지학 풍산자개념완성 중3-2 개념북(교사용)

수학을 쉽게 만들어 주는 자 중학수학 3-2 (중3-2)본문(001-006).indd 1 2019-10-24 오후 1:59:38 완벽한 개념으로 실전에 강해지는 개념기본서! 체계적인 개념과 꼭 필요한 핵심 문제로 확실하게 개념을 다지세요. 13 개념 1 1-2. 원의접선 원에 외접하는 사각형 유형 check 원에 외접하는 사각형 유형 사각형 ABCD가 원 O에 외접하고 그 접점을 각각 E, F, A G, H라고 할 때 ⑴ 원에 외접하는 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이의 합은 E ABÓ의 대변은 DCÓ, ADÓ의 대변은 BCÓ 서로 같다. 즉, C F A 01 •주제별 핵심 개념 정리 인사각형 ABCD에서 8 오른쪽그림에서원O는사각형ABCD의내접원이 의길이를구하여라. 7 7 E B F 02 A 2x-1 2x+1 52æ -1 2•핵심 ∠APB=52ù일때,∠PAB의 개념 1 D 크기를구하여라. 원에 외접하는 사각형 O 8 A 는접점이다.∠AOB=120ù, x 풀이 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ 이므로 x+9=8+10 9 O B 03 의값을구하여라. 크기를구하여라. C 2-2 A,B는접점이다. B P O 60æ PAÓ=4`cm, ∠APB=60ù D B 일때,삼각형APB의넓이를 C x A 4`cm PB는원O의접선이고두점 17 15 오른쪽그림에서사각형ABCD는원O에외접하고네 ∴ x=9 9 A 3 B 구하여라. 개념 1 E 원에 외접하는 사각형 F 8 O C G 12 H 52 5 D 구성용본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 52 04 단원 마무리 구성용본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 50 오른쪽그림과같이반지름의길이가3`cm인원O에 2019-10-24 오후 1:53:03 D A 3`cm 외접하는사다리꼴ABCD의넓이를구하여라. O 오른쪽 그림의 반원 O에서 ABÓ⊥CDÓ이고ADÓ=8, BDÓ = 2일 때, CDÓ 의 길이 05 C 8 A ①4 50 ④ 10 원에 외접하는 사각형 10`cm C 10`cm O 이를현AB를접는선으로하 여접으면호AB가원의중심 ②6 2019-10-24 오후 1:53:11 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가10`cm인원모양의종 2 B D O 는? A B O를지난다.이때 △OAB의 ③8 넓이를구하여라. ⑤ 12 02 06 오른쪽그림과같이 △ABC는 A 오른쪽 그림과 같이 △ABC 는원O에내접한다. D ABÓ=12'3일때,원O의반 E O DEÓ의길이를구하여라. B 14 지름의길이를구하여라. C 07 ABÓ=ACÓ,BCÓ=24인이등 변삼각형이고원O는 A B △ABC의외접원이다. 24 13 B C 서술형 꽉 잡기 C E 오른쪽 그림에서 AEÓ, AFÓ, A BCÓ는 원 O의 접선이고 C 오른쪽그림과같이원O는반 A 세 점 D, E, F는 접점이다. 지름의길이가5이고, ABÓ=5, BCÓ=6, ACÓ=7 O ABÓ⊥OMÓ,OMÓ=3이다. M 3 일 때, BDÓ의 길이를 구하여라. ABÓ=CDÓ일때,△OCD의넓 5 이를구하여라. O OBÓ=13일 때, ABÓ의 길이 2019-10-24 오후 1:53:22 F O •중단원별 문제 점검 풀이 과정을 자세히 쓰는 유형 B 5 7 생각해 보자 6 D C 18 E A 오른쪽 그림과 같이 원 O 는 직각삼각형 ABC의 내접원이고 세 점 D, E, O F는 접점이다. ACÓ=15, F 51 단원 마무리 정답과 해설 20~21쪽 Ⅰ워크북 24~25쪽 D 주어진 단계에 따라 쓰는 유형 17 오른쪽 그림에서 △ABC는 A 12Â3 구성용본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 51 ODÓ=OEÓ=OFÓ이고 원 O에 내접한다. BCÓ = 14이 고ODÓ⊥ABÓ,OEÓ⊥ACÓ일때, 03 51 개념 1 B 01 O 120æ B 오른쪽그림에서두직선PA, 점E,F,G,H는접점일때,AEÓ+CGÓ의값을구하여라. C 10 13 A ABCD가 원O에외접할때,x 10`cm P OAÓ=10`cm일때,∠APB의 •개념 확인 및 적용 문제 오른쪽그림과같이사각형 D A 원 O는 접선이고 두 점 A, B B 3x-4 x+6 문제+닮은꼴 문제 오른쪽그림에서PAÓ,PBÓ는 O 확인 2 의값을구하여라. 50 •주제별 핵심 대표 유형 문제 A P 두접선의접점이다. 오른쪽그림과같이사각형ABCD가원O에외접 O T 닮은꼴 문제 원의 접선의 성질 개념 check ABCD가 원O에외접할때,x 답 2 오른쪽그림에서두점A,B는 B 오른쪽그림과같이사각형 6`cm A 12`cm 유형 check C 원밖의점P에서원O에그은 할때,x의값을구하여라. CDÓ, 7, 7, 15 예제 2 P 라. 원에 외접하는 사각형 유형 C 8 개념 1 G +BCÓ이고 7+CDÓ=7+8 ∴ CDÓ= P 9`cm C B PAÓ의길이를구하여라. O의접선이고점T는접점이다. D 2`cm F 12`cm ∴ ADÓ+BCÓ= 답 는 접점이다. PCÓ= 9`cm일 때, O B • 풍쌤 의 예제를 통해 개념 확립 ABÓ+ =ADÓ+BCÓ이고 ABÓ=7, ADÓ=7, BCÓ=8이므로 ABÓ+CDÓ= 6`cm H A 8`cm E G O 어라. D H A 점E,F,G,H는접점일때, CDÓ의길이를구하는과정이다. ABÓ=8, CDÓ= 이므로 •간단한 예제 8+ =ADÓ +BCÓ 및 확인 문제 ③ 4'3`cm 오른쪽그림에서직선PT는원 BCÓ=12`cm,DGÓ=2`cm,ADÓ=6`cm일때,CGÓ t 풍쌤의C poin안에알맞은것을써넣어라. B O 8`cm 는원O의접선이고두점A,B 원O의반지름의길이를구하여 ABCD가원O에외접하고네 7 O ADÓ+BCÓ의값을구하는과정 •개념 이해를 돕는 이다.안에알맞은것을써넣 ⑤ 5'2`cm 이가8`cm인원O에서PAÓ,PBÓ P 정답과 해설 16쪽 Ⅰ워크북 23쪽 고네개의점E,F,G,H는접점이다.ABÓ=8`cm, 다음은오른쪽그림에서사각형 D ② 2'¶10`cm A A 오른쪽그림과같이반지름의길 4`cm PTÓ=12`cm,PAÓ=6`cm일때, 확인 1 O에외접하고ABÓ=8,CDÓ=7 ① 6`cm ④ 7`cm Q 1-2 개념 check 개념 학습 + 예제, 확인 문제 다음은 오른쪽 그림과 같이 원 1-1 O 3`cm PQÓ=4`cm일때,APÓ의길이는? “대변의길이의합”을“이웃하는변의길이의합”으로혼동하지않도록주의해! 예제 1 닮은꼴 문제 이가3`cm인원O에서PAÓ는원 ⑵ 두 쌍의 대변의 길이의 합이 같은 사각형은 원에 외접한다. 풍쌤의 point 원의 접선의 길이 O의접선이고점A는접점이다. G AEÓ=AHÓ, BEÓ=BFÓ, CFÓ=CGÓ, DGÓ=DHÓ이므로 ABÓ+CDÓ=(AEÓ+BEÓ)+(DGÓ+CGÓ) 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같음을 이용한다. =AHÓ+BFÓ+DHÓ+CFÓ =(AHÓ+DHÓ)+(BFÓ+CFÓ) =ADÓ+BCÓ 풍쌤 1 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길 D O B ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ H 정답과 해설 16~18쪽 Ⅰ워크북 21~23쪽 B •서술형 꽉 잡기 F 15 D O E C 17 BCÓ=17일 때, 원 O의 넓이를 구하여라. D 풀이 B 구하는 것은? BDÓ의 길이 주어진 것은? 세 선분 AB, BC, AC의 길이 는? ① 3'¶13 ② 4'¶13 ④ 6'¶13 ⑤ 7'¶13 ③ 5'¶13 08 풀이 다음설명중옳지않은것은? [1단계] AEÓ+AFÓ의 값 구하기 (50 %) ① 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 는 서로 같다. ② 원의 반지름에 수직인 직선은 원의 접선이다. 04 ③ 한 원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 오른쪽그림과같이중심이같은 길이는 서로 같다. 두원에서큰원의현AB는작 은원의접선이다. ABÓ와작은 원과의접점을H라고할때,작 은원의넓이를구하여라. 8 A H 12 답 ④ 두 쌍의 대변의 길이의 합이 서로 같은 사각 O 형은 원에 외접한다. B ⑤ 원의 중심에서 현에 그%) 현을 이 [2단계] AEÓ의내린 길이 수선은 구하기 (30 등분한다. 19 오른쪽 그림과 같이 ADÓ=12`cm, CDÓ=8`cm인 직사각형 ABCD의 세 변에 접하 는 원 O가 있다. CIÓ가 원 A E B 12`cm H I G O F D 8`cm C O의 접선이고 네 점 E, F, G, H가 접점일 때, HIÓ의 길이를 구하여라. 56 풀이 57 [3단계] BDÓ의 길이 구하기 (20 %) 구성용본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 56 2019-10-24 오후 1:53:36 (중3-2)본문(001-006).indd 2 2019-10-24 오후 1:59:41 답 답 풍산자 개념완성 에서는 개념북으로 꼼꼼하고 자세한 개념 학습 후 워크북을 통해 개념북과 1 : 1 맞춤 학습을 할 수 있습니다. •개념북과 소단원별 핵심 유형 1 : 1 맞춤 문제 링크 I. 삼각비 1. 삼각비 1 01 01 삼각비의 뜻과 값 05 삼각비의 뜻 오른쪽 그림과 같이 ABC에 대하여 다음 중 ACÓ=4인 직각삼각형 ABC에서 cos`C=;2!;일 때, '3x+y의 값을 1 B A 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù, A 3 ∠C=90ù인 직각삼각형 4 x 구하여라. C B 2'2 ② sin`B= 3 ① sinÀ=;3!; 2'2 3 ④ cos`B=;3!; ⑤ tanÀ=2'2 06 ∠A=90ù, BCÓ=12인 직각삼각형 ABC가 있다. 다음 01 중 cosÀ와 같은 값을 갖는 삼각 비는? ① sinÀ ② sin`B ③ cos`B ④ tanÀ ⑤ tan`B 03 직각삼각형 ABC에서 ⑤ 12'3 ABÓ`:ÀCÓa=2`:`1일 때, 2'5 ② sin`C= 5 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù, '5 ④ cos`C= ABÓ=6인 5 직각삼각형 ABC에 07 2'¶13 13 4'¶17 ④ 17 ① 6 서 cosÀ=;3@;일 때, △ABC 오른쪽 그림과 같이 ∠A=90ù, ACÓ=6`cm인 직각삼각형 Â5 05 C B 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù인 2 A B <보기> 중 sin`xù를 나타내는 것 2'5 ① 7 BCÓ ㄱ. B ABÓ ㄷ. CDÓ BCÓ 03 E ② ;7%; ⑤ ㄴ. BEÓ BDÓ ㄹ. DEÓ CDÓ ① ㄱ, ㄴ ② ㄴ, ㄹ ④ ㄱ, ㄴ, ㄹ ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ H G 4'¶13 13 A 6'¶17 ⑤ 17 ③ 2'¶17 17 06 ② 2'3+1 ③ 2'3 ⑤ '3+1 2'7 7 ③ 2'¶10 7 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? (정답 2개) ① cos 30ù ='3 sin 30ù ② sin`30ù+cos`60ù+tan`45ù=3 ③ tan`60ù_sin`30ù-cos`30ù=1 ③ ㄷ, ㄹ ④ sin`90ù+cos`0ù+tan`45ù=2 ⑤ cos`45ù_sin`45ù-cos`60ù_sin`90ù=0 직선 4x-3y+12=0이 x축, y축과 이루는 예각의 07 크기를 각각 aù, bù라고 할 때, 다음 중 옳은 것은? 구성용워크북본문1단원(01-18)6.indd 2 4 4 C C ④ ;7^; 보기 Ⅰ. 삼각비 D C 다음 식을 계산하면? 서 변 AB에 내린 수선의 발을∠A=90ù인 직각삼각형 ABC에서 ① 2'3+2 D D, 점 D에서 변 BC에 내린 수선 2'6 일 때, cos`B의 값은? sin`B=xæ ④ '3+2 7 6`cm 할 때, 다음 의A 발을 E라고 C ABC에서 sin`B=;4#;일 때, ABÓ 을 모두 고른 것은? 2 xæ yæ 2 sin 60ù+'3 cos 45ù_tan 0ù+sin 90ù+tan 60ù 직각삼각형 ABC의 꼭짓점 C에 의 길이를 구하여라. E ② B 08 04 6 A B F 다음 중 옳지 않은 것은? 값을 구하여라. 02 오른쪽 그림과 같은 직육면 ③ 6'2+6'3 체에서 ∠CEG=xù, sin`xù+cos`yù의 값은? 의 넓이를 구하여라. ABC에서 sinÀ_tan`C의 정답과 C 해설 44~46쪽 Ⅰ개념북 20~22쪽 ∠ECG=yù라고 할 때, C ⑤A tan`C=;2!; ∠B=90ù인 직각삼각형 04 ② 6'6 ④ 12'2 B C ① sin`B= '5 5 2'5 ③ cos`B= 5 오른쪽 그림과 같이 A ① 12 b ∠A=90ù인 직각삼각형 B 12 ABÓ+ACÓ의 값은? 오른쪽 그림과 같이 c ABC에서 B tan`B=1일 때, A 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù인 I. 삼각비 1. 삼각비 A 오른쪽 그림과 같이 단원 마무리 02 C y 옳은 것은? ③ cosÀ= •중단원별 마무리 문제 및 서술형 평가 문제 정답과 해설 40~46쪽 Ⅰ개념북 8~19쪽 ① sinàù=;4#; ② cosàù=;5$; ③ sin`bù=;5$; ④ cos`bù=;5$; 오른쪽 그림에서 2019-10-24 오후 1:57:53 1. 삼각비 D ∠ABC=∠ACD=90ù, 12 ∠CAB=∠DAC=30ù이고 ADÓ=12일 때, ABÓ의 길이를 구하여라. ⑤ tanàù=tan`bù A C 30æ 30æ B 개념북 Ⅰ 삼각비 Ⅰ1 답 ⑴ 1, ;2#; 답 '3 ⑴ 2 , ;2#; 1 삼각비의 뜻과 값 삼각비의 뜻구성용워크북본문1단원(01-18)6.indd 확인 1 답 ⑴ 8, 17, 8 확인 2 답 ⑴ '3 2 '3 ⑵ 2 , ;3@; ⑵ tan`30ùÖsin`60ù= 01 01 답 ⑶ ;4!; ⑵0 개념북 9쪽 sinÀ=;1°3;, cosÀ=;1!3@;, tanÀ=;1°2; 02 sinÀ=;1°3;, cosÀ=;1!3@;, tanÀ=;1°2; 답 ⑴0 ⑵0 ⑶ ;2&; ='3_ ABÓ="ACÓ Û`+BCÓ Û`="Ã6Û`+8Û`='¶100=10 ① sin`B=;1¤0;=;5#; ② cosÀ=;1¤0;=;5#; ③ cos`B=;1¥0;=;5$; ④ tanÀ=;6*;=;3$; ={ 3 +;2!;=;2&; '3 '3 '3 '3 +;2!;}{ -;2!;}={ }2`-{;2!;}2` 2 2 2 =;4#;-;4!;=;2!; 03 답 x=6, y=6'3 ACÓ =;1Ó2;=;2!; ABÓ sin 30ù= '5 +2 5 cos`30ù= 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="ACÓ Û`-BCÓ Û`="Ã(2'5)Û`-2Û`='¶16=4이므로 '5 2 = , tan C=;2$;=2 5 2'5` '5 ∴ sin A+tan C= +2 5 sin A= 답 '3 +;2!; 3 ⑷ (cos 30ù+sin 30ù)(sin 60ù-cos 60ù) ⑤ sinÀ=;1¥0;=;5$; 04 '3 '3 -1_ =0 2 2 ⑶ tan 60ùÖtan 30ù+cos 60ù='3Ö ④ 답 2019-10-24 오후 1:58:51 '2 2 =1_ ='2 2 '2 ⑷ ;2!; 피타고라스 정리에 의하여 03 •자기주도학습이 가능한 명확하고 이해하기 쉬운 풀이 '2 '2 ⑵ cos 45ù_sin 45ù-sin 30ù= 12 _ 12 -;2!;=0 2 2 BCÓ="ACÓ Û`-ABÓ Û`="Ã13Û`-12Û`='¶25=5이므로 답 ⑷ '2 ⑴ cos 30ù-tan 45ù_sin 60ù= 피타고라스 정리에 의하여 02 9 ⑶ sin`30ù_cos`60ù=;2!;_;2!;=;4!; ⑷ tan`45ùÖsin`45ù=1Ö 답 1. 삼각비 개념북 11쪽 ⑴ '3 +1 2 '2 '2 ⑵ cos`45ù-sin`45ù= - =0 2 2 ⑶ '3 개념 check 01 '3 '3 '3 2 Ö = _ =;3@; 3 2 3 '3 개념 check 개념북 8쪽 9 ⑵ 15, 8, 8 ⑵ ;2!; •문제 해결을 위한 최적의 풀이 방법을 자세히 제공 ⑵ ;2!;, 0 확인 2 확인 3 삼각비 3 04 답 ∴ x=6 '3 BCÓ =;1Õ2;= 2 ABÓ ∴ y=6'3 2'6 △ABH에서 sin 60ù= △AHC에서 sin 45ù= AHÓ AHÓ = '3 ∴ AHÓ=2'3 = 4 2 ABÓ 2'3 AHÓ = '2 ∴ ACÓ=2'6 = 2 ACÓ ACÓ 3'5`cm ACÓ ACÓ ∴ ACÓ=6`cm = =;3@; 9 ABÓ 따라서 피타고라스 정리에 의하여 sin`B= BCÓ="Ã9Û`-6Û` ='¶45=3'5`(cm) 02 (중3-2)본문(001-006).indd 3 확인 1 특수한 각의 삼각비의 값 답 '3 '3 ⑴ ;2!;, 2 , 3 '3 ⑶ 2 , ;2!;, '3 '2 '2 ⑵ 2 , 2 ,1 개념북 10쪽 03 개념북 12쪽 예각의 삼각비의 값 확인 1 답 ⑴ 1, 0.77 ⑵ 1, 0.64 확인 2 답 ⑴ 0, 1, 0 ⑵ 1, 0 ⑶ 1, 1.19 2019-10-24 오후 1:59:42 삼각비 I -1. 삼각비의 뜻과 값 1. 삼각비 8 01 삼각비의 뜻 02 특수한 각의 삼각비의 값 03 예각의 삼각비의 값 04 삼각비의 표 유형 check 단원 마무리 16 20 I -2. 삼각비의 활용 1. 삼각비의 활용 ⑴ 24 05 직각삼각형의 변의 길이 06 일반 삼각형의 변의 길이 07 삼각형의 높이 유형 check 2. 삼각비의 활용 ⑵ 30 32 08 삼각형의 넓이 09 사각형의 넓이 유형 check 단원 마무리 (중3-2)본문(001-006).indd 4 36 38 2019-10-24 오후 1:59:43 통계 원의 성질 III-1. 대푯값과 산포도 II -1. 원과 직선 1. 원의 현 42 유형 check 44 2. 원의 접선 46 11 원의 접선의 길이 19 산포도와 편차 20 분산과 표준편차 21 도수분포표에서의 분산과 표준편차 유형 check 12 삼각형의 내접원 단원 마무리 13 원에 외접하는 사각형 단원 마무리 80 18 대푯값 10 현의 수직이등분선과 현의 길이 유형 check 1. 대푯값과 산포도 88 92 52 56 III-2. 상관관계 1. 상관관계 II -2. 원주각 1. 원주각의 성질 96 22 산점도 60 23 상관관계 유형 check 14 원주각과 중심각 단원 마무리 15 원주각의 크기와 호의 길이 유형 check 64 2. 원과 사각형 68 100 102 워크북이 책 속의 책으로 들어있어요. 16 원과 사각형 유형 check 3. 원의 접선과 현이 이루는 각 70 72 17 원의 접선과 현이 이루는 각 유형 check 단원 마무리 (중3-2)본문(001-006).indd 5 74 76 2019-10-24 오후 1:59:46 세상은 고통으로 가득하지만, 그것을 극복하는 사람들로도 가득하다. - 헬렌 켈러 - (중3-2)본문(001-006).indd 6 2019-10-24 오후 1:59:46 Ⅰ. 삼각비 1. 삼각비 I. 삼각비 1 삼각비 1 삼각비의 뜻과 값 01 삼각비의 뜻 02 특수한 각의 삼각비의 값 03 예각의 삼각비의 값 04 삼각비의 표 유형 check 단원 마무리 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 7 2019-10-24 오전 9:10:17 01 개념 1 1-1. 삼각비의 뜻과 값 삼각비의 뜻 삼각비 ∠B=90ù인 직각삼각형 ABC에서 ① ∠A의 사인 C 빗변 (높이) =;bA; (빗변의 길이) ② ∠A의 코사인 (밑변의 길이) cosÀ= =;bC; (빗변의 길이) ③ ∠A의 탄젠트 (높이) tanÀ= =;cA; (밑변의 길이) sinÀ= b A sin, cos, tan는 각각 sine, cosine, tangent를 줄여서 쓴 것이다. a c 높이 B sinÀ, cosÀ, tanÀ에서 A는 ∠A의 크기를 나타낸 것 이다. 밑변 참고 sinÀ, cosÀ, tanÀ를 통틀어 ∠A의 삼각비라고 한다. 주의 ‌한 직각삼각형에서도 삼각비를 구하고자 하는 기준각에 따라 높이 높이 높이와 밑변이 달라진다. 이때 높이 기준각의 대변이 높이가 된다. 예제 1 확인 1 C 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 ∠A, ∠C의 삼각비의 Â7 값을 각각 구하면 다음과 같다.  ⑴ sinÀ= ⑵ sin`C= 답 4 3 A , cosÀ= , cos`C= 4 '7 B 3 , tanÀ= 3 , tan`C= 3 = 3'7 5 3 구하여라. 8 ⑴ ;5#; ⑵ ;5$; ⑶ ;4#; B 15 ⑴ sinÀ= 8 17 15 17 , cosÀ= , cos`C= 15 17 8 17 , tanÀ= , tan`C= 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC C ABC에서 다음 삼각비의 값을 답 A 8 8 15 15 8 확인 2 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ⑶ tan A 과 같다.  안에 알맞은 수를 ⑵ sin`C= 예제 2 ⑵ cos A 각비의 값을 각각 구하면 다음 써넣어라. ⑴ '7, 3, '7 ⑵ 4, 4, '7, 7 ⑴ sin A 17 형 ABC에서 ∠A, ∠C의 삼 4 안에 알맞은 수를 써넣어라. C 오른쪽 그림과 같은 직각삼각 A 4 B A 에서 다음 삼각비의 값을 구하여라. ⑴ sin C ⑵ cos C ⑶ tan C 답 2 Â3 B 1 C ⑴ '3 ⑵ ;2!; ⑶ '3 2 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 8 2019-10-24 오전 9:10:18 개념 check 01 정답과 해설 2쪽 Ⅰ워크북 2~4쪽 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 ∠A의 삼각 C 13 비의 값을 구하여라. 답 sinÀ=;1°3;, cosÀ=;1!3@;, tanÀ=;1°2; 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ='Ã13Û`-12Û`=5이므로 sin A=;1°3;, cosÀ=;1!3@;, tanÀ=;1°2; 02 A 5 삼각비 B 12 강의 tip 직각삼각형에서 두 변의 길이를 알면 피타고라스 정리를 이용하여 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에 대하여 다음 중 옳지 B 개념 1 삼각비 않은 것은? ① sin B=;5#; ② cos A=;5#; ③ cos B=;5$; ④ tan A=;4#; ⑤ sin A=;5$; 답 개념 1 ④ 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã6Û`+8Û` =10 10 A 8 6 강의 tip C 기준각에 따라 높이와 밑변이 달라지 므로 먼저 기준각을 표시하고 삼각비 의 값을 구한다. ④ tan A=;6*;=;3$; 03 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 C 2Â5 sinÀ+tan`C의 값을 구하여라. 답 '5 +2 5 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã(2'5)Û`-2Û` =4이므로 sin A= 4 삼각비 B '5 2 = 5 , tan C=;2$;=2 2'5` ∴ sin A+tan C= 04 A 2 개념 1 '5 5 +2 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 ABÓ=9`cm, A sin`B=;3@;일 때, BCÓ의 길이를 구하여라. 개념 1 삼각비 9`cm 높이(ACÓ)를 구할 수 있다. 답 3'5`cm sin B= ACÓ =;3@; ∴ ACÓ=6`cm 9 B C 따라서 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ="Ã9Û`-6Û` =3'5`(cm) 1. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 9 9 2019-10-24 오전 9:10:18 02 개념 1 1-1. 삼각비의 뜻과 값 특수한 각의 삼각비의 값 30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값 A 삼각비 sinÀ 30ù 45ù 60ù → 각의 크기가 커질수록 ;2!; '2 2 '3 2 sin 값은 증가 ;2!; cos 값은 감소 '3 2 cosÀ '2 2 '3 3 tanÀ 풍쌤의 point '3 1 tan 값은 증가 30æ 2 Â2 45æ sin`30ù=cos`60ù sin`45ù=cos`45ù sin`60ù=cos`30ù Â3 1 45æ 60æ 1 1 sinÛ`À, cosÛ`À, tanÛÀ는 (sinÀ)Û`, (cosÀ)Û`, (tanÀ)Û`을 나타낸다. 직각삼각형의 한 예각의 크기가 30ù 또는 45ù 또는 60ù일 때, 한 변의 길이가 주어지면 위의 삼각비의 값을 이용하여 나머지 두 변의 길이를 구할 수 있어. 예제 1 확인 1 다음 표를 완성하여라. 삼각비 A ⑴ sinÀ 다음  안에 알맞은 수를 써넣어라. 30ù 45ù ;2!; '2 2 ⑵ cosÀ ⑶ tanÀ 답 '3 3 ;2!; '3 , cos`30ù= '3 2 , tan`30ù= 3 60ù ⑴ sin`30ù= '3 2 '2 ⑵ sin`45ù= '2 2 , cos`45ù= 2 , tan`45ù= ⑶ sin`60ù= '3 2 , cos`60ù= ;2!; , tan`60ù= '3 ⑴ '2 ⑵ '3 , ;2!; ⑶ 1, '3 2 2 예제 2 확인 2 다음  안에 알맞은 수를 써넣어라. 다음  안에 알맞은 수를 써넣어라. ⑴ cos`60ù+sin`30ù=;2!;+ ⑴ tan`45ù+sin`30ù= ' ⑵ sin`60ù-tan`60ù= 3 2 답 = ⑴ ;2!;, 1 ⑵ '3, - '3 2 = 예제 3 ⑴ sin`45ù_cos`30ù= ' _ 3= 2 ⑵ cos`45ùÖtan`45ù= Ö1= 10 ⑴ '2 , '6 2 4 1 +;2!;= ⑵ sin`30ù-cos`60ù=;2!;- ;2!; = ;2#; 0 확인 3 다음  안에 알맞은 수를 써넣어라. 답 1 ⑵ '2 , '2 2 2 다음  안에 알맞은 수를 써넣어라. ' ⑴ sin`60ù_tan`60ù= '3 2 _ 3= ;2#; ' ⑵ tan`30ùÖsin`60ù= 3 Ö '3 = 2 3 ;3@; '3 ⑵ tan`30ùÖsin`60ù= '3 Ö = '3 _ 2 =;3@; 2 3 3 '3 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 10 2019-10-24 오전 9:10:19 개념 check 01 정답과 해설 2쪽 Ⅰ워크북 5~6쪽 다음을 계산하여라. 개념 1 30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값 ⑴ cos`30ù+tan`45ù ⑵ cos`45ù-sin`45ù ⑶ sin`30ù_cos`60ù ⑷ tan`45ùÖsin`45ù 답 ⑴ '3 +1 ⑵ 0 ⑶ ;4!; 2 ⑷ '2 '2 '2 ⑵ (주어진 식)= 2 - 2 =0 ⑶ (주어진 식)=;2!;_;2!;=;4!; '2 2 ⑷ (주어진 식)=1Ö 2 =1_ ='2 '2 02 다음을 계산하여라. 개념 1 30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값 ⑴ cos`30ù-tan`45ù_sin`60ù ⑵ cos`45ù_sin`45ù-sin`30ù ⑶ tan`60ùÖtan`30ù+cos`60ù ⑷ (cos`30ù+sin`30ù)(sin`60ù-cos`60ù) 답 03 ⑴ 0 ⑵ 0 ⑶ ;2&; ⑷ ;2!; '3 '3 ⑴ (주어진 식)= 2 -1_ 2 =0 '2 '2 ⑵ (주어진 식)= 2 _ 2 -;2!;=0 '3 ⑶ (주어진 식)='3Ö 3 +;2!;=;2&; '3 '3 ⑷ (주어진 식)={ 2 +;2!;}`{ 2 -;2!;}=;2!; 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 x, y의 값을 A 답 x=6, y=6'3 sin 30ù=;1Ó2;=;2!; 30æ B ∴ x=6 '3 cos`30ù=;1Õ2;= 2 04 30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값 12 각각 구하여라. 개념 1 x C y ∴ y=6'3 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 AHÓ⊥BCÓ이고 A ABÓ=4, ∠B=60ù, ∠C=45ù일 때, ACÓ의 길이를 구 개념 1 30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값 4 하여라. 답 2'6 AHÓ '3 △ABH에서 sin 60ù= 4 = 2 ∴ AHÓ=2'3 △AHC에서 sin 45ù= ∴ ACÓ=2'6 2'3 '2 = 2 ACÓ B 60æ H 45æ C 강의 tip 특수한 직각삼각형에서 한 변의 길이 가 주어지면 특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 다른 변의 길이를 모 두 구할 수 있다. 1. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 11 11 2019-10-24 오전 9:10:20 03 개념 1 1-1. 삼각비의 뜻과 값 예각의 삼각비의 값 예각의 삼각비의 값 반지름의 길이가 1인 사분원에서 임의의 예각 x에 대하여 y 1 C A ABÓ ABÓ ⑴ sin`xù= = 1 =ABÓ OAÓ OBÓ OBÓ ⑵ cos`xù= = 1 =OBÓ OAÓ CDÓ CDÓ ⑶ tan`xù= = 1 =CDÓ` ODÓ 1 O 예제 1 tan`xæ sin`xæ xæ cos`xæ B D 1 sin`xù, cos`xù는 직각삼각형 AOB에서 생각하고, tan`xù 는 직각삼각형 COD에서 생 각한다. x 확인 1 y 1 0.8391 0.6428 오른쪽 그림과 같이 반지름 의 길이가 1인 사분원에서 다음  안에 알맞은 수를 써넣어라. O 길이가 1인 사분원에서 다음 y 1.19 1  안에 알맞은 수를 써넣어라. 0.77 오른쪽 그림과 같이 반지름의 C A 40æ B D 0.7660 1 x O ⑴ sin`40ù= ABÓ ABÓ = = OAÓ ⑴ sin`50ù= ABÓ ABÓ = = 1 OAÓ 0.77 ⑵ cos`40ù= OBÓ OBÓ = = OAÓ ⑵ cos`50ù= OBÓ OBÓ = = 1 OAÓ 0.64 ⑶ tan`40ù= OCÓ CDÓ = = ODÓ ⑶ tan`50ù= CDÓ CDÓ = = 1 ODÓ 1.19 답 50æ B 0.64 D 1 x 0ù, 90ù의 삼각비의 값 0ù, 90ù의 삼각비의 값은 다음과 같이 정한다. xù의 크기가 0ù에서 90ù로 증가할 때, ① sin`xù의 값은 0에서 1로 증가한다. ② cos`xù의 값은 1에서 0으로 감소한다. ③ tan`xù의 값은 0에서 무한히 증가한다. ⑴ s in`0ù=0, cos`0ù=1, tan`0ù=0 ⑵ s in`90ù=1, cos`90ù=0 ⑶ tan`90ù의 값은 정할 수 없다. 예제 2 확인 2 다음 표를 완성하여라. 삼각비 A 다음  안에 알맞은 수를 써넣어라. 0ù ⑴ sinÀ ⑵ cosÀ ⑶ tanÀ 12 A ⑴ 1, 0.6428 ⑵ 1, 0.7660 ⑶ 1, 0.8391 개념 2 답 C 90ù ⑴ sin`0ù= 0 ⑵ sin`90ù= ‌ , cos`0ù= 1 1 , cos`90ù= , tan`0ù= 0 0 , tan`90ù의 값은 정 할 수 없다. ⑴ 0, 1 ⑵ 1, 0 ⑶ 0 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 12 2019-10-24 오전 9:10:21 개념 check 01 정답과 해설 2~3쪽 Ⅰ워크북 7쪽 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 사분원에서 다음 C 중 옳은 것은? ② sin xù=OBÓ ③ tan yù=CDÓ ④ cos yù=ABÓ OBÓ =OBÓ 1 ② sin`xù= 02 반지름의 길이가 1인 사분원에서 sin과 cos은 빗변의 길이가 1인 직각삼각형을 이용하고, tan는 밑변의 길이가 1인 직각삼각형을 이용한다.  sin xù=ABÓ, cos xù=OBÓ, tan xù=CDÓ 1 sin yù=OBÓ, cos yù=ABÓ, tan yù= CDÓ ABÓ =ABÓ 1 ∴ tan`yù= 1 CDÓ ABÓ =ABÓ 1 ⑤ tan`xù= CDÓ =CDÓ 1 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 사분원에서 y ⑴ sin`37ù ⑵ cos`37ù ⑶ tan 37ù 03 개념 1 1 0.7536 0.6018 다음 삼각비의 값을 구하여라. 답 D B 강의 tip ③ ABÓCDÓ이므로 ∠OCD=∠yù ④ cos`yù= xæ O ④ ① cos`xù= yæ 1 ⑤ tan xù=ABÓ 답 예각의 삼각비의 값 A ① cos xù=OCÓ 개념 1 O C 예각의 삼각비의 값 A 37æ B D 0.7986 1 x ⑴ 0.6018 ⑵ 0.7986 ⑶ 0.7536 ⑴ sin`37ù= ABÓ =ABÓ=0.6018 OAÓ ⑶ tan`37ù= CDÓ =CDÓ=0.7536 ODÓ ⑵ cos`37ù= OBÓ =OBÓ=0.7986 OAÓ 다음 중 옳지 않은 것은? 개념 2 0ù, 90ù의 삼각비의 값 sin`30ù+cos`90ù =1 cos`60ù+sin`0ù ① ② tan`45ù-sin`90ù=1 ③ sin`0ù_cos`90ù+sin`90ù_cos`0ù=1 ④ sin`90ù_tan`0ù=0 ⑤ cos`90ù+cos`0ù=1` 답 ① ② ;2!;+0 sin`30ù+cos`90ù =1 = cos`60ù+sin`0ù ;2!;+0 ② tan`45ù-sin`90ù=1-1=0 ③ sin`0ù_cos`90ù+sin`90ù_cos`0ù=0_0+1_1=1 ④ sin`90ù_tan`0ù=1_0=0 ⑤ cos`90ù+cos`0ù=0+1=1 04 다음 중 sin`0ù+cos`0ù+tan`0ù와 그 값이 같은 것은? 개념 2 ① sin`45ù ② cos`30ù 0ù, 90ù의 삼각비의 값 ④ tan`45ù ⑤ tan`90ù 답 ③ cos`60ù ④ sin`0ù+cos`0ù+tan`0ù=0+1+0=1 ① sin`45ù= '2 2 ④ tan`45ù=1 ② cos`30ù= '3 2 ③ cos`60ù=;2!; ⑤ tan`90ù의 값은 정할 수 없다. 1. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 13 13 2019-10-24 오전 9:10:22 04 개념 1 1-1. 삼각비의 뜻과 값 삼각비의 표 삼각비의 표 ⑴ 삼각비의 표 0ù에서 90ù까지의 각을 1ù 간격으로 나누어서 각각의 삼각비의 값을 반올림 하여 소수점 아래 넷째 자리까지 나타낸 표 ⑵ 삼각비의 표 읽는 방법 삼각비의 표에 있는 삼각비의 값은 대부분 어림한 값이지만 이 값을 나타낼 때에는 ‘=’를 사용한다. 삼각비의 값은 삼각비의 표에서 가로줄과 세로줄이 만나는 곳에 있는 수이다. 예 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 42ù 0.6691 0.7431 0.9004 43ù 0.6820 0.7314 0.9325 44ù 0.6947 0.7193 0.9657 위의 삼각비의 표에서 sin`42ù=0.6691, cos`43ù=0.7314, tan`44ù=0.9657 예제 1 확인 1 아래 삼각비의 표를 이용하여 다음 삼각비의 값을 구하 아래 삼각비의 표를 이용하여 다음 삼각비의 값을 구하 여라. 여라. 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 37ù 38ù 39ù 40ù 0.6018` 0.6157 0.6293 0.6428 0.7986 0.7880 0.7771 0.7660 0.7536 0.7813 0.8098 0.8391 56ù 57ù 58ù 59ù 0.8290 0.8387 0.8480 0.8572 0.5592 0.5446 0.5299 0.5150 1.4826 1.5399 1.6003 1.6643 ⑴ sin`38ù 답 ⑵ cos`39ù ⑶ tan`40ù ⑴ 0.6157 ⑵ 0.7771 ⑶ 0.8391 ⑴ sin`58ù 답 예제 2 ⑵ cos`56ù ⑶ tan`59ù ⑴ 0.8480 ⑵ 0.5592 ⑶ 1.6643 확인 2 아래 삼각비의 표를 이용하여 다음 삼각비를 만족시키 아래 삼각비의 표를 이용하여 다음 삼각비를 만족시키 는 x의 값을 구하여라. 