연속 시간의 차익거래 이론
세 번째 버전
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차익거래 이론
연속 시간
세 번째 에디션
토마스 보르크
스톡홀름 경제 대학
1
3
그레이트 클레렌던 스트리트, 옥스포드
옥스포드2
6DP
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옥스포드 대학 출판부, 뉴욕
⃝c Tomas Bj¨ork 2009
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데이터
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데이터
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쇄
의 무산성 용지, 세인트
아이브스(St Ives plc)
ISBN 978-0-19-957474-2
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
아그네타, 카즈사, 스테판에게
3판 서문
3판은 다음과 같은 주제에 대한 챕터를 추가했다는 점에서 2판과 다릅니다.
- 최적 투자 문제에 대한 마틴 게일 접근법. 미국 옵션에 적용한 최
적 손절 이론.
- 포지티브 이자 모델과 잠재력 이론 및 스토캐스틱 할인 요인과의 연관성.
이 외에도 3장에서 차익거래에 대한 이전 정의를 표준 정의로 변경했습니다. 이
렇게 하면 수학이 약간 더 복잡해지지만, 마틴게일 측정값이 단순히 절대 연속
적인 것이 아니라 객관적인 측정값과 동등해진다는 이점이 있습니다.
두 번째 판에서 많은 오타를 수정했습니다. 아마도 여전히 오타가 남아있을
가능성이 있습니다. 이런 오타를 발견하시면 이메일 < tomas.bjork@hhs.se > 로
알려주시면 대단히 감사하겠습니다. "http://www.hhs.se/Finance"에서 클릭할 수
있는 홈페이지에 업데이트된 오타 목록을 유지하도록 노력하겠습니다.
특히 Axel Andre, Damir Filipovic, Karunarathna Panagamuwa Gamage,
Chih Ying Hsiao, Martin Groth, Gunther Hahn, Lane Hughston의 매우 유용한
의견에 깊은 감사를 표합니다, Edward Kao, 누우티 쿠오사, 코이치 마에카와, 악
셀 뫼스, 크리스티나 니키토풀로스 클리보시오스, 트리그브 닐센, 라그나 노르베
리, 사비르 라만, 월터 샤처마이어, 요셉 테이크만, 우보 비에르세마, 민 정.
수년 동안 저는 매그너스 블릭스, 미카엘 엘후아르, 라켈 가스파르, 미아 히너
리히, 매그너스 힐, 리누스 카이사준티, 아가사 무르고시, 이리나 슬링코 등 SSE
의 모든 수학 금융 박사 과정 학생들과 토론을 통해 많은 도움을 받았습니다. 여
러분 모두에게 진심으로 감사드립니다.
20장에서 공동 작업한 내용을 사용할 수 있도록 허락해 준 마크 데이비스와
카밀라 랜든에게 특별한 감사를 표합니다. 제 절친한 친구이자 동료인 카밀라 랜
든은 이 책에 가장 중요한 조언을 제공한 분이기도 합니다. 수년 동안 그녀는 일
일이 언급할 수 없을 정도로 많은 의견을 제공해 주었습니다. 이 점에 대해 진심
으로 감사드립니다.
토마스 비요
크
스톡홀름 2009년
1월 17일
두 번째 에디션 서문
이 책 초판의 주요 아이디어 중 하나는 추상적인 측정과 통합 이론을 다루지 않
고 차익거래 이론을 합리적으로 정직하게 소개하는 것이었습니다. 하지만 이 접
근법에는 몇 가지 분명한 단점이 있었습니다: 화폐이론의 변화, 최근 개발된 리
보와 스왑 시장 모델과 같은 일부 주제는 측정 이론의 언어를 사용하지 않고는
논의하기 매우 어렵고, 마틴 게일 측정과 같은 중요한 개념은 측정 이론적 프레
임워크 내에서만 완전히 이해할 수 있습니다.
따라서 두 번째 판에서는 좀 더 고급 자료도 포함하기로 결정했지만 측정값
이론을 공부하고 싶지 않은 독자도 쉽게 읽을 수 있도록 다음과 같이 텍스트를
구성했습니다.
- 책의 고급 부분은 별표로 표시되어 있습니다⋆ .
- 이 책의 주요 부분은 거의 변경되지 않았으며 엘레베이터에 보관됩니다.
정신 수준(예: 별표 없이 표시됨).
- 기초적인 내용을 원하는 독자는 별표가 표시된 챕터와 섹션을 건너뛰면 됩
니다. 따라서 별표가 없는 부분은 차익거래 이론에 대한 독립적인 강좌로
구성됩니다.
새로운 파트의 구성과 내용은 다음과 같습니다.
- 측정 이론, 확률 이론, 마틴 게일 이론에 대한 부록을 추가했습니다. 이 부
록은 해당 주제에 대한 가볍지만 솔직한 입문 과정으로 사용할 수 있으며,
본문의 고급 부분을 위한 전제 조건을 정의합니다. 부록에서는 측정 능력,
조건부 기대치, 측정값 변화와 같은 기본 개념에 대한 직관력을 키우는 데
중점을 둡니다. 대부분의 결과에는 공식적인 증명이 제공되지만 일부 결과
의 경우 독자는 문헌을 참조해야 합니다.
