Teoria dell’affidabilità
Antonella Meneghetti
Università degli Studi di Udine
1
Affidabilità
Definizione UNI EN 13306: 2018:
“Attitudine di una entità a svolgere una funzione richiesta in
date condizioni durante un intervallo di tempo stabilito”
Affidabilità
svolgere con successo il proprio compito
non guastarsi nell’intervallo considerato
2
Affidabilità
T = variabile casuale del tempo fra l’istante iniziale del periodo a cui si
riferisce l’affidabilità e l’istante in cui l’elemento considerato si rompe.
Affidabilità (Reliability) al tempo t:
R(t) = P[T>t] = 1 – P[T≤ t]
f(t) = funzione densità di probabilità di guasto
F(t) = funzione di ripartizione
F(t) = P[T ≤ t] = ∫ f (τ )dτ
t
0
t
R(t) = 1 - F(t) = 1 - ∫ f (τ )dτ
0
3
Affidabilità
• Se si indica:
NC(0) = n° iniziale di elementi tutti funzionanti
NC(t) = n° di elementi ancora funzionanti dopo un periodo di
funzionamento t
allora:
NC(t) = NC(0)R(t)
NC (t )
R (t ) =
NC (0)
Il n° di elementi funzionanti NC(t) sarà tanto minore quanto
minore era la loro affidabilità R(t)
4
Mean Time To Failure
Tempo medio fino al guasto, definito come il valore atteso
della variabile casuale T:
∞
MTTF = E(T) = ∫0 tf(t)dt
=
∞
∫0
R ( t ) dt
(integrando per parti)
Nel caso di sistemi riparabili, si parla più propriamente di tempo
medio tra i guasti (Mean Time Between Failures - MTBF),
assumendo come origine dei tempi l’istante in cui l’elemento entra o
rientra in servizio, escludendo dal computo il tempo necessario
all’intervento manutentivo, ovvero al ripristino del funzionamento.
5
Tasso di guasto (hazard rate)
Si definisce tasso di guasto la funzione h(t) tale che il prodotto h(t)dt
rappresenti la probabilità che l’elemento si guasti in un tempo
compreso tra t e t+dt nell’ipotesi però che in t sia ancora funzionante
P [t < T ≤ t + Δ t | T > t ]
h ( t ) = lim
Δt → 0
Δt
1 P[t < T ≤ t + Δt]
1 P[T ≤ t + Δt] − P[T ≤ t]
= lim
= lim
Δt→0 Δt
Δt→0 Δt
P[T > t]
P[T > t]
R(t) − R(t + Δt)
1 ⎡ dR (t ) ⎤ f (t )
= lim
=
−
=
Δt→0
Δt ⋅ R(t)
R (t ) ⎢⎣
dt ⎥⎦ R (t )
6
Tasso di guasto (hazard rate)
1
1 ⎡ dR(t)⎤
−
dR(t) = h(t)dt
h(t) =
⇒ −
⎢
⎥
R(t)
R(t) ⎣ dt ⎦
integrando:
t
− [ln R (τ ) ]t0 = ∫ h(τ )dτ ⇒ ln R(t ) − ln R(0) = − ∫ h(τ )dτ
0
t
0
R(t ) = e
t
h (τ ) dτ
0
−∫
7
Tasso di guasto
• Il tasso di guasto ha le dimensioni dell’inverso di un tempo e
può essere interpretato come “numero di guasti nell’unità di
tempo”, ossia come una misura della velocità del verificarsi
del guasto;
• f(t)dt rappresenta la frazione della popolazione che si rompe
in un intervallo [t, t+dt] riferendosi ad una popolazione sana
al tempo t=0
• h(t)dt rappresenta la frazione della popolazione che si rompe
nel medesimo intervallo di tempo riferendosi però ad una
popolazione sana al tempo t, che sarà meno numerosa o al
massimo uguale alla popolazione originaria a t=0
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Esempio
n° guasti
0
4
3
2
Un test di affidabilità su 16 lampadine
uguali ha dato i risultati del
diagramma. Valutare f(t) e h(t)
nell’intervallo di tempo 2<t<3
3
3
1
1
f (2 − 3 ) =
2
3
4
= 0 .25
16
4
5
6
Componenti costituenti la
popolazione iniziale
4
h (2 − 3) =
= 0 .36
16 − 5
Componenti costituenti la
popolazione sana al tempo t=2
9
Tasso di guasto
Numerose classi di componenti manifestano un andamento nel
tempo del tasso di guasto a “vasca da bagno”.
Si riconoscono 3 fasi:
• rodaggio o mortalità infantile
(0 ≤ t < TA);
h(t)
• vita utile (TA ≤ t ≤ TB);
TA
TB
t
• vecchiaia (t > TB)
10
Andamento del tasso di guasto
•
•
•
Rodaggio: gli elementi più deboli della popolazione si guastano e vengono
sostituiti. Il tasso di guasto diminuisce fino a stabilizzarsi in TA. I guasti in
questa fase possono essere dovuti ad errori di progettazione, di fabbricazione,
di montaggio o a scelte errate dei materiali impiegati.
