MEC para el Problema de Potencial Esther Puertas Rafael Gallego Universidad de Granada Curso 2021-2022 EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Definición del problema n W G EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Planteamiento Integral Primera Identidad de Green (PTV – MEF) EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Planteamiento Integral Primera Identidad de Green (PTV – MEF) ¿PDV vs PFV? EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Planteamiento Integral ¿son iguales? EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Planteamiento Integral k es simétrica EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Planteamiento Integral Si los miembros de la izquierda son iguales, también lo son los de la derecha EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Planteamiento Integral Segunda Identidad de Green (Teorema de Reciprocidad – MEC) EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Solución Fundamental W x z G Solución Fundamental n EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Solución Fundamental W W∞ x z G Solución Fundamental n EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Solución Fundamental EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Representación integral del problema de potencial EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Representación integral del problema de potencial EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ECUACIONES INTEGRALES Representación integral del problema de potencial Figura: Dominguez, J. Boundary Element in dynamics. 1993. EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA • Aproximación de la geometría • Interpolación de las variables • Colocación de las ecuaciones EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Nodos geométricos EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Aproximación de la geometría EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Aproximación de la geometría EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Aproximación de la geometría Coordenadas naturales EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Aproximación de la geometría Coordenadas naturales EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Aproximación de la geometría Coordenadas naturales EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Interpolación de las variables: elementos constantes Nodos de interpolación uj Nodo Figura: Katsikadelis, J.T.. The Boundary Element Method fonr Engineers and Scientist. 2016. Elemento Gj EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Interpolación de las variables: elementos constantes Nodos de interpolación uj Nodo Figura: Katsikadelis, J.T.. The Boundary Element Method fonr Engineers and Scientist. 2016. Elemento Gj EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Interpolación de las variables EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Interpolación de las variables EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Interpolación de las variables EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Interpolación de las variables EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Colocación en la ecuación integral Nodos de colocación uj Nodo Figura: Katsikadelis, J.T.. The Boundary Element Method fonr Engineers and Scientist. 2016. Elemento Gj EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Colocación en la ecuación integral EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Colocación en la ecuación integral EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Colocación en la ecuación integral EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Colocación en la ecuación integral EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Colocación en la ecuación integral E incógnitas E ecuaciones EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Colocación en la ecuación integral E incógnitas E ecuaciones EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Aplicación de las Condiciones de Contorno Normalización EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Aplicación de las Condiciones de Contorno Normalización EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Cálculo de los coeficientes de influencia Caso regular EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Cálculo de los coeficientes de influencia Caso regular Cuadratura de Gauss EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Cálculo de los coeficientes de influencia Caso singular EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Cálculo de los coeficientes de influencia Caso singular Integración analítica EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Cálculo de los coeficientes de influencia Caso singular Integración analítica EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Post-proceso Potencial en Puntos Internos EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Post-proceso Potencial en Puntos Internos Técnicas de regularización si existe cuasi-singularidad EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Post-proceso Gradiente en Puntos Internos EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Post-proceso Gradiente en Puntos Internos Podría calcularse numéricamente, pero perdemos precisión EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Post-proceso Ecuación Integral del Gradiente EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Post-proceso Ecuación Integral del Gradiente EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Post-proceso Ecuación Integral del Gradiente EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Post-proceso Ecuación Integral del Gradiente EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Post-proceso Ecuación Integral del Gradiente Empleamos la discretización del contorno y la aproximación de variables EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Pseudocódigo del MEC con elementos constantes EL PROBLEMA DE POTENCIAL: RESOLUCIÓN NUMÉRICA Características del MEC • Se aproximan las variables SÓLO en el contorno • La solución en el interior es exacta • El potencial y el flujo son variables independientes • El cálculo de los coeficientes de H y G es crítico: precisión y tiempo de cálculo • La matriz A del sistema es llena, no simétrica, no definida positiva pero muy bien condicionada EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ELEMENTOS DE ORDEN SUPERIOR Interpolación de las variables: Elementos lineales Figura: Katsikadelis, J.T.. The Boundary Element Method fonr Engineers and Scientist. 2016. EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ELEMENTOS DE ORDEN SUPERIOR Interpolación de las variables: Elementos cuadráticos Figura: Katsikadelis, J.T.. The Boundary Element Method fonr Engineers and Scientist. 2016. EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ELEMENTOS DE ORDEN SUPERIOR Interpolación de las variables: Elementos de orden superior EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ELEMENTOS DE ORDEN SUPERIOR Método general para la obtención de Funciones de Forma Base cualquiera: Interpolación: Interpolación en términos de funciones de forma: siendo: EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ELEMENTOS DE ORDEN SUPERIOR Método general para la obtención de Funciones de Forma Interpolación: Evaluamos en los puntos de interpolación: EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ELEMENTOS ESPECIALES Colocación no estándar EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ELEMENTOS ESPECIALES Interpolación no estándar EL PROBLEMA DE POTENCIAL: ELEMENTOS ESPECIALES El problema de la esquina Solución mediante el cálculo del gradiente por derivación Solución empleando elementos semi-discontinuos Solución empleando elementos con colocación no estándar PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Características del programa Problema de potencial de Laplace Material isótropo y homogéneo Elementos cuadráticos Cuadratura de Gauss PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Limitaciones Pueden alterarse editando el fichero f95 PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Fichero de datos Título (120 caracteres) ! Para comentarios PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Fichero de datos Título (120 caracteres) Propiedades físicas del medio ! Para comentarios PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Fichero de datos Contornos: Geometría Página 6 del manual PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Fichero de datos Contornos: Geometría PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Fichero de datos Contornos: Condiciones de Contorno PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Fichero de datos Contornos: Condiciones de Contorno Notación Polaca Inversa: Página 19 del manual PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Fichero de datos Puntos Internos PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Salida de resultados PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Salida de resultados PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Ejemplo 1 • Comprobar la entrada de datos del ejemplo del manual • Ejecutar el programa • Comprobar los resultados PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Ejemplo 2. Problema de potencial de Laplace. Puntos internos Solución exacta Figura: Katsikadelis, J.T.. The Boundary Element Method fonr Engineers and Scientist. 2016. ¿Cuántos elementos son necesarios para obtener la solución exacta? PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Ejemplo 3. Torsión de Saint-Venant. Figura: Katsikadelis, J.T.. The Boundary Element Method fonr Engineers and Scientist. 2016. PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Ejemplo 3. Torsión de Saint-Venant. Punto u 1 -0.44409E-15 3 -0.73517E+00 13 -0.88818E-15 Puntos internos Solución exacta Figura: Katsikadelis, J.T.. The Boundary Element Method fonr Engineers and Scientist. 2016. ¿Cuántos elementos son necesarios para obtener la solución exacta? PECAPOT2D: PROGRAMA MEC Ejemplo 4. Problema de Neumann. Punto u 1 6.2500 3 -0.1250 13 0.0000 Puntos internos Solución exacta Figura: Katsikadelis, J.T.. The Boundary Element Method fonr Engineers and Scientist. 2016. ¿Cuántos elementos son necesarios para obtener la solución exacta?