는 x의 값을 구하여라. 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 23ù 24ù 25ù 0.3907 0.4067 0.4226 0.9205 0.9135 0.9063 0.4245 0.4452 0.4663 15ù 16ù 17ù 0.2588 0.2756 0.2924 0.9659 0.9613 0.9563 0.2679 0.2867 0.3057 ⑴ sin`xù=0.4226 ⑴ sin`xù=0.2924 ⑵ cos`xù=0.9205 ⑵ cos`xù=0.9613 ⑶ tan`xù=0.4452 ⑶ tan`xù=0.2679 풀이 ⑴ sin`25ù=0.4226이므로 x=25 ⑵ cos`23ù=0.9205이므로 x=23 ⑶ tan`24ù=0.4452이므로 x=24 답 14 답 ⑴ 17 ⑵ 16 ⑶ 15 ⑴ sin`17ù=0.2924이므로 x=17 ⑵ cos`16ù=0.9613이므로 x=16 ⑶ tan`15ù=0.2679이므로 x=15 ⑴ 25 ⑵ 23 ⑶ 24 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 14 2019-10-24 오전 9:10:23 개념 check 01 다음 삼각비의 표를 이용하여 sin`39ù, cos`42ù, tan`40ù의 값을 각각 구하여라. 답 02 정답과 해설 3쪽 Ⅰ워크북 8쪽 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 39ù 40ù 41ù 42ù 43ù 0.6293 0.6428 0.6561 0.6691 0.6820 0.7771 0.7660 0.7547 0.7431 0.7314 0.8098 0.8391 0.8693 0.9004 0.9325 개념 1 삼각비의 표 강의 tip 특수한 각이 아닌 삼각비의 값은 삼 각비의 표를 이용하여 구할 수 있다. 이때 삼각비의 표에서 각도의 가로줄 과 sin, cos, tan의 세로줄이 만나는 곳의 수를 읽는다. sin`39ù=0.6293, cos`42ù=0.7431, tan`40ù=0.8391 아래 삼각비의 표를 이용하여 다음을 계산하여라. 개념 1 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 62ù 63ù 64ù 65ù 66ù 0.8829 0.8910 0.8988 0.9063 0.9135 0.4695 0.4540 0.4384 0.4226 0.4067 1.8807 1.9626 2.0503 2.1445 2.2460 삼각비의 표 ⑴ sin`65ù+cos`63ù ⑵ tan`64ù-cos`62ù ⑶ sin`62ù-cos`65ù ⑷ tan`63ù+sin`64ù 답 ` ⑴ 1.3603 ⑵ 1.5808 ⑶ 0.4603 ⑷ 2.8614 ⑴ sin`65ù+cos`63ù=0.9063+0.4540=1.3603 ⑵ tan`64ù-cos`62ù=2.0503-0.4695=1.5808 ⑶ sin`62ù-cos`65ù=0.8829-0.4226=0.4603 ⑷ tan`63ù+sin`64ù=1.9626+0.8988=2.8614 03 다음 삼각비의 표를 이용하여 tan`xù=3.2709를 만족시키는 xù에 대하여 개념 1 sin`xù-cos`xù의 값을 구하여라. 삼각비의 표 답 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 71ù 72ù 73ù 74ù 75ù 0.9455 0.9511 0.9563 0.9613 0.9659 0.3256 0.3090 0.2924 0.2756 0.2588 2.9042 3.0777 3.2709 3.4874 3.7321 0.6639 tan`73ù=3.2709이므로 xù=73ù ∴ sin`xù-cos`xù=sin`73ù-cos`73ù =0.9563-0.2924=0.6639 강의 tip 삼각비의 표에서 주어진 삼각비의 값 을 찾아 가로줄에서 해당하는 각의 크기를 읽는다. 1. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 15 15 2019-10-24 오전 9:10:24 유형 check 유형 1 정답과 해설 3~5쪽 Ⅰ워크북 2~8쪽 삼각비를 이용하여 삼각형의 변의 길이 구하기 ABC에서 ABÓ=8, 높이(BCÓ) 를 구할 수 있다. A ABC에서 ACÓ=12, cosÀ=;4#; B 8 C 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 5 tanÀ=;8%;일 때, ACÓ의 길이 를 구하여라. 1-1 C 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 닮은꼴 문제 12 x 일 때, x+y의 값을 구하여라. 답 '¶89 답 ∴ BCÓ=5 tanÀ= BCÓ =;8%; 8 따라서 피타고라스 정리에 의하여 A 3'7+9 B y cosÀ=;1Õ2;=;4#; ∴ y=9 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ="Ã8Û`+5Û`='¶89 x="Ã12Û`-9Û`=3'7 ∴ x+y=3'7+9 강의 tip 1-2 BCÓ=5, ABÓ='5로 생각하지 않도 록 주의시킨다.  삼각비는 변의 길이의 비를 의미!  ‌BCÓ=5a, ABÓ='5a`(a>0)로 놓는다. A 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 ACÓ=6, '5 일 때, ABÓ-BCÓ sin`C= 5 의 값을 구하여라. 답 6 Â5a B C 5a 3-3'5 직각삼각형 ABC에서 (5a)Û`=('5a)Û`+6Û`, aÛ`=;5(; ∴ a= 3'5 (∵ a>0) 5 따라서 ABÓ='5a='5_ 3'5 =3, BCÓ=5a=5_ 3'5 =3'5이므로 5 5 ABÓ-BCÓ=3-3'5 유형 2 한 삼각비의 값을 알 때, 다른 삼각비의 값 구하기 직각인 각 기준각 ∠B=90ù인 직각삼각형 ABC에서 tanÀ=;2!;일 때, 닮은꼴 문제 2-1 cosÀ의 값을 구하여라. 직각삼각형 ABC에서 cos`B=;3@;일 때, 답 2'5 sin`B_tan`B의 값을 구하여라. 5 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ="Ã2Û`+1Û`='5이므로 2 2'5 = 5 cosÀ= ABÓ = ACÓ '5 C 1 A B 2 2-2 오른쪽 그림과 같이 ABÓ=2, A ACÓ=3인 삼각형 ABC에서 답 cos`B=;2!;일 때, sin`C의 값을 ;6%; ACÓ="Ã3Û`-2Û`='5 이므로 '5 '5 sin`B= ACÓ = 3 , tan`B= ACÓ = 2 ABÓ BCÓ ∴ sin`B_tan`B= 16 '5 '5 3 _ 2 =;6%; A 3 B 구하여라. 답 2 C 3 2 B H C '3 3 =;2!; △ABH에서 cos`B= BHÓ 2 ∴ BHÓ=1 '3 따라서 AHÓ="Ã2Û`-1Û`='3이므로 △AHC에서 sin`C= AHÓ = 3 ACÓ Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 16 2019-10-24 오전 9:10:27 유형 3 직각삼각형의 닮음과 삼각비 ABC에서 ACÓ⊥DEÓ이고 5 xæ E B D 12  sin`xù의 값을 구하여라. C ∠A=90ù인 직각삼각형 9 공통각 ABC에서 BCÓ⊥DEÓ이고 xæ xæ △ABC에서 ACÓ="Ã12Û`+5Û`=13 △ABC와 △DEC에서 B ∠C는 공통, ∠ABC=∠DEC=90ù이므로 △ABC»△DEC`(AA 닮음) E D C xæ sin`xù의 값을 구하여라. 답 D 12 xæ C E 15 공통각 A ;5$; E xæ æ xæ B C D △ABC와 △EDC에서 ∠C는 공통, ∠BAC=∠DEC=90ù이므로 △ABC»△EDC (AA닮음) C 강의 tip 오른쪽 그림과 같이 ∠A=90ù A H A 인 직각삼각형 ABC에서 C AHÓ⊥BCÓ이고 ∠BAH=xù라 B 고 할 때, sin`xù+tan`xù의 값 답 4 3 xæ H xæ A ;2@0&; △ABC와 △HBA에서 ∠B는 공통, B ∠CAB=∠AHB=90ù이므로 △ABC»△HBA (AA 닮음) B xæ xæ A ∴ sin`xù+tan`xù=;5#;+;4#;=;2@0&; 특수한 각의 삼각비의 값 닮은꼴 문제 sin`60ù_tan`30ù-cos`30ù_tan`60ù의 값은? 4-1 ① -'2 ② -1 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? (정답 2개) '3 ④ 155 2 ⑤ '3 답 C H 따라서 ∠C=xù이므로 sin`xù=sin`C=;5#;, tan`xù=tan`C=;4#; 4 C 5 공통각 을 구하여라. 유형 C 3-2 따라서 ∠B=xù이므로 sin`xù=sin`B=;1!5@;=;5$; 따라서 ∠A=xù이므로 sin`xù=sinÀ= BCÓ =;1!3@; ACÓ 오른쪽 그림의 직각삼각형 ABC에서 AHÓ⊥BCÓ일 때 만들어지는 세 직각삼각형은 서로 닮음이다.  △ABC»△HBA»△HAC`(AA 닮음) B B ∠CDE=xù라고 할 때, A ;1!3@; A 오른쪽 그림과 같이 xæ ∠EDC=xù라고 할 때, 답 3-1 A 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù인 직각삼각형 닮은꼴 문제 ③0 ① cos`30ù-sin`45ù= '3-'2 2 ② sin`30ù+sin`60ù=1 ② sin`60ù_tan`30ù-cos`30ù_tan`60ù '3 '3 '3 = 2 _ 3 - 2 _'3 ③ cos`60ù_cos`45ù= '2 4 ④ sin`30ùÖcos`60ù=;2!; =;2!;-;2#;=-1 ⑤ tan`60ù답 tan 45ù =1 tan 30ù (좌변)=;2!;+ '3 1+'3 2 = 2 (좌변)=;2!;Ö;2!;=1 (좌변)='3- ①, ③ 1 ='3-'3=0 '3 12 3 강의 tip 4-2 답 x=p가 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 해이면 x=p를 axÛ`+bx+c=0에 대입했을 때 등식이 성립한다.  apÛ`+bp+c=0 이차방정식 axÛ`-3x+1=0의 한 근이 -10 (sin`30ù-cos`30ù)(sin`60ù+cos`60ù)일 때, 상수 a의 (sin`30ù-cos`30ù)(sin`60ù+cos`60ù) '3 '3 ={;2!;- 2 }{ 2 +;2!;}=;4!;-;4#;=-;2!; 값을 구하여라. axÛ`-3x+1=0에 x=-;2!;을 대입하면 a_{-;2!;}2`-3_{-;2!;}+1=0, ;4!;a=-;2%; ∴ a=-10 1. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 17 17 2019-10-24 오전 9:10:29 유형 5 cos`xù= 특수한 각의 삼각비를 이용하여 각의 크기 구하기 '3 일 때, sin`xù의 값은? (단, 0ù<xù<90ù) 2 ①0 '3 2 ④ 답 ② cos`xù= 5-1 '3 cos`xù=;2!;, tan`yù= 3 일 때, sin`(xù-yù)의 값은? (단, 0ù<xù<90ù, 0ù<yù<90ù) ' ③ 2 2 ② ;2!; 닮은꼴 문제 ⑤1 ① ;2!; '3 에서 xù=30ù 2 ② ∴ sin`xù=sin`30ù=;2!; '3 2 ③ ⑤ '3 ④1 답 '2 2 ① '3 cos`xù=;2!;에서 xù=60ù, tan`yù= 3 에서 yù=30ù ∴ sin`(xù-yù)=sin`(60ù-30ù)=sin`30ù=;2!; 5-2 sin`60ù=cos`(80ù-xù)를 만족시키는 x의 값은? (단, 0ù<xù<80ù) ① 20 ② 30 ④ 50 ⑤ 60 답 ③ 40 강의 tip xù의 범위가 0ù<xù<80ù인 이유는 0ù<80ù-xù<90ù에서 생각하기 위해서이다. ④ '3 '3 sin`60ù= 2 이므로 cos`(80ù-xù)= 2 따라서 80ù-xù=30ù이므로 x=50 유형 6 특수한 각의 삼각비를 이용하여 변의 길이 구하기 오른쪽 그림의 △ABC에서 B ∠B=30ù, ∠C=45ù일 때, BCÓ의 길이를 구하여라. 답 6-1 A 6 AHÓ⊥BCÓ이고 ABÓ=6, 30æ H 45æ '3 cos`30ù= BHÓ = 2 6 CHÓ ∴ BCÓ=BHÓ+CHÓ=3'3+3 A ∠BAC=∠ADC=90ù, 8 ∠ABC=60ù, ∠ACD=30ù, ABÓ=8일 때, CDÓ의 길이를 구 ∴ AHÓ=3 ∴ BHÓ=3'3 △AHC에서 tan`45ù= 3 =1 D 오른쪽 그림에서 C 3'3+3 =;2!; △ABH에서 sin`30ù= AHÓ 6 닮은꼴 문제 B C 하여라. 답 ∴ CHÓ=3 30æ 60æ 12 ='3 △ABC에서 tan`60ù= ACÓ 8 6-2 △ACD에서 cos`30ù= ∴ ACÓ=8'3 CDÓ '3 = 2 8'3 ∴ CDÓ=12 오른쪽 그림에서 CDÓ=1, A 강의 tip ∠ABC=∠DCB=90ù, 먼저 한 변의 길이가 주어진 직각 삼각형 BCD에서 두 직각삼각형의 공통인 변 BC의 길이를 구한다. ∠ACB=45ù, ∠DBC=30ù일 y D 때, xy의 값은? 1 ①3 ② 2'3 ③ 3'2 ④ 2'6 B 45æ 30æ x C ⑤6 답 ③ △BCD에서 tan`30ù=;[!;= '3 3 '2 = △ABC에서 cos`45ù= '3 y 2 18 ∴ x='3 ∴ y='6 ∴ xy='3_'6=3'2 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 18 2019-10-24 오전 9:10:31 유형 7 삼각비의 값의 대소 관계 닮은꼴 문제 다음 <보기>의 삼각비의 값을 작은 것부터 차례대로 나열 하여라. 45ù<xù<90ù일 때, sin`xù, cos`xù, tan`xù의 값의 대소 관계를 나타내어라. 보기 답 ㄱ. cos`40ù ㄴ. tan`45ù ㄷ. sin`40ù ㄹ. tan`50ù 답 7-2 '2 '2 0ù<xù<45ù일 때 0<sin`xù< 2 , 2 <cos`xù<1이므로 강의 tip sin`xù<cos`xù<1이고, tan`45ù=1이므로 sin`40ù<cos`40ù<tan`45ù<tan`50ù 따라서 작은 것부터 차례대로 나열하면 ㄷ, ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 8 0ùÉxùÉ90ù인 범위에서 xù의 크기 가 증가하면 ① sin`xù의 값은 0에서 1까지 증가 ② cos`xù의 값은 1에서 0까지 감소 ③ tan`xù의 값은 0에서 무한히 증가 삼각비의 표 "Ã(cos`xù+1)Û`+"Ã(cos`xù-1)Û``을 간단히 하면? (단, 0ù<xù<90ù) ①0 ② 1 ④ 2cos`x ⑤4 답 0<cos`xù<1 ③2 강의 tip "AÛ`의 값은 Ú A¾0일 때, A Û A<0일 때, -A 즉, "AÛ`=|A| ③ 1<cos`xù+1<2, -1<cos`xù-1<0 ∴" Ã(cos`xù+1)Û`+"Ã(cos`xù-1)Û` =cos`xù+1-(cos`xù-1)=2 닮은꼴 문제 다음 삼각비의 표를 이용하여 tan`xù=0.2126, cos`yù=0.9703을 만족시키는 x, y에 대하여 x+y의 값 을 구하여라. 답 cos`xù<sin`xù<tan`xù '2 sin`45ù=cos`45ù= 2 , tan`45ù=1, sin`90ù=1, cos`90ù=0이므로 '2 '2 , 2 <sin`xù<1, 0<cos`xù< 2 tan`xù>1 ∴ cos`xù<sin`xù<tan`xù ㄷ, ㄱ, ㄴ, ㄹ 유형 7-1 8-1 른쪽 그림의 직각삼각형 ABC에 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 11ù 12ù 13ù 14ù 0.1908 0.2079 0.2250 0.2419 0.9816 0.9781 0.9744 0.9703 0.1944 0.2126 0.2309 0.2493 서 x+y의 값을 구하여라. 55æ 20 x B 26 tan`12ù=0.2126, cos`14ù=0.9703이므로 x=12, y=14 ∴ x+y=12+14=26 A 다음 삼각비의 표를 이용하여 오 답 C y 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 54ù 55ù 56ù 0.8090 0.8192 0.8290 0.5878 0.5736 0.5592 1.3764 1.4281 1.4826 27.856 y cos`55ù= x =0.5736, sin`55ù= =0.8192 20 20 ∴ x=11.472, y=16.384 ∴ x+y=11.472+16.384=27.856 8-2 다음 삼각비의 표를 이용하여 오른 쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1 y 1 A 인 사분원에서 ABÓ+CDÓ의 값을 51æ 구하여라. O 답 C 39æ B D x 각도 사인`(sin) 코사인`(cos) 탄젠트`(tan) 39ù 43ù 65ù 0.6293 0.6820 0.9063 0.7771 0.7314 0.4226 0.8098 0.9325 2.1445 1.4391` △AOB에서 ∠AOB=180ù-(51ù+90ù)=39ù 따라서 ABÓ=sin`39ù=0.6293, CDÓ=tan`39ù=0.8098이므로 ABÓ+CDÓ=0.6293+0.8098=1.4391 1. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 19 19 2019-10-24 오전 9:10:32 단원 마무리 01 형 ABC에 대하여 다음 중 옳 은 것은? ' ③ tan A= 5 5 '5 ⑤ cos B= 5 ② cosÀ= 2'5 5 ③ tanÀ=;2!; ④ sin`B= 2'5 5 A 오른쪽 그림과 같이 인 직사각형 ABCD에서 D ⑤ 18`cmÛ` sin`xù+cos`xù의 값을 구하여라. ;5&; 직사각형 ABCD의 대각선 BD의 길이는 BDÓ="Ã4Û`+3Û`=5(cm) 직각삼각형 BCD에서 xæ B C 4`cm 강의 tip 직사각형의 대변의 길이 는 서로 같으므로 직각삼 각형에서 피타고라스 정 리를 이용하여 대각선의 길이를 구할 수 있다. 일 때, "Ã(sinÀ-cosÀ)Û`+"Ã(cosÀ-sinÀ)Û` ① ;1!3@; ② 1 ④ ;1!3%; ⑤ ;1!3^; 답 각삼각형 ABC에서 ACÓ=17, 값은? ④ :Á8°: ⑤ ;;Á8¦;; 답 ② △DBC에서 BCÓ="Ã10Û`-6Û`=8 △ABC에서 ABÓ="Ã17Û`-8Û`=15 따라서 △ABC에서 tan`xù= BCÓ = 8 ABÓ 15 20 ③ ACÓ="Ã5Û`+12Û`=13이므로 sinÀ=;1!3@;, cosÀ=;1°3; C ∴ "Ã(sinÀ-cosÀ)Û`+"Ã(cosÀ-sinÀ)Û` 06 A xæ BDÓ=6, CDÓ=10일 때, tan`xù의 ③ ;5#; ③ ;1!3$; 12 =;1¦3;+;1¦3;=;1!3$; 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù인 직 ② ;1¥5; ④ =¾Ð{;1!3@;-;1°3;}2`+¾Ð{;1°3;-;1!3@;}2` ∴ sin`xù+cos`xù=;5#;+;5$;=;5&; ① ;1¥7; ③ 6'5`cmÛ` ∠B=90ù인 직각삼각형 ABC에서 tanÀ=;;Á5ª;; sin`xù= CDÓ =;5#;, cos`xù= BCÓ =;5$; BDÓ BDÓ 03 C 의 값은? (단, 0ù<∠A<90ù) 3`cm ∠DBC=xù라고 할 때, 답 ④ 6'7`cmÛ` B ∴ △ABC=;2!;_6_2"7=6"7(cmÛ`) 05 ABÓ=3`cm, BCÓ=4`cm ② 6'3`cmÛ` 8`cm cos`B= BCÓ =;4#; ∴ BCÓ=6`cm 8 ACÓ="Ã8Û`-6Û`=2"7(cm) ⑤ ① sinÀ= '5 5 ① 6`cmÛ` 답 ABÓ="Ã2Û`+1Û`='5이므로 02 ABC에서 ABÓ=8`cm이고 cos`B=;4#;일 때, △ABC의 C 2 A 오른쪽 그림의 직각삼각형 넓이는? ④ sin B=;2!; 답 1 A ' ① sin A= 2 5 5 '5 ② cos A= 5 04 B 오른쪽 그림과 같은 직각삼각 6 B 오른쪽 그림과 같은 직 사각형 ABCD에서 A ∠BCH=xù 라고 할 10 H xæ C 강의 tip BCÓ는 △ABC와 △DBC의 한 변임을 이용한다. xæ B B 5 8`cm CHÓ⊥BDÓ이고 17 D A D 4`cm C 때, cos`xù의 값은? ① ;5!; ② ④ ;5@; ⑤ 답 '2 5 '5 5 ③ '3 5 ⑤ △BCD»△BHC`(AA 닮음) ∴ ∠CDB=∠xù △BCD에서 BDÓ="Ã8Û`+4Û`=4"5이므로 cos`xù= CDÓ = 4 = '5 5 BDÓ 4'5 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 20 2019-10-24 오전 9:10:34 정답과 해설 5~6쪽 Ⅰ워크북 9~10쪽 07 A 오른쪽 그림과 같이 한 모서리 의 길이가 a인 정육면체에서 B E cos`xù의 값은? ② ;2!; ③ ④ 답 '2 2 F '6 3 10 C ∠AGE=xù라고 할 때, ① ;3!; D H xæ ①0 G a ④ ' ⑤ 2 2 3 답 ④ 11 xù의 범위가 0ù<xù<25ù인 이 유는 0ù<3xù+15ù<90ù에서 생각하기 위해서이다. A 하여라. åæ CDÓ=2'3일 때, ABÓ의 길 x B C 이는? ①1 답 2'5 5 y=2x+4에 y=0을 대입하면 x=-2이므로 A(-2, 0) x=0을 대입하면 y=4이므로 B(0, 4) 직각삼각형 AOB에서 OAÓ=2, OBÓ=4이므로 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã2Û`+4Û`=2'5 2'5 ∴ sinàù= OBÓ = 4 = 5 ABÓ 2'5 ④ 2'2 답 ② '3 ③2 ⑤ 2'3 ③ △BCD에서 tan`45ù= BCÓ =1 2'3 △ABC에서 tan`60ù= 2'3 ='3 ABÓ ∴ BCÓ=2'3 ∴ ABÓ=2 강의 tip 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?  ABDC는 윗변이 ABÓ, 아랫변이 CDÓ, 높이가 BDÓ인 사다리꼴이다. 보기 ㄱ. sin`45ù_cos`45ù=;2!; 12 오른쪽 그림과 같이 반지름 y ㄴ. sin`30ù=cos`30ù_tan`30ù 의 길이가 1인 사분원에서 1 ㄷ. sin`30ù+cos`60ù=tan`45ù 사각형 ABDC의 넓이가 S 여라. (단, sin`47ù=0.73, ① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ cos`47ù=0.68, ④ ㄱ, ㄷ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ ⑤ ㄱ. sin`45ù_cos`45ù= ③ ㄴ, ㄹ '2 '2 2 _ 2 =;4@;=;2!; '3 '3 '3 '3 , 이므로 ;2!;= 2 tan`30ù= 3 2 _ 3 ㄷ. sin`30ù=;2!;, cos`60ù=;2!;, tan`45ù=1이므로 ;2!;+;2!;=1 '3 1 1 '3 , 3 tan`60ù='3이므로 tan`60ù = '3 = 3 1 ∴ tan`30ù= tan`60ù ㄹ. tan`30ù= A O 47æ B D x tan`47ù=1.07로 계산한다.) 답 ㄴ. sin`30ù=;2!;, cos`30ù= C 일 때, 1000S의 값을 구하 1 tan`60ù ㄹ. tan`30ù= 2Â3 60æ ∠BDC=45ù, O 45æ A ∠BAC=60ù, y=2x+4 aù라고 할 때, sinàù의 값을 구 D 오른쪽 그림에서 ∠ABC=∠DCB=90ù, y B 오른쪽 그림과 같이 일차함수 답 강의 tip '2 2 ∴ xù=15ù '3 ∴ cos`2xù=cos`30ù= 2 y=2x+4의 그래프와 x축의 양 09 ⑤ 1 ③ 3xù+15ù=60ù 따라서 직각삼각형 AEG에서 '2 '6 '2a = = 3 cos`xù= EGÓ = '3 AGÓ '3a 의 방향이 이루는 예각의 크기를 '3 2 ② ;2!; '3 sin`60ù= 2 이므로 ④ △EFG에서 EGÓ="ÃaÛ`+aÛ`='2a, △AEG에서 AGÓ="Ã('2a)Û`+aÛ`='3a 08 '3 sin`(3xù+15ù)= 2 일 때, cos`2xù의 값은? (단, 0ù<xù<25ù) 288 ABÓ=sin`47ù=0.73, OBÓ=cos`47ù=0.68, CDÓ=tan`47ù=1.07 ∴ BDÓ=ODÓ-OBÓ=1-0.68=0.32 ∴ 1000S=1000_[;2!;_(ABÓ+CDÓ)_BDÓ] `=1000_[;2!;_(0.73+1.07)_0.32]=288 1. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 21 21 2019-10-24 오전 9:10:37 정답과 해설 6~7쪽 Ⅰ워크북 9~10쪽 서술형 꽉 잡기 주어진 단계에 따라 쓰는 유형 13 풀이 과정을 자세히 쓰는 유형 14 A 오른쪽 그림과 같이 ∠B=60ù, ∠C=45ù, 6`cm ACÓ=6`cm인 △ABC에 서 ADÓ⊥BCÓ일 때, B 60æ △ABC의 넓이를 구하여 D 45æ 0ù<xù<45ù일 때, 다음 식을 간단히 하여라. "Ã(cos`xù-sin`xù)Û`-"Ã(sin`xù-cos`xù)Û` 양수 C 음수 풀이 '2 '2 0ù<xù<45ù일 때, 0ù<sin`xù< 2 , 2 <cos`xù<1이므로 라. sin`xù<cos`xù` ∴ "Ã(cos`xù-sin`xù)Û`-"Ã(sin`xù-cos`xù)Û` =(cos`xù-sin`xù)-{-(sin`xù-cos`xù)}` =cos`xù-sin`xù+sin`xù-cos`xù =0` 생각해 보자 구하는 것은? △ABC의 넓이 주어진 것은? ① ∠B, ∠C의 크기, ACÓ의 길이 ② ADÓ⊥BCÓ 단계 풀이 [1단계] CDÓ의 길이 구하기 (30 %) '2 = 2 △ADC에서 cos`45ù= CDÓ = CDÓ 6 ACÓ ∴ CDÓ=3'2`cm 채점 기준 ❶ ❷ ❸ 비율 ❶ sin`xù와 cos`xù의 대소 관계 나타내기 40`% ❷ 근호 없애기 40`% ❸ 주어진 식 간단히 하기 20`% 답0 강의 tip 주어진 삼각비의 값을 이용하여 ACÓ의 길이를 구한 후 피타고라스 정리를 이용하여 필요한 길이를 구한다. 15 A 오른쪽 그림과 같이 [2단계] ADÓ, BDÓ의 길이 각각 구하기 (50 %) ∠B=90ù인 직각삼각형 △ADC에서 ∠DAC=180ù-(90ù+45ù)=45ù 즉, △ADC는 직각이등변삼각형이므로 ∠CAD=∠C=xù, ADÓ=CDÓ=3'2`cm △ABD에서 tan`60ù= ADÓ = ∴ BDÓ='6`cm BDÓ 3'2 ='3 BDÓ ABC에서 BCÓ=18`cm, ∠ADB=yù이다. cos`xù= B xæ yæ D 18`cm xæ C △ADC가 이등변삼각형이므로 ADÓ=CDÓ 3'¶13 일 때, sin`yù의 값을 구하여라. 13 풀이 3'¶13 △ABC에서 cos`xù= 18 = 13 ∴ ACÓ=6'¶13`cm ACÓ [3단계] △ABC의 넓이 구하기 (20 %) ∴ △ABC=;2!;_BCÓ_ADÓ =;2!;_('6+3'2)_3'2 =9+3'3 (cmÛ`) 답 (9+3'3)`cmÛ` 22 ∴ ABÓ="Ã(6'¶13 )Û`-18Û`=12(cm)` ADÓ=CDÓ=a`cm라고 하면 BDÓ=(18-a)`cm이므로 △ABD에서 ∴ a=13` aÛ`=(18-a)Û`+12Û`, 36a=468 ❶ ❷ ∴ sin`yù= ABÓ =;1!3@;` ADÓ 단계 ❸ 채점 기준 비율 ❶ ABÓ의 길이 구하기 40`% ❷ ADÓ의 길이 구하기 40`% ❸ sin`yù의 값 구하기 20`% 답 ;1!3@; Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-1단원)(007~022)-6.indd 22 2019-10-24 오전 9:10:38 Ⅰ. 삼각비 2. 삼각비의 활용 I. 삼각비 2 삼각비의 활용 1 삼각비의 활용 ⑴ 05 직각삼각형의 변의 길이 06 일반 삼각형의 변의 길이 07 삼각형의 높이 유형 check 2 삼각비의 활용 ⑵ 08 삼각형의 넓이 09 사각형의 넓이 유형 check 단원 마무리 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 23 2019-10-24 오전 9:12:26 05 개념 1 2-1. 삼각비의 활용 ⑴ 직각삼각형의 변의 길이 직각삼각형의 변의 길이 ∠C=90ù인 직각삼각형 ABC에서 A ⑴ ∠B의 크기와 빗변의 길이 c를 알 때 c b a=c cos B, b=c sin B cos B=;cA;에서 sin B=;cB;에서 B ⑵ ∠B의 크기와 밑변의 길이 a를 알 때 b=a tan B, c= tan B=;aB;에서 직각삼각형에서 기준각에 대하 여 주어진 변과 구하는 변이 ① 빗변, 높이이면  sin 이용 ② 빗변, 밑변이면  cos 이용 ③ 밑변, 높이이면  tan 이용 C a a cos`B cos B=;cA;에서 ⑶ ∠B의 크기와 높이 b를 알 때 a= b b , bc= tan B sin`B tan B=;aB;에서 풍쌤의 point sin B=;cB;에서 직각삼각형에서 한 변의 길이와 한 예각의 크기를 알면 삼각비를 이용 하여 나머지 두 변의 길이를 구할 수 있어. 예제 1 확인 1 C 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù 인 직각삼각형 ABC에 대하여 b a 다음  안에 알맞은 것을 써넣 A 어라. B c 인 직각삼각형 ABC에 대하여 어라. C a= ⑴ sin`C=;bC; c= b`sin`C ⑵ cosÀ= c= ⑵ cos`C= ;bA; a= b`cos`C ⑶ tanÀ= a= ⑶ tan`C= ;aC; c= a`tan`C ⑴ b`sinÀ ⑵ ;bC;, b`cosÀ 10 알맞은 것을 써넣어라. ⑴ sin`30ù=;1Ó0;이므로 ù= ⑵ cos`30ù=;1Õ0;이므로 24 ù= 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC C ABC에 대하여 다음  안에 답 B a 확인 2 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 y=10`cos` c ⑶ ;cA;, c`tanÀ 예제 2 x=10`sin` b 다음  안에 알맞은 것을 써넣 ⑴ sinÀ=;bA; 답 A 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù A 30æ y x B A 에 대하여 다음  안에 알맞은 것을 써넣어라. ⑴ sin`60ù=;1Ó0;이므로 x= 10 10 x _sin`60ù= 5'3 B 60æ C y ⑵ cos`60ù=;1Õ0;이므로 y= 10 _cos`60ù= 5 ⑴ 30, 5 ⑵ 30, 5'3 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 24 2019-10-24 오전 9:12:27 개념 check 01 정답과 해설 7쪽 Ⅰ워크북 11~12쪽 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù인 직각삼각형 ABC에서 A 개념 1 ACÓ=6, ∠B=37ù일 때, BCÓ의 길이를 구하는 식으로 직각삼각형의 변의 길이 6 옳은 것은? ① 6`cos`37ù ③ 답 6 sin`37ù B ④ 6`tan`37ù ⑤ 37æ C 6 ` tan`37ù ⑤ tan`37ù= 02 ② 6`sin`37ù 6 6 에서 BCÓ= tan`37ù BCÓ 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù인 직각삼각형 ABC에서 A 다음을 구하여라. (단, sin`28ù=0.47, cos`28ù=0.88로 계산한다.) ⑴ BCÓ의 길이 답 개념 1 10 ⑵ ACÓ의 길이 ` 직각삼각형의 변의 길이 28æ B C ⑴ 8.8 ⑵ 4.7 ⑴ BCÓ=10`cos`28ù=10_0.88=8.8 ⑵ ACÓ=10`sin`28ù=10_0.47=4.7 03 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù인 직각삼각형 ABC에서 C 개념 1 ACÓ=5, ∠A=50ù일 때, x+y의 값을 구하여라. (단, sin`50ù=0.77, cos`50ù=0.64로 계산한다.)` 답 직각삼각형의 변의 길이 5 7.05 cos`50ù=;5{;이므로 x=5`cos`50ù=5_0.64=3.20 y 50æ A B x sin`50ù=;5};이므로 y=5`sin`50ù=5_0.77=3.85 ∴ x+y=7.05 04 오른쪽 그림과 같이 민수가 건물로부터 50`m 떨어진 지 C 개념 1 점에서 건물 옥상을 올려다본 각의 크기가 35ù이다. 지면 에서 민수의 눈까지의 높이가 1.7`m일 때, 건물의 높이를 직각삼각형의 변의 길이 A 35æ 1.7`m 구하는 식으로 옳은 것은? ① 50`sin`35ù`m ② (50`sin`35ù+1.7)`m ③ 50`cos`35ù`m ④ 50`tan`35ù`m 50`m B D ⑤ (50`tan`35ù+1.7)`m 답 ⑤ (건물의 높이)=(지면에서 민수의 눈까지의 높이)+BCÓ 즉, tan`35ù= BCÓ 이므로 50 BCÓ=50 tan 35ù 따라서 건물의 높이를 구하는 식은 ` 강의 tip 산 또는 물체의 높이를 구하는 실생활 문제는 다음 순서로 해결한다. ① 주어진 그림에서 직각삼각형을 찾는다. ② 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구한다. (50`tan`35ù+1.7)`m 2. 삼각비의 활용 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 25 25 2019-10-24 오전 9:12:28 06 개념 1 2-1. 삼각비의 활용 ⑴ 일반 삼각형의 변의 길이 일반 삼각형의 변의 길이 ⑴삼각형 ABC에서 두 변의 길이 a, c와 그 끼인각 ∠B의 A 크기를 알 때, 삼각비와 피타고라스 정리를 이용하여 나 c 머지 한 변 AC의 길이를 구할 수 있다. B 짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 꼭 AHÓ=c`sin`B, BHÓ=c`cos`B Û Û` ∴ ACÓ="ÃAHÓ`+CHÓ 풍쌤 ="Ã(c`sin`B)Û`+(a-c`cos`B)Û CHÓ=BCÓ-BHÓ C a A c B C H a A ⑵삼각형 ABC에서 한 변의 길이 a와 그 양 끝 각 ∠B, ∠C의 크기를 알 때, 삼각비를 이용하여 나머지 두 변 AB, AC의 길이를 구할 수 있다. B 꼭짓점 B, C에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 두 H, H'이라 하면 BHÓ=ABÓ`sinÀ=a`sin`C, CH'Ó=ACÓ`sinÀ=a`sin`B sin`C sin`B ∴ ABÓ= a` , ACÓ= a` sinÀ sinÀ 풍쌤 풍쌤의 point C a A H' B H a C 일반 삼각형의 변의 길이를 구할 때는 특수한 각의 삼각비를 이용할 수 있도록 한 꼭짓점에서 그 대변에 수선을 그어 직각삼각형을 만들어야 해. 예제 1 확인 1 A 다음은 오른쪽 그림의 삼각 형 ABC에서 변 AC의 길 ABC에서 변 AC의 길이를 구 8 이를 구하는 과정이다.  B 안에 알맞은 수를 써넣어 60æ H C 15 수를 써넣어라. ù= BHÓ=8`cos` ù= , ∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ= 따라서 △AHC에서 답 26 30æ B 45æ 12 C △BCH에서 AHÓ=8`sin` ACÓ="Ã H 하는 과정이다.  안에 알맞은 라. △ABH에서 A 다음은 오른쪽 그림의 삼각형 `Û`+(4'3)Û` = ù= 6'2 따라서 △AHC에서 ∠CAH=90ù-30ù=60ù CHÓ=12`sin` 45 이므로 ACÓ= CHÓ = sin` 60 ù 4'6 60, 4'3, 60, 4, 11, 11, 13 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 26 2019-10-24 오전 9:12:28 개념 check 01 정답과 해설 7~8쪽 Ⅰ워크북 12쪽 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 ACÓ의 길이를 구 A 하여라. 답 2'7 '3 AHÓ=4`sin`60ù=4_ 2 =2'3, BHÓ=4`cos`60ù=4_;2!;=2 60æ B H 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 ABÓ=8`cm, ∠A=75ù, ∠B=60ù일 때, ACÓ의 길이를 구하여라. 