Departamento de Economia
Elementos de Economia Matemática II: Exercício
Prof. Alexandre Stamford da Silva
O Modelo Insumo-Produto de Leontief
O Modelo de Insumo-Produto foi desenvolvido por Wasily Leontief pouco antes do ano
de 1965 (Scientific American (April 1965): 26-27). Ele possibilita uma análise sobre as relações
intersetoriais da produção de um sistema industrial, seja um país, um estado, ou vários países.
Trataremos do modelo aberto de Leontief onde a demanda final é exógena.
O Modelo supõe um sistema econômico com n indústrias interdependentes. Também
supõe que a demanda total é igual ao produto total, isto é, o sistema está em equilíbrio e não
há superprodução, tudo que é produzido ou é consumido ou é investido.
Conceitos e Definições
Existem dois tipos de demanda em cada indústria. A primeira é uma demanda externa
de fora do sistema, a demanda final (Y). A segunda é uma demanda posta por uma indústria a
outra indústria no mesmo sistema, demanda intermediária (X).
A demanda final é a soma do consumo das famílias e do governo (C) mais a formação
bruta de capital fixo (I), investimentos, assim, Y = C + I.
A demanda intermediária: são as aquisições e fornecimentos de um setor, seja para ele
mesmo, seja para os demais setores da economia.
A soma da demanda final com a intermediária nos dá o Valor Bruto da Produção (V),
assim, V = Y+X.
Valor Agregado Bruto (VAB); é soma do total de salários, juros, aluguéis, e lucros, mais
o total dos tributos indiretos e a depreciação gerados durante o processamento de produção.
É igual a diferença entre o valor bruto da Produção (Vi) e o valor total das vendas do setor
Representação Matricial
A demanda final pode ser representada pela matriz:
Setor
1
2
..i..
N
Total
Consumo (C)
C1
C2
..Ci..
CN
C=SCk
Investimento
I1
I2
..Ii..
IN
I=SIk
Total
Y1
Y2
..Yi..
YN
Y=SYk
As demandas intermediárias podem ser representadas pela matriz:
Setor
1
2
..i..
N
Total
VBA
1
X11
X21
..Xi1..
XN1
SkXk1
Y1-SkXk1
2
X12
X22
..Xi2..
XN2
SkXk2
Y2-SkXk2
..i..
..X1i..
..X2i..
..Xii..
..XNi..
..SkXki..
..Yi-SkXki..
N
X1N
X2N
..XiN..
XNN
SkXkN
YN-SkXkN
Total
SjX1j
SjX2j
..SjXij..
SjXNj
Onde as linhas são as vendas do setor i para o setor j e as colunas são as compra do setor j do
setor i.
Juntando as duas matrizes temos a matriz Insumo-Produto (Obs: A matriz insumo
produto completa é um pouco mais extensa, mas, a apresentada aqui é suficiente para o que
se quer mostrar)
Setor
1
2
..i..
N
Total
1
2
..i..
N
Total
VBA
VBP
X11
X21
..Xi1..
XN1
SkXk1
Y1-SkXk1
V1
X12
X22
..Xi2..
XN2
SkXk2
Y2-SkXk2
V2
..X1i..
..X2i..
..Xii..
..XNi..
..SkXki..
..Yi-SkXki..
..Vi..
X1N
X2N
..XiN..
XNN
SkXkN
YN-SkXkN
VN
SjX1j
SjX2j
..SjXij..
SjXNj
Cons.
(C)
C1
C2
..Ci..
CN
C=SCk
Inves
t.
I1
I2
..Ii..
IN
I=SIk
Total
Y1
Y2
..Yi..
YN
Y=SYk
VBP
V1
V2
..Vi..
VN
V=SVk
V=SVk
Coeficientes Técnicos de Produção e Matriz Tecnológica
Os coeficientes técnicos de produção (Aij) representam o quanto o setor j necessita do
produto do setor i para produzir uma unidade do seu produto. Ou seja, representa a demanda
interna da indústria j para indústria i, ou seja, o quanto é necessário de produtos da indústria i
para produzir uma unidade do produto da indústria j.
Os coeficientes podem ser calculados da seguinte forma: Aij = Xij/Vj.
A matriz dos coeficientes técnicos de produção é também conhecida como a Matriz
Tecnológica.
A=
A11 =X11/V1.
A12=X12/V2
..A1i=X1i/Vi..
A1N=X1N/VN
A21=X21/V1
A22=X22/V2
..A2i=XNi/Vi..
