Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
Profesor: Vrînceanu Luminita
Disciplina: Matematică
Clasa a X-a G, 3h/săpt.
An şcolar: 2017-2018
Proiectul unităţii de învăţare:
FUNCŢII ŞI ECUAŢII
Nr. ore alocate: 30
CONŢINUTURI
1.
Recapitulare
funcţii
COMPETENŢE
SPECIFICE
1. Trasarea prin puncte a
graficelor unor funcţii.
2. Prelucrarea
informaţiilor ilustrate
prin graficul unei funcţii
în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale
acesteia ( monotonie,
semn, bijectivitate,
inversabilitate,
continuitate,convexitate).
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE
Repetarea noţiunii de funcţie, elementele care definesc o funcţie,
modalităţi de a defini o funcţie, funcţie numerică, egalitatea a două
funcţii, graficul unei funcţii, mulţimea valorilor unei funcţii, imaginea
unei funcţii: f:A  B
( Imf = f(A)= {f(x)/x  A}), imaginea reciprocă a unei mulţimi B’  B
( f—1(B’) = {x  A/ f(x)  B’}) ; intersecţia graficului cu axele de
coordinate, continuitatea unei funcţii, aplicaţii: stabilirea semnului
unei funcţii ( metoda intervalelor), simetrizarea graficului, compararea
funcţiilor, funcţie pară, funcţie impară, funcţie periodică, monotonia
unei funcţii, puncte de extreme ale unei funcţii.
Exerciţii prevăzute în fişe de lucru.
Identificarea unei funcţii, elementele care definesc o funcţie,
modalităţi
de a defini o funcţie, funcţie numerică, egalitatea a două funcţii,
graficul unei funcţii, mulţimea valorilor unei funcţii, imaginea unei
funcţii: f:A  B
( Imf = f(A)= {f(x)/x  A}), imaginea reciprocă a unei mulţimi B’  B
( f—1(B’) = {x  A/ f(x)  B’}) ; intersecţia graficului cu axele de
coordinate, continuitatea unei funcţii, aplicaţii: stabilirea semnului
unei funcţii ( metoda intervalelor), simetrizarea graficului, compararea
funcţiilor, funcţie pară, funcţie impară, funcţie periodică, monotonia
unei funcţii, puncte de extreme ale unei funcţii.
Exerciţii prevăzute în fişe de lucru.
1
RESURSE
EVALUARE
Observarea
sistematică a
elevilor şi
Manual,
aprecierea
culegere
verbală, tema
Fişe de lucru
de lucru în
Metode:
clasă: fişe de
conversaţia,
lucru, raportare
exerciţiul,
prin scriere la
problematizarea,
tablă, analiza
descoperirea,
comparativă a
studiu de caz
rezultatelor,
prin activitatea
verificarea
în grupe.
corectitudinii
Tema pentru
rezolvărilor,
acasă.
aprecierea
răspunsurilor
primite
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
ale funcţiilor.
2.
Funcţii
injective
3.
Funcţii
surjective.
.
1. Trasarea prin puncte a
graficelor unor funcţii.
2. Prelucrarea
informaţiilor ilustrate
prin graficul unei funcţii
în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale
acesteia ( monotonie,
semn, injectivitate,
continuitate,convexitate).
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
1. Trasarea prin puncte a
graficelor unor funcţii.
2. Prelucrarea
informaţiilor ilustrate
prin graficul unei funcţii
în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale
acesteia ( monotonie,
semn, surjectivitate,
Identificarea unei funcţii injective ( “injecţie”); teorema de
caracterizare a injectivităţii; identificarea unei funcţii care nu este
injectivă; monotonie şi injectivitate: o funcţie numerică f: A  R strict
monotonă este injectivă;
Exemple de funcţii:
 care nu sunt/sunt injective, folosind diagramele cu săgeţi.
 Funcţia de gradul I: f: R  R, f(x) = ax+b; a,b  R, a  0, este
injectivă.
 Funcţia de gradul II: f: R  R, f(x) = ax2+bx+c; a,b,c  R,
a  0, nu este injectivă.
Stabilirea injectivităţii unei funcţii numerice.
În final, după explicaţii,demonstraţii, exerciţii, elevul trebuie să reţină,
că o funcţie f: A  B, A,B  R, este injectivă, dacă are loc una din
următoarele afirmaţii echivalente:
 x1 , x2  A, x1  x2  f(x1)  f(x2).
 f(x1) = f(x2), x1, x2  A  x1 = x2 .
  y  B, ecuaţia f(x) = y, are cel mult o soluţie x  A .
 O funcţie numerică este injectivă, dacă orice paralelă dusă la
axa Ox, printr-un punct al codomeniului, taie graficul funcţiei,
în cel mult un punct.
Identificarea unei funcţii surjective ( “surjecţie”); caracterizarea
surjectivităţii; identificarea unei funcţii care nu este surjectivă.
Exemple de funcţii :
 care nu sunt/sunt surjective, date prin diagrame cu săgeţi.
 Funcţia de gradul I: f: R  R, f(x) = ax+b; a,b  R, a  0, este
surjectivă.
 Funcţia de gradul II: f: R  R, f(x) = ax2+bx+c; a,b,c  R, a  0,
nu este surjectivă.
Stabilirea surjectivităţii unei funcţii numerice: metoda grafică, sau se
2
Manual,culegere
.
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
