ГАОУ ВО «Дагестанский государственный
университет народного хозяйства»
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
Миспахов Арсен Шарафидинович
Сборник индивидуальных заданий
по математике.
Раздел: Тригонометрические функции.
(для студентов 1 курса всех специальностей Бизнес-колледжа)
Махачкала 2017
Миспахов А.Ш. Сборник индивидуальных заданий по математике. Раздел:
Тригонометрические функции – Махачкала: ДГУНХ, 2017г., 59 с.
Пособие содержит задачи и упражнения по всем основным темам
раздела «Тригонометрические функции». По всем темам приведен в краткой
форме теоретический материал. Подробные решения примеров помогут
студентам при подготовке к практическим, лабораторным занятиям, при
сдаче зачетов и экзаменов, а также для выполнения самостоятельных работ.
Сборник индивидуальных заданий по математике.
«Тригонометрические функции» на сайте www.dgunh.ru.
Одобрено на заседании кафедры
математики 27 декабря 2016г.,
протокол № 10
Зав. кафедрой к.ф.м.н., доцент
Назаров А.Д.
2
Раздел:
Содержание.
§ 1. Единичная тригонометрическая окружность. Тригонометрические
функции числового аргумента. Основные формулы тригонометрии………....4
ИЗ №1…………………………………………………………..………………….9
§2.
Тригонометрические функции, их свойства и графики. Построение
графиков тригонометрических функций с помощью геометрических
преобразований графиков…………………………………………….................17
2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики………………..…17
2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью
геометрических преобразований графиков……………………….…………...19
ИЗ №2…………………………………………………………………………….27
§ 3. Обратные тригонометрические функции…………………………………30
ИЗ №3…………………………………………………………………………….33
§ 4. Тригонометрические уравнения…………………………………………....36
4.1. Простейшие тригонометрические уравнения……………………….….....36
4.2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным……………..37
4.3. Однородные тригонометрические уравнения……………………...….….38
4.4.Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного
угла……………………………………………………39
4.5. Решение тригонометрических уравнений, используя
формулы
преобразования произведения в сумму и обратно…………………….………40
4.6.Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной
подстановки……………………………………………………………….….…..41
ИЗ №4…………………………………………………………...……………….42
§ 5. Тригонометрические неравенства…………………………………….…...47
5.1 . Неравенства вида sin x  a , sin x  a , sin x  a , sin x  a …………….…….48
5.2. Неравенства вида cos x  a , cos x  a , cos x  a , cos x  a …….……….........50
5.3. Неравенства вида tgx  a , tgx  a , tgx  a , tgx  a ……….……...………....52
5.4. Неравенства вида ctgx  a , ctgx  a , ctgx  a , ctgx  a ………………….…54
ИЗ №5…………………………………………………………………………….56
3
§ 1. Единичная тригонометрическая окружность.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Основные формулы тригонометрии.
Единичная тригонометрическая окружность – это окружность, с
радиусом 1 и центром в начале координат.
Горизонтальный (ось Ох) и вертикальный (ось Оу) диаметры делят
числовую окружность на четыре четверти.
Начальная точка А единичной тригонометрической окружности
находится на оси x и имеет координаты (1; 0).
Отсчет по единичной тригонометрической окружности может вестись
как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется
положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке
называется отрицательным направлением.
Возьмем точку В(х;у) на окружности.
Вектор OB , соединяющий начало координат с произвольно выбранной
точкой плоскости В(х,y), называется радиус-вектором этой точки . Опустим
перпендикуляры на оси координат. Проекции точки В(х;у) на оси координат
равны х и у соответственно. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ.
cos  
OA x
AB y
  x ; sin  
 y
OB 1
OB 1
4
Синус угла  , образованного радиус-вектором точки на единичной
окружности с положительным направлением оси Ox, есть ордината этой
точки, т.е. : sin   y .
Косинус угла  , образованного радиус-вектором точки на единичной
окружности с положительным направлением оси Ox, есть абсцисса этой
точки: cos   y .
Синус и косинус определены для любого угла  и связаны между собой
(по теореме Пифагора) равенством: sin 2   cos 2   1 , которое называется
основным тригонометрическим тождеством.
Отношение синуса угла  к косинусу того же угла называется
тангенсом угла  : tg 
sin 
y
или tg  .
cos 
x
Тангенс определен для всех углов, кроме  

2
 n ,
nZ ,
где


cos  n   0 , Z - множество целых чисел.
2

Отношение косинуса угла  к синусу угла  называется котангенсом
угла  : tg 
cos 
x
или tg  .
sin 
y
Котангенс определён для всех углов, кроме   n , n  Z , где sinn  0 ,
Z - множество целых чисел.
Так как точка В лежит на единичной тригонометрической окружности
 1  x  1,  1  y  1 . Следовательно, sin   1, cos   1 .
Отрезок на оси Оx от -1 до 1 называется линией косинусов.
Отрезок на оси Оy от -1 до 1 называется линией синусов.
tg 
AB y sin 
OA x cos 
 
, sin   0 .
 
, cos   0 , ctg  
OA x cos 
AB y sin 
Линия тангенсов параллельна оси Оy и проходит через точку (1;0)
Линия котангенсов параллельна оси Оx и проходит через точку (0;1)
5
Радианная мера угла.
Угол в 1 радиан – центральный угол, длина дуги которого равна
радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью
180 0   радиан.
1 радиан 
1800

,
10 

180
радиан.
Периодичность тригонометрических функций .
Период косинуса равен 2 : сos(  2n)  cos  .
Период синуса равен 2 : sin(  2n)  sin  .
Период тангенса равен  : tg (  n)  tg .
Период котангенса равен  : ctg (  n)  ctg .
Четность и нечетность тригонометрических функций.
сos ( )  cos  , sin( )   sin  , tg ( )  tg , ctg ( )  ctg
Знаки тригонометрических функций.
Значения тригонометрических функций при некоторых углах.
0
sin 
00
0
cos
1
tg
0

6
300
1
2
3
2
3
3

4
450
2
2
2
2
1

3
600
3
2
1
2
3

2
900
1
0
-
6
2
3
1200
3
2
1
2
- 3
3
4
1350
2
2
2
2
-1
5
6
1500
1
2
3
2
3
3

1800
0
-1
0
ctg
-
1
3
0
3
3
-
-1
3
3
- 3
-
Формулы приведения.
Функции

2
sin
cos
tg
ctg
Угол

cos 
 sin 
 ctg 
 tg 
 
3

2
2  
 sin 
-cos 
 sin 
 ctg 
 tg 
 sin 
-cos 
 tg 
 ctg 
cos 
 tg 
 ctg 
Основные тригонометрические тождества.
cos 2   sin 2   1,
tg 
sin 
,
cos 
1
,
cos 2 
cos 
,
ctg  
sin 
1  tg 2 
1
,
sin 2 
1
.
ctg  
tg
1  ctg 2 
Формулы для суммы и разности элементов.
sin(   )  sin  cos   cos  sin  ,
sin(   )  sin  cos   cos  sin  ,
cos(   )  cos  cos   sin  sin  ,
cos(   )  cos  cos   sin  sin  ,
tg  tg
tg  tg
, tg (   ) 
,
1  tgtg
1  tgtg
ctg ctg   1
ctg ctg   1
, ctg (   ) 
.
ctg (   ) 
ctg   ctg 
ctg   ctg 
tg (   ) 
Формулы двойных, тройных и половинных аргументов.
cos 2  cos 2   sin 2   1  2 sin 2   2 cos 2   1 ,
sin 2  2 sin  cos  ,
ctg 2  1
2tg
1  cos 2
1  cos 2
ctg
2


,
,
,
sin 2  
, cos 2  
2
2ctg 
2
2
1  tg 
sin 2
1  cos 2
,
tg 

1  cos 2
sin 2
sin 3  3 sin   4 sin 3  , cos 3  4 cos 3   4 cos  .
tg 2 
Формулы преобразования произведения в сумму и обратно.
1
sin(   )  sin(   ), cos  cos   1 cos(   )  cos(   ),
2
2
1
sin  sin   cos(   )  cos(   ).
2
 
 
 
 
sin   sin   2 sin
cos
cos   cos   2 cos
cos
2
2
2
2
 
 
 
 
sin   sin   2 sin
cos
cos   cos   2 sin
sin
2
2
2
2
sin  cos  
7
Примеры.
1. Выразите в радианной мере величины углов: 50 0 , 216 0 ,  72 0 .
Решение: 50 0  50 

180

5
,
18
216 0  216 

180

6

2
.
,  72 0  72 

5
180
5
2. Выразите в градусной мере величины углов: 
Решение: 
7 5
,
, 0,2 .
12 4
7
7  180 0
5 5  180 0
 180 0

 105 0 ,

 225 0 , 0,2  
 36 0
12
12
4
4
5
5
3. Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к
тригонометрической функции острого угла: sin 4050 , tg 8630 , cos
ctg
21
.
4
18
,
5
Решение: sin 4150  sin(3600  550 )  sin 550 ,
tg 8630  tg 5  180 0  37 0   tg  37 0   tg 37 0 ,
cos
18
2

 cos 4 
5
5


 2
  cos 

 5
ctg
21

5

.
 ctg  5    ctg
4
4
4

2

,
  cos
5

4. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций,
3
5
если sin    ,    
3
.
2
Решение: Из основного тригонометрического тождества получим
3
находится в III четверти,
2
следовательно cos   0 , tg  0 , ctg   0 . Таким образом,
cos    1  sin 2  . Угол  :    
2
9
16
4
 3
cos    1  sin    1       1 

 .
25
25
5
 5
2
tg 
sin   3   4  3
cos   4   3  4
    :     , ctg  
   :    .
cos   5   5  4
sin   5   5  3
5. Упростите выражение
1  cos   cos 2
.
sin 2  sin 
Решение:
1  cos   cos 2 1  cos   2 cos 2   1 2 cos 2   cos  cos  2 cos   1




sin 2  sin 
2 sin  cos   sin 
sin  2 cos   1 sin  2 cos   1
sin 

 tg .
cos 
8
6. Упростите выражение
2
3
2  

3

3 
 3
 cos
 cos
 sin
 sin  sin
 sin
   cos  cos
 .
5
10
5  
10
5
10
5 
 10
2
2
Решение:
2
3
2  

