正交信号：是复数但不复杂（一） 原创 东西 雷达信号处理MATLAB 2021-11-02 21:10 雷达信号处理MATLAB 一起学习雷达信号处理相关知识及其仿真，一起学习、一起成长 204篇原创内容 公众号 正交信号是基于复数的概念。 正交信号 正交信号，也称为复信号，基于正交信号的正交处理通过对正弦信号相位的相干测量提 供额外的信号处理能力。广泛应用于数字通信系统、雷达系统、相干脉冲测量系统、天 线波束成形等数字信号处理领域，具有非常重要的作用。 正交信号（复信号）是一个二维信号，其在某个时刻的值是一个由两部分（实部、虚 部）组成的复数。 复数的发展和记法 人们通常将实数定义为在日常生活中使用的数字，例如电压、温度，这些一维数可以是 正数也可以是负数，如下图（a）所示。在该图中存在着一个一维轴，可以说单个实数是 由该轴上的一个点表示。出于习惯，我们称这个轴为实轴。 图中（b）中显示了一个复数 ，它也表示为一个点。但是复数并不限于一维轴，而是 可以位于二维平面上的任何位置。该平面称为复平面（Argand 图），其使我们能够表 示具有实部和虚部的复数。 例如，在上图（b）中，复数 上，也不在虚轴上。我们通过沿实轴移动 定位点 是位于复平面上的一个点，其既不在实轴 个单位并沿虚轴向上移动 个单位来 。 我们将使用几何的观点来帮助我们理解复数的运算。如下图所示，使用直角三角形来定 义和表示复数 复数 的几种不同方式。 有多种不同的方式表示，例如： 最容易理解（笛卡尔形 ①矩形形式 式） ②三角函数形式 常用于描述正交信号 最令人费解，但却是数学 ③极坐标形式 中使用的主要形式（指数 形式） ④幅度-角度形式 方程式③和④说明， ③的简版 也可以被认为是复平面上一个相量尖端，该相量大小为 向为相对于正实轴，如上图所示。注意： 是复数，但变量 、 、 ，方 和都是实 数。 的大小，有时称为 的模数，为 相角为虚部与实部的比值的反正切，即 如果我们让③式和②式相等，即 ，即可得到欧拉公 式 将上式中的 替换为 ，会得到略有不同且非常有用的欧拉恒等式： 用方程的极坐标形式代替三角函数形式，可以简化了数学推导和分析，使复数的数学运 算遵循与实数完全相同的规则。 使用欧拉公式将使我们知道为什么以及如何在数字通信应用中使用正交信号？ 我们都知道 ，换句话说， 表示一个与自身相乘结果为负的数。然而，任何 数字乘以它自己总是会产生一个正数。不幸的是，教科书经常这样定义符号 。 实际上是什么意思？ 在数学界已经有一段时间了，但直到 16 世纪它必须被用来解决三次方程时 才被认真对待。数学家们不情愿地开始接受的抽象概念，但也未能将其形象化，因为它 的数学性质与普通实数的算术一致。 直到欧拉将复数等同于实正弦和余弦，以及高斯对复平面的精彩介绍，最终使 18 世纪 欧洲数学家将的概念合法化。欧拉超越了实数的范畴，表明复数与众所周知的正弦和余 弦实三角函数有着清晰一致的关系。 就像爱因斯坦展示了质量和能量的等效性，欧拉展示了实正弦和余弦与复数的等效性。 就像现代物理学家不知道电子是什么，但他们了解它的特性一样，我们不必担心 么，只要知道其用来做什么就可以了。 是什 对于我们的目的， 运算符意味着将一个复数逆时针旋转 90 度。 通过检查 运算符的数学属性，我们将熟悉虚数的复平面表示，如下图所示。 将实轴上的任何数字乘以 会得到位于虚轴上的虚乘积。上图示例表明，如果 于正实轴上的点，则将 （从 乘以 得到一个虚数 是位 ，其位置已逆时针旋转 开始）到正虚轴上。 类似地，将 。将 乘以 导致另一个 乘以 导致进一步旋转 任何数字乘以 ，结果都是将该点逆时针旋转 顺时针旋转 ）。 又当 旋转，产生 ，使 时， 表示的复数，对该复数乘以 位于负实轴上，因为 位于负虚轴上。用点表示的 （相反，乘以 会导致在复平面上 。故一个由复平面上的一点 或 将产生一个在复平面上逆时针旋转 的新复 数。 使用复相量表示实信号 复数可以表示成一个时间的函数。考虑一个大小为 就是下图（a）中所示的 这里的 中 且相角随时间增加的数，则该复数 点。 项是以弧度/秒为单位的频率，它对应于以周期/秒为单位的频率 以赫兹（Hz）为单位，如果频率 ，其 ，那么点将每秒围绕圆旋转两次。 