Основы теории линейных электрических цепей Учебное пособие (Улахович Д.А.)

Д. А. Улахович Рекомендовано УМО по образованию в области телекоммуникаций в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов 210400 — «Телекоммуникации» Санкт-Петербург «БХВ-Петербург» 2009 УДК ББК 681.3.06(075.8) 32.973я73 У47 У47 Улахович Д. А. Основы теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие. — СПб.: БХВ-Петербург, 2009. — 816 с.: ил. — (Учебная литература для вузов) ISBN 978-5-9775-0083-8 Книга основана как на классическом, так и на современном анализе и оптимальном синтезе линейных электрических цепей. Уделено внимание изучению основ теории и практики активных цепей, цепей с обратной связью, а также условиям физической реализуемости и проблемам устойчивости цепей. Рассмотрена теория и практика применения диплексоров. Изложены основные положения современного синтеза волновых аналоговых фильтров на фазовых контурах. Для студентов всех форм обучения, аспирантов, преподавателей вузов и инженеров УДК 681.3.06(075.8) ББК 32.973я73 Рецензенты: Ю. А. Брюханов, д. т. н., проф., заслуженный деятель науки, проректор по науке Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова Е. Б. Соловьева, д. т. н., проф., заведующая кафедрой теоретических основ электротехники СПбГЭТУ "ЛЭТИ" Группа подготовки издания: Главный редактор Зам. главного редактора Зав. редакцией Редактор Компьютерная верстка Корректор Дизайн серии Оформление обложки Фото Зав. производством Екатерина Кондукова Евгений Тертишников Григорий Добин Юрий Рожко Натальи Караваевой Виктория Пиотровская Инны Тачиной Елены Беляевой Кирилла Сергеева Николай Тверских Лицензия ИД № 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 12.01.09. Формат 70 1001/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 65,79. Тираж 2000 экз. Заказ № "БХВ-Петербург", 190005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29. Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию № 77.99.60.953.Д.003650.04.08 от 14.04.2008 г. выдано Федеральной службой по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП "Типография "Наука" 199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12 ISBN 978-5-9775-0083-8 © Улахович Д. А., 2009 © Оформление, издательство "БХВ-Петербург", 2009 Оглавление Предисловие ........................................................................................................... 1 Основные обозначения ........................................................................................ 3 Принятые сокращения ........................................................................................ 7 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ........................................................... 9 Глава 1. Основные понятия и законы теории электрических цепей ....... 11 Лекция 1. Основные определения и понятия теории электрических цепей ................................................................................................... 13 1.1. Предмет дисциплины .................................................................................... 13 1.2. Напряжения и токи в электрических цепях................................................. 14 1.3. Классификация электрических цепей .......................................................... 17 1.4. Определение линейной стационарной цепи (системы).............................. 21 1.5. Модель и схема электрической цепи ........................................................... 22 Лекция 2. Элементы топологии электрических цепей. Законы Кирхгофа ............................................................................. 24 2.1. Основные топологические понятия теории электрических цепей ............ 24 2.1.1. Граф электрической цепи ....................................................................... 24 2.1.2. Аналитическое описание графа ............................................................. 28 2.2. Законы Кирхгофа ........................................................................................... 30 2.3. Краткая характеристика задач анализа и синтеза электрических цепей..... 34 Лекция 3. Элементы электрических цепей ................................................... 36 3.1. Элементы электрических цепей и их свойства ........................................... 36 3.1.1. Пассивные элементы ............................................................................... 36 3.1.2. Источники (активные элементы) ........................................................... 42 IV Оглавление 3.3. Схемы замещения реальных элементов ЭЦ ................................................ 46 3.3. Параллельные и последовательные соединения однотипных элементов. Принцип эквивалентности ......................................................... 49 3.3.1. Параллельные соединения ..................................................................... 49 3.3.3. Последовательные соединения .............................................................. 52 Глава 2. Общие методы анализа электрических цепей .............................. 55 Лекция 4. Расчѐт резистивных электрических цепей в статическом режиме ...................................................................... 57 4.1. Расчѐт последовательных электрических цепей (делители напряжений) ................................................................................. 58 4.2. Расчѐт параллельных электрических цепей (делители токов) .................. 59 4.3. Расчѐт параллельно-последовательных электрических цепей .................. 60 4.3.1. Расчѐт параллельно-последовательных электрических цепей с одним источником ................................................................................ 61 4.3.2. Расчѐт параллельно-последовательных электрических цепей с несколькими источниками................................................................... 63 4.4. Расчѐт электрических цепей методами уравнений Кирхгофа ................... 65 4.4.1. Метод токов ветвей ................................................................................. 65 4.4.2. Метод напряжений ветвей ...................................................................... 67 Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей ....................... 69 5.1. Метод узловых напряжений ......................................................................... 69 5.1.1. Составление узловых уравнений ........................................................... 71 5.1.2. Особенности составления узловых уравнений..................................... 73 5.2. Метод контурных токов ................................................................................ 75 5.2.1. Составление контурных уравнений....................................................... 76 5.2.2. Особенности составления контурных уравнений ................................ 80 5.3. Решение системы контурных (узловых) уравнений ................................... 81 5.3.1. Основные понятия теории определителей ............................................ 81 5.3.2. Применение теории определителей для решения контурных (узловых) уравнений ......................................................................................... 85 5.3.3. Примеры использования теории определителей.................................. 86 Лекция 6. Основные теоремы теории цепей ................................................. 88 6.1. Теоремы взаимности (обратимости) ............................................................ 88 6.2. Теоремы об эквивалентных генераторах ..................................................... 91 6.2.1. Теорема об эквивалентном генераторе с источником напряжения (теорема Тевенина) ............................................................ 92 Оглавление V 6.2.2. Теорема об эквивалентном генераторе с источником тока (теорема Нортона) ................................................................................... 94 6.2.3. Условия эквивалентности двух схем замещения генераторов ........... 95 6.2.4. Примеры ................................................................................................... 96 Глава 3. Режим гармонических колебаний в линейных электрических цепях ........................................................................ 101 Лекция 7. Гармонические напряжения и токи ........................................... 103 7.1. Определение гармонических напряжений и токов................................... 104 7.1.1. Основные определения ......................................................................... 104 7.1.2. Линейные операции над гармоническими колебаниями .................. 106 7.1.3. Энергетические характеристики гармонических колебаний ............ 109 7.2. Символическое изображение гармонических колебаний ........................ 112 7.3. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд.............................. 116 7.4. Комплексные сопротивления и проводимости ......................................... 118 7.5. Комплексные числа и операции над ними ................................................ 120 7.5.1. Арифметические действия над комплексными числами .................. 120 7.5.2. Геометрический смысл комплексных чисел ...................................... 122 7.5.3. Формулы Эйлера и Муавра .................................................................. 123 Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей ............ 125 8.1. Комплексные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей.................................................................................... 125 8.1.1. Резистивный элемент ............................................................................ 125 8.1.2. Индуктивность ....................................................................................... 126 8.1.3. Ёмкость................................................................................................... 128 8.1.4. Комплексные сопротивления и проводимости двухполюсников..... 129 8.2. Анализ установившихся гармонических колебаний в простейших цепях ...................................................................................... 133 8.2.1. Определения режимов состояния электрической цепи ..................... 133 8.2.2. Анализ гармонических колебаний в последовательном RL-контуре ............................................................................................. 134 8.2.3. Анализ гармонических колебаний в RLС-контуре............................. 136 8.3. Анализ сложных линейных электрических цепей в режиме установившихся гармонических колебаний.............................................. 137 8.4. Особенности составления уравнений цепей с индуктивными связями ............................................................................. 139 8.4.1. Основные соотношения ........................................................................ 139 8.4.2. Метод развязки индуктивных связей .................................................. 141 VI Оглавление Лекция 9. Энергетические характеристики двухполюсников ................ 144 9.1. Средняя, полная и реактивная мощности при гармонических колебаниях в цепи ........................................................................................ 144 9.2. Максимум средней мощности в нагрузке ................................................. 148 9.2.1. Условия баланса мощностей ................................................................ 148 9.2.2. Условия максимума средней мощности в нагрузке ........................... 149 9.2.3. Коэффициент полезного действия генератора. Согласованная нагрузка .................................................................................................. 152 Глава 4. Частотные характеристики электрических цепей ..................... 155 Лекция 10. Комплексные функции электрических цепей ........................ 157 10.1. Определение комплексных функций электрических цепей .................. 158 10.2. Расчѐт частотных характеристик ............................................................. 162 10.3. Логарифмические частотные характеристики ........................................ 166 Лекция 11. Режим гармонических колебаний в последовательном колебательном контуре .............................................................. 170 11.1. Параметры последовательного контура .................................................. 170 11.1.1. Ток в последовательном контуре....................................................... 171 11.1.2. Свойства последовательного контура при резонансе ...................... 173 11.2. Частотные характеристики последовательного контура ....................... 176 11.2.1. Комплексная частотная характеристика по току ............................. 176 11.2.2. Резонансные характеристики последовательного контура ............. 178 Лекция 12. Режим гармонических колебаний в параллельном колебательном контуре .............................................................. 182 12.1. Параметры параллельного контура.......................................................... 182 12.2. Резонансные характеристики параллельного контура ........................... 186 Лекция 13. Свойства частотных характеристик колебательных контуров ............................................................ 190 13.1. Общие свойства частотных характеристик ............................................. 190 13.1.1. Понятия о расстройках колебательного контура ............................. 191 13.1.2. Свойства резонансной частоты .......................................................... 191 13.2. Избирательность простейших колебательных контуров ....................... 194 13.2.1. Полоса пропускания............................................................................ 195 13.2.2. Связь полосы пропускания с вторичными параметрами ................ 197 13.2.3. Управление шириной полосы пропускания параллельного колебательного контура с помощью шунта...................................... 199 Оглавление VII Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров ............................................................ 201 14.1. Некоторые разновидности параллельных колебательных контуров .... 201 14.1.1. Параллельный контур с малыми потерями в катушке индуктивности ..................................................................................... 201 14.1.2. Параллельный контур с малыми потерями в катушке индуктивности и конденсаторе .......................................................... 205 14.2. Связанные колебательные контуры ......................................................... 206 14.2.1. Коэффициент связи ............................................................................. 207 14.2.2. Комплексные амплитуды токов связанных контуров ..................... 208 14.2.3. Настройки связанных контуров ......................................................... 209 14.2.4. Частотная зависимость тока во вторичном контуре ........................ 211 14.2.5. Частотные свойства связанных контуров ......................................... 214 14.2.6. Полоса пропускания связанных контуров ........................................ 217 Глава 5. Временные и частотные характеристики линейных электрических цепей ........................................................................ 221 Лекция 15. Описание линейных электрических цепей во временной области ................................................................. 223 15.1. Типовые воздействия на электрические цепи ......................................... 223 15.1.1. Единичный скачок (ступенчатое воздействие) ................................ 223 15.1.2. Единичный импульс (δ-функция, функция Дирака) ........................ 225 15.1.3. Связь между единичным скачком и единичным импульсом .......... 228 15.1.4. Отрезок гармонического колебания .................................................. 228 15.2. Описание процессов с помощью интегро-дифференциальных уравнений. Начальные условия ................................................................ 229 15.3. Импульсная характеристика. Интеграл свѐртки ..................................... 231 15.4. Переходная характеристика. Интеграл Дюамеля ................................... 233 Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной р-области ............................................................ 236 16.1. Преобразование Лапласа и его свойства ................................................. 236 16.1.1. Определение преобразования Лапласа ............................................. 236 16.1.2. Основные свойства преобразования Лапласа................................... 238 16.2. L-изображения типовых функций, операций дифференцирования и интегрирования ....................................................................................... 241 16.2.1. L-изображения типовых функций...................................................... 241 16.2.2. L-изображения операций дифференцирования и интегрирования ................................................................................ 245 16.3. Обратное преобразование Лапласа .......................................................... 247 VIII Оглавление Лекция 17. Операторные передаточные функции ..................................... 253 17.1. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме ...................................... 253 17.1.1. Законы Кирхгофа в операторной форме ........................................... 253 17.1.2. Операторные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей ........................................................................... 254 17.1.3. Операторные сопротивление и проводимость последовательного и параллельного двухполюсников ................... 255 17.1.3. Операторные сопротивление и проводимость двухполюсника общего вида ......................................................................................... 257 17.2. Определение операторной передаточной функции. Связь с импульсной и переходной характеристиками ...................................... 258 17.3. Понятие о нулях и полюсах передаточной функции. Устойчивость передаточной функции ..................................................... 261 17.4. Связь передаточной функции с частотными и временными характеристиками цепи ............................................................................. 266 Лекция 18. Свободные колебания в пассивных электрических цепях ................................................................... 269 18.1. Свободные колебания в электрических цепях с одним реактивным элементом ............................................................... 270 18.1.1. Свободные колебания в простейшей RC-цепи ................................. 270 18.1.2. Свободные колебания в простейшей RL-цепи ................................. 274 18.2. Переходные колебания в цепях с одним реактивным элементом......... 276 Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах ............... 282 19.1. Свободные колебания в RC-цепи при воздействии видеоимпульса ..... 283 19.2. Свободные колебания в параллельном контуре без потерь .................. 286 19.3. Свободные колебания в последовательном RLC-контуре ..................... 289 19.4. Колебания в последовательном RLC-контуре при воздействии в виде отрезка гармонического колебания .............................................. 295 19.5. Прохождение радиоимпульса через колебательный контур ................. 298 Глава 6. Основы теории линейных четырѐхполюсников ........................ 301 Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников ...................................................................... 303 20.1. Определение и классификация четырѐхполюсников ............................. 303 20.2. Уравнения передачи четырѐхполюсника ................................................ 307 20.3. Системы собственных параметров и их физический смысл ................. 310 Оглавление IX 20.4. Методы определения собственных параметров. Соотношения между различными системами параметров............................................. 314 20.4.1. Методы определения собственных параметров ............................... 314 20.4.2. Соотношения между различными системами параметров.............. 315 20.4.3. Свойства параметров ХХ и КЗ пассивного четырѐхполюсника..... 319 Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников...................... 321 21.1. Собственные параметры типовых четырѐхполюсников ........................ 321 21.1.1. Собственные параметры элементарных четырѐхполюсников........ 321 21.2. Собственные параметры простейших четырѐхполюсников.................. 323 21.2.1. Собственные параметры симметричного мостового четырѐхполюсника .............................................................................. 327 21.3. Эквивалентность Т-, П-образного и мостового четырѐхполюсников ..... 329 21.4. Соединения четырѐхполюсников ............................................................. 331 21.4.1. Каскадное соединение четырѐхполюсников .................................... 332 21.4.2. Параллельное соединение четырѐхполюсников .............................. 333 21.4.3. Последовательное соединение четырѐхполюсников ....................... 334 21.4.4. Последовательно-параллельное соединение четырѐхполюсников ............................................................................ 335 21.4.5. Параллельно-последовательное соединение четырѐхполюсников ............................................................................ 336 21.5. Условия регулярности соединения .......................................................... 336 Лекция 22. Внешние характеристики четырѐхполюсников .................... 338 22.1. Комплексное входное сопротивление четырѐхполюсника при произвольной нагрузке....................................................................... 339 22.2. Комплексные частотные характеристики нагруженных четырѐхполюсников .................................................................................. 341 22.2.1. Комплексные частотные характеристики односторонне нагруженных четырѐхполюсников .................................................... 341 22.2.2. Внешние характеристики двусторонне нагруженного четырѐхполюсника .............................................................................. 344 22.3. Нормирование рабочих характеристик ................................................... 346 22.3.1. Комплексный нормированный рабочий коэффициент передачи ..... 346 22.3.2. Рабочая постоянная передачи цепи ................................................... 348 Глава 7. Цепи с распределѐнными параметрами ....................................... 351 Лекция 23. Первичные параметры длинной линии .................................. 353 23.1. Понятие длинной линии ............................................................................ 353 23.1.1. Определение длинной линии ............................................................. 353 X Оглавление 23.1.2. Классификация длинных линий ........................................................ 356 23.2. Первичные параметры длинной линии .................................................... 359 23.3. Уравнения передачи длинной линии ....................................................... 362 23.4. Классификация кабелей согласно международному стандарту............ 366 Лекция 24. Волновые параметры длинной линии ..................................... 370 24.1. Падающие и отражѐнные волны .............................................................. 370 24.2. Соотношения между комплексными амплитудами падающих и отражѐнных волн .................................................................................... 375 24.2.1. Волновое сопротивление .................................................................... 376 24.2.2. Коэффициент отражения .................................................................... 377 24.3. Уравнения передачи согласованно нагруженной длинной линии ........ 379 24.4. Постоянная передачи и частотные характеристики длинной линии .... 381 24.4.1. Постоянная передачи длинной линии ............................................... 381 24.4.2. Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) согласованно нагруженной длинной линии ............................................................. 384 24.5. Входное сопротивление длинной линии ................................................. 385 24.6. Определение параметров линии методом холостого хода и короткого замыкания............................................................................. 387 Лекция 25. Колебания в линиях без потерь................................................. 390 25.1. Длинные линии с пренебрежимо малыми потерями .............................. 390 25.1.1. Вторичные параметры и уравнения передачи длинной линии без потерь ............................................................................................. 391 25.1.2. Режим бегущей волны (согласованной нагрузки) в линии без потерь ............................................................................................. 393 25.2. Режим стоячих волн................................................................................... 394 25.3. Режим смешанных волн ............................................................................ 399 25.4. Входное сопротивление линии без потерь .............................................. 401 25.4.1. Режим короткого замыкания линии .................................................. 402 25.4.2. Режим холостого хода линии ............................................................. 404 25.4.3. Входное сопротивление линии с произвольной нагрузкой ............ 405 25.5. Примеры применения длинных линий с пренебрежимо малыми потерями....................................................................................... 407 25.5.1. Металлический изолятор .................................................................... 407 25.5.2. Колебательный контур ....................................................................... 408 25.5.3. Линейный вольтметр........................................................................... 409 25.5.4. Трансформатор сопротивлений ......................................................... 410 Оглавление XI Глава 8. Функции электрических цепей. Критерии устойчивости ........ 413 Лекция 26. Свойства функций электрических цепей ................................ 415 26.1. Свойства передаточной функции ............................................................. 415 26.2. Свойства частотных характеристик ......................................................... 423 Лекция 27. Критерии устойчивости .............................................................. 427 27.1. Критерий устойчивости Гурвица ............................................................. 428 27.1.1. Свойства полиномов Гурвица ............................................................ 429 27.2. Критерий устойчивости Михайлова ........................................................ 435 ЧАСТЬ II. ОСНОВЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ...................................................... 437 Глава 9. Математические основы синтеза электрических цепей с заданными свойствами .................................................................. 439 Лекция 28. Задача синтеза электрических цепей и этапы еѐ решения ..................................................................................... 441 28.1. Постановка задачи оптимального синтеза электрической цепи ........... 441 28.1.1. Условия физической реализуемости функций цепи ........................ 442 28.1.2. Характеристика задачи оптимального синтеза ................................ 444 28.2. Методы решения задачи синтеза электрических цепей ......................... 448 28.2.1. Метод оптимального параметрического синтеза ............................. 448 28.2.2. Классические методы синтеза электрических цепей ....................... 449 Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей ........... 455 29.1. Наилучшее среднеквадратичное приближение (метрика L2) ................ 455 29.2. Наилучшее равномерное (чебышѐвское) приближение (метрика C) ... 461 29.2.1. Постановка задачи наилучшего равномерного приближения ........ 461 29.2.2. Обобщѐнная теорема Чебышѐва об альтернансе ............................. 463 29.2.3. Понятие о полиномах Чебышѐва ....................................................... 466 29.3. Полиномиальный алгоритм Ремеза.......................................................... 469 29.3.1. Понятие об алгоритме Ремеза ............................................................ 469 29.3.2. Пример использования обменного алгоритма Ремеза ..................... 471 29.4. Сопоставление результатов аппроксимации ........................................... 475 29.5. Весовая функция ........................................................................................ 476 Лекция 30. Реализация функций электрических цепей ............................ 480 30.1. Положительные вещественные функции ................................................ 480 30.1.1. Определение положительных вещественных функций (ПВФ) ...... 481 30.1.2. Реактансные функции ......................................................................... 483 XII Оглавление 30.2. Методы реализации пассивных двухполюсников (реактансных функций) ............................................................................. 487 30.2.1. Метод Фостера .................................................................................... 487 30.2.2. Метод Кауэра ....................................................................................... 493 30.3. Канонические схемы реактивных двухполюсников .............................. 501 Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников .............................. 502 31.1. Характеристические параметры симметричного четырѐхполюсника .... 502 31.2. Мостовая реализация ................................................................................. 505 31.3. Реализация на основе Т- и П-образных симметричных схем ................ 510 31.4. Лестничная реализация полиномиальных электрических цепей .......... 513 31.5. Каскадно-согласованная реализация ....................................................... 519 31.6. Каскадно-развязанная реализация ............................................................ 521 31.7. Особенности математических моделей лестничных цепей ................... 522 Глава 10. Введение в синтез электрических фильтров ............................. 527 Лекция 32. Основные определения и классификация электрических фильтров ............................................................ 529 32.1. Условия безыскажѐнной передачи сигналов через электрическую цепь ................................................................................... 530 32.2. Классификация электрических фильтров................................................ 532 32.2.1. Определение фильтра ......................................................................... 533 32.2.2. Амплитудно-частотные характеристики избирательных фильтров и требования к ним ............................................................ 535 Лекция 33. Частотные преобразования в задачах синтеза электрических фильтров ............................................................ 541 33.1. Задача синтеза фильтра ............................................................................. 541 33.1.1. Понятия о нормировании частот и характеристик фильтра ........... 541 33.1.2. Нормирование параметров элементов фильтра ............................... 543 33.2. Реактансные преобразования частоты ..................................................... 545 33.2.1. Преобразование НЧ ↔ НЧ-прототип ................................................ 546 33.2.2. Преобразование ВЧ ↔ НЧ-прототип ................................................ 546 33.2.3. Преобразование ПФ ↔ НЧ-прототип ............................................... 547 33.2.4. Преобразование РФ ↔ НЧ-прототип ................................................ 550 Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров рациональными функциями ..................................................... 554 34.1. Функция квадрата АЧХ ............................................................................. 554 34.2. Синтез фильтров нижних частот .............................................................. 555 34.2.1. Фильтры Баттерворта ......................................................................... 555 Оглавление XIII 34.2.2. Фильтры Чебышѐва............................................................................. 561 34.2.3. Фильтры Золотарѐва—Кауэра (фильтры с изоэкстремальными характеристиками затухания) ............................................................ 568 34.3. Некоторые сведения о функциях Якоби .................................................. 570 Лекция 35. Анализ схем фильтров ................................................................ 572 35.1. Методика качественного анализа схем фильтров .................................. 572 35.1.1. Определение типа избирательности .................................................. 572 35.1.2. Качественное построение АЧХ A(ω) и характеристики затухания a(ω) фильтра ...................................................................... 575 35.1.3. Определение вида передаточной функции H(ω) фильтра ............... 578 35.2. Влияние потерь на характеристики фильтра .......................................... 581 35.2.1. Влияние потерь на передаточную функцию фильтра ..................... 581 35.2.2. Компенсация потерь методом предыскажений по Дарлингтону ...... 584 Лекция 36. Кварцевые фильтры ................................................................... 586 36.1. Параметры кварцевых резонаторов ......................................................... 586 36.1.1. Понятия о кварцевых резонаторах .................................................... 586 36.1.2. Схема замещения и электрические параметры кварцевого резонатора ............................................................................................ 590 36.2. Принципы построения кварцевых фильтров .......................................... 595 36.2.1. Дискретные кварцевые фильтры ....................................................... 595 36.2.2. Монолитные кварцевые фильтры ...................................................... 598 36.2.3. Фильтры на поверхностных акустических волнах .......................... 600 Глава 11. Корректоры и регуляторы частотных характеристик ........... 603 Лекция 37. Амплитудные корректоры ......................................................... 605 37.1. Влияние частотных характеристик на прохождение сигнала в сложных электрических цепях .............................................................. 606 37.2. Решение задачи амплитудного корректирования ................................... 609 37.3. Основы реализации амплитудных корректоров ..................................... 611 Лекция 38. Фазовые корректоры .................................................................. 617 38.1. Общие свойства фазовых звеньев ............................................................ 618 38.1.1. Частотные характеристики фазовых звеньев ................................... 618 38.1.2. Частотные характеристики простых фазовых звеньев .................... 620 38.2. Синтез фазовых корректоров.................................................................... 623 38.2.1. Задание требований к фазовым корректорам ................................... 624 38.2.2. Схемы простых фазовых звеньев ...................................................... 625 XIV Оглавление Лекция 39. Аналоговые линии задержки ..................................................... 630 39.1. Определение и общие характеристики линий задержки ....................... 630 39.2. Синтез линий задержки ............................................................................. 633 39.2.1. Постановка задачи синтеза линий задержки .................................... 635 39.2.2. Полиномиальные линии задержки .................................................... 636 39.3. Понятие о фазовращателях ....................................................................... 640 Глава 12. Цепи с обратной связью ................................................................ 643 Лекция 40. Основные положения общей теории обратной связи ........... 645 40.1. Принцип обратной связи ........................................................................... 645 40.2. Классификация систем с обратной связью.............................................. 646 40.3. Передаточная функция цепи с обратной связью .................................... 650 40.4. Частотные и временные характеристики цепи с обратной связью ....... 653 40.4.1. Частотные характеристики цепи с обратной связью ....................... 653 40.4.2. Импульсная характеристика цепи с обратной связью ..................... 655 40.4.3. Переходная характеристика цепи с обратной связью ..................... 658 Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью ........................................................................ 660 41.1. Чувствительность цепей с обратной связью ........................................... 660 41.1.1. Определение чувствительности ......................................................... 661 41.1.2. Влияние обратной связи на чувствительность цепи ........................ 662 41.1.3. Фазовая чувствительность (нестабильность) прямой цепи ............ 665 41.1.4. Ослабление нелинейных искажений ................................................. 666 41.2. Устойчивость линейных систем с обратной связью .............................. 668 41.2.1. Устойчивость по Ляпунову ................................................................ 669 41.2.2. Критерий устойчивости Найквиста ................................................... 671 Лекция 42. Основы теории усилителей ........................................................ 679 42.1. Основные характеристики усилителей .................................................... 679 42.1.1. Частотные и энергетические характеристики усилителей .............. 679 42.1.2. Нелинейные искажения в усилителях ............................................... 683 42.2. Математические модели и схемы замещения усилителей..................... 687 42.2.1. Математические модели усилителей ................................................ 688 42.2.2. Однонаправленный (односторонний) усилитель ............................. 689 42.3. Усилители с обратной связью .................................................................. 692 42.3.1. Основные понятия и определения ..................................................... 693 Оглавление XV 42.3.2. Напряжение на входных зажимах зависимого источника .............. 699 42.3.3. Комплексный коэффициент усилителя с ОС ................................... 700 42.3.4. Стабильность характеристик усилителя с ОС .................................. 703 42.3.5. Входное и выходное сопротивления усилителя с ОС ..................... 705 42.3.6. Устойчивость усилителя с ОС ........................................................... 708 Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей ....................................... 710 43.1. Операционные усилители ......................................................................... 711 43.2. Простейший усилитель без инверсии входного сигнала (неинвертирующий) ................................................................................... 713 43.3. Усилитель с конечным коэффициентом усиления (масштабный усилитель) ................................................................................................... 716 43.4. Повторитель напряжения .......................................................................... 717 43.5. Простейший усилитель с инверсией входного сигнала (инвертирующий) ....................................................................................... 718 43.5.1. Взвешивающий инвертор напряжения (инвертирующий усилитель) ............................................................................................ 720 43.5.2. Сумматор напряжения (инвертирующий) ........................................ 720 43.5.3. Инвертирующий интегратор .............................................................. 721 43.5.4. Инвертирующий интегратор-сумматор ............................................ 723 43.5.5. Инвертирующий дифференциатор .................................................... 723 43.6. Конвертор отрицательного сопротивления ............................................. 725 43.7. Инвертор сопротивления. Гиратор........................................................... 727 Дополнение ......................................................................................................... 731 Лекция 44. Диплексоры и их применение ................................................... 733 44.1. Понятие о матрице рассеяния ................................................................... 734 44.2. Диплексоры-четырѐхполюсники .............................................................. 736 44.2.1. Применение диплексоров в усилителях ............................................ 736 44.2.2. Применение диплексоров в преобразователях частоты .................. 741 44.3. Диплексоры-шестиполюсники ................................................................. 743 Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров ........... 746 45.1. Основные понятия о волновых аналоговых фильтрах ........................... 747 45.2. Моделирование отрезков длинных линий без потерь ............................ 752 45.3. Симметричные цепочечные звенья ВАФ ................................................ 757 45.3.1. Условные обозначения звеньев и полузвеньев ВАФ ....................... 757 45.3.2. Свойства звена ВАФ-Ц с четвертьволновой связкой ...................... 759 XVI Оглавление 45.3.3. Свойства звена ВАФ-Ц с полуволновой связкой ............................. 764 45.3.4. Моделирование симметричных цепочечных звеньев ...................... 767 45.3.5. Понятия о симметричных шлейфных звеньях волновых фильтров ............................................................................................... 773 45.4. Начала синтеза волновых аналоговых фильтров .................................... 776 45.4.1. Задание требований к волновому фильтру ....................................... 777 45.4.2. Расчѐтные параметры фильтров на фазовых контурах ................... 780 Литература ......................................................................................................... 783 Предметный указатель .................................................................................... 785 Предисловие Теоретические основы линейных электрических цепей, которые составляют предмет данной книги (учебного пособия), читаются в качестве базовой дисциплины в высших учебных заведениях студентам различных специальностей в областях телекоммуникации, радио- и электротехники согласно общеобразовательным стандартам в рамках общероссийских рабочих программ курсов "Основы теории цепей" и "Теоретические основы радиотехники". Содержание книги тематически разделено на две части: часть I посвящена изучению общих свойств и методов анализа линейных электрических цепей и состоит из 27 лекций, объединѐнных в 8 глав; часть II посвящена синтезу линейных электрических цепей, включая расчѐт цепей с распределѐнными параметрами и оптимальный синтез фильтров, и состоит из 18 лекций, объединѐнных в 4 главы и дополнение. В дополнении рассматривается теория и практика диплексоров и впервые представлен в подобного рода учебных пособиях материал об основах современного синтеза волновых аналоговых фильтров. Материал книги сопровождается большим количеством примеров анализа и синтеза электрических цепей. Все разделы и лекции построены по принципу тематической замкнутости благодаря включению в курс сведений из общей теории линейных систем и необходимого математического аппарата. Лекционная композиция учебного пособия позволяет преподавателю легко формировать курс по теории линейных электрических цепей для двух- и трѐхсеместровой подготовки согласно отводимому в вузе времени, принятой последовательности изложения и содержанию курса. При этом внимание акцентируется на чѐткости современных определений ряда фундаментальных понятий теории цепей, благодаря чему достигается преемственность курсов теории линейных электрических цепей и цифровой обработки сигналов. Следует отметить, что курс цифровой обработки сигналов изучается следом за курсом теории линейных электрических цепей. 2 Предисловие Учебное пособие может быть использовано для подготовки студентов всех форм обучения (бакалавров, специалистов, магистров), а также аспирантами, преподавателями вузов радиотехнических и телекоммуникационных профилей и инженерами для освоения методов анализа и синтеза электрических цепей. Автор не считает, что ему удалось "покорить все вершины" и "преодолеть все тернии", которыми изобилует современная теория линейных электрических цепей, и благодарит всех, кто оказывал помощь и делился своим опытом на этом пути: прежде всего кандидата технических наук доцента В. Н. Гаврилова-Жукова, взявшего на себя труд скрупулѐзного прочтения книги на этапе еѐ написания, а также кандидатов технических наук доцентов: Л. А. Бабкову и В. А. Петракова, предложения и замечания которых были чрезвычайно полезными. Особая благодарность рецензентам: профессору Ю. А. Брюханову и профессору Е. Б. Соловьѐвой, чьи замечания в большей части были учтены при доработке книги. Разумеется, самую глубокую благодарность и признательность выражаю моей жене, Зайнаб Сабировне, за долготерпение и понимание, которые от неѐ потребовались за те два года, когда создавалась эта книга. Основные обозначения A фактор связи A(ω), |H( jω)| Aˆ ( ) амплитудно-частотная характеристика a(ω) ослабление b реактивная составляющая комплексной проводимости b(ω) затухание С ѐмкость d затухание контура (величина, обратная добротности) E, uг электродвижущая сила, задающее напряжение источника напряжения Eд действующее значение электродвижущей силы Em амплитуда гармонической электродвижущей силы E , Em 0 комплексная амплитуда электродвижущей силы e, e(t) мгновенное значение электродвижущей силы F оператор, функция F(p) операторная функция f частота колебания (циклическая) G активная проводимость g активная составляющая комплексной проводимости g(t) переходная характеристика gc характеристическая постоянная передачи четырехполюсника H(p) передаточная функция H(jω) комплексная частотная характеристика нормированная амплитудно-частотная характеристика Основные обозначения 4 Hi(p) передаточная функция (передаточный коэффициент) по току Hu(p) передаточная функция (передаточный коэффициент) по напряжению HZ(p) операторное передаточное сопротивление HY(p) операторная передаточная проводимость Hэ(p) передаточная функция относительно элемента "э" h(t) импульсная характеристика Im амплитуда гармонического тока I , Im комплексная амплитуда тока Iд действующее значение тока Im(a + jb) b — мнимая часть комплексного числа Kбв коэффициент бегущей волны k коэффициент связи, модуль функций Якоби j мнимая единица L индуктивность L{f(t)} оператор прямого преобразования Лапласа, или L-преобразование L-1 оператор обратного преобразования Лапласа, обратное L-преобразование M взаимная индуктивность P полная (кажущаяся) мощность Pср cредняя (активная) мощность Pр реактивная мощность P Pn(x), Pn(Ω) комплексная мощность p коэффициент отражения p (t) мгновенная мощность p = ζ + jω комплексная переменная, оператор Лапласа p0i i-ый нуль передаточной функции p*k k-ый полюс передаточной функции Q добротность R активное сопротивление полином Чебышѐва степени n Основные обозначения 5 Re(a + jb) a — вещественная часть комплексного числа r активная составляющая комплексного сопротивления T период колебания t время tг, tгвз групповое время (задерживания, прохождения) Uд действующее значение напряжения Um амплитуда гармонического напряжения U ,U m комплексная амплитуда напряжения Uд действующая комплексная амплитуда напряжения u, u(t) vг мгновенное значение напряжения групповая скорость νф скорость распространения (фазовая скорость) v(p) v(jω) полином Гурвица комплекс полинома Гурвица Xm комплексная амплитуда, символическое изображение гармонического колебания реактивная составляющая комплексного сопротивления воздействие на цепь операторная проводимость x x(t) Y(p) Y(jω), Y |Y(jω)|, y y(t) Zв Z(p) Z(jω), Z комплексная проводимость, комплекс полной проводимости, функция входной проводимости, адмитанс полная проводимость реакция цепи |Z(jω)|, z Zс(jω), Zс волновое сопротивление длинной линии операторное сопротивление комплексное сопротивление, комплекс полного сопротивления, функция входного сопротивления, импеданс полное сопротивление характеристическое сопротивление четырехполюсника α коэффициент затухания длинной линии β коэффициент фазы длинной линии γ коэффициент распространения длинной линии Основные обозначения 6 Δ неравномерность в полосе пропускания Δω абсолютная расстройка δ коэффициент затухания контура δ1 максимально допустимое отклонение амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания δ2 максимально допустимое отклонение амплитудно-частотной характеристики в полосе задерживания δ(t) δ-функция, функция Дирака η коэффициент полезного действия, нормированная частота НЧ-прототипа λ длина волны ν относительная расстройка ξ обобщѐнная расстройка ε(jω) комплексная относительная погрешность ρ волновое (характеристическое) сопротивление линии, контура τ постоянная времени цепи с одним реактивным элементом φ(η) функция фильтрации φ(ω) фазочастотная характеристика φ0 начальная фаза Ω ширина полосы пропускания, нормированная частота ω круговая частота ω0 резонансная частота 1(t) единичный скачок (ступенчатое воздействие, перепад), функция Хэвисайда Принятые сокращения АЧХ амплитудно-частотная характеристика ВАФ волновой аналоговый фильтр ВАФ-Ц цепочечные звенья и фильтры ВАФ ВАФ-Ш шлейфные звенья и фильтры ВАФ ВАХ вольт-амперная характеристика ГВЗ групповое время задержки ЗНК закон напряжений Кирхгофа ЗТК закон токов Кирхгофа ИНУН источник напряжения, управляемый напряжением ИНУТ источник напряжения, управляемый током ИТУН источник тока, управляемый напряжением ИТУТ источник тока, управляемый током КЗ короткое замыкание КОС конвертор отрицательного сопротивления КПД коэффициент полезного действия КЧХ комплексная частотная характеристика ЛАХ логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ЛЗ линия задержки ОдУ однонаправленный усилитель ОС обратная связь ОУ операционный усилитель ПАВ поверхностные акустические волны ПВФ положительная вещественная функция Принятые сокращения 8 ПерП переходная полоса ПЗ полоса задерживания ПЗФ полосно-заграждающий фильтр ПП полоса пропускания ПФ полосовой фильтр РФ режекторный фильтр СВЧ сверхвысокие частоты СКО среднеквадратичное отклонение ТЛЭЦ теория линейных электрических цепей УСР условия схемной реализуемости УФР условия физической реализуемости ФВЧ фильтр высоких частот ФК фазовый корректор ФК1 фазовый контур 1-го порядка ФНЧ фильтр низких частот ФРП фильтр с распределѐнными параметрами ФСЭ фильтр на сосредоточенных элементах ФФК фильтр на фазовых контурах ФЧХ фазочастотная характеристика ХХ холостой ход ЭДС электродвижущая сила ЭЦ электрическая цепь ЧАСТЬ I ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ L2 C2 1 R U вх Лекция 1 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Основные определения и понятия теории электрических цепей 1.1. Предмет дисциплины ОПРЕДЕЛЕНИЕ Электрической цепью называют любую совокупность радиотехнических (электротехнических) устройств, соединѐнных электрическими проводниками. Электромагнитное состояние большинства электрических цепей характеризуют с помощью понятий "электрический ток" и "электрическое напряжение", или кратко токов i и напряжений u. Они являются функциями времени t, а в некоторых цепях могут быть и функциями пространственных координат (например, в длинных линиях). Значения токов и напряжений в определѐнный момент времени t обозначаются i = i(t) и u = u(t) соответственно и называются мгновенными. Эти значения в определѐнный момент времени t полностью характеризуют электромагнитное состояние электрической цепи и все еѐ свойства. Токи и напряжения в электрической цепи могут быть найдены как непосредственным их измерением с помощью амперметров и вольтметров, так и с помощью расчѐтов. Непосредственное измерение можно осуществить, во-первых, только в реально действующей цепи и, во-вторых, если цепь или требуемый еѐ участок доступен. Но в теории и на практике чаще всего значения токов и напряжений в цепи требуется рассчитать, для чего составляются специальные уравнения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнения, в результате решения которых могут быть найдены токи и напряжения в цепи, называются уравнениями электромагнитного состояния (уравнениями состояния). Часть I. Глава 1 14 Уравнения состояния часто называют операторами, которые принято обозначать буквой F. По этой причине в дальнейшем мы будем пользоваться этими терминами как синонимами. Оператор позволяет произвести анализ всех характеристик цепи; с другой стороны, для создания цепи, обладающей желаемыми свойствами, необходимо получить оператор F, т. е. провести синтез цепи. Любое уравнение состояния представляет собой математическую модель цепи, приближѐнно отображающую реальные физические свойства цепи, но не передаѐт содержание внутренних процессов. Электрические проводники и устройства, составляющие цепь, при их математическом описании представляются идеальными, хотя в действительности таковыми не являются. Идеальные проводники и устройства (приборы), обладающие лишь каким-либо одним свойством, называются элементами электрических цепей. Элементы электрических цепей разделяют на пассивные и активные. К пассивным элементам относятся: резистивный элемент (идеальный резистор, элемент активного сопротивления), элемент индуктивности (индуктивность), элемент ѐмкости (ѐмкость). Активными элементами электрической цепи являются идеальные источники электрической энергии: идеальные источники тока и идеальные источники напряжения. Графическое изображение соединений и элементов электрических цепей называют электрической схемой цепи. Таким образом, предметом дисциплины "Основы теории цепей" является изучение свойств электрических цепей разнообразной природы и синтез цепей с заданными характеристиками (свойствами). 1.2. Напряжения и токи в электрических цепях Электрический ток (рис. 1.1, а), протекающий по цепи, представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Мерой тока является его сила (измеряется в амперах — А), т. е. отношение количества электрического заряда q (измеряется в кулонах — Кл), прошедшего через поперечное сечение проводника за единицу времени i откуда lim t А 0 q t Кл . с dq , dt Лекция 1. Основные определения и понятия теории электрических цепей 15 Напряжением u (измеряется в вольтах — В) называется количество энергии W (измеряется в джоулях — Дж), затрачиваемое на перемещение единицы заряда q [Кл] из одной точки пространства в другую W q lim u q 0 dW dq Дж Кл В. Для широкого класса электрических цепей напряжение удобно определять как разность потенциалов φm и φn между m-ым и n-ым зажимами электрической цепи (рис. 1.1, б) соответственно umn n, m причѐм под потенциалом зажима понимают количество энергии, затрачиваемое на перемещение единицы заряда из рассматриваемого зажима в бесконечно удалѐнную точку пространства , потенциал которой считается рав0. ным нулю φ ilk 5мА ilk k ikl ikl 5мА l а Зажим m m umn 1В unm n Зажим n 1В Электрическая цепь б Рис. 1.1. Токи (а) и напряжения (б) в электрических цепях При исследованиях и расчѐтах электрических цепей необходимо знать не только абсолютные величины токов и напряжений, но и направления их отсчѐта, которые указываются стрелками. По традиции конец стрелки указывает:  для тока — предполагаемое или известное направление движения поло- жительных зарядов, а противоположное направление — движение отрицательных зарядов; изменение направления отсчѐта приводит к изменению знака тока (рис. 1.1, а). Смысл выбора направления отсчѐта покажем на примере: пусть при выбранном направлении от узла k в сторону узла l Часть I. Глава 1 16 получена величина ilk = 5 мА; этот результат необходимо прочесть так: ток в проводнике имеет величину 5 мА и течѐт от узла k в сторону узла l; если же выбрано направление от узла l в сторону узла k, получим ilk = –5 мА; этот результат, как и в предыдущем случае, вновь показывает, что ток имеет величину 5 мА и течѐт от узла k в сторону узла l;  для напряжения — предполагаемую или известную точку (зажим) выс- шего потенциала; изменение направления отсчѐта напряжения состоит в изменении знака (рис. 1.1, б), а именно: umn m n, unm n m umn . При этом значения напряжения umn = 1 В и unm = –1 В приводят к одному и тому же результату, а именно: напряжение между зажимами равно 1 В, причѐм потенциал зажима m выше потенциала зажима n. Выбор направлений токов и напряжений, вообще говоря, является произвольным, но именно с этого необходимо начинать решение любой задачи. ЗАМЕЧАНИЕ Включение измерительных приборов (вольтметров, амперметров, осциллографов и др.), реагирующих на изменение направления измеряемой величины, что на зажимах указывается знаками "+" или "–", следует производить с учѐтом положительных направлений измеряемых величин (рис. 1.2). u + I A + а V б Рис. 1.2. Подключение амперметра (а) и вольтметра (б) Изменения во времени токов и напряжений в электрических цепях называются колебаниями соответствующих величин. Колебания, являющиеся носителями информации, называют электрическими сигналами, или просто сигналами. Колебания, а также сигналы безотносительно их природы принято обозначать x(t) или y(t). Это означает, что x(t) и y(t) могут иметь смысл как тока, так и напряжения. Лекция 1. Основные определения и понятия теории электрических цепей 17 1.3. Классификация электрических цепей Все электрические цепи (или, в общем смысле, системы) разделяются на три обширных класса: аналоговые, дискретные и цифровые — в зависимости от типа обрабатываемого колебания (рис. 1.3). ОПРЕДЕЛЕНИЕ Аналоговым называется колебание, непрерывное по времени и состоянию. Аналоговое колебание описывается непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией x(t), При этом как сама функция, так и еѐ аргумент t могут принимать любые значения из области допустимых значений: x1 ≤ x ≤ x2 и t1 ≤ t ≤ t2. Пример такого колебания приведѐн на рис. 1.3, а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дискретным называется колебание, дискретное по времени и непрерывное по состоянию. Дискретное колебание описывается решѐтчатой функцией x(nT), n = 0, 1, 2, … При этом функция определена в дискретные моменты времени nT и может принимать любые значения из области допустимых значений x1 ≤ x ≤ x2. Пример такого колебания приведѐн на рис. 1.3, б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Цифровым называется колебание, дискретное как по времени, так и по состоянию. Цифровое колебание описывается квантованной решѐетчатой функцией xц(nT), которая определена только в дискретные моменты времени nT и может принимать только дискретные значения из ограниченного множества допустимых значений x1 ≤ x(t) ≤ x2. Пример такого колебания приведѐн на рис. 1.3, в (сравните с рис. 1.3, б). Теперь можно определить классы электрических цепей. Цепь (система) называется аналоговой, если аналоговое выходное колебание y(t) является непрерывной функцией Fа входного x(t): y(t) = Fа[x(t)]. Цепь (система) называется дискретной, если дискретное выходное колебание y(nT) является дискретной функцией Fд входного x(nT): y(nT) = Fa[x(nT)]. Часть I. Глава 1 18 x(t ) t 0 x(nT ) 0 аа 3T 4T 5T 6T T 2T 9T 7T 8T nT бб x(nT ) 0 3T 4T 5T 6T 9T 7T 8T T 2T nT вв Рис. 1.3. Примеры колебаний: а) аналогового, б) дискретного, полученного из аналогового, в) цифрового Лекция 1. Основные определения и понятия теории электрических цепей 19 Цепь (система) называется цифровой, если цифровое выходное колебание yц(nT) является цифровой функцией Fц входного xц(nT): yц(nT) = Fц[xц(nT)]. В настоящем курсе рассматриваются только аналоговые электрические цепи, классификация которых показана на рис. 1.4. Дискретные и цифровые цепи и системы изучаются в отдельных дисциплинах. Аналоговые электрические цепи Линейные С распределенными параметрами Нелинейные Автоколебательные цепи С сосредоточенными параметрами Усилители мощности Нестационарные Стационарные Двухполюсники Многополюсники 3-полюсники 4-полюсники пассивные и активные Рис. 1.4. Классификация электрических цепей Аналоговые электрические цепи подразделяются на линейные и нелинейные; в данном курсе изучаются только линейные цепи, определение которых даѐтся в разд. 1.4. Электрические цепи, содержащие конечное число компонентов (составляющих), называются цепями с сосредоточенными (дискретными) элементами Часть I. Глава 1 20 (параметрами). Модели таких цепей содержат конечное число элементов, в которых происходит рассеивание или накопление электромагнитной энергии. На рис. 1.5 изображена схема простейшей цепи, состоящей из резистивного элемента R и ѐмкости C. R C Рис. 1.5. Пример цепи с сосредоточенными параметрами Электрические цепи, модели которых содержат бесконечно большое число элементов, называются цепями с распределѐнными параметрами. В таких цепях невозможно выделить области, где происходит рассеивание электромагнитной энергии. Они обладают рядом замечательных свойств, которые позволяют использовать такие цепи в качестве воздушных и кабельных линий связи, элементов антенных устройств и волноводов (в технике сверхвысоких частот). Примером является всем известный антенный спуск (фидер). Электрические цепи разделяют также на группы (рис. 1.6) согласно числу их внешних зажимов (полюсов): двухполюсники и многополюсники (трѐхполюсники, четырѐхполюсники и т. д.). Любая из перечисленных цепей может быть как пассивной, так и активной. Пассивной называется цепь, в которой отсутствует источник напряжения или тока. R C а б в Рис. 1.6. Многополюсники: а) 2-полюсник (резистор, конденсатор), б) 3-полюсник (транзистор), в) 4-полюсник (трансформатор) Лекция 1. Основные определения и понятия теории электрических цепей 21 1.4. Определение линейной стационарной цепи (системы) Изобразим электрическую цепь (систему) в виде "чѐрного ящика", который имеет вход и выход (рис. 1.7). Колебание x(t), действующее на входе, называют воздействием, а соответствующее ему колебание y(t), действующее на выходе цепи, называют реакцией. Реакция (выход) Воздействие (вход) Электрическая цепь x (t ) y (t ) Отношение вход/выход математически описывается оператором F F x (t ) y (t ) Рис. 1.7. К определению линейной стационарной цепи (системы) Цепь (система) называется линейной, если описывающий еѐ оператор F (см. рис. 1.7) линеен, т. е. обладает следующими свойствами:  однородности, или пропорциональности (наложения): F ax (t ) aF x (t ) ; (1.1) однородность означает, что если воздействие получило усиление в a раз, то и реакция получит такое же усиление;  аддитивности, или суперпозиции: F x1 (t ) x2 (t ) F x1 (t ) F x2 ( t ) ; (1.2) аддитивность означает, что если воздействие представляет собой сумму колебаний, то реакция будет представлять собой сумму реакций на каждое из воздействий в отдельности. Для определения стационарности потребуется понятие задержанного сигнала. Если сигнал (воздействие) поступает на вход спустя некоторое время 0 относительно принятого начального момента отсчѐта (рис. 1.8), то говорят, что сигнал (воздействие) задержан на время 0 , и отражают этот факт записью x(t 0) . Часть I. Глава 1 22 x(t τ0 ) t 0 τ0 Рис. 1.8. Сигнал, задержанный на 0 Цепь называется стационарной, если задержка любого воздействия x(t) на время τ 0 при условии, что F x (t ) y (t ) , приводит к задержке реакции y(t) на то же время F x (t 0) y (t 0) . (1.3) В противном случае цепь называется нестационарной. Это свойство иногда называют свойством инвариантности во времени, т. е. в стационарных цепях соотношение между воздействием и реакцией не зависит от момента поступления воздействия. Далее основное внимание будет уделено анализу и синтезу линейных стационарных цепей с сосредоточенными параметрами, а также анализу цепей с распределѐнными параметрами (длинных линий). Кроме того, изучаются особенности автоколебательных цепей. 1.5. Модель и схема электрической цепи Реальная электрическая цепь (радиотехническое устройство) содержит разнообразные радиодетали: резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы, трансформаторы, полупроводниковые приборы и другие устройства, свойства которых, вообще говоря, отличаются от свойств соответствующих элементов. Электрическая цепь может конструктивно исполняться либо из перечисленных дискретных компонентов, либо изготавливаться в виде интегральных схем в едином технологическом цикле. Электрические цепи, содержащие как интегральные, так и дискретные компоненты, называются гибридными. При анализе колебаний в реальной цепи она заменяется идеализированной цепью, колебания в которой пренебрежимо мало отличаются от колебаний в реальной цепи. Идеализированную электрическую цепь, свойства которой Лекция 1. Основные определения и понятия теории электрических цепей 23 аппроксимируют (представляют приближѐнно) свойства реальной цепи, называют моделью цепи, в которой радиодетали замещаются соответствующими элементами. Например, конденсатор отождествляют с элементом ѐмкости, а катушку индуктивности — с элементом индуктивности. Графическое изображение модели исходной цепи называют схемой замещения цепи, или просто схемой цепи (рис. 1.9). Соединительные проводники на схемах изображаются линиями; считается, что соединительные проводники не оказывают влияния на свойства модели цепи. R1 C1 L1 L2 C2 C3 R2 Рис. 1.9. Схема замещения цепи (схема) Понятия "электрическая цепь" и "схема электрической цепи" часто отождествляются; например, интегральные электрические цепи с большим числом элементов получили название больших интегральных схем (БИС). Каждой конкретной модели цепи соответствует система уравнений, решение которой позволяет оценить те или иные свойства цепи, рассчитать токи и напряжения как на отдельных участках цепи, так и на еѐ элементах. Такая система уравнений называется математической моделью цепи. Важно: математическая модель должна обеспечивать принципиальную возможность осуществления электрической цепи, т. е. еѐ синтез. Иначе говоря, математическая модель должна отвечать так называемому принципу физической возможности, или осуществимости цепи. Смысл этого принципа состоит в том, чтобы по известной математической модели может быть построена собственно электрическая цепь из резисторов, конденсаторов и других радиодеталей. В дальнейшем этому принципу будет уделяться большое внимание. L2 C2 1 R U вх Лекция 2 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Элементы топологии электрических цепей. Законы Кирхгофа 2.1. Основные топологические понятия теории электрических цепей 2.1.1. Граф электрической цепи Любую электрическую цепь, независимо от природы составляющих еѐ элементов, можно представить в графическом виде с помощью узлов и ветвей. Для этого введѐм следующие основные понятия (рис. 2.1, а):  узел — место соединения двух и более элементов электрической цепи, уз- лы обозначаются кружочками или жирными точками;  ветвь — направленный (со стрелкой) или ненаправленный отрезок, соот- ветствующий части цепи, которая взаимодействует с остальной цепью только через два узла. Граф полностью характеризует структуру цепи и еѐ конфигурацию. Введѐм основные определения, соответствующие графу:  степень узла — число ветвей, связанных с одним узлом;  внутренняя степень узла — число ветвей, входящих в узел;  внешняя степень узла — число ветвей, исходящих из узла;  изолированный узел — это такой узел, который ни одной ветвью не соеди- нѐн с другим узлом;  простой (устранимый) узел — место соединения только двух ветвей; в противном случае узел называется сложным;  простая ветвь — это ветвь, символизирующая только один элемент цепи безотносительно его характера; Лекция 2. Элементы топологии электрических цепей. Законы Кирхгофа Простой узел Ветви Путь 3 б Сложный узел а Контур 4 25 г 5 в д Направленная ветвь е 6 2 ж 1 Изолированный узел аа бб в в Рис. 2.1. Примеры графов электрических цепей: а) сложный граф, б) граф последовательного соединения ветвей, в) граф параллельного соединения ветвей  сложная ветвь — геометрическая комбинация простых ветвей относи- тельно некоторой пары узлов (например, на рис. 2.1, а относительно узлов 4 и 5 сложная ветвь состоит из ветвей а, б, в и ж). Ветви, подсоединѐнные к одной паре узлов, образуют параллельное соединение (ветви в и ж на рис. 2.1, а);  путь — последовательность ветвей, соединяющих два узла, при условии, что в этой последовательности нет повторяющихся узлов;  контур — замкнутый путь; контуры называются независимыми, если они отличаются друг от друга по крайней мере одной ветвью. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Геометрическое изображение электрической цепи в виде совокупности узлов и ветвей называется графом электрической цепи (рис. 2.1). Графы простейших соединений элементов: последовательного, когда ветви соединены простыми узлами, и параллельного показаны на рис. 2.1, б и в соответственно. Примеры реальных цепей и их графов с указанием узлов, ветвей и контуров приведены на рис. 2.2. Внутри самого графа различают:  подграф — часть графа; подграф является связным, если любые его два узла связаны, т. е. соединены ветвями; Часть I. Глава 1 26 R L C Простые узлы Элемент Элемент Элемент а R L C Сложный узел R Контур Элемент Элемент б C Контур в Рис. 2.2. Примеры реальных электрических цепей и их графов: а) с простыми узлами, б) со сложным узлом, в) с контуром  дерево графа — связный подграф из минимального числа ветвей, содер- жащий все узлы, но не содержащий ни одного контура. Ветви дерева называются рѐбрами;  хорды — ветви графа, не вошедшие в дерево. Полное множество хорд графа называется дополнением дерева. В общем случае для графа возможно построить несколько вариантов деревьев, причѐм вариантов будет тем больше, чем сложнее электрическая цепь. Примеры деревьев, полученных из графа рис. 2.1, a после удаления изолированного узла (1), приведены на рис. 2.3: a) связный граф, б) ветви а, в, г, е — рѐбра дерева, б, д, ж — хорды, в) ветви б, д, е, ж — рѐбра дерева, а, в, г — хорды. Лекция 2. Элементы топологии электрических цепей. Законы Кирхгофа 27 В теории графов доказывается, что число рѐбер дерева Nр на единицу меньше числа узлов Nу графа Nр = Nу – 1, (2.1) а число хорд дерева Nх (дополнение дерева) определяется выражением: Nх = Nв – Nр = Nв – Nу + 1, (2.2) где Nв — число ветвей графа. Из рис. 2.3 видно, что содержащему 5 узлов и 7 ветвей графу соответствует дерево, имеющее 4 ребра и 3 хорды. Рёбра 3 а б г 4 5 в д е а 2 4 г 5 б в д ж 3 3 е а 2 б г 4 5 в д ж е 6 6 6 аа бб в в 2 ж Рис. 2.3. Деревья (б) и (в), полученные из связного графа (a) S1 3 б а 4 г 5 в д е ж S1 3 S2 3 а S2 2 4 г 5 в д е ж 2 4 5 2 д е 6 6 6 аа бб в в Рис. 2.4. Сечения графа Часть I. Глава 1 28 Сечение (разрез) графа — это совокупность ветвей связного графа, если устранение всех ветвей этой совокупности при сохранении узлов графа делает граф несвязным, а после восстановления любой из ветвей этой совокупности вновь образуется связный граф. На графе сечение обычно изображается штриховой линией, которая проходит через все ветви сечения. Сечение, рассекающее только одну ветвь графа, называется главным сечением. Число главных сечений равно числу рѐбер дерева. На рис. 2.4, а штриховыми линиями показаны два из ряда возможных сечений S1 и S 2 . При этом граф разбивается на две несвязные части, что видно из рис. 2.4, б (сечение S1 ) и рис. 2.4, в (сечение S 2 ). 2.1.2. Аналитическое описание графа ОПРЕДЕЛЕНИЕ Направленным (ориентированным) графом называется такой граф, все ветви которого ориентированы согласно выбранным положительным направлениям токов (рис. 2.5). В дальнейшем будем рассматривать только направленные графы. Всякий направленный граф можно однозначно описать его матрицей соединений Ac (матрицей инциденций), у которой число строк равно числу узлов Nу, а число столбцов равно числу ветвей Nв. 2 2 3 III 1 4 4 3 5 I 6 1 II 7 0 Рис. 2.5. Направленный граф: нумерация узлов выполнена жирными цифрами, нумерация контуров — римскими цифрами Лекция 2. Элементы топологии электрических цепей. Законы Кирхгофа 29 Строки нумеруются по индексу k согласно нумерации узлов, а столбцы — по индексу l согласно нумерации ветвей. Элементы матрицы akl определяются следующим образом:  если l–я ветвь ориентирована в сторону k–го узла, то на пересечении k–ой строки и l–го столбца матрицы записывается –1, akl 1 (сток),  если l–я ветвь ориентирована от k–го узла, то на пересечении k–ой строки и l–го столбца матрицы записывается 1, akl 1 (исток),  если l–я ветвь не подсоединена к k–му узлу, то на пересечении k–ой строки и l–го столбца матрицы записывается 0, akl 0 . Кратко для k–го узла это может быть записано так: 1, l -ая ветвь ориентирована к узлу (сток); 1, l -ая ветвь ориентирована от узла (исток); 0, соединение с узлом отсутствует. akl Например, матрица соединений Ac для графа рис. 2.5, составленная по указанному правилу, такова (рис. 2.6): Ветви l Ac 1 2 3 4 5 6 7 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 k 1 2 3 Узлы 4 Базисный узел 0 Рис. 2.6. Матрица соединений Ac Нетрудно видеть, что сумма элементов любого столбца матрицы соединений равна нулю, что означает линейную зависимость еѐ строк. Иначе говоря, любая из строк матрицы A с не содержит новой информации относительно всех других строк матрицы, поэтому любую строку можно удалить и затем восстановить, зная остальные строки. Часть I. Глава 1 30 Узел, строка которого исключается, называется базисным, а образующаяся при этом матрица называется редуцированной A0, она состоит из Nу – 1 строк. В рассмотренном примере после отбрасывания последней строки получаем: 1 1 0 1 0 0 0 A0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 , 0 0 0 1 1 1 0 т. е. базисным является нулевой узел. Как будет видно из дальнейшего, выбор базисного узла требует внимания и некоторых навыков. Матрица контуров B представляет собой таблицу, число строк которой равно числу независимых контуров Nк, а число столбцов — числу ветвей Nв. В этой матрице строки нумеруются по индексу k согласно нумерации независимых контуров, а столбцы — по индексу l согласно нумерации ветвей, как и в предыдущем случае. Элементы матрицы bkl относительно k–го контура определяются следующим образом: bkl 1, если направление ветви l совпадает с направлением обхода k го контура; 1, если направление ветви l обратно направлению обхода k го контура; 0, если ветвь l не принадлежит контуру. Например, для графа рис. 2.5 имеем: B 1 1 0 0 Ветви 2 3 4 5 6 7 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 I II Контуры III 2.2. Законы Кирхгофа В основе методов анализа электрических цепей как линейных, так и нелинейных имеются два закона Кирхгофа1 (1848 г.), выражающие законы сохранения заряда и энергии. 1 Кирхгоф Густав Роберт (1824—1887) — немецкий физик; будучи студентом, в 1845 году опубликовал законы непрерывности токов в узле и равновесия напряжений в контуре электрической схемы. Лекция 2. Элементы топологии электрических цепей. Законы Кирхгофа 31 Первый закон — закон токов Кирхгофа (ЗТК): в любой момент времени алгебраическая сумма токов ветвей, подключѐнных к узлу, равна нулю m k 1 ik (t ) 0 , (2.3) где m — число ветвей, подключѐнных к узлу; при этом токи, одинаково ориентированные относительно узла, имеют одинаковые знаки; согласно матрице соединений знаки токов, выходящих из узла, считают положительными "+", а входящих — отрицательными "–". Уравнение (2.3) обычно называют уравнением баланса токов в узле. Например, для узла рис. 2.7 имеем уравнение баланса токов: i1 i2 i3 i4 i5 i2 i1 0. i3 i5 i4 Рис. 2.7. Токи в ветвях, сходящихся в одном узле Число независимых уравнений, составляемых по ЗТК, равно числу независимых узлов цепи и определяется согласно уравнению (2.1) Nт Nр N у 1 Nт = Nр = Nу + 1. (2.4) Закон токов можно получить перемножением редуцированной матрицы A 0 на матрицу-столбец токов ветвей Iв i1 , i2 , , im T , где T — знак транспонирования: A 0I в 0. Первый закон Кирхгофа применяется не только к узлам, но и к любой части цепи, выделенной сечением. Для такого случая первый закон Кирхгофа читается так: алгебраическая сумма токов в ветвях одной из сторон сечения в любой момент времени t равен нулю. При этом токи, направления отсчѐтов Часть I. Глава 1 32 которых совпадают с направлением "во внутрь", берутся со знаком "–", а если не совпадают — со знаком "+". Пример 2.1. Запишем уравнения баланса токов для двух сечений графа (рис. 2.8). 2 i2 i3 i5 i7 i6 i1 i4 1 Рис. 2.8. Два сечения в графе Согласно изложенному правилу для первого сечения имеем следующее уравнение баланса токов (направления токов выделены жирными линиями): i2 i4 i5 i6 0, а для второго сечения уравнение имеет вид: i2 i3 0. Второй закон — закон напряжений Кирхгофа (ЗНК): в любой момент времени алгебраическая сумма напряжений в любом контуре цепи равна нулю: n k 1 uk (t ) 0, (2.5) где n — число ветвей, входящих в контур. При этом в (2.5) напряжения записываются со знаком "+", если направление обхода совпадает с направлением отсчѐта напряжения, в противном случае напряжения записываются со знаком "–". Уравнение (2.5) обычно называют уравнением баланса напряжений ветвей. Например, для контура рис. 2.9 имеем уравнение баланса напряжений: u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 0. Лекция 2. Элементы топологии электрических цепей. Законы Кирхгофа 3 2 1 u3 u2 u4 4 u1 8 33 u5 u8 u7 7 u6 5 6 Рис. 2.9. Напряжения в контуре Число независимых уравнений, составляемых по ЗНК, равно числу хорд графа (2.2) Nх = Nв – Nр = Nв – Nу + 1. Второй закон Кирхгофа применяется не только к контуру, включающему в себя все ветви, но и к ограниченному контуру, не проходящему через все ветви. Пример 2.2. Запишем уравнения баланса напряжений для контура, выделенного штриховой линией на рис. 2.10; он не охватывает ветви, включѐнные между узлами 4—7. Согласно второму закону Кирхгофа можно записать следующее уравнение баланса напряжений: u1 u2 u3 u4 u47 u8 3 2 1 u3 u2 u4 4 u1 8 0. u5 u8 7 u47 u7 u6 5 6 Рис. 2.10. Ограниченный контур, не проходящий через все ветви Часть I. Глава 1 34 Важно: изменение правила записи знаков токов и напряжений в уравнениях баланса токов (2.3) и напряжений (2.5) соответственно эквивалентно умножению этих уравнений на –1. 2.3. Краткая характеристика задач анализа и синтеза электрических цепей Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами, причѐм число входов и выходов может не совпадать (рис. 2.11). В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две принципиально различные группы задач: задачи анализа и задачи синтеза. x1 (t ) x (t ) ЭЦ а y (t ) x2 (t ) ЭЦ x3 (t ) y1 (t ) y2 ( t ) y3 ( t ) y4 ( t ) y5 (t ) б Рис. 2.11. Электрические цепи: а) с одним входом и одним выходом, б) с тремя входами и пятью выходами Задача анализа цепи состоит в определении реакции цепи y (t ) на заданное воздействие x(t ) . Исходными данными в задаче анализа являются схема цепи, параметры всех входящих в неѐ элементов, описание внешнего воздействия, задаваемого в виде совокупности токов и напряжений идеальных источников тока и напряжения соответственно. Анализ сводится к определению токов и напряжений на всех или некоторых ветвях цепи, а также к нахождению соотношений между реакциями цепи на отдельных входах и воздействиями, приложенными к соответствующим входам. Такие соотношения называются характеристиками (системными функциями, функциями) цепи. В зависимости от того, что является аргументом характеристик — частота или время — различают частотные и временные характеристики. Определение и исследование частотных (временных) характеристик представляет собой задачу анализа цепи в частотной (временной) области. Математически задача анализа сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений состояния цепи (см. разд. 1.1), неизвестными Лекция 2. Элементы топологии электрических цепей. Законы Кирхгофа 35 в которых являются токи и напряжения. Ясно, что число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений. Используя законы Кирхгофа, всегда можно записать систему уравнений, число которых достаточно для определения всех неизвестных токов и напряжений. Впоследствии будет показано, что уравнения состояния, полученные любым методом, в общем случае являются интегро-дифференциальными. Задача синтеза цепи состоит в нахождении цепи по заданной реакции y(t) на заданное воздействие x(t ) . Исходными данными в задаче синтеза являются описания воздействия на цепь и еѐ реакции. Целью синтеза является получение цепи, обеспечивающей заданные соотношения между воздействием и реакцией; иначе говоря, задача синтеза состоит в получении цепи по заданным еѐ характеристикам. Математически задача синтеза сводится к получению таких уравнений, по которым можно однозначно построить требуемую электрическую цепь. При формулировке конкретной задачи синтеза обязательно задаются ограничения и допуски, при которых решается задача. Ограничения и допуски касаются как условий самой процедуры решения, так и элементной базы, на которой предполагается реализация синтезируемой цепи. L2 C2 1 R U вх Лекция 3 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Элементы электрических цепей 3.1. Элементы электрических цепей и их свойства Элементом электрической цепи называют идеализированное устройство, обладающее одним из следующих свойств:  вносить энергию в электрическую цепь (источник);  рассеивать энергию (элемент активного сопротивления, резистивное со- противление);  запасать энергию в виде энергии магнитного поля (элемент индуктивно- сти, индуктивность);  запасать энергию в виде энергии электрического поля (элемент ѐмкости, ѐмкость). Различают активные и пассивные элементы. К активным элементам относятся источники, а к пассивным — резистивные сопротивления, индуктивности и ѐмкости. 3.1.1. Пассивные элементы Резистивное сопротивление (рис. 3.1) обладает только свойством необратимого рассеивания энергии. Напряжение u, приложенное к элементу, и ток i, проходящий через него, при согласованном выборе (рис. 3.1, а, б) направлений напряжения и тока, связаны между собой законом Ома u Ri; i u R Gu . (3.1) Лекция 3. Элементы электрических цепей 37 Если направления отсчѐтов напряжения и тока выбраны так, как показано на рис. 3.1, в, г, в соотношения (3.1) следует внести знак "–": u Ri; i i u i R а Gu . u i R бб u i R вв u R гг Рис. 3.1. Обозначение резистивного сопротивления и выбор направлений напряжения и тока: а, б) согласованное направление; в, г) несогласованное направление Коэффициенты пропорциональности R и G называются сопротивлением и проводимостью элемента соответственно и являются его количественной характеристикой. Из (3.1) следует связь между ними 1 . (3.2) G Сопротивление R измеряется в омах (Ом), а проводимость G — в сименсах (См). R Уравнение (3.1) называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) резистивного сопротивления. Если R постоянно (R = const), то ВАХ линейна (рис. 3.2, а) и соответствует линейному резистивному элементу. Если же R зависит от протекающего через него тока ( R f (i)) или приложенного к нему напряжения ( R g (u )) , то ВАХ становится нелинейной (рис. 3.2, б) и соответствует нелинейному резистивному сопротивлению. Мгновенная мощность электрических колебаний в элементе активного сопротивления p ui Ri 2 Gu 2 (3.3) никогда не может быть отрицательной ( p 0) , если направления отсчѐтов напряжения и тока согласованы, т. е. соответствуют рис. 3.1, а, б. В противном случае резистивное сопротивление могло бы не только рассеивать, но и вводить или возвращать энергию во внешнюю по отношению к нему цепь. Часть I. Глава 1 38 i i аа u 0 u 0 бб Рис. 3.2. Вольт-амперные характеристики: а) линейная, б) нелинейная Количество электрической энергии, рассеянной в резистивном сопротивлении, за конечный интервал времени t t0 0 WR также положительно. t t uidt t0 t Ri 2 dt t0 Gu 2 dt 0 t0 (3.4) Индуктивность (рис. 3.3, а) обладает только свойством накопления энергии магнитного поля. Еѐ линейная математическая модель имеет вид (3.5) Li , где Ψ — потокосцепление, характеризующее суммарный магнитный поток, пронизывающий катушку: m k 1 k , где m — число витков катушки; k — номер витка, с которым сцеплѐн поток Φk, измеряемый в веберах (Вб). В простейшем случае, когда каждый из потоков Φk сцеплѐн со всеми витками катушки, получаем: m. Коэффициент пропорциональности L > 0 в (3.5) называется, как и сам элемент, индуктивностью, измеряется в генри (Гн). Если L = const, то вебер-амперная характеристика (3.5) линейна и соответствует линейному индуктивному элементу. Если же L зависит от тока или напряжения, то потокосцепление (3.5) становится нелинейной функцией и соответствует нелинейной индуктивности. Связь между током и напряжением на индуктивности определяется согласно закону электромагнитной индукции линейными соотношениями: u d dt L di , dt i 1 udt , L (3.6) Лекция 3. Элементы электрических цепей 39 т. е. напряжение на индуктивности пропорционально скорости изменения протекающего через неѐ тока. Следовательно, при протекании через индуктивность постоянного тока напряжение на ней равно нулю u = 0, и схема замещения элемента индуктивности соответствует коротко замкнутому участку цепи (рис. 3.3, б). i (t ) i(t) u(t) L I0 u(t)=0 const L а i (t ) I0 const u(t)=0 б Рис. изображение б а 3.3. Индуктивность: а) графическое при согласованном выборе направлений напряжения и тока, б) при протекании постоянного тока ("режим короткого замыкания") Поскольку в действительности ток через индуктивность проходит в течение некоторого промежутка времени t – t0, начиная с момента начала его отсчѐта, необходимо от неопределѐнного интеграла (3.6) перейти к определѐнному интегралу с переменным верхним пределом: i (t ) 1t u (t )dt i (t0 ) , Lt (3.7) 0 где i(t0) — значение тока i(t) в момент t = t0. Известно, что интеграл с переменным верхним пределом от кусочнонепрерывной функции есть непрерывная функция этого предела. В нашем случае это означает, что ток в индуктивности (3.7) является непрерывной функцией времени даже при наличии в приложенном напряжении разрывов непрерывности первого рода ("скачков" напряжения). Доказанное свойство называют законом коммутации тока, проходящего через индуктивность, и формулируют следующим образом: при любом конечном приращении напряжения на зажимах индуктивности ток в индуктивности не может претерпевать скачка, т. е. ток в индуктивности является непрерывной функцией времени. Часть I. Глава 1 40 Математически это свойство1 записывают в виде: i(t 0) i(t 0) . Мгновенная мощность электрических колебаний в индуктивности p uLi Li di dt может быть как положительной, так и отрицательной. В первом случае ( p 0) в индуктивности энергия накапливается, а во втором ( p 0) — энергия, ранее запасѐнная в элементе, отдаѐтся во внешнюю по отношению к нему электрическую цепь. Количество электрической энергии, запасѐнной в индуктивности за конечный интервал времени t t0 0 WL t pdt t0 t t0 Li Li 2 2 di dt dt 0, (3.8) не может быть отрицательным. Ёмкость (рис. 3.4, а) обладает только свойством накопления энергии электрического поля. Еѐ свойства описываются линейной математической моделью, называемой вольт-кулонной характеристикой q Cu . (3.9) Коэффициент пропорциональности C > 0 в (3.9) называется, как и сам элемент, ѐмкостью, измеряется в фарадах (Ф). Если С = const, то характеристика (3.9) линейна и соответствует линейной ѐмкости. Если же С зависит от тока (напряжения), то зависимость (3.9) становится нелинейной и соответствует нелинейной ѐмкости. Связь между током и напряжением на ѐмкости определяются линейными соотношениями: dq du i C (3.10) dt dt и 1 1 t u (t ) i (t )dt u (t ) i (t )dt u (t0 ) , (3.11) C Ct 0 т. е. ток в ѐмкости пропорционален скорости изменения приложенного к ней напряжения. При несогласованной системе отсчѐта тока и напряжения в выражениях (3.10) и (3.11) необходимо поставить знак "–" в одной из частей 1 Соотношение может нарушаться при воздействии на элемент индуктивности кратковременных (импульсных) напряжений бесконечно большой величины. Лекция 3. Элементы электрических цепей 41 равенства. Следовательно, при постоянном напряжении u = const ток в ѐмкости равен нулю i = 0, и схема замещения элемента ѐмкости соответствует разрыву цепи (рис. 3.4, б). i(t) C u(t) а i (t ) i (t ) u(t ) E0 const 0 u(t ) C E0 const б Рис. 3.4. Ёмкость: а) графическое изображение при согласованном выборе направлений напряжения и тока, б) при подаче постоянного напряжения ("разрыв") Выражение (3.11) имеет переменный верхний предел и, подобно выражению (3.7), позволяет сформулировать закон коммутации напряжения на ёмкости: при любом конечном приращении тока, проходящего через элемент ѐмкости, напряжение на его зажимах не может претерпевать скачка. Мгновенная мощность электрических колебаний в ѐмкости p uC i CuC duC dt может быть как положительной, так и отрицательной. В первом случае ( p 0) в элементе ѐмкости энергия электрического поля накапливается, а во втором ( p 0) — энергия, ранее запасѐнная в элементе, отдаѐтся во внешнюю по отношению к нему электрическую цепь. Количество энергии, запасѐнной в ѐмкости за конечный интервал времени t t0 0 WC t t0 pdt t t0 Cu du Cu 2 dt dt 2 0, (3.12) не может быть отрицательным. Запас энергии определяется мгновенным значением напряжения на ѐмкости и не зависит от предыстории напряжения. Часть I. Глава 1 42 Таким образом, рассмотренные элементы можно разделить на две группы:  одна группа элементов способна только рассеивать подведѐнную к ним электрическую энергию, т. е. необратимо преобразовывать еѐ, например, в тепловую, механическую и др.; эту группу составляют активные сопротивления;  вторая группа элементов способна накапливать энергию с последующей отдачей еѐ во внешнюю по отношению к элементу электрическую цепь; эту группу составляют реактивные элементы: индуктивности (запасает энергию в магнитном поле) и ѐмкости (запасает энергию в электрическом поле). Однако обе эти группы элементов обладают одним общим свойством: они могут только потреблять электроэнергию. Этим и объясняется их общее название — пассивные. 3.1.2. Источники (активные элементы) Возникновение колебаний в электрической цепи невозможно без подведения к ней электрической энергии. Устройства, которые вносят в цепь электрическую энергию, называются генераторами. Реальные генераторы, их особые свойства, назначение и методы конструирования изучаются в специальных курсах. В теории электрических цепей свойства реальных генераторов идеализируются, что приводит к двум разновидностям активных элементов электрических цепей: источникам напряжений и источникам токов, которые обладают только одни свойством — вносить энергию в электрическую цепь. Источники вносят энергию в электрическую цепь и могут быть независимыми и зависимыми. Независимые источники Источником напряжения (независимым источником напряжения) называют двухполюсный идеализированный элемент, напряжение на выходных зажимах которого не зависит от свойств цепи, являющейся внешней по отношению к нему; иначе говоря, напряжение на его зажимах не зависит от величины тока, потребляемой цепью. Встречающиеся в литературе графические изображения источника напряжения с указанием направления отсчѐта (стрелкой или знаками "+" и "–") представлены на рис. 3.5. При этом считается, что внутреннее сопротивление источника напряжения равно нулю. В данном курсе лекций используются изображения, показанные на рис. 3.5, в, г, причѐм E = const — разность потенциалов на внешних зажимах источника постоянного напряжения. Лекция 3. Элементы электрических цепей + uг (t ) а uг (t ) 43 + uг (t ) E в г б + - Рис. 3.5. Изображения независимых источников напряжения: а, б, в) возможные варианты, г) постоянного напряжения Источник напряжения полностью характеризуется своим задающим напряжением uг, или электродвижущей силой (ЭДС). Графическое изображение источника постоянного напряжения uг = E = const приведено на рис. 3.5, в. Источник напряжения способен отдавать во внешнюю цепь сколь угодно большую мощность. П Р И МЕ Ч А Н И Е Режим короткого замыкания источника напряжения в теории электрических цепей не рассматривается, поскольку устройство, обладающее свойствами источника напряжения в таком случае, не может быть физически осуществлено; по этой же причине в теории электрических цепей не рассматривается параллельное соединение источников напряжения. Источником тока (независимым источником тока) называют двухполюсный идеализированный элемент, электрический ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Иначе говоря, ток на его внешних зажимах изменяется во времени по заданному закону независимо от напряжения, образующегося на подключѐнной к нему цепи (т. е. не зависит от свойств цепи). Ток, полностью характеризующий источник, называют задающим током источника, или просто током источника. Графическое изображение источника тока показано на рис. 3.6, где положительное направление задающего тока i(t) указано стрелками. Разрыв между стрелками отражает тот факт, что внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности. i (t ) Рис. 3.6. Независимый источник тока Часть I. Глава 1 44 Источник тока, как и источник напряжения, способен отдавать во внешнюю цепь сколь угодно большую мощность. П Р И МЕ Ч А Н И Е Режим холостого хода (при разомкнутых внешних зажимах) источника тока и последовательное соединение источников тока противоречат определению источника тока и по этой причине в теории электрических цепей не рассматриваются. Таким образом, рассмотренные источники напряжения и тока называются независимыми, поскольку как задающее напряжение источника напряжения, так и задающий ток источника тока определяются только внутренними свойствами источников и не зависят от внешних воздействий. Зависимые источники Зависимый источник представляет собой четырѐхполюсный элемент с двумя парами зажимов: входных и выходных; при этом входные токи iвх и напряжения uвх являются управляющими. Различают четыре типа зависимых источников:  источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН); в этом ис- точнике входное сопротивление бесконечно велико (рис. 3.7), входной ток iвх = 0, а выходное напряжение связано с входным соотношением u = kuвх, где k — безразмерный коэффициент, полностью характеризующий источник; таким образом, ИНУН является идеальным усилителем напряжения; iвх uвх 0 ИНУН uвых kuвх uвх uвых kuвх Rвх а б б Рис. а 3.7. Источник напряжения, управляемый напряжением: а) изображение, б) схема замещения  источник напряжения, управляемый током (ИНУТ); в этом источнике входное сопротивление равно нулю, т. е. входная проводимость бесконечно Лекция 3. Элементы электрических цепей 45 велика (рис. 3.8): входное напряжение uвх = 0, а выходное напряжение связано с входным током соотношением u = riвх, где r — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность сопротивления; iвх iвх uвх ИНУТ 0 Rвх uвых riвх uвх uвых 0 riвх 0 бб а а Рис. 3.8. Источник напряжения, управляемый током: а) изображение, б) схема замещения  источник тока, управляемый напряжением (ИТУН); в этом источнике (рис. 3.9) входной ток iвх 0 , а выходной ток связан с входным напряжением соотношением i = guвх, где g — коэффициент, имеющий размерность проводимости; iвх iвх uвх 0 iвых ИТУН guвх uвх 0 i i guвх Rвх а а б б Рис. 3.9. Источник тока, управляемый напряжением: а) изображение, б) схема замещения  источник тока, управляемый током (ИТУТ); в этом источнике (рис. 3.10) входное напряжение uвх = 0, а выходной ток связан с входным током соотношением u = βiвх, где β — безразмерный коэффициент усиления по току; это — идеальный усилитель тока. Часть I. Глава 1 46 iвх iвх uвх ИТУТ 0 Rвх iвых βiвх iвых iвых βiвх 0 а б а б Рис. 3.10. Источник тока, управляемый током: а) изображение, б) схема замещения Важно: коэффициенты k, r, g, β представляют собой вещественные положительные числа и полностью характеризуют соответствующий источник. 3.3. Схемы замещения реальных элементов ЭЦ Рассмотренные в разд. 3.1.1 идеальные пассивные элементы не полностью отражают свойства соответствующих реальных радиодеталей, включѐнных в электрическую цепь. Все радиодетали реагируют на тепловые, электромагнитные и частотные изменения, происходящие в цепи. С целью повышения точности моделирования цепи необходимо учитывать реальные свойства резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности на различных частотах, а также неизбежные потери энергии за счѐт еѐ рассеивания в этих устройствах. Для отражения реальных свойств радиодеталей используют их схемы замещения (модели). Резистор воспроизводит с необходимой точностью свойства резистивного сопротивления требуемого номинала в заданных интервалах изменения напряжения, тока, температуры и в определѐнном диапазоне частот. Однако на высоких частотах резистор невозможно описать идеальным резистивным элементом вследствие влияния так называемых "паразитной" ѐмкости Cп и "паразитной" индуктивности Lп (рис. 3.11). На высоких частотах более точной является модель параллельного соединения R и Cп (рис. 3.11, а), когда сопротивление резистора уменьшается. В ряде случаев необходимо учитывать эффект накопления энергии магнитного поля в элементах резистора, что осуществляется введением в модель "паразитной" индуктивности Lп (рис. 3.11, б), когда сопротивление резистора возрастает. На высоких Лекция 3. Элементы электрических цепей 47 и сверхвысоких частотах начинает проявляться поверхностный эффект, выражающийся в неравномерном распределении тока по сечению проводника (скин-эффект). Это приводит к росту сопротивления R проводника с увеличением частоты. Причѐм чем толще проводник, тем при меньших частотах начинает проявляться скин-эффект. На СВЧ зависимость сопротивления круглого медного проводника от частоты f выражается эмпирической формулой R R0 3,85d f , где R0 — сопротивление проводника постоянному току в омах (Ом); d — диаметр сечения проводника в миллиметрах (мм); f — частота в мегагерцах (МГц). Lп Cп R а а Cп R бб Рис. 3.11. Схемы замещения резистора на высоких частотах: а) сопротивление уменьшается, б) сопротивление увеличивается В конденсаторах и катушках индуктивности подведѐнная к ним энергия не только запасается, но и рассеивается. Конденсатор своей моделью имеет элемент ѐмкости. Рассеивание энергии в конденсаторе происходит в диэлектрике, что необходимо учитывать введением в схему замещения (рис. 3.12, а) параллельной "паразитной" проводимости Cп; кроме того, в конструктивных элементах конденсатора запасается энергия магнитного поля, которую можно учесть введением последовательно соединѐнной "паразитной" индуктивности Lп. Часть I. Глава 1 48 Lп Rп Gп C L L Rп Cп а б в б а 3.12. Схемы замещения: а) конденсатора, в Рис. б) катушки индуктивности на нижних частотах, в) катушки индуктивности на верхних частотах Катушка индуктивности простейшей моделью имеет индуктивность. Рассеяние энергии в катушке обусловлено конечным сопротивлением провода катушки, потерями, которые вызываются образованием вихревых токов в окружающих катушку проводниках, что можно учесть введением "паразитного" сопротивления Rп; кроме того, в конструктивных элементах катушки запасается энергия электрического поля, которую можно учесть введением параллельно соединѐнной "паразитной" ѐмкости Cп. В области нижних частот определяющими являются потери, обусловленные сопротивлением провода катушки, которое учитывается введением последовательного "паразитного" сопротивления Rп (рис. 3.12, б). В области верхних частот потери обусловливаются как вихревыми токами в проводе катушки и в окружающих еѐ проводниках, так и энергией электрического поля, поэтому в данном случае целесообразно использовать схему замещения, изображѐнную на рис. 3.12, в. Операционный усилитель (ОУ) — пример зависимого источника напряжения; выпускается в виде отдельной микросхемы широкого назначения (рис. 3.13, а). Усилитель имеет две пары входных зажимов (два входа) и одну пару выходных зажимов (один выход). При подаче на вход 1 напряжения uвх1 выходное напряжение uвых имеет ту же полярность, что и uвх1, а при подаче напряжения uвх2 на вход 2 выходное напряжение будет иметь обратную полярность. Простейшая схема замещения ОУ (рис. 3.10, б) включает в себя ИНУН с бесконечно большим коэффициентом усиления (μ → ), подсоединѐнный к выходным зажимам усилителя. Задающее напряжение пропорционально разности напряжений uвх1 и uвх2, подведѐнных к входным зажимам 01 Лекция 3. Элементы электрических цепей 49 и 02 усилителя. Схема замещения реального ОУ (рис. 3.13, в) содержит резистивные сопротивления, имитирующие конечное входное Rвх и выходное Rвых сопротивления усилителя, причѐм Rвх >> Rвых, а коэффициент усиления реального усилителя исчисляется в десятках и сотнях тысяч единиц. Операционный усилитель и случаи его применения рассмотрены в лекции 42. 3 1 uвх1 0 2 uвых uвх2 инвертирующий вход 3 1 uвх1 2 0 1 uвх1 2 0 а uвх2 uвых μ(uвх1 uвх2 ) μ б Rвых Rвх uвх2 uвых 3 μ(uвх1 uвх2 ) в Рис. 3.13. Операционный усилитель: а) схемные изображения, б) схема замещения идеального ОУ, в) схема замещения реального ОУ 3.3. Параллельные и последовательные соединения однотипных элементов. Принцип эквивалентности 3.3.1. Параллельные соединения На рис. 3.14 приведены схемы параллельного соединения элементов. Каждая из схем имеет по два узла Nу = 2, и к любому элементу цепи приложено одинаковое напряжение u. Часть I. Глава 1 50 Задача 3.1. Определить эквивалентное сопротивление, эквивалентную ѐмкость, эквивалентную индуктивность и эквивалентный ток соответствующей цепи. Решение. Зададимся произвольными направлениями отсчѐтов токов в элементах и запишем уравнения согласно первому закону Кирхгофа (ЗТК) для каждой схемы, по которому n i k 1 ik . (3.13)  Для параллельного соединения резистивных элементов (рис. 3.14, а) со- гласно (3.13) имеем i n k 1 n ik k u 1 Rk u n k 1 1 Rk u n k 1 Gk uG u 1 . Rэ (3.14) Таким образом, при параллельном соединении проводимости складываются, а эквивалентное сопротивление меньше наименьшего. i1 i2 i in R3 R2 u R1 i3 Rn u Rэ а i3 i2 i1 C2 u C1 in C3 Cn u Cэ б u i1 i2 i3 in L1 L2 L3 Ln i Lэ u в i0 i1 i2 i3 in iэ г Рис. 3.14. Параллельное соединение элементов: а) сопротивлений, б) ѐмкостей, в) индуктивностей, г) источников тока Лекция 3. Элементы электрических цепей 51 Пример 3.1. Найти эквивалентное сопротивление параллельно соединѐнных сопротивлений R1 5 Ом и R2 20 Ом. Воспользуемся выражением (3.14) 1 Rэ откуда Rэ 1 5 1 20 4 1 20 5 , 20 4 Ом. Отсюда же нетрудно получить общее выражение для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединѐнных резистивных элементов R1R2 . R1 R2 Rэ (3.15) В общем случае эквивалентное сопротивление параллельно соединѐнных резистивных элементов рассчитывается согласно выражению (3.14) по формуле: 1 Gэ Rэ 1 n k 1 R 1 k . (3.16)  Для параллельного соединения ѐмкостей (рис. 3.14, б) согласно (3.13) имеем n i k 1 n ik k 1 du n Ck dt k 1 du dt Ck du Cэ , dt (3.17) откуда Cэ n k 1 Ck . (3.18) Таким образом, при параллельном соединении элементов ѐмкости эквивалентная ѐмкость представляет собой сумму значений всех элементов.  Для параллельного соединения индуктивных элементов (рис. 3.14, в) со- гласно (3.13) имеем i n k 1 ik n k 1 udt 1 Lk udt n k 1 1 Lk 1 udt , Lэ (3.19) откуда n k 1 1 Lk 1 . Lэ (3.20) Часть I. Глава 1 52 Таким образом, при параллельном соединении элементов индуктивности, подобно элементам сопротивления, суммируются обратные индуктивности, эквивалентная индуктивность меньше наименьшей и вычисляется по формуле 1 Lэ n k 1 1 Lk , (3.21) в частности, для двух параллельно соединѐнных элементов индуктивности Lэ L1L2 . L1 L2 (3.22)  Для параллельного соединения источников тока (рис. 3.14, г) согласно (3.13) имеем iэ i1 i2 i3 in n k 1 ik , (3.23) где знаки определяются согласно выбранному положительному направлению тока. 3.3.3. Последовательные соединения При последовательном соединении (рис. 3.15) согласно первому закону Кирхгофа (ЗТК) через все элементы протекает один и тот же ток. Это означает, что напряжение uk на каждом из элементов в общем случае различное. Согласно второму закону (ЗНК) напряжение, приложенное ко всей цепи, равно u n k 1 uk . (3.24) Отсюда получаем:  для последовательного соединения резистивных элементов (рис. 3.15, а) u n k 1 uk n k 1 iRk i n k 1 Rk iRэ , следовательно, Rэ n k 1 Rk ; (3.25) Лекция 3. Элементы электрических цепей 53 i i u1 u1 R1 i u2 u un i u2 R2 u C1 C2 u Rэ un Rn Cэ Cn а б i u1 e1 L1 i u2 L2 un Ln e2 eэ Lэ u u e0 en в г Рис. 3.15. Последовательное соединение элементов: а) сопротивлений, б) ѐмкостей, в) индуктивностей, г) источников напряжения  для последовательного соединения ѐмкостных элементов (рис. 3.15, б) u n k 1 uk n k 1 idt 1 Ck idt n k 1 1 Ck 1 idt , Cэ следовательно, 1 Cэ n k 1 , 1 Ck (3.26) Часть I. Глава 1 54 откуда 1 Cэ n k , 1 1 Ck (3.27) а для двух последовательно соединѐнных ѐмкостей имеем: C1C2 ; C1 C2 Cэ (3.28)  для последовательного соединения индуктивных элементов (рис. 3.15, в) u n k 1 uk n k 1 Lk di n Lk dt k 1 di dt du Lэ , dt следовательно, Lэ n k 1 Lk ; (3.29)  для последовательного соединения источников напряжения (рис. 3.15, г) имеем eэ e1 e2 e3 en n k 1 ek , (3.30) где знаки определяются согласно выбранному положительному направлению напряжения. L2 C2 1 R U вх L1 1 Z вх R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Глава 2 Общие методы анализа электрических цепей Лекция 4. Расчёт резистивных электрических цепей в статическом режиме Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей Лекция 6. Основные теоремы теории цепей L2 C2 1 R U вх Лекция 4 1 Z вх 2 H ( jω) U вых ( jω) L1 U вых U вх ( jω) C1 R 2 R Расчёт резистивных электрических цепей в статическом режиме Приступая к изучению методов анализа электрических цепей, следует напомнить (см. разд. 2.3), что задача анализа включает в себя, во-первых, составление уравнений электромагнитного состояния цепи и, во-вторых, решение этих уравнений относительно искомых величин. Если уравнения найдены, то они могут быть решены какими-либо известными из математики способами. Поэтому изучение методов составления уравнений состояния является важнейшей целью теории цепей. i1 R1 i3 R2 i2 C1 E i5 R3 L i4 C2 u2 L i7 i6 C3 u4 R6 u6 а I1 E R1 R2 I3 U2 R3 U4 R6 U6 б Рис. 4.1. Электрическая цепь: в статическом режиме (а), эквивалентная модель цепи (б) Электрическая цепь характеризуется режимом работы, который определяет характер действующих в ней напряжений и токов. Наиболее просто задача составления уравнений решается для цепей, находящихся в статическом режиме. Говорят, что цепь находится в статическом режиме, если все действующие в ней токи и напряжения являются постоянными. Статический режим соответствует постоянному току (рис. 4.1, а). В этом случае схема Часть I. Глава 2 58 замещения индуктивности представляет собой короткозамкнутую цепь, а схема замещения ѐмкости — разрыв цепи (см. разд. 3.1.1). Поэтому в эквивалентной модели цепи (рис. 4.1, б), находящейся в статическом режиме, содержатся только резистивные элементы. Иначе говоря, в статическом режиме имеем резистивную модель цепи, что позволяет ограничиться анализом только резистивной цепи. Тем не менее, результаты, полученные для этого случая, в последующем будут распространены на анализ линейных цепей общего вида. 4.1. Расчёт последовательных электрических цепей (делители напряжений) Рассмотрим последовательную электрическую цепь, состоящую из n резистивных элементов и одного источника напряжения (рис. 4.2). Задача 4.1. Определить ток i в цепи и напряжения {uk } на резистивных элементах. Решение. Согласно закону Ома для выбранных направлений отсчѐтов тока и напряжений получим: i e n k 1 uk iRk ; Rk e n k 1 i e Rk u1 u2 R1 R2 Rk . Rn un Рис. 4.2. Делитель напряжений Вывод: для определения напряжения на любом элементе последовательной цепи необходимо заданное напряжение источника разделить на сумму Лекция 4. Расчёт резистивных электрических цепей в статическом режиме 59 сопротивлений всех резистивных элементов и умножить на сопротивление данного элемента. Полученное положение часто называют правилом деления напряжений, а саму цепь — делителем напряжений. 4.2. Расчёт параллельных электрических цепей (делители токов) Рассмотрим параллельную электрическую цепь, состоящую из n резистивных элементов и одного источника тока (рис. 4.3). Задача 4.2. Определить напряжение u на зажимах цепи и токи {ik } в резистивных элементах. Решение. Согласно закону Ома для выбранных направлений отсчѐта тока и напряжений получим: i0 i0 u ; n Gэ Gk k 1 ik uGk n i0 k 1 i2 i1 i0 R1 Gk Gk . R2 in Rn u Рис. 4.3. Делитель токов Вывод: для определения тока в любом резистивном элементе параллельной цепи необходимо задающий ток i0 источника разделить на сумму проводимостей всех элементов и умножить на проводимость того элемента, по которому протекает искомый ток. Полученное положение часто называют правилом деления токов, а саму цепь — делителем токов. Часть I. Глава 2 60 4.3. Расчёт параллельно-последовательных электрических цепей ОПРЕДЕЛЕНИЕ Параллельно-последовательной электрической цепью называется цепь, которая представляет собой совокупность ветвей, связанных между собой только параллельно или последовательно. Пример такой цепи приведѐн на рис. 4.4, а, где резистивные элементы R6 и R7 включены последовательно; параллельно к ним подключѐн элемент R5. Последовательно с двухполюсником из элементов R5, R6 и R7 подключѐн элемент R4 и т. д. вплоть до элемента R1, соединѐнного параллельно с источником тока и двухполюсником, образуемым всеми остальными элементами цепи. Если цепь рис. 4.4, а дополнить резистивным элементом или каким-либо источником, включѐнным не между смежными узлами, то полученная цепь уже не будет параллельно-последовательной; такая цепь получается, например, при включении элемента R8 между узлами 2 и 4 (рис. 4.4, б). 