Bir Fonksiyonun Limiti
◆
SECTION 2.2 THE LIMIT OF A FUNCTION
101
Limit ve Türevler
Let’s investigate the behavior of the function f defined by f 共x兲 苷 x x 2 for
values of xx’in
near
2. The yakın
following
table
values
for values fof x close to 2,
2 sayısına
değerleri
içingives
f (x) =
x2 − xof+ f2共x兲
ile tanımlanan
fonksiyonunun
davranışını
inceleyelim.
Aşağıdaki
tabloda
x’in 2’ye yakın
but not equal to 2.
Bir Fonksiyonun Limiti
2
fakat 2’den farklı değerleri için f (x) değerleri verilmektedir.
x
f 共x兲
x
f 共x兲
1.0
1.5
1.8
1.9
1.95
1.99
1.995
1.999
2.000000
2.750000
3.440000
3.710000
3.852500
3.970100
3.985025
3.997001
3.0
2.5
2.2
2.1
2.05
2.01
2.005
2.001
8.000000
5.750000
4.640000
4.310000
4.152500
4.030100
4.015025
4.003001
Bir Fonksiyonun Limiti
Tablodaki değerlerden ve Şekildeki
grafikten (bir parabol) x değeri 2’ye
y
yakın olduğunda (her iki yönden de),
f (x)’in 4 sayısına yakın olduğunu
görüyoruz.
Aslında, x’in değerini 2’ye yeterince
ƒ
yakın seçerek f (x)’in değerini 4’e approaches 4
istediğimiz kadar yakın yapabilirmişiz
4.
gibi görünmektedir. Bunu, “x, 2’ye
yaklaşırken f (x) = x2 − x + 2 fonksiyonunun limiti 4’e eşittir” diyerek ifade
ederiz.
Bu ifadenin matematiksel
gösterimi
0
2
y=≈- x+2
2
x
From
x is clo
make th
express
2 is equ
As x approaches 2,
lim (x − x + 2) = 4
x→2
FIGURE 1
şeklindedir.
In ge
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
1 / 77
From the table and the graph of f (a parabola) shown in Figure 1 we see that when
x is close to 2 (on either side of 2), f 共x兲 is close to 4. In fact, it appears that we can
make the values of f 共x兲 as close as we like to 4 by taking x sufficiently close to 2. We
Bir Fonksiyonun Limiti
express this by saying
“the limit of the function f 共x兲 苷 x 2 x 2 as x approaches
2 is equal to 4.” The notation for this is
MAT 1009 Matematik I
lim 共x 2 x 2兲 苷 4
1 D
Bir Fonksiyonun Limiti
and
x→a
Tanım 1
x → a iken f (x) → L
x değerlerini a sayısına yeteri kadar yakın (her iki yönden de) ancak a’dan
farklı alarak f (x) değerini L sayısına istediğimiz kadar yaklaştırabiliyorsak
“x değişkeni
a sayısına yaklaşırken f (x)’in limiti L’dir” deriz ve
We write
1 Definition
lim ff共x兲
(x) 苷
= LL
lim
dir ve “x değişkeni a sayısına yaklaşırken f (x) değerleri L’ye yaklaşır”
şeklinde okunur.
Roug
number
An a
Limit tanımındaki “x ̸= a” ifadesine dikkat ediniz.
xx→a
la
Bu, x değişkeni a sayısına yaklaşırken f (x)’in limitini bulmak için x = a
değerini hiç düşünmediğimiz anlamına gelir.
yazarız.
“the limit of f 共x兲, as x approaches a, equals L”
if we can make the values of f 共x兲 arbitrarily close to L (as close to L as we
like) by taking x to be sufficiently close to a (on either side of a) but not
equal to a.
Didem COŞKAN ÖZALP
if we
like)
equa
limiti için diğer bir gösterim şekli
In general, we use the following notation.
MAT 1009 Matematik I
2 / 77
lim f (x) = L
Genellikle, aşağıdaki gösterimi
x l 2 kullanırız.
and say
Didem COŞKAN ÖZALP
3 / 77
Aslında, f (x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı bile olmayabilir. Önemli
olan, yalnızca f (x) fonksiyonunun a’nın yakınında nasıl tanımlandığıdır.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
4 / 77
is
which i
Noti
ing the
not eve
lim x l a f 共x兲 苷
limLx.l a f 共x兲 苷 L.
Bir Fonksiyonun Limiti
Bir Fonksiyonun Limiti
y
y
y
y
y
L
L
L
L
L
0
0
0
0
a
x a
Şekil 1:
(a) (c), f 共a兲 (a)
e functions. Note that in part
is not
in each case, regardless of what happens at a,
x
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
x
a
x a
MAT 1009 Matematik I
0
Şekil 2:
(b)
5 / 77
x
(b)
Didem COŞKAN ÖZALP
6 / 77
FIGURE 2 lim
FIGURE
ƒ=L
2 inlim
all ƒ=L
three cases
in all three cases
x a
x a
Bir Fonksiyonun Limiti
Bir Fonksiyonun Limiti
y
x l1
L
x
f 共x兲
1
x1
0.5
0.9
0.99
0 0.999
0.9999
0.666667
0.5
0.526316
0.9
0.502513
0.99
0.500250
0.999
a
0.500025
0.9999
f 共x兲
Şekillerde üç fonksiyonun grafiği verilmiştir. Şekil 3 de f (a) tanımlı
doesn’t
matter
doesn’t
matter
the
definition
because
x 苷 1, but that
x苷
1, vebut
lim x l a f
değildir
Şekilthat
2 de f (a)
̸=because
L’dir. Ancak,
tüm durumlarda
a’da the
neof definition
olduğundan bağımsız olarak lim f (x) = L’dir.
consider values
consider
of x that
values
are of
close
to aare
butclose
not equal
to a but
to not
equal
ta
x that
a. The
0.666667
0.526316
values of f 共x兲
values
(correct
of fto
(correct
decimal
to places)
six decimal
for values
places)offor
val
共x兲six
x that
0.502513
not equal to not
1). On
equal
thetobasis
1). On
of the values
basis ofinthe
thevalues
table, in
wethe
make
tab
x→a
0.500250
x
0.500025
(c)
Didem COŞKAN ÖZALP
x l1
x1
.
x2 1
SOLUTION Notice
SOLUTION
that the
Notice
function
that the
is not
f 共x兲function
苷 共x f1兲兾共x
共x兲 苷2 共x
1兲 1兲兾共x
Şekil 3:
MAT 1009 Matematik I
x1
x 1
EXAMPLE 1 Guess
EXAMPLE
the 1value
Guess
of the
of .lim
lim value
2
7 / 77
MAT 1009 Matematik I
x1
x1
lim 2
苷
lim0.5
苷 0.5
x l1 x 1 x l1 x 2 1
Didem COŞKAN ÖZALP
8 / 77
EXAMPLE 3 Find lim
xl0
x
.
SOLUTION Again the function f 共x兲 苷 共sin x兲兾x is not defined when x 苷 0. Using a
Bir Fonksiyonun Limiti
calculator (and remembering that, if x 僆 ⺢, sin x means the sine of the angle whose
radian measure is x), we construct the following table of values correct to eight
Çözüm (devamı).
decimal places. From the table and the graph in Figure 6 we guess that
Bir Fonksiyonun Limiti
Örnek 2
sin x
lim
limitini bulunuz.
x→0 x
lim
xl0
y
sin x
苷1
x
(- 1,0.841471)
(1,0.841471)
This guess is in fact correct, as will be proved in Section 3.4 using a geometric
argument.
Çözüm.
1
Tablodan ve Şekildeki grafikten
x
f (x) = sin x/x, x = 0 noktasında
tanımlı değildir. Hesap makinesi kullanarak (ve x ∈ R iken sin x in radyan
ölçümü x olan açının sinüsü olduğunu
hatırlayarak), virgülden sonra sekizinci
basamağa kadar doğru olan değerlerle
yandaki tabloyu oluştururuz.
1.0
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
sin x
x
lim
x→0
y
0.84147098
0.95885108
0.97354586
0.98506736
0.99334665
0.99833417
0.99958339
0.99998333
0.99999583
0.99999983
_1
1
y=
0
1
sin x
x
olduğunu tahmin ederiz.
Bu
tahmin gerçekten doğrudur ve
bunu ileride geometrik bir akıl
yürütmeyle kanıtlayacağız.
x
FIGURE 6
x
-1
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
EXAMPLE 4 Find lim sin
xl0
.
x
sin x
=1
x
9 / 77
1
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
10 / 77
SOLUTION Once again the function f 共x兲 苷 sin共兾x兲 is undefined at 0. Evaluating the
function for some small values of x, we get
▲ Computer Algebra Systems
Computer algebra systems (CAS) have
f 共1兲 苷 sin 苷 0
commands
Bir Fonksiyonun
Limitithat compute limits. In order
to avoid the types of pitfalls demon1
f 3 苷 sin 3 苷 0
strated in Examples 2, 4, and 5, they
don’t find limits by numerical experimentation. Instead, they use more sophistif 共0.1兲 苷 sin 10 苷 0
y
cated techniques such as computing
series.
