第三章 特殊函数（2013）
第三章 特殊函数
上一节利用分离变量法，将球坐标系和柱坐标系下的偏微分方程分别转化为几个常微
分方程，但还有如下几个常微分方程的解并没有求得：
1、 连带勒让德方程

d 
m2 
2 dy  x  




1
1

x

l
l


y x   0
dx 
dx  
1  x 2 
2、勒让德方程
d 
dy x 

1  x2 
 l l  1 y  x   0

dx 
dx 
3、 m 阶贝塞尔方程
d2 y
dy
x
 x  x 2  m 2 y  0
2
dx
dx
2
4、 m 阶虚宗量贝塞尔方程
x2
d2 y
dy
 x  x 2  m 2 y  0
2
dx
dx
5、球贝塞尔方程


d  2 dR 
2 2
r
  k r  l l  1 R  0
dr  dr 
这些方程以及本章要介绍的厄米方程、拉盖尔方程、超几何方程、合流超几何方程
的解分别称为连带勒让德多项式、勒让德多项式、贝塞尔函数、虚宗量贝塞尔函数、球贝
塞尔函数、厄米多项式、拉盖尔多项式、超几何函数、合流超几何函数。这些解通常是级
数解的形式，我们把这部分方程的解统称为特殊函数。
§3.1 勒让德方程
3.1.1 常点邻域的级数解法
二阶线性齐次常微分方程的一般形式可写为
d2 y
dy
 2  p  x   q x  y  0
dx
 dx
 y x   c
y '  x0   c1
 0
0
（1）
40
第三章 特殊函数（2013）
其中，如果函数 p  x , q  x  在 x  x 0 及其邻域内是解析的，则称 x  x 0 点为方程的常点。
解的存在性和唯一性定理：
设函数 p  x , q  x  在圆域 x  x 0  R 内是解析的，则在此圆域内，方程(1)存在唯一

y '  x0   c1 的解析函数 y  x    cn  x  x0  。（此定理不作证
的满足条件 y  x0   c0
n
n 0
明）。
因为函数 p  x , q  x , y  x  在 x  x 0  R 均是解析的，因此可以将其在 x  x0 的邻域
内展开泰勒级数。为简便起见，我们取常点 x0  0 ，即在 x  0 的邻域内展开泰勒级数

px    an x n
n 0

q x    bn x n
n 0

y  x    cn x n
n 0
代入上述二阶常微分方程





n 2
n 0
n 1
n 0
n 0
 nn  1cn x n 2   an x n  ncn x n 1   bn x n  cn x n  0
对于任意 x ，上式恒等于零，所以 x n  0,1,2,  的系数必定均为零。
n
x 0 的系数
2  1c 2  a 0 c1  b0 c0  0  c 2  
a 0 c1  b0 c0
2 1
x1 的系数
3  2c3  a0 2c2  a1c1  b0 c1  b1c0  0  c3  
2a0 c2  a1c1  b0 c1  b1c0
3 2
c 2 可以用 c0 , c1 表示，所以 c3 也可以用 c0 , c1 表示。如此类推， c n 可用 c0 , c1 表示。
因为 c0 , c1 可由方程（1）的条件确定，所以，最终 c n 都将被确定。
故方程（1）通解 y  x  

c
n 0
n
x n 就可写出。
41
第三章 特殊函数（2013）
3.1.2 勒让德方程的级数解
勒让德方程：
d 
dy x 

1  x2 
 l l  1 y  x   0

dx 
dx 
（2）
将勒让德方程展开
1  x  ddxy  2 x ddyx  l l  1 y  0
2
2
（3）
2
方程两边同乘以
1
1 x2
d2 y
2 x dy l l  1


y0
2
dx
1  x 2 dx 1  x 2
可知
px   
2x
,
1 x2
qx  
（4）
l l  1
1 x2
p  x , q  x  在 x  0 处是解析的，所以 x  0 是 l 阶勒让德方程的常点。
由解的存在性和唯一性定理可知， y  x  在 x  0 处也解析。

设 yx  
c
n 0
n
x n ，代入方程（3）中，可得

1  x  nn  1c x
2
n 2
n 2
n


n 1
n 0
 2 x  ncn x n 1  l l  1 cn x n  0
整理得




n 2
n 2
n 1
n 0
 nn  1cn x n 2   nn  1cn x n  2 ncn x n  l l  1 cn x n  0
x 0 项系数
2  1c 2  l l  1c 0  0  c 2  
l l  1
c0
2 1
x 1 项系数
3  2c3  2c1  l l  1c1  0  c3 
1  l l  2 c
2  l l  1
c1 
1
3 2
3 2
x n 项系数
n  2n  1cn 2  nn  1cn  2ncn  l l  1cn
42
0
第三章 特殊函数（2013）
 cn  2 
n  l l  n  1 c
n  2 n  1 n
（5）
由上述通式可知，经过逐次递推， c 2 k k  1,2,  最终可用 c 0 表示， c 2 k 1 k  1,2,  最
终可用 c1 表示。即 x 的偶次幂项系数均可用 c 0 表示，而 x 的奇次幂项系数均可用 c1 表示。
用 2k 代替（5）式中 n  2 ，则 n  2k  2
2k  2  l l  2k  1 c
2k 2
2k 2k  1
2k  2  l l  2k  1 2k  4  l l  2k  3 c

2k 2k  1
2k  2 2k  3 2k  4
2k  2  l l  2k  1 2k  4  l l  2k  3  l l  1 c

0
2k 2k  1
2k  2 2k  3
2 1
2k  2  l 2k  4  l  l   l  1l  3l  2k  1 c

0
2k !
c2 k 
同理用 2k  1 代替（5）式中 n  2 ，则 n  2k  1
2k  1  l l  2k  c
2 k 1
2k  12k
2k  1  l l  2k  2k  3  l l  2k  2  c

2k  12k
2k  12k  2 2 k 3
2k  1  l l  2k  2k  3  l l  2k  2  1  l l  2  c

1
2k  12k
2k  12k  2
3 2
2k  1  l 2k  3  l 1  l   l  2 l  4 l  2k  c

1
2k  1!
c2 k 1 
由此可得勒让德方程的级数解



n 0
k 1
k 1
y  x    cn x n  c0   c2 k x 2 k  c1 x   c2 k 1 x 2 k 1
2k  2  l 2k  4  l  l   l  1l  3l  2k  1 c x 2 k
0
2k !
k 1

2k  1  l 2k  3  l 1  l   l  2 l  4 l  2k  c x 2 k 1
 c1 x  
1
2k  1!
k 1

2k  2  l 2k  4  l  l   l  1l  3l  2k  1 x 2k 

 c0 1  

2k !
 k 1


2k  1  l 2k  3  l 1  l   l  2 l  4 l  2k  x 2 k 1 

 c1  x  

2k  1!
k 1


 c0 y 0  x   c1 y1  x 

 c0  
即
y  x   c0 y 0  x   c1 y1  x 
（6）
y  x  可以看作是由两个特解 y 0  x  、 y1  x  线性组合而成。其中
43
第三章 特殊函数（2013）
2k  2  l 2k  4  l   l   l  1l  3 l  2k  1 x 2 k
2k !
k 1
（7）
2k  1  l 2k  3  l 1  l   l  2 l  4 l  2k  x 2 k 1
2k  1!
k 1
（8）

y0 x   1  

y1  x   x  
由上一节可知，勒让德方程来自求解球坐标系下拉普拉斯方程时得到的一个常微分方程。
物理上，其解 u r ,  ,   应该是有界的，勒让德方程中， x  cos  0      ，其定义域
为  1  x  1 ，因此 y  x  在定义域  1  x  1 必然有界。
下面，判断 y 0  x  、 y1  x  在  1  x  1 的收敛性。以 y 0  x  为例
2k  2  l 2k  4  l  l   l  1l  3l  2k  1 x 2 k
2k !
k 1

y0 x   1  

 1   uk x 2 k
k 1
其中， uk 
2k  2  l 2k  4  l  l   l  1l  3l  2k  1
2k !
幂级数收敛半径
uk
( 2k  2)( 2k  1)
 lim
1
k  u
k   2k  l ( l  2k  1)
k 1
R  lim
因此， y 0  x  在其收敛半径内  1  x  1 范围内是绝对收敛的。然而，当 x  1 时，
y 0  x  是否收敛，需要用高斯判别法进行断定。
*****************************************************************************

高斯判别法：对于级数
 uk ，如果
k 1
绝对收敛；当   1 时，级数

uk

 1 
 1   O  n , n  1 。则当   1 ，级数  uk
uk 1
k
k 
k 1

u
k
发散。
k 1
*****************************************************************************
当 x  1 时， y 0  x   1 

u
k
k 1
44
第三章 特殊函数（2013）
1 
 1 
 1   1  
uk
1 
(2k  2)( 2k  1)
l  l  1 
k  2 k 
 1 

 
  1   1   1   1 

l  l  1   k  2 k  2 k 
2k 
uk 1 2k  l (l  2k  1) 


1
1



2k 
 2 k 
1
 1 
 1   O 2 
k
k 
因此，由高斯判别法可知， y 0 1 发散。同理， y 0  1 ， y1  1 也发散。
既然 y  x  在边界 x  1 处发散，那么，在物理意义上，
（6）式就不是符合物理意义
上的勒让德方程的解。换句话说，我们要找的符合勒让德方程的解必然要满足边界条件
y  1 有界。施图姆-刘维尔方程本征值问题指出，勒让德方程要有非零解，必然要满足
自然边界条件 y  1 有界，两种思路在此处统一起来。
那勒让德方程的严格物理解应该如何写呢？
如果无穷级数 y 0  x  、 y1  x  可以退化成有限项的多项式，那么 y  x  在 x  1 发散
的问题就不存在了。勒让德方程的通解为 y  x   c0 y 0  x   c1 y1  x 
由公式(5)可得递推公式 c 2 n  2 
2n  l l  2n  1 c ，可知
2n  22n  1 2 n
当本征值 l  2n 时， c 2 n  2  0 ，再由递推关系得 c 2 n  4 , c 2 n  6 ,   0 ，因此，无穷级
数 y 0  x  被截断成多项式，自然收敛。而 y1  x  仍然是无穷级数，在边界 x  1 仍然发散，
要保证通解 y  x  有界，必然要求 c1  0 。因此，方程（6）退化为 y  x   c0 y 0  x  ，其中
y 0  x  是一个在定义域  1  x  1 收敛的、最高次幂为 2n 的多项式：
45
第三章 特殊函数（2013）
2k  2  2n2k  4  2n 2n  2n  12n  32n  2k  1 x 2k
y0  x   1  
2k !
k 1
n
2k  2  2n2k  4  2n  2n2n  12n  32n  2k  12n  22n  42n  2k 2n! x 2k
 1 
2k !2n  22n  42n  2k 2n !
k 1
k
n
1 2n  2  2k 2n  4  2k 2n2n  2k ! x 2k
 1 
2n!2k !2n  22n  42n  2k 
k 1
k
n
1 n  1  k n  2  k n2n  2k ! n!n  k !x 2k
 1 
2n!2k !n  1n  2n  k  n!n  k !
k 1
n
 1k n!2 2n  2k ! x 2k
 1 
k 1 2n ! 2k ! n  k ! n  k !
n
 1k n!2 2n  2k ! x 2k

k  0 2n ! 2k ! n  k ! n  k !
n
即
2

2n  2k !
n! n
 1k
y0 x  
x 2k

2n! k 0
2k !n  k !n  k !
令系数 c0   1
n
（9）
2n  1!! ，可得到 2n 阶勒让德多项式
2n !!
P2 n  x   y  x   c0 y 0  x 
  1
n
2n  2m !
2n  1!! n!2 n  1m
x 2m

2m !n  m !n  m !
2n !! 2n ! m 0
其中
2n  1!! n!2
2n !! 2n !
2n  12n  32n  51  nn  1n  212

2n 2n  22n  42  2n 2n  12n  21
nn  1n  212

2n 2n  22n  422
2

nn  1n  21
 n
2 nn  1n  212

1
22 n
带入上式得
P2 n  x    1
n
1
2 2n
n
2n  2m !
  1 2m !n  m !n  m ! x
m
m 0
令 k  n  m ，即 m  n  k
46
2m
第三章 特殊函数（2013）
n
P2 n  x    1
n
   1
k
2
k 0
2n
n
1
2 2n
4n  2k !
  1 2n  2k !2n  k !k! x
n k
2n 2k
k 0
4n  2k !
x 2n 2k
k! 2n  k ! 2n  2k !
或者，设 l  2n ，则
l 2
Pl  x     1
k
k 0
2l  2k !
x l  2 k , l  0,2,4 2n 
2 k! l  k ! l  2k !
l
同理，当 l  2n  1 时，由公式（5）可得 c2 n  3 
（10）
2n  1  l 2n  2  l  c ，因此，
2n  32n  2  2 n 1
c 2 n 3  c 2 n 5    0 ，这样，无穷级数 y1  x  被截断成多项式，自然收敛。而 y 0  x  仍
然是无穷级数,在边界 x  1 仍然发散，要保证通解 y  x  有界，必然要求 c0  0 ，方程（6）
退化为 y  x   c1 y1  x  ，其中 y1  x  为一个最高次幂为 2n  1 的多项式，即
l 1
2
2l  2k !
x l  2 k , l  1,3,52n  1
2 k! l  k ! l  2k !
Pl  x     1
k
l
k 0
（11）
2n,2n  1 阶勒让德多项式可以合写为
l 2 
Pl  x     1
k 0
k
2l  2k !
x l 2k ,
2 k! l  k ! l  2k !
l
（12）
其中 l 2 表示不超过 l 2 的最大整数， 即
l 2 , l为偶数
l 2   l  1
 2 , l为奇数
综上，勒让德方程
d 
dy x 

1  x2 
 l l  1 y  x   0 只有当本征值 l  0,1,2

dx 
dx 
时，才能在定义域  1  x  1 内存在有界解，其本征解为勒让德多项式 Pl  x  ，其中，
l 2 
k
Pl  x     1
k 0
2l  2k !
x l 2k
2 k! l  k ! l  2k !
l
， l 2 表 示 不 超 过 l 2 的 最 大 整 数 ，
l  0,1,2 。
47
第三章 特殊函数（2013）
3.1.3 勒让德多项式的性质
一、 l 阶勒让德多项式几个特殊点的值
l 2 
Pl  x     1
k
k 0
2l  2k !
xl  2k ,
2 k!l  k !l  2k !
l
其中 l 2 表示不超过 l 2 的最大整数，即
l 2 ,
l为偶数
l 2   l  1
 2 , l为奇数
1、前几个勒让德多项式：
P0  x   1
P  x   x
 1