답 4'6`cm 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기를 알 때 '3 △ABH에서 AHÓ=8`sin`60ù=8_ 2 =4'3(cm) 강의 tip 따라서 △AHC에서 ACÓ= '2 AHÓ =4'3Ö 2 =4'6(cm) sin`45ù 8`cm A 개념 1 75æ 일반 삼각형의 변의 길이 60æ B C 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기를 알 때 ① 보조선 AH를 그어 직각삼각형을 만든다. ②△ ‌ ABC에서 ∠C의 크기를 구하고, △ABH에서 삼각 비를 이용하여 AHÓ의 길이를 구한다. ③ △AHC에서 삼각비를 이용하여 ACÓ의 길이를 구한다. A cos`C=;5#;일 때, ABÓ의 길이를 구하여라. 개념 1 일반 삼각형의 변의 길이 10 4'5` H B △AHC에서 CHÓ=10`cos`C=10_;5#;=6 C 10 AHÓ="Ã10Û`-6Û`=8 ∴ BHÓ=BCÓ-CHÓ=10-6=4 따라서 △ABH에서 ABÓ="Ã4Û`+8Û`=4'5 04 45æ H 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 ACÓ=BCÓ=10이고 답 C 6 두 변의 길이와 끼인각 의 크기를 알 때 ∴ HCÓ=BCÓ-BHÓ=6-2=4 따라서 △AHC에서 ACÓ="Ã4Û`+(2'3)Û`=2'7 03 일반 삼각형의 변의 길이 4 △ABH에서 02 개념 1 A 오른쪽 그림은 연못의 양 끝 쪽에 있는 두 지점 B, C 사 이의 거리를 구하기 위해 측량한 것이다. 두 지점 B, C 40`m 사이의 거리는? B 57æ 개념 1 50`m H 31æ 일반 삼각형의 변의 길이 C ① (40`sin`57ù+50`cos`31ù)`m ② (40`cos`57ù+50`sin`31ù)`m ③ (40`cos`57ù+50`cos`31ù)`m ④ (50`sin`57ù+40`sin`31ù)`m ⑤ (50`cos`57ù+40`cos`31ù)`m 답 ③ △ABH에서 BHÓ=40`cos`57ù`m △ACH에서 CHÓ=50`cos`31ù`m ∴ BCÓ=BHÓ+CHÓ=40`cos`57ù+50`cos`31ù(m) 2. 삼각비의 활용 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 27 27 2019-10-24 오전 9:12:29 07 개념 1 2-1. 삼각비의 활용 ⑴ 삼각형의 높이 삼각형의 높이 △ABC에서 한 변의 길이 a와 그 양 끝 각 ∠B, ∠C의 크기를 알면 삼각비를 이용하여 높이 h를 구할 수 있다. ⑴ 양 끝 각이 모두 예각인 경우 A Ú △ABH에서 BHÓ=h`tan`xù △ACH에서 CHÓ=h`tan`yù xæ h Û a=BHÓ+CHÓ=h(tan`xù+tan`yù) a h= tan`xù+tan`yù B a 일반 삼각형의 높이를 구할 때에는 두 개의 직각삼각형에 서 tan의 값을 이용한다. yæ C H ⑵ 양 끝 각 중 한 각이 둔각인 경우 Ú △ABH에서 BHÓ=h`tan`xù △ACH에서 CHÓ=h`tan`yù yæ =BHÓ-CHÓ=h(tan`xù-tan`yù) Ûa a h= tan`xù-tan`yù B 예제 1 A xæ 각형 ABC에서 높이 h를 구하 h 는 과정이다.  안에 알맞은 B 것을 써넣어라. a 90æ-åæ C H 은 것을 써넣어라. A 90æ-∫æ h 하는 과정이다.  안에 알맞 B åæ ∫æ aH C a=BHÓ+CHÓ =h`tan( a ∴ h= 90ù-aù tan( )+h`tan( 90ù-bù ) a )+tan( 90ù-bù ) 90ù-aù tan`xù+tan`yù 예제 2 확인 2 다음은 오른쪽 그림과 같은 삼 xæ 각형 ABC에서 높이 h를 구하 A yæ 는 과정이다.  안에 알맞은 B 것을 써넣어라. a a=BHÓ-CHÓ=h`tan`xù-h`tan`yù h= C H h 다음은 오른쪽 그림과 같은 삼 a 90æ-åæ 90æ-∫æ 각형 ABC에서 높이 h를 구하 것을 써넣어라. C h 는 과정이다.  안에 알맞은 A åæ c ∫æ B H c=AHÓ-BHÓ =h`tan( 이므로 28 H 각형 ABC에서 높이 h를 구 yæ 이므로 답 C 다음은 오른쪽 그림과 같은 삼 a=BHÓ+CHÓ=h`tan`xù+h`tan`yù 답 a h 확인 1 다음은 오른쪽 그림과 같은 삼 h= A xæ ∴ h= 90ù-aù tan( )-h`tan( 90ù-bù c )-tan( 90ù-bù 90ù-aù ) ) tan`xù-tan`yù Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 28 2019-10-24 오전 9:12:30 개념 check 01 정답과 해설 8쪽 Ⅰ워크북 13쪽 A 다음은 오른쪽 그림과 같이 ∠B=45ù, ∠C=60ù, BCÓ=12인 삼각형 ABC의 높이 h를 구하는 과정이다. BHÓ=h_ tan`45ù = 1 삼각형의 높이 30æ h  안에 알맞은 것을 써넣어라. △ABH에서 ∠BAH=90ù-45ù=45ù이므로 개념 1 45æ 45æ B 12 60æ H C _h △ACH에서 ∠CAH=90ù-60ù=30ù이므로 CHÓ=h_ tan`30ù = '3 12 3 _h 이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ=12이므로 { 02 1 + '3 12 3 }h=12 ∴ h= 6(3-'3) A 다음은 오른쪽 그림과 같이 ∠B=45ù, ∠C=120ù, BCÓ=2인 삼각형 ABC의 높이 h를 구하는 과정이다. 삼각형의 높이 30æ  안에 알맞은 것을 써넣어라. 45æ △ABH에서 ∠BAH=90ù-45ù=45ù이므로 BHÓ=h_ tan`45ù = 1 개념 1 45æ B 120æ 2 _h h H C △ACH에서 ∠ACH=180ù-120ù=60ù, ∠CAH=90ù-60ù=30ù이므로 CHÓ=h_ tan`30ù = '3 12 3 강의 tip _h 2개의 직각삼각형 ABH, ACH에서 tan의 값을 이용 하여 BHÓ, CHÓ의 길이를 h에 대한 식으로 나타낸다.  BHÓ=h`tan`xù, CHÓ=h`tan`yù 이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ=2이므로 { 03 1 - '3 12 3 }h=2 ∴ h= 3+'3  h= a tan`xù+tan`yù 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 AHÓ의 길이를 구 75æ B yæ h C H a 개념 1 30æ 45æ 하여라. 답 A A xæ 삼각형의 높이 h 4(3-'3) B △ABH에서 ∠BAH=90ù-45ù=45ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h '3 △ACH에서 ∠CAH=75ù-45ù=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ù= 3 h 45æ 8 C H '3 '3 BCÓ=BHÓ+CHÓ=h+ 3 h={1+ 3 }h=8 ∴ h=4(3-'3) 04 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 ∠B=30ù, 60æ ∠ACH=45ù, BCÓ=4일 때, AHÓ의 길이를 구하여라. 답 45æ 2('3+1) △ABH에서 ∠BAH=90ù-30ù=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h △ACH에서 ∠CAH=90ù-45ù=45ù이므로 CHÓ=h`tan`45ù=h BCÓ=BHÓ-CHÓ='3h-h=('3-1)h=4 ∴ h=2('3+1) B 강의 tip a tan`xù-tan`yù 개념 1 삼각형의 높이 h H 2개의 직각삼각형 ABH, ACH에서 tan의 값을 이용 하여 BHÓ, CHÓ의 길이를 h에 대한 식으로 나타낸다.  BHÓ=h`tan`xù, CHÓ=h`tan`yù  h= (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 29 45æ 30æ C 4 A xæ A yæ h B a C H 2. 삼각비의 활용 29 2019-10-24 오전 9:12:31 유형 check 유형 1 정답과 해설 8~9쪽 Ⅰ워크북 11~13쪽 직각삼각형의 변의 길이 닮은꼴 문제 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC 1-1 A 에서 ABÓ=10, ∠B=55ù일 때, x-y 의 값은? (단, sin`55ù=0.82, x cos`55ù=0.57로 계산한다.) ① 2.5 ②3 ③ 3.5 ④ 4.5 B ABC에서 ∠B=43ù, BCÓ=10 일 때, ABÓ의 길이와 ACÓ의 길 55æ C y B 이의 차를 구하여라. 43æ C 10 (단, sin`43ù=0.68, cos`43ù=0.73, tan`43ù=0.93으로 계산한다.) ⑤ 5 답 A 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 10 답 ① 0.5 ABÓ=10`cos`43ù=10_0.73=7.3, ACÓ=10`sin`43ù=10_0.68=6.8 따라서 ABÓ의 길이와 ACÓ의 길이의 차는 7.3-6.8=0.5 x=ACÓ=10`sin`55ù=10_0.82=8.2 y=BCÓ=10`cos`55ù=10_0.57=5.7 ∴ x-y=8.2-5.7=2.5 1-2 A 오른쪽 그림에서 ∠BAC=30ù, ∠ADB=45ù, ADÓ=6일 때, 답 3'2-'6 '2 B △ABD에서 BDÓ=6`cos`45ù=6_ 2 =3'2 ∴ ABÓ=BDÓ=3'2 6 30æ CDÓ의 길이를 구하여라. C 45æ D '3 △ABC에서 BCÓ=3'2`tan`30ù=3'2_ 3 ='6 ∴ CDÓ=BDÓ-BCÓ=3'2-'6 유형 2 직각삼각형의 변의 길이의 활용 지면에 수직으로 서 있던 전봇대 닮은꼴 문제 2-1 A 가 부러져 오른쪽 그림과 같이 지 면과 30ù의 각을 이루게 되었다. 이때 부러지기 전의 전봇대의 높 B 12`m 30æ 이를 구하여라. (단, 전봇대의 굵기는 생각하지 않는다.) 답 12'3`m '3 ABÓ=12`tan`30ù=12_ 3 =4'3`(m) 12 '3 =12Ö 2 =8'3`(m) ACÓ= cos`30ù 따라서 부러지기 전의 전봇대의 높이는 4'3+8'3=12'3`(m) 강의 tip 30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값은 반드 시 기억하여 문제 풀이에 이용한다. A 오른쪽 그림과 같이 준하가 비탈 C 진 등산로를 따라 A 지점에서 B C 26æ 50`m 지점까지 50`m를 걸어 내려갔을 B 때, 처음 위치의 높이에서 몇 m 낮아졌는지 구하여라. (단, sin`26ù=0.44로 계산한다.) 답 22`m BCÓ=50 sin 26ù=50_0.44=22(m) 2-2 A 오른쪽 그림의 직육면체에서 ACÓ=8`cm, BFÓ=6`cm, B ∠ACB=30ù일 때, 이 직육 면체의 부피는? 6`cm D 8`cm 30æ C E F H G ① 72'3`cmÜ` ② 64'3`cmÜ` ③ 96'3`cmÜ` ④ 102'3`cmÜ` ⑤ 114'3`cmÜ` 답 ③ △ABC에서 '3 ABÓ=8`sin`30ù=8_;2!;=4(cm), BCÓ=8`cos`30ù=8_ 2 =4'3(cm) 30 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 30 따라서 직육면체의 부피는 4_4'3_6=96'3(cmÜ`) 2019-10-24 오전 9:12:32 유형 3 일반 삼각형의 변의 길이 닮은꼴 문제 두 변 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC A 에서 BCÓ의 길이는? ① 2'3 ②4 ③ 2'5 ④ 2'7 60æ B 답 C 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알고 나머지 한 변의 길이를 구할 때는 구하는 변 을 빗변으로 하는 직각삼각 형이 만들어지도록 수선을 긋고, 삼각비를 이용한다. △ACH에서 '3 CHÓ=6`sin`60ù=6_ 2 =3'3 AHÓ=6`cos`60ù=6_;2!;=3 6(1+'3) △BCH에서 강의 tip ④ 답 ∴ BHÓ=ABÓ-AHÓ=4-3=1 따라서 △BCH에서 BCÓ="Ã(3'3)Û`+1Û`=2'7 A H 에서 ABÓ의 길이를 구하여라. H ⑤ 6 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC 6 4 3-1 105æ 30æ B '3 BHÓ=12`cos`30ù=12_ 2 =6'3 45æ 12 C CHÓ=12`sin`30ù=12_;2!;=6 CHÓ △AHC에서 AHÓ= tan`45ù =;1^;=6 ∴ ABÓ=AHÓ+BHÓ=6+6'3=6(1+'3) 3-2 A 오른쪽 그림과 같이 ∠B=120ù, ABÓ=4`cm, 4`cm BCÓ=5`cm인 삼각형 ABC 에서 ACÓ의 길이를 구하여라. 답 '¶61`cm △ABH에서 AHÓ=4`sin`60ù=4_ 120æ H 60æ B C 5`cm '3 2 =2'3(cm) BHÓ=4`cos`60ù=4_;2!;=2(cm) ∴ CHÓ=BCÓ+BHÓ=5+2=7(cm) 따라서 △ACH에서 ACÓ="Ã(2'3)Û`+7Û`='¶61(cm) 유형 4 삼각형의 높이의 활용 오른쪽 그림과 같이 8`m 떨어 진 두 지점 B, C에서 탑의 꼭 닮은꼴 문제 A 각각 60ù, 30ù일 때, 탑의 높이 는? 60æ B 30æ 8`m △ABC의 높이 ① 3'3`m ② 4'3`m ④ 6'3`m ⑤ 7'3`m 답 H 오른쪽 그림과 같이 100`m` 30æ h`m 대기를 올려다본 각의 크기가 4-1 60æ ③ 5'3`m ② △AHC에서 ∠CAH=90ù-30ù=60ù이므로 CHÓ=h`tan`60ù='3h △AHB에서 ∠BAH=90ù-60ù=30ù이므로 '3 BHÓ=h`tan`30ù= 3 h '3 2'3 ∴ h=4'3` BCÓ=CHÓ-BHÓ='3h- 3 h= 3 h=8 C 45æ 떨어진 두 지점 A, B에서 산 30æ 꼭대기를 올려다본 각의 크기 가 각각 45ù, 60ù일 때, 산의 높이를 구하여라. 답 C A 60æ 45æ 100`m B h`m D 50(3+'3)`m △CAD에서 ∠ACD=90ù-45ù=45ù이므로 ADÓ=h`tan`45ù=h '3 CBD에서 ∠BCD=90ù-60ù=30ù이므로 BDÓ=h`tan`30ù= h △ 3 '3 '3 ABÓ=ADÓ-BDÓ=h- 3 h={1- 3 }h=100 ∴ h=50(3+'3) 4-2 오른쪽 그림과 같이 50`m 50æ 떨어진 두 지점 A, B에서 나무의 끝부분 C를 올려다본 각의 크기가 각각 40ù, 35ù 55æ h A 40æ 일 때, 나무의 높이 h의 값을 구하여라. H 50`m 35æ B △ABC의 높이 (단, tan`50ù=1.2, tan`55ù=1.4로 계산한다.) 답 C :ª1°3¼:`m △CAH에서 ∠ACH=90ù-40ù=50ù이므로 AHÓ=h`tan`50ù=1.2h △CBH에서 ∠BCH=90ù-35ù=55ù이므로 BHÓ=h`tan`55ù=1.4h ABÓ=AHÓ+BHÓ=1.2h+1.4h=2.6h=50 50 250 ∴ h= 2.6 = 13 (m) 2. 삼각비의 활용 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 31 31 2019-10-24 오전 9:12:33 08 개념 1 2-2. 삼각비의 활용 ⑵ 삼각형의 넓이 삼각형의 넓이 삼각형 ABC에서 두 변의 길이 a, c와 그 끼인각 ∠B의 크기를 알면 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. ⑴ ∠B가 예각인 경우 A A c c c`sin`B B C a B a H C △ABC=;2!;_a_c`sin`B=;2!;ac`sin`B 삼각형 ABC의 높이 ⑵ ∠B가 둔각인 경우 A A c`sin`{180æ-B} c c B C a B H a C △ABC=;2!;_a_c`sin(180ù-B)=;2!;ac`sin(180ù-B) 삼각형 ABC의 높이 참고 ∠B=90ù이면 sin`B=sin`90ù=1이므로 △ABC=;2!;ac`sin`90ù=;2!;ac 예제 1 확인 1 A 다음은 오른쪽 그림과 같은 삼 각형 ABC의 넓이를 구하는 과정이다.  안에 알맞은 것 을 써넣어라. 32 B △ABC=;2!;_6_ _ 10, 60, 10, '3 , 15'3 2 60æ 10 C 이를 구하는 과정이다. 5 B A 135æ 6 C  안에 알맞은 것을 써 넣어라. _sin` 답 같은 삼각형 ABC의 넓 6 △ABC=;2!;_6_ △ABC= 다음은 오른쪽 그림과 ù △ABC=;2!;_5_ 6 _sin`(180- 135 )ù △ABC=;2!;_5_ 6 _sin` 45 ù △ABC=;2!;_5_ 6 _ '2 2 △ABC= 15'2 2 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 32 2019-10-24 오전 9:12:34 개념 check 01 정답과 해설 9~10쪽 Ⅰ워크북 14~15쪽 다음 그림과 같은 삼각형 ABC의 넓이를 구하여라. A ⑴ 7 답 60æ B ⑴ 삼각형의 넓이 A ⑵ 3 개념 1 2 B C 45æ C 5 ` 3'3 35'2 ⑵ 2 4 '3 3'3 2= 2 '2 35'2 ⑵ △ABC=;2!;_5_7_sin`45ù=;2!;_5_7_ = 2 4 ⑴ △ABC=;2!;_2_3_sin`60ù=;2!;_2_3_ 02 다음 그림과 같은 삼각형 ABC의 넓이를 구하여라. ⑴A 개념 1 ⑵ 150æ 6 답 B 4 C A 2Â2 135æ ⑴ 6 ⑵ 4 ⑵ △ABC=;2!;_4_2'2_sin(180ù-135ù)=;2!;_4_2'2_sin`45ù=;2!;_4_2'2_ 오른쪽 그림과 같이 ∠B=35ù, ∠C=25ù, 6`cm ABÓ=6`cm, ACÓ=8`cm인 삼각형 ABC의 넓이를 구하여라. 답 ` B 4 ⑴ △ABC=;2!;_6_4_sin(180ù-150ù)=;2!;_6_4_sin`30ù=;2!;_6_4_;2!;=6 03 삼각형의 넓이 C ` B 35æ A 120æ '2 2 =4 개념 1 8`cm 25æ 삼각형의 넓이 C 12'3`cmÛ` △ABC=;2!;_6_8_sin (180ù-120ù)=;2!;_6_8_sin 60ù '3 △ABC=;2!;_6_8_ =12'3 (cmÛ`) 2 04 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC의 넓이가 A 18'3`cmÛ` 일 때, ACÓ의 길이를 구하여라. 답 6`cm B 120æ 12`cm ` 개념 1 삼각형의 넓이 C ;2!;_12_ACÓ_sin(180ù-120ù)=18'3 ;2!;_12_ACÓ_sin 60ù=18'3 '3 ;2!;_12_ACÓ_ 2 =18'3 3'3_ACÓ=18'3 ∴ ACÓ=6`cm 2. 삼각비의 활용 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 33 33 2019-10-24 오전 9:12:35 09 개념 1 2-2. 삼각비의 활용 ⑵ 사각형의 넓이 사각형의 넓이 ⑴ 평행사변형의 넓이 xù가 둔각일 때, 평행사변형 ABCD에서 이웃하는 두 변의 길이 a, b와 그 끼인각 xù의 크기 ☐ ABCD =ab`sin`(180ù-xù) 를 알면 평행사변형의 넓이를 구할 수 있다. A a B b A D xæ a xæ a xæ B C b D C b 평행사변형 ABCD에서 xù가 예각일 때, ☐ ABCD=2△ABC=2_;2!;ab`sin`xù=ab`sin`xù ⑵ 사각형의 넓이 xù가 둔각일 때, ABCD 사각형 ABCD에서 두 대각선의 길이 a, b와 두 대각선이 이루는 각 xù의 크 =;2!;ab`sin (180ù-xù) 기를 알면 사각형의 넓이를 구할 수 있다. E D A xæ b a B xæ F xæ C b 강의 tip D b A H a 삼각비를 이용한 삼각형과 사각형의 넓이 S에 대 한 공식 비교 삼각형 C B a aa xæ xæ G bb S=;2!; ab sin xù 사각형 ABCD에서 xù가 예각일 때, 평행사변형 일반 사각형 aa xæ xæ bb xæ xæ aa bb S=ab sin xù S=;2!; ab sin xù ☐ ABCD=;2!; ☐ EFGH=;2!;_ab`sin`xù=;2!;ab`sin`xù 예제 1 확인 1 다음은 이웃하는 두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 다음은 사각형 ABCD의 두 대각선의 길이가 a, b이고 크기가 xù인 평행사변형의 넓이를 구하는 과정이다. ㈎, 두 대각선이 이루는 각의 크기가 xù인 사각형의 넓이를 ㈏에 알맞은 것을 구하여라. (단, 0ù<xù<90ù) 구하는 과정이다. ㈎, ㈏에 알맞은 것을 구하여라. ☐ ABCD=2△ABC ABCD=2_ ㈎ ABCD= ㈏ 답 A (단, 0ù<xù<90ù) D a ☐ ABCD xæ B b = ㈎ `☐ EFGH C = ㈏ `sin`xù ㈎ ;2!;ab`sin (180ù-xù) F xæ B a ㈏ ab`sin (180ù-xù) D xæ b H a C G 답 34 E b A ㈎ ;2!; ㈏ ;2!;àb Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 34 2019-10-24 오전 9:12:37 개념 check 01 정답과 해설 10쪽 Ⅰ워크북 15~16쪽 개념 1 다음 평행사변형의 넓이를 구하여라. ⑴ D A 3 B 답 8 60æ 150æ B C 4 사각형의 넓이 D ⑵A ⑴ 6'3 ⑵ 20 ⑴ ☐ ABCD=3_4_sin`60ù=3_4_ 5 C '3 2 =6'3 ⑵ ☐ ABCD=8_5_sin(180ù-150ù)=8_5_sin`30ù=8_5_;2!;=20 02 개념 1 다음 사각형의 넓이를 구하여라. ⑴A 7 6 A 45æ B C B 답 ⑴ 21'2 ⑵ 20'3 2 ⑴ ☐ ABCD=;2!;_7_6_sin`45ù=;2!;_7_6_ 10 120æ 8 C '2 21'2 2= 2 ⑵ ☐ ABCD=;2!;_10_8_sin(180ù-120ù) ⑵ ☐ ABCD=;2!;_10_8_sin`60ù=;2!;_10_8_ 03 사각형의 넓이 D ⑵ D '3 2 =20'3 오른쪽 그림과 같이 BCÓ=10`cm, CDÓ=6`cm인 평행 A D 개념 1 사변형 ABCD의 넓이가 30'2`cmÛ` 일 때, x의 값을 구 6`cm 하여라. (단, 0ù<xù<90ù)` 답 B 10`cm xæ 사각형의 넓이 C 45 30'2 '2 10_6_sin`xù=30'2에서 sin`xù= 60 = 2 이때 0ù<xù<90ù이므로 x=45 04 A 오른쪽 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 120ù이고 ACÓ=8인 등변사다리꼴 ABCD의 넓이를 구 하여라.` 답 두 대각선의 길이는 서로 같다. D 120æ 개념 1 8 B 사각형의 넓이 C 16'3 ☐ ABCD=;2!;_8_8_sin`(180ù-120ù) =;2!;_8_8_sin`60ù '3 =;2!;_8_8_ 2 =16'3 강의 tip 대각선의 길이를 이용하는 넓이 문제에서 자주 출제되는 도형  등변사다리꼴  두 대각선의 길이는 같음을 이용! 2. 삼각비의 활용 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 35 35 2019-10-24 오전 9:12:39 유형 check 유형 1 정답과 해설 10~11쪽 Ⅰ워크북 14~16쪽 삼각형의 넓이 닮은꼴 문제 1-1 A 오른쪽 그림과 같이 ABÓ=2'6`cm, BCÓ=6`cm 인 삼각형 ABC의 넓이가 B 9'2`cmÛ`일 때, ∠B의 크기 C 6`cm 를 구하여라. (단, 90ù<∠B<180ù) 답 BCÓ=6`cm인 삼각형 ABC의 넓이가 30`cmÛ`일 때, ABÓ의 길이를 구하여라. 답 0<180ù-∠B<90ù 120ù A 오른쪽 그림과 같이 ∠B=60ù, 2Â6`cm 20'3 `cm 3 B ;2!;_6_ABÓ_sin`60ù=30이므로 ;2!;_2'6_6_sin (180ù-B)=9'2에서 '3 20'3 ;2!;_6_ABÓ_ 2 =30 ∴ ABÓ= 3 `cm '3 sin(180ù-B)= 2 60æ 6`cm C 이때 90ù<∠B<180ù이므로 180ù-∠B=60ù ∴ ∠B=120ù 1-2 오른쪽 그림과 같이 ACÓ=10, A BCÓ=6인 삼각형 ABC의 넓 10 이가 15'2일 때, ∠C의 크기 를 구하여라. (단, ∠C>90ù) 답 135ù B C 6 '2 ;2!;_6_10_sin`(180ù-C)=15'2이므로 sin (180ù-C)= 2 이때 ∠C>90ù이므로 180ù-∠C=45ù ∴ ∠C=135ù 유형 2 다각형의 넓이 닮은꼴 문제 오른쪽 그림과 같은 ☐ ABCD 의 넓이를 구하여라. 답 52'3`cmÛ` △ABC에서 ACÓ=8`tan`60ù=8_'3=8'3(cm) ∴ ☐ ABCD=△ABC+△ACD 8`cm B 2-1 D A 30æ 10`cm 4 A C 16`cm 답 18 '2 4 =4Ö 2 =4'2 cos`45ù ∴ ☐ ABCD=△ABC+△ACD 4 B ACÓ= ∴ ABCD=;2!;_8_8'3+;2!;_8'3_10_sin`30ù D 45æ 의 넓이를 구하여라. 60æ 30æ 45æ 5Â2 C ∴ ABCD=;2!;_5'2_4'2_sin`30ù+;2!;_4_4 ∴ ABCD=32'3+20'3=52'3(cmÛ`) 강의 tip 다각형의 넓이를 구할 때는 가장 기본 도형인 삼각형으로 나눈다. ① ‌보조선을 그어 다각형을 여러 개의 삼각형으로 나 눈다. ② 각 삼각형의 넓이를 구하여 더한다.  ☐ ABCD=△ABC+△ACD 오른쪽 그림과 같은 ☐ ABCD ∴ ABCD=10+8=18 A B D 2-2 C 오른쪽 그림과 같은 ☐ ABCD 의 넓이를 구하여라. 답 9'3`cmÛ` ☐ ABCD=△ABD+△BCD ABCD=;2!;_3_3_sin`(180ù-120ù) ABCD 3`cm A 120æ 3`cm B D 3Â3`cm 60æ 3Â3`cm C +;2!;_3'3_3'3_sin`60ù ABCD= 9'3 + 27'3 =9'3(cmÛ`) 4 4 36 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 36 2019-10-24 오전 9:12:42 유형 3 평행사변형의 넓이 닮은꼴 문제 오른쪽 그림과 같이 ADÓ=10, CDÓ=6, ∠B=60ù인 평행사 변형 ABCD에서 두 대각선의 교점을 P라고 할 때, 삼각형 10 A B 60æ D ABÓ=5`cm, BCÓ=8`cm, C ∠D=120ù인 평행사변형 ABD의 넓이는? ① 13'3 2 ② ④ 13'3 답 15'3 2 ③ D A 오른쪽 그림과 같이 6 P 3-1 O 5`cm B ABCD에서 점 O가 두 대각 17'3 2 120æ C 8`cm 선의 교점일 때, 삼각형 ABO의 넓이를 구하여라. 답 ⑤ 15'3 5'3`cmÛ` ☐ ABCD=5_8_sin`(180ù-120ù)=5_8_ ⑤ '3 2 =20'3(cmÛ`) ∴ △ABO=;4!; ☐ ABCD=;4!;_20'3=5'3(cmÛ`) 3-2 △ABD=;2!; ☐ ABCD=;2!;_10_6_sin`60ù '3 ABD=;2!;_10_6_ =15'3 △ 2 오른쪽 그림과 같은 마름모 ABCD의 넓이가 50'2`cmÛ ` A x`cm 45æ B 일 때, 마름모 ABCD의 둘레 D x`cm C 의 길이를 구하여라. 답 40`cm ☐ ABCD=x_x_sin`45ù= '2 2 xÛ`=50'2, xÛ`=100 ∴ x=10`(∵ x>0) 따라서 마름모 ABCD의 둘레의 길이는 10_4=40(cm) 유형 4 사각형의 넓이 오른쪽 그림과 같은 사각형 닮은꼴 문제 A ABCD의 넓이가 39'3`cmÛ ` 일 때, x의 값은? (단, 0ù<xù<90ù) ① 15 ② 30 ③ 45 ④ 50 답 B 12`cm xæ 13`cm D A 오른쪽 그림과 같이 C ⑤ 60 4-1 ADÓBCÓ이고 두 대각선이 이루는 각의 크기가 120ù인 등변사다리꼴 ABCD의 넓이 D x`cm 120æ B C 가 15'3`cmÛ`일 때, BDÓ의 길이는? ⑤ ☐ ABCD=;2!;_12_13_sin`xù=78`sin`xù=39'3 ① 2'3`cm ② 4`cm ∴ sin`xù= ④ 3'5`cm ⑤ 2'¶15`cm '3 2 이때 0ù<xù<90ù이므로 x=60ù 답 ③ 4'2`cm ⑤ ;2!;_x_x_sin`(180ù-120ù)=;2!;_x_x_sin`60ù=15'3이므로 xÛ`=60 ∴ x=2'¶15`(∵ x>0) 4-2 오른쪽 그림과 같이 ACÓ=BDÓ=10이 A D 고 ∠DBC=52ù, ∠ACB=68ù인 사 각형 ABCD의 넓이를 구하여라. 10 P 10 60æ 답 25'3 △BCP에서 ∠BPC=180ù-(52ù+68ù)=60ù이므로 B 52æ 68æ C ☐ ABCD=;2!;_10_10_sin`60ù ☐ ABCD=;2!;_10_10_ '3 2 =25'3 2. 삼각비의 활용 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 37 37 2019-10-24 오전 9:12:44 단원 마무리 01 05 A 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 x, y의 값을 각각 구 x 하는 식을 다음 <보기>에서 순서 35æ B 대로 고른 것은? y ④ ㄹ, ㄷ 답 8 8 ㅁ. 1112 ㅂ. 1112 sin`35ù tan`35ù ② ㄴ, ㄹ ③ ㄷ, ㄹ A 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 ABÓ=8이고 B AEÓ의 길이는? ①2 ② 2'2 ④ 2'3 ⑤ 3'2 60æ C D 06 A 면 위에 두 지점의 거리가 ③3 100`m가 되도록 A, B를 잡 ABÓ=2, ACÓ=CDÓ B 45æ 30æ 100`m A B 때 산의 높이는? 30æ 15æ 150æ D C ① 45`m ② 45'2`m ④ 50'2`m ⑤ 50'3`m 답 ⑤ ③ 45'3`m '3 △ABC에서 BCÓ=100`cos`30ù=100_ 2 =50'3(m) △DCB에서 CDÓ=50'3`tan`45ù=50'3_1=50'3(m) 일 때, tan`15ù의 값을 구하여라. 2 C ∠CBD=45ù가 되었다. 이 15æ ∠BAC=60ù, 2-'3 D 오른쪽 그림과 같이 산의 높 았더니 ∠ABC=30ù, 2 60æ 답 ⑤ 이를 측정하기 위하여 수평 ④ 오른쪽 그림에서 강의 tip 입체도형에서 각의 크기가 주어지면 일단 그 각을 포함하는 직각삼각형을 찾아 세 변의 길이를 구한다. AOÓ=8`sin`60ù=4'3(cm), BOÓ=8`cos`60ù=4(cm) 64'3 ∴ (원뿔의 부피)=;3!;_p_4Û`_4'3= 3 p(cmÜ`) △ABD에서 ADÓ=8`sin`60ù=4'3 △ADE에서 AEÓ=4'3`cos`60ù=2'3 03 64'2 ④ 1152 p`cmÜ` 3 E 60æ 8 ∠B=∠DAE=60ù일 때, 답 ③ 17'3p`cmÜ` △ABO에서 8 8 y cos`35ù= x 이므로 x= cos`35ù , tan`35ù= 8 이므로 y=8`tan`35ù 02 62'2 ② 1152 p`cmÜ` 3 답 ④ O ① 20p`cmÜ` 64'3 ⑤ 1152 p`cmÜ` 3 ⑤ ㅂ, ㄴ 60æ B 는? ㄱ. 8`cos`35ù ㄴ. 8`sin`35ù ㄷ. 8`tan`35ù ① ㄱ, ㅂ 8`cm 가 60ù일 때, 이 원뿔의 부피 보기 8 ㄹ. 1112 cos`35ù 이가 8`cm인 원뿔이 있다. 모 선과 밑면이 이루는 각의 크기 C 8 A 오른쪽 그림과 같이 모선의 길 먼저 주어진 그림에서 크기가 15ù인 각을 찾도록 한다. △ABC에서 ACÓ= cos`60ù =4, BCÓ=2`tan`60ù=2'3 07 ∴ BDÓ=CDÓ+BCÓ=4+2'3 2 따라서 △ABD에서 tan`15ù= ABÓ = =2-'3 4+2'3 BDÓ CDÓ=ACÓ=4 04 ACÓ=6`cm, BCÓ=8`cm, ∠C=120ù인 삼각형 ABC에서 ABÓ의 길이를 B 120æ 8`cm 구하여라. 답 2'¶37`cm △ACH에서 AHÓ=ACÓ`sin`60ù=3'3(cm), CHÓ=ACÓ`cos`60ù=3(cm) ∴ BHÓ=BCÓ+CHÓ=8+3=11(cm) 따라서 △ABH에서 ABÓ="11Û`+(3'3)Û`=2'¶37(cm) 38 A 오른쪽 그림과 같이 C 6`cm H 오른쪽 그림과 같이 A ∠B=45ù, ∠C=60ù, x ACÓ=4인 삼각형 ABC에 서 xy의 값을 구하여라. 답 B 45æ 12'2+4'6 4 yH 60æ C △ACH에서 AHÓ=4`sin`60ù=2'3, CHÓ=4`cos`60ù=2 '2 △ABH에서 x= sin`45ù =2'3Ö 2 =2'6 AHÓ y=BHÓ+CHÓ=AHÓ+CHÓ=2'3+2 ∴ xy=2'6_(2'3+2)=12'2+4'6 Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 38 2019-10-24 오전 9:12:46 강의 tip 정답과 해설 11~13쪽 Ⅰ워크북 17~18쪽 두 변의 길이(ACÓ, BCÓ)와 그 끼인각(∠C)의 크기로부터 ;2!;ACÓ_BCÓsin`C를 이용해서 넓이를 구해도 된다. 08 12 A 오른쪽 그림에서 ∠D=45ù, ∠ACB=60ù, CDÓ=2일 때, 삼각형 ACD의 넓이는? ① 3+'3 ③ 5+'3 h ② 4+'3 60æ B ④ 6+'3 h h '3 BDÓ= tan`45ù =h, BCÓ= tan`60ù = 3 h 09 5`cm B 45æ H C 13 AHÓ⊥BCÓ일 때, 삼각형 ABC의 넓이는? ④ 20`cmÛ` ⑤ 20'2`cmÛ` 답 ③ 14'2`cmÛ` CHÓ=4'2`cos`45ù=4(cm), AHÓ=4'2`sin`45ù=4(cm) △ABH에서 BHÓ="Ã5Û`-4Û`=3(cm) BCÓ=BHÓ+CHÓ=3+4=7(cm) ∴ △ABC=;2!;_7_4=14(cmÛ`) 름의 길이가 6인 반원 O에 A 30æ 6 120æ 6 14 12p-9'3 8`cm ∠A=180ù-(75ù+75ù)=30ù ∴ △ABC`=;2!;_8_8_;2!;=16(cmÛ`) A 오른쪽 그림과 같은 평 행사변형 ABCD의 넓 3x`cm 이가 30'2`cmÛ`이고 B ① 28`cm ② 30`cm ④ 34`cm ⑤ 36`cm D 45æ 5x`cm C B ③ 32`cm ③ 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 4`cm인 원에 내접하는 ③ 32'3`cmÛ` 30æ 8`cm 16`cmÛ` △ABC=;2!;_8_8_sin 30ù ② ② 32'2`cmÛ` ABÓ = ACÓ = 8`cm인 이등변삼각 ∴ ⑤ 9'3`cmÛ` 75æ 75æ 4`cm 45æ 4`cm O ① 32`cmÛ` A 오른쪽 그림과 같이 ∠B=75ù, 답 ④ 8'3`cmÛ` 정팔각형의 넓이는? =p_6Û`_;3!6@0);-;2!;_6_6_sin`(180ù-120ù)=12p-9'3 형 ABC의 넓이를 구하여라. ③ 7'3`cmÛ C O ∠AOB=180ù-(30ù+30ù)=120ù ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOB 11 ② 9`cmÛ` 답 여라. 답 ① 8`cmÛ` '2 15'2 ☐ ABCD=3x_5x_sin`45ù=3x_5x_ = 2 2 xÛ`=30'2 ∴ x=2 (∵ x>0) xÛ`=4 따라서 ABÓ=3_2=6(cm), BCÓ=5_2=10(cm)이므로 평행사변 형 ABCD의 둘레의 길이는 2_(6+10)=32(cm) B 오른쪽 그림과 같이 반지 칠한 부분의 넓이를 구하 ∠BAC=∠BCA인 이등변삼각형 길이는? ② 서 ∠BAC=30ù일 때, 색 C ABÓ`:`BCÓ=3`:`5일 때, 평행사변형 ABCD의 둘레의 △ACH에서 10 30æ 4Â2`cm ACÓ=4'2`cm, ∠C=45ù ② 14`cmÛ` B P ∴ △ABC=;2!;_6_6_sin`30ù=9(cmÛ`) A 오른쪽 그림과 같이 ① 9'2`cmÛ` 모양의 종이테이프를 ACÓ 답 ∴ △ACD=;2!;_2_(3+'3)=3+'3 인 삼각형 ABC에서 3`cm A ∠HAB=∠ABC=30ù`(엇각)이므로 △ABH에서 HBÓ ∴ BCÓ=ABÓ=6`cm ABÓ= sin`30ù =3Ö;2!;=6(cm) ∴ h=3+'3 ABÓ=5`cm, 3`cm로 일정한 직사각형 30æ 다. ∠ABC=30ù일 때, 삼각형 ABC의 넓이는? D ① '3 CDÓ=BDÓ-BCÓ=h- 3 h=2 H 를 접는 선으로 하여 접었 45æ C 2 ⑤ 7+'3 답 오른쪽 그림과 같이 폭이 ④ 32'5`cmÛ` ⑤ 32'7`cmÛ` 답 C 강의 tip 정팔각형에 보조선을 그어 8개의 합 동인 이등변삼각형으로 나누어 생각 한다. ② 주어진 정팔각형은 두 변의 길이가 4`cm이고 그 끼인각의 크기가 45ù인 이등변삼각형 8개로 나눌 수 있다. 따라서 정팔각형의 넓이는 '2 {;2!;_4_4_sin`45ù}_8={;2!;_4_4_ 2 }_8=32'2(cmÛ`) 2. 