- 차익거래 이론에 대한 마틴게일 접근법에 대한 새로운 장이 있으며, 여기
서 우리는 수학 금융의 제1, 제2 기본 정리, 즉 차익거래의 부재, 마틴게일
측정값의 존재, 시장의 완전성 사이의 연관성에 대해 자세히 논의합니다.
이러한 결과에 대한 전체 증명은 매우 기술적인 내용이지만, 제1차 기본 정
리의 델바엔-샤처마이어 증명을 포함하여 이론을 상당히 자세하게 안내하
려고 노력했습니다.
- 일반적인 마틴 게일 접근법에 대한 장에 이어 Wiener 프레임워크에서 마틴
게일 표현 정리와 기르사노프 전이 형성에 대한 장이 추가되었습니다. 전
체 증명이 제공되며 확산 과정에 대한 최대 가능성 추정에 대한 섹션도 추
가했습니다.
제2판 서문
viii
- 위에서 개발한 기법의 당연한 응용으로 마틴 게일 관점에서 블랙-숄즈 모
델을 자세히 설명하는 장이 있습니다. 또한 다차원 모델에 대한 마틴 게일
접근법에 대한 장이 추가되어 있으며, 이를 자세히 살펴봅니다. 특히 확률
적 할인 계수에 대해 논의하고 한센-자간나탄 바운드를 도출합니다.
- 수열의 변화에 대한 이전 장은 항상 마르코비안 설정에 대한 제약으로 인
해 어려움을 겪었습니다. 이제 이 장은 훨씬 더 자연스러운 마틴 게일 환경
에 맞게 재작성되어 배치되었습니다.
- 금리 이론에서 매우 중요해진 리보와 스왑 시장 모델에 대해 상당히 광범
위한 챕터를 추가했습니다.
감사
초판을 출간한 이후 많은 분들로부터 소중한 의견과 도움을 받았습니다. 특히 오
류와 오타를 지적하는 것 외에도 많은 연습문제에 대한 서면 솔루션을 제공하는
데 훌륭한 역할을 해준 Raquel Medeiros Gaspar에게 매우 감사합니다. 또한
˚ A k e Gunnelin, Mia Hinnerich, Nuutti Kuosa, Roger Lee, Trygve Nilsen,
Ragnar Norberg, Philip Protter, Rolf Poulsen, Ping Wu에게도 매우 감사합니다.
K.P. 가마지.
결정적인 순 간 에 중요하고 필수적인 조언을 제공해준 켈 요한슨과 앤드류
셰퍼드에게 특별한 감사를 표합니다.
토마스 비요
크
2003년 4월 30
일 스톡홀름
머리말
이 책의 목적은 금융 파생상품의 가격 결정 문제에 대한 차익거래 이론과 그 응
용을 제시하는 것입니다. 이 책은 금융, 경제, 수학, 통계학 분야의 대학원생 및
고급 학부생들을 위한 교재이며 실무자들에게도 유용하게 활용되기를 바랍니다.
이 책은 대상 독자를 고려하여 추상적 측정 이론에 대한 사전 지식을 전제로
하지 않습니다. 유일한 수학적 전제 조건은 고급 미적분과 확률 이론의 기본 과
정입니다. 경제학이나 금융에 대한 사전 지식은 전제하지 않습니다.
이 책은 두 번째 장이 이항 모델에 전념한다는 의미에서 자체 제목과 모순되는
것으로 시작합니다. 그 후 이론은 연속적인 시간으로 독점적으로 개발됩니다.
이 책에 사용된 주요 수학적 도구는 확률 미분 방정식(SDE) 이론이며, 이 이
론의 기초에 관한 기술적 세부 사항을 다루는 대신 응용에 중점을 두었습니다.
이 책 의 목적은 독자들에게 이 토 미적분학이라는 강력한 수학적 도구에 대
한 탄탄한 실무 지식을 가능한 한 빠르고 쉽게 전달하는 것입니다. 파인만-카크
표현과 콜모고로프 방정식을 비롯한 기본적인 SDE 기법을 다룹니다. 마팅게일
은 초기 단계에서 소개됩니다. 책 전체에서 구체적인 계산에 중점을 두고 있으며
, 각 장의 마지막에 있는 연습 문제는 본문의 필수적인 부분을 구성합니다.
이 책의 첫 번째 부분에서 개발한 수학은 금융 파생상품의 차익거래 가격 결
정에 적용됩니다. 델타 헤징과 '그리스'를 포함한 기본 블랙-숄즈 이론을 다루고,
여러 기초자산(확률적 금리 포함)과 배당 지급 자산의 경 우 로 확장합니다. 배리
어 옵션과 통화 및 콴토 상품은 별도의 챕터에서 다룹니다. 또한 불완전 시장도
자세히 고려합니다. 미국 계약은 지나가는 정도로만 다룹니다. 그 이유는 이론이
복잡하고 분석 결과가 거의 없 기 때문입니다. 대신 확률적 최적 제어와 그 응용
에 대한 장을 포함했습니다.
