ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ
ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ, ЕЁ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
СОСТОЯНИЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ.
Подготовила: Абдуалиева Г.
План
1.
2.
3.
4.
Введение
Модели двойственных задач
Свойства взаимно двойственных задач
Экономический смысл объективно обусловленных оценок
ресурсов
5. Правила построения двойственных задач
6. Экономическая интерпретация двойственной задачи
7. Экономический смысл переменных взаимно-двойственных задач
8. Экономический смысл двойственных задач об использовании
ресурсов
9. Экономический смысл основной теоремы двойственности
10.Заключение
ВВЕДЕНИЕ
Линейное программирование (ЛП) является одним из наиболее
распространенных методов оптимизации в экономике, производстве и
других областях. Каждой задаче линейного программирования
соответствует задача, называемая двойственной или сопряженной по
отношению к исходной задаче. Двойственная задача - это важный
инструмент анализа ЛП, который позволяет получить дополнительную
информацию о проблеме оптимизации.
МОДЕЛИ ДВОЙСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
В 1975 г. русский учёный Л.В. Канторович (1912—1986) был удостоен Нобелевской
премии по экономике (совместно с американским экономистом Т. Купмансом) за
разработку теории оптимального использования ресурсов.
Канторович ввел в математическую и экономическую науки понятие «линейное
программирование» (1939) и разработал единый подход к широкому кругу
экономических задач о наилучшем использовании ресурсов на базе линейного
программирования. Им были введены «двойственные оценки» ресурсов (Канторович
называл их объективно обусловленными), показывающие степень ценности этих
ресурсов для общества. Двойственные оценки получили разнообразное истолкование в
зависимости от рассматриваемого круга задач в работах самого Канторовича и его
последователей как в нашей стране, так и за рубежом. Если у западных ученых
наиболее популярны так называемые теневые цены на ресурсы, то Канторовича более
интересовала основанная на двойственных оценках теория дифференциальной ренты.
СВОЙСТВА
ВЗАИМНО ДВОЙСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
В одной задаче ищут максимум целевой функции, а в другой минимум.
Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются
свободными членами системы ограничений в другой.
Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче на максимум
все неравенства вида ”≤”, а в задаче на минимум – все неравенства вида “≥”.
Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений
являются транспонированными друг к другу.
Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом
переменных в другой задаче.
Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОБЪЕКТИВНО
ОБУСЛОВЛЕННЫХ ОЦЕНОК РЕСУРСОВ
1) Оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная
прибыль (выручка) от реализации продукции при изменении запаса соответствующего
ресурса на одну единицу.
2) Двойственные оценки могут служить инструментом анализа и принятия правильных
решений в условиях постоянно меняющегося производства. С помощью этих оценок
возможно сопоставление оптимальных условных затрат и результатов производства.
Но: Оценки ресурсов позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно
небольших изменений ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать
другими, тогда их невозможно использовать для анализа эффективности производства.
3) По соотношениям объективно обусловленных оценок могут быть определены
расчетные нормы заменяемости ресурсов, при соблюдении которых проводимые
замены в пределах устойчивости двойственных оценок не влияют на эффективность
оптимального плана.
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ДВОЙСТВЕННЫХ ЗАДАЧ:
1. Если в исходной задаче целевая функция исследуется на min, то в двойственной
задаче она будет исследоваться на max и наоборот.
2. Если в исходной задаче n переменных и m уравнений, то в двойственной задаче
будет m переменных и n уравнений.
3. Коэффициенты целевой функции исходной задачи становятся правыми частями
ограничений двойственной задачи, а правые части системы ограничений исходной
задачи становятся коэффициентами целевой функции исходной задачи.
4. Матрица
ограничений
двойственной задачи получается из матрицы
ограничений исходной задачи транспонированием.
5. Если в исходной задаче xk >0 то в двойственной задаче k-ое ограничение будет
неравенством, если же в исходной задаче xk не имело ограничений на знак то в
двойственной задаче k-ое ограничение будет равенством.
6. Если в исходной задаче l-ое ограничение - неравенство, то в двойственной задаче
yl.>0 ; если же в исходной задаче l-ое ограничение - равенство, то в двойственной
задаче нет ограничений на знак yi.
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачу об использовании ресурсов
f x   C1 x1  C2 x2  max
 a11x1  a12 x2  b1
a x  a x  b
 21 1
22 2
2