3

3 
 3
 cos
 cos
 sin
 sin  sin
 sin
   cos  cos
 
5
10
5  
10
5
10
5 
 10
2
2
  3 2      3
 sin

    cos 
5     10 5
  10
7. Докажите тождество
2
2
7

2 7
 cos 2
 1.
   sin
10
10

tg  tg tg  tg

 2.
tg     tg    
Решение:
tg  tg tg  tg
tg  tg
tg  tg

 tg  tg  :
 tg  tg  :

tg     tg    
1  tgtg
1  tgtg

tg  tg 1  tgtg tg  tg 1  tgtg



 1  tgtg  1  tgtg  2 .
1
tg  tg
1
tg  tg
ИЗ № 1.
1. Выразите в радианной мере величины углов.
1.1.
10 0 , 135 0 ,  60 0 ;
1.15. 450 , 160 0 ,  750 ;
1.2.
180 , 150 0 ,  90 0 ;
1.16. 216 0 , 150 ,  60 0 ;
1.3.
30 0 , 144 0 ,  130 0 ;
1.17. 130 0 , 72 0 ,  180 0 ;
1.4.
54 0 , 135 0 ,  36 0 ;
1.18. 54 0 , 120 0 ,  150 0 ;
1.5.
150 , 120 0 ,  180 0 ;
1.19. 180 , 1080 ,  30 0 ;
1.6.
20 0 , 125 0 ,  36 0 ;
1.20. 252 0 , 450 ,  240 0 ;
1.7.
40 0 , 225 0 ,  30 0 ;
1.21. 210 0 , 150 ,  60 0 ;
1.8.
450 , 240 0 ,  180 ;
1.22. 50 0 , 144 0 ,  120 0 ;
1.9.
36 0 , 150 0 ,  210 0 ;
1.23. 1080 , 1350 ,  300 0 ;
1.10. 60 0 , 72 0 ,  252 0 ;
1.24. 30 0 , 3150 ,  36 0 ;
1.11. 72 0 , 108 0 ,  270 0 ;
1.25. 10 0 , 216 0 ,  180 ;
1.12. 120 0 , 135 0 ,  144 0 ;
1.26. 550 , 150 0 ,  1350 ;
1.13. 750 , 210 0 ,  36 0 ;
1.27. 72 0 , 54 0 ,  30 0 ;
1.14. 100 0 , 54 0 ,  90 0 ;
1.28. 60 0 , 75 0 ,  144 0 ;
9
1.29. 210 0 , 50 0 ,  90 0
1.30. 150 , 3000 ,  1000 .
2. Выразите в градусной мере величины углов.
2.1.
7

,  , 0,3 ;
6
5
2.16.
5

,  , 0,4
3
3
2.2.
5
7
,
, 0,2 ;
18
9
2.17.
19
7
,
, 1,1
36
6
2.3.
5
11
,
, 1,4 ;
9
18
2.18.
2.4.
5
4
,
, 1,5 ;
36
5
2.19.
11
3
,
, 1,125
6
5
2.5.
7
2
,
, 0,8 ;
9
3
2.20.
4
29
,
, 0,6
5
36
2.6.
7
5
,
, 1,7 ;
36
18
2.21.
19
5
,
, 1,8
18
9
2.7.
2
4
,
, 0,25 ;
3
5
2.22.
5

,  , 0,3
36
4
2.8.
8

,  , 0,125 ;
9
6
2.23.
11
3
,
, 0,9
18
4
2.24.
23
4
,
, 1,7
36
9
11
, 1,4
36
2.25.
2
11
,
, 1,4
5
9
2.11.
3
2
,
, 0,5
4
9
2.26.
17

,  , 1,2
36
5
2.12.
2
5
,
, 0,9
5
9
2.27.
8
19
,
, 0,1
9
36
2.13.
4
3
,
, 0,7
9
5
2.28.
5
3
,
, 1,25
18
4
2.14.
7
13
,
, 1,2
18
36
2.29.
13
11
,
, 0,4
9
36
2.15.
17
2
,
, 1,3
36
5
2.30.
2.9.
2.10.

18

9
,
,
6
, 0,6 ;
5

3
,

18
13
, 1,25
18
,
5
, 1,46
9
3. Приведите тригонометрическую функцию произвольного
аргумента к тригонометрической функции острого угла:
3.1.
18
 11 
0
sin 340 0 , cos 
;
, tg (523 ), ctg
7
 9 
10
3.2.
11
 13 
0
;
cos 295 0 , sin 
, ctg 447 , tg
6
 8 
3.3.
 15 
 17 
0
sin(305 0 ), cos 
, tg 392 , ctg  
;
 8 
 6 
3.4.
sin(267 0 ) , cos
3.5.
cos(305 0 ), sin
3.6.
 13
cos 365 0 , sin 
 4
3.7.
sin(319 0 ), cos
3.8.
 17 
 10 
0
cos 279 0 , sin 
, tg 700 , ctg  
;
 4 
 3 
3.9.
sin 3510 , cos
13
 11 
, ctg (682 0 ), tg  
;
3
 5 
17
 9 
, ctg 287 0 , tg  
;
4
 5 

 7
0
, tg (451 ), ctg  

 5

;

15
 12 
, ctg (3410 ), tg  
;
7
 5 
17
 13 
, tg (507 0 ), ctg  
;
4
 3 
16 
17
0
;
, tg (451 ), ctg
6
 7 
3.10. cos 284 0 , sin 
3.11. sin(3530 ) , cos
3.12. cos(500 0 ), sin
14
12
;
, ctg (605 0 ), tg
3
5
12
16
, tg (3610 ), ctg
;
7
3
11 
19
;
,  ctg (235 0 ), ctg
6
 4 
3.13. cos 4230 , sin 
3.14. sin(289 0 ) , cos
16
12
;
, tg (506 0 ), ctg
5
5
19 
11
0
;
, tg (521 ), ctg
3
 6 
3.15. cos 304 0 , sin 
15 
12
0
;
, tg (424 ), ctg
5
 9 
3.16. sin 312 0 , cos 
15 
10
0
;
, ctg 308 , tg
3
 8 
3.17. cos 312 0 , sin 
17
 7
3.18. sin(316 0 ), cos 
3.19. sin(209 0 ) , cos

 15
0
, tg 289 , ctg  

 6

;

12
 14 
, ctg (6030 ), tg  
;
5
 5 
11
3.20. cos(2350 ), sin
13
 11 
, ctg 247 0 , tg  
;
6
 5 
11 
 13 
0
, tg (521 ), ctg  
;
 4 
 5 
3.21. cos 284 0 , sin 
3.22. sin(306 0 ), cos
14
 17 
, ctg (3110 ), tg  
;
5
 6 
21 
 12 
0
, tg 600 , ctg  
;
 5 
 7 
3.23. cos 299 0 , sin 
3.24. sin 4510 , cos
17
 14
, tg (520 0 ), ctg  
6
 5

;

17 
18
0
;
, tg (423 ), ctg
5
 7 
3.25. cos 286 0 , sin 
3.26. sin(344 0 ) , cos
3.27. cos(5010 ), sin
12
19
;
, ctg (612 0 ), tg
7
6
13
18
;
, tg (345 0 ), ctg
7
5
15 
11
;
,  ctg (335 0 ), ctg
5
 4 
3.28. cos 4030 , sin 
3.29. sin(279 0 ) , cos
13
11
;
, tg (516 0 ), ctg
5
5
17
 6
3.30. cos 334 0 , sin 
10

0
.
, tg (552 ), ctg
3

4. Найдите значения других трех основных тригонометрических
функций, если
4.1. sin  
12 
,   ;
13 2
4.2. cos   0,6 ,

2
4.7. sin   0,6 ,    
4.8. sin  
  ;
3 3
   2 ;
5 2
4.5. cos   
4.6. cos  
5 
,   ;
13 2
3 
  ;
5 2
4.3. sin    ,
4.9. cos    ,
12 3
   2 ;
,
13 2
3
;
2
4.10.
sin   
5
3
,    ;
13
2
4.11.
cos   0,8 ,
4.12.
sin   
4.4. sin   0,8 ,    
3
;
2
12 3
,    2 ;
13 2
12

2
  ;
12
3
,    ;
13
2
3
;
2
4.13.
cos   0,6 ,    
4.14.
4 
cos    ,     ;
5 2
4.15.
sin   
4.16.
sin  
4.17.
cos   
4.18.
3
3
;
cos    ,    
5
2
4.19.
sin  
4.20.
sin   0,6 ,
4.21.
cos   
5
3
,    ;
13
2
3 
,   ;
5 2
12
3
,    ;
13
2
4 
,   ;
5 2

2
  ;
5 
,   ;
13 2

  ;
4.22.
sin   0,8 ,
4.23.
cos  
4.24.
4
3
;
sin    ,    
5
2
4.25.
cos   0,8 ,    
4.26.
3
3
;
sin    ,    
5
2
4.27.
4
3
;
cos    ,    
5
2
4.28.
cos   0,8 ,
4.29.
4 3
sin    ,
   2 ;
5 2
4.30.
cos   
5.10.
cos
5.11.
cos 2   cos 4   sin 4  ;
5.12.
sin
5.13.
1  2 cos 2 
;
cos   sin 
2
4 3
,
   2 ;
5 2
3
;
2
3
   2 ;
2
12 
,   .
13 2
5. Упростите выражение
5.1.
5.2.
sin   cos  2  sin 2 ;
1  cos  1  cos   ;
sin 
2
2
  ctg 2  sin 2   sin 2  ;
  tg 2  sin 2   ctg ;
5.3.
1
sin 
;

tg 1  cos 
5.4.
1  2 sin  cos 
 cos  ;
sin   cos 
5.14.
(1  sin  )(1  sin  )
;
cos 
sin 2   1
 tg 2 ;
4
cos 
5.15.
1  cos   cos 2
;
sin 2  sin 
5.16.
ctg 2 1  cos 2   cos 2  ;
5.17.
tg 2  sin 2   tg 2  sin 2  ;
5.18.
3sin   2 cos  2  2 sin   3 cos  2
5.5.
5.6.
1  sin 2 
 (cos tg ) 2 ;
2
cos 
5.7.
tgα
 tgβ  ctgβ ;
ctgα
5.8.
1  sin 2 
 tg  ctg  ;
1  cos 2 
5.9.
;
5.19.
1  sin  1  tg  ;
2
2
13
cos   tg
 ctg   cos  ;
sin 2 
5.20.
sin   cos  2  sin 2 ;
5.26.
cos 4   sin 4  ;
5.21.
1  cos  1  ctg   ;
5.27.
5.22.
sin 2
 ctg   sin  ;
sin 
1  sin 2
;
cos   sin 
5.28.
sin 2 1  ctg   cos 2 1  tg  ;
5.23.
sin 2
;
cos 2 ctg 
5.29.
cos 4   sin 4 
;
cos 2
5.30.
cos 2  cos 2 
.
1  cos 2 
5.24.
5.25.
2
2
1  sin 2
sin   cos  2
;
cos 2
;
cos   sin 
6. Упростить выражение.
6.1.
sin 2  cos 3  cos 2  sin 3  sin  ;
6.2.
sin 2  sin 3  cos 2  cos 3  cos 5 ;
6.3.
sin
6.4.
cos
6.5.
4

4 
 
 cos  sin
 sin  cos
 ;
7
21
7
21 

2

2

 cos  cos
 sin ;
15
5
15
5

7
 cos

42
 sin

7
 sin

42
;
2
6.6.
6.7.
cos 54  cos 9  sin 54  sin 9  2 ;
2  sin 12  cos 18  cos 12  sin 18 ;
0
0
0
0
0
0
0
0
6.8.
cos 65 0  cos 40 0  sin 65 0  sin 40 0
;
sin 17 0  cos 8 0  cos 17 0  sin 8 0
6.9.
sin x  sin 2 x  sin 3x  cos x cos 2 x ;
6.10.
sin 38
6.11.
cos x  sin 2x  sin x  cos 2 x  sin x ;
6.12.
1
2
1
2
1
1
cos x  cos x  sin x  sin x  cos x ;
3
3
3
3
2
3
6.13.
sin 7  sin 4  cos 4  cos 7  cos 11 ;
6.14.
cos 40 0  cos 17 0  sin 40 0  sin 17 0
;
sin 10 0  cos 130  cos 10 0  sin 130
6.15.
sin 7  cos 4  sin 4  cos 7  3sin 11 ;
0
 cos 12 0  cos 380  sin 12 0
  cos 40
2
14
0

2
 cos 10 0  sin 40 0  sin 10 0 ;
6.16.


 
 
 sin  cos  cos  sin  ;
3
12
3
12 

6.17.
cos
6.18.
2

2


2   sin
 cos  cos
 sin  ;
5
15
5
15 

6.19.