1 2 R1 i0 3 R2 4 R4 R5 R3 R6 R7 0 а R8 1 i0 2 R1 3 R2 4 R4 R3 0 R5 R7 б Рис. 4.4. Электрические цепи: параллельно-последовательная (а), цепь, не являющаяся параллельно-последовательной (б) Лекция 4. Расчёт резистивных электрических цепей в статическом режиме 61 4.3.1. Расчёт параллельно-последовательных электрических цепей с одним источником Напряжения и токи в параллельно-последовательных резистивных цепях с одним источником находятся путѐм эквивалентных преобразований схемы заданной цепи в направлении к источнику тока i0 или источнику напряжения e по следующему правилу:  анализируется структура цепи и выделяется самый удалѐнный от источни- ка воздействия элемент, от которого и начинаются эквивалентные преобразования;  резистивные элементы, соединѐнные только последовательно или только параллельно, заменяются их эквивалентами;  эквивалентные замены проводятся до тех пор, пока схема заданной цепи не преобразуется в схему последовательной или параллельной цепи;  для полученной эквивалентной цепи по закону Ома находится ток, проте- кающий через источник напряжения, или напряжение на зажимах источника задающего тока;  исходная схема цепи восстанавливается в обратном порядке и на основа- нии правил, установленных в разд. 4.1 и 4.2, находятся токи, протекающие в элементах, и напряжения на этих элементах. Пример 4.1. Найти напряжения на элементах параллельно-последовательной цепи, изображѐнной на рис. 4.5, а. 1 u1 u2 i1 R1 e 2 i3 R2 u2 i4 3 i5 R4 R3 0 u4 u3 0 i6 u6 4 1 R6 R5 u7 R7 u1 i1 R1 u2 2 i3 R2 u2 R3 0 e 0 а б Рис. 4.5. К примеруа 4.1: а) заданная параллельно-последовательнаяб цепь, б) последовательная цепь после эквивалентных преобразований 0 7 Часть I. Глава 2 62 Решение. Эквивалентные преобразования: а) последовательно соединѐнные элементы R6 и R7 заменяются двухполюсником R6 7 R6 R7 ; б) параллельно соединѐнные элемент R5 и двухполюсник R6-7, включѐнные между узлами 3 – 0, заменяются двухполюсником R5 R5 R6 7 ; R5 R6 7 7 в) последовательно соединѐнные элемент R4 и двухполюсник R5–7 заменяются двухполюсником R4 7 R4 R5 7 ; г) параллельно соединѐнные элемент R3 и двухполюсник R4–7, включѐнные между узлами 2 – 0, заменяются двухполюсником R3 R3 R4 7 . R3 R4 7 7 На этом эквивалентные преобразования завершаются, поскольку полученная эквивалентная цепь (рис. 4.5, б) представляет собой последовательное соединение источника напряжения e, элементов R1, R2 и двухполюсника R3–7. Вычисление токов и напряжений на элементах схемы эквивалентной цепи: e i1 R1 R2 , R3 7 по правилу деления напряжений получаем: u1 i1R1; u2 i1R2 ; u0 2 i1R3 7 . Вычисление токов и напряжений на резистивных элементах схемы исходной цепи (в обратном порядке для восстановления цепи): а) по правилу деления токов находим ток i4, протекающий через элемент R4 и двухполюсник R5-7 i4 i1 R3 R3 R4 ; 7 Лекция 4. Расчёт резистивных электрических цепей в статическом режиме 63 б) по правилу деления напряжений вычисляем напряжение на элементе R4 и на двухполюснике R5-7 (между узлами 3 – 0) u4 i4 R4 ; u0 3 i1R3 7 ; в) аналогично определяем токи i5 и i6 i5 i4 R5 R6 7 R6 7 ; i6 i4 R5 R5 R6 7 и напряжения на элементах R6 и R7 u6 i6 R6 ; u7 i6 R7 . 4.3.2. Расчёт параллельно-последовательных электрических цепей с несколькими источниками Для нахождения токов и напряжений в цепи с несколькими независимыми источниками применяется свойство аддитивности линейной цепи (1.2), называемое часто принципом наложения или суперпозиции, который обычно формулируют в виде теоремы: Реакция линейной электрической цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности. Смысл принципа наложения состоит в том, что если к линейной электрической цепи подведено n воздействий, например, в виде ЭДС e1(t ), e2 (t ), , en (t ), то реакция в любом из элементов цепи, например ток i(t), будет представлять сумму токов ik(t) : i(t ) n k 1 ik (t ), где ik(t) — ток в рассматриваемом элементе цепи, вызываемый воздействием ЭДС k-го источника ek(t) при условии, что ЭДС остальных источников положены равными нулю. Принцип наложения является следствием линейности оператора, с помощью которого описывается электрическая цепь (см. разд. 1.4). Именно этот принцип может быть использован для практического определения линейности цепи: если в результате эксперимента над некоторой электрической цепью окажется, что реакция цепи на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности, то исследуемая цепь является линейной. Часть I. Глава 2 64 Пример 4.2. Найти напряжения на резистивном элементе R2 параллельнопоследовательной цепи с двумя независимыми источниками, изображѐнной на рис. 4.6, а. e R1 u2 R2 i0 e R1 R1 ue R2 аа ui R2 б б i0 вв Рис. 4.6. К примеру 4.2: заданная цепь (а), последовательная цепь с одним источником напряжения (б), параллельная цепь с одним источником тока (в) Решение. Согласно принципу наложения напряжение u2 равно сумме напряжений ue и ui, создаваемых соответственно источником напряжения и источником тока в отдельности u2 ue ui . 1. Положим, что в цепи имеется только источник напряжения, а задающий ток источника тока равен нулю; в этом случае ветвь, содержащая источник тока, оказывается разомкнутой (рис. 4.6, б); тогда образуется последовательная цепь, в которой ue e R2 . R1 R2 (4.1) 2. Положим, что в цепи имеется только источник тока, а задающее напряжение источника напряжения равно нулю; в этом случае ветвь, содержащая источник напряжения, оказывается замкнутой накоротко (рис. 4.6, в); тогда образуется параллельная цепь, в которой ui i0 R1R2 . R1 R2 (4.2) Складывая (4.1) и (4.2), окончательно получаем u ue ui e R2 R1 R2 i0 R1R2 R1 R2 R2 (e i0 R1 ). R1 R2 (4.3) Лекция 4. Расчёт резистивных электрических цепей в статическом режиме 65 4.4. Расчёт электрических цепей методами уравнений Кирхгофа На практике электрические цепи являются не столь простыми, нежели рассмотренные, и далеко не всегда представляют собой комбинацию последовательно и параллельно соединѐнных ветвей. Примером часто используемой цепи является удлинитель (рис. 4.7). Расчѐт (анализ) таких цепей осуществляются на основании прямого применения законов Кирхгофа (см. лекцию 2). u5 i5 1 e i1 III R1 u1 I R5 R3 2 i2 u2 R2 i3 u3 I R4 I 3 i4 u4 0 Рис. 4.7. Удлинитель В зависимости от того, что подлежит определению, различают два метода: метод токов ветвей и метод напряжений ветвей, которые обычно называют прямыми методами расчѐта цепей. Метод уравнений Кирхгофа заключается в составлении и решении трѐх групп уравнений:  уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов;  уравнений по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров;  уравнений по закону Ома для каждого элемента цепи. 4.4.1. Метод токов ветвей В методе токов ветвей неизвестными, подлежащими определению, являются токи ветвей. Существо метода состоит в следующем. Пусть цепь содержит Nу узлов и Nв ветвей, включая источники напряжения. Поскольку неизвестными являются токи в ветвях, число необходимых неза- Часть I. Глава 2 66 висимых уравнений должно быть равно Nв. По первому закону Кирхгофа можно составить только Nт Nу 1 независимых уравнений (2.4). По второму закону Кирхгофа можно составить только Nн Nв Nт Nв Nу 1 независимых уравнений (2.6). На основании полученных зависимостей можно сформулировать порядок расчѐта цепи рассматриваемым методом: 1. На схеме цепи выбираются положительные направления токов в ветвях и напряжений на элементах. 2. Составляется Nт независимых уравнений относительно токов в узлах по первому закону Кирхгофа. 3. Составляется Nн независимых уравнений относительно контурных токов по второму закону Кирхгофа. 4. Напряжения на резистивных элементах, входящие в уравнения п. 3, выражаются через токи по закону Ома. 5. Полученная система из Nв уравнений решается относительно искомых величин. Пример 4.3. Рассчитать токи всех ветвей удлинителя (см. рис. 4.7). Решение. Для однозначного составления уравнений выберем направления токов и напряжений такими, как показано на рисунке. Удлинитель имеет 4 узла и 6 ветвей, поэтому по первому закону Кирхгофа можно составить Nт Nу 1 4 1 3 независимых уравнения: для узла1 i0 i1 i5 0; для узла 2 i1 i2 i3 0; для узла 3 i5 i3 i4 0, и по второму закону Кирхгофа можно составить также Nн Nв Nт Nв Nу 1 6 4 1 3 (4.4) Лекция 4. Расчёт резистивных электрических цепей в статическом режиме 67 независимых уравнения; при выбранных направлениях обхода контуров получаем: для контура I для контура II для контура III u1 u2 e 0; u2 u3 u4 0; u1 u3 u5 0. (4.5) Выразим напряжения ui на резисторах Ri через токи ui = iiRi и полученные выражения подставим в систему уравнений для напряжений в контурах: i1R1 i2 R2 i2 R2 e 0; i3 R3 i4 R4 0; i1R1 i3 R3 i5 R5 0. (4.6) Объединение систем уравнений 4.4 и 4.6 даѐт систему (4.7), в которой переменными являются токи ветвей (элементов). i0 i1 i5 i1 i2 i5 i3 0; i3 i4 0; i1R1 i2 R2 i2 R2 0; e 0; i3 R3 i4 R4 0; i1R1 i3 R3 i5 R5 0. (4.7) Объединѐнная система уравнений является неоднородной системой из шести алгебраических уравнений относительно такого же числа неизвестных i0 i5 . 4.4.2. Метод напряжений ветвей В методе напряжений ветвей неизвестными, подлежащими определению, являются напряжения на элементах цепи. Метод подобен методу, рассмотренному в разд. 4.4.1, а именно: так же, как и в предыдущем случае, составляются две системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, однако теперь все токи ветвей выражаются через напряжения и проводимости резисторов по закону Ома. Две полученные системы объединяются в одну, результатом решения которой оказываются напряжения на резисторах. Пример 4.3. Рассчитать напряжения на элементах удлинителя (см. рис. 4.7) при выбранных на рисунке направлениях токов и напряжений. Часть I. Глава 2 68 Решение. Составляются системы уравнений (4.4) и (4.5), после чего в системе (4.4) токи ik выражаются через напряжения uk на резисторах Rk: ik = ukGk. В результате получаем систему eG0 u1G1 u5G5 u1G1 u2G2 u5G5 0; u3G3 0; u3G3 u4G4 0, (4.8) где G0 является эквивалентной проводимостью всей цепи. Объединением (4.5) и (4.8) получаем систему u1 u2 u2 e 0; u3 u4 0; u1 u3 u5 0; eG0 u1G1 u5G5 0; u1G1 u2G2 u5G5 u3G3 0; u3G3 u4G4 0, (4.9) в которой неизвестными являются напряжения на резисторах. Видно, что метод напряжений ветвей является дуальным по отношению к методу токов ветвей, т. к. для получения системы (4.9) достаточно в системе (4.7) произвести простую замену токов на напряжения и сопротивлений на проводимости. L2 C2 1 R U вх Лекция 5 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Методы анализа сложных электрических цепей Электрические цепи, которые не являются параллельно-последовательными, называются сложными. Для анализа сложных цепей используются прямые методы: метод узловых напряжений и метод контурных токов. Изучение указанных методов для простоты будет проводиться на примере резистивных цепей, что не утратит общности получаемых результатов. 5.1. Метод узловых напряжений Метод узловых напряжений (узловых потенциалов) является наиболее общим. Он базируется на первом законе Кирхгофа (ЗТК) и законе Ома. В отличие от методов, рассмотренных в лекции 4, метод позволяет уменьшить число уравнений, описывающих схему, до величины, равной количеству рѐбер (ветвей) дерева (2.1) N ун Nв Nр Nу 1. (5.1) Идея метода состоит в следующем: 1. Выбирается базисный узел — один из узлов цепи, относительно которого рассчитываются напряжения во всех узлах; базисный узел помечается цифрой 0. 2. Потенциал базисного узла принимается равным нулю. 3. Рассчитываются напряжения во всех узлах относительно базисного. 4. По закону Ома находятся токи и напряжения в соответствующих ветвях. Напряжения в узлах цепи, отсчитанные относительно базисного, называют узловыми напряжениями. Часть I. Глава 2 70 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Метод анализа колебаний в электрических цепях, в котором неизвестными, подлежащими определению, являются узловые напряжения, называется методом узловых напряжений. В дальнейшем будем полагать, что цепь имеет Nу – 1 независимых узлов и содержит, помимо элементов активных сопротивлений, лишь источники тока. Часть такой цепи изображена на рис. 5.1, где приняты следующие обозначения:  ik — задающий ток источника тока, который может быть подключѐн к k-му узлу; этот ток считается известным и характеризует воздействие на цепь;  uk — узловое напряжение k-го узла, отсчитанное относительно нулевого (базисного) узла;  Gkl — активная проводимость, связывающая k-ый и l-ый узлы;  ikl — ток в ветви между k-ым и l-ым узлами, отсчитываемый от k-го узла в направлении l-го; токи, направления отсчѐтов которых ориентированы от узла, входят в уравнения со знаком "+";  ukl — напряжение в ветви между k-ым и l-ым узлами. G13 i13 i1N G12 1 i10 i1 u13 i1m u1 G10 i12 2 i2 N i23 u12 i2 u2 i3k G23 3 u23 i30 u3 i3l G30 G20 0 Рис. 5.1. Схема подлежащей анализу резистивной цепи Предварительно покажем, что при известных узловых напряжениях можно найти напряжения на всех элементах цепи, а потому и все токи. Действительно, напряжение на любой ветви определяется по второму закону Кирхгофа (ЗНК) как разность соответствующих узловых напряжений, а токи Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей 71 в элементах найдутся по закону Ома. Для контура, включающего элементы G10 , G12 и G20 (рис. 5.1), по ЗНК имеем: u1 u12 u2 0, откуда u12 u1 u2 ; i12 G12u12 ; i10 G10u1. G20u2 ; Аналогично можно записать u23 u2 u3; i23 G23u23; i20 u13 u1 u3; i13 G13u13; i30 G30u3 , что и требовалось показать. 5.1.1. Составление узловых уравнений При составлении уравнений для схемы рис. 5.1 будем полагать, что задающие токи i1 и i2 источников тока (их на схеме два) известны. Тогда согласно первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 в предположении, что в общем случае они связаны со всеми другими узлами, получим: i10 i12 i13 i1N i1 i20 i12 i23 i2 N i2 0; 0. Выразим токи в уравнениях через узловые напряжения, как показано в разд. 5.1: G10u1 G12 (u1 u2 ) G13 (u1 u3 ) G20u2 G12 (u1 u2 ) G23 (u2 u3 ) i1 i2 0; 0. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получаем узловые уравнения: (G10 G12 G13 G1N )u1 G12u2 G13u3 G12u2 (G20 G12 G23 G2 N )u2 G23u3 i1; i2 . Полученный результат позволяет сделать следующие выводы:  в левую часть каждого из уравнений входит N слагаемых, пропорциональ- ных искомым узловым напряжениям {uk};  коэффициент при узловом напряжении k-го узла, для которого составля- ется уравнение, представляет собой сумму проводимостей всех элементов, подключѐнных одним из своих зажимов к этому узлу; этот коэффициент входит в уравнение с положительным знаком; Часть I. Глава 2 72  остальные слагаемые представляют собой произведение узлового напря- жения на проводимость Gkl элемента, связывающего k-ый и l-ый узлы; все эти слагаемые входят в уравнение с отрицательным знаком. Аналогично записываются узловые уравнения для всех других узлов цепи, в результате чего образуется система узловых уравнений вида: G11u1 G12u2 G13u3 G1N u N i1; G21u1 G22u2 G23u3 G2 N u N i2 ; GN 1u1 GN 2u2 GN 3u3 GNN uN (5.2) iN , где:  Gkk — собственная проводимость k-го узла цепи, являющаяся арифмети- ческой суммой проводимостей всех элементов, подключѐнных одним из зажимов к k-му узлу;  Gkl — взаимная проводимость k-го и l-го узлов цепи, являющаяся прово- димостью элемента, включѐнного между k-ым и l-ым узлами;  ik — задающий ток k-го узла цепи, являющийся алгебраической суммой задающих токов источников тока, подключѐнных одним из зажимов к k-му узлу цепи; слагаемые этой суммы входят в правые части уравнений со знаком "+", если направление отсчѐта задающего тока источника ориентировано в сторону k-го узла, и со знаком "–" в противном случае. Систему узловых уравнений принято записывать в канонической форме, а именно:  токи, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;  неизвестные напряжения записываются в левых частях уравнений с по- следовательно возрастающими индексами;  уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами узлов. Такая запись применена в (5.2). Система (5.2) является линейной неоднородной1 системой независимых уравнений, поэтому позволяет найти искомые узловые напряжения. Методы решения таких систем широко известны (Крамера, Гаусса, Гаусса—Жордана). Метод узловых напряжений даѐт существенное сокращение необходимого числа уравнений по сравнению с методом токов элементов. Выигрыш оказывается тем значительнее, чем больше независимых контуров имеет цепь. 1 Система называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов (в данном случае это ik) не равен нулю. Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей 73 5.1.2. Особенности составления узловых уравнений Метод узловых напряжений можно применять и в тех случаях, когда в анализируемой цепи имеются источники напряжения. При этом:  напряжение между любой парой узлов, к которым подключѐн источник напряжения, известно;  в качестве базисного желательно выбирать узел, к которому одним из сво- их зажимов подключѐн источник напряжения — тогда узловое напряжение, отсчитываемое между базисным узлом и вторым зажимом источника, равно ЭДС источника или отличается от него знаком; кроме того, базисным может быть выбран узел, к которому подключено наибольшее число элементов, если этот выбор не противоречит первой рекомендации;  уменьшается число независимых узловых напряжений, а потому понижа- ется и порядок системы, т. е. число входящих в систему независимых уравнений;  если цепь содержит Nин источников напряжения, имеющих один общий зажим, то число узловых уравнений, которое можно составить для такой цепи, равно N ун N у 1 N ин . (5.3) Пример 5.1. Записать систему узловых уравнений для удлинителя2 (рис. 5.2), рассмотренного в лекции 4. Решение. Удлинитель содержит четыре узла и один источник тока, поэтому согласно (5.3) достаточно составить всего два узловых уравнения N ун 4 1 1 2. Положим узел 0 базисным, поскольку к нему одним из своих зажимов подключѐн источник напряжения. Узловое напряжение узла 1 известно и равно ЭДС источника напряжения u1 = e, поэтому остаѐтся записать уравнения для узлов 2 и 3 по правилам, рассмотренным в разд. 5.1. Предварительно запишем собственные и взаимные проводимости узлов. 2 Такое обращение справедливо, поскольку удлинители применяются для построения магазина затуханий, или аттенюатора. Часть I. Глава 2 74 R5 i5 1 R1 i1 i3 u1 3 i4 i2 u2 e R3 2 R2 R4 u3 0 Рис. 5.2. К примеру 5.1 Собственная проводимость второго узла G22 1 R1 1 R2 с первым G21 G1 1 , R1 с третьим G23 G3 1 , R3 1 R3 1 R4 с первым G31 G5 1 , R5 со вторым G32 G3 1 . R3 G1 G2 G3 1 , R3 взаимные проводимости второго узла собственная проводимость третьего узла G33 G3 G4 G4 1 , R5 взаимные проводимости третьего узла Теперь получим систему узловых уравнений, записав узловые уравнения для второго и третьего узлов: G1u1 G22u2 G23u3 0; G5u1 G23u2 G33u3 0. Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей 75 Поскольку u1 = e, запишем эту систему уравнений в каноническом виде G22u2 G3u3 G1e; G3u2 G33u3 G5e. Эта система уравнений и является окончательным результатом решения задачи, поставленной в примере. Если содержащиеся в цепи источники напряжения не имеют общего зажима, то задачу анализа следует решать или методом узловых напряжений в сочетании с принципом наложения или путѐм эквивалентных преобразований перейти к другой модели цепи. При составлении узловых уравнений для цепей, содержащих многополюсники (например, транзисторы, операционные усилители и т. д), следует прежде всего заменить эти многополюсники их схемами замещения. 5.2. Метод контурных токов ОПРЕДЕЛЕНИЕ Контурным током называют условный ток, протекающий внутри независимого контура. Напомним, что контуры называются независимыми (подробнее см. разд. 2.1), если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (ветвью). Направление отсчѐта контурного тока выбирается произвольно и независимо от выбора направлений отсчѐтов контурных токов в других контурах. В отличие от метода токов ветвей, рассмотренного в лекции 4, данный метод позволяет уменьшить число уравнений, описывающих схему, до величины, равной числу Nкт независимых контуров дерева: N кт Nв Nу 1 . (5.4) Предварительно покажем, что при известных контурных токах можно найти токи всех ветвей, а потому и напряжения на всех элементах цепи. Действительно, ток в любом элементе (ветви) определяется по первому закону Кирхгофа (ЗТК) как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в этом элементе. Например, при выбранных в удлинителе (рис. 5.3) направлениях отсчѐтов токов элементов и контурных токов имеем: i0 i3 iI ; i1 iII iIII ; iI iIII ; i4 iII ; i2 i5 iI iII ; iIII . Часть I. Глава 2 76 i5 III 1 i1 iIII R1 R3 2 i2 I e R5 iI i3 3 i4 II R2 R4 iII i0 Рис. 5.3. К определению метода контурных токов Зная токи, протекающие в элементах, можно по закону Ома определить напряжения на каждом из них. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Метод анализа колебаний в электрических цепях, в котором неизвестными, подлежащими определению, являются контурные токи, называется методом контурных токов. 5.2.1. Составление контурных уравнений При составлении системы контурных уравнений воспользуемся вторым законом Кирхгофа и будем полагать, что (рис. 5.4):  цепь согласно (5.4) содержит Nкт = Nв – Nу + 1 независимых контуров;  в цепи имеются источники напряжения с ЭДС ek, k = 1, 2,…, Nкт;  все Nкт независимых контуров непосредственно связаны друг с другом, т. е. для k-го и l-го контуров имеется хотя бы один элемент Rkl, который входит в оба эти контура, причѐм Rkl = Rlk. При этих условиях, выбранных независимых контурах и заданных направлениях отсчѐтов контурных токов запишем уравнение для первого контура (см. рис. 5.4) согласно второму закону Кирхгофа: e1 u1 u2 e2 u3 u4 ul uN 0. (5.5) Выразим напряжения на элементах 1-го контура через токи ветвей по закону Ома: u1 R1i1; u2 R2i2 ; uN RN iN ; Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей iII i2 R1 R12 u2 i1 77 i3 e2 u1 iIII iI u3 e1 R13 u4 i4 R14 iIV Рис. 5.4. Схема общего вида при составлении контурных уравнений или в общем виде: ul il R1l , (5.6) где:  il — ток в l-ой ветви;  ul — напряжение в l-ой ветви;  R1l — сопротивление элемента, общего для 1-го и l-го контуров. Подставим (5.6) в (5.5) e1 i1R1 i2R12 e2 i3R13 i4R14 iLR1l iN R1N 0 (5.7) и выразим токи ветвей через контурные токи, нумерация которых осуществляется римскими цифрами и прямыми латинскими буквами. Из рис. 5.4 видно, что: i1 iI ; i2 iI iII ; i3 iI iIII ; i4 iIV iI ; il iL iI ; iN iN iI . (5.8) Часть I. Глава 2 78 Произведѐм замену токов ветвей в выражении (5.7) через соотношения (5.8): e1 iI R1 (iI iII )R12 e2 (iI iIII )R13 (iIV iI )R14 (iN iI )R1N 0. Умножим полученное уравнение на –1, раскроем скобки, приведѐм подобные члены и перенесѐм в правую часть известные значения напряжений источников; после выполнения этих действий контурное уравнение принимает вид iI ( R1 R12 R13 R14 R1N ) iII R12 iIII R13 iIV R14 iN R1N e1 e2 . Подобное уравнение можно было бы составить и для любого другого контура, поэтому полученный результат позволяет сделать обобщающие выводы:  в левую часть каждого из уравнений входит N слагаемых, пропорциональ- ных искомым контурным токам ik;  коэффициент при контурном токе k-го контура, для которого составля- ется уравнение, представляет собой арифметическую сумму сопротивлений этого контура;  остальные слагаемые представляют собой произведение сопротивления элемента Rkl, общего для k-го и l-го контуров, на контурный ток l-го контура; эти слагаемые входят в уравнение со знаком "+", если направления токов k-го и l-го контуров в элементе Rkl совпадают; в противном случае они входят в уравнение с отрицательным знаком. Аналогично записываются узловые уравнения для всех других контуров цепи, в результате чего образуется система контурных уравнений вида: R11iI R12iII R13iIII R14iIV R1N iN eI ; R21iI R22iII R23iIII R24iIV R2 N iN eII ; RN 4iIV RNN iN eN , RN 1iI RN 2iII RN 3iIII (5.9) где:  Rkk — собственное сопротивление k-го контура, оно определяется как арифметическая сумма сопротивлений всех элементов k-го контура;  Rkl — взаимное сопротивление k-го и l-го контуров цепи ( k l ) , оно является сопротивлением элемента, общего для k-го и l-го контуров; слагаемые вида Rklik входят со знаком "+" при совпадении направлений токов в этих контурах; если связь между k-ым и l-ым контурами осуществляется через несколько элементов активного сопротивления, то Rkl представляет собой арифметическую сумму соответствующих взаимных сопротивлений, причѐм Rkl = l Rlk;  ik — контурный ток k-го контура цепи; Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей 79  ek — контурная ЭДС k-го контура цепи, представляющая собой алгебраи- ческую сумму ЭДС независимых источников, имеющихся в контуре; слагаемые этой суммы имеют знак "+", если заданное направление отсчѐта ЭДС источника совпадает с выбранным направлением отсчѐта контурного тока. Система контурных уравнений (5.9) составлена относительно неизвестных контурных токов и записана в канонической форме, а именно:  контурные ЭДС, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;  неизвестные контурные токи записываются в левых частях уравнений с последовательно возрастающими индексами;  уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами кон- туров. Пример 5.2. Записать систему контурных уравнений для удлинителя (рис. 5.3). Решение. Предварительно найдѐм собственные и взаимные сопротивления трѐх контуров:  I контура: собственное сопротивление R11 = R1 + R2, взаимные сопротивления: со вторым контуром R12 = R2, с третьим контуром R13 = R1;  II контура: собственное сопротивление R22 = R2 + R3 + R4; взаимные сопротивления: с первым контуром R21 = R2, с третьим контуром R23 = R3;  III контура: собственное сопротивление R33 = R1 + R3 + R5; взаимные сопротивления: с первым контуром R31 = R1, с третьим контуром R32 = R3. Заметим, что:  направление контурного тока iI совпадает с направлением контурного тока iIII и противоположно направлению контурного тока iII;  направления контурных токов iII и iIII совпадают;  в контуре I имеется контурный независимый источник с ЭДС, равной e, а два других контура источников не имеют. Часть I. Глава 2 80 Теперь можно записать систему контурных уравнений, руководствуясь указанными ранее правилами: ( R1 R2 )iI R2iI ( R2 R1iI R3iII R2iII R3 R1iIII R4 )iII ( R1 R3 e; R3iIII 0; R5 )iIII 0. 5.2.2. Особенности составления контурных уравнений Рассмотренные ранее цепи не содержали независимых источников тока, поэтому количество контурных уравнений согласно (5.4) равно количеству независимых контуров. Однако цепь может иметь несколько источников токов. В этом случае следует выбрать такое дерево цепи, при котором источники токов входили бы в число соединительных элементов. Тогда через каждый источник тока будет проходить ток только одного контура, который равен задающему току источника. Поэтому уменьшается как число неизвестных контурных токов, так и число контурных уравнений. Следовательно, если цепь содержит Nит источников тока, то известно Nит контурных токов, а число контурных уравнений оказывается равным N кт Nв N у 1 N ит . (5.10) Пример 5.3. Записать систему контурных уравнений для цепи, схема которой изображена на рис. 5.5. R5 i5 III 1 iIII R1 i1 i2 I i01 R3 2 iI R2 i3 3 i4 IV II iII R4 iIV i04 0 Рис. 5.5. Схема цепи с двумя независимыми источниками тока Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей 81 Решение. Цепь содержит два источника тока: в первом и четвѐртом контурах, где контурные токи совпадают с токами источников: iI i01; iIV i04 , поэтому достаточно записать только два контурных уравнения — для второго и третьего контуров. R2i01 ( R2 R1i01 R3iII R3 R4 )iII ( R1 R3 R3iIII R5 )iIII R4i04 0; 0. В уравнении для третьего контура отсутствует слагаемое, содержащее ток i04 , поскольку взаимное сопротивление этого контура с четвѐртым равно нулю, т. е. между этими контурами нет никакой связи. Важно: метод контурных токов применяют в тех случаях, когда число контурных уравнений меньше числа узловых уравнений, а также при анализе колебаний в линейных электрических цепях произвольной конфигурации, содержащих все виды элементов. 5.3. Решение системы контурных (узловых) уравнений Решение системы контурных (узловых) уравнений состоит в нахождении неизвестных контурных токов (узловых напряжений) для последующего вычислением токов и напряжений на элементах цепи. Если параметры цепи (сопротивления, проводимости, токи источников токов, ЭДС источников напряжений) заданы численно, то решение систем осуществляется с помощью специальных пакетов программ математического моделирования, например, Matlab или Matcad. 5.3.1. Основные понятия теории определителей3 При теоретическом анализе удобнее использовать методы теории определителей, позволяющие записать решения в компактной форме. Прежде чем обращаться к этим методам, дадим основные понятия теории определителей. Рассмотрим сначала систему уравнений второго порядка 3 a11 x1 a12 x2 b1; a21 x1 a22 x2 b2 (5.11) Данный пункт может быть опущен при соответствующей математической подготовке слушателей. Часть I. Глава 2 82 с неизвестными x1, x2 и свободными членами b1 и b2. Решая эту систему, получаем: x1 b1a22 b2a12 ; x2 a11a22 a12a21 b2a11 b1a21 . a11a22 a12a21 (5.12) Стоящее в знаменателях полученных дробей выражение a11a22 – a12a21 называется определителем (детерминантом) второго порядка и записывается в виде a11a22 a12 a21 a11 a12 a21 a22 , (5.13) где вертикальные чѐрточки являются знаком определителя. С помощью этого обозначения формулы (5.13) можно записать в виде b1 a12 x1 b2 a22 a11 a12 a11 b1 1 ; x2 a21 a22 a21 b2 2 a11 a12 , (5.14) a21 a22 где Δl — определитель, полученный из определителя системы заменой столбца коэффициентов при l-ой неизвестной столбцом свободных членов. Из соотношений (5.14) следует: каждая из неизвестных x1 и x2 равна дроби, у которой в знаменателе стоит определитель системы Δ, а в числителе — определитель Δ1 и Δ2 соответственно, полученный из определителя системы подстановкой столбца свободных членов вместо столбца коэффициентов при данной неизвестной. Подобным образом решается система уравнений любого порядка. Остаѐтся выяснить, как вычислять определители, если их порядок больше двух. Рассмотрим вычисление определителя на примере системы третьего порядка: a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1; a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ; a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 , решение которой приводит к дробям вида (5.12), где в знаменателе оказывается выражение a11a22a33 a11a23a32 a12a21a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31, (5.15) Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей 83 называемое определителем третьего порядка и обозначаемое a11 a12 a13 a21 a22 a23 (5.16) a31 a32 a33 . Применяя к (5.16) выражение (5.15), запишем определитель (5.16) в более удобной и наглядной форме: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a31 a32 a33 a13 (a21a32 (5.17) a22 a31 ) a11 a22 a23 a32 a33 a12 a21 a23 a31 a33 a13 a21 a22 a31 a32 , по которой можно вычислять значение определителя третьего порядка. Нетрудно видеть, что правая часть равенства состоит из суммы произведений коэффициентов (элементов) первой строки и определителей второго порядка с нужными знаками. Эти определители называются минорами и получаются из исходного определителя вычѐркиванием первой строки и соответствующего данному элементу столбца. Например, минор относительно элемента a11 получается вычѐркиванием первой строки и первого столбца (рис. 5.6, а), минор относительно элемента a12 получается вычѐркиванием первой строки и первого столбца (рис. 5.6, б). Таким образом, получено разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки. a11 a12 a21 a22 a13 a23 a31 a33 a32 а a22 a23 a32 a33 а a11 11 a12 a13 a21 a22 a31 a32 a23 a33 б a21 a23 a31 a33 12 б Рис. 5.6. Миноры: а) относительно элемента a11, б) относительно элемента a12 Подобные разложения можно произвести относительно элементов любой строки, предварительно записав соответствующие миноры. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Минором Δkl относительно k-ой строки и l-го столбца (относительно элемента akl) называется определитель, получаемый из исходного определителя, если в последнем вычеркнуть k-ю строку и l-ый столбец. Часть I. Глава 2 84 Знак минора определяется по формуле ( 1)k l или же по мнемоническому правилу: для левого верхнего элемента всегда берѐтся "+", а для других элементов — в шахматном порядке по схеме, представленной на рис. 5.7. Рис. 5.7. Правило определения знака алгебраического дополнения на примере определителя третьего порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ Алгебраическим дополнением Akl относительно k-ой строки и l-го столбца (относительно элемента akl) называется минор, взятый с нужным знаком по правилу ( 1)k l , т. е. (5.18) Akl ( 1)k l kl . Из сказанного следует: определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь из рядов (строки или столбца) на алгебраические дополнения этих элементов. При вычислении определителей больших порядков их предварительно разлагают на алгебраические дополнения. Отметим также, что подобно (5.14) для 0 , имеет место формула для вычисления любой системы, у которой l-ой неизвестной (формула, или правило Крамера4) xl l , (5.19) т. е. каждая l-ая неизвестная равна дроби, у которой в знаменателе стоит определитель системы, а в числителе — определитель, полученный из определителя системы подстановкой столбца свободных членов вместо столбца коэффициентов при l-ой неизвестной. 4 Габриэль Крáмер (1704—1752) — швейцарский математик, заложивший в 1750 г. основы теории определителей. Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей 85 5.3.2. Применение теории определителей для решения контурных (узловых) уравнений Применяя методы теории определителей к системе контурных уравнений (5.9), по формуле Крамера находим решение для первого контурного тока I iI , где R11 R12 R13 R14 R1N R21 R22 R23 R24 R2 N RN 1 RN 2 RN 3 RN 4 RNN (5.20) представляет собой определитель системы контурных уравнений (5.9), а e1 R12 R13 R14 I R1N e2 R22 R23 R24 R2 N e N RN 2 RN 3 RN 4 RNN находится из определителя (5.20) при замене в нѐм первого столбца свободными членами. Заметим, что определитель (5.20) является симметричным относительно главной диагонали, поскольку Rkl = Rlk при k l . Разлагая определитель ΔI на алгебраические дополнения по элементам первого столбца, получаем выражение для первого контурного тока I iI 11 e1 21 31 e2 ( 1) N e3 1 N1 e4 . (5.21) Аналогичное решение можно найти и для L-го контурного тока, разлагая определитель ΔL на алгебраические дополнения по элементам l-го столбца: iL L ( 1)1 L 1L e1 ( 1)2 ( 1) N L L 2L NL e2 ( 1)3 L 3L e3 (5.22) eN . Полученное общее решение (5.22) системы контурных уравнений (5.9) показывает, что реакция в виде токов в электрической цепи представляет собой сумму реакций, вызываемых каждым из воздействий el в отдельности в пред- Часть I. Глава 2 86 положении, что все другие источники отсутствуют. Этот факт является следствием линейности электрической цепи, описываемой системой линейных уравнений, и составляет содержание принципа наложения. Аналогичным образом рассчитывается система узловых уравнений (5.2). 5.3.3. Примеры использования теории определителей Задача 5.1. Цепь имеет единственный источник напряжения e1, по отношению к которому сама цепь представляет собой пассивный резистивный двухполюсник (рис. 5.8). Требуется найти входное сопротивление двухполюсника. Резистивная цепь iI e1 Rвх Рис. 5.8. Резистивная цепь с единственным источником напряжения Решение. Для удобства назовѐм контур, замыкающийся через источник, первым. Тогда из (5.21) следует I iI 11 e1 , (5.23) и согласно закону Ома имеем 11 iI e1 G1e1 1 e1 , R1 откуда получаем соотношение Rвх , 11 (5.24) называемое входным сопротивлением двухполюсника. Оно представляет собой эквивалентное сопротивление пассивного резистивного двухполюсника. Заметим, что в резистивном двухполюснике электрическая энергия может только рассеиваться, поэтому при выбранных на рис. 5.8 направлениях Лекция 5. Методы анализа сложных электрических цепей отсчѐта тока и напряжения коэффициент 11 87 в (5.23) представляет собой вещественное положительное число, что справедливо и для (5.24). Следовательно, любой резистивный двухполюсник ведѐт себя подобно резистивному элементу, сопротивление которого равно входному сопротивлению двухполюсника. Задача 5.2. Найти ток в заданной ветви резистивной цепи (рис. 5.9), имеющей единственный источник напряжения e1. I Резистивная цепь iI e1 II iII R2 (G2 ) Рис. 5.9. Резистивный четырѐхполюсник с единственным источником напряжения Решение. Такую цепь можно рассматривать как резистивный четырѐхполюсник, в котором вновь для удобства обозначим контур, содержащий источник напряжения, первым (I), а контур, содержащий интересующую нас ветвь, вторым (II). При выбранных направлениях отсчѐта ЭДС источника e1 и тока второго контура iII согласно (5.22) при k = 2 и e2 = e3 = …= eN = 0 получаем: iII 12 e1 1 e1 , R2 G2 e1 (5.25) где R2 12 представляет собой собственное сопротивление второго контура и потому эквивалентное сопротивление четырѐхполюсника. L2 C2 1 R U вх Лекция 6 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Основные теоремы теории цепей На практике при анализе сложных цепей, когда требуется определить ток или напряжение в отдельной ветви, стремятся свести поставленную задачу к более простой. Это позволяют сделать рассматриваемые далее теоремы теории цепей, которые называют основными: теоремы взаимности и теоремы об эквивалентных генераторах. 6.1. Теоремы взаимности (обратимости) При изучении методов узловых напряжений и контурных токов было отмечено, что определители, составленные из сопротивлений (проводимостей) и независимых источников тока и напряжения линейной цепи, являются симметричными относительно главной диагонали. Свойство симметричности определителей приводит к тому, что если источник воздействия перенести из контура, к которому он подключѐн, в другой контур, где отсчитывалась реакция, то реакция в первом контуре будет такой же, какой она была во втором контуре. Покажем это для источников напряжения и тока. Теорема 1: если независимый источник напряжения, включѐнный в некоторую ветвь линейной пассивной цепи (рис. 6.1, а, б), вызывает в другой ветви некоторый ток, то этот же источник напряжения, будучи перенесѐн в эту вторую ветвь, вызовет в первой ветви тот же самый ток. Доказательство. Пусть в пассивной (например, резистивной) электрической цепи имеется единственный источник напряжения e(t). Найдѐм ток в другой ветви i2(t), который вызывается источником напряжения (рис. 6.1, а). Для этого воспользуемся методом контурных токов. Выберем и пронумеруем контуры цепи так, чтобы через источник замыкался лишь ток первого контура, а через выделенную ветвь — лишь ток второго контура. Лекция 6. Основные теоремы теории цепей 89 1 i2 (t ) I e(t ) II Пассивная цепь 2 i (t ) Пассивная цепь i (t ) u 2 (t ) 0 0 аа в 1 i1 (t ) I б II Пассивная цепь e2 (t ) e (t ) u1 (t ) Пассивная цепь 0 в 2 i (t ) б г Рис. 6.1. К теоремам взаимности (обратимости): (а, б) — к теореме 1, (в, г) — к теореме 2 г i (t ) 0 Тогда при выбранных направлениях отсчѐтов токов и напряжений согласно (5.25) получаем i2 (t ) 12 e( t ) . (6.1) Перенесѐм источник напряжения во второй контур (рис. 6.1, б) при сохранении нумерации независимых контуров. Тогда из (5.22) при k = 1, e2(t) = e(t) и равенстве нулю остальных напряжений e1 = e2 = e3 = e4 = … = eN = 0 получаем i1 (t ) 21 e( t ) . (6.2) Знаменатели выражений (6.1) и (6.2) содержат один и тот же определитель, который для любой резистивной цепи симметричен относительно главной диагонали, поскольку взаимные сопротивления контуров равны Rkl Rlk . Поэтому строки одного из миноров Δ12 и Δ21 являются столбцами другого. Но, как известно, замена в определителе строк его столбцами не меняет значения определителя, т. е. Δ12 = Δ21, и потому i1(t ) i2 (t ), (6.3) что и требовалось доказать. В силу отмеченного в лекции 5 принципа дуальности методов узловых напряжений и контурных токов справедлива теорема 2. Часть I. Глава 2 90 Теорема 2: если независимый источник тока, подключѐнный к некоторой паре узлов 0–1 линейной пассивной цепи (рис. 6.1, в и г), вызывает между узлами 0–2 второй пары некоторое напряжение, то этот же источник тока, будучи подключѐн к этой второй паре узлов 0–2, вызывает между узлами 0–1 то же самое напряжение: u1(t ) u2 (t ). Важно: теоремы взаимности верны для любых линейных пассивных цепей, но не применимы к цепям, содержащим зависимые источники. Пример 6.1. Пусть задана схема цепи, изображѐнная на рис. 6.2, а, в которой ток i3, протекающий через элемент R3, известен: i3 e0 R1R2 R2 R1R3 R2 R3 , в чѐм нетрудно убедиться. i3 R1 e0 R2 R3 а i1 R1 R2 e0 б а R3 б Рис. 6.2. К примеру 6.1 — взаимные электрические цепи Определим значение тока i1 (рис. 6.2, б) после переноса источника напряжения e0 в ветвь с сопротивлением R3. На основании теоремы взаимности ответ следует немедленно: i1 = i3. Этот же результат получается и при использовании других известных методов расчѐта, с помощью которых читатель может проверить найденное решение. Лекция 6. Основные теоремы теории цепей 91 Пример 6.2. Найти ток в ветви с сопротивлением R6 при переносе источника напряжения e0 в диагональ моста (рис. 6.3, а), т. е. при включении его последовательно с сопротивлением R5. R6 e0 R1 R2 R5 R4 R6 i5 R3 i6 а а R1 R4 R5 e0 R2 R3 б Рис. 6.3. К примеру 6.2 б Решение. Как известно, в схеме моста выполняется условие баланса: R1R3 = R2R4, поэтому ток i5 равен нулю. Из первой теоремы взаимности следует, что ток i6 в ветви с сопротивлением R6 (рис. 6.3, б) окажется равным нулю. З А МЕ Ч А Н И Е Практическое использование теорем взаимности требует проверки возможности их применения. 6.2. Теоремы об эквивалентных генераторах ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1. Генератором называется двухполюсная активная электрическая цепь, способная вызывать электрические колебания во внешней по отношению к генератору цепи; 2. Внешняя по отношению к генератору цепь называется нагрузкой генератора. Содержание теорем об эквивалентных генераторах состоит в следующем: любую сколь угодно сложную цепь, состоящую из резистивных элементов, зависимых и независимых источников, относительно некоторой ветви Часть I. Глава 2 92 можно заменить активными двухполюсниками. Эти двухполюсники могут представлять собой:  генератор напряжения в виде последовательно соединѐнных источника напряжения e0 и сопротивления R0 (рис. 6.4, а);  генератор тока в виде параллельно соединѐнных источника тока i0 и со- противления R0 (рис. 6.4, б). R0 e0 R0 i0 а б а Рис. 6.4. Двухполюсники: а) генератор напряжения, б)бгенератор тока 6.2.1. Теорема об эквивалентном генераторе с источником напряжения (теорема Тевенина) Теорема Тевенина: ток в любой ветви (нагрузке) активной линейной электрической цепи не изменится, если внешнюю относительно этой ветви цепь заменить цепью из эквивалентного источника напряжения и пассивного двухполюсника, соединѐнных последовательно; при этом ЭДС источника равна напряжению холостого хода на зажимах ветви; сопротивление пассивного двухполюсника равно сопротивлению цепи относительно этой же ветви при условии, что значения всех ЭДС и задающих токов независимых источников в цепи положены равными нулю. Доказательство. Рассмотрим активную электрическую цепь, содержащую источники тока и источники напряжения (рис. 6.5, а). Найдѐм ток i в одной из пассивных еѐ ветвей, имеющей сопротивление Rн. Разомкнѐм эту ветвь, что соответствует режиму холостого хода (рис. 6.5, б). Тогда ток в этой ветви станет равным нулю. Каким-либо образом определим напряжение холостого хода uхх на зажимах 12 этой ветви. В цепи (рис. 6.5, а) не произойдѐт никаких изменений, если к зажимам 12 подсоединить навстречу друг другу (рис. 6.5, в) два одинаковых источника напряжения e01 и e02 с задающим напряжением e01 = e02 = uхх. Лекция 6. Основные теоремы теории цепей Цепь с источниками Цепь с источниками Rн а 2 i1 uхх e01 гг 1 0 Пассивная цепь Цепь с источниками e01 Rн б б 1 uхх 1 Цепь с источниками 1 2 i а 93 Rн uхх в e02 R0 e01 e01 e02 uхх 2 i Rн в 2 i2 i Rн 0 дд uхх Рис. 6.5. К теореме об эквивалентном генераторе с источником напряжения Найдѐм результирующий ток в нагрузке Rн, используя принцип суперпозиции (наложения). Искомый ток будет складываться из суммы двух составляющих i = i1 + i2, где:  i1 — ток, вызываемый действием всех источников цепи и источника e01 = – uхх; этот ток равен нулю i1 = 0 (рис. 6.5, г);  i2 — ток, вызываемый действием только одного источника e02 = uхх при условии, что значения ЭДС и задающих токов всех остальных источников цепи равны нулю (зажимы, к которым подключены источники тока, разомкнуты; зажимы, к которым подключены источники напряжения, замкнуты накоротко), т. е. полученная цепь (рис. 6.5, д) является пассивным двухполюсником с эквивалентным сопротивлением R0 относительно зажимов 01. При этом ток в нагрузке равен i что и требовалось доказать. i2 uхх , R0 Rн (6.4) Часть I. Глава 2 94 6.2.2. Теорема об эквивалентном генераторе с источником тока (теорема Нортона) Теорема Нортона: ток в любой ветви (нагрузке) активной линейной электрической цепи не изменится, если внешнюю относительно этой ветви цепь заменить цепью из эквивалентного источника тока и пассивного двухполюсника, соединѐнных параллельно; при этом задающий ток источника равен току короткого замыкания этой ветви; внутренняя проводимость пассивного двухполюсника равна эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви. e0 Цепь с источниками i i0 uхх iкз i Rн R0 Rн G0 i0 Rн а б в а б в Рис. 6.6. К теореме об эквивалентном генераторе с источником тока: а) исходная активная цепь, б) цепь с эквивалентным генератором напряжения, в) цепь с эквивалентным генератором тока Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой Тевенина и представим активную цепь (рис. 6.6, а) с помощью эквивалентного генератора напряжения, выделенного на рис. 6.6, б штриховой линией. Если замкнуть отмеченные узлы, найдѐм ток генератора i0 iкз e0 R0 e0G0 , где:  i0 — задающий ток генератора,  e0 — ЭДС генератора,  R0 — внутреннее сопротивление генератора,  G0 1 — внутренняя проводимость генератора. R0 (6.5) Лекция 6. Основные теоремы теории цепей 95 Выражение (6.5) показывает, что внутреннее сопротивление генератора равно e0 i0 R0 (6.6) отношению напряжения на разомкнутых зажимах генератора к току, который проходит через его замкнутые накоротко зажимы. 6.2.3. Условия эквивалентности двух схем замещения генераторов Схемы замещения генератора с источником напряжения (рис. 6.7, а) и с источником тока (рис. 6.7, б), конечно же, должны быть эквивалентны. Смысл эквивалентности этих схем замещения состоит в том, что каждая из них равноправна и может использоваться в качестве схемы замещения генератора с чисто активным внутренним сопротивлением. Тем не менее, необходимо знать, при каких условиях достигается желаемая эквивалентность. 1 e0 R0 1 i0 а а 1 G0 1 б б Рис. 6.7. Эквивалентные генераторы: а) с источником напряжения, б) с источником тока Рассматриваемые генераторы отличаются от идеальных источников наличием в их схемах замещения пассивных двухполюсников R0 и G0, которые характеризуют внутреннее сопротивление (или внутреннюю проводимость) генератора. Наличие внутреннего сопротивления (внутренней проводимости) обусловливает зависимость напряжения, развиваемого генератором на зажимах нагрузки, и тока в нагрузке от свойств самой нагрузки. Этим генератор отличается от источника. Источник — это идеализированный генератор, внутренне сопротивление которого или равно нулю (источник напряжения) или бесконечно велико (источник тока). Свойства идеального генератора не зависят от нагрузки (см. лекцию 3). Применяя теорему Тевенина к цепи, схема которой изображена на рис. 6.7, б, получаем условие, при котором схема замещения генератора с источни- Часть I. Глава 2 96 ком тока эквивалентна схеме замещения генератора с источником напряжения: 1 i0 и R0 , e0 (6.7) G0 G0 при выполнении которого напряжение на разомкнутых зажимах генератора со схемой замещения рис. 6.7, б оказывается равным e0, а ток при коротком замыкании зажимов генератора со схемой замещения рис. 6.7, а оказывается равным i0. Соотношение (6.7) показывает также, что внутреннее сопротивление генератора e0 R0 i0 равно отношению напряжения на разомкнутых зажимах генератора к току, который проходил бы через его замкнутые накоротко зажимы. 6.2.4. Примеры Пример 6.3. Найти ток в ветви с сопротивлением R3 в цепи, схема которой изображена на рис. 6.8, а. Задачу решить с применением теорем Тевенина и Нортона. i3 e R1 R3 R2 R4 uхх 2 1 i e R1 R2 u2 e0 uхх R0 вв R4 i бб аа e0 u4 1 1 R1 R3 R2 2 R0 2 R4 гг Рис. 6.8. К примеру 6.3: метод эквивалентного генератора напряжения  Решение на основании теоремы Тевенина: найдѐм напряжение холостого хода uхх на зажимах 1–2, для чего рассмотрим схему рис. 6.8, б; это напряжение равно разности между Лекция 6. Основные теоремы теории цепей 97 напряжениями u2 и u4, развиваемыми на резисторах R2 и R4 соответственно eR2 e0 uхх u2 u4 iR4 ; R1 R2 получаем схему с эквивалентным генератором (рис. 6.8, в), ЭДС которого равна e0, а внутреннее сопротивление R0 требуется определить; внутреннее сопротивление эквивалентного генератора R0 найдѐм, согласно теореме Тевенина, при отключѐнных источниках напряжения и тока, т. е. при e = 0 и i = 0 в схеме рис. 6.8, б; тогда получаем рис. 6.8, г, где параллельно соединѐнные резисторы R1 и R2 соединены последовательно с резистором R4, поэтому имеем R1R2 R1 R2 R0 R4 ; теперь легко определить искомый ток из рис. 6.8, в i3 R0 e0 R3 .  Решение на основании теоремы Нортона: iкз 1 e R1 R2 i0 2 R4 i G0 а Рис. 6.9. К iкз i3 i0 R3 б генератора тока б а примеру 6.3: метод эквивалентного найдѐм ток короткого замыкания iкз на зажимах 1–2, для чего из рис. 6.8, а получим схему, изображѐнную на рис. 6.9, а; для этого воспользуемся методом наложения; это означает, что ток iкз представит собой разность между токами i1 и i2, получаемыми от источника напряжения при отключѐнном источнике тока и от источника тока при отключѐнном источнике напряжения соответственно: i1 e R2 R1 R2 R4 , R2 R4 R2 R4 i2 i R4 R4 , R1R2 R1 R2 Часть I. Глава 2 98 i0 iкз i1 i2 e R2 R2 R4 R2 R4 R2 R4 R1 i R4 ; R1R2 R1 R2 R4 теперь можно изобразить схему с эквивалентным генератором тока, внутреннее сопротивление которого R0 определено ранее; искомый ток определяется из рис. 6.9, б: i3 i0 R0 R0 R3 . Пример 6.4. В схеме рис. 6.10, а заменить генераторы с источниками напряжения эквивалентными генераторами с источниками тока. i2 i i e2 R1 e1 R4 R2 R3 R6 R5 R4 i1 R7 R1 R2 аа R3 R6 R5 R7 бб i2 i R4 i1 R6 Rэ R5 R7 вв Рис. 6.10. К примеру 6.4 Решение. Внутренним сопротивлением генератора с источником напряжения e1 можно считать сумму последовательно соединѐнных сопротивле- Лекция 6. Основные теоремы теории цепей 99 ний R1 + R2, тогда в соответствии с условием эквивалентности источников напряжения и тока имеем e1 i1 R1 R2 . Аналогично из источника e2 получаем i2 e2 . R4 Эти результаты отражены на рис. 6.10, б, где сопротивления R1 + R2 и R3 соединены параллельно, поэтому можно вычислить эквивалентное сопротивление Rэ ( R1 R2 ) R3 R1 R2 R3 и установить его в схему (рис. 6.10, в). L2 C2 1 R U вх L1 1 Z вх R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Глава 3 Режим гармонических колебаний в линейных электрических цепях Лекция 7. Гармонические напряжения и токи Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей Лекция 9. Энергетические характеристики двухполюсников L2 C2 1 R U вх Лекция 7 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Гармонические напряжения и токи В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи при условии, что они находятся под воздействием постоянных напряжений и токов. В действительности же действующие в электрических цепях токи и напряжения являются переменными, т. е. представляют собой электрические колебания. Напомним, что колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Различают непериодические и периодические колебания. Простейшим и в то же время наиболее важным типом периодических колебаний являются гармонические, когда колеблющаяся величина s(t), будь то ток или напряжение, изменяется на интервале – < t < по закону синуса или косинуса. Исключительная роль гармонических колебаний в теории и практике радиотехники объясняется следующими обстоятельствами:  они широко используются для передачи сигналов и электрической энер- гии (например, промышленный ток с частотой 50 Гц);  применяются как простейший испытательный сигнал;  являются единственным типом колебаний, форма которых не изменяется при прохождении через любую линейную систему;  любое периодическое негармоническое колебание может быть представ- лено в виде суммы (наложения) различных гармонических колебаний (такое представление называют спектром негармонического колебания). З А МЕ Ч А Н И Е Если временной интервал ограничен t1 ≤ t ≤ t2, то имеет место отрезок гармонического колебания, который уже будет обладать отличными от гармонического колебания свойствами; при этом чем больше временной интервал, тем ближе свойства отрезка к свойствам самого гармонического колебания; во всѐм курсе лекций предполагается, что временной интервал исчисляется от нуля до бесконечности: 0 ≤ t < . Часть I. Глава 3 104 7.1. Определение гармонических напряжений и токов 7.1.1. Основные определения Электрическое гармоническое колебание аналитически записывают в виде функции: s(t ) Sm cos( t 0) s(t ) Sm sin( t 0) . или Традиционно в электротехнике используют синусную форму записи, а в теории электрических цепей (радиотехнике) — косинусную, которой, если это не оговаривается особо, и будем пользоваться в дальнейшем: s(t ) Sm cos( t 0) Sm cos (t ) . (7.1) Если под колебанием s(t) понимать ток i(t) или напряжение u(t), то (7.1) будет представлять собой соответственно гармонический ток или гармоническое напряжение, причѐм Sm = Im или Sm = Um. Гармоническое колебание определено полностью, если заданы все три его параметра: Sm — амплитуда, ω — круговая частота, φ0 — начальная фаза. Рассмотрим смысл указанных параметров (рис. 7.1):  Sm — амплитуда колебания — наибольшее по абсолютному значению отклонение колеблющейся величины; размерность амплитуды совпадает с размерностью колебания s(t);  (t ) t 0 — периодически изменяющийся аргумент функции s(t), называемый мгновенной фазой или просто фазой колебания; выражается в радианах (рад); 1 рад ≈ 57,3 ;  — начальная фаза (рад) — значение мгновенной фазы при t 0 , т. е. (0) 0 ; начальная фаза может быть как положительной, так и отрицательной; начальная фаза определяет значение гармонического колебания в момент t 0 и пропорциональна расстоянию от ближайшего максимума до оси ординат. При 0 0 максимум смещѐн влево от оси, а при 0 0 — 0 вправо; при 0 0 максимум располагается на оси ординат; Лекция 7. Гармонические напряжения и токи  105 d (t ) — круговая частота (угловая скорость) — определяет скорость dt изменения фазы, выражается в радианах в секунду (рад/с), т. е. круговая частота численно равна изменению мгновенной фазы за единицу времени (секунду). Введѐм ещѐ два характерных для периодических колебаний параметра: период и частоту. T — период колебания — наименьший интервал времени, через который процесс повторяется, а именно: s(t ) s(t mT ) (7.2) этому периоду соответствует изменение фазы на 2π радиан 2 [ t T) ] ( t T, ) откуда 2 T 2 f, (7.3) где величина 1 T f (7.4) называется циклической частотой и измеряется в герцах (Гц). s (t ) φ0 0 t1 t2 Sm 0 t T Рис. 7.1. К определению гармонического колебания В ряде практических задач требуется знать фазовые соотношения между гармоническими колебания одинаковой частоты. Фазовые соотношения характеризуют разностью фаз сравниваемых колебаний. Часть I. Глава 3 106 Пусть рассматриваются два колебания s1 (t ) S1m cos( t . s2 (t ) S2m cos( t (7.5) Тогда величина называется разностью фаз или сдвигом фаз этих колебаний. Если Δφ > 0, то колебание s2(t) отстаѐт от колебания s1(t) по фазе на угол φ ; если Δφ < 0, то колебание s2(t) опережает колебание s1(t) на угол Δφ. Если сдвиг фаз между двумя колебаниями равен 0, π или π/2 радиан, то говорят, что колебания происходят в фазе, противофазе или находятся в квадратуре соответственно. При практических расчѐтах часто начальную фазу выражают в градусах ( ). Поскольку π соответствует 180 , то нетрудно получить соотношение град рад 180 . (7.6) 7.1.2. Линейные операции над гармоническими колебаниями К линейным операциям над гармоническими колебаниями относятся: умножение на постоянное число (константу), дифференцирование, интегрирование и алгебраическое сложение гармонических колебаний одинаковой частоты. Результатом таких операций являются новые гармонические колебания той же частоты. Рассмотрим эти операции. 1. Умножение на константу a s(t ) as1 (t ) aS1m cos( t Sm cos( t даѐт новое гармоническое колебание, амплитуда которого отличается от амплитуды исходного колебания в a раз Sm aS1m , а фаза остаѐтся неизменной. 2. Дифференцирование s(t ) d [ S1m cos( t dt S1m [sin( t d cos( t dt S1m cos( t S1m S1m [ /2 sin( t Sm cos( t Лекция 7. Гармонические напряжения и токи 107 Из полученного результата следует, что при дифференцировании получается гармоническое колебание той же частоты; однако амплитуда и начальная фаза изменяются и оказываются равными Sm ωS1m и φ0 φ01 π / 2 соответственно. 3. Интегрирование S1m sin(ωt φ01 ) ω S1m cos(ωt φ01 )dt S1m cos(ωt φ01 ω π ) 2 Sm cos(ωt φ0 ) даѐт гармоническое колебание той же частоты, но амплитуда и начальная фаза изменяются и оказываются равными: Sm S1m и φ0 ω φ01 π / 2 соответственно при условии равенства нулю постоянной интегрирования. 4. Сложение (наложение, суперпозиция) гармонических колебаний одинаковой частоты s(t ) s1(t ) s2 (t ) S1m cos(ωt φ01) S2m cos(ωt φ02 ). Воспользуемся известной формулой сложения аргументов cos(ωt φ01) cosωt cosφ01 sinωt sinφ01 и представим гармонические колебания в виде: s1 (t ) S1m cos(ωt φ01 ) S1m cosωt cosφ01 S1m sinωt sinφ01, s2 (t ) S2m cos(ωt φ02 ) S2m cosωt cosφ02 S2m sinωt sinφ02 . Складывая и группируя слагаемые, получаем: s (t ) s1(t ) s2 (t ) ( S1m cosφ01 S2m cosφ02 )cosωt ( S1m sinφ01 S2m sinφ02 )sinωt. (7.7) Обозначим в (7.7) S1m cosφ01 S2 m cosφ 02 S1m sinφ01 S2 m sinφ 02 Sm cosφ 0 ; Sm sin φ0 . Подставляя (7.8) в (7.7) s(t ) Sm cosφ0 cosωt Sm sinφ0 sinωt, (7.8) Часть I. Глава 3 108 получаем s(t ) s1(t ) s2 (t ) Sm cos(ωt φ0 ), (7.9) где при условии (7.8) tgφ0 S1m sinφ01 S2m sinφ02 , или φ0 S1m cosφ01 S2m cosφ02 arctg S1m sinφ01 S2m sinφ02 . S1m cosφ01 S2 m cosφ02 Остаѐтся найти амплитуду Sm. Для этого возведѐм в квадрат оба равенства (7.8) и извлечѐм корень из их суммы Sm S12m S22m 2S1m S2m cos(φ01 φ02 ) . (7.10) Помня, что 1 cos(φ01 φ02 ) 1 , исследуем результат (7.10) в зависимости от соотношения φ01 и φ01: φ01 φ02 0 , т. е. колебания находятся в фазе: амплитуда результирующего колебания максимальна и равна сумме амплитуд составляющих колебаний Sm S12m S22m 2S1m S2m S1m S2 m ; φ01 φ02 π , т. е. колебания находятся в противофазе: амплитуда результирующего колебания минимальна и равна абсолютному значению разности амплитуд составляющих колебаний Sm S12m S22m 2S1m S2m S1m S2 m ; φ01 φ02 π/2 , т. е. колебания находятся в квадратуре: амплитуда результирующего колебания равна корню квадратному из суммы квадратов амплитуд составляющих колебаний Sm S12m S22m . Выводы:  линейные операции над гармонической функцией приводят лишь к изме- нению еѐ амплитуды и начальной фазы;  наложение двух гармонических колебаний равных частот образует гармо- ническое колебание той же частоты; амплитуда результирующего колебания зависит от соотношения начальных фаз слагаемых колебаний и лежит в пределах S1m S2 m Sm S1m S2 m ; Лекция 7. Гармонические напряжения и токи 109  наложение любого числа гармонических колебаний одной частоты обра- зует гармоническое колебание той же частоты N i 1 Sim cos(ωt φ0m ) Sm cos(ωt φ0 ); амплитуду и начальную фазу результирующего колебания можно найти, последовательно применяя формулы сложения гармонических колебаний для каждой пары колебаний. 7.1.3. Энергетические характеристики гармонических колебаний Кроме указанных в разд. 7.1.1 параметров, гармонические колебания описываются энергетическими характеристиками:  мгновенной мощностью,  средней мощностью,  действующими (эффективными) значениями амплитуд напряжения и тока. Мгновенная мощность гармонических колебаний при согласном выборе положительных направлений тока i(t) и напряжения u(t) определяется как произведение мгновенных значений тока и напряжения p(t ) u(t )i(t ) Um I m cos(ωt φ0u )cos(ωt φ0i ). Заменив произведение косинусов на полусумму косинусов разности и суммы аргументов, получаем p(t ) Um I m Um I m cos(φ0u φ0i ) cos(2ωt φ0u 2 2 φ0i ), (7.11) откуда следует, что потребляемая мгновенная мощность содержит постоянную составляющую (первое слагаемое, на графике Pср), относительно которой она колеблется с удвоенной частотой 2ω (рис. 7.2). p (t ) Потребление энергии Pср t 0 Отдача энергии Рис. 7.2. Временнáя диаграмма мгновенной мощности Часть I. Глава 3 110 Положительным значениям мощности соответствует потребление цепью электрической энергии, а отрицательным значениям — отдача электрической энергии. В пассивных цепях это происходит за счѐт энергии, запасаемой в конденсаторах (энергия электрического поля) и/или в индуктивностях (энергия магнитного поля). Для цепей, содержащих активные элементы, это означает, что цепь генерирует электрическую энергию. Средняя (активная) мощность произвольных колебаний определяется как отношение энергии, подведѐнной к цепи за некоторый промежуток времени, к длительности этого промежутка t2 – t1 при условии, что t2 → : Pср lim t2 t2 1 p(t )dt. t2 t1 t (7.12) 1 Для гармонических колебаний пределы интегрирования в (7.12) можно ограничить периодом колебания T, полагая t1 = 0. При этих условиях из (7.12) и (7.11) имеем: 1T p (t )dt T0 Pср 1 T Um Im cos(φ0u T0 2 1 T Um Im cos(φ0u T0 2 Um Im cos(2ωt φ0u 2 φ 0i ) φ0i ) dt φ0i ) dt 1 T Um Im cos(2ωt φ0u T0 2 (7.13) φ0i ) dt. Левый интеграл в полученной сумме равен: Um Im cos(φ0u 2 φ 0i ) 1T dt T0 Um Im cos(φ 0u 2 φ 0i ). Обратимся к правому интегралу конечного выражения (7.13), представляющему собой интеграл от функции косинуса на периоде: 1 Um Im T cos(2ωt φ0u T 2 0 φ0i )dt. Найдѐм этот интеграл: T 0 cos(2ωt φ 0u sin(2ωT φ 0i )dt φ 0u sin(2ωt φ 0u 2ω φ 0i ) sin(φ 0u 2ω φ 0i ) φ 0i ) T 0 . Лекция 7. Гармонические напряжения и токи 111 Числитель дроби равен нулю, поскольку, во-первых, 1 T 2 T и, во-вторых, в силу периодичности функции синуса справедливы равенства: T sin(2 2 0i ) u 2 fT 2 sin(2 0i ) u sin( u 0i ). Таким образом, правый интеграл в (7.13) равен нулю, т. е. попутно доказано, что интеграл от функции косинуса за период равен нулю (это справедливо и для функции синуса). Следовательно, средняя мощность гармонического колебания равна: Um Im cosφ, (7.14) 2 где φ = φ0u – φ0i — разность фаз напряжения и тока на входе цепи, и является постоянной составляющей мгновенной мощности (7.11). Выражение (7.14) означает, что:  средняя, или активная мощность пропорциональна амплитудам напряжения и тока и косинусу сдвига фазы между ними;  чем меньше разность фаз, тем больше активная мощность;  для пассивных цепей согласно принципу сохранения энергии Pср ≥ 0; при наличии зависимых источников это неравенство может не иметь силы;  средняя мощность, потребляемая цепью, должна быть равна арифметической сумме средних мощностей, потребляемых в каждом элементе цепи Pср Pср n k 1 Pсрk , где n — количество элементов в цепи, Pсрk — средняя мощность, потребляемая k-ым элементом. На практике необходимо также знать среднеквадратичные значения произвольных напряжений и токов, которые определяются по формулам: U lim t2 1 t2 t2 t1 t u 2 (t )dt ; I lim t2 1 1 t2 t2 t1 t i 2 (t )dt . (7.15) 1 Отсюда для периодических, в том числе и гармонических, колебаний в соответствии с (7.13) имеем: U 1T 2 u (t )dt ; T0 I 1T 2 i (t )dt . T0 (7.16) Часть I. Глава 3 112 Подставляя в (7.16) выражения для мгновенных напряжений и токов u(t ) Um cos(ωt φ0u ), i(t ) I m cos(ωt φ0i ), получаем: Um 2 U 0,707U m ; I Im 2 0,707 I m . (7.17) Среднеквадратические значения напряжений и токов называют действующими (эффективными). Они меньше амплитуд соответствующих колебаний в 2 раз. Покажем вывод формул (7.17) на примере напряжения: 1T 2 u (t )dt T0 U 1T 2 U m cos2 (ωt φu )dt . T0 После замены: 1 cos 2(ωt φu ) 2 cos2 (ωt φu ) подкоренное выражение примет вид: U m2 T 2T 0 dt U m2 T 2T 0 cos 2(ωt φu ) dt U m2 2 , поскольку по доказанному ранее второй интеграл последней суммы равен нулю. Действующие значения напряжения и тока позволяют записать среднюю мощность в форме: Pср U д I д cosφ. 7.2. Символическое изображение гармонических колебаний Гармонические напряжения и токи в линейной цепи находятся в результате решения задач анализа, которые даже для относительно простых цепей, как это будет видно из дальнейшего, оказываются достаточно трудоѐмкими. На практике используются функциональные преобразования, в результате которых операции над исходными функциями заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями. Исходные функции называются оригиналами, а соответствующие им новые функции — изображениями или символами. Лекция 7. Гармонические напряжения и токи 113 Решение любой задачи методом функционального преобразования состоит из трѐх следующих основных этапов: 1. Прямого преобразования оригиналов к их изображениям (символам). 2. Вычисления изображений искомых функций по правилам операций над изображениями. 3. Обратного преобразования полученных изображений искомых функций к их оригиналам. Рассматриваемое здесь функциональное преобразование, получившее название символического изображения гармонических колебаний, не является единственным; в лекции 16 будет рассмотрено более общее преобразование — преобразование Лапласа. Идея символического изображения гармонических колебаний состоит в замене гармонических функций комплексными числами. Возможность такого изображения гармонических функций заложена в том, что в режиме гармонических колебаний все колебания имеют одну и ту же заранее известную частоту ω, равную частоте внешнего воздействия. Тогда гармоническое колебание s(t ) Sm cos(ωt φ0 ) достаточно охарактеризовать только двумя вещественными числами: Xm и φ0, которые можно объединить в одно комплексное число и рассматривать его как символическое изображение гармонического колебания. А операции над числами проще операций над функциями. Представим гармоническое колебание в виде действительной части новой комплексной функции, опустив для простоты записи индекс 0 при φ: s (t ) Sm cos(ωt φ) Sm Re e j (ωt φ) Re X m e j (ωt φ) . (7.18) Тогда комплексная функция, стоящая в правой части равенства, может быть представлена как произведение некоторой комплексной функции на комплексную экспоненту S Sm e j (ωt φ) Sm e jφ e jωt Sm e jωt . ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексная функция Xm X me jφ (7.19) называется комплексной амплитудой или символическим изображением гармонического колебания: еѐ модуль равен амплитуде Sm, а аргумент — начальной фазе φ гармонического колебания. Часть I. Глава 3 114 Восстановление x(t) по символическому изображению X m ясно из соотношений (7.18) и (7.19). Например, гармоническое напряжение π ) 3 имеет комплексную амплитуду (символическое изображение) вида: u (t ) U m cos(ωt φ) = 1,32cos(ωt 1,32e j π 3. Um Соответствия между линейными операциями над гармоническими колебаниями и операциями над их символическими изображениями 1. Умножение на константу: as(t ) aSm cos(ωt φ); aSme jφ aSm . Полученная формула показывает, что умножению гармонического колебания на константу соответствует умножение на константу его комплексной амплитуды. 2. Сложение: пусть гармоническое колебание s(t) представляет собой сумму N гармонических колебаний одинаковой частоты ω, но имеющих разные амплитуды S mk и начальные фазы φk: s (t ) Sm cos(ωt φ) N k 1 Smk cos(ωt φk ). Применим к обеим частям данного равенства преобразование (7.41) с учѐтом того, что суммируемые колебания имеют одну и ту же частоту. Тогда получим: Sm N k 1 Smk e jφk N k 1 Smk . Следовательно, операции сложения (суммирования) гармонических колебаний соответствует операция сложения их комплексных амплитуд. 3. Дифференцирование: дифференцируя функцию s(t ) получаем s (t ) dt Sm cos(ωt φ), ωSm sin(ωt φ) = ωSm cos ωt φ + π . 2 Лекция 7. Гармонические напряжения и токи 115 Комплексная амплитуда, т. е. символическое изображение найденной функции, оказывается такой: ωS m e π 2 j φ jφ ωSm e e j π 2 jωS m , поскольку согласно формуле Эйлера (7.40) e j π 2 cos π 2 j sin π 2 j. Следовательно, операции дифференцирования гармонического колебания соответствует операция умножения его комплексной амплитуды на оператор jω. 4. Интегрирование: интегрируя функцию s(t ) Sm cos(ωt φ), получаем s(t )dt Sm cos(ωt φ)dt Sm sin(ωt φ) ω Sm cos(ωt φ ω π ). 2 Символическое изображение этой функции имеет вид: Sm j e ω φ π 2 Sme jφ e ω j π 2 Sme jφ jω Sm , jω поскольку e j π 2 j 1 . j Следовательно, операции интегрирования гармонического колебания соответствует операция деления символического изображения на оператор jω. Заметим, что комплексные амплитуды напряжения и тока имеют вид: Um U m e jφu ; Im I m e jφi . Например, мгновенному значению гармонического напряжения u(t ) 0,8cos ωt 0,3π В соответствует комплексная амплитуда напряжения Um Ume jφu 0,8e j 0,3π , Часть I. Глава 3 116 а комплексной амплитуде тока I me jφi Im j 0,65π 2 10 3 e при известной круговой частоте ω = 2300 с-1 соответствует мгновенное значение гармонического тока: i (t ) 2 10 3 cos(2300t 0,65π) А. 7.3. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд Обозначим:  комплексную амплитуду тока I m I me jφi ,  комплексную амплитуду напряжения U m U me jφu . Покажем, что изученные ранее законы Ома и Кирхгофа справедливы и для комплексных амплитуд. Закон Ома в символической форме: для определения закона Ома необходимо установить связи между комплексными токами и напряжениями, действующими в некотором двухполюснике (рис. 7.3). Um Im Z ( jω) Рис. 7.3. Двухполюсник Введѐм следующие определения:  Комплексным сопротивлением двухполюсника Z(jω) называется отноше- ние комплексных амплитуд напряжения и тока на входе двухполюсника Z ( jω) Um . Im (7.20) Комплексное сопротивление называют также комплексом полного сопротивления, или импедансом. Лекция 7. Гармонические напряжения и токи 117  Комплексной проводимостью двухполюсника Y(jω) называется отношение комплексных амплитуд тока и напряжения на входе двухполюсника Im . Um Y ( jω) (7.21) Комплексную проводимость называют также комплексом полной проводимости, или адмитансом. Из определений следует соотношение: Z ( jω) Um Im 1 , Y ( jω) (7.22) откуда вытекает, что комплексные амплитуды напряжений и токов на входе двухполюсника формально удовлетворяют закону Ома: Um Z ( jω) I m ; Im Y ( jω)U m . (7.23) Комплексные сопротивления и проводимости двухполюсников представляют собой в общем случае комплексные величины, зависящие как от параметров цепи, так и от частоты воздействия. Первый закон Кирхгофа в символической форме: сумма комплексных амплитуд токов всех N ветвей, подключѐнных к каждому из узлов электрической цепи, равна нулю. Действительно, для мгновенных значений токов имеем: N k 1 ik (t ) 0; где k — номер ветви, подключѐнной к рассматриваемому узлу. Тогда, заменяя мгновенные значения токов их комплексными амплитудами, согласно правилу сложения комплексных амплитуд получаем: N k 1 I mk 0. Второй закон Кирхгофа в символической форме: сумма комплексных амплитуд напряжений на всех N ветвях, входящих в любой контур цепи, равна нулю. Это показывается так же, как и для первого закона: N k 1 uk (t ) 0; N U mk k 1 0. Часть I. Глава 3 118 7.4. Комплексные сопротивления и проводимости Поставим задачу установить связь между активными и реактивными составляющими комплексных сопротивлений и проводимостей, для чего подробнее рассмотрим комплексные амплитуды напряжения и тока (7.45). Из комплексной амплитуды напряжения имеем: Z ( jω) Um Im U me jφu I me Um j e Im jφi φ u φi ze jφ z , (7.24) где z Um Im Z ( jω) называется модулем комплексного сопротивления, или полным сопротивлением двухполюсника. Таким образом, полное сопротивление двухполюсника равно отношению амплитуды гармонического напряжения на зажимах двухполюсника к амплитуде гармонического тока, протекающего через эти зажимы. Аналогично из соотношения Y ( jω) Im Um I m e jφi U me Im j e Um jφu φi φ u ye jφ y (7.25) можно выделить модуль комплексной проводимости, или полную проводимость двухполюсника: y Y ( jω) Im . Um З А МЕ Ч А Н И Е Аргументы комплексного сопротивления и комплексной проводимости у пассивных двухполюсников могут меняться только в пределах: π 2 φu φi π . 2 Для решения поставленной задачи представим комплексное сопротивление и комплексную проводимость в алгебраической форме: Z ( jω) Z ze jφz z cosφ z jz sinφ z r jx, (7.26) Лекция 7. Гармонические напряжения и токи 119 где:  r — активная составляющая,  x — реактивная составляющая комплексного сопротивления. Подобным образом для комплексной проводимости Y ( jω) Y ye jφ y y cosφ y jy sin φ y g (7.27) jb устанавливаются:  g — активная составляющая,  b — реактивная составляющая комплексной проводимости. Наконец, установим связь между активными и реактивными составляющими комплексных сопротивлений и проводимостей: Z ( jω) 1 Y ( jω) r g 1 g g g2 b jb g 2 b x ; 2 b j 2 g2 b b g b2 2 r jx; (7.28) . 2 Аналогично получаем соотношения: Y ( jω) 1 Z ( jω) g r r r2 r 1 r2 jx ; r x 2 r j 2 x r2 r2 r 2 x r2 g jb; (7.29) . Выводы:  активные составляющие комплексных сопротивлений и проводимо- стей пассивных двухполюсников не могут принимать отрицательных значений;  реактивные составляющие могут принимать как положительные, так и отрицательные значения: если x > 0 и (b > 0) сопротивление (проводимость) имеет индуктивный характер, в противном случае — ѐмкостной;  если колебания напряжения и тока происходят в фазе φz = φy, двухполюс- ник обладает чисто активным сопротивлением (проводимостью). Часть I. Глава 3 120 7.5. Комплексные числа и операции над ними Рассмотрим всевозможные пары действительных (обычных) чисел, взятых в определѐнном порядке. Каждую такую упорядоченную пару {a, b} называют комплексным числом, обозначают одной буквой (например, z ) и записывают в виде z a jb, 1 отделяет одно число из пары от другого; знаки ± указыгде символ j вают на то, что два действительных числа объединяются в нечто единое. Число a называется действительной частью Rez = a, число b — мнимой частью Imz = ±b комплексного числа. Комплексные числа a + j0, 0 + jb, 0 + j0 можно записывать как a, jb, 0 соответственно. При этом:  комплексное число вида a + j0 называется действительным (веществен- ным);  комплексное число вида 0 + jb называется чисто мнимым;  число 0 — единственное комплексное число, которое является одновре- менно и действительным, и мнимым;  два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой части, называются комплексно-сопряжѐнными; число, комплексно-сопряжѐнное с числом z , обозначают z* ; таким образом, если z a jb , то z* a jb . Запишем формулы для натуральных степеней числа j: j1 j 1; j 2 1; j 3 j2 j j; j 4 j2 j2 ( 1)( 1) 1 . (7.30) Из (7.30) видно, что при возведении числа j в степень n наблюдается периодичность значений степени, а именно: из равенства j 4 = 1 следует, что если n = 4k + m, то j n j m . Иными словами: чтобы найти j n , достаточно возвести j в степень, показатель которой равен остатку от деления n на 4. 7.5.1. Арифметические действия над комплексными числами 1. Два комплексных числа считаются равными, если равны их действительные и мнимые части. Лекция 7. Гармонические напряжения и токи 121 2. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел следует производить так, словно это многочлены относительно буквы j; при этом произведение j·j заменяется на –1. Пусть z1 лучаем: a jb; z2 c jd ; тогда на основании записанных правил по- равенство z1 = z2, если a = c и b = d; сумму z1 + z2 = z = (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + jd), или в общей форме: z (Re z1 Re z2 ) j(Im z1 Im z2 ) ; (7.31) разность: z1 z2 (Re z1 Re z2 ) j(Im z1 Im z2 ) ; (7.32) произведение: z1 z2 z (a jb)(c jd ) (ac bd ) j(ad bc), или в общей форме z1 z2 (Re z1 Re z2 Im z1 Im z2 ) j(Re z1 Im z2 Im z1 Re z2 ). (7.33) 3. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению: частным от деления комплексного числа z2 на число z1 называют такое число z , что z2 z z1 , т. е. z z2 z1 c a jd jb ac bd a2 c jd a jb (a jb)(a jb) c jd a a2 j ad bc ac bd b2 a2 b2 j jb b2 ad bc a2 b2 (7.34) . 4. Полезные тождества: z2 )* z1* z2* ; ( z1 z2 )* z1* z2* ; ( z1 ( z1 z2 )* z1 z2 * z1* z2* ; z1* . z2* (7.35) Часть I. Глава 3 122 7.5.2. Геометрический смысл комплексных чисел Как известно, положение точки Z на координатной плоскости задаѐтся двумя действительными числами, являющимися координатами этой точки, что записывается в виде Z(a, b), но точно так же задаѐтся и комплексное число z. Таким образом, между координатами точки и комплексным числом существует однозначное соответствие, а именно: точке Z(a, b) на плоскости соответствует комплексное число z = (a + jb) ; это комплексное число назовѐм комплексной координатой, а саму плоскость — комплексной плоскостью, по оси абсцисс которой откладываются значения действительной части Re z, а по оси ординат — значения мнимой части Im z комплексного числа z. Эти оси комплексной плоскости называются действительной и мнимой соответственно (рис. 7.4, а). Комплексной координатой начала координат O является число 0 (нуль). j Im z1 z2 a2 a1 a3 jb1 Re z4 jb4 a4 z b Действительная ось jb2 0 z3 j Im Мнимая ось a jb r φ рад a 0 Re jb4 а б Рис. 7.4. Комплексная плоскость: а) комплексные координаты, б) параметры радиуса-вектора С другой стороны, на той же комплексной плоскости выберем произвольный радиус-вектор A , для простоты выходящий из начала координат. Тогда конец его будет иметь координату Z(a, b). Комплексное число z = (a + jb) называется комплексной координатой вектора A . Длина r этого вектора (расстояние от начала координат до точки Z(a, b)) называется модулем комплексного числа z r z a 2 b2 a jb (Re z )2 (Im z )2 . (7.36) Лекция 7. Гармонические напряжения и токи 123 Угол наклона вектора к действительной оси называется аргументом Arg z числа z: Argz arg z 2πm, где argz называется главным значением аргумента (главным аргументом); главное значение аргумента удовлетворяет неравенствам: π. π argz (7.37) Из рис. 7.4, б следует, что b Im z arctg . (7.38) a Re z Аргумент считается положительным при отсчѐте против часовой стрелки и отрицательным — при отсчѐте в противоположном направлении. φ argz arg(a jb) arctg 7.5.3. Формулы Эйлера и Муавра Вновь обратимся к рис. 7.4, б и найдѐм значения a и b через значения r и φ: a Re z r cosφ, b Im z r sin φ, которые позволяют записать комплексное число z в тригонометрической форме: z r cosφ jr sin φ r cosφ j sin φ . (7.39) В 1743 году Эйлер предложил обозначить e jφ cosφ (7.40) j sin φ и назвать полученное соотношение мнимой экспонентой. Тогда комплексное число z можно записать в показательной (полярной) форме re jφ . z (7.41) Из (7.40) следуют две формулы, выражающие через cos экспоненты. Заменяя в (7.40) на φ , имеем: e jφ cosφ и sin мнимые (7.42) j sin φ. Складывая и вычитая почленно (7.40) и (7.42), получаем: 2cosφ e jφ e jφ ; 2 j sin φ e jφ e jφ , (7.43) откуда следуют интересующие нас формулы: cosφ e jφ e 2 jφ ; sin φ e jφ e 2j jφ . (7.44) Часть I. Глава 3 124 Заметим также, что модуль комплексной экспоненты равен единице; действительно: e jφ cosφ j sinφ cosφ 2 2 sinφ . Найдѐм выражение, соответствующее степени n мнимой экспоненты (7.40): e jφ n e jnφ cos φ j sin φ n cos nφ j sin nφ, (7.45) откуда следует: n e jφ n cosφ j sin φ cos φ n φ j sin . n Формулы (7.45) и (7.2) называются формулами Муавра. (7.46) L2 C2 1 R U вх Лекция 8 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Символический метод анализа электрических цепей 8.1. Комплексные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей Вычисление комплексных сопротивлений и проводимостей последовательных и параллельных двухполюсников, содержащих различные элементы электрических цепей, осуществляются по тем же правилам, которые были получены для резистивных цепей, поскольку, как это было показано в лекции 7, для комплексных амплитуд справедливы законы Ома и Кирхгофа. Комплексные сопротивления и проводимости полностью характеризуют свойства соответствующего элемента. Будем рассматривать только пассивные элементы, через которые проходит гармонический ток i(t ) I m cos(ωt φi ), (8.1) комплексная амплитуда которого равна I m I me jφi . Найдѐм комплексные сопротивления и проводимости резистивного элемента, индуктивности и ѐмкости при согласованной системе отсчѐта токов и напряжений. 8.1.1. Резистивный элемент Для резистивного элемента, обладающего активным сопротивлением, имеем u(t ) Ri(t ) RI m cos(ωt φi ) Um cos(ωt φi ), где Um RI m — амплитуда гармонического напряжения. Отсюда комплексная амплитуда напряжения на резистивном элементе UmR Ume jφi RI me jφi . (8.2) Часть I. Глава 3 126 По определению комплексного сопротивления двухполюсника (7.38) имеем: Um Im Z ( jω) RI me jφi I me jφi R, (8.3) а комплексная проводимость Y ( jω) 1 Z ( jω) 1 G. R Средняя мощность, выделяемая в активном сопротивлении, согласно (7.15) при φ φu φi 0 равна Pср I m2 R 2 U mR I m U mR I m cosφ 2 2 2 U mR 2R (8.4) или, переходя к действующим значениям (7.18) напряжения и тока, Pср Uд Iд I д2 R U д2 . R (8.5) Выводы:  комплексное сопротивление и проводимость резистивного элемента име- ют только активные вещественные составляющие: r R, x 0, g G, b 0;  фазы колебаний напряжения и тока совпадают, т. е. рассматриваемые ко- лебания находятся в фазе (рис. 8.1, а), поскольку φu φi ;  действующие значения напряжения и тока представляют собой значения таких постоянных напряжения и тока, которые эквивалентны по мощности, выделяемой в данном активном сопротивлении. 8.1.2. Индуктивность Напряжение на зажимах индуктивности изменяется по закону uL (t ) di(t ) dt ωLI msin(ωt φi ) U mL cos(ωt φi U mL cos(ωt φu ). π / 2) (8.6) Операции дифференцирования гармонического колебания (см. лекцию 7) соответствует умножение символического изображения на оператор jω, т. е. U mL jωLI m , (8.7) Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей j Im j Im j Im U mL U mR Im Im 0 127 φi φu φ φu Re 0 π 2 φi Re 0 φi π 2 φu φ Im Re U mC а б в Рис. 8.1. Векторные диаграммы комплексных амплитуд токов и напряжений: а) резистивного элемента, б) индуктивности, в) ѐмкости причѐм зависимость между амплитудами гармонических колебаний напряжения на зажимах индуктивности и тока в индуктивности определяется выражением: UmL ωLI m . (8.8) Из (8.7) для индуктивности получаем: комплексное сопротивление (индуктивное сопротивление) Um Im Z L ( jω) jωL (8.9) и комплексную проводимость (индуктивную проводимость) YL ( jω) 1 Z L ( jω) 1 jωL j 1 . ωL (8.10) Выводы:  комплексные сопротивление (8.9) и проводимость (8.10) индуктивности имеют только реактивные составляющие и зависят от частоты: 1 , ωL поэтому элемент индуктивности называют реактивным; r 0, x ωL, g 0, b  гармоническое напряжение на индуктивности опережает ток на π 2 , по- скольку φZ φY π 2, что следует из (8.6), т. е. ток и напряжение находятся в квадратуре (рис. 8.1, б); Часть I. Глава 3 128  значение средней мощности в элементе индуктивности равно нулю: U mL I m U mL I m U mL I m π cosφ cos(φu φi ) cos 0; 2 2 2 2 это объясняется тем, что в элементе индуктивности энергия не рассеивается; в режиме гармонических колебаний происходит обмен энергией между индуктивностью и подключѐнной к ней внешней цепью. PсрL 8.1.3. Ёмкость Напряжение на зажимах ѐмкости определяется соотношением uC (t ) 1 i (t )dt C Im sin(ωt φi ) ωC (8.11) Im cos(ωt φi π / 2) U mC cos(ωt φu ). ωC Операции интегрирования гармонического колебания (см. лекцию 7) соответствует деление символического изображения на оператор jω, т. е. Im , jωC Um (8.12) причѐм зависимость между амплитудами гармонических колебаний напряжения на зажимах ѐмкости и тока в ѐмкости определяется выражением: Im . (8.13) ωC Из (8.12) для ѐмкости получаем: комплексное сопротивление (ѐмкостное сопротивление) Um 1 ZC ( jω) (8.14) Im jωC U mC и комплексную проводимость (ѐмкостную проводимость) YC ( jω) 1 ZC ( jω) jωC. (8.15) Выводы:  комплексные сопротивление (8.14) и проводимость (8.15) ѐмкости имеют только реактивные составляющие: 1 r 0, x , g 0, b ωC , ωC поэтому элемент ѐмкости также называют реактивным; Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей 129  гармоническое напряжение на ѐмкости отстаѐт от тока на π/2, поскольку φZ φY π 2, что следует из (8.11), т. е. ток и напряжение находятся в квадратуре (рис. 8.1, в);  значение средней мощности в элементе ѐмкости так же, как и в индуктив- ности, равно нулю: PсрC U mC I m cosφ 2 U mC I m cos(φu 2 U mC I m cos 2 φi ) π 2 0; это объясняется тем, что в элементе ѐмкости энергия не рассеивается; в режиме гармонических колебаний происходит обмен энергией между ѐмкостью и подключѐнной к ней внешней цепью. 8.1.4. Комплексные сопротивления и проводимости двухполюсников Проиллюстрируем вычисления комплексных сопротивлений и проводимостей на простейших примерах последовательного соединения резистивного элемента с индуктивным (рис. 8.2, а) и ѐмкостным (рис. 8.2, б). Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов Алгебраическая форма записи комплексного сопротивления рассматриваемого двухполюсника (рис. 8.2, а) Z ( jω) R jωL, (8.16) где активная составляющая r = R и реактивная составляющая x = ωL. Полное сопротивление двухполюсника равно R 2 (ωL)2 Z ( jω) (8.17) и аргумент φZ arctg ωL , R поэтому показательная форма записи комплексного сопротивления имеет вид Z ( jω) R 2 (ωL)2 e jarctg ωL R . (8.18) Часть I. Глава 3 130 Im Im L R R C Um Um а б б а Рис. 8.2. Последовательные соединения: а) резистивного элемента и индуктивности, б) резистивного элемента и ѐмкости Комплексная проводимость по определению для данного двухполюсника такова: Y ( jω) 1 . R jωL Найдѐм активную и реактивную части комплексной проводимости, для чего умножим числитель и знаменатель полученного выражения на комплексное число, сопряжѐнное знаменателю, а затем выделим вещественную g и мнимую b составляющие: Y ( jω) R jωL jωL)( R jωL) (R R R (ωL)2 2 jωL , R (ωL)2 2 откуда g R R ; (ωL)2 2 b R 2 ωL . (ωL)2 Отсюда модуль и аргумент комплексной проводимости соответственно равны: Y ( jω) φY R arg Y ( jω) 2 1 , (ωL)2 arctg (8.19) ωL R (8.20) и, наконец, для показательной формы комплексной проводимости получаем: Y ( jω) 1 R 2 (ωL)2 e jarctg ωL R . (8.21) Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей 131 Последовательное соединение резистивного и ёмкостного элементов Алгебраическая форма записи комплексного сопротивления рассматриваемого двухполюсника (рис. 8.2, б) Z ( jω) 1 jωC R R j 1 , ωC (8.22) откуда r 1 . ωC R; x Полное сопротивление двухполюсника равно: 1 , (ωC )2 R2 Z ( jω) (8.23) аргумент arg Z ( jω) φZ arctg 1 , ωCR (8.24) показательная форма имеет вид: Z ( jω) R 2 1 e (ωC )2 jarctg 1 ωCR . (8.25) Комплексная проводимость по определению для данного двухполюсника такова: Y ( jω) 1 R 1 jωC В полученном выражении в силу равенства j jωC ωCe jπ 2 и 1 jωCR jωC . 1 jωCR jπ e 2 имеем: 1 (ωCR)2 e jarctgωCR , поэтому Y ( jω) jωC 1 jωCR ωC 1 (ωCR )2 e j( π arctgωCR ) 2 . (8.26) Часть I. Глава 3 132 Из (8.26) получаем полную проводимость и аргумент двухполюсника соответственно: ωC Y ( jω) 1 (ωCR)2 , π arctgωCR. 2 φY (8.27) (8.28) Наконец, найдѐм активную g и реактивную b части комплексной проводимости: Y ( jω) jωC 1 jωCR jωC (1 jωCR ) (1 jωCR)(1 jωCR) R (ωC ) 2 1 (ωCR ) g 2 j ωC 1 (ωCR) 2 . (8.29) b Выводы:  реактивные составляющие сопротивления и проводимости пассивных двухполюсников могут иметь как положительные, так и отрицательные значения; 0 , то говорят, что сопротивление двухполюсника имеет индуктивный характер (на входе двухполюсника колебания напряжения опережают по фазе колебания тока); при этом на частоте ω = 0 сопротивление двухполюсника является чисто активным и равным R, поскольку сопротивление элемента индуктивности при постоянном токе равно нулю, т. е. индуктивность представляет собой короткое замыкание, а при ω → сопротивление двухполюсника стремится к , поскольку сопротивление элемента индуктивности стремится к бесконечности, т. е. индуктивность представляет собой разрыв цепи;  если x 0 , то говорят, что сопротивление двухполюсника имеет ёмкостной характер (на входе двухполюсника колебания напряжения отстают по фазе от колебаний тока); при этом на частоте ω = 0 сопротивление двухполюсника стремится к , поскольку сопротивление ѐмкости стремится к бесконечности, т. е. ѐмкость представляет собой разрыв цепи; а при ω → сопротивление двухполюсника становится равным R, поскольку сопротивление ѐмкости стремится к нулю, т. е. ѐмкость представляет собой короткое замыкание.  если же x Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей 133 8.2. Анализ установившихся гармонических колебаний в простейших цепях 8.2.1. Определения режимов состояния электрической цепи Колебания в цепях, имеющих реактивные элементы, качественно отличаются от колебаний, происходящих в резистивных цепях. Причиной качественных отличий является способность реактивных элементов выступать как в роли потребителя энергии, чему соответствуют положительные значения мгновенной мощности на зажимах элемента, так и в роли источника, когда элемент отдаѐт накопленную энергию в цепь, чему соответствуют отрицательные значения мгновенной мощности на зажимах элемента. Процессы накопления и возврата энергии реактивными элементами не могут прекратиться и начаться сразу же после окончания внешних воздействий на цепь. Колебания в цепи продолжаются за счѐт накопленной в реактивных элементах энергии, т. е. цепь обладает электромагнитной инерцией. Характер колебаний зависит от вида воздействия, схемы цепи, наличия начального запаса энергии в реактивных элементах к моменту приложения воздействия и т. д. Колебания в цепях разделяют на установившиеся (стационарные) и неустановившиеся (нестационарные). Колебания считаются установившимися, если все напряжения и токи в цепи изменяются как периодические функции времени с периодом T, т. е. когда uk (t T ) uk (t ), in (t T ) in (t ). Частным случаем периодических колебаний являются гармонические напряжения и токи. Режим гармонических колебаний относится к числу установившихся режимов колебаний. Режимом постоянного тока называется такое состояние цепи, в котором значения всех напряжений и токов не изменяются во времени: uk(t) = Uk = const, in(t) = In = const. Режимом покоя, или нулевыми начальными условиями называется такое состояние цепи, в котором значения всех напряжений и токов равны нулю. Режимом переходных колебаний, или переходным процессом называется такое состояние цепи, в котором происходит переход из одного установившегося режима в другой установившийся режим. Режим переходных колебаний принадлежит к неустановившимся режимам. Часть I. Глава 3 134 Переходным временем называется время перехода из одного установившегося режима в другой установившийся режим. Здесь и далее, если это не будет оговорено особо, рассматриваются цепи, находящиеся в режиме гармонических колебаний. Анализ линейной цепи в режиме гармонических колебаний методом комплексных амплитуд состоит в следующем: 1. Гармонические токи и напряжения заменяются их комплексными изображениями: комплексными амплитудами U m , I m или комплексными действующими значениями U I Um 2 Im 2 U m jφu e Ue jφu , 2 I m jφi e Ie jφi . 2 (8.30) 2. Составляются уравнения (системы уравнений) для комплексных изображений токов и напряжений согласно законам Ома и Кирхгофа. 3. Решаются уравнения (системы уравнений) относительно комплексных изображений требуемых токов и напряжений. 4. Осуществляется переход от комплексных изображений токов и напряжений к их оригиналам. 8.2.2. Анализ гармонических колебаний в последовательном RL-контуре Задача 8.1. Найти напряжения и токи в последовательном RL-контуре, изображѐнном на рис. 8.3. Em U mL L U mR Im R Рис. 8.3. Последовательный RL-контур Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей 135 Решение. Как было показано ранее, такой контур обладает комплексным сопротивлением Z ( jω) R R 2 (ωL)2 e jωL jarctg ωL R . Комплексная амплитуда тока в контуре согласно закону Ома равна: Em R jωL Im Eme jφu R 2 (ωL)2 jarctg e ωL R , где Em — комплексная амплитуда напряжения e(t ) Em cos(ωt φu ) источника гармонических колебаний. По определению комплексной амплитуды тока I m еѐ модуль равен амплитуде, а еѐ аргумент — начальной фазе гармонического тока в контуре. Отсюда имеем: Em Im R 2 (ωL) 2 Em i (t ) R 2 (ωL)2 ; φi φu arctg ωL ; R (8.31) ωL arctg . R cos ωt φu Определим комплексные амплитуды напряжений на элементах контура: U mR U mL REm R jωL RI m jωLEm R jωL jωLI m REm R 2 (ωL)2 e ωLEm R 2 (ωL)2 j φu arctg e ωL R j φu arctg ; ωL π R 2 . Отсюда для оригиналов напряжений имеем: REm uR (t ) uL (t ) R2 arctg ωL ; R cos ωt φu arctg ωL R (ωL)2 ωLEm R2 cos φu (ωL)2 (8.32) π . 2 (8.33) Выводы:  амплитуда тока в контуре зависит не только от значений индуктивности и сопротивления, но и от частоты ω гармонического воздействия (читателю предлагается самостоятельно оценить, что происходит в контуре при ω = 0 и ω → ); Часть I. Глава 3 136  колебания напряжения на входе контура опережают по фазе колебания ωL 0 , что объясняется индуктивным харакR тером сопротивления контура, т. е. ток отстаѐт по фазе от напряжения на контуре;  колебания напряжения на резистивном элементе происходят в фазе с коωL лебаниями тока в контуре и отстают по фазе на угол arctg 0 от колеR баний напряжения источника;  колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания π ωL arctg 0 и колебания тока в коннапряжения источника на угол 2 R π туре на угол . 2 тока в контуре на угол arctg 8.2.3. Анализ гармонических колебаний в RLС-контуре Задача 8.2. Найти напряжения и токи в RLC-контуре, изображѐнном на рис. 8.4, а. I mL I mC R Im0 C U mR Im0 U mC L Um Y( jω) U mL аа бб Рис. 8.4. К задаче 8.2: а) RLC-контур с источником тока, б) эквивалентная схема Решение. 1. Определим эквивалентную комплексную проводимость контура (рис. 8.4, б) Y ( jω) jωC 1 R jωL 1 ω2 LC jωCR . R jωL Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей 137 2. Вычислим комплексную амплитуду напряжения на зажимах двухполюсника I m0 Y ( jω) Um где I m0 и Um I m0 R jωL , 1 ω2 LC jωCR I m0e jφi — комплексная амплитуда задающего тока источника U mC — комплексная амплитуда напряжения на ѐмкости. 3. Найдѐм комплексные амплитуды токов в ветвях контура I mL Um ; I mC R jωL jωCU m . 4. Последние формулы позволяют записать выражения для комплексных амплитуд напряжений на элементах индуктивности и сопротивления: U mL jωL I mL ; U mR RI mL . Амплитуды и начальные фазы колебаний можно найти, представив комплексные амплитуды колебаний в показательной форме, что предлагается выполнить читателю. 8.3. Анализ сложных линейных электрических цепей в режиме установившихся гармонических колебаний Ранее было показано (см. разд. 7.3), что комплексные амплитуды колебаний можно найти из решения систем уравнений Кирхгофа, узловых или контурных уравнений. Поэтому при составлении систем уравнений для комплексных амплитуд необходимо пользоваться правилами, установленными для резистивных цепей. Отличие будет состоять лишь в формальной замене обозначений сопротивлений и проводимостей на обозначения комплексных сопротивлений и проводимостей, а токи и напряжения заменить их комплексными амплитудами. Для удобства обозначений при составлении систем уравнений принято вместо комплексных амплитуд U m и I m использовать комплексные дейстUm I и m (8.30); комплексные сопротивления 2 2 и проводимости обозначают как Z и Y соответственно. При этом сами комплексные действующие значения токов и напряжений называют просто токами и напряжениями, если это не приводит к недоразумениям. вующие значения колебаний Часть I. Глава 3 138 При этих обозначениях имеем канонические формы записи системы уравнений для комплексных узловых напряжений согласно (5.2) Y11U1 Y12U 2 Y13U 3 Y1NU N I1; Y21U1 Y22U 2 Y23U 3 Y2 NU N I2; YN 1U1 YN 2U 2 YN 3U 3 YNNU N (8.34) IN и системы контурных уравнений для комплексных контурных токов согласно (5.9) Z11I I Z12 I II Z13 I III Z14 I IV Z1N I N UI ; Z 21I I Z 22 I II Z 23 I III Z 24 I IV Z2 N I N U II ; Z N 4 I IV Z NN I N UN . Z N 1I I Z N 2 I II Z N 3 I III (8.35) Перед решением задачи анализа гармонических колебаний символическим методом целесообразно сначала найти комплексные проводимости или сопротивления двухполюсников, составляющих ветви цепи, и только после этого составлять систему уравнений. При этом граф цепи упрощается и уменьшается число независимых уравнений. Пример 8.1. Рассмотрим схему цепи, изображѐнную на рис. 8.5, а. В схеме выделены три двухполюсника с сопротивлениями Z1, Z2 и Z3, которые нетрудно найти по правилам последовательного и параллельного соединения элементов. Такое преобразование позволило свести исходную схему к эквивалентной с двумя независимыми контурами (рис. 8.5, б). Z1 Z1 Z3 Z3 Z2 R Em а Em I1 I2 R Z2 б Рис. 8.5. Схема цепи: а) исходная, б) эквивалентная схема с двумя независимыми контурами Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей 139 Для схемы (рис. 8.5, б) нетрудно составить систему контурных уравнений: ( Z1 Z 2 ) I1 Z 2 I 2 U; Z 2 I1 ( Z1 Z 2 R) I 2 0. Из этой системы легко получить последовательно:  значения комплексных контурных токов,  значения комплексных напряжений на комплексных сопротивлениях Z1, Z2, Z3 и на резисторе R,  величины напряжений uk(t) на всех элементах схемы согласно разд. 8.2.2. 8.4. Особенности составления уравнений цепей с индуктивными связями До сих пор рассматривались цепи, не содержащие индуктивно связанных элементов. Однако в реальных цепях широко используются трансформаторы, предназначенные для преобразования значений переменных напряжений и токов. 8.4.1. Основные соотношения Простейший воздушный трансформатор без потерь (рис. 8.6) состоит из двух индуктивно связанных элементов индуктивности L1 и L2 . M i1 u1 L1 i2 L2 u2 Рис. 8.6. Простейший воздушный трансформатор; точками обозначены одноимѐнные узлы Напряжения и токи на внешних зажимах этих индуктивностей связаны соотношениями: u1 (t ) u2 (t ) di1 (t ) di (t ) M 2 ; dt dt di1 (t ) di (t ) M L2 2 , dt dt L1 (8.36) Часть I. Глава 3 140 где M — взаимная индуктивность между элементами L1 и L2, равная M k L1L2 , 0 k 1. Коэффициент k называется коэффициентом связи; он характеризует степень магнитной связи между элементами L1 и L2. Связь при k = 1 называется жѐсткой: весь магнитный поток, сцепляющийся с витками одной индуктивности, сцепляется с витками другой; значение при k = 0 соответствует отсутствию связи. M i1 u1 L1 u1 L2 M i1 i2 L1 а а u2 u1 i2 L2 M i1 L1 u1 L2 M i1 u2 i2 i2 L1 L2 б u2 u2 б Рис. 8.7. Примеры направлений отсчѐтов: а) согласное, б) встречное Знаки в равенствах (8.36) зависят от направлений магнитных потоков в индуктивностях, а сами магнитные потоки зависят от направлений токов, проходящих через индуктивности. На схемах зажимы индуктивностей, через которые положительные частицы проходят в одном и том же направлении (к индуктивности или от неѐ), помечаются точками. Такие зажимы (узлы) называются одноимѐнными. Одинаково ориентированные относительно одноимѐнных узлов токи создают складывающиеся потокосцепления. Поскольку в задачах анализа направления токов в индуктивностях выбираются независимо и произвольно, различают согласное и встречное направления отсчѐтов токов и напряжений. В уравнениях (8.36) согласному направлению соответствует знак "+", а встречному — знак "–". Варианты согласного и встречного выбора направлений отсчѐтов токов представлены на рис. 8.7. Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей 141 8.4.2. Метод развязки индуктивных связей Для составления уравнений цепи, содержащей индуктивные связи, используют такие схемы их замещения, в которых индуктивные связи отсутствуют. Метод, приводящий к таким схемам замещения, называют методом развязки индуктивных связей. Рассмотрим наиболее важный для практики случай, когда взаимодействующие катушки имеют один общий узел (рис. 8.8, а). Любая схема замещения, исходя из (8.36), составляется только из элементов индуктивности, число которых должно равняться как минимум трѐм, поскольку уравнения содержат три коэффициента: L1, L2 и M. M i1 u1 L1 La i2 L2 u2 i1 u1 Lc i2 Lb а u2 б а Lβ i1 L u1 б i2 Lγ u2 в в Рис. 8.8. Метод развязки: а) индуктивно связанные катушки, б) Т-образная схема замещения, в) П-образная схема замещения Воспользуемся схемой замещения рис. 8.8, б, для которой запишем систему контурных уравнений: u1 ( La Lb ) u2 di Lb 1 dt di1 dt ( Lb di2 ; dt di Lc ) 2 . dt Lb (8.37) Часть I. Глава 3 142 Полученная система не будет отличаться от системы (8.36) при условии: La Lb Lb L1; M; ( Lb (8.38) Lc ) L2 . Таким образом, схема рис. 8.8, б является схемой замещения двух связанных магнитным потоком индуктивностей, если значения элементов этой схемы равны: Lb M; La L1 Lb L1 M; Lc L2 L2 M. Lb (8.39) В формулах (8.39) следует выбирать нижние знаки лишь в том случае, когда только один из двух соединѐнных в узел зажимов цепи рис. 8.8, а помечен точкой. В других случаях необходимо выбирать нижние знаки. Полученная схема называется Т-образной схемой замещения. Важно: при жѐсткой связи, когда k = 1 и, следовательно, L1L2 = M2, имеем: ( La Lb )( Lb Lc ) L2b , откуда после приведения подобных членов получаем, что значения индуктивностей Т-образной схемы замещения удовлетворяют соотношению La Lb La Lc Lb Lc 0, (8.40) которое может выполняться, если одна из индуктивностей схемы замещения является отрицательной. Если связь не является жѐсткой, т. е. L1L2 > M2 равенство (8.40) переходит в неравенство La Lb La Lc Lb Lc 0, что также не исключает возможности появления отрицательной индуктивности. На пассивных элементах отрицательная индуктивность физически не осуществима, однако еѐ наличие в схеме замещения не противоречит задаче анализа колебаний в цепи и способствует решению этой задачи. Лекция 8. Символический метод анализа электрических цепей 143 Применяется также и другая схема замещения (рис. 8.8, в), называемая П-образной. Соотношения между элементами исходной схемы (рис. 8.8, а) и схемы замещения 1 Lβ 1 Lα 1 Lγ M M2 L1L2 L2 L1L2 L1 L1L2 M M2 ; ; (8.41) M M2 можно найти, если для рис. 8.8, в составить систему из двух узловых уравнений. Знаки в этих формулах выбираются по тому же правилу, что и в (8.39). В рассмотренной схеме замещения также возможно появление одной отрицательной индуктивности. L2 C2 1 R U вх Лекция 9 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Энергетические характеристики двухполюсников 9.1. Средняя, полная и реактивная мощности при гармонических колебаниях в цепи Всякую пассивную электрическую цепь, находящуюся под воздействием источника гармонического напряжения, можно рассматривать как двухполюсник (рис. 9.1), обладающий, в общем случае, комплексным (7.26) сопротивлением Z r jx . I Z U Рис. 9.1. Двухполюсник под воздействием гармонического напряжения Средняя мощность Pср , потребляемая таким двухполюсником в режиме гармонических колебаний, находится в соответствии с (7.15) и (7.18) по формуле Pср U д I д cos( u i) U д I д cos . (9.1) Согласно закону Ома действующие значения напряжения U д и тока I д связаны зависимостью: Uд Iд z Iд y , Лекция 9. Энергетические характеристики двухполюсников 145 где z и y представляют собой полное сопротивление и полную проводимость двухполюсника соответственно (см. лекцию 7). Поэтому формула (9.1) может быть представлена в виде: Pср I д2 z cos U д y cos( Z Y ). (9.2) Поскольку, с учѐтом чѐтности функции косинуса, величины r z cos Z и g y cos Y являются активными составляющими сопротивления и проводимости двухполюсника, выражение (9.2) принимает вид: I д2 r U д2 g . Pср (9.3) Таким образом, средняя за период мощность равна мощности, рассеиваемой на резистивном сопротивлении (проводимости) двухполюсника. По этой причине мощность Pср также называется активной и измеряется в ваттах (Вт). Формулу (9.1) можно переписать в виде: Pср I дU д cosφ Z P cosφ Z I д2 r U д2 g , где произведение действующих значений напряжения и тока P I дU д (9.4) называют полной (кажущейся) мощностью. Комплексную мощность P найдѐм по действующей комплексной амплитуде напряжения Uд Um 2 U д e jφu на зажимах двухполюсника и действующей комплексной амплитуде тока Iд Im 2 I д e jφi , проходящего через двухполюсник. При таких обозначениях квадрат действующего значения тока можно записать как произведение действующей комплексной амплитуды тока на еѐ сопряжѐнную величину: I д I д* I д I д e jφi e jφi I д2 . Тогда из (9.3) имеем: Pср I д2 r Re I д2 Z Re I д I д* Z , Часть I. Глава 3 146 но согласно закону Ома IдZ Uд , поэтому получаем: Re U д I д* . Pср (9.5) Последнее выражение означает, что средняя мощность, потребляемая двухполюсником, равна вещественной части произведения действующей комплексной амплитуды напряжения на его входе и комплексной величины, сопряжѐнной с действующей комплексной амплитудой тока, проходящего через входные зажимы двухполюсника. Формула (9.5) даѐт основание записать выражение для комплексной мощности: P Uд I д* Uд I дe j (φu φi ) U д I дe jφ Pe jφ P cosφ jP sinφ Pср jPр , (9.6) вещественная часть которой представляет собой среднюю мощность, потребляемую двухполюсником, мнимая часть Pр — реактивную мощность: Pр Im P Im I д2 Z Im I д2 ( r jx ) I дU д Pср2 I д2 x U д I д sin φ. (9.7) Выводы:  полная мощность P Pр2 (9.8) есть произведение действующих значений тока и напряжения, измеряется в вольт-амперах (В∙А);  средняя мощность Pср I дU д cosφ Z P cosφ Z представляет собой полную мощность, умноженную на коэффициент мощности cos φ, измеряется в ваттах (Вт). Средняя (активная) мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию!), поэтому cos φz ≥ 0, т. е. для пассивного двухполюсника всегда имеет место неравенство . Случай Р = 0, когда φ Z , теоретически возможен для φZ 2 2 2 двухполюсника, который не имеет активных сопротивлений, но содержит только индуктивные и ѐмкостные элементы; Лекция 9. Энергетические характеристики двухполюсников 147  коэффициент мощности (косинус фи) Pср (9.9) P равен отношению средней мощности к полной мощности, потребляемой двухполюсником, и представляет собой косинус угла сдвига фаз между напряжением и током; косинус φz является важной характеристикой электрических машин и линий передач переменного тока, отражая потери энергии: чем больше cos φz, тем меньше потери при передаче энергии по линии и выше КПД электрических машин; при cos φz = 1 имеем P Pср cosφ Z и Pр 0 , т. е. цепь носит чисто активный характер, и сдвиг фаз между i током и напряжением u равен нулю;  реактивная мощность Pр P sin φ равна произведению полной мощности на синус угла сдвига фаз между напряжением и током; она не связана с выделением энергии в элементе, поэтому измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр); реактивная мощность отражает процесс обмена энергией между цепью и источником. В зависимости от знака sin φz реактивная мощность может быть положительной или отрицательной: при Pр 0 энергия запасается в магнитном поле цепи (индуктивностях), при Pр 0 энергия запасается в электриче- ском поле (ѐмкостях). Реактивная мощность отражает дополнительные потери в системах передачи энергии, поэтому всегда стремятся достичь еѐ минимально возможной величины за счѐт компенсации реактивных составляющих полного сопротивления таких систем;  комплексная мощность есть число, модуль которой равен полной мощ- ности. Пример 9.1. К источнику с напряжением u π В 9 4cos ωt подключена нагрузка, ток в которой i 5cos ωt 4π 9 мА. Определить: активную (среднюю), полную и реактивную мощности, а также характер реактивного сопротивления. Часть I. Глава 3 148 Решение. Прежде всего найдѐм действующие амплитуды напряжения и тока: 5 10 2 4 В; I д 2 Uд 3 А и разность фаз между напряжением и током: φ φu ωt φi π 9 ωt 4π 9 π . 3 По формуле (9.1) вычислим активную мощность: Pср 4 5 10 3 π cos 3 2 2 U д I д cosφ 5мВт, по формуле (9.4) найдѐм полную мощность: P 4 5 10 2 2 I дU д 3 10 3 В А, а по формуле (9.7) — реактивную мощность: Pр 4 5 10 3 π sin 3 2 2 U д I д sinφ 5 10 3 3 ВАр. Поскольку реактивная мощность положительна, то реактивное сопротивление является индуктивным. 9.2. Максимум средней мощности в нагрузке 9.2.1. Условия баланса мощностей Поскольку комплексные напряжения и комплексные токи в ветвях цепи удовлетворяют законам Кирхгофа, то можно показать (теорема Теллегена), что сумма мощностей всех ветвей схемы равна нулю: Nв U k I k* k 1 0, (9.10) где Nв — количество ветвей в схеме. Но это возможно только при равенстве нулю вещественной и мнимой составляющих: Re Nв U k I k* k 1 0 и Im Nв U k I k* k 1 0 . (9.11) Лекция 9. Энергетические характеристики двухполюсников 149 Полученные соотношения называют условиями баланса мощностей комплексной, активной и реактивной соответственно. Их используют для проверки решений задач анализа цепей символическим методом в режиме гармонических колебаний. 9.2.2. Условия максимума средней мощности в нагрузке Задача 9.1. Имеется генератор гармонических колебаний (рис. 9.2) с ЭДС e(t) = Em0cos(ωt + φE) и внутренним сопротивлением Z0 = r0 + jx0; требуется определить сопротивление нагрузки Zн , на котором выделяется максимум средней мощности, и величину этой мощности max Pср ( rн ) . Z0 Im Um Em Zн Рис. 9.2. Генератор с нагрузкой Решение. Задачу удобно решать в терминах комплексных амплитуд. Запишем комплексную амплитуду ЭДС генератора Em0 Em0e jφE и комплексное сопротивление нагрузки Zн rн jxн . Тогда комплексная амплитуда тока в цепи определится по закону Ома Im Em0 Z0 Z н ( r0 Em0 rн ) j ( x0 xн ) , а комплексная амплитуда напряжения на нагрузке найдѐтся из выражения: Um I m Zн Em0 Z0 Z н Em0 ( rн jxн ) . ( r0 rн ) j ( x0 xн ) (9.12) Часть I. Глава 3 150 Следовательно, комплексная мощность (9.6), развиваемая на нагрузке, такова: U m I m* , 2 где комплексно-сопряжѐнная амплитуда тока: P U д I д* I m* Em* 0 rн ) j ( x0 ( r0 (9.13) xн ) . (9.14) Соотношения (9.12)—(9.14) позволяют найти комплексную мощность в нагрузке: P 1 2 ( r0 rн ) Em 0 ( rн jxн ) Em* 0 j ( x0 xн ) ( r0 rн ) j ( x0 xн ) . (9.15) Поскольку произведения комплексно-сопряжѐнных величин равны квадратам модулей сомножителей: Em0 Em* 0 [( r0 rн ) j ( x0 Em0e jφ E Em0e xн )][( r0 rн ) jφ E Em2 0 , xн )] ( r0 rн )2 ( x0 j( x0 xн )2 , выражение (9.15) получает вид: P где 1 Em2 0 ( rн jxн ) 2 ( r0 rн )2 ( x0 xн )2 ( r0 E02 rн rн )2 ( x0 j xн ) 2 E02 ( r0 E02 xн rн ) 2 ( x0 (9.16) xн ) 2 , Em2 0 2 . Вещественная часть комплексной мощности (9.16) согласно (9.5) является средней мощностью, поэтому Pср Re P ( r0 E02 rн rн )2 ( x0 xн ) 2 . (9.17) Из (9.17) найдѐм искомые условия, при которых средняя мощность, выделяемая в нагрузке, является максимальной. Первое условие. Максимум средней мощности, выделяемой в нагрузке, будет достигнут, если x0 xн 0 , т. е. когда x0 xн (9.18) реактивные составляющие внутреннего сопротивления генератора и нагрузки компенсируют друг друга. Лекция 9. Энергетические характеристики двухполюсников 151 Поэтому из первого условия (9.18) имеем: Pср E02 rн . ( r0 rн )2 Re P (9.19) Далее выясним, при каком соотношении активных составляющих r0 и rн внутреннего сопротивления генератора и сопротивления нагрузки соответственно будет достигаться максимум средней мощности, для чего найдѐм максимум функции max Pср ( rн ) . Это соотношение и составит второе условие максимума средней мощности. Поскольку r0 определено свойствами генератора, для нахождения максимума функции найдѐм еѐ производную по переменной rн : dPср Pср drн E02 ( r0 rн )2 2 rн ( r0 ( r0 rн )4 rн ) и приравняем производную нулю ( r0 rн )2 2rн ( r0 r02 rн ) rн2 ( r0 rн )( r0 rн ) 0, откуда получаем второе условие. Второе условие. Максимум средней мощности max Pср ( rн ) , выделяемой в нагрузке, достигается при равенстве активных составляющих внутреннего сопротивления генератора и сопротивления нагрузки: r0 rн r0 rн . (9.20) Условия (9.18) и (9.20) можно объединить, если записать равенство комплексного сопротивления нагрузки комплексно-сопряжѐнному внутреннему сопротивлению генератора Zн rн Z 0* jxн r0 jx0 . (9.21) Выводы:  генератор гармонических колебаний развивает в нагрузке максимальную среднюю мощность, если сопротивление нагрузки сопряжено с внутренним сопротивлением генератора;  максимально возможная средняя мощность, которую может развить гене- ратор в нагрузке, равна: max Pср Pср r0 xн rн x0 E02 4r0 Em2 0 . 