삼각비의 활용 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 39 39 2019-10-24 오전 9:12:48 정답과 해설 13쪽 Ⅰ워크북 17~18쪽 서술형 꽉 잡기 주어진 단계에 따라 쓰는 유형 15 오른쪽 그림과 같이 줄의 길이가 20`cm인 진자가 OAÓ를 기준으로 65ù의 각 20`cm B 풀이 과정을 자세히 쓰는 유형 16 O 65æ 65æ 을 이루며 좌우로 움직였다 H C 오른쪽 그림과 같이 매초 200`m의 속도로 지면과 평행하게 날고 있는 비행 기가 있다. C 지점에서 A A 60æ C B 60æ h`m 30æ 30æ D H 고 한다. 진자의 크기를 생각하지 않을 때 진자가 제 이 비행기를 올려다본 각의 크기는 60ù이고, 10초 후 일 낮은 지점 A에 있을 때와 B에 있을 때의 높이의 에 올려다본 각의 크기는 30ù일 때, 이 비행기는 지면 차를 구하여라. 으로부터 몇 m의 높이에서 날고 있는지 구하여라. (단, sin`65ù=0.9, cos`65ù=0.4로 계산한다.) 풀이 ABÓ=200_10=2000(m) '3 CHÓ=h`tan`30ù= 3 h(m), CDÓ=h`tan`60ù='3h(m) 생각해 보자 구하는 것은? 두 지점 A, B의 높이의 차 ❶ ❷ ABÓ=HDÓ=CDÓ-CHÓ=2000(m)이므로 '3 '3h- 3 h=2000 ∴ h=1000'3`m 주어진 것은? ① 줄의 길이 ② 움직이는 각도 단계 풀이 [1단계] OBÓ를 빗변으로 하는 직각삼각형에서 높이 구하기 (50 %) OBÓ를 빗변으로 하는 직각삼각형 OBH를 그리면 OHÓ=20`cos`65ù=20_0.4=8(cm) ❸ 채점 기준 비율 ❶ ABÓ의 길이 구하기 20`% ❷ CHÓ, CDÓ의 길이를 높이 h에 대한 식 으로 나타내기 40`% ❸ 비행기의 높이 구하기 40`% 답 1000'3`m 17 C' 오른쪽 그림과 같이 한 변 의 길이가 9`cm인 정사각 형 ABCD를 꼭짓점 A를 [2단계] OAÓ의 길이 구하기 (30 %) 중심으로 30ù만큼 회전시 OAÓ=OBÓ=20`cm 켜 정사각형 AB'C'D'을 D' 만들었다. 두 정사각형이 P D B' 30æ 30æ A C 30æ 9`cm B 겹쳐지는 부분의 넓이를 구하여라. 풀이 [3단계] 두 지점 A, B의 높이의 차 구하기 (20 %) 따라서 두 지점 A, B의 높이의 차는 20-8=12(cm) ∠AB'P=∠ADP=90ù, APÓ는 공통, AB'Ó=ADÓ이므로 △AB'Pª△ADP`(RHS 합동) ∠DAB'=90ù-30ù=60ù이므로 ∠PAB'=∠PAD=30ù '3 △AB'P에서 B'PÓ=AB'Ó`tan`30ù=9_ 3 =3'3(cm) 40 ❷ 따라서 두 정사각형이 겹쳐지는 부분의 넓이는 2△AB'P=2_{;2!;_9_3'3`}=27'3`(cmÛ`) 단계 답 12`cm ❶ 채점 기준 ❸ 비율 ❶ △AB'P와 △ADP가 합동임을 보이기 40`% ❷ B'PÓ의 길이 구하기 40`% ❸ 두 정사각형이 겹쳐지는 부분의 넓이 구하기 20`% 답 27'3`cmÛ` Ⅰ. 삼각비 (중3-2)본문(1-2단원)(023~040)-6.indd 40 2019-10-24 오전 9:12:49 Ⅱ. 원의 성질 1. 원과 직선 II. 원의 성질 1 원과 직선 1 원의 현 10 현의 수직이등분선과 현의 길이 유형 check 2 원의 접선 11 원의 접선의 길이 12 삼각형의 내접원 13 원에 외접하는 사각형 유형 check 단원 마무리 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 41 2019-10-24 오전 9:14:23 10 개념 1 1-1. 원의 현 현의 수직이등분선과 현의 길이 현의 수직이등분선과 현의 길이 ⑴ 원의 중심과 현의 수직이등분선 원 위의 두 점을 이은 선분을 현이라 한다. ‌① 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. ABÓ⊥OMÓ이면 AMÓ=BMÓ O ② 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다. A ⑵ 원의 중심과 현의 길이 B M 한 원에서 A ①원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 서 로 같다. M OMÓ=ONÓ이면 ABÓ=CDÓ ②길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있다. D O N C B ABÓ=CDÓ이면 OMÓ=ONÓ 예제 1 확인 1 다음  안에 알맞은 것을 써넣어라. 다음은 오른쪽 그림과 같은 원 O에서 ⑴ ‌원의 중심에서 현에 내린 수선 ABÓ⊥OMÓ이고 ABÓ=14일 때, x의 은 그 현을 한다. ABÓ⊥OMÓ이면 = ⑵ ‌현의 수직이등분선은 그 원의 값을 구하는 과정이다.  안에 알맞 O A 한다. ABÓ⊥OMÓ이므로 예제 2 = 다음은 오른쪽 그림과 같은 원 O에 A ⑴ ‌한 원에서 원의 중심으로부터 의길 이는 같다. = ⑵ ‌길이가 같은 두 현은 원의 중 심으로부터 거리에 있다. 42 ABÓ 7 7 확인 2 다음  안에 알맞은 것을 써넣어라. 답 Ó=;2!;_ 14 ∴ x= ABÓ=CDÓ이면 B 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분 AMÓ=BMÓ=;2!;_ OMÓ=ONÓ이면 M 14 B M ⑴ 이등분, AMÓ, BMÓ ⑵ 중심 같은 거리에 있는 두 x A 은 것을 써넣어라. 을 지난다. 답 O = ⑴ 현, ABÓ, CDÓ ⑵ OMÓ, ONÓ 서 ABÓ⊥OMÓ, CDÓ⊥ONÓ이고 A D M B O N ABÓ=CDÓ=10일 때, x의 값을 구하 는 과정이다.  안에 알맞은 것을 써 10 B C M 4 O N x 10 D 넣어라. C 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거 리에 있다. ABÓ=CDÓ이므로 OMÓ= ∴ x= ONÓ 4 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 42 2019-10-24 오전 9:14:24 개념 check 01 정답과 해설 14쪽 Ⅰ워크북 19~20쪽 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. ⑴ 개념 1 현의 수직이등분선과 현의 길이 ⑵ O 답 A ⑴ 4 O x M 8 A B 17 8 B M x ⑵ 30 ⑴ x=;2!; ABÓ=;2!; _8=4 ⑵ △OMB에서 BMÓ="Ã17Û`-8Û`=15 ∴ x=2BMÓ=2_15=30 02 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. A ⑴ 10 M 4 D 4 O N B 개념 1 ⑵ A 답 B x O 9 C N C D 13 강의 tip ⑴ 10 ⑵ 9 03 M x ⑴ OMÓ=ONÓ이므로 CDÓ=ABÓ ⑵ ABÓ=CDÓ이므로 ÒMÓ=ONÓ 현의 수직이등분선과 현의 길이 13 `∴ x=10 ∴ x=9 원의 일부, 접힌 원, 잘린 원 등의 조건이 주어지면  ‌원의 중심을 찾아 주어진 현에 수직이 되도록 반지름을 그린다.  ‌원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등 분함을 이용한다. 를 구하여라. 답 A a b M B M B  직각삼각형 OAM에서 Û Û AMÓ`+OMÓ `=OAÓ `Û B 현의 수직이등분선과 현의 길이 r-4 r 10 A O 개념 1 M 8 O B A  직각삼각형 OAM에서 AMÓÛ`+OMÓÛ`=OAÓÛ` 4 A C a b A M M B r-a r-a r r O O C 오른쪽 그림에서 µAB는 원의 일부분이다. ABÓ⊥CMÓ, AMÓ=BMÓ=8, CMÓ=4일 때, 이 원의 반지름의 길이 C O 원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 OAÓ=OCÓ=r, OMÓ=r-4 △AOM에서 rÛ`=(r-4)Û`+8Û` ∴ r=10 8r=80 04 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 ABÓ, CDÓ에 내린 수 A C 13`cm 선의 발을 각각 M, N이라 하자. OAÓ=13`cm, OMÓ=ONÓ=5`cm일 때, CDÓ의 길이는? ① 12`cm ② 13'2`cm ③ 20`cm ④ 24`cm M B O 5`cm 개념 1 현의 수직이등분선과 현의 길이 N D ⑤ 24'2`cm 답 ④ △OAM에서 AMÓ="Ã13Û`-5Û`=12(cm)이므로 ABÓ=2AMÓ=2_12=24(cm) ∴ CDÓ=ABÓ=24`cm 1. 원과 직선 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 43 43 2019-10-24 오전 9:14:25 유형 check 유형 1 정답과 해설 14~15쪽 Ⅰ워크북 19~20쪽 원의 중심과 현의 수직이등분선 닮은꼴 문제 1-1 오른쪽 그림과 같은 원 O에서 ABÓ⊥ OCÓ이고 ABÓ=4`cm, CMÓ=1`cm일 때, 원 O의 반지름 의 길이는? A ① ;2#;`cm ② 2`cm ③ ;2%; cm ④ 3`cm 답 r`cm O{r-1}`cm 4`cm M 1`cm C 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OMÓ=(r-1)`cm ABÓ⊥ OCÓ이고 ABÓ=24, CHÓ=8 일 때, OHÓ의 길이를 구하여라. 답 r A 5 원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 OHÓ=r-8 ⑤ ;2&;`cm 다음 그림과 같이 기억하 도록 한다. AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_4=2(cm) 이므로 △OAM에서 rÛ`=(r-1)Û`+2Û`, 2r=5 r rÛ`=(r-8)Û`+12Û`, 16r=208 ∴ OHÓ=13-8=5 H r-8 24 8 1-2 r-a 오른쪽 그림과 같은 원 O에서 C ABÓ⊥OHÓ이고 ABÓ=6'3, O OHÓ=3일 때, 원 O의 넓이를 구하 3 A 여라. 답 B ∴ r=13 a O ∴ r=;2%; O AHÓ=;2!;ABÓ=;2!;_24=12이므로 △OAH에서 강의 tip ③ B 오른쪽 그림과 같은 원 O에서 H 6Â3 36`p B AHÓ=;2!;ABÓ=;2!;_6'3=3'3이므로 △OAH에서 OAÓ="Ã(3'3)Û`+3Û`=6 따라서 원 O의 넓이는 p_6Û`=36p 유형 2 닮은꼴 문제 현의 수직이등분선의 성질 2-1 오른쪽 그림과 같이 원 O의 원주 위의 한 점이 원의 중심 O에 겹쳐 A O 지도록 ABÓ를 접는 선으로 하여 접 었다. OBÓ=8일 때, ABÓ의 길이를 구하여라. 답 C 8'3 원의 중심 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 OCÓ=OBÓ=8 ∴ OHÓ=CHÓ=;2!;ÒCÓ=;2!;_8=4 △OBH에서 BHÓ="Ã8Û`-4Û`=4'3 ∴ ABÓ=2BHÓ=2_4'3=8'3 H 8 오른쪽 그림과 같이 원주 위의 점 P 가 원의 중심 O에 겹쳐지도록 접었 B 원 O의 반지름의 길이는? ① 6'2`cm ② 7'2`cm ③ 6'3`cm ④ 12`cm 답 O r`cm 더니 ABÓ=18`cm가 되었다. 이때 A M 18`cm B P ⑤ 7'3`cm ③ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OMÓ=;2!;r`cm AMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_18=9(cm)이므로 2-2 △OAM에서 rÛ`={;2!;r}2`+9Û`, rÛ`=108 ∴ r=6'3 (∵ r>0) 오른쪽 그림에서 호 AB는 원의 일부분이고 ABÓ⊥CDÓ, ADÓ=BDÓ=4, CDÓ=2일 때, 이 원의 넓이를 구하여라. 답 C 2 A 4 r 25`p D B r-2 O 원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 ODÓ=r-2 △OAD에서 rÛ`=(r-2)Û`+4Û`, 4r=20 ∴ r=5 따라서 원의 넓이는 p_5Û`=25p 44 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 44 2019-10-24 오전 9:14:26 유형 3 원의 중심과 현의 길이 닮은꼴 문제 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 A 5`cm인 원 O에서 두 현 AB, CD가 5`cm ③ 9`cm ④ 10`cm C 6`cm H 고 ABÓ=18`cm, NDÓ=9`cm, D 3`cm 9`cm 3Â2`cm A ONÓ=3'2`cm일 때, 삼각형 답 N 9`cm D O M 18`cm OAB의 넓이를 구하여라. ⑤ 11`cm 답 C 서 ABÓ⊥OMÓ, CDÓ⊥ONÓ이 5`cm 두 현 AB, CD 사이의 거리는? ② 8`cm 오른쪽 그림과 같은 원 O에 O 평행하고 ABÓ = CDÓ = 6`cm일 때, ① 7`cm 3-1 B 6`cm B 27'2`cmÛ` CDÓ=2NDÓ=2_9=18(cm) ② OMÓ=ONÓ=3'2`cm이므로 △OAB=;2!;_18_3'2=27'2(cmÛ`) 원의 중심 O에서 CDÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 3-2 DHÓ=;2!; CDÓ=;2!;_6=3(cm) △ODH에서 OHÓ="Ã5Û`-3Û`=4(cm) 오른쪽 그림의 원 O에서 이때 ABÓ=CDÓ이므로 ABÓ, CDÓ는 원의 중심 O로부터 같은 거리에 있다. 따라서 평행한 두 현 AB, CD 사이의 거리는 2OHÓ=2_4=8(cm) ABÓ⊥OMÓ이고 ABÓ=CDÓ이다. ODÓ=13`cm, OMÓ=12`cm일 때, M B A D 13`cm 12`cm N O C 삼각형 OCD의 넓이를 구하여라. 답 60`cmÛ` ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=12`cm △OND에서 DNÓ="Ã13Û`-12Û`=5(cm) 따라서 CDÓ=2DNÓ=2_5=10(cm)이므로 △OCD=;2!;_10_12=60(cmÛ`) 유형 4 원의 중심과 현의 길이 - 삼각형이 주어진 경우 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O A 에서 ABÓ, ACÓ에 내린 수선의 발 x M 을 각각 M, N이라고 하자. OMÓ=ONÓ이고 ∠B=50ù일 때, B 50æ 4-1 오른쪽 그림의 삼각형 ABC에서 N O ∠x의 크기는? C ② 70ù ④ 90ù ⑤ 100ù ③ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ ∴ ∠x=180ù-(50ù+50ù)=80ù ③ 80ù 강의 tip OMÓ=ONÓ  ABÓ=ACÓ  △ABC는 이등변삼각형  ∠B=∠C A ∠MON=110ù이고 OMÓ=ONÓ M 일 때, ∠B의 크기를 구하여라. 답 ① 60ù 답 닮은꼴 문제 55ù N 110æ O B C OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ ∴ ∠B=∠C ☐ AMON에서 ∠A=360ù-(90ù+110ù+90ù)=70ù ∴ ∠B=;2!;_(180ù-70ù)=55ù 4-2 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 A ABÓ, BCÓ, CAÓ에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하자. ODÓ=OFÓ, D O F 105æ ∠EOF=105ù일 때, ∠A의 크기 는? ① 20ù ② 25ù ③ 30ù ④ 35ù 답 B E C ⑤ 40ù ③ ODÓ=OFÓ이므로 ABÓ=ACÓ ∴ ∠B=∠C ☐ ECFO에서 ∠C=360ù-(90ù+90ù+105ù)=75ù ∴ ∠A=180ù-(75ù+75ù)=30ù 1. 원과 직선 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 45 45 2019-10-24 오전 9:14:26 11 개념 1 1-2. 원의 접선 원의 접선의 길이 원의 접선의 길이 ⑴ 접선의 길이 원 O 밖의 한 점 P에서 원 O에 그을 수 있는 접선은 원 O의 접선 l은 접점 T를 지 나는 반지름 OT에 수직이다. A 2개이다. 원과 접선의 두 접점을 각각 A, B라고 할 O P 때, PAÓ, PBÓ의 길이를 점 P에서 원 O에 그은 접선 의 길이라고 한다. O B T ⑵ 접선의 길이의 성질 l 원의 외부에 있는 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같다. PAÓ=PBÓ 풍쌤 ⑴ ⑵ △PAO와 △PBO에서 ∠PAO=∠PBO=90ù AOÓ=BOÓ (반지름의 길이) POÓ는 공통 ∴ △PAOª△PBO (RHS 합동) ∴ PAÓ=PBÓ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+ACÓ =ABÓ+(BDÓ+CDÓ)+ACÓ (∵ BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ) =(ABÓ+BEÓ)+(CFÓ+ACÓ) =AEÓ+AFÓ =2AEÓ=2AFÓ A P B A B D F 확인 1 다음은 오른쪽 그림과 같이 원 P 에 그은 두 접선의 길이가 서로 O 같음을 설명하는 과정이다. B ㈎~㈑에 알맞은 것을 구하여라. ㈏㈎ PBÓ 가 원 O의 접선이고 두 점 A, B가 접점일 때, PBÓ의 ∠PAO= 46 O B ㈐ 합동) = ㈑㈎ ∠PBO ㈏ OBÓ ㈐ RHS ㈑ PBÓ ㈎ ù이므로 △PAO에서 피타고라스 정리에 의하여 PAÓ="ÃPOÓÛ`- ㈏ Û` ="Ã5Û`- ㈐ Û , 이므로 답 2 5 라. OPÓ는 공통 ∴ PAÓ= P 길이를 구하는 과정이다. =90ù, △PAOª△PBO`( A ㈎~㈓에 알맞은 것을 구하여 △PAO와 △PBO에서 ∠PAO= 다음은 오른쪽 그림에서 PAÓ, A O의 외부의 한 점 P에서 이 원 C E 예제 1 OAÓ= O ∴ PBÓ= 답 ㈑㈒ = ㈓㈎ 90 ㈏ AOÓ ㈐ 2 ㈑ '¶21 ㈒ PAÓ ㈓ '¶21 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 46 2019-10-24 오전 9:14:27 개념 check 01 정답과 해설 15쪽 Ⅰ워크북 21쪽 오른쪽 그림에서 PAÓ가 원 O의 접선이고 점 A는 접점 개념 1 일 때, PAÓ의 길이를 구하여라. 답 9 8 O 15 P 원의 접선의 길이 8 OPÓ=8+9=17이고 ∠OAP=90ù이므로 △OAP에서 PAÓ="Ã17Û`-8Û`=15 A 강의 tip PAÓ는 원 O의 접선이고 점 A가 그 접점일 때, 직각삼각형 OAP에서 피타고라스 정리 를 이용하여 푼다. Û Û Û 즉, PAÓ`+AOÓ `=OPÓ `이다. 02 O A P 오른쪽 그림에서 PAÓ는 원 O의 접선이고 점 A는 접점 이다. PAÓ=12`cm, OTÓ=9`cm일 때, PTÓ의 길이를 구하여라. 답 12`cm P T x`cm A 개념 1 9`cm 원의 접선의 길이 O 9`cm 6`cm PTÓ=x`cm라고 하면 OPÓ=(x+9)`cm ∠PAO=90ù이므로 △PAO에서 (x+9)Û`=12Û`+9Û`, xÛ`+18x-144=0 ∴ x=6 (∵ x>0) (x-6)(x+24)=0 03 오른쪽 그림에서 PAÓ, PBÓ는 원 O의 접선이고 두 점 A A, B는 접점이다. OAÓ=4`cm, PTÓ=1`cm일 때, PBÓ의 길이를 구하여라. 답 P 1`cm 개념 1 4`cm T 4`cm 원의 접선의 길이 O B 3`cm ∠PAO=90ù, OPÓ=1+4=5(cm)이므로 △PAO에서 PAÓ="Ã5Û`-4Û`=3(cm) ∴ PBÓ=PAÓ=3`cm 04 오른쪽 그림에서 PAÓ, PBÓ는 원 O의 접선이고 두 점 A 개념 1 A, B는 접점이다. ∠APB=42ù일 때, ∠PBA의 크기를 구하여라. 답 69ù PAÓ=PBÓ이므로 △PAB는 이등변삼각형이다. ∴ ∠PBA=;2!;_(180ù-42ù)=69ù 원의 접선의 길이 O 42æ P B 강의 tip PAÓ, PBÓ는 접선  PAÓ=PBÓ  △PAB는 이등변삼각형  ∠PAB=∠PBA 1. 원과 직선 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 47 47 2019-10-24 오전 9:14:28 12 개념 1 1-2. 원의 접선 삼각형의 내접원 삼각형의 내접원 반지름의 길이가 r인 원 O가 삼각형 ABC에 내접하고 A 세 점 D, E, F가 삼각형 ABC의 세 변과의 접점일 때, x c ⑴ ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CEÓ=CFÓ ⑵삼각형 ABC의 둘레의 길이 풍쌤 AFÓ=ADÓ=x, BDÓ=BEÓ=y, CEÓ=CFÓ=z이면 a+b+c=(y+z)+(x+z)+(x+y) =2(x+y+z) z y C E a 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이가 같음을 이용한다. 강의 tip ⑶ 삼각형 ABC의 넓이 △ABC=△BCO+△CAO+△ABO =;2!;ar+;2!;br+;2!;cr=;2!;r(a+b+c) 삼각형의 내심 (중 2과정) ① 뜻: 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점 ② 성질: IDÓ=IEÓ=IFÓ`(내접원의 반지름)  ‌내심에서 세 변에 이르는 거리가 같다. 른쪽 그림과 같이 원 O가 직각삼각형 ABC 오 에 내접하고 내접원의 반지름의 길이가 r일 때, ☐ OECF는 한 변의 길이가 r인 정사각형이다. 풍쌤 F b O r B a+b+c=2(x+y+z) D 또, △ABC=;2!; r(a+b+c)=;2!; ab 10 P 이고 세 점 P, Q, R가 접점 일 때 x의 값을 구하는 과정 R8 O B 이다. ㈎~㈑에 알맞은 것을 x Q 12 구하여라. c b F O r a C E C 4 가 삼각형 ABC의 내접원이 11 D 고 세 점 D, E, F가 접점일 7 때, BCÓ의 길이를 구하는 과 B 정이다. ㈎~㈔에 알맞은 것을 A 4 F 10 6 O 7 E 6 C 구하여라. BPÓ=BQÓ=x이므로 BDÓ=ABÓ- ARÓ= =10-x =11- ㈏ ∴ BEÓ=BDÓ= ㈎ CRÓ=CQÓ= ACÓ=ARÓ+CRÓ =(10-x)+( ㈎ = ㈏㈐㈐ 또, AFÓ=ADÓ=4이므로 ㈐ CFÓ=ACÓ- )=8 =10- ㈑㈑ = ㈒ ∴ CEÓ=CFÓ= ㈎ APÓ ㈏ 12-x ㈐ 12-x ㈑ 7 ㈓㈓ ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ = 답 48 E 다음은 오른쪽 그림에서 원 O A O가 삼각형 ABC의 내접원 답 내심 C 확인 1 다음은 오른쪽 그림에서 원 ∴ x= B F I A D B 예제 1 A D ㈎ ADÓ ㈏4 ㈐ + ㈐7 ㈓ = ㈔㈑ AFÓ ㈒4 ㈓6 ㈔ 13 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 48 2019-10-24 오전 9:14:29 개념 check 01 정답과 해설 15~16쪽 Ⅰ워크북 22쪽 오른쪽 그림에서 원 O가 삼각형 ABC의 내접원이고 세 점 D, E, F는 접점이다. 이때 x, y, z의 값을 각각 구하 D 7 여라. 답 x=4, y=7, z=5 02 A 점 D, E, F는 접점이다. ABÓ=9, BCÓ=13, ACÓ=14일 때, ADÓ의 길이를 구하여라. 답 x B 9-x 오른쪽 그림에서 원 O는 ∠A=90ù인 직각삼각형 6 ABÓ=6, ACÓ=8일 때, 원 O의 반지름의 길이를 구하 여라. 답 2 삼각형의 내접원 F 14 14-x 14-x 13 D C F r 개념 1 8 삼각형의 내접원 C E 강의 tip △ABC에서 BCÓ="Ã6Û`+8Û`=10 ☐ ADOF는 정사각형이므로 원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 BDÓ=BEÓ=6-r, CFÓ=CEÓ=8-r이므로 BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로 (6-r)+(8-r)=10, 2r=4 E O B C 개념 1 A ABC의 내접원이고 세 점 D, E, F는 접점이다. 5 O 9-x 5 삼각형의 내접원 F z E x 9 D ADÓ=AFÓ=x라고 하면 BDÓ=BEÓ=9-x, CFÓ=CEÓ=14-x BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로 (9-x)+(14-x)=13 ∴ x=5 2x=10 03 y 오른쪽 그림에서 원 O는 삼각형 ABC의 내접원이고 세 개념 1 x O B AFÓ=ADÓ이므로 x=4 BEÓ=BDÓ이므로 y=7 CFÓ=CEÓ이므로 z=5 A 4 ∴ r=2 DOÓ=ADÓ=AFÓ=FOÓ=r로 놓고 식을 세운다. 다른 풀이 BCÓ="Ã6Û`+8Û`=10, △ABC=;2!;_6_8=24 04 따라서 ;2!;r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)=24에서 ;2!;r(6+10+8)=24 ∴ r=2 오른쪽 그림에서 원 O는 ∠C=90ù인 직각삼각형 ABC D 의 내접원이고 세 점 D, E, F는 접점이다. BCÓ=15이고 내접원의 반지름의 길이가 3일 때, 삼각형 ABC의 넓이 를 구하여라. 답 x O 12 B 15 3 E A x 개념 1 삼각형의 내접원 F 3 C 60 CFÓ=CEÓ=3, BEÓ=BDÓ=15-3=12 ADÓ=AFÓ=x라고 하면 ACÓ=x+3, ABÓ=x+12이므로 △ABC에서 ∴ x=5 (x+12)Û`=(x+3)Û`+15Û`, 18x=90 따라서 ACÓ=5+3=8이므로 △ABC=;2!;_15_8=60 1. 원과 직선 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 49 49 2019-10-24 오전 9:14:29 13 개념 1 1-2. 원의 접선 원에 외접하는 사각형 원에 외접하는 사각형 사각형 ABCD가 원 O에 외접하고 그 접점을 각각 E, F, A G, H라고 할 때 ⑴ 원에 외접하는 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이의 합은 E ABÓ의 대변은 DCÓ, ADÓ의 대변은 BCÓ 서로 같다. 즉, B ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ H D G O C F AEÓ=AHÓ, BEÓ=BFÓ, CFÓ=CGÓ, DGÓ=DHÓ이므로 ABÓ+CDÓ=(AEÓ+BEÓ)+(DGÓ+CGÓ) 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같음을 이용한다. =AHÓ+BFÓ+DHÓ+CFÓ =(AHÓ+DHÓ)+(BFÓ+CFÓ) =ADÓ+BCÓ 풍쌤 ⑵ 두 쌍의 대변의 길이의 합이 같은 사각형은 원에 외접한다. 풍쌤의 point “대변의 길이의 합”을 “이웃하는 변의 길이의 합”으로 혼동하지 않도록 주의해! 예제 1 확인 1 A 다음은 오른쪽 그림과 같이 원 O에 외접하고 ABÓ=8, CDÓ=7 인 사각형 ABCD에서 8 ADÓ+BCÓ의 값을 구하는 과정 이다.  안에 알맞은 것을 써넣 다음은 오른쪽 그림에서 사각형 D ABCD가 원 O에 외접하고 네 7 O A 점 E, F, G, H는 접점일 때, CDÓ의 길이를 구하는 과정이다. C B 7  안에 알맞은 것을 써넣어라. H E ABÓ+ =ADÓ+BCÓ이고 ABÓ=8, CDÓ= G B F C 8 +BCÓ이고 ABÓ=7, ADÓ=7, BCÓ=8이므로 7+CDÓ=7+8 이므로 =ADÓ+BCÓ 8+ ADÓ D O 어라. ABÓ+CDÓ= 7 ∴ CDÓ= 8 ∴ ADÓ+BCÓ= 답 CDÓ, 7, 7, 15 예제 2 오른쪽 그림과 같이 사각형 ABCD가 원 O에 외접할 때, x 의 값을 구하여라. 풀이 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ 이므로 x+9=8+10 확인 2 A x B 8 O 10 오른쪽 그림과 같이 사각형 D A 13 D ABCD가 원 O에 외접할 때, x 9 C 의 값을 구하여라. 답 19 15+17=13+x ∴ x=19 17 15 B x C ∴ x=9 답 50 9 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 50 2019-10-24 오전 9:14:31 개념 check 01 정답과 해설 16쪽 Ⅰ워크북 23쪽 오른쪽 그림에서 원 O는 사각형 ABCD의 내접원이 고 네 개의 점 E, F, G, H는 접점이다. ABÓ=8`cm, BCÓ=12`cm, DGÓ=2`cm, ADÓ=6`cm일 때, CGÓ 8`cm E 의 길이를 구하여라. 답 02 D 2`cm 강의 tip A 원 O에 외접하는 사각형 ABCD에 서 두 쌍의 대변의 길이의 합은 서로 같다.  ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ 03 B G C C x+6 A 외접하는 사다리꼴 ABCD의 넓이를 구하여라. 답 B 3 원에 외접하는 사각형 ∴ ☐ ABCD=;2!;_(ADÓ+BCÓ)_ABÓ O C G 12 H B 5 D D 3`cm 48`cmÛ` ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ=16`cm F 8 A 6`cm 개념 1 E 12 ABÓ+CDÓ=BCÓ+ADÓ이므로 (AEÓ+3)+(CGÓ+5)=8+12 ∴ AEÓ+CGÓ=12 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 3`cm인 원 O에 원에 외접하는 사각형 3x-4 오른쪽 그림에서 사각형 ABCD는 원 O에 외접하고 네 답 개념 1 D O B D F 2x-1 2x+1 점 E, F, G, H는 접점일 때, AEÓ+CGÓ의 값을 구하여라. 04 H O A ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 (2x+1)+(3x-4)=(2x-1)+(x+6) ∴ x=4 2x=8 C E 할 때, x의 값을 구하여라. 4 원에 외접하는 사각형 G F 12`cm 오른쪽 그림과 같이 사각형 ABCD가 원 O에 외접 답 개념 1 O B 8`cm ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 8+(2+CGÓ)=6+12 ∴ CGÓ=8`cm 6`cm H A O 개념 1 원에 외접하는 사각형 10`cm C ∴ ABC□D=;2!;_16_6=48(cmÛ`) 1. 원과 직선 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 51 51 2019-10-24 오전 9:14:32 유형 check 유형 1 정답과 해설 16~18쪽 Ⅰ워크북 21~23쪽 원의 접선의 길이 닮은꼴 문제 1-1 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길 O 이가 3`cm인 원 O에서 PAÓ는 원 3`cm O의 접선이고 점 A는 접점이다. PQÓ=4`cm일 때, APÓ의 길이는? ① 6`cm ② 2'¶10`cm ④ 7`cm ⑤ 5'2`cm 답 3`cm Q 4`cm A P ③ 4'3`cm A 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길 이가 8`cm인 원 O에서 PAÓ, PBÓ O 8`cm 는 원 O의 접선이고 두 점 A, B 는 접점이다. PCÓ = 9`cm일 때, P 9`cm C B PAÓ의 길이를 구하여라. 답 ② 15`cm OAÓ=OCÓ=OBÓ=8`cm이므로 OPÓ=8+9=17(cm) ∠OAP=90ù이므로 △OAP에서 PAÓ="Ã17Û`-8Û`=15(cm) △OAP에서 OPÓ=OQÓ+PQÓ=3+4=7(cm)이므로 APÓ="Ã(3+4)Û`-3Û`=2'¶10(cm) 1-2 오른쪽 그림에서 직선 PT는 원 O의 접선이고 점 T는 접점이다. P PTÓ=12`cm, PAÓ=6`cm일 때, 6`cm A O r`cm 12`cm T 원 O의 반지름의 길이를 구하여 라. 답 9`cm 원 O의 반지름의 길이를 rcm라고 하면 △OPT에서 (r+6)Û`=rÛ`+12Û`, 12r=108 ∴ r=9 유형 2 닮은꼴 문제 원의 접선의 성질 오른쪽 그림에서 두 점 A, B는 원 밖의 점 P에서 원 O에 그은 두 접선의 접점이다. P ∠APB=52ù일 때, ∠PAB의 크기를 구하여라. 답 64ù PAÓ=PBÓ이므로 △PAB는 이등변삼각형이다. ∴ ∠PAB=;2!;_(180ù-52ù)=64ù 2-1 A 52æ O B 오른쪽 그림에서 PAÓ, PBÓ는 A 원 O는 접선이고 두 점 A, B 는 접점이다. ∠AOB=120ù, 10`cm P 120æ OAÓ=10`cm일 때, ∠APB의 B 크기를 구하여라. 답 O 60ù ☐ APBO의 내각의 크기의 합은 360ù이고 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 ∠APB=360ù-(90ù+120ù+90ù)=60ù 2-2 오른쪽 그림에서 두 직선 PA, 4`cm PB는 원 O의 접선이고 두 점 A, B는 접점이다. P A O 60æ PAÓ=4`cm, ∠APB=60ù B 일 때, 삼각형 APB의 넓이를 구하여라. 답 4'3`cmÛ` PAÓ=PBÓ이므로 ∠PAB=∠PBA=;2!;_(180ù-60ù)=60ù 즉, △APB는 정삼각형이므로 △APB= 52 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 52 '3 4 _4Û`=4'3(cmÛ`) 다른 풀이 △APB=;2!;_4_4_sin`60ù=4'3(cmÛ`) 2019-10-24 오전 9:14:33 유형 3 원의 접선의 성질의 응용 오른쪽 그림에서 AEÓ, AFÓ, BCÓ 닮은꼴 문제 E B 는 원 O의 접선이고 세 점 D, A D E, F는 접점이다. AFÓ=6`cm O C 일 때, 삼각형 ABC의 둘레의 6`cm F 오른쪽 그림에서 AEÓ, AFÓ, BCÓ 는 원 O의 접선이고 세 점 D, D AEÓ의 길이를 구하여라. AEÓ=AFÓ=6(cm) BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ이므로 BCÓ=BEÓ+CFÓ ∴ ABÓ+ACÓ+BCÓ=ABÓ+ACÓ+BEÓ+CFÓ =(ABÓ+BEÓ)+(ACÓ+CFÓ) =AEÓ+AFÓ=12(cm) 강의 tip 답 3-2 오른쪽 그림과 같이 AEÓ, B 13 O F 는? ② 22 ④ 26 ⑤ 28 답 A D 삼각형 ABC의 둘레의 길이 ① 20 B 5 세 점 D, E, F는 접점일 때, C F E AFÓ, BCÓ는 원 O의 접선이고 A D O =AEÓ+AFÓ =2AEÓ=2AFÓ F BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ 이므로 BCÓ=BEÓ+CFÓ ABÓ+ACÓ+BCÓ=ABÓ+ACÓ+BEÓ+CFÓ=AEÓ+AFÓ=18(cm) 그런데 AEÓ=AFÓ이므로 AEÓ=9`cm E ① AEÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ ② (△ABC의 둘레의 길이) 9`cm O C 의 둘레의 길이가 18`cm일 때, 12`cm E B A E, F는 접점이다. 삼각형 ABC 길이를 구하여라. 답 3-1 C ③ 24 ③ △AOE에서 AEÓ="Ã13Û`-5Û`=12 ∴ AFÓ=AEÓ=12 BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ이므로 BCÓ=BEÓ+CFÓ 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 ABÓ+ACÓ+BEÓ+CFÓ=(ABÓ+BEÓ)+(ACÓ+CFÓ) ABÓ+ACÓ+BCÓ= =AEÓ+AFÓ=12+12=24 유형 4 반원에서의 접선의 길이 닮은꼴 문제 오른쪽 그림과 같이 ABÓ는 C 반원 O의 지름이고 ADÓ, BCÓ, CDÓ는 각각 세 점 A, B, E를 접점으로 하는 반원 O의 접선이다. ADÓ=2`cm, D 2`cm A BCÓ=5`cm일 때, ABÓ의 길이를 구하여라. 답 2'¶10`cm CHÓ=5-2=3(cm)이고, DEÓ=DAÓ, CEÓ=CBÓ이므로 CDÓ=CEÓ+DEÓ=CBÓ+DAÓ=5+2=7(cm) △CDH에서 DHÓ="Ã7Û`-3Û`=2'¶10(cm)이므로 ABÓ=DHÓ=2'¶10`cm 강의 tip 점 D에서 반원의 지름과 길이가 같 은 수선을 그어 직각삼각형을 만든 후 피타고라스 정리를 이용한다. 3`cm E 2`cm O 5`cm H B 4-1 오른쪽 그림에서 ABÓ 는 반원 C O의 지름이고 ADÓ, BCÓ, CDÓ 는 각각 세 점 A, B, E에서 반 원 O에 접한다. ADÓ=3`cm, BCÓ=9`cm일 때, ABÓ의 길이 9`cm 3`cm E D 3`cm A 9`cm H B O 를 구하여라. 