1
P2  x   3x 2  1
2


1 3
P3  x   5 x  3x
2




（1）

1
P1(x)
P2(x)
P3(x)
Pl(x)
P4(x)
0
-1
-1
0
x
勒让德多项式前几项的图像
2、勒让德多项式的奇偶性
48
1
第三章 特殊函数（2013）
2l  2k !  x l  2 k
2 k!l  k !l  2k !
k 0
l 2 
2l  2k ! x l  2 k
l
k
  1   1 l
2 k!l  k !l  2k !
k 0
l
  1 Pl  x 
l 2 
Pl  x     1
k
l
所以，当 l  2n 时， P2 n ( x) 为偶函数；当 l  2n  1 时， P2 n1 ( x) 为奇函数。
3、勒让德多项式在边界上的值
（1）、 P2 n 1 0   0
证明：P2 n 1  x  
n
  1
k
2
k 0
2 n 1
4n  2  2k !
x 2 n 1 2 k , 多项式仅存在 x 的奇次
k!2n  1  k !2n  1  2k !
幂，所以，当 x  0 时， P2 n 1 0   0 。
（2）、 P2 n 0    1
n
证 明 ： P2 n  x  
2n  1!!
2n !!
n
  1
4n  2k !
x 2n  2k , 当
k!2n  k !2n  2k !
k
k 0
2
2n
x0 时，多项式只有在
2n  2k  0 ，即 k  n 时不为零，其余项均为零。因此
P2 n 0   1
n
2n !
2n
2 n!n!
  1
n
2n !   1n 2n  1!!
2n !!
2n !!2
（3）、 Pl 1  1
证明：由勒让德多项式的积分公式 Pl  x  
Pl 1 
1 π
π 0
x
2

l
 1 cos  x d 得
1 π l
1 d  1
π 0
(4）、 Pl  1   1
l
证明：由勒让德多项式的奇偶性 Pl  x    1 Pl  x  ，可得 Pl  1   1
l
l
二、勒让德多项式的微分形式
罗德里格斯公式：
l
1 dl 2
Pl  x   l

x  1
l
2 l! dx
（2）
证明：
49
第三章 特殊函数（2013）
n
a  b n   Cnk a k b n  k ，其中， Cnk 
由二项式定理
k 0
x
2

l
 
 1   Clk  1 x 2
l
k
l k
k 0
当k 
l
   1
k
k 0
n!
k!n  k !
l!
x 2l  2 k
k!l  k !
l
dl 2
l
， x 的最高次幂  l ，所以相应的 l 阶导数 l x  1  0
2
dx

l 2 

l
1 dl 2
1 dl
x

1

2l l! dx l
2l l! dx l

l!
  1 k!l  k ! x
k
2l  2 k
k 0
1
 1k l!2l  2k (2l  2k  1)l  2k  1 xl  2 k
l 
2 l! k  0
k!l  k !
l 2 
l 2 
   1
k
k 0
2l  2k !
x l  2 k  Pl x 
2 k!l  k !l  2k !
l
三、勒让德多项式的积分表示
Pl  x  
1 π
π 0
 x  1 cos  x d
l
2
（3）
证明：
由柯西积分公式
f n   x  
n!
f z 
dz

C
2πi R z  x n 1
又由罗德里格斯公式得
l

1 dl 2
1 l!
z 2  1
x  1  2 l l! 2πi CR
Pl  x   l
dz
2 l! dx l
z  x l 1
l

1
z 2  1
 l
dz
2  2πi C R z  x l 1
l
令zx
x 2  1ei ，即 z  x  x 2  1ei
50
第三章 特殊函数（2013）
z 2  1 dz
1
Pl  x   l
2  2πi C R z  x l 1
l


2
2
i
2π x  2 x x  1e
 x 2  1e 2 i  1
1
 l
l 1
2  2πi 0
x 2  1e i



2
2
i
2π x  1  2 x x  1e
 x 2  1e 2i
1
 l
l
2  2 π 0
x 2  1e i
l
2π
1
2
- i
2
i
 l
x

1
e

2
x

x

1
e
d
2  2 π 0
l
2π
1
2
 l
2
x

1
cos


2
x
d
2  2π 0
l
1 2π
2

x

1
cos


x
d
2π 0
l
1 π
  x 2  1 cos  x d
π 0




l
x 2  1e i id
 d
l






四、勒让德多项式的正交性
 P x P x dx  0 l  k 
1
l
1
（4）
k
证明：
dP  x  
d 
1  x 2 l   l l  1Pl  x   0

dx 
dx 
（5）
dPk  x 
d 
 k k  1Pk  x   0
1  x2

dx 
dx 
（6）




5  Pk x   6  Pl x 
Pk  x 
dPk  x  
d 
dP  x  
d 
 k k  1Pk  x Pl  x   0
1  x 2 l   l l  1Pk  x Pl  x   Pl x   1  x 2

dx 
dx 
dx 
dx 




整理得
l l  1Pk  x Pl  x   k k  1Pk  x Pl  x   Pk  x 
d 
1  x 2  dPl x   Pl x  d 1  x 2  dPk x 

dx 
dx 
dx 
dx 
对 x 求积分
d 
d 
2 dPl  x  
2 dPk  x  
1 l l  1  k k  1Pk x Pl x dx  1 Pk x  1  x 
dx  1 Pl  x  1  x 
dx
1
1
1
dx 
dx 
dx 
dx 
1
dP  x  1
dP  x  1
2 dPl  x  dPk  x 
2 dPk  x  dPl  x 
 Pk  x 1  x 2  l
dx  Pl  x 1  x 2  k
dx
1   1  x 
1   1  x 
1
1


dx
dx
dx
dx
dx
dx
0
1
51
第三章 特殊函数（2013）
  Pk  x Pl  x dx  0
l  k 
1
1
五、勒让德多项式的模
2
l  0,1,2,
2l  1
Nl 
（7）
证明：
由罗德里格斯公式：


l
1 dl 2
x 1
Pl  x   l
l
2 l! dx
N l2   Pl x  dx 
1
2
1

1
2
2l
2 l!
1
 2l 2
2 l!





l
l d
l
dl 2

1
x
x 2  1 dx
l
1 dxl
dx
1
l 1
l  d
l
dl 2
2


1
d
1
x
x


l
l

1
1 dx
 dx


1



1
l 1
 dl 2
l d
l
1
2
 dx l x  1 dx l 1 x  1   2l 2

 1 2 l!

1
2
2l
2 l!
1
 2l 2
2 l!
1
2
2l
2 l!



l 2
l  d
l
d l 1 2
2

1
d
x
 dx l  2 x  1 
1 dxl 1



1



l2
l d
l
dl  2 2
2
1 dxl  2 x  1 dxl  2 x  1 dx
1




分部积分 l 次
52
l 1
l d
l
d l 1 2
2
1 dxl 1 x  1 dxl 1 x  1 dx
1




第三章 特殊函数（2013）
l
2l
l d
l

 1 1 2
N  2l 2  x  1 2l x 2  1 dx
1

dx
2 l!
l
 1l 2l ! 1
 2l 2  x 2  1 dx
2 l! 1
 1l 2l ! 1
l
l
 2l 2   x  1  x  1 dx
1

2 l!
l

 1 2l ! 1 1
x  1l dx  1l 1
 2l 2 
1

l 1
2 l!
 1l 2l !  1 x  1l x  1l 1 1  1 l x  1l 1 x  1l 1 dx 
 2l 2 
1 

1 l  1
2 l!  l  1

l
 1 2l !  1 l x  1l 1 x  1l 1 dx 
 2l 2  

2 l!  1 l  1
l

l l 1 1 1
 1 2l ! 

0
2l
l
   x  1  x  1 dx 
 2l 2  1
l  1 l  2 2l 1
2 l! 

2l ! l!l! 1 x  12l 1 1
 2l 2
1
2 l! 2l ! 2l  1
2
l

2
2l  1
六、广义傅里叶级数
勒让德多项式 Pl  x , l  0,1,2 在区间  1,1 上是完备的，对于定义在区间  1,1 上
的任意有界函数 f  x  ，均可以展开以勒让德多项式为基的广义傅里叶级数
1、 f  x  

 c P x 
l 0
（8）
l l
其中，
cl 
2l  1 1
f  x Pl  x dx
2 1
2、 f   

 c P cos 
l 0
（9）
l l
其中，
cl 
2l  1 π
f  Pl cos sin d
2 0
七、生成函数（母函数）
设在单位球体北极放置一个带电量 Q  4π 0 的正电荷，则
53
第三章 特殊函数（2013）
由电磁学知识可知，球内任意一点电势为： V 
Q
1
1
 
, (r  1)
4π 0 d d
1  2r cos  r 2
(10)
由于点电荷在球内外产生的电势满足 Laplace 方程，且以 z 轴对称，所以，其产生电
势与  无关，电势通解可写为：

B 


V   Al r l  l l 1 Pl cos , (r  1)
r 
l 0 
1、在球内， r  0 ， V 有界，故 Bl  0

V   Al r l Pl cos 
( r  1)
（11）
l 0
由（10）（11）得

1
1  2r cos  r 2
  Al r l Pl cos 
Al 为待定系数
l 0
对于任意  上式均成立，为了简便起见，取特例 cos  1 ，确定 Al

1
  Al r l Pl 1 
1  r l 0


Ar
l 0
r  1
l
l

1
 1  r  r2    rl     rl
1 r
l 0
r  1
比较上式，可得， Al  1


1
1  2r cos  r 2
  r l Pl cos 
r  1
l 0
令 x  cos  ，则

1
1  2rx  r 2
  r l Pl  x 
r  1
l 0
2、在球外， r   ， V 有界，故 Al  0

1
1  2r cos  r 2

Bl
P cos 
l 1 l
l 0 r
r  1

取特例 cos   1


1
B
  l l 1 Pl cos 
r  1 l 0 r
r  1
54
（12）
第三章 特殊函数（2013）
l

1
1 1
1  1
1

      l 1
r  1 r  1  r l 0  r  l 0 r
1  
 r
r  1
比较两式可得， Bl  1


1
1  2r cos  r

2
l 0
1
r l 1
Pl cos 
r  1
令 x  cos  ，则

1
1  2rx  r
2

l 0
1
r l 1
Pl cos 
r  1
综上，

1


r l Pl cos 


2
l 0
 1  2 rx  r


1
1

  l 1 Pl cos 
 1  2 rx  r 2 l  0 r
因此，
1
1  2rx  r 2
r  1
(13)
r  1
(14)
称为 Pl  x  的生成函数（母函数）。
扩展：如果以半径为 R 的球代替单位球，则需进行替换 r 

1
1 l


r Pl cos 

l 1
 2
2
l 0 R
 R  2 Rr cos  r


1
1

  R l l 1 Pl cos 
 R 2  2 Rr cos  r 2 l  0 r
八、递推公式：
k  1Pk 1  2k  1xPk  x   kPk 1  x   0

'
'
'
Pk  x   Pk 1  x   2 xPk  x   Pk 1  x 

'
'
2k  1Pk  x   Pk 1  x   Pk 1  x 
由母函数

1
  r l Pl  x 
1  2rx  r 2
l 0
1、对 r 求导
xr

1  2rx  r 
2 32
  lr l 1Pl  x 
l 0
方程两边同乘以 1  2rx  r
2
55
r
R
r  R 
(15)
r  R 
(16)
第三章 特殊函数（2013）
xr
1  2rx  r 
2 12

 1  2rx  r 2
 lr

Pl  x 
l 1
l 0


  x  r  r l Pl  x   1  2rx  r 2
l 0
 lr

Pl  x 
l 1
l 0
k
比较 r 项系数
xPk  x   Pk 1  x   k  1Pk 1  2 xkPk  x   k  1Pk 1 x 
整理的
k  1Pk 1  2k  1xPk x   kPk 1 x   0
(k  1)
（17）
k 1
（18）
2、对 x 求导

r
1  2rx  r 
2 32
  r l Pl ' x 
l 0
方程两边同乘以 1  2rx  r
2

r
1  2rx  r 
2 12
 1  2rx  r 2  r l Pl '  x 
l 0


l 0
l 0
  r l 1 Pl  x   1  2rx  r 2  r l Pl '  x 
比较 r
k 1
项系数
Pk  x   Pk' 1 x   2 xPk'  x   Pk' 1  x 
3、（17）式对 x 求导，得
k  1P ' x   2k  1Pk x   2k  1xP ' x   kP ' x   0
k 1
k
k 1
（19）
（19）式  2 -（18）式  2k  1 ，整理得
2k  1Pk x   Pk' 1 x   Pk' 1 x 
(k  1)
（20）
*******************************************************************************
习题：
1、利用勒让德多项式的性质求解下列积分
1
xPk  x Pl  x dx
（1）

（4）
 P x dx
1
1
1
l
（2）

1
1
xPl  x Pl 1 x dx （3）  x 2 Pl  x Pl  2  x dx
1
1
（5） Pl  x dx

（6） xPl  x dx
1

0
1
0
2、在  1  x  1 上，将下列函数展开为 Pl  x l  0,1,2, 的广义傅里叶级数
56
第三章 特殊函数（2013）
（1） x （2） x （3） xPm  x 
3
3、设 f  x  是一个 k 次多项式，试证明当 0  k  l 时， f  x  与 l 阶勒让德多项式 Pl  x  在
- 1,1上正交，即 1 f x Pl x dx  0 。
1
4、一半径为 1 的空心球，以球心为坐标原点，当表面充电至电势为 1  4 cos  3 cos
2
 时，
求球内各点电势。
5、半径为 R 的半球，其球面保持恒温 u 0 ，而底面温度为零度。求半球内的稳定温度分布。
6、半径为 R 的半球，其球面保持恒温 u 0 ，而底面保持绝热。求半球内的稳定温度分布。
7、在电场强度为 E 0 的均匀电场中放置一个接地导体球，球半径为 a ，求球外任意一点电势。
8、真空中存在一电场强度为 E 0 的匀强电场，将一个半径为 a 、相对介电常数为  的介质球
放置匀强电场中，求球内外电势分布。
§3.2 连带勒让德方程
3.2.1 连带勒让德方程的解

m2 
d 
2 d 
1  x  dx   l l  1  1  x 2   0
dx 
 

（1）
1  x  ddx  2 x ddx  l l  1  1 m x
（2）
展开得
2
2
2
2

设  x   1  x

2

  0

 yx 
2 m2
m 2 1
m2
d x 
 m1  x 2 
xy  x   1  x 2  y '  x 
dx


m 2 1
m2
d 2 x  d

 m1  x 2 
xy  x   1  x 2  y '  x 
2
dx
dx
 mm  2 1  x 2 
m 22
x 2 y  x   m1  x 2 
m 2 1
y  x   2m1  x 2 
m 2 1
xy '  x   1  x 2 
m2
将以上两式带入（14）式中，得
1  x y' '2m  1xy'l l  1  mm  1y  0
2
57
（3）
y ' ' x 
第三章 特殊函数（2013）