8r0 (9.22) Часть I. Глава 3 152 9.2.3. Коэффициент полезного действия генератора. Согласованная нагрузка ОПРЕДЕЛЕНИЕ Коэффициентом полезного действия генератора (КПД) η называется отношение средней (активной) мощности Pср I д2 rн , потребляемой нагрузкой, к суммарной средней (активной) мощности Pсум потребляемой всей цепью: η I д2 rн I д2 rн I д2r0 rн . r0 rн I д2 rн I д2 r0 , (9.23) Из определения (9.23) следует (рис. 9.3): 1. КПД генератора при сопряжѐнной нагрузке, когда достигается максимум средней мощности, равен 0,5; это объясняется тем, что на внутреннем сопротивлении генератора рассеивается та же средняя мощность, что и в нагрузке. 2. С ростом rн КПД увеличивается, хотя средняя мощность в нагрузке падает, причѐм с ростом отношения rн r0 КПД монотонно возрастает и при приближается к η = 1. rн r0 P, η Pmax 1 η P 0 1 5 10 rн r0 Рис. 9.3. Зависимость средней мощности в нагрузке и КПД от отношения rн / r0 В энергетических системах, где важно получение высокого КПД, стремятся к тому, чтобы rн >> r0 , но в этом случае значительное снижение сопротивления нагрузки приводит к опасному повышению мощности, расходуемой в генераторе, что может привести к аварийному исходу. Лекция 9. Энергетические характеристики двухполюсников 153 В системах связи часто сопротивление нагрузки выбирают равным внутреннему сопротивлению генератора: Zн Z0 r0 jx0. В таком случае говорят, что генератор нагружен согласованно, а сопротивление нагрузки называют согласованным. Важно: напряжение на согласованной нагрузке независимо от частоты всегда равно половине задающего напряжения генератора, и средняя мощность, выделяемая в согласованной нагрузке, равна: Pсогл Pср Z 0 E02 r ; z02 2 0 4 z0 Zн r02 x02 . Мощность Pсогл меньше средней мощности в сопряжѐнной нагрузке, поскольку r0 z02 1 . r0 Это объясняется тем, что при согласованной нагрузке реактивные составляющие внутреннего сопротивления генератора и сопротивления нагрузки суммируются, а при сопряжѐнной — они компенсируют друг друга, последнее ведѐт к увеличению как амплитуды тока в нагрузке, так и амплитуды напряжения на ней. З А МЕ Ч А Н И Е В дальнейшем будет показано, что при согласованной нагрузке сохраняются соотношения между амплитудами и фазами частотных составляющих сигнала, т. е. сохраняется форма сигнала. Пример 9.2. Найти сопротивление нагрузки Zн (рис. 9.4), при котором в этой нагрузке достигался бы максимум средней мощности, и рассчитать величину этой мощности. R Em 1 Zн L 2 Рис. 9.4. К примеру 9.2 Часть I. Глава 3 154 Решение. При решении этой задачи воспользуемся условиями максимума средней мощности в нагрузке и теоремой об эквивалентном генераторе. 1. Максимум средней мощности будет достигаться, если согласно (9.21) внутреннее сопротивление Z0 эквивалентного генератора, которым можно заменить всю цепь, действующую на нагрузку, будет удовлетворять равенству: Z 0*. Zн 2. По теореме об эквивалентном генераторе находим: Z0 RjωL R RjωL R jωL jωL R2 ω2 L2 Rω2 L2 R2 ω2 L2 j R 2ωL R2 ω2 L2 r0 jx0 . Комплексное сопротивление Z0 имеет индуктивный характер, поскольку реактивная составляющая этого сопротивления положительна x0 0 . По этой причине комплексное сопротивление нагрузки должно иметь ѐмкостной характер: Zн Rн jxн . 3. Представим нагрузку в виде двухполюсника из последовательно соединѐнных активного сопротивления и ѐмкости: Zн 1 jωCн Rн 4. Приравняем вещественные r0 ний Zн и Z0 : Rн j 1 ωCн rн rн и мнимые x0 jxн . xн части сопротивле- Rω2 L2 R 2 ω2 L2 ; C . н R 2 ω2 L2 R 2ωL 5. Найдѐм напряжение холостого хода на зажимах 1–2, создаваемое эквивалентным генератором: Rн Em E m ωL jωL . R jωL R 2 ω2 L2 6. По формуле (9.22) находим максимальную среднюю мощность, которую может развить генератор в нагрузке: Em 0 max Pср что и требовалось. Em 0 Em2 0 8r0 Em2 ω2 L2 R 2 ω2 L2 8 R 2 ω2 L2 Rω2 L2 Em2 , 8R L2 C2 1 R U вх L1 1 Z вх R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Глава 4 Частотные характеристики электрических цепей Лекция 10. Комплексные функции электрических цепей Лекция 11. Режим гармонических колебаний в последовательном колебательном контуре Лекция 12. Режим гармонических колебаний в параллельном колебательном контуре Лекция 13. Свойства частотных характеристик колебательных контуров Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров L2 C2 1 R U вх Лекция 10 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Комплексные функции электрических цепей Задача анализа электрической цепи состоит в определении реакции цепи y(t) на воздействие x(t). При этом воздействие и реакция могут быть заданы в виде напряжений или токов, причѐм определяемая реакция не обязательно должна быть одноимѐнной с воздействием. Например, в качестве воздействия задано гармоническое напряжение, а определяемой реакцией является гармонический ток. Именно режим гармонических колебаний является наиболее важным при анализе электрических цепей. Ясно, что амплитуды и начальные фазы гармонических колебаний в цепи зависят не только от амплитуды и начальной фазы воздействия, но и от частоты его колебаний. Последнее объясняется частотной зависимостью комплексных сопротивлений элементов цепей: индуктивностей и ѐмкостей. Например, реактивное сопротивление элемента индуктивности равно нулю на частоте ω = 0 (режим постоянного тока) и линейно возрастает с ростом частоты; реактивное сопротивление элемента ѐмкости, наоборот, бесконечно велико на частоте ω = 0 и падает с ростом частоты, устремляясь к нулю при безграничном увеличении частоты, т. е. при → . Таким образом, изменение частоты гармонического воздействия влечѐт за собой изменение амплитуд и фаз гармонических колебаний во всех ветвях цепи, т. е. реакция цепи является не только функцией времени, но и функцией частоты. Анализ электрической цепи в частотной области состоит в выявлении закономерностей изменения реакции в зависимости от частоты. Часть I. Глава 4 158 10.1. Определение комплексных функций электрических цепей Пусть на вход цепи, представляющей собой четырѐхполюсник (рис. 10.1), воздействует гармоническое колебание x(t ) X m cos( t x ) , комплексная амплитуда которого X m X me jφ x . Воздействие Вход X m Реакция Электрическая цепь H ( jω) Ym Выход Ym Xm Рис. 10.1. К определению комплексной функции цепи Реакция y(t) будет полностью определяться частотными свойствами самого четырѐхполюсника. Поскольку цепь линейная, то частота гармонического колебания ω не изменится, а вот амплитуда реакции Ym и начальная фаза реакции φy будут отличаться от амплитуды Xm и начальной фазы воздействия φx, что ясно хотя бы из рассмотрения частотных свойств элементов индуктивности и ѐмкости. Особый интерес представляет соотношение вход/выход, которое отображает частотные свойства цепи, показывающие, каким образом откликается цепь на конкретное гармоническое колебание. Изучение частотных свойств цепи можно провести, например, с помощью схемы, показанной на рис. 10.2, а: на входе цепи действует генератор гармонических колебаний, к еѐ выходу подключѐн осциллограф, а параллельно цепи подключѐн фазометр. Будем последовательно подавать на вход электрической цепи различные гармонические колебания известной частоты ω, амплитуды Xm и с произвольной начальной фазой φx. Обычно при измерениях амплитуду гармонических колебаний устанавливают постоянной Xm = const, которую можно без потери общности результатов принять за 1. Все дальнейшие измерения будем производить при условии установления колебаний, т. е. в режиме установившихся колебаний. Измеряя с помощью осциллографа амплитуду колебания Ym на выходе цепи, построим график зависимости амплитуды от частоты Ym(ω) (рис. 10.2, б). Эту характеристику называют амплитудно-частотной характеристикой цепи. Лекция 10. Комплексные функции электрических цепей 159 С помощью фазометра измерим разность между начальной фазой гармонического колебания на входе φx и фазой соответствующего гармонического колебания на выходе φy и построим график (рис. 10.2, в) частотной зависимости φ(ω) = φy – φx разности начальных фаз реакции и воздействия. Такую характеристику называют фазочастотной характеристикой цепи. Генератор X m Электрическая цепь Осциллограф Ym Ym Фазометр φ φy φx аа Ym ( ) б б в в 0 φ(ω) 0 2 Рис. 10.2. Измерение частотных характеристик: а) схема измерений, б) амплитудночастотная характеристика, в) фазочастотная характеристика Однако такая процедура выявления частотных свойств цепи, во-первых, трудоѐмка и, во-вторых, не позволяет получить общий характер частотных зависимостей произвольной цепи. В то время как знание закономерностей изменения реакции цепи от частоты позволяет точно определить возможность передачи по этой цепи сигнала, распределѐнного по частоте, т. е. занимающего некоторую область частот от ω1 до ω2. Очевидно, что отношение вход/выход, т. е. отношение реакции к воздействию, наиболее просто выразить через отношение комплексных амплитуд гармонического воздействия и гармонической реакции, поскольку комплексные амплитуды содержат амплитуду и начальную фазу гармонического колебания. Часть I. Глава 4 160 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комплексной частотной характеристикой цепи H(jω) (КЧХ) называется отношение комплексной амплитуды реакции Ym к комплексной амплитуде воздействия X m в установившемся режиме1 (рис. 10.1): Ym (10.1) H( j ) . Xm Размерность комплексной частотной характеристики зависит от того, какие величины (напряжения или токи) выбраны в качестве реакции и воздействия (рис. 10.3). I m1 U m1 I m2 Электрическая цепь U m2 Рис. 10.3. К определению комплексных частотных характеристик В связи с этим различают следующие виды КЧХ (табл. 10.1), смысл которых ясен из смысла входящих в них реакций и воздействий: безразмерные H1(jω) и H2(jω), H3(jω) = G(jω) имеет размерность проводимости, а H4(jω) = Z(jω) — размерность сопротивления. По определению (10.1) комплексная амплитуда реакции равна произведению комплексной передаточной функции воздействия на комплексную частотную характеристику цепи: Ym H ( j ) X m. (10.2) Как и всякая комплексная функция, КЧХ может быть записана как в показательной H( j ) H( j ) e j ( ) , (10.3) j Im H ( j ) . (10.4) так и в алгебраической форме H( j ) 1 Re H ( j ) Это отношение также называют комплексной передаточной функцией или комплексным коэффициентом передачи. Лекция 10. Комплексные функции электрических цепей 161 Таблица 10.1. Виды комплексных частотных характеристик Вход Напряжение U1 Выход H1 ( j ) Напряжение U 2 Ток I1 U2 U1 H 4 ( jω) (КЧХ по напряжению; безразмерная величина) H 3 ( jω) Ток I 2 I2 U1 U2 I1 Z ( jω) (размерность сопротивления) H2 ( j ) G( jω) (размерность проводимости) I2 I1 (КЧХ по току; безразмерная величина) Найдѐм выражения для модуля H ( j ) и аргумента φ(ω) комплексной функции (10.3) и (10.4), которые являются функциями частоты, поэтому амплитуды и начальные фазы также являются функциями частоты: Xm(ω), φx(ω), Ym(ω), φy(ω). При этих условиях имеем: H( j ) Ym Xm Ym ( )e j X m ( )e j y( ) x( ) Ym ( ) j[ e Xm( ) y( ) x( )] H( j ) e j ( ) . (10.5) Полученное соотношение позволяет определить важнейшие частотные характеристики линейных цепей: амплитудно-частотную (модуль (10.5)) и фазочастотную (аргумент (10.5)). Дадим определения этим характеристикам. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) A(ω), называется частотная зависимость отношения амплитуды гармонической реакции к амплитуде гармонического воздействия в установившемся режиме: Ym ( ) (10.6) A( ) H( j ) . Xm( ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) φ(ω) называется частотная зависимость разности начальных фаз гармонической реакции и гармонического воздействия в установившемся режиме: (10.7) ( ) y( ) x ( ). Часть I. Глава 4 162 Эти же характеристики нетрудно определить из алгебраической формы представления КЧХ (10.4): H( j ) Re H ( j ) j Im H ( j ) H( j ) e j ( ) , откуда АЧХ A( ) H( j ) Re 2 H ( j ) Im 2 H ( j ) (10.8) и ФЧХ ( ) arctg Im H ( j ) . Re H ( j ) (10.9) Среди комплексных частотных характеристик выделяют комплексные входные функции:  функцию входного сопротивления Z( j ) U m1 ; I m1 (10.10) I m1 . U m1 (10.11)  функцию входной проводимости Y( j ) Из определений частотных характеристик следуют важные выводы:  комплексная частотная характеристика содержит в себе амплитудно- частотную и фазочастотную характеристики цепи;  комплексная частотная характеристика цепи численно равна комплексной амплитуде реакции цепи на воздействие, описываемое единичной гармонической функцией x(t) = cos ωt;  частотные характеристики электрической цепи зависят только от парамет- ров самой цепи и не зависят от воздействия. 10.2. Расчёт частотных характеристик Расчѐт частотных характеристик при известном воздействии X m осуществляется в следующем порядке: 1. Рассчитывается комплексная амплитуда реакции Ym . 2. Определяется комплексная частотная характеристика (КЧХ) заданной цепи согласно (10.1). Лекция 10. Комплексные функции электрических цепей 163 3. Записывается выражение для АЧХ как модуль КЧХ согласно (10.6) или (10.8) и строится график АЧХ. 4. Записывается выражение для ФЧХ как аргумент КЧХ согласно (10.7) или (10.9) и строится график ФЧХ. В качестве примера рассчитаем частотные характеристики последовательной RC-цепи (рис. 10.4). Задача 10.1. Воздействием на последовательную RC-цепь является напряжение Em . Найти выражения и построить графики для КЧХ, АЧХ и ФЧХ цепи для двух случаев: реакцией является ток в цепи I m ; реакцией является напряжение на ѐмкости UmC . Im U mR R Em U mC C Рис. 10.4. Последовательная RC-цепь Решение.  Реакцией является ток в цепи I m . Рассчитаем комплексную амплитуду тока: Im Em 1 R j C Em j C . 1 j CR Определим комплексную частотную характеристику как отношение комплексной амплитуды тока к комплексной амплитуде напряжения воздействия: Hi ( j ) Im Em Em j C Em 1 j CR 1 j C j RC Y ( j ). (10.12) Полученное соотношение говорит о том, что в данном случае КЧХ имеет размерность проводимости. Часть I. Глава 4 164 Исходя из (10.12), запишем выражение амплитудно-частотной характеристики: Ai ( ) Hi ( j ) Im Em j C 1 j RC C 1 ( RC )2 Y( j ) , (10.13) которая представляет собой полную частотно зависимую входную проводимость цепи (рис. 10.5, а). Ai ( ) AC ( ) 1 1 R R аа 0 вб 0 i( ) C( ) 0 2 бв 0 г г 2 Рис. 10.5. Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики: а) АЧХ комплексной входной проводимости, б) ФЧХ комплексной входной проводимости, в) АЧХ комплексного коэффициента передачи по напряжению, г) ФЧХ комплексного коэффициента передачи по напряжению Запишем выражение для ФЧХ как аргумент КЧХ, который согласно (10.5) и (10.7) можно представить в виде разности аргументов числителя и знаменателя КЧХ (10.12): i( ) arg H i ( j ) arg j C 1 j RC arg( j C ) arg(1 j RC ); но аргумент числителя равен: arg( j C ) arg(0 j C ) arctg C 0 arctg( ) 2 , Лекция 10. Комплексные функции электрических цепей 165 аргумент знаменателя равен: j RC ) arctg arg(1 RC 1 arctg( RC ), поэтому ФЧХ цепи (рис. 10.5, б), когда в качестве реакции принят ток, имеет вид: i( ) 2 arctg( RC ). (10.14)  Реакцией является напряжение на конденсаторе U mC . Тогда вновь по определению КЧХ имеем: HC ( j ) U mC Em Im 1 j C Em 1 1 ; j RC (10.15) эта КЧХ является безразмерной величиной и часто называется комплексным коэффициентом передачи по напряжению. Из формулы КЧХ (10.15) нетрудно получить выражения для АЧХ (рис. 10.5, в) AC ( ) HC ( j ) U mC Em 1 1 ( RC )2 и ФЧХ (рис. 10.5, г) C( ) arg HC ( j ) arctg( RC). Таким образом, задача решена. Комплексная частотная характеристика, как было отмечено ранее, содержит в себе АЧХ и ФЧХ цепи и поэтому может быть представлена графически в виде годографа (рис. 10.6), если еѐ записать в алгебраической форме (10.4) и учесть соотношения (10.8) и (10.9). На годографе каждому значению частоты ω соответствует свой вектор, модуль которого равен АЧХ, а фаза — ФЧХ цепи. Годограф строят для частот в диапазоне от 0 до . На рис. 10.6 представлен годограф комплексной частотной характеристики (10.15). Годограф построен по точкам следующим образом:  на частоте ω = 0 AC ( ) ω 0 1; C (0) arctg(0 RC) 0, т. е. точка лежит на вещественной оси, еѐ координата (1, 0); Часть I. Глава 4 166 j Im H C ( j ) RC 0 r RC 5 0, 8944 RC RC 2 0 C( Re H C ( j ) ) 0,147π 0,5 RC 1 Направление отсчѐта частоты Рис. 10.6. Годограф  на частоте ω =  величина RC C( ) AC ( ) ω 0, т. е. точка лежит в начале координат (0, 0); 0,5 ; при этом arctg(0,5) 0,147π ( 26,5 ), AC (0,5) ω 0,147π r 0,8944 . Аналогичным образом вычисляются интересуемые точки; направление перемещения конца вектора указывают стрелкой в сторону увеличения частоты. Иногда годограф КЧХ называют амплитудно-фазовой характеристикой цепи. 10.3. Логарифмические частотные характеристики Обычно значения амплитудно-частотных характеристик изменяются в очень широких пределах. В связи с этим более удобным оказывается логарифмический масштаб их представления. Такие характеристики называются логарифмическими. Они находятся в результате логарифмирования безразмерной амплитудно-частотной характеристики. Это означает, что согласно табл. 10.1 логарифмическими могут быть только H1 ( jω) и H 2 ( jω) . Для оценки АЧХ введено понятие логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАХ) AдБ ( ) 20lg H ( j ) , (10.16) Лекция 10. Комплексные функции электрических цепей 167 которая имеет размерность "децибел" (дБ). В активных цепях, где имеет место превышение амплитуды реакции над амплитудой воздействия, ЛАХ A(ω) ≥ 1 называют также логарифмическим усилением. В пассивных цепях, где усиление в принципе невозможно, всегда H ( jω) поэтому имеет место ослабление a( ) 20lg H ( j ) причѐм a(ω) = 0 только при H ( j ) 0, 1, (10.17) 1. Часто в системах многоканальной связи используют понятие затухания b(ω), отличающееся от ослабления только знаком: b( ) a( ) 20lg H ( j ) 0. (10.18) Тогда отрицательное затухание имеет смысл усиления. В большинстве практических задач, включая синтез фильтров и сравнительное исследование свойств АЧХ цепей различной природы, более удобным оказывается введение нормированной АЧХ Aˆ ( ) , которая представляет собой отношение текущего значения АЧХ A(ω) к еѐ максимальному значению max A( ) : A( ) max A( ) Aˆ ( ) 1. (10.19) Нормированная АЧХ является безразмерной величиной и может использоваться для характеристики как пассивных, так и активных цепей. Соответствующие ей характеристики затухания и ослабления имеют вид: a( ) 20lg Aˆ ( ), (10.20) b( ) 20lg Aˆ ( ). (10.21) Из смысла нормированной АЧХ ясно, что нормированная АЧХ пассивных цепей не может превосходить единицу: Aˆ ( ) A( ) max A( ) 1, а ослабление (затухание) не может быть больше 0 дБ (меньше 0 дБ). Нормированная АЧХ активных цепей может превосходить единицу, а ослабление (затухание) может быть больше 0 дБ (меньше 0 дБ). Далее рассматриваются пассивные цепи, если не оговорено другое. Часть I. Глава 4 168 Примеры нормированной АЧХ и соответствующей ей характеристики ослабления пассивной цепи приведены на рис. 10.7 соответственно. AˆC ( ) 1 а а б б 0 aC ( ) 0 Рис. 10.7. Частотные характеристики: а) нормированная АЧХ, б) логарифмическая АЧХ — характеристика ослабления Здесь AˆC ( ) AC ( ) max AC ( ) max A C( ) RAC ( ), 1 R причѐм AˆC ( ) 0 1, AˆC ( ) 0. В соответствии с нормированной АЧХ характеристика ослабления располагается в четвѐртом квадранте так, что a (0) 20lg AˆC (0) 0, a( ) 20lg AˆC ( ) . Поясним смысл децибела. Пусть на некоторой частоте ωk ослабление составляет a(ωk) = –1 дБ, что отражается равенством: a( ) 1 20lg Aˆ ( ), k k Лекция 10. Комплексные функции электрических цепей 169 откуда значение нормированной АЧХ на этой частоте равно: Aˆ ( k ) 10 a( k ) 20 1 10 20 (10.22) 0,89. Последнее означает, что на частоте ωk значение ненормированной АЧХ составляет 0,89 от максимума АЧХ: A( k) 0,89 max A( ). Соответствие между нормированными значениями Aˆ ( ) , выраженными в разах, ослаблением a и затуханием b, выраженными в децибелах, приведено в табл. 10.2. Таблица 10.2. Соотношения между ослаблением и затуханием Â 0,0001 0,001 0,01 0,1 0,707 1 a, дБ –80 –60 –40 –20 –3 0 b, дБ 80 60 40 20 3 0 Ещѐ раз следует обратить внимание на то, что при Aˆ 1 ослабление (затухание) a 0 . При уменьшении АЧХ относительно 1 ослабление принимает отрицательные значения, а затухание — положительные. L2 C2 1 R U вх Лекция 11 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Режим гармонических колебаний в последовательном колебательном контуре 11.1. Параметры последовательного контура ОПРЕДЕЛЕНИЕ Последовательным колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая из последовательно соединѐнных элементов резистивного сопротивления R, индуктивности L и ѐмкости C (рис. 11.1). Im Em R L U mR U mL U mC C Рис. 11.1. Последовательный колебательный контур Последовательный контур характеризуется своими первичными и вторичными параметрами:  первичными параметрами называют значения элементов R, L и C, причѐм резистивное сопротивление R характеризует потери в контуре;  вторичными параметрами, зависящими от первичных, называют: добротность Q, резонансную частоту ω0, Лекция 11. Режим гармонических колебаний… 171 волновое (характеристическое) сопротивление ρ, затухание d. Роль и свойства вторичных параметров изучаются в разд. 11.1.2. 11.1.1. Ток в последовательном контуре Задача 11.1. Найти закон изменения тока i(t) в последовательном контуре, к которому приложено гармоническое напряжение частоты ω с комплексной амплитудой Em . Решение. Комплексное сопротивление последовательного контура Z( j ) R j 1 C L (11.1) позволяет по закону Ома вычислить комплексную амплитуду тока: Im Em R j L j Em 1 C R2 2 1 C L e E arctg L R 1 C , (11.2) откуда амплитуда тока Em Im R2 1 C L 2 (11.3) 1 C. (11.4) и его начальная фаза 0i E arctg L R В дальнейших рассуждениях ничего не изменится, если в (11.4) положить начальную фазу гармонического напряжения равной нулю φE = 0; при таком предположении начальная фаза тока оказывается равной: 0i E 0 arctg L R 1 C. (11.5) Часть I. Глава 4 172 Выражения (11.3) и (11.5) позволяют записать формулу тока в последовательном контуре: Em i (t ) R 2 L 1 C 2 t arctg cos I m ( )cos t 0i ( L R 1 C (11.6) ). Полученное решение показывает, что амплитуда Im(ω) и начальная фаза φ0i(ω) тока зависят от значений элементов (R, L, C), составляющих контур, и от частоты гармонического воздействия ω. По этой причине значения элементов R, L, и C называются первичными параметрами контура. Задача 11.2. Найти характер зависимости амплитуды тока (11.3) в последовательном контуре от частоты ω гармонического воздействия. Решение. Из (11.3) ясно, что амплитуда тока максимальна Im max I m 0 Em R (11.7) на той частоте ω0, на которой второе слагаемое подкоренного выражения равно нулю xL xC 0L 1 0C 0, т. е. когда полные реактивные сопротивления контура оказываются равными друг другу: 0L Определим частоту (11.8) следует: 0, 1 . 0C (11.8) на которой выполняется это условие. Из равенства 2 0 LC 1, откуда 0 1 . LC (11.9) Лекция 11. Режим гармонических колебаний… Заметим, что сопротивление контура (11.1) на частоте Z0 Z( j 0) 173 0 чисто активно: R. Активность сопротивления контура означает, что на частоте (11.10) 0:  амплитуда тока максимальна (11.8);  ток в цепи I m и напряжение на сопротивлении U mR совпадают по фазе, что видно из (11.6), поскольку φ0i(ω0) = arctg0 = 0;  амплитуда тока в контуре Im тем меньше, чем больше частота ω отличает- ся от ω0, причѐм при ω → 0 и ω → амплитуда тока в контуре стремится к нулю: I m 0, 0. Из сказанного можно сделать вывод: частотно зависимая амплитуда тока в последовательном колебательном контуре при приближении частоты ω к 0 резко возрастает; такое явление резкого возрастания амплитуды реакции при приближении частоты ω к 0 называется резонансом, а сама частота 0 — резонансной частотой. В разд. 11.1.2 представлены более общие определения резонанса и резонансной частоты. 11.1.2. Свойства последовательного контура при резонансе ОПРЕДЕЛЕНИЕ Под резонансом понимают такое состояние электрической цепи, при котором еѐ комплексное входное сопротивление имеет чисто резистивный (активный) характер, а потому разность фаз между током и напряжением на входе оказывается равной нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Резонансной называется частота, при которой входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер. Резонанс напряжений Рассмотрим значения амплитуд напряжений на индуктивности и ѐмкости контура (рис. 11.1) при ω = ω0. Исходя из справедливости закона Ома для Часть I. Глава 4 174 комплексных амплитуд, запишем выражение для комплексной амплитуды напряжения на индуктивности: U mL 0 ZLIm j 0 LI m j 0L Em R Em 0L R e j 2, откуда амплитуда напряжения U mL 0L Em 0 R EmQL (11.11) и фаза L 2 . (11.12) Аналогично можно записать выражения для амплитуд и фазы напряжения на ѐмкости: U mC 0 ZC I m Im U mC Em 1 j j 0C 1 0 RC C 2 Em 1 R 0C Em EmQC , 1 e 0 RC j 2, (11.13) . (11.14) Заметим, что величины QL и QC, введѐнные в (11.11) и (11.13), равны друг другу вследствие равенства полных реактивных сопротивлений на частоте резонанса (11.8), т. е. QL QC 0L R Q 1 , 0 RC (11.15) поэтому напряжения на ѐмкости и на индуктивности равны по амплитуде, но, согласно (11.12) и (11.14), противоположны по фазе U mC U mL и потому компенсируют друг друга. Иначе говоря, на частоте резонанса ω0 колебания напряжений на индуктивности и ѐмкости находятся в противофазе, поскольку 0 L C 2 2 . Такой вид резонанса называют резонансом напряжений. Лекция 11. Режим гармонических колебаний… 175 Вторичные параметры Величина Q называется добротностью последовательного контура; она показывает, во сколько раз на частоте резонанса ω0 амплитуда напряжения на индуктивности и на ѐмкости превышает амплитуду задающего напряжения U mC Em Q U mL , Em (11.16) или, согласно (11.15), во сколько раз на частоте резонанса ω0 полное сопротивление индуктивности x L и полное сопротивление ѐмкости xC превышают величину активного сопротивления R. Величину xL xC 0 L, 0 (11.17) 1 , 0C 0 равную полному сопротивлению индуктивности и полному сопротивлению ѐмкости на частоте резонанса, называют характеристическим, или волновым, сопротивлением контура. Причѐм значение ρ не зависит от частоты и определяется только параметрами реактивных элементов контура U mL Im 0 U mC Im 1 0C 0L 0 L . C (11.18) Справедливость последнего равенства показывается очень просто. Поскольку 1 , 0C то резонансная частота равна: 0 1 ; C подставим полученное значение ω0 в выражение для ρ L C 0L откуда имеем: 2 L . C , Часть I. Глава 4 176 Используя равенства (11.15), (11.17) и (11.18), нетрудно выразить добротность контура через параметры его элементов: Q R 1 L . R C (11.19) Как правило, значение добротности колебательных контуров достаточно велико и может составлять несколько сотен, поэтому на частоте резонанса напряжение на реактивных элементах может существенно превышать приложенное к контуру напряжение. Величина, обратная добротности, 1 (11.20) d Q называется затуханием контура. Резонансную частоту ω0, волновое (характеристическое) сопротивление ρ, добротность Q, затухание d называют вторичными параметрами контура, поскольку они полностью определяются первичными параметрами. 11.2. Частотные характеристики последовательного контура 11.2.1. Комплексная частотная характеристика по току Выберем в качестве реакции ток в контуре; тогда КЧХ по току согласно определению Im 1 1 Hi ( j ) Y( j ) (11.21) 1 Em Z( j ) R j L C имеет размерность проводимости. Преобразуем знаменатель КЧХ, для чего воспользуемся определением резонансной частоты и добротности: R j R 1 L 1 C L j 0 R 2 0 R 1 1 0 j LC 0 L R 1 LC R 1 L j 0 R R 1 L j 0 R 0 2 0 0 Q 0 1 LC , Лекция 11. Режим гармонических колебаний… 177 откуда Z( j ) R j 1 C L R 1 0 jQ 0 , и после подстановки в (11.20) имеем: Hi ( j ) Im Em 1 R 1 . (11.22) 0 jQ 0 Отсюда для последовательного колебательного контура получаем амплитудно-частотную характеристику по току Ai ( ) 1 Hi ( j ) 2 R 1 Q2 (11.23) 0 0 и фазочастотную характеристику ( ) arg H ( j ) 0 arctgQ arg(числ) arg(знам) ( ) arctgQ 0 0 0 0 , (11.24) . При этом нормированная АЧХ имеет вид: Aˆ ( ) Ai ( ) max Ai ( ) 1 1 Q2 где max Ai ( ) 2 0 , (11.25) 0 1 . R Исследуем частотные характеристики при различных частотах относительно частоты резонанса ω0:  ω < ω0; φ(ω) = φY(ω) = φi(ω) – φu(ω) > 0 , это значит, что сопротивление контура имеет индуктивный характер: ток отстаѐт по фазе от приложенного напряжения;  ω > ω0; φ(ω) = φi(ω) – φu(ω) < 0, это значит, что сопротивление контура име- ет ѐмкостной характер: ток опережает по фазе приложенное напряжение; Часть I. Глава 4 178  ω = ω0; φ(ω0) = argY(ω0) = 0, это значит, что проводимость (сопротивле- ние) контура чисто активна(о) и минимальна(о), что подтверждает сделанный ранее вывод. 11.2.2. Резонансные характеристики последовательного контура Зависимость амплитуды (или действующего значения) тока от частоты Im ( ) E Z( ) E R 2 1 C L 2 (11.26) называется резонансной кривой тока, которая изображена на рис. 11.2. I( ) I0 0 0 Рис. 11.2. Резонансная кривая тока Значения напряжений на реактивных элементах нетрудно определить в соответствии с законом Ома, если воспользоваться выражением (11.26): на индуктивности U mL ( ) E L Im ( ) Z L ( ) R2 1 C L 2 (11.27) и на ѐмкости U mC ( ) E I m ( ) ZC ( ) C R2 L 1 C 2 . (11.28) Лекция 11. Режим гармонических колебаний… 179 Зависимости (11.25)—(11.28) называются резонансными характеристиками тока и напряжений. Обычно выходное напряжение снимается с ѐмкости или индуктивности, поэтому практический интерес представляют КЧХ по напряжению относительно элементов C и L, которые по определению имеют вид: U mC Em HC ( j ) 1 j C R j 1 C L (11.29) и U mL Em HL( j ) j L R j (11.30) 1 C L соответственно. Из (11.29) и (11.30) легко получить выражения для соответствующих АЧХ и ФЧХ последовательного контура: 1 AC ( ) C R C( ) 2 2 R 2 1 C L arctg L R 2 1 C, L L R2 ) L arctg AL ( ) L( 1 C 2 1 C. , , (11.31) (11.32) (11.33) (11.34) На рис. 11.3 изображены АЧХ и ФЧХ последовательного контура, описываемые выражениями (11.31)—(11.34). Из этих выражений и графиков следует: АЧХ принимают значения: AL( ) = 1, AC( ) = 0, а ФЧХ равны: φL( ) = 0, φC( ) = –π;  при ω =  при ω = 0 АЧХ принимают значения: AL( ) = 0, AC( ) = 1, а ФЧХ равны: φL( ) = π, φC( ) = 0; Часть I. Глава 4 180 A( ) max AC ( ) max AL ( ) Q AL ( ) 1 AC ( ) 0 C 0 а L а ( ) π π 2 L( ) б 0 0 π 2 C( ) б π Рис. 11.3. Частотные характеристики последовательного контура: а) АЧХ, б) ФЧХ  на частоте резонанса ω = ω0 имеем резонанс напряжений, причѐм соглас- но (11.19) получаем: AL ( 0) AC ( 0) Qи L( 0) 2, C ( 0) 2. (11.35) Кроме того, АЧХ AL( ) и AC( ) имеют максимумы на частотах ωL и ωC; частоты нетрудно найти, взяв производные от AL(ω) и AC(ω) по частоте: dAL ( ) dA ( ) 0; C 0. d d Тогда получим: ωL ω0 2Q 2 ; ωC 2Q 2 1 ω0 2Q 2 1 , 2Q 2 (11.36) Лекция 11. Режим гармонических колебаний… 181 откуда ясно, что:  с ростом добротности контура частоты ω L и ωC сближаются с часто- той ω0,  на этих частотах АЧХ AL ( ) и AC ( ) принимают равные максимальные значения max AL (ω) max AC (ω) 2Q 2 4Q 2 2 1 d 4 d2 , которые растут с ростом добротности (уменьшением затухания d). (11.37) L2 C2 1 R U вх Лекция 12 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Режим гармонических колебаний в параллельном колебательном контуре 12.1. Параметры параллельного контура Параллельным колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая из параллельно соединѐнных элементов индуктивности L, ѐмкости C и резистивного элемента G (рис. 12.1). Резистивный элемент G характеризует потери в контуре. I mG Im G I mL L I mC C Um Рис. 12.1. Параллельный контур с потерями Изображѐнный на рис. 12.1 параллельный контур представляет собой схему замещения, в которой значения элементов G и C определены с учѐтом внутренней проводимости генератора тока Gi, собственной проводимости контура Gk, проводимости нагрузки Gн, собственной ѐмкости контура Cк и паразитных ѐмкостей Cп, шунтирующих контур, т. е. G = Gi + Gk + Gн, C = Cк + Cп. Лекция 12. Режим гармонических колебаний… 183 Задача 12.1. Найти закон изменения напряжения u(t) на зажимах контура, на входе которого действует источник тока i0 (t ) I m0 cos(ωt φi ). Решение. На основании закона Ома, исходя из комплексной амплитуды задающего тока I m0 I m0e jφi и комплексной проводимости параллельного контура Y( ) G j C 1 , L (12.1) получим комплексную амплитуду напряжения Um I m0 G j C j I m0 1 L G2 C 2 1 L i arctg e C G 1 L , (12.2) откуда амплитуда гармонического напряжения I m0 Um G2 C 1 L 2 (12.3) и его начальная фаза при условии φi = 0 (что не ведѐт к потере общности) u arctg C 1 L. (12.4) G Выражения (12.3) и (12.4) позволяют записать формулу напряжения на зажимах параллельного контура I m0 u (t ) G 2 C 1 L 2 cos t arctg C G 1 L . (12.5) Полученное решение показывает, что амплитуда и начальная фаза напряжения полностью определяются первичными параметрами контура (G, L, C) и частотой гармонического воздействия ω. Часть I. Глава 4 184 Задача 12.2. Найти зависимость амплитуды напряжения (12.3) в параллельном колебательном контуре от частоты ω гармонического воздействия. Решение. Из (12.3) ясно, что амплитуда напряжения максимальна на той частоте, на которой второе слагаемое подкоренного выражения равно нулю 1 0, L т. е., как и в случае последовательного контура, на частоте резонанса ω0 C 1 . LC 0 При этом полные реактивные проводимости контура оказываются равными друг другу 1 , 0L 0C сопротивление (проводимость) контура на частоте ω0 чисто активно 1 G и максимум амплитуды напряжения на зажимах контура равен Z0 Um Z( j 0) max U m 0 I m0 . G Свойства параллельного контура при резонансе Рассмотрим амплитуды токов в реактивных элементах контура ImL и ImC и начальные фазы φL, φC этих токов на частоте резонанса ω0. Комплексная амплитуда тока в индуктивности I mL ω ω0 Um jω0 L I m0 Gjω0 L j I m0 Gω0 L I m0 1 e Gω0 L j 2, откуда амплитуда тока имеет вид: I mL ω ω0 I m0 1 Gω0 L I m 0Q, (12.6) а начальная фаза составляет φL ω ω0 π . 2 (12.7) Лекция 12. Режим гармонических колебаний… 185 Аналогично для тока в ѐмкости нетрудно получить:  комплексную амплитуду тока I mC ω I m0 jω0C G U m jω0C ω0 I m0 ω0C j 2 e , G  амплитуду тока I mC ω ω0 I m0 ω0C G I m0Q (12.8)  и еѐ начальную фазу π . (12.9) 2 Выражения (12.6) и (12.8) позволяют записать формулу добротности параллельного контура φC ω ω0 ω0C G Q 1 . ω0 LG (12.10) Из сравнений (12.6) с (12.8) и (12.7) с (12.9) замечаем, что:  на частоте резонанса амплитуды токов в реактивных элементах контура оказываются равными I mL I mC 0 0 ,  начальные фазы токов отличаются на φC – φL = π, т. е. токи находятся в противофазе. Выводы:  на резонансной частоте токи в реактивных элементах компенсируют друг друга, причѐм амплитуды этих токов в Q раз превышают амплитуду задающего тока. Такое явление называется резонансом токов;  на резонансной частоте отношение амплитуды напряжения на зажимах контура к току в реактивных элементах называется волновым (характеристическим) сопротивлением контура Um I mL 0 Um I mC 0L 0 1 0C L ; C (12.11)  используя равенства (11.15), (11.17) и (11.18), нетрудно выразить доброт- ность контура через параметры его элементов: Q R 1 L , R C (12.12) Часть I. Глава 4 186 Величина, обратная добротности, 1 Q d (12.13) называется затуханием контура;  формулы волнового сопротивления (12.11), добротности (12.12) и затуха- ния (12.13) параллельного колебательного контура полностью совпадают с формулами этих же параметров для последовательного колебательного контура (11.18), (11.19) и (11.20). Как и в случае последовательного колебательного контура, резонансную частоту 0 , волновое (характеристическое) сопротивление ρ, добротность Q, затухание d называют вторичными параметрами контура, поскольку они полностью определяются первичными параметрами. 12.2. Резонансные характеристики параллельного контура На практике наибольший интерес представляет напряжение u(t) на зажимах колебательного контура (см. рис. 12.1), которое и определим в качестве реакции. Тогда комплексная частотная характеристика по напряжению Hu ( j ) Um I m0 Z( j ) 1 Y( j ) 1 G j C (12.14) 1 L имеет размерность сопротивления. Преобразуем знаменатель КЧХ (рис. 12.2), для чего, как и в случае последовательного контура, воспользуемся определением резонансной частоты и добротности G j G 1 C 1 L C j 0 G G 1 1 0 2 0 j LC 0 C G 1 LC G 1 C j 0 G G 1 C j 0 G 0 2 0 0 Q Рис. 12.2. Преобразование знаменателя 0 1 LC , Лекция 12. Режим гармонических колебаний… 187 откуда комплексная проводимость Y( j ) G 1 0 jQ 0 и после подстановки в (12.14) получаем выражения для КЧХ, АЧХ и ФЧХ параллельного колебательного контура: 1 Hu ( j ) G 1 Au ( ) jQ , 0 1 Hu ( j ) arg H u ( j ) , 2 G 1 Q2 ( ) (12.15) 0 0 (12.16) 0 0 arctgQ . 0 (12.17) Комплексную (12.15) и амплитудно-частотную (12.16) характеристики называют резонансными характеристиками параллельного колебательного контура. Исследуем частотные характеристики при различных частотах относительно частоты резонанса 0 , при этом будем пользоваться нормированной АЧХ Aˆ ( ) Au ( ) max Au ( ) 1 1 Q2 2 , 0 (12.18) 0 которая также относится к резонансным характеристикам. Анализ соотношений (12.17), (12.18) и рис. 12.3 позволяет сделать следующие выводы:  ω < ω0; φ(ω) = φY(ω) = φi(ω) – φu(ω) > 0; это значит, что сопротивление контура имеет индуктивный характер — напряжение опережает по фазе задающий ток;  ω > ω0; φ(ω) = φi(ω) – φu(ω) > 0; это значит, что сопротивление контура имеет ѐмкостной характер — напряжение отстаѐт по фазе от задающего тока; Часть I. Глава 4 188 Aˆ ( ) 1 Q1 Q2 а а 0 0 ( ) π 2 б б 0 0 π 2 Q1 Q2 Рис. 12.3. Частотные характеристики параллельного контура: а) нормированные АЧХ, б) фазочастотные характеристики  ω = ω0; АЧХ проходит через максимум, а ФЧХ — через нуль φ(ω0) = argY(ω0) = 0, это значит, что сопротивление (проводимость) контура чисто активно и максимально, что подтверждает сделанный ранее вывод;  в области малых частот, когда ω → 0, полное сопротивление элемента ин- дуктивности может стать как угодно малым и, шунтируя остальные элементы контура, будет определять частотные характеристики контура, а именно: Hu ( j ) 0 j L Le j π 2, или Au ( ) 0 L; причѐм Au (0) 0; ( ) π , 2 Лекция 12. Режим гармонических колебаний… 189  в области высоких частот, когда ω → ∞, полное сопротивление элемента ѐмкости может стать как угодно малым и, шунтируя остальные элементы контура, будет определять частотные характеристики контура, а именно: Hu ( j ) 1 j C 1 e C ( ) π , 2 j π 2, или Au ( ) 1 ; C причѐм Au ( ) 0;  изменение добротности контура не влияет на характер частотных зависимо- стей Aˆ u ( ) и φ(ω), но существенно влияет на их форму; так, с увеличением добротности АЧХ становится более узкой (возрастает крутизна АЧХ). L2 C2 1 R U вх Лекция 13 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Свойства частотных характеристик колебательных контуров В лекциях 11 и 12 были подробно рассмотрены АЧХ и ФЧХ последовательных и параллельных контуров. И те и другие контуры находят широкое применение в устройствах телекоммуникации для селекции, или фильтрации, разнообразных сигналов по частоте, поэтому проведѐм более детальное исследование частотных характеристик контуров. 13.1. Общие свойства частотных характеристик Рассмотрим резонансные характеристики контуров, для чего обратимся к формулам нормированных АЧХ (11.25), (12.18) и формулам ФЧХ (11.24) и (12.17). Видно, что они внешне ничем не отличаются, что позволяет весь последующий анализ вести одновременно как для последовательного, так и для параллельного контура по формулам: 1 Aˆ ( ) 1 Q2 ( ) arctgQ , 2 0 (13.1) 0 0 0 . (13.2) Лекция 13. Свойства частотных характеристик колебательных контуров 191 13.1.1. Понятия о расстройках колебательного контура Степень отклонения режима колебательного контура от резонанса зависит от частоты ω и оценивается расстройками. Различают:  абсолютную расстройку Δω = ω – ω0 или Δf = f – f0, (13.3)  относительную расстройку 0 0 , (13.4)  обобщѐнную расстройку ξ x r L 1 C r 0L ω r 1 0 LC 0 Q 0 0 Qν, (13.5) причѐм при ω > ω0 обобщѐнная расстройка ξ > 0, а при ω < ω0 обобщѐнная расстройка ξ < 0. То же самое относится и к другим расстройкам. Тогда АЧХ и ФЧХ последовательного и параллельного контуров можно записать в более компактном виде: Aˆ ( ) ( ) 1 1 Q 1 , (13.6) arctg . (13.7) 2 2 arctgQ 1 2 13.1.2. Свойства резонансной частоты Свойство 1. Резонансная частота ω0 контура является средним геометрическим для любой пары частот ωk и ω–k 0 k k, (13.8) на которых АЧХ принимает равные значения (рис. 13.1). Иначе говоря, частоты, на которых АЧХ принимает равные значения, обладают геометрической симметрией относительно резонансной частоты. Часть I. Глава 4 192 Aˆ (ω) 1 Aˆ (ω k ) аа 0 ω ω ωk ω0 k φ(ω) π 2 φ(ω k ) бб 0 ω ω0 φ(ω k ) π 2 Рис. 13.1. К определению свойств частотных характеристик: а) АЧХ, б) ФЧХ Доказательство. Равенство АЧХ на частотах ωk и ω–k Aˆ ( k) Aˆ ( k) означает, что обобщѐнные расстройки на этих частотах должны быть равны по модулю и противоположны по знаку. Это позволяет записать k 0 k 0 0 k 0 k , откуда имеем: 0 k k 0 k 0 0 k . Проведя следующие несложные преобразования: 2 0 2 k 2 0 k 2 k 2 k k 0 k 0 k 2 0 2 k k , 2 0 k, Лекция 13. Свойства частотных характеристик колебательных контуров 2 0 k 2 0 2 0( k 2 k k k k) k k( k 2 0 k k, 2 k 193 k, k ), получаем: откуда k, k 0 что и требовалось доказать. Свойство 2. Значения ФЧХ на частотах ωk и ω–k равны по модулю и противоположны по знаку. Действительно, согласно (13.2) на этой паре частот в силу нечѐтности ФЧХ получаем: ( k) ( k ), что показано на рис. 13.1, б. Свойство 3. Для пары частот ωk и ω–k, которые близки к резонансной частоте и на которых АЧХ принимает равные значения, резонансная частота ω0 с высокой степенью точности представляется полусуммой этих частот: k 0 k 2 , (13.9) т. е. относительно таких частот резонансная частота обладает арифметической симметрией. Доказательство. Выразим относительную расстройку ν через абсолютную расстройку 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 (13.10) и исследуем полученный результат при условии, что ω не слишком сильно отличается от ω0, т. е. при условии Δω << ω0. Тогда формула (13.10) получает вид: 2 0 2 0 0 2 0 2 f . f0 (13.11) Часть I. Глава 4 194 Последнее позволяет записать приближѐнные формулы для АЧХ и ФЧХ контура вблизи резонансной частоты: 1 Aˆ ( ) 1 Q2 2 ( ) , 2 (13.12) 0 arctg 2Q . 0 (13.13) Если теперь вновь, как это было выполнено ранее, приравнять значения АЧХ на частотах ωk и ω–k Aˆ ( Aˆ ( k) k) и учесть знаки абсолютных расстроек (13.3), то получим пропорцию: k k 0 0 , из которой следуют равенства: k 0 k 0 и 0 k 2 k , что и требовалось доказать. 13.2. Избирательность простейших колебательных контуров Вид амплитудно-частотных характеристик, изображѐнных на рис. 12.2, а и рис. 13.1, указывает на то, что амплитуда реакции контура на гармоническое воздействие существенно зависит от частоты, а именно:  на резонансной частоте она достигает максимума;  в узком диапазоне частот, близких к резонансной частоте, она близка к максимальной;  становится тем меньшей, чем больше частота отклоняется от резонансной. Лекция 13. Свойства частотных характеристик колебательных контуров 195 13.2.1. Полоса пропускания Понятно, что если на колебательный контур одновременно подать гармонические колебания различных частот с одинаковыми амплитудами, то на выходе контура амплитуды колебаний, частоты которых близки к резонансной 0 , значительно превысят амплитуды колебаний с частотами, существенно отличающимися от резонансной частоты. Иначе говоря, контур пропускает (выделяет) колебания одних частот и не пропускает (задерживает) колебания других частот. Таким свойством могут обладать и более сложные электрические цепи. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Частотной избирательностью, или селективностью, называется способность электрической цепи выделять колебания определѐнного диапазона частот; при этом сама цепь называется избирательной, или селективной. Для количественной оценки селективных свойств контуров используются следующие параметры: полоса пропускания, ширина полосы пропускания, неравномерность в пределах полосы пропускания. Дадим определения этих параметров.  Полосой пропускания в общем случае называется заданный диапазон час- тот ω–χ ÷ ωχ, характеризующий избирательность.  Шириной полосы пропускания Ω (или F) называется разность между за- данными верхней ωχ и нижней ω–χ частотами полосы пропускания Ω = ωχ – ω–χ, (13.14) F = fχ – f–χ. (13.15) или Идеальная АЧХ должна быть прямоугольной формы (рис. 13.2), а именно: быть равной "1" в пределах полосы пропускания и равной "0" вне еѐ пределов: Aˆ ( ) 1, 0, ; . Однако АЧХ реальных контуров отличается от идеальной некоторым отклонением, которое всегда задаѐтся константой, характеризующей степень этого отклонения. Часть I. Глава 4 196 Aˆ ( ) Полоса пропускания 1 Aˆ ( Aˆ ( 1) 1 1) 2 1 1 0, 707 0 0 1 Нижняя 1 1 2 0, 293 1 Верхняя граничные частоты Рис. 13.2. Параметры избирательности  Неравномерностью называют максимально допустимую величину откло- нения АЧХ от идеальной 1 , в связи с которой вводится другое, основное определение полосы пропускания.  Полосой пропускания контура называют полосу частот ω–χ ÷ ωχ, в преде- лах которой неравномерность его АЧХ не превышает заданного значения Δ. Верхняя и нижняя частоты полосы пропускания также называются частотами среза. Приведѐнное определение означает, что значения АЧХ на нижней и верхней частотах среза составляют max A( ) A( 1 ) max A( ) , A( 1 ) (13.16) где max A(ω) = A(ω0). Из определения (13.16) следует, что неравномерность равна обратному значению нормированной АЧХ на частотах среза 1 : Aˆ ( 1 1 ; Aˆ ( 1 ) 1) (13.17) с другой стороны, значение нормированной АЧХ на этих частотах обратно неравномерности: Aˆ ( 1) Aˆ ( 1) 1 . (13.18) Лекция 13. Свойства частотных характеристик колебательных контуров 197 В задачах синтеза и анализа электрических цепей важной характеристикой является максимально допустимое отклонение 1 АЧХ Aˆ ( ) от 1 в полосе пропускания 1 1 1 1 . (13.19) В технике радиосвязи полосу пропускания чаще всего определяют в пределах 1 ˆ частот 0,707 , что со1 1 , где АЧХ A( ) составляет не менее чем 2 ответствует неравномерности АЧХ 2 . Максимально допустимое отклонение в полосе пропускания при этом равно 1 1 0,707 0,293 . Если перейти к логарифмическим АЧХ, получим в данном случае максимально допустимое ослабление в полосе пропускания, равное amax 20lg0,707 3дБ , а максимально допустимое затухание bmax 20lg0,707 3дБ . 13.2.2. Связь полосы пропускания с вторичными параметрами Избирательные свойства контура полностью зависят от его первичных параметров. Однако удобнее зависимость ширины полосы пропускания Ω выразить через вторичные параметры, в свою очередь являющиеся функциями первичных параметров. Для вывода связи полосы пропускания с вторичными параметрами воспользуемся выражениями (13.6) и (13.18): 1 Aˆ ( 1) Aˆ ( 1 1) 1 Q2 2 , откуда имеем: 1 Q2 Q2 2 2 2 2 , (13.20) 1, 2 Q 1. Подставим в последнее выражение формулу (13.4) относительной расстройки 1 0 0 1 , Часть I. Глава 4 198 тогда получим: Q 1 0 0 1 2 1. Выразим частоту ω1 в знаменателе второй дроби через частоты ω–1 и ω0 согласно (13.8) 2 0 1 1 . Тогда после очевидных преобразований Q 1 0 0 2 0 1 Q 1 0 1 Q 0 1 0 2 1 1 приходим к окончательным формулам: 1 F f1 0 1 f Q f0 Q 1 2 1, (13.21) 2 1, (13.22) откуда следует, что полоса пропускания пропорциональна резонансной частоте и неравномерности и обратно пропорциональна добротности контура. При неравномерности простой формулой: 2 ширина полосы пропускания определяется 0 Q1 , (13.23) а фазочастотная характеристика на границах полосы пропускания равна: ( 1) arctg( 1) 4 . (13.24) Следует обратить внимание на соответствие знаков "+" и "–" аргумента и результата. Действительно, из (13.20) имеем Q2 2 2 2 1 2 1, Лекция 13. Свойства частотных характеристик колебательных контуров откуда аргумент равен Q 199 1, где "–1" соответствует частоте ω–1 (расстройка отрицательная), а "+1" соответствует частоте ω1 (расстройка положительная). Выводы:  чем больше добротность контура, тем уже его полоса пропускания;  уменьшение неравномерности приводит к сужению полосы пропускания;  увеличение резонансной частоты приводит к расширению полосы пропус- кания;  значение ФЧХ на границах полосы пропускания является величиной по- стоянной и равной ±π/4. 13.2.3. Управление шириной полосы пропускания параллельного колебательного контура с помощью шунта Параллельный колебательный контур занимает центральное место в устройствах селекции сигналов по частоте, поэтому важным является обеспечение требуемой ширины полосы пропускания для сигналов с различными частотными свойствами. Это можно осуществлять с помощью изменения добротности контура. В свою очередь, добротностью контура можно управлять с помощью переменного шунта Gш, подключаемого параллельно контуру (рис. 13.3). i0 (t ) G C L Gш u (t ) Рис. 13.3. Шунтирование параллельного контура Найдѐм формулу для расчѐта сопротивления Rш шунта, обеспечивающего расширение полосы пропускания в N раз при неравномерности АЧХ 2. Пусть Ω — ширина полосы пропускания контура до подключения шунта, и добротность контура Q1 равнялась Q1 0C G . Часть I. Глава 4 200 Тогда согласно (13.23) ширина полосы пропускания 0G 0 Q1 0C G C (13.25) и при увеличении еѐ в N раз имеем N 0 Q2 0 (G Gш ) 0C G Gш . C (13.26) Поделив (13.25) на (13.26), получаем 1 N G , G Gш откуда Gш G( N 1), или Rш 1 G( N 1) R N 1 . (13.27) Следствия:  Добротность контура тем выше, а ширина полосы пропускания тем мень- ше, чем больше сопротивление шунта.  Добротность контура максимальна, а ширина полосы пропускания мини- мальна, если сопротивление шунта (его проводимость) Rш → (Gш → 0). L2 C2 1 R U вх Лекция 14 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Частотные характеристики сложных колебательных контуров В лекциях 11 и 12 были подробно рассмотрены АЧХ и ФЧХ последовательных и параллельных контуров. И те, и другие контуры находят широкое применение в устройствах телекоммуникации для селекции (фильтрации) разнообразных сигналов по частоте. Оказывается, что рассмотренные частотные характеристики приближѐнно справедливы в окрестности резонансных частот и для других разновидностей колебательных контуров, исследованию которых посвящѐн разд. 14.1 данной лекции. Кроме того, в разнообразных усилительных каскадах с целью повышения качества селекции используются так называемые связанные контуры, которые изучаются в разд. 14.2. 14.1. Некоторые разновидности параллельных колебательных контуров При анализе реальных колебательных контуров всегда следует учитывать потери в катушках индуктивности за счѐт конечности сопротивления провода и в конденсаторах вследствие не идеальности диэлектрика. Учѐт этих потерь (см. разд. 3.3) производится включением последовательно с индуктивностью активного сопротивления и параллельно конденсатору активной проводимости. Если потери малы, то для получения частотных характеристик таких контуров при некоторых условиях, устанавливаемых далее, можно с высокой степенью приближения пользоваться строгой формулой (12.14). 14.1.1. Параллельный контур с малыми потерями в катушке индуктивности Задача 14.1. Найти приближѐнное выражение для частотных характеристик колебательного контура со схемой замещения, изображѐнной на рис. 14.1, Часть I. Глава 4 202 при условии ωL >> RL, оценить величину относительной погрешности ε(jω) частотных характеристик при их приближѐнном выражении. Схема рис. 14.1 отличается от схемы замещения параллельного колебательного контура рис. 12.1 тем, что потери в катушке индуктивности учтены с помощью сопротивления RL, включѐнного последовательно с индуктивностью. Такая схема хорошо отражает частотные свойства катушки индуктивности в области нижних частот (см. разд. 3.3). RL Im C Um L Рис. 14.1. Параллельный контур с потерями в катушке индуктивности Решение. Комплексная частотная характеристика по напряжению для данного контура имеет вид: Hu ( j ) Um I m0 RL Z( j ) j C RL j L j 1 C L . (14.1) В полосе пропускания модуль реактивной составляющей сопротивления катушки индуктивности существенно превышает активную составляющую еѐ сопротивления ΩL >> RL, поэтому первым слагаемым числителя можно пренебречь. Тогда имеем: Hu ( j ) Um I m0 L C RL j 1 CRL L 1 C L 1 G j C 1 L . j C 1 L (14.2) Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров 203 Комплексную относительную погрешность ε(jω), обусловленную произведѐнным преобразованием в числителе, можно определить по формуле (14.1) (14.2) (14.1) (j ) 1 j L , RL j L откуда R L2 R L2 j RL L R L2 L 2 RL RL L 2 R L2 L 2 RL L L (j ) (14.3) RL 2 где модуль 2 j RL L j L R L2 j RL L 2 2 L 2 L j L (j ) 1 1 RL j L 2 RL L e 2 jarctg L RL , RL R 2L L (14.4) 2 представляет собой относительную погрешность АЧХ, а аргумент — абсолютную погрешность ФЧХ, вычисляемых по приближѐнной формуле (14.2), которая не отличается от строгой формулы (12.14) Hu ( j ) 1 G j C 1 L , полученной для КЧХ параллельного колебательного контура с теми же значениями индуктивности L и ѐмкости C, но имеющего активную проводимость CRL G . (14.5) L Задача 14.2. Найти приближѐнное выражение для частоты резонанса (см. рис. 14.1). 0 Решение. Рассмотрим точное выражение для проводимости контура Y( j ) j C 1 RL j L RL2 RL ( L) 2 j C RL2 L . ( L) 2 контура Часть I. Глава 4 204 Мнимая часть проводимости на резонансной частоте нулю (см. лекцию 12) C L ( 0 L) 2 RL2 0 должна быть равна 0, поэтому 0 1 RL2C 1 L LC 1 0 RL2C L 0 1 RL2 2 . Понятно, что при RL2 1, 2 т. е. когда волновое сопротивление ρ во много раз превышает потери RL в катушке индуктивности ρ>> RL, что нередко имеет место на практике, резонансная частота рассматриваемого контура очень близка к резонансной частоте параллельного контура, изображѐнного на рис. 12.1: 0. 0 Следствия:  Рассмотренный колебательный контур приближѐнно эквивалентен парал- лельному колебательному контуру, имеющему: вторичные параметры: 0 0C 1 ;Q LC G 0C CRL L 0L RL ; L , C полосу пропускания 0 1 1 Q 1 G L CR 2 ; (14.6) резонансное сопротивление Z( j 0) R Q . (14.7) Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров 205  При высокой добротности контура относительная погрешность прибли- жения АЧХ (14.4) оказывается весьма малой; так, для частот ω ≥ 0,5ω0 при добротности Q = 200 относительная погрешность АЧХ не превышает |ε(ω)| ≤ 0,005 % и уменьшается с ростом частоты. 14.1.2. Параллельный контур с малыми потерями в катушке индуктивности и конденсаторе Рассмотрим другой контур (рис. 14.2), имеющий дополнительную активную проводимость G1 , моделирующую потери в конденсаторе. Эта проводимость добавляется к (14.5) и потому общая проводимость контура равна: G CRL . L G1 RL Im G1 C Um L Рис. 14.2. Параллельный контур с малыми потерями в катушке индуктивности и конденсаторе Полагая, как и в разд. 14.1.1, что в полосе пропускания контура ωL >> RL и, кроме того, ωC >> C1, что справедливо для используемых в радиотехнике контуров, рассматриваемый контур имеет:  вторичные параметры: Q 0C G L , C 1 ; LC 0 0C G1 CRL L 0C G1 RL G1 2  полосу пропускания 1 1 0 Q ; 0 2 2 C ; CRL Часть I. Глава 4 206  резонансное сопротивление Z( j 1 G 0) 1 CRL G1 L L G1 2 RL 2 2 G1 RL . Погрешность при сделанных допущениях оценивается тем же способом, что и в разд. 14.1.1. 14.2. Связанные колебательные контуры Во входных цепях радиоприѐмников, в усилителях различного назначения, в выходных каскадах радиопередатчиков, в фильтрах сосредоточенной селекции требуется получить очень высокую избирательность АЧХ. На одиночных колебательных контурах этого добиться невозможно, поэтому применяются связанные контуры. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Связанными контурами называются избирательные цепи, состоящие из двух, чаще всего одинаковых, колебательных контуров, между которыми существует реактивная связь такая, что возбуждение электрических колебаний в одном из них приводит к возникновению колебаний в другом. I1 M R1 L2 L1 U1 R2 I2 C2 I1 а I1 U1 U1 U2 C1 L1 Первичный контур La R1 Lb Lc R2 I2 C2 Lсв а U2 б б C1 C2 Cсв L2 Вторичный контур Контуры с внутренними связями I2 R2 U2 вв Рис. 14.3. Примеры связанных контуров: а) с трансформаторной связью, б) с автотрансформаторной связью, в) с ѐмкостной связью Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров 207 В зависимости от вида связи различают контуры:  с трансформаторной связью (рис. 14.3, а),  с автотрансформаторной связью (рис. 14.3, б),  с ѐмкостной связью (рис. 14.3, в). Автотрансформаторную и ѐмкостную связь называют внутренней. Контур, на который подаѐтся внешнее воздействие U1 , будем называть первичным. Контур, ток I 2 или напряжение U 2 которого рассматриваются как реакция на внешнее воздействие, будем называть вторичным. 14.2.1. Коэффициент связи Рассмотрим обобщѐнную схему двух связанных контуров (рис. 14.4), в которой комплексные сопротивления Zi содержат активные и реактивные составляющие. Важной характеристикой связанных контуров является коэффициент связи, определяемый с помощью формулы k xсв , x1x2 (14.8) где xсв — реактивная составляющая комплексного сопротивления Zсв, x1 = Im(Z1 + Zсв) и x2 = Im(Z2 + Zсв) — реактивные составляющие сопротивлений первичного и вторичного контуров того же знака, что и xсв (см. рис. 14.4). 1 I1 U1 Z1 Z2 Z св I Первичный контур 0 II I2 2 Zн U2 Вторичный контур Рис. 14.4. Обобщѐнная схема двух связанных контуров с внутренней связью Часть I. Глава 4 208 Из определения (14.8) получаем:  для контура с трансформаторной связью (см. лекцию 9) k M ;M L1L2 M12 M 21; (14.9)  для контура с автотрансформаторной связью k ( L1 Lсв Lсв )( L2 Lсв , L11L22 Lсв ) (14.10) где L11 L1 Lсв ; L22 L2 Lсв ;  для контура с ѐмкостной связью k 1 Cсв [1 ( C1 ) 1 ( Cсв )][1 ( C2 ) 1 ( Cсв )] C11C22 , Cсв (14.11) где C11 C1Cсв ; C22 C1 Cсв C2Cсв . C2 Cсв Следствия:  Коэффициент связи является количественной оценкой степени связи меж- ду контурами и не зависит от частоты.  Значение коэффициента связи не может превышать единицы. 14.2.2. Комплексные амплитуды токов связанных контуров Для обобщѐнной схемы двух связанных контуров (рис. 14.4) нетрудно записать систему уравнений Z11I1 Z св I 2 Z св I1 Z 22 I 2 U1; 0, (14.12) где Z11 Z1 Zсв и Z22 Z2 Zсв Zн являются собственными сопротивлениями первичного и нагруженного вторичного контуров соответственно. Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров 209 Решая систему (14.12) относительно токов I1 и I 2 , получаем: I1 I2 Z11 U1 ; 2 Z св Z 22 U1 Z 22 Z св Z11Z 22 Z св I1 Z 22 Z11 2 Z св Z 22 Z 22 Z11 (14.13) U1 Z св Z11 . 2 Z 22 Z св Z11 (14.14) Исследуем выражения (14.13) и (14.14). Знаменатель (14.13) имеет смысл входного сопротивления связанных контуров со стороны зажимов 0 – 1, но это сопротивление отличается от собственного сопротивления первичного 2 Z 22 ; эта величина отражает влияние вторичного контура на величину Z св 2 Z11 отконтура на первичный контур. Аналогично в (14.14) величина Z св ражает влияние первичного контура на вторичный контур. Эти величины называются вносимыми сопротивлениями: 2 Z св Z 22 ; Z 2вн Z1вн 2 Z св Z11 . (14.15) Подставляя (14.15) в (14.13) и (14.14), получаем: I1 I2 Z11 Z св I Z 22 U1 2 Z св Z 22 U1 Z11 Z1вн U1 Z 22 Z11 2 Z 22 Z св Z11 U1 Z 22 Z св Z11Z 22 Z11 2 Z св Z 22 Z 22 Z11 U1 Z св Z11 Z 22 Z 2вн U1 Z 22 Z11 ; Z 22 Z 2вн U1 Z св Z 22 . Z11 Z1вн (14.16) (14.17) Полученные выражения позволяют исследовать частотные свойства связанных контуров. Наиболее важным является режим резонанса, которого добиваются путѐм настройки связанных контуров. 14.2.3. Настройки связанных контуров Настройка связанных контуров состоит в таком подборе параметров реактивных элементов контуров, при котором достигается требуемый резонанс в системе связанных контуров. Для удобства анализа частотных характеристик связанных контуров в соответствии с (14.16) и (14.17) построим пары одноконтурных схем замещения рис. 14.5, а, б и рис. 14.5, в, г. Различают четыре вида настроек: 1. Первый частный резонанс обеспечивает максимум тока в первом контуре (рис. 14.5, а) U1 I1max , (14.18) r11 r1вн Часть I. Глава 4 210 Z11 Z 22 I1 I1 r11 x22 r22 x11 r1вн r2вн U1 Z1вн U1 x1вн Z 22 Z11 Z 2вн x2вн аа б Z 22 Z11 I2 I2 r22 x22 r11 Z св Z11 x11 r1вн r2вн U1 б Z U1 св Z 22 Z 2вн x2вн в Z1вн x1вн в гг Рис. 14.5. Одноконтурные схемы замещения что достигается настройкой до выполнения условия (см. лекцию 13) x11 x1вн . 2. Второй частный резонанс обеспечивает максимум тока во втором контуре (рис. 14.5, в) I 2max U1 xсв Z11 , r22 r2вн (14.19) что достигается настройкой до выполнения условия x22 x2вн . 3. Сложный резонанс выполняется в два этапа и состоит в том, что один из контуров настраивается на частный резонанс, а затем подбирается оптимальное сопротивление связи X свopt Z11Z 22 , (14.20) Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров 211 при котором ток I 2 во вторичном контуре достигает максимально возможного значения (максимум максиморум) I 2max max U1 . 2 r11r22 (14.21) Можно показать, что максимально возможное значение тока во вторичном контуре при настройке на сложный резонанс не зависит от того, какой из контуров предварительно был настроен на частный резонанс. Действительно, настройка в первый частный резонанс и подбор связи (14.20) эквивалентен условию Z11 (14.22) Z1вн , а настройка во второй частный резонанс и подбор связи (14.20) эквивалентен условию (14.23) Z 22 Z 2вн . 4. Полный резонанс имеет наибольший практический интерес. Настройка, как и в случае сложного резонанса, осуществляется в два этапа: сначала каждый из связанных контуров настраивается на индивидуальный резонанс (см. лекцию 13), когда x11 = x22 = 0, а затем подбирается оптимальное сопротивление связи X свopt r11r22 . (14.24) При этом ток I 2 определяется формулой (14.21). 14.2.4. Частотная зависимость тока во вторичном контуре Связанные контуры, применяемые во входных цепях радиоприѐмников и в фильтрах сосредоточенной селекции, используются в режиме передачи максимальной мощности во вторичный контур, т. е. при P2 I 22 r22 . По этой причине из всех частотных характеристик наибольший интерес представляет частотная зависимость тока I2(ω) во вторичном контуре, которую и найдѐм из формулы (14.17). Предварительно выразим собственные сопротивления первичного Z11 и вторичного Z22 контуров (рис. 14.4) через обобщѐнные расстройки (13.5) связанных контуров: ξ11 x11 , r11 ξ 22 x22 . r22 Часть I. Глава 4 212 Z11 r11 jx11 r11 (1 Z 22 r22 jx22 Z св jxсв . jξ11 ); r22 (1 jξ 22 ); (14.25) Здесь принято, что комплексное сопротивление связи имеет чисто реактивный 2 Z св Z 22 характер. Подставив (14.25) в (14.17) и учтя соотношение Z1вн (14.15), получаем выражение для комплексной амплитуды тока I2(ω): U1Z св Z 22 ( Z11 Z1вн ) I2 U1Z св Z 22 Z11 2 Z св U1Z св 2 Z 22 ( Z11 Z св Z 22 ) U1 jxсв r11 (1 j 11 ) r22 (1 j U1 jxсв r11r22 (1 11 22 j( 2 xсв U1 jxсв r11r22 1 11 22 (14.26) 2 xсв r11r22 22 ) 11 22 ) . 2 xсв r11r22 j( 11 22 ) Рассмотрим дробь, принадлежащую вещественной части знаменателя. Заме2 ним в (14.26) xсв , для чего воспользуемся формулой (14.8) коэффициента связи k xсв : x1 x2 2 xсв k 2 x1 x2 . Тогда получим: 2 xсв r11r22 k2 x1 x2 r11r22 k2 x1 x2 . r11 r22 С другой стороны, на частотах, близких к частоте резонанса, можно считать, что реактивные сопротивления x1 и x2 приближѐнно равны волновым сопротивлениям контуров (11.18): 1,2 U m1, m 2 I m1, m 2 x1,2 , 0 Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров 213 поэтому по определению добротности (11.29) имеем: 2 xсв r11r22 Величина k2 1 k 2Q1Q2 2 r11 r22 A2 . (14.27) A k Q1Q2 (14.28) называется фактором связи. Подставим (14.28) в (14.26) U1 j xсв I2 r11r22 1 11 22 r11r22 2 xсв r11r22 j( 11 22 ) U1 jA r11r22 1 A2 11 22 j( 22 ) 11 и без потери общности при φU = 0 запишем выражение для амплитуды тока Im2: I m2 U1 A I2 r11r22 1 2 2 A 11 22 ( 22 ) 11 2 . (14.29) Разделим (14.29) на максимально возможное значение тока I 2 max max (14.21), что даст нормированную функцию 2A Iˆ2 1 ξ11ξ 22 2 2 A (ξ11 ξ 22 ) 2 . (14.30) Ранее уже отмечалось, что типовым случаем для связанных контуров является их идентичность. В этом случае их добротности и обобщѐнные расстройки оказываются равными: Q1 Q2 Q; ξ1 ξ2 ξ, а выражение (14.30) принимает вид: Iˆ2 2A 1 ξ2 A2 2A 2 4ξ 2 1 A2 2 2 1 A2 ξ 2 2A 1 A 2 2 2 2ξ 1 A 2 ξ 4 . ξ4 4ξ 2 (14.31) Часть I. Глава 4 214 Понятно, что поскольку обобщѐнная расстройка является функцией частоты, то и амплитуда тока (14.29) и безразмерная нормированная характеристика (14.31) также частотно зависимы и полностью выражают частотные свойства связанных контуров. 14.2.5. Частотные свойства связанных контуров Из выражения (14.31) следует, что вид нормированной характеристики Iˆ2 полностью определяется значением фактора связи, который при идентичности контуров равен: A kQ , (14.32) а выражение (14.31), подлежащее анализу, приводится к виду 2kQ Iˆ2 2 2 2 1 k Q . 2 2 2 2ξ 1 k Q ξ 4 (14.33) Коэффициент связи, как было установлено в разд. 14.2.1, не может превышать единицы (k ≤ 1), поэтому все свойства Iˆ2 определяются фактором связи, в зависимости от значения которого можно выделить три вида связи:  A < 1 — слабая связь;  A = 1 — критическая связь;  A > 1 — сильная связь. Поскольку регулировка связи осуществляется за счѐт изменения сопротивления связи (см. рис. 14.4), желательно вид связи выразить непосредственно через коэффициент связи, что можно сделать, если воспользоваться вторичным параметром — затуханием контура (11.30) d 1 . Q A k d Тогда с учѐтом фактора связи получаем, что:  слабой связи соответствует k < d;  критической связи соответствует k = d;  сильной связи соответствует k > d. Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров Iˆ2 ( Iˆ2 Iˆ2 1 1 A 0) kQ 1 A 215 kQ 1 0,707 Полоса пропускания аа 0 б 0 0 Iˆ2 Iˆ2 ( A 1 0) 1 0 б 1 kQ 1 Полоса пропускания вв 0 1 m m 0 1 Рис. 14.6. Частотные характеристики: а) при слабой связи, б) при критической связи, в) при сильной связи С целью выявления частотных свойств Iˆ2 исследуем функцию (14.33) на расположение еѐ экстремумов, для чего возьмѐм производную от неѐ по переменной ξ и числитель приравняем нулю: ξ(1 A2 Это уравнение имеет три корня: ξ ξ0 k ξ2 ) 0. 0; A2 1. Для удобства выразим корни через приближѐнное выражение для относительной расстройки (13.4): ν 0 0; ν k A2 1 . Q (14.34) Часть I. Глава 4 216 Слабая связь При слабой связи функция (14.34) имеет один экстремум при ν0 = 0, т. е. на частоте ω0, и два других экстремума при мнимых значениях относительной расстройки ν. Однако вещественным и положительным значениям частоты ω соответствуют лишь вещественные значения расстройки ν. Поэтому функция (14.34) имеет единственный экстремум на частоте ω0, и этот экстремум может быть только максимумом (рис. 14.6, а). Значение максимума найдѐм из (14.33) при ξ0 = 0: 2kQ max Iˆ2 1 k 2Q 2 1, (14.35) т. е. при слабой связи максимум характеристики Iˆ2 не может превосходить единицы. Критическая связь При критической связи (A = 1) все три экстремума функции (14.34) располагаются на частоте ω0, поскольку ν0 = ν1 = ν2 = 0, а максимум (рис. 14.6, б) равен единице: max Iˆ2 1. Характеристика при критической связи называется максимально плоской. Сильная связь При сильной связи функция (14.34) имеет три вещественных экстремума при относительных расстройках ν–m, ν0, νm, которым соответствуют частоты ω–m, ω0, ωm (рис. 14.6, в). Получим значения этих частот, используя приближѐнное выражение для относительной расстройки (13.11): ν0 ν ω m 1 m 2 ω 0; ω ω0 ; m ω0 A2 1 ; Q ω0 2 A 1 ω0 2Q 1 2 2 k Q 1 ω0 . 2Q Значения Iˆ2 на соответствующих частотах при сильной связи таковы: Iˆ2 (ω0 ) 2kQ 1 k 2Q 2 1, (14.36) Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров 217 т. е. такое же, как на резонансной частоте в случае слабой связи; при подстановке в (14.33) обобщѐнной расстройки (14.34) после замены индекса k на m получаем Iˆ2 (ω m) 1, что и отображено на рис. 14.6, в. Следствия:  На частотах ω m располагаются равные по величине максимальные зна- чения тока I 2 max max .  На резонансной частоте ω0 имеет место провал частотной характеристи- ки Iˆ2 , соответствующий еѐ минимуму; глубина провала будет тем больше (минимум тем меньше), чем больше фактор связи A kQ . 14.2.6. Полоса пропускания связанных контуров На практике связанные контуры со слабой связью не используются, поэтому рассмотрим полосы пропускания в случаях критической и сильной связи. Критическая связь В данном случае, как указывалось ранее, получаем максимально плоскую частотную характеристику, причѐм A = 1. По этой причине связанные контуры можно рассматривать как одиночный контур, полосу пропускания которого определяют как ту область частот [ω–1, ω1], где значения частотной характеристики составляют не менее чем 0,707 от еѐ максимального значения. Это означает, что при A = kQ Iˆ2 (ω 1 ) 1 2 0,707, или 2 4 4 1 , 2 откуда Q 4 ν4 4 1. Часть I. Глава 4 218 Последнее уравнение имеет два вещественных корня: ν 2 1 ω 1 ω0 ω0 2 , Q поэтому граничные частоты (рис. 14.6, б) ω 1 1 1 ω0 , Q 2 а ширина полосы пропускания равна =ω1 ω 1 2 ω0 . Q Следовательно, как и для одиночных контуров, ширина полосы пропускания связанных контуров при критической связи прямо пропорциональна резонансной частоте и обратно пропорциональна добротности. Сильная связь При сильной связи частотная характеристика становится двугорбой, поэтому для сильной связи принято иное определение полосы пропускания. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Полосой пропускания связанных контуров в случае сильной связи называют полосу частот, в пределах которой АЧХ принимает значения, не меньшие, чем еѐ минимальное значение на резонансной частоте (рис. 14.6, в). Согласно этому определению необходимо, чтобы соблюдалось равенство: 2kQ 2 1 k 2Q 2 2 2 1 k 2Q 2 4 2kQ , 1 k 2Q 2 откуда при ξ = Qν нетрудно получить четыре корня:  двукратный корень ν = 0,  два вещественных корня, соответствующих граничным частотам: ν 1 2 ω 1 ω0 ω0 2 k 2Q 2 1 . Q Лекция 14. Частотные характеристики сложных колебательных контуров 219 Следовательно, граничные частоты определятся по формуле ω 1 1 k 2Q 2 1 Q 2 ω0 , а ширина полосы пропускания — по формуле = ω1 ω 1 2 k 2Q 2 1 ω0 . Q Полученные соотношения позволяют сделать следующие выводы:  амплитудно-частотные характеристики связанных контуров за пределами полосы пропускания убывают значительно быстрее, чем у одиночного контура;  связанные контуры обеспечивают более сильное, чем одиночный контур, подавление всех гармонических составляющих воздействия (например, помех), частоты которых лежат за пределами полосы пропускания;  сильная связь позволяет получить наибольшую крутизну спада АЧХ вне полосы пропускания за счѐт увеличения неравномерности в полосе пропускания, что не всегда является допустимым. L2 C2 1 R U вх L1 1 Z вх R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Глава 5 Временные и частотные характеристики линейных электрических цепей Лекция 15. Описание линейных электрических цепей во временной области Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной p-области Лекция 17. Операторные передаточные функции Лекция 18. Свободные колебания в пассивных электрических цепях Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах L2 C2 1 R U вх Лекция 15 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Описание линейных электрических цепей во временной области 15.1. Типовые воздействия на электрические цепи Свойства электрических цепей удобно изучать по их реакции на воздействия, изменение которых во времени описывается простейшими законами. Как показано далее, кроме упрощения собственно анализа, по реакции на эти воздействия оказывается возможным найти реакцию цепи на произвольное воздействие. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Простейшие воздействия, реакция на которые полностью характеризуют все свойства цепи, называются типовыми, или испытательными воздействиями. В теории электрических цепей в качестве типовых используются прямоугольные однополярные импульсные воздействия и отрезок гармонического колебания. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Однополярным прямоугольным импульсом напряжения или тока называется такое однополярное воздействие, значение которого на некотором конечном интервале времени неизменно и вне этого интервала равно нулю. 15.1.1. Единичный скачок (ступенчатое воздействие) Единичный скачок (ступенчатое воздействие, или перепад) 1(t) определяется функцией Хэвисайда1 (15.1). Единичный скачок, как и всякое иное воздействие, 1 Хэвисайд О. (1850—1925) — английский физик. Часть I. Глава 5 224 может появиться на входе цепи как в момент t = 0, принятый за начало отсчѐта времени, так и спустя некоторое время t0 относительно начала отсчѐта. В первом случае говорят, что скачок (воздействие) является незадержанным (рис. 15.1, а), а во втором — задержанным на t0 (рис. 15.1, б). 1(t ) 0 при t 1 при t 0; 0. 0 при t 1 при t 1(t t0 ) 1(t ) 1(t 1 t0 ; t0 . t0 ) (15.1) Задержка на t0 1 а а 0 бб t 0 t0 t Рис. 15.1. К определению единичного скачка: а) незадержанный, б) задержанный на t0 В соответствии с определением (15.1) произведение любой ограниченной во времени функции f(t) на функцию Хэвисайда представляет собой саму функцию при t ≥ t0 и равно нулю при t < t0: f (t ) 1(t t0 ) f (t ) при t 0 при t t0 . t0 ; (15.2) По этой причине функцию Хэвисайда используют для аналитического представления внешних воздействий, значения которых равны нулю до коммутации (момента подключения) и скачкообразно изменяются в момент коммутации. Реализация скачка (перепада) напряжения и тока изображена на рис. 15.2: замыкание ключа соответствует коммутации источника напряжения (рис. 15.2, а), а размыкание ключа — коммутации источника тока (рис. 15.2, в) с электрической цепью. Схемные изображения источников ступенчатых воздействий напряжения и тока показаны на рис. 15.2, б и г соответственно, где напряжение источника напряжения и ток источника тока могут быть представлены через функцию Хэвисайда E0 E 1(t ) и I0 I 1(t ) соответственно. Лекция 15. Описание линейных электрических цепей во временной области Коммутация Коммутация Электрическая цепь E0 225 Электрическая цепь I0 в в аа E0 I0 гг бб Рис. 15.2. Коммутация: а) источника напряжения (замыкание ключа), б) схемное изображение источника ступенчатого напряжения, в) источника тока (размыкание ключа), г) схемное изображение источника ступенчатого тока 15.1.2. Единичный импульс (δ-функция, функция Дирака) Пусть на цепь в момент t = 0 воздействует прямоугольный импульс x(t) высоты X и длительностью tи (рис. 15.3, а). Такой импульс называется видеоимпульсом. Его можно представить в виде разности двух одинаковых по высоте скачков, один из которых задержан (сдвинут) на t0 = tи: x1(t ) (рис. 15.3, б) и x2(t) = x(t – tи), причѐм x1 (t ) x(t ) x(t ) X 1(t ); x2 (t ) x1 (t ) x2 (t ) X 1(t tи ); X [1(t ) 1(t tи )]. x2 (t ) x1 (t ) X X X аа 0 tи t x1 (t tи ) б б 0 t вв 0 tи Рис. 15.3. Формирование видеоимпульса: а) видеоимпульс, б) скачок, в) скачок, сдвинутый на tи t Часть I. Глава 5 226 Рассмотрим видеоимпульс x(t), длительность которого tи и высота X = 1/tи (рис. 15.4, а). Ясно, что площадь такого импульса равна 1 и не зависит от его длительности, поскольку уменьшение длительности импульса приводит к увеличению его высоты. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Импульс бесконечно малой длительности tи → 0 и бесконечно большой высоты X → , площадь которого равна единице, называется единичным импульсом. Единичный импульс (рис. 15.4, б) определяется функцией δ(t), которая называется δ-функцией, или функцией Дирака2: при t 0, 0 при t 0, δ(t ) (15.3) а еѐ задержанный вариант имеет вид: δ(t t0 ) 0 при t t0 ; при t t0 . (15.4) Задержанная на t0 δ-функция δ(t – t0) показана на рис. 15.4, в. x(t ) δ(t ) δ(t t0 ) 1 tи аа 0 tи бб t 0 t вв 0 t0 t Рис. 15.4. Определение δ-функции: а) видеоимпульс единичной площади, б) функция δ(t), в) задержанная на t0 функция δ(t – t0) Из определения δ-функции следуют еѐ свойства:  при всех значениях t, не равных t0, она равна нулю;  при t = t0 принимает бесконечно большое значение; 2 Поль Адриен Морис Дирак (1902—1984) — английский физик, Нобелевский лауреат по физике, 1933 г. (совместно с Э. Шредингером). Лекция 15. Описание линейных электрических цепей во временной области 227  интеграл от δ-функции равен единице: - δ(t t0 )dt 1; (15.5)  для любой непрерывной на всей оси t функции f(t) имеет место равенство - f (t )δ(t t0 )dt f (t0 ). (15.6) Важно: свойство, отображаемое равенством (15.6), называется фильтрующим (избирательным, селективным) свойством δ-функции, смысл которого заключается в том, что δ-функция ставит в соответствие каждой функции f(t) число f(t0), т. е. выбирает то значение функции f(t), которое приходится на момент t = t0 (рис. 15.5). f (t ) f (t0 ) 0 t t0 Рис. 15.5. Фильтрующее (селективное) свойство δ-функции Генерирование единичного импульса согласно его определению неосуществимо, однако его моделью могут служить очень короткие однополярные импульсы, создаваемые источниками импульсного напряжения или тока, схемные изображения которых показаны на рис. 15.6. аа б б Рис. 15.6. Схемные изображения источников: а) импульсного напряжения, б) импульсного тока Часть I. Глава 5 228 15.1.3. Связь между единичным скачком и единичным импульсом Во многих приложениях появляется необходимость перехода от единичного скачка 1(t) к единичному импульсу (t) и наоборот. Установим связь между этими воздействиями, помня, что они представляются функциями Хэвисайда и Дирака. Представим единичный импульс δ(t) в виде предельного перехода разности 1 двух единичных скачков высотой , сдвинутых относительно друг друга на τ время τ (рис. 15.7): δ(t ) 1(t ) 1(t τ) 0 τ lim τ d 1(t ) 1 (t ), dt (15.7) т. е. единичный импульс (δ-функция) равен производной единичного скачка (функции Хэвисайда). Отсюда ясно, что единичный скачок равен интегралу от δ-функции: 1(t ) δ( )d . (15.7а) 1 τ 0 τ t 1 τ Рис. 15.7. К определению связи между единичным импульсом и единичным скачком 15.1.4. Отрезок гармонического колебания Отрезок гармонического колебания (рис. 15.8) определяется функцией вида x (t ) при t 0; Am sin(ωt φ) или Am cos(ωt φ) при t 0. 0 (15.8) Лекция 15. Описание линейных электрических цепей во временной области 229 Важно: воздействия в виде отрезков гармонического колебания не являются периодическими, поскольку вблизи точки разрыва t = 0 условие периодичности x (t ) x (t T ) не выполняется. x(t ) Am t 0 Am Рис. 15.8. Отрезок гармонического колебания 15.2. Описание процессов с помощью интегро-дифференциальных уравнений. Начальные условия В предыдущих лекциях рассматривались принципы анализа электрических цепей при воздействии постоянных или гармонических токов и напряжений. Если воздействие произвольное, то найти реакцию цепи с применением, например, метода комплексных амплитуд, невозможно. В таком случае необходимо использовать временнóе описание цепи в виде интегро-дифференциальных уравнений с учѐтом определения мгновенных токов и напряжений на реактивных элементах. Рассмотрим два примера. Пример 15.1. Найти ток i = i(t) в последовательном колебательном контуре (рис. 15.9, а) при произвольном воздействии e(t). Решение. Согласно второму закону Кирхгофа для последовательного колебательного контура справедливо следующее равенство: uL uR uC e(t ), где напряжения на элементах цепи являются функциями времени uk = uk(t). Выразив напряжения на элементах через ток в цепи i = i(t), получим неодно- Часть I. Глава 5 230 родное линейное интегро-дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: L di dt Ri 1 idt C e(t ). (15.9) Чтобы освободиться от интеграла, продифференцируем уравнение (15.9). Тогда получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка L d 2i dt 2 R di dt i C de(t ) , dt (15.10) которое необходимо решить относительно тока i. i e(t ) uL uR L R iG C uC аа i (t ) G iL L iC C u (t ) бб Рис. 15.9. Произвольное воздействие: а) на последовательный контур, б) на параллельный контур Пример 15.2. Найти напряжение u = u(t) на параллельном колебательном контуре (рис. 15.9, б) при произвольном воздействии i(t). Решение. Согласно первому закону Кирхгофа для параллельного колебательного контура справедливо следующее равенство: du 1 Gu udt i (t ). (15.11) dt L Освободимся от интеграла в (15.11) путѐм его дифференцирования. Тогда, как и в примере 15.1, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно напряжения u: iC iG iL C d 2u du u di (t ) (15.12) G . 2 dt L dt dt Видно, что уравнения (15.10) и (15.12) имеют одинаковый вид и дуальны, что является следствием дуальности последовательного и параллельного контуров. Решения этих уравнений определяют законы изменения тока и напряжения в последовательном и параллельном контурах соответственно. C Лекция 15. Описание линейных электрических цепей во временной области 231 Если отвлечься от физической сущности входящих в уравнения (15.10) и (15.12) коэффициентов и переменных, эти уравнения можно записать в обобщѐнном виде a d 2x dt 2 b dx dt cx ax bx cx s (t ), (15.13) где:  s(t) — воздействие;  x = x(t) — искомый ток или напряжение;  a, b, c — коэффициенты, соответствующие значениям реактивных и активных элементов. Из математического анализа известно, что любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное число решений. Для получения единственного решения согласно теореме существования и единственности необходимо задать начальные условия, т. е. начальные значения переменной x и всех еѐ производных. Физически это означает характеристику состояния электрической цепи на момент подачи воздействия (t = 0), а именно — значения токов и напряжений, действующих в цепи. (Состоянием цепи или системы называют множество свойств и функций системы в данный момент времени.) Чаще всего при анализе процессов в электрических цепях используют нулевые начальные состояния цепи (системы) в момент t0, или нулевые начальные условия. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Нулевыми начальными условиями называется такое состояние электрической цепи в момент t0, при котором значения всех напряжений на ѐмкостях и токов в индуктивностях равны нулю: uC(t0) = 0, iL(t0) = 0. Смысл нулевых начальных условий состоит в том, что цепь к моменту приложения воздействия, т. е. к моменту коммутации, находится в состоянии покоя. Отсюда следует признак нулевых начальных условий: нулевому воздействию соответствует нулевая реакция. 15.3. Импульсная характеристика. Интеграл свѐртки ОПРЕДЕЛЕНИЕ Импульсной характеристикой цепи h(t) называется реакция цепи на единичный импульс (δ-функцию) при нулевых начальных условиях (рис. 15.10, а). Часть I. Глава 5 232 δ(t ) Линейная цепь h(t ) x(t ) h(t ) y (t ) t x(τ)h(t τ)dτ 0 а б Рис. 15.10. Импульсная характеристика: а) определение, б) вычисление реакции цепи по импульсной характеристике Импульсная характеристика является основной характеристикой линейной электрической цепи, поскольку еѐ знание позволяет определить реакцию цепи y(t) на произвольное воздействие x(t) (рис. 15.10, б). Получим формулу для вычисления реакции цепи по еѐ импульсной характеристике, для чего воспользуемся свойствами инвариантности во времени (стационарности), однородности и аддитивности (наложения) линейных систем (см. лекцию 1). При выводе формулы будем последовательно (с помощью знака " ") записывать соответствия между воздействием и реакцией:  по определению реакция на δ-функцию является импульсной характери- стикой δ(t ) h(t );  согласно свойству инвариантности во времени (стационарности) линей- ных систем воздействию, задержанному на время τ, соответствует реакция, задержанная на это же время δ(t τ) h(t τ);  по свойству однородности линейных систем умножению воздействия на величину x ( t ) соответствует реакция, умноженная на ту же величину x(t )δ(t τ) x(t )h(t τ);  на основании свойства аддитивности (наложения) линейных систем ин- тегралу от воздействия соответствует интеграл от реакции (заметим, что собственно интегрирование обладает свойством аддитивности) x (τ)δ(t τ)dτ x(τ)h(t τ)dτ;  в полученном соответствии слева согласно свойству фильтрации δ-функции имеем воздействие в момент t x (t ) x (τ)δ(t τ)dτ, Лекция 15. Описание линейных электрических цепей во временной области 233 а справа имеем реакцию в момент t y (t ) x (τ)h(t τ)dτ,  наконец, для физически реализуемых систем время воздействия, а потому и время реакции, ограничено отрезком [0; t], поэтому окончательно получаем: t y (t ) x (τ)h (t τ)dτ. (15.14) 0 Можно показать, что справедливо равенство: t y (t ) x (t τ)h (τ)dτ. (15.14а) 0 Выражения (15.14) называются уравнениями свѐртки, или просто свѐрткой, а интеграл, стоящий справа, — интегралом свѐртки. Для свѐртки y(t) двух функций x(t) и h(t) принята следующая краткая запись: y (t ) (15.15) x(t ) h(t ). 15.4. Переходная характеристика. Интеграл Дюамеля ОПРЕДЕЛЕНИЕ Переходной характеристикой цепи g(t) называется реакция цепи на единичный скачок 1(t ) (функцию Хэвисайда) при нулевых начальных условиях (рис. 15.11, а). 1(t ) Линейная цепь g (t ) аа x(t ) g (t ) y (t ) бб Рис. 15.11. Переходная характеристика: а) определение, б) получение реакции цепи по переходной характеристике Переходная характеристика, как и импульсная характеристика, позволяет определить реакцию цепи y(t) на произвольное воздействие x(t) (рис. 15.11, б). Кроме того, знание переходной характеристики позволяет изучить процессы, происходящие в цепи при переходе цепи из одного установившегося режима Часть I. Глава 5 234 к другому, и определить длительность такого процесса, который называется переходным процессом, а сопутствующие ему токи и напряжения на отдельных участках цепи — переходными напряжениями и токами. Причина этого явления заключается в том, что накопление энергии электрического (в ѐмкостях) и магнитного (в индуктивностях) полей не может происходить мгновенно. Необходимая длительность переходного процесса определяется назначением цепи, хотя обычно стремятся к достижению минимально возможной длительности. Чтобы получить формулу для вычисления реакции цепи по еѐ переходной характеристике, предварительно выразим переходную характеристику через импульсную характеристику h(t), для чего воспользуемся формулой свѐртки (15.14а), когда известна импульсная характеристика h(t), а воздействием является единичный скачок x(t) = 1(t). При этих условиях получаем формулу для переходной характеристки t g (t ) 1(t ) h(t ) 1(t τ)h (τ)dτ 0 t h(τ)dτ, (15.16) 0 откуда h(t ) g (t ). (15.17) Полученная связь справедлива при нулевых начальных условиях, когда g(0) = 0 (рис. 15.12, а). При ненулевых начальных условиях (рис. 15.12, б), когда g(0) ≠ 0, переходную характеристику можно представить в виде суммы: g(t ) g (0) 1(t ) g1(t ), (15.18) где g1(0) 0. Тогда для импульсной характеристики согласно (15.8) и (15.17) получим: h(t ) g (t ) g(0) 1(t ) g1(t ) g(0) δ(t ) g1(t ). g1 (t ) 0 g (t ) t аа g (0) 1(t ) 0 (15.19) g1 (t ) g (0) 1(t ) t бб Рис. 15.12. Переходная характеристика: а) при нулевых начальных условиях, б) при ненулевых начальных условиях Лекция 15. Описание линейных электрических цепей во временной области 235 Подставив импульсную характеристику (15.19) в (15.14а), получаем реакцию цепи y(t) на воздействие x(t): y (t ) t x (t )[g (0) δ(τ) g1 (τ)]dτ 0 t x (t )g (0) δ(τ)dτ 0 t x (t 0 )g1(τ)dτ. Рассмотрим первый интеграл полученного выражения. Он содержит константу g(0), которую можно вынести за знак интеграла. Оставшийся интеграл будет равен x(t), поскольку δ(τ) = 1 только при τ = 0: t t x (t τ)g (0) δ(τ)dτ g (0) x (t 0 )δ(τ)dτ g (0) x (t ), 0 поэтому окончательно имеем: y (t ) t g (0) x (t ) 0 x(t τ)g1 (τ)dτ. (15.20) Можно получить другую форму интеграла (15.20): y (t ) g (0) x (t ) t 0 x (τ)g1 (t τ)dτ. (15.20а) Интегралы (15.20) называются интегралами Дюамеля, которые позволяют вычислить реакцию цепи по переходной характеристике как при нулевых, так и при ненулевых условиях. Выводы:  свойства электрической цепи определяются по еѐ реакции на типовые (испытательные) воздействия;  процессы в электрических цепях описываются с помощью интегродифференциальных уравнений, переменными в которых выступают напряжения и токи;  импульсная h(t) характеристика является основной характеристикой линейной электрической цепи;  переходная характеристика g(t) связана с импульсной характеристикой интегральным соотношением;  реакцию цепи y(t) на произвольное воздействие x(t) можно определить или с помощью интеграла свѐртки, если известна импульсная характеристика цепи h(t), или с помощью интеграла Дюамеля, если известна переходная характеристика g(t);  вычисление реакции цепи по известной переходной характеристике можно осуществить как при нулевых, так и при ненулевых начальных условиях. L2 C2 1 R U вх Лекция 16 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Описание линейных электрических цепей в операторной p-области 16.1. Преобразование Лапласа и его свойства Классический метод анализа колебаний в электрических цепях, основанный на применении комплексных амплитуд, эффективен при невысоком порядке сложности цепи, а воздействие является либо гармонической функцией времени, либо постоянно. Если же воздействие произвольно, то задача анализа сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений при известных начальных условиях. Это решение само по себе является далеко не простой процедурой. Значительно облегчает задачу анализа процессов в электрических цепях операторный метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Операторный метод переводит решение из области функций действительного переменного t (т. е. из временной области) в область комплексного переменного p (т. е. в операторную область), в результате чего система дифференциальных уравнений сводится к системе алгебраических уравнений, решать которые значительно легче. Преобразование Лапласа подобно методу комплексных амплитуд, когда операции над функциями времени замещаются операциями над их изображениями, или символами. 16.1.1. Определение преобразования Лапласа Пусть функция f(t) — кусочно-непрерывная однозначная функция времени t, которая тождественно равна нулю при отрицательных значениях t: f(t) = 0, t < 0. (16.1) Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной p-области и, кроме того, имеем комплексную переменную p = σ + jω, 237 (16.2) называемую оператором. (В математической литературе для обозначения оператора вместо p применяется буква s). При этих условиях вводится пара взаимно однозначных преобразований: F ( p) f (t ) e dt; 0 Оригинал Изображение f (t ) pt σ 1 0 2πj σ 0 j F ( p)e pt dp, j (16.3) (16.4) из которых первое называют преобразованием Лапласа1 F(p) функции f(t), а второе — обратным преобразованием Лапласа. Преобразуемая функция f(t) называется оригиналом, а функция F(p) — еѐ изображением. Преобразование (16.3) ставит в соответствие оригиналу f(t) его изображение F(p). С представлением о преобразовании связано понятие об отображении, в связи с чем также говорят, что функция времени f(t) отображается в комплексную плоскость оператора p. Преобразования (16.3) и (16.4) кратко записывают с помощью следующей символики: F ( p) L{ f (t )}; f (t ) L 1{F ( p)}; f (t ) F ( p), где:  L — оператор прямого преобразования Лапласа, или L-преобразование; –1  L — оператор обратного преобразования Лапласа, или обратное Lпреобразование;  знак "↔" —символ однозначного взаимного соответствия, или отображения; этот символ показывает, что каждому оригиналу f(t) соответствует одно-единственное изображение F(p). Заметим, что преобразование Лапласа существует, во-первых, только для функций f(t), удовлетворяющих указанным ранее требованиям, и, во-вторых, для таких значений Re p = σ ≥ σ0, когда при σ = σ0 интеграл (16.3) сходится абсолютно: f (t ) e pt dt . 0 1 В ряде справочников приводятся таблицы преобразования Лапласа—Карсона, которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множителя p: K(p) = p K(p). Часть I. Глава 5 238 Однако на практике нет необходимости заботиться о выполнении указанных ограничений, поскольку используемые в теории цепей функции всегда преобразуемы по Лапласу. Процедура применения преобразования Лапласа схожа с процедурой, используемой в символическом методе, по сути дела также являющемся отображением: 1. Оригинал, или пространство оригиналов, переводится в p-область с помощью преобразования (16.3). 2. Находятся решения в p-области, являющиеся L-изображениями решений в пространстве оригиналов. 3. Полученные решения в p-области переводятся в пространство оригиналов с помощью обратного преобразования (16.4). Использование преобразования Лапласа наиболее эффективно для решения интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 16.1.2. Основные свойства преобразования Лапласа 1. Свойство линейности Пусть функция f(t) представляет собой сумму N взвешенных функций akfk(t) f (t ) N k 1 ak f k (t ), тогда согласно определению еѐ L-изображение имеет вид: F ( p) N k 1 f (t )e pt dt 0 ak 0 f k (t )e pt dt N 0 k 1 N k 1 ak f k (t ) e pt dt (16.5) ak Fk ( p). Таким образом, L-изображение суммы взвешенных функций равно сумме L-изображений этих функций с теми же весовыми коэффициентами. 2. Теорема запаздывания (задерживания) Найдѐм преобразование Лапласа функции f(t), задержанной по времени на t0, т. е. функции f(t – t0). По определению имеем: L{ f (t t0 )} F ( p ) 0 f (t t0 )e pt dt. Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной p-области 239 Произведѐм в интеграле замену переменной t – t0 = τ, t = t0 + τ, dt = dτ: L{ f (t t0 )} e pt0 0 f ( )e f (t t0 )e p d e pt dt f ( )e p( t0 ) d 0 pt0 (16.6) F ( p). 0 Следовательно, L-изображение задержанной функции f(t – t0) есть изображение исходной функции f(t), умноженное на экспоненту e pt0 . 3. Теорема свёртки Найдѐм L-изображение свѐртки функций f1(t) и f2(t): t f (t ) 0 f1 (τ) f 2 (t τ)dτ. По определению имеем: L f (t ) t F ( p) 0 0 f1 (τ) f 2 (t τ)dτ e pt dt. Поменяем местами операции интегрирования с учѐтом переменных, по которым осуществляется интегрирование, и получим: t F ( p) 0 f1 (τ)dτ f 2 (t τ)e pt dt. 0 Второй интеграл в полученном выражении является L-изображением задержанной на τ функции f2(t), и согласно тереме запаздывания можно записать: F ( p) t 0 f1 (τ)e p dτF2 ( p ). (16.7) Последний интеграл представляет собой L-изображение функции f1(t). Действительно, поскольку функция f1(t) существует только на интервале [0; t], ничто не мешает верхний предел t интегрирования заменить бесконечностью — и тогда получим преобразование Лапласа (16.3). Следовательно, выражение (16.8) представляет собой произведение L-изображений свѐртываемых функций f1(t) и f2(t): F ( p) F1 ( p)F2 ( p), Часть I. Глава 5 240 или f1(t ) f2 (t ) F1( p)F2 ( p), (16.8) причѐм результат не зависит от порядка записи свѐртываемых функций. 4. Теорема смещения Покажем, что смещение изображения на некоторую величину ±α соответстαt вует умножению оригинала на экспоненту e F ( p α) f (t )e αt : (16.9) . Действительно, L f (t )e αt αt f (t )e e pt dt f (t )e 0 ( p α)t dt 0 по определению преобразования Лапласа F ( p α). 5. Теорема подобия (изменения масштаба аргумента) 0 соответствует Умножению аргумента оригинала на постоянное число деление аргумента изображения и самого изображения на это же число. 1 F p α . α L f (αt ) (16.10) Покажем это. По определению имеем: L f ( t) f ( t )e pt dt. 0 Произведѐм замену переменной: αt τ; t τ ; dt α 1 dτ. α Подставляя полученные соотношения в L-изображение оригинала и вынося 1 при этом за знак интеграла константу , приходим к выражению (16.11): α L f (αt ) 1 f ( )e α0 p α d 1 F p α . α Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной p-области 241 16.2. L-изображения типовых функций, операций дифференцирования и интегрирования 16.2.1. L-изображения типовых функций Изображение константы A Изображение константы имеет вид: A( p) Аe pt dt А e 0 pt dt A pt e p 0 0 A , p (16.11) откуда следует, что L-изображение константы равно отношению константы к оператору p. Изображение δ -функции Изображение δ-функции L{δ(t )} δ(t )e pt dt 1 (16.12) 0 соответствует определению δ-функции, которая равна 1 только при t = 0, а при остальных значениях t функция равна нулю. Изображение единичного скачка (функции Хэвисайда) Согласно формуле (16.6) получаем: L{1(t )} 1(t )e pt 0 dt e pt dt 0 1 . p (16.13) Изображение взвешенной экспоненты Как увидим в дальнейшем, большое практическое значение имеет взвешенная экспонента вида Ae L{ Ae αt αt Ae } 0 (рис. 16.1), L-изображение которой равно: αt e pt dt A e 0 ( p α)t dt A p α , (16.14) где следует быть внимательным к соответствию между знаком показателя степени экспоненты и знаком в знаменателе изображения. Часть I. Глава 5 242 Ae αt A t 0 Рис. 16.1. График взвешенной затухающей экспоненты Изображение отрезка синусоиды Найдѐм L-изображение отрезка синусоиды Asin ωt на интервале 0 ≤ t < : L{ A sin ωt} F ( p ) A sin ωte pt dt pt A sin ωte 0 dt. 0 Представим синус через экспоненциальные функции согласно формуле Эйлера e jωt sin ωt e 2j jωt и воспользуемся свойством линейности преобразования Лапласа; тогда получим: F ( p) A e jωt 0 e jωt A dt e jωt e 2j 2j 0 A jωt L e L e jωt 2j pt dt e jωt e pt dt 0 . Для записи изображений экспонент воспользуемся свойством (16.14): L e jωt 1 p jω p jω 2 2 p ω L e ; 1 jωt p jω p jω 2 ω2 p . Подставим эти изображения в предыдущую формулу: L e jωt L e jωt p jω p jω 2 2 2 2 p p ω ω 2 jω p 2 ω2 . Теперь окончательно получаем: L A sin ωt A ω p 2 ω2 . (16.15) Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной p-области 243 Изображение отрезка косинусоиды Поступая так же, как в предыдущем пункте, нетрудно получить: L A cosωt A p p 2 ω2 . (16.16) Знание изображений типовых функций позволяет получить L-изображения более сложных функций, являющихся различными комбинациями типовых. В приводимой далее таблице соответствий табл. 16.1 даны преобразования Лапласа основных операций и рациональных функций. Таблица 16.1. Таблица основных соответствий № F(p) F(t) 1 1 Δ(t) 2 1 p 3 A 4 5 6 7 8 9 10 1 Aδ(t) A p A A At p2 A tn n 1! A p n A Ae p α A p α 2 A p α n Aω p2 ω2 Ate 1 αt αt A t n 1e n 1! A sin ωt αt Часть I. Глава 5 244 Таблица 16.1 (окончание) № 11 12 13 F(p) F(t) Ap p2 A cos ωt ω2 A p 2 p 2 αp β Ap αp β 14 A p p α 15 p p2 16 17 18 19 20 ω2 A p p A1 p p 2 αp β A2 αp β A1 p p p 2 sin ωt ; ω α t 2 Ae cosωt A 1 e α A 2 α t 2 A e ω A2 αp β p A α2 4 β α2 4 α sin ωt ; ω 2ω β α sin ωt ; ω 2ω αt 1 cos ωt ω2 A β e β A e β α t 2 A2 β α t 2 cos ωt A1 cosωt e α t 2 t 1 ap 1 bp ae b be ab a b 1 p p a p b 1 ab 2A2 αA1 sin ωt ; ω 2ω A2 cos ωt β α2 4 β α2 4 2A1β αA2 sin ωt ; ω 2ωβ β α2 4 t a be at aebt ab a b Подробные таблицы преобразований Лапласа приводятся в разнообразных руководствах, учебных пособиях и справочниках как по теории электрических цепей, так и в математических справочниках. Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной p-области 245 16.2.2. L-изображения операций дифференцирования и интегрирования L-изображение операции дифференцирования Пусть функция f(t) имеет L-изображение F(p) = L{f(t)}. Поставим задачу найти L-изображение производной L f (t ) L df (t ) dt этой функции: L f (t ) df (t ) dt L f (t )e pt dt. 0 Произведѐм интегрирование по частям: f (t )e pt dt uv dt 0 0 f (t )e pt uv 0 p f (t )e 0 u u vdt pt 0 u dt f (0) e 0 pt pe v pt v p f (t )e f (t ) dt f (t ) pt (16.17) dt . 0 F ( p) Интеграл в последней сумме (16.17) представляет собой L-изображение функции f(t), поэтому справедлива окончательная запись: L f (t ) pF ( p) f (0). (16.18) Если имеют место нулевые начальные условия, когда f(0) = 0, получаем Lизображение первой производной: L f (t ) pF ( p ). (16.19) Применяя аналогичный подход для вывода L-изображений высших производных при ненулевых начальных условиях, нетрудно получить: L f (t ) p 2 F ( p ) pf (0) f (0); (3) L f (t ) p3 F ( p ) p 2 f (0) pf (0) и т. д. f (0) Тогда для производной n-го порядка можно записать: L f ( n ) (t ) p n F ( p) p n 1 f (0) pn 2 f (0) pf ( n 2) (0) f (n 1) (0) , Часть I. Глава 5 246 откуда следует общая формула L-изображений высших производных при ненулевых начальных условиях: L f ( n) (t ) p n F ( p) n 1 k 0 pn 1 k f ( k ) (0). (16.20) Смысл полученной формулы состоит в том, что весьма непростая операция дифференцирования в пространстве оригиналов заменяется элементарными операциями умножения и суммирования в пространстве изображений, причѐм коэффициентами многочлена порядка n – 1 являются начальные значения оригинала f(t) и всех его производных порядка до n – 1 включительно. Выражение (16.20) особенно полезно при решении дифференциальных уравнений. При нулевых начальных условиях, когда начальные значения оригинала и всех его производных порядка до n – 1 включительно равны нулю, получаем формулу: L f ( n ) (t ) p n F ( p ), (16.21) т. е. L-изображение дифференцируемой функции представляется умножением изображения функции на степень оператора, равную порядку производной. Важно: использование соответствий (16.20) и (16.21) возможно только в том случае, когда наивысшая встречающаяся производная f(n)(t) существует в каждой точке t > 0 и обладает L-изображением. L-изображение операции интегрирования Если дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на p (16.19), то при нулевых начальных условиях интегрированию оригинала на отрезке времени 0 ≤ τ ≤ 0 соответствует деление изображения на p: L t f (τ)dτ L (t ) 0 где (t ) t 0 f (τ)dτ. 1 F ( p), p (16.22) Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной p-области 247 Покажем справедливость соотношения (16.22), для чего продифференцируем интеграл по t. Тогда получим подынтегральную функцию f (t ) t f (τ)dτ ψ (t ), 0 к которой применим правило определения изображения производной (16.19) F ( p) pΨ( p), откуда ( p) 1 F ( p) p p 1F ( p ), (16.23) что подтверждает верность выражения (16.22). З А МЕ Ч А Н И Е Поскольку при нулевых начальных условиях операции дифференцирования (интегрирования) оригинала соответствует операция умножения (деления) еѐ изображения на оператор p, то оператор p часто называют оператором диф-1 ференцирования, а оператор p — оператором интегрирования. 16.3. Обратное преобразование Лапласа Задача получения оригинала f(t) по его известному изображению F(p) может быть решена с помощью интеграла (16.4): f (t ) σ 1 0 2πj σ 0 j F ( p)e pt dp. j Однако применение этого интеграла весьма и весьма ограничено, поскольку в большинстве случаев этот интеграл не берѐтся. Тем не менее, получить оригинал по его изображению можно, не прибегая к интегралу (16.4). Для получения обратного преобразования Лапласа наиболее широко применяются два метода: табличный метод и разложение на сумму простых дробей (теорема разложения). 1. Табличный метод Метод основан на использовании табличных однозначных соответствий между оригиналами и изображениями с применением свойств преобразования Лапласа. Часть I. Глава 5 248 Пример 16.1. Пусть известно изображение b1 p b0 F ( p) p2 (16.24) ω2 и требуется найти оригинал f(t). Решение. Обратимся к таблице соответствий (табл. 16.1) и увидим, что такой табличной функции нет. Однако в той же таблице имеются соответствия 10 и 11 (см. (16.15) и (16.16)), у которых знаменатели одинаковые, а именно: A sin ωt ω A p 2 и A cosωt 2 ω A p p 2 ω2 . Чтобы использовать эти соответствия, представим изображение (16.24) в виде суммы двух дробей с одинаковыми знаменателями: b1 p F ( p) p 2 2 p ω 2 b0 F1 ( p) F2 ( p), ω2 где b1 p F1 ( p) p 2 2 ω ; F2 ( p) p 2 b0 ω2 . Следовательно, по свойству линейности искомый оригинал будет представлять собой сумму двух оригиналов: f (t ) f1(t ) f2 (t ). Согласно полученным в разд. 16.2.1 табличным соответствиям имеем: f1 (t ) b1 cosωt b1 p p 2 2 ω и f 2 (t ) b0 sin ωt ω откуда следует: f (t ) b1 cosωt b0 sin ωt , ω или b1 p b0 p 2 ω 2 b1 cos ωt b0 sin ωt . ω b0 1 p 2 ω2 , Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной p-области 249 2. Метод разложения на сумму простых дробей (теорема разложения) Пусть L-изображение некоторого оригинала f(t) представляет собой дробнорациональную функцию F1 ( p) F2 ( p) F ( p) bn p n am p bn 1 p n m am 1 p bi pi 1 m 1 ak p b1 p b0 k a1 p b0 , (16.25) где {ak} и {bi} — вещественные коэффициенты и порядок n полинома в числителе не превышает порядка m полинома в знаменателе. Такие функции применяются при синтезе пассивных электрических цепей (см. лекцию 30). Обратимся к знаменателю (16.25): уравнение, получаемое приравниванием полинома знаменателя нулю, F2 ( p) am pm am 1 p m ak p k 1 a1 p a0 0, называется характеристическим уравнением. Пусть корни {pk} характеристического уравнения простые и не равны корням уравнения, получаемого приравниванием нулю полинома числителя. При этих условиях дробь (16.25) можно представить в виде суммы простых дробей: F1 ( p) m Ak , F ( p) (16.26) F2 ( p) k 1 p pk где Ak — коэффициенты разложения, имеющие тот же тип, что и корни pk: вещественному корню соответствует вещественный коэффициент разложения, комплексному корню — комплексный коэффициент разложения. Знание корней {pk} полинома F2(p) и коэффициентов разложения Ak позволяет из (16.26) получить обратное преобразование Лапласа функции f(t), для чего воспользуемся свойством линейности преобразования: f (t ) L 1 F ( p) L 1 m k Ak 1 p pk m k 1 L 1 Ak ; p pk (16.27) в результате остаѐтся только найти обратное L-преобразование дроби, стоящей в скобках; но эта дробь представляет собой L-преобразование взвешенной экспоненты (16.14): A L{ Aeαt } p α при A = Ak и α = pk. Подставляя взвешенную экспоненту с указанными параметрами в (16.27), получаем: f (t ) L 1 F ( p) m k 1 Ak e pk t . (16.28) Часть I. Глава 5 250 Здесь значения {pk} известны, и для окончательного решения задачи необходимо вычислить коэффициенты разложения {Ak}, что можно выполнить двумя способами, рассматриваемыми далее. 3. Метод производной знаменателя Для определения i-го коэффициента разложения Ai умножим обе части (16.26) на (p – pi): m Ak F ( p) p pi 1 Ai p pi (16.29) F2 ( p ) k 1 p pk k i и устремим p → pi. Тогда правое слагаемое обращается в нуль: p pi m Ak 1 p pk k k i 0, p pi и коэффициент Ai оказывается равным: Ai p pi F1 ( p) . F2 ( p) Перейдѐм в полученном выражении к пределу: Ai lim p pi p F1 ( p) F2 ( p) pi F1 ( pi ) lim p pi p pi . F2 ( p) (16.30) В уравнении (16.30) при p → pi под знаком предела множитель и знаменатель F2 ( p) обращаются в нуль, образуя неопределѐнность вида 0/0, которую раскроем по правилу Лопиталя путѐм дифференцирования по p числителя и знаменателя: lim p pi p pi F2 ( pi ) 1 , F2 ( pi ) в результате чего из (16.30) имеем: Ai F1 ( pi ) . F2 ( pi ) (16.31) В полученном выражении величина F2 ( pi ) представляет собой значение производной полинома F2 ( p) по комплексной переменной p при p = pi, причѐм неравенство F2 ( pi ) 0 является принципиальным, поскольку полином F2 ( p) , согласно принятому предположению, имеет только простые корни. Лекция 16. Описание линейных электрических цепей в операторной p-области 251 Аналогичным образом можно получить любой из коэффициентов {Ak}, что даѐт возможность перейти от индекса i к индексу k и записать (16.31) в виде: Ak F1 ( pk ) . F2 ( pk ) (16.32) Если один из корней характеристического уравнения равен нулю (пусть это будет p1 = 0), тогда соответствующий коэффициент разложения вычисляется по простой формуле: A1 F1 (0) . F2 (0) (16.33) Пример 16.2. F1 ( p) F2 ( p) F ( p) b1 p b0 p2 a1 p , (16.34) найдѐм оригинал f(t) по его изображению, воспользовавшись изложенной методикой. Решение. Здесь характеристическое уравнение p2 a1 p p( p a1 ) 0 имеет два простых вещественных корня: p1 = 0 и p2 = –a1, поэтому разложение функции (16.34) согласно (16.26) получает вид: F ( p) A1 p A2 . p a1 (16.35) Для вычисления коэффициентов разложения A1 и A2 запишем производную знаменателя (16.34): F2 ( p ) p2 a1 p 2 p a1 , после чего коэффициенты разложения в соответствии с (16.32) оказываются равными: A1 b1 p b0 2 p a1 p1 0 b0 и A2 a1 b1 p b0 2 p a1 p2 b1a1 b0 2a1 a1 b1 b1 b0 . a1 (16.36) Подставляя полученные коэффициенты и значения корней pk в (16.32), получаем оригинал: f (t ) b0 a1 b1 b0 e a1 a1t . (16.37) Часть I. Глава 5 252 4. Метод неопределённых коэффициентов Рассмотренный метод получения коэффициентов разложения требует вычисления производной знаменателя, что не всегда бывает удобным. В большинстве же практических случаев можно воспользоваться известным из математики методом неопределѐнных коэффициентов, при котором рациональная дробь также представляется в виде суммы простых дробей (16.26), а дальнейшие вычисления осуществляются в следующем порядке:  дроби (16.26) приводятся к общему знаменателю;  в числителе новой рациональной дроби приводятся подобные члены по степеням переменной p, полученные коэффициенты при степенях переменной p будут представлять собой суммы искомых коэффициентов разложения Ak;  составляется система линейных уравнений путѐм приравнивания коэффи- циентов при одинаковых степенях p числителей полученной и исходной дроби (16.25);  решение составленной системы уравнений даст множество коэффициен- тов разложения {Ak}. Пример 16.3. Найдѐм решение задачи, поставленной в предыдущем примере, методом неопределѐнных коэффициентов. Решение. Для решения задачи вновь обратимся к формуле (16.35): F ( p) A1 p A2 . p a1 Приведѐм дроби к общему знаменателю: F ( p) A1 p A2 p a1 A1 p A1a1 A2 p p p a1 A1 A2 p p p a1 A1a1 . (16.38) Равенство дробей (16.38) и (16.34) означает равенство их знаменателей и числителей, но знаменатели равны, поэтому приравняем числители b1 p b0 A1 A2 p A1a1 и коэффициенты при одинаковых степенях p: A1 A1 b1 , A1a1 b0 . Нетрудно проверить, что решение этой системы даѐт те же коэффициенты (16.36), а потому и тот же итоговый результат (16.37). L2 C2 1 R U вх Лекция 17 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Операторные передаточные функции Практический смысл и назначение операторного метода в теории электрических цепей состоит, прежде всего, в представлении соотношения вход/выход в операторной форме, что даѐт возможность существенно упростить процедуры анализа и синтеза электрических цепей и обеспечить связь между временным и частотным описаниями как колебаний, действующих в цепи, так и самой цепи. 17.1. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Покажем, что решение задач анализа колебаний в электрической цепи существенно упрощается при использовании операторного метода. 17.1.1. Законы Кирхгофа в операторной форме Пусть токи ik и напряжения uk в электрической цепи имеют соответствующие L-изображения: Ik(p) и Uk(p). Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю, а согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом контуре электрической цепи также равна нулю. Воспользуемся свойством линейности преобразования Лапласа, в результате чего получим: L L N k 1 M k 1 ik uk N k 1 L ik M k 1 L uk N k 1 M I k ( p) 0 и (17.1) U k ( p) k 1 0, что говорит о формальной справедливости законов Кирхгофа для токов и напряжений, выраженных в операторной форме. Часть I. Глава 5 254 17.1.2. Операторные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей Убедимся в справедливости закона Ома для L-изображений колебаний на зажимах элементов R, L, C при нулевых начальных условиях (см. разд. 15.2) и найдѐм операторные изображения Z(p) активного сопротивления, реактивного сопротивления индуктивности и ѐмкости, а также их операторные про1 водимости Y ( p) . Z ( p) Для элемента активного сопротивления uR Ri, откуда U R ( p) RI ( p) и Z R ( p) R U R ( p) , I ( p) (17.2) т. е. операторное активное сопротивление равно самому активному сопротивлению, поэтому операторная активная проводимость равна самой активной проводимости Y ( p) 1 Z ( p) G 1 . R L di (t ) dt (17.3) Для элемента индуктивности uL ( t ) правило дифференцирования даѐт: U L ( p) pLI ( p), откуда операторные сопротивление и проводимость индуктивности равны: Z L ( p) U L ( p) I ( p) pL, (17.4) YL ( p ) 1 Z L ( p) 1 . pL (17.5) Лекция 17. Операторные передаточные функции 255 Для элемента ёмкости uC (t ) 1t i (t )dt C0 правило интегрирования даѐт: 1 I ( p), pC UC ( p ) откуда операторные сопротивление и проводимость ѐмкости равны: ZC ( p ) YC ( p ) 1 , pC 1 ZC ( p) (17.6) pC. (17.7) Заметим, что поскольку оператор p согласно (16.2) определѐн как комплексное переменное p σ jω, операторные сопротивления и проводимости элементов L и C получаются заменой оператора jω на оператор p при σ = 0. 17.1.3. Операторные сопротивление и проводимость последовательного и параллельного двухполюсников Закон Ома при нулевых начальных условиях формально верен и для сложных двухполюсников, если в числе их элементов не содержатся независимые источники. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Операторным сопротивлением Z(p) (проводимостью Y(p)) двухполюсника называется отношение операторного напряжения Uвх(p) на входе (операторного входного тока Iвх(p)) к операторному току на выходе Iвых(p) (операторному напряжению Uвых(p) на выходе) Z ( p) (соответственно Y ( p) U вх ( p) I вых ( p) I вх ( p) ) при нулевых начальных условиях. U вых ( p) Часть I. Глава 5 256 Пример 17.1. Найти операторное сопротивление двухполюсника (рис. 17.1), состоящего из последовательно соединѐнных элементов R, L, C при нулевых начальных условиях. Решение. Напряжение на зажимах двухполюсника при нулевых начальных условиях равно u(t ) Ri L di dt 1 idt. C Применим к полученному уравнению преобразование Лапласа: U ( p) R pL 1 I ( p) pC Z ( p ) I ( p), откуда следует, что при последовательном соединении элементов их операторные сопротивления складываются, как и для комплексных сопротивлений, но оператор jω заменяется на оператор p (см. разд. 17.1.2): Z ( p) U ( p) I ( p) u ( p) i ( p) R i (t ) R pL 1 . pC (17.8) i uR (t ) u (t ) R uR i u L uL (t ) L uL Z ( p) u C а а uC (t ) C uC б б вв Рис. 17.1. К определению операторного сопротивления последовательно соединѐнных элементов: а) во временной области, б) в p-области, в) упрощѐнное схемное изображение двухполюсника в p-области Пример 17.2. Найти операторную проводимость двухполюсника (рис. 17.2), состоящего из параллельно соединѐнных элементов R, L, C при нулевых начальных условиях. Лекция 17. Операторные передаточные функции 257 Решение. Для тока i(t) согласно первому закону Кирхгофа имеем: 1 du udt C , L dt i (t ) Gu поэтому операторную проводимость заданного двухполюсника можно записать сразу: Y ( p) I ( p) U ( p) i ( p) u ( p) 1 pL G pC. (17.9) В силу дуальности последовательного и параллельного контуров выражение (17.9) можно было записать сразу на основании формулы (17.8). iR i (t ) G iL L а iC iG u (t ) C G i а iC iL C L б u б Рис. 17.2. К определению операторной проводимости параллельно соединѐнных элементов: а) во временной области, б) в p-области Выражения (17.8) и (17.9) представляют собой входные операторные функции цепи. Они дают основания определению операторного сопротивления и проводимости двухполюсника общего вида. 17.1.3. Операторные сопротивление и проводимость двухполюсника общего вида Закон Ома, при нулевых начальных условиях, формально можно применить и для сколь угодно сложных двухполюсников. Ранее (см. лекцию 5) было установлено, что если на входе двухполюсника действует источник напряжения с ЭДС e1(t), то для контура (например, первого), замыкающегося через этот источник, по формуле Крамера можно записать: i1 1 11 e1. Часть I. Глава 5 258 Переходя к L-изображениям напряжений, токов и сопротивлений элементов цепи, получим представление двухполюсника в операторной форме (рис. 17.3), что позволяет записать L-изображение входного тока: 1 ( p) I1 ( p) 11 ( p) ( p) ( p) I1 ( p) E1 ( p ) E1( p). Двухполюсник Рис. 17.3. Двухполюсник, представленный в операторной форме Теперь согласно определению операторной проводимости и операторного сопротивления имеем: Y ( p) Z ( p) I1 ( p ) E1 ( p ) 1 Y ( p) 11 ( p ) ( p) E1 ( p ) I1 ( p ) , ( p) . 11 ( p ) (17.10) (17.11) При этом нужно помнить, что определители и алгебраические дополнения в таких формулах записываются с учѐтом свойств преобразования Лапласа, как это сделано в примерах 17.1 и 17.2. 17.2. Определение операторной передаточной функции. Связь с импульсной и переходной характеристиками В лекции 15 было показано, что во временной области соотношение вход/выход линейной электрической цепи при произвольном воздействии описывается уравнением свѐртки: y (t ) t x (t τ)h (τ)dτ, 0 где h(t) — импульсная характеристика, x(t) — воздействие, y(t) — реакция. При этом воздействие и реакция могут быть напряжениями или токами. Лекция 17. Операторные передаточные функции 259 Для описания соотношения вход/выход в операторной форме воспользуемся L-изображением свѐртки Y ( p ) X ( p ) H ( p ), (17.12) откуда получаем соотношения вход/выход в операторной форме H ( p) Y ( p) , X ( p) (17.13) которое называют передаточной функцией. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Передаточной функцией линейной электрической цепи называется отношение L-изображения реакции к L-изображению воздействия при нулевых начальных условиях. Выражение (17.13) говорит о том, что передаточная функция является L-изображением импульсной характеристики, т. е. импульсная характеристика является обратным преобразованием Лапласа передаточной функции: H ( p) L{h(t )}, (17.14) h(t ) L 1{H ( p )}. (17.15) Именно этими зависимостями объясняется содержащееся в определении передаточной функции требование нулевых начальных условий. Связь между передаточной функцией и переходной характеристикой можно установить, если воспользоваться интегралом Дюамеля (15.20а) при нулевых начальных условиях: y (t ) t x (τ)g (t τ)dτ, 0 когда g(t) = g1(t). Здесь, как и в случае импульсной характеристики, имеет место свѐртка двух функций, которой в операторной области соответствует произведение L-изображений свѐртываемых функций: L y (t ) L x (t ) L g (t ) . Первый сомножитель правой части полученного уравнения содержит L-изображение производной, поэтому окончательно можно записать: Y ( p) pX ( p)G( p) (17.16) и Y ( p) G( p) p 1 p 1H ( p), (17.17) X ( p) Часть I. Глава 5 260 что полностью соответствует связи импульсной и переходной характеристик (15.16). Обратим внимание на то, что передаточная функция может быть получена из комплексных частотных характеристик формальным образом, а именно — простой заменой в КЧХ H(jω) оператора jω на p; и наоборот: КЧХ может быть получена из передаточной функции H(p) заменой оператора p на jω. В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия, а какая в качестве реакции цепи, различают четыре вида передаточных функций:  операторное передаточное сопротивление H Z ( p) U вых ( p ) , I вх ( p ) (17.18)  операторную передаточную проводимость HY ( p ) I вых ( p ) , U вх ( p ) (17.19)  передаточную функцию по току H i ( p) I вых ( p ) , I вх ( p ) (17.20)  передаточную функцию по напряжению H u ( p) U вых ( p ) . U вх ( p ) (17.21) Последние две функции иногда называют операторными передаточными коэффициентами по току и по напряжению соответственно. По любой из передаточных функций (17.18)—(17.21) нетрудно найти Lизображение реакции цепи, а затем и саму реакцию на заданное воздействие, поскольку любая передаточная функция H(p) согласно (17.12) может рассматриваться как связующий коэффициент между L-изображениями воздействия X(p) и реакции Y(p). Пример 17.3. Записать передаточную функцию для последовательного колебательного контура (рис. 17.1, б) относительно напряжения на индуктивности. Решение. По определению передаточной функции для индуктивности имеем H L ( p) U L ( p) . U ( p) Лекция 17. Операторные передаточные функции 261 Но операторное напряжение на индуктивности равно: U L ( p) Z L ( p) I ( p) H L ( p) U L ( p) U ( p) pLI ( p) pL U ( p) , Z ( p) поэтому pL U ( p) Z ( p) U ( p) pL . Z ( p) Подставляя сюда операторное сопротивление (17.8), получаем искомую передаточную функцию: H L ( p) pL Z ( p) pL R pL 1 pC p2 p2 R p L 1 LC . (17.22) Аналогично можно получить и другие передаточные функции для последовательной, параллельной или более сложной цепи. В последнем случае потребуется составить систему уравнений для L-изображений колебаний, воспользовавшись методом контурных токов или узловых напряжений. 17.3. Понятие о нулях и полюсах передаточной функции. Устойчивость передаточной функции Задача 17.1. Получить и исследовать общее выражение для передаточной функции цепи, когда воздействие представляет собой ЭДС источника напряжения, а реакцией является ток в выделенной ветви анализируемой цепи (рис. 17.4). Решение. Выберем независимые контуры в цепи так, чтобы через источник напряжения замыкался ток только одного входного контура, а через интересующую нас ветвь — ток только одного выходного контура. На рис. 17.4 они обозначены индексами 1 и 2 соответственно. Теперь, как и в задаче 5.2, необходимо положить e2 = e3 = … = eN = 0. При этих условия соответствующие операторные напряжения также оказываются равными нулю. Тогда операторный ток выходного контура получает вид: I 2 ( p) 12 ( p ) ( p) E1 ( p), Часть I. Глава 5 262 Независимые контуры входной (1) выходной (2) Электрическая цепь E1 ( p ) I 2 ( p) Рис. 17.4. Обобщѐнная схема цепи с выделенными входным и выходным контурами откуда по определению передаточной функции имеем операторную передаточную проводимость H ( p) I 2 ( p) E1 ( p ) 12 ( p ) ( p) , (17.23) где Δ — определитель системы операторных уравнений Z11 ( p ) Z12 ( p ) Z1N ( p ) Z 21 ( p ) Z 22 ( p ) Z 2 N ( p) Z N 1( p) Z N 2 ( p) , Z NN ( p ) а Δ12(p) — операторный минор этого определителя относительно первой строки и второго столбца: 12 ( p ) Z11 ( p) Z12 ( p ) Z1N ( p ) Z 21 ( p) Z 22 ( p) Z 2 N ( p) Z N1 ( p) Z N 2 ( p) Z NN ( p ) Z 21 ( p) Z 23 ( p) Z 2 N ( p) . Z N1 ( p) Z N 3 ( p) Z NN ( p) Заметим, что определитель и все его миноры представляют собой рациональные функции оператора p, все коэффициенты которых являются вещественными числами. Это объясняется тем, что при раскрытии определителя над его элементами совершаются только операции умножения, сложения и вычитания, а сами элементы представляют собой простейшие рациональные Лекция 17. Операторные передаточные функции 263 функции с вещественными коэффициентами вида (17.11). Раскрывая определитель Δ и минор Δ12(p) и подставляя результаты в (17.23), получаем: bn p n bn 1 p n 1 am p m a m 1 p m 1 H ( p) b1 p b0 a1 p a0 w( p ) . v( p) (17.24) Полиномы числителя w(p) и знаменателя v(p), как и всякий полином, согласно основной теореме алгебры, могут быть представлены через их нули p0i и p*k соответственно следующим образом: w( p) bn ( p p01)( p p02 ) ( p p0i ) ( p p0n ) (17.25) v( p) an ( p p 1)( p p 2 ) (17.26) и (p p k) ( p p n ). Отсюда передаточная функция (17.24) приобретает вид: H ( p) c (p (p где:  c p01 )( p p 1 )( p p02 ) ( p p0i ) ( p p 2) ( p p k ) ( p p0n ) , p n) (17.27) bn — постоянный множитель; an  p0i — являются нулями числителя (корнями уравнения w(p) = 0) и называ- ются нулями передаточной функции;  v(p) — называется характеристическим полиномом;  p*k — являются нулями характеристического полинома (корнями уравне- ния w(p) = 0) и называются полюсами передаточной функции. Названия корней уравнения w(p) = 0 нулями и корней уравнения v(p) = 0 полюсами связаны с тем, что при p = p0i передаточная функция обращается в нуль, а при p = p*k — в бесконечность. Поскольку коэффициенты передаточной функции вещественны, то нули и полюсы могут быть или вещественными или составлять комплексно-сопряжѐнные пары: p0i p0(i 1) и p k p ( k 1) . Нули и полюсы наглядно отображаются на комплексной p-плоскости (рис. 17.5) значками (◦) и (*) соответственно. На рис. 17.5 показаны:  вещественный положительный нуль σ◦1 и отрицательный полюс σ*1, у ко- торых частота ω = 0,  пара комплексно-сопряжѐнных нулей p02 = –σ◦2 + ω◦2 и p03 = –σ◦2 – ω◦2 (p03 = p*02) и пара комплексно-сопряжѐнных полюсов p*2 = –σ*2 + ω*2 Часть I. Глава 5 264 и p*3 = σ*2 + ω*2 (p*3 = p**2), у которых вещественные части отрицательны, а знаки соответствующих частот ω ≠ 0 противоположны. Отображение нулей и полюсов на p-плоскости называют картой нулей и полюсов. Различают левую и правую p-полуплоскости. Карта нулей и полюсов позволяет оценить ряд свойств электрической цепи и, в частности, определить еѐ устойчивость с точки зрения устойчивости передаточной функции. jω p p σ jω Правая p-полуплоскость Левая p-полуплоскость Комплексно-сопряжѐнные пары: полюсов нулей Вещественные: полюс нуль ω2 ω2 σ 2 σ2 σ 1 σ 0 σ1 ω2 ω2 Рис. 17.5. Карта нулей и полюсов Утверждение: цепь является строго устойчивой тогда и только тогда, когда еѐ передаточная функция имеет полюсы только в левой p-полуплоскости, исключая мнимую ось. Доказательство. Напомним, что цепь называется строго устойчивой, если при нулевых начальных условиях ограниченное по величине воздействие x (t ) M t Лекция 17. Операторные передаточные функции 265 вызывает ограниченную по величине реакцию y (t ) K t. Но реакцию y(t) при нулевых условиях можно найти с помощью уравнения свѐртки y (t ) x (t τ)h (τ)dτ. 0 Отсюда при заданных ограничениях имеем соотношение y (t ) x (t τ)h(τ)dτ 0 x (t τ) h(τ) dτ M h(τ) dτ 0 K t, 0 из которого следует, что для получения равномерно ограниченной для всех t реакции, т. е. для обеспечения строгой устойчивости цепи должно выполняться условие абсолютной сходимости интеграла от импульсной характеристики: h(τ) dτ D . (17.28) 0 Найдѐм расположение полюсов, которое соответствует полученному условию. Для этого представим импульсную характеристику h(t) цепи как обратное L-изображение передаточной функции (17.15) путѐм разложения последней на сумму простых дробей (16.28): m L 1 H ( p) h(t ) k 1 Ak e p k t . (17.29) Подставим в интеграл (17.28) правую сумму (17.29) m 0 k 1 Ak e p k t dt (17.30) и проведѐм ряд несложных преобразований. Поскольку модуль суммы не превосходит суммы модулей, справедливо следующее неравенство: m k 1 Ak e p k t m k 1 Ak e p k t m k 1 Ak e p k t , которое проинтегрируем: m 0 k 1 Ak e p k t dt m 0k 1 Ak e p k t dt. Часть I. Глава 5 266 В правой части полученного неравенства поменяем местами знаки суммирования и интегрирования и оставим только знак равенства: m 0k 1 Ak e p k t dt m Ak k 1 e p k t dt. 0 Рассмотрим интеграл в правой части равенства, содержащий модуль экспоненты, при p*k = σk + jωk: e p k t dt 0 eσk t e jωk t dt. p k σ k jωk 0 e jωk t 1, Здесь, во-первых, во-вторых, первая экспонента под интегралом всегда неотрицательна, поэтому знак модуля можно опустить: eσ k t eσ k t . Остаѐтся исследовать сходимость интеграла при положительном и отрицательном показателе σk: σk t e dt 0 1 σk t e 0 σk при σ k 1 при σ k σk 0; интеграл раcходится; 0; интеграл cходится. Сходимость интеграла при σk < 0 означает, что для устойчивости передаточной функции (а потому и цепи), все полюсы p*k = σk + jωk должны иметь отрицательные действительные части σk < 0, т. е. лежать в левой p-полуплоскости, что и требовалось доказать. 17.4. Связь передаточной функции с частотными и временными характеристиками цепи Как было показано в лекции 10, для определения частотных характеристик АЧХ A(ω) и ФЧХ φ(ω) цепи необходимо знать комплексную частотную характеристику H(jω). Получить КЧХ из передаточной функции несложно: необхо- Лекция 17. Операторные передаточные функции 267 димо лишь в (17.10) заменить оператор p = σ + jω на jω, поскольку частотные характеристики являются непрерывными функциями только частоты: H ( p) Y ( p) X ( p) H ( jω) p jω Y ( jω) . X ( jω) (17.31) Отсюда имеем: H ( jω) Y ( jω) X ( jω) H ( jω) e j arg H ( jω) A(ω)e jυ (ω) , (17.32) где υ(ω) arctg Im H ( jω) . Re H ( jω) (17.33) Эквивалентное выражение для КЧХ получается из (17.31), если воспользоваться комплексными функциями числителя и знаменателя: H ( jω) Y ( jω) X ( jω) Y ( jω) e j argY ( jω) X ( jω) e j arg X ( jω) H ( jω) e j arg H ( jω) A(ω)e jυ (ω) , (17.34) где Y ( jω) , X ( jω) (17.35) arg Y ( jω) arg X ( jω). (17.36) A(ω) υ(ω) Вследствие того, что функция A(ω) H ( jω) является иррациональной, обычно при анализе и синтезе цепей используют квадрат АЧХ: A2 (ω) 2 H ( jω) . (17.37) Перечислим основные свойства передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей. 1. Передаточная функция является L-изображением импульсной характеристики. 2. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. 3. Полюсы устойчивой передаточной функции лежат в левой р-полуплоскости. Часть I. Глава 5 268 4. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей; при невыполнении этого свойства АЧХ на бесконечно больших частотах (ω → ) должна принимать бесконечно большое значение, поскольку числитель в этом случае растѐт быстрее знаменателя. 5. Частотные характеристики цепи вычисляются по передаточной функции при подстановке p = jω. 6. Квадрат АЧХ является чѐтной рациональной функцией переменной с вещественными коэффициентами: H(jω) 2 = H(–jω) 2 . 7. По передаточной функции можно изобразить схему цепи (это изучается в части II "Основы синтеза линейных электрических цепей"). Обобщѐнная схема связи передаточной функции с характеристиками и свойствами цепи представлена на рис. 17.6. g (t ) 0 G ( p) h(t )dt Схема цепи p G ( p) 1 H ( p) h(t ) p jω H ( jω) Полюсы 0 h(t ) dt D σk Устойчивость 0 H ( jω) A ω , arg H ( jω) ω Частотные характеристики Рис. 17.6. Связи передаточной функции с характеристиками и параметрами цепи L2 C2 1 R U вх Лекция 18 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 R Свободные колебания в пассивных электрических цепях Ранее уже отмечалось, что колебания в электрических цепях с реактивными элементами не могут заканчиваться сразу же после прекращения внешних воздействий на цепь, а продолжаются за счѐт энергии, запасѐнной в реактивных элементах к моменту прекращения воздействия. Воздействие может осуществляться независимыми источниками напряжения или тока. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Колебания в электрической цепи, происходящие после прекращения воздействия за счѐт энергии, накопленной в реактивных элементах, называются свободными колебаниями, а состояние цепи при этом называется режимом свободных колебаний. Понятно, что в пассивных электрических цепях вследствие необратимости преобразования электрической энергии в тепловую свободные колебания носят затухающий характер, поэтому режим свободных колебаний, в конечном счѐте, заканчивается режимом покоя. Это означает, что пассивные электрические цепи являются устойчивыми. Исследование процессов в электрических цепях может осуществляться как при нулевых, так и при ненулевых начальных условиях, когда значения токов в индуктивностях и напряжения на ѐмкостях в момент t = 0 отличны от нуля: i(0) ≠ 0, u(0) ≠ 0. Это значит, что ток в индуктивности и напряжение на ѐмкости определятся из соотношений: i (t ) 1t udt i (0) L0 (18.1) u(t ) 1t idt u (0). C0 (18.2) и Часть I. Глава 5 270 Тогда L-изображения рассматриваемых токов и напряжений (см. разд. 16.2.2), получают вид: I ( p) U ( p) pL U ( p) I ( p) pC i (0) , или U ( p) p pLI ( p) Li (0) (18.3) pCI ( p) Cu(0). (18.4) и u(0) , или I ( p) p Выражения (18.3) и (18.4) показывают, что ненулевым начальным условиям цепи (x(0) ≠ 0) относительно некоторого процесса x ( t ) соответствует L-изображение вида: x(0) x(0) . p (18.5) 18.1. Свободные колебания в электрических цепях с одним реактивным элементом Режим свободных колебаний в пассивной электрической цепи может рассматриваться как переходный, поскольку он завершается режимом покоя. Поэтому свободные колебания удобно изучать относительно момента t = 0 = t(0) коммутации (соединения) цепи с источником; до этого момента t = –0 = t(–0) цепь отключена от источника. 18.1.1. Свободные колебания в простейшей RC-цепи Пусть имеется цепь (рис. 18.1, а), ѐмкость которой до момента коммутации была подключена параллельно источнику E постоянного напряжения (момент t(–0)). В момент t(0) произошла коммутация и образовалась RC-цепь, напряжение на ѐмкости которой равно E. Задача 18.1. Определить закон изменения тока в цепи i(t) и напряжений на еѐ элементах uR(t) и uC(t) в режиме свободных колебаний. Лекция 18. Свободные колебания в пассивных электрических цепях 271 Решение. Поскольку напряжение на ѐмкости скачком измениться не может, в цепи в момент коммутации t(0) имеют место ненулевые начальные условия: E I0 , R при которых напряжение на ѐмкости равно напряжению источника, а ток в цепи имеет максимальное значение I0. uC (0) uC ( 0) t ( 0) E; i(0) I ( p) i (t ) t (0) E C C uC (t ) R uR (t ) E p аа R U R ( p) бб Рис. 18.1. RC-цепь: а) в момент коммутации t(0), б) операторная схема замещения Сначала найдѐм закон изменения тока в цепи при разряде ѐмкости от uC(0) = E до uC( ) = 0, для чего воспользуемся операторным методом, предварительно составив операторную схему замещения (рис. 18.1, б) рассматриваемой цепи при ненулевых начальных условиях. В этой схеме заряженная ѐмкость заменена операторной схемой замещения согласно (18.5). Теперь по закону Ома в операторной форме нетрудно найти операторный ток: I ( p) E ( p) . Z ( p) (18.6) Подставляя сюда L-изображение константы E ( p) E , p отражающей ненулевые начальные условия, и операторное сопротивление цепи Z ( p) R 1 , pC (18.7) Часть I. Глава 5 272 получаем выражение для операторного тока: I ( p) E p R E 1 pC E 1 , R p 1 RC 1 pC p R (18.8) которое представляет собой L-изображение взвешенной экспоненты вида (см. табл. 16.1, строка № 7) Ae-αt , где для нашего случая: E R A 1 . RC I0 , α Отсюда следует закон изменения тока в цепи: i(t ) E e R t RC t RC I 0e (18.9) . Зная ток в цепи, нетрудно вычислить напряжения на еѐ элементах. При выбранном направлении отсчѐта согласно второму закону Кирхгофа имеем: uC (t ) uR (t ) 0, поэтому напряжения на ѐмкости и резистивном элементе в любой момент t одинаковы и вычисляются по формуле: uC (t ) u R (t ) i (t ) R I 0 Re t RC Ee t RC . (18.10) Исследуем полученные временные зависимости (18.9) и (18.10). Для удобства перейдѐм к нормированным величинам тока iˆ(t ) и напряжения uˆ(t ) : iˆ(t ) i (t ) I0 e t RC ; uˆ (t ) uC (t ) E e t RC . Полученные нормированные величины одинаковы, что позволяет ввести обобщѐнную нормированную функцию, описывающую зависимость тока и напряжения от времени: yˆ(t ) e t τ , где τ = RC. График этой функции изображѐн на рис. 18.2. (18.11) Лекция 18. Свободные колебания в пассивных электрических цепях 273 Анализ полученных результатов. Из смысла функции (18.11) и еѐ графика видно, что ток в цепи и напряжения на ѐмкостном и резистивном элементах стремятся к нулю по экспоненциальному закону, в котором существенную роль играет постоянная RC. Эта величина имеет размерность времени, она называется постоянной времени RC-цепи τ = RC. (18.12) yˆ(t ) 1 0,368 0,135424 0 2τ τ t Рис. 18.2. График обобщѐнной нормированной функции Важно: постоянная времени (18.3) характеризует скорость изменения тока и напряжений в цепи и показывает, что на отрезке времени t t2 t1 , равном τ, физическая величина (ток или напряжение) изменяется в e t τ e t2 t1 τ t2 t1 τ 0,368 раз . Ясно, что длительность свободных колебаний бесконечна, поскольку физические величины достигают своих предельных значений только через бесконечное время. Однако на практике принято считать свободные колебания пренебрежимо малыми, когда физическая величина yˆ(t ) достигает уровня в диапазоне 0,05 ÷ 0,01 (или от 5 до 1 %). Определим временной диапазон процесса свободных колебаний tу, в течение которого достигаются указанные уровни тока и напряжения, для чего обратимся к неравенству tу 0,01 e τ 0,05. Часть I. Глава 5 274 Решение этого неравенства даѐт временной диапазон в пределах: tу τ ln(0,01 0,05) (4,6 3)τ, или в более привычной форме: tу (3 4,6)τ. (18.13) Вывод: всѐ вышесказанное говорит о том, что чем больше постоянная времени, тем дольше длительность свободных колебаний в цепи, т. е. тем медленнее затухают свободные колебания. 18.1.2. Свободные колебания в простейшей RL-цепи Подход к выводу закона свободных колебаний в RL-цепи подобен подходу, изложенному в предыдущем пункте. Рассмотрим цепь (рис. 18.3, а), которая до момента коммутации была подключена к источнику I 0 постоянного тока (момент t(–0)). В момент t(0) произошла коммутация и образовалась RL-цепь, в которой в момент t(0) имеют место ненулевые начальные условия: i(0) i( 0) t ( 0) I0 t (0) I 0. uR (t ) I ( p) R I0 LI 0 L аа uL (t ) R L U R ( p) бб Рис. 18.3. RL-цепь: а) в момент коммутации t(0), б) операторная схема замещения Задача 18.2. Определить закон изменения тока i(t) в LC-цепи и напряжений на еѐ элементах uR(t) и uL(t). Лекция 18. Свободные колебания в пассивных электрических цепях 275 Решение. Как и в предыдущем случае, составим операторную схему замещения цепи (рис. 18.3, б), где использована схема замещения индуктивности, начальное операторное напряжение на которой U ( p) pL I0 p LI 0 . Найдѐм операторный ток I ( p ) в цепи, являющийся реакцией цепи на операторное воздействие U ( p ) : I ( p) U ( p) Z ( p) LI 0 pL R I0 p R L . Отсюда согласно второму закону Кирхгофа в операторной форме U L ( p) U R ( p) 0 и закону Ома нетрудно получить операторные напряжения на индуктивности и резистивном элементе: U L ( p) U R ( p) RI 0 . R p L Как и в разд. 18.1.1, по таблице соответствий (см. табл. 16.1) получаем оригиналы: i (t ) uL (t ) I 0e t R t L I 0e τ ; uR (t ) RI 0e R t L t RI 0e τ , где τ L R постоянная времени, имеющая тот же физический смысл, что и в случае RCцепи. Следовательно, в режиме свободных колебаний ток и напряжения в RL-цепи затухают также по экспоненциальному закону, и, подобно RC-цепи, это затухание происходит тем медленнее, чем больше постоянная времени. Часть I. Глава 5 276 18.2. Переходные колебания в цепях с одним реактивным элементом В предыдущем пункте были определены законы изменения тока и напряжений в RC- и RL-цепях после отключения от цепи источника напряжения или тока. Оказалось, что токи и напряжения в этих цепях убывают до нуля по экспоненциальному закону. Переходные колебания (переходный процесс) рассматриваются при ступенчатом воздействии (см. разд. 15.1.1) на цепь тока или напряжения и нулевых начальных условиях. Тогда, согласно определению, получаем переходную характеристику. Поскольку в различных приложениях наиболее часто используется последовательная RC-цепь, а RL-цепь является дуальной относительно RC-цепи, будем рассматривать колебания в RC-цепи, закон изменения которых, как было показано, нетрудно распространить и на RL-цепь. Задача 18.3. К последовательной RC-цепи приложено ступенчатое воздействие напряжения u(t) = E. Найти законы изменения тока i(t) и напряжений на резистивном элементе uR(t) и ѐмкости uC(t) при нулевых начальных условиях (рис. 18.4). Важно: формулировка задачи означает, что требуется найти переходную характеристику цепи по току и напряжениям. Решение. В момент t = 0 включения источника напряжения в цепи согласно законам коммутации имеем: uR (0) E, i(0) i (t ) E и uC (0) 0 . R uR (t ) R E C uC (t ) Рис. 18.4. RC-цепь при ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях Лекция 18. Свободные колебания в пассивных электрических цепях 277 Определим операторный ток согласно закону Ома E ( p) . Z ( p) I ( p) (18.14) Подставим сюда операторное воздействие как L-изображение константы E ( p) E p и операторное сопротивление цепи Z ( p) R 1 , pC тогда получим выражение для операторного тока: I ( p) E p 1 pC R E E 1 , R p 1 RC 1 pC p R (18.15) представляющее собой L-изображение взвешенной экспоненты вида Aeαt , где для нашего случая E , α R A 1 . RC Отсюда следует закон изменения тока в цепи (рис. 18.5, а): i (t ) E e R t RC I 0e t RC (18.16) , ничем не отличающийся от (18.9). Напряжение на резистивном элементе (рис. 18.5, б) имеет вид: u R (t ) i (t ) R Ee t RC , (18.17) а напряжение на ѐмкости (рис. 18.5, б) согласно второму закону Кирхгофа изменяется в соответствии с формулой uC (t ) E u R (t ) E 1 e t RC . (18.18) Часть I. Глава 5 278 i (t ) u (t ) E E R uC (t ) uR (t ) 0, 632 E 0, 368E R 0 0, 368E t τ 2τ а 0 t τ 2τ tу а б б Рис. 18.5. Характер изменения: а) тока, б) напряжения на ѐмкости uC (t ) и резистивном элементе uR (t ) Выводы: из полученных зависимостей и рис. 18.5 видно, что:  ток в цепи и напряжение на резистивном элементе стремятся к нулю;  напряжение на ѐмкости возрастает, стремясь к величине приложенного напряжения E, причѐм при t = τ напряжение на ѐмкости равно 0,632E;  указанные изменения подчиняются экспоненциальному закону, где, как и прежде, существенную роль играет постоянная времени τ = RC;  чем больше постоянная времени, тем больше время tу установления со- стояния покоя, т. е. тем больше длительность переходного процесса;  согласно определению (см. разд. 15.4) выражения (18.16), (18.17) и (18.18) являются переходными характеристиками gi(t) по току в цепи, по напряжению на резистивном элементе и по напряжению на ѐмкости соответственно. Задача 18.4. Получить формулу (18.18) с использованием преобразования Лапласа. Решение. Операторное напряжение на ѐмкости UC ( p ) I ( p) ZC ( p) I ( p) pC после подстановки сюда (18.14) принимает вид: U C ( p) E 1 pCR p 1 RC E RC 1 p p RC A . p p α Лекция 18. Свободные колебания в пассивных электрических цепях 279 Из известного соответствия (табл. 16.1, строка № 14) A p p α A 1 e α αt при A E , α CR 1 RC немедленно получаем оригинал uC (t ) E 1 e t RC , полностью совпадающий с (18.18). З А МЕ Ч А Н И Е Полученные законы справедливы и для последовательной RL-цепи, имеющей постоянную времени τ L , что соответствует дуальности элементов ѐмкости R и индуктивности. Задача 18.5. Решить задачу 18.3 при ненулевых начальных условиях (рис. 18.6). Решение. Пусть в момент t = 0 ѐмкость, уже заряженная до некоторого напряжения uC(0), подключается к источнику ступенчатого воздействия (рис. 18.6, а). Новой схеме будет соответствовать операторная схема замещения последовательной RC-цепи (рис. 18.6, б). I ( p) R C E а а uC (0) R C E p U C ( p) uC (0) p б б Рис. 18.6. RC-цепь: а) в момент t = 0, б) операторная схема замещения Часть I. Глава 5 280 Согласно этой модели операторное напряжение на ѐмкости имеет вид: uC (0) , p I ( p) pC U C ( p) (18.19) а операторный ток в цепи определяется выражением: I ( p) uC (0) p 1 R pC E p E uC (0) 1 p R pC E uC (0) , 1 R p RC (18.20) из которого, подобно (18.8), получаем оригинал: i (t ) E uC (0) e R t RC (18.21) , определяющий закон изменения тока в цепи. Напряжение на резистивном элементе изменяется по экспоненциальному закону uR ( t ) Ri (t ) E uC (0) e t RC (18.22) . Найдѐм операторное напряжение на ѐмкости, подставив (18.20) в (18.19): UC ( p) E uC (0) 1 pRC p RC uC (0) RC p E RCp p uC (0) p 1 RC pRC p E uC (0) uC (0) RC p pRC p 1 RC 1 RC 1 1 RC E RCp p 1 RC 1 RC uC (0) . 1 p RC Для вычисления оригинала воспользуемся свойством линейности L-преобразования и соответствиями (см. табл. 16.1, строки № 7 и 14): A p p α A 1 e α αt и A p α Aeαt ; Лекция 18. Свободные колебания в пассивных электрических цепях 281 тогда получим закон изменения напряжения на ѐмкости при ненулевых начальных условиях: uC (t ) E 1 e t τ uC (0)e t τ E uC (0) E e t τ, (18.23) где τ = RC. Из выражений (18.21) и (18.23) следует:  при uC (0) < E напряжение на ѐмкости возрастает от uC(0) до E при t →  при uC (0) > E напряжение на ѐмкости убывает от uC(0) до E при t → . ; L2 C2 1 R U вх Лекция 19 L1 1 Z вх 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 R Переходные процессы в колебательных контурах В современных системах телекоммуникации, построенных на принципах цифровой обработки сигналов, сообщения представляются в виде последовательностей одно- или двухполярных импульсов напряжения или тока. Формы импульсов могут быть различными. Здесь рассматриваются только прямоугольные импульсы. Одиночный прямоугольный импульс с фиксированными длительностью tв и амплитудой E называется видеоимпульсом (рис. 19.1, а). Импульсы в последовательности могут иметь как строго определѐнную длительность, так и переменную, обычно кратную длительности одного видеоимпульса tи = k·tв (рис. 19.1, б). e(t ) e(t ) E E u (t ) E 0 tв а t 0 tи t tв 2tи б T t 0 E tи в б в а Рис. 19.1. Импульсные воздействия: а) видеоимпульс, б) последовательность импульсов, в) радиоимпульс — отрезок гармонического колебания длительностью tи Однако в канал связи собственно импульсы, за редким исключением, не передаются. Они заменяются отрезками гармонического колебания (рис. 19.1, в) длительностью tи; период гармонического колебания T на отрезке всегда Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах 283 существенно меньше наименьшей длительности импульса T << tи min = tв; такие импульсы называют радиоимпульсами, а отрезок гармонического колебания часто называют высокочастотным заполнением. 19.1. Свободные колебания в RC-цепи при воздействии видеоимпульса Задача 19.1. Определить закон изменения напряжения на ѐмкости в RC-цепи при воздействии видеоимпульса (рис. 19.2) при нулевых начальных условиях. Решение. Реакцию на видеоимпульс можно определить, воспользовавшись принципом суперпозиции, а именно: представить видеоимпульс E при 0 t e( t ) 0 при t tи , tи как сумму двух ступенчатых воздействий одинаковых амплитуд E, одно из которых задержано на tи (рис. 19.2, а—в): e(t ) e1(t ) e2 (t ) , где e1 (t ) E при t 0, 0 при t 0, e2 (t ) e1 (t tи ) E при t tи , 0 при t tи . Тогда в силу линейности цепи реакция uС(t) на сумму воздействий будет равна сумме реакций на каждое из воздействий (рис. 19.2, г—е): uС(t) = u1С(t) + u2С(t), где согласно (18.3) имеем: u1C (t ) E 1 e t τ 0, u2C (t ) E 1 e 0, ,t 0; t 0; t tи τ ,t t tи ; tи , Часть I. Глава 5 284 e1 (t ) u1C (t ) E E 0 e2 (t ) 0 tи E t а б E а u2C (t ) 0 вв б 0 t а дд б а E t t гг uC (t ) в tи 0 E бб e(t ) 0 t аа в tи t ее б Рис. 19.2. Воздействие прямоугольного импульса: а) ступенчатое воздействие, б) задержанное наа tи ступенчатое воздействие, в) прямоугольный импульс а как сумма двух воздействий, г) реакция на ступенчатое воздействие, в воздействие, е) реакция на прямоугольный в д) реакция на задержанное импульс как сумма двух реакций б б а реакция запишется как сумма полученных колебаний: E 1 e t τ E 1 e t τ uC (t ) в , 0 t E 1 tи ; t tи e τ в E 1 e tи τ t tи e τ , (19.1) t tи . Полученные выражения и рисунок показывают, что за время переходного процесса, ограниченное длительностью видеоимпульса tи , ѐмкость может не успеть зарядиться до значения E, а по окончании воздействия видеоимпульса происходит процесс разряда ѐмкости. При этом чем больше постоянная времени τ = RC, тем длительнее оказываются переходные процессы заряда и разряда ѐмкости, т. е. тем медленнее заряжается ѐмкость и тем меньшим оказывается напряжение заряда uС(t0) к моменту окончания воздействия видеоимпульса. Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах 285 Посмотрим, к чему может привести такое явление при передаче по системе связи не одного, а последовательности импульсов (рис. 19.3, а), что имеет место в действительности. Если очередной импульс будет передаваться прежде, чем завершится разряд ѐмкости1, произойдѐт перекрытие, или наложение двух переходных процессов. В результате разряд ѐмкости прекратится, и еѐ заряд начнѐтся не с нуля, а с некоторого напряжения, достигнутого на ѐмкости к этому моменту (рис. 19.3, б), т. е. последует частичное перекрытие соседних импульсов во времени, которое приведѐт к искажению передаваемых и принимаемых импульсов. Причѐм от импульса к импульсу искажения будут нарастать. Искажения такого рода называются межсимвольной интерференцией. Рассмотренное перекрытие соседних импульсов является наиболее простым примером межсимвольной интерференции. Борьба с межсимвольной интерференцией является весьма сложной и актуальной задачей. e(t ) E аа 0 t tи а uC (t ) E бб 0 tи uC (t ) t б а tи E 0 τ в в в б τ tи tи t а в Рис. 19.3. Воздействие последовательности прямоугольных импульсов: а) последовательность из двух импульсов, б б) реакция при τ > tи; ярко выраженная межсимвольная интерференция, в) реакция при τ < tи; межсимвольная интерференция отсутствует 1 в Разряд считается завершѐнным, если напряжение на ѐмкости не превышает 0,01 амплитуды E. Часть I. Глава 5 286 Наиболее остро эта задача стоит перед разработчиками средств современной беспроводной связи, которые весьма широко используются в офисных и домашних сетях передачи информации, в интерфейсах "ноутбук — настольный компьютер", для обеспечения беспроводного доступа в Интернет, для организации сотовой связи. Скорость передачи данных в таких сетях исчисляется в десятках и сотнях гигагерц и имеет тенденцию к дальнейшему еѐ росту. Для передачи последовательности импульсов с такими скоростями без искажений требуется ряд условий, которые предъявляются к конкретным системам связи и которые изучаются в других дисциплинах. Добиться исключения межсимвольной интерференции на этапе формирования первичных импульсов и ускорить процесс разряда ѐмкости можно, если потребовать, чтобы постоянная времени была не больше длительности видеоимпульса (рис. 19.3, в): τ < tи. (19.2) 19.2. Свободные колебания в параллельном контуре без потерь Параллельные и последовательные колебательные контуры являются основой избирательных фильтров, амплитудных и фазовых корректоров и входят в состав полосовых усилителей. Свойства перечисленных устройств зависят от свойств колебательных контуров, которые изучим при различных воздействиях. Задача 19.2. Пусть до момента t = 0 размыкания ключа цепь находилась в режиме постоянного тока: через индуктивность протекал постоянный ток iL(t) = I0, а напряжение на ѐмкости равнялось нулю. Следовательно, в момент коммутации начальные условия не являются нулевыми и описываются равенствами: iL(+0) = iL(–0) = I0; uC(+0) = uC(–0) = 0. Найти законы изменения тока в контуре i(t) и напряжения на контуре u(t). Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах 287 i (t ) iC iL L I0 C I0 p u (t ) L C аа I ( p) Рис. 19.4. Параллельный а колебательный контур без потерь: а) в момент коммутации; б) операторная схема замещения U ( p) бб а Решение. Для исследования процессов, происходящих в контуре после коммутации, воспользуемся операторным методом и запишем изображение б б напряжения на контуре: U ( p) I0 p pC в I0 1 pL C p 2 I0 1 CL C p 2 ω02 , в (19.3) где ω02 1 . CL Умножая числитель и знаменатель (19.3) на ω0, получаем табличную функцию U ( p) I0 ω0 , 2 ω0C p ω02 которой соответствует оригинал (см. табл. 16.1, строка № 10): u (t ) I0 sin ω0t . ω0C (19.4) Для определения закона изменения тока в контуре воспользуемся законом Ома в операторной форме I ( p) pCU ( p) I0 p , p ω02 2 которой соответствует оригинал (см. табл. 16.1 строка № 11): i(t ) I0 cosω0t . (19.5) Часть I. Глава 5 288 u (t ) i (t ) I0 Um t 0 аа Um t 0 бб I0 а а Рис. 19.5. Колебания в контуре без потерь: а) напряжения, б) тока в ѐмкости Графики временной зависимости напряжения и тока в контуре без потерь представлены на рис. 19.5. б б Заметим, что выражение (19.3) является изображением решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, которое описывает процесс свободных колебаний в контуре: в в d 2u LC 2 dt u 0. Его характеристическое уравнение 1 CL p2 0 совпадает с характеристическим уравнением выражения (19.3) и имеет пару комплексно сопряжѐнных мнимых корней p1,2 j 1 LC jω0 , располагающихся на мнимой оси p-плоскости симметрично относительно начала координат (рис. 19.6). jω p-плоскость jω 0 полюсы σ 0 jω 0 Рис. 19.6. Расположение полюсов на p-плоскости Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах 289 Анализ полученных решений приводит к следующим выводам:  свободные колебания тока в контуре без потерь и напряжения на его элементах являются отрезками незатухающих гармонических колебаний;  круговая частота колебаний ω0, называемая частотой колебаний контура, определяется только параметрами контура L и C и не зависит от начальных условий;  начальные условия определяют амплитуды колебаний тока i(t) и напряже- ния u(t);  отношение амплитуд колебаний напряжения и тока в контуре равно его волновому, или характеристическому сопротивлению ρ Um I0 ω0 L 1 ω0C L C и не зависит от начальных условий;  начальные фазы колебаний тока i(t) и напряжения u(t) различны и в общем случае зависят от начальных условий. 19.3. Свободные колебания в последовательном RLC-контуре Незатухающий характер колебаний в рассмотренном идеальном LC-контуре объясняется отсутствием потерь (т. е. активной проводимости G); в этом случае свободные колебания представляют собой периодический процесс перехода энергии из одного вида в другой: из магнитной в электрическую и обратно. Любой реальный контур содержит не идеальные конденсаторы и катушки индуктивности, что приводит к потерям энергии за счѐт еѐ рассеяния (см. разд. 3.3). Наличием потерь обусловлен затухающий характер свободных колебаний, что показывается ниже на примере последовательного колебательного RLC-контура, т. е. контура с потерями, что отражается введением резистивного элемента. Задача 19.3. Пусть в момент коммутации t(0) к последовательной RL-цепи (рис. 19.7, а) подключена заряженная ѐмкость uC(0) = E. Найти закон изменения тока i(t) в последовательном колебательном RLC-контуре. Часть I. Глава 5 290 t ( 0) i (t ) t ( 0) E C uL (t ) I ( p) L U L ( p) L C uC (t ) uR (t ) R E p аа R U R ( p) б Рис. 19.7. Последовательный RLC-контур: а) до и после коммутации, а схема замещения а б) операторная Решение. До коммутации напряжение на ѐмкости было равно E, а ток в индуктивности равнялся нулю. По закону коммутации в образовавшемся RLCб б контуре имеем: iL(+0) = iL(–0) = 0; uC(+0) = uC(–0) = E. Воспользуемся операторной схемой замещения анализируемого контура, для в в чего, как и в задаче 18.1, представим операторную схему замещения заряженной ѐмкости в виде последовательно соединѐнных источника напряжеE ния и незаряженной ѐмкости C. p Согласно закону Ома в операторной форме (рис. 19.7, б) изображение реакции (тока) имеет вид: I ( p) E p pL R 1 pC p 2 E L R p L 1 LC p2 E L , 2δp ω02 (19.6) где:  δ R — коэффициент затухания контура; 2L  ω0 терь. 1 — круговая частота собственных колебаний контура без поLC Для оценки характера свободных колебаний обратимся к характеристическому уравнению рассматриваемой цепи, которое получается приравниванием знаменателя (19.6) нулю: p2 2δp ω02 0, (19.7) Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах 291 и изучим корни этого уравнения p δ2 δ 1,2 ω02 , (19.8) которые являются полюсами функции (19.6). Поскольку коэффициенты характеристического уравнения вещественны (вследствие вещественности значений параметров R, L и C), его корни (полюсы p*1,2 функции (19.6)) согласно основной теореме алгебры могут быть либо вещественными, либо составлять комплексно-сопряжѐнную пару. Рассмотрим три возможных случая: 1. Корни (полюсы) комплексно-сопряжѐнные: p δ 1,2 jω1 , где ω02 δ2 . ω1 (19.9) Расположение таких корней на p-плоскости показано на рис. 19.8, а. Такие корни могут быть лишь при условии выполнения неравенства δ R 2L ω0 1 , LC или, что то же самое, при R jω 2 L C 2ρ. jω jω jω1 δ δ 0 jω1 аа p1 p2 δ δ 0 δ бб δ2 δ1 δ 0 вв Рис. 19.8. Расположение корней характеристического уравнения: а) комплексно- а а а сопряжѐнных, б) вещественных кратных, в) вещественных различных б б в б в в Часть I. Глава 5 292 Исходя из таблицы соответствий (см. табл. 16.1, строка № 12) p2 A a1 p a0 a1 t 2 sin ωt; A e ω ω a0 a12 , 4 согласно (19.6) получаем формулу для тока в контуре: E e ω1L i (t ) δt sin ω1t. (19.10) Из последнего выражения видно, что амплитуда колебаний является функцией времени и убывает по экспоненциальному закону e δt . Такой режим свободных колебаний называется режимом затухающих гармонических колебаний (рис. 19.9, а). Скорость убывания амплитуды колебаний зависит от величины коэффициента затухания δ, характеризующего потери в контуре. Частота ω1 ω02 δ2 ω0 1 δ2 ω02 (19.11) называется частотой собственных затухающих колебаний контура. Она меньше частоты собственных незатухающих колебаний ω0 и зависит от значений всех элементов контура, а не только от значений реактивных элементов. Период затухающих колебаний равен T 2π ω0 1 ω02 δ2 δ2 ω0 2π . ω1 (19.12) Назовѐм добротностью контура отношение сопротивления элемента индуктивности к сопротивлению резистивного элемента Q ω0 L , R тогда коэффициент затухания примет вид: δ R 2L ω0 , 2Q откуда следует, что колебания в контуре убывают тем медленнее, чем выше добротность контура. Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах it() it() it() аа а t 0 293 бб вв а 0 t 0 а t T б б б Рис. 19.9. Режимы свободных колебаний: а) затухающих гармонических колебаний, б) критический, в) апериодический в в в Поскольку частота собственных затухающих колебаний контура (19.9), выраженная через добротность, записывается в виде: ω1 δ2 ω0 ω0 1 ω0 1 1 , 4Q 2 то колебательному режиму в контуре соответствуют значения добротности Q > 0,5; причѐм чем больше добротность, тем ближе друг к другу частоты ω1 и ω0, а при Q → имеет место ω1 → ω0. Как говорилось ранее (см. задачу 19.1), процесс свободных колебаний считается оконченным, если амплитуда колебаний становится равной 0,005 0,01 от первоначального значения. Следовательно, длительность свободных колебаний в контуре согласно (19.10) может быть принятой в пределах: 3 4,6 tk . δ 2. Корни характеристического уравнения вещественные кратные. Если два корня (полюса) равны друг другу (p*1 = p*2), то такие корни называются кратными. В данном случае кратные вещественные корни (полюсы) являются отрицательными и равны p 1,2 δ. Расположение кратных вещественных корней на p-плоскости показано на рис. 19.8, б. Такие корни согласно (19.8) возможны только при равенстве ω0 = δ, т. е. когда R 2 L . C Часть I. Глава 5 294 Это — предельный случай колебательного режима, когда частота собственных затухающих колебаний равна нулю: ω02 δ2 ω1 0, чему соответствует бесконечно большой период колебаний T → ω. Ток в этом случае имеет вид E δt te . L Такой режим свободных колебаний (рис. 19.9, б) называют критическим. 3. Корни вещественные и различные. Вещественные различные корни можно представить выражением i (t ) p δ β 1,2 при условии вещественности δ2 ω02 β δ, т. е. при δ > ω0. В свою очередь, это означает, что корни являются отрицательными. Расположение корней p*1 и p*2 показано на рис. 19.8, в. Следовательно, первичные параметры контура должны удовлетворять неравенству: R L C 2 2ρ. Найдѐм ток в контуре, для чего преобразуем выражение (19.6) I ( p) E 1 2 L p 2δp ω02 E L (p 1 p*1 )( p p*2 ) . Представим дробь в виде суммы простых дробей (p 1 p*1 )( p p*2 ) A1 ( p p*1 ) A2 ( p p*2 ) и определим неизвестные коэффициенты разложения A1 и A2: (p 1 p*1 )( p p*2 ) A1 ( p p*1 ) A2 ( p p*2 ) A1 p*2 A2 p*1 ( p p*1 )( p A1 A2 p . p*2 ) Для равенства левой и правой дробей необходимо, чтобы их числители были равными, поэтому записываем систему уравнений: A1 p*2 A1 A2 A2 p*1 0, 1; Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах 295 из которой нетрудно получить значения искомых коэффициентов: 1 , 2β A1 1 . 2β A2 Подставим найденные коэффициенты разложения в формулу операторного тока: I ( p) E L (p 1 p*1 )( p A1 E L ( p p*1 ) p*2 ) E 1 2 Lβ ( p p*1 ) A2 ( p p*2 ) 1 . ( p p*2 ) Для получения формулы протекающего в контуре тока i(t) воспользуемся свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей соответствий (см. табл. 16.1, строка № 7): i (t ) E e p 1t 2 Lβ E p 1t e 2 Lβ e p 2t E p 2t e , 2 Lβ откуда следует, что ток в цепи представляет собой алгебраическую сумму двух экспоненциальных функций, абсолютные значения которых убывают во времени, поскольку корни отрицательны: p*1 < 0 и p*2 < 0. Этот режим (рис. 19.9, в) называется апериодическим. 19.4. Колебания в последовательном RLC-контуре при воздействии в виде отрезка гармонического колебания Задача 19.4. Пусть при нулевых начальных условиях на последовательный RLCконтур, имеющий резонансную частоту ω0, действует отрезок гармонического колебания e(t) с той же частотой ω0: e( t ) t 0, 0; Em sin ω0t , t 0. Найти закон изменения тока в контуре. Решение. Запишем ток в операторной форме согласно закону Ома: I ( p) E ( p) Z ( p) Часть I. Глава 5 296 и подставим сюда изображение воздействия Em p p ω02 E ( p) 2 и операторное сопротивление контура Z ( p) pL R L 2 p 2δp ω02 , p 1 pC где:  δ  ω0 R — коэффициент затухания контура, 2L 1 — резонансная частота. LC В результате получаем сложную функцию Em I ( p) L p2 p 2 ω02 p2 2δp ω02 , (19.13) не имеющую табличного соответствия. Для определения оригинала представим (19.13) в виде суммы простых дробей: I ( p) Ap B p2 ω02 Cp D . p 2δp ω02 (19.14) 2 Коэффициенты A, B, C, D определим методом неопределѐнных коэффициентов, как это было сделано в разд. 19.3.3, для чего приведѐм дроби (19.14) к общему знаменателю и приравняем числители новой дроби числителю (19.13). После этих несложных преобразований получаем равенство Em 2 p L Ap B p2 2δp ω02 Cp D p 2 ω02 , которое, как нетрудно видеть, справедливо при следующих соотношениях между коэффициентами: A C 0; 2δA B D Em ; L ω02 A 2δB ω0C ; B D 0. Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах 297 Решение этой системы линейных уравнений даѐт: A Em 2δL Em , C R Em , B R A D 0. Подставляя коэффициенты в (19.14), имеем: I ( p) Em R p p 2 ω02 p 2 p . 2δp ω02 Оригиналы для дробей, стоящих в скобках, известны (см. табл. 16.1), и можно сразу записать выражение для тока: i (t ) Em cosω0t e R δt cosω1t δ sin ω1t ω1 , (19.15) где ω1 ω02 δ2 — частота собственных затухающих колебаний контура с по- терями. Выражение для тока (19.15) существенно упрощается, если учесть, что на практике применяются контуры высокой добротности Q >> 1, для которых δ ω0 и ω1 ω0 . При этих условиях выражение для тока принимает вид: i (t ) Em 1 e R δt cosω0t. (19.16) Функция (19.16) описывает колебание (рис. 19.10), которое отличается от гармонического воздействия тем, что его амплитуда возрастает по экспоненциальному закону, стремясь к значению Im Em , R которое принято называть установившимся. Из (19.16) следует, что нарастание амплитуды тока происходит тем быстрее, чем больше коэффициент затухания контура . Напомним, что процесс установления колебаний в контуре происходит за время tу 3 4,6 . δ Часть I. Глава 5 298 i (t ) Em R t 0 Em R Время установления tу Рис. 19.10. Установление колебаний в последовательном колебательном контуре Найдѐм связь между длительностью переходного процесса t у и шириной полосы пропускания контура, для чего подставим в формулу для t y значение tу 3 4,6 2 L R 3 4,6 δ 3 4,6 2ω0 L 2πf 0 R : 1 1,5 , f1 f 1 откуда полагают, что tу 1 f1 f 1 1 . F (19.17) Выводы:  чем выше добротность контура, т. е. чем ýже его полоса пропускания, тем больше длительность переходного процесса, а это, в свою очередь, приводит к большим искажениям формы передаваемого сигнала;  произведение полосы пропускания контура на длительность переход- ного процесса в контуре согласно (19.17) приближѐнно равно единице tу F 1 ; это справедливо и для более сложных избирательных цепей. 19.5. Прохождение радиоимпульса через колебательный контур Пусть на контур воздействует радиоимпульс длительности tи и частотой, равной резонансной частоте контура (рис. 19.11, а): u(t ) 0, t Em cosω0t , 0 t 0; tи . Лекция 19. Переходные процессы в колебательных контурах 299 Реакцию контура на радиоимпульс можно найти на основании принципа суперпозиции с учѐтом полученного в разд. 19.4 решения (19.16). u (t ) Em 0 t tи Em а а а u (t ) t 0 б б б а u (t ) 0 tи u (t ) 0 2tи t вв б t tу вв гв г а tи tу Рис. 19.11. Реакция контура на радиоимпульс: а) радиоимпульс, б) реакция при tи < tу, в) реакция при tи = tу, г) реакция б при tи > tу В зависимости от полосы пропускания контура, т. е. от величины коэффициента затухания контура , возможны три типичных случая в (рис. 19.11): 1. Длительность радиоимпульса меньше времени установления колебаний: tи < tу, т. е. полоса пропускания контура достаточно узкая (рис. 19.11, б); импульс значительно искажается, поскольку к моменту окончания воздействия колебания в контуре не являются установившимися. 2. Длительность радиоимпульса равна времени установления колебаний — полоса пропускания контура оптимальная (рис. 19.11, в), выполняется 300 Часть I. Глава 5 соотношение (19.17). В этом случае колебания в контуре могут считаться установившимися к моменту окончания воздействия. Такое же время tу потребуется на затухание колебаний в контуре до величины, равной 1 5% от установившегося значения. Следовательно, через время t = 2tу с момента начала воздействия контур будет готов к приѐму очередного радиоимпульса. 3. Длительность радиоимпульса больше времени установления колебаний: tи > tу; в этом случае установление колебаний и затухание происходят быстрее (рис. 19.11, г), поэтому очередной радиоимпульс может быть подан на колебательный контур через время t = tи + tу. L2 C2 1 R U вх L1 1 Z вх R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Глава 6 Основы теории линейных четырѐхполюсников Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников Лекция 22. Внешние характеристики четырѐхполюсников L2 C2 1 R U вх Лекция 20 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Системы собственных параметров четырѐхполюсников Среди многополюсников (см. лекцию 1) особое место в теории цепей принадлежит четырѐхполюсникам. К ним относятся: трансформаторы, усилители, электрические фильтры, линии связи, амплитудные и фазовые корректоры и другие устройства. Все они, несмотря на принципиальные схемные различия и специальное назначение, обладают рядом существенных общих свойств. Обычно схема четырѐхполюсника и параметры составляющих его элементов известны. Однако теория четырѐхполюсников позволяет проанализировать свойства той или иной цепи и получить схему еѐ замещения даже в случае, когда внутренняя структура исследуемого устройства неизвестна, т. е. когда четырѐхполюсник представляет собой так называемый "чѐрный ящик". Кроме того, методы теории четырѐхполюсников применяются в задачах их синтеза. 20.1. Определение и классификация четырѐхполюсников ОПРЕДЕЛЕНИЕ Четырѐхполюсником (рис. 20.1) называется электрическая цепь произвольной сложности, которая может быть соединена с внешними по отношению к ней цепями через две пары зажимов (полюсов1). Четырѐхполюсник используется для передачи электрических колебаний (сигналов) от источника колебаний к нагрузке (приѐмнику), в связи с чем в четырѐхполюснике выделяют вход и выход. Соответственно зажимы (полюсы), 1 Не путать с полюсами передаточной функции. Часть I. Глава 6 304 к которым подключается источник колебаний, называются входными, а зажимы, к которым подключается нагрузка, называются выходными2. Выходные зажимы Входные зажимы 1 Источник колебаний I2 2 I1 Четырѐхполюсник U1 I1 1 Вход Z вх U2 Zн Нагрузка I2 2 Выход Рис. 20.1. К определению четырѐхполюсника Четырѐхполюсник включается между источником колебаний и нагрузкой строго определѐнным образом, как показано на рис. 20.1, а именно: через каждую пару его зажимов (1—1' и 2—2') должны проходить попарно равные и противоположно направленные токи ( I1 I 2 ). Такая система I1 и I 2 отсчѐтов называется симметричной и, как будет ясно из дальнейшего, наиболее удобна для большинства форм уравнений передачи четырѐхполюсника. Четырѐхполюсники подразделяют на следующие классы (рис. 20.2):  линейные и нелинейные; линейные четырѐхполюсники не содержат нели- нейных элементов, напряжения и токи на выходе линейного четырѐхполюсника линейно зависят от напряжений и токов на его входе; линейные четырѐхполюсники описываются линейными операторами, а нелинейные — нелинейными операторами;  по наличию источников электроэнергии: пассивные, которые не содержат источников электроэнергии, и активные, содержащие источники; в свою очередь, среди активных четырѐхполюсников выделяют неавтономные, содержащие только зависимые источники (например, усилители), и автономные, которые содержат независимые (т. е. неуправляемые) источники;  по характеру элементов, входящих в состав четырѐхполюсника: с сосре- доточенными элементами (активного сопротивления, индуктивности, ѐмкости) и распределѐнными элементами, или параметрами (например, длинные линии); 2 В литературе такие четырѐхполюсники иногда называют 2х2-полюсниками или проходными четырѐхполюсниками. Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников Четырѐхполюсники Линейные (описываются линейными операторами) Нелинейные (описываются нелинейными операторами) Пассивные (не содержат источников электрической энергии) Активные (содержат источники электрической энергии) Неавтономные (содержат управляемые источники) С сосредоточенными элементами С распределѐнными элементами Несимметричные Симметричные Неуравновешенные Автономные (содержат неуправляемые источники) Уравновешенные Структуры четырѐхполюсников Лестничные Г-образные П-образные Мостовые Т-образные Перекрытые Т-образные Рис. 20.2. Классификация четырѐхполюсников 305 Часть I. Глава 6 306  по виду схемы выделяют симметричные и несимметричные четырѐхпо- люсники; в симметричном четырѐхполюснике с помощью электрических измерений невозможно обнаружить различий между входными и выходными зажимами;  уравновешенные и неуравновешенные: уравновешенные четырѐхполюсни- ки имеют симметрию относительно продольной оси (рис. 20.3, а); в неуравновешенном четырѐхполюснике (рис. 20.3, б) один из зажимов одной пары соединяется с зажимом другой пары — в результате образуется трѐхполюсник, используемый в четырѐхполюсном режиме; Z1 Z3 I1 Ось симметрии Z2 Z1 а I2 Z3 б а б Рис. 20.3. Четырѐхполюсники: а) уравновешенный, б) неуравновешенный Z1 Z1 Z2 а а Z2 Z3 Z2 Z1 бб Z4 Z1 вв Z1 Z3 Z2 гг Z3 Z2 Z2 Z1 дд Рис. 20.4. Структуры четырѐхполюсников: а) Г-образная, б) Т-образная, в) П-образная, г) Т-образная перекрытая, д) мостовая Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников 307  по структуре четырѐхполюсники подразделяют на лестничные: Г-образные (рис. 20.4, а), Т-образные (рис. 20.4, б), П-образные (рис. 20.4, в), а также Т-образные перекрытые (рис. 20.4, г) и мостовые (рис. 20.4, д); З А МЕ Ч А Н И Е Четырѐхполюсники, изображѐнные на рис. 20.4, б, в, г, могут стать симметричными при условии соблюдения равенства Z1 = Z3.  взаимные и невзаимные; взаимными являются четырѐхполюсники, для которых справедлива теорема взаимности (см. разд. 6.1); согласно этой теореме отношение входного напряжения к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов. В дальнейшем изучаются основы общей теории линейных неавтономных четырѐхполюсников при условии, что в цепи действуют гармонические колебания. При анализе свойств цепей будет использоваться как частотный метод, так и метод преобразования Лапласа. 20.2. Уравнения передачи четырѐхполюсника Свойства четырѐхполюсника (рис. 20.1) как системы передачи энергии полностью определяются соотношениями между напряжениями на его входе и выходе (U1, U 2 ) и токами ( I1, I 2 ) , протекающими через входные и выходные зажимы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Соотношения, которые связывают комплексные амплитуды токов и напряжений (или их L-изображения) на двух парах зажимов, называются уравнениями передачи четырѐхполюсника. Для составления уравнений передачи необходимо выбрать положительные направления отсчѐта токов на внешних зажимах. В зависимости от поставленной задачи применяются три варианта отсчѐтов положительного направления токов (рис. 20.5):  симметричный (рис. 20.5, а),  несимметричный (рис. 20.5, б),  несимметричный обратный (рис. 20.5, в), из которых наиболее часто используется симметричный вариант. Часть I. Глава 6 308 1 I1 I2 U1 U2 1 2 I1 I2 U1 U2 1 2 1 2 I1 2 U2 1 2 б а I2 U1 2 а 1 в б Рис. 20.5. Варианты отсчѐта положительного направления тока:ва) симметричный, б) несимметричный, в) несимметричный обратный Уравнения передачи связывают две из четырѐх величин U1, U2 , I1, I 2 с двумя заданными, поэтому число возможных форм уравнений передачи определяется числом сочетаний C 42 из четырѐх элементов по два и, следовательно, равно шести: Cmn m! n !( m n )! m 4 n 2 C42 4! 2!2! 6. В качестве примера решим задачу. Задача 20.1. Записать уравнения передачи, устанавливающие связь между парой токов I1, I 2 и парой напряжений U1 , U 2 четырѐхполюсника при условии, что напряжения известны, т. е. представляют собой воздействия. Решение. Согласно условию задачи токи можно рассматривать как реакции на воздействия. Направление отсчѐта токов выберем симметричным (рис. 20.5, а). Поскольку четырѐхполюсник линеен, каждый из рассматриваемых токов I1, I 2 согласно свойству аддитивности (принципу наложения) можно записать в виде суммы двух составляющих токов (рис. 20.6): токов I1, I 2 как реакций на воздействие напряжения U1 и токов I1, I 2 как реакций на воздействие напряжения U 2 . Воздействия U1 U2 I1 I1 I1 I2 I2 I2 Реакции на воздействия Рис. 20.6. Запись токов в виде суммы двух составляющих Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников 309 Эти реакции связаны с воздействием по линейному закону: I1 Y11U1; I 2 Y21U1; I1 Y12U 2 ; I 2 Y22U 2 . (20.1) Подставляя соотношения (20.1) в уравнения рис. 20.6, получаем так называемую Y-форму уравнений передачи четырѐхполюсника: I1 Y11U1 Y12U 2 ; I2 Y21U1 Y22U 2 . (20.2) Полученная система уравнений является решением поставленной задачи. Часто уравнения передачи четырѐхполюсника записывают в матричном виде. Тогда из (20.2) получим: I1 Y11 Y12 U1 I2 Y21 Y22 U2 . (20.3) Здесь коэффициенты Y11, Y21, Y12, Y22 имеют размерность проводимости и называются Y-параметрами, или параметрами проводимости четырѐхполюсника. Аналогично (20.2) можно получить ещѐ пять форм уравнений передачи с соответствующими параметрами: U1 Z11I1 Z12 I 2 ; U2 Z 21I1 Z 22 I 2 ; U1 H11I1 H12U 2 ; I2 H 21I1 H 22U 2 ; I1 F11U1 F12 I 2 ; U2 F21U1 F22 I 2 ; U1 A11U 2 A12 I 2 ; I1 A21U 2 A22 I 2 ; U2 B11U1 B12 I1; I2 B21U1 B22 I1. (20.4) (20.5) (20.6) (20.7) (20.8) Для форм (20.4)—(20.6) применяется симметричная система отсчѐтов токов (рис. 20.5, а), для формы (20.7) — несимметричная (см. рис. 20.5, б), для формы (20.8) — несимметричная обратная (см. рис. 20.5, в). Часть I. Глава 6 310 Уравнения передачи в форме (20.7) можно записать и при симметричной системе отсчѐтов, но тогда вторые слагаемые уравнений необходимо взять с обратным знаком. Что касается формы (20.8), то еѐ можно получить, решив систему (20.7) относительно U 2 и I 2 : U1 A12 U2 1 A11 U1 I1 A22 ; I2 A11 A12 A21 A22 2 A21 I1 . A11 A12 A21 A22 Отсюда получаем: U2 I2 A22 U1 A A21 U1 A A12 I1 ; A A11 I1 , A (20.9) где A A11 A22 A12 A21 является определителем системы (20.7). Сопоставляя системы (20.7) и (20.8), нетрудно получить коэффициенты для (20.8). Все формы уравнений передачи являются равноправными. Тем не менее, на практике чаще всего используются формы (20.2), (20.4), (20.7), а в цепях с транзисторами и форма (20.5), поскольку H-параметры транзисторов помещены в справочниках. Особо следует отметить, что уравнения передачи связывают как амплитуды, так и фазы гармонических колебаний на зажимах четырѐхполюсника и поэтому представляют собой систему из минимального числа уравнений, необходимых для полного описания взаимодействия четырѐхполюсника с внешними цепями. Разумеется, те же результаты можно получить, если для цепи с четырѐхполюсником составить и решить систему узловых или контурных уравнений, которая содержит также информацию обо всех внутренних напряжениях и токах четырѐхполюсника. Однако эта информация для поставленной в данном разделе задачи избыточна, поэтому и система узловых или контурных уравнений также избыточна, а еѐ решение только вносит дополнительные трудности. 20.3. Системы собственных параметров и их физический смысл Коэффициенты, входящие в системы уравнений, называются параметрами четырѐхполюсника. Они не зависят от внешних цепей, между которыми включѐн четырѐхполюсник, и характеризуют собственно четырѐхполюсник, Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников 311 поэтому они называются собственными, или внутренними параметрами четырѐхполюсника, в отличие от его рабочих, или внешних параметров, в которых учитывается взаимодействие четырѐхполюсника с внешними цепями и которые изучаются в лекции 22. Введѐм ряд необходимых определений.  Совокупность параметров любой системы уравнений передачи называ- ется системой параметров четырѐхполюсника. Например, параметры Y11, Y21, Y12, Y22 образуют систему Y-параметров, а параметры H11, H21, H12, H22 образуют систему H-параметров. Особо выделяют систему A-параметров, которую называют системой обобщѐнных параметров.  Уравнения передачи, записанные в той или иной системе параметров, называются уравнениями передачи в соответствующей системе параметров. Так, форма (20.4) называется уравнениями в системе Z-параметров. На практике системы параметров записывают в виде матриц: Y Y11 Y12 Y21 Y22 ; Z Z11 Z12 Z 21 Z 22 .  Четырѐхполюсники, которые при различной внутренней структуре (внут- реннем содержании) обладают одинаковыми матрицами параметров, называются эквивалентными, поскольку они описываются одинаковыми уравнениями передачи и одинаково взаимодействуют с внешними электрическими цепями. Все собственные параметры четырѐхполюсников имеют физический смысл какой-либо комплексной частотной характеристики, которая определяется в режиме короткого замыкания (КЗ) или холостого хода (ХХ). Напомним, что режиму холостого хода (короткого замыкания) на некоторой паре зажимов соответствует размыкание (замыкание) этих зажимов. Рассмотрим несколько наиболее важных примеров. Пример 20.1. Найти физический смысл Z-параметров. Решение. Разомкнѐм зажимы 2—2' (см. рис. 20.5, а), т. е. образуем на этих зажимах режим холостого хода — ХХ; тогда ток I 2 0 , а уравнения передачи (20.4) преобразуются к виду: U1 Z11 I1; U2 Z 21 I1 , Часть I. Глава 6 312 откуда:  Z11 U1 I1 — входное комплексное сопротивление четырѐхполюсника I2 0 со стороны зажимов 1—1' при разомкнутых зажимах 2—2';  Z 21 U2 I1 — отношение комплексной амплитуды напряжения на раI2 0 зомкнутых зажимах 2—2' к комплексной амплитуде тока I1 , проходящего через зажимы 1—1'. Разомкнѐм зажимы 1—1' (см. рис. 20.5, а), т. е. образуем на этих зажимах режим ХХ; тогда ток I1 0 , а уравнения передачи (20.4) преобразуются к виду U1 Z12 I 2 ; U2 Z 22 I 2 , откуда:  Z12 U1 I2 — отношение комплексной амплитуды напряжения на раI1 0 зомкнутых зажимах 1—1' к комплексной амплитуде тока I 2 , проходящего через зажимы 2—2';  Z 22 U2 I2 — входное комплексное сопротивление четырѐхполюсника I1 0 со стороны зажимов 2—2' при разомкнутых зажимах 1—1'. Пример 20.2. Найти физический смысл Y-параметров. Решение. В режиме КЗ на зажимах 2—2' (см. рис. 20.5, а) получаем U 2 а уравнения передачи (20.2) преобразуются к виду: 0, I1 Y11U1; I2 Y21U1. Отсюда:  Y11 I1 U1 U — входная комплексная проводимость четырѐхполюсника со 2 0 стороны зажимов 1—1' при замкнутых зажимах 2—2'; Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников  Y21 I2 U1 U 2 0 313 — отношение комплексной амплитуды тока I 2 , протекаю- щего через короткозамкнутые зажимы 2—2', к комплексной амплитуде напряжения U1 на зажимах 1—1'. В режиме КЗ зажимов 1—1' (рис. 20.5, а) напряжение U1 передачи (20.2) преобразуются к виду: 0 , а уравнения I1 Y12U 2 ; I2 Y22U 2 . Отсюда получаем:  Y12 I1 U2 U 1 0 — отношение комплексной амплитуды тока I1 , протекаю- щего через короткозамкнутые зажимы 1—1', к комплексной амплитуде напряжения U 2 на зажимах 2—2';  Y22 I2 U2 U 1 — входная комплексная проводимость четырѐхполюсника 0 со стороны зажимов 2—2' при замкнутых накоротко зажимах 1—1'. Пример 20.3. Найти физический смысл обобщѐнных A-параметров. Решение. Из системы уравнений передачи в A-параметрах (20.7) следует, что в правой еѐ части переменными являются только комплексные ток и напряжение на зажимах 2—2'. Поэтому определение физического смысла A-параметров возможно только в режимах ХХ и КЗ зажимов 2—2'. В режиме ХХ ток I 2 а в режиме КЗ U 2 0 , поэтому из (20.7) имеем: U1 A11U 2 ; I1 A21U 2 , 0 и потому из (20.7) имеем: U1 A12 I 2 ; I1 A22 I 2 . Часть I. Глава 6 314 Из этого набора равенств получаем: A11 U1 U2 I2 0 ; A12 U1 I2 U 2 0 ; A21 I1 U2 I2 0 ; A22 I1 I2 U . 2 0 Заметим, что параметры A11 и A22 являются безразмерными; параметр A12 имеет размерность сопротивления, а параметр A21 — проводимости. 20.4. Методы определения собственных параметров. Соотношения между различными системами параметров 20.4.1. Методы определения собственных параметров Собственные параметры четырѐхполюсника могут быть определены как аналитически, так и экспериментально. Аналитически параметры четырѐхполюсника можно вычислить, если полностью известна его структура и составляющие еѐ элементы. Эксперимент используется в том случае, когда четырѐхполюсник представлен в виде "чѐрного ящика" или же влияние паразитных элементов четырѐхполюсника не поддаются аналитическому учѐту. Из всех параметров четырѐхполюсника проще всего измерить параметры Z11, Z22, Y11, Y22, которые, как было показано в примерах 20.1 и 20.2, представляют собой входные сопротивления и проводимости соответственно в режиме ХХ (Z11, Z22) и КЗ (Y11, Y22). Измерения этих параметров можно выполнить на заданной частоте с помощью измерительного моста. Измерения же всех других параметров, в том числе взаимных Z12-, Z21-, Y12-, Y21- и обобщѐнных A-параметров, связаны с существенными трудностями, поскольку требуется определить соотношение амплитуд и фаз напряжений и токов на противоположных парах зажимов четырѐхполюсника. По этой причине особое место в теории четырѐхполюсника отведено параметрам Z11, Z22, Y11, Y22 которые называются системой параметров холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). Эта система параметров позволяет найти все системы параметров пассивного четырѐхполюсника с точностью до знака некоторых из них. Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников 315 20.4.2. Соотношения между различными системами параметров Параметры четырѐхполюсника различных систем обладают однозначной взаимосвязью. Иного и не может быть, поскольку все системы однозначно определяются схемой четырѐхполюсника и значениями еѐ элементов. Рассмотрим методику определения соотношения между различными системами параметров на двух примерах. Пример 20.4. Найти связь между параметрами проводимостей Y и параметрами сопротивлений Z. Решение. Из системы (20.2) выразим неизвестные комплексные амплитуды напряжений U1 и U 2 : где Y U1 Y22 Y I1 12 I 2 ; Y Y U2 Y21 Y I1 11 I 2 , Y Y (20.10) Y11Y22 Y12Y21 — определитель системы (20.2). Сопоставление сис- темы (20.10) с системой (20.4) даѐт следующие соотношения: Z11 Y22 ; Z12 Y Y12 ; Z 21 Y Y21 ; Z 22 Y Y11 . Y (20.11) С другой стороны, решая систему (20.4) относительно неизвестных комплексных амплитуд токов I1 и I 2 , получаем: I1 11 U1 21 U2 I2 12 U1 22 U2 Z 22 U1 Z Z12 U2 ; Z Y21 Y U1 11 U 2 , Z Z откуда при сопоставлении с системой (20.2) имеем: Y11 где Z Z11Z 22 Z 22 ; Y12 Z Z12 ; Y21 Z Z 21 ; Z 22 Z Z11 , Z Z12 Z 21 — определитель системы уравнений (20.4). Часть I. Глава 6 316 Пример 20.5. Выразить A-параметры четырѐхполюсника через его Z-параметры. Решение. Из второго уравнения передачи в Z-параметрах (20.4) найдѐм ток I1 : I1 1 U2 Z 21 Z 22 I2 Z 21 и подставим его в первое уравнение той же системы: U1 Z11 U2 Z 21 Z11Z 22 I2 Z 21 Z12 I 2 . В результате получаем следующую систему уравнений: U1 Z11 U2 Z 21 Z11Z 22 Z12 Z 21 I2; Z 21 I1 1 U2 Z 21 Z 22 I2 , Z 21 сопоставление которой с уравнениями передачи в A-параметрах (20.7) при симметричной системе отсчѐтов токов и напряжений даѐт: Z Z11 Z 22 1 A11 ; A12 ; A21 ; A22 . Z 21 Z 21 Z 21 Z 21 Подобным образом можно установить взаимосвязи между другими системами параметров (табл. 20.1). Все соотношения, помещѐнные в табл. 20.1, справедливы как для пассивных, так и для активных четырѐхполюсников. Таблица 20.1. Взаимосвязь между параметрами четырѐхполюсника Исходные параметры Y11 Y12 Y21 Y22 Связь с другими параметрами Y Z A H F Z 22 A22 1 F Z A12 H 11 F22 Z12 A H 12 F12 Z A12 H 11 F22 Z 21 1 H 21 F21 Z A12 H11 F22 Z11 A11 H 1 Z A12 H 11 F22 Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников 317 Таблица 20.1 (продолжение) Исходные параметры Z11 Z12 Z21 Z 22 A11 A12 A21 A22 H11 H12 H21 H 22 Связь с другими параметрами Y Z A H F Y22 A11 H 1 Y A21 H 22 F11 Y12 A H 12 F12 Y A21 H 22 F11 Y21 1 H 21 F21 Y A21 H 22 F11 Y11 A22 1 F Y A21 H 22 F11 Y22 Z11 H 1 Y21 Z 21 H 21 F21 1 Z H 11 F22 Y21 Z 21 H 21 F21 Y 1 H 22 F11 Y21 Z 21 H 21 F21 Y11 Z 22 1 F Y21 Z 21 H 21 F21 1 Z A12 F22 Y11 Z 22 A22 F Y12 Z12 A F12 Y11 Z 22 A22 F Y21 Z 21 1 F21 Y11 Z 22 A22 F Y 1 A21 F21 Y11 Z 22 A22 F Часть I. Глава 6 318 Таблица 20.1 (окончание) Исходные параметры F11 F12 F21 F22 Связь с другими параметрами Y Z A H Y 1 A21 H 22 Y22 Z11 A11 H Y12 Z12 A H 12 Y22 Z11 A11 H Y21 Z 21 1 H 21 Y22 Z11 A11 H 1 Z A12 H 11 Y22 Z11 A11 H F Если же четырѐхполюсник пассивен, то согласно теореме взаимности справедливы равенства: Y12 = Y21 и Z12 = Z21. (20.12) Тогда при выражении A-параметров через Z-параметры получим: A A11 A22 A12 A21 1. (20.13) Аналогично для пассивных четырѐхполюсников можно показать, что H21 = –H12 и F21 = –F12. (20.14) Вывод: пассивный четырѐхполюсник полностью характеризуется любыми тремя независимыми параметрами: Y11, Y12 = Y21 и Y22, или Z11, Z12 = Z21 и Z22, или H11, H12 = –H21 и H22, или F11, F12 = –F21 и F22, или любыми тремя A-параметрами, поскольку четвѐртый легко находится из соотношения (20.13). Лекция 20. Системы собственных параметров четырѐхполюсников 319 Если же пассивный четырѐхполюсник является к тому же симметричным, то для его полной характеристики достаточно знать два независимых параметра, поскольку Y11 = Y22 и Z11 = Z22. З А МЕ Ч А Н И Е Следует отметить, что не у всех четырѐхполюсников существуют все разновидности систем собственных параметров, что показано в лекции 21. 20.4.3. Свойства параметров ХХ и КЗ пассивного четырѐхполюсника Ранее было отмечено, что параметры ХХ и КЗ дают возможность найти все системы параметров пассивного четырѐхполюсника с точностью до знака некоторых из параметров, что видно на примере выражения (20.11). Легко видеть, что из (20.11) следует: Z11 Z 22 Y22 или Z11Y11 Y11 Z 22Y22 , поэтому только три из четырѐх параметров ХХ и КЗ четырѐхполюсника являются независимыми. Кроме того, из (20.11) при условии (20.12) также следует: Y Y22 Z11 Y11 Z 22 или Y11Y22 Y122 Y22 Z11 Y11 , Z 22 откуда: Y12 Y11Y22 Y22 Z11 Y11Y22 Y11 . Z 22 Ясно, что параметры Y12 = Y21 определяются с точностью до знака. Зная параметры ХХ и КЗ, по формулам табл. 20.1 можно найти и другие параметры пассивного четырѐхполюсника, причѐм параметры Z12 = Z21, A11, A12, A21, A22, H12 = – H21, F12 = –F21 также определяются с точностью до знака. Изменению знака перечисленных параметров соответствует скрещивание одной пары зажимов четырѐхполюсника (рис. 20.7) и наоборот: скрещивание одной пары зажимов ведѐт к изменению знаков этих параметров. Это объясняется тем, что при скрещивании одной пары зажимов проводимости КЗ Y11 и Y22 Часть I. Глава 6 320 не меняются, поскольку при скрещивании одновременно изменяются направления отсчѐтов напряжения на скрещенной паре. В то же время параметры Y12 I1 U2 U1 0 и Y21 I2 U1 U2 0 , а потому и перечисленные выше параметры изменяют свои знаки. I2 I1 1 U1 2 U2 1 I2 I1 U1 2 а 1 2 U2 2 1 б а б Рис. 20.7. Примеры скрещивания зажимов четырѐхполюсника: а) первой пары, б) второй пары З А МЕ Ч А Н И Е При скрещивании одной из пар зажимов ФЧХ четырѐхполюсника изменяется на π. Если это допустимо, то для Y12 можно взять любой знак. В противном случае истинный знак Y12 определяется из сравнения вычисленного значения Y12 с измеренным, причѐм при измерениях важно получить только характер фазового сдвига. L2 C2 1 R U вх Лекция 21 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Собственные параметры четырѐхполюсников Как известно, любые параметры четырѐхполюсника можно найти, если решить системы узловых или контурных уравнений с использованием матричных методов расчѐта. Соответствующие формулы, выраженные через определитель Δ системы контурных уравнений и его миноры Δkl, даны в табл. 20.1. Однако возможен и другой, более экономичный и удобный подход, который заключается в представлении сложного четырѐхполюсника в виде комбинации типовых четырѐхполюсников. Изучению этого подхода и посвящена данная лекция. 21.1. Собственные параметры типовых четырѐхполюсников Среди типовых четырѐхполюсников выделяют элементарные и простейшие. Элементарными (рис. 21.1) называют четырѐхполюсники, схемы которых содержат не более одного двухполюсника или могут быть сведены к таковым. К простейшим четырѐхполюсникам относят Г-, Т- и П-образные (рис. 21.2), а также отдельно изучаемые мостовые четырѐхполюсники. 21.1.1. Собственные параметры элементарных четырѐхполюсников Элементарные четырѐхполюсники не имеют общепринятых названий, поэтому в дальнейшем будем их различать по типам, как показано на рис. 21.1. Найдѐм A-параметры элементарных четырѐхполюсников, для чего при заданных на рис. 21.1 направлениях отсчѐта токов и напряжений составим системы уравнений согласно законам Кирхгофа и сравним их с уравнениями передачи в A-параметрах (20.7). Часть I. Глава 6 322 1 I1 Z1 I2 U1 1 1 аа I2 I1 U1 1 в в 2 1 U2 U1 2 1 2 1 U2 U1 2 1 I2 I1 U2 Z2 2 бб I2 I1 2 2 U2 г г 2 Рис. 21.1. Элементарные четырѐхполюсники: а) типа 1, б) типа 2, в) типа 3, г) типа 4 Четырёхполюсник типа 1. Для этого четырѐхполюсника легко написать систему уравнений согласно законам Кирхгофа: U1 U 2 I1 Z1I 2 ; I2. Из сравнения полученной системы с системой уравнений в A-параметрах получаем матрицу: 1 Z1 . A1 0 1 Важно: для четырѐхполюсника первого типа параметров сопротивления не существует, поскольку все они обращаются в бесконечность при A21 = 0 (см. табл. 20.1). Четырёхполюсник типа 2. Этот четырѐхполюсник описывается системой уравнений: U1 U 2 ; I1 U2 Z2 I2 , поэтому матрица A-параметров имеет вид: 1 0 A2 . 1 1 Z2 Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников 323 Важно: для четырѐхполюсника второго типа параметров проводимости не существует, поскольку все они обращаются в бесконечность при A12 = 0 (см. табл. 20.1). Четырёхполюсник типа 3. Этот четырѐхполюсник не содержит двухполюсников и представляет собой прямое соединение, для которого очевидно: U1 U 2 ; I1 I2 , откуда A3 10 . 0 1 Четырёхполюсник типа 4. Четырѐхполюсник типа 4 так же, как и в предыдущем случае, не содержит двухполюсников, но представляет собой скрещенное соединение, у которого напряжение и ток на выходе имеют отрицательный знак: U1 U2; I1 I2 , поэтому матрица A-параметров имеет вид: A1 1 0 , 0 1 что соответствует изменению на π фаз комплексных амплитуд тока и напряжения на зажимах 2—2′. Важно: четырѐхполюсники типа 3 и 4 не имеют параметров сопротивления и проводимости (см. четырѐхполюсники типов 1 и 2). 21.2. Собственные параметры простейших четырѐхполюсников В отличие от предыдущих случаев, собственные параметры простейших четырѐхполюсников удобнее находить в виде Z- или Y-параметров, а затем перейти к обобщѐнным параметрам. Это объясняется тем, что Z- и Y-параметры нетрудно определить с помощью систем контурных или узловых уравнений. Часть I. Глава 6 324 1 U1 I1 Z1 Z3 I2 Z2 2 1 U2 U1 2 1 1 Z1 I1 I2 Z2 2 U2 2 аа бб 1 Y2 I1 U1 I2 Y1 Y3 2 U2 2 1 вв Рис. 21.2. Простейшие четырѐхполюсники: а) Т-образный, б) Г-образный, в) П-образный Т-образный четырёхполюсник (рис. 21.2, а). Составим систему контурных уравнений с учѐтом принятых направлений отсчѐтов напряжений и токов: U1 Z1 Z 2 I1 Z 2 I 2 ; U2 Z 2 I1 Z2 Z3 I 2 . Сопоставление полученной системы с системой уравнений передачи в Z-параметрах (20.4) позволяет записать матрицу Z-параметров: Z Z11 Z12 Z 21 Z 22 Z1 Z 2 Z2 Z2 Z2 Z3 . Z-параметры можно получить иначе, если воспользоваться методом холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ) и учесть, что рассматриваемый четырѐхполюсник является пассивным симметричным, у которого всегда Z12 = Z21. Метод ХХ и КЗ рассмотрен в примере 20.1, из которого следует:  Z11 — входное сопротивление четырѐхполюсника со стороны зажимов 1 1 при холостом ходе зажимов 2 2 , поэтому Z11 = Z1 + Z2 ;  Z12 = Z21 — отношение комплексной амплитуды напряжения U 2 (U1 ) на разомкнутых зажимах 2—2′ (1—1′) соответственно к комплексной ампли- Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников 325 туде тока, проходящего через противоположные зажимы (т. е. при КЗ противоположных зажимов), поэтому Z12  Z 22 U2 I2 U2 I1 Z 21 U1 I2 I2 0 Z2 ; I1 0 — входное комплексное сопротивление четырѐхполюсника I1 0 со стороны зажимов 2—2′ при ХХ зажимов 1—1′, поэтому Z22 = Z3 + Z2. Остальные параметры четырѐхполюсника можно получить из соотношений табл. 20.1. Пример 21.1. Пользуясь табл. 20.1, запишем обобщѐнные A-параметры Т-образного четырѐхполюсника: Z11 Z1 Z 2 Z1 A11 1 ; Z 21 Z2 Z2 Z A12 Z 21 Z11Z 22 Z12 Z 21 Z 21 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z 22 Z1Z 2 1 Z 21 1 ; Z2 Z2 A21 A22 Z 22 Z 21 Z2 Z2 Z3 1 1 Z1 Z2 Z1Z3 Z2 Z3 . Z2 Z 2 Z3 ; Пример 21.2. Найти А-параметры четырѐхполюсника, изображѐнного на рис. 21.3. 1 R R 2 L 1 2 Рис. 21.3. К примеру 21.2 Часть I. Глава 6 326 Решение. Предварительно определим Z-параметры:  входное сопротивление со стороны зажимов 1—1′ равно Z11 = R+jωL;  входное сопротивление со стороны зажимов 2—2′ равно Z22, а в силу сим- метрии четырѐхполюсника оно будет равно и сопротивлению Z11, поэтому Z22 = Z11;  Z12 = Z21, что показано ранее. Теперь можно записать матрицу А-параметров через Z-параметры: A Z11 Z 21 Z Z 21 1 Z 21 Z 22 Z 21 , где определитель матрицы Z-параметров Z Z11Z22 Z12 Z21 2 2 . Z11 Z12 После подстановки в матрицу А и в последнее равенство выражений Z-параметров Z R jωL 2 jωL 2 R2 j 2ωRL ωL 2 ωL 2 R2 j 2ωRL окончательно получаем систему А-параметров: R A jω L jωL 1 jωL R2 j 2ωRL jωL . R jω L jω L Параметры Г-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, б) можно получить из параметров Т-образного четырѐхполюсника при условии Z3 = 0. Следовательно, Z-параметры приводятся к виду: Z11 Z1 Z2 ; Z12 Z21 Z2 ; Z22 Z2 ; и A-параметры принимают значения: A11 1 Z1 ; A12 Z2 Z1; A21 1 ; A22 Z2 1. Параметры П-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, в) получим методом короткого замыкания. Удобно сначала найти Y-параметры, а затем, как Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников 327 в примерах 21.1 и 21.2, записать другие параметры, воспользовавшись табл. 20.1. I1 Y1 Y2 — входная проводимость четырѐхполюсника со стоU1 U2 0 роны зажимов 1—1′ в режиме короткого замыкания зажимов 2—2′;  Y11 I2 Y2 Y3 — входная проводимость четырѐхполюсника со U 2 U1 0 стороны зажимов 2—2′ в режиме короткого замыкания зажимов 1—1′;  Y22  Y12 I1 U2 U1 0 Y21 I2 U1 U2 0 Y2 — отношение комплексной амплитуды тока I1 ( I 2 ) на короткозамкнутых зажимах 1—1′ (2—2′) к комплексной амплитуде напряжения на противоположных зажимах (т. е. при ХХ противоположных зажимов). Знание Y-параметров позволяет записать Z- и A-параметры (читателю предлагается самостоятельно получить эти соотношения): Z11 Y2 Y3 ; Z12 Y1Y2 Y1Y3 Y2Y3 A11 1 Y3 ; A12 Y2 Z 21 1 ; A21 Y2 Y1Y2 Y2 ; Z 22 Y1Y3 Y2Y3 Y1Y2 Y1Y3 Y2Y3 ; A22 Y2 Y1 Y2 ; Y1Y2 Y1Y3 Y2Y3 1 Y1 . Y2 21.2.1. Собственные параметры симметричного мостового четырѐхполюсника Симметричный мостовой четырѐхполюсник (сокращѐнно — мост), как показано в дальнейшем, широко используется при анализе и синтезе пассивных симметричных четырѐхполюсников. По этой причине уделим особое внимание параметрам этого четырѐхполюсника. Сопротивления ветвей мостового четырѐхполюсника попарно равны (рис. 21.4, а), поэтому его схему, с целью упрощения рисунка, принято изображать так, как показано на рис. 21.4, б. Найдѐм Z-параметры моста, для чего представим его схему в более наглядном и удобном для исследования виде (рис. 21.5). Из данной схемы следует, что входное сопротивление со стороны зажимов 1—1′ равно входному сопротивлению со стороны зажимов 2—2′ в силу симметричности схемы. Для этих сопротивлений в режиме ХХ образуется цепь Часть I. Глава 6 328 из параллельно соединѐнных ветвей, сопротивление каждой из которых составляет Zа Zб , поэтому и входные сопротивления оказываются равными друг другу: Zа Zб (21.1) Z11 Z 22 . 2 1 U1 1 Zа I1 I2 Zб Zб 2 1 U2 U1 2 1 Zа а Zа Zб 2 U2 2 б а б Рис. 21.4. Симметричный мостовой четырѐхполюсник: а) полная схема, б) принятое изображение 1 I1 Zа Uа Iа U1 I2 Iб Uб I2 2 Zб U2 2 Zб 2 I2 2 Zа 1 Рис. 21.5. Эквивалентная схема симметричного мостового четырѐхполюсника Проходные сопротивления симметричного четырѐхполюсника также равны друг другу: Z12 = Z21. Найдѐм эти сопротивления. В режиме ХХ ток I1 0 , и для Z12 справедливо равенство: Z12 U1 I2 I1 0 Uа Uб . I2 Но ток I 2 разветвляется на равные части, имея на сопротивлении Zа обратное направление, т. е. I2 Iа Iб , 2 Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников 329 поэтому I2 I2 Zа Zб 2 2 I2 Uа Uб I2 Zб 2 Zа , и в результате получаем: Z12 Z 21 Zб 2 Zа . (21.2) По вычисленным Z-параметрам (21.1) и (21.2) нетрудно определить Y- и Aпараметры симметричного мостового четырѐхполюсника: Y11 Y22 Zа Zб ; Y12 2Zа Zб A11 Zа Zб A22 Zб ; A12 Zа Y21 Zа Zб ; 2Zа Zб 2Zа Zб ; A21 Zб Zа 2 Zб Zа . (21.3) 21.3. Эквивалентность Т-, П-образного и мостового четырѐхполюсников Рассмотренный симметричный мостовой четырѐхполюсник (мост) является наиболее общей структурой в классе пассивных симметричных четырѐхполюсников. Покажем, что для любого пассивного симметричного четырѐхполюсника можно найти и реализовать эквивалентный ему мостовой (обратный эквивалентный переход не всегда возможен). Это означает, что все характеристики, которыми могут обладать пассивные симметричные четырѐхполюсники, можно изучить на основе мостовых четырѐхполюсников. Такое свойство общности структуры моста используется в задачах синтеза электрических цепей. Условие эквивалентности: заданный симметричный и мостовой четырѐхполюсники эквивалентны, если сопротивления двухполюсников, образующих ветви моста, выражены через параметры заданного четырѐхполюсника. Пусть заданный симметричный четырѐхполюсник описывается парой его параметров сопротивлений: Z22 = Z11; Z12 = Z21. Часть I. Глава 6 330 Для эквивалентности этого четырѐхполюсника и мостового необходимо согласно (21.1) и (21.2) выполнение условий: Z11 Zа 2 Zб и Z12 Zб 2 Zа . Вычитая и складывая эти уравнения, получаем значения сопротивлений ветвей моста: Zа = Z11 – Z12 и Zб = Z11 + Z12. (21.4) Важно: для физической реализуемости эквивалентного четырѐхполюсника необходимо, чтобы между вещественными частями сопротивлений Zб и Zа выполнялось соотношение Re Zб > Re Zа. Пример 21.3. Определить условия эквивалентности симметричного Т-образного и мостового четырѐхполюсников. Решение. Как было показано в разд. 21.1.2, Z-параметры несимметричного четырѐхполюсника имеют вид: Z11 Z1 Z2 ; Z12 Z21 Z2 ; Z22 Z3 Z 2 . Для обеспечения симметричности необходимо, чтобы сопротивления Z1 и Z3 Т-образного четырѐхполюсника были равными Z1 = Z3; тогда его Z-параметры запишутся в виде: Z11 Z22 Z1 Z2 ; Z12 Z21 Z2 . Из условий эквивалентности (21.4) получаем искомое решение: Zа Z11 Z12 Z1 Z 2 Zб Z11 Z12 Z1 2 Z 2 . Z2 Z1; Пример 21.4. Определить условия эквивалентности симметричного П-образного и мостового четырѐхполюсников. Решение. В этом случае удобнее рассматривать Y-параметры П-образного и мостового четырѐхполюсников. Y-параметры несимметричного П-образного четырѐхполюсника были получены в разд. 21.1.2. Симметричный П-образный четырѐхполюсник при Y1 = Y3 имеет следующие Y-параметры: Y11 Y22 Y12 Y21 Y1 Y2 ; Y2 . Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников 331 По условиям эквивалентности (21.4) должно соблюдаться равенство Yпараметров симметричного П-образного и Yм-параметров мостового четырѐхполюсников: Yм11 Y11 Zа Zб ; Yм12 2Zа Zб Y12 Zа Zб . 2Zа Zб Заменяя комплексные сопротивления моста его проводимостями 1 , Yб Zа Yа 1 , Zб после простейших преобразований получаем искомые условия: Y1 Y3 Y2 Y11м Y2 Y12 1 ; Zб Zб Zа . 2Zа Zб 21.4. Соединения четырѐхполюсников Различные четырѐхполюсники, соединѐнные между собой в определѐнном порядке, образуют сложные (составные) четырѐхполюсники. Поставим задачу: вычислить параметры сложного четырѐхполюсника по параметрам входящих в его состав более простых четырѐхполюсников. Решение поставленной задачи возможно лишь при выполнении условия регулярности соединения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Регулярным называется такое соединение четырѐхполюсников, при котором не происходит изменения соотношений между напряжениями и токами на их зажимах соединяемых четырѐхполюсников, т. е. через каждую пару зажимов этих четырѐхполюсников протекают попарно равные и противоположно направленные токи (см. рис. 20.1). Условия регулярности кратко рассматриваются в разд. 21.5. Изучаемые далее способы соединения четырѐхполюсников удовлетворяют условиям регулярности. Часть I. Глава 6 332 21.4.1. Каскадное соединение четырѐхполюсников При каскадном соединении (рис. 21.6) выходные зажимы первого четырѐхполюсника соединяются с входными зажимами второго четырѐхполюсника, поэтому при несимметричном отсчѐте токов и напряжений имеют место равенства: U2 U1 и I 2 I1 и наиболее удобным оказывается описание соединения в A-параметрах (20.7): U1 A11U 2 A12 I 2 ; I1 A21U 2 A22 I 2 . I1 1 I2 A U1 1 I1 U2 I2 A U1 2 U2 2 Рис. 21.6. Каскадное соединение четырѐхполюсников Отсюда уравнения передачи соответствующих четырѐхполюсников получают вид: U1 A11U 2 A12 I 2 ; I1 A21U 2 A22 I 2 и U1 A11U 2 A12 I 2 ; I1 A21U 2 A22 I 2 . Подставим в первую систему уравнений вместо U 2 и I 2 равные им значения U1 и I1 из второй системы: U1 I1 A11 A11U 2 A12 I 2 A11 A11 A12 A21 U 2 A21 A11 A22 A21 U 2 A12 A21U 2 A22 I A11 A12 A12 A22 I 2 ; A21 A12 A22 A22 I 2 , откуда получаем матрицу A-параметров каскадно-соединенных четырѐхполюсников: A11 A12 A11 A11 A12 A21 A11 A12 A12 A22 A11 A12 A11 A12 A21 A22 A21 A11 A22 A21 A21 A12 A22 A22 A21 A22 A21 A22 (21.5) Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников 333 Из (21.5) следует правило: при каскадном соединении четырѐхполюсников матрица A-параметров сложного четырѐхполюсника равна произведению матриц Ai -параметров входящих в соединение четырѐхполюсников. Если каскадно соединены N четырѐхполюсников, то матрица A-параметров получается из произведения: A A1A2 AN N i 1 Ai . (21.6) При этом важно: матрицы должны быть записаны в порядке следования четырѐхполюсников, т. к. умножение матриц не подчиняется переместительному закону. 21.4.2. Параллельное соединение четырѐхполюсников При параллельном соединении четырѐхполюсников (рис. 21.7) ток на входе всей системы I1 равен сумме входных токов I1 и I1 соединѐнных четырѐхполюсников, а ток на выходе I 2 равен сумме выходных токов I 2 и I 2 : I1 I1 I1; I 2 I2 I2 ; кроме того, имеют место равенства напряжений: U1 U1 U1; U2 I1 1 U1 1 I1 U1 U2 . I2 Y I1 U1 U2 U2 I2 Y U2 I2 2 U2 2 Рис. 21.7. Параллельное соединение четырѐхполюсников Часть I. Глава 6 334 Система уравнений передачи сложного четырѐхполюсника может быть записана в Y-параметрах в матричной форме: I1 Y11 Y12 U1 I2 Y21 Y22 U 2 , (21.7) а уравнения передачи составляющих четырѐхполюсников соответственно имеют вид: I1 Y11 Y12 U1 I2 Y21 Y22 U 2 и I1 Y11 Y12 U1 I2 Y21 Y22 U 2 . При этих условиях (21.7) запишется следующим образом: I1 Y11 Y12 Y11 Y12 U1 I2 Y21 Y22 Y21 Y22 U 2 . Применяя правило сложения матриц, получаем: I1 Y11 Y11 Y12 Y12 U1 I2 Y21 Y21 Y22 Y22 U 2 . (21.8) Из (21.8) следует правило: при параллельном соединении N четырѐхполюсников матрица Y-параметров сложного четырѐхполюсника равна сумме матриц Yi-параметров соединѐнных четырѐхполюсников: Y N i 1 (21.9) Yi . 21.4.3. Последовательное соединение четырѐхполюсников Произведя действия, подобные действиям в разд. 21.3, можно доказать, что при последовательном соединении двух (рис. 21.8) и более четырѐхполюсников матрица Z-параметров соединения равна сумме матриц Zi-параметров четырѐхполюсников, составляющих соединение: Z N i 1 Zi . (21.10) При доказательстве используются очевидные из рис. 21.8 соотношения: I1 I1; I 2 I2; U1 U1 U1; U 2 U2 U2. Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников I1 1 I1 U1 I2 Z U1 I1 U2 I2 Z 2 U2 I2 U1 1 335 U2 2 Рис. 21.8. Последовательное соединение четырѐхполюсников 21.4.4. Последовательно-параллельное соединение четырѐхполюсников При последовательно-параллельном соединении (рис. 21.9) четырѐхполюсники со стороны входных зажимов соединяются последовательно, а со стороны входных зажимов — параллельно. I1 1 U1 1 I1 I2 H U1 I1 U2 I2 H U1 U2 I2 2 U2 2 Рис. 21.9. Последовательно-параллельное соединение четырѐхполюсников При этом нетрудно видеть, что имеют место следующие равенства: I1 I1 ; U1 U1 U1 ; I2 U2 I2 I2; U2 U2 , для которых удобно использовать матрицы H-параметров. Часть I. Глава 6 336 Поступая так же, как в разд. 2.3.2, можно доказать, что при последовательнопараллельном соединении матрицы Hi-параметров составляющих соединение четырѐхполюсников складываются: N H i 1 (21.11) Hi . 21.4.5. Параллельно-последовательное соединение четырѐхполюсников При параллельно-последовательном соединении (рис. 21.10) четырѐхполюсники со стороны входных зажимов соединяются параллельно, а со стороны выходных зажимов — последовательно. I1 1 U1 1 I1 I2 F U1 I1 U2 I2 I2 F U1 U2 2 U2 2 Рис. 21.10. Параллельно-последовательное соединение четырѐхполюсников В данном случае удобно использовать F-параметры, поскольку имеют место следующие равенства: I1 I1 I1; U1 U1 U1; I2 U2 I2; U2 U2. 21.5. Условия регулярности соединения В теории цепей доказывается, что условия регулярности соединения четырѐхполюсников, в частности, удовлетворяются, если осуществляется:  каскадное соединение любых четырѐхполюсников;  параллельное соединение уравновешенных четырѐхполюсников; Лекция 21. Собственные параметры четырѐхполюсников 337  параллельное или последовательное соединение треугольных четырѐхпо- люсников (рис. 21.2), при котором их общие зажимы объединяются;  соединение любым способом произвольного четырѐхполюсника и так на- зываемого "разорванного" четырѐхполюсника, схема и параметры которого приведены на рис. 21.11;  соединение любым способом произвольного четырѐхполюсника с четы- рѐхполюсником, на входе или/и выходе которого включѐн трансформатор. 1 U1 I2 I1 Z1 Z2 2 U2 2 1 а а Y11 Z11 H11 F11 1 ; Y12 Z1 Z1 ; Z12 Z1 ; H12 1 Z1 ; F12 Y21 0; Y22 Z 21 H 21 F21 0; Z 22 0; H 22 0; F22 1 ; Z2 C; 1 Z2 ; Z2 . бб Рис. 21.11. Разорванный четырѐхполюсник: а) схема, б) параметры L2 C2 1 R U вх Лекция 22 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Внешние характеристики четырѐхполюсников В лекциях 20 и 21 изучались собственные параметры четырѐхполюсника, т. е. такие его индивидуальные характеристики, которые не зависят от внешних цепей и определяются лишь структурой четырѐхполюсника и составляющими еѐ элементами. Причѐм эти характеристики измеряются в одном из предельных режимов: холостого хода (ХХ) или короткого замыкания (КЗ). Тем не менее, роль собственных параметров четырѐхполюсников чрезвычайно важна как в теории цепей, так и на практике, а именно: знание собственных параметров четырѐхполюсника позволяет найти его любые КЧХ при произвольной внешней нагрузке в реальных, или рабочих, условиях (внутреннее сопротивление генератора, если оно является конечным и не равно нулю, также является сопротивлением нагрузки четырѐхполюсника). Понятно, что в рабочих условиях невозможно добиться полного согласования комплексных сопротивлений четырѐхполюсника с нагрузкой на всех частотах рабочего диапазона. Это приводит к появлению дополнительных потерь энергии за счѐт еѐ неоднократного отражения на входных и выходных зажимах. Для учѐта таких потерь пользуются рабочими, или внешними характеристиками передачи. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Под рабочими, или внешними характеристиками четырѐхполюсника понимаются его комплексные частотные характеристики при условии подключения к нему генератора и двухполюсной нагрузки. К рабочим характеристикам относятся: комплексное входное сопротивление нагруженного четырѐхполюсника и его передаточные функции. Лекция 22. Внешние характеристики четырѐхполюсников 339 22.1. Комплексное входное сопротивление четырѐхполюсника при произвольной нагрузке Рассмотрим четырѐхполюсник, у которого одна пара зажимов 2—2' нагружена двухполюсником с комплексным сопротивлением Zн2 (рис. 22.1, а). Тогда со стороны зажимов 1—1' нагруженный четырѐхполюсник можно рассматривать U1 как двухполюсник с входным комплексным сопротивлением Z вх1 . I1 1 I2 I1 A U1 1 1 I1 2 Z н2 U2 U1 Z вх1 A Z н1 аа 2 I2 1 2 U2 Z вх2 2 б б Рис. 22.1. К определению комплексного входного сопротивления при произвольной нагрузке: а) со стороны выходных зажимов, б) со стороны входных зажимов Поставим задачу выразить комплексное сопротивление Zвх1 через собственные параметры четырѐхполюсника. При выбранном направлении отсчѐтов токов и напряжений удобно воспользоваться уравнениями передачи в A-параметрах (20.7): U1 A11U 2 A12 I 2 ; I1 A21U 2 A22 I 2 . Значение комплексного входного сопротивления Zвх1 найдѐм, разделив первое уравнение системы на второе: Z вх1 U1 I1 A11U 2 A21U 2 A12 I 2 A22 I 2 и подставив в эту дробь величину напряжения на выходных зажимах U2 В результате получим: Z вх1 A11I 2 Z н2 A21I 2 Z н2 I 2 Z н2 . A12 I 2 A22 I 2 A11Z н2 A21Z н2 I2 . I2 (22.1) Часть I. Глава 6 340 Воспользовавшись табл. 20.1, нетрудно получить выражения для Zвх1 через другие системы параметров четырѐхполюсника, например, через его Z- и Yпараметры: Z вх1 Z11Z 21 ; Z н2 Z 22 Z11 1 Yвх1 Y11 Z вх1 (22.2) Y12Y21 . 1 Y22 Z н2 Рассмотрим случай обратного включения четырѐхполюсника (рис. 22.1, б): найдѐм входное сопротивление Zвх2 со стороны зажимов 2—2', нагрузив четырѐхполюсник со стороны зажимов 1—1'. Для этого воспользуемся теми же уравнениями передачи в A-параметрах (20.7), но учтѐм, что U1 I1Z н1; Z вх2 U2 . I2 При этих соотношениях имеем: U1 I1 Z н1 A11U 2 A21U 2 A12 I 2 A22 I 2 A11I 2 Z вх2 A21I 2 Z вх2 A12 I 2 A22 I 2 A11Z вх2 A21Z вх2 A12 , A22 откуда A22 Z н1 A21Z н1 Z вх2 A12 . A11 (22.3) Выразив A-параметры через другие параметры, получим: Z вх2 Yвх2 Z 22 1 Z вх2 Z12 Z 21 ; Z н1 Z11 Y22 Y12Y21 . 1 Y11 Z н1 (22.4) Следствие: вторые слагаемые формул (22.2) и (22.4) учитывают влияние сопротивления нагрузки Zн четырѐхполюсника; эти слагаемые называют вносимым нагрузкой сопротивлением, или просто вносимым сопротивлением. Лекция 22. Внешние характеристики четырѐхполюсников 341 22.2. Комплексные частотные характеристики нагруженных четырѐхполюсников Вносимые сопротивления оказывают влияние на амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные характеристики (ФЧХ) нагруженных четырѐхполюсников, что всегда нужно учитывать на практике. Как известно, АЧХ и ФЧХ можно получить из комплексной частотной характеристики (КЧХ), которую, как показывается далее, можно найти методами теории четырѐхполюсников. При этом будем различать режимы односторонней и двусторонней нагрузки. 22.2.1. Комплексные частотные характеристики односторонне нагруженных четырѐхполюсников ОПРЕДЕЛЕНИЕ Режимом односторонней нагрузки называют такое включение четырѐхполюсника, при котором его внешние характеристики определяются лишь одним из двух сопротивлений нагрузки (рис. 22.2 и 22.3). Выделим две группы односторонне нагруженных четырѐхполюсников:  группу четырѐхполюсников, нагруженных на комплексное пассивное со- противление;  группу четырѐхполюсников, нагруженных на генератор (напряжения или тока). 1 U1 1 I2 2 A 1 Z н2 2 U2 аа 1 I1 I2 2 A Z н2 2 Рис. 22.2. Односторонне нагруженные четырѐхполюсники: а) задано входное напряжение, б) задан входной ток U2 бб Часть I. Глава 6 342 Четырёхполюсники, нагруженные на пассивное сопротивление Сначала рассмотрим нагруженный четырѐхполюсник при условии, что задано входное напряжение U1 (рис. 22.2, а). Тогда КЧХ Hu(jω) представляет собой отношение напряжения на выходе к напряжению на входе H u ( jω) U2 U1 (22.5) и найдѐтся из первого уравнения передачи (20.7): U1 A11U 2 A12 I 2 . I2 и Yн2 пользуясь формулой (22.5), получаем КЧХ нагруженного четырѐхполюсника при заданном напряжении на входе: Подставляя сюда, согласно рис. 22.2, а, соотношения U 2 H u ( jω) U2 U1 I 2 Z н2 I A11 2 A12 I 2 Yн2 A11 1 A12Yн2 Z11 I 2 Z н2 Z 21 . Z Yн2 (22.6) Теперь рассмотрим нагруженный четырѐхполюсник при условии, что задан входной ток I1 (рис. 22.2, б). Тогда КЧХ Hi(jω) представляет собой отношение тока на выходе к току на входе: I2 , I1 H i ( jω) которое найдѐтся из второго уравнения (20.7): H i ( jω) I2 I1 A21U 2 I2 A22 I 2 I2 A21I 2 Z н2 Z 21 . Z н2 Z 22 1 A22 I 2 A21Z н2 A22 (22.7) Выводы:  полученные КЧХ (22.6) и (22.7) являются безразмерными величинами;  АЧХ нагруженных четырѐхполюсников |Hu(jω)| и |Hi(jω)| называются ко- эффициентами усиления напряжения и тока соответственно; это означает, что коэффициенты усиления являются функциями частоты; Лекция 22. Внешние характеристики четырѐхполюсников 343  аргументы arg Hu(jω) и arg Hi(jω) представляют собой фазочастотные ха- рактеристики: φu (ω) arg H u ( jω) φi (ω) arg H i ( jω) φ u 2 (ω) φ u1(ω); (22.8) φi 2 (ω) φ i1(ω). Четырёхполюсники, нагруженные на генератор Варианты односторонне нагруженного четырѐхполюсника при наличии генератора (для определѐнности на зажимах 1—1') показаны на рис. 22.3: режимы холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). 1 I1 U0 Z н1 U1 IY 1 2 A I0 U2 2 1 I1 Yн1 U1 аа 1 A I2 2 2 бб Рис. 22.3. Односторонне нагруженные на генератор четырѐхполюсники: а) режим ХХ, б) режим КЗ В режиме ХХ комплексная частотная характеристика определяется как отношение U2 H uХХ ( jω) . U0 Поскольку в данном случае I 2 в А-параметрах получают вид: Отсюда 0 и U1 U0 Z н1I1 , уравнения передачи U1 A11U 2 I1 A21U 2 . U0 U0 Z н1I1; A11 Z н1 A21 U 2 , и окончательно можно записать: H uХХ ( jω) U2 U0 I2 0 1 A11 Z н1 A21 Z 21 . Z11 Z н1 (22.9) В режиме КЗ имеем КЧХ по току: HiКЗ ( jω) I2 , I0 (22.10) Часть I. Глава 6 344 где I 2 — ток, протекающий через коротко замкнутые зажимы 2—2'. Вновь обратимся к уравнениям передачи в А-параметрах (ток I 2 запишется без отрицательного знака) при условии U 2 0: U1 A12 I 2 ; I1 A22 I 2 . Для получения полного отношения (22.10) выразим ток I 0 через U1 и I1 ; ясно, что ток I 0 равен сумме тока I1 и тока IY проводимость Yн1 : I0 I1 U1Yн1 A22 I 2 A12 I 2Yн1 U1Yн1 , протекающего через A22 A12Yн1 I 2 . Подставляя это равенство в (22.10), получаем КЧХ по току в системе А-параметров: H iКЗ ( jω) I2 A12Yн1 I 2 A22 1 , A12Yн1 A22 (22.11) или в системах других параметров (табл. 20.1): HiКЗ ( jω) Y21 Y11 Yн1 Z 22 Z 21 Yн1 Z H 21 . 1 Yн1H11 (22.12) 22.2.2. Внешние характеристики двусторонне нагруженного четырѐхполюсника Пусть задана система, состоящая из генератора, четырѐхполюсника и нагрузки (рис. 22.4, а). 1 I1 E Z1 U1 A 1 I2 Z н2 U2 2 а а 1 I1 2 E R1 U1 A I2 1 2 U2 2 б б Рис. 22.4. Двусторонне нагруженные четырѐхполюсники: а) при комплексных сопротивлениях генератора и нагрузки, б) при резистивных сопротивлениях генератора и нагрузки Rн2 Лекция 22. Внешние характеристики четырѐхполюсников 345 При этом известны:  E — комплексная амплитуда ЭДС генератора; 1 — внутренне комплексное сопротивление генератора; Y1  Z1  A — собственные обобщѐнные параметры четырѐхполюсника;  Z н2 1 — комплексное сопротивление нагрузки. Yн2 Задача 22.1. Найти отношение комплексной амплитуды напряжения на выходе U 2 к комплексной амплитуде ЭДС генератора E . Решение. Из рис. 22.4, а следуют соотношения: U1 E Z1I1; U2 I 2 Z н2 . Подставим эти соотношения в уравнения по А-параметрам: U1 A11U 2 A12 I 2 A11I 2 Z н2 A12 I 2 I1 A21U 2 A22 I 2 A21I 2 Z н2 A22 I 2 , E Z1I1 ; откуда получаем: E Z1I1 I1 A11Z н2 A21Z н2 A12 I 2 ; (*) A22 I 2 . (**) Подставим значение I1 из (**) в уравнение (*): H раб21 ( jω) Kраб ( jω) U2 E A11Z н2 A12 Z н2 A21Z1Z н2 A22 Z1 . (22.13) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Отношение комплексной амплитуды напряжения U 2 на выходе двусторонне нагруженного четырѐхполюсника к комплексной амплитуде ЭДС E генератора (источника) называется рабочим комплексным коэффициентом Kраб(jω) передачи четырѐхполюсника по напряжению. Для нагруженного четырѐхполюсника вводят также понятие его комплексного входного сопротивления. Часть I. Глава 6 346 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Отношение комплексной амплитуды напряжения U1 к комплексной амплитуде тока I1 на входе двусторонне нагруженного четырѐхполюсника называется комплексным входным сопротивлением Zвх1: Zвх1 U1 I1 A11Z 2 A21Z 2 A12 A22 Z11 Z11 Z 21 . Z 2 Z 22 Комплексные входное сопротивление и коэффициент передачи получили название внешних характеристик1 двусторонне нагруженного четырѐхполюсника. 22.3. Нормирование рабочих характеристик В большинстве практических применений, а также в задачах синтеза линейных электрических цепей внутреннее сопротивление генератора и сопротивление нагрузки рассматриваются чисто резистивными сопротивлениями R1 и Rн2 (рис. 22.4, б). Например, именно при таких сопротивлениях рассчитываются и используются усилители. На практике удобно пользоваться нормированными рабочими характеристиками (параметрами). Напомним, что нормированной функцией называется безразмерная функция fˆ ( x ) , которая получается от деления текущего значения функции f(x) на еѐ абсолютный достижимый максимум: fˆ ( x ) f ( x) . max f ( x ) Как и для двухполюсников, АЧХ четырѐхполюсников при резистивных R1 и Rн2 принято нормировать относительно максимально достижимого в данной системе значения амплитуды напряжения на выходе U2 = U2max. 22.3.1. Комплексный нормированный рабочий коэффициент передачи Запишем комплексный коэффициент передачи (22.13) в показательной форме, для удобства опустив индекс "раб": K ( jω) 1 U2 E U 2e j argU 2 Ee j arg E U2 j e E argU 2 arg E K ( jω) e jφ(ω) , В литературе эти характеристики часто называют рабочими параметрами. (22.14) Лекция 22. Внешние характеристики четырѐхполюсников 347 где: U2 — АЧХ нагруженного четырѐхполюсника, называемая раE бочим коэффициентом передачи;  K ( jω) argU 2 arg E φU (ω) φ E (ω) — ФЧХ четырѐхполюсника, равная разности между фазой напряжения на выходе и фазой ЭДС генератора.  φ(ω) Введѐм понятие нормированного комплексного коэффициента передачи Kˆ ( jω) : комплексный коэффициент передачи (22.14) является нормированным при делении его на max|K(jω)|: Kˆ ( jω) K ( jω) , max K ( jω) (22.15) где согласно (22.14) K ( jω) max U 2max . E С учѐтом последнего соотношения выражение (22.15) принимает вид: Kˆ ( jω) U2 U 2max E E e jφ(ω) U2 e jφ(ω) U 2max Kˆ ( jω) e jφ(ω) , (22.16) где Kˆ ( jω) U2 U 2 max (22.17) является нормированной АЧХ, или нормированным рабочим коэффициентом передачи. Понятно, что если четырѐхполюсник пассивен, то значение нормированного коэффициента передачи на любой частоте ω не превышает единицы: Kˆ ( jω) 1. (22.18) Если четырѐхполюсник активен и представляет собой, например, усилитель, то средняя мощность в нагрузке четырѐхполюсника Rн2 оказывается больше той, которую вообще может отдать заданный генератор с амплитудой ЭДС E . Чтобы получить общее выражение нормированного рабочего коэффициента передачи, необходимо знать значение U2max. Значение U2max нетрудно полу- Часть I. Глава 6 348 чить из величины средней мощности в нагрузке пассивного четырѐхполюсника (см. лекцию 9): P2ср 2 U 2max , 2 Rн2 которая не может превышать той средней мощности, которую способен развить заданный генератор (9.22): PEср E2 . 8R1 Приравняем последние два выражения: U 22max 2 Rн2 E2 , 8R1 откуда получаем: U 2 max 1 Rн2 E. 2 R1 (22.19) Теперь запишем общее выражение комплексного нормированного рабочего коэффициента передачи: Kˆ ( jω) 2U 2 E R1 jφ(ω) e Rн2 Kˆ ( jω) e jφ(ω) , (22.20) из которого имеем нормированный рабочий коэффициент передачи: Kˆ ( jω) 2U 2 E R1 . Rн2 (22.21) Комплексный коэффициент передачи (22.14) можно выразить через обобщѐнные параметры, если в (22.13) положить Z1 = R1, Zн2 = Rн2. 22.3.2. Рабочая постоянная передачи цепи Нормированный комплексный коэффициент передачи принято представлять в логарифмическом масштабе: ln Kˆ ( jω) ln Kˆ ( jω) e jφ(ω) ln Kˆ ( jω) jφ(ω). (22.22) Функцию (22.22) принято называть логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой, еѐ мнимую часть — фазочастотной характеристикой, Лекция 22. Внешние характеристики четырѐхполюсников 349 а вещественную часть — рабочим усилением четырѐхполюсника, которое выражают либо в неперах (Нп): A ln Kˆ ( jω) ln 2U 2 E R1 Нп , Rн2 (22.23) либо в децибелах (дБ): A 20lg Kˆ ( jω) 20lg 2U 2 E R1 Rн2 Дб . (22.24) a jb(ω) (22.25) Комплексная величина g 20lg S ( jω) 20lg 1 Kˆ ( jω) называется рабочей постоянной передачи четырѐхполюсника, вещественная часть которой a ln E 2U 2 Rн2 Нп или a R1 20lg E 2U 2 Rн2 Дб R1 (22.26) представляет собой рабочее затухание четырѐхполюсника (a = –A), а мнимая часть b(ω) = –φ(ω) является рабочей фазой четырѐхполюсника. L2 C2 1 R U вх L1 1 Z вх R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Глава 7 Цепи с распределёнными параметрами Лекция 23. Первичные параметры длинной линии Лекция 24. Волновые параметры длинной линии Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 352 Часть I. Глава 7. Цепи с распределёнными параметрами Во всех предыдущих лекциях изучались электрические цепи с сосредоточенными параметрами, т. е. такие цепи, модели которых содержат конечное число элементов R, L и C (см. разд. 1.3). Геометрические размеры таких цепей и входящих в них элементов не имеют никакого значения, поскольку электрическая и магнитная энергии локализованы в конденсаторах и катушках индуктивности соответственно, а потери мощности приходятся на резисторы. Однако не всякую электрическую цепь можно описать с помощью сосредоточенных параметров. Например, для направленной пространственной передачи электромагнитной энергии от одного радиотехнического устройства к другому используются электрические цепи, представляющие собой пары проводников той или иной конструкции, разделѐнные каким-либо диэлектриком. В таких цепях отсутствуют пространственные области с преимущественной локализацией электрического или магнитного полей. Модель подобной электрической цепи должна содержать бесконечное число бесконечно малых по величине пассивных элементов. Иначе говоря, в такой цепи имеет место распределённые по всей её длине индуктивности, ёмкости и активные сопротивления. По этой причине такие цепи называются цепями с распределёнными параметрами. Среди цепей с распределѐнными параметрами особая роль в технике связи принадлежит длинным линиям, изучению которых посвящена данная глава. L2 C2 1 R U вх Лекция 23 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Первичные параметры длинной линии Распределѐнный характер элементов и конечная скорость распространения электромагнитной энергии означает, что в линии напряжения и токи являются функциями не только времени t, но и пространственной координаты x — удаления от одного из концов линии. Зависимость токов и напряжений в линии от пространственных координат является тем основным признаком, который отличает длинные линии от других устройств системы связи. 