Departamento de Economia Elementos de Economia Matemática II: Exercício Prof. Alexandre Stamford da Silva O Modelo Insumo-Produto de Leontief O Modelo de Insumo-Produto foi desenvolvido por Wasily Leontief pouco antes do ano de 1965 (Scientific American (April 1965): 26-27). Ele possibilita uma análise sobre as relações intersetoriais da produção de um sistema industrial, seja um país, um estado, ou vários países. Trataremos do modelo aberto de Leontief onde a demanda final é exógena. O Modelo supõe um sistema econômico com n indústrias interdependentes. Também supõe que a demanda total é igual ao produto total, isto é, o sistema está em equilíbrio e não há superprodução, tudo que é produzido ou é consumido ou é investido. Conceitos e Definições Existem dois tipos de demanda em cada indústria. A primeira é uma demanda externa de fora do sistema, a demanda final (Y). A segunda é uma demanda posta por uma indústria a outra indústria no mesmo sistema, demanda intermediária (X). A demanda final é a soma do consumo das famílias e do governo (C) mais a formação bruta de capital fixo (I), investimentos, assim, Y = C + I. A demanda intermediária: são as aquisições e fornecimentos de um setor, seja para ele mesmo, seja para os demais setores da economia. A soma da demanda final com a intermediária nos dá o Valor Bruto da Produção (V), assim, V = Y+X. Valor Agregado Bruto (VAB); é soma do total de salários, juros, aluguéis, e lucros, mais o total dos tributos indiretos e a depreciação gerados durante o processamento de produção. É igual a diferença entre o valor bruto da Produção (Vi) e o valor total das vendas do setor Representação Matricial A demanda final pode ser representada pela matriz: Setor 1 2 ..i.. N Total Consumo (C) C1 C2 ..Ci.. CN C=SCk Investimento I1 I2 ..Ii.. IN I=SIk Total Y1 Y2 ..Yi.. YN Y=SYk As demandas intermediárias podem ser representadas pela matriz: Setor 1 2 ..i.. N Total VBA 1 X11 X21 ..Xi1.. XN1 SkXk1 Y1-SkXk1 2 X12 X22 ..Xi2.. XN2 SkXk2 Y2-SkXk2 ..i.. ..X1i.. ..X2i.. ..Xii.. ..XNi.. ..SkXki.. ..Yi-SkXki.. N X1N X2N ..XiN.. XNN SkXkN YN-SkXkN Total SjX1j SjX2j ..SjXij.. SjXNj Onde as linhas são as vendas do setor i para o setor j e as colunas são as compra do setor j do setor i. Juntando as duas matrizes temos a matriz Insumo-Produto (Obs: A matriz insumo produto completa é um pouco mais extensa, mas, a apresentada aqui é suficiente para o que se quer mostrar) Setor 1 2 ..i.. N Total 1 2 ..i.. N Total VBA VBP X11 X21 ..Xi1.. XN1 SkXk1 Y1-SkXk1 V1 X12 X22 ..Xi2.. XN2 SkXk2 Y2-SkXk2 V2 ..X1i.. ..X2i.. ..Xii.. ..XNi.. ..SkXki.. ..Yi-SkXki.. ..Vi.. X1N X2N ..XiN.. XNN SkXkN YN-SkXkN VN SjX1j SjX2j ..SjXij.. SjXNj Cons. (C) C1 C2 ..Ci.. CN C=SCk Inves t. I1 I2 ..Ii.. IN I=SIk Total Y1 Y2 ..Yi.. YN Y=SYk VBP V1 V2 ..Vi.. VN V=SVk V=SVk Coeficientes Técnicos de Produção e Matriz Tecnológica Os coeficientes técnicos de produção (Aij) representam o quanto o setor j necessita do produto do setor i para produzir uma unidade do seu produto. Ou seja, representa a demanda interna da indústria j para indústria i, ou seja, o quanto é necessário de produtos da indústria i para produzir uma unidade do produto da indústria j. Os coeficientes podem ser calculados da seguinte forma: Aij = Xij/Vj. A matriz dos coeficientes técnicos de produção é também conhecida como a Matriz Tecnológica. A= A11 =X11/V1. A12=X12/V2 ..A1i=X1i/Vi.. A1N=X1N/VN A21=X21/V1 A22=X22/V2 ..A2i=XNi/Vi.. A2N=X2N/VN ..Ai1=Xi1/V1.. ..Ai2=Xi2/V2.. ..Aii=XNi/Vi.. ..AiN=XiN/VN.. AN1=XN1/V1 AN2=XN2/V2 ..ANi=XNi/Vi.. ANN=XNN/VN Matriz de Leontief Para se chegar a matriz de Leontief são necessárias algumas contas com as equações econômicas. Como se sabe V = X + Y, da matriz tecnológica temos que A = X/V ou X = AV. Substituindo na primeira equação V = AV + Y ou V – AV = Y ou ainda (I-A)V = Y onde I é a matriz identidade. A matriz (I-A) é conhecida como a Matriz de Leontief. Se a matriz de Leontief é inversível então o sistema (I-A)V = Y tem uma única solução dada por V = (I-A)-1Y. A matriz inversa B= (I-A)-1 é conhecida como a matriz de efeitos diretos e indiretos, ou matriz de coeficientes técnicos diretos e indiretos, ou matriz de efeitos globais, ou ainda como matriz inversa de Leontief, pois, ela mostra mostra todos os efeitos sobre todo o aparelho produtivo da economia, decorrentes de uma alteração quantitativa em qualquer um dos componentes da demanda final. Medindo o poder e a sensibilidade de dispersão dos setores da economia Após a apresentação do modelo de Leontief à comunidade científica, vários autores deram suas contribuições para análise da economia apresentada no modelo de Leontief. Apesar de existirem várias contribuições o texto aqui será concentrado nos índices desenvolvidos por Rasmussen (1956) e Hirschman (1958). São eles: índices de poder de dispersão e índices de sensibilidade de dispersão, abaixo definidos. “Os índices de ligações para trás (poder de dispersão) estimam quanto um setor demanda dos outros. Dito de outra forma, este índice expressa o aumento total de todos os setores em face de um aumento unitário na demanda final do j-ésimo setor, ou seja, tal índice consiste na soma dos efeitos gerados em cada um dos setores, quando há um choque unitário no j-ésimo setor. Os índices de ligações para frente (sensibilidade da dispersão) estimam quanto um determinado setor é demandado pelos outros. Dessa forma, expressa o aumento na produção do i-ésimo setor em face de um aumento unitário na demanda final de cada um dos setores, simultaneamente. Considerando bj (colunas) e bi (linhas) a soma total das colunas e das linhas da matriz B= (I-A)-1, e ainda B* o valor médio de todos os elementos dessa matriz, então os índices de ligações para trás (Uj) e para frente (Ui) são obtidos pelas seguintes expressões: Uj = Ui = 1 n bj B* bi× B* 1 n (1) (2)” (PORSSE et al., 2008) Note que na parte de cima calcula-se a média dos índices da coluna, no primeiro caso, e a média dos índices da linha, no segundo caso. Na parte de baixo calcula-se a média de todos os elementos da matriz inversa de Leontief. “Se Uj é superior a 1, significa que o setor j apresenta impacto sobre a economia maior que a média, quando ocorre aumento de uma unidade na demanda final por seus produtos. O setor j compra produtos intermediários em montante acima da média da economia, exercendo forte encadeamento para trás no sistema de produção. Se Ui é superior à unidade, significa que o setor i eleva sua produção e vendas mais do que a média da economia, mediante elevação de demanda de uma unidade de seu produto. É um setor mais importante que a média no que se refere ao fornecimento de produtos intermediários, promovendo fortes encadeamentos para frente no processo de produção. De posse dos valores desses índices, são consideradas como setores dinâmicos as atividades econômicas que apresentam ambos os índices maiores que a unidade”.(CRUZ et al., 2003) “Adicionalmente, a análise da interdependência setorial pode ser complementada com coeficientes de variação, os quais permitem avaliar a dispersão dos efeitos gerados pelas ligações setoriais e, portanto, denotam características associadas ao grau de integração interno das economias. Quanto menor o coeficiente de variação, menor a dispersão dos efeitos de ligação naquela economia e maior o grau de integração. Respectivamente aos índices de ligações, esses coeficientes são calculados por: [ V× j = 1 å bij - 1n b× j n -1 i 1 n b× j [ Vi× = 1 å bij - 1n bi× n -1 j 1 n ] 2 (3) ] 2 bi× (4)” (PORSSE et al., 2008) Aplicações O Modelo de Leontief pode ser usado para programar produções numa economia onde se conhece as projeções de demanda. Ele pode ser usado para saber que setores são mais importantes e dinâmicos na economia. Pode ser usado também para políticas públicas, ou seja, qual setor da economia deve ser incentivado para dar o melhor resultado. Agora você vai aplicar o exposto acima e a teoria das matrizes para calcular os setores mais dinâmicos da economia. 