(infinite
1,0.841471
) If you have access to a
Similarly, f 共0.001兲 苷 f 共0.0001兲 苷 0. On the
CAS, use the limit command to compute
tempted to guess that
the limits in the examples of this section
and to check your answers in the exer1
lim sin
cises of this chapter.
xl0
Tablodan ve Şekildeki grafikten
x
()
Çözüm (devamı).
(- 1,0.841471)
f ( 2 ) 苷 sin 2 苷 0
1
f(
1
4
Bir Fonksiyonun Limiti
) 苷 sin 4 苷 0
f 共0.01兲 苷 sin 100 苷Örnek
0
3
π
x
basis of this information
might limitini
be
limwesin
x→0
苷0
bulunuz.
Çözüm.
| but this time our guess is wrong. Note that although f 共1兾n兲 苷 sin nBurada
苷 0 forda
anyf (x) = sin( π
x ) fonksiyonu 0 noktasında tanımlı değildir. Bazı
sin x
integer
that approach
0.
lim n, it is also
= 1true that f 共x兲 苷 1 for infinitely many values of xküçük
x değerleri
için fonkisyonun değerini hesaplarsak,
x 兾x兲 苷 1 when
[Inx→0
fact, sin共
olduğunu tahmin ederiz.
Bu 苷 2n
x
2
tahmin gerçekten doğrudur ve
and, solving
for x, we get
苷 2兾共4n 1兲.] The graph of f is given in Figure 7.
bunu ileride
geometrik
bir x akıl
yürütmeyle kanıtlayacağız.
f (1) = sin π = 0
f ( 12 ) = sin 2π = 0
f ( 13 ) = sin 3π = 0
f ( 14 ) = sin 4π = 0
(1)
f (0.1) = sin 10π = 0 f (0.01) = sin 100π = 0
elde ederiz. Benzer şekilde f (0.001) = f (0.0001) = 0 olur.
-1
MAT 1009 Matematik I
1
x
Didem COŞKAN ÖZALP
10 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
11 / 77
Bir Fonksiyonun Limiti
Bir Fonksiyonun Limiti
Çözüm (devamı).
Çözüm (devamı).
SECTION 2.2 THE LIMIT OF A FUNCTION
f in grafiği Şekilde verilmiştir.
Bu bilgiler ışığında
π
=0
x→0
x
tahminini yapmak çekici gelse de, bu kez tahmin doğru değildir. Listen to the sound of this function trying to
approach a limit.
Her n tam sayısı için f (1/n) = sin nπ = 0 olmasına rağmen x in sıfıra
Resources / Module 2
yaklaşan sonsuz tane değeri için f (x) = 1 olduğu doğrudur.
/ Basics of Limits
/ Sound of a Limit that Does
[Aslında,
Not Exist
π
π
= + 2nπ
x
2
FIGURE
olduğu zaman sin(π/x) = 1 dir ve buradan x i çözerek x = 2/(4n + 1)
buluruz.]
exhibit unusual behavior.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
12 / 77
y=sin(π/x)
1
_1
x
1
_1
7
Grafikteki
kesik
çizgiler
sıfıra
sin(π/x)
değerinin
1 ile
−11
The broken
lines
indicatex that
theyaklaşırken
values of sin共
兾x兲 oscillate
between
1 and
arasında often
sonsuz
gidip geldiğine
etmektedir.
infinitely
as xkez
approaches
0. (Use aişaret
graphing
device to graph f and zoom in
toward the origin several times. What do you observe?)
Since the values of f 共x兲 do not approach a fixed number as x approaches 0,
MAT 1009 Matematik I
x
Didem COŞKAN ÖZALP
lim sin
xl0
冉
EXAMPLE 5 Find
lim x 3 Bir Fonksiyonun Limiti
Bir Fonksiyonun Limiti
105
y
lim sin
Module 2.2 helps you explore
limits at points where graphs
◆
xl0
13 / 77
does not exist
冊
cos 5x
.
10,000
SOLUTION As before, we construct a table of values.
Örnek 4
Heaviside fonksiyonu H,
x sıfıra yaklaşırken f (x) değerleri belli bir sayıya yaklaşmadığından
lim sin
cos 5x
10,000
(
0,
t<0
1
H(t)
= 1.000028
1,0.124920
t≥0
0.5
Çözüm (devamı).
x→0
x3 x
106
0.1
■
CHAPTER0.001088
2 LIMITS AND DERIVATIVES
0.05
0.000222
olarak tanımlanır.a Grafiği Şekilde
gösterilmiştir.
π
x
0.01
limiti yoktur.
From the table it appears that
冉
y
0.000101
1
cos 5x
lim x 3 0
10,000
xl0
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
x
cos 5x
x3 10,000
0.005
0.001
14 / 77
0.00010009
0.00010000
冊
苷0
EXAMPLE 6 The Heaviside funct
t
[This function is named after th
and canalmıştır
be used
Bu fonksiyon adını elektrik
Oliver Heaviside(1850–1925)’den
ve to describe an
FIGUREmühendisi
8
t = 0 anında şalteri indirilen devredeki
elektrik
akımını
ifade
etmek
için
kullanılabilir.
graph
is
shown
in Figure 8.
cos 5x
1
lim x 3 苷 0.000100 苷
t
As
approaches
0 from the l
xl0
10,000
10,000
right, H共t兲 approaches 1. There
I
COŞKAN ÖZALP
15 / 77
LaterMAT
we1009
willMatematik
see that
lim cos 5x 苷Didem
1 and
then it follows that theapproaches
limit is 0.0001.
0. Therefore, lim t l
xl0
Butaif we persevere with smaller values of x, the second table suggests that
冉
冊
Bir Fonksiyonun Limiti
106
Bir Fonksiyonun Limiti
■
CHAPTER 2 LIMITS AND DERIVATIVES
Tek Yönlü Limitler
EXAMPLE 6 The Heaviside function H is defined by
y
再
Önceki örnekte H(t) değerlerinin, t, 0’a sağdan yaklaşırken 1’a, t’nin 0’a
soldan yaklaşması
0 durumunda
if t 0 0’e yaklaştığını gözledik. Bunu simgesel
olarak
H共t兲 苷
1 iflimt H(t)
0 = 0 ve lim H(t) = 1
1
0
Tek Yönlü Limitler
t
t→0−
t→0+
ile gösteririz.
[This function is named after the
electrical engineer Oliver Heaviside (1850–1925)
0.] Its
and can be used to describe an“telectric
currentt’nin
thatyalnızca
is switched
on atdeğerlerini
time t 苷düşündüğümüzü
→ 0− ” sembolü
0’dan küçük
t değişkeni 0’a soldan
yaklaştığında
H(t) 0’a yaklaşır. t, 0’a sağdan
FIGURE
8
yaklaştığında H(t) bu kez 1’e yaklaşır. Bu nedenle t sıfıra yaklaşırken
graph is shown in Figure 8. gösterir.
→ 0+ ”, t’nin0.yalnızca
0’dan büyük değerlerini
H(t)’nin yaklaştığı tek bir değer olmadığından lim H(t) değeri yoktur.
H共t兲 “t
As t approaches 0 from theAynı
left,şekilde
approaches
As t approaches
0 from the
t→0
düşündüğümüzü gösterir.
right, H共t兲 approaches 1. There is no single number that H共t兲 approaches as t
approaches 0. Therefore, lim t l 0 H共t兲 does not exist.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
16 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
17 / 77
One-Sided Limits
We noticed in Example 6 that H共t兲 approaches 0 as t approaches 0 from the left and
Tek Yönlü LimitlerH共t兲 approaches 1 as t approaches 0 from
Bir Fonksiyonun
Tek Yönlü Limitler
the Limiti
right. We indicate this situation
symbolically by writing
Bir Fonksiyonun Limiti
lim H共t兲 苷 0
t l 0
Tanım 5
and
lim H共t兲 苷 1
Tanım 5 in Tanım 1 dent l
tek
0farkının x değişkeninin a’dan küçük olması
koşulu olduğuna dikkat ediniz.
The symbol “t l 0 ” indicates that we consider only values of t that are less than 0.
Benzer biçimde, x değişkeninin a’dan büyük olması koşulunu getirirsek x
x değişkeni a’dan küçük olacak şekilde a’ya yeterince yakın alınarak
f (x) “t l 0 ” indicates that
Likewise,
we consider only values of t that are greater than 0.
değişkeni a’ya yaklaşırken f (x)’in sağdan limiti L’dir denir ve
değerleri L sayısına istenildiği kadar yakın yapılabiliyorsa x değişkeni a’ya
yaklaşırken f (x)’in soldan limiti (veya x değişkeni a’ya soldan yaklaşırken
f (x)’in limiti) L’dir ve
2 Definition
lim f (x) = L
x→a−
yazarız.
lim f (x) = L
x→a+
We write
yazarız. Dolayısıyla, x → a+ sembolü, yalnızca x > a değerlerini
düşündüğümüz
anlamına
lim f 共x兲
苷 L gelir.
x l a
Bu tanımlar Şekil 4 de gösterilmiştir.
and say the left-hand limit of f 共x兲 as x approaches a [or the limit of f 共x兲 as
x approaches a from the left] is equal to L if we can make the values of f 共x兲
as close to L as we like by taking x to be sufficiently close to a and x less than a.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
18 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
19 / 77
Thus, the symbol “x l a” means that we consider only x a. These definitions are
illustrated in Figure 9.