 

 sin  sin   2 ;
 cos  cos
5
20
5
20 

6.20.
sin 15 0  cos 10 0  cos 15 0  sin 10 0
;
cos 5 0  cos 20 0  sin 5 0  sin 20 0
6.21.
sin 123
6.22.
sin 2 x cos 3x  2 sin 5x  cos 2 x sin 3x ;
6.23.
cos 39 0  cos 12 0  sin 39 0  sin 12 0
;
sin 12 0  cos 15 0  cos 12 0  sin 15 0
6.24.
cos 2,5x  cos 1,5x  cos x  sin 1,5x  sin 2,5x ;
6.25.
sin 35
6.26.
cos 4x  cos 7 x  cos 3x  sin 4x  sin 7 x ;
6.27.
cos104
6.28.
sin 28 0  cos 12 0  cos 28 0  sin 12 0  sin 40 0
;
2
6.29.
sin 38 0  cos 12 0  cos 38 0  sin 12 0
;
cos 40 0  cos 10 0  sin 40 0  sin 10 0
6.30.
sin 4 x cos 3x  sin 7 x  cos 4 x sin 3x .
2
2
5
2
5
;
 cos
 sin
 sin
7
42
7
42
0
0

2
 cos 330  cos 1230  sin 330 ;
 cos 10 0  cos 350  sin 10 0
0
  cos15
2

3
 cos 14 0  sin 104 0  sin 14 0 ;
7. Докажите тождество.
7.1. sin   cos  2  sin   cos  2  2 ;
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
1
  sin 2  ;
2
sin 
1
2 sin   cos   cos 2  sin 4 ;
2
1
 cos   ctg   sin  ;
sin 
1  cos 
cos  


  tg ;
2  1  sin  1  sin  
4 cos 2  cos   sin   sin 4 ;
1
 sin   tg  cos  ;
cos 
ctg 2  cos 2  
15
0

2
 cos 10 0  sin 150  sin 10 0 ;
7.8.
7.9.
1  cos 2  sin 2
 ctg  ;
1  cos 2  sin 2
sin  
 sin 


  cos   2ctg  ;
 1  cos  1  cos  
1  sin 2 
2
 cos   tg   cos 2  ;
2
cos 
1
sin 
1
7.11.
;


tg 1  cos  sin 
7.10.
2 sin 2   1
 cos   sin  ;
sin   cos 
cos 3   sin 3 
7.13.
 sin   cos  ;
1  sin  cos 
 sin 2 

7.14. ctg   cos    
 tg   cos 2  ;
 cos 

7.12.
cos 4   sin 4 
 1;
cos 2
1  sin 2  cos 2
7.16.
 tg ;
1  sin 2  cos 2
1  sin 2
7.17.
 1;
sin   cos  2
7.15.
tg 2 1  ctg 2
7.18.

 tg 2 ;
2
2
1  tg  ctg 
7.19. cos 4   sin 4   cos 2 ;
7.20.
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
7.27.
7.28.
7.29.
cos 2
 sin   cos  ;
cos   sin 
1
tg 2  sin 2  
  cos 2  ;
2
cos 
1
sin 

 ctg  ;
sin  1  cos 
1  2 sin 2 
 sin   cos  ;
sin   cos 
2 cos   sin 2
 2 cos  ;
2
sin   sin   cos 2 
2 sin 2
1
cos 2 

;
ctg   tg cos 2
sin 2   tg 2  sin 2   ctg  tg ;
cos 2   cos 4   sin 4   sin 2  ;
1  sin 2
 cos   sin  ;
sin   cos 
tg 2
ctg 2

 1;
1  tg 2 1  ctg 2
7.30. 1  ctg 2  tg 2  cos 2   ctg 2 .
16
§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Построение графиков тригонометрических функций с помощью
геометрических преобразований графиков.
2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Основными тригонометрическими функциями являются функции
y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
1. Функция y=sin(x). График функции y=sin(x) – синусоида:
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом
равным 2π.
5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.
6. Интервалы знакопостоянства: sin x  0 при x  2n;   2n, n  Z ;
sin x  0 при x    2n;2  2n , n  Z .
2. Функция y= cos(x). График функции y= cos(x):
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом
равным 2π.
17

5. Нули функции:   k ; ０  , где k – целое.
2

6. Интервалы знакопостоянства: cos x  0 при x   

 2
 2n;


 2n  , n  Z ;
2

3


 2n  , n  Z .
cos x  0 при x    2n;
2
2

3. Функция y=tg(x).
График функции y=tg(x) – тангенсоида:
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида
x

2
 k , где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом
равным π.
5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: tgx  0 при x   n;  n  , n  Z ;



tgx  0 при x    n;   n  , n  Z .
2

4. Функция y=ctg(x).
График функции y=ctg(x):
18
2

Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида
x=πk, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом
равным π.

5. Нули функции:   k ; ０  , где k – целое.
2


6. Интервалы знакопостоянства: ctgx  0 при x   n;  n  , n  Z ;

2



ctgx  0 при x    n;   2n  , n  Z .
2

2.2. Построение графиков тригонометрических функций с
помощью геометрических преобразований графиков.
Виды преобразований графиков функций.
1. Сжатие графика к оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции f kx , где k  1 , нужно
график функции f x  сжать к оси Оу в k раз.
Пример 1
Построить график функции y  sin 2 x . Сначала строим график
y  sin x . Период T  2 .
Сжимаем синусоиду к оси Оу в 2 раза:
19
Таким образом, график функции y  sin 2 x получается путём сжатия
графика y  sin x к оси ординат в два раза.
Период функции y  sin 2 x равен  .
В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо
на черновике выполнить подстановку:
Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.
Пример 2
Построить график функции y  cos 3x .
График функции y  cos x сжимается к оси Оу в 3 раза:
Период T функции y  cos x равен 2 , период функции y  cos 3x
составляет
2
.
3
2. Растяжение графика функции от оси ординат
1
Правило: чтобы построить график функции f  x  , где k  1 , нужно
k 
график функции f x  растянуть от оси Оу в k раз.
x
2
Пример 3 Построить график функции y  sin . Строим
график y  sin x .
20
Период T  2 .
И растягиваем синусоиду от оси Оу в 2 раза:
x
получается
2
путём растяжения графика y  sin x от оси ординат в два раза.
Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: T  2  2  4 .
То есть, график функции y  sin
3. Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс
Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит
сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.
Рассмотрим функцию y  f (x) и положительное число b :
Правило:
1) чтобы построить график функции y  f ( x  b) , нужно
график y  f (x) сдвинуть вдоль оси Ох на b единиц влево;
2) чтобы построить график функции y  f ( x  b) , нужно
график y  f (x) сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо.
Пример 4

Построить график функции y  sin x   .

2
График синуса y  sin x сдвинем вдоль оси Ох на
21

влево:
2
Внимательно присмотримся к полученному красному

графику y  sin x   Это в точности график косинуса y  cos x . Мы

2
получили геометрическую иллюстрацию формулы

приведения sin x    cos x .

2
График функции y  cos x получается путём сдвига
синусоиды y  sin x вдоль оси Ох на

единиц влево.
2
Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент
представляет собой линейную функцию: f (kx  b) , при этом k  0, b  0 .
Функцию f (kx  b) необходимо представить в

b 
виде f (kx  b)  f  k  x    и последовательно выполнить следующие
k 
 
преобразования:
1) График функции f (x) сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси)
ординат: f (kx) .
2) График полученной функции f (kx) сдвигаем влево (или вправо)
b
единиц, в результате чего будет построен
k
искомый график f (kx  b) .
вдоль оси абсцисс на
Пример 5

Построить график функции y  sin 2 x  

2

 
Представим функцию в виде y  sin 2 x    и выполним следующие
4 
 
преобразования: синусоиду y  sin x сожмём к оси Оу в два
раза: y  sin 2 x .
2) сдвинем вдоль оси Ох на


влево: y  sin 2 x   .
2
4

22
Пример, вроде бы, несложный, а сделать ошибку в параллельном

4
переносе легко. График сдвигается на , а вовсе не на

.
2
4. Растяжение графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции y  mf (x) , где m  1 ,
нужно график функции y  f (x) растянуть вдоль оси Оу в m раз.
Пример 6
Построить график функции y  2 sin x . Строим график функции
y  sin x :
И вытягиваем синусоиду вдоль оси Оу в 2 раза:
Период функции y  2 sin x не изменился и составляет T  2 , а вот
23
значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза.
Область значений функции y  2 sin x : E( y)   2;2 .
5. Сжатие графика вдоль оси ординат.
f ( x)
, где m  1 ,
m
нужно график функции y  f (x) сжать вдоль оси Оу в m раз.
Правило: чтобы построить график функции y 
Пример 7
1
2
Построить график функции y  sin x .
Строим график функции y  sin x :
Теперь сжимаем синусоиду вдоль оси Оу в 2 раза:
Аналогично, период T  2 не изменился, а область значений
функции y  sin x : E ( y)   ;  .
2
 2 2
1
1 1
6. Симметричное отображение графика относительно оси
абсцисс
Правило: чтобы построить график функции y   f (x) , нужно
график y  f (x) отобразить симметрично относительно оси Ох.
Пример 8
Построить график функции y   sin x .
Отобразим синусоиду симметрично относительно оси Ох:
24
7. Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат
Правило:
1) чтобы построить график функции y  f ( x)  c , нужно
график y  f (x) сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на c единиц вверх;
2) чтобы построить график функции y  f ( x)  c , нужно
график y  f (x) сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на c единиц вниз.
Пример 9.
Построить графики функций y  sin x  2 , y  sin x  1 .
Комбинационное построение графика y  mf ( x)  c в общем
случае осуществляется очевидным образом:
1) График функции y  f (x) растягиваем (сжимаем) вдоль оси Оу.
Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем
симметричное отображение относительно оси Ох.
2) Полученный на первом шаге график y  mf (x) сдвигаем вверх или
вниз в соответствии со значением константы c .
Пример 10
3
2
Построить график функции y  cos x  2
Строим график косинуса y  cos x :
25
3
2
1) Растягиваем вдоль оси Оу в 1,5 раза: y  cos x ;
3
2
2) Сдвигаем вдоль оси Оу на 2 единицы вниз: y  cos x  2 .
Общая схема построения графика функции
с помощью геометрических преобразований
Рассмотрим функцию y  mf (kx  b)  c , которая «базируется» на
некоторой функции y  f (x) .
Для построения графика функции y  mf (kx  b)  c
– на первом шаге выполняем преобразования, связанные с
аргументом функции, в результате чего получаем график
функции y  f (kx  b) ;
– на втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой
функцией, и получаем график функции y  mf (kx  b)  c .
Пример 11. Найдите множество значений функции
y   3sin 5x  0,1 .
Решение:
Область значений функции y  sin 5x , как и функции y  sin x равна
 1;1. Так как при умножении на -3 происходит растяжение в 3 раза
вдоль Оу графика функции y  sin 5x и симметричное отображение
графика функции y  3 sin 5x относительно оси абсцисс, область
значений функции y  3 sin 5x - отрезок  3;3 . А после сдвига вдоль
Оу вниз на 0,1 графика последней функции, получаем окончательный
ответ  3,1;2,9.
Пример 12. Используя четностью/нечетность тригонометрических
функций, исследовать на четностью/нечетность функцию
y ( x) 
x  sin x
.
3 cos x
26
Решение:
Поменяем знак аргумента, получим,
y (  x) 
 x  sin( x)  x  sin x
x  sin x


  y( x) , следовательно функция
3 cos( x)
3 cos x
3 cos x
нечетная.
ИЗ № 2.
1. Построить график функции
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.


y  sin 2 x  
6



y  cos 2 x  
6



y  sin 3x  
6

5 

y  cos 2 x 

6 



y  sin 2 x  
3

2 
1
y  cos x 

3 
2


y  sin 2 x  
3



y  cos 3x  
6

2 

y  sin 2 x 

3 

2 
1
y  cos x 

3 
2
2 

y  sin 2 x 

3 

5 
1
y  cos x 

6 
2
5 

y  sin  3x 

6 



y  cos 3x  
6

5 

y  sin 2 x 

6 



y  cos 2 x  
6

1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
1.31.
27

1
y  sin x  
3
2
5 

y  cos 2 x 

6 


1
y  sin  x  
3
2

1
y  cos x  
3
2

1
y  sin x  
6
2

1
y  cos x  
3
2


y  sin 3x  
6



y  cos 3x  
6



y  cos 2 x  
3

2 
1
y  sin x 

3 
2
2 
1
y  sin x 

3 
2

1
y  cos x  
6
2
5 
1
y  sin x 

6 
2
2 

y  cos 2 x 

3 

2. Построить график функции.

