el momento
del subyacente a un precio dado U, menos el precio al que se negocia
suponen que, de hecho, está entrando ciegamente en una posición en algún momento y
se inició, S, para una posición larga.
saliendo en algún momento futuro desconocido.
(5.21a) L para una posición larga = US
Para una posición corta, las pérdidas y ganancias asociadas se calculan exactamente al revés:
(5.21b) L para una posición corta = SU
dónde
Generalmente el método se muestra donde no hay sesgo en el precio del
subyacente ­es decir, el método se muestra desprovisto de cualquier previsión de precios en
el subyacente. Sin embargo, hemos visto que podemos incorporar nuestros
pronóstico de precios en el proceso simplemente cambiando el valor del subyacente utilizado
como entrada en las Ecuaciones (5.17a y 5.17b) cada día como
S = El precio actual del instrumento subyacente.
el comercio avanza. Incluso un ligero sesgo cambia la función de expectativas.
U = El precio del instrumento subyacente para este HPR determinado.
dramáticamente. Es muy posible que ahora la fecha óptima de salida no sea el día de mercado
También podríamos calcular la f óptima para una sola posición en el instrumento
inmediatamente posterior al día de entrada. De hecho, la fecha óptima de salida
subyacente utilizando la ecuación (5.14). Al hacerlo debemos darnos cuenta
bien puede convertirse en el día de vencimiento. En tal caso, la opción tiene un
que el f óptimo devuelto puede ser mayor que 1.
Expectativa matemática positiva incluso si se mantiene todo el vencimiento. No sólo es
Por ejemplo, considere un instrumento subyacente a un precio de 100.
Determinamos que podrían ocurrir los cinco resultados siguientes:
Resultado Probabilidad PyG
110,15 105,30
Por ejemplo, la siguiente tabla se deriva una vez más de la opción
discutido anteriormente en este capítulo. Esta es la opción de compra 100 donde el
10
100,50 95,25
90,10
la función de expectativas se alteró dramáticamente incluso por un ligero sesgo en la
precio del subyacente, también lo son los fs, AHPR y GHPR óptimos.
5
0
­5 ­10
Tenga en cuenta que, según la ecuación (5.10), nuestra expectativa matemática aritmética
sobre el subyacente es 100,5769230 77. Esto significa que la variable
Y en (5.14) es igual a .576923077 ya que 100.576923077­100 =
.576923077.
Si tuviéramos que calcular la f óptima usando la columna P&L y la
Con el método de la ecuación (3.30), obtenemos una f de 0,19, o 1 unidad por cada $52,63.
en equidad.
subyacente está en 100 y vence en 911220. La volatilidad es del 20% y
ahora es 911104. Estamos utilizando la fórmula de opción de materia prima negra (H
discernido como en la Ecuación (5.07) y R = 5%) y un año de 260,8875 días.
Usaremos nuevamente 8 desviaciones estándar para calcular nuestro fs óptimo a partir de
(para ser coherente con las tablas anteriores que no muestran sesgo en el subyacente, o sesgo
= 0), y estamos utilizando un incremento mínimo de 0,1.
Aquí, sin embargo, asumiremos un sesgo de 0,01 puntos (una décima parte de un
tick) al alza por día en el precio del subyacente:
Fecha de
de Y, la expectativa matemática aritmética del menos subyacente
GHPR f
1.000357 .1081663
mié. 911106 1.000149 jue.
1.000077 .0377557
911107 1.000003 vie. 911108
1.000003 .0040674 <1
Si en cambio usáramos la ecuación (5.14) en la columna de resultados, donde
la variable S es por tanto igual a 100, y no restamos el valor
AHPR
salida mar. 911105 1.000744
<1
0
Observe cómo simplemente un pequeño sesgo al alza de 0,01 puntos por día cambia la
resultados. Nuestra fecha de salida óptima sigue siendo 911105 y nuestra f óptima es
su valor actual de U al discernir nuestra variable Z(T, U ­Y), encontramos
.1081663, lo que se traduce en 1 contrato por cada $2,645.00 en patrimonio de la cuenta
nuestra grasa óptima es aproximadamente 1,9. Esto se traduce nuevamente en 1 unidad por
(2.861*100/.1081663). Observe también que se obtiene una expectativa positiva en esta opción
cada $52,63 en capital como 100/1,9 = 52,63.
Por otro lado, si restamos el valor de Y, la aritmética
expectativa matemática sobre el subyacente según la Ecuación (5.10), en el
término Z(T, UY) de (5.14) terminamos con una expectativa matemática en
el subyacente es igual a su valor actual, y por lo tanto no tenemos
hasta el cierre de 911107. Tenía
teníamos un sesgo más fuerte que simplemente 0,01 puntos hacia arriba por día, los resultados
cambiaría en un grado aún más pronunciado.
El último punto que hay que abordar es el coste de las comisiones.
En el precio de la opción obtenido con la Ecuación (5.14), la variable
una f óptima. Esto es lo que debemos hacer, restar el valor de Y en el
Z(T, UY) debe ajustarse hacia abajo para reflejar las comisiones involucradas en la transacción
Z(T, UY) de la ecuación (5.14) para que sea consistente con los cálculos de opciones así como
(si le cobran comisiones por la entrada
con la fórmula de paridad de compra/venta.
Si utilizamos el método de la ecuación (3.30) en lugar de la ecuación
(5.14), entonces cada valor de U en (5.21a) y (5.21b) debe tener
lado también, entonces debes ajustar la variable S en la Ecuación (5.14) hacia arriba
por el importe de las comisiones).
Hemos cubierto cómo encontrar la f óptima y sus subproductos cuando
la expectativa matemática aritmética del subyacente, Y, restada
no están utilizando un sistema mecánico. Ahora podemos comenzar a combinar varias
de eso. Es decir, debemos restar el valor de Y de cada PyG. Haciendo
posiciones.
por lo tanto, nuevamente se produce una situación en la que no hay una expectativa matemática
positiva y, por lo tanto, no hay ningún valor para f que sea óptimo.
Literalmente, esto sólo significa que si salimos a ciegas y tomamos una posición en el
instrumento subyacente, no obtendremos un resultado matemático positivo.
expectativa (como lo hacemos con algunas opciones) y, por lo tanto, no hay f
eso es óptimo en este caso. Podemos tener una f óptima sólo si tenemos una
MÚLTIPLES POSICIONES SIMULTÁNEAS CON UN
RELACIÓN CAUSAL
Al comenzar nuestra discusión sobre múltiples posiciones simultáneas, es
Es importante diferenciar entre relaciones causales y correlativas.
relaciones. En la relación causal hay una relación fáctica y conectiva.
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Planificación de la correlación entre dos o más elementos. Es decir, una causa
no. Podemos utilizar esta forma generalizada para múltiples posiciones simultáneas con una
relación es aquella en la que hay correlación, y la correlación puede ser
relación causal:
explicado o explicado de alguna manera lógica y conectiva. Esto es
(5.22) HPR(T,U) = (1+∑[i = 1,N]Ci(T,U))^P(T,U)
en contraste con una relación correlativa donde hay, por supuesto, correlación, pero no hay
una explicación causal, conectiva, de la correlación.
Como ejemplo de una relación causal, veamos las opciones de venta sobre
IBM y opciones de compra sobre IBM. Ciertamente la correlación entre la
IBM pone y IBM iguala ­1 (o muy cerca), pero hay más
a la relación que simplemente correlación. Sabemos con certeza que cuando
Hay presión al alza sobre IBM, pero seguro que habrá presión a la baja sobre las opciones
dónde
N = El número de piernas en la posición.
HPR(T,U) = El HPR para un valor de prueba dado para T y U.
Ci(T,U) = El coeficiente del iésimo kg en un valor dado para U, en un
tiempo dado T restante hasta el vencimiento:
Para un tramo de opción colocado en una posición deudora o larga en el subyacente:
de venta (todo lo demás permanece constante, incluida la volatilidad). Este
relación lógica y conectiva significa que existe una relación causal
entre llamadas de IBM y ventas de IBM.
(5.23a) Ci(T, U) = f*(Z(T, UY)/Sl)
Para un tramo de opción puesto en una posición de crédito o corta en el subyacente:
Cuando hay correlación pero no causa, simplemente decimos que hay una
relación correlativa (a diferencia de una relación causal). Generalmente,
Las relaciones correlativas no tendrán coeficientes de correlación cuyos valores absolutos
estén cerca de 1. Por lo general, el valor absoluto del coeficiente de correlación estará más
cerca de 0. Por ejemplo, el maíz y la soja tienden a
para moverse en tándem. Aunque sus coeficientes de correlación no son exactamente iguales
a 1, todavía existe una relación causal porque ambos mercados son
afectado por cosas que afectan los granos. Si miramos las llamadas de IBM y
Digital Equipment pone (o llama), no podemos decir que la relación sea
completamente una relación causal. Seguramente hay algo de causalidad.
relación, ya que ambas acciones subyacentes son miembros del grupo de computadoras,
pero sólo porque IBM suba (o baje) no es una decisión absoluta.
exigir que los equipos digitales también lo hagan. Como puedes ver, no hay un
delgada línea que diferencia las relaciones causales y correlativas.
Este "enturbiamiento" de las relaciones causales y de aquellas que simplemente son
(5.23b) Ci(T,U) = f*(1­Z(T,UY)/S)
dónde
f = El valor probado para f.
S = El precio actual de la opción o instrumento subyacente.
Z(T,UY) = El precio teórico de la opción si el subyacente
estaban al precio U con el tiempo T restante hasta el vencimiento.
P(T,U) = La probabilidad de que el subyacente esté al precio U en el tiempo
T restante hasta el vencimiento.
Y = La diferencia entre la expectativa matemática aritmética del subyacente en el
momento T, dada por (5.10), y el precio actual.
La ecuación (5.22) se puede utilizar si planea poner estos
piernas todas a la vez, una por una, y solo necesita iterar para obtener la f óptima y la fecha
correlativo dificultará nuestro trabajo. Por el momento, nosotros
de salida óptima de toda la posición (eso es lo que significa
Sólo nos ocuparemos de las relaciones causales, o de lo que creemos que son causales.
por "múltiples posiciones simultáneas").
relaciones. En el capítulo de texto nos ocuparemos de las relaciones correlativas, que también
Para cada valor de U tendrás un HPR dado por la ecuación
abarcan relaciones causales. Usted debería ser
(5.22). Para cada valor de f tendrás una media geométrica, compuesta
consciente en este momento de que las técnicas mencionadas en el próximo capítulo sobre
de todos los HPR por ecuación (5.18a):
Las relaciones correlativas también son aplicables a, o pueden usarse en lugar de,
Las técnicas para las relaciones causales están a punto de ser discutidas. Lo opuesto no es
verdad. Es decir, es erróneo aplicar las siguientes técnicas sobre relaciones causales a
relaciones que son simplemente correlativas.
(5.18a) G(f,T) = {∏[U = ­8SD,8SD]HPR(T,U)}^(1/∑[U = ­8SD,8SD]
P(T,U))
dónde
G(f,T) = La media geométrica HPR para un valor de prueba dado para f y a
Una relación causal es aquella en la que el coeficiente de correlación entre los precios
de dos artículos es 1 o ­1. Para simplificar las cosas, una relación causal casi siempre
consiste en dos artículos comercializables cualesquiera (acciones,
materia prima, opción, etc.) que tienen el mismo instrumento subyacente. Este
incluye, entre otros , diferenciales de opciones, extensiones, estrangulaciones y
tiempo restante hasta el vencimiento de una fecha de salida obligatoria. Aquellos
valores off y T (los valores de la f óptima y la fecha de salida obligatoria)
que dan como resultado las medias geométricas más altas, son las que debes
utilizar en la posición neta de las piernas.
Para resumir todo el procedimiento. Queremos encontrar la f óptima
combinaciones, así como escrituras cubiertas o cualquier otra posición en la que
para cada día, utilizando cada día de mercado desde ahora hasta el vencimiento como el
están utilizando el subyacente junto con una o más de sus opciones,
fecha de salida obligatoria. Para cada fecha de salida obligatoria usted determinará
o una o más opciones sobre el mismo instrumento subyacente, incluso si
esos precios discretos entre más y menos X desviaciones estándar (normalmente dejaremos
no tenemos una posición en ese instrumento subyacente.
que X sea igual a 8) del precio base del instrumento subyacente. El precio base puede ser el
En su forma más simple, múltiples posiciones simultáneas que consisten en
sólo opciones (sin posición en el subyacente), cuando la posición se coloca
en débito, se puede resolver usando la ecuación (5.14). Por resuelto para yo
significa que podemos determinar la f óptima para toda la posición y su
subproductos (incluida la fecha óptima de salida). Las únicas diferencias son
que la variable S ahora representará la red de los tramos de la posición
al inicio del comercio. La variable Z(T, UY) ahora representará la
neto de los tramos al precio U por el tiempo T restante hasta el vencimiento.
Del mismo modo, múltiples posiciones simultáneas que consisten únicamente en
opciones (ninguna posición en el subyacente), cuando la posición se coloca a un
precio actual del instrumento subyacente o puede modificarse para reflejar un sesgo particular
que pueda tener.
en cuanto a la dirección de ese mercado. Ahora necesita encontrar el valor entre 0 y 1 para f
que resulte en la mayor media geométrica HPR, usando una HPR para cada uno de los
precios discretos entre más y menos X.
desviaciones estándar del precio base para esa fecha de salida obligatoria. Por lo tanto, para
cada fecha de salida obligatoria tendrá una f óptima y una media geométrica correspondiente.
La fecha de salida obligatoria que tenga mayor
La media geométrica es la fecha de salida óptima para el puesto, y la f correspondiente a esa
media geométrica es la f óptima.
crédito, se puede resolver usando la ecuación (5.20). Nuevamente debemos modificar
El "anidamiento" de la lógica de este procedimiento es el siguiente:
las variables S y Z(T, UY) para reflejar la red de los tramos de la posición. Por ejemplo,
Para cada fecha de salida obligatoria (día laborable) desde ahora hasta el vencimiento
supongamos que buscamos poner una opción larga entre ambas, la compra de una opción
Para cada valor de descuento (hasta encontrar el óptimo) Para cada sistema de mercado
de venta y una opción de compra sobre el mismo instrumento subyacente.
Por cada tic entre + y ­8 std. desarrolladores. Determinar el HPR
con el mismo precio de ejercicio y fecha de vencimiento. Supongamos además que el
El f óptimo devuelto por esta técnica fue 1 contrato por cada 2.000 dólares.
Por último, cabe señalar que en este apartado hemos estado intentando, entre otras
cosas, discernir la fecha óptima de salida, que hemos
Esto significaría que por cada $2,000 en capital de la cuenta deberíamos comprar
considerado como una fecha única para cerrar todos los tramos del
1 a horcajadas; por cada $2,000 en capital de la cuenta deberíamos comprar 1 de los
posición. Puede aplicar el mismo procedimiento para determinar el óptimo
puts y 1 de los call. El f óptimo devuelto por esta técnica pertenece
fecha de salida para cada etapa en la posición. Esto agrava el número de
para financiar 1 unidad de toda la posición, sin importar cuán grande sea esa posición. Este
cálculos geométricamente, pero se puede lograr. Esto alteraría la lógica para que aparezca
hecho será cierto para todas las múltiples técnicas simultáneas.
como:
discutidos a lo largo de este capítulo.
Ahora podemos diseñar una ecuación para múltiples posiciones simultáneas.
que implica si una posición en el instrumento subyacente está incluida o
Para cada sistema de mercado
Para cada fecha de salida obligatoria (día laborable) desde ahora hasta el vencimiento
Para cada valor de descuento (hasta encontrar el óptimo)
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Por cada tic entre +8 y ­8 std. desarrolladores.
HPR en particular. Cada una de estas sumas de probabilidad utilizadas como exponentes
para cada HPR se suman a su vez de modo que cuando todas las HPR se multiplican
Determinar el HPR
para obtener la TWR provisional, se puede elevar a la potencia de 1 dividido por la suma
Para cada sistema de mercado
De este modo hemos cubierto múltiples posiciones simultáneas con una relación
causal. Ahora podemos pasar a una situación similar donde la relación es aleatoria.
de los exponentes utilizados en los HPR. Y nuevamente, el bucle exterior de la lógica
podría repararse para dar cabida a la búsqueda de la fecha de salida óptima para cada
etapa de la posición.
Por complicada que parezca la ecuación (5.25), todavía no aborda el problema de un
MÚLTIPLES POSICIONES SIMULTÁNEAS CON UN RANGO
RELACIÓN DOM
Debe tener en cuenta que, al igual que con las relaciones causales ya analizadas, las
coeficiente de correlación lineal entre los precios de dos componentes cualesquiera que
no sea 0. Como puede ver, resolver la mezcla óptima de componentes es toda una
tarea. ! En los próximos capítulos verá cómo encontrar las cantidades correctas para cada
tramo de una posición múltiple (utilizando acciones, materias primas, opciones o cualquier
técnicas mencionadas en el próximo capítulo sobre relaciones correlativas también son
otro artículo negociable) independientemente de la relación (causal, aleatoria o correlativa).
aplicables o pueden usarse en lugar de las técnicas para relaciones aleatorias que vamos
Los datos que necesitará para una determinada posición de opción en el próximo capítulo
a analizar. Esto no es cierto al revés. Es decir, es erróneo aplicar las técnicas sobre
son (1) el coeficiente de correlación de su HPR diario promedio por contrato con cada una
relaciones aleatorias que siguen en este capítulo a relaciones que son correlativas (a
de las otras posiciones de la cartera, y (2) su aritmética. HPR promedio y desviación
menos que los coeficientes de correlación sean iguales a 0). Una relación aleatoria es
estándar en HPR.
aquella en la que el coeficiente de correlación entre los precios de dos artículos es 0.
Las ecuaciones (5.14) y (5.20) detallan cómo encontrar el HPR para opciones largas
y cortas, respectivamente. Luego, la ecuación (5.18) mostró cómo convertir esto en una
Existe una relación aleatoria entre dos artículos negociables cualesquiera (acciones,
media geométrica. Ahora, también podemos discernir la media aritmética como:
futuros, opciones, etc.) cuyos precios son independientes entre sí, donde el coeficiente
de correlación entre los dos precios es cero, o se espera que sea cero en sentido
asintótico. .
Cuando hay un coeficiente de correlación de 0 entre cada combinación de 062 patas
en una posición múltiple simultánea, el HPR para la posición neta viene dado como: (5.24)
HPR(T,U) = (1+∑[i = 1,
N] Ci(T,U))^∏[i = 1,N] Pi(T,U)
dónde
N = El número de piernas en la posición.
HPR(T,U) = El HPR para un valor de prueba dado para T y U.
Ci(T,U) = El coeficiente del tramo i a un valor dado para U, en un tiempo dado
restante hasta el vencimiento de T: Para un tramo
de opción puesto en una posición deudora o larga en el instrumento subyacente:
(5.23a) Ci(T,U) =
f*(Z(T,UY)/S­1)
Para una opción puesta en una posición de crédito o corta en el instrumento
subyacente: (5.23b)
Ci(T,U) = f*(lZ(T,UY)/S)
Para opciones largas, opciones colocadas con cargo:
(5.26a) AHPR = {∑[U = ­8SD,+ 8SD]((1+f*(Z(T, UY)/S­1))*P( T,U))}/∑[U1
= ­8SD,+ 8SD]P(TU)
Para opciones cortas, opciones puestas a crédito:
(5.26b) AHPR = (∑[U = ­8SD,+ 8SD]((1+f*(1­Z(T, UY)/S))*P(T,U))}/
∑[U = ­8SD,+ 8SD]P(T,U)
dónde
AHPR = El HPR promedio aritmético. f = La f
óptima (0 a 1).
S = El precio actual de la opción.
Z(T,UY) = El precio teórico de la opción si el subyacente tuviera el precio U y quedara
el tiempo T hasta el vencimiento.
P(T, U) = La probabilidad de que el subyacente esté al precio U con
tiempo T restante hasta el vencimiento.
Y = La diferencia entre la expectativa matemática aritmética del subyacente en el
momento T, dada por (5.10), y el precio actual.
Una vez que tenga la media geométrica HPR y la media aritmética,
dónde
edad HPR, puede discernir fácilmente la desviación estándar en HPR: (5.27) SD
f = El valor probado para f.
= (A^2­G^2)^(1/2) donde
S = El precio actual de la opción.
Z(T,UY) = El precio teórico de la opción si el subyacente tuviera el precio U y quedara
el tiempo T hasta el vencimiento.
Pi(T,U) = La probabilidad de que el i­ésimo subyacente esté al precio U por
tiempo restante hasta la expiración de T.
Y = La diferencia entre la expectativa matemática aritmética del subyacente en el
momento T, dada por (5.10), y el precio actual.
A = La media aritmética HPR.
G = El HPR promedio geométrico.
SD = Desviación estándar en HPR.
En este capítulo hemos aprendido otra manera de calcular el f óptimo. La técnica
mostrada fue para operadores que no pertenecen al sistema y utilizó como entrada la
distribución de resultados en el instrumento subyacente en una fecha determinada en el
Ahora podemos calcular la media geométrica de una relación aleatoria.
HPR como:
opciones y para múltiples posiciones simultáneas. Sin embargo, uno de los inconvenientes
(5.25) C(f,T) = {∏[U1 = ­8SD,+ 8SD]...∏[UN = ­8SD,+8SD]{(1+∑[i = 1,N]Ci(T , U))^∏[i =
de esta técnica es que las relaciones entre todas las posiciones deben ser aleatorias o
1,N]Pi(T,U)}}^{1/(∑[U1 = ­8SD,+ 8SD]...∑[UN = ­8SD,+ 8SD]∏[ yo = 1,N]Pi(T,U))}
causales.
futuro. Como beneficio adicional, este enfoque nos permite encontrar la f óptima en ambas
¿Significa esto que no podemos utilizar las técnicas para encontrar la f óptima,
dónde
G(f, T) = La media geométrica HPR para un valor de prueba dado para f y un tiempo
dado restante hasta el vencimiento de una fecha de salida obligatoria. Una vez más, las f
y T que dan como resultado la mayor media geométrica son óptimas.
El "anidamiento" de la lógica de este procedimiento es exactamente el mismo que
con las relaciones causales: Para
cada fecha de salida obligatoria (día laborable) desde ahora hasta el vencimiento.
analizadas en capítulos anteriores, en posiciones u opciones simultáneas de múltiples
archivos? No, nuevamente, el método que elija es una cuestión de utilidad para usted. Los
métodos detallados en este capítulo tienen ciertas desventajas y beneficios (como la
capacidad de discernir tiempos de salida óptimos). En el siguiente capítulo, comenzaremos
a profundizar en la construcción óptima de cartera, que luego nos permitirá realizar
múltiples posiciones simultáneas utilizando las técnicas detalladas anteriormente.
Hay muchas direcciones de estudio diferentes a las que podríamos dirigirnos en esta
Para cada valor desactivado (hasta que se encuentre el óptimo).
función. Sin embargo, el objetivo de este texto es estudiar carteras de diferentes
Para cada sistema de
mercados, carteras de diferentes sistemas de mercado y diferentes artículos
mercado Para cada tick entre +8 y ­8 std. desarrolladores.
comercializables. Siendo este el caso, nos alejaremos de la pista de los precios teóricos
Determinar el HPR
de las opciones y nos dirigiremos hacia la construcción óptima de la cartera.
La única diferencia entre el procedimiento para resolver relaciones aleatorias y el de
relaciones causales es que el exponente de cada HPR en la relación aleatoria se calcula
multiplicando las probabilidades de que todos los tramos estén al precio dado del
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desviación del rendimiento tomando la raíz cuadrada de la varianza. Al hacerlo,
transformamos nuestra tabla a:
Capítulo 6 ­ Relaciones correlativas y
la derivación de la frontera eficiente
Ahora hemos cubierto cómo encontrar las cantidades óptimas para comercializar.
Inversión
Retorno esperado como Estándar esperado De­an
HPR
vía de Retorno 1.095
Toxico
.316227766 1.13 .5 1.21 .632455532 0
Incubeast Corp.
futuros, acciones y opciones, negociándolos solos o en conjunto
Cuenta de
con otro artículo, cuando existe una relación aleatoria o causal entre los precios de los artículos.
Ahorros LA Garb 1.085 El
horizonte temporal involucrado es irrelevante siempre que sea consistente para
Es decir, hemos definido el conjunto óptimo cuando el coeficiente de correlación lineal entre dos
todos los componentes bajo consideración. Es decir, cuando hablamos de lo esperado
elementos cualesquiera de la cartera es igual a 1, ~1 o 0. Sin embargo, las relaciones entre
retorno, no importa si nos referimos al próximo año, trimestre, 5 años,
dos elementos cualesquiera en una cartera, ya sea que observemos la correlación de
o día, siempre que los rendimientos esperados y las desviaciones estándar para todos
precios (en un medio de negociación no mecánico) o cambios en el capital (en un
Todos los componentes considerados tienen el mismo período de tiempo. (Eso
sistema mecánico), rara vez se encuentran en valores tan convenientes de la línea lineal
es decir, deben ser para el próximo año, o deben ser todos para el próximo
día, etc.) El rendimiento esperado es sinónimo de ganancias potenciales,
coeficiente de correlación.
mientras que la varianza (o desviación estándar) en esos rendimientos esperados es sinónimo
En el último capítulo analizamos el comercio de estos artículos desde el
de riesgo potencial . Tenga en cuenta que el modelo es bidimensional. En
punto de vista de alguien que no utiliza un sistema de comercio mecánico. Debido a que no se
empleó un sistema de comercio mecánico, estábamos buscando
En otras palabras, podemos decir que el modelo se puede representar en la parte superior.
en la relación correlativa de los precios de los artículos.
cuadrante derecho del plano cartesiano (consulte la Figura 6­1) colocando el retorno esperado a
lo largo de un eje (generalmente el eje vertical o Y) y el retorno esperado
Este capítulo proporciona un método para determinar la frontera eficiente de carteras de
varianza o desviación estándar de los rendimientos a lo largo del otro eje (generalmente
sistemas de mercado cuando el coeficiente de correlación lineal entre dos componentes
el eje horizontal o X). Hay otros aspectos del riesgo potencial, como
cualesquiera de la cartera bajo consideración es
como riesgo potencial de (probabilidad de) una pérdida catastrófica, que la teoría EV
cualquier valor entre ­1 y 1 inclusive. Esta es la técnica empleada por los profesionales para
no se diferencia de la varianza de los rendimientos con respecto a la definición del riesgo
determinar las carteras óptimas de acciones.
potencial. Si bien esto puede ser cierto, no lo abordaremos
En el próximo capítulo lo adaptaremos para su uso con cualquier instrumento comercializable.
mento.
concepto más adelante en este capítulo también es discutir la teoría EV en su
sentido clásico . Sin embargo, el propio Markowitz estuvo a punto de afirmar que una cartera
En este capítulo se hace una suposición importante con respecto a estos
derivada de la teoría EV es óptima sólo si la utilidad, la "satisfacción"
técnicas. El supuesto es que las distribuciones generadoras (las
del inversor es una función del rendimiento esperado y la variación en el rendimiento esperado.
distribución de rendimientos) tienen varianza finita. Estas técnicas son efectivas sólo en la medida
en que los datos de entrada utilizados tengan una varianza finita.
1
solo devolución. Markowitz indicó que la utilidad del inversor bien puede abarcar momentos de
la distribución superiores a los dos primeros (que son
lo que aborda la teoría EV), como la asimetría y la curtosis de las expectativas
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
devoluciones.
Por el momento estamos abandonando toda la idea de f óptima; va a
Ponte al día con nosotros más tarde. Es más fácil entender la derivación paramétrica de la
frontera eficiente si partimos del supuesto de que estamos
1.3
discutir una cartera de acciones. Estas acciones están en una cuenta de efectivo y
se pagan en su totalidad. Es decir, no están al margen.
Traje de Los Ángeles
En tal circunstancia, derivamos la frontera eficiente de las carteras. Es decir, para
determinadas acciones queremos encontrar aquellas con la menor
1.2
nivel de riesgo esperado para un nivel dado de ganancia esperada, los niveles dados
esta teoría básica de Markowitz (aparte de la referencia general a ella como
Teoría moderna de la cartera) a menudo se conoce como teoría EV (Teoría esperada
Incubeast
Ahorros
cuenta
siendo determinado por la aversión al riesgo del inversor particular. Por eso,
1.1
toxico
retorno­Varianza de retorno). Tenga en cuenta que los insumos se basan en rendimientos.
Es decir, los insumos para derivar la frontera eficiente son los rendimientos que esperaríamos
de una acción determinada y la varianza que esperaríamos de esos rendimientos. Generalmente,
el rendimiento de las acciones se puede definir como el
1
­0,1
0
0.1
0,2
0.3
0,4
0,5
0,6
0,7
dividendos esperados durante un período de tiempo determinado más la apreciación del capital
(o menos la depreciación) durante ese período de tiempo, expresados como ganancia (o pérdida)
porcentual.
Figura 6­1 El cuadrante superior derecho del plano cartesiano.
El riesgo potencial sigue siendo algo mucho más amplio y nebuloso que
Considere cuatro inversiones potenciales, tres de las cuales son acciones y
cómo hemos intentado definirlo. Ya sea que el riesgo potencial sea simplemente varianza en
uno una cuenta de ahorros que paga el 8,5% anual. Observe que estamos definiendo
una muestra artificial, o esté representado en un hipercubo multidimensional, o incorpore
la duración de un período de tenencia, el período en el que medimos los rendimientos y su
momentos adicionales de la distribución, intentamos determinar
variaciones, como 1 año en este ejemplo:
Definir el riesgo potencial para dar cuenta de nuestra incapacidad para señalar realmente el dedo.
Inversión
en eso. Dicho esto, seguiremos definiendo el riesgo potencial como la variación en los
toxico
Rentabilidad esperada Variación esperada de la rentabilidad
9,5% 10%
Incubeast Corp.
13% 25%
pensando que el riesgo se define simplemente como tal. El riesgo es mucho más amplio y su
Cuenta de
21 % 40 %
La definición es mucho más difícil de alcanzar.
ahorros LA Garb
6,5% 0%
Podemos expresar los rendimientos esperados como HPR sumándoles 1.
Además, podemos expresar la varianza esperada del rendimiento como estándar esperado.
rendimientos esperados. Sin embargo, no debemos engañarnos pensando
Entonces, el primer paso que debe dar un inversor que desee emplear la teoría de los vehículos eléctricos
hacer es cuantificar sus creencias sobre los rendimientos esperados y
variación en los rendimientos de los valores considerados durante un cierto
horizonte temporal (período de tenencia) especificado por el inversor. A estos parámetros se
puede llegar empíricamente. Es decir, el inversor puede examinar la
1
Para obtener más información sobre esto, consulte Fama, Eugene F., "Portfolio Analysis in a Stable Paretian
Market", Management Science 11, págs. 404­419, 1965. Fama ha demostrado
técnicas para encontrar la frontera eficiente paramétricamente para distribuciones estables
valores que poseen el mismo exponente característico, A, cuando los rendimientos de los
Todos los componentes dependen de un único índice de mercado subyacente. Los encabezados deben
tenga en cuenta que se han realizado otros trabajos para determinar la frontera eficiente
cuando hay una varianza infinita en los rendimientos de los componentes de la cartera.
historia pasada de los valores considerados y calcular los rendimientos y sus variaciones durante
los períodos de tenencia especificados. De nuevo el
Los rendimientos a plazo significan no sólo los dividendos del valor subyacente,
pero también cualquier ganancia en el valor del título. Esto luego se especifica
como porcentaje. La varianza es la varianza estadística de los rendimientos porcentuales. Un
usuario de este enfoque a menudo realizaría una regresión lineal
Estas técnicas no se tratan aquí más que para referir a los lectores interesados a
sobre los rendimientos pasados para determinar el rendimiento (el rendimiento esperado) en el
artículos pertinentes. Para obtener más información sobre la distribución paretiana estable, consulte el Apéndice B.
próximo período de tenencia. La porción de varianza de la entrada se determinaría entonces
Para una discusión sobre la varianza infinita, consulte La distribución de Student" en el Apéndice.
B.
calculando la varianza de cada punto de datos pasado a partir de lo que
Machine Translated by Google
­.0237 .25
IL .01 .079 s 0 0
se habría pronosticado para ese punto de datos pasado (y no a partir de la línea de
regresión calculada para predecir el próximo rendimiento esperado). En vez de
Al reunir estas cifras empíricamente, el inversor también puede simplemente estimar
mate lo que él o ella cree que serán los rendimientos y variaciones futuros
en
.079 0 .4
000
Ahora hemos recopilado la información paramétrica básica y
esos retornos. Quizás la mejor manera de llegar a estos parámetros sea utilizar
podemos empezar a plantear formalmente el problema básico. Primero, la suma de los
Una combinación de los dos. El inversor debe recopilar la información.
los pesos de los valores que componen la cartera deben ser iguales a 1,
Empíricamente, entonces, si es necesario, intercalar sus creencias sobre el futuro.
ya que esto se hace en una cuenta de efectivo y cada valor se paga en
lleno:
de esos rendimientos esperados y sus variaciones.
Los siguientes parámetros que el inversor debe reunir para utilizar este
(6.04) ∑[i = 1,N]Xi = 1
La técnica son los coeficientes de correlación lineal de los rendimientos. De nuevo,
dónde
Se puede llegar a estas cifras empíricamente, mediante estimación o mediante una
combinación de ambas.
N = El número de valores que componen la cartera.
Para determinar los coeficientes de correlación, es importante utilizar
puntos de datos del mismo período de tiempo que se utilizó para determinar los rendimientos
esperados y la variación en los rendimientos. En otras palabras, si utiliza datos anuales
para determinar los rendimientos esperados y la variación en los rendimientos (en un
Xi = La ponderación porcentual del iésimo valor.
Es importante señalar que en la ecuación (6.04) cada Xi debe ser no negativo. Es
decir, cada Xi debe ser cero o positivo.
La siguiente ecuación que define lo que intentamos hacer se refiere al rendimiento
anualmente), entonces debe utilizar datos anuales para determinar los coeficientes de
esperado de toda la cartera. Esta es la E en la teoría EV. Básicamente lo que dice es que
correlación. Si utiliza datos diarios para determinar la expectativa
el rendimiento esperado de la cartera es la suma
devoluciones y variación en las devoluciones (diariamente), entonces debes usar
de los rendimientos de sus componentes multiplicados por sus respectivas ponderaciones:
datos diarios para determinar los coeficientes de correlación,
(6.05) ∑[i = 1,N]Ui*Xi = E
También es muy importante darse cuenta de que estamos determinando los coeficientes
de correlación de los rendimientos (ganancias en el precio de las acciones más dividendos),
no del precio subyacente de las acciones en cuestión.
Considere nuestro ejemplo de cuatro inversiones alternativas: Toxico, In­cubeast
Corp., LA Garb y una cuenta de ahorros. Los designamos con
los símbolos T, I, L y S respectivamente. A continuación construimos una grilla de
coeficientes de correlación lineal de la siguiente manera:
I
LS
T ­.15 .05 0
I
.25 0 0
l
A partir de los parámetros que ingresa el inversor, podemos calcular la covarianza
entre dos valores cualesquiera como:
(6.01) COVa,b = Ra,b*Sa*Sb
dónde
Xi = La ponderación porcentual del iésimo valor.
Ui = El rendimiento esperado del iésimo valor.
Finalmente, llegamos a la parte V de la teoría EV, la varianza en los rendimientos
esperados. Esta es la suma de las varianzas aportadas por cada valor en la cartera más la
suma de todas las posibles covarianzas en el
portafolio.
(6.06a) V = ∑[i = 1,N]∑[j = 1,N] Xi*Xj*COVi,j
(6.06b) V = ∑[i = 1,N]∑[j = 1,N]Xi*Xj*Ri,j*Si*Sj
(6.06c) V = (∑[i = 1,N]Xi^2*Si ^ 2)+2*∑[i = 1,N]∑[j =
i+1,N]Xi*Xj*COVi,j
i+1,N]Xi*Xj*Ri,j*Si*Sj
Ra,b = El coeficiente de correlación lineal entre a y b.
dónde
Sa = La desviación estándar de la seguridad ath.
V = La varianza en los rendimientos esperados de la cartera.
Sb = La desviación estándar del bésimo valor.
N = El número de valores que componen la cartera.
Las desviaciones estándar, Sa y Sb, se obtienen tomando el cuadrado
Xi = La ponderación porcentual del iésimo valor.
raíz de las variaciones en los rendimientos esperados de los valores a y b.
Volviendo a nuestro ejemplo, podemos determinar la covarianza entre
Toxico (T) e Incubeast (I) como:
COVT,I = ­.15*.10^(1/2)*.25^(1/2) = ­.15*.316227766*.5 =
­.02371708245
Por lo tanto, dada una covarianza y las desviaciones estándar que la componen,
Podemos calcular el coeficiente de correlación lineal como:
(6.02) Ra,b = COVa,b/(Sa*Sb)
dónde
Si = La desviación estándar de los rendimientos esperados del iésimo valor.
COVi,j = La covarianza de los rendimientos esperados entre el iésimo valor
y el jésimo de seguridad.
Ri,j = El coeficiente de correlación lineal de los rendimientos esperados entre
la i­ésima seguridad y la j­ésima seguridad.
Las cuatro formas de la ecuación (6.06) son equivalentes. la respuesta final
a la ecuación (6.06) siempre se expresa como un número positivo.