demonstraţia,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul,
activităţi
frontale şi
individuale.
Tema pentru
acasă.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj;
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală,
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Manual,culegere
.
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
demonstraţia,
problematizarea,
descoperirea,
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj;
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Observarea
sistematică a
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
4.
Funcţii
Bijective
Funcţii
inversabile.
continuitate,convexitate).
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
arată că pentru orice y din codomeniu, ecuaţia f(x) = y, are cel mult o
soluţie.
În final, după explicaţii,demonstraţii, exerciţii, elevul trebuie să reţină,
că o funcţie f: A  B, A,B  R, este surjectivă, dacă are loc una din
următoarele afirmaţii echivalente:
  y  B,  x  A, astfel încât f(x) = y.
 pentru orice y B, ecuaţia f(x) = y are cel mult o soluţie x  A.
 Imf = f(A) = B.
 O funcţie numerică este surjectivă, dacă orice paralelă la axa
Ox, dusă printr-un punct al codomeniului, taie graficul funcţiei,
în cel puţin un punct.
1. Trasarea prin puncte a
graficelor unor funcţii.
2. Prelucrarea
informaţiilor ilustrate
prin graficul unei funcţii
în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale
acesteia ( monotonie,
semn, bijectivitate,
continuitate,convexitate).
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
Identificarea unei funcţii bijective ( “bijecţie”); identificarea unei
Manual,culegere
funcţii care nu este bijectivă.
.
Exemple de funcţii :
Metode:
 care nu sunt/sunt bijective, date prin diagrame cu săgeţi.
explicaţia,
 Funcţia de gradui I este bijectivă: exemplu concret.
conversaţia
Stabilirea bijectivităţii unei funcţii numerice.
euristică,
În final, după explicaţii,demonstraţii, exerciţii, elevul trebuie să reţină,
demonstraţia,
că o funcţie f: A  B, A,B  R, este bijectivă, dacă are loc una din
problematizarea,
următoarele afirmaţii echivalente:
descoperirea,
 f este injectivă şi surjectivă.
exerciţiul,
  y  B, ecuaţia ecuaţia f(x) = y are o unică soluţie x  A.
activităţi
 O funcţie numerică este bijectivă, dacă orice paralelă la axa
frontale şi
Ox, dusă printr-un punct al codomeniului, taie graficul funcţiei,
individuale.
într- un singur punct.
Tema pentru
Identificarea inversei unei funcţii bijective, unicitatea inversei;
acasă.
exemple/exerciţii cu funcţii, care sunt/nu sunt iversabile, date prin
3
exerciţiul,
activităţi
frontale şi
individuale.
Tema pentru
acasă.
elevilor şi
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală,
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj;
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală,
aprecierea
răspunsurilor
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
5.
Funcţia
putere cu exponent
natural:
f: R  R,
f(x) = xn, n  2.
Funcţia
radical
f: D  R
f(x)= n x ,n=2,3,
unde D=[0,  ),
pentru n par
şi D=R,pentru n
impar.
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
diagrame cu săgeţi, sau funcţii numerice.
Pentru a construi inversa unei funcţii f: A  B, se aplică următorul
algoritm:
 Se demonstrează că f este bijectivă.
 Se rezolvă ecuaţia f(x) = y, y  B, de necunoscută x şi avem x =
g(y)
 Funcţia g: B  A este inversa funcţiei f.
 Nu contează cum se notează argumentul lui g = f-1; de aceea
vom prefer ape x în locul lui y.
Observaţie: etapa a doua, o parcurgem când construim surjectivitatea;
aici construim inversa!
Exerciţii de determinare a inversei unei funcţii; legătura între graficul
funcţiei directe şi graficul funcţiei inverse.
1. Trasarea prin puncte a
graficelor unor funcţii.
2. Prelucrarea
informaţiilor ilustrate
prin graficul unei funcţii
în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale
acesteia ( monotonie,
semn, bijectivitate,
inversabilitate,
continuitate,convexitate).
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
Identificarea funcţiei putere cu exponent natural: f: R  R, f(x) = xn,
n  N*, proprietăţi/caracterizări ale funcţiei putere cu exponent natural
par/impar: intersecţia cu axele, paritate, simetria graficului,
convexitate, concavitate, puncte remarcabile pe grafic, ordonarea
puterilor pe (0,1) şi (1,  ), monotonie, semnul funcţiei, continuitate,
trasarea graficului.
Exemple/exerciţii: punerea în evidenţă/accentuarea aspectelor
teoretice de mai sus, prin redarea graficelor funcţiilor: x  f(x) = xn, n
