方差分析之多重比较 在一个试验中，有k个处理平均数间比较时，其全部可能的相互比较对数有k(k-1)/2个，这种比较是复式比 较，亦称多重比较(multiple comparisons)。 为什么要做多重比较呢？ 方差分析后做多重比较有很多好处： 误差由多个处理内的变异合并估计，自由度增大了，因而比较的精确度也增大了。 F检验显著，说明可以判定多个处理间存在显著的变异。因此方差分析后再做多重比较，称为Fisher氏 保护性多重比较(Fisher's protected multiple comparisons)。 如果有多个比较，不做F检验的情况下，很有可能有更多的比较是显著的；做了F检验以后，显著的平 均数比较会相应减少。 显然，在无F检验保护时，设有4个处理(k=4)，需要做6个比较，若各个处理间总体上并无差异，每一 比较误判为有差异的概率为0.05，则6个比较中至少有1个被误判的概率为 1 − (1 − 0.05)6 = 0.2649 。 多重比较有多种方法，本次依次介绍LSD法、Sidak法、Bonferroni法、Dunnett法、Tukey法、SNK 法、Duncan法等。 法 LSD 法全称least significance difference,即最小显著差异法。由Fisher最先提出，本质上是一种t检验。通 常用于1对或者几对专业上有特殊意义的样本均数间的比较。 为了更好的理解LSD法的计算原理，我们首先回顾两独立样本t检验： LSD t= Xˉ1 −Xˉ2 Sc2 ( n1 + n1 ) 1 2 其中 Sc2 是两个样本的联合估计的方差（满足样本方差齐的前提下），本质就是组内误差的均方，该统计量服 从自由度为N-2的t分布。 Sc2 = (n1 −1)S12 +(n2 −1)S22 n1 + n2 − 2 与上述类似，LSD法也进行的是两两比较的t检验。所不同的是，在满足方差齐性的前提下，LSD法采用所 有样本的联合方差来估计均数差的标准误，而不是要比较的两个样本的联合方差。以三样本之间均数差异 比较为例，其公式为 Sc2 = (n1 −1)S12 +(n2 −1)S22 +(n3 −1)S32 n1 +n2 +n3 −3 法往往计算最小显著差异，即 LSD LSD = tα/2 Sc2 ( n11 + 1 n2 ) 当两组均数差大于LSD时，说明差异达到显著的水平，也就可以拒绝零假设，认为两组均数不相等。需要 注意的是，LSD法单次比较的检验水准仍然为α。LSD法检验的灵敏度最高，但是会因为对比的频数增加 使得第一类型错误概率增加。为解决该问题，便出现了Sidak法和Bonferroni法。 法 Sidak 法的也是一种t检验，计算公式和LSD法的相同。但是Sidak法对α进行了调整。其调整方法如下：如 果有k组，对k组进行两两比较的次数为 Sidak c= k(k−1) 2 那么做完c次比较，累积犯一类错误的概率为： 1 − (1 − αa )c 令上面的公式值等于0.05，由此可以反推出调整后的αa 。例如进行6次事后比较，则Sidak法的 =0.0085，以αa 作为单次比较的显著性水平，显然αa 变小了。由于αa 减小，结论趋于接受无效假设， 因此该方法要比LSD法保守的多。 法 Bonferroni 法与Sidak法类似，同样是在LSD法的基础上对α进行了调整。其调整方法基于Bonferroni不等 式。若有k组，其计算公式为 Bonferroni αa = α k 一般认为Bonferroni法是最为保守的，仍然以上面例子来说明。若进行6次比较，则Bonferroni法的调整 =0.0083，比上面的sidak法还要小。事实上，当比较的次数不多时，该方法效果比较好，当比较次数较 多时（如k>10)，该方法对α 的调整有些矫枉过正，效果不如Sidak法。 法 Dunnett 法检验统计量为td ，故又称为Dunnett-t检验，实际上该方法的计算与LSD法相同，但是LSD法临 界值表基于t分布，而该方法有特殊的临界值表 ，通常用于多个实验组和一个对照组均数的比较。 Dunnett 法 Tukey 在介绍Tukey方法前，首先了解学生化极差分布。 在概率论和统计学中，学生化极差分布是极差的抽样分布。该分布是一种连续型概率分布，用于在样本量 较小且总体标准差未知的情况下估计正态分布总体的极差。 假设要比较的组数为k，那么在零假设成立的条件下，下面的随机变量服从学生化极差分布。 q= ˉ max −X ˉ min X Sc2 n 公式中分子分别是最大和最小样本的均值，Sc2 是所有样本的联合方差 ，n为每个样本的样本含量。该统 计量有两个自由度，分别为k和n-k。 Turkey的HSD （Honestly significant difference）是基于学生化极差的成对比较。其思想和LSD方法类 似，通过计算HSD统计量，如果两组均数的差异大于该极差，认为差异是显著的，因此拒绝零假设，认 为两组均数不同。计算临界HSD的公式为 Sc2 n HSD = qα (k , ν ) 为组数，ν为联合方差的自由度，即N-k，n为每个样本的样本含量。从HSD公式上看，Tukey法较LSD法 保守，即较LSD不易发现显著差异。Tukey法要求比较的样本容量相差不大，一般用于样本容量相同的组 之间均数的比较。 k SNK 法 法全称Newman–Keuls 或者 Student–Newman–Keuls，属于复极差法（multiple range test），也 称为q检验。该方法是对Tukey法的修正，也用的是学生化极差统计量。但是与Tukey法所不同的是，该方 法在计算临界值时考虑了两样本均数排序的步长。因而不同步长的两个样本均数的比较使用不同的q临界 值。 例如比较三个样本均数，样本均数从小到大排列后，如果比较最大均数和最小均数的差异，两者的步长为 3（此时计算的临界值等于HSD），若比较最小均数和第二个均数，步长为2。根据步长和自由度查q临界 值表，计算相应的q临界值，即最小显著极差，进而判断均数差异的显著性。 SNK Wr = qα (r, ν) Wr = qα (r, ν) Sc2 n 或 Sc2 1 2 (n1 + 1 n 2) 为组间步长，其他字母含义同Tukey法。可以发现Tukey法不管要比较的均数相差几步都使用相同（且为 最大）的临界值，而SNK法则考虑了步长，并且随着步长r的减小，Wr 也在减小，因而SNK法较Tukey法 灵敏（更容易发现显著差异）。另外，对所有r>2，均有LSD < Wr ,因而SNK法又不及LSD法灵敏。 r 法 Duncan 法不同步长下的最小显著极差变幅大，虽然减小了犯Ⅰ类错误的概率，但是同时增加了犯Ⅱ类错误的 概率。 Duncan法的全称为Duncan's new multiple range test (MRT)，也称为新复极差法。该方法是对SNK法 的修正，但是提高了一类错误概率，降低了二类错误的概率，通常用于农业研究。该方法与SNK法相似， SNK 区别在于计算最小显著极差时，不是查q表，而是查SSR表，所得最小显著极差值随着k增大通常比SNK检 验的小。 编辑于 2021-08-08 08:48