최적의 포트폴리오 선택.
이자율 이론은 이 책의 많은 부분을 차지하며 수익률 곡선의 역전 및 아핀 기
간 구조를 포함한 기본 단기금리 이론을 다룹니다. 히스-자로우-모튼 이론은 객
관적 측정법과 마틴게일 측정법 모두에서 다루며, 무실라 매개변수화도 소개합
니다. 대부분의 장의 기본 프레임워크는 다요인 모형의 프레임워크이며, 이를 통
해 공식적으로 측정 이론을 사용하지 않음에도 불구하고 현대 이자율 이론에 필
수적인 일반적인 화폐수 변화 기법을 상당히 완벽하게 다룰 수 있습니다. 특히
우리는
서문
x
는 선도 중립 측정을 자세히 다루고 있습니다. 이를 통해 옵션 가격 책정을 위한
제만-엘 카루이-로셰 공식을 제시할 수 있으며, 이를 일반적인 가우시안 선물환
금리 모델과 여러 특정 사례에 적용할 수 있습니다.
수학적 수준과 관련하여 이 책은 Hull(1997)의 초급 텍스트와 Duffie(1996) 또는
Musiela와 Rutkowski(1997)와 같은 고급 텍스트 사이에 속합니다. 이 책들은 본
교재에서 정식 참고 문헌으로 사용됩니다.
이 책은 짧은 강좌에서 쉽게 사용할 수 있도록 간단한(일반적으로 1차원) 모
델을 먼저 제시하고 분석한 다음, 보다 복잡한(다차원) 프레임워크에서 이론을
도출하는 교육적 접근 방식을 취했습니다. 물론 이러한 접근 방식의 단점은 일부
주장이 반복되고 있다는 점이지만, 이는 불가피한 것으로 보이며 기술적으로 더
진보 된 독자에게 사과 할 수밖에 없습니다.
문헌에 대한 참고 문헌은 대부분의 장 말미에서 찾을 수 있습니다. 참고 문헌
목록을 관리 가능한 규모로 유지하려고 노력했지만 심각한 누락은 의도하지 않
은 것이므로 기꺼이 수정하겠습니다. 더 많은 참고 문헌 정보를 원하시는 독자는
백과사전식 참고 문헌이 수록된 Duffie(1996)와 Musiela와 Rutkowski(1997)를
참조하시기 바랍니다.
좀 더 기술적인 측면에서는 다음과 같은 사실을 언급할 수 있습니다. 저는 추상
적인 측정 이론을 명시적으로 사용하지 않으면서도 파인만-카-크 회귀를 포함한
SDE 이론에 대해 합리적으로 정직한 그림을 제시하려고 노력했습니다. 선택한
기술 수준 때문에 확률 적분의 구성에 관한 논증은 어느 정도 휴리스틱적일 수밖
에 없습니다. 그럼에도 불구하고 가능한 한 정확하려고 노력했기 때문에 휴리스
틱 인수조차도 공식적인 증명으로 완성 될 수 있다는 의미에서 "올바른"인수입
니다. 본문의 나머지 부분에서는 다양한 통합성 조건의 확인을 종종 생략한 것을
제외하고는 모든 수학적 진술에 대한 완전한 증명을 제공하려고 노력했습니다.
절대적으로 연속적인 측정값 변화에 대한 기르사노프 이론은 본 교재의 범위
를 벗어나므로 국부적으로 위험이 없는 포트폴리오, 편미분 방정식(PDE), 파인
만-카크 표현 정리를 사용하여 마틴 게일 측정값을 소개합니다. 하지만 본문에
제시된 차익거래 이론에 대한 접근법은 기본적으로 확률론적 접근법으로, 가격
계산에 마틴게일 측정법을 사용하는 것을 강조합니다.
위너 필터링에 적용된 마팅게일의 적분 표현 정리도 이 책의 범위를 벗어납
니다. 따라서 우리는 시장 완전성을 완전히 일반화하여 다루지 않고 마르코프 프
레임워크로 제한합니다. 그러나 대부분의 응용 분야에서 이것은 충분히 일반적
입니다.
감사
베르틸 나슬룬드, 스태판 비오티, 피터 제너그렌, 라그나 린드그렌은 제가 금융 경
제학 공부를 시작하도록 설득했고, 그들은 저와 끊임없이 지식을 공유해 주었습
니다.
머리말
xi
1995년 아스코나에 있는 몬테 베리타에서 열린 여름학교에서 한스 뷜만,
폴 엠브레히츠, 한스 거버가 저에게 일련의 강의를 할 기회를 주었습니다. 이 여
름학교는 저에게 매우 행복하고 유익한 시간이었으며 부분적으로 새로운 커리
어의 시작이었습니다. 그 때 작성한 강의 노트 세트가 이 책의 기초가 되었습니
다.