=1,2,3,4, realizate prin puncte şi ţinând seama că sunt funcţii continue.
Identificarea funcţiei radical de ordin n, n = 2,3:
Funcţia f: [0,  )  [0,  ), f(x) = x , x  0 se numeşte funcţia radical
de ordin doi, iar funcţia f: R  R, f(x) = 3 x , x  R, se numeşte funcţia
radical de ordin trei; ilustrarea principalelor caracteristici ale funcţiei
radical: de ordin doi/trei : intersecţia cu axele, paritate, simetria
graficului, convexitate, concavitate, puncte remarcabile pe grafic,
monotonia, semnul funcţiei, continuitate, trasarea graficului “prin
4
primite.
Manual,
culegere
Metode:explicaţ
ia, conversaţia
euristică,
exerciţiul,
problematizarea,
descoperirea,
activităţi
frontale şi
individuale.
Tema pentru
acasă.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj.
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală,
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
6.
Funcţia
exponenţială
f:R  ( 0,  ),
f(x) = ax, a>0, a  1
Funcţia
logaritmică
g: ( 0,  )  R,
g(x) = logax,
a>0, a  1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
puncte”;
Exerciţii: trasarea graficelor celor două funcţii şi analizarea
proprietăţilor lor.
Identificarea funcţiei exponenţiale de bază a:
f: R  ( 0,  ), f(x) = ax, a>0, a  1.
Proprietăţi ale funcţiei exponenţiale:
 f(0) = a0 = 1.
 Intersecţia cu axele de coordonate.
 f este continuă.
 trasarea graficului “prin puncte”, mulţimea valorilor.
 lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei
exponenţiale: monotonie, bijectivitate,inversabilitate,semn,
concavitate, convexitate.
 creştere exponenţială.
Exemple, exerciţii.
Identificarea funcţiei logaritmice de bază a: g: ( 0,  )  R, g(x) =
logax, unde, a>0, a  1.
Proprietăţi ale funcţiei logaritmice:
 intersecţia cu axele de coordonate.
 ecuaţia : g(x) = 0.
 reprezentarea grafică “prin puncte”.
 simetrie.
 lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei
logaritmice: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn,
continuitate, concavitate/convexitate.
 creştere logaritmică.
Exerciţii de determinare a domeniilor maxime, de definiţie ale unor
funcţii logaritmice, exerciţii de stabilire a semnului unei funcţii
logaritmice.
5
Manual,
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul, tema
pentru acasă.
.
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală,
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
7.
Funcţii
trigonometrice
directe:
funcţia sinus,
proprietăţi
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Funcţii
trigonometrice
directe:
funcţia cosinus;
proprietăţi.
Identificarea funcţiei sinus f:R  [-1,1], f(x) = sinx; f este funcţie
periodică, de perioadă principală T0 = 2  ;pentru trasarea graficului
funcţiei sinus pe R, se aplică metoda „prin puncte”, pe intervalul:
[0,2  ), precum şi periodicitatea: f(x+2k  ) = f(x),  x  R,  k  Z,
ceea ce înseamnă că graficul îl generăm pe intervalele: [2  ,4  ),
[4  ,6  ),....şi respectiv [-4  , -2  ), [-2  ,0), translând graficul de pe
[0, 2  ), la dreapta şi la stânga, de-a lungul axei Ox.
Proprietăţi (ce vor fi prezentate utilizând graficul) :
 Intersecţia graficului cu axele de coordonate.
 Paritate.
 Simetria graficului
 Monotonie
 Mărginire
 Valori extreme
 Convexitate şi concavitate
 Continuitate
 Rezolvarea ecuaţiei: f(x) = 0
 Semnul funcţiei
 Bijectivitatea
 Restricţii bijective.
Exerciţii de determinare a unor restricţii bijective, a unor restricţii pe
care f este strict crescătoare/descrescătoare.
Identificarea funcţiei cosinus f: R  [-1,1], f(x) = cosx; f este o
funcţie periodică de perioadă principală T0 =2  , de aceea studierea
proprietăţilor funcţiei cosinus, se reduce la un interval de lungime T0,
de exemplu [0, 2  ); graficul se trasează „prin puncte”, cu tabel de
valori, aplicând aceeaşi tehnică, utilizată la trasarea graficului funcţiei
sinus.
Proprietăţi ale funcţiei cosinus, care vor fi prezentate utilizând
graficul:
 Intersecţia graficului, cu axele de coordonate.
6
Manual,
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul, tema
pentru acasă.
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală,
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
Funcţii
trigonometrice
directe:funcţia
tangentă;
proprietăţi.
1. Trasarea prin puncte a
graficelor unor funcţii.
2. Prelucrarea
informaţiilor ilustrate
prin graficul unei funcţii
în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale
acesteia ( monotonie,
semn, bijectivitate,
inversabilitate,
continuitate,convexitate).
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.