一旦由(3)式得到其解 y  x  ,代入  x   1  x
 yx  即可得到连带勒让德方程(1)
2 m2
的解。
对于方程（3），我们不直接求其解，我们利用已求得的勒让德方程的解间接求解。
勒让德方程
1  x P ' ' x   2 xP ' ( x)  l l  1P ( x)  0
2
l
l
l
考虑到莱布尼茨求导法则
uv m  uv m  m u' v m 1  mm  1 u' ' v m 2    mm  1m  k  1 u k v m k    u m v
1!
2!
k!
对勒让德方程进行 m 阶求导
1  x P  
m ''
2
l

m
 2 x Pl m '  mm  1  2Pl m   2 xPl m '  2mPl m   l l  1Pl m   0
1!
2!
即
1  x P  
m ''
2
l
 2m  1xPl
m '
 l l  1  mm  1Pl
m 
0
（4）
对比（3）
（4）可知，方程（3）的解即为勒让德方程的解（即勒让德多项式）的 m 阶导数：
y  x   Pl m  x  
dm
Pl  x 
dx m
所以，连带勒让德方程的解  x  ，即连带勒让德多项式为：
 x   Plm  x   1  x 2 
m2
Plm   x 
（5）
m
x   1  x 2 m 2
m
x 、Plm  x  ，后者是 Pl  x  的 m 阶导数。
或 Pl
注意区分 Pl
dm
Pl  x 
dx m
（6）
3.2.2 连带勒让德多项式的性质
连带勒让德方程

m2 
d 
2 d 



x
l
l



1
1
0
dx 
dx  
1  x 2 


其解

x   Plm x   1  x 2

m
2
Plm   x 
或
Plm  x   1  x 2  2
m
dm
Pl  x 
dx m
（0  m  l ）
58
（1）
第三章 特殊函数（2013）
注意： Pl  x  的最高次幂为 x ，连带勒让德多项式是对 Pl  x  进行 m 阶求导而后得到的，为
l
保证连带勒让德多项式不为零，需要满足 0  m  l 。
一、连带勒让德多项式前几项
P11  x   1  x 2 2
1

P21  x   1  x 2

1
2
P22 x   1  x 2 
1
d
x  1  x 2 2  sin 
dx




1
d 1 2

2 2
3
x

1

3
1

x
x  3 sin  cos

dx  2
d2
dx 2
1 2

2
2
 2 3 x  1  31  x   3 sin 
当 m  0 时， Pl  x  退化为 Pl  x  。
m
二、连带勒让德多项式的微分形式
l m
m
l
1
2 2 d
P  x   l 1  x 

x 2  1
lm
2 l!
dx
m
l
(0  m  l )
证明：由罗德里格斯公式可得
Pl  x  
l
1 dl 2

x  1
l
l
2 l! dx
 P  x   1  x
m
l

m
2 2
dm
dx m
lm
m
 1 dl 2
l
l
1
2 2 d
2
 2l l! dx l x  1   2l l! 1  x  dx l  m x  1


证毕。
对于连带勒让德方程：

m2 
d 
2 d 



x
l
l
1


1

0
dx 
dx  
1  x 2 


本征值 m 由本征方程
d 2
 m 2  0 决定。
2
d
由周期边界条件        2 π  可得，其本征解为：
   Am cos m  Bm sin m , m  0,1,2,
思考：为什么此处 m  0,1,2,  ，不写 m  1,2, ？
59
（2）
第三章 特殊函数（2013）
2
连带勒让德方程中本征值 m ，对于 m 取正值或者取负值，对应的本征方程均一样，因
m
此 Pl
m
和 Pl
x  和 Pl m x  ，均应该为连带勒让德方程的解。然而，可以证明对于 m  0 ， Pl m x 
x  仅相差一个常数，即 Pl m x   cPlm x  ， c 为常数，因此，连带勒让德方程的解写
成 Pl  x , m  0 即可。与    中本征值 m  0 吻合。
m
m
下面证明 Pl
x   cPlm x  ，并推导常数 c 的值。
证明：
l m
m
l
1
2 2 d




x
x 2  1
1
l
lm
2 l!
dx
m

l
1
dl  m
Pl m  x   l 1  x 2  2 l  m x 2  1
dx
2 l!
 Plm  x  
m
要证 Pl
x   c Plm x  ，即证
l m
lm
m
m
l
l
1
1
2 2 d
2
2 2 d

1 x 

x  1  c l 1  x 

x 2  1
l
l m
l m
2 l!
dx
2 l!
dx

lm
l
l
dl  m 2
2 m d

x

1


c

1

x


x 2  1
l m
lm
dx
dx
由莱布尼茨求导公式，可得


l mk
l m
l
dl  m 2
dl  m
dk
l
l
l d
l
k

x  1  l  m  x  1  x  1   Cl  m k x  1 l  m  k  x  1
lm
dx
dx
dx
dx
k 0
要保证
dk
dl  m  k
l


x  1l 均不为 0
x

1
和
k
l  mk
dx
dx
必须 k  l 且 l  m  k  l

k  m ，即 m  k  l
l mk
l
l
dl  m 2
dk
l d
k


x  1l
x
1
C
x
1




lm
k
l mk
dx l  m
d
x
d
x
k m


l
  Clk m
k m
l l  1l  k  1l  k !
x  1l  k l l  1k  m  1k  m ! x  1k  m
k  m !
l  k !
令 n  k  m ,即 k  m  n
60
第三章 特殊函数（2013）

l m
l
l!
dl  m 2
x  1l  n  m l! x  1n


x
Clnmm
1

l m
l  n  m !
n!
dx
n0


l  m !
l!
l!
x  1l  n  m x  1n
n  0 n  m !l  n ! l  n  m ! n!
l m
l  m !l!2
x  1l  n  m x  1n

n  0 n  m !l  n !l  n  m !n!
l m

（3）
同理
l mn
l m
l
dn
dl  m 2
l d
l
n
x  1   Cl  m n  x  1 l  m  n  x  1
l m
dx
dx
dx
n 0


l m
  Cln m
n 0
l!
x  1l  n l! x  1n  m
l  n !
n  m !
l m
l  m !

  n  m!ll  nm!!ll! n  m!n!x  1
（4）
l!
l!
x  1l  n x  1n  m

n  0 n!l  n  m ! l  n ! n  m !
 x2  1
m
2
l m
l nm
x  1n
n0
由（3）（4）得
lm
l
m l  m ! d
l
dl  m 2
2
x2  1
x 1  x 1
l m
lm
l  m ! dx
dx

 



  1 1  x
m
令c   1
m

2 m

l  m ! dl  m x 2  1l
l  m ! dxl  m
l  m !
l  m !
即
Pl m  x    1
m
l  m ! P m x 
l  m ! l
三、连带勒让德多项式的积分形式
Plm  x  

m  0
（5）

（6）
l
im l  m ! π
2
cos
m

x

x

1
cos

d
π
l! 0
证明：
由 Pl  x  的微分公式得
m
Plm  x  

1
1  x2
l
2 l!

m
2
l
d l m 2
x 1
l m
dx
然后，由柯西积分公式 f

n 
x  

n!
f z 
dz
CR

2πi
z  x n 1
61
第三章 特殊函数（2013）
Plm  x  
m
z 2  1 dz
1
2 2 ( l  m )!


1
x

C
2 l l!
2 πi  R z  x l  m 1
l
2 i
令 z  x  1 x e
经过一系列的推导（参照勒让德多项式的积分公式推导）


l
im l  m ! π im
2
e


1
cos

d
x
x
2π l!  π
l
im l  m ! π
2

cos
m

x

x

1
cos

d
π
l! 0
Plm  x  


四、连带勒让德多项式的正交性


在给定 m  0,1,2,, l 的情况下，本征函数族 Pl  x  l  0,1, 具有如下正交关系：

1
1
或

π
0
m
Plm  x Pkm  x dx  0
（7）
Plm cos Pkm cos sin d  0
（8）
证明：连带勒让德函数满足以下方程：
m

m2  m
d 
2 d Pl  x  








x
l
l
1
1
Pl x   0
dx 
dx  
1  x 2 
m

m2  m
d 
2 d Pk  x  



x
k
k
1


1

Pk x   0
dx 
dx  
1  x 2 


（9）
（10）
9  Pkm x   10  Plm x  ，得
l l  1  k k  1Plm x Pkm x  
m
m
d 
d 
2 d Pl  x   m
2 d Pk  x   m









1
x
P
x
1
x
Pl  x 
k
dx 
dx 
dx 
dx 
对 x 在  1,1 区间进行积分，可得
l l  1  k k  11 Plm x  Pkm x dx
1
m
m
1
d 
d 
m
2 d Pk  x  
2 d Pl  x  
  P  x  1  x 
dx   Pk  x  1  x 
dx
1
1
dx 
dx 
dx 
dx 
1
m
l
1
d P m x 
d P m  x  d Plm  x 
 P  x 1  x  k
  1  x 2  k
dx
dx 1 1
dx
dx
1
m
l
2
1
d P m x 
d P m  x  d Pkm  x 
 P  x 1  x  l
  1  x 2  l
dx 1 1
dx
dx
1
m
k
2
0
62
第三章 特殊函数（2013）
  Plm  x Pkm  x dx  0
1
1
五、连带勒让德多项式的模
l  m ! 2 ,
l  m ! 2l  1
N lm 
 Plm  x    1
m
  
2
 N lm
1
0ml
l  m ! P  m x 
l  m ! l
Plm  x  Plm  x dx   1
m
1
（11）
l  m ! 1 P m x  P  m x dx
l
l  m ! 1 l
l  m ! 1 1 1  x 2 m2 d l  m x 2  1l 1 1  x 2  m2 d l m x 2  1l dx
l  m ! 1 2 l l!
dx l  m
2 l l!
dx l  m
l m
l m
1 d
l d
l
1
m l  m !
2



x
x 2  1 dx
  1
1

2 1
l m
l m
2l
l  m ! 2 l! dx
dx
  1
m
积分
l m
l d
l
d l m 2
2


1 dx l m x  1 dx l m x  1 dx
l m
l  m 1
1 d
l
l  d
2






x
x 2  1 
1
d
l
m
l
m
1




1 dx
 dx

1
l  m 1
l d
l
d l m 2
 l  m x  1 l m 1 x 2  1
dx
dx
1
1
l  m 1
l d
d l  m 1 2
x  1 dx l m1 x 2  1l dx

1 dx l  m 1
1
经过 l  m  次分部积分
l
l
d 2l 2
2
1 dx 2l x  1  x  1 dx
  1
l m 1
  1
l m
2l ! 1 x 2  1l dx
1
l!2 1 x  12l 1
  1 2l !  1
2l ! 2l  1
1
1
l m

l
1
 1m l!2 2 2l 1
2l  1
    1 ll  mm!!
 N lm
2
m
l  m ! 2
1
1
m
2 2 l 1




1
l
!
2


2
l  m! 2l  1
2 2l l! 2l  1
∴连带勒让德多项式的模
N lm 
l  m ! 2 ,
l  m ! 2l  1
0ml
六、广义傅里叶级数

 l  m, m  1,  在 空 间
对 于 任 意 给 定 正 整 数 m ， 连 带 勒 让 德 多 项 式 Pl  x 
63
m
第三章 特殊函数（2013）
L2  1,1 是完备的。即对于 f
x   L2  1,1均可展开如下 Fourier 级数：

1、
f  x    cl Plm  x 
（12）
l 0
cl 
2l  1 l  m !
f  x P  x dx 
f  x P  x dx

2 l  m ! 
N 
2、 f   
1
1
m 2
l
1

1
m
l
1
m
l
 c P cos 
l
m
l
(13)
(14)
l 0
cl 
2l  1 l  m ! π
f  x Plm cos  sin d
2 l  m ! 0
（15）
七、球坐标系下拉普拉斯方程的通解
球坐标系下 Laplace 方程
 
u 
1   2 u 
1
1
 2u
r

sin

0





  r 2 sin 2   2
r 2 r  r  r 2 sin   
经过分离变量，得到如下三个常微分方程：
 d  2 dR 
  l l  1R  0
 r
 dr  dr 
 d 2 
2
 2 m 0
 d
d 
m2 
dy  
 1  x 2    l l  1 
1  x 2  y  0
dx  
 dx 
Laplace 方程通解：
u r, ,   R r      R r  y  x   
 
，
B 

   Al r l  l l1  Plm  x Cm cos m  Dm sin m 
r 
l 0 m l 
或者

l
B 

u r, ,      Al ,m r l  ll,m1  Yl ,m  , 
r 
l 0 m   l 
其中， x  cos  。
当 m  0 。连带勒让德方程退化为勒让德方程：


d 
2 dy 
1
x

 l l  1 y  0
dx 
dx 
轴对称情况下的物理问题，u r , ,  与  无关，此时，m  0 。因此，轴对称情况下，Laplace
方程通解：
64
第三章 特殊函数（2013）

B 

u r,     Al r l  l l1  Pl  x 
r 
l 0 
*******************************************************************************
习题：

1、以 Pl  x 
2
 l  2,3 为基底在区间  1,1 上把函数 f x   0u,,01  xx  10 展开为广义傅
0

里叶级数。
2、非轴对称拉普拉斯方程的定解问题
半径为 r0 的球形区域内部没有电荷，球面上电势为 u0 sin
2
 cos  sin  ， u0 为常数，求
球形区域内部的电势分布。
3.2.3 球谐函数
一、球谐函数的定义
由球函数方程及其自然边界条件
 1  
1  2 Y , 
 Y ,  
 l l  1 Y ,   0
 sin    sin     sin 2 
 2



Y , 单值（即       2 ）
Y , 有限


（1）
1、实数形式的球谐函数：
Yl ,m  ,   Plm cos Cm cos m  Dm sin m ,
l  0,1,2,; m  0,1,2,, l 
2、复数形式的球谐函数：
本征函数  m    Am cos m  Bm sin m ，本征值 m  0,1,2l
由欧拉公式
cos m 
e im  e  im
2
sin m 
e im  e  im
2i
e im  e  im
e im  e  im
 Bm
2
2i
1
1
  Am  iBm e im   Am  iBm e im
2
2
im '
 Cm e
m'  0,1,2,  ,l
 m    Am
即
65
（2）
第三章 特殊函数（2013）
 m    Cmeim
m  0,1,2,l
（3）
所以，复数形式的球谐函数可写为：
Yl ,m  ,    Plm cos  e im ,
另外，由于 Pl cos  的模 N l 
m
m
l  0,1,2, ; m  0,1,2,   l 
l  m! 2 ， eim 的模为
l  m ! 2l  1
（4）
2π
∴归一化的球谐函数写为：
Yl ,m  ,     1
m
2l  1l  m ! P m x e im , l  0,1,2, ; m  0,1,2, ,l 
l
4π l  m !
（5）
其中，  1 是归一化常数的相角， l 称为球谐函数的阶。
m
二、球谐函数的前几项
Yl ,m  ,     1
m
2l  1l  m ! P m x e im , l  0,1,2, ; m  0,1,2,  ,l 
l
4πl  m !

