Dr. sc. Ivan Flegar, Teorija mreža – Bilješke s predavanja
Elektrotehnički fakultet
Kneza Trpimira 2b
HR-31 000 Osijek
e-mail: flegar@etfos.hr
Izdavač:
Elektrotehnički fakultet Osijek
Lektor:
Ivanka Ferčec, Elektrotehnički fakultet Osijek
Urednik:
Mr.sc. Slavko Rupčić
CIP – Katalogizacija u publikaciji
Gradska i sveučilišna knjižnica, Osijek
UDK 621.31(075.8)
FLEGAR, Ivan
Teorija mreža : bilješke s predavanja
/ Ivan Flegar. - Osijek : Elektrotehnički
fakultet, 2001. - 146 str. : graf. prikazi ;
24 cm
Tiskano dvostubačno. – Bibliografija:
str. 145
ISBN 953-6032-31-7
410110011
 Ivan Flegar, 2001.
Tisak: Gradska tiskara Osijek
IVAN FLEGAR
Elektrotehnički fakultet
Svučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
TEORIJA MREŽA
Bilješke s predavanja
SADRŽAJ
PREDGOVOR .................................................................................................................................... vii
1.
UVOD ................................................................................................................................................... 1
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Osnovni pojmovi......................................................................................................................... 1
Referentni smjerovi napona i struje elementa mreže .................................................................. 2
Kirchhoffovi zakoni .................................................................................................................... 2
Tellegenov teorem ...................................................................................................................... 4
I. ELEMENTI MREŽE ..................................................................................................................................... 6
2.
JEDNOPRILAZNI DISIPATIVNI ELEMENTI (OTPORI) ................................................................ 6
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
3.
JEDNOPRILAZNI REAKTIVNI ELEMENTI .................................................................................. 12
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
4.
Osnovni pojmovi o kapacitetu .................................................................................................. 12
Energija kapaciteta i pasivnost.................................................................................................. 12
Svojstva vremenski nepromjenljivih kapaciteta ....................................................................... 13
Osnovni pojmovi o induktivitetu .............................................................................................. 14
Energetski odnosi u vremenski promjenljivom reaktivnom elementu...................................... 15
VIŠEPRILAZNI DISIPATIVNI ELEMENTI (OTPORI) .................................................................. 16
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
5.
Osnovni pojmovi......................................................................................................................... 6
Podjela otpora ............................................................................................................................. 6
Svojstva pasivnih otpora............................................................................................................. 8
Svojstva aktivnih otpora ........................................................................................................... 10
Položaj izvora u mreži .............................................................................................................. 10
Linearni zavisni izvori .............................................................................................................. 16
Idealno operacijsko pojačalo (IOP) .......................................................................................... 18
Idealni transformator................................................................................................................. 18
Girator....................................................................................................................................... 19
VIŠEPRILAZNI REAKTIVNI ELEMENTI ...................................................................................... 20
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
Osnovni pojmovi o linearnom dvonamotnom transformatoru.................................................. 20
Predznak međuinduktivnosti..................................................................................................... 20
Prijenos energije u periodičkom režimu rada ........................................................................... 21
Savršeni transformator (k=1) .................................................................................................... 22
II. PRIJELAZNO STANJE ............................................................................................................................. 23
6.
ZAKONI KOMUTACIJE................................................................................................................... 23
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
7.
MREŽE PRVOG REDA..................................................................................................................... 28
7.1.
7.2.
7.3.
8.
Osnovni pojmovi analize mreža u vremenskom području........................................................ 23
Zakon komutacije u stvarnim mrežama .................................................................................... 23
Zakoni komutacije u dobro definiranim mrežama.................................................................... 24
Zakoni komutacije u loše definiranim mrežama....................................................................... 25
Opće rješenje linearne vremenski nepromjenljive mreže prvog reda ....................................... 28
Rastav potpunog odziva............................................................................................................ 29
Istosmjerne mreže ..................................................................................................................... 29
MREŽE DRUGOG REDA – SLOBODNI ODZIV............................................................................ 32
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
Karakteristična jednažba........................................................................................................... 32
Analiza karakteristične jednadžbe ............................................................................................ 33
Karakteristični parametri titrajnog kruga.................................................................................. 34
Neke važne relacije u titrajnim krugovima drugog reda........................................................... 34
Energetski odnosi u RLC-krugu................................................................................................ 35
iii
9.
MREŽE DRUGOG REDA – POTPUNI ODZIV ............................................................................... 36
9.1.
9.2.
Istosmjerni krugovi ................................................................................................................... 36
Jednoharmonijski krugovi......................................................................................................... 38
III. SINUSOIDALNO USTALJENO STANJE ............................................................................................. 40
10. FAZORSKA TRANSFORMACIJA................................................................................................... 40
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
Određivanje ustaljenog stanja klasičnim postupkom................................................................ 40
Osnovna ideja fazorske transformacije..................................................................................... 41
Osnovna pravila fazorske transformacije.................................................................................. 42
Funkcije mreže.......................................................................................................................... 42
11. REZONANCIJA I FREKVENCIJSKI ODZIV .................................................................................. 45
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.
Pojam rezonancije..................................................................................................................... 45
Rezonancijske frekvencije serijskog RLC-kruga ...................................................................... 45
Oštrina rezonancije ................................................................................................................... 47
Rezonancija je odziv na jednoharmonijski poticaj ................................................................... 48
Utitravanje u rezonanciju.......................................................................................................... 48
Filtri .......................................................................................................................................... 49
12. ENERGETSKI ODNOSI .................................................................................................................... 50
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
Snaga i energija elemenata linearne vremenski nepromjenljive mreže .................................... 50
Fizikalni smisao jalove i prividne snage jednoprilaza .............................................................. 52
Zakon o očuvanju kompleksne snage ....................................................................................... 52
Impedancija jednoprilaza.......................................................................................................... 53
IV. NESINUSOIDALNO USTALJENO STANJE ........................................................................................ 55
13. TOČNE METODE ANALIZE VIŠEHARMONIJSKIH MREŽA..................................................... 55
13.1. Linearne višeharmonijske mreže .............................................................................................. 55
13.2. Mreže linearne po odsječcima .................................................................................................. 57
14. NELINEARNE IZMJENIČNE MREŽE ............................................................................................ 60
14.1.
14.2.
14.3.
14.4.
Načelo ravnoteže harmonijskih članova ................................................................................... 60
Osnovni harmonijski član rješenja............................................................................................ 60
Ostali harmonijski članovi rješenja........................................................................................... 62
O periodičkim rješenjima nelinearnih izmjeničnih mreža ........................................................ 63
15. ENERGETSKI ODNOSI – DJELATNA SNAGA............................................................................. 65
15.1.
15.2.
15.3.
15.4.
Rastav djelatne snage elementa mreže na komponente ............................................................ 65
Pretvorba djelatne snage na frekvenciji .................................................................................... 65
Zakon o očuvanju djelatnih snaga na frekvenciji...................................................................... 67
Manley-Rowe jednadžbe .......................................................................................................... 67
16. ENERGETSKI ODNOSI – PRIVIDNA SNAGA .............................................................................. 69
16.1.
16.2.
16.3.
16.4.
Invarijantnost izraza za snagu................................................................................................... 69
Rastav prividne snage na komponente...................................................................................... 70
Klasični rastav prividne snage u frekvencijskom području ...................................................... 72
Klasični rastav prividne snage u vremenskom području .......................................................... 73
V. JEDNADŽBE MREŽE ............................................................................................................................... 74
17. OSNOVE TOPOLOGIJE ELEKTRIČKIH MREŽA ......................................................................... 74
17.1.
17.2.
17.3.
17.4.
iv
Osnovni pojmovi....................................................................................................................... 74
Pojmovi petlje i reza ................................................................................................................. 75
Temeljni teorem teorije grafova................................................................................................ 76
Sustavni zapis jednadžbi mreže ................................................................................................ 76
18. JEDNADŽBE STANJA...................................................................................................................... 78
18.1.
18.2.
18.3.
18.4.
18.5.
18.6.
18.7.
Zahtjevi na jednadžbe mreže .................................................................................................... 78
Pravila za izgradnju prikladnog stabla...................................................................................... 78
Red složenosti mreže ................................................................................................................ 79
Određivanje jednadžbi stanja s pomoću prikladnog stabla....................................................... 79
Određivanje jednadžbi stanja s pomoću nadomjesne otporne mreže....................................... 80
Nelinearne i vremenski promjenljive mreže ............................................................................. 81
Mreže s višeprilaznim elementima ........................................................................................... 81
VI. LINEARNE VREMENSKI NEPROMJENLJIVE MREŽE ................................................................. 83
19. SUPERPOZICIJSKI INTEGRALI ..................................................................................................... 83
19.1. Skokovni odziv ......................................................................................................................... 83
19.2. Impulsni odziv .......................................................................................................................... 86
20. OSNOVNA SVOJSTVA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE..................................................... 88
20.1.
20.2.
20.3.
20.4.
20.5.
Definicija jednostrane Laplaceove transformacije.................................................................... 88
Osnovna svojstva Laplaceove transformacije........................................................................... 88
Izbor t = –0 kao donje granice definicijskog integrala.............................................................. 89
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke................................................................... 90
Veza između Laplaceove transformacije i fazorske transformacije ......................................... 92
21. ANALIZA MREŽA S POMOĆU LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE ....................................... 93
21.1.
21.2.
21.3.
21.4.
21.5.
Kirchhoffovi zakoni .................................................................................................................. 93
Konstitutivne relacije elemenata mreže u frekvencijskom području ........................................ 93
Serijsko i paralelno spajanje elemenata mreže ......................................................................... 95
Transformiranje mreža u frekvencijsko područje ..................................................................... 95
Analiza loše definiranih mreža ................................................................................................. 96
22. FUNKCIJE MREŽE ........................................................................................................................... 97
22.1.
22.2.
22.3.
22.4.
22.5.
22.6.
Definicija funkcije mreže.......................................................................................................... 97
Vrste funkcija mreže................................................................................................................. 97
Fizikalni smisao polova i nula funkcije mreže.......................................................................... 98
Svojstva ulaznih funkcija mreže ............................................................................................... 99
Svojstva prijenosnih funkcija mreže....................................................................................... 100
Mreže sa zavisnim izvorima ................................................................................................... 100
23. STABILNOST .................................................................................................................................. 102
23.1.
23.2.
23.3.
23.4.
Stabilne i nestabilne mreže ..................................................................................................... 102
Uvjeti stabilnosti ..................................................................................................................... 102
Hurwitzov test stabilnosti ....................................................................................................... 104
Stabilnost radne točke nelinearnih krugova ............................................................................ 105
VII. VIŠEFAZNE MREŽE............................................................................................................................ 107
24. OPĆA SVOJSTVA VIŠEFAZNIH MREŽA.................................................................................... 107
24.1.
24.2.
24.3.
24.4.
24.5.
Osnovni pojmovi..................................................................................................................... 107
Pojam nulišta (neutrala) .......................................................................................................... 108
Osnovna svojstva simetričnih višefaznih mreža ..................................................................... 108
Veze između faznih i međufaznih napona .............................................................................. 109
Određivanje nulišta geometrijskom konstrukcijom ................................................................ 110
25. SIMETRIČNE KOMPONENTE VIŠEFAZNIH MREŽA............................................................... 112
25.1.
25.2.
25.3.
25.4.
Pojam simetrične komponente................................................................................................ 112
Simetrične komponente trofazne mreže.................................................................................. 112
Analiza nesimetrične trofazne mreže...................................................................................... 114
Metoda simetričnih komponenata........................................................................................... 115
v
26. ENERGETSKI ODNOSI – PRIVIDNA I TRENUTNA SNAGA ................................................... 117
26.1. Prividna snaga......................................................................................................................... 117
26.2. Komponente trenutne snage.................................................................................................... 119
26.3. Potpuna kompenzacija ............................................................................................................ 121
VIII. TEOREMI MREŽA ............................................................................................................................. 123
27. TEOREM ZAMJENE ....................................................................................................................... 123
27.1. Iskaz teorema .......................................................................................................................... 123
27.2. Primjeri ................................................................................................................................... 123
28. TEOREM SUPERPOZICIJE ............................................................................................................ 124
28.1. Iskaz teorema .......................................................................................................................... 124
28.2. Primjer: Millmanov teorem..................................................................................................... 125
29. TEOREM RECIPROČNOSTI .......................................................................................................... 125
29.1.
29.2.
29.3.
29.4.
Iskaz teorema .......................................................................................................................... 125
Recipročnost elemenata mreže ............................................................................................... 126
Opća svojstva recipročnih mreža ............................................................................................ 127
Primjeri ................................................................................................................................... 129
30. THÉVENIN-NORTONOV TEOREM ............................................................................................. 130
30.1.
30.2.
30.3.
30.4.
Iskaz teorema .......................................................................................................................... 130
Dokaz teorema ........................................................................................................................ 130
Iskaz Thévenin-Nortonovog teorema u frekvencijskom području.......................................... 131
Neke primjene Thévenin-Nortonovog teorema ...................................................................... 132
IX. DVOPRILAZI .......................................................................................................................................... 134
31. JEDNADŽBE DVOPRILAZA ......................................................................................................... 134
31.1.
31.2.
31.3.
31.4.
Strujne jednadžbe.................................................................................................................... 134
Naponske jednadžbe ............................................................................................................... 135
Hibridne jednadžbe ................................................................................................................. 136
Prijenosne jedandžbe .............................................................................................................. 137
32. SVOJSTVA DVOPRILAZA ............................................................................................................ 139
32.1. Ekvivalencija mreža................................................................................................................ 139
32.2. Spajanje dvoprilaza................................................................................................................. 141
IZVORI PODATAKA ...................................................................................................................... 145
vi
PREDGOVOR
Skripta sadrže bilješke s predavanja iz predmeta Teorija mreža koja držim studentima druge godine na
Elektrotehničkom fakultetu u Osijeku. Prvih trinaest predavanja te 17. i 18. predavanje predajem u okviru predmeta
Linearne i nelinearne mreže na Elektrotehničkom odjelu Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, a u istom opsegu ovo se
gradivo predaje i na Veleučilištu u Požegi.
Teorija mreža temelji se na prihvaćanju jednog skupa pretpostavki, tzv. postulata teorije mreža koji nisu posve točni. To
je ono što ju čini teorijom. Ona se ne bavi stvarnim svijetom elektrotehnike. U stvari, ona se bavi isključivo jednim
izmišljenim svijetom, svijetom modela, ali tako da se njome, manje više uspješno, može predočiti najveći broj činjenica iz
stvarnog svijeta elektrotehnike.
Kao što pojedinac mora sâm zapažati i misliti, on mora sâm i učiti. Drugi mogu pokušati tek da mu pomognu. Tako
valja shvatiti i ova skripta. Ona su pokušaj da se studentu olakša uvod u svijet osnovnih pojmova i činjenica iz teorije
mreža. U tu svrhu posebnu sam pažnju obratio na terminologiju, oznake i sustave referencija. To je bitno želi li se veliki
broj činjenica objasniti što je moguće točnije, a da se istodobno zadrži razumljivost dovoljna za primjenu tih činjenica u
praksi. Imajmo uvijek na umu da činjenice same po sebi ne čine istinu, čini ju sklad između činjenica.
Posebnu zahvalnost dugujem asistentima Denisu Pelinu i Željku Stojanoviću na korisnim primjedbama, te studentima
Elektrotehničkog fakulteta u Osijeku Miroslavu Grgiću, Tomislavu Šmitu, Valentu Turkoviću i Davoru Vlašiću koji su
brzo i vješto pripremili tekst i slike za tisak.
Osijek / Zagreb, travnja 2000.
Ivan Flegar
vii
I. Uvod
1
I. PREDAVANJE
Osnovni pojmovi teorije mreža. Četiri postulata. Referentni smjerovi napona i struje elemenata mreže.
Kirchhoffovi zakoni: Kirchhoffov zakon struje (KZS), Kirchhoffov zakon napona (KZN). Posljedice KZS-a i KZNa. Poopćenje Kirchhoffovih zakona. Primjeri linearnih i nelinearnih transformacija. Dokaz Tellegenovog teorema.
Zakon o očuvanju energije kao posebni slučaj Tellegenovog teorema.
1. UVOD
1.1 OSNOVNI POJMOVI
•
Električka mreža. Skup električkih naprava
(komponenata) međusobno spojenih vodičima tako da
se za zadane poticaje ostvare željeni odzivi. Pod
električkim napravama smatramo svrhovito izgrađene
elektrotehničke
objekte,
primjerice:
diode,
kondenzatori, generatori, operacijska pojačala i dr.
Poticaji
{xi (t)}
i=1,2,…,p
MREŽA
•
Maxwellov model. Najpotpuniji opis pojava u
elektrotehnici na osnovi kojeg je izgrađena teorija
elektromagnetskog polja. Ovim modelom uzeta je u
obzir činjenica da mreža zauzima dio realnog prostora,
te da pri opisu pojava u mreži valja uzeti u obzir
konačnu brzinu širenja elektromagnetskih pojava te
ovisnost varijabli mreže o prostornim koordinatama.
•
Kirchhoffov model. Pojednostavljeni Maxwellov
model koji se s tehnički prihvatljivom točnošću može
primijeniti na većinu u praksi važnih mreža. Na osnovi
Kirchhoffovog modela izgrađena je teorija mreža.
Pretpostavke s pomoću kojih se Maxwellov model
svodi na Kirchhoffov model nazivaju se postulati
teorije mreža.
1.
Dimenzije (električkih) naprava kao i od njih
stvorenih mreža zanemarive su u odnosu prema valnoj
dužini koja odgovara najvišoj frekvenciji bitnoj za rad
razmatranih naprava odnosno mreža.
Spojni vodiči između naprava beskonačne su
vodljivosti i oko njih nema elektromagnetskog polja.
Rezultantni naboj svake naprave u mreži jednak je
nuli.
Nema magnetske veze između naprava u mreži.
Odzivi
{yj (t)}
j=1,2,…,r
Sl. 1.1 Električka mreža sa p poticaja i r odziva.
•
Analiza mreže. Postupak kojim se za zadanu mrežu i
zadane poticaje određuju odzivi. Analiza mreža jest
inženjerska zadaća rješiva egzaktnim metodama na
nivou modela.
•
Model. Skup jednadžbi koji povezuje odabrane
varijable analizirane pojave u električkoj napravi
odnosno skupu električkih naprava (mreži).
Ispitivanjima originala (stvarne mreže) provjerava se
vjerodostojnost modela. I ako zanemarimo pogreške
mjerne opreme te djelovanje mjerne opreme na rad
ispitivane stvarne mreže, rezultati analize uvijek će se
razlikovati od rezultata dobivenih ispitivanjima
stvarne mreže. Ovu razliku u osnovi uvjetuju tri
faktora neizbježno prisutna u svakom procesu
izgradnje modela. To su:
- neodređenost stvarne mreže, budući da sve
varijable o kojima ovisi pojava nisu nikad
poznate,
- model predstavlja pojednostavljenje u odnosu na
stvarnu mrežu budući da se uzimaju u obzir samo
neke od poznatih varijabli stvarne mreže, i
- model posjeduje neka svojstva koja stvarna mreža
ne posjeduje.
•
Sinteza mreže. Postupak kojim se za zadane poticaje i
zadane odzive određuje (električka) mreža. Sinteza
mreža je osnovna inženjerska zadaća. Nerješiva je
egzaktnim metodama. Veliki broj provedenih analiza,
prethodno iskustvo te intuicija omogućuju inženjeru
da se snađe u problemima sinteze.
2.
3.
4.
Četiri postulata teorije mreža
a)
Na osnovi prvog postulata proizlazi da je svaka mreža
koja se može opisati Kirchhoffovim modelom
prostorno malena, tj. može se smatrati da se
elektromagnetske pojave nakon pojave poticaja
trenutno prošire cijelom mrežom. Zbog toga dimenzije
naprava i njihov fizički razmještaj ne utječu na pojave
u mreži te varijable mreže ne trebaju ovisiti o
prostornim koordinatama.
b) Na osnovi ostalih postulata proizlazi da se svi fizikalni
procesi odvijaju samo unutar naprava što znači da
izvan naprava ne postoji elektromagnetsko polje.
•
Temeljne varijable Kirchhoffovog modela. Naprave
su međusobno elektromagnetski odvojene i u kontaktu
su samo s pomoću vodiča spojenih između priključaka
naprava. To znači da se sva svojstva naprava mogu
iskazati samo s pomoću varijabli definiranih na
priključcima naprava. To su:
2
- naponi između priključaka u(t), definirani razlikom
potencijala priključaka,
- struje priključaka i(t),
te njihove integralne veličine
uα
iα
A
B
α
t
- naboj
q (t ) =
∫ i( x)dx
u0B
u0A
−∞
t
- tok
ϕ (t ) = ∫ u ( x)dx
0
−∞
Sl. 1.2 Pridruženi referentni smjerovi napona i struje.
Pri tome pretpostavljamo da su vrijednosti varijabli
naboja i toka u trenutku t = −∞ jednake nuli, tj. sa t = −∞
označen je trenutak kad je promatrana mreža (model)
stvorena.
•
Element mreže. Model kojim je predočen jedan
fizikalni proces u napravi.
a)
b)
c)
•
•
•
Otpor – njime je predočen proces pretvorbe
električne energije u neki drugi oblik kao i
obratni proces.
Kapacitet – njime je predočen proces
uskladištenja elektrostatičke energije.
Induktivitet – njime je predočen proces
uskladištenja magnetske energije.
Konstitutivna relacija elementa mreže. Veza između
temeljnih varijabli Kirchhoffovog modela definiranih
na priključcima elemenata mreže koja vrijedi za bilo
koji poticaj i u bilo kojem trenutku. Element mreže sa
dva priključka opisan je funkcijskom vezom između
dviju temeljnih varijabli.
Kirchhoffova mreža. Mreža sastavljena od elemenata
mreže. Dobiva se iz stvarne mreže tako da se svaka
naprava zamijeni skupom elemenata mreže i ti se
skupovi elemenata mreže međusobno spoje na isti
način kako su spojene naprave u stvarnoj mreži. U
elektrotehnici se ovako stvorena mreža zove
nadomjesna shema spoja stvarne mreže.
Kirchhoffove se mreže često nazivaju i mreže sa
zbijenim (koncentriranim) elementima.
Teorija mreža. Grana elektrotehnike koja se bavi
analizom i sintezom Kirchhoffovih mreža. U nastavku
bavit ćemo se samo dijelom teorije mreža i to onim
koji se odnosi na analizu mreža. Pod pojmom mreže
smatrat ćemo, osim ako se izričito ne navede drukčije,
model mreže. Zamjena naprava skupovima elemenata
mreže tj. modeliranje naprava nije predmet teorije
mreža.
1.2 REFERENTNI SMJEROVI NAPONA I STRUJE
ELEMENTA MREŽE
Analizi bilo koje mreže prethodi pridjeljivanje
referentnih smjerova napona i struje svakom elementu
mreže. Iako je izbor referentnog smjera napona posve
neovisan o izboru referentnog smjera struje, zgodno je
odabrati tzv. pridružene referentne smjerove, slika 1.2.
Referentni smjer napona uα i struje iα elemenata mreže α
pridruženi su ako pozitivna struja iα ulazi u element mreže
α na priključku A, a izlazi na priključku B, s time da je u
odnosu na neku po volji odabranu točku referencije 0
razlika napona između priključaka A i B pozitivna, tj. da
vrijedi:
u0 A − u 0 B > 0
(1)
Ako sa nakon analize mreže dobije da se u nekom
trenutku t0 stvarni smjerovi napona i struje elemenata
mreže α podudaraju s pridruženim ili su oba suprotna od
pridruženih, bit će:
pα (t 0 ) = u α (t 0 )iα (t 0 ) > 0
(1a)
Element mreže α ponaša se u trenutku t0 kao trošilo, tj.
prima električnu energiju iz drugih dijelova mreže. U
protivnom bit će:
p α (t 0 ) = u α (t 0 )i α (t 0 ) < 0
(1b)
i element mreže α se u trenutku t0 ponaša kao izvor, tj.
predaje električnu energiju drugim dijelovima mreže.
Razmatranje se može proširiti na po volji odabran interval
(t0, t) pa vrijedi:
t
∫u
t0
α
( x) iα ( x)dx > 0
<
trošilo
izvor
(2)
1.3 KIRCHHOFFOVI ZAKONI (G.Kirchhoff, 1847.)
1.3.1 Kirchhoffov zakon struje (KZS)
U skladu s trećim postulatom rezultantni naboj svake
naprave u mreži jednak je nuli. To znači da je algebarski
zbroj struja svih priključaka neke naprave u bilo kojem
trenutku jednak nuli.
Za j-tu napravu Nj sa m-priključaka, slika 1.3, vrijedi da
je:
m
∑a
k =1
i =0
jk k
(3)
I. Uvod
gdje je:
a jk
+ 1


= − 1
 0


3
pri čemu je sa RSSČ označen referentni smjer struje j-tog
čvora, a sa b ukupni broj grana mreže.
ako se RSSN podudara sa RS struje k - tog
priključka
ako se RSSN ne podudara sa RS struje k - tog
priključka
ako k - ti priključak nije spojen na ostale dijelove
mreže
RSSČ
i4
i1
Vrijedi: i1 + i2 − i3 − i4 = 0
RSSN - skraćenica za referentni smjer struje naprave
RS
- skraćenica za referentni smjer
i3
i2
Ono što vrijedi za svaku napravu vrijedi i za njen model,
RSSN
m
1
i1
2
Sl. 1.4 Uz objašnjenje referentnog smjera struje čvora.
i2
1.3.2 Kirchhoffov zakon napona (KZN)
im
Kirchhoffov zakon napona jest posebni slučaj
Faradayevog zakona. Faradayev zakon izriče da je zbroj
svih napona u nekoj petlji jednak brzini promjene
magnetskog toka ulančanog tom petljom.
No, prema drugom i četvrtom postulatu teorije mreža
izvan naprava nema elektromagnetskog polja što znači da
u Kirchhoffovom modelu neke mreže ne postoji niti jedna
petlja prožeta promjenljivim magnetskim tokom. Vrijedi:
m-1
Nj
im-1
ik
k
Sl. 1.3 Uz objašnjenje referentnog smjera struje naprave (RSSN).
Od označenih struja aj1=ajk=ajm-1=+1, aj2=ajm=–1.
što znači da za svaki dio mreže koji je s pomoću m
priključaka spojen na ostatak mreže vrijedi izraz (3).
Definiramo li čvor kao mjesto spoja priključaka dviju ili
više naprava mreže (elemenata mreže), to će izraz (3)
vrijediti i za svaki čvor stvarne mreže kao i za njen model.
Vrijedi:
Kirchhoffov zakon struje (KZS)
Za svaku Kirchhoffovu mrežu, za svaki od njenih čvorova,
u bilo kojem trenutku, algebarski zbroj struja grana
spojenih na isti čvor jednak je nuli.
Kirchhoffov zakon napona (KZN)
Za svaku Kirchhoffovu mrežu, za svaku njenu petlju, u
bilo kojem trenutku, algebarski zbroj napona grana duž
jedne petlje jednak je nuli.
Pojam petlje bit će objašnjen kasnije. Intuitivno je petlja
zatvoreni put duž mreže, tj. put koji nastaje tako da
krenemo od jednog čvora prolazeći nizom grana, ali tako
da se vratimo u polazni čvor, ne prolazeći nikada dvaput
istim čvorom.
KZN se iskazuje u obliku:
b
∑b
jk
uk = 0
za j - tu petlju
(5)
k =1
Pri tome se pod granom smatra dio mreže koji se sastoji od
jednog ili više elemenata mreže spojenih između jednog
para priključaka.
Analogno izrazu (3), KZS se može iskazati u obliku:
b
∑ a jk ik
=0
za j - ti čvor
(4)
k =1
gdje je:
 1 ako se RSSČ podudara sa RS struje k - te grane

a jk = − 1 ako se RSSČ ne podudara sa RS struje k - te grane
 0 ako k - ta grana nije spojena na j - ti čvor
gdje je
+ 1 ako se RSNP podudara sa RS napona k - te grane

b jk = − 1 ako se RSNP ne podudara sa RS napona k - te
grane
 0 ako se k - ta grana ne nalazi u sastavu j - te petlje

pri čemu je sa RSNP označen referentni smjer napona j-te
petlje, a sa b ukupni broj grana mreže.
4
2.
u1
RSNP
u2
Određivanje efektivne vrijednosti
transformacija varijabli ik i uk, tj.
Ik =
u4
T
1
T
∫
i k2 dt
; Uk =
0
1
T
nije
linearna
T
∫u
2
k
dt
0
Zbog toga Kirchhoffovi zakoni u općem slučaju ne
vrijede za efektivne vrijednosti. Dakle,
u3
b
∑a
u1 − u 2 − u 3 − u 4 = 0
b
I ≠0 ;
jk k
k =1
∑b
jk
Uk ≠ 0
k =1
Sl. 1.5 Uz objašnjenje referentnog smjera napona petlje.
1.4. TELLEGENOV TEOREM
1952.)
1.3.3 Posljedice Kirchhoffovih zakona
a)
Sve struje u granama mreže nisu međusobno
nezavisne.
b) Svi naponi grana mreže nisu međusobno nezavisni.
c) Struje i naponi grana ograničeni su jednadžbama koje
proizlaze iz primjene KZS-a i KZN-a na analiziranu
mrežu. Ove jednadžbe ne ovise o karakteru elemenata
koji tvore mrežu nego samo o grafu mreže.
Pod grafom se smatra grafički prikaz mreže i sastoji se
od čvorova i linijskih segmenata kojima su prikazane
grane.
d) Kirchhoffovi zakoni vrijede ne samo za trenutne
vrijednosti struja i napona, kako je to dano izrazima
(4) i (5), nego i za sve linearne transformacije ovih
izraza.
Označimo li sa Λi linearni operator koji djeluje na
struje a sa Λu linearni operator koji djeluje na napone
mreže, Kirchhoffovi zakoni poprimaju oblik:
b
∑ a jk Λi (ik ) = 0
za j - ti čvor
Pretpostavimo dvije mreže M1 i M2 koje su međusobno
slične samo po tome što imaju isti graf, a time i jednaki
broj grana b i čvorova n. Označimo napon k-te grane mreže
M1 sa uk a struju k-te grane mreže M2 sa ik . Pitamo se
čemu je jednak izraz
b
∑u i
k k
k =1
Označimo napone i struje svake grane dvojnim
indeksima koji odgovaraju oznakama čvorova. Tada je
b
∑u i
k =1
u 2 i2 =
za j - tu petlju
1 n n
∑∑ u βα iαβ
2 α =1 β =1
(9)
U dvostrukoj sumi produkt u k ik svake grane pojavljuje se
dva puta. Tako, primjerice za granu 2 između čvorova 3 i 6
vrijedi da je
(6)
(7)
k =1
=
k k
k =1
b
∑ b jk Λu (u k ) = 0
(B.D.H. Tellegen,
1
(u36 i36 + u 63i63 )
2
Očigledno je u 63 = −u 36 , odnosno i63 = −i36 što objašnjava
zašto se ispred dvostruke sume pojavljuje faktor ½.
Primjeri:
uβα
1.
Budući da je integriranje linearna transformacija, te
ako sa
I k (0 ) =
1
T
T
∫ ik dt
0
; U k (0 ) =
1
T
uαγ
T
∫u
k
dt
0
za j - ti čvor
(8)
k =1
b
∑b
k =1
jk
U k (0 ) = 0
za j - tu petlju
iαβ
β
M2
M1
γ
Sl. 1.6 Uz dokaz Tellegenovog teorema
U skladu sa KZN, a koristeći oznake dane na slici 1.6
vrijedit će da je
b
∑
uγβ
α
γ (referentna točka)
označimo srednje vrijednosti struje odnosno napona
k-te grane, gdje je sa T označena perioda rada,
dobivamo da Kirchhoffovi zakoni vrijede i za srednje
vrijednosti.
a jk I k (0) = 0
β
α
u βα + uαγ + u γβ = 0
I. Uvod
što uvršteno u (9) daje
−
a)
n
n
1 n n
1 n
1 n
(
u
+
u
)
i
=
−
u
i
−
u
αγ ∑ αβ
∑∑ αγ γβ αβ 2 ∑
∑ γβ ∑ iαβ
2 α =1 β =1
2 β =1 α =1
α =1
β =1
jer se redoslijed zbrajanja u dvostrukoj sumi smije
mijenjati. No, prema KZS-u je
n
n
∑i
αβ
=0 ;
∑i
αβ
=0
α =1
β =1
budući da prva suma predstavlja zbroj struja u čvoru α, a
druga zbroj struja u čvoru β. Proizlazi da je
b
∑u i
k k
=0
(10)
k =1
5
Umjesto dviju mreža M1 i M2 pretpostavimo jednu
mrežu M. Ako se vrijednosti napona i struje k-te grane
odnose na isti trenutak proizlazi iz (10) da je
b
∑u
k
(t ) ik (t ) = 0
(11)
k =1
što je s pomoću snaga izražen zakon o očuvanju
energije. Budući da je za izvod Tellegenovog teorema
bitno samo da važe Kirchhoffovi zakoni, to se ovi
zakoni mogu shvatiti i kao drugi način iskaza zakona o
očuvanju energije.
b) Kirchhoffovi zakoni vrijede za sve linearne
transformacije varijabli napona i struja. Zbog toga se i
Tellegenov teorem u najopćenitijem obliku može
napisati u obliku
b
∑ Λ (u
u
Ovaj se izraz naziva Tellegenov teorem. Iz Tellegenovog
teorema proizlazi:
k =1
k
) ⋅ Λi (ik ) = 0
(12)
6
2. Jednoprilazni disipativni elementi (otpori)
II. PREDAVANJE
Vrste elemenata mreže: otpor, kapacitet, induktivitet, Memristor kao četvrti element mreže. Definicija otpora.
Podjela otpora: linearni/nelinearni, vremenski promjenljivi/vremenski nepromjenljivi, upravljani strujom/
upravljani naponom i monotoni otpori, aktivni/pasivni. Aktivni otpori: nezavisni naponski izvori, nezavisni strujni
izvori, zavisni izvori. Pasivni otpori: striktno pasivni, lokalno aktivni. Svojstva pasivnih otpora: jalova snaga, nove
frekvencije, pojačanje, upravljanje snagom. Svojstva aktivnih otpora: nelinearnost, reverzibilnost. Opstojnost
linearnog aktivnog otpora. Položaj nezavisnih izvora u mreži. Naponski izvor kao poopćeni kratki spoj. Strujni
izvor kao poopćeni prekid. Uvjet nepromjenljivosti strukture mreže.
I. ELEMENTI MREŽE
Element mreže je model kojim je predočen jedan fizikalni proces u električkoj napravi. U električkim napravama za
koje vrijedi Kirchhoffov model razlikuju se tri fizikalna procesa: pretvorba električne energije u drugi oblik i obratno,
uskladištenje elektrostatičke energije i uskladištenje magnetske energije. Zbog toga postoje i tri odgovarajuća elementa
mreže: otpor, kapacitet i induktivitet.
S druge strane, element mreže definiran je funkcijskom vezom između dviju temeljnih varijabli Kirchhoffovog modela
mreže. Od četiri temeljne varijable (u, i, q, ϕ) može se stvoriti šest različitih parova varijabli. Pri tome su dva para (u, ϕ) i
(i, q) već povezani relacijama u=dϕ /dt i i=dq /dt, te preostala četiri para daju četiri elementa mreže. To su: (u, i)-otpor, (u,
q)-kapacitet, (i,ϕ)-induktivitet i (ϕ, q)-memristor.
Formalno uvedeni četvrti element mreže memristor (Chua, 1971.) može se realizirati samo s pomoću ostalih elemenata
mreže. Linearni memristor identičan je linearnom otporu, dok nelinearni memristor posjeduje svojstvo pamćenja; odatle
mu i potječe naziv (memory resistor).
u
i
d
dt
∫
d
dt
∫
ϕ
q
Sl. 2.1 Veze između temeljnih varijabli.
2. JEDNOPRILAZNI DISIPATIVNI ELEMENTI (OTPORI)
2.1 OSNOVNI POJMOVI
•
Prilaz. Svaki par priključaka elementa mreže sa
svojstvom da je za svaki trenutak t struja koja ulazi u
jedan od priključaka jednaka struji koja izlazi iz
drugog priključka.
i
1'
i'
MREŽA
i
u
a)
b)
Sl. 2.2 a) Priključci 1 i 1’ tvore jednoprilaz ako je i+i'=0
b) Simbol jednoprilaznog otpora.
•
Jednoprilaz. Element mreže sa dva priključka.
•
Jednoprilazni disipativni element (otpor). Jednoprilaz
kojem se za bilo koji poticaj, u bilo kojem trenutku t,
napon i struja mogu prikazati krivuljom u ravnini u-i.
ℛ = { (u , i ) ; f (u, i, t ) = 0 }
1
(1)
Funkcija f(u,i,t)=0 naziva se karakteristikom otpora u
trenutku t.
2.2 PODJELA OTPORA
2.2.1 Vremenska promjenljivost / nepromjenljivost
(VP/VNP)
Otpor je vremenski promjenljiv ako se u njegovoj
karakteristici eksplicitno pojavljuje nezavisna varijabla t,
7
I. Elementi mreže
izraz (1). U protivnom otpor je vremenski nepromjenljiv,
zadan izrazom:
i
t1
ℛ = { (u , i ) ; f (u, i ) = 0 }
t2
i
i
u
u
a)
u
i
i
a)
i
t3
t1
C
t2
i
u
u
iB
B
b)
Sl. 2.4 a) Primjer linearnog i vremenski promjenljivog
otpora.
b) Dva primjera nelinearnog i vremenski
nepromjenljivog otpora.
u
b)
Sl. 2.3 a) Dioda kao vremenski nepromjenljivi otpor.
b) Bipolarni tranzistor kao vremenski promjenljivi otpor.
Parametar: struja baze u tri trenutka,
iB(t1)<iB(t2)<iB(t3).
2.2.3 Upravljanost
a)
Otpor je naponom upravljan ako se struja otpora
može izraziti kao jednoznačna funkcija napona na
otporu, tj.
i (t ) = f [u (t ) , t ]
2.2.2 Linearnost / nelinearnost (L/NL)
a) Otpor je linearan ako se njegova karakteristika
može prikazati linearnom funkcijom, tj. funkcijom
koja zadovoljava
- svojstvo homogenosti
f(α u) = α f(u) , α = konst.
- svojstvo aditivnosti
f(u1+u2) = f(u1) + f(u2)
b) Otpor je strujom upravljan ako se napon na otporu
može izraziti kao jednoznačna funkcija struje
otpora, tj.
u (t ) = g [i (t ) , t ]
(2a)
c)
(2b)
Oba svojstva zajedno u elektrotehnici tvore načelo
superpozicije. Proizlazi da je otpor linearan ako vrijedi:
Otpor je monoton ako je i strujno i naponski
upravljan.
i
f (u , i ) = u − Ri = 0 ; f (u , i, t ) = u − R(t ) i = 0 (3)
(3)
Ovaj se izraz naziva Ohmov zakon. (G. S. Ohm, 1827.)
Dva važna primjera linearnih
nepromjenljivih otpora su:
- kratki spoj
- prekid
;
;
i
i
u
u
a)
b) Otpori koji ne zadovoljavaju uvjete (2) su
nelinearni.
c)
u
E
b)
i
vremenski
u = 0 , struja po volji
i = 0 , napon po volji
u
c)
Sl. 2.5 a)
b)
c)
Naponom upravljani otpor (tunel dioda).
Strujom upravljani otpor (plinom punjena cijev).
Monotoni otpor.
8
2. Jednoprilazni disipativni elementi (otpori)
2.2.4 Aktivnost / pasivnost
b) nezavisni strujni izvor
i(t) = zadano
U skladu s izborom pridruženih referentnih smjerova
(poglavlje 1.2) vrijedit će:
;
Posljedice:
Da bi otpor bio pasivan karakteristika mu se mora
nalaziti samo u I. i III. kvadrantu u-i ravnine, dakle
mora prolaziti kroz ishodište.
b) Da bi otpor bio aktivan karakteristika mu ne smije
prolaziti kroz ishodište.
i(t)
i(t)
a)
i(t)
E
u(t)
2.2.4.1 Podjela pasivnih otpora
a) Otpor je striktno pasivan ako za bilo koje dvije točke
A i B odabrane na njegovoj karakteristici vrijedi:
(4)
Sl.2.7
b)
[u A (t1 ) − u B (t 2 )][i A (t1 ) − iB (t 2 )] < 0
a) Uobičajeni simboli općeg i istosmjernog nezavisnog
naponskog izvora.
b) Uobičajeni simbol općeg nezavisnog strujnog izvora.
Slika 2.8 pokazuje karakteristike dvaju nezavisnih
izvora.
b) Otpor je lokalno aktivan odnosno kvaziaktivan ako se
na njegovoj karakteristici mogu pronaći dvije točke A i
B za koje vrijedi da je:
t3 =
3π
2ω
i
t1 =
0
1
2
i
A
A
B
u
tiristor
Sl. 2.6 Dioda kao primjer striktno pasivnog otpora, te tunel dioda
i tiristor kao primjeri kvaziaktivnih otpora.
2.2.4.2 Podjela aktivnih otpora
Aktivni otpori (izvori) dijele sa na nezavisne i na
zavisne izvore. Kod nezavisnih izvora zadan je ili valni
oblik napona u(t) ili valni oblik struje i(t) koji ne ovise o
ostalim elementima mreže. Razlikujemo:
a) nezavisni naponski izvor:
u(t) = zadano
;
I0
Û
Û u
i(t) = po volji
u
b)
b) Karakteristika nezavisnog strujnog izvora i=I0.
Kod zavisnih izvora razlikujemo također zavisne
naponske izvore od zavisnih strujnih izvora. Njihove
konstitutivne relacije također su dane izrazima (6) odnosno
(7), s tim da je, recimo, kod zavisnog naponskog izvora
valni oblik napona zadan relacijom koja ga povezuje s
nekom strujom ili nekim naponom u mreži. Analogno
vrijedi i za zavisne strujne izvore. O tome više u poglavlju
4!
tunel dioda
i
i
π
2ω
Sl. 2.8 a) Karakteristika nezavisnog naponskog izvora
u = Uˆ sin ω t u nekoliko odabranih trenutaka.
u
u
dioda
t2 =
a)
B
B
π
6ω
(5)
−Û
A
u(t)
a)
[u A (t1 ) − u B (t 2 )][i A (t1 ) − iB (t 2 )] ≥ 0
(7)
Nezavisnim izvorima uobičajeno se pridjeljuju
referentni smjerovi suprotni pridruženim referentnim
smjerovima. Pod tim uvjetima, slika 2.7, umnožak u(t)i(t)
znači snagu koju nezavisni izvor odaje mreži koja je na
njega priključena.
≥
pasivni otpor (trošilo)
pα (t ) = u α (t ) ⋅ iα (t )
0
<
aktivni otpor (izvor)
i
u(t) = po volji
(6)
Napomena: Uobičajeno je da se kod navođenja vrsta nezavisnih
izvora pridjev "nezavisan" izostavlja tako da je
dovoljno navesti samo naponski ili strujni izvor, dok
se kod navođenja vrsta zavisnih izvora ili navede
pridjev "zavisan" ili se navede varijabla o kojoj ovisi
valni oblik napona ili struje izvora, recimo strujom
upravljani naponski izvor.
2.3 SVOJSTVA PASIVNIH OTPORA
2.3.1 Jalova snaga (S.Fryze, 1932.)
Pojavu jalove snage pokažimo na primjeru mreže sheme
spoja prema slici 2.9.
9
I. Elementi mreže
iE
iE
V, f
E
R
R
E
t
(1-α)T
αT
0 ≤α ≤1
Sl. 2.9 Periodički upravljana sklopka V uklapa / isklapa linearni
vremenski nepromjenljivi otpor R. Frekvencija sklapanja
f=1/T.
Djelatna (srednja) snaga izvora je:
PE =
1
T
T
∫
Ei E dt = α
0
E2
R
(8)
i očigledno je da je to jedini slučaj kada se neće pojaviti
nove frekvencije. Proizlazi:
Svaki pasivni otpor osim linearnog vremenski
nepromjenljivog otpora uzrokuje pojavu novih
frekvencija u mreži.
2.3.3 Pojačanje
dok je prividna snaga izvora
SE = E ⋅ I E = E ⋅
gdje je ω = 2π / T. U istosmjernom krugu dobivene su
nove frekvencije.
Analogno bi se to moglo pokazati i za nelinearne
vremenski nepromjenljive otpore.
Ako je otpor linearan i vremenski nepromjenljiv vrijedi
da je
u (t ) = Ri (t )
1
T
T
∫
i E2 dt = α
0
E2
R
(9)
Kako je α ≤ 1, opažamo da je
S E ≥ PE
što znači da se u mreži sheme spoja prema slici 2.7
pojavila jalova snaga!
Pojačanje je proces u kojem je izlazni signal (posljedica)
veći od ulaznog signala (uzroka). Energetski gledano, ovo
je moguće samo ako se potrebna energetska razlika
preuzme iz dodatnog izvora. Uobičajeno, izmjenični signal
se pojača na račun energije iz istosmjernog izvora, što
znači da dolazi do pretvorbe snage na frekvenciji.
Kasnije će biti pokazano da je pretvorba istosmjerne
snage u izmjeničnu moguća samo s pomoću kvaziaktivnih
otpora. Pokažimo to na jednom primjeru.
Prema Fryze-u, u skladu s Cauchy-Bunjakovskoga
jednakošću za neki element mreže α vrijedi
T
▋
T
1
[uα (t ) iα (τ ) − uα (τ ) iα (t )]2dt dτ
2T 0 0
1444444244444443
Qα2
Sα2 = Pα2 +
E
R
i
∫ ∫
Jalova snaga elementa mreže α jednaka je nuli samo ako je
a)
i
E
R
R
u α (t ) iα (τ ) − u α (τ ) iα (t ) = 0
A
u α (t ) u α (τ )
=
= konst. = R
iα (t ) iα (τ )
− RV
uu
I0
Kako su t i τ nezavisne varijable, to je ovaj uvjet moguće
zadovoljiti samo ako je
ui
V
uu
(10)
U0
2Û u
u~i
E ui
b)
c)
Sl. 2.10 Uz objašnjenje pojačanja na primjeru sklopa s tunel
diodom.
Proizlazi:
Svaki pasivni otpor osim linearnog vremenski
nepromjenljivog otpora uzrokuje pojavu jalove snage u
mreži.
2.3.2 Nove frekvencije
Ako se u prethodnom primjeru, slika 2.9, valni oblik
struje razvije u Fourierov red dobit će se da je
∞
iE (t ) = I E (0) + ∑ IˆE (n) sin( nω t + ϕ n )
n =1
Pretpostavimo da je na sklop prema slici 2.10a narinut
izmjenični napon u u = Uˆ u sin ω t te da je "hod" signala
uu(t) "malen" tj. da se karakteristika tunel diode u okolišu
radne točke A može zamijeniti linearnim negativnim
otporom − RV .
Promatrano samo sa stajališta "malog" harmonijskog
signala, vrijedi da je
u~i = −
RV
R − RV
uu
10
2. Jednoprilazni disipativni elementi (otpori)
~
1
R omogućava pojačanje, tj. da je | Uˆ i |> Uˆ u .
2
Istosmjerni izvor pokriva gubitke u radnoj točki U0I0 te
dodatnu energiju potrebnu za ostvarenje izlaznog signala.
što za RV >
i
I0
Zaključujemo:
Svaki kvaziaktivni otpor omogućuje pojačanje
izmjeničnog signala na račun dodatnog istosmjernog
izvora.
0'
U0
u'
u
Sl. 2.11 K objašnjenju pojma linearnog aktivnog otpora.
2.3.4 Upravljanje snagom
U primjeru danom na slici 2.9 vidimo da se mijenjajući
trajanje uklopljenog stanja α može upravljati snagom
trošila, izraz (8). Ovo vrijedi i općenito:
Svaki vremenski promjenljivi
upravljanje snagom.
0
i'
otpor
omogućuje
p(t ) = − R i 2 (t )
predanu drugim dijelovima mreže, kao parametar figurira
samo vrijednost otpora R , a kako je taj R realiziran nije
predmet Teorije mreža.
2.4 SVOJSTVA AKTIVNIH OTPORA
2.5 POLOŽAJ IZVORA U MREŽI
Aktivni otpori su nelinearni otpori. Primjeri: akumulator
i istosmjerni generator su nelinearni vremenski
nepromjenljivi otpori, dok je izmjenični generator
nelinearni vremenski promjenljivi otpor. U Teoriji mreža
se dodatno pretpostavlja da su aktivni otpori reverzibilni,
tj. da vrijedi
Izvori su elementi mreže s pomoću kojih se električna
energija uvodi u mrežu i najčešće ih valja shvatiti kao
poticaje. Odzivi ovise o strukturi mreže, tj. o broju čvorova
i grana te sadržaju grana analizirane mreže kao i o obliku
poticaja. S obzirom na to kako su izvori definirani, izrazi
(6) i (7), nije svejedno mjesto njihovog djelovanja u mreži.
Naime, budući da je svaki naponski izvor definiran tako da
mu je zadan valni oblik napona koji ne ovisi o struji koja
kroz njega protječe to se svaki naponski izvor može
interpretirati kao poopćeni kratki spoj. Analogno tome
svaki se strujni izvor može interpretirati kao poopćeni
prekid.
Uvođenjem kratkih spojeva i prekida u mrežu može se
ali i ne mora promijeniti polazna struktura mreže.
Pokažimo to na jednostavnom primjeru, slika 2.12a, gdje
se polazna mreža sastoji od dviju podmreža M1 i M2 i
otpora R spojenog na prilazu 1. Ako se na prilaz 1 u
trenutku t0 spoji naponski izvor u(t) opažamo sljedeće:
- Do trenutka t=t0 napon između čvorova 1 i 1' ovisio je
o svim elementima mreže M1+M2+R.
- Od trenutka t=t0 napon između čvorova 1 i 1' je zadan,
dakle ne ovisi više uopće o elementima mreže
M1+M2+R.
- Struja kroz otpor R je poznata, jer je poznat napon na
otporu u(t), te ga se u nastavku analize ne treba uopće
uzimati u obzir, tj. kao da je odspojen.
- Jednadžbe KZN-a podmreža M1 i M2 ostaju
nepromijenjene ako se izvor u(t) "gurne" kroz čvor 1
kako je to pokazano na slici 2.12b.
- Grana 1-1' postaje kratkospojna grana i podmreža M1
postala je nezavisna od podmreže M2.
pα (t ) < 0 , ali i pα (t ) > 0 .
Pitanje: Je li moguć linearni aktivni otpor ?
U skladu s izloženim u 2.2.2 i 2.2.4 to izgleda
nemoguće, budući da linearnost zahtijeva da karakteristika
bude pravac kroz ishodište, a aktivnost da karakteristika ne
smije proći kroz ishodište.
Ovu kontradikciju možemo izbjeći samo ako se
aktivnost nekog otpora definira u odnosu na neku pogodno
odabranu fiksnu točku njegove karakteristike (U0,I0) tako
da u okolišu točke (U0,I0) vrijedi da je
(u − U 0 ) (i − I 0 ) < 0
Ovo je i pokazano u odsječku 2.3.3 gdje je tunel dioda u
okolišu radne točke zamijenjena linearnim negativnim
otporom, drugim riječima linearnim aktivnim otporom. No,
to je moguće samo uz pomoć dodatnog izvora energije.
Na slici 2.10.c mi smo u stvari pretpostavili
karakteristiku nelinearnog otpora u novom koordinatnom
sustavu u'-i' čije je ishodište smješteno u točku (U0,I0) iz
starog koordinatnog sustava u-i, sl. 2.11. Očigledno je
tunel-dioda u novom koordinatnom sustavu, u okviru
zadanog hoda narinutog signala, linearni aktivni otpor.
Linearni aktivni otpori jednostavno se realiziraju s
pomoću višeprilaznih otpora (poglavlje 4). Njihovu
aktivnost jamči dodatni energetski izvor, karakteristike
kojeg se ne pojavljuju u opisu linearnog aktivnog otpora.
Tako primjerice u izrazu za snagu linearnog aktivnog
otpora
Dakle, polazna struktura mreže se promijenila. Opažamo
također da se polazna struktura mreže ne bi promijenila da
je naponski izvor u(t) spojen u seriju s otporom R.
I. Elementi mreže
1
M1
t0
R
u(t)
M2
1'
a)
t ≥ t0
1
u(t)
M1
u(t)
M2
1'
b)
Sl. 2.12 a) Mreža prije uključenja sklopke; (M1+M2+R).
b) Mreža nakon uključenja sklopke
[M1+u(t)],[M2+u(t)] .
Zaključujemo:
a) Struktura mreže se ne mijenja spajanjem naponskih
izvora u seriju s pasivnim elementima mreže, tzv.
spajanje u granu (pliers entry)
11
b) Svaki element mreže ili više njih paralelno spojenih
naponskom izvoru mogu se u analizi zanemariti
(odspojiti), osim ako se ne traži struja kroz te elemente
mreže ili struja naponskog izvora.
c) Svaki naponski izvor koji se nalazi u nekoj grani
mreže može biti premješten u sve grane koje su
spojene na isti čvor na koji je spojen i naponski izvor.
Jednadžbe KZN-a time se nisu promijenile.
Analogno vrijedi i za strujne izvore, te možemo odmah
zaključiti:
d) Struktura mreže se ne mijenja spajanjem strujnih
izvora paralelno pasivnim elementima mreže, tzv.
spajanje na čvorišta (soldering iron entry).
e) Svaki element mreže ili više njih spojenih u seriju sa
strujnim izvorom mogu se u analizi zanemariti (kratko
spojiti), osim ako se ne traži napon na tim elementima
mreže ili napon strujnog izvora.
f) Svaki strujni izvor spojen između para čvorova mreže
može biti pomaknut kroz sve parove čvorova koji se
nalaze u istoj petlji s parom čvorova na koje je spojen
strujni izvor.
Napomena: Sve izloženo vrijedi kako za nezavisne tako i za
zavisne izvore.
12
3. Jednoprilazni reaktivni elementi
III. PREDAVANJE
Definicija kapaciteta i kapacitivnosti. Uskladištena energija kapaciteta. Uvjet pasivnosti. Određivanje uskladištene
energije. Svojstva VNP kapaciteta: pamćenje, neprekidnost valnog oblika funkcije q(t) – zakon o očuvanju naboja,
nedisipativnost, I c (0) ≡ 0 . Definicija induktiviteta. Induktivitet kao element mreže dualan kapacitetu. Dualnost
elemenata mreže – općenito. Svojstva VNP induktiviteta. Nejednoznačnost i-ϕ karakteristike-disipativnost.
Energetski odnosi u linearnom vremenski promjenljivom reaktivnom elementu – elektromehanička pretvorba.
3. JEDNOPRILAZNI REAKTIVNI ELEMENTI
3.1 OSNOVNI POJMOVI O KAPACITETU
• Kapacitet. Jednoprilaz kojemu se za bilo koji poticaj,
u bilo kojem trenutku t, napon u(t) i naboj q(t) mogu
prikazati krivuljom u ravnini q-u.
ℂ = { (u, q ) ; f (u, q, t ) = 0 }
ℂ = { (u , q ) ; f (u , q ) = 0 }
VP kapacitet
VNP kapacitet
Funkciju f(u,q,t)=0 nazivamo karakteristikom kapaciteta u
trenutku t.
•
U skladu s ovom definicijom kapacitet je pasivan ako
vrijedi da je
WC (−∞,t ) ≥ 0
Pri tome, kao i u prvom poglavlju pretpostavljamo da je u
trenutku t = −∞ kapacitet stvoren, te je po definiciji
WC (−∞) = 0
No,
WC (−∞,t ) = WC (−∞,t 0 ) + WC (t 0 ,t ) ≥ 0
(2)
gdje očigledno prvi član izraza mora biti nenegativan i
naziva se uskladištena energija kapaciteta u trenutku t0
Kapacitivnost. Kvocijent
q
C (u , q, t ) =
u
naziva se statička kapacitivnost u trenutku t. Za linearni
vremenski promjenljivi kapacitet statička kapacitivnost je
samo funkcija vremena, tj. C(t), dok je za linearni
vremenski nepromjenljivi kapacitet statička kapacitivnost
konstanta
q
(1)
C=
u
S obzirom na izuzetnu praktičnu važnost linearnog
vremenski nepromjenljivog kapaciteta često se riječ
"kapacitet" koristi umjesto naziva statička kapacitivnost.
iC
C
uC
Sl. 3.1 Simbol kapaciteta i pridruženi referentni smjerovi
napona i struje.
3.2 ENERGIJA KAPACITETA I PASIVNOST
t0
WC (−∞,t0 ) = ℰ C (t0 ) = ∫ uC (t )iC (t )dt ≥ 0
Iz (2) proizlazi da je
ℰ C (t 0 ) + WC (t 0 ,t ) ≥ 0 ; ∀t 0 , ∀t ≥ t 0
primljena 
WC (t 0 ,t ) = ∫ u C ( x)iC ( x)dx ⋛ 0
energija
predana 
t
Kako je Wc(t0,t)⋛ 0 , a ℰ C(t0)≥0, to se uskladištena energija
u trenutku t0 može predočiti kao najveća količina energije
koja se od trenutka t0 može predati drugim dijelovima
mreže.
Pitanje: Kako odrediti uskladištenu energiju kapaciteta ?
Odrediti je li u nekom kapacitetu uskladištena električna
(točnije: elektrostatička) energija i odrediti njen iznos
moguće je samo pretvorbom te energije u neki drugi oblik.
Analogno vrijedi i za akumulatore. Koliki je ampersatni
kapacitet akumulatora ne znamo dok ga ne ispraznimo, a
kad ga ispraznimo znamo koliki je bio, ali sada je jednak
nuli.
S
uC
iR
t0
iC
C
R
za t ≥ t 0
uR
u R = u C ; i R + iC = 0
0
• Pasivnost. Svojstvo nekog elementa mreže da u neto
efektu ne preda drugim dijelovima mreže više električne
energije nego što je od njih prethodno primio.
(4)
Ako je ovaj uvjet ispunjen, kapacitet je pasivan. U
protivnom je aktivan.
• Energija kapaciteta. U skladu s izrazom (1.2) energija
kapaciteta primljena (predana) od drugih dijelova (drugim
dijelovima) mreže dana je izrazom
t
(3)
−∞
Sl. 3.2 K objašnjenju pojma uskladištene energije.
I. Elementi mreže
Pretpostavimo da u trenutku t0 uklopi sklopka S. Očigledno
je da će se sva energija uskladištena u kapacitetu C do
trenutka t0 pretvoriti u otporu R u toplinu. Vrijedi
ℰ C (t 0 ) = W R (t 0 ,∞)
W R (t 0 ,∞) =
∞
∞
∞
∫
∫
∫
u R i R dt =
t0
u C ⋅ (−i C )dt = − u C
t0
t0
q(∞ )
∫
=−
dq
⋅ dt =
dt
t0
t
q (t ) =
∫
∫
i ( x )dx =
−∞
∫ u C dq
u C dq =
q (∞ )
Budući da se do t = ∞ sva uskladištena energija pretvorila
u toplinu, to je q( ∞) = 0, te dobivamo de je
ℰ C (t 0 ) =
što znači da sadašnja vrijednost napona (u trenutku t) ovisi
o svim prošlim vrijednostima struja. To je i fizikalni
smisao integrala! Dakle, kapacitet iskazuje svojstvo
pamćenja.
U općem slučaju napon na kapacitetu ovisi o naboju
t
q (t0 )
t
∫
∫
t0
t0
i (t )dt + i ( x)dx = q(t 0 ) + i ( x)dx (6)
−∞
q(t 0 )
q (t0 )
13
a koji opet ovisi o početnom uvjetu q(t0), koji valja znati da
se ne bi trebala poznavati cijela pretpovijest od i(t) u
intervalu −∞ < t ≤ t 0 , te o svim vrijednostima struje i(t) u
intervalu t 0 < x ≤ t .
Za linearni vremenski nepromjenljivi kapacitet vrijedit
će
t
∫ u c dq
(5)
u C (t ) = u C (t 0 ) +
0
1
i ( x)dx
Ct
∫
0
3.3.2 Neprekidnost valnog oblika funkcije q(t)
q
q(t0)
q
q(t0)
U dva bliska trenutka t i t+∆t vrijedit će da je
ℰ C(t0)
ℰ C(t0)
t + ∆t
∆q = q(t + ∆t ) − q(t ) =
∫
−∞
uC
a)
b)
uC(t0) uC
1
2
ℰ C (t 0 ) = C uC2 (t 0 )
∫
∫ i( x)dx
−∞
t
ako pretpostavimo da ∆t→0 ⇒ ∆q→0 , ali uz uvjet da je
i (t ) < ∞ ! Ovo znači da je
Sl. 3.3 Grafički prikaz uskladištene energije za:
a) nelinearni vremenski nepromjenljivi kapacitet;
b) linearni vremenski nepromjenljivi kapacitet.
Za linearni vremenski nepromjenljivi kapacitet je
t + ∆t
t
i ( x)dx − i ( x)dx =
q (t − 0) = q(t + 0) ; ∀t
(7)
što je matematički iskaz zakona o očuvanju naboja.
Ako je kapacitet linearan i vremenski nepromjenljiv,
izraz (7) se zbog q=CuC svodi na
uC (t − 0) = uC (t + 0) ; ∀t , iC < ∞
(8)
3.3 SVOJSTVA VREMENSKI NEPROMJENLJIVIH
KAPACITETA
što znači da skok napona na linearnom vremenski
nepromjenljivom kapacitetu nije moguć.
3.3.1 Pamćenje
3.3.3 Nedisipativnost
Iz prethodnog poglavlja znamo da je otpor definiran
relacijom između napona i struje u istom trenutku. Sadašnji
trenutak nije koreliran s prošlim trenucima. Otpor ne pamti
ono što je prošlo.
S druge strane, kapacitet povezuje vrijednosti napona i
naboja u istom trenutku, što primjerice za linearni
vremenski nepromjenljivi kapacitet znači da je
U periodičkom režimu rada vrijedi da je q(t ) = q (t + T ),
gdje je sa T označena perioda. Pretpostavimo li da je
uC = f (q ), to će uložena energija u kapacitet tijekom jedne
periode biti
u C (t ) =
t +T
WC (t,t + T ) =
∫ uC ( x) iC ( x)dx = ∫
t
q ( t +T )
1
q (t )
C
=
t +T
t
f (q)
dq
dx =
dx
∫ f (q)dq = 0
q (t )
Ali,
t
q (t ) =
∫
i ( x)dx → u C (t ) =
−∞
1
C
t
∫ i( x)dx
−∞
uz uvjet da je karakteristika uC = f(q) jednoznačna.
(9)
3. Jednoprilazni reaktivni elementi
14
Sve objašnjeno u odsječcima 3.1 do 3.3 vrijedi i za
induktivitet s time da se zamijeni
C ↔L ; uC(t)↔iL(t) ; iC(t)↔uL(t) ; q(t)↔ϕ(t)
Proizlazi:
a) uskladištena energija:
3.3.4 Srednja vrijednost struje
1
I C (0) =
T
t +T
t +T
∫
∫
1
iC ( x)dx =
T
t
t
1
dq
dx =
dx
T
q (t +T )
∫ dq
q(t )
Odavde zbog q (t ) = q (t + T ) proizlazi da je
I C (0 ) = 0
ℰ L (t 0 ) =
(10)
L
(11)
dϕ
- za linearni vremenski nepromjenljivi induktivitet
1
ℰ L (t 0 ) = L i L2 (t 0 )
2
b) neprekidnost valnog oblika funkcije ϕ(t)
ϕ (t − 0) = ϕ (t + 0)
ℒ { (i, ϕ ) ; f (i, ϕ , t ) = 0 } VP induktivitet
ℒ { (i , ϕ ) ; f (i , ϕ ) = 0 }
∫i
0
3.4 OSNOVNI POJMOVI O INDUKTIVITETU
• Induktivitet. Jednoprilaz kojemu se za bilo koji
poticaj, u bilo kojem trenutku t struja i(t) i tok ϕ(t) mogu
prikazati krivuljom u ravnini i-ϕ.
ϕ (t0 )
VNP induktivitet
(12)
što je matematički iskaz zakona o očuvanju toka:
- za linearni vremenski nepromjenljivi induktivitet
Funkcija f(i,ϕ,t) naziva se karakteristikom induktiviteta u
trenutku t.
i L (t − 0) = i L (t + 0)
L
iL
c)
srednja vrijednost napona:
U L ( 0) = 0
(13)
uL
Sl. 3.4 Simbol induktiviteta i pridruženi referentni smjerovi
napona i struje.
Napomena: U prvom poglavlju pri uvođenju Kirchhoffovog
modela definirana je jedna od temeljnih varijabli
Kirchhoffovog modela
3.4.2
Nejednoznačnost karakteristike
Prigušnice i transformatori, napajani iz izmjeničnog
izvora, često se prikazuju kao nelinearni vremenski
nepromjenljivi induktiviteti s dvoznačnom karakteristikom,
slika 3.6.
t
ϕ (t ) = ∫ u ( x)dx
ϕ
−∞
nazvana tok i ne smije se brkati s fizikalnom
varijablom magnetskog toka. Tok je integral
napona koji djeluje na priključcima modelirane
naprave i ništa više ! Polje izvan naprava ne postoji
(postulati teorije mreža!), unutar naprava, da !
t=0,T,2T,…
iL
3.4.1 Induktivitet – element mreže dualan kapacitetu
•
Dualnost elemenata mreže. Element mreže α napona
uα i struje iα dualan je elementu mreže β napona uβ
↔iα i struje iβ ↔uα. Znak ↔ valja čitati
kao
"zamijenjen sa".
iα
uα
α
WL(0,T) > 0
iβ
↔
uβ
β
u α ↔ iβ
iα ↔ u β
Sl. 3.5 Dualni elementi mreže. Referentni smjerovi napona i
struja ostaju očuvani.
Sl. 3.6 Tipična karakteristika prigušnice ili transformatora s
feromagnetskom jezgrom napajanih iz izmjeničnog
izvora.
U skladu s objašnjenjem na slici 3.3.a opažamo da se pri
zadanom smjeru obilaska karakteristike više energije
preuzima iz drugih dijelova mreže nego što se predaje.
Ako induktivitet miruje ova se energija u iznosu
I. Elementi mreže
T
W L (0,T ) =
∫
T
u L i L dt =
0
=
∫
0
iL
dϕ
dt =
dt
∫O i dϕ = površina petlje > 0
L
di
dℰ L
d 1
 1 dL 2
=  L(t )iL2 (t ) =
i L (t ) + L(t )iL (t ) L
dt
dt  2
dt
 2 dt
Razlika između brzine kojom vanjski svijet ulaže energiju
u L(t) i brzine skladištenja energije iznosi
može pretvoriti samo u toplinu.
p L (t ) −
3.5 ENERGETSKI ODNOSI U VREMENSKI
PROMJENLJIVOM REAKTIVNOM
ELEMENTU
Energetske odnose objasnit ćemo na najjednostavnijem
primjeru linearnog vremenski promjenljivog induktiviteta.
Prvo, odredimo brzinu kojom vanjski svijet ulaže energiju
u induktivitet L(t), dakle
d
p L (t ) = u L (t )i L (t ) = [L(t )i L (t )]⋅ i L (t ) =
dt
di
dL 2
=
i L (t ) + L (t )i L (t ) L
dt
dt
S druge strane, brzina kojom se energija skladišti u L(t)
iznosi
15
d ℰ L 1 dL 2
=
i L (t ) ≶ 0
dt
2 dt
Ako je ova razlika pozitivna linearni vremenski
promjenljivi induktivitet ponaša se kao trošilo. Na djelu je
elektromehanička pretvorba. Dobiven je mehanički rad da
bi se ostvarila polazna pretpostavka da je induktivitet
vremenski promjenljiv. Ako je razlika negativna linearni
vremenski promjenljivi induktivitet ponaša se kao izvor.
Uloženi mehanički rad pretvara se u električnu energiju.
VAŽNO: Vremenski promjenljivi induktiviteti odnosno
kapaciteti predstavljaju modele električkih naprava za koje
ne važi uvjet nedisipativnosti (9). Fizikalni mehanizam s
pomoću kojeg se ostvaruje vremenska promjenljivost
valja shvatiti kao izvor (uvor) djelatne snage.
16
4. Višeprilazni disipativni elementi (otpori)
IV. PREDAVANJE
Ovisnost broja prilaza o načinu spoja i načinu primjene naprave. Linearni zavisni izvori. Četiri osnovne vrste
linearnih zavisnih izvora. Primjer dobivanja negativnog otpora. Idealno operacijsko pojačalo - konstitutivne
relacije u linearnom i nelinearnom području rada. Primjer invertirajućeg pojačala. Idealni transformator:
konstitutivne relacije, svojstva. Girator - konstitutivne relacije. Transformacija kapaciteta u induktivitet i obratno.
4. VIŠEPRILAZNI DISIPATIVNI ELEMENTI (OTPORI)
U skladu s izloženim u drugom poglavlju svaka naprava
(komponenta) sa dva priključka je jednoprilaz. No, to ne
znači da komponenta sa 2m priključaka (m > 1) mora biti
m-prilaz. Broj prilaza ovisi o tome kako je promatrana
komponenta spojena s ostalim komponentama kao i na
koja pitanja u analizi se želi odgovor. Pokažimo to na
primjeru bipolarnog tranzistora.
i2
C
C
i1
B
u2
B
u1
E
a)
Sl. 4.1 a) Simbol bipolarnog tranzistora
b) Bipolarni tranzistor kao dvoprilaz.
Bipolarni tranzistor možemo smatrati dvoprilazom ako
jedan od priključaka shvatimo kao zajednički za oba
prilaza (recimo emiterski priključak kao na slici 4.1.b) i
ako nas interesira analiza rada bipolarnog tranzistora u
sklopu nekog pojačala. U tom je slučaju za razumijevanje
rada bitan odnos između varijabli kruga baze i kruga
kolektora. Ako nas, međutim, interesira rad bipolarnog
tranzistora kao energetske sklopke tada je sa stajališta
analize nebitna analiza kruga baze i bipolarni tranzistor
valja smatrati jednoprilazom.
Zaključimo: broj prilaza neke komponente sa m ≥ 3
priključka određuje način spoja s ostalim komponentama i
način primjene.
U nastavku analize ograničit ćemo se samo na
dvoprilaze, dakle na elemente mreže električna svojstva
kojih su dana samo s obzirom na dva para priključaka (dva
prilaza), slika 4.2.
i2
2
u1
1’
upravljački prilaz
(ulaz)
Dvoprilaz
U elektrotehnici postoji čitav niz dvoprilaznih
disipativnih komponenata koje se na jednom od svojih
prilaza, obično ga nazivamo izlazom, ponašaju kao strujni
ili naponski izvori, no vrijednosti struja odnosno napona tih
"izvora" nisu nezavisne nego ih određuje bilo napon bilo
struja koji djeluju na ulazu komponente. Tipični primjeri
su bipolarni tranzistor, MOSFET, istosmjerni generator i
dr.
u2
komponenata
c) izvor idealan: u 2 ≠ f (i2 ) ; i2 ≠ g (u 2 ) , i da
d) dvoprilaz nije recipročan, tj. upravljani prilaz ne
djeluje na upravljački prilaz.
Uvjet b) je moguć, ili ako je i1 (t ) ≡ 0 , što znači da je
izvor upravljan naponom, ili ako je u1 (t ) ≡ 0 , što znači da
je izvor upravljan strujom.
4.1.1 Strujom upravljani naponski izvor (SU/NI)
i1
i2
1
2
+
u1=0
4.1 LINEARNI ZAVISNI IZVORI
1
>
dvoprilaz je pasivan (trošilo)
p = u1i1 + u 2 i 2 0 ,
<
dvoprilaz je aktivan (izvor)
U najjednostavnijem modelu ovih
pretpostavljamo da je
a) dvoprilaz linearan,
b) snaga upravljanja p1 = u1i1 = 0
E
b)
i1
Referentni smjerovi napona i struja su pridruženi, te vrijedi
1’
r21i1
u2
2’
Sl. 4.3 Simbol i pridruženi referentni smjerovi napona i struja
strujom upravljanog naponskog izvora.
Uzevši u obzir prve tri pretpostavke proizlazi da je
konstitutivna relacija ovog izvora dana izrazom
u2 = r21 i1
(1)
2’
upravljani prilaz
(izlaz)
Sl. 4.2 Dvoprilaz i pridruženi referentni smjerovi napona i struje.
gdje je sa r21 označena tzv. prijenosna otpornost. Izlazna
snaga je
17
I. Elementi mreže
Konstitutivna relacija glasi
p2 = u 2 i2 = r21 ii i2 ⋛ 0
u2 = A u1
jer su i1 i i2 međusobno nezavisni!
Napomena: Izraz (1) valja čitati ovako: Posljedica (izlazna
veličina) u2(t) jest linearna funkcija uzroka (ulazne
veličine) i1(t). Matematički je korektno napisati izraz
(1) i ovako:
i1 =
(3)
gdje je sa A označen prijenosni omjer napona. Također,
zbog nezavisnosti u1 i i2 vrijedi da je
1
u2
r 21
p2 ⋛ 0 !
ali to s fizikalnog stajališta ne znači ništa! Analogno
će vrijediti i za sve ostale linearne zavisne izvore.
Istosmjerni generator jest tipičan primjer naprave koja
se može modelirati kao strujom upravljani naponski izvor.
Tada je i1 - struja uzbude, a u2 - napon armature.
Tipični primjer naprave modelirane kao NU/NI jest
operacijsko pojačalo.
4.1.4 Naponom upravljani strujni izvor (NU/SI)
i1=0
i2
4.1.2 Strujom upravljani strujni izvor (SU/SI)
i1
1
g21 u1
u1
i2
u2
2
α i1
u1=0
1’
u2
Sl. 4.6 Simbol i pridruženi referentni smjerovi napona i struja
naponom upravljanog strujnog izvora.
2’
Konstitutivna relacija glasi
Sl. 4.4 Simbol i pridruženi referentni smjerovi napona i struja
strujom upravljanog strujnog izvora.
i2 = g 21 u1
(4)
Konstitutivna relacija glasi
i2 = α i1
(2)
gdje je s g21 označena prijenosna vodljivost. Također, zbog
nezavisnosti u1 i u2 vrijedi da je
p2 ⋛ 0 !
gdje je sa α označen prijenosni omjer struja. Također,
zbog nezavisnosti u2 i i1 vrijedi da je
Tipični primjer naprave modelirane kao NU/SI jest
MOSFET.
p2 ⋛ 0 !
Primjer: Odredite nadomjesnu otpornost R1 sklopa sheme
spoja prema slici 4.7.
Tipični primjer naprave modelirane kao SU/SI jest
bipolarni tranzistor.
4.1.3 Naponom upravljani naponski izvor (NU/NI)
i1=0
i1
u1
α αi
i1 1
R uR=u1
i2
1
u1
iR
1
2
+
1’
Au1
R1
u2
Sl. 4.7 Odabere li se da je α = 2, to je R1 = –R!
1’
2’
Proizlazi da je
Sl. 4.5 Simbol i pridruženi referentni smjerovi napona i struja
naponom upravljanog naponskog izvora.
i1 = α i1 +
1
u1 ⇒ u1 = R (1 − α ) i1
R
odnosno
R1 = (1 − α ) R
18
4. Višeprilazni disipativni elementi (otpori)
4.2 IDEALNO OPERACIJSKO POJAČALO (IOP)
Idealno operacijsko pojačalo jest element mreže
definiran sljedećim konstitutivnim relacijama:
Primjer: Odredite izlazni napon sklopa sheme spoja prema
slici 4.9 ako se idealno operacijsko pojačalo nalazi u
linearnom području rada.
Rješenje: Kako je ud = 0, to vrijede jednadžbe KZN-a
i− = 0
(5a)
; i+ = 0
ud = 0
u
ui = E Z d
ud
u1 = R1 i1 ; u 2 = R2 i2
; − E Z < ui < EZ
linearno
područje rada
(5b)
; ud ≠ 0
nelinearno
područje rada
(5c)
Budući da je zbog i-= 0,
i1 + i2 = 0
R2
pri čemu su sve oznake i njihovo značenje dani na slici 4.8.
Pri tome se ulazni napon ud naziva napon diferencije
(razlike), a sa ui označen je izlazni napon. Ez je tzv. napon
1
+
u1
-
ii
u2
2
ui
+
i+
2’
a)
Sl. 4.9 Operacijsko pojačalo u spoju invertirajućeg pojačala.
to dobivamo da je
ui
EZ
R1
-
i-
ud
1’
i1
u1 u 2
+
=0
R1 R2
(+) zasićenje
odnosno
u2 = −
ud
(-) zasićenje
i2
R2
u1 .
R1
-EZ
4.3 IDEALNI TRANSFORMATOR
b)
Sl. 4.8 a) Simbol idealnog operacijskog pojačala (IOP).
b) Karakteristika IOP-a.
zasićenja i u stvarnim operacijskim pojačalima nešto je
niži od istosmjernog napona napajanja pojačala. U
linearnom području rada idealno operacijsko pojačalo je
- posebni slučaj naponom upravljanog naponskog
izvora sa A → ∞, i
- zbog ud = 0 virtualni kratki spoj.
Idealni transformator
konstitutivnim relacijama
je
dvoprilaz
definiran
u1 = n u 2 ; i2 = −n i1
(6)
gdje je n realni broj i naziva se prijenosni omjer.
i1
i2
Napomena: Idealno operacijsko pojačalo je model stvarnog
operacijskog pojačala. U literaturi se često pri
analizi sklopova s operacijskim pojačalima
operacijsko pojačalo prikazuje samo s pomoću tri
priključka 1, 1' i 2 dok je priključak na masu
(zemlju) 2' ispušten. Za razliku od ostala tri
priključka na stvarnom operacijskom pojačalu taj
priključak i ne postoji nego se napon izlaza ui
definira u odnosu na srednju točku izvora za
napajanje. Iako fizički ne postoji, priključak 2' se u
analizi mreža s operacijskim pojačalima mora
naznačiti. U protivnom bi u skladu sa KZS-om,
izraz (1.3) i konstitutivnom relacijom (5a) uvijek
vrijedilo da je
ii = 0
što nije točno!
u1
u2
Sl. 4.10 Simbol i pridruženi referentni smjerovi napona i struja
idealnog transformatora.
Svojstva idealnog transformatora:
a) neenergetski element
p = u1i1 + u 2 i2 = u1i1 +
u1
⋅ (−n i1 ) = 0
n
(7)
19
I. Elementi mreže
b) transformacija veličina trošila
Svojstva giratora:
a) neenergetski element
Odredimo nadomjesnu otpornost R1 sklopa sheme spoja
prema slici 4.11. Uvrste li se u jednadžbu KZN-a
u 2 + R2 i2 = 0
konstitutivne relacije dane izrazima (6), to dobivamo
u1
+ R2 (−ni1 ) = 0
n
i1
p = u1i1 + u 2 i2 = u1i1 + (−r i1 ) ⋅
b) transformacija kapaciteta
obratno (slika 4.13)
u
u1
=0
r
(9)
induktivitet
i
Iz
i2
duC
dt
u 2 + uC = 0 , i2 = iC = C
proizlazi da je
u1
u2
R2 uR2
i 2 = −C
du 2
dt
tj. da je
u1 = ri 2 = − r C
R1
Sl. 4.11 Transformacija veličina trošila na primjeru otpora R2.
odnosno
1
i1
r
i2
u1
du 2
dt
1
L=r2C
C uCc
u2
u1 = n 2 R2 i1
1’
1’
ili
R1 = n 2 R2 .
Sl. 4.13 Transformacija kapaciteta u induktivitet.
No, jer je u 2 = −r i1 , to odmah dobivamo da je
4.4 GIRATOR (H. Tellegen, 1952.)
di 
di
di