Fonksiyonun Limiti1 only in that we require x
Tekto
Yönlü
efinition 2 differs fromBirDefinition
beLimitler
a
arly, if we require that x be greater
than
,
we
get
“the
right-hand
y
y
approaches a is equal to L” and we write
Bir Fonksiyonun Limiti
Tek Yönlü Limitler
lim f 共x兲 苷 L
x l a
L
ƒ
0
x
y
FIGURE 9
0
x
a
ƒ
L
“x l a” means that we consider only x a. These definitions are
ure 9.
a
Tanım 1 ile tek yönlü limitlerin tanımlarını karşılaştırırsak aşağıdakinin
doğru olduğunu görürüz.
lim f (x) = L
x
x
olması için gerek ve yeter şart
(b) lim ƒ=L
(a) lim ƒ=L
x→a
x a+
x a_
lim f (x) = L ve
x→a+
L
ƒ
x
a
0
x
olmasıdır.
ƒ
L
a
lim f (x) = L
x→a−
x
x
(b)Şekil
lim 4:
ƒ=L
x a+
m ƒ=L
_
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
20 / 77
MAT 1009 Matematik I
SECTION 2.2 THE LIMIT OF A FUNCTION
◆
107
By comparing Definition l with the definitions of one-sided limits, we see that the
Limitler
Bir Fonksiyonun Limiti
followingTekisYönlü
true.
Bir Fonksiyonun Limiti
lim f 共x兲 苷 L
3
Örnek 6
if and only if
xla
Çözüm.
lim f 共x兲 苷 L and
xla
Tek Yönlü Limitler
4
3
(a) c)lim
t共x兲
lim
g(x)
y=©
xl2
x→2
(d) d)limlim
t共x兲
g(x)
−
x lx→5
5
1
(b) lim t共x兲
xl2
(e) lim t共x兲
xl5
lim f 共x兲 苷 L
xla
EXAMPLE 7 The graph of a
4
values (if they exist) of th
values
b) (if
limthey
g(x)exist) of the following:
x→2+
3
lim f 共x兲 苷 Ly
x l a
Bir g fonksiyonunun grafiği Şekilde verilmiştir. Bunu kullanarak (eğer
varsa) aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
3
y
a) lim
g(x)graph of a function t is shown in Figure 10. Use it to state the
EXAMPLE
7− The
x→2
0
21 / 77
By comparing
Definiti
following is true.
Didem COŞKAN ÖZALP
y=©
xl2
(d) lim t共x兲
(e)
xl5
0
(f) lim t共x兲
(b)
xl2
1
(c) lim t共x兲
(a) lim t共x兲
1
2
3
4
5
x
2
3
4
5
x
from the left, but they app
xl5
e) lim g(x)
FIGURE 10
+
SOLUTIONx→5
From
the graph we see that the values of t共x兲 approach
3 as x xapproaches
buna karşılık
değişkeni 22ye sağdan yaklaşırken g(x) in 1 e
f) the
limleft,
g(x)but they approach 1 as x approaches 2 from yaklaştığını
from
the right. Therefore
görüyoruz. Dolayısıyla
x→5
(a) lim t共x兲 苷 3
FIGURE 10
MAT 1009 Matematik I
xl2
and
(b) lim t共x兲 苷 1a) lim− g(x) = 3
xl2
x→2
(c) Since the left and right 22limits
are different, we conclude
from (3) that
/ 77
MAT 1009 Matematik I
limx l 2 t共x兲 does not exist.
Didem COŞKAN ÖZALP
x
SOLUTION From the graph w
Grafikten, x değişkeni 2 ye soldan yaklaşırken, g(x) in 3 e yaklaştığını,
1
x
ve
(a) lim
xl2
(c) Since the left and rig
b) lim g(x) = 1 lim
olur.x l 2 t共x兲 does not exist
x→2+
The graph also shows
Didem COŞKAN ÖZALP
23 / 77
(d) lim
xl5
By comparing Definition l with the definitions of one-sided limits, we see that the
following is true.
Bir Fonksiyonun Limiti
Tek Yönlü Limitler
Bir Fonksiyonun Limiti
SECTION 2.2 THE LIMIT OF A FUNCTION
◆
Tek Yönlü Limitler
107
3
if and only if
lim f 共x兲 苷 L
lim f 共x兲 苷 L and lim f 共x兲 苷 L
la
x l a
By comparing xDefinition
l with the definitions of one-sided
limits, we see that the x l a
c) Sağ ve sol limitler farklı olduğu için, lim g(x) in olmadığı
followingsonucuna
is true.
Çözüm (devamı).
x→2
varınz.
y
3
4
3
xla
xla
values
(if they exist) of the following:
(a) lim t共x兲
y=©
y
EXAMPLE
of aiffunction
is苷shown
in lim
Figure
tÇözüm
if and only
lim f 共x兲7苷The
L graph
lim f 共x兲
L and
f 共x兲10.
苷 LUse it to state the
(devamı).
(b) lim t共x兲
(c) lim t共x兲
values (d)
(if they
(e) lim t共x兲
limexist)
t共x兲of the following:
(f) lim t共x兲
xl2
xl2
x l 5
y=©
0
1
1
2
3
4
xl2
lim g(x) = 2
EXAMPLE 7 The graph of a function t is shown in Figure 10. Use it to state the
4
31
xla
f) Bu kez sağ ve sol limitler aynıdır ve dolayısıyla,
5
x l 5
x→5
xl5
(a) lim t共x兲
(b) lim t共x兲
(c) lim t共x兲 elde ederiz. Buna rağmen g(5) ̸= 2 dir.
xl2
xl2
xl2
SOLUTION From the graph we see that the values of t共x兲 approach 3 as x approaches 2
(d)x lim t共x兲
(e) lim t共x兲
(f) lim t共x兲
x l 5they approach x1
l as
5
from the left, but
x approaches 2 from the right. Therefore
xl5
SOLUTION From the graph we see that the values of t共x兲 approach 3 as x approaches 2
x
Grafikten ayrıca, FIGURE0 10 1 2 3 4 5
(a) 1lim
and
(b)Therefore
t共x兲 苷 3 2 from
lim t共x兲 苷 1
from the left, but they approach
as x approaches
the right.
x l 2
x l 2
d) lim g(x) = 2 ve e) lim g(x) = 2 olduğu görülmektedir.
x→5−
+
(a) lim t共x兲 苷 3
x→5
FIGURE
10
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
and
(b) lim t共x兲 苷 1
2 and right limits are different,
x l 2
(c) Since thex lleft
we conclude from (3) that
does
not
exist.
lim
t共x兲
x
l
2
(c) Since the left and
limits are different, we conclude
from
(3) that
24 / right
77
MAT 1009
Matematik
I
Didem COŞKAN ÖZALP
doesgraph
not exist.
limx l 2 t共x兲The
also shows that
25 / 77
The graph also shows that
(d) lim t共x兲 苷 2
Bir Fonksiyonun Limiti
Tek Yönlü Limitler
lim
and
(e) lim t共x兲 苷 2
(e) lim t共x兲 苷 2
xl5
xl5
Bir Fonksiyonun Limiti
Tek Yönlü Limitler
lim t共x兲 苷 2 lim
Çözüm
t共x兲 (devamı).
苷2
1
limitini (varsa) bulunuz.
x2
xl5
xl5
y
Despite this fact, notice that t共5兲 苷 2.
Despite this fact, notice that t共5兲 苷 2.
Çözüm.
Aslında, Şekilde gösterilen f (x) =
x değişkeni 0 a yakın olduğunda,
olur.
x2
x
1 x
0.5
0.2
1
0.1
0.5
0.05
0.2
0.01
0.1
0.001
MAT 1009 Matematik I
xl5
(f)time
This
theright
leftlimits
and are
right
areso,
thebysame
so, by (3), we have
(f) This
the time
left and
thelimits
same and
(3), weand
have
Örnek 7
x→0
(d) lim t共x兲 苷x l
2 5 and
1/x2 fonksiyonunun grafiğinden x
de 0 a yakın olur ve
çok büyük 1
EXAMPLE 8 Find lim 2 if it exists.
