第二章 线性时不变（LTI）
系统的时域分析
目录 Contents
1
单位样值响应与卷积和
2
连续时间LTI系统的卷积积分
3
由脉冲响应分析LTI系统
4
单位阶跃响应
5
因果LTI系统的常系数线性微分、
差分方程表示及求解
2.0 引言
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的
特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定基
础。
基本思想：若能把任意输入信号分解成基本信号的线性
组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可
以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响
应
表示成系统对基本信号的响应的线性组合。
x(t ) =  ai xi (t )
i
yi (t )
y(t ) =  ai yi (t )
i
问题的实质：
1. 以什么样的信号作为构成任意信号的基本单元?
如何用基本单元的线性组合来构成任意信号?
2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应?
作为基本单元信号应满足以下要求：
1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示
（构成）尽可能广泛的其它信号；
2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。
将信号分解可在时域进行→时域分析法；若在频域
或变换域上分解，对应频域分析法和变换域分析法。
Page . 6
2.1 单位样值响应与卷积和
▪ 2.1.1 定义
任意离散时间序列𝑥 𝑛 都可以分解成基本信号——单位样值序列𝛿 𝑛 的延
时加权和
𝑥(1)
𝑥(2)
𝑥(−1)
𝑥 𝑛 :
𝑥(3)
𝑥(0)
𝑥(−3)
𝑥(−2)
−3
−2
−1
0
1
2
3
𝑛
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𝑥(−2)
𝑥 −2 𝛿 𝑛 + 2
𝑥[𝑛]
= ⋯ + 𝑥 −2 𝛿 𝑛 + 2 + 𝑥 −1 𝛿 𝑛 + 1
+𝑥 0 𝛿 𝑛 +𝑥 1 𝛿 𝑛−1 +⋯
-2 𝑥(−1)
𝑛
𝑥 −1 𝛿 𝑛 + 1
+∞
= ෍ 𝑥 𝑘 𝛿 𝑛−𝑘
𝑘=−∞
𝑛
−1
𝑥(0)
+∞
𝑥 0 𝛿 𝑛
𝑥(𝑛) = ෍ 𝑥 𝑘 𝛿 𝑛 − 𝑘
𝑘=−∞
0
𝑥(1)
𝑛
𝑥(𝑛)是离散冲激信号𝛿 𝑛 的延时加权叠加。
𝑥 1 𝛿 𝑛−1
1
𝑛
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当系统为线性系统时
（满足可加性 additivity和齐次性homogenity），
若知道上述单位脉冲信号作用于系统产生的响应，
即： [n + 1] → h−1[n]
 [n] → h0 [n]
 [n − 1] → h1[n]
+
则 x[n] 产生的输出为： x ( k )h k ( n − k )
k =−
响应 hk [n] 相互之间是不必要非有什么关系不可。
若线性系统还是时不变的，则这些对时间移位的单
位脉冲的响应也将全都互相作相应移位，即
Page . 9
 [n − k ]是  [n] 的时间移位，
hk [n] 也是 h0 [ n] 的一个时移 hk [n] = h0 [n − k ]
对LTI系统，单位样值序列  [n] 产生的响应为 h[n]
则系统在 x[n] 的作用下产生的输出为：
y[n] =
+
 x ( k ) h( n − k )
k =−
该结果称为卷积和
y[n] = x[n]  h[n]
h[n] 称为单位样值响应
严格地说：h[n]是n=0时刻的单位样值响应除以
该单位激励的结果。
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卷积和定义的说明：
2.1.2 计算方法：图解法、解析法
(1) 图解法: 由定义可知，离散卷积的计算过程为：序列倒置→
移位→相乘→取和。
具体为：将一个信号x[k]不动，另将一个信号反转成h[-k]，
再随参变量n移位，在每个n的情况下，将x[k]与h[n-k]对应点相乘，
再把乘积的各点值累加，得到n时刻的y[n]。
例1： x 1 n  = G 3 (n ) − G 3 (n − 3)
x 2 n  = G 6 (n )
（1）n<0时，无重叠部分，
(2) 0≤n≤2时， S [n] =
n
n
 x ( k )  x ( n − k ) =  1 1 = n + 1
k =0
x2 [− k ]
S[n] = x1 (n)* x2 (n) = 0
x1[k ]
1
2
k =0
通过图形帮助
确定反转移位信号
的区间表示，对于
确定卷积和计算的
区段及各区段求和
的上下限是很有用
将x2[n]反转成x2[-k]
在此基础上再移位n个单位
的。
(3) 3≤n≤5时，
n
2
n
k =0
k =0
k =3
S [n] =  x1 (k )  x2 (n − k ) = 1 1 + 1  ( −1) = 5 − n
(4) 0≤(n-5)≤2，即5≤n≤7时，
n
S[n] =  x1 (k )  x2 (n − k ) =
k =0
2
5
k = n −5
k =3
 11 + 1 (−1)
= (2 − n + 5 + 1) − (5 − 3 + 1) = 5 − n
(5) 3≤n-5≤5即8≤n≤10时，
S n  =
x k   x n − k  =  (−1)  1 = n − 11