对于复数 ，随着时间 变大，复数的相角增加，表示该复数的点围绕复平面的 原点逆时针方向绕行，如上图（a）中由实点表示。另一个复数 （空心点）沿 顺时针方向绕行，因为它的相角随着时间的增加而负增加。 由欧拉公式及三角函数性质可得， 故当这两个向相反方向旋转的相量相加时，相量的实部总是会相加，而它们的虚部总是 会抵消。这意味着复数 和 相量的和将始终是一个纯实数。现代数字通 信系统的实现基于此属性！ 故 我们将 和 这两个复数表达式称为正交信号。它们每个都有正交的实部 和虚部，它们都是时间的函数。 和 表达式通常被称为复指数。 我们还可以将这两个正交信号和视为两个相量的尖端，如上图（b)所示。这种表示方法 使我们能够在复平面中表示真实正弦曲线。 下图（a）显示了 相量随时间推移的三维路径。我们添加了时间轴，从中可以看 出相量的螺旋路径。 图（b）显示了 相量尖端的连续变化。从图（b）可以看出，复数 的尖端，以螺旋形路径沿着时间轴旋转前进，并以时间轴为中心。 的相量 的实部和虚 部显示为图（b）中的正弦和余弦投影。 此时，我们现在可以在真实正弦曲线和复指数之间来回转换。同样，我们正在学习如何 用复数表示法表示真实信号，这些信号可以通过同轴电缆传输或数字化并存储在计算机 的内存中。复数是由实数组成，但我们用正交（复数）的方式来处理信号（后续将会说 明原因）。 在频域中表示正交信号 下图告诉我们在频域中表示复指数的规则。即实信号可以由一个正频复指数和负频复指 数来表示。 如下图所示，我们将单个复指数表示为位于指定频率的窄带脉冲。此外，我们将沿着复 频域表示的实轴和虚轴展示那些复指数频谱之间的相位关系。 看看上图右侧的复频域表示中如何描绘实余弦波和实正弦波，图中的粗箭头不是旋转相 量，而是频域脉冲符号，表示单个复指数 指示频谱分量的相对相位。这些频谱脉冲的幅度是 的单个谱线。频谱脉冲指向的方向仅 。 下图中的 3-D 频域表示图是我们用来理解数字（和一些模拟）通信系统中正交信号的生 成（调制）和检测（解调）的工具。 下图是如何使用复频域的一个简单示例。我们从一个实正弦波开始，对其进行 （乘），然后将结果添加到相同频率的实余弦波中，最终结果是单个复指数 该实例以图形方式说明了数学表述的欧拉恒等式。 运算符 。 在频率轴上，负频率的概念被视为位于频率轴上 该图显示：当我们使用复数表示法时，像 正弦曲线 或 都是由 弧度/秒的频谱脉冲。 和 这样的通用复指数是真实 的基本组成部分。那是因为 和 和 分量组成的。 频域中的带通正交信号 在正交处理中，频谱的实部称为同相分量，频谱的虚部称为正交分量。下图（a）、 （b）和（c）中复频谱的信号是实数，在时域中它们可以由具有非零实部和零值虚部的 幅度值表示。 真实信号总是具有正负频谱分量。对于任何实信号，其同相（实）频谱的正负频率分量 相对于零频率点始终具有均匀对称性。即同相部分的正负频率分量是彼此的镜像。相 反，其正交（虚）频谱的正负频率分量始终互为负值。 这意味着任何给定的正交正频率分量的相位角是相应正交负频率分量的相位角的负值， 如下图（a）中的细实线箭头所示。这种“共轭对称性”是实信号在其频谱使用复数表示法 表示时的不变性。 图中：(a) 为实正弦信号 弦；(c) 在带宽 号。 ，(b) 实带通信号包含带宽 上的六个正 上包含无限数量正弦波的真实带通信号；(d) 带宽为 的复带通信 注意：上图（a）和（b）中的那些粗箭头不是旋转相量。它们是表示单个复指数 的频域脉冲符号。脉冲指向的方向显示了频谱分量的相对相位。 将时间信号乘以复指数 ，我们称之为正交混频（也称为复混频），该过程会将 该信号的频谱向上移动 ，如下图（a）和（b）所示。同样，将时间信号乘以 会将该信号的频谱在频率上向下移动 。 该 文 章 翻 译 整 理 自 《 A Quadrature Signals Tutorial: Complex, But Not Complicated》，Richard Lyons。 雷达信号处理MATLAB 一起学习雷达信号处理相关知识及其仿真，一起学习、一起成长 204篇原创内容 公众号