2.16. y  3 cos x  

2.1. y  2 sin x  
6

2
2.2. y  3 cos x  
3 


2.3. y  2 sin x  
6

1
2
2.4. y  cos x  
2
3 


2.5. y  3 sin x  
3

1

2.6. y  cos x  
2
6


2.7. y  2 sin x  
3

5
2.8. y  2 cos x  
6 

2
2.9. y  2 sin x  
3 


2.10. y  2 cos x  
6

2
2.11. y  2 sin x  
3 


2.12. y  2 cos x  
3

5
2.13. y  2 sin x  
6 

5
2.14. y  3 cos x  
6 

5
2.15. y  3 sin x  
6 

6

1

2.17. y  sin x  
2 
6
1

2.18. y  cos x  
2
3


2.19. y  3 sin x  
6


2.20. y  3 cos x  
3

1

2.21. y  sin x  
2 
3
5
2.22. y  2 cos x  
6 

1

2.23. y  sin x  
2 
3
2
2.24. y  2 cos x  
3 

2
2.25. y  3 sin x  
3 

1
2
2.26. y  cos x  
2
3 

1
2
2.27. y  sin x  
2 
3 
1
5
2.28. y  cos x  
2
6 

1
5
2.29. y  sin x  
2 
6 
1

2.30. y  cos x  
2
6

3. Построить график функции
5 

y  3 sin x 
2
6 

5
3.7. y  sin 2 x    2
6 

5
3.8. y  2 cos 3x  
6 


3.9. y  sin 3x    2
6

3.10. y  2 cos 3x  2
1
2 
 1
3 
2
1
y  2 sin x  1
2


y  3 sin x    1
3



y  2 sin  x    1
6

2 

y  sin 2 x 
 1
3 

3.1. y  cos x 
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
28
5 
2
6 

5 

y  2 cos x 
 1
6 


1
y  sin x    1
6
2


y  2 cos x    1
6

5 

y  2 cos 3x 

6 

2 
1
y  3 cos x 

3 
2


y  2 sin  2 x  
3

1 

y  sin 2 x  
2 
6
5 

y  2 cos 3x 

6 


3.11. y  cos 2 x    2
3.22. y  2 cos x 
1

3.12. y  sin x    1
3.23.
3.13.
3.24.


3


y  cos 3x    1
6

5 

y  cos 2 x 
2
6 



y  2 sin x    2
6

1
y  3 sin x  2
2
1
y  sin 2 x  1
2
2 
1
y  sin x 
 1
3 
2
y  3 cos 2 x  1
2
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
6
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.

3.20. y  sin 3x    2

6

3.21. y  2 cos x    1
3

4.
Найдите область значений функции.
1

4.12. y  1 3 cos 2 x ;
4.1. y  cos x    0,2 ;
2



3
4.13. y  7,1cos x 

4.2. y  2,5 sin x    0,4 ;
6

4.3. y  5 cos 3x  0,7 ;
4.14.

4.4. y   cos 2 x    2,2 ;
4.15.

4
x
2

4.6. y  2 cos  x   1 ;
3

x
4.7. y  4,2 sin  2,5 ;
3

4.8. y  0,6 sin  x   0,1 ;
4

5
4.9. y  3  2 sin x   ;
6 

4.10. y  4 cos 2 x  2,7 ;
4.5. y  3,4 sin  1,5 ;
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.

4.11. y   sin 3x    1,6 ;

4.22.
5
29
2 
  3,2 ;
3 

x
y  5 cos  2,3 ;
4


y  5,2 sin  x   3 ;
4



y  2 cos x    0,4 ;
3



y  2 sin x    0,6 ;
6

y  2 cos 5x  3,7 ;
3 

y   sin 2 x 
  2,4 ;
4 

4
x
y  cos  3 ;
5
5


y  2 sin  x   1,5 ;
4

x
y  4,1cos  0,5 ;
3
2

 x   5,1;
 3



y  5  3 sin  x   ;
3

y  0,5 cos 2 x  2 ;
2 

y   sin 4 x 
  3,4 ;
5 

y  4  3,5 cos 3x ;
4.28. y  3,2 cos x 
4.23. y  2,2 sin
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
5.
2 
5;
3 

3x
4.29. y  0,5 cos  2 ;
4

4.30. y  2,5 sin  x   3 .
6

Исследуйте функцию на четностью/нечетность.
3tgx  sin x
5.17. y( x)  3x  sin x  5ctg 2 x ;
5.1. y( x) 
cos x ;
5.18. y( x)  tg 2 x  sin x  5ctgx ;
2
5.2. y( x)  tgx  sin x  ctg x ;
ctgx  4 x
5.19.
y ( x) 
5.3. y( x)  3 cos x  sin x  tgx ;
sin 3 x ;
tgx 1  cos x 
3 sin x  5 ;
2
5.21. y( x)  3x  ctgx  2 x  cos x ;
cgx  tgx
3 sin x ;
tg 2 x  5 cos x
5.5. y( x) 
;
sin x
5.6. y( x)  x  ctgx  2 cos x ;
5.4. y( x) 
5.20. y( x) 
sin 2 x  cos x
;
7x3
2tgx
5.23. y( x)  4
7 x  cos x ;
5.24. y( x)  x 2 sin x  5 cos x ;
5.22. y( x) 
5.7. y( x)  sin 2 x  cos x  x 3  tgx
;
2tgx  x 3
7  cos x ;
5.9. y( x)  2 sin x  cos x ;
5.8. y( x) 
5.25. y( x) 
2tg 3 x  2 x
sin x ;
sin x  2tgx
5.27. y( x) 
x  cos x ;
5.28. y( x)  5x 2 cos x  3x  ctgx
5.10. y( x)  x 3  tgx  6 cos x ;
5.26. y( x) 
2tgx  ctgx
sin 2 x ;
x  sin x
5.12. y( x)  3
x  cos x ;
5.13. y( x)  5 cos 2 x  x  tgx ;
5.11. y( x) 
;
5.29. y( x)  2 sin 2 x  x cos x ;
5.14. y( x)  2 sin x  x cos x  5tgx ;
5.15. y( x) 
2 x  tgx
ctg 2 x ;
5.16. y( x) 
tg 2 x  sin 2 x
;
cos x
x 3  tgx
;
1  7ctgx
5.30. y( x) 
x  3tgx
sin 2 x  5 x 2 .
§ 3. Обратные тригонометрические функции.
 


Арксинусом числа a   1;1 называется угол x   ;  , синус
 2 2
 
которого равен a . Т.е. arcsin a  x  sin x  a , x   ;  .
 2 2
График функции y  arcsin x .
30
Арккосинусом числа a   1;1 называется угол x  0;   , косинус
которого равен a . Т.е. arccos  x  cos x  a , x  0;   .
График функции y  arccos x .
 
Арктангенсом числа a   ; называется угол x    ;  ,
 2 2
 
тангенс которого равен a . Т.е. arctga  x  tgx  a , x    ;  .
 2 2
График функции y  arctgx .
31
Арккотангенсом числа a   ; называется угол x  0;   ,
котангенс которого равен a . Т.е. arcctga  x  ctgx  a , x  0;   .
График функции y  arcctgx .
Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.
arcsin(  x)   arcsin x , arcsin x 
arcsin x  arccos 1  x 2  arctg

2
x
1 x2
arccos(  x)    arccos x , arccos x 
arccos x  arcsin 1  x 2  arcctg
arctg ( x)  arctgx , arctgx 
arctgx  arcctg

2

2
x
, x0
 arcsin x
1 x2
, x0
 arcctgx
1
x
1
 arcsin
 arccos
, x0
2
2
x
1 x
1 x
arcctg ( x)    arcctgx , arcctgx 
arcctgx  arctg
 arccos x

2
 arctgx
1
1
x
 arcsin
 arccos
, x0
x
1 x2
1 x2
Примеры.

3

2
3
1. Вычислите arcsin     2  arccos     arctg
.
3
 2 
 2 
Решение:


3
2
3

3 
 3 
  2  arccos  
  arctg
arcsin  
   2
  
 



3
3
4 6
3 2 6
 2 
 2 
 2  9  
10
5
.



6
6
3
4
2. Вычислите cos arcsin  , sinarcctg (2) .
5

Решение:
32
2

4

4

cos arcsin   cos arccos 1   

5

5


  cos arccos 1  16   cos arccos 9  



25 
25 



3 3

 cos arccos   ;
5 5


1
sin arcctg (2)   sin   arcctg 2  sin(arcctg 2)  sin arcsin
1  22

ИЗ № 3.
1. Вычислите
1.1.
1.2.



3
  arccos 0   arcctg 3 ;
2   arctg  



 3 



2
1
  arccos
arcsin  

2
 2 
;
arctg1
1.3.
2  arccos 1  arctg ( 3 )  arcctg
1.4.
arcsin
1.5.
3
;
3

1
3
  arcctg (1) ;
 arccos  

2
2



3
1
  arcsin   
arcctg  

 2
 3 
;
arccos 0
1.6.

2
  arccos 0 ;
arctg 3  2 arcsin  

 2 
1.7.

3
 1
  arcctg 0 ;
3  arcsin     arccos  

2
 2


1.8.
1.9.

2
  arcsin 0
arccos  

2


;
arctg1
arcsin

1
3
  arcctg (1) ;
 arccos  

2
2



1.10. 3  arctg  

3
2
  2  arccos
 arcctg ( 3 ) ;
3 
2
 1
arctg 3  arccos   
 2 ;
1.11.
2
arcsin
2
33
 1

.