Paritate.
Simetria graficului.
Monotonia funcţiei.
Mărginirea, valori extreme.
Convexitate/concavitate.
Continuitate.
Rezolvarea ecuaţiei g(x) = 0.
Semnul funcţiei.
Bijectivitate.
Resticţii bijective
Funcţia inversă
Exerciţii de determinare a unor restricţii bijective, a unor restricţii pe
care f este strict crescătoare/descrescătoare.
Identificarea funcţiei tangentă:
sin x

f: R – {( 2k+1) /k  Z}  R, f(x) = tgx =
, este o funcţie
cos x
2
periodică, de periodică principală T0 =  ; studiul ei se realizează pe
 
un interval de lungimeT0 şi anume : ( - , ).
2 2
Graficul îl trasăm “prin puncte”, utilizând tabelul de valori şi aplicând
aceeaşi tehnică, utilizată la trasarea graficului funcţiei sinus.
Proprietăţi ale funcţiei tangentă, care vor fi prezentate utilizând
graficul:
 Intersecţia graficului, cu axele de coordonate.
 Paritate.
 Simetria graficului.
 Monotonia funcţiei.
 Mărginirea, valori extreme.
 Convexitate/concavitate.
7
Manual,
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul, tema
pentru acasă.
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală,
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
Funcţii
trigonometrice
directe:
funcţia
cotangentă:
proprietăţi.
1. Trasarea prin puncte a
graficelor unor funcţii.
2. Prelucrarea
informaţiilor ilustrate
prin graficul unei funcţii
în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale
acesteia ( monotonie,
semn, bijectivitate,
inversabilitate,
continuitate,convexitate).
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
 Continuitate.
 Rezolvarea ecuaţiei f(x) = 0.
 Semnul funcţiei.
 Bijectivitate.
 Resticţii bijective
 Comportament asimptotic.
Exerciţii de determinare a unor restricţii bijective.
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală,
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Identificarea funcţiei cotangentă:
f: R – { k  /k  Z}  R, f(x) = ctgx =
cos x
, este o funcţie periodică,
sin x
de perioadă principală T0 =  .
Studiul acestei funcţii, se realizează pe un interval de lungime T0, de
exemplu: (0,  ); graficul, îl trasăm pe (0,  ), “prin puncte” şi apoi
ţinând seama de periodicitatea funcţiei: f(x+k  ) = f(x), x  D, k  Z,
unde D este domeniul maxim de definiţie, şi aplicând aceeaşi tehnică
ca la trasarea graficului funcţiei sinus.
Proprietăţi ale funcţiei cotangentă, care vor fi prezentate utilizând
graficul:
 Intersecţia graficului, cu axele de coordonate.
 Paritate.
 Simetria graficului.
 Monotonia funcţiei.
 Mărginirea, valori extreme.
 Convexitate/concavitate.
 Continuitate.
 Rezolvarea ecuaţiei f(x) = 0.
 Semnul funcţiei.
 Bijectivitate.
 Resticţii bijective
 Comportament asimptotic.
Exerciţii de determinare a unor restricţii bijective.
8
Manual,
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul, tema
pentru acasă.
.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
8.
Funcţii
trigonometrice
inverse:
funcţia arcsinus,
proprietăţi.
Funcţii
trigonometrice
inverse: funcţia
arccos,
proprietăţi.
 
, ]  [-1, 1], f(x) = sinx,
2 2
 
funcţie inversabilă; funcţia inversă g: [-1, 1]  [- , ], g(x) =
2 2
arcsinx; graficele lor sunt simetrice, în raport cu prima bisectoare a
axelor de coordonate ( y =x).
Trasarea graficului lui g „prin puncte”
Proprietăţi:
 Intersecţia graficului, cu axele de coordonate.
 Paritate.
 Simetria graficului.
 Monotonia funcţiei.
 Mărginirea, valori extreme.
 Convexitate/concavitate.
 Continuitate.
 Rezolvarea ecuaţiei g(x) = 0.
 Semnul funcţiei.
 Bijectivitate.
 Funcţia inversă
Exerciţii de tipul:
 Determinaţi domeniul maxim de definiţie al funcţiei
1
g: D  R, g(x) = arcsin
.
x 1
 Calculaţi: arcsin( sin10).
Identificarea funcţiei arccosinus. Fie funcţia f: [0,  ]  [-1, 1], f (x) =
cosx, funcţie inversabilă.
Notăm funcţia inversă cu: g: [-1, 1]  [0,  ], g(x) = arccosx.
Cele două grafice, sunt simetrice în raport cu prima bisectoare ( y =x).
Trasăm graficul funcţiei g “prin puncte”.
Proprietăţi :
 Intersecţia graficului, cu axele de coordonate.
Identificarea funcţiei arcsinus. Fie f: [-
1.
2.
3.
4.
5.
6.
9
Manual,
culegere
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul.
Tema pentru
acasă.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică a
elevilor,
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com










