Uch karrali integralda o’zgaruvchilarni
almashtirish
Azizbek Mamanazarov
Farg‘ona davlat universiteti,
Matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi,
Farg‘ona, O‘zbekiston
Farg‘ona, 2020
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
Asosiy tushunchalar
Aytaylik V ⊂ R 3 sohada f (x, y , z) funksiya berilgan bo’lib,
integrallanuvchi bo’lsin:
Z Z Z
f (x, y , z) dxdydz.
(1)
υ
To’g’ri burchakli Oxyz koordinatasidagi yopiq sohani Oξηζ
koordinatalar sistemasidagi yopiq ∆ sohaga akslantirish ushbu

x = x(ξ, η, ζ)

y = y (ξ, η, ζ)
(2)


z = z(ξ, η, ζ)
formulalar yordamida o’zaro bir qiymatli amalga oshirilsin. V
soha S sirt bilan, ∆ soha yig’indi sirt bilan chegaralangan
bo’lsin.
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
(2) moslik natijasida yig’indi sirtning nuqtalari S nuqtalariga
mos kelsin va aksincha. (2) funksiyalar uzluksiz birinchi
tartibgacha xususiy hosilalarga ega bo’lsin, u holda
J(ξ, η, ζ) =
D(x, y , z)
=
D(ξ, η, ζ)
∂
∂ξ
∂
∂ξ
∂z
∂ξ
∂
∂η
∂
∂η
∂z
∂η
∂
∂ζ
∂
6= 0
∂ζ
∂z
∂ζ
bo’ladi. Oxyz fazoda t(x, y , z) nuqta holatini bir qiymatli
ifodalovchi (ξ, η, ζ) sonlar bu nuqtaning egri chiziqli
koordinatalari deyiladi.
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
(3)
Uch karrali integralning egri chiziqli koordinatadagi ifodasi
Z Z Z
f (x, y , z)dxdydz =
V
Z Z Z
f (x(ξ, η, ζ), y (ξ, η, ζ), z(ξ, η, ζ)) |J(ξ, η, ζ) |dξdηdζ
=
∆
(4)
ko’rinishga ega bo’ladi. Sferik koordinatalar ularni ba’zan
fazodagi qutb koordinatalari deb ataydilar:

x = r sin φ cos θ
0 < r < +∞

y = r sin φ sin θ
0≤φ≤π


0
≤ θ ≤ 2π
z = r cos φ
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
(5)
Koordinata sirtlari uchta oilani tashkil qiladi:
a) r = const - markazi koordinata boshida bo’lgan konsentrik
sferalar;
b) ϕ = const - o’qi z o’qidan iborat doiraviy konuslar;
v) θ = const - z o’qidan o’tuvchi yarim tekisliklar.
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
Sferik koordinatalarda uch karrali integral
sin φ cos θ
r cos φ cos θ
− r sin φ sin θ
sin φ sin θ
r cos φ sin θ
r sin φ cos θ
J=
= r 2 sin φ
cos φ
− r sin φ
0
Z Z Z
f (x, y , z)dxdydz =
υ
Z Z Z
=
f (r sin φ cos θ, r sin φ, sin θ, r cos φ)r 2 sin φ dr dφ dθ
∆
(6)
uch karrali integralning sferik koordinatalardagi ifodasi.
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
Silindrik koordinatalar - Oxy tekisligidagi qutb koordinatlar
bilan odatdagi Dekart aplikatasining birgalikda olinishi.

x = ρ cos θ
0 < ρ < +∞

y = ρ sin θ
0 ≤ θ ≤ 2π
(7)


−∞ < z < +∞
z=z
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
Koordinata sirtlari
a) ρ = const - yasovchilari Oz o’qiga parallel silindrik sirtlar,
yo’naltiruvchilari O (0, 0) markazli aylana;
b)θ = const - Oz o’qidan o’tuvchi yarim tekisliklar;
c) z = const - Oxy tekisligiga parallel tekisliklar.
Silindrik koordinatalarda uch karrali integral:
Z Z Z
f (x, y , z)dxdydz =
V
Z Z Z
f (ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dφ
=
∆
cos θ − ρ sin θ
J=
sin θ
ρ cos θ
0
Azizbek Mamanazarov
0
0
0 = ρ.
1
Uch karrali integral
(8)
f (x, y , z) = 1 bo’lganda
Z Z Z
f (x, y , z)dxdy dz
(9)
V
integral V soha hajmini ifodalaydi.
Dekart koordinatalar sistemasida hajmni hisoblash formulasi:
ZZZ
V =
dxdydz.
(10)
V
Sferik koordinatalar sistemasida hajmni hisoblash formulasi:
Z Z Z
V =
r 2 sin φ dr dθ dφ.
(11)
υ
Slindrik koordinatalar sistemasida hajmni hisoblash formulasi:
Z Z Z
V =
ρ dρ dθ dz.
(12)
υ
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
Agar V sohada modda massasi f (x, y , z) zichlik bilan
taqsimlangan bo’lsa, u holda jism massasi
Z Z Z
M=
f (x, y , z)dxdydz
(13)
υ
formula bo’yicha topiladi.
Koordinata teksliklariga nisbatan statik momentlar:
Z Z Z
Kyz =
Z Z Z
xf (x, y , z)dV , Kzx =
υ
yf (x, y , z)dV ,
υ
Z Z Z
Kxy =
zf (x, y , z)dV .
υ
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
Jism og’irlik markazining koordinatalari:
1
ξ=
M
Z Z Z
1
fdV , η =
M
Z Z Z
υ
1
yfdV , ζ =
M
Z Z Z
υ
z fdV .
υ
Koordinata o’qlariga nisbatan inersiya momentlari:
Ix =
Z Z Z 2
y +z
2
fdV ,Iy =
υ
Z Z Z x 2 + z 2 fdV ,
υ
Iz =
Z Z Z x 2 + y 2 fdV .
υ
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral
Koordinata tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari ushbu
Z Z Z
Iyz =
x 2 fdV ,
υ
Z Z Z
Ixz =
y 2 fdV ,
υ
Z Z Z
Ixy =
z 2 fdV
υ
formulalar yordamida hisoblanadi.
Azizbek Mamanazarov
Uch karrali integral