1
3
,
Y1,0  ,   
cos 
 Y0,0  ,   
4
π
4
π


5
3
3 cos2   1
sin e i ,
Y2,0  ,   
 Y1, 1  ,    
16
π
8
π


15
15
sin 2 e 2 i
sin  cos e i , Y2, 2  ,   
 Y2, 1  ,    
32
π
8
π

三、球谐函数的正交性

由于
2π
0

π
0
 2 π,

e im e im  d  
0,
m  m
m  m
 l  m ! 2
,

P cos  P cos   sin d   P  x P  x dx   l  m ! 2l  1
1
0,
l  l
1
m
l
m
l
m
l
m
l
l  l
∴对于归一化的球谐函数 Yl ,m  ,  具有如下的正交形式：
2π
π
0
0
 
Yl ,m  , Yl',m '  , sin dd   ll ' mm '
（6）
四、球谐函数的广义傅里叶级数展开


对于 0    π,0    2 π 上的单值有限函数 f  ,   ，可以以 Yl , m  ,   为基展开二
重广义傅里叶级数
66
第三章 特殊函数（2013）

l
f  ,      Cl ,m Yl ,m  ,  
（7）
l 0 m   l
系数
Cl ,m  
2π
0
 f  , Y  , sin dd
π

l ,m
0
（8）
五、非轴对称拉普拉斯方程的通解（用球谐函数的表达式）

l
B 

u r, ,      Al ,m r l  ll,m1  Yl ,m  , 
r 
l 0 m   l 
(9)
*******************************************************************************
习题：
1、 将 f  ,   3 sin
2
 cos 2   1 在 0    π,0    2π 上展开以 Yl ,m  ,  为基的广
义傅里叶级数。
2、将


1 2
x  2 z 2  3 xy  4 xz 展开以 Yl ,m  , 为基的广义傅里叶级数。
2
r
3、设有一个均匀体，球面上温度为 1 3 cos  sin  cos  ，试求球内稳定状态下的温度
分布。
§3.3 贝塞尔方程
3.3.1 正则奇点邻域常微分方程的级数解法
对于二阶常微分方程
d2 y
dy
 p  x   q x  y  0
2
dx
dx
（1）
富克斯定理：如果 x  x 0 是 p  x  的不高于一阶的极点，且是 q x  的不高于二阶的极
点，则 x  x 0 称为方程（1）的正则奇点。
此时，方程（1）的解只有有限个负幂项，其两个线性独立解为

y1  x    x  x0  1  cn1  x  x0 
s
n
（2）
n 0
67
第三章 特殊函数（2013）


s2
n
x
x
cn 2   x  x0  , s1  s2  整数




0

n 0

y 2  x   或


s
n
  y1  x  ln  x  x0    x  x0  2  cn 2  x  x0  , s1  s2  整数

n 0
(3)
(4)
其中， s1 , s2 是指标方程的两个解。指标方程是 x 最低次幂系数为零构成的方程,在
下文中将详细讲述。
3.3.2 贝塞尔方程的级数解
x2
d2 y
dy
 x  x 2  m 2 y  0
2
dx
dx
1
px   ,
x
qx  
m  0任意实数
（5）
x 2  m2
x2
因此， x  0 为方程（5）的正则奇点。
其中一个特解为


n0
n0
y  x   x s  cn x n   cn x s  n
代入方程（5）中，得



x 2  cn s  n s  n  1x s  n  2  x  cn s  n x n  s 1  x 2  m 2  cn x s  n  0
n 0
n 0
n 0




n 0
n 0
n 0
n 0
  cn s  n s  n  1x s  n   cn s  n x s  n   cn x s  n  2  m 2  cn x s  n  0
x 的最低次幂项 x s 项的系数所满足方程
c0 s s  1  c0 s  m 2 c 0  0
其解为： s1  m,
指标方程
s 2  m
x s 1 项的系数所满足方程
c1 s  1s  c1 s  1  m 2c1  0
其解为： c1  0
x s  n 项的系数所满足方程
68
第三章 特殊函数（2013）
cn s  n s  n  1  cn s  n   cn  2  m 2cn  0
 cn  
cn  2
s  n  m s  n  m 
令 n  2k ，则
c2 k  
c2 k 2
s  2k  m s  2k  m 
令 n  2k  1 ，则
c2 k 1  
c2 k 1
 0,
s  2k  1  m s  2k  1  m 
 c1  0
当 s  m 时，
c2 k  
c2 k  2
c
  2 2k 2
2m  2k 2k 2 m  k k



n 0
n 0
k 0
y1  x    cn x s  n   cn x m  n   c2 k x m  2 k
无穷级数的收敛半径 R 
lim
k 
c2 k 2
 2 2  m  k  k  
c2 k
因此 y1  x  在 0  x   绝对收敛。
下面，利用归纳法推导 c2 k 的递推关系
c0
2 m  1  1
c
c0
c0
1
当k  2时，c4   2 2
 2
 4
2
2 m  2 2 2 m  22 2 m  1 2 m  2m  12  1
c
c0
c0
1
当k  3时，c6   2 4
 2
 6
4
2 m  33 2 m  2 m  12
2 m  3m  2m  13  2  1
2 m  33


c
c0
k
当k  k时，c2 k   2 2 k  2
  1 2 k
2 m  k k
2 m  k m  k  1m  1k!
m!
c0
k
  1
k!m  k ! 2 2 k
c0
m  1
k
  1
k!m  k  1 22 k
当k  1时，c2  
2
其中， m  k  1  m  k !, m  1  m!
所以，Bessel 方程的其中一个特解为：
69
第三章 特殊函数（2013）



n0
n0
k 0
y1  x    cn x s  n   cn x m  n   c2 k x m  2 k

   1
k
k 0
c0 m  2 k
m  1
x
k!m  k  1 2 2 k
1
，则
2 m  1
令常数 c0 
m

1
 x
y1  x     1
 
k! m  k  1  2 
k 0
即 J m x  
m2k
k

  1k
k 0
1
 x
 
k! m  k  1  2 
 J m x 
m2k
（6）
是 Bessel 方程的一个特解， J m  x  称为第一类 Bessel 函数。
****************************************************************************
补充伽马函数  x  ：

 x    e  t t x 1dt ,
x  0 ，其主要性质如下
0
（1） 1 


0
1
2
（2）   
e  t dt   e  t


0

0
1
e  t t 1 2 dt  π
证明：令 t  u ，则
2

2
1
   2  e  u du
0
2
2
 
  1      u 2    v 2 
- u 2  v 2 
dudv
  2    2 0 e du  2 0 e dv   4 0 0 e
  
将上面二重积分变为极坐标系下的积分： u  v  r , dudv  rdrd
2
2

  1 
  2   4 0
  
2


0
2
e - r rdrd  π
1
    π
2
（3）递推公式：  x  1  x x  ，
70
2
2
第三章 特殊函数（2013）
当 x 为正整数时， n  1  n! ；
当 x 为零或负整数时，  n    。
证明：  x  1 


0

e  t t x dt    t x de t  t x e t
0
t 
t 0

 x  e t t x 1dt  xx 
0
当 x 为正整数时， n  1  nn   nn  1n  1    nn  11  1  n!
当 x 为负整数或者零时， 由 n  
0 
n  1
，可得
n
1
0
  ；  1 
  ；  n    。
0
1
*****************************************************************************
下面，我们继续求 Bessel 方程的另一个特解。由（3）
、（4）可知，当指标方程两个
解之差 s1  s2  是否为整数时，Bessel 方程另一个特解的形式也不一样，因此，我们进行
如下的分类讨论：
1、 当 m 不是整数或者不是半整数时
贝塞尔方程的另一个特解可以写为

1
 x
J  m  x     1
 
k!  m  k  1  2 
k 0
m2k
k
（7）
所以，Bessel 方程的通解可以写为 J m  x  和 J  m  x  的线性组合形式：
y  x   c1J m  x   c2 J  m  x 
通常将 J m  x  、 J m  x  成为第一类贝塞尔函数。
特别地，取 c1  cot mπ, c2   csc mπ ，可以得到另一个特解
N m x  
J m  x cos mπ  J  m  x 
，
sin mπ
（8）
上式称为第二类贝塞尔函数或者诺依曼（Neumann）函数（ m 阶）。
在讨论波的散射问题时，通常使用第三类贝塞尔函数（汉克尔函数），其定义为:
H m1  x   J m  x   iN m  x 
 2 
H m  x   J m  x   iN m  x 
因此，当 m 不是整数时，贝塞尔方程有 5 个线性无关的特解 ： J m  x  、 J  m  x  、
N m  x  、 H m1  x  、 H m2   x  ，因此非整数或非半整数阶 Bessel 方程的通解可以写为任意
两个特解的线性组合形式：
y  x   c1 J m  x   c2 J  m  x  或 y x   c1J m  x   c2 N m  x  或 yx  c1Hm1 x  c2Hm2 x 。
71
第三章 特殊函数（2013）
2、当 m  l  1 2 , l  0,1,2 为半整数时
Bessel 方程变为 l  1 2  阶 Bessel 方程
x2


d2 y
dy
2
 x  x 2  l  1 2  y  0,
2
dx
dx
l  0,1,2
（9）
1 、当 l  0 时，对应 1 2 阶 Bessel 方程
○


d2 y
dy
2
x
 x  x 2  1 2  y  0
2
dx
dx
2
（10）
我们着重讲解 1 2 阶 Bessel 方程的求解。
取 s1  1 2 ，因此，第一个特解

1
 x
y1  x   J 1 2  x     1
 
k! k  1 2  1  2 
k 0

1 22k
k
 x
   1
 
1 12
k 0
k! k  1 2 k  1 2   
2 2
1
/
2
1
/
2

1 
 1k 2 x
x 2 k 1


2k !!2k  1!!
π k 0

J1 2  x  
1
k
1 22k
2 
 1k 1 x 2 k 1

2k  1!
πx k  0
2
sin x
πx
（11）
由于 s1  s2  1 为整数，故第二个特解可写为：

y 2  x   y1  x ln x  x0    x  x0  2  cn  x  x0 
s
n
n 0

 J 1 2 x ln x   cn x n 1 2
n 0


dy d 
1

  J 1 2  x ln x   cn x n 1 2   J '1 2  x ln x   J 1 2  x    cn n  1 2 x n 3 2
dx dx 
x
n 0
n 0

72
第三章 特殊函数（2013）

d2 y d  '
1





x
x
x
cn n  1 2 x n 3 2 


J
ln
J




1
2
2

12
x
dx
dx 
n 0


2
1
 J '1' 2  x ln x   J '1 2  x    2 J 1 2  x    cn n  1 2 n  3 2 x n 5 2
x
x
n 0
将上述三式代入方程（10）中，得

x 2 J ''  x ln x  2 xJ '  x  J1 2  x    cn n  1 2 n  3 2 x n 1 2
12
12
n 0

 xJ '1 2  x ln x  J 1 2  x    cn n  1 2 x n 1 2
n 0
1 


  x 2    J 1 2  x ln x   cn x n 1 2   0
4 

n 0


1



  ln x  x 2 J '1' 2  x   xJ '1 2  x    x 2  J 1 2  x   2 xJ '1 2  x 
4






n 0
n 0
n 0
  cn n  1 2 n  3 2 x n 1 2   cn n  1 2 x n 1 2   cn x n  3 2 


n 0
n 0
1 
cn x n 1 2  0

4 n 0
  cn n n  1x n 1 2   cn x n 3 2  2 xJ '1 2  x   0
 J1 2 x  
2
sin x
πx
 J '1 2  x  
2 1 1
1

sin x  1 2 cos x 

32
x
π 2 x


2 1 1

π  2 x 3 2
2 xJ '1 2  x   

  1n
n 0
1
1
x 2 n 1  1 2
2n  1!
x

1
  1 2n !x
n
2n
n 0




2 
1
1 2 n 1 2 
n
n
x 2 n 1 2  2  1
x
    1

2n  1!
2n !
π  n 0
n 0

代入上式，得


n0
n0
 cn nn  1x n 1 2   cn x n 3 2  

1 2 n 1 2 
2 
1
n
n
    1
x 2 n 1 2  2  1
x
  0
2n  1!
2n !
  n0
n0

x 1 2 系数： c0  0  0  c0为任意实数
x1 2 系数： c1  0  
2

 1  2  0  c1为任意实数,   0
x3 2 系数： c2  2  1  c0  0  c2  
1
c0
2 1
73
第三章 特殊函数（2013）
1
c1
3 2
1
1
x 7 2 系数： c4  4  3  c2  0  c4  
c2 
c0
43
4  3  2 1
1
1
x9 2 系数： c5  5  4  c3  0  c5  
c3 
c1
54
5 43 2
x5 2 系数： c3  3  2  c1  0  c3  


令 c1  0 ，则 c3  c5    c2 n 1  0 。另外， c2 n   1
n


n 0
n 0
y 2  x    c2 n x 2 n 1 2    1

c0 2 n 1 2 c0
x

2n !
x
  1n
n 0
c
x 2n
 0 cos x
2n ! x
2
，则
π
取 c0 
y2 x  
所以，
n
c0
。因此另一个特解
2n !
2
cos x  J 1 2  x 
πx
（12）
1
阶贝塞尔方程的通解为：
2
y  x   c1J 1 2  x   c2 J 1 2  x 
（13）
其中，
J1 2 x  
2
2
sin x ， J 1 2  x  
cos x
πx
πx
2 、当 l  0 时，对应 l  1 2 阶 Bessel 方程
○
x2


d2 y
dy
2
 x  x 2  l  1 2  y  0,
2
dx
dx
l  0,1,2 的通解为
y  x   c1J l 1 2  x   c2 J  l 1 2  x 
（14）
可以证明， J l 1 2  x , J  l 1 2  x  均为初等函数。（证明略）
注意：一般类似（1）的常微分方程，当 m  l  1 2 l  0,1,2 时，其通解不能直接写
为
y  x   c1 y1  x   c2 y2  x 
的
形
式
，

另
y2'  x    y1  x ln  x  x0    x  x0  2  cn2   x  x0 
s
n
n 0
74
一
个
特
解
需
要
由
确定。但 Bessel 方程在求解过程中，
第三章 特殊函数（2013）
 恰好等于零，所以第二个特解的形式又退化成类似第一个特解的形式，并且两个特解
线性无关。
第一类半整数阶贝塞尔函数: J l 1 2  x  , J l 1 2  x 
第二类半整数阶贝塞尔函数: N l 1 2  x 
其中, N l 1 2  x  
cos(l  1 / 2) J l 1 2  x   J l 1 2  x 
sin(l  1 / 2)
 ( 1) l 1 J l 1 2  x 
第三类半整数阶贝塞尔函数: H l 1/2  x  , H l 1/2  x 
(1)
(2)
其中 H l 1/2  x   J l 1 2  x   iN l 1 2  x  , H l 1/2  x   J l 1 2  x   iN l 1 2  x 
(1)
( 2)
因此，半整数阶 Bessel 方程的通解可以直接写为三类贝塞尔函数的线性组合形式：
y  x   c1J l 1 2  x   c2 J l 1 2  x 
y  x   c1J l 1 2  x   c2 N l 1 2  x 
,
)
x 
y ( x )  c1 H l(1)1/2  x   c1 H l( 21/2
3、当 m  整数时
整数 m 阶贝塞尔方程：
x2


d2 y
dy
 x  x 2  m 2 y  0,
2
dx
dx
m  0,1,2
（15）
贝塞尔方程第一个特解

1
 x
y1  x   J m  x     1
 
k! m  k  1  2 
k 0
m2k
k
1
 x
另一个特解能否用 J  m  x     1
 
k 0
k!  m  k  1  2 

k
m2k
表示?
证明：
因为对于 n  ，当 n  0,1,2,, m 时， n   
1
x
所以 J  m  x     1
 
k m
k!  m  k  1  2 

 m 2k
k
令  m  k  n ，即 k  m  n
75
（只有当 k  m ，系数才不为零）
第三章 特殊函数（2013）
1
 x
J  m  x     1
 
k m
k!  m  k  1  2 

m 2k
k

   1
mn
n 0
1
 x
 
m  n ! n  1  2 
1
 x
  1   1
 
n 0
m  n !n!  2 
m

m2n
m2n
n
1
 x
  1   1
 
n 0
n! m  n  1  2 
m

m 2n
n
  1 J m  x 
m
即 J  m  x    1 J m  x 
m
（16）
J m  x  、 J  m  x  线性相关。因此， J  m  x  不能作为另一个特解。
另一个特解用第二种形式写为：

y 2  x   J m  x ln x  x  m  cn2  x n ，带入方程（15），并利用级数解法，确定其系数
n 0
 , cn2  。将 y2 x  与 J m  x  进行适当线性组合成 N m  x  ，其形式可以用如下简洁的形式表
示：
2 x
1 m 1  m  n  1 !  x 

N m  x    ln  C  J m  x   
 
π 2
π n 0
n!