1
xl0 x
değerleri 0 a yeteri kadar yakın
EXAMPLE 8 Find lim 2 if it exists.
alınarak, f (x) değerlerinin istexl0 x 2
SOLUTION As x becomes close to 0, x also becomes close to 0, and 1兾x 2 becomes
1
nildiği kadar büyük yapılabileceği
very large. (See the table at the left.) In fact, it appears
from the graph of the funcSOLUTION 2 As x becomes close to 0, x 2 also becomes close to 0, and 1兾x 2 becomes
x2
görülmektedir. Bu nedenle f (x)
tion
shown
in
Figure
11
that
the
values
of
can
be
made
arbitrarily
f
共x兲
苷
1兾x
f
共x兲
1
very
large.
(See
the table
at thetheleft.)
Inoffact,
froma the graph ofinthedeğerleri
func- herhangi bir sayıya
large by
taking
enough
to 0. Thus,
values
not approach
x close
f 共x兲 itdoappears
2
1
x
2 2 shown in Figure 11 that the values of f 共x兲 can be made arbitrarily
tion
f
共x兲
苷
1兾x
number, so lim x l 0 共1兾x 兲 does not exist.
4
yaklaşmaz ve dolayısıyla lim 1/x2
1/x2
25
100
400
10,000
1,000,000
1
4
25
100
0.05
400
0.01
10,000
Didem COŞKAN ÖZALP
0.001
1,000,000
large by taking x close enough to 0. Thus, the values of f 共x兲 do
not approach
( 1. , 1. )
limiti ayoktur.
number, so lim x l 0 共1兾x 2 兲 does ynot exist.
x→0
x
y
y=
26 / 77
1
≈
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
27 / 77
Bir Fonksiyonun Limiti
Tek Yönlü Limitler
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Çözüm (devamı).
Limit Kuralları
c sabit bir sayı olmak üzere
Aslında, Şekilde gösterilen f (x) =
1/x2 fonksiyonunun grafiğinden x
değerleri 0 a yeteri kadar yakın
alınarak, f (x) değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabileceği
görülmektedir. Bu nedenle f (x)
in değerleri herhangi bir sayıya
yaklaşmaz ve dolayısıyla lim 1/x2
lim f (x) ve
x→a
limitleri varsa aşağıdaki özellikler sağlanır.
1
2
3
x→0
limiti yoktur.
4
5
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
lim g(x)
x→a
27 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim [c.f (x)] = c. lim f (x)
x→a
x→a
lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x)
x→a
x→a
x→a
f (x)
x→a g(x)
lim g(x) ̸= 0 ise lim
x→a
MAT 1009 Matematik I
lim f (x)
=
x→a
lim g(x)
x→a
Didem COŞKAN ÖZALP
28 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Örnek 8
Her adımı açıklayarak aşağıdaki limiti bulunuz.
Limit Kuralları
(devamı)
y
6
7
8
9
10
lim (2x2 − 3x + 4)
n pozitif tamsayı olmak üzere lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n dir.
x→a
x→5
x→a
lim c = c
x→a
Çözüm.
lim x = a
x→a
n pozitif tamsayı olmak üzere lim xn = an dir.
x→a
√
√
n pozitif tamsayı olmak üzere lim n x = n a dir.
lim (2x2 − 3x + 4) = lim (2x2 ) − lim (3x) + lim 4 (Kural 2 ve 1 den)
x→5
x→5
x→5
x→5
2
x→a
= 2 lim x − 3 lim x + lim 4
(Kural 3 den)
= 2(5 ) − 3(5) + 4
(Kural 9, 8 ve 7 den)
x→5
2
(n çift ise, lim f (x) > 0 olduğunu varsayarız.)
x→a
x→5
x→5
= 39
( 1. , 1. )
x
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
29 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
30 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Çözüm (devamı).
Bazı örneklerde doğrudan yerine koyma yöntemi ile tüm limit değerleri
bulunamaz.
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
=
x−1
x−1
olarak çarpanlara ayıralım. Buradan x − 1 in pay ve paydanın ortak çarpanı
olduğunu görürüz. x değişkeni 1 e giderken limit alındığında x ̸= 1
olduğundan x − 1 ̸= 0 dır. Dolayısıyla sadeleştirme yapabiliriz. Böylece
limiti
Örnek 9
x2 − 1
limitini hesaplayınız.
x→1 x − 1
lim
Çözüm.
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
= lim
x→1 x − 1
x→1
x−1
= lim (x + 1)
lim
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) olsun. f (1) değeri tanımlı olmadığı için limiti
x = 1 koyarak bulamayız. Paydanın limiti 0 olduğu için Bölüm Kuralı’nı da
kullanamayız. Bunun yerine cebir bilgimizi kullanmalıyız.
x→1
=1+1=2
olarak buluruz.
MAT 1009 Matematik I
114
■
CHAPTER
2 ÖZALP
LIMITS
Didem
COŞKAN
AND DERIVATIVES
y
3
EXAMPLE 4 Find lim t共x兲 where
x l1
(
x + 1, x ̸= 1
g(x) =
π,
x=1
1
0
1
2
3
t共x兲 苷
x
x→1
再
x 1 if x 苷 1
if x 苷 1
Çözüm.
fonksiyonu
x =the
1 noktasında
tanımlıdır
SOLUTION Here t is defined at x 苷 1 andgt共1兲
value of a limit
as x ve g(1) = π dir. Ancak, x
苷 , but
değişkeni
1 efunction
giderkenatalınan
limit,t共x兲
fonksiyonun
approaches 1 does not depend on the value
of the
1. Since
苷 x 1 1 noktasındaki değerinden
bağımsızdır.
x
=
̸
1
için
g(x)
=
x
+
1
olduğundan
for x 苷 1, we have
y
3
lim t共x兲 苷 lim 共x 1兲 苷 2
y=©
x l1
2
x l1
lim g(x) = lim (x + 1) = 2
x→1
x→1
dir.
Note that the values of the functions in Examples 3 and 4 are identical except when
x 苷 1 (see Figure 2) and so they have the same limit as x approaches 1.
1
0
1
2
3
x
EXAMPLE 5 Evaluate lim
h l0
FIGURE 2
MAT 1009 Matematik I
32 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
y=ƒ
2
ise lim g(x) limitini bulunuz.
Didem COŞKAN ÖZALP
The limit in this example arose in Section 2.1 when we were trying to find the tangent to the parabola y 苷 x 2 at the point 共1, 1兲.
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Örnek 10
MAT 1009 Matematik I
31 / 77
Didem COŞKAN ÖZALP
The graphs of the functions f (from
Example 3) and g (from Example 4)
33 /define
77
SOLUTION If we
共3 h兲2 9
.
h
MAT 1009 Matematik I
共3 h兲2 9
Didem COŞKAN ÖZALP
34 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Örnek 11
Örnek 12
√
(3 + h)2 − 9
lim
limitini bulunuz.
h→0
h
lim
t→0
Çözüm.
Çözüm.
(3 + h)2 − 9
olarak tanımlayalım. F (0) tanımlı olmadığından
F (h) =
h
lim F (h) limitini h = 0 değerini yerine koyarak hesaplayamayız. Fakat
Paydanın limiti 0 olduğundan Bölüm Kuralı’nı doğrudan kullanamayız.
√
√
√
t2 + 9 − 3
t2 + 9 − 3 t2 + 9 + 3
lim
= lim
.√
t→0
t→0
t2
t2
t2 + 9 + 3
(t2 + 9) − 9
t2
= lim √
= lim √
t→0 t2 ( t2 + 9 + 3)
t→0 t2 ( t2 + 9 + 3)
1
1
= lim √
=q
2
2
t→0
t +9+3
lim(t + 9) + 3
h→0
F (h) yi cebirsel olarak sadeleştirirsek,
F (h) =
t2 + 9 − 3
limitini bulunuz.
t2
(h2 + 6h + 9) − 9
h2 + 6h
=
=6+h
h
h
buluruz. (h değişkeni 0 a yaklaşırken, yalnızca h ̸= 0 değerlerini
düşündüğümüzü hatırlayınız.) Dolayısıyla
t→0
1
1
=
=
3+3
6
(3 + h)2 − 9
= lim (6 + h) = 6 olur.
h→0
h→0
h
lim
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
MAT 1009 Matematik I
35 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Didem COŞKAN ÖZALP
36 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Örnek 14
Bazı limitleri almak için en iyi yöntem önce sağ ve sol limitleri almaktır.
Aşağıdaki teorem limitin varlığı için yeterli ve gerekli koşulun sağ ve sol
limitlerin varlığı ve eşitliği olduğunu ifade etmektedir.
lim |x| = 0 olduğunu gösteriniz.
x→0
Çözüm.
Teorem 13
Mutlak değer fonksiyonunun
lim f (x) = L olması için gerekli ve yeterli koşul
x→a
(
x,
|x| =
−x,
lim f (x) = L = lim f (x)
x→a+
x→a−
olmasıdır.
x≥0
x<0
olarak tanımlandığını hatırlayınız. x > 0 için |x| = x olduğundan
Tek yönlü (sağ ve sol) limitleri alırken limit kurallarının bu tür limitler için
de geçerli olduğu gerçeğini kullanırız.
lim |x| = lim x = 0
x→0+
x→0+
elde ederiz.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
37 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
38 / 77
ⱍ ⱍ
lim x 苷 lim x 苷 0
x l 0
x l0
ⱍ ⱍ
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
0 we have x 苷 x and so
Çözüm (devamı).