23.1. Понятие длинной линии 23.1.1. Определение длинной линии Для более чѐткого определения длинной линии вводят количественный критерий, связанный с соотношением между длиной l самой линии, измеряемой в метрах (в радиосистемах) или километрах (в многоканальных системах связи), и минимальной длиной волны λmin гармонических составляющих воздействия. Этот критерий часто называют электрической длиной. С помощью этого критерия нетрудно определить, является ли в конкретных обстоятельствах исследуемая линия длинной или она может рассматриваться как система с сосредоточенными параметрами. Суть критерия состоит в следующем. Пусть к линии длиной l приложено воздействие, максимальная частота гармонических составляющих которого равна fmax. Тогда минимальная длина волны λmin определится из известной формулы λ min где c — скорость света. c f max , Часть I. Глава 7 354 Рассмотрим два варианта соотношений между l и λmin: 1. Длина линии l превышает или имеет один порядок с минимальной длиной волны λmin. Это означает, что на линии длиной l > λmin укладывается более одного периода T = 1/fmax заданной гармоники. Если длина линии и длина волны имеют один порядок, т. е. их длины соизмеримы, на линии укладывается существенная часть одного периода, по которой можно полностью определить параметры гармонического колебания. Наименьшей существенной частью периода является его четверть. Тогда, например, на линии длиной l = λmin/4 укладывается ровно четверть периода заданного гармонического колебания (такая линия называется четвертьволновым отрезком и широко применяется на практике). Следовательно, и в том и в другом случае колебание с частотой fmax будет иметь различную фазу в разных точках линии и потому запаздывать относительно изменения мгновенного значения напряжения или тока на входе линии. Иначе говоря, в один и тот же момент времени мгновенные значения токов и напряжений в различных точках линии будут различными. Такая линия и является длинной. Отмеченное запаздывание играет существенную роль при передаче сигналов и будет изучено в дальнейшем. 2. Длина линии l существенно меньше минимальной длины волны l << λmin. Тогда во всех точках линии колебания всех гармонических составляющих воздействия находятся практически в фазе, поэтому токи и напряжения не зависят от пространственных координат. Такая линия не является длинной, она считается системой с сосредоточенными параметрами и может быть заменена эквивалентной ей цепью из элементов R, L и C. Пример 23.1. Имеется отрезок кабеля длиной l = 0,3 м. Определить его принадлежность к длинной линии или к цепи с сосредоточенными параметрами, если по нему передаѐтся телевизионный сигнал в одном случае с наивысшей частотой fmax1 = 8,5 МГц, а в другом — в диапазоне дециметровых волн (частоты 300—3000 МГц). Решение. Минимальная длина волны в первом случае составляет λ min1 c f max1 3 108 8,5 106 35 м 0,3 м, поэтому данный отрезок кабеля может считаться цепью с сосредоточенными параметрами. Во втором случае, когда длина волны λ не превышает десятков сантиметров, этот же отрезок кабеля должен рассматриваться как длинная линия. Лекция 23. Первичные параметры длинной линии 355 Отсюда следует смысл критерия электрической длины линии: одна и та же цепь представляет собой систему с распределѐнными или сосредоточенными параметрами в зависимости от частоты приложенного к ней воздействия. В приведѐнном примере демонстрировался случай распространения высокочастотного колебания в отрезке кабеля. С другой стороны, для излучения радиоволн требуется разместить в пространстве систему проводников и подвести к ней колебания от радиопередатчика. Такая система называется антенной. Из критерия электрической длины следует ясное правило: чтобы антенна хорошо излучала, еѐ размеры должны быть сравнимы с длиной излучаемой волны. Невозможно, например, излучать километровые волны с помощью небольшого куска проволоки. По этой причине длинноволновые передающие антенны (так называемые антенные поля) имеют гигантские размеры, измеряемые в километрах. Если же передатчик работает в диапазоне дециметровых волн, размеры передающей антенны не превосходят нескольких метров и антенна может представлять собой штырь. Например, радиостанция "Кварц", работающая в диапазоне 1,5—7 МГц, имеет штыревую антенну длиной 1,5 м, а радиостанция Р-163-10К работает в диапазоне 2— 30 МГц и среди других антенн имеет антенну-штырь 2,4 м. Задача анализа процессов распространения электромагнитной энергии в длинных линиях достаточно сложна. Она является частной задачей анализа процессов распространения электромагнитной энергии в неоднородных средах. Такие задачи решаются с помощью уравнений Максвелла, однако непосредственное применение уравнений Максвелла для подобных задач весьма затруднительно и выполнимо лишь при некоторых ограничениях, или допущениях, когда решения получаются особенно простыми, что показано в разд. 23.3. Кроме того, поскольку в длинных линиях мгновенные значения тока и напряжения в различных точках различны, к ним не применимы законы Ома и Кирхгофа. Тем не менее, к длинным линиям можно применять теорию электрических цепей и, в частности, теорию четырѐхполюсников, если принять следующие основные допущения о длинных линиях:  неизменность по всей длине линии конструктивных и электрических ха- рактеристик (материала, поперечного сечения проводов, их взаимного расположения, диэлектрической проницаемости среды, температуры и т. д.); такие линии называются однородными линиями;  геометрические размеры линии в поперечном сечении малы по сравнению с длиной волны колебания, проходящего по ней;  длина линии намного превышает расстояние между проводниками. Часть I. Глава 7 356 23.1.2. Классификация длинных линий Длинные линии классифицируются, в основном, по конструктивным признакам (рис. 23.1), которые определяют электрические свойства линии. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ Симметричные Воздушные Полосковые Кабельные Телефонные Несимметричные Коаксиальные Витые пары, четвѐрки и т. д. Волноводы Оптоволоконные Рис. 23.1. Классификация длинных линий В настоящее время принята следующая классификация длинных линий:  по расположению проводников относительно друг друга: симметричные и несимметричные;  симметричные подразделяются на воздушные и кабельные;  воздушные линии (рис. 23.2, а) состоят из параллельных неизолированных проводов, укреплѐнных на опорах с помощью специальных изоляторов, расстояние между неизолированными проводами a значительно превышает диаметр проводов a >> 2r;  кабельные линии подразделяются на телефонные (кабели категории 1) и витые (кабели категорий 2—5); телефонные кабели представляют собой симметричную пару параллельных проводов (рис. 23, б), помещѐнных в изолирующий диэлектрик; витые кабели создаются на основе витых пар, каждая из которых состоит из двух скрученных друг с другом изолированных медных проводов (рис. 23.2, в); например, скрученные между собой две пары образуют так называемую четвѐрку (рис. 23.2, г); расстояние между проводами a в каждой в телефонном кабеле и витой паре больше диаметра проводов: a > 2r; Лекция 23. Первичные параметры длинной линии 357  несимметричные длинные линии подразделяются на коаксиальные и опто- волоконные кабели и волноводы; коаксиальный кабель состоит из центрального медного провода и металлической оплетки (экрана), разделѐнных между собой слоем диэлектрика (внутренней изоляции) и помещенных в общую внешнюю оболочку (рис. 23.2, д); структура оптоволоконного кабеля (рис. 23.2, е) похожа на структуру коаксиального кабеля, но вместо центрального медного провода здесь используется тонкое (диаметром около 1—10 мкм) стекловолокно, а вместо внутренней изоляции — стеклянная или пластиковая оболочка, не позволяющая свету выходить за пределы стекловолокна; волновод (рис. 23.2, ж) представляет собой сплошную трубу обычно прямоугольного сечения, размеры которого должны отвечать условиλ ям: a λ, b λ , причѐм половина длины волны должна уклады2 ваться целое число раз в одной из сторон сечения; изучение волноводов выходит за рамки теории цепей и является предметом теории и техники сверхвысоких частот (СВЧ);  отдельную группу составляют разнообразные полосковые линии (примеры показаны на рис. 23.2, з, и), которые используются в технике сверхвысоких частот. Полосковая линия представляет собой плоскостную линию, которая направляет электромагнитные волны в воздушной или иной диэлектрической среде вдоль двух пли нескольких проводников, имеющих форму тонких полосок и пластин. Наряду с двухпроводными и коаксиальными линиями полосковые линии являются разновидностями волновода. Они — единственный тип линий передачи СВЧ-сигналов, обеспечивающий возможность комплексной микроминиатюризации радиотехнических устройств и допускающий изготовление устройств СВЧ в интегральном исполнении. В гибридных интегральных схемах применяют так называемые микрополосковые линии. К достоинствам полосковых линий и различных устройств на их основе относятся: возможность автоматизации их производства с применением плѐночной технологии, в отдельных операциях подобной технологии изготовления печатных схем (и, следовательно, низкая трудоемкость, повышенная надѐжность и хорошая воспроизводимость характеристик); сравнительная простота изготовления отдельных устройств на полосковых линиях и возможность точного изготовления технологически очень сложных функциональных узлов. Более подробная классификация кабелей согласно принятым международным стандартам приведена в разд. 23.4. Часть I. Глава 7 358 2r Диэлектрическая изоляция 2r a a а Проводники 1и2 б Четвѐрка в г Диэлектрическая изоляция Внутренний диэлектрик Центральное волокно Внешняя изолирущая оболочка Центральный проводник Стеклянная оболочка r2 b д Экран е 2r1 Внешний изолятор ж a Опорный слой Диэлектрик Проводник Опорный слой Диэлектрик з Проводник Опорный слой и Рис. 23.2. Поперечные сечения и некоторые линейные параметры длинных линий: а) воздушной линии, б) симметричной кабельной пары, в) витой пары, г) витой четвѐрки, д) коаксиального кабеля, е) оптоволоконного кабеля, ж) волновода, з) микрополосковой линии, и) полосковой линии Лекция 23. Первичные параметры длинной линии 359 23.2. Первичные параметры длинной линии Согласно принятым допущениям о длинных линиях однородная линия может быть представлена своей моделью в виде цепи с бесконечно большим числом бесконечно малых по величине пассивных элементов (рис. 23.3), равномерно расположенных по еѐ длине. dL i dL dR dG dL dR dG dG u dC i di dx dC u du dx dC dx x Расстояние от начала линии Бесконечно малый отрезок длинной линии Рис. 23.3. Модель однородной длинной линии Измерить и вычислить эти величины невозможно; тем не менее, знать электрические характеристики линии необходимо. Электрические характеристики линии оценивают через еѐ параметры, которые разделяют на две группы: первичные и вторичные параметры. Первичные параметры линии характеризуют еѐ физическую природу и выражаются через сопротивление, индуктивность, ѐмкость, проводимость, отнесѐнные к единице длины линии (1 км в линиях проводной связи и 1 м в линиях радиосвязи). По этой причине первичные параметры называют также погонными. Следовательно, погонными параметрами являются:  R — погонное сопротивление (Ом/м или Ом/км),  L — погонная индуктивность (Г/м или Г/км),  G — погонная активная составляющая проводимости изоляции между проводами (См/м или См/км), Часть I. Глава 7 360  C — погонная ѐмкость (Ф/м или Ф/км), или ѐмкость конденсатора, обра- зованного отрезком линии единичной длины. З А МЕ Ч А Н И Е В оптоволоконных кабелях первичным параметром является зависимость коэффициента преломления оптического волокна от расстояния до оптической оси. Вторичные параметры, изучаемые в разд. 23.3, характеризуют отклик линии передачи на некоторые эталонные воздействия, в качестве которых наиболее часто используются гармонические сигналы различных частот. Таблица 23.1. Параметры симметричных линий и коаксиального кабеля Расчётная формула Параметр X м Сопротивление R Индуктивность L Симметричная линия Воздушная f 8,36 10 r (для медных проводников) Сложная функция f, a, r; определяется по графикам или таблицам 4 10 7 ln a r r ε 10 9 a r 36ln r Ёмкость C Проводимость G 5 Кабельная 0 4,18 f k 10 r2 1 r1 2 10 7 ln ε 10 18ln ωCtgδ Примечание Коаксиальный кабель 9 r2 r1 ωCtgδ r2 r1 5 f в Гц, k = 1 для сплошного проводника, k = 1,8 для оплѐтки, a, r, r1, r2 — в мм, ε — отн. диэлектрическ. проницаемость среды (для вакуума ε – 1) tgδ1 << 1 Рассмотрим первичные параметры подробнее. В табл. 23.1 без доказательства приводятся расчѐтные формулы первичных параметров, вывод которых 1 tgδ — тангенс угла диэлектрических потерь δ (или просто тангенс угла потерь); угол δ представляет собой дополняющий до 90 угол между приложенными напряжением и током, протекающим через конденсатор с данным диэлектриком. Тангенс угла потерь используется для определения затухания в линии, вызываемого диэлектрическими потерями вследствие неидеальности диэлектрика. Лекция 23. Первичные параметры длинной линии 361 осуществляется методами теории электромагнитного поля, из которой известно, что плотность тока в уединѐнном проводе круглого сечения неравномерна и убывает от поверхности к центру провода. Скорость убывания тем больше, чем выше частота. Это явление известно под названием поверхностного эффекта2, или скин-эффекта. Неравномерность распределения плотности тока по сечению провода эквивалентна уменьшению площади его поперечного сечения и, следовательно, увеличению сопротивления провода с ростом частоты. В то же время скинэффект уменьшает внутреннюю индуктивность при возрастании частоты. По этой причине в технике связи используются кабели разнообразной конструкции, отличающиеся способностью эффективно передавать сигналы различных частотных диапазонов (см. разд. 23.4). Сопротивление R проводов при температурах, отличных от 20 , уточняется по формуле RT R 1 σT T 20 , где ζ T [1/град] — температурный коэффициент, T — температура С . Сопротивление растѐт пропорционально квадратному корню из частоты колебания. Индуктивность L определяется отношением магнитного потока, сцепляющегося с контуром единичной длины, к току, вызывающему этот поток. Индуктивность линии складывается из внешней и внутренней индуктивностей. Внешняя индуктивность определяется только геометрическими размерами линии и не зависит от частоты. Внутренняя индуктивность зависит от материала проводов, их диаметра и частоты. Скин-эффект уменьшает внутреннюю индуктивность с ростом частоты. Ёмкость С определяется отношением заряда, приходящегося на единицу длины линии, к напряжению между проводами линии; ѐмкость от частоты практически не зависит. Проводимость G обусловлена потерями в диэлектрике и зависит от частоты: с ростом частоты проводимость увеличивается. Любая линия обладает некоторой рабочей полосой частот от fmin до fmax, на которых частотно зависимые первичные параметры имеют различные значения, 2 В основе поверхностного эффекта лежит индукционный механизм, обусловленный скоростью изменения магнитных полей в проводнике, поэтому эффект нарастает с ростом частоты. Выше некоторой пороговой частоты fп поверхностный эффект "выталкивает" ток в более тонкий слой по периметру проводника, что вызывает неограниченный рост кажущегося активного сопротивления, которое возрастает пропорционально корню квадратному частоты. Часть I. Глава 7 362 поэтому при анализе колебаний в линии полагают численные значения первичных параметров линии равными их средним значениям в рабочей полосе. Теперь можно уточнить определение однородной линии, введѐнное в качестве первого допущения о длинных линиях. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Однородной линией называется такая линия, первичные параметры которой неизменны по всей длине. З А МЕ Ч А Н И Е Линию с неравномерным распределением первичных параметров часто можно разбить на однородные участки. 23.3. Уравнения передачи длинной линии Постановка задачи. Как было отмечено, напряжения и токи в длинной линии являются функциями времени t и координаты x, отсчитываемой от одного из концов линии. Этот факт значительно усложняет анализ распределения напряжения и тока для колебания произвольной формы. Дело существенно упрощается, если воспользоваться режимом установившихся гармонических колебаний, поскольку для этого режима заранее известен закон изменения напряжений и токов от времени в любом сечении линии. С другой стороны, для длинных линий, в силу распределѐнности еѐ параметров по всей длине, неприменимы законы Ома и Кирхгофа. Если же длинную линию представить как цепь с бесконечно большим числом бесконечно малых по величине пассивных элементов (см. рис. 23.3), то в цепи можно выделить бесконечно большое число бесконечно малых отрезков и каждый из них рассматривать как четырѐхполюсник, находящийся на расстоянии x от начала линии. Параметры каждого четырѐхполюсника бесконечно малы. Для такого отрезка длинной линии применимы законы Ома и Кирхгофа. Задача 23.1. Найти законы изменения напряжения и тока вдоль однородной линии в режиме установившихся гармонических колебаний. Решение. Выделим бесконечно малый отрезок длинной линии dx, находящийся на расстоянии x от еѐ начала (рис. 23.4.). На таком участке можно положить, что токи являются квазистационарными и его эквивалентная схема содержит сосредоточенные параметры: последовательно включѐнные индуктивность dL = Ldx и сопротивление dR = Rdx и параллельно включѐнные ѐмкость dC = Cdx и активную проводимость dG = Gdx. Лекция 23. Первичные параметры длинной линии 363 dU I dL Ldx U dR Rdx dC Cdx I dI dG dI U Gdx dU dx Рис. 23.4. Бесконечно малый отрезок длинной линии Воспользуемся символическим методом анализа гармонических колебаний, для чего обозначим комплексные напряжения и токи в начале и в конце отрезка как U , I , U dU , I dI . К данному отрезку длинной линии, представляющему собой четырѐхполюсник с сосредоточенными параметрами, можно применить законы Ома и Кирхгофа. Тогда при выбранных направлениях отсчѐта согласно законам Кирхгофа падение напряжения на отрезке dx составит dU , а ток в поперечной проводимости равен dI . Для указанных напряжения и тока на отрезке dx можно по закону Ома записать пару уравнений: dU I ( Rdx dI U jωLdx ) dU (Gdx I (R jωL)dx; jωCdx ) U (G jωC )dx (G jωC )dUdx . (23.1) Второйпорядок малости Второе слагаемое в уравнении (23.1) содержит произведение dUdx и потому является величиной более высокого порядка малости по сравнению с первым слагаемым. По этой причине вторым слагаемым можно пренебречь. Разделив далее оба уравнения на dx, получаем систему дифференциальных уравнений с неизвестными U и I : dU I (R dx dI U (G dx jωL); (23.2) jωC ). Часть I. Глава 7 364 Уравнения (23.2) называются телеграфными, т. к. впервые были получены для линий телеграфной связи. В этих уравнениях U и I представляют собой комплексные амплитуды напряжения и тока в сечении линии, удалѐнном на расстояние x от начала линии. Чтобы получить законы изменения напряжений и токов гармонических колебаний, необходимо решить дифференциальные уравнения (23.2). Найдѐм комплексное напряжение U в сечении на расстоянии x от начала линии. Для этого продифференцируем первое уравнение из (23.2) по x: d 2U dx 2 jωL) dI из второго уравнения (23.2): dx и подставим сюда выражение для d 2U dx 2 dI (R dx U (G jωC )( R jωL). Введя обозначение (G jωC )( R γ2 , jωL) (23.3) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами d 2U dx 2 2 U (23.4) 0, общее решение которого для напряжения в точке x, как известно, имеет вид: U A1e γx A2 e γx , (23.5) где A1 и A2 — постоянные интегрирования, а ±γ — корни характеристического уравнения p2 – γ2 = 0. Теперь нетрудно найти общее решение для распределения тока I в линии, если из первого уравнения (23.2) записать I 1 R jω L dU dx и подставить сюда результат дифференцирования по x уравнения (23.5): I R 1 jωL A1γe γx A2 γe γx γ A1e R jωL γx A2e γx . Лекция 23. Первичные параметры длинной линии 365 Комплексная переменная Zв R jωL γ R G jωL jωC Zв e j в (23.6) называется волновым сопротивлением длинной линии. При использовании (23.26) решение для тока в точке x примет вид: 1 A1e Zв I γx A2e γx . (23.7) Пара уравнений (23.5) и (23.7) составляет общее решение телеграфных уравнений (23.2) для напряжения и тока в точке x: γx U A1e I A1 e Zв γx A2e γx ; (23.8) A2 γx e . Zв Таким образом, поставленная задача решена: получены уравнения передачи длинной линии (23.8). Постоянные интегрирования A1 и A2 зависят только от значений напряжений и токов на внешних зажимах линии U 0 и I 0 , т. е. от начальных условий. Следовательно, при x = 0 из (23.8) получаем: U0 A1 A2 ; I0 A1 Zв A2 . Zв Отсюда A1 A2 U0 I0Zв ; 2 U0 I0Zв . 2 (23.9) Параметры γ и Zв, называемые соответственно коэффициентом распространения и волновым сопротивлением, относятся к вторичным параметрам длинной линии и зависят исключительно от свойств линии и частоты гармонических колебаний и не меняются при изменении начальных условий. Коэффициент распространения γ в общем случае является комплексной величиной и записывается в виде: γ (G jωC )( R jωL) α jβ , (23.10) 366 Часть I. Глава 7 где:  α — коэффициент затухания;  β — коэффициент фазы. Физический смысл указанных параметров будет рассмотрен далее. 23.4. Классификация кабелей согласно международному стандарту Витые пары проводов используются в дешѐвых и наиболее популярных кабелях. Кабель на основе витых пар представляет собой несколько пар скрученных попарно изолированных медных проводов в единой диэлектрической (пластиковой) оболочке. Он довольно гибкий и удобный для прокладки. Скручивание проводов позволяет свести к минимуму индуктивные наводки кабелей друг на друга и снизить влияние переходных процессов. Согласно стандарту EIA/TIA 568, различают пять основных и две дополнительные категории кабелей на основе неэкранированной витой пары (UTP):  Кабель категории 1 — это обычный телефонный кабель (пары проводов не витые), по которому можно передавать только речь. Этот тип кабеля имеет большой разброс параметров (волнового сопротивления, полосы пропускания, перекрѐстных наводок).  Кабель категории 2 — это кабель из витых пар для передачи данных в полосе частот до 1 МГц. Кабель не тестируется на уровень перекрѐстных наводок. В настоящее время он используется очень редко. Стандарт EIA/TIA 568 не различает кабели категорий 1 и 2.  Кабель категории 3 — это кабель для передачи данных в полосе частот до 16 МГц, состоящий из витых пар с девятью витками проводов на метр длины. Кабель тестируется на все параметры и имеет волновое сопротивление 100 Ом. Это самый простой тип кабелей, рекомендованный стандартом для локальных сетей, однако сейчас повсеместно вытесняется кабелем категории 5.  Кабель категории 4 — это кабель, передающий данные в полосе частот до 20 МГц. Используется редко, так как не слишком заметно отличается от категории 3. Стандартом рекомендуется вместо кабеля категории 3 переходить сразу на кабель категории 5. Кабель категории 4 тестируется на все параметры и имеет волновое сопротивление 100 Ом. Кабель был создан для работы в сетях по стандарту IEEE 802.5.  Кабель категории 5 — в настоящее время самый совершенный кабель, рассчитанный на передачу данных в полосе частот до 100 МГц. Состоит Лекция 23. Первичные параметры длинной линии 367 из витых пар, имеющих не менее 27 витков на метр длины (8 витков на фут). Кабель тестируется на все параметры и имеет волновое сопротивление 100 Ом. Рекомендуется применять его в современных высокоскоростных сетях типа Fast Ethernet и TPFDDI. Кабель категории 5 примерно на 30—50 % дороже, чем кабель категории 3.  Кабель категории 6 — перспективный тип кабеля для передачи данных в полосе частот до 200 (или 250) МГц.  Кабель категории 7 — перспективный тип кабеля для передачи данных в полосе частот до 600 МГц. Согласно стандарту EIA/TIA 568, полное волновое сопротивление наиболее совершенных кабелей категорий 3, 4 и 5 должно составлять 100 Ом ±15% в частотном диапазоне от 1 МГц до максимальной частоты кабеля. Второй важнейший параметр, задаваемый стандартом, — это максимальное затухание сигнала, передаваемого по кабелю, на разных частотах. В табл. 23.2 приведены предельные значения величины затухания в децибелах для кабелей категорий 3, 4 и 5 на расстояние 305 м (то есть 1000 футов) при нормальной температуре окружающей среды 20 °С. Таблица 23.2. Максимальное затухание в кабелях Частота, МГц Максимальное затухание, дБ Категория 3 Категория 4 Категория 5 0,064 2,8 2,3 2,2 0,256 4,0 3,4 3,2 0,512 5,6 4,6 4,5 0,772 6,8 5,7 5,5 1,0 7,8 6,5 6,3 4,0 17 13 13 8,0 26 19 18 10,0 30 22 20 16,0 40 27 25 20,0 — 31 28 25,0 — — 32 31,25 — — 36 62,5 — — 52 100 — — 67 Часть I. Глава 7 368 Из таблицы видно, что величины затухания на частотах, близких к предельным, для всех кабелей весьма значительны. Даже на небольших расстояниях сигнал ослабляется в десятки и сотни раз, что предъявляет высокие требования к приѐмникам сигнала. Ещѐ один важный параметр любого кабеля, не определяемый стандартом, но существенно влияющий на работоспособность сети, — это скорость распространения сигнала в кабеле или, другими словами, задержка распространения сигнала в кабеле в расчѐте на единицу длины. Производители кабелей обычно указывают величину или задержки на метр длины, или скорость распространения сигнала относительно скорости света (или NVP — Nominal Velocity of Propagation, как еѐ часто называют в документации). Эти величины связаны формулой tгз 1 3 1010 NVP , где tгз — величина задержки на метр длины кабеля в наносекундах. Например, если NVP = 0,65 (65 % от скорости света), то задержка tгз будет равна 5,13 нс/м. Типичная величина задержки большинства современных кабелей составляет около 4—5 нс/м. В табл. 23.3 приведены величины NVP и задержек на метр длины (в наносекундах) для некоторых типов кабеля двух самых известных компанийпроизводителей AT&T и Belden. Таблица 23.3. Временные характеристики некоторых кабелей Фирма Марка Категория NVP Задержка AT&T 1010 3 0,67 4,98 AT&T 1041 4 0,70 4,76 AT&T 1061 5 0,70 4,76 AT&T 2010 3 0,70 4,76 AT&T 2041 4 0,75 4,44 AT&T 2061 5 0,75 4,44 Belden 1229A 3 0,69 4,83 Belden 1455A 4 0,72 4,63 Belden 1583A 5 0,72 4,63 Belden 1245A2 3 0,69 4,83 Belden 1457A 4 0,75 4,44 Belden 1585A 5 0,75 4,44 Лекция 23. Первичные параметры длинной линии 369 Волновое сопротивление кабеля указывается в сопроводительной документации. Чаще всего в локальных сетях применяются 50-омные (RG-58, RG-11, RG-8) и 93-омные кабели (RG-62). Распространѐнные в телевизионной технике 75-омные кабели в локальных сетях не используются. Марок коаксиального кабеля немного. Он не считается особо перспективным, поэтому в сети Fast Ethernet не предусмотрено применение коаксиальных кабелей. Однако во многих случаях классическая шинная топология (а не пассивная звезда) очень удобна, поскольку она не требует применения дополнительных устройств — концентраторов. Типичные величины задержки распространения сигнала в коаксиальном кабеле составляют для тонкого кабеля около 5 нс/м, а для толстого — около 4,5 нс/м. Оптоволоконный (или волоконно-оптический) кабель — это принципиально иной тип кабеля по сравнению с рассмотренными типами кабеля. Информация по нему передаѐтся не электрическим сигналом, а световым. Главный его элемент — это прозрачное стекловолокно, по которому свет проходит на огромные расстояния (до десятков километров) с незначительным ослаблением. Типичная величина затухания сигнала в оптоволоконных кабелях на частотах, используемых в локальных сетях, составляет от 5 до 20 дБ/км, что примерно соответствует показателям электрических кабелей на низких частотах. Но в случае оптоволоконного кабеля при росте частоты передаваемого сигнала затухание увеличивается очень незначительно, и на больших частотах (особенно свыше 200 МГц) его преимущества перед электрическим кабелем неоспоримы: здесь он вне конкуренции. L2 C2 1 R U вх Лекция 24 U вых ( jω) 1 U вых U вх ( jω) L1 Z вх 2 H ( jω) C1 R 2 R Волновые параметры длинной линии 24.1. Падающие и отражѐнные волны Полученные в предыдущей лекции уравнения передачи длинной линии (23.8) описывают комплексные амплитуды напряжения U и тока I . Для оценки волнового характера колебаний в линии связи перейдѐм к мгновенным значениям напряжения и тока. С этой целью подставим в выражения (23.8) значения волнового сопротивления (23.6) и коэффициента распространения (23.10) U A1e I A1 e Zв γx γx A2e γx x A1e A2 γx e Zв A1 e zв j x e x e A2e x e j x ; j( x в) A2 x j ( e e zв x в) . Тогда для мгновенных значений напряжений и токов в линии получаем: u(t , x ) A1 e i (t , x ) A1 e zв x cos( t x 1) A2 e x cos( t x 1 в) x cos( t A2 e zв x x cos( t 2 ); x 2 в ), (24.1) где φ1 и φ2 — аргументы комплексных величин A1 и A2. Решения (24.1) подтверждают, что напряжения и токи в длинной линии являются функциями как времени t , так и координаты (расстояния) x . Каждое из уравнений представляет собой сумму двух слагаемых, структуры которых тождественны, но отличаются только знаками перед коэффициентами затухания α и фазы β. Сначала рассмотрим левые слагаемые уравнений (24.1) Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 371 напряжений и токов, которые назовѐм падающими волнами напряжения и тока (смысл такого названия будет ясен из дальнейшего): uпад (t , x ) A1 e iпад (t , x ) A1 e zв αx cos(ωt βx φ1 ); αx cos(ωt βx φ1 φв ). (24.2) Из этих выражений следует:  при любом фиксированном x, т. е. в любом сечении линии, и напряжение uпад(t, x), и ток iпад(t, x) являются гармоническими колебаниями;  амплитуды колебаний убывают по мере удаления от начала к концу линии по экспоненциальному закону e–αx;  в любом сечении линии отношение амплитуды напряжения uпад(t, x) к амплитуде тока iпад(t, x) равно модулю волнового сопротивления zв, а разность фаз между ними равна аргументу φв волнового сопротивления линии;  колебание напряжения uпад(t, x2) или тока iпад(t, x2) в сечении x2 > x1 отстаѐт по фазе от колебания uпад(t, x1) или iпад(t, x1), поскольку коэффициент фазы является величиной положительной: β > 0. Сказанное демонстрируется на рис. 24.1, где представлено графическое распределение мгновенных значений напряжений uпад(ti, x) по линии для трѐх последовательных моментов времени: t1 < t2 < t3. Эти графики можно рассматривать как последовательные мгновенные снимки картины распределения напряжений uпад(ti, x) в указанные моменты времени. Они отображают волну, распространяющуюся от начала линии к концу. Например, рассматривая графики в моменты t1 и t2, замечаем, что в момент t2 фаза напряжения в каждой точке линии изменится на величину ω(t2 – t1). Огибающая процесса изображена пунктиром. Аналогичная картина имеет место и для тока. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Совокупность волн напряжения uпад (t , x) и тока iпад (t , x) называется падающей волной. Найдѐм длину λ и скорость распространения падающей волны в линии. Под длиной волны понимают расстояние между смежными сечениями линии, фаза колебаний волны на которых отличается на 2π (рис. 24.1): ( t x1 1) ( t x2 1) 2π , Часть I. Глава 7 372 откуда имеем равенство x2 x1 2π , λ из которого получаем формулу для вычисления длины волны: 2π . β λ uпад (ti , x) S t1 t1 t2 t2 (24.3) t3 t3 S A1 e αx x 0 Δx λ x1 A1 e Длина волны x2 αx Рис. 24.1. Мгновенные снимки картины распределения напряжений в линии ОПРЕДЕЛЕНИЕ Скоростью распространения, или фазовой скоростью, называют скорость νф, с которой распространяется в линии состояние равной фазы волны; например, скорость, с которой перемещается вдоль линии нуль напряжения или тока. Нуль напряжения достигается в точках, где функция косинуса равна нулю, поэтому условие состояния равной фазы можно записать в виде равенства: cos( t x 1) 0, ωt βx φ1 π 2kπ. 2 при этом аргумент имеет значения: Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 373 Продифференцировав обе части полученного равенства по переменной t, найдѐм скорость распространения нуля vф dx dt ω β км , с (24.4) т. е. скорость распространения состояния равной фазы. Фазовая скорость показывает, какое расстояние Δx проходит точка S в единицу времени (см. рис. 24.1), и равна отношению частоты колебания к коэффициенту фазы. Рассмотрим, чему будет равен коэффициент фазы в наиболее характерной для практики области частот, когда ωL >> R и ωC >> G, для чего разложим коэффициент распространения γ на вещественную и мнимую части: γ (G jωC )( R jωL) α jω LC 1 jβ jω LC R jωL 1 2 1 R jωL 1 G jωC 1 2 1 G jωC . Разложение в ряды полученных в правой части биномиальных сомножителей и удержание в разложениях лишь по два слагаемых даѐт: jω LC 1 γ R j 2ωL 1 G . j 2ωC Раскрывая скобки и пренебрегая в произведении величиной второго порядка малости, получаем приближѐнное выражение для коэффициента распространения: γ R C 2 L G L 2 C jω LC . (24.5) В линиях с хорошим диэлектриком проводимость чрезвычайно мала, поэтому второе вещественное слагаемое в выражении (24.5) оказывается очень малым по сравнению с первым, что позволяет записать формулы для коэффициентов затухания и фазы с хорошей степенью приближения: α R C ; β ω LC . 2 L (24.6) Тогда в указанной выше области частот фазовая скорость (24.4) согласно (24.6) оказывается равной vф 1 . LC Часть I. Глава 7 374 Подставляя сюда формулы значений первичных параметров длинной линии L и C (табл. 23.1), получаем: vф 1 LC 1 4 10 7 ln 9 a r ε 10 r 36ln a r r 3 108 ε c , ε (24.7) где с — скорость света. Из (24.7) ясно, что для воздушных линий νф = c, поскольку в этом случае можно считать ε = 1. Для коаксиального кабеля, у которого всегда ε > 1, фазовая скорость меньше скорости света в вакууме (например, при типовом значении ε = 2,3 имеем νф ≈ 0,66 c). Интересно, что в области низких частот значение фазовой скорости убывает с уменьшением частоты. Это объясняется меньшим проявлением скинэффекта: волна больше проникает в проводник, и колеблющиеся частицы внутри проводника возбуждают вторичные волны. Поскольку частицы обладают некоторой инерцией, образуемые ими вторичные волны запаздывают по фазе относительно вынуждающей колебания волны, поэтому происходит запаздывание фазы результирующей волны и, как следствие, уменьшение фазовой скорости. Обратимся теперь ко вторым слагаемым уравнений (24.1), которые назовѐм отражѐнными волнами напряжения и тока: uотр (t , x ) iотр (t , x ) A2 eαx cos(ωt βx φ2 ); A2 e zв αx cos(ωt βx φ2 φв ). (24.8) Проведя анализ этих слагаемых подобно тому, как это сделано для падающих волн, нетрудно убедиться, что они описывают затухающую волну такого же характера, как и падающая, но распространяющуюся в обратном направлении: от конца к началу линии. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Волна напряжения uотр(t, x) и тока iотр(t, x), распространяющаяся от конца к началу линии, называется отражѐнной волной. Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 375 24.2. Соотношения между комплексными амплитудами падающих и отражѐнных волн Из анализа, выполненного в разд. 24.1, следует:  фазовая скорость отражѐнной волны совпадает с точностью до знака с фа- зовой скоростью падающей волны νф отр = –νф пад;  амплитуда напряжения (тока) отражѐнной волны максимальна в конце линии и убывает к еѐ началу;  амплитуда напряжения (тока) падающей волны минимальна в конце ли- нии;  напряжение u(x) (ток) в любой точке длинной линии x является суммой напряжений (токов) падающей и отражѐнной волн: u(x) = uпад(x) + uотр(x), i(x) = iпад(x) + iотр(x). Переходя к комплексным амплитудам напряжений и токов падающей и отражѐнной волн, входящих в уравнения передачи длинной линии (23.8), последние суммы для любого сечения линии можно записать в виде: U A1e I A1 e Zв γx γx A2e γx U пад U отр ; A2 γx e Zв I пад (24.9) I отр . Практический интерес представляют соотношения между комплексными амплитудами падающих и отражѐнных волн в линии, имеющей длину l и нагруженной на комплексное сопротивление Zl (рис. 24.2), когда на входе еѐ действуют известные напряжение U 0 и ток I 0 . I0 Il Zl U0 Ul l Рис. 24.2. Линия, нагруженная на комплексное сопротивление Zl Часть I. Глава 7 376 24.2.1. Волновое сопротивление Прежде всего отметим, что при любом x, т. е. в любой точке линии согласно (24.9) справедливы равенства: U пад I пад U отр Zв , I отр (24.10) которое говорит о том, что в любом сечении линии отношение комплексных амплитуд напряжения и тока падающей (отражѐнной) волны равно волновому сопротивлению линии Zв. Свойства волнового сопротивления можно определить из выражений (24.10) и (23.6): Zв R jωL γ R G jωL jωC Zв e j в , из которых следует:  модуль волнового сопротивления |Zв| представляет собой отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока падающей (отражѐнной) волны;  фаза (угол) φв волнового сопротивления представляет собой разность ме- жду фазами напряжения и тока падающей (отражѐнной) волны;  на частоте ω = 0 фаза φв = 0, а само волновое сопротивление чисто ак- тивно R ; G Zв  при стремлении частоты к бесконечности ω → 0 фаза φв = 0 и волновое сопротивление, как и в предыдущем случае, чисто активно Zв L C ρв ;  модуль волнового сопротивления |Zв| с увеличением частоты уменьшается, поскольку для реальных линий R G L (рис. 24.3, а); C  изменение фазы от нулевого значения при ω = 0 до нулевого значения при ω → 0 говорит о том, что на одной из частот фаза будет минимальна (рис. 24.3, б), поскольку на всех частотах она является отрицательной. Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 377 Zв R G ρв 0 ω аа ω бб φв 0 minφ в Рис. 24.3. Частотная зависимость: а) модуля волнового сопротивления, б) фазы волнового сопротивления 24.2.2. Коэффициент отражения Что касается соотношения между комплексными амплитудами напряжения (тока) падающей и отражѐнной волн, то оно оказывается различным в различных сечениях линии. Установить эти соотношения можно из системы (23.8), положив x = l, при условии, что напряжение U l и ток I l в конце линии известны. При этих условиях из (23.7) находятся два уравнения относительно комплексных амплитуд напряжения U l и тока I l : Ul A1e Il Zв γl A1e A2e γl ; γl (24.11) A2 e γl . Из системы (24.11) согласно правилу Крамера получаем значения постоянных A1 и A2: A1 Ul Z в I l γl e ; A2 2 Ul Zв Il e 2 γl . Подстановка найденных значений A1 и A2 в (24.9) приводит к частному решению: U пад U отр Ul Zв Il γ l e 2 Ul Zв Il e 2 x ; I пад γ l x ; I отр Ul Zв Il γ l e 2Zв Ul Zв Il e 2Zв x ; γ l x (24.12) . Часть I. Глава 7 378 Система уравнений (24.12) позволяет записать отношение комплексных амплитуд напряжений и токов отражѐнной и падающей волн в сечении линии, расположенном на расстоянии x от еѐ начала: U отр I отр U пад I пад Ul Ul Zв Il e Zв I l 2γ l x . (24.13) Но при выбранных направлениях отсчѐтов (рис. 24.2) напряжения U l и тока I l имеет место равенство Ul U отр I отр Zl Zl Zl I l , поэтому из (24.13) окончательно получаем: Zв U пад e Zв Zl Zl Zв I пад e Zв 2γ l x pU пад e 2γ l x 2γ l x ; 2γ l x pI пад e (24.14) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ Отношение p U отр U пад I отр x l I пад x l Zl Zl Zв Zв (24.15) комплексной амплитуды напряжения отражѐнной волны к комплексной амплитуде напряжения падающей волны называется коэффициентом отражения. Анализ соотношений (24.14) и (24.15) приводит к следующим выводам: 1. Коэффициент отражения является комплексной величиной и полностью зависит от волнового сопротивления линии Zв и сопротивления нагрузки Zl. 2. Коэффициент отражения по току отличается от коэффициента отражения по напряжению только знаком. 3. При Zl = Zв коэффициент отражения равен нулю p = 0, поэтому отражѐнная волна отсутствует. Линия, сопротивление нагрузки которой равно еѐ волновому сопротивлению, называется нагруженной согласованно, а сопротивление нагрузки — согласованным сопротивлением. Любая другая нагрузка приводит к появлению в линии отражѐнной волны. 4. Отношение амплитуд отражѐнной и падающей волн (см. (24.14) и (24.15)) U отр I отр U пад I пад Zl Zl Zв e Zв 2γ l x убывает с удалением от конца линии к еѐ началу. pe 2γ l x Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 379 5. В режиме короткого замыкания, когда Zl = 0, коэффициент отражения по напряжению p = –1, а коэффициент отражения по току p = 1. Это означает, что напряжения отражѐнной и падающей волн в конце линии находятся в противофазе: U отр U пад , а результирующее напряжение равно нулю Ux l Uотр Uпад 0; при этом токи падающей и отражѐнной волн оказываются в фазе I отр I пад и результирующий ток равен удвоенному току падающей волны Ix l I пад I отр 2 I пад . 6. В режиме холостого хода, когда Zl = , коэффициент отражения по напряжению p = 1, поэтому имеет место ситуация, противоположная относительно вывода, указанного в п. 5: напряжения отражѐнной и падающей волн в конце линии находятся в фазе: U отр U пад , и результирующее напряжение равно удвоенному напряжению падающей волны Ux 2Uпад , l а ток равен нулю Ix l 0. 24.3. Уравнения передачи согласованно нагруженной длинной линии Ранее (см. разд. 23.3) были получены уравнения передачи длинной линии (23.8), которые представляют собой общее решение телеграфных уравнений и описывают закон распределения напряжений и токов по всей линии. Для решения же большинства практических задач достаточно знать соотношения лишь между напряжениями и токами на внешних зажимах линии и вовсе не интересоваться законом распределения напряжений и токов по длине линии. Иначе говоря, на практике вполне достаточно рассматривать линию как согласованно нагруженный четырѐхполюсник, полностью описываемый соответствующими уравнениями передачи. Часть I. Глава 7 380 Поставим задачу найти уравнения передачи согласованно нагруженной линии, которые связывают комплексные амплитуды напряжений и токов на еѐ внешних зажимах. Воспользуемся уравнениями (24.12) для комплексных амплитуд напряжений и токов падающей и отражѐнной волн и подставим их в систему (24.9): Ul Zв Il γ l x e 2 Ul Zв Il γ l x e 2Zв U I Ul ZвIl γ l x ; e 2 Ul Zв Il γ l x . e 2Zв (24.16) Если в систему (24.9) подставить выражения (24.14), получим U U пад 1 pe I I пад 1 pe 2γ l x 2γ l x ; . (24.17) Системы (24.16) и (24.17) представляют собой системы уравнений передачи длинной линии. Обычно комплексные амплитуды напряжения и тока на входных зажимах линии (x = 0) обозначают через U 0 и I 0 (см. рис. 24.2); при таких обозначениях из системы (24.16) получаем наиболее удобную форму записи уравнений передачи линии: U0 I0 Ul Z в I l γl U l Z в I l γl e e ; 2 2 U l Z в I l γl U l Z в I l γl e e . 2Zв 2Zв (24.18) В большинстве случаев уравнения (24.8) записывают в более компактном виде: U0 U l chγl Z в I l shγl ; I0 Ul shγl Zв I l chγl , где:  chγl  shγl e γl e 2 γl e γl e 2 γl — гиперболический косинус; — гиперболический синус. (24.19) Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 381 Для режима согласованной нагрузки, когда Zl = Zв и Ul Zв I l , т. е. когда отсутствует отражѐнная волна, из (24.18) получаем уравнения передачи согласованно нагруженной линии: U0 U l e γl ; I0 U l γl e Zв (24.20) I l e γl . Именно в такой режим и стремятся поставить линию связи, поскольку отражѐнные волны вызывают ряд нежелательных явлений, о чѐм речь пойдѐт далее. 24.4. Постоянная передачи и частотные характеристики длинной линии 24.4.1. Постоянная передачи длинной линии ОПРЕДЕЛЕНИЕ Безразмерная комплексная величина, равная произведению коэффициента распространения γ = α + jβ на длину линии l γl = αl + jβl, называется постоянной передачи линии. (24.21) Вещественная часть постоянной передачи αl называется собственным, волновым или характеристическим затуханием линии, а мнимая часть βl — собственной, волновой или характеристической фазой. Постоянная передачи и входящие в неѐ параметры характеризуют линию как таковую и не зависят от свойств генератора и нагрузки, между которыми линия может быть включена. Поскольку режим согласованной нагрузки для линии является типовым, найдѐм указанные ранее параметры только для этого режима. В таком случае постоянную передачи можно получить, прологарифмировав уравнения (24.20): U I γl αl jβl ln 0 Zl Zв ln 0 Zl Zв . (24.22) Ul Il Подставляя отношения комплексных амплитуд U0 Ul U 0 j φu 0 e Ul φul и I0 Il I0 j e Il φi 0 φil Часть I. Глава 7 382 под знак логарифма, получаем: ln U0 Ul ln U0 Ul ln I0 Il ln I0 Il j φu 0 φul , j φi 0 φil , на основании чего можно записать два равноправных выражения для коэффициента распространения γl αl jβl ln U0 Ul j φu 0 φul ln I0 Il j φi 0 φil , откуда имеем:  собственное затухание линии αl ln U0 Ul Zl Z в ln I0 Il 1 U0 ln 2 Ul Zl Z в 1 U 0 I0 ln 2 U l Il Zl Z в Zl Z в 1 I0 ln 2 Il Zl Z в (24.23) [Нп]  и еѐ собственную фазу βl φu 0 φul Zl Z в φi 0 φil Zl Z в . (24.24) Из выражений (24.23) и (24.24) следует, что для согласованно нагруженной линии:  собственное затухание линии αl [Нп] равно натуральному логарифму от- ношения амплитуд или действующих значений напряжений (токов) на входе и выходе; оно равно также половине натурального логарифма отношения полных мощностей на входе и выходе;  собственная фаза линии равна разности начальных фаз колебаний напря- жений (токов) на входе и выходе. Собственное затухание линии часто оценивается в децибелах: αl 20lg U0 Ul Zl Zв 20lg I0 Il Zl Zв 10lg U0 I0 Ul Il Zl Zв [дБ]. (24.25) В этом случае нетрудно переформулировать зависимость собственного затухания, выраженного в децибелах, через десятичные логарифмы отношений амплитуд напряжений (токов) или полных мощностей. Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 383 Пример 24.1. Оценим потери мощности телевизионного сигнала при распространении его в фидере1 от системы антенн до усилителя головной станции и в коаксиальном кабеле сети кабельного телевидения на отрезках магистральной линии между магистральными усилителями (рис. 24.4). Система антенн P0ф Фидер Магистральные усилители Plф Усилитель головной станции Pу0 Pуl Магистральный коаксиальный кабель Рис. 24.4. Упрощѐнная схема участка сети кабельного телевидения Решение. Затухание фидера зависит от его конструкции, длины lф и коэффициента затухания αф, который измеряется на средней частоте частотного диапазона фидера. Обычный фидерный тракт имеет длину 50—150 м. Типовым кабелем, используемом при конструировании фидерных трактов, является кабель PK-75-24-51, имеющий полосу пропускания 50—600 МГц и коэффициент затухания αф = 0,002 дБ/м на частоте 300 МГц. Тогда при средней длине фидера lф = 100 его собственное затухание (24.25) оказывается равным αфlф = 0,002 100 = 0,2 дБ, а отношение мощности сигнала на выходе фидера Plф к мощности сигнала на входе фидера P0ф составляет Plф P0ф 10 2 10 10 0,2 0,955 раз, т. е. потери мощности в фидере невелики. 1 Фидер — линия для передачи электрических колебаний высокой частоты от радиопередатчика к антенне и от антенны к радиоприѐмнику. Часть I. Глава 7 384 В то же время типовой магистральный коаксиальный кабель QR 540 JCA имеет полосу пропускания 5—1000 МГц и коэффициент затухания αм = 0,0354 дБ/м на частоте 300 МГц. Расстояние lм между смежными усилителями магистрали обычно составляет до lм = 2 км. Следовательно, собственное затухание отрезка магистрального кабеля равно αмlм = 0,0354 2000 ≈ 70 дБ. Последнее означает, что полная мощность на входе последующего усилителя Pуl = UуlIуl меньше полной мощности Pу0 = Uу0Iу0, которая отдаѐтся в линию предшествующим усилителем, в десятки миллионов раз, поскольку согласно (24.25) αl 10 10 Pуl Pу0 107 Pуl . 24.4.2. Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) согласованно нагруженной длинной линии Исходя из уравнений передачи согласованно нагруженной линии (24.20) запишем еѐ комплексную частотную характеристику через постоянную передачи линии: H( j ) Ul U0 Il I0 e γl e l e j l . (24.26) Отсюда нетрудно получить постоянную передачи через КЧХ линии: γl ln 1 T( j ) ln H ( j ). (24.27) Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики определяются из (24.26): H( j ) φ(ω) Ul U0 Il I0 arg H ( jω) e l ; (24.28) βl . Для несогласованной нагруженной линии КЧХ можно найти из еѐ уравнений передачи (24.18), подставив в них равенства: U0 E Z0 I 0 , Ul Zl I l , где E и Z0 — комплексная амплитуда ЭДС и комплексное внутреннее сопротивление генератора, подключѐнного к линии. Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 385 24.5. Входное сопротивление длинной линии ОПРЕДЕЛЕНИЕ Входным сопротивлением линии Zвх называется отношение комплексной амплитуды напряжения U 0 к комплексной амплитуде тока I 0 , действующих на входе линии. Формулу входного сопротивления для линии с произвольной нагрузкой можно получить из уравнений (24.17), если положить расстояние x = 0 и разделить первое уравнение на второе: U0 I0 Z вх U пад 1 pe I пад 1 pe 2γl 2γl Zв 1 pe 1 pe 2γl 2γl . (24.29) Анализ формулы (24.29) показывает:  при согласованной нагрузке входное сопротивление равно волновому, по- скольку в данном случае Zl = Zв и p = 0 (24.15);  если постоянная передачи линии стремится к бесконечности γl → , то входное и волновое сопротивления весьма близки по величине Zвх ≈ Zв; считают, что Zвх не зависит от нагрузки при собственном затухании линии αl ≥ (1,5—2) Нп;  в режиме КЗ (Zl = 0 и p = –1) получаем U пад 1 pe I пад 1 pe U0 I0 Z вх КЗ Z в thγl в режиме ХХ (Zl = 2γl p 1 Zв e γl e γl e γl e γl e γl e γl thαl jtg l Zв ; 1 jthαltg l (24.30) и p = 1) имеем Z вх ХХ Zв 2γl U0 I0 e γl e γl e γl e γl e γl e γl U пад 1 pe I пад 1 pe Z в cthγl 2γl 2γl p 1 1 jthαltg l Zв . thαl jtg l (24.31) Часть I. Глава 7 386 Вывод: волновое сопротивление линии представляет собой предел, к которому стремится входное сопротивление при безграничном увеличении длины линии: Zв Z вх Z вх КЗ lim Z вх l Z вх ХХ Zв x 0 а а Z вх Z вх Zв R G ρв 0 ω бб Рис. 24.5. Зависимость входного сопротивления: а) от длины линии, б) от частоты Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 387 Этот факт объясняется тем, что при большом затухании линии значительная часть мощности, подводимой к еѐ входу, рассеивается в самой линии и лишь небольшой остаток мощности поступает в нагрузку (см. пример 24.1). По этой причине энергетические соотношения на входе линии пренебрежимо мало зависят от энергетических соотношений на еѐ выходе и, в частности, от сопротивления нагрузки линии. С увеличением длины линии увеличивается и еѐ затухание, а потому уменьшается амплитуда отражѐнной волны на входе линии, что, в свою очередь, приводит к уменьшению отклонения входного сопротивления линии от еѐ волнового сопротивления как по модулю, так и по фазе. В пределе входное сопротивление линии стремится к волновому сопротивлению. На рис. 24.5, а показаны зависимости модулей входных сопротивлений в режимах ХХ и КЗ. Колебательный характер волнового сопротивления при несогласованной нагрузке объясняется наличием падающих и отражѐнных волн. Входное сопротивление зависит не только от длины линии, но и от частоты (рис. 24.5, б). С ростом частоты увеличиваются как собственное затухание αl, так и собственная фаза βl линии. Это приводит к весьма сложному волнообразному характеру изменения входного сопротивления линии относительно еѐ волнового сопротивления. Допустимые отклонения входного сопротивления линии от еѐ волнового сопротивления строго нормированы, и при эксплуатации длинных линий необходимо придерживаться указываемых для линии обычно весьма жѐстких норм. 24.6. Определение параметров линии методом холостого хода и короткого замыкания Определение первичных и вторичных параметров линии наиболее просто осуществлять с помощью измерений входного сопротивления линии при двух граничных сопротивлениях нагрузки: холостом ходе и коротком замыкании. Из уравнений (24.19) в режимах КЗ ( Ul 0 ) и ХХ ( I l Z вх кз U0 I0 Ul 0 Z в thγl ; Z вх хх U0 I0 Il 0 Z в cthγl. 0 ) имеем: Часть I. Глава 7 388 Совместное решение этих уравнений позволяет найти значения волновых параметров линии: волнового сопротивления и постоянной передачи. Волновое сопротивление Zв Zвх кз Zвх хх (24.32) равно среднему геометрическому из входных сопротивлений короткозамкнутой и разомкнутой линии. Это выражение можно рассматривать как ещѐ одно определение волнового сопротивления длинной линии. Гиперболический тангенс постоянной передачи γl Z вх кз thγl (24.33) Z вх хх равен среднему геометрическому из сопротивления Zвх кз короткозамкнутой 1 линии и проводимости разомкнутой линии. Найдѐм из (24.33) постоZ вх хх янную передачи γl и коэффициент распространения γ. Поскольку e2γl 1 e2γl 1 thγl то Z вх кз Z вх хх , Z вх кз 1 Z вх хх e 2γl Z вх кз 1 . Z вх хх Логарифмируя обе части последнего равенства, получаем постоянную передачи: γl αl 1 ln 2 jβl 1 1 1 ln 2 Z вх кз 1 Z вх хх Z вх кз 1 Z вх хх Z вх кз Z вх хх Z вх кз Z вх хх j 1 arg 2 1 1 Z вх кз Z вх хх Z вх кз Z вх хх 2 kπ , (24.34) Лекция 24. Волновые параметры длинной линии 389 откуда легко находятся коэффициенты затухания и фазы: α 1 ln 2l Z вх кз 1 Z вх хх Z вх кз 1 , β 1 arg 2l Z вх хх 1 1 Z вх кз Z вх хх Z вх кз 2kπ . Z вх хх Коэффициент k равен целому числу волн, укладывающихся по длине линии. Во всех формулах необходимо брать только арифметические корни. Зная волновые параметры линии, нетрудно вычислить еѐ первичные параметры путѐм приравнивания вещественных и мнимых частей равенств: R jωL γZ в ; G jωC γ . Zв З А МЕ Ч А Н И Е Метод холостого хода и короткого замыкания целесообразно применять в том случае, когда затухание линии не превышает 1 Нп (8,69 дБ), что характерно для большинства длинных линий. L2 C2 1 R U вх Лекция 25 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Колебания в линиях без потерь 25.1. Длинные линии с пренебрежимо малыми потерями Любая реальная линия всегда обладает потерями. Однако на практике во многих случаях применяются очень короткие линии, собственное затухание которых составляет тысячные доли децибел, а длина их l соизмерима или значительно превышает длину волны, распространяющейся в линии. Такая линия должна рассматриваться как цепь с распределѐнными параметрами, а задача анализа колебаний в линии должна решаться методами теории длинных линий. В подобных линиях величины первичных параметров R и G очень малы R << ωL и G << ωC, поэтому резистивными сопротивлениями проводов и проводимостью изоляции можно пренебречь и положить их равными нулю: R = 0 и G = 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Линии, в которых удовлетворяются условия R << ωL и G << ωC, называются линиями с пренебрежимо малыми потерями или линиями без потерь. Такая идеализация справедлива для линий, работающих в области сверхвысоких частот (фидеров, измерительных линий, согласующих СВЧ устройств и т. д.). Она позволяет более ясно представить волновые процессы в длинных линиях и существенно упростить расчѐты. Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 391 25.1.1. Вторичные параметры и уравнения передачи длинной линии без потерь При условии равенства нулю первичных параметров R = 0 и G = 0 вторичные параметры линии без потерь принимают вид:  коэффициент распространения линии без потерь чисто мнимый: γ α jβ (G jωC )( R jωL) ω 0 jω LC ,  коэффициент затухания равен нулю 0, α  коэффициент фазы линейно зависит от частоты β ω LC ,  волновое сопротивление является чисто активным (резистивным) R G Zв jωL jωC L C ρ. Уравнения передачи линии без потерь, описывающие распределение напряжений и токов в режиме гармонических колебаний, можно получить из выражений (24.16) и (24.17) после подстановки в них соответствующих вторичных параметров. Необходимо также учесть, что в теории длинных линий без потерь общепринято отсчитывать расстояние x до выбранного сечения не от начала линии, а от еѐ конца, как показано на рис. 25.1. Тогда, произведя в уравнениях (24.16) и (24.17) замены x l x и γ jβ , получаем: U I U пад U отр I пад I отр Ul ρI l jβx U l ρI l jβx e e ; 2 2 U l ρI l jβx U l ρI l jβx e e . 2ρ 2ρ (25.1) Группируя слагаемые в уравнениях (25.1) и пользуясь формулой Эйлера e jφ cosφ j sin φ , приведѐм систему уравнений к более удобному виду: U U l cosβx I I l cosβx jρI l sinβx ; j Ul sinβx . ρ (25.2) Часть I. Глава 7 392 Выразим напряжение U и ток I через напряжение U пад и ток I пад падающей волны. Рассмотрим первое уравнение в (25.1): U U пад U отр Ul 2 ρIl Ul 2 ρIl Ul Ul e jβx 1 Ul e jβx ρIl e ρIl 2 ρI l j 2βx e jβx , в котором стоящая в скобках дробь представляет собой коэффициент отражения p линии без потерь. Действительно, Ul Ul ρI l ρI l Ul Il Ul Il ρ Zl Zl ρ ρ ρ и согласно определению (24.15) имеем: p Zl Zl Zв Zв Zв ρ Zl Zl ρ ρ pe jφ p . (25.3) Полученный результат позволяет записать выражение для комплексной амплитуды напряжения U U пад U отр Ul 2 ρIl e jβx 1 pe j 2βx U пад 1 pe j 2βx . (25.4) Аналогичные преобразования второго уравнения в (25.1) приводят к записи комплексной амплитуды тока в виде: I I пад 1 pe 2 jβx . (25.5) Уравнения (25.4) и (25.5) являются уравнениями передачи длинной линии без потерь, которые удобно представить в виде системы уравнений: U U пад 1 pe I I пад 1 pe 2 jβx 2 jβx ; . (25.6) Важно: в длинных линиях без потерь модуль коэффициента отражения при нагрузке линии на любой пассивный двухполюсник не может превышать единицы. Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 393 I0 Il U0 Zl x Ul x l Рис. 25.1. Отсчѐт расстояния x до выбранного сечения в линии без потерь Действительно, поскольку вещественная часть комплексного пассивного сопротивления нагрузки Zl rl jxl всегда не меньше нуля rl 0 , то имеет место неравенство p rl rl ρ ρ jxl jxl rl ρ 2 rl ρ 2 x 2l x 2l 1. (25.7) По этой причине амплитуда отражѐнной волны в линии без потерь при любой пассивной нагрузке не может превышать амплитуду падающей волны. 25.1.2. Режим бегущей волны (согласованной нагрузки) в линии без потерь Рассмотрим частный случай, когда сопротивление нагрузки линии без потерь является чисто активным и равным волновому сопротивлению Zв ρ. Понятно, что при этом условии отношение напряжения на нагрузке равно произведению волнового сопротивления на ток в нагрузке U l ρI l , а уравнения передачи принимают вид: U U l e jβx U пад ; I U l jβx e ρ I l e jβx I пад . (25.8) Часть I. Глава 7 394 Переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям колебаний, из (25.8) получаем: u(t , x ) U l cos t βx φl ; Ul cos ρ t βx φl i (t , x ) I l cos t βx (25.9) φl , где φl — начальная фаза колебаний в конце линии. U m , Im U пад Ul I пад Il 0 x Рис. 25.2. Распределение амплитуд напряжений и токов в режиме бегущей волны Из (25.9) можно сделать следующие выводы (рис. 25.2):  начальные фазы напряжения φu и тока φi в конце линии равны друг другу φu = φi = φl, поскольку U l ρI l ;  отражѐнная волна отсутствует;  колебания напряжения и тока в любом сечении линии происходят в фазе;  амплитуды тока и напряжения остаются неизменными по всей линии. 25.2. Режим стоячих волн Рассмотрим режим длинной линии, когда модуль коэффициента отражения равен единице: p 1 . Это приводит к полному отражению падающей волны, что согласно формуле коэффициента отражения для линии без потерь (25.7) возможно в трѐх случаях:  линия замкнута накоротко rl  линия разомкнута ( rl и xl xl 0 ; );  линия нагружена на чисто реактивное сопротивление rl 0 . Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 395 Изучим указанные варианты, для чего положим для простоты значение начальной фазы падающей волны в конце линии равным нулю φu = φl = 0 и получим мгновенные значения напряжения и тока. Обратимся к системе уравнений (25.6) и вновь рассмотрим уравнение для напряжения, где U пад Ul 2 ρI l e jβx U пад e jφl e jβx U пад e jβx , φl 0 поэтому U U пад e jβx 1 pe j 2βx U пад e jβx 1 e j 2βx U пад e jβx 1 e jφ p U пад e jβx j 2βx pe U пад e падающая волна e jφ p j βx e p 1 jφ p , (25.10) отражѐнная волна где φp — аргумент коэффициента отражения. Отсюда получаем мгновенные значения напряжения:  падающей волны uпад (t , x ) U пад cos ωt βx ,  отражѐнной волны uотр (t, x) Uпад cos ωt βx φp . Следовательно, мгновенное значение напряжения u(t, x) в линии без потерь имеет вид: u (t , x) uпад (t , x) uотр (t , x) U пад cos ωt βx U пад cos ωt βx U пад cos ωt βx cos ωt βx φp φp . Применение к последнему равенству известной формулы для суммы косинусов cos α γ 2cos α γ α γ cos 2 2 даѐт следующий результат: u(t , x ) 2U пад cos βx φp 2 cos ωt φp 2 . (25.11) Часть I. Глава 7 396 Аналогично, с использованием формулы для разности косинусов, можно получить выражение для тока: i (t , x ) φp 2 I пад sin βx cos ωt 2 φp 2 2 . (25.12) Изучим выражение (25.11). Оно отображает гармоническое колебание с частотой ω и амплитудой φp 2U пад cos βx 2 β 2π λ 2U пад cos 2π x λ φp 2 , значения которой изменяются вдоль линии следующим образом:  в сечениях линии, где 2π φp x λ 2 kπ ( k 0,1,2,...) , (25.13) амплитуда гармонического напряжения принимает максимальное значение, вдвое превышающее амплитуду напряжения падающей волны;  в сечениях линии, где 2π x λ φp 2 2k 1 π ( k 1,2,...), 2 (25.14) амплитуда напряжения равна нулю1. Картина распределения напряжения вдоль линии для двух моментов времени t1 и t1 = t2 показана на рис. 25.3. Рассмотренный режим колебаний в линии называется режимом стоячих волн. Режим стоячих волн характеризуется (рис. 25.3):  наличием в линии сечений, в которых амплитуда колебаний равна нулю, и сечений, в которых она максимальна; первые называются узлами, вторые — пучностями стоячей волны;  удалѐнностью смежных узлов и смежных пучностей друг от друга на рас- стояние, равное половине длины падающей (отражѐнной) волны, что следует из (25.13) и (25.14);  расстоянием между узлом и смежной пучностью, равным четверти длины волны; 1 В режиме короткого замыкания линии φp = π, поэтому k = 0. Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 397 u (t , x ) λ t2 t1 t1 Узлы 0 x Пучности λ 2 λ 4 Рис. 25.3. Режим стоячих волн U,I U I 2U пад 2I пад x λ 6 4 λ 5 4 λ 4 4 λ 3 4 λ 2 λ 4 0 Рис. 25.4. Распределение амплитуд напряжений и токов в короткозамкнутой линии  синфазностью колебаний напряжения в любых сечениях (точках), нахо- дящихся между смежными узлами;  скачкообразным изменением фазы колебаний на π при переходе через узел. Анализируя выражение (25.12) для тока, получаем те же выводы, что и для напряжения, но узлы тока совпадают с пучностями напряжения, а пучности тока — с узлами напряжения, что показано (рис. 25.4) на примере распре- Часть I. Глава 7 398 деления амплитуд напряжений и токов в короткозамкнутой линии (режим короткого замыкания): в конце линии расположен узел напряжения Z l 0 ul 0 , которому соответствует пучность тока. Распределение амплитуд и фаз можно найти из (25.11) и (25.12), если положить φp = π, поскольку при коротком замыкании Zl = 0 и p = –1. Распределение амплитуд напряжений и токов в разомкнутой линии (режим холостого хода) показано на рис. 25.5: в конце линии располагаются узел тока и пучность напряжения. U,I U I 2U пад 2I пад x 6 λ 4 5 λ 4 4 λ 4 3 λ 4 λ 2 λ 4 0 Рис. 25.5. Распределение амплитуд напряжений и токов в разомкнутой линии При нагрузке линии реактивным сопротивлением первый узел или первая пучность напряжения располагается на удалении четверти длины волны от конца линии. Выводы:  в режиме стоячих волн не происходит рассеяния энергии, подведѐнной ко входу линии, поскольку в самой линии, по определению, отсутствуют потери R = G = 0, а сопротивление нагрузки, как указано в начале данного раздела, или равно нулю, или бесконечно велико, или чисто реактивно;  по этой причине разность фаз колебаний напряжения и тока в любом се- чении линии равна ±0,5π, что видно из сравнения выражения для напряжения (25.10) и для тока (25.11);  последнее означает, что входное сопротивление линии является чисто ре- активным. Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 399 25.3. Режим смешанных волн Изученные режимы бегущих и стоячих волн соответствуют предельным случаям, в первом из которых отражѐнная волна отсутствует (p = 0), а в других — амплитуды падающей и отражѐнной волн одинаковы ( p 1) во всех сечениях длинной линии. Рассмотрим режим линии без потерь при несогласованной нагрузке, когда |p| < 1. Ясно, что в таком случае отражѐнная волна присутствует, причѐм еѐ амплитуда меньше амплитуды падающей волны. На основании (25.10) запишем решение для мгновенного значения напряжения при |p| < 1 u(t, x ) Uпад cos ωt βx p Uпад cos ωt βx φp , где φp — аргумент коэффициента отражения. Покажем, что это выражение описывает сумму бегущей и стоячей волн. Для этого в правой части уравнения вычтем и прибавим слагаемое p U пад cos ωt βx : u (t , x ) U пад cos ωt βx p U пад cos ωt βx 1 p U пад cos ωt βx p U пад cos ωt βx p U пад cos ωt βx φp 2 p U пад cos βx Бегущая волна φp 2 cos ωt φp 2 . (25.15) Стоячая волна Таким образом, в рассматриваемом режиме происходит наложение бегущей (первое слагаемое) и стоячей (второе слагаемое) волн. По этой причине подобный режим колебаний называется режимом смешанных волн. Графики распределения амплитуд напряжения и тока в данном режиме показаны на рис. 25.6. В узлах напряжений стоячей волны, где cos βx φp 2 0 , амплитуда напря- жения в линии совпадает с амплитудой бегущей волны и минимальна: U min 1 p U пад , т. е. равна разности амплитуд падающей и отражѐнной волн. Часть I. Глава 7 400 U,I U U max I I max x U min I min λ 6 4 λ 5 4 λ 4 4 λ 3 4 λ 2 0 λ 4 λ 2 Рис. 25.6. Режим смешанных волн Соответствующие сечения отстоят друг от друга на расстоянии, равном половине длины волны λ∕2. Пучности стоячей волны располагаются в тех сечеφp φp 1 , т. е. там, где βx kπ . Подставляя в (25.15) ниях, где cos βx 2 2 βx kπ φp u (t ) 2 1 , получаем: p. U пад cos ωt φp kπ 2 2 p U пад cos kπ cos ωt φp 2 . Поскольку cos kπ cos ωt φp 2 φp cos ωt 2 kπ , окончательно имеем: u(t ) 1 p U пад cos ωt φp 2 kπ . Следовательно, в сечениях, соответствующих пучностям стоячей волны, амплитуды падающей и отражѐнной волн складываются, и напряжение в этих сечениях максимально: U max 1 p U пад . Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 401 В силу того, что в стоячей волне узлам напряжения соответствуют пучности тока и наоборот, то в режиме смешанных волн в сечениях, где амплитуда напряжения минимальна (максимальна), амплитуда тока максимальна (минимальна) и составляет: I min 1 p I пад 1 I max 1 p I пад 1 U пад ; ρ U p пад . ρ p ОПРЕДЕЛЕНИЕ Отношение минимальной и максимальной амплитуд колебаний напряжения (тока) в линии называется коэффициентом бегущей волны: K бв U min U max I min I max 1 p 1 p (25.16) . Режиму бегущей волны соответствует Kбв = 1, а режиму стоячей волны – Kбв = 0. 25.4. Входное сопротивление линии без потерь ОПРЕДЕЛЕНИЕ Входным сопротивлением линии Z вх x в сечении, удалѐнном на рас- стояние x от конца линии, называют отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в этом сечении. Согласно (24.33) имеем: Z вх x ρ 1 pe 1 pe j 2βx j 2βx ρ 1 1 pe jφ p pe jφ p e e j 4π x λ j 4π x λ . (25.17) Поскольку амплитуды падающей и отражѐнной волн в линии без потерь остаются, как было показано ранее, неизменными по всей длине линии, Часть I. Глава 7 402 и амплитуды повторяются с периодом, равным половине длины волны, то и входное сопротивление линии обладает тем же периодом: Z вх x Z вх x λ , 2 что также видно из (25.17). Действительно, вычисляя показатель правой экспоненты в сечении линии, λ равном x , получаем: 2 4π x λ λ 2 2π 2x λ λ 4π x λ 2π ; а при таком показателе значение экспоненты e j 4π x 2π λ e j 4π x λ e j 2π e j 4π x λ не меняется. Рассмотрим два важных для практики режима, используемые для определения первичных и вторичных параметров длинных линий при их строительстве и эксплуатации: режим КЗ и режим ХХ. 25.4.1. Режим короткого замыкания линии Для этого режима коэффициент отражения p = –1, а входное сопротивление, согласно (25.17), 1 e 1 e x jρ tg 2π λ Z кз x ρ j 2βx j 2βx ρ th jβx jρ tg βx (25.18) jρ tg ω LC x чисто реактивно. Это является следствием того, что электрическая энергия при коротком замыкании (КЗ) линии не рассеивается. График входного сопротивления в режиме КЗ (рис. 25.7) представляет собой обычную тангенсоиду как функцию координаты x . В пучностях напряжений (узлах тока) сопротивление короткозамкнутой линии бесконечно велико (имеет место полюс сопротивления), а в узлах напряжения (пучностях тока) оно равно нулю (имеет место нуль сопротивления). На участке линии, длина которого равна половине длины волны, сопротивление линии изменяется от –j до +j , что даѐт возможность подобрать такой отрезок длинной линии без потерь, кото- Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 403 рый при заданной длине волны (частоте колебаний) имел бы любое наперѐд определѐнное реактивное сопротивление как индуктивного, так и ѐмкостного характера. Положение полюсов и нулей сопротивления зависит от частоты колебания, действующего в линии длиной l. Эта зависимость объясняется тем, что коэффициент фазы β является функцией частоты (24.6). Найдѐм частоты ω k , на которых располагаются полюсы сопротивления, для чего в (25.18) заменим x на l . Z кз ( x ) j Нуль и полюс сопротивления x 5 6 λ 4 λ 4 3 λ 4 λ 2 λ λ 4 0 Рис. 25.7. График входного сопротивления линии без потерь в режиме КЗ Ясно, что функция tg(βkl) обращается в бесконечность, когда еѐ аргумент π принимает значения βk l (2k 1) . При этом условии и равенстве (24.6) по2 лучаем выражение k (2k 1) π , k 2 LCl 0,1,2 (25.19) Отсюда первый полюс сопротивления расположен на частоте 1 π , 2 LCl (25.20) на которой короткозамкнутая линия ведѐт себя как параллельный колебательный LC-контур, имеющий резонансную частоту 0 1. Часть I. Глава 7 404 25.4.2. Режим холостого хода линии В режиме холостого хода (ХХ) p = 1 входное сопротивление Z хх x ρ 1 e 1 e jρ ctg 2π j 2βx ρ th jβx j 2βx x λ ρ jtg 2 x λ (25.21) jρ ctg ω LC x также чисто реактивно. Его график представлен на рис. 25.8. Сравнение графиков рис. 25.7 и 25.8 показывает, что один из них сдвинут относительно другого на четверть длины волны. Это естественно, поскольку разомкнутую на конце линию можно нарастить короткозамкнутым четвертьволновым отрезком, имеющим большое входное сопротивление, что никак не нарушит режима в линии. Согласно (25.21) полюсы сопротивления в режиме ХХ линии длиной l будут располагаться на частотах ω k , где tg(βkl) = 0, т. е. на тех частотах, на которых располагаются нули сопротивления короткозамкнутой линии, а именно: 2k k π 2 LCl k π , k LCl 0,1,2 (25.22) Z xx ( x ) j 6 x λ 4 λ 5 4 λ λ 3 4 λ 2 λ 4 0 Рис. 25.8. График входного сопротивления линии без потерь в режиме ХХ Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 405 Выводы из разд. 25.4.1 и 25.4.2:  при любой из частот (25.19) и (25.22) по длине линии укладывается ровно k четвертьволновых отрезков;  нули и полюсы сопротивления перемежаются (чередуются);  на частотах, на которых располагаются полюсы (нули) сопротивления ко- роткозамкнутой линии, располагаются нули (полюсы) разомкнутой линии;  сопротивление линии возрастает с ростом частоты. 25.4.3. Входное сопротивление линии с произвольной нагрузкой Рассмотрим выражение (25.17) при произвольном комплексном сопротивлении нагрузки Zl. Входное сопротивление будет принимать максимальное по модулю значение в тех сечениях линии, где числитель максимален, а знаменатель минимален. Это возможно, когда 2βx 2 kπ , φp т. е. в сечениях x1 2 kπ φ p 2β . В таких случаях входное сопротивление чисто активно и максимально: Z вх x Z вх max ρ 1 1 p p ρ . Kбв С другой стороны, входное сопротивление минимально по модулю в тех сечениях линии, где числитель минимален, а знаменатель максимален. Это возможно, когда 2βx φp 2k 1 π , т. е. в сечениях x2 2k 1 π φ p 2β . В таких случаях входное сопротивление также чисто активно, но минимально: Z вх x Z вх min ρ 1 1 p p ρKбв . Часть I. Глава 7 406 Понятно, что расстояние между смежными сечениями линии, в которых еѐ входное сопротивление чисто активно и максимально (минимально), равно половине длины волны в линии, поскольку на таком расстоянии относительно друг друга расположены максимумы (минимумы) амплитуды напряжения. А посредине между ними расположены минимумы (максимумы) активной части входного сопротивления линии. Действительно, расстояние Δl между смежными сечениями x1 (или x2 ) составляет l π β π 2π λ λ , 2 а расстояние δl между смежными сечениями x1 и x2 равно: δl π 2β π 2π 2 λ λ . 4 В промежутках между этими сечениями линии еѐ входное сопротивление является комплексным. Графики Re{Zвх} и Im{Zвх} показаны на рис. 25.9. Re Z вх , Im Z вх Re Z вх Z вх max Z вх min 0 x Im Z вх 4 λ 4 3 λ 4 2 λ 4 λ 4 Рис. 25.9. Характер изменения вещественной и мнимой составляющих входного сопротивления линии с произвольной нагрузкой Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 407 Таким образом, вещественная составляющая входного сопротивления Re{Zвх} находится в границах: Rвх min ρKбв ρ Kбв Re Z вх Rвх max . 25.5. Примеры применения длинных линий с пренебрежимо малыми потерями При синтезе разнообразных линейных электрических цепей часто существенную роль играет относительная ширина рабочей полосы частот ˆ ω , под которой понимают отношение рабочей полосы частот Δω = ω1 – ω–1 к среднегеометрической частоте рабочей полосы ω0 ω1ω 1 : ω . ω0 ˆω Чем меньше это отношение, тем уже относительная ширина. В большинстве практически важных случаев относительная ширина рабочей полосы частот, в которой используется линия с пренебрежимо малыми потерями, является весьма узкой. По этой причине можно без большой погрешности пользоваться характеристиками линии для среднегеометрической частоты рабочей полосы частот. Такой "одночастотный" подход позволяет строить разнообразные устройства на отрезках длинных линий с пренебрежимо малыми потерями. 25.5.1. Металлический изолятор Входное сопротивление короткозамкнутого четвертьволнового отрезка линии стремится к бесконечности (рис. 25.7): Z вх l , λ 4 что позволяет использовать такой отрезок линии в качестве металлического изолятора на частоте ωλ, длина волны которой λ в четыре раза больше длины самого отрезка. При наличии малых потерь (собственное затухание линии αl << 1) мнимая составляющая входного сопротивления четвертьволнового отрезка равна нулю Im Z вх l λ 4 0, Часть I. Глава 7 408 Z вх l λ 4 Рис. 25.10. Металлический изолятор поэтому такой отрезок обладает только вещественным сопротивлением ρ ρ ρ, λ αl α 4 которое значительно больше волнового сопротивления линии ρ. Re Z вх l λ 4 Такие изоляторы по своим электрическим и конструктивно-механическим параметрам превосходят изоляторы из диэлектриков. Их используют для подвески двухпроводных воздушных фидерных линий (рис. 25.10): жѐсткие металлические трубы или прутья подсоединяются к линии, их нижние концы заземляются, чем обеспечивается режим КЗ. Важно: для чѐтных гармоник 2kωλ (k = 1, 2,…) рабочей частоты ωλ металлический изолятор представляет малое сопротивление, приближѐнно равное ραl << ρ, поэтому такой отрезок может использоваться в качестве фильтра, подавляющего все чѐтные гармоники частоты ωλ. Это объясняется следующим: в режиме КЗ на частотах, где у линии без потерь располагаются нули сопротивления (tgβl = 0), входное сопротивление линии с малыми потерями оказывается равным (24.30) Zвх ( j ) Zв thαl ραl ρ. 25.5.2. Колебательный контур Колебательные системы техники сверхвысоких частот (СВЧ) не могут быть построены на катушках индуктивности и конденсаторах, поэтому взамен их используются отрезки линий с малыми потерями в режиме короткого замыкания или холостого хода. Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 409 Z ( jω) l Рис. 25.11. Колебательный контур Согласно (25.20) короткозамкнутый отрезок линии (рис. 25.11) в области первого из полюсов сопротивления (рис. 25.7) эквивалентен параллельному колебательному контуру, имеющему резонансную частоту 0 1 и резонансное сопротивление π 2 LCl ρ , αl которое можно получить из общей формулы (24.33) при условии, что для короткозамкнутой линии αl << 1 и tgβl = 0. Ширину полосы пропускания такого колебательного контура на уровне 0,707 можно найти по приближѐнной формуле Z рез ω1 ω 2α , LC 1 также получаемой из (24.33). Добротность короткозамкнутого четвертьволнового отрезка Q ω0 ω1 ω 1 π αl может достигать нескольких тысяч, что по крайней мере на порядок выше добротности, достижимой в RLC-контурах. 25.5.3. Линейный вольтметр ОПРЕДЕЛЕНИЕ Линейным вольтметром (рис. 25.12) называется измерительный прибор с малым входным сопротивлением Rп , включѐнный через четвертьволновый отрезок линии. Часть I. Глава 7 410 Z вх ρ2 Rп Rп λ 4 Рис. 25.12. Линейный вольтметр Подключение измерительного прибора к четвертьволновому отрезку образует практически короткозамкнутый отрезок, входное сопротивление которого (а потому и самого линейного вольтметра) становится очень большим. Такой прибор не оказывает заметного влияния на режим работы линии, а потому и на результаты измерений напряжения. Действующие значения тока I дl , протекающего через измерительный прибор, и напряжения U д0 , подведѐнного к линейному вольтметру, связаны соотношением U д0 ρI дl , что следует из уравнений (25.8) при x λ 4 . По- добные приборы используются в технике СВЧ. 25.5.4. Трансформатор сопротивлений В технике СВЧ типовым является каскадное включение линий, имеющих разные волновые сопротивления Zв1 и Zв2 (рис. 25.13). В связи с этим возникает задача согласования сопротивлений таких линий, т. е. преобразование, или трансформация указанных сопротивлений. λ 4 Z в1 Z вх Zв Z в1 Z в2 Zн Z в2 Рис. 25.13. Четвертьволновый трансформатор сопротивлений Лекция 25. Колебания в линиях без потерь 411 Для этого между двумя линиями включают согласующий трансформатор сопротивлений, представляющий собой четвертьволновый отрезок. Найдѐм, чему должно быть равно волновое сопротивление этого отрезка. Воспользуемся уравнениями передачи линии в форме (25.2) при условии, что Zв ≠ ρ, и запишем их для отрезка длиной x λ 4 : U jZ в I x ; I j Ux . Zв Отсюда имеем входное Z вх Ux Ix Z в2 Ix Ux Zв Z вх Z н Z в2 Zн и волновое сопротивления отрезка. Но входное сопротивление отрезка равно волновому сопротивлению левой линии Zвх = Zв1, а сопротивление его нагрузки равно волновому сопротивлению правой линии Zн = Zв2, поэтому волновое сопротивление отрезка равно корню квадратному из произведения волновых сопротивлений каскадно включаемых линий: Zв Z в1Z в2 . Четверть- и полуволновые отрезки длинных линий применяются в теории и практике волновых аналоговых фильтров, рассматриваемых в лекции 45. L2 C2 1 R U вх L1 1 Z вх R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Глава 8 Функции электрических цепей. Критерии устойчивости Лекция 26. Свойства функций электрических цепей Лекция 27. Критерии устойчивости L2 C2 1 R U вх Лекция 26 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Свойства функций электрических цепей Функции, в которых выражаются характеристики электрических цепей, называют функциями электрических цепей. К ним относятся: передаточные H(p) и входные функции Z(p), Y(p), комплексные частотные характеристики H(jω), Y(jω), Z(jω), а также временные характеристики: импульсная h(t) и переходная g(t). Многие свойства этих функций уже изучались в соответствующих разделах курса. В данной лекции делается ряд практически важных обобщений относительно свойств передаточных функций и комплексных частотных характеристик, разъясняются некоторые свойства, принятые ранее как аксиомы. 26.1. Свойства передаточной функции Все свойства цепи, включая еѐ конфигурацию, что будет показано в части II, связаны с передаточной функцией; поэтому знание еѐ свойств является практически необходимым. Свойство 1 Передаточная функция H(p) характеризует реакцию системы только при нулевом начальном состоянии, что следует из связи передаточной функции и импульсной характеристики h(t): H(p) = L{h(t)}; h(t) = L–1{ H(p) }. Свойство 2 Передаточная функция H(p) является дробно-рациональной функцией оператора p с вещественными коэффициентами: b0 p m b1 p m 1 bi p m i p n a1 p n 1 ak p n k где {ak, bi} — вещественные числа. H ( p) bm an w( p ) , v( p) (26.1) Часть I. Глава 8 416 Разложение числителя и знаменателя функции (26.1) на множители первого порядка позволяет записать эту функцию в виде: H ( p) b0 ( p p 1 )( p p 2 ) ( p p i ) ( p p m ) , ( p p 1 )( p p 2 ) ( p p k ) ( p p n ) (26.2) где: b i — нули передаточной функции (т. е. нули полинома w(p)); p k — полюсы передаточной функции (т. е. нули полинома v(p)). В силу вещественности коэффициентов {ak, bi} согласно основной теореме алгебры количество нулей и полюсов передаточной функции равно порядкам полиномов w(p) и v(p), а сами нули и полюсы могут быть либо вещественными, либо составлять комплексно-сопряжѐнные пары, причѐм в одной передаточной функции могут быть как те, так и другие. Свойство вещественности коэффициентов означает, что в задачах анализа электрических цепей не могут встретиться передаточные функции с комплексными коэффициентами, а в задачах синтеза цепей невозможно получить передаточную функцию с комплексными коэффициентами. Свойство 3 По известным нулям и полюсам можно по формуле (26.2) найти саму функцию, за исключением коэффициента b0; иначе говоря, нули и полюсы передаточной функции определяют саму функцию с точностью до постоянного вещественного множителя b0, играющего роль масштабного коэффициента. Свойство 4 Знание всех n полюсов передаточной функции H(p) даѐт возможность разложить еѐ на сумму простых дробей: n H ( p) k Ak , 1p p k (26.3) где Ak — коэффициент разложения при k-ом полюсе; тип коэффициента совпадает с типом полюса: если полюс вещественный, то и коэффициент вещественный; если полюс комплексный, то и коэффициент комплексный. На основании (26.3) нетрудно получить импульсную характеристику: h(t ) L 1 H ( p) L n 1 k Ak 1p p n k k 1 Ak e p k t . (26.4) Лекция 26. Свойства функций электрических цепей 417 Свойство 5 Передаточная функция называется устойчивой, если соответствующая ей импульсная характеристика удовлетворяет условию: lim h(t ) t 0. (26.5) Для устойчивости передаточной функции, а потому и соответствующей ей электрической цепи, все еѐ полюсы, как было доказано ранее, должны располагаться только в левой p-полуплоскости. В общем случае полюсы могут находиться также и на мнимой оси. Такие передаточные функции и соответствующие им электрические цепи могут рассматриваться либо как неустойчивые, либо как находящиеся на границе устойчивости. При этом всякое изменение параметров цепи (за счѐт колебаний питающих напряжений, температуры, влажности и т. д.) смещает полюс с мнимой оси. Тогда цепь становится или устойчивой, если смещение произошло в левую полуплоскость, или самовозбуждается, если полюс сместился в правую p-полуплоскость. Пример 26.1. Определить устойчивость цепей, изображѐнных на рис. 26.1. Решение. Цепь, изображѐнная на рис. 26.1, а, имеет передаточную функцию H1 ( p) 1 p 1 и соответствующую импульсную характеристику h1 (t ) 1(t )e t , L 1 H1( p) которая стремится к нулю при t → ; поэтому согласно (26.5) передаточная функция H1(p) — устойчивая. Кроме того, единственный полюс, равный –1, является вещественным и лежит в левой p-полуплоскости. Цепь, изображѐнная на рис. 26.1, б, имеет передаточную функцию H 2 ( p) I ( p) C 1 R 1 U ( p) аа p p 2 I ( p) 1 C 1 L 1 U ( p) бб Рис. 26.1. Примеры цепей с устойчивыми передаточными функциями: а) H1(p), б) H2(p) Часть I. Глава 8 418 и импульсную характеристику L 1 H 2 ( p) h2 (t ) 1(t )cos t cos t ; два полюса являются мнимыми (p1, 2 = ±j) и лежат на частотной оси, поэтому, как и в предыдущем случае, H2(p) — устойчивая передаточная функция, но не является строго устойчивой. Свойство 6 Передаточная функция называется строго устойчивой, если еѐ реакция при нулевых начальных условиях остаѐтся ограниченной для любого ограниченного входного сигнала. Пример 26.2. Передаточная функция H ( p) ристика h(t ) L 1 H ( p) 1 устойчива, поскольку импульсная характеp 1(t ) равномерно ограничена. Найдѐм реакцию y0(t) при нулевых начальных условиях на ограниченный входной сигнал x(t) = t, для чего воспользуемся теоремой о свѐртке: y0 ( t ) h (t ) x ( )d 0 1(t ) d 0 d , 0 откуда следует, что эта функция не является строго устойчивой, поскольку при нулевых начальных условиях и ограниченном входном сигнале x(t) = t реакция при t → становится сколь угодно большой. Важно: передаточная функция строго устойчива, если: она не имеет полюсов в правой полуплоскости и на мнимой оси или интеграл от импульсной характеристики h(t) сходится абсолютно: h(t ) dt 0 B , (26.6) т. е. площадь под кривой |h(t)| должна быть конечной; это требование охватывает более широкий класс систем, чем предыдущее. Лекция 26. Свойства функций электрических цепей 419 Теорема: для строгой устойчивости передаточной функции H(p) необходимо и достаточно, чтобы импульсная характеристика h(t) удовлетворяла неравенству (26.6). Доказательство. Условие необходимости. Рассмотрим реакцию y0(t) при нулевых начальных условиях на произвольный ограниченный сигнал x(t) такой, что x (t ) M t. По теореме о свѐртке в любой момент времени t имеем: y0 ( t ) x (t )h ( )d , 0 откуда y0 (t ) x (t )h ( )d x (t 0 ) h( ) d M h( ) d . 0 0 Следовательно, при условии (26.6) реакция y0 ( t ) MB равномерно ограничена для любого t. Условие достаточности. Докажем, что если передаточная функция H(p) строго устойчива, то неравенство (26.6) удовлетворяется. Предположим противное: неравенство (26.6) не удовлетворяется. Тогда должен существовать такой ограниченный входной сигнал x ( t ) , реакция на который y0 (t1) в некоторый момент времени t1 окажется большей, чем любое наперѐд заданное число. Пусть такой сигнал описывается функцией сигнум1 x (t ) sgn h(t1 t ) , 0 t 2t1, (26.7) 0 при других t. Произведѐм в (26.7) замену t1 – t = τ: x(t1 τ) 1 sgn h(τ) , t1 τ t1, 0 при других τ. Функция sgn x — сигнум x (от. лат. signum — знак) — равна знаку аргумента x, т. е. может принимать только три значения: –1 (– < x < 0), 0 (x = 0) и 1 (0 < x < ). Часть I. Глава 8 420 Реакция y0 (t1) на этот сигнал в момент t1 имеет значение y0 (t1 ) x(t1 t1 )h ( )d h( )sgn h( ) d . t1 (26.8) Но поскольку сигнум функции h(τ) равен: 1 для h( ) 0, 1 для h( ) 0, 0 для h( ) 0, sgn h( ) из (26.8) получаем: y0 (t1 ) t1 h ( )d . t1 (26.9) Из сделанного выше предположения о том, что неравенство (26.6) не выполняется, следует, что при заданном произвольно большом положительном числе M всегда можно найти такой момент времени t1(M), что реакция t1 ( M ) h( ) d M t1 ( M ) (26.10) оказывается больше этого числа. Таким образом, если неравенство (26.6) не выполняется, то реакция y0(t) не может быть равномерно ограничена для всех ограниченных входных сигналов. Поэтому для строгой устойчивости передаточной функции H(p) неравенство (26.6) должно выполняться. Важное замечание: Передаточная функция H(p) характеризует реакцию системы только при нулевом начальном состоянии (свойство 1), поэтому можно предположить, что существуют системы со строго устойчивыми передаточными функциями, но с неустойчивым нулевым состоянием. Например, пусть получена передаточная функция: H ( p) p p p01 p1 p p2 при p01 p 1, σ01 σ 1 . Эта функция строго устойчива, поскольку нуль и полюс, расположенные в правой полуплоскости, взаимно компенсируются. Однако такая компенсация в действительности невозможна, поскольку нули и полюсы передаточной функции реализуются с помощью неидеальных Лекция 26. Свойства функций электрических цепей 421 резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности; и малейшие отклонения их параметров, обусловленные технологией изготовления, старением и влиянием неблагоприятных внешних воздействий (температуры, влажности, электромагнитных излучений и т. д.), приводят к несовпадению значений p01 и p*1, а потому и к передаточной функции H'(p), которая будет уже отличаться от расчѐтной и окажется неустойчивой. Отсюда следует правило: нельзя компенсировать полюс, находящийся в правой p-полуплоскости, введением в передаточную функцию равного ему нуля. Свойство 7 Нули передаточных функций не имеют ограничений на своѐ расположение на p-плоскости, но влияют на свойства электрической цепи. Если нули расположены как в левой, так и в правой полуплоскостях, то передаточная функция (электрическая цепь) называется неминимально-фазовой; если же нули расположены только в левой полуплоскости, то передаточная функция (электрическая цепь) называется минимально-фазовой, или функцией минимальной фазы. Особенности таких цепей рассмотрены в части II "Синтез электрических фильтров". Рассмотрим смысл понятия минимальной фазы. Пусть имеются две дробнорациональные функции H1(p) и H2(p), полюсы которых совпадают, но нули передаточной функции H1(p) расположены в левой p-полуплоскости, а нули передаточной функции H2(p) расположены в правой p-полуплоскости и являются зеркальными отражениями нулей функции H1( p) (рис. 26.2), т. е. если p◦1 = –σ◦1 + jω◦1, то p◦2 = σ◦1 + jω◦1. H1 ( p ) jω H 2 ( p) p jω 1 p1 p2 p2 σ1 σ 0 p1 jω jω 1 p p2 σ1 p1 σ 0 p2 p2 p1 jω 1 аа jω 1 p2 Рис. 26.2. Нули и полюсы передаточных функций: а) минимально-фазовой, б) неминимально-фазовой бб Часть I. Глава 8 422 Для простоты положим, что H1(p) и H2(p) имеют одинаковые постоянные множители с = 1. Тогда, исходя из расположения нулей и полюсов (рис. 26.2), передаточные функции можно записать в виде: p H1 ( p) p (σ p p p p (σ p 1 p p 1 jω 1 ) 1 p p p1 p p 2 p 2 jω 1 ) 1 p 2 p1 p w1 ( p) v1 ( p) 2 и p H 2 ( p) p ( p p j 1 p p 1 1) p p2 p p 1 p p ( p 2 p2 p 2 j 1 p p p 1) 2 2 w2 ( p ) v2 ( p ) . Изучим соотношения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик полученных функций. Поскольку знаменатели этих функций одинаковы (v1(p) = v2(p)), то достаточно определить вклад в указанные характеристики только числителей, для чего найдѐм их модули и аргументы при p = jω. Комплексная частотная характеристика числителя w1(jω) имеет вид: w1 ( jω) jω (σ (σ 1 1 jω 1 ) j (ω 1 ω))(σ jω (σ 1 jω 1 ) j (ω 1 + ω)); 1 отсюда его модуль w1( jω) (σ21 1 (ω 1 ω)2 )(σ21 1 (ω 1 ω)2 ) и аргумент υ 1 (ω) arctg (ω 1 ω) (ω 1 ω) arctg σ1 σ1 arctg (ω 1 ω) (ω 1 ω) . arctg σ1 σ1 Комплексная частотная характеристика числителя w2(jω) имеет вид: w2 ( jω) ( σ jω (σ 1 1 jω 1 ) j (ω 1 ω))( σ jω (σ 1 1 jω 1 ) j (ω 1 + ω)); его модуль w2 ( jω) (σ21 1 (ω 1 ω)2 )(σ 21 1 (ω 1 ω)2 ) Лекция 26. Свойства функций электрических цепей 423 и аргумент υ 2 (ω) arctg (ω 1 ω) σ1 arctg arctg (ω 1 ω) σ1 arctg (ω 1 ω) σ1 arctg (ω 1 ω) σ1 (ω 1 ω) (ω 1 ω) arctg . σ1 σ1 Видно, что модули числителей изучаемых функций одинаковы, а потому и одинаковы их АЧХ, т. е. имеет место равенство: |H1(jω)| = |H2(jω)|, однако аргументы числителей, а потому и аргументы функций arg H1(jω) и arg H2(jω) различны, причѐм их разность составляет υ 1 (ω) υ 2 (ω) arctg arctg (ω 1 ω) (ω 1 ω) arctg σ1 σ1 (ω 1 ω) (ω ω) arctg 1 σ1 σ1 2arctg (ω 1 ω) . σ1 ) фаза функции H2(p) от- Это говорит о том, что на любой частоте ω (0, стаѐт от фазы H1(p): arg H1( jω) arg H2 ( jω), 0 ω . Иначе говоря, та передаточная функция, все нули которой лежат в левой pполуплоскости, будет иметь на каждой частоте наименьший фазовый сдвиг. Отсюда следует формулируемое здесь определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дробно-рациональная передаточная функция H(p) является минимальнофазовой тогда и только тогда, когда все еѐ конечные нули расположены в левой p-полуплоскости. По этой причине всегда стремятся получить минимально-фазовую функцию. Типичными функциями не минимальной фазы являются передаточные функции фазовых звеньев, изучаемых в лекции 28. 26.2. Свойства частотных характеристик Рассмотрим комплексную частотную характеристику общего вида H ( jω) b0 jω jω n m b1 jω a1 jω m 1 n 1 bi jω ak jω m i n k bm an w( jω) , v( jω) (26.11) Часть I. Глава 8 424 из которой можно получить вещественную и мнимую еѐ части, а также АЧХ и ФЧХ. Изучим представляющие практический интерес свойства перечисленных характеристик. Задача 26.1. Найти свойства функций модуля |H(jω)| (АЧХ), аргумента (ФЧХ) υ( ω), вещественной Re{H(jω)} и мнимой Im{H(jω)} частей КЧХ. Решение. Представим H(jω) в показательной и алгебраической формах, для чего запишем в алгебраической форме знаменатель v(jω) и числитель w(jω) функции (26.11), коэффициенты которой вещественны. Ясно, что поскольку чѐтные степени jω представляют собой вещественные числа: (jω)0 = 1, (jω)2 = –ω2, (jω)4 = ω4 и т. д., а нечѐтные степени — мнимые числа: (jω)1 = jω, (jω)3 = –jω3, (jω)5 = jω5 и т. д., то вещественные части числителя и знаменателя содержат лишь чѐтные степени оператора jω, а мнимые части — нечѐтные степени оператора jω. Отсюда знаменатель v(jω) имеет вид: v( jω) (an (an an 2ω2 an 4ω4 2 4 an 2 ω an 4 ω j (an 1ω an 3ω3 ) jω(an ) an 3ω 1 2 an 5ω5 an 5ω 4 ) ). (26.12) Обозначим: an 2ω2 an 4ω4 (an (an 1 A ω2 ; ) an 3ω2 an 5ω4 ) (26.13) B ω2 , где полиномы A(ω2) и B(ω2) являются чѐтными функциями переменной ω. Тогда знаменатель (26.12) при обозначениях (26.13) получает вид: v( jω) 2 A A ω2 2 jωB ω2 2 ω B e jarctg ωB A A jωB v( jω) e jυ v (ω) (26.14) , где A = A(ω2) и B = B(ω2) . Аналогично для полинома числителя имеем: w( jω) C ω2 C jωD C 2 2 2 ω D e jωD ω2 jarctg ωD C w( jω) e jυ w (ω) (26.15) , где C = C(ω2) и D = D(ω2) также чѐтные функции переменной ω. Лекция 26. Свойства функций электрических цепей 425 Теперь можно записать КЧХ (26.11) в показательной форме: C A H ( jω) C 2 ω2 D 2 jυ (ω) e , A2 ω2 B 2 jωD jωB (26.16) где υ(ω) arctg ωD ωB . arctg C A Представим H(jω) в алгебраической форме, для чего умножим числитель и знаменатель (26.16) на комплексно-сопряжѐнный полином знаменателя A – jωB и выделим вещественную и мнимую части: H ( jω) AC ω2 BD A2 ω2 B 2 jω C jωD A jωB A jωB A jωB AD BC A2 Re H ( jω) ω2 B 2 (26.17) j Im H ( jω) . Из чѐтности полиномов A, B, C и D следует:  квадрат АЧХ H ( jω) 2 H ( jω) 2 C 2 ω2 D 2 A2 ω2 B 2 (26.18) и вещественная часть КЧХ AC ω2 BD (26.19) A2 ω2 B 2 выражаются чѐтными2 рациональными функциями переменной ω; Re H ( jω) Re H ( jω)  тангенс ФЧХ tgυ(ω) Im H ( jω) Re H ( jω) ω AD BC , tgυ( ω) AC ω2 BD tgυ(ω) и мнимая часть КЧХ Im H ( jω) ω AD BC , Im H ( jω) A2 ω2 B 2 Im H ( jω) представляют собой нечѐтные рациональные функции частоты ω. 2 Функция f(x) называется чѐтной, если f(–x) = f(x), и нечѐтной, если f(–x) = –f(x). Часть I. Глава 8 426 В связи с этим:  амплитудно-частотная характеристика |H(jω)| ≥ 0 является чѐтной рациональной функцией,  фазочастотная характеристика υ(ω) arg H ( jω) arctg Im H ( jω) , υ( ω) Re H ( jω) υ(ω) является нечѐтной трансцендентной функцией частоты ω. Всѐ сказанное нетрудно распространить на входные функции, если рассмотреть их модули и аргументы. L2 C2 1 R U вх Лекция 27 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Критерии устойчивости Ранее уже рассматривалась проблема устойчивости линейных стационарных электрических цепей и было показано, что цепь устойчива, если интеграл от импульсной характеристики сходится абсолютно или полюсы передаточной функции расположены в левой p-полуплоскости (устойчивость при нулевых начальных условиях), т. е. корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Наличие же корней с положительными вещественными частями (полюсы располагаются в правой p-полуплоскости) приводит к тому, что любое случайное воздействие, каким бы оно ни было малым, вызывает нарастающие по амплитуде свободные колебания, максимум которых ограничивается нелинейными свойствами элементов цепи. Причѐм второй критерий является прямым следствием первого. Иначе говоря, смысл устойчивости состоит в том, что система устойчива, если любой ограниченный по величине входной сигнал вызывает у неѐ ограниченную же по величине реакцию. Определение устойчивости любой цепи, оператора или устройства является чрезвычайно важной практической задачей. Однако решение об устойчивости на основании импульсной характеристики или корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции) связано с весьма сложными вычислениями, причѐм численные значения корней никакого практического значения не имеют, а их вычисление требует больших вычислительных затрат. Известно, что корни алгебраического уравнения аналитически, т. е. по формулам, вычислимы лишь при степени n ≤ 4. При других степенях корни уравнения вычисляются только численными методами, в связи с чем на практике поиск корней для суждения об устойчивости применяется к уравнениям степени не выше третьей. Объѐм вычислений резко возрастает с ростом степени уравнения, причѐм даже мощная вычислительная техника может не спасти, поскольку далеко не во всех практически важных случаях можно воспользоваться указанными ранее признаками. Часть I. Глава 8 428 Поэтому были разработаны другие методы (или правила) определения устойчивости, основанные на косвенных еѐ признаках, исключающих вычисление корней характеристического уравнения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Правило, на основании которого выносится суждение о свойствах исследуемого объекта, называется критерием, а численное выражение этого свойства называется его оценкой по критерию. В настоящее время для оценки устойчивости наиболее часто применяются критерии Гурвица (1895), Михайлова (1938) и Найквиста (1932). В данной лекции изучаются критерии Гурвица и Михайлова. Критерий Найквиста излагается в лекции 41 в связи с устойчивостью цепей с обратной связью; там же рассматривается устойчивость по Ляпунову. 27.1. Критерий устойчивости Гурвица Гурвиц1 нашѐл условия, которым должны удовлетворять соотношения между коэффициентами алгебраического уравнения с тем, чтобы все его корни имели отрицательные вещественные части, т. е. располагались в левой полуплоскости. Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: Для того чтобы все корни алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами pn a1 p n 1 a2 p n 2 an 1 p a n 0 (27.1) лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы составленный из коэффициентов уравнения определитель 1 a1 a3 a5 a7 0 1 a2 a4 a6 0 0 a1 a3 a5 0 0 1 a2 a4 0 0 0 0 0 an (27.2) Адольф Гурвиц (1859—1919) — немецкий математик, основные труды: по математическому анализу, теории функций, алгебре (критерий Гурвица) и теории чисел. Лекция 27. Критерии устойчивости 429 и все его главные миноры (выделены штриховыми линиями) a1; 1 a1 a3 2 1 a2 a1 a3 a5 ; 1 a2 a4 ; 3 0 a1 a3 2 принимали положительные значения . Определитель (27.2), называемый определителем Гурвица, составляется по следующему правилу:  на главной диагонали размещают коэффициенты уравнения в порядке, в котором они расположены в уравнении, начиная с коэффициента a1; коэффициент при n-ой степени (27.1) комплексной переменной p всегда равен 1;  в каждом из столбцов определителя под диагональным элементом разме- щают коэффициенты с убывающими, а над ним — с возрастающими индексами;  все коэффициенты, индексы которых превышают степень полинома n или отрицательны, заменяют нулями. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Полиномы, корни (нули) которых расположены в левой полуплоскости, исключая мнимую ось, называются полиномами Гурвица, или устойчивыми полиномами, и обычно обозначаются как v(p). 27.1.1. Свойства полиномов Гурвица Пусть полином Гурвица степени n v( p) pn a1 p n 1 a2 p n 2 an 1 p an (27.3) имеет 2r комплексных нулей (т. е. r комплексно-сопряжѐнных пар) вида pi1,2 σi jωi , pi 2 pi1, i 1,2, ,r (27.4) и потому n – 2r простых вещественных отрицательных нулей вида pk σk , k r 1, r 2, , n 2r . Тогда разложение полинома на сомножители v( p) 2 n m 1 (p pm ) , Доказательство можно найти в монографии: Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 4-е изд. — М.: Наука. 1988. Часть I. Глава 8 430 где pm — m-ый комплексный или вещественный нуль, можно представить как произведение полиномов первой степени (первого порядка3) вида p – pk = p – σk и полиномов второй степени (второго порядка) вида p pi p σi p 2 pi ωi2 p jωi σi p p 2 2σi p σi2 ωi2 σi jωi p 2 αi p βi , содержащих положительные коэффициенты: 1, αi и βi. Отсюда следуют все четыре свойства полинома Гурвица. Свойство 1 Полином Гурвица v(p) степени n (порядка n) может быть представлен в виде произведения полиномов первой и второй степени с вещественными положительными коэффициентами v( p ) p σ1 p σk p2 αi p βi p σn p2 2r p2 α1 p β1 αr p βr . (27.5) Из вещественности и положительности коэффициентов σi, αi и βi в разложении (27.5) вытекает второе свойство. Свойство 2 Ни один из коэффициентов a1, a2, …, an полинома Гурвица (27.3) не равен нулю и все они положительны. Примеры полиномов, не принадлежащих к классу полиномов Гурвица: 4 3 2  полином p + 2p + 3p + 4, поскольку коэффициент при p равен нулю; 4 3 2  полином p – 2p + 3p + 4p + 5, поскольку содержит отрицательный коэф3 фициент при p . З А МЕ Ч А Н И Е Если коэффициент при старшем члене полинома Гурвица не равен единице и отрицателен (положителен), то и все остальные коэффициенты полинома также отрицательны (положительны), поскольку n a0 p + …+ ai p n-i n + …+ an = a0 p + …+ ai p n-i + …+ an , ai = ai a0 ; иначе говоря, все коэффициенты полинома Гурвица имеют одинаковые знаки. 3 В технических приложениях термины "степень полинома" и "порядок полинома" являются синонимами. Лекция 27. Критерии устойчивости 431 Однако условие положительности коэффициентов полинома является только необходимым, но не достаточным для того, чтобы он был полиномом Гурвица. Прежде чем формулировать третье свойство, рассмотрим полином (27.5), когда оператор p принимает чисто мнимые значения p = jω, расположенные на мнимой оси комплексной p-плоскости. Полином v(p)p = jω = v(jω) называют комплексным полиномом Гурвица, или комплексом полинома Гурвица, который имеет вид: v( jω) jω σ1 jω σ k ω2 jω σ n ω2 α i jω β i ω2 2r α1 jω β1 α r jω β r . (27.6) Изучим частотные зависимости модуля |v(jω)| и аргумента φГ(ω) = arg v(jω) комплекса полинома Гурвица: v( jω) v( jω) cosφГ (ω) v( jω) v( jω) e jφГ (ω) j v( jω) sin φГ (ω) Re v( jω) n 2r k 1 φ Г (ω) ω2 σ 2k n 2r k 1 arctg r i 1 ω σk βi r i 1 ω2 arctg 2 ω βi j Im v( jω) , (27.7) ω2αi2 , (27.8) i (27.9) ω2 . Из (27.8) следует, что ни при каких значениях частоты ω модуль |v(jω)| не обращается в нуль. Из (27.9) следует, что при изменении частоты ω от 0 до ω arctg φk (ω) σk значение монотонно возрастает от 0 до π/2, а значение ω i arctg φi (ω) βi ω2 также монотонно возрастает, но уже от 0 до π, поскольку arctg 2 arctg 0 π. Отсюда согласно (27.9) аргумент полинома Гурвица φГ(ω) монотонно возрасπ π тает от 0 до n 2r rπ n . Таким образом, доказано третье свойство. 2 2 Часть I. Глава 8 432 Свойство 3 С ростом частоты ω от 0 до аргумент комплекса полинома Гурвица стеπ пени n монотонно возрастает от 0 до n . Это свойство условно записы2 вают как приращение аргумента arg v ( jω) φ Г ( ) φ Г (0) 0 ω π n . 2 (27.10) На рис. 27.1 приведѐн пример для комплексного полинома Гурвица третьего порядка v ( jω) jω σ1 ω2 α1 jω β1 v ( jω) e jφ Г (ω) , φ1 (ω) 0,5π 0 φ 2 (ω) π аа ω 0,5π 0 б φ Г (ω) ω 1,5π π 0,5π 0 ω1 ω2 ω в Рис. 27.1. Аргумент: а) полинома первого порядка, б) полинома второго порядка, в) комплексного полинома Гурвица третьего порядка Лекция 27. Критерии устойчивости 433 где аргумент φГ(ω) равен сумме аргументов полиномов первого φ1(ω) и второго φ2(ω) порядков: φГ(ω) = φ1(ω) + φ2(ω). Свойство 4 Нули вещественной и мнимой частей комплексного полинома Гурвица (27.7) являются простыми, вещественными (расположены на частотной оси) и перемежаются (чередуются); последнее означает, что между двумя смежными нулями полинома Re{v(jω)} расположен нуль полинома Im{v(jω)} и наоборот. Доказательство. Обратимся к выводам, сделанным в разд. 26.2, и сопоставим выражения (26.13) и (26.14). Это сопоставление позволяет записать: A ω2 ωB ω2 an an an 2 ω 2 1 an 4 ω 4 an 3ω2 an 5ω4 v ( jω) cosφ Г (ω) Re v ( jω) ; v ( jω) sin φ Г (ω) Im v( jω) . π , т. е когда 2 обращается в нуль функция косинуса, а мнимая часть — при φГ (ω) kπ , т. е когда обращается в нуль функция синуса. Ранее было доказано, что π функция φГ (ω) монотонно возрастает от нуля при ω 0 до n при ω , 2 поэтому с ростом переменной ω в этих пределах последовательно обращаются в нуль то мнимая, то вещественная части полинома Гурвица. Вещественная часть обращается в нуль при φ Г (ω) 2k 1 Пример приведѐн на рис. 27.2, где показаны графики вещественной Re{v(jω)} и мнимой Im{v(jω)} частей полинома Гурвица седьмого порядка, последовательно принимающих значение нуля, а именно: мнимая часть обращается в нуль на частотах: ω = 0, ω2, ω4, ω6; вещественная — на частотах ω1, ω3, ω5, причѐм ω1 < ω2 < ω3 < ω4 < ω5 < ω6, т. е. нули вещественной и мнимой частей полинома Гурвица чередуются (перемежаются) и являются простыми, вещественными. Отметим два практически важных обстоятельства, вытекающих из четвѐртого свойства: 1. Перемежаемость нулей вещественной и мнимой частей комплексного полинома Гурвица означает, что степени полиномов Re{v(jω)} и Im{v(jω)} всегда отличаются на единицу и в сумме дают степень полинома Гурвица. Этот факт является следствием того, что ни один из коэффициентов полинома Гурвица не может быть равен нулю. Часть I. Глава 8 434 Re v ( jω) , Im v ( jω) Re v ( jω) ω1 0 ω2 ω3 ω4 ω5 ω ω6 Im v ( jω) Рис. 27.2. Чередование (перемежаемость) нулей вещественной (отмечены чѐрным цветом) и мнимой (отмечены белым цветом) частей полинома Гурвица 7-го порядка 2. Коэффициенты полинома Гурвица можно найти по нулям его вещественной и мнимой частей, если записать эти части в виде произведения вещественных множителей: A ω2 an ωB ω2 an an 2 ω2 1 an 3ω2 an 4 ω4 an 5ω4 a1 ω12 ω ω22 ω2 ω32 ω2 ω42 ω2 ω2 ω2n ω2 ; 2 ω2n 1 ω2 . Здесь коэффициент a1 совпадает с коэффициентом при старшем члене полинома, стоящего в левой части равенства, а множители имеют вторые степени, поскольку вещественная часть содержит только чѐтные степени переменной ω, а мнимая — еѐ нечѐтные степени. Практическая важность отмеченных обстоятельств состоит в том, что коэффициенты ak полинома Гурвица, получаемые в результате довольно непростых расчѐтов в процессе синтеза той или иной цепи (например, фильтра или фазового корректора и т. п.) являются очень чувствительными даже к незначительным отклонениям от рассчитанных значений, которые могут привести к существенным искажениям частотных характеристик. По этой причине коэффициенты ak по каналам связи не передают. Конечно, можно передавать корни самого полинома Гурвица, чувствительность которых к отклонениям их величин значительно ниже. Но процедура расчѐта корней полиномов больших порядков (на практике это 10-й и более порядок) сложна и требует существенных временных затрат. Поэтому по каналу связи передают частоты ωk, соответствующие нулям вещественной и мнимой частей полинома Гурвица, которые не только мало чувствительны к погрешностям вычислений, но они сравнительно легко вычисляются и одновременно обеспечивают гарантированный контроль за устойчивостью с использованием свойства их перемежаемости. Лекция 27. Критерии устойчивости 435 27.2. Критерий устойчивости Михайлова Критерий устойчивости Михайлова совпадает с третьим свойством полиномов Гурвица, в связи с чем формулируется следующим образом: Электрическая цепь является устойчивой, если при изменении переменной ω от ω = 0 до ω = аргумент φ(ω) комплекса v(jω) характеристическоπ го полинома цепи v(p) степени n возрастает на угол n рад. 2 Действительно, пусть полином v(p) степени n один вещественный положительный нуль p = δk > 0. Тогда в произведении (27.6) появится множитель ω ω (jω – δk), аргумент которого φk (ω) arctg убывает от 0 при arctg δk δk π при ω = . Поэтому суммарное приращение аргумента Δφ(ω) 2 π комплекса v(jω) окажется менее чем n , если полином v(p) имеет хотя бы 2 один нуль, расположенный справа от мнимой оси p-плоскости. ω = 0 до Отсюда следует геометрическая трактовка критерия Михайлова. Годограф комплексного характеристического полинома v(jω) устойчивой цепи при изменении частоты ω от ω = 0 до ω = , начиная с вещественной положительной полуоси (an ≠ 0), последовательно обходит n квадрантов в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. j n 5 n ω j ω2 4 ω1 ω ω1 ω2 0 ω 0 ω 0 0 ω4 ω3 j аа j Рис. 27.3. Годографы: а) устойчивой цепи 5-го порядка, б) неустойчивой цепи 4-го порядка бб 436 Часть I. Глава 8 Примеры годографов приведены на рис. 27.3, а для устойчивой цепи порядка n = 5 и рис. 27.3, б — неустойчивой цепи порядка n = 4. В первом случае цепь устойчива, поскольку с ростом частоты аргумент φ(ω) π изменяется монотонно и получает суммарное приращение φ ω 2,5 при 2 n = 5; во втором случае аргумент изменяется немонотонно, причѐм суммарное его приращение равно нулю Δφ(ω) = 0. ЧАСТЬ II ОСНОВЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ L2 C2 1 R U вх L1 1 Z вх R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Глава 9 Математические основы синтеза электрических цепей с заданными свойствами Лекция 28. Задача синтеза электрических цепей и этапы еѐ решения Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей Лекция 30. Реализация функций электрических цепей Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников L2 C2 1 R U вх Лекция 28 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Задача синтеза электрических цепей и этапы её решения Всякий раз при проектировании разнообразных устройств управления необходимо решать задачу синтеза конкретной электрической цепи, которая обладала бы желаемыми характеристиками и конструктивными параметрами. Такая задача в общем виде может быть сформулирована следующим образом: Требуется найти электрическую цепь, которая:  удовлетворяет заданным частотным (или временным) характеристикам;  должна быть реализована с использованием некоторого набора элементов. Набор элементов, из которых строится электрическая цепь, называется элементным базисом, или элементной базой. 28.1. Постановка задачи оптимального синтеза электрической цепи Пусть имеются две функции ξ(x) и F(x), отображающие одну и ту же характеристику цепи, но одна из них, например ξ(x), представляет собой идеальную, или желаемую характеристику, а другая — F(x) является приближением функции ξ(x), причѐм таким, что проектируемая на еѐ основе цепь воспроизводит с заданной точностью характеристику, описываемую функцией ξ(x). Под функцией ξ(x) могут подразумеваться все известные характеристики цепей: амплитудно-частотная характеристика (АЧХ A(ω)), квадрат АЧХ A2(ω), фазочастотная характеристика φ(ω), характеристика затухания a(ω), импульсная характеристика h(t) или переходная характеристика g(t). В соответствии с перечисленным аргумент x может представлять собой: частоту ω, ω квадрат частоты ω2, нормированную безразмерную частоту , а также ωс время t. Часть II. Глава 9 442 Процесс приближения называется аппроксимацией, исходная функция ξ(x) называется аппроксимируемой, а получаемая в процессе аппроксимации приближѐнная функция цепи F(x) называется аппроксимирующей. Эта функция может быть передаточной функцией, импульсной или переходной характеристикой и т. п. При этом важно помнить, что в процессе решения задачи аппроксимации электрических цепей необходимо контролировать:  вид аппроксимирующей функции F(x);  выполнение условий физической реализуемости. 