답 6'3`cm CHÓ=9-3=6(cm)이고, DEÓ=DAÓ, CEÓ=CBÓ이므로 CDÓ=CEÓ+DEÓ=CBÓ+DAÓ=9+3=12(cm) △CDH에서 DHÓ="Ã12Û`-6Û`=6'3(cm) ∴ ABÓ=DHÓ=6'3`cm 4-2 오른쪽 그림과 같이 ABÓ는 반원 O의 지 름이고 ADÓ, BCÓ, CDÓ는 각각 세 점 A, B, E를 접점으로 하는 반원 O에 접한 다. ADÓ=4`cm, BCÓ=6`cm일 때, CDÓ 의 길이를 구하여라. 답 10`cm A 4`cm D E O B 6`cm C DEÓ=DAÓ, CEÓ=CBÓ이므로 CDÓ=CEÓ+DEÓ=CBÓ+DAÓ=6+4=10(cm) 1. 원과 직선 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 53 53 2019-10-24 오전 9:14:34 유형 5 일반삼각형의 내접원 닮은꼴 문제 오른쪽 그림에서 원 O는 삼각형 ABC의 내접원이고 세 점 D, E, F는 접점이다. 내접원의 반 지름의 길이가 9`cm일 때, AGÓ ② 4`cm ④ 8`cm ⑤ 10`cm 답 9`cm F D 28`cm 오른쪽 그림에서 원 O는 삼 9`cm B C 16`cm E ③ 6`cm B E 4`cm x`cm ① 4`cm ② 5`cm ④ 7`cm ⑤ 8`cm 답 ③ 6`cm ③ ADÓ=AFÓ=3`cm, CEÓ=CFÓ=4`cm이므로 ABÓ=(x+3)`cm, BCÓ=(x+4)`cm ABÓ+BCÓ+CAÓ=(x+3)+(x+4)+7=26 ∴ x=6 오른쪽 그림과 같이 원 O는 한 변 A 5-2 x 의 길이가 8인 정삼각형 ABC의 내접원이고 PQÓ는 원 O의 접선이 8 BDÓ=BEÓ=8-x, CFÓ=CEÓ=8-x ∴ x=4 BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로 (8-x)+(8-x)=8 따라서 △APQ의 둘레의 길이는 APÓ+AQÓ+PRÓ+QRÓ=APÓ+AQÓ+PDÓ+QFÓ APÓ+AQÓ+PQÓ= 때, 삼각형 APQ의 둘레의 길이 오른쪽 그림에서 원 O는 직각삼 D, E, F는 접점이다. ABÓ = 3, BCÓ=4, ACÓ=5일 때, 원 O의 3 F r D B 5 C E 8 를 구하여라. ABÓ=BCÓ=CAÓ=8 E C 4 2 D, E, F는 접점이다. ADÓ=2, D ①1 ② 1.5 ③2 ④ 2.5 ∴ r=1 답 F 3 B x E 3 C ⑤ 3 ① ADÓ=AFÓ=2, CEÓ=CFÓ=3 △ABC에서 (2+x)Û`+(3+x)Û`=5Û` ∴ x=1 (∵ x>0) A 6-2 F B 2 O x CFÓ=3일 때, BEÓ의 길이는? ADÓ=AFÓ=3-r, CEÓ=CFÓ=4-r ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 (3-r)+(4-r)=5 D A 삼각형 ABC에 내접하고 세 점 원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 ☐ ODBE는 정사각형이므로 강의 tip F O B 오른쪽 그림과 같이 원 O는 직각 O 1 ∠B=90ù인 직각삼각형 ABC의 내접원 O 의 반지름의 길이를 r라고 하면 ☐ ODBE는 한 변의 길이가 r인 정사각형이다. Q 6-1 A 반지름의 길이를 구하여라. 답 x 닮은꼴 문제 직각삼각형의 내접원 각형 ABC의 내접원이고 세 점 D R P 다. 네 점 D, E, F, R는 접점일 =(APÓ+PDÓ)+(AQÓ+QFÓ)=ADÓ+AFÓ=4+4=8 6 C 일 때, BEÓ의 길이는? ③ 유형 4`cm O ABÓ+BCÓ+CAÓ=26`cm ADÓ=28-16=12(cm), ODÓ=9`cm △AOD에서 AOÓ="Ã12Û`+9Û`=15(cm) ∴ AGÓ=AOÓ-GOÓ=15-9=6(cm) 답 F 7`cm x`cm 점 D, E, F는 접점이다. ADÓ=3`cm, ACÓ=7`cm, A 3`cm 3`cm D 각형 ABC의 내접원이고 세 O 의 길이는? ① 2`cm 5-1 12`cm A G r O E C 오른쪽 그림과 같이 직각삼 각형 ABC의 내접원 O의 반 지름의 길이가 2이고 세 점 D, E, F는 접점이다. 삼각형 A x D 2 x 2 F 13 13-x O B 2 E 13-x C ABC의 빗변의 길이가 13일 때, 삼각형 ABC의 둘레의 길이를 구하여라. (단, ABÓ<BCÓ) 답 54 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 54 30 ABÓ=x+2, CEÓ=CFÓ=13-x, BCÓ=2+(13-x)=15-x △ABC에서 (x+2)Û`+(15-x)Û`=13Û` ∴ x=3 (∵ ABÓ<BCÓ) 따라서 ABÓ=5, BCÓ=12이므로 △ABC의 둘레의 길이는 5+12+13=30 2019-10-24 오전 9:14:35 유형 7 원에 외접하는 사각형 오른쪽 그림에서 원 O는 사각 닮은꼴 문제 형 ABCD의 내접원이고 원 O O 의 반지름의 길이는 5이다. ∠A=∠B=90ù이고 BCÓ=16, 7-1 D A 오른쪽 그림에서 원 O는 사각 14 형 ABCD의 내접원이고 반 5 B C 16 CDÓ=14일 때, 사각형 ABCD 7`cm 14`cm ∠A=∠B=90ù이고 의 넓이는? 18`cm O C B CDÓ=18`cm일 때, 사각형 ABCD의 넓이를 구하여라. ① 100 ② 105 ④ 115 답 지름의 길이는 7`cm이다. D A ③ 110 답 224`cmÛ` ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ=14+18=32(cm)이므로 ⑤ 120 ☐ ABCD=;2!;_(ADÓ+BCÓ)_ABÓ=;2!;_32_14=224(cmÛ`) ⑤ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 10+14=ADÓ+16 7-2 ∴ ADÓ=8 ∴ ☐ ABCD=;2!;_(8+16)_10=120 오른쪽 그림과 같이 사각형 ABCD는 다른 풀이 ABÓ=10이므로 ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ=10+14=24 원 O의 외접사각형이고 네 점 E, F, ∴ ☐ ABCD=;2!;_24_10=120 A 2 F G, H는 접점일 때, 사각형 ABCD의 둘레의 길이는? ① 21 ② 22 ③ 23 ④ 24 답 D 4 E H O B 3 C G 3 ⑤ 25 ④ AEÓ=AFÓ=2, BFÓ=BGÓ=3, CGÓ=CHÓ=3, DHÓ=DEÓ=4 따라서 ☐ ABCD의 둘레의 길이는 2_(2+3+3+4)=24 유형 8 외접사각형의 성질의 응용 오른쪽 그림과 같이 직사각형 닮은꼴 문제 E A ABCD의 세 변 AB, BC, AD 에 접하는 원 O가 있다. EDÓ=6, B 답 12 직각삼각형 EDC에서 DCÓ="Ã10Û`-6Û`=8이므로 ABÓ=DCÓ=8 BCÓ=x라고 하면 AEÓ=x-6 ☐ ABCE가 원 O에 외접하므로 AEÓ+BCÓ=ABÓ+ECÓ ∴ x=12 (x-6)+x=8+10 강의 tip ①△ CDE는 직각삼각형 Û  DCÓ="CEÓ`-DEÓ `Û ②☐ ABCE는 외접사각형  ABÓ+CEÓ=AEÓ+BCÓ E A D 8-1 오른쪽 그림과 같이 원 O는 직사 C AEÓ는 원 O의 접선이다. ABÓ=4, 4 ADÓ=6일 때, AEÓ의 길이를 구하 B B C x D O C E 여라. 답 5 ☐ AECD가 원 O에 외접하므로 AEÓ+CDÓ=ADÓ+ECÓ ∴ ECÓ=x-2 x+4=6+ECÓ ∴ x=5 BEÓ=8-x이므로 △ABE에서 (8-x)Û`+4Û`=xÛ` 8-2 오른쪽 그림과 같이 직사각형 O 6 A 각형 ABCD와 세 변에서 접하고 x 하여라. D 10 O ECÓ=10일 때, BCÓ의 길이를 구 6 H A D ABCD의 세 변 AD, BC, CD 에 접하는 원 O가 있다. 네 점 E, F, G, H가 접점일 때, x의 값을 구하여라. 답 4 B 5 E G O C I xF 1 IEÓ=IFÓ=x, CFÓ=CGÓ=2, DHÓ=DGÓ=2 △ABI에서 BIÓ="Ã5Û`-4Û`=3 ∴ BCÓ=3+x+2=5+x yy ㉠ AEÓ=AHÓ=5-x이므로 ADÓ=(5-x)+2=7-x yy ㉡ ∴ x=1 ㉠, ㉡에서 7-x=5+x 1. 원과 직선 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 55 55 2019-10-24 오전 9:14:36 단원 마무리 01 오른쪽 그림의 반원 O에서 5 ABÓ⊥CDÓ이고 ADÓ=8, BDÓ = 2일 때, CDÓ 의 길이 05 C 8 A 2 B O 3 D ② 6 ④ 10 ⑤ 12 답 여 접으면 호 AB가 원의 중심 O를 지난다. 이때 ③8 답 ① 06 △ABC는 A 고 ODÓ⊥ABÓ, OEÓ⊥ACÓ일 때, D B 7 14 C 의하여 DEÓ=;2!;BCÓ=;2!;_14=7 △ABC는 B △ABC의 외접원이다. 24 M 13 A 12Â3 D F O B C E 12 점 O는 △ABC의 무게중심이므로 AOÓ=;3@;_18=12 오른쪽 그림과 같이 원 O는 반 지름의 길이가 5이고, 이를 구하여라. O 답 C A 5 M 3 O 3 5 N D B 12 △OAM에서 AMÓ="Ã5Û`-3Û`=4이므로 ABÓ=CDÓ=8이고 ONÓ=OMÓ=3 ① 3'¶13 ② 4'¶13 ④ 6'¶13 ⑤ 7'¶13 ② △BOM에서 OMÓ="Ã13Û`-12Û`=5 AMÓ=OAÓ-OMÓ=13-5=8 따라서 △ABM에서 ABÓ="Ã12Û`+8Û`=4'¶13 ③ 5'¶13 08 강의 tip ∴ △OCD=;2!;_8_3=12 다음 설명 중 옳지 않은 것은? ① ‌원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 점 A에서 BCÓ에 수선 AM 을 그으면 AMÓ의 연장선은 원의 중심 O를 지난다. 는 서로 같다. ② 원의 반지름에 수직인 직선은 원의 접선이다. ③ ‌한 원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 오른쪽 그림과 같이 중심이 같은 길이는 서로 같다. 두 원에서 큰 원의 현 AB는 작 원과의 접점을 H라고 할 때, 작 은 원의 넓이를 구하여라. ④ ‌두 쌍의 대변의 길이의 합이 서로 같은 사각 O 은 원의 접선이다. ABÓ와 작은 8 A H 12 형은 원에 외접한다. B ⑤ ‌원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이 등분한다. 28p OHÓ⊥ABÓ이므로 AHÓ=;2!;ABÓ=;2!;_12=6 △OAH에서 OHÓ="Ã8Û`-6Û`=2'7 따라서 작은 원의 넓이는 p_(2'7)Û`=28p 56 는 원 O에 내접한다. ABÓ=CDÓ일 때, △OCD의 넓 C 는? 답 △ABC ABÓ⊥OMÓ, OMÓ=3이다. OBÓ=13일 때, ABÓ의 길이 04 오른쪽 그림과 같이 _12'3=18 △ABC는 정삼각형이므로 AEÓ= '3 2 A 변삼각형이고 원 O는 ∴ △OAB=;2!;_10'3_5=25'3(cmÛ`) 답 07 ABÓ=ACÓ, BCÓ=24인 이등 답 25'3`cmÛ` 지름의 길이를 구하여라. ODÓ⊥ABÓ이므로 점 D는 ABÓ의 중점이고, OEÓ⊥ACÓ이므로 점 E는 ACÓ의 중점이다. 따라서 △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 오른쪽 그림에서 △OAB의 ABÓ=12'3일 때, 원 O의 반 E O DEÓ의 길이를 구하여라. 03 B M ODÓ=OEÓ=OFÓ이고 원 O에 내접한다. BCÓ = 14이 답 A OMÓ=5`cm이므로 AMÓ="Ã10Û`-5Û`=5'3(cm) ∴ ABÓ=2AMÓ=2_5'3=10'3(cm) OCÓ=5, ODÓ=5-2=3이므로 CDÓ="Ã5Û`-3Û`=4 오른쪽 그림과 같이 10`cm O 넓이를 구하여라. △OCD에서 02 길이가 10`cm인 원 모양의 종 이를 현 AB를 접는 선으로 하 는? ①4 오른쪽 그림과 같이 반지름의 답 ② ② ‌원의 반지름에 수직이면서 원의 중심이 아닌 반지름의 끝점을 접점 으로 가지는 직선이 원의 접선이다. Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 56 2019-10-24 오전 9:14:38 정답과 해설 19~20쪽 Ⅰ워크북 24~25쪽 09 오른쪽 그림에서 PAÓ, PBÓ 13 A 5 는 원 O의 접선이고 두 점 5 O A, B는 접점이다. AOÓ=5, CPÓ=8일 때, ☐ AOBP의 P 8 C 둘레의 길이는? ② 34 ④ 36 ⑤ 37 답 ③ 35 따라서 ☐ AOBP의 둘레의 길이는 5+5+12+12=34 14 AD BFÓ, ACÓ는 원 O의 접선이 11 고 세 점 D, E, F는 접점 B 이다. ABÓ=11, BCÓ=9, E 6 15 D 11`cm 9`cm 세 점 A, B, E를 접점 F 으로 하는 반원 O의 접 A E O △ABC의 둘레의 길이가 20이고 BCÓ=7일 때, AFÓ ④5 ⑤ 6 답 G 4 C F7 16 F D O B E D ① 32p ② 33p ④ 35p ⑤ 36p 12 O B 4 E 7 ③4 ② BDÓ+CFÓ+BCÓ=BEÓ+CEÓ+BCÓ=BCÓ+BCÓ=7+7=14 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 ADÓ+AFÓ+(BDÓ+CFÓ+BCÓ)=2x+14=20 ABÓ+BCÓ+CAÓ= ∴ x=3 ③ 34p ① ∴ BCÓ=16 C 오른쪽 그림과 같이 직사각 형 ABCD에서 점 B를 중심 으로 하고 반지름의 길이가 8 인 사분원을 그렸다. 점 C에 A x E F 8 B D x C 10 ADÓ와의 교점을 E, 사분원과의 접점을 F라고 할 때, △CDE의 둘레의 길이를 구하여라. 답 24 CFÓ="Ã10Û`-8Û`=6, DEÓ=10-x, CEÓ=6+x △CDE에서 (6+x)Û`=(10-x)Û`+8Û` ∴ x=4 따라서 CEÓ=10, DEÓ=6이므로 △CDE의 둘레의 길이는 10+6+8=24 1. 원과 직선 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 57 C F 8 p_(4'2)Û`=32p x x 8 A 는 ABÓ=DCÓ인 등변사다리 서 이 사분원에 접선을 그어 ② 3 E BEÓ=4이므로 △ABE에서 AEÓ="Ã12Û`-4Û`=8'2 따라서 원 O의 반지름의 길이는 4'2이므로 원 O의 넓이는 의 길이는? ①2 D O B 오른쪽 그림에서 ☐ ABCD 답 A 점 D, E, F는 접점이다. 9 ☐ ABCD가 원 O에 외접하므로 12+12=8+BCÓ ∴ ☐ ABCD=;2!;_(9+2)_6'2=33'2(cmÛ`) △ABC의 내접원이고 세 A 5 O의 넓이는? 33'2`cmÛ` 오른쪽 그림과 같이 원 O는 원 O에 외접하고 네 점 E, F, ADÓ=8, DCÓ=12일 때, 원 C 2`cm B DEÓ=DAÓ=9`cm, CEÓ=CBÓ=2`cm이므로 DCÓ=11`cm △DFC에서 CFÓ="Ã11Û`-7Û`=6'2(cm) 12 C 4 11 H 꼴이고 원 O에 외접한다. 선이다. 이때 ☐ ABCD의 넓이를 구하여라. 답 E 4p 오른쪽 그림에서 ☐ ABCD는 답 반원 O의 지름이고 ADÓ, BCÓ, CDÓ는 각각 O CGÓ=4이고 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ∴ DGÓ=5 9+(4+DGÓ)=11+7 ∴ CFÓ=13-9=4 오른쪽 그림에서 ABÓ는 F r 의 길이를 구하여라. ADÓ=AEÓ, CFÓ=CEÓ이므로 BDÓ+BFÓ=(BAÓ+AEÓ)+(BCÓ+CEÓ) =BAÓ+BCÓ+ACÓ=11+9+6=26 11 B ADÓ=11, OFÓ=4일 때, DGÓ F 4 BDÓ=BFÓ이므로 BFÓ=;2!;_26=13 이를 구하여라. 이고 ABÓ=9, BCÓ=7, ACÓ=6일 때, CFÓ의 길이를 구하여라. 답 D G, H는 접점이다. ∠C=90ù O C 9 6 CEÓ=4일 때, 원 O의 둘레의 길 답 ② 오른쪽 그림에서 BDÓ, 각형 ABC의 내접원이고 세 점 ABÓ=6+r, BCÓ=4+r, ACÓ=6+4=10 △ABC에서 10Û`=(6+r)Û`+(4+r)Û` ∴ r=2 (∵ r>0) 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_2=4p △OAP에서 PAÓ="Ã13Û`-5Û`=12 ∴ PBÓ=PAÓ=12 10 A D, E, F는 접점이다. ADÓ=6, B ① 33 오른쪽 그림에서 원 O는 직각삼 57 2019-10-24 오전 9:14:39 정답과 해설 20~21쪽 Ⅰ워크북 24~25쪽 서술형 꽉 잡기 주어진 단계에 따라 쓰는 유형 17 오른쪽 그림에서 AEÓ, AFÓ, BCÓ는 원 O의 접선이고 A 세 점 D, E, F는 접점이다. 풀이 과정을 자세히 쓰는 유형 B 5 7 ABÓ=5, BCÓ=6, ACÓ=7 6 C D 18 E 오른쪽 그림과 같이 원 O 는 직각삼각형 ABC의 내접원이고 세 점 D, E, O F는 접점이다. ACÓ=15, F A F 15 D B O E C 17 BCÓ=17일 때, 원 O의 넓이를 구하여라. 일 때, BDÓ의 길이를 구하여라. 풀이 생각해 보자 △ABC에서 ABÓ="Ã17Û`-15Û`=8` 원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 구하는 것은? BDÓ의 길이 주어진 것은? 세 선분 AB, BC, AC의 길이 ❶ CFÓ=CEÓ=15-r, BDÓ=BEÓ=8-r BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로 (8-r)+(15-r)=17, 2r=6 ∴ r=3 ` 따라서 원 O의 넓이는 p_3Û`=9p` 풀이 [1단계] AEÓ+AFÓ의 값 구하기 (50 %) 단계 △ABC의 둘레의 길이는 AEÓ+AFÓ의 값과 같다. 즉, (△ABC의 둘레의 길이)=ABÓ+BCÓ+CAÓ=5+6+7=18 이므로 AEÓ+AFÓ=18 채점 기준 ❷ ❸ 비율 ❶ ABÓ의 길이 구하기 30`% ❷ 원 O의 반지름의 길이 구하기 50`% ❸ 원 O의 넓이 구하기 20`% 답 9p [2단계] AEÓ의 길이 구하기 (30 %) 원 O의 외부의 점 A에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 19 오른쪽 그림과 같이 A ADÓ=12`cm, AEÓ=AFÓ CDÓ=8`cm인 직사각형 ∴ AEÓ=;2!;_18=9 ABCD의 세 변에 접하 는 원 O가 있다. CIÓ가 원 E B 12`cm H I G O F D 8`cm C O의 접선이고 네 점 E, F, G, H가 접점일 때, HIÓ의 길이를 구하여라. 풀이 AHÓ=AEÓ=;2!;ABÓ=;2!;_8=4(cm)` [3단계] BDÓ의 길이 구하기 (20 %) BEÓ=AEÓ-ABÓ=9-5=4이므로 BDÓ=BEÓ=4 단계 답4 58 ❶ ❷ CGÓ=CFÓ=BCÓ-BFÓ=12-4=8(cm)` HIÓ=GIÓ=x`cm라고 하면 CIÓ=(8+x)`cm, DIÓ=12-4-x=8-x(cm)이므로 △CDI에서 (8+x)Û`=(8-x)Û`+8Û`, 32x=64 ∴ x=2 ` ❸ 채점 기준 비율 ❶ AHÓ의 길이 구하기 30`% ❷ CGÓ의 길이 구하기 20`% ❸ HIÓ의 길이 구하기 50`% 답 2`cm Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-1단원)(041~058)-6.indd 58 2019-10-24 오전 9:14:41 Ⅱ. 원의 성질 2. 원주각 II. 원의 성질 2 원주각 1 원주각의 성질 14 원주각과 중심각 15 원주각의 크기와 호의 길이 유형 check 2 원과 사각형 16 원과 사각형 유형 check 3 원의 접선과 현이 이루는 각 17 원의 접선과 현이 이루는 각 유형 check 단원 마무리 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 59 2019-10-24 오전 9:15:49 14 개념 1 2-1. 원주각의 성질 원주각과 중심각 원주각 ⑴원주각: 원 O에서 호 AB 위에 있지 않은 원 위의 점 P P 원주각 에 대하여 ∠APB를 호 AB에 대한 원주각이라고 한 ∠APB=;2!;∠AOB 가 성립한다. O 다. ⑵ 원주각과 중심각의 크기 A 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 원주각 ∠APB가 다음 그림 과 같은 모든 경우에 대하여 중심각 P B 중심각의 크기의 ;2!;이다. O ∠APB=;2!;∠AOB (원주각의 크기)=;2!;_(중심각의 크기), A B 확인 1 다음 그림에서 ∠x의 크기를 구하여라. P 다음 그림에서 ∠x의 크기를 구하여라. ⑵ 80æ O 100æ A O A B 풀이 ⑴ ∠x=;2!;_100ù=50ù x P A x P ⑵ ∠x=;2!;_80ù=40ù 답 x O O B 120æ P B A ⑴ 65ù ⑵ 60ù ⑴ ∠x=;2!;_130ù=65ùù ⑵ ∠x=;2!;_120ù=60ù 원주각의 성질 ⑴한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크 기는 모두 같다. P¡ P™ P P£ A ∠APÁB=∠APªB=∠AP£B ⑵ 반원에 대한 원주각의 크기는 90ù이다. ABÓ가 원 O의 지름이면 ∠APB=90ù 풍쌤의 point ⑵ 130æ ⑴ 50ù ⑵ 40ù 개념 2 B ⑴ x 답 P (중심각의 크기)=2_(원주각의 크기) 예제 1 ⑴ P A B O B 한 원에서 한 호에 대한 중심 각은 하나로 정해지지만 원주 각은 무수히 많다. 이때 한 호 에 대한 무수히 많은 원주각의 크기는 모두 같다. 반원에 대한 중심각의 크기는 180ù이므로 원주각의 크기는 180ù의 ;2!;인 90ù야. 즉, 지름을 빗변으로 하고 원에 내접하는 삼각형은 직각삼각형이야. 예제 2 확인 2 다음 그림에서 ∠x의 크기를 구하여라. ⑴ C D A ⑵ 55æ x 다음 그림에서 ∠x의 크기를 구하여라. 40æ 40æ B P x 60 ⑴ 40ù ⑵ 90ù D 50æ A B B P x ⑵ x O A 답 A ⑴ 36æ O B 35æ C 답 ⑴ 50ù ⑵ 90ù Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 60 2019-10-24 오전 9:15:50 개념 check 01 정답과 해설 21쪽 Ⅰ워크북 26~27쪽 다음 그림에서 ∠x의 크기를 구하여라. ⑴ ⑵ x A ⑶ B O P 80æ 32æ 원주각 P x O x O B 50æ A P 답 개념 1 B A ⑴ 160ù ⑵ 64ù ⑶ 25ù ⑴ ∠x=2_80ù=160ù ⑵ ∠x=2_32ù=64ù 02 ⑶ ∠x=;2!;_50ù=25ù 다음 그림에서 ∠x의 크기를 구하여라. ⑴ 개념 1 ⑵ 110æ 200æ A 원주각 P A O B O B x x P 답 ⑴ 100ù ⑵ 220ù ⑴ ∠x=;2!;_200ù=100ù ⑵ ∠x=2_110ù=220ù 03 다음 그림에서 ∠x, ∠y의 크기를 각각 구하여라. ⑴ A 개념 2 D ⑵ 42æ x D x 30æ 55æ B A C P y A C 답 강의 tip y B 원주각의 성질 D C ① (µAD에 대한 원주각) 60æ =∠ABD=∠ACD ② (µBC에 대한 원주각) B ⑴ ∠x=30ù, ∠y=55ù ⑵ ∠x=60ù, ∠y=42ù =∠BAC=∠BDC ⑴ ∠x=∠BDC=30ù, ∠y=∠ABD=55ù ⑵ ∠x=∠ABD=60ù, ∠y=∠BDC=42ù 04 다음 그림에서 ∠x의 크기를 구하여라. ⑴ P x 55æ A O 개념 2 ⑵ 원주각의 성질 A 28æ B O P x B 답 ⑴ 35ù ⑵ 62ù ⑴ ∠APB=90ù이므로 ∠x=90ù-55ù=35ù ⑵ ∠APB=90ù이므로 ∠x=180ù-(90ù+28ù)=62ù 2. 원주각 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 61 61 2019-10-24 오전 9:15:51 15 개념 1 2-1. 원주각의 성질 원주각의 크기와 호의 길이 원주각의 크기와 호의 길이 Q P 한 원 또는 합동인 두 원에서 Q P ⑴ 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같다. O µAB=µ CD이면 ∠APB=∠CQD ⑵ 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 서로 같다. A A D ∠APB=;2!;∠AOB, C B ⑶ 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정비례한다. ∠CQD=;2!;∠COD이고 호의 길이는 그 호에 대한 중심각의 크기에 정비례한다. 참고 현의 길이는 원주각의 크기에 정비례하지 않는다. 확인 1 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. P ⑴ ⑵ Q xæ A 3 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. Q P 15æ 42æ C 7 27æ x C B ∴ x=15 답 ⑵ xæ B P P A 35æ C 6 x D 5 35æ B ⑴ 27 ⑵ 6 ⑴ µAB=µCD이므로 ∠CQD=∠APB=27ù ∴ x=27 ⑵ ∠APB=∠BQC이므로 x=7 ⑵ ∠APB=∠BPC이므로 µAB=µBC=6 ∴ x=6 ⑴ 15 ⑵ 7 개념 2 Q A 5 A D B C 3 ⑴ 42æ 풀이 ⑴ µAB=µ CD이므로 ∠APB=15ù 답 ∠AOB=∠COD이므로 ∠APB=∠CQD 한 원에서 모든 호에 대한 원주각의 크기의 합은 180ù야. 예제 1 C B ∠APB=∠CQD이면 µAB=µ CD 풍쌤의 point D 네 점이 한 원 위에 있을 조건 - 원주각 두 점 C, D가 직선 AB에 대하여 같은 쪽에 있을 때, D C 네 점 A, B, C, D가 한 원 위 에 있는지 알아볼 때, 한 직선 에 대하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가 같은지 확인한다. ∠ACB=∠ADB 이면 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다. 참고 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있다. ∠ACB=∠ADB A  ABDC는 원에 내접한다. 예제 2 B 확인 2 다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것 다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것 에는 ◯표, 한 원 위에 있지 않은 것에는 _표를 하여라. 에는 ◯표, 한 원 위에 있지 않은 것에는 _표를 하여라. A ⑴ 50æ A ⑵ D 50æ D 20æ B C ( 답 62 ) A ⑴ 26æ B ( ) D A C C B ⑵ D 40æ 38æ C B ( ◯ ) ( _ ) ⑴ ◯ ⑵ _ Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 62 2019-10-24 오전 9:15:52 개념 check 01 정답과 해설 21~22쪽 Ⅰ워크북 28~29쪽 다음 그림에서 ∠x, ∠y의 크기를 각각 구하여라. Q ⑴ x P y 30æ 20æ 개념 1 원주각의 크기와 호의 길이 P ⑵ R 15æ A x B 65æ y Q R C A C B ⑴ ∠x=20ù, ∠y=30ù ⑵ ∠x=15ù, ∠y=50ù 답 ⑴ ∠x=∠APB=20ù, ∠y=∠BRC=30ù ⑵ ∠x=∠APB=15ù, ∠y=∠BQC=65ù-15ù=50ù 02 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. ⑴ 호의 길이가 2배 ⇨ 원주각의 크기도 2배 Q P ⑵ D C B C 원주각의 크기가 3배 ⇨ 호의 길이도 3배 원주각의 크기와 호의 길이 B 25æ A 2`cm A 4`cm x`cm D 75æ 38æ xæ 답 개념 1 18`cm ⑴ 19 ⑵ 6 ⑴ µAB : µ CD=∠APB : ∠CQD이므로 4 : 2=38ù : ∠CQD ∴ ∠CQD=19ù ∴ x=19 ⑵ µAB : µ CD=∠ADB : ∠CBD이므로 18 : µCD=75ù : 25ù ∴ µ CD=6`cm ∴ x=6 03 다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것을 모두 골라라. ㄱ. A 64æ E ㄴ. D D ㄷ. C D ㄹ. 52æ 64æ B A C C 답 48æ A 50æ B 52æ A 네 점이 한 원 위에 있을 조건 -`원주각 D 40æ C 40æ B B 강의 tip `ㄱ, ㄹ <네 점이 한 원 위에 있는지 알아보는 순서> ① 한 현에 대한 원주각을 찾는다. ② 두 점이 현에 대하여 같은 방향에 있는지 확인한다. ③ 한 호에 대한 원주각의 크기가 같은지 확인한다. ㄱ. ∠BAC=∠BDC=64ù이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다. ㄹ. ∠DAC=∠DBC=40ù이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다. 04 개념 2 다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때, ∠x의 크기를 구하여라. ⑴A D 35æ B 답 B C ⑴ 35ù ⑵ 56ù A 45æ x ⑴ ∠x=∠BAC=35ù ⑵ ∠x=∠ADB=56ù ⑵ 56æ 개념 2 네 점이 한 원 위에 있을 조건 -`원주각 D x C 강의 tip <네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용하는 방법> ① 한 현에 대한 원주각을 찾는다. (두 점이 현에 대하여 같은 방향에 있는지 반드시 확인!!) ② 한 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같음을 이용한다. D A C C B (`○`) A D B (`×`) 2. 원주각 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 63 63 2019-10-24 오전 9:15:52 유형 check 유형 1 정답과 해설 22~23쪽 Ⅰ워크북 26~29쪽 원주각과 중심각의 크기 ⑴ 닮은꼴 문제 50æ 때, ∠x의 크기는? ① 28ù ② 32ù ③ 36ù ④ 40ù ⑤ 44ù 답 1-1 P 오른쪽 그림에서 ∠APB=50ù일 O A P 오른쪽 그림에서 ∠APB=35ù, x ∠AOC=120ù일 때, ∠BQC의 크 B 기를 구하여라. 답 70æ A 25ù Q 35æ 120æ O 50æ ∠AOB=2∠APB=2_35ù=70ù ∠BOC=120ù-70ù=50ù ④ ∠AOB=2∠APB=2_50ù=100ù 이때 △OAB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 C B ∴ ∠BQC=;2!;∠BOC=;2!;_50ù=25ù ∠x=;2!;_(180ù-100ù)=40ù 1-2 오른쪽 그림에서 PAÓ, PBÓ 는 원 O의 접선이고 두 점 A, B는 접점일 때, ∠ACB A C O 의 크기를 구하여라. 답 50æ P B 65ù ☐ AOBP에서 ∠AOB=360ù-(90ù+90ù+50ù)=130ù ∴ ∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_130ù=65ù 유형 2 Q 오른쪽 그림에서 ∠APB=125ù일 때, ∠x의 크기는? ① 95ù ② 100ù ③ 105ù ④ 110ù ⑤ 115ù 답 닮은꼴 문제 원주각과 중심각의 크기 ⑵ ④ ÄQB의 중심각의 크기는 2∠APB=2_125ù=250ù ∴ ∠x=360ù-250ù=110ù 2-1 A 125æ P P 오른쪽 그림에서 ∠y-∠x의 값 O 250æ x x 을 구하여라. B 답 40ù ∠AOB=360ù-220ù=140ù이므로 ∴ ∠y-∠x=110ù-70ù=40ù 2-2 O 140æ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_140ù=70ù ∠y=;2!;_220ù=110ù 220æ A y B Q 강의 tip ∠x는 ÄQB에 대한 원주각이고, ∠y는 ÄPB에 대한 원주각이다. 오른쪽 그림에서 ∠AOB=130ù, ∠OAP=55ù일 때, ∠x의 크기를 O 구하여라. 답 60ù ∠APB=;2!;_(360ù-130ù)=115ù A 55æ 130æ x B P 따라서 ☐ OAPB에서 ∠x=360ù-(130ù+55ù+115ù)=60ù 64 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 64 2019-10-24 오전 9:15:53 유형 3 원주각의 성질 ⑴ - 한 호에 대한 원주각의 크기 오른쪽 그림에서 ∠APB=20ù, ∠AQC=80ù일 때, ∠x의 크기 를 구하여라. 답 20æ P Q 80æ 20æ 60æ 60ù ∠AQB=∠APB=20ù ∠BQC=80ù-20ù=60ù ∴ ∠x=∠BQC=60ù 3-1 R Q 오른쪽 그림에서 ∠ACB=75ù, x A 닮은꼴 문제 C B P ∠PAQ=25ù일 때, ∠x의 크기를 구하여라. 답 x C 75æ 25æ 50ù ∠PBQ=∠PAQ=25ù △QCB에서 75ù=∠x+25ù 25æ A ∴ ∠x=50ù B 강의 tip 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하 지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다. 3-2 오른쪽 그림에서 두 현 AB, A CD의 연장선의 교점을 P라 B 36æ 고 하자. ∠BAD=36ù, ∠BPD=38ù일 때, ∠ABC 의 크기를 구하여라. 답 C 36æ 38æ D P 74ù ∠BCD=∠BAD=36ù 따라서 △BCP에서 ∠ABC=36ù+38ù=74ù 유형 4 원주각의 성질 ⑵ - 반원에 대한 원주각의 크기 오른쪽 그림에서 ABÓ는 원 O의 ∠x의 크기를 구하여라. 답 65ù 4-1 C x 지름이고 ∠BAD=25ù일 때, A 25æ O 닮은꼴 문제 R 오른쪽 그림에서 ABÓ는 원 O의 x B ∠ADB=90ù이므로 △ADB에서 D ∠ABD=180ù-(25ù+90ù)=65ù ∴ ∠x=∠ABD=65ù (`① ∠x를 원주각으로 하는 호를 찾는다.  µAD {`② µAD에 대한 다른 원주각을 찾는다.  ∠ABD 9`③ △ADB에서 ∠ADB=90ù임을 이용한다. 지름이고 ∠APR=35ù일 때, ∠x의 크기를 구하여라. 답 A 55ù 35æ` B O 35æ` x ∠AQR=∠APR=35ù P ∠AQB=90ù이므로 Q ∠x=90ù-35ù=55ù (`① ∠APR를 원주각으로 하는 호를 찾는다.  µAR {`② µAR에 대한 다른 원주각을 찾는다.  ∠AQR 9`③ △AQB에서 ∠AQB=90ù임을 이용한다. 4-2 오른쪽 그림에서 ABÓ는 반원 O P 의 지름이고 ∠P=60ù일 때, 60æ C ∠COD의 크기는? ① 55ù ③ 65ù ② 60ù ④ 70ù D 30æ A B O ⑤ 75ù 답 ② ∠ADB=90ù이므로 △ADP에서 180ù-(90ù+60ù)=30ù ∠PAD= ∴ ∠COD =2∠CAD=2_30ù=60ù 2. 원주각 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 65 65 2019-10-24 오전 9:15:54 유형 5 원주각의 크기와 호의 길이 ⑴ 오른쪽 그림에서 µAD=µ BC이고 닮은꼴 문제 A ∠ACD=37ù이다. 점 P가 ABÓ, D 37æ CDÓ의 교점일 때, ∠CPB의 크기 답 D 때, ∠x의 크기를 구하여라. C 74ù 오른쪽 그림에서 µAB=µ BC이고 ∠DAC=30ù, ∠ADB=25ù일 P 37æ 를 구하여라. 5-1 답 B µAD=µ BC이므로 ∠CAB=∠ACD=37ù 따라서 △ACP에서 ∠CPB=37ù+37ù=74ù 30æ M x A 100ù 25æ C µAB=µ BC이므로 ∠BAC=∠ADB=25ù 25æ B ∴ ∠DAB=30ù+25ù=55ù 따라서 △ABD에서 ∠x=180ù-(55ù+25ù)=100ù 5-2 오른쪽 그림에서 ABÓ는 원 O의 E 지름이고 A µ C=µ CD=µ DB일 때, ∠CED의 크기는? A ① 26ù ② 28ù ③ 30ù ④ 32ù B O D C ⑤ 34ù 답 ③ µAB는 원 O의 지름이므로 ∠AEB=90ù 또, µAC=µ CD=µ DB이므로 ∠AEC=∠CED=∠DEB ∴ ∠CED=;3!;_90ù=30ù 유형 6 Q 오른쪽 그림에서 이고 µCD=12`cm일 때, x의 값은? ①5 ②6 ③7 ④8 ⑤ 9 ④ µ AB`:`µ CD=∠AQB`:`∠CPD이므로 ∴ x=8 x`:`12=30ù`:`45ù P 6-1 D 30æ ∠AQB=30ù, ∠CPD=45ù 답 닮은꼴 문제 원주각의 크기와 호의 길이 ⑵ 오른쪽 그림에서 ∠APB=20ù, 45æ 12`cm ∠AQC=45ù, µAB=4p`cm일 때, Q P µ BC의 길이를 구하여라. A x`cm B C 답 5p`cm ∠AQB=∠APB=20ù이므로 ∠BQC=45ù-20ù=25ù 20æ 45æ A 4π`cm C B µAB`:`µ BC=∠APB`:`∠BQC이므로 4p : µBC=20ù : 25ù ∴ µ BC=5p`cm 6-2 오른쪽 그림에서 점 P는 ADÓ, BCÓ 의 교점이다. ∠CAD=40ù, ∠CPD=60ù이고 µ CD=20`cm일 때, µAB의 길이를 구하여라. 