Vita utile: in questa fase emergono nel sistema guasti di natura casuale che
hanno una probabilità di manifestarsi indipendente dal periodo di esercizio
accumulato (l’elemento “non ha memoria”). Essi sono dovuti a imperfezioni
del sistema produttivo che potrebbe non avere fedelmente seguito il progetto,
a sovrasollecitazioni accidentali, a condizioni di funzionamento nominalmente
uguali per tutti i componenti ma di fatto rivelatesi differenti ( ad es. le
sollecitazioni su una moto dipendono anche dalle modalità di guida del pilota).
Vecchiaia: corrisponde ad un degrado irreversibile delle caratteristiche della
macchina (fatica, usura) progettata “a termine”, ossia per una certa durata. Se
tale periodo si manifesta prima del valore di vita stabilito in sede di
progettazione significa che qualche componente era sottodimensionato o che
l’effettiva storia di carico è risultata più gravosa di quella ipotizzata.
11
Vita utile
•
Per i componenti meccanici
soggetti a fenomeni di fatica risulta
impossibile disaccoppiare l’evento
esterno di natura casuale da una
legge di danneggiamento interno
che di fatto ne diminuisce la vita
spendibile; non è quindi possibile
affermare che il componente
meccanico soggetto a fatica sia
privo di memoria, come avviene
invece per i componenti elettronici.
Una vita utile a tasso di guasto
approssimativamente costante si
può allora realizzare solo grazie ad
interventi di manutenzione.
12
Distribuzioni utilizzate per la f(t)
• esponenziale
− λt
λ
e
f(t) =
t ≥0
R(t) = 1 - F(t) = e − λ t
h(t) = f(t)/R(t) = λ
MTBF = 1/λ
vita utile
13
Distribuzioni utilizzate per la f(t)
• normale
1
f (t ) = N ( μ , σ ) =
e
σ 2π
2
∞
R (t ) = ∫ f ( x )dx
1 ⎛ t−μ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
2
P[μ − σ ≤ t ≤ μ + σ ] = 68,26%
P[μ − 2σ ≤ t ≤ μ + 2σ ] = 95,45%
P[μ − 3σ ≤ t ≤ μ + 3σ ] = 99,73%
t
h(t ) =
f (t )
=
R (t )
e
∞
∫e
1 ⎛ t −μ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
1 ⎛ x−μ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
2
Tasso crescente
2
Fase di vecchiaia
dx
t
MTBF = μ
14
Distribuzione normale standardizzata
0,05
0,9
0,045
0,8
0,04
0,7
0,035
0,6
0,03
0,5
0,025
0,4
0,02
0,3
0,015
0,2
0,01
0,1
0,005
0
0
-2
-1
0
z
1
2
densità di probabilità
cumulata
1
cumulata
standard
densità di
probabilita
z=
t−μ
σ
15
Distribuzioni utilizzate per la f(t)
• Weibull
β (t − γ )
f (t ) =
β e
(α − γ )
β −1
F (t ) = 1 − e
R (t ) = e
⎛ t −γ
−⎜⎜
⎝ α −γ
⎛ t −γ
−⎜⎜
⎝ α −γ
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ t −γ
−⎜⎜
⎝ α −γ
⎞
⎟⎟
⎠
β
β
β
β (t − γ )
h (t ) =
(α − γ )β
β −1
β<1
β=1
β>1
h(t) decrescente
h(t) costante
h(t) crescente
t ≥γ ≥0
α parametro di scala, spesso definito “vita
caratteristica”, ha le stesse dimensioni di t (ore,
mesi..). Rappresenta l’intervallo dopo il quale
si ha il 63,21% degli elementi rotti
β parametro di forma, numero puro
γ parametro di correzione dell’origine dei tempi
(si introduce per quegli elementi che hanno
una vita minima garantita significativamente
maggiore di 0)
rodaggio;
vita utile;
vecchiaia.
16
Affidabilità di un sistema
Sistemi serie
La capacità del sistema di svolgere la funzione richiesta è
condizionata dalla capacità di ciascun elemento del sistema di
svolgere la propria funzione.
L’evento guasto del sistema coincide con l’evento guasto di almeno
un suo elemento
L’affidabilità del sistema in serie corrisponde alla probabilità che
tutti i suoi n elementi non si guastino in un tempo determinato:
Rs = R1 ⋅ R2 ⋅ ... ⋅ Rn = ∏ Ri (t )
i
17
Affidabilità dei sistemi serie
t
∫
− hi ( x ) dx
Rs (t) = ∏Ri (t) = ∏e
i
0
∑
∫
=e
−
hi ( x ) dx
n
⇒ hs ( t ) = ∑ h i ( t )
i =1
i
Il tasso di guasto di un sistema serie è pari alla somma dei tassi di guasto dei componenti
Nel caso in cui:
h i ( t ) = λi ⇒ h s =
∑ i λi
= cost ⇒ MTBF
s
=
1
∑ λi
i
=
1
∑
i
1
MTBF
Poiché l’affidabilità è sempre minore di 1 si ha che:
• l’affidabilità di un sistema serie è sempre minore dell’affidabilità di
ciascuno dei suoi elementi;
• l’affidabilità di un sistema in serie diminuisce all’aumentare del numero di
elementi costitutivi.