2
 m2 n
2   1
1   1
1   x   m2 n
 1
 
1    
  1       
π n m n !  m  n  !  2
nm  2
n   2 
n m
（17）
其中， C  0.5772157  ，称为欧拉常数。
（由于其推导过程非常繁琐，推导过程此处不再详讲，可以参考书本 161-167 页）。
另外，可以证明公式（17）可由如下的极值简单表示
J  x  cos π  J   x 
 m
sin π
N m  x   lim
因此，为书写方便，以后诺依曼函数用上述极限的形式写出。
因此，整数阶贝塞尔方程的通解只能为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数的线性
组合形式：
y x   c1J m  x   c2 N m  x 
3.3.3 贝赛尔函数的性质
一、三类 Bessel 函数
76
第三章 特殊函数（2013）
1、第一类 Bessel 函数
∞
J m  x     1
k
k 0
1
 x
 
k!m  k  1  2 
m  2k
（4）
1
 x
J -m  x     1
 
k! m  k  1  2 
k 0
∞
 m  2k
k
（5）
（1）、 J m  x  的渐进公式
当 x  0 时： J 0 0  1 ， J m 0  0 ( m  1,2,3) ；
当 x   时， J m  x  
2
mπ π

cos x 

πx
2 4


, ( m  0,1,2,3) ，为振荡衰减函数。

1.0
J0(x)
J1(x)
J2(x)
Jn(x)
0.5
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-0.5
图 5.1 J 0  x  、 J 1  x  、 J 2  x  的曲线
77
20
x
第三章 特殊函数（2013）
2
1
J0(x)
0
2
π

cos x  
πx
4

0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-2
2
J1(x)
1
0
0
3π 
2

cos x 

4 
πx

-1
-2
2
1
J2(x)
0
0
-1
-2
2
2
5π 

cos x  
πx
4 

图 5.2 J 0  x  、 J 1  x  、 J 2  x  和它们的渐进公式
mπ π 
2

cos x 
  的对比曲线
πx
2 4 

（2）、贝塞尔函数的零点
由图 5.1 可以看出，贝塞尔函数有无穷多个零点。设 xn 为 J m  x   0 的第 n 个零点，
m 
     0 。数学家已经把 J x  的零点制成了表，其中 J x  、 J x  前 5 个零
m
即其满足 J m x n
m
0
1
点为：
表 1 J 0  x  、 J 1  x  的零点
n
1
2
3
4
5
x n0 
2.4048
5.5201
8.6537
11.7915
14.9309
xn1
0
3.8317
7.0156
10.1735
13.3237
注意：
（1）、 x  0 是 J m  x  m  1,2,3, 的零点，但不是 J 0  x  的零点。
（2）、当 m  整数时， J m  x  、 J -m  x  线性独立，Bessel 方程的通解可写为：
y  x   c1J m  x   c2 J  m  x  。
78
第三章 特殊函数（2013）
（3）、当 m  整数时， J m  x  、 J -m  x  线性相关，即 J -m  x    1 J m  x  ，Bessel 方程的
m
通解不能写成二者线性迭加的形式，即： y  x   c1J m  x   c 2 J  m  x  。
2、 第二类 Bessel 函数（Neumman 函数）
当 m  整数时，Bessel 方程的另一个特解可用 Neumman 函数表示，引入整数阶 Neumman
函数:
N m  x   lim
 m
J  x cosπ  J   x 
sinπ
（6）
因此，整数阶 Bessel 方程的通解可写为： y  x   c1J m  x   c2 N m  x 
N m  x  的渐进趋势：
当 x  0 时: N m 0   
mπ π 
2

sin x 
  ( m  0,1,2,3)
πx 
2 4 
当 x   时: N m  x  
2
1
N1(x)
N0(x)
0
0
2
4
6
8
10
12
14
x
-1
-2
图 5.3 N 0  x  、 N 1  x  的曲线
3、第三类 Bessel 函数（Hankel 函数）
在研究波的传播和散射问题时，方程的通解经常用第三类 Bessel 函数（Hankel 函数），
即:
 H m1  x   J m x   iN m  x 
 2 
 H m  x   J m  x   iN m  x 
( 7)
(8)
H m x  的渐进趋势：
79
第三章 特殊函数（2013）
H m1 0  -i， H m2  0   i
当 x  0 时:：

2 i  x 
e
πx
当 x   时 ： H m x  
1
mπ π 
 
2 4 

2 -i  x 
H m x  
e
πx
2 
m  0,1,2,3
mπ π 
 
2 4 
m  0,1,2,3
在研究波的传播问题中，如果波随时间变化关系为 e
H m  x e
1

- it
2 i   x  ωt 
e
πx

mπ π 

2 4 

2 - i   x  ωt 
e
πx
H m2   x e-it 

表示沿 x 正方向传播的波
mπ π 

2 4 
综上，Bessel 方程 x y  xy  x  m
2
''
'
2
 it
表示沿 x 负方向传播的波
2
y  0 通解：
（1）、当研究圆柱体内部的本征值问题时，其通解一般写为 y  x   c1J m  x   c2 N m  x  的线
性组合。
（2）、当研究无限区域电磁波的传播问题时，其通解一般写为 y  x   c1H m  x   c2 H m  x  。
1
2 
注意：
在圆柱体内求解 Laplace 本征值问题时，往往需要满足自然边界条件， u
r 0
有限，而
N m  x  在 x  0 处趋于无穷，因此，最终 Bessel 方程通解往往退化为： y  x   cJ m  x  。另
外，在求解柱坐标系下 Laplace 方程时，本征值 m 由常微分方程
d 2
 m 2  0 确定。由
2
d
自然周期边界条件，可知 m 为正整数。在多数物理问题中，整数阶 Bessel 函数最为常用。
因此，本节我们着重讨论整数阶 J m  x , m  0,1,2, 的相关性质。
二、Bessel 函数的生成函数
x
整数阶 Bessel 函数的生成函数为 e 2
e

x
z  z 1
2



 J x z
m  
l
x
证明： e 2
z
z  z 
1
，即
0  z   
m
m
l
x
x 
z
  
 
2
2
    =    zl
l!
l!
l 0
l 0
80
（9）
第三章 特殊函数（2013）
n
e
x
 z 1
2
 x 1 
 z 
 

2 
n


=   1
n!
n 0
n 0
n
 x
 
 2  z n
n!
l n
 x
x
 


1
 zz 
n
2
   1   z l n
 e2
l !n!
l 0 n 0
令 l  n  m ，把第一个对 l 求和改成对 m 求和
m2n
x
x
 



z  z 1 

n
2
e2
    1  
z m   J m  x z m
(m  n )! n !
m  n 0
m 
三、Bessel 函数的积分公式
J m x  
Jm
1 π
cosx sin   m d
2π  π
m

 i
x  
2π
J m x  

π
（10）
cosme ix cos d
（11）
π
im π
cosme  ix cos d


π
2π
证明：洛朗幂级数展开 f  z  
（12）

 a z  z 
k
k
0
k  
ak 
1
f  
d

2 πi Cr   z0 k 1
x
由 Bessel 函数的生成函数 e 2
z  z 
1


 J x z
m  
x
可知，上式为函数 f z   e 2
x
z  z 
1
m
m
在 z  0 处的洛朗级数展开，其系数
z  z 
1
1
e2
J m x  
dz
2 πi  z 1 z m 1
i
i
1、设 z  e , dz  ie d , e

x
z  z 1
2

e

x i -i
e e
2

81
 e ix sin
第三章 特殊函数（2013）
1 π e ix sin i
1 π i  x sin  m 
ie d 
e
d


i
1

m


2πi - π e
2π - π
1 π

[cos x sin   m   i sin x sin   m ]d
2π  π
1 π

cos x sin   m d
2π  π
J m x  
 （10）式证毕。
注意: 因为 sin  x sin   m  为奇函数，因此，
1 π
sin x sin   m d  0 。另外，
2π  π
cos x sin   m  和 sin x sin   m  都是周期为 2 π 的周期函数，周期函数在每个周期的
积分均相等，因此上面积分上下限可以扩展： J m  x  
x
i
2、 令 z  ie , e 2
J m x  

z  z 
1
x
 e2
ie   ie  
i
i
 e ix cos
 i 
1 π e ixcos
i
m 1 ie id 


i

π
2πi ie 
2π
m
 i m
2π
 i m

2π

π

π
π
1 π 
cos x sin   m d
2π  π 

π
e i  x cos  m d
π
e ixcos cosm  i sin m d
cosme ixcos d
π
 （11）式证毕。
i
3、 同理，令 z  ie ,
J m x  
i m
2π 
π
可证明（12）式同样成立，即
cosme -ixcos d （证明略）
π
四、贝塞尔函数加法公式
J m a  b  
证明：由生成函数 e

 J a J b

x
z  z 1
2


（13）
mk
k
k  

 J x z
m  
m
m
所以

 J m ( a  b) z m  e
a b
( z  z 1 )
2
a
 e2
( z  z 1 )
b
e2
m  


 J k a z k
k  

 J bz
n  
n
m
比较 z 次系数,可得
82
n
( z  z 1 )
第三章 特殊函数（2013）

J m a  b  
 J a J b
k  
mk
k
五、递推公式
1、
J ( x)
d  J m x 
  m 1m
m 

dx  x 
x
2、
d m
x J m ( x )  x m J m 1 ( x )
dx

（14）

3、 J m 1  x  
（15）
2m
J m x   J m 1  x   0
x
4、 J m 1 ( x )  J m 1  x   2J m  x 
'
（16）
（17）
公式（14）的证明：
1、
d  J m x  d 1
 [
dx  x m  dx x m
=
k 0
 (1)
1
x
( )m2k ]
k! ( m  k  1) 2
1
1
( ) m  2 k 2kx 2 k 1
k!(m  k  1) 2
k
k 1

=
k
1
1
d 
[ ( 1) k
( ) m2k x 2k ]
dx k 0
k! ( m  k  1) 2

=

 ( 1)
 ( 1)
k
k 1
1
1
( ) m  2 k 1 x 2 k 1
( k  1)! ( m  k  1) 2
令 k  n 1

上式 =
 (1)
n 1
n 0
= x
m
1
1
( ) m  2 n 1 x 2 n 1
(n)!(m  n  1  1) 2

 (1)
n 0
= 
J m 1 ( x)
xm
n
x
1
( ) m  2 n 1
(n)!(m  n  1  1) 2
公式（14）证毕。
同理可证公式（15）


d m
x J m ( x )  x m J m 1 ( x )
dx
J 'm ( x ) mJ m ( x )
J ( x)
由（14）可得
 m 1   m 1m
，即
m
x
x
x
J 'm  x  
m
J m  x   J m 1  x   0
x
由（15）得 x J m  x   mx
m '
m 1
J m  x   x m J m 1  x  ，即
83
（18）
第三章 特殊函数（2013）
J 'm  x  
m
J m  x   J m 1  x   0
x
（19）
（18）-（19）得
J m 1  x  
2m
J m x   J m 1  x   0 ，公式（16）证毕。
x
（18）+(19) 得
J m 1 ( x )  J m 1  x   2J 'm  x  ，公式（17）证毕。
对于其它 Bessel 函数， N m  x , H m  x  ， H m  x  ，由于他们均为 Bessel 函数线性
1
2 
组合而成的，因此同样满足如上的递推公式。
六、Bessel 方程的本征值问题
Bessel 方程： 
2
dR 2
dR

 ( u 2  m 2 ) R  0
2
d
d
其通解 R (  )  AJ m (
  )  BN m (   ) 。
在自然边界条件   0 ， R(  ) 有限  B  0 。
 通解退化为 R (  )  AJ m (   )
因此，下面我们主要讨论第一类贝塞尔函数 J m (
  ) 的本征值问题。
本征值问题由如下三种常用的齐次边界条件确定：
R(  )   a  0
第一类齐次边界条件
dR (  )
0
d  a
R(  )  
第二类齐次边界条件
dR (  )
0
d  a
第三类齐次边界条件
1.第一类齐次边界条件下贝塞尔方程的本征值与本征函数
第一类齐次边界条件： R (  )   a  0 ，
即 Jm (
 a)  0 ，
本征值：  n
(m)
 ( x n( m ) a ) 2 , n  1,2
本征函数：Rm (  )  J m (
（20）
x n( m )
)
a
（21）
(m )
(m )
其中， x n 为 Bessel 函数 J m ( x ) 的第 n 个零点，可以看作已知。零点 x n 查表可知。
84
第三章 特殊函数（2013）
2.第二类齐次边界条件下贝塞尔方程的本征值与本征函数
第二类齐次边界条件

即 Jm (
dR (  )
0，
d  a
 a)  0
~n( m )  (
本征值：
~
x n( m ) 2
) , n  1,2
a
（22）
~
x n( m )
本征函数： R (  )  J n (
)
a
其中， ~
xn
(m)
（23）

是 J m ( x ) 的第 n 个零点。零点 ~
xn
(m)
查表可知。
3.第三类齐次边界条件下贝塞尔方程的本征值与本征函数
第三类齐次边界条件 R (  )  
即 Jm (
dR (  )
 0，
d   a
 a )   u J m (  a )  0
~
本征值： 
n
(m)
(
xˆ n( m ) 2
) , n  1,2
a
本征函数： R (  )  J m (
(m)
其中， xˆn
（24）
xˆ n( m )
)
a
（25）

为方程 J m ( x )   u J m ( x )  0 的第 n 个零点。
七、贝塞尔函数的正交性及模
1、正交性
  ) 满足第一类齐次边界条件（ J m (  a )  0 ）时，对于两个不同的本征函
（1）、当 J m (
数 Jm (

a
0
 n( m )  ) ， J m ( l( m )  ) 带权重  正交，即
J m (  n( m )  )J m (  l( m )  ) d  0, n  l  ，
其中本征值  n
( m)
（26）
 ( xn( m ) a) 2 ， l( m )  ( xl( m ) a) 2 ， xn( m )、xl( m ) 分别是 J m  x   0 的第 n 、 l 个
零点。
（2）、当 J m (
  ) 满足第二类齐次边界条件 J m  (  a )  0 时，对于两个不同的本征函数
J m ( ~n( m )  ) ， J m ( ~l( m )  ) 带权重  正交，即
85
第三章 特殊函数（2013）

a
0
J m ( ~n( m )  )J m ( ~l( m )  ) d  0, n  l  ，
~
其中本征值 
n
(m)
（27）
d
 (~
xn( m ) a) 2 ， ~l( m )  ( ~
xl( m ) a) 2 ， ~
xn( m )、~
xl( m ) 分别是 J m  x   0 的第 n 、
dx
l 个零点。
（3）、当 J m (
  ) 满足第三类齐次边界条件 J m (  a )   u J m ' (  a )  0 时，对于两个
ˆ n( m )  ) ， J m ( ˆ l( m )  ) 带权重  正交，即
不同的本征函数 J m (

a
0
J m ( ˆ n( m )  )J m ( ˆ l( m )  ) d  0, n  l  ，
其 中 本 征 值
（28）
ˆ n( m )  ( xˆn( m ) a) 2 ， ˆ l( m )  ( xˆl( m ) a) 2 ， xˆn( m )、xˆl( m ) 分 别 是
J m ( x )   ˆ J m ' ( x )  0 的第 n 、 l 个零点。
证明： Bessel 方程：
d2R
dR