5


1.12. arcsin 1  arccos  

2
  4  arcctg (1) ;
2 
1.13. 2  arccos  arctg  3   2  arcctg
1
2


2
3
;
3
3 
   arcctg 3 ;
1.14. 2   arcsin
 arccos  

2
2




3
1
  arcsin   
arccos  

 2
 2 
1.15.
;

3

arctg  

3





2
3
1.16. 2   arccos     arctg 0   arcsin ;
2
 2 



2
  arctg (1)
arccos  
2 

1.17.
;
1
arcsin
2
1
3
1.18. 2  arcsin     arctg ( 3 )  arccos ;
 2
2

1
2
1.19. arcsin     arccos     arcctg ( 3 ) ;
 2
2 


3
  arcsin  1
arctg  
3 

1.20.
;
2
arccos
2

1.21. arcctg (1)  2 arccos  


1
2
1.22. 3  arccos  arcsin  

2
  3 arcsin 0 ;
2 
3
  arctg 0 ;
2 

2
  arccos 0
2 arcsin  

2


1.23.
;
arctg (1)
1
2
1.24. 2  arcsin  arccos

3
3
 arctg ( 3 ) ;
2
2
1.25. arcctg     2  arccos
 arcsin( 1) ;
2
 3 
34

3

arcctg ( 3 )  arccos  

2

;
1.26.
2
arcsin
2

1
3
1.27. arcsin     arccos     arcctg ( 3 ) ;
 2

2 
1.28. 2  arcsin  arctg  3   2  arcctg
1
2


3
;
3
3
2
1.29. 2   arcsin     arccos   arctg 3 ;
2 
 2 


3
1
  arccos   
arcsin  

 2
 2 
1.30.
.
arcctg  1
2. Вычислите
2.1.
12 

sin arccos , tg arcsin( 0,6)  ;
13 

3
2.12. cosarcctg (4) , tg  arcsin  ;
2.2.
3

cosarctg (2) , ctg  arcsin  ;
5

2.13. sin arccos( 0,8), tg  arcsin

5

12 
;
13 
2.3.
sinarctg 3, cosarcsin( 0,8);
2.4.
5

tg  arccos , cosarcctg (3)  ;
13 

2.5.

 4 
ctg  arccos    , sin arctg 2 ;
 5 

2.16. tg  arccos    , cos arcctg  ;
2
 13  


2.6.
12 

cosarcctg (3) , tg  arcsin  ;
13 

2.17. ctg  arccos    , sin arctg 4 ;
 13 
2.7.

 3 
sin arccos    , tg arcsin 0,6 ;
 5 

2.18. cos arcctg    , tg arcsin 0,8 ;
 2
2.8.

 3 
cosarctg 3, ctg  arcsin     ;
 5 


2.19. sin arccos
2.9.
5

sin arcctg (3) , cos arcsin  ;
13 

1
2.20. cos arctg , ctg arcsin  0,8 ;

5 


2.10. tg  arccos    , cosarcctg 2 ;
 13 

4 


2.11. ctg  arccos    , sin arctg 2 ;
 5

4 


2.14. cosarctg 4, ctg  arcsin     ;
 5
2.15. sinarctg 3, cosarcsin( 0,8);

12 
1

12 



1 




12 
, tg arcsin( 0,6)  ;
13 
2

5 


2.21. sin arcctg 2, cos arcsin     ;
 13 
2.22. tg arccos  0,6, cosarcctg 5 ;

3 
2.23. ctg  arccos    , sin arctg  ;
2
 5 


35
1

12 


2.24. cosarcctg 4, tg  arcsin     ;
 13 

5 


2.28. ctg  arccos    , sin arctg 3 ;
 13 
1
12
2.25. cos arcctg , ctg arccos  0,6 ; 2.29. cosarcctg (5) , tg  arcsin  ;

2


12 


2.26. sin arctg 0,5, cos arcsin     ;
 13 

3 


13 
2.30. sinarccos 0,8, cosarctg (4) .
2.27. tg  arccos    , cos arcctg  ;
2
 5

1
§ 4. Тригонометрические уравнения.
Определение: Тригонометрическим называется уравнение, в
котором неизвестные находятся под знаком тригонометрических
функций.
4.1.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Простейшими тригонометрическими уравнениями
называют уравнения вида: sin x  a , cos x  a , tgx  a , ctgx  a .
Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит
найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение
тригонометрической функции.
1) sin x  a
Если a  1 уравнение корней не имеет.
Если a  1 , решение находим по формуле: x  (1) n arcsin a  n ,
nZ .

sin x  0  x  n;


Частные случаи: sin x  1  x   2n;
2



sin x  1  x   2  2n.
2) cos x  a
Если a  1 уравнение корней не имеет.
Если a  1 , решение находим по формуле: x   arccos a  2n , n  Z .


cos x  0  x  2  2n;

Частные случаи: cos x  1  x  2n;
cos x  1  x    2n.


3) tgx  a x  arctga  n , n  Z .
36
4) ctgx  a
x  arcctga  n , n  Z .
Примеры.
2
.
2
1. Решить уравнение sin x 
2
n 
 n, n  Z , т.е. x   1
 n, n  Z .
2
4

3
2. Решить уравнение cos x 2 x    
4
2

Решение: x   1n arcsin
Решение:

3
  2n, n  Z ;
  arccos  

4
2



5
2x   
 2n, n  Z ;
4
6
 5
x 
 n, n  Z .
8
6
2x 
4.2.

Тригонометрические уравнения, приводимые к
квадратным.
Уравнения вида A sin 2 x  B sin x  C  0 , где A  0 , решаются
приведением к квадратному путем замены sin x  y . (аналогично
решаются уравнения с другими тригонометрическими функциями).
Примеры.
3. Решить уравнение 2 sin 2 x  sin x  1  0 .
Решение:
Введем новую переменную y  sin x . Тогда данное уравнение можно
записать в виде 2 y 2  y  1  0 . Мы получили квадратное уравнение. Его
корнями служат y1 
1
1
и y2  1 . Следовательно, sin x  или sin x  1.
2
2
В первом случае получим решения
x   1 arcsin
k
т.е. x   1n

6
1
 n ,
2
 n , n  Z .

Во втором случае имеем: x    2n , n  Z .
2
4. Решить уравнение 6 sin x  5 cos x  2  0 .
2
Решение:
Заменяя sin 2 x  1  cos 2 x , получим относительно cos x квадратное
уравнение 6(1  cos 2 x)  5 cos x  2  0
 6 cos 2 x  5 cos x  4  0
6 cos 2 x  5 cos x  4  0
37
Введем новую переменную y  cos x .
Тогда 6 y 2  5 y  4  0 ,
откуда
1
1
1
1
или y 2  1 . Уравнение cos x  1 не имеет решений, т.к. 1  1 .
2
3
3
3
1
Решая
уравнение
находим:
cos x  
2
2
 1
x   arccos     2n  x  
 2n, n  Z .
3
 2
5. Решить уравнение tgx  3ctgx  0 .
1
3
Решение: Заменяя ctgx 
, получим tgx 
 0 , откуда, т.к.
tgx
tgx
tgx  0 , получаем tg 2 x  3  0 . Введем новую переменную y  tgx .
y1  
Тогда y 2  3 ,
tgx  3  x 

3
откуда y1   3 или y 2  3 . Следовательно,
 n, n  Z и tgx   3  x  

3
 n, n  Z .
4.3. Однородные тригонометрические уравнения.
Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же
структуру, что и однородные уравнения любого другого вида.
Отличительные признаки однородных уравнений:
а) все одночлены имеют одинаковую степень,
б) свободный член равен нулю,
в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными
основаниями.
Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение
двух видов:
a sin x  b cos x  0, a  b  0 (однородное уравнение первой степени)
либо
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  0, a  b  c  0 (однородное уравнение
второй степени).
Алгоритм решения однородного уравнения первой степени:
1) разделить обе части уравнения на cos x (или на sin x ). Делить
можно на число, не равное 0, а cos x  0 , т.к. в противном случае
a sin x  b  0  0 и sin x  0 , следовательно sin 2 x  cos 2 x  0 , что неверно;
2) воспользоваться формулой tgx 
sin x
cos x
( ctgx 
);
cos x
sin x
3) решить получившееся уравнение.
Пример.
6. Решить уравнение sin x  3 cos x  0 .
Решение:
sin x  3 cos x  0 - однородное уравнение. Разделить обе части
уравнения на cos x .
Получим
sin x
cos x
0
, tgx  3  0 , tgx   3
 3

cos x
cos x cos x
38
x  arctg ( 3 )  n, n  Z , x  


3
 n, n  Z .
Ответ: x    n, n  Z
3
Алгоритм решения однородного уравнения второй степени:
1) разделить обе части уравнения на cos 2 x (или на sin 2 x ). Делить
можно на число, не равное 0, а cos 2 x  0 , т.к. в противном случае
cos x  0 , a sin 2 x  b  sin x  0  c  0  0 и sin x  0 , следовательно
sin 2 x  cos 2 x  0 , что неверно;
2) воспользоваться формулой tgx 
sin x
cos x
( ctgx 
);
cos x
sin x
3) решить получившееся уравнение.
Примеры.
7. Решить уравнение 4 sin 2 x  3 sin x cos x  7 cos 2 x  0 .
Решение:
4 sin 2 x  3 sin x cos x  7 cos 2 x  0 - однородное уравнение. Разделим обе
части уравнения на cos 2 x .
sin 2 x
sin x cos x
cos 2 x

3

7
 0.
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
4tg 2 x  3tgx  7  0 . Замена переменной : y  tgx
Получим 4
4 y 2  3y  7  0
D  b 2  4ac  9  112  121 , y 
tgx  1 , x 
tgx  1

4
 b  D  3  11
3
, y1  1 , y 2  1

2a
8
4
 n, n  Z ;
3
3
, x  arctg   1   n, n  Z .
4
 4

 3
 n, n  Z ; x  arctg   1   n, n  Z .
4
 4
2
8. Решить уравнение 2 sin x  sin 2 x  2 cos 2 x  1 .
Ответ: x 
Решение:
Применим формулы sin 2x  2 sin x cos x , 1  cos 2 x  sin 2 x . Получим
2 sin 2 x  2 sin x cos x  2 cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x , sin 2 x  2 sin x cos x  3 cos 2 x  0 однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на cos 2 x .
sin 2 x
sin x cos x
cos 2 x
2
3
 0.
Получим
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
tg 2 x  2tgx  3  0 . Замена переменной : y  tgx
y2  2y  3  0
y1  1 , y 2  3

tgx  1 , x   n, n  Z ;
4
tgx  3 , x  arctg 3  n, n  Z .
39
Ответ: x 

4
 n, n  Z ; x  arctg 3  n, n  Z .
Решение тригонометрических уравнений, введением
вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида: a sin x  b cos x  c, a, b, c  0 .
4.4.
Разделим обе части уравнения на a 2  b 2 . Получим
a
a 
b

2
2
sin x 
cos
b
a 
b

2
2
cos x 
sin 
c
2
a 
b

2
.
C
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и кос
инуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не
больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их
соответственно как cos  и sin  ( здесь  - так
называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
cos   sin x  sin   cos x  C или sinx     C и его решение
n
x   1  arcsin C    n, n  Z , где   arccos
a
a b
2
2
 arcsin
b
a  b2
2
.
Заметим, что cos  и sin  взаимно заменяемы.
Пример.
9. Решить уравнение 3 sin x  cos x  1 .
Решение: Здесь a  3, b  1, a 2  b 2  2 .
Делим обе части уравнения на 2. Получим
cos

6
откуда
sin x  sin

6
cos x 
3
1
1
sin x  cos x  ,
2
2
2
1

1
и sin x    .
2
6 2

Решив последнее уравнение, получим

x
x   1
n
4.5.