28.1.1. Условия физической реализуемости функций цепи Аппроксимирующая функция F(x) представляет собой математическую модель некоторой электрической цепи с заданными свойствами и зависит не только от аргумента x, но и от коэффициентов при соответствующих степенях x. Эту зависимость отображают в виде: F ( x, c ) , где c c0 , c1 , c2 , , cn — вектор коэффициентов. Однако не всякая функция F ( x, c ) может быть реализована в виде физической цепи. Например, передаточная функция H(p) = jω2 не допускает физической реализации, поскольку мнимые величины не могут отображать свойства реальной электрической цепи. Это говорит о том, что функция H(p) должна удовлетворять некоторым условиям с тем, чтобы еѐ можно было реализовать (осуществить) в виде конкретной электрической цепи. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Необходимые и достаточные условия, при выполнении которых заданная функция F ( x, c ) может быть реализована в виде физически возможной электрической цепи, называются условиями физической реализуемости (УФЗ), или условиями физической возможности (УФВ). Поскольку наиболее часто в качестве функции цепи выступает еѐ передаточная функция H(p), рассмотрим несколько важных примеров. Так, известно утверждение: для того чтобы дробно-рациональная передаточная функция являлась с точностью до постоянного множителя физически реализуемой, необходимо и достаточно, чтобы: все коэффициенты функции были вещественны; Лекция 28. Задача синтеза электрических цепей и этапы её решения 443 степень полинома числителя не должна превышать степени полинома знаменателя; полином знаменателя должен быть полиномом Гурвица. Перечисленные в утверждении требования как раз и определяют условия физической реализуемости таких передаточных функций, при этом, естественно, исключаются из рассмотрения передаточные функции, имеющие полюсы на мнимой оси. Другой пример: если решается задача аппроксимации квадрата АЧХ A2(ω), то в качестве аппроксимирующей функции F ( x, c ) необходимо выбрать дробнорациональную передаточную функцию, представляющую собой отношение двух чѐтных полиномов с вещественными коэффициентами, причѐм степень полинома числителя не должна превышать степени полинома знаменателя, а свободный член полинома знаменателя не должен равняться нулю. При решении конкретных задач синтеза электрических цепей на передаточную функцию H(p) могут накладываться дополнительные ограничения, которые связаны со структурой цепи, условиями схемной реализации (УСР), функциональным еѐ назначением, элементным базисом и т. п. Примером ограничений, которые может накладывать структура синтезируемой цепи на коэффициенты передаточной функции, являются представляющие наибольший практический интерес неуравновешенные четырѐхполюсники, не содержащие взаимных индуктивностей. Такие цепи должны дополнительно удовлетворять известным условиям Фиалкова-Герста: для неуравновешенных цепей без взаимной индуктивности коэффициенты числителя передаточной функции должны быть неотрицательными и не превышать соответствующих коэффициентов знаменателя. А это, в свою очередь, означает, что на положительной p-полуоси (σ > 0) должны отсутствовать нули передаточной функции. Для физической реализуемости чрезвычайно важен принцип причинности, которому должна удовлетворять функция H(p) и который выражается в том, что реакция y(t) на воздействие x (t ) x (t ) 0 0, t 0, x (t ), t 0 должна удовлетворять условию y (t ) t 0 (28.1) 0 . Такая функция H(p) называется причинной, или каузальной. Смысл причинности состоит в том, что реакция цепи не может наступить раньше воздействия. Часть II. Глава 9 444 Условие причинности определяется критерием причинности Пэли-Винера, согласно которому каузальная передаточная функция должна удовлетворять неравенству 2 A2 (ω)dω H ( jω) dω , т. е. АЧХ должна быть интегрируема с квадратом на всей оси ω. Однако не всякая передаточная функция удовлетворяет такому неравенству. Например, критерий Пэли-Винера не применим к передаточным функциям фильтров верхних частот, фазовых контуров, режекторных фильтров и т. д. Поэтому было введено понятие условно-причинной передаточной функции, для которой при воздействии (28.1) реакция равна y (t ) t t0 , y (t ), t t0 , 0, где t0 — конечно. Для таких функций был предложен обобщѐнный критерий Пэли-Винера1: передаточная функция H(p) является условно-причинной, если существует сигнал x(t), определяемый формулой (28.1) и имеющий преобразование Фурье X(jω), такой, что выполняются неравенства: 2 H ( jω) X ( jω) dω и ln H ( jω) X ( jω) 1 ω2 dω . Отличие обобщѐнного критерия от традиционного состоит в том, что в последнем причинность оценивается по реакции на δ-функцию, а в обобщѐнном — по реакции на специально подобранный сигнал. Тем не менее в обоих случаях на основании принципа суперпозиции полагается, что если причинность выполняется для испытательного сигнала, то она будет выполняться и для любого другого. 28.1.2. Характеристика задачи оптимального синтеза Во всех задачах аппроксимации обычно требуется воспроизвести функцию ξ(x) не во всей области изменения аргумента x, а лишь в конкретном интервале или в некотором наборе (множестве) интервалов его изменения. 1 см. в кн. А. А. Ланнэ. Оптимальный синтез линейных электронных схем. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Связь, 1978. Лекция 28. Задача синтеза электрических цепей и этапы её решения 445 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Интервал E = [x1, x2], в котором осуществляется аппроксимация функции ξ(x), называется интервалом аппроксимации (рис. 28.1). ξ( x) ξ( x), F ( x, c ) δ 2δ F ( x, c ) 0 x1 x x2 E Рис. 28.1. Задание интервала аппроксимации Сказанное символически записывают в виде соотношения ξ( x) F ( x, c ), x E , которое следует читать так: функция F ( x, c ) должна воспроизводить функцию ξ(x) на интервале аппроксимации E. Для оценки качества, или степени приближения пары функций ξ(x) и F(x) вводится важнейшее понятие расстояния ρ ξ( x ), F ( x, c ) между этими функциями. Расстояние характеризует меру близости этих функций и может пониматься в различных смыслах; оно оценивается одним числом δ и не может его превосходить на всѐм интервале аппроксимации. Метод определения расстояния ρ называется метрикой, или критерием близости. Так, если принять, что модуль разности функций не должен превосходить некоторого числа δ: ρ ξ( x ), F ( x, c ) ξ( x ) F ( x, c ) δ, x E, (28.2) то критерием близости в данном случае является максимум модуля разности, поскольку из (28.2) следует очевидное соотношение: δ max ξ( x ) F ( x, c ) . x E Часть II. Глава 9 446 Возможны и другие критерии близости, которые будут рассмотрены далее. Поэтому всегда, когда говорится о близости пары функций, необходимо указывать, в каком смысле, т. е. в какой метрике или при каком критерии близости получен или предполагается получить тот или иной результат. Все методы аппроксимации, а потому и задачи синтеза электрических цепей (ЭЦ) можно разделить на два обширных класса: оптимальные и неоптимальные. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Под оптимальным синтезом понимают расчѐт электрической цепи, в результате которого минимизируется или максимизируется одна или совокупность характеристик (параметров) цепи. Цель оптимального синтеза в самом общем смысле состоит в том, чтобы при заданных условиях и ограничениях получить такую ЭЦ, которая имела бы наилучшие параметры: минимальный порядок, минимум максимального отклонения (расстояния) реальной частотной или временной характеристики от желаемой, малый собственный шум, желаемые особенности структуры и т. д. Каждый из перечисленных параметров может выступать в качестве оптимизируемой характеристики. Оптимизируемую характеристику Ф называют целевой функцией (или критерием качества), для которой задача оптимального синтеза в самом общем виде может быть представлена так: при ограничениях : a) ρ c ξ( x) F ( x, c ) c1 , c2 , δ, x E , , cm — вектор варьируемых параметров, b) принадлежности функции F ( x, c ) классу функций G, (28.3) удовлетворяющих условиям реализуемости F ( x, c ) G , необходимо, чтобы min (max). Целевой функцией Ф определяется качество достижения поставленной цели. При этом любое решение, удовлетворяющее заданным ограничениям, называется допустимым решением. Оптимальное решение является лучшим допустимым решением в смысле выбранного критерия, т. е. меры близости. Именно выбор лучшего по заданному критерию решения и составляет существо задачи оптимального синтеза электрической цепи. Лекция 28. Задача синтеза электрических цепей и этапы её решения 447 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Критерием оптимальности называют показатель, который характеризует общую ценность решений таким образом, что решение признается тем лучшим, чем меньше (или больше) значение показателя при заданных условиях и ограничениях задачи. Это означает, что любая оценка решения в виде некоторого числа является оценкой по определенному критерию. Критерий оптимальности включается в постановку задачи. Более подробно постановка задачи оптимального синтеза будет рассмотрена позже, а пока отметим, что общий метод решения задачи (28.3) не известен. Однако задачу (28.3) можно упростить, если связать целевую функцию Ф с числом m варьируемых (изменяемых) параметров c c1 , c2 , , cm ; например, полагать, что оптимизируемым параметром является число m элементов цепи, а целевой, т. е. минимизируемой функцией — расстояние ρ. Именно такой случай является типовым в большинстве важнейших задач синтеза. Тогда задачу (28.3) можно решать поэтапно в виде последовательного решения более простых задач: ρ ξ( x ) F ( x, c ) min; c F ( x, c ) G, m 1, 2, (28.4) Сопоставление задач (28.3) и (28.4) показывает, что:  в первой задаче отыскивается вектор c , при котором выполнение условий a и b достигается при минимально возможном числе m = min варьируемых параметров;  во второй задаче целевая функция Ф превращена в фиксированный параметр m, а расстояние ρ ξ( x ) F ( x, c ) — в целевую функцию. Процедура решения задачи (28.3) с помощью задачи (28.4) состоит в следующем: 1. Назначается число варьируемых параметров m и отыскивается вектор c , при котором расстояние ρ минимально возможно: ρ = min. 2. Полученное значение ρ сравнивается с максимально допустимым отклонением δ (рис. 28.1); при этом возможны следующие случаи: ρ > δ, тогда назначается новое число m1 > m, при котором решается задача (28.4); ρ < δ, тогда делается попытка решить задачу (28.4) при m1 < m. В процессе такого перебора значений m всегда найдѐтся минимальное значение m = min, при котором расстояние ρ ещѐ не превышает δ, т. е. ρ ≤ δ; значе- Часть II. Глава 9 448 ние m = min называется оптимальным, и задача (28.3) оказывается решѐнной. Более подробно такая задача изучается в лекции 29. Рассмотренная задача оптимизации решается только численными методами с помощью эффективных вычислительных алгоритмов. 28.2. Методы решения задачи синтеза электрических цепей В теории электрических цепей применяются два принципа решения задачи синтеза:  метод оптимального параметрического синтеза;  классический метод. Рассмотрим каждый из этих методов. 28.2.1. Метод оптимального параметрического синтеза Метод оптимального параметрического синтеза основан на решении оптимизационной задачи, в общем виде представленной в разд. 28.1, основными этапами решения которой являются: 1. Выбор схемы, отвечающей заданным УФР; выбор схемы определяется, прежде всего, местом синтезируемой схемы в разрабатываемом устройстве, а также инженерным опытом. 2. Составление математической модели (функции цепи ξ(x)), параметрами c которой являются параметры элементов схемы. 3. Задание исходных данных, к которым относятся: функция ξ(x), подлежащая аппроксимации на интервале E = [x1, x2], при этом сам интервал может представлять собой совокупность более узких интервалов аппроксимации; допустимая погрешность δ приближения функции ξ(x) аппроксимирующей функцией F ( x, c ) ; критерий близости ρ ξ( x ), F ( x, c ) ; целевая функция Ф; условия физической реализуемости функции F ( x, c ) . 4. Формирование задачи оптимизации, например в виде (28.4). Лекция 28. Задача синтеза электрических цепей и этапы её решения 449 5. Решение задачи оптимизации согласно описанной ранее процедуре; результатом решения является функция F ( x, c ) — математическая модель оптимальной электрической цепи. Этот этап называется этапом аппроксимации. 6. Реализация функции F ( x, c ) в виде электрической цепи; этот этап называется этапом реализации, которым и заканчивается синтез оптимальной электрической цепи. 28.2.2. Классические методы синтеза электрических цепей Классические методы связаны с решением задачи (28.2), однако они отличаются от метода оптимального синтеза тем, что в них исключается формирование задачи оптимизации, и используются неоптимальные методы решения задачи аппроксимации, а на этапе реализации имеет место структурное и элементное разнообразие схем. Среди классических методов аппроксимации наиболее часто используется интерполирование полиномами и интерполирование отрезками рядов Тейлора (максимально плоская аппроксимация). Интерполирование полиномами Этот метод аппроксимации состоит в следующем:  в качестве аппроксимирующей функции F ( x, c ) выбирается некоторый полином P( x, c ) ;  ставится задача найти коэффициенты c этого полинома такие, чтобы его значения совпадали со значениями аппроксимируемой функции ξ(x) в заданных n точках, которые называются узлами интерполяции. Узлы интерполяции обычно располагают внутри интервала аппроксимации E = [x1, x2] функции ξ(x). По числу n используемых узлов интерполяцию называют n-точечной (двухточечной, трѐхточечной и т. д.);  для n-точечной интерполяции составляется система из n уравнений P( xk , c ) ξ( xk ), k 1,2, , n , решением которой являются коэффициенты c (параметры аппроксимирующей функции). Если полином нелинейно зависит от параметров, то интерполяцию называют нелинейной; при линейной зависимости от параметров интерполи- Часть II. Глава 9 450 рующий полином представляется в виде обобщѐнного многочлена порядка m: m P( x, c ) i 0 ci φi ( x ) , (28.5) в частности, φi(x) = xi. Пример 28.1. Требуется аппроксимировать прямой линией параболу x2 , x ξ x 0,1 , заданную на интервале E = [0, 1]. Решение. Это означает, что в данном случае в качестве аппроксимирующей функции необходимо взять полином первого порядка: P( x, c ) c0 c1x . Поскольку прямая линия полностью определяется двумя точками, достаточно на интервале аппроксимации назначить только два узла интерполяции, а потому составить линейную систему из двух уравнений: P( x1, c ) c0 c1 x1 ξ x1 P( x2 , c ) c0 c1 x2 ξ x2 x12 ; x22 . Назначим два узла интерполяции (рис. 28.2) такие, которые соответствуют значениям x, равноудалѐнным от нуля и от единицы на 0,125: x1 = 0,125, x2 0,875. В этих узлах аппроксимируемая функция принимает значения: ξ(x1) = 0,1252 = 0,15625 и ξ(x2) = 0,8752 = 0,765625. Теперь можно записать линейную систему из двух уравнений: c0 c1 0,125 0,15625; c0 c1 0,875 0,765625. Эта система даѐт следующее решение: c0 = –0,109375, c0 = 1, поэтому аппроксимирующий полином имеет вид: P( x, c ) 0,109375 x. Результат аппроксимации отображѐн на рис. 28.2, на котором также показан максимум ошибки аппроксимации Δ = 0,140625, приходящийся на значение x = 0,5. Лекция 28. Задача синтеза электрических цепей и этапы её решения 451 ξ( x), P( x, c ) 1 ξ( x) Узлы аппроксимации P ( x, c ) x2 ; x c0 0;1 , c1 x 0, 765625 0,390625 0,140625 0, 25 0, 015625 0 0,109375 0,5 x1 0,125 x2 1 0,875 x Рис. 28.2. Аппроксимация параболы прямой линией методом интерполяции Максимально плоская аппроксимация (разложение в ряд Тейлора) Суть максимально плоской аппроксимации состоит в следующем. Пусть требуется аппроксимировать функцию ξ(x) на интервале E = [0, 1] полиномом P( x, c ) с числом варьируемых параметров n так, чтобы в выбранной точке x = a значения полинома P( x, c ) и n – 1 первых его производных совпадали со значениями функции ξ(x) и n – 1 первых еѐ производных. При этом подразумевается, что все указанные производные существуют и непрерывны. Тогда функция ξ(x) может быть представлена отрезком ряда Тейлора до n-ой производной: ξ (a ) ξ (a ) ξ (n ) (a ) ( x a) ( x a)2 ( x a)n . 1! 2! n! Приравнивая коэффициенты полинома P( x, c ) и его производных к соответствующим коэффициентам отрезка ряда Тейлора, получаем систему уравнений вида: P( a, c ) ξ a ; ξ( x ) ξ(a ) P (a, c ) ξ a ; P (a, c ) ξ a ; P(n 1) (a, c ) ξ (n-1) a . (28.6) Часть II. Глава 9 452 G Решением этой системы станут значения коэффициентов c . Рассмотрим очень важный для практики пример. Пример 28.2. Требуется аппроксимировать в точке a = x0 = 0 функцию (рис. 28.3) ξ ( x ) = 1, x ∈ [0, 1] , заданную на интервале E = [0, 1], функцией G F ( x, c ) = 1 . c0 + c1 x + c2 x 2 + " + cn x n (28.7) Решение. Данная задача, как видно из её постановки и рисунка, эквивалентна задаче максимально плоской аппроксимации функции ξ(x) = 1 алгебраическим полиномом G (28.8) P ( x, c ) = c0 + c1 x + c2 x 2 + " + cn x n степени n при условии: G 1 − P ( x, c ) ≤ 1. Составим для полинома (28.8) систему уравнений (28.6) при x = 0: ⎧ P( x, cG ) = c0 + c1 x + c2 x 2 + " + cn−1 x n−1 + cn x n = ξ(0) = 1; x =0 ⎪ ⎪ ′ G n −2 n −1 = ξ′(0) = 0; ⎪ P ( x, c ) = c1 + 2c2 x + " + (n − 1)cn−1x + ncn x x =0 ⎪ G n −3 n−2 = ⎪ P′′( x, c ) = 2c2 + " + (n − 1)(n − 2)cn−1x + n(n − 1)cn x x =0 ⎪⎪ = ξ′′(0) = 0; ⎨ ⎪"""""""""""""""""""""""""""""" ⎪ ⎪ P( n−1) ( x, cG ) = (n − 1)(n − 2)(n − 3)"1cn−1 + n(n − 1)(n − 2)(n − 3)"1cn x = ⎪ ⎪ = ( (n − 1)!cn−1 + n !cn x ) x =0 = ξ (n-1) (0) = 0, ⎪ ⎪⎩ откуда имеем следующие значения коэффициентов: (28.9) ⎧c0 = 1; ⎪c = 0; ⎪⎪ 1 ⎨c2 = 0; ⎪""" ⎪ ⎪⎩cn −1 = 0, (28.10) ( ( ( ) ) ) Лекция 28. Задача синтеза электрических цепей и этапы её решения 453 среди которых отсутствует коэффициент cn. Значение этого коэффициента, как следует из последнего уравнения системы (28.9), может быть произвольным вещественным числом, поэтому искомый полином имеет вид: P( x, c ) 1 cn x n , (28.11) а функция (28.7) оказывается такой: F ( x, c ) 1 . 1 cn x n (28.12) Значение коэффициента cn определим из следующих соображений:  во-первых, для выполнения условия 1 P ( x, c ) 1 1 cn x n 1 значе- ние коэффициента cn должно быть заключено в пределах –1≤ cn ≤ 1;  во-вторых, для физической реализуемости функции (28.7) необходимо, чтобы P( x, c ) 0 , x [0, ) , поэтому значение коэффициента cn должно быть положительным cn > 0;  в-третьих, значение функции вне полосы аппроксимации будет тем ближе к нулю, чем больше коэффициент cn, поэтому необходимо взять его максимально допустимое значение cn 1. Таким образом, окончательно получаем полином P( x, c ) 1 x n (28.13) и аппроксимирующую функцию F ( x, c ) 1 . 1 xn Характер аппроксимации функции ξ x (28.14) 1, x 0;1 функцией (28.14) при различных n показан на рис. 28.3. Рисунок позволяет сделать следующие выводы:  чем больше значение показателя степени n, тем точнее аппроксимируется заданная функция в интервале аппроксимации функцией (28.14);  с ростом n кривая аппроксимации становится более плоской как в интер- вале аппроксимации, так и вне его; по этой причине аппроксимация называется максимально плоской;  кривая аппроксимации является непрерывной гладкой;  все кривые аппроксимации проходят через точку ξ(1) = 0,5. Часть II. Глава 9 454 ξ( x), P( x, c ) 1 0,8 0, 6 0,5 0, 4 n 1 0, 2 0 n 2 n 4 1 x Рис. 28.3. Графики аппроксимации функции ξ(x) по Тейлору при различных значениях n Результаты рассмотренного примера будут использованы при изучении методов синтеза фильтров. Рассмотренные классические методы аппроксимации достаточно просты и удобны. Однако они обладают двумя существенными недостатками: 1. Далеко не всегда гарантируется физическая реализуемость, поэтому после решения задачи аппроксимации в общем случае должны быть проверены условия физической и схемной реализуемости. В большинстве встречающихся случаев, когда не удовлетворяются УФР, необходимо изменить узлы интерполирования и вновь решить задачу; причѐм неизвестно, как следует смещать узлы и что произойдѐт с погрешностью аппроксимации. 2. В процессе решения задачи аппроксимации не контролируется точность приближения заданной функции ξ(x) полиномом P( x, c ) , что может привести к необходимости изменить порядок полинома (увеличить его) или заранее определить значения желаемых коэффициентов. L2 C2 1 R U вх Лекция 29 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Оптимальные методы синтеза электрических цепей Сформулированная в разд. 28.1.2 задача (28.3) в математике называется задачей наилучшего приближения функции ξ(x) с помощью некоторой функции F ( x, c ) . В лекции рассматриваются решения основных вариантов задачи (28.3), когда аппроксимирующая функция является обобщѐнным многочленом (28.4) P( x, c ) m i 0 ci φi ( x ) , а в качестве критериев близости (метрики) выступают среднеквадратичный (метрика L2) и чебышѐвский (метрика C) критерии. Именно эти критерии (метрики) применяются в аппроксимационных задачах синтеза, причѐм в подавляющем числе задач используется метрика С. 29.1. Наилучшее среднеквадратичное приближение (метрика L2) Среднеквадратичная мера кв близости (метрика L2) возможна только для функций с интегрируемым квадратом; в этом случае расстояние между аппроксимируемой функцией ξ(x) и аппроксимирующим полиномом P( x, c ) определяется следующим образом: ρкв f E 2 12 p( x ) ξ( x ) P( x, c ) dx min c E δ, (29.1) или ρ2кв f E 2 p( x ) ξ( x ) P( x, c ) dx E min c δ* , (29.2) Часть II. Глава 9 456 где:  p(x) — весовая функция, зависящая от вида полинома и позволяющая управлять характером аппроксимации на различных интервалах аппроксимации (подробнее о весовой функции см. разд. 29.5); *  δ — величина погрешности наилучшего среднеквадратичного приближе- ния (29.8). Смысл задачи (29.1) состоит в достижении минимума среднего квадрата ошибки (СКО) аппроксимации на всем интервале аппроксимации E за счѐт подбора варьируемых параметров (коэффициентов) c c1, ,cN . Вычисление n коэффициентов полинома P( x, c ) осуществляется путѐм решения системы уравнений, составленной из частных производных системы (29.2) по каждому из искомых коэффициентов ci : 2 ρ2кв ci p( x ) ξ( x ) P ( x, c ) dx E 0; i ci 0,1, , n. (29.3) На практике функция ξ(x) задаѐтся в виде графика или таблицы, так что еѐ значения определены лишь в конечном числе точек N. Кроме того, если функция задана в аналитическом виде, то с целью организации вычислений непрерывный интервал аппроксимации E заменяется конечным множеством E . Поэтому в обоих случаях интеграл в (29.1) точек x1 , x2 , ... , xi , ... , x N заменяется суммой: ρкв xi E N i 1 p( xi ) ξ( xi ) P( xi , c ) 2 12 min c δ; i 1, 2, ... , N , (29.4) или N k 1 p( xk ) ξ( xk ) P( xk , c ) 2 min c δ*; k 1, 2, ... , N . (29.5) Задача (29.4) построения многочлена P( x, c ) наилучшего среднеквадратичного приближения состоит в решении системы линейных уравнений, подобной (29.3): N i 1 p( xi ) ξ( xi ) P( xi , c ) ci 2 0; i 1, 2, ... , N , (29.6) Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей 457 которой эквивалентна система линейных уравнений (29.7). Решение этой системы даѐт коэффициенты c c1 , , cN многочлена наилучшего приближения. Сами коэффициенты можно вычислить по формуле: i ci , где:  Δ — определитель системы (29.7);  Δi — определитель, получаемый путѐм замены i-го столбца в определите- ле Δ столбцом свободных членов. c1 N i 1 p ( xi )φ1 ( xi )φ1 ( xi ) c2 cN N i 1 N i 1 p ( xi )φ 2 ( xi )φ1 ( xi ) p ( xi )φ N ( xi )φ1 ( xi ) N i 1 p ( xi )ξ( xi )φ1 ( xi ) (29.7) c1 N i 1 p ( xi )φ1 ( xi )φ N ( xi ) c2 cN N i 1 N i 1 p ( xi )φ 2 ( xi )φ N ( xi ) p ( xi )φ N ( xi )φ N ( xi ) N i 1 p( xi )ξ( xi )φ N ( xi ) Величина погрешности наилучшего среднеквадратичного приближения вычисляется по формуле: δ* ˆ (29.8) , где ˆ — определитель, получаемый из определителя (29.7) добавлением к нему столбца из свободных членов. Пример 29.1. Требуется аппроксимировать прямой линией параболу ξ x x2 , x 0, 1 , заданную на интервале E = [0, 1] с минимальной среднеквадратичной погрешностью. Часть II. Глава 9 458 Это означает, что так же, как и в примере 28.1, в качестве аппроксимирующей функции необходимо взять полином первого порядка: P( x, c ) c0 c1x , и найти коэффициенты c0 и c1. Решение. Исходя из определения (29.2), запишем квадрат минимальной погрешности при условии, что весовая функция p(x) = 1: 2 ρ2 ξ( x ) P( x, c ) dx f E min . c E Подставим сюда функцию ξ(x) = x2 и полином P( x, c ) : ρ2 1 x2 0 2 c0 c1 x dx min . (29.9) c Коэффициенты c0 и c1 найдутся из условий минимума интеграла (29.9), для чего необходимо приравнять нулю частные первые производные интеграла по c0 и c1: ρ2 0; c0 (29.10) ρ2 0. c1 Чтобы найти производные (29.10), развернѐм подынтегральное выражение и представим интеграл (29.9) суммой простейших интегралов: ρ2 1 0 1 0 x 4 2c1 x 3 2c0 x 2 c12 x 2 2c0c1 x c02 dx 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 x 4 dx 2c1 x 3dx 2c0 x 2dx c12 x 2dx 2c0c1 xdx c02 dx. Теперь можно вычислить производные (29.10): ρ2 c0 ρ2 c1 x3 2 3 1 0 1 4 x 2 4 0 x2 2c1 2 1 0 1 3 x 2c1 3 0 2 c1 2c0 3 1 2c0 x 0 x2 2c0 2 1 0 1 2 2 c1 c0 3 0; 0, Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей 459 откуда получаем систему линейных уравнений: 2c0 c1 c0 2 c1 3 2 ; 3 1 . 2 (29.11) Решение системы (29.11) даѐт следующие коэффициенты: c0 ≈ –0,167 и c1 = 1, поэтому искомый полином, отвечающий критерию минимума среднеквадратичной ошибки аппроксимации функции ξ(x) = x2 прямой линией, имеет вид: P( x, c ) 0,167 x . Результат аппроксимации показан на рис. 29.1. Метод минимума среднеквадратичного отклонения (СКО) получил широкое распространение в задачах синтеза электрических цепей при аппроксимации как частотных, так и временных характеристик. Однако пользоваться методом СКО необходимо с осторожностью, поскольку он обладает следующими особенностями:  функции цепей далеко не всегда выражаются обобщѐнными многочлена- ми, поэтому переход к обычным многочленам часто является вынужденной мерой; ξ( x), P( x, c ) ξ( x) 1 0,833 x2 ; x P ( x, c ) 0,167 x 0,333 0, 25 0 0,5 1 0;1 , x 0,167 Рис. 29.1. Аппроксимация функции ξ(x) = x2 полиномом первого порядка в метрике L2 Часть II. Глава 9 460 2 *  ошибка аппроксимации (29.8) ρ = δ не контролируется в каждой точке интервала аппроксимации, поэтому в некоторых точках могут иметь место недопустимо большие абсолютные значения ошибки (рис. 29.2), в связи с чем не исключено получение физически невозможной или неустойчивой передаточной функции; например, если в результате такой ошибки полюс расположится на мнимой оси, то в цепи появятся незатухающие свободные колебания, характерные для генераторов; причѐм способы устранения указанной возможности неизвестны;  критерий СКО соответствует достаточно узкому кругу известных задач синтеза цепей и применяется, в частности, для поиска коэффициентов дробно-рациональных функций высоких порядков (например, в вокодерах — системах сжатия речевых сигналов) взамен более сложных методов наилучших равномерных приближений, рассматриваемых в разд. 29.2. ξ( x), P( x, c ) ξ( x) P ( x, c ) 0 x1 Интервал аппроксимации ξ( x) P( x, c ) 0 x1 ξ( x) P( x, c ) 0 x1 x2 x2 x x Всплеск ошибки аппроксимации 2 x2 x Рис. 29.2. Аппроксимация методом минимума СКО Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей 461 29.2. Наилучшее равномерное (чебышёвское) приближение (метрика C) 29.2.1. Постановка задачи наилучшего равномерного приближения Изучаемая в данной лекции чебышѐвская аппроксимация связана с обобщѐнными многочленами P( x, c ) дробями вида n D( x, c ) m i 0 i n 1 ci x i ci x i ( n 1) cn 1 m i 0 ci φi ( x ) и рациональными несократимыми c0 c1 x cn 2 x ci x i ci x i ( n 1) cn x n cm x m ( n 1) , (29.12) степень числителя которых не превосходит степени знаменателя. Чебышѐвская мера близости (чебышѐвский критерий) ρчеб определяется задачей ρчеб max p( x ) ( x ) P( x, c ) min c x E (29.13) достижения минимума взвешенной (с весом p(x)) максимальной ошибки аппроксимации на всем интервале аппроксимации E за счет специально организуемой процедуры вычисления коэффициентов c . Задача (29.13) является задачей полиномиальной аппроксимации. Если в (29.13) полином P( x, c ) заменить дробью ρчеб max p( x ) ( x ) D( x, c ) f E min , c (29.14) то получим задачу дробно-рациональной аппроксимации. Задачи (29.13) и (29.14) и соответствующий им критерий называются минимаксными. Основное внимание в лекции уделяется задаче полиномиальной аппроксимации (29.13), поскольку решение задачи дробно-рациональной аппроксимации не имеет принципиальных отличий. На практике для организации вычислений интервал аппроксимации E заменяется конечным множеством принадлежащих этому интервалу точек Часть II. Глава 9 462 x1 , x2 , ... , xi , ... , xL E , в связи с чем, согласно (29.13), решается система уравнений: ρ чеб max p( xi ) ( xi ) P( xi , c ) xi F min, i 1, 2, ... , L . c (29.15) Если точки xi достаточно близко расположены друг к другу, то решения (29.13) и (29.15) будут совпадать с наперѐд заданной точностью. Разность между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями ξ( x ) P( x, c ) δ( x ) (29.16) называется ошибкой аппроксимации; она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим геометрический смысл поставленной задачи (29.13). На рис. 29.3 показан вариант чебышѐвской аппроксимации некоторой функции ξ(x) полиномом P( x, c ) на интервале E = [x1, x2] при условии, что максимум модуля ошибки аппроксимации |δ(x)| не должен превышать допустимой величины δ. Из рисунка и формулы (29.13) следует:  ошибка аппроксимации может достигать максимума как в одной точке, так и в нескольких;  ошибка контролируется в каждой точке интервала аппроксимации E ;  ни в одной точке интервала аппроксимации максимум модуля ошибки не превышает чеб . Всѐ это означает, что чебышѐвская аппроксимация важна в тех случаях, когда необходимо знание ошибки в каждой точке интервала аппроксимации. На практике при использовании чебышѐвского критерия применяются численные методы, обеспечивающие выравнивание ошибки на интервале аппроксимации. Сравнение рис. 29.2 и 29.3 показывает, что чебышѐвская аппроксимация принципиально отличается от среднеквадратичной прежде всего возможностью контролировать ошибку в каждой точке интервала аппроксимации, а потому синтезировать неизменно физически реализуемую функцию цепи. Более того, экспериментальным путем установлен следующий факт: решение задачи чебышѐвского приближения всегда дает примерно ту же среднеквадратичную погрешность, что и решение задачи наилучшего среднеквадратичного приближения. Обратное же утверждение неверно: наилучшее среднеквадратичное приближение, как правило, дает максимальную абсолютную погрешность, значительно превышающую погрешность чебышѐвского решения. Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей ξ( x), P( x, c ) ξ( xi ) δ ξ( xi ) ξ( xi ) δ 0 463 ξ( x) P ( x, c ) x1 Интервал аппроксимации x2 x ξ( x) P( x, c ) δ x 0 δ x1 x2 ξ( x) P( x, c ) δ 0 x1 x2 x Рис. 29.3. Чебышѐвская аппроксимация 29.2.2. Обобщённая теорема Чебышёва об альтернансе В лекции 28 было показано, что решение оптимизационной задачи (28.2) приближения непрерывной функции ξ(x) полиномом P( x, c ) сводится к последовательному поэтапному решению задачи (28.3). Это означает, что при вычислении коэффициентов полинома P( x, c ) на каждом этапе необходимо решать задачу наилучшего приближения. Обоснованием решения такой задачи служит обобщѐнная теорема об альтернансе (теорема Чебышѐва1). 1 Чебышѐв Пафнутий Львович (1821—1894) — великий русский математик, член Императорской Академии наук (1853), Парижской академии наук (1860); данная теорема относится к разработанной Ч. в конце 80-х годов теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. Часть II. Глава 9 464 Теорема Чебышёва: Для того чтобы полином P( x, c ) m i 0 ci φi ( x ) был единственным полиномом2 наилучшего равномерного приближения непрерывной функции ξ(x) на интервале еѐ аппроксимации E, необходимо и достаточно, чтобы абсолютный максимум взвешенной разности p x ξ x P x, c δ max достигался не менее чем в (m + 2) точках: x1, < x2 < … < xl < … < xm+2, в которых знаки разности δ( x ) p x ξ x P x, c последовательно противоположны, т. е. δ(xl) = – δ(xl – 1). ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1. Совокупность точек {xl}, в которых разность δ(x) принимает равные по абсолютной величине и чередующиеся по знаку значения (рис. 29.4), называется чебышёвским альтернансом, или просто альтернансом, а сами точки xl называются точками альтернанса. 2. Искомые коэффициенты c = c0 , c1,…, cm , изменяемые в процессе поэтапного решения задачи, называются варьируемыми параметрами полинома P( x, c ) . Примеры различных вариантов чебышѐвского альтернанса с указанием точек альтернанса приведены на рис. 29.4, откуда следует:  точки альтернанса могут располагаться произвольно: как эквидистантно (рис. 29.4, а), т. е. на равном расстоянии относительно друг друга, так и неэквидистантно (рис. 29.4, б);  на границах интервала аппроксимации отклонение может не быть равным δmax (рис. 29.4, в), поэтому точки x1 = 0 и x2 могут не относиться к точкам альтернанса. 2 Теорема Чебышѐва об альтернансе соответствует теореме Хаара о единственности наилучшего приближения. Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей Точки δ( x) альтернанса 465 δ( x) δ max δ max x 0 δ max а x1 Интервал x2 x 0 δ max б x1 аппроксимации x 2 Интервал аппроксимации δ( x) δ max x 0 в δ max x1 Интервал аппроксимации x2 Рис. 29.4. Примеры вариантов чебышѐвского альтернанса: а) эквидистантный, б) неэквидистантный, в) возможные отклонения на границах интервала аппроксимации Таким образом, теорема об альтернансе, или обобщённая теорема Чебышёва, утверждает:  существует единственный полином P( x, c ) наилучшего приближения порядка m; такой полином обеспечивает минимум максимальной ошибки аппроксимации δmax = min;  существует единственный полином наилучшего приближения при заданной ошибке аппроксимации δ; такой полином имеет наименьший порядок m = mmin;  взвешенная ошибка аппроксимации δ x имеет равноволновый характер;  количество частот альтернанса L не менее чем на две превышает поря- док полинома P x, c , т. е. L ≥ m + 2, или не менее чем на единицу число K = m + 1 варьируемых параметров (коэффициентов), т. е. L ≥ K + 1. З А МЕ Ч А Н И Е В задачах синтеза избирательных фильтров неравенство L ≥ m + 2 превращается в равенство L = m + 2. Часть II. Глава 9 466 Сказанное означает, что если в процессе решения задачи (29.13) обнаруживается такой вектор коэффициентов c , что функция p x ξ x P x, c на интервале аппроксимации E имеет не менее m + 2 экстремумов, чередующихся по знаку, но равных по абсолютной величине, процесс может быть прекращѐн, поскольку величина max p( x ) ( x ) P( x, c ) уже не уменьx E шится. Приведѐнная теорема справедлива только для специально организованных полиномов P( x, c ) , называемых полиномами Чебышѐва и рассматриваемых далее. 29.2.3. Понятие о полиномах Чебышёва3 Результатом решения сформулированной ранее задачи аппроксимации является некоторый обобщѐнный полином порядка m mopt P( x, c ) m k 0 ck φk ( x ) , где для удобства индекс i заменѐн на индекс k. Вид полинома определяется выбором функции φk ( x) , которая в нашем случае представляется как φk ( x) cos(k arccos( x)) , –1 ≤ x ≤ 1. Подстановка такой функции даѐт тригонометрический полином Чебышѐва m P x,c k 0 ck cos k arccos x , (29.17) где стоящая под знаком суммы функция cos(k arccos( x )) (29.18) также является полиномом Чебышѐва k-го порядка. 4 Полином Чебышѐва (29.18) согласно определению обычно записывают в виде : PN ( x) cos( N arccos( x)) , (29.19) где N — порядок полинома. 3 Рассматриваемые полиномы были введены Чебышѐвым в сочинении "Теория механизмов, известных под названием параллелограммов" (1854 г.). 4 Более точно такие полиномы называются полиномами Чебышѐва I рода. Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей 467 Убедимся, что (29.19) действительно представляет собой полином по x (–1 ≤ x ≤ 1) степени N с вещественными коэффициентами: N 0 P0 ( x ) 1; N 1 P1 ( x ) cos(arccos( x )) x; N 2 P2 ( x ) cos2arccos( x ) 2cos2 (arccos( x )) 1 2 x 2 1. Знание полиномов 1-го и 2-го порядков позволяет вывести рекуррентную формулу для представления полиномов степени N ≥ 3. В целях удобства обозначим θ arccos( x ) . Тогда из (29.16) следует: PN 1 cos ( N 1)θ cos( Nθ)cos(θ) sin( Nθ)sin(θ), PN 1 cos ( N 1)θ cos( Nθ)cos(θ) sin(nθ)sin(θ). Суммируя эти два равенства, получаем PN 1( x) PN 1( x) 2cos( Nθ)cos(θ) . (29.20) Учитывая соотношения: cos( Nθ) PN ( x) и cos(θ) cosarccos( x) x, из (29.20) окончательно получаем рекуррентную формулу для конструирования полиномов Чебышѐва PN 1( x) 2 xPN ( x) PN 1( x). (29.21) Учитывая равенства: P1( x) x и P2 ( x ) 2 x2 1 , нетрудно сформировать следующий ряд полиномов: P3 ( x ) 4 x 3 3x, P4 ( x ) 8 x 4 8 x 2 1, P5 ( x ) 16 x 5 20 x 3 5 x (29.22) и т. д. Непосредственно из определения полинома Чебышѐва, а также из формул (29.21) и (29.22) следует: 1. Коэффициент полинома PN(x) при старшей степени x равен 2N–1. 2. Для всех x [ 1, 1] и любого N выполняется неравенство |PN(x)| ≤ 1. Часть II. Глава 9 468 3. Любой полином PN(x) степени N представляет собой разность между функцией ζN(x) = 2N–1xN и полиномом P(x) меньшей степени PN(x) = ζN(x) – P(x), причем еѐ максимальное значение, не превосходящее 1 на интервале –1 ≤ x ≤ 1, |ζN(x) – P(x)| ≤ 1 является минимально возможным. На этом основании доказывается, что из всех полиномов степени N с коэффициентом при старшем члене 2N–1 полином Чебышѐва CN(x) наименее уклоняется от нуля. Рассмотрим характер этого уклонения при произвольном N, для чего обратимся к определению полинома Чебышѐва (29.19) PN ( x) cos( Narccos( x)) . Пусть переменная x возрастает от –1 до 1; тогда угол φ = arc cos(x) возрастает от φ = –π до φ = 0 соответственно. В то же время угол Nφ возрастает от –Nπ до 0. Последнее означает, что в указанных пределах функция cos(nφ) ровно N раз переходит через нуль (т. е. принимает значения, равные нулю) и N + 1 раз достигает значений –1 или +1, причѐм знаки этих величин чередуются. P5 ( x) 1 1 0 1 x 1 Рис. 29.5. График полинома P5(x) На рис. 29.5 показан график полинома P5(x), который на интервале аппроксимации –1 ≤ x ≤ 1 имеет пять нулей (пересечений с осью x) и шесть раз достигает максимальных по абсолютной величине значений, из которых два находятся на границах интервала. Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей 469 З А МЕ Ч А Н И Я : а) вне интервала –1 ≤ x ≤ 1 значения полиномов Чебышѐва возрастают; их вычисляют с помощью эквивалентного представления полиномов в виде (29.19); б) если по условиям задачи максимальные отклонения полинома PN(x) должны отличаться от ±1 в ε раз, необходимо записать εPN ( x ) = εcos(Narccos( x )), и тогда на интервале –1 ≤ x ≤ 1 будет соблюдаться неравенство –ε ≤ εPN(x) ≤ ε; в) если по условиям задачи полином PN(x) должен наименее уклоняться от нуля на интервале [x-1, x1], отличающемся от интервала –1 ≤ x ≤ 1, достаточно в решении (29.18) или (29.19) произвести линейное преобразование переменной x по формуле 2 x - x1 - x -1 x1 - x -1 . 29.3. Полиномиальный алгоритм Ремеза 29.3.1. Понятие об алгоритме Ремеза Идея алгоритма основана на том, что всегда можно получить функцию ошибки ε x ξ x P( x, c ) , (29.23) принимающую значения ±δ на некоторой заданной сетке (m + 2) точек xi E , i = 1, 2,…, m + 2. В (29.23) для простоты весовая функция принята равной единице p(x) = 1. Иначе говоря, получаемая из (29.23) система из m + 2 линейных уравнений с m + 2 неизвестными коэффициентами ck и ошибкой аппроксимации δ ξ xi P( x , c ) i 1 δ, i = 1, 2,…, M + 2 (29.24) имеет единственное решение для коэффициентов {сk}, при которых максимум ошибки равен δ в заданных точках {xi} из интервала аппроксимации E. Отсюда коэффициенты c , полученные при расчете, оказываются коэффициентами наилучшей аппроксимации, а максимум ошибки аппроксимации δ является минимальным. Этот вывод следует непосредственно из обобщѐнной теоремы Чебышѐва, согласно которой точки {xi} являются точками альтернанса, а δ представляет Часть II. Глава 9 470 собой амплитуду ошибки на всех точках {xi}; более того, если на совокупности интервалов аппроксимации E = [E1, E2,…] содержится только (m + 2) точек, то max ξ x x Ω P( x, c ) δ. (29.25) c В большинстве практических случаев E содержит более чем (m + 2) точек; задача состоит в том, чтобы найти из них только те (m + 2) точки, которые являются экстремальными (точками альтернанса). Алгоритм Ремеза является итерационным, т. е. его результат представляет собой итог многократного применения серии одних и тех же шагов. Алгоритм начинается с пробной сетки точек при заданном порядке m и в ходе решения на каждой итерации изменяет сетку по определѐнному правилу до тех пор, пока не будет найдена сетка экстремальных точек, т. е пока не будет найден чебышѐвский альтернанс. Правило определения альтернанса состоит в том, что в очередной итерации используются новые (m + 2) точки, на которых взвешенная ошибка ε(x):  во-первых, имеет значение, не меньшее, чем в предыдущей итерации;  во-вторых, на соседних точках знаки ε(x) противоположны;  если, тем не менее, требования не выполняются (величина m недостаточ- на) или выполняются с запасом (m выбрано больше необходимого), назначается новый порядок m и вычисления повторяются. Окончательным (оптимальным) решением является такое значение m, уменьшение которого на единицу приводит к неудовлетворению заданных требований. Поскольку на каждой итерации алгоритма происходит обмен порядка полинома на величину взвешенной ошибки, алгоритм был назван полиномиальным обменным. Полиномиальный обменный алгоритм Ремеза включает в себя следующие шаги: 1. Задание начального (нулевого) приближения в виде пробной сетки точек альтернанса S (0) 0 x1 , 0 , xi , 0 , xm 2 ; xi 0 E; выбор начального приближения представляет особую задачу, состоящую в поиске такого расположения точек альтернанса, которое приводит к улучшению сходимости алгоритма, т. е. к более быстрому достижению результата за счет сокращения количества дальнейших итераций. Простейшим, но далеко не лучшим, решением этой задачи является равномерное расположение точек на интервале аппроксимации E. Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей 471 2. Решение системы линейных уравнений (29.24) ξ xi i P( x , c ) i = 1, 2,…, M + 2, 1 δ, 0 в результате которого вычисляется вектор коэффициентов c и ошиб(0) ка δ нулевого приближения, где верхний индекс указывает номер итерации (этапа). 0 на густой сетке точек {xl} (l = 1,…, L; L >> m) 3. При коэффициентах c вычисляются значения bl аппроксимирующего полинома bl P( xl , c ) . 4. На полученном массиве {bl} определяется максимальная ошибка аппроксимации max ε xl xl E ξ xl bl . 5. Определяется необходимость очередной итерации: если δ = max |ε(xl)|, процесс заканчивается; полученное m (а потому и число коэффициентов m + 1 полинома) является оптимальным; если δ < max |ε(xl)|, назначается новая сетка точек S (1) 1 x1 , 1 , xi , 1 , xm 2 ; xi 1 E, среди которых обязательно должны быть точки с max |ε(xl)|, а также все точки, где |ε(xl)| ≥ δ; если таких точек больше, чем m + 2, то выбираются m + 2 точки с наибольшими ошибками и чередованием знаков; процесс повторяется с шага 2. 29.3.2. Пример использования обменного алгоритма Ремеза Вновь, как и в примерах 28.1 и 29.1, поставим задачу аппроксимации параболы ξ x x2 , x 0, 1 прямой линией P(x) = с0 + с1x. (29.26) Тогда задача чебышѐвской аппроксимации формулируется следующим образом. Часть II. Глава 9 472 Задача 29.1. Найти коэффициенты с0 и с1, минимизирующие ошибку аппроксимации в смысле критерия Чебышѐва: max x 2 ε x c0 c1 x x 0, 1 min . c0 , c1 Решение. В данном примере аппроксимирующий полином имеет вид P x 1 c0 c1x k 0 ck x k , поэтому функция ошибки аппроксимации ε(x), согласно обобщѐнной теореме Чебышѐва, должна иметь m = 1 + 2 = 3 точки альтернанса (иначе говоря, необходимо найти два коэффициента полинома, поэтому функция ошибки должна иметь число точек альтернанса на единицу больше, т. е. три). Решение задачи поясняется рис. 29.6. Обозначим, как и ранее, через S сетку точек S = {x1, x2, x3}. Шаг 1. Выбор начального приближения. В качестве начального приближения выберем в области [0, 1] произвольную неравномерную сетку (рис. 29.6, а) S(0) = {0,25; 0,5; 1}. Шаг 2. Решение системы из трех линейных уравнений на сетке S(0) xi2 i c0 c1xi i 1 δ0 , (29.27) 0, 1, 2, где (–1)i обеспечивает колебательный характер поведения ошибки ε(x). Для принятой сетки S(0) система имеет вид: c0 0,25c1 δ0 0,0625; c0 0,5c1 δ0 0,25; c0 c1 δ0 1 0,25 1 c0 1 0,5 1 1 1 1 δ0 1, или в матричной форме: c1 0,0625 0,25 . 1 Решением этой системы являются: с0 = –0,3125; с1 = 1,25; δ0 = 0,0625 (рис. 29.6, б). Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей Шаг 3. Вычисление ошибки ε0(x) на густой сетке x 0,0001) 473 0; 1 (например, через ε0(x) = x2 – (с0 + с1 x) с тем, чтобы определить, существуют ли точки, где ошибка ε0(x) > |δ0|. Таких ошибок две: в точке x = 0 она максимальна и равна ε0(0) = 0,3125; в точке x = 0,625 ошибка ε0(0,625) = –0,78125. Видно, что нулевое приближение не дало желаемого результата, т. е. сетка S(0) не является набором точек альтернанса, поэтому необходимо назначить новую сетку и перейти к шагу 2. Повторяемый шаг 2. Назначение новой пробной сетки S(1) максимумов и решение на этой сетке системы из трех линейных уравнений. Из рис. 29.6, б следует, что чередование знаков ошибки аппроксимации происходит в точках: x1 = 0, x2 = 0,625 и x3 = 1. Эти точки и составляют новую сетку S(1) = {0; 0,625; 1}, для которой система уравнений имеет вид: 1 0 1 a0 0 1 0,625 1 a1 1 1 1 δ1 0,390625 . 1,0 Решением этой системы являются: a0 = 0,1328125; a1 = 1,0; δ1 = 0,1171875 (рис. 29.6, в). Необходимо проверить полученное решение на оптимальность, для чего требуется повторить шаг 3. Повторяемый шаг 3. Вычисление ошибки ε1(x) на густой сетке x 0;1 2 ε1(x) = x – (a0 + a1x) с тем, чтобы определить точки, где ошибка |ε1(x)| ≥ δ1. Таких ошибок оказалось три: две из них в точках x = 0 и x = 1 равны δ1, а третья в точке x = 0.5 максимальна и равна ε1(0,5) = –0,1328125. Видно, что и новое приближение не дало желаемого результата, т. е. сетка S(1) не содержит альтернанса, поэтому необходимо назначить очередную сетку и повторить итерацию, начиная с шага 2. Повторяемый шаг 2. Назначение очередной сетки S(2) и решение на этой сетке системы из трех линейных уравнений. Из рис. 29.6, в следует, что чередование знаков ошибки аппроксимации происходит в точках: x1 = 0, x2 = 0,5 и x3 = 1. Эти точки и составляют очередную сетку: S(2) = {0; 0,5; 1}, Часть II. Глава 9 474 для которой система уравнений имеет вид: 1 0 1 c0 0 1 0,5 1 c1 1 1 1 δ2 0,25 . 1 ξ( x), P( x, c ) ξ( x) x 2 ; P( x, c ) c0 1 0,875 Результат аппроксимации max x 2 ε( x) 0,375 c1 x; x 0;1 P ( x, c ) Аппроксимируемая парабола 0, 25 0 0,5 0,125 1 x а а ε( x) 0,3125 0, 078125 0 0, 078125 ε( x) 0,117 0 0, 25 0,5 0, 625 1 0,5 0, 625 1 0,117 0,132 ε( x) 0 0,125 1 б в в x x 0,125 0,5 б x гг Оптимальное решение P( x) 0,125 x Рис. 29.6. Демонстрация полиномиального алгоритма Ремеза min c Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей 475 Решением этой системы являются: с0 = –0,125; с1 = 1,0; δ2 = 0,125 и максимум ошибки max|ε2(x)| = 0,125 (рис. 29.6, г). Вследствие равенства max|ε2(x)| = δ2 ошибок на заданной сетке и чередования их знаков ε2(0,5) = – ε2(0), ε2(1) = – ε2(0,5) можно утверждать, что полученное решение является оптимальным и аппроксимирующий полином имеет вид: P(x) = –0,125 + x. Соответствующая найденному полиному прямая показана на рис. 29.6, а. 29.4. Сопоставление результатов аппроксимации Ранее было отмечено, что согласно теореме об альтернансе (см. разд. 29.2.2) существует единственный полином P( x, c ) наилучшего приближения порядка m; такой полином обеспечивает минимум максимальной ошибки аппроксимации max δ = min. Для подтверждения этого положения сравним полученные в трѐх примерах результаты аппроксимации функции ξ(x) = x2 на интервале 0 ≤ x ≤ 1 полиномом первого порядка P(x) = c0 + c1x. Решения этой задачи оказались такими:  метод интерполирования (см. пример 28.1) позволил получить полином Pи(x) = –0,109375 + x и максимум модуля ошибки аппроксимации δи max = 0,140625, приходящийся на середину интервала аппроксимации: x = 0,5; 2  аппроксимация в метрике L (минимума среднеквадратичной ошибки — СКО) позволила получить полином (см. пример 29.1) Pско(x) = –0,167 + x и максимум модуля ошибки аппроксимации δско max = 0,167, приходящийся на края интервала аппроксимации: x = 0 и x = 1;  аппроксимация в метрике С (чебышѐвская аппроксимация)) позволила получить полином (см. разд. 29.3.2) Pчеб (x) = –0,125 + x Часть II. Глава 9 476 и максимум модуля ошибки аппроксимации чеб max = 0,125, приходящийся на середину и края интервала аппроксимации: x = 0, x = 0,5 и x = 1; эта ошибка представляет собой минимум максимальной ошибки аппроксимации. Таким образом, из всех полиномов первого порядка, аппроксимирующих функцию ξ(x) = x2 на интервале 0 ≤ x ≤ 1, минимум максимальной ошибки аппроксимации достигается только в случае чебышѐвской аппроксимации; такой полином является полиномом наилучшего приближения, что отражено на рис. 29 7. ξ( x), P( x, c ) 1 Аппроксимируемая парабола 0,875 Метод интерполяции Метод СКО 0,375 0, 250 0 0,125 Аппроксимация по Чебышѐву (наилучшая) 1 0,5 x Рис. 29.7. Сравнение результатов аппроксимации 29.5. Весовая функция Решение задач аппроксимации обычно требует введения весовой функции p(x). Такая функция позволяет перераспределять ошибки по интервалам аппроксимации. Покажем, как это можно выполнить. Если p(x) = 1, модуль ошибки аппроксимации имеет вид: ξ( x ) P ( x, c ) δ( x ) , Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей 477 если же p(x) ≠ 1, имеем взвешенную ошибку аппроксимации: p( x ) ξ( x ) B(b , x ) δ( x ) . (29.28) Рассмотрим влияние весовой функции на решение задачи. Пусть задача решена, т. е. получено некоторое оптимальное отклонение opt , являющееся минимальным из всех максимальных отклонений на интервале аппроксимации E: min max δ( x ) c δopt . x E Следовательно, на всѐм интервале аппроксимации модуль взвешенной ошибки (29.28) не превосходит opt : p( x) ξ( x) P( x, c ) x E. δopt , Поделив неравенство на p(x), получим абсолютную погрешность аппроксимации: δopt ξ( x ) P( x, c ) δ opt , p( x ) 1; p( x ) δ(x ) δopt ξ( x ) P( x, c ) δ opt , p( x ) 1. p( x ) Отсюда ясно, в чѐм состоит влияние весовой функции p(x) на погрешность аппроксимации: на тех интервалах, где p(x) ≥ 1, погрешность аппроксимации |δ(x)| не превышает opt , а где p(x) < 1 — погрешность аппроксимации может превышать opt . Пример 29.2. Рассмотрим фильтр нижних частот (ФНЧ) (рис. 29.8), имеющий два интервала аппроксимации: полосу пропускания E1 = [0; 1] и полосу задерживания E2 = [1,256; ). Область в пределах 1 1,256 представляет собой переходную полосу, в которой погрешность не контролируется. Пусть для этого фильтра известны: оптимальное решение opt = 0,05 и весовая функция p( ) 1, E1; 0,25 , E2 . Тогда на интервале E1 = [0; 1], где p(Ω) = 1, погрешность аппроксимации не превосходит opt : δ1( ) ξ( ) P( , c ) δopt 0,05 , Часть II. Глава 9 478 а на интервале E2 = [1,256; ), где p(Ω) = 0,25Ω, погрешность может превосходить opt : ξ( ) P( , c ) δ2 ( ) δopt 0,05 . 0,25 p( ) Например, в точке Ωm = 1,357 погрешность достигает максимальной величины δ2(Ωm) = 0,1471, после чего она убывает. δ( ) 0,1471 Интервалы аппроксимации E2 E1 0,05 δ opt 0, 05 0 -0,05 1, 357 m -0,1471 1, 256 Переходная полоса 1 Рис. 29.8. Колебания ошибки аппроксимации в полосе пропускания E1 и в полосе задерживания E2 На практике весовую функцию p ω̂ определяют по-разному; в частности, во многих важных приложениях еѐ записывают так: 1 , α 1, p E1 , E2 , где α > 1. Пусть в результате решения задачи аппроксимации с помощью алгоритма Ремеза получено max p P ξ E ,c δmin . Тогда для интервала аппроксимации E1 = [0; 1] имеем max E1 1 ξ α P ,c δmin , Лекция 29. Оптимальные методы синтеза электрических цепей 479 или max ξ E1 P ,c αδmin , а для интервала аппроксимации E2 = [1,256; ) получаем max ξ E2 P ,c δmin , т. е. минимум максимального отклонения в интервале E1 = [0; 1] оказывается больше, чем минимум максимального отклонения в интервале E2 = [1,256; ), что чаще всего и требуется для избирательных фильтров и, в частности, фильтров нижних частот. Отсюда следует, что качество решения, т. е. критерий близости, полностью определяется достижением минимума максимального отклонения min max δ. Это означает, в свою очередь, что аппроксимирующая функция колеблется относительно аппроксимируемой функции с амплитудой δmin в интервале E2 и с амплитудой αδmin в интервале E1, причѐм δmin < αδmin. Такое колебание называется равномерным, или равноволновым, поэтому сам критерий приближения — равномерным (чебышѐвским). L2 C2 1 R U вх Лекция 30 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Реализация функций электрических цепей После того как в результате решения аппроксимационной задачи будет получена некоторая функция цепи, переходят к этапу реализации еѐ в виде конкретной электрической цепи. Задача реализации связана с тремя принципиально важными шагами:  во-первых, если результатом аппроксимации не является передаточная функция H(p), то независимо от того, в какой области (частотной или временной) решалась задача аппроксимации, необходимо перейти от синтезированной функции к передаточной функции цепи H(p);  во-вторых, определить, является ли передаточная функция H(p) физически реализуемой;  в-третьих, если функция H(p) физически реализуема, выбрать метод еѐ реализации. Основу реализации пассивных электрических цепей составляют пассивные двухполюсники, которым и будет уделяться основное внимание при рассмотрении второго и третьего шагов. 30.1. Положительные вещественные функции Задача реализации связана с тремя принципиально важными шагами: 1. Если результатом аппроксимации не является передаточная функция H(p), то независимо от того, в какой области (частотной или временной) решалась задача аппроксимации, необходимо перейти от синтезированной функции к передаточной функции цепи H(p). Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 481 2. Определить, является ли передаточная функция H(p) физически реализуемой. 3. Если функция H(p) физически реализуема, выбрать метод еѐ реализации. Основу реализации пассивных электрических цепей составляют пассивные двухполюсники, которым и будет уделяться основное внимание при рассмотрении второго и третьего шагов. 30.1.1. Определение положительных вещественных функций (ПВФ) Дадим несколько полезных для дальнейшего определений. Дробно-рациональными функциями называются функции комплексной переменной p вида H ( p) an p n a n 1 p n 1 bm p m bm 1 p m 1 a1 p a0 b1 p b0 (30.1) с положительными вещественными коэффициентами. При этом под функцией H(p) понимается как безразмерная величина, так и операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость. Порядком функции называется большее из чисел n и m; функция (30.1) называется правильной функцией, если степень полинома еѐ числителя меньше степени знаменателя: n < m. В дополнение к рассмотренным в лекции 28 условиям физической реализуемости рациональной функции H(p) следует отметить, что необходимое и достаточное условие еѐ реализуемости в качестве линейной пассивной цепи состоит в том, чтобы H(p) являлась положительной вещественной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Положительной вещественной функцией (ПВФ) комплексной переменной p называется дробно-рациональная функция, если: 1) все еѐ коэффициенты вещественны и неотрицательны; 2) наибольшие и наименьшие степени числителя и знаменателя не отличаются более чем на единицу; 3) еѐ значения вещественны при вещественных значениях переменной p; 4) ни один из полюсов не располагается в правой полуплоскости; 5) полюсы, расположенные на мнимой оси, простые, причѐм вычеты в этих полюсах должны быть вещественными и положительными; это объясняется тем, что если бы среди полюсов имелся хотя бы Часть II. Глава 9 482 один кратности k > 1, то свободные колебания в двухполюснике имели бы возрастающий характер, что исключено ввиду пассивности цепи; 6) вещественная часть функции H(jω) неотрицательна (Re{H(jω)} ≥ 0), поскольку при гармоническом воздействии вещественная часть комплексного входного сопротивления или комплексной входной проводимости линейной пассивной цепи не может быть отрицательной. З А МЕ Ч А Н И Е К числу положительных вещественных функций относятся и некоторые функции класса иррациональных или трансцендентных, в которых выражается операторное сопротивление Z(p) двухполюсника, содержащего распределѐнные элементы; например, операторное сопротивление нагруженной длинной линии. Примеры функций, не относящихся к положительным вещественным: 2p 1 — не удовлетворяет условию 1, поскольку a0 < 0; p p 1  H1 ( p ) 2 1 — не удовлетворяет условию 2: наивысшие степени 2p p 3 числителя и знаменателя отличаются больше, чем на 1;  H 2 ( p) 2 2 p2 — не удовлетворяет условию 2: наименьшие степени p2 p 1 числителя и знаменателя отличаются больше, чем на 1;  H 3 ( p) 2  Z(p) = p + a1p +a0 — не удовлетворяет сразу двум условиям: вещественная часть Re Z(jω) = a0 – ω2 становится отрицательной, когда a0 < ω2; кроме того, при p = функция имеет полюс второй кратности. Все представленные функции невозможно реализовать с помощью пассивного двухполюсника. Проанализируем функцию проводимости с вещественными коэффициентами Y ( p) a2 p 2 a1 p a0 p a2 p a1 a0 . p (30.2) Она характеризуется следующими свойствами:  принимает вещественные значения при вещественных значениях пере- менной p; Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 483  комплексная проводимость a0 ω имеет положительную вещественную часть Re Y(jω) = a1 > 0; Y ( jω) a1 j a2 ω  полюсы при p = 0 (σ = 0, ω = 0) и p = j мнимой оси, простые. (30.3) (σ = 0, ω = ), расположенные на Следовательно, анализируемая функция (30.2) является положительной вещественной; она представляет собой проводимость двухполюсника (рис. 30.1), составленного из параллельно включѐнных ѐмкости C = a2, активного сопро1 1 тивления R и индуктивности L . a1 a0 C R L Рис. 30.1. Двухполюсник, реализующий функцию комплексной проводимости 30.1.2. Реактансные функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ Реактансными функциями называется подкласс положительных вещественных функций, которые являются входными функциями реактивных двухполюсников (Zr(p) и Yr(p)). Реактансные функции представляют собой нечѐтные дробные рациональные функции комплексной переменной p, которые принимают вещественные значения при вещественных значениях переменной; все их полюсы расположены на мнимой оси, простые и характеризуются положительными вещественными вычетами. Например, функция (30.2) является реактансной, поскольку она нечѐтная (знаменатель имеет нечѐтную степень m = 1) и отвечает другим указанным в определении условиям. Часть II. Глава 9 484 В задачах синтеза линейных электрических цепей реактансные функции формируются обычно из полиномов Гурвица. Покажем, как это делается. Пусть известен полином Гурвица v(p) = pn + an–1pn–1 + … + a2p2 + a1p + a0. Назовѐм чѐтной (нечѐтной) частью полинома сумму всех его слагаемых, содержащих чѐтные (нечѐтные) степени переменной. Тогда отношение нечѐтной части полинома Гурвица к чѐтной (или обратное отношение) образует безразмерную (нормированную) реактансную функцию. Например, с помощью полинома Гурвица v(p) = p4 + 9p3 + 12p2 + 21p + 4 можно образовать две реактансные функции: Z r1 ( p ) p 4 12 p 2 4 , 9 p 3 21 p Z r 2 ( p) 9 p3 21 p . p 4 12 p 2 4 Из этого примера нетрудно понять, что реактансные функции связаны с полиномом Гурвица v(p) следующими соотношениями: Z r ( p) v( p) v( p) , v( p) v( p) Z r ( p) v( p) v( p) . v( p) v( p) (30.4) Справедливость (30.4) покажем на рассмотренном примере, где v(–p) = p4 – 9p3 + 12p2 – 21p + 4 тогда сумма и разность полиномов v(p) и v(–p) образуют соответственно чѐтный v(p) + v(–p) = v(p) = p4 + 9p3 + 12p2 + 21p + 4 + p4 – 9p3 + 12p2 – 21p + 4 = = 2(p4 + 12p2 + 4) и нечѐтный v(p) – v(–p) = v(p) = p4 + 9p3 + 12p2 + 21p + 4 – (p4 – 9p3 + 12p2 – 21p + 4) = = 2(9p3 + 21p) полиномы с вещественными коэффициентами, а их отношение представляет собой нечѐтную рациональную функцию с вещественными коэффициентами. Реактансные функции обладают всеми свойствами положительных вещественных функций и, кроме того, имеют ряд особых, важных для задач синтеза реактивных двухполюсников (т. е. состоящих только из элементов индуктивности и ѐмкости) свойств. Изучим эти свойства. Пусть задана реактансная функция Z r ( p) k v( p) v( p) , v( p) v( p) (30.5) Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 485 где k — некоторый вещественный коэффициент. Запишем комплекс этой функции через комплекс полинома Гурвица v(jω) = A(ω2) + jωB(ω2). Поскольку A(ω2) является чѐтной, а ωB(ω2) — нечѐтной функцией переменной ω, то v(–jω) = A(ω2) – jωB(ω2). Следовательно, (30.5) примет вид: Z r ( jω) k v( jω) v( jω) v( jω) v( jω) k A(ω2 ) jωB (ω2 ) . (30.6) Определим расположение нулей и полюсов (30.6), для чего представим через нули и полюсы вещественную и мнимую части комплекса полинома Гурвица, полагая его порядок нечѐтным и равным n = 2v + 1. Тогда из (30.6) получаем: Z r ( jω) A(ω2 ) k jωB(ω2 ) K ω12 ω2 ω32 ω2 ω22ν-1 ω2 jω ω22 ω2 ω24 ω2 ω22ν ω2 , (30.7) k где согласно свойствам полинома Гурвица K — вещественный полоan 1 жительный коэффициент, а нули и полюсы лежат на мнимой оси и чередуются: 0 < ω1 < ω2 < ω3 < … < ω2ν < ω2ν +1. (30.8) Кроме того, функция Zr(jω) возрастает с ростом частоты. Покажем это, для чего предварительно представим функцию (30.7) в виде: Z r ( jω) где φ Г (ω) arctg k A(ω2 ) jωB(ω2 ) k ωB(ω2 ) j A(ω2 ) k , jtgφ Г (ω) (30.9) ωB(ω2 ) — аргумент комплекса полинома Гурвица. A(ω2 ) Продифференцируем уравнение (30.9), предварительно для удобства разделив его левую и правую части на j: d Z r ( jω) dω j d k 2 dω j tgφ Г (ω) k dφ Г (ω) . sin φ Г (ω) dω 2 Здесь k > 0, sin2 φГ(ω) ≥ 0, поэтому первая дробь в полученном выражении всегда неотрицательна; кроме того, аргумент φГ(ω) полинома Гурвица Часть II. Глава 9 486 монотонно возрастает с ростом частоты, а потому и вательно, d Z r ( jω) dω j dφ Г (ω) dω 0, 0 . Следо- (30.10) т. е. с ростом частоты комплекс реактансной функции также растѐт в алгебраическом смысле. Но в точках, где знаменатель функции Zr(jω) обращается в нуль (имеет место полюс функции), комплекс реактансной функции претерпевает разрыв. Теперь можно сформулировать особые свойства реактансных функций:  нули и полюсы расположены только на мнимой оси;  нули и полюсы чередуются, причѐм как в начале координат (p = 0, ω = 0), так и на бесконечности (p = ±j , ω = ± ), обязательно имеется либо нуль, либо полюс;  значения реактансной функции с ростом частоты на всех интервалах не- прерывности растут в алгебраическом смысле;  любая реактансная функция может быть представлена в виде разложения на сумму простых дробей, причѐм все коэффициенты разложения являются вещественными положительными числами;  сумма любого числа реактансных функций также является реактансной функцией. Последние два свойства требуют некоторого пояснения. Реактансная функция, как подкласс положительных вещественных функций, может быть разложена на сумму простых дробей, каждая из которых является нечѐтной функцией: Z r ( p) A0 p A p Al p , l p2 2 l ωl 2, 4, , 2ν. (30.11) В этом разложении слагаемое A∞p соответствует полюсу при p = j и предA ставляет собой целую часть дроби (30.7), слагаемое 0 соответствует полюp су функции при p = 0, а стоящие под знаком суммирования слагаемые соответствуют парам полюсов на мнимой оси при p = ±j . Значения коэффициентов разложения A , A0, Al можно найти по формулам (16.26), (16.29) и (16.30): A lim p Z ( p) , A0 p lim pZ ( p ) , Al p 0 p lim 2 ωl2 p 2 ωl2 Z ( p) . p (30.12) Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 487 Вещественность этих коэффициентов следует из вещественности коэффициентов реактансной функции, а их положительность — из условия (30.10). Ясно, что если реактансная функция не имеет полюса при p = j , то A = 0; если же отсутствует полюс при p = 0, то A0 = 0. Наконец, из разложения (30.11) следует свойство 5. 30.2. Методы реализации пассивных двухполюсников (реактансных функций) Необходимыми и достаточными условиями реализуемости функций сопротивления и проводимости реактивных двухполюсников является их принадлежность к реактансным функциям, реализации которых основаны на их разложении либо на простые дроби (метод Фостера), либо в цепные дроби (метод Кауэра). 30.2.1. Метод Фостера В зависимости от того, что выражает реактансная функция — сопротивление или проводимость двухполюсника, возможны две формы еѐ реализации. Первая форма Фостера Первая форма связана с реализацией функции сопротивления. Такая функция представима в виде (30.11), где соответствующие слагаемые можно трактовать следующим образом:  A p — операторная индуктивность L p; полюс имеется при p =  ; A0 1 — операторная ѐмкость ; полюс имеется при p = 0; pC0 p  стоящая под знаком суммирования дробь представляет собой параллель- ный колебательный LC-контур. Покажем справедливость последнего утверждения. Сопротивление индук1 тивности и ѐмкости равны соответственно: Z L ( jω) jωL, ZC ( jω) . jωC Тогда сопротивление параллельного контура составит: jωL Z ( jω) 1 jωC 1 jωC jωL jω 1 C L C 2 ω L jωL 1 CL ω2 LC jω C ω02 ω2 , (30.13) Часть II. Глава 9 488 1 — его резонансная частота. Произведя замену p = j , получаем: LC где ω0 p Z ( p) C ω02 ω2 . (30.14) Из сравнения (30.14) и стоящей под знаком суммирования дроби (30.11) следуют равенства: 1 Al , ω02 ωl2 . Cl Описанная ранее трактовка выражения (30.11) позволяет на его основе, после замены обозначений коэффициентов, записать функцию сопротивления в виде разложения: Z ( p) pL ν 1 pC0 p k 1 p 2 ω22k C2k , k 1, 2, , ν, (30.15) где значения L lim p Z ( p) 1 , p C0 lim pZ ( p ) , p 0 1 C2 k p lim 2 2 p2 ω2 k ω22k Z ( p) p и квадрата резонансной частоты 1 L2k C2k ω22k вещественны и положительны. Поскольку при последовательном соединении двухполюсников их сопротивления суммируются, то полученная сумма (30.15) является математической моделью сопротивления двухполюсника, составленного из включѐнных последовательно индуктивности L∞, ѐмкости C0 и параллельных колебательных контуров, имеющих резонансные частоты ω2, ω4, … , ω2ν, ѐмкости C0, C2, C4, … C2ν и индуктивности L2 1 ω22C2 , L2 1 ω24C4 , , L2 1 ω22νC2ν . Схема такого двухполюсника приведена на рис. 30.2, а. Если реактансная функция Z(p) имеет нуль при p = 0, т. е. Z(0) = 0, и полюс при p = , т. е. 1 Z( ) = , то в еѐ разложении будет отсутствовать слагаемое , а в двухpC0 полюснике — ѐмкость C0 (рис. 30.2, б). Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 489 Возможны ещѐ две схемы:  рис. 30.2, в соответствует случаю, когда Z(0) = L = 0 и в схеме отсутствует индуктивность L ;  рис. 30.2, г L 1 pC0 соответствует случаю, когда и Z( ) = 0, поэтому Z(0) = Z( ) = 0, поэтому 0 и в схеме отсутствуют индуктивность L и ѐмкость C0. L2 L L4 ω2 C0 L ω4 C2 C4 L1 L3 C1 C3 L2 L4 ω2 ω2ν L2ν 1 ω2ν C2ν ω2ν C4 C2 ν L1 L3 L2ν ω3 C3 б 1 C2 C1 1 L2ν ω4 ω1 а C2ν ω3 ω1 C0 L2ν в 1 ω2ν C2ν 1 1 г Рис. 30.2. Схемы реактивных двухполюсников, реализующие реактансные функции по первой форме Фостера Пример 30.1.1 Найти реактивный двухполюсник, сопротивление которого задано реактансной функцией Z ( p) 1 0,5( p 2 106 )( p 2 4 106 )( p 2 8 106 ) . p( p 2 2 106 )( p 2 6 106 ) Примеры 30.1—30.4 взяты из кн.: А. Ф. Белецкий. Основы теории линейных электрических цепей. Часть II. Глава 9 490 Решение. Прежде всего определим частоты нулей и полюсов заданной функции:  во-первых, при p = 0 и p = j ветственно; имеем нули на частотах ω = 0 и ω = 8 103 ; 3 3  во-вторых, нули располагаются на частотах: ω1 = 10 , ω3 = 2∙10 и ω5 2 103 и ω 4  в-третьих, полюсы располагаются на частотах: ω 2 соот- 6 103 . Отобразим на частотной оси (рис. 30.3) взаимное расположение нулей и полюсов сопротивления заданного двухполюсника. Такой график называют характеристической строкой двухполюсника. Видно, что согласно второму свойству реактансной функции нули и полюсы чередуются. Z ( jω) 0 ω1 0 3 10 ω3 ω2 2 10 3 2 10 ω4 3 6 10 ω5 3 8 10 ω 3 Рис. 30.3. Характеристическая строка двухполюсника Из характеристической строки следует, что двухполюсник должен состоять из соединѐнных последовательно индуктивности и ѐмкости, обеспечивающих нули сопротивления на частотах ω = и ω = 0 соответственно, и двух параллельных реактивных колебательных контуров с резонансными частотами ω2 2 103 и ω 4 6 103 (рис. 30.4). L4 L2 L ω2 C0 ω4 C4 C2 Рис. 30.4. Схема двухполюсника к примеру 30.1 Значения элементов двухполюсника найдѐм по формулам (30.15): L 1 C0 lim p Z ( p) p lim pZ ( p ) p 0 lim p 0,5( p 2 106 )( p 2 4 106 )( p 2 8 106 ) p 2 ( p 2 2 106 )( p 2 6 106 ) 0,5( p 2 106 )( p 2 4 106 )( p 2 8 106 ) 0 ( p 2 2 106 )( p 2 6 106 ) lim p C0 0,75 10 6 Ф; 0,5 Гн 106 1 ; 0,75 Ф Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 1 C2 lim p p2 6 1 C4 p2 p2 ( p2 2,4 10 6 0,375 Гн; ω22C2 6 106 ) Z ( p) p 6 106 4 106 )( p 2 8 106 ) p2 ( p2 6 106 1 L2 Ф; lim 106 1 ; 1,33 Ф 6 106 ) 0,5( p 2 106 )( p 2 lim C2 4 106 )( p 2 8 106 ) p2 ( p2 1,33 10 2 106 ) Z ( p) p 2 106 0,5( p 2 106 )( p 2 0 C2 ( p2 lim 491 106 1 ; 2, 4 Ф 2 106 ) 1 L4 Ф; ω24C4 0,0695 Гн. Вторая форма Фостера Вторая форма связана с реализацией функции проводимости Y(p) искомого двухполюсника. Рассуждая аналогично тому, как это сделано при выводе первой формы Фостера, делаем вывод, что выражение (30.11) после соответствующей замены обозначений коэффициентов и в предположении, что имеют место полюсы при p = 0 и p = j представляет собой математическую модель двухполюсника Y ( p) ν 1 pL0 pC k 1 p p 2 ω22k L2k , k 1, 2, , ν, (30.16) составленного из параллельно включѐнных (при параллельном включении двухполюсников их проводимости складываются) ѐмкости C , индуктивности L0 и последовательных колебательных LC-контуров, имеющих резонансные частоты ω2, ω4, … , ω2ν, индуктивности L0, L2, L4, L2ν: 1 L0 lim pY ( p ) , p 0 1 L2 k p lim 2 2 p2 ω2 k ω22 k Y ( p) p и ѐмкости: C lim p Y ( p) , C2 p 1 ω22 L2 , C4 1 ω24 L4 , , C2ν 1 ω22ν L2ν . Часть II. Глава 9 492 C2 L0 ω2 C L2 C1 C3 ω1 L1 ω3 L3 C5 ω5 L5 C2 C2ν ω2ν L2ν C2ν а 1 ω2ν L2ν L0 1 C 1 б ω2 C4 ω4 L2 L4 C1 C3 ω1 L1 C2ν ω2ν L2ν C2ν ω3 L3 в 1 ω2ν L2ν 1 1 г Рис. 30.5. Схемы реактивных двухполюсников, реализующие реактансные функции по второй форме Фостера Схема такого двухполюсника приведена на рис. 30.5, а. На этом же рисунке приведены схемы реактивных двухполюсников, соответствующих ещѐ трѐм возможным вариантам реактансных функций, выражающих проводимости искомых двухполюсников. Здесь последовательные колебательные контуры реализуют полюсы реактансной функции Y(p) при p = ±jωk, а полюсы при ω = 0 и ω = реализуются одиночными элементами L и C. З А МЕ Ч А Н И Е Обе формы Фостера связаны между собой в соответствии с соотношением реактансных функций Y(p) = 1/Z(p): разложению на простые дроби подвергается либо Z(p), либо Y(p). Пример 30.2. Найти реактивный двухполюсник, проводимость которого задана реактансной функцией, обратной реактансной функции из предыдущего примера: Y ( p) 1 Z ( p) 2 p( p 2 2 106 )( p 2 6 106 ) . ( p 2 106 )( p 2 4 106 )( p 2 8 106 ) Решение. Характеристическая строка такого двухполюсника показана на рис. 30.6. Она показывает, что проводимость двухполюсника бесконечно ве8 103 и равна нулю на частотах: лика на частотах ω1 = 103, ω3 = 2∙103, ω5 ω2 2 103 , ω 4 6 103 , ω = 0 и ω = (сравните с рис. 30.3). Лекция 30. Реализация функций электрических цепей Y ( jω) 0 ω1 0 103 ω3 ω2 2 10 3 493 ω4 2 103 ω5 6 10 3 ω 8 10 3 Рис. 30.6. Характеристическая строка двухполюсника, заданного реактансной функцией проводимости C1 C3 ω1 C5 ω3 L1 ω5 L5 L3 Рис. 30.7. Схема двухполюсника к примеру 30.2 Поскольку речь идѐт о проводимости, двухполюсник будет состоять из трѐх параллельно соединѐнных последовательных реактивных колебательных контуров (рис. 30.7) с резонансными частотами ω1, ω3, ω5. Значения индуктивности L1 и ѐмкости C1 первого из контуров равны: 1 L1 p lim 2 6 10 p 2 106 Y ( p) p p 2( p 2 2 106 )( p 2 6 106 ) 2 106 ( p 4 106 )( p 2 8 106 ) lim 2 1 1 ; 2,1 Гн L1 = 2,1 Гн, C1 1 ω12 L1 0,476 10 6 . Аналогично вычисляются значения индуктивностей и ѐмкостей второго и третьего из контуров: L3 = 1,5 Гн, L5 = 1,167 Гн, C3 C5 1 ω32 L3 1 ω52 L5 0,167 10 6 0,107 10 , 6 . 30.2.2. Метод Кауэра Метод Кауэра предполагает разложение реактансной функции в цепные дроби; при этом первая форма образуется при разложении функции сопротивления, а вторая — функции проводимости. Такой подход позволяет установить Часть II. Глава 9 494 прямую связь между сопротивлением лестничного двухполюсника и сопротивлением его ветвей. Первая форма Кауэра Рассмотрим реактансную функцию Z(p), имеющую полюс при p = , и воспользуемся свойством 4, согласно которому любая сложная реактансная функция всегда может быть представлена в виде суммы двух более простых реактансных функций. Поэтому реактансная функция с полюсом при p = j , может быть представлена суммой (30.17) Z(p) = A p + Z1(p) где A > 0, а Z1(p) — реактансная функция с нулѐм при p = j , причѐм A p является целой частью функции Z(p). Как и ранее, коэффициент A представляет собой индуктивность, и для удобства обозначим его как L1, тогда из (30.17) получим: Z(p) = L1p + Z1(p). (30.18) С другой стороны, можно получить функцию Y1(p), обратную функции Z1(p). Эта функция проводимости Y1(p) = 1∕Z1(p) при p = имеет простой полюс и, в свою очередь, после выделения еѐ целой части может быть также записана в виде суммы двух реактансных функций Y1(p) = pC2 + Y2(p), поэтому Z1 ( p ) 1 , pC2 Y2 ( p ) а исходная функция приобретает вид: Z ( p) L1 p Z1 ( p ) L1 p 1 . pC2 Y2 ( p ) Произведѐм аналогичные действия с функцией Y2(p), которую можно представить как Y2(p) = 1∕Z2(p), а функцию Z2(p) записать в виде суммы двух новых реактансных функций: Z2(p) = L3p + Z3(p). Теперь получим: Z ( p) L1 p Z1 ( p ) L1 p 1 pC2 1 L3 p Z 3 ( p ) . Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 495 Подобные преобразования можно повторять ровно столько раз, каков порядок заданной реактансной функции, поскольку при каждом преобразовании после выделения целой части функции порядок оставшейся функции оказывается на единицу меньшим. В результате образуется цепная дробь (30.19), в которой для наглядности комплексная переменная p поставлена после обозначения реактивного элемента: Z ( p) L1 p 1 C2 p L3 p 1 . (30.19) 1 1 C4 p Полученная цепная дробь выражает сопротивление физически реализуемого лестничного реактивного двухполюсника, в продольные ветви которого включены индуктивности L1, L3, … , а в поперечные — ѐмкости C2, C4, … Возможные схемы показаны на рис. 30.8, а, б; причѐм первая из них соответствует реактансной функции с нулѐм при p = 0 (т. е. Z(0) = 0), а вторая — с полюсом при p = 0 (т. е. Z(0) = ). L3 L1 C2 L2ν C4 C2ν L3 L1 C2 а L2ν C4 L2 1 C2ν C1 C3 L2 1 C2ν L4 2 б C1 C3 L2ν C2ν 2 1 в L4 L2ν C2ν 1 C2ν 2 г Рис. 30.8. Схемы реактивных двухполюсников, реализующих реактансные функции по первой форме Кауэра Если реактансная функция Z(p) не имеет полюса при p = , то в цепную дробь разлагается функция Y(p) = 1∕Z(p), в результате чего получаются схемы, показанные на рис. 30.8 в, г. Часть II. Глава 9 496 Выводы:  Разложение реактансной функции в цепную дробь сводится к последова- тельному делению: полинома числителя функции на полином еѐ знаменателя (степень полинома числителя выше степени полинома знаменателя, иначе второй делится на первый); полинома знаменателя на остаток от первого деления; остатка от первого деления на остаток от второго деления и т. д.  Вычисляемые в ходе такого последовательного деления частные и явля- ются элементами цепной дроби, а потому и значениями ѐмкостей и индуктивностей лестничного двухполюсника. Пример 30.3. Построить лестничный реактивный двухполюсник, сопротивление которого задано реактансной функцией: 0,5 p 6 6,5 106 p 4 22 1012 p 2 16 1018 . p5 8 106 p3 12 1012 p Z ( p) Решение. Поскольку эта реактансная функция имеет шестой порядок, то для еѐ разложения в цепную дробь требуется шесть этапов: 1 этап 0,5 p 6 6,5 106 p 4 22 1012 p 2 16 1018 p 5 8 106 p 3 12 1012 p 0,5 p 6 4, 0 10 6 p 4 6 2,5 10 p 6 1012 p 2 4 12 16 10 p 0,5 p 2 18 16 10 2 этап 0,5 p 6 6,5 106 p 4 0,5 p 6 4, 0 106 p 4 6 2,5 10 p 4 22 1012 p 2 16 1018 p 5 8 106 p 3 12 1012 p 6 1012 p 2 12 16 10 p 2 0,5 p 18 16 10 3 этап 2,5 106 p 4 16, 00 1012 p 2 16 1018 1, 6 106 p 3 2,5 106 p 4 8, 75 1012 p 2 1,5625 p 7, 25 1012 p 2 16 1018 5, 6 1012 p Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 497 4 этап 1, 6 106 p 3 5, 6000 1012 p 7, 25 1012 p 2 16 1018 1, 6 106 p 3 3,5310 1012 p 0, 22069 10 6 p 12 2, 0690 10 p 5 этап 7, 25 1012 p 2 16 1018 2, 0690 1012 p 7, 25 1012 p 2 3,5041p 18 16 10 6 этап 2, 0690 1012 p 16 1018 2, 0690 1012 p 0,12931 10 6 p 0 Теперь можно записать цепную дробь: Z ( p) 0,5 p 1 0,4 10 6 p 1,56 p 1 0,221 10 6 p 1 3,5 p 1 1 0,129 10 6 p Полученная цепная дробь реализуется лестничным двухполюсником, изображѐнным на рис. 30.9. Значения его элементов таковы: L1 0,5 Гн, C2 0,4 10 L3 1,56 Гн, 6 Ф, C4 L1 0,221 10 L3 C2 L5 6 3,5 Гн, Ф, C6 0,129 10 6 Ф. L5 C4 C6 Рис. 30.9. Лестничный реактивный двухполюсник к примеру 30.3 Часть II. Глава 9 498 Вторая форма Кауэра Рассмотрим реактансную функцию Z(p), имеющую полюс при p = 0, т. е. такую функцию, на каждом этапе разложения которой в цепную дробь выделяется слагаемое, соответствующее полюсу функции при p = 0. Тогда, в отличие от (30.17), реактансная функция Z(p) запишется в виде суммы двух других реактансных функций A0 p Z ( p) Z1 ( p), (30.20) где A0 > 0, а Z1(p) — реактансная функция, имеющая нуль при p = 0. Разложение (30.20) приведѐт к цепной дроби вида: 1 C1 p Z ( p) 1 1 L2 p 1 C3 p , 1 1 1 L4 p (30.21) 1 которой соответствует физически реализуемый лестничный двухполюсник с ѐмкостями в продольных ветвях и индуктивностями — в параллельных. Здесь любой коэффициент C или L является положительным числом, а остаток от деления — реактансной функцией на единицу более низкого порядка. Четыре возможные разновидности таких двухполюсников приведены на рис. 30.10. C2 L1 C4 L3 C2 C2ν L2ν 1 L2ν L1 1 C4 L3 C2ν L2ν 2 1 а C1 L2 C3 C2ν L4 в C1 1 L2ν L2 б C3 C2ν L4 L2ν 1 L2ν+2 г Рис. 30.10. Схемы реактивных двухполюсников, реализующие реактансные функции по второй форме Кауэра Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 499 Разложение реактансной функции (30.20) в цепную дробь (30.21) осуществляется так же, как и разложение функции (30.18) в дробь (30.19), с той лишь разницей, что полиномы числителя и знаменателя записываются по возрастающим степеням p. Пример 30.4. Возьмѐм реактансную функцию из предыдущих примеров и запишем еѐ числитель и знаменатель в обратном порядке, т. е. по возрастающим степеням p: Z ( p) 16 1018 22 1012 p 2 6,5 106 p 4 0,5 p6 . 12 1012 p 8 106 p3 p5 Решение. Для разложения этой функции в цепную дробь также требуется шесть этапов: 1 этап 16 1018 16 1018 22, 000 1012 p 2 10, 667 1012 p 2 6,5000 106 p 4 1,3333 106 p 4 0,5 p 6 12 1012 p 8 106 p 3 11,333 1012 p 2 5,1667 10 6 p 4 0,5 p 6 p5 1 0, 75 10 6 p 2 этап 12 1012 p 8, 0000 106 p 3 1, 00000 p 5 11,333 1012 p 2 12 1012 p 5, 4708 106 p 3 0,52943 p 5 6 2,5292 10 p 3 0, 47057 p 5 5,1667 106 p 4 1 0,94442 p 3 этап 11,333 1012 p 2 11,333 1012 p 2 5,1667 106 p 4 0,5 p 6 2,5292 106 p 3 0, 47057 p 5 2,1086 106 p 4 1 3, 0587 106 p 4 0,5 p 6 0, 22317 10 6 p 4 этап2 2,5292 106 p 3 0, 47057 p 5 3, 0587 106 p 4 0,5 p 6 2,5292 106 p 3 0, 41353 p 5 1 0, 05704 p 5 1, 2090 p 2 Вычисления на 4—6 этапах ведутся с округлением до четырѐх значащих цифр. 0,5 p 6 Часть II. Глава 9 500 5 этап 3, 0587 10 6 p 4 3, 0587 10 6 p 4 0,5 p 6 0, 05704 p 5 1 0,5 p 6 0, 01865 10 6 p 6 этап 0, 05704 p 5 0,5 p 6 0, 05704 p 5 1 8, 766 p 0 Результатом вычислений является следующая цепная дробь: Z ( p) 1 0,75 10 6 1 0,944 p p 1 1 0,223 10 6 1 1 1,21 p p , 1 1 0,0187 10 1 6 1 1 8,77 p p где коэффициенты записаны с точностью до одного процента, поскольку элементы электрических цепей изготавливаются именно с такой точностью. Полученная цепная дробь реализуется двухполюсником, изображѐнным на рис. 30.11. Значения его элементов таковы: 6 C1 0,75 10 L2 0,944 Гн, Ф, C3 L4 0,223 10 6 Ф, L5 1,21 Гн, C1 L2 C5 0,0187 10 6 Ф, 8,77 Гн. C5 C3 L4 L6 Рис. 30.11. Лестничный реактивный двухполюсник к примеру 30.4 Лекция 30. Реализация функций электрических цепей 501 30.3. Канонические схемы реактивных двухполюсников Представленные на рис. 30.2, 30.5, 30.8 и 30.10 схемы образуют четыре группы канонических реактивных двухполюсников. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Канонической схемой реактивного двухполюсника называют составленную по известному правилу (канону) физически реализуемую схему, к которой могут быть приведены схемы любых реактивных двухполюсников. Канонические схемы обладают следующими практически важными свойствами:  любая каноническая схема содержит минимально необходимое число реактивных элементов;  число реактивных элементов в канонической схеме равно общему количеству нулей и полюсов сопротивления двухполюсника, расположенных на положительной полуоси (включая нуль); оно также равно порядку рациональной функции;  если расположение нулей и полюсов заданной реактансной функции неизвестно, то проще всего находятся лестничные двухполюсники, поскольку в этом случае не требуется прибегать к сложным вычислениям нулей и полюсов;  на практике отдаются предпочтения каноническим схемам, содержащим параллельные колебательные контуры (первая форма Фостера, см. рис. 30.2), в которых нетрудно учесть паразитную ѐмкость Cп , имеющуюся в любой катушке; влияние этой паразитной ѐмкости можно исключить, если уменьшить рассчитанную ѐмкость контура C расч на величину паразитной ѐмкости Cп (рис. 30.12);  численные значения индуктивностей в канонических схемах вторых форм, при- ведѐнных на рис. 30.5 и 30.10, обычно превышают значения индуктивностей в эквивалентных им схемах первых форм, изображѐнных на рис. 30.2 и 30.8, что видно из результатов, полученных в примерах 30.1—30.4. Lрасч Lрасч Cп Cрасч C Cрасч Cп Рис. 30.12. Компенсация паразитной ѐмкости в параллельном LC-контуре L2 C2 1 R U вх Лекция 31 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Методы реализации четырѐхполюсников Среди большого разнообразия методов реализации четырѐхполюсников по известным передаточным функциям практическое значение получили следующие:  мостовая реализация;  лестничная реализация;  каскадно-согласованная реализация;  каскадно-развязанная реализация;  активные RC-цепи (ARC-цепи). В данной лекции рассматриваются первые четыре метода, ARC-цепи изучаются в отдельной лекции. 31.1. Характеристические параметры симметричного четырѐхполюсника Подобно волновым параметрам однородной длинной линии: волновому сопротивлению Zв и еѐ собственной постоянной передачи γl, для симметричных четырѐхполюсников вводятся характеристические параметры: характеристическое сопротивление Zc и характеристическая постоянная передачи gc, которые являются частотно зависимыми и полными аналогами первых. Поэтому согласно (24.31) и (24.33) можно записать характеристическое сопротивление симметричного четырѐхполюсника как среднее геометрическое из сопротивлений короткого замыкания (КЗ) и холостого хода (ХХ) четырѐхполюсника Zс Zкз Z хх (31.1) Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 503 и его характеристическую постоянную передачи gc через еѐ гиперболический тангенс Z вх кз thgc Z вх хх e 2 gc 1 e 2 gc 1 , откуда gс aс jbс 1 ln 2 1 Z кз Z хх 1 Z кз Z хх , (31.2) где  Z кз 1 Y11 1 — сопротивление короткого замыкания; Y22  Zхх = Z11 = Z22 — сопротивление холостого хода четырѐхполюсника;  ac — характеристическое затухание четырѐхполюсника;  bc — характеристическая фаза четырѐхполюсника. Поставим задачу. Задача 31.1. Определить входное сопротивление Zвх1 симметричного четырѐхполюсника (рис. 31.1), нагруженного на сопротивление Zн2, равное характеристическому сопротивлению Zc, т. е. при нагрузке Zн2 = Zc. 1 I2 I1 Zс , gс U1 2 U2 Z н2 Zс 1 Z вх1 2 Рис. 31.1. Согласованно нагруженный четырѐхполюсник Решение. Для определения Zвх1 воспользуемся системой А-параметров при условии, что для принятых направлений напряжений и токов U 2 Z н2 I 2 Zс I 2 . Часть II. Глава 9 504 Тогда согласно выражению (20.7) имеем: U1 A11U 2 A12 I 2 ; I1 A21U 2 A22 I 2 . (31.3) Поделим первое уравнение на второе и получим входное сопротивление четырѐхполюсника со стороны зажимов 1 1' : Z вх1 U1 I1 A11U 2 A21U 2 A12 I 2 . A22 I 2 Разделив числитель и знаменатель на I 2 и учтя, что U2 I2 Z н2 Zс , получаем: Z вх1 Z c A11 Z c A21 A12 . A22 Запишем обобщѐнные параметры через Z-параметры (см. табл. 20.1): Z вх1 Z c A11 Z c A21 A12 A22 Z11 Z 21 1 Zc Z 21 Zc Z Z 21 Z 22 Z 21 Zc Z11 Zc Z Zc . Z 22 (31.4) Дальнейшие преобразования полученного выражения связаны с тем, что, вопервых, для симметричного четырѐхполюсника справедливо равенство Z11 = Z22; во-вторых, из (31.1) следует соотношение: Zс 1 Z 22 Y22 Z кз Z хх Z 22 Y22 Z 22 Z Z11 Z. Отсюда для (31.4) окончательно имеем: Z Z11 Z вх1 Zc Z Z c Z 22 Zc Z11 Z Z11 Z Zc . (31.5) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Нагрузка, равная характеристическому сопротивлению, называется согласованной нагрузкой; четырѐхполюсник, нагруженный на своѐ характеристическое сопротивление, называется нагруженным согласованно. Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 505 Вывод: входное сопротивление Zвх1 симметричного четырѐхполюсника, нагруженного на своѐ характеристическое сопротивление Zн2 = Zс, равно характеристическому сопротивлению: Zвх1 = Zс. Найдѐм характеристическое затухание ac и характеристическую фазу bc согласованно нагруженного четырѐхполюсника, для чего воспользуемся выражением (24.22): gс aс jbс ln U1 U2 ln Z н2 Zc I1 I2 ln Zн2 Zc 1 H ( jω) Z ; н2 Zc (31.6) запишем это равенство иначе: gс aс jbс ln H ( jω) Z н2 ln H ( jω) e j arg H ( jω) Zc ln H ( jω) j arg H ( jω), и bс arg H ( jω) Z где aс ln H ( jω) Z н2 Zc н2 Zc , (31.7) откуда следует смысл характеристической постоянной передачи: она определяет соотношения между комплексными амплитудами напряжений и токов на внешних зажимах согласованно нагруженного четырѐхполюсника. 31.2. Мостовая реализация Характеристические параметры используются только при расчѐте симметричных четырѐхполюсников, имеющих чисто активное характеристическое сопротивление, не зависящее от частоты: Zc = R0 = const. По этой причине такие четырѐхполюсники называются четырѐхполюсниками постоянного характеристического сопротивления. К таким четырѐхполюсникам относятся мостовые четырѐхполюсники (рис. 31.2), у которых при данной нагрузке входное сопротивление чисто активно и равно R0. Двухполюсники Zа и Zб, составляющие продольные и диагональные ветви, согласно (31.1) являются взаимообратными двухполюсниками: R0 Zа Zб , (31.8) т. е. R02 Z а Z б или Z а R02 , Z Zб б R02 . Zа (31.9) Часть II. Глава 9 506 1 Zа I1 Zб U1 R0 Zб Zн U2 Zб 1 Z вх I2 2 R0 Zа 2 R02 Zа Рис. 31.2. Мостовой симметричный четырѐхполюсник постоянного характеристического сопротивления Выражения (31.9) отображают физическую реализуемость мостового четырѐхполюсника постоянного характеристического сопротивления, что следует из свойств положительных вещественных функций. Найдѐм передаточную функцию симметричного моста, для чего воспользуемся характеристической постоянной передачи (31.2), в которой сделаем замены (см. лекцию 21): Z кз gс aс 2Zа Zб ; Z хх Zб Zа 1 ln 2 jbс Zб 1 ln 2 1 ln 2 Zб Zб Zа Zа Zб 2 2 ln 1 Z кз Z хх 1 Z кз Z хх 2 2 Zб 2 1 ln 2 Zа 1 2 Zа Zб Zб Zа 1 2 Zа Zб Zб Zа 2 Zа Zб Zа 2 Zа Zб Zа Zб Zа Zб Zа 1 ln 1 . 2 2 Zа Zб Zа Zб ln Zб R02 Zа R0 R0 Zа . Zа Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 507 Подставляя последнее равенство в (31.6), получаем комплексную частотную характеристику H с ( jω) e gс e ln R0 Z а R0 Z а R0 R0 Zа , Zа (31.10) причѐм |Hc(jω)| ≤ 1. Замена p = jω в (31.10) даѐт передаточную безразмерную функцию моста: H с ( p) U 2 ( p) U1 ( p ) I 2 ( p) I1 ( p ) R0 R0 Zа ( p) , Zа ( p) (31.11) откуда нетрудно получить выражения для сопротивлений двухполюсников, стоящих в продольных и диагональных ветвях соответственно: Zа ( p) R0 1 H с ( p) , 1 H с ( p) Zб ( p) R0 1 H с ( p) . 1 H с ( p) (31.12) Следует заметить, что передаточная функция Hc(p) реализуется с точностью до постоянного вещественного множителя K, поэтому в формулах (31.11) и (31.12), где K = 1, вместо Hc(p) необходимо записать K∙Hc(p). В теории линейных электрических цепей доказываются следующие положения:  если передаточная функция Hc(p) удовлетворяет условиям физической реализуемости (УФР), то всегда можно подобрать такое значение K, при котором функция Zа(p) также будет удовлетворять УФР;  если функция Zа(p) удовлетворяет УФР, то взаимообратная ей функция Zб(p) также будет удовлетворять УФР. Вывод: по взаимообратным функциям могут быть построены RLC-двухполюсники, параметрами которых полностью определяется схема искомого симметричного мостового четырѐхполюсника постоянного характеристического сопротивления. В теории линейных электрических цепей доказываются следующие положения:  если передаточная функция Hc(p) удовлетворяет условиям физической реализуемости (УФР), то всегда можно подобрать такое значение K, при котором функция Zа(p) также будет удовлетворять УФР;  если функция Zа(p) удовлетворяет УФР, то взаимообратная ей функция Zб(p) также будет удовлетворять УФР. Часть II. Глава 9 508 Вывод: по взаимообратным функциям могут быть построены RLC-двухполюсники, параметрами которых полностью определяется схема искомого симметричного мостового четырѐхполюсника постоянного характеристического сопротивления. Пример 31.1. Найти схему и значения параметров элементов симметричной мостовой цепи, реализующую передаточную функцию p 5 106 p 7 106 сопротивлении H ( p) при характеристическом енте K = 1. R0 = 103 Ом и коэффици- Решение. Ясно, что заданная передаточная функция удовлетворяет УФР. Согласно (31.12) имеем операторное сопротивление Zа(p) двухполюсника продольной ветви: Z а ( p ) 103 p p p p 1 1 5 7 5 7 106 106 106 106 103 2 106 2 p 12 106 103 106 , p 6 106 откуда получаем операторную проводимость этого двухполюсника: Yа ( p ) 1 Zа ( p) p 6 106 109 10 9 p 6 10 3 . Поскольку полученная проводимость двухполюсника представляет собой сумму проводимостей элементарных двухполюсников, то имеем параллельное соединение ѐмкостного элемента с операторной проводимостью 10 -9p и ѐмкостью С = 10-9 Ф и резистивного элемента с проводимостью G = 6∙10-3 См (R = 0,333∙103 = 333 Ом). Схема двухполюсника Zа(p) изображена на рис. 31.3, а. Аналогично из правой формулы (31.8) получаем операторное сопротивление двухполюсника Zб(p) диагональной ветви: Zб ( p) R02 Zа 106 10 9 p 6 10 3 10 3 p 6 103 , которое соответствует последовательному соединению индуктивного (L = 10-3 Гн) и резистивного (R = 6∙103 = 6 кОм) элементов. Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников C 509 9 10 Ф R 6 кОм 3 G 6 10 См L бб аа Z а ( p) 3 10 Гн Z б ( p) C 2 1 U1 ( p ) G L U 2 ( p) R 1 R0 в в 2 Рис. 31.3. Реализация передаточной функции: а) двухполюсник в продольной ветви, б) двухполюсник в диагональной ветви, в) искомая мостовая цепь Схема двухполюсника Zб(p) изображена на рис. 31.3, б; полная схема симметричного мостового четырѐхполюсника, реализующего заданную передаточную функцию, представлена на рис. 31.3, в. Мостовые четырѐхполюсники применяются для синтеза:  искусственных линий, с помощью которых моделируют линии связи;  амплитудных и фазовых корректоров;  линий задержки. Чаще всего реализация заданной передаточной функции H(p) в виде одной мостовой схемы оказывается весьма сложной и неэффективной, поэтому на практике используется каскадное соединение более простых мостовых схем. С этой целью H(p) разлагают на произведение N передаточных функций Hk(p), удовлетворяющих условиям физической реализуемости: H(p) = H1(p)∙H2(p)…Hk(p)…HN(p), каждая из которых реализуется в виде несложной мостовой схемы (подобно примеру 31.1). Обычно для всех схем постоянное характеристическое сопротивление R0 выбирается одинаковым, поэтому получается каскадное соеди- Часть II. Глава 9 510 нение согласованных четырѐхполюсников. При такой реализации, во-первых, характеристическое сопротивление всей цепи оказывается равным R0; во-вторых, существенно снижается влияние на характеристики цепи, которое оказывают отклонения значений элементов от рассчитанных номиналов; в-третьих, число реактивных элементов остаѐтся без изменения. Вместе с тем рассмотренный метод реализации обладает следующими недостатками:  получаемые схемы имеют большое число элементов;  невозможность подключения цепи к общей шине без нарушения свойств самой цепи, поскольку отсутствует соединение между одним из входных и одним из выходных зажимов; иначе говоря, мостовой четырѐхполюсник является уравновешенным, т. е. незаземлѐнным. 31.3. Реализация на основе Т- и П-образных симметричных схем Указанные ранее недостатки преодолеваются переходом от симметричных уравновешенных к эквивалентным неуравновешенным схемам: Т- и П-образным симметричным четырѐхполюсникам. Условия эквивалентности этих схем мостовой схеме рассмотрены в разд. 21.3. Пример 31.2. Построить Т-образную симметричную схему, эквивалентную мостовой схеме из примера 31.1. Решение. В примере 21.2 показано, что Т-образная схема эквивалентна мостовой, если справедливы соотношения (см. рис. 31.2 и 31.4, а): Z1 Zа ; Z2 Zб 2 Zа . Подставляя сюда результаты, полученные в примере 31.1, получаем: Z1 103 10 3 p 6 103 103 Z2 2 106 , p 6 106 106 p 6 106 10 3 p 2 12 103 p 35 109 . 2 p 12 106 Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 1 Z1 Z3 511 L2 2 Z2 1 L23 2 а а R23 R2 C1 бб C1 1 2 R1 L2 R1 L23 R2 R23 1 в 2 в Рис. 31.4. Т-образный четырѐхполюсник: а) симметричная схема, б) структура Z 2 , в) эквивалентный мостовому Удобно Z2 представить в лестничной форме (по первой форме Кауэра): 10 3 p 2 12 103 p 35 109 2 p 12 106 10 3 p 2 6 103 p 0,5 10 3 p 3 9 6 10 p 35 10 2 p 12 106 6 103 p 35 109 35 6 1 2p 10 10 3 3 3 1 6 10 3 G 1 6 6 103 p 35 109 10 3 6 103 p 3 35 109 18 10 p L 0,5 10 1 10 3 См; R 3 L 18 10 3 Гн 3 103 Ом 3 Гн Часть II. Глава 9 512 1 6 10 35 109 3 1 6 1 10 10 105 3 0 3 G 1 10 3 См; R 105 103 Ом 105 В результате получили лестничную структуру (рис. 31.4, б), в продольных ветвях которой располагаются индуктивности, а в поперечных — сопротивления (проводимости). На рис. 31.4, в представлен искомый четырѐхполюсник, эквивалентный мостовому, где структура (б) изображена вертикально. Пример 31.3. Построить П-образную симметричную схему, эквивалентную мостовой схеме из примера 31.1. Решение. В примере 21.3 показано, что симметричная П-образная схема эквивалентна мостовой, если справедливы соотношения (см. рис. 31.2 и 31.5, а): Y1 ( p ) Y3 ( p ) Y11м ( p ) Y2 ( p ) Y2 ( p ) Y12 ( p ) Y12м ( p ) 1 ; Zб ( p) Zб ( p) Zа ( p) , 2Zа ( p)Zб ( p) где индексом "м" обозначены Y-параметры моста. Отсюда получаем:  во-первых, Z1 ( p ) 1 Y1 ( p ) Z б ( p ) 10 3 p 6 103 , т. е. сопротивления поперечных ветвей симметричной П-образной схемы равны сопротивлениям диагональных ветвей моста и представляют собой последовательное соединение элементов индуктивности и активного сопротивления;  во-вторых, проводимость продольной ветви искомой симметричной П-образной схемы имеет вид: Y2 ( p) 10 12 p 2 12 10 6 p 35 2 10 3 p 12 103 и представляет собой параллельное соединение ѐмкостного элемента и элемента активного сопротивления. Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 1 Y2 1 513 2 2 Y1 Y3 Y1 аа 2 1 1 2 б б Рис. 31.5. Симметричный П-образный четырѐхполюсник: а) структура, б) эквивалентный рассчитанному мосту 31.4. Лестничная реализация полиномиальных электрических цепей Передаточные функции вида H ( p) 1 v( p) a0 p n 1 a1 p n 1 an , (31.13) имеющие в знаменателе полином Гурвица (см. лекцию 27), называются полиномиальными передаточными функциями, а цепи с такими передаточными функциями — полиномиальными цепями. Лестничная реализация уже рассматривалась при изучении двухполюсников (см. разд. 30.2.2). Подобная структура используется также при реализации избирательных электрических фильтров и линий задержки, что будет рассмотрено в дальнейшем. В этом случае пассивный фильтр представляется LC-четырѐхполюсником (рис. 31.6), включѐнным между генератором с активным внутренним сопротивлением Rг и нагрузкой Rн. Со стороны зажимов 1 1' такой четырѐхполюсник обладает входным сопротивлением Zвх1(p). В теории цепей доказывается, что всякий лестничный реактивный четырѐхполюсник, продольные ветви которого составляют индуктивности, а поперечные — ѐмкости, при замыкании хотя бы одной пары внешних зажимов на активное сопротивление образует полиномиальную цепь, число реактивных элементов которой равно степени n полинома Гурвица в (31.13). На рис. 31.7 представлены два примера таких четырѐхполюсников: для чѐтного n = 2v (рис. 31.7, а) и нечѐтного n = 2v + 1 (рис. 31.7, б). Часть II. Глава 9 514 Rг 2 1 E ( p) Rн LC 1 2 Z вх1 ( p ) Рис. 31.6. Пассивный LC-четырѐхполюсник Rг L1 1 Rг C2 1 C4 C2 U ( p) 2 1 L2 1 E ( p) Z11 L2 2 E ( p) Z11 L3 а а L2ν 2 C1 C3 C2ν+1 U ( p) 2 1 бб Рис. 31.7. Примеры лестничных четырѐхполюсников: а) с чѐтным числом реактивных элементов, б) с нечѐтным числом реактивных элементов Передаточная функция таких цепей согласно (22.9) имеет вид: H с ( p) U ( p) E ( p) Z 21 ( p ) , Rг Z11 ( p ) (31.14) Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 515 где, по определению, Z11(p) является входным сопротивлением реактивного четырѐхполюсника при разомкнутых внешних зажимах; т. е. это — входное сопротивление реактивной электрической цепи. Отсюда:  Z11(p) — реактансная функция,  при Zc p = 0 функция Z11(p) имеет полюс (см. рис. 31.5), поскольку 1 . ω 0 ωC Сказанное позволяет свести задачу реализации четырѐхполюсника к решѐнной ранее задаче реализации двухполюсника. С этой целью представим полиномиальную передаточную функцию (31.13) в форме (31.14), для чего запишем функцию (31.13) в тождественном виде: H ( p) 1 v( p) 2 v( p) v( p) . v( p) v( p) 1 v( p) v( p) Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на Rг: H ( p) 2 Rг v( p) v( p) . v( p) v( p) Rг Rг v( p) v( p) (31.15) Поскольку v(p) — полином Гурвица, второе слагаемое знаменателя представляет собой реактансную функцию с полюсом при p = 0, а еѐ порядок равен порядку n полинома Гурвица. Из сопоставления (31.15) и (31.14) получаем выражение для входного сопротивления синтезируемого четырѐхполюсника: Z11 Rг v( p) v( p) , v( p) v( p) (31.16) т. е. задача действительно свелась к реализации двухполюсника по его входному сопротивлению. Функция (31.16) раскладывается в цепную дробь единственным образом, а именно: в виде лестничной цепи с индуктивностями в продольных ветвях и ѐмкостями в поперечных с общим числом элементов, равным n. Такая цепь имеет разомкнутые выходные зажимы. Часть II. Глава 9 516 Пример 31.4. Реализовать передаточную функцию H ( p) 10 24 p 4 2,613 10 18 p 3 1 2,414 10 12 p2 6 2,613 10 p 1 при условии, что к входным зажимам цепи подключѐн генератор напряжения с сопротивлением 1 кОм, а выходные зажимы разомкнуты. Решение. По формуле (31.16) получаем: Z11 ( p) 103 10 24 p 4 2,414 10 12 p 2 1 2,613 10 18 p3 2,613 10 6 p 10 21 p 4 2,414 10 9 p 2 103 . 2,613 10 18 p3 2,613 10 6 p Разложение этой функции в цепную дробь Z11 ( p ) 0,383 10 3 p 1 1,08 10 9 p 1 1 1,53 10 1,58 103 p 9 p позволяет изобразить схему цепи (рис. 31.8) и определить еѐ параметры. Rг 1 кОм L1 L3 2 1 E ( p) C2 C4 2 1 L1 383 мкГн; L3 1580 мкГн; С2 1080 пФ; С4 1530 пФ. Рис. 31.8. Пример реализации лестничного четырѐхполюсника Важно: передаточные функции схем, изображѐнных на рис. 31.7 и рис. 31.8, на частоте ω = 0 имеют значения H(0) = 1; т. е. в режиме постоянного тока напряжения на выходах этих схем всегда равно ЭДС генератора; это означает, что такими цепями реализуются передаточные функции полиномиального типа H ( p) v(0) , v( p) у которых свободный член полинома Гурвица равен 1. (31.16) Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 517 На рис. 31.9 представлены полиномиальные цепи, нагруженные на активное сопротивление и реализующие функцию (31.13). В этом случае передаточная функция имеет вид: H ( p) Z 21 . Rн Z 22 L2 1 I 0 ( p) I ( p) I 0 ( p) C1 C3 L2ν C2ν-1 2 I ( p) Rн а 1 2 L2 1 C1 I 0 ( p) C3 L2ν C2ν Z 22 2 I ( p) 1 Rн б 1 2 Z 22 Рис. 31.9. Реализация лестничного четырѐхполюсника, нагруженного на активное сопротивление: а) с чѐтным числом реактивных элементов, б) с нечѐтным числом реактивных элементов После несложных преобразований, подобных выкладкам при выводе выражения (31.16), получим реактансную функцию Z 22 Rн v( p) v( p) , v( p) v( p) (31.17) разложение которой в цепную дробь даѐт значения всех элементов цепи, которую необходимо строить от нагрузки к генератору тока. Часть II. Глава 9 518 L1 1 E ( p) L3 C2 L2ν-1 C4 2 Rн C2ν U ( p) а 1 2 L1 1 E ( p) L2ν L3 C2 C4 1 Y22 2 C2ν Rн U ( p) б 2 Y22 1 Рис. 31.10. Реализация лестничного четырѐхполюсника, имеющего на входе генератор ЭДС и нагруженного на активное сопротивление: а) с чѐтным числом реактивных элементов, б) с нечѐтным числом реактивных элементов Для полиномиальных цепей, имеющих на входе генератор ЭДС и нагруженных на активное сопротивление Rн (рис. 31.10), передаточная функция записывается в виде: H ( p) U ( p) E ( p) 1 Rн Y21 ( p ) Y22 ( p ) . Из этой передаточной функции нетрудно получить реактансную функцию проводимости Y22 ( p ) 1 v( p) v( p) , Rн v ( p ) v( p ) (31.18) при разложении которой в цепную дробь находятся элементы четырѐхполюсника. Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 519 Особенности реализации лестничных цепей со всплесками затухания (ослабления) Разложение входного сопротивления Z11(p) в цепную дробь может привести к формированию резонансных контуров в продольных и поперечных ветвях. Каждый k-й контур обеспечивает бесконечно большое затухание (ослабление) на своей частоте резонанса ω∞k. Примеры таких цепей приведены на рис. 31.11. L2 1 C1 1 ω C3 L5 ω 1 C4 C6 L1 2 2 L4 1 2 C2 C7 L3 2 L7 а ω C5 1 L6 ω 2 1 2 б Рис. 31.11. Лестничные цепи со всплесками затухания: а) с параллельными контурами, б) с последовательными контурами В схеме рис. 31.11, а содержатся параллельные контуры, сопротивления которых при резонансах токов имеют бесконечно большое значение, поэтому на частотах резонансов ω 1 и ω 2 имеют место "обрывы" продольных ветвей цепи, и сигнал с входных зажимов 1—1' не поступает к выходным зажимам 2—2', т. е. на этих частотах обеспечивается бесконечно большое затухание (ослабление). В схеме рис. 31.11, б сопротивления последовательных контуров при резонансах напряжений становятся равными нулю, поэтому на частотах резонансов ω 1 и ω 2 происходит "короткое замыкание" поперечных ветвей цепи, и сигнал с входных зажимов 1—1' не поступает к выходным зажимам 2—2', т. е. на этих частотах также обеспечивается бесконечно большое затухание (ослабление). 31.5. Каскадно-согласованная реализация В задачах синтеза корректирующих цепей (амплитудных и фазовых корректоров) необходимо представлять саму цепь в виде каскадного соединения простейших звеньев первого и второго порядка (рис. 31.12), с тем чтобы обеспечить управление частотными характеристиками каналов связи в пределах заданных норм. Часть II. Глава 9 520 1 2 H1 ( p ) U1 ( p ) H 2 ( p) U 2 ( p) U 3 ( p) U N ( p) H N ( p ) U N 1 ( p) R0 1 R0 R0 2 Рис. 31.12. Каскадно-согласованная реализация (возможность управления отмечена штриховыми стрелками) Все звенья представляют собой четырѐхполюсники постоянного характеристического сопротивления R0, которому равна нагрузка N-го звена. Поэтому входное сопротивление каждого звена также равно R0. Такая реализация возможна, если передаточную функцию цепи H(p) представить в виде произведения передаточных функций входящих в структуру звеньев: H ( p) H1 ( p ) H 2 ( p ) U 2 ( p) U3 ( p) U1 ( p ) U 2 ( p ) H N ( p) где согласно (31.11) R0 Z а1 ( p ) H1 ( p ) ; H 2 ( p) R0 Z а1 ( p ) R0 R0 U N 1( p) , U N ( p) Z а2 ( p ) ; H N ( p) Z а2 ( p ) R0 R0 (31.19) Z аN ( p ) . Z аN ( p ) Для получения передаточной функции вида (31.19) по известной передаточной функции b0 p m b1 p m 1 bm H ( p) (31.20) n n 1 a0 p a1 p an необходимо выполнить следующие действия: 1. Вынести в числителе коэффициент b0, а в знаменателе — коэффициент a0 и записать (31.20) в виде: H ( p) b0 p m a0 p n b1 p m a1 p 1 bm n 1 an K pm p n b1 p m a1 p 1 n 1 bm an KH ( p). (31.21) 2. Найти нули p0k и полюсы p*k функции H'(p); при этом m – n нулей окажутся равными 0, если n > m. p0k , p0*k 3. Комплексно-сопряжѐнные нули использовать для записи чис- лителя, а комплексно-сопряжѐнные полюсы менателя k-го звена второго порядка: H k ( p) p p0k p p0*k p p*k p p**k p*k , p**k — для записи зна- p 2 b1k p b2 k , p 2 a1k p a2 k Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 521 при этом следует учесть, что если p0k = 0, то k-е звено в числителе имеет 1: H k ( p) 1 p 2 a1k p a2k , если же p0k и p*k — вещественные, k-е звено является звеном первого порядка: H k ( p) p b1k . p a1k Результатом рассмотренной процедуры является передаточная функция H ( p) K H1( p) H2 ( p) H k ( p) H N ( p) , (31.22) которая показывает, что каждое звено реализуется с точностью до постоянного множителя по мостовой либо по эквивалентной ей Т-образной перекрытой схеме постоянного входного сопротивления; для удобства в качестве коэффициента для каждого звена можно взять величину N K , где N — количество реализуемых звеньев. 31.6. Каскадно-развязанная реализация Другой вариант каскадной реализации — каскадно-развязанная реализация — широко распространѐн в технике радиоприѐмных устройств и в микроэлектронике, где все аналоговые микросхемы представляют собой активные электрические цепи (ARC-цепи, см. лекцию 43). 1 2 H1 ( p ) U1 ( p ) 1 Z вх1 U 2 ( p) Z вых1 Z вх2 H 2 ( p) U 3 ( p) Z вых2 U N ( p) Z вхN H N ( p) U N 1 ( p) Z выхN 2 Рис. 31.13. Структурная схема каскадно-развязанной реализации Внешне структурная схема каскадно-развязанной реализации (рис. 31.13) весьма схожа с рассмотренной в разд. 31.4 каскадно-согласованной реализацией. Принципиальное отличие состоит в том, что каждое звено находится Часть II. Глава 9 522 в режиме холостого хода со стороны своих выходных зажимов, т. е. его выходное сопротивление высокое, а именно: Z вх2 ( jω) Z вых1 ( jω) ; Z вх3 ( jω) ; Z вхN ( jω) Z вых2 ( jω) ; Z выхN 1 ( jω) . (31.23) Иначе говоря, входное сопротивление i-го звена значительно превышает его выходное сопротивление, а в идеале Zвхi = , Zвыхi = 0. Тогда передаточная функция каскадно-соединенных звеньев будет тем меньше отличаться от произведения их передаточных функций, чем больше различаются входное сопротивление i-го звена от выходного сопротивления (i – 1)-го звена. Как и при каскадно-согласованной реализации, передаточная функция H(p) разбивается на произведение передаточных функций 2-го и 1-го порядков (31.21), и каждый сомножитель реализуется отдельным звеном (четырѐхполюсником) любым из известных методов, которые приводят, во-первых, к минимальному числу элементов цепи, во-вторых, обеспечивают режим холостого хода или близкий ему (31.23) со стороны выходных зажимов. Для синтеза подобных схем созданы специальные каталоги, в которых приводятся расчѐтные соотношения для вычисления параметров звеньев 2-го и 1-го порядков. 31.7. Особенности математических моделей лестничных цепей Ранее в этой лекции была изучена задача реализации лестничного четырѐхполюсника в режиме холостого хода, а также нагруженного на активное сопротивление. Для реализации четырѐхполюсников известная передаточная функция представлялась цепной дробью. С другой стороны, на практике зачастую ставится обратная задача: записать передаточную функцию известной лестничной цепи (четырѐхполюсника). Эту задачу можно решить известным методом анализа параллельно-последовательной электрической цепи (см. разд. 4.3), который легко распространяется на реактивные цепи. Тем не менее, поставленная задача упрощается, если составить и решить смешанную систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа (см. разд. 4.4). Тогда задача математического моделирования лестничного четырѐхполюсника формулируется следующим образом. Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 523 Задача 31.2. Требуется записать передаточную функцию H(p) лестничного реактивного четырѐхполюсника (рис. 31.14), используя смешанную систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. U1 ( p ) I1 ( p) Z 1 1 Zг Z1 Zг E ( p) I 3 ( p) Z I n 1 ( p )Z n 3 1 2 Z1 U2 ( p) Y2 U 4 ( p ) Y4 1 Yn Zн Yn 2 Yn U н ( p) 1 Zн Рис. 31.14. Лестничный реактивный четырѐхполюсник Решение. Искомая передаточная функция по определению имеет вид: H ( p) U н ( p) . E ( p) (31.24) Поскольку E(p) известно, то необходимо найти p-изображение напряжения Uн(p) на нагрузке четырѐхполюсника. Запишем смешанную систему уравнений для независимых узлов и контуров представленной лестничной цепи: Z1I1 ( p ) U 2 ( p) E ( p ); I1 ( p) Y2U 2 ( p ) I 3 ( p ) 0; U 2 ( p) Z3 I3 ( p) U 4 ( p) 0; (31.25) I n 1 ( p ) YnU н ( p ) 0. Система (31.25) имеет количество неизвестных, равное количеству ветвей Nв, и содержит Nур = (Nу – 1) + (Nв – Nу + 1) = Nв Часть II. Глава 9 524 уравнений (Nу — число узлов), количество которых также равно количеству ветвей. По правилу Крамера найдѐм Uн(p): U н ( p) n (31.26) , где Z 1 0 0 0 1 Y2 1 0 0 0 1 Z3 1 0 1 Y4 0 0 0 0 0 0 и K n ( a1, a2 , , ak , , an ) (31.27) 0 Yn Z 1 0 0 E ( p) 1 Y2 1 0 0 0 n 1 Z3 1 0 0 1 Y4 0 (31.28) 0 . 