 (  2  m 2 ) R  0
2
d
d
2
整理得：
m2
d
dR
(
)  (  
)R  0

d
d
J m (  n  ) ， J m ( l  ) 均满足上述 Bessel 方程，即
 d
dJ m (  n  )
m2
]  ( n  
)J m (  n  )  0
 [
 d
d


2
 d [  dJ m ( l  ) ]  (    m )J (   )  0
l
m
l
 d
d

( 29)
(30)
(30)  J m (  n  )  ( 29)  J m ( l  ) 并对  进行积分，得

a
0
(  l   n ) J m (  n  ) J m (  l  ) d 
a
  Jm
0
 J m


l 
dd [ dJ
m
( n )
d
a
]d   J m
0

n 
dd [ dJ
a

a
dJ (  n  ) d
d
l 
J m ( n  )   [ m
] Jm
0
d
d
d

0

m
( l  )
d

 l  d
a
a
dJ ( l  ) d
d
 J m (  n  )
J m ( l  )   [  m
] J m (  n  ) d
0
d
d
d
0
 J m

l 
dd J
m
(  n  )   a  J m

86
n 
dd J
m
( l  )   a
]d
第三章 特殊函数（2013）
（1）、当 J m (
  ) 满足第一类齐次边界条件，即 J m (  a )  0 时
  J m (  n( m )  )J m (  l( m )  ) d  0, n  l 
a
(n  l )
0

或者
a
0
Jm (
x n( m )
x (m)
 )J m ( l  ) d  0
a
a
（2）、当满足第二类齐次边界条件

a

a
0
或者
0
d
J m (  a )  0 时，
d
J m ( ~n( m )  )J m ( ~l( m )  ) d  0, n  l 
Jm (
~
~
x n( m )
x (m)
 )J m ( l  ) d  0
a
a
（3）、当满足第三类齐次边界条件 J m (
Jm


l 
1

Jm
dd J

m
(n  l )
) 
( n  )  a  J m ( n  )
 
l a J m

n a 
1

dJ m (   )
0
d
 a
d
J m ( l  )   a
d
J m (  n a )J m (  l a )
0
所以

a
0
J m ( uˆ n( m )  )J m ( uˆl( m )  ) d  0, n  l 
或者

a
0
Jm (
xˆ n( m )
xˆ ( m )
 )J m ( l  ) d  0
a
a
(n  l )
2、Bessel 函数的模
（1）第一类齐次边界条件 J m (
 n a )  0 的情况下， m 阶 Bessel 函数的模
1
[ N n( m ) ]2  a 2 [J m 1 (  n( m ) a )]2
2
（2）第二类齐次边界条件 J m ' (
（31）
 n( m ) a )  0 的情况下， m 阶 Bessel 函数的模
1
m2
[ N n( m ) ]2  ( a 2  ( m ) )[J m (  n( m ) a )]2
2
un
（3）、第三类齐次边界条件 J m
    
(m)
n
（32）


 n( m ) J m '  n( m )   0 的情况下， m 阶 Bessel
函数的模
1
m2
a2
[ N nm ]2  ( a 2  ( m )  ( m ) 2 )[J m (  n( m ) a )]2
2
n
n 
87
（33）
第三章 特殊函数（2013）
证明：
模方： [ N n ] 
(m) 2

a
0
1
 n  ，  
令x
un a
[ N n( m ) ]  
0

2
[J m (  n  )] d
1
2n
J m2 ( x )
n a

J m2 ( x ) x 2
0
由 Bessel 方程 x
可推得
n
2
x
1
xdx 
n
1
n a

n
0
1
n

n a
0
J m2 ( x )xdx 
1
2n

0
un a
J m2 ( x )dx 2

x 2 J m ( x )J m ( x )dx
（34）
d 2 J m x 
dJ x 
x m
 ( x 2  m 2 )J m ( x )  0
2
dx
dx
x 2J m ( x)   x 2
d 2J m ( x)
dJ ( x )
x m
 m 2J m ( x)
2
dx
dx
将上式代入（34）式，得
1
1
[ N n( m ) ]2  a 2 J 2m (  n a ) 
un
2
1
1
 a 2 J 2m (  n a ) 
n
2

1
1
 a 2 J m2 (  n a ) 
2
2n
n a
0

0
[x2
d 2J m
dJ
 x m  m 2 J m ( x )]J m ' ( x )dx
2
dx
dx
2
[ x 2 J 'm' J 'm  xJ 'm ]dx 
n a
0
2
d[ x 2 J 'm ] 
2
1
1
[ x 2 J 'm ]
 a 2 J 2m (  n a) 
2
2 n
0


n a
n a
m2
un

μn a
0
m2 2
J m ( x)

2un
0
1
n

n a
0
m 2 J m J 'm dx
J m dJ m
n a
(m  0.or.m  0第三项下限均为零)
2
1 2 2
1
m2 2
J m (  n a)
a J m (  n a)  a 2 J 'm (  n a ) 
2
2
2un
2
1 2 m2 2
1
)J m (  n a )  a 2 J 'm (  n a)
 (a 
2
n
2
即
2
1
m2 2
1
[ N n( m ) ]2  ( a 2 
)J m (  n a )  a 2 J 'm (  n a )
2
n
2
（1）对第一类齐次边界条件 J m (
则 [N n ] 
(m)
n a )  0
1 2
a [J m (  n a )]2
2
88
（35）
第三章 特殊函数（2013）
考虑到公式（18）： J m ( x ) 
m
J m ( x )  J m 1 ( x )  0 ，及第一类齐次边界条件得
x
J m (  n( m ) a )   J m 1 (  n( m ) a )
1
[ N n( m ) ]2  a 2 [J m 1 (  n( m ) a )]2
2
（2）对第二类齐次边界条件 J m (
 n( m ) a )  0
1
m2
[ N n( m ) ]2  ( a 2  ( m ) )[J m (  n( m ) a )]2
2
n
（3）、对第三类齐次边界条件 J m
  a  
(m)
n


 n( m ) J 'm  n( m ) a  0 ，即 J m  
Jm
 n( m ) 
1 2 m2
a2
[ N ]  ( a  ( m )  ( m ) 2 )[J m (  n( m ) a )]2
2
n
n 
m 2
n
八、傅里叶-贝塞尔级数

由第一类、第二类或第三类齐次边界条件确定的本征函数系 J m (

 n( m )  ) 在空间
L2 [0, a ] 上是完备的，而对任意的 f (  )  L2 [0, a ] ，具有如下展开式：


f
(

)
f n J m (  n( m )  )




n 1

a
1
 fn 
f (  )J m (  n( m )  ) d
( m ) 2 0

[N n ]
在计算系数 f n 时，经常用到如下积分公式：
J m ( x)
d J m ( x)
 m
  x J m 1 ( x )dx    dx x m dx   x m  C

 x m J ( x )dx  d [ x m J ( x )]dx  x m J ( x )  C
m 1
m
 dx m


  J1 ( x )dx    J 0 ( x )dx  J 0 ( x )  C


九、柱坐标系下拉普拉斯方程的定解问题
柱坐标系下的 Laplace 方程
 2u 
1   u  1  2 u  2 u



0
      2  2 z 2
令 u  ,  , z   R   Z  z  ，
89
(36)
(37)
第三章 特殊函数（2013）
代入 Laplace 方程，得到如下三个常微分方程：
（1）当柱侧边界条件是齐次的时
 d 2
2
 d 2  m   0

 d 2 Z
 2  uZ  z   0
 dz
  2 R ''    R '    u 2  m 2 R   0


(1)
（2）
（3）
方程的通解为
u   ,  , z    Ae  z  Be   z  (C cos m  D sin m )  EJ m (  )  FN m (  )  ，
本征值  由柱侧齐次边界条件确定
（2）当上下底边界条件是齐次的时，
 d 2
2
 d 2  m   0

 d2Z
 2  uZ  z   0
 dz
  2 R ''      R '      u  2  m 2  R     0


(1)
（2）
（3）
方程的通解为


u   ,  , z   A cos  z  B sin  z (C cos m  D sin m )  E I m (  )  FK m (  ) 
本征值  由上下底齐次边界条件确定
*******************************************************************************
习题：
1、 利用 Bessel 函数的积分公式证明如下三个积分
（1）、
1 π
cos 2


cos 2 e ix cos   d  cos 2 J 0  x  
J 1  x 

2π  π
x


（2）、
1 π
1
2

sin  cos  eix cos   d  sin 2  J1  x   J 0  x  


π
2π
2
x

（3）、
1 π
2 cos 2
ix cos  
sin 2  e   d  sin 2  J 0  x  
J1  x 

π

x
2π
2、求如下 Bessel 函数的积分

（1）
（4）
x0
0

x0
0
x 3J 0 ( x )dx
J 0  x cos xdx
（2） J 3  x dx

（5）

x0
0
（3）

x0
0
xJ 0  x ln xdx
J 0  x sin xdx （6）  x n J n  x sin xdx
x0
0
90
第三章 特殊函数（2013）
3、证明

cos x  J 0 ( x )  2  1 J 2 m  x 
m
m 1

sin x  2   1 J 2 m 1  x 
n
m 0
     0 ，计算积分：
1
4、已知 xn  0 是一阶 Bessel 方程的第 n 个零点，即 J 1 xn

a
0
1
 x n1 
 d ( a  0为常数)
 a 
 3J 0 
5、将下列函数分别进行傅立叶-贝塞尔级数展开
（1）、在区间 0, a  上，以 J 0 (
 n( 0 )  ) 为基（其中，J 0 (  n( 0 ) a )  0 ），把函数 f (  )  u 0 展
开傅立叶-贝塞尔级数。
（2）、在第一类齐次边界条件下，把定义在[0，1]上的函数 f ( x)  1  x 展开为以零阶贝塞
2
尔函数 J 0 (
 n( 0 ) x ) 为基的傅立叶-贝塞尔级数。
 x n1
 a
（3）
、将 f  x   x 在 0, a  上展开以 J 1 

x  为基的 Fourier-Bessel 函数，其中，xn1 为 J 1  x 

的第 n 个零点。

2 
6、 半径为 R 的圆形膜，边缘固定，初始形状 u  , t   H 1  2  ，初始速度为零， H 为
 R 
常数，求膜振动情况。
7、一半径为 R 高为 H 的均匀圆柱体，上底有均匀分布的恒定热流（热流强度为 q0 ）垂直
流入，下底则有同样的热流垂直流出，圆柱的侧面保持零度，求柱体内稳定温度分布。
§3.4 虚宗量贝塞尔方程
3.4.1 虚总量贝塞尔方程的解
贝塞尔方程
d2 y
dy
 x  x 2  m 2 y  0
x
2
dx
dx
2
（1）
做变量代换，令   ix
91
第三章 特殊函数（2013）
2
d2 y
dy

  2  m 2 y  0
2
d
d
其中一个特解写为：

1
 ix 
J m ix     1
 
k! m  k  1  2 
k 0
m2k
k

1
 x
i 
 
k  0 k!  m  k  1  2 
m
m2k
（2）
1、当 m  整数时，另一个特解写为

1
 ix 
J  m ix     1
 
k!  m  k  1  2 
k 0
 m 2k
k

1
 x
i 
 
k  0 k!  m  k  1  2 
m
m2k
（3）
为方便起见，将虚宗量 Bessel 函数写成实函数

1
 x
 
k  0 k!  m  k  1  2 
I m  x   i  m J m ix   
m2k

1
 x
I  m  x   i J  m ix   
 
k  0 k!  m  k  1  2 
m
（4）
 m 2k
（5）
或者定义另一特解
K m x  
π I m x   I m x 
2
sin mπ
(6)
K m  x  称为第二类虚宗量 Bessel 函数。
因此，非整数阶虚宗量 Bessel 方程的通解可以写为
y  x   c1I m  x   c2 I  m  x  或者 y  x   c1I m  x   c2 K m  x 
****************************************************************************
第二类虚宗量 Bessel 函数 K m  x  的导出
J m ix cos mπ  J  m ix 
sin mπ
J ix sin m π  iJ m ix cos m π  iJ  m ix 
 m
sin m
 iJ m ix sin m π  J m ix cos m π  J  m ix 
i
sin m
 imπ
e J m ix   J  m ix 
i
sin m
H m1 ix   J m ix   iN m ix   J m ix   i
 I m  x   i  m J m ix ,
I  m ( x )  i m J  m ix 
92
第三章 特殊函数（2013）
 H m1 ix   ie

imπ
2
e

imπ
2 m
imπ
i I m ( x)  e 2 i m I m ( x)
sin mπ
m
 ie
 ie
 ie

imπ
2

imπ
2

imπ
2
m
π
π m
π
π  m


 cos  i sin  i I m ( x )   cos  i sin  i I  m ( x )
2
2
2
2


sin mπ
m m
m m
 i  i I m ( x )  i i I  m ( x )
sin mπ
I m ( x )  I m ( x )
sin mπ
为了令此特解为实函数，乘以常数
πi im2π
e ，得到另一个实的特解，称为第二类虚宗量 Bessel
2
函数
K m x  
π I m x   I m x 
πi im2π 1
e H m ix  
2
2
sin mπ
2、当 m  整数时，其中一个特解

1
 x
I m x   
 
k  0 k! m  k  1  2 
m 2k
（7）
I  m  x   i m J  m ix   i m  1 J m ix   i  m J m ix   I m
m
两个特解完全一样。所以，另外一个特解同样写成 y 2  x   I m  x ln x  x
m

c x
2
n
n 0
然后由级数解法确定其系数，此处，我们不加证明，直接写出另一个特解的形式：
K m x  
I  x   I  x 
π
lim 

m

2
sinπ
因此，整数阶虚宗量 Bessel 方程的通解写为
y x   c1 I m  x   c2 K m  x 
3.4.2 虚宗量 Bessel 函数的性质
贝塞尔方程
 2 R ' '    R'     2  m 2 R   0
当   0 时，令 x 
  , y  x   R  
x 2 y ' ' ( x)  xy ' ( x)  ( x 2  m 2 ) y ( x)  0 m 阶 Bessel 方程
93
n
第三章 特殊函数（2013）
当   0 时，令 x 
   , y  x   R  
x 2 y ' ' ( x)  xy ' ( x)  ( x 2  m 2 ) y ( x)  0 m 阶虚宗量 Bessel 方程
一、两类虚宗量 Bessel 函数
1、第一类虚宗量 Bessel 函数