답 10`cm △ACP에서 ∠ACP=60ù-40ù=20ù B A P 40æ 60æ C 20æ 20`cm D µAB`:`µ CD=∠ACB`:`∠CAD이므로 µAB`:`20=20ù`:`40ù ∴ µAB=10`cm 66 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 66 2019-10-24 오전 9:15:54 유형 7 원주각의 크기와 호의 길이 ⑶ 닮은꼴 문제 오른쪽 그림에서 원 O는 △ABC의 7-1 A 외접원이다. 오른쪽 그림에서 원 O는 µAB`:`µ BC`:`µ CA=5`:`3`:`4일 때, ∠A 구하여라. △ABC의 외접원이고 O △ABC의 가장 작은 내각의 크기를 B µAB`:`µ BC`:`µ CA=2`:`4`:`3일 C 45ù 답 A 한 원에서 원주각의 크기와 호의 길이는 정비례하므로 µBC에 대한 원주각, 즉 ∠A의 크기가 가장 작다. 3 ∴ ∠A=180ù_ 5+3+4 =180ù_;4!;=45ù 강의 tip O B 때, ∠A-∠B+∠C의 값을 구 C 하여라. 답 60ù ∠C`:`∠A`:`∠B=µAB`:`µ BC`:`µ CA=2`:`4`:`3이므로 ∠A=180ù_;9$;=80ù, ∠B=180ù_;9#;=60ù, ∠C=180ù_;9@;=40ù ∴ ∠A-∠B+∠C=80ù-60ù+40ù=60ù 한 원에서 모든 호에 대한 원주각의 크기의 합은 180ù이므로 호 AC의 길이가 원주의 ;pQ;이면 그 호에 대한 원주각의 크기, 즉 7-2 오른쪽 그림과 같이 두 현 AB, CD ∠ABC=180ù_;pQ;이다. (단, p, q는 서로소) 가 점 P에서 만나고 µAC, µBD의 길 이가 각각 원 O의 둘레의 길이의 D A O P C ;1Á0;, ;4!;일 때, ∠APC의 크기를 구 B 하여라. 답 63ù ∠ADC=180ù_;1Á0;=18ù, ∠DAB=180ù_;4!;=45ù 따라서 △APD에서 ∠APC=18ù+45ù=63ù 유형 8 네 점이 한 원 위에 있을 조건 닮은꼴 문제 다음 중 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있지 않은 것은? D ①A D A 50æ B 55æ B 55æ 55æ ⑤ D A B C C 50æ 50æ C A 25æ 25æ E B 75æ C 100æ 답 E ④ ③ △ACD에서 ∠DAC=180ù-(55ù+70ù)=55ù ∴ ∠DAC=∠DBC ⑤△ DEC에서 ∠CDE=100ù-75ù=25ù ∴ ∠BAC=∠BDC 50æ 55æ B C 105ù 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠BAC=∠BDC=50ù 따라서 △ABE에서 ∠BEC=55ù+50ù=105ù 8-2 호 CD에 대한 원주각의 크기가 같다. 오른쪽 그림에서 네 점 A, B, D D 50æ 때, ∠BEC의 크기를 구하여라. 답 ④ D 70æ A 오른쪽 그림에서 네 점 A, B, C, ∠ABD=55ù, ∠BDC=50ù일 50æ B C ③ 호 BC에 대한 원주각의 크기가 같다. D가 한 원 위에 있고 40æ 40æ A ② 8-1 A C, D가 한 원 위에 있고 30æ D ∠DBP=30ù, ∠APC=35ù 일 때, ∠ACP의 크기를 구하 여라. 답 B 30æ 35æ C P 115ù 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠PAC=∠DBP=30ù 따라서 △ACP에서 ∠ACP=180ù-(30ù+35ù)=115ù 2. 원주각 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 67 67 2019-10-24 오전 9:15:55 16 개념 1 2-2. 원과 사각형 원과 사각형 원에 내접하는 사각형의 성질 A 원에 내접하는 사각형에서 서로 마주 보는 두 내각 다. D A D 대각 B `∠A+∠C=180ù [ A D ⑴한 쌍의 대각의 크기의 합은 180ù이 B C B C E ∠B+∠D=180ù ⑵한 외각의 크기는 그 외각에 이웃한 내각에 대한 대각의 크기와 같다. C E ∠A+∠BCD=180ù, ∠BCD+∠DCE=180ù 이므로 ∠A=∠DCE ∠DCE=∠A 예제 1 확인 1 다음 그림에서 ∠x, ∠y의 크기를 각각 구하여라. A ⑴ B 답 D x 97æ 80æ A x C 105æ D y ⑴ D ⑵ y 다음 그림에서 ∠x, ∠y의 크기를 각각 구하여라. 84æ A y B C ⑵ y D x 102æ 65æ A x 124æ C E B 답 ⑴ ∠x=115ù, ∠y=78ù ⑵ ∠x=90ù, ∠y=124ù B E ⑴ ∠x=100ù, ∠y=83ù C ⑵ ∠x=84ù, ∠y=105ù 개념 2 사각형이 원에 내접하기 위한 조건 ⑴한 쌍의 대각의 크기의 합이 D A 180ù인 사각형은 원에 내접한다. C B ☐ ABCD는 원에 내접한다. D 정사각형, 직사각형, 등변사다 리꼴은 항상 원에 내접하는 사 각형이다. 합이 각각 180æ ‌∠A+∠C=180ù 또는 ∠B+∠D=180ù이면 A B C E ⑵한 외각의 크기와 그 외각에 이웃한 내각에 대한 대각의 크기가 같은 사각형 은 원에 내접한다. ∠A=∠DCE일 때, ☐ ABCD는 원에 내접한다. 예제 2 확인 2 다음 그림에서 ☐ ABCD가 원에 내접하는 것에는 ◯ 다음 그림에서 ☐ ABCD가 원에 내접하는 것에는 ◯ 표, 원에 내접하지 않은 것에는 _표를 하여라. 표, 원에 내접하지 않은 것에는 _표를 하여라. D ⑴ 107æ B ( 답 68 80æ D 93æ 73æ A ⑴ A ⑵ C ) B 70æ ( C 70æ ) D A ⑵ 87æ 116æ B 85æ ( 54æ _ ) C B A 87æ 65æ ( D ◯ C ) ⑴ ◯ ⑵ _ Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 68 2019-10-24 오전 9:15:57 개념 check 01 정답과 해설 24쪽 Ⅰ워크북 30~31쪽 다음 그림에서 ∠x, ∠y의 크기를 각각 구하여라. ⑴ A 45æ 55æ 30æ B 원에 내접하는 사각형의 성질 D ⑵ D x 개념 1 A y C 50æ x y 60æ B C ⑴ ∠x=50ù, ∠y=100ù ⑵ ∠x=110ù, ∠y=70ù 답 ⑴ ∠ABC+∠ADC=180ù이므로 ∴ ∠x=50ù (55ù+30ù)+(45ù+∠x)=180ù 따라서 △BCD에서 ∠y=180ù-(30ù+50ù)=100ù ⑵ △DBC에서 ∠y=180ù-(50ù+60ù)=70ù ∠A+∠C=180ù이므로 ∠x+70ù=180ù ∴ ∠x=110ù 02 다음 그림에서 ∠x, ∠y의 크기를 각각 구하여라. D ⑴ 원에 내접하는 사각형의 성질 A ⑵ x 75æ A y 45æ x 100æ C E B 답 개념 1 85æ B D y 80æ C E 50æ ⑴ ∠x=105ù, ∠y=100ù ⑵ ∠x=35ù, ∠y=95ù ⑴ ∠B+∠D=180ù이므로 ∠x+75ù=180ù ∴ ∠x=105ù ∠y=∠DCE=100ù ⑵ ∠B+∠D=180ù이므로 85ù+∠y=180ù ∴ ∠y=95ù △ABC에서 ∠BAC=180ù-(85ù+50ù)=45ù ∠BAD=∠DCE=80ù이므로 45ù+∠x=80ù ∴ ∠x=35ù 03 다음 그림에서 ☐ ABCD가 원에 내접하는 것을 모두 골라라. ㄱ. 94æ B 답 04 D ㄴ. A 94æ D A C 78æ ㄷ. A 78æ B ㄹ. D B A 105æ 108æ C 개념 2 72æ B C D 75æ C ㄴ, ㄷ 오른쪽 그림에서 ☐ ABCD가 원에 내접하도록 하는 A 개념 2 x ∠x, ∠y의 크기를 각각 구하여라. 답 사각형이 원에 내접하기 위한 조건 ∠x=76ù, ∠y=83ù ∠A+∠C=180ù이므로 ∠x+104ù=180ù ∴ ∠y=∠D=83ù E 사각형이 원에 내접하기 위한 조건 104æ y ∴ ∠x=76ù 83æ D B C 2. 원주각 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 69 69 2019-10-24 오전 9:15:58 유형 check 유형 1 정답과 해설 24~25쪽 Ⅰ워크북 30~31쪽 원에 내접하는 사각형의 성질 ⑴ 오른쪽 그림에서 ☐ ABCD는 원 O A 에 내접하고 ∠ABD=40ù, 닮은꼴 문제 x 75æ D 오른쪽 그림에서 ☐ ABCD는 원에 O ∠BCD=105ù일 때, ∠x의 크기는? 1-1 내접하고 ACÓ=ADÓ, ∠CAD=40ù ① 50ù ② 55ù 40æ 105æ ③ 60ù ④ 65ù B C ② 110ù ⑤ 70ù ③ 120ù ④ 130ù ④ ⑤ 140ù ∠A+∠C=180ù이므로 ∴ ∠A=75ù ∠A+105ù=180ù 따라서 △ABD에서 ∠x=180ù-(75ù+40ù)=65ù B 답 40æ x 일 때, ∠x의 크기는? ① 100ù 답 A O 70æ C 70æ D ② △ACD에서 ∠D=;2!;_(180ù-40ù)=70ù ∠B+∠D=180ù이므로 ∠x+70ù=180ù ∴ ∠x=110ù 1-2 오른쪽 그림과 같이 ☐ ABCD와 E ☐ ABCE가 모두 원 O에 내접할 y A 답 D 82æ 때, ∠x+∠y의 값을 구하여라. O 80ù  ABCD에서 82ù+(58ù+∠x)=180ù ∴ ∠x=40ù ☐ ABCE에서 (82ù+∠y)+58ù=180ù ∴ ∠x+∠y=40ù+40ù=80ù 강의 tip B 58æ x C ∴ ∠y=40ù ☐ ABCD와 ☐ ABCE로 나누어 생각! ∠BAD+∠BCD=180ù  [` ∠BAE+∠BCE=180ù 유형 2 오른쪽 그림과 같이 원 O에 내접 A 하는 ☐ ABCD가 있다. ∠ABE=95ù일 때, ∠x의 크기 를 구하여라. 답 닮은꼴 문제 원에 내접하는 사각형의 성질 ⑵ 190ù ∠D=∠ABE=95ù ∴ ∠x=2∠D=2_95ù=190ù x 95æ E B O 95æ D C 2-1 오른쪽 그림과 같이 A ☐ ABCD가 원에 내접할 80æ D x 때, ∠x의 크기를 구하여 라. 답 B 30æ C P 70ù ∠DCP=∠A=80ù 따라서 △DCP에서 ∠x=180ù-(80ù+30ù)=70ù 2-2 오른쪽 그림과 같이 ☐ ABCD가 원 A 38æ 에 내접할 때, ∠x+∠y의 값을 구 x 하여라. 답 57ù ∠BAD+∠BCD=180ù이므로 ∴ ∠x=22ù (38ù+∠x)+120ù=180ù ∠CBD=∠CAD=22ù이므로 ☐ ABCD에서 ∠y=∠ABC=35ù+22ù=57ù 70 B 35æ 120æ y D C Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 70 2019-10-24 오전 9:15:59 유형 3 원에 내접하는 사각형의 성질의 활용 오른쪽 그림에서 ∠BAF=96ù A 일 때, ∠x, ∠y의 크기를 각각 구하여라. F y 96æ E B C 3-1 오른쪽 그림에서 ∠ABC=87ù x ∠x=96ù, ∠y=84ù 답 닮은꼴 문제 D ∠x=∠BAF=96ù ∠FCD+∠FED=180ù이므로 ∴ ∠y=84ù 96ù+∠y=180ù 강의 tip ① 87ù ② 89ù ③ 91ù ④ 93ù 답 F E P O' C D Q F 일 때, ∠CDE의 크기는? ④ ∠CDE =∠AFC 3-2 O 87æ B D C =180ù-∠ABC =180ù-87ù=93ù 원 O에는 ☐ ABCF가 내접하고 원 O'에 는 ☐ CDEF가 내접한다. 이때 ☐ ABDE 를 원에 내접하는 사각형으로 잘못 생각하 여 ∠BAF+∠CDE=180ù로 계산하지 않도록 주의시킨다. 오른쪽 그림과 같이 두 원 O, F A O'이 두 점 F, C에서 만난다. O ∠ABC=84ù일 때, ∠x, ∠y 84æ B 의 크기를 각각 구하여라. 답 E O' 강의 tip ⑤ 95ù ☐ ABCF와 ☐ FCDE가 각각 두 원 O, O'에 내접할 때 ① ∠BAF=∠FCD=∠DEP, A ∠ABC=∠CFE=∠EDQ O ② ∠BAF+∠FED=180ù, B ∠ABC+∠CDE=180ù ③ ABÓEDÓ A 84æ E O' y x C D ∠x=96ù, ∠y=168ù ∠CFE=∠ABC=84ù ∠CFE+∠CDE=180ù이므로 ∴ ∠x=96ù 84ù+∠x=180ù ∴ ∠y=2∠CFE=2_84ù=168ù 강의 tip 유형 4 사각형이 원에 내접하기 위한 조건 닮은꼴 문제 다음 중 원에 내접하지 않는 사각형을 모두 고르면? (정답 2개) A ① ② D 103æ B 77æ A B 100æ 53æ 75æ D D A ④ 80æ B ⑤ 70æ 30æ 120æ A B 60æ C C B 답 ②, ⑤ ① 사다리꼴 ② 마름모 ④ 직사각형 ⑤ 평행사변형 답 A 95æ 85æ (정답 2개) ③ 등변사다리꼴 ③, ④ 등변사다리꼴과 직사각형은 대각의 크기의 합이 180ù 이므로 항상 원에 내접 한다. C ③ 다음 중 항상 원에 내접하는 사각형을 모두 고르면? 52æ C 4-1 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180ù인 사각형은 항상 원 에 내접한다. 원에 항상 내접하는 사각형으로는 등변 사다리꼴, 직사각형, 정사각형이 있음을 알게 한다. D 85æ C E E ① ∠B+∠D=77ù+103ù=180ù D 4-2 오른쪽 그림과 같은 ☐ ABCD가 원에 내접하기 위한 조건으로 알맞 은 것을 <보기>에서 모두 골라라. 70æ B ② △ACD에서 ∠D=180ù-(53ù+52ù)=75ù ∴ ∠B+∠D=100ù+75ù=175ù ③ △ABC에서 ∠BAC=180ù-(70ù+30ù)=80ù 이므로 ∠BAC=∠BDC ④ ∠BAD=180ù-95ù=85ù=∠DCE ⑤ ∠ABC+∠ADE 강의 tip 사각형은 다음 조건을 만족할 때만 원에 내접한다. ① 한 선분에 대하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가 같을 때 ② 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180ù일 때 ③ 한 외각의 크기와 그 이웃하는 내각의 대각의 크기가 같을 때 D E A ㄱ. ∠ABC=70ù ㄴ. ∠BAD=110ù ㄷ. ∠ADC=110ù ㄹ. ∠EAD=70ù ㅁ. ∠ABC+∠BAD=180ù 답 ㄴ, ㄹ ㄴ. ∠BAD+∠BCD=180ù ㄹ. ∠BCD=∠EAD=70ù 2. 원주각 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 71 C 보기 71 2019-10-25 오후 5:15:44 17 개념 1 2-3. 원의 접선과 현이 이루는 각 원의 접선과 현이 이루는 각 원의 접선과 현이 이루는 각 B 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 C 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. B C ∠BAT=∠BCA O O ∠CAT'=∠CBA A A T' 예제 1 T T ∠BAT=∠BCA이면 직선 AT는 원 O의 접선이다. 확인 1 다음 그림에서 ATê는 원의 접선이고 점 A는 접점일 때, 다음 그림에서 ATê는 원의 접선이고 점 A는 접점일 때, ∠x의 크기를 구하여라. ∠x의 크기를 구하여라. ⑴ C x x A B 45æ C 50æ 답 70æ A 35æ x T A ⑴ 50ù ⑵ 45ù T 두 원에서 접선과 현이 이루는 각 두 원의 교점 T에서의 접선 PQ가 다음 그림과 같을 때, ABÓCDÓ이다. ⑴ ⑵ A B T B C ⑴ 62ù ⑵ 60ù 개념 2 x 60æ 62æ A ⑴ T C 70æ 55æ 답 ⑵ B P O D T A ⑵ O B O' T C B C Q =∠BTQ=∠DTP=∠DCT ∠BAT 즉, 엇각의 크기가 같으므로 ABÓCDÓ 예제 2 두 직선이 평행할 조건 ① 동위각의 크기가 같으면 두 직선이 평행하다. ② 엇각의 크기가 같으면 두 직선이 평행하다. D O' Q P =∠BTQ=∠CDT ∠BAT 즉, 동위각의 크기가 같으므로 ABÓCDÓ 확인 2 다음은 PQê가 점 T에서 접하는 두 원 O, O'의 공통인 다음은 PQê가 점 T에서 접하는 두 원 O, O'의 공통인 접선일 때, ABÓCDÓ임을 보이는 과정이다. ☐ 안에 알 접선일 때, ABÓCDÓ임을 보이는 과정이다. ☐ 안에 알 맞은 것을 써넣어라. 맞은 것을 써넣어라. 원 O에서 ∠BAT= ∠DTP=∠BTQ(맞꼭지각) 원 O'에서 ∠DCT= ∴ ∠BAT= D P A O B T Q 따라서 엇각의 크기가 같으므로 ABÓCDÓ 답 72 원 O에서 ∠BAT= ∠BTQ A 원 O'에서 ∠CDT= ∠CTQ O' C ∴ ∠BAT= ∠CDT O 따라서 동위각의 크기가 같으 므로 ABÓCDÓ B P D C O' T Q ∠BTQ, ∠DTP, ∠DCT Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 72 2019-10-24 오전 9:16:02 개념 check 01 정답과 해설 25쪽 Ⅰ워크북 32~33쪽 다음 그림에서 ATê가 원 O의 접선이고 점 A는 접점일 때, ∠x, ∠y의 크기를 각 개념 1 각 구하여라. 원의 접선과 현이 이루는 각 ⑴ C 52æ O 55æ B y 답 02 접선과 현이 이루는 각의 크기를 구하기에 앞서 지름에 대한 원 주각의 크기는 90ù임 을 떠올린다. B O x 강의 tip C ⑵ x T 43æ A y A T ⑴ ∠x=52ù, ∠y=43ù ⑵ ∠x=90ù, ∠y=55ù 다음 그림에서 ATê가 원 O의 접선이고 점 A는 접점일 때, ∠x, ∠y의 크기를 각 개념 1 각 구하여라. 원의 접선과 현이 이루는 각 C ⑴ ⑵ A 30æ T O x 85æ y 답 83æ x O B 42æ A T C y B ⑴ ∠x=85ù, ∠y=65ù ⑵ ∠x=55ù, ∠y=83ù ⑴ ∠x=∠CAT=85ù, △ABC에서 ∠y=180ù-(85ù+30ù)=65ù ⑵ ∠y=∠BAT=83ù, △ABC에서 ∠x=180ù-(42ù+83ù)=55ù 03 다음 그림에서 PQê는 두 원의 공통인 접선이고 점 T는 접점일 때, ∠x, ∠y의 크 개념 2 기를 각각 구하여라. 두 원에서 접선과 현이 이루 는각 ⑴ A P 65æ 50æ T 답 50æ B Q ⑵ D P A y 65æ 65æ 50æ D 40æ 40æ 70æ 70æ x T x 40æ 70æ C B y C Q ⑴ ∠x=65ù, ∠y=50ù ⑵ ∠x=70ù, ∠y=40ù ⑴ ∠x=∠DTP=∠BTQ=∠BAT=65ù, ∠y=∠CTQ=∠ATP=∠ABT=50ù ⑵ ∠x=∠ATP=∠CTQ=∠CDT=70ù, ∠y=∠DTP=∠BTQ=∠BAT=40ù 04 다음 그림에서 PQê는 두 원의 공통인 접선이고 점 T는 접점일 때, ∠x, ∠y의 크 개념 2 기를 각각 구하여라. 두 원에서 접선과 현이 이루 는각 ⑴ A y P ⑵ D A 54æ 60æ x 답 56æ xy T C T C B P D Q B Q ⑴ ∠x=60ù, ∠y=60ù ⑵ ∠x=56ù, ∠y=54ù ⑴ △DCT에서 ∠x=∠CDT=60ù, ⑵ △DCT에서 ∠x=∠DTP=56ù, △ABT에서 ∠y=∠BTQ=60ù △ABT에서 ∠y=∠BAT=54ù 2. 원주각 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 73 73 2019-10-24 오전 9:16:04 유형 check 유형 1 정답과 해설 25~26쪽 Ⅰ워크북 32~33쪽 원의 접선과 현이 이루는 각 닮은꼴 문제 오른쪽 그림에서 직선 PT는 원 A O의 접선이고 점 T는 접점일 때, y ∠x+∠y의 값은? ② 90ù ③ 100ù ④ 110ù 오른쪽 그림에서 직선 PT는 원 O O의 접선이고 점 T는 접점이다. 110æ ABÓ=BTÓ이고 ∠ATP=50ù일 P ① 80ù 1-1 T x B ⑤ 120ù 답 B 50æ A O x 때, ∠x의 크기를 구하여라. 답 P 65ù 50æ T ∠ABT=∠ATP=50ù ④ △ATB에서 ABÓ=BTÓ이므로 ∠x=;2!;_(180ù-50ù)=65ù ∠y=;2!;∠TOB=;2!;_110ù=55ù 1-2 ∠x=∠BAT=55ù ∴ ∠x+∠y=55ù+55ù=110ù 오른쪽 그림에서 직선 AT는 원 O B 의 접선이고 점 A는 접점이다. µ A B` : `µ BC` : `µ CA=3` : `4` : `2일 C O x 때, ∠x의 크기를 구하여라. 답 60ù x A (호의 길이의 비) =(원주각의 크기의 비) T ∠x=∠ACB이고 ∠ACB`:`∠BAC`:`∠ABC=µAB`:`µ BC`:`µ CA=3`:`4`:`2이므로 3 ∠x=180ù_ 3+4+2 =180ù_;3!;=60ù 유형 2 원의 접선과 현이 이루는 각의 활용 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 ☐ ABCD는 원에 내접하고 CTê는 점 C에서 원에 접하는 접선이다. ∠DAB=100ù, ∠DCT=62ù A 100æ B 38ù ∠DAB+∠BCD=180ù이므로 ∴ ∠BCD=80ù 100ù+∠BCD=180ù ∠DBC=∠DCT=62ù 따라서 △DBC에서 ∠x=180ù-(62ù+80ù)=38ù 강의 tip ☐ ABCD는 원에 내접하므로 대각의 크기의 합이 180ù임을 이용한다. D 2-1 오른쪽 그림과 같이 ☐ ABCD는 C D 원에 내접하고 직선 TT'은 점 A 62æ 일 때, ∠x의 크기를 구하여라. 답 x 닮은꼴 문제 80æ C 62æ 에서 원에 접하는 접선이다. T 56æ ∠ABD=64ù, ∠BAT'=56ù일 60æ 때, ∠DCB의 크기를 구하여라. 답 64æ 56æ A T 120ù B T' ∠ADB=∠BAT'=56ù △ABD에서 ∠DAB=180ù-(56ù+64ù)=60ù ☐ ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠DCB+∠DAB=180ù, ∠DCB+60ù=180ù ∴ ∠DCB=120ù 2-2 D 오른쪽 그림과 같이 ☐ ABCD가 원에 내접하고 40æ PB³는 원의 접선이다. 98æ ∠ADB=40ù, ∠DCB=98ù 일 때, ∠x의 크기를 구하여라. 답 P A 98æ C x 40æ B 42ù ∠PAB=∠DCB=98ù, ∠ABP=∠ADB=40ù 따라서 △APB에서 ∠x=180ù-(98ù+40ù)=42ù 74 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 74 2019-10-24 오전 9:16:05 유형 3 원의 접선과 현이 이루는 각의 활용 ⑵ 오른쪽 그림에서 PT³는 원 O의 접선이고 점 A는 접점 ∠x의 크기는? ① 24ù O 답 x P ② 25ù ④ 27ù B 32æ C 이다. ∠CBA=32ù일 때, 닮은꼴 문제 3-1 오른쪽 그림에서 CT³는 원 O의 접선 B 이고 점 A는 접점이다. 32æ A T ③ 26ù T 23æ 67æ ∠BAT=67ù일 때, ∠x의 크기를 O 구하여라. ⑤ 28ù 답 A 23æ D 44ù x C ∠BAD=90ù이므로 ∠DAC=180ù-(90ù+67ù)=23ù ∠ABD=∠DAC=23ù이므로 △ABC에서 ∠x=180ù-{(23ù+90ù)+23ù}=44ù ③ ∠CAB=90ù, ∠CAP=∠CBA=32ù이므로 △BPA에서 ∠x=180ù-{(32ù+90ù)+32ù}=26ù 3-2 강의 tip 접선과 현이 이루는 각을 이용할 수 있도록 적당한 보조선 (CTÓ)을 그어 크기가 같은 각을 찾는다.  ∠CTP=∠CAT 이때 CTÓ는 원 O의 지름이므로 ∠CTA=90ù임 을 찾을 수 있다. 오른쪽 그림에서 PT³는 원 O의 접 A O B 선이고 점 T는 접점이다. C T P ∠BPT=40ù일 때, ∠x의 크기를 구하여라. 답 x O A P 40æ x T 25ù ∠ATB=90ù, ∠ABT=∠ATP=∠x이므로 △BPT에서 ∠x+40ù+(∠x+90ù)=180ù ∴ ∠x=25ù 유형 4 두 원에서 접선과 현이 이루는 각 오른쪽 그림에서 직선 PQ는 점 T에서 접하는 두 원 O, O'의 공통인 접선이다. ∠BAT=45ù, ∠CDT=65ù일 때, ∠x의 P A 45æ O 45æ B 크기를 구하여라. 답 70ù ∠DCT=∠DTP=∠BTQ=∠BAT=45ù 따라서 △CDT에서 ∠x=180ù-(65ù+45ù)=70ù T 45æ x 닮은꼴 문제 오른쪽 그림에서 직선 PQ는 두 원 65æ O' 45æ Q 4-1 D 의 공통인 접선이고 점 T는 접점이 C 다. ∠DTP=55ù, ∠DTC=50ù 일 때, ∠x, ∠y의 크기를 각각 구 y D x T 50æ 55æ C B Q 하여라. 답 A P 55æ ∠x=55ù, ∠y=75ù ∠x=∠DTP=55ù △ATB에서 ∠ABT=∠ATP=55ù이므로 ∠y=180ù-(50ù+55ù)=75ù 4-2 오른쪽 그림에서 TT'ê은 두 원 O, O'의 공통인 접선이 73æ 고 점 P는 접점이다. ∠CAP=73ù, T A C ∠BDP=57ù일 때, x O D 57æ 73æ P 73æ 57æ T' 57æ O' y B ∠y-∠x의 값을 구하여라. 답 16ù ∠x=∠APT=∠BPT'=∠BDP=57ù ∠y=∠DPT=∠CPT'=∠CAP=73ù ∴ ∠y-∠x=73ù-57ù=16ù 2. 원주각 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 75 75 2019-10-24 오전 9:16:07 단원 마무리 01 오른쪽 그림에서 PBÓ가 원 O의 P 지름이고 ∠AQB=52ù일 때, y ∠x+∠y의 값은? ① 144ù ③ 150ù 05 Q 52æ O의 지름이고 µ B C=µ C D, O ∠ABD=30ù일 때, ∠x의 x ② 147ù B ⑤ 156ù 답 P O B 160æ A 20ù 06 x ∠y-∠x의 값을 구하여라. B P ∠APC=56ù, ∠BQC=30ù일 56æ 30æ 30æ 26æ O ② 52ù ③ 53ù ④ 54ù A µAB`:`µ CD=3`:`1일 때, 1 »x 3 57ù D x B △DBP에서 ∠x=;3!;∠x+38ù 오른쪽 그림에서 ① 51ù ∴ ∠x=30ù C 38æ P 이므로 ∠DBC=;3!;∠ADB=;3!;∠x 때, ∠AOB의 크기는? A Q 07 ∴ ∠x=57ù 오른쪽 그림에서 A µ B`:`µ BC`:`µ CD`:`µ DA =2`:`4`:`4`:`5 A B x D O 일 때, ∠x의 크기를 구하여 C 라. B 답 ⑤ 55ù C 108ù ∠x=(ÄDC에 대한 원주각)=180ù_ 4+5 =180ù_;5#;=108ù 2+4+4+5 ② ∠BPC=∠BQC=30ù이므로 ∠APB=56ù-30ù=26ù ∴ ∠AOB=2∠APB=2_26ù=52ù 08 A 오른쪽 그림에서 ABÓ는 원 O 때, ∠BAC의 크기를 구하여 O 라. 30ù C (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 76 A 내접하는 오각형 ABCDE에 85æ 60æ B O 때, ∠BOC의 크기는? D 60æ B ∠ACB=90ù, ∠ABC=∠ADC=60ù 이므로 △ABC에서 강의 tip ∠BAC=180ù-(90ù+60ù)=30ù 반원에 대한 원주각을 이용할 수 있도록 필요한 보조선을 적 절하게 긋는 것이 중요하다. Ⅱ. 원의 성질 오른쪽 그림과 같이 원 O에 서 ∠A=85ù, ∠D=140ù일 의 지름이고 ∠ADC=60ù일 76 O ∠ADB`:`∠DBC=µAB`:`µ CD=3`:`1 ∴ ∠y-∠x=100ù-80ù=20ù 답 x 30æ ① 오른쪽 그림에서 답 Q ∠y=;2!;_(360ù-160ù)=100ù 04 ④ 36ù ∠x의 크기를 구하여라. y ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_160ù=80ù 답 ③ 34ù 답 ∠AOB=160ù일 때, 03 ② 32ù ∠ACB=90ù µ BC=µ CD이므로 ∠BAC=∠CBD=∠x △ABC에서 ∠x+(30ù+∠x)+90ù=180ù 오른쪽 그림에서 답 x A ⑤ 38ù ⑤ ∠x=2∠AQB=2_52ù=104ù ∠y=∠AQB=52ù ∴ ∠x+∠y=104ù+52ù=156ù 02 ① 30ù C D 크기는? A ④ 153ù 오른쪽 그림에서 ABÓ는 원 ① 80ù ② 85ù ③ 90ù ④ 95ù 95æ E 140æ 45æ D C ⑤ 100ù 답 ③ ☐ ABDE에서 ∠BAE+∠BDE=180ù ∴ ∠BDE=95ù 85ù+∠BDE=180ù 따라서 ∠BDC=140ù-95ù=45ù이므로 ∠BOC=2∠BDC=2_45ù=90ù 강의 tip 오각형, 육각형, … 등의 다각형이 원에 내접하는 문제는 보조선을 적당히 그어 원에 내접하는 사각형을 만든다. 2019-10-24 오전 9:16:09 정답과 해설 26~27쪽 Ⅰ워크북 34~35쪽 09 오른쪽 그림에서 ☐ ABCD 는 원 O에 내접하고 ∠AEB=50ù, D O 크기를 구하여라. x B 52.5ù C x 50æ E 답 나고 ∠PAB=75ù, ∠ABQ=84ù일 때, 84æ B P y x y x Q 11 보기 30æ D 30æ 60æ 55æ C ㄷ. E 85æ A 95æ B ㄹ. D A 105æ C F B 43æ C ④ 50ù ⑤ 60ù 104æ C 오른쪽 그림과 같이 원 O 의 지름 BC의 연장선 위 ① 20ù ② 25ù ④ 35ù ⑤ 40ù 오른쪽 그림에서 PT³는 원 의 접선이고 점 T는 접점이 크기를 구하여라. 답 ③ △ABD에서 ∠ABD=∠x ㄱ, ㄴ, ㄹ ∠APT=22ù일 때, ∠x의 22æ B P 44æ x 22æ 22æ T 114ù △APT에서 APÓ=ATÓ이므로 ∠ATP=∠APT=22ù ∴ ∠BAT=22ù+22ù=44ù ∠ABT=∠ATP=22ù이므로 △BAT에서 ③ 40ù B x O 2x x x A T C D 때, ∠x의 크기는? D 33æ A C BEÓ가 원 O의 접선이므로 ∠DEB=∠DFE=75ù BDÓ=BEÓ이므로 ∠BDE=∠BED=75ù 따라서 △DBE에서 ∠B=180ù-(75ù+75ù)=30ù 라고 하자. ABÓ = ADÓ 일 76æ 다. APÓ=ATÓ이고 75æ E ② DT를 그어 그 접점을 A ㄱ. ∠BAC=90ù-60ù=30ù ∴ ∠BAC=BDC=30ù ㄴ. ∠B+D=90ù+90ù=180ù ㄷ. ∠DAB=180ù-85ù=95ù ∴ ∠DAB+∠DCF ㄹ. ∠D=180ù-(43ù+33ù)=104ù ∴ ∠B+∠D=180ù 12 75æ B ② 30ù 답 답 45æ O 의 점 D에서 원 O에 접선 B B F 75æ 60æ ① 20ù 답 15 D A O는 △DEF에서 ∠DFE=180ù-(60ù+45ù)=75ù 다음 <보기> 중 원에 내접하는 사각형을 모두 골라라. ㄴ. △ABC의 내접원 이고 △DEF의 외접원 A D 크기는? ☐ PQCD에서 ∠PQB=∠x, ∠QPA=∠y이므로 ☐ ABQP에서 ∴ ∠x=105ù 75ù+∠x=180ù ∴ ∠y=96ù 84ù+∠y=180ù ∴ ∠x-∠y=105ù-96ù=9ù A 오른쪽 그림과 같이 원 접점이고 ∠EDF=60ù, ∠DEF=45ù일 때, ∠B의 C 9ù ㄱ. 현이 지름인 경우는 무 조건 다음을 떠올린다.  ‌반원의 원주각의 크 기는 90ù임을 이용! 45ù 이다. 세 점 D, E, F는 D ∠x-∠y의 값을 구하여라. 답 C O ☐ ABCD에서 ∠ABC=180ù-135ù=45ù △ABC에서 ∠BAC=90ù이므로 ∠x=∠ACB=180ù-(90ù+45ù)=45ù 14 75æ 원이 두 점 P, Q에서 만 135æ ∠x의 크기를 구하여라. A 오른쪽 그림과 같이 두 D 45æ B T A x 원 O의 접선이고 점 A는 접 지나고 ∠ADC=135ù일 때, 25æ+»x ☐ ABCD에서 ∠CDE=∠ABC=∠x △FBC에서 ∠FCE=25ù+∠x △DCE에서 ∠x+(25ù+∠x)+50ù=180ù ∴ ∠x=52.5ù 10 오른쪽 그림에서 직선 AT는 점이다. BCÓ가 원 O의 중심을 A ∠BFC=25ù일 때, ∠x의 답 13 F 25æ ∠CAD=∠ABC=∠x이므로 16 ③ 30ù 강의 tip 접선과 현이 이루는 각을 이용할 수 있도록 보조선 ACÓ를 그은 후 ∠x 와 크기가 같은 각을 표시해 본다. △ACD에서 ∠ACB=∠x+∠x=2∠x 따라서 △ABC에서 90ù+∠x+2∠x=180ù 오른쪽 그림과 같이 두 원 ∴ ∠x=30ù A P O, O'은 두 점 C, D에서 62æ 만나고 직선 PT는 점 T에 O 서 접하는 원 O'의 접선일 70æ 때, ∠DTP의 크기를 구하 B D O' T 2. 원주각 77 C 여라. 답 62ù 원 O'에서 ∠DTP=∠DCT ☐ ABCD는 원 O에 내접하므로 ∠BAD=∠DCT ∴ ∠DTP=∠BAD=62ù 180ù-(44ù+22ù)=114ù (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 77 2019-10-24 오전 9:16:11 정답과 해설 28쪽 Ⅰ워크북 34~35쪽 서술형 꽉 잡기 주어진 단계에 따라 쓰는 유형 17 풀이 과정을 자세히 쓰는 유형 오른쪽 그림에서 PTÓ는 원의 접선이고 점 T는 접점이다. 34æ µ TC=µ CB, ∠BPT=42ù, ∠BTC=34ù일 때, ∠ABT 의 크기를 구하여라. 18 B A P 112æ 34æ 68æ 42æ 오른쪽 그림과 같이 원 O에 내 A 접하는 △ABC에서 D BCÓ=5`cm이고 tan A='5 C O 일 때, 원 O의 반지름의 길이 T B C 5`cm 를 구하여라. 풀이 생각해 보자 원의 중심 O를 지나는 BDÓ와 CDÓ를 그으면 ∠BCD=90ù, ∠A=∠D이므로 △BCD는 원 O에 내접하고 ∠D=∠A인 직각 ❶ 삼각형이다. ` 구하는 것은? ∠ABT의 크기 주어진 것은? ① PTÓ는 원의 접선이고 점 T는 접점 ② µ TC=µ CB ③ ∠BPT=42ù, ∠BTC=34ù tanÀ=tan`D= BCÓ = 5 ='5이므로 CDÓ CDÓ CDÓ='5`cm △BCD에서 BDÓ="Ã5Û`+('5)Û``='¶30(cm) ❷ '¶30 ;2!;BDÓ=;2!;_'¶30= 122 (cm) 2 ❸ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 풀이 [1단계] ∠BCT의 크기 구하기 (30 %) µ TC=µ CB이므로 ∠CBT=∠BTC=34ù △BCT에서 ∠BCT=180ù-(34ù+34ù)=112ù 단계 19 채점 기준 비율 ❶ 직각삼각형 BCD 만들기 40`% ❷ CDÓ의 길이 구하기 30`% ❸ 원 O의 반지름의 길이 구하기 30`% '¶30 답 122 2 `cm 오른쪽 그림에서 ☐ ABCD E 가 원 O에 내접하고 A [2단계] ∠BAT의 크기 구하기 (30 %) ∠ADE=60ù, ∠DBC=35ù ☐ ATCB가 원에 내접하므로 ∠BAT+∠BCT=180ù ∠BAT+112ù=180ù ∴ ∠BAT=68ù 일 때, ∠y-∠x의 값을 구 B 60æ D y x 35æ 하여라. O 55æ C 풀이 [3단계] ∠ABT의 크기 구하기 (40 %) △APT에서 ∠BAT=∠APT+∠ATP이므로 ∴ ∠ATP=26ù 68ù=42ù+∠ATP ∴ ∠ABT=∠ATP=26ù ∠ABC=∠ADE이므로 ∴ ∠x=25ù ∠x+35ù=60ù △BCD에서 ∠BCD=180ù-(90ù+35ù)=55ù ☐ ABCD에서 ∠BAD+∠BCD=180ù이므로 ∴ ∠y=125ù ∠y+55ù=180ù ∴ ∠y-∠x=125ù-25ù=100ù 단계 채점 기준 ❶ ❷ ❸ 비율 ❶ ∠x의 크기 구하기 ❷ ∠y의 크기 구하기 50`% ❸ ∠y-∠x의 값 구하기 10`% 40`% 답 100ù 답 26ù 78 Ⅱ. 원의 성질 (중3-2)본문(2-2단원)(059~078)-6.indd 78 2019-10-24 오전 9:16:12 III. 통계 1 대푯값과 산포도 1 대푯값과 산포도 18 대푯값 19 산포도와 편차 20 분산과 표준편차 21 도수분포표에서의 분산과 표준편차 유형 check 단원 마무리 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 79 2019-10-24 오전 9:28:49 18 개념 1 1-1. 대푯값과 산포도 대푯값 대푯값 ⑴ 대푯값 : 자료 전체의 특징을 하나의 수로 나타낸 값을 대푯값이라고 한다. 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다. ⑵ 평균: 변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값 예 1, 2, 4, 5의 평균은 (평균)= (변량의 총합) (변량의 개수) 1+2+4+5 =:Á4ª:=3 4 ⑶ 중앙값 : 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때, 중앙에 오는 값 ① 변량의 개수가 홀수이면 가운데 위치한 값이 중앙값이다. 대푯값으로 평균을 많이 사용 하나 평균은 극단적인 값에 영 향을 받으므로 자료에 매우 큰 값이나 매우 작은 값이 있으면 대푯값으로 중앙값이 더 적절 하고, 자료의 개수가 많으면 대푯값으로 최빈값이 더 적절 하다. ② 변량의 개수가 짝수이면 가운데 위치한 두 값의 평균이 중앙값이다. 예 ‌① 1, 3, 5, 7, 9의 중앙값은 5 ② 2, 4, 6, 8의 중앙값은 풍쌤의 point 세 번째 값 4 + 6 2 =5 두 번째와 세 번째 변량의 평균 n개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때, 중앙값은 n이 홀수이면 n+1 2 번째 변량, n이 짝수이면 ;2N;번째와 {;2N;+1}번째 변량의 평균이야. ⑷ 최빈값 : 변량 중에서 가장 자주 나타나는 값, 즉 도수가 가장 큰 값 예 ‌① 1, 2, 2, 3, 4, 5의 최빈값은 2 ② 1, 2, 2, 3, 3, 5의 최빈값은 2, 3 ③ 1, 1, 3, 3, 5, 5의 최빈값은 없다. 