Funcţii
trigonometrice
inverse:
funcţia
arctangentă;
proprietăţi.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Paritate.
Simetria graficului.
Monotonia funcţiei.
Mărginirea, valori extreme.
Convexitate/concavitate.
Continuitate.
Rezolvarea ecuaţiei g(x) = 0.
Semnul funcţiei.
Bijectivitate.
Funcţia inversă.

 arcsinx+arccosx = , x  [ -1, 1].
2
Exerciţii de tipul:
 determinaţi domeniul maxim de definiţie D, pentru
funcţia
g: D  R, g(x) = arccos( 2x – 1);
1
1
 calculaţi: arcsin + arccos .
3
3
 
Identificarea funcţiei arctangentă; fie f: ( - , )  R, funcţie
2 2
 
inversabilă. Notăm funcţia inversă cu g: R  ( - , ), g(x) = arctgx;
2 2
trasăm graficul “prin puncte”
Proprietăţi, ale funcţie arctangentă, ce vor fi prezentate utilizând
graficul:
 Intersecţia graficului, cu axele de coordonate.
 Paritate.
 Simetria graficului.
 Monotonia funcţiei.
 Mărginirea, valori extreme.
 Convexitate/concavitate.
10
Manual,
culegere
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul.
Tema pentru
acasă.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică a
elevilor,
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
Funcţii
trigonometrice
inverse:
funcţia
arccotangentă;
proprietăţi
1.
2.
3.
4.
5.
6
 Continuitate.
 Rezolvarea ecuaţiei g(x) = 0.
 Semnul funcţiei.
 Bijectivitate.
 Funcţia inversă.
 Comportament asimptotic.
Rezolvări de exerciţii de tipul:
1
1
Să se compare numerele: arctg , arctg .
3
2
Identificarea funcţiei arccotangentă; fie f: (0,  )  R, f(x) = ctgx,
funcţie inversabilă. Notăm funcţia inversă cu g: R  (0,  ), g(x) =
arcctgx. Graficele lor sunt simetrice în raport cu prima bisectoare. Din
f strict descrescătoare, va rezulta că g este strict descrescătoare.
Graficul funcţiei arccotangentă , îl trasăm “prin puncte”, utilizând
tabelul de valori.

Proprietăţi, ale funcţie arccotangentă, ce vor fi prezentate utilizând
graficul:
 Intersecţia graficului, cu axele de coordonate.
 Paritate.
 Simetria graficului.
 Monotonia funcţiei.
 Mărginirea, valori extreme.
 Convexitate/concavitate.
 Continuitate.
 Rezolvarea ecuaţiei g(x) = 0.
 Semnul funcţiei.
 Bijectivitate.
 Funcţia inversă.

 arctgx+arcctgx = , x  R.
2
11
Manual,
culegere
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul.
Tema pentru
acasă.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică a
elevilor,
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
 Comportament asimptotic
Exerciţii de tipul: să se exprime arcctg3, în funcţie de arcsin, arccos,
arctg.
9. Ecuaţii
iraţionale ce
conţin radicali
de ordin
2 sau 3.
10. Aplicatii
11. Aplicatii
12.
Ecuaţii
iraţionale ce
conţin radicali
de ordin
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
Identificarea unei ecuaţii iraţionale.
Prezentarea metodologiei generale de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale:
 condiţii de existenţă.
 rezolvarea ecuaţiei
 verificarea soluţiilor.
Exerciţii de rezolvare a unor ecuaţii iraţionale simple, care conţin
unul/doi radicali de ordin doi, cu accentuarea condiţiilor de existenţă;
Rezolvarea unei ecuaţii iraţionale, ce conţin radicali de ordin 3.
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
Identificarea unei ecuaţii iraţionale
.
Exerciţii de rezolvare a unor ecuaţii iraţionale simple, care conţin
unul/doi
radicali de ordin doi, cu accentuarea condiţiilor de existenţă;
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
4. Exprimarea în limbaj
Rezolvarea unei ecuaţii iraţionale, ce conţin radicali de ordin 3.
Exerciţii: rezolvări de ecuaţii de ecuaţii iraţionale, ce conţin radicali de
ordin 2 sau 3, eliminând radicalii, fie prin ridicare la putere, fie prin
înmulţirea ambilor membri ai ecuaţiei, cu expresia conjugată a
membrului stâng;
Rezolvări de ecuaţii iraţionale, ce conţin:
12
Manual,
culegere
Metode:explicaţ
ia, conversaţia
euristică,
exerciţiul,
activităţi
frontale şi
individuale.
Tema pentru
acasă.
Manual,
culegere
Fişe de lucru
Metode:
conversaţia,
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj.
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală,
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj.
Tema de lucru
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
2 sau 3.
13. Aplicatii
14. Aplicatii
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
1.
2.
3.
15.
Ecuaţii
Exponenţiale
16. Aplicatii
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza

radicali de ordin 2 sau 3, aplicând „metoda substituţiei”
 un radical, rezolvare prin “izolarea radicalului”.
exerciţiul,
problematizarea,
descoperirea,
studiu de caz
prin activitatea
în grupe.
Tema pentru
acasă.
Exerciţii: rezolvări de ecuaţii de ecuaţii iraţionale, ce conţin radicali de Manual,
ordin 2 sau 3, eliminând radicalii, fie prin ridicare la putere, fie prin
culegere
înmulţirea ambilor membri ai ecuaţiei, cu expresia conjugată a
Fişe de lucru
membrului stâng;
Rezolvări de ecuaţii iraţionale, ce conţin:
 radicali de ordin 2 sau 3, aplicând „metoda substituţiei”
un radical, rezolvare prin “izolarea radicalului”.
Identificarea ecuaţiei exponenţiale: ecuaţie în care necunoscuta x
figurează la exponent; identificarea soluţiei ecuaţiei exponenţiale,
rezolvarea ecuaţiei exponenţiale, ecuaţii exponenţiale echivalente.
Ilustrarea ecuaţiilor exponenţiale, prin câteva tipuri, punând în
evidenţă şi metoda de rezolvare:
Manual,
 Ecuaţii exponenţiale de forma:
culegere
af(x) =ag(x), a>0,a  1( echivalentă cu: f(x) = g(x)).
Metode:
 Ecuaţii exponenţiale de forma:
explicaţia,
af(x) = b, a>0,a  1,( dacă b  0, ecuaţia nu are soluţii; dacă b>0,
conversaţia
ecuaţia are cel puţin o soluţie, de regulă se logaritmează ambii
euristică,
membri de bază a).
problematizarea,
 Ecuaţii exponenţiale de forma:
descoperirea,
f ( x)
2f(x)
f(x)
exerciţiul.
c1a + c2a +c3 = 0, a>0,a  1,( se face substituţia: a =
Tema
pentru
2
t>0 şi se obţine ecuaţia de gradul doi în t: c1 t  c2 t  c3 = 0,
acasă.
13
în clasă, fişe de
lucru, raportare
prin scriere la
tablă, analiza
comparativă a
rezultatelor,
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică a
elevilor,
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
 t i , i = 1,2, au soluţii dacă
cu soluţiile: t1,t2. Ecuaţiile a
ti>0, I = 1,2. În final, reuniunea acestor soluţii, reprezintă
mulţimea de soluţii pentru ecuaţia dată.)
 Ecuaţii exponenţiale de forma:
f ( x)
f ( x)
c1 a  c2 b  c3  0 , a,b>0, a,b  1 , ab = 1. ( este o
ecuaţie exponenţială, în care figurează bazele a,b cu
1
proprietatea că, produsul lor este 1: ab = 1; de aici b = , iar
a
f ( x)
ecua’ia se scrie echivalent:
ca
1
f ( x)

c
a
2
f ( x)
 c3  0. Se notează
a  t >0 şi se obţine, ecuaţia de gradul doi în t:
c t  c t  c  0 , cu soluţiile t1,t2. Se revine la substituţie şi
 t , I =1,2. Reuniunea acestor
se rezolvă ecuaţiile: a
f ( x)
2
1
3
2
f ( x)
i
soluţii este mulţimea de soluţii a ecuaţiei date.).
 Ecuaţii exponenţiale de forma:
f ( x )1
f k ( x )  b g 1( x )  ...  b g l ( x ) ,a,b>0,a,b  1
 .... 
ca
1
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
ca
d
k
1
d
l
.
(Se grupează, într-un membru, termenii, care conţin exponenţiale
de aceeaşi bază a, iar în celălalt membru, termenii care au în
componenţa lor, exponenţiale cu aceeaşi bază b. În fiecare
membru, se dă factor comun exponenţiala de exponent cel mai
mic, ajungându-se la o ecuaţie exponenţială mai simplă de forma:
f ( x)
g ( x)
a =  b ,  R. Soluţiile acestei ecuaţii, sunt soluţiile
ecuaţiei date).
 Ecuaţii exponenţiale de forma:
2 f ( x)
2 f ( x)
f ( x)
c1 a1 + c2 a2 + c3 (a1 a2) = 0, ai >0, ai  1. ( Ecuaţie
14
Manual,
culegere
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul.
Tema pentru
acasă
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
17. Ecuaţii
Exponenţiale
18. Aplicatii
19.
Ecuaţii
logaritmice.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
omogenă : fiecare termen al ecuaţiei în a1 şi a2 , are exponentul
acelaşi:2f(x). Se împart, ambii membri ai ecuaţiei, prin (a1a2)f(x) ,şi
2 f ( x)
f ( x)
a 


