Escuela profesional de Ingeniería Telecomunicaciones Curso: Cálculo Integral Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Diciembre del 2022 Integrales Básicas o Inmediatas Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el integrando la derivada de una función conocida. Evidentemente no se trata de un concepto matemático riguroso, simplemente tomaremos como inmediatas las integrales básicas más habituales. Asumiremos por tanto como integrales conocidas o inmediatas a las siguientes: Integral de la diferencial de una variable 1 1 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑤 ∫ 𝑑𝑠 Integral de la potencia de la función identidad 2 ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 , 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 , 𝑛𝜖𝑅 𝑦 𝑛 ≠ −1 𝑛+1 ∫ 𝑥 𝑛+1 𝑑𝑥 , 𝑛𝜖𝑅 𝑦 𝑛 ≠ −1 𝑛𝜖𝑅 𝑦 𝑛 ≠ −1 ∫ 𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 , 𝑛𝜖𝑅 𝑦 𝑛 ≠ −1 Integral de la potencia de una función compuesta 3 3 ∫ 𝑢𝑚 𝑑𝑢 = 𝑢𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶 , 𝑚𝜖𝑅 𝑦 𝑚 ≠ −1, 𝑢 = 𝑢(𝑥) ∫(𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥 2 + 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 ∫ 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 √1 − 𝑥2 𝑑𝑥 3 ∫ 𝑒 2𝑥 √(4 − 5𝑒 2𝑥 )2 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 √3 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 Donde 𝑢𝑚 es la potencia de la función compuesta http://migueltarazonagiraldo.com/ mtarazona@unfv.edu.pe Página 1 de 6 Semestre 2022 - II Integral del producto de una constante por una función 4 ∫ 𝑎𝑢𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑢𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑢(𝑥) 4 ∫ 2 √3 √3 − √3𝑥𝑑𝑥 2 1 ∫ 𝑥 √5 − 𝑥 2 𝑑𝑥 5 5 ∫ 7√3 − 𝑥𝑑𝑥 Integral de una suma 5 ∫(𝑢 + 𝑣)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑑𝑥 + ∫ 𝑣𝑑𝑥 + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 𝑣 = 𝑣(𝑥) 5 ∫(3𝑥 + 𝑥 3 )3 𝑑𝑥 6 ∫ 6 7 7 𝑑 (𝑓(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 𝑑𝑥 ∫ ∫ 𝑑 (6𝑥 4 − 3𝑥 2 − 9)𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶, 𝑢 ∫ ∫ 𝑑 (6𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 2𝑥))𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑢(𝑥) 𝑥𝑑𝑥 6𝑥 2 + 12 ∫ 5𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 𝑑𝑥 3 − 2𝑡𝑔2𝑥 Integral de una exponencial 8 8 ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑎𝑢 +𝐶 𝑙𝑛𝑎 7𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 1 + 𝑥2 ∫ (𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 )2 𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑥 Integral de una exponencial simple 9 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) http://migueltarazonagiraldo.com/ mtarazona@unfv.edu.pe Página 2 de 6 Semestre 2022 - II 9 ∫ 𝑎𝑒 −𝑚𝑥 𝑑𝑥 𝑡 ∫(𝑒 𝑡 − 𝑒 −𝑡 )𝑑𝑡 𝑡 2 ∫ (𝑒 2 − 𝑒 −2 ) 𝑑𝑡 Integral de funciones trigonométricas 10 10 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛(3 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛(2 − 3𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 𝑥 ∫ 𝑒 −2𝑥 𝑠𝑒𝑛(5 + 𝑒 −2𝑥 )𝑑𝑥 11 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 11 ∫ 𝑒 −2𝑥 cos (3 + 𝑒 −2𝑥 )𝑑𝑥 1 5 ∫ cos (2 − 𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 𝑥 3 12 ∫ 𝑡𝑔𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑢| + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 12 ∫ 𝑥𝑡𝑔(2 − 5𝑥 2 )𝑑𝑥 ∫ 2 √𝑥 𝑡𝑔(3 − 5√𝑥)𝑑𝑥 13 ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛𝑢| + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 13 ∫ 𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 2 𝑑𝑥 ∫ 1 √1 − 3𝑥 𝑐𝑡𝑔(3 + √1 − 3𝑥)𝑑𝑥 14 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑢 + 𝑡𝑔𝑢| + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 14 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 3 𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝜃 − 𝑐𝑜𝑠3𝜃 𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑠2 3𝜃 15 ∫ 