k n
k n
5
5
1
2
= −5
= −5
(6) n-5≥6时，无重叠部分。
0,n  0;

n + 1,0  n  2;

S n  = 5 − n ,3  n  7;
n − 11,8  n  10;

0,n  11;
练习题：
1
x ( n) = 
0
 n
h( n) = 
0
0n4
otherwise
0<  1, 0  n  6
otherwise
h( n − k ) =  n − k
x(k )
1
k
0
① n  0 时，
k
n−6
4
n
0
y ( n) = 0
n
② 0  n  4 时， y ( n) =  
k =0
n−k
=
n
n
−k


k =0
1−
1−
= 
=
−1
1−
1−
− ( n +1)
n
n +1
4
n−k
y
(
n
)
=

③ 4  n  6 时，

k =0
−5
1
−

=n 
1 −  −1
 n −4 −  n +1
=
1−
④ 6  n  10 时， y (n) =
4

k = n −6
⑤ n  10
时， y (n) = 0
 n−k
 n−4 −  7
=
1−
(2) 解析法:
：
∞
例2：
2𝑛 𝑢(𝑛) ∗ 3𝑛 𝑢(𝑛) = ෍ 2𝑘 𝑢(𝑘)3𝑛−𝑘 𝑢(𝑛 − 𝑘 )
𝑘=−∞
反转、平移、叠加、求和全在这一步。
0，𝑛 < 0
=
𝑛
෍ 2𝑘 3𝑛−𝑘
𝑘=0
2 0
2
−
2 𝑘
3
𝑛
= 3 ෍( ) = 3𝑛 ∙ 3
2
3
1
−
𝑘=0
3
𝑛
𝑛
= 3𝑛+1 − 2𝑛+1 ，𝑛 ≥ 0
综合起来，可以写成
2𝑛 𝑢(𝑛) ∗ 3𝑛 𝑢(𝑛) = (3𝑛+1 − 2𝑛+1 )𝑢(𝑛)
(3) 单位样值序列性质法: 若两个序列进行卷积运算，其
中一个有限长，那么利用该方法求卷积往往最简便。该方法
是利用单位样值序列卷积的性质。
单位样值序列卷积性质：
x(n)   (n − n0 ) = x(n − n0 )
例3 (重解例1)
解法1：将x1(n), x2(n)中的任一序列用单位样值序列表示，例如 x1(n)。
x1 (n) =  (n) +  (n −1) +  (n − 2) −  (n − 3) −  (n − 4) −  (n − 5)
而x2(n)=G6(n), 故
x1 (n)  x2 (n) = G6 (n) + G6 (n − 1) + G6 (n − 2) − G6 (n − 3) − G6 (n − 4) − G6 (n − 5)
n
0
1
2
3
4
5
G6 [n]
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
0
-1
-2
-3 -2 -1
G6 [n − 1]
G6 [n − 2]
−G6 [n − 3]
−G6 [n − 4]
−G6 [n − 5]
1
2
3
2
1
6
7
9
8
10
-1
11
解法2：把x1(n), x2(n)都用单位样值序列表示，有
x1 (n) = G3 (n) − G3 (n − 3) =  (n) +  (n − 1) +  (n − 2) −  (n − 3) −  (n − 4) −  (n − 5)
x2 (n) = G6 (n) =  (n) +  (n − 1) +  (n − 2) +  (n − 3) +  (n − 4) +  (n − 5)
故
x1 (n)  x2 (n) =  (n) + 2 (n − 1) + 3 (n − 2) + 2 (n − 3) +  (n − 4) −  (n − 6)
− 2 (n − 7) − 3 (n − 8) − 2 (n − 9) −  (n − 10)
说明：若x1(n)长度n1, x2(n)长度n2，则y(n)= x1(n)*x2(n)的长度
为n1+n2-1
(4) Z变换法 (第七章)
一般用于两个无限长序列求卷积。
2.1.3 离散卷积的性质：
(1) 交换率律、分配律、结合律全部适用
(2) 差分性质、累加性质、移位性质
x ( n)
y (n)
LTI系统
x(n)
n
 x(k )
k =0
x(n − n0 )
(3) x(n)   (n) = x(n)
x(n)   (n − n0 ) = x(n − n0 )
y (n)
n
 y (k )
k =0
y (n − n0 )
例4：判断正误，请说明理由
(1)若 n  N1 时
x[n] = 0
，n  N2
h[n] = 0，则当 n  N1 + N 2 时，x[n]  h[n] = 0
x[n] = x[n]u[n − N1 ]
h[n] = h[n]u[n − N 2 ]
s[n] = x[n]  h[n] = x[n]un − N1 ]  h[n]u[n − N 2 ]
=
+
 x(k )u(k − N )  h[n − k ]u[n − k − N
k = −
=
1
2
n− N2
 x(k )h[n − k ]
k = N1
即当求和上限小于求和下限时，求和结果为0。
]
(2)若 y[n] = x[n]  h[n]，则 y[n −1] = x[n −1]  h[n −1]
x[n − 1] = x[n]   [n − 1]
h[n − 1] = h[n]   [n − 1]
x[n − 1]  h[n − 1] = x[n]   [n − 1] h[n]   [n − 1]
x  h   [n − 2] = y[n − 2]
（3)若y[n] = x[n]  h[n]，则 y[−n] = x[−n]  h[−n]
y[n] =