1. Exemplo Fictício (ALVES BRITO e CHAVES, 2007) Vamos supor uma economia fechada com apenas três setores e, que fixado por decisão política os objetivos de crescimento sejam os descritos na tabela abaixo: Setores Primário Secundário Terciário Total Objetivo de expansão da demanda final Totais da demanda final (Y) Níveis Atuais Níveis Programados 400 600 350 560 500 900 1250 2060 Taxa de Expansão 50% 60% 80% 65% Dado que o objetivo é de expansão, e conhecendo a relações intersetoriais expostas na tabela abaixo. Pergunta-se, qual o crescimento de cada setor e dos insumos? Quais os índices para trás e para frente e coeficientes de variações? Interprete os resultados economicamente. Qual o setor mais dinâmico, onde se deveria investir e quais as conseqüências, a economia tornouse mais dinâmica depois da expansão? Qual o setor que mais sofreu impacto com a expansão? Primário Secundário Terciário Total VBP Modelo de Três Setores para uma Economia Fechada Demanda Intermediária Demanda Final Primário Secundário Terciário Subtotal 100 400 250 750 400 150 100 400 650 350 600 200 300 1100 500 850 700 950 2500 1250 1150 1000 1600 3750 VBP 1150 1000 1600 3750 Primeiros passos: Calcule a matriz A, depois a matriz (I-A) e inverta, ache os índices para a economia. Ache as novas produções depois da expansão, calcule os índices, etc... 2. Exemplo de Leontief (GROSSMAN, 1995) Repita o exercício anterior para economia dos Estados Unidos dada na tabela abaixo: Matriz Tecnológica das Demandas Internas em 1958 da Economia dos Estados Unidos FN FM BM BN E S Não Metais Finais (FN) 0,170 0,003 0,025 0,348 0,007 0,120 Metais Finais (FM) 0,004 0,295 0,173 0,037 0,001 0,074 Metais Básicos (BM) 0 0,018 0,460 0,021 0,039 0,104 Não Metais Básicos (BN) 0,029 0,002 0,007 0,403 0,025 0,123 Energia (E) 0 0,004 0,011 0,011 0,358 0,173 Serviços (S) 0,008 0,016 0,007 0,048 0,025 0,234 Matriz das Demandas Externas em 1958 da Economia dos Estados Unidos Setor Demanda Externa Demanda Expandida FN 99.640 200.000 FM 75.548 100.000 BM 14.444 30.000 BN 33.501 70.000 E 23.527 40.000 S 263.985 400.000 Pergunta-se, qual o crescimento de cada setor e dos insumos? Quais os índices para trás e para frente e coeficientes de variações? Interprete os resultados economicamente. Qual o setor mais dinâmico, onde se deveria investir e quais as conseqüências, a economia tornouse mais dinâmica depois da expansão? Qual o setor que mais sofreu impacto com a expansão? Observe que neste exemplo a matriz A é dada. Bibliografia ALVES BRITO, M.A., e CHAVES, I. D. “Modelo de Leontief: Matriz Insumo-Produto”. Porto Velho-RO, 2007. CRUZ, A.C., TEIXEIRA, E.C., e LIRIO, V.S. “Análise das Relações Intersetoriais na Economia Mineira”. Universidade Federal de Viçosa, 2003. GROSSMAN, S.I. “Multivariable Calculus, Linear Algebra, and Differential Equations”, 3rd Ed., Sauders College Publishing, EUA, 1995. HIRSCHMAN, A. O. (1958) The strategy of economic development. New Haven: Yale University Press. PORSSE, A.A., PEIXOTO, F.C. e PALERMO, P.U. “Matriz de Insumo-Produto Inter-regional Rio Grande do Sul-Restante do Brasil 2003: metodologia e resultados”. Rio Grande do Sul, 2008. RASMUSSEN, P. N. (1956) Studies in inter-sectoral relations. Amsterdam: North Holland.
