Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
INTEGRAL
Kelas XII IIS
Semester Genap
Oleh :
Markus Yuniarto, S.Si.
SMA Santa Angela
Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
1
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
INTEGRAL
Standar Kompetensi:
1.
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.
Kompetensi Dasar
1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.
1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar
sederhana.
1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Peserta didik mampu memahami konsep integral tak tentu dan
integral tentu.
2. Peserta didik mampu menghitung integral tak tentu dan integral
tentu dari fungsi aljabar.
3. Peserta didik mampu menggunakan integral untuk menghitung
luas daerah di bawah kurva.
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
2
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
INTEGRAL
Integral adalah antidiferensial atau anti turunan yang merupakan
operasi invers (balikan) dari pendiferensialan. Jika f(x) adalah
turunan dari F(x) terhadap x maka
 f ( x) dx  F ( x)  c dengan c
konstanta sembarang dan f(x) disebut integran. Pada integral tentu
ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk
menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam
kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan
luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar,
menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak
hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain
yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi,
teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang
mempergunakannya.
A. Integral Tak Tentu
Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses penemuan
suatu fungsi asal (F(x)) apabila fungsi turunan atau derivative F’(x) =
f(x) diketahui.
Berikut ini rumus-rumus umum dan sifat-sifat integral tak tentu.
Rumus:
a.
 a dx  ax  c
x n1
 c dengan n≠1
b.  x dx 
n 1
a n1
c.  ax n dx 
x  c , dengan n≠1
n 1
n
Sifat-sifat:
a.
 ( f ( x)  g ( x)) dx   f ( x) dx   g ( x) dx
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
3
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
 a f ( x) dx  a  f (x) dx
c.  dx  x  c
b.
Ex. 1
Tentukan :
a.
b.
 2x
 5x
3
4
8
c.
 3x
d.
 2x
4
dx

 3x 3  6 x 2  7 x  2 dx
dx
x dx
Penyelesaian :
a.
 2x
b.
 5x
c.
 3x
3
4
8
4
dx 
2 4
1
x  c  x4  c
4
2

3 4
7
x  2x3  x 2  2x  c
4
2
8
c   3 c
9x
 3x 3  6 x 2  7 x  2 dx  x 5 
8
8
dx   x  4 dx 
x 3
3
3(3)
3
2
5
5
2
4
d .  2 x x dx   2 x dx  x 2  c  x 2  c
5
5
2
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
4
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Ex. 2
Diketahui f x  = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !
Penyelesaian :
f ( x)   (5 x  3)dx 
f (2)  18 
5 2
x  3x  c
2
5
(2) 2  3.2  c  18
2
 10  6  c  18
 16  c  18
c2
Jadi f ( x) 
5 2
x  3x  2
2
Ex. 3
Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang
dy
melalui titik (3,4) ditentukan
 3x 2  8 x  5 , maka tentukan
dx
persamaan kurva tersebut !
Penyelesaian :
f ( x)   (3x 2  8 x  5)dx  x 3  4 x 2  5 x  c
f (3)  4  33  4.32  5.3  c  4
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
5
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
 27  36  15  c  4
 c  2
Jadi f(x) = x 3  4 x 2  5x  2
LATIHAN SOAL
1. Integralkan !
a.  2 x 5 dx
b.
 5 x dx
c.

d.
e.
f.
g.
h.
i.
4
1
dx
x
 3x  4 x  2 x  5 x  7 dx
 6  2 x  3x  8 x dx
 2 x  3 dx
 x x  6dx
 1  x  xdx
4
3
2
2
3
2
2
x3  5 x 2  4
 x 2 dx
2
1 

j.   x x 
 dx
x x

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
6
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
2. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :
a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10
b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10
1
1
c. f ‘(x) = x 2  2 dan f(1) =
x
3
d. f ‘(x) = x - x dan f(4) = -3
1
e. f ‘(x) = 1 - 2 dan f(4) = 1
x
3. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis
singgung di titik (x,y) pada kurva tersebut didefinisikan 2x – 3.
Tentukan persamaan kurva tersebut !
4. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh
dy
 3x 2  2 x dan kurva itu melalui titik (-3,2). Tentukan
dx
persamaan kurva itu !
5. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh
v(t )  12t 2  6t  1. Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak
yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu
!
6. Diketahui rumus percepatan a(t)= t 2  1 dan kecepatan v(0)=6.
dv
Tentukanlah rumus kecepatan v(t) jika a(t)=
dt
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
7
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
B. Integeral Tentu
Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses perhitungan
luas suatu daerah di bawah kurva yang batas-batas dari daerah
tersebut diketahui. Jika fungsi f terdefinisi pada interval tertutup
b
[a,b] dan f(x) anti derivative dari f(x) maka
 f ( x)dx disebut integral
a
tentu fungsi f dari a ke b yang dirumuskan sebagai berikut.
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
Berikut ini sifat-sifat integral tentu.
Jika diketahui fungsi-fungsi f dan g terdefinisi pada interval [a,b]
maka berlaku sifat-sifat berikut.
1.
b
a
a
b
 f ( x) dx   f ( x) dx
a
2.
 f ( x) dx  0
a
3.
b
b
a
a
 k f ( x) dx  k  f ( x) dx degan k suatu konstanta
b
b


