LECTURE NOTES
Mathematics
Week 9
Integral Lipat
LEARNING OUTCOMES
Peserta diharapkan mampu menganalisa fungsi vektor untuk masalah yang lebih kompleks
OUTLINE MATERI :
1. Konsep Dasar Integral Lipat Dua
2. Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Polar
3. Aplikasi Integral Lipat Dua
4. Konsep Dasar Integral Lipat Tiga
5. Aplikasi Integral Lipat Tiga
Integral Lipat
A. Integral Lipat Dua
Perhatikan gambar di atas unuk mengingat kembali bahwa luas daerah diantara interval [a,b], di
bawah fungsi f(x) dan di atas sumbu x dapat dinyatakan sebagai berikut
b
m =  f ( x)dx
a
Lalu, apa intrepetasi geometris dari integral lipat dua?
Definisi: Integral Lipat Dua
Misalkan f adalah fungsi dua variable kontinu yang terdefinisi pada segi empat R.
Integral lipat dua dari f atas R adalah
Mathematics
Contoh A.1
Tentukan aproksimasi
 ( x − 4 y)dA , dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} menggunakan
R
jumlah Riemann dari f(x,y) = x – 4y diatas R dengan m = n =2.
Jawab:
Lebar partisinya adalah x =
1− 0 1
2−0
=
= 1 dan y =
sehingga bentuk partisinya dapat
2
2
2
dilihat pada gambar berikut, sehingga

R
2
2
f ( x, y )dA   f ( xij , y ij )A
i =1 j =1
1 11
1 31
3 11
3 31
= f ,  + f ,  + f ,  + f , 
2 4 2
2 4 2
2 4 2
2 4 2
 1  1   5  1   1  1   3  1 
=  -   +  -   +     - -   = −2
 2  2   2  2   2  2   2  2 
Perhatikan gambar selanjutnya. Dengan menganggap y tetap dan mengintegralkan
fungsi terhadap x sepanjang [a,b], maka akan dipeoleh suatu fungsi terhadap y pada interval
[c,d]. Jika fungsi ini kemudian di integralkan terhadap y sepanjang [c,d], akan diperoleh integral
berurutan berikut:
d b

c a
d b


f ( x, y )dxdy =    f ( x, y )dx dy
c a

Mathematics
Teorema Fubini Untuk Daerah Segi Empat
Misalkan f adalah fungsi kontinu pada segi empat R = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, maka
Contoh A.2
Tentukan integral berikut:
2 1
a.
1 2
2
  3x ydxdy
b.
  3x
1 0
2
ydydx
0 1
Jawab:
1 2

a. Berdasarkan definisi integral diperoleh  3x ydxdy =    3x ydx dy
1 0
1 0

2 1
2
2
Sekarang, integralkan terlebih dahulu yang ada di dalam kurung, yaitu ntegralkan terhadap x,
1


yang artinya y diangap sebagai suatu konstanta, yaitu  3x 2 ydx = 3x 2 y 0 = y
1
0
2
3
1 
Lalu,  3x ydxdy =  ydy =  y 2  =
 2 1 2
1 0
1
2 1
2
2
b. Untuk soal ini, pertama-tama kita integralkan terhadap y, setelah itu barulah diintegralkan
terhadap x,
2
1
1
1
2 2

9 2
3
3 2 2 
3 3
0 1 3x ydydx = 0 1 3x ydy  dx = 0  2 x y 1 dx = 0 2 x dx =  2 x  0 = 2
1 2
1
2
Mathematics
Contoh A.3
Tentukan volume benda yang berada dibawah
permukaan z = 8 – 2x2 – y2 dan diatas daerah
R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}
Jawab:
Dengan menggunakan Teorema Fubini, maka
1
2


V =  (8 − 2 x − y )dA =   (8 − 2 x − y )dxdy =  8 x − x 3 − xy 2  dy
3
0
R
0 0
0
2 1
2
2
2
2
2
2
1 
 22

 22
=   − y 2 dy =  y − y 3  = 12
3
3 0

3
0
2
Teorema Fubini Untuk Daerah Sembarang
Misalkan f adalah fungsi kontinu pada daerah R.
(1). Jika R adalah daerah sederhana terhadap y (gambar 1), maka
(2). Jika R adalah daerah sederhana terhadap x (gambar 2), maka
(1)
(2)
Mathematics
Contoh A.4
Hitunglah
 (2 x − y)dA , dimana R adalah daerah yang dibatasi oleh parabola x = y2 dan garis
R
lurus x – y = 2.
Jawab:
Jika kita melihat daerahnya sejajar sumbu y (gambar a), maka
Sedangkan jika kita melihat daerahnya sejajar sumbu x (gambar b), maka
Contoh A.5
1 1
Perhatikan bahwa integral
sin x
dxdy tidak dapat diekspresikan ke dalam bentuk fungsi dasar,
x
y

0
dan integral yang diberikan tidak dapat diselesaikan dalam bentuk seperti itu. Jadi, mari kita coba
menyelesaikannya dengan cara mengubah urutan integrasinya sesuai dengan Teorema Fubini.
1 1
Pertama-tama, kita nyatakan
sin x
sin x
dxdy = 
dA
x
x
y
R

