Mavzu: Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi va integral
80-rasmda tasvirlangan figurani ko’rayllik. Bu figura quyidagi Ox o’qdagi [a; b] kesma
bilan, yuqoridan musbat qiymat qabul qiladigan y=ƒ(x) uzluksiz funksiyaning grafigi bilan,
yon tomonlardan esa x=a va x=b to’g’ri chiziqlarning kesmalari bilan chegaralangan.
Bunday figurani egri chiziqli trapetsiya deyiladi. [a; b] kesmani esa egri chiziqli
trapetsiyaning asoslari deyiladi.
Egri chiziqli trapetsiyaning S yuzini ƒ(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi yordamida
qanday xisoblash mumkinligini aniqlaymiz.
[a; b] asosli egri chiziqli trapetsiyaning yuzini S(x) deb belgilaymiz (81-rasm), bunda x-[a;
b] kesmadagi istalgan nuqta: x=a bo’lganda [a; x] kesma nuqtaga aylanadi, shuning
uchun S(a)=o; x=b da S(b)=S.
S(x) ni ƒ(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lishini, ya’ni S’(x)= ƒ(x) ekanini
ko’rsatamiz.
S(x+h)-S(x) ayirmani ko’raylik, bunda h> 0(h<0 xol ham xuddi shunday ko’riladi). Bu
ayirma asosi [x; x+h] bo’lgan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (82-rasm). Agar h
son kichik bo’lsa, u xolda bu yuz taqriban ƒ(x)*h gat eng, ya’ni S(x+h)-S(x)≈ ƒ(x)*h.
Demak,
≈ ƒ(x)*h→0 da bu taqribiy tenglikning chap qismi xosilaning ta’rifiga
ko’ra S’(x) ga intiladi, yaqinlashish xatoligi esa h→0 da istalgancha kichik bo’la
boradi.Shuning uchun h→0 da S’(x)= ƒ(x) tenglik xosil bo’ladi. Bu esa S(x) ning ƒ(x)
funksiyaning boshlang’ich funksiyasi ekanini bildiradi.
Istalgan boshqa F(x) boshlang’ich funksiya S(x) dan o’zgarmas songa farq qiladi, ya’ni
F(x)=S(x)+C.
Bu tenglikdan x=a da F(a)
=S(a)+C ni olamiz. S(a)=0
bo’lgani uchun C=F(a) va
(1) tenglikni quyidagicha
yozish mumkin:
S(x)=F(x)-F(a).
Bunda x=b da S(b)=F(b)-F(a), ni topamiz.
Demak, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini (80-rasm) quyidagi formula orqali xisoblash
mumkin:
S=F(b)-F(a),
Bunda F(x) – berilgan ƒ(x) funksiyaning istalgan boshlang’ich funksiyasi.
Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash ƒ(x) funksiyaning F(x)
boshlang’ich funksiyasini topishgam ya’ni ƒ(x) funksiyani integrallashga keltiriladi.
F(b) –F(a) ayirma ƒ(x) funksiyaning [a;b] kesmadagi integrali deyiladi va bunday
belgilanadi: a∫b ƒ(x)dx= ƒ(x)-F(a).
Formulani differensial va integral xisob asoschilari sharafiga Nyuton- Leybnis formulasi
deb ataladi.
Va amaldagi formuladan quyidagini olamiz
S= a∫b ƒ(x)dx.
1-masala. 83-rasmda tasvirlangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini toping.
S= a∫b ƒ(x)dx. Formuladan S= 1∫3 x2dx ni topamiz. Bu integralni Nyuton-Leybis formulasi
yordamida hisoblaymiz. ƒ (x)=x2 funksiyaning boshlang’ich funksiyalaridan biri F(x)=
funksiyalardir. Shuning uchun S= 1∫3 x2dx=F(3)-F(1)= - = 8 (kv. Birlik).
(3) va (4) formulalar ƒ(x) funksiya [a; b] kesma ichida musbat, kesmaning biror oxirida
yoki ikkala oxirida esa nolga teng bo’lgan xolda xam o’rinlidir.
2-masala. 84-rasmda tasvirlangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini toping.
F(x)=-cosx funksiya ƒ(x)=sinx funksiya uchun boshlang’ich funksiyadir. (3),(4)
formulalardan quyidagini xosil qilamiz:
S=0∫π sinxdx F(π)-F(0)= (-cos π)—cos0)=1+1=2 (kv. Birlik).