KHOA TOÁN KINH TẾ
BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN
Bài giảng
TOÁN CHO CÁC NHÀ KINH TẾ
Chương 1: HÀM SỐ, ĐỒ THỊ VÀ GIỚI HẠN
Bài 3: Các mô hình hàm số
Mục tiêu học tập
 Nghiên cứu phương pháp lập mô hình tổng quát
 Khám phá các mô hình ứng dụng
 Trạng thái cân bằng thị trường và phân tích hòa vốn trong kinh tế học
2
1. Quy trình lập mô hình toán học
3
Ví dụ: Tìm lợi nhuận tối đa
Một nhà máy có thể sản xuất
giấy in với chi phí $2 mỗi ream
giấy. Giá bán hiện tại là $5 mỗi
ream giấy, và với mức giá đó
thì người tiêu dùng mua 4,000
reams giấy mỗi tháng. Nhà sản
xuất dự định nâng mức giá bán
lên và ước tính rằng với mỗi
lần tăng giá thêm $1 thì số giấy
bán được mỗi tháng sẽ giảm đi
400 reams.
Tìm mức giá để nhà máy thu
lợi nhuận tối đa, lợi nhuận tối
đa bằng bao nhiêu?
4
Ví dụ: Lập mô hình chi phí xây dựng
Armando muốn làm một bể
chứa nước hình trụ kín có sức
chứa là 11,000 feet khối cho
trang trại của anh ấy. Chi phí
cho vật liệu sử dụng làm nắp
bể là $3 mỗi foot
vuông, chi phí cho vật liệu sử
dụng làm đáy bể và thành bể là
$5 mỗi foot vuông.
Hãy biểu diễn tổng chi phí
xây dựng bể nước của
Armando như một hàm của bán
kính bể nước.
5
Ví dụ: Lập mô hình với hàm xác định từng khúc
Trong khoảng thời gian xảy ra
hạn hán, người dân ở quận Marin,
California phải đối mặt với sự thiếu
hụt nước trầm trọng. Để ngăn việc
sử dụng lãng phí nguồn nước,
chính quyền nơi đây đã áp dụng
cách tính giá nước như sau: giá
nước hàng tháng đối với một gia
đình bốn người là $1.22 mỗi trăm
feet khối cho 1,200 feet khối đầu
tiên, $10 mỗi trăm feet khối cho
1,200 feet khối tiếp theo và $50 mỗi
trăm feet khối cho các feet khối sau
đó.
Hãy biểu diễn hóa đơn tiền
nước hàng tháng đối với một gia
đình bốn người dưới dạng một hàm
6
2. Tỷ lệ
Các mối quan hệ tỷ lệ là yếu tố quan trọng, thường được xét đến khi
lập các mô hình toán học từ bài toán thực tế, bao gồm:
 Đại lượng 𝑄 gọi là tỉ lệ thuận với 𝑥 nếu: 𝑄 = 𝑘. 𝑥, 𝑘 là hằng số
 Đại lượng 𝑄 gọi là tỉ lệ nghịch với 𝑥 nếu: 𝑄 =
𝑘
,
𝑥
𝑘 là hằng số
 Đại lượng 𝑄 gọi là tỉ lệ đồng thời với 𝑥 nếu: 𝑄 = 𝑘. 𝑥𝑦, 𝑘 là hằng số
7
Ví dụ: Lập mô hình có các đại lượng tỉ lệ
Khi các nhân tố môi trường
giới hạn một cận trên lên quy
mô dân số, dân số tăng với tốc
độ tỷ lệ đồng thời với quy mô
dân số hiện tại và độ chênh
lệch giữa quy mô dân số hiện
tại và cận trên của nó.
Biểu diễn tốc độ tăng dân số
dưới dạng một hàm của quy
mô dân số.
8
3. Cân bằng thị trường
Quy luật cung-cầu:
Trong một thị trường cạnh tranh, cung thường có xu hướng bằng cầu,
nghĩa là 𝑆 𝑥 = 𝐷 𝑥 , được gọi là trạng thái cân bằng.