ⱍ ⱍ
lim x 苷 lim 共x兲 苷 0
x < 0 için |x| = −x dir ve dolayısıyla
x l0
x l0
lim |x| = lim (−x) = 0
x→0−
When computing one-sided limits we use the fact that the Limit Laws also hold for
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
one-sided limits.
ⱍ ⱍ
EXAMPLE 7 Show that lim x 苷 0.
x l0
Örnek 15
SOLUTION Recall that
x→0−
efore, by Theorem
1,
dır. Teorem gereğince
ⱍ ⱍ
lim x 苷 0
limof|x|
= 0 olur.
▲ The result
Example
7 looks
x→0
x l 0 3.
plausible from Figure
ⱍ x ⱍ does not exist.
y=|x|
ⱍxⱍ 苷
ⱍ ⱍ
x l0
ON
x
lim
x l0
MAT 1009 Matematik I
ⱍxⱍ 苷
x
ⱍxⱍ 苷
FIGURE 3
lim
x l 0
lim
xl
0 0
ⱍ ⱍ
x→0+
x l0
lim
ⱍ ⱍ
x l0
|x|
−x
= lim
= lim (−1) = −1
x
x→0− x
x→0−
Sağ ve sol limitler farklı olduklarından Teorem gereğince aranılan limit
x
lim
苷 lim 共1兲 苷 1
ⱍxⱍ
x l0
x l0
EXAMPLE 8 Prove that lim
x
x l0
x
x l0
ⱍ ⱍ
lim x 苷 0
x l0
MAT 1009 Matematik I
39 / 77
Didem COŞKAN ÖZALP
40 / 77
does not exist.
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
ⱍ ⱍ
x→0−
|x|
x
= lim
= lim 1 = 1
+
x
x→0 x
x→0+
lim x yoktur.
苷 lim 共x兲 苷 0
the right- and left-hand limits are different, it follows
from Theorem 1lim
thatⱍ x ⱍ
SOLUTION
x l0
x
l 0 x 兾x does not exist. The graph of the function f 共x兲 苷 x 兾x is shown in
e 4 and supports
the limits that we found.
Çözüm (devamı).
x
ⱍ ⱍ苷
x
苷 lim 1 苷 1
x l0
x
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
苷 lim
x l0
x
苷 lim 共1兲 苷 1
x l0
x l0
x l0
x
x
Teorem 16
Since the right- and left-hand limits are
it follows
from Theorem
1 that
x’indifferent,
a’ya yakın
(x = a dışındaki)
değerleri
için f (x) ≤ g(x) ise ve x
of
the
function
is
shown
in
lim x l 0 x 兾x does not exist. The graph
f
共x兲
苷
x
兾x
değişkeni a’ya yaklaşırken f (x) ve g(x)’in limitleri
varsa
Figure 4 and supports the limits that we found.
lim
y
|x|
y= x
ⱍ ⱍ
For x 0 we have x 苷 x and so
x
苷 lim 1 苷 1
x l 0x
x
Therefore, by Theorem 1,
ⱍ ⱍ
lim
lim x 苷 lim x 苷 0
x l 0
Didem COŞKAN ÖZALP
x
x if x 0
Çözüm.
Since x 苷 x for x 0, we have
y
PLE 8 Prove that lim
再
|x|
limitinin olmadığını kanıtlayınız.
x→0
x x if x 0
lim
1
lim
ⱍ ⱍ
0
ⱍ ⱍ
x
lim f (x) ≤ lim g(x)
y
|x|
y= x
_1
x→a
1
sağlanır.
0
f (x) = |x|/x fonksiyonunun grafiği Şekilde verilmiştir ve yanıtımızı
desteklemektedir.
x→a
x
_1
PLE 9 The greatest integer function is defined
FIGUREby
4 冀x冁 苷 the largest integer
s less than or equal to x. (For instance, 冀4冁 苷 4, 冀4.8冁 苷 4, 冀 冁 苷 3, 冀 s2 冁 苷 1,
EXAMPLE 9 The greatest integer function is defined by 冀x冁 苷 the largest integer
doesfornot
exist.
苷 1.) Show that lim x▲l3Other
冀x冁notations
that is less than or equal to x. (For instance, 冀4冁 苷 4, 冀4.8冁 苷 4, 冀 冁 苷 3, 冀 s2 冁 苷 1,
冀x冁 are 关x兴 and  x.
冀 12 冁 苷 1.) Show that lim x l3 冀x冁 does not exist.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
41 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
42 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
then
Bazen Sandviç Teoremi olarak da anılan Sıkıştırma Teoreminin anlamı
Şekilde açıklanmıştır.
y
Teorem 17 (Sıkıştırma Teoremi)
g
lim f (x) = lim h(x) = L
x→a
The Squeeze Theore
Theorem, is illustrated
h共x兲 near a, and if f and
limit L at a.
h
x’in a’ya yakın (x = a dışındaki) değerleri için f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ve
L
x→a
ise
lim g(x) = L
f
x→a
0
sağlanır.
a
EXAMPLE 10 Show that
x
SOLUTION
First note that
Bu teorem, g(x) fonksiyonu a yakınında f (x) ve h(x) arasında
sıkışmışsa
FIGURE 6
ve a sayısında f ve h fonksiyonlarının limitleri var ve L’ye eşitse zorunlu
olarak g fonksiyonunun da a’daki limitinin L olduğunu söyler.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
43 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
MAT 1009 Matematik I
because lim
44 /x77l 0 sin共1兾x
since
Didem COŞKAN ÖZALP
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Çözüm (devamı).
we have, as illustrated b
y
Örnek 18
lim x2 sin
x→0
1
olduğunu kanıtlayınız.
x
x
Çözüm.
Önce, lim sin
x→0
1
limiti olmadığından,
x
lim x2 sin
x→0
1
1
= lim x2 · lim sin
x→0
x x→0
x
Bununla birlikte,
−1 ≤ sin
eşitliğini kullanamayacağımıza dikkat edin.
1
≤1
x
olduğundan, Şekilde gösterildiği gibi
−x2 ≤ x2 sin
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
45 / 77
MAT 1009 Matematik I
1
≤ x2 elde ederiz.
x
Didem COŞKAN ÖZALP
46 / 77
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Çözüm (devamı).
Çözüm (devamı).
y
x
Bununla birlikte,
Bununla birlikte,
1
−1 ≤ sin ≤ 1
x
olduğundan, Şekilde gösterildiği gibi
−x2 ≤ x2 sin
MAT 1009 Matematik I
−1 ≤ sin
1
≤1
x
olduğundan, Şekilde gösterildiği gibi
1
≤ x2 elde ederiz.
x
Didem COŞKAN ÖZALP
−x2 ≤ x2 sin
46 / 77
MAT 1009 Matematik I
Limit Alma Kurallarını Kullanarak Limit Almak
1
≤ x2 elde ederiz.
x
Didem COŞKAN ÖZALP
46 / 77
Süreklilik
Süreklilik
y
Çözüm (devamı).
lim x2 = 0 ve lim (−x2 ) = 0 olduğunu biliyoruz. Sıkıştırma Teoreminde
x→0
Bazı örneklerde x değişkeni a’ya yaklaşırken f fonksiyonunun limitinin
fonksiyonun a noktasındaki değeri olarak hesaplanabildiğini fark etmiştik.
x→0
f (x) = −x2 , g(x) = x2 sin(1/x) ve h(x) = x2 alarak
x
lim x2 sin
x→0
Bu özelliğe sahip fonksiyonlara a noktasında sürekli denir.
1
=0
x
Sürekliliğin matematiksel tanımının, bu kelimenin günlük anlamına oldukça
yakın olduğunu ileride göreceğiz (sürekli bir olay, kesintiye ve ani
değişikliğe uğramadan devam eder).
buluruz.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
47 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
48 / 77
exists? If so, find the value of a and the value of the limit.
Süreklilik
C¡
44. The figure shows a fixed circle C1 with equation
共x 1兲2 y 2 苷 1 and a shrinking circle C2 with radius r
and center the origin. P is the point 共0, r兲, Q is the upper
Tanım 19
Süreklilik
f fonksiyonun a noktasındaki sürekliliği
lim f (x) = f (a)
eşitliğini sağlamasıdır.
2.4
x→a
Continuity
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Tanım f ’nin a noktasındaki sürekliliğini x, a’ya yaklaşırken f (x)’in f (a)’ya
●
●
●
●
●
●
●
●
●
yaklaşması
olarak
ifade
edilir.
Dolayısıyla, sürekli fonksiyonların değişken x’teki küçük bir değişikliğin
a noktasında sürekli Explore
olmayan
bir f fonksiyonuna
a noktasında
continuous
functions interactively.
Wesüreksiz
noticed in Section 2.3 that the limit
of adefunction
can often
x approaches
f (x)’te
küçük birasdeğişikliği
gerekliakılma
özelliği vardır.