Ahora podemos considerar que nuestro objetivo es encontrar esos valores de Xi,
que cuando se suma igual a 1, da como resultado el valor más bajo de V para un
COVa,b = La covarianza entre el valor ath y el bth.
valor dado de E. Cuando se enfrenta a un problema como tratar de
Ra,b = El coeficiente de correlación lineal entre a y b.
maximizar (o minimizar) una función, H(X,Y), sujeta a otra condición o restricción, como
Sa = La desviación estándar de la seguridad ath.
Sb = La desviación estándar del bésimo valor.
Observe que la covarianza de un valor consigo mismo es la varianza,
dado que el coeficiente de correlación lineal de un valor consigo mismo es 1:
(6.03) COVX,X = 1*SX*SX = 1*SX^2 = SX^2 = VX
dónde
G(X,Y), un enfoque es utilizar el método de
Lagrange.
Para hacer esto, debemos formar la función lagrangiana, F(X,Y,L):
(6.07) F(X,Y,L) = H(X,Y)+L*G(X,Y)
Observe la forma de la ecuación (6.07). Afirma que la nueva función que
han creado, F(X,Y,L), es igual al multiplicador lagrangiano, La slack
variable cuyo valor aún no está determinado, multiplicado por la restricción
COVX,X = La covarianza de un valor consigo mismo.
función G(X,Y). Este resultado se suma a la función original H(X,Y),
SX = La desviación estándar de un valor.
cuyo extremo buscamos encontrar.
VX = La varianza de un valor.
Ahora podemos crear una tabla de covarianzas para nuestro ejemplo de cuatro
alternativas de inversión:
t
2
E = El rendimiento esperado de la cartera.
N = El número de valores que componen la cartera.
(6.06d) V = (∑[i = 1,N]Xi^2*Si^2)+2*∑[i = 1,N]∑[j =
COVa,b = La covarianza entre el valor ath y el bth.
T .1
dónde
I
LS
­.0237 .01 0
Nuevamente, estimar la varianza puede resultar bastante complicado. Una manera más fácil es estimar el
desviación absoluta media, luego multiplíquela por 1,25 para llegar a la desviación estándar.
Ahora, al multiplicar esta desviación estándar por sí misma y elevarla al cuadrado, se obtiene
la varianza estimada.
Ahora, la solución simultánea de las tres ecuaciones producirá
aquellos puntos (X1,Y1) de extremo relativo:
FX(X,Y,L) = 0
FY(X,Y,L) = 0
FL(X,Y,L) = 0
Por ejemplo, supongamos que buscamos maximizar el producto de dos números,
dado que su suma es 20. Dejaremos que las variables X e Y sean las
dos números. Por lo tanto, H(X,Y) = X*Y es la función a maximizar
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dada la función restrictiva G(X,Y) = X+Y­20 = 0. Debemos formar
la función lagrangiana:
δT/δX4 = X1*COV4,1+X2*COV4,2+X3*COV4,3+X4*COV4,4+.5 *L1*U4+
.5*L2 = 0
F(X,Y,L) = X*Y+L*(X+Y­20) FX(X,Y,L) = Y+L FY(X,Y,L) = X+L
Y ya tenemos δT/δL1 como ecuación (6.09) y δT/δL2 como ecuación (6.10).
FL(X,Y,L) = X+Y­20
Ahora igualamos FX(X,Y,L) y FY(X,Y,L) a cero y resolvemos
cada uno para L:
Por tanto, el problema de minimizar V para una E dada se puede expresar
en el caso de N componentes como N+2 ecuaciones que involucran N+2 incógnitas.
Y+L = 0
Para el caso de cuatro componentes, la forma generalizada es:
Y = ­L
X1*U1 +X2*U2 +X3*U3 +X4*U4 =E
X1 +X2 +X3 +X4 X1*COV1,1 +X2*COV1,2
y
X+L = 0
X = ­L
Ahora estableciendo FL(X,Y,L) = 0 obtenemos X+Y­20 = 0. Por último, re­
coloque X e Y por sus expresiones equivalentes en términos de L:
E = El rendimiento esperado de la cartera.
(­L)+(­L)­20 = 0
Xi = La ponderación porcentual del iésimo valor.
2*­L = 20
Ui = El rendimiento esperado del iésimo valor.
L = ­10
COVA,B = La covarianza entre los valores A y B.
Como Y es igual a ­L, podemos afirmar que Y es igual a 10, y lo mismo ocurre con
L1 = El primer multiplicador lagrangiano.
X. El producto máximo es 10*10 = 100.
L2 = El segundo multiplicador lagrangiano.
Aquí se ha demostrado el método de los multiplicadores lagrangianos.
para dos variables y una función de restricción. El método también puede ser
Se aplica cuando hay más de dos variables y más de una función de restricción. Por
ejemplo, la siguiente es la forma para encontrar el
extremo cuando hay tres variables y dos funciones de restricción:
(6.08) F(X,Y,Z,L1,L2) = H(X,Y,Z)+L1*G1(X,Y,Z)+L2*G2(X,Y,Z)
En este caso, tendría que encontrar la solución simultánea para
cinco ecuaciones con cinco incógnitas para resolver los puntos de extremo relativo.
Cubriremos cómo hacerlo un poco más adelante.
Podemos reformular el problema aquí como uno en el que debemos minimizar V,
la varianza de toda la cartera, sujeta a las dos restricciones que:
(6.09) (∑[i = 1,N]Xi*Ui)­E = 0
Esta es la forma generalizada y se utiliza esta forma básica para cualquier
número de componentes. Por ejemplo, si estuviéramos trabajando con el caso
de tres componentes (es decir, N = 3), la forma generalizada sería:
=E
=1
X1*U1 +X2*U2 +X3*U3 X1 +X2 +X3
X1*COV1,1 +X2*COV1,2
+X3*COV1,3 +.5*L1*U1 +.5*L2 =0
X1*COV2,1 +X2*COV2,2 +X3*COV2,3 +,5*L1*U2 +,5*L2 =0
X1*COV3,l +X2*COV3,2 +X3*COV3,3 +,5*L1*U3 +,5*L2 =0
Debe decidir un nivel de rendimiento esperado (E) para resolver,
y su solución será esa combinación de ponderaciones que produzca
esa E con la menor varianza. Una vez que haya decidido por E, ahora
tener todas las variables de entrada necesarias para construir la matriz de coeficientes.
y
(6.10) (∑[i = 1,N]Xi) ­1 = 0
=1
+X3*COV1,3 +X4*COV1,4 +.5*L1*U1 +.5*L2 =0
X1*COV2,1 +X2*COV2,2 +X3*COV2,3 +X4*COV2,4 +,5*L1*U2 +,5*L2 =0
X1*COV3,1 +X2*COV3,2 +X3*COV3,3 +X4*COV3,4 +,5*L1*U3 +,5*L2 =0
X1*COV4,1 +X2*COV4,2 +X3*COV4,3 +X4*COV4,4 +,5*L1*U4 +,5*L2 =0
dónde
La E en el lado derecho de la primera ecuación es la E que tienes
decidiste que quieres resolver (es decir, lo has dado tú). la primera linea
donde N = El número de valores que componen la cartera. mi =
simplemente establece que la suma de todos los rendimientos esperados multiplicada por su
El rendimiento esperado de la cartera. Xi = La ponderación porcentual de
las ponderaciones deben ser iguales a la E dada. La segunda línea simplemente establece que
la i seguridad. Ui = El rendimiento esperado del iésimo valor.
la suma de los pesos debe ser igual a 1. Aquí se muestra la matriz para un
La minimización de una función multivariable restringida se puede manejar
caso de tres valores, pero puedes usar la forma general al resolver para N
introduciendo estos multiplicadores lagrangianos y derivando parcialmente con
valores. Sin embargo, estas dos primeras líneas son siempre las mismas. El siguiente
respecto a cada variable. Por lo tanto, expresamos nuestro problema.
Luego, N líneas siguen la forma prescrita.
en términos de una función lagrangiana, a la que llamamos T. Sea:
(6.11) T = V+ L1*((∑[i = 1,N]Xi*Ui) ­E)+L2*((∑[i = 1,N]Xi)­1)
dónde
V = La varianza en los rendimientos esperados de la cartera, de
Ecuación (6.06).
N = El número de valores que componen la cartera.
Ahora, utilizando nuestros rendimientos esperados y covarianzas (de la tabla de
covarianzas que construimos anteriormente), reemplazamos los coeficientes en la
forma generalizada. Creamos así una matriz que representa los coeficientes de
la forma generalizada. En nuestro caso de cuatro componentes (N = 4), tenemos por lo tanto
6 filas (N+2):
X1
X2
X3 X4 .21
.095
.13
.085 1 1 .01 0
1
.079 0 .4 0
1
­.0237
.095
.1 ­.0237
.25
.13
.01
.079
0
0
E = El rendimiento esperado de la cartera.
Xi = La ponderación porcentual del iésimo valor.
Ui = El rendimiento esperado del iésimo valor.
L1 = El primer multiplicador lagrangiano.
L2 = El segundo multiplicador lagrangiano.
La cartera de varianza mínima (riesgo) se encuentra igualando a cero las
derivadas parciales de primer orden de T con respecto a todas las variables.
Supongamos nuevamente que estamos analizando cuatro posibles inversiones.
alternativas: Toxico, Incubeast Corp., LA Garb y una cuenta de ahorros.
Si tomamos la derivada parcial de primer orden de T con respecto a X1 tenemos
obtener:
(6.12) δT/δX1 = 2*X1*COV1,1+2*X2*COV1,2+2*X3*COV1,2+2*X4*COV­ 1,4+L1*U1+L2
Igualando esta ecuación a cero y dividiendo ambos lados por 2
rendimientos:
X1*COV1,1+X2*COV1,2+X3*COV1,3+X4*COV1,4+.5*L1*U1+.5*L2 = 0
Asimismo:
δT/δX2 = X1*COV2,1+X2 +COV2,2+X3*COV2,3+X4*COV­
2,4+.5*L1*U2+.5*L2 = 0
δT/δX3 = X1*COV3,1+X2*COV3,2+X3*COV3,3+X4*COV­
3,4+.5*L1*U3+.5*L2 = 0
L2
.21
0
0
.085
Respuesta L2
=E
=1
1 =0
1 =0
1 =0
1 =0
Tenga en cuenta que los rendimientos esperados no se expresan en la matriz como
HPR, más bien se expresan en su estado decimal "bruto".
Observe que también tenemos 6 columnas de coeficientes. Sumando la parte de
respuesta de cada ecuación a la derecha y separándola de la
los coeficientes con a crean lo que se conoce como una matriz aumentada,
que se construye fusionando la matriz de coeficientes y la respuesta
columna, que también se conoce como vector del lado derecho.
Observe que los coeficientes en la matriz corresponden a nuestra general­
forma adaptada del problema:
X1*U1 +X2*U2 +X3*U3 =E
X1 +X2 +X3 X1*COV1,1
+X4*U4
+X4
+X2*COV1,2 +X3*COV1,1 +X4*COV1,4 +,5*L1*U1 +,5*L2 =0
X1*COV2,1 +X2*COV2,2 +X3*COV2,3 +X4*COV2,4 +,5*L1*U2 +,5*L2 =0
X1*COV3,1 +X2*COV3,2 +X3*COV3,3 +X4*COV3,4 +,5*L1*U3 +,5*L2 =0
X1*COV4,1 +X2*COV4,2 +X3*COV4,3 +X4*COV4,4 +,5*L1*U4 +,5*L2 =0
La matriz es simplemente una representación de estas ecuaciones. Resolver
para la matriz, debes decidir un nivel para E que deseas resolver
para. Una vez resuelta la matriz, las respuestas resultantes serán las óptimas.
=1
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ponderaciones necesarias para minimizar la variación en la cartera en su conjunto
para nuestro nivel especificado de E.
X1. Del mismo modo, la segunda fila del vector del lado derecho contiene el
responde para X2, ya que el 1 de la segunda fila corresponde a X2. Usando operaciones de fila
Supongamos que deseamos resolver para E=.14, lo que representa un valor esperado
podemos hacer transformaciones elementales a nuestra matriz original hasta obtener la matriz
retorno del 14%. Insertando .14 en la matriz para E y poniendo ceros para
identidad. De la matriz identidad,
las variables L1 y L2 en las dos primeras filas para completar la matriz dan
podemos discernir las respuestas, los pesos X1, ..., XN, para los componentes
en una cartera. Estas ponderaciones producirán la cartera con la varianza mínima, V, para un nivel
nosotros una matriz de:
X1
X2
.095
.13
X3 X4 L1 .21 .085 0
1 1 0 .01 0 .095
.079 0 .13
1
1 ­.0237
.1 ­.0237
.25
.01
.079
.4
0
.21
0
0
0
0
.085
Respuesta L2
0 = 0,14
0 =1
1 =0
1 =0
1 =0
1 =0
dado de rendimiento esperado, E.3
Se pueden realizar tres tipos de operaciones de fila:
1. Se pueden intercambiar dos filas cualesquiera.
2. Cualquier fila puede multiplicarse por cualquier constante distinta de cero.
3. Cualquier fila puede multiplicarse por cualquier constante distinta de cero y sumarse a
las entradas correspondientes de cualquier otra fila.
Resolviendo la matriz resolveremos las N+2 incógnitas en el N+2
Usando estas tres operaciones, buscamos transformar los coeficientes
ecuaciones.
matriz a una matriz de identidad, lo cual hacemos de una manera muy prescrita.
SOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES UTILIZANDO FILAS EQUIVA­
continuación, realizamos la primera transformación elemental mediante
MATRICES DE CUARESMA
invocando la regla 2 de operaciones de fila. Aquí tomamos el valor en la primera fila,
El primer paso, por supuesto, es simplemente comenzar creando la matriz aumentada. A
Un polinomio es una expresión algebraica que es la suma de uno o
más términos. Un polinomio con un solo término se llama monomio;
con dos términos un binomio; con tres términos un trinomio. Polinomios
con más de tres términos se llaman simplemente polinomios. La expresión 4*A^3+A^2+A+2 es un
polinomio que tiene cuatro términos. Los términos son
separados por un signo más (+).
primera columna, que es .095, y queremos convertirla al número 1.
Para hacerlo, multiplicamos cada valor de la primera fila por la constante 1/.095.
Dado que cualquier número multiplicado por 1 dividido por ese número da 1, hemos obtenido un 1
en la primera fila, primera columna. También hemos multiplicado cada
entrada en la primera fila mediante esta constante, 1/.095, como se especifica en la regla 2 de
operaciones de fila. Por lo tanto, hemos obtenido el número de transformación elemental
1.
Los polinomios vienen en diferentes grados. El grado de un polinomio
es el valor del grado más alto de cualquiera de los términos. El grado de un
término es la suma de los exponentes de las variables contenidas en el término.
Nuestro ejemplo es un polinomio de tercer grado ya que se plantea el término 4*A^3
elevado a 3, y esa es una potencia mayor que cualquiera de los otros términos
en el polinomio se elevan a. Si este término dice 4*A^3*B^2*C, tenemos
tendría un polinomio de sexto grado ya que la suma de los exponentes de
las variables (3+2+1) son iguales a 6.
Un polinomio de primer grado también se llama ecuación lineal y
grafica como una línea recta. Un polinomio de segundo grado se llama
cuadrático y se representa como una parábola. Tercer, cuarto y quinto grado
Los polinomios también se llaman cúbicos, cuárticos y quínticos, respectivamente.
Nuestro siguiente paso es invocar la regla 3 de operaciones de fila para todas las filas excepto
en el que acabamos de usar la regla 2. Aquí, para cada fila, tomamos el valor de esa fila
correspondiente a la columna en la que acabamos de invocar la regla 2. En
transformación elemental número 2, para la fila 2, usaremos el valor de
1, ya que ese es el valor de la fila 2, columna 1, y acabamos de realizar la regla
2 en la columna 1. Ahora hacemos que este valor sea negativo (o positivo si ya es negativo). Como
nuestro valor es 1, lo convertimos en ­1. ahora multiplicamos
por la entrada correspondiente (es decir, la misma columna) de la fila en la que acabamos de
realizar la regla 2. Como acabamos de realizar la regla 2 en la fila 1, multiplicaremos este ­1 por el
valor de la fila 1, columna 1, que es 1, obteniendo así
­1. Ahora volvemos a agregar este valor al valor de la celda en la que estamos trabajando.
encendido, que es 1, y obtiene 0.
Más allá de eso, no hay nombres especiales para los polinomios de grado superior. Las gráficas
de polinomios mayores de segundo grado son bastante impredecibles. Los polinomios pueden
tener cualquier número de términos y pueden ser de
cualquier grado. Afortunadamente, trabajaremos sólo con ecuaciones lineales,
polinomios de primer grado aquí.
Cuando tenemos más de una ecuación lineal que debe resolverse simultáneamente podemos
usar lo que se llama el método del equivalente por filas.
matrices. Esta técnica también se conoce como Gauss ­Jordan.
procedimiento o el método de eliminación gaussiano.
Para realizar la técnica, primero creamos la matriz aumentada de
Ahora, en la fila 2, columna 2, tomamos el valor de esa fila correspondiente a la columna en
la que acabamos de invocar la regla 2. Nuevamente usaremos el valor
de 1, ya que ese es el valor de la fila 2, columna 1, y acabamos de realizar
regla 2 en la columna 1. Nuevamente hacemos que este valor sea negativo (o positivo si
ya es negativo). Como nuestro valor es 1, lo convertimos en ­1. Ahora multiplica
por la entrada correspondiente (es decir, la misma columna) de la fila en la que acabamos de
realizar la regla 2. Como acabamos de realizar la regla 2 en la fila 1, multiplicaremos este ­1 por el
valor de la fila 1, columna 2, que es 1,3684, obteniendo así ­1,3684. Nuevamente, agregamos este
valor nuevamente al valor de la celda.
estamos trabajando, fila 2, columna 2, que es 1, obteniendo 1+(­1.3684)
el problema combinando la matriz de coeficientes con la derecha
= ­.3684. Procedemos de la misma manera para el valor de cada celda en la fila 2, incluido el valor
vector lateral como lo hemos hecho. A continuación, queremos utilizar lo que se denominan
del vector del lado derecho de la fila 2. Luego hacemos lo
transformaciones elementales para obtener lo que se conoce como matriz identidad. Una
lo mismo para todas las demás filas hasta la columna que nos interesa, columna
transformación elemental es un método de procesar una matriz para
1 aquí, es todo ceros. Observe que no necesitamos invocar la regla 3 de operaciones de fila
obtener una matriz diferente pero equivalente. Las transformaciones elementales son
para la última fila, ya que ya tiene un valor de cero para la columna 1.
Esto se logra mediante lo que se llama operaciones de fila. (Cubriremos la fila
operaciones en un momento.)
Una matriz identidad es una matriz de coeficientes cuadrados donde todos los elementos
son ceros excepto una línea diagonal de unos que comienza en la parte superior.
Cuando hayamos terminado, habremos obtenido la transformación elemental número 2.
Ahora la primera columna ya es la de la identidad.
matriz. Ahora procedemos con este patrón, y en la transformación elemental 3 invocamos la regla
2 de operaciones de fila para convertir el valor en el
esquina izquierda. Para una matriz de coeficientes de seis por seis como la que estamos usando en
segunda fila, segunda columna a un 1. En número de transformación elemental
En nuestro ejemplo, la matriz identidad aparecería como:
4, invocamos la regla 3 de operaciones de fila para convertir el resto de las filas
100000
010000
001000
000100
000010
000001
Este tipo de matriz, donde el número de filas es igual al número de columnas, se llama matriz
cuadrada. Afortunadamente, debido a la forma generalizada de nuestro problema de minimizar V
para un E dado, siempre estamos tratando con una matriz de coeficientes cuadrados.
a ceros para la columna correspondiente a la columna que acabamos de invocar
regla 2 de operaciones de fila en adelante.
Procedemos de la misma manera, convirtiendo los valores a lo largo de las diagonales a
unos por fila de operaciones regla 2, luego convertir los valores restantes en
esa columna a ceros por fila operaciones regla 3 hasta que hayamos obtenido
la matriz de identidad de la izquierda. El vector del lado derecho será entonces
nuestro. Conjunto de soluciones.
X1 X2 X3 X4 Matriz
aumentada inicial
Una vez que se obtiene una matriz identidad mediante operaciones por filas, puede
.095 .13 .21 .085
L1
L2
Explicación de la respuesta
0
0
.14
considerarse equivalente a la matriz de coeficientes iniciales. Luego, las respuestas se leen en el
vector del lado derecho. Es decir, en la primera
fila de la matriz identidad, el 1 corresponde a la variable X1, por lo que el
La respuesta en el vector del lado de la mano de pelea para la primera fila es la respuesta para
3
Es decir, estas ponderaciones producirán la cartera con un V mínimo para un determinado
E sólo en la medida en que nuestras entradas de E y V para cada componente y el lineal
coeficiente de correlación de cada posible par de componentes son precisos y
la varianza en los rendimientos es infinita.
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X1 X2 X3 1 1 .1
X4
1
­.023 .01
­.023 .25
L1 L2 0 0
.095 1
.01 .079 .4 0 0
L1
X1 X2 X3 X4 L2 Transformación elemental
1
número 11
0
1 0 49826 0,68283
0
0
0
0
0100
0
0
1,7682 0,32622
1 .085 1
0
00
0
0
­1,035 0,26795
0
­5,715 ­0,2769
0
0
Transformación elemental número 1
0000
1.3684 2.2105 .8947
0,095 1
1,47368 fila1*(1/.095)
1
0.1 ­.023 .01 0 ­.023 .25
0,13 1 0,21
.079 0 .01 .079 .4 0 0 0 0
1 0,085 1
11
11
1
0
0
10
1
0000
0
0
1
0
0
0,12391 fila1+(­4,98265*fila6)
0
0100
0
0,12787 fila2+(­1,76821*fila6)
0
00
0
0,38407 fila3+(1,0352*fila6)
01
1.47368
­1.210 .1052 0 ­.160 ­.211
0
0
­.4736 fila2+(­1*fila1)
­.089 0 .2824 .1313 .0212 0
.095 1
­.1473 fila3+(­.1*fila1)
10
0000
.0653 .3778 ­.008 0 0
.13 1 .21
.03492 fila4+(.0237*fila1)
0100
10
1 .085 1
­.0147 fila5+(­.01*fila1)
0
0000
0
1.47368
01
0
1,28571 fila2*(1/­.36842)
­.1473
0 ­.160 ­.211 ­.089 0 .2824
.095 1
.1313 .0212 0 .0653 .3778
.13 1 .21
.03492
­.008 0 0
1 .085 1
­.0147
0
0
0
01
0
0000
0000
­.2857 fila1+(­
1.368421*fila2)
1.28571
0100
0,38407 =X3
0
0
1
0
0.36424 =X4
­1.3197 =­2.6394=L1
/.5
00
00
0
1
0,11217/ =.22434=L2
.5
significado. En este caso, dados los datos de entrada de los rendimientos esperados y la
varianza esperada de los rendimientos para todos los componentes considerados, y dados
los coeficientes de correlación lineal de cada posible par de componentes,
.05904 fila3+(.16054*fila2)
para un rendimiento esperado del 14%, este conjunto de soluciones es óptimo. Óptimo, como
­.3282 Сгрока4+(­
.282431*fila2)
utilizado aquí, significa que este conjunto de soluciones producirá la varianza más baja para
.1632 .0097 0
.21 1
­.0987 fila5+(­.065315*fila2)
0
debe interpretar los resultados.
.085 1
un rendimiento del 14%. En un momento determinaremos la varianza, pero primero
Los primeros cuatro valores, los valores de X1 a X4, nos dicen el
ponderaciones (los porcentajes de fondos invertibles) que deben asignarse a
estas inversiones para lograr este portafolio óptimo con un 14% esperado
0
0 1.28571
devolver. Por lo tanto, deberíamos invertir 12.391% en Toxico, 12.787% en In­cubeast,
1
.3002 3.1602 .18658 fila3*(1/.31643)
­.796 .1019
.13 1 ­.3282
38.407% en LA Garb y 36.424% en la cuenta de ahorro. Si
.1632 .0097 0
.21 1 ­.0987
Estamos considerando invertir $50,000 por esta combinación de cartera:
0
0
.085 1 0
1.1196
Porcentaje de acciones (*50,000 = ) Dólares para invertir
Toxico .12391 $6,195.50 Incubeast
.12787 $6,393.50 $19,203.50 LA Garb
­.427
­0,986 ­1,38 0,67265 fila2+(­3,28571*fila3)
.3002 3.1602 .18658
.36424 $18,212.00
1
­.238
.3691 3.5174 ­.1795 fila4+(.7966*fila3)
0
.0795
0
Así, para Incubeast, invertiríamos $6.393,50. Ahora supongamos que
Incubeast se vende a 20 dólares la acción. Lo óptimo sería comprar 319.675 acciones
00
.1609 .4839 ­.1291 fila5+(­.16328*fila3)
0
.085 1
0000
Transformación elemental número 7
1.6862 7.2233 0.14075 .3080
0
0000
00
0
.13 1
Transformación elemental número 6
1
0
.3080
.6862 7.2233 .14075 fila1+(2.2857*fila3)
00
0.12787 =X2
0
.095 1
­.285 0 0 ­.427 0 0 0 0 0 0
001
0,12391 =X1
0
.3164 ­.135
0
0000
0
0
­.796 .1019
Transformación elemental número 5
1 0 ­2.285 1.2857 0 1 3.2857
0­.2857 0
001
0
Matriz obtenida
Una vez obtenida la matriz identidad, podemos interpretar su
Transformación elemental número 4
1
0
0
­2,285 1,2857
0
­1,3197 fila5+(­5,83123*fila6)
0.11217
INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS
0
3.2857 ­.285
1
10
Transformación elemental número 3
1
0
1.3684 2.2105 .8947
0,36424 fila4+(5,7158*fila6)
0
0
0
0
00000000
0
0,11217 fila6*(1/.50434)
0
0
3.2857 ­.285
5,8312 ­0,6655
10
Transformación elemental número 12
100000001000
0
Transformación elemental número 2
0
1 1.3684 2.2105 .8947 0 ­.368
0
Explicación de la respuesta
.13 1 .21
10
.079 0 0 0
Explicación de la respuesta
1.1196
(6393,5/20). Sin embargo, en el mundo real no podemos salir corriendo a comprar acciones
fraccionarias, por lo que diríamos que lo óptimo sería comprar 319
o 320 acciones. Ahora, el lote extraño, las 19 o 20 acciones que quedan después de que
­.986 ­1.38 .67265
Si compramos los primeros 300, tendríamos que pagarlos. Los lotes impares suelen estar
­.427
.3002 3.1602 .18658
00
1 .0795
­1,545 ­14,72 .75192 fila4*(1/­.23881)
.1609 .4839 ­.1291
0
0
.085 1 0
1
.38407
Ahorros
marcados con una pequeña fracción de punto, por lo que tendríamos que pagar más por
esas 19 o 20 acciones, lo que a su vez afectaría el rendimiento esperado de nuestras
participaciones en Incubeast, lo que a su vez afectar el óptimo
Transformación elemental número 8
1
0
0
1.1624 11.760 ­.0908 fila1+(­.30806*fila4)
combinación de cartera A menudo es mejor comprar el lote redondo;
001
este. Mientras que podemos identificar cuál es la cartera óptima hasta el
0
0
.7443 6.1080 ­.1692 fila2+(­
0
­.360 ­3.139 .50819 fila3+(.42772*fila4)
­1.545 ­14.72 .75192
0
1
00
00
.2839 1.6557 ­.1889 fila5+(­.079551*fila4)
0
.085 1
1.119669*fila4)
0000
0000
1
Transformación elemental número 9
0 ­.0909 0
1 1.1624 11.761
001
0
0000
00
00
caso, 300 acciones. Como puede ver, se cuela más basura en la mecánica de
fracción de una acción, la implementación en la vida real requiere nuevamente que
permitir la pendiente.
Además, cuanto mayor sea el capital que esté empleando, más
La implementación del enfoque en la vida real se parecerá mucho a la
óptimo teórico. Supongamos que, en lugar de invertir 50.000 dólares,
estabas administrando un fondo de 5 millones de dólares. Estarías buscando invertir
0
.7445 6.1098 ­.1693
12,787% en Incubeast (si sólo estuviéramos considerando estas cuatro alternativas de
0
­.361 ­3.140 .50823
inversión)? y por tanto estaría invirtiendo 5.000.000*.12787
­1.545 ­14.72 .75192
= $639,350. Por lo tanto, a 20 dólares la acción, comprarías 639.350/20 =
1
00
10
0
0
1
5.8307 ­.6655 fila5*(1/.28396)
0
0,085 1
31.967,8 acciones. Nuevamente, si lo restringieras al lote redondo,
compraría 31.900 acciones, desviándose del número óptimo de acciones
Transformación elemental número 10
1
0
0
0 4,9831 0,68280
fila1+(­1,16248*fila5)
en aproximadamente un 0,2%. Comparemos esto con el caso "en el que tienes 50.000
0010
desviándose del óptimo en aproximadamente un 6,5%.
0
0000
0
00
0
0 1,7685 0,32620
fila2+(­.74455*fila5)
0
0 ­1,035 0,26796
fila3+(.3610*fila5)
00
0
1 ­5,715 ­0,2769
fila4+(1,5458fila5)
1
0 5.8312 ­0.6655
0
0
1
0
0,5043 0,05657 fila6+(­.085*fila5)
dólares para invertir y comprar 300 acciones frente al óptimo de 319,675. Ahí lo tienes".
Los multiplicadores lagrangianos tienen una interpretación interesante. A
Para empezar, los lagrangianos que estamos usando aquí deben dividirse por 0,5 después
de obtener la matriz de identidad antes de que podamos interpretarlos. Esto es
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de acuerdo con la forma generalizada de nuestro problema. La variable L1
X2 aumentada
X1 X3 L1 Matriz
es igual a ­δV/δE. Esto significa que L1 representa la varianza marginal en
inicial
rendimientos esperados. En el caso de nuestro ejemplo, donde L1 = ­2,6394, tenemos
.095 .21 0
Respuesta L2
.13
0
.18
1
puede afirmar que V está cambiando a una tasa de ­L1, o ­(­2.6394), o 2.6394
1
unidades por cada unidad en E instantáneamente en E = .14.
Para interpretar la variable L2 es necesario replantear primero el problema. En lugar
de tener ∑Xi = 1, diremos que ∑Xi = M, donde M
es igual a la cantidad en dólares de los fondos a invertir. Entonces L2 = δV/δM. En
En otras palabras, L2 representa el riesgo marginal de aumento o disminución.
inversión.
Volviendo ahora a cuál es la varianza de toda la cartera, podemos
Utilice la ecuación (6.06) para discernir la varianza. Aunque podríamos usar cualquier
1.1
1 0,01
0.095
010
0,079
.13
10
.21
10
­.023 .25 .079
0,4
­.023 .01
Mediante el uso de operaciones de fila... se obtiene la matriz identidad:
1 0 0 0 0 0,1283688 =X1
0 1 0 0 0 0.1904699 =X2
0 0 1 0 0 0,6811613 =X3
0 0 0 1 0 ­2.38/.5=­4.76 =L1
0 0 0 0 1 0.210944/.5=.4219 =L2
variación de la ecuación (6.06a) a (6.06d), aquí usaremos la variación
a:
que recuerdes qué filas corresponden a qué variables, especialmente
(6.06a) V = ∑[i = 1,N]∑[j = 1,N] Xi*Xj*COVi,j
cuando tienes más de una fila y columna para extraer. Nuevamente, usando un
Al reemplazar los valores y realizar la ecuación (6.06a), se obtiene:
Xi Xj COVi,j
0,12391* 0,12391* 0,1
0.0015353688
0,12391* 0,12787* ­0,0237 =­0,0003755116
Cuando debes sacar una fila y columna como esta, es importante
Para ilustrar un ejemplo, supongamos que queremos resolver para E = .1965. La primera
La matriz de identidad a la que lleguemos mostrará valores negativos para la ponderación.
de Tóxico, X1, y la cuenta de ahorro, X4. Por tanto, volvemos a nuestra
matriz aumentada inicial:
0,12391* 0,38407* 0,01
0.0004759011
X1 X2
0,12391* 0,36424* 0
0
Matriz aumentada inicial
X3 X4 L1 L2 Respuesta Pertenece a
0,12787* 0,12391* ­0,0237 =­0,0003755116
.095 .13 .21 .085 0 1 1 1 0 1
0
0,12787* 0,12787* 0,25 0,0040876842
Incubeasta
1
0
0,12787* 0,38407* 0,079 0,0038797714
.1 ­.023 .01 0 .095 1 0 Traje de LA
0,12787* 0,36424* 0 =0
­.023 .25 .079 0 .13 1 0 Ahorro
0,38407* 0,12391* 0,01
=0.0004759011
.01 0 .21 .079
1 0 L1
.4 0 0
0 0 .085 1 0 L2
0,38407* 0,12787* 0,079 =0,0038797714
Ahora sacamos la fila 3 y la columna 1, las que pertenecen a Toxi­co, y también
0,38407* 0,38407* 0,4 =0,059003906
sacamos la fila 6 y la columna 4, las que pertenecen al ahorro.
cuenta:
0,38407* 0,36424* 0 =0
0,36424* 0,12391* 0 =0
0,36424* 0,12787* 0 =0
X2 X3 X4 L1 L2 La respuesta pertenece a
0,36424* 0,38407* 0 =0
0,36424* 0,36424* 0 =0
.0725872809
Por lo tanto, vemos que con el valor de E = 0,14, el valor más bajo de V es
obtenido en V = .0725872809.
Iniciar matriz aumentada
.13 .21 .085 0 0 .1965 Incubeasta
1 1 1 0 0 1 .25 .079 0 .13 1 0
comenzamos con la matriz aumentada, que es exactamente la misma que en el último
ejemplo de E = .14, solo la celda superior derecha, que es la primera celda en
el vector del lado derecho se cambia para reflejar esta nueva E de .18:
X1 X2 X3 X4 L1 Matriz aumentada
Respuesta L2
.079 .4 0 .21 1 0 L2
Entonces estaremos trabajando con la siguiente matriz:
X2 X3 X4 L1 L2 La respuesta pertenece a
Iniciar matriz aumentada
.13 .21 .085 0 0 .1965 Incubeasta
1
1
1001
.25 .079 0 .13 1 0 .079 .4 0 .21
inicial
10
.095 .13 .21 .085 0 0 .18
1 0 0 11
Traje de Los Ángeles
L1
Ahora supongamos que decidimos ingresar un valor de E = 0,18. Nuevamente
1
.1965 Tóxico
Traje de Los Ángeles
L1
L2
Mediante el uso de operaciones de fila... se obtiene la matriz identidad:
1
.1 ­.023 0.01 0 ­.023 .25
.095 1 0
1 0 0 0 .169
Incubeast
.079 0 .01 .079 .4 0 0 0 0
.13 1 0
0 1 0 0 .831 0 0 1 0
Traje de Los Ángeles
.21 1 0
­2.97/.5=­5.94 L1
.085 1 0
0 0 0 1 .2779695/.5=.555939 L2
0
Otro método que podemos usar para resolver la matriz es usar el inverso de la
Mediante el uso de operaciones de fila... se obtiene la matriz identidad:
1 0 0 0 0 0 0,21401=X1
matriz de coeficientes. Una matriz inversa es una matriz que, cuando
0 1 0 0 0 0 0.22106=X2
multiplicado por la matriz original, produce la matriz identidad. Esta técnica se explicará
0 0 1 0 0 0 0,66334=X3
sin discutir los detalles de la multiplicación de matrices.
0 0 0 1 0 0 ­.0981=X4
0 0 0 0 1 0 ­1.3197/.5=­2.639=L1
0 0 0 0 0 1 0.11217/.5=.22434=L2
Luego procedemos a resolver la matriz exactamente como antes, sólo que esto
vez que obtenemos una respuesta negativa en la cuarta celda de la derecha
En álgebra matricial, una matriz a menudo se denota con una capita en negrita]
carta. Por ejemplo, podemos denotar nuestra matriz de coeficientes como C. El inverso
de una matriz se denota como un superíndice ­1. La matriz inversa
a C entonces es C­1 .
vector lateral. Es decir, deberíamos asignarle una proporción negativa, una desinversión
del 9,81% en la cuenta de ahorro.
Para tener en cuenta esto, cada vez que obtenemos una respuesta negativa para cualquiera de
los Xi, lo que significa que si alguna de las primeras N filas del lado derecho
vector es menor o igual a cero: debemos extraer esa fila+2 y esa columna de la matriz
aumentada inicial y resolver para obtener la nueva matriz aumentada. Si cualquiera de
las 2 últimas filas del vector del lado derecho
son menores o iguales a cero, no necesitamos hacer esto. Estas dos últimas entradas en
el vector del lado derecho siempre pertenecen a los lagrangianos, no
No importa cuántos o pocos componentes haya en total en la matriz. A los lagrangianos
se les permite ser negativos.