1
 x
I m x   
 
k  0 k!  m  k  1  2 
m 2k
当 m  整数时，通解 y  x   c1I m  x   c2 I  m  x 
当 m  整数时， I  m ( x )  I m ( x ) ，因此另外一个特解需要另外构造。
2、第二类虚宗量 Bessel 函数
K m x  
π
 I ( x)  I v ( x) 
lim   v


m

2
sinπ

所以，当 m  整数时，虚宗量 Bessel 函数通解：
y x   c1 I m  x   c2 K m  x 
二、第一类、第二类虚宗量 Bessel 函数性质
当 x  0 时， I 0 0   1, I m 0   0 ( m  1,2,3,), K m 0   
当 x   时， I m  x   , K m  x   0
Bessel 方程通解 y  x   c1 I m  x   c2 K m  x 
I0(x)
K0(x)
I1(x)
K1(x)
2
2
0
0
0
1
2
3
0
1
2
x
x
图 5.4 虚宗量 Bessel 函数
94
3
第三章 特殊函数（2013）
1、 当在圆柱内部求解定解问题时，存在自然边界条件 lim y  x   有限
x 0
所以 c2  0 ，通解退化为 y  x   c1I m  x 
2、 当在圆柱外部求解定解问题时，存在自然边界条件 lim y  x   有限
x 
所以 c1  0 ，通解退化为 y  x   c2 K m  x 
思考：讨论虚宗量贝塞尔方程是否可以构成本征值问题？
有关贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程定解问题的小结：
柱坐标系下的 Laplace 方程  u 
2
1   u  1  2 u  2 u



0
      2  2 z 2
利用分离变量法，得到三个常微分方程：
（1）当柱体侧面为齐次边界条件时
 d 2
2
 d 2  m   0

d2Z
 2  uZ z   0
 dz
  2 R ''    R '    u 2  m 2 R    0


贝塞尔方程  R
2
''
,  0
   R '    u 2  m 2 R   0 和 R  在侧面的齐次边界条件构成
本征值问题； Z  z  由
d2Z
 uZ  z   0 得出。
dz 2
（2）当柱体上下两底面为齐次边界条件时，
 d 2
2
 d 2  m   0

d2Z
 2  uZ z   0
 dz
  2 R ''    R '    u 2  m 2 R    0


,  0
d2Z
由 2  uZ z   0 和 Z  z  在上下两底面的齐次边界条件构成本征值问题； R   由虚宗量
dz
贝塞尔方程  R
2
''
   R '    u 2  m2 R   0 得出。
95
第三章 特殊函数（2013）
*******************************************************************************
习题：匀质圆柱，半径为 R ，高为 L ，柱侧面有均匀分布的热流进入，其强度为 q0 ，圆柱
上下两底面保持恒定温度 u0 ，求柱内稳定的温度分布？
§3.5 球贝塞尔方程
3.5.1 球贝塞尔方程的解
球贝塞尔方程：


d  2 dR 
2 2
r
  k r  l l  1 R  0
dr  dr 
令 x  kr ， R r  
（1）
π
y x 
2x

dR dR dx
dR
d  π
π 
1
1 
y  x  
k   3 2 y  1 2 y '

k
k 
x
dr dx dr
dx
dx  2 x
2  2x


r2
dR x 2

dr k 2
π 
1
1 
π 1  1 12

k   3 2 y  1 2 y ' 
 x y  x 3 2 y '

x
2  2x
2k 2


d  2 dR  dx d  2 dR 
π 1 d  1 12

 x y  x 3 2 y '
r

r
k

dr  dr  dr dx  dr 
2 k dx  2


π  1 1 2
1
3
π  1 1 2


 x y  x 1 2 y '  x 1 2 y '  x 3 2 y ' ' 
 x y  x 1 2 y '  x 3 2 y ' '


2 4
2
2
2 4


带入方程（1）中，得


π
π  1 1 2

 x y  x 1 2 y ' x 3 2 y ' '  x 2  l l  1
y0

2 4
2x

整理得
 1

x 3 2 y ' ' x1 2 y '  x 1 2  x 3 2  x 1 2l l  1 y  0
 4

12
方程同乘以 x
 1

x 2 y ' ' xy '   x 2  l l  1 y  0
 4

96
第三章 特殊函数（2013）
即
 2  1 2 
x y ' ' xy '  x   l    y  0
 2  

2
方程（2）为 l 
（2）
1
 1
阶 Bessel 方程，其解为   l   阶 Bessel 函数。
2
 2
定义第一类球贝塞尔函数：
jl  x  
π
J l 1 2  x 
2x
（3）
第二类球贝塞尔函数(球诺依曼函数)
n l x  
π
N l 1 2  x 
2x
其中, N l 1 2  x   ( 1)
l 1
（4）
J l 1 2  x  。
第三类球贝塞尔函数(球汉克尔函数)
h l1  x   jl  x   i n l x 
，
 2 
h l  x   jl  x   i n l  x 
（5）
所以球贝塞尔方程的通解为
R r   c1 jl kr   c2 n l kr  ， R r   c1h l1 kr   c2 h l1 kr 
3.5.2 球贝塞尔函数的性质
在第一章中，我们对球坐标系下 Helmholtz 方程进行分离变量
 2u  k 2 u  0
令 u r , ,   R r Y  , 
得到关于 R r  的常微分方程：


d  2 dR 
r
 k 2 r 2  l l  1 R  0


dr  dr 
令 x  kr , R r  
球贝塞尔方程
π
 1
y  x  ，得到  l   阶贝塞尔方程
2x
 2
 2  1 2 
x y ' ' ( x)  xy ' ( x)   x   l    y ( x)  0
 2  

2
一、三类球贝塞尔函数
97
（6）
第三章 特殊函数（2013）
（1）球贝塞尔函数
jl  x  
π
J l 1 2  x  ，
2x
（1）
（2）球诺依曼函数
n l x  
π
N l 1 2 x 
2x
其中， N l 1 2  x  
（2）
J l 1 2  x cosl  1 2 π  J  l 1 2   x 
sinl  1 2 π
 ( 1) l 1 J  l 1 2   x 
注意， N l 1 2  x  和 J  l 1 2   x  线性相关。
（3）球汉克尔函数
h l1 ( x )  jl ( x )  in l ( x ) ， h l1 ( x ) jl ( x )  in l ( x )
（3）
二、球贝塞尔函数的渐进公式
x  0 ： j0 0  1 ， jl 0  0l  0 ； n l 0  
1 
lπ 
1
lπ 

x   ： jl  x   sin x   ； n l  x    cos x   ；
x 
2
x
2

1
1
h l(1)  x   ( 1) l 1 e ix ， h (l 2 )  x   ( 1) l 1 e -ix
x
x
所以球贝塞尔方程的通解为
R r   c1 jl kr   c2 n l kr  ， R r   c1h l1 kr   c2 h l1 kr 
（4）
注意：在 r  0 处， y  x  为有限值条件下，由于 n l  x  趋于无穷，因此应舍去。因此， y  x 
退化为 y  x   c1 jl  x  。
三、球贝塞尔函数的递推公式
d l 1
[ x jl x ]  x l 1 jl 1  x 
dx
(5)
j x 
d jl  x 
[ l ]   l 1 l
dx x
x
jl 1  x  
(6)
2l  1
jl  x   jl 1  x   0
x
(7)
证明:
98
第三章 特殊函数（2013）
(5)式的证明:
由 Bessel 函数的递推公式
d m
[ x J m  x ]  x m J m 1  x  ,可得
dx
d l 1 / 2
[x
J l 1 / 2  x ]  x l 1 / 2 J l 1 / 2  x 
dx
π
J l 1 2  x 
2x
 jl  x  
2 l 1 π
2 d l 1 π
x
J l 1 / 2  x 
J l 1 / 2 x ] 
[x
π
2x
2x
π dx
d
 [ x l 1 jl  x ]  x l 1 jl 1 x 
dx

(6)式的证明:
由
J x 
d J m x 
[ m ]   m 1m ,可得
dx x
x
x 
J
d J l 1 / 2  x 
[ l 1 / 2 ]   l  3l / 21 / 2
dx x
x
 jl  x  
π
J l 1 2  x 
2x
π
J l 1 / 2  x 
2 d
2
x
2

[
] 
l
π dx
π
x
j x 
d j x 
 [ l l ]   l 1 l
dx x
x
π
J l 3 / 2 x 
2x
xl
(7)式的证明:
 J m 1  x  
2m
J m  x   J m 1 x   0
x
 J l 3 2 x  
令 m  l  1 2 ，则有
2l  1
π
J l 1 2  x   J l 1 2  x   0 ， 同乘
，得到
x
2x
π
2l  1 π
π
J l 1 2  x   0
J l 1 2  x  
J l 3 2 x  
x
2x
2x
2x
 jl  x  
jl 1  x  
π
J l 1 2  x 
2x
2l  1
jl  x   jl 1  x   0
x
99
第三章 特殊函数（2013）
§2.4 节已经证明 J 1 2  x  
2
2
cos x
sin x, J 1 2  x  
πx
πx
因此，
j0 x  
sin x
π
J1 2 x  
x
2x
j1  x  
cos x
π
J 1 2  x  
x
2x
利用递推公式（5）可得到任意阶 jl  x  ，且其均可用初等函数表示。
四、本征值问题
球贝塞尔方程


d  2 dR 
r
 k 2 r 2  l l  1 R  0


dr  dr 
其解为 y kr   cl jl kr  。在第一、第二、第三类齐次边界条件下，构成本征值问题。以第一
类齐次边界条件 Ra   0 为例：
由 于 其 解 Rr   jl kr  
π
J l 1 2 kr  ， 在 边 界 条 件 Ra   0 下 ， 其 本 征 值
2kr
 x l 1 2  
xnl 1 2 
kn 
，本征函数 jl  n
r  ， n  1,2,3, 。其中 xnl 1 2  是 J l 1 2 x  的第 n 个零点。
a
 a

对应不同本征值得本征函数在区间 0, r0  带权重 r 正交，即
2
 j k r j k r r dr  0,
r0
0
2
l
m
l
n
km  kn
本征函数的模方：
N l 2  0 jl k n r jl k n r r 2 dr  0
r0
r0

π
2k n

2
π
J l 1 2 k n r 
2k n

r0
0
π
J l 1 2 k n r J l 1 2 k n r r 2 dr
2k n r
J l 1 2 k n r J l 1 2 k n r rdr
本征函数族 jl kn r , n  1,2,3, 是完备的，因此可以作为广义傅里叶级数展开的基
100
第三章 特殊函数（2013）





f
r
cn jl k n r 



n 1

r
cn  1 0 f r jl k n r r 2 dr
2 0

Nl
*******************************************************************************
习题：一半径为 r0 的匀质球，初始时刻，球体温度均匀为 u0 ，把它放入温度为 U 0 的烘箱中，
使球体表面温度保持为 U 0 。求球内各处温度分布？
§3.6 厄米方程
3.6.1 厄米方程的级数解
y '' 2 xy '  y  0,    x   
（1）
 x  0 是厄米方程的常点，所以其解可以写成如下形式：

y  x    cn x n
（2）
n 0
代入厄米方程，得

 c n  n  1 x
n 0
n
n 2


 2 cn nx    cn x n  0
n 0
x 0 项系数: c 2  2  1  c0  0  c 2 
n
n 0

c0
2 1
2 1  
c1
3 2
2  2      c
22  
c2 
x 2 项系数: c 4  4  3  2  2  c 2  c 2  0  c 4 
0
43
4  3  2 1
x1 项系数: c3  3  2  2  1  c1  c1  0  c3 
x n 项系数:
cn  2  n  2   n  1  2ncn  cn  0  cn  2 
令 2k  n  2 ，即 n  2k  2
101
2n  
c
n  2   n  1 n
（3）
第三章 特殊函数（2013）
22k  2   
22k  2    22k  4   
c2 k  2 
c2 k  4
2k  2k  1
2k  2k  1 2k  2   2k  3
22k  2   22k  4      c

0
2k !
  4   22k  2     c

0
2k !
c2 k 
（4）
同理，令 2k  1  n  2 ，即 n  2k  1
22k  1  
22k  1   22k  3  
c2 k 1 
c
2k  12k
2k  12k 2k  1  2k  2  2 k 3
22k  1   22k  3   2    c

1
2k  1!
2   6   22k  1    c

1
2k  1!
c2 k 1 
（5）
所以方程的解



k 1
k 1
y  x    cn x n  c0   c2 k x 2 k  c1 x   c2 k 1 x 2 k 1
n 0
  4   22k  2    x 2 k 

 c0 1  

2k !
 k 1



2   6   22k  1    x 2 k 1 

 c1  x  

2k  1!
k 1


或者写成
y  x   c0 y 0  x   c1 y1  x 
（6）
其中，
  4   22k  2     x 2 k
2k !
k 1
（7）
2   6   22k  1    x 2 k 1
2k  1!
k 1
（8）

y0 x   1  

y1  x   x  
由递推公式（3）可知无穷级数的收敛半径
R  lim
n 
 n  2    n  1  
cn

cn  2
2n  
证明无穷级数 y0  x  、 y1  x  的收敛半径为  ，但在 x   是发散的。
由 cn  2 
2n  
4n  
cn  c2 n  2 
c
n  2   n  1
2n  2   2n  1 2n
因此,当   4n n  0,1,2, 时, y 0  x  退化为多项式；此时， y1  x  仍然发散，为保证 y  x 
102
第三章 特殊函数（2013）
收敛，令 c1  0 。则厄米方程通解退化为 y  x   c0 y 0  x  。
同理, 由 cn  2 
2n  
4n  2  
c n  c 2 n 1 
c ,
n  2   n  1
2n  1  2n 2 n 1
当   4n  2n  1,2, 时, y1  x  退化为多项式；此时， y 0  x  仍然发散，为保证 y  x  收
敛，令 c0  0 。则厄米方程通解退化为 y  x   c1 y1  x  。
综上，只有当   2n n  0,1,2,3 ，厄米方程 y ' '2 xy '2ny  0 才有界解。用适当的常
数乘以这些多项式，使最高次幂成为 2 x  ，这样的多项式称为厄米多项式
n
以 y  x   c0 y 0  x  为例, 此时,
  4n , y0  x  退化为多项式
n

 4n 4  4n 22k  2   4n  x 2 k 
y  x   c0 y 0  x   c0 1  

2k !
 k 1

n

( 1) k 4 k n n  1 n  k  1 2 k 
x 
 c0 1  
2k !
 k 1

（10）
n


( 1) k n!
2 x 2 k 
 c0 1  
 k 1 2k ! n  k !