6
6

  1 arcsin
n

6
1
 n, n  Z ;
2
 n, n  Z .
Решение тригонометрических уравнений, используя
формулы преобразования произведения в сумму и обратно.
Примеры.
10.Решить уравнение 2 sin 2x  sin 6x  cos 4x
Решение: Используя формулу sin  sin   cos(   )  cos(   ) ,
1
2
40
получим 2 sin 2 x  sin 6 x  2  cos(4 x)  cos 8x  cos 4 x  cos 8x . Тогда
1
2
уравнение примет вид cos 4x  cos 8x  cos 4x , откуда cos 8x  0 ,

 n
8 x   n, n  Z , x 
 , nZ .
2
16 8
11.Решить уравнение cos 2x  cos 4x  cos 6x  cos 8x  0
Решение:
cos 2x  cos 4x  cos 6x  cos 8x  0
Применим формулу cos   cos   2 cos
 
2
cos
 
2
.
2 cos 5x cos 3x  2 cos 5x cos x  0
2 cos 5x(cos 3x  cos x)  0
Еще раз применим формулу cos   cos   2 cos
4 cos 5x  cos 2 x  cos x  0
cos 5x  0
или

5 x   n, n  Z
2
 n
x
 , nZ
10 5
4.6.
cos 2 x  0

2 x   n, n  Z
2
 n
x   , nZ
4 2
 
2
cos
 
2
, получим
или cos x  0
x

2
 n, n  Z
Решение тригонометрических уравнений с помощью
x
2.
универсальной подстановки sin x 
, cos x 
x
x
1  tg 2
1  tg 2
2
2
2tg
x
2
Пример.
12. Решить уравнение 3sin x  4 cos x  3 .
Решение: Возможны 2 случая:
x
x 
не существует, т.е.   k , x    2k . Тогда
2
2 2
3 sin(  2k )  4 cos(  2k )  4  3 .
x
x
2tg
1  tg 2
x
2.
2 , cos x 
2) tg существует и sin x 
2
2 x
2 x
1  tg
1  tg
2
2
x
x
2tg
1  tg 2
2  4
2  3.
Тогда уравнение примет вид: 3 
2 x
2 x
1  tg
1  tg
2
2
1) tg
Откуда
6tg
x
x
x
 4  4tg 2  3  3tg 2 ;
2
2
2
41
1  tg 2
tg 2
x
x
 6tg  7  0 .
2
2
x
2
Делаем замену: tg  y . Имеем y 2  6 y  7  0 , y1  1, y2  7 .
x
2
Тогда tg  1  x 

2
 2n, n  Z и tg
x
 7  x  2arctg 7  2n, n  Z .
2
ИЗ № 4.
1. Решите простейшее тригонометрическое уравнение.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
2 sin x  2  0 ;
3  3ctgx  0 ;
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
2 cos x  3  0 ;
3tgx  3  0 ;
3  2 sin x  0 ;
3ctgx  3  0 ;
2 cos x  2  0 ;
1  2 cos x  0 ;
2 sin x  3  0 ;
3ctgx  3  0 ;
3ctgx  3  0 ;
2 sin x  1  0 ;
2 sin x  2  0 ;
3tgx  3  0 ;
3  2 cos x  0 ;
3tgx  3  0 ;
2 cos x  3  0 ;
2  2 cos x  0 ;
3tgx  3  0 ;
3tgx  3  0 ;
3  2 sin x  0 ;
1  2 sin x  0 ;
2 sin x  3  0 ;
2 sin x  1  0 ;
2  2 sin x  0 ;
3  tgx  0 ;
2 cos x  2  0 ;
3  2 cos x  0 ;
3ctgx  3  0 ;
2 cos x  1  0 .
2. Решите простейшее тригонометрическое уравнение.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
 1
1
sin  х    ;
6 2
2

2
1
;
cos х    
4
2
2
2.7.
2.8.
5 
3
1
;
sin х 

6 
2
2

1
1
sin х     ;
3
2
2
 1
1
cos х    ;
6 2
2
 1

sin 2 х    ;
6 2

3 
3
1
;
cos х 

4 
2
2
2 
2
1
;
sin х 

3 
2
2
1

1
2.10. cos х     ;
3
2
2

1
2.11. sin 2 х     ;
3
2


1
2.12. cos 2 х     ;
3
2

2.9.
3 
3
1
sin х 
;

4 
2
2
42
х 
2
2.22. sin   
;
2 
2
;

3 
2
2 
2

;
cos 2 х 

3 
2

2.13. cos х 
1
2
2.14.
2.15.
2.16.
2
3 6

1
2.23. cos 2 х    ;
6 2

х 
3
2.24. sin     ;
2
3 4
5
1
2.25. cos 3х    ;
6  2


2

;
sin 2 х    
4
2

5 
3

;
cos 2 х 

6 
2

2 
2
;

3 
2

2
 х 2 
;
cos 

2
3 3 

2
2.17. cos 2 х    
;
2.26. sin 2 х 
1

2
2.18. sin х     ;
2.27.

2
4
4
2
2
5 
3
;

6 
2

3
х 
;
cos    
2
3 6
2.19. cos 2 х 
2.28. sin 2 х 
2.20.
2.29.
3 
3
;

4 
2

2 
1

sin 3х 
 ;
3 
2

2.21. cos х 
1
2
2.30. sin 2 х 
5 
3
;

6 
2

3 
3
.

4 
2
3. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.

3.11. ctg  2 х    0 ;
2 
3

;
tg  2 х 

3  3

 х 2 
ctg  
  1 ;
3 3 
5 

tg  2 х 
  3;
6 

3
х 
;
ctg     
3
3 6
3.12.
3.13.
6

х 
tg      3 ;
3 4

1
ctg  х    1 ;
6
2
1

3
3.14. ctg  х     ;

3

;
ctg  2 х   
4
3


1
tg  х    1 ;
4
2
3 

ctg  2 х 
   3;
4 

2 

tg  3х 
  1;
3 

5 
3
1
ctg  х 
;

6 
3
2
х 
tg     1 ;
3 6
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
43
4
3
2
5 
1
tg  х 
  0;
6 
2

1
tg  х    1 ;
3
2

1
ctg  х    0 ;
6
2
3 
1
ctg  х 
 3;
4 
2


tg  2 х    1 ;
6

3 
3
1
ctg  х 
;

4 
3
2


tg  2 х    1 ;
4

5
3.28. ctg  2 х    0 ;
6 

3
3.29. tg  2 х     3 ;
4 

2
3.30. ctg  3х    1 .
3 

1
2 
 3;
3 
2

1
ctg  х    1 ;
3
2


tg  2 х    1 ;
3



ctg  2 х     3 ;
3

2 
2
1
;
cos х 

3 
2
2
3.21. tg  х 
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26. ctg  2 х 

3.27.
2 
3
;