9
Ví dụ: Lập mô hình cân bằng thị trường
Cho hàm cung và cầu đối
với một loại hàng hóa là:
𝑝 = 𝑆 𝑥 = 𝑥 2 + 14,
𝑝 = 𝐷 𝑥 = 174 − 6𝑥
a) Tìm mức sản xuất 𝑥 và giá 𝑝
khi thị trường đạt trạng thái
cân bằng
b) Phác họa đường cung 𝑝 =
𝑆(𝑥) và đường cầu 𝑝 = 𝐷(𝑥)
trên cùng một hệ trục tọa độ
và giải thích về trạng thái
cân bằng
10
3. Phân tích hòa vốn
Giả sử 𝐶(𝑥) và 𝑅(𝑥) lần lượt là
tổng chi phí và tổng doanh thu tại
mức sản xuất 𝑥 đơn vị hàng hóa
Định nghĩa:
Điểm mà tại đó hai đường cong
y = 𝐶(𝑥) và 𝑦 = 𝑅(𝑥) giao nhau
được gọi là điểm hòa vốn.
11
Ví dụ: Phân tích hòa vốn
Cửa hàng nội thất của Emory bán
được 𝑥 chiếc ghế tựa với giá bán là
𝑝 = 1,500 − 3𝑥 đô la mỗi chiếc ghế.
Tổng chi phí sản xuất bao gồm chi
phí cố định $66,500 và $20 đô la
cho mỗi chiếc ghế được sản xuất,
với công suất tối đa là 300 chiếc
ghế.
a) Emory sẽ phải bán bao nhiêu
chiếc ghế để hòa vốn? Khi đó
giá mỗi chiếc ghế là bao nhiêu?
b) Nếu Emory bán được 35 chiếc
ghế thì Emory có lãi hay thua lỗ,
mức cụ thể là bao nhiêu?
c) Để thu được lợi nhuận
$120,000, Emory cần phải bán
được bao nhiêu chiếc ghế?
12
Ví dụ: Phân tích so sánh chi phí
Một đại lý cho thuê xe với
mức phí cố định $25 cộng thêm
60 cent cho mỗi mile. Một đại lý
khác thu mức phí $30 cộng
thêm 50 cent cho mỗi mile.
Hợp đồng thuê xe với đại lý
nào sẽ lợi hơn cho khách
hàng?
13
Bài tập thảo luận: Sản lượng nông nghiệp
Belinda, một nông dân trồng
cam ở Florida, ước tính rằng
nếu trồng được 60 cây cam thì
sản lượng trung bình mỗi cây là
400 quả. Sản lượng trung bình
sẽ giảm đi 4 quả mỗi cây với
mỗi một cây được trồng thêm
vào cùng mảnh đất đó.
Biểu diễn tổng sản lượng
của
Belinda dưới dạng một hàm
của số cây được trồng thêm
vào, vẽ đồ thị hàm số và ước
tính tổng số cây
mà Belinda nên trồng để thu
14
Bài tập thảo luận: Phân tích hòa vốn
Julia bán một loại sản phẩm với
giá $110 mỗi đơn vị. Tổng chi phí
bao gồm chi phí cố định $7,500
cộng với chi phí sản xuất là $60 mỗi
đơn vị.
a. Biểu diễn tổng doanh thu, tổng
lợi nhuận và tổng chi phí của Julia
theo số đơn vị bán được 𝑥. Phác
họa đồ thị hàm tổng chi phí và hàm
tổng doanh
thu trên cùng một hệ trục tọa độ.
b. Julia cần phải bán bao nhiêu đơn
vị để hòa vốn?
c. Lợi nhuận hoặc thua lỗ của Jullia
là bao nhiêu nếu cô ấy bán được
100 đơn vị?
d. Julia cần phải bán bao nhiêu đơn
vị để thu được lợi nhuận $1,250?
15
THANK YOU!
16