a
se obţine: c1  1 
+ c3  1 
+ c2 = 0, care este de tipul al
 
a 
a
2


2
 
treilea. Se poate împărţi ecuaţia prin ( a1a2)f(x), şi se obţine:
f ( x)
f ( x)
a 
a 
c1  a1  + c2  a2  + c3 = 0, care este de tipul patru.)
 2
 1
Ilustrarea fiecărui tip de ecuaţie printr-un exerciţiu semnificativ.
Rezolvări de ecuaţii exponenţiale de tipul celor menţionate în lecţia
precedentă.
Fişe de lucru.
Identificarea ecuaţiei logaritmice ( ecuaţie în care necunoscuta x
figurează în expresii ce apar ca argument ale logaritmilor sau baze ale
acestora), soluţie, rezolvare,ecuaţii logaritmice echivalente.
În rezolvarea ecuaţiilor logaritmice,suntutile formulele:
 log(f(x(g(x))= logf(x)+logg(x),dacă f(x)>0,g(x)>0.
15
Manual,
culegeri.
Metode:
conversaţia,
exerciţiul,
Problematizarea,
descoperirea,
studiu de caz,
prin activitatea
în grupe,
scrierea
soluţiilor la
tablă şi analiza
lor comparativă.
Tema pentru
acasă.
Manual,
culegere
Metode:
explicaţia,
conversaţia
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj.
Fişe de lucru
Observarea
sistematică a
elevilor,
scierea la tablă
a soluţiilor şi
analiza lor
comparativă,
aprecierea
răspunsurilor
primite.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj,
aprecierea
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
20. Aplicatii
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
sau
log(-f(x))+log(-g(x)), dacă f(x)<0,g(x)<0.
log f ( x)  log g ( x), dacă f ( x)  0, g ( x)  0
f ( x) 
=
g ( x ) log(  f ( x))  log(  g ( x)), dacă f ( x)  0, g ( x)  0.
 2 log f ( x), dacă f ( x)  0
 logf2(x) = 
2 log(  f ( x), dacă f ( x)  0.
Ilustrarea ecuaţiilor logaritmice prin câreva tipuri şi precizarea
metodei de rezolvare:
 Ecuaţii logaritmice de forma: logg(x)f(x) = a, a  R. Ecuaţia este
echivalentă cu sistemul f(x)>0, g(x)>0, g(x)  1, f(x) =g(x)a. Se
rezolvă ecuaţia din sistem şi valorile găsite, pentru x, vor fi
soluţii, dacă se verifică f(x)>0, g(x)>0, g(x)  1.
 Ecuaţii logaritmice ce conţin logaritmi în aceeaşi bază:
logg(x)f(x) = logg(x)h(x). Ecuaţia este echivalentă cu sistemul:
f(x)>0,h(x)>0,g(x)>0, g(x)  1, f(x) = h(x). Se rezolvă ecuaţia
f(x) = h(x); dintre valorile găsite vor fi soluţii, ale ecuaţiei date,
numai acelea care verifică şi celelalte condiţii din sistem; dacă
este mai complexă, se pun mai întâi condiţiile de existenţă
asupra logaritmilor pentru ecuaţia dată, iar după utilizarea
proprietăţilor logaritmilor, se aduce ecuaţia la tipul precedent.
 Ecuaţii logaritmice ce conţin logaritmi în baze diferite, Se
impun condiţii de existenţă asupra logaritmilor; se aduc
logaritmii în aceeaşi bază, utilizâd formula: logax = logbxlogab,
a,b>0; a,b  1, apoi se procedează ca la tipul precedent.
 Ecuaaţii exponenţial-logaritmice: pentru a ailustra acestă
categorie de ecuaţii, se vor prezenta câteva probleme.
 Ecuaţii logaritmice cu soluţie unică.
Metodele de rezolvare sunt diverse:
 pentru o ecuaţie de forma:
f(x) = c, c  R, care are o rădăcină x0  R, se apelează la
monotonia
funcţiei f: dacă f este strict monotonă, deci