Dado que la variable que regresa con la respuesta negativa corresponde a
la ponderación del cuarto componente, sacamos la cuarta columna
Para utilizar este método, primero debemos discernir la matriz inversa para
nuestra matriz de coeficientes. Para hacer esto, en lugar de comenzar aumentando la
vector del lado derecho en la matriz de coeficientes, aumentamos la propia matriz de
identidad en la matriz de coeficientes. Para nuestro ejemplo de 4 acciones:
Iniciar matriz aumentada
X1 X2 X3 X4 L1 0,095 0,13 0,21
0,085 0 1 1 0
1
1
0.1
­0,023 0,01 0
Matriz de identidad L2
0100000
0010000
0,095 1 0 0 1 0 0 0
­0,023 0,25 0,079 0 0,01
0,13 1 0 0 0 1 0 0
0,079 0,4 0 0 0
0,21 1 0 0 0 0 1 0
0
0
0,085 1 0 0 0 0 0 1
Ahora procedemos a usar operaciones de fila para transformar los coeficientes.
y la sexta fila de la matriz aumentada inicial. Luego usamos fila
matriz a una matriz identidad. En el proceso, desde cada operación de fila
operaciones para realizar transformaciones elementales hasta obtener, nuevamente, la
realizado a la izquierda también se realiza a la derecha, habremos transformado la matriz
matriz de identidad:
identidad del lado derecho en la matriz inversa
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Cr, de la matriz de coeficientes C. En nuestro ejemplo, el resultado de la fila
corto en ambas acciones, el coeficiente de correlación lineal entre ellas permanece sin
operaciones producen:
cambios, como lo haría si estuviera buscando ir largo en ambas acciones.
cepo.
C
C ­1
1 0 0 0 0 0 2,2527 ­0,1915 10,1049 0,9127 ­1,1370 ­9,8806
Hasta ahora hemos tratado de obtener la cartera óptima y su varianza V, cuando
0 1 0 0 0 0 2,3248 ­0,1976 0,9127 4,1654 ­1,5726 ­3,5056
conocemos el rendimiento esperado, E, que buscamos. Podemos
0 0 1 0 0 0 6,9829 ­0,5935 ­1,1370 ­1,5726 0,6571 2,0524
También resuelva para E cuando conocemos V. La forma más sencilla de hacerlo es mediante
0 0 0 1 0 0 ­11,5603 1,9826 ­9,8806 ­3,5056 2,0524 11,3337
iteración utilizando las técnicas analizadas hasta ahora en este capítulo.
0 0 0 0 1 0 ­23,9957 2,0396 2,2526 2,3248 6,9829 ­11,5603
Hay mucho más sobre el álgebra matricial de lo que se presenta en este
0 0 0 0 0 1 2,0396 ­0,1734 ­0,1915 ­0,1976 ­0,5935 1,9826
Ahora podemos tomar la matriz inversa, Ci, y multiplicarla por nuestra
vector del lado derecho original. Recuerde que nuestro vector del lado derecho es:
mi
ecuaciones lineales. A menudo encontrarás referencias a técnicas.
como la regla de Cramer, el método simplex o el cuadro simplex.
Éstas son técnicas similares a las descritas en este capítulo, aunque más complicadas. Hay
S
una multitud de aplicaciones en los negocios y la ciencia para el álgebra matricial, y el tema
0
es considerablemente complicado. Sólo hemos grabado la superficie, lo suficiente para lo
0
que necesitamos.
0
cumplir. Para una discusión más detallada sobre álgebra matricial y
0
sus aplicaciones en los negocios y la ciencia, se remite al lector a Conjuntos,
Siempre que multiplicamos una matriz por un vector columnar (como este)
multiplicamos todos los elementos de la primera columna de la matriz por el primer elemento
del vector, todos los elementos de la segunda columna de la matriz por
el segundo elemento del vector, y así sucesivamente. Si nuestro vector fuera una fila
vector, multiplicaríamos todos los elementos de la primera fila de la matriz por
el primer elemento del vector, todos los elementos de la segunda fila de la matriz por el
segundo elemento del vector, y así sucesivamente. Dado que nuestro vector es
columnar, y dado que los últimos cuatro elementos son ceros, sólo necesitamos multiplicar la
primera columna de la matriz inversa por E (el rendimiento esperado para
la cartera) y la segunda columna de la matriz inversa por S, la suma
de las pesas. Esto produce el siguiente conjunto de ecuaciones, que podemos
Introduzca los valores para E y S y obtenga las ponderaciones óptimas. En nuestro
Por ejemplo, esto produce:
E*2.2527+S*­0.1915 = Peso óptimo para el primer stock
E*2.3248+S*­0.1976 = Peso óptimo para el segundo stock
E*6.9829+S*­0.5935 = Peso óptimo para el tercer stock
E*­11.5603+S*1.9826 = Peso óptimo para el cuarto stock
E*­23.9957+S*2.0396 = .5 del primer lagrangiano
E*2.0396+S*­0.1734 = .5 del segundo Lagrangiano
Por lo tanto, para resolver un rendimiento esperado del 14% (E = 0,14) con la suma
de los pesos iguales a 1:
.14*2.2527+1*­0.1915 = .315378­.1915 = .1239 Tóxico
.14*2.3248+1*­0.1976 = .325472­.1976 = .1279 Incubeast
.14*6.9829+1*­0.5935 = .977606­.5935 = .3841 Traje de Los Ángeles
.14*­11.5603+1*1.9826 = ­1.618442+1.9826 = .3641 Ahorro
.14*­23.9957+1*2.0396 = ­3.359398+2.0396 = ­1.319798*2 = ­2.6395
L1
.14*2.0396+1 *­0.1734 = .285544­.1734 = .1121144*2 = .2243L2
Una vez que haya obtenido la inversa de la matriz de coeficientes, tendrá
Puede resolver rápidamente cualquier valor de E siempre que sus respuestas, las
ponderaciones óptimas, sean todas positivas. Si no, nuevamente debes crear la matriz de
coeficientes sin ese ítem, y obtener una nueva matriz inversa.
Hasta ahora hemos analizado la inversión en acciones desde el lado largo.
Sólo ¿Cómo podemos considerar candidatos de venta corta en nuestro análisis?
Para empezar, usted buscaría vender en corto una acción si espera que baje.
Recordemos que el término "devoluciones" significa no sólo
los dividendos del valor subyacente, pero cualquier ganancia en el valor del
la seguridad también. Esta cifra se especifica luego como porcentaje. De este modo,
Para determinar los rendimientos de una posición corta, tendría que estimar qué porcentaje
de ganancia esperaría obtener en la posición decreciente.
acciones, y de eso luego necesitarías restar el dividendo
(sin importar cuántos dividendos tengan fecha ex­fecha durante el período de tenencia que esté
calculando su E y V) como porcentaje.
4
Por último, cualquier correlación lineal
coeficientes de ción de los cuales es miembro la acción que desea vender en corto
debe multiplicarse por ­1. Por lo tanto, dado que el coeficiente de correlación lineal entre
Toxico e Incubeast es ­.15, si estuviera buscando acortar
Toxico, multiplicarías esto por ­1. En tal caso usarías
­0,15*­1 = 0,15 como coeficiente de correlación lineal. Si miras linealmente
para vender ambas acciones en corto, el coeficiente de correlación lineal entre
los dos serían ­.15*­1*­1 = ­.15. En otras palabras, si estás buscando
4
capítulo. Existen otras técnicas de álgebra matricial para resolver sistemas de
En este capítulo suponemos que todas las transacciones se realizan en una cuenta de
efectivo. Por lo tanto, aunque es necesario realizar una posición corta en una cuenta de
margen y no en una cuenta de efectivo, no calcularemos el interés sobre el margen.
Matrices y programación lineal, por Robert L. Childness.
El siguiente capítulo cubre la utilización de las técnicas detalladas en este
capítulo para cualquier instrumento negociable, así como acciones, al tiempo que incorpora f
óptima, así como un sistema mecánico.
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cartera, sólo que con distintos grados de apalancamiento. Esta distinción entre la decisión de
inversión y la decisión de financiación se conoce como
Capítulo 7 ­ La geometría de las carteras
el teorema de la separación.1
Ahora hemos visto cómo encontrar los fs óptimos para un sistema de mercado dado
Suponemos ahora que la escala vertical, la E en la teoría EV, representa el HPR
desde varios puntos de vista diferentes. Además, hemos visto
promedio aritmético (AHPR) para las carteras y la escala horizontal, o V, representa la
cómo derivar la frontera eficiente. En este capítulo le mostramos cómo
desviación estándar en los HPR. Para
Combine las dos nociones de f óptima y frontera eficiente para obtener una cartera
Dada la tasa libre de riesgo, podemos determinar dónde se encuentra esta cartera de punto tangente.
verdaderamente eficiente para la cual se maximiza el crecimiento geométrico. Además,
en nuestra frontera eficiente es, como las coordenadas (AHPR, V) que maximizan
profundizaremos en un estudio analítico de la geometría de la construcción de carteras.
las siguientes funciones son:
(7.01a) Cartera tangente = MAX{(AHPR­(1+RFR))/SD}
dónde
LAS LÍNEAS DEL MERCADO DE CAPITALES (CMLS)
MAX{} = El valor máximo.
En el último capítulo vimos cómo determinar la frontera eficiente
AHPR = El HPR promedio aritmético. Esta es la coordenada E de un
paramétricamente. Podemos mejorar el rendimiento de cualquier
cartera dada en la frontera eficiente.
cartera combinando un determinado porcentaje de la cartera con efectivo.
SD = Desviación estándar en HPR. Esta es la coordenada V de un
La figura 7­1 muestra esta relación gráficamente.
cartera dada en la frontera eficiente.
AHPR
RFR = La tasa libre de riesgo.
Línea LMC
1.06
En la ecuación (7.0la), la fórmula dentro de las llaves ({ }) se conoce como
el índice de Sharpe, una medida de los rendimientos ajustados al riesgo. Expresado
literalmente, el índice de Sharpe para una cartera es una medida de la relación entre el
exceso de rendimiento esperado y la desviación estándar. La cartera con el
1.04
El índice de Sharpe más alto, por lo tanto, es la cartera donde se encuentra la línea CML.
Frontera eficiente
B
tangente a la frontera eficiente para una RFR determinada.
La proporción de Sharpe, cuando se multiplica por la raíz cuadrada del número
de períodos sobre los cuales se obtuvo, es igual al estadístico t. A partir del estadístico t
A
1.02
resultante es posible obtener un nivel de confianza de que el
AHPR excede el RFR por más que solo el azar, suponiendo finitos
variación en los rendimientos.
La siguiente tabla muestra cómo utilizar la ecuación (7.0la) y demostrar todo el proceso
1
0
0,02
0,04 0,06
Desviación estándar
0,08
0.1
Figura 7­1 Mejora de la rentabilidad con el activo libre de riesgo.
En la figura 7­1, el punto A representa el rendimiento del activo libre de riesgo.
Normalmente, este sería el rendimiento de las letras del Tesoro a 91 días. desde el
riesgo, la desviación estándar de los rendimientos, se considera inexistente, punto
A está en cero en el eje horizontal.
El punto B representa la cartera tangente. Es la única cartera que yace
sobre la frontera eficiente que sería tocada por una línea trazada desde
la tasa de rendimiento libre de riesgo en el eje vertical y cero en el horizontal
eje. Cualquier punto a lo largo del segmento AB estará compuesto por la cartera en el punto
B y el activo libre de riesgo. En el punto B, todos los activos
estarían en la cartera, y en el punto A todos los activos estarían en el activo libre de riesgo.
Cualquier punto entre los puntos A y B representa tener un
parte de los activos tanto en la cartera como en el activo libre de riesgo. Aviso
que cualquier cartera a lo largo del segmento AB domina cualquier cartera en el
frontera eficiente al mismo nivel de riesgo, ya que al estar en el segmento de línea
analizado hasta ahora. Las dos primeras columnas representan las coordenadas de diferentes
carteras en la frontera eficiente. El
Las coordenadas se dan en formato (AHPR, SD), que corresponde al
Ejes Y y X de la Figura 7­1. La tercera columna es la respuesta obtenida para
Ecuación (7.01a) suponiendo una tasa libre de riesgo del 1,5% (lo que equivale a un AHPR
de 1.015. Suponemos que las HPR aquí son HPR trimestrales, por lo que una
Una tasa libre de riesgo del 1,5% para el trimestre equivale aproximadamente a una tasa libre de riesgo del 6%
para el año). Por lo tanto, para calcular (7.0la) para el tercer conjunto de coordenadas
(60013.1.002):
(AHPR­(1+RFR))/SD = (1.002­(1+.015))/.00013 = (1.002­
1.015)/.00013 = ­.013/.00013 = ­100
El proceso se completa para cada punto a lo largo de la frontera eficiente.
La ecuación (7.01a) alcanza su punto máximo en .502265, que está en las coordenadas
(.02986, 1.03). Estas coordenadas son el punto donde está la línea CML.
tangente a la frontera eficiente, correspondiente al punto B en la Figura 7­1.
Este punto tangente es una determinada cartera a lo largo de la frontera eficiente. El
La relación de Sharpe es la pendiente de la CML, siendo la pendiente más pronunciada la
recta tangente a la frontera eficiente.
AB tiene un mayor rendimiento por el mismo riesgo. Así, un inversor que quisiera
Frontera eficiente
una cartera menos riesgosa que la cartera B estaría mejor si colocara una parte
AHPR SD
de sus fondos invertibles en la cartera B y una parte en la cartera libre de riesgo
línea de leucemia mieloide crónica
Ec. (7.01a) Porcentaje AHPR
RFR=.015
1,00000 0,00000 0 0,00% 1,00100 0,00003
1.0150
­421,902 0,11% 1,00200 0,00013 ­100,000
1.0150
0,44% 1,00300 0,00030 ­40,1812 1,00%
1.0151
1,00400 0,00053 ­20,7184 1,78% l.00500
1.0152
llamada línea del mercado de capitales (CML). A la derecha del punto B, el CML
0,00063 ­12,0543 2,78% 1,00600 0,00119
1.0153
­7,53397 4,00% 1,00700 0,00163 ­4,92014
1.0154
La línea representa carteras en las que el inversor ha salido y pedido prestado.
5,45% 0,00600 0,00212 ­3,29611 7,11%
1.0156
más dinero para invertir más en la cartera B. Observe que un inversor que
1,00900 0,00269 ­2,23228 9,00% 1,01000
1.0158
quería una cartera con un rendimiento mayor que la cartera B sería mejor
0,00332 ­1,50679 11,11% 1,01100 0,00402
1.0161
hacer esto, ya que domina la línea CML a la derecha del punto B (tiene
­0,99622 13,45% 1,01200 0,00476 ­0,62783
1.0164
rendimiento mayor que) aquellas carteras en la frontera eficiente con el
16,00% 1,01300 0,00561 ­0,35663 18,78%
1.0167
mismo nivel de riesgo.
1,01400 0,00650 ­0,15375 21,78% 25,00%
1.0170
1,01600 0,00649 0,11771 8 28,45% 1,01700
1.0174
0,00959 0,208552 32,12% 1,01800 0,01075
1.0178
0,279036 36,01% 1,01900 0,01198 0,333916
1.0183
0,91500 0,00747 0
1.0188
activo, en lugar de poseer el 100% de una cartera en la frontera eficiente
en un punto menos riesgoso que la cartera B. La línea que emana del punto A,
la tasa libre de riesgo en el eje vertical y cero en el eje horizontal, y
que emana hacia la derecha, tangente a un punto de la frontera eficiente, es
Normalmente, el punto B será una cartera muy bien diversificada. La mayoría de los
portafolios en lo alto y a la derecha y en lo bajo y a la izquierda en la frontera eficiente tienen
muy pocos componentes. Aquellos que se encuentran en el medio de la frontera eficiente,
donde el punto tangente a la tasa libre de riesgo es, generalmente
40,12%
1.0193
están muy bien diversificados.
1.0198
Tradicionalmente se ha asumido que todos los inversores racionales querrán
1.0204
obtener el mayor rendimiento por un riesgo determinado y asumir el menor riesgo por un
1.0210
retorno dado. Por lo tanto, todos los inversores querrían estar en algún lugar del
Línea LMC. En otras palabras, todos los inversores querrían poseer el mismo
1
Véase Tobin, James, "Preferencia de liquidez como comportamiento hacia el riesgo", Revisión de
Estudios Económicos 25, págs. 65­85, febrero de 1958.
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Línea eficiente Frontier CML
LA FRONTERA GEOMÉTRICA EFICIENTE
AHPR SD Ec. (7.01a) Porcentaje AHPR
El problema con la Figura 7­1 es que muestra la media aritmética
1,02000 0,01327 0,376698 44,45% 1,0217
1,02100 0,01463 0,410012 49,01% 1,02200
1.0224
HPR. Cuando reinvertimos las ganancias en el programa debemos
0,01606 0,435850 53,79% 1,02300 0,01755
1.0231
Mire el HPR promedio geométrico para el eje vertical de la eficiencia.
0,455741 58,79% 1,02400 0,01911 0,470073
1.0236
frontera. Esto cambia las cosas considerablemente. La fórmula para convertir un
64,01% 1,02500 0,02074 0,482174 69,46%
1.0246
El punto en la frontera eficiente de un HPR aritmético a uno geométrico es:
1,02600 0,02243 0,490377 75,12% 1,02700
1.0254
(7.05) GHPR = (AHPR^2­V)^(1/2)
0,02419 0,496064 81,01% 1,02800 0,02602
1.0263
0,49 9702 87,12% 1,02900 0,02791 0,501667
1.0272
93,46% 1,03000 0,02986 0,502265(
1.0281
GHPR = HPR promedio geométrico.
1.0290
AHPR = El HPR promedio aritmético.
100,02%
1.0300
cima)
1,03100 0,03189 0,501742 106,79% 1,03200
1.0310
0,03398 0,500303 113,80% 1,03300 0,03614
1.0321
0,498114 121,02% 1,03400 0,03836 0,4953
1.0332
13 128,46% 1,03500 0,04065 0,492014
1.0343
dónde
V = La coordenada de varianza. (Esto es igual a la desviación estándar
coordenada de ción al cuadrado.)
136,13% 1,0354
AHPR
1,03600 0,04301 0,488313 144,02% 1,0366
1,03700 0,04543 0,484287 152,13% 1,0376
1,03800 0,04792 0,480004 160,47% 1,0391
1,03900 0,05047 0,475517 169,03% 1,0404
1,04000 0,05309 0,470873 177,81% 1,0417
1,04100 0,05578 0,466111 186,81% 1,0430
1,04200 0,05853 0,461264 196,03% 1,0444
1,04300 0,06136 0,456357 205,48% 1,0456
1,04400 0,06424 0,451416 215,14% 1,0473
GHPR
1,04500 0,06720 0,446458 225,04% 1,0466
1,04600 0,07022 0,441499 235,15% 1,0503
1,04700 0,07330 0,436554 245,48% 1,0516
1,04800 0,07645 0,431634 256,04% 1,0534
Figura 7­2 La frontera eficiente con/sin reinversión
1,04900 0,07967 0,426747 266,82% 1,0550
1,05000 0,08296 0,421902 277,82% 1,0567
La siguiente columna, "porcentaje", representa qué porcentaje de
sus activos deben invertirse en la cartera tangente si se encuentra en el
Línea CML para esa coordenada de desviación estándar. En otras palabras, para el
La última entrada en la tabla, estar en la línea CML en el nivel de desviación estándar de
En la Figura 7­2 se puede ver la frontera eficiente correspondiente a la
HPR media aritmética así como la correspondiente a la media geométrica
HPR promedio. Puedes ver lo que sucede con la frontera eficiente cuando
se trata de reinversión.
Al graficar su línea GHPR, puede ver qué cartera es la óptima geométrica (el punto más
.08296, corresponde a tener el 277,82% de sus activos en la tangente.
alto de la línea GHPR). tu también podrías
cartera (es decir, estar totalmente invertido y pedir prestado otros $1,7782 para
determine esta cartera convirtiendo los AHPR y Vs de cada cartera a lo largo de la frontera
cada dólar ya invertido para invertir más). Este valor porcentual es
eficiente de AHPR en GHPR por ecuación (7.05).
calculado a partir de la desviación estándar de la cartera tangente como:
y vea cuál tuvo el GHPR más alto. Nuevamente, ese sería el óptimo geométrico. Sin embargo,
(7.02) P = SX/ST
dónde
SX = La coordenada de desviación estándar para un punto particular en la
Línea LMC.
ST = La coordenada de desviación estándar de la cartera tangente.
P = El porcentaje de sus activos que deben invertirse en la cartera tan­gent para estar
en la línea CML para un SX determinado.
Por lo tanto, la línea CML en la coordenada de desviación estándar .08296, la
última entrada en la tabla, se divide por la coordenada de desviación estándar de
la cartera tangente, 0,02986, con un rendimiento de 2,7782, o 277,82%.
La última columna de la tabla, la línea CML AHPR, es la AHPR de
la línea CML en la coordenada de desviación estándar dada. esto esta calculado
como:
(7.03) ACML = (AT*P)+((1+RFR)*(1­P))
dadas las AHPR y las V de las carteras que se encuentran a lo largo de la frontera eficiente
de AHPR, podemos discernir fácilmente cuáles
portafolio sería óptimo geométrico: el que resuelve lo siguiente
igualdad:
(7.06a) AHPR­1­V = 0
dónde
AHPR = El promedio aritmético de los HPR. Esta es la coordenada E de un
cartera dada en la frontera eficiente.
V = La varianza en HPR. Ésta es la coordenada V de una cartera determinada en la
frontera eficiente. Esto es igual a la desviación estándar.
al cuadrado.
La ecuación (7.06a) también se puede escribir como cualquiera de las siguientes
tres formas:
(7.06b) AHPR­1 = V
(7.06c) AHPR­V = 1
dónde
ACML = El AHPR de la línea CML en una coordenada de riesgo determinada, o
un porcentaje correspondiente calculado a partir de (7.02).
AT = AHPR en el punto tangente, calculado a partir de (7.01a).
P = El porcentaje en la cartera tangente, calculado a partir de (7.02)
RFR = La tasa libre de riesgo.
En ocasiones, es posible que desee conocer la desviación estándar de un cierto punto
en la línea CML para un AHPR determinado. Esta relación lineal
se puede obtener como:
(7.04) DE = P*ST
(7.06d) AHPR = V+1
Aquí corresponde hacer una breve nota sobre el portafolio óptimo geométrico.
La variación en una cartera generalmente está directa y positivamente correlacionada con
reducción en el sentido de que una mayor variación generalmente es indicativa de una cartera
con mayor reducción. Dado que la cartera geométrica óptima es que
cartera para la cual E y V son iguales (con E = AHPR­1), entonces podemos
Supongamos que la cartera geométrica óptima experimentará altas caídas. En
De hecho, cuanto mayor sea el GHPR de la cartera geométrica óptima, es decir, el
Cuanto más gane la cartera, mayor será su reducción en términos de
retrocesos de acciones, ya que el GHPR está directamente correlacionado positivamente
con la AHPR. Aquí nuevamente hay una paradoja. Queremos estar en el geométrico.
dónde
SD = Desviación estándar en un punto dado de la línea CML correspondiente a un
determinado porcentaje, P, correspondiente a un determinado AHPR.
P = El porcentaje en la cartera tangente, calculado a partir de
(7.02).
ST = La coordenada de desviación estándar de la cartera tangente.
cartera óptima. Sin embargo, cuanto mayor sea la media geométrica de una cartera, mayor
Mayores serán las reducciones en términos de porcentajes de retroceso del capital en
general. Por lo tanto, cuando realizamos el ejercicio de diversificación, debemos verlo como
un ejercicio para obtener la máxima geometría.
media en lugar de la reducción más baja, ya que los dos tienden a atraer
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direcciones del sitio! La cartera geométrica óptima es aquella en la que una línea trazada
desde (0,0), con pendiente 1, cruza la frontera eficiente AHPR.
La pregunta lógica es: "¿Cuántas operaciones deben transcurrir hasta que la TWR
geométrica supere la aritmética?" Recuerde la ecuación (2.09a), que nos indica el número
La figura 7­2 muestra las fronteras eficientes sobre la base de un solo comercio.
Es decir, son filas de lo que se puede esperar de una sola operación. Podemos convertir
de operaciones necesarias para alcanzar un objetivo específico: (2.09a) N =
ln(Objetivo)/ln(Media geométrica) donde
el HPR promedio geométrico a un TWR mediante la ecuación: (7.07)
GTWR = GHPR^N
N = El número esperado de operaciones para alcanzar un objetivo específico.
dónde
Objetivo = El objetivo en términos de un múltiplo de nuestra apuesta inicial, un TWR.
GTWR = El eje vertical correspondiente a un GHPR determinado después de N
operaciones.
GHPR = HPR promedio geométrico.
ln() = La función del logaritmo natural.
Dejamos que el AHPR en el mismo V que nuestra cartera geométrica óptima sea
nuestro objetivo y utilizamos la media geométrica de nuestra cartera geométrica óptima
N = El número de operaciones que deseamos observar.
en el denominador de (2.09a). Ahora podemos discernir cuántas operaciones se requieren
Por lo tanto, después de 50 operaciones, un GHPR de 1,0154 sería un GTWR de
para que nuestra cartera geométrica óptima coincida con una operación en la cartera
1,0154 A 50 = 2,15. En otras palabras, después de 50 operaciones esperaríamos que
aritmética correspondiente. Así: N = ln(l.031)/ln( 1.01542) =
nuestra participación hubiera crecido en un múltiplo de 2,15.
.035294/.0153023 = 1.995075
También podemos proyectar la frontera eficiente de las HPR promedio aritméticas
en ATWR como: (7.08) ATWR =
Por lo tanto, esperaríamos que 1,995075, o aproximadamente 2, operaciones para que
el GHPR óptimo sea tan alto como el AHPR correspondiente (el mismo V) después de una
operación.
1+N*(AHPR­1) donde
El problema es que el ATWR debe reflejar el hecho de que han transcurrido dos
ATWR = El eje vertical correspondiente a un AHPR determinado después de N
operaciones.
intercambios. En otras palabras, a medida que el GTWR se acerca al ATWR, el ATWR
también se mueve hacia arriba, aunque a un ritmo constante (en comparación con el
GTWR, que se está acelerando). Podemos relacionar este problema con las ecuaciones
AHPR = El HPR promedio aritmético.
(7.07) y (7.08), las TWR geométricas y aritméticas respectivamente, y expresarlo
N = El número de operaciones que deseamos observar.
matemáticamente: (7.09) GHPR^N => 1+N*(AHPR­1)
Por lo tanto, después de 50 operaciones, un HPR promedio aritmético de 1,03 habría
hecho 1+50*(1,03­1) = 1+50*0,03 = 1+1,5 = 2,5 veces nuestra apuesta inicial. Tenga en
cuenta que esto muestra lo que sucede cuando no reinvertimos nuestras ganancias en el
programa de operaciones. La ecuación (7.08) es la TWR que se puede esperar cuando se
opera con contratos constantes.
Como sabemos que cuando N = 1, G será menor que A, podemos reformular la
pregunta como "¿En cuántos N será G igual a A?" Matemáticamente esto es: (7.10a)
GHPR^N =
1+N*(AHPR­1)
ATWR
que se puede escribir como:
(7.10b) 1+N*(AHPR­1)­GHPR ^N = 0
o
(7.10c) 1+N*AHPR­N­GHPR^N = 0
o
(7.10d) N = (GHPR^N­1)/(AHPR ­1)
El N que resuelve (7.10a) a (7.10d) es el N que se requiere para que la HPR
geométrica sea igual a la aritmética. Las tres ecuaciones son equivalentes. La solución
debe llegarse por iteración. Tomando nuestra cartera geométrica óptima de un GHPR de
GTWR
1.01542 y un AHPR correspondiente de 1.031, si tuviéramos que resolver cualquiera de
las ecuaciones (7.10a) a (7.10d), encontraríamos la solución a estas ecuaciones en N =
83.49894 . Es decir, en 83,49894 operaciones transcurridas, la TWR geométrica superará
a la TWR aritmética para aquellas TWR correspondientes a una coordenada de varianza
de la cartera geométrica óptima.
Figura 7­3 La frontera eficiente con/sin reinversión
Así como la Figura 7­2 muestra los TWR, tanto aritméticos como geométricos, para
una operación, la Figura 7­3 los muestra para algunas operaciones posteriores. Observe
que la línea GTWR se acerca a la línea ATWR. En algún momento para N, la TWR
AHPR
geométrica superará a la TWR aritmética. La Figura 7­4 muestra los TWR aritméticos y
geométricos después de que hayan transcurrido más operaciones. Observe que lo
geométrico ha superado a la aritmética. Si siguiéramos con más y más operaciones, el
TWR geométrico seguiría superando a la aritmética. Finalmente, la TWR geométrica se
mi
vuelve infinitamente mayor que la aritmética.
ATWR
GHPR
Dakota del Sur
Figura 7­5 AHPR, GHPR y sus líneas CML.
Así como la AHPR tiene una línea CML, también la tiene la GHPR. La Figura 7­5
muestra tanto el AHPR como el GHPR con una línea CML para ambos calculados a partir
GTWR
de la misma tasa libre de riesgo.
La CML para el GHPR se calcula a partir de la CML para el AHPR
por la siguiente ecuación: (7.11)
CMLG = (CMLA^2­VT*P)^(1/2) donde
Figura 7­4 La frontera eficiente con/sin reinversión.
Machine Translated by Google
CMLG = La coordenada E (vertical) de la línea CML al GHPR
para una coordenada V dada correspondiente a P.
CMLA = La coordenada E (vertical) de la línea CML al AHPR
para una coordenada V dada correspondiente a P.
P = El porcentaje en la cartera tangente, calculado a partir de (7.02).
N = El número de valores que componen la cartera.
Xi = La ponderación porcentual del iésimo valor.
La ecuación también se puede escribir como:
(∑[i = 1,N]Xi) = l
Al permitir que el lado izquierdo de esta ecuación sea mayor que 1, obtenemos
VT = La coordenada de varianza del portafolio tangente.
puede encontrar la cartera óptima sin restricciones. La forma más fácil de hacer esto.
Debe saber que, para cualquier tasa libre de riesgo determinada, la cartera tangente
es agregar otro sistema de mercado, llamado efectivo sin intereses (NIC),
y la cartera geométrica óptima no son necesariamente (y normalmente no son) las mismas.
en la matriz aumentada inicial. Este sistema de mercado, NIC, tendrá
La única vez que estas carteras serán las mismas
un HPR diario promedio aritmético de 1,0 y una desviación estándar poblacional (así como
es cuando se satisface la siguiente ecuación:
varianza y covarianzas) en esos HPR diarios de 0.
Lo que esto significa es que cada día el HPR para NIC será 1,0. Los coeficientes de
(7.12) RFR = GHPROPT­1
correlación del NIC con cualquier otro sistema de mercado son siempre 0.
dónde
RFR = La tasa libre de riesgo.
GHPROPT = El HPR promedio geométrico del óptimo geométrico
portafolio. Esta es la coordenada E de la cartera en la frontera eficiente.
Ahora establecemos la suma de la restricción de pesos en algún valor arbitrario.
número alto, mayor que I. Un buen valor inicial es 3 veces el número
de los sistemas de mercado (sin NIC) que está utilizando. ya que tenemos 4
sistemas de mercado (sin contar los NIC) deberíamos establecer esta suma de
restricción de pesos a 4*3 = 12. Tenga en cuenta que en realidad no estamos levantando la
Sólo cuando el GHPR de la cartera geométrica óptima menos 1 es
restricción de que la suma de los pesos esté por debajo de algún número, estamos
igual a la tasa libre de riesgo será la cartera geométrica óptima y la
simplemente estableciendo esta restricción en un valor arbitrariamente alto. La diferencia
la cartera tangente a la línea CML sea la misma. Si RFR > GHPROPT­1,
entre este valor arbitrariamente alto y el resultado real de la suma de los pesos será el peso
entonces la cartera geométrica óptima estará a la izquierda de (tendrá menos varianza que)
asignado a NIC.
la cartera tangente. Si RFR < GHPROPT­1, entonces la cartera tangente estará a la
izquierda de (tendrá menos varianza que) la cartera geométrica óptima. Sin embargo, en
Sin embargo, realmente no vamos a invertir en NIC. Es simplemente una entrada nula
que estamos bombeando a través de la matriz para llegar a los pesos ilimitados de nuestros
todos los casos, la cartera tangente, por supuesto,
sistemas de mercado. Ahora, tomemos los parámetros.
Por supuesto, nunca tenga un GHPR más alto que el portafolio geométrico óptimo.
de nuestros cuatro sistemas de mercado del Capítulo 6 y agregue NIC también:
Tenga en cuenta también que el punto de tangencia de la CML al GHPR y
Inversión
Rendimiento esperado
como HPR
para el CML al AHPR está en la misma coordenada SD. podríamos usar
Estándar esperado
Ecuación (7.01a) para encontrar la cartera tangente de la recta GHPR sustituyendo el
Toxico 1.095 Incubeast
Desviación de retorno
.316227766
AHPR en (7.01a) por GHPR. La ecuación resultante es:
Corp. 1.13 LA Garb 1.21
Cuenta de Ahorros 1.085
.5 .632455532
NIC 1.00 Las covarianzas
entre los sistemas de
00
(7.01b) Cartera tangente = MAX{(GHPR­(1+RFR))/SD}
dónde
MAX() = El valor máximo.
mercado, con NIC incluido, son
GHPR = Los HPR promedio geométricos. Esta es la coordenada E de un
cartera dada en la frontera eficiente.
SD = Desviación estándar en HPR. Esta es la coordenada SD de
una cartera determinada en la frontera eficiente.
RFR = La tasa libre de riesgo.
como sigue:
TI
LSN
t
.1 ­.0237 .01 0 ­.0237
I
.25 .079 0 .079 .4 0 0 0
L .01 S 0
00
0
N0
0
CARTERAS SIN RESTRICCIONES
Ahora veremos cómo mejorar los rendimientos más allá de la línea GCML mediante
levantando la suma de la restricción de pesos. Volvamos a las carteras geométricas
0
0
0
0
0
Por lo tanto, cuando incluimos NIC, ahora estamos tratando con 5 sistemas de
mercado; por lo tanto, la forma generalizada de la matriz aumentada inicial
es:
óptimas. Si buscamos el portafolio geométrico óptimo entre nuestros
X1*U1+ X2*U2+ X3 *U3+ X4*U4+ X5*U5 = E
cuatro sistemas de mercado (Toxico, Incubeast, LA Garb y una cuenta de ahorros) lo
X1+ X2+ X3+ X4+ X5 = S
encontramos en E igual a 0,1688965 y V igual a 0,1688965, lo que se ajusta a las
ecuaciones (7.06a) a (7.06d). La media geométrica de
por lo tanto, dicha cartera sería 1,094268 y la composición de la cartera sería:
toxico
18,89891%
Incubeast
19,50386%
Traje de Los Ángeles
58,58387%
Cuenta de ahorros Al
.03014%
utilizar las ecuaciones (7.06a) a (7.06d), debe iterar hasta la
solución. Es decir, prueba un valor de prueba para E (a medio camino entre el valor más alto
y los AHPR más bajos, ­1 es un buen punto de partida) y resuelve la matriz
para esa E. Si su varianza es mayor que E, significa que el valor probado
de E era demasiado alto y deberías bajarlo para el próximo intento. Por el contrario, si su
X1*COV1,1+X2*COV1,2+X3*COV1,3+X4*COV1,4+X5*COV1,5+.5*L1*U1+.
5*L2 = 0
X1*COV2,1+X2*COV2,2+X3*COV2,3+X4*COV2,4+X5*COV2,5+.5*L1*U2+.
5*L2 = 0
X1*COV3,1+X2*COV3,2+X3*COV3,3+X4*COV3,4+X5*COV3,5+.5*L1*U3+.
5*L2 = 0
X1*COV4,1+X2*COV4,2+X3*COV4,3+X4*COV4,4+X5*COV4,5+.5*L1*U4+.
5*L2 = 0
X1*COV5,1+X2*COV5,2+X3*COV5,3+X4*COV5,4+X5*COV5,5+.5*L1*U5+.
5*L2 = 0
dónde
E = El rendimiento esperado de la cartera.
varianza es menor que E, debe aumentar E para el siguiente
S = La suma de la restricción de pesos.
aprobar. La varianza de la cartera se determina utilizando una de las ecuaciones (6.06a) a
COVA,B = La covarianza entre los valores A y B.
(6.06d). Continúas repitiendo el proceso hasta
Xi = La ponderación porcentual del iésimo valor.
Cualquiera de las ecuaciones (7.06a) a (7.06d) que elija utilizar, es
resuelto. Entonces habrás llegado a tu cartera geométrica óptima.
(Tenga en cuenta que todas las carteras analizadas hasta ahora, ya sea en la AHPR
frontera eficiente o la frontera eficiente de GHPR, se determinan restringiendo la suma de
los porcentajes, las ponderaciones, al 100% o 1,00).
Recuerde la ecuación (6.10), la ecuación utilizada en la ecuación aumentada inicial.
Ui = El rendimiento esperado del iésimo valor.
L1 = El primer multiplicador lagrangiano.
L2 = El segundo multiplicador lagrangiano.
Por lo tanto, una vez que hemos incluido NIC, nuestra matriz aumentada inicial
aparece de la siguiente manera:
matriz para encontrar las ponderaciones óptimas en una cartera. Esta ecuación dicta
X1 X2 X3 X4 X5 L1 L2 Respuesta
que la suma de los pesos sea igual a 1:
.095 .13 .21 .085 0 1 1 1 0
12
1
.1 ­.0237 .01 0 0 .095 1 0
(6.10) (∑[i = 1,N]Xi) ­1 = 0
dónde
mi
Machine Translated by Google
­.0237 .25 .079 0 .01
.079 .4 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0.13 1 0
0.21 1 0
0 .085 1 0
00
10
Tenga en cuenta que la columna de respuestas de la segunda fila, la suma de las
restricción de pesos, es 12, como lo determinamos multiplicando el
número de sistemas de mercado (sin incluir NIC) en 3.