a
a
b

4. ( f ( x)  g ( x)) dx  f ( x) dx  g ( x) dx
5.
a
c
b
c
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x) dx   f ( x) dx
b
6.
 k dx  k (b  a)
a
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
8
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Ada beberapa fungsi yang sulit dicarai integralnya
dengan cara biasa. Untuk mempermudah penghitungan integral
fungsi tersebut dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun
parsial.
1. Integral Substitusi
Kadang-kadang persoalan pokok dalam pengintegralan
adalah fungsi integrannya perlu diubah terlebih dahulu agar
sesuai dengan salah satu bentuk rumus umum di depan.
Salah satu cara mengubahnya dengan substitusi.
a. Integral fungsi yang dapat diubah menjadi bentuk
 f ( x)
n
d f ( x) .
Integral substitusi dipakai apabila integran dapat dibuat
ke bentuk f(u). u’ tanpa ada variable x yang tersisa.
u
n
du 
1 n 1
u  c , dengan u = f(x), n ≠ - 1
n 1
1
 u du  ln u  c
b. Jika g(x) turunan pertama dari f(x) maka berlaku
 ( f ( x)
n
g ( x)) dx   f ( x) n d ( f ( x)) 
1
( f ( x)) n 1  c
n 1
2. Integral Parsial
Integral ini dipakai apabila integran dapat dipisah menjadi dua
fungsi. Fungsi pertama (u) dipilih fungsi yang mempunyai
turunan ke-n adalah nol, sedangkan fungsi kedua (dv) dipilih
fungsi yang dapat diintegralkan. Seperti telah kita ketahui
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
9
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita
integralkan kedua rua, maka akan didapat :
 y ' dx   u ' v dx   uv ' dx   uv ' dx y   u ' v dx  uv   u ' v dx
Rumus integral parsial:  u dv  u . v   v du
Ex. 4.
Tentukan
a.
b.
c.
 10 dx
 2x ( x  2) dx
6
 x dx
Penyelesaian :
a.
 10 dx =  10 x
= 10 .
0
dx
1 0 1
x c
0 1
= 10x + c
b.
 2x ( x  2) dx =  (2x
= 2.
2
 4 x) dx
1 2 1
1 1 1
x  4.
x c
2 1
11
2 3
x  2x2  c
3
1
6
 x dx = 6  x dx = 6 ln x + c
=
c.
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
10
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Ex. 5.
Tentukan persamaan kurva yang memilliki gradient garis singgung
kurva
dy
 5 x  2 dan melalui titik (2,9).
dx
Penyelesaian :
dy
 5x  2
dx

dy = (5x – 2) dx

 dy   (5x  2)dx

y=
5 2
x  2x  c
2
Kurva melalui titik (2,9)
5 2
x  2x  c
2
5
9 = (2) 2  2(2)  c
2
y=


c=3
Jadi persamaan kurva y =
5 2
x  2x  3
2
Ex. 6.
Selesaikan integral berikut.
6x
dx
2
4
a.
 3x
b.
 (2 x  3)
9
c.
 2x
x 2  1 dx
dx
Penyelesaian :
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
11
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Ketiga integral diatas
integral subtitusi.
a.
diselesaikan
menggunakan
6x
dx
2
4
 3x
Misal : u = 3x2+4
 du = 6x dx
Subtitusikan u = 3x2+4 dan du = 6x dxpada bentuk
integralnya.
6x
du
1
dx  
  du
2
4
u
u
 3x
= ln u  c  ln 3x 2  4  c
b.
 (2 x  3)
9
dx
Misal u = 2x-3
1
du
2
du = 2dx  dx =
Subtitusikan u = 2x-3 dan dx =
1
du pada bentuk
2
integralnya.
1
1
1 1
 u . 2 du  2  u du  2 . 10 u
9

c.
 2x
9
10
c
1 10
1
u  c  (2 x  3)10  c
20
20
x 2  1 dx
Misal : u = x2+1  du = 2x dx.
Subtitusikan u = x2+1dan du = 2x dx pada bentuk
integralnya.
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
12
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
 2x
x 2  1 dx   x 2  1. 2 x dx
1
2
  u du   u du