 x ( k ) h( n − k )
k =−
y[−n] =

 x ( k ) h( − n − k )
k =−
同理有：x[−n]  h[−n] =

 x ( − k ) h( k − n)
k =−
令−k = m
x[−n]  h[−n] =
+
 x ( m) h( − n − m)
m =−
2.1.4 解卷积(反卷积)
在y (n) = x(n)  h(n)式中
若已知y (n)、h(n), 如何求x(n（信号恢复）；
)
若已知y (n)、x(n), 如何求h(n（系统辨识）；
)
这两类问题都称作解卷积。
n
y ( n ) =  x ( m) h ( n − m)
m=0
0
0
 y (0)   h(0)
 y (1)   h(1)
h(0)
0

 
 y (2)  =  h(2)
h(1)
h(0)

 

 
 y (n)   h(n) h(n − 1) h(n − 2)
  x(0) 
  x(1) 


  x(2) 




h(0)   x(n) 
0
0
0
反求x(n)
x(0) = y (0) h(0)
x(1) =  y (1) − x(0)h(1)  h(0)
x(2) =  y (2) − x(0)h(2) − x(1)h(1)  h(0)
n −1


x(n) =  y (n) −  x(m)h(n − m)  h(0)
m=0


同理
n −1


h(n) =  y (n) −  h(m) x(n − m)  x(0)
m=0


2.2 连续时间LTI系统的卷积积分
2.2.1 定义 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信
号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合：

x(t ) =  x( ) (t −  )d = x(t )   (t )
−
若  (t ) → h(t ) ，则
 (t −  ) → h(t −  )
对于LTI系统，对任意输入 x(t ) 产生的响应可表示为：

y (t ) =  x( )h(t −  )d = x(t )  h(t )
−
LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应 h(t ) 来表征
思考题：已知两个序列的相关运算定义为：R12 (t ) = 
+
−
试用卷积的定义给出上述相关运算的表达式
x1 ( )  x2* ( -t)d ,
2.2.2 卷积积分的性质及物理意义
(1) 交换律：
x1 (t )  x2 (t ) = x2 (t )  x1 (t )
x(t )
h(t )
y (t )
h(t )
x(t )
y (t )
(2) 分配率
x[n] {h1[n] + h2 [n]} = x[n]  h1[n] + x[n]  h2 [n]
x[t ] {h [t ] + h [t ]} = x[t ]  h1[t ] + x[t ]  h2 [t ]
分配律的物理含义：
1
2
LTI 系统的并联可以用一个单一的 LTI 系统来代替，该单一的 LTI 系统的单位冲激
用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于并联系统的
各子系统冲激响应之和。
响应就是并联联结中各个单位冲激响应的和。
(3) 结合律
{x[n]  h1[n]}  h2 [n] =
合律的物理含义：
x[n] {h1[n]  h2 [n]}
LTI 系统的级联也可以用一个单一的
{x[t ]  h [t ]}  h [t ] = xLTI
[t ]系统来代替，该单一的
{h [t ]  h [t ]} LTI 系统的单位
1
2
1
2
是级联联结中各个单位冲激响应的卷积。
两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响应等于各子系统
单位冲激脉冲响应的卷积。
(4) 微分/积分与时移特性
若 x(t )  h(t ) = y (t )
x (t )  h(t ) = x(t )  h (t ) = y (t )
'
'
'
 t x( )d  * h(t ) = x(t )   t h( )d  = t y ( ) d
 −

 −
 −
x(t − t0 )  h(t ) = x(t )  h(t − t0 ) = y (t − t0 )
(5) 与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t )   (t ) = 

−
f ( ) (t −  )d = f (t )
推广：f (t )   (t − t ) = f (t − t )
0
0
f (t )   ' (t ) = f ' (t )
t
f (t )  u (t ) =  f ( )d
−
Page . 37
2.2.3 卷积积分的计算
▪ 𝑥1 𝑡 ∗ 𝑥2 𝑡 的计算步骤：
▪ 自变量变换：自变量由𝑡变成𝜏。𝑥1 𝜏 、𝑥2 𝜏
▪ 反转：
𝑥2 𝜏 → 𝑥2 −𝜏
▪ 平移：
𝑥2 −𝜏 → 𝑥2 𝑡 − 𝜏 自变量为𝜏，𝑡是平移的量
▪ 叠加：
𝑥1 𝜏 𝑥2 𝑡 − 𝜏
▪ 求和：
‫׬‬−∞ 𝑥1 𝜏 𝑥2 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
+∞
Page . 38
▪ 对于每一个平移的量𝑡，进行③、④、⑤的操作，都会得到一个结果，
这样一来就会得到一个新的函数映射关系：
+∞
න
𝑥1 𝜏 𝑥2 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑦(𝑡)
−∞
▪ 𝑦(𝑡)的自变量是平移的量𝑡
+∞
𝑥1 𝑡 ∗ 𝑥2 𝑡 = න
−∞
例1：请见flash
𝑥1 𝜏 𝑥2 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑦(𝑡)
Page . 39
常用卷积积分
常用结论：
Page . 40
例2：
例：𝑥(𝑡) =
求𝑥(0)，𝑥(90)
解：𝑥(𝑡) =
� (�)
� (�)
1
2
∗
−2
0
2
�
−1
0
1
�
Page . 41
注意：𝑥(𝑡)的自变量𝑡是平移的量，与𝑥1 (𝑡)、𝑥2 (𝑡)的自变量含义不同。
+∞
𝑥 (0) = න
1
𝑥1 (𝜏)𝑥2 (0 − 𝜏)𝑑𝜏 = න 𝑥1 (𝜏)𝑥2 (0 − 𝜏)𝑑𝜏 = 3
−∞
−1
2
� (� )
−2
0
−1
� (0 − � )
2
1
�
+∞
𝑥(90) = න
𝑥1 (𝜏)𝑥2 (90 − 𝜏)𝑑𝜏 = 0
−∞
� (� ) � (� )
2
2
� ( 90 −� �()90 − � )
−2
0
0
2
2
≈
−2
≈
1
89
1
089
091
�91
�
Page . 42
例：
例3：
𝑡
另解：𝑥1 (𝑡) ∗ 𝑥2 (𝑡) = 𝑥1 ′ (𝑡) ∗ ‫׬‬−∞ 𝑥2 (𝜏)𝑑𝜏
例4：已知 f1 (t ) = u (t + 1) − u (t − 1); f 2 (t ) =  (t + 5) +  (t − 5)
1
1
f3 (t ) =  (t + ) +  (t − )
2
2
试求：(1)  f1 (t )  f 2 (t )  u (t + 5) − u (t − 5)   f 2 (t )
(2) f1 (t )  f 3 (t )
𝑡)
例：已知 𝑥(𝑡) = sin 𝑡 𝑢(𝑡)
Page . 44
例：已知 𝑥(𝑡) = sin 𝑡 𝑢(𝑡)
例5：
求ℎ(𝑡)
解：
(𝑡𝑡)𝑢(𝑡)
𝑥 ′ (𝑡) = cos 𝑡 𝑢(𝑡) + sin 𝑡 𝛿 (𝑡) 求ℎ
= cos
′( )
𝑥 𝑡 = cos 𝑡 𝑢(𝑡) + sin 𝑡 𝛿 (𝑡) = cos 𝑡 𝑢 (𝑡)
求ℎ(𝑡)
解：
解：
𝑥 ′ (𝑡) = cos 𝑡 𝑢(𝑡) + si
𝑥 ′ (𝑡) = cos 𝑡 𝑢(𝑡) + sin 𝑡 𝛿 (𝑡) = cos 𝑡 𝑢 (𝑡)
𝑥 ′′ (𝑡) = − sin 𝑡 𝑢(𝑡) + cos 𝑡 𝛿 (𝑡) = −sin 𝑡 𝑢(𝑡) + 𝛿 (𝑡)
𝑥 ′′ (𝑡) = − sin 𝑡 𝑢(𝑡) + cos 𝑡 𝛿 (𝑡) = −sin 𝑡 𝑢(𝑡) + 𝛿 (𝑡)
Page . 45
又
所以
𝑦 ′′ (𝑡) = ℎ(𝑡) − 𝑦(𝑡)
ℎ(𝑡) = 𝑦 ′′ (𝑡) + 𝑦(𝑡)
结论：对输入𝑥(𝑡)进行线性运算，则输出𝑦(𝑡)也必然对应着进行相同的线性运算。
𝑡
倍乘𝑎𝑥 (𝑡)、平移𝑥(𝑡 − 𝑡0 )、积分‫׬‬−∞ 𝑥 (𝜏)𝑑𝜏、微分𝑥 ′ (𝑡)都是线性运算。
2.3 由脉冲响应分析LTI系统
LTI系统可由单位冲激/样值响应来表征，因而
LTI系统的特性（包括：因果性和稳定性等）均
应在h(t)或h(n)中有所体现。
引入两个概念：如果h[n]是有限长度的，则称为有限脉冲
响应FIR。若h[n]长度无限，则称为无限脉冲响应IIR。
2.3.1 因果性
一个因果系统的输出只决定于现在和过去的输入值。现
在利用LTI系统的卷积，可以把这一性质与LTI系统冲激响应
的相应性质联系起来。
注意区分：因果系统和因果信号
①从定义 y (n) =

 x ( k ) h( n − k )
k =−
来看的话，y[n]在 n时
刻 观察时，应该只与x[n]及n以前的那些x有关，而与k＞n
的那些x(k)无关，因此需要在k＞n以后系数h(n-k)都为0。
②从定义 y (n) =

 h(k ) x(n − k ) 来看，要求 k 不能小于0，
k =−
对于k＜0 的那些x(n-k)的系数h(k)都应该为0。这就要求：
因果离散LTI系统的冲激响应满足：
对 n＜0, h(n) = 0
h(t)是因果信号
这与因果性直观概念相一致，即冲激响应在冲激输入出现之
前为0。
2.3.2 稳定性
若系统对于每一个有界输入，其输出都是有界的，即称系统
稳定。
对一个LTI系统，设输入x[n]是有界的，其界为B。
| x[n] | B, 对所有n
| y[n] |=|  h[k ]x[n − k ] |  | h[k ]|  | x[n − k ] | B  | h[k ] |
k
k
k
因此，如果单位脉冲响应是绝对可和的，即
+
 | h[k ] | 
k = −
那么y[n]就是有界的，系统稳定。
在连续时间情况下，若单位冲激响应是绝对可积的，
+
 |h( ) | d    连续LTI 系统稳定的充要条件
-
例：某连续时间LTI系统的输入和输出信号关系为：
1
y(t) =  x(t −  )d .试判断该系统的因果性、稳定性
0
2.4 LTI系统单位阶跃响应
常用于描述LTI系统，s[n]或s(t)是在输入为u[n]或u(t)时
的零状态响应。
s[n] = u[n]  h[n]
s (t ) = u (t )  h(t )
t
d
s (t ) =  h( )d (注意积分限）h ( t ) = s (t )
dt
−
s ( n) =
n
 h( k )
k =−
h ( n ) = s (n) − s (n − 1)
2.5 用LCCDE描述的因果LTI系统
一类连续或离散LTI系统，可用线性常系数微分方程或差
分方程来描述系统输入和输出之间的关系（中间状态不考
虑）
微分、差分方程的建立是通过给定的具体系统物理模
型按照特定的约束特性及系统结构的特征来建立的。
建立方程之后，直接求解方程，然后分析在某些输入
情况下输出是什么。这一系列过程在，不涉及任何变换，分
析和计算均在时间变量领域进行，因此较直观，但计算较复
杂，不易进行。
2.5.1 微分方程的求解
一个线性系统，其激励信号 x(t ) 与响应信号y (t )之间的关系，
可以用下列形式的微分方程式来描述
d n y (t )
d n −1 y (t )
d y (t )
C0
+ C1
+ + Cn −1
+ Cn y (t )
n
n −1
dt
dt
dt
d m x(t )
d m−1 x(t )
d x(t )
= E0
+
E
+
+
E
+ Em x(t )
1
m −1
m
m −1
dt
dt
dt
若系统为时不变的，则C, E 均为常数，此方程为常系数的n阶
线性常微分方程。
激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为 t  0+ 时方程的解，
初始条件
+
2
+
n −1
+
y (0+ ) ,
d y(0 ) d y(0 )
,
,
2
dt
dt
经典法：齐次解+特解
,
d
y(0 )
d t n−1
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
n
kt
A
e
 k
k =1
特
解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系
数的特解函数式→代入原方程，比较系数
定出特解。
全
解：由初始条件定出齐次解的待定系数。
Ak
激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为t  0+ 时的输出
称为初始条件
+
2
+
n −1
+
d
r
(0
)
d
r
(0
)
d
r
(0
)
+
r (0 ) ,
,
,
,
2
dt
dt
d t n −1
初始条件通常未知，需要根据起始条件来确定。
2.5.2 差分方程的求解--时域经典法
N
差分方程
a
k =0
k
M
y (n − k ) =  bk x(n − k )
k =0
(1) 特征根
N
N −k
a
k
= 0, 有N个特征根k

k =0
后向差分方程：按 y(n), y(n - 1), y(n - 2)，
的顺序排列
例：y(n) - 2y(n - 1) + 2y(n - 2) - 2y(n - 3) + y(n - 4) = 0
4 - 23 + 22 - 2 + 1 = 0
(2) 齐次解
①各非重根时
N
yh (n) =  Ckkn
k =1
②为L次重根时
L
yh (n) =  Ck n L − k  n＋其余不重根对应的齐次解
k =1
C1 ( + j  ) n＋C2 (－j  )n
③共轭根时
或
1＝A e j
2＝Aｅ－j
An ( C1 cos  n+C2 sin  n )
系统中特征方程的根λi称为系统“固有频率”或“自由频
率”，它决定了系统自由响应的全部形式；完全解中的特解称
为系统的强迫响应，可见强迫响应只与激励函数的形式有关。
(3) 特解（强迫响应）
将x(n)代入右端化简得自由项，由自由项的形式和特征根情
况共同决定特解的形式。
自由项形式
δ[n]
①
②
常数
③
n的p次多项式
④
αn
⑤
α ∙(n的p次多项式)
⑥
α A1sinβn或
αnA2cosβn
n
n
特征根情况
特解形式D(n)
0
1不是特征根
1是k重根
A
Ank
1不是特征根
1是k重根
α不是特征根
n的p次多项式
nk（n的p次多项式）
Cαn
α是k重根
Cnkαn
α不是特征根
αn（n的p次多项式）
α是k重根
nkαn（n的p次多项式）
αe±jβ不是特征根
αn[C1cosβn+C2sinβn]
αe±jβ是k重根
αnnk[C1cosβn+C2sinβn]
(4) 完全解
y (n) = yh ( n) + D ( n) = C11n + C2 2n + + C N Nn + D ( n)
利用初始条件：y(0), y (1),..., y ( N − 1),
确定待定系数C1 ~C N