为使最高次幂成为 2 x  , 令 c0 
n
n
y  x  
 1  2n  !
k 0
n
22 n n !
 1n 2n ! ,则
2 2 n n!
( 1) k n !
2k
2x
 2k  !  n  k  !
（11）
( 1) k  n  2n  !
2k

2x
k 0  2k  !  n  k  !
n
令 2k  2n  2k ' ,即 k  n  k '
( 1) 2 n k '  2n  !
2 n 2 k '
y  x  
2x
k ' 0  2n  2k '  ! k '!
n
（12）
令 m  2n ,并把求和指标 k '  k
( 1) k m !
m 2 k
2x  Hm  x ,
k 0  m  2k  ! k !
m2
y  x  
同理可以推导 y  x  
 m 1

k 0
2
m  0,2,4, （13）
( 1) k m !
m 2 k
 2 x   H m  x  , m  1,3,5,
 m  2k  ! k !
综上,
103
第三章 特殊函数（2013）
n
[ ]
2
H n  x     1
k
k 0
n!
2 x n  2 k
k! n  2k !
（14）
其中，
n
, n  0,2,4,
n  2
[ ] 
2 n 1


 2 , n  1,3,5,
（15）
3.6.2 厄米多项式的性质
1、前几项厄米多项式：
H 0 x   1
H 1 x   2 x
H 2 x   4 x 2  2
H 3 x   8 x 3  12 x
2、奇偶性
H n  x   ( 1) n H n  x 
H 2 n 1 0  0 ， H 2 n 0  ( 1) n
( 2n )!
n!
3、微分公式
H n  x   ( 1) e
n
x2
由 2.3 习题中，厄米方程
d n x2
e
dx n
d2 y
dy
 2 x  y  0 的施图姆-刘维尔型方程的形式为
2
dx
dx
2
d   x 2 dy 
e
 e  x y  0


dx 
dx 
4、正交关系
2
1, m  n
H m  x  H n  x  e  x dx  2n n ! π mn ,  mn  
-
0, m  n


5、级数展开
厄米多项式 H n  x  在区间    x   是完备的，因此可把函数 f  x  以 H n  x  为基
做展开：
104
第三章 特殊函数（2013）




f
x
f n H n x 



n 0


1
 x2
f 




f
x
H
x
e
dx
n
n


2 n n! π - 
6、递推关系
H n  x   2 xH n 1  x   2( n  1) H n  2  x , n  2
H n '  x   2nH n 1  x , n  1
§3.7 拉盖尔方程
3.7.1 拉盖尔方程的级数解法
拉盖尔方程
xy ' ' 1  x  y ' y  0, 0  x   
（1）
 x  0 是拉盖尔方程的正则奇点，所以其解可以写为：


n 0
n 0
yx   x s  cn x n   cn x s  n ，
（2）
代入拉盖尔方程，可得



n 0
n 0
n 0
x  cn s  n s  n  1x s  n  2  1  x  cn s  n x s  n 1    cn x s  n  0
整理得

 sn
2 s  n 1




c
s
n
x

n
 c n s  n    x  0
n 0
 n 0


x s 1 项系数：
c0 s 2  0  s  0 （说明拉盖尔方程的解只是一个泰勒级数解。）
将 s  0 代入上式得

c n
n 0
n
2


x n 1   cn n    x n  0
n 0

x 0 项系数：
c1  c0     c1  c0
x 1 项系数：
x n 1 项系数：
105
第三章 特殊函数（2013）
cn n 2  cn 1 n  1     0
n  1    n  2    c
n
n2
n  12 n  2
n  1   n  2       c

0
n!2
 cn 
n  1    c
2
n 1

所以，

   
1      x 2    n  1   n  2       x n  
y x    cn x n  c0 1 
x

2
1!
2!2
n!2
n 0


（3）
由递推公式可知无穷级数的收敛半径
R  lim
n 
cn 1
n2
 lim

cn
n  n  1  
证明无穷级数 y  x  的收敛半径为  ，但在 x   是发散的。
由 c n 1 
n    c
n2
n
可得，当   n, n  0,1,2, 时， c n 1  c n  2    0 ， y  x  退化
为多项式。
因此，只有当   n, n  0,1,2, ，拉盖尔方程 xy ' ' 1  x  y ' ny  0 才有有界解。
n
  n 
1  n  n  x 2     k  1  n  k  2  n   n  x k 
y  x    ck x k  c0 1 
x

2
2
2
 2!
 k !
k 0
 1!

n
 c0  ( 1) k
n ( n  1) ( n  k  1)
 k !
k 0
n
 c0  ( 1) k
 k !
n
k 0
xk
n ( n  1) ( n  k  1)( n  k )!
k 0
 c0  ( 1) k
2
2
( n  k )!
n!
 k !
2
( n  k )!
xk
xk
取 c0  n ! ，使最高次幂成为  x  ，这种多项式称为拉盖尔多项式：
n
2

n!
Ln  x     1
xk
2
k! n  k !
k 0
n
k
3.7.2 拉盖尔多项式的性质
1、前几项拉盖尔多项
106
第三章 特殊函数（2013）
L 0 x   1
L1  x    x  1
L 2 x   x 2  4 x  2
L 3  x    x 3  9 x 2  18 x  6
L n 0  n!
另外，由 2.3 习题二可知，拉盖尔方程 x
的形式为
d2 y
dy
 1  x   y  0 的施图姆-刘维尔型方程
2
dx
dx
d   x dy 
xe
 e  x y  0 。因此，可以得到拉盖尔多项式的正交关系：
dx 
dx 
2、正交性


0
L m  x  L n  x  e  x dx   n !  mn
2
3、级数展开：
拉盖儿多项式 L n  x  在区间 0  x   是完备的，因此可把函数 f  x  以 L n  x  为基
做展开：



f
x
    fnL n  x 
n 0



 f n  1 2  f  x  L  x  e  x dx
n

 n ! 0
4、微分公式
L n x   e x
dn
( xnex )
dx n
5、递推公式
1
n 1
( 2n  1  x ) L n 1  x  
L n  2  x ,
n
n
n
L n '  x   L n  x   L n 1  x , n  1
x
L n x  
n2
§3.8 超几何方程
超几何方程（高斯方程）
x  x  1 y '' (    1) x    y '  y  0
其中，  ,  ,  是实数。
x  0 是方程的正则奇点。现在 x  0 的邻域内求解方程的级数解
其解设为
107
（1）
第三章 特殊函数（2013）


n 0
n 0
yx   x s  cn x n   cn x s  n
（2）
带入（1）中整理得



n 0
n 0
 cn  s  n  s  n  1 x sn   cn  s  n  s  n  1 x sn1      1  cn  s  n  x sn
n 0


n 0
n 0
  cn  s  n  x s  n 1    cn x s n  0
（3）
x 最低次幂（ x s 1 ）的系数：
c0 s( s  1)   c0 s  0  s1  0, s2  1  
当 s1  0 时，（3）式简化为





n 0
n 0
n 0
n 0
n 0
 cnn  n  1 x n   cn n  n  1 x n1      1  cn nx n    cnnx n1    cn x n  0
n
一般通项 x 的系数：
cn n  n  1  cn 1  n  1 n      1 cn n   cn 1  n  1   cn =0
 cn 1 =
 n    n    c
 n  1 n+  n
（4）
无穷级数收敛半径
R  lim
n 
 n  1 n +   1
cn
 lim
cn 1
n   n    n   
因此，当 x  1 时，无穷级数绝对收敛。
当 x  1 时，
 1   
 1    1+ 
n  1 n + 

cn
n  n   1       
 1 
=
 
  1    1+   1    1    O  2 
cn 1  n    n           n   n  
n 
n
n 
1   1  
n 
n

1    
 1 
 1
O 2 
n
n 
由高斯判别法，可知
当      时，级数收敛；当      时，级数发散。
108
第三章 特殊函数（2013）
 n    n    c
 n  1 n +  n
 n  1    n  1    c   n  1    n  1     n  2    n  2    c
 cn =
n 1
n  n  1+ 
n  n  1+ 
 n  1 n  2+  n 2
 n  1    n  1     n  2    n  2        c

0
n  n  1+ 
1 
 n  1 n  2+ 
  
   n      n 

c0
      
n !    n 
cn 1 =
取 c0  1 ，则
cn 
  
   n      n 
      
n !    n 
所以，超几何方程的一个特解为
y1 ( x ) 

  
   n      n  n
x ，

       n  0
n !    n 
称为超几何函数
F ( ,  ;  ; x ) 

  
   n      n  n
x

       n  0
n !    n 
,
  0, 1, 2, （5）
因为另一个指标 s2  1   ，因此当 s2  s1  0 ，即  不等于整数时，根据富克斯定理，另
一个特解可以写为

y2  x   x1  cn x n
n 0
我们不直接利用级数解法进行求解，此处，设 y2  x   x
1
g  x  ，带入超几何方程中，可
得
x  x  1 g ''      2  3 x  (2   )  g ' (    1)(     1) g  0
（6）
设  '      1,  '      1,  '  2   ，则（6）式变为
x  x  1 g '' ( '  ' 1) x   ' g '  '  ' g  0
与超几何方程 x  x  1 y ''  (    1) x    y '  y  0
比较，可得（7）式得解就是超几何函数
g  x   F ( ',  ';  '; x )  F (    1,     1;2   ; x )
所以，第二个特解
109
（7）
第三章 特殊函数（2013）
y2  x   x1 F (    1,     1;2   ; x )
,
  2,3, 4,
（8）
因此，当  不等于整数时, 超几何方程的通解可写为
y ( x )  c1 F ( ,  ;  ; x )  c2 x1 F (    1,     1;2   ; x )
并且,
（9）
     时，两个超几何函数在 1  x  1 上收敛。
注意：当  等于整数时，第一个特解选(5)或(8)中一个有意义的解,另一个特解需要由富
克斯定理中第二个特解的形式给出，此处也不再详细讨论。
由（4）式可知，当  或者 =-n ( n  0,1, 2, 3,) 时， cn 1  0 ，因此，超几何函数
F ( ,  ;  ; x ) 退化为 n 次多项式。
最后指出，勒让德方程其实是超几何方程的一个特例。为了清除起见，对超几何方程
进行变量代换，令 x 
1 t
，代入（1）中，整理得
2
1  t  y ''  t   (    2  1)      1 t  y '  t    y  t   0
2
（11）
勒让德方程
1  t  y ''  t   2ty '  t   l  l  1 y  t   0
2
（12）
比较可得
    2  1  0   l


    1  2     l  1

  1

  l  l  1
因此
F ( l , l  1;1;
1 t
)  Pl (t )
2
（13）
此时，      ，超几何函数发散。为避免发散，  或者 =-l (l  0,1, 2,3,) ，超几何
函数退化为勒让德多项式。
§3.9 合流超几何方程
3.9.1 合流超几何方程的级数解
超几何方程
x  x  1 y '' (    1) x    y '  y  0
作变量代换，令 x 
x

，并使    ，得到
110
第三章 特殊函数（2013）
xy ''   x  y '  y  0
（1）
方程（1）称为合流超几何方程（库默尔方程）
。
超几何方程含有三个正则奇点 x  0, x  1, x   ，经过变换，得到的方程（1）只有两个奇
点， x  0, x   。即原来的两个奇点合并为一个，所以称（1）为“合流”超几何方程
x  0 是方程的正则奇点。现在 x  0 的邻域内求解方程的级数解
其解设为


n 0
n0
yx   x s  cn x n   cn x s  n
（2）
带入（1）中整理得




n 0
n 0
n 0
n 0
 cn  s  n  s  n  1 x sn1    cn  s  n  x sn1   cn  s  n  x sn    cn x sn  0
（3）
x 最低次幂（ x s 1 ）的系数：
c0 s ( s  1)   c0 s  0  s1  0, s2  1  
当 s1  0 时，（3）式简化为




n 0
n 0
n 0
n 0
 cnn  n  1 x n1    cn nx n1   cn nx n    cn x n  0
n
一般通项 x 的系数：
cn 1  n  1 n   cn 1  n  1  cn n   cn =0
 cn 1 =
n    c
 n  1 n +  n
（4）
无穷级数收敛半径
R  lim
n 
 n  1 n-   
cn
 lim
cn 1
n   
n 
111
第三章 特殊函数（2013）
n    c
 n  1 n+  n
n  1    c  n  1    n  2    c
 cn =
n 1
n 2
n n  1   
n  n  1+   n  1 n  2+ 
n  1    n  2      c

0
n  n  1+   n  1 n  2+  1  
       n 

c0
   n !     n 
cn 1 =
取 c0  1 ，则
cn 
       n 
   n !     n 
所以，超几何方程的一个特解为
y1 ( x ) 
        n  n
x

   n  0 n !     n 
称为合流超几何函数
F ( ;  ; x ) 
        n  n
x ,

   n  0 n !     n 
  0, 1, 2,
（5）
因为其收敛半径 R   ，其级数解在 x   时发散。
只有当    n,  n  1, 2,3, 时， cn 1  0 ，无穷级数退化为收敛的多项式。
当  不等于整数时, 类似超几何方程的第二个特解，合流超几何方程的第二个特解可以写为
y2  x   x1 F (    1;2   ; x )
  2,3, 4,
（8）
因此，  不等于整数时超几何方程的通解可写为
y ( x )  c1F ( ;  ; x )  c2 x1 F (    1;2   ; x )
（9）
注意：当  等于整数时，第一个特解选(5)或(8)中一个有意义的解,另一个特解需要由富
克斯定理中第二个特解的形式给出，此处也不再详细讨论。
3.9.2 合流超几何方程、拉盖尔方程、连带拉盖尔方程的联系
合流超几何方程：
xy ''   x  y '  y  0
连带拉盖尔方程：
xy ''    1  x  y ' ny  0
拉盖尔方程：
xy '' 1  x  y ' ny  0
从方程结构可以看出，连带拉盖尔方程是合流超几何方程的特例，拉盖尔方程又是连带
112
第三章 特殊函数（2013）
拉盖尔方程的一个特例。即
当 
  1,   n 是，合流超几何方程就变为连带拉盖尔方程;
当   0 时，连带拉盖尔方程退化为拉盖尔方程。
由于只有当    n,  n  1, 2,3, ，合流超几何函数才为有界解，因此
合流超几何方程的一个特解为： F ( n;  ; x ) ，因此
连带拉盖尔方程的一个特解为： F ( n;   1; x ) 。定义
连带拉盖尔多项 Ln  x  

    n  1
F ( n;   1; x ) 。
n !     1
拉盖尔方程的一个特解: F ( n;1; x ) 。定义
拉盖尔多项式
Ln  x   F ( n;1; x ) ； L0n  x   Ln  x  ，
此外，当 u  m ， m 为正整数时，拉盖尔多项式与连带拉盖尔多项式的关系：
dm
L  x   ( 1)
Lm  n ( x )
dz m
m
n
m
113
第三章 特殊函数（2013）
§3.10 二阶常微分方程与特殊函数的对应列表
勒让德方程:
dy x 
d 

1  x2 
 l l  1 y  x   0

dx 
dx 
Pl  x 
连带勒让德方程:

d 
m2 
2 d 




1
1
0
x
l
l




dx 
dx  
1  x 2 
Pl m  x 
贝塞尔方程:
虚宗量贝塞尔方程:
球贝塞尔方程:
x2
d2 y
dy
 x  x 2  m 2 y  0
2
dx
dx
J m  x  N m  x  H m(1)  x  H m(2)  x 
d2 y
dy
 x  x 2  m 2 y  0
2
dx
dx
d  2 dR 
2 2
r
  k r  l l  1 R  0
dr  dr 
I m  x  Km  x 
x2


jl  kr  nl  kr  hl(1)  kr  hl(2)  kr 
厄米方程:
y '' 2 xy ' 2ny  0,    x   
Hn  x
拉盖尔方程:
xy '' 1  x  y ' ny  0,  0  x   
Ln  x 
连带拉盖尔方程:
xy ''    1  x  y ' ny  0
Ln  x 
超几何方程:
x  x  1 y '' (    1) x    y '  y  0
F  ,  ;  ; x 
x1 F (    1,     1;2   ; x )
合流超几何方程:
xy ''   x  y '  y  0
F ( ;  ; x )
x1 F (    1;2   ; x )
113