Resources / Module 2
denir.
be found simply by calculating the value of the function at a. Functions with this
Aslında, x’teki değişikliği yeterince küçük tutarak f (x)’teki değişim
/ Continuity
property are called continuous at a. We
will see
thatküçük
the mathematical
definition of
/ Start of Continuity
istenildiği
kadar
tutulabilir.
Tanımda açıkça belirtilmemiş olsa da bir fonksiyonun a noktasındaki
continuity corresponds closely with the meaning of the word continuity in everyday
sürekliliği aşağıdaki koşulların sağlanmasını gerektirmektedir.language. (A continuous process is one that takes place gradually, without interrup1
2
3
f (a) tanımlıdır (a sayısı f ’nin tanım kümesindedir).
tion or abrupt change.)
lim f (x) limiti vardır ve
x→a
lim f (x) = f (a) dır.
1 Definition A function f is continuous at a number a if
x→a
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
49 / 77
x la
Didem COŞKAN ÖZALP
50 / 77
If f is not continuous at a, we say f is discontinuous at a, or f has a discontinuity
at a. Notice that Definition l implicitly requires threeSüreklilik
things if f is continuous at a:
Süreklilik
▲ As illustrated in Figure 1, if f is con-
1. f 共a兲 is defined (that is, a is in the domain of f )
tinuous, then the points 共x, f 共x兲兲 on the
2. lim f 共x兲
Geometrik olarak, birgraph
aralıktaki
her noktada
sürekli
of f approach
the point
共a, folan
共a兲兲 bir fonksiyonu,
x la
on the graph.
So there
is no gap in the
grafiği kesintisiz bir fonksiyon
olarak
düşünebilirsiniz.
Bu, kalemle grafiği
3.
lim
f 共x兲
curve.
takip ettiğinizde kalemi
kaldırmadan grafiği izleyebilmeniz demektir.
x la
y
ƒ
approaches
f(a).
f(a)
a
x
As x approaches a,
FIGURE 1
Didem COŞKAN ÖZALP
exists
苷 f 共a兲
Örnek 20
■
CHAPTER
LIMITS AND
DERIVATIVES
Şekilde grafiği verilen120
fonksiyonun
sürekli2olmadığı
noktaları
bularak
nedenlerini
açıklayınız.
The definition says that f is continuous at a if f 共x兲 approaches f 共a兲 as x approaches
y
EXAMPLE 1 Figure 2 show
a. Thus, a continuous function f has the property that a small
change in x produces
y=ƒ
0
MAT 1009 Matematik I
lim f 共x兲
苷 f 共a兲
MAT 1009 Matematik I
only a small change in f 共x兲. In fact, the change in f 共x兲 can be kept as small as we
please by keeping the change in x sufficiently small.
Physical phenomena are usually continuous. For instance, the displacement or
velocity of a vehicle varies continuously with time, as does a person’s height. But discontinuities do occur in such situations as electric currents. [See Example 6 in Section 2.2, where the Heaviside function is discontinuous at 0 0because lim t l 0 H共t兲 does
1
2
3
4
5
not exist.]
Geometrically, you can think of a function that is continuous at every number in an
interval as a function whose graph has no break in it. TheFIGURE
graph 2can be drawn without removing your pen from the paper.
51 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
tinuous? Why?
x
SOLUTION It looks as if ther
break there. The official r
The graph also has a b
different. Here, f 共3兲 is de
right limits are different).
What about a 苷 5? He
and right limits are the sa
52 / 77
So f is discontinuous at 5
Süreklilik
Süreklilik
Çözüm.
Çözüm (devamı).
a = 1 noktasında fonksiyonun grafiğinde bir kesinti olduğundan, fonksiyon
bu noktada süreksiz görünmektedir. Bunu matematiksel olarak f (1) değeri
120
■
CHAPTER 2 LIMITS AND DERIVATIVES
tanımsız olduğundan fonksiyonun 1 noktasında süreksiz olduğu şeklinde
açıklarız.
Grafik a = 3 noktasında da kesintiye uğramaktadır. Ancak, buradaki
süreksizliğin nedeni120
farklıdır.
f (3)2tanımlıdır.
Ancak,
sağ ve sol
■ Burada
CHAPTER
LIMITS AND
DERIVATIVES
limitler farklı olduklarından lim f (x) limiti yoktur.
x→3
y
EXAMPLE 1 Figure 2
f . At which numbers is f disconEXAMPLE 1 Figure 2 shows the graph of a function
y
tinuous? Why?
tinuous? Why?
It looks as
SOLUTION It looks as if there is a discontinuity when a 苷 1 because the graph has SOLUTION
a
0
MAT 1009 Matematik I
1
FIGURE 2
2
3
4
x
5
Didem COŞKAN ÖZALP
break there. The of
break there. The official reason that f is discontinuous at 1 is that f 共1兲 is not defined.
The graph also has a break when a 苷 3, but the reason for the discontinuity is The graph also h
different. Here, f 共3
different. Here, f 共3兲 is defined, but lim x l 3 f 共x兲 does not exist (because the left and
x
0
1
2
3
4
5
right limits are diff
right limits are different). So f is discontinuous at 3.
What about a 苷 5? Here, f 共5兲 is defined and lim x l 5 f 共x兲 exists (because the leftWhat about a 苷
and right limits are
and right limits are the same). But
MAT 1009 Matematik I
53 / 77
FIGURE 2
lim f 共x兲 苷 f 共5兲
Didem COŞKAN ÖZALP
54 / 77
x l5
So f is discontinuo
So f is discontinuous at 5.
Süreklilik
Süreklilik
Now let’s see ho
Now let’s see how to detect discontinuities when a function is defined by a formula.
Çözüm (devamı).
a = 5 noktası fonksiyon için nasıl bir noktadır? Bu noktada f (5) tanımlıdır
Resources
/ Module eşittir).
2
EXAMPLE 2
ve lim f (x) limiti vardır (sağ
ve sol limitler
Ancak
x→5
/ Continuity
/ Problems and Tests
f (x) ̸= 2f (5)
120
■lim CHAPTER
LIMITS AND DERIVATIVES
x→5
olduğundan, f fonksiyonu 5 noktasında sürekli değildir.
y
x2 x 2
(a) f 共x兲 苷
x2
再
/ Continuity
Problems
Tests bulunuz.
Aşağıdaki fonksiyonların sürekli/ olmadığı
noktaları
1 and
(a) f (x) =
x2 −x−2
x−2
(
EXAMPLE 1 Figure 2 shows the graph of
function
(b)a g(x)
=
tinuous? Why?
再
Resources
/ Module 2
Where are each ofÖrnek
the following
functions
discontinuous?
21
(b) f 共x兲 苷
1
, x ̸= 0
xf2. At which
1,
( 2
x=0
2
if x 苷 0
x
1 is f ifdisconx苷 0
numbers
x x2
if x 苷 2
SOLUTION It looks as if there is a
the graph has a
f 共x兲The
苷 officialxreason
2 that f is discontinuous
f x共x兲
冀x冁is not defined.
(c)there.
1, (d)
=苷
2 f 共1兲
break
at 1 is
that
k(x)
[[x]]reason for the discontinuity is
The graph also has
苷x 3,
1 a break when aif(d)
苷but2=the
0
MAT 1009 Matematik I
1
2
3
4
FIGURE 2Didem COŞKAN ÖZALP
5
x
2
x −x−2
, x ̸= 2
苷 1 because
discontinuity
(c) h(x)when
= ax−2
different. Here, f 共3兲 is defined, but lim x l 3 f 共x兲 does not exist (because the left and
rightSOLUTION
limits are different). So f is discontinuous at 3.
苷 5? fHere,
What
about a that
defined and
5 f 共x兲 exists (because
共2兲 isf 共5兲
f isx ldiscontinuous
(a) Notice
notisdefined,
so lim
at 2. the left
and right limits are the same). But
(b) Here f 共0兲 苷 1 is defined but
55 / 77
MAT 1009 Matematik I
lim f 共x兲 苷 f 共5兲
x l5
Didem COŞKAN ÖZALP
1
EXAMPLE 2 Where
(a) f 共x兲 苷
(c) f 共x兲 苷
x2 x
x
再
x2 x
1
SOLUTION
(a) Notice that f 共2
(b) Here f 共0兲 苷 1
56 / 77
Süreklilik
Süreklilik
Çözüm (devamı).
Çözüm.
(
x2 −x−2
x−2 ,
x ̸= 2
1,
x=2
Burada f (2) = 1 tanımlıdır ve
(c) h(x) =
x2
−x−2
(a) f (x) =
x−2
f (2) tanımlı olmadığından, f fonksiyonu 2 noktasında sürekli değildir.
