O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA
KOMMUNIKATSIYALARNI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL–XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALAR UNIVERSITETI
QARSHI FILIALI
Kompyuter Injiniring Fakulteti 2-bosqich DI_11_21
guruh talabasining Algoritmlarni loyihalash fanidan
tayyorlagan
ORALIQ NAZORAT UCHUN MAVZULAR TO’PLAMI
Bajardi:
Omonboyev A.
Qabul qildi :
Qorayev F.
1-MAVZU. ALGORITMLARNI LOYIHALASHGA KIRISH.
ALGORITMLARNI VAQT VA HAJM BO’YICHA BAHOLASH.
KO’PHADLAR QIYMATLARINI HISOBLASHDA GORNER SXEMASI
Algoritm so‘zi va tushunchasi IX asrda yashab ijod etgan buyur alloma
Muhammad al-Xorazmiy nomi bilan uzviy bog‘liq. Algoritm so‘zi Al-Xorazmiy
nomini Yevropa olimlari tomonidan buzib talaffuz qilinishidan yuzaga kelgan. AlXorazmiy birinchi bo‘lib o‘nlik sanoq sistemasining tamoyillarini va undagi to‘rtta
amallarni bajarish qoidalarini asoslab bergan.
Algoritmlarning turli ta’riflari mavjud. Rasmiy ta’riflardan biri bo’yicha algoritm
bu qo’yilgan masalani yechilishiga olib keluvchi aniq harakatlarning chekli ketmaketligidir.
Bu tushunchadan algoritmning quyidagi xossalari kelib chiqadi:
1. Diskretlilik – ya’ni aniqlanayotgan jarayonni qadamba-qadam ko’rinishi.
2. Ommaviylik – algoritm o’xshash masalalar turkumini yechishi kerak.
3. Tushunarlilik – algoritmda beriladigan ko’rsatmalar foydalanuvchiga
tushunarli bo’lib, uning talablariga javob berishi kerak.
4. Aniqlilik – algoritmda ma’lum tartibda amallarni bajarish nazarda tutilishi
kerak va bajaruvchiga joriy qadam tugatilishi bilan qaysi qadam keyingi
bo’lib bajarilishi aniq ko’rsatilishi kerak.
5. Natijaviylik. Har bir algoritm chekli sondagi qadamlardan so‘ng albatta natija
berishi shart. Bajariladigan amallar ko‘p bo‘lsa ham baribir natijaga olib
kelishi kerak. Chekli qadamdan so‘ng qo‘yilgan masala yechimga ega
emasligini aniqlash ham natija hisoblanadi. Agar ko‘rilayotgan jarayon
cheksiz davom etib natija bermasa, uni algoritm deb atay olmaymiz.
Algoritmik hal etilmaslik. Shunday masalalar borki uning yechimini olish uchun
umumiy algoritm (Tyuring mashinasi) mavjud emas, bu masalalarni tavsiflovchi
kirish ma’lumotlari qo’llaniladigan algoritmlar ishlamaydi yoki cheksiz davom
etadi.
Algoritmni to’liq qurish bosqichlari bilan quyida tanishib chiqamiz:
1)
2)
3)
4)
Masalaning qo’yilishi
Modelni qurish
Algoritmni ishlab chiqish
Algoritm to’g’riligini tekshirish
5) Kodlashtirish
6) Dasturni tekshirish
7) Hujjatlashtirish
Algoritmlarni tuzish – bu ijodiy ish bo’lib, ixtiyoriy zaruriy algoritmni tuzish uchun
umumiy usullar mavjud emas, kishining ijodiy qobiliyatiga bog’liq.
Albatta, algoritmni aniq sxema bo’yicha tuzish zarur bo’lib qoladigan sodda
hollar ham mavjud. Bunday hollarda yechilish algoritmi avval biron kim tomonidan
olingan masalalarni misol keltirish mumkin. Masalan, differensial tenglamalarni
sonli integrallash uchun Eyler metodi. Bu metod masalani yechish uchun umumiy
holda ifodalangan algoritmdir.