A2N=X2N/VN
..Ai1=Xi1/V1..
..Ai2=Xi2/V2..
..Aii=XNi/Vi..
..AiN=XiN/VN..
AN1=XN1/V1
AN2=XN2/V2
..ANi=XNi/Vi..
ANN=XNN/VN
Matriz de Leontief
Para se chegar a matriz de Leontief são necessárias algumas contas com as equações
econômicas.
Como se sabe V = X + Y, da matriz tecnológica temos que A = X/V ou X = AV.
Substituindo na primeira equação V = AV + Y ou V – AV = Y ou ainda (I-A)V = Y onde I é a matriz
identidade.
A matriz (I-A) é conhecida como a Matriz de Leontief. Se a matriz de Leontief é
inversível então o sistema (I-A)V = Y tem uma única solução dada por V = (I-A)-1Y. A matriz
inversa B= (I-A)-1 é conhecida como a matriz de efeitos diretos e indiretos, ou matriz de
coeficientes técnicos diretos e indiretos, ou matriz de efeitos globais, ou ainda como matriz
inversa de Leontief, pois, ela mostra mostra todos os efeitos sobre todo o aparelho produtivo
da economia, decorrentes de uma alteração quantitativa em qualquer um dos componentes
da demanda final.
Medindo o poder e a sensibilidade de dispersão dos setores da economia
Após a apresentação do modelo de Leontief à comunidade científica, vários autores
deram suas contribuições para análise da economia apresentada no modelo de Leontief.
Apesar de existirem várias contribuições o texto aqui será concentrado nos índices
desenvolvidos por Rasmussen (1956) e Hirschman (1958). São eles: índices de poder de
dispersão e índices de sensibilidade de dispersão, abaixo definidos.
“Os índices de ligações para trás (poder de dispersão) estimam quanto um setor
demanda dos outros. Dito de outra forma, este índice expressa o aumento total de todos os
setores em face de um aumento unitário na demanda final do j-ésimo setor, ou seja, tal índice
consiste na soma dos efeitos gerados em cada um dos setores, quando há um choque
unitário no j-ésimo setor. Os índices de ligações para frente (sensibilidade da dispersão)
estimam quanto um determinado setor é demandado pelos outros. Dessa forma, expressa o
aumento na produção do i-ésimo setor em face de um aumento unitário na demanda final
de cada um dos setores, simultaneamente.
Considerando bj (colunas) e bi (linhas) a soma total das colunas e das linhas da matriz B=
(I-A)-1, e ainda B* o valor médio de todos os elementos dessa matriz, então os índices de
ligações para trás (Uj) e para frente (Ui) são obtidos pelas seguintes expressões:
Uj =
Ui =
1
n
bj
B*
bi×
B*
1
n
(1)
(2)”
(PORSSE et al., 2008)
Note que na parte de cima calcula-se a média dos índices da coluna, no primeiro caso, e
a média dos índices da linha, no segundo caso. Na parte de baixo calcula-se a média de todos
os elementos da matriz inversa de Leontief.
“Se Uj é superior a 1, significa que o setor j apresenta impacto sobre a economia maior
que a média, quando ocorre aumento de uma unidade na demanda final por seus produtos. O
setor j compra produtos intermediários em montante acima da média da economia, exercendo
forte encadeamento para trás no sistema de produção.
Se Ui é superior à unidade, significa que o setor i eleva sua produção e vendas mais do
que a média da economia, mediante elevação de demanda de uma unidade de seu produto. É
um setor mais importante que a média no que se refere ao fornecimento de produtos
intermediários, promovendo fortes encadeamentos para frente no processo de produção.
De posse dos valores desses índices, são consideradas como setores dinâmicos as
atividades econômicas que apresentam ambos os índices maiores que a unidade”.(CRUZ et al.,
2003)
“Adicionalmente, a análise da interdependência setorial pode ser complementada com
coeficientes de variação, os quais permitem avaliar a dispersão dos efeitos gerados pelas
ligações setoriais e, portanto, denotam características associadas ao grau de integração
interno das economias. Quanto menor o coeficiente de variação, menor a dispersão dos
efeitos de ligação naquela economia e maior o grau de integração. Respectivamente aos
índices de ligações, esses coeficientes são calculados por:
[
V× j =
1
å bij - 1n b× j
n -1 i
1
n b× j
[
Vi× =
1
å bij - 1n bi×
n -1 j
1
n
]
2
(3)
]
2
bi×
(4)”
(PORSSE et al., 2008)
Aplicações
O Modelo de Leontief pode ser usado para programar produções numa economia
onde se conhece as projeções de demanda. Ele pode ser usado para saber que setores são
mais importantes e dinâmicos na economia. Pode ser usado também para políticas públicas,
ou seja, qual setor da economia deve ser incentivado para dar o melhor resultado.