3 
3
4. Решить тригонометрическое уравнение:
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
2 sin 2 x  5 sin x  2  0 ;
cos 2 x  3 cos x  2  0 ;
2 sin 2 x  3 sin x  1  0 ;
tg 2 x  3tgx  2  0 ;
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
2 cos 2 x  3 cos x  2  0 ;
2 cos 2 x  2 cos x  0
4 sin 2 x  4 sin x  3  0 ;
2 sin 2 x  5 sin x  3  0
2 sin 2 x  3 sin x  2  0
2 sin 2  sin x  1  0 ;
cos 2 x  cos x  2  0
2 sin 2 x  sin x  0 ;
2 cos 2 x  3 cos x  1  0 ;
4 cos 2 x  8 cos x  3  0 ;
3ctg 2 x  5ctgx  2  0 ;
4 sin 2 x  4 sin x  3  0 ;
2 cos 2 x  cos x  1  0 ;
2 sin 2 x  2 sin x  0
2 sin 2 x  3 sin x  2  0
3tg 2 x  tgx  2  0 ;
2 cos 2 x  cos x  3  0
2 sin 2 x  3 sin x  1  0 ;
4 sin 2 x  3  0 ;
4 cos 2 x  8 cos x  3  0 ;
sin 2 x  sin x  2  0 ;
ctg 2 x  5ctgx  6  0 ;
2 cos 2 x  cos x  0 ;
sin 2 x  3 sin x  2  0 ;
2 cos 2 x  5 cos x  3  0 ;
2 sin 2 x  sin x  3  0 .
5. Решить тригонометрическое уравнение:
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
2 cos 2 x  sin x  1  0 ;
4 sin 2 x  8 cos x  7  0 ;
cos 2 x  3 sin x  3  0 ;
tgx  3ctgx  4 ;
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
2 sin 2 x  cos x  1  0 ;
5 sin 2 x  6 cos x  6  0 ;
tgx  4ctgx  5  0 ;
cos 2 x  sin x  1  0 ;
2 cos 2 x  3 sin x  3  0 ;
tgx  2ctgx  1  0 ;
44
2 sin 2 x  3 cos x  0
tgx  4ctgx  5  0 ;
8 sin 2 x  cos x  1  0 ;
tgx  4ctgx  5  0 ;
2 cos 2 x  sin x  1  0 ;
sin 2 x  cos x  4  0 ;
tgx  4ctgx  3  0 ;
2 cos 2 x  5 sin x  0 ;
tgx  2ctgx  3  0 ;
sin 2 x  3 cos x  1  0 ;
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25.
2 cos 2 x  3 sin x  3  0 ;
2 sin 2 x  3 cos x  0 ;
2ctgx  3tgx  5  0 ;
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
4 cos 2 x  4 sin x  1  0 ;
2 cos 2 x  5 sin x  5  0
tgx  2ctgx  3 ;
6 sin 2 x  5 cos x  2  0 ;
2 sin 2 x  3 cos x  3  0 ;
2 cos 2 x  sin x  1  0 ;
tgx  5ctgx  6  0 .
6. Решить тригонометрическое уравнение:
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
sin x  5 cos x  0 ;
sin x  3 cos x  0 ;
sin x  2 cos x  0 ;
sin x  cos x  0 ;
4 sin x  cos x  0 ;
5 sin x  cos x  0 ;
3 sin x  2 cos x  0 ;
3 sin x  cos x  0 ;
3 sin x  3 cos x  0 ;
2 sin x  cos x  0 ;
sin x  cos x  0 ;
5 sin x  3 cos x  0 ;
sin x  3 cos x  0 ;
3 sin x  3 cos x  0 ;
sin x  5 cos x  0 ;
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
6.29.
6.30.
3 sin x  cos x  0 ;
2 sin x  3 cos x  0 ;
sin x  4 cos x  0 ;
3 sin x  cos x  0 ;
sin x  2 cos x  0 ;
5 sin x  2 cos x  0 ;
4 sin x  cos x  0 ;
3 sin x  2 cos x  0 ;
3 sin x  cos x  0 ;
2 sin x  cos x  0 ;
sin x  3 cos x  0 ;
sin x  4 cos x  0 ;
5 sin x  cos x  0 ;
3 sin x  5 cos x  0 ;
2 sin x  3 cos x  0 .
7. Решить тригонометрическое уравнение:
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
2 sin 2 x  3 sin x cos x  5 cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  sin x cos x  2 cos 2 x  0 ;
sin 2 x  4 sin x cos x  5 cos 2 x  0 ;
4 sin 2 x  3 sin x cos x  7 cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x  0 ;
2 sin 2 x  3 sin x cos x  cos 2 x  0 ;
sin 2 x  7 sin x cos x  6 cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  4 sin x cos x  7 cos 2 x  0 ;
4 sin 2 x  3 sin x cos x  cos 2 x  0 ;
2 sin 2 x  5 sin x cos x  7 cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  4 sin x cos x  cos 2 x  0 ;
4 sin 2 x  5 sin x cos x  cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  2 sin x cos x  5 cos 2 x  0 ;
sin 2 x  7 sin x cos x  6 cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  5 sin x cos x  2 cos 2 x  0 ;
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
7.27.
7.28.
7.29.
7.30.
sin 2 x  5 sin x cos x  4 cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  5 sin x cos x  8 cos 2 x  0 ;
sin 2 x  5 sin x cos x  6 cos 2 x  0 ;
2 sin 2 x  3 sin x cos x  cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  sin x cos x  4 cos 2 x  0 ;
sin 2 x  4 sin x cos x  3 cos 2 x  0 ;
2 sin 2 x  sin x cos x  3 cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  5 sin x cos x  2 cos 2 x  0 ;
4 sin 2 x  sin x cos x  5 cos 2 x  0 ;
sin 2 x  7 sin x cos x  8 cos 2 x  0 ;
2 sin 2 x  3 sin x cos x  5 cos 2 x  0 ;
4 sin 2 x  sin x cos x  3 cos 2 x  0 ;
3 sin 2 x  2 sin x cos x  5 cos 2 x  0 ;
2 sin 2 x  5 sin x cos x  7 cos 2 x  0 ;
4 sin 2 x  5 sin x cos x  9 cos 2 x  0 .
8. Решить тригонометрическое уравнение:
45
8.1. 4 sin 2 x  sin 2 x  3 ;
8.2. sin 2 x  8 sin 2 x  5 ;
8.3. 10 cos 2 x  2 sin 2 x  3 ;
8.4. cos 2x  8 sin 2 x  6  2 sin 2x ;
8.5. sin 2x  2 cos 2x  1;
8.6. sin 2 x  cos 2 x  2 cos 2 x ;
8.7. 6 cos 2 x  sin 2x  cos 2x  2
8.8. cos 2 x  3 sin 2 x  2 sin 2 x ;
8.9. 6 sin 2 x  2 sin 2 x  5 ;
8.10. 4 sin 2 x  sin 2 x  1;
8.11. cos 2x  2 sin 2x  2  0 ;
8.12. 2 cos 2 x  2 sin 2 x  3 ;
8.13. 2 cos 2x  2 sin 2 x  5  4 sin 2x ;
8.14. sin 2 x  4 cos 2 x  1 ;
8.15. 2 sin 2 x  3  2 sin 2 x ;
8.16.
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
8.21.
8.22.
8.23.
8.24.
8.25.
8.26.
8.27.
8.28.
8.29.
8.30.
4 cos 2 x  2 sin 2 x  3 sin 2 x ;
1  4 sin 2 x  3 sin 2 x ;
2 sin 2 x  2 cos 2 x  1;
3 sin 2 x  sin 2 x  2 ;
2 cos 2 x  4 sin 2 x  2 cos 2 x  3 ;
sin 2 x  4 sin 2 x  1 ;
2 sin 2 x  2 sin 2 x  1  0 ;
cos 2 x  4 sin 2 x  sin 2 x ;
6 sin 2 x  cos 2 x  3 sin 2 x  0 ;
cos 2 x  2 sin 2 x  8 cos 2 x  2 ;
4 sin 2 x  3  2 sin x cos x ;
4 cos 2 x  sin 2 x  1 ;
2 sin 2 x  2 sin 2 x  1;
4 cos 2 x  1  3 sin 2 x ;
10 sin 2 x  3  2 sin 2 x .
9. Решить тригонометрическое уравнение:
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
9.12.
9.13.
9.14.
9.15.
3 sin x  cos x  1 ;
sin x  3 cos x   2 ;
3 sin x  cos x  1 ;
sin x  cos x  1 ;
3 sin x  cos x  2 ;
sin x  3 cos x  1 ;
3 sin x  cos x   2 ;
sin x  3 cos x  2 ;
3 sin x  cos x  3 ;
sin x  3 cos x   2 ;
3 sin x  cos x   3 ;
sin x  3 cos x  2 ;
3 sin x  cos x  2 ;
sin x  cos x  1 ;
3 sin x  cos x  2 ;
9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
9.20.
9.21.
9.22.
9.23.
9.24.
9.25.
9.26.
9.27.
9.28.
9.29.
9.30.
sin x  cos x  1 ;
sin x  3 cos x  2 ;
3 sin x  cos x  2 ;
sin x  3 cos x  2 ;
sin x  3 cos x  1 ;
3 sin x  cos x   3 ;
3 sin x  cos x  2 ;
sin x  3 cos x   3 ;
3 sin x  cos x  1 ;
sin x  3 cos x  3 ;
3 sin x  cos x  2 ;
sin x  cos x  1 ;
3 sin x  cos x  3 ;
sin x  3 cos x   3 ;
3 sin x  cos x   2
10.Решить тригонометрическое уравнение:
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
2 sin 3x  sin 5x  cos 2 x  0 ;
2 cos 2 x  cos 4x  cos 6 x  0 ;
2 sin 2 x  sin 4 x  cos 2 x  0 ;
2 cos 3x  cos 7 x  cos 4x  0 ;
2 sin 3x  sin 4 x  cos 7 x  0 ;
2 cos 2 x  sin 4 x  sin 2 x  0 ;
2 sin 2 x  sin 4 x  cos 6 x  0 ;
10.8. 2 sin x  sin 5x  cos 6x  0 ;
10.9. 2 cos 3x  sin 4x  sin 7 x  0 ;
10.10.
2 cos 5x  cos 7 x  cos12x  0 ;
10.11. 2 sin x  sin 2x  cos 3x  0 ;
10.12. 2 cos 3x  cos 5x  cos 2x  0 ;
10.13. 2 sin x  cos 3x  sin 4x  0 ;
46
10.14. 2 cos 2x  cos 4x  cos 2x  0 ;
10.15. 2 sin 3x  sin 7 x  cos 4x  0 ;
10.16. 2 sin x  cos 3x  sin 2x  0 ;
10.17. 2 cos x  cos 3x  cos 4x  0 ;
10.18. 2 sin x  sin 3x  cos 2x  0 ;
10.19. 2 cos x  cos 5x  cos 6x  0 ;
10.20. 2 cos x  sin 5x  sin 6x  0 ;
10.21. 2 sin 5x  sin 7 x  cos12x  0 ;
10.22. 2 cos 3x  cos 4x  cos 7 x  0 ;
10.23. 2 cos 3x  sin 5x  sin 2x  0 ;
10.24. 2 sin x  sin 3x  cos 4x  0 ;
10.25. 2 cos x  cos 2x  cos 3x  0
10.26. 2 sin 3x  cos 7 x  sin 4x  0 ;
10.27. 2 sin x  sin 4x  cos 3x  0 ;
10.28. 2 cos x  cos 3x  cos 2x  0 ;
10.29. 2 cos 2x  sin 4x  sin 6x  0 ;
10.30. 2 cos x  cos 4x  cos 3x  0 .
11. Решить тригонометрическое уравнение:
11.1. sin x  sin 3x  sin 5x  sin 7 x  0 ;
11.2. cos 2x  cos 6x  cos 4x ;
11.3. sin 5x  sin 3x  cos 4x ;
11.4. sin x  sin 3x  sin 5x  sin 7 x  0 ;
11.5. cos x  cos 3x  cos 2x ;
11.6. sin 6x  sin 2x  2 cos 4x ;
11.7. cos 2x  cos 4x  cos 6x  cos 8x  0 ;
11.8. sin 5x  sin x  2 cos 3x ;
11.9. cos x  cos 5x  sin 3x ;
11.10. cos 3x  cos 5x  cos 7 x  cos 9x  0 ;
11.11. sin 2x  sin 8x  sin 5x ;
11.12. sin 7 x  sin x  cos 4x ;
11.13. cos x  cos 9x  2 cos 5x ;
11.14. sin 2x  sin 4x  sin 6x  sin 8x  0 ;
11.15. sin 7 x  sin x  sin 4x ;
11.16. cos 3x  cos 5x  sin x ;
11.17. cos 3x  cos 5x  cos 7 x  cos 9x  0 ;
11.18. cos 7 x  cos x  cos 3x ;
11.19. cos 4x  cos10x  2 cos 7 x ;
11.20. cos x  cos 3x  cos 5x  cos 7 x  0 ;
11.21. sin 2x  sin 4x  sin 3x ;
11.22. sin 3x  sin 5x  sin 7 x  sin 9x  0 ;
11.23. cos 2x  cos 6x  sin 4x ;
11.24. sin 2x  sin 4x  sin 6x  sin 8x  0 ;
11.25. cos x  cos 7 x  2 sin 4x ;
11.26. sin 3x  sin 5x  sin 7 x  sin 9x  0 ;
11.27. sin 3x  sin 7 x  2 sin 5x ;
11.28. cos x  cos 3x  cos 5x  cos 7 x  0 ;
11.29. sin 5x  sin x  cos 3x ;
11.30. cos x  cos 9x  2 sin 5x .
12. Решить тригонометрическое уравнение:
12.1. 3 cos x  2 sin x  2 ;
12.2. 3sin x  cos x  3 ;
12.3. 2 cos x  sin x  1 ;
12.4. 4 cos x  3sin x  3 ;
12.5. 3  3sin x  2 cos x ;
12.6. 5 sin x  7 cos x  5 ;
12.7. 2 sin x  3 cos x  2 ;
12.8. sin x  2 cos x  1 ;
12.9. 3sin x  2 cos x  3 ;
12.10. 3sin x  4 cos x  3 ;
12.11. 3 cos x  2 sin x  2 ;
12.12. 7 sin x  5 cos x  7 ;
12.13. 5 cos x  4 sin x  4 ;
12.14. 4  3 cos x  4 sin x ;
12.15. 4  3 cos x  4 sin x ;
12.16. 4 sin x  5 cos x  4 ;
12.17. 5 cos x  sin x  1 ;
12.18. 3 cos x  sin x  1 ;
12.19. 7 cos x  3sin x  3 ;
12.20. cos x  3sin x  3 ;
12.21. 5 cos x  3sin x  3 ;
12.22.  3sin x  cos x  3 ;
12.23. 7 cos x  5 sin x  5 ;
12.24. 2 sin x  cos x  2 ;
12.25. 3sin x  5 cos x  3 ;
12.26. 5 sin x  5  3 cos x ;
12.27. 2 sin x  cos x  2 ;
12.28. 2  cos x  2 sin x ;
47
12.29. 7 sin x  9 cos x  7 ;
12.30. 9 cos x  7 sin x  7 .
§ 5. Тригонометрические неравенства.
Определение: Неравенство, в котором неизвестная переменная
находится под знаком тригонометрической функции, называется
тригонометрическим неравенством.
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся
следующие 16 неравенств:
sin x  a , sin x  a , sin x  a , sin x  a ;
cos x  a , cos x  a , cos x  a , cos x  a ;
tgx  a , tgx  a , tgx  a , tgx  a ;
ctgx  a , ctgx  a , ctgx  a , ctgx  a ;
Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым
действительным числом.
5.1. Неравенства вида sin x  a , sin x  a , sin x  a , sin x  a .
Рис.1
Рис.2
1. Неравенство sin x  a .
При a  1 неравенство sin x  a не имеет решений.
При a  1 решением неравенства sin x  a является любое
действительное число.
При  1  a  1 решение неравенства sin x  a выражается в виде
arcsin a  2n  x    arcsin a  2n, n  Z (рис.1).
2. Неравенство sin x  a .
При a  1 неравенство sin x  a не имеет решений.
При a  1 решением неравенства sin x  a является любое
действительное число.
При a  1 решение неравенства sin x  a сводится к решению
уравнения sin x  1
48
При  1  a  1 решение неравенства sin x  a выражается в виде
arcsin a  2n  x    arcsin a  2n, n  Z (рис.1).
3.
Неравенство sin x  a .
При a  1 неравенство sin x  a не имеет решений.
При a  1 решением неравенства sin x  a является любое
действительное число.
При  1  a  1 решение неравенства sin x  a выражается в виде
   arcsin a  2n  x  arcsin a  2n, n  Z (рис.2).
4.
Неравенство sin x  a .
При a  1 неравенство sin x  a не имеет решений.
При a  1 решением неравенства sin x  a является любое
действительное число.
При a  1 решение неравенства sin x  a сводится к решению
уравнения sin x  1 .
При  1  a  1 решение неравенства sin x  a выражается в виде
   arcsin a  2n  x  arcsin a  2n, n  Z (рис.2).
Примеры.
1. Решить неравенство sin x  
3
.
2
Решение.
3
. Все значения sin x
2
3
3
большие 
расположены выше точки 
на оси синусов.
2
2