1
1
1
1
2
3

1
u2  c
3
2 2
2
u  c  ( x 2  1) 2  c
3
3
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
13
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
LATIHAN
1. Tentukan nilai integral berikut ini!
a.
 5 dx .....
b.
x
c.
x
x
d.
1
dx  .....
2
5
dx .....
3
dx  .....
2. Tentukan F(x), jika:
a. F’(x) = x3 dan F(3) = 9
b. F’(x) = x + 1 dan F(-1) = 2 ½
3. Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan
menggunakan metode substitusi!
a.  2x  3 5 dx
b.  6 x  4  5 dx
2
c. 
dx
5x  1 4
d.  5 2x  4  3 dx
e.  4x x 2  4  6 dx
f.  12x 2 x 3  5 4 dx
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
14
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
C. Penerapan Integral
1) Penggunaan Integral Tak Tentu
Turunan atau derivative dari y = f(x) ditulis
Secara geometris,
dy
atau y’.
dx
dy
merupakan gradient garis singgung
dx
kurva y = f(x) dititik yang berabsis x. Jadi, kita dapat
menentukan persamaan kurva y = f(x) bila diketahui
gradient (
dy
) garis singgung dan sebuah titik pada kurva
dx
itu.
Ex. 7.
a. Pada tiap titik (x,y) sebuah kurva, berlaku hubungan
dy
= 2x + 3. Jika kurva melalui titik
dx
(1, -3) carilah
persamaan kurva tersebut!
Penyelesaian:
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
15
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
2) Penggunaan Integral Tentu
a) Luas daerah di bawah suatu kurva.
Luas
daerah
yang
y
dibatasi oleh y = f(x), x =
a, x = b, dan sb. X
y = f(x)
dinyatakan sebagai:
b
x=a
x
x=b
L=
 f ( x) dx
a
F ( x)ba  F (b)  F (a)
bila
 f ( x)dx  F ( x)
.
Ex. 8
(1)
y
y=x
x
1
4
Carilah luas daerah yang diarsir!
Penyelesaian:
4
1
1
1
1
1
L   x dx  x 2 ]14  4 2  12  8   7 satuanluas
1
2
2
2
2
2
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
16
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
y
y=3
(2)
(1,0)
x
(5,0)
Hitunglah luas daerah yang diarsir!
Penyelesaian:
5

L = 3 dx  3x]15  3(5)  3(1)  15  3  12 sl
1
(3)
y
y = x2
(2,4)
x
Hitunglah luas daerah yang diarsir!
Penyelesaian:
Mencari batas-batas integrasi:
x = 0 dan x = 2
2
L=
x
0
2
dx 
1 3 2 1 3 1 3 8
x ]0  2  0  sl
3
3
3
3
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
17
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
b) Luas Kurva di Bawah Sumbu X
y
b
x=a
x=b
x
Luas =
 f ( x) dx
a
y = f(x)
y
A1
A3
x
A2
Luas = A1 + A2 + A3
Catatan: Luas kurva dicari satu per satu.
Ex. 9.
(1)
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
parabola y = x2 – 6x dan sumbu X.
y
y = x2 – 6x
(6,0)
x
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
18
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Penyelesaian:
Mencari batas-batas integrasi:
y  x 2  6 x 2
 x – 6x = 0
y0

x(x – 6) = 0
x = 0 atau x = 6
6
L   ( x 2  6 x) dx 
0
1 3
1
x  3x 2 ]06  (0)  ( 6 3  3(6) 2  (72  108)  36sl
3
3
(2) Carilah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 9x
pada sumbu X,
x = – 2 dan x = 4.
Penyelesaian:
y
y = x3 – 9x
A1
-2
0
A3
A2
0
A1   ( x 3  9 x)dx 
2
3
A2   ( x 3  9 x)dx 
0
3
4
x
1 4 9 2 0
x  x ]2  0  (4  18)  14
4
2
1 4 9 2 3 81 81 81
x  x ]0  (  ) 
4
2
4 2
4
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
19
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
1 4 9 2 4
x  x ]3
3
4
2
256
81 81
32 81 49
(
 72)  (  )   

4
4 2
4
4
4
81 49 93
Jadi, luas = A1 + A2 + A3 = 14 +
+
=
satuan luas
4 2
4
4
A 3   (x 3  9x)dx 
c) Luas Daerah Antara Dua Kurva
y
y = f(x)
(a,b)
(c,d)
y = g(x)
x=a
x=c
x
c

