KHOA TOÁN KINH TẾ BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN Bài giảng TOÁN CHO CÁC NHÀ KINH TẾ Chương 1: HÀM SỐ, ĐỒ THỊ VÀ GIỚI HẠN Bài 3: Các mô hình hàm số Mục tiêu học tập Nghiên cứu phương pháp lập mô hình tổng quát Khám phá các mô hình ứng dụng Trạng thái cân bằng thị trường và phân tích hòa vốn trong kinh tế học 2 1. Quy trình lập mô hình toán học 3 Ví dụ: Tìm lợi nhuận tối đa Một nhà máy có thể sản xuất giấy in với chi phí $2 mỗi ream giấy. Giá bán hiện tại là $5 mỗi ream giấy, và với mức giá đó thì người tiêu dùng mua 4,000 reams giấy mỗi tháng. Nhà sản xuất dự định nâng mức giá bán lên và ước tính rằng với mỗi lần tăng giá thêm $1 thì số giấy bán được mỗi tháng sẽ giảm đi 400 reams. Tìm mức giá để nhà máy thu lợi nhuận tối đa, lợi nhuận tối đa bằng bao nhiêu? 4 Ví dụ: Lập mô hình chi phí xây dựng Armando muốn làm một bể chứa nước hình trụ kín có sức chứa là 11,000 feet khối cho trang trại của anh ấy. Chi phí cho vật liệu sử dụng làm nắp bể là $3 mỗi foot vuông, chi phí cho vật liệu sử dụng làm đáy bể và thành bể là $5 mỗi foot vuông. Hãy biểu diễn tổng chi phí xây dựng bể nước của Armando như một hàm của bán kính bể nước. 5 Ví dụ: Lập mô hình với hàm xác định từng khúc Trong khoảng thời gian xảy ra hạn hán, người dân ở quận Marin, California phải đối mặt với sự thiếu hụt nước trầm trọng. Để ngăn việc sử dụng lãng phí nguồn nước, chính quyền nơi đây đã áp dụng cách tính giá nước như sau: giá nước hàng tháng đối với một gia đình bốn người là $1.22 mỗi trăm feet khối cho 1,200 feet khối đầu tiên, $10 mỗi trăm feet khối cho 1,200 feet khối tiếp theo và $50 mỗi trăm feet khối cho các feet khối sau đó. Hãy biểu diễn hóa đơn tiền nước hàng tháng đối với một gia đình bốn người dưới dạng một hàm 6 2. Tỷ lệ Các mối quan hệ tỷ lệ là yếu tố quan trọng, thường được xét đến khi lập các mô hình toán học từ bài toán thực tế, bao gồm: Đại lượng 𝑄 gọi là tỉ lệ thuận với 𝑥 nếu: 𝑄 = 𝑘. 𝑥, 𝑘 là hằng số Đại lượng 𝑄 gọi là tỉ lệ nghịch với 𝑥 nếu: 𝑄 = 𝑘 , 𝑥 𝑘 là hằng số Đại lượng 𝑄 gọi là tỉ lệ đồng thời với 𝑥 nếu: 𝑄 = 𝑘. 𝑥𝑦, 𝑘 là hằng số 7 Ví dụ: Lập mô hình có các đại lượng tỉ lệ Khi các nhân tố môi trường giới hạn một cận trên lên quy mô dân số, dân số tăng với tốc độ tỷ lệ đồng thời với quy mô dân số hiện tại và độ chênh lệch giữa quy mô dân số hiện tại và cận trên của nó. Biểu diễn tốc độ tăng dân số dưới dạng một hàm của quy mô dân số. 8 3. Cân bằng thị trường Quy luật cung-cầu: Trong một thị trường cạnh tranh, cung thường có xu hướng bằng cầu, nghĩa là 𝑆 𝑥 = 𝐷 𝑥 , được gọi là trạng thái cân bằng. 9 Ví dụ: Lập mô hình cân bằng thị trường Cho hàm cung và cầu đối với một loại hàng hóa là: 𝑝 = 𝑆 𝑥 = 𝑥 2 + 14, 𝑝 = 𝐷 𝑥 = 174 − 6𝑥 a) Tìm mức sản xuất 𝑥 và giá 𝑝 khi thị trường đạt trạng thái cân bằng b) Phác họa đường cung 𝑝 = 𝑆(𝑥) và đường cầu 𝑝 = 𝐷(𝑥) trên cùng một hệ trục tọa độ và giải thích về trạng thái cân bằng 10 3. Phân tích hòa vốn Giả sử 𝐶(𝑥) và 𝑅(𝑥) lần lượt là tổng chi phí và tổng doanh thu tại mức sản xuất 𝑥 đơn vị hàng hóa Định nghĩa: Điểm mà tại đó hai đường cong y = 𝐶(𝑥) và 𝑦 = 𝑅(𝑥) giao nhau được gọi là điểm hòa vốn. 11 Ví dụ: Phân tích hòa vốn Cửa hàng nội thất của Emory bán được 𝑥 chiếc ghế tựa với giá bán là 𝑝 = 1,500 − 3𝑥 đô la mỗi chiếc ghế. Tổng chi phí sản xuất bao gồm chi phí cố định $66,500 và $20 đô la cho mỗi chiếc ghế được sản xuất, với công suất tối đa là 300 chiếc ghế. a) Emory sẽ phải bán bao nhiêu chiếc ghế để hòa vốn? Khi đó giá mỗi chiếc ghế là bao nhiêu? b) Nếu Emory bán được 35 chiếc ghế thì Emory có lãi hay thua lỗ, mức cụ thể là bao nhiêu? c) Để thu được lợi nhuận $120,000, Emory cần phải bán được bao nhiêu chiếc ghế? 12 Ví dụ: Phân tích so sánh chi phí Một đại lý cho thuê xe với mức phí cố định $25 cộng thêm 60 cent cho mỗi mile. Một đại lý khác thu mức phí $30 cộng thêm 50 cent cho mỗi mile. Hợp đồng thuê xe với đại lý nào sẽ lợi hơn cho khách hàng? 13 Bài tập thảo luận: Sản lượng nông nghiệp Belinda, một nông dân trồng cam ở Florida, ước tính rằng nếu trồng được 60 cây cam thì sản lượng trung bình mỗi cây là 400 quả. Sản lượng trung bình sẽ giảm đi 4 quả mỗi cây với mỗi một cây được trồng thêm vào cùng mảnh đất đó. Biểu diễn tổng sản lượng của Belinda dưới dạng một hàm của số cây được trồng thêm vào, vẽ đồ thị hàm số và ước tính tổng số cây mà Belinda nên trồng để thu 14 Bài tập thảo luận: Phân tích hòa vốn Julia bán một loại sản phẩm với giá $110 mỗi đơn vị. Tổng chi phí bao gồm chi phí cố định $7,500 cộng với chi phí sản xuất là $60 mỗi đơn vị. a. Biểu diễn tổng doanh thu, tổng lợi nhuận và tổng chi phí của Julia theo số đơn vị bán được 𝑥. Phác họa đồ thị hàm tổng chi phí và hàm tổng doanh thu trên cùng một hệ trục tọa độ. b. Julia cần phải bán bao nhiêu đơn vị để hòa vốn? c. Lợi nhuận hoặc thua lỗ của Jullia là bao nhiêu nếu cô ấy bán được 100 đơn vị? d. Julia cần phải bán bao nhiêu đơn vị để thu được lợi nhuận $1,250? 15 THANK YOU! 16