(
1
x ̸= 0
2,
(b) g(x) = x
1,
x=0
Burada f (0) = 1 tanımlıdır. Ancak
(x − 2)(x + 1)
x2 − x − 2
= lim
= lim (x + 1) = 3
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
lim f (x) = lim
x→2
vardır.
lim f (x) ̸= f (2)
1
x→0 x2
x→2
lim f (x) = lim
x→0
olduğudan f fonksiyonu 2 noktasında sürekli değildir.
limiti yoktur. Dolayısıyla f fonksiyonu 0 noktasında sürekli değildir.
(d) Tam değer fonksiyonu f (x) = [[x]] tam sayılarda süreksizdir, çünkü n
bir tam sayı ise lim [[x]] limiti yoktur.
x→n
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
57 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
58 / 77
SECTION
SECTION
2.4 CONTINUITY
2.4 CONTINUITY◆
◆121121
SECTION
SECTION
2.4 2.4
CONTINUITY
CONTINUITY ◆ ◆ 121121
single
single
number
number
2.single
[The
2. [The
function
function
is 1continuous.]
is
continuous.]
The
The
discontinuity
discontinuity
in
part
in part in part
t共x兲
t共x兲
苷
xfunction
苷x1
single
number
number
2. [The
2. [The
function
is continuous.]
TheThe
discontinuity
discontinuity
in part
t共x兲t共x兲
苷 x苷x 1is1continuous.]
(b) is
(b)called
is called
an infinite
an
infinite
discontinuity.
discontinuity.
The
The
discontinuities
discontinuities
in
part
in
part
(d)
are
(d)
are
called
called
jump
jump
(b)(b)
is called
is called
an an
infinite
infinite
discontinuity.
discontinuity.
TheThe
discontinuities
discontinuities
in part
in part
(d)(d)
areare
called
called
jump
jump
discontinuities
discontinuities
because
because
the
the
function
function
“jumps”
“jumps”
from
from
one
one
value
value
to
another.
to
another.
discontinuities
discontinuities
because
because
thethe
function
function
“jumps”
“jumps”
from
from
oneone
value
value
to another.
to another.
Süreklilik
Süreklilik
Çözüm (devamı).
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Çözüm (devamı).
y
y y
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
01
x0
01
12
0 0
2 x x 1
12 2 x 0 x 0
x 0 x0
x
1
12
1
y
y
y
y
1
1
1
1
0 0
x x
2 x 1x 1 2 2 0 0 1
12
0 0 1 x1 2 x2 3 3 x
23 3
x
( 2
(
x −x−2
2
x−2 , if x ̸= 2
≈-x-2
≈-x-2
1/x , if x ̸= 0
−x−2
(c)
f
(x)
=
(d) f (x) = [[x]]
1/≈1/≈
if x≠0
if x≠0 ≈-x-2
≈-x-2
≈-x-2
≈-x-2
(a) f (x) =
(b) f (x) =
1,x-2 if x≠2
ififxx≠2
=2
(a) ƒ=
(c) ƒ=
(c) ƒ=
(d) (d)
ƒ=[
ƒ=[
x] x]
(b)
(b)
ƒ=
ƒ=
x-2
1/≈
1/≈
if
x≠0
if
x≠0
≈-x-2
≈-x-2
if
x≠2
if
x≠2
x − 2 (a) ƒ=
1,
if
x
=
0
x-2
x-2
1 1 (c)
if x=0
if
x=0
(a) ƒ=
(a) ƒ=
ƒ=
(c)
ƒ=x-2x-2
(d) ƒ=[
(d) ƒ=[
x] x]
(b)
ƒ=
(b) ƒ=
x2
x-2x-2
FIGURE
FIGURE
3 3
MAT 1009 Matematik I
冦 冦
冦 1 冦 1if x=0
if x=0
1
1
1 1
if x=2
if x=2
if x=2
if x=2
FIGURE
FIGURE
3 3
Didem
ÖZALP
Graphs
Graphs
of
the
ofCOŞKAN
the
functions
functions
Graphs
Graphs
of the
of functions
the functions
in Example
in Example
2 2
59 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
DefinitionA function
A function
is continuous
from
from
thethe
right
right
at aatnumber
a number
a ifa if
f isf continuous
2 2Definition
60 / 77
Süreklilik
Süreksizlik Çeşitleri
Süreklilik
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Süreksizlik Çeşitleri
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Önceki örnekteki şekillerde, belirtilen fonksiyonların grafikleri verilmektedir.
Örneklerin tümünde grafik bir kalem ile izlenirse var olan bir delik veya
kesinti veya atlama nedeniyle kalem kaldırılmadan grafiğin çizilmesi olası
değildir.
Tanım 22
(a) ve (c) örneklerindeki süreksizliklere giderilebilir süreksizlikler denir.
Çünkü yalnız 2 noktasında f fonksiyonunu yeniden tanımlayarak
süreksizliği giderebiliriz (g(x) = x + 1 fonksiyonu süreklidir).
f fonksiyonunun a’da sağdan sürekli olması
lim f (x) = f (a)
x→a+
eşitliğini sağlaması, f fonksiyonunun a’da soldan sürekli olması ise
lim f (x) = f (a)
(b)’deki süreksizlik türüne sonsuz süreksizlik denir.
x→a−
eşitliğini sağlaması olarak tanımlanır.
(d)’deki süreksizlik türüne ise fonksiyon bir değerden diğerine
“sıçradığından” sıçrama tipi süreksizlik adı verilir.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
Süreklilik
61 / 77
MAT 1009 Matematik I
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Didem COŞKAN ÖZALP
Süreklilik
62 / 77
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Tanım 23
Bir aralığın tüm noktalarında sürekli olan fonksiyon verilen aralıkta
süreklidir. Fonksiyon, aralığın uç noktalarının yalnızca bir tarafında
tanımlanmış ise bu noktalarda süreklilik, sağdan veya soldan süreklilik
anlamındadır.
Teorem 25
(a) Her polinom gerçel sayıların tümünde R = (−∞, ∞)’da süreklidir.
(b) Her rasyonel (kesirli) fonksiyon tanım kümesinde süreklidir.
Teorem 24
Teoremin bir uygulaması olarak, bir kürenin hacminin, yarıçapına göre
sürekli bir biçimde değiştiğini söyleyebiliriz. Bunun nedeni V (r) = 34 πr3 ’ün
yarıçap r’nin bir polinomu olmasıdır.
c bir sabit, f ve g fonksiyonları a noktasında sürekli fonksiyonlarsa
aşağıdaki fonksiyonlar da a noktasında süreklidir.
1
f +g
2
f −g
3
c·f
4
f ·g
5
g(a) ̸= 0 ise
MAT 1009 Matematik I
Benzer biçimde, dik olarak 50 m/sn hızla havaya fırlatılan bir topun t
saniye sonraki yüksekliğini veren h = 50t − 16t2 fonksiyonu da, polinom
olduğundan, süreklidir. Dolayısıyla, topun yüksekliği zamana göre sürekli
bir biçimde değişir.
f
g
Didem COŞKAN ÖZALP
63 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
64 / 77
Süreklilik
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Süreklilik
Sağdan ve Soldan Süreklilik
x3 + 2x2 − 1
limitini bulunuz.
x→−2
5 − 3x
f −1 fonksiyonunun grafiği f ’nin grafiğinin y = x doğrusuna göre yansıması
olduğundan f sürekli bir fonksiyonsa f −1 fonksiyonu da süreklidir (f ’nin
grafiğinde kesinti yoksa y = x doğrusuna göre yansımasında da kesinti
yoktur).
Çözüm.
Teorem 27
Örnek 26
lim
x3
2x2
+
−1
fonksiyonu rasyonel bir fonksiyondur ve Teorem
5 − 3x
gereğince, tanım kümesi olan {x ∈ R|x ̸= 35 } kümesinde süreklidir. Bu
nedenle
f (x) =
Aşağıdaki fonksiyonlar tanım kümelerinde sürekli fonksiyonlardır.
• Polinomlar
• Rasyonel fonksiyonlar
• Trigonometrik fonksiyonlar
x3 + 2x2 − 1
= lim f (x) = f (−2)
x→−2
x→−2
5 − 3x
(−2)3 + 2(−2)2 − 1
1
=
=−
5 − 3(−2)
11
• Ters trigonometrik fonksiyonlar
• Üstel fonksiyonlar
lim
• Logaritmik fonksiyonlar
• Kök fonksiyonları
dir.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
Süreklilik
MAT 1009 Matematik I
65 / 77
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Didem COŞKAN ÖZALP
Süreklilik
66 / 77
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Örnek 29
Örnek 28
lim
ln x + tan−1 x
fonksiyonunun sürekli olduğu noktaları bulunuz.
f (x) =
x2 − 1
x→π
sin x
limitini bulunuz.
2 + cos x
Çözüm.