Algoritmlar sifatini baholash uchun mezonlarni ko’raylik. Mavjud mezonlar
juda taxminlashgan. Masalan, algoritmni bajarishda bajaruvchining xotira
uskunalari hajmi yetarli bo’lmasa, u algoritm yomon deb hisoblanadi. Boshqa
mezon sifatida algoritmning bajarilishi uchun talab qilinadigan vaqtni ko’rsatish
mumkin. Vaqtni baholash bajaruvchining fizik xarakteristikalari hisobga olinishi
kerak. Chunki har bir operatsiya har xil o’zgaruvchilar bilan bajarilganda vaqt ham
har xil bo’ladi. Bunchalik aniq ma’lumotni har bir foydalanuvchi uchun yig’ib
bo’lmaganligi sababli odatda o’rtacha tezkorlik qabul qilinadi. Ketma-ket
bajarilayotgan operatsiyalar sonini aniqlab, uni o’rtacha tezkorlikka ko’paytirsa,
algoritm bajarilishining amalga yaqin bo’lgan vaqtini topishimiz mumkin.
Demak, algoritmlarni baholash uchun ikkita asosiy kretiriya mavjud ekan.
1) Algoritmni ishlash vaqti bo’yicha baholash
2) Algoritmni bajarish uchun xotiradan egallagan hajmi bo’yicha baholash
Algoritmlarni asimptotik (O()) baholash – algoritmda kiruvchi
ma’lumotlarning bajariladigan amallar soniga ma’lum bir qonuniyatlar asosida
mos qo’yilishidir. Bu qonuniyatlar kvadratik, factorial, logarifmik bo’lishi
mumkin.
Agar kiruvchi ma'lumotlarning o'lchamlari oshsa, algoritmning bajarilish vaqti
f(N) funksiyasi bilan bir xil tezlikda oshsa, algoritmda O(f(n)) murakkablik bor.
Agar kiruvchi ma'lumotlarning o'lchamlari oshsa, algoritmning bajarilish vaqti
f(N) funksiyasi kvadratik tezlikda oshsa, algoritmda O(f(n^2)) murakkablik bor.
Uch asimptotik belgilar asosan algoritmlarning vaqt murakkabligini ifodalash uchun
ishlatiladi :
1. Θ-notation ( teta );
2. O-notation ( O );
3. Ω notasi ( Omega ).
Hisoblash mashinalar tezligi oshishiga qaramasdan, ular yordamida
yechilayotgan masalalar kattaligini oshishini algoritm qiyinligini tahlil orqali
aniqlaydi.
Faraz qilaylik, A1,A2,…,A5 nomli 5 ta algoritm quyidagi vaqtli qiyinliklar
bilan berilgan.
Algoritm
Vaqtli qiyinlik
A1
N
A2
N log 2 n
A3
N2
A4
N3
A5
2n
Bu yerda vaqtli qiyinlik – bu n kattalikdagi kirishlarni qayta ishlash uchun
kerak bo’ladigan vaqt birliklar soni. Masalan, vaqt birligini 1 millisekund deb qabul
qilaylik.
Bunda A1 algoritm bir sekundda 1000 kattalikdagi kirishni qayta ishlash
mumkin, A5 algoritmi esa kirish kattalikdagina 9 dan oshirib bilmaydi.
Keyingi jadval 1 sekundda, 1 minutda, 1 soatda 5 ta algoritmlarni har birining
yordamida yechiladigan masalaning kattaligi keltirilgan.
Algoritm
Vaqtli qiyinlik
Masalaning maksimal o’lchami
1 sek
1 min
1 soat
A1
N
1000
60*100
3,6 *106
A2
N log 2 n
140
4893
2 *104
A3
N2
31
244
1897
A4
N3
10
39
153
A5
2n
9
15
21
“O-yozuv” usulning kamchiligi shundaki – konkret berilganlar uchun dastur
bajarilishiga aniq sarflanayotgan vaqtni hisoblab bilmaymiz, faqatgina qadamlar
bajarilish soni O(n ) bo’lganini bildik. Lekin bu usul bilan tahlil qilish qulay, va
berilgan amaliy masala uchun dasturni samaradorligini aniqlaydigan dastlabki
hisoblashlar uchun algoritmning isahlash vaqtini assimptotik bahosini beradi.