수년 동안 글을 쓰면서 많은 사람들로부터 소중한 의견과 조언을 받았습니다
. 가장 큰 빚은 제가 인간적으로 가능하다고 생각했던 것보다 더 많은 좋은 조언
을 해주고 오류를 지적해준 카밀라 랜든에게 있습니다. 또한 플라비오 안젤리니,
피아 버그, 닉 빙엄, 사무엘 콕스, 대럴 더피, 오토 엘름가르트, 말린 엥스트롬,
얀 에릭슨, 다미르 필리포비치, 안드레아 곰바니, 스테파노 헤르젤, 데이비드 랜
도, 앵거스 맥도널드, 알렉산더 매트로스, 라그나 노르베리, 조엘 르네비, 볼프강
룽갈디에, 페르 스오베르그, 패트릭 사프벤블라드, 닉 웨버 및 안나 보르베르크
에게 큰 빚이 있습니다.
이 책의 주요 부분은 제가 스톡홀름 경제대학의 재무학과에 재직하는 동안
작성되었습니다. 이 책을 쓸 수 있도록 지원과 격려를 아끼지 않은 학교와 학과,
그리고 그곳에서 일하는 직원들에게 깊은 빚을 지고 있습니다.
이 책의 일부는 제가 스톡홀름에 있는 KTH의 수학과에 재직하고 있을 때 집
필했습니다. 수학과와 그 안에 있는 사람들로부터 받은 지원을 인정하게 되어 기
쁩니다.
마지막으로 옥스퍼드 대학 출판부의 앤드류 슐러, 제임스 마틴, 킴 로버츠, 그
리고 이 책을 작업한 프리랜서 카피 에디터 네빌 행킨스에게 깊은 감사를 표하고
싶습니다. 이 분들이 보여준 도움과 인내심은 놀랍고 귀중한 것이었습니다.
토마스 비요크
1998년 7월
스톡홀름
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콘텐츠
1
소개
1.1
2
1
5
한 주기 모델
5
2.1.1 모델 설명
5
2.1.2 포트폴리오와 차익거래
6
2.1.3 우발적 청구
9
2.1.4 위험 중립적 가치 평가
11
멀티피리어드 모델
15
2.2.1 포트폴리오와 차익거래
15
2.2.2 우발적 청구
17
2.3
운동
25
2.4
참고
25
2.2
4
문제 공식화
이항 모델
2.1
3
1
보다 일반적인 1주기 모델
26
3.1
모델
26
3.2
차익거래 부재
27
3.3
마틴 게일 조치
32
3.4
마틴 게일 가격
34
3.5
완성도
35
3.6
확률론적 할인 계수
38
3.7
운동
39
확률 적분
40
4.1
소개
40
4.2
정보
42
5
4.3
확률 적분
44
4.4
마틴갈레스
46
4.5
확률 미적분과 이 토 공식
49
4.6
예제
54
4.7
다차원 이 토 공식
57
4.8
상호 연관된 위너 프로세스
59
4.9
운동
63
4.10 참고
65
미분 방정식
66
5.1
확률 미분 방정식
66
5.2
기하학적 브라운 운동
67
5.3
리니어 SDE
70
5.4
무한소 연산자
71
콘텐츠
xiv
6
5.5
5.6
5.7
편미분 방정식
콜모고로프 방정식
운동
5.8
참고
포트폴리오 역학
6.1 소개
6.2 자체 자금 조달 포트폴리오
6.3 배당금
6.4
7
연습 문제
차익거래 가격
7.1 소개
7.2 우발적 청구 및 차익거래
7.3 블랙-숄즈 방정식
7.4 위험 중립적 가치 평가
7.5 블랙-숄즈 공식
7.6 선물 옵션
7.6.1 선도 계약
7.6.2 선물 계약과 블랙 포뮬러
7.7 변동성
7.7.1 역사적 변동성
7.7.2 내재 변동성
7.8 미국 옵션
7.9 운동
7.10 참고
8
완전성 및 헤징
8.1 소개
8.2 블랙-숄즈 모형의 완전성
8.3 완전성-차익거래의 부재
8.4 연습 문제
8.5
9
참고
패리티 관계 및 델타 헤징
9.1 패리티 관계
9.2 그리스인
9.3 델타 및 감마 헤징
9.4
연습 문제
10 차익거래 이론에 대한 마틴 게일 접근법*
10.1 제로 이자율의 경우
10.2 차익거래 부재
10.2.1 증명에 대한 대략적인 스케치
10.2.2 정확한 결과
10.3 일반적인 경우
72
76
79
83
84
84
87
89
91
92
92
93
98
102
104
106
106
107
108
109
110
110
112
114
115
115
116
121
122
124
125
125
127
130
134
137
137
140
141
144
146
콘텐츠
10.4
10.5
10.6
10.7
완전성
마틴 게일 가격
확률적 할인 계수
실무 경제학자를 위한 요약
10.8 참고
11 마틴 게일 접근법의 수학*
11.1 확률적 적분 표현
11.2 기르사노프 정리: 휴리스틱
11.3 기르사노프 정리
11.4 기르사노프 정리의 반전
11.5 기르사노프 변환과 확률 미분
11.6 최대 가능성 추정
11.7 운동
11.8 참고
12 마틴 게일의 관점에서 본 블랙-숄즈*
12.1 차익거래 부재
12.2 가격 책정
12.3 완전성
13 다차원 모델: 고전적 접근 방식
13.1 소개
13.2 가격 책정
13.3 위험 중립적 가치 평가
13.4 상태 공간 줄이기
13.5 헤징
13.6 운동
14 다차원 모델: 마틴 게일 접근법*
14.1 차익거래 부재
14.2 완성도
14.3 헤징
14.4 가격 책정
14.5 마르코비안 모델과 PDE