Luas = ( g ( x)  f ( x)) dx
a
Ex. 10.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x, y = x, x =
1, dan x = 2.
Penyelesaian:
y = 3x
Daerah yang diarsir
y
merupakan
daerah
y=x
yang dibatasi oleh garis
y = 3x, y= x, x = 1 dan x
= 2.
1
2
x
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
20
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
2
2


1
1
L = (3x  x) dx  2 x dx  x 2 ]12  2 2  12  3 sl
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai integral di bawah ini :
3
a.
 4 x dx
0
1
b.
 6x
2
dx
2
4
c.
12 x
x dx
0
d.
 5  2 x  6 x  dx
e.
1

1  x  x  dx
1
2
1
2
2
2. Tentukan nilai a jika diketahui :
a
a.

x dx  18
0
2a
b.
1
x
1
2
dx 
1
2
2
3. Tentukan a jika
 2 x  a  dx  6
1
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
21
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
4. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan
dengan integral berikut :
4
a.
 3x dx
0
3
b.
x
2
dx
2
 x

3
c.
2
 4 dx
3
dx
3
2
d.
x
2
5. Tentukan nilai integral dari :
3
a.
 2 x  3
5
dx
1
2
b.
 6 x  4
5
dx
2
1
c.
2
 x  1
4
dx
0
3
d.
 2 x  4
5
3
dx
2
6. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
a. y = x pada x = 2 dan x = 6
b. y = 4x – x2 dangan sumbu X
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
22
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
7. Hitungh luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x, x= 3 dan x =
8!
8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – x2 dan
garis y = x!
9. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :
a. y  x 2 dan y  x  2
b. y  9  x 2 dan x  y  3  0
c. y  x 2 dan
y  2x  x2
d . y  2  x 2 dan x  y  0
e. y  x 2 , y  x  6 dan sumbu Y
f. y 
x dan y  x 2
g . y  x 2  4 x  3 dan x  y  1  0
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
23
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
d). Volume Benda putar antara Kurva dan Sumbu
Koordinat
Y
y = f(x
0
X
a
b
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x
= b dan sumbu X yang diputar sejauh 360 mengelilingi
sumbu X adalah : V  
b
y
2
dx
a
Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi
sumbu Y sejauh 360 dan dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y
b
dan kurva itu sendiri maka volumenya :
V    x 2 dy
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
a
24
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Ex. 11.
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva y  x 2 , sumbu X dan garis x = 2 diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360 !
Penyelesaian :
Y
0
2
 
X
2
1 
 32
 32
V  x
dx    x dx    x5      0   
0
0
 5 0
 5
 5
satuan volume.
2
2 2
4
4
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
25
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
e). Volume benda putar antara Dua
y
y = f(x)
y = g(x)
0
a
b
X
Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X
sejauh 360 yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a
dan x = b adalah :
b
V    ( y1  y2 ) dx
2
2
a
dimana
y1  f ( x), y2  g ( x) dan y1  y2
Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi
sumbu Y.
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
26
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Ex.12.
Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
oleh kurva y  x 2 dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh
360 !
Penyelesaian :
V 

2
0



2
1 
64
4
(2 x)  ( x ) dx    4 x  x dx    x3  x5   
5  0 15
3
0
2
2 2
2
2
4
Latihan Soal
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi
sumbu X sejauh 360 !
a. y = x, x = 1 dan x = 10
b. y = x 2 , sumbu X, sumbu Y dan x = 6
c. y = x , sumbu X, sumbu Y dan x = 9
d. y = x 2  1 , x = 0 dan x = 1
e. y = x 3 , sumbu X, x = -3 dan x = 3
2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi
sumbu Y sejauh 360 !
a. y = x dan y = 6
b. y = x dan y = 1
c. y = x 2  1 , y = 0 dan y = 1
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
27
Modul Integral
SMA SANTA ANGELA BANDUNG
3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh dua kurva diputar sejauh 360 mengelilingi
sumbu koordinat yang disebutkan !
a. y = x dan y = x 2 mengelilingi sumbu X
b. y = x 2 dan y 2  x mengelilingi sumbu Y
c.
d.
e.
f.
y = x 2 , y = x , mengelilingi sumbu Y
y = x 2 dan y = x 4 mengelilingi sumbu X
y = x 2 dan y = 6 x  x 2 mengelilingi sumbu X
y = 1  x 2 dan y = 9  x 2 mengelilingi sumbu X
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018
28