Cuando utilice NIC, es importante que la incluya como
por último, el enésimo sistema de mercado de N sistemas de mercado, en la matriz aumentada
inicial.
Ahora, el objetivo es obtener la matriz identidad usando operaciones con renglones para
producir transformaciones elementales, como se detalló en el Capítulo
muchos corazones. En lugar de determinar el rendimiento esperado y la variación
en el rendimiento esperado del precio actual del componente, el rendimiento esperado
el rendimiento y la varianza de los rendimientos deben determinarse a partir del f óptimo,
en dólares, para el componente. En otras palabras, como entrada debes usar
la media aritmética HPR y la varianza de las HPR. Aquí el
Los HPR utilizados no deben ser de operaciones, sino de una duración de tiempo fija, como por ejemplo
días, semanas, meses, trimestres o años, como hicimos en el Capítulo 1 con
Ecuación (1.15).
(1.15) HPR diario = (A/B)+1
dónde
A = Dólares ganados o perdidos ese día.
6. Ahora puede crear una frontera eficiente AHPR sin restricciones y una
B = Dólares finitos óptimos.
frontera eficiente GHPR sin restricciones. La eficiencia AHPR sin restricciones
No necesariamente necesitamos usar días. Podemos utilizar cualquier duración de tiempo que deseemos.
La frontera actual representa el uso del apalancamiento pero no la reinversión.
La frontera eficiente de GHPR representa el uso del apalancamiento y la reinversión de
las ganancias. Idealmente, queremos encontrar el portafolio óptimo geométrico sin restricciones.
Este es el portafolio que resultará en el mayor crecimiento geométrico para nosotros. Podemos
usar las ecuaciones (7.06a) a (7.06d) para
resolver cuál de las carteras a lo largo de la frontera eficiente es geométrica
siempre y cuando sea el mismo período de tiempo para todos los componentes de la cartera (y
se utilice el mismo período de tiempo para determinar la correlación
coeficientes entre estos HPR de los diferentes componentes). decir el
Un sistema de mercado con una f óptima de 2.000 dólares generó 100 dólares en un día determinado.
Entonces el HPR para ese sistema de mercado para ese día es 1,05.
Si está calculando su f óptima basándose en datos ecualizados, debe
óptimo. Al hacerlo, encontramos que no importa qué valor intentemos resolver E
Utilice la ecuación (2.12) para obtener sus HPR diarios:
para (el valor en la columna de respuesta de la primera fila), obtenemos el mismo
(2.12) HPR diario = D$/f$+1
cartera compuesta únicamente por la cuenta de ahorros apalancada para darnos
cualquier valor para E que queramos. Esto da como resultado darnos nuestra respuesta; nosotros
obtenga la V más baja (en este caso cero) para cualquier E dada.
Lo que debemos hacer entonces es sacar la cuenta de ahorro de la matriz.
y empezar de nuevo. Esta vez intentaremos resolver sólo cuatro sistemas de mercado (Toxico,
Incubeast, LA Garb y NIC) y estableceremos la suma de los
pondera la restricción a 9. Siempre que tenga un componente en la matriz
con varianza cero y un AHPR mayor que 1, terminarás con el
cartera óptima ya que ese componente se apalanca para cumplir con el E requerido.
Ahora, resolviendo la matriz, encontramos las ecuaciones (7.06a) a (7.06d)
dónde
D$ = La ganancia o pérdida de dólares en 1 unidad del día anterior. Esto es
igual a (Cierre de esta noche­Cierre de anoche)*Dólares por punto
f$ = Los dólares finitos óptimos actuales, calculados a partir de
Ecuación (2.11). Aquí, sin embargo, la variable de precio actual es la última
La noche está cerca.
En otras palabras, una vez que haya determinado los dólares finales óptimos para
1 unidad de un componente, luego toma los cambios de capital diarios en un 1­
unidades y convertirlas a HPR según la ecuación (1.15) o, si no
satisfecho en E es igual a .2457. Dado que esta es la cartera geométrica óptima,
Al utilizar datos ecualizados, se puede utilizar la ecuación (2.12). Cuando se combinan sistemas
V también es igual a .2457. La media geométrica resultante es 1,142833. El
de mercado en una cartera, todos los sistemas de mercado deben ser
lo mismo en términos de si sus datos, y por lo tanto sus fs óptimos y
cartera es:
toxico
102,5982%
Incubeast
49,00558%
Traje de Los Ángeles
40,24979%
tarjeta de red
708,14643%
"Espera", dices. "¿Cómo se puede invertir más del 100% en determinados componentes?"
Volveremos a esto en un momento.
Si NIC no es uno de los componentes de la cartera geométrica óptima, entonces debe
hacer que la suma de las restricciones de ponderación, S, sea mayor.
subproductos, ha sido igualado o no.
Luego tomamos el promedio aritmético de los HPR. Restando 1
del promedio aritmético nos dará el rendimiento esperado de uso para
ese componente. Tomando la variación del diario (semanal, mensual, etc.)
Los HPR proporcionarán la entrada de varianza en la matriz. Por último, determinamos
los coeficientes de correlación entre las HPR diarias para cada par de sistemas de mercado
considerados.
Ahora aquí está el punto crítico. Carteras cuyos parámetros (rendimientos esperados,
varianza en los rendimientos esperados y coeficientes de correlación de los rendimientos
Debe seguir elevándolo hasta que NIC se convierta en uno de los componentes de la cartera
esperados) se seleccionan en función del precio actual.
óptima geométrica. Recuerde que si solo hay
del componente no producirán carteras verdaderamente óptimas. Para discernir el
dos componentes de una cartera, si el coeficiente de correlación entre
cartera verdaderamente óptima, debe derivar los parámetros de entrada en función de
ellos es ­1, y si ambos tienen una expectativa matemática positiva, obtendrás
intercambiando 1 unidad a la f óptima para cada componente. Usted no puede ser
estar obligado a financiar un número infinito de contratos. Esto es así porque
más en el pico de la curva f óptima que la f óptima misma: a la base
una cartera así nunca tendría un día de pérdidas. Ahora bien, cuanto menores sean los
los parámetros sobre el precio de mercado actual del componente es
coeficientes de correlación entre los componentes de la cartera, mayor
base sus parámetros de manera arbitraria y, como consecuencia, no necesariamente de manera
mayor será el porcentaje requerido a invertir en esos componentes. La diferencia entre los
óptima.
porcentajes invertidos y la suma.
Ahora volvamos a la pregunta de cómo invertir más de
de la restricción de pesos, S, debe ser cumplimentada por NIC. Si la NIC no aparece
100% en un determinado componente. Una de las premisas básicas de este libro es
en las asignaciones porcentuales para la cartera geométrica óptima,
que peso y cantidad no son lo mismo. La ponderación que usted
significa que la cartera se encuentra con una restricción en S y por lo tanto es
derivar de resolver una cartera geométrica óptima debe reflejarse
no el óptimo geométrico sin restricciones. ya que no vas a estar
nuevamente a las f óptimas de los componentes de la cartera. la manera de hacer
invertir realmente en NIC, no importa qué tan alto sea el porcentaje
esto es dividir las f óptimas para cada componente por su correspondiente
comandos, siempre y cuando esté listado como parte del portafolio óptimo geométrico.
peso. Supongamos que tenemos las siguientes f óptimas (en dólares):
CÓMO SE ADAPTA OPTIMAL F A LAS CARTERAS ÓPTIMAS
En el capítulo 6 vimos que debemos determinar un rendimiento esperado (como
un porcentaje) y una variación esperada en los rendimientos para cada componente en
un portafolio. Generalmente, los rendimientos esperados (y las variaciones) se determinan a
partir del precio actual de la acción. Un porcentaje óptimo
A continuación se determina (ponderación) para cada componente. La equidad de la
La cuenta se multiplica luego por la ponderación de los componentes para determinar la
toxico
$2,500
Incubeast
$4,750
Traje de Los Ángeles
$5,000
(Tenga en cuenta que, si está igualando sus datos y, por lo tanto, obteniendo una
f óptimo igualado y sus subproductos, entonces su fs óptimo en dólares será
cambian cada día según el precio de cierre del día anterior y la ecuación [2.11].)
Ahora dividimos estas f por sus respectivas ponderaciones:
toxico
$2.500/1,025982 = $2.436,69
por el precio actual por acción para determinar cuánto
Incubeast
$4,750/.4900558 = $9,692.77
muchas acciones para tener. Así es en general como son las estrategias de cartera.
Traje de Los Ángeles
$5,000/.4024979 = $12,422.43
número de dólares para asignar a ese componente, y esta asignación de dólares luego se divide
practicado actualmente. Pero no es óptimo. Aquí yace uno de los temas de este libro.
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Por lo tanto, al negociar con estos nuevos valores f "ajustados", estaremos en
la cartera óptima geométrica. En otras palabras, supongamos que Toxico representa un
tivo. La preponderancia de los días ligeramente negativos en ambos sistemas de mercado da
lugar erróneamente a una alta correlación positiva.
determinado sistema de mercado. Al negociar 1 contrato en este mercado
sistema por cada $2.436,69 de capital (y haciendo lo mismo con los demás
sistemas de mercado en sus nuevos valores f ajustados) estaremos en la cartera geométrica
óptima sin restricciones. Asimismo, si Toxico es una acción, y
Consideramos 100 acciones como "1 contrato", negociaremos 100 acciones de Toxico.
por cada l$2.436,69 del patrimonio de la cuenta. Por el momento, ignore completamente el
margen. Más adelante en el próximo capítulo abordaremos el potencial
problema de los requisitos de margen.
"Espera un momento", protestas. "Si se toma una cartera óptima y
cámbielo usando f óptima, debe demostrar que sigue siendo óptima.
Pero si se tratan los nuevos valores como una cartera diferente, deben caer en algún otro lugar
de la coordenada de retorno, no necesariamente en la frontera eficiente. En otras palabras, si
sigues reevaluando f, no puedes mantenerte óptimo,
¿puede?"
No vamos a cambiar los valores de f. Es decir, nuestros valores f (el número
de unidades puestas por tantos dólares en capital) siguen siendo las mismas. Somos
simplemente realizando un atajo a través de los cálculos, lo que hace que sea
Parece como si estuviéramos "ajustando" nuestros valores f. Derivamos nuestro óptimo
carteras basadas en los rendimientos esperados y la varianza en los rendimientos de negociar
1 unidad de cada uno de los componentes, así como en los coeficientes de correlación. De esta
manera derivamos ponderaciones óptimas (porcentajes óptimos de la cuenta con la que negociar
cada componente). Por lo tanto, si un sistema de mercado tuviera una
f óptima de $2000, y en una ponderación óptima de la cartera de 0,5, tendríamos
negociar el 50% de nuestra cuenta en el nivel f óptimo completo de $2,000 para esto
sistema de mercado. Esto es exactamente lo mismo si dijéramos que negociaremos al 100%.
de nuestra cuenta en el f óptimo dividido por la ponderación óptima
($2000/.5) de $4000. En otras palabras, vamos a negociar el f óptimo
UMBRAL A LA GEOMÉTRICA PARA PORTAFOLIOS
Ahora abordemos el problema de incorporar el umbral al
geométrico con la combinación de cartera óptima dada. Este problema es fácilmente
Se maneja simplemente dividiendo el umbral geométrico de cada componente por su ponderación
en la cartera óptima. Esto se hace exactamente
de la misma manera que los fs óptimos de los componentes se dividen por sus
ponderaciones respectivas para obtener un nuevo valor representativo del mix óptimo de cartera.
Por ejemplo, supongamos que el umbral geométrico de Toxico es 5.100 dólares. Dividir esto por
su ponderación en la combinación óptima de cartera de 1,025982 nos da un nuevo umbral
ajustado para el
geométrico de:
Umbral = $5100/1,025982 = $4970,85
Dado que la ponderación de Toxico es mayor que 1, tanto su f óptima
y su umbral a lo geométrico se reducirá, pues están divididos
por esta ponderación. En este caso, si no podemos intercambiar la unidad fraccionaria con
Toxico, y si comercializamos solo 1 unidad de Toxico, cambiaremos a
2 unidades solo cuando nuestro patrimonio llegue a $4,970.85.
Recuerde que nuestro nuevo valor f ajustado en la combinación óptima de cartera para
Toxico es $2,436.69 ($2,500/1.025982). Dado que el doble de esta cantidad es igual
$4.873,38, normalmente pasaríamos a negociar dos contratos en ese
punto. Sin embargo, nuestro umbral hacia lo geométrico, siendo mayor que el doble
la asignación f en dólares, nos dice que no hay ningún beneficio en cambiar a
negociando 2 unidades antes de que nuestro capital alcance el umbral del geométrico
de $4970.85.
Nuevamente, si está igualando sus datos y, por lo tanto, obteniendo una
de $2,000 por unidad sobre el 50% de nuestro capital, que a su vez es exactamente el
f óptimo igualado y sus subproductos, incluido el umbral geométrico, entonces su fs óptimo en
lo mismo que decir que vamos a negociar la f ajustada de $4,000 al 100%
dólares y sus umbrales geométricos cambiarán cada día, según el precio de cierre del día
de nuestro patrimonio.
anterior.
Los AHPR y SD que ingresa en la matriz se determinan
a partir de los valores óptimos de f en dólares. Si haces esto con acciones,
puede calcular sus valores para AHPR, SD y f óptima en una acción I o en una
Base de 100 acciones (o cualquier otra base que desee). Tu dictas el tamaño de uno
unidad.
En una situación no apalancada, como una cartera de acciones que no están
y Ecuación (2.11).
COMPLETANDO EL BUCLE
Una cosa que notará fácilmente sobre las carteras sin restricciones
(carteras para las cuales la suma de los pesos es mayor que 1 y NIC
aparece como un sistema de mercado en la cartera) es que la cartera es exactamente la misma
sobre margen, ponderación y cantidad son sinónimos. Sin embargo, en una situación apalancada
para cualquier nivel dado de E; la única diferencia es el grado de apalancamiento. Esto no es
situación, como una cartera de sistemas de mercado de futuros, ponderación y
cierto para las carteras que se encuentran a lo largo de la línea eficiente.
las cantidades son realmente diferentes. Ahora puede ver la idea introducida por primera vez en
frontera(s) cuando la suma de las ponderaciones está restringida). En otras palabras,
Fórmulas de gestión de cartera: que las cantidades óptimas
las proporciones de las ponderaciones de los diferentes sistemas de mercado entre sí
son lo que buscamos saber, y que esto es una función de ponderaciones óptimas.
son siempre los mismos para cualquier punto a lo largo de las fronteras eficientes no restringidas
(AHPR o GHPR).
Cuando calculamos los coeficientes de correlación de las HPR de dos
En los sistemas de mercado, ambos con una expectativa matemática aritmética positiva,
Por ejemplo, se pueden calcular los ratios de las diferentes ponderaciones entre los
diferentes sistemas de mercado en la cartera geométrica óptima. La proporción de Toxico a
encontramos una ligera tendencia hacia la correlación positiva. Esto se debe a que las curvas
Incubeast es 102,5982% dividida por
de capital (la suma acumulada de capital diario
49,00558%, lo que equivale a 2,0936. De este modo podemos determinar las proporciones de
cambios) ambos tienden a elevarse hacia arriba y hacia la derecha. Esto puede resultar molesto para
todos los componentes de esta cartera entre sí:
algunas personas. Una solución es determinar una línea de regresión de mínimos cuadrados.
a cada curva de capital (antes de la igualación, si se emplea) y luego tomar la
diferencia en cada punto en el tiempo en la curva de acciones y su regresión
línea. A continuación, convierta esta curva de acciones, ahora sin tendencia, a una curva diaria simple.
cambios en el capital (no acumulativos, es decir, el cambio diario en el valor sin tendencia)
Tóxico/Incubeast = 2.0936
Toxico/LA Garb = 2.5490
Incubeast/LA Garb = 1.2175
Ahora podemos volver a la cartera sin restricciones y resolver para
curva de acciones). Si está igualando los datos, entonces debería hacerlo en este
diferentes valores para E. Lo que sigue son las ponderaciones para los componentes de las
punto en la secuencia de los acontecimientos. Por último, calcula tus correlaciones en
carteras no restringidas que tienen las varianzas más bajas para
estos datos procesados.
los valores dados de E. Notarás que las proporciones de las ponderaciones de
Esta técnica es válida siempre que utilice las correlaciones de
cambios diarios en las acciones y no en los precios. Si utiliza precios, puede hacerse más daño
que bien. Muy a menudo los precios y las acciones cambian diariamente.
están vinculados, como ejemplo sería un cruce de media móvil a largo plazo
sistema.
Esta técnica de eliminación de tendencia siempre debe utilizarse con precaución. También,
Siempre se debe calcular el AHPR diario y la desviación estándar en HPR.
fuera de datos sin tendencia.
Un último problema que ocurre cuando eliminas la tendencia de tus datos.
con sistemas que comercian con poca frecuencia. Imagine dos sistemas de negociación intradía
que dan una operación por semana, ambas en días diferentes. El coeficiente de correlación
entre ellos puede ser sólo ligeramente positivo. Sin embargo, cuando eliminamos la tendencia
de sus datos, obtenemos una correlación positiva muy alta. esto por error
Esto sucede porque sus líneas de regresión aumentan un poco cada día. todavía en
la mayoría de los días el cambio de capital es cero. Por lo tanto, la diferencia es negativa.
los componentes son exactamente iguales:
E = .1 E = .3
Toxico .4175733 1.252726
Incubeast .1 994545 .5983566
LA Garb .1638171 .49145
Por lo tanto, podemos afirmar que las fronteras eficientes no restringidas son
la misma cartera con diferentes niveles de apalancamiento. Esta cartera, la
que se apalanca hacia arriba y hacia abajo con E cuando se levanta la restricción de la suma
de los pesos, es la cartera que tiene un valor de cero para el segundo
Multiplicador lagrangiano cuando la suma de los pesos es igual a 1.
Por lo tanto, podemos determinar fácilmente cuál será nuestra cartera óptima geométrica
sin restricciones. Primero, encontramos la cartera que tiene un
valor de cero para el segundo multiplicador lagrangiano cuando la suma de los
los pesos están restringidos a 1,00. Una forma de encontrar esto es mediante la iteración.
La cartera resultante será aquella cartera que se apalanca (o
hacia abajo) para satisfacer cualquier E dada en la cartera sin restricciones. ese valor
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para E que satisfaga cualquiera de las ecuaciones (7.06a) a (7.06d) será
los pesos están restringidos a 1,00 y no incluimos NIC, es exactamente el mismo que el
el valor de E que produce la cartera óptima geométrica sin restricciones.
ratio de Sharpe para nuestra geometría no restringida.
cartera óptima.
Otra ecuación que podemos usar para resolver qué cartera a lo largo
Restar 1 de nuestros AHPR nos da el rendimiento promedio aritmético de la cartera.
la frontera eficiente AHPR sin restricciones es geométricamente óptima es usar
Al hacerlo notamos que para obtener el mismo
el primer multiplicador lagrangiano que resulta en la determinación de una cartera
Para el rendimiento de la cartera tangente restringida como para la cartera óptima
a lo largo de cualquier punto particular de la frontera eficiente AHPR sin restricciones.
geométrica no restringida, debemos multiplicar la primera por 1,9195.
Recuerde del Capítulo 6 que uno de los subproductos al determinar la
.245694/.128 = 1.9195
La composición de una cartera por el método de matrices equivalentes por filas es
el primer multiplicador lagrangiano. El primer multiplicador lagrangiano representa la tasa
instantánea de cambio en la varianza con respecto al rendimiento esperado, con el signo
invertido. Un primer multiplicador lagrangiano igual a ­2 significa
que en ese momento la varianza estaba cambiando a esa tasa (­2) opuesta a la
retorno esperado, signo invertido. Esto daría como resultado una cartera que
óptimo geométrico.
Ahora si multiplicamos cada uno de los pesos de la tangente restringida
cartera, la cartera que obtenemos es prácticamente idéntica a la cartera óptima geométrica
sin restricciones:
Peso del componente * 1,9195 = Peso
Toxico .5344908 1.025955 Incubeast
.2552975 .4900436 LA Garb .2102117
.4035013
Se llegó al factor 1,9195 dividiendo el rendimiento de la cartera óptima geométrica no
(7.06e) L1 = ­2
dónde
L1 = El primer multiplicador lagrangiano de una cartera determinada a lo largo del
frontera eficiente AHPR sin restricciones.2
Ahora se vuelve interesante a medida que unimos estos conceptos. La cartera que
se apalanca hacia arriba y hacia abajo en las fronteras eficientes sin restricciones
(aritmética o geométrica) es la cartera tangente a la línea CML que emana de un RFR de
0 cuando la suma de las ponderaciones se limita a
restringida por el rendimiento de la cartera restringida.
cartera tangente. Sin embargo, normalmente querremos encontrar la cartera óptima
geométrica sin restricciones conociendo sólo la cartera tan­gente restringida. Aquí es
donde entra en juego la q óptima.3 Si asumimos una RFR
de 0, podemos determinar el q óptimo en nuestra cartera tangente restringida como:
(7.13) q = (E­RFR)/V = (. 128­0)7.066683 = 1.919529715
Algunas notas sobre el RFR. Para empezar, siempre debemos asumir
1,00 y no se emplea NIC.
Por lo tanto, también podemos encontrar el óptimo geométrico no restringido.
cartera encontrando primero la cartera tangente a un RFR igual a 0
donde la suma de los pesos está restringida a 1,00, entonces aprovechar esto
cartera hasta el punto donde es el óptimo geométrico. Pero ¿cómo puede
determinamos cuánto apalancar esta cartera restringida para que sea
¿El equivalente de la cartera óptima geométrica sin restricciones?
Recuerde que la cartera tangente se encuentra tomando la cartera
a lo largo de la frontera eficiente restringida (aritmética o geométrica) que tiene
el ratio de Sharpe más alto, que es la ecuación (7.01). Ahora hacemos palanca en esto
cartera y multiplicamos los pesos de cada uno de sus componentes por un
variable denominada q, que puede aproximarse mediante:
(7.13) q = (E­RFR)/V
dónde
un RFR de 0 cuando se trata de contratos de futuros. Ya que somos
En realidad, no pedir prestado ni prestar fondos para apalancar nuestra cartera o
hacia abajo, hay efectivamente una RFR de 0. Sin embargo, con las acciones la historia
es diferente. El RFR que utilice debe determinarse con este hecho en
mente. Es muy posible que el apalancamiento que emplee no requiera que usted
utilice un RFR distinto de 0.
A menudo utilizará AHPR y variaciones para carteras que
se determinaron utilizando HPR diarias de los componentes. En esos casos,
deberás ajustar el RFR de una tasa anual a una diaria. esto es bastante
fácil de lograr. Primero, debe estar seguro de que esta tasa anual es
lo que se llama tasa de interés mutua efectiva. Las tasas de interés generalmente se
expresan como porcentajes anuales, pero frecuentemente estos porcentajes anuales son
lo que se conoce como tasa de interés anual nominal. Cuando
El interés se capitaliza semestralmente, trimestralmente, mensualmente, etc., el
E = El rendimiento esperado (aritmético) de la cartera tangente.
El interés ganado durante un año es mayor que si se capitalizara anualmente (el
RFR = La tasa libre de riesgo a la que suponemos que puede pedir prestado o
la tasa nominal se basa en una capitalización anual). Cuando el interés se compone con
préstamo.
más frecuencia que anualmente, una tasa de interés anual efectiva
puede determinarse a partir del tipo de interés nominal. Es el tipo de interés efectivo
V = La varianza en la cartera tangente.
anual el que nos preocupa y el que utilizaremos en nuestros cálculos. Para convertir el
La ecuación (7.13) en realidad es una aproximación muy cercana a la situación real.
tipo nominal a tipo efectivo podemos utilizar:
óptimo q.
(7.14) E = (1+R/M)^M­1
Un ejemplo puede ayudar a ilustrar el papel del q óptimo. Recordemos que nuestro
dónde
La cartera óptima geométrica sin restricciones es la siguiente:
E = La tasa de interés anual efectiva.
Peso del componente
Toxico 1.025955 Incubeast
R = El tipo de interés nominal anual.
.4900436 LA Garb
M = El número de períodos de capitalización por año.
.4024874
Descubrimos que esta cartera tiene un AHPR de 1,245694 y una varianza de
.2456941. A lo largo del resto de esta discusión asumiremos
En aras de la simplicidad, un RFR de 0. (Por cierto, la relación de Sharpe de este
cartera, (AHPR­(1+RFR))/SD, es .49568.)
Supongamos que la tasa de interés nominal anual es del 9% y supongamos que
que se capitaliza mensualmente. Por lo tanto, la correspondiente efectiva
La tasa de interés anual es:
(7.14) E = (1+.09/12)^12­1 = (1+.0075)^12­1 = 1.0075^12­1 =
1.093806898­1 = .093806898
Ahora, si introdujéramos los mismos rendimientos, varianzas y coeficientes de
correlación de estos componentes en la matriz y resolviéramos
qué cartera era tangente a un RFR de 0 cuando la suma de las ponderaciones
está restringido a 1,00 y no incluimos NIC, obtendríamos el
siguiente portafolio:
Peso del componente
Toxico .5344908 Incubeast
Por lo tanto, nuestra tasa de interés efectiva anual es de poco más del 9,38%.
Ahora bien, si calculamos nuestros HPR en función de los días laborables, podemos afirmar que
hay 365,2425/7*5 = 260,8875 días laborables, en promedio, en un año. Dividir 0,093806898
por 260,8875 nos da una RFR diaria de
.0003595683887.
Si determinamos que en realidad estamos pagando intereses para apalancar nuestro
.2552975 LA Garb
cartera hacia arriba, y queremos determinar a partir de la tangente restringida
.2102117
Para determinar cuál es el portafolio óptimo geométrico sin restricciones, simplemente
Esta cartera en particular tiene un AHPR de 1,128, una variación de
.066683 y un índice de Sharpe de .49568. Es interesante notar que el
ingresamos el valor del RFR en el índice de Sharpe, ecuación (7.01).
y el q óptimo, ecuación (7.13).
Ahora para cerrar el círculo. Suponga que determina que el RFR para
Ratio de Sharpe de la cartera tangente, una cartera para la cual la suma de
su cartera no es 0 y desea encontrar la cartera geométrica óptima sin tener que encontrar
2
Así, podemos afirmar que la cartera geométrica óptima es aquella cartera que,
cuando la suma de los pesos está restringida a 1, tiene un segundo multiplicador lagrangiano
igual a 0, y cuando no está restringido tiene un primer multiplicador lagrangiano de ­2.
Dicha cartera también tendrá un segundo multiplicador lagrangiano igual a 0 cuando
sin restricciones.
primero la cartera restringida tangente a
su RFR aplicable. ¿Puedes ir directamente a la matriz, establecer la suma?
3
Latane, Henry y Donald Tuttle, "Criteria for Portfolio Building", revista de
Finance 22, septiembre de 1967, págs. 362363.
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de las ponderaciones a un número arbitrariamente alto, incluir NIC y encontrar
la cartera óptima geométrica sin restricciones cuando el RFR es mayor que 0?
Sí, esto se logra fácilmente restando el RFR de los rendimientos esperados de
cada uno de los componentes, pero no del NIC (es decir, el rendimiento
esperado para el NIC permanece en 0, o un HPR promedio aritmético de 1,00).
Ahora, al resolver la matriz se obtendrá la cartera óptima geométrica sin
restricciones cuando el RFR sea mayor que 0.
Dado que la frontera eficiente sin restricciones es la misma cartera con
diferentes niveles de apalancamiento, no se puede colocar una línea CML en
la frontera eficiente sin restricciones. Sólo puede colocar líneas CML en las
fronteras eficientes de AHPR o GHPR si están restringidas (es decir, si la
suma de los pesos es igual a 1). No es lógico colocar líneas CML en las
fronteras eficientes sin restricciones de AHPR o GHPR.
Hemos visto numerosas formas de llegar al portafolio geométrico óptimo.
Para empezar, podemos encontrarlo empíricamente, como se detalló en
Fórmulas de gestión de carteras y se resumió en el Capítulo 1 de este texto.
Hemos visto cómo encontrarlo de forma paramétrica en este capítulo, firme
desde varios ángulos diferentes, para cualquier valor de la tasa libre de riesgo.
Ahora que sabemos cómo encontrar el portafolio geométrico óptimo
debemos aprender a usarlo en la vida real. La cartera geométrica óptima nos
dará el mayor crecimiento geométrico posible. En el próximo capítulo
analizaremos técnicas para utilizar esta cartera dentro de determinadas
restricciones de riesgo.
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negociar 20 contratos. Si estuvieras usando la estrategia de la mitad recta f; tú
Capítulo 8 ­ Gestión de riesgos
Ahora sabemos cómo encontrar las carteras óptimas mediante numerosos métodos
terminaría con el mismo número de contratos el primer día. A la mitad f,
negociaría 1 contrato por cada $5,000 en capital de la cuenta
($2,500/.5), y usaría el capital total de la cuenta de $100,000 para calcular cuántos contratos
diferentes. Además, ahora tenemos un conocimiento profundo de
negociar. Por lo tanto, bajo la estrategia de la mitad f,
la geometría de las carteras y la relación de cantidades óptimas
También negociarías 20 contratos ese día.
y ponderaciones óptimas. Ahora podemos ver que la mejor manera de operar con cualquier
Sin embargo, tan pronto como cambia el patrimonio en las cuentas, el número
La cartera de cualquier instrumento subyacente está en el nivel geométrico óptimo. Hacerlo
de contratos también intercambiará cambios. Asume ahora que haces
sobre la base de la reinversión de los rendimientos maximizará el ratio.
$5,000 al día siguiente, elevando así el valor total de la cuenta a
de ganancia esperada a riesgo esperado
En este capítulo analizamos cómo utilizar estos óptimos geométricos.
carteras dentro de las restricciones de riesgo que especificamos. Así, cualquiera que sea
$105.000. Con la estrategia de la mitad f, ahora estará negociando 21 contratos. Sin embargo,
con la técnica de división de acciones, debes restar el
monto inactivo ahora constante de $ 50,000 de su patrimonio total de
vehículos que estamos intercambiando, podemos alinearnos en cualquier lugar que deseemos
$105.000. Esto deja una porción de capital activo de $55,000, de la cual
en el espectro de riesgo. De esta manera obtendremos la tasa máxima de
calculará el tamaño de su contrato en el nivel f óptimo de 1 contrato para
Crecimiento geométrico para un nivel de riesgo dado.
cada $2,500 en capital. Por lo tanto, con la técnica del split­equity, usted
Ahora buscará negociar 22 contratos.
ASIGNACIÓN DE ACTIVOS
Debe tener en cuenta que la cartera óptima obtenida por este
La técnica paramétrica siempre será casi, si no exactamente, la misma que la
el portafolio que se obtendría usando una técnica empírica
como el que se detalla en el primer capítulo o en Fórmulas de gestión de cartera.
Como tal, podemos esperar enormes caídas en toda la cartera en términos de retroceso
de acciones. Nuestra única protección contra esto es
diluir un poco la cartera. Lo que esto equivale es a combinar la
cartera óptima geométrica con el activo libre de riesgo de alguna manera.
A esto lo llamamos asignación de activos. El grado de riesgo y seguridad de cualquier inversión
no es función de la inversión en sí, sino más bien de la asignación de activos.
Incluso las carteras de acciones de primera línea, si se negocian a su precio sin restricciones,
Los niveles geométricos óptimos de cartera mostrarán enormes caídas.
Sin embargo, estas acciones de primera línea deben negociarse a estos niveles para maximizar
ganancia geométrica potencial en relación con la dispersión (riesgo) y también prevén
alcanzar una meta en el menor tiempo posible. Cuando se ve desde tal
perspectiva, negociar acciones de primera línea es tan riesgoso como panceta de cerdo, y la carne de cerdo
Los vientres no son menos conservadores que las acciones de primera línea. Lo mismo puede ser
dicho de una cartera de sistemas de comercio de productos básicos y una cartera de
cautiverio.
El objetivo ahora es alcanzar el nivel deseado de potencial geométrico.
ganancia por dispersión (riesgo) combinando el activo libre de riesgo con cualquier
es lo que estamos negociando, ya sea una cartera de acciones, bonos o sistemas de comercio de
materias primas de primera línea.
Cuando negocia una cartera a una fracción f sin restricciones, está en
la frontera eficiente de GHPR sin restricciones, pero a la izquierda del punto óptimo geométrico:
el punto que satisface cualquiera de las ecuaciones (7.06a)
hasta (7.06e). Por lo tanto, tiene menos ganancia potencial en relación con la dispersión que
si estuviera en el punto geométrico óptimo. Esto es
una forma de combinar una cartera con el activo libre de riesgo.
Otra forma de practicar la asignación de activos es dividiendo su
capital en dos subcuentas, una subcuenta activa y una subcuenta inactiva. Estas no son dos
cuentas separadas, más bien son una forma de
dividir una sola cuenta en teoría. La técnica funciona de la siguiente manera.
Primero, debes decidir sobre un nivel fraccionario inicial. Supongamos que, inicialmente, desea
emular una cuenta en el nivel medio f. tu inicial
El nivel fraccionario es .5 (el nivel fraccionario inicial debe ser mayor que cero).
y menos de 1). Esto significa que dividirás tu cuenta, con la mitad del
el capital de su cuenta va a la subcuenta inactiva y la mitad va a
en la subcuenta activa. Suponga que está comenzando con $100,000
cuenta. Inicialmente, $50,000 están en la subcuenta inactiva y $50,000 están en
en la subcuenta activa. Es el capital de la subcuenta activa lo que
se utiliza para determinar cuántos contratos negociar. Estas subcuentas
no son reales; son una construcción hipotética que estás creando para
administre su dinero de manera más efectiva. Siempre usas el óptimo completo.
fs con esta técnica. Cualquier cambio en el patrimonio se refleja en el activo
porción de la cuenta. Por lo tanto, cada día debes mirar el patrimonio total de la cuenta
(patrimonio cerrado más patrimonio abierto, marcando las Posiciones abiertas).
al mercado), y restar el importe inactivo (que permanecerá constante día a día). La diferencia
es su patrimonio activo, y está en
esta diferencia que usted calculará cuántos contratos negociar en el
niveles f completos. Supongamos ahora que la f óptima para el sistema de mercado A es 'hacer
Negocie 1 contrato por cada $2,500 en el capital de la cuenta. entras en el
primer día con $50,000 en capital activo y, por lo tanto, buscará
El procedimiento funciona de la misma manera en el lado negativo del capital.
curva, con la técnica de división de acciones eliminando contratos a un ritmo más rápido
tasa que la estrategia f fraccionaria. Suponga que pierde $5,000 en el
primer día de operaciones, lo que sitúa el capital total de la cuenta en 95.000 dólares. Con el
estrategia f fraccionaria, ahora buscaría negociar 19 contratos
($95.000/$5.000). Sin embargo, con la técnica de división de acciones ahora
te queda $45,000 de capital activo y, por lo tanto, buscarás operar con 18
contratos ($45,000/$2,500).
Observe que con la técnica del capital dividido, la fracción exacta de f óptima que estamos
usando cambia con los cambios del capital. especificamos
la fracción por la que queremos empezar. En nuestro ejemplo utilizamos una fracción inicial de
0,5. Cuando el patrimonio aumenta, esta fracción del f óptimo también aumenta, acercándose
a 1 como límite a medida que se acerca el patrimonio de la cuenta.
infinidad. En el lado negativo, esta fracción se aproxima a 0 como límite en el
nivel en el que el patrimonio total de la cuenta es igual a la porción inactiva.
El hecho de que el seguro de cartera esté integrado en la técnica de división de acciones es
un beneficio tremendo y se discutirá detalladamente más adelante en este capítulo.
Debido a que la técnica de capital dividido tiene una fracción para f que se mueve, nos
referimos a ella como una estrategia dinámica fraccional ѓ, a diferencia de la estrategia directa.
Estrategia f fraccionaria (f fraccionaria estática ).
La estrategia estática fraccional f lo coloca en algún lugar de la línea CML
a la izquierda de la cartera óptima si está utilizando una cartera restringida. A lo largo de la
vida de la cuenta, independientemente de los cambios en el patrimonio, el
La cuenta permanecerá en ese punto de la línea CML. Si está utilizando una cartera sin
restricciones (como debería hacerlo correctamente), estará en la frontera eficiente sin
restricciones (ya que no hay líneas CML con carteras sin restricciones) en algún punto a la
izquierda de la cartera óptima. Como
Si el capital de la cuenta cambia, usted permanece en el mismo punto de la frontera eficiente
sin restricciones.
Con la técnica dinámica fraccional f, comienzas en estos mismos
puntos para las carteras restringidas y no restringidas. Sin embargo, como el
El capital de la cuenta aumenta, la cartera se mueve hacia arriba y hacia la derecha, y a medida que
el capital disminuye, la cartera se mueve hacia abajo y hacia la izquierda. Los límites están en
el pico de la curva a la derecha donde la fracción de f es igual
1, y a la izquierda en el punto donde la fracción es igual a 0.