14.6 위험의 시장 가격
14.7 확률적 할인 계수
14.8 한센-자간나탄 경계
14.9 운동
14.10 참고 사항
15 불완전한 시장
15.1 소개
15.2 스칼라 비가격 기초자산
15.3 다차원 사례
15.4 확률론적 공매도 비율
xv
149
151
153
154
156
158
158
162
164
168
168
169
171
172
173
173
175
176
179
179
181
187
188
192
195
196
197
199
200
202
203
204
205
205
208
208
209
209
209
218
222
콘텐츠
xvi
15.5 마틴 게일 접근법*
15.6 요약
15.7 운동
15.8 참고
16 배당금
16.1 개별 배당금
16.1.1 가격 역학 및 배당 구조
16.1.2 우발적 청구 가격 책정
16.2 지속적인 배당금
16.2.1 연속 배당 수익률
16.2.2 일반적인 경우
16.3 마틴 게일 접근법*
16.3.1 계좌번호로서의 은행 계좌
16.3.2 임의의 수열
16.4 운동
17 통화 파생상품
17.1 순수 통화 계약
17.2 국내 및 해외 주식 시장
17.3 위험의 국내 및 해외 시장 가격
17.4 마틴 게일 접근법*
17.5 운동
17.6 참고
18 장벽 옵션
18.1 수학적 배경
18.2 아웃 계약
18.2.1 다운 앤 아웃 계약
18.2.2 업 앤 아웃 계약
18.2.3 예시
18.3 계약에서
18.4 사다리
18.5 되돌아보기
18.6 운동
18.7 참고
19 확률론적 최적 제어
19.1 예시
19.2 형식적인 문제
19.3 해밀턴-자코비-벨만 방정식
19.4 HJB 방정식 다루기
19.5 선형 레귤레이터
19.6 최적의 소비 및 투자
19.6.1 일반화
19.6.2 최적의 소비량
223
224
227
228
229
229
229
230
235
236
239
241
242
243
246
247
247
250
256
260
263
264
265
265
267
267
271
272
276
278
279
281
281
282
282
283
286
294
295
297
297
299
콘텐츠
19.7 뮤추얼 펀드 정리
19.7.1 무위험 자산이 없는 경우
19.7.2 무위험 자산의 경우
19.8 운동
19.9 참고
20 최적의 투자를 위한 마틴 게일 접근법*
20.1 일반 사항
20.2 기본 아이디어
20.3 최적의 터미널 자산
20.4 최적의 포트폴리오
20.5 전력 유틸리티
20.5.1 최적의 단말기 자산 프로필
20.5.2 최적의 자산 프로세스
20.5.3 최적의 포트폴리오
20.6 마르코비안 사건
20.7 로그 유틸리티
20.8 지수 유틸리티
20.8.1 최적의 단말기 자산
20.8.2 최적의 자산 프로세스
20.8.3 최적의 포트폴리오
20.9 운동
20.10 참고 사항
21 최적 정지 이론과 미국식 옵션*
21.1 소개
21.2 일반 사항
21.3 몇 가지 간단한 결과
21.4 불연속 시간
21.4.1 일반적인 경우
21.4.2 마르코프 모델
21.4.3 무한 지평선
21.5 연속 시간
21.5.1 일반 이론
21.5.2 확산 모델
21.5.3 일반 이론과의 연관성
21.6 미국 옵션
21.6.1 배당금 없는 아메리칸 콜
21.6.2 미국 풋 옵션
21.6.3 퍼페추얼 아메리칸 풋
21.7 운동
21.8 참고
22 채권 및 이자율
22.1 쿠폰 채권 제로
xvii
302
302
306
308
312
313
313
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315
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318
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324
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339
341
345
345
345
346
347
348
349
350
350
콘텐츠
xviii
22.2 이자율
22.2.1 정의
22.2.2 df(t, T ), dp(t, T ) 및 dr(t) 간의 관계
22.2.3 머니 계정의 다른 보기
22.3 쿠폰 채권, 스왑 및 수익률
22.3.1 고정 쿠폰 채권
22.3.2 변동금리 채권
22.3.3 이자율 스왑
22.3.4 수익률 및 기간
22.4 운동
22.5 참고
23 단기 요금 모델
23.1 일반 사항
23.2 용어 구조 방정식
23.3 운동
23.4 참고
24 단기 요금제용 마틴 게일 모델
24.1 Q-역학
24.2 수익률 곡선의 반전
24.3 어파인 용어 구조
24.3.1 정의 및 존재 여부
24.3.2 확률론적 논의
24.4 일부 표준 모델
24.4.1 Vasiˇcek 모델
24.4.2 호리 모델
24.4.3 CIR 모델
24.4.4 선체-흰색 모델
24.5 운동
24.6 참고