도수가 가장 큰 값이 한 개 이상 있으면 그 값은 모두 최빈값이다. 변량의 도수가 모두 같으면 최빈값은 없다. 예제 1 확인 1 5개의 변량 4, 6, 7, 8, 5의 평균을 구하여라. 풀이 (평균)= 답 최빈값은 2개 이상일 수도 있 고, 없을 수도 있다. 4+6+7+8+5 =:£5¼:=6 5 6 예제 2 6개의 변량 5, 12, 8, 14, 2, 7의 평균을 구하여라. 답 8 (평균)= 5+12+8+14+2+7 =8 6 확인 2 다음 자료의 중앙값을 구하여라. 다음 자료의 중앙값을 구하여라. ⑴ 4, 5, 6, 7, 8 ⑴ 1, 3, 7, 7, 9 ⑵ 12, 12, 14, 16, 18, 18 ⑵ 10, 11, 13, 15, 16, 16 풀이 ⑴ 3번째 값인 6이다. ⑵ 3번째와 4번째 값의 평균인 답 답 14+16 2 =15이다. ⑴ 7 ⑵ 14 ⑴ 중앙값은 3번째 값인 7이다. ⑵ 중앙값은 3번째와 4번째 값의 평균인 ⑴ 6 ⑵ 15 예제 3 13+15 2 =14이다. 확인 3 다음 자료의 최빈값을 구하여라. 다음 자료의 최빈값을 구하여라. ⑴ 2, 4, 5, 6, 6, 8 ⑴ 1, 2, 4, 4, 5, 7, 8 ⑵ 1, 1, 2, 3, 3, 4, 6, 7 ⑵ 11, 12, 13, 13, 15, 15, 17, 19 답 80 ⑴ 6 ⑵ 1, 3 답 ⑴ 4 ⑵ 13, 15 Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 80 2019-10-24 오전 9:28:50 개념 check 01 정답과 해설 29쪽 Ⅰ워크북 36~37쪽 다음 자료의 평균을 구하여라. 개념 1 ⑴ 2, 6, 5, 7, 9 대푯값 ⑵ 10, 11, 14, 16, 15, 12 답 02 ⑴ 5.8 ⑵ 13 ⑴ (평균)= 2+6+5+7+9 =5.8 5 ⑵ (평균)= 10+11+14+16+15+12 =13 6 다음 자료의 중앙값을 구하여라. 강의 tip 개념 1 ⑴ 15, 16, 17, 10, 15, 10, 18 중앙값을 구할 때는 먼저 주어진 변량 을 작은 값부터 크기순으로 나열한다. 대푯값 ⑵ 26, 28, 20, 26, 21, 25, 20, 24 답 ⑴ 15 ⑵ 24.5 ⑴ 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 10, 10, 15, 15, 16, 17, 18이므로 중앙값은 4번째 값인 15이다. ⑵ 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 20, 20, 21, 24, 25, 26, 26, 28이므로 중앙값은 4번째와 5번째 24+25 값의 평균인 2 =24.5이다. 03 다음 자료의 최빈값을 구하여라. ⑴ 5, 4, 3, 8, 3, 5, 1, 5, 8 ⑵ 12, 21, 10, 13, 21, 10, 20, 12 강의 tip 개념 1 변량의 개수가 많은 경우에 최빈값을 구할 때는 먼저 주어진 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하는 것이 편 리하다. 대푯값 ⑶ 8, 6, 10, 17, 19, 4, 3, 7 답 ⑴ 5 ⑵ 10, 12, 21 ⑶ 없다. ⑴ 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 8, 8이므로 최빈값은 5이다. ⑵ 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 10, 10, 12, 12, 13, 20, 21, 21이므로 최빈값은 10, 12, 21이다. ⑶ 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 4, 6, 7, 8, 10, 17, 19이므로 최빈값은 없다. 04 다음은 어느 반 학생 6명의 몸무게를 조사하여 나타낸 것이다. 평균, 중앙값, 최빈 개념 1 값을 각각 구하여라. 대푯값 (단위: kg) 40 46 38 52 40 48 답 평균: 44`kg, 중앙값: 43`kg, 최빈값: 40`kg (평균)= 40+46+38+52+40+48 =44(kg) 6 몸무게를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 38, 40, 40, 46, 48, 52 40+46 이므로 중앙값은 =43(kg)이고, 최빈값은 40`kg이다. 2 강의 tip 평균, 중앙값, 최빈값 등의 대푯값을 답할 때는 단위를 꼭 쓰도록 한다. 1. 대푯값과 산포도 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 81 81 2019-10-24 오전 9:28:50 19 개념 1 1-1. 대푯값과 산포도 산포도와 편차 산포도와 편차 ⑴산포도: 대푯값을 중심으로 자료가 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 (산포도가 작다.) =(자료가 평균 가까이에 모여 있다.) =(변량 간의 격차가 작다.) =(자료의 분포가 고르다.) 값을 산포도라고 한다. 산포도에는 분산, 표준편차 등이 있다. ‌각 자료의 값이 대푯값에서 멀리 흩어져 있으면 산포도는 크고, 대푯값 주 위에 밀집되어 있으면 산포도는 작다. ⑵ 편차: 자료의 각 변량에서 평균을 뺀 값 (편차)=(변량)-(평균) (편차)=0이면 (변량)=(평균) 편차의 단위는 변량의 단위와 같다. ① 편차의 총합은 항상 0이다. ②평균보다 큰 변량의 편차는 양수이고, 평균보다 작은 변량의 편차는 음수 이다. ③편차의 절댓값이 클수록 변량은 평균에서 멀리 떨어져 있고, 편차의 절댓 값이 작을수록 변량은 평균 가까이에 있다. 예 자료 3, 7, 6, 4의 평균은 3+7+6+4 =5이므로 4 변량 3에 대한 편차는 3-5=-2, 변량 7에 대한 편차는 7-5=2, 변량 6에 대한 편차는 6-5=1, 변량 4에 대한 편차는 4-5=-1 (편차의 총합)=-2+2+1+(-1)=0 풍쌤의 point (편차)=(변량)-(평균)이므로 편차를 구하려면 먼저 평균을 구해야 해. 예제 1 확인 1 다음 표는 5개의 변량의 편차를 나타낸 것이다. 5개의 다음 표는 6개의 변량의 편차를 나타낸 것이다. 6개의 변량의 평균이 7일 때, 표를 완성하여라. 변량의 평균이 12일 때, 표를 완성하여라. 변량 6 편차 -1 답 8 5 7 9 차례대로 1, -2, 0, 2 예제 2 10 13 11 9 14 15 편차 -2 1 -1 -3 2 3 13-12=1, 11-12=-1, 9-12=-3, 14-12=2, 15-12=3 확인 2 다음 ☐ 안에 알맞은 것을 써넣어라. 다음 ☐ 안에 알맞은 것을 써넣어라. 어떤 자료의 편차가 -1, 4, 1, -2, x일 때 편차 어떤 자료의 편차가 2, -3, x, -1, -2일 때 편 의 합은 항상 차의 합은 항상 이므로 0 이므로 -1+4+1+(-2)+x= 2+(-3)+x+(-1)+(-2)= x+2= x-4= 답 82 변량 ∴ x= 0 ∴ x= 0 4 0, 0, 0, -2 Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 82 2019-10-24 오전 9:28:51 개념 check 01 정답과 해설 29쪽 Ⅰ워크북 38쪽 다음 표는 변량의 편차를 나타낸 것이다. 주어진 변량의 평균이 [ ] 안의 수와 개념 1 같을 때, 표를 완성하여라. 산포도와 편차 ⑴[8] 변량 8 7 6 10 9 편차 0 -1 -2 2 1 ⑵ [ 16 ] 변량 13 14 15 17 18 19 편차 -3 -2 -1 1 2 3 강의 tip (편차)=(변량)-(평균)이므로 (변량)=(편차)+(평균)이다. 02 아래 자료는 학생 5명의 일주일 동안의 TV 시청 시간을 조사하여 나타낸 것이다. 개념 1 다음을 구하여라. 산포도와 편차 (단위: 시간) 11 13 16 14 11 ⑴ TV 시청 시간의 평균 ⑵ 각 변량의 편차 답 ⑴ 13시간 ⑵ 차례대로 -2시간, 0시간, 3시간, 1시간, -2시간 ⑴ (평균)= 11+13+16+14+11 =13(시간) 5 ⑵ 11-13=-2(시간), 13-13=0(시간) 16-13=3(시간), 14-13=1(시간), 11-13=-2(시간) 03 강의 tip 다음 자료의 편차를 구하여라. ⑴ 6, 5, 7, 3, 9 편차를 구하려면 먼저 평균을 구해야 한다. 개념 1 산포도와 편차 ⑵ 12, 16, 13, 17, 14, 18 답 ⑴ 차례대로 0, -1, 1, -3, 3 ⑵ 차례대로 -3, 1, -2, 2, -1, 3 ⑴ (평균)= 6+5+7+3+9 =6 5 각 변량의 편차는 6-6=0, 5-6=-1, 7-6=1, 3-6=-3, 9-6=3 12+16+13+17+14+18 ⑵ (평균)= =15 6 04 각 변량의 편차는 12-15=-3, 16-15=1, 13-15=-2, 17-15=2, 14-15=-1, 18-15=3 어떤 자료의 편차가 다음과 같을 때, x의 값을 구하여라. 개념 1 ⑴ 3, -2, -4, x, 2 산포도와 편차 ⑵ 5, x, -3, 2, -4, 3 답 ⑴ 1 ⑵ -3 ⑴ 편차의 총합은 항상 0이므로 3+(-2)+(-4)+x+2=0 ∴ x=1 ⑵ 편차의 총합은 항상 0이므로 5+x+(-3)+2+(-4)+3=0 ∴ x=-3 1. 대푯값과 산포도 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 83 83 2019-10-24 오전 9:28:51 20 개념 1 1-1. 대푯값과 산포도 분산과 표준편차 분산과 표준편차 ⑴분산 : 각 변량의 편차의 제곱의 총합을 변량의 개수로 나눈 값, 즉 편차의 제 평균, 편차, 표준편차는 변량과 같은 단위를 쓰고 분산은 단위 를 쓰지 않는다. 곱의 평균 {(편차)Û`의 총합} ={(편차)Û`의 평균} (변량의 개수) ⑵표준편차: 분산의 음이 아닌 제곱근 (분산)= ① (표준편차 (분산)가 작다.) =(자료가 평균 가까이에 모 여 있다.) =(자료의 분포가 고르다.) ② (표준편차 (분산)가 크다.) =(자료가 평균으로부터 멀 리 흩어져 있다.) =( 자료의 분포가 고르지 않다.) 0 또는 양의 제곱근 (표준편차)="Ã(분산) (표준편차)Û`=(분산) 산과 표준편차를 구하는 순서는 다음과 같다. 분 풍쌤 자료 5, 8, 9, 6에서 (평균)= 5+8+9+6 = 28 =7 ❶ 평균 구하기 4 4 이므로 각 변량의 편차는 5-7=-2, 8-7=1, 9-7=2, 6-7=-1 ❷ 편차 구하기 각 변량의 (편차)Û`의 총합은 (-2)Û`+1Û`+2Û`+(-1)Û`=10 ❸ (편차)Û`의 총합 구하기 (분산)=:Á4¼:=2.5 ❹ 분산 구하기 (표준편차)='¶2.5 ❺ 표준편차 구하기 풍쌤의 point 표준편차 구하는 순서 평균 (편차)Û`의 총합 편차 분산 표준편차 예제 1 확인 1 다음은 아래 자료의 분산과 표준편차를 구하는 과정이 다음은 아래 자료의 분산과 표준편차를 구하는 과정이 다. ☐ 안에 알맞은 것을 써넣어라. 다. ☐ 안에 알맞은 것을 써넣어라. 6 13 14 7 10 8 11 9 12 5 ❶ 평균 구하기 ❶ 평균 구하기 (평균)= 8+11+9+12+5 = 5 (평균)= 차례대로 -1, , , 3, 차례대로 Û+ Û +3Û`+( )Û`= ❹ 분산 구하기 {(편차)Û`의 총합} = 5 = (변량의 개수) ❺ 표준편차 구하기 (표준편차)="Ã(분산)= 답 84 -4 , 3 , 4, -3, 0 ❸ (편차)Û 의 총합 구하기 ❸ (편차)Û 의 총합 구하기 (분산)= 10 ❷ 편차 구하기 ❷ 편차 구하기 (-1)Û`+ 6+13+14+7+10 = 5 ( -4 )Û`+ Û= 50 50 {(편차)Û`의 총합} = 5 = (변량의 개수) 10 3 Û`+4Û`+(-3)Û`+ 0 ❹ 분산 구하기 (분산)= ❺ 표준편차 구하기 (표준편차)="Ã(분산)= '¶10 9, 2, 0, -4, 2, 0, -4, 30, 30, 6, '6 Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 84 2019-10-24 오전 9:28:52 개념 check 01 정답과 해설 30쪽 Ⅰ워크북 38~39쪽 어떤 자료의 편차가 다음과 같을 때, 이 자료의 분산과 표준편차를 각각 구하여라. 개념 1 ⑴ 4, -3, -5, 1, 3 분산과 표준편차 ⑵ -2, 0, -1, 2, 1 답 02 강의 tip ⑴ 분산: 12, 표준편차: 2'3 ⑵ 분산: 2, 표준편차: '2 ⑴ (분산)= 4Û`+(-3)Û`+(-5)Û`+1Û`+3Û` =12, (표준편차)='¶12=2'3 5 ⑵ (분산)= (-2)Û`+0Û`+(-1)Û`+2Û`+1Û` =2, (표준편차)='2 5 "aÛ`b=a'b`(a>0, b>0) 를 이용하여 제곱인 인수를 근호 밖으로 꺼내도록 한다. 어떤 자료의 편차가 다음과 같을 때, 이 자료의 분산과 표준편차를 각각 구하여라. 편차의 합은 항상 0이므로 x의 값을 먼저 구한다. ⑵ 2, 1, -2, x, 0, -1, -3 답 분산과 표준편차 강의 tip ⑴ -3, x, 2, 3, 0 개념 1 ⑴ 분산: 5.2, 표준편차: '¶5.2 ⑵ 분산: 4, 표준편차: 2 ⑴ 편차의 총합은 항상 0이므로 -3+x+2+3+0=0 ∴ x=-2 (-3)Û`+(-2)Û`+2Û`+3Û`+0Û` (분산)= =5.2, (표준편차)='¶5.2 5 ⑵ 편차의 총합은 항상 0이므로 2+1+(-2)+x+0+(-1)+(-3)=0 ∴ x=3 2Û`+1Û`+(-2)Û`+3Û`+0Û`+(-1)Û`+(-3)Û` (분산)= =4, (표준편차)='4=2 7 03 오른쪽 표는 어느 모둠 학생 5명의 수 수학 성적 (점) 72 71 73 학 성적에 대한 편차를 나타낸 것이다. 편차 (점) 2 1 3 다음 물음에 답하여라. `(편차)Û` 4 1 9 69 65 -1 -5 1 강의 tip ⑵ 주어진 표를 완성하여라. 분산의 단위는 없으므로 분산을 구하 는 문제에서 답을 쓸 때 단위를 쓰면 안 된다. 반면 표준편차는 변량과 같 은 단위를 쓴다. ⑷ 표준편차를 구하여라. 답 분산과 표준편차 25 ⑴ 평균을 구하여라. ⑶ 분산을 구하여라. 개념 1 ⑴ 70점 ⑵ 표 참조 ⑶ 8 ⑷`2'2점 ⑴ (평균)= 72+71+73+69+65 =70(점) 5 ⑶ (분산)= 4+1+9+1+25 =8 5 ⑷ (표준편차)='8=2'2(점) 04 다음은 경수네 모둠 6명의 미술 수행평가 점수이다. 표준편차를 구하여라. 개념 1 (단위: 점) 분산과 표준편차 15 11 18 16 19 17 답 2'¶15 점 3 ` (평균)= 15+11+18+16+19+17 =16(점)이므로 6 (분산)= (-1)Û`+(-5)Û`+2Û`+0Û`+3Û`+1Û` = 20 6 3 ∴ (표준편차)=¾Ð 20 = 2'¶15 (점) 3 3 1. 대푯값과 산포도 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 85 85 2019-10-24 오전 9:28:53 21 개념 1 1-1. 대푯값과 산포도 도수분포표에서의 분산과 표준편차 도수분포표에서의 분산과 표준편차 [{(계급값)_(도수)}의 총합] (도수의 총합) [{(편차)Û`_(도수)}의 총합] ⑶ (분산)= (도수의 총합) ⑴ (평균)= 계급값 : 도수분포표에서 각 계 급의 양 끝 값의 중앙의 값 (계급값) (계급의 양 끝 값의 합) = 2 ⑷ (표준편차)="Ã(분산) 도수분포표에서 분산과 표준편차를 구하는 순서는 다음과 같다. 풍쌤 ❶ 계급 0` ~ 2 2이상~ 4이상 4이상~ 6이상 6이상~ 8이상 이상 미만 합계 ❸ ⑵ (편차)=(계급값)-(평균) 도수 1 2 3 4 10 계급값 1 3 5 7 ❷ (계급값)_(도수) 1_1=1 3_2=6 5_3=15 7_4=28 50 도수분포표에서는 각 계급에 속하는 자료의 값을 알 수 없 으므로 계급값을 그 자료의 값 으로 생각하여 분산, 표준편차 를 구한다. ❺ ❹ (편차)`Û _(도수) (-4)Û`_1=16 (-2)Û`_2=8 0Û`_3=0 2Û`_4=16 40 (편차) -4 -2 0 2 ❻ ❼ `(평균)=;1%0);=5` , `(분산)=;1$0);=4 ` , (표준편차)='4=2 예제 1 다음 표는 학생 30명이 1년 동안 상담실을 이용한 횟수를 조사하여 나타낸 것이다. ☐ 안에 알맞은 것을 써넣어라. 이용 횟수 (회) 학생 수 (명) 계급값 (회) (계급값)_(도수) 0이상 ~ 2미만 12 1 12 2이상 ~ 4 9 3 5 4 이상 ~6 6 6 이상 ~8 3 편차 (회) (편차)Û`_(도수) 27 0 0 30 2 24 30 합계 (평균)= 30 = (회), (분산)= 30 = , (표준편차)= (회) 표에서 왼쪽부터 7, 21, 90, -2, 4, 48, 48, 120 / 90, 3, 120, 4, 2 답 확인 1 다음 표는 학생 20명의 일주일 동안의 공부 시간을 조사하여 나타낸 것이다. ☐ 안에 알맞은 것을 써넣어라. 학생 수 (명) 계급값 (시간) (계급값)_(도수) 편차 (시간) (편차)Û`_(도수) ~ 10 7 5 35 -9 567 공부 시간 (시간) 10 이상 10 이상 미만 ~ 20 9 15 135 1 9 20 이상 ~ 30 3 25 75 11 363 30 이상 ~ 40 1 35 35 21 441 20 합계 (평균)= 86 280 20 = 14 (시간), (분산)= 280 1380 20 = 69 , (표준편차)= 1380 '¶69 (시간) Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 86 2019-10-24 오전 9:28:54 개념 check 01 정답과 해설 30쪽 Ⅰ워크북 39~40쪽 다음 표는 학생 20명이 가지고 다니는 필기구의 개수를 조사하여 나타낸 것이다. 개념 1 분산과 표준편차를 각각 구하여라. 도수분포표에서의 분산과 표준편차 필기구의 개수 (개) 3 4 5 6 7 합계 도수 (명) 1 6 7 4 2 20 답 분산: 1.1, 표준편차: '¶1.1개 (평균)= 3_1+4_6+5_7+6_4+7_2 =5(개)이므로 20 (분산)= (-2)Û`_1+(-1)Û`_6+0Û`_7+1Û`_4+2Û`_2 =1.1 20 (표준편차)='¶1.1개 02 다음 표는 수현이네 반 학생 20명의 몸무게를 조사하여 나타낸 것이다. 물음에 답 개념 1 하여라. 도수분포표에서의 분산과 표준편차 몸무게 (kg) 도수 (명) 계급값 (kg) (계급값)_(도수) 편차 (kg) (편차)Û`_(도수) 30 ~ 40 2 35 70 -18 648 40 ~ 50 5 45 225 -8 320 50 ~ 60 8 55 440 2 32 60 ~ 70 5 65 325 12 720 이상 이상 이상 이상 미만 미만 미만 미만 20 합계 1060 1720 ⑴ 평균을 구하여라. ⑵ 위의 표를 완성하여라. ⑶ 분산을 구하여라. ⑷ 표준편차를 구하여라. 답 ⑴ 53`kg ⑵ 표 참조 1060 ⑴ (평균)= 20 =53(kg) ⑶ (분산)= ⑶ 86 ⑷ '¶86`kg 1720 20 =86 ⑷ (표준편차)='¶86`kg 03 오른쪽 도수분포표는 민기네 반 학생들이 자유 성공 횟수 (회) 도수 (명) 계급값 (회) 투를 던져 성공시킨 횟수를 조사하여 나타낸 것 2이상~ 4미만 4 3 이다. 분산과 표준편차를 각각 구하여라. 4 ~ 6 6 5 6 ~ 8 9 7 8 ~``10 8 9 10 ~``12 3 11 합계 답 개념 1 도수분포표에서의 분산과 표준편차 30 분산: 5.6, 표준편차: '¶5.6회 (평균)= 3_4+5_6+7_9+9_8+11_3 =7(회) 30 (분산)= (-4)Û`_4+(-2)Û`_6+0Û`_9+2Û`_8+4Û`_3 =5.6 30 (표준편차)='¶5.6회 1. 대푯값과 산포도 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 87 87 2019-10-24 오전 9:28:55 유형 check 1 유형 정답과 해설 30~33쪽 Ⅰ워크북 36~40쪽 평균 닮은꼴 문제 3개의 변량 a, b, c의 평균이 6일 때, 5개의 변량 4, a, b, c, 13의 평균은? 3개의 변량 x, y, z의 평균이 5일 때, 3x-2, 3y-2, ①5 ② 6 ④8 ⑤ 9 답 1-1 ③7 3z-2의 평균을 구하시오. 답 13 x+y+z 3 ③ a+b+c =6 3 따라서 3x-2, 3y-2, 3z-2의 평균은 ∴ a+b+c=18 (3x-2)+(3y-2)+(3z-2) 1-2 따라서 4, a, b, c, 13의 평균은 4+a+b+c+13 5 = 4+18+13 5 ∴ x+y+z=15 =5 =7 3 = 3(x+y+z)-6 3 = 3_15-6 3 =13 어느 중학교의 A반 학생 30명과 B반 학생 25명의 과학 성적의 평균이 각각 64점이었다. 이때 A반과 B반 학생 전체의 과학 성적의 평균을 구하여라. 답 64점 A반의 과학 성적의 총합은 64_30=1920(점) B반의 과학 성적의 총합은 64_25=1600(점) 따라서 A반과 B반 학생 전체의 과학 성적의 평균은 1920+1600 3520 30+25 = 55 =64(점) 유형 2 중앙값, 최빈값 닮은꼴 문제 다음은 창희네 모둠 학생 6명의 1분 동안의 맥박 수를 조 사하여 나타낸 것이다. 평균, 중앙값, 최빈값을 각각 구하 여라. 2-1 다음 자료의 평균을 a, 중앙값을 b, 최빈값을 c라고 할 때, a-b+c의 값을 구하여라. 학생 A B C D E F 맥박 수 (회) 81 79 73 66 66 79 7 6 8 3 7 9 8 5 7 10 답 답 강의 tip 중앙값을 구할 때, 변량을 작은 값 부터 크기순으로 나열하지 않은 채 중앙에 있는 두 값 7, 9의 평균을 구하지 않도록 한다. 평균: 74회, 중앙값: 76회, 최빈값: 66회, 79회 (평균)= 81+79+73+66+66+79 =74(회) 6 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 66, 66, 73, 79, 79, 81이므로 73+79 최빈값은 66회, 79회이다. 중앙값은 2 =76(회)이고, 강의 tip 최빈값, 평균을 구할 때는 변량을 크기순으로 나열할 필요가 없지만 중앙값을 구할 때는 반드시 변량을 크기순으로 나열해야 한다. 7 a= 7+6+8+3+7+9+8+5+7+10 =7 10 자료를 작은 값부터 크기 순으로 나열하면 3, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10이므로 7+7 b= 2 =7, c=7 ∴ a-b+c=7-7+7=7 2-2 오른쪽 줄기와 잎 그림 (0|9는 9회) 은 명수네 반 학생 20명 줄기 잎 이 1분 동안 실시한 팔굽 0 9 4 6 6 6 8 혀펴기 횟수를 조사하여 1 2 3 6 7 6 8 나타낸 것이다. 중앙값과 2 1 4 6 6 6 8 최빈값을 각각 구하여라. 3 5 6 8 8 9 9 4 0 2 2 6 8 8 답 중앙값: 27회, 최빈값: 26회 변량의 개수가 20개이므로 중앙값은 10번째와 11번째 값의 평균인 ` 26+28 최빈값은 26회이다. 2 =27(회)이고, 88 Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 88 2019-10-24 오전 9:28:56 3 유형 대푯값이 주어졌을 때 변량 구하기 닮은꼴 문제 3-1 다음 자료의 중앙값이 8일 때, x의 값을 구하여라. 다음 자료의 평균이 4일 때, 중앙값은? 6 9 3 6 10 9 x 12 답 2 6 3 5 6 3 1 x 7 x를 제외한 7개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 6, 6, 9, 9, 10, 12 중앙값이 8이므로 x는 6과 9 사이에 위치한다. 즉, 3, 6, 6, x, 9, 9, 10, 12 중앙값은 4번째와 5번째 값의 평균이므로 x+9 ∴ x=7 2 =8 ④6 ⑤7 2+6+3+5+6+3+1+x x+26 = 8 =4 8 ∴ x=6 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 6 3+5 ∴ (중앙값)= 2 =4 3-2 Ú 평균: 9 다음은 진우네 모둠 6명의 몸무게를 조사하여 나타낸 것이 중앙값이 8이려면 다. 몸무게의 평균과 최빈값이 같을 때, x의 값을 구하여라. x는 6과 9 사이에 존재 9+9 Ú x¾9이면 중앙값은 2 =9 이상이다. (단위: kg) 6+9 이하이다. 2 =7.5 Ú, Û에서 6<x<9이므로 중앙값은 ③5 ② (평균)= 3 6 6 9 9 10 12 Û xÉ6이면 중앙값은 ② 4 답 강의 tip Û 평균: 7.5 ①3 52 x 38 40 50 45 x+9 2 =8 ∴ x=7 답 45 x를 제외한 변량이 모두 다르므로 최빈값이 존재하려면 x의 값이 나머지 변 량 중 하나와 같아야 하고, 이때 최빈값은 x가 되어야 한다. 평균과 최빈값이 같으므로 52+x+38+40+50+45 ∴ x=45 =x, x+225=6x 8 4 유형 편차 닮은꼴 문제 다음은 학생 6명의 턱걸이 횟수를 조사하여 나타낸 것이 다. 이 자료의 편차가 될 수 없는 것은? 다음 표는 현아의 5과목 성적에 대한 편차를 나타낸 것이 (단위: 회) 5 7 9 4 5 6 ① -2회 ② -1회 ④ 1회 ⑤ 2회 답 ③ 0회 다. 5과목 성적의 평균이 76점일 때, 사회 성적을 구하여 라. 과목 국어 수학 사회 과학 영어 편차 (점) -3 5 x -1 2 답 73점 편차의 총합은 항상 0이므로 ⑤ (평균)= 4-1 5+7+9+4+5+6 =6(회)이므로 각 변량의 편차를 차례대로 구 6 하면 -1회, 1회, 3회, -2회, -1회, 0회이다. ∴ x=-3 -3+5+x+(-1)+2=0 ∴ (사회 성적)=-3+76=73(점) 4-2 다음 자료는 학생 5명이 1년 동안 읽은 책의 수에 대한 편 차를 나타낸 것이다. 읽은 책의 수의 평균이 12권일 때, 책 을 가장 많이 읽은 학생은 몇 권을 읽었는지 구하여라. (단위: 권) -2 3 1 -4 x 답 15권 편차의 총합은 항상 0이므로 -2+3+1+(-4)+x=0 ∴ x=2 따라서 책을 가장 많이 읽은 학생은 12+3=15(권)을 읽었다. 1. 대푯값과 산포도 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 89 89 2019-10-24 오전 9:28:57 유형 5 분산과 표준편차 닮은꼴 문제 다음은 학생 6명이 1년 동안 관람한 영화의 수를 조사하여 나타낸 것이다. 분산과 표준편차를 각각 구하여라. 5-1 다음 표는 A, B, C, D, E 학생 5명의 한 학기 동안의 도 (단위: 편) 서관 이용 횟수의 편차를 나타낸 것이다. 분산을 구하여라. 14 6 8 12 11 9 답 분산: 7, 표준편차: '7편 (평균)= (분산)= 14+6+8+12+11+9 6 6 A B C D E -5 6 -1 x 2 답 =10(편)이므로 4Û`+(-4)Û`+(-2)Û`+2Û`+1Û`+(-1)Û` 학생 편차 (회) 14 편차의 총합은 항상 0이므로 -5+6+(-1)+x+2=0 =7 ∴ (분산)= (표준편차)='7편 ∴ x=-2 (-5)Û`+6Û`+(-1)Û`+(-2)Û`+2Û 5 =14 5-2 다음 표는 승기가 지난 일주일 동안 받은 이메일의 개수를 조사하여 나타낸 것이다. 평균이 6개일 때, 분산과 표준편 차를 각각 구하여라. 요일 월 화 수 목 금 토 일 개수 (개) 7 8 5 6 x 5 7 답 분산: :Á7ª:, 표준편차: (평균)= 7+8+5+6+x+5+7 38+x =6, 7 =6 7 ∴ (분산)= 6 평균과 분산을 이용하여 식의 값 구하기 5개의 변량 8, x, 12, 10, y의 평균이 11이고 표준편차가 (표준편차)Û`=(분산) 2일 때, xÛ`+yÛ`의 값은? ① 233 ② 250 ④ 290 ⑤ 317 답 ③ 275 6-1 3개의 변량 a, b, c의 평균이 4이고 표준편차가 2일 때, aÛ`+bÛ`+cÛ`의 값을 구하시오. 60 (평균)= a+b+c =4이므로 a+b+c=12 3 (분산)= (a-4)Û`+(b-4)Û`+(c-4)Û` =2Û`이므로 3 ⑤ yy`㉠ 표준편차가 2이므로 분산은 (8-11)Û`+(x-11)Û`+(12-11)Û`+(10-11)Û`+(y-11)Û` =2Û` 5 xÛ`+yÛ`-22(x+y)=-233 xÛ`+yÛ`-22_25=-233`(∵ ㉠) ∴ xÛ`+yÛ`=317 2'¶¶21 (개) 7 닮은꼴 문제 답 평균이 11이므로 8+x+12+10+y =11 ∴ x+y=25 5 ∴ x=4 1Û`+2Û`+(-1)Û`+0Û`+(-2)Û`+(-1)Û`+1Û` =;;Á7ª;; 7 (표준편차)=¾Ð;;Á7ª;;= 유형 2'¶¶21 7 개 aÛ`+bÛ`+cÛ`-8(a+b+c)+48=12 aÛ`+bÛ`+cÛ`-8_12+48=12`(∵ ㉠) 6-2 yy`㉠ ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=60 5개의 변량의 편차가 x, 3, -5, y, -3이고 분산이 28일 때, xy의 값은? 편차의 총합은 항상 0이다. ① -36 ② -12 ④ 12 ⑤ 36 답 ③0 ① ∴ x+y=5 x+3+(-5)+y+(-3)=0 xÛ`+3Û`+(-5)Û`+yÛ`+(-3)Û` ∴ xÛ`+yÛ`=97 (분산)= =28 5 yy`㉠ yy`㉡ (x+y)Û`=xÛ`+yÛ`+2xy이므로 5Û`=97+2xy`(∵ ㉠, ㉡) ∴ xy=-36 90 Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 90 2019-10-24 오전 9:28:59 유형 7 도수분포표에서의 분산과 표준편차 닮은꼴 문제 7-1 오른쪽 도수분포표는 어 점수 (점) 도수 (명) 느 반 학생 30명의 미술 6 3 오른쪽 도수분포표는 시 수행평가 점수를 조사하 7 6 개수 (개) 원이네 반 학생 20명이 여 나타낸 것이다. 미술 12 10 ~ 20 15 1 8 하루 동안 보낸 문자메 수행평가 점수의 분산은? 6 20 ~ 30 25 6 9 시지의 개수를 조사하여 35 8 10 3 30 ~ 40 ① 1 ② 1.2 40 ~``50 45 2 ③ 1.5 ④ 1.8 30 나타낸 것이다. 문자메시 합계 지의 개수의 분산을 구 50 ~``60 55 하여라. ⑤ 2 답 이상 답 ② 6_3+7_6+8_12+9_6+10_3 (평균)= =8(점) 30 ∴ (분산)= 미만 도수 (명) 3 20 합계 120 (평균)= (-2)Û`_3+(-1)Û`_6+0Û`_12+1Û`_6+2Û`_3 =1.2 30 계급값 (권) 15_1+25_6+35_8+45_2+55_3 =35(개) 20 ∴ (분산)= (-20)Û`_1+(-10)Û`_6+0Û`_8+10Û`_2+20Û`_3 20 ∴ (분산)=120 7-2 오른쪽 히스토그램은 학생 10 (명) 5 명의 일주일 동안의 독서 시간 4 을 조사하여 나타낸 것이다. 독 3 2 서 시간의 표준편차를 구하여 1 라. 답 '¶3.4시간 (평균)= 0 1_2+3_2+5_5+7_1 =4(시간) 10 (-3)Û`_2+(-1)Û`_2+1Û`_5+3Û`_1 (분산)= 10 (분산)=3.4 ∴ (표준편차)='¶3.4시간 유형 8 자료의 분석 과 표준편차를 나타낸 것이다. 네 반 중 국어 성적이 가장 평균이 가장 높은 반 좋은 반과 국어 성적이 가장 고른 반을 차례대로 구하여라. A 평균 (점) 표준편차 (점) 답 4 6 계급값 (시간) 1 3 5 7 8 (시간) 도수 (명) 2 2 5 1 닮은꼴 문제 다음 표는 A, B, C, D 네 반 학생들의 국어 성적의 평균 반 2 표준편차가 가장 작은 반 B C D 87 76 83 91 2.5 3'2 2'3 4 8-1 다음 표는 학생 6명의 일주일 동안의 수면 시간의 평균과 표준편차를 나타낸 것이다. 수면 시간이 가장 규칙적인 학 생을 말하여라. 차례로 D반, A반 학생 A B C D E F 평균 (시간) 5 8 6 7 6 5 표준편차 (시간) 1.4 2.1 0.7 0.5 1.8 1.4 평균이 가장 높은 반은 D반이고, 2.5='¶6.25, 3'2='¶18, 2'3='¶12, 4='¶16에서 국어 성적이 가장 고른 반 은 A반이다. 강의 tip 답 학생 D 표준편차가 가장 크다. 수면 시간이 가장 불규칙적 표준편차가 가장 작다. 수면 시간이 가장 규칙적 두 집단 이상의 자료의 분포 상태를 비교할 때는 표준편차 (분산)를 이용한다. ‌표준편차(분산)가 작으면 자료의 분포가 고르고, 표준편차(분산) 가 크면 자료의 분포가 고르지 않다. 1. 대푯값과 산포도 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 91 91 2019-10-24 오전 9:29:00 단원 마무리 01 05 다음 중 옳지 않은 것은? 다음 자료의 최빈값이 7일 때, 평균과 중앙값을 각각 변량 중 가장 많은 값이 7이다. 구하여라. ① ‌자료 전체의 특징을 하나의 수로 나타낸 값을 대푯값이라고 한다. 7 6 11 8 x 8 7 9 13 5 ② ‌자료의 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 같은 경 우도 있다. 답 ③ ‌도수분포표에서 도수가 가장 큰 계급의 계급 값은 최빈값이다. ④ 편차의 절댓값이 클수록 변량은 평균에 가깝다. ⑤ 표준편차는 음수가 아니다. 답 06 ④ ④ 편차의 절댓값이 작을수록 변량은 평균에 가깝다. 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 11, 13 7+8 ∴ (중앙값)= 2 =7.5 6개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 7, x, 12, 13, 15이다. 평균과 중앙값이 같을 때, 변량 x 의 값을 구하여라. 답 02 4개의 변량 a, b, c, d의 평균이 m일 때, 변량 a-4, m+(-4, 7, 5, 8의 평균) ① m-4 ② m ④ m+4 ⑤ m+6 답 ③ m+2 07 변량을 작은 것부터 크기순으로 나열하면 평균: 29회, 중앙값: 29회, 최빈값: 29회 D 무게 (kg) x 7.6 8.1 6.8 편차 (kg) y -0.2 z -1.0 ⑤ 7.5 ③ 6.9 (편차)=(변량)-(평균)에서 (평균)=(변량)-(편차) ⑤ 08 다음 자료에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? 9 7 4 5 10 5 4 1 2 3 다음 표는 나영이네 반 학생 22명의 턱걸이 횟수를 라고 할 때, a+b의 값을 구하여라. 횟수 (회) 6 7 8 9 10 11 12 학생 수 (명) 2 3 6 5 3 2 1 11명 답 16.5 11번째 학생의 횟수 12번째 학생의 횟수 학생 22명의 턱걸이 횟수의 중앙값은 11번째와 12번째 학생의 턱걸이 횟수의 평균이므로 8+9 a= 2 =8.5 최빈값은 도수가 가장 클 때의 횟수이므로 b=8 ∴ a+b=8.5+8=16.5 ② 6.7 크기순으로 나열하면 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 9, 10 조사하여 나타낸 것이다. 중앙값을 a회, 최빈값을 b회 92 C B상자에서 (평균)=7.6-(-0.2)=7.8(kg) C상자에서 z=8.1-7.8=0.3 또, y+(-0.2)+0.3+(-1.0)=0이므로 y=0.9 ∴ x=8.7 A상자에서 0.9=x-7.8 ∴ x-y-z=8.7-0.9-0.3=7.5 12 40 22 35 16 43 26 29 38 29 29+29 최빈값은 29회이다. 2 =29(회)이고 B 답 (단위: 회) 12+40+22+35+16+43+26+29+38+29 =29(회) 10 A ④ 7.1 각각 구하여라. 12, 16, 22, 26, 29, 29, 35, 38, 40, 43 사과 상자 ① 6.4 를 조사하여 나타낸 것이다. 평균, 중앙값, 최빈값을 중앙값은 다음 표는 A, B, C, D 4개의 사과 상자의 무게와 편 ∴ a+b+c+d=4`m 다음은 희철이네 반 학생 10명의 윗몸일으키기 횟수 (평균)= ∴ x=7 차를 나타낸 것이다. x-y-z의 값은? 따라서 a-4, b+7, c+5, d+8의 평균은 (a-4)+(b+7)+(c+5)+(d+8) 4m+16 = =m+4 4 4 답 3+7+x+12+13+15 x+50 x+12 = 6 , (중앙값)= 2 6 x+50 x+12 에서 2x=14 6 = 2 ④ a+b+c+d =m 4 04 7 (평균)= b+7, c+5, d+8의 평균은? 03 평균: 8.1, 중앙값: 7.5 최빈값이 7이므로 x=7 7+6+11+8+7+8+7+9+13+5 ∴ (평균)= =8.1 10 (중앙값)= 4+5 2 =4.5 최빈값은 4, 5이다. ① 중앙값은 4.5이다. ② 최빈값은 없다. ③ 평균은 5이다. ④ 분산은 7.6이다. ⑤ ‌표준편차는 '¶7.6이다. 