Con el método f estático de asignación de activos, la dispersión permanece
constante, ya que la fracción de fusionado óptimo es constante. Desafortunadamente,
esto no es cierto con la técnica f fraccionaria dinámica. Aquí, a medida que aumenta el
patrimonio de la cuenta, también lo hace la dispersión como fracción de f óptima
aumentos utilizados. El límite superior de esta dispersión es la dispersión a plena
f cuando el patrimonio de la cuenta se acerca al infinito. En el lado negativo, la dispersión
disminuye rápidamente a medida que la fracción de f óptima utilizada se acerca a cero.
a medida que el patrimonio total de la cuenta se acerca al patrimonio de la subcuenta inactiva.
Aquí, el límite inferior de la dispersión es cero.
Usar la técnica dinámica fraccional f es análogo a negociar con un
cuenta completa en los niveles f óptimos, donde el tamaño inicial de la cuenta
es la porción de capital activo. Entonces vemos que hay dos formas de diluir.
una cuenta hacia abajo de la cartera óptima geométrica completa, dos formas de
ejercer la asignación de activos. Podemos operar con una fraccionaria estática o una dinámica.
fraccionario f. El fraccionario dinámico también tendrá varianza dinámica, una
ligeramente negativo, pero también prevé seguros de cartera (más sobre esto
más tarde). Aunque las dos técnicas están relacionadas, también puedes ver que
difieren. ¿Cuál es el mejor? Supongamos que tenemos un sistema en el que el HPR aritmético
diario promedio es 1,0265. La desviación estándar en estos HPR diarios es 0,1211, por lo que
la media geométrica es 1,019. Ahora, miramos el
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números para una f fraccionaria estática de .2 y una f fraccionaria estática de .1 usando las
TWR = .8+(1.01933^322.6902)*.2
ecuaciones (2.06) a (2.08): (2.06) FAHPR
= .8+482.0659576*.2
= (AHPR­1)*FRAC+1 (2.07) FSD = SD*FRAC
= 97.21319
(2.08 ) FGHPR = (FAHPR^2­
Esto representa ganar más del 9,600 % en el tiempo que le tomó a la estática generar el
100 %.
FSD^2)^1/2
dónde
Ahora podemos modificar la ecuación (2.09a) para acomodar las estrategias f estáticas
FRAC = La fracción de f óptima que estamos resolviendo AHPR =
El HPR promedio aritmético en la f óptima, SD = La desviación
estándar en HPR en la f óptima.
y dinámicas fraccionarias para determinar la longitud esperada requerida para lograr un
objetivo específico como TWR. Para empezar, para el fraccional estático f, podemos crear la
ecuación (2.09b): (2.09b) N = ln(Objetivo)/ln(A) donde
FAHPR = El HPR promedio aritmético en el fraccionario f.
FSD = La desviación estándar en HPR en la f fraccionaria, FGHPR = La
HPR promedio geométrica en la f fraccionaria.
Los resultados entonces son:
Completo f .2 f
.1 f
AHPR 1.0265 1.0053 1.00265 SD .1211
N = El número esperado de operaciones para alcanzar un objetivo específico.
Objetivo = El objetivo en términos de un múltiplo de nuestra apuesta inicial, un TWR.
A = La media geométrica ajustada. Esta es la media geométrica, ejecutada a través de
la ecuación (2.08 para determinar la media geométrica para un fraccional estático f dado.
.02422 .01211 GHPR 1.01933 1.005
1.002577
Ahora recuerde la ecuación (2.09a), el tiempo esperado para alcanzar una meta
ln() = La función del logaritmo natural. Para una f fraccionaria dinámica, tenemos la
ecuación (2.09c): (2.09c) N =
ln(((Objetivo­1)/ACTV)+l)/ln(Media geométrica)
específica: (2.09a) N = ln(Meta)/1n(Media geométrica)
donde
dónde
N = El número esperado de operaciones para alcanzar un objetivo específico.
N = El número esperado de operaciones para alcanzar un objetivo específico.
Objetivo = El objetivo en términos de un múltiplo de nuestra apuesta inicial, un TWR.
Carbón = El objetivo en términos de un múltiplo de nuestra apuesta inicial, un TWR. ln()
ACTV = El porcentaje de capital activo.
= La función del logaritmo natural.
Ahora, comparamos la negociación con la estrategia f fraccionaria estática ­2, con una
Media geométrica = Esta es simplemente la media geométrica bruta, no se realiza ningún
ajuste como en (2.09b). ln() = La función del logaritmo natural.
media geométrica de 1,005, con la estrategia f fraccionaria dinámica .2 (20% como capital
activo inicial) con una media geométrica diaria de 1,01933. El tiempo (número de días desde
que las medias geométricas son diarias) requerido para duplicar el fraccionario estático f está
dado por la ecuación (2.09a) como: ln(2)/ln( 1.005) = 138.9751 Para
duplicar el fraccionario dinámico f
se requiere establecer el gol al 6.
Esto se debe a que si inicialmente tiene el 20% del capital en el trabajo y comienza con una
cuenta de $100,000, inicialmente tendrá $20,000 en el trabajo. El objetivo es hacer que el
capital activo sea igual a $120,000. Dado que el capital inactivo permanece en $80 000, tendrá
Para ilustrar el uso de (2.09c), supongamos que queremos determinar cuánto tiempo le
tomará a una cuenta duplicarse (es decir, TWR = 2) con .1 patrimonio activo y una media
geométrica de 1.01933: (2.09) N =
ln( ((Objetivo­1)/ACTV)+l)/ln(Media Geométrica)­ln(((2­ 1)/.l)+l)/ln(1.01933) =
ln((1/.1)+1 )/ln(1,01933) =
ln( 10+l)/ln( 1,01933) = ln(11)/
ln( 1,01933)
un total de $200 000 en su cuenta. Por lo tanto, para hacer que una cuenta de $20 000 crezca
a $120 000 significa que necesita lograr un TWR de 6. Por lo tanto, el objetivo es 6 para
duplicar una f fraccionaria dinámica de 0,2: 1n(6)/ln(1,01933) = 93,58634
= 2,397895273/.01914554872
= 125,2455758
Por lo tanto, si nuestra media geométrica se determina diariamente, podemos esperar
duplicarla en aproximadamente un 125% de días. Si nuestra media geométrica se determina
Observe que tomó 93 días para la f fraccionaria dinámica versus 138 días para la f
fraccionaria estática.
Ahora mira la fracción .1. El número de días esperados para el pedido.
operación por operación, podemos esperar duplicarnos en aproximadamente el 125% de las
operaciones. Siempre que se trate de un N lo suficientemente grande como para que (2.09c)
sea menor que (2.09b), entonces se estará beneficiando del comercio dinámico con f fraccional.
para que la técnica estática se duplique es:
ln(2)/ln( 1.002577) = 269.3404
Compare esto con duplicar una f fraccionaria dinámica que inicialmente está establecida
en .1 activa. Necesita lograr un TWR de 11, por lo que el número de días necesarios para la
estrategia f fraccional dinámica comparativa es: ln(11)/ln( 1,01933) = 125,2458
TWR
En última instancia, la
dinámica hace infinitamente más
que la estrategia f fraccional
dinámica
estática para el mismo nivel inicial de riesgo.
Duplicar el patrimonio de la cuenta al nivel 0,1 de f fraccional lleva 269 días para nuestro
ejemplo estático, en comparación con 125 días para el dinámico.
Cuanto menor sea la fracción de f, más rápido la dinámica superará a la técnica estática.
Ahora eche un vistazo a triplicar el f fraccionario de 0,2. El número de días que la técnica
estático
estática espera triplicar es: ln(3)/ln( 1.005) = 220.2704
Esto se compara con su contraparte
dinámica, que requiere: ln(11)/ln(
Hora ­­>
1,01933) = 125,2458 días
Para obtener un beneficio del 400% (es decir, una meta o TWR de 5) se requiere de la
técnica estática .2:
ln(5)/ln( 1,005) = 322,6902 días
Que se compara con su contraparte dinámica: ln(21)/
ln( 1,01933) = 159,0201 días
La técnica dinámica toma casi la mitad de tiempo que la estática para enseñar la meta
del 400% en este ejemplo. Sin embargo, si nos fijamos en el tiempo de 322,6902 días donde
la técnica estática se duplicó, la técnica dinámica estaría en una TWR de:
Figura 8­1 Fraccionado estático versus dinámico f.
La Figura 8­1 demuestra la relación entre el comercio con una estrategia f fraccional
estática versus dinámica a lo largo del tiempo. Cuanto más tiempo transcurre, mayor será la
diferencia entre la estrategia f fraccionaria estática y la f fraccionaria dinámica. Asintóticamente,
la estrategia dinámica fraccional f proporciona una riqueza infinitamente mayor que su
contraparte estática.
A largo plazo, es mejor practicar la asignación de activos mediante una técnica dinámica
fraccional f. Es decir, se determina un nivel inicial, un porcentaje, para destinar como patrimonio
activo. El resto es patrimonio inactivo.
Los cambios diarios en el capital se reflejan únicamente en la parte activa.
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El monto en dólares inactivos permanece constante. Por lo tanto, cada día usted resta el
Este enfoque también hace una distinción entre una reducción de sangre y una
monto constante en dólares inactivos del capital total de su cuenta. Esta diferencia es la
reducción de cola dietética. Por ejemplo, si un operador decide que un retroceso de capital
porción activa, y es en esta porción activa donde usted calculará las cantidades para
del 25% es lo máximo que inicialmente le gustaría esperar, inicialmente debe dividir la
intercambiar en función de los niveles f óptimos.
cuenta en un 75% inactivo y un 2,5% activo. Supongamos que el operador comienza con
una cuenta de $100,000. Por lo tanto, inicialmente $25 000 están activos y $75 000 están
Con el tiempo, si las cosas le van bien, su porción activa eclipsará a su porción
inactiva y tendrá el mismo problema de variación excesiva y reducción potencial que
inactivos.
Ahora supongamos que la cuenta llega a $200,000. El comerciante todavía tiene $75,000
habría tenido inicialmente en el nivel f óptimo completo. Ahora discutiremos cuatro maneras
inactivos, pero ahora la porción activa es de hasta $125,000. Dado que él o ella está
de tratar este "problema". No existen líneas finas que delineen estos cuatro métodos y es
negociando el monto total f en estos $125,000, es muy posible perder una buena parte, si
posible combinar métodos para satisfacer sus necesidades específicas.
no toda esta cantidad, al entrar en una reducción históricamente típica en este punto. Tal
reducción representaría un retroceso de capital superior al 25%, aunque la cantidad del
capital inicial inicial que se perdería sería del 25% si el valor total de la cuenta cayera a
REASIGNACIÓN: CUATRO MÉTODOS
Primero, unas palabras sobre el activo libre de riesgo. A lo largo de este capítulo, el
activo libre de riesgo se ha tratado como si fuera simplemente efectivo o equivalentes
casi de efectivo, como letras del Tesoro o fondos del mercado monetario (suponiendo
que no hay riesgo en ninguno de ellos).
El activo libre de riesgo también puede ser cualquier activo que el inversor crea que
no tiene riesgo, o un riesgo tan insignificante que sea inexistente. Esto puede incluir bonos
los 75.000 dólares inactivos.
Por lo tanto, una cuenta que comienza con un porcentaje más bajo de capital activo
podrá reasignarse antes que una cuenta que opere en los mismos sistemas de mercado
y comience con un porcentaje más alto de capital activo.
Por lo tanto, la cuenta que comienza con un porcentaje más bajo de capital activo no sólo
tiene una reducción potencial menor en el margen inicial, sino que también, dado que el
operador puede reasignar antes, es menos probable que entre en proporciones incómodas
gubernamentales y corporativos a largo plazo. Pueden ser bonos con cupón o ceros. Los
de capital activo e inactivo (asumiendo un aumento de capital) que si comenzara con un
tenedores pueden incluso emitir opciones de compra sobre estos activos libres de riesgo
para mejorar aún más sus rendimientos.
porcentaje de capital activo inicial más alto.
Muchos programas comerciales emplean bonos cupón cero como activos libres de
riesgo. Por cada dólar invertido en dicho programa, se compra en la cuenta un dólar de
Como operador, también se enfrenta a la cuestión de cuándo reasignar, ya sea que
esté utilizando el método crudo de utilidad para el inversor o uno de los métodos más
sofisticados que se describirán a continuación. Debe decidir de antemano en qué punto
bonos de cupón cero con valor nominal. Un bono así, si venciera en, digamos, cinco años,
de su capital, tanto al alza como a la baja, desea reasignar. Por ejemplo, puede decidir
seguramente costaría menos de un dólar. La diferencia entre el valor nominal en dólares
del bono y su costo real es el rendimiento que generará el bono durante su vida restante.
que si obtiene un retorno del 100% de su inversión inicial, sería un buen momento para
Esta diferencia luego se aplica al programa comercial. Si el programa pierde todo este
negativo vas a reasignar. Por lo general, este punto es el punto en el que no queda capital
dinero, los bonos aún vencerán a su valor nominal total. En el momento del vencimiento
activo o el capital activo restante no permite ni siquiera 1 contrato en ninguno de los
del bono, el inversionista recibe entonces un monto igual a su inversión inicial, aunque no
sistemas de mercado que está utilizando.
reasignarla. Del mismo modo, también deberías decidir de antemano en qué punto
habría visto ningún retorno sobre esa inversión inicial durante el plazo que el dinero estuvo
en el programa (5 años en el caso de este ejemplo). Por supuesto, esto se basa en que
Debe decidir, preferiblemente por adelantado, si continuará operando si se alcanza este
los administradores del programa no pierdan una cantidad superior a la diferencia entre el
límite de desventaja y, de ser así, qué porcentaje reasignar al capital activo para
valor nominal del bono y su costo de mercado.
comenzar de nuevo.
Además, puede decidir reasignar con respecto al tiempo, particularmente para
cuentas administradas profesionalmente. Por ejemplo, puede decidir reasignar cada
Este mismo principio puede ser aplicado por cualquier comerciante. Además, no es
trimestre. Esto podría incorporarse con los límites patrimoniales de la realubicación.
necesario utilizar bonos de cupón cero. Se puede utilizar cualquier tipo de vehículo
Puede decidir que si la parte activa se elimina por completo, dejará de operar por
generador de intereses. La cuestión es que el activo libre de riesgo no tiene por qué ser
completo hasta que termine el trimestre. Al comienzo del siguiente trimestre, la cuenta se
simplemente efectivo "muerto". Puede ser un programa de inversión real, diseñado para
reasigna con un X% como capital activo y un 100­X% como capital inactivo.
proporcionar un rendimiento real, y este rendimiento se puede lograr para compensar
pérdidas potenciales en el programa. La consideración principal es que el activo libre de
riesgo se considere libre de riesgo (es decir, tratado como si la seguridad del principal
fuera la principal preocupación).
Ahora sigamos con nuestra discusión sobre la asignación entre el activo libre de
riesgo, la parte "inactiva" de la cuenta y la parte comercial activa.
La primera forma, y quizás la más burda, de determinar cuál será inicialmente la división
porcentual activo/inactivo y cuándo reasignar nuevamente a este porcentaje es el método
de utilidad del inversor. Esto también puede denominarse método instintivo. En este caso,
suponemos que las caídas que se observarán equivaldrán a un retroceso completo del
capital activo. Por lo tanto, si estamos dispuestos a ver una reducción del 50%, inicialmente
asignamos el 50% al capital activo. Del mismo modo, si queremos ver una reducción del
10 %, inicialmente dividimos la cuenta en 10 % activo y 90 % inactivo. Básicamente, con
el método de utilidad del inversor, usted intenta asignar al capital activo un porcentaje tan
alto como esté dispuesto a arriesgarse a perder.
Ahora, es posible que la parte activa se borre por completo, momento en el cual al
operador ya no le queda ninguna parte activa de su cuenta para continuar operando. En
ese momento, será necesario que el operador decida si continúa operando y, de ser así,
qué porcentaje de los fondos restantes en la cuenta (la subcuenta inactiva) asignará como
No es beneficioso reasignar con demasiada frecuencia. Idealmente, nunca
reasignarás. Idealmente, dejará que la fracción de f óptima que está utilizando se acerque
a 1 a medida que crezca el capital de su cuenta. En realidad, sin embargo, lo más probable
es que usted reasigne en algún momento. Es de esperar que no realice reasignaciones
con tanta frecuencia que se convierta en un problema.
Considere el caso de la reasignación después de cada operación o cada día.
Tal es el caso del comercio estático fraccional f. Recuerde nuevamente la ecuación
(2.09a), el tiempo necesario para alcanzar una meta específica.
Volvamos a nuestro sistema, que operamos con una porción activa de 0,2 y una
media geométrica de 1,01933. Compararemos esto con el comercio a la fracción estática
de 0,2 f, donde la media geométrica resultante es 1,005.
Si comenzamos con una cuenta de $100 000 y queremos reasignar un capital total de
$110 000, el número de días (ya que nuestras medias geométricas aquí son por día)
requerido por el fraccionario estático .2 f es: ln(1,1)/ln (1,005) = 19,10956 Esto se
compara con usar $20 000 del
capital total de $100 000 en el monto total f y tratar de llevar la cuenta total a $110
000. Esto representaría una meta de 1,5 veces los 20.000 dólares: ln(1,5)/ln(1,01933) =
21,17807
nuevo capital activo. Este nuevo capital activo también se puede perder, por lo que es
importante que el operador tenga en cuenta al comienzo de este programa que el capital
En objetivos más bajos, la estrategia f fraccionaria estática crece más rápido que su
activo inicial no es la cantidad máxima que se puede perder. Además, en cualquier
correspondiente contraparte f fraccionaria dinámica. A medida que pasa el tiempo, lo
operación en la que existe una responsabilidad ilimitada en una posición determinada
dinámico supera a lo estático, hasta que eventualmente la dinámica está infinitamente
(como una operación de futuros), toda la cuenta está en riesgo, ¡e incluso los activos del
más adelante. La Figura 8­1 muestra gráficamente esta relación entre los fs fraccionales
operador fuera de la cuenta están en riesgo! El lector no debe engañarse pensando que
estáticos y dinámicos.
es inmune a una serie de días límite bloqueados o a una enorme brecha inicial que podría
llevar a toda la cuenta a una posición deficitaria, independientemente de cuál sea la parte
de capital "activa" de la cuenta. es.
Si reasigna con demasiada frecuencia solo se está disparando en el pie, ya que la
técnica sería inferior a su contraparte estática fraccional f. Por lo tanto, dado que a largo
plazo es mejor utilizar el enfoque dinámico fraccional f para la asignación de activos,
También es mejor reasignar fondos entre las subcuentas activas e inactivas como poco
frecuente.
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con la mayor frecuencia posible. Lo ideal es hacer esta división entre patrimonio activo e
suficiente para satisfacer la ecuación (8.01) es un valor para N que podemos usar y estar
inactivo sólo una vez, al inicio del programa.
seguros de que nos estamos beneficiando de la f fraccionaria dinámica:
Generalmente, la fracción dinámica f superará a su contraparte estática más rápido
cuanto menor sea la porción del capital activo inicial. En otras palabras, una cartera con un
capital activo inicial de 0,1 superará a su contraparte estática más rápido que una cartera
con una asignación de capital activo inicial de 0,2 superará a su contraparte estática. En
una asignación de capital activa inicial del 100% (1,0), la dinámica nunca supera la fracción
estática f (más bien crecen al mismo ritmo). También afecta la tasa a la cual la fracción
(8.01) FG^N <= G^N*FRAC+1­FRAC
dónde
FG = La media geométrica para la f fraccionaria, encontrada mediante la Ecuación
(2.08).
N = El número de períodos, con G y FG calculados sobre la base de 1 período.
dinámica f supera a su contraparte estática la media geométrica de la cartera misma.
Cuanto mayor sea la media geométrica, más pronto la dinámica superará a la estática. Con
G = La media geométrica en el nivel f óptimo.
una media geométrica de 1,0, la dinámica nunca supera a su contraparte estática.
FRAC = El porcentaje de capital activo.
Si utilizamos un porcentaje de capital activo del 20% (es decir, FRAC = 0,2), entonces
FG debe calcularse sobre la base de 0,2 f. Por lo tanto, para el caso en el que nuestra
Un segundo método para determinar los montos iniciales de capital activo y la
reubicación es el método de planificación de escenarios. Bajo este método el monto
media geométrica en f óptima total es 1,01933 y 0,2 f (FG) es 1,005, queremos un valor
para N que satisfaga lo siguiente: 1,005^N <= 1,01933^N*.2+ 1­.2
asignado inicialmente se determina matemáticamente en función de los diferentes
escenarios, sus resultados y sus probabilidades de ocurrencia, para el desempeño de la
cuenta. Este ejercicio también se puede realizar a intervalos regulares. La técnica implica
el método de planificación de escenarios que se detalla en el Capítulo 4.
Calculamos nuestra media geométrica para f(G) óptima y, por lo tanto, también nuestra
media geométrica para la f fraccionaria (FG) diariamente, y queremos ver si 1 trimestre es
tiempo suficiente. Dado que hay alrededor de 63 días de negociación por trimestre,
queremos ver si un N de 63 es tiempo suficiente para beneficiarnos de la f fraccionaria
Como ejemplo, supongamos que está considerando tres escenarios posibles para el
próximo trimestre:
Escenario Probabilidad Resultado
Reducción 50% ­100% Sin ganancia
25% 0% Buen avance 25% +300%
La columna de resultados pertenece a
los resultados del patrimonio activo de la cuenta. Por lo tanto, aquí hay un 50% de
posibilidades de una pérdida del 100% del capital activo, un 25% de posibilidades de que
el capital activo permanezca sin cambios y un 25% de posibilidades de una ganancia del
360% del capital activo.
En realidad, debería considerar más de tres escenarios, pero para simplificar, aquí
sólo se utilizan tres. Usted ingresa los tres escenarios diferentes, sus probabilidades de
ocurrencia y sus resultados en unidades, donde cada unidad representa un punto porcentual.
Los resultados se determinan en función de lo que sucede en cada escenario si estuviera
operando con la cantidad f óptima completa.
Al ingresar estos tres escenarios se obtiene una f óptima de 0,11. No confunda esta
f óptima con la f óptima de los componentes de la cartera que está negociando. Ellos son
diferentes. La f óptima aquí se refiere a la f óptima del ejercicio de planificación de
escenarios que acaba de realizar, que también le indicó la cantidad óptima para asignar
como capital activo para sus parámetros dados. Por lo tanto, dados estos tres escenarios,
lo mejor en un sentido asintótico es asignar el 11% al patrimonio activo y el 89% restante al
dinámica. Por lo tanto, verificamos la Ecuación (8.01) en un valor de 63 para N:
1.005^63 <= 1.01933^63*.2+1­.2
1.369184237 <= 3.340663933*.2+1­.2
1.369184237 <= .6681327866+1­.2
1,369184237 <= 1,6681327866­.2
1,369184237 <= 1,4681327866
La ecuación se cumple, ya que el lado izquierdo es menor o igual que el lado derecho.
Por lo tanto, podemos reasignar trimestralmente según los valores dados aquí y
beneficiarnos del uso de f fraccional dinámica.
¿Y dónde se pone este capital ahora retirado? Vaya, vuelve directamente a la cuenta
como capital inactivo. En cada período, calculará el valor total de su cuenta y transferirá
esa cantidad del capital activo al inactivo. Por tanto, hay reasignación. Por ejemplo,
supongamos nuevamente una cuenta de $100 000 donde $20 000 se consideran el monto
activo. Supongamos que su participación promedia trimestralmente y que el porcentaje
trimestral que extrae es del 2%. Ahora supongamos que al comienzo del siguiente trimestre
la cuenta todavía tiene un capital total de $100 000, de los cuales $20 000 son capital
activo. Ahora retira el 2 % del capital total de la cuenta de $100 000 y transfiere esa cantidad
del capital activo al inactivo. Por lo tanto, usted transfiere $2,000 del capital activo al
inactivo, y su cuenta de $100,000 ahora tiene $18,000 de capital activo y $82,000 inactivos.
patrimonio inactivo. Al comienzo del siguiente trimestre, vuelve a realizar este ejercicio y
determina sus nuevas asignaciones en ese momento. Dado que la cantidad de fondos que
tiene que reasignar para un trimestre determinado es función de cómo los ha asignado para
el trimestre anterior, es mejor que utilice esta cantidad f óptima, ya que le proporcionará el
mayor crecimiento geométrico. a la larga. (Nuevamente, eso siempre que su información
(los escenarios, sus probabilidades y los resultados correspondientes) sea precisa).
Esperamos que el programa supere al alza los retiros porcentuales periódicos.
Supongamos que en nuestro último ejemplo, nuestra cuenta de $100 000 pasa a $110 000
al final del trimestre. Ahora, cuando vamos a reasignar el 2%, $2200, debitamos nuestro
monto de capital activo de $30 000 y acreditamos nuestro monto inactivo de $80 000. Por
lo tanto, tenemos $27,800 de patrimonio activo y $82,200 inactivos. Dado que nuestro
patrimonio activo después de la reasignación sigue siendo mayor que al comienzo del
Este método de planificación de escenarios de asignación de activos también es útil si
intenta incorporar la opinión de más de un asesor. En nuestro ejemplo, en lugar de
considerar tres escenarios posibles para el próximo trimestre, es posible que desee
incorporar las opiniones de tres asesores diferentes. La columna de probabilidad
corresponde a cuánta fe tienes en cada asesor diferente. Así, en nuestro ejemplo, el primer
escenario, un 50% de probabilidad de una pérdida del 100% del capital activo, corresponde
a un asesor muy bajista cuya opinión merece el doble de peso que la de los otros dos
asesores.
período anterior, podemos decir que el programa ha superado la reasignación.
Por otro lado, si el programa pierde dinero, o si no llega a ninguna parte (en cuyo caso
usted está arriesgando dinero repetidamente, pero no logra ningún progreso hacia arriba
en su capital), esta técnica eventualmente terminará con todo el capital de la cuenta. como
patrimonio inactivo. En ese momento, automáticamente habrá dejado de operar con un
programa perdedor.
Naturalmente, ahora deben surgir dos preguntas. La primera es: "¿Cuál debe ser esta
reducción porcentual periódica tal que si el patrimonio de la cuenta se estancara después
Recuerde el método del promedio de acciones para retirarse de un programa, que se
examinó en el capítulo 2. Podemos incorporar este concepto aquí como un método de
reasignación. Al hacerlo, estaremos creando una técnica que sistemáticamente saca
beneficios de un programa de manera ventajosa y también nos saca a nosotros de un
programa perdedor.
El programa exige retirar un porcentaje periódico del capital total de la cuenta (capital
activo + capital inactivo). Por lo tanto, cada mes, trimestre o cualquier período de tiempo
que esté utilizando, retirará el X% de su capital. Sin embargo, recuerde que desea tener
suficiente tiempo en cada período para asegurarse de que se está beneficiando, al menos
en cierta medida, de la f fraccionaria dinámica. Cualquier valor de N que sea alto
de N deducciones periódicas del patrimonio activo, el programa terminaría automáticamente
(es decir, el patrimonio activo es igual a 0)?"
La solución viene dada por la ecuación (8.02):
(8.02) P = 1­INACTIVO^(1/N)
dónde
P = El porcentaje periódico del patrimonio total de la cuenta que debe transferirse del
patrimonio activo al inactivo.
INACTIVO = El porcentaje inactivo del patrimonio de la cuenta.
N = El número de períodos en los que queremos que termine el programa si el
patrimonio se estanca.
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Por lo tanto, si tuviéramos que realizar transferencias trimestrales de capital del activo al
inactivos, y estábamos usando una asignación inicial del 80% como capital inactivo, y queríamos
que el programa terminara en 2,5 años (10 trimestres, es decir, N = 10), el porcentaje trimestral
la manera matemáticamente óptima, es decir, en el valor óptimo completo de f para un
nivel de riesgo inicial (nuestro patrimonio activo inicial).
El establecimiento de una cuenta de depósito a la vista de reserva permite la
sería:
cuenta para negociarse de la manera matemáticamente óptima (óptimo dinámico 0, mientras
PAG = 1­.8^(1/10) =
que también permite el método de reasignación de promedio de acciones
1­.8^.1
para trabajar (es decir, el efectivo se transfiere a la cuenta de depósito a la vista de reserva)
= 1­.9779327685
y permite un resultado estable en dólares del depósito a la vista de reserva
= .0220672315
Por lo tanto, deberíamos retirar el 2,20672315% del capital total cada uno.
trimestre y transferirlo del capital activo al inactivo.
La segunda pregunta que surge es: "Si estamos extrayendo un cierto porcentaje dado,
¿cuál debe ser el número de períodos para que el patrimonio activo sea igual a 0?" En otras
palabras, si sabemos que queremos retirarnos
P% cada período (nuevamente asumimos que los períodos aquí son trimestres) y
cuenta, satisfaciendo así las necesidades del comerciante. Por lo tanto, si un operador necesita $X por
día para cubrir sus necesidades, ya sean gastos de manutención o de otro tipo, estos pueden ser
satisfecho sin sabotear las matemáticas de la cuenta al establecer y administrar una cuenta de
depósito a la vista de reserva, y compartir
promediar fondos periódicamente desde el programa de negociación hasta este
cuenta de reserva. Luego, el comerciante realiza retiros regulares de una cantidad constante
cantidad en dólares de esta cuenta de reserva.
Por supuesto, los retiros regulares de dólares deben ser por un monto menor
Si el patrimonio de la cuenta se estanca, ¿durante cuántos períodos, N, debemos
que la cantidad más pequeña transferida desde la cuenta comercial a la
realizar estas transferencias de capital hasta que el capital activo sea igual a 0. La solución
cuenta de reserva. Por ejemplo, si estamos viendo una cuenta de $500,000,
viene dada por la ecuación (8.03):
Estamos retirando 1% por mes y comenzamos con 20% de capital activo inicial, entonces
(8.03) N = ln(INACTIVO)/ln(lP)
sabemos que nuestro retiro más pequeño del mercado
dónde
P = El porcentaje periódico del patrimonio total de la cuenta que será
transferidos del patrimonio activo al inactivo.
INACTIVO = El porcentaje inactivo del capital de la cuenta.
N = El número de periodos que tardará el programa en finalizar
si el patrimonio se estanca.
Nuevamente, supongamos que el capital inactivo inicial se asigna en un 80%.
y que estás sacando un 2,20672315% trimestral. Por lo tanto, la
cuenta será 0,01*500.000*(1­.2) = 0.01*500.000*0.8 = $4.000. Por lo tanto, nuestro constante
retiro de dólares de la cuenta de reserva debería ser
por un monto no mayor a $4,000. La cuenta de reserva también puede ser la
subcuenta inactiva.
Antes de pasar a la cuarta técnica de asignación de activos, hay una cierta
Es necesario aclarar la confusión. Con el comercio fraccional fijo óptimo, usted
Puedes ver que agregas más y más contratos cuando tu capital aumenta, y viceversa cuando
disminuye. Esta técnica hace el mayor
crecimiento geométrico de su patrimonio en el largo plazo.
El número de períodos, trimestres en este caso, necesarios hasta que finalice el programa si el
patrimonio se estanca es:
norte = ln(.8)/ln(l­.0220672315) = ln(.8)/ln(.9779327685) = ­.223143/­
.0223143 = 10
Para los valores indicados, el programa necesitaría 10 períodos.
para terminar.
El promedio de acciones nos sacará de una cartera con el tiempo a un precio superior al
¿POR QUÉ REASIGNAR?
La reasignación parece hacer justo lo contrario de lo que queremos hacer en
que la reasignación se recorta después de un aumento en el capital o agrega más capital
a la parte activa después de un período en el que el patrimonio se haya agotado.
La reasignación es un compromiso entre el ideal teórico y la implementación en la vida real.
Estas técnicas nos permiten aprovechar al máximo esta
promedio, del mismo modo que el promedio en dólares nos sacará de una cartera a lo largo del tiempo. compromiso.
tiempo a un costo inferior al promedio. Consideremos ahora que la mayoría de la gente hace sólo lo
Lo ideal sería que nunca lo reasignaras. Cuando tu pequeño y humilde
lo contrario de esto, por lo tanto, están entrando y saliendo de una cartera en
Si una cuenta de 10.000 dólares creciera a 10 millones de dólares, nunca pasaría por una
Precios peores que el promedio. Cuando alguien abre una cuenta para operar,
reasignación. Lo ideal sería aguantar la reducción que hizo que su cuenta volviera a bajar a
arrojan todo el capital comercial y simplemente comienzan a operar. Cuando ellos
$50,000 desde la marca de $10 millones antes de que se disparara.
Si desea agregar fondos, casi siempre los agregará de una sola vez.
a 20 millones de dólares. Idealmente, si su capital activo se redujera a 1
bloques de efectivo, incapaces de realizar depósitos iguales en dólares a lo largo del tiempo.
dólar, aún podría negociar un contrato fraccionado (¿un "microcontrato"?). En un mundo ideal,
Un comerciante que intenta vivir de las ganancias comerciales generalmente se retirará.
todas estas cosas serían posibles. En
suficiente dinero de la cuenta periódicamente para cubrir su sustento
vida real, vas a reasignar en algún momento al alza o al alza.
gastos, independientemente del porcentaje de su cuenta que esto constituya.
Abajo. Dado que vas a hacer esto, también podrías hacerlo en
Esto es exactamente lo que no debería hacer. Supongamos que el comerciante vive
una manera sistemática y beneficiosa.
los gastos son constantes de un mes a otro, por lo que está retirando
una cantidad constante en dólares. Al hacer esto, está logrando exactamente
Al reasignar o comprometer, se "restablecen" las cosas a un estado
estaría si estuviera iniciando el programa de nuevo, sólo que en
Lo opuesto al promedio de acciones en el sentido de que retirará un porcentaje mayor de sus
un nivel de patrimonio diferente. Luego dejas que el resultado de la negociación dicte
fondos cuando el saldo de la cuenta sea menor, y un porcentaje menor de sus fondos.
hacia dónde flota la fracción utilizada mediante el uso de una aleta fraccionaria dinámica
porcentaje cuando el saldo de la cuenta es mayor. En resumen, él está lentamente
entre reasignaciones. Las cosas se pueden apalancar terriblemente rápido, incluso
salir de la cartera (o de una parte de ella) con el tiempo a un precio inferior al promedio.
cuando comienza con una asignación de capital activa de sólo el 20%. Recuerde, está utilizando
la f óptima completa en este 20%, y si su programa funciona modestamente bien, en poco
Más bien, el comerciante debería retirar un porcentaje constante (del total
tiempo estará operando en cantidades sustanciales en relación con el capital total de la cuenta.
capital de la cuenta, activo más inactivo) cada mes. Los fondos retirados
se puede depositar en una cuenta intermedia, una simple cuenta de depósito a la vista.
Luego, de esta cuenta de depósito a la vista, el comerciante puede retirar una cantidad constante
SEGURO DE CARTERA – LA CUARTA TÉCNICA DE REASIGNACIÓN
en dólares cada mes para cubrir sus gastos de manutención. si el comerciante
si omitiéramos esta cuenta intermedia y retiraramos un dólar constante
cantidad directamente de la cuenta comercial, causaría las ideas de
el promedio de acciones y el promedio en dólares van en su contra.
Recuerde del Capítulo 2 la observación de que cuando opera a
los niveles óptimos de f que puede esperar estar en el peor de los casos 35
al 55% del período de tiempo que está considerando. Generalmente, esto no se sienta
bien con la mayoría de los comerciantes. La mayoría de los traders quieren o necesitan una curva
de capital mucho más suave, ya sea para satisfacer las necesidades de sus gastos de subsistencia
o por otras razones más emocionales. ¿A qué comerciante no le gustaría ganar dinero estable?
¿X$ por día por el trading? Este principio del 35 al 55% es cierto sobre una base f óptima
completa y, por lo tanto, también es cierto sobre una base f fraccional dinámica.
pero no es cierto sobre una base estática fraccionaria f. Dado que la dinámica es asintóticamente
mejor que su contraparte estática fraccional f, podemos esperar esto
Principio del 35 al 55% que se nos aplicará si vamos a operar con nuestra cuenta
Supongamos por un momento que está administrando un fondo de acciones. Figura 8­
2 muestra una estrategia típica de seguro de cartera (también conocida como dinámica
cobertura). El mínimo en este ejemplo es el valor actual de la cartera de 100
(dólares por acción). La cartera típica sigue el mercado de valores 1 para
1. Esto está representado por la línea continua. La cartera asegurada se representa aquí con la
línea de puntos. Tenga en cuenta que la línea de puntos está debajo de la línea continua cuando
la cartera está en o por encima de su valor inicial (100). Este
La diferencia representa el costo del seguro de cartera. De lo contrario, como
la cartera cae en valor, el seguro de cartera proporciona un piso en el
valor de la cartera a un valor mínimo deseado (en este caso el valor actual
valor de 100) menos el costo de realizar la estrategia.