 a31x1  a32 x2  b3

x1 , x2  0
Предположим, что некоторая организация решила закупить
ресурсы S1, S2 и S3 предприятия и необходимо установить
оптимальные цены на эти ресурсы: y1,y2 и y3.
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачу об использовании ресурсов
Z(y)= b1y1 + b2y2 + b3y3 → min.
 a 11y1  a 21y 2  a 31y 3  C1

a 12 y1  a 22 y 2  a 32 y 3  C 2

у1 , y 2 , y3  0

Предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка
была не менее той суммы, которую предприятие могло получить при переработке
ресурсов в готовую продукцию.
Цены ресурсов y1, y2, y3 называются учетными, неявными, теневыми, их часто
называют оценками ресурсов.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПЕРЕМЕННЫХ
ВЗАИМНО-ДВОЙСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙСТВЕННЫХ
ЗАДАЧ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ РЕСУРСОВ
Задача I (исходная)
F  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn  max
при
ограничениях :
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2

...............................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
и
условии
неотрицательности
x1  0,
x2  0,
...,
x n  0.
Составить такой план выпуска продукции X=(𝑥1 , 𝑥2 ,…, 𝑥𝑛 ),при котором прибыль
(выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление
ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов
Задача II (двойственная)
Z  b1 y1  b2 y 2  ...  bn y n  min
при
ограничениях :
a11 y1  a12 y 2  ...  a1n y n  c1 ,
a y  a y  ...  a y  c ,
 21 1
22
2
2n
n
2

...............................................

a m1 y1  a m 2 y 2  ...  a mn y n  c m
и
условии
неотрицательности
y1  0,
y 2  0,
...,
y n  0.
Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y=(𝑦1 , 𝑦2 , . . , 𝑦𝑚 ), при котором
общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на
ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли
(выручки) от реализации этой продукции
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОСНОВНОЙ
ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
 * *

*
*

План производства X  x1 , x2 ,..., xn  и набор цен ресурсов


 * *

*
*

Y  y , y ,...., y 
m
 1 2
оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль
(выручка) от продукции, найденная при “внешних”(известных заранее)
ценах 𝑐1 , 𝑐2 ,…, 𝑐𝑛 , равна затратам на ресурсы при “внутренних”
(определяемым только из решения задачи) ценах 𝑦1 , 𝑦2 , . . , 𝑦𝑚 .
Для всех других планов X и Y обеих задач прибыль (выручка) от
продукции всегда меньше (или равна) затратам на ресурсы.
Пример
Z  18 y1  16 y2 
F  2 x1  3 x2  max
 x1  3 x2  18
2 x  x  16
 1
2

 x2  5

3 x1  21
x1 , x2  0
F
*
max
 5 y3  21y4  min
 y1  2 y2  3 y4  2

3 y1  y2  y3  3
y1 , y2 , y3 , y4  0
Z
*
min
 24
Заключение
В заключении важно отметить что двойственность ЛП основывается на
том, что каждой прямой задаче (максимизации или минимизации)
соответствует двойственная задача, которая может быть использована для
решения ряда экономических задач. Рассмотрение двойственной задачи
может помочь в определении стоимости ресурсов, которые используются
в процессе производства, а также в оценке ограничений ресурсов.
В данном контексте экономический анализ двойственной задачи
заключается в использовании результатов этой задачи для получения
информации о стоимости ресурсов и ограничениях производства. Это
может быть полезным при принятии решений о производственном
процессе, определении цен на продукцию и организации бизнеса в
целом.
Спасибо за внимание!