25 선도 금리 모델
25.1 히스-자로우-모튼 프레임워크
25.2 마틴 게일 모델링
25.3 뮤지엘라 매개변수화
25.4 운동
25.5 참고
26 번호 변경*
26.1 소개
26.2 일반 사항
26.3 번호표 변경
26.4 앞으로의 조치
26.4.1 T-본드를 넘버레어로 사용하기
26.4.2 기대 가설
351
351
353
356
357
358
358
360
361
362
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374
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381
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383
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388
388
390
392
393
395
396
396
397
401
403
403
405
콘텐츠
xix
26.5 일반적인 옵션 가격 책정 공식
26.6 선체 화이트 모델
26.7 일반 가우스 모델
26.8 모자 및 바닥
26.9 넘버레어 포트폴리오
26.10 연습 문제
406
409
411
413
414
415
415
26.11 참고 사항
27 리보 및 스왑 시장 모델
27.1 캡 정의 및 시장 관행
27.2 리보 시장 모델
27.3 LIBOR 모델의 가격 상한
27.4 터미널 측정 역학 및 존재
27.5 캘리브레이션 및 시뮬레이션
27.6 개별 예금 계좌
27.7 스왑
27.8 스왑: 정의 및 시장 관행
27.9 스왑 시장 모델
27.10 스왑 시장 모델에서의 가격 스왑
27.11 정규 스왑 시장 모델의 드리프트 조건
27.12 결론
27.13 연습 문제
27.14 참고 사항
417
418
420
421
422
425
427
428
430
431
432
433
436
436
437
28 잠재력과 긍정적 관심
28.1 일반 사항
28.2 플레사커-휴스턴 프레임워크
28.3 기본 측정값 변경
28.4 전위의 분해
28.5 로저스의 마르코프 포텐셜 접근법
28.6 운동
28.7 참고
438
438
439
443
444
445
449
451
29 선물 및 선물
29.1 선도 계약
29.2 선물 계약
29.3 운동
452
452
454
457
457
29.4 참고
A
측정 및 통합*
A.1 세트 및 매핑
A.2 측정값과 시그마 대수
A.3 통합
A.4 시그마-대수 및 파티션
A.5 측정값 제로 세트
A.6 The Lp 스페이스
458
458
460
462
467
468
469
콘텐츠
xx
B
C
A.7
힐버트 스페이스
470
A.8
시그마-대수 및 제너레이터
473
A.9
제품 측정
476
A.10 레베스그 적분
477
A.11 라돈-니코딤 정리
478
A.12 운동
482
A.13 참고
483
확률 이론*
484
B.1
랜덤 변수와 프로세스
484
B.2
파티션 및 정보
487
B.3
시그마 대수 및 정보
489
B.4
독립성
492
B.5
조건부 기대치
493
B.6
등가 확률 측정
500
B.7
운동
502
B.8
참고
503
마틴게일 및 정차 시간*
504
C.1
마틴갈레스
504
C.2
이산 확률 적분
507
C.3
확률 프로세스
508
C.4
정차 시간
509
C.5
운동
512
참고 자료
514
색인
521
1
소개
1.1
문제 공식화
이 책의 주요 프로젝트는 금융 파생상품으로 알려진 금융 자산에 대한 이론적 가
격 책정 모델을 연구하는 것으로 구성됩니다. 금융 파생상품의 개념에 대한 공식
적인 정의를 내리기 전에 구체적인 예를 통해 가장 중요한 단일 예인 유럽 콜 옵
션을 소개하겠습니다.
따라서 오늘 (t = 0으로 표시된) 스웨덴 회사 C&H가 미국 회사 ACME와
계약을 체결했다고 가정해 보겠습니다. 계약에 따르면 ACME는 정확히 6개
월 후(t = T로 표시)에 컴퓨터 게임 1000개를 C&H에 납품한다고 명시되어
있습니다. 또한 C&H는 게임당 1000달러를 납품 시점(즉, t = T)에 ACME에
지불한다고 명시되어 있습니다. 논의를 위해 스웨덴 크로나(SEK)와 미국 달
러 간의 현재 현물 환율은 8.00 SEK/$라고 가정합니다.
C&H의 관점에서 볼 때 이 계약의 문제점 중 하나는 상당한 통화 위험이
수반된다는 것입니다. C&H는 6개월 후의 환율을 알 수 없기 때문에 t = T 시
점에 얼마나 많은 SEK를 지불해야 하는지 알 수 없습니다. t = T에서 환율이
여전히 8.00 SEK/$인 경우 8,000,000 SEK를 지불해야 하지만 환율이 예를
들어 8,000,000 SEK로 상승하면 지불해야 합니다,
8.50이 되면 8,500,000 SEK의 비용이 발생합니다. 따라서 C&H는 이러한 통화
리스크를 어떻게 방어할 것인가라는 문제에 직면하게 되었고, 이제 몇 가지 자연
스러운 전략을 나열합니다.