Çözüm.
tan−1 x
Teorem 27 den y = ln x fonksiyonunun x > 0 için, y =
fonksiyonunun ise her gerçel x için sürekli olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla
Teorem 24 ün 1. kısmından y = ln x + tan−1 x fonksiyonu (0, ∞)
aralığında süreklidir. Paydadaki y = x2 − 1 polinom olduğundan her yerde
süreklidir. Bu durumda Teorem 24 ün 5. kısmından, f fonksiyonu
x2 − 1 = 0 denklemini sağlayanlar dışındaki tüm pozitif x sayılarında
süreklidir. Dolayısıyla f fonksiyonu (0, 1) ve (1, ∞) aralıklarında
süreklidir.
y = sin x fonksiyonu Teoremden süreklidir. Paydadaki y = 2 + cos x
fonksiyonu, iki sürekli fonksiyonun toplamı olduğundan süreklidir. Bu
fonksiyon hiç bir zaman 0 değildir çünkü her x için cos x ≥ −1
olduğundan, her yerde 2 + cos x > 0 dır. Böylece
f (x) =
fonksiyonu her yerde süreklidir. Dolayısıyla, sürekli fonksiyonun tanımından
lim
x→π
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
67 / 77
sin x
2 + cos x
sin x
sin π
0
= lim f (x) = f (π) =
=
= 0 olur.
2 + cos x x→π
2 + cos π
2−1
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
68 / 77
Süreklilik
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Süreklilik
Örnek 31
lim arcsin
Teorem 30
x→1
Sağdan ve Soldan Süreklilik
√ 1− x
limitini bulunuz.
1−x
f fonksiyonu b’de sürekli ve lim g(x) = b ise
x→a
Çözüm.
lim f (g(x)) = f (b)
arcsin sürekli bir fonksiyon olduğundan, Teoremi uygulayabiliriz.
√ √ 1− x
1− x
= arcsin lim
lim arcsin
x→1 1 − x
x→1
1−x
√
1− x
√
√
= arcsin lim
x→1 (1 − x)(1 + x)
1
√
= arcsin lim
x→1 1 + x
1
π
= arcsin =
2
6
x→a
olur. Başka bir deyişle
lim f (g(x)) = f lim g(x)
x→a
x→a
dir.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
Süreklilik
69 / 77
MAT 1009 Matematik I
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Didem COŞKAN ÖZALP
Süreklilik
70 / 77
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Örnek 33
Teorem 32
g fonksiyonu a’da, f fonksiyonu da g(a)’da sürekli ise (f ◦ g)(x) = f (g(x))
olarak verilen (f ◦ g) bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir.
Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu yerleri bulunuz.
(a) h(x) = sin x2
(b) F (x) = ln 1 + cos(x)
Çözüm.
(a) g(x) = x2 ve f (x) = sin x olmak üzere h(x) = f (g(x)) dir. g
fonksiyonu bir polinom olduğu için R de süreklidir. f fonksiyonu da
her yerde süreklidir. Böylece Teoremden h = f ◦ g fonksiyonu da R
de süreklidir.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
71 / 77
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
72 / 77
FIGURE
RE 8 8
x la
which is precisely the statement that the function h共x兲
; ve Soldan Süreklilik
苷 f 共t共x兲兲 is continuous at aSağdan
Süreklilik
that is, f ⴰ t is continuous at a.
Süreklilik
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Çözüm (devamı).
(b) Teoremden f (x) = ln x ve (y = 1 ve y = cos x her yerde sürekli
EXAMPLE 9 Where are the following functions continuous?
olduklarından) g(x) = 1 + cos x süreklidir. Dolayısıyla Teoremden
(a) h共x兲 苷 sin共x 2 兲
(b) F共x兲 苷 ln共1 cos x兲
F (x) = f (g(x)) fonksiyonu tanımlı olduğu her yerde süreklidir.
ln(1 + cos x) fonksiyonunun tanımlı olması için 1 + cos x > 0
SOLUTIONve bu
olmalıdır. Dolayısıyla cos x = −1 olduğu zaman tanımlı değildir
Teorem 34 (Ara Değer Teoremi)
durum x = ±π, ±3π, . . . olduğunda gerçekleşir. Böylece, (a)
F We have h共x兲 苷 f 共t共x兲兲, where f fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekli, N sayısı, f (a) ile f (b) arasında
fonksiyonu π nin tek katlarında süreksizdir ve bu değerlerin arasıkdaki
herhangi bir sayı olsun. (a, b) açık aralığında f (c) = N eşitliğini sağlayan
t共x兲 苷 x 2 bir and
f 共x兲 苷 \sin x
aralıklarda süreklidir.
c sayısı vardır.
2
_10
Now t is continuous on ⺢ since it is a polynomial, and f is also continuous everywhere. Thus, h 苷 f ⴰ t is continuous on ⺢ by Theorem 9.
10
(b) We know from Theorem 7 that f 共x兲 苷 ln x is continuous and t共x兲 苷 1 cos x
is continuous (because both y 苷 1 and y 苷 cos x are continuous). Therefore, by
Theorem 9, F共x兲 苷 f 共t共x兲兲 is continuous wherever it is defined. Now ln共1 cos x兲
is defined when 1 cos x 0. So it is undefined when cos x 苷 1, and this happens when x 苷 , 3, . . . . Thus, F has discontinuities when x is an odd mulMAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
/ 77
tiple of 73and
is continuous on the intervals
between these values
(see Figure 7).
_6
MAT 1009 Matematik I
FIGURE Didem
7 COŞKAN ÖZALP
74 / 77
An important property of continuous functions is expressed by the following theorem, whose proof is found in more advanced books on calculus.
Süreklilik
Sağdan ve Soldan Süreklilik
SECTION
SECTION
2.4 CONTINUITY
2.4 CONTINUITY◆
Süreklilik
Sağdan ve Soldan Süreklilik
◆127 127
10 The Intermediate Value Theorem Suppose that f is continuous on the closed
y
y
y
f(b) f(b)
N
f(b) f(b)
y=ƒ
y=ƒ
N
N
y=ƒ
y=ƒ
f(a) f(a)
0
interval 关a, b兴 and let N be any number
between
f 共a兲 and
f 共b兲. Then aşağıdaki
there
Ara değer
teoremi’nin
bir uygulaması,
örnekte olduğu gibi,
denklemlerin
yerlerinin belirlenmesidir.
exists a number c in 共a, b兲 such that
f 共c兲 苷 Nköklerinin
.
y
0a
c b c xb
a
(a) (a)
N
f(a) f(a)
x
0
0a c¡a c¡
c™
Örnek 35
3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 denkleminin 1 ile 2 arasında bir kökü olduğunu
The Intermediate Value Theorem4xstates
that a continuous function takes on every
gösteriniz.
intermediate value between the function
values f 共a兲 and f 共b兲. It is illustrated by
Figure 8. Note that the value N can be taken on once [as in part (a)] or more than once
Çözüm.
c£
b x(b)].
b x
c™ [as c£in part
(b) (b)
Ara değer teoremi, sürekli bir fonksiyonun f (a) ile f (b) arasındaki her
değeri aldığını söyler.
If we
think
we think
of
ofcontinuous
a(ilk
continuous
function
function
as kaç
aasfunction
a function
whose
whose
graph
graph
has has
no hole
no hole
or or
NIf değeri
birakez
grafik)
veya
bir
kez
(ikinci
grafik)
alınabilir.
break,
break,
thenthen
it is iteasy
is easy
to believe
to believe
that that
the Intermediate
the Intermediate
Value
Value
Theorem
Theorem
is true.
is true.
In geoIn geometric
metric
terms
terms
it says
it says
that that
if any
if any
horizontal
horizontal
line line
is given
between
between
y 苷 yN苷isNgiven
y 苷 yf 共a兲
苷 fand
共a兲 and
Ny=N y 苷 yf 共b兲
in Figure
9, then
9, then
the graph
the graph
of f of
can’t
jumpjump
overover
the line.
the line.
It must
It must
intersect
intersect
苷 fas
共b兲inasFigure
f can’t
somewhere.
y 苷 yN苷somewhere.
NMAT
1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
75 / 77
It is Itimportant
is important
that that
the function
the function
in Theorem
10 be
10continuous.
be continuous.
The The
Intermediate
Intermediate
f in fTheorem
Value
Theorem
Theorem
is not
is true
not true
in general
in general
for discontinuous
for discontinuous
functions
functions
(see (see
Exercise
Exercise
32). 32).
x
x Value
f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2 olsun. Verilen denklemin bir çözümünü, diğer
bir deyişle, 1 ile 2 arasında f (c) = 0 olacak şekilde bir c sayısı arıyoruz.
Dolayısıyla, a = 1, b = 2 ve N = 0 alalım.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
76 / 77
Süreklilik
Sağdan ve Soldan Süreklilik
Çözüm (devamı).
f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0
ve
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0
ve böylelikle f (1) < 0 < f (2) elde ederiz. Bu, N = 0 sayısının f (1) ve
f (2) arasında olduğunu verir. f fonksiyonu bir polinom olduğundan her
yerde süreklidir. Dolayısıyla, Ara Değer Teoremi ile 1 ve 2 arasındaki bir c
sasyısı için f (c) = 0 olmalıdır. Bu da verilen denklemin 1 ile 2 arasında bir
kökü olması demektir.
MAT 1009 Matematik I
Didem COŞKAN ÖZALP
77 / 77