u1 = − r C  − r 1  = r 2C 1 = L 1
dt
dt
dt


Girator je dvoprilaz definiran konstitutivnim relacijama
te je
u1 = r i2 ; u 2 = −r i1
(8)
L = r 2C
(10)
gdje je r realni broj i naziva se omjer zakretanja.
i1
11
i1
r
i2
r
r
2
u1
u1
i2
C
u2
u2
’
1'
1
2
i1 L=r C i2
2'
Sl. 4.12 Simbol i pridruženi referentni smjerovi napona i struje
giratora.
u1
u2
Sl. 4.14 Realizacija "lebdećeg" induktiviteta.
Napomena: Pri izvedbi niskopropusnih reaktivnih filtara
induktivitet se nalazi u uzdužnoj grani filtra. Oba
priključka induktiviteta realiziranog s pomoću
giratora moraju biti slobodna. Slika 4.14 prikazuje
kako se to realizira.
20
5. Višeprilazni reaktivni elementi
V. PREDAVANJE
Dva namota elektromagnetski blizu. Pasivnost – posljedica relativnog mirovanja namota. Ograničenja na
parametre linearnog dvonamotnog transformatora. Postupak za određivanje predznaka međuinduktivnosti.
Dogovor o oznaci pozitivne međuinduktivnosti. Uvjeti prijenosa energije dvonamotnim transformatorom u
periodičkom režimu rada. Savršeni transformator: prijenos energije, nadomjesna shema spoja.
5. VIŠEPRILAZNI REAKTIVNI ELEMENTI
5.1 OSNOVNI POJMOVI O LINEARNOM
DVONAMOTNOM TRANSFORMATORU.
Namoti relativno miruju, što znači da su parametri L1, L2
i M vremenski nepromjenljivi. Zbog toga vrijedi da je
Pretpostavke:
a) dva namota elektromagnetski blizu,
b) uronjeni u linearni izotropni medij, i
c) relativno miruju.
t
ℰ (i1 , i2 ) =
∫ (u i
11
+ u 2i2 ) dt ≥ 0
(3)
−∞
Uvrste li se (1) i (2) u (3) proizlazi da je
Ako su namoti elektromagnetski blizu (fizička blizina je
nužan ali nije dovoljan uvjet), u svakome od njih se, prema
Faradayu, "osjeća" djelovanje drugog, budući da dio
magnetskog toka stvoren strujom jednog namota prolazi
drugim namotom.
Uronjenost u linearni medij uvjetuje da su konstitutivne
relacije oblika
ϕ 1 = L1 i1 + M 12 i 2
ϕ 2 = M 21 i1 + L2 i 2
gdje su sa L1 i L2 označene induktivnosti namota 1 i
namota 2 , sl. 5.1. Fizički položaj jednog namota u odnosu
na drugi ne utječe na induktivnosti L1 i L2, ali bitno utječe
na međuinduktivnosti M12 i M21 koje su mjera za
međudjelovanje dvaju namota. Pri tome je sa M12 označeno
djelovanje struje namota 2 , i2, na tok u namotu 1 , ϕ1, a
sa M21 djelovanje struje namota 1 , i1, na tok u namotu 2 ,
ϕ2.
1 2
i1
i2
1
2
u1
L1
L2
1’
1
1
L1i1 2 + Mi1i 2 + L 2 i 2 2 =
2
2
= ℰ (i1 , 0) + Mi1i 2 + ℰ (0, i 2 ) ≥ 0
ℰ (i1 , i 2 ) =
Da je L1 ≥ 0 proizlazi iz činjenice da pri i2 = 0, uz i1 po
volji, mora biti ℰ(i1,0) ≥ 0. Analogno tome vrijedi i da je
L2 ≥ 0.
Ako izraz za uskladištenu energiju napišemo u obliku
kvadratne forme
M 2
M2
2
2 ℰ(i1 , i2 ) = L1 (i1 +
i2 ) + i2 ( L2 −
)≥0
L1
L1
opažamo da je
M⋛0 ,
2’
M ≤ L1 L2
(5)
Uvodi se pojam faktora magnetske veze
0≤k =
u2
(4)
M
L1 L2
≤1
(6)
5.2 PREDZNAK MEĐUINDUKTIVNOSTI
Sl 5.1 Pridruženi referentni smjerovi napona i struja.
Predznak međuinduktivnosti M ovisi o
- odabranim referentnim smjerovima struje, i
- fizikalnoj situaciji
Izotropnost medija uvjetuje da je
M 12 = M 21 = M
Odaberu li se pridruženi smjerovi struja kao na slici 5.1,
bit će i1 ⋅ i2 > 0 , što znači, u skladu sa (4), da će
međuinduktivnost biti pozitivna (M > 0), ako je
te vrijedi da je
dϕ1
dt
dϕ 2
; u2 =
dt
ϕ1 = L1i1 + Mi2 ; u1 =
ϕ 2 = Mi1 + L2i2
(1)
(2)
(1)
ℰ (i1 , i2 ) > ℰ (i1 , 0) + ℰ (0, i2 )
(7)
U protivnom, M je negativan! Kako odrediti kada vrijedi
uvjet (7)? Potrebno je poznavati fizikalnu situaciju, tj.
stvarni međusobni položaj namota, kako je pokazano na
primjeru, slika 5.2.
21
I. Elementi mreža
1
H1
i1
energije iz jednog kruga u drugi (ili više njih) koji su
međusobno galvanski odvojeni.
Energija namota 1 iznosi
i2
2
T
W1 (0, T ) = ∫ u1i1dt = O∫ L1i1di1 + O∫ Mi1di2
’
’
2
1
0
H2
Sl. 5.2 Primjer stvarnog međusobnog položaja namota.
Za odabrane referentne
smjerove namatanja namota
bit će prema pravilu
elektrotehnike!) određen
r
r
magnetskog polja H 1 i H 2 .
smjerove struja i zadane
(međusobni položaj namota)
"desnog vijka" (Osnove
i smjer vektora jakosti
1 r 2
1 r
µ H 1 ; ℰ (0, i2 ) = µ H 2
2
2
0
No,
∫
O i1di1
= O∫ i2 di2 ≡ 0
r r
U promatranom primjeru je ∡ ( H 1 , H 2 ) = 0 , te je M > 0.
Dogovor o oznaci smjera namota točkom. U teoriji
mreža uobičajeno ja da se ne crtaju magnetski krugovi sa
stvarnim smjerovima namota nego se pretpostavlja da je
fizikalna situacija unaprijed poznata. Vrijedi ovaj dogovor:
Međuinduktivnost Mjk je pozitivna ako referentni
smjerovi struja ij i ik izlaze (ili ulaze) iz točki naznačenih
na simbolima odgovarajućih induktiviteta. U protivnom,
međuinduktivnost Mjk je negativna!
i2
M
∫
O i1di2
+ O∫ i2 di1 = 0
te dobivamo da je
W1 (0, T ) + W2 (0, T ) = 0
Recimo da je W1(0, T) > 0, što znači da namot 1 prima
energiju (ponaša se kao trošilo). Zbog toga je, prema (8),
W2 (0, T ) = − W1 (0, T ) < 0 , što znači da namot 2 predaje
energiju drugim dijelovima mreže (ponaša se kao izvor).
Zaključujemo: Prijenos energije jest moguć ako je
M O∫ i1di2 = − M O∫ i2 di1 ≠ 0
(9)
a ovaj je uvjet zadovoljen, ako
a) postoji međuinduktivnost M ≠ 0,
b) u ravnini (i1, i2) postoji petlja nenulte površine, tj.
da vrijedi
∫
O i1di2
= −O∫ i2 di1 ≠ 0
(10)
Prvi je uvjet očigledan i proizlazi iz same definicije
međuinduktivnosti. Drugi uvjet implicira da je prijenos
energije između dva magnetski vezana induktiviteta moguć
ako struje i1 i i2 nisu proporcionalne, tj. ako vrijedi
i1 ≠ A i2 ; A = konst
u1
(8)
2
to zaključujemo da će međuinduktivnost M biti pozitivna
ako je
r r
H1 ⋅ H 2 > 0 ,
tj. ako je
r r
0 ≤ ∡( H 1 , H 2 ) < 90 o
i1
T
W2 (0, T ) = ∫ u 2 i2 dt = O∫ L2 i2 di2 + O∫ M i2 di1
dok je (Matematika!)
Ukupna uskladištena energija u krugu stvorena strujama
i1 i i2 na diferencijalu volumena dV dana je izrazom
r 2
1 r
d ℰ (i1 , i2 ) = µ H 1 + H 2 dV
2
r r
r 2
1  r 2
= µ  H 1 + 2 H 1 H 2 + H 2 dV
2 

Kako je ℰ (i1 , 0) =
dok je energija namota 2
(11)
u2
U protivnom, petlja definirana izrazom (10) degenerira u
pravac, tj. tada je
(12)
i1 = Ai2
Sl. 5.3 Primjer označavanja dvonamotnog linearnog
transformatora kojem je M > 0.
Površina petlje u ravnini (i1, i2) jednaka je nuli te ili se
prijenos energije ne može objasniti ovim modelom ili
uistinu nema prijenosa energije! Izraz (12) jedna je od
konstitutivnih relacija idealnog transformatora u kojem iz
relacije (4.7)
p = u1 i1 + u 2 i2 = 0
5.3
L1
PRIJENOS ENERGIJE
REŽIMU RADA
L2
U
PERIODIČKOM
Osnovna zadaća dvonamotnog transformatora (u općem
slučaju magnetski vezanih induktiviteta) jest prijenos
odmah proizlazi da je prijenos energije moguć.
22
5. Višeprilazni reaktivni elementi
Zaključujemo da prijenos energije idealnim transformatorom ne možemo objasniti koristeći pojmove vezane
uz reaktivne elemente. Zbog toga idealni transformator i
jest disipativni dvoprilazni element mreže a ne reaktivni
dvoprilazni element mreže.
Pitanje: Pod kojim je
transformatoru i1 = A i2?
uvjetom
u
dvonamotnom
ϕ1 = nϕ 2 , tj.
(14a)
u1 = n u2
gdje je n =
L1
. Dobivena naponska jednadžba jednaka
L2
je naponskoj jednadžbi idealnog transformatora.
Iz konstitutivnih relacija (1) i (2) proizlazi da je
Iz izraza (13a) dobivamo da je
L ϕ − Mϕ 2
i1 = 2 1
L1 L2 − M 2
L ϕ − Mϕ1
; i2 = 1 2
L1 L2 − M 2
ϕ1
L1
Pretpostavimo li da je L1L2 ≠ M2, to je i1 = A i2 moguće
ako je
L2ϕ1 − Mϕ 2 = A ( L1ϕ 2 − Mϕ1 ) ⇒
L2
1
i2 = i1 + i2
L1
n
= i1 +
Označimo li
ϕ1
iµ =
L1
( L2 + AM ) ϕ1 = ( M + AL1 )ϕ 2
kao struju magnetiziranja dobivamo strujnu jednadžbu
savršenog transformatora
dakle ako je tok ϕ1 proporcionalan toku ϕ2, tj. ako je
ϕ1 = a ϕ2, a = konst.
i1 +
No u skladu s konstitutivnim relacijama (1) i (2) to će
vrijediti ako je
ϕ1 = L1i1 + Mi2 = a ( Mi1 + L2i2 ) = a ϕ 2
1
i2 = iµ
n
(14b)
Opažamo da je i1 ≠ A i2 što znači da se prijenos energije i
u savršenom transformatoru može opisati predloženim
modelom.
tj. ako je
Nadomjesna shema spoja savršenog transformatora
L1 = a ⋅ M ; M = a ⋅ L2
Strujna jednadžba (14b) napiše se malo drukčije
No, tada je
L1 L2 = a ⋅ M ⋅
M
=M2
a
i1 − i1' + i1' +
a to je u suprotnosti s polaznom pretpostavkom!
1
i2 = i µ
n
No, prema definiciji idealnog transformatora je
Zaključujemo:
a) Za L1L2 ≠ M2, tj. za k < 1, ne može biti i1 = A i2,
što znači da prijenos energije uvijek postoji.
b) Preostaje istražiti slučaj kad je k = 1!
'
i1 +
1
i2 = 0 ,
n
odakle proizlazi da je
'
i1 = i1 + iµ
5.4 SAVRŠENI TRANSFORMATOR (k=1)
(Dvonamotni) savršeni transformator jest dvonamotni
transformator faktora magnetske veze k = 1, tj. vrijedi da je
a odgovarajuća nadomjesna shema spoja prikazana je na
slici 5.4.
u1
Konstitutivne relacije (1) i (2) poprimaju oblik
ϕ 2 = L1 L2 i1 + L2i2 = L2 ( L1 i1 + L2 i2 )
odakle proizlazi da je
i2
iµ
M = L1 L2
ϕ1 = L1i1 + L1 L2 i2 = L1 ( L1 i1 + L2 i2 )
i1’
i1
(13a)
(13b)
L1
u2
L1 =
ϕ1
iµ
; u1 = L1
Sl. 5.4 Savršeni transformator kao lančani spoj induktiviteta
magnetiziranja L1 i idealnog transformatora.
diµ
dt
23
II. Prijelazno stanje
VI. PREDAVANJE
Pojam komutacije. Zakon o očuvanju elektromagnetske energije kao zakon komutacije u stvarnim mrežama.
Zakoni komutacije u dobro definiranim mrežama: kapacitet – zakon o očuvanju naboja, induktivitet – zakon o
očuvanju toka. Poseban slučaj savršenog transformatora. Pojam loše definirane mreže. Kapacitivna petlja – zakon
o očuvanju naboja u čvoru koji je u sastavu kapacitivne petlje. Induktivni čvor – zakon o očuvanju toka petlje u
sastavu koje je induktivni čvor. Primjer disipativnosti loše definiranih mreža.
II. PRIJELAZNO STANJE
6. ZAKONI KOMUTACIJE
6.1 OSNOVNI POJMOVI ANALIZE MREŽA U
VREMENSKOM PODRUČJU
gdje je elektrostatička energija uskladištena u k-tom
kapacitetu dana izrazom
qk ( t )
• Ustaljeno (stabilno) stanje. Svako stanje mreže
karakterizirano time da varijable mreže (naponi i struje
grana mreže) ostaju konačne za t → ∞, i
a) ne ovise o vremenu; f (t)=konst., ili su
b) periodičke funkcije vremena; f (t + T ) = f (t ) , gdje
je T perioda, ili su
c) kvaziperiodičke funkcije vremena;
f [t + T (ε )] − f (t ) < ε , gdje je ε po volji malen
pozitivni broj, ili iskazuju
d) kaotično ponašanje.
stanje
→
Komutacija
→
Novo ustaljeno stanje
Nestabilno stanje
→ Prijelazno stanje
Ck
dqk
0
a magnetska energija uskladištena u k-tom induktivitetu
izrazom
ϕ k (t )
ℰ Lk (t ) =
∫i
Lk
dϕ k
0
Pokažimo da se u trenutku komutacije ne mijenja
uskladištena elektrostatička energija u k-tom kapacitetu.
Vrijedi:
ℰ Ck (t + ∆t ) − ℰ Ck (t ) =
∫
uCk dqk −
0
qk (t )
∫
0
6.2 ZAKON KOMUTACIJE U STVARNIM
MREŽAMA
Ukupna energija uskladištena u mreži jednaka je
∑ℰ
k∈C
Ck
(t ) + ∑ ℰ Lk (t )
k∈L
q k ( t + ∆t )
∫u
Ck
dqk
qk (t )
No, iz zakona o očuvanju naboja (3.7) proizlazi da za
∆ t → 0 ⇒ q (t + ∆ t ) → q (t ) ,
što znači i da će vrijediti
ℰCk (t + ∆t ) → ℰ Ck (t ) za ∆t→0
uz uvjet da je uCk(t) < ∞ !
Proizlazi
ℰ Ck (t − 0) = ℰ Ck (t + 0) , ∀t
(1)
Na analogan način dobili bismo na temelju zakona o
očuvanju toka (3.12) da za magnetsku energiju
uskladištenu u k-tom induktivitetu vrijedi
(2)
Ono što vrijedi za svaku komponentu posebno vrijedit će i
za sve komponente zajedno, dakle
ℰ Σ (t − 0) =ℰ Σ (t + 0) , ∀t
ℰ Σ (t ) =
uCk dqk =
ℰ Lk (t − 0) = ℰ Lk (t + 0) , ∀t
• Vremenski slijed događaja.
ustaljeno
∫u
q k ( t + ∆t )
• Prijelazno stanje. Svako stanje mreže koje nije
ustaljeno.
• Nestabilno stanje. Prijelazno stanje koje ne dovodi
mrežu u ustaljeno stanje, tj. barem jedna od varijabli
mreže za t → ∞ poprima beskonačnu vrijednost.
• Komutacija. Svaka "brza" promjena u mreži, tj.
promjena u mreži trajanje koje je neusporedivo kraće od
ostalih vremenskih intervala važnih u analizi mreže.
Jednostavnosti radi komutaciju ćemo u nastavku smatrati
trenutnom. Točnije rečeno smatrat ćemo da se
komutacija dogodila u beskonačno kratkom vremenskom
intervalu, recimo [t 0 − 0, t 0 + 0] , pri čemu je
a) t0 - 0, trenutak neposredno prije komutacije
b) t0, trenutak kada se dogodila komutacija (služi samo
za opis onoga što je uzrokovalo komutaciju), i
c) t0 + 0, trenutak neposredno nakon komutacije
Početno
ℰ Ck (t ) =
(3)
U Teoriji mreža uobičajeno je pretpostaviti da se
komutacija dogodila u trenutku t=0. U skladu sa (3)
dobivamo da je
ℰΣ ( −0) = ℰΣ ( +0)
(4)
24
6. Zakoni komutacije
Ovo je zakon komutacije u stvarnim mrežama. Vrijedi
uvijek budući da je ograničenje na konačne vrijednosti
napona i struja u stvarnim mrežama uvijek zadovoljeno.
Zaključujemo: Neposredno nakon komutacije u mreži
ostaje očuvan iznos ukupne elektromagnetske energije.
Budući da se komutacijom mijenja mreža, ili neki
parametri mreže, tako da je eventualno postignuto
ustaljeno stanje različito od polaznog, to postaje očigledno
da će prijelaz iz polaznog ustaljenog stanja u novo trajati
određeno vrijeme.
Na nivou modela zakon komutacije (4) ne mora vrijediti.
Model je uvijek neko pojednostavljenje stvarne mreže, ali
upravo zbog toga on može imati neka svojstva koja nema
stvarna mreža ili nas neka svojstva uopće ne interesiraju.
Zbog toga ćemo u nastavku analize razlikovati na nivou
modela dvije vrste mreža:
a) dobro definirane mreže – mreže u kojima vrijede
Kirchhoffovi zakoni, i
b) loše definirane mreže – mreže u kojima ne vrijede
Kirchhoffovi zakoni.
1
1
2
2
C k uCk
( −0) = C k uCk
(+0)
2
2
ne proizlazi jednoznačno (7) !
6.3.2 Zakoni komutacije za induktivitet
Analogno prethodnom odsječku zaključujemo da je
zakon o očuvanju toka ujedno i zakon komutacije za
induktivitet
ϕ k (−0) = ϕ k (+0)
Ako je induktivitet Lk linearan i vremenski nepromjenljiv,
vrijedit će da je
iLk (−0) = iLk (+0)
6.3.3 Zakoni komutacije za dvonamotni transformator
di1
di
+M 2
dt
dt
di1
di
u2 = M
+ L2 2
dt
dt
u1 = L1
U nekoj mreži vrijede Kirchhoffovi zakoni ako za svaki
trenutak t i za svaki element mreže α vrijedi da je
uα (t ) < ∞ i/ili iα (t ) < ∞
S obzirom na to da je ista pretpostavka uzeta i pri
izvođenju zakona komutacije u stvarnoj mreži proizlazi da
i u dobro definiranim mrežama vrijedi da je
i1
(5)
Budući da se pri analizi mreža u vremenskom području
koriste temeljne varijable Kirchhoffovog modela, to je
zgodnije zakone komutacije za pojedini element mreže
izraziti s pomoću tih varijabli a ne s pomoću izraza za
uskladištenu energiju.
u1
Integriraju li se izrazi (10) unutar vremenskog intervala
komutacije [–0, +0] dobivamo da je
(6)
M∆ i1 + L2 ∆ i2 = 0
(7)
(11)
gdje je ∆i1 = i1(+0) – i1(–0) ; ∆i2 = i2(+0) – i2(–0).
Vrijednosti integrala
+0
+0
−0
−0
∫ u1dt ,
Ako je kapacitet Ck linearan i vremenski nepromjenljiv,
vrijedit će da je
∫ u dt
2
jednake su nuli budući da su prema pretpostavci o dobro
definiranoj mreži i u1(t) < ∞ i u2(t) < ∞.
Trivijalno rješenje sustava jednadžbi (11) je
Napomena: Zakon komutacije za linearni vremenski
nepromjenljivi kapacitet ne može se odrediti iz
izraza (1). Naime, iz
u2
L2
L1∆ i1 + M∆ i2 = 0
Drugo ime za zakon o očuvanju naboja je zakon
komutacije za kapacitet. Za k-ti kapacitet vrijedi
uCk (−0) = uCk (+0)
i2
M
L1
(10)
Sl. 6.1 Shema spoja linearnog dvonamotnog transformatora.
6.3.1 Zakoni komutacije za kapacitet
qk (−0) = qk (+0)
(9)
Napon i struja na prilazima linearnog dvonamotnog
transformatora dani su izrazima
6.3 ZAKONI KOMUTACIJE U DOBRO
DEFINIRANIM MREŽAMA
ℰ Σ (−0) = ℰΣ (+0) , ∀t
(8)
tj.
∆i1 = ∆i2=0
II. Prijelazno stanje
25
6.4.1. Zakon komutacije za kapacitivnu petlju
i1 (−0) = i1 (+0) ; i2 (−0) = i2 (+0)
(12)
i vrijedi uz uvjet da je L1L2 – M2 ≠ 0, dakle za k < 1.
Netrivijalno rješenje sustava jednadžbi (11) vrijedi za
savršeni transformator (k=1) i dobiva se tako da se uvjet
k=1 postavi u jednu od jednadžbi (11). Proizlazi
i1 (−0) +
1
1
i2 (−0) = i1 (+0) + i2 (+0)
n
n
(13)
Pod kapacitivnom petljom smatramo svaku petlju koja
nastaje komutacijom a tvore ju samo kapaciteti i naponski
izvori.
Pretpostavimo da je komutacija nastupila u trenutku t=0.
S obzirom na to da su naponi na kapacitetima neposredno
prije komutacije nezavisni (nezavisnost početnih uvjeta!),
moguća su dva slučaja :
a)
∑ u kj (−0) + ∑ u kj (−0) = 0
k∈C
gdje je n =
(14a)
k∈E
b)
L1
.
L2
∑u
kj
( −0) +
k∈C
Ako je dvonamotni transformator nelinearan vrijedit će za
k<1
ϕ1 (−0) = ϕ1 (+0) ; ϕ 2 (−0) = ϕ 2 (+0)
gdje je n – realni broj koji se naziva prijenosni omjer. I u
ovome slučaju vrijedi da je
i1 +
1
i2 = iµ = f (ϕ1 )
n
samo što je sada struja magnetiziranja nelinearna funkcija
magnetskog toka ϕ1, tj. f(ϕ1). Pretpostavi li se da je
funkcija f (ϕ1) neprekinuta u trenutku komutacije, to se kao
zakon komutacije nelinearnog savršenog transformatora
dobiva formalno isti izraz kao i za linearni savršeni
transformator, dakle izraz (13).
6.4 ZAKONI KOMUTACIJE U LOŠE
DEFINIRANIM MREŽAMA
Mreža je loše definirana ako u njoj ne vrijede
Kirchhoffovi zakoni, tj. ako je u barem jednom trenutku t0
na jednom elementu mreže α
uα (t 0 ) = ∞ ili iα (t 0 ) = ∞ .
Naglasimo ponovno da ovaj uvjet nije moguć u stvarnoj
mreži nego samo na nivou modela.
Loše definirana mreža može nastati ako se komutacijom
u mreži stvori kapacitivna petlja ili induktivni čvor.
kj
( −0) ≠ 0
(14b)
k∈E
gdje je sa C označen skup svih kapaciteta, a sa E skup svih
naponskih izvora koji će nakon komutacije zajedno tvoriti
j-tu kapacitivnu petlju.
Neposredno nakon komutacije mora vrijediti da je
∑u
Kod savršenog nelinearnog transformatora vrijedit će
kao i kod linearnog transformatora, prema (5.14a) da je
u1 = n u2 ; ϕ1 = n ϕ 2
∑u
kj
( +0) +
k∈C
∑u
kj
( +0) = 0
k∈E
Pretpostavimo li da je za svaki naponski izvor zadovoljeno
da je u k (−0) = u k (+0) tj. da nema skoka napona u trenutku
komutacije, opažamo da je u intervalu komutacije [–0, +0]
u prvom slučaju, (14a), očuvan Kirchhoffov zakon napona,
a da je u drugom slučaju, (14b), prekršen. Dakle, u prvom
slučaju promatrana mreža je i u intervalu komutacije ostala
dobro definirana, dok je u drugom slučaju promatrana
mreža loše definirana, budući da je zahtijevana skokovita
promjena napona na kapacitetima u intervalu komutacije
moguća samo pojavom impulsa struje beskonačnog iznosa.
U nastavku analize zanemarit ćemo prvi slučaj, tj.
smatrat ćemo da stvaranjem kapacitivne petlje promatrana
mreža uvijek postaje loše definirana mreža.
Pitanje: Što ostaje očuvano u kapacitivnoj petlji u trenutku
komutacije?
Napišimo Kirchhoffov zakon struje za n-ti čvor iz
sastava j-te kapacitivne petlje. Vrijedi da je u bilo kojem
trenutku
∑i
k∈I
kn
dqkn
=0
k∈C dt
+ ∑ ikn + ∑ ikn + ∑
k∈R
k∈L
(15)
gdje su sa I, R, L i C označeni skupovi strujnih izvora,
otpora, induktiviteta i kapaciteta spojenih na n-ti čvor.
Naponski izvori nisu spojeni na n-ti čvor, a ako i jesu sa po
jednim priključkom, onda su drugi priključci tih izvora
spojeni tako da ne tvore paralelni spoj ni s jednim od
kapaciteta priključenih na n-ti čvor.
Integriramo li jednadžbu (15) u intervalu komutacije, to
će zbog konačnih vrijednosti struja strujnih izvora te struja
induktiviteta i otpora vrijediti da je
26
6. Zakoni komutacije
+0
+0
+0
∑ ∫ ikn dt = 0 ;
∑ ∫ ikn dt = 0 ;
∑ ∫i
k∈I −0
k∈R −0
k∈L −0
kn
dt = 0
odnosno da je
komutacije nezavisne (nezavisnost početnih uvjeta!),
moguća su dva slučaja:
a)
(17a)
∑ i kj (−0) + ∑ i kj (−0) = 0
k∈L
+0
k∈I
b)
dqkn
dt = 0
∑
∫
k∈C −0 dt
∑i
kj
(−0) + ∑ ikj ( −0) ≠ 0
k∈L
odakle proizlazi da mora biti
∑q
kn
( −0) = ∑ qkn ( +0)
k∈C
(16)
k∈C
Dakle, za vrijeme komutacije očuvan je ukupni naboj u
n-tom čvoru koji je u sastavu kapacitivne petlje. Izraz (16)
predstavlja zakon komutacije za kapacitivnu petlju.
VAŽNO: Iz izvoda zakona komutacije (16) proizlazi da
zbroj naboja
∑ qkn
k∈C
valja pisati uzimajući u obzir referentne smjerove napona
na kapacitetima, ali u skladu s Kirchhoffovim zakonom
struje.
Primjer: Odredite napone uC1(+0) i uC2(+0) u mreži sheme
spoja prema slici 6.2 ako je uC1 (−0) + uC 2 (−0) ≠ E !
t=0
uC1(-0) = U1
C1
A
E
C2
(17b)
k∈I
gdje je sa L označen skup svih induktiviteta, a sa I skup
svih strujnih izvora koji će nakon komutacije ostati
spojeni na j-ti induktivni čvor.
Neposredno nakon komutacije mora vrijediti da je
∑ i kj (+0) + ∑ i kj (+0) = 0
k∈L
k∈I
Pretpostavimo li da je za svaki strujni izvor zadovoljeno da
je ik (−0) = ik (+0) , tj. da nema skoka struje strujnog izvora
u trenutku komutacije, opažamo da je u intervalu
komutacije [–0, +0] u prvom slučaju, (17a), očuvan
Kirchhoffov zakon struje, a da je drugom slučaju, (17b),
prekršen. Dakle u prvom slučaju promatrana mreža je i u
intervalu komutacije ostala dobro definirana, dok je u
drugom slučaju promatrana mreža loše definirana, budući
da je zahtijevana skokovita promjena struja induktiviteta u
intervalu komutacije moguća samo pojavom impulsa
napona beskonačnog iznosa.
U nastavku analize smatrat ćemo, analogno prethodnom
odsječku, da stvaranjem induktivnog čvora promatrana
mreža uvijek postaje loše definirana mreža.
Sličnim postupkom kao u prethodnom odsječku ili
koristeći načelo dualnosti (poglavlje 3.), lako dobivamo
zakon komutacije za induktivni čvor:
uC2(-0) = U2
∑ϕ
Sl. 6.2 Primjer kapacitivne petlje.
Rješenje:
Ukupni naboj u čvoru A mora biti očuvan. Dakle
C1 uC1 (−0) − C2 uC 2 (−0) = C1 uC1 (+0) − C2 uC 2 (+0)
E = uC1 (+0) + uC 2 (+0)
odakle proizlazi da je
u C1 (+0) =
C1 U 1 + C 2 ( E − U 2 )
C1 + C 2
u C 2 (+0) =
C1 ( E − U 1 ) + C 2 U 2
C1 + C 2
kn
( −0) = ∑ ϕ kn ( +0)
k ∈L
Dakle, za vrijeme komutacije očuvan je ukupni tok u n-toj
petlji u sastavu koje je induktivni čvor.
VAŽNO: Zbroj tokova
∑ϕ
kn
k∈L
valja pisati uzimajući u obzir referentne smjerove struja
induktiviteta ali u skladu s referentnim smjerom napona
petlje, dakle poštujući Kirchhoffov zakon napona.
Primjer: Odredite struju kroz induktivitet L1 neposredno
nakon otvaranja sklopke u mreži sheme spoja prema slici
6.3.
t=0
A
iL1(-0)
6.4.2 Zakon komutacije za induktivni čvor
Pod induktivnim čvorom smatramo svaki čvor na koji
će nakon komutacije ostati spojeni samo induktiviteti i
strujni izvori.
Pretpostavimo da je komutacija nastupila u trenutku t=0.
S obzirom na to da su struje induktiviteta neposredno prije
(18)
k ∈L
iL2(-0)
L1
L2
P
E
R1
R2
Sl. 6.3 Primjer induktivnog čvora (čvor A).
II. Prijelazno stanje
Rješenje: Ukupni tok u petlji P mora biti očuvan. Dakle
L1iL1 (−0) − L2 iL 2 (0) = ( L1 + L2 )iL1 (+0)
iL1 (−0) =
Kako je
E
;
R1
iL 2 (−0) =
E
R2
proizlazi da je
iL1 (+0) =
E  L1 L2 
 −

L1 + L2  R1 R2 
6.4.3 Disipativnost loše definiranih mreža
Za sve loše definirane mreže vrijedi da je
ℰ Σ (+0) < ℰ Σ ( −0)
tj. uskladištena energija neposredno nakon komutacije
manja je od uskladištene energije neposredno prije
komutacije. Razlika energije se disipira i to uglavnom na
onom elementu mreže koji je uzrokovao komutaciju.
Primjer: Odredite uskladištenu energiju u mreži sheme
spoja prema slici 6.4 neposredno nakon komutacije.
Rješenje: Iz zakona o očuvanju naboja u čvoru A proizlazi
da je
C1uC1 ( −0) = (C1 + C 2 ) uC ( +0)
uC ( +0) = uC1 ( +0) = u C 2 ( +0)
S
t=0
uC1(-0) = U0
C1
C2
uC2(-0) = 0
A
Sl. 6.4 Energija se disipira na sklopci S.
27
te se dobiva da je
ℰ(+0) =
1
C1
1
(C1 + C2 ) uC2 (+0) =
⋅ C1U 02
2
C1 + C2 2
Budući da je uskladištena energija u mreži neposredno
prije komutacije bila
1
2
ℰ (−0) = C1U 0
2
to proizlazi da je
ℰ (+0) < ℰ (−0)
Napomene:
a) Kapacitivne petlje i induktivni čvorovi lako se izbjegnu u
analizi neke mreže ako se pri modeliranju komponenata te
mreže uzmu u obzir i parazitska svojstva komponenata kao
što su primjerice : otpornost i induktivnost kondenzatora,
otpornost i kapacitivnost zavojnica i transformatora,
otpornost spojnih vodova i priključnica, konačna sklopna
vremena sklopki i dr. Loše definirane mreže postaju time
dobro definirane, međutim analiza takvih mreža postaje bitno
složenija. Trud uložen u analizu takvih mreža najčešće je
neopravdan, pogotovo u početnoj fazi analize neke mreže.
b) Iskustveno pravilo: Ako na razini najjednostavnijih modela
komponenata zadana mreža u nekom trenutku ili
vremenskom intervalu predstavlja loše definiranu mrežu,
fizički model zadane mreže vrlo vjerojatno neće uspješno
raditi.
28
7. Mreže prvog reda
VII. PREDAVANJE
Definicija mreže prvog reda. Opće rješenje linearne vremenski nepromjenljive mreže prvog reda dobiveno na
temelju Thévenin-Nortonovog teorema. Varijable stanja uC(t), iL(t). Pojam vremenske konstante. Potpuni odziv.
Rastav na slobodni i prisilni odziv. Rastav na prijelazno stanje i ustaljeno stanje. Sva rješenja istosmjerne
kapacitivne mreže: primjeri s pozitivnom i negativnom vremenskom konstantom. Primjer za skok struje u
nelinearnoj mreži: reprezentativna točka, dinamički put.
7. MREŽE PRVOG REDA
Svaka mreža koja se sastoji od jednog nadomjesnog
kapaciteta ili jednog nadomjesnog induktiviteta i mreže
otpora naziva se mrežom prvog reda. Ograničenje na
nadomjesne elemente mreže je nužno budući da u mreži
može postojati više paralelno ili serijski spojenih istovrsnih
reaktivnih elemenata koji djeluju kao jedan reaktivni
element. Mreža prvog reda se, dakle, može prikazati kao
C2
Budući da je
i = C duC/dt
te ako se uvede veličina
(1)
τ = RT C
koja se naziva vremenskom konstantom dobivamo
diferencijalnu jednadžbu
du
τ C + u C = uT
(2)
dt
rješenje koje je
C
L1
−
L2
C1
a)
Sl. 7.1
u C (t) = u C (+0)e
τ
t
∫
−
e
t−x
τ u
T
(3)
( x)dx ; t ≥ +0
0
Na analogni se način dio opće induktivne mreže M,
označen sa M', slika 7.3.a, može prema Nortonu zamijeniti
1
GN
RT
i
1
+
L
b)
a) Opća induktivna mreža M = M’+L.
b) Nadomjesna mreža prema Nortonu.
paralelnim spojem Nortonovog strujnog izvora iN i
Nortonove vodljivosti GN, slika 7.3.b. Vrijedi :
1
uT
Sl. 7.3
uL
1’
a)
Budući
da
je
mreža
linearna
vremenski
nepromjenljiva, taj se dio mreže M označen sa M', a koji se
uC
iN
1’
7.1.1 Kapacitivna mreža
iL
1
iL
L
M’
7.1 OPĆE RJEŠENJE LINEARNE VREMENSKI
NEPROMJENLJIVE MREŽE PRVOG REDA
C
uC
GN u L + iL = iN
1’
1’
a)
Sl. 7.2
1
7.1.2 Induktivna mreža
jednoprilaz, koji se sastoji od jednog ili više otpora i
nezavisnih izvora, na prilaz kojega je spojen jedan
reaktivni element.
C
+
b)
a) Dva primjera mreže prvog reda.
b) Primjer mreže koja nije prvog reda.
M’
t
τ
b)
Budući da je uL = L diL/dt te ako se uvede vremenska
konstanta
sastoji od više otpora i više naponskih i strujnih izvora, sl.
7.2.a, može zamijeniti prema Théveninu mrežom sheme
spoja prema slici 7.2.b, tj. serijskim spojem Théveninovog
naponskog izvora uT i Théveninovog otpora RT. Vrijedi :
RT i + u C = uT
(4)
τ = GN L
a) Opća kapacitivna mreža M = M’+C.
b) Nadomjesna mreža prema Théveninu.
dobivamo diferencijalnu jednažbu
di
τ L + iL = i N
dt
rješenje koje je
−
i L (t ) = i L (+0)e
t
τ
+
1
τ
t
∫
0
−
e
t−x
τ i
(5)
N
( x)dx ; t ≥ +0 (6)
29
II. Prijelazno stanje
Zaključujemo :
a) Izbor varijabli uC odnosno iL za opis mreža prvog reda
je logičan. Dok god je mreža dobro definirana vrijedit
će
zakoni
komutacije
(poglavlje
6.3.)
u
najjednostavnijem obliku
uC(+0) = uC(–0) ; iL(+0) = iL(–0)
Ove se varijable zovu varijable stanja a pripadne
jednadžbe (2) i (5) jednadžbe stanja. O tome više
kasnije !
b) Vremenske konstante (1) i (4) su mjere za gubitak
pamćenja u odgovarajućim mrežama.
Ograničimo li se na slučaj τ > 0 proizlazi za
- prvi član u izrazima (3) i (6) da što je τ manji to se
brže gubi informacija o početnom uvjetu uC(–0)
odnosno iL(–0). Također za
- drugi član u izrazima (3) i (6) opažamo da za sve
trenutke x takve da je τ << t–x, valni oblici uT(x)
odnosno iN(x) praktički nemaju utjecaja na vrijednost
integrala. Poticaji koji su davno nastupili (prije više
τ-ova) ne utječu na sadašnje stanje !
c) Ako se nakon određivanja napona na kapacitetu uC
odnosno struje kroz induktivitet iL ove varijable
zamijene naponskim odnosno strujnim uvorom, opća
kapacitivna odnosno induktivna mreža rješavaju se kao
otporne mreže !
postupak određivanja komponenata
potpunog odziva vrijedi samo ako je promatrana
mreža linearna, što je i bila polazna pretpostavka!
Druga mogućnost rastava potpunog odziva jest ako
postoji ustaljeno stanje (poglavlje 6.1.). Tada se potpuni
odziv može rastaviti i ovako
Potpuni odziv = Prijelazno stanje + Ustaljeno stanje
(8)
U skladu s poglavljem 6.1. ustaljeno stanje je dano
izrazima
lim u C (t ) = u C (∞) ; lim i L (t ) = i L (∞)
t →∞
t →∞
dok je prijelazno stanje dano izrazima
u C (t ) − u C (∞) ; i L (t ) − i L (∞)
Napomena : Budući da određivanje komponenata potpunog
odziva prema (8) zahtijeva poznavanje uC(t)
odnosno iL(t), to je rastav potpunog odziva na
prijelazno stanje i ustaljeno stanje posve općenit,
dakle vrijedi za bilo koju mrežu koja posjeduje
ustaljeno stanje. Takve se mreže nazivaju i
stabilne mreže.
7.3. ISTOSMJERNE MREŽE
Sva razmatranja provest će se samo za opću istosmjernu
kapacitivnu mrežu, slika 7.2.b.
7.2. RASTAV POTPUNOG ODZIVA
Analizirajmo opće rješenje kapacitivne odnosno
induktivne mreže. Opažamo da je poticaj dvovrstan i tvore
ga
a) uskladištena
energija
u
kapacitetu
odnosno
induktivitetu u trenutku t=+0, i
b) djelovanje naponskih odnosno strujnih izvora od
trenutka t=+0.
Napon na kapacitetu uC(t) odnosno struja kroz
induktivitet iL(t) shvaćaju se kao odzivi mreže na poticaj. U
izrazima (3) odnosno (6) prva komponenta odziva jest
odziv zbog uskladištene energije i taj se odziv naziva
slobodni odziv. Druga komponenta odziva jest odziv zbog
djelovanja izvora i naziva se prisilni odziv. Zbrajanjem
ovih odziva dobiva se potpuni odziv. Dakle,
Potpuni odziv = Slobodni odziv + Prisilni odziv
Napomena : Ovaj
uC
uC(+0) > ET
ET
uC(+0) < ET
0
Sl. 7.4.a
t
Napon na kapacitetu nakon uključenja istosmjernog
napona ET, za τ > 0, mreža je stabilna.
(7)
uC
Zaključujemo :
a) Pri određivanju slobodnog odziva treba sve naponske
izvore kratko spojiti i sve strujne izvore prekinuti.
(odsječak 2.5. !) uT=0 odnosno iN=0.
b) Pri određivanju prisilnog odziva treba sve početne
uvjete izjednačiti s nulom, tj. stvoriti “mrtvu”
mrežu uC(+0)=0 odnosno iL(+0)=0.
c) Slobodni odziv je linearna funkcija početnih uvjeta, tj.
uC(+0) ili iL(+0).
d) Prisilni odziv je linearna funkcija vanjskog poticaja, tj.
uT (t) ili iN (t).
uC(+0) > ET
uC(+0) < ET
0
Sl. 7.4.b
ET
t
Napon na kapacitetu nakon uključenja istosmjernog
napona ET, za τ < 0, mreža je nestabilna.
30
7. Mreže prvog reda
Označimo li da je uT(t)=ET to je prema (3) opće rješenje
dano izrazom
−
u C (t ) = uC ( +0)e
t
τ
−
+ ET (1− e
odakle nakon eliminacije varijable ud dobivamo da je
ui =
t
τ
) ; t ≥ +0
(9)
A
R
E−
i
1+ A
1+ A
(12)
Usporede li se izrazi (11) i (12) proizlazi da je
Prva komponenta odziva je slobodni odziv, dok je druga
komponenta prisilni odziv.
ET =
Opažamo da je
te je valni oblik izlaznog napona, uzevši u obzir da je
uC(+0)=0, u skladu sa (9) jednak
lim u C (t ) = u C (∞) = ET
ali samo ako je τ > 0. Ovo znači da se izraz (9) može
napisati i ovako:
u C (t ) = [u C ( +0) − E T ] e
−
A
R
E ; RT =
>0
1+ A
1+ A
−
u i = ET (1 − e
t
τ
) ; τ = RT C
(13)
t
τ
+ ET ; t ≥ +0
(10)
i za pozitivnu vremensku konstantu τ > 0, prva komponenta
potpunog odziva predstavlja prijelazno stanje, dok druga
predstavlja ustaljeno stanje.
7.3.2 Primjer nestabilne mreže
Naponski izvor E iz prethodnog primjera priključimo na
operacijsko pojačalo kako je to pokazano na slici 7.6. te
odredimo valni oblik izlaznog napona nakon uključenja
sklopke u trenutku t=0.
7.3.1. Primjer stabilne mreže
Odredit ćemo valni oblik izlaznog napona naponskog
sljedila, slika 7.5.a, nakon uključenja sklopke u trenutku
t=0, ako je poznat dinamički model operacijskog pojačala,
slika 7.5.b.
t=0
ui
E
Sl. 7.6 Shema spoja uključenja operacijskog pojačala.
Sada vrijedi ovaj sustav jednažbi
t=0
Sl. 7.5.a
u d + E = ui
Au d − Ri = u i
ui
E
Shema spoja uključenja naponskog sljedila.
odakle nakon eliminacije varijable ud dobivamo da je
ui =
ud
i
A
R 

E − −
i
A −1
 A −1
(14)
R
Usporede li se izrazi (11) i (14) proizlazi da je
t=0
Aud
C
ui
E
ET =
Sl. 7.5.b
Nadomjesna shema spoja.
U skladu sa slikom 7.2.b bit će ui = uC , uT = ET odnosno
u i = ET − RT i
; RT = −
R
<0
A−1
te je valni oblik izlaznog napona, uzevši u obzir da je
uC(+0)=0, u skladu s definicijom operacijskog pojačala
(4.5) i izrazom (9) jednak
t

 ET (1 − e τ )

ui = 
− E
 Z

(11)
te treba odrediti Théveninov napon ET i Théveninov otpor
RT.
U skladu s oznakama na slici 7.5.b vrijedi da je
ui + u d = E
Au d − Ri = u i
A
E
A −1
gdje je
0 ≤ t ≤ t0
t > t0
31
II. Prijelazno stanje
Od trenutka t=0 vrijedi da je uC = uR ; iC + iR = 0 , zbog
čega vrijedi da je
EZ
)
ET
τ = RT ⋅ C ; t0 = τ ln( 1 +
ui
C
ET
t0
0
t
EZ
Sl. 7.7
Valni oblik izlaznog napona operacijskog pojačala.
du R
+ iR = 0
dt
Reprezentativna točka A putuje po karakteristici otpora
i to do točke A' a zatim skače u točku A''. Zašto ?
U prvom kvadrantu je iR > 0, što uz pretpostavljeni C > 0
znači da mora biti
du R
<0
dt
tj. napon na otporu se može samo smanjivati. Ovo je
moguće samo ako dođe do skoka struje. Put
reprezentativne točke naziva se dinamički put.
uC
7.3.3 Primjer za skok struje u nelinearnoj mreži
U0
Odredit ćemo kvalitativno valni oblik struje u
nelinearnoj mreži sheme spoja prema slici 7.8.a nakon
uključenja sklopke u t=0. Kapacitet C je linearan
vremenski nepromjenljiv dok je otpor nelinearan i u prvom
kvadrantu u-i ravnine zadan karakteristikom prema slici
7.8.b.
A', A''
U'
t'
iR
A
t=0
iC
I'
iR
uC
+U0
C
R
t
iC
A'
uR
I''
A'
I'
A''
B
U'
a)
Sl. 7.8
U0
uR
b)
A''
I''
a) Shema spoja sklopa u kojem nastupa skok struje.
b) Dinamički put na karakteristici otpora (A-A'-A''-B).
t'
Sl. 7.9
Valni oblici napona i struje kapaciteta
t
32
8. Mreže drugog reda – slobodni odziv
VIII. PREDAVANJE
Tri moguće varijante mreže drugog reda. Pojam kruga. Primjer serijskog RLC-kruga: faktor gušenja α, vlastita
frekvencija ω0, karakteristična jednadžba, prirodne frekvencije. Prigušeni odziv. Pseudoperiodični odziv (prigušeni
titrajni krug). Posebni slučajevi: kritično prigušeni odziv, konzervativni odziv. Karakteristični parametri:
dekrement titranja, faktor dobrote titrajnog kruga. Fizikalni smisao dekrementa titranja. Energetski odnosi u
RLC -krugu: uvjet opstojnosti periodičkog režima rada (oscilatora).
8. MREŽE DRUGOG REDA – SLOBODNI ODZIV
Svaka mreža koja se sastoji od dva nadomjesna
reaktivna elementa, jednog ili više otpora i nezavisnih
izvora naziva se mrežom drugog reda. Otpori i nezavisni
izvori tvore dvoprilaz N na ulaze kojeg su spojeni reaktivni
elementi, slika 8.1
1
2
1
N
C1
C2
1'
2
N
L1
2'
1'
a)
1
C
L2
2'
N
1'
b)
Sl. 8.1
2
Vrijedi da je
u L + u R + uC = 0
Budući da su elementi
nepromjenljivi to dobivamo
L
L
2'
R
2
1
linearni
vremenski
t
∫ i( x)dx = 0
(1)
−∞
Uvede li se umjesto struje i(t) kao varijabla mreže naboj
q(t) proizlazi da je
Najveću raznolikost odziva omogućava treća varijanta
mreže, slika 8.1.c. Najjednostavnije realizacije dvoprilaza
N u kojima je još očuvana sva raznolikost odziva prikazuje
slika 8.2
2
di
1
+ Ri +
dt
C
c)
Tri moguće varijante mreže drugog reda.
1
mreže
d 2q
dt 2
1
 R  dq
+ 2
+
q=0

 2 L  dt LC
Rješenje ove diferencijalne jednadžbe će umjesto o tri
parametra R, L i C ovisiti samo o dva parametra. To su :
R
1'
1'
2'
2'
a)
Sl. 8.2
a)
faktor gušenja
α=
b)
Realizacije dvoprilaza N koje omogućuju tvorbu
a) serijskog RLC-kruga,
b) paralelnog RLC-kruga.
U nastavku analize prvo ćemo istražiti slobodni odziv,
dakle ona svojstva mreže drugog reda koja ne ovise o
poticaju, i to na primjeru serijskog RLC-kruga uz
pretpostavku da su svi elementi mreže linearni i vremenski
nepromjenljivi.
Pod pojmom kruga smatrat ćemo ubuduće svaku
strukturno jednostavniju mrežu, dakle svaku mrežu s
manjim brojem elemenata.
(2)
b) vlastita frekvencija
1
(3)
LC
te diferencijalna jednadžba serijskog RLC-kruga poprima
oblik
ω0 =
d 2q
dt
2
+ 2α
dq
+ ω 02 q = 0
dt
(4)
Rješenje ove diferencijalne jednadžbe je oblika q=Kest.
Uvrstimo li pretpostavljeno rješenje u (4) dobivamo
(
)
Ke st ⋅ s 2 + 2αs + ω 02 = 0
8.1 KARAKTERISTIČNA JEDNAŽBA
i
R
2L
Ova jednadžba ima dva rješenja. Prvo rješenje, da je
q=Kest = 0 je trivijalno, jer daje iskaz o “mrtvoj” mreži.
Pravo rješenje je drugo rješenje, tj.
R
uR
C
uC
uL
L
q = Ke st ≠ 0 ; s 2 + 2αs + ω 02 = 0
jer nam ono kazuje nešto o mreži u kojoj je q(t)≠0 !
Jednadžba
Sl. 8.3
Shema spoja serijskog RLC-kruga.
s 2 + 2αs + ω 02 = 0
(5)
33
II. Prijelazno stanje
naziva se karakteristična jednadžba, a njena rješenja
s1,2 = −α ± α
2
− ω 02
q
q
K1 > 0, K2 < 0
K1 > |K2|
K1 , K2 > 0
(6)
nazivaju se prirodne frekvencije kruga.
0
t
Napomene :
q = K1e s1t + K 2 e s2t
(7)
gdje su K1 i K2 konstante koje treba tek odrediti iz početnih
uvjeta.
Prirodne frekvencije s1 i s2 su ili realni brojevi ili
konjugirano kompleksni brojevi. U skladu s pojmovima
stabilne odnosno nestabilne mreže, uvedenim u
poglavlju 6, proizlazi :
a) mreža je stabilna ako je
Re{ s1 } < 0 i Re{ s 2 } < 0
Re{ s1 } > 0 i/ili Re{ s 2 } > 0
Im{s}
s2
(8b)
s1
Re{s}
Sl. 8.4.b Prikaz prirodnih frekvencija u ravnini kompleksnih
frekvencija.
8.2.2 Pseudoperiodični odziv
Ako je
(11)
α < ω0
prirodne frekvencije s1 i s2 su dva konjugirano kompleksna
broja oblika
(8a)
b) mreža je nestabilna ako je
t
Sl. 8.4.a Dva tipična valna oblika prigušenog odziva.
a) Neovisno o izboru varijable kojom je opisan serijski
RLC-krug, karakteristična jednadžba ostaje ista s istim
izrazima za određivanje parametara α i ω0.
b) Neovisno o izboru varijable kojom je opisana neka mreža
(krug) drugog reda i za bilo koju drugu mrežu (krug)
drugog reda, karakteristična jednadžba je istog oblika (5),
ali su izrazi za određivanje parametara α i ω0 različiti.
Iz izloženog proizlazi da je zbog postojanja oba
nezavisna spremnika energije (matematički: zbog oba
nezavisna početna uvjeta!) opće rješenje diferencijalne
jednadžbe (4) oblika
0
s1,2 = −α ± jω d
; ω d = ω 02 − α 2
(12)
gdje se ωd naziva (kružna) frekvencija pseudoperiodičnog
odziva. Odziv je oblika
q = K1e s1t + K 2 e s2t = e −αt ( K1e jω d t + K 2 e − jω d t )
8.2 ANALIZA KARAKTERISTIČNE JEDNADŽBE
odnosno
U nastavku ograničimo se samo na razmatranje stabilnih
mreža. U skladu sa (8a) i (6) ovo znači da vrijedi
α >0
(9)
q = Ke −αt cos(ω d t + ϑ )
(13)
gdje su K i ϑ konstante koje treba odrediti iz početnih
uvjeta.
q
8.2.1 Prigušeni odziv
Im{s}
Ako je
s1
α > ω0
ωd
(10)
0
prirodne frekvencije s1 i s2 su dva realna broja i odziv (7)
sastoji se od zbroja dviju eksponencijalnih funkcija realnog
argumenta. Ovaj se odziv naziva prigušeni odziv.
t
T=2π /ωd
a)
Sl. 8.5
-α
s2
Re{s}
-ωd
b)
a) Tipični valni oblik pseudoperiodičnog odziva.
b) Prikaz prirodnih frekvencija u ravnini kompleksnih
frekvencija.
34
8. Mreže drugog reda – slobodni odziv
Valni oblik funkcije q(t) prikazan je na slici 8.5.a.
Amplituda
oscilacija
(titraja)
Ke-αt
pada
po
eksponencijalnom zakonu i teži nuli kad t ∞. Funkcija
(13) nije periodična, ali kako se ona poništava u
nultočkama funkcije cos(ωdt + ϑ ) to i nultočke dolaze u
pravilnim vremenskim intervalima trajanja π / ωd te ima
fizikalnog smisla govoriti o periodi pseudoperiodičnog
odziva
2π
T =
ωd
Krug u kojem se pojavljuje pseudoperiodični odziv
naziva se (prigušeni) titrajni krug.
b) faktor dobrote titrajnog kruga
Q = 2π
uskladištena energija u krugu
disipirana energija u krugu u periodi T
(19)
Definicija faktora dobrote titrajnog kruga Q nije vezana
uz krugove drugog reda. Ako se uskladištena energija
u krugu u nekom trenutku t označi sa ℰ Σ(t), onda će
disipirana energija u krugu u periodi titranja T biti
očigledno jednaka razlici
ℰ Σ (t ) − ℰ Σ (t + T )
te se faktor dobrote titrajnog kruga Q može definirati
izrazom
8.2.3 Posebni slučajevi
a) Kritično prigušeni odziv. Nastupa u slučaju ako je
Q = 2π ⋅
α = ω0
(14)
(15)
Napomena: U praksi treba nastojati postići kritično prigušeni
odziv ako se želi:
- za zadane L i C najbrža razgradnja uskladištene
energije u krugu, ili
- minimalno vrijeme uspostavljanja ustaljenog
stanja, kao što je to čest slučaj u automatskom
upravljanju. Pri tome se vrijeme uspostavljanja
ustaljenog stanja obično definira kao vrijeme
potrebno da promatrana varijabla dosegne 95%
svoje ustaljene nenulte vrijednosti ili ako je
ustaljeno stanje nulto stanje, kao vrijeme
potrebno da promatrana varijabla padne na 5%
od svoje početne vrijednosti.
b) Konzervativni odziv. Nastupa u slučaju ako je
α =0
(16)
krugovima pri analizi njihovih svojstava u okolišu
rezonancije te kao jedan od kriterija pri
iskazivanju kvalitete izvedenih zavojnica i
kondenzatora reaktivnih filtara. U tim se
slučajevima faktor dobrote Q definira umnoškom
2π i omjera najveće uskladištene energije i
disipirane energije u krugu ili reaktivnoj
komponenti tijekom jedne periode poticaja.
8.4 NEKE VAŽNE RELACIJE U TITRAJNIM
KRUGOVIMA DRUGOG REDA
8.4.1 Određivanje faktora gušenja α
Svojstvo pseudoperiodičnog odziva (13) da je razmak
između dva uzastopna maksimuma (minimuma) stalan i da
iznosi T=2π/ ωd koristi se u praksi pri određivanju faktora
gušenja α, odnosno za poznate L i C kruga pri određivanju
otpora R titrajnog kruga. Naime, ako je m-ti maksimum
jednak
Am = Ke −αt0 cos(ω d t 0 + ϑ )
a valni oblik odziva dan je izrazom
q = K cos(ω 0 t + ϑ )
(20)
Napomena : Faktor dobrote koristi se i u harmonijski poticanim
a valni oblik odziva dan je izrazom
q = ( K1t + K 2 )e −αt
ℰ Σ (t )
(
t
)
ℰΣ − ℰ Σ ( t + T )
(17)
Krug u kojem se pojavljuje konzervativni odziv naziva
se i neprigušeni titrajni krug.
onda je očigledno m+n-ti maksimum jednak
Am + n = Ke −α (t0 + nT ) cos[ω d (t 0 + nT ) + ϑ ]
odakle dobivamo izraz za faktor gušenja titrajnog kruga
8.3 KARAKTERISTIČNI PARAMETRI
TITRAJNOG KRUGA
α=
Osim spomenutih parametara faktora gušenja α i
vlastite frekvencije ω 0 u praksi se često koriste i druga dva
parametra. To su
a) logaritmički pad ili dekrement titranja
d = ln
q (t )
α
= αT = 2π
q (t + T )
ωd
(18)
A
1
ln m
nT Am + n
(21)
a sve veličine na desnoj strani (21) lako su mjerive.
Napomena: Znamo li faktor gušenja α odredili smo i
dekrement titranja d=αT !
II. Prijelazno stanje
8.4.2 Određivanje faktora dobrote slabo prigušenog
titrajnog kruga Q0
Uskladištena energija u krugu drugog reda je
1
2
1
2
2
2
ℰ Σ (t ) = CuC + Li =
1 2 1 dq 2
q + L( )
2C
2 dt
1
1
2
C
+ ω d2 L sin 2 (ω d t + ϑ ) + 2αω d L sin(ω d t + ϑ ) cos(ω d t + ϑ )]
Budući da je trajanje jedne periode T=2π / ωd, proizlazi da
je
(22)
Za slabo prigušeni krug vrijedi da je
α << ω 0
; ω d ~ ω 0 ; T ~ 2π / ω 0
te uzevši u obzir da je
1 − e −4πα / ω d ≈ 1 − 1 + 4πα / ω 0
dobivamo izraz za faktor dobrote slabo prigušenog
titrajnog kruga Q0
Q ≈Q0 =
ω0
2α
(23)
Što je faktor dobrote Q0 veći, to se titraji sporije prigušuju.
Iz izraza (21) proizlazi, ako se stavi da je n=Q0,
Am +Q
Am
= e −αQ0T ≈ e
ω 2π
−α 0 ⋅
2α ω 0
Krug prema slici 8.3 dobro je definiran, varijabla
i=dq/dt zbog toga je neprekinuta, te se njome smije
pomnožiti diferencijalna jednadžba (1). Proizlazi
di 1 dq
+ q
+ Ri 2 = 0
dt C dt
Budući da je ukupna uskladištena energija u krugu
2 − 2αt
2
2
ℰΣ (t ) = K e [( + α L) cos (ω d t + ϑ ) +
2π
ℰ Σ (t )
=
− 4πα / ω d
(
t
)
−
(
t
+
T
)
1
−
e
ℰΣ
ℰΣ
8.5 ENERGETSKI ODNOSI U RLC-KRUGU
Li
i koristeći izraz (13) dobivamo da je
Q = 2π ⋅
35
= e −π ≈ 0,043
1
1
2
2
ℰΣ (t ) = 2 Li + 2C q
to dobivamo da vrijedi :
d ℰΣ
+ Ri 2 = 0
dt
(24)
a) Otpor R je pozitivan. Budući da je i2(t) ≥ 0 ; R > 0, to
mora biti
dℰΣ
<0
dt
što znači da proces trne, jer u krugu postoji samo
konačna prethodno uskladištena energija.
b) Otpor R je negativan. Budući da je i2(t) ≥ 0 ; R < 0, to
mora biti
d ℰΣ
>0
dt
što znači da se proces raspiruje, tj sa R < 0 označen je
model izvora električne energije.
c) Periodički režim rada. Ako je periodički režim rada
moguć, tj. ako je
ℰ Σ (t ) =ℰ (t + T )
(25)
gdje je T perioda rada, onda iz jednadžbe (24) vidimo
da je uvjet periodičkog režima rada (25) zadovoljen
samo ako je
t +T
što znači da se u slabo prigušenom titrajnom krugu
“amplituda” titraja smanji na 4.3% od početne amplitude
nakon isteka od Q0 perioda. Tako se Q0 može lako
izmjeriti.
Opažamo da je dekrement titranja slabo prigušenog
titrajnog kruga d0 jednak
d 0 = αT0 = 2π
α
π
=
ω 0 Q0
Na osnovi izraza (22) lako dobivamo da je
−4πα /ω
d
α
4πα
ℰΣ (t ) − ℰ Σ (t + T ) = 1− e
≈
= 2π
= d0
−
4
πα
/
ω
d
(
t
)
+
(
t
+
T
)
2
ω
ω
1
+
e
ℰΣ
ℰΣ
d
0
što daje jasni fizikalni smisao pojmu dekrementa
titranja d0 !
∫ Ri dt = 0
2
(26)
t
a ovaj se uvjet može zadovoljiti samo ako je R = R(t) ⋛ 0.
Dakle otpor R mora biti vremenski promjenljiv, ali tako da
u dijelu periode T iskazuje svojstva pasivnog otpora a u
drugom dijelu periode T svojstva aktivnog otpora.
Jednadžba (26) predstavlja uvjet opstojnosti svakog
oscilatora napajanog iz istosmjernog izvora !
Napomena: Jednadžba (26) izvedena je iz energetskih
svojstava kruga u kojem ne djeluju nezavisni
izvori. Da izloženo zaključivanje vrijedi i za
istosmjerne krugove drugog reda pokazat će se u
idućem poglavlju!
36
9. Mreže drugog reda – potpuni odziv
IX. PREDAVANJE
Istosmjerni krugovi. Određivanje slobodnog odziva. Uvjeti pod kojima se prisilni odziv može shvatiti kao poseban
slučaj slobodnog odziva. Postupak određivanja potpunog odziva kao zbroja prijelaznog i ustaljenog stanja.
Energetski odnosi u RLC-krugu : disipirana energija ovisi samo o karakteristici kapaciteta.
Jednoharmonijski krugovi. Postupak za određivanje ustaljenog stanja. Potpuni konzervativni odziv : harmonijske
oscilacije, podharmonijske oscilacije, nadharmonijske oscilacije, nadpodharmonijske oscilacije.
9. MREŽE DRUGOG REDA – POTPUNI ODZIV
9.1 ISTOSMJERNI KRUGOVI
odnosno za t ≥ +0
Potpuni odziv jednak je zbroju slobodnog odziva i
prisilnog odziva. Pokažimo postupak određivanja
potpunog odziva na primjeru linearnog vremenski
nepromjenljivog serijskog RLC-kruga priključenog na
istosmjerni naponski izvor E.
L
i
R
E
t
1
1
u' c (t ) =
i '( x )dx + u' c ( +0) = u'1 +U 0 = q'+U 0
C0
C
∫
t
i '(t ) =
uC
Krug je opisan diferencijalnom jednadžbom (8.4), rješenje
koje, pretpostavimo li pseudoperiodični odziv, možemo
napisati u obliku (8.13), ili što je isto, u obliku
=
C
q ' = e −αt ( K1 cos ω d t + K 2 sin ω d t )
i(–0) = I0
uC(–0) = U0
= L
R
i''
a
u'L
u'C
C
L
R
E
a
u''C
C
dq'
= e −αt (−ω d K1 sin ω d t + ω d K 2 cos ω d t ) −
dt
− αe −αt ( K1 cos ω d t + K 2 sin ω d t )
b
b
i'(–0) = I0
u'C(–0) = U0
Sl. 9.1
i gdje nakon uvrštenja da je
i''(–0) = 0
u''C(–0) = 0
i ' ( +0) =
Potpuni odziv jednak je zbroju slobodnog odziva
i prisilnog odziva ( i = i'+i'', uC = u'C +u''C ).
9.1.1 Određivanje slobodnog odziva
L
u'L
u'C
R
i'
i'1
I0
I 0 + αK1
ωd
L
u'L
q ' = e −αt (CU 0 cos ω d t +
a
C
t ≥ +0
C
+0
= I0
=
I 0 + CU 0
ωd
te je slobodni odziv dan izrazom
a
i'
dq'
dt
dobivamo da je
K2 =
R
(1)
Kako je q’(+0)=CU0, proizlazi iz (1) da je K1=CU0.
Deriviramo li izraz (1) bit će
i' =
+
∫
a
b
i'
1
u' L ( x )dx + i '( +0) = i '1 + I 0
L0
u'C
I 0 + αCU 0
ωd
sin ω d t )
(2)
u'1
U0
b
u'C(–0) = U0
i'(–0) = I0
a)
Sl. 9.2
b
u'1(+0) = 0
i'1(+0) = 0
b)
a) Shema spoja serijskog RLC-kruga s nenultim
početnim uvjetima.
b) Nadomjesna shema spoja serijskog RLC-kruga
za t ≥ +0.
Nadomjesna shema spoja, slika 9.2b, postaje nam
očigledna ako se u skladu s izloženim u poglavljima 6 i 3
sjetimo da je
u ' C (−0) = u ' C (+0) = U 0 ; i ' (−0) = i ' (+0) = I 0
9.1.2 Određivanje prisilnog odziva
Sa stajališta analize nema razlike između početnog
napona na kapacitetu uC(–0) i nezavisnog naponskog
izvora E=uC(–0) spojenog u seriju s kapacitetom, odnosno
početne struje kroz induktivitet iL(–0) i nezavisnog strujnog
izvora I0=i(–0) spojenog paralelno induktivitetu.
U analiziranom slučaju to znači da se prisilni odziv q”
može odmah odrediti iz (2) ako se stavi da je i”(+0)=0;
u'''C(+0) = – E, dok je
u'''C = u' ' C − E =
1
q"− E
C
37
II. Prijelazno stanje
Dakle, naponski izvor E jer je spojen u seriju s kapacitetom
shvaća se kao "početni napon" na kapacitetu C, slika 9.3.
i''
L
R
i''
a
=
u''C
E
R
odakle se uvrstivši početne uvjete dobiva izraz (4), tj. isti
izraz kao i prije.
a
u''C C
L
C
b
u'''C
E
b
Sl. 9.3
q = q p + q s = e −αt ( K 1' cos ω d t + K 2' sin ω d t ) + CE
Prisilni odziv kao posebni slučaj slobodnog odziva.
VAŽNO:
a) Konstante K1' i K 2' određuju se iz potpunog odziva.
b) Valni oblici odziva u prijelaznom stanju ne ovise o
valnim oblicima poticaja, nego isključivo o prirodnim
frekvencijama kruga.
Proizlazi da je
q" = e −αt (−CE cos ω d t +
−α CE
ωd
sin ω d t ) + CE (3)
9.1.3 Određivanje potpunog odziva kao zbroja
slobodnog i prisilnog odziva
Zbrojivši izraze (2) i (3) dobivamo potpuni odziv
analiziranog kruga
9.1.5 Energetski odnosi u RLC-krugu
Odredimo koliko energije treba odati istosmjerni izvor
napona E da se, prema shemi spoja na slici 9.4, kapacitet
početno nabijen na napon U0 < E nabije na napon
istosmjernog izvora i koliko se energije WR pretvori u
toplinu na otporu R !
L
R
i
t=0
q = q'+ q" = e −αt [C (U 0 − E ) cosω d t +
I +α C (U 0 − E )
+ 0
sinω d t ]+ CE
E
(4)
C
+U0
uC
ωd
VAŽNO: Poznavanje slobodnog odziva dovoljno je da se
odmah odredi potpuni odziv u svim
istosmjernim krugovima drugog reda u kojima
je istosmjerni naponski izvor spojen u seriju s
kapacitetom i/ili u kojima je istosmjerni strujni
izvor spojen paralelno induktivitetu.
9.1.4 Određivanje potpunog odziva kao zbroja
prijelaznog i ustaljenog stanja
Druga mogućnost određivanja potpunog odziva jest da
se jednadžba kruga prema slici 9.1 napiše u obliku
nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe, tj. da se iz
uvjeta
u L + u R + uC = E
dobije jednadžba oblika
d 2q
dq
E
+ ω 02 q =
(5)
dt
L
dt
rješenje koje se može iskazati kao zbroj rješenja homogene
diferencijalne jednadžbe i jednog partikularnog rješenja.
Za stabilne krugove s konstantnim ili periodičkim
poticajem vrijedi da je:
a) rješenje homogene diferencijalne
jednadžbe ≡ prijelazno stanje
b) partikularno rješenje ≡ ustaljeno stanje
2
+ 2α
U promatranom primjeru, u ustaljenom stanju je
očigledno qs=konst., što uvršteno u (5) daje odmah da je
q s = CE
Sl. 9.4
Shema spoja nabijanja kapaciteta.
U skladu s postavljenom zadaćom bit će q(–0) = CU0,
i(–0) = 0. Zato što je krug dobro definiran bit će i
q(+0) = q(–0) te i(+0) = i(–0), a nakon utrnuća prijelazne
pojave
q( ∞) = CE ; i (∞ ) = 0
jer smo pretpostavili da je krug stabilan.
Jednadžba ravnoteže glasi
Li
Nakon integriranja od trenutka t=0 do t=∞ dobivamo
∞
∞
∫
∫
0
0
1 2 i (∞ )
1 2 q(∞ )
Li
+ R i 2 dt +
q
= E idt = E [q (∞) − q (0)]
2
2C
i (0)
q ( 0)
Prvi član je zbog i(0) = i(∞) = 0 jednak nuli te dobivamo
da je energija koju treba odati izvor jednaka
WE (0, ∞) = E [CE − CU 0 ]
tj.
(6)
W E (0, ∞ ) = CE ( E − U 0 )
a energija pretvorena u toplinu je
∞
∫
W R (0, ∞) = R i 2 dt =
0
Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe (8.4),
pretpostavi li se pseudoperiodični odziv, je oblika (1), pa
se potpuni odziv dobiva da je
di
1 dq
+ Ri 2 + q
= Ei
dt
C dt
1 2
q (∞) − q 2 (0) − CE ( E − U 0 )
2C
[
]
tj.
W R (0, ∞) =
1
C (E − U 0 ) 2
2
(7)
38
9. Mreže drugog reda – potpuni odziv
što za slučaj nenabijenog kapaciteta vodi na izraz
q
WR (0, ∞) + ℰ C (∞) = Eq(∞)
CE
q
WC(0,∞
∞)
WR(0,∞
∞)
q(∞)
CU0
ℰC(∞
∞)
WC(-∞
∞,0)=ℰC(0)
Sl. 9.5
E
U0
0
WR(0,∞)
uC
Grafički prikaz energetskih odnosa na karakteristici
kapaciteta.
VAŽNO:
a) Dobiveni rezultati ne ovise o vrsti odziva.
b) Za u praksi posebno važan slučaj kad je uC(–0)=0
proizlazi da je
WR (0, ∞) = ℰ C (∞) =
1
1
CE 2 = WE (0, ∞)
2
2
(8)
POOPĆENJE: Pretpostavimo isti krug kao na slici 9.4, ali
neka su sva tri elementa mreže nelinearna, neka je krug
stabilan a funkcija i(ϕ) kojom je opisan induktivitet
jednoznačna. Vrijedi :
dϕ
+ u R + uC = E
dt
t
dq
i=
dt
∫ idϕ + ∫ u
ϕ ( 0)
q (∞ )
∞
R i R dt
0
+
∫u
C dq
=E
Grafički prikaz energetskih odnosa na karakteristici
nelinearnog kapaciteta za slučaj da je kapacitet
prethodno nenabijen.
VAŽNO: Ako je prethodno nenabijeni kapacitet linearan i
vremenski nepromjenljiv, bit će uvijek
zadovoljen uvjet (8) neovisno o tome jesu li
otpor i induktivitet u krugu linearni ili
nelinearni.
9.2 JEDNOHARMONIJSKI KRUGOVI
0
Ako se serijski RLC-krug uključi na jednoharmonijski
izvor napona valnog oblika
u = Uˆ cosωt
potpuni odziv je određen rješenjem diferencijalne
jednadžbe
∫ dq
q ( 0)
d 2q
U ustaljenom stanju je ϕ(∞) = ϕ(0) = 0, te je zbog
jednoznačnosti funkcije i(ϕ) prvi integral jednak nuli,
odnosno vrijedi da je
W R (0, ∞) + WC (0, ∞) = E [q(∞) − q(0)]
q
q(∞)
WC(0,∞
∞)
uC
9.2.1 Određivanje potpunog odziva
q (∞ )
q ( 0)
Sl. 9.7
E
∫ ...dt
Dobivamo da je
ϕ (∞ )
0
WR(0,∞
∞)
dt 2
+ 2α
dq
Uˆ
+ ω 02 q = cosωt
dt
L
(9)
Znamo da se u linearnoj vremenski nepromjenljivoj
mreži ne mogu pojaviti frekvencije različite od onih u
poticaju (izomorfnost odziva i poticaja!). Zbog toga je
odziv na poticaj u obliku jednoharmonijske funkcije
ω
u
ustaljenom
stanju
također
frekvencije
jednoharmonijska funkcija iste frekvencije ω.
S druge strane, kvalitativno, prijelazno stanje uopće ne
ovisi o vrsti poticaja (funkciji poticaja). Proizlazi da je
rješenje diferencijalne jednadžbe (9) dano izrazom
q(0)
q = K1e s1t + K 2 e s 2 t + Qˆ cos(ωt − ψ )
pa se zadaća određivanja potpunog odziva svodi na
određivanja još nepoznatih konstanata Q̂ i ψ , s pomoću
kojih je u potpunosti opisano ustaljeno stanje.
0
U0
E
uC
Pretpostavljeno rješenje u ustaljenom stanju
Sl. 9.6
Grafički prikaz energetskih odnosa na karakteristici
nelinearnog kapaciteta za slučaj da je kapacitet nabijen
prethodno na napon uC(–0)=U0.
qs = Qˆ cos(ωt − ψ )
II. Prijelazno stanje
i pripadne derivacije uvrste se u polaznu diferencijalnu
jednadžbu (9). Proizlazi:
− ω 2 Qˆ cos(ωt − ψ ) − 2αωQˆ sin(ωt − ψ ) +
Uˆ
+ ω 02 Qˆ cos(ωt − ψ ) =
cos ωt
L
Ova jednadžba mora vrijediti za svaki trenutak t, a to je
moguće samo ako se rastavi u dvije nezavisne jednadžbe
članova uz ortogonalne funkcije cosω t i sin ω t.
Za članove uz cos ωt mora vrijediti:
− ω 2Qˆ cosψ + 2αωQˆ sinψ + ω 02Qˆ cosψ =
Uˆ
L
1
(ω 02 −ω 2 ) 2 + 4α 2ω 2
; ψ = arctg
2αω
ω 02 −ω 2
(10)
9.2.2 Potpuni konzervativni odziv - mogući režimi rada
Odredimo potpuni odziv kruga ako je α = 0. Tada je
prema (10) i (8.17)
(ω 02 − ω 2 ) L
m
T0
n
(12)
(13)
VAŽNO: Relativno prosti brojevi m i n u tehnici moraju
biti takovi da zajednička perioda Tz bude sigurno
unutar intervala opažanja periodične pojave !
Zaključujemo : Na osnovi (11) i (12) proizlaze četiri
karakteristična tipa oscilacija (titranja) :
čime je postavljena zadaća u potpunosti riješena.
Qˆ =
Funkcija q(t) je periodična ako su periode T0=2π / ω0 i
T=2π / ω sumjerljive, tj. ako se njihov međusobni odnos
može prikazati kao
T z = nT = mT0
Iz ovih dviju jednadžbi proizlazi da je
Uˆ
q = (Q0 − Qˆ ) cos ω 0 t + Qˆ cos ωt
gdje su m i n relativno prosti brojevi. Perioda funkcije q(t)
je tada jednaka
− ω 2Qˆ sinψ − 2αωQˆ cosψ + ω 02Qˆ sinψ = 0
Uˆ
Qˆ =
L
nuli, te ima smisla analizirati izraz (11) i pitati se pod
kojim uvjetom će funkcija q(t) biti periodična ?
Budući da nas interesira samo kvalitativno periodičko
rješenje, to je za određivanje konstanata K1 i K2 dovoljno
odabrati najjednostavniji slučaj q(0)=Q0 i dq/dt|0=0.
Dobivamo da je
T=
a za članove uz sinωt :
39
a) harmonijske oscilacije
Q0 = Qˆ
b) podharmonijske oscilacije
m = 1 ; T0 = nT , n > 1 ; Q0 ≠ Qˆ
; ψ = 0 ; ωd = ω0
c) nadharmonijske oscilacije
n = 1 ; T0 = T / m , m > 1 ;
te je potpuni konzervativni odziv dan izrazom
q = K1 cosω 0 t + K 2 sinω 0 t + Qˆ cosωt
Q0 ≠ Qˆ
d) nadpodharmonijske oscilacije
(11)
Iz prethodnih poglavlja znamo da je u nelinearnim
krugovima moguće postići da faktor gušenja α bude jednak
m ≠ 1 , n ≠ 1 ; Q0 ≠ Qˆ
40
10. Fazorska transformacija
X. PREDAVANJE
Ograničenje na linearne vremenski nepromjenljive mreže i jednoharmonijski poticaj. Pretvorba
integrodiferencijalne jednadžbe u algebarsku jednadžbu. Pojam transformacije. Pojam fazora. Osnovna pravila
fazorske transformacije. Frekvencijsko područje. O kvocijentu fazora. Pojam funkcije mreže. Ulazne i prijenosne
funkcije mreže. Frekvencijski odziv. Pojmovi impedancije i admitancije. Ulazne funkcije mreže za otpor, kapacitet
i induktivitet. Frekvencijski odziv otpora, kapaciteta i induktiviteta.
III. SINUSOIDALNO USTALJENO STANJE
10. FAZORSKA TRANSFORMACIJA
10.1
{ }
ODREĐIVANJE USTALJENOG STANJA
KLASIČNIM POSTUPKOM
Postupak određivanja ustaljenog stanja pokazat će se na
primjeru serijskog RLC-kruga napajanog iz naponskog
izvora u = Uˆ cosωt , sl. 10.1. Ovaj postupak vrijedi samo
i
L
R
{ }
e jωt = cosωt + j sinωt = ℜe e jωt + jℑm e jωt
te se funkcija poticaja u = Uˆ cos ωt i pretpostavljeni
odziv (u ustaljenom stanju) i = Iˆ cos(ωt + ϕ ) napišu u
obliku
{ }
u = Uˆ cos ωt = Uˆ ℜe e jωt
{
i = Iˆ cos(ωt + ϕ ) = Iˆ ℜe e j (ωt +ϕ )
u
}
C
pri čemu su amplituda Î i početni kut φ nepoznate veličine
koje valja odrediti . Očigledno je
Sl. 10.1 Shema spoja serijskog RLC-kruga.
di ˆ
= I ℜe jωe j (ωt +ϕ )
dt
{
za linearne vremenski nepromjenljive mreže priključene
na jednoharmonijski izvor.
}
;
 1
∫ idt = Iˆ ℜe  jω e
j (ωt +ϕ ) 


Uvrstimo li ove izraze u (2) , dobivamo da je
U skladu sa KZN, vrijedi da je
di
1
L + Ri +
dt
C
{
t
∫ i( x)dx = Uˆ cos ωt
(1)
−∞
Budući da nas zanima samo ustaljeno stanje, bit će u
skladu s definicijom neodređenog integrala
t0
t
∫
t
∫
∫
−∞
t0
∫
i ( x )dx = i ( x )dx + i ( x )dx = i (t )dt ; t 0 - po volji
−∞
što je i fizikalno očigledno, budući da početna vrijednost
naboja dobivena integriranjem od t = −∞ do nekog
trenutka po volji t 0 ionako ne utječe na ustaljeno stanje!
Time diferencijalna jednadžba (1) prelazi u oblik
∧
di
1
L + Ri +
idt = U cos ωt
dt
C
∫
(2)
i ima fizikalni smisao samo pri određivanju ustaljenog
stanja.
Jedan od načina rješavanja ove jednadžbe je pokazan u
odsječku 9.2.1. Drugi način, kraći i jednostavniji jest da se
koristi Eulerov identitet
}
{
}
LIˆ ℜe jωe j (ωt +ϕ ) + RIˆ ℜe e j (ωt +ϕ ) +
∧
 1 j (ωt +ϕ ) 
Iˆ
jωt
+ ℜe 
e
 = U ℜe e
ω
C
j


{ }
(3)
Jednadžba (3) izražava jednakost između realnih dijelova
dvaju kompleksnih brojeva. No ona sigurno vrijedi i ako su
ta dva kompleksna broja jednaka a ne samo njihovi realni
dijelovi! Zbog toga operator ℛ e{...} možemo ispustiti
Iˆ 1
LIˆ jω ⋅ e jωt ⋅ e jϕ + RIˆ ⋅ e jωt ⋅ e jϕ +
⋅ e jωt ⋅ e jϕ =
C jω
∧
= U ⋅ e jωt
Nakon množenja ove jednadžbe sa
e − jωt , dobivamo da je
∧
1  jϕ

Iˆ  R + j (ωL −
) e = U
ωC 

(4)
Polazna integro-diferencijalna jednadžba (2) svedena je na
algebarsku jednadžbu (4) !
U izrazu (4) prvo izjednačimo module, a zatim fazne
kuteve. Proizlazi
1
| Iˆ | ⋅ | R + j (ωL −
) | ⋅ | e jϕ | = | Uˆ |
ωC
41
III. Sinusoidalno ustaljeno stanje
Î i Û su realni pozitivni brojevi, a u skladu s Eulerovim
identitetom očigledno je
e jϕ ≡ 1
Transformacija ima smisla ako se zadani problem može
riješiti na jednostavniji način i ako postoji skup pravila za
kodiranje odnosno dekodiranje .
• Fazor.
dok je
Kompleksni broj kojim je prikazana jednoharmonijska
funkcija.
1 
1 2

2 
R + j  ωL −
 = R +  ωL −

ωC 
ωC 


Fazorska transformacija se sastoji u tome da se
jednoharmonijska funkcija :
te je amplituda struje jednaka
Iˆ =
Uˆ
(5)
1 2

R 2 +  ωL −

ωC 

{
f (t ) = Aˆ cos(ωt +ϕ ) = Aˆ ⋅ℜe e j (ωt +ϕ )
prikaže (transformira) (kodira) kompleksnim brojem
(fazorom) A& ,
Izjednačavanjem faznih kuteva u izrazu (4) proizlazi
ωL −
0 + arctg
R
f (t ) = Aˆ cos(ωt +ϕ ) ↔ A& = Aˆ e jϕ
1
ωC + ϕ = 0
odnosno
ωL −
ϕ = −arctg
1
ωC
(6)
R
čime je postavljena zadaća riješena. Struja u ustaljenom
stanju dana je izrazom
1
∧
ωL −
U
ω
C )
i=
cos ( ωt − arctg
2
R
1 

R 2 +  ωL −

ωC 

10.2
OSNOVNA IDEJA FAZORSKE
TRANSFORMACIJE (K. P. Steinmetz , 1893.)
Postupak opisan u prethodnom odsječku može se posve
formalizirati uvođenjem pojma fazorske transformacije.
• Transformacija. Pojednostavljeni postupak da se obavi
TRANSFORMACIJA
tj. da je jednoharmonijska funkcija Aˆ cos ωt prikazana
odsječkom duljine  na realnoj osi ravnine kompleksnih
brojeva.
Budući da je fazor kompleksni broj kojim je prikazana
jednoharmonijska funkcija, nema nikakvih razloga da se u
najopćenitijem slučaju ne definira fazorska transformacija
kao
Aˆ cos ωt ↔ a + jb
gdje je Aˆ = a 2 + b 2 , a kut ψ za koji su zarotirane osi
koordinatnog sustava je jednak ψ = arctg b/a. Naravno, to
je suvišna komplikacija, pa se to nikad ne radi. U praksi se,
osim prethodno navedene, izraz (8a), često koristi i ova
jednostavna transformacija
(KODIRANJE)
Aˆ sin ωt ↔ Aˆ
Problem je
transformiran
(kodiran)
(7)
Pri tome znak ↔ pokazuje da je ova transformacija
dvostrana, tj. moguć je prijelaz iz vremenskog područja u
kompleksne brojeve i obratno. Znak ↔ se obično čita kao
“preslikava u“ ili “transformira u“.
Potpuno bi bilo krivo pomisliti da je transformacija dana
izrazom (7) jedina moguća. Ona je samo najjednostavnija
jer vodi na to da je
Aˆ cos ωt ↔ Aˆ
(8a)
nešto što je inače teško .
Zadani
problem
}
(8b)
ili ponekad
Složenije
operacije
Jednostavnije
operacije
Aˆ sin ωt ↔ jAˆ .
Rješenje
problema
“t” područje
Sl. 10.2
(DEKODIRANJE)
Rješenje u
transformiranom
obliku
“ω” područje
Metoda transformacije.
Zaključimo: Analiza mreže u sinusoidalnom ustaljenom
stanju s pomoću fazora započinje nakon što je unaprijed
zadan ili dogovoren način preslikavanja (transformacije),
recimo s pomoću izraza (8a) ili (8b). Prije nego što se zada
ili dogovori način transformacije pitanja poput: Zadan je
fazor, kako glasi pripadna jednoharmonijska funkcija?, ili
obratno pitanje, nemaju nikakva smisla!
42
10.3
10. Fazorska transformacija
OSNOVNA PRAVILA FAZORSKE
TRANSFORMACIJE
A&1 A1 j (ϕ −ψ )
A
f (t )
=
e
↔ 1 cos[ωt + (ϕ −ψ )]≠ 1 =
&A
A
A
f
2
2
2 (t )
2
A1 cos(ωt +ϕ )
=
= g (t )
A2 cos(ωt +ψ )
Fazorska transformacija je linearna transformacija.
a)
Ako za dvije jednoharmonijske funkcije f1(t) i f2(t)
vrijedi :
f 1 (t ) ↔ A&1 ; f 2 (t ) ↔ A& 2
tada vrijedi i da je :
αf 1 (t ) + βf 2 (t ) ↔ αA&1 + βA& 2
(9)
gdje su α i β konstante .
a funkcija g(t) nije jednoharmonijska funkcija. Zbog toga
kvocijent fazora nije fazor, a analogno vrijedi i za umnožak
fazora.
Primjer :
Odredite valni oblik struje kruga prema slici 10.1 koristeći
fazorsku transformaciju.
Rješenje :
Označimo :
b) Fazorska transformacija deriviranja
u(t ) = Uˆ cosωt ↔ U& = Uˆ ∠0° = Uˆ e j 0
i (t ) = Iˆ cos(ωt +ϕ ) ↔ I& = Iˆ ∠ϕ ° = Iˆ e jϕ
∧

f (t ) = ℜe  Ae j (ωt +ϕ )  ↔ A&


 ∧

df
= ℜe  jω A e j (ωt +ϕ )  ↔ jωA&
dt


(10)
Diferencijalna jednadžba (2) preslikana (transformirana)
u frekvencijsko područje uz pomoć pravila za deriviranje
(10) i integriranje (11) sada glasi :
jωLI& + RI& +
Fazorska transformacija integriranja
c)
∧

f (t ) = ℜe  Ae j (ωt +ϕ )  ↔ A&


∫
odnosno :
Uˆ ∠0°
I& =
 ∧

1 &
 A j (ωt +ϕ ) 
f (t )dt = ℜe 
e
A
↔
jω
 jω

R + j ( ωL −
(11)
Napomena: Za operacije s kompleksnim brojevima, kad ih
smatramo fazorima, kažemo da su to operacije u
frekvencijskom ω - području, za razliku od
originalnog vremenskog t - područja.
1
)
ωC
odakle odmah dobivamo iste izraze za amplitudu Iˆ = 2 I
i početni kut ϕ kao i u prethodnom odsječku.
10.4 FUNKCIJE MREŽE
10.4.1 Osnovni pojmovi
Pitanje :
Zašto kvocijent fazora nije fazor ?
•
Ako je svaki fazor kompleksni broj a dijeljenjem fazora
se ponovno dobiva neki kompleksni broj, onda zbog
dvostranosti fazorske transformacije izgleda da je i taj
kompleksni broj fazor !
a)
Formalni odgovor da dijeljenje nije linearna
operacija, pa prema tome rezultat dijeljenja nije
fazor, je točan, ali ne djeluje kao zadovoljavajući
odgovor !
b) Neka su zadane dvije jednoharmonijske funkcije
f 1 (t ) = Aˆ1 cos(ωt +ϕ ) ↔ A&1 = Aˆ1e jϕ
1 & &
I =U
jωC
;
Aˆ1 = 2 A1
f 2 (t ) = Aˆ 2 cos(ωt +ψ ) ↔ A& 2 = Aˆ 2 e jψ ;
Aˆ 2 = 2 A2
Kvocijentu fazora ne odgovara u vremenskom području
kvocijent pripadnih vremenskih funkcija :
Funkcija mreže.
H ( jω ) =
fazor odziva
= H ( jω ) e jϑ (ω )
fazor poticaja
• Amplitudna karakteristika. Grafički prikaz funkcije
H ( jω ) .
Fazna karakteristika. Grafički prikaz funkcije ϑ (ω ) .
Frekvencijski odziv. Tvore ga amplitudna i fazna
karakteristika prikazane zajedno.
• Ulazna funkcija mreže. Kvocijent dvaju fazora
definiranih na istom paru priključaka mreže (istom
prilazu). Postoje dvije ulazne funkcije mreže. To su:
impedancija definirana kvocijentom fazora napona
U& i struje I& na istom prilazu , tj.
•
•
Z ( jω ) =
U&
I&
(12)
43
III. Sinusoidalno ustaljeno stanje
i admitancija, definirana kvocijentom fazora struje i
napona na istom prilazu .
Y ( jω ) =
1
I&
=
Z ( jω ) U&
koja nakon fazorske transformacije, koristeći pravilo
(9), prelazi u oblik :
U& = RI&
(13)
odnosno :
H ( jω ) = Z R ( jω ) = R ; H ( jω ) = R
• Prijenosna funkcija mreže. Kvocijent dvaju fazora
definiranih na različitim parovima priključaka mreže
(različitim prilazima).
1
U&1
I&2
I&1
DVOPRILAZ
b) Kapacitet.
U vremenskom području vrijedi konstitutivna relacija :
du
i =C
dt
koja nakon fazorske transformacije , koristeći pravilo
deriviranja (10) , prelazi u oblik :
2
U& 2
2’
1’
(18)
ϑ (ω ) = 0
Sl. 10.3 Prikaz dvoprilaza u frekvencijskom području.
I& = jωCU&
odnosno :
Za dvoprilaze kod kojih se prilaz 1 obično smatra
prilazom na kojem djeluje poticaj postoje četiri prijenosne
funkcije mreže. To su :
a)
H ( jω ) = Z C ( jω ) =
prijenosna impedancija
1
1
; H ( jω ) =
ωC
jωC
ϑ (ω ) = −
U&
Z 21 ( jω ) = 2
I&1
(14)
π
(19)
2
Impedancija Z C ( jω ) često se naziva i kapacitivna
reaktancija.
b) prijenosni omjer struja
c)
I&
α 21 ( jω ) = 2
I&
(15)
U& 2
U& 1
(16)
konstitutivna
U& = jωLI&
H ( jω )
d) prijenosna admitancija
Y21 ( jω ) =
vrijedi
u=L
prijenosni omjer napona
A21 ( jω ) =
području
di
dt
koja nakon fazorske transformacije, koristeći pravilo
deriviranja (10) , prelazi u oblik :
1
c)
Induktivitet.
U vremenskom
relacija:
C
I&2
U& 1
L
(17)
R
Napomena: Pogledajte u poglavlju 4. osnovne vrste linearnih
zavisnih izvora!
ω
10.4.2
Ulazne funkcije mreže za osnovne
jednoprilazne elemente mreže
Pretpostavljamo da za napon i struju elementa mreže
vrijedi transformacija :
u (t ) ↔ U&
i (t ) ↔ I&
i da je u svim slučajevima struja i(t) shvaćena kao poticaj.
a) Otpor.
U vremenskom području vrijedi konstitutivna relacija :
u = Ri
ϑ(ω)
π/2
L
R
ω
-π/2
C
Sl. 10.4 Frekvencijski odziv otpora, kapaciteta i induktiviteta.
44
10. Fazorska transformacija
odnosno :
Impedancija Z L ( jω ) često se naziva i induktivna
reaktancija.
H ( jω ) = Z L ( jω ) = jωL ; H ( jω ) = ωL
ϑ (ω ) =
π
2
(20)
45
III. Sinusoidalno ustaljeno stanje
XI. PREDAVANJE
Pojam rezonancije. Rezonancijska frekvencija. Fazna rezonancija. Rezonancijske frekvencije serijskog RLC-kruga
s obzirom na struju kruga i s obzirom na napon na kapacitetu. Fizikalni smisao uvjeta ωr = ω0 . Fazni odnos
između struje i narinutog napona pri ulasku u rezonanciju. Oštrina rezonancije. Rezonancija kao odziv na
jednoharmonijski poticaj. Fizikalnost Fourierovog rastava. Utitravanje u rezonanciju. Pojam filtra. Idealne i
realne amplitudne karakteristike osnovnih vrsta filtara : niski propust, visoki propust, pojasni propust, pojasna
brana.
11. REZONANCIJA I FREKVENCIJSKI ODZIV
11.1 POJAM REZONANCIJE (L.I. Mandel'štam, 1930.)
Neka mreža je u rezonanciji na frekvenciji ω r ako se
pri narinutom harmonijskom poticaju
∧
x (t ) = X cos ωt
∧
stalne amplitude X i promjenljive frekvencije u opsegu
0 < ω < ∞ postigne na frekvenciji ω r najveća moguća
∧
amplituda harmonijskog odziva Y (ω r ) M . Frekvencija
H ( jω r ) = H ( jω )
tj. ako amplitudna karakteristika pripadne funkcije mreže
ima za ωr svoj maksimum.
Napomene:
a) Rezonancija je pojava koja se promatra u ustaljenom stanju.
Stanje u nekom trenutku nije bitno, bitan je proces koji traje
i ne može se reći : Rezonancija je nastupila u trenutku t 0 !
b)
ω r naziva se rezonancijska frekvencija.
c)
|H(jω)|
|H(jω)|
(1)
M
U literaturi se spominje i pojam antirezonancije, tj. kad
amplitudna karakteristika neke funkcije mreže ima svoj
minimum.
Rezonancija se često brka s faznom rezonancijom. Fazna
rezonancija se pojavljuje pri frekvenciji ω rf , kod koje je
početna faza odziva jednaka početnoj fazi poticaja, tj. kad je
{
}
ℑm H ( jω rf ) = 0
a)
ω
ω
b)
11.2 REZONANCIJSKE FREKVENCIJE
SERIJSKOG RLC-KRUGA
|H(jω)|
|H(jω)|
ωr
c)
ω r1 ω1 ω r2
ω
(2)
d)
ω
Sl. 11.1 Neki tipični oblici amplitudne karakteristike
a) Nema rezonancije. Frekvencija ω = ∞ nije
rezonancijska frekvencija.
b) Nema rezonancije. Frekvencija ω = 0 nije
rezonancijska frekvencija.
c) Rezonancija na frekvenciji ωr.
d) Rezonancija na frekvenciji ωr1. Tehnički je važan
samo neki konačan opseg frekvencija. Zbog toga i
ωr2 može biti rezonancijska frekvencija, ako se
promatraju frekvencije ω > ω1!
Ovisno o postavljenoj zadaći u svakoj se mreži mogu
definirati različite funkcije mreže. Zbog toga je očigledno
da jedna te ista mreža može imati više rezonancijskih
frekvencija. Pokažimo to na primjeru serijskog RLC-kruga,
slika 10.1.
∧
U svim slučajevima smatrat ćemo napon u = U cos ωt
naponskog izvora poticajem a kao odziv promatrat ćemo ili
struju kruga i(t) ili napon na kapacitetu uC(t). Umjesto
odgovarajućih funkcija mreže, admitancije
•
Y ( jω ) =
I
•
U
odnosno prijenosnog omjera napona
Drugim riječima, neka mreža karakterizirana funkcijom
mreže
•
H ( jω ) =
Y (ω )
•
A21 ( jω ) =
UC
•
U
•
X (ω )
je u rezonanciji na frekvenciji ω r ako vrijedi da je
iskazat ćemo rezonancijske frekvencije s obzirom na
varijable odziva struju i napon na kapacitetu.
46
11. Rezonancija i frekvencijski odzivi
11.2.1 Amplituda struje Iˆ (ω ) kao varijabla odziva
S obzirom na to da promatramo ustaljeno stanje smije se
napon na kapacitetu odrediti iz izraza
Ako se u izraze (10.5) i (10.6) umjesto parametara R, L i
C uvedu faktor gušenja α i vlastita frekvencija ω0,
dobivamo odmah i amplitudnu i faznu karakteristiku
Uˆ
Iˆ(ω ) = ⋅
L
ϕ (ω ) = arctg
2

 + 4α 2


(3)
∫
(6)
ℰΣ (t ) =
1 ˆ2
1 ˆ2
LI cos 2 (ωt + ϕ ) +
I sin 2 (ωt + ϕ )
2
2ω 2 C
ℰΣ = ℰΣ(t) ≠ konst.
Napomena :
Do istih se rezultata može doći i koristeći izraze (9.10) iz
odsječka 9.2.1 ako znamo da je zbog i = dq / dt
;
∫
Kako je
ω 0 2 −ω 2
2αω
Iˆ(ω ) = ωQˆ (ω )
1
1 ˆ
Iˆ
idt =
I cos(ωt + ϕ )dt =
sin(ωt + ϕ )
ωC
C
C
te dobivamo da je
1
 ω 0 2 −ω 2


ω

uC =
ϕ=
π
2
znači da za cijelo vrijeme procesa postoji prijenos energije
iz vanjskog svijeta (izvora) u krug i obratno. No, ako je
1 ˆ2
1 ˆ
1
2
LI =
I ⇒ω2 =
= ω0
2
LC
2
2ω C
−ψ
bit će
Iˆ(ω )
1 2
2
2
ℰ Σ = LIˆ cos (ω 0 t +ϕ ) + sin (ω 0 t +ϕ ) =
2
1
= LIˆ 2 = konst.
2
α=0
[
α≠0
ω0 = ωr
što znači da pri rezonanciji struje, tj. kad je ω r = ω 0 ,
postoji prijenos energije iz vanjskog svijeta u krug, ali ne i
obratan proces. Uskladištena energija u iznosu
1 ˆ2
LI
2
dovoljna je za održavanje titranja, a iz vanjskog svijeta se
samo nadoknađuju gubici ! To je i fizikalno objašnjenje
izraza (5).
ω
ϕ (ω )
π/2
α=0
α≠0
ω
-π/2
Sl. 11.2 Kvalitativni prikaz frekvencijskog odziva struje serijskog
RLC-kruga za dvije vrijednosti faktora gušenja.
Iz amplitudne karakteristike Iˆ(ω ) , izraz (3), lako se vidi
da je rezonancija postignuta kad je
ωr = ω0
(4)
Vrijednost struje tada je najveća i iznosi
Uˆ
Uˆ
Iˆ(ω r ) = IˆM =
=
L ⋅ 2α R
(5)
Fizikalni smisao uvjeta ω r = ω 0 postaje jasniji ako se
izračuna ukupna elektromagnetska energija u krugu,
1
1
2
ℰΣ (t ) = Li 2 + Cu C
2
2
]
Pitanje :
Zašto se za vrijeme ulaska u rezonanciju mijenja fazni
odnos između struje i narinutog napona kao što to pokazuje
fazna karakteristika , sl. 11.2 ?
Naime , iz izraza (3) proizlazi
ωUˆ
Iˆ(ω ) =
2
 ω 2 −ω 2 
 +1
L ⋅2αω  0
 2αω 


Uˆ
1
Uˆ
=
= cosϕ
R tg 2ϕ +1 R
=
(7)
U fizikalnom objašnjenju polazimo od diferencijalne
jednadžbe kruga (10.2) koja nakon množenja sa strujom
i(t) i usrednjavanjem na periodu T=2 π / ω daje jednakost
T
T
∫
∫
0
0
R i 2 dt = Uˆ i cosωtdt
(8)
III. Sinusoidalno ustaljeno stanje
tj. energija pretvorena u toplinu u krugu mora biti jednaka
energiji preuzetoj iz vanjskog svijeta (izvora).
Kako je Û = konst., a postupno ulazimo u rezonanciju,
povećavat će se struja i(t) po amplitudi, ali će se zbog toga
vrijednost integrala
47
što uvršteno u (9) daje najveću moguću vrijednost
amplitude napona na kapacitetu
ω 02
Uˆ
Uˆ C (ω ' r ) = Uˆ C , M =
⋅
2α ω 2 − α 2
0
T
(11)
∫ i dt
2
0
povećavati neusporedivo brže ! Jednadžba (8) može ostati
točna samo ako se mijenja fazni odnos između struje
i = Iˆ cos(ωt + ϕ ) i narinutog napona u = Uˆ cos ωt . Iz (8)
proizlazi
T
T
0
0
R ∫ Iˆ 2 cos 2 (ωt +ϕ )dt = UˆIˆ ∫ cos(ωt +ϕ ) cosωtdt
11.2.3 Rezonancijske frekvencije kruga ako se mijenja
vlastita frekvencija ω 0
U praksi je čest slučaj da je frekvencija poticaja ω stalna,
a mijenja se vlastita frekvencija ω0.
a)
Iz uvjeta
dIˆ(ω 0 )
=0
dω 0
No,
T
T
∫ cos (ωt + ϕ )dt = 2
2
;
proizlazi za rezonancijsku frekvenciju s obzirom na struju
ω0r da je
0
T
T
∫ cos(ωt + ϕ ) cosωtdt = 2 cos ϕ
ˆ
U
ω 0 r = ω ; Iˆ(ω 0 r ) =
0
(12)
R
pa vrijedi
b) Iz uvjeta
RIˆ 2 = UˆIˆ cos ϕ
odakle neposredno proizlazi istinitost izraza (7).
Prijelazom na efektivne vrijednosti ova jednakost poprima
oblik
RI 2 = UI cos ϕ
d Uˆ C (ω 0 )
=0
dω 0
proizlazi za rezonancijsku frekvenciju s obzirom na napon
na kapacitetu ω 0′ r da je
ω 0′ r = ω 2 + 4α 2
što je poznata relacija iz Osnova elektrotehnike za djelatnu
snagu u izmjeničnom krugu .
;
(13a)
odnosno
11.2.2
Amplituda napona na kapacitetu Uˆ C (ω ) kao
varijabla odziva
Iz (6) proizlazi da je
∧
1 ∧
Uˆ C (ω ) =
I (ω ) = U
ωC
ω02
(ω
2
0
Rezonancijska frekvencija ω ' r
kapaciteta dobiva se iz uvjeta
−ω2
)
2
(9)
ω′
Uˆ C (ω 0′ r ) = Uˆ ⋅ 0 r
2α
(13b)
11.3 OŠTRINA REZONANCIJE
+ 4α 2ω 2
Pod oštrinom rezonancije smatra se širina pojasa
frekvencije B unutar kojeg amplituda odziva nije manja od
s obzirom na napon
1 / 2 puta vrijednosti amplitude odziva u rezonancijskoj
točki, sl. 11.3.
Što je rezonancija oštrija to je uža širina pojasa B,
d Uˆ C (ω )
=0
dω
B = ω 2 − ω1
i iznosi :
ω 'r = ω 02 − 2α 2
(10)
48
11. Rezonancija i frekvencijski odzivi
Napomena :
Iako se periodične funkcije mogu rastaviti na razne načine, sa
stajališta rezonancijskih pojava, samo Fourierov rastav jest
fizikalan, tj. daje ispravne odgovore.
Iˆ(ω )
Iˆ
M
1 ˆ
I
2 M
11.5 UTITRAVANJE U REZONANCIJU
Odredimo prijelaznu pojavu utitravanja u rezonanciju na
primjeru serijskog RLC-kruga. Vrijedi diferencijalna
jednadžba (9.9), tj.
ω
ω1 ωr ω2
Sl.11.3.Karakteristične veličine na amplitudnoj karakteristici
struje serijskog RLC-kruga; B=ω2 –ω1=2α.
11.4 REZONANCIJA JE ODZIV NA
JEDNOHARMONIJSKI POTICAJ
Česta je zabluda da rezonancija nastupa uvijek kada se
podudare perioda poticaja T=2π/ ω i perioda Tr=2π/ ωr
koja odgovara rezonancijskoj frekvenciji. Primjerice, neka
se na neki krug narinu u dva slučaja dva poticaja
a) poticaj oblika
u1 = A2 sin 2ω r t + A3 sin 3ω r t
u 2 = A1 sin ω r t
b) poticaj oblika
Oba poticaja imaju istu periodu Tr=2π/ ωr. No,
rezonancija će nastupiti samo u drugom slučaju.
Rezonancija je odziv na jednoharmonijski poticaj, a ne
na opći periodički poticaj. Ako na neku mrežu djeluje
periodična elektromotorna sila periode jednake Tr=2π/ ωr, a
u toj elektromotornoj sili (njenom Fouriereovom rastavu)
nema harmonijskog člana potrebne frekvencije ωr,
rezonancije neće biti!
Pokažimo to na primjeru struje serijskog RLC- kruga kad
na njega djeluje višeharmonijski naponski izvor. Vrijedi
L
N
di
1
+ Ri + ∫ idt = ∑ Uˆ (n) cos(nωt + ψ n )
dt
C
n =1
Budući da je krug linearan i vremenski nepromjenljiv i
rješenje će se sastojati od sume harmonijskih funkcija, tj.
d 2q
dq
Uˆ
2
+
2
α
+
ω
q
=
cos ωt
0
dt
L
dt 2
(14)
Pretpostavimo da je : α << ω 0 ; ω ≈ ω 0 ; q(+0)=0;
dq
(+0) = 0 . Tada je prema odsječku 9.2.1 rješenje dano
dt
izrazom
q = e −αt (K1 cosω d t + K 2 sin ω d t ) + Qˆ cos(ωt − ψ )
Uzevši u obzir zadane početne uvjete i pretpostavke bit će
∧
ω d ≈ ω 0 ; K1 ≈ − Q ; K 2 ≈ 0 ; ψ ≈ 0
te dobivamo za potpuni odziv kruga izraz
(
)
q≈ 1 − e −αt Qˆ cos ω 0 t
(15)
Zaključujemo :
Što je rezonancija oštrija (manji α), to ona kasnije
nastupa!
Granični slučaj : R=0.
Tada je α = 0 , ω = ω 0 , a diferencijalna jednadžba (14) je
oblika
∧
d 2q
U
+ ω 02 q = cosω 0t
L
dt 2
rješenje koje je
∧
N
i=
∑ Iˆ(n) cos(nωt +ψ n +ϕ n )
n =1
gdje je amplituda n-tog harmonijskog člana dana izrazom
Uˆ (n)
1
Iˆ(n) =
⋅
L
2
2 2
 ω0 − n ω


nω

2

 + 4α 2


i očigledno je da je za frekvenciju n ω moguća rezonancija,
ali samo ako postoji odgovarajući poticaj Uˆ (n) na toj
frekvenciji.
q = K1 cos ω 0 t + K 2 sin ω 0 t −
U
2ω 0 L
t sin ω 0t
Dobivamo neograničeni porast odziva. Strogo govoreći,
u krugu bez gubitaka utitravanje traje beskonačno dugo, te
je besmisleno govoriti o rezonanciji budući da nema
ustaljenog stanja. Unatoč tome se i kod krugova bez
gubitaka govori o rezonanciji. Razlog je u tome što je krug
bez gubitaka previsoki stupanj idealizacije pri modeliranju
stvarnih linearnih vremenski nepromjenljivih mreža.
49
III. Sinusoidalno ustaljeno stanje
11.6 FILTRI
Granična frekvencija ωc dana je izrazom
Filtar je frekvencijski selektivan dvoprilaz definiran
funkcijom mreže
H ( jω ) =
fazor izlaznog signala
= prijenosna funkcija mreže
fazor ulaznog signala
Za karakterizaciju filtra najčešće se koriste prijenosni
omjeri napona A21(j ω) ili struje α21(j ω).
H ( jω c ) =
11.6.3
1
2
H ( j∞)
Pojasni propust
H ( jω )
jωL
1
1
jω C
1
11.6.1
2
Niski propust
U&1
ω1
H ( jω )
b)
2α
1
jωC
U&1
ωc
ω0
ω
a)
Granična frekvencija ωc (cut-off-frequency) definirana je
izrazom
1
H ( jω c ) =
H ( j 0)
2
ω + j (ω 2 − 1)
11.6.4
Pojasna brana
R
H ( jω )
1
1
2
U&1
1
1
2
U&1
ω
U& 2
ω1
ω2
ω
b)
U& 2
ω 2 −1
=
U& 1 ω 2 − 1 − j 2α ω
1
jωC
H ( jω )
jωL
1
jωC
a)
Visoki propust
a)
ω
Sl. 11.6 a) Idealna () i realna (---) amplitudna karakteristika
pojasnog propusta
b) Primjer reaktivnog pojasnog propusta, ω = ω ω 0 .
Sl. 11.4 a) Idealna () i realna (---) amplitudna karakteristika
niskog propusta.
b) Primjer reaktivnog niskog propusta ω = ω ω 0 .
ωc
ω0
b)
U& 2
1
=
U& 1 1 − ω 2
11.6.2
U& 2
=
2α
U& 1
U& 2
U& 2
ω
a)
jωL
1
1
2
ω2
R
ω0
jωL
U& 2
b)
U& 2
ω2
= 2
U& 1 ω − 1
Sl. 11.5 a) Idealna () i realna (---) amplitudna karakteristika
visokog propusta.
b) Primjer reaktivnog visokog propusta ω = ω ω 0 .
Sl. 11.7 a) Idealna () i realna (---) amplitudna karakteristika
pojasne brane.
b) Primjer reaktivne pojasne brane, ω = ω ω 0 .
50
12. Energetski odnosi
XII. PREDAVANJE
Trenutna i srednja uskladištena energija induktiviteta i kapaciteta. Jalova snaga induktiviteta i kapaciteta. Srednja
(djelatna) snaga otpora. Prividna i jalova snaga izvora. Fizikalni smisao jalove i prividne snage jednoprilaza.
Pojam kompleksne snage. Zakon o očuvanju kompleksne snage. Zakon o očuvanju jalove snage. Kirchhoffovi
zakoni za fazore. Impedancija serijskog RLC-kruga. Formalna sličnost izraza za impedanciju općeg jednoprilaza s
izrazom za impedanciju serijskog RLC-kruga. Važnost fazne rezonancije.
12. ENERGETSKI ODNOSI
Na primjeru serijskog RLC-kruga objasnit će se
energetski odnosi u mrežama s pozitivnim linearnim
vremenski nepromjenljivim elementima u sinusoidalnom
ustaljenom stanju. Iz prethodnih poglavlja znamo da ako se
na ovaj krug narine napon valnog oblika
Jalova snaga. Amplituda trenutne snage i mjera za
dimenzije fizički izvedenog induktiviteta (prigušnice).
•
1
QL = ωLIˆ 2 = ωLI 2 = 2ω ℰL
2
∧
u = U cos ωt
(5)
da će struja u ustaljenom stanju biti
∧
i = I cos(ωt + ϕ )
ℰL
pL
gdje je
∧
∧
I=
U
1 

R 2 +  ωL −

ω
C

1
ωL −
ωC
tgϕ = −
R
–
ℰL
2
0
(1)
12.1 SNAGA I ENERGIJA ELEMENATA LINEARNE
VREMENSKI NEPROMJENLJIVE MREŽE
π
π
QL 4
3π
2
4
π
ωt+ϕ
Sl. 12.1 Valni oblici trenutne uskladištene energije ℰL i snage pL
induktiviteta.
12.1.1 Induktivitet
•
Trenutna uskladištena energija
1
1
ℰL (t ) = Li 2 = LIˆ 2 cos 2 (ωt +ϕ ) =
2
2
1 ˆ2
= LI [1+ cos 2(ωt +ϕ )]≥ 0
4
•
•
Iˆ
q = idt = Iˆ cos(ωt + ϕ )dt = sin(ωt + ϕ )
∫
(3)
∫
ω
to proizlazi da je trenutna uskladištena energija dana
izrazom
1 2
Iˆ 2
q =
sin 2 (ωt +ϕ ) =
2C
2ω 2 C
Iˆ 2
=
[1− cos 2(ωt +ϕ )]≥ 0
4ω 2 C
ℰ C (t ) =
Snaga koju induktivitet preuzima iz mreže
d ℰL
1
= − ωLIˆ 2 sin 2(ωt +ϕ ) =
dt
2
= − Q L sin 2(ωt +ϕ ) ⋛ 0
Trenutna uskladištena energija
Budući da je
(2)
Srednja uskladištena energija
1 2
ℰL = LIˆ
4
•
12.1.2 Kapacitet
p L (t ) =
(4)
(6)
51
III. Sinusoidalno ustaljeno stanje
•
Srednja uskladištena energija
pR
Iˆ 2
1
ℰ C = 2 = CUˆ C2
4ω C 4
(7)
PR
gdje je Û C amplituda napona na kapacitetu.
0
•
Snaga koju kapacitet preuzima iz mreže
π
3π
4
2
4
π
ωt+ϕ
Sl. 12.3 Valni oblik trenutne snage otpora..
dℰ
Iˆ 2
pC (t ) = C =
sin 2(ωt +ϕ ) =
dt
2ωC
= QC sin 2(ωt +ϕ ) ⋛ 0
(8)
Važno je uočiti da su pC (t) i pL (t) uvijek suprotnog
predznaka. Kad se kapacitet ponaša kao izvor , tj. kad
je pC (t ) < 0 , induktivitet se ponaša kao trošilo, tj.
p L (t ) > 0 , i obratno.
•
π
12.1.4 Naponski izvor
•
Snaga koju izvor daje pasivnim elementima mreže
ui = Ri 2 + p L (t ) + pC (t ) = PR [1+ cos 2(ωt +ϕ )]−
− (Q L − QC ) sin 2(ωt +ϕ )
Budući da je prema (1), odnosno (5) i (9)
Jalova snaga
ωL −
Iˆ 2
1
QC =
= ωCUˆ C2 = ωCU C2 = 2ω ℰ C
2ωC 2
(9)
gdje je UC efektivna vrijednost napona na kapacitetu.
tgϕ = −
R
1
ωC = − Q L − QC
PR
(12)
izraz za trenutnu snagu može se napisati u zbijenijem
obliku kao
Kao i kod induktiviteta jalova snaga je amplituda
trenutne snage a time i mjera za dimenzije fizički
izvedenog kapaciteta (kondenzatora).
p(t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = PR + S cos(2ωt + ϕ )
(13)
gdje je sa S označena amplituda izmjeničnog dijela
trenutne snage i naziva se prividna snaga izvora,
ℰC
pC
–
ℰC
0
3π
π
π
2
4
QC
π
(14)
Q = QL − QC
(15)
ωt+ϕ
a član
4
Sl. 12.2 Valni oblici trenutne uskladištene energije ℰ C i snage
pC kapaciteta.
naziva se jalova snaga izvora. Kvocijent
PR
=
S
12.1.3 Otpor
•
S = PR2 + (QL − QC ) 2
PR
PR2 + (QL − QC ) 2
=
1
1 + tg 2ϕ
= cosϕ
(16)
Snaga koju otpor preuzima iz mreže
naziva se faktor snage.
p R (t ) = Ri = RIˆ 2 cos 2 (ωt +ϕ ) =
2
1
= RIˆ 2 [1+ cos 2(ωt +ϕ )]≥ 0
2
•
(10)
P1 i negativna
amplituda P2 trenutne snage, lako se uočava, u
skladu sa slikom 12.4, da je
Ako je poznata pozitivna amplituda
Srednja (djelatna) snaga
S=
PR =
1 ˆ2
RI = RI 2
2
(11)
1
1
( P1 + P2 ) ; PR = ( P1 − P2 )
2
2
52
12. Energetski odnosi
S = PR2 + Q 2
p
P1
i poteškoću u fizikalnoj interpretaciji ovog izraza mogla bi
predstavljati činjenica da su srednja (djelatna) snaga i
jalova snaga Q različitog karaktera. Naime PR je srednja
vrijednost, a Q je amplituda! Iz (18) proizlazi definicija
prividne snage:
S
PR
-P2
π
0
(18)
2π 2ωt+ϕ
Prividna snaga je najveća moguća djelatna snaga
koju bi jednoprilaz mogao preuzeti iz izvora pri danim
efektivnim vrijednostima napona U i struje I
jednoprilaza.
Sl. 12.4 Valni oblik trenutne snage izvora.
a jalova snaga izvora je prema izrazu (14) jednaka
Dakle:
S = PR , M
Q = S − P = P1 P2
2
2
R
12.2 FIZIKALNI SMISAO JALOVE I PRIVIDNE
SNAGE JEDNOPRILAZA
Umjesto termina jalova i prividna snaga izvora možemo,
ako serijski RLC-krug shvatimo kao jednoprilaz, sl. 12.5,
upotrebljavati i termine jalova i prividna snaga
jednoprilaza.
(19)
Ovo je ostvarivo ako je cos ϕ = 1 , tj. iz
1
PR = RIˆ 2
2
zbog Uˆ = RIˆ proizlazi da je
PR , M =
1  Uˆ
2  Iˆ
 2 1
 ⋅ Iˆ = UˆIˆ = U ⋅ I = S

2

(20)
i
L
u
12.3 ZAKON O OČUVANJU KOMPLEKSNE SNAGE
R
C
Prividna snaga, posve formalno, može se shvatiti kao
modul tzv. kompleksne snage, tj.
S& = PR + jQ
Sl. 12.5 Serijski RLC – krug shvaćen kao jednoprilaz.
Ukupna uskladištena elektromagnetska
promatranom jednoprilazu jednaka je
energija
u
Budući da je prema (12) i (16)
cos ϕ =
ℰΣ(t) = ℰL(t) + ℰC(t) = ℰL + ℰC + (ℰL - ℰC)cos2(ωt+φ)
No, uzevši u obzir izraze (5), (9) i definiciju jalove snage
(15), ukupna elektromagnetska energija može se izraziti u
obliku
ℰ Σ ( t ) = ℰ L + ℰ C+
Q
cos 2(ωt + ϕ )
2ω
(17)
Fizikalni smisao pojma jalove snage postaje očit. Jalova
snaga je mjera za količinu energije koja njiše između
izvora i pasivnog jednoprilaza i ne sudjeluje u pretvorbi
električne energije izvora u drugi oblik.
Jalova snaga je jednaka nuli, ako
a) u jednoprilazu nema reaktivnih elemenata, ili ako je
b) Q L = QC , tj. ℰL = ℰC , a to je uvjet rezonancije
struje (odsječak 11.2.1).
Prividna snaga je u skladu sa (14) definirana izrazom
PR
S
; sin ϕ = −
Q
S
vrijedit će da je
S& = S cos ϕ + j (− S sin ϕ ) = S (cosϕ − j sin ϕ ) = Se − jϕ
a ovo je moguće samo ako je
1
S& = U& ⋅ I&*
2
(21)
gdje je I&* konjugirano kompleksni fazor od I& = Iˆe jϕ
Napomena: Kompleksna snaga S& samo je drugi oblik zapisa
prividne snage. Fizikalni smisao nema, dok ga njen
modul (prividna snaga) ima! Unatoč tome ovaj je
pojam važan u tehnici. Pokazat ćemo da za
kompleksne snage u mreži vrijedi zakon o očuvanju,
dok za prividne snage on ne vrijedi.
III. Sinusoidalno ustaljeno stanje
U poglavlju 1 pokazano je da ako u nekoj mreži vrijede
Kirchhoffovi zakoni da tada u toj mreži vrijedi i zakon o
očuvanju energije. Ovo je posljedica važenja Tellegenovog
teorema. Pokažimo da taj teorem vrijedi i za fazore.
Analogno dokazu u poglavlju 1 i ovdje će biti dovoljno
samo dokazati da Kirchhoffovi zakoni vrijede i za fazore.
KZS izriče da u mreži koja se sastoji od b grana i n
čvorova vrijedi da je
53
Budući da se kompleksna snaga svake grane može
napisati kao S&k = Pk + jQk , prema (27) vrijedi da je
b
∑ ( P + jQ ) = 0
k
k
k =1
što je moguće samo ako je
b
∑a
i =0
, za j – ti čvor
jk k
(22)
b
∑
k =1
b
Pk = 0 ;
k =1
∑Q
k
=0
(28)
k =1
Na, u ustaljenom stanju na frekvenciji ω može se za struju
svake k-te grane definirati fazor
I&k = Iˆk e jϕ k
koji predočava jednoharmonijsku funkciju struje
{
ik = ℜe I&k e jωt
}
(23)
Uvrstimo li (23) u (22) i budući da znamo da je operator
ℜe{...} linearan možemo napisati da je
b
∑a
I& = 0
(24)
jk k
k =1
Dobili smo Kirchhoffov zakon struje za fazore. Budući da
je pretvorba kompleksnog broja u konjugirano kompleksni
linearna transformacija, to će vrijediti i
tj. da vrijedi zakon o očuvanju srednje (djelatne) snage,
što nam je poznato još iz poglavlja 1, ali i da vrijedi zakon
o očuvanju jalove snage.
Ovo znači da ako neki element mreže preuzima određenu
količinu jalove snage, da tu istu količinu jalove snage
moraju proizvesti ili izvori ili drugi reaktivni elementi
mreže. Ova činjenica jest ključ u razumijevanju postupaka
kompenzacije faktora snage u elektroenergetskim
mrežama.
12.4 IMPEDANCIJA JEDNOPRILAZA (H.W. Bode,
1945.)
Impedancija jednoprilaza danog na slici 12.5 jednaka je
1 ˆ2
I

1  2

Z ( jω ) =  R + j  ωL −
=

ωC  1 Iˆ 2


2
ℰ
ℰ
2 P + j 4ω L − C
= R
Iˆ 2
b
∑a
I& = 0
*
jk k
(25)
(
k =1
Na posve analogni način proizlazi na temelju KZN-a
b jk u k = 0 , za j-tu petlju
k =1
i da vrijedi Kirchhoffov zakon napona za fazore, tj.
b
∑b
jk
U& k = 0
)
Pokažimo da formalno isti izraz za impedanciju
dobivamo za bilo koji jednoprilaz sastavljen od linearnih
vremenski nepromjenljivih otpora, induktiviteta i
kapaciteta. Za opći jednoprilaz prikazan na slici 12.6, uz
pretpostavku da se u svakoj grani mreže nalazi po jedan
element, za k-tu granu vrijedi da je
b
∑
U& k = Z k ( jω ) I&k
(26)
k =1
1
M
Na osnovi izraza (25) i (26), koristeći Tellegenov teorem
dobivamo da je
b
∑
k =1
1 & &*
U k Ik =
2
I&1
b
∑
S&k = 0
(29)
U& 1
U&
(27)
k =1
1'
dakle, da je u svakoj linearnoj vremenski nepromjenljivoj
mreži u kojoj djeluju izvori na samo jednoj frekvenciji ω
očuvana kompleksna snaga.
Z(jω)
Sl. 12.6 K analizi impedancije općeg jednoprilaza.
54
12. Energetski odnosi
Ako sa Z ( jω ) označimo impedanciju općeg jednoprilaza,
onda sigurno u skladu sa KZN vrijedi :
U& 1 + U& = 0 ; U& = Z ( jω ) I&1
⇒
U& 1 = − Z ( jω ) I&1
QC′ =
1
∑ 2ωC
k ∈C
Iˆk2 = 2ω ℰC'
k
gdje je sa ℰC ' označena srednja elektrostatička energija
uskladištena u svim kapacitetima mreže M. Proizlazi
Zakon o očuvanju kompleksne snage jamči da je
Z ( jω ) =
b
1 & &*
1 & &*
U1 I 1 +
Uk Ik =0
2
k =2 2
∑
2 P + j 4ω ( ℰL' − ℰC' )
Iˆ 2
(30)
1
dakle formalno isti izraz kao i za impedanciju serijskog
RLC-kruga.
odnosno
−
b
1
1
Z ( jω ) Iˆ12 +
Z k ( jω ) Iˆk2 = 0
2
2
k =2
∑
VAŽNO :
Kako je P ≥ 0 proizlazi da je
Grupiraju li se posebno otpori, kapaciteti i induktiviteti,
proizlazi da je
ℜe{Z ( jω )} ≥ 0 , ℑm{Z ( jω )} ⋛ 0 ; ∀ω
1
1
1
Z ( jω ) Iˆ12 = ∑ Rk Iˆk2 + ∑ jωLk Iˆk2 +
2
2
k∈R
k∈L 2
1 1 ˆ2
+∑ ⋅
Ik
k∈C 2 jωC k
Prvi član na desnoj strani daje ukupnu djelatnu snagu
disipiranu u otporima mreže M, tj.
P=
1
∑ 2 R Iˆ
Drugi član zbroja daje ukupnu jalovu snagu induktiviteta
1
ωLk Iˆk2 = 2ω ℰL '
2
k ∈L
∑
gdje je sa ℰL ' označena srednja magnetska energija
uskladištena u svim induktivitetima mreže M. Treći član
daje ukupnu jalovu snagu kapaciteta
π
2
≤ < Z ( jω ) ≤
π
(32)
2
Napomene :
a) U serijskom RLC-krugu fazna rezonancija nastupa kad je
1
ωL =
, tj. kad je ℰL = ℰC
ωC
b) U jednoprilazu složenosti po volji fazna rezonancija nastupa
pod istim uvjetima, tj. kad je ℰL' = ℰC.'
2
k k
k ∈R
QL′ =
−
(31)
c)
Prikaz impedancije jednoprilaza izrazom (30) posebno je
prikladan za sva istraživanja impedancijskih karakteristika u
okolišu točke fazne rezonancije. Tako primjerice ako je
ℰL' ≠ ℰC', ali je razlika
ℰL' − ℰC' mala u odnosu na ℰL'
odnosno na ℰC' , tada smo sigurni da smo u okolišu točke
fazne rezonancije. Ako je istodobno
P
ω
malen u odnosu
prema ℰL' odnosno ℰC' , tada se sigurno nalazimo u blizini
maksimuma amplitudnih karakteristika. (Uočimo da se pri
α ω0 fazna rezonancija podudara s “pravim”
rezonancijama, poglavlje 11.2).
≪
55
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
XIII. PREDAVANJE
Pojam višeharmonijske mreže. Vrste višeharmonijskih mreža. Linearne višeharmonijske mreže. Metoda fazorske
transformacije. Nadomjesne sheme spoja za n-ti harmonijski član. Analiza u vremenskom području. Uvjeti
periodičnosti. Uvjeti neprekinutosti varijabli. Mreže linearne po odsječcima. Postupak rješavanja. Određivanje
tipa periodičkog rješenja. Primjer sklopa sa dvije idealne diode. Sklopovi s periodički upravljanim sklopkama kao
primjer sklopova s unaprijed zadanim tipom periodičkog rješenja. Realizacija otpora s pomoću sklopkama
preklapanog kapaciteta.
IV. NESINUSOIDALNO USTALJENO STANJE
Analiza sinusoidalnog ustaljenog stanja pretpostavlja stabilnu mrežu sastavljenu od linearnih vremenski nepromjenljivih
elemenata u kojoj djeluje jednoharmonijski poticaj. Elektroenergetske mreže su karakterističan primjer stvarnih mreža kod
kojih se niz zadaća analize može podvesti pod analizu sinusoidalnog ustaljenog stanja. U praktički svim ostalim
primjenama, posebno u elektronici, stvarne mreže su višeharmonijske i ako su stabilne, bitna je analiza njihovog
nesinusoidalnog ustaljenog stanja.
Mreža je višeharmonijska ako u njoj u ustaljenom stanju, u valnom obliku neke varijable f(t) postoje barem dva
harmonijska člana, recimo
f (t ) = Aˆ1 sin(ω1t + ϕ1 ) + Aˆ 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) ; ω1 ≠ ω 2
pri čemu jedna od frekvencija ω1 ili ω2 može biti jednaka nuli. U protivnom, mreža je jednoharmonijska.
U skladu s rečenim u jednoharmonijske mreže se ubrajaju :
a) istosmjerne mreže s linearnim i/ili nelinearnim vremenski nepromjenljivim elementima, i
b) izmjenične linearne vremenski nepromjenljive mreže u kojima djeluje jednoharmonijski poticaj.
Ove su mreže u općem slučaju rješive.
Višeharmonijske mreže dijele se na linearne i nelinearne višeharmonijske mreže.
Linearne višeharmonijske mreže su sve mreže sa linearnim vremenski nepromjenljivim elementima u kojima djeluju
periodični nesinusni poticaji. Ove su mreže u općem slučaju rješive.
Nelinearne višeharmonijske mreže dijele se na dvije osnovne vrste:
a) neistosmjerne mreže s nelinearnim vremenski nepromjenljivim elementima, i
b) mreže s vremenski promjenljivim elementima.
Ove su mreže u općem slučaju nerješive.
L
E
S
R
f
u
C
t
R
Uˆ sinωt
a)
Sl. 13.1
V
b)
E
R
c)
Primjeri višeharmonijskih mreža
a) Linearna višeharmonijska mreža (R,L,C su linearni vremenski nepromjenljivi elementi).
b) Neistosmjerna nelinearna mreža (V - tunel dioda).
c) Mreža s vremenski promjenljivim elementom (S - periodički upravljana sklopka).
13. TOČNE METODE ANALIZE VIŠEHARMONIJSKIH MREŽA
13.1 LINEARNE VIŠEHARMONIJSKE MREŽE
13.1.1 Metoda fazorske transformacije
Da bi se u analizi linearnih višeharmonijskih mreža
mogla primijeniti metoda fazorske transformacije mora biti
poznat rastav napona odnosno struja svih nezavisnih
izvora (uvora) mreže u Fourierov red. Tada se izračuna
odziv za svaki harmonijski član posebno, a ukupni se odziv
dobije zbrajanjem svih parcijalnih odziva. Pokažimo to na
primjeru mreže sheme spoja prema slici 13.2., gdje treba
odrediti napon na kapacitetu uC u ustaljenom stanju.
56
13. Točne metode analize višeharmonijskih mreža
odnosno za valni oblik napona na kapacitetu
L
id
uC
E
C
id
Id
αT
T=2π /ω
a)
Sl.13.2
uC = E +
π
∞
∑
sin nπα
n =1 1 − n
2
(4)
a) Pri n2ω2LC →1 ⇒ uC(t) → ∞, tj. dobivamo uvjete
paralelne rezonancije.
b) Fazorska transformacija nije spretna metoda analize ako
se, primjerice, traži vršna vrijednost napona na
kapacitetu, što može biti važan projektantski podatak !
Valni oblik struje strujnog uvora id(t) je zadan i razvijen u
Fourierov red glasi
∞
13.1.2 Analiza u vremenskom području
(1)
Pokažimo kako se isti zadatak, riješen u prethodnom
odsječku fazorskom transformacijom, rješava u
vremenskom području. Zbog jednostavnijeg opisa
jednadžbi, valni oblik struje strujnog uvora id(t) pomaknut
je u desno za αT/2, kako to pokazuje slika 13.4.
n =1
gdje je
2 I d sin nπα
cos nωt ↔
n
π
2 I sin nπα
↔ I&d (nω ) = d
∠0 o
n
π
i d ( n, t ) =
(2)
iL
Budući da je mreža linearna i vremenski nepromjenljiva, to
je očigledno napon na kapacitetu
L
id
C
E
uC
Id
id
αT
∞
∑u
sin nωt
Napomene :
a) Zadana shema spoja.
b) Valni oblik struje strujnog uvora id.
u C = U C ( 0) +
ω 2 LC
t
b)
i d = αI d + ∑ i d (n, t )
2ωLI d
C ( n, t )
t
T
(3)
n =1
Sl.13.4 Analizirana shema spoja.
pri čemu je u skladu sa slikom 13.3 odmah vidljivo da je
UC(0) = E.
Razlikuju se dva intervala rada:
a) interval A
0 ≤ t ≤ αT
jnωL
)
E
UC(0)
E=L
1
jnωC
αId
U& C ( nω )
I&d ( nω )
)
a)
αT ≤ t ≤ T
b) interval B
b)
Sl. 13.3 a) Nadomjesna shema spoja za istosmjerni član.
b) Nadomjesna shema spoja za n-ti harmonijski član.
E=L
1
) ⋅ U& C (nω )
jnωL
di L
du
+ uC ; iL = C C
dt
dt
Budući da je
Proizlazi da je za n-ti harmonijski član
I d (nω ) = ( jnωC +
di L
du
+ uC ; iL = C C + I d
dt
dt
d 2uC
di L diC
=
=C
dt
dt
dt 2
u oba intervala vrijedi ista diferencijalna jednadžba :
odnosno :
jnωL
U& C (nω ) =
2
2
I&d (nω ) =
1 − n ω LC
2 I d sin nπα
n/ ωL
= j
2 2
n/
1 − n ω LC π
Vraćanjem u vremensko područje i uzimajući u obzir
predznak od uC(t), pretpostavljen na slici 13.2.a, dobivamo
da je
u C ( n, t ) =
LC
2ωLI d
sin nπα
π
1 − n 2ω 2 LC
sin nωt
d 2uC
dt 2
+ uC = E
(5)
što znači da je u intervalu A rješenje diferencijalne
jednadžbe (5)
u C , A = A1 sin ω 0 t + A2 cos ω 0 t + E
(6)
a u intervalu B
u C , B = B1 sin ω 0 (t − αT ) + B2 cos ω 0 (t − αT ) + E
(7)
57
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
13.2
gdje je
1
ω0 =
LC
Struja kroz induktivitet je u intervalu A dana izrazom
i L, A = C
du C , A
+ Id =
dt
= ω 0 CA1 cos ω 0 t − ω 0 CA2 sin ω 0 t + I d
(8)
a u intervalu B izrazom
i L, B = C
du C , B
=
(9)
dt
= ω 0 CB1 cos ω 0 (t − αT ) − ω 0 CB 2 sin ω 0 (t − αT )
Postavljena je zadaća riješena ako znamo odrediti
konstante A1, A2, B1 i B2. S obzirom na to da se traži
ustaljeno stanje, to iz uvjeta periodičnosti proizlazi da
mora biti :
u C , A (0) = u C , B (T ) ; i L , A (0) = i L , B (T )
Nelinearne mreže, u kojima se karakteristike svih
nelinearnih elemenata mogu, s prihvatljivom tehničkom
točnošću, aproksimirati odsječcima pravaca nazivaju se
mreže linearne po odsječcima. To znači da se pri
određivanju ustaljenog stanja perioda rada T dijeli na
intervale, a unutar svakog intervala mreža je opisana
sustavom linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim
koeficijentima.
Dakle, mreža je u ustaljenom stanju periodički
promjenljive strukture, linearna u svakom dijelu periode u
kojem je struktura nepromijenjena, ali nelinearna
promatrano u cjelini.
Osnovni problem analize ovih mreža nije rješenje
sustava diferencijalnih jednadžbi po intervalima nego
određivanje tzv. tipa periodičkog rješenja, tj. kako i kada
se unutar periode rada prelazi s jednog linearnog sustava
na drugi (s jednog odsječka pravca na drugi). Opća metoda
za određivanje tipa periodičkog rješenja ne postoji.
Pokažimo na jednom jednostavnom primjeru kako se u
nekim slučajevima može odrediti tip periodičkog rješenja.
(10)
13.2.1
a iz zakona komutacije da mora vrijediti da je
u C , A (αT ) = u C , B (αT ) ; i L , A (αT ) = i L , B (αT )
MREŽE LINEARNE PO ODSJEČCIMA
(N.D. Papaleksi, 1912.)
(11)
Na osnovi uvjeta periodičnosti (10) i zakona komutacije
(11) te koristeći izraze za napone na kapacitetu i struje
kroz induktivitet dobivamo četiri jednadžbe u četiri
nepoznanice, odakle se dobiva da je
Određivanje tipa periodičkog rješenja
Zadana je shema spoja prema slici 13.5.a, a zbog
pretpostavke o idealnosti dioda V1 i V2, slika 13.5.b, mreža
je linearna po odsječcima.
Karakteristika svake diode V prema slici 13.5.b sastoji
se od dva pravca; karakteristike vođenja Ak i karakteristike
nevođenja Bk. To znači da su u općem slučaju moguća
V1
iV1
αω T
1−α
ω 0T ⋅ cos 0
sin
2
2
A1 = −ω 0 LI d
ω 0T
sin
2
αω 0T
1−α
ω 0T ⋅ sin
sin
2
2
A2 = − B2 = ω 0 LI d
ω 0T
sin
2
αω 0T
1−α
ω 0T ⋅ sin
cos
2
2
B1 = ω 0 LI d
ω 0T
sin
2
id
iV2
uV1
uV2
u =Uˆ sinωt
L
ud
V2
R
Sl. 13.5 a) Zadana shema spoja.
iVk
Ak
k = 1,2
Bk
čime je postavljena zadaća u potpunosti riješena.
uVk
Napomena: Za
razliku od analize metodom fazorske
transformacije, u vremenskom području je posve
jednostavno odrediti vršnu vrijednost napona na
kapacitetu! Očigledno je, naime
u C ,M = u C , A (0) = u C , B (T ) =
sin
= E + ω 0 LI d
αω 0T
2
1−α
ω 0T
2
ω T
sin 0
2
sin
(12)
Sl. 13.5 b) Karakteristike dioda V1 i V2
(Ak - karakteristika vođenja k-te diode,
Bk - karakteristika nevođenja k-te diode).
četiri intervala rada
- A = (A1, A2), kad obje diode vode,
- B = (B1, B2), kad obje diode ne vode,
- C = (A1, B2), kad vodi dioda V1, a ne vodi dioda V2, i
- D = (B1, A2), kad ne vodi dioda V1, a vodi dioda V2,
s time da se unutar periode rada T=2π / ω intervali mogu i
ponoviti.
58
13. Točne metode analize višeharmonijskih mreža
13.2.2
Jednadžbe mreže su :
u = uV 1 − uV 2
0 = uV 2 + u d
(13)
i d = iV 1 + iV 2
dok su konstitutivne relacije elemenata mreže u granama
dane izrazima
di
(14)
u d = L d + Rid
dt
odnosno za diode (k=1,2):
Ak = {uVk = 0 ; iVk > 0}
Bk = {uVk < 0 ; iVk = 0}
(15)
Tip periodičkog rješenja je zadan
U mnogim za praksu važnim slučajevima tip
periodičkog rješenja zadan je unaprijed. Karakterističan
primjer su sklopovi s periodički upravljanim sklopkama
kod kojih prijelaz iz jednog linearnog odsječka u drugi nije
diktiran vanjskim krugom nego unaprijed zadanim
zakonom upravljanja. Analiza ovih sklopova provodi se na
način pokazan u odsječku 13.1.2.
Ilustrativan primjer ovakvih mreža su sklopkama
preklapani kapaciteti s pomoću kojih se u tehnici
integriranih krugova mogu realizirati otpornici, slika 13.6.
1
R1
i1
S
R1
2
i2
2
f=1/T
Zaključujemo:
a) Interval A ne postoji. Zaista, kad bi taj interval postojao
moralo bi zbog iV1 > 0 i iV2 > 0 biti i uV1 = uV2 = 0. No,
tada je prema (13), u = 0, što nije istina.
u1
C
2’
⇔
1
c) Interval C može postojati. Budući da je uV1 = 0, uV2 < 0,
to je prema (13)
u = –uV2
odakle proizlazi da mora biti u > 0!
d) Interval D može postojati. Budući da je uV1 < 0, uV2 = 0,
to je prema (13)
u = uV1
odakle proizlazi da mora biti u < 0!
Proizlazi da za vrijeme pozitivne poluperiode napona
u = Uˆ sin ω t može postojati samo interval C. Za vrijeme
negativne poluperiode mogu postojati intervali B i D, što
znači da u nastavku analize valja razmotriti četiri moguća
slijeda intervala za vrijeme negativne poluperiode. To su:
B, BD, DB i D.
Odmah opažamo da slučajevi B i BD nisu mogući. U
protivnom, bio bi prekršen zakon o očuvanju toka.
Usvojimo li u praksi uobičajenu pretpostavku da je
L
>> T
R
nije moguć ni slijed intervala DB. Zaključujemo da za
vrijeme negativne poluperiode postoji interval D. Time je
određen tip periodičkog rješenja.
Zadana mreža sheme spoja prema slici 13.5.a opisana je
u potpunosti diferencijalnom jednadžbom
(16)
koja se rješava na način pokazan u prethodnom odsječku
13.1.2.
u2
uC
1’
b) Interval B može postojati. Budući da je iV1 = iV2 = 0 to je
prema (14) i ud = 0. Ali, tada je u skladu sa (13) u = uV1,
te dioda V1 neće voditi samo ako je u < 0.
Uˆ sin ωt
di
+ 0 ≤ ωt ≤ π - 0
L d + Ri d = 
dt
0
π + 0 ≤ ωt ≤ 2π - 0
1
R
i1
i2
2
u1
u2
1’
2’
Sl.13.6 Realizacija otpornika R s pomoću sklopkama preklapanog
kapaciteta.
Neka je sklopka S polovinu periode u položaju 1, a
polovinu periode u položaju 2. Vrijedi :
R1C
u
du C
+ uC =  1
dt
u 2
0 ≤ t ≤ T/ 2
T/ 2 ≤ t ≤ T
Pretpostavimo da je perioda sklapanja T dovoljno kratka da
se naponi u1 i u2 unutar jedne periode T ne promijene, a
također pretpostavimo da je R1C<<T. Tada je
u
uC ≈  1
u 2
0 ≤ t ≤ T/ 2
T/ 2 ≤ t ≤ T
Količina naboja prenesena kapacitetom od prilaza 1 na
prilaz 2 u periodi T jednaka je
C (u1 − u 2 )
= fC (u1 − u 2 ) = i
T
što je ekvivalentno prolazu iste količine naboja kroz
otpornik otpornosti
R=
1
fC
(17)
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
U skladu s izloženim u odsječku 9.1.5 energija
pretvorena u toplinu u otpornicima R1 bit će zbog jednog
nabijanja i jednog izbijanja u periodi
1
W R = 2 ⋅ (u1 − u 2 ) ⋅ C (u1 − u 2 ) = C (u1 − u 2 ) 2
2
odnosno snaga "otpornika" bit će jednaka
59
PR = f ⋅ WR = fC (u1 − u 2 ) 2
što odgovara disipaciji na otporniku otpornosti R=1/fC na
koji je narinut napon u1 – u2.
Napomena: Periodički upravljana sklopka S realizira se u praksi
s pomoću dva MOS-tranzistora u protutaktnom
sklopnom režimu rada. Sa R1 označene su
otpornosti MOS-tranzistora u stanju vođenja.
60
14. Nelinerane izmjenične mreže
XIV. PREDAVANJE
Načelo ravnoteže harmonijskih članova. Inherentna približnost rješenja. Duffingova diferencijalna jednadžba.
Određivanje osnovnog harmonijskog člana rješenja. Grafički postupak. Konzervativni odziv. Nekonzervativni
odziv. Nestabilno područje amplitudne karakteristike. Histereza. Ostali harmonijski članovi rješenja. Kaotično
ponašanje. Simetrično periodičko rješenje. Nesimetrična periodička rješenja. Utjecaj početnih uvjeta. Uvjeti
postojanja istosmjerne komponente toka u nelinearnom induktivitetu.
14. NELINEARNE IZMJENIČNE MREŽE
Određivanje tipa periodičkog rješenja jest najteži dio
zadaće analize mreža u kojima postoje nelinearni elementi
karakteristike kojih se mogu aproksimirati odsječcima
pravaca i kod kojih prijelaz s jednog odsječka pravca na
drugi ovisi samo o uvjetima vanjskog kruga.
Karakteristični primjeri takvih mreža su mreže s diodama,
nelinearnim induktivitetima i kapacitetima.
Određivanje tipa periodičkog rješenja može se izbjeći
ako se odustane od prikaza karakteristika nelinearnih
elemenata odsječcima pravaca te se umjesto toga primijeni
neka nelinearna aproksimacija. Tada je mreža opisana
nelinearnim diferencijalnim jednadžbama i jedino važno
pitanje jest mogu li se tako dobivene diferencijalne
jednadžbe riješiti. Pri tome ćemo obično biti zadovoljni i
približnim rješenjem. Metoda za dobivanje približnih
rješenja ima mnogo. Jedna od najvažnijih osniva se na
načelu ravnoteže harmonijskih članova.
14.1
NAČELO RAVNOTEŽE HARMONIJSKIH
ČLANOVA
Pretpostavimo nelinearnu mrežu na koju djeluje
jednoharmonijski poticaj oblika
i koja je po varijabli odziva y(t) opisana nekom
nelinearnom diferencijalnom jednadžbom. Budući da je
mreža nelinearna to se u odzivu pojavljuju nove frekvencije
i kao rješenje možemo očekivati valni oblik odziva
određen izrazom
y (t ) =
ck
cos ω k t +
k =1
sk
∑ Yˆ
sk
sin ω k t ;
k =1
Ack = 0 ; Ask = 0
Acl = Xˆ cl ; Asl = Xˆ sl
n
∑A
∑B
∑B
k =1
k =1
k =1
k =1
ck cosωk′ t +
= Xˆ cl cos ω l t + Xˆ sl sin ω l t ;
(3)
Razmotrimo krug sheme spoja prema slici 14.1 napajan
iz jednoharmonijskog naponskog izvora
u (t ) = Uˆ c cos ω1t + Uˆ s sin ω1t
(1)
iL =
1
ϕ + aϕ 3 ;
L0
L0 > 0, a > 0
C
iC
sk sinωk′ t
ω k ≠ ω k′
R
=
(2)
iL(ϕ)
iR
n
∑A
sk sinωkt +
∀k ≠ l
OSNOVNI HARMONIJSKI ČLAN RJEŠENJA
(G. Duffing, 1918.)
u
ck cosωkt +
sm
Izrazima (3) određen je sustav od 2m algebarskih
jednadžbi u 2m nepoznanica Yˆck i Yˆsk , k=1,2,...m. Rješenje
je približno. Koeficijenti Bck i Bsk ne mogu se uravnotežiti
budući da nisu bili pretpostavljeni u rješenju (1)!
Pokažimo primjenu ove metode na primjeru nelinearnog
izmjeničnog LC-kruga.
Uvrstimo ovo pretpostavljeno rješenje u polaznu
nelinearnu diferencijalnu jednadžbu i sve njene članove
izrazimo s pomoću sume harmonijskih članova. Polazna
diferencijalna jednadžba prelazi u oblik
m
s1
cm
Uravnoteženjem harmonijskih članova u jednadžbi (2)
dobivamo :
k = 1,2,..., l ,..., m
m
c1
k
Induktivitet je nelinearan, karakteristike
m
∑ Yˆ
Ack = f k (Yˆc1 ,..., Yˆcm ; Yˆs1 ,..., Yˆsm )
A = g (Yˆ ,..., Yˆ ; Yˆ ,..., Yˆ )
14.2
x(t ) = Xˆ cl cosω l t + Xˆ sl sinω l t
m
Koeficijenti Bck i Bsk pojavljuju se zbog postojanja
nelinearnih članova u polaznoj diferencijalnoj jednadžbi.
Koeficijenti Ack i Ask ovise o svim pretpostavljenim, ali još
neodređenim amplitudama Yˆck i Yˆsk , k = 1, 2 ,... m , tj.
Sl.14.1 Analizirani krug.
Uzevši u obzir da je
L
dϕ
dt
61
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
du
dϕ
; iC = C C = i R + i L =
dt
dt
1 dϕ
1
=
+
ϕ + aϕ 3
R dt L0
S (ω1 ,Φˆ1 ) = Xˆ
u = uC +
(4)
odnosno može se napisati u obliku
3
y1 = (ω12 − ω 02 )Φˆ 1 + Xˆ ; y 2 = hΦˆ 13 ; y1 = y 2
4
dobivamo tzv. Duffingovu diferencijalnu jednadžbu
d 2ϕ
dt 2
+ 2α
dϕ
+ ω02ϕ + hϕ 3 = ω1Uˆ s cosω1t − ω1Uˆ c sinω1t (5)
dt
i tada riješiti grafički kako je pokazano na slici 14.2.
y1 y2
A
a
1
1
gdje je: 2α =
> 0 ; ω 02 =
; h = > 0.
RC
LC
C
y2
Rješenje jednažbe (5) tražimo u obliku
ϕ = Φˆ 1 cos ω1t
(6)
X̂
dovodi do izraza
Sl.14.2
Određivanje amplitude odziva Φˆ 1 pri zadanoj amplitudi
poticaja X̂ i promjenljivoj frekvenciji poticaja ω1.
− ω12Φˆ1 cos ω1t − 2αω1Φˆ1 sin ω1t + ω 02Φˆ1 cos ω1t +
Opažamo :
a) Za ω1 = 0 ⇒ Φˆ1 ≠ 0 , što je naravno nefizikalni rezultat.
b) Za ω1 = ω0 dobivamo da je unatoč α = 0 amplituda
titraja konačna i iznosi
3 ˆ3
1
hΦ1 cos ω1t + hΦˆ 13 cos 3ω 1 t =
4
4
= ω1Uˆ s cos ω1t − ω1Uˆ c sin ω1t
+
U skladu s načelom ravnoteže harmonijskih članova
vrijedit će
3 ˆ3
hΦ1 = ω1Uˆ s
4
2αω 1Φˆ1 = ω1Uˆ c
ω1 < ω0
C
3
1
cos ω1t + cos 3ω1t
4
4
− ω12Φˆ1 + ω 02Φˆ1 +
Φ1
B
što uvršteno u (5), te uzevši u obzir da je
cos 3 ω1t =
ω1 >ω0
y1 (ω1 = ω 0 )
(7)
Ako se amplituda poticaja prikaže u obliku
Φˆ 1
ω1 =ω 0
= 3 4 Xˆ / 3h
(9)
U linearnom svijetu amplituda titraja bila
beskonačna!
c) Za frekvencije ω1 > ωkr dobivaju se tri rješenja.
bi
Φ̂ 1
h>0
Xˆ = ω1 Uˆ c2 + Uˆ s2
h=0
h=0
h>0
dobivamo iz (7) odredbenu jednadžbu za amplitudu odziva
Φˆ 1 , tj.
S 2 (ω , Φˆ ) + 4α 2ω 2Φˆ 2 = Xˆ 2
(8)
1
1
1
3
4
ω12 = ω 02 + hΦˆ12
1
gdje je
3
S (ω1 , Φˆ 1 ) = (ω 02 − ω12 )Φˆ 1 + hΦˆ 13
4
VAŽNO : Približnost rješenja je očigledna, budući da
nismo mogli uravnotežiti član uz cos3 ω1t!
14.2.1
Konzervativni odziv
Pretpostavimo li konzervativni odziv, tj. α = 0, jednadžba
(8) poprima oblik
ω0
Sl.14.3.
ωkr
ω1
Amplitudna karakteristika kruga uz h ≠ 0 i linearni
slučaj h = 0.
62
14. Nelinerane izmjenične mreže
14.2.2
Nekonzervativni odziv
Uzmemo li u obzir gušenje u krugu (α ≠ 0), to će
amplitudne karakteristike za dvije vrijednosti poticaja X̂
izgledati kvalitativno kao na slici 14.4. Pretpostavimo da
Φˆ1
dΦˆ 1
dω 1
= ∞ odnosno
= 0.
dω 1
dΦˆ 1
Derivirajući izraz (8), te uz pretpostavku da je α << ω1
dobivamo jednadžbe za određivanje mjesta skokova, kako
je pokazano na slici 14.6.
A
Φˆ1
f2
f1
X̂ 2
X̂ 1
ω0
Sl.14.4
C
ω1
ω0
Kvalitativni izgled amplitudnih karakteristika za α ≠ 0 i
dvije vrijednosti amplitude poticaja Xˆ 2 > Xˆ 1 .
Sl.14.6 Prikaz mjesta skokova.
se pri fiksnom faktoru gušenja α i frekvenciji ω1 poveća
poticaj sa X̂ 1 na X̂ 2 , tj. tako da je ∆ Xˆ = Xˆ 2 − Xˆ 1 > 0.
Intuitivno je jasno da će u svakom stabilnom sustavu
povećanje poticaja pratiti povećanje odziva, tj. za
∆Xˆ > 0 ⇒ ∆ Φˆ 1 > 0
ω1
3
f1 (ω1 , Φˆ 12 ) = ω12 − ω 02 − hΦˆ 12 = 0
4
9
2
2
2
f 2 (ω1 , Φˆ 1 ) = ω1 − ω 0 − hΦˆ 12 = 0
4
VAŽNO: Ako se u izrazu (8)
dok će smanjenje poticaja pratiti smanjenje odziva, tj. za
∆Xˆ < 0 ⇒ ∆ Φˆ 1 < 0
No, na slici 14.4 opažamo da postoji segment amplitudne
karakteristike označen na slici 14.5 sa AC, za koji vrijedi
S 2 (ω1 , Φˆ 1 ) + 4α 2ω12Φˆ 12 − Xˆ 2 = 0
fiksira frekvencija, kao što je to uobičajen slučaj u
elektroenergetici, a mijenja se amplituda poticaja X̂ ,
dobiva se kvalitativan prikaz karakteristike kao i skoka kao
što je to prikazano na slici 14.7.
A
Φˆ1
Φˆ1
D
nestabilno
stanje
skok
C
skok
B
ω0
ω1′
ω1′′
ω1
histereza
X̂
Sl.14.5 Pojava petlje histereze.
Sl.14.7
Pojava petlje histereze uz stalni faktor gušenja α i
stalnu frekvenciju poticaja ω1.
∆Xˆ > 0 ⇒ ∆ Φˆ 1 < 0 ; ∆Xˆ < 0 ⇒ ∆ Φˆ 1 > 0
što je odlika nestabilnih sustava. U području frekvencija
(ω1′ , ω1′′), amplituda odziva | Φˆ 1 | može se nalaziti ili na
segmentu DA ili na segmentu BC ovisno o tome je li pri
ispitivanju povećavana ili smanjivana frekvencija ω1.
Karakteristika opisuje petlju histereze.
Mjesta skokova A i C dobivaju se iz uvjeta
14.3 OSTALI HARMONIJSKI ČLANOVI RJEŠENJA
14.3.1 Nadharmonijski članovi
Rješenje iz prethodnog zadatka je približno, budući da
nismo mogli uravnotežiti član uz cos3 ω1t. Pretpostavimo s
toga rješenja u obliku
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
ϕ = Φˆ 1 cos ω1t + Φˆ 3 cos 3ω1t
(10)
te, jednostavnosti, radi uzmimo da je α = 0 i Uˆ c = 0 .
Uvrštenjem (10) u (5) i izjednačavanjem harmonijskih
članova istih frekvencija dobivamo
a) član uz cos ω1t :
(ω02 − ω12 )Φˆ 1 +
3 ˆ3 3 ˆ ˆ ˆ
hΦ1 + hΦ1Φ3 (Φ1 + 2Φˆ 3 ) = Xˆ
4
4
problem još je neriješen. Za podharmonijske se titraje zna
da njihova pojava ovisi o početnim uvjetima.
VAŽNO: Načelo ravnoteže harmonijskih članova pokazuje
koji se harmonijski članovi mogu pojaviti u rješenju, ali ne
i to postoje li oni stvarno. Da bi određeni harmonijski
članovi postojali u rješenju, te komponente rješenja moraju
biti stabilne.
Napomena: Za promatrani krug sheme spoja prema slici 14.1
zna se da je najjednostavniji krug potican
jednoharmonijskim signalom koji pri određenim
vrijednostima amplitude poticaja iskazuje kaotično
ponašanje. Predkaotično ponašanje karakterizira
proces
udvostručavanja
periode
(pojava
podharmonijskih
parnih
članova),
tzv.
Feigenbaumov put u kaos.
b) član uz cos3 ω1t :
3
1
(ω02 − 9ω12 )Φˆ 3 + hΦˆ 33 + hΦˆ 12 (Φˆ 1 + 6Φˆ 3 ) = 0
4
4
odakle se dobivaju Φˆ1 i Φˆ 3 . Bitno je uočiti da je i ovo
rješenje približno, budući da se nakon uvrštenja izraza (10)
u (5) dobivaju i članovi uz cos5 ω1t, cos7 ω1t i cos9 ω1t koji
se ne mogu uravnotežiti.
14.3.2
Podharmonijski članovi
Pokažimo da je u promatranoj mreži moguć
podharmonik reda 1/3. Uz α = 0 i Uˆ c = 0 , diferencijalna
jednadžba (5) može se napisati u obliku
d 2ϕ
+ ω 02 ϕ + hϕ 3 = Xˆ cos 3ωt ; ω1 = 3ω
dt
14.4
3
1
− ω 2Φˆ cos ωt + ω 02Φˆ cos ωt + hΦˆ 3 ( cos ωt + cos 3ωt ) =
4
4
ˆ
= X cos 3ωt
(−ω
2
harmonijskih
+ ω 02 )Φˆ
članova
daje
dϕ
= −u C + Uˆ cos ωt
dt
du C
1 ˆ
1
=
(U cos ωt − u C ) + f (ϕ)
dt
RC
C
(12)
gdje je sa iL = f(ϕ) označena nelinearna karakteristika
induktiviteta. Dodatno pretpostavimo da je karakteristika
f(ϕ) neparno simetrična, tj. da je
f(ϕ) = –f(–ϕ)
3
+ hΦˆ 3 = 0
4
1 ˆ3
hΦ = Xˆ
4
14.4.1
Simetrično periodičko rješenje
Iz jednadžbi (12) proizlaze dvije vrste simetrije
periodičkog rješenja. Prva simetrija je periodičnost.
Zamjenom
odnosno:
3
3
Φˆ = 4 Xˆ / h ; ω 2 = ω 02 + hΦˆ 2
4
O PERIODIČKIM RJEŠENJIMA
NELINEARNIH IZMJENIČNIH MREŽA
Neka se svojstva periodičkih ustaljenih stanja
(periodičkih rješenja) mogu otkriti izravno iz jednadžbi
koje opisuju razmatrane mreže. Pokažimo to na primjeru
nelinearnog izmjeničnog kruga sheme spoja prema slici
14.1.
U jednadžbama koje opisuju zadani krug zgodno je kao
varijable odziva (rješenje) upotrijebiti neprekinute
varijable. To su napon na kapacitetu uC(t) i s obzirom da
je induktivitet nelinearan, tok ϕ(t). U skladu sa (4), uz
pretpostavku da je u = Uˆ cos ω t , proizlaze ove jednadžbe :
Ako se u rješenju očekuje samo podharmonijski član
ϕ = Φˆ cos ω t , dobivamo
što nakon izjednačenja
odredbene jednadžbe
63
(11)
Opažamo da, ako su u krugu zadovoljeni uvjeti (9), titraji
se mogu postići samo na podharmonijskom članu
frekvencije tri puta manje od frekvencije poticaja.
14.3.3 Opći slučaj
U promatranom krugu u stvarnosti istodobno se
pojavljuju i nadharmonijski i podharmonijski članovi. Ovaj
ϕ a ϕ ; uC a uC ; t a t + T
gdje je T=2π/ ω perioda rada izmjeničnog izvora, jednadžbe
(12) ostaju nepromijenjene. Prema tome, ako je [ϕ(t),uC(t)]
rješenje kruga, onda je i [ϕ(t+T),uC(t+T)] također njegovo
rješenje.
Druga vrsta simetrije je neparna simetričnost.
Zamjenom
ϕ a −ϕ ; u C a −u C ; t a t + T / 2
64
14. Nelinerane izmjenične mreže
jednadžbe (12) poprimaju oblik
f(ϕ )
d
(−ϕ ) = −(−u C ) + Uˆ cos ω (t + T/ 2)
dt
(13)
d
1 ˆ
1
( −u C ) =
U cos ω (t + T/ 2) − (−u C ) + f (−ϕ )
dt
RC
C
[
f(ϕ +Φ0)
]
Uˆ cos ω (t + T/ 2) = − Uˆ cos ωt , te da je
Budući da je
f(–ϕ) = –f(ϕ), to će sustav jednadžbi (13) biti jednak
sustavu jednadžbi (12).
Proizlazi da ako je [ϕ(t), uC(t)] rješenje kruga, onda je i
[–ϕ(t+T/2), –uC(t+T/2)] također njegovo rješenje.
14.4.2
f(ϕ -Φ0)
Nesimetrična periodička rješenja
Pretpostavimo da je rješenje kruga [ϕ(t) – Φ0, uC(t)].
Zamijenimo li
ϕ − Φ 0 a −ϕ − Φ 0 ; u C a −u C ; t a t + T/ 2
opažamo da će oba sustava jednadžbi biti jednaka ako je
f(ϕ –Φ0) = – f(–ϕ –Φ0) što se lako vidi da je točno iz
slike 14.8.
Proizlazi da postoje dva nesimetrična periodička rješenja:
[ϕ (t ) −Φ 0 , uC (t )]
i
[−ϕ (t + T/ 2) −Φ 0 ,−uC (t + T/ 2)]
To je i logično budući da je za Φ0 ≠ 0 karakteristika
nelinearnog induktiviteta nesimetrična i to tako da su
moguće dvije nesimetrične karakteristike, jedna za Φ0 > 0,
druga za Φ0 < 0. Koja će se od njih stvarno realizirati
ovisi o početnim uvjetima. Eksperimenti pokazuju da se
jedno od nesimetričnih periodičkih rješenja dobiva
povećavanjem amplitude poticaja nakon skoka, slika 14.7.
ϕ -Φ0
0'
-Φ0
Φ0
0
0''
ϕ
ϕ +Φ0
Sl.14.8 Uz dokaz da je f (ϕ – Φ0) = –f (– ϕ – Φ0).
Obično se smatra da je za postojanje istosmjerne
komponente toka induktiviteta nužan uvjet postojanje
istosmjerne komponente struje kroz induktivitet. To nije
točno! Protuprimjer je analizirani krug sheme spoja prema
slici 14.1. Koristeći Kirchhoffove zakone za srednje
vrijednosti lako vidimo da zbog IC(0)≡0 i UL(0)≡0
nelinearnim induktivitetom može teći samo izmjenična
struja. Unatoč tome, istosmjerna komponenta toka Φ0≠0
postoji. Razlog je u tome što istosmjerna komponenta toka
može biti stvorena i ako u struji induktiviteta osim
osnovnog harmonijskog člana postoji barem jedan parni,
bilo podharmonijski, bilo nadharmonijski član. U
analiziranom primjeru, zbog nelinearnosti induktiviteta,
upravo se i to događa. Povećavanjem amplitude napona
poticaja prvo se pojavljuju parni nadharmonijski članovi a
zatim i parni podharmonijski članovi kao predznaci
kasnijeg kaotičnog ponašanja.
65
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
XV. PREDAVANJE
Temeljne komponente rastava djelatne snage elementa mreže: istosmjerna snaga, izmjenična snaga. Djelatna snaga
na frekvenciji. Nemogućnost pretvorbe snage na frekvenciji s pomoću linearnih vremenski nepromjenljivih
elemenata. Mogućnost pretvorbe s pomoću nelinearnih vremenski nepromjenljivih reaktivnih elemenata.
Mogućnosti pretvorbe s pomoću nelinearnih otpora. Karakteristični primjeri: dioda, bipolarni tranzistor,
MOSFET. Zakon o očuvanju djelatnih snaga na frekvenciji. Pojam modulatora. Kombinacijske frekvencije.
Manley-Rowe jednadžbe. Primjeri stabilnog i nestabilnog modulatora. Hartleyev efekt.
15. ENERGETSKI ODNOSI – DJELATNA SNAGA
15.1
RASTAV DJELATNE SNAGE ELEMENTA
MREŽE NA KOMPONENTE
Pα (0) = U α (0) I α (0)
Odredimo djelatnu snagu jednoprilaznog elementa
mreže α koji se nalazi u sastavu neke višeharmonijske
mreže. U periodičkom ustaljenom stanju napon i struja tog
elementa mreže mogu se prikazati Fourierovim redovima:
∞
[
uα (t ) = U α (0) + ∑ Uˆ α (n) cos nωt + Vˆα (n) sin nωt
]
∞
[
]
b) izmjenična snaga elementa mreže α
∞
∞
~
1
Pα = ∑ Pα (n) = ∑ Uˆ α (n) Iˆα (n) + Vˆα (n) Jˆα (n)
n =1
n =1 2
[
(1b)
Napomena: Trenutna snaga pα(t)=uα(t)iα(t) može se prikazati
Fourierovim redom na analogni način kao i uα(t) i
iα(t), ali srednja vrijednost od pα(t), koja je jednaka
Pα očigledno nije jednaka Pα(0), kao što ni Pα(n),
definiran izrazom (7), nije Fourierov koeficijent od
pα(t)!
pri čemu je perioda rada T=2π/ ω ; n=1,2,...
Vrijednosti Uα(0) i Iα(0) su srednje vrijednosti
odgovarajućih valnih oblika napona i struje,
1 T
1 T
uα (t )dt ; I α (0) = ∫ iα (t )dt
∫
T 0
T 0
(2)
dok su
amplitude ortogonalnih
Uˆ α ( n ) i Vˆα ( n )
komponenata n-tog harmonijskog člana napona,
2 T
Uˆ α (n) = ∫ uα (t ) cos nωtdt
T 0
2 T
Vˆα (n) = ∫ uα (t ) sin nωtdt
T 0
1 T
uα iα dt
T ∫0
PRETVORBA DJELATNE SNAGE NA
FREKVENCIJI
Ovisno o predznaku snage, element mreže α se na nekoj
frekvenciji može ponašati kao trošilo a na nekoj drugoj kao
izvor,
(3)
(4)
i nakon uvrštenja izraza (1) u (4), uzimajući u obzir
ortogonalnost funkcije sinus i kosinus na periodi T
dobivamo izraz
~
Pα = Pα (0) + Pα
15.2
Pα ( n )
a analogni izrazi vrijede i za vrijednosti od Iˆα ( n ) i Jˆ α ( n ).
Djelatna snaga je srednja vrijednost trenutne snage,
Pα =
(7)
gdje je sa Pα(n) označena djelatna snaga elementa mreže α
na frekvenciji ωn=n ω
n =1
U α (0) =
]
(1a)
n =1
iα (t ) = I α (0) + ∑ Iˆα (n) cos nωt + Jˆα (n) sin nωt
(6)
(5)
u kojem je djelatna snaga Pα rastavljena na dvije temeljne
komponente. To su:
a) istosmjerna snaga elementa mreže α
>
0
<
trošilo
izvor
n = 0,1,2,...
(8)
Ovo je svojstvo temelj svake analize kojom bi se željelo
istražiti može li neki element mreže preuzeti snagu na
jednoj frekvenciji i predati ju drugim dijelovima mreže na
nekoj drugoj frekvenciji (ili skupu frekvencija). Ovo se
svojstvo u praksi traži od djelila frekvencije, sklopova
energetske elektronike, modulatora i dr. U osnovi
svih tih uređaja leži proces pretvorbe djelatne snage na
frekvenciji.
15.2.1
Linearni vremenski nepromjenljivi elementi
Pokažimo da s pomoću linearnih vremenski
nepromjenljivih elementa mreže pretvorba djelatne snage
na frekvenciji nije moguća. Za otpor se odmah vidi da je
zbog konstitutivne relacije
u R = Ri R ;
R >0
66
15. Energetski odnosi – djelatna snaga
ujedno i Uˆ R (n) = RIˆR (n) ; VˆR (n) = RJˆ R (n) te je
PR = RI R2 (0) +
1 ∞ ˆ2
1 ∞
R ∑ I R (n) + R ∑ Jˆ R2 (n)
2 n =1
2 n =1
(9)
i svi su članovi rastava pozitivnog predznaka. Linearni
vremenski nepromjenljivi otpor (R > 0) je trošilo na svim
frekvencijama.
Za linearni vremenski nepromjenljivi induktivitet vrijedi
da je
di
uL = L L =
dt
∞
∞

= L  ∑ − nωIˆL (n) sin nωt + ∑ nωJˆ L (n) cos nωt 
n =1
n =1

Budući da je istosmjerna snaga nelinearnih vremenski
nepromjenljivih reaktivnih elemenata jednaka nuli, ovi se
elementi mreže ne mogu upotrijebiti ni u jednoj pretvorbi
snaga na frekvenciji gdje se zahtijeva nenulta istosmjerna
snaga.
Primjer: Ne može se izvesti ispravljač u kome bi se kao
fizičke komponente (naprave) upotrijebile samo nelinearne
reaktivne
komponente (prigušnice, transformatori,
kondenzatori).
15.2.3
Nelinearni disipativni elementi (otpori)
Mogućnosti pretvorbe djelatne snage na frekvenciji
ovise isključivo o karakteristici otpora. Pokažimo to na
nekoliko karakterističnih primjera:
iD
tj. da je
iD
Uˆ L (n ) = nωLJˆ L ( n ) ; VˆL (n ) = −nωLIˆL ( n ) ; U L (0) = 0
uD
uD
0
što uvršteno u (6) i (7) daje
PL ( n ) = 0 ;
n = 0,1,2,...
(10a)
Sl.15.1.a Karakteristika idealne diode.
Očigledno je i da bi se isti rezultat, tj.
PC ( n ) = 0 ;
n = 0,1,2,...
iT
(10b)
dobio i za svaki linearni vremenski nepromjenljivi
kapacitet. Proizlazi da linearni vremenski nepromjenljivi
reaktivni elementi ne sudjeluju u pretvorbi djelatne snage
na frekvenciji.
15.2.2
Nelinearni vremenski nepromjenljivi reaktivni
elementi
Za nelinearni vremenski nepromjenljivi induktivitet
vrijedi da je zbog nedisipativnosti PL = 0, a da je zbog
UL(0) = 0 i istosmjerna snaga jednaka nuli, tj. PL(0) = 0,
što sve uvršteno u (5) daje
iT
uT
uT
0
Sl.15.1.b Karakteristika idealnog bipolarnog tranzistora u
sklopnom načinu rada.
iM
iM
uM
0
uM
∞
∑ PL (n) = 0
(11a)
n =1
Da bi ovaj zbroj bio jednak nuli, a svi članovi rastava
nisu jednaki nuli kao što je to slučaj kod linearnih
vremenski nepromjenljivih induktiviteta, pozitivni članovi
rastava moraju biti kompenzirani s pomoću negativnih
članova. Ovo znači da je nelinearni vremenski
nepromjenljivi induktivitet element mreže u kojem je
pretvorba djelatne snage na frekvenciji moguća.
Na analogni način bi se zbog PC = 0 i IC(0) = 0 dobilo da
za svaki nelinearni vremenski nepromjenljivi kapacitet
vrijedi da je
∞
∑ PC (n) = 0
n =1
(11b)
Sl.15.1.c Karakteristika idealnog MOSFET-a u sklopnom
načinu rada.
a) Idealna dioda. Zbog u D ⋅i D = 0, ∀t , proizlazi da je
djelatna snaga PD = 0. U svim netrivijalnim režimima
rada uvijek u skladu s karakteristikom ID(0) > 0 i
UD(0) < 0, što znači da je prema (5) :
~
PD (0) < 0 ; PD = PD (0) > 0
(12)
Idealna dioda je element mreže u kojem se sva
izmjenična snaga raspoloživa na njenim priključcima
pretvara (transformira) u istosmjernu snagu. Obrat
nije moguć.
67
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
b) Idealni bipolarni tranzistor. Rad u III. kvadrantu
uT-iT karakteristike nije dopušten. Zbog toga je u svim
netrivijalnim režimima rada UT(0) > 0, ali i IT(0) > 0,
što znači da je istosmjerna snaga idealnog bipolarnog
tranzistora pozitivna. U sklopnom načinu rada je
uT ⋅iT = 0, ∀t , što znači da je PT = 0. U skladu sa (5)
proizlazi da je
~
PT (0) > 0 ; PT = − PT (0) < 0
(13)
Idealni bipolarni tranzistor je element mreže u kojem se
sva istosmjerna snaga raspoloživa na njegovim
energetskim priključcima pretvara (transformira) u
izmjeničnu snagu. Obrat nije moguć. Idealni
bipolarni tranzistor je dodatno kvaziaktivni i vremenski
promjenljivi otpor što mu omogućuje da upravlja
iznosom transformirane snage (poglavlje 2).
Opažamo da se ne može izvesti ispravljač u kojem bi
se kao komponente za pretvorbu djelatne snage
upotrijebili samo bipolarni tranzistori!
c) Idealni MOSFET. Iz karakteristike idealnog
MOSFET--a lako zaključujemo da je UM(0) > 0, ali i da
je IM(0) ⋛ 0, što znači da u sklopnom načinu rada
vrijedi da je
~
PM (0) ⋛ 0 ; PM = − PM (0)
ZAKON O OČUVANJU DJELATNIH SNAGA
NA FREKVENCIJI
Jedan od načina iskazivanja zakona o očuvanje energije
u nekoj električkoj mreži koja se sastoji od b grana jest s
pomoću snaga, i to ili s pomoću trenutnih snaga grana
b
∑ uα iα
=0
za j-ti čvor, odnosno
α =1
b
∑ b jα uα (t ) = 0 ,
za j-tu petlju
α =1
to analogni izrazi, u skladu s izloženim u poglavlju 1,
vrijede za njihove linearne transformate, izrazi (2) i (3),
dakle
b
b
α =1
b
α =1
b
α =1
α =1
∑ a jα Iˆα (n) = 0 ; ∑ a jα Jˆα (n) = 0
∑ b jα Uˆ α (n) = 0 ; ∑ b jα Vˆα (n) = 0
i to za svaki j-ti čvor, svaku j-tu petlju i za svaki n=0,1,2,..
U skladu s Tellegenovim teoremom ovo znači da je
b
b
α =1
α =1
∑ Uˆ α (n) Iˆα (n) = 0 ; ∑ Vˆα (n) Jˆα (n) = 0 ; n = 0,1,2,...
što znači da je polazna tvrdnja dokazana, tj. da je
b
∑ Pα (n) = 0
(14)
Idealni MOSFET je element mreže u kojem je moguća
pretvorba istosmjerne snage u izmjeničnu i obratno.
MOSFET je kvaziaktivni i vremenski promjenljivi otpor
što mu omogućuje da upravlja iznosom transformirane
snage.
15.3
b
∑ a jα iα (t ) = 0 ,
; n = 0,1,2,...
Dakle, ako se neki element mreže u mreži ponaša kao izvor
na frekvenciji ωn, neki drugi element mreže u toj mreži
mora biti trošilo na toj frekvenciji!
15.4 MANLEY-ROWE JEDNADŽBE (1956.)
U primjenama, posebno u telekomunikacijama, često se
koriste modulatori. Sa stajališta teorije mreža, to su
troprilazi, kao što to prikazuje slika 15.2. Pri tome se
Ulazni
signal
frekvencije
MODULATOR
ω1
α =1
(16)
α =1
Trošilo
(prijamnik)
(izlaz)
kako je pokazano u poglavlju 1, ili s pomoću srednjih
(djelatnih) snaga grana
b
1
T
b
0
α =1
∑ T ∫ uα iα dt = ∑ Pα
α =1
=0
(15)
Ovi iskazi vrijede uvijek, a u poglavlju 12 pokazano je to
na jednom posebnom slučaju, tzv. sinusoidalnom
ustaljenom stanju.
Pokažimo da zakon o očuvanju djelatne snage (15) ne
vrijedi samo globalno, nego i za svaku njenu komponentu
na bilo kojoj frekvenciji ωn = n ω ; n=0,1,2,3,...
U dokazu ove tvrdnje prisjetimo se Tellegenovog
teorema, za koji znamo da vrijedi ako vrijede Kirchhoffovi
zakoni. Znači da je dovoljno pokazati da Kirchhoffovi
zakoni vrijede za komponente rastava valnih oblika napona
i struje u Fourierov red. Kako je
Lokalni oscilator frekvencije ω0
Sl.15.2 Načelna shema spoja modulatora.
obično energetski izvor iz kojeg se napaja modulator, tzv.
lokalni oscilator frekvencije ω0 promatra kao sastavni dio
modulatora. Od modulatora se traži da preda više snage
trošilu no što je primio na ulazu.
Napomena: Svako pojačalo je prema tome modulator. Ako je
izvor napajanja istosmjeran (lokalni oscilator
frekvencije ω0=0), u idealnom će slučaju izlazni
signal (signal na trošilu) biti replika ulaznog
signala. U protivnom, ako se modulator napaja iz
68
15. Energetski odnosi – djelatna snaga
lokalnog oscilatora frekvencije ω0 ≠ 0 izlaz neće biti
replika ulaza. Pojavit će se nove frekvencije budući
da modulator sadrži nelinearne komponente.
Analizirajmo energetske odnose u najjednostavnijem
mogućem modulatoru, slika 15.3, koji se sastoji od
nelinearnog kapaciteta C i idealnih filtara F1, F0 i Fmn koji
propuštaju signale na frekvencijama ω1, ω0 i m ω1+n ω0,
gdje su m i n cijeli brojevi, a sve signale na drugim
frekvencijama ne propuštaju.
F1
P1
ω1
To su Manley-Rowe jednadžbe za slučaj triju frekvencija.
U praksi su posebno zanimljiva dva slučaja:
a) m = n = 1 ; ω0 > ω1
Označimo da je P11=P+. Tada je prema (17)
P1
ω1
Pmn
R
=0 ;
P0
ω0
ω0
P1
ω1
Pretpostavimo da su frekvencije ω1 i ω0 međusobno
nezavisne. Ovo znači da se u krugu trošila mogu pojaviti
sve kombinacijske frekvencije
ω mn = mω1 + nω 0
gdje su m i n cijeli brojevi. S obzirom na pretpostavljena
idealna svojstva filtara, vrijedit će u skladu sa zakonom o
očuvanju energije da je
−
P0 = P1 + P− ; P1 =
P
što se može napisati u obliku
+ ω0
P0
ω0
+ (mω1 + nω 0 ) ⋅
P
mPmn
= ω1  1 +
ω
m
ω
1 + nω 0
 1
Pmn
=
mω1 + nω 0

P
nPmn
 + ω0 0 +

ω
m
ω
1 + nω 0

 0
P0

=0


Budući da su ω1 i ω0 nezavisni, to se navedeni izraz
može zadovoljiti za po volji kombinaciju frekvencija samo
ako je:
ω1
+
mPmn
P
nPmn
=0 ; 0 +
=0
mω1 + nω 0
ω 0 mω1 + nω 0
(17)
(19)
ω1
P
ω0 0
(20)
P
|P+|
P1
P0
|P–|
ω
ω1
ω 0 ω 0+ ω 1
a)
P1
(18)
ω0
P
ω1 1
P−
P
P−
=0 ; 0 +
=0
ω 0 − ω1
ω 0 ω 0 − ω1
P1 + P0 + Pmn = 0
P1
=0
I u ovom slučaju je očigledno P– < 0, ali je prema (19)
zbog toga P0 > 0 i P1 < 0. Opažamo da lokalni oscilator
daje energiju izlaznom krugu, ali i ulaznom krugu. Ovo
znači da nelinearni kapacitet prima energiju na
frekvenciji lokalnog oscilatora ω0 i vraća dio energije
generatoru signala. Ovo je isto kao da je u ulazni krug
uveden negativni otpor koji nadmašivši pozitivne
otpore generatora ulaznog signala može dovesti do
nestabilnosti rada modulatora (Hartleyev efekt, 1917.)
Sl.15.3 Shema spoja modulatora s nelinearnim kapacitetom.
ω1
P+
ω1 + ω 0
b) m = –1 ; n = 1 ; ω0 > ω1
Označimo da je P–11=P– . Tada je prema (17)
F0
ω1
+
P+ = P0 + P1 ; P0 =
mω1+ nω0
P0
P+
ω1 + ω 0
U skladu sa slikom 15.3, očigledno je P+ < 0, tj.
modulator predaje snagu trošilu. Ovo međutim znači da
je u skladu s izrazima (18) P1 > 0, ali isto tako i P0 > 0,
što znači da oba izvora daju energiju izlaznom krugu.
Fmn
C
+
Sl.15.4
|P1|
ω
ω0–ω1 ω0
ω1
b)
Odnosi snaga i frekvencija za
a) m = n = 1;
ω0>ω1
b) m = –1 ; n = 1 ; ω0>ω1.
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
69
XVI. PREDAVANJE
Invarijantnost trenutne i djelatne snage. Invarijantnost djelatne i jalove snage na frekvenciji. Neinvarijantnost
prividne snage. Dogovor o referentnoj točki. Ortogonalne komponente i nezavisnost energetskih procesa. Jalova
snaga. Snaga distorzije. Raspršena snaga. Razlozi zbog kojih je prividna snaga veća od djelatne snage. Djelatna
snaga i pojam ekvivalentne vodljivosti jednoprilaza. Primjer rastava prividne snage na komponente u linearnoj
višeharmonijskoj mreži. Rastav prividne snage na komponente prema Budeanuu. Nefizikalnost rastava. Rastav
prividne snage na komponente prema Fryzeu. Uvjet p(t) < 0 dovoljan je, ali ne i nužan za pojavu jalove snage.
16. ENERGETSKI ODNOSI – PRIVIDNA SNAGA
i1 + i2 = 0 ; i1 = i
16.1 INVARIJANTNOST IZRAZA ZA SNAGU
Jedno od temeljnih svojstava svakog fizikalno smislenog
pojma u elektrotehnici jest da njegova definicija ne ovisi o
odabranom sustavu referencija, tj. traži se invarijantnost
izraza koji definiraju taj pojam.
Pokažimo da to vrijedi za pojmove trenutne i srednje
snage. Analizu ćemo provesti za jednoprilaznu
višeharmonijsku izmjeničnu mrežu, slika 16.1. Uzrok zbog
kojeg je mreža višeharmonijska nije bitan, što znači da
mreža može biti nelinearna kao i vremenski promjenljiva.
i
u i
2
u01
u = u01 − u02
proizlazi izraz
p = u01i1 + u 02 (−i1 ) = (u01 − u02 ) i1 = u ⋅ i
što znači da izraz za
referentne točke 0!
(3)
trenutnu snagu ne ovisi o izboru
16.1.2 Srednja (djelatna) snaga
i1
POJNA
MREŽA
a budući da je i
Srednja snaga ili uobičajenije djelatna snaga P jest
linearni transformat trenutne snage, tj.
TROŠILO
u02
T
P=
0
Sl. 16.1 Analizirana jednoprilazna mreža
(0 – referentna točka po volji).
T
T
1
1
1
pdt =
(u01i1 + u02 i2 ) dt =
ui dt
T o
T o
T o
∫
∫
∫
pa je očigledno da niti izraz za djelatnu snagu ne ovisi o
izboru referentne točke 0.
Neka je napon na prilazu oblika
u= 2
∑U (n) sin(nω t + α
n
(1)
)
n∈N
gdje je sa N označen konačni skup harmonijskih članova u
naponu reda n, a struja prilaza
∑ I (n) sin( nω t + α
i1 = −i2 = i = 2
n
− ϕn )
16.1.3 Djelatna i jalova snaga na frekvenciji
Rastavimo djelatnu snagu na komponente, ili kako je to
pokazano u poglavlju 15.1 ili koristeći izraze (1) i (2),
dobivamo da je
P = ∑ P(n) = ∑U (n) I (n)cosϕ n
(2)
n∈M ∪ N
n∈N
gdje je sa
gdje je sa M označen konačni skup harmonijskih članova
struje reda n, koji nisu prisutni u skupu N.
Napomena: Skup M ima članove (nije prazan skup) samo u
slučajevima kada je pojna mreža modelirana
idealnim izvorom.
P(n) = U (n) I (n)cosϕ n
U skladu s oznakama na slici 16.1 vrijedi izraz za
trenutnu snagu
p = u01 i1 + u02 i2
Budući da su točke 1 i 2 priključci prilaza to je
(5)
označena djelatna snaga jednoprilaza na frekvenciji
ωn = n ω.
16.1.1 Trenutna snaga
(4)
n∈N
Budući da je određivanje Fourierovih koeficijenata
linearna transformacija nad varijablama u(t) i i(t), to će i za
svaku komponentu djelatne snage vrijediti da izraz (5),
kojim je definirana, ne ovisi o izboru referentne točke 0.
Uvedimo pojam jalove snage na frekvenciji
16. Energetski odnosi – prividna snaga
70
Q(n) = U (n) I (n) sinϕ n
(6)
Po analogiji, lako zaključujemo da niti ovaj izraz ne ovisi
o izboru referentne točke 0.
Ortogonalnost implicira nezavisnost energetskih
procesa. Za energetske procese (pretvorba u drugi oblik,
uskladištenje energije) mjerodavan je kvadrat amplitude
struje ili napona. (Sjetimo se definicije efektivne
vrijednosti!). S druge strane, energetski procesi
uzrokovani, recimo dvjema strujama ix(t) i iy(t) koje
istodobno djeluju u nekom promatranom krugu nezavisni
su ako vrijedi da je
16.1.4 Prividna snaga
T
Prividna snaga jednoprilaza definirana je izrazom:
S =U ⋅I =
∑U 2 (n) ⋅ ∑ I 2 (n)
n∈N
T
2
2
2
∫ (ix + i y ) dt =∫ (ix + i y )dt
0
(7)
n∈N ∪ M
0
u periodi rada T. Tada je rezultantni energetski efekt
jednak zbroju energetskih efekata od svake struje uzetog
pojedinačno. No, to je moguće samo ako je
T
Kao što znamo iz poglavlja 1, za efektivne vrijednosti
ne vrijedi KZN, dakle
∫ i i dt = 0
x y
0
što je i definicija ortogonalnosti dviju funkcija ix(t) i iy(t) na
periodi T.
U ≠ U 01 − U 02
što znači da izraz za prividnu snagu ovisi o izboru
referentne točke 0. Proizlazi da je prividna snaga
dogovorna veličina. U njenoj definiciji mora biti navedena
referentna točka. Logičan zaključak, da zbog tog razloga
prividna snaga nije fizikalno smislen pojam, ipak nije
točan.
Iz poglavlja 12 znamo da je prividna snaga jednoprilaza
ona najveća djelatna snaga koja bi se mogla na tom prilazu
postići uz dane efektivne vrijednosti napona U i struje I
jednoprilaza. Da bi se očuvala ova fizikalna smislenost
pojma prividne snage, u elektrotehnici je dogovorena
sljedeća definicija trenutne snage:
Trenutna snaga jednoprilaza jednaka je umnošku trenutne
vrijednosti napona između jednog priključka jednoprilaza
i drugog priključka shvaćenog kao referentni priključak, i
trenutne struje kroz prvi priključak.
Time je očuvan fizikalni smisao svih dosada navedenih
pojmova snage jednoprilaza.
16.2.2 Jalova snaga i snaga distorzije
Ako u izrazu (2) za struju jednoprilaza faktor
sin (nω t + α n − ϕ n ) rastavimo
u
dvije
ortogonalne
komponente, tj.
sin (nω t + α n − ϕ n ) =
= cos ϕ n sin (nω t + α n ) − sin ϕ n cos (nω t + α n )
odmah opažamo da se struja i(t) može rastaviti u tri
ortogonalne komponente
i = i R + ir + i D
gdje je
iR = 2 ∑ I (n) cosϕ n sin( nω t + α n )
n∈N
ir = − 2 ∑ I (n) sin ϕ n cos(nω t + α n )
n∈N
iD = 2 ∑ I (n) sin ϕ n sin( nω t + α n − ϕ n )
16.2 RASTAV PRIVIDNE SNAGE NA
KOMPONENTE (L. Czarnecki, 1985.)
n∈M
Rastav prividne snage na komponente ima smisla samo
ako se na taj način prepoznaju i izdvoje oni energetski
procesi zbog kojih je prividna snaga S veća od djelatne
snage P jednoprilaza. Također rastav mora biti takav da se
u jednoharmonijskoj mreži svede na rastav
2
2
2
2
S = P + Q = (U ⋅ I cosϕ ) + (U ⋅ I sinϕ )
2
poznat iz Osnova elektrotehnike.
16.2.1. Osnovna ideja
Energetski se procesi mogu prepoznati ako se pri
zadanom naponu jednoprilaza u(t), izraz (1), struja
jednoprilaza i(t), izraz (2), rastavi na ortogonalne
komponente.
Zbog međusobne ortogonalnosti vrijedit će da je
I 2 = ∑ I 2 (n) cos 2 ϕ n + ∑ I 2 (n) sin 2 ϕ n + ∑ I 2 (n) (8)
n∈N
n∈N
n∈M
Zaključujemo da komponenta struje ir(t) postoji samo
tada ako na prilazu postoje harmonijski članovi struje
pomaknuti za ± 90° el. u odnosu spram odgovarajućih
harmonijskih članova napona. U skladu s terminologijom
iz Osnova elektrotehnike, ovo znači da postoje jalove
struje na frekvencijama ωn, a time i jalove snage Q(n) na
frekvenciji.
Snaga pridružena ovim strujama naziva se jalova snaga
i definirana je izrazom
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
 Q ( n) 
S = U ( n) ⋅ I ( n) sin ϕ n = U ⋅ 

n∈ N
n∈ N
n∈N  U ( n ) 
∑
2
x
2
∑
2
2
2
2
∑
(9)
komponenta struje is(t) je nekorisna, ona je treći od razloga
zašto je S > P. Pripadna snaga naziva se raspršena snaga:
Ds2 = U 2 ⋅ ∑ (Gn − Ge ) 2 U 2 (n)
Time je prepoznat jedan od razloga zašto je S > P.
∑U
2
( n) ⋅
n∈N
∑I
2
( n)
(14)
n∈N
Komponenta iD(t) postoji ako je mreža nelinearna i/ili
vremenski promjenljiva te ako na prilazu djeluje idealni
izvor. Komponenta iD(t) naziva se strujom distorzije a
pripadna snaga snaga distorzije:
S D2 =
71
(10)
Pridjev "raspršena" podsjeća na to da ova snaga postoji
samo onda ako su vodljivosti trošila (prilaza) Gn
"raspršene" oko ekvivalentne vodljivosti Ge.
16.2.4 Komponente prividne snage
n∈M
S 2 = P 2 + Ds2 + S x2 + S D2
(15)
Time je prepoznat i drugi od razloga zašto je S > P.
Raspršena snaga Ds i jalova snaga Sx mogu se u
energetskim mrežama kompenzirati s pomoću reaktivnih
komponenata. Snaga distorzije SD se na taj način ne može
kompenzirati.
16.2.3 Djelatna snaga i raspršena snaga
U preostaloj komponenti struje
iR (t ) = 2 ∑ I (n) cosϕ n sin( nω t + α n )
16.2.5 Primjer rastava prividne snage na komponente
n∈N
skriven je onaj dio valnog oblika struje koji je jedini
odgovoran za pojavu djelatne snage. Ovo znači da se struja
iR(t) sigurno može rastaviti u dvije komponente
Odredimo prividnu snagu izvora i komponente prividne
snage za mrežu sheme spoja prema slici 16.2, ako je
E = 10V, R=ωL = 1Ω.
u, V
L
ωt
gdje je
1
i
E
iR = ia + is
π
2π
u
+
R
T
T
T
∫
∫
∫
1
1
1
uia dt = P ;
ui s dt = 0 ;
i a i s dt = 0
T0
T0
T0
(11)
Struja ia(t) naziva se djelatna struja i očigledno je
jednaka
ia = Ge u ;
(12)
Valni oblik napona u(t) može se prikazati Fourierovim
redom
∞
u (t ) = 2 ∑U (n) sin nω t ; U (n) =
n =1
4E
⋅
1
π 2 n
; n = 1,3,5,...
dok je admitancija jednoprilaza
gdje je sa Ge označena ekvivalentna vodljivost
jednoprilaza na kojoj se disipira djelatna snaga P.
Razliku struja
is = iR − ia = 2
1’
Sl. 16.2 Primjer linearne višeharmonijske mreže.
pa su i te dvije komponente struje međusobno ortogonalne.
P
Ge = 2
U
-E
Y ( jnω ) =
1
1
1
= ⋅
= Gn + jBn
R + jnωL R 1 + jn
pri čemu je
∑ (G
n
− Ge )U (n) sin( nω t + α n )
Gn =
n∈N
Czarnecki je nazvao raspršena struja. Sa
I (n ) cosϕ n
Gn =
U (n )
(13)
označena je vodljivost jednoprilaza za n-ti harmonijski
član. U prijenosu energije od izvora prema trošilu
1 1
1 n
; Bn = −
2
R 1+ n
R 1 + n2
S obzirom na to da je mreža linearna i vremenski
nepromjenljiva, skup M je prazan skup, te je snaga
distorzije jednaka nuli, tj. SD = 0.
a) Djelatna snaga. U skladu sa (4), te uzevši u obzir (13),
vrijedi da je
72
16. Energetski odnosi – prividna snaga
∞
P=
∑
GnU 2 (n) =
n =1
8 E2
π2 R
∞
∑n
n =1
2
1
(1 + n 2 )
(16)
d) Raspršena snaga. U skladu s izrazom (15) vrijedi da je
Ds = S 2 − P 2 − S x2
(20)
Prema literaturi [15] je
∞
∑
n =1
e) Komponente prividne snage. Uvrste li se u izraze (17)
do (20) zadane vrijednosti E = 10V, R = ωL = 1Ω
proizlazi da je: S = 64,5VA; P = 41,6W; Sx = 46,1VA;
Ds = 17,4VA; SD = 0VA.
π2 π π
1
=
− th
2
2
4 2
n (1 + n ) 8
što uvršteno u (16) daje izraz za djelatnu snagu
E2 
2 π
P=
1 − th  = UI a = EI a
R  π 2
(17)
b) Prividna snaga. Efektivna vrijednost napona je U = E.
Efektivnu vrijednost struje I odredimo iz izraza za
efektivnu vrijednost djelatne struje, koja je prema (12)
jednaka
I a = GeU =
Iz poglavlja 16.1 znamo da je izraz za djelatnu snagu
invarijantan s obzirom na po volji odabranu referentnu
točku a isto vrijedi i za svaku njenu komponentu, tj. za
djelatnu snagu na svakoj frekvenciji.
P = ∑ P(n) = ∑ U (n) I (n)cosϕ n
P
RI 2
U
=
U
U2
n∈N
U
E 
2 π
Ia =
1 − th 
R
R  π 2
QB = ∑ Q (n) = ∑U (n) I (n) sinϕ n
n∈N
odnosno prividna snaga
2
E
R
S = UI =
2 π

1 − th 
 π 2
(18)
c) Jalova snaga. Ako se analogno izrazu (13) uvede da je
Bn =
I r2 =
∑B U
2
n
( n) =
n =1
8
π
2
∞
1
2 2
n =1
)
=
π
8
th
π
E
R2
2
−
1
∞
∑ (1 + n )
te Q(n) za svaku frekvenciju n ω može imati različiti fazni
kut αn. Dok Q(n) pokazuje za svaku frekvenciju kolika je
pn , njihov zbroj ne
amplituda izmjenične trenutne snage ~
znači ništa slično, budući da QB nije amplituda izmjenične
trenutne snage p(t)!
Dodatno, jer je
S 2 > P 2 + QB2
2 2
n=1
π2
16
⋅
1
ch 2
π
2
što uvršteno u prethodni izraz i pomnoženo s efektivnom
vrijednošću U = E daje jalovu snagu
E2
Sx =
R
1
π
th
π
2
−
u n = 2 ⋅ U (n) sin( nω t + α n )
trenutna snaga dana izrazom
Prema literaturi [15] je
∑ (1 + n
vjerujući da ima fizikalni smisao. Lako uviđamo da je to
posve pogrešno. Naime, promatramo li trenutnu snagu za
svaki harmonijski član posebno, bit će prema poglavlju 12
zbog
pn = u n in = P (n)[1 + cos 2(nω t + α n )] + Q(n) sin 2(nω t + α n )
2
⋅
(21)
n∈N
in = 2 ⋅ I (n) sin( nω t + α n − ϕ n )
I (n) sin ϕ n
U ( n)
jalova struja bit će dana izrazom
∞
n∈N
Isto vrijedi i za jalovu snagu na svakoj frekvenciji. Svaki
od tih pojmova, P, P(n) i Q(n) ima jasni fizikalni smisao.
Zbog toga Budeanu uvodi pojam jalove snage
odakle proizlazi da je
I=
16.3 KLASIČNI RASTAV PRIVIDNE SNAGE U
FREKVENCIJSKOM PODRUČJU
(C. I. Budeanu, 1927.)
DB2 = S 2 − P 2 − QB2
1
2ch 2
Budeanu uvodi novu komponentu rastava prividne snage,
snagu distorzije DB
π
2
(22)
(19)
Interesantno je to da se ovaj rastav iako potpuno
nekoristan i zbunjujući održao do danas. Koristeći taj
rastav nikakva smislena kompenzacija komponenata
prividne snage nije moguća. Tako primjerice prema
IV. Nesinusoidalno ustaljeno stanje
Budeanuu je za kompenzaciju jalove snage dovoljno da
bude
QB = ∑ Q (n) = 0
dok je u stvarnosti, prema (9), nužno da bude
Sx = U
2
 Q ( n) 

 =0
n∈N  U (n) 
∑
tj. za svaki n mora biti Q(n) = 0 da bi kompenzacija jalove
snage bila moguća.
16.4 KLASIČNI RASTAV PRIVIDNE SNAGE U
VREMENSKOM PODRUČJU (S. Fryze, 1932.)
Koristeći jednakost Cauchy-Bunjakovskoga
Fryze uvodi pojam jalove snage
QF2 =
1
2T 2
2.3.1 proizlazi da je QF = 0 samo ako je na priključcima
jednoprilaza
u (t )
= R = konst.
i (t )
n∈N
(2.10),
T T
∫∫ [u (t ) i(τ ) − u (τ ) i(t )] dt dτ
2
(23)
0 0
i pokazuje da u svakoj mreži, osim mreža s linearnim
vremenski nepromjenljivim otporima, uvijek postoji jalova
snaga. Naime, iz (23), kako je to pokazano u odsječku
73
(24)
dakle, ako vrijedi Ohmov zakon.
Važnost Fryzeovog rastava je u tome što je dao nužan i
dovoljan uvjet koji mora biti zadovoljen da bi u nekoj
mreži na nekom prilazu bio S > P!
U poglavlju 12 pokazano je da ako je u nekom dijelu
periode rada T, p(t) < 0, da to znači da na tom prilazu
dolazi do energetske razmjene između dva dijela mreže
povezanih tim prilazom. Pojna mreža se u podintervalima
periode rada ponaša kao trošilo. Mjera za to je amplituda
titraja snage Q!
Fryzeova analiza jasno pokazuje da je uvjet p(t) < 0
dovoljan, ali ne i nužan uvjet za pojavu jalove snage. To
znači da postoje mreže u kojima je p(t) ≥ 0, ∀t, a da i dalje
postoji jalova snaga.
Uvjet opstojnosti jalove snage na primjeru serijskog
RLC-kruga iz poglavlja 12 proizlazi ako se napiše
kvocijent
u (t ) Uˆ
cos ωt
=
ˆ
i (t )
I cos(ω t + ϕ )
što je očigledno vremenska funkcija. Jalova snaga postoji
jer nije zadovoljen uvjet (24).
74
17. Osnove topologije električkih mreža
XVII. PREDAVANJE
Pojam jednadžbi mreže. Skup linearnih jednadžbi. Skup konstitutivnih relacija grana. Osnovni topološki pojmovi:
čvor, grana, graf. Pojam petlje. Interpretacija KZN-a. Pojam reza. Objašnjenje pojma reza elektrotehničkim
pojmovima. Kirchhoffov zakon struje za rez. Pojam stabla i spojnica. Temeljni teorem teorije grafova. Pojam
temeljne petlje i temeljnog reza. Skup nezavisnih jednadžbi KZS-a. Skup nezavisnih jednadžbi KZN-a. Pojam
normalne grane. Različiti načini zapisa jednadžbi mreže: jednadžbe struja petlji, jednadžbe napona čvorova.
V. JEDNADŽBE MREŽE
U širem smislu shvaćena analiza neke mreže obuhvaća nekoliko jasno odvojenih faza. To su:
a) identifikacija problema,
b) modeliranje mreže,
c) opis mreže jednadžbama,
d) rješavanje jednadžbi mreže analitičkim ili numeričkim postupkom, i
e) vrednovanje rezultata
U užem smislu shvaćena analiza neke mreže, a to i jest glavni predmet teorije mreža, obuhvaća postavljanje i rješavanje
jednadžbi mreže. Pri tome pod jednadžbama mreže smatramo skup jednadžbi rješenjem kojih dobivamo valne oblike
napona i struje na svakom elementu mreže. Ostale faze analize nisu predmet teorije mreža.
Jednadžbe mreže sastoje se od dva skupa jednadžbi. Prvi skup tvori skup linearnih jednadžbi koje proizlaze iz primjene
Kirchhoffovih zakona. Elementi mreže u tom skupu nisu bitni, bitan je samo način kako su ti elementi spojeni tvoreći
analiziranu mrežu. Drugi skup tvori skup konstitutivnih relacija grana mreže. Način na koji su te grane spojene nije bitan,
bitna su samo svojstva elemenata mreže koji tvore svaku od grana. Konstitutivne relacije elemenata mreže mogu biti
opisane linearnim ili nelinearnim funkcijama u kojima može biti iskazana vremenska promjenljivost odnosno vremenska
nepromjenljivost elemenata mreže.
Zapis prvog skupa jednadžbi, tj. sustava linearnih jednadžbi koji proizlazi iz primjene Kirchhoffovih zakona jest
trivijalan ako se radi o analizi krugova, tj. mreža s malim brojem grana i čvorova. Za mreže s većim brojem grana i
čvorova (recimo: stotinjak grana i čvorova) zadaća zapisa ovog skupa jednadžbi postaje vrlo složena i potrebno je pronaći
postupak sustavnog zapisa ovog skupa jednadžbi mreže. U tu svrhu koriste se rezultati topologije, jedne od matematičkih
disciplina.
17. OSNOVE TOPOLOGIJE ELEKTRIČKIH MREŽA
17.1 OSNOVNI POJMOVI
• Topologija. Grana matematike koja se bavi onim
svojstvima geometrijskih tvorevina koja ostaju očuvana
ako se geometrijske tvorevine deformiraju, ali tako da se
ne raskine ništa što je bilo spojeno, niti ne spoji ono što
je bilo rastavljeno.
Električka mreža se sastoji od određenog broja
međusobno spojenih elemenata. Budući da topološka
svojstva električke mreže ne ovise o svojstvima
elemenata koji tvore tu mrežu, to je za analizu
topoloških svojstava dovoljno zamijeniti ju skupom
čvorova i skupom linijskih segmenata koje zovemo
granama.
• Čvor. Mjesto spoja dvaju ili više elemenata mreže.
• Grana. Dio mreže koji se sastoji od jednog ili više
elemenata mreže tvoreći jednoprilaz. Svaka grana na oba
kraja završava čvorom. Model naprave sa m priključaka
predočen je s pomoću onoliko grana koliko model
naprave ima prilaza.
• Graf (mreže). Prikaz mreže s pomoću čvorova i grana
pri čemu su sve grane predočene linijskim segmentima a
svi čvorovi točkama. Grafom se smatra i čvor na koji
nije spojena niti jedna grana.
2
+ 1
2
3
3
5
5
4
1
6
6
2
7
4
3
2
1
3
1
5
4
5
6
6
7
4
Sl. 17.1 Primjer električke mreže i pridruženog grafa.
Jednoj mreži moguće je pridružiti više grafova.
Primjerice, na slici 17.1 očigledno je da se, recimo, mogao
izbaciti čvor 2 te bi između čvorova 1 i 3 postojale
samo dvije paralelne grane. Slično tome, grane 6 i 7 su se
mogle sažeti u jednu granu. Zaključujemo da pridruživanje
grafa zadanoj mreži nije jednoznačno.
• Podgraf (subgraf). Podskup čvorova i grana nekog grafa
• Orijentirani graf. Graf u kojem su granama pridodani
referentni smjerovi (recimo: struja).
• Put. Niz grana u grafu. Put može biti otvoren ili
zatvoren.
• Povezani (suvisli) graf. Graf u kojem postoji barem
jedan put između bilo koja dva čvora grafa. Graf na slici
17.1 nije povezani graf.
75
V. Jednadžbe mreže
17.2 POJMOVI PETLJE I REZA
Tako primjerice ako znamo u23, u34 i u41 možemo u skladu
s Kirchhoffovim zakonom napona odrediti i napon u12.
• Petlja. Povezani podgraf nekog grafa sa svojstvom da su
samo po dvije grane tog podgrafa spojene sa svakim
čvorom podgrafa.
1
3
2
Pri tome se graf sa samo jednim čvorom smatra povezanim
grafom, a pod uklanjanjem grane smatra se brisanje grane
uz zadržane čvorove.
1
1
• Rez. Skup grana nekog povezanog grafa sa svojstvima
a) uklanjanjem svih grana iz tog skupa preostali graf
(podgraf) prelazi u dva odvojena grafa, i
b) uklanjanjem svih grana iz tog skupa, osim jedne, i to
bilo koje grane, preostali graf (podgraf) ostaje povezan.
4
a)
b)
c)
3
1 2
1
2
4
d)
e)
Grane 3 i 4 su rez.
Sl. 17.2 Ilustracije uz pojam petlje.
Graf prikazan na slici 17.2.a nije petlja jer nije povezan.
Zatvoreni put između 1 i 2 odnosno 3 i 4 , svaki za
sebe predstavlja petlju, ali zajedno promatrano to nisu!
Zatvoreni put na slici 17.2.b kao ni put na slici 17.2.c nisu
petlje jer je u čvoru 1 u oba grafa spojeno više od dvije
grane. Podgraf prikazan na slici 17.2.d jest petlja.
Poseban slučaj petlje jest oko ili elementarna petlja. To
je svaka petlja unutar koje nema niti jedne grane grafa,
slika 17.2.e.
Na temelju navedenih primjera zaključujemo da je svaka
petlja zatvoreni put, ali da svaki zatvoreni put nije petlja!
VAŽNO: Za svaku petlju vrijedi Kirchhoffov zakon
napona, izraz (1.5). On ostaje vrijediti i ako se petlja
deformira, a to je zbog toga jer prema četvrtom postulatu
teorije mreže niti jedna petlja nije prožeta vanjskim
promjenljivim magnetskim tokom. Zaključujemo da u
terminima teorije mreža petlja ne zauzima realni prostor.
Prostorne koordinate ne igraju nikakvu ulogu.
Zbog toga, ako se u nekoj mreži želi odrediti samo neki
od napona, specifikacija na koju se petlju ti naponi odnose,
uopće nije nužna, slika 17.3.
2
1
5
5
4
7
1
7
6
6
3
4
Grane 2,3 i 6 nisu rez, jer nije zadovoljeno drugo svojstvo reza.
Uklanjanjem svih grana osim grane 6 preostali graf
ostaje i dalje nepovezan!
2
1
7
4
3
5
5
6
Grane 1, 2, 3, 4 i 6 nisu rez, jer oba svojstva reza nisu
zadovoljena!
Sl. 17.4 Ilustracije uz pojam reza.
Iskazano u terminima elektrotehnike, gore navedena
definicija reza može se preformulirati na ovaj način:
3
Rez je skup grana neke povezane mreže (grafa) koje
prolaze kroz zatvorenu plohu S odabranu tako da dijeli
zadanu mrežu (graf) u dvije podmreže (podgrafa).
u34
u23
4
u41
u12
2
1
Sl. 17.3 U promatranoj mreži uvijek je u12+u23+u34+u41=0 i
specifikacija petlje za koju to vrijedi nije nužna.
Ilustrirajmo ovakvu interpretaciju reza dvama
primjerima, slika 17.5. Grafovi su orijentirani s
naznačenim referentnim smjerovima struja. Podsjetimo se
da je u skladu s trećim postulatom teorije mreža rezultantni
naboj svake naprave jednak nuli. Na nivou modela to znači
da je rezultantni naboj elemenata mreže svake grane
jednak nuli, što znači da količina naboja koja uđe u plohu
S mora biti jednaka količini naboja koja iz te plohe izađe.
Opažamo da za rez vrijedi Kirchhoffov zakon struje.
7
76
17. Osnove topologije električkih mreža
7
7
4
6
S
S
1
3
2
5
6
1
5
RSR
RSR
1
2
broj grana stabla n = 3
4
4
3
a)
broj spojnica l = b–n = 5–3=2
Sl. 17.5 Dva primjera reza zatvorenom plohom S
(RSR – referentni smjer reza).
3
Za mrežu sa b grana je
Sl. 17.6 Zadani graf G i odabrano stablo T (3, 4, 5).
b
∑q
i =0 ;
jk k
za j − ti rez
(1)
k =1
gdje je
q jk

 +1



=
−1


 0
Na ovom je primjeru očigledna istinitost prvog iskaza
temeljnog teorema. Zaista, između bilo koja dva čvora
postoji samo jedan put duž stabla, jer kad bi postojao još
koji put, to bi značilo da stablo sadrži petlju.
P1(1,5,4)
ako se RSR j - tog reza podudara
sa RS struje k - te grane
1
4
ad b)
–i1 + i2 – i3 = 0
Temeljni teorem teorije grafova glasi:
Za zadani povezani graf G koji ima n+1 čvor i b grana
te za zadano stablo T(G) vrijedi:
1. Između bilo kojeg para čvorova postoji samo jedan put
duž stabla, tzv. jedinstveni put.
2. Broj grana stabla je n, a spojnica l = b – n.
3. Svaka spojnica zajedno s odgovarajućim brojem grana
stabla tvori jednu jedinstvenu petlju koja se naziva
temeljna petlja.
4. Svaka grana stabla zajedno s odgovarajućim brojem
spojnica tvori jedan jedinstveni rez koji se naziva
temeljni rez.
Primijenimo temeljni teorem teorije grafova na graf G,
slika 17.6. Za stablo odaberimo podgraf T koji se sastoji od
grana 3, 4 i 5.
4
2
P2
3
Sl. 17.7 Sve temeljne petlje. (Dogovorno smjer petlje određuje
smjer spojnice).
R1(3,2)
R2
1
4
5
R2(4,1)
R3(5,1,2)
4
2
5
R3
1
1
2
4
5
2
R1
3
• Stablo T je povezani podgraf nekog povezanog grafa G
koji sadrži sve čvorove grafa G, ali niti jednu petlju. Pri
specifikaciji stabla dovoljno je navesti samo grane.
Tako, primjerice, u grafu na slici 17.5.a jedno od
mogućih stabala grafa tvore grane 1, 2, 3 i 6.
• Spojnice su sve grane grafa G koje ne pripadaju stablu.
Skup spojnica je komplement stablu.
2
5
3
–i1 + i2 – i3 + i4 – i5 + i6 + i7 = 0
17.3 TEMELJNI TEOREM TEORIJE GRAFOVA
1
5
ako se RSR j - tog reza ne podudara
sa RS struje k - te grane
ako k - ta grana nije u j - tom rezu
P2(2,3,5)
P1
U primjerima danima na slici 17.5 vrijedit će prema
tome da je
ad a)
2
5
b)
3
3
Sl. 17.8 Svi temeljni rezovi. (Dogovorno smjer reza određuje
smjer presječene grane stabla).
17.4 SUSTAVNI ZAPIS JEDNADŽBI MREŽE
Napišimo jednadžbe mreže za mrežu koja ima n+1 čvor
i b grana. Na osnovi temeljnog teorema teorije grafova
zaključujemo da
a) svakoj grani stabla odgovara jedan temeljni rez. To
znači da se za zadanu mrežu može napisati
n nezavisnih jednadžbi KZS-a.
b) Svakoj spojnici odgovara jedna temeljna petlja. To
znači da se za zadanu mrežu može napisati
l = b – n nezavisnih jednadžbi KZN-a.
Proizlazi da se skup linearnih jednadžbi napisanih na
temelju Kirchhoffovih zakona sastoji od ukupno b
jednadžbi, dakle onoliko jednadžbi koliko mreža ima
grana.
Drugi skup jednadžbi kojim se kompletira skup
jednadžbi mreže tvore konstitutivne relacije grana. Njih
ima također b, što znači da skup jednadžbi mreže tvori 2b
jednadžbi. Pri tome pretpostavljamo da su sve grane mreže
normalne. Pod normalnom granom smatra se svaka grana,
napon i struja koje u početku analize nisu poznati. Svaka
V. Jednadžbe mreže
pasivna grana je zbog toga normalna, dok grane koje se
sastoje samo od nezavisnih izvora to nisu, budući da su u
tim granama unaprijed poznati valni oblici ili napona ili
struje. U mrežama s takvim granama ne može se u općem
slučaju na temelju broja grana odrediti ukupni broj
jednadžbi mreže. Očigledno je samo da je broj jednadžbi
mreže manji od 2b.
Pokažimo postupak sustavnog zapisa jednadžbi mreže
na jednostavnom primjeru, slika 17.9.
77
i tri jednadžbe KZN-a (l = b – n = 5 – 2 = 3)
u1 + u2 = 0
u4 – u2 + u3 = 0
u5 – u2 + u3 = 0
b) Skup konstitutivnih relacija grana sadrži pet jednadžbi
(b = 5) pri čemu početni uvjeti uC1(0), uC2(0) i iL(0)
moraju biti unaprijed poznati.
u1 = −u g + R1i1
i1
1
R1
i3
L
2
i2
a)
ug +
t
i4
uC1
C1
i5
guC1
C2
R2
5
3
Sl. 17.9 a) Zadana mreže s označenim referentnim smjerovima
struja grana.
b) Pripadni orijentirani graf s označenim stablom T (2.3).
Shvatimo li serijski spoj naponskog izvora ug i otpora R1
kao jednu granu a isto tako paralelni spoj naponom
upravljanog strujnog izvora guC1 i otpora R2 kao jednu
granu, dobivamo mrežu koja se sastoji od n + 1 = 3 čvora i
b = 5 normalnih grana. Dakle, ukupni broj jednadžbi mreže
je 2b=10.
a) Skup linearnih jednadžbi sadrži dvije jednadžbe
KZS-a (n = 2)
i3 – i4 – i5 = 0
i2 + i4 + i5 – i1 = 0
1
u3 ( x)dx + i L (0)
L ∫0
u4 =
1
i4 ( x)dx + uC 2 (0)
C2 ∫0
t
i5 = guC1 +
4
1
i3 =
2
3
2
b)
1
i2 ( x)dx + uC1 (0)
C1 ∫0
t
3
1
u2 =
1
u5
R2
Time su navedene sve jednadžbe koje su potrebne da bi
se u zadanoj mreži odredili valni oblici napona i struja svih
grana. Daljnji postupak je očigledan. Na osnovi
konstitutivnih relacija izraze se svi naponi grana s pomoću
struja grana i uvrste u jednadžbe KZN-a. Zajedno s
prethodno napisanim dvjema jednadžbama KZS-a dobiven
je sustav od pet jednadžbi u pet nepoznatih struja grana.
Druga je mogućnost da se sve struje grana izraze s pomoću
napona grana i uvrste u jednadžbe KZS-a. Zajedno s
prethodno napisanim trima jednadžbama KZN-a dobiven
je sustav od pet jednadžbi u pet nepoznatih napona grana.
Osim ovog načina zapisa jednadžbi mreža postoje i
drugi koji vode na sustave s manjim brojem jednadžbi. To
je zapis s pomoću jednadžbi struja petlji, koji bi u našem
primjeru doveo do sustava od tri jednadžbe u tri nepoznate
struje petlje ili s pomoću jednadžbi napona čvorova
(jednadžbi rezova), koji bi u našem primjeru doveo do
sustava od dvije jednadžbe u dva nepoznata napona čvora.
78
18. Jednadžbe stanja
XVIII. PREDAVANJE
O načinu rješavanja jednadžbi mreže. Važnost numeričkog proračuna. Sustavi diferencijalnih jednadžbi prvog
reda. Neprekinutost varijabli odziva. Napon na kapacitetu i struja induktiviteta kao varijable stanja. Naboj
kapaciteta i tok induktiviteta kao varijable stanja. Pojam prikladnog stabla. Pravila za izgradnju prikladnog stabla
za dobro definirane linearne vremenski nepromjenljive mreže. Red složenosti mreže. Primjer određivanja
jednadžbi stanja s pomoću prikladnog stabla. Pojam opće grane mreže. Nadomjesna otporna mreža. Proširenje na
nelinearne i vremenski promjenljive mreže. Mreže s višeprilaznim elementima. Drugi način interpretiranja pravila
o izgradnji prikladnog stabla.
18. JEDNADŽBE STANJA
18.1 ZAHTJEVI NA JEDNADŽBE MREŽE
x(t1 ) ≈ x(t 0 ) +
Riješiti jednadžbe mreže znači odrediti valne oblike
napona i struja na svim elementima mreže. Ako je mreža
linearna i vremenski nepromjenljiva, to znači, ili riješiti
a) sustav algebarskih jednadžbi ako se traži sinusoidalno
ustaljeno stanje, ili
b) sustav integro-diferencijalnih jednadžbi s konstantnim
koeficijentima ako se traži potpuni odziv. Za i malo
složeniju mrežu, petog reda ili višeg, potrebno je riješiti
karakterističnu jednadžbu, dakle, algebarsku jednadžbu
petog stupnja ili višeg. Analitičko rješenje ove
jednadžbe nije moguće (Abel, 1827.), već samo
približno numeričko rješenje, što znači primjenu
elektroničkog računala.
Ako je mreža nelinearna i/ili vremenski promjenljiva,
samo se neki sasvim jednostavni problemi analize mogu
riješiti analitički, i to oni koji se mogu svesti na neke
rješive nelinearne ili s vremenski promjenljivim
koeficijentima diferencijalne jednadžbe, kao što su
primjerice, van der Polova jednadžba ili Mathieuova
jednadžba i sl.
Inženjerski zdrav razum nam, u eri elektroničkih
računala, kazuje da je kudikamo bolje odmah odustati od
eventualnog prilagođavanja matematičkog modela nekog
inženjerskog problema tipu nelinearne diferencijalne
jednadžbe, rješenje koje poznajemo, u korist numeričkog
rješenja, ali sada najpotpunijeg matematičkog modela
zadanog inženjerskog problema.
Zbog toga je temeljni zahtjev na jednadžbe mreže da
moraju biti takvog zapisa da je moguć jednostavan
numerički proračun pripadnih diferencijalnih jednadžbi i
da ne postoji ograničenje na vrstu analizirane mreže. Ove
zahtjeve zadovoljavaju sustavi diferencijalnih jednadžbi
prvog reda, ali uz jedan specifičan izbor varijabli mreže.
Pokažimo to na jednom jednostavnom primjeru.
Neka je zadana diferencijalna jednadžba prvoga reda
dx
= f (t , x )
dt
(1)
i pretpostavimo da je u nekom trenutku t0 poznata
vrijednost varijable x(t0) = x0. Da bismo odredili vrijednost
varijable x(t) u nekom bliskom trenutku t1 > t0, tj. x(t1), to
ćemo ju razviti u Taylorov red u trenutku t0. Uzmemo li
prva dva člana reda, vrijedit će da je
dx
dt
t0
⋅ (t1 − t 0 )
odnosno uzevši u obzir (1)
x(t1 ) ≈ x (t0 ) + (t1 − t0 ) f (t0 , x0 )
čime je određena približna vrijednost varijable x(t) u
trenutku t1. Očigledno znamo li x(t1), možemo odabrati
idući trenutak t2 > t1 i odrediti na analogan način kao u
prethodnom koraku vrijednost varijable x(t2). U (n+1)-om
koraku vrijedit će da je
x(t n+1 ) ≈ x(t n ) + (t n+1 − t n ) ⋅ f (t n , xn ) ;
x(t n ) = xn
(2)
i približno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe je
dobiveno. Prirodno očekujemo da što je interval
∆t n = t n+1 − t n kraći da će i približno rješenje biti točnije.
Pri tome je ključno da bude zadovoljena osnovna
pretpostavka za razvoj neke funkcije x(t) u Taylorov red, a
to je da je ona neprekinuta funkcija.
Želimo li dakle na prikazani način rješavati jednadžbe
mreže to se kao varijable mreže smiju koristiti samo
neprekinute funkcije. To su
a) u linearnim vremenski nepromjenljivim mrežama:
naponi na kapacitetima i struje induktiviteta, a u
b) nelinearnim i vremenski promjenljivim odnosno
nepromjenljivim mrežama: naboji na kapacitetima i
tokovi induktiviteta.
Ove se varijable nazivaju varijable stanja a sustavi
diferencijalnih jednadžbi prvog reda s tim varijablama
jednadžbe stanja.
Pokažimo kako se na osnovi temeljnog teorema teorija
grafova i odabranih varijabli stanja mogu napisati
jednadžbe stanja za svaku mrežu.
18.2 PRAVILA ZA IZGRADNJU PRIKLADNOG
STABLA (T. R. Bashkow, 1957.)
Pod prikladnim stablom smatramo svako stablo na
osnovi kojeg je moguće napisati jednadžbe stanja. Sva
razmatranja provest ćemo na primjeru dobro definiranih
linearnih
vremenski
nepromjenljivih
mreža
s
jednoprilaznim elementima.
a) Kapacitet. U skladu s temeljnim teoremom teorije
grafova znamo da se svaka nezavisna jednadžba KZS-a
79
V. Jednadžbe mreže
dobiva od struja grana koje pripadaju nekom rezu. No,
rez tvore jedna presječena grana stabla i odgovarajući
broj spojnica. Budući da je svaka od jednadžbi stanja
jedna diferencijalna jednadžba prvog reda to se u svakoj
od tih jednadžbi nalazi samo po jedna prva derivacija.
Jednoj presječenoj grani stabla odgovarat će jedino
struja kapaciteta jer je
duc
i=C
dt
a jedine dopuštene varijable stanja su naponi na
kapacitetima i struje induktiviteta. Smještanjem
kapaciteta u stablo zajamčeno je da će pripadna
jednadžba stanja biti diferencijalna jednadžba prvog
reda. U protivnom, tj. ne smjestimo li sve kapacitete u
stablo, barem u nekim jednadžbama KZS-a bi se za
neke rezove pojavilo i više prvih derivacija odabranih
varijabli stanja!
b) Induktivitet. U skladu s temeljnim teoremom teorije
grafova znamo da se svaka nezavisna jednadžba KZN-a
dobiva od napona grana koje pripadaju nekoj petlji. No,
petlju tvore jedna spojnica i odgovarajući broj grana
stabla. Analogno prethodnom objašnjenju zaključujemo
da se svi induktiviteti moraju smjestiti u spojnice.
c) Otpor. U konstitutivnoj relaciji otpora nema derivacija
varijabli, pa je svejedno smjeste li se otpori u stablo ili u
spojnice.
d) Nezavisni naponski izvor. U skladu s temeljnim
teoremom teorije grafova znamo da napon svake
spojnice određuju naponi svih grana stabla koje s tom
spojnicom čine petlju. Budući da je po definiciji napon
nezavisnog naponskog izvora zadan, to se on ne može
odrediti iz napona drugih grana koje čine stablo. Zbog
toga nezavisni naponski izvori moraju biti u stablu.
e) Nezavisni strujni izvor. Analogno prethodnom
objašnjenju, struju svake grane stabla određuju struje
svih spojnica koje s tom granom stabla čine rez.
Proizlazi da nezavisni strujni izvor ne može biti u stablu
budući da bi njegova struja, a koja je zadana, inače bila
određena strujama spojnica. Zbog toga nezavisni strujni
izvori moraju biti u spojnicama.
Na osnovi ove analize proizlaze pravila za izgradnju
prikladnog stabla u dobro definiranim linearnim vremenski
nepromjenljivim mrežama s jednoprilaznim elementima:
po jedan napon u kapacitivnoj petlji odnosno struja u
induktivnom rezu mogu izraziti kao linearna kombinacija
ostalih napona odnosno struja.
Napomena: Analogno definiciji induktivnog čvora u poglavlju 6
1. Svi kapaciteti i nezavisni naponski izvori moraju biti u
stablu.
2. Svi induktiviteti i nezavisni strujni izvori moraju biti u
spojnicama.
3. Za otpore je svejedno jesu li u stablu ili u spojnicama.
Sl. 18.2 Zadana shema spoja mreže.
Red složenosti mreže N jednak je broju varijabli stanja.
U dobro definiranim mrežama red složenosti mreže jednak
je broju reaktivnih elemenata.
Ako mreža nije dobro definirana, broj varijabli stanja
smanjuje se za po jednu varijablu za svaku kapacitivnu
petlju i za svaki induktivni rez. Ovo proizlazi iz činjenice
da zbog KZN-a u kapacitivnoj petlji svi naponi na
kapacitetima nisu međusobno nezavisni. Također zbog
KZS-a u induktivnom rezu sve struje induktiviteta nisu
međusobno nezavisne. Naime, u tim se slučajevima uvijek
L1
R1
L2
C2
L3
C1
L4
C4
C3
C5
R2
C6
Sl. 18.1 Mreža reda složenosti N=6.
U mreži sheme spoja prema slici 18.1 red složenosti mreže
je
N = 10 – (1+3) = 6
budući da u mreži postoji 10 reaktivnih elemenata, te jedna
kapacitivna petlja (C3, C4, C5, C6) i tri induktivna reza (L1,
L2, L3), (L1, L3, L4) i (L2, L4).
18.4 ODREĐIVANJE JEDNADŽBI STANJA S
POMOĆU PRIKLADNOG STABLA
Postupak određivanja jednadžbi stanja s pomoću
prikladnog stabla najzgodnije je objasniti na primjeru, slika
18.2.
1
R1
2
3
5
4
+
18.3 RED SLOŽENOSTI MREŽE
pod induktivnim rezom smatramo svaki rez u
kojem se nalaze samo induktiviteti i/ili nezavisni
strujni izvori.
ug1
ig
+
6
U promatranom primjeru nećemo sažimati grane nego
ćemo svakom elementu mreže pridijeliti granu. Stoga
zadana mreža ima n+1=6 čvorova i b=8 grana. Pri tome su
čvorovi 1 , 2 i 4 trivijalni čvorovi, tj. čvorovi na koje su
spojene samo po dvije grane.
Uvijek se crta samo jedan orijentirani graf. Kod
pridjeljivanje smjera grana, važno je sustavnosti zapisa
radi, da se držimo nekog dogovora. Kod pisanja jednadžbi
stanja uobičajen je dogovor o referentnim smjerovima
struje i napona koji vrijedi za tzv. opću granu mreže. Pod
općom granom mreže smatramo granu u kojoj se nalazi
nezavisni naponski izvor u seriju spojen s nekim pasivnim
elementom mreže α = R, L, C ili nekom kombinacijom
pasivnih elemenata mreže te nezavisni strujni izvor
paralelno spojen ovoj kombinaciji elemenata mreže, slika
18.3
80
18. Jednadžbe stanja
uk
ugk
di1
di
; u 2 = L2 2 ; i3 = −i g ; u 4 = R1i4
dt
dt
du
u5 = −u g 2 ; u6 = −u g1 ; i7 = C 7 ; u8 = R2 i8
dt
ik
u1 = L1
α
ik-igk
igk
Ako se sve varijable izraze s pomoću struja induktiviteta
i1 = iL1, i2 = iL2 te napona na kapacitetu u7 = uC, to iz
jednadžbe (5) dobivamo da je
Sl. 18.3 Shema spoja k-te opće grane mreže.
Opažamo da mogu nastupiti dva slučaja:
a) u k-toj grani je pasivni element ⇒ referentni smjerovi
napona i struje su pridruženi
b) u k-toj grani je aktivni element ⇒ referentni smjerovi
napona i struje nisu pridruženi.
Ovo znači da je zgodno uzeti orijentaciju grane s
nezavisnim naponskim izvorom usklađenu sa stvarnim
smjerom napona naponskog izvora a grane s nezavisnim
strujnim izvorom orijentaciju suprotnu od stvarnog smjera
struje strujnog izvora. Tada je za k-tu granu
u k = −u gk
L1
4
1
3
4
2
7
5
5
(8)
diL 2
− u g 2 + R2i8 − uC = 0
dt
(9)
Budući da je prema (6), i8 = i2 – i3 = iL2 + ig, to iz (9)
proizlazi da je
L2
2
diL1
+ uC − u g1 + R1i4 = 0
dt
odnosno iz jednadžbe (4) da je
L2
1
(7)
a iz jednadžbe (3) da je
ili ik = −i gk
U skladu s ovim dogovorom u grafu, slika 18.4,
pridruženom zadanoj shemi spoja mreže označeni su
unaprijed samo smjerovi grana 5 i 6 gdje se nalaze
nezavisni naponski izvori i grane 3 u kojoj se nalazi
nezavisni strujni izvor.
duc
= iL1 − iL 2
dt
C
diL 2
− u g 2 + R2iL 2 + R2ig − uC = 0
dt
(10)
Sređivanjem izraza (7), (8) i (10) dobivamo jednadžbe
stanja mreže u normalnom obliku:
8
6
3
6
Sl. 18.4 Orijentirani graf s prikladnim stablom T(4, 5, 6, 7, 8).
Napišu se jednadžbe KZN-a za temeljne petlje
(l = b – n = 8 – 5 = 3).
P1(1, 7, 6, 4)
u1+u7+u6+u4=0
(3)
P2(2, 5, 8, 7)
u2+u5+u8–u7=0
(4)
P3(3, 8)
u3–u8 =0
(11a)
diL1 1
1
= (− R1i L1 − uC ) + u g1
dt
L1
L1
(11b)
diL 2
1
1
=
(− R2iL 2 + uC ) +
(u g 2 − R2ig )
dt
L2
L2
(11c)
Time je postavljena zadaća riješena.
18.5 ODREĐIVANJE JEDNADŽBI STANJA S
POMOĆU NADOMJESNE OTPORNE MREŽE
te jednadžbe KZS-a za temeljne rezove (n = 5)
R1(4, 1)
i4–i1=0
R2(5, 2)
i5–i2=0
R3(6, 1)
i6–i1=0
R4(7, 1, 2)
i7+i2–i1=0
(5)
R5(8, 2, 3)
i8+i3–i2=0
(6)
dok su konstitutivne relacije grana dane izrazima
duC
1
= (i L1 − i L 2 )
dt
C
U prethodnom odsječku nezavisni su izvori shvaćeni kao
narinuti ulazi na pasivnu mrežu, što je fizikalno očigledno.
Moguć je i drugi pristup: privremeno se svi reaktivni
elementi shvate kao narinuti ulazi na preostali dio
analizirane mreže, i to tako da se
a) svaki induktivitet Lk zamijeni strujnim izvorom iLk(t), a
b) svaki kapacitet Ck zamijeni s naponskim izvorom
uCk(t).
Polazna mreža pretvorena je u otpornu mrežu. Kao
rješenje ove otporne mreže dobije se sustav jednadžbi u
nepoznatim varijablama uLk i iCk. Ako se u ovom sustavu
jednadžbi stavi da je
81
V. Jednadžbe mreže
u Lk = Lk
diLk
;
dt
iCk = Ck
duCk
dt
dobije se sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda u
kojem su sve varijable izražene s pomoću varijabli stanja.
Pokažimo ovaj postupak na primjeru mreže iz
prethodnog odsječka, slika 18.5.
dϕ1
1
= − R1 f1 (ϕ1 ) − q + u g1
dt
C
(13b)
dϕ 2
1
= − R2 f 2 (ϕ 2 ) + q + u g 2 − R2ig
dt
C
(13c)
Vidimo da je proširenje opisanog postupka na
nelinearne mreže, a isto bi vrijedilo i za vremenski
promjenljive mreže, izuzetno jednostavno. Postupak
proračuna je u svim slučajevima jednak i prepušta se
računalu.
18.7 MREŽE S VIŠEPRILAZNIM ELEMENTIMA
Sl. 18.5 Pretvorba zadane sheme spoja, slika 18.2, u nadomjesnu
otpornu mrežu.
Elementarnom analizom otporne mreže, prema slici
18.5, dobivamo da je
iC = iL1 − iL 2
(12a)
u L1 = − R1iL1 − uC + u g1
(12b)
Izgraditi prikladno stablo, ako u zadanoj mreži postoje
višeprilazni elementi, nije teško, ako se pravila postavljena
u odsječku 18.2 interpretiraju malo drugačije. U stablo se
postavljaju svi elementi mreže sa specificiranim naponom
(nezavisni naponski izvori, kapaciteti kao privremeni
naponski izvori – sjetimo se da se početni naboj na
kapacitetu shvaća kao nezavisni istosmjerni naponski
izvor), a u spojnice svi elementi mreže sa specificiranom
strujom.
1
(12c)
u L 2 = − R2 iL 2 + uC + u g 2 − R2 i g
a)
Budući da je
u L1 = L1
diL1
;
dt
u L 2 = L2
diL 2
;
dt
iC = C
u1
nu2
ni1
2
u2
2’
u1 = n u2 ; i2 = –n i1
1
18.6 NELINEARNE I VREMENSKI
PROMJENLJIVE MREŽE
b)
U nelinearnim i vremenski promjenljivim mrežama
umjesto napona na kapacitetima i struja induktiviteta kao
varijable stanja se upotrebljavaju naboji na kapacitetima i
tokovi induktiviteta.
Pretpostavimo da su u prethodnom primjeru, slika 18.2,
oba induktiviteta nelinearna, zadana karakteristikama
iL1 = f1 (ϕ1 ) ; iL 2 = f 2 (ϕ 2 )
u1
i1
i2
i2
n
ui 1
n u1
n
1’
2
u2
2’
i
u
i1 = − 2 ; u 2 = 1
n
n
Sl. 18.6 Dva prikaza idealnog transformatora
a) grana 1 pripada stablu a grana 2 spojnicama
b) grana 1 pripada spojnicama a grana 2 stablu.
Proizlazi da ako se u mreži nalazi
a) strujom upravljani naponski izvor (SU/NI): obje grane
u stablo, budući da su i upravljačka kao i upravljana
grana specificirane naponom, tj.
Budući da je
dϕ1
dϕ 2
; uL2 =
; q = Cu C
dt
dt
u1 = 0 ; u 2 = ri1
to se na osnovi sustava jednadžbi (11) mogu odmah
napisati jednadžbe stanja:
dq
= f1 (ϕ1 ) − f 2 (ϕ 2 )
dt
i2
1’
duC
dt
što uvršteno u sustav jednadžbi (12) daje isti sustav
jednadžbi kao i prethodno opisani postupak.
u L1 =
i1
b) strujom upravljani strujni izvor (SU/SI): upravljačka
grana u stablo, a upravljana grana u spojnice, budući da
je
(13a)
u1 = 0 ; i2 = α i1
82
18. Jednadžbe stanja
c) naponom upravljani strujni izvor (NU/SI): obje grane u
spojnice budući da vrijedi
i1 = 0 ; i2 = gu1
d) naponom upravljani naponski izvor (NU/NI):
upravljačka grana u spojnice, a upravljana grana u
stablo budući da vrijedi
i1 = 0 ; u 2 = Au1
e) Idealni transformator može se shvatiti kao da se sastoji
od dva zavisna izvora, slika 18.6. Jednu granu treba
staviti u stablo a drugu u spojnice.
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
83
XIX. PREDAVANJE
Svojstvo linearnosti. Svojstvo vremenske nepromjenljivosti. Izomorfnost odziva i poticaja. Dovoljnost analize
prisilnih odziva. Skokovni odziv. Pojam funkcije jediničnog skoka. Stepeničasti poticaj. Pojam funkcije skoka.
Prisilni odziv na stepeničasti poticaj. Aproksimacija funkcije poticaja zbrojem funkcija skoka. Razni oblici Du
Hamelovog integrala. Uzimanje u obzir diskontinuiteta u valnom obliku poticaja. Impulsni odziv. Definicija
jediničnog impulsa. Svojstvo uzorkovanja jediničnog impulsa. Impulsni odziv kao derivacija skokovnog odziva.
Dva oblika konvolucijskog integrala. Veza između opće analize linearnih vremenski nepromjenljivih mreža u
vremenskom i frekvencijskom području.
VI. LINEARNE VREMENSKI NEPROMJENLJIVE MREŽE
Svaka mreža u kojoj su svi pasivni elementi mreže linearni i vremenski nepromjenljivi naziva se linearnom vremenski
nepromjenljivom mrežom.
Svojstvo linearnosti nam kazuje da je ovisnost odziva o poticaju linearna. Primjerice, ako poticaj u1 (t ) uzrokuje odziv
i1 (t ) , a poticaj u 2 (t ) odziv i 2 (t ) , dakle ako
u1 (t ) ⇒ i1 (t )
;
u 2 (t ) ⇒ i2 (t )
tada vrijedi da
αu1 (t ) + βu 2 (t ) ⇒ αi1 (t ) + βi 2 (t )
gdje su α i β neke realne konstante.
Svojstvo vremenske nepromjenljivosti nam kazuje da valni oblik odziva ne ovisi o trenutku uključenja poticaja. Dakle,
ako
u (t ) ⇒ i (t )
onda vrijedi da
u (t − x) ⇒ i (t − x )
Na osnovi izloženih svojstava proizlazi da u svakoj linearnoj vremenski nepromjenljivoj mreži u ustaljenom stanju u
odzivu postoje samo one frekvencije koje postoje i u poticaju. Ova se činjenica često izriče i na ovaj način: U svakoj
linearnoj vremenski nepromjenljivoj mreži u ustaljenom stanju odziv i poticaj su izomorfni.
U poglavlju 7.2 uveden je pojam potpunog odziva i njegovih komponenata : slobodnog i prisilnog odziva. Naglašeno je
da je svaka od komponenata potpunog odziva linearna funkcija pripadnog poticaja. Također, u poglavlju 9.1 pokazano je
da se u nekim vrstama istosmjernih krugova prisilni odziv može interpretirati kao posebni slučaj slobodnog odziva.
Općenito to ne vrijedi. Štoviše upravo zaključak suprotan tome jest istinit. Naime, slobodni odziv se uvijek može
interpretirati kao posebni slučaj prisilnog odziva za neku linearnu mrežu na istosmjerne poticaje. Nenulti početni uvjeti
uvijek se mogu shvatiti kao naponski izvori u seriju s kapacitetima odnosno kao strujni izvori paralelno induktivitetima.
Zbog toga je pri analizi linearnih mreža dovoljno analizirati samo prisilne odzive, uključivši obavezno i istosmjerne
poticaje, na temelju čega možemo odrediti potpune odzive promatranih mreža.
19. SUPERPOZICIJSKI INTEGRALI
19.1 SKOKOVNI ODZIV
Skokovni odziv je prisilni odziv mreže na koju je narinut
poticaj u obliku funkcije jediničnog skoka.
19.1.1 Definicija funkcije jediničnog skoka
(O. Heaviside, 1887.)
 0

1
 1
S (t ) = 
t+
2
 2ε
 1
t ≤ −ε
−ε < t < ε
t ≥ε
a ε je po volji malen pozitivni broj.
Funkcija jediničnog skoka (step funkcija) obično se
označava sa S(t) i definira se kao
S (t )
S (t )
1
1
1
S (t ) = lim S (t )
ε →0
gdje je funkcija S (t ) dana izrazom
(1)
ε→0
2
0
ε
t
0
ε
Sl. 19.1 Uz definiciju jediničnog skoka.
t
84
19. Superpozicijski integrali
Jedinični skok često se i izravno definira kao funkcija
S (t ) =  0
 1
t ≤ −0
t ≥ +0
(2)
Jedinični skok pomaknut po vremenskoj osi, slika 19.2,
definira se kao funkcija
S (t − x) =  0
 1
t ≤ x−0
t ≥ x+0
(3)
Pritom pod funkcijom skoka αS (t ) smatramo funkciju
jediničnog skoka pomnoženu s nekim realnim brojem
α ≠1.
Analizirana mreža je linearna, dakle vrijedi svojstvo
homogenosti (odsječak 2.2.2). To znači da primjerice
vrijedi
AS (t ) ⇒ As (t )
Također, mreža je vremenski nepromjenljiva, tj. valni
oblik odziva ne ovisi o trenutku uključenja poticaja. Zbog
toga vrijedi primjerice da je
CS (t − t3 ) ⇒ Cs (t − t3 )
1
Osim svojstva homogenosti svaka linearna mreža iskazuje
i svojstvo aditivnosti tako da možemo odmah napisati izraz
za valni oblik odziva (struje) u našem primjeru. Proizlazi
0
x
t
Sl. 19.2 Vremenski pomak jediničnog skoka.
u (t ) ⇒ i (t ) = As (t ) − ( A − B) s (t − t1 ) − ( B + C ) s (t − t 2 ) +
+ Cs (t − t 3 )
19.1.2 Odziv na stepeničasti poticaj
Pod stepeničastim poticajem smatramo svaki poticaj koji
u određenim vremenskim intervalima zadržava stalne
vrijednosti. Vrijedi:
Ako znamo skokovni odziv s(t) neke mreže, onda znamo
prisilni odziv te mreže na bilo koji stepeničasti poticaj.
Pokažimo istinitost ove tvrdnje na primjeru prikazanom na
slici 19.3. Opažamo da se zadani stepeničasti poticaj može
prikazati kao zbroj funkcija skoka
u (t ) = AS (t ) − ( A − B) S (t − t1 ) − ( B + C ) S (t − t 2 ) +
+ CS (t − t 3 )
Uočimo da istinitost polazne tvrdnje o odzivu na
stepeničasti poticaj ovisi samo o istinitosti tvrdnje da se
svaka stepeničasta funkcija može shvatiti kao zbroj
funkcija skoka a to očigledno uvijek vrijedi.
Zaključujemo da ako znamo skokovni odziv s(t) neke
mreže onda stepeničasti poticaj zadan izrazom
n
u (t ) =
∑α S (t − t
k
k
)
k =0
uzrokuje odziv valnog oblika
n
i (t ) =
∑α s(t − t
k
k
)
k =0
u
gdje je n - broj intervala u koji je razdijeljena stepeničasta
funkcija poticaja.
A
B
t2
t1
19.1.3 Odziv na poticaj po volji (Du Hamel, 1833.)
t3
t
C
Ako znamo skokovni odziv s(t) neke mreže, onda znamo
prisilni odziv te mreže na bilo koji poticaj.
a)
Ova je tvrdnja istinita ako se pokaže da se valni oblik
bilo kojeg poticaja može prikazati kao zbroj funkcija
skoka. Pokažimo to na primjeru, slika 19.4. Na temelju
zadane funkcije u(t) tvorimo novu stepeničastu funkciju
u (t ) kojom aproksimiramo zadanu funkciju. U nekom
u
A
t1
C
t2
A–B
t3
t
B+C
b)
Sl. 19.3 a) Primjer stepeničastog poticaja.
b) Prikaz zadanog stepeničastog poticaja s pomoću
zbroja funkcija skoka.
trenutku t, slika 19.4, stepeničasta funkcija
definirana je izrazom
u (t ) = u (0) ⋅ S (t ) + [u (∆x) − u (0)] ⋅ Ş (t − ∆x) + ⋅ ⋅ ⋅ +
+ [u ( x + ∆x) − u ( x)] ⋅ S (t − x − ∆x) + ⋅ ⋅ ⋅ +
+ [u (t ) − u (t − ∆x)] ⋅ S (t − t )
u (t )
85
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
u
u
Ovaj se izraz naziva i Du Hamelov integral. Postoje još tri
oblika Du Hamelovog integrala. Tako primjerice
parcijalnom integracijom izraza (5) dobivamo
u
u
t
i (t ) = u (0) f (t ) + u ( x) f (t − x)
t
0
+
∫
0
u(0)
df (t − x)
u ( x)dx
dx
odnosno
∆x
∆x
x
t
t
t
i (t ) = f (0)u (t ) + ∫
Sl. 19.4 Tvorba stepeničaste funkcije u (t ) na temelju zadane
funkcije poticaja u (t ) .
t ≥ +0
(6)
Zamjenom varijabli t − x = x′ , te kasnijom ponovnom
zamjenom varijable x′ varijablom x , dobivamo iz (5) da
je
odnosno u kompaktnijem obliku
t − ∆x
∑ [u ( x + ∆x) − u ( x)]S (t − x − ∆x)
u (t ) = u (0) S (t ) +
0
df (t − x)
u ( x)dx ;
dx
x =0
t
Pretpostavimo sada da je poznat skokovni odziv
promatrane mreže, što znači da poticaj S(t) uzrokuje odziv
s(t). Ovo znači da zbog linearnosti i vremenske
nepromjenljivosti promatrane mreže poticaj u (t ) uzrokuje
i (t ) = u (0) f (t ) +
du (t − x)
f ( x)dx ;
dx
∫
0
t ≥ +0
(7)
odnosno iz (6)
odziv i (t ) , tj.
t
i (t ) = f (0)u (t ) + ∫
t − ∆x
i (t ) = u (0) s (t ) +
∑ [u ( x + ∆x) − u( x)]s(t − x − ∆x)
0
df ( x)
u (t − x)dx ;
dx
(8)
t ≥ +0
x =0
Ako se ovaj izraz napiše u obliku
t − ∆x
i (t ) = u (0) s (t ) +
∑
x =0
Napomene:
a) Ako je poticaj zadan s više analitičkih izraza u raznim
vremenskim intervalima za t ≥ +0 , pokazuje se da je
zgodnije koristiti izraze (5) i (6) u kojima se kao nezavisna
varijabla pojavljuje x a ne t - x.
b) Važno je uočiti da je x nezavisna varijabla , a t je
parametar.
u ( x + ∆x ) − u ( x )
⋅ s (t − x − ∆x) ⋅ ∆x
∆x
te pretpostavi da ∆t → 0 , vrijedit će
t − ∆x
u (t ) → u (t )
;
∑ ∫
x=0
Ako u poticaju postoje diskontinuiteti, to se mora
posebno uzeti u obzir pri proračunu. Tako primjerice za
poticaj u(t) prikazan na slici 19.5 vrijedit će sljedeći izraz
za valni oblik u intervalu t2 ≤ t ≤ ∞ :
t
→ ⋅ ⋅ ⋅ dx
;
0
u ( x + ∆x ) − u ( x )
du ( x)
→
∆x
dx
;
i (t ) → i (t )
t1
te dobivamo valni oblik odziva i(t) na poticaj u(t) po volji
i (t ) = u1 (0) f (t ) + ∫
0
t
i (t ) = u (0) s (t ) +
∫
0
du1 ( x)
f (t − x)dx − [u1 (t1 ) − u 2 (t1 )] f (t − t1 )
dx
t2
du ( x)
s (t − x)dx
dx
(4)
du 2 ( x)
f (t − x)dx − u 2 (t 2 ) f (t − t 2 ) ;
dx
t1
+∫
Skokovni odziv s(t) se obično piše kao
u
t ≥ t2
u1
s (t ) = f (t ) ⋅ S (t )
gdje je f(t) neprekinuta funkcija definirana na intervalu
−∞ < t < ∞ . U skladu s definicijom jediničnog skoka,
skokovni odziv je funkcija definirana od t ≥ +0 . Izraz (4)
prelazi u oblik
t
du ( x)
i (t ) = u (0) f (t ) +
f (t − x)dx ;
dx
0
∫
t ≥ +0
(5)
u1(t1)-u2(t1)
u1(0)
u2(t2)
0
t1
u2
t2
Sl. 19.5 Primjer poticaja s diskontinuitetima.
t
86
19. Superpozicijski integrali
19.2 IMPULSNI ODZIV
Impulsni odziv je prisilni odziv mreže na koju je narinut
poticaj u obliku jediničnog impulsa.
Uočimo da jedinični impuls ima dimenziju [s-1] za
razliku od funkcije jediničnog skoka koja je
bezdimenzionalna. Jedinični impuls može biti pomaknut
po vremenskoj osi, a također posjeduje i svojstvo
uzorkovanja, budući da vrijedi
19.2.1 Definicija jediničnog impulsa (P. A. Dirac)
∞
∫
Jedinični impuls ili Diracova funkcija obično se
označava sa δ (t ) i definira se kao
δ (t ) = 0
;
;
0
kako je to pokazano na slici 19.7.
∀t ≠ 0
(9)
ε
∫ δ (t )dt = 1
u(t ) = u( x )δ (t − x )dx
∀ε > 0
u(x)
−ε
u(t)
δ(t-x)
Uočimo da δ (t ) za t = 0, dakle vrijednost jediničnog
impulsa u ishodištu δ (0) , nije definirana. Jedinični impuls
nije funkcija u klasičnom smislu.
Funkcija jediničnog skoka S(t) jednaka je integralu
jediničnog impulsa, tj.
t
Sl 19.7
a)
x
t
b)
x
Uz objašnjenje: a) vremenskog pomaka i b) svojstva
uzorkovanja jediničnog impulsa.
t
S (t ) =
∫ δ ( x)dx
;
∀t osim za t = 0
19.2.2 Konvolucijski integrali
−∞
Po analogiji s izrazom (10), tj. da je jedinični impuls
derivacija funkcije jediničnog skoka vrijedi i da je
impulsni odziv, označimo ga sa h(t), derivacija skokovnog
odziva, tj.
Naime, za t < 0 je očigledno
t
∫ δ ( x)dx = 0
−∞
h (t ) =
budući da je δ (t ) =0 za svaki t < 0. Za t > 0 vrijedi da je
t
t
∫
δ ( x)dx = δ ( x)dx = 1
∫
−∞
budući da je prema (9), uzme li se t = ε > 0, vrijednost tog
integrala jednaka jedinici.
Vrijedi i obrat prethodne tvrdnje: jedinični impuls je
derivacija funkcije jediničnog skoka, tj.
dS
dt
(10)
što postaje očigledno ako se uvede funkcija S (t ) , dakle
ako je
dS
δ (t ) = lim
ε →0 dt
d
[ f (t ) ⋅ S (t )] = f (t ) dS + df S (t )
dt
dt dt
Jedinični impuls, kako je prije pokazano, slika 19.7,
“vadi” funkcijsku vrijednost od f(t) u trenutku u kojem on
djeluje. U konkretnom slučaju jedinični impuls djeluje u
trenutku t = 0 pa "vadi" funkcijsku vrijednost od f(t) za
t = 0. Zbog toga je
df
h(t ) = f (0) δ (t ) +
; t ≥ +0
(12)
dt
U izrazu (12) zamijenimo varijablu t sa x, tj.
δ(t)
dt
1
lim
ε
dS
⇒
t
Sl.19.6 Uz definiciju jediničnog impulsa.
df ( x)
dx
a svaku vrijednost poticaja u(t) u trenutku t možemo,
koristeći svojstvo uzorkovanja jediničnog impulsa napisati
kao
ε →0 dt
2ε
ε
h (t ) =
h( x) = f (0)δ ( x) +
dS
(11)
Proizlazi da je
−t
δ (t ) =
ds
dt
t
t
∫
u (t ) = u (t − x)δ ( x)dx
0
87
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
(Umjesto pomaka jediničnog impulsa za t kao što je
prikazano na slici 19.7b, pomakli smo za isti t funkciju
poticaja, što je očigledno jednakovrijedno).
Opažamo da se Du Hamelov integral oblika zadanog
izrazom (8) može napisati kao
Primjer:
Odredite valni oblik struje jednoprilaza za t ≥ t1 , ako je
zadan valni oblik napona narinutog na jednoprilaz, slika
19.8, a impulsni odziv jednoprilaza dan je izrazom
1
1 −
δ (t ) − e τ
R 
τ
t
t
t
h (t ) =
df ( x)
i (t ) = f (0) ⋅ u (t − x)δ ( x)dx +
u (t − x)dx =
dx
0
0
∫
∫



t
df ( x) 

= u (t − x)  f (0)δ ( x) +
 dx
dx


0
∫
gdje je τ - vremenska konstanta.
u
E
Ali, izraz u uglatoj zagradi je impulsni odziv te dobivamo
da je
0
t
∫
i(t ) = u (t − x ) h( x ) dx
(13)
Rješenje:
Iskoristimo integral konvolucije dan izrazom (14).
Proizlazi da za t ≥ t1 vrijedi
odnosno zamjenom varijabli
t
∫
t
Sl. 19.8 Zadani valni oblik napona poticaja.
0
i(t ) = u ( x)h(t − x)dx
t1
(14)
0
Integrali (13) i (14) zovu se konvolucijski integrali.
Zaključujemo:
Ako znamo impulsni odziv h(t) neke mreže onda
rješenjem konvolucijskog integrala dobivamo prisilni
odziv te mreže na poticaj po volji u(t).
Napomene :
a) U stvarnim mrežama obično je lako snimiti odziv na
istosmjerni poticaj i iz toga odrediti skokovni odziv, tako da
se u praksi češće koriste Du Hamelovi integrali od
konvolucijskih integrala.
b) Impulsni odziv je teorijski izuzetno važan jer se
konvolucijskim integralom postiže veza između opće analize
linearnih vremenski nepromjenljivih mreža u vremenskom
području s općom analizom tih istih mreža u frekvencijskom
području.
t1
i (t ) =
1
E 1
1 −
 ∫ δ (t − x)dx − ∫ e
R  0
0τ
t
∫ u( x)h(t − x)dx =
0
t
t −x
τ

dx 

Uočimo da je gornja granica integrala t1 , jer nas interesira
vrijeme od
t ≥ t1 kad je poticaj jednak nuli. Također,
budući da jedinični impuls δ (t − x) u promatranom
primjeru “vadi” svaku funkcijsku vrijednost poticaja iz
t ≥ t1 , to je prvi integral u uglatoj zagradi identički jednak
nuli, jer je u promatranom intervalu
Dakle
t
i (t ) = −
E 11 −
e
R ∫0 τ
t−x
τ
1  −
E 
1− e τ ⋅e τ

R


t
dx =
t ≥ t1 ,
u (t ) ≡ 0 !
t
; t ≥ t1
čime je zadatak riješen. Da smo tražili odziv u intervalu
0 ≤ t ≤ t1 konvolucijski integral bi se računao prema izrazu
t
i (t ) = ∫ u( x )h(t − x )dx.
0
20. Osnovna svojstva Laplaceove transformacije
88
XX. PREDAVANJE
Definicija jednostrane Laplaceove transformacije. Pojam kompleksne frekvencije. Izbor donje i gornje granice
definicijskog integrala. Osnovna svojstva Laplaceove transformacije. Primjer rješavanja diferencijalne jednadžbe
prvog reda. Rastav odziva na slobodni odziv i prisilni odziv. Izbor t = – 0 kao donje granice definicijskog integrala.
Nužnost izbora t = – 0 za slučaj loše definirane mreže. Pojam racionalne funkcije. Faktorizirani oblik racionalne
funkcije. Polovi i nule. Rastav prikladne racionalne funkcije na parcijalne razlomke. Određivanje reziduuma pola :
korijeni polinoma Q(s) su jednostruki, korijeni polinoma Q(s) su višestruki. Primjeri rastava. Veza između
Laplaceove transformacije i fazorske transformacije.
20. OSNOVNA SVOJSTVA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE
20.1 DEFINICIJA JEDNOSTRANE LAPLACEOVE
TRANSFORMACIJE (P.S.Laplace, 1779.)
Jednostrana Laplaceova transformacija omogućuje da se
integro-diferencijalne jednadžbe mreže pretvore u
algebarske jednadžbe, dopušta u analizi razne vrste
poticaja i omogućuje dobivanje potpunog odziva.
Pod jednostranom Laplaceovom transformacijom (ℒ transformacijom) smatramo operator kojim se neka
funkcija f(t), definirana u vremenskom području,
transformira u funkciju F(s) kompleksne varijable
s = σ + jω prema formuli
Izborom t = – 0 obuhvaćeni su “prirodni” početni
uvjeti mreže. Da je kao donja granica uzeto t = + 0,
moralo bi se voditi računa o zakonima komutacije
(poglavlje 6).
b) Gornja granica integrala je t = ∞ . Integral (1) za
t = ∞ mora konvergirati. Za funkcije f(t) koje su bitne
u elektrotehnici, taj uvjet je uvijek zadovoljen. To su
tzv. funkcije eksponencijalnog reda, tj. to su one
funkcije za koje se uvijek može naći realna konstanta
a takva da je
lim f (t )e − at = 0
t →∞
Tako je primjerice funkcija e kt eksponencijalnog
∞
F ( s ) = ℒ [ f (t )] =
∫
f (t )e − st dt
reda, dok funkcija f (t ) = e
(1)
t2
to nije !
−0
20.2 OSNOVNA SVOJSTVA LAPLACEOVE
TRANSFORMACIJE
Dimenzija kompleksne varijable s je [sek-1] pa se ona
često naziva i kompleksna frekvencija. Primjenom
Laplaceove transformacije zadaća analize u vremenskom
području prevodi se u zadaću analize u frekvencijskom
području.
a) Donja granica integrala je t = – 0. Sve što je za analizu
važno počinje s tim trenutkom. Oblik funkcije f(t) u
intervalu −∞ < t ≤ −0 nije važan. Tako je primjerice
Laplaceova transformacija triju funkcija na slici 20.1
jednaka.
f2(t)=e–kt ⋅ S(t)
f1(t)=e–kt
1
1
0
t
0
Navest će se samo ona svojstva Laplaceove
transformacije koja su bitna za analizu linearnih vremenski
nepromjenljivih mreža, i to bez dokaza.
a) Jednoznačnost. Ovo znači da ako se za neku zadanu
funkciju kompleksne varijable s, recimo F(s), zna da
je Laplaceova transformacija neke vremenske
funkcije, recimo f(t), i ako neka druga vremenska
funkcija g(t) ima također funkciju F(s) kao svoju
Laplaceovu transformaciju, onda je razlika između
funkcija f(t) i g(t) trivijalna.
Isključivši trivijalne slučajeve, jednoznačnost jamči
da je neka vremenska funkcija jednoznačno
specificirana svojom Laplaceovom transformacijom.
Ako je
F(s)=ℒ [f (t)]
t
onda je i f(t)=ℒ -1[F(s)], tj. funkcija f(t) jest inverzna
Laplaceova transformacija od F(s).
f3(t)=e–k|t|
1
b) Linearnost
ℒ [af1(t)+bf2(t)]=aℒ [f1(t)]+bℒ [f2(t)] ; a i b su konstante
0
t
Sl. 20.1 Tri različite vremenske funkcije s istom Laplaceovom
transformacijom.
c)
Deriviranje
 dn

n
n −1
n−2
ℒ  n f (t ) = s F ( s) − s f (−0) − s f ′(−0)
dt


− ... f (n−1) (−0)
(2)
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
89
d) Integriranje
t
 1
ℒ  f ( x )dx  = F ( s )
 −0
 s
∫
e)
(3)
∞
+0
∞
− st
−0
−0
+0
−s
e
− st
− st
− st
ℒ [S (t )] = ∫ S (t )e dt = ∫ S (t )e dt + ∫1 ⋅ e dt = 0 +
Vremenski pomak
ℒ [ f (t − a) ⋅ S (t − a )] = e F ( s)
− as
f)
dok je na desnoj strani funkcija jediničnog skoka,
Laplaceovu transformaciju koje određujemo prema izrazu
(1), tj.
(4)
ℒ [e
ℒ [S (t )] =
]
f (t ) = F ( s + a )
(5)
g) Periodička funkcija
ℒ [ f (t ) = f ( t + T )]=
F1 ( s )
1− e − sT
;
(6)
T
F1 ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
+0
te dobivamo da je
Frekvencijski pomak
− at
∞
1
s
(12)
Zadana diferencijalna jednadžba transformirana je u
algebarsku
4
( s + 2) X ( s ) − 4 =
s
odnosno
4
4
X (s) =
+
s ( s + 2) s + 2
−0
h) Promjena vremenskog i frekvencijskog mjerila
(skaliranje)
ℒ [ f (at )] =
i)
1 s
F 
a a
(7)
X (s) =
Množenje sa t
ℒ [tf (t )] = −
j)
; a>0
dF ( s )
ds
(8)
4
4
2
2
4
+
= −
+
s ( s + 2) s + 2 s s + 2 s + 2
što se koristeći (5) lako vraća u vremensko područje, tj.
ℒ −1 [X ( s)] = x(t ) = 2 ⋅ S (t ) − 2e −2t S (t ) + 4e −2t S (t )
Konvolucija
ℒ [ f1 (t ) * f 2 (t )] = F1 ( s) ⋅ F2 ( s )
t
f 1 ( t )* f 2 ( t ) =
Opažamo da se odziv X(s) u frekvencijskom području
sastoji od dvije komponente i to jedne 4/[s(s+2)] nastale
zbog djelovanja poticaja (prisilni odziv) i druge 4/(s+2)
nastale zbog djelovanja početnog uvjeta (slobodni odziv).
Vrijedi
(9)
odnosno
x(t ) = 2(1 + e −2t ) S (t )
t
∫ f1 ( x) f 2 (t − x)dx = ∫ f1 (t − x) f 2 ( x)dx
−0
20.3 IZBOR t = – 0 KAO DONJE GRANICE
DEFINICIJSKOG INTEGRALA
−0
k) Početna vrijednost
f (+0) = lim sF ( s )
(10)
s →∞
l)
Konačna vrijednost
f (∞) = lim sF ( s )
(11)
s→0
Pokažimo na jednom jednostavnom primjeru kako izbor
donje granice definicijskog integrala Laplaceove
transformacije utječe na analizu.
Neka je zadana mreža sheme spoja prema slici 20.2. U
trenutku t = 0 trenutno isklopi sklopka S. Odredite valni
oblik struje i 2 (t ) za t ≥ +0 , ako je do trenutka t = 0 u
krugu vladalo ustaljeno stanje.
S
R1
i1
i2
L1
L2
Primjer :
Riješite diferencijalnu jednadžbu
dx
+ 2 x = 4S (t )
dt
x(−0) = 4 .
Rješenje:
Ako označimo da je ℒ [x(t )] = X ( s ) , to će u skladu sa
(2) lijeva strana diferencijalne jednadžbe biti jednaka
sX ( s ) − x(−0) + 2 X ( s )
tj. (s + 2) X ( s ) − 4
t=0
;
E
Sl. 20.2 Zadana shema spoja.
R2
20. Osnovna svojstva Laplaceove transformacije
90
i 2 ( t ) = i 2 ( +0) e
Jednadžbe mreže su
di
di
E = R1i1 + uS + L1 1 + M 2
dt
dt
di2
di1
0 = R2i2 + L2
+M
dt
dt
(13a)
(13b)
−
t
τ
; t ≥ +0
što znači da postavljenu zadaću još nismo riješili
budući da ne znamo i2 (+0) ! Zadana mreža je loše
definirana i za određivanje i2 (+0) valja primijeniti
zakone komutacije izložene u poglavlju 6.4.
a početni uvjeti su
i1 (−0) =
E
R1
;
i2 (−0) = 0
Budući da sklopka S trenutno isklopi u trenutku t = 0,
očigledno je
i1 (t ) ≡ 0 ; t ≥ +0
a) Donja granica definicijskog integrala t = – 0.
Označimo da je ℒ [i1 (t )] = I1 ( s ) , ℒ [i2 (t )] = I 2 ( s ) , te
uzevši u obzir (2), diferencijalna jednadžba (13b)
prelazi u algebarsku
0 = R2 I 2 ( s ) + sL2 I 2 ( s ) − L2 i2 (−0) + sMI1 ( s ) − Mi1 (−0)
Zbog i1 (t ) ≡ 0 za t ≥ +0 bit će i
I1 ( s ) ≡ 0 , te uz
i2 (−0) = 0 proizlazi da je
0 = R2 I 2 ( s ) + sL2 I 2 ( s ) − Mi1 (−0)
Zaključak :
Ako je analizirana mreža loše definirana samo
izbor t = – 0 kao donje granice definicijskog integrala
omogućava da dobijemo rješenje. Ako je mreža dobro
definirana, te ne postoji diskontinuitet početnih uvjeta,
svejedno je je li kao donja granica definicijskog integrala
odabrano t = – 0 ili t = + 0.
20.4 RASTAV RACIONALNE FUNKCIJE NA
PARCIJALNE RAZLOMKE (O.Heaviside, 1893.)
U frekvencijskom području rješenje mreže često se
dobiva u obliku racionalne funkcije
F (s) =
P( s ) b0 s m + b1 s m−1 + .... + bm−1s + bm
=
Q( s ) a0 s n + a1 s n−1 + .... + an−1 s + an
gdje su P(s) i Q(s) polinomi varijable s, a koeficijenti
a0 , a1 , ..., an te b0 , b1 , ..., bm su realni brojevi. Racionalna
funkcija F(s) se uvijek može prikazati u faktoriziranom
obliku
odnosno
Mi (−0)
I 2 (s) = 1
⋅
L2
1
s+
L
; τ= 2
R2
1
τ
( s − z1 ) ( s − z 2 )....(s − z m )
( s − p1 ) ( s − p2 )....(s − pn )
(14)
gdje se svi korijeni polinoma brojnika zi (i=1, 2, …, m)
nazivaju nulama racionalne funkcije F(s), a svi korijeni
polinoma nazivnika
p j (j=1, 2, …, n) polovima
odakle se lako dobiva rješenje
t
i2 (t ) =
F (s) = K ⋅
t
Mi1 (−0) − τ M E −τ
⋅e =
⋅ ⋅e
; t ≥ +0
L2
L2 R1
b) Donja granica definicijskog integrala t = +0
Sada vrijedi da je
0 = R2 I 2 ( s ) + sL2 I 2 ( s ) − L2 i2 (+0) + sMI1 ( s) − Mi1 (+0)
odnosno uzevši u obzir da je I1 ( s ) ≡ 0 i i1 (+0) = 0
0 = R2 I 2 ( s ) + sL2 I 2 ( s ) − L2i2 (+0)
racionalne funkcije F(s). Polovi su jednostruki ako su svi
međusobno različiti. J-ti pol je reda r ako se r-puta
pojavljuje u faktoriziranom obliku polinoma Q(s), tj. kao
(s − p j ) r .
Racionalna funkcija je prikladna ako je m ≤ n . Ako to
nije slučaj, dijeljenjem brojnika s nazivnikom dobiva se
F (s) =
P( s)
R( s )
= P (s) +
Q( s )
Q( s )
gdje je ostatkom dijeljenja sigurno dobivena racionalna
funkcija R(s) / Q(s). U nastavku smatrat ćemo da je svaka
promatrana racionalna funkcija F(s) prikladna.
tj.
20.4.1 Korijeni polinoma Q(s) su jednostruki
I 2 ( s ) = i2 (+0)
1
s+
1
τ
Vraćanjem u vremensko područje dobivamo da je
U ovom su slučaju polovi racionalne funkcije F(s) svi
međusobno različiti te vrijedi da je
F (s) =
n
Kj
P( s)
=∑
Q( s ) j =1 s − p j
(15)
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
gdje se K j naziva reziduumom pola
p j i određuje iz
izraza
91
Ako se u ovaj izraz stavi da je s = s j , nestaju svi članovi
osim K jr . U idućem koraku derivira se izraz (18) po s.
Član K jr nestaje, a član K jr −1 se može odrediti ako se u
K j = (s − p j ) F (s)
(16)
s= p j
derivirani izraz stavi da je s = s j . Da bi se odredio n-ti
član, dakle K jn , treba izraz (18) derivirati (r-n)-puta i
( s − p j ) , to se
Zaista, ako se izraz (15) pomnoži sa
staviti da je s = s j . Dakle :
dobiva da je
K jn =
n
Ki
( s − p j ) F ( s) = K j + ( s − p j )∑
i =1 s − pi
; i≠ j
=
odakle očigledno proizlazi (16), ako se stavi da je s = p j !
Primjer :
Rastavite na parcijalne razlomke racionalnu funkciju
1
d r − n R(s)
(r − n) ! ds r − n
1
d r −n
(r − n) ! ds r − n
F (s) =
Rješenje:
Zadana racionalna funkcija napiše se u obliku
F (s) =
 P(s)

(s − s j ) r 

 Q(s)
 s=s j
Primjer:
Rastavite na parcijalne razlomke racionalnu funkciju
2s + 3
( s + 1) ( s + 2)
F (s) =
=
s=s j
2s 2 + 3
( s + 1) 3
Rješenje:
Rješenje se traži u obliku
K1
K
+ 2
s +1 s + 2
F (s) =
a u skladu sa (16) dobivamo da je
K13
K11
K12
+
+
2
s + 1 ( s + 1)
( s + 1) 3
K1 = ( s + 1) ⋅
2s + 3
2s + 3
−2+3
=
=
=1
( s + 1) ( s + 2)
s + 2 s = −1 − 1 + 2
Množenjem ovog izraza sa (s + 1) dobivamo da je
K 2 = (s + 2) ⋅
2s + 3
2s + 3
−4+3
=
=
=1
( s + 1) ( s + 2) ( s + 1) s =−2 − 2 + 1
R(s ) = 2s 2 + 3 = K11 (s + 1) + K12 (s + 1) + K13
3
2
odakle odmah proizlazi
što znači da je
K13 = (2s 2 + 3)
2s + 3
1
1
F (s) =
=
+
( s + 1) ( s + 2) s + 1 s + 2
=5
U idućem koraku derivira se R(s) te dobivamo
4s = K11 ⋅ 2( s + 1) + K12
20.4.2 Korijeni polinoma Q(s) su višestruki
Pretpostavimo da je korijen polinoma Q(s) r-struk, dakle
da je
P( s)
R( s )
F (s ) =
=
=
Q( s ) ( s − s j ) r
s = −1
odnosno za s = –1 da je
K12 = 4(−1) = −4
r
K ji
∑ (s − s )
i
(17)
j
i =1
Ponovnim deriviranjem dobivamo
gdje je
4 = 2 K11
R( s) =
P( s )
⋅ (s − s j ) r
Q( s )
odnosno da je
K11 = 2 , te je konačni rezultat
Ako se izraz (17) pomnoži sa ( s − s j ) r , to dobivamo da je
R ( s ) = K j1 ( s − s j )
r −1
+ K j 2 (s − s j )
r−2
+ ... + K jr
(18)
F (s) =
2s 2 + 3
2
4
5
=
−
+
3
2
s + 1 ( s + 1)
( s + 1)
( s + 1) 3
(19)
20. Osnovna svojstva Laplaceove transformacije
92
Primjer :
Rastavite na parcijalne razlomke racionalnu funkciju
F (s) =
d 2uC
du
+ 2α C + ω 02 uC = ω 02u (t )
dt
dt 2
s+2
( s + 1) 2 ⋅ ( s + 3)
Rješenje:
U ovom slučaju valja kombinirati pravila za određivanje
koeficijenata rastava danih izrazima (16) i (19). Proizlazi
K
K12
K
F ( s ) = 11 +
+ 2
2
s + 1 ( s + 1)
s+3
s+2
s+2
⋅ ( s + 3) =
2
( s + 1) ( s + 3)
( s + 1) 2
=−
s = −3
[(ω
1
4
]
− ω 2 ) + j 2αω U& C = ω 02U&
uC (−0) = 0 ;
Ako se izraz za F(s) pomnoži sa ( s + 1) 2 , dobivamo da je
s+2
( s + 1) 2
= K11 ( s + 1) + K12 +
K2
s+3
s+3
2
0
(21)
uz pretpostavku da je poticaj u(t) jednoharmonijski
frekvencije ω .
b) Laplaceova transformacija. Pretpostavimo da je
ℒ [uC (t )] = U C ( s) , ℒ [u (t )] = U ( s) . S pomoću pravila
Laplaceove transformacije (odsječak 20.2), uzimajući
u obzir da su svi početni uvjeti jednaki nuli, tj.
U skladu s izrazom (16) bit će
K2 =
a) Fazorska transformacija. Pretpostavimo da je
uC (t ) ↔ U& C , u (t ) ↔ U& . S pomoću pravila fazorske
transformacije (odsječak 10.3) zadana diferencijalna
jednadžba prelazi u algebarsku jednadžbu
(20)
duC
dt
= u&C (−0) = 0
−0
zadana diferencijalna jednadžba prelazi u algebarsku
jednadžbu
[s
Stavi li se u jednadžbu (20) da je s = – 1, proizlazi da je
1
K12 = , dok se koeficijent K11 dobiva tako da se
2
jednadžba (20) prvo derivira, dakle
2
]
+ 2αs + ω 02 U C ( s ) = ω 02U ( s )
(22)
Opažamo da su jednadžbe (21) i (22) potpuno istog oblika
ako se stavi da je s = jω .
Obje jednadžbe, unatoč istom obliku, imaju posve
( s + 3) ⋅ 1 − ( s + 2) ⋅ 1
( s + 3) ⋅ 2 ⋅ ( s + 1) − ( s + 1) 2 ⋅ 1 različita značenja. Fazorska jednadžba (21) povezuje
= K11 + K 2
dva fazora U& C i U& u mreži u kojoj je uspostavljeno
( s + 3) 2
( s + 3) 2
sinusoidalno ustaljeno stanje. S druge strane, jednadžba
(22) određuje u frekvencijskom području prisilni odziv iste
mreže
na bilo koji poticaj. (Jedino je ograničenje da postoji
–
i onda u taj izraz uvrsti da je s = 1. Dobivamo da je
Laplaceova
transformacija poticaja !).
1
K11 = , odnosno
Pretpostavimo li da početni uvjeti nisu jednaki nuli
4
primjenom Laplaceove transformacije na zadanu
diferencijalnu jednadžbu dobili bi algebarsku jednadžbu
s+2
1
1
1
F (s) =
=
+
−
( s + 1) 2 ( s + 3) 4( s + 1) 2( s + 1) 2 4( s + 3)
s 2U C ( s ) − su C (−0) − u&C (−0) + 2α [sU C ( s ) − uC (−0)] +
+ ω 02U C ( s ) = ω 02U ( s )
20.5 VEZA IZMEĐU LAPLACEOVE
TRANSFORMACIJE I FAZORSKE
TRANSFORMACIJE
Ako su svi početni uvjeti u trenutku t = – 0 jednaki nuli,
pravila Laplaceove transformacije identična su pravilima
fazorske transformacije s tim da se varijabla s zamijeni sa
jω .
Pokažimo to na primjeru serijskog RLC kruga, opisanog
diferencijalnom jednadžbom
odnosno u odzivu bi postojale dvije komponente
U C (s) =
( s + 2α )uC (−0) + u&C (−0)
ω 02
U (s) −
2
2
s + 2αs + ω 0
s 2 + 2αs + ω 02
14442444
3
14444244443
prisilni odziv
slobodni odziv
i formalna sličnost između dviju transformacija se gubi.
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
93
XXI. PREDAVANJE
Kirchhoffovi zakoni za transformirane napone i struje. Konstitutivne relacije elemenata mreže u frekvencijskom
području: otpor, kapacitet, induktivitet, dvonamotni transformator. Pojam transformirane impedancije i
admitancije. Dva načina prikaza reaktivnih elemenata. Nadomjesne sheme spoja reaktivnih elemenata. Serijsko i
paralelno spajanje elemenata mreže. Interpretacija početnih uvjeta u transformiranoj mreži. Usklađivanje
nadomjesnih shema spoja reaktivnih elemenata s odabranom metodom analize. Nužnost poznavanja zakona
komutacije pri analizi loše definiranih mreža.
21. ANALIZA MREŽA S POMOĆU LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE
21.1 KIRCHHOFFOVI ZAKONI
21.2 KONSTITUTIVNE RELACIJE ELEMENATA
MREŽE U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU
Napon uk(t) i struja ik(t) k-te grane neke mreže mogu se s
pomoću Laplaceove transformacije, izraz (20.1),
transformirati u funkcije kompleksne varijable s,
Uk(s)=ℒ [uk(t)]
;
Ik(s)=ℒ [ik(t)].
koje se uobičajeno zovu transformiranim naponom i
transformiranom strujom k-te grane neke transformirane
mreže.
Budući da je Laplaceova transformacija linearna
transformacija, to za transformirane napone i struje vrijede
Kirchhoffovi zakoni.
a) Za j-tu petlju transformirane mreže vrijedi
Kirchhoffov zakon napona, tj.
b
∑b
jk
U k (s) = 0
(1)
j =1
gdje je b – ukupni broj grana transformirane mreže,
Uk(s) transformirani napon k-te grane a bjk je
koeficijent s istim vrijednostima kao u izrazu (1.5).
b) Kirchhoffov zakon struje se obično iskazuje u jednom
od tri oblika: za j-tu napravu, izraz (1.3); za j-ti čvor,
izraz (1.4); za j-ti rez, izraz (17.1). Jasno je da svaki od
ovih oblika ostaje očuvan nakon linearne
transformacije tako da iskaz Kirchhoffovog zakona
struje, recimo za j-ti čvor glasi
b
∑a
I (s) = 0
jk k
(2)
j =1
gdje je ajk koeficijent s istim vrijednostima kao u
izrazu (1.4), a Ik(s) je transformirana struja k-te grane.
Napomena: Kao što ni fazori napona i struje nemaju nikakav
fizikalni smisao tako ni transformirani naponi i struje
nisu naponi niti struje. Dimenzija transformiranog
napona Uk(s) je Vs, dakle posjeduje dimenziju
fizikalne veličine toka, a dimenzija transformirane
struje Ik(s) je As, dakle posjeduje dimenziju fizikalne
veličine naboja.
21.2.1 Otpor
Linearni vremenski nepromjenljivi (L/VNP) otpor
definiran u vremenskom području konstitutivnom
relacijom uR(t) = RiR(t) bit će u frekvencijskom području
definiran relacijom
(3)
U R ( s ) = RI R ( s )
Matematički izraz (3) ima isti oblik kao i Ohmov zakon za
"napon" UR(s) na "otporu" R kroz koji prolazi "struja"
IR(s).
U transformiranoj mreži, dakle u frekvencijskom
području, otpor se može prikazati na isti način, dakle istim
simbolom, kao i u vremenskom području. Pri tome se
kvocijent od UR(s) i IR(s) naziva transformiranom
impedancijom otpora
U R (s)
= R = Z R ( s)
(4a)
I R (s)
a njegova recipročna vrijednost transformiranom
admitancijom otpora
I R (s)
= G = YR ( s )
(4b)
U R ( s)
21.2.2 Kapacitet
Ako se struja iC(t) shvati kao poticaj a napon na
kapacitetu uC(t) kao odziv, linearni vremenski
nepromjenljivi kapacitet
je definiran sljedećom
konstitutivnom relacijom u vremenskom području
t
u C (t ) =
∫
t
∫
iC ( x)dx = uC (−0) + iC ( x )dx
−∞
−0
Primjenom pravila o integriranju, izraz (20.3), ova relacija
prelazi u frekvencijskom području u oblik
U C ( s) =
u (−0)
1
I C (s) + C
sC
s
(5a)
Matematički izraz (5a) ima isti oblik kao i Ohmov zakon
za "napon" UC(s) na "otporu" 1/sC kroz koji prolazi
94
21. Analiza nreža s pomoću Laplaceove transformacije
"struja" IC(s) i u seriju s kojim je uključen "naponski izvor"
uC(–0)/s, slika 21.1.b. Ovaj "otpor" se naziva
transformiranom impedancijom kapaciteta
U C (s)
1
=
= Z C (s)
I C ( s ) sC
Ako se u jednadžbi (5a) transformirana struja IC(s) izrazi s
pomoću transformiranog napona UC(s), tj. ako je
(5b)
I C ( s ) = sCU C ( s ) − Cu C ( −0)
I L (s) =
i ( −0)
1
U L (s) + L
sL
s
onda je moguć još jedan prikaz induktiviteta i to s pomoću
transformirane admitancije induktiviteta
I L (s) 1
= = YL ( s )
U L ( s ) sL
kako je prikazano na slici 21.2c
onda je moguć još jedan prikaz kapaciteta i to s pomoću
transformirane admitancije kapaciteta
iL(t)
IL(s)
sL=ZL(s)
I C ( s)
= sC = YC ( s )
U C (s)
kako je prikazano na slici 21.1c.
uL(t)
iL(– 0) UL(s)
LiL(– 0)
a)
iC
b)
IL(s)
IC(s)
1
= Z C ( s)
sC
uC(– 0)
uC(t)
UC(s)
UL(s)
CuC(–0)
1
s
sL
Sl. 21.2 Prikaz induktiviteta
a) u vremenskom području,
b) u frekvencijskom području transformiranom
impedancijom ZL(s),
c) u frekvencijskom području transformiranom
admitancijom YL(s).
sC=YC(s)
c)
21.2.4 Dvonamotni transformator
Linearni
vremenski
nepromjenljivi
dvonamotni
transformator definiran je ovim konstitutivnim relacijama
di
di
u1 = L1 1 + M 2
dt
dt
di1
di
u2 = M
+ L2 2
dt
dt
koje u frekvencijskom području prelaze u jednadžbe
Sl. 21.1 Prikaz kapaciteta
a) u vremenskom području,
b) u frekvencijskom području transformiranom
impedancijom ZC(s),
c) u frekvencijskom području transformiranom
admitancijom YC(s).
21.2.3 Induktivitet
Ako se struja iL(t) shvati kao poticaj, a napon na
induktivitetu uL(t) kao odziv, linearni vremenski
nepromjenljivi induktivitet je definiran sljedećom
konstitutivnom relacijom u vremenskom području
di
uL = L L
dt
Primjenom pravila o deriviranju, izraz (20.2), ova relacija
u frekvencijskom području prelazi u oblik
U L ( s ) = sLI L ( s ) − Li L ( −0)
=YL(s)
c)
IC(s)
UC(s)
i L (−0)
uC (−0)
s
b)
a)
(6b)
U 1 ( s ) = sL1 I1 ( s ) − L1i1 (−0) + sMI 2 ( s ) − Mi2 (−0)
U 2 ( s ) = sMI1 ( s ) − Mi1 (−0) + sL2 I 2 ( s ) − L2 i2 (−0)
Na slici 21.3 dan je uobičajeni način prikaza linearnog
vremenski nepromjenljivog dvonamotnog transformatora u
frekvencijskom području. Pri tome su "naponski izvori"
U1'(s) i U2'(s) dani izrazima
i1(t)
(6a)
I1(s)
i2(t)
u2(t)
U1(s)
U'1(s)
gdje se kvocijent
u1(t)
U L (s)
= Z L ( s ) = sL
I L (s)
naziva transformiranom impedancijom induktiviteta.
Ako se u jednadžbi (6a) transformirana struja IL(s) izrazi
s pomoću transformiranog napona UL(s), tj. ako je
a)
b)
Sl. 21.3 Prikaz dvonamotnog transformatora
a) u vremenskom području
b) u frekvencijskom području.
L1
L2
sL1
U'2(s)
sL2
I2(s)
U2(s)
95
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
U1' (s) = L1i1(–0)+Mi2(–0)
U2' (s) = L2i2(–0)+Mi1(–0)
Z (s) = 1 +
1
2(2s + 1)
2 s 2 + 5s + 4
= 1+ 2
=
Y1 ( s )
2 s + s + 2 2s 2 + s + 2
te konstitutivne relacije dvonamotnog transformatora u
frekvencijskom području glase:
21.4
U 1 ( s ) +U 1' ( s ) = sL1 I1 ( s ) + sMI 2 ( s )
U 2 ( s ) +U 2' ( s ) = sMI 1 ( s ) + sL2 I 2 ( s )
(7)
Napomena: U analizi linearnih vremenski nepromjenljivih mreža,
pojmovi naboja i toka nisu potrebni. Zbog toga ni
konstitutivne relacije reaktivnih elemenata u
frekvencijskom području nisu iskazane s pomoću
transformiranih naboja i tokova.
21.3
SERIJSKO I PARALELNO
ELEMENATA MREŽE
SPAJANJE
Svaki reaktivni element mreže u frekvencijskom
području ponaša se kao otpor, tj. za njega vrijedi "Ohmov
zakon", ali uz uvjet da je mreža "mrtva", tj. da su svi
početni uvjeti (struje kroz induktivitete, naponi na
kapacitetima) jednaki nuli.
Zbog toga za impedanciju serijskog spoja N elemenata
mreže Z(s) vrijedi da je
N
Z (s) =
∑ Z (s)
(8)
j
TRANSFORMIRANJE MREŽA U
FREKVENCIJSKO PODRUČJE
Općenito mreža se sastoji od više nezavisnih naponskih i
strujnih izvora i kombinacije više elemenata mreže. Svaki
od elemenata mreže može se na temelju prethodno
izloženog transformirati u frekvencijsko područje.
Za istu mrežu u vremenskom području, transformirane
mreže mogu biti različite budući da se svaki reaktivni
element može prikazati na dva načina, tj. s pomoću dvije
nadomjesne sheme spoja. Važno je uočiti da se u
transformiranoj mreži početni uvjeti tretiraju na potpuno
isti način kao i vanjski (nezavisni) izvori, a koja će se od
nadomjesnih shema spoja reaktivnih elemenata upotrijebiti
ovisi uglavnom o tome kojom će se metodom analize
rješavati transformirana mreža.
Transformirana mreža ponaša se sada kao otporna
mreža. Ako se transformirana mreža rješava s pomoću
metode jednadžbe struja petlji, onda je zgodno sve početne
uvjete prikazati kao "naponske izvore". Nasuprot tome
ako se upotrijebi metoda jednadžbi napona čvorova
(jednadžbi rezova), onda je zgodnije sve početne uvjete
prikazati kao "strujne izvore".
j =1
dok za admitanciju paralelnog spoja M elemenata mreže
Y(s) vrijedi da je
M
Y ( s) =
∑ Y (s)
(9)
j
Primjer: U mreži sheme spoja prema slici 21.5 u trenutku
t = 0 uklopi sklopka. Poznate su početne vrijednosti struja i
napona. Nacrtajte transformiranu mrežu u obliku
najzgodnijem za analizu s pomoću metode jednadžbi struja
petlji.
S
j =1
R1
L
→IL
gdje su sa Zj(s) i Yj(s) označene impedancija odnosno
admitancija j-tog elementa mreže.
Kombinacijom pravila (8) i (9) svaka se jednoprilazna
mreža može postupno svesti na jednu nadomjesnu
impedanciju ili admitanciju.
Primjer: Odredite impedanciju mreže sheme spoja prema
slici 21.4.
1Ω
1
2H
1
F
2
Z(s)
1Ω
1'
Sl. 21.4 Zadana jednoprilazna mreža.
Rješenje:
Impedancija serijskog spoja otpora od 1Ω i induktiviteta
od 2H je 2s+1, dok je admitancija dijela mreže između
stezaljki 1 i 1'
s
1
2s 2 + s + 2
Y1 ( s ) = +
=
2 2s + 1
2(2s + 1)
odakle proizlazi da je impedancija zadane mreže
+U2
+U1
Uˆ sin ωt
C1
C2
R2
Sl. 21.5 Zadana mreža u vremenskom području. Početni uvjeti
su uC1(–0) = U1 , uC2(–0) = U2 , iL(–0) = IL.
Rješenje:
Budući da je od trenutka t = 0 sklopka S uklopljena a da
je Laplaceova transformacija definirana od trenutka t = 0
(mreža je dobro definirana!) u transformiranoj mreži ne
treba prikazati sklopku.
Valni oblik napona naponskog izvora prikažimo na ovaj
način
1 jωt
u (t ) = Uˆ sin ωt = Uˆ
(e − e − jωt ) ; t ≥ 0
2j
te u skladu s pravilom o frekvencijskom pomaku, izraz
(20.5), dobivamo za transformirani naponski izvor da je
1  1
1 
ωUˆ
−
(10)

= 2
2 j  s − jω s + jω  s + ω 2
Za analizu transformirane mreže s pomoću metode
jednadžbi struja petlji najzgodnije je sve početne uvjete
U ( s ) = Uˆ
96
21. Analiza nreža s pomoću Laplaceove transformacije
prikazati kao "naponske izvore", te kao rješenje dobivamo
mrežu sheme spoja prema slici 21.6.
LIL
R1
ωUˆ
2
s +ω
2
R
2
S
t=0
1
sL
C1
E
1
1
sC1
U1
sC 2
U2
s
s
R2
C2
uC2
a)
R
Sl. 21.6 Mreža sheme spoja prema slici 21.5 transformirana u
frekvencijsko područje.
21.5
ANALIZA LOŠE DEFINIRANIH MREŽA
U poglavlju 20.3 pokazano je na jednom primjeru kako
se izborom t = –0 kao donje granice definicijskog integrala
Laplaceove transformacije mogu analizirati i loše
definirane mreže. To je bitna značajka primjene
Laplaceove transformacije u analizi mreža. Općenito
vrijedi tvrdnja:
Za razliku od analize mreža u vremenskom području,
pri analizi linearnih vremenski nepromjenljivih mreža u
frekvencijskom području zakoni komutacije su
automatski uključeni u analizu, tj. ne treba ih posebno
razmatrati, neovisno o tome je li analizirana mreža
dobro ili loše definirana.
Primjer: Do trenutka t = 0 mreža sheme spoja prema
slici 21.7a bila je u ustaljenom stanju. U trenutku t = 0
sklopka S trenutno preklopi iz položaja 1 u položaj 2.
Odredite napon na kapacitetu C2 za t ≥ +0.
1
E
s
1
sC2
sC1
E
s
UC2
b)
Sl. 21.7 a) Zadana mreža u vremenskom području.
b) Zadana mreža u frekvencijskom području.
Rješenje:
Iz analize transformirane mreže, slika 21.7b, lako se dobije
da je
C1
E
E
U C 2 ( s) =
+
⋅
; τ = R (C1 + C 2 )
1
 1  C +C
τ ⋅s s +  1 2 s +
τ
 τ
odakle je
t

− 
C2
u C 2 (t ) = E 1 −
e τ
 C1 + C 2

U skladu s izrazom (20.10) provjerimo još početnu
vrijednost napona na kapacitetu C2 u trenutku t = +0.
Vrijedi da je
E
+
u C 2 (+0) = lim sU C 2 ( s ) = lim
s →∞
s →∞ 
1
τs + 
τ

C1 E
C1
s
+ lim
=
E
1 C1 + C 2
s → ∞ C1 + C 2
s+
τ
što odgovara rezultatu dobivenom iz zakona komutacije za
loše definirane mreže objašnjenom u odsječku 6.4.3.
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
97
XXII. PREDAVANJE
Pojam funkcije mreže. Mreža kao procesor signala. Veza između impulsnog odziva i funkcije mreže. Vrste funkcija
mreže: ulazne i prijenosne funkcije mreže. Fizikalni smisao polova funkcije mreže. Fizikalni smisao nula funkcije
mreže. Prirodne frekvencije varijable mreže x(t). Ovisnost prirodnih frekvencija o vrsti poticaja. Svojstva ulaznih
funkcija mreže za mreže sastavljene od pasivnih elemenata. Svojstva prijenosnih funkcija mreže za mreže
sastavljene od pasivnih elemenata. Primjer aktivne mreže realizirane s pomoću zavisnih izvora.
22. FUNKCIJE MREŽE
22.1 DEFINICIJA FUNKCIJE MREŽE
Funkcija mreže uvedena je u poglavlju 10.4 na primjeru
jednoharmonijske mreže u ustaljenom stanju. Tamo
uvedena funkcija mreže H(jω) jest kompleksni broj koji
pomnožen s fazorom poticaja daje fazor odziva.
Poznavanje funkcije mreže omogućilo nam je da saznamo
kako se promjenom frekvencije poticaja mijenja amplituda
i faza odziva. Važno je naglasiti da je u mreži kao poticaj
djelovao samo jedan nezavisni, bilo naponski, bilo strujni
izvor.
Ovu definiciju funkcije mreže proširujemo tako da
vrijedi za svaku linearnu vremenski nepromjenljivu mrežu
u kojoj djeluje samo jedan nezavisni izvor, te je
H (s) =
ℒ [prisilni odziv] R( s)
=
ℒ [poticaj]
E ( s)
(1)
gdje je sa H(s) označena funkcija mreže a sa R(s) odnosno
E(s) Laplaceovi transformati prisilnog odziva odnosno
poticaja. Dakle, u mreži koju karakterizira H(s) svi početni
uvjeti jednaki su nuli i u mreži nema unutarnjih nezavisnih
izvora.
e(t)
h(t)
r(t)
vremensko područje
E(s)
H(s)
R(s)
frekvencijsko područje
funkcije jediničnog skoka znamo da je u skladu sa (20.12)
jednaka
1
ℒ [ s(t )] =
s
te koristeći pravilo deriviranja (20.2) dobivamo da je
1
 ds 
ℒ [δ (t )] = ℒ   = s ⋅ = 1
s
 dt 
(3)
No, impulsni odziv h(t) jest prisilni odziv mreže na
jedinični impuls te proizlazi da je
ℒ [h(t)]=H(s)
(4)
Laplaceov transformat impulsnog odziva h(t) jednak je
funkciji mreže.
22.2 VRSTE FUNKCIJA MREŽE
Prisilni odziv neke mreže na poticaj može biti ili napon
između bilo koja dva čvora te mreže ili struja kroz bilo
koju granu te mreže. Zbog toga razlikujemo:
a) ulazne funkcije mreže, kod kojih su poticaj i prisilni
odziv definirani na istom prilazu mreže, i
b) prijenosne funkcije mreže, kod kojih su poticaj i
prisilni odziv definirani na različitim prilazima mreže
Svi ovi pojmovi već su uvedeni u poglavlju 10.4
Ponovimo:
ad a) Ulazne funkcije mreže su impedancija Z(s) i
admitancija Y(s) definirani kao
Sl. 22.1 Mreža kao procesor signala.
Mrežu valja shvatiti kao procesor signala, slika 22.1
Ako se na ulaz narine poticaj e(t), onda je odziv r(t) u
skladu s konvolucijskim integralom jednak
t
r (t ) = ∫ h(t − x)e( x)dx
(2a)
0
odnosno u transformiranom području, u skladu s pravilom
o transformaciji konvolucije, izraz (20.9), jednak
R( s) = H ( s) ⋅ E ( s)
(2b)
Budući da je, prema (19.10), jedinični impuls derivacija
funkcije jediničnog skoka, a za Laplaceovu transformaciju
Z (s) =
1
U (s)
=
Y (s) I (s)
(5)
gdje su U(s) i I(s) Laplaceovi transformati napona i
struje na istom prilazu. Često se obje funkcije
mreže nazivaju jednim imenom: imitancija.
ad b) Prijenosne funkcije mreže, za razliku od ulaznih,
valja pisati s dvostrukim indeksima koji upućuju
na to na koje se prilaze u promatranoj mreži
odnose. Tako, primjerice, ako su u mreži
identificirana dva prilaza, recimo prilaz 1 i prilaz
2, mogu se definirati četiri različite prijenosne
funkcije mreže. To su:
98
22. Funkcije mreže
1) prijenosna impedancija
n
U ( s)
Z 21 ( s ) = 2
(6)
I1 ( s)
2) prijenosna admitancija
I ( s)
(7)
Y21 ( s ) = 2
U1 ( s)
3) prijenosni omjer napona
U (s)
(8)
A21 ( s ) = 2
U 1 ( s)
4) prijenosni omjer struja
I (s)
α 21 ( s ) = 2
(9)
I1 (s)
Pri tome pretpostavljamo da samo na prilazu 1 djeluje
poticaj, a da se samo na prilazu 2 određuje odziv!
22.3
FIZIKALNI SMISAO
FUNKCIJE MREŽE
POLOVA
I
NULA
Funkcija mreže H(s) je racionalna funkcija (poglavlje
20.4) i prikazuje se kvocijentom dvaju polinoma P(s) i
Q(s),
P( s ) a0 s m + a1 s m −1 + ... + am −1 s + am
H (s) =
=
(10)
Q( s )
b0 s n + b1 s n −1 + ... + bn −1 s + bn
gdje su koeficijenti a i b realni i pozitivni brojevi za mreže
s pasivnim elementima.
Eventualni zajednički faktor, polinom C(s), koji je mogao
postojati u funkciji poticaja E(s)=Q(s)C(s) kao i u funkciji
odziva R(s)=P(s)C(s) je pokraćen.
Budući da neki od korijena jednadžbe P(s)=0 mogu biti i
višestruki, ova jednadžba ima najviše m korijena koji se
nazivaju nulama funkcije mreže. Analogno tome,
jednadžba Q(s)=0 ima najviše n korijena koji se nazivaju
polovima funkcije mreže.
Funkcija mreže se zbog toga može napisati u
faktoriziranom obliku
H (s) = K
( s − z1 )(s − z 2 )... ( s − z m )
( s − p1 )( s − p 2 )... ( s − p n )
(11)
gdje je K=a0 / b0 neka konstanta, z1, z2,… zm su nule
funkcije mreže a p1, p2,… pn, su polovi funkcije mreže.
Očigledno svaka funkcija mreže u potpunosti je određena
konstantom K te nulama i polovima.
Kako se određuje odziv r(t)? Jedan je način izravno u
vremenskom području koristeći konvolucijski integral.
Drugi je način da se odziv, u skladu s izrazom (2b), prvo
odredi u frekvencijskom području.
Normalno je funkcija poticaja e(t) zadana a time znamo i
E(s). Iz poznate strukture mreže lako se odredi funkcija
mreže H(s). Ako se umnožak H(s)E(s) rastavi na parcijalne
razlomke, u nazivniku svakog parcijalnog razlomka nalazi
se po jedan pol bilo da pripada funkciji mreže H(s) bilo da
pripada funkciji poticaja E(s). Zamislimo li, jednostavnosti
radi, da su korijeni nazivnika
racionalne funkcije
R(s)=H(s)E(s) jednostruki, što ne umanjuje bitno
općenitost razmatranja, to će biti
H (s) E ( s) = ∑
i =1
v
Kj
Ki
+∑
s − pi j =1 s − p j
(12)
gdje je n – broj polova funkcije mreže H(s) a v – broj
polova funkcije poticaja E(s). Nakon vraćanja u vremensko
područje dobivamo da je odziv oblika
r (t ) =ℒ
n
v
[H (s) E ( s)] = ∑ K i ⋅ e p t + ∑ K j ⋅ e p t
−1
j
i
i =1
(13)
j =1
Zaključujemo:
a) Polovi definiraju valni oblik odziva.
b) Odziv se sastoji od dviju komponenata i to od valnog
oblika istih frekvencija kao što su u poticaju pj i to su
tzv. prisilne frekvencije, i od valnog oblika u kojem se
nalaze frekvencije pi koje ovise samo o funkciji mreže
i zovu se prirodne frekvencije varijable mreže r(t).
c) Nule definiraju iznose (veličine) svakog dijela odziva,
budući da o njima ovise reziduumi polova Ki i Kj.
VAŽNO: U zadanoj mreži prirodne frekvencije različitih
varijabli mreže mogu, ali i ne moraju biti međusobno
jednake. Dodatno, za istu varijablu mreže prirodne se
frekvencije mogu razlikovati ovisno o vrsti poticaja.
i1(t)
u1(t)
L
R1
i2(t)
C
R2
Sl. 22.2 Prirodne frekvencije varijable i2(t) ovise o tome djeluje li
na prilazu 1 poticaj u obliku naponskog ili strujnog
izvora.
Tako su primjerice u mreži sheme spoja prema sl.22.2
prirodne frekvencije varijable i2(t) korijeni karakteristične
jednadžbe
R
R  1
1  
 s + 1 + 1 
s 2 +  1 +
=0
R2  LC
 L R2 C  
ako je poticaj naponski izvor u1(t), što proizlazi iz funkcije
mreže Y21(s) = I2(s) / U1(s). Ako je poticaj strujni izvor,
pripadna funkcija mreže je α21(s) = I2(s) / I1(s) a pripadna
prirodna frekvencija varijable i2(t) jest korijen jednadžbe
1
s+
=0
R2 C
Prirodne frekvencije varijable mreže vezane su uz
slobodni odziv mreže. S toga se definira da je neki broj s1
prirodna frekvencija varijable mreže x(t) ako za neko
početno stanje mreže slobodni odziv varijable x(t) sadržava
član K1e s1t .
Sve prirodne frekvencije varijabli mreže pripadaju
skupu prirodnih frekvencija mreže. Proizlazi zaključak:
Polovi funkcije mreže H(s) podskup su frekvencija iz
skupa prirodnih frekvencija mreže.
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
22.4 SVOJSTVA ULAZNIH FUNKCIJA MREŽE
Odredit ćemo osnovna svojstva ulaznih funkcija mreže
uz pretpostavku da su sve mreže sastavljene od pasivnih
elemenata, što znači da u mrežama nema zavisnih izvora.
Koeficijenti polinoma P(s) i Q(s) moraju biti realni i
pozitivni brojevi.
Svi parametri linearne vremenski nepromjenljive mreže
sastavljene od pasivnih elemenata su pozitivni brojevi
(R > 0, L > 0, C > 0) pa je ovo svojstvo očigledno.
a)
b) Polovi i nule, ako su kompleksni, moraju biti
konjugirano kompleksni brojevi.
U protivnom bi neki od koeficijenata polinoma P(s) i/ili
Q(s) morali bi biti kompleksni brojevi. Neka je primjerice
Q(s)=(s+a+jb)(s+a–jb)=s2+2as+(a2+b2)
i koeficijenti polinoma Q(s) su realni i pozitivni , ako su a i
b realni i ako je a > 0. Bilo koja druga kombinacija, recimo
Q(s)=(s+a+jb)(s+c–jd)
;
a≠c
;
b≠d
ne daje realne koeficijente i s toga nije moguća!
Realni dio svih polova i nula mora biti negativan ili
nula: σk ≤ 0
Sve mreže sastavljene od pasivnih elemenata su
stabilne, tj. odziv zbog konačne akumulirane energije
(slobodni odziv) ostaje konačan. Ovo je moguće samo ako
je realni dio prirodnih frekvencija sk=σk +jωk nepozitivan.
Znači da se polovi moraju nalaziti u lijevoj polovici s –
ravnine, tj. ravnine kompleksnih frekvencija. No, isti uvjet
mora vrijediti i za nule budući da je recipročna funkcija
neke ulazne funkcije mreže također ulazna funkcija mreže.
Impedancija je recipročna admitanciji i očigledno je da
stabilnost odziva za mreže s pasivnim elementima ne smije
ovisiti o tome je li na nekom prilazu poticaj napon ili
struja.
c)
d) Pol ili nula moraju biti jednostruki ako je njihov
realni dio jednak nuli : σk = 0
Višestruki polovi uzrokuju da se u vremenskom
području pojavljuju članovi oblika tn-1 gdje je n – red pola
te se dobiva neograničeni odziv. Tako bismo, primjerice,
za dvostruki pol na j ω osi dobili


s
t
ℒ −1  2
=
sin ωt
2 2 
2
ω
 (s + ω ) 
Višestruki polovi su dopušteni na drugim mjestima ravnine
kompleksnih frekvencija budući da se tada u vremenskom
području pojavljuju članovi t me–δ t za koje je
lim t m e −δ t = 0
t →∞
za konačni m!
U polinomima P(s) i Q(s) moraju postojati svi članovi
od najvišeg do najnižeg stupnja osim ako ne nedostaju
ili svi parni ili svi neparni članovi polinoma.
Budući da su svi parametri elemenata mreže pozitivni i
koeficijenti polinoma su pozitivni i nema načina kako da se
uvedu negativni koeficijenti tako da bi se eventualno neki
e)
99
članovi polinoma poništili. Zbog toga moraju postojati svi
članovi polinoma. Izuzeci od tog pravila su dva slučaja
- ako su svi članovi polinoma oblika (s2+a) i tada
očigledno nedostaju svi neparni članovi,
- ako polinom ima jednostruki pol u ishodištu a
preostali članovi su oblika (s2+a) i tada se svi članovi
polinoma oblika (s2+a) množe sa s, tako da u
polinomu nedostaju svi parni članovi.
f)
Stupanj polinoma P(s) i Q(s) je jednak ili se razlikuje
za jedan stupanj.
Analizirajmo ponašanje ulazne funkcije mreže na vrlo
visokim frekvencijama. Tako će primjerice kod analize
impedancije dominirati nad svim ostalim elementima
impedancija induktiviteta sL a kod analize admitancije
dominirat će admitancija kapaciteta sC osim ako nisu
kratko spojeni drugim elementima. Ako u jednoprilazu
nema induktiviteta tada će pri vrlo visokim frekvencijama
dominirati otpor ili će se nadomjesna mreža ponašati kao
kratki spoj, uzmemo li u obzir da je ZC(s)=1/sC odnosno
YL(s)=1/sL.
U svakom slučaju na vrlo visokim frekvencijama
jednoprilaz će se ponašati bilo kao nadomjesni induktivitet,
otpor ili kapacitet. Ovo znači da svaki oblik polinoma nije
moguć pri predočavanju ulaznih funkcija mreže. Proizlazi
da je
a sm
a
lim H ( s ) = lim 0 n = lim 0 s m − n
s →∞
s →∞ b s
s →∞ b
0
0
No, budući da funkcija H(s) kad s → ∞ smije biti samo
oblika: neka konstanta pomnožena sa s, 1 ili 1/s , to
proizlazi
|m-n| ≤ 1
g) Najniži stupnjevi polinoma P(s) i Q(s) mogu se
razlikovati najviše za jedan stupanj.
Analogno prethodnom zaključivanju na vrlo niskim
frekvencijama, dakle kad s → 0 za funkciju mreže će
vrijediti
.... am −1 s + a m
H ( s) ≈
.... bn −1 s + bn
i ona se ponovo reducira na jedan od tri dopuštena oblika:
neka konstanta pomnožena sa s, 1 ili 1/s što vodi na gornji
zaključak.
Primjer: Odredite koja od zadanih funkcija mreže jest
ulazna funkcija mreže
s2 + s +1
s −1
; Z 2 (s) = 2
s 3 + 2s 2 + 3
s + 2s + 1
3s + 2
2s 2 + 2s + 1
Z 3 (s) = 4
; Z 4 (s) =
2
s+2
s + 4s
Z1 ( s ) =
Opažamo da jedino funkcija Z4(s) zadovoljava sve
postavljene zahtjeve i predstavlja ulaznu funkciju neke
mreže.
100
22. Funkcije mreže
22.5 SVOJSTVA PRIJENOSNIH FUNKCIJA MREŽE
Pri analizi svojstva prijenosnih funkcija mreže valja
uzeti u obzir da, za razliku od ulaznih funkcija mreže,
recipročne vrijednosti funkcija mreže općenito nisu
funkcije mreže.
S toga vrijedi:
a) Koeficijenti polinoma P(s) i Q(s) moraju biti realni, a
za polinom Q(s) i pozitivni brojevi.
b) Polovi i nule, ako su kompleksni, moraju biti
konjugirano kompleksni brojevi.
c) Realni dio svih polova mora biti negativan ili nula:
σk ≤ 0.
d) Pol mora biti jednostruk ako je njegov realni dio
jednak nuli: σk = 0.
e) U polinomu Q(s) moraju postojati svi članovi od
najnižeg do najvišeg stupnja, osim ako ne nedostaju ili
svi parni ili svi neparni članovi polinoma.
Za prijenosne funkcije mreže A21(s) i α21(s) najviši
mogući stupanj polinoma brojnika P(s) jednak je
stupnju polinoma nazivnika Q(s).
Pokažimo svojstvo f) na primjeru funkcije mreže A21(s).
Pri vrlo visokim frekvencijama kako je to pokazano u
prethodnom poglavlju dominiraju svojstva samo jedne
vrste elemenata mreže. Isto to vrijedi i za dvoprilaze, slika
22.3. Vrijedi da je
sL
I1(s)
U2(s)
1
sC
U1(s)
I2(s)
Sl. 22.4 Dvije granične sheme spoja.
a u drugoj shemi spoja prijenosna je admitancija dana
izrazom
I (s)
Y21 ( s ) = 2
= sC
U 1 (s)
h) Najmanji mogući stupanj polinoma P(s) je nula,
neovisno o stupnju polinoma Q(s).
Ovo je očigledno budući da koeficijenti polinoma P(s)
moraju biti samo realni, dakle mogu biti i negativni te se
članovi istog stupnja mogu poništiti.
f)
A21 =
U 2 (s)
Z 2 (s)
=
U 1 ( s) Z1 (s) + Z 2 (s)
22.6 MREŽE SA ZAVISNIM IZVORIMA
Mreže sa zavisnim izvorima valja shvatiti kao aktivne
mreže i osnovni uvjet koji vrijedi za linearne vremenski
nepromjenljive mreže, da su mreže sastavljene od pasivnih
elemenata stabilne, ne mora biti zadovoljen.
Primjer: Za mrežu sheme spoja prema slici 22.5 odredite
prijenosnu impedanciju.
1
Z1(s)
Z2(s)
U1(s)
U2(s)
2
iL
iC
L
C
iR
R
i1
u2
a u2
Sl. 22.3. Uz objašnjenje najvišeg mogućeg stupnja polinoma
brojnika P(s).
S obzirom na to da postoje tri elementa mreže, a po dva
treba uzeti istodobno, lako je iscrpiti sve moguće
kombinacije. Ako su oba elementa iste vrste, A21 je
konstanta. Ako su elementi različiti, sve kombinacije
impedancija dvaju elemenata od tri moguća (sL, 1/sC, R), a
ima ih ukupno šest, pokazuju da stupanj polinoma brojnika
P(s) ne premašuje stupanj polinoma Q(s).
g) Za prijenosne funkcije mreže Z21(s) i Y21(s) najviši
mogući stupanj polinoma brojnika P(s) može
premašiti za jedan stupanj polinoma nazivnika Q(s).
U analizi svih mogućih kombinacija koje daju najveću
razliku između stupnjeva polinoma P(s) i Q(s) dolazimo do
dvije granične sheme spoja, slika 22.4. U prvoj shemi
spoja prijenosna je impedancija dana izrazom
Z 21 ( s ) =
U 2 (s)
= sL
I 1( s )
2'
1'
Sl. 22.5 Zadana shema spoja.
Rješenje:
U frekvencijskom području vrijedit će da je
I 1 (s ) = I L (s) + I C (s) + I R (s)
1
I C ( s ) = RI R ( s ) + aU 2 ( s ) = U 2 ( s )
sC
odakle se za prijenosnu impedanciju dobiva izraz
U (s) 1
s
Z 21 ( s ) = 2
=
2
I1 ( s ) C s + [(1 − a) / RC ]s + 1 / LC
Iz analize polinoma Q(s) proizlazi da su polovi prijenosne
impedancije korijeni jednadžbe
1− a
1
s2 +
s+
= ( s − p1 )( s − p2 ) = 0
RC
LC
odnosno:
sLI L ( s ) =
2
p1,2 = −
1− a
1
 1− a 
± 
 −
2 RC
 2 RC  LC
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
Proizlazi da je neovisno o vrijednosti diskriminante gornje
kvadratne jednadžbe promatrana mreža nestabilna ako
vrijedi da je a > 1.
101
102
23. Stabilnost
XXIII. PREDAVANJE
Stabilnost kao posljedica pasivnosti mreže. Aktivne linearne vremenski nepromjenljive mreže: mreže sa zavisnim
izvorima, mreže s povratnom vezom. Ograničenost odziva kao uvjet stabilnosti. Stabilnost impulsnog odziva.
Stabilnost slobodnog odziva. Uvjet asimptotske stabilnosti. Stabilnost prisilnog odziva. Polovi funkcije mreže
unutar lijeve poluravnine ravnine kompleksnih frekvencija. Nužni i dovoljni uvjeti opstojnosti Hurwitzovog
polinoma. Globalna i lokalna stabilnost. Definicija lokalne stabilnosti. Analiza nelinearnih mreža u okolišu
ustaljenog stanja. Ljapunovljeva metoda: analiza lineariziranih jednadžbi stanja.
23. STABILNOST
23.1 STABILNE I NESTABILNE MREŽE
Pojam stabilnosti intuitivno je jasan. Smatramo da je
neka mreža stabilna ako ograničeni poticaj proizvede u
mreži ograničeni odziv. I bez "čvršće" definicije
stabilnosti, očigledno je, iz elementarnih energetskih
razmatranja, da su sve pasivne mreže, dakle mreže
karakterizirane R, L, M i C parametrima stabilne. U
protivnom, to bi značilo da se unutar mreže, dakle mimo
poticaja, u mrežu dodatno uvodi električna energija.
Postoje dvije vrlo važne vrste linearnih vremenski
nepromjenljivih mreža u kojima ovaj uvjet nije zadovoljen.
To su:
a) mreže sa zavisnim izvorima, u kojima je dodatno
uvedena električna energija (napajanje) mimo
poticaja nužan preduvjet da bi se dijelovi
analizirane mreže mogli promatrati kao zavisni
izvori, i
b) mreže s povratnom vezom, u kojima se dio
električne energije preoblikovane na izlazu mreže
ponovno uvodi u mrežu kao dio poticaja, slika 23.1.
Zaključujemo: ako su mreže karakterizirane funkcijama
mreže K(s) i β(s) stabilne, to ne mora vrijediti za
zajedničku mrežu, budući da njenu stabilnost / nestabilnost
određuju korijeni jednadžbe
1+ β ( s ) K ( s ) = 0
Naravno da je moguće zamisliti i drukčiju situaciju.
Recimo da je mreža karakterizirana funkcijom mreže K(s)
sama za sebe nestabilna. Potrebno je pronaći takvu mrežu
karakteriziranu funkcijom mreže β(s) da zajednička mreža
postane stabilna!
Zaključujemo:
a) Sve pasivne mreže su stabilne. Obrat tvrdnje ne vrijedi.
b) Aktivne mreže mogu biti stabilne, ali i nestabilne.
Tipični su primjeri aktivnih linearnih vremenski
nepromjenljivih mreža mreže sa zavisnim izvorima i
mreže s povratnom vezom.
23.2 UVJETI STABILNOSTI
U1(s)
U'1(s)
U2(s)
K(s)
U'2(s)
β(s)
Sl.23.1
Prikaz u frekvencijskom području jedne od mogućih
varijanti mreža s povratnom vezom.
Neka su zadane funkcije mreže
K (s) =
U 2 (s)
U 1′ ( s )
;
β ( s) =
U 2′ ( s )
U 2 (s)
Ulazni signal (poticaj) U1(s) i izlazni signal (odziv) U2(s)
povezani su funkcijom mreže
H (s) =
U 2 (s)
K (s)
=
U 1 (s) 1 + β ( s) K ( s)
U nastavku analize razmatrat će se mreže kojima samo
na jednom prilazu djeluje poticaj. Proširenje analize na
više prilaza na kojima djeluje više poticaja je trivijalno
budući da zbog linearnosti mreže vrijedi načelo
superpozicije.
Neka je r(t) odziv mreže na poticaj e(t), Mreža je
stabilna ako za zadanu konstantu 0 ≤ E < ∞ postoji neka
druga konstanta 0 ≤ R < ∞ takva da
e(t ) < E
⇒
r (t ) < R
za
0≤t <∞
(1)
Ovime je ustvari preciznije rečeno da u stabilnoj mreži
konačni (ograničeni) poticaj uzrokuje konačni (ograničeni)
odziv.
S obzirom na tipove poticaja uobičajeno je da se
definiraju tri vrste stabilnosti
a) stabilnost impulsnog odziva; poticaj e(t) = δ (t) je
jedinični impuls,
b) stabilnost slobodnog odziva; poticaj e(t) su naponi na
kapacitetima uCk(–0), k=1,2,... i struje induktiviteta
iLk(–0), k=1,2,..., u početnom trenutku,
c) stabilnost prisilnog odziva; poticaj e(t) je neka funkcija
ograničena po iznosu.
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
23.2.1 Stabilnost impulsnog odziva
Očigledno je r(t) = h(t) odnosno u frekvencijskom
području R(s) = H(s)⋅1. Analiza stabilnosti se svodi na
analizu funkcije mreže H(s) = P(s) / Q(s). Budući da polovi
definiraju valni oblik odziva, kako je to pokazano u
prethodnom poglavlju, to će neka mreža biti stabilna na
poticaj jediničnim impulsom ako su
a) polovi pripadne funkcije H(s), tj. korijeni polinoma
Q(s) = 0, svi u lijevoj polovici s-ravnine (lijevoj
poluravnini kompleksnih frekvencija). Nakon prestanka
djelovanja poticaja odziv trne te vrijedi
lim r (t ) = 0
(2)
t →∞
b) Ako su polovi imaginarni σk = 0, oni su ujedno i
konjugirani kako je to objašnjeno u odsječku 22.4.
Tada oni moraju biti i jednostruki. Nakon prestanka
djelovanja poticaja vrijedi da je
lim r (t ) < R < ∞
Stabilnost slobodnog odziva
U ovom slučaju poticaj u mreži tvore početni naponi na
kapacitetima i struje induktiviteta. S obzirom na različite
grane mreže u kojima se nalaze kapaciteti i induktiviteti
odziv će biti jednak zbroju pojedinačnih odziva, gdje je
svaki pojedinačni odziv u frekvencijskom području
dobiven množenjem napona "naponskog izvora" kapaciteta
ili struje "strujnog izvora" induktiviteta s pripadnom
funkcijom mreže.
Uvjeti stabilnosti dani u prethodnom odsječku vrijede i
za stabilnost slobodnog odziva. Pri tome se uvjet (2)
naziva uvjet asimptotske stabilnosti.
IL(–0)=I0
C
+U0
R
L
a)
↕
CU0
sC
Rješenje:
Slobodni odziv dobiva se iz KZS-a,
( sC +
I
1
1
+ )U ( s ) = CU 0 − 0
R sL
s
te se dobiva da je
I
sU 0 − 0
LCU 0 s − LI 0
C
U (s) =
= 2
L
s
+
2
α
s
+
ω 02
2
LCs + s +1
R
gdje je 2α =
1
1
, ω 02 =
. Polovi su korijeni jednadžbe
RC
LC
s 2 + 2αs +ω 02 = 0
dakle odziv ostaje ograničen. Primjer su mreže u
kojima nema otpora.
23.2.2
Primjer:
U paralelnom RLC-krugu, slika 23.2, zadani su početni
napon na kapacitetu uC(–0) = U0 i struja induktiviteta
iL(–0) = I0. Parametri R,L i C su pozitivni. Je li ovaj krug
asimptotski stabilan?
(3)
t →∞
103
1
sL
1
R
I0
s
U(s)
dakle
s1, 2 = −α ± α 2 −ω 02
i u svakom se slučaju, zbog α > 0, korijeni nalaze u lijevoj
poluravnini kompleksnih frekvencija. Dakle, promatrani
krug je asimptotski stabilan.
23.2.3
Stabilnost prisilnog odziva
U ovom slučaju poticaj je napon ili struja jednog
nezavisnog izvora koji djeluje na jednom prilazu (ulazu)
"mrtve" mreže. Poticaj, označimo ga sa e(t), ograničen je
po iznosu. Odziv je u vremenskom području dan
konvolucijskim integralom (22.2a) a u frekvencijskom
području umnoškom funkcije mreže H(s) i Laplaceovog
transformata poticaja E(s), izraz (22.2b).
Kao i u prethodnim slučajevima polovi funkcije
R(s) = H(s)E(s) definiraju valni oblik odziva i određuju je
li mreža stabilna na poticaj e(t). U skladu sa (22.13)
vidimo da stabilnost ovisi o položaju polova funkcije
mreže H(s), ali i o položaju polova funkcije E(s). Za H(s)
smo već prije u odsječku 23.2.1 utvrdili uvjete stabilnosti,
a sad dodatno lako zaključujemo da isti uvjeti moraju
vrijediti i za polove funkcije E(s) budući da je ona prema
polaznoj pretpostavki ograničena, a time i stabilna.
Trajno djelujući poticaj uzrokovat će u stabilnoj mreži
pojavu prijelaznog stanja nakon kojega nastupa ustaljeno
stanje,
lim r (t ) = ustaljeno stanje
t →∞
b)
Sl.23.2
a) Paralelni RLC-krug.
b) Nadomjesna shema spoja paralelnog RLC-kruga u
frekvencijskom području.
Ipak postoji jedan slučaj kad ograničeni poticaj u mreži
s pasivnim elementima može proizvesti neograničen odziv.
To je rezonancija u krugu bez gušenja. Pokažimo to na
primjeru paralelnog LC kruga vlastite frekvencije
104
23. Stabilnost
ω 02 =
- moraju postojati svi članovi od najvišeg do najnižeg
stupnja, osim ako ne nedostaju ili svi parni ili svi
neparni članovi polinoma.
Da bi neki polinom bio Hurwitzov polinom ova su dva
uvjeta nužna, ali ne i dovoljna.
Prema Hurwitzu, prvo treba stvoriti determinantu ∆n od
koeficijenata polinoma Q(s) na način pokazan izrazom (5).
1
LC
na koji je narinut ograničeni poticaj u obliku struje
i = Iˆ sinω 0 t
ω 0 Iˆ
∆i > 0 ;
i opažamo da smo dobili dvostruki konjugirani pol na
jω-osi. Odziv je neograničen,
ω Iˆ
u (t ) = ℒ -1 [U(s)]= 0 t sin ω 0 t
2C
Zbog toga se pri navođenju uvjeta stabilnosti prisilnog
odziva ograničavamo na zahtjev da polovi funkcije mreže
budu unutar lijeve poluravnine kompleksnih funkcija i niti
jedan ne smije biti na j ω-osi.
Stabilnost prisilnog odziva ponekad se naziva i BIBO
stabilnost (BIBO-bounded input bounded output).
23.3
Q ( s ) = b0 s n + b1 s n −1 + ... + bn −1 s + bn ;
b0 > 0
i = 1,2,...n
Primjer:
Ispitati je li polinom Q(s) = s4 + 4s3 + 9s2 + 8s + 5
Hurwitzov polinom?
Rješenje:
Proizlazi da je: b0=1, b1=4, b2=9, b3=8, b4=5, n=4, te su
Hurwitzove determinante
4 8 0 0
1 9 5 0
0 4 8 0
4 8 0
= 720 > 0 ;
(4)
ako zahtijevamo da svi korijeni budu u lijevoj poluravnini
ravnine kompleksnih frekvencija s = σ + j ω ili eventualno
na j ω osi, ali tada samo kao jednostruki korijeni?
U skladu s izloženim u prethodnom poglavlju znamo da
su
- svi koeficijenti b0, b1, ... bn pozitivni realni brojevi, i da
∆2 =
4 8
1 9
∆ 3 = 1 9 5 = 144 > 0
0 4 8
0 1 9 5
Ako je zadana prikladna racionalna funkcija
H(s) = P(s) / Q(s) i ako se želi znati je li ona transformat
impulsnog odziva neke stabilne mreže, nužno je odrediti
polove funkcije H(s), dakle korijene algebarske jednadžbe
Q(s) = 0 i vidjeti jesu li realni dijelovi korijena negativni.
Polinomi Q(s) za koje to vrijedi nazivaju se Hurwitzovi
polinomi. Hurwitz je pokazao da se može odrediti jesu li
realni dijelovi korijena jednadžbe Q(s) = 0 negativni bez
faktoriziranja polinoma Q(s)!
Što znamo o polinomu
(5)
Pri tome se, primjerice, determinanta ∆n–1 dobiva iz
determinante ∆n tako da se izbrišu posljednji stupac i
posljednji redak determinante ∆n. Ovako dobivene
determinante zovu se Hurwitzove determinante.
∆4 =
HURWITZOV TEST STABILNOSTI
(Hurwitz, 1895.)
bn −1
bn − 2
0
0
0
0
0
0
0
0
bn
Tada je polinom Q(s) Hurwitzov ako je
s
C ( s 2 + ω 02 ) 2
.......
U ( s ) = Z LC ( s ) I ( s ) =
0
0
.................
te je napon strujnog izvora, shvaćen kao odziv, dan u
frekvencijskom području izrazom
0
0
b7 .............. 0
b6 .............. 0
b5 b7 ........ 0
b4 b6 ........ 0
b3 b5 ........ 0
b2 b4 ........ 0
.................
ω 0 Iˆ
s + ω 02
2
b5
b4
b3
b2
b1
b0
.................
I (s) =
b3
b2
b1
b0
0
0
.......
Ova funkcija mreže ima dva pola na jω osi, i to s1 = jω0 i
s2 = –jω0. Prema (21.10), Laplaceov transformat struje je
b1
b0
0
0
∆n = 0
0
.......
iz nezavisnog strujnog izvora. Impedancija paralelnog LC
kruga je
1
s
Z LC ( s ) =
= H (s)
2
C s + ω 02
= 28 > 0 ;
∆1 = 4 > 0
Budući da su svi ∆i > 0, (i = 1,2,3,4), to je zadani
polinom Hurwitzov polinom.
Napomena: Hurwitzov test stabilnosti vrlo je jednostavan, ali
pretpostavlja da je poznat transformat impulsnog
odziva H(s). Ovo često nije slučaj. Znatno je češće
poznata amplitudna ili fazna karakteristika funkcije
H(jω) i to, ili samo približno, ili na osnovi mjerenja.
Tada se koriste drugi testovi, recimo Nyquistov test
stabilnosti, koji je bliži tehničkim primjenama.
105
VI. Linearne vremenski nepromjenljive mreže
23.4
STABILNOST RADNE TOČKE
NELINEARNIH KRUGOVA
(M.A. Ljapunov, 1892.)
Iskaz da ograničeni poticaj uzrokuje ograničeni odziv u
nekoj mreži, iskazan relacijama (1), često se naziva i iskaz
o globalnoj stabilnosti te mreže.
Moguć je i drugi pristup koji vodi na pojam tzv. lokalne
stabilnosti. Odziv mreže r(t) definirane u intervalu [t, ∞)
lokalno je stabilan ako za svaki ε > 0, postoji neki δ > 0
takav da svaki odziv r (t ) za koji vrijedi da je
| r (t 0 ) − r (t 0 ) | < δ
Zadržimo li u razvoju funkcije f(p) u Taylorov red samo
prva dva člana, to dobivamo diferencijalnu jednadžbu
dp
′
≈ pf ′(r0 ) → p (t ) ≈ p0 e f ( r0 )⋅t
dt
odakle očigledno proizlazi zaključak da ako je
f ′(r0 )
mreža je lokalno nestabilna.
analiza lineariziranih diferencijalnih jednadžbi
mreže. Linearizacija se provodi u okolišu radne
točke (ustaljenog stanja). Radna točka se naziva
ponekad i ravnotežna točka, posebno u
mehanici. Ova se metoda često naziva i
Ljapunovljeva metoda analize stabilnosti.
b) Ako je ustaljeno stanje periodičko, ali
potaknuto periodičkim poticajem, postupak
ostaje isti, ali su metode analize stabilnosti bitno
složenije. Analiza stabilnosti vodi na analizu
rješenja diferencijalne jednadžbe s periodički
promjenljivim koeficijentima, tzv. Mathieuovu
ili Hillovu diferencijalnu jednadžbu.
c) Lokalna nestabilnost uz globalnu stabilnost
osnovna je značajka mreža s kaotičnim
ponašanjem.
| r (t ) − r (t ) | < ε
dr
= f (r )
dt
>
mreža je lokalno stabilna,
0
Napomene: a) Vidimo da u osnovi izložene metode leži
zadovoljava uvjet
za svaki t > t0. Ako to ne vrijedi, odziv mreže r(t) je
lokalno nestabilan. Kvalitativno ovo znači da za bliske
početne uvjete u lokalno stabilnoj mreži odzivi ostaju
bliski.
Sve što je prije rečeno za linearne mreže vrijedi i sada.
Jer ako je neka mreža globalno nestabilna, onda za t → ∞ i
r(t) → ∞, a to znači da ma kako bliske početne uvjete uzeli,
za dva nestabilna odziva oni će divergirati i za neki t > t'
bit će sigurno | r (t ) − r (t ) | > ε .
Ovako uveden pojam stabilnosti omogućuje nam analizu
nelinearnih mreža u okolišu ustaljenih stanja.
Pretpostavimo da se neka nelinearna mreža opisana
diferencijalnom jednadžbom
≤
Primjer :
Za mrežu sheme spoja prema slici 23.3 odredite pod kojim
je uvjetima zajamčena stabilnost radne točke ako je otpor
R2 nelinearan karakteristike iR2 = f(uR2). Ostali elementi
mreže su linearni.
L
nalazi u ustaljenom stanju. Vrijednost varijable odziva r(t)
u ustaljenom stanju očigledno je određena uvjetom
dr
= f (r ) = 0
dt
Označimo tu vrijednost sa r0. Dakle, f(r0) = 0. U trenutku
t = t0 zamislimo da se vrijednost varijable r(t0) = r0
promijenila za neku malenu vrijednost p0, tj. da je
r (t 0 ) + p 0 = r (t 0 )
U mreži dolazi do promjene stanja opisanog jednadžbom
dr
= f (r )
dt
gdje je nova varijabla odziva
r (t ) = r (t 0 ) + p(t )
odnosno
dr dp
=
= f (r0 + p) = f (r0 ) + pf ′(r0 ) + ...
dt
dt
R1
iR2 = f (uR2)
iL
C
E
uC
R2
Sl. 23.3 Zadana shema spoja nelinearnog kruga.
Rješenje :
Jednadžbe stanja mreže su
du C
1
= (i L − i R 2 )
dt
C
di L
R
1
E
= − 1 iL − uC +
dt
L
L
L
(6)
Mreža je u ustaljenom stanju (ravnotežnoj točki) kad je
du C
=0 ;
dt
di L
=0
dt
te iz jednadžbi stanja (6) proizlaze "koordinate" ravnotežne
točke (ustaljenog stanja)
106
23. Stabilnost
iL0 =
E − uC 0
R1
; i L 0 = f (u C 0 )
Pretpostavimo da je mreža izvedena iz ustaljenog stanja.
Uvedimo nove varijable
uC = uC 0 + x ; iL = iL0 + y
(8)
pri čemu su x i y varijacije varijabli uC i iL u okolišu
(uC0, iL0). Funkciju iR2 = f(uR2) rastavimo u Taylorov red.
Budući da je uR2 = uC, to možemo pisati
iR2 = f (uC ) = f (uC0 + x) = f (uC0 ) + xf ′(uC0 ) +
x2
f ′′(uC0 ) + ...
2!
a prema Ljapunovu uzimamo u obzir samo prva dva člana
reda, tj.
f (u C ) ≈ f (u C 0 ) + xf ′(u C 0 )
df (u C ) di R 2
=
du C
du R 2
1
⋛ 0 ;
R2 d
f (u C ) ≈ f (u C 0 ) +
dt
2
+(
R1
R
1
dx
1
+
)
+
(1 + 1 ) x = 0
L R2 d C dt LC
R2 d
(10)
Ovime se analiza stabilnosti radne točke zadanog
nelinearnog kruga svela na analizu stabilnosti linearnog
sustava zadanog diferencijalnom jednadžbom (10), dakle
na ispitavanje je li polinom
Q( s ) = b0 s 2 + b1 s + b2
b0 = 1, b1 =
R1
1
+
,
L R2d C
b2 =
R
1
(1 + 1 )
LC
R2d
x
R2 d
(9)
b1
0
b0
b2
= b1b2
;
∆1 = b1 = b1
Radna je točka stabilna ako je
b1 =
S obzirom na to da funkcija f(uR2) nije prethodno
specificirana moguć je bilo koji predznak dinamičkog
otpora R2d.
Uvrste li se izrazi (8) i (9) u jednadžbe stanja (6) te
uzevši u obzir uvjete (7) proizlazi sustav lineariziranih
diferencijalnih jednadžbi
dx
1
1
=−
x+ y
dt
R2 d C
C
d 2x
∆2 =
to je f ′(u C 0 ) jednak recipročnoj vrijednosti dinamičkog
otpora R2d u ravnotežnoj (radnoj) točki, tj.
f ′(u C 0 ) =
Ukloni li se jedna od varijabli, recimo y, dobivamo
diferencijalnu jednadžbu po varijaciji x,
Hurwitzov polinom ili nije.
U skladu s izrazom (5) proizlazi da je
Budući da je
f ′(u C ) =
R
dy
1
=− x− 1 y
dt
C
L
(7)
R1
1
+
>0
L R2d C
;
b2 =
R
1
(1 + 1 ) > 0
LC
R2 d
Do nestabilnosti može doći samo ako je dinamički otpor
negativan, R2d = – | R2d |.
Napomena: Budući da Ljapunovljeva metoda vrijedi samo za
ispitivanje stabilnosti i ograničena je na male
varijacije oko točke ravnoteže, to se ovom
metodom ne mogu izračunati apsolutne vrijednosti
varijabli stanja.
107
VII. Višefazne mreže
XXIV. PREDAVANJE
Simetrična/nesimetrična višefazna mreža. Pojam uravnotežene višefazne mreže. Pojam faze. Vezanost pojma faze
uz stvarne mreže. Zvjezdište. Fazni napon prema zvjezdištu. Pojam nulišta. Temeljno svojstvo nulišta. Fazni napon
prema nulištu. Osnovna svojstva simetričnih mreža: jednakost potencijala nulišta i zvjezdišta, uravnoteženost.
Primjer dvofazne nesimetrične uravnotežene mreže. Pojam međufaznog (linijskog) napona. Veze između trenutnih
i efektivnih vrijednosti faznog i linijskog napona. Određivanje nulišta geometrijskom konstrukcijom. Nulište je u
težištu trokuta linijskih napona u slučaju trofazne trožilne mreže.
VII. VIŠEFAZNE MREŽE
24. OPĆA SVOJSTVA VIŠEFAZNIH MREŽA
24.1 OSNOVNI POJMOVI
Očigledno mora vrijediti da je
• Višefazna (m-fazna) mreža. Izmjenična mreža koja se
sastoji od m izmjeničnih, na promatranom harmonijskom
članu međusobno fazno pomaknutih, izvora i grupa trošila
koji su međusobno povezani sa m+1 - ili sa m-vodiča
(žila).
U skladu s tim razlikujemo m-fazne m-žilne mreže od mfaznih m+1-žilnih mreža.
ϕ n ≠ 2πN , tj. n ≠ Nm , N = 1, 2, ...
(3)
U protivnom, ako je n=Nm, bit će
Eˆ ( Nm) cos[Nmω t + α Nm − (k − 1)2πN ] =
= Eˆ ( Nm) cos[Nmω t + α ] , ∀k
Nm
• Simetrična višefazna (m-fazna) mreža. Mreža koja
posjeduje svojstvo simetrije s obzirom na način djelovanja
poticaja i geometrijsku strukturu (graf) te jednakost
elemenata mreže i njihovog spoja u svakoj fazi trošila. U
protivnom, mreža je nesimetrična.
Simetrični način djelovanja poticaja znači da u mreži
djeluje ili m naponskih izvora ek(t) jednake amplitude
Eˆ (n) na n-tom harmonijskom članu, ili m strujnih izvora
ik(t) jednake amplitude Iˆ(n) na n-tom harmonijskom članu,
i promatrana mreža na Nm-tom harmonijskom članu nije
višefazna nego jednofazna!
• Uravnotežena višefazna (m-fazna) mreža.
Jednoharmonijska višefazna mreža čija je trenutna snaga u
ustaljenom stanju konstantna, tj. vrijedi da je
m
∑ e (t )i (t ) = konst.
k
a fazni pomak između dva uzastopna izvora na n-tom
harmonijskom članu iznosi
ϕ n = 2π
n
m
(1)
Proizlazi da je
n0
e k (t ) =
∑ Eˆ (n) cos( nω t + α
k ,n
) ; k = 1, 2, ..., m (2a)
n =1
gdje je ik(t) trenutna vrijednost struje k-tog naponskog
izvora. U protivnom, mreža je neuravnotežena.
• Faza. Jedan od m strukturno identičnih dijelova mreže u
koji se promatrana simetrična mreža može rastaviti. Kod
nesimetričnih mreža pojam faze koristi se samo kao
oznaka broja poticaja iste periode, djelujućih na trošilo.
Važno je uočiti da je pojam faze vezan uz stvarne mreže,
ne modele! Sa stajališta Teorije mreža simetrična
četverofazna mreža sheme spoja prema slici 24.1a valnih
e3
R
e4
R
(2b)
pri čemu je αn fazni kut u odnosu prema nekoj unaprijed
odabranoj referenciji.
Na analogan način definiraju se i mreže u kojima djeluju
m-fazni simetrični strujni izvori. U elektroenergetskim
mrežama, u kojima se višefazne mreže najviše koriste,
isključivo se upotrebljavaju naponski izvori tako da u
nastavku analize nećemo razmatrati višefazne mreže u
kojima djeluju strujni izvori.
e2-e4
R
e3-e4
R
+
R
+
n
= α n − (k − 1)ϕ n
m
R
+
e2
+
α k ,n = α n − (k − 1)2π
e1-e4
+
R
+
e1
+
gdje je n0-broj relevantnih harmonijskih članova u
poticaju, a αk,n je početna faza dana izrazom
(4)
k
k =1
a)
R
b)
Sl.24.1 Relativnost pojma faze sa stajališta Teorije mreža.
108
24. Opća svojstva višefaznih mreža
oblika napona
e1
1
+
e1 = −e3 = Eˆ sin ω t
− e2 = e4 = Eˆ cosω t
u12
+
2
i1
0
(zvjezdište)
+
identična je nesimetričnoj trofaznoj mreži sheme spoja
prema slici 24.1b budući da ih opisuju iste jednadžbe
mreže!
e2
k
ukm
+
em4
R
u1
(m+1)
R
R
u2
uk
m
im
R
um
m
+
0’ (nulište)
em
0
ek
u2k
ek3
1
+
i2
ik
• Spojevi izvora i trošila. Izvori i trošila spajaju se ili u
m-terokut ili u m-kraku zvijezdu.
e1
u1k
Sl.24.3 Uz objašnjenje pojma nulišta (neutrala).
što je temeljno svojstvo nulišta. Naponi uk(t) nazivaju se
faznim naponima m-fazne m-žilne mreže.
Između nulišta i zvjezdišta postoji napon u00', koji lako
odredimo koristeći KZN.
Za svaku k-tu fazu vrijedi da je
ek+1
+
+
k
k+1
Sl.24.2 Primjer m-krake zvijezde naponskih izvora. Zvjezdište
može (m+1-vi priključak), ali i ne mora biti dostupno.
u00′ + uk = ek
Zajednička točka svih izvora naziva se zvjezdište. Napon
između k-tog priključka izvora i zvjezdišta ek(t) naziva se
fazni napon k-te faze. Pri tome je bitna pretpostavka da je
zvjezdište dostupno. Ako zvjezdište nije dostupno ili je
izvor spojen u m-terokut fazni se napon definira uz pomoć
pojma neutrala odnosno nulišta.
(6)
Zbrojimo li ove izraze za svih m-faza, dobivamo da je
m
m
k =1
k =1
mu00′ + ∑ uk = ∑ ek
No, drugi član je prema (5) jednak nuli, te dobivamo da
je
24.2 POJAM NULIŠTA (NEUTRALA)
Slika 24.3 prikazuje shemu spoja naponskih izvora
m-fazne m-žilne mreže. Pretpostavljamo da su izvori
spojeni u m-kraku zvijezdu.
Nulište (neutral) dobivamo tako da višefaznu mrežu
opteretimo m-krakom zvijezdom jednakih otpora R, a u
jednoharmonijskoj mreži m-krakom zvijezdom elemenata
mreže jednakih impedancija u svakoj fazi.
Ovako dobiveno zvjezdište naziva se nulište (neutral)
razmatrane m-fazne m-žilne mreže.
U nulištu vrijedi KZS, dakle je
k
=0
k =1
No, jer je uk = Rik , to vrijedi da je
R ∑ ik = 0
m
k
Nakon kvadriranja jednadžbe (6) i zbrajanja po svim
fazama dobivamo izraz za efektivnu vrijednost napona
između nulišta i zvjezdišta
U 00 ′ =
1
m
m
∑ (E
2
k
− U k2 )
(8)
k =1
24.3.1 Jednakost potencijala nulišta i zvjezdišta
k =1
odnosno
k =1
(7)
24.3 OSNOVNA SVOJSTVA SIMETRIČNIH
VIŠEFAZNIH MREŽA
m
∑u
1 m
∑ ek
m k =1
gdje su sa Ek odnosno Uk označene efektivne vrijednosti
faznog napona k-te faze prema zvjezdištu odnosno prema
nulištu.
m
∑i
u 00 ′ =
=0
(5)
Jednakost potencijala nulišta i zvjezdišta znači da je
u00´=0, odnosno da u svakoj simetričnoj višefaznoj mreži
vrijedi da je
VII. Višefazne mreže
onda će struja te faze biti dana izrazom
m
∑e
=0
k
109
(9)
k =1
Napišimo izraz za fazni napon ek, (2a), u malo drukčijem
obliku, tj.
2π 

ik = Iˆ cos ω t − ψ − (k − 1)
m 

dok za trenutnu snagu dobivamo da je
n0
ek =

n =1
n0
=
2π 
∑ Eˆ (n) cosnω t +α n − (k −1) m n =

2π  
2π


pk = ek ik = Eˆ Iˆ cos ω t − (k − 1)  cos ω t − (k − 1)
−ψ  =
m
m

 

1 ˆˆ
1 ˆˆ 
2π

= EI cosψ + EI cos 2ω t − 2(k − 1)
−ψ 
2
2
m


2π 
∑ Eˆ (n) cos n  x − (k −1) m 
n =1
gdje je
No, u skladu sa (12) bit će za m > 2
αn
x = ωt +
m
n
2π

− j ( k −1) n 
m =
Eˆ (n )ℜe e jnx e



k =1 n =1
m n0
ek =
k =1
m
p(t ) = ∑ ek ik =
2π

− j ( k −1) n 
m 
= Eˆ (n ) ℜe e jnx e



n =1
k =1
m
∑
∑
k =1
i cijeli se problem svodi na to da se odredi suma
m
− j ( k −1)
2π
n
m
=S =e
j
2π
n
m
m
⋅ ∑e
k =1
− jk
2π
n
m
(10)
k =1
∑e
− jk
2π
n
m
k =1
j
2π
m
(13)
e1 = Eˆ cos ωt ; e2 = Eˆ sin ωt
=S
budući da je svejedno kojim se redom zbraja m zadanih
kompleksnih brojeva. Proizlazi da je
S =e
m ˆˆ
EI cosψ = konst.
2
Proizlazi da trenutna snaga simetrične višefazne mreže ne
ovisi o vremenu i jednaka je zbroju srednjih snaga
pojedinih faza.
Svaka simetrična mreža je uravnotežena, ali postoje i
uravnotežene nesimetrične mreže. Karakterističan primjer
je dvofazna trožilna mreža u kojoj su naponi izvora dani
izrazima
No, očigledno je i
m

−ψ  = 0

te je trenutna snaga
∑∑
n0
∑e
2π
k =1
m
∑

∑ cos 2ω t − 2(k − 1) m
Vrijedi da je
Ako su struje faza zbog toga
i1 = Iˆ cos(ω t − ψ ) ; i2 = Iˆ sin(ω t − ψ )
n
(11)
S
a kako je za n ≠ Nm, N=1, 2, … i ej2πn/m≠1, to je jednadžbu
(11) moguće zadovoljiti samo ako je S=0.
Dakle, vrijedi izraz (9), odnosno napisan u drukčijem
obliku za n-ti harmonijski član.
to je očigledno
e1i1 + e2 i2 = Eˆ Iˆ[cosω t cos(ω t −ψ ) + sinω t sin(ω t −ψ )]=
= Eˆ Iˆ cosψ
Dakle, razmatrana mreža je uravnotežena.
m

2π 
∑ Eˆ (n) cosn  x − (k −1) m  =
k =1
0

= ˆ
mE (n ) cos nx
n ≠ Nm
n = Nm
(12)
24.3.2 Uravnoteženost
Simetrični poticaji u jednoharmonijskoj mreži, dakle
mreži linearnoj i vremenski nepromjenljivoj, uzrokuju
simetrične odzive. Zbog toga ako je napon k-te faze
2π 

ek = Eˆ cos ω t − (k −1) 
m

24.4 VEZE IZMEĐU FAZNIH I MEĐUFAZNIH
NAPONA
Pod faznim naponom smatrat ćemo, osim ako se
posebno ne naglasi drukčije, napon određene faze prema
nulištu. Pod međufaznim (linijskim) naponom ukl
smatramo napon između faze k i faze l.
24.4.1 Trenutne vrijednosti
Fazni napon k-te faze uk može se u skladu sa KZN
izraziti na m načina, tj. da je
110
24. Opća svojstva višefaznih mreža
uk = ul + ulk ; l = 1, 2, ..., m
(14)
Isto tako očigledno je
m
što je očigledno i iz slike 24.3. Pri tome je naravno
m
m
m
∑∑ u + ∑∑ u
2
q
q =1 s =1
ukl = −ulk ; ukk = 0
m
2
s
= 2m∑ uk2
q =1 s =1
k =1
što daje konačni izraz
Zbrojimo svih m jednadžbi oblika (14)
m
m
m
m∑ uk2 =
m
∑uk = ∑ul + ∑ulk
l =1
l =1
k =1
∑u
2
sq
1≤ q < s ≤ m
l =1
odnosno izraženo u efektivnim vrijednostima
No, zbog (5) prvi je član na desnoj strani jednadžbe jednak
nuli, te dobivamo da je
m
m∑U k2 =
k =1
m
uk =
1
∑ ulk
m l =1
∑U
2
sq
(17)
1≤ q < s ≤ m
(15)
Ako su naponi promatrane mreže jednoharmonijski, to
vrijedi fazorska transformacija. Dakle:
1 m
U& k = ∑U& lk
m l =1
(16)
Primjer: a) Odredite fazni napon faze 1 ako su poznati
valni oblici linijskog napona trofazne nesimetrične mreže!
b) Odredite vezu između efektivnih vrijednosti faznih i
linijskih napona četverofazne nesimetrične mreže!
Rješenje:
ad a) Prema (15) bit će
u1 =
24.4.2 Efektivne vrijednosti
U izrazu (14) umjesto indeksa k i l upotrijebimo neke
druge indekse, recimo q i s. Tada je
1
1
(u11 + u21 + u31 ) = (u21 + u31 )
{
3 0
3
ad b) Prema (17) bit će
2
2
2
2
2
4(U12 + U 22 + U 32 + U 42 ) = U 21
+ U 312 + U 41
+ U 32
+ U 42
+ U 43
usq = uq − us
odnosno
24.5 ODREĐIVANJE NULIŠTA GEOMETRIJSKOM
KONSTRUKCIJOM
usq2 = uq2 + us2 − 2uq us
Načinimo zbrojeve preko svih q = 1, 2, …, m, te s = 1, 2,
…, m. Proizlazi
m
m
∑∑ u
m
2
sq
m
m
m
m
m
= ∑∑ uq2 + ∑∑ us2 − 2∑∑ uqus
q =1 s =1
q =1 s =1
q =1 s =1
q =1 s =1
Budući da su indeksi q i s međusobno nezavisni, to je
m
m
m
m
q =1
s =1
∑∑ uqus = ∑ uq ∑ us
q =1 s =1
no taj je umnožak jednak nuli, budući da je prema (5) svaki
faktor jednak nuli.
S druge strane, očigledno je
m
m
∑∑ u
q =1 s =1
m
2
sq
= ∑ ukk2 + 2
k =1
∑u
2
sq
1≤ q < s ≤ m
Prvi zbroj na desnoj strani jednak je nuli, jer je ukk≡0, a
drugi zbroj se može napisati na prikazani način jer je
u sq2 = uqs2 te se oba člana u sq2 i u qs2 mogu napisati odmah
kao 2 u sq2 , pri čemu je q < s ili s > q!
U nastavku ograničit ćemo se na razmatranje m-faznog
m-žilnog
jednoharmonijskog
sustava
napona.
Ograničenjem na jednoharmonijski sustav ne smanjujemo
općenitost razmatranja nego samo pojednostavljujemo
notaciju koristeći fazorsku transformaciju. U protivnom bi
cijelu analizu trebalo provesti za trenutne vrijednosti
koristeći vektorsku notaciju.
24.5.1 Opći postupak (F. Buchholz, 1921.)
M-fazni m-žilni jednoharmonijski sustav napona u
potpunosti je određen sa m fazora linijskih napona, tj. sa m
točaka u ravnini. Slika 24.4 prikazuje opći slučaj za
četverofazni četverožilni jednoharmonijski sustav napona.
U općem slučaju nulište se određuje ovako:
a) Zadanom m-terokutu raspolovi se svaka stranica.
b) Dobivena polovišta tvore novi m-terokut, stranice kojeg
se ponovno raspolove.
c) Ovaj se postupak ponavlja tako dugo dok se m-terokut
ne stegne u točku.
d) Ova točka jest nulište zadanog sustava.
VII. Višefazne mreže
1
111
2
m1 = U&1
3
U41
U12
odnosno za sve veličine shvaćene kao da su fazori da je
2m& 1 = 3U&1
0’
2
U23
4
U34
3
Sl.24.4 Postupak određivanja nulišta geometrijskom
konstrukcijom.
24.5.2 Trofazni sustav
Za trofazni sustav vrijedi ovo važno pojednostavljenje:
Nulište se nalazi u težištu trokuta linijskih napona.
U skladu s izrazom (16) vrijedi za fazor faznog napona
prve faze da je
3U&1 = U& 21 + U& 31
Ako je nulište u težištu trokuta linijskih napona, to za
težišnicu m1 prema slici 24.5 vrijedi da je
Sl.24.5 U trofaznom sustavu nulište je u težištu trokuta linijskih
napona.
No, iz geometrijske konstrukcije neposredno proizlazi
da je
2m& 1 + U& 12 + U& 13 = 0
odnosno
3U& 1 = U& 21 + U& 31
čime je dokazana polazna tvrdnja. Analogno se dokazuje
za fazore U& 2 i U& 3 !
112
25. Simetrične komponente višefaznih mreža
XXV. PREDAVANJE
Simetrični skup ν-tog reda. Simetrična komponenta ν-tog reda. Jednoznačnost transformacije m fazora u m
simetričnih skupova. Pojam referentnog fazora. Određivanje skupa referentnih fazora. Simetrične komponente
trofazne mreže: Steinmetzov operator. Direktni, inverzni i nulti (istofazni) sustav. Nesimetrične trofazne mreže.
Pojam ciklički simetrične mreže. Direktna, inverzna i nulta impedancija ciklički simetričnog dijela mreže.
Opravdanost analize mreža s pomoću simetričnih komponenata. Metoda simetričnih komponenata: postupak,
objašnjenje postupka na primjeru.
25. SIMETRIČNE KOMPONENTE VIŠEFAZNIH MREŽA
25.1 POJAM SIMETRIČNE KOMPONENTE
(C.L. Fortescue, 1918.)
A& k e
j
2π
( k −1) µ
m
m
=
∑
ν
B&ν e
j
2π
( k −1)( µ −ν )
m
=1
Svaki od m po volji zadanih kompleksnih brojeva
(fazora) A& k , k = 1,2,..., m, može se prikazati kao zbroj od
m kompleksnih brojeva (fazora) B& kν , tj. kao
Zbrojimo ove jednakosti po svim indeksima k. Proizlazi
m
∑
m
A& k =
B& ν
∑
ν
j
2π
( k −1) µ
m
B& kν = B&ν e
=
;
k = 1,2, ..., m
(2)
komponentom ν-tog reda.
Očigledno je moguć jednoznačni prikaz skupa
fazora (kompleksnih brojeva) { A& k } s pomoću fazora
B& kν . Naime, za potpuno
određivanje skupa fazora { A& k } potrebno je 2m podataka
brojeva)
(m podataka o modulima i m podataka o faznim kutevima),
a isti broj podataka potreban je za m simetričnih skupova,
budući da je za svaki simetrični skup potrebno poznavati
samo dva podatka, i to amplitudu Bν i fazni pomak 2πν / m
između dva uzastopna fazora u simetričnom skupu.
U izrazu (2) odabran je slijed indeksa k takav da
je u svakom od simetričnih skupova { B& k ν } fazor B& 1ν
referentan (osnovan). To je, naravno, dogovor i u skladu s
njim vrijedi
B&1ν = B&ν ; | B&ν | = Bν
j
e
te dobivamo da je
2π
( k −1) µ
m
,
µ = 1,2,..., m
pomnoži s
j
2π
( k −1)( µ −ν )
m
m
B&ν ∑ e
∑
ν
j
2π
( k −1)( µ −ν )
m
=
(3)
k =1
Usporedimo li desnu stranu jednakosti s izrazom (24.10),
opažamo da vrijedi da je
m
m
∑ ∑
B&ν
ν =1
e
−j
2π
( k −1)( µ −ν )
m
k =1
m
=S
∑ B&
ν
(4)
ν =1
pri čemu u skladu s objašnjenjem u odsječku 24.3.1, te
uzevši u obzir da je indeks n u ovome slučaju jednak µ –ν,
proizlazi da je
µ ≠ν
0
S=
µ =ν
1
što uvršteno u izraze (4) odnosno (3) daje izraz za
određivanje referentnog fazora B&ν , tj.
1
B&ν =
m
Napomena:
tj. sa B& ν označen je referentni fazor (osnovni fazor)
u simetričnom skupu ν-tog reda, a sa Bν amplituda
simetričnih komponenata ν-tog reda.
Referentni fazori B&ν određuju se iz poznatog skupa
fazora { A& k } tako da se svaki fazor
kompleksnim brojem
B&ν e
=1
=1
Skup { B& k ν } , k = 1,2, ..., m, naziva se simetričnim
skupom ν-tog reda ili potpunim fazorskim skupom ν-tog
reda. Element skupa B& kν naziva se k-tom simetričnom
(kompleksnih
∑∑
ν
m
=1
2π
( k −1)ν
m
m
k =1
gdje je
−j
m
=
k =1
(1)
k
A& k e
25.2
m
∑
A& k e
j
2π
( k −1)ν
m
(5)
k =1
Kut referentnog fazora B& ν određuje orijentaciju
simetričnog skupa ν-tog reda. Svi ostali članovi
skupa su u odnosu na referentni pomaknuti
za kut 2πν (k–1)/m, gdje je k redni broj fazora u
simetričnom skupu.
SIMETRIČNE KOMPONENTE TROFAZNE
MREŽE
Od svih višefaznih mreža, u praksi su najvažnije
trofazne mreže. U tom slučaju m = 3, te se nesimetrični
skup fazora A& k (k=1,2,3) može u skladu sa (1) prikazati kao
113
VII. Višefazne mreže
A&1 = B&11 + B&12 + B&13 = B&1 + B& 2 + B& 3
2π
2π
2π
⋅1⋅1
− j ⋅1⋅2
− j ⋅1⋅3
3
+ B& 2 e 3 + B& 3 e 3
2π
2π
2π
− j ⋅2⋅1
− j ⋅2⋅2
− j ⋅2⋅3
&A = B& + B& + B& = B& e 3 + B& e 3 + B& e 3
3
31
32
33
1
2
3
A& 2 = B& 21 + B& 22 + B& 23 = B&1e
−j
Radi jednostavnijeg pisanja uvodi se tzv. Steinmetzov
operator.
j
a=e
2π
3
= cos
2π
2π
1
3
+ j sin
=− + j
3
3
2
2
j
4π
3
=−
1
1
B&1 = ( A&1 + aA& 2 + a 2 A& 3 ) = (1 + 3 ) j ≈ 0.91 j
3
3
b) drugog reda (ν = 2)
1
1
B& 2 = ( A&1 + a 2 A& 2 + aA& 3 ) = (1 − 3 ) j ≈ −0.24 j
3
3
(6)
Očigledno je
a2 = e
Rješenje:
U skladu s izrazom (10) ili (11) prvo odredimo
referentne fazore simetričnog skupa
a) prvog reda (ν = 1)
c) trećeg reda (ν = 3)
1
1
B& 3 = ( A&1 + A& 2 + A& 3 ) = j ≈ 0.33 j
3
3
1
3
− j
; a 3 = 1 ; a −1 = a 2 ; a − 2 = a
2
2
a zatim se u skladu s izrazom (12) odrede sve preostale
simetrične komponente.
te prethodni sustav jednadžbi poprima oblik
A&1 = B&1 + B& 2 + B& 3
A& = a 2 B& + aB& + B&
2
1
2
A&1
(7)
3
A& 3 = aB&1 + a 2 B& 2 + B& 3
↔
odnosno u matričnoj notaciji
A&3
 A&1 
 B&1 
& 
& 
 A2  = [T ]  B2 
 A& 
 B& 3 
 
 3
(8)
B& 31
(9)
( k −1)ν
k
a 2   A&1 
 
a   A& 2 
1   A& 3 

(10)
; ν = 1,2,3
(11)
; k = 1,2,3
(12)
k =1
B& kν = B&ν a − ( k −1)ν
B& 21
| B&k 3 |≈ 0,33
| B& k 2 |≈ 0,24
| B&k 1 |≈ 0,91
Sl. 25.1 Rastav zadanog skupa fazora { A& k } na
simetrične komponente.
Umjesto matrične notacije često se koriste izrazi (2) i (5)
napisani s pomoću Steinmetzova operatora. Vrijedi:
∑ A& a
+
B&12
1 1
a 1
a 2 1
1 a
 A&1 
 B&1 
& 
1
−1  & 
2
 B2  = [T ]  A2  = 3 1 a
1 1
 A& 
 B& 3 
 
 3

3
B&13 = B& 23 = B& 33
B& 22
+
↔
dok je u skladu s jednadžbom (8)
1
B&ν =
3
B&11
B& 32
gdje je matrica T dana izrazom
1
[T ] = a 2
 a
A&2
Primjer:
Zadana su tri fazora A& 1 = j , A& 2 = 1 , A& 3 = − 1 . Odredite
fazore svih simetričnih skupova
Na slici 25.1 opažamo da je redoslijed faza simetričnog
skupa drugog reda (ν = 2) promijenjen u odnosu na
redoslijed faza simetričnog skupa prvog reda (ν = 1).
Izmjenični motor priključen na simetrični trofazni sustav
napona ν = 2 vrtio bi se u suprotnom smjeru od onoga u
kojem bi se vrtio priključen na simetrični trofazni sustav
napona ν = 1. S druge strane, simetrični skup napona
trećeg reda (ν = 3) uopće ne tvori trofazni sustav napona
nego se svodi na jednofazni sustav.
Zbog toga se za trofazne mreže uvode posebne oznake i
nazivi. Tako se svaki nesimetrični trofazni sustav napona
ili struja rastavlja u tri simetrična sustava napona ili struja,
od kojih su dva trofazna
- simetrični sustav prvog reda (ν = 1) ili direktni sustav,
(indeks "d")
- simetrični sustav drugog reda (ν = 2) ili inverzni sustav
(indeks "i")
te jedan jednofazni
114
25. Simetrične komponente višefaznih mreža
simetrični sustav trećeg reda (ν = 3) ili istofazni (nulti)
sustav (indeks "0").
Pripadne su oznake, recimo, za nesimetrični sustav struja
analogne izrazima (8) odnosno (10) :
-
Prijelazom na simetrične komponente nismo dobili
nikakvo pojednostavljenje proračuna. Međutim ako je
mreža ciklički simetrična, što je najčešće i slučaj, tj. ako je
Z12 = Z 23 = Z 31 = Z M
 I&1 
 I&d 
& 
& 
 I 2  = [T ]  I i 
 I&3 
 I&0 
 
 
Z 21 = Z 31 = Z 32 = Z m
Z11 = Z 22 = Z 33 = Z
dobiva se da je
Jasno je da su sa I&d , I&i i I&0 označeni samo referentni
fazori odgovarajućih simetričnih sustava struja.
25.3 ANALIZA NESIMETRIČNE TROFAZNE
MREŽE
E& 2
E& 3
I&1
Z11
Z13
Z12
Z23
Z22
Z33
Z21
Z32
U& 1
Z31
I&2
U& 2
I&3
[T ]
0
Zi
0
Z d
[Z ][T ] =  0
 0
TROŠILO
a) Zd = Z + a2 ZM + a Zm
direktna impedancija
(15a)
b) Zi = Z + a ZM + a2 Zm
inverzna impedancija
(15b)
c) Z0 = Z + ZM + Zm
nulta (istofazna) impedancija
(15c)
što uvršteno u (14) daje tri međusobno nezavisne
jednadžbe
U& 3
Sl. 25.2 Shema spoja analizirane mreže u frekvencijskom
ω - području.
E& d = Z d I&d + U& d
E& = Z I& + U&
KZN mogu se lako napisati jednadžbe mreže u matričnoj
notaciji.
E& 0 = Z 0 I&0 + U& 0
i
 E&1 
 I&1  U& 1 
& 
&   & 
 E 2  = [Z ]  I 2  + U 2 
 E& 3 
 I&3  U& 3 
 
   
(13)
 Z 11
 Z 31
Z 12
Z 22
Z 32
Z13 
Z 23 
Z 33 
i i
i
(16)
Iz izloženog proizlazi da se ciklički simetrična mreža u
kojoj djeluje nesimetrični trofazni sustav napona razdvaja
u dvije simetrične trofazne mreže i jednu jednofaznu
mrežu. Ove se mreže analiziraju neovisno jedna o drugoj!
Pitanje:
gdje je matrica impedancije dana izrazom
[Z ] = Z 21
0
0 
Z 0 
gdje je
Razmotrit ćemo opći slučaj nesimetrične trofazne mreže,
slika 25.2, u ustaljenom sinusoidalnom stanju i s
međuinduktivnim djelovanjem između grana. Koristeći
E& 1
−1
Zašto je bilo potrebno uvesti simetrične
komponente, kada je i na prvi pogled jasno da se
i uz uvjet cikličke simetrije zadana mreža može
lako riješiti nakon što se napišu jednadžbe
mreže ?
Problem je u tome da ako u mreži postoje rotacijski
strojevi, a to je u elektroenergetskim mrežama redovito
slučaj, elementi nadomjesne sheme spoja mreže ne mogu se
odrediti ni na koji drugi način nego samo koristeći pokuse
temeljene na rastavu trofaznog sustava u simetrične
sustave. Ovim se pokusima određuju direktna, inverzna i
nulta impedancija (reaktancija) i uobičajeno je
Prijelazom na simetrične komponente dobivamo
 E& d 
 I&d 
U& d 
& 
& 
[T ]  Ei  = [Z ][T ]  I i  + [T ]  U& i 
 E& 0 
 I&0 
U& 0 
 
 
 
Zd > Zi > Z0
odnosno
 E& d 
 I&d  U& d 
& 
&   & 
−1
 Ei  = [T ] [Z ][T ]  I i  +  U i 
 E& 0 
 I&0  U& 0 
 
   
(14)
osim za rotacijske strojeve s izoliranim zvjezdištem, kod
kojih je očigledno Z0 = ∞. U statičkim mrežama teorem
recipročnosti vrijedi pa je Zkl = Zlk, zbog čega je također
Zd = Zi ≠ Z0
115
VII. Višefazne mreže
Zaključujemo:
a) Ako je poznata nadomjesna shema spoja trofazne
mreže koristiti se može bilo koja metoda.
b) Ako nije poznata nadomjesna shema spoja trofazne
mreže, treba njene elemente prvo odrediti mjerenjem.
Dobivaju se vrijednosti za Zd, Zi i Z0 nakon čega je u
skladu s izrazima (15) lako odrediti elemente
nadomjesne sheme
Z=
ZM
Zm
1
(Z d + Z i + Z 0 )
3
1
= (aZ d + a 2 Z i + Z 0 )
3
1 2
= (a Z d + aZ i + Z 0 )
3
(17)
I&2 = I&3 = 0
E& 1
I&1
E& 2
I&2
E& 3
I&3
1
2
3
(18)
CSD
(19)
25.4 METODA SIMETRIČNIH KOMPONENATA
Ova je metoda posebno pogodna za analizu nesimetrija
u trofaznim mrežama. Postupak korištenja ove metode je
sljedeći:
a) Analizirana mreža se rastavi u ciklički simetrični dio
(CSD)-trofazni izvor i nesimetrični dio (NSD)-trošilo.
b) Za ciklički simetrični dio napišu se jednadžbe mreže s
pomoću simetričnih komponenata. Obično u mreži
postoje samo izvori direktnog sustava te vrijedi da je
E& i = E& 0 = 0.
c) Za nesimetrični dio napišu se jednadžbe KZN-a i
KZS-a, oblik kojih ovisi o tipu analizirane nesimetrije.
d) Na spoju dijelova mreže (CSD sa NSD) vrijedi načelo
neprekinutosti, tj. naponi i struje su s jedne i druge
strane mreže jednaki, a time su jednake i njihove
simetrične komponente.
e) Sve napone i struje nesimetričnog dijela valja izraziti
njihovim simetričnim komponentama.
f) Ovime se dobiva 6 linearnih jednadžbi sa 6 nepoznatih
simetričnih komponenata (tri za struje, tri za napone)
g) Iz dobivenih rješenja izraženih s pomoću simetričnih
komponenata valja na kraju prijeći u stvarne napone i
struje.
Primjer:
Odredite struju jednofaznog zemnog spoja u mreži sheme
spoja prema slici 25.3. Izvor pojne mreže je simetrični
trofazni generator direktnog sustava.
Rješenje:
ad a,b) Jednadžbe mreže cikličkog simetričnog dijela su
E& d = Z d I&d + U& d
0 = Z I& + U&
(21)
0 = Z 0 I&0 + U& 0
(22)
i
;
U& 2
Nakon toga analiza se može provesti bilo kojom
metodom. Logično je, ali ne i nužno da se upotrijebi
metoda simetričnih komponenata!
i i
U& 1 = 0
Sl. 25.3
NSD
Shema spoja analizirane trofazne mreže u
frekvencijskom ω - području.
ad d,e) Analogno sustavu jednadžbi (7) možemo napisati
da je
U& 1 = U& d + U& i + U& 0 = 0
I&2 = a 2 I&d + aI&i + I&0 = 0
I& = aI& + a 2 I& + I& = 0
3
d
0
i
(23)
(24)
(25)
ad f) Jednadžbe (20-25) predstavljaju sustav od 6
linearnih jednadžbi u 6 nepoznanica. Iz (24) i (25)
proizlazi da je
a 2 I&d + aI&i + I&0 = aI&d + a 2 I&i + I&0
odnosno da je
I&d = I&i
No, iz (25) je I&0 = I&d (−a − a 2 ) , a budući da je
1 + a + a2 = 0, dobivamo da je i
I& = I&
0
d
Zbrojimo li jednadžbe (20-22), dobivamo da je
E& d = ( Z d + Z i + Z 0 ) I&d + U& d + U& i + U& 0
te uzevši u obzir (23) proizlazi da je
I&d = I&i = I&0 =
E& d
Z d + Z0 + Zi
ad g) "Stvarna" struja faze 1, tj. fazor struje faze 1 (struje
jednofaznog zemnog spoja) je prema tome
(20)
ad c) Jednofazni zemni spoj opisan je jednadžbama
mreže nesimetričnog dijela
U& 3
I&1 = I&d + I&i + I&0 =
3E&1
Zd + Zi + Z0
(26)
Na prvi pogled izgleda da se ovaj zadatak može znatno
lakše riješiti tako da se u jednadžbe mreže (13) uvrste
116
25. Simetrične komponente višefaznih mreža
uvjeti jednofaznog zemnog kratkog spoja, tj. U& 1 = 0 i
I& 2 = I&3 = 0 . Vrijedi da je
 E&1   Z11
&  
 E 2  =  Z 21
 E& 3   Z 31
  
Z 12
Z 22
Z 32
Z 13   I&1   0 
 
Z 23   0  + U& 2 
Z 33   0  U& 3 
Z11 = Z =
1
(Z d + Z i + Z 0 )
3
što uvršteno u (27) daje istu vrijednost fazora struje faze 1
koju smo dobili prije toga primjenom metode simetričnih
komponenata.
odakle odmah dobivamo da je
E&
I&1 = 1
Z11
No, Z11 ne znamo tako da postavljeni zadatak uopće nismo
riješili. Vrijednost impedancije Z11 možemo saznati tek
nakon mjerenja direktne, inverzne i nulte impedancije.
Tada je prema (17)
(27)
VII. Višefazne mreže
117
XXVI. PREDAVANJE
Dogovor o referentnoj točki. Definicija trenutne snage. Dvije fizikalno smislene definicije prividne snage.
Aritmetička prividna snaga – zbroj maksimalnih djelatnih snaga faza. Sistemska prividna snaga – maksimalna
aritmetička snaga. Dodatna komponenta rastava sistemske prividne snage – snaga nesimetrije. Potreba za
trenutnom kompenzacijom. Komponente trenutne snage. Trenutna djelatna snaga. Trenutna jalova snaga.
Trenutna prividna snaga. Kompenzatori bez reaktivnih komponenata. Uvjeti trenutne kompenzacije. Potpuna
kompenzacija. Kompenzatori s reaktivnim komponentama. Nemogućnost trenutne kompenzacije u jednofaznim
mrežama. Trenutna kompenzacija u trofaznim uravnoteženim mrežama.
26. ENERGETSKI ODNOSI – PRIVIDNA I TRENUTNA SNAGA
26.1 PRIVIDNA SNAGA
1T


P=
Pk =
u k (t ) i k (t )dt 
T

k =1
k =1 
0

3
∑
26.1.1 Dvije definicije prividne snage
U jednoprilaznim (jednofaznim) mrežama fizikalni
smisao imaju pojmovi trenutne i djelatne (srednje) snage,
kako je pokazano u poglavlju 16. Izrazi za trenutnu i
djelatnu snagu ne ovise o odabranom sustavu referencija.
Za razliku od ovih pojmova prividna snaga je dogovorna
veličina koja ima puni fizikalni smisao u jednom jedinom
sustavu referencija, tj. ako se kao referentna točka odabere
jedan od priključaka jednoprilaza. Tada prividna snaga
postaje ona najveća djelatna snaga koja bi se na tom
prilazu mogla postići uz dane efektivne vrijednosti napona
i struje jednoprilaza.
Zbog toga, da bi se pokušala očuvati fizikalna
smislenost pojma prividne snage i u višefaznim mrežama
dogovorena je referentna točka s obzirom na koju je
definirana trenutna snaga. To je neutral (nulište) u slučaju
m-faznih m-žilnih mreža, odnosno zvjezdište u slučaju
m-faznih m+1-žilnih mreža. Tako je primjerice za u praksi
i1
1
2
i2
2
3
i3
3
R
R
R
u1
u2
u3
nulište (neutral)
0
nul-vod
∑ ∫
3
S AR =
(3)
i naziva se aritmetičkom prividnom snagom.
U skladu s drugom definicijom, trofazna se mreža
promatra kao jedinstvena cjelina pa se prividna snaga
definira kao maksimum zbroja maksimalnih djelatnih
snaga pojedinih faza, tj.
3
∑max( P )]
k
(4)
i naziva se sistemskom prividnom snagom.
Trofazno
trošilo
26.1.2 Aritmetička prividna snaga
Pretpostavimo trofaznu mrežu u kojoj između k-te faze i
nulišta djeluje naponski izvor valnog oblika
0'
n0
0
uk (t ) = 2
3
k (t ) i k (t )
k
k =1
najvažniju višefaznu mrežu, a to je trofazna mreža,
definirana trenutna snaga kao
∑u
∑max( P )
k =1
Sl. 26.1 Karakteristične veličine trofazne mreže.
p(t ) =
(2)
Pokušaj da se prividna snaga trofazne mreže definira s
pomoću najveće moguće djelatne snage, dakle analogno
jednofaznim mrežama, odmah vodi na dvije definicije
prividne snage.
U skladu s prvom definicijom, trofazna se mreža
promatra kao zbroj triju jednofaznih mreža, pa se prividna
snaga definira kao zbroj maksimalnih djelatnih snaga
pojedinih faza, tj.
S S = max [
1
Trofazna
pojna
mreža
3
(1)
k =1
gdje je uk (t) trenutna vrijednost faznog napona k-te faze a
ik (t) je trenutna vrijednost struje k-te faze. Analogno tome,
definirana je i djelatna snaga kao
∑U k (n)sin(nωt +α k ,n )
n =1
gdje je Uk(n) efektivna vrijednost n-tog harmonijskog
člana, αk,n je početna faza n-tog harmonijskog člana a n0 je
broj relevantnih harmonijskih članova.
Ako pretpostavimo da se skup harmonijskih članova
struje k-te faze ne razlikuje od skupa harmonijskih članova
napona, to će struja k-te faze biti dana izrazom
n0
ik (t ) = 2
∑ I k (n)sin(nωt +α k ,n −ψ k ,n )
n =1
Djelatna snaga je očigledno, prema (16.4), jednaka
118
26. Energetski odnosi – prividna i trenutna snaga
3
P=
3
k
k =1
3
n0
∑ P = ∑∑U
S S = max (
k ( n) I k ( n) cosψ k ,n
k =1 n =1
∑
U k ( n ) I k (n ) cosψ k ,n ]
2
I k2
k =1
 3

1
=  Uk Ik  +


2
 k =1

∑
n0
∑
∑U
n =1
n =1
U k ( n ) I k (n ) cosψ k ,n ≤
3
k ( n ) I k (n )
SS =
∑
n0
n0
∑∑ [U
k (r ) I k ( s ) − U k ( s ) I k ( r )
2
]
; r≠s
r =1 s =1
n0
∑U
2
k ( n)
n =1
r =1 s =1
n0
⋅
∑I
2
k ( n)
= Uk Ik
n =1
U k (r ) U k ( s)
U
=
= Rk = k
I k (r )
I k (s)
Ik
(5)
Proizlazi da se maksimalna djelatna snaga k-te faze
dobiva množenjem efektivnih vrijednosti napona Uk i
struje Ik, tj. da je jednaka prividnoj snazi te faze. Slijedi da
je
3
3
∑ max( P ) = ∑U
k
k =1
k Ik
3
∑I
2
k
=U ⋅I
(7)
k =1
(8)
Sistemska prividna snaga je maksimalna djelatna snaga
koju bi preuzelo trošilo sastavljeno od zvijezde otpora
jednakih otpornosti R.
uz uvjet da je
S AR =
− U s I r )2 ; r ≠ s
Primjer:
Odredite faktore snage λAR = P/SAR i λS = P/SS trofazne
mreže opterećene otporom R prema slici 26.2. Trofazna je
mreža modelirana simetričnim trofaznim naponskim
izvorom efektivne vrijednosti napona Ek = E (k=1,2,3).
odakle se odmah se vidi da je
max( Pk ) =
r s
Ur Us
U
=
= R =
Ir
Is
I
∑
n =1
1
+
2
3
i vrijedi uz uvjet da je
2
 n0

=  U k (n) I k ( n)  +
 n =1

I k2 (n)
∑
U k2 ⋅
k =1
No, Cauchy-Bunjakovskoga jednakost u obliku koji vrijedi
za polinome, a u terminima elektrotehnike, glasi
n0
3
∑∑(U I
odakle se odmah se vidi da je sistemska prividna snaga
n0
n =1
U k2
k =1
Očigledno je uvijek
∑
3
∑ ∑
n =1
U k2 (n) ⋅
U skladu s Cauchy-Bunjakovskoga jednakošću vrijedit će
da je
3
n0
max( Pk ) = max [
k Ik )
k =1
Odredimo sada aritmetičku prividnu snagu. Problem se
time, u skladu s izrazom (3), svodi na određivanje
maksimalne djelatne snage u k-toj fazi, tj.
n0
∑U
(6)
k =1
Dakle, aritmetička prividna snaga bi se dobila u nekoj
trofaznoj mreži ako bi se mreža trošila mogla prikazati
zvijezdom otpora otpornosti Rk.
Napomena: Pri određivanju aritmetičke prividne snage svaka se
od faza promatra nezavisno od drugih, pa se je do
rezultata (6) moglo doći odmah primijenivši
definiciju prividne snage jednoprilaza iz poglavlja
16!
26.1.3 Sistemska prividna snaga
Sistemska prividna snaga predstavlja maksimalnu
vrijednost aritmetičke prividne snage, tj.
e1
i1
1
e2
i2
2
e3
i3
3
0
R
Sl. 26.2 Primjer nesimetrično opterećene trofazne mreže.
Rješenje:
Vrijedi da je
I1 = I 2 =
3E
R
;
I3 = 0
Djelatna snaga je očigledno
P = R I 12 =
3E 2
R
dok je aritmetička prividna snaga u skladu s izrazom (6)
jednaka
S AR = E1 I 1 + E 2 I 2 + E3 I 3 = 2 E ⋅
3E
E2
=2 3
R
R
dok je sistemska prividna snaga u skladu s izrazom (7)
jednaka
VII. Višefazne mreže
3E 2
E4
S S2 = ( E12 + E 22 + E 32 )( I 12 + I 22 + I 32 ) = 3E 2 ⋅2⋅ 2 = 18 2
R
R
odnosno
SS = 3 2
E2
R
Odgovarajući faktori snage su
P
3
=
= 0.866
S AR
2
P
1
λS =
=
= 0.707
SS
2
λ AR =
119
što je istekla jedna perioda rada. Mijenja li se opterećenje
unutar periode, a to je danas sve češći slučaj s povećanjem
primjene i snaga uređaja energetske elektronike, promjena
struje jednoprilaza i(t) na optimalnu vrijednost ia(t) nije
moguća u istom trenutku. Analogna razmatranja vrijede i
za
eventualnu
nezavisnu
eliminaciju
pojedinih
komponenata prividne snage.
Pravo bi rješenje bilo – djelovati na osnovi informacije o
trenutnoj snazi.
26.2 KOMPONENTE TRENUTNE SNAGE
(J.L. Willems, 1992.)
Osnovno je pitanje može li se pronaći rastav trenutne
vrijednosti struje k-te faze trofazne mreže
(9)
i k = i pk + i qk
26.1.4 Rastav prividne snage na komponente
Rastav prividne snage na komponente je važan, kako je
to pokazala analiza provedena u poglavlju 16 na primjeru
jednofazne (jednoprilazne) mreže, jer nam omogućuje da
otkrijemo uzroke zbog čega je u nekoj mreži na nekom
prilazu prividna snaga veća od djelatne.
U jednofaznim mrežama postoje tri razloga
a) pojava jalovih snaga na frekvencijama → jalova snaga
Sx
b) raspršenje vodljivosti jednoprilaza oko ekvivalentne
vodljivosti → raspršena snaga DS, i
c) pojava harmonijskih članova u struji kojih nema u
naponu poticaja → snaga distorzije SD.
U višefaznim mrežama pojavljuje se i nesimetrija
trošila, što je vidljivo iz analize primjera u prethodnom
odsječku te se uvodi i dodatni razlog zašto je u višefaznim
mrežama prividna snaga veća od djelatne. To je
d) nesimetrija trošila i s njom povezan pojam snage
nesimetrije Sn.
No, nije dovoljno samo otkriti uzroke zašto je S > P.
Treba naći metode kako smanjiti pojedine komponente
prividne snage tako da u optimalnom slučaju bude S = P.
To je ključno pitanje u trofaznim mrežama budući da se
njima prenosi praktički sva proizvedena električna
energija.
Prema onome što je izloženo u poglavlju 16, optimalno
bi bilo da je struja prilaza (faze) za zadanu snagu P i
efektivnu vrijednost napona U oblika
takav da vrijedi
3
3
∑u i = ∑u i
k k
k pk
k =1
T
1
u(t )i (t )dt
T 0
∫
Ge =
P
=
T
U2
1 2
u (t )dt
T 0
∫
No, djelatna snaga P i efektivna vrijednost U su integralne
veličine i njihove vrijednosti saznajemo najranije tek nakon
(10)
tj. da je
3
∑u i
k qk
=0
(11)
k =1
Jer ako je to moguće, to bi značilo da uz istu trenutnu
snagu p(t) postoje različiti valni oblici struje. Pri tome bi za
praksu bio najvažniji onaj oblik struje ipk za koju bi bili
minimizirani gubici energije, dakle, interesirat će nas
minimum funkcije
3
∑i
2
pk
(12)
k =1
0
e1
i1
e2
i2
e3
i3
R
u1
u2
R
ia = G e u
gdje je Ge ekvivalentna vodljivost prilaza, određena u
periodičkom režimu rada izrazom (16.12.), tj.
= p (t )
k =1
R
TROŠILO
u3
0'
Sl. 26.3 Analizirana trofazna mreža.
Ovako definirana zadaća svodi se na određivanje
vezanog ekstrema funkcije (12) uz ograničenje dano
izrazom (11) i ograničenje da je
3
∑i
qk
=0
k =1
koje je očigledno. Ova se zadaća rješava tako da se napiše
funkcija
120
26. Energetski odnosi – prividna i trenutna snaga
3
3
F=
∑
3
2
i pk
+λ
∑u i
k qk
k =1
+µ
k =1
∑i
∑
p(t ) =
3
3
∑i
u k2 ⋅
k =1
qk
2
pk
(15)
k =1
k =1
s još nepoznatim Lagrangeovim multiplikatorima λ i µ.
Nužni uvjet da bi funkcija F imala minimum jest
∂F
∂
=0 =
(i k − i qk ) 2 + λu k + µ
∂i qk
∂i qk
Očigledno, trenutna djelatna snaga tek je drugo ime za
trenutnu snagu p(t) definiranu izrazom (1), no iz izraza
(15) jasno se vidi da se uz istu trenutnu snagu p(t) gubici
prijenosa mogu smanjiti budući da je izvor dovoljno
opteretiti samo strujama ipk!
Prema (9) te uzevši u obzir (14) je
tj.
2i k = 2i qk + λu k + µ
(13)
2
2
i k2 = (i pk + i qk ) 2 = i pk
+ i qk
+ 2i qk p
Zbrojimo li ove izraze po svim k = 1,2,3 te uzevši u obzir i
da je
3
∑u
k =1
∑
proizlazi da je µ = 0 i da je
i k2 =
k =1
∑u
∑
∑
2
i qk
+2
k =1
p
3
∑
3
3
∑u ∑i
q (t ) =
2
k
k =1
p (t )
3
k =1
3
3
∑
u k i qk
2 1
k =4
1 24
3
uk
0
tj. ipk i iqk su međusobno ortogonalni. Uvodimo pojam
trenutne jalove snage
2
k
što uvršteno u (13) daje
1
λu k =
2
∑
i 2pk +
k =1
k =1
i pk =
3
p (t )
3
2
k
k =1
3
λ=2
∑u
Zbrojimo li ove izraze po svim k, dobivamo
=0
k
uk
3
2
qk
(16)
k =1
u k (t ) ; i qk = ik − i pk (14)
i trenutne prividne snage
u k2 (t )
k =1
3
Zaključujemo:
a) Želimo li rasteretiti pojnu mrežu, a time i smanjiti
gubitke prijenosa, paralelno trošilu valja ugraditi
kompenzator prema slici 26.4
ek
ipk
ik
TROŠILO
iqk
uk
KOMPENZATOR
Sl. 26.4 Načelna shema spoja kompenzacije struje iqk k-te faze.
b) Budući da vrijedi jednakost (10), tj. da je trenutna
snaga nepromijenjena, proizlazi da kompenzator ne
treba sadržavati reaktivne komponente.
Uvedimo pojam trenutne djelatne snage. Prema (14) je
2
p (t )
i 2pk =
3
(
∑u
u k2
2 2
k)
k =1
te ako zbrojimo po svim k, proizlazi da je
3
∑ u ⋅ ∑i
s( t ) =
2
k
2
k
(17)
p 2 (t ) + q 2 (t )
(18)
k =1
k =1
Vrijedi da je:
s(t ) =
Zaključujemo:
a) Kompenzatorom bez reaktivnih komponenata možemo
djelovati tako da bude
q( t ) ≡ 0
Fizikalno q(t) predstavlja oscilacije snage između faza,
tj. onaj dio snage koji ne sudjeluje u prijenosu energije
od izvora prema trošilu. To proizlazi iz činjenice što se
trenutna snaga odgovorna za prijenos energije od
izvora prema trošilu p(t) nije promijenila, iako je
q(t)=0. No, gubici prijenosa su smanjeni jer je
3
∑
k =1
i 2pk <
3
∑i
2
k
k =1
b) Trenutna kompenzacija je moguća budući da valni
oblik struje iqk, koju mora dati kompenzator, prema (14)
određuju samo trenutne vrijednosti.
121
VII. Višefazne mreže
2
2
ick
= (i pk − i ak ) 2 = i 2pk + i ak
− 2i pk ⋅ Ge u k
26.3 POTPUNA KOMPENZACIJA
Na osnovi izloženog u odsječku 26.1, iz definicije
sistemske prividne snage zaključujemo da je za minimalne
gubitke prijenosa električne energije nužno pretpostaviti da
je pojna mreža opterećena simetrično trima jednakim
otporima takve otpornosti da je SS = P.
U terminima trenutne snage ovo znači da se i nakon
kompenzacije trenutne jalove snage q(t) gubici prijenosa
mogu i dalje smanjiti, ali sada djelovanjem na valni oblik
trenutne snage p(t) tako da ne mijenjajući snagu trošila P
smanjimo srednje gubitke. Budući da se mijenja p(t),
pripadni kompenzatori nužno moraju sadržavati reaktivne
komponente.
"Minimalni" valni oblik struje, odgovoran za snagu
trošila P je prema Fryze-u u k-toj fazi oblika
Zbrojimo li ove izraze po svim k, proizlazi da je
3
∑
2
ick
=
k =1
3
∑
2
i pk
+
3
∑
k =1
2
iak
− 2Ge
k =1
k =1
3
∑
2
I ck
=
3
∑
k =1
∑
k =1
2
k
3
∑
1
1
p a dt =
pdt = P
T 0
T 0
3
∑
U k2 =
∑U
3
∑
I 2pk −
k =1
3
∑
gdje je Uk efektivna vrijednost faznog napona uk(t), odakle
dobivamo izraz za ekvivalentnu vodljivost trošila
P
3
∑
p(t )
3
∑u
− Ge ]
∑I
2
ak
k =1
2
I ak
<
3
∑I
2
pk
k =1
(20)
u k = Uˆ sin[ωt − (k − 1)
2π
]
3
napaja linearno simetrično trofazno trošilo tako da je struja
k-te faze valnog oblika danog izrazom
2
k (t )
2π
i k = Iˆ sin[ωt − (k − 1)
−ψ ]
3
ipk
Kompenzacija
uz LC
3
(14), ip1 = i1, iq1 ≡ 0. Kompenzacija bez reaktivnih
komponenata, dakle trenutna kompenzacija nije
moguća.
k =1
ick
2
ak
Napomena: U jednofaznim mrežama je k = 1, te je prema izrazu
Potpuna kompenzacija ostvarena je ako kroz izvor i
prijenosne vodove teku struje valnih oblika iak(t). Ugradi li
se kompenzator, to će za k-tu fazu vrijediti da je
uk
∑I
Primjer:
Odredite valni oblik struje kompenzatora u k-toj fazi ako
trofazni simetrični naponski izvor valnog oblika napona
k =1
iak
3
(19)
U k2
ick = i pk − iak = u k (t )[
− 2Ge P
što znači da su gubici prijenosa energije potpunom
kompenzacijom smanjeni na minimum.
2
k
k =1
Ge =
2
ak
k =1
k =1
3
∑I
tj. da je
∫
Pri tome je
ek
2
I ck
=
k =1
T
P = Ge
0
konačno dobivamo da je
≠ p(t )
iako je naravno
∫
∫
Kako je
k =1
T
3
k =1
∑u
1
...dt
T
k =1
Ge P = Ge2
3
u k i ak = Ge
2
I pk
+
k =1
te je
3
∑
u k i pk
što nakon integriranja daje
i ak = Ge u k
p a (t ) =
T
3
ik
TROŠILO
iqk
Kompenzacija
bez LC
Rješenje:
Za trofaznu simetričnu mrežu opterećenu linearnim
simetričnim trošilom, dakle uravnoteženu mrežu, vrijedi da
je
3
p(t ) =
k k
k =1
Sl. 26.5 Načelna shema potpune kompenzacije k-te faze.
U skladu s izrazom (20) očigledno je da za k-tu fazu vrijedi
∑u i
a da je
=
3 ˆˆ
UI cosψ = P
2
122
26. Energetski odnosi – prividna i trenutna snaga
3
∑u
2
k
k =1
= Uˆ 2
3
∑ sin
2
[ωt − (k − 1)
k =1
2π
3
] = Uˆ 2
3
2
pa dobivamo u skladu s izrazom (14) da je
i pk =
p (t )
3
∑u
2
k
k =1
i qk = i k − i pk
Prema (19) je
=
Iˆ cosψ
uk
Uˆ
Ge =
P
3
∑U
k =1
2
k
3 ˆˆ
UI cosψ
Iˆ cosψ
= 2
=
3 ˆ2
Uˆ
U
2
pa je ipk = Geuk, a prema definiciji je iak = GeuK, što znači da
je u skladu s izrazom (20)
ick ≡ 0
Zaključujemo da je za potpunu kompenzaciju dovoljan
samo kompenzator bez reaktivnih komponenata, dakle
trenutna kompenzacija je moguća.
123
VIII. Teoremi mreža
XXVII. PREDAVANJE
Primjena teorema mreža. Teorem zamjene: ograničenja, tri načina iskaza teorema. Primjeri primjene teorema
zamjene. Teorem superpozicije. Ograničenje na prisilni odziv. Nenulti početni uvjeti kao ekvivalentni istosmjerni
naponski i strujni izvori. Primjer primjene: Millmanov teorem. Teorem recipročnosti. Iskaz teorema. Recipročnost
osnovnih jednoprilaznih i dvoprilaznih elemenata mreže. Bilateralni elementi mreže. Unilateralni elementi mreže.
Nerecipročnost giratora. Opća svojstva recipročnih mreža izvedena s pomoću Tellegenovog teorema. Jednakost
prijenosnih admitancija i impedancija. Jednakost prijenosnih omjera napona i struje. Kriterij za ispravan izbor
pokusa. Primjeri primjene.
VIII. TEOREMI MREŽA
Teoremi mreža su eksplicitni iskazi o nekim svojstvima mreža koja se implicitno nalaze zapisana u jednadžbama KZN-a
i KZS-a analizirane mreže. Teoreme mreža ne trebamo ako se u nekoj mreži moraju riješiti jednadžbe mreže, dakle ako
treba odrediti valne oblike napona i struja svih elemenata mreže. Prava moć teorema mreža ogleda se u slučajevima kada
se u nekoj složenoj mreži traži neko posebno rješenje, recimo valni oblik napona i struje samo jednog elementa mreže. S
pomoću teorema mreža, u mnogim se takvim slučajevima složena mreža može svesti na bitno jednostavniju mrežu čime
otpada trud kao i eventualne pogreške pri rješavanju onih dijelova mreže, rezultati kojih nas ionako ne interesiraju.
27. TEOREM ZAMJENE
27.1 ISKAZ TEOREMA
Mnogi problemi u elektrotehnici svode se na analizu
dvaju međusobno povezanih jednoprilaza. Teorem
zamjene često pojednostavljuje analizu ovako stvorenih
mreža.
Sa Mc označimo mrežu dobivenu povezivanjem dvaju
jednoprilaza M i M′ prema slici 27.1. Mreže (jednoprilazi)
M i M' su mreže po volji, tj. mogu biti linearne, nelinearne,
vremenski promjenljive ili nepromjenljive. Jedina
ograničenja koja se postavljaju na mreže Mc su
i1(t)
M
a)
+
_
u1(t)
b)
u1(i1)
M
c)
i1(t)
M
M
u1(t)
M’
Sl. 27.1 Mreža Mc sastoji se od dva jednoprilaza M i M′ po volji.
a) da mreža Mc ima jednoznačno rješenje, i
b) da nema međudjelovanja između bilo kojeg elementa u
M s bilo kojim elementom u M'.
To znači da ne smije, primjerice, jedan namot
dvonamotnog transformatora biti u M a drugi u M' ili da
upravljačka grana nekog zavisnog izvora bude u M a
upravljana grana u M' ili obratno.
Teorem zamjene može se iskazati u tri verzije:
1. Ako je struja i1(t) jednoprilaza M' poznata, jednoprilaz
M' može se zamijeniti strujnim uvorom i1(t).
2. Ako je napon u1(t) jednoprilaza M' poznat, jednoprilaz
M' može se zamijeniti naponskim uvorom u1(t).
3. Ako su napon u1(t) i struja i1(t) jednoprilaza M' poznati,
jednoprilaz M' može se zamijeniti bilo kojim elementom
mreže s identičnom u1-i1 karakteristikom.
Sl. 27.2 Tri mogućnosti prikaza mreže Mc.
a) Zamjena jednoprilaza M' strujnim uvorom.
b) Zamjena jednoprilaza M' naponskim uvorom.
c) Zamjena jednoprilaza M' elementom mreže
karakteristike u1(i1).
27.2 PRIMJERI
a) U mreži sheme spoja prema slici 27.3a odredite valni
oblik struje naponskog izvora ako je poznat valni oblik
struje induktiviteta iL(t).
i1
3
iL
L
i=?
7V
i2
1
Sl. 27.3 a) Zadana mreža prvog reda.
3A
124
27. Teorem zamjene
Rješenje: Zamjenom induktiviteta L strujnim uvorom iL(t),
zadana mreža prvog reda pretvara se u otpornu mrežu,
slika 27.3b, za koju vrijede sljedeće jednadžbe mreže
r1i
+
i1
+
i
i1
a) u1
i = i1 + iL
r 2i
R1
+
u2
R
+
C1
i2 = iL + i1 + 3
7 = 3 i1 + i2
-r1
odakle proizlazi da je traženi iznos valni oblik struje
naponskog izvora
i1
i
b)
3
i = 1 + iL
4
r2
u1
+
R
3
Sl. 27.4 a) Zadana mreža.
b) Zadana mreža nakon pojednostavljenja.
i=?
7V
i2
iL
3A
1
Sl. 27.3 b) Zadana mreža kao otporna mreža.
b) U mreži sheme spoja prema slici 27.4a odredite valni
oblik struje kroz otpor R.
Rješenje: U skladu s izloženim u poglavlju 2.5 proizlazi da
se grana R1C1 može odspojiti jer je spojena paralelno
serijskom spoju naponskih izvora u1 + r1i. Također u seriju
sa strujnim izvorom αi1 nalazi se naponski izvor u2 kojeg
treba kratko spojiti. No, strujni izvor αi1 ne određuje struju
kroz otpor R te ga možemo odspojiti.
U skladu s teoremom zamjene budući da znamo i struju
i(t) i napone r1i kao i r2i na zavisnim naponskim izvorima,
to ove zavisne naponske izvore možemo zamijeniti
otporima otpornosti – r1 odnosno r2. Proizlazi da je
u1
i=
R + r2 − r1
28. TEOREM SUPERPOZICIJE
28.1 ISKAZ TEOREMA (H.Helmholtz, 1853.)
Razmotrimo linearnu mrežu M u kojoj od trenutka t = 0
djeluje α nezavisnih naponskih izvora u s1 (t ), u s 2 (t ),
... u sα (t ) te β nezavisnih strujnih izvora i s1 (t ), i s 2 (t ),
... i s β (t ) . Neka je y(t) prisilni odziv mreže M zbog
djelovanja svih α + β nezavisnih izvora i neka je yuk(t)
prisilni odziv ako u mreži djeluje samo usk(t), te neka je
yik(t) prisilni odziv mreže M ako u mreži djeluje samo isk(t).
Tada u skladu s teoremom superpozicije vrijedi da je
za t ≥ 0
β
α
y (t ) =
∑
k =1
yuk (t ) +
∑y
ik
(t )
Ograničenje na prisilni odziv je bitno. Potpuni odziv
nije linearna funkcija poticaja dok prisilni odziv to jest,
poglavlje 7.2. Međutim, upravo teorem superpozicije nam
omogućava da dobijemo osnovnu relaciju između raznih
vrsta odziva u linearnim mrežama, tj. da je potpuni odziv
jednak zbroju prisilnog i slobodnog odziva. Naime,
slobodni odziv se može interpretirati kao poseban slučaj
istosmjernog prisilnog odziva ako se elementi mreže u
kojima je do trenutka početka promatranja, recimo trenutka
t = t0, uskladištena energija, shvate kao kombinacije
pasivnih elemenata bez
uskladištene energije i
odgovarajućih istosmjernih naponskih odnosno strujnih
nezavisnih izvora, kako je to već objašnjeno u poglavljima
9.1 i 21.2!
k =1
Prisilni odziv mreže koji je posljedica djelovanja svih
nezavisnih izvora jednak je zbroju prisilnih odziva koje bi
prouzrokovao svaki nezavisni izvor sam za sebe ako bi
djelovao u mreži za to vrijeme.
Svaki nezavisni naponski izvor koji se ne promatra
kratko se spaja, a svaki nezavisni strujni izvor se prekida.
Sjetimo se da je svaki naponski izvor poopćeni kratki spoj
a svaki strujni izvor poopćeni prekid, poglavlje 2.5.
i
i1
u
C
C
u1
L
I
L
U0
u(t0 )=U0
u1(t0)=0
i( t0)= I0
i1(t0)=0
Sl. 28.1 Transformacija reaktivnih elemenata.
125
VIII. Teoremi mreža
Napomena: Obratite pozornost na to da je u poglavlju 9.1
pokazano suprotno, tj. da se u istosmjernim
krugovima prisilni odziv može interpretirati kao
poseban slučaj slobodnog odziva. Obje tvrdnje su
točne, sve ovisi o tome što nam je prije poznato!
Ako kratko spojimo sve naponske izvore osim izvora u
j-toj grani, kako je to prikazano na slici 28.3, vrijedit će da
je
n
I j (s) + I ( s) = 0 ; Y (s) =
∑Y (s) ;
i
i≠ j
i =1
VAŽNO:
a) Nenulte početne uvjete, tj. uskladištenu energiju, treba
shvatiti kao djelovanje ekvivalentnih istosmjernih
nezavisnih naponskih odnosno strujnih izvora na mrtvu
mrežu. Početni uvjeti su rezultat djelovanja vanjskog
svijeta na mrežu do početka promatranja neke pojave
(t ≤ – 0).
b) Zavisni izvori ne predstavljaju djelovanje vanjskog
svijeta na mrežu te stoga ostaju nedirnuti u analizi
mreža metodom superpozicije.
c) Teorem superpozicije implicira da u linearnoj mreži
nema interakcije (međudjelovanja) između odziva
nastalih kao rezultat djelovanja različitih poticaja.
odnosno
[U
A, j
n
]
( s ) − U j ( s ) Y j ( s ) + U A, j ( s ) ⋅
∑ Y ( s) = 0 ;
i
i≠ j
i =1
A
Y1(s)
Y2(s)
Yj(s)
+
Yn(s)
Uj(s)
A'
28.2 PRIMJER: MILLMANOV TEOREM
(J. Millman, 1940.)
Ij(s)
A
I(s)
Dobar primjer primjene teorema superpozicije jest u
postupku dokaza Millmanovog teorema. Ovaj teorem
iskazan u frekvencijskom s – području izriče da je u mreži
u kojoj n naponskih izvora djeluje na isti par sabirnica AA',
slika 28.2, napon tih sabirnica UA(s) dan izrazom
Yj(s)
Y(s)
UA,j(s)
+
Uj(s)
n
∑U
U A ( s) =
k
A'
( s ) Yk ( s )
k =1
Sl. 28.3 Uz dokaz Millmanovog teorema.
n
∑Y (s)
k
Proizlazi da je
k =1
gdje je Uk(s) Laplaceov transformat napona k-te grane a
Yk(s) jest admitancija k-te grane.
U A, j ( s ) =
U j (s) Y j (s)
n
∑ Y (s)
j
j =1
Y1(s)
Y2(s)
Yn(s)
UA(s)
+
U1(s)
+
U2(s)
+
No, u skladu s teoremom superpozicije, napon na
sabirnicama AA' bit će zbog djelovanja svih izvora jednak
n
Un(s)
n
U A ( s ) = ∑ U A, j ( s ) =
j =1
∑U
j
(s) Y j ( s)
j =1
n
∑Y (s)
j
Sl. 28.2 Mreža na koju se odnosi Millmanov teorem.
j =1
što i izriče Millmanov teorem.
29. TEOREM RECIPROČNOSTI
29.1 ISKAZ TEOREMA
Neka mreža Mr je recipročna ako zamjenom mjesta
poticaja i odziva, odzivi prije i poslije zamjene mjesta
ostanu jednaki.
"Zamjena mjesta" znači da se poticaj i odziv uvijek
odnose na varijable (napon ili struja) različitih grana.
U dokazivanju da je neka mreža recipročna nužna su dva
pokusa. Označimo sa x1(t) poticaj koji djeluje na prilazu 1,
slika 29.1, a sa y2(t) odziv koji se pojavljuje na prilazu 2 u
prvom pokusu. Također, označimo sa x2 (t ) poticaj koji
djeluje na prilazu 2 a sa y1 (t ) odziv koji se pojavljuje na
prilazu 1 u drugom pokusu.
126
29. Teorem recipročnosti
Prvi pokus
x1(t)
Drugi pokus
y2(t)
1
Mr
y1(t)
2
u k ik = R ik i k = u k ik
x2(t)
1
Mr
2
Sl. 29.1 Dokazivanje recipročnosti.
U skladu s uvedenim oznakama teorem recipročnosti se
može iskazati i na ovaj način:
Mreža Mr je recipročna ako zbog x1 (t ) = x2 (t ) proizlazi
da je y1 (t ) = y 2 (t ) .
Uočimo bitnu činjenicu da na mrežu Mr djeluje samo
jedan poticaj, što znači da je mreža prije provedbe prvog
kao i drugog pokusa bila "mrtva".
Napomena: Pojam recipročnosti ključan je u mnogim
primjenama. Želimo li, primjerice, ostvariti
telefonsku liniju između mjesta A i B, onda se ova
očigledno mora sastojati od recipročnih
komponenata kako bi prijenos signala od A prema
B bio jednak prijenosu signala od B prema A!
29.2 RECIPROČNOST ELEMENATA MREŽE
29.2.1 Otpori
Pokažimo da je svaki linearni vremenski nepromjenljivi
otpor recipročni element mreže. U tu svrhu provedimo dva
pokusa kako je pokazano na slici 29.2. Ako napone u1 i
u2 shvatimo kao poticaje, a struje i2 i i1 kao odzive, vrijedit
će
u
u1 = R i1 = − R i2 ⇒ i2 = − 1
R
u
u 2 = R i2 = − R i1 ⇒ i1 = − 2
R
1
Prvi pokus
R
i2
i1
2
1
Drugi pokus
R
i1
i2
2
(1)
Analognim se postupkom lako pokazuje da je i svaki
linearni vremenski promjenljivi otpor recipročni element
mreže.
Zaključujemo da je svaki linearni otpor, tj. otpor za koji
vrijedi Ohmov zakon, recipročni element mreže. No,
svojstvo linearnosti je samo dovoljan uvjet recipročnosti,
ali ne i nužan uvjet! Naime, iz same definicije
recipročnosti (zamjena mjesta poticaja i odziva!) proizlazi
da će i svaki nelinearni otpor neparno simetrične
karakteristike biti recipročni element mreže.
Otpor s neparno simetričnom karakteristikom, dakle svi
linearni otpori i dio nelinearnih otpora, nazivaju se
bilateralni otpori. Svaki bilateralni otpor ujedno je i
recipročni element mreže.
Otpori za koje svojstvo bilateralnosti ne vrijedi zovu se
nebilateralni otpori ili češće unilateralni otpori. Većina
poluvodičkih učinskih ventila te svi nezavisni naponski i
strujni izvori pripadaju među unilateralne otpore te stoga
nisu recipročni elementi mreža.
U nastavku analize ograničit ćemo se samo na linearne
vremenski nepromjenljive otpore.
29.2.2 Reaktivni elementi
"Ohmov zakon" vrijedi u frekvencijskom području za
linearne
vremenski
nepromjenljive
kapacitete
i
induktivitete. Za k-tu granu u kojoj se nalazi ili linearni
vremenski nepromjenljivi kapacitet ili induktivitet vrijedit
će da je
U k ( s) I k ( s) = U k (s) I k (s)
(2)
što znači da su linearni vremenski nepromjenljivi reaktivni
elementi recipročni elementi mreže.
Analogno zaključivanju iz prethodnog odsječka
proizlazi da su i nelinearni bilateralni reaktivni elementi
također recipročni elementi mreže. U nastavku analize
nećemo razmatrati ove elemente mreže nego ćemo se
ograničiti samo na linearne reaktivne elemente.
29.2.3 Dvoprilazi
a) Linearni dvonamotni transformator
u1
1’
u2
2’
1’
2’
Sl. 29.2 Dokazivanje recipročnosti linearnog vremenski
nepromjenljivog otpora.
Pretpostavimo da se u j-toj i k-toj grani mreže nalaze
namoti linearnog transformatora. U frekvencijskom
području konstitutivne relacije glase
U j ( s ) = s L jj I j ( s ) + s M jk I k ( s )
U k ( s ) = s M kj I j ( s ) + s Lkk I k ( s )
odakle ako je u1 = u2 očigledno proizlazi i da je i2 = i1 ,
čime je dokazano da je linearni vremenski nepromjenljivi
otpor recipročni element mreže.
Ako se linearni vremenski nepromjenljivi otpor R nalazi
u k-toj grani mreže bit će u k = R ik , ali i u k = R ik , odakle
proizlazi da za otpor kao recipročni element mreže vrijedi
da je
odnosno vrijedi da je
U j ( s ) I j ( s ) + U k ( s ) I k ( s ) = sL jj I j ( s ) I j ( s ) +
+ sM jk I k ( s ) I j ( s ) + sM kj I j ( s ) I k ( s ) + sLkk I k ( s ) I k ( s )
(3)
127
VIII. Teoremi mreža
Pretpostavimo li nadalje izotropnost medija (poglavlje 5)
to će biti
M jk = M kj = M
te se jednadžba (3) svodi na
U j ( s ) I j ( s ) + U k ( s ) I k ( s ) = U j ( s ) I j ( s ) + U k ( s ) I k ( s ) (4)
Fizikalno gledano, pretpostavka o izotropnosti medija jest
ustvari pretpostavka o recipročnosti, budući da je u
izotropnom mediju za transformator svejedno je li poticaj
narinut na namot u j-toj grani ili na namot u k-toj grani.
Zbog toga je jednakost (4) uvjet recipročnosti linearnog
dvonamotnog transformatora.
29.3 OPĆA SVOJSTVA RECIPROČNIH MREŽA
U nastavku istražit ćemo opća svojstva recipročnih
mreža sastavljenih od linearnih vremenski nepromjenljivih
otpora, kapaciteta, induktiviteta, magnetski vezanih
induktiviteta (transformatora) i idealnih transformatora.
Ostali elementi mreže nisu dopušteni.
Pri istraživanju općih svojstava recipročnih mreža
upotrijebit ćemo Tellegenov teorem iskazan u
frekvencijskom području. Recipročna mreža Mr neka se
sastoji od b grana, s time da se u svakoj grani nalazi po
jedan element. Na prilaze 1 i 2 spojeni su jednoprilazi α i
β, slika 29.4.
I (s) 1
2 I (s)
Mr
U (s)
Za idealni transformator zbog konstitutivnih relacija
U j ( s ) = nU k ( s ) ; I k ( s ) + n I j ( s ) = 0
U (s)
1’
2’
Sl. 29.4 Dokazivanje recipročnosti korištenjem Tellegenovog
teorema.
proizlazi da je
U j (s) I j (s) + U k (s) I k (s) =
Prema Tellegenovom teoremu za dvije mreže istog grafa
vrijedi da je
(5)
= U j ( s) I j (s) + U k (s) I k (s) = 0
b
U α ( s ) I α ( s ) + U β ( s ) I β ( s ) + ∑U k ( s ) I k ( s ) = 0
b) Linearni zavisni izvori
Linearni zavisni izvori su modeli električkih
dvoprilaznih naprava kod kojih upravljana varijabla ovisi
o upravljačkoj, ali obrat ne vrijedi. S toga linearni zavisni
izvori nisu recipročni elementi mreže. O tome više u
poglavlju 4!
c) Girator
Pokažimo da girator nije recipročni element mreže. U tu
svrhu provedimo dva pokusa kako je pokazano na sl. 29.3.
Ako struje i1 i i2 shvatimo kao poticaje, a napone u2 i u1
kao odzive, vrijedit će u prvom pokusu, u skladu s
konstitutivnim relacijama giratora, izrazi (4.8)
u 2 = −r i1
Prvi pokus
r
i1
(6a)
k =1
i1
u1
u2
u1
b
U α ( s ) I α ( s ) + U β ( s ) I β ( s ) + ∑U k ( s ) I k ( s ) = 0
(6b)
k =1
U svim granama mreže Mr nalaze se recipročni elementi,
za koje vrijedi jednakost (2), odnosno za cijelu mrežu da je
b
∑U
k =1
b
k
( s ) I k ( s ) = ∑U k ( s ) I k ( s )
k =1
što uvršteno u jednadžbe (6) daje uvjet koji vrijedi za bilo
koju recipročnu mrežu
U α ( s ) Iα ( s ) + U β ( s ) I β ( s ) = U α ( s ) I α ( s ) + U β ( s ) I β ( s ) (7)
Drugi pokus
i2
odnosno
r
u2
i2
Sl. 29.3 Dokazivanje nerecipročnosti giratora.
Na osnovi jednadžbe (7) možemo dobiti tri osnovna
svojstva svake recipročne mreže. To su
a) jednakost prijenosnih admitancija
Y21 ( s ) = Y12 ( s )
(8)
a u drugom pokusu će biti
b) jednakost prijenosnih impedancija
u1 = r i2
i vidimo da uz i1 = i2 dobivamo da je u1 = −u 2 , dakle
girator nije recipročni element mreže.
Z 21 ( s ) = Z12 ( s )
(9)
128
c)
29. Teorem recipročnosti
jednakost prijenosnog omjera napona i struje
što je na drugi način iskaz jednakosti (9).
α 21 ( s) = A12 ( s )
(10)
ad a) Jednakost prijenosnih admitancija dobivamo ako
provedemo dva pokusa prema slici 29.5.
ad c) Jednakost prijenosnog omjera napona i struja
dobivamo ako provedemo dva pokusa prema slici
29.7.
Očigledno je U β ( s ) = Iα ( s ) = 0 , što uvršteno u (7) daje
0 = U α ( s ) [− Iα ( s )] + U β ( s ) I β ( s )
Očigledno je U β ( s ) = U α ( s ) = 0 , što uvršteno u (7) daje
1
U α (s) Iα ( s) = U β (s ) I β ( s)
I (s) 1
+
U (s)
U (s)
2
Mr
I (s)
2
+
1’
U (s)
2’
Sl. 29.5 Pokusi kojima se dokazuje jednakost prijenosnih
admitancija.
2
1’
2’
odnosno
I β (s)
Iα ( s)
U α (s)
=
Iα (s)
U β ( s)
ad b) Jednakost prijenosnih impedancija dobivamo ako
provedemo dva pokusa prema slici 29.6.
U (s)
I (s)
2
Mr
U ( s)
1’
2’
1
Mr
I (s)
1’
1
U ( s)
U (s)
+
2’
Očigledno je I β ( s ) = I α ( s ) = 0 , što uvršteno u (7) daje
]
U β ( s ) − I β ( s ) = U α ( s ) [− Iα ( s )]
odnosno
U β (s)
Iα ( s )
=
U α ( s)
I β (s)
2
Mr’
U (s)
1’
Sl. 29.6 Pokusi kojima se dokazuje jednakost prijenosnih
impedancija.
[
U α (s)
U β ( s)
VAŽNO: Zamjenom mjesta poticaja i odziva struktura
mreže Mr se ne smije promijeniti! Sjetimo se da je svaki
naponski izvor poopćeni kratki spoj, a svaki strujni izvor
poopćeni prekid. Zbog toga neki parovi pokusa nisu
dopušteni jer bi se njima ispitivale različite mreže, kako je
to pokazano na primjeru sa slike 29.8. U prvom pokusu
mreža Mr je, strukturno gledano, kratko spojena na prilazu
1, a prekinuta na prilazu 2. Tako dobivena mreža,
označimo je sa Mr’, u drugom je pokusu promijenjena u
neku drugu mrežu, označimo je sa Mr”, budući da je u
drugom pokusu mreža Mr, strukturno gledano, kratko
spojena na prilazu 2, a prekinuta na prilazu 1.
2
U (s)
=
što je na drugi način iskaz jednakosti (10).
što je na drugi način iskaz jednakosti (8).
1
U (s)
Sl. 29.7 Pokusi kojima se dokazuje jednakost prijenosnih omjera
napona i struje.
odnosno
I β ( s)
I (s)
+
Mr
U (s)
I (s)
Mr
I (s)
I (s)
2’
1
2’
1
Mr
1’
I (s)
1’
2
2’
1
2
+
Mr’’
U (s)
1’
U (s)
2’
Sl.29.8 Uz nepromijenjenu unutarnju strukturu izborom ovog
para pokusa ispituju se ustvari dvije različite mreže!
129
VIII. Teoremi mreža
Obratite pozornost na to da je u prethodno opisana tri
para pokusa, u svakom od parova pokusa struktura mreže
Mr ostala nepromijenjena!
29.4 PRIMJERI
Teorem recipročnosti često bitno olakšava analizu
mreža. Pokažimo to na dva karakteristična primjera.
b) Ako se na mrežu sheme spoja prema slici 29.10a narine
od trenutka t = 0 poticaj i(t) = I0, struja kroz otpor R3 je
valnog oblika iR 3 = I1e −α t . Odredite valni oblik struje
kroz otpor R1, u mreži sheme spoja prema slici 29.10b,
ako se od trenutka t=0 narine poticaj u (t ) = U e −δ t .
Poznata je otpornost otpora R1, a ostali parametri mreže
nisu poznati.
C
a) Na otpornoj mreži prema slici 29.9 koja se sastoji od
jednog poznatog otpora i četiri otpora nepoznate
otpornosti provedena su dva mjerenja. U prvom
mjerenju, slika 29.9a, izmjerena je struja i4 = 0,3I, dok je
R2
R1
I
i4
i3
R1
I0
R4
R3
R2
R3
a)
C
R3
10
iR1=?
u
a)
i2 R2
+
R1
R2
R4
b)
R1
10
R3
b)
Sl. 29.9 Pokusi na zadanoj otpornoj mreži.
u drugom mjerenju
otpornost otpora R1!
Sl. 29.10 Zadane sheme spoja mreža.
I
Rješenje: Opažamo da su obje mreže po strukturi jednake.
U skladu s varijantom teorema recipročnosti prikazanom
na slici 29.7 vrijedi da je
ℒ [i(t )] ⋅ ℒ [R1 iR1 (t )] = ℒ [u (t )] ⋅ℒ [iR 3 (t )]
izmjerena struja i2 =0,2I. Odredite
odnosno
Rješenje: Mreža je recipročna, a zadani se problem svodi
na varijantu teorema recipročnosti prikazanu na slici 29.6.
Na osnovi prvog mjerenja proizlazi da je
u β = 10 ⋅ i4 = 10 ⋅ 0.3 ⋅ I = 3 I
Na osnovi drugog mjerenja proizlazi da je
uα = R1 i2 = 0.2 R1 I
Budući da je iα = iβ = I , zbog recipročnosti mreže vrijedi
da je uα = u β . Dakle,
3I = 0.2 R1 I
odnosno
R1 = 15Ω
I0
I
U
⋅ R1 I R1 ( s ) =
⋅ 1
s
s +δ s +α
te je struja kroz otpor R1 u frekvencijskom području dana
izrazom
I R1 ( s ) =
U
s
U
1
I1
=
I1
R1 I 0 ( s + δ )( s + α ) R1 I 0 α − δ
δ 
 α
s +α − s +δ 


odnosno u vremenskom području
iR1 (t ) =
U
I1
(α e −α t − δ e −δ t ) .
R1 I 0 α − δ
130
30. Thévenin-Nortonov teorem
XXVIII. PREDAVANJE
Rastav mreže na dva jednoprilaza: linearni jednoprilaz i jednoprilaz po volji. Iskaz Thévenin - Nortonovog
teorema. Théveninova nadomjesna mreža. Nortonova nadomjesna mreža. Dokaz Théveninovog teorema: primjena
teorema zamjene i teorema superpozicije. Ograničenja proizašla iz primjene teorema zamjene. Iskaz ThéveninNortonovog teorema u frekvencijskom području. Primjer određivanja elemenata Nortonove nadomjesne mreže.
Analiza osjetljivosti: primjer promjene vrijednosti impedancije jedne grane mreže. Određivanje maksimalne snage
ako je zadana Théveninova nadomjesna mreža: važnost u elektronici i nevažnost u elektroenergetici.
30. THÉVENIN-NORTONOV TEOREM
Pretpostavimo da se neka zadana mreža Mc može
prikazati spojem dvaju jednoprilaza, slika 30.1. Pri tome
neka je jednoprilaz M linearan (vremenski promjenljiv ili
nepromjenljiv), dok je jednoprilaz M’ po volji, dakle
nelinearan ili linearan i/ili vremenski promjenljiv ili
vremenski nepromjenljiv.
Neovisno o karakteru jednoprilaza M’, napon u(t) odnosno
struja i(t) na prilazu 1 ostaju nepromijenjeni ako se
jednoprilaz M zamijeni ili Théveninovom nadomjesnom
mrežom ili Nortonovom nadomjesnom mrežom, slika 30.3.
i(t)
M0
a)
i (t ) 1
M
u (t )
Sl. 30.1 Mreža Mc sastoji se od linearnog jednoprilaza M i po
volji jednoprilaza M’.
Pretpostavimo također da mreža Mc ima jednoznačno
rješenje.
Sa M0 označimo jednoprilaz koji se dobije iz
jednoprilaza M tako da se svi nezavisni izvori i svi početni
uvjeti stave jednakima nuli, dakle jednoprilaz M0 jest
“mrtvi” jednoprilaz M.
Također sa uT(t) označimo napon praznog hoda
jednoprilaza M promatran s prilaza 1, slika 30.2a, odnosno
sa iN(t) označimo struju kratkog spoja jednoprilaza M na
prilazu 1, slika 30.2b.
M
1
uT(t)
M
1’
a)
iN(t)
u(t)
uT(t)
1’
1’
b)
Iskaz teorema s pomoću Théveninove nadomjesne
mreže nazivamo Théveninov teorem, a s pomoću
Nortonove nadomjesne mreže Nortonov teorem.
Mc
1
M0
u(t)
Sl. 30.3 a) Théveninova nadomjesna mreža jednoprilaza M.
b) Nortonova nadomjesna mreža jednoprilaza M.
M’
1’
i(t) 1
1
+
30.1 ISKAZ TEOREMA (H. Helmholtz, 1853.;
L. Thévenin, 1883.; E. L. Norton,1926.)
iN(t)
30.2 DOKAZ TEOREMA
Dokazat ćemo samo Théveninov teorem. Primijenivši
načelo dualnosti kasnije se lako dokaže i Nortonov teorem.
Provedimo dokaz u četiri koraka.
a) U mreži M svi početni uvjeti prikažu se s pomoću
ekvivalentnih istosmjernih nezavisnih izvora. U skladu
s objašnjenim u odsječku 28.1 početni napon na
kapacitetu zamijeni se istosmjernim nezavisnim
naponskim izvorom u seriju s kapacitetom a početna
struja induktiviteta istosmjernim nezavisnim strujnim
izvorom spojenim paralelno pripadnom induktivitetu.
b) U skladu s teoremom zamjene jednoprilaz M′ zamijeni
se strujnim uvorom i(t), slika 30.4. Stvorena mreža Mi
jest linearna a njeno rješenje je, u skladu s osnovnom
pretpostavkom teorema zamjene, jednoznačno.
1’
1
b)
Sl. 30.2 a) Uz definiciju napona praznog hoda uT (t) –
Théveninovog napona.
b) Uz definiciju struje kratkog spoja iN (t) – Nortonove
struje.
Uzevši u obzir sve navedene pretpostavke i oznake,
Thévenin-Nortonov teorem izriče:
M0
u(t)
i(t)
1’
Mi=Mc
Sl. 30.4 Jednoprilaz M′ zamijenjen je strujnim uvorom.
c) Budući da je mreža Mi = Mc linearna to se može
primijeniti teorem superpozicije. Prikažimo mrežu Mi na
131
VIII. Teoremi mreža
način kako je to prikazano na slici 30.5. Tada je napon
na prilazu 1 jednak
u (t ) = −u1 (t ) + u 2 (t )
(1)
a to je upravo jednadžba (1), uzme li se u obzir
jednakost (2). Time smo pokazali da Théveninova
nadomjesna mreža ima na promatranom prilazu isti
valni oblik napona i struje kao i zadana mreža Mc, čime
je teorem dokazan.
1
1
M
i( t)
=
M0
u1(t)
M’
u (t )
+
u(t)
i (t )
1’
uT(t)
1
1’
1
Sl 30.6 Uz dokaz Théveninovog teorema.
=
M0
i( t)
u1(t)
+
M
1’
u2(t)
1’
Sl. 30.5 Rastav linearne mreže Mi u skladu s teoremom
superpozicije.
Pri tome je u1(t) prisilni odziv jednoprilaza M na
poticaj i(t). Strujni uvor i(t) interpretiramo sada kao
strujni izvor, koji djeluje na mrtvi jednoprilaz M, dakle
na jednoprilaz označen sa M0. U skladu s teoremom
konvolucije (odsječak 19.2) bit će
t
∫
u1 (t ) = h (t − x) i ( x) dx ; t ≥ 0
0
VAŽNO:
a) Pri izvođenju teorema korišteni su teorem zamjene i
teorem superpozicije. Ovo znači da Thévenin-Nortonov teorem vrijedi za mreže s jednoznačnim
rješenjem kao i za mreže u kojima nema
međudjelovanja između oba jednoprilaza M i M´.
Proizlazi da teorem ne važi za mreže s magnetski
vezanim induktivitetima kod kojih bi jedna grana bila u
jednoprilazu M a druga u jednoprilazu M´. Isto vrijedi i
za zavisne izvore. Linearnost jednoprilaza M je bitna,
inače se ne može primijeniti teorem superpozicije.
b) Osnovna vrijednost teorema jest u tome da je njime
dopušteno da se u nekoj mreži po volji bilo koji dio
mreže koji tvori linearni jednoprilaz zamijeni sa samo
dva elementa mreže a da se tim postupkom ne mijenja
rješenje cjelokupne mreže.
gdje je h(t) impulsni odziv jednoprilaza M0. Ako je
mreža linearna i vremenski promjenljiva, vrijedi da je
30.3 ISKAZ THÉVENIN-NORTONOVOG
TEOREMA U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU
t
∫
u1 (t ) = h(t , x) i ( x)dx ; t ≥ 0
budući da je tada strujni "izvor" i(t) prekinut.
ZT(s)
UT(s)
1 I(s)
‘
gdje je sa h(t,x) označen impulsni odziv jednoprilaza M0
u trenutku t zbog jediničnog impulsa narinutog na
jednoprilaz M0 u trenutku x.
Prisilni odziv jednoprilaza M kad u mreži Mi djeluju
samo nezavisni izvori iz jednoprilaza M upravo je
jednak Théveninovom naponu uT(t), tj. naponu praznog
hoda jednoprilaza M
u 2 (t ) = uT (t )
(2)
Ako je analizirana mreža Mc linearna i vremenski
nepromjenljiva, Thévenin-Nortonov teorem može se
iskazati na vrlo jednostavan način u frekvencijskom
području.
Pretpostavimo da je jednoprilaz M´ pasivan, te označimo
njegovu impedanciju sa Z´(s) a impedanciju jednoprilaza
M0 sa ZT(s), koja se uobičajeno zove Théveninova
impedancija.
+
ZT(s)
Napon na prilazu 1 je za vremenski nepromjenljivu
mrežu M jednak
1
IN(s)
YN(s)
1’
‘
0
Y (s)
U(s)
1’
a)
b)
t
∫
u (t ) = − h(t − x) i ( x) dx + uT (t )
(3)
o
d) Razmotrimo Théveninovu nadomjesnu mrežu prema
slici 30.6. Napišemo li KZN za naznačenu petlju,
dobivamo da je
uT (t ) − u1 (t ) − u (t ) = 0
Sl. 30.7 a) Théveninova nadomjesna mreža u frekvencijskom
području.
b) Nortonova nadomjesna mreža u frekvencijskom
području.
Dobivamo krug za koji vrijedi da je
I (s) =
U T (s)
Z T (s) + Z ' ( s)
(4)
132
30. Thévenin-Nortonov teorem
gdje je U T ( s) =
ℒ [uT (t )]
YN ( s ) =
Transformacijom naponskog izvora u strujni izvor
dobivamo elemente Nortonove nadomjesne mreže, tj.
I N (s) =
U T (s)
1
; YN ( s ) =
Z T (s)
Z T (s)
(5)
I (s)
1
=
U ( s ) [R1 + (1 + µ ) Z 2 ( s )]
Nortonova struja određuje se iz mreže, slika 30.8, ako se
prilaz 1 kratko spoji kako je to pokazano na slici 30.9b.
Vrijedi da je
R1 I N ( s ) − µ [E ( s ) − U 2 ( s )] + U 2 ( s ) = 0
te se za napon prilaza 1 dobiva da je
Budući da je U 2 ( s ) = Z 2 ( s ) I ( s ) , odmah dobivamo da je
I N (s)
U ( s) =
YN ( s ) + Y ' ( s )
gdje je Y ' ( s ) =
1
, tj. admitancija jednoprilaza M'.
Z ' ( s)
Primjer: Odredite elemente Nortonove nadomjesne mreže
promatrano s prilaza 1 za mrežu sheme spoja prema slici
30.8
Sl. 30.8 Zadana shema spoja mreže u frekvencijskom području.
Rješenje: Théveninovu impedanciju, a time i Nortonovu
admitanciju, najlakše odredimo tako ako zamislimo da na
prilazu 1 djeluje neki naponski izvor U(s) koji uzrokuje
struju I(s) na prilazu 1 uz utrnute nezavisne izvore, slika
30.9a.
R1
30.4.1 Analiza osjetljivosti
Često je u praksi važno znati kako se mijenja odziv ako
se pri zadanom poticaju zbog nekog razloga promijeni neki
od parametara mreže. Razlozi mogu biti starenje, utjecaj
temperature, tolerancije proizvođačke karakteristike i dr.
Analize ovog tipa zovu se analize osjetljivosti.
Thévenin-Nortonov teorem posebno je prikladan za
analizu osjetljivosti budući da se njime lako obuhvaćaju
svi problemi u kojima se mijenja samo jedan parametar.
Pretpostavimo linearnu vremenski nepromjenljivu
mrežu u kojoj želimo istražiti posljedice promjene
impedancije, u nekoj, recimo, k-toj grani. Tada s obzirom
na tu granu zamijenimo cjelokupnu mrežu Théveninovom
nadomjesnom mrežom, slika 30.10, a sa Zk(s) označimo
impedanciju k-te grane.
ZT(s)
+
1
UT(s)
ZT(s)
I(s)
Zk(s)
UT(s)
+
I(s) + I(s)
Zk(s) + Zk(s)
Sl. 30.10 Primjer kada se impedancija k-te grane Zk(s) promijeni
na vrijednost Zk(s) + δZk(s).
U(s)
U2(s)
30.4 NEKE PRIMJENE THÉVENIN-NORTONOVOG
TEOREMA
[0 - U2(s)]
+
a)
I(s)
I N ( s ) = µE ( s ) YN ( s )
(6)
Z2(s)
1’
R1
+
b)
E(s)
Prije promjene vrijednosti impedancije vrijedilo je da je
1
[E(s)-U2(s)]
IN(s)
+
U2(s)
Z2(s)
1’
Sl. 30.9 a) Uz određivanje Nortonove admitancije YN(s).
b) Uz određivanje Nortonove struje IN(s).
Proizlazi da je
U ( s ) = R1 I ( s ) − µ [0 − U 2 ( s )] + U 2 ( s )
Budući da je U 2 ( s ) = Z 2 ( s ) I ( s ) , odmah dobivamo da je
U T ( s ) = [Z T ( s ) + Z k ( s )]I ( s )
(7)
a nakon promjene vrijednosti impedancije da je
U T ( s ) = [Z T ( s ) + Z k ( s ) + δ Z k ( s )][I ( s ) + δ I ( s )]
(8)
budući da se ostatak mreže zamijenjen Théveninovom
nadomjesnom mrežom nije promijenio. Uvrsti li se (7) u
(8) dobivamo
0 = I ( s )δ Z k ( s ) + δ I ( s )[Z T ( s ) + Z k ( s )] + δ I ( s )δ Z k ( s )
Ako je promjena δZk(s) malena tada je član δI(s)δZk(s)
pogotovo malen i može se zanemariti, te dobivamo da je
VIII. Teoremi mreža
δ I (s)
I (s)
≈
−δ Z k ( s )
Z T (s) + Z k (s)
(9)
što nam omogućuje da ocijenimo utjecaj promjene
vrijednosti impedancije Zk(s) na odziv mreže u grani u
kojoj je došlo do promjene.
30.4.2 "Prijenos" maksimalne snage
Pretpostavimo da je zadana, neka mreža koja se nalazi u
sinusoidalnom ustaljenom stanju. Na jedan od njenih
prilaza želimo priključiti trošilo ali takve impedancije da bi
snaga "predana" tom jednoprilaznom trošilu bila
maksimalna.
Budući da je mreža zadana to je s obzirom na zadani
prilaz poznat i fazor Théveninovog napona U& T (ω ) kao i
Théveninova
impedancija
Z T ( jω ) = RT + jX T .
Pretpostavimo također da je impedancija trošila
Z ( jω ) = R + jX takva da se realni dio R i imaginarni dio
X impedancije Z(j ω) mogu mijenjati nezavisno jedan od
drugoga.
Snaga trošila dana je izrazom
P = R I 2 = U T2
R
= P ( R, X ) (10)
( RT + R ) 2 + ( X T + X ) 2
gdje je UT efektivna vrijednost jednoharmonijskog napona
poticaja.
Snaga trošila ovisi o dvjema nezavisnim varijablama R i
X. U prvi trenutak pretpostavimo da je R konstantan i
odredimo vrijednost od X za koju će snaga trošila biti
maksimalna. Proizlazi
∂P
−2( X T + X )
= RU T2
∂x
( RT + R) 2 + ( X T + X ) 2
[
]
2
=0
odnosno da mora biti zadovoljeno da je
X = −XT
(11)
Uvrsti li se ovaj uvjet u (10) dobivamo da je
P = U T2
R
= P( R)
( RT + R) 2
odakle uzevši u obzir uvjet
∂P
= 0 proizlazi da je
∂R
R = RT
(12)
133
Iz uvjeta (11) i (12) zaključujemo da se maksimalna
snaga trošila postiže ako je
Z ( jω ) = Z*T ( jω ) = RT − jX T
tj. ako je impedancija trošila jednaka
vrijednosti Théveninove impedancije.
(13)
konjugiranoj
Zaključujemo:
a) Budući da je R = RT, samo 50% energije izvora prenosi
se u trošilo! Ipak, to je najviše što se može učiniti ako je
Théveninova impedancija zadana, dakle ako se na
njenu vrijednost ne može utjecati. Takav je slučaj u
elektronici. U komunikacijskim ili instrumentacijskim
sustavima ZT je zadan i poželjno je da se što više
energije izvora signala prenese u trošilo.
b) U elektroenergetici je upravo obrnuto! Stupanj
djelovanja prijenosa energije je jedini važan, izvori se
projektiraju tako da je RT što je moguće manji.
Théveninova impedancija nije zadana!
c) Ako se komponente impedancije Z(jω) ne mogu
nezavisno mijenjati nego se može mijenjati samo modul
impedancije Z ( jω ) , to se lako dobiva analogno
prethodnom postupku da se maksimalna snaga trošila
postiže ako su moduli Théveninove impedancije i trošila
jednaki, tj. ako je
Z ( jω ) = Z T ( jω )
Napomena: Pojmovi kao što su prijenos snage, primljena ili
predana snaga, tok snage uobičajeni su u
elektrotehnici, iako ne znače ništa stvarno i
doslovnim tumačenjem mogli bi izazvati zbrku.
Naime, trenutna snaga (analogno tome i djelatna
snaga) neke mreže jest brzina kojom se na
prilazima te mreže prenosi energija iz vanjskog
svijeta ili se iz te mreže energija prenosi u vanjski
svijet. Unutar mreže električna energija se
privremeno skladišti ili pretvara u neki drugi oblik
energije. Fizikalno gledano, ima smisla govoriti o
prijenosu energije, primljenoj ili predanoj energiji
te o toku energije.
No, snaga je odlučujući faktor koji određuje
dimenzije komponenata stvarne mreže i zbog toga
je, iako strogo govoreći pogrešno, sa stajališta
inženjerske prakse kudikamo spretnije razmišljati o
energetskim procesima u mrežama u terminima
snage. Primjerice, samo iz podatka da se u nekom
otporniku u toplinu pretvorilo 20Wh električne
energije ne može se o tom otporniku ništa
zaključiti. Nasuprot tome, podatak o tome da je
snaga nekog otpornika 20W iskusnom inženjeru
već govori mnogo!
134
31. Jednadžbe dvoprilaza
XXIX. PREDAVANJE
Pojam dvoprilaza. Topološki prikaz dvoprilaza. Ograničenje na linearne vremenski nepromjenljive dvoprilaze.
Šest načina opisa dvoprilaza dvjema linearnim jednadžbama. Strujne jednadžbe: admitancijski parametri,
nadomjesna π - shema spoja recipročnog dvoprilaza. Naponske jednadžbe: impedancijski parametri, nadomjesna
T - shema spoja recipročnog dvoprilaza. Pojam simetričnog dvoprilaza. Hibridne jednadžbe: h- i g- parametri,
zahtjevi na recipročne i simetrične dvoprilaze. Prijenosne jednadžbe: dogovor o predznaku izlazne struje, a- i
b- parametri, zahtjevi na recipročne i simetrične dvoprilaze.
IX. DVOPRILAZI
U elektrotehnici dvoprilaz ili četveropol jest svaka električka naprava ili skup električkih naprava sa dva para
priključnica kojemu je namjena prijenos električne energije (signala) od generatora (izvora signala) do trošila (prijamnika
signala). Karakteristični primjeri dvoprilaza su filtri, dvonamotni transformatori, par električkih vodova i dr.
U teoriji mreža dvoprilaz je svaka električka mreža kojoj su električka svojstva dana samo s obzirom na dva para
priključaka (dva prilaza), tj. izražena su s pomoću funkcionalnih odnosa između napona i struja na prilazima. Dvoprilaz
shvaćamo kao tzv. crnu kutiju, tj. mrežu interna struktura koje nam ostaje nepoznata.
31. JEDNADŽBE DVOPRILAZA
Slika 31.1a prikazuje dvoprilaz. Jedan od prilaza, obično
indeksiran sa 1, naziva se ulaz a drugi prilaz, obično
indeksiran sa 2, naziva se izlaz. Spoj između vanjskih
mreža koje se priključuju na ulaz odnosno izlaz jest samo
preko dvoprilaza. Time je zajamčena definicija prilaza
(poglavlje 2.), tj. da su struje istog prilaza na priključcima
jednake ali suprotnog predznaka. Ovo također znači da se
svaki dvoprilaz u topološkom smislu može prikazati s
pomoću dvije odvojene grane i svaka je do njih spojena s
granama koje pripadaju ili dijelu vanjske mreže
priključenom na ulaz dvoprilaza ili dijelu vanjske mreže
priključenom na izlaz dvoprilaza.
1
i1
i2
2
2
1
u2
u1
2'
1'
a)
ℒ [u1(t)] = U1 ; ℒ [i1(t)] = I1
a Laplaceove transformate napona i struja na izlazu sa
ℒ [u2(t)] = U2 ; ℒ [i2(t)] = I2
s istim sustavom referentnih smjerova kao na slici 31.1a.
Budući da se topološki gledano dvoprilaz sastoji od
dviju grana i da nas interesiraju samo linearni dvoprilazi,
to će za potpuni opis dvoprilaza dostajati dvije linearne
jednadžbe u četiri varijable: U1, I1, U2, I2. Koje će se od
ovih varijabli smatrati nezavisnim (poticajima) a koje
zavisnim (odzivima), ovisit će o konkretnom problemu.
Očigledno, dvije će varijable biti nezavisne a preostale
dvije zavisne, što znači da se opis nekog dvoprilaza može
iskazati na šest različitih načina, tj. s pomoću šest različitih
skupova od po dvije linearne jednadžbe.
2'
1'
b)
Sl. 31.1 a) Dvoprilaz i pridruženi referentni smjerovi napona i
struja.
b) Graf dvoprilaza.
U analizi dvoprilaza ograničit ćemo se na analizu
linearnih vremenski nepromjenljivih dvoprilaza u kojima
nema nezavisnih izvora. Također pretpostavit ćemo da u
dvoprilazima nema prethodno uskladištene energije, dakle
određivat ćemo samo prisilne odzive.
Uz ove pretpostavke svaki dvoprilaz se u potpunosti
može opisati u frekvencijskom s – području. Za razliku od
prethodnih poglavlja, ekonomičnosti zapisa radi, ispustit
ćemo pri pisanju varijabli mreža kao i funkcija mreža
naznaku da ovise o nezavisnoj varijabli s = σ + jω .
Tako ćemo, primjerice, Laplaceove transformate napona i
struja na ulazu označiti sa
31.1 STRUJNE JEDNADŽBE
Jedan od skupova od po dvije linearne jednadžbe
dvoprilaza dobiva se ako se naponi prilaza shvate kao
nezavisne varijable.
I1
I2
I1
I2
U2=0
U1
U2
U1=0
a)
b)
Sl. 31.2 Pokusi s pomoću kojih se određuju admitancijski
parametri.
135
IX. Dvoprilazi
Ovaj se skup jednadžbi naziva još i strujne jednadžbe
dvoprilaza i glasi:
I1 = y11U1 + y12U2
(1)
I2 = y21U1 + y22U2
Parametri yij nazivaju se admitancijskim parametrima i
određuju se iz dva pokusa kratkog spoja, slika 31.2
Tako se iz pokusa kratkog spoja prema slici 31.2a određuju
parametri
I
I
; y 21 = 2
(2)
y11 = 1
U1 U 2 =0
U1 U 2 =0
te dobivamo da su elementi nadomjesne π - sheme spoja
dani izrazima
yA = y11 + y12 ; yB = – y12 = – y21 ; yC = y22 + y21 (5)
b) Simetrični dvoprilazi
Dvoprilaz je simetričan ako se izmjenom ulaznih
priključaka s izlaznim priključcima ne promijene naponi i
struje vanjskih krugova. U suprotnom dvoprilaz je
nesimetričan. Iz modela dvoprilaza, slika 31.3, očigledno
je da osim uvjeta recipročnosti (4), u svakom simetričnom
dvoprilazu mora vrijediti da je
y11 = y22
(6)
a iz pokusa kratkog spoja prema slici 31.2b parametri
y12 =
I1
U2
;
y 22 =
U1 = 0
I2
U2
(3)
U1 = 0
31.2 NAPONSKE JEDNADŽBE
Drugi mogući skup jednadžbi dvoprilaza
Parametri y12 i y21 nazivaju se prijenosne admitancije,
parametar y11 ulazna admitancija, a parametar y22 izlazna
admitancija.
I1
I2
y11
U1
y22
U2
y12U2 y21U1
U1 = z11I1 + z12I2
U2 = z21I1 + z22I2
nazivamo naponske jednadžbe dvoprilaza. Parametri zij
imaju smisao impedancija i nazivaju se impedancijskim
parametrima. Određuju se iz dva pokusa praznog hoda.
Proizlazi da je
U
U
z11 = 1
; z 21 = 2
I1 I 2 = 0
I1 I 2 =0
z12 =
Sl. 31.3 Model dvoprilaza iskazan s pomoću admitancijskih
parametara.
Recipročni dvoprilazi
Dvoprilaz je recipročan ako se sastoji od recipročnih
elemenata mreže. No, tada je prema (29.8)
a)
y12 = y21
(4)
te za potpuni opis recipročnog dvoprilaza dostaje
određivanje triju parametara. Bilo koji recipročni dvoprilaz
može se prikazati nadomjesnom π - shemom spoja, prema
slici 31.4.
yB
I1
U1
yA
;
z 22 =
I1 = 0
U2
I2
I1 = 0
z12 = z21
(8)
a za simetrične dvoprilaze još dodatno mora biti
zadovoljeno da je
z11 = z22
(9)
Bilo koji recipročni dvoprilaz može se prikazati
nadomjesnom T - shemom spoja, prema slici 31.5.
I1
U2
U1
I2
U skladu s izrazom (29.9) vrijedi da je u svakom
recipročnom dvoprilazu
I2
yC
(7)
U1
za
zc
I2
zb
Sl. 31.4 Prikaz općeg recipročnog dvoprilaza s pomoću
admitancijskih parametara.
Sl. 31.5 Prikaz općeg recipročnog dvoprilaza s pomoću
impedancijskih parametara.
Na osnovi pokusa kratkog spoja proizlazi da je
Na osnovi pokusa praznog hoda proizlazi da je
y11 = yA + yB ; y22 = yB + yC ; y12 = y21 = – yB
z11 = za + zb ; z22 = zb + zc ; z12 = z21 = zb
U2
136
31. Jednadžbe dvoprilaza
te dobivamo da su elementi nadomjesne T – sheme spoja
dani izrazima
odnosno
I1 = g11U1 + g12I2
za = z11 – z12 ; zb = z12 = z21 ; zc = z22 – z21 (10)
(13)
U2 = g21U1+ g22I2
Napomena: Kao i pri π - shemi spoja radi se samo o
matematičkoj ekvivalenciji. Iako su parametri R, L i
C koji tvore recipročnu mrežu pozitivni,
impedancije za, zb, i zc kao i prije dobivene
vrijednosti admitancija yA, yB, yC ne moraju biti
pozitivne. Dakle, može se dogoditi da ne postoji
fizička realizacija ovih parametara s pomoću
pasivnih komponenata.
Da bi se odredili h - parametri potrebno je provesti pokus
kratkog spoja na izlazu dvoprilaza i pokus praznog hoda na
ulazu dvoprilaza. Na osnovi pokusa kratkog spoja proizlazi
da je
Primjer: Odredite parametre T - i π - sheme spoja
linearnog dvonamotnog transformatora!
a iz pokusa kratkog spoja prema slici 31.2b parametri
Rješenje:
Linearni dvonamotni transformator, shvaćen kao dvoprilaz
definiran je naponskim jednadžbama
U1 = sL1I1 + sMI2
h11 =
h12 =
U1
U2
(11)
g11 =
g12 =
te su u skladu sa (10) parametri nadomjesne T - sheme
spoja dani izrazima
za = s(L1 – M) ; zb = sM ; zc = s(L2 – M)
Riješivši sustav jednadžbi (11) po I1 i I2 dobivamo da je
L2U 1 − MU 2
; I2 =
2
s ( L1 L2 − M )
− MU 1 + L1U 2
s ( L1 L2 − M 2 )
odakle neposredno proizlaze vrijednosti parametara y11,
y12 = y21 i y22 te koristeći izraze (5) i vrijednosti parametara
nadomjesne π - sheme spoja
yA =
L2 − M
s ( L1 L2 − M 2 )
yC =
;
yB =
h22 =
;
I1 = 0
I2
I1
I2
U2
U 2 =0
I1 = 0
I1
U1
g 21 =
;
I 2 =0
U2
U1
I 2 =0
U2
I2
U1 = 0
odnosno
z11 = sL1 ; z12 = z21 = sM ; z22 = sL2
I1 =
h21 =
;
U 2 =0
Na posve analogan način određuju se g - parametri, i to
U2 = sMI1 + sL2I2
odakle neposredno proizlazi da je
U1
I1
M
s ( L1 L2 − M 2 )
I1
I2
g 22 =
;
U1 = 0
a) Recipročni dvoprilazi
Odredimo koji uvjet moraju zadovoljavati hibridni
parametri u recipročnom dvoprilazu. U poglavlju 29.3
pokazano je da u recipročnom dvoprilazu mora vrijediti
jednakost prijenosnog omjera napona i struje, izraz
(29.10). Opažamo da je u skladu sa zadanim referencijama
struja na slici 29.7 i slici 31.1
α21 = – h21
odnosno da je u skladu sa zadanim referencijama napona
na istim slikama
A12 = h12
;
što znači da u recipročnom dvoprilazu vrijedi da je
L1 − M
2
s ( L1 L2 − M )
h12 + h21 = 0
Iako su oba prikaza linearnog dvonamotnog
transformatora jednakovrijedna, očigledno je da je prikaz s
pomoću T - sheme spoja bitno jednostavniji!
(14)
Analognim postupkom bi se na temelju pokusa prema
slici 31.6 pokazalo da u recipročnoj mreži vrijedi da je
g12 + g21 = 0
31.3 HIBRIDNE JEDNADŽBE
I1
Ako se kao nezavisne varijable odaberu po jedna struja i
jedan napon s različitih prilaza, dobivaju se dva skupa
hibridnih jednadžbi, i to:
U1 = h11I1 + h12U2
I2 = h21I1+ h22U2
(12)
U1=0
(15)
I1
U2
I2
I2=0
U1
Sl. 31.6 Pokusi s pomoću kojih se određuju g - parametri.
U2
IX. Dvoprilazi
Primjer:
Slika
31.7
prikazuje
pojednostavljenu
nadomjesnu shemu bipolarnog tranzistora u spoju sa
zajedničkim emiterom. Odredite h - parametre bipolarnog
tranzistora.
desne strane jednadžbi zapisanih u matričnom obliku (16) i
(17) moraju biti jednake. Opažamo da je uvjet
recipročnosti zadovoljen tj. da je h21 = – h12 a dodatni uvjet
da bi (16) i (17) bili jednaki jest da bude
I2
∆h = det [hij] = 1
2
I1
(18)
Analognim postupkom dobili bismo da u svakom
simetričnom dvoprilazu opisanom s pomoću g - parametara
vrijedi da je
1
U2
U1
∆g = det [gij] = 1
2'
1'
137
(19)
31.4 PRIJENOSNE JEDNADŽBE
I1
I2
1'
Ako se kao nezavisne varijable odaberu ili obje varijable
izlaza ili obje varijable ulaza, dobiju se preostala dva skupa
jednadžbi koji se zovu prijenosne jednadžbe dvoprilaza. U
skalarnom obliku ove jednadžbe glase
2
R1
β I1
U1
U2
R2
αU2
U1 = a11U2 – a12I2
2'
1
odnosno
Sl. 31.7 Pojednostavljena nadomjesna shema bipolarnog
tranzistora.
Rješenje:
Na osnovi pokusa kratkog spoja (U2 = 0) dobivamo da je
h11 =
U1
I1
= R1
;
h21 =
U 2 =0
I2
I1
U1
U2
=α
h22 =
;
I1 =0
I2
U2
=
I1 = 0
U 1   a11
 I1  = a21
 U 2  b11 b12  U 1 
− I 2  = b21 b22   I1 
b) Simetrični dvoprilazi
Odredimo koji dodatni uvjet uz (14) odnosno (15) mora
biti zadovoljen u svakom simetričnom dvoprilazu izražen s
pomoću hibridnih parametara. Napišimo sustav jednadžbi
(12) u matričnom obliku ali uz drukčiji raspored varijabli
nego što je to dano u (12):
− h12  U 1 
h11   I 2 
Matrice [aij] i [bij] su tzv. prijenosne matrice dvoprilaza
i međusobno su inverzne. Predznak (–) uz varijablu I2 je
uzet zato jer se u tehnici prijenosa električne energije
(signala), gdje se i najviše koriste ove matrice, uobičajilo
da se izlazna struja I2 smatra pozitivnom ako izlazi iz
prilaza za razliku od uobičajenog načina označavanja koji
je u svim ostalim slučajevima suprotan.
Razmotrimo samo sustav jednadžbi s a - parametrima.
Ovi se parametri određuju na osnovi izraza
a11 =
(16)
U1
U2
;
I 2 =0
a 21 =
I1
U2
I 2 =0
odnosno
Iz ovog sustava jednadžbi lako dobijemo da je
1  h22
 I1 
U 2  = ∆h − h21
a12   U 2 
a 22  − I 2 
odnosno
1
R2
h21  U 2 
h11   I1 
(21)
dok u matričnom obliku glase
=β
Iz načina rada bipolarnog tranzistora zna se da je α ≈ 0,
dok je β > 0. Opažamo da je h12 + h21 ≠ 0, što znači da
bipolarni tranzistor nije recipročni element.
 I 2  h22
U 1  =  h12
U2 = b11U1 + b12I1
–I2 = b21U1 + b22I1
U 2 =0
dok na osnovi pokusa praznog hoda (I1 = 0) proizlazi da je
h12 =
(20)
I1 = a21U2 – a22I2
(17)
gdje je ∆h = det [hij] = h11 h22 – h21 h12. U simetričnom
dvoprilazu zamjenom ulaza s izlazom ne smiju se
promijeniti naponi i struje vanjskog kruga. To znači da
a12 = −
U1
I2
;
U 2 =0
a 22 = −
I1
I2
U 2 =0
a) Recipročni dvoprilazi
Odredimo koji uvjet moraju zadovoljavati a - parametri
u recipročnom dvoprilazu. U tu svrhu poslužimo se
138
31. Jednadžbe dvoprilaza
jednakošću prijenosnih impedancija, izraz (8), i izrazimo
ga s pomoću a - parametara . Vrijedi
U
z12 = 1
I2
;
I1 = 0
U
z 21 = 2
I1
(22)
I 2 =0
Uvrstimo uvjet I1 = 0 u sustav jednadžbi (20). Proizlazi da
je a21U2 = a22I2, što uvršteno u prvu od jednadžbi (20) daje

a 
U 1 =  a11 − a12 21 U 2
a22 

odakle lako dobivamo da je

a 
 a11 − a12 21 U 2
a 22 
U
1
z12 = 1
=
=
( a11a 22 − a12 a 21 )
a 21
I 2 I1 =0
a 21
U2
a 22
S druge strane, ako se u drugu jednadžbu sustava (20)
uvrsti da je I2=0, proizlazi da je
1
U
z 21 = 2
=
I1 I 2 = 0 a 21
što znači da se uvjet recipročnosti (22) izražen s pomoću
a - parametara svodi na uvjet
∆a = det [aij] = 1
(23)
Budući da su matrice [aij] i [bij] inverzne, što znači da je
∆a = 1/∆b, to će za recipročne dvoprilaze opisane s pomoću
b - parametara vrijediti uvjet
∆b = det [bij] = 1
(24)
b) Simetrični dvoprilazi
Analognim postupkom kao u prethodnom odsječku lako
se iz uvjeta simetričnosti, izraz (9) tj.
U
U
z11 = 1
= z 22 = 2
I1 I 2 =0
I 2 I1 = 0
taj isti uvjet izrazi s pomoću a - parametara. Vrijedi da je
a11 = a22
(25)
odnosno da je dodatni uvjet koji mora biti zadovoljen u
svakom simetričnom dvoprilazu opisanom s pomoću
b - parametara
b11 = b22
(26)
Primjer: Odredite a - parametre idealnog transformatora!
Rješenje:
Konstitutivne relacije idealnog transformatora napišu se
u obliku sustava jednadžbi (20), tj. kao
1
U1 = nU2 ; I 1 = ( − I 2 )
n
gdje je sa n označen prijenosni omjer. Odmah vidimo da je
1
n
a u skladu s uvjetima (23) i (25) zaključujemo da je idealni
transformator recipročni ali ne i simetrični dvoprilaz.
a11 = n ; a12 = a21 = 0 ; a 22 =
IX. Dvoprilazi
139
XXX. PREDAVANJE
Potpuna ekvivalencija. Ekvivalencija s obzirom na prilaze. Primjer linearnog dvonamotnog transformatora.
Jednakost parametara dvaju dvoprilaza. Transformacija temeljnih shema spoja recipročnih dvoprilaza: spoj
“trokut” u spoj “zvijezda” i obratno. Rosenov teorem: pretvorba zvjezdaste mreže u petljastu mrežu. Ekvivalencija
mreža s obzirom na mali izmjenični signal: primjer jednostepenog tranzistorskog pojačala. Lančani (kaskadni)
spoj. Serijski spoj. Testovi valjanosti za serijski spoj. Paralelni spoj. Testovi valjanosti za paralelni spoj. Mješoviti
spojevi: serijsko-paralelni i paralelno-serijski spoj. Spojevi mreža sa tri priključka.
32. SVOJSTVA DVOPRILAZA
32.1 EKVIVALENCIJA MREŽA
Ako neku mrežu može zamijeniti neka druga mreža, a
da se pri tome ne promijene niti naponi niti struje na
njenim priključcima, tada se te dvije mreže promatrane
izvana ne razlikuju i kažemo da su te dvije mreže
ekvivalentne. Razlikujemo:
a) potpunu ekvivalenciju, kada su jednaki naponi i struje
obiju mreža na svim priključcima, i
b) ekvivalenciju s obzirom na prilaze, kada su jednaki
naponi i struje obiju mreža na svim prilazima.
Karakterističan primjer na kojem možemo jasno uočiti
razliku između ove dvije vrste ekvivalencija jest primjer
linearnog dvonamotnog transformatora. Sve moguće
kombinacije pokusa koje bi proveli na oba dvoprilaza
prikazana na slici 32.1 dovele bi do istih vrijednosti
napona i struje na svim priključcima dvoprilaza,
što se može lako provjeriti računom. Nasuprot tome,
1
2
–M
L1
1
2
M
L2
L1
M
L2
1'
2'
1'
2'
b)
a)
–M
dvoprilazi prikazani na slici 32.2 su ekvivalentni s obzirom
na prilaze. Da te dvije mreže nisu potpuno ekvivalentne
postaje očigledno ako se primjerice, narine napon između
priključaka 1’ i 2’. Očigledno, struja kroz priključke 1’ i 2’
2
L1
1
L1–M
L2–M
1'
2'
a)
2
M
L2
1'
U nastavku analizirat ćemo samo mreže ekvivalentne s
obzirom na prilaze. Unutarnja struktura (shema spoja)
svake pojedine mreže tada više nije bitna, dakle ne mora
biti niti poznata.
Proizlazi da su dvije mreže ekvivalentne (s obzirom na
prilaze) ako se mogu prikazati istim višeprilazom.
Za mreže prikazane dvoprilazima ovo znači da su
ekvivalentne ako im je jedan od skupova parametara
(recimo z-parametri) jednak. Za linearne vremenski
nepromjenljive dvoprilaze jednakost jednog skupa
parametara ujedno znači i jednakost svih ostalih skupova
parametara.
Ako je poznata shema spoja linearne vremenski
nepromjenljive mreže A, shvaćene kao dvoprilaz, može se
izgraditi njoj ekvivalentna mreža B, uzimajući u obzir
uvjete ekvivalencije, izraženo recimo s pomoću
z-parametara:
A
B
A
B
z11A = z11B ; z12A = z12B ; z 21
= z 21
; z 22
= z 22
Sl. 32.1 Prikaz linearnog dvonamotnog transformatora s pomoću
dvije potpuno ekvivalentne mreže (dvoprilaza).
1
Napomena: Često se u praksi pogrešno upotrebljava termin
ekvivalentna mreža umjesto termina model naprave
ili stvarne mreže. Uistinu ima smisla reći da su dva
različita modela naprave ili stvarne mreže
ekvivalentni ako se njihovi odzivi ne razlikuju za
iste zadane poticaje. Besmisleno je reći da je neka
naprava
ili
stvarna
mreža
modelirana
ekvivalentnom mrežom.
2'
b)
Sl. 32.2 Prikaz linearnog dvonamotnog transformatora s pomoću
dviju mreža ekvivalentnih s obzirom na prilaze.
mora biti jednaka nuli, što i dobivamo na osnovi mreže
prikazane na slici 32.1b, dok se u mreži prikazanoj na slici
32.2b dobiva kratki spoj!
(1)
gdje su sa z ijA označeni z-parametri mreže A, a sa z ijB
z-parametri mreže B. Ako broj elemenata mreže A
premašuje četiri, prijelaz iz jedne mreže u drugu, nije
jednoznačan.
Za recipročne mreže vrijedi da je z12=z21, te se broj
uvjetnih jednadžbi (1) smanjuje na tri.
Svaki problem koji se može riješiti s pomoću
ekvivalentne mreže može se riješiti i bez nje. S toga
rješavanje ekvivalentnih mreža ima smisla ako se time
pojednostavljuje početno zadani problem. Karakterističan
primjer jest transformacija temeljnih shema spoja
recipročnih mreža kada je poznata ili π-shema spoja ili
T-shema spoja i zgodno je zbog kasnije jednostavnije
analize prijeći iz jedne sheme spoja u njoj ekvivalentnu
drugu shemu spoja.
32.1.1 Transformacija temeljnih shema spoja recipročnih
dvoprilaza
Pretpostavimo da su poznati elementi π-sheme spoja
nekog recipročnog dvoprilaza yA, yB i yC. Potrebno je
odrediti vrijednosti elemenata za, zb i zc ekvivalentne
140
32. Svojstva dvoprilaza
T-sheme spoja, slika 32.3. Često se ovaj postupak zove i
transformacija spoja “trokut” u spoj “zvijezda”.
yB
I1
I2
yA
U1
yC
ekvivalentne T-sheme spoja te iste recipročne mreže.
Vrijedi i obrat, tj. transformacija spoja “zvijezda” u spoj
“trokut”. Analognim postupkom dobili bismo da je
1
1
1
zc ; y B =
zb ; yC =
za
∆z
∆z
∆z
yA =
U2
(4)
gdje je
a)
I1
zc
za
∆z = z a z b + z a z c + z b z c
I2
zb
U1
POOPĆENJE:
Transformacija spoja “zvijezda” u spoj “trokut” poseban je
slučaj Rosenovog teorema (A. Rosen, 1924.) koji glasi:
U2
b)
Sl. 32.3 Transformacija π-sheme spoja u ekvivalentnu T-shemu
spoja.
Pronađimo z-parametre koji opisuju π-shemu spoja. U
skladu sa slikom 32.3a i pridijeljenim referentnim
smjerovima vrijedi da je
U nekoj mreži zvijezda od n elemenata admitancija y1, y2,
…,yn, slika 32.4a može biti zamijenjena petljastom
mrežom od n(n-1)/2 elemenata, slika 32.4b, u kojoj između
svaka dva priključka zvijezde j i k postoji jedan element
mreže admitancije
y jk =
I1 = ( y A + y B )U 1 − y BU 2
y j yk
∑ yi
i =1
I 2 = − y BU 1 + ( y B + yC )U 2
1
1
Riješivši ovaj sustav jednadžbi po U1 i U2 dobivamo da je
U1 =
U2 =
1
∆y
[( y B + yC ) I1 + y B I 2 ]
y2
(2)
∆y = y A y B + y A y C + y B y C
Sustavom jednadžbi (2) opisana je π-shema spoja s
pomoću impedancijskih parametara. Usporedbom sustava
jednadžbi (2) i (31.7) proizlazi odmah da je
1
1
1
( y B + yC ) ; z12 = z21 =
y B ; z22 =
( y A + yB )
∆y
∆y
∆y
S druge strane, za mrežu sheme spoja prema slici 32.3b
vrijedi da je
z11 = za + zb ; z12 = z21 = zb ; z 22 = zb + zc
te iz jednakosti z-parametara, u skladu s uvjetima (1),
proizlazi da je
za =
1
1
1
yC ; z b =
yB ; zc =
yA
∆y
∆y
∆y
y4
0
y3
4
y24
2
y13
y34
y23
3
3
b)
a)
Sl. 32.4 Zvijezda od 4 elementa transformira se u petljastu mrežu
od 6 elemenata.
gdje je sa ∆y označena determinanta sustava
z11 =
4
y12
y14
2
y1
1
[y I + ( y A + y B ) I 2 ]
∆y B 1
(5)
n
(3)
čime je omogućeno da se na temelju poznatih admitancija
π-sheme spoja neke recipročne mreže odrede impedancije
Obrat teorema ne važi, tj. petljasta mreža ne može se
transformirati u ekvivalentnu zvijezdu. To je moguće samo
ako je n = 3. Tada je broj elemenata zvijezde i
odgovarajuće petljaste mreže jednak i to je prethodno
objašnjena transformacija spoja “zvijezda” u spoj “trokut”
i obratno.
32.1.2 Ekvivalencija mreže s obzirom na mali ulazni
izmjenični signal
Transformacija π-sheme spoja u T-shemu spoja i
obratno vrijedi za svaku recipročnu mrežu i ne ovisi o vrsti
poticaja.
U nerecipročnim mrežama, kao i u nelinearnim
mrežama, pronalaženje mreža ekvivalentnih zadanim
mrežama a jednostavnijim za analizu općenito je nerješiva
zadaća. Za u praksi elektroničkih sklopova važan slučaj
istodobnog djelovanja istosmjernog i "malog" izmjeničnog
signala na neke nelinearne sklopove može se analiza bitno
pojednostaviti ako se nelinearni elementi mreže
lineariziraju u okolišu radne točke te shvate kao linearni
dvoprilazi. U tome slučaju pridjev “mali izmjenični” znači
toliki ulazni signal narinut na dvoprilaz da se sa
141
IX. Dvoprilazi
zadovoljavajućom tehničkom točnošću dvoprilaz još uvijek
može smatrati linearnim.
R3
R2
R3
R2
E
i 1 C1
1
C3
i2
2
V
u2
2
u1
R1
V
1'
u2
R1
u1
R4
2'
a)
C2
2'
1'
Sl. 32.5 Shema spoja jednostepenog tranzistorskog pojačala.
Razmotrimo najjednostavniji primjer jednostepenog
tranzistorskog pojačala, slika 32.5. Na ulazu 1 djeluje
ulazni izmjenični signal u1(t) a na izlazu 2 dobiva se
korisni signal u2(t). Bipolarni tranzistor V zadan je
nelinearnim karakteristikama
u BE = f1 (iB , uCE ) ; iC = f 2 (iB , uCE )
gdje je sa uBE označen napon baza-emiter, sa iB -struja baze,
sa uCE - napon kolektor-emiter, a sa iC - struja kolektora.
Radnu točku Q tranzistora određuje napon napajanja E
te otpori R1 do R4. Pretpostavimo toliko mali ulazni
izmjenični signal u1 da se karakteristike tranzistora u
okolišu radne točke mogu linearizirati. Razvojem u
Taylorov red i uzimanjem u obzir samo linearnog člana
dobivamo da u okolišu radne točke Q vrijede ovi izrazi
δu BE =
δiC =
iB
i1
1
i2
∂f1
∂i B
∂f 2
∂iB
⋅ δi B +
Q
⋅ δi B +
Q
∂f1
∂uCE
∂f 2
∂uCE
⋅ δuCE
Q
⋅ δuCE
Q
Pretpostavimo li da su vrijednosti parcijalnih derivacija za
zadani “hod” ulaznog izmjeničnog signala konstantne,
opažamo da se tranzistor može shvatiti kao linearni
dvoprilaz opisan h-parametrima, tj. da je
1
gdje su sa UBE i IB označeni Laplaceovi transformati
ulaznih varijabli dvoprilaza a sa UCE i IC Laplaceovi
transformati izlaznih varijabli dvoprilaza.
U pojednostavljenoj analizi ovog pojačala obično se
pretpostavlja da su u interesantnom području frekvencija
ulaznog signala u1(t) impedancije svih kapaciteta
zanemarive te shema spoja pojačala za mali izmjenični
signal izgleda kao na slici 32.6a. Izvor napajanja
predstavlja za izmjenični signal kratki spoj, te nakon svih
pojednostavljenja, uzevši u obzir nadomjesnu shemu spoja
tranzistora prema slici 31.7, dobivamo konačno mrežu
ekvivalentnu polaznoj, slika 32.6b.
I2
V
h11
R1
U1
2
h21IB
R2
R3 U2
1
h22
h12U2
1'
2'
b)
Sl.32.6
a) Shema spoja za mali izmjenični signal.
b) Ekvivalentna mreža polaznoj za mali izmjenični
signal (svi reaktivni utjecaji zanemareni !).
32.2 SPAJANJE DVOPRILAZA
Često se složeniji dvoprilaz može shvatiti kao da je
stvoren spajanjem jednostavnijih dvoprilaza. To je važno i
sa stajališta projektiranja dvoprilaza. Naime, obično je
bitno jednostavnije projektirati jednostavne cjeline
(dvoprilaze) i zatim ih spojiti u složeniju cjelinu
(dvoprilaz) nego odmah pristupiti projektiranju složenije
cjeline.
32.2.1 Lančani (kaskadni) spoj
Lančani spoj jest najjednostavniji način spajanja dvaju
ili više dvoprilaza budući da je kod tog načina spajanja
uključen samo jedan od prilaza svakog od spojnih
dvoprilaza, slika 32.7.
I 2A
A
I1 I 1
U BE = h11 I B + h12U CE
I C = h21 I B + h22U CE
I1
U1
A
I 2B I2
I1B
U 2A U 1B
B
U2
Sl.32.7 Lančani spoj dvaju dvoprilaza.
Opišimo dvoprilaze A i B s pomoću a-parametara. U
skladu s izrazima (31.20) prijenosne jednadžbe dvoprilaza
u matričnoj formi glase:
A
B
U 1A 
U 1B 
A U2 
B U2 
 I A  = aij − I A  ;  I B  = aij − I B 
 1 
 2
 1 
 2
[ ]
[ ]
142
32. Svojstva dvoprilaza
No, u skladu s oznakama na slici 32.7 vrijedi da je
I1
A
A
z1
z2
A
A
B
B
U 1  U 1   U 2  U 1   U 2   U 2 
=
;
=
;
 I1   I A  − I A   I B  − I B  = − I 2 
 1   2  1   2
A
z3
te dobivamo da je
I1
A
I2
A
B
z2
B
z1
U 1 
A
B  U2 
 I1  = aij aij − I 2 
[ ][ ]
I2
(6)
B
z3
U lančanom spoju dvaju dvoprilaza parametri tako
dobivenog složenog dvoprilaza određuju se množenjem
matrica s a-parametrima pojedinih dvoprilaza. Proširenje
na lančani spoj od n dvoprilaza je trivijalno kao i to da se
cijeli postupak s istim rezultatom mogao provesti koristeći
i b-parametre.
VAŽNO: Lančani spoj je uvijek moguć!
a)
I1
A
A
z2
z1
1:1
A
z3
A
I1
B
B
z1
z2
32.2.2 Serijski spoj
B
z3
Slika 32.8 prikazuje serijski spoj dvaju dvoprilaza.
Očigledno u serijskom spoju vrijede ovi odnosi :
A
B
A
B
U 1  U 1 + U 1 
 I1   I1   I1 
=
;
=
=

A
B


A


B
U 2  U + U
 I 2 
2 
 2
I 2  I 2 
A
B
B
U1A 
A  I 1  U 1 
B  I1 
 A  = zij  A  ;  B  = zij  B 
U 2 
 I 2  U 2 
I 2 
I1
[ ]
I1A
I 2A
U 1A
U1
I1B
I1
I2
Up Uq
B
B
U 2B
B
Sl.32.10 Testovi valjanosti serijskog spoja. Ako je Up = 0 i
Uq= 0 dvoprilazi A i B mogu se serijski spojiti,
inače ne!
Sl.32.8 Serijski spoj dvaju dvoprilaza.
te koristeći uvjete (7) dobivamo da je
U 1 
A
B  I1 
U 2  = z ij + z ij  I 2 
[
A
A
U2
I 2B
U 1B
S obzirom na to da se sheme spoja dvoprilaza u načelu
ne znaju, to je nužno prije serijskog spoja provjeriti je li on
dopušten, provedbom tzv. testa valjanosti (O. Brune,
1931.), slika 32.10.
I2
U 2A
A
Sl. 32.9 a) Serijski spoj dvoprilaza kod kojeg je I1≠I1A, I2≠I2A.
b) Serijski spoj dvoprilaza pri čemu se koristeći
idealni transformator jamči da je I1=I1A, I2=I2A.
(7)
Opišemo li dvoprilaze A i B s pomoću z-parametara, to će
vrijediti da je
[ ]
b)
]
32.2.3 Paralelni spoj
(8)
Dakle, u serijskom spoju dvaju dvoprilaza njihovi se
z-parametri zbrajaju.
Serijski spoj nije uvijek moguć. Pokažimo to na
primjeru, slika 32.9a. Vidimo da je nakon serijskog spoja
došlo do promjene sheme spoja dvoprilaza B (z1B i z2B
kratko su spojeni!). Uvjet (7) ipak se može uvijek
zadovoljiti
dodavanjem
idealnog
transformatora
prijenosnog omjera n = 1 na način kako je pokazano na
slici 32.9b.
Slika 32.11 prikazuje paralelni spoj dvaju dvoprilaza.
Očigledno u paralelnom spoju vrijede ovi odnosi:
A
B
U 1  U 1  U 1 
=
=

A


B
U 2  U
 2  U 2 
;
A
B
 I 1   I 1 + I1 
=

A
B
 I 2 
I 2 + I 2 
(9)
Opišemo li dvoprilaze s pomoću y-parametara, to će
vrijediti da je
 I1A 
A
 I A  = yij
 2
[ ] UU

A
1
A
2
B

 I1B 
B U 1 
 ;  I B  = yij U B 

 2
 2
[ ]
143
IX. Dvoprilazi
A
A
I1
I1
I2
A
U2
B
1:1
I1
A
A
U1
U1
I2
A
U1
U2
I2
U2
B
I1
I2
B
B
B
U2
B
U1
Sl.32.13 Uvođenjem idealnog transformatora na jednom od
prilaza dvoprilazi A i B neovisno o unutrašnjim
strukturama (shemama spoja) mogu se uvijek
spojiti paralelno.
Sl.32.11 Paralelni spoj dvaju dvoprilaza.
te koristeći uvjete (9) dobivamo da je
 I1 
A
B U 1 
 I 2  = yij + yij U 2 
[
]
(10)
A
tj. u paralelnom spoju dvaju dvoprilaza njihovi se
y-parametri zbrajaju.
Analogno serijskom spoju, niti paralelno spajanje nije
uvijek moguće. Zbog toga treba prethodno provesti testove
valjanosti kako je to prikazano na slici 32.12.
A
z1
I1
z2
I2
A
z3
U2
U1
B
I1
z3
B
z1
B
z2
A
U1
A
A
z2
z1
I1
Up
A
z3
U1
B
B
U2
B
z1
I2
A
I2
B
z3
z2
U2
Sl.32.14 Regularni serijski i paralelni spoj dvaju dvoprilaza
T-sheme spoja.
Uq
B
Sl.32.12 Testovi valjanosti paralelnog spoja. Ako je Up= 0 i
Uq= 0 dvoprilazi A i B mogu se paralelno spojiti a
da se ne promijene parametri pojedinih dvoprilaza,
inače ne!
32.2.4 Mješoviti spojevi
Slika 32.15 prikazuje serijsko-paralelni spoj dvaju
dvoprilaza. Ova je shema spoja jedna od temeljnih shema
spoja u analizi mreža s povratnom vezom.
A
Ako je Up ≠ 0 i Uq ≠ 0 paralelni spoj je moguć tek nakon
ugradnje idealnog transformatora prijenosnog omjera 1:1,
kao što je to prikazano na slici 32.13.
VAŽNO: Ako su sheme spojeva dvoprilaza poznate
spojevi s idealnim transformatorom mogu se
izbjeći ako se dvoprilazi spoje na način prikazan
na slici 32.14. To su tzv. regularni spojevi.
A
I1
I1
A
I2
B
U1
B
U2
U2
B
I1
U1
A
A
U1
I2
I2
B
B
U2
Sl.32.15 Serijsko-paralelni spoj dvaju dvoprilaza.
144
32. Svojstva dvoprilaza
U ovom spoju mora vrijediti da je
tj. da se u paralelno-serijskom spoju dvaju dvoprilaza
njihovi g-parametri zbrajaju.
Kao i u svim prethodnim slučajevima, izuzevši lančani
spoj, izravno spajanje nije uvijek moguće nego ga tek treba
dokazati ili opovrći testovima valjanosti.
A
B
 I1A   I1B 
U 1  U 1 + U 1 
=
;
U A  = U B 
 I 2   I A + I B 
2 
 2
 2  2
te se koristeći h-parametre lako dobiva da je
32.2.5 Spojevi mreža sa tri priključka
U 1 
A
B  I1 
 I 2  = hij + hij U 2 
[
]
tj. da se u serijsko-paralelnom spoju dvaju dvoprilaza
njihovi h-parametri zbrajaju.
Kao i u prethodnim slučajevima izravno spajanje
dvoprilaza nije uvijek moguće nego ga tek treba dokazati
ili opovrći testovima valjanosti.
Druga varijanta mješovitog spoja jest paralelno-serijski
spoj prikazan na slici 32.16. U ovom spoju mora vrijediti
da je
U1
A
A
I1
I2
A
I2
B
I2
A
U2
B
a)
b)
Sl.32.17 Serijski i paralelni spoj mreža sa tri priključka.
I1
A
I1
I2
A
U2
U2
U1
Sl.32.16 Paralelno-serijski spoj dvaju dvoprilaza.
B
B
te se koristeći g-parametre lako dobiva da je
a)
b)
 I1 
A
B U 1 
U 2  = g ij + g ij  I 2 
[
]
I2
U2 U1
B
B
U1
I1
U1
U2
B
B
I2
U2
I2
U2
I1
A
B
A
A
U1
I1
U1
A
B
A
B
 I1   I1 + I1 
U 1  U 1  U 1 
U 2  = U A + U B  ;  I 2  =  I A  =  I B 
2 
 2
 2   2 
I1
U najvećem broju za praksu važnih dvoprilaza jedan od
priključaka je zajednički i za ulaz kao i za izlaz. Takav
dvoprilaz je u stvari mreža sa tri priključka. Ako se takve
dvije mreže spoje na načine prikazane na slikama 32.17 i
32.18, neće trebati provesti testove valjanosti budući da se
takvim spajanjem ne mijenjaju parametri pojedinih mreža.
(12)
Sl.32.18 Mješoviti spojevi mreža sa tri priključka.
a) Serijsko-paralelni spoj.
b) Paralelno-serijski spoj.
145
IZVORI PODATAKA
(1) CARTER, G. W., RICHARDSON, A.
Techniques of circuit analysis, Cambridge, University Press, 1972
(2) CHUA, L. O., DESOER, C. A., KUH, E. S. Linear and nonlinear circuits, Singapore, Mc Graw Hill Comp., 1987
(3) CUNNINGHAM, W. J.
Introduction to nonlinear analysis, New York, Mc Graw Hill Comp., 1958
(4) DESOER, C. A., KUH, E. S.
(5) GUILLEMIN, E. A.
Introductory circuit theory, New York, J. Wiley, 1958
(6) HASLER, M., NEIRYNCK, J.
(7) HORVAT, R.
Basic circuit theory, Tokyo, Mc Graw Hill-Koga Kusha, 1969
Nonlinear circuits, Norwood, MA 02062, Artech House Inc., 1986
Analiza električnih kola u vremenskom domenu, Beograd, Građevinska knjiga, 1989
(8) HOWATSON, A. M.
Electrical circuits and systems, Oxford, Oxford University Press, 1996
(9) KARNI, S. Applied circuit analysis, New York, J. Wiley, 1988
(10) LANCASTER, G. Introduction to fields and circuits, Oxford, Oxford University Press, 1992
(11) MANDEL'ŠTAM, L. I. Lekciji po teoriji kolebanij, Moskva, Nauka, 1972
(12) NAGLIĆ, V. Osnovi teorije mreža, Zagreb, Sveučilište u Zagrebu, 1988
(13) NEIMAN, L. R., DEMIRČJAN, K. S. Teoretičeskie osnovy elektrotehniki, Tom pervyj, Lenjingrad, Energija, 1967
(14) NILSSON, J. W. RIEDEL, S. A. Electric circuits, Reading, Massachusetts, Addison – Wesley Publ. Comp., 1996
(15) PRUDNIKOV, A. P., BR'IČKOV, JV.A., MARIČEV, O.I. Integrali i rjad'i, Moskva, Nauka, 1971
(16) SIEBERT, V. M. Cepi, signaly, systemy, Moskva, Mir, 1988