En pocas palabras, el seguro de cartera es similar a comprar una opción de venta sobre
el portafolio. Supongamos que el fondo que está administrando consta de solo 1
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acción, que actualmente tiene un precio de 100. Comprar una opción de venta sobre
Operacionalmente, los administradores de fondos de acciones han utilizado
esta acción, con un precio de ejercicio de 100, a un costo de 10, replicaría la línea de
métodos no invasivos de cobertura dinámica. Esta técnica implica no tener que negociar
puntos en la Figura 8­2. Lo peor que le podría pasar ahora a su cartera de 1 acción y
la cartera de efectivo. Más bien, la cartera en su conjunto se ajusta a lo que debería ser
una opción de venta sobre ella es que podría ejercer la opción de venta, lo que vende
el delta actual según lo dictado por el modelo mediante el uso de futuros y, a veces,
sus acciones a 100, y perdería el valor de la opción de venta, 10.
opciones de venta. Uno de los beneficios de utilizar futuros son los bajos costos de
Por lo tanto, lo peor que puede valer esta cartera es 90, sin importar cuán abajo llegue
transacción. Vender futuros en corto contra la cartera equivale a vender parte de la
la acción subyacente.
cartera y ponerla en efectivo. A medida que la cartera cae, se venden más futuros y, a
En pocas palabras, el seguro de cartera es similar a comprar una opción de venta
sobre la cartera. Supongamos que el fondo que está administrando consta de solo una
medida que sube, se cubren estas posiciones cortas.
La pérdida de la cartera a medida que sube y se cubren las posiciones cortas de futuros
acción, cuyo precio actual es de 100. Comprar una opción de venta sobre esta acción,
es lo que explica el costo del seguro de la cartera, el costo de las opciones de venta
con un precio de ejercicio de 100, a un costo de 10, replicaría la línea de puntos en la
replicadas. Sin embargo, la cobertura dinámica tiene la ventaja de permitirnos estimar
Figura 8. ­2. Lo peor que le podría pasar ahora a su cartera de 1 acción y una opción
de cerca este costo desde el principio. Para los administradores que intentan implementar
de venta sobre ella es que podría ejercer la opción de venta, lo que vende sus acciones
dicha estrategia, permite que la cartera permanezca intacta mientras se realizan los
a 100, y perdería el valor de la opción de venta, 10.
cambios apropiados en la asignación de activos a través de operaciones de futuros y/u
Por lo tanto, lo peor que puede valer esta cartera es 90, sin importar cuán abajo llegue
opciones. Esta técnica no invasiva de utilizar futuros y/u opciones permite separar la
la acción subyacente. Por el lado positivo, su cartera asegurada sufre un poco porque el
asignación de activos y la gestión activa de la cartera.
valor de la cartera siempre se reduce por el costo de la opción de venta.
Para implementar un seguro de cartera, debe ajustar continuamente la cartera al
delta apropiado. Esto significa que, digamos cada día, debe ingresar en el modelo de
160
Valor total de la cartera
valoración de opciones el valor actual de la cartera, el momento de vencimiento, los
niveles de tasas de interés y la volatilidad de la cartera para determinar el delta de la
opción de venta que está tratando de replicar. Sumar este delta (que es un número entre
140
0 y ­1) a 1 le dará el delta de la llamada correspondiente. Este es el índice de cobertura,
el porcentaje que usted debe invertir en el fondo. Debe asegurarse de mantenerse lo
120
más cerca posible de este índice de cobertura.
100
Supongamos que su ratio de cobertura en este momento es 0,46. Digamos que el
80
tamaño del fondo que gestiona equivale a 50 contratos de futuros del S&P. Dado que
Cartera asegurada
60
40
solo desea invertir el 46%, desea desinvertir el 54%. El cincuenta y cuatro por ciento de
50 contratos son 27 contratos. Por lo tanto, al nivel actual de precios del fondo, en este
Cartera no asegurada
momento, para la tasa de interés y los niveles de volatilidad dados, el fondo debería
estar corto en 27 contratos S&P junto con su posición larga en acciones en efectivo.
Debido a que es necesario volver a calcular el delta de forma continua y monitorear
20
constantemente los ajustes de la cartera, la estrategia se denomina estrategia de
cobertura dinámica.
0 60
70 80 90 100 110 120 130 140
Valor subyacente de la cartera
Figura 8­2 Seguro de cartera.
Claramente, observando la Figura 8­2 y considerando la ecuación fundamental
para la negociación, la TWR estimada de la Ecuación (1.19c), se puede ver intuitivamente
que una cartera asegurada es superior a una cartera no asegurada en un sentido
asintótico. En otras palabras, si eres tan inteligente como tu error más tonto, has puesto
un límite a ese error más tonto mediante el seguro de cartera.
Un problema con el uso de futuros en la estrategia es que el mercado de futuros
no sigue exactamente al mercado de efectivo. Además, es posible que la cartera contra
la que vende futuros no siga exactamente el índice de efectivo con el que se negocia el
mercado de futuros. Estos errores de seguimiento pueden aumentar los gastos de un
programa de seguro de cartera. Además, cuando la opción que se está replicando está
muy cerca de su vencimiento y el valor de la cartera está cerca del precio de ejercicio, la
gamma de la opción replicada aumenta astronómicamente. Gamma es la tasa de
cambio instantánea del delta o índice de cobertura. En otras palabras, gamma es el delta
del delta. Si el delta cambia muy rápidamente (es decir, si la opción replicada tiene una
gamma alta), el seguro de cartera se vuelve cada vez más complicado de realizar.
Ahora considere que estar largo en una opción de compra le dará el mismo perfil
que estar largo en el subyacente y en largo en una opción de venta con el mismo precio
Existen numerosas formas de solucionar este problema, algunas de las cuales son muy
de ejercicio y fecha de vencimiento que la opción de compra. Aquí, cuando hablamos
sofisticadas. Uno de los más simples implica no sólo intentar igualar el delta de la opción
del mismo perfil, nos referimos a una posición equivalente en términos de características
replicada, sino también utilizar futuros y opciones juntos para igualar tanto el delta como
de riesgo/recompensa a diferentes valores del subyacente. Por lo tanto, la línea de
la gamma de la opción replicada.
puntos en la Figura 8­2 también puede representar una cartera compuesta por
Nuevamente, esta gamma alta generalmente se convierte en un problema sólo cuando
simplemente estar en posición larga en la opción de compra 100 al vencimiento.
Así es como funciona la cobertura dinámica para brindar seguro de cartera.
Suponga que compra 100 acciones de una sola acción para su fondo, a un precio de
100 dólares por acción. Ahora replica la opción de compra utilizando esta acción
el vencimiento se acerca y el valor de la cartera y el precio de ejercicio de la opción
replicada están muy cerca.
Existe una relación muy interesante entre f óptima y el seguro de cartera. Cuando
ingresa a una posición, puede afirmar que el f por ciento de sus fondos está invertido.
subyacente. Para ello, determine un piso inicial para las acciones. El piso que elige es,
Por ejemplo, considere un juego de apuestas en el que su f óptima es 0,5, su mayor
digamos, 100. También determina una fecha de vencimiento para la opción hipotética
pérdida es ­1 y su saldo es de 10.000 dólares. En tal caso, apostaría $1 por cada $2 de
que va a crear. Digamos que la fecha de vencimiento que elija es la fecha en la que
su apuesta, ya que ­1, la mayor pérdida, dividida por ­0,5, la f óptima negativa, es 2.
finaliza este trimestre.
Dividir $10,000 entre 2 produce $5,000. Por lo tanto, apostaría $5.000 en la siguiente
Ahora calcula el delta para esta opción de compra de 100 con la fecha de
apuesta, que es el f por ciento, 50%, de su presupuesto. Si hubiera multiplicado nuestros
vencimiento elegida. Puede usar la ecuación (5.05) para encontrar el delta de una
fondos de $10 000 por f, 0,5, habría llegado al mismo resultado de $5 000. Por lo tanto,
opción de compra sobre una acción (puede usar el delta para cualquier modelo de
ha apostado el f por ciento de nuestros fondos.
opción que esté usando; aquí estamos usando el modelo de opciones sobre acciones
de Black­Scholes). Supongamos que el delta es 0,5. Esto significa que debe invertir el
Del mismo modo, si su mayor pérdida fuera de $250 y todo lo demás siguiera
50% en la acción determinada. Por lo tanto, tendría sólo 50 acciones en lugar de las 100
igual, estaría haciendo 1 apuesta por cada $500 en su saldo (ya que ­$250/­.5 = $500).
que tendría si no estuviera practicando un seguro de cartera. A medida que aumenta el
valor de las acciones, también aumentará el delta y, del mismo modo, el número de
Dividir $10,000 entre $500 significa que harías 20 apuestas. Dado que lo máximo que
puede perder en cualquier apuesta es $250, ha arriesgado el f por ciento, el 50% de
acciones que posee. El límite alcista es un delta en 1, donde estaría invertido al 100%.
nuestra apuesta, al arriesgar $5,000 ($250*20). Por tanto, podemos afirmar que f es
En nuestro ejemplo, con un delta de 1 tendrías 100 acciones. A medida que el precio de
igual al porcentaje de nuestros fondos en riesgo, o f es igual al índice de cobertura. Dado
las acciones disminuye, también lo hace el delta y también el tamaño de su posición en
que f solo se aplica a la parte activa de nuestra cartera en una estrategia f fraccionaria
la acción. El límite a la baja está en un delta de 0 (donde el delta de venta es ­1), en
dinámica, el índice de cobertura de la cartera es:
cuyo punto no tendría ninguna posición en la acción.
Machine Translated by Google
(8.04a) H = f*A/E
dónde
H = El ratio de cobertura de la cartera.
f = La f óptima (0 a 1).
en patrimonio activo es igual al delta de la opción de compra dividido por f
determinado en la Ecuación (8.05). Sin embargo, notarás que si D es
mayor que f, entonces sugiere que asigne más del 100%
del patrimonio de una cuenta como activo. Como esto no es posible, existe un límite
superior del 100% del capital de la cuenta que puede usarse como capital activo. Puede
A = La porción activa de los fondos en una cuenta.
utilizar la ecuación (5.05) para encontrar el delta de una opción de compra en un
E = El patrimonio total de la cuenta.
acciones, o la ecuación (5.08) para encontrar el delta de una opción de compra sobre un futuro.
La ecuación (8.04a) nos da el índice de cobertura para una cartera que se negocia
con una estrategia dinámica fraccional f. El seguro de cartera también está en juego
El problema de implementar el seguro de cartera como técnica de reasignación, como
se detalla aquí, es que la reasignación se produce constantemente. Esto resta valor al
en una estrategia f fraccionaria estática, sólo el cociente A/E es igual a 1, y el
hecho de que una estrategia f fraccionaria dinámica
El valor de f, el f óptimo, se multiplica por cualquier valor que estemos usando.
dominará asintóticamente una estrategia f fraccionaria estática. Como resultado,
por la fracción de descuento. Por lo tanto, en una estrategia estática fraccional f el índice de cobertura
tratando de dirigir el desempeño a través del seguro de cartera como una dinámica
es:
La estrategia de reasignación fraccionada probablemente no sea tan buena idea. Sin
(8.04b) H = f*FRAC
embargo, cada vez que utiliza f fraccional dinámica, está empleando cartera
seguro.
dónde
H = El ratio de cobertura de la cartera.
Ahora cubrimos un ejemplo de seguro de cartera. Recuerde nuestra cartera
geométrica óptima de Toxico, Incubeast y LA Garb. Encontramos
f = La f óptima (0 a 1).
la cartera geométrica óptima existe en V = .2457. Ahora debemos convertir esta variación
FRAC = La fracción de f óptima que estás usando.
de la cartera en el dato de volatilidad para el precio de la opción.
Dado que normalmente hay más de un sistema de mercado funcionando en un
modelo. Recuerde que esta entrada se describe como la desviación estándar anualizada.
cuenta, debemos dar cuenta de esto. Cuando este es el caso, la variable fin
La ecuación (8.07) nos permite convertir entre la varianza de la cartera y la estimación de
La ecuación (8.04a) o (8.04b) debe calcularse como:
volatilidad de una opción sobre la cartera:
(8.05) f = ∑[i = 1,N]fi*Wi
(8.07) OV = (V^.5)*ACTV*AÑODÍAS^.5
dónde
dónde
f = La f (0 a 1) que se ingresará en la ecuación (8.04a) o (8.04b).
OV = El dato de volatilidad de una opción en la cartera.
N = El número total de sistemas de mercado en la cartera.
V = La varianza de la cartera.
Wi = La ponderación del iésimo componente de la cartera (del
ACTV = La porción de capital activa actual de la cuenta.
matriz de identidad).
fi = El factor f (0 a 1) del iésimo componente de la cartera.
Podemos afirmar que al negociar una cuenta sobre una base f fraccionaria dinámica
estamos realizando un seguro de cartera. Aquí, el suelo es igual a la
patrimonio inactivo inicial más el costo de realizar el seguro. Sin embargo, a menudo es
más sencillo referirse al piso de una estrategia f fraccionaria dinámica simplemente como
el patrimonio inactivo inicial de una cuenta.
Podemos afirmar que la ecuación (8.04a) o (8.04b) es igual al delta de la
YEARDAYS = El número de días de mercado en un año.
Si asumimos un año de 251 días de mercado y un porcentaje de capital activo del
100% (1,00) en aras de la simplicidad:
OV = (.2457^.5)*1*251^.5 = .4956813493*15.84297952 =
7.853069464
¡Esto corresponde a una volatilidad superior al 785%! Recuerde, este es el
volatilidad anualizada de la cartera que se negocia en el nivel f óptimo
con el 100% de la cuenta designada como patrimonio activo. Como resultado, nosotros
opción de compra de los términos utilizados en el seguro de cartera. Además, encontramos que
vamos a obtener lecturas de volatilidad muy altas. Ya que vamos a
este delta cambia en gran medida la forma en que cambia una opción de compra que está
demostrar el seguro de cartera como técnica de reasignación, debemos utilizar
1,00 como valor de ACTV.
muy fuera de dinero y muy lejos de su vencimiento. Así, utilizando una constante
cantidad en dólares inactiva, negociando una cuenta en un f fraccionario dinámico
estrategia equivale a poseer una opción de venta sobre la cartera que sea profunda
dentro del dinero y muy lejano en el tiempo. De manera equivalente, podemos afirmar que
Operar con una estrategia f fraccionaria dinámica es lo mismo que poseer una opción de
compra en la cartera que no vence en mucho tiempo y es muy
lejos del dinero, en lugar de la cartera en sí. Esta cualidad, esta
relación con el seguro de cartera, es cierto para cualquier f fraccional dinámica
estrategia, ya sea que estemos utilizando el promedio de acciones, la planificación de escenarios o la utilidad
para los inversores.
También es posible utilizar el seguro de cartera como técnica de reasignación para
"dirigir" en cierta medida el desempeño. Esta dirección puede ser análoga.
La ecuación (5.05) nos dará la delta de una opción de compra particular como:
(5.05) Llamada Delta = N(H)
El término H en (5.05) viene dado por (5.03) como:
(5.03) H = ln(U/(E*EXP(­R*T)))/(V*T^(1/2))+(V*T^(l/2))/2
U = El precio del instrumento subyacente.
E = El precio de ejercicio de la opción.
T = Fracción decimal del año al vencimiento.
V = La volatilidad anual en porcentaje.
R = La tasa libre de riesgo.
intentar dirigir un camión cisterna con el remo de un bote de remos, pero ésta es una
ln() = La función del logaritmo natural.
técnica de reasignación válida. El método consiste en configurar parámetros para el programa.
N() = La función de densidad normal acumulativa, como se indica en la ecuación
inicialmente. Primero debe determinar un valor mínimo. Una vez elegido esto, debe decidir
la fecha de vencimiento, el nivel de volatilidad y otros parámetros de entrada para el
modelo de opción particular que desea utilizar.
Estas entradas le darán las opciones delta en cualquier momento dado.
Una vez conocido el delta, puedes determinar cuál es tu patrimonio activo.
debiera ser. Dado que el delta de la cuenta, la variable H en la ecuación
(8.04a), debe ser igual al delta de la opción de compra que se replica, D, tenemos
Puede reemplazar H en la ecuación (8.04a) con D:
D = f*A/E
Por lo tanto:
(8.06) D/f = A/E si D < f (en caso contrario A/E = 1)
dónde
(3.21).
Tenga en cuenta que aquí estamos utilizando el modelo de fijación de precios de opciones sobre acciones. Nosotros
Ahora use nuestra respuesta para OV como entrada de volatilidad, V, en la ecuación (5.03).
Si asumimos que la tasa libre de riesgo, R, es del 6% y la fracción decimal de
el año que queda hasta el vencimiento, T, es .25, la ecuación (5.03) produce:
H = ln(100/(100*EXP(­
.06*.25)))/(7.853069464*.25^.5)+(7.853069464*.25^.5)/ 2 = ln(100/
(100*EXP(­.015)))/(7.853069464* .5)+(7.853069464*.5)/2 = ln(100/(100*.9851119396))/
(7.853069464*.5)+(7.853069464*.5)/2 = ln( 100/98.51119396) ∕ 3.926534732 +
3.926534732/2 = ln( 1.015113065) ∕ 3.926534732+1.963267366 =
.015 13.926534732+1.963267366
D = El índice de cobertura de la opción de compra que se replica.
f = La f (0 a 1) de la Ecuación (8.05).
A = La porción activa de los fondos en una cuenta.
E = El patrimonio total de la cuenta.
Dado que A/E es igual al porcentaje de capital activo, podemos afirmar
que el porcentaje del total de fondos de capital de la cuenta que deberíamos tener
= .00382+1.963267366
= 1,967087528
Esta respuesta representa la porción H de (5.05). ahora debemos correr
esto a través de la Ecuación (3.21) como la variable Z para obtener la llamada real
delta:
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(3.21) N(Z) = 1­N'(Z)*((1.330274429*Y^5)­
Si está utilizando una estrategia f fraccionaria estática o dinámica, se encontrará con una
(1,821255978*Y^4)+(1,781477937*Y^3)­
llamada de margen si la fracción es demasiado alta.
(.356563782*Y^2)+(.31938153*Y))
dónde
Y = 1/(1+.2316419*ABS(Z))
N'(Z) = .398942*EXP(­(Z^2/2))
De este modo:
Y = 1/ (1+.2316419*ABS(1.967087528)) = 1/(1+
Cuando se negocia una cartera de sistemas de mercado, el problema de una
La llamada de margen se vuelve aún más probable. Con una cartera sin restricciones,
la suma de los pesos suele ser considerablemente mayor que 1. Cuando
comerciar sólo con 1 sistema de mercado, el peso es, de facto, 1. Si la suma de los
pesos de un sistema de mercado con el que está operando es, digamos, 3, entonces la probabilidad
de una llamada de margen es 3 veces mayor que si estuviera operando solo
1 mercado.
.4556598925) =
1/1.4556598925
= .6869736574
Ahora resolviendo el término N'( 1.967087528)
N'(1.967087528) = .398942*EXP(­(1.967087528 ^ 2/2))
Lo que se necesita es una manera de conciliar cómo crear una cartera óptima dentro
de los límites de los requisitos de margen de los componentes.
en la cartera. Esto se puede encontrar muy fácilmente. La manera de lograr
esto es para encontrar qué fracción de descuento puedes usar como límite superior. Este
límite superior, U, viene dado por la ecuación (8.08) como:
(8.08) U = ∑[i = 1,N]fi$/((∑[i = 1,N] margeni$)*N)
= .398942*EXP(­(3.869433343/2))
dónde
= .398942*EXP(­1.934716672)
= .398942*.1444651941
= .05763323346
U = La fracción positiva de Ј En esta fracción particular, estás
negociar la cartera óptima de la manera más agresiva posible sin incurrir en una llamada de
margen inicial.
Ahora, reemplazando los valores de Y y N' (1.967087528) en (3.21) para
fi$ = Los fs óptimos en dólares para el iésimo sistema de mercado.
Obtenga el delta de llamada real dado por la ecuación (5.05):
margini$ = El requisito de margen inicial del iésimo sistema de mercado.
N(Z) = 1­.05763323346*((1.330274429*.6869736574^5)­
N = El número total de sistemas de mercado en la cartera.
(1.821255978*.6869736574^4)+(1.781477937*.6869736574^3)­
(.356563782*.6869736574^2)+(.31938153*.6869736574)) =
Si U es mayor que 1, entonces use 1 como respuesta para U. Por ejemplo,
supongamos que tenemos una cartera con los tres sistemas de mercado de la siguiente manera,
1­.05763323346*((1.330274429*.1530031)­
con las siguientes fs óptimas en dólares para los tres sistemas de mercado y
(1.821255978*.2227205)+(1.781477937*.3242054)­
los siguientes requisitos de margen inicial. (Nota: los f$ son los óptimos
(.356563782*.4719328)+(.31938153*.6869736)) =
fs en dólares para cada sistema de mercado del portafolio. Esto representa el
1­.05763323346*(.2035361115­.405631042+­5775647672­
f$ óptimo individual del sistema de mercado dividido por su ponderación en el
.168274144+.2194066794) =
portafolio):
1­.05763323346*.4266023721
Margen inicial
Sistema de mercado
f$ A
$2 500 $2 000 $2
= 1­.02458647411
= .9754135259
Por lo tanto, tenemos un delta de 0,9754135259 en nuestra hipotética opción de compra
B
000 $2 000 $3 000
C
$2 000 $7 500 $6
sumas
para una cartera que cotiza a un precio del 100%, con un precio de ejercicio de
100%, con 0,25 años restantes hasta el vencimiento, una tasa libre de riesgo del 6% y una
volatilidad de esta cartera del 785,3069464%.
Ahora recuerde que la suma de los pesos de este óptimo geométrico
numerador, que es $7,500, y dividir por la suma del margen inicial
requisitos, $6,000, multiplicado por el número de mercados, N, que es 3:
U = $7,500/($6,000*3) = 7500/18,000 = .4167
cartera compuesta por Toxico, Incubeast y LA Garb, según ecuación
(8,05), es 1,9185357. Por lo tanto, según la ecuación (8.06), reasignaríamos a
50.84156244% (.9754135259/1.9185357) patrimonio activo si estuviéramos usando
Seguro de cartera para reasignar.
"¿Cuál es el costo de este seguro?" Eso depende de la volatilidad que realmente se
Por lo tanto, podemos determinar que, como límite alcista, nuestra fracción de descuento
no puede exceder el 41,67% en este caso (es decir, si empleamos una estrategia f
fraccionaria dinámica). Por lo tanto, debemos reasignar cuando nuestro patrimonio activo
dividido por nuestro patrimonio total en la cuenta sea igual o superior
.4167.
observará durante la vida de la opción replicada. Por ejemplo, si el capital de la cuenta no
fluctuara en absoluto durante el
vida de la opción replicada (volatilidad igual a 0), la opción replicada,
el seguro, no nos costaría nada. Este es un gran beneficio para la cartera.
seguro versus compra directa de una opción de venta (suponiendo que hubiera una
disponible en nuestra cartera). Pagamos el precio teórico real de la opción.
para la volatilidad realmente encontrada, no la volatilidad percibida por el
mercado antes del hecho, como sería el caso al comprar realmente
la opción de venta. Además, comprar realmente la opción de venta (nuevamente asumiendo
había uno disponible) implica un diferencial entre oferta y demanda que se evita replicando
la opción.
Sin embargo, si todavía estás empleando una estrategia f fraccionaria estática (a pesar
de mis protestas), entonces lo más alto que debes establecer para esa fracción es
.4167. Esto lo ubicará en la frontera eficiente geométrica sin restricciones, a la izquierda de
la cartera óptima, pero lo más a la derecha posible.
sin encontrar una llamada de margen.
Para ver esto, supongamos que tenemos una cuenta de $100.000. Establecemos
nuestros valores f fraccionarios en una fracción óptima de 0,4167. Por lo tanto para cada mercado
sistema:
1.4167 = Nuevo f$
Sistema de mercado
f$ A
$2,500 $6,000
B
C
LA RESTRICCIÓN DEL MARGEN
He aquí un problema que surge continuamente cuando tomamos cualquiera de
000 Ahora, según
la ecuación (8.08), usamos la suma de la columna f$ en la
$2,000 $4,600
$3,000 $7,200
Para una cuenta de $100,000, negociaremos 16 contratos del sistema de mercado
A (100.000/6.000), 20 contratos del sistema de mercado B (100.000/4.800),
las técnicas de comercio fraccionario fijo fuera de su contexto teórico y
y 13 contratos del sistema de mercado C (100.000/7.200). La resultante
aplicarlo en el mundo real. Hemos visto que cada vez que se agrega un sistema de mercado
El requisito de margen para dicha cartera es:
adicional a la cartera, siempre que el coeficiente de correlación lineal de los cambios diarios
16*$2000 = $32000 20*2000 = 40000 13*2000 = 26000
de las acciones entre ese sistema de mercado y otro sistema de mercado en la cartera sea
menor que +1, el la cartera está mejorada. Es decir, la media geométrica de las HPR diarias
aumenta. Por lo tanto, es lógico que quieras tener tantos
sistemas de mercado como sea posible en una cartera. Naturalmente, en algún momento las
consideraciones sobre los márgenes se convierten en un problema.
Incluso si está operando sólo con 1 sistema de mercado, las consideraciones de margen
muchas veces puede ser un problema. Consideremos que los dólares finitos óptimos son muy a
menudo diez veces menores que los requisitos de margen iniciales para un mercado determinado. Ahora,
dependiendo de qué fracción de f estés usando en este momento, si
Requisito de margen inicial $96,000
Observe que al usar esta fórmula (8.08) se obtiene la fracción más alta para f
(sin incurrir en una llamada de margen inicial) que le brinde los mismos índices
de los diferentes sistemas de mercado entre sí. Por tanto, la ecuación (8.08)
devuelve la cartera óptima sin restricciones en su estado menos diluido sin incurrir en una
llamada de margen inicial.
Observe en el ejemplo citado anteriormente que si está operando con una estrategia f
fraccionaria, el valor devuelto por la ecuación (8.08) es la fracción máxima para f que puede
alcanzar sin incurrir en un margen inicial.
llamar. Consideremos nuevamente una cuenta de $100.000. Supongamos que en algún momento, cuando
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Abriste esta cuenta y tenía $70,000. Supongamos además que de eso
kets para los sistemas en este momento. Por ejemplo, algunos operadores pueden preferir
$ 70 000 iniciales, asignó $ 58 330 como capital inactivo. Por lo tanto, inicialmente comenzó con
monitorear la volatilidad en todos los mercados de futuros y operar solo
un porcentaje de aproximadamente 83:17 entre inactivos y
aquellos mercados cuya volatilidad excede una determinada cantidad. A veces
y equidad activa. Ha negociado la parte activa al máximo óptimo
estarán en muchos mercados, a veces no estarán en ninguno. Más,
valores f. Ahora su cuenta asciende a $100,000. Todavía te quedan $58,330
Los mercados en los que se encuentran cambian constantemente. Esta composición cambiante
como patrimonio inactivo, por lo tanto su patrimonio activo es $41,670, que es
parece ser un problema particular para los administradores de fondos de acciones.
.4167 de su patrimonio total. Esta debería ser ahora la fracción máxima
¿Cómo podemos gestionar algo así y seguir teniendo la cartera óptima?
puede utilizar la relación máxima entre capital activo y total, sin incurrir en una llamada de margen.
La solución es realmente bastante sencilla. Cada vez que se agrega o
Recuerde que está operando en los niveles f completos. Por lo tanto, negociará 16 contratos del
eliminado del portafolio, el nuevo óptimo geométrico sin restricciones
sistema de mercado A (41.670/2.500), 20
La cartera se calcula como se detalla en este capítulo. Cualquier ajuste a las posiciones existentes
contratos del sistema de mercado B (41.670/2.000), y 13 contratos de mercado
en términos de la cantidad que debería estar disponible a la luz de la
sistema C (41.670/3.000). El requisito de margen resultante para tal
También se debe crear un sistema de mercado recién agregado o eliminado.
cartera es:
16*$2,000 = $32,000 20*2,000 = 40,000 13* 2,000 = 26,000
En pocas palabras, está bien tener una cartera en constante cambio en
términos de componentes. El objetivo del gestor de una cartera de este tipo,
Requisito de margen inicial $96,000
Sin embargo, es hacer que la cartera sea siempre la geométrica sin restricciones.
Nuevamente podemos ver que esto lo está empujando tanto como sea posible sin
óptimo de los componentes involucrados y mantener el patrimonio inactivo
incurrir en una llamada de margen, ya que tenemos $100,000 de capital total en la cuenta.
cantidad constante. Al hacerlo, se puede gestionar una composición de cartera en constante
cambio de una manera asintóticamente óptima.
Recuerde del Capítulo 2 el hecho de que agregar más y más mercado
Existe un problema potencial con este tipo de negociación desde el punto de vista de la
Los sistemas dan como resultado medias geométricas cada vez más altas para la cartera.
cartera. Un ejemplo puede ayudar a ilustrar. Imaginemos dos mercados altamente correlacionados,
como un todo. Sin embargo, existe una contrapartida en el sentido de que cada sistema de mercado añade
como el oro y la plata. Ahora imagina que tu sistema
marginalmente menos beneficio para la media geométrica, pero marginalmente más
opera con tan poca frecuencia que nunca ha tenido una posición en ambos
detrimento en forma de pérdida de eficiencia debido a operaciones simultáneas en lugar de
mercados el mismo día. Cuando se determinan los coeficientes de correlación de los cambios
resultados secuenciales. Por lo tanto, usted no desea negociar un infinito
diarios del capital, es muy posible que la correlación
número de sistemas de mercado. Es más, carteras teóricamente óptimas
El coeficiente que mostrarás entre el oro y la plata es 0. Sin embargo, si en
encontrarse con el problema de las restricciones de margen en aplicaciones de la vida real. En otra
En el futuro, usted opera en ambos mercados simultáneamente, puede esperar que tengan una
En otras palabras, es mejor que opere con 3 sistemas de mercado al máximo nivel óptimo.
alta correlación positiva.
niveles que comerciar 300 sistemas de mercado a niveles dramáticamente reducidos como
Para resolver este problema, resulta útil editar los coeficientes de correlación teniendo en
como resultado de la ecuación (8.08). Por lo general, encontrará que el número óptimo de
cuenta este tipo de situación. En resumen, no tengas miedo.
sistemas de mercado para negociar, especialmente cuando tiene muchas órdenes que realizar y
para editar los coeficientes de correlación hacia arriba. Sin embargo, tenga cuidado al moverse
la posibilidad de cometer errores, es sólo un puñado.
ellos más bajos. Supongamos que muestra el coeficiente de correlación entre
Si uno o más sistemas de mercado en la cartera tienen ponderaciones óptimas mayores
que 1, surge un problema potencial. Por ejemplo, supongamos un
Los bonos y la soja son 0, pero usted cree que debería ser más bajo, digamos ­0,25. Tú
Realmente no debería ajustar los coeficientes de correlación más bajos, ya que los coeficientes
sistema de mercado con una f óptima de 0,8 y una pérdida máxima de 4.000 dólares.
de correlación más bajos tienden a hacer que aumente el tamaño de la posición. En resumen, si
Por lo tanto, f$ es $5,000. Supongamos la ponderación óptima para esto.
vas a equivocarte en los coeficientes de correlación, equivocate moviéndolos
componente de la cartera es 1,25. Por lo tanto, intercambiará una unidad de
hacia arriba en lugar de hacia abajo. Moverlos hacia arriba tenderá a moverse
este componente por cada $4000 ($5000/1,25) en el capital de la cuenta. Como
la cartera a la izquierda del pico de la curva f de la cartera, mientras que mover los coeficientes
Como puede ver, tan pronto como el componente experimente su mayor pérdida, todo el capital
de correlación hacia abajo tenderá a moverlo a la derecha de
activo de la cuenta desaparecerá (a menos que las ganancias sean suficientes).
la curva f de la cartera.
en los otros sistemas de mercado para rescatar algo de capital activo).
Este problema tiende a surgir en sistemas que comercian con poca frecuencia.
Por ejemplo, recuerde que si pudiéramos tener dos sistemas de mercado con una correlación
A menudo la gente intenta filtrar las operaciones de manera que estén en un mercado
particular durante ciertos momentos y fuera en otros en un intento de
reducción inferior. Si la técnica de filtrado funciona, si reduce la reducción
negativa perfecta y una expectativa positiva, lo óptimo sería
sobre una base de una unidad, entonces la f que es óptima para las operaciones filtradas será
tener en un número infinito de contratos. Cuando uno de los componentes
ser mayor (y f$ menor) que para toda la serie de operaciones antes del filtrado. Si el comerciante
perdido, el otro ganaría una cantidad igual o mayor. Así, haríamos
aplica la f óptima sobre toda la serie prefiltrada para
Siempre tendrás una ganancia neta en cada jugada. Sin embargo, estos sistemas de mercado
En la serie postfiltrada, se encontrará en una fracción f de la serie postfiltrada y, por lo tanto, no
siempre están teniendo una obra simultánea. La situación que se está discutiendo es
podrá obtener una cartera geométrica óptima. Por otro lado, si el operador aplica la f óptima en la
análoga a esta situación hipotética cuando uno de estos componentes
serie postfiltrada, puede obtener la cartera geométrica óptima, pero está
no está activo en una determinada jugada. Ahora sólo hay un sistema de mercado activo en una
jugada determinada, y ese sistema de mercado tiene un número infinito de
Volvamos al problema de las grandes reducciones inminentes en f óptima.
de contratos. Una pérdida es catastrófica.
Parece haber derrotado el propósito de su filtro.
La solución es dividir 1 por la ponderación más alta de cualquiera de los
Esto ilustra la falacia de los filtros de un sistema de gestión del dinero.
componentes de la cartera y utilizar la respuesta como límite superior del patrimonio activo si la
punto de vista. Los filtros podrían funcionar (reducir la reducción por unidad)
respuesta es menor que la respuesta a la ecuación (8.08). Este
sólo porque hacen que el comerciante se encuentre en una fracción del f óptimo.
garantiza que si en el futuro se produce una pérdida de la misma magnitud
¿Por qué filtrar? Podríamos afirmar que nos beneficiamos al filtrar si nuestro
como la pérdida más grande sobre la cual se derivó f, no borrará la cuenta. Por ejemplo,
respuesta a la ecuación fundamental del comercio en operaciones postfiltradas en
supongamos que la ponderación más alta de cualquier componente en
el óptimo prefiltrado f es mayor que la respuesta a la fundamental
nuestra cartera es 1,25. Entonces si la ecuación (8.08) no nos da una respuesta
ecuación de negociación en operaciones prefiltradas en el óptimo prefiltrado f. Es
Si es inferior a 0,8 (1/1,25), utilizaremos 0,8 como límite superior de nuestro porcentaje de capital
Es importante tener en cuenta al hacer dicha comparación que el posfiltrado
activo.
las operaciones son menos numerosas (tienen un N más bajo) que las operaciones prefiltradas.
Es poco probable que esto sea un problema si comienza con un capital activo bajo.
porcentaje. Sin embargo, un operador más agresivo puede encontrarse con este problema. Una
solución alternativa es establecer restricciones adicionales en la matriz de cartera (como
restricciones sobre la ponderación máxima para cada sistema de mercado que se establece en 1,
así como restricciones relacionadas con el margen).
Estas restricciones adicionales de programación lineal pueden ser ligeramente beneficiosas para
el operador agresivo, pero las soluciones matriciales pueden estar involucradas.
Se remite nuevamente a los lectores interesados a Childress.
MERCADOS ROTATIVOS
Muchos comerciantes utilizan sistemas o técnicas que les permiten monitorear
muchos mercados todo el tiempo, filtrando lo que consideran el mejor mercado.
PARA RESUMIR
Hemos visto que operar sobre una base fraccionaria fija genera el máximo
dinero en sentido asintótico. Maximiza la relación entre ganancia potencial y
pérdida potencial. Una vez que tengamos un valor f óptimo podemos convertir nuestro valor diario
cambios de capital en una base de 1 unidad a un HPR, podemos determinar el HPR promedio
aritmético y la desviación estándar en esos HPR, y podemos
calcular el coeficiente de correlación de las HPR entre dos sistemas de mercado cualesquiera.
Luego podemos utilizar estos parámetros como datos de entrada para determinar
las ponderaciones óptimas para una cartera óptima. (Ya que estamos usando
vehículos apalancados, peso y cantidad no son sinónimos, ya que
sería si no hubiera apalancamiento involucrado.) Estas ponderaciones entonces son
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reflejado nuevamente en los valores f, la cantidad con la que deberíamos financiar cada contrato,
su respectiva ponderación; el resultado es el apalancamiento óptimo para cada componente de
ya que los valores f se dividen por sus respectivas ponderaciones. Este
la cartera. Ahora podemos diluir esta cartera uniéndola con el activo libre de riesgo. Podemos
nos da nuevos valores f, que resultan en el mayor crecimiento geométrico
diluir la cartera hasta el punto
con respecto a las intercorrelaciones de los otros sistemas de mercado y
donde realmente no hay ninguna influencia involucrada. Es decir, estamos aprovechando
sus ponderaciones.
la porción de capital activo de la cartera, pero la porción de capital activo es
El mayor crecimiento geométrico se obtiene utilizando ese conjunto de
ponderaciones cuya suma no está restringida y cuyo promedio aritmético
en realidad tomando prestado su propio dinero, sin intereses, del capital inactivo
parte. El resultado es una cartera y un método para agregar y recortar posiciones a medida que
HPR menos su desviación estándar en HPR al cuadrado (su varianza) es igual
cambia el capital de la cuenta.
1 [Ecuación (7.06c)]. En lugar de diluirse (lo que sólo te pone
resulta en el mayor crecimiento geométrico. Como tal método maximiza la
más a la izquierda en la frontera eficiente no restringida), como es el caso de una
crecimiento geométrico potencial a la pérdida potencial y permite que la pérdida máxima
estrategia estática fraccional f, esta cartera se comercializa en su totalidad con solo una
aceptable se especifique esencialmente desde el principio, también puede
fracción de los fondos en la cuenta. Esta técnica se denomina estrategia f fraccionaria dinámica .