18
i
Affidabilità di un sistema
Sistemi parallelo
La capacità del sistema di svolgere la funzione richiesta non è
condizionata dalla capacità di tutti gli elementi costitutivi di
adempiere al proprio compito
sistemi ridondanti
• sistemi a ridondanza semplice: tutti gli elementi moltiplicati
funzionano insieme, ma il sistema è in grado di funzionare quando
una o più delle ricorrenze della funzione sono in stato di guasto;
• sistemi a ridondanza sequenziale: sono normalmente in funzione
solo alcune delle ricorrenze della funzione moltiplicata, mentre le
altre sono in stand-by.
19
Sistemi a ridondanza semplice
•
Ridondanza totale:
un solo elemento è in grado
di sopportare il carico totale
del sistema
• Ridondanza parziale:
un gruppo di elementi è in
grado di sopportare il carico
del sistema
A
P
P
P
B
A
B
C
P/2
P/2
P
P/2
20
Sistemi a ridondanza totale
Nel caso di n unità in parallelo, delle quali solo una è necessaria, considerando gli
elementi indipendenti nel sistema, si ha:
n
n
RS = 1 − ∏ (1 − Ri )
FS (t ) = F1 (t )F2 (t )... Fn (t ) = ∏ F (t )i
i =1
i =1
Per un parallelo di 2 elementi infatti:
A
Funzionante
Non funzionante
Funzionante
Non funzionante
B
Funzionante
Funzionante
Non funzionante
Non funzionante
Se hi = λ = cost allora:
Per n= 2 si ha:
Sistema
Funzionante
Funzionante
Funzionante
Non funzionante
1
Probabilità
RaRb
(1-Ra)Rb
Ra(1-Rb)
(1-Ra)(1-Rb)
1
RS = Ra + Rb –RaRb
RS = R(a∪b)
1
1
MTBFi = = ∀i ⇒ MTBFS = ∑
λi λ
λ i =1 i
n
MTBF = 3/(2λ)
21
Sistemi a ridondanza parziale
•
Sia dato un sistema di n elementi in parallelo con affidabilità Ri(t) dei quali r
sono necessari al buon funzionamento del sistema stesso.
Nel caso in cui
Ri(t) = R(t) ∀i
allora:
⎛n⎞ j
n− j
RS = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟R (1 − R )
j =r ⎝ j ⎠
n
Es. 3 generatori elettrici ciascuno con potenza metà della totale richiesta: è
una ridondanza di 2 su 3. I generatori sono della stessa marca e modello con
tasso di guasto λ = 9*10-6 [h]-1 nel corso della vita utile. Calcolare
l’affidabilità ad 1 anno (8760 ore).
Ri(8760) = e-9*10-6*8760 = 0,92419
F = 1-R = 0,07581
⎛3⎞ j
3!
3− j
RS = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟R (1 − R ) = R 2 F + R 3 = 0,983629
2!
j =2 ⎝ J ⎠
3
22
Es. Sistema a ridondanza 2 su 4
1) Tutti funzionano
1·R4
(1-R) R3
2) Solo 1 elemento
guasto
Tutti i modi con cui posso
scegliere 3 elementi da un
gruppo di 4
⎛ 4⎞
4!
⎜⎜ ⎟⎟ =
=4
⎝ 3 ⎠ (4 − 3)!3!
(1-R) 2 R2
3) 2 elementi guasti
Tutte le combinazioni
con cui posso scegliere
2 elemento da un
gruppo di 4
4!
⎛ 4⎞
=6
⎜ ⎟=
−
2
(
4
2
)!
2
!
⎝ ⎠
23
Sistemi a ridondanza sequenziale o stand-by
•
•
Sistemi nei quali ad un istante
determinato funziona solo un elemento o
un sottosistema, mentre i restanti
rimangono in riserva.
La connessione funzionale varia dunque
nel tempo in relazione al guasto. La
variazione della connessione è a carico
dell’organo di commutazione.
Sistema stand-by
Commutatore
A
B
Perché il sistema in figura funzioni in un intervallo t, supposta l’affidabilità
unitaria del commutatore, deve essere:
1. A funziona in t
⇒
RA(t)
t
2. A si guasta in τ e B funziona nel tempo rimanente
⇒
∫ f (τ )R (t − τ )dτ
A
B
0
t
R S ( t ) = R A ( t ) + ∫ f A (τ )R B (t − τ )dτ
0
Se hA(t)=hB(t)= λ ⇒ RS(t) =
e-λt(1+λt)
MTBFS =
2
λ
24