Agora você vai aplicar o exposto acima e a teoria das matrizes para calcular os setores mais
dinâmicos da economia.
1. Exemplo Fictício (ALVES BRITO e CHAVES, 2007)
Vamos supor uma economia fechada com apenas três setores e, que fixado por decisão
política os objetivos de crescimento sejam os descritos na tabela abaixo:
Setores
Primário
Secundário
Terciário
Total
Objetivo de expansão da demanda final
Totais da demanda final (Y)
Níveis Atuais
Níveis Programados
400
600
350
560
500
900
1250
2060
Taxa de Expansão
50%
60%
80%
65%
Dado que o objetivo é de expansão, e conhecendo a relações intersetoriais expostas na tabela
abaixo. Pergunta-se, qual o crescimento de cada setor e dos insumos? Quais os índices para
trás e para frente e coeficientes de variações? Interprete os resultados economicamente. Qual
o setor mais dinâmico, onde se deveria investir e quais as conseqüências, a economia tornouse mais dinâmica depois da expansão? Qual o setor que mais sofreu impacto com a expansão?
Primário
Secundário
Terciário
Total
VBP
Modelo de Três Setores para uma Economia Fechada
Demanda Intermediária
Demanda
Final
Primário
Secundário Terciário
Subtotal
100
400
250
750
400
150
100
400
650
350
600
200
300
1100
500
850
700
950
2500
1250
1150
1000
1600
3750
VBP
1150
1000
1600
3750
Primeiros passos: Calcule a matriz A, depois a matriz (I-A) e inverta, ache os índices para a
economia. Ache as novas produções depois da expansão, calcule os índices, etc...
2. Exemplo de Leontief (GROSSMAN, 1995)
Repita o exercício anterior para economia dos Estados Unidos dada na tabela abaixo:
Matriz Tecnológica das Demandas Internas em 1958 da Economia dos Estados Unidos
FN
FM
BM
BN
E
S
Não Metais
Finais (FN)
0,170
0,003
0,025
0,348
0,007
0,120
Metais
Finais (FM)
0,004
0,295
0,173
0,037
0,001
0,074
Metais
Básicos (BM)
0
0,018
0,460
0,021
0,039
0,104
Não Metais
Básicos (BN)
0,029
0,002
0,007
0,403
0,025
0,123
Energia
(E)
0
0,004
0,011
0,011
0,358
0,173
Serviços
(S)
0,008
0,016
0,007
0,048
0,025
0,234
Matriz das Demandas Externas em 1958 da Economia dos Estados Unidos
Setor Demanda Externa Demanda Expandida
FN
99.640
200.000
FM
75.548
100.000
BM
14.444
30.000
BN
33.501
70.000
E
23.527
40.000
S
263.985
400.000
Pergunta-se, qual o crescimento de cada setor e dos insumos? Quais os índices para
trás e para frente e coeficientes de variações? Interprete os resultados economicamente. Qual
o setor mais dinâmico, onde se deveria investir e quais as conseqüências, a economia tornouse mais dinâmica depois da expansão? Qual o setor que mais sofreu impacto com a expansão?
Observe que neste exemplo a matriz A é dada.
Bibliografia
ALVES BRITO, M.A., e CHAVES, I. D. “Modelo de Leontief: Matriz Insumo-Produto”. Porto
Velho-RO, 2007.
CRUZ, A.C., TEIXEIRA, E.C., e LIRIO, V.S. “Análise das Relações Intersetoriais na Economia
Mineira”. Universidade Federal de Viçosa, 2003.
GROSSMAN, S.I. “Multivariable Calculus, Linear Algebra, and Differential Equations”, 3rd
Ed., Sauders College Publishing, EUA, 1995.
HIRSCHMAN, A. O. (1958) The strategy of economic development. New Haven: Yale
University Press.
PORSSE, A.A., PEIXOTO, F.C. e PALERMO, P.U. “Matriz de Insumo-Produto Inter-regional
Rio Grande do Sul-Restante do Brasil 2003: metodologia e resultados”. Rio Grande do Sul,
2008.
RASMUSSEN, P. N. (1956) Studies in inter-sectoral relations. Amsterdam: North Holland.