답 ② ③ (평균)= 9+7+4+5+10+5+4+1+2+3 =5 10 ④, ⑤ (분산)= 4Û`+2Û`+(-1)Û`+0Û`+5Û`+0Û`+(-1)Û`+(-4)Û`+(-3)Û`+(-2)Û` 10 =7.6 ∴ (표준편차)='¶7.6 Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 92 2019-10-24 오전 11:49:22 정답과 해설 33~35쪽 Ⅰ워크북 41~42쪽 09 13 6개의 변량 a-4, a+2, a+1, a-2, a+4, a-1 의 분산은? ① '6 ② '7 ④6 답 ③5 ⑤ 7 ⑤ (평균)= (a-4)+(a+2)+(a+1)+(a-2)+(a+4)+(a-1) 6 책의 수 (권) 는 희수네 반 학생 1이상~``13미만 2 2 20명이 여름 방학 3 ~``15 4 5 동안 읽은 책의 수 5 ~``17 6 a 를 조사하여 나타낸 7 ~``19 8 3 것이다. 평균이 6권 9 ~``11 10 일 때, 분산을 구하 =a 계급값 (권) 도수 (명) 오른쪽 도수분포표 b 20 합계 여라. (-4)Û`+2Û`+1Û`+(-2)Û`+4Û`+(-1)Û` ∴ (분산)= =7 6 답 5.6 도수의 총합이 20명이므로 10 ∴ a+b=10 2+5+a+3+b=20 yy ㉠ 2_2+4_5+6_a+8_3+10_b (평균)= =6 20 다음 표는 학생 5명의 체육 실기 점수에 대한 편차를 나타낸 것이다. 표준편차가 `'6점일 때, xy의 값을 구 yy ㉡ ∴ 3a+5b=36 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=3 (-4)Û`_2+(-2)Û`_5+0Û`_7+2Û`_3+4Û`_3 ∴ (분산)= =5.6 20 하여라. 학생 A B C D E 편차 (점) x 2 -4 y 1 답 -4 ∴ x+y=1 x+2+(-4)+y+1=0 xÛ`+2Û`+(-4)Û`+yÛ`+1Û` (분산)= =('6)Û` 5 여 나타낸 것이다. 봉사 활동 시간의 표준편차 8 (평균)= ① '¶10시간 (a-5)Û`+(b-5)Û`+(c-5)Û`+(d-5)Û`+(e-5)Û` =2 5 ④ 10시간 답 (2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)+(2e+1) 5 4{(a-5)Û`+(b-5)Û`+(c-5)Û`+(d-5)Û`+(e-5)Û` } =4_2=8`(∵ ②) 5 오른쪽 도수분포표 운동 시간 (분) 는 인영이네 반 학생 10명의 하루 동안의 도수 (명) 계급값 (분) 10 ~ 20 2 15 20 ~ 30 x 25 운동 시간을 조사하 30 ~ 40 4 35 여 나타낸 것이다. 40 ~``50 2 45 운동 시간의 표준편 50 ~``60 1 55 차를 구하시오. 답 이상 합계 미만 10 '¶149분 ∴ x=1 2+x+4+2+1=10 15_2+25_1+35_4+45_2+55_1 (평균)= =34(분) 10 (분산)= (-19)Û`_2+(-9)Û`_1+1Û`_4+11Û`_2+21Û`_1 =149 10 ∴ (표준편차)='¶149분 0 10 20 30 40 50 (시간) ② '¶11시간 ③ 9시간 ⑤ 11시간 5_3+15_6+25_6+35_4+45_1 =22(시간) 20 (-17)Û`_3+(-7)Û`_6+3Û`_6+13Û`_4+23Û`_1 =121 20 계급값 (시간) 도수 (명) ∴ (표준편차)='¶121=11(시간) 5 3 15 6 25 6 35 4 45 1 (분산)= (2a-10)Û`+(2b-10)Û`+(2c-10)Û`+(2d-10)Û`+(2e-10)Û` (분산)= 5 12 6 5 4 3 2 1 ⑤ (평균)= 2(a+b+c+d+e)+5 2_25+5 (평균)= = =11`(∵ ①) 5 5 (평균)= (명) 는? 2일 때, 변량 2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1, 2e+1의 분산 을 구하여라. 답 지윤이네 반 학생 20명 사 활동 시간을 조사하 ∴ xy=-4 a+b+c+d+e =5 ∴ a+b+c+d+e=25 5 ① 5개의 변량 a, b, c, d, e의 평균이 5,②분산이 오른쪽 히스토그램은 의 한 학기 동안의 봉 ∴ xÛ`+yÛ`=9 (x+y)Û`=xÛ`+yÛ`+2xy이므로 1Û`=9+2xy 11 14 편차의 총합은 항상 0이다. 15 다음 자료 중에서 표준편차가 가장 큰 것은? ① 3, 5, 3, 4, 5, 4 ③ 4, 4, 4, 4, 4, 4 변량들이 평균으로부터 흩어진 정도가 가장 심한 것 ② 2, 2, 4, 4, 6, 6 ④ 3, 5, 3, 5, 3, 5 ⑤ 2, 2, 2, 4, 4, 4 답 ② 각 자료의 평균을 구하면 ① 4 ② 4 ③ 4 ④ 4 ⑤ 3 따라서 변량들이 평균으로부터 흩어진 정도가 가장 심한 것은 ②이다. 강의 tip ①~④의 자료는 평균이 모두 4로 같지만, 표준편차가 다르 므로 흩어진 정도는 다르다. 1. 대푯값과 산포도 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 93 93 2019-10-24 오전 11:54:39 정답과 해설 35쪽 Ⅰ워크북 41~42쪽 서술형 꽉 잡기 주어진 단계에 따라 쓰는 유형 16 풀이 과정을 자세히 쓰는 유형 다음 도수분포표는 어느 반의 음악 수행평가 점수를 17 다음은 하윤이네 반 학생 10명의 제기차기 기록을 조 조사하여 나타낸 것이다. 남학생과 여학생 중 어느 쪽 사하여 나타낸 것이다. 제기차기 기록의 평균을 a개, 의 점수 분포가 더 고른지 말하여라. 중앙값을 b개, 최빈값을 c개라고 할 때, a, b, c의 대 계급값 (점) 점수 (점) 남학생 수 (명) 여학생 수 (명) 3 2이상~14미만 3 5 5 4 ~16 6 6 7 6 ~18 9 3 9 8 ~``10 2 6 20 20 합계 소를 비교하여라. (단위: 개) 14 12 16 15 15 13 15 14 11 15 풀이 (평균)= 14+12+16+15+15+13+15+14+11+15 =14(개) 10 ∴ a=14 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 생각해 보자 ❶ 11, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16 14+15 (중앙값)= 2 =14.5(개)이므로 b=14.5 구하는 것은? 남학생과 여학생 중 어느 쪽의 점수 분포가 더 고른지 말하기 주어진 것은? ① ‌음악 수행평가 점수에 대한 남학생의 도수 분포표 ② ‌음악 수행평가 점수에 대한 여학생의 도수 분포표 ❷ 최빈값은 15개이므로 c=15 ` ∴ c>b>a` 단계 ❸ ❹ 채점 기준 비율 ❶ a의 값 구하기 30`% ❷ b의 값 구하기 30`% 풀이 ❸ c의 값 구하기 30`% [1단계] 남학생 점수의 분산 구하기 (40 %) ❹ a, b, c의 대소 비교하기 10`% (평균)= 3_3+5_6+7_9+9_2 =6(점) 20 (분산)= (-3)Û`_3+(-1)Û`_6+1Û`_9+3Û`_2 =3 20 답 c>b>a 18 6개의 변량 a, 3, b, 6, c, 6의 평균이 4, 표준편차가 3일 때, 3개의 변량 a, b, c의 표준편차를 구하여라. 풀이 [2단계] 여학생 ‌ 점수의 분산 구하기 (40 %) (평균)= 3_5+5_6+7_3+9_6 =6(점) 20 (-3)Û`_5+(-1)Û`_6+1Û`_3+3Û`_6 (분산)= =5.4 20 [3단계] 남 학생과 여학생 중 어느 쪽의 점수 분포가 더 고른 지 말하기 (20 %) 분산이 작을수록 분포가 더 고르므로 남학생의 점수 분포가 더 고르 다. a, 3, b, 6, c, 6에 대하여 a+3+b+6+c+6 (평균)= =4 6 (분산)= 94 ❶ (a-4)Û`+(3-4)Û`+(b-4)Û`+(6-4)Û`+(c-4)Û`+(6-4)Û` =3Û` 6 aÛ`+bÛ`+cÛ`-8(a+b+c)+57=54 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=69 ` a, b, c에 대하여 a+b+c (평균)= =3 3 (분산)= (a-3)Û`+(b-3)Û`+(c-3)Û` 3 (분산)= aÛ`+bÛ`+cÛ`-6(a+b+c)+27 =14 3 ❷ ∴ (표준편차)='¶14 단계 답 남학생 ∴ a+b+c=9 ❸ 채점 기준 비율 ❶ a+b+c의 값 구하기 ❷ aÛ`+bÛ`+cÛ`의 값 구하기 30`% ❸ a, b, c의 표준편차 구하기 50`% 20`% 답 '¶14 Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-1단원)(079~094)-6.indd 94 2019-10-24 오전 9:29:06 2. 상관관계 III. 통계 2 상관관계 1 상관관계 22 산점도 23 상관관계 유형 check 단원 마무리 2. 상관관계 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 95 95 2019-10-24 오전 9:31:37 22 개념 1 2-1. 상관관계 산점도 산점도 ⑴산점도: 두 변량 x, y 사이의 관련성을 알아보기 위하여 두 변량 x, y의 순서 산점도를 이용하면 두 변량 사 이에 어떤 관계가 있는지 각각 의 표로 나타내는 것보다 좀 더 쉽게 알 수 있다. 쌍 (x, y)를 좌표평면 위에 그린 그래프를 x와 y의 산점도라고 한다. 예 ‌오른쪽 그림은 학생 7명의 국어 성적과 영어 성적을 조사하여 나타낸 다음 표를 이용하여 그린 산점도이다. A 60 70 학생 국어(점) 영어(점) B 80 90 C 100 90 D 70 70 E 90 90 F 80 80 영 y 어 100 (점 ) 90 80 70 60 0 G 90 100 즉, 7명의 학생에 대한 국어 성적을 x점, 영어 성적을 y점으로 산점도에서 하나의 점은 두 종 류의 자료에 대한 변량을 알려 준다. 좌표평면에서 좌표를 읽 을 때처럼 순서에 주의하여 변 량을 구한다. 60 70 80 90 100 x 국어(점) 하고 순서쌍 (x, y)를 좌표평면 위에 나타낸 것이다. ⑵ 산점도 그리는 방법 ① 한 변량을 가로축에, 다른 변량을 세로축에 놓는다. ②두 변량의 최댓값과 최솟값을 각각 찾아 가로축, 세로축을 적당한 간격으 산점도는 좌표평면 위의 제1 사분면에 두 변량의 순서쌍을 점으로 찍어 나타낸다. 로 나눈다. ③ 모든 자료를 순서쌍 (x, y)로 만들어 점을 찍는다. 변량을 비교하는 문제에서 ‘~와 같은’, ‘~보다 두 큰’, ‘~보다 작은’의 말이 나오면 대각선을 그려보 고 ‘~ 이상’, ‘~ 이하’의 말이 나오면 가로선, 세로 선을 긋는다. 또한 두 변량의 평균을 묻는 경우에는 두 변량의 합이 일정한 선을 긋는다. 풍쌤 풍쌤의 point y y x=y x<y a x>y x 0 0 선 위의 점을 포함한다. x는 a 이 x,`y`모두 하, y는 a a 이상 이상 x는 a 이 x,`y`모두 상, y는 a a`이하 이하 a x y a 평균이 a`이상 {합이 2a 이상} 0 a x 평균이 a`이하 {합이 2a 이하} 산점도에서 두 변량을 비교하는 경우에는 대각선을 긋고, ‘이상’ 또는 ‘이하’를 묻는 경우에는 가로선, 세로선을 그어 봐. 이때 ‘이상’ 또는 ‘이하’인 경우에는 경계선을 포함하고, ‘초과’ 또는 ‘미만’인 경우에는 경계선을 포함하지 않아! 예제 1 확인 1 달 y 리 5 기 (점) 4 3 2 1 0 다음 표는 은지네 반 학생 8명 의 체육 실기평가 던지기와 달 리기 점수를 조사하여 나타낸 것이다. 오른쪽 좌표평면 위에 산점도를 그려라. 사 y 회 100 (점) 90 다음 표는 창규네 반 학생 10 명의 과학 성적과 사회 성적 80 70 60 50 0 을 조사하여 나타낸 것이다. 오른쪽 좌표평면 위에 산점 1 2 3 4 5 x 도를 그려라. 50 60 70 80 90100x 과학(점) 던지기(점) 학생 A B C D E F G H 던지기(점) 2 2 3 3 4 4 4 5 달리기(점) 1 2 3 4 3 4 5 4 답 ( ) 달 리 기 점 y 5 4 3 2 1 0 번호 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 과학(점) 60 70 70 50 80 80 80 90 90 100 사회(점) 60 70 90 70 70 90 100 90 80 100 답 그림 참조 1 2 3 4 5x 던지기(점) 96 Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 96 2019-10-24 오전 9:31:38 개념 check 01 정답과 해설 36쪽 Ⅰ워크북 43~45쪽 몸 y 무 70 게 67 ( kg ) 오른쪽 그림은 도원이네 반 학생들의 턱걸이 횟수와 몸무게에 대한 산점도이다. 다음 ☐ 안에 알맞은 것을 몸무게 턱걸이 횟수 와 이다. ⑵ 점 A의 좌표는 ( 5 , 64 0 )이다. 오른쪽 그림은 민지네 반 학생 12명의 1차, 2차 영어 듣기 평가 점수에 대한 산점도이다. 다음 물음에 답 1 2 3 4 5 6 x 턱걸이(회) ⑶ 점들은 ‌ 대체적으로 x의 값이 증가하면 y의 값이 02 산점도 A 64 61 58 55 52 써넣어라. ⑴ ‌산점도에 나타나는 두 변량은 개념 1 감소 하는 모양이다. 2 y A 9 하여라. 7 6 ⑵ ‌A, B, C, D, E 5명의 학생 중 1차와 2차의 0 점수가 같은 학생을 말하여라. 산점도 D 8 ⑴ C의 1차와 2차의 점수를 각각 구하여라. 개념 1 E 차 10 (점 ) C B 6 7 9 10 x 1차(점) 8 ⑶ A, ‌ B, C, D, E 5명의 학생 중 2차의 점수가 1차의 점수보다 높은 학생 을 말하여라. 답 ⑴ 1차: 9점, 2차: 8점 ⑵ B, E ⑶ A ⑵ 대각선 위에 있는 학생이므로 B, E이다. ⑶ 대각선의 위쪽에 있는 학생이므로 A이다. 03 강의 tip •점수가 같다. 2y 차  대각선 위의 점을 찾는다, (점) •1차의 점수가 2차의 점수보다 높다.  대각선의 아래쪽의 점을 찾는다. •2차의 점수가 1차의 점수보다 높다. 0  대각선의 위쪽의 점을 찾는다. 오른쪽 그림은 성훈이네 학교 학생 15명의 수학 성적 과 국어 성적에 대한 산점도이다. 다음을 구하여라. 2차＞1차 2차＜1차 x 1차(점) 국 y 어 100 (점 ) ⑴ 수학 ‌ 성적과 국어 성적이 같은 학생 수 ⑵ 국어 ‌ 성적보다 수학 성적이 더 높은 학생 수 ⑶ 수학 성적이 70점 미만인 학생 수 ⑷ 국어 성적이 90점 이상인 학생 수 답 1차＝2차 개념 1 산점도 80 60 40 0 40 60 80 100 x 수학(점) ⑴ 4명 ⑵ 4명 ⑶ 7명 ⑷ 5명 ⑴ 대각선 위에 있는 점의 개수와 같으므로 4명이다. ⑵ 대각선의 아래쪽에 있는 점의 개수와 같으므로 4명이다. ⑶ 수학 성적이 70점인 직선의 왼쪽에 있는 점의 개수와 같으므로 7명이다. ⑷ 국어 성적이 90점인 직선과 그 위쪽에 있는 점의 개수와 같으므로 5명이다. 2. 상관관계 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 97 97 2019-10-24 오전 9:31:39 23 개념 1 2-1. 상관관계 상관관계 상관관계 ⑴상관관계: 두 변량 x, y 사이에 x의 값이 증가함에 따라 y의 값이 증가하거 상관도에서 대각선을 그으면 상관관계를 쉽게 알 수 있다. ① ‌기울기가 양 양의 상관관계 ② ‌기울기가 음 음의 상관관계 나 감소하는 경향이 있을 때, 두 변량 x, y 사이에 상관관계가 있다고 한다. 또 산점도를 이용하여 두 변량 사이의 상관관계를 파악할 수 있다. ⑵ 상관관계의 종류: 두 변량 x, y의 산점도를 그렸을 때 오른쪽 위로 향하는 모양 ① 양의 상관관계: x의 값이 증가함에 따라 y의 값도 대체로 증가하는 관계 ② 음의 상관관계: x의 값이 증가함에 따라 y의 값이 대체로 감소하는 관계 ③상관관계가 없다: x의 값이 증가함에 따라 y의 값이 증가하는지 감소하는 오른쪽 아래로 향하는 모양 지 분명하지 않은 관계 y y 0 0 x <양의 상관관계> 풍쌤의 point y y x x 0 <음의 상관관계> 산점도에서 점들이 한 직선 주 위에 있다고 말하기 어려울 정 도로 흩어져 있거나 점들이 x 축 또는 y축에 평행한 직선 주 위에 분포하는 경우에는 두 변 량 x와 y 사이에 상관관계가 없다고 한다. y 0 0 x x <상관관계가 없다> 양의 상관관계는 대각선이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로(↗) 향하고, 음의 상관 관계는 대각선이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로(↘) 향해~ 예제 1 확인 1 다음 두 변량 사이에 상관관계가 있는 것을 찾고 양의 다음 두 변량 사이에 상관관계가 있는 것을 찾고 양의 상관관계인지, 음의 상관관계인지 말하여라. 상관관계인지, 음의 상관관계인지 말하여라. ⑴ 금의 무게와 가격 ⑴ 여름철 기온과 물 소비량 ⑵ 저축과 소비 ⑵ 발 크기와 수학 성적 ⑶ 키와 시력 ⑶ 산의 높이와 기온 ⑴ 양의 상관관계, ⑵ 음의 상관관계 답 답 예제 2 확인 2 <보기>의 산점도에 대하여 다음을 구하여라. <보기>의 산점도에 대하여 다음을 구하여라. 보기 보기 ㄴ. y ㄱ. y 0 ⑴ 양의 상관관계, ⑶ 음의 상관관계 x 0 ㄱ. y ㄷ. y x 0 x 0 ㄴ. y x 0 ㄷ. y x ⑴ 양의 상관관계를 나타내는 것 ⑴ 양의 상관관계를 나타내는 것 ⑵ 음의 상관관계를 나타내는 것 ⑵ 음의 상관관계를 나타내는 것 ⑶ 상관관계가 없는 것 ⑶ 상관관계가 없는 것 답 98 ⑴ ㄷ ⑵ ㄴ ⑶ ㄱ 답 0 x ⑴ ㄱ ⑵ ㄷ ⑶ ㄴ Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 98 2019-10-24 오전 9:31:40 개념 check 01 정답과 해설 36쪽 Ⅰ워크북 46쪽 다음 두 변량 사이의 상관관계를 나타내는 산점도를 <보기>에서 골라라. 개념 1 상관관계 보기 ㄱ. y ㄴ. y x 0 ㄷ. y 0 상관관계가 없다. x 양의 상관관계 0 x 음의 상관관계 ⑴ 교통량(x)과 대기 오염도(y) ⑵ 손의 크기(x)와 지능 지수(y) ⑶ 물건의 공급량(x)과 가격(y) ⑴ ㄴ ⑵ ㄱ ⑶ ㄷ 답 ⑴ 교통량이 증가할수록 대기 오염도도 대체로 증가하므로 양의 상관관계가 있다. ⑵ 손의 크기와 지능 지수 사이에는 상관관계가 없다. ⑶ 물건의 공급량이 증가할수록 가격은 대체로 감소하므로 음의 상관관계가 있다. 02 다음 중 일조량(x)과 과일의 당도(y) 사이의 상관관계를 나타내는 산점도는? ②y ①y 0 x 상관관계가 없다. ④ y 0 답 양의 상관관계 x 0 음의 상관관계 0 상관관계 ③y x ⑤y 상관관계가 없다. 개념 1 0 상관관계가 없다. x x ④ 일조량이 증가할수록 과일의 당도는 대체로 증가하므로 양의 상관관계가 있다. 03 오른쪽 그림은 어느 학교 학생들의 키와 몸무게에 대 한 산점도이다. 다음 물음에 답하여라. 몸y 무 게 ( kg ) 개념 1 A 상관관계 B ⑴ A, ‌ B, C, D 4명의 학생 중 키가 크면서 몸 무게도 무거운 편인 학생을 말하여라. C ⑵ A, ‌ B, C, D 4명의 학생 중 키가 크면서 몸 무게는 가벼운 편인 학생을 말하여라. D 0 x 키(cm) ⑶ 키와 몸무게 사이에는 어떤 상관관계가 있는지 말하여라, 답 ⑴ B ⑵ D ⑶ 양의 상관관계 강의 tip 대각선보다 위쪽에 있고 멀리 떨어져 있을수록 키에 비해 몸무게가 무거운 학생이고 대각선보다 아래 쪽에 있고 멀리 떨어져 있을수록 키에 비해 몸무게가 가벼운 학생이다. 2. 상관관계 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 99 99 2019-10-24 오전 9:31:41 유형 check 유형 1 정답과 해설 36~37쪽 Ⅰ워크북 43~46쪽 산점도 ⑴ 오른쪽 그림은 어느 반 학생 16명의 과학 성적과 수학 성 적에 대한 산점도이다. 과학 성적과 수학 성적이 다른 학 생 수를 구하여라. 닮은꼴 문제 1-1 수 y 학 100 (점) 90 80 70 60 50 0 오른쪽 그림은 성우네 반 학생 20명의 하루 TV 시 청 시간과 학습 시간에 대 50 60 70 80 90 100 x 10명 과학 성적과 수학 성적이 다른 학생 수는 대각선 위에 있는 점이 아닌 점의 개수와 같으므로 10명이다. 두 변량을 비교할 때는 대각선을 그어 해당 좌표가 어디에 위치하는지 살펴본다. 2 산점도 ⑵ 오른쪽 그림은 시연이네 반 학생 15명의 1차, 2차에 걸 친 사회 수행평가 점수에 대 한 산점도이다. 1차와 2차의 점수가 모두 9점 이상인 학 생 수를 구하여라. 답 보다 TV 시청 시간이 더 긴 학생은 전체의 몇 %인 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x TV`시청 시간(시간) 지 구하여라. 답 강의 tip 유형 1.5 1 0.5 0 한 산점도이다. 학습 시간 과학(점) 답 y 학 습 3 시 2.5 간 (시간) 2 35 % 학습 시간보다 TV 시청 시간이 더 긴 학생은 대각선의 아래쪽에 있는 학생 이므로 7명이다. ∴ ;2¦0;_100=35(%) 닮은꼴 문제 2-1 2 y 차 10 (점) 9 8 7 6 5 0 오른쪽 그림은 어느 반 학생 20명의 1학기 중간고사와 기말고사 국어 성적에 대한 기 y 말 100 고 사 (점) 80 60 산점도이다. 기말고사 국어 5 6 7 8 9 10 x 1차(점) 3명 1차와 2차의 점수가 모두 9점인 두 직선으로 나누어지는 네 영역 중 경계를 포함하고 색칠한 부분에 있는 점의 개수와 같으므로 3명이다. 성적이 80점 이상인 학생들 기말고사 성적이 80점인 직선 40 60 균을 구하여라.의 경계를 포함하고 위쪽에 있 답 강의 tip 40 0 의 중간고사 국어 성적의 평 85점 80 100 x 중간고사(점) 는 학생이다. 기말고사 성적이 80점 이상인 학생의 중간고사 성적은 다음 표와 같다. 가로축, 세로축과 평행한 기준선을 그어 생각한다. 이상, 이하  기준선 위의 점을 포함한다. 초과, 미만  기준선 위의 점을 포함하지 않는다. 중간고사 (점) 70 80 90 100 합계 학생 수 (명) 1 2 2 1 6 70_1+80_2+90_2+100_1 =85(점) -2 ∴ (평균)= 2 6 오른쪽 그림은 어느 반 학생 15명의 음악 성적과 미술 성 강의 tip 두 변량의 합이 2a 또는 평 균이 a 이상(이하)인 경우  ‌직선 x+y=2a 위의 점 을 포함한다. y 2a a 0 100 적에 대한 산점도이다. 음악 60 55점 이하인 학생 수를 구하 40 답 x+y=2a x+y〈2a a 2a x 80 성적과 미술 성적의 평균이 여라. x+y〉2a 미 y 술 100 (점) 4명 0 40 60 80 100 x 음악(점) 음악 성적과 미술 성적의 평균이 55점 이하인 학생은 음악 성적과 미술 성 적의 합이 110점 이하인 학생이다. 따라서 오른쪽 아래로 항하는 직선 (x+y=110)과 색칠한 부분에 속하는 점의 개수와 같으므로 4명이다. Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 100 2019-10-24 오전 9:31:42 유형 3 산점도 ⑶ 오른쪽 그림은 진이네 학교 학생 들의 영어 성적과 수학 성적에 대 닮은꼴 문제 수 학 (점) A B 한 산점도이다. A, B, C, D, E 5 ①A ② B ④D ⑤E 답 0 오른쪽 그림은 민준이네 학교 말고사 사회 성적에 대한 산점 D ③C 3-1 학생들의 2학기 중간고사와 기 E 명의 학생 중 두 과목의 성적 차 가 가장 큰 학생은? C 영어(점) 기y 말 고 사 (점) B 도이다. 다음 <보기> 중 옳은 것 A D C 을 모두 골라라. 0 ① x 중간고사(점) 보기 대각선에서 멀리 떨어져 있을수록 두 과목 성적의 차가 크므로 두 과목의 성 적의 차가 가장 큰 학생은 A이다. ㄱ. A는 중간고사와 기말고사 성적이 낮은 편이다. ㄴ. B는 D보다 기말고사 성적이 좋은 편이다. ㄷ. C는 ‌ 기말고사보다 중간고사 성적이 좋은 편이 다. 답 ㄴ, ㄷ ㄱ. A는 중간고사와 기말고사 성적이 높은 편이다. 유형 4 상관관계 닮은꼴 문제 다음 중 두 변량 사이에 음의 상관관계가 있는 것은? 4-1 ① 몸무게와 성적 다음 중 두 변량 사이에 양의 상관관계가 있는 것은? ② 낮의 길이와 밤의 길이 ① 물건의 크기와 가격 ③ 수학 성적과 노래 실력 ② 쌀의 생산량과 쌀값 ④ 운동 시간과 소비 열량 ③ 여름철 기온과 빙과류 판매량 ⑤ 통학 거리와 통학 시간 ④ 시력과 얼굴의 크기 답 ② ② 낮의 길이가 길어질수록 밤의 길이는 짧아지므로 음의 상관관계가 있다. ⑤ 통학 시간과 윗몸일으키기 횟수 답 ③ ③ ‌여름철 기온이 올라 갈수록 빙과류 판매량은 대체로 증가하므로 양의 상 관관계가 있다. 4-2 다음 중 오른쪽 그림과 같은 산점도 y 로 나타낼 수 있는 두 변량은? ① 도시 인구와 교통량 ② 장미꽃의 생산량과 가격 ③ 지능지수와 게임 시간 x 0 ④ 발의 크기와 신발의 크기 ⑤ 자동차 운행거리와 연료 사용량 답 ② 주어진 그림은 음의 상관관계를 나타낸 산점도이다. ①, ④, ⑤ 양의 상관관계 ③ 상관관계가 없다. 2. 상관관계 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 101 101 2019-10-24 오전 9:31:43 단원 마무리 01 오른쪽 그림은 지아네 반 학생 20명의 1학기 와 2학기의 도서관 이용 횟수에 대한 산점도이 다. 1학기와 2학기 도서 관 이용 횟수가 같은 학 04 2 y 학 기 24 (회) 대상으로 한 달 월급액과 저y 축 액 D C 저축액을 조사하여 나타 16 A 낸 산점도이다. A, B, C, 8 E D, E 5명 중 월급에 비해 0 8 16 생은 전체의 몇 %인지 0 x 월급액 이 하는 사람을 말하여라. 답 C 대각선을 기준으로 위쪽에서 멀리 떨어질수록 월급에 비해 저축을 상 대적으로 많이 하므로 C이다. 30 % 1학기와 2학기 도서관 이용 횟수가 같은 학생은 대각선 위에 있는 학 생이므로 6명이다. 05 ∴ ;2¤0;_100=30(%) B 서 저축을 상대적으로 많 24 x 1학기(회) 구하여라. 답 오른쪽 그림은 직장인을 다음 두 변량 사이에 상관관계가 없다고 할 수 있는 것은? ① 운동량과 칼로리 소비량 02 오른쪽 그림은 양궁 선 수 16명이 1차, 2차에 걸쳐 활을 쏘아 얻은 점 수에 대한 산점도이다. 1 차와 2차의 점수가 1점 차이 나는 선수의 수를 9 8 7 6 5 0 구하여라. 답 ② 자동차의 증가와 공기 오염 2 y 차 10 (점) ③ 계산 능력과 가슴둘레 ④ 타자 연습 시간과 입력 속도 ⑤ 스마트폰 사용 시간과 남은 배터리 양 답 5 6 7 8 9 10 x 1차(점) 7명 대각선의 위, 아래로 1칸 떨어진 곳에 있는 점의 개수와 같으므로 7명 이다. 강의 tip ③ ①, ②, ④ 양의 상관관계 ⑤ 음의 상관관계 06 오른쪽 그림은 진이네 학 교 학생들의 영어 성적과 수y 학 (점) A B 수학 성적에 대한 산점 (1차 점수)-(2차 점수)=1(점), (2차 점수)-(1차 점수)=1(점)의 두 경우를 모두 생각한다. 도이다. 다음 중 옳은 것 은? 03 오른쪽 그림은 학생 18 명의 미술 실기 점수와 이 y 론 (점) 50 이론 점수에 대한 산점 40 도이다. 실기 점수와 이 30 론 점수의 합이 80점 이 상인 학생 수를 구하여 라. 답 20 0 20 C ① A는 ‌ 영어와 수학 D 0 E x 영어(점) 성적이 모두 낮은 편이다. ② B는 ‌ 수학 성적보다 영어 성적이 더 높은 편이 다. ③ ‌C는 영어와 수학 성적이 모두 높은 편이다. 30 40 50 x 실기(점) 7명 오른쪽 아래로 항하는 직선(x+y=80)과 색칠한 부분에 속하는 점의 개수와 같으므로 7명이다. ④ D는 ‌ E보다 영어 성적 높으나 수학 성적은 낮 은 편이다. ⑤ 수학 ‌ 성적과 영어 성적 사이에는 음의 상관관 계가 있다. 답 ③ ① A는 영어 성적은 낮은 편이나 수학 성적은 높은 편이다. ② B는 영어 성적보다 수학 성적이 더 높은 편이다. ④ D는 E보다 영어와 수학 성적 모두 낮은 편이다. ⑤ 수학 성적과 영어 성적 사이에는 양의 상관관계가 있다. 102 Ⅲ. 통계 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 102 2019-10-24 오전 9:31:44 정답과 해설 37~38쪽 Ⅰ워크북 47~48쪽 서술형 꽉 잡기 주어진 단계에 따라 쓰는 유형 07 풀이 과정을 자세히 쓰는 유형 08 사 y 회 100 (점) 오른쪽 그림은 현우네 반 학생 20명의 과학 80 성적과 사회 성적에 대 한 산점도이다. 두 과목 60 의 성적의 평균으로 등 40 수를 매길 때, 6등인 학 0 생의 두 과목의 평균을 40 60 80 2 y 오른쪽 그림은 은서네 학 10 기 9 (시간) 반 학생 18명의 1학기 8 7 6 5 4 0 와 2학기 봉사 활동 시 1등 2,`3등 4등 5등 100 x 6등 간에 대한 산점도이다. 1학기와 2학기 봉사 활 동 시간의 차가 2시간 과학(점) 4 5 6 7 8 9 10 x 1학기(시간) 이상인 학생들의 2학기 a점, 두 과목의 성적이 같은 학생 수를 b명이라고 할 봉사 활동 시간의 평균을 구하여라. 때, a+b의 값을 구하여라. 풀이 1학기와 2학기 봉사 활동 시간의 차가 2시간 이상인 학생들은 대각 ❶ 선의 위, 아래로 2칸 이상 떨어진 곳에 있는 학생들이다.` 생각해 보자 구하는 것은? 6등인 학생의 두 과목의 평균 a점과 두 과목 의 성적이 같은 학생 수 a명에 대하여 a+b 의 값 구하기 주어진 것은? 과학 성적과 사회 성적에 대한 산점도 ∴ (평균)= 6_1+7_2+9_1 =7.25(시간)` 4 단계 풀이 ❷ 채점 기준 비율 ❶ 학생들 찾기 50`% ❷ 평균 구하기 50`% 답 7.25시간 [1단계] a의 ‌ 값 구하기 (60 %) 6등인 학생은 두 과목 성적의 합이 높은 순서대로 6번째인 학생이 다. 6등인 학생은 (80, 60)이므로 두 과목의 평균은 80+60 =70(점) ∴ a=70 2 09 다음 표는 민서네 반 학생 10명의 국어 성적과 수학 성 적을 조사하여 나타낸 것이다. 물음에 답하여라. 번호 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 국어(점) 80 90 70 60 70 50 90 60 70 100 수학(점) 90 90 80 80 70 70 100 60 90 100 ⑴ ‌오른쪽 좌표평면 위 [2단계] b의 ‌ 값 구하기 (30 %) 에 산점도를 그려라. 과학 성적과 사회 성적이 같은 학생 수는 대각선 위에 있는 점의 개 수와 같으므로 4명이다. ∴ b=4 ⑵ ‌국어 성적과 수학 성적 사이에는 어 떤 상관관계가 있 수 y 학 100 (점) 90 80 70 60 50 0 는지 말하여라. 50 60 70 80 90 100 x 국어(점) ❶ ⑶ ‌국어 성적은 90점 이상이고 수학 성적은 80점 이상인 학생 수를 구하여라. [3단계] a+b의 값 구하기 (10 %) ∴ a+b=70+4=74 단계 풀이 채점 기준 비율 ❶ 산점도 그리기 40`% ❷ 상관관계 파악하기 30`% ❸ 학생 수 구하기 30`% 답 74 ⑵ ‌국어 성적이 높을수록 수학 성적도 대체로 높아지므로 양의 상관 ❷ 관계에 있다. ⑶ ‌국어 성적이 90점이고 수학 성적이 80점인 두 직선의 경계를 포 함하고 색칠한 부분에 있는 점의 개수와 같으므로 3명이다. ❸ 답 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 양의 상관관계 ⑶ 3명 2. 상관관계 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 103 103 2019-10-24 오전 9:31:44 삼각비의 표 104 각도 사인(sin) 코사인(cos) 탄젠트(tan) 각도 사인(sin) 코사인(cos) 탄젠트(tan) 0ù 0.0000 1.0000 0.0000 45ù 0.7071 0.7071 1.0000 1ù 0.0175 0.9998 0.0175 46ù 0.7193 0.6947 1.0355 2ù 0.0349 0.9994 0.0349 47ù 0.7314 0.6820 1.0724 3ù 0.0523 0.9986 0.0524 48ù 0.7431 0.6691 1.1106 4ù 0.0698 0.9976 0.0699 49ù 0.7547 0.6561 1.1504 5ù 0.0872 0.9962 0.0875 50ù 0.7660 0.6428 1.1918 6ù 0.1045 0.9945 0.1051 51ù 0.7771 0.6293 1.2349 7ù 0.1219 0.9925 0.1228 52ù 0.7880 0.6157 1.2799 8ù 0.1392 0.9903 0.1405 53ù 0.7986 0.6018 1.3270 9ù 0.1564 0.9877 0.1584 54ù 0.8090 0.5878 1.3764 10ù 0.1736 0.9848 0.1763 55ù 0.8192 0.5736 1.4281 11ù 0.1908 0.9816 0.1944 56ù 0.8290 0.5592 1.4826 12ù 0.2079 0.9781 0.2126 57ù 0.8387 0.5446 1.5399 13ù 0.2250 0.9744 0.2309 58ù 0.8480 0.5299 1.6003 14ù 0.2419 0.9703 0.2493 59ù 0.8572 0.5150 1.6643 15ù 0.2588 0.9659 0.2679 60ù 0.8660 0.5000 1.7321 16ù 0.2756 0.9613 0.2867 61ù 0.8746 0.4848 1.8040 17ù 0.2924 0.9563 0.3057 62ù 0.8829 0.4695 1.8807 18ù 0.3090 0.9511 0.3249 63ù 0.8910 0.4540 1.9626 19ù 0.3256 0.9455 0.3443 64ù 0.8988 0.4384 2.0503 20ù 0.3420 0.9397 0.3640 65ù 0.9063 0.4226 2.1445 21ù 0.3584 0.9336 0.3839 66ù 0.9135 0.4067 2.2460 22ù 0.3746 0.9272 0.4040 67ù 0.9205 0.3907 2.3559 23ù 0.3907 0.9205 0.4245 68ù 0.9272 0.3746 2.4751 24ù 0.4067 0.9135 0.4452 69ù 0.9336 0.3584 2.6051 25ù 0.4226 0.9063 0.4663 70ù 0.9397 0.3420 2.7475 26ù 0.4384 0.8988 0.4877 71ù 0.9455 0.3256 2.9042 27ù 0.4540 0.8910 0.5095 72ù 0.9511 0.3090 3.0777 28ù 0.4695 0.8829 0.5317 73ù 0.9563 0.2924 3.2709 29ù 0.4848 0.8746 0.5543 74ù 0.9613 0.2756 3.4874 30ù 0.5000 0.8660 0.5774 75ù 0.9659 0.2588 3.7321 31ù 0.5150 0.8572 0.6009 76ù 0.9703 0.2419 4.0108 32ù 0.5299 0.8480 0.6249 77ù 0.9744 0.2250 4.3315 33ù 0.5446 0.8387 0.6494 78ù 0.9781 0.2079 4.7046 34ù 0.5592 0.8290 0.6745 79ù 0.9816 0.1908 5.1446 35ù 0.5736 0.8192 0.7002 80ù 0.9848 0.1736 5.6713 36ù 0.5878 0.8090 0.7265 81ù 0.9877 0.1564 6.3138 37ù 0.6018 0.7986 0.7536 82ù 0.9903 0.1392 7.1154 38ù 0.6157 0.7880 0.7813 83ù 0.9925 0.1219 8.1443 39ù 0.6293 0.7771 0.8098 84ù 0.9945 0.1045 9.5144 40ù 0.6428 0.7660 0.8391 85ù 0.9962 0.0872 11.4301 41ù 0.6561 0.7547 0.8693 86ù 0.9976 0.0698 14.3007 42ù 0.6691 0.7431 0.9004 87ù 0.9986 0.0523 19.0811 43ù 0.6820 0.7314 0.9325 88ù 0.9994 0.0349 28.6363 44ù 0.6947 0.7193 0.9657 89ù 0.9998 0.0175 57.2900 45ù 0.7071 0.7071 1.0000 90ù 1.0000 0.0000 삼각비의 표 (중3-2)본문(3-2단원)(095~103)-6.indd 104 2019-10-24 오전 9:31:45

지학 풍산자개념완성 중3-2 개념북(교사용)

Products

Support

지학 풍산자개념완성 중3-2 개념북(교사용)

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib