O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
BIRINCHI TARTIBLI ODDIY DIFFERENSIAL
TENGLAMALARNI BIR QADAMLI SONLI
USULLAR YORDAMIDA YECHISH
«5140300 – Mexanika», «5130100 – Matematika» va
«5130200 – Amaliy matematika va informatika»
ta’lim yo‘nalishlari bakalavr talabalari uchun
Samarqand davlat universiteti o‘quv-uslubiy
Kengashi tomonidan nashrga tavsiya etilgan
(2017-yil 23-iyun, 4-bayonnoma)
Samarqand – 2018
1
UDK 518.1
BBK 22.19
B-71
Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli
usullar yordamida yechish. Uslubiy koʻrsatma. – Samarqand: SamDU
nashri, 2018. – 56 bet.
Ushbu uslubiy ko‘rsatma Hisoblash usullari fani bo‘yicha «5140300 –
Mexanika», «5130100 – Matematika» va «5130200 – Amaliy matematika
va informatika» ta’lim yo‘nalishlari bakalavr talabalari uchun
mo‘ljallangan bo‘lib, unda shu fanning namunaviy o‘quv dasturidan kelib
chiqib, unda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamali chegaraviy
masalalarni bir qadamli sonli usullar yordamida taqribiy yechishning
nazariy asoslari, hisob algoritmi, namunaviy misollar yechimlari, mustaqil
ish topshiriqlari, sinov savollari, mustaqil oʻzlashtirishga oid adabiyotlar,
dasturiy vosita va undan foydalanishga oid uslubiy tavsiyalar va boshqa
tarqatma materiallar keltirilgan. Ushbu uslubiy ko‘rsatmadan magistrantlar, yosh ilmiy xodimlar va tadqiqotchilar ham foydalanishlari mumkin.
Tuzuvchilar:
Abdirashidov A. – SamDU mexanika-matematika fakulteti "Nazariy
va amaliy mexanika" kafedrasi dotsenti, fiz.-mat.f.n., dots.,
Abdurashidov A.A. – SamDU mexanika-matematika fakulteti
"Nazariy va amaliy mexanika" kafedrasi assistenti.
Nishonov O’.A. – SamDU mexanika-matematika fakulteti "Nazariy
va amaliy mexanika" kafedrasi assistenti.
Kasimova F.U. – SamDU mexanika-matematika fakulteti "Nazariy va
amaliy mexanika" kafedrasi assistenti.
Mas‘ul muharrir
Begmatov A.H. – SamDU mexanika-matematika fakulteti
"Differensial tenglamalar" kafedrasi mudiri, fiz.-mat.f.d., prof.
Taqrizchilar:
Berdiyev SH.D. – SamDU mexanika-matematika fakulteti "Nazariy
va amaliy mexanika" kafedrasi mudiri, texn.f.n., dots.
Zaynalov N.R. – SamISI "Axborot texnologiyalari" kafedrasi mudiri,
fiz-mat.f.n., dots.
© Samarqand davlat universiteti, 2018.
2
Kirish
Kompyuterning qoʻllanilish sohalaridan biri mexanika, texnika,
telemommunikatsiyaning koʻpgina ob’ektlarida yuz beradigan baʼzi
jarayonlarning
matematik
modellarini
hisoblash
usullari
va
kompyuterlarning dasturiy vositalari yordamida tahlil qilish dolzarb
muammo boʻlib qolmoqda. Hisoblash usullari va kompyuterlarning
zamonaviy imkoniyatlari birgalikda tadqiqot jarayonlari va obyektlarining
shu paytgacha nomaʼlum xususiyatlarini ochishga va, shu asnoda,
texnologik jarayonlarni takomillashtirishga xizmat qilmoqda. Ushbu
uslubiy koʻrsatmaning mavzusi ham hisoblash usullari va kompyuterning
ilmiy tadqiqot ishlarida qoʻllanilishiga bog`liq boʻlib, oʻquv-uslubiy, ilmiy
va amaliy jihatdan dolzarbdir.
Koʻplab sohalardagi jarayonlarning matematik modeli oddiy yoki
xususiy hosilali differensial tenglamalar nomi bilan yuritiladi. Eng koʻp
tarqalgan Koshi masalasi bu boshlangʻich shart bilan berilgan
masalalardir. Ana shu boshlangʻich shartlar asosida masalani yechish
jarayoni osonroq bajariladi. Boshqa turdagi masalalar – chegaraviy
masalalar (masalan, chekli shartlar yoki oraliq nuqtalarda shartlari berilgan
masalalar) – maxsus uslublar yordamida yechiladi, xususan ularning
baʼzilari unga ekvivalent boʻlgan boshlangʻich shartli masalalarga keltirib
yechiladi.
Bunday masalalarni yechish usullarining ikkita guruhi mavjud: bir
qadamli va koʻp qadamli usullar. Birinchi guruhga kiruvchi usullar
funksiyaning keyingi nuqtadagi qiymatini topish uchun uning dastlab bitta
nuqtadagi, ikkinchi guruhda esa bir nechta nuqtadigi qiymati berilishini
talab qiladi.
Ushbu uslubiy koʻrsatmada birinvhi tartibli oddiy differensial
tenglamalarni bir qadamli sonli usullar yordamida taqribiy yechish
masalasi qaraladi. Ushbu ishning maqsadi – bu bakalavr talabalarga
birinvhi tartibli oddiy differensial tenglamalarni va tenglamalar
sistemasini, ularni yechish usullarining qisqacha nazariy maʼlumotlarini,
ularni sonli yechishning bir qadamli usullarini, ularning algoritmini, hisob
dasturini yaratishni, har xil qiziqarli amaliy masalalarni sonli yechishni,
Koshi masalasini bir qadamli usullar bilan sonli yechishda matematik
paketlardan samarali foydalanishni oʻrgatish.
Birinvhi tartibli oddiy differensial tenglamalar bilan berilgan Koshi
masalalarini bir qadamli sonli usullardan foydalanib taqribiy yechishda bu
boʻlimlarda qoʻllaniladigan uslublarni bilish zarur. Ular hisoblash
3
usullarining asosiy boʻlimlarida qoʻllaniladigan elementar almashtirishlar
va hisoblashlarning buyruqlaridan foydalanish imkonini beradi. Amalda
ixtiyoriy matematik paket yordamida amalga oshirish mumkin boʻlgan
“elementar” hisoblashlar va almashtirishlar zanjiri murakkab masalalarni
ham yechish imkonini beradi (masalan, Koshi masalasi, chegaraviy
masalalarni yechish).
Ushbu uslubiy koʻrsatmada: birinvhi tartibli oddiy differensial
tenglamalar bilan berilgan Koshi masalasi yuqori aniqlikdagi bir qadamli
sonli usullar bilan taqribiy yechilgan; tadbiq uchun mexanikaga oid aniq
amaliy masalalar sonli yechilgan; sonli hisob algoritmi yaratilgan; hisob
dasturi matematik paketlarda tuzilgan, natijalar aniq yechimlar bilan
taqqoslangan.
Ushbu uslubiy koʻrsatma talabalarga "Sonli usullar va dasturlash"
fanini yanada chuqurroq oʻzlashtirishga yaqindan yordam beradi.
Mazkur uslubiy koʻrsatmadan turdosh taʼlim yoʻnalishlar bakalavr
talabalari hamda fakultet magistrantlari, yosh ilmiy xodimlar va
tadqiqotchilar ham foydalanishlari mumkin.
Ushbu uslubiy ko‘rsatmani tayyorlash jarayonida rus va ingliz
tillaridagi bir qator darslik va o‘quv qo‘llanmalardan hamda Internet
tarmog‘idagi katta hajmdagi ma’lumotlardan bevosita foydalanildi. Ushbu
adabiyotlar ro‘yxati uslubiy ko‘rsatmaning oxirida keltirildi.
Uslubiy ko‘rsatmaning kamchiliklarini bartaraf etishga va uning
sifatini oshirishga qaratilgan barcha fikr va mulohazalarni minnatdorchilik
bilan qabul qilamiz.
4
1. Boshlangʻich tushunchalar
Fan va texnikaning koʻplab masalalari oddiy differensial tenglamalarni yechishga olib kelinadi.
Oddiy differensial tenglama deb erkli oʻzgaruvchi (argument), izlanayotgan funksiya va uning bir qator hosilalarini oʻz ichiga olgan
tenglamaga aytiladi. Oddiy differensial tenglama umumiy holda
quyidagicha yoziladi:
F(x, y, y, y, …, y(n)) = 0,
bu yerda x – erkli oʻzgaruvchi; y(i) – izlanayotgan funksiyaning i-tartibli
hosilasi, y(i) =
d (i ) y
;
dx i
n – tenglamaning tartibi.
n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta c1, c2,
.., cn oʻzgarmaslarni oʻz ichiga oladi, yaʼni uning umumiy yechimi
quyidagicha yoziladi:
y = (x, c1, c2, .., cn).
Oddiy differensial tenglamaning yagona yechimini topish uchun n ta
qoʻshimcha shartlar kiritish lozim boʻladi.
Agar bu qoʻshimcha shartlr bitta nuqtada berilsa, u holda bunday masala Koshi masalasi deb ataladi. Koshi masalasining qoʻshimcha shartlari
boshlangʻich shartlar deb ataladi.
Agar qoʻshimcha shartlar bittadan ortiq nuqtalarda berilsa, yaʼni erkli
oʻzgaruvchining har xil qiymatlarida berilsa, u holda bunday masala chegaraviy masala deb ataladi. Bunday masalaning qoʻshimcha shartlari chegaraviy shartlar deb ataladi.
Xususan, n = 1 boʻlganda gap faqat Koshi masalasi haqida ketadi.
Koshi masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:
1) y = x3y2 , y(1) = 2;
2) y = y + xy3 , y(1) = 1 , y(1) = 0.
Chegaraviy masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:
1) y + 2y – xy , y(0) = 1 , y(1) = 0;
2) y = x + xy – y , y(1) = 0 , y(1) = 0 , y(3) = 2 .
Bunday masalalarni analitik usullar bilan faqatgina maxsus turdagi
tenglamalar uchungina yechish mumkin. Qolgan hollarda biror sonli
usulga murojaat qilishga toʻgʻri keladi. Quyida ana shunday bir qadamli
sonli usullar bilan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni
yechishni qarab chiqamiz.
5
2. Masalaning qoʻyilishi
Koshi masalasi. Ushbu
birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning
boshlangʻich shart bilan [x0, xn] kesmadagi yechimini toping.
Bu masalaning taqribiy yechimini topishda hisoblashlar
h = (xn – x0)/n
qadam bilan bajariladi, bunda hisob tugunlari sifatida [x0, xn] kesmadagi
xi = x0 + ih, i=0, 1, .., n
nuqtalardan foydalaniladi.
Ishning maqsadi quyidagi jadvalni tuzish:
xi
x0
x1
…
xn
yi y0 y1 … yn
yaʼni y(x) funksiyaning taqribiy qiymatlari toʻrning tugun nuqtalarida izlanadi.
Berilgan tenglamani [xi, xi+1] kesmada integrallab, quyidagi tenglikka
ega boʻlamiz:
Masalaning sonli yechimini topish uchun ana shu integral sonli integallashning biror kvadratur formulasi bilan almashtirilib, masala yechiladi.
Quyida ana shunday usullar bilan tanishamiz.
3. Eylerning oshkor usuli
Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning universial usuli tavsiflangan:
y(x) = f(x,y(x)), x0  x  x0 + L,
(1)
y(x0) =  .
(2)
bu yerda L > 0, L – integrallash kesmasining uzunligi.
Bu tenglamaning yechimi deb shunday y(x) funksiya tushuniladiki, u
berilgan [x0, x0+L] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalarda (1) tenglamani qanoatlantiradi va x = x0 nuqtada qoʻshimcha (boshlangʻich) shart (2) ni qanoatlantirsin.
6
Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan
tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun f(x,y)
funksiya [x0 , x0+ L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (x*, y*) nuqtasida
aniqlangan deb kelishamiz (1-rasm).
1-rasm.
2-rasm
N natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [x0 , x0 + L] ni
h = L/N
(3)
uzunlikli N ta boʻlakka
xi = x0 + ih, i = 0, 1, …, N
(4)
nuqtalar bilan boʻlamiz (2-rasm).
Diskret nuqtalr toʻplami (4) ni [x0, x0+L] kesmadagi toʻr, xi nuqtalarning oʻzlarini esa toʻrning tugunlari deb ataymiz.
Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3)
umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [xi, xi+1] kesmaning uzunligi boʻlib, u
toʻrning qadami deb ataladi (3-rasm). N ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami
nolga intiladi:
N  da h  0,
(5)
bundan esa toʻr zichlashub boraveradi.
3-rasm.
Bizning maqsadimiz, izlanayotgan y(x) yechimning bu toʻr tugunlaridagi y(xi) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil
qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning xi nuqtasida y(xi)
hosilaning yozilgan ushbu
y(xi) = f(xi, y(xi))
(6)
ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish:
y( xi  h)  y( xi ) y( xi 1 )  y( xi )

.
h
h
Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha.
7
(7)
Faraz qilaylik, i – toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi
boʻlsin:
y( xi 1 )  y( xi )
 y ( xi )  i .
h
Bu yerdan y(xi) hosilani quyidagicha
y ( xi ) 
y( xi 1 )  y( xi )
 i
h
ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni
hosil qilamiz:
y( xi 1 )  y( xi )
 f ( xi , y( xi ))  i .
h
(8)
Bu tenglikni izlanayotgan ikkita y(xi) va y(xi+1) miqdorlar qanoatlantiradi.
Shuni taʼkidlaymizki, (8) tenglama barcha
i = 0, 1, …, N–1
lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama N ta tenglamalar
sistemasini tashkil qiladi (bu yerda i = N uchun (8) tenglamani yozib
boʻlmaydi, chunki bu tugunda xi+1 nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi).
Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan i xatolik
hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib
barcha y(xi) miqdorlarni i = 1, 2, …, N lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib
boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina y(x0) maʼlum.
Ammo h qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik
boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi.
Ana shu holatda izlanayotgan nomaʼlum y(xi) miqdorni yi deb belgilab, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:
yi 1  yi
 f ( xi , yi ) , i = 0, 1, …, N-1.
h
(9)
Bu yerda (8) tenglamaning oʻng tarafidagi oʻzgarish, albatta, uning
yechimini ham oʻzgartiradi.
Bu (9) tenglamalar sistemasiga ushbu
y0 = 
(10)
tenglikni ham qoʻshib, nomaʼlum yi miqdorlarni topishning skalyar
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Ushbu
y0, y1, …, yN
ketma-ketlik skalyar tenglamalar sistemasi (9) dan topilgan nomaʼlum yi
miqdorlarning qiymatlari boʻlib, ular toʻr yechimlar deb ataladi, bu ketma8
ketlikning umumiy hadi yi esa toʻr yechimning xi tugundagi qiymati
deyiladi.
Dastlabki x0 tugunda toʻr yechim berilgan diferensial masalaning
boshlangʻich shart bilan berilgan yechimi bilan mos keladi, yaʼni
y0 =  = y(x0),
toʻrning boshqa tugunlarida esa ushbu
yi  y(xi), i = 1, 2, …, N
taqribiy yaqinlashishlargina aniqlangan boʻladi.
1-lemma. (9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.
Isbot. (9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
yi 1  yi  h f ( xi , yi ) , i = 0, 1, …, N–1.
(11)
Berilgan f funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11)
tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy yi lar uchun aniqlangan, shuning
uchun bu tenglik oldingi xi tugundagi toʻr yechimdan foydalaib xi+1
tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib
hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra x0 tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11)
dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum y1, y2, …, yN larni
biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin.
1-izoh. Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu
y0 =  , yi 1  yi  h f ( xi , yi ) , i = 0, 1, …, N–1.
(11)
algoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (17071783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga Eylerning
oshkor usuli deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9)
tenglamaning yi+1 ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11)
oshkor formula oldingi xi tugundagi yi toʻr yechimdan foydalanib xi+1
tugundagi yi+1 toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi.
Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun
avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz
qiliamiz, yaʼni berilgan [x0 , x0 + L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy
ichki (x*, y*) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi,
boshqacha qilib aytganda, (x0 , x0 + L) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy
x* va ixtiyoriy haqiqiy y* uchun ushbu
y(x*) = y* , y(x) = f(x, y(x))
Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan
bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida x, y
oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha f funksiyaning uzluksizligini faraz qilish
yetarli.
9
2-izoh. Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usulining maʼnosi
izlanayotgan y yechimning [xi, xi+1] intervaldagi grafigini xuddi shu differensial tenglamaning unga yaqin boʻlgan biror yechimi grafigiga
oʻtkazilgan urinma boʻlagini anglatadi.
Agar y yechimning xi tugundagi y(xi) yechimi aniq boʻlganda edi, u
holda bunday boʻlak sifatida y yechimga xi nuqtada oʻtkazilgan urinma
boʻlagini olish mumkin (4-rasm).
4-rasm.
5-rasm
Ammo biz y(xi) miqdor oʻrniga uning yi taqribiy qiymatini bilamiz,
shuning uchun izlanayotgan y yechimning grafigiga (xi, y(xi)) nuqtadan
boshqasi orqali urinma oʻtkazishga majburmiz, bu xuddi shu differensial
tenglama y(i) - yordamchi yechimi grafigining (xi, yi) nuqtasidan oʻtuvchi
urinma (5-rasm).
Bu urinmaning oʻrdinata oʻqiga parallel va xi+1 tugun orqali oʻtuvchi
toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi (11) formula bilan
hisoblangan yi+1 miqdorga aynan teng ekanligini koʻrsataylik.
Aslida esa, faraz qilaylik, x – aytilgan urinmaning ixtiyoriy nuqtasining absissasi, ỹ(x) – shu nuqtaning ordinatasi, i – bu urinmaning x oʻq
bilan tashkil qilgan burchagi boʻlsin (5-rasm). U holda
ỹ(x) = (tgi)(x– xi) + yi ,
(13)
bu tenglama burchak koeffitsiyenti k = tgi va (xi, yi) nuqtadan oʻtuvchi
toʻgʻri chiziq tenglamasi.
Maʼlumki, (13) toʻgʻri chiziq y(i) funksiyaning grafigiga x = xi nuqtada
urinadi. Hosilaning geometrik talqinidan foydalanib, quyidagini yoza
olamiz:
tgi = (y(i))(xi),
(14)
(i)
bu yerda y – quyidagi Koshi masalasining yechimi:
(y(i))(x) = f(x, y(i)(x)),
(15)
(i)
y (xi) = yi .
(16)
10
(14) uchun esa quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:
tgi = f(xi, y(i)(xi)) = f(xi, yi).
Shularga koʻra (13) urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi:
ỹ(x) = f(xi, yi)(x–xi) + yi .
(17)
Bu urinmaning xi+1 tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel
toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini topish uchun (17)
tenglamada x = xi+1 deb olish lozim. Bu oʻrniga qoʻyish natijasida quyidagi
miqdorga ega boʻlamiz:
ỹ(xi+1) = f(xi, yi)(xi+1–xi) + yi .
Bu miqdor (11) formula orqali
xi+1–xi = h
munosabatdan foydalanib topilgan yi+1 miqdorga teng.
1-xulosa. xi+1 tugundagi toʻr yechimni topish uchun tekislikning (xi ,
yi) nuqtasi orqali Koshining yordamchi masalasi (15)-(16) ning y(i) yechimi
grafigiga urinma oʻtkazish lozim va yi+1 toʻr yechim sifatida bu urinmaning
ordinata oʻqiga parallel va xi+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan
kesishish nuqtasi ordinatasini olish mumkin.
3-izoh. Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni x0 tugun nuqtada berilgan y0 toʻr yechim boʻyicha x1 tugun nuqtadagi y1 toʻr yechim izlanadi,
aslida urinma izlanayotgan y yechim grafigiga oʻtkaziladi (6-rasm). Algoritmning qolgan barcha qadamlarida urinmalar, aslida, (1) tenglamaning
boshqa yechimlariga, yaʼni aynan oʻsha differensial tenglama uchun Koshi
yordamchi masalasi (15)-(16) ning yechimiga oʻtkaziladi.
4-izoh. Bu urinmalarni rasmda tasvirlasak, u holda izlanayotgan y
yechim grafigiga yaqinlahuvchi siniq chiziqlar hosil boʻladi (6-rasm).
Shuning uchun ham Eylerning oshkor usuli Eylerning siniq chiziqli oshkor
usuli deb ham ataladi.
5-izoh. Agar (6) tenglikda y(xi) hosilani almashtirish uchun (7) toʻr
boʻyicha yaqilashish oʻrniga boshqa ushbu
y( xi  h)  y( xi ) y( xi )  y( xi 1 )

h
h
toʻr boʻycha yaqinlashishdan foydalansak, u holda toʻr yechimni izlashning avvalgisidan boshqa quyidagi tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz:
yi  yi 1
 f ( xi , y i ) ,
h
i = 1, 2, …, N
(18)
y0 =  .
(19)
(9)-(10) va (18)-(19) tenglamalar sistemasi orasidagi muhim farqlarni
aniqlash uchun (18) sistemada indeksni bir birlikka siljitib, uni quyidagi
ekvivalent shaklga keltiramiz:
11
yi 1  yi
 f ( xi 1 , yi 1 ) ,
h
i = 0, 2, …, N–1
(20)
Endi bu sistemani (9) sistema bilan
taqqoslaymiz. Koʻrinib turibdiki,
nomaʼlum yi+1 (9) tenglamaning
faqat chap tarafida chiziqi holda
qatnashmoqda, bu esa uni oldingi
tugundagi yi toʻr yechim orqali
oshkor shaklda ifodalash imkonini
6-rasm.
beradi.
(20) tenglamada esa nomaʼlum yi+1 (9) tenglamada ikki marta
qatnashmoqda: chap tarafida chiziqli va oʻnd tarafda f nochiziqli funksiya
ostida nochiziqli. Shuning uchun bu tenglamada nomaʼlum yi+1 ni oldingi
tugundagi toʻr yechim orqali oshkor shaklda ifodalashning umuman imkoni yoʻq. Buning uchun esa algoritmning har bir qadamida oldingi
tugundagi toʻr yechimdan foydalanib nochiziqli skalyar tenglamani nomaʼlum yi+1 ga nisbatan biror usul yordamida yechish lozim boʻladi.
Bu uslub (1)-(2) Koshi masalasini taqribiy yechishning ushbu
y0 =  , yi  yi 1  h f ( xi , yi ) , i = 1, 2, …, N
(21)
algoritm shaklida yozilgan Eylerning oshkormas usuli deb ataladi.
Eyler oshkormas usulining geometrik talqinini beraylik.
Faraz qilaylik, yi-1 va yi – berilgan mos xi-1 va xi tugunlarda Eylerning
oshkormas usuli yordamida topilgan toʻr yechimlar boʻlsin. Berilgan differensial tenglama yechimining xi ,yi nuqtadan oʻtuvchi grafigini (7-rasm),
yaʼni quydagi Koshi masalasi yechimining grafigini qaraylik:
(y(i))(x) = f(x, y(i)(x)),
y(i)(xi) = yi .
Bu yechimning x = xi nuqtasiga oʻtkazilgan urinma (xi, yi) nuqtadan
oʻtuvchi va burchak koeffitsiyenti
k = (y(i))(xi) = f(xi, y(i)(xi)) = f(xi, yi).
boʻlgan toʻgʻri chiziqdan iborat. (xi-1, yi-1) va
(xi, yi) nuqtalarni tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq
aynan ana shunday toʻgʻri chiziqdir: bu toʻgʻri
chiziq tuzilishiga koʻra (xi, yi) nuqtadan oʻtadi,
uning burchak koeffitsiyenti esa 7-rasmdan va
(21) formuladan koʻrinib turibdiki, aynan
7-rasm.
oʻsha miqdorga teng, yaʼni:
k
yi  yi 1 ( yi 1  h f ( xi , yi ))  yi 1

 f ( xi , y i ) .
h
h
12
Bu dalil quyidagi xulosadan iborat i-chi qadamdagi Eyler oshkormas usulining geometrik interpretatsiyasini beradi.
2-xulosa. Oldindan hisoblangan yi yechimdan foydalanib yi+1 toʻr
yechimni topish uchun quyidagi geometrik shakl yasashlarni bajarish lozim:
a) xi tugun orqali ordinata oʻqiga parallel l(i) toʻgʻri chiziq oʻtkazamiz;
b) bu toʻgʻri chiziqda berilgan differensial tenglama yechimining
grafigiga shu nuqta orqali oʻtuvchi urinma kesmalarining har bir
nuqtasidan yoʻnalishlar maydonini hosil qilamiz;
c) (xi-1,yi-1) nuqta orqali l toʻgʻri chiziqni shunday oʻtkazamizki, u l(i)
toʻgʻri chiziqni kesib oʻtsin va bu kesishish nuqtasiga oʻtkazilgan
urinma bilan ustma-ust tushsin.
Bu kesishish nuqtasining ordinatasi yi toʻr yechimni beradi, (xi-1,yi-1)
nuqta va kesishish nuqtasi orqali oʻtkazilgan l toʻgʻri chiziq esa (1)-(2)
Koshi masalasining izlanayotgan yechimi grafigiga [xi-1, xi] kesmada yaqinlashuvchi siniq chiziqning boʻlagini beradi.
6-izoh. Yuqorida tavsiflangan Eyler
usullari nafaqat bitta differensial tenglama bilan yozilgan Koshi masalasi uchun,
balki n ta xuddi shunday tenglamalar
sistemasi bilan yozilgan quyidagi Koshi
8-rasm.
masalasi uchun ham oʻrinli:
(yk)(x) = fk(x, y1(x), y2(x), …, yn(x)) , x0  x  x0 + L, k = 1,2, …, n,
yk(x0) = k , k = 1,2, …, n .
Bu holda Eylerning oshkor usuli quyidagi munosabatlar bilan beriladi:
y1,0 , y2,0 , …, yn,0 - berilganlar,
yk,i+1 = yk,i +hfk(xi, y1,i, y2,i, …, yn,i), k = 1,2, …, n, i = 0,1, …, N–1,
Eylerning oshkormas usuli esa quyidagi munosabatlar bilan beriladi:
y1,0 , y2,0 , …, yn,0 - berilganlar,
yk,i = yk,i-1 +hfk(xi, y1,i, y2,i, …, yn,i), k = 1,2, …, n, i = 1,2, …, N,
bu yerda yk,i – nomaʼlum yk funksiyaning xi tugundagi toʻr boʻyicha yaqinlashuvchi miqdori.
Bu formulalarni qaytadan yozib oʻtirmaslik ham mumkin edi. Buning
uchun (12) va (21) formulalarda asosiy belgilashlarni vektor shaklida
yozish yetarli boʻlardi.
1-misol. Quyidagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi bilan
berilgan Koshi masalasi uchun Eylerning oshkor va oshkormas hisob formulalarini yozing:
13
y1(x) = y12(x) + y22(x) ,
y2(x) = y1(x)  y2(x) , 0  x  1,
y1(0) = y2(0) = 1.
Yechish. Eyler oshkor usulining hisob formulalari quyidagicha:
y1,0 = y2,0 = 1.
y1,i+1 = y1,i + h((y1,i)2 + (y2,i)2) , i = 0, 1, …, N–1,
(22)
y2,i+1 = y2,i + h(y1,i  y2,i) ,
i = 0, 1, …, N–1 .
(23)
Bu hisob formulalari boʻyicha bajarilgan hisoblashlarda i boʻyicha sikl
bajariladi: xi tugundagi y1,i va y2,i toʻr yechimlar topilgandan keyin i ning
qiymatida (22) va (23) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi xi+1 tugundagi y1,i+1 va y2,i+1 toʻr yechimlar topiladi.
Eyler oshkormas usulining hisob formulalari quyidagicha:
y1,0 = y2,0 = 1.
y1,i = y1,i-1 + h((y1,i)2 + (y2,i)2) , i = 1, 2, …, N,
(24)
y2,i = y2,i-1 + h(y1,i  y2,i) ,
i = 1, 2, …, N .
(25)
Bu hisob formulalari boʻyicha ham bajarilgan hisoblashlarda i
boʻyicha sikl bajariladi: xi-1 tugundagi y1,i-1 va y2,i-1 toʻr yechimlar topilgandan keyin i ning qiymatida (24) va (25) hisob formulalari boʻyicha
navbatdagi xi tugundagi y1,i va y2,i toʻr yechimlarga nisbatan ikkita skalyar
tenglamalar sistemasi yechiladi va ulardan shu yechimlar topiladi.
7-izoh. Bu bajarilgan mashq asosida shu narsa ayonki, Eyler oshkormas usulining har bir qadami Eyler oshkor usulining qadamiga nisbatan
kattaroq hajmdagi hisoblashlarni talab qiladi, shuning uchun oshkormas
holda oshkor formulalarga nisbatan skalyar tenglamalar sistemasini
yechishning murakkab prosedurasini qoʻllash talab qilinadi, bu esa oʻz
navbatida maʼlum bir qiyinchiliklarni tugʻdiradi. Ammo bunday tezkor
xulosaga kelish yaramaydi. Gap shundaki, Koshi masalasining talab qilingan aniqlikdagi taqribiy yechimini topishning hisoblash ishlari umumiy
hajmi nafaqat algoritm qadamlarining qiyinligi, bilan balki ulaning qadamlari soni bilan ham aniqlanadi. Shunday sistemlar (masalan, «qat’iy» differensial tenglamalar sistemasi) mavjudki, uning toʻr yechimlarini yetarli
aniqlikda topish uchun oshkor usul boʻyicha hisob toʻrining qadamini juda
ham kichik qilib olish talab qilinadi, oshkormas usuldan foydalanilganda
esa aniq yechimga yanada yaqinroq boʻlgan taqribiy natijani toʻrning kattaroq qadamlarida ham olish mumkin. Bu holda oshkormas usul hisob
qadamlarining soni kamligi sababli umumiy arifmetik amallar soni kam
boʻladi.
14
4. Eyler oshkor usulining yaqinlashishi
Faraz qilaylik, y(xi) – yuqoridagi (1)-(2) Koshi masalasining xi
tugundagi yechimi, yi – Eylerning oshkor usuli bilan topilgan shu tugundagi toʻr yechimi boʻlsin. Ushbu
i = y(xi) – yi , i = 0, 1, …, N
(26)
miqdor toʻr yechimning xi tugundagi xatoligi, ushbu
i=y(xi) – yi , i = 0, 1, …, N
(27)
miqdor toʻr yechimning xi tugundagi absolyut xatoligi deb ataladi.
Shunday savol tugʻiladi, toʻr qadami nolga intilganda (27) miqdorlar
ham nolga intiladimi:
i  0 ,
h0 da i max
(28)
0 ,1,...,N
yani toʻr cheklanmagan holda maydalashtirilib borilsa bu miqdorlar nolga
intiladimi?
Bu savolga javob berish uchun avvalo (1) tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiyaga shunday qoʻshimcha shart qoʻyishimiz lozimki, bu
tenglamaning bizga kerakli boʻlgan yechimi [x0, x0+L] kesmada mavjud,
yagona va silliq boʻlsin. Aynan shunday deb oʻylaylikki, f funksiya x, y
oʻgaruvchilar juftligi tekisligidan x0  x  x0+L tengsizlik bilan olingan
kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida nafaqat uzluksiz, balki bu kenglikda
chegaralangan boʻlishi ham lozim:
f(x,y)  M1, barcha x  [x0, x0+L] va y  R lar uchun. (29)
Bundan tashqari, oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizlik talabini qoʻyish
bilan birga biz tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiya hosilasining ham
shu kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizligini talab qilib qoʻygan
boʻlamiz:
fx(x,y)  M2, barcha x  [x0, x0+L] va y  R lar uchun.
(30)
fy(x,y)  M3, barcha x  [x0, x0+L] va y  R lar uchun.
(31)
(29)-(31) formulalardagi M1, M2, M3 oʻzgarmaslar kenglikning barcha
nuqtalari uchun bir xil chekli haqiqiy sonlar.
Faraz qilaylik, yi , yi+1 – Eylerning oshkor usuli bilan xi , xi+1 tugunlarda topilgan toʻr yechimlar, y(i) – (1) differensial tenglamaning grafigi (xi
, yi) nuqtadan oʻtuvchi yordamchi yechimlari (yaʼni (15)-(16) Koshi masalasining yechimlari) boʻlsin.
y(i) yordamchi yechimning xi+1 tugundagi y(i)(xi+1) qiymati uchun toʻr
yechimning ushbu
i+1 = y(xi+1) – yi+1
xatolik formulasidan foydalanib, xatolikni quyidagicha:
15
i+1 = (y(xi+1) – y(i)(xi+1))+
+( y(i)(xi+1) – yi+1),
yaʼni uni ikkita qoʻshiluvchilar yigʻindisi shaklida
yoza olamiz:
 i 1   i(11)   i(21) , (32)
bunda
 i(11)  y( xi1 )  y (i ) ( xi1 ) , (33)
9-rasm.
 i(21)  y (i ) ( xi1 )  yi1 . (34)
(33) va (34) formulalardagi qoʻshiluvchilarning maʼnosini ochaylik.
Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usuli algoritmining qaralayotgan qadami [xi, xi+1] kesmada izlanayotgan y yechim grafigining
boʻlagini y(i) yordamchi yechim grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagi bilan
almashtirishdan iborat. Bu jarayon quyidagi ikki bosqichda amalga oshiriladi:
1) izlanayotgan y yechim grafigi y(i) yordamchi yechim grafigi bilan
almashtiriladi, natijada izlanayotgan y(xi+1) yechim oʻzining y ( i ) ( xi 1 )
yordamchi yaqinlashishiga (33) xatolik bilan almashtiriladi;
2) y(i) yordamchi yechim grafigi unga oʻtkazilgan urinma – sodda
toʻgʻri chiziq bilan almashtiriladi, natijada y ( i ) ( xi 1 ) yaqinlashish
qoʻshimcha (34) xatolik bilan yi+1 yaqinlashishga almashtiriladi.
Yordamchi yechimni uning grafigiga oʻtkazilgan urinmasi orasidagi
xatolikni ifodalovchi (34) qoʻshiluvchi algoritmning (i+1)-chi qadamidagi
qoʻshimcha xatolikni ifodalaydi. Shuning uchun u (i+1)-chi qadamidagi
yoʻl qoʻyilgan lokal xatolik, boshqacha aytganda, (i+1)-chi qadamning lokal xatoligi deb ataladi.
(33) qoʻshiluvchining kelib chiqish maʼnosi esa boshqacharoq, yaʼni u
oldingi xi tugundagi yi - toʻr yechim y(xi) - aniq yechimdan farq qilishidan
kelib chiqadi (agar bu qiymatlar mos tushganda edi, u holda y(i) – yordamchi yechim yechimning yagonaligi haqidagi teoremaga koʻra izlanayotgan
y yechim bilan mos tushgan boʻlar edi va (33) qoʻshiluvchining qiymati
nolga aylanardi). Shunga koʻra yi va y(xi) miqdorlar orasidagi farq algoritmning oldingi qadamida yoʻl qoʻyilgan lokal xatolikdan kelib chiqadi,
shuning uchun (33) xatolik (i+1)-chi qadamning jamlangan xatoligi deb
ataladi.
8-izoh. Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni oldindan berilgan y0
qiymat asosida y1 toʻr yechimni topishda urinma aslida izlanayotgan
16
yechimga oʻtkazilgan boʻladi (6-rasm), chunki bu holda jamlangan xatolik
yoʻq va x1 tugundagi 1 – toʻr yechimning toʻla xatoligi birinchi qadamning  1( 2) lokal xatoligi bilan mos tushadi. Keyingi qadamdan boshlab esa,
umumiyroq qilib aytganda, uhar ikkala xatolik noldan farq qilib boshlaydi.
Aynan ikkinchi qadamda ham  2( 2) - lokal xatolik va ham  2(1) - jamlangan xatolik birincha qadamda yoʻl qoʻyilgan y1 toʻr yechimning y(x1)
aniq yechimdan farqi boʻlgan lokal xatolik hisobiga paydo boʻladi,
shuning uchun y(1) yordamchi yechim izlanayotgan y yechimdan farq qilib
boshlaydi.
Xuddi shunday, uchinchi qadamda, umuman aytganda, nolinchidan
boshqalarida, ham  3( 2 ) - lokal xatolik va ham  3(1) - jamlangan xatolik x2
tugundagi y2 tor yechimning y(x2) aniq yechimdan farqi hisobiga paydo
boʻladi, yaʼni y2 tor yechimning xatoligi
 2   2(1)   2( 2) .
Bu yerdagi ikkinchi qoʻshiluvchi lokal xatolik boʻlib, ikkinchi qadamda
yoʻl qoʻyilgan, birinchisi esa ikkinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan jamlangan
xatolik (bu xatolik birinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan  1( 2) - lokal xatolik
hisobiga paydo boʻlgan). Shuning uchun uchinchi qadamdagi jamlangan
xatolikni algoritmning oldingi birinchi va ikkinchi qadamlarida yoʻl
qoʻyilgan lokal xatoliklarning natijasi deyish mumkin.
3-xulosa. Algoritmning (i+1)-chi qadamida xi+1 tugunda topilgan yi+1
toʻr yechimning xatoligi (32) yigʻindi boʻlib, bu (33) va (34) larning
yigʻindisidan tashkil topgan, ularning birinchisi algoritmning oldingi
qadamlarida yoʻl qoʻyilgan lokal xatoliklar taʼsirini ifodalaydi, ikkinchisi
esa (i+1)-chi qadamdagi lokal xatolik.
Endi lokal xatolikni baholaylik.
2-lemma. Eyler oshkor usulining (i+1)-chi qadamdagi lokal xatoligi
uchun quyidagi ifoda oʻrinli:

1
(35)
 i(21)   y (i )  xi   i h h 2 ,
0  i  1 .
2
Isbot. (34) formuladagi y ( i ) ( xi 1 ) miqdorni Teylor formulasi boʻyicha
yoyamiz, yi 1 miqdorni esa (12) – Eylerning oshkor usuli formulasiga koʻra
almashtiramiz. Natijada quyidagiga ega boʻlamiz:


1


 i(21)   y (i ) ( xi )   y (i )  ( xi )h   y (i )   xi   i h h 2   yi  hf ( xi , yi ),
(36)


2
bu yerda i – nol va bir orasidagi haqiqiy son. (15) va (16) ga koʻra
y ( i ) ( xi )  yi ,
y  ( x )  f ( x , y
(i )
i
i
17
(i )
( xi ))  f ( xi , yi ) .
(37)
Bu qiymatlarni (36) ga qoyib, oʻxshash hadlarni ixchamlasak, (35)
kabi ifodani beradi.
1-natija. Ixtiyoriy i = 0, 1, …, N–1 lar uchun quyidagi baholash
oʻrinli:
 i(21) 
1
M 2  M 3 M 1 h 2 ,
2
(38)
bu yerda M1, M2, M3 – (29)-(31) shartlardagi oʻzgarmaslar.
Isbot. (35) ifodadan quyidagiga ega boʻlamiz:
 i(21) 
1 (i ) 
xi  i h h 2 .
y
2
 
(39)
Bu munosabatga kiruvchi y(i) yordamchi yechimning ikkinchi hosilasi
modulini baholaylik.
(15) tenglikni x boʻyicha differensiallaymiz, keyin esa shu tenglikdan
yana bir bor foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:
y (i)  x  f x x, y (i) x  f y x, y (i) x y (i)  x  f x x, y (i) x  f y x, y (i) x f x, y (i) x .
Bu yerdan (29)-(31) shartlarga koʻra ixtiyoriy x[x0, x0+L] uchun quyidagi
tengsizlik oʻrinli ekanligi kelib chiqadi:
y  x  M
(i )
2
 M 3M1 .
Bu tengsizlikda x  xi   i h deb olib va natijani (39) tenglik bilan
solishtirib, (38) tengsizlikka kelamiz.
4-xulosa. Ixtiyoriy i = 0, 1, …, N–1 lar uchun  i(21) lokal xatolik
quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:
 i(21)  Mh2 ,
(40)
bu yerda M – oʻzgarmas boʻlib, M1, M2, M3 lar orqali quyidagicha ifodalanadi:
M = (M2+ M3M1)/2.
(41)
Boshqacha qilib aytganda, barcha lokal xatoliklarning moduli h boʻyicha
ikkinchi tartibli kichiklikka ega cheksiz kichik miqdor bilan baholanadi.
Endi jamlangan xatoliklarni tadqiq qilishga oʻtaylik.
Maʼlumki, yuqorida aytib oʻtilganidek,  i(11) xatolik xi tugundagi toʻr
yechimning noldan farqli i xatoligi tufayli paydo boʻladi, shuning uchun
 i(11) xatolikni i xatolik orqali ifodalashga harakat qilaylik. Shuni
taʼkidlaymizki, i xatolik (1) differensial tenglamaning xi nuqtadagi ikkita
y va y(i) yechimlari orasidagi farq,  i(11) miqdor esa xuddi shu yechimlarning
xi+1 nuqtadagi farqi (9-rasm). Shuning uchun differensial tenglamalar nazariyasidagi quyidagi dalilga tayanamiz.
18
3-lemma. Faraz qilaylik, yI, yII – berilgan (1) differensial tenglamaning ikkita yechimi, ,  ( < ) – berilgan [x0, x0+L] kesmaning ikkita
nuqtasi boʻlsin (10-rasm). U holda bu yechimlarning ,  nuqtalardagi
farqi quyidagi munosabat bilan bogʻlangan:
  

y (  )  y (  )  y ( )  y ( )  exp  f y ( x, y ( x))dx  ,


I

II

I
II

(42)
bu yerda y (x) – ikkita yI(x), yII(x) yechimlarning oraliq qiymati.
Isbot. Faraz qilaylik, ushbu
z(x) = yI(x) – yII(x)
(43)
miqdor bu yechimlarning farqi boʻlsin. Bu miqdor qaysi differensial
tenglamani qanoatlantirishini aniqlaylik.
(43) dan hosila olamiz, oʻrniga qoʻyishlardan keyin quyidagiga ega
boʻlamiz:
z (x) = f(x,yI(x)) – f(x,yII(x)).
(44)
Bu tenglikning oʻng tarafiga Lagranjning chekli orttirmalar formulasini y oʻzgaruvchi boʻyicha qoʻllaymiz, natijada:
f(x,yI(x)) – f(x,yII(x)) = fy(x, y (x) )( yI(x) – yII(x)).
(45)
(45) va (43) formulalarni hisobga olib, (44) formuladan quyidagi
tenglikni keltirib chiqaramiz:
z (x) = c (x)  z (x) ,
(46)
bu yerda c (x) funksiya oqrali quyidagi funksiya belgilangan:

c (x) = fy (x, y (x) ) ,
(47)
yI, yII yechimlarni har xil deb hisoblaylik (agar ular oʻzaro mos boʻlsa
(42) tenglikning toʻgʻriligi koʻrinadi). Aslida bu yechimlarning qiymatlari
[, ] kesmaning biror nuqtasida ham mos tushmaydi, chunki agar yI(x*) =
yII(x*) = y* tenglik oʻrinli boʻlganda edi, qaralayotgan differensial tenglama
bilan berilgan Koshi masalasi ushbu y(x*) = y* boshlangʻich shartda ikkita
har xil yechimga ega boʻlgan boʻlardi, bu esa berilgan tenglamaning oʻng
tarafiga nisbatan farazimizga zid boʻlib chiqadi. Natijada (43) ifoda nolga
aylanmaydi, shuning uchun, birinchidan, (46) tenglikni quyidagicha yozib
olish mumkin:
z ( x)
 c( x) ,
z ( x)
(48)
ikkinchidan, c(x) uchun (47) ni (45) yordamida quyidagicha yozish mumkin:
f ( x, y I ( x))  f ( x, y II ( x)) ( y I )( x)  ( y II )( x)
c( x) 

.
y I ( x)  y II ( x)
y I ( x)  y II ( x)
19
Bu yerdagi c(x) funksiyanig uzluksizligi haqida xulosa chiqarish uchun
ikkita uzluksiz funksiyalar nisbatidagi maxraj nolga aylanmasligi lozim.
Oxirgi xulosa (48) differensial tenglamaning har ikkala tarafidan [ ,
] kesma boʻyicha aniq integral olishga imkon beradi, natija quyidagi
tenglikni beradi:


z ( x)
 z( x) dx  c( x)dx .

Chap tarafdagi integralni z oʻzgaruvchi boʻyicha integral deb yozish mumkin (haqiqatdan ham, integrallash oʻzgaruvchilarini almashtirish orqali):
z( )

dz
z ( ) z  c( x)dx .
Bu integralni Nyuton-Leybnits formulasi boʻyicha hisoblab, quyidagi
tenglikka kelamiz:

ln z (  )  ln z ( )   c( x)dx

yoki

z( )
ln
 c( x)dx ,
z ( ) 
bu yerda z funksiya musbat, aks holda yI, yII yechimlar teskari nomerlanadi.
Bu yerdan logarifning taʼrifiga koʻra quyidagi munosabatga kelamiz:


z( )
 exp  c( x)dx 
z ( )


yoki


z (  )  z ( )  exp  c( x)dx  .


Bu esa (43) va (47) larga koʻra (42) ni beradi.
2-natija. (i+1)-chi qadamning  i(11) jamlangan xatoligi xi tugundagi yi
toʻr yechimning i xatoligi orqali quyidagi tengsizlik bilan baholanadi:
 i(11)  exp( M 3h)   i ,
(49)
bu yerda h – toʻr qadami, M3 – (31) shartdan olingan oʻzgarmas.
Isbot. (42) formulada yI, yII yechimlar sifatida izlanayotgan y
yechimni va y(i) yordamchi yechimni, ,  sifatida esa xi, xi+1 tugunlarni
qabul qilaylik. Maʼlumki, bu yechimlarning xi tugundagi farqi yi toʻr
yechimning I xatoligiga teng, shu yechimlarni xi+1 tugundagi farqi esa
20
(i+1)-chi qadamning  i(11) jamlangan xatoligi. (42) formuladan quyidagiga
ega boʻlamiz:

(1)
i 1
  

  i  exp  f y ( x, y ( x))dx  .


Bu yerdan absolyut miqdorlarga oʻtamiz, eksponentaning musbat
ekanligidan,

(1)
i 1
 xi 1  

  i  exp  f y ( x, y ( x))dx  .
x

 i

(49) baholash uhbu
xi 1

xi


f y ( x, y( x))dx 
xi 1

xi


f y ( x, y ( x))dx 
xi 1



f y ( x, y ( x)) dx 
xi
xi 1
 M dx  M x
3
3
i 1
 xi   M 3h
xi
munosabatlar zanjiridan va eksponentaning monoton oʻsuvchi funksiya
ekanligidan kelib chiqadi:
Shunday qilib, (40) va (49) baholashlarni ketma-ket qoʻllash bilan
Eyler oshkor usulining yaqinlashuvchanligini oʻrnatish mumkin.
1-teorema. Quyidagi tengsizlik oʻrinli:
 i  C (M1 , M 2 , M 3 )  h,
i  0,1,..., N ,
(50)
bu yerda C – oʻzgarmas boʻlib, (29)-(31) shartlardagi M1, M2, M3
oʻzgarmaslar va L – integrallash kesmasining uzunligi orqali topiladi.
Isbot. x0 tugundagi toʻr yechimning xatoligi uchun quydagi tenglik
oʻrinli:
0  0 .
x1 tugunda jamlangan xatolik boʻlmaydi, shuning uchun (40) ga koʻra
quyidagini yoza olamiz:
1  1( 2)  Mh 2 .
x2 tugundagi xatolik uchun (40) va (49) larni e’tiborga olib quyidagiga
ega boʻlamiz:
 2   2(1)   2( 2)   2(1)   2( 2)  exp( M 3h)   1  Mh 2 
exp( M 3 h)  Mh 2  Mh 2  (exp(M 3 h)  1)  Mh 2 .
Xuddi shunday, x3 tugun uchun quyidagi tengsizlikka ega boʻlamiz:
 3   3(1)   3( 2)   3(1)   3( 2)  exp( M 3h)   2  Mh 2 
exp( M 3h)  (exp(M 3h)  1)  Mh 2  Mh 2  (exp(2  M 3 h)  exp( M 3 h)  1)  Mh 2 .
Endi oydinki, munosabatlani xuddi shunday davom ettirib, quyidagi
tengsizlikka kelamiz:
21
 i  exp((i  1)M 3h)  exp((i  2)M 3h)  ...  exp(2  M 3h)  exp( M 3h)  1  Mh 2
Hosil qilingan bu tengsizlikning oʻng tarafidagi qavs ichida chekli geometrik progressiyaning hadlari yigʻindisi yozilgan boʻlib, uning maxraji q
= exp(M3h) ga teng. Bu yigʻindi uchun quyidagi ifodadan foydalanamiz:
1  q i 1  exp(i  M 3 h) exp(i  M 3 h)  1


.
1 q
1  exp( M 3 h)
exp( M 3 h)  1
Bu yerdan esa quydagi tengsizlikni hosil qilamiz:
exp(i  M 3 h)  1
i 
Mh 2 .
(51)
exp( M 3 h)  1
Shuni taʼkidlaymizki, progressiya hadlarining yigʻindisi formulasida
surat va maxrajning musbatligini taʼminlash uchun qoʻshiluvchilarning
oʻrnini ham suratda va ham maxrajda almashtirdik.
(51) shartni kuchaytiramiz, buning uchun undagi kasrning suratini undan katta boʻlgan songa, maxrajini esa undan kichik boʻlgan songa almashtiramiz. Buning uchun suratdagi i indeksni uning maksimal qiymati N
bilan almashtiramiz hamda (3) dan kelib chiquvchi Nh = L tenglikdan foydalanib, surat uchun exp(M3h) – 1 dan kattaroq boʻlgan songa ega
boʻlamiz. Maxrajdagi exp(M3h) miqdorni esa eksponenta uchun qatorga
yoyib, ulardagi 1 birlikni qisqartirib, natijada quyidagi munosabatga kelamiz:
1
1
1
M 3 h  ( M 3 h) 2  ( M 3 h) 3  .... ,
1!
2!
3!
bu yerda ikkinchi qoʻshiluvchidan boshlan barcha keyingilari
qoʻshiluvchilar M3h dan kichik.
Natijada quyidagi tengsizlikka kelamiz:
exp( M 3 L)  1
exp( M 3 L)  1
i 
Mh 2  M
h.
M 3h
M3
Bu olingan baholash (50) baholashning aynan oʻzi, bunda (41) ga
koʻra C oʻzgarmas quyidagiga teng:
C
1 M 2  M 3M1

 exp( M 3 L)  1 .
2
M3
(52)
3-natija. Maʼlumki, (50) baholashning oʻng tarafiga koʻra (52)
oʻzgarmas i dan bogʻliq emas, shuning uchun quyidagi baholash oʻrinli:
max  i  Ch .
(53)
i 0 ,1,..,N
22
Bu baholashdan toʻr qadamining nolga intilishi bilan toʻr yechimi xatoligining ham nolga intilishi (bunda u toʻr tugunlari boʻylab nolga tekis yaqinlashadi) haqidagi (28) munosabat kelib chiqadi.
9-izoh. Agar M1, M2, M3 oʻzgarmaslar maʼlum boʻlsa, u holda toʻr
yechimni talab qilingan  * aniqlik bilan olish uchun ushbu
Ch   *
yoki xuddi shu kabi
CL/N   *
tengsizlikni yechish talab qilinadi; bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi
kesmalarni boʻlishlar soni N da toʻrning ixtiyoriy tugunida toʻr yechim
xatoligining absolyut miqdori  * aniqlikdan oshib ketmaydi, bu (53)
munosabatdan ham kelib chiqadi.
Agar koʻrsatilgan oʻzgarmaslar nomaʼlum boʻlsa (bu hol amaliyotda
tez-tez uchraydi), u holda talab qilingan N qiymatni izlash uchun Runge
qoidasi deb ataluvchi maxsus qoidadan foydalaniladi; bu qoidaga koʻra
kesmani boʻlishlar soni har safar ikkilantirib boriladi va har safar berilgan
aniqlikni taʼminlovchi N qiymatni topish uchun olingan toʻr yechimlar
taqqoslanib boriladi.
5. Runge-Kutta usullari
Yuqorida tavsiflangan Eylerning oshkor va oshkormas usullari bir
qadamli usullar sinfiga kiradi. Bu usullarning bunday deb atalishining
sababi bu formulalar toʻrning yonma-yon ikkita tugunidagi toʻr yechimlarni oʻz ichiga olishi va ularning oldingi tugunda berilgan toʻr yechimdan
foydalanib navbatdagi tugundagi toʻr yechimni topish imkonini berishi.
Bir qadamli usullarning yana boshqalari bu Eylerning toʻgʻrilangan va
modifikatsiyalangan usullaridir.
Eylerning toʻgʻrilangan usuli quyidagi munosabatlar bilan beriladi:
y0 – berilgan, yi1  yi   f ( xi , yi )  f ( xi1 , yi  hf ( xi , yi )  , i = 1,2, …, N–1.(54)
h
2
Eylerning modifikatsiyalangan usuli esa quyidagi munosabatlar bilan
beriladi:


y0 – berilgan, yi1  yi  hf  xi  , yi  f ( xi , yi )  , i = 1, 2, …, N–1. (55)

h
2
h
2

Bu usullarda oldingi qadamda hisoblangan yi yechimdan foydalanib
yi+1 tugun yechimni topish ikki bosqichda bajariladi.
23
Eylerning toʻgʻrilangan usulida avvalo oldingi qadamdagi yi ning
qiymati yuqorida tavsiflangan ushbu
yi1  yi  hf ( xi , yi )
(56)
Eylerning oshkor usuli formulasidan topiladi, undan keyin esa uning xi+1
tugundagi toʻr yechimi quyidagi formuladan foydalanib topiladi:
yi 1  yi 
h
 f ( xi , yi )  f ( xi 1 , yi 1 )  .
2
(57)
Eylerning modifikatsiyalangan usuliga koʻra dastlab Eylerning oshkor
usuli formulasi boʻyicha quyidagi yordamchi toʻr yechim i+1/2 «yarim butun» nomer bilan xi+1/2=xi+h/2 oraliq tugunda topiladi:
h
y 1  y i  f ( xi , y i ) ,
i
2
2
keyin esa izlanayotgan yi+1 toʻr yechim quyidagi formula boʻyicha
hisoblanadi:
yi 1  yi  hf ( x 1 , y 1 ) .
i
i
2
2
Eylerning toʻgʻrilangan usulining geometrik maʼnosi quyidagicha
(10-rasm).
(1) differensial
tenglamaning
(i)
(i+1)
y va ȳ
yechimlarining (xi,yi) va
(xi+1,ȳi+1) nuqtalar orqali oʻtuvchi mos
grafiklarini chizamiz, bunda ȳi+1 ning
qiymati (56) formula boʻyicha hisoblanadi, 1, 2 lar orqali esa koʻrsatilgan
nuqtalarda shu grafiklarga oʻtkazilgan
10-rasm.
urinmalarning x oʻq bilan tashkil
qilgan mos burchaklarini belgilaymiz. Keyin esa (xi,yi) nuqta orqali x oʻq
bilan  burchak tashkil etuvchi shunday l toʻgʻri chiziq oʻtkazamizki, uning burchak koeffisiyenti, yaʼni tangensi 1, 2 burchaklar tangenslarining
oʻrta arifmetigiga teng boʻlsin:
tg 
1
tg1  tg 2  .
2
4-lemma. l toʻgʻri chiziqning xi+1 tugun orqali oʻtuvchi va ordinata
oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi Eylerning
toʻgʻrilangan usuli orqali xi+1 tugunda topilgan toʻr yechimi qiymati bilan
mos keladi.
Isbot. l toʻgʻri chiziqning tenglamaini quyidagicha yozamiz:

y ( x)  (tg )( x  xi )  yi .
24
Maʼlumki,
tg 


1
1
1
1
1
tg 1  tg 2  y ( i ) ( xi )  y ( i 1) ( xi 1 )  f xi , y (i ) ( xi ) 
2
2
2
2
2
1
1
1
 f xi 1 , y ( i 1) ( xi 1 )  f  xi , yi   f  xi 1 , yi 1 ,
2
2
2
 






qaralayotgan toʻgʻri chiziqning tenglamasini quydagicha yozish mumkin:
1

y ( x)   f xi , yi   f xi 1 , yi 1  ( x  xi )  yi .
2
Bu yerda x = xi+1 kabi belgilash kiritib, xi+1 – xi = h ekanligidan
quyidagi miqdorni hosil qilamiz:
h

y ( xi 1 )  yi   f xi , yi   f xi 1 , yi 1  ,
2
bu esa (57) ga koʻra oʻz navbatida yi+1 toʻr yechimga mos keladi.
10-izoh. Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida yi+1 yechimni topish
uchun izlanayotgan yechimning [xi,xi+1] kesmadagi grafigi Eylerning oshkor usulidagi kabi (xi,yi) nuqtadan oʻtuvchi boʻlagi bilan almashtiriladi.
Ammo bu boʻlakning qiyaligini tanlash ancha mushkul, chunki Eylerning
oshkor usuli yordamida (xi,yi) nuqtaga qoʻshimcha ravishda (xi+1,ȳi+1) nuqta
ham quriladi va bu qiya chiziqning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchagi
tangensi deb berilgan differensial tenglamaning shu nuqtalardan oʻtuvchi
yechimlari grafiklariga oʻtkazilgan urinmalarning absissa oʻqi bilan hosil
qilgan burchaklari tangenslarining oʻrta arifmetigi olinadi.
Yana bir bor taʼkidlaymizki, bu burchaklarning oʻzlari emas, balki
ularning tangenslari oʻrtalashtiriladi.
2-misol. Eyler modifikatsiyalangan usuli (55) ning geometrik
maʼnosini tushuntiring.
Yechish. Shunday savol tugʻiladi: (54) va (55) usullarning Eylerning
oshkor usulidan nima ustunligi bor? Bunga javob quyidagicha: Eylerning
toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari h0 da toʻr yechimning differensial masala yechimiga tezroq yaqinlashishini taʼminlaydi. Bu usullar
shunday xossaga ega boʻlishining sababi bu Eylerning oshkor usuliga nisbatan ularning lokal xatoligi algoritm qadamlarida h qadam boʻyicha
yuqori tartibli kichiklikka egaligida.
Bundan kelib chiqadiki, bu dalil faqat yetarlicha silliq yechimlar
uchungina oʻrinli. Shuning uchun biz bundan keyin differensial
tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiyaga qoʻshimcha shartlar qoʻyamiz,
bunda faraz qilamizki, nafaqat f funksiya, balki uning birinchi tartibli hosilalari fx, fy, hamda uning ikkinchi tartibli hosilalari fxx, fxy, fyy ham x, y
oʻgaruvchilarga nisbatan uzluksiz va chegaralangan boʻlsin; bu hosilalarn25
ing chegaralanganlik shartini bajaruvchi oʻzgaruvchilarni mos ravishda
M4, M5, M6 deb belgilaylik.
5-lemma. Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi  i(21) quyidagi
baholashni qanoatlantiradi:
 i(21)  M  h 3 , i=0,1,…,N-1,
(58)
bu yerda M – chekli oʻzgarmas son boʻlib barcha i lar uchun bir xil va uning qiymati M1 – M6 larning qiymatlari orqali topiladi.
Isbot. (58) baholashni chiqarishning gʻoyasi Eyler oshkor usulining
(40) baholashinikiga oʻxshash (bu yerda M oʻzgarmasning qiymati har
ikkala usul uchun bir biridan farq qiladi). Qaralayotgan usulning lokal
xatoligi uchun ushbu
 i(21)  y (i ) ( xi 1 )  yi 1
(59)
ifodasida yi+1 toʻr yechimni unga teng boʻlgan va hisob ifodasining h ning
darajalari boʻyicha Teylor qatoriga yoyilmasi hisob formulasidan topilgan
miqdori bilan almashtiramiz, bunda ishonch hosil qilamizki, u h boʻyicha
talab qilingan kichiklik darajasiga koʻra cheksiz kichik.
Yuqoridagi (59) formulada y (i ) ( xi 1 ) miqdor, Eylerning oshkor usulidagi kabi, ushbu
y  ( x
(i )
i 1
)  f ( x, y ( i ) ( x )) ,
(60)
y ( i ) ( xi 1 )  yi
(61)
differensial tenglama yordamchi yechimining – Koshi masalasi yechimining xi+1 nuqtadagi qiymati.
Bu qiymatni Teylor formulasi boʻyicha ifodalaymiz, bunda yoyilmaning uchunchi tartibgacha kichiklikdagi hadlarini saqlab qolamiz:
 
y (i ) ( xi 1 )  y ( i ) ( xi )  y (i ) ' ( xi )h 
 
 
1 (i )
1
y ' ' ( xi ) h 2  y ( i ) ' ' ' ( xi   i h ) h 3 .
2
6
(62)
(60) va (61) tengliklarga koʻra
y ( i ) ( xi 1 )  yi , y (i ) ' ( xi 1 )  f ( xi , y (i ) ( xi ))  f ( xi , yi ) .
(63)
Bundan tashqari avval (60) tenglikni differensiallab, keyin esa uni qayta
qoʻllab, quyidagi munosabatga kelamiz:
y ' ' ( x)  f
(i )
x
 
' ( x, y (i ) ( x))  f y ' ( x, y (i ) ( x))  y (i ) ' ( x) 
 f x ' ( x, y (i ) ( x))  f y ' ( x, y (i ) ( x))  f ( x, y (i ) ( x)) ,
(64)
bu yerda x = xi almashtirish olib, (61) ga koʻra quyidagi tenglikka ega
boʻlamiz:
y (i) ' ' ( x)  f x ' ( xi , yi )  f y ' ( xi , yi )  f ( xi , yi ) .
(65)
26
(63) va (65) lardan foydalanib, (62) yoyilmani quyidagicha yozish mumkin:
y (i ) ( xi 1 )  yi  f ( xi , yi )h 
 
1
 f x ' ( xi , yi )  f y ' ( xi , yi )  f ( xi , yi )h 2 
2
1 (i )
y ' ' ' ( xi   i h ) h 3
(66)
6
Lokal xatolik uchun (59) ifodadagi yi+1 miqdor (54) formula orqali
beriladi. Bu ifodaning oʻng tarafini ikki oʻzgaruvchili funksiya uchun
(xi,yi) nuqtada Teylor formulasi boʻyicha yoysak, quyidagini hosil qilamiz:
h
h
yi 1  yi   f ( xi , yi )  f ( xi  h, yi  hf ( xi , yi ))  yi   f ( xi , yi )   f ( xi , yi ) 
2
2
1
f x ' ( xi , yi )  h  f y ' ( xi , yi )  h  f ( xi , yi )   f xx ' ' ( ~
xi , ~
yi )  h 2 
2
~
~
~
~
 2 f xy ' ' ( xi , yi )  h  h  f ( xi , yi )  f yy ' ' ( xi , yi )  h 2  f 2 ( xi , yi )  yi  f ( xi , yi )  h 


1
 f x ' ( xi , yi )  f y ' ( xi , yi )  f ( xi , yi ) h 2  1  f xx ' ' ( ~xi , ~yi ) 2 f xy ' ' ( ~xi , ~yi )  f ( xi , yi ) 
2
2
 f yy ' ' ( ~
xi , ~
yi )  f 2 ( xi , yi ))h 3 ,
(67)
xi , ~
yi - ikkita (xi,yi) va xi , yi 1   ( xi 1 , yi  hf ( xi , yi )) nuqtalarni
bu yerda ~
tutashtiruvchi kesma boʻylab yotuvchi kenglik nuqtalarining koordinatalari.
(66) va (67) tengliklarni ixchamroq holda yozib, ikki oʻzgaruvchili
funksiyalar argumentlarini tashlab yuborib, agar ular xi, yi larda teng
boʻlsa, quyidagilarga kelamiz:
1
1
y (i ) ( xi 1 )  yi  f  h   f x ' f y ' f  h 2   y (i ) ' ' ' ( xi   i h)  h 3 ,
(68)
2
6
yi 1  yi  f  h 
1
 f x ' f y ' f  h 2   i  h 3 ,
2
(69)
bu yerda quyidagi belgilash qabul qilingan:
i 


1
f xx ' ' ( ~
xi , ~
yi )  2 f xy ' ' ( ~
xi , ~
yi )  f  f yy ' ' ( ~
xi , ~
yi )  f 2 .
2
(70)
(68) va (69) ifodalarni oʻzaro taqqoslab, ularda h boʻyicha nolinchi,
birinchi va ikkinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdorlar bir
xil va shuning uchun ularni (59) ifodaga qoʻyganimizda ular oʻzaro qisqarib ketadi. Demak, Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi quyidagiga teng:
 i(21) 
 
1 (i )
y ' ' ' ( xi   i  h )  h 3   i  h 3 ,
6
27
(71)
shunga koʻra bu h ga nisbatan uchinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz
kichik miqdor. Bunda (71) munosabatning oʻng tarafidagi ikkinchi had
(-ih3) ning moduli yuqoridan M7ˑh3 miqdor bilan baholanadi, bu yerda
(70) ga koʻra M7 ning qiymati quyidagicha:
M7 = (M4+2 M5 M1+ M6(M1)2)/2
Birinchi handing moduli esa xuddi hu tartibli M6h3 cheksiz kichik miqdor bilan yuqoridan baholash imkonini beradi, ammo bunda oʻzgarmas
MS. Bu oʻzgarmasni topish uchun (64) tenglikning oʻng tarafini differensiallash lozim va (60) munosabatdan foydalanib, y(i) yechimning uchinchi
hosilasini hamda uning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini differensial
tenglamaning oʻng tarafi orqali quyidagicha ifodalash zarur:
y   ' ' ' ( x)  f ' ' ( x, y ( x))  f ' ' ( x, y ( x))  f ( x, y ( x)) 
  f ' ' ( x, y ( x))  f ' ' ( x, y ( x))  f ( x, y ( x)) f ( x, y
  f ' ( x, y ( x))  f ' ( x, y ( x))  f ( x, y ( x)) f ' ( x, y
i
(i )
(i )
xx
(i )
xy
(i )
(i )
xy
(i )
(i )
( x)) 
(i )
( x)) ,
yy
(i )
(i )
(i )
(72)
bu yerdan MS oʻzgarmasning qolgan M1, M2, M3, M4, M5, M6 oʻzgarmaslar
orqali ifodasi kelib chiqadi.
Shunday qilib, M = M8 + M7 konstantali (58) baholash oʻrnatildi.
3-misol. Eylerning modifikatsiyalangan usuli holida lokal xatolik
xuddi (58) baholash kabi baholashni (boshqacha aytganda M oʻzgarmasli)
qanoatlantirishini koʻrsating.
2-teorema. Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida toʻr yechimning
xatoligi quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:
max  i  Ch 2 ,
(73)
i  0 ,1,...,N
x
y
y
bu yerda C – chekli oʻzgarmas boʻlib, h dan bogʻliq emas, uning qiymati
M1, M2, M3, M4, M5, M6 oʻzgarmaslar qiymati va integrallash kesmasi L
ning uzunligi bilan aniqlanadi.
Isbot. Eyler oshkor usulining (53) baholashiga oʻxshash chiqarilgan
tahlillar shuni koʻrsatadiki, Eyler oshkor usulining hisob formulasi lokal
xatoliklar uchun (4) baholashni chiqarish uchun foydalaniladi. Bundan
keying fikrlar esa umumiy xarakterga ega boʻlib, ularni ixtiyoriy bir
qadamli usullarga qoʻllash mumkin. Bu fikrlarni chiqarish bilan birga (40)
dagi Mh2 majorantni (58) dagi Eyler modifikatsiyalangan usulining lokal
xatoligi majorantasi Mh3 bilan almashtirib, yuqorida taʼkidlangan xossalarga ega boʻlgan C oʻzgarmasli (73) baholashga kelamiz.
11-izoh. (73) baholash (boshqa C oʻzgarmasli) Eylerning modifikatsiyalangan usuli uchun ham oʻrinli.
28
12-izoh. (73) baholash Eylernig oshkor usuli uchun chiqarilgan (4)
baholashga nisbatan toʻr qadami nolgan intilgandagi toʻr yechimning tezroq yaqinlashishini kafolatlaydi (h qadam ikki marta kamaytirilganda (73)
tengsizlikning oʻng tarafi, demakki, Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullarining toʻr yechimi absolyut xatoligining mumkin
boʻlgan limitik qiymati toʻrt marta kichrayadi, u holda (40) baholash
uchun toʻr qadamining xuddi shunday kamayishida Eyler oshkor usuli absolyut xatoligining mumkin boʻlgan limitik qiymati ikki marta kichrayadi).
3-taʼrif. Bir qadamli usul m-tartibli aniqlikdagi usul deb aytiladi (m –
natural son, m1), agar toʻr yechimning xatoligi uchun quyidagi baholash
oʻrinli boʻlsa:
max  i  Ch m .
(74)
i  0 ,1,...,N
Xususan, Eylerning oshkor usuli birinchi tartibli aniqlikka ega,
Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari esa ikkinchi tartibli aniqlikka ega.
13-izoh. Yuqorida aytilganlarga koʻra, m-tartibli aniqlikka ega bir
qadamli usullarni qurish masalasi hm+1 tartibli lokal xatolikka ega usullarni
qurish masalasiga olib kelinadi.
14-izoh. Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari
quyidagi hisob formulalariga ega guruhga kiradi:
yi 1  yi  h p1 f ( xi , yi )  p2 f ( xi  h, yi  hf ( xi , yi )) ,
(75)
bu yerda p1, p2,  - haqiqiy oʻzgarmaslar («usulning parametrlari»).
Xususan, Eylerning toʻgʻrilangan usuli uchun p1 = p2 = 1/2;  = 1,
Eylerning modifikatsiyalangan usuli uchun esa p1 = 0; p2 = 1;  = 1/2.
3-teorema. (75) hisob formulali bir qadamli usulning lokal xatoligi
(73) baholashni qanoatlantirishi uchun uning parametrlari quyidagi
tenglamalar sistemasini qanoatlantirishi zarur va yetarli:
p1 + p2 = 1; p2 = 1/2.
(76)
Isbot. Eylerning toʻgʻrilangan usulidagi kabi ((67) formulaga qarang)
toʻr yechim (75) ni Teyler formulasi yordamida h ning darajalari boʻyicha
yoyib chiqib, quyidagi yoyilmaga ega boʻlamiz:
yi 1  yi  h p1 f ( xi , yi )  p2 f ( xi  h, yi  hf ( xi , yi )) ,
(77)
bu yerda


p2
f xx ' ' ( ~
xi , ~yi )  2  2 f xy ' ' ( ~
xi , ~yi )  2 f  f yy ' ' ( ~
xi , ~yi )  2 f 2 .
(78)
2
Bu yerda f , f x ' , f y ' orqali differensial tenglamaning oʻng tomoni va
i 
uning (xi,yi) «baza» nuqtadagi, yaʼni atrofida Teylor boʻyicha yoyilma
29
yozilgan nuqtadagi birinchi hosilalari, ~xi , ~yi - orqali esa baza nuqta va
«qoʻzgʻalgan» nuqtani tutastiruvchi kesmaning oraliq nuqtalari koordinatalari, yaʼni x va y oʻzgaruvchilari boʻyicha h, hf koordinat orttirmalariga
ega nuqta belgilangan.
(77) yoyilmani (68) yoyilmadan ((75) yoyilma holida Eylerning
toʻgʻrilangan usuli uchun xuddi shu koʻrinishdagi aniqlikka ega) ayirib,
mos oʻxshashliklarga keltirib, (75) usulning lokal xatoligi uchun quyidagi
ifodaga kelamiz:
 i(21)  1  p1  p2  f  h    p2   f x ' f y ' f  h 2 
1
2


1 (i )


y ' ' ' ( xi   i  h)   i  h 3 . (79)
6
Agar (76) shart bajarilsa, u holda (79) tenglikning oʻng tarafidagi h
boʻyicha birinch va ikkinchi tartibgacha kichiklikka ega hadlar yoʻqoladi
va lokal xatolik h boʻyicha uchinchi tartibgacha kichiklikka ega had bilan
mos keladi. Eylerning toʻgʻrilangan usulidagi kabi koeffitsientning absolyut miqdorini (72) va (78) formulalar yordamida baholab, (73) tengsizlikka
kelamiz.
Agar (76) shartlardan birortasi bajarilmasa, u holda (79) lokal xatolik
h boʻyicha uchinchidan kichik tartibga ega va shuning uchun (73)
tengsizlik oʻrinli boʻla olmaydi.
15-izoh. 3-teoremaga va 13-izohga koʻra (76) shart bajarilganda (75)
hisob formulali usul ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻladi.
16-izoh. p2 parametrning nol qiymati (76) tenglamaning oʻng
tomonini qanoatlantirmaydi. Bu holni chiqarib tashlab, shu tenglamadan 
ning p2 parametr orqali ifodasiga kelamiz. Bunda tashqari (76) tenglamaning chap tomoni p1 parametrni p2 parametr orqali ifodalash imkonini beradi. Bu ifodalarni (75) ifodaga qoʻysak, quyidagi ikkinchi tartibli aniqlikka ega bir parametrli hisob formulalari oilasiga kelamiz:



h
h
yi 1  yi  h (1  p2 ) f ( xi , yi )  p2 f  xi 
, yi 
f ( xi , yi )   .
2 p2
2 p2



Bu yerda p2 parametrga noldan farqli biror fiksirlangan haqiqiy qiymat
berib, bu oilaning aniq hisob formulasini hosil qilamiz.
17-izoh. (75) toʻr yechimni geometrik jihatdan topishda Eylerning
toʻgʻrilangan usulini oʻrganishda tavsiflangan qurish uslubidan foydalanish
mumkin (4-lemmaga va undan oldingi fikrlarga qarang). Faqatgina farq
shundaki, bunda kenglikning ikkinchi urinma oʻtkaziladigan nuqtasi sifatida ( xi  h, yi  hf ( xi , yi )) nuqta olinadi, urinmalar burchak koeffitsiyenlarining oʻrta arifmetigi qiymati sifatida esa ularning oʻrta algebraik
qiymat, yaʼni quyidagi chiziqli kombinatsiya qiymati olinadi:
30
tg  p1tg1  p2tg 2 ,
bu yerda p1 + p2 =1.
18-izoh. (75) usullar Runge-Kutta usullari oilasiga kiradi va (76)
shartlar bajarilganda ular ikkinchi tartibli aniqlikka ega usullar qism
oilasini tashkil etadi. Bu usulning gʻoyasi 1885 yilda Karl Runge tomonidan kiritilda va 1901 yilda Vilgelm Kutta tomonidan rivojlantirildi. Bu bir
qadamli usullarning keng oilasi yuqori tartibli aniqlikka ega usullarni (bu
usullarning baʼzilari uchinchi va baʼzilari esa toʻrtinchi tartibli aniqlikka
ega) ham oʻz ichiga oladi.
Uchinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (i+1)-qadamida
quyidagi miqdorlar ketma-ket hisoblanadi:
h
h
k1  f ( xi , yi ), k 2  f ( xi  , yi  k1 ), k 3  f ( xi  h, yi  hk1  2hk2 ),
2
2
(80)
buning geometrik nuqtai nazardan maʼnosi shuki, bu miqdorlar differensial
tenglama yechimining grafigiga (xi,yi) nuqtada oʻtkazilgan urinmaning
burchak koeffitsiyentini va (80) ifodaning ikkinchi va uchinchi oʻrnida
turgan kengliklar nuqtalarining koordinatalarini ifodalaydi. Shundan keyin
xi+1 tugundagi toʻr yechim quyidagi formula bilan hisoblanadi:
h
yi 1  yi  (k1  4k 2  k 3 ) .
6
(81)
Bu geometrik nuqtai nazardan shu maʼnoni bildiradiki, (xi,yi) nuqta
orqali oʻrtalashtirilgan koeffitsiyentlari
1 4 1
, ,
boʻlgan (80) algebraik
6 6 6
oʻrta miqdoriga teng burchak koeffisiyentli toʻgʻri chiziq oʻtkaziladi va xi+1
tugundagi toʻr yechim sifatida bu toʻgʻri chiziqning xi+1 tugun orqali ordinata oʻqiga parallel ravishda oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi olinadi.
Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (i+1)-qadamida
dastlab quyidagi miqdorlar hisoblanadi:
h
h
k1  f ( xi , yi ), k 2  f ( xi  , yi  k1 ),
2
2
h
h
k 3  f ( xi  , yi  k 2 ), k 4  f ( xi  h, yi  hk3 ),
2
2
(82)
keyin esa toʻr yechim quyidagi formuladan topiladi:
h
yi 1  yi  (k1  2k 2  2k 3  k 4 ) .
6
(83)
19-izoh. Olingan toʻr yechimning aniqligini nazorat qilish xatolikni
taqribiy baholashning Runge qoidasi yordamida amalga oshiriladi (bu
qoida bilan aniq integrallarni taqribiy hisoblashda tanishilgan). Koshi ma31
salasini bir qadamli usullar bilan taqribiy yechishda bu qoidadan quyidagi
tartibda foydalaniladi.
Faraz qilaylik, y N , h , y 2 N , h / 2 – m-tartibli aniqlikka ega usul yordamida
integrallash kesmasining oʻng oxirida toʻrning mos h, h/2 qadamlarida
hisoblangan toʻr yechimlar boʻlsin. Bu yechimlar uchun quyidagi tenglik
oʻrinli:
m
y( x0  L)  y N , h  ch  o(h ) ,
m
m
y( x0  L)  y2 N , h / 2
h
 c   o(h m ) .
2
(84)
bu yerda c – (84) formulalarning har ikkalasi uchun ham bir xil va h dan
bogʻliq boʻlmagan oʻzgarmas; o(hm) – bu hm ga nisbatan kichik boʻlgan
yuqori tartibli kichliklikka ega miqdor.
Qaralayotgan yechim xatoligining bosh hadlarini topish uchun (84)
tenglikdan foydalani boʻlmaydi, chunki unga kiruvchi aniq yechimning
y ( x0  L) qiymati bizga maʼlum emas. Ammo, birinchi tenglikni ikkinchisidan ayirib tashlasak, u holda quyidagi munosabatga ega boʻlamiz:
m
h
c  (1  2 m )  y N , h  y2 N , h / 2  o(h m ) .
2
(85)
bu yerdan esa yuqori tartibli kichiklikka ega hadni tashlab yuborib, y 2 N , h / 2
toʻr yechim xatoligining bosh hadi uchun quyidagi taqribiy ifodasiga kelamiz:
m
1
h
c   m  y2 N , h / 2  y N , h  .
(86)
2 1
2
Agar (86) oʻng tomonining moduli toʻr yechimning absolyut xatoligi
uchun mumkin boʻlgan limitik qiymatidan oshib ketmasa, u holda hisob
toʻxtatiladi va integrallash oraligʻidagi taqribiy yechim sifatida h/2 qadam
bilan hisoblangan toʻr yechim qabul qilinadi. Aks holda esa yuqorida
tavsiflangan prosedura h/2, h/4 va hokazo qadamlar uchun takrorlanadi.
Shuni taʼkidlaymizki, Runge qoidasi boʻyicha xatolikni baholashda
kesmaning oxiri shu kesmaning ixtiyoriy nuqtasi (masalan, kesmaning
oʻrtasi) bilan almashtirilishi mumkin; h qadam sunday tanlanadiki, bunda
shu nuqta toʻrning tuguni boʻlib chiqishi kerak.
20-izoh. Yuqorida chiqarilgan fikrlar toʻr yechimni koʻrsatish va uni
hosil qilishni aniqlashtirishning uslublarini ochib beradi.
Aynan, agar (85) tenglikdan c(h/2)m ni ifodalab olsak va uning natijasini (84) formulalardan ikkinchisiga qoʻysak, u holda quyidagi
tenglikka ega boʻlamiz:
32
1

 y2 N ,h / 2  y N ,h   oh m  ,
y ( x0  L )   y 2 N , h / 2  m
2 1


bu shuni bildiradiki, katta qavs ichidagi miqdor y ( x0  L) uchun y 2 N , h / 2 ga
nisbatan eng yaxshi yaqinlashish, chunki bu miqdorning xatoligi o(hm)
tartibli cheksiz kichiklikka ega, u holda toʻr yechimning xatoligi ham o(hm)
tartibga ega.
Toʻr yechimni bunday aniqlashtirish uslubi 1910 yilda ingliz geofizigi
L.Richardson tomonidan taklif etilgan boʻlib, u Richardson boʻyicha
aniqlashtirish yoki Richardson ekstrapolyatsiyasi deb ataladi.
21-izoh. Runge-Kutta usullari nafaqat Koshi masalasini yechishda,
balki birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi uchun yozilgan
chegaraviy masalalarni yechishda ham qoʻllanilishi mumkin. Bunda chegaraviy masalani yechish qoidalari o'q otish usuli deb ataluvchi Koshi masalasini ketma-ket yechish usuliga keltiriladi.
Masalan, ushbu
y1 ' ( x)  f1 ( x, y1 ( x), y2 ( x)), y2 ' ( x)  f 2 ( x, y1 ( x), y2 ( x)), x0  x  xo  L, (87)
y1 ( x0 )   , y2 ( x0  L)   ,
(88)
xuddi shu differensial tenglamalar sistemasi uchun ushbu
y1 ( x0 )   , y2 ( x0 )   ,
(89)
boshlangʻich shartli Koshi masalasi qaraladi. (89) dagi ikkinchi boshlangʻich shartning oʻng tomonidagi  shunday tanlanadiki, bunda y2()
yechim Koshi masalasini (88) ning ikkinchi chegaraviy sharti boʻyicha
qanoatlantirsin:
y2 ( x0  L,  )   ;
bularga koʻra y1() va y2() yechimlar chegaraviy masalaning izlanayotgan
yechimlari boʻladi.
Absrakt nuqtai nazardan  ni tanlash masalasi quyidagi funksiyaning
ildizini topish masalasidir:
( )  y2 ( x0  L,  )  .
Bu tenglamani yechish uchun oraliqni teng ikkiga boʻlish usulidan
foydalanamiz. Bu maqsadda 1, 1 (1< 1) qiymatlar shunday tanlanadiki,
[1, 1] kesmaning oxirlarida Ф funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul
qilsin. Bu hoda Ф funksiyaning uzluksizligidan (faraz qilamizki, Koshi
masalasi yechimining boshlangʻich shartlarning oʻng tarafidan bogʻliqlik
ifodasi uzluksiz boʻlsin) bunday kesma izlanayotgan ildizni oʻz ichiga
oladi. Kesmani 1 nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va [1,1] ,[1,1]
kesmalardan birini shunday tanlaymizki, tanlangan kesmaning oxirlarida
33
Ф funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsin. Tanlangan kesmani [ 2,
2] kesma deb belgilab, uni 2 nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va hokazo.
Bu jarayonning qaysidir bir qadamida [n, n] kesmaning uzunligi ildizni
topishning mumkin boʻlgan xatoligidan kichikligi kelib chiqsa, hisob jarayoni toʻxtatiladi va oxirgi kesma n ning oʻrtasi izlanayotgan  ning
qiymatiga yaqinlashish sifatida deb qabul qilinadi.
 ( )  0 tenglamani yechishning boshqa usullari bilan tavsiya etilgan
adabiyotlar orqali tanishish mumkin.
Quyida bir qadamli usullarning yana bir guruhi – yechimni Teylor qatoriga yoyish usullari bilan tanishaylik.
Bunday usulning gʻoyasini ikkinchi tartibli aniqlikka ega usul misolida tushuntiraylik.
Berilgan differensial tenglamaning y(i) yordamchi yechim uchun
chiqarilgan (62) Teylor yoyilmasini qaraymiz, undagi uchinchi tartibli
kichiklikka ega hadni tashlab yuboramiz va hosil boʻlgan miqdorni xi+1
tugundagi toʻr yechim deb qabul qilamiz. Boshqacha qilib ayganda,
quyidagini yozamiz:
 
yi 1  y (i ) ( xi )  y (i ) ' ( xi )h 
 
1 (i )
y ' ' ( xi )h 2 .
2
Bu yerda y(i) funksiyaning va uning xi nuqtadagi hosilalarinining qiymatini
(63) va (65) formulalar yordamida almashtirib, quyidagi hisob formulasiga
kelamiz:
yi 1  yi  hf ( xi , yi ) 
1
 f x ' ( xi , yi )  f y ' ( xi , yi ) f ( xi , yi )h 2 .
2
Analitik nuqtai nazardan chiqarilgan fikrlar shuni anglatadiki, [xi,xi+1]
kesmada y(i) yordamchi yechimni ikkinchi tartibli hosilasi y(i) yordamchi
yechimning xi nuqtadagi hosilasi bilan mos keluvchi ikkinchi tartibli
koʻphad bilan almashtirni anglatadi, geometrik nuqtai nazardan esa bu y(i)
yechimning grafigini grafigi (xi,yi) nuqtadan oʻtuvchi, shu nuqtada y(i)
umumiy yechim bilan bir xil urinmaga va bir xil egrilik radiusiga (bunday
holda ikkita egri chiziqning oʻzaro urinishi «ikkichi tartibli urininsh» deb
taladi) ega parabola bilan almashtiriladi. Bunda yi toʻr yechim sifatida bu
koʻphadning x = xi+1 nuqtadagi yoki geometrik atamada - bu xi+1 tugundan
oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziqning shu parabola
bilan kesishish nuqtasining ordinatasi qabul qilinadi.
Bu m-tartibli aniqlikka ega usulga oʻxshash usulning hisob formulasi
differensial tenglamaning oʻng tomonidagi f funksiyaning (m-1)tartibgacha hosilalarini oʻz ichiga oladi. Bu hosilalarning xi nuqtadagi
34
qiymatlarini hisoblash algoritmning (i+1)-qadamidagi assosiy hisoblashlarni tashkil qiladi. m-ning oshib borishi bilan bu hosilalarning soni tez
oʻsib boradi, usul ham shuncha murakkablashadi, ammo yechimni Teylor
qatoriga yoyish usuli bu maʼnoda xuddi shu tartibli Runge-Kutta usulidan
ustun emas. Shuning uchun amaliyotda yechimni Teylor qatoriga yoyish
usulidan nisbatan kam foydalaniladi.
1-misol. Ushbu
y  2y  x 2  1 ,
y(0) = 1
Koshi masalasining [0; 1] kesmadagi sonli yechimini Eyler usuli bilan toping.
Yechish. Bunda n = 10 deb olamiz, u holda h =(1-0)/10 = 0,1.
Berilgan differensial tenglamani kanonik koʻrinishda yozib olamiz:
y  f ( x, y )  1  2y - x 2
Boshlangʻich nuqta: x0 = 0, y0 = 1.
Dastlabki x1 nuqta uchun hisoblashlar:
y1  y0  h  f(x0 ; y0 )  1  0,1 f(0; 1)  1  0,1 (1  2 1  02 )  1  0,1 3  1,3
x1 = x0 + h = 0 + 0,1 = 0,1
Keyingi x2 nuqta uchun hisoblashlar
y 2  y1  h  f(x1 ; y1 )  1,3  0,1 f(0,1;1,3) 
1,3  0,1 (1  2,6  0,01)  1,3  0,1  3,59  1,659
x 2  x1  h  0,1  0,1  0,2
Yana qolgan sakkizta nuqta uchun xuddi shunday hisoblashlarni bajarishimiz mumkin, chunki, n = 10 deb tanlab olingan.
Maple dasturida Eyler usuli bilan olingan natijalar (11-rasm):
>
>
>
Agar aniqlikni yanada oshirish lozim boʻlsa, u holda:
d

Euler y (t )  1  2  y (t )  t 2 , y (0)  1, t  1, output  plot, numsteps  50  ;
 dt

35
11-rasm. Maple dasturida Eyler usuli bilan olingan natijalar grafigi.
2-misol. Quyidada keltirilgan Koshi masalasini takomillashtirilgan
Eyler usuli bilan yechish.
Yechish. Koshi masalasi
y' - 2y + x2 = 1, x  [0;1], y(0) = 1.
Faraz qilaylik, n = 10 , h = (1 - 0)/10 = 0,1.
Boshlangʻich nuqta x0 = 0, y0 = 1.
Dastlabki nuqtani hisoblash.
h
h
0,1
0,1
; y 0   f(x0 ; y 0 ))  1  0,1  f(0 
; 1
 f(0; 1)) 
2
2
2
2
1  0,1  f(0,05; 1  0,05  (1  2  1 - 0 2 ))  1  0,1  f(0,05; 1,15) 
y1  y 0  h  f(x0 
1  0,1  (1  2  1,15  0,052 )  1,32975
x 1  x0  h  0,1
Keyingi 2, 3, ... ,10 nuqtalar uchun hisoblashlar xiddi shunday.
3-misol. Yuqoridagi 2-misolda keltirilgan Koshi masalasini 4-tartibli
Runge-Kutta usuli bilan yechish.
Yechish. Koshi masalasi
y' - 2y + x2 = 1, x [0;1], y(0) = 1.
Faraz qilaylik, n = 10 , h = (1 - 0)/10 = 0,1.
Boshlangʻich nuqta x0 = 0, y0 = 1.
Dastlab C0, C1, C2, C3larning qiymatlarini hisoblab olamiz:
C 0  f(x 0 ; y 0 )  f(0; 1)  1  2 1  0 2  3
K
h
C1  f(x 0  ; y 0  h  0 )  f(0,05;1,15)  1  2 1,15  0,052  3,2975
2
2
K
h
C 2  f(x 0  ; y 0  h  1 )  f(0,05;1,164875) 1  2 1,164875 0,052  3,32725
2
2
C 3  f(x 0  h; y 0  h  K 2 )  f(0,1; 1,332725)
 1  2 1,332725 0,12  3,65545
36
C 0  f(x 0 ; y 0 )  f(0; 1)  1  2 1  0 2  3
K
h
C1  f(x 0  ; y 0  h  0 )  f(0,05;1,15)  1  2 1,15  0,052  3,2975
2
2
K
h
C 2  f(x 0  ; y 0  h  1 )  f(0,05;1,164875) 1  2 1,164875 0,052  3,32725
2
2
C 3  f(x 0  h; y 0  h  K 2 )  f(0,1; 1,332725) 1  2 1,332725 0,12  3,65545
12-rasm. ODTni 1-tartibli Eyler usuli bilan yechish algoritmi.
37
Dastlabki nuqtani hisoblash:
h
 (C 0  2  C1  2  C 2  C 3 ) 
6
0,1
1
 (3  2  3,2975  2  3,32725  3,65545)  1,3317491667
6
y1  y 0 
Keyingi 2, 3, ... ,10 nuqtalar uchun hisoblashlar xiddi shunday.
1
М_Eiler
2
c0=f(x,y)
с1=f(x+h/2,y+h/2c0)
y=y+c1h
x=x+h
3
Chiqish
Kiritiladigan ma'lumotlar:
h - qadam
x – joriy nuqtaning koordinatasi
y – funksiyaning tugundagi qiymati
Chiqariladigan ma'lumotlar: x –
tugunning koordinatasi; y –
funksiyaning shu tugundagi qiymati
13-rasm. Takomillashtirilgan Eyler usulining algoritmi.
14-rasm.4-tartibli Runge-Kutta usulining algoritmi.
2х
oddiy differensial tenglamaning [0,1]
у
kesmada olingan va y(0)=1 boshlang`ich shartni qanotlantiruvchi y(x)
4-misol.Ushbu у  у 
38
yechimining taqribiy qiymatlarini Eyler usuli yordamida h=0,2 qadam bilan toping.
Yechish:
f ( x, y )  y 
2x
; a  0, b  1, x0  0, y0  1, h  0,2
y
quyidagi hisoblash jadvalini tuzamiz.
1-qator . i=0, x0  0, y0  1,0000
f ( x0 , y 0 )  y 0 
2x
2*0
 1
 1,000
y0
1
y 0  hf ( x0 , y 0 )  0,2 *1  0,2000
yi 1  yi  yi , i  0; y1  y 0  y 0  1  0,2  1,2000
2-qator.
i=1 , x1  0  0,2  0,2; y1  1,2000;
2x
2 * 0,2
f ( x1 , y1 )  y1 
 1,2 
 0,8667
y1
1,2
y1  hf ( x1 , y1 )  0,2 * 0,8667  0,1733
y2  y1  y1  1,2  0,1733  1,3733
i=2,3,4,5 lar uchun hisoblanadi.
i
1
2
3
4
5
6
xi
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
yi
1,0000
1,2000
1,3733
1,5294
1,6786
1,8237
f(xi ,yi)
1,0000
0,8667
0,7805
0,7458
0,7254
yi
0,200
0,1733
0,1561
0,1492
0,1451
6. Koshi masalasi va chegaraviy masalani bir qadamli sonli
usullar bilan Maple dasturi yordamida yechish
Oddiy differensial tenglamani Maple dasturida dsolve komandasi
yordamida sonli yechish va uning yechimi grafigini odeplot komandasi
yordamida qurish.
Differensial tenglama (Koshi masalasi yoki chegaraviy masala)ning
sonli yechimini topish uchun dsolve komandasida type=numeric (yoki
sodda qilib numeric) parametrni koʻrsatish kifoya. Bunday holda
differensial tenglamani yechish komandasi quyidagicha boʻladi:
39
dsolve(eq, vars, type=numeric, options),
bu yerda eq – tenglama; vars – nomaʼlum funksiyalar roʻyxati; options –
Differensial tenglamani sonli yechishni koʻrsatuvchi parametrlar.
Maple da quyidagi usullar ishlab chiqilgan:
 method=rk2 –Runge-Kuttaning 2-tartibli usuli;
 method=rk3 –Runge-Kuttaning 3-tartibli usuli;
 method=rk4 –Runge-Kuttaning 4-tartibli klassik usuli;
 method=rkf45  jimlik qoidasi bilan oʻrnatilgan Runge-KuttaFelbergning 4-5-tartibli usuli;
 method=dverk78 –Runge-Kuttaning 7-8-tartibli usuli;
 method=classical – Runge-Kuttaning 3-tartibli klassik usuli;
 method=gear – Girning bir qadamli usuli;
 method=mgear – Girning koʻp qadamli usuli.
Differensial tenglama sonli yechimining grafigini qurish uchun ushbu
odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2)
komandadan foydalanish mumkin, bu yerda funksiya sifatida
dd:=dsolve({eq,cond}, y(x), numeric) – sonli yechish komandasidan foydalanil-gan, bundan keyin esa kvadrat qavsda oʻzgaruvchi va nomaʼlum
funksiya [x,y(x)] hamda grafik qurishning intervali x=x1..x2 kabi
koʻrsatilgan.
Muammoni oydinlashtirishni mashqlarda bajarib koʻraylik va quyidagi
tadbiqlarni bajaraylik:
1-misol. Quyidagi Koshi masalasining sonli va taqribiy yechimini 6tartibli darajali qator koʻrinishida toping:
y ' x sin( y )  0,1sin x , y (0)  1 .
Yechish: Avvalo Koshi masalasining sonli yechimini topamiz, keyin
esa topilgan yechimning grafigini quramiz:
> restart; Ordev=6:
> eq:=diff(y(x),x)+x*sin(y(x))= -0.1sin(x):
> cond:=y(0)=-1:
> de:=dsolve({eq,cond},y(x),numeric);
de:=proc(rkf45_x)...end proc
Eslatma: Natijani chiqarish qatorida rkf45 usuldan foydalanilganlik
haqida maʼlumot chiqadi. Agar satr kerakli maʼlumot bermasa, bu oraliq
komandani ikki nuqta qoʻyish bilan ajratib qoʻyish lozim. Agar x ning
biror fiksirlangan qiymati uchun natija olish (masalan, yechimning shu
40
nuqtadagi hosilasi qiymatini chiqarish) zarur boʻlsa, masalan, х=0.5
nuqtada, u holda quyidagilar teriladi (15-rasm):
> de(0.5);
> with(plots):
> odeplot(de,[x,y(x)],-10..10,thickness=2);
Endi Koshi masalasining yechimini darajali qator koʻrinishida topamiz hamda sonli yechim va olingan darajali qatorning grafigini ular
mosroq tushishi mumkin boʻlgan interval uchun yasaymiz (16-rasm).
> dsolve({eq, cond}, y(x), series);
> convert(%, polynom):p:=rhs(%):
> p1:=odeplot(de,[x,y(x)],-2..2, thickness=2,
color=black):
> p2:=plot(p,x=-2..2,thickness=2,linestyle=3,
color=blue):
> display(p1,p2);
16-rasm. Koshi masalasining aniq
va darajali qator bilan taqribiy
yechimlarining grafigi.
15-rasm. Koshi masalasi sonli
yechimining grafigi.
41
Yechimning darajali qator bilan juda yaqin qiymatlari 2 < x < 2
oraliqda ekanligi grafikdan koʻrinib turibdi (14-rasm).
Differensial tenglama sonli yechimini grafik koʻrinishda ifodalashning
Maple dasturidagi Detools paketi.
Koshi masalasini sonli yechish, yechimning grafigini qurish va
fazoviy portretini chizish uchun Maplda maxsus paket Detools mavjud.
Detools paketning Deplot komandasi sonli usullar yordamida
yechimning grafigini yoki fazoviy portretlarini chizadi. Bu komanda
odeplot dan farqli rafishda, uning oʻzi differensial tenglamani sonli
yechadi.
Deplot ning asosiy parametrlari xuddi odeplot niki kabi:
DEplot(de, vars, range, x=х1..х2, y=у1..у2, cond, ptions),
bu yerda
de  differensial tenglama yoki differensial tenglamalar sistemasi;
vars – nomaʼlum funksiyalar roʻyxati;
range – erkli oʻzgaruvchilarning oʻzgarish intervali;
cond – boshlangʻich shartlar;
x=х1..х2 va y=у1..у2 – funksiyalarning oʻzgarish diapazoni;
options – qoʻshimcha parametrlar.
Eng koʻp qoʻllaniladigan parametrlar:
linecolor = chiziq rangi;
scene=[x,y]  grafikda qanday bogʻlanishlarni chiqarish kerakligini
koʻrsatuvchi parametr;
iterations = hisoblashlar aniqligini oshirish uchun zarur boʻlgan iteratsiyalar soni (jimlik qoidasiga koʻra u 1 ga teng);
stepsize = grafikdagi nuqtalar orasidagi masofani koʻrsatuvchi son
(jimlik qoidasiga koʻra u (x2x1)/20 ga teng), bu parametr yechimning
grafigini yetarlicha silliq chiqarish uchun zarur;
obsrange=true/false  agar yechimning grafigi koʻrsatilgan intervaldan tashqarida boʻlsa, yechimni toʻxtatish yoki hisoblashlar
yoʻqligini koʻrsatish.
n-tartibli differensial tenglama uchun boshlangʻich shartlarni juda
qulay shaklda berish mumkin:
[x0, y0, y'0, y''0,…],
bu yerda
x0  boshlangʻich shartlar beriladigan nuqta;
y0  berilga x0 nuqtada izlanayotgan funksiyaning qiymati;
42
y'0, y''0,…  berilga x0 nuqtada izlanayotgan funksiyaning birinchi,
ikkinchi va hokazi (n1)-tartibli hosilalari qiymatlari.
Muammoni oydinlashtirishni mashqlarda bajarib koʻraylik va quyidagi
tadbiqlarni bajaraylik:
2-misol. Quyidagi chegaraviy masalaning
yechimi grafigini quring:
y ' y 
x  [4,5]
intervaldagi
y e x / 2 , y (0)  9 / 4 .
Yechish. Masalaning analitik va sonli yechimi quyidagicha:
> Eq:=diff(y(x),x)+y(x)=sqrt(y(x))*exp(x/2); ics:=y(0)=9/4;
dsolve({Eq,ics});
x
 
d
2
Eq :=  y( x )  y( x ) y( x ) e
 dx

9
ics := y( 0 )
4
2
x
 x   x 
  

   2x  
1   2  
2  2

y( x )  e   e
e
  e

4
2
Endu shu masalani DEplot yordamida sonli yechamiz (17-18-rasmlar):
> Eqs:=diff(y(x),x)+y(x)=sqrt(y(x))*exp(x/2): icsc:=y(0)=9/4:
with(DEtools): DEplot(Eqs,y(x),x=-1..2.5,y=0..5,{icsc},
linecolor=black,stepsize=0.05,color=black);
17-rasm. Chegaraviy masalaning
x  [4,5] intervaldagi yechimi
grafigi.
18-rasm. Chegaraviy masalaning
x  [1; 2,5] intervaldagi yechimi
va yoʻnalishlari maydoni grafigi.
43
3-misol. Quyidagi chegaraviy
masalani sonli yeching va natijalarning grafigini quring:
y '2 y  e  x , y (0)  1 .
Yechish: Masalaning
yechimi (19-rasm):
sonli
> restart; with(DЕtools):
with(DEtools):
DEplot(diff(y(x),x+2*y(x)=exp(x),y(x),x=-3..4,[y(0)=1],y=4..10,stepsize=.005);
19-rasm. Koshi masalasining
x  [3; 4] kesmadagi sonli yechimi
va yoʻnalishlari maydoni grafigi.
4-misol. Ushbu
y' = cos(y)+t , y(1)=2
Koshi masalasini Eyler va Runge-Kutta usullari yordamida Maple
matematik paketida t[1;3] oraliq uchun sonli yeching.
Yechish. Eyler usuli uchun dastur matni, sonli hisob natijasi grafigi va
uning analitik yechim grafigi bilan taqqoslanishi quyidagicha (20-rasm):
>
>
>
Runge-Kutta usuli uchun dastur matni va sonli hisob natijasi grafigi va
uning analitik yechim grafigi bilan taqqoslanishi quyidagicha (21-rasm):
>

> RungeKutta
d

y (t )  t  cos(y (t )), y (1)  2, t  3, submethod  rk 4  ;
 dt

4.468

> RungeKutta
d

y (t )  t  cos(y (t )), y (1)  2, t  3, submethod  rk 4, output  plot  ;
 dt

Agar aniqlikni yanada oshirish lozim boʻlsa, u holda:
d
RungeKutta y (t )  t  cos(y (t )), y (1)  2, t  3, submethod  rk 4,
>
 dt
output  plot, numsteps  20;
44
20-rasm. Maple dasturida Eyler usuli
21-rasm. Maple dasturida Rungebilan olingan natijalarning aniq
yechim bilan taqqoslangan grafigi. Kutta usuli bilan olingan natijalarning aniq yechim bilan taqqoslangan
grafigi.
5-misol. Ushbu
y' = -y2 (1+2t) , y(0)=2
Koshi masalasini analitik usulda, Eyler va Runge-Kutta usullari yordamida
Maple matematik paketida t[0;1] oraliq uchun yeching.
Yechish. Masalani dastlab Maple dasturida analitik usulda yechamiz:
>
>
>
>
45
Endi masalani Eyler usuli yordamida sonli yechish Maple dasturi va
uning natijasini keltiramiz:
Ana shu analitik va sonli yechimlar natijalarini grafikda taqqoslaymiz
(21-rasm):
Maple dasturining Eyler usuli standart funksiyasi uchun dastur matni,
sonli hisob natijasi grafigi va uning analitik yechim grafigi bilan
taqqoslanishi quyidagicha (22-rasm):
46
22-rasm.
21-rasm.
Masalani Runge-Kutta usuli bilan sonli yechamiz:
47
24-rasm.
23-rasm.
21-22- va 23-24-rasmlardan ko’rinib turibdiki, aniqlik Runge-Kutta
usulida yuqori.
Shinday qilib, sonli hisob jarayonida quyidagi natijalarga kelindi:
 qoʻllanilgan bir qadamli usullar yetarlicha aniqlik uchun kam vaqt
sarflaydi hamda bu usullar uchun yagona shart yetarli;
 qadamning qiymati yechimning aniqligi va tezligiga muhim taʼsir
koʻrsatadi;
 bir qadamli usullarda hisoblash jarayonida hisob qadamini
oʻzgartirish mumkin boʻladi;
 Eyler usuliga koʻra Runge-Kutta usuli juda ham aniqroq natijalarni beradi.
Mustaqil ish topshiriqlari
Topshiriq sharti: Quyida berilgan birinchi tartibli oddiy differensial
tenglamalar uchun Koshi masalasining taqribiy yechimini h=0,1 qadam
bilan [0;1] kesmada bir qadamli usullar (Eyler usullari va Runge-Kutta
usullari) yordamida toping, hisoblashlar algoritmini tuzing va hisoblash
dasturini dasturlash tillaridan (Pascal, Delphi, C++ va boshqa) va
48
matematik paketlardan (Maple, MATLAB, Mathcad, Mathematica va
boshqa) biridan foydalanib tuzing, olingan natijalarni aniq yechim bilan
taqqoslang.
Topshiriq variantlari:
Testlar namunalari
1. Ushbu y'=f(x,y), y(x 0 )=y0 Koshi masalasiga mos Eyler usulini koʻrsating
A) yi+1 =yi +hf(x i yi ), i=0..n. B) yi+0,5 =yi +hi f(xi ,yi )/2,yi+1 =yi +hif(xi+0,5 ,yi+0,5 )
C) u i+1 =yi +hf(x i yi ),yi+1 =yi +h[f(x i ,yi )+f(x i+1 ,u i+1 )]/2 D) yi+1 =yi +h(k1 +2k 2 +2k 3 +k 4 )/6
2. Ushbu y'=f(x,y), y(x 0 )=y0 Koshi masalasi uchun Runge-Kutta usuli bu…
A) yi+1 =yi +hf(x i yi ), i=0..n.
B) yi+0,5 =yi +hif(xi ,yi )/2,yi+1 =yi +hif(xi+0,5 ,yi+0,5 )
C) u i+1 =yi +hf(x i yi ),yi+1 =yi +h[f(x i ,yi )+f(x i+1 ,u i+1 )]/2 D) yi+1 =yi +h(k1 +2k 2 +2k3 +k 4 )/6
3. Eyler usulining xatoligi nimaga teng?
A) y(x i )-yi =O(h), i=0,...,n B) y(xi )-yi =O(h2 ),y(xn )-yn =O(h)
C) y(xi )-yi =O(h3 ), y(xn )-yn =O(h2 ) D) y(xi )-yi =O(h5 ), y(xn )-yn =O(h4 )
4. Takomillashgan Eyler usulining xatoligi nimaga teng?
A) y(x i )-yi =O(h), i=0,...,n
B) y(xi )-yi =O(h2 ), y(xn )-yn =O(h)
49
C) y(xi )-yi =O(h3 ), y(xn )-yn =O(h2 )
D) y(xi )-yi =O(h5 ), y(xn )-yn =O(h4 )
5. Runge-Kutta usulining xatoligi nimaga teng?
A) y(x i )-yi =O(h), i=0,...,n
B) y(xi )-yi =O(h2 ), y(xn )-yn =O(h)
C) y(xi )-yi =O(h3 ), y(xn )-yn =O(h2 )
D) y(xi )-yi =O(h5 ), y(xn )-yn =O(h4 )
Glossariy
Absolyut xato (Абсолютная погрешность) - Agar a - biror miqdorning
*
aniq qiymati boʻlib, a uning ma’lum taqribiy qiymati boʻlsa, u vaqtda
*
taqribiy a sonning absolyut xatosi deb a * a  a * ga aytiladi.
Algoritm (алгоритм) – ma’lum bir turkumdagi hamma masalalarni
yechishda ishlatiladigan amallar tizimining muayyan tartibda bajarilishi
haqidagi aniq qoida.
Algoritmik til (алгоритмический язык) – belgilar toʻplami va bu
belgilardan
algoritmlarni
yozish
uchun
moʻljallangan
til
konstruksiyalarini tuzish va ifodalash qoidalari tizimi.
Amaliy dasturiy ta’minoti (прикладное программное обеспечение)
– bu foydalanuvchining aniq vazifalarini hal etish va umuman axborot
tizimining hisoblash jarayonini tashkil etish uchun moʻljallangan
boʻlib, operasion tizimlar imkoniyatlarini kengaytiruvchi paketlar,
umumiy belgilanishdagi paketlar, avtomatik boshqarish tizimida
ishlashga moʻljallangan paketlardan iborat.
Aniq usul (Точный метод) - Aniq usul deganda shunday metod
tushuniladiki, uning yordamida chekli miqdordagi arifmetik amallarni
aniq bajarish natijasida masalaning aniq yechimini topish mumkin.
Approksimatsiya xatoligi (Погрещность аппроксимации) – dastlabki
hosila va uning chekli ayirmali analogi orasidagi farqning toʻr qadami
nolga intilgandagi limiti.
Aralash usul (смещанный метод) - bu taqribiy yechim ham differensial
tenglamani va ham chegaraviy shartni aniq qanoatlantirmagan hol.
Bir qadamli usul (Одношаговый метод) – yk+1 iteratsiyani hisoblash
uchun oldingi faqat bitta yk iteratsiyadan foydalaniladigan usul.
Blok-sxema – algoritmni tasvirlashning grafik usuli.
Chegaraviy masala (Краевая задача) – qoʻshni boʻlmagan ikkita har xil
nuqtalarda qoʻshimcha (boshlangʻich) shartlari bilan berilgan ikkinchi
tartibli differensial tenglamalar yordamida ifodalangan model.
Chegaraviy usul (граничный метод) – bu taqribiy yechim differensial
tenglamani aniq qanoatlantirgan hol.
Dastur (программа) – qandaydir ijrochi, odatda avtomatik qurilma,
koʻpincha EHM bajarishi lozim boʻlgan amallar (harakatlar) rejasi.
50
Dasturiy ta’minoti (программное обеспечение) – avtomatlashtirilgan
axborot tizimining elementi boʻlib, hisoblash texnikasi vositalari bilan
ma’lumotlarni qayta ishlash tizimini yaratish va undan foydalanish
uchun dasturiy va hujjatli vositalarni jamlash.
Dasturlash (программирование) – dastur, amal (harakat) rejasini tuzish
jarayoni.
Diskretlashtirish xatoligi (usulning xatoligi) (Погрешность
дискретизации (погрешность метода)) – dastlabki masalani diskret
masalaga almashtirishda paydo boʻladigan xatolik.
Fizik model (физическая модель) – tabiati va geometrik tuzilishi asl
nusxadagidek boʻlib, miqdor jihatdan undan farq qiladigan model.
Galyerkin usuli (Метод Галеркина) – variatsion va chegaraviy
masalalarni yechishdagi toʻgʻri usul boʻlib, Rits usulining juda keng
umumlashtirilishidan iborat.
Hisoblash algoritmi (Вычислительный алгоритм) – matematik
masalalarning taqribiy sonli yechimlarini topishga yordam beradigan
arifmetik va mantiqiy operatsiyalar ketma-ketligi.
Hisoblash eksperimenti (Вычислительный эксперимент) – hisoblash
matematikasi vositalari yordamida muammolarni tadqiq qilish.
Hisoblash matematikasi (Вычислительная математика) Matematikada toʻliq matematik masalalarning yechimlarini yetarlicha
aniqlikda hisoblash imkonini beruvchi metodlar yaratishgan va shu
maksadda xozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yoʻllarini
ishlab chikishga bogʻlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi.
Hisoblash matematikasi (Вычислительная математика) –
matematikaning hisoblashlar bajaradigan va EHMlardan foydalangan
holda hisoblashlar bajaradigan muammolarini oʻz ichiga olgan boʻlimi.
Torroq ma’noda esa hisoblash matematikasi – bu ba’zi turdagi
matematik masalalarni yechishni sonli usullar nazariyasi..
Hisoblash xatosi (Вычислительная погрешность) - Masalalarni
yechishda hisoblashni aniq olib bormaganligimiz natijasida ham xatoga
yoʻl qoʻyamiz, bu xato hisoblash xatosi deyiladi.
Hosilalar approksimatsiyasi (Аппроксимация производных) –
dastlabki differensial tenglamadagi xususiy hosilalarni chekli ayirmali
munosabatlarga almashtirish.
Hosilaning chap approksimatsiyasi (Левая аппроксимация
производной) – approksimatsiyani qurish uchun berilgan tugundan
chap tomonda joylashgan, ya’ni koordinataning kichik qiymatiga mos
keluvchi tugunlardan foydalaniladi.
Hosilaning markaziy approksimatsiyasi (Центральная аппроксимация производной) – approksimatsiyani qurish uchun berilgan
51
tugunga nisbatan simmetrik joylashgan juft sondagi tugunlardan
foydalaniladi.
Hosilaning oʻng approksimatsiyasi (Правая аппроксимация
производной) – approksimatsiyani qurish uchun berilgan tugundan
oʻng tomonda joylashgan, ya’ni koordinataning katta qiymatiga mos
keluvchi tugunlardan foydalaniladi.
Ichki usul (внутренный метод) - bu taqribiy yechim chegaraviy shartni
aniq qanoatlantirgan hol.
Ikki qadamli iteratsion usul (Двухшаговый итеративный метод) –
(k+1)-qadamdagi yk+1 iteratsiyasi undan oltingi ikkita ketma-ket yk va
yk-1 iteratsiyalari yordamida ifodalanuvchi usul.
Iteratsion usullar (Итерационные методы) – bu ketma-ket
yaqinlashshlar usullari boʻlib, bunda berilgan aniqlikka erishish uchun
talab qilinadigan arifmetik amallar sonini oldindan aytib boʻlmaydi.
Iteratsion usullar ba’zan taqribiy yoki cheksiz usullar ham deb ataladi.
Iteratsiya (Итерация) – biror matematik amalni bir necha marta qoʻllash
natijasi.
Koshi masalasi (Задача Коши) – ikkita qoʻshni nuqtalarida qoʻshimcha
(boshlangʻich) shartlari bilan berilgan ikkinchi tartibli differensial
tenglama bilan ifodalanuvchi model.
Matematik model (Математическая модель) – algebraik, differensial,
integral va boshqa tenglamalar yordamida jarayonlarning matematik
ifodalanishi.
Matematik model (Математическая модель) – oʻrganilayotgan
obyektning matematik formula yoki algoritm koʻrinishida ifodalangan
xarakteristikalari orasidagi funksional bogʻlanish.
Nisbiy xito (Относительная погрешность) - Absolyut xatoning
taqribiy miqdorning absolyut qiymatiga nisbati taqribiy sonning nisbiy
xatosi a deb aytiladi. a
*
*

a *
a*
Oshkor ayormali sxema (Явная разностная схема) – izlanayotgan
noma’lum funsiyaning bitta qiymatini oʻz ichiga olgan sxema. Bunda
algebraik tenglamalar sistemasi qurilgan toʻrning biror nuqtasida
izlanayotgan funksiyaning har bir qiymatini oshkor holda aniqlovchi
alohida tenglamalarga ajraladi.
Oshkormas ayormali sxema (Неявная разностная схема) –
izlanayotgan noma’lum funsiyaning bittadan ortiq qiymatini oʻz ichiga
olgan sxema. Bunda algebraik tenglamalar sistemasi alohida
tenglamalarga ajralnaydi.
52
Progonka (istisno yoki mustasno qilish) usuli (Метод прогонки) –
chegaraviy masalani yechish uchun ishlatiladigan istishno (yoki
mustasno) qilish usullaridan biri.
Sonli qiymat (Численное решение) – funksiyaning son qiymati.
Taqribiy hisob (приближенные вычисления) – shunday hisobki,
bunda berilgan sonlar va natija (yoki faqat natijaning oʻzi) tegishli
miqdorlarning haqiqiy qiymatlariga taqriban teng boʻlgan sonlar
boʻladi.
Usul xatosi (Ощибка метода) – Ba’zi matematik ifodalar tabiat
xodisasining ozmi-koʻpmi ideallashtirilgan modelini tasvirlaydi.
Shuning uchun tabiat hodisalarining aniq matematik ifodasini
(formulasini, tenglamasini) berib bulmaydi, buning natijasida xato
kelib chiqadi. Yoki biror masala aniq matematik formada yozilgan
boʻlsa va shu koʻrinishda yechish mumkin boʻlmasa, bunday holda bu
masala unga yaqinroq va yechish mumkin boʻlgan masalaga
almashtirilishi kerak. Buning natijasida kelib chiqadigan xato metod
xatosi deyiladi.
Xatolik (погрешность) – aniq va taqribiy yechim orasidagi farq boʻlib,
yuqori aniqlik darajasiga erishishni ta’minlovchi sonli xarakteristika.
Yaxlitlash xatoligi (Погрешность округления) – kompyuterda
ifodalanayotgan sonlarning shartli chekli razryadini tanlash natijasida
paydo boʻlgan xatoligi.
Yoʻqotib boʻlmaydigan xatolik (Неустранимая погрешность) – sonli
usulning kiritilayotgan ma’lumotlardagi noaniqliklar tufayli paydo
boʻladigan xatoligi.
Yoʻqotilmas xato (неутрачимая погрешность) - Dastlabki ma’lumotlarning noaniqligi natijasida hosil boʻlgan xato yoʻkotilmas xato
deyiladi.
Sinov savollari
1. Oddiy differensial tenglama (ODT) deb nimaga aytiladi?
2. ODT uchun Koshi masalasi va chegaraviy masalaning umumiy
qoʻyilishini ayting.
3. Boshlangʻich va chegaraviy shartlar nima?
4. ODT uchun Koshi masalasining yechimi deganda nimani tushunasiz?
5. ODT uchun Koshi masalasi yechimining geometrik maʼnosini ayting.
6. ODT uchun Koshi masalasini taqribiy yechishning sababi nimada?
7. ODTlarni taqribiy yechishning bir va koʻp qadamli usullarini ayting.
8. Eylerning oshkor va oshkormas hamda modifikatsiyalangan usullari,
ularning yaqinlashishi, xatoligi, algoritmi va geometrik talqinini
tushuntiring.
53
9. Runge-Kutta usullari, ularning yaqinlashishi, xatoligi, algoritmi va geometrik talqinini tushuntiring.
10. Runge qoidasini tushuntiring.
11. Richardson ekstrapolyatsiyasi deb nimaga aytiladi?
Foydalanilgan va mustaqil oʻzlashtirishga oid adabiyotlar roʻyxati
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной
математики в пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитель). –
М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. – М.: Изд-во
МГУ, 1990.– 336 с.
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в
задачах и упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний,
2010. – 240 с.
Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая
школа, 2009. – 848 с.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. – 566 б.
Заусаев А.Ф. Разностные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений: Учеб. пособ. - Самара: Самарский
гос. техн. ун-т, 2010. - 100 с.
Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 1- қисм. – Тошкент:
Ўқитувчи, 2003. – 440 б.
Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 2-қисм. – Тошкент:
Ўқитувчи, 2008. – 340 б.
Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы: в 2 кн. Кн. 2.
Методы математической физики. - М.: Издательский центр «Академия», 2013. - 304 с.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Изд-во
Лань, 2010. – 608 с.
Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование Matlab. 3-издание: Пер. с англ. – М.: Изд-во дом «Вильямс», 2001. - 720 с.
Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Изд-во
Лань, 2009. - 288 с.
54
14. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. –
512 с.
15. Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных
дифференциальных уравнений с использованием MATLAB:
Учебное пособие. /Пер с англ. М.А.Макарова. – СПб.: Изд-во
«Лань», 2009. – 304 с.
16. Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. – СПб.:
БХВ-Петербург, 2005. – 320 с.
17. Articolo G.A. Partial differential equations and boundary value problems with Maple. – 2nd ed./ 2009, Elsevier Inc. - 733 p.
18. Richard L. Burden and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth
Edition, Boston, USA, 2011. – 895 p.
19. L.Ridgway Scott. Numerical Analysis. Princeton University Press,
2011.- 342 p.
20. www.edu.ru; www.edu.uz; www.exponenta.ru; www.intuit.ru;
www.ziyonet.uz; www.techlibrary.ru
1.
2.
3.
4.
5.
6.
MUNDARIJA
Kirish. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boshlangʻich tushunchalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Masalaning qoʻyilishi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eylerning oshkor usuli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eyler oshkor usulining yaqinlashishi. . . . . . . . . . . . . . .
Runge-Kutta usullari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Koshi masalasi va chegaraviy masalani bir qadamli sonli usullar
bilan Maple dasturi yordamida yechish. . . . . . . . . . . . . .
Mustaqil ish topshiriqlari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Testlar namunalari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Glossariy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinov savollari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Foydalanilgan va mustaqil oʻzlashtirishga oid adabiyotlar
roʻyxati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3
5
6
6
15
23
39
49
49
50
53
54
Ablakul Abdirashidov
Akmaljon Ablakulovich Abdurashidov
O’tkir Anjiboyevich Nishonov
Feruza Ulugbekovna Kasimova
BIRINCHI TARTIBLI ODDIY DIFFERENSIAL
TENGLAMALARNI BIR QADAMLI SONLI
USULLAR YORDAMIDA YECHISH
Uslubiy ko‘rsatmalar
Muharrir:
Saydaliyeva N.
Musahhih:
Raxmatullayev N.
Texn. muharrir: Ro‘ziboyev M.
2008 yil 19-iyun 68-buyruq.
2018 yil 4-iyunda noshirlik boʻlimiga qabul qilindi.
2018 yil 18-iyunda original maketdan bosishga ruxsat etildi.
Bichimi 60x84, 1/32. «Times New Roman» garniturasi.
Ofset qogʻozi. Shartli bosma tabogʻi – 3,5.
Nashriyot hisob tabogʻi – 2,5.
Adadi 25 nusxa. 57-buyurtma.
_________________________________________
SamDU bosmaxonasida chop etildi.
140104, Samarqand sh., Universitet xiyoboni, 15
56