y (0) = C1 + C2 + ... + C N + D (0)


 y (1) = C11 + C2 2 + ... + C N N + D (1)






特别需要注意的是:当方程右端含有x(n), x(n-k)系统x(n)在n=0处
加入。建议使用y(k)和y(k+1)作为初始条件。
也可以根据激励的加入情况，把时间分为几段。
(1)n<0时，此时激励为零；
(2) 0 ≤ n ≤ k时，此时可用y(0),…,y(k-1)；
(3)n ≥ k时
初始条件通常未知，需要利用起始条件 y(−1), y(−2),..., y(− N )
和差分方程迭代确定。
例1 y (n) − y (n − 1) − 2 y (n − 2) = x( n) + 2 x( n − 2)
1
若x(n) = u (n)且y (−1) = 2, y ( −2) = − , 求解此差分方程.
2
 2 - -2 = 0 1 = -1，2 = 2
n
n
yh (n) = C（
-1
）
+
C
2
1
2
由于x(n) = u (n), D(n) = D0 代入左边
3
D0 -D0 -2 D0 = u (n) + 2u (n-2) 当n  2时，D0 = 2
3
D(n) = - u (n-2)
2
n
n 3
全解：y (n) = C（
1 -1） + C2 2 - u ( n-2)
2
其中C1和C2由边界条件决定，对于 u (n) + 2u (n-2) 在不同
的区间，激励信号是不同的，题目所给的 y(-1)=2, y(-2)=-1/2 只
是起始条件，初始条件应为y(2)和y(3)，而不是y(0),y(1)，也不是
y(0),y(2)。
借助原方程和起始条件 ，利用迭代法，可以求得
y (0) − y (−1) − 2 y (−2) = x(0) + 2 x(−2) = 1
y(1) − y (0) − 2 y (−1) = x(1) + 2 x(−1) = 1
y (2) − y(1) − 2 y(0) = x(2) + 2 x(0) = 3
y (3) − y(2) − 2 y (1) = x(3) + 2 x(1) = 3
y (2) = 14, y (3) = 31
根据y(2)=14,y(3)=31及y(n)全解.
3
y (2) = C（
1 -1） + C2 2 - u (0) = 14
2
3
3 3
y(3) = C（
1 -1）+ C2 2 - u (1) = 31
2
2
2
1
C1 =- ,C2 = 4
2
1
3
n
n
于是 y (n) = [- (−1) + 4  2 - ]u (n - 2)
2
2
且y(0)=2,y(1)=7
1
3
n
4  2 − (−1) − , n  2
2
2
n
2）
我们要求的是因果 LTI 系统在时间𝑡 > 0时的输出𝑦(𝑡)，它由两部分决定：
一是𝑡 > 0时的输入𝑥(𝑡)激励系统产生的，记为𝑓1 (𝑥(𝑡), 𝑡 > 0)；
二是有系统的初始状态𝑦(0−)激励系统产生的，记为𝑓2 (𝑦(0− ))。
对于离散时间因果 LTI 系统，求解𝑦(𝑛)，𝑛 ≥ 0的分析方法与上述分析很相似。
▪ 本章的重点是：
卷积求法、性质，差分方程求解以及单位冲激
（样值）响应的基本概念。
难点是：卷积求法