3

3

4
   ,   arcsin  
       
.
arcsin  



3
 3 3
 2 
 2 
Отмечаем на оси синусов значение 
4
 2n, n  Z .
3
3
3 
2
1
2. Решить неравенство sin x   
.
4  2
3
Ответ: 

 2n  x 
49
Решение.
2
1
3
за u . Получим неравенство sin u 
.
x
2
3
4
2
Отмечаем на оси синусов значение . Все значения sin u
2
2
2
меньшие
расположены ниже точки
на оси синусов.
2
2
 2 
 2

5
  ,    arcsin 
     
.
arcsin 



4
4
 2  4
 2 
Обозначим
5

 2n  u   2n, n  Z ;
4
4
5
1
3 

 2n  x 
  2n, n  Z ;
4
3
4
4
5 3
1
 3


 2n  x  
 2n, n  Z ;
4
4
3
4 4
1

 2  2n  x    2n, n  Z ;
3
2
3
Ответ:  6  6n  x    6n, n  Z .
2
5.2. Неравенства вида cos x  a , cos x  a , cos x  a , cos x  a .

Рис.3
1.
Рис.4
Неравенство cos x  a .
50
При a  1 неравенство cos x  a не имеет решений.
При a  1 решением неравенства cos x  a является любое
действительное число.
При  1  a  1 решение неравенства cos x  a выражается в виде
 arccos a  2n  x  arccos a  2n, n  Z (рис.3).
2. Неравенство cos x  a .
При a  1 неравенство cos x  a не имеет решений.
При a  1 решением неравенства cos x  a является любое
действительное число.
При a  1 решение неравенства cos x  a сводится к решению
уравнения cos x  1
При  1  a  1 решение неравенства sin x  a выражается в виде
 arccos a  2n  x  arccos a  2n, n  Z (рис.3).
3.
Неравенство cos x  a .
При a  1 неравенство cos x  a не имеет решений.
При a  1 решением неравенства cos x  a является любое
действительное число.
При  1  a  1 решение неравенства cos x  a выражается в виде
arccos a  2n  x  2  arccos a  2n, n  Z (рис.4).
4.
Неравенство cos x  a .
При a  1 неравенство cos x  a не имеет решений.
При a  1 решением неравенства cos x  a является любое
действительное число.
При a  1 решение неравенства cos x  a сводится к решению
уравнения cos x  1 .
При  1  a  1 решение неравенства cos x  a выражается в виде
arccos a  2n  x  2  arccos a  2n, n  Z (рис.4).
Примеры.
1
3. Решить неравенство cos x  .
2
Решение.
1
. Все значения cos x
2
1
1
меньшие расположены левее точки на оси косинусов.
2
2
1 
1
 5
.
arccos  , 2  arccos  2  
2 3
2
3
3
Отмечаем на оси косинусов значение
51
5
 2n, n  Z
3
3
5 
2

4. Решить неравенство cos 3x     .
3 
2

Ответ:

 2n  x 
Решение.
2
5
за u . Получим неравенство cos u  
.
2
3
2
Отмечаем на оси косинусов значение  . Все значения cos u
2
2
2
большие 
расположены правее точки 
на оси косинусов.
2
2


2  3
2
3

,  arccos      .
arccos  

4
 2  4
 2 
Обозначим 3x 
3
3
 2n  u 
 2n, n  Z ;
4
4
3
5 3

 2n  3x 

 2n, n  Z ;
4
3
4
3 5
3 5


 2n  3x 

 2n, n  Z ;
4
3
4
3
11
29
 2n  3x 
 2n, n  Z ;
12
12

Ответ:
11 2n
29 2n

x

, nZ .
36
3
36
3
5.3. Неравенства вида tgx  a , tgx  a , tgx  a , tgx  a .
52
Рис.5
Рис.6
1. Неравенство tgx  a .
При любом действительном a решение неравенства имеет вид:
arctga  n  x 

2
 n, n  Z (рис.5).
2. Неравенство tgx  a .
При любом действительном a решение неравенства имеет вид:
arctga  n  x 

2
 n, n  Z (рис.5).
3. Неравенство tgx  a .
При любом действительном a решение неравенства имеет вид:


2
 n  x  arctga  n, n  Z (рис.6).
4. Неравенство tgx  a .
При любом действительном a решение неравенства имеет вид:


2
 n  x  arctga  n, n  Z (рис.6).
Примеры.
5. Решить неравенство tgx  1 .
Решение.
Отмечаем на оси тангенсов значение 1. Указываем все значения
тангенса, меньшие 1 –ниже 1.
53
Отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в
которых будет меньше 1. Для этого мы соединяем каждую точку оси
тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная
прямая пересечет дважды тригонометрический круг.
Учитывая, что период тангенса равен  , запишем ответ в
виде: 

2
 n  x 

4
 n, n  Z .

6. Решить неравенство tg  2 x 

2 
   3.
3 
Решение.
2
за u . Получим неравенство tgu   3 .
3
Отмечаем на оси тангенсов значение  3 . Указываем все
Обозначим 2 x 
значения тангенса, большие  3 – выше  3 .

Ответ:

6

n
2
x
3
 n  u 

 n, n  Z ;
2

2 
  n  2 x 
  n, n  Z ;
3
3
2
 2
 2
 
 n  2 x  
 n, n  Z ;
3 3
2 3

7
 n  2 x 
 n, n  Z ;
3
6

7 n
 , nZ .
12 2
5.4. Неравенства вида ctgx  a , ctgx  a , ctgx  a , ctgx  a .
54
Рис.7
Рис.8
1. Неравенство ctgx  a .
При любом действительном a решение неравенства имеет вид:
n  x  arcctga  n, n  Z (рис.7).
2. Неравенство ctgx  a .
При любом действительном a решение неравенства имеет вид:
n  x  arcctga  n, n  Z (рис.7).
3. Неравенство ctgx  a .
При любом действительном a решение неравенства имеет вид:
arcctga  n  x    n, n  Z (рис.8).
4. Неравенство ctgx  a .
При любом действительном a решение неравенства имеет вид:
arcctga  n  x    n, n  Z (рис.8).
Примеры.
7. Решить неравенство ctgx 
3
.
3
Решение:
Отмечаем на оси котангенсов значение
котангенса, большие
3
3
– правее
.
3
3
55
3
. Указываем все значения
3
Учитывая, что период котангенса равен  , запишем ответ в виде:
n  x 

3
 n, n  Z .


8. Решить неравенство ctg  3x    1 .

Решение:
Обозначим 3x 

6
6
за u . Получим неравенство ctgu  1 .
Отмечаем на оси котангенсов значение -1. Указываем все значения
котангенса, меньшие -1 – левее -1.
3
 n  u    n, n  Z ;
4
3

 n  3x     n, n  Z ;
4
6
3 

  n  3x     n, n  Z ;
4 6
6
11
7
 n  3x 
 n, n  Z ;
12
6
Ответ:
11 n
7 n

x
 , nZ .
36
3
18 3
ИЗ № 5.
1. Решите простейшее тригонометрическое неравенство.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
3tgx  3  0 ;
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
2 cos x  3  0 ;
2  2 cos x  0 ;
3tgx  3  0 ;
3tgx  3  0 ;
3  2 sin x  0 ;
1  2 sin x  0 ;
2 sin x  3  0 ;
2 sin x  1  0 ;
56
2  2 sin x  0 ;
3  tgx  0 ;
2 cos x  2  0 ;
3  2 cos x  0 ;
3ctgx  3  0 ;
2 cos x  1  0 ;
2 sin x  2  0 ;
3  3ctgx  0 ;
2 cos x  3  0 ;
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
3tgx  3  0 ;
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
3  2 sin x  0 ;
3ctgx  3  0 ;
2 cos x  2  0 ;
1  2 cos x  0 ;
2 sin x  3  0 ;
3ctgx  3  0 ;
3ctgx  3  0 ;
2 sin x  1  0 ;
2 sin x  2  0 ;
3tgx  3  0 ;
3  2 cos x  0 .
2.
3. Решить тригонометрическое неравенство.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.

3.11. ctg  2 х    1 ;
2 
3

;
tg  2 х 

3  3

 х 2 
ctg  
  1 ;
3 3 
5 

tg  2 х 
 3;
6 

3
х 
ctg     
;
3
3 6
3.12.
3.13.
6

х 
tg      3 ;
3 4

1
ctg  х    1 ;
6
2
1

3
3.14. ctg  х     ;

3

ctg  2 х   
;
4 3


1
tg  х    1 ;
4
2
3 

ctg  2 х 
 3;
4 

2 

tg  3х 
  1;
3 

5 
3
1
ctg  х 
;

6 
3
2
х 
tg     1 ;
3 6
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
57
4
3
2
5 
1
tg  х 
  1 ;
6 
2

1
tg  х    1 ;
3
2

1
ctg  х    3 ;
6
2
3 
1
ctg  х 
 3;
4 
2


tg  2 х    1 ;
6

3 
3
1
ctg  х 
;

4 
3
2
1
2 
 3;
3 
2

1
ctg  х    1 ;
3
2


tg  2 х    1 ;
3



ctg  2 х     3 ;
3

2 
2
1
;
cos х 

3 
2
2
3.21. tg  х 
3.26. ctg  2 х 
3.22.
3.27.
3.23.
3.24.
3.25.
3.28.
3.29.
3.30.
58
2 
3
;

3 
3



tg  2 х    1 ;
4

5 
3

;
ctg  2 х 

6  3

3 

tg  2 х 
 3;
4 

2 

ctg  3х 
  1.
3 

Литература.
1.
Абылкасымова А.Е., Шойынбеков К.Д. «Алгебра и начала
анализа». Учебник для 10 класса естественно - математического
направления общеобразовательных школ. Алматы: Мектеп, 2010.
2.
Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: Учеб.-метод. пособие/ М.И.
Башмаков, Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – М.: Дрофа, 2001. – 240
с.: ил. – (Дидактические материалы).
3. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11
класс: Учеб. пособие. – М.: Просвещение, 1999.
4. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные
работы по алгебре и началам анализа для 10–11 классов. М.: Илекса,
2005г.
5. Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. - М.:
Просвещение, 2010г.
6. Контрольные и самостоятельные работы по алгебре: 10 класс: к
учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа. 10–11 классы» /
М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2008.
7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: задачник для
общеобразовательных учреждений. – М. Мнемозина, 2006.
7. Шыныбеков А.Н. «Алгебра и начала анализа».Учебник для 10-11
классов общеобразовательной школы. «Атамура», 2011.
8. Сканави М.И. «Математика в задачах для поступающих в вузы», –
М.: издательство «АСТ», 2010г.
59