𝑐𝑠𝑐𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐𝑢 − 𝑐𝑡𝑔𝑢| + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) http://migueltarazonagiraldo.com/ mtarazona@unfv.edu.pe Página 3 de 6 Semestre 2022 - II 15 ∫ (𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥)2 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥 16 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢𝑑𝑢 = 𝑡𝑔𝑢 + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 16 ∫(1 + 𝑡𝑎𝑔2𝑥)2 𝑑𝑥 5 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∫( ) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 3 − 3𝑠𝑒𝑛2 (1 − 𝑥 2 ) 17 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑡𝑔𝑢 + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 17 ∫(𝑥 − 1)𝑐𝑠𝑐 2 (2𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 ∫ 1 √5 − 3𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 (3 − √5 − 3𝑥)𝑑𝑥 18 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑔𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑢 + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 18 19 19 ∫ ∫ 𝑥2 𝑢2 ∫ 21 ∫ 21 ∫ 𝑥 4 sec (3 − 𝑥 5 )𝑡𝑔(3 − 𝑥 5 )𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑠𝑐𝑢𝑐𝑡𝑔𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑠𝑐𝑢 + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 20 ∫ 20 1 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠2 3𝑥 ∫ 𝑎 𝑥 csc (3 − 𝑎 𝑥 )𝑐𝑜𝑡𝑔(3 − 𝑎 𝑥 )𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔 + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 2 +𝑎 𝑎 𝑎 𝑑𝑥 𝑒 4𝑥 − 6𝑒 2𝑥 + 14 𝑢2 ∫ cos (1 − 2𝑥 3 ) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 (1 − 2𝑥 3 ) ∫ 𝑑𝑥 9𝑥 2 − 6𝑥 + 10 𝑑𝑢 1 𝑢−𝑎 = 𝑙𝑛 | | + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 2 −𝑎 2𝑎 𝑢+𝑎 𝑑𝑥 𝑥 2 − 25 http://migueltarazonagiraldo.com/ ∫ 𝑑𝑥 3𝑥 2 − 7 mtarazona@unfv.edu.pe Página 4 de 6 Semestre 2022 - II 22 22 ∫ 𝑎2 ∫ 𝑑𝑢 1 𝑎+𝑢 = 𝑙𝑛 | | + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 2 −𝑢 2𝑎 𝑎−𝑢 𝑑𝑥 3 − 2𝑥 2 ∫ 5𝑑𝑥 2 + 2𝑥 − 𝑥 2 1 1 23 ∫ √𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢 = 𝑢𝑙𝑛√𝑢2 + 𝑎2 + 𝑎2 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2 | + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 2 2 23 ∫ √𝑥 2 − 2𝑥 + 5𝑑𝑥 24 1 1 ∫ √𝑢2 − 𝑎2 𝑑𝑢 = 𝑢𝑙𝑛√𝑢2 − 𝑎2 − 𝑎2 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2 | + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 2 2 24 ∫ √𝑥 2 − 4𝑥 − 5𝑑𝑥 ∫ 𝑥√𝑥 4 − 6𝑥 2 + 34𝑑𝑥 ∫ 𝑎2𝑥 √𝑎4𝑥 − 2𝑎2𝑥 − 15𝑑𝑥 1 1 𝑢 25 ∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑢√𝑎2 − 𝑢2 + 𝑎2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 2 2 𝑎 25 ∫ √30𝑥 − 9𝑥 2 − 21𝑑𝑥 26 ∫ 26 ∫ 27 ∫ 27 ∫ 28 ∫ 28 ∫ 𝑑𝑢 √𝑎2 − 𝑢2 ∫ √25 − 9𝑥 2 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 𝑎 𝑑𝑥 ∫ √5 − 3𝑥 2 𝑑𝑢 √𝑢2 + 𝑎2 ∫ √(7𝑥 − 2)2 + 4 𝑑𝑢 − 𝑎2 √−𝑥 2 − 8𝑥 − 7 = 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2 | + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 √𝑢2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 √4𝑥 2 − 12𝑥 + 25 = 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2 | + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 ∫ √(5𝑥 − 1)2 − 16 http://migueltarazonagiraldo.com/ 𝑑𝑥 √16𝑥 2 − 24𝑥 − 27 mtarazona@unfv.edu.pe Página 5 de 6 Semestre 2022 - II 29 ∫ 29 ∫ 30 ∫ 30 ∫ 31 ∫ 31 ∫ 𝑑𝑢 𝑢√𝑢2 − 𝑎2 1 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 ( ) + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 2 𝑎 𝑑𝑥 ∫ (2𝑥 − 1)√(2𝑥 − 1)2 − 4 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥√𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 − 16 1 𝑎 + √𝑢2 + 𝑎2 = − 𝑙𝑛 | | + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 2 𝑢 𝑢√𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥√𝑥 2 ∫ + 25 𝑑𝑥 𝑥√2𝑥 2 + 3 1 𝑎 + √𝑎2 − 𝑢2 = − 𝑙𝑛 | | + 𝐶 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) 2 𝑢 𝑢√𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ∫ (3𝑥 − 1)√4 − (3𝑥 − 1)2 http://migueltarazonagiraldo.com/ 𝑑𝑥 (2𝑥 − 1)√3 + 4𝑥 − 4𝑥 2 mtarazona@unfv.edu.pe Página 6 de 6 Semestre 2022 - II