0 0 0 0 Yn Обратим внимание на особую структуру определителя (31.27) системы уравнений Δ, который называется континуантом индекса n или кумулянтом. Континуант Kn (a1, a2 , , ak , , an ) , где a k — k-ый элемент главной диагонали записывается очень просто:  в главную диагональ слева направо и сверху вниз последовательно записываются операторные сопротивления и проводимости продольных и поперечных ветвей четырѐхполюсника;  каждый столбец с сопротивлением или проводимостью сверху дополняется положительной единицей, а снизу — отрицательной;  все остальные позиции в определителе заполняются нулями. Континуант (31.27) удобно вычислять по рекуррентной формуле: K K0 1 0; (31.29) 1; Km (a1, , am ) am Km 1(a1, , am 1 ) K m 2 (a1, , am 2 ). Лекция 31. Методы реализации четырѐхполюсников 525 Вычисление определителя (31.28) показывает, что Δn = E(p), поэтому (31.26) получает вид: E ( p) U н ( p) E ( p) , Kn (31.30) а передаточная функция (31.24), после подстановки в неѐ (31.30), оказывается полиномиальной (31.13): 1 H ( p) 1 , Kn (31.31) Пример 31.5. Найти передаточную функцию лестничной цепи, изображѐнной на рис. 31.15. L1 L3 C2 E ( p) G4 U н ( p) Рис. 31.15. Лестничная цепь к примеру 31.5 Решение. Передаточная функция этой цепи согласно (31.24) и (31.31) имеет вид: U н ( p) 1 1 H ( p) . (31.32) E ( p) K4 Запишем континуант индекса 4: pL1 1 1 pC2 0 0 1 0 0 1 pL3 0 0 0 K4 1 G4 и найдѐм его значение, воспользовавшись выражением (31.29): континуант индекса 2: K2 pL1 1 1 pC2 L1C2 p 2 1 , Часть II. Глава 9 526 континуант индекса 3: K 3 ( a1 , , a3 ) a3 K 2 K1 pL3 L1C2 p 2 1 pL1 L1L3C2 p 3 L1 L3 p , континуант индекса 4: K4 (a1, , a4 ) a4 K3 K2 G4 L1L3C2 p 3 L1L3C2G4 p 3 L1C2 p 2 L1 L3 p L1C2 p 2 1 L1 L3 G4 p 1. Последнее выражение позволяет записать передаточную функцию заданной лестничной цепи: H ( p) U н ( p) E ( p) 1 L1L3C2G4 p 3 1 L1C2 p 2 L1 L3 G4 p 1 . L2 C2 1 R U вх 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Глава 10 Введение в синтез электрических фильтров Лекция 32. Основные определения и классификация электрических фильтров Лекция 33. Частотные преобразования в задачах синтеза электрических фильтров Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров рациональными функциями Лекция 35. Анализ схем фильтров Лекция 36. Кварцевые фильтры L2 C2 1 R U вх Лекция 32 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Основные определения и классификация электрических фильтров Задача системы связи — передать сообщение от источника к получателю (рис. 32.1) без искажений. Но всякое сообщение в системе связи передаѐтся с помощью электрического сигнала x(t), который находится под влиянием разнообразных помех ξ(t), действующих в канале связи. По этой причине желательно строить всю систему так, чтобы она сама не вносила искажений в передаваемый сигнал. Источник сообщения Сигнал x(t) Получатель сообщения Канал связи Сигнал y(t) ξ(t ) Помехи Рис. 32.1. Структурная схема процесса передачи сообщений В общем случае канал связи можно рассматривать как некую сложную электрическую цепь, обладающую определѐнными временными и частотными характеристиками, в той или иной степени влияющие на передаваемый сигнал. Часть II. Глава 10 530 32.1. Условия безыскажѐнной передачи сигналов через электрическую цепь Интуитивно ясно, что сообщение будет воспринято правильно, если принятый сигнал (реакция) и переданный сигнал (воздействие) будут иметь одинаковую форму. Поэтому необходимо оценить условия, при которых форма сигнала сохраняется, т. е. обеспечивается безыскажѐнная его передача. Для определения таких условий поставим следующую задачу. Задача 32.1. Установить требования к частотным характеристикам электрической цепи, при выполнении которых обеспечивается передача сигнала без искажения его формы. Решение. Будем считать сигнал переданным без искажения, если (рис. 32.2):  значения реакции y(t) пропорциональны значениям воздействия х(t) с ве- щественным коэффициентом пропорциональности k;  допустима задержка реакции y(t) относительно воздействия х(t) на неко- торое время t0. При этих условиях связь между реакцией и воздействием определяется зависимостью: y(t) = kх(t – t0). (32.1) Выражение (32.1) представляет собой условия безыскажѐнной передачи сигнала во временной области, которые отражены на рис. 32.2 при коэффициенте пропорциональности k = 0,5 и задержке t0 = 2 с. x(t ) Линейная электрическая цепь y (t ) y (t ) а kx(t t0 ) x(t ) y (t ) б 0 t, c 0 t0 t0 2с k 0,5 в t, c Рис. 32.2. Условия безыскажѐнной передачи: а) связь между реакцией и воздействием, б) воздействие, в) реакция Лекция 32. Основные определения и классификация электрических фильтров 531 Чтобы вывести условия безыскажѐнной передачи в частотной области, необходимо знать комплексную частотную характеристику цепи, которую легко получить из передаточной функции H(p) подстановкой p = jω. Для этого сначала запишем L-преобразование выражения (32.1), воспользовавшись свойствами линейности и задержки (теоремы запаздывания): Y ( p) kX ( p)e pt0 , откуда по определению передаточной функции имеем: H ( p) Y ( p) X ( p) ke pt0 и комплексную частотную характеристику: H ( jω) Y ( jω) X ( jω) ke jωt0 H ( jω) e jωt0 A(ω)e jωt0 . (32.2) Из выражения (32.2) следуют условия безыскажѐнной передачи в частотной области:  амплитудно-частотная характеристика цепи A(ω) = k = const должна быть постоянной, т. е. не зависеть от частоты;  фазочастотная характеристика цепи должна быть линейной функцией час- тоты: φ(ω) arg H ( jω) ωt0 . (32.3) Физический смысл полученных условий состоит в том, что, во-первых, соотношения между амплитудами гармонических составляющих сигнала xk (t ) Ak cos(ωt φk (ω)) Ak cos(ωt ωt0 ) Ak cosω(t t0 ) сохраняются, поскольку получают одинаковые пропорциональные изменения, и, во-вторых, начальные фазы φk(ω) составляющих получают пропорциональный частоте сдвиг, чему соответствует лишь смещение начала отсчѐта времени на величину t0 (рис. 32.3). Таким образом, реакция представляет собой сигнал, полностью повторяющий форму входного сигнала, задержанного на время t0 = const. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Время t0, на которое сигнал на выходе цепи задерживается (запаздывает) относительно сигнала на входе, называется временем задержки, или групповым временем задержки: tгвз = tг; оно связано с ФЧХ (32.3) соотношением: dφ(ω) (32.4) tгвз (ω) tг (ω) t0 . dω Часть II. Глава 10 532 A(ω) k 0 φ(ω) ω 0 ω а б τг (ω) τ0 0 в ω Рис. 32.3. Частотные характеристики идеальной цепи: а) амплитудно-частотная, б) фазочастотная, в) группового времени Условия безыскажѐнной передачи всегда выполняются только в резистивных цепях, где 0 < k ≤ 1 и t0 = 0. В общем случае условия безыскажѐнной передачи могут быть выполнены только в ограниченной полосе частот и то лишь приближѐнно, поскольку комплексные частотные характеристики цепей являются рациональными функциями оператора jω с вещественными коэффициентами, а не трансцендентной функцией вида (32.2). 32.2. Классификация электрических фильтров В разд. 32.1 был сделан вывод о том, что безыскажѐнная передача сигнала возможна только в ограниченной полосе частот. Однако на сигнал, поступающий от источника сигнала (рис. 32.1 и 32.4), в реальности воздействуют разнообразные помехи ξ(t), случайным образом искажающие параметры сигнала. Помехи возникают как собственно в технических устройствах, которые выполняют необходимые преобразования сигнала, так и в среде распространения, через которую сигнал передаѐтся приѐмнику. В первом случае помехи называются внутренними, а во втором — внешними. Внутренние помехи являются следствием теплового движения заряженных частиц в элементах электрических цепей, влияния электромагнитных полей, образуемых различными участками устройства, нестабильности источников питания и т. п. Лекция 32. Основные определения и классификация электрических фильтров 533 Внешние помехи образуются за счѐт атмосферных и космических явлений, влияния промышленных источников (электросварка, искрение подвижных контактов, рентгеновские установки и т. д.). Кроме того, в качестве помех могут выступать сигналы от радиостанций, работающих на близких частотах. Особую группу внешних помех составляют преднамеренные помехи, создаваемые с целью радиопротиводействия. 32.2.1. Определение фильтра Во всех перечисленных случаях необходимо устранять причины возникновения помех, если это возможно, или ослаблять их интенсивность. Помехи представляют собой случайные процессы, поэтому нарушается однозначное соответствие между переданным и принятым сигналами, и принятый сигнал лишь с той или иной вероятностью соответствует переданному. Возникающие при этом ошибки на приѐме могут столь существенно исказить сигнал, что в результате будет доставлена ложная информация. Так возникает задача противостоять воздействию помех. Решение этой задачи осуществляют с помощью разнообразных устройств, называемых фильтрами и понимаемых в широком и узком смыслах. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Под электрическим фильтром в широком смысле понимают линейный четырѐхполюсник, который согласно заданному оператору F{x(t )} (рис. 32.4) осуществляет преобразование воздействия в виде аддитивной смеси x(t ) x(t ) ξ(t ) сигнала x(t) с помехой ξ(t) с целью выделения из этой смеси соответствующего сигнала y(t) с точностью, определяемой свойствами оператора и методом реализации. К электрическим фильтрам в широком смысле относятся: амплитудные и фазовые корректоры, фильтры, согласованные с сигналами, оптимальные, а также адаптивные фильтры. Источник сигнала x(t ) x(t ) x(t ) ξ(t ) Смесь сигнала с помехой ξ(t ) Источник помех Фильтр y (t ) F ( x(t )) Рис. 32.4. К определению фильтра в широком смысле y (t ) Часть II. Глава 10 534 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Под электрическим фильтром в узком смысле понимают частотноизбирательную, или селективную, цепь, которая обеспечивает разделение (селекцию) сигнала и помехи по частоте. При этом следует иметь в виду, что на входе частотно-избирательного фильтра может воздействовать множество сигналов X = {x1, x2,…, xi,…, xn}, где xi = xi(t), и тогда каждый сигнал xi из этого множества представляет собой помеху относительно любого другого сигнала. В дальнейшем фильтры указанного класса для простоты будем называть избирательными или селективными фильтрами. Избирательные фильтры выделяют из сложного воздействия те частотные составляющие, которые расположены в заданной полосе частот, и подавляют те составляющие, которые расположены в других, также заданных, полосах частот. Соответствующие частотные полосы называются полосой пропускания и задерживания. В зависимости от взаимного расположения полос пропускания и задерживания избирательные фильтры подразделяются на следующие типы:  фильтры низких частот (ФНЧ);  фильтры верхних частот (ФВЧ);  полосовые фильтры (ПФ);  режекторные фильтры (РФ), которые также называют полосно-заграж- дающими фильтрами (ПЗФ). Для того чтобы синтезировать какой-либо фильтр, необходимо: 1. Выбрать тип фильтра. 2. Задать требования к характеристикам фильтра, которые можно сформулировать либо в частотной, либо во временной областях: в частотной области требования могут задаваться: только к амплитудно-частотной характеристике A(f); только к фазочастотной характеристике φ(f) или и к той и к другой одновременно; во временной области требования могут задаваться либо к переходной характеристике g(t), либо к импульсной характеристике h(t), не заботясь о том, какие частотные характеристики при этом получаются. 3. Выбрать метод аппроксимации характеристики фильтра. 4. Рассчитать передаточную функцию фильтра. Лекция 32. Основные определения и классификация электрических фильтров 535 5. Построить по передаточной функции принципиальную схему. 6. Реализовать полученную принципиальную схему на выбранной элементной базе. В данном курсе лекций основное внимание уделяется синтезу избирательных фильтров в частотной области при условии аппроксимации только АЧХ без учѐта требований к ФЧХ, если это не оговаривается специально. 32.2.2. Амплитудно-частотные характеристики избирательных фильтров и требования к ним Далее рассматриваются особенности перечисленных типов фильтров, а также изучаются требования, предъявляемые к их АЧХ и характеристикам ослабления (затухания). Наиболее подробно излагаются требования к ФНЧ, которые нетрудно перенести на другие фильтры. Фильтр низких частот (ФНЧ) Идеальная АЧХ фильтра низких частот Aи(f) и условное изображение ФНЧ показаны на рис. 32.5, а, из которого следует, что полоса пропускания ФНЧ расположена в области частот в пределах от f = 0 до граничной частоты f = fχ, с которой начинается полоса задерживания, простирающаяся до бесконечности. Таким образом, ФНЧ пропускает все частотные составляющие воздействия, лежащие в области низких частот 0 ≤ f ≤ fχ, и подавляет все частотные составляющие, лежащие выше частоты fχ (т. е. f > fχ). Понятно, что идеальную АЧХ Aи(f) реализовать в реальном фильтре невозможно, поэтому еѐ необходимо аппроксимировать функциями, в которых выражаются частотные характеристики электрических цепей (см. главу 4), для чего надлежит ввести некоторые допустимые отклонения от Aи(f), которые называют требованиями к АЧХ. Требования определяются особенностями аппаратуры, в которую входит фильтр, а также назначением самого фильтра. Общий смысл требований к АЧХ состоит в следующем (рис. 32.5, б):  полосы пропускания и задерживания разделяются достаточно узкой переходной полосой в пределах fχ < f < fk, где fχ называют частотой среза полосы пропускания, а частоту fk — граничной частотой полосы задерживания;  в полосе пропускания 0 ≤ f ≤ fχ назначается допустимое отклонение δ1 от 1; ширина полосы пропускания FПП = fχ;  в полосе задерживания f ≥ fk назначается допустимое отклонение δ2 от 0; ширина полосы задерживания FПЗ не ограничена, поскольку простирается от fk до бесконечности; Часть II. Глава 10 536  в переходной полосе требования к АЧХ не предъявляются; ширина пере- ходной полосы FПерП = fk – fχ. Таким образом, ФНЧ имеет три частотных полосы: полосу пропускания (ПП), переходную полосу (ПерП) и полосу задерживания (ПЗ). Aи ( f ) 1 а 0 A( f ) 1 1 δ1 Полоса пропускания δ2 0 f fχ fχ Полоса задерживания б fk f Переходная полоса a( f ) f 0 amax fχ amax fk a в a0 a( f ) a0 г amax 0 fχ fk f Рис. 32. 5. Характеристики ФНЧ: а) идеальная АЧХ и условное обозначение, б) требования к АЧХ, в) требования к характеристике ослабления, г) требования к характеристике затухания Лекция 32. Основные определения и классификация электрических фильтров 537 На практике часто требования формулируют не в абсолютных значениях допустимых отклонений, а в логарифмических, выражаемых в децибелах. При этом возможны два варианта логарифмических частотных характеристик a(f): характеристика ослабления (рис. 32.5, в) и характеристика затухания (рис. 32.5, г), которые отличаются только знаком a(f). Традиционно в системах радиосвязи используется характеристика ослабления, а в многоканальных системах связи — характеристика затухания. Допустимые отклонения в логарифмическом масштабе представляются следующим образом: amax = Δa — максимально допустимое ослабление в полосе пропускания amax = 20 lg(1 – δ1) < 0 (32.5) и соответственно максимально допустимое затухание в полосе пропускания amax = –20 lg(1 – δ1) > 0, (32.6) a0 — максимально допустимое ослабление в полосе задерживания a0 = 20 lg δ2 < 0 (32.7) и соответственно минимально допустимое затухание в полосе пропускания amax = –20 lg δ2 > 0. (32.8) Заметим, что поскольку в переходной полосе требования не задаются, положительным окажется любое решение, удовлетворяющее требованиям в полосах пропускания и задерживания. Фильтр верхних частот (ФВЧ) Амплитудно-частотные характеристики фильтра верхних частот являются зеркальными относительно АЧХ фильтра нижних частот (рис. 32.6), т. е. его частотные полосы расположены в обратном порядке:  полоса задерживания в пределах от 0 до fk, еѐ ширина FПЗ = fk;  переходная полоса в пределах от fk до fχ, еѐ ширина FПерП = fχ – fk;  полоса пропускания располагается в пределах от f до бесконечности, т. е. ширина полосы пропускания FПП не ограничена. Допустимые отклонения в полосах пропускания и задерживания определяются так же, как и для ФНЧ. Часть II. Глава 10 538 Aи ( f ) 1 а 0 f fχ A( f ) 1 1 δ1 δ2 ПЗ 0 ПП fk fχ f б Рис. 32.6. Диаграммы требований к ФВЧ: а) идеальная АЧХ и обозначение, б) требования к АЧХ Полосовой фильтр (ПФ) Полосовой фильтр характеризуется пятью частотными полосами (рис. 32.7), из которых: центральная — полоса пропускания, две полосы задерживания и, соответственно, две переходных полосы. Отрицательный индекс частоты означает, что частота расположена слева от середины полосы пропускания. На рис. 32.7, б обозначены:  f–k — граничная частота первой полосы задерживания ПЗ1, ширина кото- рой FПЗ1 = f–k;  две частоты среза полосы пропускания: f–χ — левая частота среза полосы пропускания, fχ — правая частота среза полосы пропускания, при этом ширина полосы пропускания FПП = fχ – f–χ ;  fk — граничная частота второй полосы задерживания ПЗ2, ширина кото- рой FПЗ2 не ограничена, поскольку простирается от fk до бесконечности;  в интервалах f–k < f < f–χ и fχ < f < fk расположены переходные полосы ПерП1 и ПерП2. Лекция 32. Основные определения и классификация электрических фильтров 539 Aи ( f ) 1 а 0 A( f ) f fχ f-χ 1 δ1 1 δ2 0 б ПЗ1 ПП f k f-χ ПЗ2 fχ fk f Рис. 32.7. Диаграммы требований к ПФ: а) идеальная АЧХ и обозначение, б) требования к АЧХ П Р И МЕ Ч А Н И Е При задании требований к полосовому фильтру (ПФ) необходимо иметь в виду следующее: переходные полосы обычно отличаются по ширине, что отражено на рис. 32.7, б; значения допустимых отклонений от нуля в полосах задерживания могут различаться, хотя на практике они задаются одинаковыми. Режекторный фильтр (РФ) Режекторный фильтр, иногда называемый полосно-заграждающим фильтром (ПЗФ), подобно ПФ характеризуется пятью полосами (рис. 32.8, б), из которых: две полосы пропускания, одна полоса задерживания и две переходных полосы. Отрицательный индекс частоты означает, что частота расположена слева от середины полосы задерживания. На рис. 32.8, б обозначены:  f–χ — частота среза первой полосы пропускания, ширина которой FПП1 = f–χ;  f–k и fk — нижняя и верхняя граничные частоты полосы задерживания, ши- рина которой FПЗ = fk – f–k; Часть II. Глава 10 540  fχ — частота среза второй полосы пропускания, ширина которой FПП2 не ограничена, поскольку простирается от fχ до бесконечности;  в интервалах f–χ < f < f–k и fk < f < fχ расположены переходные полосы ПерП1 и ПерП2. Aи ( f ) 1 а 0 A(ω) f-χ f fχ 1 1 δ1 δ2 0 ПП1 ПЗ f-χ f k б ПП2 fk fχ f Рис. 32.8. Диаграммы требований к РФ: а) идеальная АЧХ и обозначение, б) требования к АЧХ П Р И МЕ Ч А Н И Е При задании требований к РФ необходимо иметь в виду следующее: переходные полосы обычно отличаются по ширине, что отражено на рис. 32.7, б; значения допустимых отклонений от единицы в полосах пропускания могут различаться, хотя на практике они задаются одинаковыми. L2 C2 1 R U вх Лекция 33 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Частотные преобразования в задачах синтеза электрических фильтров 33.1. Задача синтеза фильтра Задача синтеза любой электрической цепи, в том числе и фильтра, состоит в том, чтобы при заданной элементной базе и других возможных ограничениях (потребляемой мощности, минимальном порядке, максимуме отношения сигнал/помеха на выходе цепи, минимуме нелинейных искажений и пр.) получить фильтр, который обеспечивает заданное соотношение вход/выход, а именно: если известно воздействие x(t), то однозначно известна реакция y(t). При этом цель синтеза связана также с оптимизацией некоторого критерия качества, или целевой функции Ф. В такой постановке данная задача формулируется как задача оптимального синтеза, существо которой рассмотрено в разд. 28.1.2, а также в лекции 29. Центральным моментом задачи синтеза является этап аппроксимации заданной характеристики при выполнении условий физической и схемной реализуемости. Это означает, что в результате аппроксимации формируется оператор F, представляющий собой, в частности, передаточную функцию H(p), которая и позволяет перейти к конструированию схемы, т. е. к еѐ реализации на выбранной элементной базе. При этом выбор метода аппроксимации определяется целевой функцией Ф. 33.1.1. Понятия о нормировании частот и характеристик фильтра Для удобства решений задач аппроксимации избирательных фильтров используются решения, получаемые для соответствующих нормированных фильтров низких частот, которые в таком случае называются фильтрами- Часть II. Глава 10 542 прототипами, или просто прототипами. Нормирование осуществляется как по частоте, так и по сопротивлению. Поэтому решение задачи аппроксимации можно представить в виде последовательности операций, приведѐнной на рис. 33.1. Задание требований и метода аппроксимации Выбор типа фильтра Расчѐт нормированного ФНЧ Определение нормированного ФНЧ Денормирование и переход к исходному фильтру Рис. 33.1. Последовательность решения задачи аппроксимации фильтра Принцип нормирования частот при синтезе фильтров состоит в следующем:  в качестве нормирующей частоты ωн используется частота среза ωχ фильтра нижних или верхних частот, а также среднее геометрическое частот среза ω-χ и ωχ полосового фильтра;  нормированная частота Ω получается делением частоты ω на нормирующую частоту. Тогда, например, для ФНЧ имеем (рис. 33.2): Ω ω ωн ω ωχ f , fχ (33.1) причѐм нормированная частота среза ФНЧ оказывается равной единице: Ωχ ωχ fχ ωχ fχ 1; (33.2) а нормированная граничная частота полосы задерживания ФНЧ оказывается больше единицы: ωk fk Ωk 1. (33.3) ωχ fχ В случае полосового фильтра получаем соотношения: Ω ω ωн f ω ω χ ωχ f χ fχ , (33.4) Лекция 33. Частотные преобразования в задачах синтеза электрических фильтров 543 где ωн ω χ ωχ ; или f н f χ fχ . Аналогично вводится нормированный оператор Лапласа: p . ωн (33.5) Кроме того, нормируется и комплексная частотная характеристика H(jω) фильтра относительно максимума его АЧХ max A(ω) max H ( jω) : Hˆ ( jω) H ( jω) max H ( jω) H ( jω) , max A(ω) т. е. получаем нормированную амплитудно-частотную характеристику Aˆ (ω) H ( jω) max H ( jω) A(ω) , max A(ω) максимальное значение которой (в полосе пропускания) равно единице (рис. 33.2): max Aˆ (ω) 1 . Подробнее нормирование частот изучается в разд. 33.1.2. Aˆ ( ) 1 1 δ1 δ2 0 k χ 1 ωk ωχ 1 k Рис. 33.2. Пример требований к нормированному ФНЧ-прототипу 33.1.2. Нормирование параметров элементов фильтра Элементы фильтра — активного сопротивления, индуктивности ѐмкости — оцениваются своими параметрами: сопротивлением или проводимостью. Поскольку эти параметры являются взаимообратными, принято нормировать сопротивления. Часть II. Глава 10 544 В качестве нормирующего сопротивления Rн обычно используется сопротивление нагрузки фильтра: Zˆ ( p ) Z ( p) ˆ ; Z (Λ) Rн Z (Λ) , Rн (33.6) где:  Zˆ ( p ) и Zˆ (Λ) — нормированное комплексное сопротивление (безразмер- ное) элемента или двухполюсника;  Z ( p ) и Z (Λ) — реальное комплексное сопротивление элемента или двухполюсника. Из определения (33.6) следуют правила нормирования сопротивления и денормирования:  резистивного элемента Rˆ R ; R Rн ˆ ; RR н  индуктивного элемента Zˆ L ( j ) jΩLˆ j ω ˆ L ωн jωL , Rн откуда получаем: Lˆ L Rн ωн ωн L Rн где: L ; L Lн ˆ LL н R Lˆ н , ωн L̂ — нормированная индуктивность; L — реальное значение параметра индуктивности элемента индуктивности; Lн Rн — нормирующая индуктивность; ωн  ѐмкостного элемента ZˆC ( j ) 1 j Cˆ 1 jωC Rн 1 ω ˆ j C ωн 1 , jωCRн Лекция 33. Частотные преобразования в задачах синтеза электрических фильтров 545 откуда Cˆ C 1 ω н Rн ωн RнC C ; C Cн ˆ CC н Cˆ 1 , ωн Rн где: Ĉ — нормированная ѐмкость; C — реальное значение параметра элемента ѐмкости; Cн 1 — нормирующая ѐмкость. ωн Rн 33.2. Реактансные преобразования частоты Как было сказано ранее, расчет фильтров любого типа осуществляется на основе соответствующего ему нормированного НЧ-прототипа. При этом процедура сводится к следующему. 1. Граничные частоты ются в частоты 2. Частоты , , k k, , , k рассчитываемого фильтра преобразу- его ненормированного НЧ-прототипа. k по формулам (33.2) и (33.3) преобразуются в частоты ˆ , ˆ нормированного НЧ-прототипа: k ˆ 1, ˆ k k 1. 3. Рассчитывается нормированный НЧ-прототип при заданных в задаче допустимых отклонениях в полосах пропускания и задерживания и методе аппроксимации АЧХ; результатом расчѐта являются нули и полюсы нормированного НЧ-прототипа. 4. Производится денормирование нулей и полюсов НЧ-прототипа, а затем по этим нулям и полюсам строится передаточная функция синтезируемого фильтра. Все указанные преобразования должны быть выполнены так, чтобы расположение полос пропускания и задерживания в новой шкале частот в точности отвечало условиям задачи. Часть II. Глава 10 546 Обычно такие преобразования частоты осуществляют с помощью простейших реактансных функций (см. разд. 30.1.1), поэтому сами преобразования называются реактансными. Рассматриваемые далее преобразования имеют смысл, поскольку приводят к физически возможной цепи. 33.2.1. Преобразование НЧ ↔ НЧ-прототип Такое преобразование имеет вид (33.1)—(33.3); пример формулирования требований к ФНЧ-прототипу приведѐн на рис. 33.2. 33.2.2. Преобразование ВЧ ↔ НЧ-прототип Для получения частот ˆ , ˆ k нормированного НЧ-прототипа по частотам ωχ, ωk заданного ФВЧ (рис. 33.3, а) необходимо предварительно рассчитать частоты Ωχ, Ωk ненормированного НЧ-прототипа (рис. 33.3, б), а затем, согласно п. 2 списка в начале разд. 33.2, преобразовать эти частоты в частоты ˆ , ˆ (рис. 33.3, в). k ненормированного НЧ-прототипа. Чтобы сформировать Найдѐм частоты НЧ-прототип, необходимо всю частотную ось "перевернуть": нулевую частоту ω0 = 0 обратить в бесконечность, а бесконечную частоту ω = — в нуль. Такое обращение обеспечивается преобразованием , из которого имеем: и . 0 Соответствующие граничные частоты ненормированного НЧ-прототипа оказываются равными (рис. 33.3, б) и k 1 k . Тогда в силу (23.1) окончательно получаем искомое частотное преобразование ˆ , (33.7) Лекция 33. Частотные преобразования в задачах синтеза электрических фильтров 547 AВЧ (ω) 1 1 δ1 а δ2 0 ωk ω ωχ AНЧ (Ω) 1 1 δ1 б δ2 0 χ ˆ AНЧ (Ω) k 1 1 δ1 δ2 0 в ˆ χ 1 ˆ ˆ k Рис. 33.3. Диаграммы частот (ВЧ↔НЧ): исходного ФВЧ (а), ненормированного НЧ-прототипа (б), нормированного НЧ-прототипа (в) которое согласно (33.2) и (33.3) позволяет вычислить граничные частоты нормированного НЧ-прототипа (рис. 33.3, в): ˆ 1 и ˆk k 1. (33.8) Далее, в соответствии с заданным методом аппроксимации, рассчитываются нули p i и полюсы p i нормированного НЧ-прототипа, которые преобразуются (денормируются) в нули и полюсы ФВЧ заменой p на 1 p . 33.2.3. Преобразование ПФ ↔ НЧ-прототип Полосовой фильтр, имеющий четыре граничных частоты (ω–k, ω–χ, ωχ, ωk), требует более сложного частотного преобразования. Во избежание путаницы Часть II. Глава 10 548 обозначим комплексную частотную переменную для НЧ-прототипа через p , т. е. как обычно, а для синтезируемого полосового фильтра — через s. Для удобства рассмотрим сначала обратное преобразование НЧ → ПФ, а затем прямое преобразование ПФ → НЧ. Описываемые преобразования изображены на рис. 33.4. AНЧ ( ) а 0 k k AПФ (ω) б 0 ω kω ω0 χ ωχ ωk ω Рис. 33.4. Диаграммы частот (ПФ ↔ НЧ): ненормированного НЧ-прототипа (а), полосового фильтра (б) Преобразование НЧ → ПФ имеет вид: p s2 s 2 0 (33.9) , где 0 центральная частота полосы пропускания полосового фильтра, вычисляемая по формулам: 2 0 2 0 или k k . (33.10) Замена переменной p на s2 в (33.9) удваивает порядок фильтра. Формулы (33.10) должны давать одинаковое значение центральной частоты ω0, поэтому необходимо выполнение условия геометрической симметрии (условия симметрирования) k k . (33.11) Лекция 33. Частотные преобразования в задачах синтеза электрических фильтров 549 Симметрирование (33.11) выполняется так, чтобы не нарушались требования к полосовому фильтру. Это означает, что только три из четырех граничных частот в (33.11) могут быть заданы независимо. Поскольку важно сохранить заданную полосу пропускания [ω–χ ≤ ω ≤ ωχ], на практике ω0 вычисляется по частотам среза и полосы пропускания полосового фильтра, оставляя их тем самым неизменными: , 0 а затем вычисляют (рис. 33.4, а) частоту (33.12) ненормированного среза 2 0 . НЧ-прототипа (33.13) Следующим шагом является вычисление граничной частоты Ωk полосы задерживания ненормированного ФНЧ по граничным частотам ω–k и ωk полос задерживания синтезируемого ПФ: k 2 k 2 0 и k 2 0 k 2 k k . Из двух полученных значений Ωk выбирается меньшее — тогда хотя бы одна из переходных полос рассчитываемого ПФ окажется меньше заданной, что допустимо, поскольку означает выполнение исходных требований с запасом. Следовательно, граничная частота ˆ k нормированного ФНЧ определится из соотношений: ˆ 2 k k k k( 2 0) 2 0) (33.14) или ˆ k 2 0 k k( 2 k) 2 0) , (33.15) из которых также выбирается меньшее значение ˆ k . Тогда после подстановки в знаменатели (33.14) и (33.15) выражения 2 0 Часть II. Глава 10 550 и умножения числителей и знаменателей на ω0 получаем соответственно: ˆ 0 k k 0 0 k (33.16) и ˆ 0 k 0 k k 0 . (33.17) Из полученных значений ˆ k вновь выбирается меньшее. Далее, согласно заданному методу аппроксимации, рассчитываются i-е нули p i и полюсы p i нормированного НЧ-фильтра, имеющего граничную частоту ˆ , после чего нули p и полюсы p пересчитываются в нули s и поk i i i люсы s i синтезируемого ПФ следующим образом:  записывается уравнение s2 2 0 ps 0, получаемое из (33.9);  вычисляются корни этого уравнения s p2 2 p 2 0 4 (33.18) ,  нули s i и полюсы s i ПФ формируются подстановкой в (33.18) нулей p i и полюсов p i нормированного ФНЧ. 33.2.4. Преобразование РФ ↔ НЧ-прототип Процедура преобразования РФ ↔ НЧ (рис. 33.5, а) подобна процедуре преобразования ПФ ↔ НЧ, но в этом случае преобразование НЧ → РФ имеет вид p s s 2 2 0 , (33.19) где ω0 — центральная частота полосы задерживания режекторного фильтра (рис. 33.5, б), вычисляемая по формулам: 2 0 и 2 0 k k . Лекция 33. Частотные преобразования в задачах синтеза электрических фильтров 551 AНЧ ( ) а k 0 χ χ k AРФ (ω) б 0 ω χω ω0 ωk ωχ k ω Рис. 33.5. Диаграммы частот (РФ ↔ НЧ): ненормированного НЧ-прототипа (а), режекторного фильтра (б) Так же, как и в предыдущем случае, должно обеспечиваться условие геометрической симметрии k k . Подобно полосовому фильтру, обычно ω0 определяется по частотам среза полос пропускания режекторного фильтра , 0 (33.20) после чего вычисляется частота среза ненормированного НЧ-прототипа 2 0 и его граничная частота Ωk по формулам: k 2 k k 2 0 или k из полученных значений Ωk выбирается меньшее. 2 0 k 2 , k Часть II. Глава 10 552 Тогда граничная частота ˆ k нормированного ФНЧ может иметь вид: (н) k гр k( с ( гр k( с ( 2 2 0) 2 0) 2 k или (н) k 2 0 2 2 0) k) . Поступая так же, как при выводе формул (33.16), получим соответственно 1 (н) k 0 k 0 0 k (33.21) и 1 (н) k 0 0 k k 0 (33.22) . Далее, согласно заданному методу аппроксимации, рассчитываются нули p i и полюсы p i нормированного НЧ-фильтра, имеющего граничную частоту ˆ (33.21). Вычисленные нули p и полюсы p преобразуются в нули s k i и полюсы s i РФ как корни s i (1 p ) 2 2 (1 p ) 4 2 0 i (33.22) уравнения s2 s p 2 0 0, получаемого из исходного преобразования (33.19). Рассмотренные реактансные преобразования частот, связи между нулями и полюсами нормированного ФНЧ и рассчитываемого фильтра сведены в табл. 33.1. Лекция 33. Частотные преобразования в задачах синтеза электрических фильтров 553 Таблица 33.1. Реактансные преобразования частот Синтезируемый фильтр Формулы для вычисления (н) k граничной частоты нормированного ФНЧ Формулы для пересчета полюсов и нулей нормированного ФНЧ в нули и полюсы синтезируемого фильтра k НЧ p 1 ВЧ p k * 0 ПФ k 0 0 k p РФ 0 *) 0 0 k Возможно выражение (33.18). **) Возможно выражение (33.22). 2 4 2 0 2 1** k p (1 p ) (1 p ) 2 2 4 2 0 L2 C2 1 R U вх Лекция 34 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 R Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров рациональными функциями Известны четыре стандартных типа классических аналоговых фильтров, получивших своѐ название по имени учѐных, предложивших тот или иной вид аппроксимации функций: Баттерворта, Чебышѐва I и II рода, а также дробные фильтры Чебышѐва и фильтры Золотарѐва—Кауэра (эллиптические). Поскольку, как было показано в лекции 33, методика расчѐта избирательных фильтров основана на расчѐте нормированного ФНЧ-прототипа, достаточно рассмотреть аппроксимацию АЧХ такого НЧ-фильтра, чему и посвящена данная лекция. 34.1. Функция квадрата АЧХ Во всех изучаемых далее методах аппроксимации АЧХ используется квадрат 2 модуля передаточной функции H ( j ) , т. е. квадрат АЧХ, либо обратная 2 2 функция 1 H ( j ) . Это объясняется тем, что функция H ( j ) , являясь вещественной функцией вещественного аргумента, упрощает решение задачи аппроксимации, поскольку исключает на этапе аппроксимации чрезвычайно сложные, а порой и невыполнимые операции над функциями комплексного переменного. Найдѐм взаимообратную связь между передаточной функцией H(p) и квадра2 том АЧХ H ( j ) , для чего введѐм вспомогательную функцию F(p2) вида F(p2) = H(p)H(–p) и рассмотрим еѐ при p = jω, как и следует для АЧХ. Тогда H(jω) = Re(ω) + jIm(ω) и H(–jω) = Re(–ω) + jIm(–ω). (34.1) Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров… 555 Поскольку вещественная часть является чѐтной функцией частоты, а мнимая нечѐтной, то справедливы соотношения: Re(ω) = Re(–ω); Im(–ω) = –Im(ω); H(–jω) = Re(ω) – jIm(ω); при этом введѐнная функция оказывается функцией квадрата частоты: F( 2 ) [Re( ) j Im( )] [Re( ) j Im( )] Re 2 ( ) Im 2 ( ) , или F( 2 H( j ) ) 2 Re2 ( ) Im2 ( ) . Таким образом, введѐнная вспомогательная функция F(p2) при p = jω действительно является вещественной функцией вещественного аргумента ω и представляет собой квадрат АЧХ, как и было заявлено в начале параграфа; по этой причине функцию F(p2) иногда называют передаточной функцией мощности. Отметим важное обстоятельство. Поскольку функция F(p2) согласно определению (34.1) представляет собой произведение минимально-фазовой передаточной функции H(p) порядка n и комплексно-сопряжѐнной ей функции H(–p) того же порядка, функция F(p2) обладает двойным набором нулей и полюсов (2n): во-первых, в левой p-полуплоскости нули и полюсы функции H(p) и, во-вторых, симметричные им в правой p-полуплоскости нули и полюсы функции H(–p). Иначе говоря, полюсы функции квадрата АЧХ F(p2) имеют квадрантную симметрию. Таким образом, из всей совокупности 2n нулей и 2n полюсов функции F(p2), которые будут вычислены в процессе синтеза, для реализации передаточной функции H(p) необходимо использовать только те n из них, которые расположены в левой p-полуплоскости. 34.2. Синтез фильтров нижних частот 34.2.1. Фильтры Баттерворта Функция квадрата АЧХ F(p2) фильтра НЧ n-го порядка при использовании аппроксимации по Тэйлору в точке Ω = 0 согласно (28.14) имеет вид: H ( jΩ) 1 2 1 2n ; ω , ωχ где учтены соотношения (33.1)—(33.3) и ωχ — частота среза. (34.2) Часть II. Глава 10 556 Ещѐ раз отметим смысл нормирования частоты: за единицу частоты принято такое еѐ значение, которое равно частоте среза ωχ, причѐм на этой частоте согласно (34.2) H ( χ ) H (1) 1 2 0,707 для любых n (рис. 34.1, а), что подчѐркивалось также в лекции 28. Если допуски измеряются в децибелах, то независимо от n на частоте среза Ωχ = 1 ослабление a(1) = –3 дБ. На частоте Ω = 0 всегда |H(0)| = 1 (ослабление a(0) = 0 дБ), а при Ω → АЧХ |H( )| → 0 (ослабление a(0) → – ). A( ) 1 0,707 а δ2 0 Полоса пропускания 1 χ k 1 Переходная полоса φ(Ω) 0 Полоса мешания χ 1 Ω б Рис. 34.1. Вид амплитудно-частотной (а) и фазочастотной (б) характеристик фильтра Баттерворта Фильтр Баттерворта, в соответствии с аппроксимацией по Тэйлору, оптимален по критерию максимальной плоскости в точках Ω = 0 и Ω = . Смысл Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров… 557 оптимальности состоит в том, что АЧХ фильтра НЧ порядка n на частотах Ω = 0 и Ω = имеет равные нулю первые n производных (т. е. максимальное их число). Это означает, что фильтр первого порядка имеет одну производную, второго порядка — две (первую и вторую) и т. д. АЧХ фильтра Баттерворта является монотонной как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Благодаря этим качествам фильтры Баттерворта называют фильтрами с максимально плоскими АЧХ. При увеличении n переходная полоса уменьшается, т. е. улучшается качество избирательности фильтра, которое часто оценивают с помощью коэффициента прямоугольности Kпр. Коэффициентом прямоугольности называют отношение Kпр полоса мешания полоса пропускания , где полоса мешания включает в себя полосу пропускания и переходные полосы; например, для ФНЧ (см. рис. 34.1) согласно данному определению в ненормированной и нормированной шкалах частот Kпр k Ωk . (34.3) Из этого соотношения следует, что чем ближе Kпр к единице, тем выше (лучше) избирательность фильтра, т. е. тем больше крутизна его АЧХ в переходной полосе (подробнее в разд. 35.1.2). Достоинством фильтров Баттерворта является близость их ФЧХ к линейной в полосе пропускания (рис. 34.1, б). С этой точки зрения они имеют существенное преимущество перед другими классическими фильтрами, рассматриваемыми далее. Основное свойство фильтра Баттерворта состоит в том, что его АЧХ в полосе пропускания является максимально плоской, а во всей остальной области частот — монотонной, при этом процедура аппроксимации сосредотачивается на двух частотах: Ω = 0 и Ω = . Единственным параметром фильтра является его порядок n, определяющий степень плоскости на указанных крайних частотах: чем выше порядок, тем более плоской оказывается АЧХ и тем более близкой становится она к желаемой характеристике как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Смысл аппроксимации состоит в получении такой передаточной функции H(p), при которой АЧХ синтезируемого фильтра удовлетворяет заданным требованиям. Ясно, что передаточная функция будет определена, если будут найдены еѐ нули и полюсы. Рассмотрим процедуру их вычисления. Часть II. Глава 10 558 Прежде всего приведѐм (34.2) к виду, удобному для вычисления нулей и полюсов, для чего воспользуемся нормированной переменной (33.5) pˆ p , ωχ которая при ζ = 0 принимает значение: p̂ jpˆ . j , или (34.4) При последнем условии выражение (34.2) преобразуется к виду H ( pˆ ) 1 . 1 ( jpˆ )2 n 2 (34.5) Далее найдѐм минимальный порядок n стоящего в знаменателе полинома, при котором выполняются заданные требования; порядок определяется как наименьшее целое, удовлетворяющее неравенству lg C , lg k n где Ωk > 1 — нормированная граничная частота (см. рис. 33.1, а); так, при n ≥ 5,76 необходимо взять n = 6; параметр C вычисляется из соотношения: 100,1amin 1 С 100,1amax 1 . Ясно, что 2n нулей (34.5) находятся на бесконечности Ω = ± p̂ j j ) и не обладают какой-либо информативностью. (при Найдѐм 2n полюсов pˆ k , для чего приравняем нулю знаменатель (34.5): 1 ( jpˆ ) 2 n Отсюда имеем: jpˆ Но поскольку 1 e j e 2n k j (2k 1) 0. (34.6) 1. , то 2n 1 e j (2k 1) 2n , то после умножения левой и правой частей равенства (34.6) на j получим: pˆ k je (2 k 1) 2n e cos (2k 1) 2n π 2 j j π (2 k 1) j 2n 2e j sin e j (2 k 1) 2n (2k 1) 2n π 2 π 2 Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров… 559 и окончательно имеем выражение для 2n полюсов: pˆ k sin (2k 1) 2n j cos (2k 1) . 2n (34.7) Полученные соотношения говорят о том, что 2n полюсов равномерно распределены на единичной окружности p-плоскости на расстоянии π/n друг от друга, причѐм центр окружности находится на мнимой (частотной) оси; полюсы, являющиеся в общем случае комплексно-сопряженными, располагаются симметрично относительно мнимой оси, не попадая на неѐ. Полюс может находиться на действительной оси только для нечѐтных n, т. е. только в том случае, когда полюс является вещественным. Пример расположения 16 полюсов при n = 8 и денормированной переменной p pˆ ω χ Λω χ (34.8) показан на рис. 34.2; эти полюсы образуют 8 комплексно-сопряжѐнных пар, 2π π а расстояние между полюсами равно : 16 8 p1, 2 = –ζ 1 ± jω1; p9, 10 = ζ 1 ± jω1; p3, 4 = –ζ 3 ± jω3; p11, 12 = ζ 3 ± jω3; p5, 6 = –ζ 5 ± jω5; p13, 14 = ζ 5 ± jω5; p7, 8 = –ζ 7 ± jω7; p15, 16 = ζ 7 ± jω7. Важно: для формирования передаточной функции в целях достижения устойчивости фильтра используются только n полюсов, расположенных в левой pполуплоскости (см. разд. 34.1) с индексами от k = 1 до k = n, т. е. имеющих отрицательную вещественную часть, поскольку при этих индексах значение синуса в (34.7) положительно. Этот факт отражѐн на рис. 34.2, где полюсы с положительной вещественной частью отсечены кривой. Формирование искомой передаточной функции осуществляется в два этапа: сначала получают передаточную функцию нормированной переменной H ( pˆ ) , а затем осуществляют денормирование по формуле (34.8). Тогда передаточная функция, выраженная через нормированные полюсы, получает вид: H ( pˆ ) n k 1 1 ( pˆ , pˆ k ) (34.9) Часть II. Глава 10 560 jω 2π 16 π 16 p p σ π 8 p p-плоскость jω j 1 p 1 1 0 2 p 15 σ 16 j Рис. 34.2. Положение полюсов фильтра Баттерворта 8-го порядка; кривая отсекает полюсы, имеющие положительное значение вещественной части где pˆ k — k-ый полюс, причѐм произведение сомножителей ( pˆ pˆ k ) образует полином Гурвица v( pˆ ) , поэтому можно записать полиномиальную передаточную функцию: 1 v( pˆ ) H ( pˆ ) pˆ n 1 c1 pˆ n 1 cn , (34.10) полином знаменателя которой называется полиномом Баттерворта по имени автора, впервые применившего аппроксимацию по Тэйлору в задаче синтеза полиномиальных фильтров нижних частот. Порядок полинома может быть как чѐтным, так и нечѐтным. Полиномы Баттерворта младших порядков таковы: v1 ( pˆ ) pˆ 1; v2 ( pˆ ) pˆ 2 1,414 pˆ 1; v3 ( pˆ ) pˆ 3 2 pˆ 2 2 pˆ 1 v4 ( pˆ ) pˆ 4 pˆ 1 pˆ 2 2,613 pˆ 3 3,414 pˆ 2 pˆ 1 ; 2,613 pˆ 1 pˆ 2 0,7654 pˆ 1 pˆ 2 1,848 pˆ 1 . (34.11) Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров… 561 Сказанное позволяет отметить следующие очень важные для практики свойства фильтров Баттерворта:  АЧХ фильтров Баттерворта в полосе пропускания является максимально плоской, а в полосе задерживания — монотонной;  ФЧХ фильтров Баттерворта в полосе пропускания близка к линейной;  фильтры Баттерворта наиболее полно соответствуют условиям безыска- жѐнной передачи сигналов, поэтому такие фильтры применяются при необходимости сохранения соотношений составляющих сигнала по амплитуде и фазе (например, при фильтрации сигналов с частотной или фазовой модуляцией);  ФНЧ Баттерворта порядка n при типичной лестничной реализации содер- жит ровно n реактивных элементов: в продольных ветвях устанавливаются элементы индуктивности, а в параллельных (поперечных) — элементы ѐмкости. Однако порядок фильтров Баттерворта, при прочих равных условиях, всегда больше порядка изучаемых далее фильтров Чебышѐва и Золотарѐва—Кауэра. Иначе говоря, для обеспечения одинаковой с указанными фильтрами избирательности фильтры Баттерворта должны содержать большее количество реактивных элементов — это плата за хорошие качества частотных характеристик. 34.2.2. Фильтры Чебышёва Удовлетворение требований к фильтру может быть обеспечено при меньших порядках, если ошибку аппроксимации равномерно распределить по полосе пропускания или по полосе задерживания; еще лучше, если ошибка распределена по обеим указанным полосам. Тогда получаем равноволновую аппроксимацию (см. разд. 20.1.2) и порядок фильтра, существенно меньший порядка фильтра Баттерворта. Такими свойствами обладают фильтры Чебышѐва. В зависимости от полосы частот, в которой минимизируется ошибка аппроксимации, различают фильтры Чебышѐва I рода, II рода1 и дробные:  АЧХ фильтров Чебышѐва I рода в полосе пропускания имеет равноволно- вый характер, а в полосе задерживания — монотонно убывает;  АЧХ фильтров Чебышѐва II рода в полосе пропускания является макси- мально плоской (подобно фильтрам Баттерворта), а в полосе задерживания имеет равноволновый характер; т. е. вид АЧХ фильтров Чебышѐва II 1 В литературе можно встретить следующие обозначения фильтров Чебышѐва: 1-го типа и 2-го типа, а также тип T и тип I соответственно. Часть II. Глава 10 562 обратен виду АЧХ фильтров Чебышѐва I, поэтому фильтры Чебышѐва II часто называют инверсными;  особый класс составляют фильтры, построенные на дробях Чебышѐ- ва, так называемые дробные фильтры с произвольным расположением всплесков. Фильтры Чебышёва I рода (полиномиальные) Фильтры Чебышѐва I рода обладают равноволновой АЧХ в полосе пропускания и монотонной в полосе задерживания. Функция квадрата АЧХ фильтра НЧ n-го порядка имеет вид G ( jΩ) 2 1 2 1 ; Ω Cn2 (Ω) ω , ω (34.12) где:  Cп ( ) — полином Чебышѐва n-го порядка (см. лекцию 29);  ε — параметр, управляющий величиной пульсаций (неравномерностью); нормирующей частотой, как и прежде, является частота среза ωχ полосы пропускания, поэтому граничная частота нормированного НЧ-фильтра Ωk > 1, а его нормированная частота среза Ωχ = 1. A(Ω) A(Ω) 1 1 δ1 1 1 δ1 а δ2 0 Ωχ 1 Ωk Ω 1 б δ2 0 Ωχ 1 Ωk 1 Рис. 34.3. Вид АЧХ НЧ-фильтров Чебышѐва I рода (а) и II рода (б) Корни полиномов Cn(x) вычисляются по формуле xi cos (2k 1) , i 1, 2, ... , n . 2n Ω Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров… 563 Параметр ε определяется из максимально допустимого затухания amax > 0 в полосе пропускания 10amax 10 (34.13) 1, откуда нетрудно получить связь между ε и δ1: 1 1 . 1 2 Исходя из требований к отклонениям АЧХ как в полосе пропускания δ1 (amax), так и в полосе задерживания δ2 (a0), определяется порядок фильтра как наименьшее целое, удовлетворяющее условию2 1 Arch n 2 2 Arch( 2 2 i) (34.14) . Полюсы функции (34.12) вычисляются по формуле pi sh( 0 )sin (2i 1) 2n jch( 0 )cos (2i 1) 2n , (34.15) где Arsh(1 ) . n Расчѐт фильтра Чебышѐва включает в себя следующие шаги: 0 1. Задаются требования к допустимым отклонениям АЧХ в полосах пропускания и задерживания. 2. Вычисляется параметр ε согласно (34.13). 3. Определяется порядок n согласно (34.14) с учетом максимально допустимого отклонения от нуля δ2 (минимально допустимого затухания a0 > 0) в полосе задерживания, т. е. на частотах Ω ≥ Ωk. 4. Вычисляются полюсы НЧ-прототипа p*i по формуле (34.15). Полюсы фильтра Чебышѐва лежат на эллипсе, что показано на рис. 34.4 для фильтра 3-го порядка. 5. Полученные полюсы НЧ-прототипа пересчитываются в полюсы соответствующего фильтра согласно табл. 33.1. 2 В формулах (34.14) и (34.15) через Arch(x) и Arsh(x) обозначены обратный гиперболический косинус (ареакосинус) и синус (ареасинус) соответственно. Часть II. Глава 10 564 j p-плоскость j 1 00 p σ 1 j σ j Рис. 34.4. Расположение полюсов НЧ-фильтраЧебышѐва 3-го порядка Фильтры Чебышѐва I рода обладают равноволновой неравномерностью АЧХ в полосе пропускания, но при этом имеют бóльшую крутизну затухания в полосе задерживания, чем у фильтров Баттерворта. Иначе говоря, коэффициент прямоугольности фильтра Чебышѐва больше, чем фильтра Баттерворта при фиксированных требованиях к АЧХ. Равноволновость объясняется тем, что на интервале 0 ≤ Ω ≤ 1 имеет место чебышѐвский альтернанс (см. разд. 29.2.2), где полином Чебышѐва принимает крайние значения 0 и 1 поочерѐдно n + 1 раз. Поэтому точно такое же число раз АЧХ A(Ω) на заданном интервале будет принимать крайние значения 1 и 1 – δ1. Так, на рис. 34.3, а имеем n + 1 = 7 точек альтернанса, поэтому изображѐнная АЧХ соответствует фильтру НЧ 6-го порядка. Фильтры Чебышѐва I рода используются в тех случаях, когда требуется большая скорость затухания вне полосы пропускания и не предъявляются жѐсткие требования по обеспечению минимальных искажений АЧХ в полосе пропускания. По этой причине фильтры Чебышѐва наиболее широко применяются в радиосистемах для подавления помех от соседних радиостанций. З А МЕ Ч А Н И Я : 1. Среди всех полиномиальных фильтров чебышѐвские фильтры являются наилучшими по селективным свойствам, но, конечно, в случаях, когда необ- Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров… 565 ходимо уменьшать искажения формы передаваемых сигналов, предпочтение может быть отдано фильтрам Баттерворта. 2. При жестких требованиях к частотным характеристикам (малая переходная полоса при большой величине рабочего затухания в полосе задерживания) порядок фильтра n может быть очень большим даже в случае применения полиномиальных фильтров Чебышѐва. Это приведѐт к усложнению фильтра и к излишнему количеству элементов. В таких случаях целесообразно применять фильтры со всплесками рабочего затухания в полосе задерживания. Фильтры Чебышёва II рода (фильтры со всплесками затухания в полосе задерживания) Фильтры Чебышѐва II рода (или инверсные) обладают монотонной АЧХ в полосе пропускания и равноволновой в полосе задерживания. Функция квадрата АЧХ фильтра НЧ n-го порядка имеет вид: G ( jΩ) 2 2 1 Cn2 (1 Ω) ; Ω 2 2 Cn (1 Ω) ω , ω (34.16) где Cn — полином Чебышѐва n-го порядка. Отсюда следует, что передаточные функции фильтров Чебышѐва II рода обладают не только полюсами, но и нулями. Параметр ε, отвечающий за пульсации в полосе задерживания, определяется из соотношения 1 , (34.17) 10a0 10 1 откуда нетрудно получить связь между ε и δ2: 1 2 , 2 2 2 2 . 1 2 1 2 По заданным δ1 и δ2, как и для фильтров Чебышѐва I рода, определяется порядок фильтра как наименьшее целое, удовлетворяющее неравенству Arch n 1 1 2 1 Arch(1 Ω χ ) . Нули инверсного фильтра рассчитываются по формуле 1 , (34.18) (2i 1) cos 2n из которой видно, что нули не являются функциями от ε и потому независимы от величины пульсаций в полосе задерживания. pi Часть II. Глава 10 566 Полюсы инверсного фильтра рассчитываются подобно полюсам p*i прямого фильтра (34.15). Для большей ясности процедуры воспользуемся традиционной записью оператора p в виде комплексного числа p = ζ + jΩ. (34.19) Процедура вычисления полюса состоит в следующем: 1. Вычисляются вещественная и мнимая части полюса фильтра Чебышѐва по формуле (34.15), где sh( 0 )sin (2i 1) 2n ; 2. Рассчитываются вещественная версного фильтра по формулам: i 2 2 ; ch( i (2i 1) 2n 0 )cos и мнимая i 2 2 . i части (34.20) i-го полюса ин- . (34.21) 3. Полученные по (34.21) величины подставляются в (34.19), что и даѐт искомый результат: p*i = ζ *i + jΩ*i. (34.22) В дальнейшем алгоритм расчѐта инверсных фильтров ничем не отличается от алгоритма расчѐта чебышѐвских фильтров I рода. Инверсные фильтры применяются значительно реже, чем фильтры I рода, поскольку они требуют реализации нулей, что значительно усложняет реализацию фильтра. Тем не менее, инверсные фильтры обладают и важными положительными свойствами: в полосе пропускания их АЧХ, подобно АЧХ фильтров Баттерворта, является монотонной, их коэффициент прямоугольности превышает коэффициент прямоугольности фильтров Баттерворта, а ФЧХ в полосе пропускания является приемлемой во многих практических случаях. Дробные ФНЧ Чебышёва (ФНЧ с произвольным расположением всплесков затухания) Решение чебышѐвской задачи аппроксимации заданных характеристик ФНЧ при выбранном расположении всплесков затухания (нулей АЧХ в полосе задерживания) может быть выполнено, если в (34.12) полином Чебышѐва Cn(Ω) заменить на дробь Чебышѐва порядка n, имеющую вид: Pn (Ω) cos ( n 2 q)arccos Ω q i 1 arccos 2Ωi2 1 Ω 2 Ωi2 Ω2 Ωi2 . Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров… 567 Дробь Чебышѐва представляет собой чѐтную или нечѐтную рациональную функцию нормированной частоты Ω, полюсы которой совпадают с частотами всплесков затухания (нулей АЧХ) фильтра. Эта дробь при произвольном расположении полюсов гарантирует равноволновый характер затухания (АЧХ) в полосе пропускания, которое поочерѐдно достигается наибольших и наименьших значений n + 1 раз, т. е. в полосе пропускания дробь ведѐт себя подобно полиному Чебышѐва. Важно: среди всех дробно-рациональных фильтров, порядок которых не превышает n, при заданных требованиях, включая фиксированное расположение всплесков затухания, дробный фильтр Чебышѐва в полосе задерживания имеет затухание, превышающее затухание любого другого фильтра; меняя порядок n дроби, количество q и расположение всплесков затухания (т. е. частот Ωi), можно выполнить требования к характеристике затухания (АЧХ) при минимуме необходимого числа элементов. В таких случаях обеспечивается полное подавление (режекция) помех, действующих на частотах Ωi, i = 1, 2,…, q. На рис. 34.5 показан пример характеристики затухания a(Ω) ФНЧ с двумя всплесками (q = 2), соответствующей дроби Чебышѐва 7-го порядка. Всплески затухания a (Ω) a0 n 7 a 0 Ωχ 1 Ωk Ω1 Ω 2 1 Ω Рис. 34.5. Пример характеристики затухания a(Ω) ФНЧ с двумя всплесками Часть II. Глава 10 568 34.2.3. Фильтры Золотарёва—Кауэра (фильтры с изоэкстремальными характеристиками затухания) Фильтры Золотарѐва—Кауэра (эллиптические) характеризуются равноволновой АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания (рис. 34.6, а). Они оптимальны в том смысле, что среди всех других фильтров заданного порядка n и заданной неравномерности отклонения в полосе пропускания δ1 эти фильтры в полосе задерживания обладают минимально возможным значением максимального отклонения max δ2(ω), т. е. max k 2( ) min. n, 1 A(Ω) 1 1 δ1 δ2 0 φ(Ω) а Ωχ Ω Ωk 0 Ω π π б Рис. 34.6. Вид АЧХ (а) и ФЧХ (б) НЧ-фильтра Золотарѐва—Кауэра Это означает, что фильтры Золотарѐва—Кауэра при заданных n, δ1 и δ2 обладают наименьшей переходной полосой и наименьшим коэффициентом прямоугольности Kпр. Поэтому такие фильтры применяют в задачах, требующих высокой избирательности и не критичных к виду фазочастотной характеристики (рис. 34.6, б), о линейности которой в полосе пропускания хотя бы в первом приближении говорить не приходится. В полосе задерживания ФЧХ Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров… 569 имеет скачки на π рад на тех частотах, где АЧХ равна нулю. Следует отметить, что точно так же в полосе задерживания ведѐт себя и ФЧХ фильтра Чебышѐва II рода и дробных фильтров. Фильтры с характеристиками Золотарѐва можно рассматривать как частный случай фильтров, построенных на основе дробей Чебышѐва, с выровненными (изоэкстремальными) значениями минимумов затухания в полосе задерживания и максимально возможным числом всплесков при выбранном значении n. З А МЕ Ч А Н И Е Своим двойным названием фильтры обязаны Кауэру, который впервые использовал дроби Золотарѐва в качестве функции фильтрации. Функция квадрата АЧХ фильтра НЧ Золотарѐва—Кауэра порядка n определяется дробью Золотарѐва: G( j ) 1 2 1 2 2 un ( , k1 ) , ; (34.23) где:  параметр ε имеет тот же смысл, что и для фильтров Чебышѐва, и опреде- ляется формулой 2 1 2 1 2 1 ;  параметр k1 связан с допустимыми отклонениями δ1 и δ2;  un — эллиптическая функция Якоби. Далее приводятся общие сведения о функциях Якоби, более подробно с которыми можно ознакомиться в учебниках по теории функций комплексного переменного. Заметим только, что при вычислении полюсов (34.23) необходимо обращаться к эллиптическим интегралам (34.24), для вычисления которых в программах синтеза фильтров используются численные методы. З А МЕ Ч А Н И Е Расчѐт фильтров Баттерворта, Чебышѐва и Золотарѐва—Кауэра осуществляется по специальным программам с помощью численных методов (например, полиномиальных алгоритмов Ремеза при расчѐте фильтров Чебышѐва и специальной процедуры для вычисления функций Якоби). Часть II. Глава 10 570 34.3. Некоторые сведения о функциях Якоби Рассмотрим эллиптический интеграл первого рода в форме Якоби uk u φ u(φ, k ) 0 dφ 1 k 2 sin 2 φ (34.24) как функцию верхнего предела φ и параметра 0 < k < 1. Из определения (34.24) очевидно, что функция u(φ) определена для любого вещественного значения φ. Еѐ производная du dφ 1 k 2 sin 2 φ 12 при 0 < k < 1 конечна и больше нуля, поэтому функция u(φ) является монотонно возрастающей. Обратная к u(φ) функция, выражающая зависимость интервала интегрирования от величины интеграла (34.24), называется амплитудой; для неѐ принято следующее обозначение: φ(u) = am(u, k) или φ = am(u). (34.25) Функция (34.25) определена для любого значения u, непрерывна и имеет конечную производную dφ du 1 k 2 sin 2 φ. Далее вводят следующие функции: sin φ sin(am(u )), cos φ cos(am(u )), φ (u ) 1 k 2 sin 2 φ 1 k 2 sin 2 (am(u )), (34.26) которые, как легко видеть, являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми функциями переменной u. Функции (34.26) впервые были введены К. Якоби и называются эллиптическими функциями Якоби. Для этих функций приняты следующие обозначения: sn φ sn u sn(u , k ) sin(am(u, k )), c nφ c nu c n(u , k ) cos(am(u , k )), dn(u , k ) dnu 2 (34.27) 2 1 k sin (am(u )) (читается по буквам: "эс" "эн" и т. д.), коэффициент k называется модулем функций Якоби. Лекция 34. Аппроксимация АЧХ избирательных фильтров… 571 Отметим основные свойства эллиптических функций Якоби вещественного аргумента u: 1. Из определений (34.27) непосредственно следует, что функции Якоби связаны между собой простыми соотношениями: sn 2u cn 2u 1; dn 2u k 2sn 2u 1, (34.28) так что каждые две из этих функций легко могут быть выражены через третью. 2. Функция sn u является нечѐтной, а функции cn u и dn u — чѐтные. 3. Все функции являются периодическими, причѐм sn u и cn u имеют вещественный период 4K, а функция dn u — период 2K, где K π2 0 dφ 1 k 2 sin 2 φ является полным эллиптическим интегралом первого рода. 4. Условиями периодичности являются: sn cn u 4 K sn sn cn am u 4 K cn am u 2 K sn sn cn am(u) cn u ; π sn cn 2π am(u ) аналогично для функции dn u имеем: dn(u 2 K ) 1 k 2 sin 2 (am(u 2 K )) 1 k 2 sin 2 (am(u )) 1 k 2 sin 2 (π am(u )) dnu. 5. Нули функции sn u, согласно (34.27), определяются из условия: φ = am(u) = πn, n = 0, ±1, ..., поэтому функция Якоби sn u вещественной переменной u обращается в нуль при u = 2nK, n = 0, ±1,… 6. Функция cn u, как следует из (34.26), обращается в нуль, когда φ = am(u) = π/2 + πn, n = 0, ±1, … Следовательно, нулями функции cn u являются вещественные значения u = (2n − 1)K, n = 0, ±1, ... 7. Функция dn u при 0 < k <1, как следует из (34.27), не обращается в нуль ни при каких действительных значениях переменной u. L2 C2 1 R U вх Лекция 35 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Анализ схем фильтров 35.1. Методика качественного анализа схем фильтров Практически важной является задача качественного анализа схемы фильтра, в результате которой требуется: 1. Определить тип избирательности. 2. Качественно изобразить графики АЧХ A(ω) и характеристики затухания a(ω). 3. Записать передаточную функцию. Методика анализа будет ясна из приводимых далее примеров. 35.1.1. Определение типа избирательности Тип избирательности можно определить, исходя из классификации фильтров (32.2), по тому, каково ослабление (затухание) схемы на крайних частотах ω = 0 и ω → , а именно:  если на этих частотах ослабление a(ω) → – полосовой фильтр; (затухание a(ω) → ), имеем  если на частоте ω = 0 ослабление (затухание) a(0) = 0, а на частоте ω → ослабление a( ) → – частот; (затухание a( ) → ), имеем фильтр нижних  если на частоте ω = 0 ослабление a(0) → – частоте ω → частот; (затухание a(ω) → ), а на ослабление (затухание a( ) = 0), имеем фильтр верхних  если и на частоте ω = 0, и на частоте ω → a(0) = a( ) = 0, имеем режекторный фильтр. ослабление (затухание) Лекция 35. Анализ схем фильтров 573 Таблица 35.1. Типы избирательности Ослабление Тип избирательности ПФ a(0) – a( ) – НЧ 0 – ВЧ – 0 РФ 0 0 Рассмотренные соотношения сведены в табл. 35.1. Поскольку избирательные свойства пассивного фильтра полностью зависят от свойств реактивных элементов, то при анализе схемы необходимо пользоваться значениями сопротивлений реактивных элементов на частотах ω = 0 иω→ :  на частоте ω = 0 сопротивление элемента индуктивности равно нулю ZL = ωLω = 0 = 0; это означает, что все элементы индуктивности на нулевой частоте вырождаются в короткозамкнутое соединение; на этой же частоте сопротивление элемента ѐмкости равно бесконечности ZС = C/ωω = 0 = ; это означает, что все элементы ѐмкости на нулевой частоте вырождаются в разомкнутое соединение; элементы индуктивности и ѐмкости ведут себя дуально, а именно: элементы ѐмкости вырождаются в короткозамкнутое соединение, а элементы индуктивности — в разомкнутое соединение.  на частоте ω = Пример 35.1. Определим тип избирательности фильтров, представленных схемами на рис. 35.1. Рассмотрим рис. 35.1, а. На частоте ω = 0 все продольные ветви схемы замещения фильтра вырождаются в короткозамкнутые, а поперечные ветви — в разомкнутые, нагрузка Rн соединяется с источником сигнала x(t) напрямую, и мощность сигнала в нагрузке максимальна. Схема замещения при ω = 0 показана на рис. 35.2, а. С увеличением частоты растѐт сопротивление элементов индуктивности и падает сопротивление элементов ѐмкости. Поэтому падает мощность сигнала в нагрузке. Наконец при ω → все элементы ѐмкости вырождаются в короткозамкнутые шунты, а элементы индуктивности — в разрывы, поэтому напряжение на нагрузке на этой частоте равно нулю, т. е. сигнал x(t) полностью подавляется. (Заметим, что при ω → уже элемент C1 шунтирует всю схему). Схема замещения при ω → показана на рис. 35.2, б. Таким образом, рассматриваемая схема квалифицируется как фильтр низких частот. Часть II. Глава 10 574 Рассмотрим рис. 35.1, б. Во-первых, замечаем, что элементы ѐмкости С2, С4, С6 в продольных ветвях "разрывают" цепь на частоте ω = 0, поэтому A(0) = 0. Во-вторых, элементы индуктивности L2 и L6 в продольных ветвях ― разрывают‖ цепь на частоте ω → , а элементы ѐмкости С3, С5 и С8 в поперечных ветвях шунтируют цепь на этой же частоте, поэтому A(0) = A( ) = 0, a(0) = a( ) = (имеют место всплески затухания на частотах ω = 0 и ω → ). L2 Rг x(t ) C1 L4 C3 C5 Rн аа Rг L2 C2 L1 x(t ) C3 L4 C4 C6 L6 L3 C5 C1 L5 C8 Rн бб C7 Рис. 35.1. Анализируемые схемы фильтров НЧ (а) и полосового (б) Rг x (t ) Rг Rн x (t ) аа бб Рис. 35.2. Схемы замещения фильтра НЧ: на частоте ω = 0 (а) и на частоте ω → Rг x(t ) Эффект ― разрыва‖ Rн Рис. 35.3. Схема замещения полосового фильтра на частотах ω = 0 и ω → (б) Лекция 35. Анализ схем фильтров 575 Таким образом, рассматриваемая схема соответствует полосовому фильтру. Схема замещения при ω = 0 и ω → показана на рис. 35.3. 35.1.2. Качественное построение АЧХ A(ω) и характеристики затухания a(ω) фильтра Для качественного построения АЧХ необходимо проанализировать процессы, которые могут происходить в схеме при изменении частоты воздействия (сигнала x(t)), а также оценить качество избирательности фильтра. 1. Построение частотных характеристик Из предыдущего анализа схемы рис. 35.1, а следует, что АЧХ фильтра A(ω) (рис. 35.4, а) и его характеристика затухания a(ω) (рис. 35.4, б) соответствуют характеристикам НЧ-фильтра Баттерворта или Чебышѐва I рода: A(0) = 1, A( ) = 0, a(0) = 0, a( ) = (имеет место всплеск затухания на частоте ω → ). Порядок такого фильтра определяется числом n реактивных элементов схемы, поэтому в данном случае n = 5. Анализ схемы рис. 35.1, б более сложен, поскольку кроме указанных в разд. 35.1.2 особенностей, цепь содержит пять резонансных контуров:  параллельный (L4С4 с частотой резонанса ω01) и последовательный (L6С6 с частотой резонанса ω02) в продольных ветвях;  параллельный (L5С8 с частотой резонанса ω03) и два последовательных (L1С1 с частотой резонанса ω04; L3С7 с частотой резонанса ω05) в поперечных ветвях. Напомним, что на частоте резонанса сопротивление параллельного контура (сопротивление контура с потерями — без потерь бесконечно R0пар 0 максимально) и ток на его входе равен нулю, а сопротивление последова0 (сопротивление контура с потетельного контура равно нулю R0пар 0 рями — минимально) и напряжение на нѐм равно нулю. Поэтому ясно, что на частотах: ω01, ω04 и ω05 АЧХ фильтра будет принимать нулевые значения A(ω01) = A(ω04) = A(ω05) = 0 (затухание на этих частотах будет иметь всплески: a(ω01) = a(ω04) = a(ω05) = ). Таким образом, вместе с двумя ранее найденными нулями АЧХ (всплесками затухания) на частотах ω = 0 и ω → всего имеется 5 нулей (всплесков затухания). Причѐм нули АЧХ (всплески затухания) возможны только в полосах задерживания. Этот факт отображѐн на рис. 35.4, в, г при условиях: ω01 < ω–χ, ωχ < ω04 < ω05. Часть II. Глава 10 576 A(ω) A(ω) 1 1 δ1 1 1 δ1 а δ2 0 ω ωk в δ2 0 ω ω01 ω a(ω) ω k a(ω) ω ω04 ωk ω05 ω a0 a0 б amax 0 ω ωk г amax 0 ω ω ω01 ωk k ω ω ω04 ω05 ω Рис. 35.4. АЧХ и характеристики затухания фильтров из примера 35.1: фильтра нижних частот (а) и (б), полосового фильтра (в) и (г) Частоты резонансов последовательных и параллельных контуров вычисляются по формуле (см. лекции 11, 12): 0 1 , LC что можно сделать при известных параметрах L и C элементов. Кроме того, наличие последовательных и параллельных контуров говорит о том, что в полосе пропускания на некоторых частотах затухание a(ωi) может иметь нулевое значение (на этих частотах АЧХ равна 1: A(ωi) = 1), т. е. полоса пропускания характеризуется чебышѐвским альтернансом. Из приведѐнных рассуждений и свойств АЧХ фильтров в зависимости от еѐ аппроксимации следует, что данный фильтр представляет собой либо дробный Чебышѐва, либо Золотарѐва—Кауэра (см. лекцию 34). Предполагая аппроксимацию Золотарѐва—Кауэра, имеем фильтр с изоэкстремальной характеристикой затухания, отображѐнной на рис 35.4, г. Что касается полосы пропускания, то для определения чебышѐвского альтернанса, необходимо найти порядок n полинома в знаменателе передаточной функции. Лекция 35. Анализ схем фильтров 577 2. Оценка качества избирательности фильтра Для оценки качества избирательности фильтра ранее был введѐн коэффициент прямоугольности Kпр (см. разд. 34.2.1). Тем не менее, традиционно качество избирательности фильтров оценивают с помощью асимптотической крутизны характеристики затухания. Смысл этой оценки состоит в том, чтобы определить скорость затухания на некотором интервале частот. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Отношение частот двух гармонических колебаний ω1/ω0 (ω1 > ω0) называют интервалом, а интервал ω1/ω0 = 2, соответствующий удвоению частоты, называется октавой. Так, увеличению частоты в 4 раза соответствует интервал в 2 октавы, восьмикратному увеличению частоты — интервал в 3 октавы и т. д. Число октав N и соответствующий ему интервал ω1/ω0, согласно определению, связаны соотношением: ω1 2N , 0 из которого N log 2 ω1 3,32lg 0 ω1 0 [октав]. Иногда интервал оценивают не в октавах, а в декадах, когда отношение частот на интервале [ω1, ω0] равно десяти ω1/ω0 = 10; в этом случае: N lg ω1 0 [декад]. Сопоставляя последние два выражения, нетрудно получить пропорции: 1 декада = 3,32 октавы и 1 октава = 0,301 декады. Обычно за единицу частоты выбирают такую, на которой затухание (ослабление) составляет 0,35 Нп (3 дБ), тогда на частотах ω >> 1 асимптотическое затухание можно приближѐнно считать равным a ≈ ln ω [Нп]. Тогда, например, удвоению частоты (увеличению интервала на 1 октаву) соответствует приращение затухания на ln 2 ≈ 0,7 Нп (6 дБ). Иначе говоря, при ω >> 1 асимптотическая крутизна роста затухания составляет 0,7 Нп (6 дБ) на октаву. Часть II. Глава 10 578 Если приращения оценивать не в октавах, а в декадах, то асимптотическая крутизна будет составлять 20 дБ на декаду, т. к. 20 lg 10 = 20. Но как же оценивать асимптотическую крутизну, исходя только из схемы фильтра? В этом случае можно воспользоваться кратностью нулей передаточной функции k на частоте ω → 0 и кратностью нулей r на частоте ω → (см. разд. 35.1.3) и применить простые соотношения: при ω → 0 0,7∙k [Нп/окт] или 6∙k [дБ/окт], при ω → 0,7∙r [Нп/окт] или 6∙r [дБ/окт]. 35.1.3. Определение вида передаточной функции H(ω) фильтра 1. Передаточная функция фильтра НЧ Как было показано ранее, фильтр НЧ, схема которого изображена на рис. 35.1, а, может быть как фильтром Баттерворта, так и Чебышѐва. Внешне они ничем не различаются. Их отличие состоит только в том, что, во-первых, при одном и том же порядке n обеспечивается разный коэффициент прямоугольности, во-вторых, значения параметров реактивных элементов, получаемые в процессе реализации соответствующих передаточных функций, также будут разными. По этой причине передаточная функция фильтра НЧ порядка n = 5 согласно (31.13) имеет вид: H ( p) 1 v5 ( p) a0 p 5 a1 p 4 1 . a2 p3 a3 p 2 a4 p a5 2. Передаточная функция полосового фильтра Применяя реактансные преобразования частоты и нормированный оператор Лапласа (см. лекцию 33), можно показать, что передаточная функция полосового фильтра в общем виде записывается так: bp k H ( p) q i 1 p 2 ωi2 vn ( p ) wm ( p ) , vn ( p ) (35.1) где:  k — кратность нуля передаточной функции при р = 0;  q — общее количество параллельных контуров в продольных ветвях схе- мы и последовательных контуров в поперечных ветвях. В исследуемой схеме q = 3 (контуры L4С4, L1С1, L3С7). Лекция 35. Анализ схем фильтров 579 В разд. 35.1.1 было показано, что АЧХ полосового фильтра при ω = имеет нуль; это означает, что и передаточная функция при p = также имеет нуль, кратность которого r может превышать, а чаще всего превышает, единицу. Поэтому требуется найти как кратность нуля k при р = 0, так и кратность нуля r при p = . Знание кратности нуля при р = 0 и значения q позволяет записать полином числителя wm(p) передаточной функции H(p), степень которого m определяется выражением: m = k + 2q. (35.2) Кратность нуля r передаточной функции H(p) при p = стью степеней полиномов знаменателя и числителя: определяется разно- r = n – m, (35.3) откуда степень n полинома знаменателя vn(p) равна разности кратности нулей при p = и р = 0: n = r + m. (35.4) Для нахождения кратности нуля при р = 0 необходимо:  каждый элемент индуктивности продольной ветви заменить короткозамкнутым соединением;  каждый элемент ѐмкости поперечных ветвей заменить разрывом цепи;  в качестве величины k взять общее количество реактивных ветвей (последовательных и поперечных), оставшихся после выполненных преобразований. Результат описанных преобразований показан на рис. 35.5, а: схема содержит только две реактивные ветви: продольная состоит из последовательно включѐнных элементов ѐмкости С2—С6, имеющих эквивалентную ѐмкость Сэ, а поперечная представляет собой элемент индуктивности L5. Следовательно, кратность нуля при р = 0 равна двум k = 2. Согласно (35.2) полином числителя передаточной функции H(p) исследуемого фильтра имеет степень m = k + 2q = 2 + 2∙3 = 8, при этом сам полином запишется в виде: w8 ( p ) bp 2 p 2 2 1 p2 2 2 p2 2 3 , (35.5) где 1 04 1 L1C1 , 2 01 1 L4C4 , 3 05 1 L3C7 . Часть II. Глава 10 580 C2 Cэ C6 Cэ C2 C6 C2 C6 L5 L5 а L2 L6 C3 C5 L2 C8 Cэ Cэ L6 C8 C3 C5 б Рис. 35.5. Схемы замещения для определения кратности нуля: а) при р = 0, б) при р = Для нахождения кратности нуля при p = необходимо:  каждый элемент ѐмкости продольной ветви заменить короткозамкнутым соединением;  каждый элемент индуктивности поперечных ветвей заменить разрывом цепи;  в качестве величины r взять общее количество реактивных ветвей (последовательных и поперечных), оставшихся после выполненных преобразований. Результат описанных преобразований показан на рис. 35.5, б: схема содержит четыре реактивные ветви, где параллельно включѐнные элементы ѐмкости С3—С5 объединены в эквивалентную ѐмкость Сэ. Следовательно, кратность нуля при p = равна четырѐм r = 4. По соотношению (35.4.) определяем степень полинома знаменателя, которая оказывается равной 12: n = r + m = 4 + 8 = 12. Исходя из полученных соотношений, можно утверждать:  АЧХ (характеристики затухания, ослабления) исследуемого фильтра в полосе пропускания является равноволновой и имеет n + 1 = 12 + 1 = 13 точек альтернанса (см. разд. 34.2.2), что отражено на рис. 35.4, в и г;  передаточная функция фильтра с учѐтом (35.5) имеет вид: H ( p) bp 2 p 2 2 1 p2 v12 ( p ) 2 2 p2 2 3 ; Лекция 35. Анализ схем фильтров 581  асимптотическая крутизна характеристики затухания является несим- метричной: при Ω → 0 0,7∙k = 1,4 [Нп/окт] или 6∙k = 12 [дБ/окт], при Ω → 0,7∙r = 2,8 [Нп/окт] или 6∙r = 24 [дБ/окт]. 35.2. Влияние потерь на характеристики фильтра Все предыдущие рассуждения проводились при условии, что рассчитанный фильтр реализуется на реактивных элементах без потерь. В реальности фильтр состоит из катушек индуктивности и конденсаторов, которые обладают потерями (см. разд. 3.3) за счѐт паразитных сопротивлений Rп и проводимостей Gп (рис. 35.7). Игнорирование этими потерями существенно сказывается на частотных характеристиках. Такой факт представлен на рис. 35.6, где тонкой линией показана характеристика затухания фильтра с потерями, из которой видно, что существенным, вплоть до недопустимых, искажениям подвержены полосы пропускания и переходная; что касается полосы задерживания, то требования к характеристике фильтра выполняются. a(ω) a0 Реализация на элементах с потерями n Реализация на элементах без потерь 7 a 0 ωχ ωk ω1 ω2 ω Рис. 35.6. Характеристики затухания при реализации на элементах без потерь и на элементах с потерями 35.2.1. Влияние потерь на передаточную функцию фильтра Наличие потерь означает, что вместо элементов индуктивности и ѐмкости в схему фильтра необходимо включить двухполюсники (рис. 35.7), имеющие сопротивления: Rп Gп Z L pL Rп p L и YC pC Gп p C (35.6) L C соответственно. Часть II. Глава 10 582 C а Rп L б Gп Рис. 35.7. Схемы замещения катушки индуктивности (а) и конденсатора (б) с потерями Положим далее, что добротности всех катушек индуктивности Q Lk и всех конденсаторов QCl одинаковы: QLk Lk Rпk Cl . Gпl QCl (35.7) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Потери, при которых добротности катушек индуктивности и конденсаторов равны между собой, называются однородными потерями. Из (35.7) следуют равенства: QLk Lk Rпk QCl Cl . Gпl Rпk Gпl (35.8) Если ввести обозначение δ Lk Cl , то на основании (35.8) параметр δ можно записать как функцию частоты: 1 Rпk 2 Lk δ Gпl ω 1 2 QLk Cl 1 QCl , (35.9) подставляя которую в (35.6) получаем: ZL p L pL и YC p C pC . (35.10) Сравнивая выражения для комплексного сопротивления элемента индуктивности ZL = pL и комплексной проводимости элемента ѐмкости YС = pC с выражениями (35.10), замечаем, что учѐт однородных потерь приводит к преобразованию оператора p: p p . (35.11) Лекция 35. Анализ схем фильтров 583 Следовательно, функции, описывающие реальный фильтр, будут иметь вид:  H(p + δ) — передаточная функция;  H(jω + δ) — комплексная частотная характеристика;  A(ω) = |H(jω + δ)| — амплитудно-частотная характеристика;  φ(ω) = arg H(jω + δ) — фазочастотная характеристика. Из вида оператора (35.11) и передаточной функции следует, что однородные потери изменяют расположение еѐ полюсов и нулей на p-плоскости, которые влияют на АЧХ и ФЧХ фильтра. Причѐм величина параметра δ тем меньше, чем выше добротности реактивных элементов с потерями. Характер отмеченного изменения рассмотрим на примере. Пример 35.1. Пусть задана полиномиальная передаточная функция 2-го порядка фильтра нижних частот: 1 1 . H ( p) (35.12) 2 v( p) p a1 p a0 Найдѐм, как изменяется расположение полюсов этой функции при учѐте однородных потерь. Решение. Полюсы (35.12) определяются как корни уравнения: (35.13) p 2 a1 p a0 0 , т. е. по формуле: a12 4 a1 2 p1, 2 (35.14) a0 . Для учѐта однородных потерь необходимо в (35.12) произвести замену оператора p на оператор (35.11). Тогда получим передаточную функцию: H ( p δ) H ( p) 1 v( p) p 1 , a1 p a0 2 (35.15) полюсы которой при операторе p запишутся в виде (35.14): a12 4 a1 2 p1, 2 a0 . Тогда полюсы, соответствующие однородным потерям, согласно (35.11) определятся по формуле: p1, 2 p1, 2 δ a1 2 δ a12 4 a0 . (35.16) Часть II. Глава 10 584 Сравнивая (35.14) и (35.16), видим, что значения полюсов исходной (35.12) и преобразованной (35.15) передаточных функций отличаются лишь вещественной частью на величину –δ (рис. 35.8). j Im p1 p1 0 δ p2 p Re j Im Re p2 Рис. 35.8. Смещение полюсов на –δ при однородных потерях Вывод: отмеченный факт, конечно же, непосредственно следующий из (35.11), указывает на то, что однородные потери всегда приводят к смещению всех полюсов и нулей передаточной функции влево на величину δ. 35.2.2. Компенсация потерь методом предыскажений по Дарлингтону1 Метод компенсации однородных потерь, предложенный Дарлингтоном, весьма прозрачен: он состоит в том, чтобы в передаточной функции H(p), полученной при решении задачи аппроксимации, заменить оператор p на p – δ. Тогда нули и полюсы вновь образованной функции H(p – δ) сместятся вправо относительно нулей и полюсов исходной передаточной функции. Понятно, что такое смещение допустимо, если не нарушаются условия физической реализуемости, а именно: ни один из полюсов функции H(p – δ) не должен попасть в правую p-полуплоскость или на мнимую ось. 1 С. Дарлингтон — американский учѐный, один из основоположников теории синтеза LCфильтров (1920-е годы). Лекция 35. Анализ схем фильтров 585 При реализации функции H(p – δ) на катушках индуктивности и конденсаторах с однородными потерями, равными δ, произойдѐт смещение еѐ полюсов и нулей влево на величину δ, и они совпадут с полюсами и нулями заданной функции H(p). Таким образом, функция H(p) будет реализована на элементах с потерями с точностью до частотно-независимого затухания (ослабления). Несмотря на свою простоту, метод Дарлингтона может использоваться при следующих ограничениях:  заданные передаточные функции могут быть реализованы лишь на эле- ментах, добротность которых (35.8) не ниже некоторой определѐнной величины, связанной с величиной δ (35.9);  при синтезе фильтров со всплесками затухания (ослабления) обычно огра- ничиваются смещением вправо только полюсов, а окончательное решение затем получают методами оптимизации; это объясняется тем, что оператор p – δ смещает нули функции H(p), находящиеся на мнимой оси, в правую p-полуплоскость, тем самым формируя предыскажѐнную передаточную функцию неминиально-фазового типа, а такая функция не может быть реализована в виде лестничной структуры. З А МЕ Ч А Н И Я 1. Метод предыскажений Дарлингтона часто распространяют и на полуоднородные потери, когда параметр δ определяется как среднеарифметическое из значений соответствующих параметров всей совокупности реактивных 2 элементов фильтра. Это возможно при малых потерях ; 2. Оптимизированные решения по учѐту потерь приводятся во всех современных справочниках. 2 Потери считаются малыми, если значение параметра δ много меньше вещественной части ближайшего к мнимой оси полюса или нуля передаточной функции H(p). L2 C2 1 R U вх Лекция 36 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Кварцевые фильтры Полосовые фильтры с относительно узкой полосой пропускания, что характерно для устройств, работающих на высоких частотах (до десятков мегагерц), не могут быть синтезированы в LC-базисе, поскольку добротности реальных катушек индуктивности, а потому и добротности LC-контуров, не превышают 200—300 единиц; для построения же указанных фильтров необходимы добротности 104—106 единиц. Для таких целей используют кварцевые фильтры. 36.1. Параметры кварцевых резонаторов Основу кварцевых фильтров составляют кварцевые резонаторы. Кварцевые фильтры (КФ) имеют повсеместное применение в разнообразных устройствах и системах: от многоканальных систем до систем сотовой связи. Кварцевые фильтры предназначены для построения главных трактов приѐма, усилителей промежуточной частоты, синтезаторов частоты, трансиверов (приѐмопередающих устройств или схем), корреспондентской аппаратуры (мобильных телефонов), приѐмников и генераторов эталонных частот и т. д. 36.1.1. Понятия о кварцевых резонаторах Кристаллы кварца и ряда других естественных минералов (например: турмалина, танталата лития, сегнетовой соли) обладают особым свойством, получившим название пьезоэлектрического эффекта, а минералы, обладающие таким свойством, стали называться пьезоэлектриками. Пьезоэффект был открыт в 1880 г. французскими учеными, братьями Пьером и Полем Кюри, на кварце. В дальнейшем пьезоэлектрические свойства были обнаружены более чем у 1500 веществ. Лекция 36. Кварцевые фильтры 587 Различают прямой и обратный пьезоэлектрические эффекты. Прямой пьезоэлектрический эффект (или просто пьезоэффект1) состоит в том, что при механической деформации пластинки кварца в определѐнном направлении на одной еѐ поверхности появляются равные по величине электрические заряды противоположных знаков. Обращение направления деформации кристалла меняет знаки зарядов на поверхностях. Следовательно, под воздействием внешней переменной механической силы на пьезоэлементе возникает переменное напряжение той же частоты. В этом случае механическая энергия преобразуется в электрическую, и пьезоэлемент становится генератором переменной ЭДС. Обратный пьезоэлектрический эффект заключается в изменении линейных размеров пластинки под действием электрического поля: если две грани пластинки покрыть токопроводящим элементом (например, металлической плѐнкой) и приложить к ним переменное напряжение (рис. 36.1, а), то пластинка станет сжиматься и растягиваться, т. е. будут происходить механические колебания. Изменение направления электрического поля вызывает изменение характера деформаций на противоположный. Этот эффект имеет особое значение для получения ультразвука2. Таким образом, если к пьезоэлементу подвести переменное напряжение, то пьезоэлемент за счет обратного пьезоэффекта будет совершать механические колебания. В этом случае энергия электрических колебаний превращается в энергию механических колебаний с частотой, равной частоте приложенного переменного напряжения. Прямой и обратный пьезоэффекты линейны и описываются следующими линейными зависимостями:  уравнением прямого пьезоэффекта P = dσ, связывающим электрическую поляризацию Р с механическим напряжением σ;  уравнением обратного пьезоэффекта r = dE, связывающим механическую деформацию r с напряженностью электрического поля E; 1 Пьезоэффект — от греч. piezo — давить. Впервые рассматриваемое явление применил Поль Ланжевен, который в годы первой мировой войны предложил использовать ультразвук для обнаружения вражеских подводных лодок, а для получения самого ультразвука — использовать именно пьезоэффект. 2 Часть II. Глава 10 588  уравнением заряда q = dF, связывающим величину заряда q с величиной приложенной силы F. Во всех этих уравнениях присутствует коэффициент пропорциональности d, называемый пьезоэлектрическим модулем (пьезомодулем). Пьезомодуль d для прямого и обратного пьезоэффектов имеет одно и то же значение. При описании пьезоэлектрических свойств кристалла можно ограничиться только пьезомодулем. Заметим, что приведѐнные выражения даны в несколько упрощѐнной форме только для уяснения качественной стороны пьезоэлектрических явлений. Кварцевый резонатор представляет собой колебательную систему (рис. 36.1, а) с распределѐнными параметрами, состоящую из пластинки, определенным образом вырезанной из кристалла кварца, и напылѐнными на неѐ электродами (токопроводящими элементами), по сути являющимися обкладками конденсатора. Условное обозначение кварцевого резонатора изображено на рис. 36.1, б. Вывод b Токопроводящий элемент (электроды, обкладки) Кварц s аа бб l Вывод Рис. 36.1. Конструкция (а) и условное изображение (б) кварцевого резонатора Как всякая колебательная система с распределѐнными параметрами, кварцевый резонатор теоретически имеет неограниченное число частот собственных колебаний. Значения этих частот зависят от формы и геометрических размеров резонатора, плотности и модуля упругости пьезоэлектрика, среза, массы и геометрии электродов и даже способа крепления резонатора. Так, частоты собственных механических колебаний пластинки, выполненной в форме параллелепипеда, при продольных колебаниях по длине закреплѐн- Лекция 36. Кварцевые фильтры 589 ной в центре пластинки (рис. 36.1, а) образует ряд нечѐтных гармоник: f1, f3, f5, …; при этом первая гармоника, называемая основной частотой, определяется из соотношения: f1 l v ; 2l 0,5λ, где:  v — скорость распространения механических колебаний (акустических волн) в пластинке;  l — длина пластинки;  λ — длина волны основного механического колебания в пластинке. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Основной частотой f1 собственных колебаний пластинки называется такая частота, длина волны которой равна удвоенной длине пластинки. З А МЕ Ч А Н И Е В качестве параметра l в зависимости от направления механических колебаний может выступать ширина b или толщина s пластины; так, если используются колебания сдвига по толщине, составляющей 1 мм, частота механических колебаний кварцевой пластинки при толщине 1 мм составляет единицы мегагерц. При подведении к обкладкам переменной ЭДС кварцевая пластинка будет совершать стабильные механические колебания, амплитуда которых достигает максимума при совпадении частоты внешней ЭДС с основной частотой механических колебаний кварцевой пластины. Механические колебания вызывают, в свою очередь, появление электрических зарядов на обкладках. Таким образом, работа кварцевого резонатора объясняется действующими в нѐм пьезоэлектрическими явлениями. Следует отметить, что кварцевые резонаторы нашли широкое применение не только в радиотехнических системах, но и в часовой промышленности3. Природные кристаллы кварца, как правило, содержат дефекты, снижающие их ценность. Поэтому основные потребности пьезотехники удовлетворяются искусственными материалами — сегнетокерамикой, которую переводят 3 В 1918 году были впервые построены часы, которые использовали свойства кварцевого резонатора. В 1937-м кварцевые часы, разработанные Льюисом Эссеном, были установлены в Гринвичской обсерватории, их точность составляла около 2 мс/сутки. А в 1944-м международные сигналы времени в виде шеститочечных сигналов Би-Би-Си генерировались с помощью кварцевых часов, точность которых возросла уже до 0,1 мс/сутки. Часть II. Глава 10 590 в пьезоэлектрическое состояние с помощью сильного электрического поля. Поляризованную сегнетокерамику называют пьезокерамикой. Пьезокерамические материалы разделяют на четыре функциональные группы:  Материалы группы 1 используют для изготовления высокочувствитель- ных элементов, работающих в режиме приѐма или излучения механических колебаний; для таких материалов необходим большой пьезомодуль.  Материалы группы 2 используют для изготовления мощных генераторов сигналов, работающих в условиях сильных электрических полей или высоких механических напряжений; для таких материалов необходимо высокое удельное электрическое сопротивление.  Материалы группы 3 используют для изготовления пьезоэлементов, обла- дающих как высокой стабильностью резонансных частот относительно колебаний температуры, так и устойчивостью к старению.  Материалы группы 4 используются для изготовления высокотемператур- ных пьезоэлементов. З А МЕ Ч А Н И Я 1. Кварцы, как и другие радиотехнические детали, подвержены старению, в процессе которого изменяются их частотные характеристики. Причѐм наиболее интенсивно процесс старения сказывается в первый год после выпуска, ко-6 гда относительный уход частоты составляет 20 · 10 в год. Так, кварц с резонансной частотой 10 МГц за первый год может изменить свою частоту на -6 6 20 · 10 · 10 · 10 = 200 Гц, что весьма ощутимо и недопустимо для практических применений. За последующие 2—4 года относительный уход частоты -6 равен 10 в год, т. е. всего 10 Гц, что не скажется на работе фильтра. По этой причине кварцам дают "вылежаться" в течение 3—5 лет. 2. Для получения хороших параметров фильтров разброс частот последовательных резонансов кварцев не должен превышать 0,1 (т. е. ±0,05) от полосы пропускания фильтра, а для получения отличных параметров такой разброс не должен превышать 0,01 (т. е. ±0,005). Например, для полосы пропускания 3000 Гц разброс для хороших фильтров не должен превышать ±150 Гц, а для отличных — не более ±15 Гц от среднеарифметического значения частот Fs всех кварцевых резонаторов. 36.1.2. Схема замещения и электрические параметры кварцевого резонатора Наиболее часто для расчѐтов используется схема замещения кварцевого резонатора, приведѐнная на рис. 36.2, а. Она включает в себя:  статическую ѐмкость резонатора C0, представляющую собой ѐмкость простейшего конденсатора с диэлектриком из пьезоэлектрического материала, включая и ѐмкость кварцедержателя; Лекция 36. Кварцевые фильтры 591 Z ( jω) Lq Cq При учѐте потерь C0 Rq аа бб min Z ( jω) 0 ωq ωp ω Рис. 36.2. Схема замещения (а) и частотная зависимость сопротивления (б) кварцевого резонатора  динамическую ѐмкость Cq, которая характеризует упругие свойства пла- стинки;  динамическую индуктивность Lq, которая отражает инерционные свойст- ва пластинки;  сопротивление потерь Rq. Потери, обусловленные трениями в колеблющейся пластинке и отображаемые параметром Rq, являются столь малыми, что в инженерной практике ими можно пренебречь (по этой причине сопротивление потерь на рисунке отмечено пунктиром). Динамические ѐмкость и индуктивность, называемые динамической ветвью резонатора, составляют последовательный колебательный контур, который отображает механическую колебательную систему. Частотные свойства кварцевого резонатора нетрудно определить, исходя из его схемы замещения:  на частоте ω = 0 сопротивление резонатора бесконечно велико за счѐт раз- рыва цепи статической и динамической ѐмкостями; следовательно, при ω = 0 имеем полюс;  на частоте ω = ωq, равной частоте резонанса последовательного контура LqCq, сопротивление резонатора равно нулю; следовательно, при ω = ωq имеем нуль; Часть II. Глава 10 592  на частоте ω = ωp, равной частоте резонанса параллельного контура LqCqC0, сопротивление резонатора стремится к бесконечности; следовательно, при ω = ωp имеем полюс;  на частоте ω → сопротивление резонатора стремится к нулю благодаря наличию динамической ѐмкости; следовательно, при ω = имеем нуль. На основании этих рассуждений при условии ωq < ωp можно, во-первых, сделать вывод о чередовании полюсов и нулей и, во-вторых, изобразить характеристическую строку (рис. 36.3) двухполюсника (см. разд. 30.2.1): 0 p q Рис. 36.3. Характеристическая строка двухполюсника Найдѐм частоты ωq и ωp, для чего запишем комплексное сопротивление резонатора: Z ( jω) 1 1 jωLq jωC0 j ωC q 1 1 jωLq jωC0 jωCq 1 jωC0 ω2 ω2 1 LqCq Cq 1 C0 LqCq j 1 jωC0 1 ω 2 LqCq Cq 1 ω2 LqCq C0 2 2 1 ω ωq , ωC0 ω2 ω2p где q 1 ; Lq Cq 1 p Cq C0 Lq Cq q 1 Cq (36.1) C0 называются частотами последовательного и параллельного резонансов соответственно, причѐм ωq < ωp, поэтому высказанное предположение справедливо, а характеристическая линейка соответствует действительности: при резонансе параллельного контура полное сопротивление |Z(jω)| резонатора максимально, а при резонансе последовательного — равно нулю (если же Лекция 36. Кварцевые фильтры 593 учесть потери Rq, то сопротивление при последовательном резонансе минимально, что отражено пунктирной линией на рис. 36.2, б). Надо отметить, что частоты ωq и ωp достаточно близки, поскольку на практике отношение Cq/Cp значительно меньше единицы и зачастую не превышает значения 0,1. В этом случае частоту параллельного резонанса можно определить с помощью формулы приближѐнного вычисления квадратного корня: a . x 2 a a x2 x 2x Тогда Cq . p q 1 2C0 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Интервал частот ωp – ωq называется резонансным промежутком, а отношение резонансного промежутка к частоте последовательного резонанса p q (36.2) q называется относительным резонансным промежутком. Заметим, что на резонансном промежутке резонатор обладает индуктивным сопротивлением, а вне промежутка — ѐмкостным. Важным параметром пьезоэлектрического резонатора является ѐмкостной коэффициент rq. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Ёмкостным коэффициентом rq называется отношение статической ѐмкости C0 к динамической Cq: C0 . (36.3) rq Cq Коэффициент rq можно выразить через частоты последовательного и параллельного резонансов, если воспользоваться соотношениями (36.1) и (36.2): rq C0 Cq 2 p 2 q 2 q 1 q p q , (36.4) Часть II. Глава 10 594 но вследствие близости указанных частот (ωp ≈ ωq) выражение (36.4) можно записать иначе: rq 1 2 q 2 p . (36.5) q Из (36.3) и (36.5) следует, что ѐмкостный коэффициент значительно превышает единицу, причѐм чем ближе частоты последовательного и параллельного резонансов, тем больше rq и тем меньше будет полоса пропускания фильтра. Такая ситуация характерна для кварцевых резонаторов, имеющих rq ≥ 100. Пьезокерамические резонаторы имеют rq < 100 и потому позволяют синтезировать широкополосные фильтры. Наконец, добротность Q кварцевого резонатора определяется динамической ветвью в соответствии с формулой для последовательного колебательного контура: q Lq Q , Rq а поскольку сопротивление потерь Rq кварцевого резонатора мало, то добротность оказывается высокой и может составлять сотни тысяч единиц и больше. Кроме рассмотренной схемы замещения кварцевого резонатора, при расчѐте кварцевых фильтров используют другую схему замещения (рис. 36.4, а), параметры которой связаны с параметрами схемы (рис. 36.2, а) соотношениями, приведѐнными на рис. 36.4, б. Рассмотренные схемы замещения кварцевых резонаторов называются трѐхэлементными двухполюсниками и обычно представляются в схемах фильтров без активного элемента, отображающего потери. C01 L1 C1 аа C01 C0 Cq , C1 C0 1 rq , L1 Lq 1 rq . 2 бб Рис. 36.4. Вторая схема замещения кварцевого резонатора без потерь (а) и еѐ параметры (б) Лекция 36. Кварцевые фильтры 595 36.2. Принципы построения кварцевых фильтров Кварцевые фильтры подразделяются на три класса: дискретные, монолитные и фильтры на поверхностных акустических волнах (ПАВ), которые и рассмотрим в указанном порядке. 36.2.1. Дискретные кварцевые фильтры Дискретные кварцевые фильтры строятся на отдельных кварцевых резонаторах, которые включаются в схему фильтра на месте трѐхэлементных двухполюсников и могут иметь лестничную или мостовую структуру. Лестничная структура применяется при реализации узкополосных фильтров. Процедура синтеза состоит в следующем:  задаѐтся полоса пропускания, еѐ средняя частота, коэффициент прямо- угольности Кпр и допустимое отклонение, а также метод аппроксимации АЧХ (обычно Чебышѐва или Баттерворта);  определяется необходимое число кварцевых резонаторов, при котором будет обеспечен заданный коэффициент прямоугольности АЧХ;  проводится расчѐт на основе НЧ фильтров-прототипов, нормированные значения элементов которых практически на все случаи приведены в виде формул и таблиц в справочниках по расчету фильтров. Нормирование НЧ фильтра-прототипа производится путѐм преобразования (33.1): Ω ω , ωχ где ωχ — частота среза АЧХ фильтра. Реальные значения индуктивностей и ѐмкостей рассчитывают по приводимым в справочниках формулам на основе нормированных значений реактивных элементов αi. Получаемые трѐхэлементные двухполюсники заменяются кварцевыми резонаторами. Особо следует отметить, что такая реализация возможна только в том случае, когда в каждой из схем замещения ѐмкостное отношение rq будет не меньше того, которое имеют используемые резонаторы. Это означает, что общая ширина полосы частот, в которой расположены все всплески затухания (ослабления) фильтра и его полоса пропускания, не превышала двух резонансных промежутков кварцевых резонаторов. Таким образом, полоса пропускания фильтра составляет только часть указанной общей полосы частот. Часть II. Глава 10 596 Далее рассматриваются три возможные лестничные структуры:  с кварцевыми резонаторами в поперечных ветвях;  с кварцевыми резонаторами в продольных ветвях;  с кварцевыми резонаторами в поперечных и продольных ветвях. 1. Фильтры с кварцевыми резонаторами в поперечных и продольных ветвях На рис. 36.5, а представлена схема полосового фильтра, полученного в результате расчѐта; штриховыми овалами выделены трѐхэлементные двухполюсники, которые, согласно рис. 36.2, а и 36.4, а заменяются соответствующими кварцевыми резонаторами. Резонансные двухполюсники, включѐнные в продольные ветви, имеют полюсы сопротивления на соответствующих частотах ωpi (i = 1, 2); следовательно, на этих частотах характеристика затухания (ослабления) фильтра будет иметь всплески, что соответствует полосе задерживания фильтра. На частотах ωqi сопротивления этих резонаторов равны нулю, что соответствует полосе пропускания фильтра. Rг u (t ) Rн аа Rг u (t ) Rн бб Рис. 36.5. Полосовой фильтр (а) с кварцевыми резонаторами в поперечных и продольных ветвях (б) Резонансные двухполюсники, включѐнные в поперечные ветви, воздействуют на характеристику затухания (ослабления) фильтра обратным образом: частоты ωpi (i = 3, 4) полюсов сопротивления соответствуют полосе пропускания фильтра, а на частотах нулей ωqi этих резонаторов происходит шунтирование цепи, поэтому на этих частотах характеристика затухания (ослабления) Лекция 36. Кварцевые фильтры 597 фильтра будет иметь всплески, что соответствует полосе задерживания фильтра. Таким образом, действительно представленная на рис. 36.5 схема соответствует полосовому фильтру. При этом общая ширина полосы частот, в которой расположены все всплески затухания (ослабления) и полоса пропускания фильтра, не превосходит двух резонансных промежутков кварцевых резонаторов ωpi – ωqi. 2. Фильтры с кварцевыми резонаторами в поперечных ветвях Схема кварцевого фильтра рассматриваемого типа (рис. 36.6) показывает, что полюсы ωp модулей комплексных сопротивлений Z ( jω) резонаторов должны располагаться в полосе пропускания, а нули ωq — в полосе задерживания. Но поскольку нуль ωq сопротивления Z ( jω) резонатора всегда предшествует полюсу (см. рис. 36.2, б), то все нули резонаторов, входящих в схему фильтра, будут расположены слева от полюсов, и поэтому всплески характеристики затухания (ослабления) будут предшествовать полосе пропускания. Число этих всплесков всегда равно числу кварцевых резонаторов, а общая ширина полосы, в которой расположены все всплески и полоса пропускания фильтра, не будет превышать величины резонансного промежутка ωp – ωq для любого из резонаторов. Рис. 36.6. Фильтр с кварцевыми резонаторами в поперечных ветвях 3. Фильтры с кварцевыми резонаторами в продольных ветвях Такие кварцевые фильтры (рис. 36.7) имеют характеристику, зеркальную относительно характеристики фильтров с кварцевыми резонаторами в поперечных ветвях: полюсы ωp кварцевых резонаторов располагаются в полосе задерживания, а нули ωq — в полосе пропускания (ПП). И поскольку ωp > ωq, полоса пропускания будет предшествовать всплескам характеристики затухания (ослабления). Причѐм, как и в предыдущем случае, число всплесков равно числу кварцевых резонаторов, а общая ширина полосы, в которой рас- Часть II. Глава 10 598 положены полоса пропускания фильтра и все всплески, не будет превышать величины резонансного промежутка ωp – ωq для любого из резонаторов. Рис. 36.7. Фильтр с кварцевыми резонаторами в продольных ветвях Типовые характеристики дискретных кварцевых фильтров, применяемых на практике, представлены в табл. 36.1. Таблица 36.1. Типовые характеристики дискретных кварцевых фильтров Центральная частота ПП f0 МГц Относительная ширина ПП* Δf/ f0 amax дБ 20—50 0,02—0,06 20—70 Коэффициент прямоугольности a0 дБ по уровню дБ Кпр 1 40 5 60 0,02—0,1 1 40 7 50 20—130 0,03—0,05 1 60 6 70 20—70 0,1—0,5 1 40 6 50 * Отношение ширины ПП к еѐ центральной частоте 36.2.2. Монолитные кварцевые фильтры Из табл. 36.1 следует, что дискретные кварцевые фильтры имеют ограниченную (до 150 МГц) частотную область применения, не слишком большой коэффициент прямоугольности (см. лекцию 34) и средний гарантированный уровень a0 затухания (ослабления) в полосе задерживания. Монолитные кварцевые фильтры позволяют улучшить перечисленные характеристики фильтров. Монолитный кварцевый фильтр (рис. 36.8), в отличие от дискретного фильтра, представляет собой группу частных резонаторов, расположенных на одном кристалле и образующих единую электромеханическую колебательную Лекция 36. Кварцевые фильтры 599 систему. К электрической цепи подключаются только крайние резонаторы, называемые резонаторами-преобразователями. Резонаторыпреобразователи Вход Выход Кварц Механические преобразователи Рис. 36.8. Схема конструкции монолитного кварцевого фильтра Они преобразуют электрические колебания в механические. Средние резонаторы являются чисто механическими; эти резонаторы связаны друг с другом акустически и используются как преобразователи только в процессе технологической настройки фильтра. Схема замещения монолитного фильтра (рис. 36.9) содержит следующие элементы:  Lqk и Сqk — динамические индуктивности и ѐмкости;  C0 и C0 — статические ѐмкости входного и выходного резонаторов- преобразователей;  Ck, k+1 — ѐмкости, отображающие акустическую связь между резонаторами. Передаточная функция монолитного кварцевого фильтра, состоящего из n резонаторов, имеет простой нуль при p = 0 и полином степени 2(n + 1). Монолитные кварцевые фильтры реализуются лишь при очень высоких частотах: (от 3 до 200 МГц) и при этом обладают очень хорошими характеристиками. Например, монолитный кварцевый фильтр 6-го порядка имеет:  центральную частоту f0 = 10—130 МГц; Часть II. Глава 10 600  ширину полосы пропускания по уровню 3 дБ Δf = 15 – 45 кГц, т. е. отно- сительную ширину полосы пропускания 0,00015—0,00035;  гарантируемое затухание в полосе задерживания a0 = 75 дБ. Lq1 C0 Cq1 C12 Lq 2 Cq 2 C23 Lqk Cqk Ck , k 1 Lqn Cn 1, n Cqn C0 Рис. 36.9. Электрическая схема замещения монолитного кварцевого фильтра 36.2.3. Фильтры на поверхностных акустических волнах Поверхностные акустические волны (ПАВ) — это упругие гиперзвуковые волны частотой до 3 ГГц, распространяющиеся вдоль свободной поверхности твѐрдого тела (в частности, кварца) или вдоль границы твѐрдого тела с другими средами и затухающие при удалении от его границ. Простейшими и наиболее часто используемыми на практике ПАВ являются волны Рэлея4, которые имеют вертикальную поляризацию и распространяются вдоль границы кварца. Фильтр на ПАВ состоит из двух преобразователей со встречными решѐтками электродов, которые располагаются на поверхности монокристаллического кварца (рис. 36.10). Один из этих преобразователей (к примеру, левый) возбуждает, а другой принимает рэлеевскую волну. Расстояние между соседними электродами составляет половину длины рэлеевской волны λр/2. Скорость таких волн на пять порядков меньше скорости света. При анализе и синтезе фильтров на ПАВ используются импульсные h(t), а не частотные характеристики. Если на вход фильтра подано импульсное воздействие, то благодаря пьезоэффекту в первый момент после окончания воздействия на поверхности кварцевой пластинки между входными электродами образуются перемежающиеся от электрода к электроду области сжатия и растяжения кварца; 4 Рэлей Джон Уильям (Rayleigh, John William) (1842—1919), английский физик. Изучал поверхностные волны, в 1885 г. предсказал существование особых волн этого вида ("волны Рэлея"). Установил соотношение между фазовой и групповой скоростями. В 1904 г. был удостоен Нобелевской премии по физике за открытие аргона. Лекция 36. Кварцевые фильтры 601 на поверхностях же этих областей возникают напряжения, знаки которых определяются знаками деформации. Области механической деформации кварца, образовавшиеся в результате импульсного воздействия, распространяются в направлении выходных электродов — так образуется поверхностная акустическая волна. Одновременно с акустической волной распространяется и неразрывно связанная с ней волна напряжений перемежающихся знаков, образовавшаяся на поверхности пластинки. Электроды Волна Рэлея Вход р 2 Выход Кварц Акустические поглотители Рис. 36.10. Схематическое изображение фильтра на ПАВ Поскольку расстояния между смежными электродами во входной и выходной группах одинаковы, то по мере прохождения волны на выходных электродах образуется последовательность импульсов напряжений конечной длительности и перемежающихся знаков. Общее число знакоперемен в этой последовательности определяется числом входным электродов. При подаче на вход фильтра сигнала в виде дельта-функции δ(t) на выходе фильтра будет наблюдаться импульсная характеристика, которой соответствует топология преобразователей. Тогда при воздействии x(t) реакция y(t) будет представлять собой свѐртку (15.14): y (t ) t x (τ)h (t τ)dτ. 0 Изменяя число, расположение и длину электродов фильтра, можно формировать импульсные характеристики, соответствующие реализуемым передаточным функциям. Кроме рэлеевской волны, в кристалле появляются паразитные волны, которые представляют собой волны, отражѐнные от краѐв пластинки. Для борьбы 602 Часть II. Глава 10 с паразитными волнами на кристалле устанавливаются акустические поглотители. Фильтры на ПАВ используются в приѐмниках для сотовой связи, телевизорах и оптоволоконных системах передачи данных, в радиолокации, системах автоматического управления в качестве фильтров с малыми потерями для входных цепей приѐмников, полосовых фильтров для обработки сигналов на промежуточных частотах, линий задержек, резонаторов и т. д. Столь широкое применение фильтров на ПАВ объясняется их малыми габаритами, незначительным весом, температурной стабильностью, исключительным внеполосным подавлением, линейной (или определяемой требованиями) фазой. Кроме того, поскольку центральная частота и импульсная характеристика определяются топологией, фильтры на ПАВ не требуют сложной настройки в аппаратуре и не могут расстроиться в процессе эксплуатации. Технология изготовления, совместимая с полупроводниковым производством, позволяет выпускать их в большом объѐме с высокой воспроизводимостью. Однако фильтры на ПАВ не могут применяться как на низких частотах, когда их габариты становятся слишком большими, так и на частотах выше 3 ГГц. В последнем случае разрешающая способность фотолитографического процесса не позволяет получить высокий процент выхода годных изделий, и цена таких фильтров становится слишком высокой. На частотах выше 3 ГГц применяются электромагнитные фильтры на связанных полостях, выполненные из керамики. Если подать на передающий преобразователь сигнал в виде дельта-функции, то импульсная характеристика фильтра будет представлять собой свертку локальных импульсных откликов двух преобразователей. L2 C2 1 R U вх 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Глава 11 Корректоры и регуляторы частотных характеристик Лекция 37. Амплитудные корректоры Лекция 38. Фазовые корректоры Лекция 39. Аналоговые линии задержки L2 C2 1 R U вх Лекция 37 L1 1 Z вх 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 R Амплитудные корректоры Ранее было показано (см. лекцию 32), что условиями безыскажѐнной передачи сигналов являются частотная независимость АЧХ электрической цепи A(ω) H ( jω) k const и линейность еѐ ФЧХ (или рабочей фазы b(ω)) φ(ω) arg H ( jω) ωt0 ; b(ω) φ(ω) ωt0 , что означает также частотную независимость функции группового времени задержки (прохождения) tг (ω) dφ(ω) dω db(ω) dω t0 const. Графики такой идеальной цепи представлены на рис. 37.1. A(ω) b (ω) tг (ω) φ(ω) t0 k 0 аа ω 0 бб ω 0 вв ω Рис. 37.1. Частотные характеристики идеальной электрической цепи: а) амплитудно-частотная характеристика, б) рабочая фаза, в) групповое время задержки — ГВЗ В действительности электрическая цепь, через которую проходит сигнал и которую называют трактом или каналом передачи сигнала, представляет собой совокупность усилителей, фильтров, участков разнообразных линий Часть II. Глава 11 606 передачи, среды распространения и т. д., вследствие чего неискажающую цепь построить невозможно, ибо она оказывается физически нереализуемой, поскольку, во-первых, всякий тракт передачи сигнала характеризуется рабочим диапазоном частот ω–χ ≤ ω ≤ ωχ (для фильтров это — полоса пропускания), в пределах которого должен располагаться спектр передаваемого сигнала; во-вторых, составляющие тракт элементы обладают различными нелинейностями, воздействующими на сигнал; в-третьих, на элементы тракта значимое влияние оказывают внешние факторы (климатические, температурные, помехи и т. д.). Поэтому существует задача обеспечения минимальных искажений сигнала при его прохождении через тракт. 37.1. Влияние частотных характеристик на прохождение сигнала в сложных электрических цепях Реально любой тракт искажает форму сигнала за счѐт нарушений начальных соотношений между амплитудами и фазами частотных составляющих сигнала. Например, пусть сигнал x(t), представляющий собой сумму двух гармоник (рис. 37.2, а) с одинаковыми амплитудами A (рис. 37.2, б): x(t ) x1(t ) x2 (t ) Asinω1t Asinω2t , передаѐтся через тракт, имеющий линейную ФЧХ и АЧХ, изображѐнную на рис. 37.2, в. Такой тракт не искажает фазовые соотношения между составляющими сигнала. На выходе тракта составляющая x1(t) имеет амплитуду 0,6 A, а составляющая x2(t) — амплитуду 0,25 A, т. е. нарушилось соотношение между амплитудами, и принятый сигнал x ( t ) оказался искажѐнным (рис. 37.2, г) относительно переданного x(t). Чтобы амплитудные соотношения не нарушались или не превышали допустимых норм, применяются специальные устройства — амплитудные корректоры, которые выравнивают АЧХ тракта. Обратимся к возможным фазовым искажениям при условии, что амплитудные соотношения не нарушаются. Пусть рассматриваемый тракт имеет рабочую фазу, показанную на рис. 37.3, а, и соответствующую ей характеристику ГВЗ (рис. 37.3, б). Для удобства положим, что ω2 = 2ω1. Нелинейность ФЧХ приводит к неодинаковой задержке составляющих сигнала относительно друг друга. Из рис. 37.3, а и 37.3, б видно, что вторая гармони- Лекция 37. Амплитудные корректоры 607 ка x2 (t ) отстаѐт от составляющей x1(t) по фазе на 0,3π рад и по времени на 0,15T2 (на 0,15 еѐ периода), что приводит к заметным искажениям сигнала на выходе тракта (рис. 37.3, в). x1 (t ) x2 (t ) x(t ) x1 (t ) x2 (t ) x(t ) X (ω ) A аа 0 ω1 0 бб t ω ω2 x(t ) A (ω ) A 0, 6 A 0, 25 A 0 вв ω χ ω 0 t г г ω χ Рабочий диапазон Рис. 37.2. Воздействие на сигнал амплитудных искажений: а) гармонические составляющие передаваемого сигнала, б) вид передаваемого сигнала (выделен жирной линией), в) гармонические составляющие принятого сигнала, г) принятый сигнал (выделен жирной линией) Для того чтобы фазовые соотношения не нарушались или не превышали допустимых норм, применяются специальные устройства — фазовые корректоры, которые приближают ФЧХ тракта к линейной. Результат совместного воздействия амплитудных и фазовых искажений на сигнал, проходящий через тракт, показан на рис. 37.4, сравнение которого с рис. 37.3, б убедительно показывает необходимость амплитудного и фазового корректирования. Часть II. Глава 11 608 b (ω) b аа 0, 3π 0 ω χ ω1 ω2 ω χ ω τ г (ω) τг x(t ) бб 0,15T2 0 ω ω2 χ ω1 ω χ t 0 ω 0,15T2 Рабочий диапазон Рис. 37.3. Воздействие на сигнал фазовых искажений: а) нелинейная рабочая фаза тракта, б) ГВЗ тракта, в) сигнал с искажѐнной фазой (показан жирной линией) x(t ) x(t ), x(t ) 0 x1 (t ) x2 (t ) x(t ) x1 (t ) x2 (t ) t Рис. 37.4. Результат воздействия на сигнал амплитудных и фазовых искажений (жирной линией выделен передаваемый сигнал на входе тракта) вв Лекция 37. Амплитудные корректоры 609 37.2. Решение задачи амплитудного корректирования Цель амплитудного корректирования состоит в выравнивании затухания в рабочем диапазоне частот ωраб ω χ ; ωχ канала таким образом, чтобы неравномерность затухания Δa(ω) не превышала допустимой величины a(ω) aдоп (ω) , ω ω раб . Амплитудные корректоры (АК) представляют собой четырѐхполюсники постоянного характеристического сопротивления, обладающие затуханием aак(ω). При каскадном подключении корректора к каналу, имеющему рабочее затухание aкан(ω), общее затухание определится суммой: aобщ(ω) = aкан(ω) + aак(ω). (37.1) В идеале дополнение характеристики затухания канала характеристикой затухания корректора должно привести к постоянной величине aобщ(ω) = aобщ = const (рис. 37.5, а), но в действительности этот результат достигается с некоторой наперѐд заданной неточностью: aобщ(ω) ≈ const. Иначе говоря, затухание корректора должно аппроксимировать разность aак(ω) = aобщ(ω) – aкан(ω) (37.2) между выбранной постоянной aобщ и частотной характеристикой затухания канала. Такой способ корректирования предполагает реализацию амплитудного корректора (АК) в виде пассивной цепи. a (ω) a (ω) aобщ aкан (ω) ln K ( jω) aкан (ω) а 0 ω aак (ω) ω χ ωχ б aобщ 0 ω χ ωχ Рис. 37.5. Способы корректирования затухания канала: а) пассивным корректором, б) активным корректором ω Часть II. Глава 11 610 Другой способ, основанный на реализации АК в виде активной цепи, состоит в использовании усилителя (см. лекцию 42) с частотной зависимостью рабочего усиления K(jω) > 0, логарифм которого отличается от затухания aкан(ω) на постоянную величину, что отражено на рис. 37.5, б. Тогда aобщ (ω) aкан (ω) ln 1 K ( jω) ln K ( jω) aкан (ω) ln K ( jω) const , т е. (37.3) aобщ (ω) aкан (ω). Следовательно, в обоих случаях аппроксимируется разность (37.2), но в первом случае с этой целью используется функция затухания aак(ω), а в другом — логарифм рабочего усиления. Для решения задачи аппроксимации обозначим аппроксимируемую функцию aак(ω) через aξ(ω) и Aак(ω) = Aξ(ω), после чего перейдѐм от аппроксимируемой логарифмической функции aξ(ω) = –ln Aξ(ω) к квадрату степенной функции ξ(ω) Aξ2 (ω) e 2 aξ e 2( aобщ aкан ) (37.4) . Полученную функцию (37.4) будем аппроксимировать функцией квадрата АЧХ F (ω) A2 (ω) H ( jω) 2 B0ω2 m B1ω2 m 2 ω 2 n A1ω 2 n 2 Bm , An (37.5) которая должна удовлетворять условиям физической реализуемости: коэффициенты функции (37.5) вещественны и 0 ≤ F(ω) ≤ 1 при ω ≥ 0. Порядок дроби (37.5) и соотношение между степенями числителя и знаменателя выбираются исходя из функции ξ(ω) и требований к точности еѐ воспроизведения. Обычно стремятся получить минимально возможный порядок, поскольку именно им определяется число элементов схемы. Для определения коэффициентов функции (37.5) в простейших случаях обычно используется метод интерполирования полиномами (см. разд. 28.2.2). При конструировании сложных корректоров применяются методы оптимального синтеза на основе критерия Чебышѐва. По найденной функции квадрата АЧХ (37.5) находится передаточная функция H(p) синтезируемого корректора (см. лекцию 33), которая реализуется одной из возможных схем. Лекция 37. Амплитудные корректоры 611 37.3. Основы реализации амплитудных корректоров Прежде всего заметим, что передаточная функция H(p) синтезируемого корректора, как правило, является минимально-фазовой и может быть реализована (см. лекцию 31) либо мостовым, либо перекрытым симметричным Т-образным четырѐхполюсником постоянного характеристического сопротивления. В большинстве случаев используются именно Т-образные схемы (рис. 37.6). Z1 ( p ) R0 1 2 R0 R0 E ( p) R0 Z 2 ( p) 1 U ( p) 2 Рис. 37.6. Реализация АК в виде Т-образного симметричного четырѐхполюсника Сопротивления Z1 и Z2 выбираются из условия: R02 (37.6) Z1Z 2 , т. е. двухполюсники с сопротивлениями Z1 и Z2 являются взаимообратными. Характеристические параметры определяются по сопротивлениям ХХ и КЗ:  постоянное характеристическое сопротивление Zс = R0;  характеристическая постоянная передачи gc ac jbc ln 1 Z1 . R0 (37.7) Тогда комплексная частотная характеристика при Rн = R0 оказывается равной H ( jω) e gc 1 , Z1 ( jω) 1 R0 (37.8) Часть II. Глава 11 612 откуда при p = jω получаем передаточную функцию Т-образного симметричного четырѐхполюсника H ( p) R0 R0 1 . Z1 ( p ) (37.9) Значения сопротивлений Z1 и Z2 находятся из (37.9) и (37.6): Z1 ( p) R0 1 H ( p) ; Z 2 ( p) H ( p) R02 Z1 ( p ) R0 H ( p) . 