2-MAVZU. Chiziqli algoritmlar. Sikllar. Integrallarni taqribiy hisoblash
usullari, samaradorligi. Matrisalarni ko’paytirish. Determinantni hisoblash.
Algoritmlarni tuzish – bu ijodiy ish bo’lib, ixtiyoriy zaruriy algoritmni tuzish uchun
umumiy usullar mavjud emas, kishining ijodiy qobiliyatiga bog’liq.
Albatta, algoritmni aniq sxema bo’yicha tuzish zarur bo’lib qoladigan sodda
hollar ham mavjud. Bunday hollarda yechilish algoritmi avval biron kim tomonidan
olingan masalalarni misol keltirish mumkin. Masalan, differensial tenglamalarni
sonli integrallash uchun Eyler metodi. Bu metod masalani yechish uchun umumiy
holda ifodalangan algoritmdir.
Demak, algoritmlarni baholash uchun ikkita asosiy kretiriya mavjud ekan.
3) Algoritmni ishlash vaqti bo’yicha baholash
4) Algoritmni bajarish uchun xotiradan egallagan hajmi bo’yicha baholash
Algoritmlarni asimptotik (O()) baholash – algoritmda kiruvchi
ma’lumotlarning bajariladigan amallar soniga ma’lum bir qonuniyatlar asosida
mos qo’yilishidir. Bu qonuniyatlar kvadratik, factorial, logarifmik bo’lishi
mumkin.
Agar kiruvchi ma'lumotlarning o'lchamlari oshsa, algoritmning bajarilish vaqti
f(N) funksiyasi bilan bir xil tezlikda oshsa, algoritmda O(f(n)) murakkablik bor.
Agar kiruvchi ma'lumotlarning o'lchamlari oshsa, algoritmning bajarilish vaqti
f(N) funksiyasi kvadratik tezlikda oshsa, algoritmda O(f(n^2)) murakkablik bor.
Uch asimptotik belgilar asosan algoritmlarning vaqt murakkabligini ifodalash uchun
ishlatiladi :
4. Θ-notation ( teta );
5. O-notation ( O );
6. Ω notasi ( Omega ).
Hisoblash mashinalar tezligi oshishiga qaramasdan, ular yordamida
yechilayotgan masalalar kattaligini oshishini algoritm qiyinligini tahlil orqali
aniqlaydi.
Samaradorlikni baholashga misollar
Masala, Qalam va qog’oz yordamida, quyidagi 16 ta kvadratdan iborat shaklni
yasash kerak.
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
8
12
16
Algoritm bahosi O(n)
Bu jarayon 4 ta qadamda bajarildi. Demak algoritm bahosi O(logN)
Agar biz dasturimizda bir o’lchovli massivdan foydalansak, bu kamida O(n) bilan
baholanadi.
Masala. Bir o’lchovli massivning elementlarini 2 ga ko’paytirish algoritmini
baholang
for(int i=0; i<n; i++)
cin>>a[i];
for(int i=0; i<n; i++)
a[i]*=2;
Bu yerda sikl operatori (for(int i=0; i<n; i++)) 3 marta ishlatilgan. Algoritm bahosini
O(3n) deb baholashimiz mumkin. O(cn)=O(n). baholash bo’lganligi uchun bizning
algoritmning bahosi ham O(n) ga teng.
Masala. Ikki o’lchovli massivning elementlarini 2 ga ko’paytirish algoritmni
baholang.