Se puede argumentar que es un medio superior para gestionar una cartera de acciones.
Los fondos restantes, el capital inactivo, quedan
al margen de la actividad que se desarrolla en estos fondos activos.
Dado que esta parte activa se negocia a niveles óptimos, las fluctuaciones en este capital
activo serán rápidas. Como resultado, en algún momento
El actual procedimiento generalmente aceptado para determinar la frontera eficiente no
arrojará realmente la frontera eficiente, y mucho menos la
cartera que es óptima geométrica (la cartera óptima geométrica siempre se encuentra en la
frontera eficiente). Esto sólo puede derivarse incorporando la f óptima. Además, el procedimiento
las ventajas o desventajas de las fluctuaciones bursátiles, o en algún momento
generalmente aceptado produce una
tiempo, probablemente lo encontrará necesario, aunque sólo sea desde un punto de vista emocional.
cartera que se negocia sobre una base estática en lugar de sobre una base dinámica, siendo
punto de vista, reasignar fondos entre la parte activa y la parte inactiva.
este último asintóticamente infinitamente más poderoso.
Se han explicado cuatro métodos para hacerlo, aunque otros, posiblemente
mejor, pueden existir métodos:
UN COMENTARIO DE CIERRE
1. Utilidad para el Inversor.
2. Planificación de escenarios.
3. Promedio de acciones.
4. Seguro de Cartera.
El cuarto método, seguro de cartera o cobertura dinámica, es inherente a cualquier
estrategia dinámica fraccional f, pero también puede utilizarse como
un método de reasignación.
Hemos visto además que tomar la cartera óptima geométrica sin restricciones y aplicarla
en tiempo real probablemente encontrará un problema en términos de los requisitos de margen
inicial. Este problema puede aliviarse determinando un límite superior para el ratio de capital
Este es un momento muy emocionante para estar en este campo. Han surgido nuevos conceptos.
estado surgiendo casi continuamente desde mediados de los años cincuenta. Hemos sido
testigos de una avalancha de grandes ideas de la comunidad académica basadas en el modelo
EV. Entre las ideas presentadas ha estado la ES
modelo. Con el modelo ES la medida del riesgo es la semivarianza en lugar de
de varianza.
La semivarianza se define como la variación bajo algún objetivo.
obtener el nivel de rendimiento, que podría ser el rendimiento esperado, el rendimiento cero o
cualquier otro nivel fijo de rentabilidad. Cuando este nivel objetivo de rendimiento es igual
el rendimiento esperado y la distribución de los rendimientos son simétricos (sin asimetría), la
frontera eficiente ES es la misma que la eficiente EV
frontera.
activo.
al patrimonio total de la cuenta.
1
Se han presentado otros modelos de cartera utilizando otras medidas.
por el riesgo que por la variación en los rendimientos. Otros modelos de cartera han sido
presentado utilizando momentos de la distribución de rendimientos más allá del primer
APLICACIÓN A LA NEGOCIACIÓN DE VALORES
Las técnicas que se han descrito en este libro se aplican no sólo
a los comerciantes de futuros, sino a los comerciantes de cualquier mercado. Incluso alguien que comercia con un
cartera de acciones de primera línea no es inmune a los principios y
las consecuencias discutidas en este libro. Ha visto que dicha cartera de acciones de primera
línea tiene un nivel óptimo de apalancamiento donde la relación
dos momentos. De particular interés a este respecto han sido los
enfoques de dominancia estocástica, que abarcan toda la distribución de rendimientos y, por lo
tanto, pueden considerarse el caso límite del análisis de cartera multidimensional a medida que
el número de momentos incorporados se aproxima al infinito.2 Este enfoque puede ser
particularmente útil cuando el
la varianza en los rendimientos es infinita o indefinida.
Una vez más, no soy un supuesto académico. Esto no es un alarde ni una
Se maximiza la relación entre ganancias potenciales y pérdidas potenciales en el capital. en tal
nivel, las reducciones que se esperan también son bastante severas y, por lo tanto,
disculpa. No soy más académico que ventrílocuo o televisivo.
la cartera debería diluirse, preferiblemente mediante una estrategia dinámica fraccionaria f.
luchador. Los académicos quieren un modelo para explicar cómo funcionan los mercados. Como
No soy académico, no me importa cómo funcionan. Por ejemplo, muchas personas
Todo el procedimiento se puede realizar exactamente como si el stock
que se comercializaba era un sistema de mercado de productos básicos. Por ejemplo, supongamos
Toxico cotizaba a 40 dólares por acción. El costo de 100 acciones de Toxico.
Serían $4.000. Este bloque de 100 acciones de Toxico puede tratarse como 1
contrato del sistema de mercado Toxico. Por lo tanto, si estuviéramos operando en un
cuenta de efectivo, podríamos reemplazar la variable margeni$ en la ecuación (8.08)
con el valor de 100 acciones de Toxico ($4,000 en este ejemplo). En lo
Al hacerlo, podemos determinar el límite superior de la fracción de f para usar tal
que nunca tengamos que realizar siquiera el trámite en una cuenta de margen.
En la comunidad académica sostienen que la hipótesis del mercado eficiente es
defectuoso porque no existe un inversor racional. Ellos discuten
que las personas no se comportan racionalmente y, por lo tanto, los modelos de cartera
convencionales, como la teoría EV (y sus ramificaciones) y la teoría del activo de capital.
modelo de fijación de precios, son modelos pobres de cómo operan los mercados. Mientras yo
estar de acuerdo en que la gente ciertamente no se comporta racionalmente, eso no significa
que no deberíamos comportarnos racionalmente o que no podemos beneficiarnos comportándonos
racionalmente. Cuando la varianza de los rendimientos es finita, ciertamente podemos
beneficiarnos al estar en la frontera eficiente.
En los últimos años se ha debatido mucho sobre la utilidad de
Cuando haga este tipo de ejercicio, recuerde que está replicando una situación de apalancamiento,
pero en realidad no hay ningún endeudamiento o préstamo. Por lo tanto, debes utilizar un RFR
modelos de cartera actuales a la luz del hecho de que la distribución de la
de 0 en cualquier cálculo.
los registros de cambios de precios parecen ser paretianos estables con varianza infinita (o
(como el índice de Sharpe) que requieren una RFR.
Por otro lado, si realizamos el trámite en una cuenta de margen,
y si los niveles de margen iniciales son, digamos, 50%, entonces usaríamos un valor de
$2 000 para la variable margen de Toxico en (8.08).
Tradicionalmente, los administradores de fondos de acciones han utilizado carteras donde el
La suma de los pesos se limita a 1. Luego optan por esa cartera.
indefinida). Sin embargo, muchos estudios demuestran que los mercados en los últimos años
años hemos visto un movimiento hacia la normalidad (por lo tanto, varianza finita) y
independencia que asumen los modelos de cartera criticados.
1
Markowitz, Harry, Selección de cartera: diversificación eficiente de las inversiones.
2
Véase Quirk, J, P. y R. Saposnik, "Admisibility and Measurable Utility Functions", Review of
Economic Studies, 29(79):140­146, febrero de 1962. Véase también
La composición de la cartera resultante se expresa en
Reilly, Frank K, Análisis de inversiones y gestión de carteras. Hinsdale, Illinois:
cada componente de la cartera.
Al eliminar esta restricción de suma de pesos y optar por una única cartera que sea
geométricamente óptima, obtenemos el apalancamiento óptimo.
Pelo­
Nueva York: John Wiley, 1959.
composición que proporciona la varianza más baja para un nivel dado de rendimiento aritmético.
forma de las ponderaciones, o porcentajes de la cuenta comercial, que se aplicarán a
3
La prensa Dryden, 1979.
3
Véase Helms, Billy P. y Terrence F. Martell, "An Examination of the Distribution of Commodity
Price Changes", serie de documentos de trabajo. Nueva York: Colombia
Centro Universitario para el Estudio de los Mercados de Futuros, CFSM­76, abril de 1984. También
véase Hudson, Michael A., Raymond M. Leuthold y Cboroton F. Sarassorro,
portafolio. Aquí los pesos y cantidades son completamente diferentes. Nosotros
"Cambios en los precios de futuros de productos básicos: distribución, eficiencia del mercado y fijación de precios
Ahora divida la cantidad óptima para financiar una unidad de cada componente entre
Commodity Options", Serie de documentos de trabajo, Nueva York: Universidad de Columbia
Centro para el Estudio de los Mercados de Futuros, CFSM­127, junio de 1986.
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Por otra parte, los modelos de cartera utilizan la distribución de rendimientos como insumo, no la
distribución de los registros de cambios de precios. Mientras que la distribución de rendimientos
es una distribución transformada de los logaritmos de los cambios de precios (transformados
mediante técnicas tales como acortar las pérdidas y dejar que las ganancias
ejecutar), no son necesariamente la misma distribución, y la distribución
de rendimientos puede no ser miembro del paretiano estable (razón por la cual
modelamos la distribución de las pérdidas y ganancias comerciales en el Capítulo 4 con nuestro ajuste
distribución). Además, existen productos derivados como opciones.
que tienen semivarianza finita (si son largas) o varianza finita en conjunto. Para
Por ejemplo, un diferencial de opción vertical colocado con un débito garantiza una variación finita
en los rendimientos.
No me estoy defendiendo de los ataques a los modelos de cartera actuales. Más bien,
estoy haciendo de abogado del diablo. La cartera actual
Los eventos esperados,1 los Ei, no son
APÉNDICE A ­ El
números enteros.
Prueba de chi­cuadrado
Ahora trabajamos con un ejemplo del
Existe una serie de pruebas estadísticas
estadístico chi­cuadrado.
diseñadas para determinar
para los datos correspondientes a la Figura
si dos muestras provienen del
3­16. Estos son los 232 oficios,
misma población. Esencialmente, nosotros
convertido a unidades estándar,
quiero saber si dos distribuciones
colocado en 10 contenedores de ­2 a +2
son diferentes. Quizás lo más
sigma, y graficado versus qué
los datos serían si estuvieran distribuidos
muy conocida de estas pruebas es la
normalmente. Tenga en cuenta que nosotros
debe utilizar la corrección de Yates:
prueba de chi­cuadrado, ideada por Karl
Pearson alrededor de 1900. Es quizás la
Se pueden emplear modelos siempre que seamos conscientes de sus deficiencias.
más popular de todas las pruebas
estadísticas utilizadas para determinar
Bin# Observado Esperado ((ABS(OE)­.5)^
1 7,435423 4,738029
Sin duda necesitamos mejores modelos de cartera. No es mi argumento que
si dos distribuciones son diferentes.
2 17 3 25
13.98273 .4531787
4 27 5 38
22.45426 .1863813
6 61 7 37
30.79172 .3518931
8 12 9 4
36.05795 .05767105
10 2
36.078 16.56843
Los modelos de cartera actuales son adecuados. Más bien, es mi opinión
que la entrada a los modelos de cartera, actuales y futuros para cualquier
Los modelos de cartera que utilizamos deben basarse en negociar una unidad al nivel óptimo,
o lo que creemos que será el nivel óptimo para ese artículo en el futuro.
el futuro, como si estuviéramos comercializando sólo ese artículo. Por ejemplo, si nosotros
están empleando la teoría EV, el modelo de Markowitz, los insumos son el rendimiento
esperado, la varianza en los rendimientos y la correlación de los rendimientos con otros.
sistemas de mercado. Estos insumos deben determinarse a partir del comercio de una unidad.
en cada sistema de mercado en el nivel f óptimo. Modelos de cartera distintos de
EV puede requerir diferentes parámetros de entrada. Estos parámetros deben ser
discernido basándose en el comercio de una unidad de los sistemas de mercado en sus niveles
óptimos de f.
Los modelos de cartera son sólo una faceta de la gestión del dinero, pero
son una faceta en la que seguramente el debate se prolongará durante bastante tiempo. Este libro
No podría ser definitivo en ese sentido, ya que aún están por llegar modelos más nuevos y mejores.
ser formulado. Lo más probable es que nunca tengamos un modelo en el que todos estemos de acuerdo
considerarlo adecuado. Esto debería contribuir a una vida sana y estimulante.
ambiente.
El estadístico chi­cuadrado, X
2
, es
calculado como:
(A.01) X2 =>[i = 1,N](Oi­Ei)^2/Ei
30,7917 1,058229
dónde
22.45426 4.41285
13.98273 6.430941
N = El número total de contenedores.
7.435423 3.275994
Oi = El número de eventos
X2=37.5336
observado en el i­ésimo contenedor.
Ei = El número de eventos esperados
en el i­ésimo contenedor.
Un valor grande para el estadístico chi­
cuadrado indica que es
Podemos convertir un chi­cuadrado
estadística como 37,5336 a un nivel de
significancia. En el sentido que nosotros
estamos usando aquí, un nivel de
significancia es un número entre 0, que
improbable que las dos distribuciones
representa que las dos distribuciones
son iguales (es decir, las dos muestras
son diferentes, y 1, lo que significa que
no provienen de la misma población).
Asimismo, cuanto menor sea el
valor del estadístico chi­cuadrado,
más probable es que los dos
las distribuciones son las mismas (es decir, la
Se tomaron dos muestras de
misma población).
Tenga en cuenta que los valores observados,
los de Oi, siempre serán números enteros.
Sin embargo, los valores esperados, el
Ei's, pueden ser números no enteros. Ecuación
(A.01) proporciona el estadístico &i­cuadrado
cuando tanto el valor esperado como el
los valores observados son números enteros.
Cuando los valores esperados, el
Se permite que los Ei sean números no
enteros, debemos usar un número diferente.
ecuación, conocida como corrección de
Yates, para encontrar el chi­cuadrado
estadística:
(A.02) X2 = ∑[i = 1,N] (ABS(Oi­ Ei)­.5)^2/Ei
las dos distribuciones son iguales.
Nunca podremos estar 100% seguros
que dos distribuciones son iguales
(o diferentes), pero podemos determinar qué
tan parecidos o diferentes son dos
las distribuciones alcanzan un cierto nivel
de significancia. Hay dos
maneras en que podemos encontrar el
Nivel significativo. Esta primera y
Con diferencia, la forma más sencilla es
utilizar tablas. La segunda manera de
convertir una estadística de chi­cuadrado a una
nivel de significancia es realizar
haz los cálculos tú mismo (que es como
Las tablas fueron elaboradas en el
primer lugar). Sin embargo, las matemáticas
requiere el uso de incompletos
funciones gamma, que, como era
mencionado en la Introducción,
no serán tratados en este texto. Se remite a
los lectores interesados a la
Bibliografía, en particular de Recetas
Numéricas. Sin embargo, la mayoría
dónde
lectores que quieran saber
N = El número total de contenedores.
cómo calcular una significancia
Oi = El número de eventos
nivel de un chi­cuadrado dado
observado en el i­ésimo contenedor.
Ei = El número de eventos esperados
en el i­ésimo contenedor.
ABS()­El valor absoluto
función.
Si comparamos el número de eventos
observados en un contenedor con
lo que la Distribución Normal dicta que
debería estar en ese contenedor,
estadística querría saber esto
porque las mesas son bastante incómodas
para utilizar desde el punto de vista de la
programación. Por lo tanto, lo que sigue es
un fragmento de lenguaje BASIC
código para convertir de una estadística de
chi­cuadrado dada a una significancia
nivel.
1000 % DE NOBINAS DE ENTRADA REM,
EL NÚMERO DE CONTENEDORES Y
debe emplear la corrección de Yates.
Esto se debe a que el número de
1
Como se detalla en el Capítulo 3, esto
está determinado por la Distribución Normal
por ecuación (3.21) para cada límite
del contenedor, tomando el valor absoluto de
las diferencias y multiplicando por
número total de eventos.
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CHISQ, EL CHI­CUADRADO
El capítulo 3 no se distribuye normalmente.
Lo que sigue es un pequeño
APÉNDICE B ­
paramétricamente a otros campos
donde hay tales entornos. Por este motivo
1010 LA SALIDA REM ES CONF,
EL NIVEL DE CONFIANZA
tabla para convertir entre valores de chi­
Otras distribuciones
se ha incluido este apéndice.
PARA UN % DE NOBINS DADO Y
significancia. Más
ESTADÍSTICA
cuadrado y grados de libertad a niveles de
comunes
CHISQ
Se pueden encontrar tablas elaboradas en
1020 IMPRESIÓN "CHI CUADRADO
muchos de los libros de estadística
Este apéndice cubre muchos de
las otras distribuciones comunes
ESTADÍSTICA EN"NOBINS%­
mencionados en la Bibliografía:
aparte de la Normal. Este texto
3"GRADOS DE LIBERTAD
VALORES DE X2
ha mostrado cómo encontrar la f óptima y
ES"CHISQ
1030 REM AQUÍ CONTINUAMOS
Grados de
Libertad
LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME
CIÓN
La distribución uniforme,
a veces referido como el
Nivel significativo
sus subproductos en cualquier
distribución. hemos visto en
VERTAR DE UN DADO
.20 .10 .05 .01
Capítulo 3 cómo encontrar el óptimo
forma, ocurre cuando todos los elementos en un
CHISQR A UN SIGNIFICADO
1,6 2,7 3,8 6,6
Distribución rectangular desde su
NIVEL, CONF.
1040 XI = 0:X2 = 0:X3# = 0:X4
1
3,2 4,6 6,0 9,2
f y sus subproductos en la distribución
Normal. Podemos usar el
población tiene igual frecuencia.
2
4,6 6,3 7,8 11,3
al 9. Si tuviéramos que hacerlo al azar
= 0:X5 = 0:X6 = 0:CONF = 0
34
6,0 7,8 9,5 13,3
La misma técnica para encontrar la f óptima
1050 SI CHISQ < 31 O
(NOBINS%­3) > 2 ENTONCES X6 =
(NOBINS%­3)/2­1 :X1 = 1 MÁS
CONF = 1 :IR A 1110
1060 PARA X2 = 1 A
((NOBINAS%­3)/2­.5):X1 =
XI*X6:X6 = X6­1: SIGUIENTE
1070 SI (NOBINS%­3) MOD 2
<> 0 ENTONCES X1 = X
7,3 9,2
11,1 15,1
5
13,4 16,0 18,3 23,2
10 20
25,0 28,4 31,4 37,6
Debes tener en cuenta que el
La prueba de chi­cuadrado puede hacer mucho más
que el que aquí se presenta. Por ejemplo,
puedes utilizar el chi­cuadrado.
prueba en una tabla de contingencia 2 x 2
(en realidad, en cualquier tabla de
1*1.77245374942627#
contingencia N x M). Si estás interesado
1080 X7 = 1:X4 = 1:X3# =
Para obtener más información sobre la
((CHISQ/2)*((NOBINS%­
prueba de chi­cuadrado en dicha tabla,
consulte uno de los libros de estadística.
3)/2))*2/(EXP(CHISQ/2)
* XI*(NOBINS%­3)):X5 =
NOBINAS% ­3+2
mencionado en la Bibliografía.
Finalmente, está el problema.
1090 X4 = X4*CHISQ/X5:X7 =
X7+X4:X5 = X5+2:SI X4> 0
de la arbitrariedad con la que hemos
ENTONCES 1090
número y su alcance. Recordar
1100 CONF = 1­X3#*X7
elegido nuestros contenedores tanto en
1110 IMPRESIÓN "PARA UN NIVEL
que agrupar datos implica una cierta
pérdida de información sobre ese
DE SIGNIFICACIÓN DE
datos, pero en general el perfil de
";USANDO".#########";CONF
la distribución sigue siendo relativamente
Ya sea que determines tu
lo mismo. Si elegimos trabajar
niveles de significancia a través de una tabla o
con sólo 3 contenedores, o si elegimos
calcúlalos tú mismo, lo harás
para trabajar con 30, probablemente
Necesita dos parámetros para determinar
obtener resultados algo diferentes. Él
un nivel de significancia. El primero de
A menudo es un ejercicio útil para tirar a la basura.
estos parámetros es, por supuesto, el
tus datos en varios diferentes
estadística de chi­cuadrado en sí. El
formas al realizar estadísticas
segundo es el número de grados de
pruebas que se basan en datos agrupados. En
libertad Generalmente, el número de
en cualquier otra distribución.
seleccione uno de estos dígitos, cada uno
donde la densidad acumulada
Se conoce la función.
posible selección tiene un igual
No importa si la distribución es
continua o discreta.
Cuando la distribución es discreta,
los puntos de datos equidistantes son
simplemente los puntos discretos a lo largo
la propia curva de densidad acumulada.
Cuando la distribución es continua,
debemos idear estos
puntos de datos igualmente espaciados como nosotros
X<= B más N'(X) = 0
número finito. Cuando las colas van a
determinar los parámetros límite (es decir,
extremo derecho estamos
A = El límite más a la izquierda de la
intervalo AB.
va a operar en la distribución). Cuanto más
La densidad acumulada de
El uniforme viene dado por:
nos alejamos, más
(B.02) N(X) = 0 para X<A más
más precisos nuestros resultados. Si el
N(X) = (XA)/(BA) para A <=
la distribución está limitada en sus colas
X<= B en caso contrario N(X) = 1 para X>B
dónde
en algún punto finito ya, entonces
estos puntos se convierten en el límite
parámetros.
B = El límite más a la derecha de la
intervalo AB.
Finalmente, en el Capítulo 4
A = El límite más a la izquierda de la
intervalo AB.
1
solo nuestra distribución ajustable) cuando
no conocemos el
función de densidad acumulativa, entonces
0,8
podemos encontrar la f óptima y es
debe utilizar la media aritmética y
que el número de elementos
desviación estándar de la muestra
en cada uno de los contenedores esperados, el
Para construir la curva Normal, tenemos
Ei's, tenga al menos cinco años. Cuando hay
por lo tanto debe restar 3 grados
un contenedor con menos de cinco esperados
de libertad. Por tanto, tenemos 7 grados
elementos en él, teóricamente el
Se debe reducir el número de contenedores.
proceso particular, ¿para qué sirve la
hasta que todos los contenedores tengan al menos
función de densidad acumulativa?
subproductos para cualquier proceso
independientemente de su distribución. El
0,6
La parte más difícil es determinar qué
la distribución en cuestión es para un
0,4
ese proceso, y que parámetro
estadística de chi­cuadrado de 37,5336 en
cinco elementos esperados en ellos.
7 grados de libertad son
A menudo, cuando sólo los más bajos
.000002419, dado que este nivel de
significancia está mucho más cerca de
y/o el contenedor más alto tiene menos de 5
cero que uno, podemos asumir con
seguridad que nuestras 232 operaciones de
puede realizar haciendo
El libro es el concepto más amplio de toma
estos grupos "todos menos que" y
de decisiones en entornos.
"todos mayores que" respectivamente.
caracterizado por consecuencias
elementos esperados en él, el ajuste se
B = El límite más a la derecha de la
intervalo AB.
qué tan lejos del extremo izquierdo y del
área bajo cualquier curva (no necesariamente
El nivel de significancia de un
dónde
más y menos infinito debemos
número de parámetros de población
de libertad.
(B.01) N'(X) = 1/(BA) para A<=
y menos infinito o están acotadas a algún
óptima y sus subproductos para el
de libertad para ser válido, es necesario
La Distribución Uniforme es una
distribución continua . El
Además, no importa
si las colas de la distribución van hacia más
arbitraria de cómo eligió sus contenedores.
diez contenedores en nuestro ejemplo y nosotros
números aleatorios.
en el Capítulo 3.
no se debe únicamente a la naturaleza
En un sentido puramente estadístico, en
Se llama Distribución Uniforme Estándar y
se utiliza ampliamente para generar
función de densidad de probabilidad,
aprendí una técnica para encontrar la f
Ordene por nuestro número de grados.
modelar eventos verdaderamente aleatorios. A
tipo particular de distribución uniforme
donde A = 0 y B = 1 es
N'(X), se describe como:
Al hacerlo, puede estar bastante seguro de
que los resultados obtenidos fueron
estadísticas de muestra. Puesto que hay
posibilidad de ocurrencia. Por lo tanto, la
La distribución uniforme se utiliza para
hizo con la Distribución Normal
grados de libertad es igual a
número de contenedores menos 1 menos el
que deben estimarse para el
Un buen ejemplo son los 10 dígitos 0.
Los valores son los mejores para nuestra
aplicación.
Uno de los muchos corazones de este
0,2
0
0
1
2
3
geométricas. La f óptima es el regulador
Figura B­1 Densidad de probabilidad
funciones para la Distribución Uniforme
del crecimiento en tales entornos, y los
(A = 2, B = 7).
subproductos de la f óptima nos dicen
mucho sobre
la tasa de crecimiento de un entorno
determinado. Puede intentar postularse
las herramientas para encontrar el f óptimo
4
5
Machine Translated by Google
1
(B.08a) ¡X! = X*(Xl)*(X­2)*...*1
1
que también se puede escribir como:
P = La probabilidad de un éxito
(B.08b) ¡X! = ∏[J = 0,X­1]XJ
0,8
0,8
proceso en una sola prueba. Q = 1­P.
Además, por convención:
A medida que N se hace grande, el
Binomio tiende a la Distribución Normal,
(B.08c) 0! = 1
0,6
La función de densidad acumulada
del Binomio es:
0,6
siendo la Normal
la forma limitante del binomio.
(B.09) N(X) = ∑[J = 0,X]
0,4
Generalmente, si N*P y N*Q son
(N!/(J!*(NJ)!))*(P^J)*(Q^(N ­J))
0,4
ambos mayores que 5, podrías usar
dónde
el Normal en lugar del Binomi­
N = El número de ensayos.
0,2
al como una aproximación.
La distribución binomial es
X = El número de éxitos.
0,2
A menudo se utiliza para validar estadísticamente.
P = La probabilidad de éxito en una
un sistema de juego. Un ejemplo
sola prueba.
0
0
1
2
3
4
Figura B­2 Funciones de probabilidad
5
0
6
7
acumulada para la Distribución Uniforme
Figura B­3 Densidad de probabilidad
funciones para la Distribución de Bernoulli
(A = 2, B = 7).
(P = 0,5).
Las figuras B­1 y B­2 ilustran
la densidad de probabilidad y la
respectivamente de la Distribución
(B.03) Media = (A+B)/2 (B.04)
ilustrará. Supongamos que tenemos un
1
sistema de juego que ha ganado
51% del tiempo. Queremos determinar
1
cuál sería el porcentaje ganador si se
desempeña en el
futuro a un nivel de 3 desviaciones
0,8
1
estándar peor. Así, la variable
de interés aquí, X, es igual a .51,
probabilidad acumulada (es decir, cdf)
Uniforme. Otras cualidades de la
Distribución Uniforme son:
Q = 1­P.
8 0 9 10
0,6
la probabilidad de una operación ganadora.
La variable de interés no necesita
0,4
ganar. Puede ser la probabilidad de
0,8
ser siempre para la probabilidad de un
un evento en uno de dos grupos
0,6
mutuamente excluyentes. Podemos
Varianza = (BA)^2/12
dónde
B = El límite más a la derecha de la
intervalo AB.
EL DISTRITO BERNOULI
BUCIÓN
Otra distribución simple y común es
la Distribución Bernoulli. esta es la
distribucion
cuando la variable aleatoria puede
sólo tiene dos valores posibles.
0
0,2
0
0
Figura B­4 Funciones de probabilidad
(P = 0,5).
Las figuras B­3 y B­4 ilustran
colas, defectuosas y no defectuosas
artículos, éxito o fracaso, éxito o
respectivamente de la Distribución de
Bernoulli.
que la Distribución Bernoulli es una
distribución discreta (a diferencia de
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
a ser una distribución continua). La
CIÓN
La distribución binomial
de
surge naturalmente al tomar muestras
de una Distribución Bernoulli.
el primer evento que ocurre. La variación
en el Bernoulli es:
La función de densidad de probabilidad,
(B.05) Varianza = P*Q
dónde
(B.06) Q = P­1
2
(N = 5, P = .5).
en N lanzamientos de moneda, etc.) es:
en uno de dos grupos mutuamente
excluyentes.
Z = El número seleccionado de
0,8
desviaciones estandar. norte = el total
número de eventos en la muestra.
Supongamos que nuestra muestra estaba compuesta
0,6
de 100 obras. De este modo:
L = .51­3*((.51*(1­.51))/(100­
1))^.5
0,4
= .51­3*((.51*.49)/99)^.5 =
.51­3*(.2499/99)^.5 =
0,2
.51­3*.0025242424^ .5
= .51­3*.05024183938
0
= .51­.1507255181
0
1
Figura B­6 Funciones de probabilidad
acumulada para la distribución binomial
(N = 5, P = 0,5).
Las figuras B­5 y B­6 ilustran
dónde
P = La probabilidad de éxito en una
Cabe señalar aquí que
el signo de exclamación después de una
variable denota la función factorial:
= .3592744819
345
Basado en nuestra historia de 100
jugadas que generaron una ganancia del 51%
tasa, podemos afirmar que sería
tome un evento 3­sigma para la población
jugar un número infinito de veces
la densidad de probabilidad y la
en el futuro) tener menos de
probabilidad acumulativa (es decir, cdf)
35,92744819 por ciento de ganadores.
respectivamente de la Distribución
Binomial.
sola prueba.
Q = 1­P.
2
de obras de teatro (el futuro si
*(NX)!))*(P^X)*(Q^(NX))
X = El número de éxitos.
5
que representa la probabilidad de estar
(B.07) N'(X) = (N!/(X!
N = El número de ensayos.
4
P = La variable de interés
1
1
N'(X), del Binomial (la probabilidad de X
éxitos en N ensayos o
X defectos en N artículos o X cabezales
3 donde
L = El límite inferior para P
estar en Z desviaciones estándar.
acumulada para la distribución de Bernoulli
probabilidad acumulada (es decir, cdf)
por un parámetro, P, que es la probabilidad
1
0
Figura B­5 Densidad de probabilidad
funciones para la Distribución Binomial
la densidad de probabilidad y la
distribución está completamente descrita
ecuación en la prueba:
(B.12) L = PZ*((P*(1­P))/(N­1))^.5
Ejemplos de esto son las cabezas y
señorita, etcétera. Por eso decimos
ahora realice lo primero necesario
0,2
0,4
A = El límite más a la izquierda de la
intervalo AB.
(B.11) Varianza = N*P*Q donde
N = El número de ensayos.
El Binomial también es una
distribución discreta. Otras propiedades
de la Distribución Binomial
¿Qué clase de confianza?
nivel que esto representa? Eso es un
función de N, el número total de
juega en la muestra. Podemos determinar
el nivel de confianza de
son:
logrando 35 o 36 victorias en 100
(B.10) Media = N*P
lanzamientos por la Ecuación (B.09). Sin
embargo, (B.09) es torpe para trabajar.
con N se hace grande debido a todos
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de las funciones factoriales en
itable a una confianza dada
(B.09). Afortunadamente, la normalidad
¿nivel?"
distribución, Ecuación (3.21) para
Como el pago es 1:1, el
Se pueden utilizar probabilidades de una cola.
El sistema debe ganar más del 50%.
como una aproximación muy cercana a
del tiempo para ser considerado rentable.
las probabilidades binomiales. En el
Digamos que queremos lo dado
En el caso de nuestro ejemplo, usando la
nivel de confianza para volver a ser
ecuación (3.21), 3 desviaciones estándar
se traduce en un 99,865% de confianza.
99,865, o 3 desviaciones estándar
(aunque estamos usando 3 estándar
Por lo tanto, si tuviéramos que jugar
desviaciones en esta discusión,
este sistema de juego durante un número
no están restringidos a esa cantidad;
infinito de veces, podríamos estar
podemos usar cualquier número de
99,865% seguro de que el porcentaje
desviaciones estándar que queramos).
de victorias sería mayor o
¿Cuántas pruebas debemos ahora
igual a 35,92744819%.
testigo para tener 99,865% de confianza
Esta técnica también puede ser
utilizado para la validación estadística de
sistemas comerciales. Sin embargo, esto
Q = La probabilidad de falla
que al menos el 51% de los ensayos
Tomó hasta que apareció un 5, trazando
estos resultados producirían la función de
Distribución Geométrica formulada en
para un ensayo determinado.
1
(B.13).
EL HIPERGEOMÉTRICO
0,8
DISTRIBUCIÓN
Otro tipo de distribución discreta
0,6
relacionada con la anterior
distribuciones se denomina distribución
hipergeométrica. Recordar
que en la Distribución Binomial
0,4
se supone que cada sorteo en
sucesión de la población
tiene las mismas probabilidades. Eso
0,2
es decir, supongamos que tenemos una baraja de 52
ser ganadores?
tarjetas. 26 de estas cartas son negras
Si .51­X = .5, entonces X = .01,
El método sólo es válido cuando el
Por lo tanto, los factores correctos de
Las siguientes suposiciones son ciertas.
Ecuación (B.12), Z*((P*(1­
y 26 son rojos. Si sacamos una carta
0
123
4
Primero, los N eventos (operaciones) son todos
P))/(N­1))^.5, debe ser igual a .01.
independientes y seleccionados al azar.
Dado que Z = 3 en este caso, y .01/3
Figura B­7 Densidad de probabilidad
funciones para la Distribución Geométrica
Esto se puede verificar fácilmente para
= .0033, entonces:
(P = .6).
cualquier sistema de comercio. En segundo lugar, el N.
Todos los eventos (negocios) se pueden
clasificar en dos mutuamente excluyentes.
grupos (victorias y pérdidas, intercambios
mayor o menor que el comercio medio,
etc.). Esta suposición,
también puede quedar satisfecho fácilmente. El
El tercer supuesto es que la probabilidad
de que un evento sea clasificado
((P*(1­P))/(N­1))^.5 = .0033
Continuar:
(.51*.49)/(N­1) = .00001111
excluyentes es constante desde
.2499/(N­1)
un evento al siguiente. Esto no es
= .00001111 .2499/.00001111
necesariamente cierto en el comercio, y el
= N­1 .2499/.00001111+1
el grado en que esta suposición es
Falso, sea como sea, la técnica todavía
puede tener valor para
comerciantes.
No sólo se puede utilizar para
determinar el nivel de confianza de una
cierto método es rentable,
La técnica también se puede utilizar para
determinar el nivel de confianza para
un determinado indicador de mercado. Por
= norte22.491+1 = norte
asume. Ahora para el próximo sorteo,
1
Todavía hay una probabilidad de 0,5 (26/52)
de que la siguiente carta sea negra (o
rojo).
0,8
La Distribución Hipergeométrica
asume casi lo mismo
cosa, excepto que no hay reemplazo
0,6
después del muestreo. Supongamos que nosotros
saca la primera carta y es roja,
y no lo reemplazamos nuevamente en
0,4
la cubierta. Ahora bien, la probabilidad de
el próximo sorteo que sea rojo se reduce
al 25/51 o .4901960784. En el
0,2
Distribución hipergeométrica
norte = 22.492
hay dependencia, en el sentido de que
Por lo tanto, necesitamos ser testigos de una
las probabilidades del próximo evento son
0
Tasa de victorias del 51% en 22,492 pruebas para
123
estar 99,865% seguros de que lo haremos
vea al menos un 51% de victorias.
LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Al igual que la binomial, la distribución
ejemplo, si tiene un indicador
geométrica, también una distribución
discreta, ocurre como resultado de N
4
Figura B­8 Funciones de probabilidad
un evento es independiente del
acumulativa (es decir, cdf) respectivamente
N(X) de los hipergeométricos son
los mismos que para el Binomi­al, (B.07) y
de la distribución geométrica. Otras
(B.09) respectivamente,
propiedades de la
excepto que con la Hipergeométrica la
Los geométricos son:
variable P, la probabilidad de éxito en un
Bernoulli independiente.
grupos: pronósticos correctos y pronósticos
incorrectos. Tu puedes ahora
Mide el número de intentos antes del primer
(B.15) Media = 1/P (B.16) Varianza = Q/
éxito (o fracaso).
P^2
expresar la confiabilidad de su indicador
con cierta confianza
La función de densidad de probabilidad,
Esta técnica también puede ser
son necesarios para que un sistema sea
rentable para una confianza determinada
nivel. Por ejemplo, supongamos que
dónde
P = La probabilidad de éxito de una
prueba determinada.
Q = La probabilidad de falla
tener un sistema de juego que gane
para un ensayo determinado.
51% del tiempo en un juego que
paga 1 a 1. Queremos saber
En otras palabras, N'(X) aquí
Mide el número de intentos hasta el primer
cuantas pruebas debemos observar
éxito. Por lo tanto, la función de densidad
estar seguro de una confianza dada
acumulada para Geo­metric es:
sentido asintótico.
(B.14) N(X) = ∑[J = 1,X] Q^(J­1)*P
Así podemos reformular el problema.
como, "Si el sistema gana el 51% de la
tiempo, ¿cuántas pruebas debo presenciar
y hacer que muestre una ganancia del 51%?
tasa, saber que será rentable.
dónde
P = La probabilidad de éxito de una
prueba determinada.
solo ensayo,
cambia de un ensayo a otro.
Es interesante notar la relación entre
dónde
P = La probabilidad de éxito de una
prueba determinada.
Q = La probabilidad de falla
para un ensayo determinado.