log
16
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul.
Tema pentru
acasă.
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică a
elevilor,
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
injectivă, atunci soluţia x0 este unică.
 Altă metodă: utilizarea inegalit[ţilor clasice a mediilor:
Cauchy – Buniakovschi – Schwarz, atunci când avem
egalitate în aceste inegalităţi.
 Evidenţierea unei soluţii x0 şi apoi, demonstrăm că,
dacă
x  x0, membrul stâng al ecuaţiei date, este diferit de
membrul drept.
21.
Ecuaţii
Logaritmice
22. Aplicatii
23.
Inecuaţii
Exponenţiale
24. Aplicatii
1.
2.
3.
4.
5.
6
1.
2.
3.
4.
5.
6
Rezolvări de ecuaţii logaritmice de tipul celor prezentate mai sus.
Fişe de lucru.
Identificarea inecuaţiilor exponenţiale.
Pentru rezolvarea inecuaţiilor exponenţiale simple, se aplică
monotonia funcţiei exponenţiale de bază a>0, a  1, f:R  (0,  ), f(x)
= ax.
Două inecuaţii exponenţiale se numesc echivalente, dacă au aceleaşi
mulţimi de soluţii.
Schema de rezolvare a acestor inecuaţii, este următoarea:
g ( x)
h( x)
 g ( x)  h( x) a g ( x )  a h ( x )
 g ( x )  h( x )
a  a


şi 



a 1
 a 1
 0  x 1
 0  a 1
În cazul inecuaţiilor exponenţiale mai complicate f(ax)  0, (  0), f
continuă, unde în membrul stâng figurează şi exponenţiale, pentru
rezolvarea lor se poate aplica următoarea tehnică:
 Se rezolvă ecuaţia f(x) = 0.
 Se realizează tabelul de semn al funcţiei, ţinând seama
17
Manual,
culegeri.
Metode:
conversaţia,
exerciţiul,
Problematizarea,
descoperirea,
Tema pentru
acasă.
Manual,
culegere
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul.
Tema pentru
acasă.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj.
Fişe de lucru
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică a
elevilor,
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
25.
Inecuaţii
Logaritmice
26. Aplicatii
27.
Inecuaţii
exponenţiale
şi
3. Utilizarea de
proprietăţi ale funcţiilor
în trasarea graficelor şi
rezolvarea de ecuaţii.
4. Exprimarea în limbaj
matematic a unor situaţii
concrete şi reprezentarea
prin grafice a unor
funcţii care descriu
situaţii practice.
5. Interpretarea, pe baza
lecturii grafice, a
proprietăţilor algebrice
ale funcţiilor.
1.
2.
3.
4.
de faptul că, această funcţie dacă nu se anulează pe un
interval, atunci are pe acel interval semn constant.
Exerciţii de rezolvare de inecuaţii exponenţiale, prin diferite metode.
Identificarea inecuaţiilor logaritmice.
Inecuaţiile logaritmice simple, reclamă cunoaşterea monotoniei
funcţiei logaritmice de bază a>0, a  1, f: (0,  )  R, f(x) = logax.
Tehnicile de reducere a inecuaţiilor logaritmice, la altele mai simple,
sunt cele prezentate la ecuaţii logaritmice.
Două inecuaţii logaritmice se numesc echivalente, dacă au aceleaşi
mulţimi de soluţii.
Schema de rezolvare, a inecuaţiilor logaritmice simple, este
următoarea:
log f ( x)  0
 f ( x)  1
  a
;

a 1

 a 1
log f ( x)  0
0  f ( x)  1
  a
;

 0  a 1
 0  a 1
log f ( x)  0
0  f ( x)  1
  a
;

a 1

 a 1
log f ( x)  0
 f ( x)  1
  a
.

 0  a 1
0  a  1
În cazul inecuaţiilor logaritmice mai complicate g(x)  0, (  0), g
continuă, unde în membrul stâng figurează logaritmi ce au în argument
necunoscuta x, pentru rezolvarea ei se poate aplica tehnica utilizată la
rezolvarea inecuţiilor exponenţiale.
Exerciţii de rezolvare de inecuaţii logaritmice,prin diferite metode.
Rezolvări de inecuaţii exponenţiale şi logaritmice, de diferite tipuri,
prin metode diferite, prezentate în lecţiile precedente.
Fişe de lucru.
18
Manual,
culegere
Metode:
explicaţia,
conversaţia
euristică,
problematizarea,
descoperirea,
exerciţiul.
Tema pentru
acasă.
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică a
elevilor,
aprecierea
verbală,
chestionarea
orală.
Manual,
culegeri.
Metode:
conversaţia,
Verificarea
temei pentru
acasă prin
sondaj.
Colegiul Silvic "Bucovina"
Calea Bucovinei 56, Câmpulung Moldovenesc, Suceava
Tel/Fax: 0230 314093, 0230 314094, e-mail: csilvic@yahoo.com
logaritmice.
5.
6
28. Aplicatii
29. Aplicatii
30. Funcţii
si ecuaţii/evaluare
sumativă.
1.
2.
3.
4.
5.
6
Evaluare sumativă a unităţii de învăţare.
19
exerciţiul,
Problematizarea,
Tema pentru
acasă.
Fişe de lucru
Observarea
sistematică a
elevilor,
Activitate
individuală
Test de
evaluare
sumativă ( pe
numere)