0
Mathematics
dimana R = {(x,y)|0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1} ditinjau seperti pada gambar (a) dibawah ini.
Jika daerah R ditinjau seperti pada gambar (b) di atas, maka kita peroleh bahwa
x
sin x
sin x
sin x
 y sin x 
dxdy = 
dA = 
dydx =  
dx

x
x
x
x  0
0 y
R
0 0
0
1 1
1 x
1
1
=  sin xdx = − cos x0 = − cos1 + 1  0.46
1
0
B. Koordinat Polar
Definisi: Koordinat Polar Untuk Integral Lipet Dua
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu di daerah
dimana 0 ≤ β – α ≤ 2π, maka
Contoh B.1
Tentukan volume benda yang berada dibawah parabola z = 4 – x2 – y2, diatas bidang-xy, dan
didalam silinder (x - 1)2 + y2 = 1.
Jawab:
Benda yang dimaksud di soal dapat digambarkan seperti gambar (a) dibawah ini. Benda terletak
diatas cakram R yang berbentuk lingkaran dengan pusiat dititik (1,0) dengan jari-jari 1 (Lihat
gambar (b)). Lingkaran R ini memiliki bentuk polar r = 2 cos θ, sehingga R dapat dinyatakan
Mathematics
Berdasarkan definisi, maka x = r cos θ dan y = r sin θ, sehingga volume benda tersebut adalah
C. Aplikasi Integral Lipat Dua
Definisi: Massa Lamina Dua Dimensi
Misalkan lamina memiliki bidang daerah R dan rapat massa lamina di titik (x,y) pada R
adalah ρ(x,y) dimana ρ adalah fungsi kontinu. Massa lamina diberikan oleh
Definisi: Momen dan Pusat Massa Lamina Dua Dimensi
Misalkan lamina memiliki daerah R pada bidang xy dan rapat massa lamina di titik (x,y)
pada R adalah ρ(x,y) dimana ρ adalah fungsi kontinu. Momen dari massa lamina
terhadap sumbu x dan y berturut turut adalah
Lebih jauh lagi, pusat massa dari lamina adalah titik (x, ȳ) yaitu
Mathematics
D. Integral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga atas Box Segi Empat
Misalkan f adalah fungsi tiga variable yang kontinu dan terdefinisi di daerah balok B, dan
misalkan P = {Bijk} adalah partisi dari B
1. Jumlah Riemann dari f atas B yang berkaitan dengan partisi P adalah jumlah
dalam bentuk berikut
Dimana (xijk*, yijk*, zijk*) adalah titik di Bijk
2. Integral lipat tiga dari f atas B adalah
Teorema
Misalkan f adalah fungsi tiga variabel yang kontinu dan terdefinisi di daerah
Maka
Mathematics
Contoh D.1
Sekarang kita perluas definisi integral lipat tiga untuk daerah pengintegrasian sembarang.
Perhatikan gambar di bawah ini.
Misalkan T adalah daerah yang didefinisikan sebagai berikut
dimana R adalah proyeksi T pada bidang xy, dan misalkan R didefinisikan sebagai berikut
Maka
Mathematics
Contoh D.2
Hitunglah

x 2 + z 2 dV dengan T adalah daerah yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = 1 dan
T
bidang y + z = 2 dan y = 0.
Jawab:
Daerah tersebut dapat dilihat pada gambar berikut
Karena daerah R berupa lingkaran, maka akan lebih mudah jika kita menggunakan koordinat
polar dalam perhitungannya sehingga diperoleh
Mathematics
sehingga
Mathematics
KESIMPULAN
Integral lipat dua adalah suatu integral yang integrannya berupa fungsi dua variabel. Integral
lipat dua ini membutuhkan suatu daerah pengintegrasian yang terdefinisi dalam ruang dua
dimensi. Integral lipat dua dari suatu fungsi f dapat direpresentasikan sebagai volume dari suatu
benda dengan tutup berupa fungsi f dan alasnya berupa daerah pengintegralan. Untuk dapat
memahami materi ini, penting sekali jika kita dapat membayangkan bagaimana bentuk objek
yang sedang kita tinjau. Selain dalam koordinat biasa (xy), integral lipat dua juga dapat
dinyatakan ke dalam bentuk polar. Salah satu aplikasi dari integral lipat dua adalah untuk
menghitung pusat massa dan momen dari suatu benda yang pipih.
Integral lipat tiga adalah suatu integral yang integrannya berupa fungsi tiga variabel. Integral
lipat tiga ini membutuhkan suatu daerah pengintegrasian yang terdefinisi dalam ruang tiga
dimensi. Untuk dapat memahami materi ini, penting sekali jika kita dapat membayangkan
bagaimana bentuk objek yang sedang kita tinjau. Salah satu aplikasi dari integral lipat dua adalah
untuk menghitung pusat massa dan momen dari suatu benda yang pipih.
Mathematics
DAFTAR PUSTAKA
1. Soo.T.Tan. Mutivariable Calculus. 2010. Brooks/Cole. ISBN-13: 978-0-534-46575-9
Mathematics