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
{
a[i][j]*=2;
}
Bu algoritmning matematik modeli
𝑛−1
𝑛−1
𝑆(𝑛) = ∑𝑛−1
1 + 1 … . +1 = ∑𝑛−1
⏟+ 1 + ⋯ + 1) 𝑛 =
𝑖=0 ∑𝑗=0 1 = ∑𝑖=0 ⏟
𝑖=0 𝑛 = (1
𝑛
2
2
𝑛𝑛 = 𝑛 → 𝑂(𝑛 )
𝑛
𝑑𝑒𝑚𝑎𝑘, 𝑏𝑢 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑚𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑏𝑎ℎ𝑜𝑠𝑖 𝑂(𝑛2 )
3-Mavzu: Tarmoqlanuvchi algoritmlar. Algebraik va transendent
tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Samaradorligini baholash. Iteratsion
sikllar
I.
Algebraik va transsendent tenglamalar haqida tushuncha
Noma’lum qatnashgan tenglikka tenglama deyiladi.
f(x)=g(x) tenglikdan noma’lum x ni qiymatini topish, tenglamani yechish
deyiladi.
Tenglama - bu ikki funksiyaning qiymatlari f (x, y, ...) = g (x, y, ..) ga teng
bo'lganda, argumentlarning qiymatlarini topish muammosining analitik yozuvidir.
Bu funksiyalarga bog'liq bo'lgan argumentlar odatda noma'lum deb ataladi va
funksiyalar qiymatlari teng bo'lgan noma'lum qiymatlari yechimlar yoki ildizlar deb
ataladi.
Algebraik tenglama quyidagi ko’rinishga ega:
P(x1,x2,..xn)=Q(x1,x2,…xn)
Bu yerda P va Q – ratsional sonli koeffitsentlar bilan berilgan ko’phadlar.
Chiziqli tenglama – noma’lumning birinchi darajasi qatnashgan tenglamadir.
Chiziqli tenglama quyidagi ko’rinishda bo’lishi mumkin. ax+b=0. a,b, berilgan
sonlar.
Ko’pgina amaliy hollarda murakkab shaklda berilgan tenglamalarni algebraik
yechish usullari mavjud emas va ularni analitik yechib bo’lmaydi. Transendent
tenglamalar uchun aniq yechim bir necha xususiy holatda bo'lishi mumkin.
Agar tenglamalarni yechishda aniq yechim topilmasa taqribiy usullar
qo’llaniladi. Masalan, takrorlanadigan yondashuvlar usullari bilan taqribiy yechimni
olish mumkin.
Amaliyotda, ba’zi masalalarda
f(x)=0
ko‘rinishdagi bir noma’lumli chiziqsiz tenglamalarni yechishga to‘g‘ri keladi.
Agar f(x) funksiya ko’phadlardan iborat bo’lsa, u algebraik, agar tenglama
trigonometric, algebraic va logarifmik ko’rinishlarda bo’lsa, transcendent
tenglamalar deyiladi. Bunda f(x) [a,b] oraliqda aniqlangan funksiya bo‘lib, f(t)=0
bo‘lsa, x=t ni tenglamaning yechimi-ildizi deyiladi. Tenglamaning aniq yechimini
topish qiyin bo‘lgan hollarda uning taqribiy yechimini topishga to‘g‘ri keladi, bu
ikki bosqichga bo‘linadi.
1) Yechimni ajratish(yakkalash), ya’ni yagona yechim yotgan intervalni
aniqlash;
2) Taqribiy yechimni topilgan intervalda berilgan aniqlikda topish.
Tenglamaning yagona yechimi yotgan oraliqni aniqlash uchun
teoremadan foydalaniladi.
quyidagi
1-teorema . Aytaylik,
1) f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega
bo‘lsin;
2) f(a).f(b)<0, ya’ni f(x) funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega
bo‘lsin;
3) fґ(x) hosila (a,b) intervalda o‘z ishorasini saqlasin.
U holda, tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘ladi.
Hozirgi paytda chiziqsiz tenglamalarni yechish uchun oldingi o’ringa sonlitaqribiy usullar chiqib oldi. Bu usullar o’zlarining umumlashgani, tenglamani yetarli
aniqlikda yecha olishi bilan ajralib turadi. Shuning uchun chiziqsiz tenglamalarni
yechishning sonli-taqribiy usullari uchun dastur ta’minotlarini yaratilishi muhim va
aktual masala hisoblanadi.
Chiziqsiz tenglamalardan na’munalar:
1. x3-3x2 +7x-6=0
2. x2 -sin x =0
3. ln |7x|-cos 6x=0
4. e2x-x=0
Chiziqsiz tenglamalarni sonli-taqribiy usullar bilan yechishni tashkil qilish uchun
tenglamaning nechta yechimi mavjud ekanligi yoki umuman yechimi yo’qligi
haqida ma’lumotga ega bo’lishimiz kerak. Bundan tashqari, tenglamaning yagona
yechimi yotgan oraliqni ham aniqlashga to’g’ri keladi. Buning uchun berilgan
tenglamani yechishning grafik usulidan foydalanamiz.
Bizga quyidagi umumiy holda yozilgan chiziqsiz tenglama berilgan bo’lsin:
f(x)=0
(1)
Tenglamaning y=f(x) funksiyasini grafigini OXY dekart koordinatalar sistemasida
ko’ramiz.
Funksiya grafigining OX o’qini kesib o’tgan xyechim nuqtasi tenglamaning
qidirilayotgan yechimi hisoblanadi. Yechim joylashgan oraliqni funksiyani
ishorasini almashtirish shartidan foydalanib aniqlash mumkin:
f(a) f(b)<0
Shunday qilib, tenglamaning yechimi yotgan oraliq va uning qiymati haqida
yetarli ma’lumotga ega bo’ldik.
Yuqorida eslatganimizdek chiziqsiz tenglamalarni ularni qaysi tipga
tegishliligiga qarab yechimni analitik, ya’ni formula ko’rinishda aniqlash mumkin.
Lekin, ko’pincha chiziqsiz tenglamani analitik yechimlarini formulalar yordamida
aniqlash imkoniyati bo’lmaydi. Shuning uchun ixtiyoriy chiziqsiz tenglamani
yechishning EHMdan foydalanishga mo’ljallangan sonli-taqribiy usullariga e’tibor
kuchayib bormokda.
Bu usullar jumlasiga quyidagilarni kiritish mumkin:




oddiy ketma-ketlik (iterasiya);
oraliqni teng ikkiga bo’lish;
urinmalar (Nyuton);
vatarlar (xord) va boshqalar
Sanab o’tilgan usullardan oraliqni teng ikkiga bo’lish va vatarlar usuli to’g’ri
tanlangan oraliqlarda ko’tilgan natijalarni uzoqroq vaqt sarflab bo’lsa ham aniqlab
beradi. Urinmalar va oddiy ketma-ketlik usullari esa mos ravishda to’g’ri tanlangan
boshlang’ich qiymat va |(x)|<<1 shartda o’ta tezlik bilan taqribiy yechimni zarur
aniqlikda topish imkoniyatini yaratadi.
2. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va dasturi
Tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’ta kichik son, yechimni topish aniqligi)
taqribiy-sonli yechimini (a;b) oraliqda topishni quyidagi algoritm bo’yicha
tashkil qilamiz:
• 1. Berilgan (a;b) oraliqni o’rtasini aniqlaymiz.
• 2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini f(a) f(c)<0 shartidan foydalanib
aniqlaymiz.
• 3. Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq sifatida olamiz va uni yana
teng ikkiga bo’lib, yuqoridagi ishlarni yana takrorlaymiz.
Xulosa qilib aytganda, biz tanlab olayotgan kesmalarda tenglamaning
taqribiy ildizi yotadi. Demak, kesmalarni toraytirib borar ekanmiz.
Natijada, qandaydir qadamdan so’ng tenglamaning aniq yoki talab
qilingan aniqlikdagi taqribiy ildizini hosil qilamiz
3. Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=𝜓(x) ko‘rinishdagi
tenglamaga keltiramiz.