1. C&H의 가장 순진한 전략은 아마도 오늘 1,000,000 SEK를 8,000,000
SEK에 매수한 다음 이 돈을 유로달러 계좌에 6개월 동안 보유하는 것입니
다. 이 절차의 장점은 물론 환리스크가 완전히 제거된다는 것이지만 몇 가
지 단점도 있습니다. 우선 위의 전략은 상당한 금액을 장기간 묶어두는 결
과를 초래하지만, 더 심각한 문제는 C&H가 현재 8,000,000 SEK에 접근
할 수 없다는 점일 수 있습니다.
2. 현재 전혀 지출이 필요하지 않은 더 정교한 계약은 C&H가 선물 시장에 가
서 6개월 후 인도 조건으로 1,000,000달러에 선물 계약을 구매하는 것입니
다. 이러한 계약은 예를 들어 상업 은행과 협상할 수 있으며 계약서에는 두
가지 사항이 명시되어 있습니다.
• 은행은 t = T 에서 1,000,000달러를 C&H에 전달합니다.
• C&H는 t = T 에서 이 배송에 대해 SEK/$의 요율로 비용을 지불합니다.
소개
2
t = 0에 인도할 때 선물환 가격(또는 선물환 환율)이라고 하는 환율 K는 t = 0
에 결정됩니다. 선물환 계약의 정의에 따르면 계약 체결 비용은 0이며, 따라
서 선물환 환율 K는 선 물 환
시장의 수요와 공급에 의해 결정됩니다. 그러
나 선물계약 체결 가격(t = 0)이 0이더라도 [0,T ] 구간에서는 0이 아닌 가격
을 가져올 수 있다는 점에 유의하세요.
이제 6개월 후 인도에 대한 오늘 선물환 환율이 8.10 SEK/$라고 가정해 보겠
습니다. C&H가 선도 계약을 체결하면 오늘 지출이 없으며 6개월 후에 미리 결정
된 총 가격인 8,100,000 SEK로 1,000,000달러를 받게 된다는 의미입니다. 선물
환 환율이 오늘 결정되었으므로 C&H는 다시 한번 환 리스크를 완전히 제거했습
니다.
그러나 선도 계약에는 몇 가지 단점도 있는데, 이는 선도 계약이 구속력 있는
계약이라는 사실과 관련이 있습니다. 이를 알아보기 위해 두 가지 시나리오를
살펴보겠습니다.
- t = T에서 현물 환율이 8.20으로 판명되었다고 가정합니다. 그러면
C&H는 이제 다음과 같은 환율로 달러를 구매할 수 있기 때문에 스스로 축하
할 수 있습니다.
시장 환율이 8.20이라는 사실에도 불구하고 8.10입니다. 따라서 C&H는 백
만 달러의 간접 이익을 얻었습니다.
- 8,100,000 = 100,000 SEK.
- 반면에 t = T에서 현물 환율이 7.90으로 판명되었다고 가정해 보겠습니
다. 선물환 계약으로 인해 시장 환율이 7.90임에도 불구하고 C&H는 8.10
의 환율로 달러를 매수해야 하며, 이는 8,100,000 - 7,900,000 = 200,000 SEK
의 간접적인 손실을 의미합니다.
3. 물론 C&H가 원하는 것은 t = T에서 높은 현물 금리에 대비하면서도 t
= T에서 낮은 현물 금리를 활용할 수 있는 계약입니다. 이러한 계약은
실제로 존재하며 이를 유럽 콜 옵션이라고 합니다. 이제 이러한 옵션에
대한 공식적인 정의를 내리겠습니다.
정의 1.1 행사 가격(행사 가격)이 K SEK/$이고 행사 날짜가 T인 X 미화 금액
의 유럽 콜 옵션은 다음과 같은 속성을 가진 t = 0에 작성된 계약입니다.
- 계약 보유자는 정확히 t = T 시점에 매수할 수 있는 권리를 갖습니다.
X 미국 달러 K SEK/$ 가격.
• 옵션 보유자는 달러를 매수할 의무가 없습니다.
명칭과 관련하여 이 계약은 보유자에게 특정 기초자산(이 경우 미국 달러)을
매수할 수 있는 옵션(의무가 아닌)을 부여하기 때문에 옵션이라고 합니다. 콜 옵
션은 보유자에게 매수권을 부여하는 반면, 풋 옵션은 보유자에게 미리 정해진 가
격에 기초자산을 매도할 수 있는 권리를 부여합니다. 유럽이라는 접두사는 옵션
이 정확히 만기일에만 행사할 수 있음을 의미합니다. 또한
문제 공식화
3
보유자에게 만기일 전에 언제든지 옵션을 행사할 수 있는 권리를 부여하는 미국
식 옵션이 존재합니다.
위와 같은 유형의 옵션은 전 세계 옵션 시장에서 거래되며, 기초자산은 외화
부터 주식, 오렌지, 목재, 돼지 위까지 다양합니다. 주어진 기초자산에 대해 일반
적으로 만기일과 행사가격이 서로 다른 수많은 옵션이 존재합니다.
이제 C&H는 지금부터 6개월 후 만기인 유럽 콜 옵션을 백만 달러에 행사 가
격 8.00 SEK/$로 매수함으로써 매우 우아하게 통화 위험에 대비할 수 있음을 알
수 있습니다. T의 현물 환율이 행사 가격을 초과하는 경우(예: 8.20), C&H는 옵
션을 행사하고 8.00 SEK/$에 매수합니다. T의 현물 환율이 행사 가격 아래로 떨
어지면 옵션을 행사하지 않습니다.
그러나 정의상 계약 체결 시점의 가격이 0인 선도 계약과 달리 옵션은 항상
음수가 아닌 가격을 가지며, 이는 기존 옵션 시장에서 결정된다는 점에 유의하세
요. 즉, (콜옵션의 경우) 행사가격이 높을수록 옵션 가격이 낮아지기 때문에
C&H의 친구들은 어떤 옵션을 매수할지 정확히 결정해야 하는 다소 미묘한 문제
를 안게 됩니다.
이 책의 주요 문제 중 하나는 위와 같은 옵션의 시장 가격에 대해 이론적 관점
에서 무엇을 말할 수 있는지 확인하는 것입니다. 이러한 맥락에서 유럽 콜에는
근본적인 것으로 판명된 몇 가지 속성이 있다는 점에 주목할 가치가 있습니다.
- 옵션의 가치(T 시)는 현물 환율의 미래 수준에 따라 달라지므로 옵션 보유
는 미래 확률적 청구와 동일합니다.
- 옵션은 일부 기초 금융자산에 따라 정의된다는 점에서 파생상품 자산입
니다.
옵션의 가치는 환율의 변동에 따라 달라지기 때문에 옵션은 종종 조건부 청
구라고 불립니다. 나중에 이 개념에 대한 정확한 수학적 정의를 제시할 예정이지
만 지금은 위의 비공식적인 정의로 충분합니다. 옵션은 금융 파생상품의 한 예일
뿐이며, 일반적으로 거래되는 파생상품의 전체 목록은 아래에 나와 있습니다.
• 유럽 통화 및 풋
• 미국 옵션
• 선도 금리 계약
• 컨버터블
• 선물
• 채권 및 채권 옵션
• 캡 및 바닥
• 이자율 스왑
소개
4
나중에 이러한 계약의 대부분에 대해 정확한 정의를 내리겠지만, 현재로서는
금융 파생상품이 매우 다양하게 존재하며 엄청난 규모로 거래된다는 사실이 핵
심입니다. 이제 이 책의 나머지 부분에서 다룰 두 가지 주요 문제를 공식화할 수
있습니다.
주요 문제: 주어진 고정 도함수를 취합니다.
- 계약의 '공정한' 가격이란 무엇인가요?
- 콜 옵션과 같은 파생상품을 매도했다고 가정해 보겠습니다. 그렇다면 만기
일에 일정 금액의 재정적 위험에 노출된 것입니다. 이 위험으로부터 어떻
게 자신을 보호("헤지")할 수 있을까요?
위의 가격 책정 질문을 좀 더 자세히 살펴봅시다. 당연하면서도 상호 모순되
는 두 가지 답이 존재합니다.
답변 1: "운영 연구의 표준 원칙을 사용하여 할인된 미래 확률적 보상의 기대 가
치를 계산하면 파생상품의 합리적인 가격을 얻을 수 있습니다."
답변 2: "표준 경제 추론에 따르면, 우발채권의 가격은 다른 상품 가격과 마찬가
지로 시장의 힘에 의해 결정됩니다. 특히 파생상품 시장의 수요와 공급 곡선에
의해 결정됩니다. 수요와 공급은 총체적 위험 회피, 유동성 선호도 등의 요인에
의해 영향을 받기 때문에 파생상품의 이론적 가격에 대해 구체적으로 말할 수는
없습니다."
파생상품에 대한 이론이 존재하는 이유는 다음과 같은 사실에 있습니다.
주요 결과: 위의 두 답은 모두 틀립니다! 파생상품의 "정확한" 가격에 대해 이야
기하는 것은 가능하지만(물론 몇 가지 가정이 전제되어야 함), 이 가격은 위의 답
1에 제시된 방법으로 계산할 수 없습니다.
다음 장에서는 이러한 문제를 자세히 분석할 것이지만 여기서는 이미 기본 철학
을 설명할 수 있습니다. 주요 아이디어는 다음과 같습니다.
주요 아이디어
- 금융 파생상품은 시장에 이미 존재하는 일부 기초자산을 기준으로 정의됩
니다.
- 따라서 파생상품과 기초자산 가격 간의 잘못된 가격 책정을 피하기 위
해 기초자산 가격과 관련하여 파생상품의 가격을 임의로 책정할 수 없
습니다.
- 따라서 시장에서 제시하는 기초 가격과 일치하는 방식으로 파생상품의
가격을 책정하고자 합니다.
- 우리는 "절대적"인 의미에서 파생상품의 가격을 계산하려는 것이 아닙니
다. 대신 기초자산의 시장 가격을 기준으로 파생상품 가격을 결정하는 것
입니다.