Supongamos que estamos discutiendo
las Distribuciones Hipergeométrica y
Binomial. A medida que N se hace mayor,
la
diferencias entre los calculados
Las probabilidades de la Hipergeométrica
y la Binomial se acercan
lanzando un solo dado. Si estamos
el uno al otro. Así podemos afirmar
hablando de tener el resultado de
que cuando N se acerca al infinito, la
5, cuantas veces tendremos
Enfoques hipergeométricos
Binomio como límite.
tirar la suerte, en promedio, a
lograr este resultado? El significado
de la Distribución Geométrica dice
nosotros esto. Si conocemos la probabilidad
nivel en el que el sistema será rentable en
Las funciones básicas N'(X) y
Las figuras B­7 y B­8 ilustran
la densidad de probabilidad y la probabilidad
ensayos. La distribución geométrica
solía discernir cuántas pruebas
la Distribución Binomial, donde
resultado(s) del evento(s) anterior(es).
El cierre del día siguiente, entonces
(B.13) N'(X) = Q ^ (X­ 1)*P
dependiendo7 del
resultado(s) de
8 los
6
10
9
eventos anteriores. Contraste esto con
Distribución (p = 0,6).
tener dos mutuamente excluyentes
N'(X), es:
5
acumulada para el modelo Geométrico
BUCIÓN
que pronosticará la dirección de
nivel.
Este "muestreo con reemplazo"
es lo que la Distribución Binomial
Al elevar ambos lados al cuadrado nos queda:
((.51*(l­.51))/(N­1)) = .00001111
10
en la baraja para el próximo sorteo.
de este modo:
((.51*(1­.51))/(N­1))^.5 = .0033
9
luego volvemos a colocar la tarjeta.
Sabemos que P es igual a .51,
en uno de los dos grupos mutuamente
La técnica se vuelve inexacta
si7es
negro o
8 rojo,
5 y registre
6
de sacar un 5 es 1/6 (.1667) entonces
la media es 1/.1667 = 6. Por lo tanto,
esperaría, en promedio, tirar
Si desea utilizar las probabilidades
binomiales como una aproximación de la
hipergeométrica, como
Si el binomio es mucho más fácil de
calcular, ¿qué tamaño debe tener la población?
¿ser? No es fácil afirmar con ningún
un dado seis veces para obtener un 5.
certeza, ya que la exactitud deseada del
Si siguiéramos repitiendo este proceso
resultado determinará
y registró cuántos lanzamientos
si la aproximación es exitosa
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exitoso o no. Generalmente, sin embargo,
N'(3) = (4^3*EXP(­4))/3!
una población con un tamaño de muestra de 100
= (64*EXP(­4))/(3*2) =
a 1 suele ser suficiente para permitir
aproximando el Hipergeométrico con el
Binomio.
EXP() = El exponencial
función.
1
(64*.01831564)/6
LA DISPONENCIAL EXPONENCIAL
0,8
= 1,17220096/6
TRIBUCIÓN
= .1953668267
Relacionada con la distribución de
LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
CIÓN
La distribución de Poisson es
Otra distribución discreta importante. Esta
distribución se utiliza para
distribuciones de llegada del modelo y
otros eventos aparentemente aleatorios
que ocurren repetidamente pero al azar.
Estos eventos pueden ocurrir en
puntos en el tiempo o en puntos a lo largo de una
alambre o línea (una dimensión),
a lo largo de un plano (dos dimensiones),
o en cualquier construcción N­dimensional.
La Figura B­9 muestra la llegada de
eventos (las X) a lo largo de una
Entonces podemos decir que hay aproximadamente un
19,5% de posibilidades de recibir 3 llamadas
0,6
Poisson hay una distribución continua
con una amplia utilidad llamada Distribución
el siguiente minuto. Tenga en cuenta que esto es
Exponencial, a veces también denominada
no acumulativo, es decir, esto no es
la probabilidad de recibir 3 llamadas
0,4
Distribución Exponencial Negativa.
0,2
tiempos entre llegadas en sistemas de
o menos, es la probabilidad de
recibiendo exactamente 3 llamadas. Si nosotros
quería saber la probabilidad de
Esta distribución se utiliza para modelar
colas, tiempos de servicio en equipos,
recibir 3 llamadas o menos lo haríamos
y fracasos repentinos e inesperados
he tenido que utilizar la fórmula N(3)
0
[que se da en (B.20)].
Otras propiedades de la Distribución
Pois­son son:
1
tales como fallas en los equipos debido a
3 4fabricación,
defectos bombillas.
de
5
6
2
quemándose, el tiempo que lleva
Figura B­11 Funciones de probabilidad
para que una partícula radiactiva se desintegre,
acumulada para el modelo de Poisson
(B.18) Media = L (B.10) Varianza
=L
etcétera. (Existe una relación muy
Distribución (L = 0,5).
dónde
línea, o en el tiempo.
0
interesante entre la
Distribuciones exponencial y de Poisson.
La llegada de llamadas a un
1
L = El parámetro de la distribución.
El sistema de colas sigue un patrón de Poisson.
La distribución de Poisson fue
desarrollado originalmente para modelar
llamadas telefónicas entrantes a un
En la distribución de Poisson,
tanto la media como la varianza
La distribución entre llegadas (la
tiempo entre las llegadas) es exponencial
tablero de conmutadores. Otras situaciones
igual al parámetro L. Por lo tanto,
típicas que pueden ser modeladas por el
Poisson son la ruptura de un
en nuestro caso de ejemplo podemos decir
que la media es 4 llamadas y la
pieza de equipo, la finalización de un
La varianza es de 4 llamadas (o la
desviación estándar es de 2 llamadas).
trabajo de reparación mediante un
reparador en activo, un error de
La función de densidad de
dónde
0,2
en una cinta o cadena larga, y así
en.
como una J invertida, y cuando L es
0
binomial. De hecho,
el Poisson es la forma limitante de
es que la Binomial es
el Binomio cuando N se acerca al infinito
No es apropiado para eventos que pueden
ocurrir más de una vez dentro de un
B­10 a B­13 muestran la distribución de
plazo dado. Un ejemplo de este tipo podría
Pois­son con el parámetro
probabilidad P, o ocurre.
y P se acerca a 0. Figuras
La función de densidad de
(B.17) N'(X) = (L^X*EXP(­
L = El parámetro de la distribución.
EXP() = El exponencial
función.
Tenga en cuenta que X debe tomar dis­
Valores de Creta.
Supongamos que las llamadas a un
centralita en promedio cuatro llamadas por
4
Distribución. A debe ser mayor
que 0.
5 6 7 8 9 10
EXP() = El exponencial
función.
La integral de (B.21), N(X),
Poisson (L = 4,5).
la función de densidad acumulada
para la distribución exponencial es
dado como:
(B.22) N(X) = 1­EXP(­A*X)
dónde
0,8
A = La entrada paramétrica única,
0,8
igual a 1/L en el Poisson
0,6
Distribución. A debe ser mayor
que 0.
0,6
EXP() = El exponencial
función.
0,4
Las figuras B­14 y B­15 muestran
0,4
las funciones del exponencial
0,2
Distribución. Tenga en cuenta que una vez que
Conozca A, la distribución está
0,2
completamente determinada.
0
L))/X!
dónde
3
1
probabilidad de Poisson, N'(X), viene dada
por:
2
1
hecho de que más de un accidente
puede ocurrir en este período de tiempo.
01
Figura B­12 Densidad de probabilidad
funciones para la Distribución de
valores de .5 y 4.5.
no, con probabilidad Q (es decir, 1­P).
Sin embargo, en la Distribución de Poisson
también podemos tener en cuenta la
A = La entrada paramétrica única,
igual a 1/L en el Poisson
grande, la distribución no es diferente a la
las distribuciones de Poisson y Binomial
Estaríamos trabajando con dos casos
distintos: O ocurre un accidente, con
La distribución se da como:
0,4
(B.21) N'(X) = A*EXP(­A*X)
pequeño, la distribución tiene forma
6 meses. En el binomio nosotros
probabilidad N'(X) para el exponencial
Cuando este parámetro, L, es
bacterias en una placa de Petri, un defecto
ser la probabilidad de que
accidente automovilístico durante el próximo
con el parámetro 1/L.)
0,6
raíz cuadrada de la varianza, 4).
mecanografía, el crecimiento de una colonia de
La principal diferencia entre
Distribución, con tasa de llegada L.
0,8
0
0
1
2
Figura B­10 Densidad de probabilidad
funciones para la Distribución de
01
2
3
4 Funciones5de probabilidad
6
3 Figura B­13
acumulada para el modelo de Poisson
Distribución (L = 4,5).
Poisson (L = .5).
La función de densidad acumulada
de Poisson, N(X), está dada
por:
(B.20) N(X) = ∑[J = 0,X]
(L^J*EXP(­L))/J!
minuto (L = 4). La probabilidad de
dónde
tres llamadas (X = 3) que llegan al
siguiente minuto son:
L = El parámetro de la distribución.
4
5
67
8
9 10
Machine Translated by Google
1
determinar qué tan parecidos o diferentes
LA DISTRIBUCIÓN DEL ESTUDIANTE
dos distribuciones diferentes son.
BUCIÓN
Supongamos que K es un estándar
variable aleatoria normal (es decir,
0,8
tiene media 0 y varianza 1). Si nosotros
Student, es otra distribución importante
digamos que K es igual a la raíz cuadrada
utilizada en las pruebas de hipótesis que
de J (J = K^2), entonces sabemos que
K será un aleatorio continuo
0,6
está relacionada con
la Distribución Normal. Cuando
variable. Sin embargo, sabemos que
K no será menor que cero, por lo que es
0,4
La función de densidad diferirá de
0
1
2
nos da la densidad
función de K:
precisión. En cambio, debes
Utilice la distribución del estudiante.
(B.27) N'(K) = (K ^ ((V/2)­
Esta es una distribución simétrica.
3(V/2)*GAM(V/2))
4
6
dónde
Figura B­14 Densidad de probabilidad
K = La variable chi­cuadrado
funciones para la Distribución Exponencial
X
(A = 1).
con una entrada paramétrica, nuevamente
5
2.
V = El número de grados
1
de libertad, que es el único parámetro de
entrada.
EXP() = El exponencial
0,8
función. GAM() = El estándar
función gamma.
Algunas notas sobre la gamma.
función están en orden. Esta función tiene
0,6
0,4
2
Figura B­15 Funciones de probabilidad
Aviso en la ecuación (B.25)
46
3
5
que el único parámetro de entrada es V,
el número de grados de libertad.
variable al cuadrado (K^2), tomamos
M variables aleatorias independientes
(B.23) Media = 1/A (B.24) Varianza =
1/A^2
JM = K1^2+K2^2 ... KM^2
variables aleatorias independientes. El
menos uno (N­1).
(media de 0 y varianza de
La forma de esta distribución.
Se parece mucho al Normal excepto que
las colas son más gruesas y
el pico de la distribución es más bajo.
Como el número de grados de
la libertad se acerca al infinito, esto
distribución se aproxima a la Normal en
el sentido de que las colas bajan y el
al cuadrado y tomar su suma:
Ahora se dice que JM tiene la
Distribución Chi­Cuadrado con M
La distribución se llama Cauchy.
Es interesante que si hay
de un grado de libertad, entonces
Distribución Chi­Cuadrado. Cuando
hay un grado de libertad,
la distribución es muy asimétrica y se
parece a la distribución exponencial (con
A = 1).
En dos grados de libertad el
La distribución comienza a parecerse a una
línea recta que va hacia abajo y hacia
la derecha, con sólo una ligera concavidad.
A tres grados de
libertad, una convexidad comienza a tomar
EL DISTRITO CHI­SQUARE
BUCIÓN
forma y comenzamos a tener una
distribución de forma unimodal. como el
Una distribución que se utiliza ex­
número de grados de libertad aumenta, la
tensamente en las pruebas de bondad de
función de densidad gradualmente se
ajuste es la Distribución Chi­Cuadrado
vuelve más y más
(pronunciada ki cuadrado, de
simétrico. A medida que el número de
la letra griega X (chi) y por lo tanto
a menudo representado como la X
2
Student con N­1 grados.
de libertad si:
grados de libertad se vuelve muy
grande, la Distribución Chi­Cuadrado
T = N^(1/2)*((XU)/S)
S = Una desviación estándar de
muestra,
La función de densidad de
a cero, ya que la distribución es
N'(X), viene dado como:
simétrico con respecto a cero. La varianza
de la distribución de Student.
(B.28) N'(X) =
es infinito si hay menos de
GAM(V/2)))*((1+((X^2)/V))^(­
tres grados de libertad.
(V+1)/2))
El concepto de varianza infinita es
realmente bastante simple. Supongamos
que medimos la varianza en
registrar ese valor. Ahora medimos la
en el intervalo(s) anterior(es).
podemos decir que el
La variable T seguirá la distribución t de
probabilidad para la Distribución de Student,
forma de un objeto particular.
que es posible que no se hayan realizado llamadas
igual a Z/(J/V), se distribuye según la
Distribución del Estudiante. También
la media existe y es igual
Precios de cierre diarios para una acción
en particular durante el último mes. Nosotros
determinado no se ve afectada por el hecho
Ahora podemos decir que la variable T,
U = La media poblacional.
grados de libertad lo que determina la
esta propiedad establece que la probabilidad
con V grados de libertad. Nosotros
N = El tamaño de una muestra.
mayor que 0.
de una llamada en un intervalo de tiempo
1). El segundo de ellos, que
llame a J, tiene distribución Chi­Cuadrado
se dice que no existe. si hay mas
Distribución de Poisson, y debe ser
términos de una centralita telefónica,
El primero de ellos, Z, es estándar normal
solo un grado de libertad, entonces
la media de esta distribución es
grados de libertad. Es el número de
como la "propiedad del olvido". En
Supongamos que tenemos dos
libertad suelen ser iguales
el número de elementos en una muestra
X = Una media muestral.
La distribución exponencial son:
Otra cualidad interesante
V = Los grados de libertad.
dónde
Supongamos que en lugar de simplemente
acerca de la Distribución Exponencial es
que tiene lo que se conoce
dónde
en su forma más pequeña. En este punto, el
tomando un aleatorio independiente
paramétrica, igual a 1/L en el
(B.27) Media = 0 para V>1
están en su punto más grueso y en la cima
Exponencial (A = 1).
Nuevamente A es la única entrada
los grados de libertad. Los grados de
(B.26) Varianza = V/ (V­2) para
V>2
es un grado de libertad, las colas
acumulada para la Distribución
La media y la varianza de la
Si hay tres o más grados de libertad,
entonces la varianza es finita y es igual a:
5. JUEGO(0) = 1
¡GAM(N) = (N­1)!
1
de Student).
6. GAM( 1/2) = El cuadrado
tanto, si N es un número entero,
0
a veces se modela mediante la distribución
El pico aumenta para parecerse al
Distribución normal. Cuando ahí
7. GAM(N) = (N­1)*GAM(N­1); por lo
0
danos un valor simétrico respecto a
0. La distribución de estos valores.
las siguientes propiedades:
raíz de pi, o 1.772453851
0,2
si C0 es el cierre de hoy y C1 el cierre de
ayer, entonces ln (C0/C1)
muestras de una población con una
La distribución ya no se puede utilizar con
1)*EXP(­V/2))/(2 ^
0
estás trabajando con menos de 30
distribución casi normal, la normal
lo normal. La Distribución Chi­Cuadrado
0,2
La distribución del estudiante,
a veces llamada distribución t o t de
el registro de cambios de precios. (Eso es,
variación en el cierre diario.
(GAM((V+1)/2)/(((V*P)^(1/2))*
dónde
P = pi, o 3,1415926536.
V = Los grados de libertad.
GAM() = La función gam­ma estándar.
Las matemáticas de la Distribución
precios de esa acción para el próximo
de Student están relacionadas con
año y registrar ese valor. Generalmente,
la función beta incompleta.
será mayor que nuestro
primer valor, simplemente del mes pasado
Ya que no vamos a hundirnos
en funciones de matemáticas
diferencia. Ahora volvamos a
física como la incompleta
los últimos 5 años y medir la
variación en los precios de cierre diarios.
función beta, dejaremos el
Distribución de estudiantes en este
Una vez más, la variación ha aumentado
punto. Antes de hacerlo, sin embargo,
más grande. Cuanto más retrocedemos
todavía necesitas saber cómo calcular las
(es decir, cuantos más datos incorporamos
a nuestra medición de la varianza), mayor
con la Distribución del Estudiante para
probabilidades asociadas
se vuelve la varianza. Por lo tanto, la
un número dado de unidades estándar
varianza aumenta sin límite a medida que
el tamaño
Puede utilizar tablas publicadas para
de la muestra aumenta. Esto es
varianza infinita. La distribución
reacio a las mesas como yo, tú puedes
(puntuación Z) y grados de libertad.
encuentre estos valores. Sin embargo, si eres tan
del registro de cambios diarios de precios
simplemente use el siguiente fragmento
de código BÁSICO para discernir el
probabilidades. Notarás que como
la variable grados de libertad,
distribución). El Apéndice A muestra cómo
comienza a parecerse a lo normal
parece tener una variación infinita,
y por lo tanto la Distribución de Student
realizar la prueba de chi­cuadrado para
Distribución según el teorema del límite
central.
se utiliza a veces para modelar
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U = La variable del establo
DEGFDM, se acerca al infinito,
resultados de cada ensayo. La función
los valores devueltos, las probabilidades,
de densidad de probabilidad, N'(X), es
distribución.
convergen a la Normal como
dado como:
dado por la ecuación (3.22):
(B.30) N'(X) = (N!/(∏[i = 1,M]
A = El parámetro de curtosis de
la distribución.
1000 REM 2 COLA PROBABILI­
Ni!))*∏[i = 1,M] Pi^Ni
VÍNCULOS ASOCIADOS CON LA
dónde
DISTRIBUCIÓN T DEL ESTUDIANTE
N = El número total de tri­
1010 PUNTUACIÓN Z ENTRADA REM
también.
Y DEGFDM, SALIDAS CF
1020 ST = ABS(PUNTUACIÓN Z):R8 =
ATN(ST/SQR(DEGFDM)):RC8
= COS(R8):X8 = 1:R28 =
RC8*RC8:RS8 = PECADO(R8)
1030 SI DEGFDM MOD 2 = 0
Ni = El número de veces que
B = El parámetro de asimetría
de la distribución.
D = El parámetro de ubicación
de la distribución.
V = Esto también se llama
Las funciones de densidad
acumulativa para el Paretiano estable son
No se sabe que exista en forma cerrada.
Por esta razón, la evaluación de la
Los parámetros de esta distribución son
complejo, y el trabajo con esta distribución
se hace más difícil. Él
Es interesante notar que los parámetros
paretianos estables A, B, C,
y D corresponden al cuarto,
Se produce el juicio.
parámetro de escala, i = La unidad
Pi = La probabilidad de que el
resultado número i sea el resultado
imaginaria, ­1^(1/2)
de la distribución respectivamente.
Z = 1 ­i*B*
Esto le da al paretiano estable la
tercer, segundo y primer momento
de cualquier ensayo. la sumatoria
(U/ASS(U))*bronceado(A*3.141592653
poder para modelar muchos tipos de
ENTONCES 1080
de todos los Pi es igual a 1.
6/2) cuando A >< 1 y
distribuciones de la vida real, en particular,
1040 SI DEGFDM = 1 ENTONCES Y8
M = El número de posibles
resultados de cada ensayo.
1+i*B*(U∕ASS(U))*2/3.1415926
aquellas en las que las colas de las
= R8:IR A 1070
1050 Y8 = RC8:PARA Z8 = 3 A
(DEGFDM­2) PASO 2:X8
= X8*R28*(Z8­1)/Z8:Y8 =
Y8+X8*RC8:SIGUIENTE
1060 Y8 = R8+RS8*Y8
Por ejemplo, considere un solo dado
536*log(ABS(U)) cuando A = 1.
ABS() = El valor absoluto
donde hay 6 posibles
función. tan() = La tangente
resultados en cualquier tirada dada (M =
función. ln() = La función logarítmica
natural.
6). ¿Cuál es la probabilidad de
Los límites de los parámetros.
saca un 1 una vez, un 2 dos veces y un 3
tres veces de cada 10 rollos de una feria
de la ecuación (B.31) son: (B.32)
¿morir? Las probabilidades de sacar un
0<A<= 2 (B.33) ­1 <= B <= 1
1080 Y8 = 1 :PARA Z8 = 2 A
1, 2 o 3 son cada uno 1/6. Nosotros
debe considerar una cuarta alternativa
(B.34) 0<=V
(DEGFDM­2) PASO 2:X8 = X8*
R28
mantener la suma de las probabilidades
distribución­A, B, D y V­permitir
* (Z8­1)/Z8:Y8 = Y8+X8:SIGUIENTE
1090 CF = Y8*RS8
igual a 1, y esa es la
la distribución asumirá un gran
probabilidad de no sacar un 1, 2 o
muchas formas diferentes.
1070 CF =
Y8*.6366197723657157#:GOT0
1100
1100 IMPRIMIR CF
A continuación llegamos a otra
distribución, relacionada con la Distribución
Chi­Cuadrado, que también tiene
Usos importantes en estadística. La F
Distribución, a veces referida
a como Distribución de Snedecor o
La F de Snedecor es útil en la prueba de
hipótesis. Sean A y B variables aleatorias
chi­cuadrado independientes con grados
de libertad de
3, que es 3/6. Por lo tanto, P1 = P2
= P3 = 1/6 y P4 = 3/6. Además, N1
= 1, N2 = 2, N3 = 3 y N4 = 10 •
podemos decir que A representa la
variable curtosis de la
(B.30) se puede resolver como:
distribución. A también se le llama
norte'(X) =
Exponente característico de la distribución.
(10!/(1!*2!*3!*4!))*(1/6)^1*(1/6)
Cuando A es igual a 2, la
^2*(1/6)^3*(3/6) 4
la distribución es Normal, y cuando
=
A es igual a 1 la distribución es
(3628800/(1*2*6*24))*.1667*.02
78*.00463*.0625
= (3628800/288)*.000001341
F = (A/M)/(B/N)
= .0168966
Distribución F con M y N grados de
= 12600*.000001341
Tenga en cuenta que esta es la
libertad. La función de densidad,
dos veces y un 3 tres veces, no el
es como:
densidad acumulada. Este es un tipo
de distribución que utiliza más de
(B.29) N'(X) =
una variable aleatoria, por lo que no se
(GAM((M+N)/2)*((M/N)^(M/2))
puede extraer su densidad acumulada
)/(GAM(M/2)*GAM(N/2)*((1+M
tan bien y claramente en dos dimensiones
/N)^((M+N)/2)))
como podrías con el
otras distribuciones discutidas así
M = El número de grados
de libertad del primer parámetro.
N = El número de grados
de libertad del segundo paráme­
ter.
GAM() = La función gam­ma
estándar.
EL DISPOSITIVO MULTINOMIAL
TRIBUCIÓN
La Distribución Multinomial está
lejos. No trabajaremos con
otras distribuciones que tienen más
más de una variable aleatoria, pero
Debemos ser conscientes de que tales
distribuciones y sus funciones sí existen.
la probabilidad en las colas aumenta
a medida que A disminuye. Cuando A es menor
que 2, la varianza es infinita.
A es mayor que 1.
La variable B es el índice de
DISTRIBUCIÓN
La Distribución Paretiana estable es
en realidad una clase completa de
distribuciones, a veces referidas
A diferencia del Binomio, que
N'(U) viene dado como:
La función de densidad de probabilidad.
(B.31) ln(N'(U)) =
i*D*UV*abs(U)^A*Z
dónde
con varianza infinita (es decir, cuando
A es menor que 2). Por estas razones, la
paretiana estable es una distribución
extremadamente poderosa.
con aplicaciones en economía
y las ciencias sociales, donde
Las distribuciones de datos a menudo tienen esas
características (colas más gruesas y
varianza infinita) que el establo
Direcciones paretianas.
Esta característica de varianza
infinita hace que el límite central
Teorema no aplicable a datos que
se distribuye según la distribución
paretiana estable cuando A es menor
que 2. Este es un punto muy importante
hecho si planeas usar el teorema del
límite central.
Una de las principales características
del paretiano estable es que
es invariante bajo suma. Este
significa que la suma de variables
estables independientes con exponente
característico A será estable,
con aproximadamente el mismo
exponente característico. Así nosotros
tener la Central Generalizada
Teorema del límite, que es esencialmente
el teorema del límite central,
excepto que la forma limitante de
la distribución es la paretiana estable en
oblicuidad. Cuando B es igual a cero,
lugar de la normal, y
la distribución es perfectamente simétrica.
El teorema se aplica incluso cuando
El grado de asimetría
los datos tienen varianza infinita (es decir,
es mayor cuanto mayor sea el valor absoluto
A < 2), que es cuando la Central
valor de B. Observe que cuando A
es igual a 2, W(U,A) es igual a 0, por lo tanto
B no tiene ningún efecto sobre la distribución.
ción. En este caso, cuando A es igual
2, no importa cuál sea B, todavía
tener la simetría perfecta
Distribución normal. La escala
una función de A, en el sentido de que V =
EL PARETIANO ESTABLE
como distribuciones "Pareto­Levy".
para un evento, el Multinomial supone
que hay M diferentes
menos de 2, las colas de la distribución
son más altas que con el
Distribución normal. El total
parámetro, V, a veces se escribe como
relacionada con la Binomial,
y asimismo es una distribución discreta.
asume dos posibles resultados
Cauchy. Para valores de A que son
probabilidad de sacar exactamente un 1 una vez, unLa
2 media de la distribución existe sólo si
N'(X), de la Distribución F se da
dónde
La variable A mide la
altura de las colas de la distribución. Así,
3­2­1 = 4. Por lo tanto, Ecuación
M y N respectivamente. Ahora el
variable aleatoria:
Se puede decir que tiene la
Los cuatro parámetros del
la distribución es más gruesa que ellos
estaría en la Normal, o esas
C^A, por lo tanto C = V^(1/A).
El teorema del límite no se aplica.
Por ejemplo, las alturas de las personas
tienen una varianza finita. Así nosotros
podría modelar las alturas de las personas
con la Distribución Normal. El
distribución de los ingresos de las personas,
sin embargo, no tiene finito
varianza y por lo tanto se modela
por la distribución paretiana estable
en lugar de la Distribución Normal.
Cuando A es igual a 2, V es la mitad
la varianza. Cuando A es igual a 1,
la distribución de Cauchy, V es
igual al semiintercuartil
rango. D es el parámetro de locución.
Cuando A es igual a 2, la
la media aritmética es insesgada
estimador de D; cuando A es igual
a 1, la mediana es.
Es debido a este teorema del límite
central generalizado que
la distribución paretiana estable es
muchos creen que es representativo de
la distribución del precio.
cambios.1
1
No confundas al paretiano estable
Distribución con nuestra distribución ajustable
discutida en el Capítulo 4. La
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Hay muchas más distribuciones de
se considera una Distribución en
probabilidad que podríamos
(­infinito, infinito), y el
todavía cubre (Binomio Negativo
Distribución, Distribución Gamma,
misceláneo. También debería
Distribución Beta, etc.);
Tenga en cuenta que no todas las distribuciones
Multinomial como multivariado
sin embargo, se vuelven cada vez más
encajar perfectamente en uno de estos diez
oscuros a medida que continuamos
de aquí. Las distribuciones que hacemos
categorías, ya que algunas distribuciones
grandes, las principales distribuciones de
en realidad pueden considerarse
subclases de otras. Por ejemplo, el
La distribución de Student está
probabilidad comunes.
catalogada como Distribución en (­in­
hemos cubierto hasta ahora son, por y
Se han hecho esfuerzos para
catalogar las muchas distribuciones de
infinito, infinito), pero la Normal
puede considerarse una subclase de
probabilidad conocidas. Sin lugar a dudas,
Uno de los mejores esfuerzos en este
el de Estudiante, y el Normal es
sentido ha sido realizado por Karl
Como puedes ver, realmente no hay
dada su propia categoría por completo.
Pearson, pero quizás el trabajo más
cualquier forma "limpia" de categorizar
completo realizado sobre la catalogación
las distribuciones. Sin embargo, el índice
de las muchas distribuciones de
de Haight es bastante completo. Lectores
probabilidad conocidas haya sido
interesados en aprender más sobre
presentado por Frank Haight.2 El trabajo de Haight
los diferentes tipos de distribuciones
El "índice" cubre casi todos los
debería consultar a Haight como punto
distribuciones conocidas en las que
La formación fue publicada antes de
Enero de 1958. Haight enumera la mayoría
de las funciones matemáticas asociadas
con la mayoría de las distribuciones.
Más importante, referencias.
a libros y artículos se dan de manera
que un usuario del índice puede encontrar
qué publicaciones consultar
cuestión más profunda sobre la
distribución particular de intereses.
El índice de Haight clasifica las
distribuciones en diez tipos básicos:
1. normales
2. Tipo III
3. Binomio
4. Discreto
5. Distribuciones en (A, B)
6. Distribuciones en (0, infinito)
7. Distribuciones en (­infinito,
infinidad)
8. Varios univariados
9. Varios bivariados
10. Varios multivariados
De las distribuciones que tenemos
cubiertos en este Apéndice, el
Chi­cuadrado y exponencial
(Exponenciales Negativos) son
categorizados por Haight como Tipo III.
El binomio, el geométrico y el
Los Bernoulli se clasifican como
binomiales. El Poisson y el
Hipergeométrico se clasifican como
Discretos. El rectangular está bajo
Distribuciones en (A, B), la F
Distribución así como el Pareto
están bajo Distribuciones en (0, infinito),
la Distribución del Estudiante
La paretiana estable es una distribución real.
porque modela un fenómeno de probabilidad.
Nuestra distribución ajustable
no es. Más bien, modela otras distribuciones
de probabilidad (dimensionales Z),
como el paretiano estable.
2
Haight, FA, "Índice de distribuciones de
estadísticas matemáticas",
Revista de Investigación del Nacional
Oficina de Normas­B. Matemáticas
y Física Matemática 65 B No. 1,
págs. 23­60, enero­marzo de 1961.
de partida.
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Una vez que haya calculado el número esperado de recuentos para el
APÉNDICE C ­ Más información sobre la dependencia:
tres categorías de longitud de fase (1, 2 y 3+), puede realizar la prueba de chi­cuadrado.
Los puntos de inflexión y las pruebas de duración de fase
grados de libertad aquí para determinar los niveles de significancia, como
Existen pruebas estadísticas de dependencia distintas a las mencionadas en las Fórmulas
de gestión de cartera y reiteradas en el Capítulo 1.
La prueba de los puntos de inflexión es una prueba de dependencia completamente diferente.
Al pasar por el flujo de operaciones, se cuenta un punto de inflexión si una operación
es por un valor de PyG mayor que el de la operación anterior y posterior. Una operación
también puede considerarse un punto de inflexión si es por un menor
Según Kendall y sus colegas,1 deberías usar 2,5
Las longitudes de las fases no son independientes. Recuerda que la fase
La prueba de duración no le informa sobre la dependencia (como engendrar algo así,
etc.), sino si hay o no dependencia o aleatoriedad.
Por último, esta discusión sobre la dependencia aborda la conversión de un coeficiente
de correlación en un límite de confianza. La técnica emplea lo que es
conocida como transformación Z de Fisher, que convierte/un coeficiente de correlación, r, en
Valor de pérdidas y ganancias que tanto la operación anterior como la operación posterior. Darse cuenta de
una variable distribuida normalmente:
Estamos utilizando las operaciones individuales, no la curva de acciones (la curva acumulada).
(C.04) F = .5*ln((1+r)/(lr))
dónde
valores de las operaciones). El número de puntos de inflexión se suma para el
todo el flujo de operaciones. Tenga en cuenta que debemos comenzar con la segunda operación.
F = La variable transformada, ahora distribuida normalmente.
y terminar con el penúltimo intercambio, ya que necesitamos un intercambio en ambos lados de
r = El coeficiente de correlación de la muestra.
el comercio que estamos considerando como un punto de inflexión.
ln() = La función del logaritmo natural.
Considere ahora tres valores (1, 2, 3) en una serie aleatoria, donde
Cada uno de los seis ordenamientos posibles es igualmente probable:
1, 2, 3 2, 3,1 1, 3, 2 3, 1,2 2, 1,3 3, 2, 1
De estos seis, cuatro supondrán un punto de inflexión. Así, para un azar
flujo de operaciones, el número esperado de puntos de inflexión viene dado por:
(C.01) Número esperado de puntos de inflexión = 2/3*(N­2) donde N = El
número total de operaciones.
Podemos derivar la varianza en el número de puntos de inflexión de una serie aleatoria
como:
(C.02) Varianza = (16*N­29)/90
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Tomando el
diferencia entre el número real de puntos de inflexión contados en el
flujo de operaciones y el número esperado y luego dividir la diferencia por la desviación
estándar nos dará una puntuación Z, que luego se expresa como un límite de confianza. El
límite de confianza se discierne a partir de
La distribución de estas variables transformadas tendrá una varianza
de:
(C.05) V = 1/(N­3)
dónde
V = La varianza de las variables transformadas.
N = El número de elementos de la muestra.
La media de la distribución de estas variables transformadas se determina mediante la
ecuación (C.04), sólo que en lugar de ser el coeficiente de correlación de la muestra, r es el
coeficiente de correlación de la población.
Por lo tanto, dado que nuestra población tiene un coeficiente de correlación de 0 (que
supongamos, ya que estamos probando la desviación de la aleatoriedad), entonces la ecuación
(C.04) nos da un valor de 0 para la media de la población.
Ahora podemos determinar cuántas desviaciones estándar tiene el valor ajustado.
variable es de la media dividiendo la variable ajustada por la
Ecuación (3.22) para probabilidades normales de dos colas. Así, si nuestra corriente de
raíz cuadrada de la varianza, Ecuación (C.05). El resultado es la puntuación Z.
las operaciones están muy lejos (muchas desviaciones estándar del número esperado), es
asociado con un coeficiente de correlación y un tamaño de muestra determinados. Por
poco probable que nuestro flujo de operaciones sea aleatorio; más bien, la dependencia está
ejemplo, supongamos que tenemos un coeficiente de correlación de 0,25 y esto se distingue
presente. Si la dependencia parece tener un límite de confianza alto
en 100 operaciones. Por lo tanto, podemos encontrar nuestra puntuación Z como ecuación
(al menos 95%) con la prueba de puntos de inflexión, puede determinar a partir de la inspección
(C.04) dividido por la raíz cuadrada de la Ecuación (C.05), o:
si lo similar engendra lo similar (si hay menos puntos de inflexión reales
(C.06) Z = (.5*ln((1+r)/(1­r)))/(l/(N­3))^.5 Lo cual, para
de lo esperado) o si lo similar engendra lo diferente (si hay más
puntos de inflexión de lo esperado).
Otra prueba de dependencia es la prueba de duración de fase. Esta es una prueba
estadística similar a la prueba de puntos de inflexión. En lugar de contar los
Número de puntos de inflexión entre (pero sin incluir) el comercio 1 y el último.
nuestro ejemplo es:
Z = (.5*ln((l+.25)/(l­.25)))/(l/(100­3))^.5 =
(.5*ln(1.25/.75))/( l/97)^.5 =
(.5*ln(1.6667))/.010309^.5 =
operación, la prueba de duración de la fase analiza cuántas operaciones han transcurrido
(.5*.51085)/.1015346165 =
entre puntos de inflexión. Una "fase" es el número de operaciones que transcurren entre un
.25541275/.1015346165
punto de inflexión máximo y un punto de inflexión mínimo, o un punto de inflexión
= 2,515523856
bajo y un punto de inflexión alto. No importa lo que ocurra primero, el
punto de inflexión alto o punto de inflexión bajo. Así, si el comercio número 4 es un
punto de inflexión (alto o bajo) y el comercio número 5 es un punto de inflexión (alto o bajo).
o bajo, siempre y cuando sea lo contrario de lo que fue el último punto de inflexión),
entonces la longitud de la fase es 1, ya que la diferencia entre 5 y 4 es 1.
Ahora podemos traducir esto a un límite de confianza usando la ecuación
(3.22) para un límite de confianza de cola electrónica de distribución normal. Para nuestro
ejemplo, esto equivale a un límite de confianza superior al 98,8%. Si tuvieramos
Si tuviéramos 30 operaciones o menos, habríamos tenido que discernir nuestro límite de confianza.
utilizando la Distribución de Student con N­1 grados de libertad.
Con la prueba de longitud de fase se suma el número de fases de
longitud 1, 2 y 3 o más. Por tanto, tendrás 3 categorías: 1, 2,
y 3+. Por lo tanto, las longitudes de fase de 4 o 5, etc., se suman todas bajo la
grupo de 3+. No importa si una fase pasa desde un punto de inflexión alto
a un punto de inflexión bajo o de un punto de inflexión bajo a un punto de inflexión alto
punto; lo único que importa es de cuántas operaciones se compone la fase. Para calcular la
duración de la fase, simplemente tome el número comercial de
la última fase (qué número es en la secuencia del 1 al N, donde N es
el número total de operaciones) y restar el número de operaciones de la operación anterior
fase. Para cada una de las tres categorías tendrás el número total de
fases completas que ocurrieron entre (pero sin incluir) la primera y
los últimos intercambios.
Cada una de estas tres categorías también tiene un número esperado de operaciones.
para esa categoría. El número esperado de operaciones de longitud de fase D es:
(C.03) E(D) = 2*(ND­2)*(D^2*3*D+1)/(D+3)!
dónde
D = La duración de la fase.
E(D) = El número esperado de recuentos.
N = El número total de operaciones.
1
Kendall, MG, A. Stuart y JK Ord. La teoría avanzada de la estadística,
vol. III. Nueva York: Hafner Publishing, 1983.