2-teorema. Aytaylik,
1) 𝜓 (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi
bo‘lsin;
2) 𝜓 (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3)[a,b] oraliqda
𝜓
(x)
q <1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x= 𝜓 (x) tenglamaning yagona x=t yechimi
mavjud va bu yechim
tn= 𝜓 (tn-1). t 0  a; b
formulalar bilan aniqlanadi
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= 𝜓 (x) tenglama uchun
yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar
misolida ko‘rish mumkin.
Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t0 qiymat
[a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, ti – ni
yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan,
grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a).f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz.
3)Tenglamani x   (x) ko‘rinishga keltirib, 𝜓 (x) [a,b] ekanligini hamda
[a;b] da  ' ( x) mavjudligini tekshiramiz va q  max  ' ( x) ni topamiz.
x   a; b
4) Agar q<1 bo‘lsa, xn   ( xn1 ) ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi
x0 uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni
davom ettiramiz.
xn- xn-1
<
shart bajarilguncha
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun xn ni olamiz.
4. Vatarlar usuli
Vatarlar usuli [a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi f(x) egri chiziq yoyini
tutashtiruvchi vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan.
Vatarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (1-rasmda x1 va  ga
mos nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x1] yoki [x1, b] olinsa, avvalgi [a,
b] kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos f(x) yoyiga
yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo.
Bu jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin
bo’ladi.
Tenglamaning [a, b] ajratilgan ildizini  aniqlikda hisoblash uchun x0
boshlang’ich yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 1-rasmda ko’rsatilgandek f(x)
funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar
y'<0 ba y''<0 (1 a-rasm) yoki y'>0 va y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa x0=b, qolgan hollarda
x0=a qilib olish kerak (1-b va 1-c rasmlar).
a)
c)
b)
d)
1-rasm.
Birinchi x0=a bo’lgan holda x=b qo’zg’almas nuqta bo’ladi va
ildizga keyingi yaqinlashishlar
𝑓(𝑥 )(𝑏−𝑥 )
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑏𝑛)−𝑓(𝑎)𝑛
(3)
formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n=0, 1, 2, … yaqinlashish
tartibi, xn-n – tartibli yaqinlashish.
Ikkinchi, x0=b bo’lgan holda x=a qo’zg’almas nuqta bo’ladi. Keyingi
yaqinlashishlar
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑎)(𝑥𝑛 −𝑎)
𝑓(𝑥𝑛 )−𝑓(𝑎)
(4)
formula bilan hisoblanadi.
Yaqinlashish jarayoni |xn-xn-1|≤ shart bajarilguncha davom etadi.
Bunda 𝑥0 =b
Urinmalar (Nyuton) usuli
Bu usul qo’llanilganda tenglamaning ajralgan [a,b] ildiziga boshlang’ich
yaqinlashish x0 tanlab olinadi va ketma-ket yaqinlashishlar
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛 )
,
𝑓 ′ (𝑥𝑛 )
𝑛 = 0, 1, 2, …
formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n yaqinlashishlar tartib soni, xn – ildizga n –
yaqinlashish.
Boshlang’ich, ya’ni nolinchi yaqinlashish f(a) f’"(a)>0 shartni bajaradigan qilib
olinadi. Agar shart bajarilsa x0=a, aksincha x0=b qilib olinadi.
Urinmalar usuli bilan tenglama ildizlarini aniqlash ikki bosqichda amalga oshiriladi.
Birinchi bosqichda x0 tanlab olinadi. Buning uchun f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli
hosilasi topiladi va uning x=a nuqtadagi qiymati hisoblanadi hamda yuqoridagi
shartga asosan x0 tanlab olinadi.
Ikkinchi bosqichda f(x), f(x) qiymatlarini hisoblash uchun funksiyalar tuziladi, x0, 
qiymatlari EHMga kiritiladi va dastur yordamida hisoblashlar bajariladi.