1 H ( p) (37.10) Соотношения (31.10) и (37.7) показывают, что изменения сопротивлений Z1 и Z2 приводят к изменению рабочей постоянной передачи gc, а потому и рабочего затухания a(ω) и рабочей фазы b(ω), что и обеспечивает возможность коррекции затухания (АЧХ) канала. На практике широко применяются типовые звенья пассивного амплитудного корректора (АК) 1-го и 2-го порядков. На рис. 33.7, а представлено звено первого порядка, у которого двухполюсники Z1(p) и Z2(p) содержат по одному дуальному реактивному элементу C1, L2 и по одному активному сопротивлению R1, R2 соответственно. R1 Z1 C1 1 R0 Z2 2 R0 aак (ω) aак max R2 аа бб L2 1 2 ω 0 Рис. 37.7. Звено пассивного АК 1-го порядка: а) схема, б) характеристика затухания Сопротивления двухполюсников определяются по формулам: Z1 ( p ) 1 Y1 ( p ) 1 C1 p 1 R1C1 ; Z2 ( p) R2 pL2 L2 p R2 . L2 (37.11) Лекция 37. Амплитудные корректоры 613 Найдѐм передаточную функцию Hk1(p) этого звена, для чего подставим (37.11) в (37.9): H к1 ( p) R0 R0 1 R1C1 R0C1 p 1 1 R1C1 C1 p 1 R1C1 R0C1 p p p 1 R1C1 R0 R1 R0 R1C1 p 1 p 1 R1C1 1 R1C1 1 R0C1 (37.12) p β , p α где β R0 R1 . R0 R1C1 1 , α R1C1 Частотная характеристика затухания (в дБ) этого звена при p = jω aк1 (ω) 20lg 1 H к1 ( jω) 10lg ω2 α 2 [дБ], ω2 β2 (37.13) показана на рис. 37.1, б; еѐ максимум имеет место на частоте ω = 0 и равен: aк1max 20lg α2 β2 20lg α β 20lg R0 R1 . R0 (37.14) Звенья АК второго порядка содержат по два реактивных элемента в двухполюсниках Z1(p) и Z2(p), причѐм если в одном из них реактивные элементы составляют последовательный контур, то в другом — параллельный; т. е. имеет место дуальность этих двухполюсников. Рассмотрим типовое звено 2-го порядка (рис. 37.8, а). В этом звене операторное сопротивление Z1(p) имеет вид: Z1 ( p ) 1 pC1 1 pL1C1 pC1 R1 pL1 R1 p 2 L1C1R1 R1 . p 2 L1C1 pR1C1 1 (37.15) Часть II. Глава 11 614 R1 Z1 L1 1 C1 R0 2 aак (ω) R0 aак max R2 Z2 C2 аа бб L2 1 0 2 ω ω1 Рис. 37.8. Звено пассивного АК 2-го порядка: а) схема, б) характеристика затухания Для получения передаточной функции Hk2(p) этого звена, как и в предыдущем случае, сделаем подстановку (37.15) в (37.9), результатом которой является выражение: H к2 ( p ) 1 R0 2 R0 R0 p L1C1R0 R0 R0 p R1 R1 L1 R1 ) L1C1 p2 p 2 R1 pR1C1 1 pR1C1 1 pC1R1R0 p2 p 2 ( R0 p L1C1R1 p L1C1 p 2 L1C1 2 R0 2 p 2 L1C1R1 R0 1 L1C1 L1C1 pR1R0C1 p R1 R1 L1 R0 R1 1 L1C1 L1C1 R0 R1 p R0 R1 L1 1 L1C1 L1C1 . Лекция 37. Амплитудные корректоры 615 С учѐтом известного соотношения для резонансной частоты: 1 L1C1 ω12 передаточная функция приобретает вид: H к2 ( p ) R0 R0 p 2 βp ω12 , R1 p 2 αp ω12 (37.16) p 2 βp ω12 . p 2 αp ω12 (37.17) или H к2 ( p ) K Из выражения (37.17) нетрудно вывести частотную характеристику затухания рассматриваемого звена aк2 (ω) 10lg ω12 ω 2 K 2 ω12 ω 2 2 2 α 2ω 2 2 2 β ω , которая равна нулю на частоте резонанса ω1 (рис. 37.8, б). Помимо перекрытых Т-образных четырѐхполюсников применяются также элементарные четырѐхполюсники (см. разд. 21.1.1), изображѐнные на рис. 37.9. Сопротивления ветвей этих четырѐхполюсников, нагруженных согласованно на R0, рассчитываются по тем же формулам, что и для перекрытых Т-образных (37.10). Так, передаточная функция четырѐхполюсника типа 1 (рис. 37.9, а) H ( p) U 2 ( p) U1 ( p ) R0 R0 Z1 ( p ) внешне ничем не отличается от передаточной функции (37.9), а его сопротивление Z1(p) рассчитывается по формуле (37.10). Элементарные четырѐхполюсники применяются в качестве ных корректоров в случаях, когда не требуется согласования ком сигнала (например, генератором), четырѐхполюсником и В частности, они используются в качестве внутренних цепей (см. лекцию 42). амплитудс источнинагрузкой. усилителей Часть II. Глава 11 616 R0 Z1 1 U1 ( p ) 2 1 U 2 ( p) а 2 1 2 U1 ( p ) 1 R0 Z2 R0 U 2 ( p) б 2 1 E ( p) 2Z1 2 U 2 ( p) R0 в 1 1 R0 E ( p) Z2 2 2 2 R0 U 2 ( p ) 1 Рис. 37.9. Элементарные четырѐхполюсники: а) типа 1, б) типа 2, в) типа 1 с источником напряжения, г) типа 2 с источником напряжения 2 г L2 C2 1 R U вх Лекция 38 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) R C1 2 R Фазовые корректоры Приведение фазочастотных искажений к допустимым нормам осуществляется с помощью специальных устройств, называемых фазовыми корректорами, или фазовыравнивателями. Фазовое корректирование обычно осуществляется после амплитудного корректирования (рис. 38.1, а), поскольку сам амплитудный корректор вносит дополнительные фазовые искажения. Понятно, что фазовый корректор (ФК) не должен вносить амплитудных искажений, поэтому его АЧХ Aфк(ω) (или характеристика затухания aфк(ω)) должна быть независимой от частоты (рис. 38.1, б): Aфк(ω) = const (aфк(ω) = const), а его ФЧХ должна быть такой, чтобы ФЧХ всей системы имела отклонения от линейной в пределах установленных допусков. Это означает, что групповое время задержки (ГВЗ) tг (ω) системы должно быть близкой к постоянной tг (ω) const , например, в баттервортовском или чебышѐвском смысле. A(ω) 1 Канал связи АК ФК нагрузка аа 0 ω бб tг (ω) const Рис. 38.1. Фазовое корректирование: а) место фазового корректора в системе, б) АЧХ фазового корректора Часть II. Глава 11 618 38.1. Общие свойства фазовых звеньев Фазовые корректоры реализуются на основе фазовых звеньев. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Фазовым звеном называют линейный четырѐхполюсник, обладающий заданной ФЧХ и частотно независимой АЧХ. Передаточная функция фазового звена имеет вид: H ( p) vn ( p ) , vn ( p ) (38.1) где, как и прежде,  vn(p) — полином Гурвица порядка n,  vn(–p) — полином, сопряжѐнный с полиномом Гурвица и получаемый заменой в полиноме Гурвица оператора p на –p. Заметим, что корни полинома vn(p) лежат в левой p-полуплоскости, а корни полинома vn(–p) — в правой; т. е. полюсы передаточной функции (38.1) располагаются в левой p-полуплоскости, а нули — в правой, поэтому передаточная функция фазового звена является не минимально фазовой. Фазовые звенья, в зависимости от порядка n, делят на простые (n = 1, 2) и сложные (n ≥ 3). 38.1.1. Частотные характеристики фазовых звеньев Для выяснения, каким образом осуществляется фазовое корректирование, прежде всего покажем, что справедливо следующее утверждение. Утверждение: передаточная функция (38.1) обеспечивает частотно-независимую АЧХ, равную единице, и монотонно убывающую ФЧХ (монотонно возрастающую рабочую фазу). Доказательство. Положим p = jω и запишем КЧХ фазового звена: H ( jω) vn ( jω) vn ( jω) vn ( jω) vn ( jω) e vn ( jω) e j arg vn ( jω) vn ( jω) e j arg vn ( jω) j arg vn ( jω) arg vn ( jω) . (38.2) Лекция 38. Фазовые корректоры 619 Ранее было показано (см. разд. 27.1), что модуль комплекса полинома Гурвица является чѐтной функцией v ( jω) v ( jω) и ни при каких значениях частоты ω не обращается в нуль, а его аргумент — нечѐтной функцией частоты arg vn ( jω) arg vn ( jω) . Указанные свойства полинома Гурвица позволяют записать выражение (38.2) в виде: H ( jω) H ( jω) e j arg H ( jω) A(ω)e j φг (ω) φг (ω) 1e j 2φг (ω) . Таким образом, АЧХ фазового звена является частотно-независимой Aфк(ω) = 1 = const, т. е. рабочее затухание фазового звена равно нулю: aфз (ω) ln Aфз (ω) 0. Фазовые звенья, вследствие частотной независимости их АЧХ, иногда называют всепропускающими цепями или всепропускающими четырѐхполюсниками, подчѐркивая этим тот факт, что фазовые звенья, а потому и фазовые корректоры не обладают никакой частотной избирательностью. Рассмотрим ФЧХ фазового звена: φ фз (ω) 2φ г (ω) , (38.3) которая равна взятому с обратным знаком удвоенному аргументу комплекса полинома Гурвица φг(ω). Но согласно (27.9) с ростом частоты ω от 0 до аргумент комплекса полинома Гурвица степени n монотонно возрастает от 0 π до n . Поэтому ФЧХ звена (38.3) с ростом частоты монотонно убывает, 2 а рабочая фаза bфз(ω) монотонно возрастает, поскольку bфз(ω) = – φфз(ω). Таким образом, показана справедливость приведѐнного выше утверждения. Характеристика группового времени задержки фазового звена определяется соотношением: tфз (ω) dφфз (ω) dbфз (ω) dω dω 2 φ г (ω) . dω (38.4) Часть II. Глава 11 620 Поскольку φг (ω) возрастает с ростом частоты, ГВЗ фазового звена не может принимать отрицательных значений: tфз(ω) = ≥ 0. (38.5) Выясним необходимые и достаточные условия физической реализуемости функции bфз(ω), для чего запишем ФЧХ (38.3) в виде: φфз (ω) 2arctg Im vn ( jω) , Re vn ( jω) откуда рабочая фаза bфз (ω) 2arctg Im vn ( jω) Re vn ( jω) 2arctgR(ω, x ) , где R (ω, x ) ω( xn 2 x1 xn 3ω 2 x2 ω 2 ( 1) k xn 1 k ω 2 k ) , ( 1) n xn 1ω 2 n xi 0 — вектор коэффициентов вещественной и мнимой частей полинома Гурвица. Из свойств полиномов Гурвица (см. лекцию 27) можно сделать следующие выводы относительно функции R(ω, x ) :  все еѐ коэффициенты положительны xi > 0;  нули и полюсы функции R (ω, x ) простые, вещественные и перемежаются (т. е. нули чередуются с полюсами);  порядок числителя или равен порядку знаменателя (тогда k = n) или меньше порядка знаменателя на 2 (тогда k = n –1). Полученные свойства функции R(ω, x ) фазового звена являются необходимыми и достаточными условиями физической реализуемости функции R(ω, x ) в виде рабочей фазы (или ФЧХ) фазового звена. 38.1.2. Частотные характеристики простых фазовых звеньев Фазовое звено первого порядка Фазовое звено первого порядка имеет передаточную функцию вида: H1 ( p) p α , p α (38.6) Лекция 38. Фазовые корректоры 621 откуда нетрудно получить его АЧХ A1 = 1, ФЧХ φ1 (ω) 2arctg ω , α (38.7) рабочую фазу (рис. 38.2, а) ω α и групповое время задержки (рис. 38.2, б) b1 (ω) 2arctg (38.8) 1 1 2α . 2 α 2 (38.9) ω α ω2 1 2 α Функции рабочей фазы и группового времени задержки ФЗ первого порядка, изображѐнные на рис. 38.2, рассчитаны при α = 105 в диапазоне частот 0 ≤ ω ≤ 106. t1 (ω) 2 b1 (ω) π 2 1 0 tг1 (ω) 2 10 5 10 5 аа 10 6 ω б б 0 10 6 ω Рис. 38.2. Частотные характеристики фазового звена 1-го порядка: а) рабочая фаза, б) групповое время задержки Часть II. Глава 11 622 При любых значениях α (α > 0) рабочая фаза звена первого порядка возрастает от нуля до π при изменении частоты от ω = 0 до ω = . Групповое время задержки при этом имеет убывающий характер и стремится к нулю. Изменение значения коэффициента α эквивалентно изменению масштаба частоты: увеличение значения α приводит к растяжению шкалы частот и пропорциональному сжатию шкалы времени. Фазовое звено второго порядка Фазовое звено второго порядка имеет передаточную функцию вида: H 2 ( p) p2 αp β 2 p + αp β , где α > 0 и β > 0, (38.10) откуда нетрудно получить рабочую фазу звена (рис. 38.3, а) и его ФЧХ b2 (ω) 2arctg αω , φ 2 (ω) β ω2 2arctg αω β ω2 (38.11) соответственно, а также групповое время задержки (рис. 38.3, б) tг2 (ω) db2 (ω) dω 2 α β ω2 β ω2 2 α 2ω 2 . (38.12) Функции рабочей фазы и группового времени задержки ФЗ второго порядка, изображѐнные на рис. 38.3, рассчитаны при α = 105 и β = 1010 в диапазоне частот 0 ≤ ω ≤ 106. Выражения (38.11) и (38.12), а также графики (рис. 38.3) показывают, что при изменении частоты от ω = 0 до ω = :  характеристическая фаза звена растѐт от 0 до 2π;  групповое время задержки может иметь один максимум, после которого оно стремится к нулю. Исследование поведения функций (38.11) и (38.12) в зависимости от соотношений между коэффициентами даѐт следующие результаты: 1. Если α2 < 3β, функция (38.11) имеет точку перегиба, в которой ГВЗ достигает максимума, чему соответствуют графики на рис. 38.3. 2. Если 3β ≤ α2 ≤ 4β, характеристическая фаза монотонно возрастает, а ГВЗ монотонно убывает. 3. Если α2 > 4β, полином Гурвица v2 (p) = p2 + αp + β имеет два вещественных корня; это означает, что передаточная функция фазового звена экви- Лекция 38. Фазовые корректоры 623 валентна произведению передаточных функций фазовых звеньев первого порядка вида (38.6): H 2 ( p) H11 ( p) H12 ( p) p α11 p α11 p 2 αp β , p 2 αp β p α12 p α12 (38.13) где α = α11 + α12 и β = α11α12; следовательно, частотные характеристики фазового звена 2-го порядка b2(ω) и tг2(ω) представляют собой суммы характеристик вида (38.8) и (38.9) соответственно. В этом случае фазовое звено 2-го порядка может быть представлено каскадным соединением звеньев 1-го порядка. b2 (ω) 2π а 0 tг2 (ω) 4 10 5 2 10 5 10 6 ω б 0 10 6 ω Рис. 38.3. Частотные характеристики фазового звена 2-го порядка: а) рабочая фаза, б) групповое время задержки 38.2. Синтез фазовых корректоров Фазовые корректоры строятся из фазовых звеньев первого и второго порядков, рассчитываемых с помощью специальных оптимизационных пакетов программ. Рабочая фаза корректора должна компенсировать искажения рабочей фазы канала. Часть II. Глава 11 624 38.2.1. Задание требований к фазовым корректорам При синтезе фазовых корректоров задаются (рис. 38.4):  рабочая полоса частот ω–χ ≤ ω ≤ ωχ, в пределах которой осуществляется корректирование;  частотная зависимость рабочей фазы канала (bкан(ω) = –φкан(ω)) или его группового времени tкан(ω);  желаемая (идеальная) линейная рабочая фаза bи(ω) = ωt0;  допустимая погрешность δ корректирования. Тогда рабочая фаза корректора bфк(ω) представляет собой разность между желаемой линейной зависимостью bи(ω) = ωt0 и рабочей фазой канала bкан(ω): bфк (ω) ξ(ω) ωt0 bкан (ω) . (38.14) Функция (38.14) является аппроксимирующей для линейной функции bи(ω) = ωt0 в том смысле, что min max ωt0 bкан (ω) ξ(ω) x δ. ω bкан (ω), bи (ω) ωt0 bи δ bкан а bфк 0 ω bфк ωχ χ ω ωt0 bкан б 0 ω ωχ χ ω Рабочая полоса Рис. 38.4. Задание требований к фазовому корректору: а) идеальная рабочая фаза, б) рабочая фаза корректора Лекция 38. Фазовые корректоры 625 Для получения этой функции применяются известные оптимальные методы аппроксимации ξ(ω), среди которых наиболее часто используется чебышѐвское приближение (см. лекцию 29). 38.2.2. Схемы простых фазовых звеньев Фазовый корректор включается между каналом, завершающимся амплитудным корректором, и нагрузкой (рис. 38.5) так, что слева и справа от ФК выходное и входное сопротивления соответственно активны и равны R0. Фазовый корректор Канал Z вх R0 Нагрузка Z вх R0 Рис. 38.5. Включение фазового корректора Следовательно, фазовый корректор также должен иметь постоянное входное сопротивление Zвх = R0. Таким условиям удовлетворяют симметричные мостовые четырѐхполюсники (рис. 38.6) или эквивалентные им Т-образные четырѐхполюсники (см. лекцию 21). Как известно, сопротивления моста Za(p) и Zb(p) находятся по формулам (при K = 1): Z a ( p) R0 1 H ( p) и Zb ( p) 1 H ( p) R02 , Z a ( p) которые показывают, что все частотные характеристики определяются только видом двухполюсника Za(p), стоящего в продольной ветви. Выразим сопротивление Za(p) через передаточную функцию ФК (38.1): v( p) v( p) R0 v( p) 1 v( p) 1 Za ( p) R0 v( p) v( p) . v( p) v( p) (38.15) Пример 38.1. Реализовать в виде моста фазовое звено 1-го порядка, у которого v1(p) = p + α и входное сопротивление равно R0. Часть II. Глава 11 626 Решение. Найдѐм сопротивление Za(p) согласно (38.15) Z a ( p) R0 p α p α p α p α R0 2p 2α R0 p α R0 p. α Это означает, что Za(p) представляет собой элемент индуктивности с параметром La R0 . α Тогда двухполюсник, стоящий в диагональной ветви, является элементом ѐмкости R02 Z a ( p) Zb ( p) 1 1 p R0α с параметром Cb 1 . R0α Схема полученного фазового звена представлена на рис. 38.6; пример частотных зависимостей рабочей фазы b1(ω) и группового времени tг1(ω) представлен на рис. 38.2. R0 1 U1 ( p ) E ( p) L C 2 U 2 ( p) 1 R0 2 Рис. 38.6. Фазовое звено 1-го порядка в виде мостового четырѐхполюсника Пример 38.2. Реализовать в виде моста фазовое звено 2-го порядка, у которого v2 (p) = p2 + αp + β и входное сопротивление равно R0. Решение. Подстановка полинома v2 (p) = p2 + αp + β в (38.15) даѐт Za ( p) R0 p 2 αp β p 2 αp β p 2 αp β p 2 αp β R0αp . p2 β (38.16) Лекция 38. Фазовые корректоры 627 Для удобства рассмотрим операторную проводимость Ya ( p ) p2 β R0αp 1 Z a ( p) 1 p R0α 1 , R0α p β (38.17) откуда следует, что двухполюсник Z1(p) представляет собой параллельный LC-контур с параметрами элементов: R0α ; Ca β La 1 . R0α Определим операторное сопротивление Zb(p): Zb ( p) R0 p2 β αp R0 p α R0β αp R0 p α 1 α p R0β Lb p 1 , Cb p (38.18) откуда следует, что двухполюсник Z2(p) представляет собой последовательный LC-контур с параметрами элементов: Lb R0 ; Cb α α . R0β Схема полученного фазового звена 2-го порядка представлена на рис. 38.7; пример частотных зависимостей рабочей фазы b2(ω) и группового времени tг2(ω) представлен на рис. 38.3. Lа 1 2 Cа Lб Cб 1 2 Рис. 38.7. Фазовое звено 2-го порядка в виде мостового четырѐхполюсника Мостовая схема, являясь уравновешенной, не всегда удобна для реализации. Поэтому на практике для синтеза фазовых корректоров используются Т-образные фазовые перекрытые звенья, эквивалентные мостовым (рис. 38.8). Часть II. Глава 11 628 Число реактивных элементов в таких звеньях в два раза меньше, чем в мостовых. Перекрытые звенья отличаются друг от друга параметрами составляющих элементов, которые зависят от соотношения между β и α2. В частности, при β < α2 требуется реализовать отрицательную индуктивность, что возможно сделать с помощью трансформатора со встречным включением обмоток (рис. 38.8, а). На рис. 38.8 значения параметров индуктивности и ѐмкости указаны в величинах относительно значений параметров элементов эквивалентной мостовой схемы (рис. 38.7). Наиболее часто используется звено, изображѐнное на рис. 38.8, в, поскольку не содержит связанных индуктивностей с заданным коэффициентом связи M. 0,5Са 0,5Са M 1 2 L M 2Сб 1 Lа α 2 Lб 2 Lб Lа 2 2Сб 0 аа бб 1 2 β Lа Lа 1 2 2 β α 2 0,5Са Lа Lа 1 2 L Lб Lа 2 0 2Сб 1 вв 2 β α2 Рис. 38.8. Реализация фазовых звеньев 2-го порядка в виде перекрытых четырѐхполюсников в зависимости от соотношения между β и α2: а) β < α2, б) β = α2, в) β > α2 Лекция 38. Фазовые корректоры 629 Фазовые звенья применяются не только для построения фазовых корректоров. Возможность получения функции группового времени задержки tг(ω) с заданной частотной зависимостью позволяет использовать фазовые звенья для конструирования аналоговых линий задержки, согласованных с сигналов фильтров, устройств формирования сложных импульсных сигналов, разнообразных анализаторов спектров случайных процессов. Математические основы и схемы таких устройств изучаются в отдельных курсах. Однако следует заметить, что в настоящее время всѐ перечисленное в большинстве случаев реализуется на цифровой элементной базе с использованием методов цифровой обработки сигналов. L2 C2 1 R U вх Лекция 39 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Аналоговые линии задержки 39.1. Определение и общие характеристики линий задержки В самом общем случае линией задержки называют четырѐхполюсник, обеспечивающий задержку сигнала на заданное время t0. При этом, конечно же, задержанный сигнал не должен быть искажѐн. Это требование соответствует условиям безыскажѐнной передачи сигналов (см. лекцию 34), которые, следует напомнить, состоят в том, что:  во-первых, в пределах рабочей полосы частот АЧХ четырѐхполюсника не должна зависеть от частоты A(ω) = K;  во-вторых, его ФЧХ должна быть линейной функцией частоты φ(ω) = –ω t0. Это означает, что комплексная частотная характеристика четырѐхполюсника должна иметь вид: H ( jω) Ke jωt0 , где t0 определяет угол наклона ФЧХ и является групповым временем, не зависящим от частоты: dφ(ω) tг (ω) t0 const . dω Отсюда становится ясным смысл термина "задержка", состоящий в том, что четырѐхполюсник запоминает сигнал на заданное время t0. Теперь можно дать определение линии задержки. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Четырѐхполюсник, запоминающий входной сигнал x(t) и повторяющий его на выходе спустя заданное время t0 при сохранении формы сигнала с точностью до постоянного множителя K, называется линией задержки (ЛЗ). Лекция 39. Аналоговые линии задержки 631 Сказанное означает, что между сигналом на входе x(t) и сигналом на выходе имеет место соотношение: y(t ) Kx(t t0 ) . Параметры и свойства линии задержки отображены на рис. 39.1. x(t ) y (t ) Линия задержки Параметры: x (t ) t0 , K b(ω) A 1 ωt0 б 0 г t τ 0 ω tг (ω) y (t ) K A t0 в 0 а t0 t0 τt 0 д ω Время задержки Рис. 39.1. Параметры и свойства линии задержки: а) определение ЛЗ, б) сигнал длительности τ на входе ЛЗ, в) сигнал на выходе ЛЗ, задержанный на t0, г) рабочая фаза ЛЗ, д) групповое время ЛЗ Линии задержки (ЛЗ) применяются в измерительной технике, в схемах оптимальной обработки сигналов, в мониторах и телевизионных приѐмниках для согласования поступления на электронную пушку кинескопа яркостного и цветового сигналов, а также в разнообразных приборах в качестве элементов памяти. Передаточная функция идеальной ЛЗ H ( p) Ke pt0 Часть II. Глава 11 632 не реализуема электрической цепью с конечным числом элементов R, L, C. Однако еѐ можно реализовать согласованной нагруженной длинной линией без потерь с волновым сопротивлением Zl L . C ρ Действительно, комплексная амплитуда напряжения на входных зажимах линии определяется выражением: U0 U l e jβl , где:  l — длина линии;  βl — собственная (волновая) фаза линии;  U l — комплексная амплитуда напряжения на выходе линии;  β ω LC ω — коэффициент фазы; vф  vф — скорость распространения волны вдоль линии. Отсюда получаем комплексную частотную характеристику длинной линии H ( jω) Ul U0 e jβl e jω LCl и еѐ групповое время задержки tг (ω) d ω LCl dω LCl l vф t0 const . Отрезки длинных линий с пренебрежимо малыми потерями используется как ЛЗ в технике СВЧ. Время задержки таких отрезков невелико. Если же увеличить длину линии, то линия уже не будет линией с пренебрежимо малыми потерями, и еѐ электрические характеристики оказываются далѐкими от требуемых. В области низких частот (до нескольких мегагерц) применяются линии задержки, представляющие собой четырѐхполюсники с сосредоточенными параметрами. Лекция 39. Аналоговые линии задержки 633 Прежде чем приступать к изучению синтеза линий задержки, сделаем ряд важных замечаний:  понятие группового времени задержки применительно к электрическим цепям с сосредоточенными параметрами является результатом формального распространения на эти цепи теории длинных линий;  в длинной линии запаздывание (задержка) обусловлено конечной скоро- стью распространения электромагнитных колебаний, и групповое время tг(ω) трактуется как время, спустя которое максимум огибающей двух смежных по частоте гармонических составляющих сложного колебания появится в конце линии;  в любом четырѐхполюснике с сосредоточенными параметрами, включая и линии задержки, реакция на выходе появляется одновременно с приложением сигнала к входу. Тем не менее, энергетически значимая часть сигнала, расположенная в пределах узкой полосы его спектра, появляется на выходе цепи лишь спустя время t0, свойственное данной цепи. По этой причине возможны такие линейные электрические цепи, у которых в некотором диапазоне частот характеристика ГВЗ tг(ω) будет принимать отрицательные значения. Таким образом, четырѐхполюсник с сосредоточенными параметрами осуществляет задержку сигнала, имеющего лишь ограниченный спектр. 39.2. Синтез линий задержки Простыми примерами четырѐхполюсников с сосредоточенными параметрами являются изученные фазовые звенья 1-го и 2-го порядков (см лекцию 37), которые при согласованной нагрузке точно обеспечивают одно из условий безыскажѐнной передачи — независимость АЧХ от частоты. Тогда задача сводится к синтезу такого звена, у которого рабочая фаза близка к линейной в заданной полосе частот (рис. 39.2, а), т. е. групповое время (время задержки) tг(ω) в этой полосе близко к некоторой постоянной t0 с погрешностью ±δг (рис. 39.2, б). Линии задержки на большее время составляются из N каскадно соединяемых одинаковых секций с отводами (рис. 39.3). Все секции обладают одинаковым временем задержки τ0. Поскольку при каскадном соединении секций групповое время линии задержки образуется суммированием группового времени каждой из секций, то на выходе первой секции имеем задержку на τ0, на выходе второй — задержку на 2τ0 и т. д. Общая задержка всей линии оказывается равной τ0 = Nτ0. При этом необходимо помнить, что нагрузка всех секций, включая секцию N, является согласованной и равной R0. Часть II. Глава 11 634 b(ω) Участок рабочей фазы, близкой к линейной bmax 0 а ω ωχ tг (ω) δг Участок группового времени задержки, близкого к постоянному t0 б 0 ω ωχ Рис. 39.2. Соотношение между рабочей фазой (а) и групповым временем задержки (б) Секция 1 t г1 τ0 Секция 2 tг2 2τ0 Секция k t гk kτ 0 t0 Nτ 0 Рис. 39.3. Линия задержки с отводами Секция N Лекция 39. Аналоговые линии задержки 635 39.2.1. Постановка задачи синтеза линий задержки Задача синтеза ЛЗ в самом общем виде может быть сформулирована следующим образом. Задача 39.1. Построить линейный четырѐхполюсник минимального порядка, у которого в рабочей полосе частот 0 ≤ ω ≤ ωχ АЧХ равна единице, а функция группового времени задержки tг(ω) отличается от t0 = const в заданных пределах ±δг. Для решения задачи синтеза ЛЗ задаются следующие требования и ограничения: 1. Рабочая полоса частот 0 ≤ ω ≤ ωχ. 2. Величина группового времени задержки t0 = const в пределах рабочей полосы частот. 3. Максимально допустимая абсолютная величина отклонения ГВЗ δг в рабочей полосе частот. 4. Относительное отклонение γг характеристики группового времени γг δг , t0 называемое коэффициентом искажения группового времени. 5. В ряде случаев вместо требований к групповому времени задают требования к ФЧХ φ(ω) (рис. 39.4, а) или к характеристике рабочей фазы b(ω) = –φ(ω) (рис. 39.4, б) с соответствующими допустимыми отклонениями δφ и δb. Сложность линии задержки характеризуют параметром B, называемым базой: B = t0ΔF. База равна произведению времени задержки t0 (в секундах) на ширину рабочей полосы ΔF (в герцах). Следовательно, время задержки t0 обратно пропорционально ширине рабочей полосы, и при фиксированной величине базы увеличение ширины рабочей полосы приводит к уменьшению времени задержки. Реализация линий задержки с базой в несколько единиц затруднений не вызывает, но уже при базе в несколько десятков единиц появляются значительные трудности. Часть II. Глава 11 636 φ(ω) ωχ Участок фазочастотной характеристики, близкой к линейной 0 2δφ ω а φ min b(ω) Участок рабочей фазы, близкой к линейной bmax 2δb 0 ωχ б ω Рис. 39.4. Требования к линии задержки: а) требования к ФЧХ, б) требования к рабочей фазе 39.2.2. Полиномиальные линии задержки Для синтеза ЛЗ используются специальные полиномы Гурвица, среди которых наибольшее практическое применение нашли полиномы Бесселя vБn(p) nго порядка. Это объясняется тем, что полиномы Бесселя обеспечивают максимально плоскую аппроксимацию ГВЗ (сравнить с максимально плоской аппроксимацией АЧХ фильтров Бесселя). Лекция 39. Аналоговые линии задержки 637 Полиномы Бесселя 1—4-го порядков имеют вид: vБ1 ( p ) p 1; vБ2 ( p ) p2 vБ3 ( p ) p 3 6 p 2 15 p 15; vБ4 ( p ) p 4 10 p 3 45 p 2 105 p 105. 3 p 3; (39.1) Полиномы Бесселя более высоких порядков можно найти в справочниках и каталогах. При синтезе линий задержек применяют нормированную частоту Ω и нормированное групповое время tˆг ( ) как функцию нормированной частоты. Существо нормирования состоит в следующем: нормированная частота Ω представляет собой частное от деления частоты ω на частоту нормирования ωн: ω̂ ω . ωн (39.2) При этом рабочая полоса (или интервал аппроксимации) переходит в полосу нормированных частот 0 ˆχ ω χ ωχ ωн . (39.3) Нормированное групповое время tˆг ( ) представляет собой произведение группового времени на частоту нормирования: tˆг (ω) tг (ω)ωн . (39.4) Частоту нормирования, присутствующую в выражениях (39.2)—(39.4), найдѐм из выражения (38.4), записав его для группового времени линии задержки: tг (ω) 2 dφ(ω) dω 2φ (ω) , на основании чего формула (39.4) принимает вид: tˆг (ω) tг (ω)ωн 2φ (ω)ωн 2φˆ (ω) , (39.5) где φ̂ (ω) — нормированная производная: φ (ω)ωн 2φˆ (ω) . (39.6) Часть II. Глава 11 638 Важно помнить, что заданное время задержки t0 в действительности выдерживается только на частоте ω = 0, на которой соответствующее нормированное групповое время равно tˆг (0) tг (0)ωн t0ωн 2φ (0)ωн 2φˆ (0) , (39.7) а нормированная производная φ̂ (0) φ (0)ωн . (39.8) Согласно смыслу нормированного времени (39.5) потребуем, чтобы нормированная производная (39.8) на частоте ω = 0 равнялась единице: φ̂ (0) 1 . Тогда (39.7) преобразуется к виду: t0ωн 2, откуда получаем значение нормирующей частоты: ωн 2 . t0 (39.9) Теперь согласно (39.2) и (39.4) можно записать окончательные выражения для нормированной частоты и нормированного времени: ω̂ tˆг (ω) tˆ0 ωt0 ; 2 t (ω) 2 г ; t0 (39.10) 2. Графики нормированной функции φ̂ ( ) приведены на рис. 39.5. Они показывают, что функция φ̂ ( ) (а потому и ГВЗ tг(ω)) аппроксимирует плоскую функцию задержки тем в большем диапазоне частот, чем выше степень полинома Бесселя, а погрешность такого приближения монотонно возрастает с ростом частоты. Процедура синтеза ЛЗ с максимально плоской характеристикой ГВЗ сводится к следующему: 1. Задаются требования и ограничения, перечисленные в разд. 39.2.1. 2. Рассчитывается рабочая полоса в нормированных частотах (39.3). Лекция 39. Аналоговые линии задержки 639 φ̂ (Ω) γ 0,1 1 0,9 Порядок полинома n n 0 n 3 2 1 2 n 4 Ω 3 Рабочий диапазон (интервал аппроксимации) Рис. 39.5. Определение порядка полинома Бесселя 3. Рассчитывается коэффициент искажения ГВЗ: γг δг . t0 4. По графикам или таблицам определяется минимальный порядок n передаточной функции ЛЗ, при котором на граничной частоте Ωχ коэффициент искажения не превышает рассчитанной величины. 5. Отыскивается полином Бесселя vn(p) порядка n. 6. Записывается передаточная функция: H ( p) vn ( p ) . vn ( p ) Пример 39.1. Найти передаточную функцию ЛЗ, если t0 = 100 мкс, δг = 10 мкс, рабочая полоса 0 ≤ ω ≤ ωχ = 40 кГц. Решение. Определяем нормированную граничную частоту рабочей полосы: χ ωχ ωχ t0 ωн 2 4 104 10 2 4 2 Часть II. Глава 11 640 и коэффициент искажения группового времени γ δг t0 10 100 0,1 . По графику рис. 39.5 определяем, что данному коэффициенту искажения при граничной частоте Ωχ = 2 соответствует полином Бесселя 4-го порядка (39.1), в соответствии с которым передаточная функция ЛЗ имеет вид: H ( p) v4 ( p ) v4 ( p ) p 4 10 p 3 45 p 2 105 p 105 . p 4 10 p3 45 p 2 105 p 105 Для реализации этой передаточной функции необходимо задать сопротивление нагрузки R0 и воспользоваться методами расчѐта фазовых звеньев в мостовом или Т-образном вариантах (см. разд. 38.2). 39.3. Понятие о фазовращателях ОПРЕДЕЛЕНИЕ Фазовращателем называют устройство с одним входом и N выходами (рис. 39.6), в рабочем диапазоне частот ω–χ ≤ ω ≤ ωχ которого по входному сигналу x(t) формируется N выходных сигналов y1(t), y2(t), …, yi(t), …, yN(t), имеющих независимую от частоты постоянную разность фаз соседних сигналов π . φi (ω) φi 1 (ω) φ0 N Понятно, что реально эта разность будет обеспечиваться в пределах допустимой погрешности Δφ0: φ0 φi (ω) φi 1 (ω) φ0 . Фазовращатели используются при построении систем оптимальной обработки сигналов (оптимального приѐма), формирования однополосного сигнала, в системах относительной фазовой модуляции и т. д. Реализовать фазовращатель можно с помощью N + 1 четырѐхполюсника (рис. 39.7, а). При частотной независимости входных сопротивлений всех четырѐхполюсников от 1-го по N-ый четырѐхполюсник с номером N + 1 вырождается в простое параллельное соединение (рис. 39.7, б). Тогда каж- Лекция 39. Аналоговые линии задержки 641 дый i-ый четырѐхполюсник должен быть фазовым звеном с передаточной функцией H i ( p) vni ( p) vni ( p) и воспроизводить требуемую ФЧХ в заданном рабочем диапазоне частот с заранее определѐнной точностью. Фазовращатель y1 (t ) y2 (t ) x(t ) yi 1 (t ) yi (t ) φ(y2 ) φ(y1 ) φ0 φ(yi ) φ(yi 1 ) φ0 yN (t ) Рис. 39.6. Фазовращатель с N выходами U вх N 1 1 U1 i Ui N UN U вх а 1 U1 2 U2 3 U3 б 1 U1 2 U2 U вх в Рис. 39.7. Фазовращатели: а) при частотной зависимости входных сопротивлений, б) при частотной независимости входных сопротивлений, в) фазовращатель на π/2 Часть II. Глава 11 642 На рис. 39.7, в приведена структурная схема наиболее часто используемого фазовращателя на π/2 (на 90 ), называемого также преобразователем Гильберта, а на рис. 39.8 представлены ФЧХ двух фазовых звеньев такого фазовращателя, обеспечивающего в рабочем диапазоне разность фаз между сигналами y1(t) и y2(t), близкую к φ0 = π/2, причѐм на частоте ω0 эта разность точно равна π/2. φ(ω) Рабочий диапазон 0 φ(ω0 ) ω χ ωχ ω0 π 2 ω φ1 (ω) φ1 (ω) φ 2 (ω) π 2 φ 2 (ω) Рис. 39.8. Фазочастотные характеристики фазовращателя на π/2 L2 C2 1 R U вх 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Глава 12 Цепи с обратной связью Лекция 40. Основные положения общей теории обратной связи Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью Лекция 42. Основы теории усилителей Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей L2 C2 1 R U вх Лекция 40 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 R Основные положения общей теории обратной связи 40.1. Принцип обратной связи Понятием "обратная связь" широко пользуются при изучении и конструировании разнообразных систем от биологических до экономических, где решающая роль принадлежит процессу управления, который, в свою очередь, строится на основании полученной информации о результатах управления. При этом управляющее воздействие как первичный элемент полностью зависит от вторичного элемента: вызываемой управляющим действием реакции, или состояния, объекта управления. Иначе говоря, причина ставится в зависимость от следствия. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Связь между причиной и следствием называется обратной связью, а принцип управления с использованием информации о результатах управления называется принципом обратной связи. Воздействие (причина) x(t ) f (t ) Объект управления Реакция (следствие) Контур ОС x(t ) f (t ) Устройство управления Обратная связь Рис. 40.1. Принцип обратной связи y (t ) Часть II. Глава 12 646 В общем случае структура системы с обратной связью (ОС) имеет вид, показанный на рис. 40.1. Внешнее воздействие x ( t ) , которое может представлять собой совокупность воздействий, поступает на объект управления через решающее устройство (±). Сигнал y(t) (или его часть), содержащий информацию о состоянии объекта, подаѐтся в цепь обратной связи, где устройство управления формирует сигнал управления f(t), который в решающем устройстве (±) складывается с текущим воздействием x(t) или вычитается из него. Результат x(t) ± f(t) вновь поступает на вход управляемого объекта. В настоящем курсе лекций обратная связь рассматривается в более узком смысле применительно к электрическим цепям различного назначения, в которых целью обратной связи является улучшение тех или иных характеристик устройства. Например, с помощью обратной связи достигается устойчивость параметров усилителя к неблагоприятным воздействиям, обеспечение автоколебательного режима в генераторе колебаний, минимизация ошибки приѐма сигналов в адаптивных фильтрах и т. д. Путь, проходимый сигналом от произвольно выбранной исходной точки через все элементы системы с ОС к той же исходной точке, называется замкнутым контуром или просто контуром ОС, и не зависит от того, где выбрана эта точка. Часто контур ОС называют петлѐй обратной связи. В дальнейшем обратной связью будем называть соединение выхода системы с еѐ входом, объект управления — четырѐхполюсником прямой цепи, а устройство управления — четырѐхполюсником обратной связи. Решающее устройство может входить в состав четырѐхполюсника прямой цепи. Заметим, что термин "обратная связь" применяется только по отношению к активным системам, причѐм четырѐхполюсник прямой связи обычно является активным, а четырѐхполюсник ОС — пассивным. 40.2. Классификация систем с обратной связью Системы с обратной связью классифицируются по ряду признаков, которые соответствуют разнообразным еѐ свойствам и характеристикам.  По количеству контуров различают одноконтурные (рис. 40.1) и много- контурные (рис. 40.2) системы с обратной связью.  По принципу организации различают жѐсткую и гибкую обратную связь: обратная связь называется жѐсткой, если выходной сигнал y(t) подаѐтся на вход системы непосредственно, без каких-либо преобразований (рис. 40.3, а); Лекция 40. Основные положения общей теории обратной связи Четырѐхполюсник 1 x (t ) y1 (t ) Четырѐхполюсник 2 y2 (t ) Четырѐхполюсник 3 647 y (t ) Контур ОС 2 f1 (t ) ОС 2 Контур ОС 1 f (t ) ОС 1 Рис. 40.2. Двухконтурная система с обратной связью x(t ) H1( p) y (t ) x(t ) X ( p) разомкнутая ОС а F ( p) H1( p) y (t ) Y ( p) замкнутая ОС f (t ) H 2 ( p) бб Рис. 40.3. Обратная связь: а) жѐсткая, б) гибкая обратная связь называется гибкой, если выходной сигнал y(t) подаѐтся на вход системы через некоторую цепь, преобразующую сигнал y(t) в сигнал управления f(t), как это показано на рис. 40.1 и рис. 40.3, б.  По способу соединения четырѐхполюсников прямой цепи и обратной связи (в соответствии с разд. 21.4): параллельные (рис. 21.6), последовательные (рис. 21.7), последовательно-параллельные (рис. 21.8), параллельнопоследовательные (рис. 21.9). На всех этих рисунках цепь обратной связи представлена четырѐхполюсниками, расположенными внизу. Для анализа таких сложных систем ОС используются Y-, Z-, H- и F-параметры соответственно, поэтому в литературе подобные системы иногда называют системами Y-, Z-, H- и F-типа.  По виду обратной связи: по напряжению, если напряжение или ток об- ратной связи зависят от напряжения на выходе цепи; по току, если напря- Часть II. Глава 12 648 жение или ток обратной связи зависят от тока на выходе цепи. Выделяют четыре вида обратной связи (рис. 40.4): последовательную по напряжению, когда напряжение обратной связи Uос зависит от напряжения на выходе цепи Uвых; параллельную по напряжению, когда ток обратной связи Iос зависит от напряжения на выходе цепи Uвых; последовательную по току, когда напряжение обратной связи Uос зависит от тока на выходе цепи Iвых; параллельную по току, когда ток обратной связи Iос зависит от тока на выходе цепи Iвых. 1 I вх ( p ) U1 ( p ) H1 ( p ) U вх ( p ) I вых ( p) 2 Z н ( p) U ос ( p ) 1 U1 ( p ) U вых ( p ) H 2 ( p) H1 ( p ) U вх ( p ) U ос ( p ) 1 в 1 U вых ( p ) H 2 ( p) 2 I ос ( p) I вых ( p) 2 H1 ( p ) Z н ( p) U вх ( p ) 1 U вых ( p ) H 2 ( p) 2 б I вых ( p) 2 Z н ( p) U вх ( p ) I вх ( p) I1 ( p) 1 2 а 1 I вх ( p ) 1 I вх ( p) I1 ( p) I ос ( p) I вых ( p) 2 H1 ( p ) Z н ( p) U вых ( p ) H 2 ( p) г 2 Рис. 40.4. Виды обратной связи: а) последовательная по напряжению, б) параллельная по напряжению, в) последовательная по току, г) параллельная по току  По структуре: ОС бывает внешней, когда ОС представляет собой внеш- нюю цепь, и внутренней, которая возникает вследствие неидеальности четырѐхполюсника прямой передачи.  По принципу воздействия на объект (или по характеру связи) различают два вида обратной связи: отрицательную и положительную. Известен ряд определений знака обратной связи, так или иначе сводящихся к тому, что обратную связь называют отрицательной или положительной в зависимости от того, суммируется управляющий сигнал f(t) с воздействием Лекция 40. Основные положения общей теории обратной связи 649 x(t) или вычитается из него. При таких определениях всегда подразумевается, что знак обратной связи является структурным признаком конкретного устройства и не зависит от вида и характеристик входного сигнала, что на самом деле далеко не всегда справедливо. Действительно, если на вход системы с ОС подать гармонический сигнал x(t) (например, напряжение), то за счет реактивности цепи ОС выходной сигнал y(t) будет иметь фазовый сдвиг относительно входного x(t). Этот фазовый сдвиг при изменении частоты входного сигнала меняется, и при замыкании контура ОС управляющий сигнал f(t) может при одних значениях частоты складываться с входным, при других — вычитаться. Поскольку на входе всегда существует сигнал (в общем случае с бесконечным спектром), а ФЧХ системы с ОС всегда нелинейна, то любое реальное устройство с ОС, согласно выше приведѐнному определению, является одновременно устройством как с положительной, так и отрицательной связью, т. е. оно обладает комбинированной обратной связью. Установление однозначной связи знака ОС со структурой системы можно получить, если воспользоваться понятием "инверсия функции s(t)". ОПРЕДЕЛЕНИЕ Инверсией называется такая операция над функцией s(t), при которой все составляющие еѐ спектра S(jω) изменяют фазу на π. Инверсия происходит, например, в транзисторном каскаде с общим эмиттером, в трансформаторе при встречном подключении обмоток и т. д. Однако в чистом виде получить инверсию невозможно, поскольку она сопровождается искажением спектра сигнала благодаря наличию реактивных составляющих всех реальных элементов, образующих четырѐхполюсники. С другой стороны, наличие инверсии характеризует только структуру самого устройства и никак не зависит от параметров входного сигнала. Устройство, в котором производится инвертирование, называется инвертором. Понятно, что если сигнал последовательно проходит нечѐтное число операций инверсии, то на выходе он получается инвертированным, если чѐтное — неинвертированным. Теперь можно дать определение знака ОС. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Обратная связь положительна, если сигнал, пройдя по замкнутому контуру обратной связи, не инвертируется, и отрицательна, если сигнал инвертируется. Часть II. Глава 12 650 В коэффициенте передачи цепи наличие инверсии обозначается знаком минус. Согласно определению можно выделить два класса устройств с обратной связью:  устройства с положительной ОС, которые используются в автогенерато- рах для осуществления автогенерации, в корректирующих цепях и т. п.;  устройства с отрицательной ОС, широко применяемые для стабилиза- ции параметров схем и получения широкой полосы пропускания. 40.3. Передаточная функция цепи с обратной связью Поставим задачу найти и исследовать передаточную функцию Ho(p) цепи с обратной связью, для чего обратимся к рис. 40.3, б, на котором указаны L-изображения действующих в системе сигналов и передаточные функции четырѐхполюсников прямой цепи и обратной связи. Входной сигнал x(t) складывается с сигналом обратной связи f(t), что даѐт на выходе прямой цепи реакцию y(t). Этот процесс в операторной форме записывается следующим образом: Y ( p) H1 ( p ) X ( p ) F ( p ) , (40.1) где H1(p) — передаточная функция четырѐхполюсника прямой цепи. С другой стороны, F ( p) Y ( p) H2 ( p) , (40.2) где H2(p) — передаточная функция четырѐхполюсника обратной связи. Подставляя (40.2) в (40.1), получаем: Y ( p) или H1 ( p ) X ( p ) Y ( p ) H 2 ( p ) , Y ( p) 1 Y ( p) H 2 ( p) H1 ( p ) X ( p ). Теперь можно записать передаточную функцию Ho(p) системы с обратной связью Y ( p) H1 ( p ) H1 ( p ) H o ( p) , (40.3) X ( p ) 1 H1 ( p) H 2 ( p) 1 H раз ( p) где H раз ( p ) H1 ( p ) H 2 ( p ) Лекция 40. Основные положения общей теории обратной связи 651 представляет собой передаточную функцию разомкнутой цепи, состоящей из каскадно-соединенных четырѐхполюсников прямой цепи и обратной связи. Выражение (40.3) называется основным выражением для одноконтурной системы с обратной связью. Рассмотрим систему, когда прямая цепь и цепь обратной связи не зависят от частоты, что возможно, когда в цепи отсутствуют реактивные L- и Cэлементы. В этом случае все передаточные функции вырождаются в вещественные числовые константы:  H1(p) = A1 — коэффициент передачи прямой цепи;  H2(p) = β, β > 0 — коэффициент обратной связи;  Ho(p) = Ao — общий коэффициент передачи системы. Для этого идеального случая из (40.3) получаем: Ao A1 , 1 A1β (40.4) где произведение A1β представляет собой коэффициент передачи разомкнутой системы, который также называют петлевым коэффициентом передачи, а величина 1 A1β называется глубиной обратной связи. Ясно, что именно от этого коэффициента зависят свойства системы с обратной связью. В частности, при одних условиях модуль общего коэффициента усиления может оказаться большим, а при других условиях — меньшим, нежели модуль коэффициента передачи прямой цепи, причѐм коэффициент передачи прямой цепи A1 может быть как положительным, так и отрицательным. Из выражения (40.4) при условии положительности коэффициента обратной связи (β > 0) следует:  A1β < 0 и |1 – A1β| > 1; это означает, что A1 < 0 и общий коэффициент пере- дачи также отрицателен Ao < 0, но по модулю он оказывается меньше коэффициента передачи прямой цепи: |Ao| < | A1|; имеет место отрицательная обратная связь;  A1β > 0 и |1 – A1β| < 1; это означает, что A1 > 0 и общий коэффициент пере- дачи также положителен Ao > 0, но по модулю оказывается больше коэффициента передачи прямой цепи: |Ao| > A1; имеет место положительная обратная связь; Часть II. Глава 12 652 1 β и становится независимым от коэффициента передачи прямой цепи: 1 ; что достигается при стремлении коэффициента передачи раAo β зомкнутой системы к бесконечности A1β → ;  A1β >> 1; в этом случае общий коэффициент передачи Ao стремится к  A1β = 1; коэффициент Ao становится бесконечно большим, а система ока- зывается неустойчивой; в этом случае возможно самовозбуждение системы, поскольку колебания на еѐ выходе могут возникать при отсутствии внешнего воздействия. На рис. 40.5 графически отображена рассмотренная зависимость между коэффициентом передачи прямой цепи A1 и общим коэффициентом передачи системы Ao при условии положительности константы β. Графики показывают справедливость сделанных выводов. Чтобы физически возможная система с ОС была устойчивой, коэффициент передачи разомкнутой системы A1β не должен превышать 1 (A1β < 1). Это 1 соответствует показано на рис. 40.5, где область справа от абсциссы A1 β области неустойчивости. 0 A0 Aβ < 1 3/β Граница устойчивости 2/β 1/ β 4/β 3/β 2/β 1/ β 1/ β 2/β 3/β 4/β A1 1/ β Aβ < 0 2/β 3/β Aβ > 1 Рис. 40.5. Зависимость между коэффициентом передачи прямой цепи A1 и общим коэффициентом передачи системы Ao Лекция 40. Основные положения общей теории обратной связи 653 40.4. Частотные и временные характеристики цепи с обратной связью 40.4.1. Частотные характеристики цепи с обратной связью Полученные свойства идеальной системы с обратной связью нетрудно распространить на реальные системы, характеристики которых зависят от частоты. В связи с этим рассмотрим частотные и временные характеристики устойчивых систем с обратной связью. Обратимся к выражению (40.3) и выполним замену p = jω. Тогда получим комплексную частотную характеристику системы с обратной связью: H o ( jω) H1 ( jω) 1 H1 ( jω) H 2 ( jω) H1 ( jω) 1 H раз ( jω) Ao (ω)e jφ0 (ω) , (40.5) а также еѐ АЧХ Ao (ω) H o ( jω) (40.6) и ФЧХ φ0 (ω) arg Ho ( jω) . (40.7) Выразим АЧХ и ФЧХ системы через АЧХ и ФЧХ четырѐхполюсников прямой и обратной связи, которые будем считать заданными: A1 (ω) H1 ( jω) , φ1 (ω) arg H1 ( jω) (40.8) arg H 2 ( jω) . (40.9) и β(ω) H 2 ( jω) , φ 2 (ω) Подставляя выражения (40.8) и (40.9) в (40.5), получаем: H o ( jω) A1 (ω)e jφ1 (ω) 1 A1 (ω)β(ω)e j φ1 (ω) φ 2 (ω) A1 (ω)e jφ1 (ω) 1 A1 (ω)β(ω)cos φ1 (ω) φ 2 (ω) jA1 (ω)β(ω)sin φ1 (ω) φ 2 (ω) A1 (ω)e jφ1 (ω) Re(ω) j Im(ω) A1 (ω) Re2 (ω) Im 2 (ω) exp j φ1 (ω) arctg Im(ω) Re(ω) , Часть II. Глава 12 654 откуда имеем АЧХ системы: Ao (ω) Ao (ω) H o ( jω) A1 (ω) 1 A1 (ω)β(ω)cos φ1 (ω) φ 2 (ω) 2 A1 (ω) 1 2 A1 (ω)β(ω)cos φ1 (ω) φ 2 (ω) и еѐ ФЧХ: φ0 (ω) φ1 (ω) arctg 2 A1 (ω)β(ω)sin φ1 (ω) φ 2 (ω) A12 (ω)β 2 (ω) A1 (ω)β(ω)sin φ1 (ω) φ2 (ω) . 1 A1 (ω)β(ω)cos φ1 (ω) φ2 (ω) , (40.10) (40.11) При A1(ω)β(ω) >> 1 из (40.10) следует, что АЧХ системы с хорошей степенью приближения можно записать в виде: Ao (ω) A1 (ω) 2 A1 (ω)β(ω)cos φ1 (ω) φ 2 (ω) A1 (ω) A12 (ω)β2 (ω) или Ao (ω) A1 (ω)β(ω)sin φ1(ω) φ 2 (ω) 2 , 1 . β(ω) (40.12) Если β = const, то и Ao(ω) стремится к постоянной величине: Ao(ω) → const, что полностью согласуется с выводами, сделанными относительно идеальной системы. Фазочастотная характеристика φ0(ω) системы с обратной связью при A1(ω)β(ω) >> 1 стремится к ФЧХ четырѐхполюсника обратной связи: φ0 (ω) φ1 (ω) arctg sin φ1 (ω) φ 2 (ω) cos φ1 (ω) φ 2 (ω) φ1 (ω) arctgtg φ1 (ω) φ 2 (ω) φ1 (ω) φ1 (ω) φ 2 (ω) (40.13) φ 2 (ω). Определение знака и величины обратной связи Знак обратной связи можно определить по АЧХ Ao(ω) системы с ОС (40.6) и АЧХ прямой цепи A1(ω) = | H1(jω)| из следующих соотношений:  если Ao(ω) < A1(ω), то обратная связь на частоте ω отрицательная;  если Ao(ω) > A1(ω), то обратная связь на частоте ω положительная. Лекция 40. Основные положения общей теории обратной связи 655 Величина обратной связи aос(ω) оценивается в децибелах выражением aос (ω) 20lg Aо (ω) , A1 (ω) из которого ясно, что при aос(ω) < 0 обратная связь отрицательная, в противном случае — положительная. 40.4.2. Импульсная характеристика цепи с обратной связью Как известно, импульсная характеристика является обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции: h( t ) L 1 H ( p) . Тогда из (40.3) следует: ho (t ) L 1 H o ( p) L 1 H1 ( p ) . 1 H1 ( p ) H 2 ( p ) H1 ( p ) K x(t ) i (t ) Активная цепь y (t ) C i1 (t ) R u1 (t ) i1 (t ) H 2 ( p) Пассивная ОС Рис. 40.6. К определению импульсной характеристики системы с ОС Для определения передаточной функции цепи Ho(p) достаточно знать передаточные функции H1(p) и H2(p), которые, в общем случае, зависят от частоты. Частотная зависимость коэффициента передачи от частоты означает, что система содержит хотя бы один реактивный элемент ѐмкости или индуктивности. Часть II. Глава 12 656 При этом параметры A1 и β определяют частотно-независимые составляющие передаточных функций H1(p) и H2(p) соответственно. Такой простейший случай представлен на рис. 40.6, где:  на входе активной цепи действует ток i(t);  K — коэффициент передачи частотно-независимой активной цепи;  выходная цепь активного четырѐхполюсника представляет собой парал- лельный RC-контур, на входе которого действует ток i1(t) = Ki(t);  обратная связь — параллельная по напряжению u1(t) на RC-контуре;  четырѐхполюсник обратной связи является пассивным и частотно- независимым, т. е. H2(p) = β. Найдѐм передаточную функцию H1(p). Поскольку обратная связь осуществляется по напряжению u1(t), передаточная функция четырѐхполюсника прямой цепи определится как отношение L-изображения напряжения U1(p) к L-изображению входного тока I(p): H1 ( p) U1 ( p) . I ( p) Операторное сопротивление контура 1 pC 1 R pC R Z ( p) R 1 pCR и, следовательно, L-изображение напряжения на RC-контуре имеет вид: U1 ( p) KI ( p) Z ( p) KRI ( p) . 1 pCR Теперь можно записать передаточную функцию четырѐхполюсника прямой цепи: H1 ( p) U1 ( p) I ( p) KR 1 pCR A1 , 1 pτ (40.14) где τ = RC — постоянная времени параллельного контура. Передаточная функция разомкнутой цепи Hраз(p) с учѐтом выражения (40.14) и равенства H2(p) = β получает вид: H раз ( jω) H1 ( p) H 2 ( p) A1β . 1 pτ Лекция 40. Основные положения общей теории обратной связи 657 Наконец, передаточная функция всей цепи согласно (40.3) оказывается равной: A1 1 pτ A1β 1 1 pτ H1 ( p ) 1 H раз ( p ) H o ( p) A1 1 pτ A1β A1 1 , 1 A1β τ p τ откуда A1 1 , τ p α H o ( jω) (40.15) где α 1 A1β . τ (40.16) Согласно обратному преобразованию Лапласа (с учѐтом свойства линейности) имеем импульсную характеристику цепи с обратной связью ho (t ) L 1 H o ( p) L A1 1 τ p α 1 A1 L τ 1 1 p α A1 e τ αt , (40.17) или, после подстановки (40.16), окончательно получаем: ho (t ) h0 (tˆ) A1 exp τ A1β 1 t . τ Область неустойчивости A τ (40.18) Aβ 1,125 Aβ 1 Aβ 0 0, 5 9 Aββ 1, 0 0 1,5 Aβ 0,5 0 2, 0 2, 5 tˆ t τ Рис. 40.7. Свойства импульсной характеристики системы с обратной связью Часть II. Глава 12 658 Вид импульсной характеристики как функции от нормированного времени t при различных значениях коэффициента передачи A1β разомкнутой tˆ τ цепи представлен на рис. 40.7. Анализ выражения (40.17) и рис. 40.7 показывает следующее:  при A1β < 0 величина α (40.16) всегда положительна α > 0, поэтому импульсная характеристика затухает значительно быстрее, чем в системе без обратной связи;  при 0 < A1β < 1 импульсная характеристика затухает медленнее, чем в системе без обратной связи;  при A1β > 1 импульсная характеристика становится возрастающей, т. е. система оказывается неустойчивой;  при пограничном значении коэффициента передачи A1β = 1 импульсная A1 характеристика превращается в ступенчатую функцию ho (t ) const , τ и система ведѐт себя как интегратор. 40.4.3. Переходная характеристика цепи с обратной связью На практике очень важно знать, каким образом обратная связь влияет на длительность переходных процессов и как можно управлять переходным процессом. Для этого требуется вычислить переходную характеристику цепи. Напомним, что переходной характеристикой g(t) называется реакция линейной системы на единичный скачок (функцию Хэвисайда) при нулевых начальных условиях. Переходная характеристика связана с импульсной h(t) соотношением (15.16): g (t ) t h (τ)dτ . 0 Подставим сюда выражение (40.17) и получим формулу переходной характеристики: A1 t A1 g о (t ) exp αt dt 1 exp αt , (40.19) τ 0 ατ 1 A1β . τ Выражение (40.19) показывает, что длительность переходных процессов при τ = const зависит от коэффициента передачи разомкнутой системы A1β. где α Лекция 40. Основные положения общей теории обратной связи g 0 (tˆ) Aβ 1,125 659 Aβ 1 Aβ 0,5 A β 0 Aβ 0 0, 5 1, 0 1,5 2, 0 2, 5 1 tˆ t τ Рис. 40.8. Зависимость переходных характеристик от значений A1β Характер этой зависимости отображѐн на рис. 40.8 для таких же значений A1β, что и на рис. 40.7, при неизменном значении коэффициента передачи прямой цепи A1:  при отрицательной обратной связи |1 – A1β| > 1 можно сокращать длитель- ность переходных процессов путѐм уменьшения величины коэффициента передачи A1β разомкнутой системы за счѐт уменьшения коэффициента обратной связи β;  при положительной обратной связи |1 – A1β| < 1 можно увеличивать общий коэффициент передачи системы путѐм увеличения длительности переходных процессов за счѐт увеличения коэффициента обратной связи β. L2 C2 1 R U вх Лекция 41 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 41.1. Чувствительность цепей с обратной связью Любая электрическая цепь всегда находится под влиянием разнообразных внешних воздействий (температуры, влажности, электромагнитных возмущений, нестабильности питающего напряжения, механических вибраций и т. д.), в той или иной степени изменяющих электрические параметры цепи, что приводит к изменениям характеристик цепи и, как следствие, параметров выходного сигнала, т. е. к искажению сигнала. Поэтому всегда желательно иметь такую цепь, характеристики которой как можно меньше реагировали бы на внешние воздействия и при этом не выходили за пределы допустимых отклонений. Иначе говоря, необходимо добиваться устойчивости характеристик цепи по отношению к внешним воздействиям. Оценка степени устойчивости связана с понятием чувствительности характеристик цепи. Чувствительность скорее относится к интуитивно ясным понятиям, которые не надо слишком подробно объяснять. Но в каждом конкретном случае всѐ же необходимо указывать, о какой чувствительности идѐт речь, как и в каких единицах она измеряется. Например, чувствительность измерительного прибора оценивают как отношение изменения сигнала на его выходе к изменению измеряемой величины. Поэтому прежде всего рассмотрим чувствительность применительно к электрическим цепям. Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 661 41.1.1. Определение чувствительности ОПРЕДЕЛЕНИЕ Чувствительность — это свойство, или способность системы реагировать определенным образом на малые воздействия, а также количественная характеристика этой способности. Чувствительность обозначается буквой S (от англ. sensitivity). В зависимости от того, каким образом система реагирует на малые воздействия, различают структурную и параметрическую чувствительность. Под структурной чувствительностью понимают способность системы сохранять характер своего поведения при малых воздействиях; структурная чувствительность связана с устойчивостью системы. Параметрическая чувствительность — это чувствительность характеристик системы к отклонениям еѐ параметров от номинальных значений. В данном параграфе рассматривается только параметрическая чувствительность. К параметрам системы относятся, например, номинальные значения элементов R, L, C, величины напряжений источников питания, коэффициенты передаточной функции, еѐ нули и полюсы и пр. Кроме того, различают:  абсолютную чувствительность, определяемую отношением изменения выходного сигнала Δy(t) к вызвавшему его изменение абсолютному изменению входного сигнала Δx(t): S y (t ) ; x (t )  относительную чувствительность, определяемую отношением измене- ния выходного сигнала Δy(t) к относительному изменению входного сигx (t ) : нала xˆ(t ) x (t ) Sx y (t ) x (t ) x (t ) Sx(t ) . В качестве прямых оценок параметрической чувствительности принято использовать функции чувствительности, среди которых различают два случая: зависят изменения параметра от времени или не зависят. Пусть, например, система описывается передаточной функцией H ( p, c ) , где c ci b0 , b1 , , bn , a1, a2 , , am — вектор коэффициентов, являющихся Часть II. Глава 12 662 параметрами системы. Если изменения параметров не зависят от времени, то изменение i-го параметра ci на величину ε можно представить в виде суммы ci + ε. При этом функция чувствительности Si по параметру ci, номинальное значение которого известно, определяется посредством обычной частной производной: Si lim ε H ( p, c1, , ci 0 ,cl ) H ( p, c ) ε, ε H ( p, c ) . ci (41.1) Если же изменения параметров зависят от времени и этой зависимостью пренебречь нельзя, то определение чувствительности в виде (41.1) оказывается недостаточным, поскольку изменение параметра ci на величину ε теперь представляется функциональной зависимостью ci + εv(t). Тогда функцию чувствительности Si по параметру ci следует определять посредством функциональной производной: Si ,v ( t ) lim H ( p, c1, , ci ε 0 εv(t ), ε ,cl ) H ( p, c ) , причѐм функция v(t) полагается известной. В данной лекции считается, что возможные изменения параметров не зависят от времени, поэтому в дальнейшем используется функция чувствительности вида (41.1). 41.1.2. Влияние обратной связи на чувствительность цепи Поставим следующую задачу. Задача 41.1. Показать, что введение отрицательной обратной связи уменьшает влияние изменений параметров прямой цепи замкнутой системы на выходной сигнал. Решение. Для простоты анализа и без потери общности вновь (см. лекцию 40), рассмотрим чувствительность действительного коэффициента передачи замкнутой системы (40.2) Ao A1 1 A1β при изменениях коэффициентов A1 и β на малые величины ΔA1 и Δβ. Решение проведѐм отдельно для A1 и β. Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 663 Пусть вследствие воздействия внешних факторов значение коэффициента передачи прямой цепи изменилось на малую величину ΔA1. При отсутствии обратной связи относительное изменение амплитуды выходного сигнала составило бы величину A1 . A1 Aˆ (41.2) Для определения относительного изменения амплитуды выходного сигнала при наличии обратной связи сначала получим функцию чувствительности по параметру A1, продифференцировав уравнение (40.2) по A1: SA Ao A A1 1 A1β 1 A1β A1 1 A1β A 1 1 1 A1β 1 A1β β 2 1 1 A1β 2 Ao 1 , A1 1 A1β (41.3) откуда Ao Ao 1 A1 , 1 A1β A1 т. е. относительное изменение коэффициента передачи замкнутой цепи равно: Ao Ao 1 A1 . 1 A1β A1 (41.4) Функция чувствительности (41.3) и выражение (41.4) показывают: 1 всегда 1 A1β меньше единицы, значение функции чувствительности уменьшается, коэффициент передачи замкнутой цепи оказывается менее чувствительным к изменениям коэффициента A1 (41.2); в таком случае говорят, что имеет место ослабление нестабильности цепи, или повышение стабильности цепи; причѐм чем больше глубина обратной связи 1 – A1β, тем выше стабильность цепи;  при отрицательной обратной связи, когда A1β < 0 и дробь 1 может стать 1 A1β больше единицы, а потому значение функции чувствительности возрастает, коэффициент передачи замкнутой цепи оказывается более чувствительным к изменениям коэффициента A1; это говорит о том, что при  при положительной обратной связи (A1β > 0) дробь Часть II. Глава 12 664 положительной обратной связи (при глубине обратной связи 1 – A1β < 1) нестабильность цепи увеличивается, т. е. стабильность цепи уменьшается. Теперь определим влияние изменений в цепи обратной связи, для чего найдѐм функцию чувствительности по коэффициенту β: Sβ Ao β A12 1 A1β 2 A1 A1 1 A1β 1 A1β Ao A1 , 1 A1β (41.5) откуда при |A1β| >> 1 получаем: dAo Ao или Ao Ao dβ , β β . β (41.6) Из соотношений (41.5) и (41.6) ясно, что чем больше глубина отрицательной обратной связи, тем меньше становится значение функции чувствительности, а относительное изменение (нестабильность) коэффициента передачи замкнутой цепи при |A1β| >> 1 с достаточной степенью приближения можно считать равным относительному изменению (нестабильности) коэффициента обратной связи. Таким образом, высказанное утверждение доказано. Отсюда можно сделать обобщающие выводы:  уменьшение чувствительности коэффициента передачи прямой цепи достигается введением отрицательной обратной связи;  чем больше абсолютное значение коэффициента передачи разомкнутой цепи |A1β|, тем меньше чувствительность системы к изменениям еѐ параметров, т. е. тем выше стабильность системы; на практике используется глубокая отрицательная связь, когда величина |A1β| составляет 100 и более раз: |A1β| ≥ 100;  введение отрицательной обратной связи приводит к уменьшению общего коэффициента передачи Aо в 1 + |A1β| раз; но эту потерю можно компенсировать с помощью предварительного усиления входного сигнала при малом уровне мощности (рис. 41.1);  снижение чувствительности системы к изменениям A1 при глубокой отрицательной связи является следствием того, что (см. разд. 40.3) коэффициент передачи Aо при |A1β| ≥ 100 практически не зависит от значения A1 1 ; и стремится к β Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 665  относительная нестабильность коэффициента передачи Aо системы с от- рицательной обратной связью при |A1β| >> 1 равна относительной нестабильности коэффициента обратной связи β. Но этот факт не является существенным при конструировании систем с ОС, поскольку четырѐхполюсник обратной связи обычно представляет собой пассивную цепь, параметры элементов которой можно сделать достаточно стабильными. Для одноконтурных систем с обратной связью часто пользуются одномерной функцией чувствительности, представляющей собой предел отношения отноH ( p, ci ) к относительному сительного изменения передаточной функции H ( p, ci ) изменению i-го параметра ScHi lim ci 0 ci : ci H ( p, ci ) H ( p, ci ) ci ci H ( p, ci ) ci . ci H ( p, ci ) (41.7) Отсюда применительно к рассматриваемому случаю с учѐтом (41.3) имеем: SA Ao A1 A1 A1 1 A1β Ao 1 A1β A1 Ao 1 1 A1β A1 1 A1β Ao A1 и после перехода к конечным приращениям получаем: Ao 1 A1β A1 Ao , A1 что позволяет записать: Ao Ao 1 A1 , 1 A1β A1 т. е. получен результат, полностью совпадающий с (41.4). 41.1.3. Фазовая чувствительность (нестабильность) прямой цепи В предыдущем разд. 41.1.2 изучался вариант, когда коэффициент передачи прямой цепи не зависит от частоты. Всѐ сказанное нетрудно перенести и на общий случай, когда коэффициент передачи прямой цепи зависит от частоты, т. е. КЧХ прямой цепи имеет вид: H1( jω) A1(ω)e jφ1 (ω) , Часть II. Глава 12 666 а КЧХ замкнутой цепи с обратной связью при β = const оказывается равной: H o ( jω) H1 ( jω) 1 H1 ( jω)β A1 (ω)e jφ1 (ω) 1 A1 (ω)βe jφ1 (ω) Ao (ω)e jφo (ω) . Здесь все выводы предыдущего параграфа полностью распространяются на АЧХ цепи с обратной связью Aо(ω). Поэтому ещѐ необходимо учесть чувствительность ФЧХ, т. е. фазовую нестабильность. Рассмотрим влияние отрицательной обратной связи на изменения ФЧХ при условии, что величина аргумента Δφ1(ω) достаточно мала. Тогда согласно (40.11) изменение аргумента φ0(ω) (или фазовый сдвиг) при φ2(ω) = 0 получает вид: φ0 (ω) φ1 (ω) arctg A1 (ω)βsin φ1 (ω) . 1 A1 (ω)βcos φ1 (ω) (41.8) Как известно, при малых значениях аргумента Δφ1(ω) можно считать, что sinΔφ1(ω) ≈ Δφ1(ω) и cos φ1(ω) 1 cosΔφ1(ω) ≈ 1, поэтому из (41.8) имеем: φ0 (ω) φ1 (ω) arctg A1 (ω)β φ1 (ω) 1 A1 (ω)β A1 (ω)β φ1 (ω) φ1 (ω) 1 A1 (ω)β 1 φ1 (ω). 1 A1 (ω)β . (41.9) Здесь величина A1 (ω)β φ1 (ω) , 1 A1 (ω)β как и величина φ1(ω) , достаточно мала, поэтому arctg A1 (ω)β φ1 (ω) 1 A1 (ω)β A1 (ω)β φ1 (ω) . 1 A1 (ω)β Таким образом, согласно (41.9), изменение аргумента цепи с обратной связью (т. е. фазового сдвига) коэффициента передачи системы с отрицательной обратной связью уменьшается в 1 + |A1(ω)β| раз, что означает уменьшение фазового сдвига в такое же количество раз. 41.1.4. Ослабление нелинейных искажений Как известно, гармоническое воздействие на линейную систему вызывает на еѐ выходе гармоническую реакцию той же частоты. Однако линейность Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 667 системы может быть нарушена, причѐм нарушена в основном вследствие нелинейности характеристик активных элементов (например, транзисторов), входящих в состав четырѐхполюсника прямой цепи. В результате появляются нелинейные искажения, которые выражаются присутствием высших гармоник в реакции при гармоническом воздействии. Эти высшие гармоники обычно называют паразитными гармониками. Изучим влияние обратной связи на паразитные гармоники. При отсутствии обратной связи четырѐхполюсник прямой цепи с нелинейными искажениями можно представить в виде идеального четырѐхполюсника, на входе которого помимо гармонического колебания основной частоты с амплитудой E1 действует генератор гармоник с амплитудами Ei, (i = 2, 3,…) (рис. 41.1). На выходе четырѐхполюсника, обладающего коэффициентом передачи A = const, не зависящим от частоты, появится гармоника основной частоты с амплитудой V1 и i-я гармоника амплитуды Vi. A const E1 V1 , Vi Ei Рис. 41.1. Идеальный четырѐхполюсник с генератором гармоник В силу постоянства коэффициента передачи будет соблюдаться равенство отношений амплитуд гармоник на входе и выходе цепи соответственно: Ei E1 Vi V1 A, т. е. амплитуда i-ой паразитной гармоники генератора равна: Ei Vi . A Введение отрицательной обратной связи, как было показано ранее, уменьшит на выходе амплитуду V1 основной гармоники в 1 + |Aβ| раз. Поэтому для поддержания прежней амплитуды V1 необходимо амплитуду на входе E1 увеличить во столько же раз, что можно сделать без искажений с помощью предварительного маломощного усилителя с коэффициентом усиления 1 + |Aβ| (рис. 41.2); тогда получим: E11 = E1(1 + |Aβ|). Часть II. Глава 12 668 E1 1 Aβ E11 E12 E1 A const V1 , Vi Ei βV1; βVi β Рис. 41.2. Ослабление нелинейных искажений с помощью отрицательной обратной связи Паразитные гармоники Vi не получат компенсации своего ослабления, поэтому отношения амплитуд гармоник на входе и выходе системы уже не будут равными, причѐм отношение любой паразитной гармоники к амплитуде гармонического колебания основной частоты Vi V1 Ei E11 Ei E1 1 Aβ 1 1 Ei Aβ E1 оказывается в 1 + |Aβ| раз меньшим, чем при отсутствии отрицательной обратной связи. Таким образом, введение отрицательной обратной связи существенно ослабляет нелинейные искажения. 41.2. Устойчивость линейных систем с обратной связью Применение обратной связи требует внимательного отношения к обеспечению устойчивости цепи, поскольку реактивные элементы, а также паразитные ѐмкости и индуктивности электронных приборов и проводов создают дополнительные фазовые сдвиги. Если на какой-либо частоте дополнительный фазовый сдвиг составит π рад, то отрицательная обратная связь превратится в положительную, и будут созданы условия для возникновения паразитной генерации. Устойчивость цепей с обратной связью уже обсуждалась в лекции 40 в связи с поведением импульсной характеристики, где было показано, что при коэффициенте передачи разомкнутой цепи A1β > 1 импульсная характеристика становится возрастающей, и цепь оказывается неустойчивой. Этот вывод не является неожиданным, поскольку он полностью соответствует условию строгой устойчивости (26.3), согласно которому интеграл от импульсной Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 669 характеристики h(t) цепи должен сходиться абсолютно, а при возрастающей импульсной характеристике указанный интеграл будет расходиться. Кроме того, было показано (см. разд. 17.3), что всякая электрическая цепь является устойчивой, если еѐ передаточная функция не имеет полюсов в правой p-полуплоскости и на мнимой оси p = jω. Это означает, что линейная система устойчива, если действительные части ζ всех n корней pi = ζ i + jωi, i = 1, 2,…, k,…, n характеристического уравнения (получаемого приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции) a0 p n a1 p n 1 an 1 p an 0 отрицательны: ζ i < 0. Напомним (см. лекцию 27), что устойчивость можно также определить по соотношению "вход-выход", тогда условие устойчивости будет таким: система устойчива, если любой ограниченный по величине входной сигнал вызывает у неѐ ограниченную же по величине реакцию1. При этом предполагаются нулевые начальные условия согласно определению импульсной характеристики. Однако можно показать, что устойчивость в указанном смысле достигается и при произвольном начальном состоянии системы, лишь бы входной сигнал был ограничен. Для этого обратимся к понятию устойчивости системы по Ляпунову. 41.2.1. Устойчивость по Ляпунову ОПРЕДЕЛЕНИЯ Линейная система называется устойчивой по Ляпунову2, если еѐ начальное состояние устойчиво по Ляпунову; Нулевое состояние системы устойчиво по Ляпунову, или, что то же самое, система устойчива по Ляпунову при нулевом входе, если после любого, достаточно близкого к нулю воздействия ε 0 система возвращается в нулевое состояние. Физическая сущность устойчивости нулевого состояния по Ляпунову состоит в том, что после близкого к нулю воздействия ε > 0 все переходные процессы 1 Это условие иногда формулируют более лаконично: "любой ограниченный вход вызывает ограниченную реакцию" (условие ОВОР). 2 Александр Михайлович Ляпунов (1857 —1918) — русский математик, академик Петербургской академии наук, ученик П. Л. Чебышѐва. Создал теорию устойчивости равновесия и движения механических систем с конечным числом параметров. Часть II. Глава 12 670 в системе имеют затухающий характер, и по их завершении система возвращается в исходное состояние. Следствием определения устойчивости по Ляпунову является определѐнная ранее устойчивость с точки зрения соотношения "вход-выход" ("воздействиереакция"): система устойчива тогда и только тогда, когда любой ограниченный по величине входной сигнал вызывает у неѐ ограниченную же по величине реакцию в нулевом состоянии и еѐ реакция при нулевом входе устойчива по Ляпунову. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Передаточная функция является строго устойчивой, если реакция соответствующей цепи при нулевом состоянии остаѐтся ограниченной для любого ограниченного воздействия. Вариант не строго устойчивой передаточной функции (интегратора) рас1 смотрен в примере 26.2, где показано, что передаточная функция H ( p) p устойчива, но она не является строго устойчивой, поскольку ограниченный входной сигнал xi(t) = 1(t) вызывает реакцию y (t ) L 1 1 p2 t, которая становится сколь угодно большой при t → . Цель данного параграфа состоит в исследовании устойчивости одноконтурных систем с обратной связью на основании свойств передаточных функций H1(p) и H2(p). Сначала выявим, как связаны строгая устойчивость одноконтурной системы с обратной связью и свойства разомкнутой цепи H1(p)H2(p). Теорема 41.1. Пусть в одноконтурной системе (рис. 40.6) H1(p) и H2(p) — рациональные функции p и в произведении H1(p)H2(p) сокращаются только нули и полюсы, расположенные в левой p-полуплоскости (т. е. в произведении H1(p)H2(p) нет сократимых нулей и полюсов в правой полуплоскости). Передаточная функция H o ( p) H1 ( p ) 1 H1 ( p ) H 2 ( p ) строго устойчива тогда и только тогда, когда знаменатель 1 – H1(p)H2(p) не имеет нулей ни на оси p = jω, ни в правой p-полуплоскости. Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 671 Не прибегая к строгому доказательству теоремы, отметим еѐ интуитивную ясность: если H1(p) имеет полюс в точке pi = ζ i + jωi (ζ i > 0) и в этой же точке H2(p) имеет нуль, то множители p – pi знаменателя функции H1(p) и числителя функции с сократятся, в результате чего все нули знаменателя 1 – H1(p)H2(p) расположатся в левой p-полуплоскости. Однако передаточная функция Hо(p) системы окажется неустойчивой вследствие того, что в еѐ числителе имеется неустойчивая функция H1(p). Для определения устойчивости цепи с обратной связью можно было бы воспользоваться критерием Гурвица (см. разд. 27.1) или Михайлова (см. разд. 27.2). И всѐ же применение этих критериев для цепей с обратной связью ограничено, поскольку:  они хорошо работают при известных коэффициентах характеристического уравнения и не слишком высоком порядке передаточной функции; вычисления же для цепей высоких порядков становятся чрезмерно громоздкими;  ими неудобно пользоваться при экспериментах, когда характеристики це- пи определяются из испытаний разомкнутой цепи;  нет возможности определить устойчивость по известной передаточной функции разомкнутой цепи Hраз(p) = H1(p)H2(p) и неизвестных коэффициентах передаточных функций H1(p) и H2(p) в отдельности;  из критериев не следует, как неустойчивую систему сделать устойчивой. Существенный вклад в теорию устойчивости систем с обратной связью был сделан Найквистом3, который в 1932 г. предложил критерий, свободный от недостатков критерия Гурвица и в то же время чрезвычайно удобный для экспериментальной и численной проверки устойчивости. 41.2.2. Критерий устойчивости Найквиста Этот критерий, первоначально предназначавшийся для усилителей с обратной связью, позволяет и в общих случаях судить об устойчивости замкнутой цепи по виду КЧХ разомкнутой цепи (рис. 40.3, б), т. е. по АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи. Исследование разомкнутой цепи проще, чем замкнутой, поскольку частотные характеристики разомкнутой цепи H раз ( jω) H1 ( jω) H 2 ( jω) H1 ( jω) H 2 ( jω) e j φ1 φ2 (41.10) можно всегда получить экспериментально. 3 Найквист Гарри (1889—1976) — американский учѐный, один из пионеров теории информации. Часть II. Глава 12 672 Вывод критерия устойчивости Найквиста для цепей с обратной связью основывается на приведѐнном в теореме (41.1) условии строгой устойчивости, из которого следует, что передаточная функция разомкнутой цепи не может быть равна единице: Hраз(p) = H1(p)H2(p) ≠ 1. (41.11) Связь между p-плоскостью и H-плоскостью Для того чтобы успешно анализировать устойчивость цепи по КЧХ (41.10), целесообразно перейти от p-плоскости к H-плоскости: H(p) = u + jv (41.12) и проводить анализ уже в новой плоскости, т. е. необходимо отобразить pплоскость с координатами (ζ, ω) в H-плоскость с координатами (u, v). При таком отображении каждой точке p-плоскости p ζ ζ 2 ω2 e jω jφ p Re jφ p ; φp arctg ω ζ однозначно соответствует точка H u u 2 v 2 e jφ H jv RH e jφ H ; φ H arctg v u H-плоскости. Изучим, каким образом p-плоскость отображается в H-плоскость, для чего рассмотрим отображение произвольного замкнутого контура С на p-плоскости в некий контур на H-плоскости. Пусть на p-плоскости (рис. 41.3) известна точка pi = ζ i + jωi. Образуем замкнутый контур, который вычерчивается концом вектора R , исходящего из точки pi, при его движении против часовой стрелки. jω p C R pi 0 φi Ri φi ζ i2 ω i2 ω arctg i ζi ζ Рис. 41.3. Замкнутый контур С в плоскости p Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 673 Поскольку каждому значению p соответствует единственное значение H(p), контур C в p-плоскости единственным образом отображается на плоскость H, причѐм это преобразование изменяет форму контура. Преобразованный замкнутый контур C на плоскости H называют D-контуром, или годографом функции H(jω), который также будет замкнутым. Пусть pi является нулѐм передаточной функции (с точностью до постоянного множителя) n i 1 m H ( p) k 1 (p (p pi ) (41.13) pk ) и представляет собой начальную точку вектора Ri длиной Ri, конец которого лежит на произвольном контуре C . Этот вектор образует с абсциссой ζ i угол φi рад. Направление движения конца этого вектора по контуру против часовой стрелки считается положительным. При движении конца вектора по контуру изменяется длина вектора и угол. Вектор в фиксированный момент описывается выражением Ri Ri (cosφi j sinφi ) Ri e jφi , поэтому каждая точка p C контура представляется в виде: p pi Ri e jφi , (41.14) а соответствующая точка H на годографе D получается подстановкой (41.14) в выражение (41.13). Тогда на H-плоскости для i-го нуля имеем: Hi p pi pi Ri e jφi pi Ri e jφi . (41.15) Найдѐм соотношение между положением нуля на плоскости p и на плоскости H и выясним, где должно находиться начало координат плоскости H относительно годографа D. Возможны две ситуации:  нуль pi находится вне замкнутого контура (рис. 41.3) — тогда суммарный угол поворота φ вектора Ri при обходе им контура C в положительном направлении равен нулю; поэтому, как следует из выражения (41.15), начало координат H-плоскости должно находиться вне годографа D этой плоскости;  нуль pi находится внутри замкнутого контура — тогда суммарный угол поворота φ вектора Ri при обходе им контура C в положительном направлении равен +2π рад, а для остальных нулей φ = 0; поэтому, как следует Часть II. Глава 12 674 из выражения (41.14), начало координат плоскости H должно находиться внутри годографа D, что и понятно, поскольку только в таком случае вектор Ri Ri e jφi может описать угол +2π (подобно радиусу окружности). Отсюда следует правило нуля: для каждого нуля передаточной функции (41.13), находящегося внутри контура C, угол поворота соответствующего вектора при полном обходе контура равен +2π; при этом годограф D обходит точку начала координат плоскости H против часовой стрелки столько раз, сколько нулей функции (41.13) лежит внутри контура C. Аналогичные рассуждения можно провести для k-го полюса pk = –ζ k + jωk, который, во-первых, должен лежать в левой p-полуплоскости и, во-вторых, ζ k jω k pk (рис. 41.4). иметь комплексно-сопряжѐнный полюс pk 1 Rk jω Rk e jφk pk jv p Rk 1 Годограф H ( jω) ζ 0 pk H D C 0 Rk 1e pk u jφ k а a б б Рис. 41.4. Отображение контура C в годограф D (без сохранения масштаба) Тогда, как было показано ранее, вектор Rk , соединяющий точку pk с контуром C, запишется через полярные координаты: Rk e jφk , Rk где, как и в предыдущем случае, положительным считается направление обхода контура против часовой стрелки (рис. 41.4, а). Согласно (41.14) произвольная точка контура C будет представлена как p pk Rk e jφk , Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 675 а соответствующая точка Hk годографа D (рис. 41.4, б) запишется в виде: Hk 1 p 1 pk pk Rk e jφk 1 pk Rk e jφk Rk 1e jφk . (41.16) Отсюда следует правило полюса:  если контур C обходится в положительном направлении (против часовой стрелки), то годограф D обходится в отрицательном направлении (по часовой стрелке);  если точка pk находится внутри контура C, то суммарный угол поворота φ вектора Rk при обходе им контура C равен +2π рад; при этом начало координат плоскости H находится внутри годографа D, который обходится в отрицательном направлении;  если контур C не содержит в себе полюс, то начало координат плоско- сти H находится вне годографа D. Из всего изложенного можно сделать обобщѐнный вывод, который обычно формулируют в виде следующей теоремы. Теорема Если контур в плоскости p охватывает n нулей и m полюсов передаточной функции H(p), то при обходе замкнутого контура C этой плоскости против часовой стрелки годограф D в плоскости H обходит начало координат n – m раз в том же направлении. Эта теорема является основанием для вывода критерия устойчивости Найквиста для цепей с обратной связью. Формулировка критерия устойчивости Найквиста Вновь обратимся к передаточной функции H o ( p) H1 ( p ) , 1 H1 ( p ) H 2 ( p ) где передаточная функция H1(p) предполагается устойчивой. Тогда, как было сказано ранее, цепь с обратной связью устойчива, если передаточная функция разомкнутой цепи (рис. 40.3, б) Hраз(p) = H1(p)H2(p) не обращается в единицу ни в одной из точек правой p-полуплоскости. Поэтому об устойчивости цепи с обратной связью можно судить по частотным характеристикам разомкнутой цепи. Часть II. Глава 12 676 Чтобы понять, как это делается, предварительно рассмотрим контур C, представляющий собой полуокружность бесконечно большого радиуса с центром в точке ω = 0 и охватывающий всю правую p-полуплоскость (рис. 41.5, а), т. е. все полюсы и нули, расположенные в правой p-полуплоскости. jω jω p 1 p 2 p 0 p 3 p 4 δre ω ω1 p1 C p 1 jv H jφ1 φ1 ω-1 R ζ p p ω+1 Re jβ jω1 δre jφ1 ω 0 ω ω 0 ω jβ R 1e u 0 бб δ 1re jφ1 вв аа Рис. 41.5. Определение устойчивости цепи: а) контур в плоскости p, б) полуокружность бесконечно малого радиуса, в) D-годограф В этом контуре можно выделить два участка:  ось jω при изменении частоты – <ω< ;  полуокружность бесконечно большого радиуса R → . На первом участке, где p = jω (ζ = ), передаточная функция Hраз(p) превращается в комплексную частотную характеристику (КЧХ): H раз ( jω) u(ω) jv(ω) H1 ( jω) H 2 ( jω) A1(ω)β(ω)e j( 1 β) , откуда получаем частотно-зависимые координаты на плоскости H: u(ω) A1 (ω)β(ω)cos( 1 β ), v(ω) A1 (ω)β(ω)sin( 1 β ). Передаточные функции цепей с обратной связью часто имеют полюсы на оси частот, включая и начало координат. Такие полюсы pk (k = 0, 1,…, 4) исключаются из контура путѐм обхода их по полуокружностям бесконечно малого радиуса δr, как показано на рис. 41.5, а и б. Лекция 41. Чувствительность и устойчивость цепей с обратной связью 677 На втором участке контура при R → и, следовательно, при |p| → передаточная функция H(p) стремится к нулю: Hраз(p) → 0, что следует из представления H(p) в виде: n H раз ( p ) c i 1 m k 1 (p pi ) (p pk ) , где n — порядок числителя (число нулей) и m — порядок знаменателя (число полюсов). Поскольку в реальных цепях всегда m n , то и H раз ( p) Кроме того, при |p| → 0. R величинами pi и pk можно пренебречь, тогда получаем: H раз ( p ) cp n m . (41.17) Рассмотрим далее D-годограф (рис. 41.5, в) на плоскости H, соответствующий контуру C, для чего воспользуемся выражениями (41.16) и (41.17), из которых следует:  поскольку в реальных системах всегда m > n, то полуокружность беско- нечно большого радиуса R p-плоскости преобразуется в нуль H-плоскости, т. е. в точку, лежащую в начале координат на плоскости H;  бесконечно малая полуокружность радиусом δr → 0, обходящая полюс на частотной оси p-плоскости в положительном направлении, преобразуется в дугу окружности бесконечно большого радиуса, соответствующую углу –π рад. Иначе говоря, вся правая p-полуплоскость преобразуется во внутреннюю область D-годографа на плоскости H. Теперь можно сформулировать критерий Найквиста. Критерий Найквиста: Если передаточная функция цепи с обратной связью задаѐтся выражением H o ( p) H1 ( p ) , 1 H1 ( p ) H 2 ( p ) то для того чтобы цепь была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф функции 1 – Hраз(jω) в H-плоскости при изменении частоты ω от – до + не охватывал начала координат или, что то же самое, чтобы годограф КЧХ Hраз(jω) разомкнутой цепи не охватывал точку (1, j0) в H-плоскости при изменении частоты ω от – до + . Часть II. Глава 12 678 Рассмотрим годограф цепи, представленный на рис. 41.6 при условии, что при ω = 0 передаточная функция Hраз(jω) ≠ 0. На рисунке сплошной линией показана часть годографа, соответствующая положительным частотам 0 < ω < , а штриховой — отрицательным частотам. Но поскольку функция v(ω) — нечѐтная, а u(ω) — чѐтная относительно ω, то годограф симметричен относительно вещественной оси. Поскольку точка (1, j0) лежит за пределами годографа, то соответствующая ему цепь устойчива. jv ω 0 ω ω 0 (1, j 0) u Рис. 41.6. Пример годографа устойчивой цепи с ОС L2 C2 1 R U вх Лекция 42 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Основы теории усилителей 42.1. Основные характеристики усилителей ОПРЕДЕЛЕНИЕ Усилителями называют активные четырѐхполюсники, обеспечивающие повышение энергии сигнала на выходе по сравнению с энергией сигнала на его входе при допустимых искажениях последнего. Принцип работы усилителя состоит в управлении с помощью управляющей энергии другой — управляемой — энергией, которая существенно превосходит управляющую. Источником управляемой энергии в усилителе является источник постоянного тока, называемый источником питания усилителя, а источником управляющей — энергия усиливаемого сигнала. В зависимости от назначения усилители могут существенно отличаться друг от друга своими характеристиками, но при этом, во всяком случае, должно выполняться естественное и важнейшее требование сохранять информационные параметры усиливаемого сигнала. По этой причине все усилители строятся как устойчивые активные четырѐхполюсники с допустимой по условиям их применения нелинейностью (обычно весьма малой). 42.1.1. Частотные и энергетические характеристики усилителей Моделью первого приближения усилителя в общем случае является линейный активный четырѐхполюсник, который обычно изображают совместно с внешними по отношению к нему цепями (рис. 42.1). Часть II. Глава 12 680 Zг I1 U1 E Zг E I2 I1 U2 Zн U2 Zн аа I2 U1 бб Рис. 42.1. Условные изображения усилителей: а) в виде четырѐхполюсника с указанием направления передачи, б) в виде конфигурации усилительного прибора В связи с особыми функциями усилителей их передаточные функции и комплексные частотные характеристики называются коэффициентами, обозначаются буквой K и имеют специфические наименования:  K(p) — операторный коэффициент передачи усилителя;  K(jω) — комплексный коэффициент усиления;  KU ( jω) U2 — комплексный коэффициент усиления напряжения; U1  K I ( jω) I2 — комплексный коэффициент усиления тока; I1 U2 — сквозной комплексный коэффициент усиления. E В частном и практически важном случае, когда выходное сопротивление генератора и сопротивление нагрузки чисто активны (Zг = Rг и Zн = Rн), применяют комплексный нормированный коэффициент усиления, или иначе рабочий коэффициент усиления:  K E ( jω) Kˆ ( jω) 2U 2 E Rг . Rн (42.1) Частотные зависимости модулей комплексных коэффициентов усиления: K ( jω) , KU ( jω) , K I ( jω) , K E ( jω) и Kˆ ( jω) представляют собой соответствующие амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) усилителя, а аргументы этих коэффициентов: arg K ( jω) , arg KU ( jω) , arg K I ( jω) , Лекция 42. Основы теории усилителей 681 arg KE ( jω) , arg Kˆ ( jω) являются соответствующими фазочастотными характеристиками (ФЧХ) усилителя. Например, комплексный коэффициент усиления можно записать в показательной форме: KU ( jω) U2 U1 KU ( jω) e jφU (ω) , где, согласно введѐнным ранее определениям (см. разд. 10.1), амплитудночастотная характеристика KU ( jω) U2 U1 U2 U1 является частотно-зависимым отношением амплитуды гармонического напряжения на входе к амплитуде гармонического напряжения на выходе усилителя, и фазочастотная характеристика φU (ω) arg KU ( jω) argU 2 argU1 φ2 (ω) φ1(ω) представляет собой частотную зависимость разности начальных фаз гармонических напряжений на выходе φ2(ω) и входе φ1(ω) усилителя. В ряде радиотехнических систем усиление может достигать очень больших значений. Например, во входных цепях и трактах промежуточных частот радиоприѐмников величина коэффициента усиления составляет сотни тысяч и даже более. Поэтому часто усиление оценивают в логарифмическом масштабе так же, как и АЧХ любого четырѐхполюсника и, в частности, фильтра. Тогда рабочее усиление согласно (42.1) и (10.13) выразится в дБ: a ( jω) 20lg Kˆ ( jω) 20lg 2U 2 E Rг Rн 10lg 4U 22 Rг . E 2 Rн (42.2) Любой усилитель может выполнять своѐ назначение не в произвольной области частот, а лишь некоторой ограниченной полосе ω–1 ≤ ω ≤ ω1, называемой рабочей полосой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рабочей полосой частот усилителя называют полосу частот ω–1 ≤ ω ≤ ω1, в пределах которой отклонение АЧХ усилителя от заданного постоянного значения K0 не превосходит допустимой величины ±δ. На рис. 42.2 показан вид типовых АЧХ усилителей, имеющих плоскую и равноволновую аппроксимации. Разность между максимальной и мини- Часть II. Глава 12 682 мальной частотами рабочей полосы Δω = ω1 – ω–1 называется шириной рабочей полосы. Подобно фильтрам, для усилителей вводится понятие среднегеометрической частоты ω0 ω 1ω1 рабочей полосы, относительно которой различают узкополосные и широкополосные усилители: усилитель называют широкополосным, если Δω >> ω0; в противном случае усилитель считается узкополосным. K ( jω) K0 K0 K ( jω) K0 δ δ K0 K0 δ K0 δ Рабочая полоса Рабочая полоса а 0 ω 1 ω0 ω1 ω б 0 ω 1 ω0 ω1 ω Рис. 42.2. Типовые аппроксимации АЧХ усилителей: а) плоская, б) равноволновая Кроме частотных характеристик, для оценки свойств усилителя, в зависимости от вида сопротивлений генератора Zг и нагрузки Zн, используют также следующие энергетические характеристики: 1. Если сопротивления генератора Zг и нагрузки Zн комплексные: P1 — средняя мощность сигнала на входе усилителя; P2 — средняя мощность в нагрузке; P2 — коэффициент усиления мощности (коэффициент усиления P1 средней мощности). Kp 2. Если сопротивления генератора Zг = Rг и нагрузки Zн = Rн активны: P2 U 22 — средняя мощность в нагрузке; 2 Rн E2 — максимально возможная средняя мощность, которую спо2 Rг собен развить генератор гармонического напряжения с амплитудой E и внутренним сопротивлением Rг; P0 Лекция 42. Основы теории усилителей 683 P2 — рабочий коэффициент усиления мощности, который после P0 подстановки выражения для P2 и P0 получает вид: Kˆ p Kˆ p 4U 22 Rг E 2 Rн 2 K ( jω) . (42.3) 42.1.2. Нелинейные искажения в усилителях В силу нелинейности характеристик усилительных приборов, усилитель всегда будет вносить некоторые нелинейные искажения в сигнал. Оценка нелинейности усилителя производится по его амплитудной характеристике, динамическому диапазону и коэффициенту нелинейных искажений (коэффициенту гармоник). Амплитудная характеристика и динамический диапазон ОПРЕДЕЛЕНИЕ Амплитудной характеристикой (рис. 42.3) называется зависимость действующего значения выходного напряжения усилителя Uвых от действующего значения гармонического напряжения на его входе Uвх. Частота гармонического напряжения обычно выбирается равной среднегеометрической частоте ω0 рабочего диапазона. Установление амплитудной характеристики по действующим значениям напряжений объясняется тем, что выходной сигнал оказывается функцией, отличающейся от гармонического колебания. Пример графика амплитудной характеристики усилителя приведѐн на рис. 42.3, где можно выделить три участка:  рабочий участок в пределах Uвх min—Uвх max, где напряжение Uвых является линейной функцией входного напряжения;  участок в пределах 0 ≤ Uвх < Uвх min, где имеется нелинейность в виде ниж- него загиба характеристики;  участок в пределах Uвх max < Uвх, где имеется нелинейность в виде верхнего загиба характеристики. Нижний загиб амплитудной характеристики обусловлен прежде всего собственными шумами резисторов и усилительных элементов Uш, а также пульсациями питающих напряжений и наводками от внешних электромагнитных полей. Это объясняется тем, что шумы резисторов и усилительных приборов, Часть II. Глава 12 684 находящихся на входе усилителя, получают большее усиление, чем шумы, возникающие во внутренних цепях усилителя. U вых Перегрузка U вых max U вых min 0 Uн Собственный U шум ш U вх max U вх min U вх Рис. 42.3. Пример амплитудной характеристики Верхний загиб амплитудной характеристики является следствием возможных перегрузок усилительных приборов, особенно тех, которые расположены ближе к выходной цепи усилителя, поскольку амплитуда подводимого к ним колебания превышает амплитуды колебаний на входах предшествующих усилительных приборов. Перегрузка означает, что усилительный прибор достиг насыщения, и напряжение на его выходе Uн дальше расти не может. Количественная оценка границ линейного участка амплитудной характеристики выражается динамическим диапазоном усилителя. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Динамическим диапазоном усилителя D (рис. 42.3) называется логарифм отношения максимально допустимого напряжения на входе (выходе) к минимально допустимому напряжению на входе (выходе) усилителя: D 20lg U вх max U вх min 20lg U вых max U вых min [дБ] . (42.4) В реальных усилителях динамический диапазон составляет D = 20—80 дБ. Понятно, что динамический диапазон усиливаемых колебаний не должен выходить за пределы динамического диапазона усилителя, иначе малые по уровню сигналы окажутся замаскированными собственными шумами усилителя, а большие по уровню — ограниченными до величины напряжения насыщения Uн. Лекция 42. Основы теории усилителей 685 Коэффициент нелинейных искажений (коэффициент гармоник) В предыдущей лекции уже упоминалось, что нелинейность характеристик четырѐхполюсника приводит к появлению особого рода нелинейных искажений, которые выражаются в виде высших гармоник на выходе при гармоническом воздействии. Эти высшие гармоники называются паразитными гармониками. Рассмотрим это явление подробнее. Пусть на входе усилителя действует гармоническое напряжение uвх (t ) Uвх cosωt , (42.5) такое, что Uвх соответствует рабочему участку усилителя. Если бы этот участок был строго линейным, то согласно свойству линейных систем выходное напряжение было бы также гармоническим с той же частотой и отличалось бы от входного только коэффициентом усиления K: uвых (t ) KUвх cosωt Uвых cosωt . В действительности амплитудная характеристика на рабочем участке является лишь приближѐнно линейной, поэтому неизбежно будут иметь место нелинейные искажения. Степень, или уровень этих искажений зависит от степени приближения амплитудной характеристики к линейной. Нелинейные искажения выражаются в появлении колебаний на дополнительных частотах. Изучим характер этих колебаний при условии, что нагрузка усилителя чисто активная и равна R. Тогда в общем случае выходной сигнал uвых(t) может быть представлен с помощью ряда Тэйлора: uвых (t ) uвых (u0 ) f (u0 uвх (t )) duвых (t ) uвх (t ) duвх (t ) (42.6) 1 d 2uвых (t ) 2 1 d 3uвых (t ) 3 uвх (t ) uвх (t ) 2 3 2! duвх 3! duвх (t ) (t ) 2 3 uвых (u0 ) αuвх (t ) βuвх (t ) γuвх (t ) , где uвых(u0) — постоянная составляющая напряжения, определяющая исходное положение рабочей точки (рис. 42.3) на рабочей характеристике в отсутствие сигнала. Члены второй и более высоких степеней ряда (42.6) учитывают нелинейность амплитудной характеристики вблизи рабочей точки: при слабых сигналах и соответствующем выборе u0 влияние этих членов на коэффициент усиления и амплитуду полезного сигнала на выходе усилителя несущественно. Часть II. Глава 12 686 Получим выходной сигнал подстановкой (42.5) в выражение (42.6): 2 3 uвых (t ) uвых (u0 ) αuвх (t ) βuвх (t ) γuвх (t ) 2 uвых (u0 ) αU вх cos ωt βU вх cos 2 ωt 3 γU вх cos3 ωt Применение формул кратных дуг 1 cos 2ωt , 2 3 1 cos ωt cos3ωt и т. д. 4 4 cos 2 ωt cos3 ωt 1 2 приводит к выражению: 2 3 uвых (t ) uвых (u0 ) αuвх (t ) βuвх (t ) γuвх (t ) 2 3 uвых (u0 ) αU вх cosωt βU вх cos2 ωt γU вх cos3 ωt uвых (u0 ) U г1 cos(ωt 1) U г2 cos(2ωt 2) U г3 cos(3ωt 3) , которое описывает сложное колебание, представляющее собой наложение основного колебания с частотой ω (основной частотой) и колебаний с частотами 2ω, 3ω и т. д. Колебание с частотой ωk = kω (k = 2, 3, 4…) называется k-ой гармоникой, а напряжение Uгk называется амплитудой k-ой гармоники. Для каждой k-ой гармоники вводится коэффициент нелинейности Kгk, называемый коэффициентом гармоники. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Коэффициентом k-ой гармоники называется отношение амплитуды k-ой гармоники Uгk к амплитуде первой гармоники Uг1: K гk U гk . U г1 (42.7) Однако судить о нелинейности амплитудной характеристики усилителя только по одной из паразитных гармоник нельзя, поскольку каждая из них вносит свой неблаговидный вклад. Понятно также, что чем выше частота k-ой гармоники, тем меньше еѐ амплитуда, тем меньше еѐ влияние на амплитудную характеристику. Общую оценку нелинейности амплитудной характеристики характеризуют коэффициентом гармоник Kг усилителя, или коэффициентом нелинейных искажений. Лекция 42. Основы теории усилителей 687 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Коэффициентом гармоник Kг называется отношение квадратного корня из суммы квадратов амплитуд всех гармоник, кроме основной, к амплитуде основного колебания n Kг k 2 U г2k U г1 100 % , (42.8) где: n — номер учитываемой энергетически значимой высшей гармоники. Например, практически усилители радиоприѐмников имеют Kг = (1—10) %, а усилители групповых трактов многоканальных систем связи имеют Kг = (0,001—0,01) %. При этом измерения могут осуществляться вплоть до 60-й гармоники основной частоты. При малых значениях коэффициентов гармоник (42.7) нелинейность усилителя оценивается затуханиями нелинейности по k-ым гармоникам: 1 aгk 20lg 20lg K гk [дБ]. (42.9) K гk Известны и другие методы оценки нелинейных искажений, в частности, двухчастотный метод, в котором тестовый (входной) сигнал представляет собой сумму двух гармоник: uвх (t ) U1 cosω1t U2 cosω2t , (42.10) а нелинейные искажения оцениваются по соотношению амплитуд высших гармоник колебаний, входящих в (42.10), совместно с амплитудами комбинационных колебаний, имеющих частоты (±kω1 ± mω2), к амплитуде основного колебания. Из сказанного ясно, что количественная оценка нелинейных искажений полностью зависит от принятого метода их измерений. По этой причине измерения коэффициента гармоник регламентируются различными нормативными документами, в том числе государственной поверочной схемой, и проводятся с помощью специальных поверочных приборов. 42.2. Математические модели и схемы замещения усилителей Любой усилитель рассматривается как активный линейный четырѐхполюсник, схема замещения которого содержит единственный зависимый источник (см. лекцию 3) и конечное число резистивных и реактивных элементов. Часть II. Глава 12 688 42.2.1. Математические модели усилителей При математическом моделировании усилителей в частотной области используются две характеристики (см. разд. 42.1.1): сквозной комплексный коэффициент усиления KE(jω) и комплексный коэффициент усиления K(jω). Для получения указанных комплексных коэффициентов запишем уравнения передачи усилителя (рис. 42.1) в Y-параметрах (20.3): I1 Y11 U1 Y12U 2 ; I2 (42.11) Y21 U1 Y22U 2 . Прежде всего, отметим важную особенность Y-параметров активных четырѐхполюсников: для них Y21 ≠ Y12. Это значит, что активные четырѐхполюсники необратимы и, следовательно, принцип взаимности к активным четырѐхполюсникам неприменим. Если же Y21 = Y12, то в схеме замещения исчезает активный источник. Дополним уравнения (42.11) двумя уравнениями: уравнением генератора: E Z г I1 U1 Zг I1 U1 Yг и уравнением нагрузки: U2 I2 . Yн Zн I 2 В результате получаем систему уравнений: I1 Y11 U1 Y12U 2 ; I2 Y21 U1 Y22U 2 ; E Z г I1 U1 U2 Zн I2 Zг I1 U1; Yг (42.12) I2 , Yн решая которую относительно переменной U 2 , нетрудно получить выражение для сквозного комплексного коэффициента усиления KE(jω): K E ( jω) U2 E Yг Y11 Y21Yг Yн Y22 Y12Y21 . (42.13) Лекция 42. Основы теории усилителей 689 При проводимости генератора Yг → (т. е. при его сопротивлении Zг → 0) переменная U1 E и комплексный коэффициент усиления принимает вид: KU ( jω) U2 U1 Y21 . Yн Y22 (42.14) Математическим моделям (42.13) и (42.14) соответствуют П-образные схемы замещения (см. разд. 21.1.2) усилителя с источниками тока и напряжения, представленные на рис. 42.4. Yг Y12 I1 1 Y22 Y12 U1 E I2 2 Y11 Y12 Yг Yн U2 Y21 Y12 U1 а 2 1 Y12 I1 1 I2 2 Y22 Y12 U1 E Y21 Y12 U1 Y22 Y12 Y11 Y12 1 Yн U2 б 2 Рис. 42.4. П-образные схемы замещения усилителя с источником тока (а) и напряжения (б) 42.2.2. Однонаправленный (односторонний) усилитель Идеализируя свойства широкого класса линейных усилителей, положим Y12 = 0. Тогда усилитель будет обладать строго однонаправленным усилением, не имеющим какой-либо обратной связи. Такие усилители называют однонаправленными усилителями или усилителями без обратной связи. Следствием принятой идеализации являются следующие значения параметров (см. лекцию 20): Z12 0, H12 0, A11 A22 A12 A21 0. Часть II. Глава 12 690 При этом сквозной комплексный коэффициент усиления равен: K E ( jω) U2 E Y21Yг Y11 Yн Y22 Yг Yг Y21 Yг Y11 Yн Y22 (42.15) H1 ( jω)KU ( jω), где H1 ( jω) U1 U2 , KU ( jω) E U1 представляют собой комплексные частотные характеристики двух каскадносоединѐнных цепей, показанных на рис. 42.5, а и б соответственно. Yг E 1 2 U1 Y11 Y21U1 Y22 Yн U2 а б 1 2 Рис. 42.5. Цепи с комплексными частотными характеристиками H1(jω) (а) и KU(jω) (б) Схемы замещения однонаправленного усилителя (рис. 42.6) получаются из ранее рассмотренных схем (см. рис. 42.4) при Y12 = 0. Параметры усилителя Y11 и Y22 представляют собой проводимости пассивных двухполюсников и могут быть вычислены (измерены) как входные проводимости со стороны соответствующих пар зажимов (см. разд. 20.3), причѐм для однонаправленного усилителя эти проводимости не зависят от нагрузки. Для однонаправленных усилителей вводят ещѐ два параметра:  крутизну Y21, определяемую при условии U 2 Y21 I2 U1 U и задаваемую в [мА/В] или в [См]; 2 0 (Yн 0 (т. е. при Yн = ): ) Лекция 42. Основы теории усилителей Yг 691 I1 1 U1 E I2 2 Y11 Y22 Y21U1 Yн U2 аа Yг 1 2 I1 1 I2 2 Y11 U1 E Y22 Yн Y21 Y22 U2 μU1 1 бб 2 Рис. 42.6. Схемы замещения однонаправленного усилителя: а) с источником тока, б) с источником напряжения  коэффициент усиления μ, определяемый при условии I 2 0 (т. е. при Yн = 0): μ Y21 Y22 1 A11 U2 U1 . I 2 0 (Yн 0) Эти параметры используются также для определения двух разновидностей идеальных однонаправленных усилителей, которые описываются либо только крутизной Y21, либо только коэффициентом усиления μ:  первая разновидность (рис. 42.7, а) получается из схемы замещения (рис. 42.6, а) при условиях: Yвх = Y11 = 0 и Yвых = Y22 = 0; U1 U2 Y21U1 а U1 μU1 U2 б Рис. 42.7. Схемы замещения идеальных однонаправленных усилителей: ИТУН (а), ИНУН (б) Часть II. Глава 12 692  вторая разновидность (рис. 42.7, б) получается из схемы замещения (рис. 42.6, б) при условиях: Yвх = Y11 = 0 и Yвых = Y22 = . Сравнение полученных схем со схемами, представленными на рис. 3.7 и рис. 3.8, позволяет утверждать, что идеальные однонаправленные усилители представляют собой источники тока (рис. 42.7, а) и напряжения (рис. 42.7, б), управляемые напряжением. З А МЕ Ч А Н И Е Любой реальный усилитель может приближѐнно рассматриваться как однонаправленный, если выполняется соотношение: Yг Y11 Yн Y22 Y12Y21 . 42.3. Усилители с обратной связью Усилитель с одноканальной обратной связью (рис. 42.8) представляет собой систему из однонаправленного усилителя (ОдУ) и пассивной цепи, которая соединяет внешние зажимы 3—3' и 4—4' ОдУ с внешними зажимами 1—1' и 2—2' системы. 3 ОдУ 4 3 Yг Eг 1 U1 4 I2 2 I1 Пассивная цепь 1 U2 Yн 2 Рис. 42.8. Обобщѐнная схема усилителя с обратной связью Пассивная цепь включает в себя входную и выходную цепи и цепь обратной связи. При изучении свойств усилителей с обратной связью можно пользоваться общими методами анализа колебаний в электрических цепях, а именно: методами узловых напряжений и контурных токов, методом эквивалентного генератора, методами теории четырѐхполюсников и методами теории Лекция 42. Основы теории усилителей 693 обратной связи. Тем не менее, для усилителей с обратной связью выработаны более удобные, специфические понятия, которые позволяют не только просто записывать основные соотношения, но оказываются полезными при обосновании методов расчѐта и настройки усилителей с обратной связью. 42.3.1. Основные понятия и определения Как было показано в лекции 40, в любой системе с обратной связью какая-то часть сигнала с выхода системы возвращается на еѐ вход. Такой же процесс происходит и в усилителе с обратной связью: с выхода (зажимы 4—4') однонаправленного усилителя часть сигнала через пассивную цепь возвращается на его вход (зажимы 3—3'). 3 U3 4 Y21U 3 3 Yг I2 Пассивная цепь U1 E 4 1 I1 2 Yн U2 а 1 2 3 U3 4 μU 3 4 3 Yг E 1 I1 U1 1 I2 Пассивная цепь 2 Yн U2 б 2 Рис. 42.9. Схема замещения усилителя с обратной связью: а) с независимым источником тока, б) с независимым источником напряжения Если двухполюсные элементы Y11 и Y22 однонаправленного усилителя (рис. 42.6) отнести к пассивной части цепи, то соответствующая схема замещения усилителя с обратной связью (рис. 42.8) примет вид, представленный Часть II. Глава 12 694 на рис. 42.9, т. е. ОдУ будет замещѐн независимым источником тока (рис. 42.9, а) или независимым источником напряжения (рис. 42.9, а). Таким образом, усилитель с обратной связью всегда является неоднонаправленной системой. Возвратное отношение и петлевое усиление Поставим задачу найти частотные характеристики усилителя с обратной связью. Для этого обратимся к схеме замещения, показанной на рис. 42.9, а, и выполним следующие действия: 1. Разомкнѐм (разорвѐм) петлю ОС в произвольном сечении пассивной цепи, в результате чего получим две пары зажимов: (5—5') и (6—6'). 2. Вычислим или измерим входные сопротивления Z5 на зажимах (5—5') и Z6 на зажимах (6—6') при E = 0. 3. Подключим к зажимам (5—5') нагрузку сопротивлением Z6, а к зажимам (6 – 6΄) — сопротивлением Z5. Результатом таких действий является схема (рис. 42.10), в которой при E = 0 петля ОС может рассматриваться как линейный четырѐхполюсник с входными (5—5') и выходными (6—6') зажимами. 3 4 Y21U 3 U3 Yг E 1 I1 U1 1 4 3 5 Пассивная цепь I2 6 Пассивная цепь Z 6 Z5 Z5 5 6 Z6 2 Yн U2 2 Рис. 42.10. Схема замещения усилителя с разорванной петлѐй ОС Продолжим преобразование, для чего в схеме (рис. 42.10): 4. Подключим к зажимам (5—5') источник напряжения с ЭДС E0 U 5 (гар- моническое колебание с комплексной амплитудой U 5 ) вместо нагрузки Z6; тогда получим схему, представленную на рис. 42.11. 5. Определим реакцию U 6 на зажимах (6—6') на гармоническое колебание. Лекция 42. Основы теории усилителей 695 4 3 Y21U 3 U3 3 4 1 Пассивная цепь Yг E0 Пассивная цепь U6 U5 5 1 2 6 5 6 Yн 2 Рис. 42.11. Схема замещения усилителя для определения возвратного отношения 6. Найдѐм отношение напряжения U 6 к U 5 при указанных направлениях отсчѐтов на входе и выходе петли ОС: B( j ) U6 U5 . E 0 (42.16) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексная функция (42.16) B(jω), характеризующая отношение комплексной амплитуды напряжения на выходе разомкнутой петли обратной связи (реакции) к ЭДС источника (воздействия), подключѐнного к входным зажимам разомкнутой петли ОС, называется возвратным отношением. Понятие возвратного отношения является одним из центральных понятий теории усилителей с обратной связью. Оно показывает, какая часть сигнала поступает с выхода на вход. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексная функция U6 (42.17) B( j ) U5 называется комплексным коэффициентом усиления по петле обратной связи, или просто — петлевым усилением; петлевое усиление отличается от возвратного отношения только знаком. В теории усилителей с ОС доказывается, что возвратное отношение не зависит от места разрыва петли ОС, если выполняются соответствующие условия еѐ нагрузок, продемонстрированные ранее. Часть II. Глава 12 696 На практике разрыв петли ОС осуществляют на входе идеального однонаправленного усилителя (рис. 42.12), что исключает вычисления нагрузки Z5. Но при этом, конечно, следует положить, что E = 0 и Y21 = 0, т. е. считать крутизну зависимого источника равной нулю. Иными словами, необходимо "погасить" зависимый источник, сохранив значения всех пассивных элементов, которые входят в схему его замещения. Именно этот смысл содержит понятие усилителя с погашенным зависимым источником. 6(3) U6 6 (3 ) 5(3) E0 U5 4 Y21U 3 4 5 (3 ) 1 Yг 2 Yн Пассивная цепь 2 1 Рис. 42.12. Усилитель с погашенным источником Комплексная передаточная функция и возвратная разность Как известно, свойства обычного четырѐхполюсника полностью описываются его передаточной функцией. В усилителе с обратной связью также используется понятие передаточной функции, но только для характеристики цепи ОС (рис. 42.13 и 42.14), внешней по отношению к идеальному ОдУ, у которой зажимы (4—4') являются входными, а зажимы (3—3') — выходными. Для вычисления комплексной передаточной функции1 β(jω) цепи ОС при E = 0 вместо зависимого источника тока или напряжения включается независимый. В связи с этим применяются два определения комплексной передаточной функции при условии, что зависимый источник погашен. 1 Ранее было отмечено, что термины "комплексная частотная характеристика" и "комплексная передаточная функция" являются синонимами. Здесь используется термин, принятый в теории усилителей с обратной связью. Лекция 42. Основы теории усилителей 697 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексной передаточной функцией цепи ОС называется отношение комплексной амплитуды напряжения U 3 на выходе петли ОС к комплексной амплитуде задающего тока I 0 независимого источника тока на еѐ входе (рис. 42.13) β( j ) U3 I0 (42.18) E 0 при условии, что E = 0 и Y21 = 0. В этом случае комплексная передаточная функция усилителя имеет размерность сопротивления. 3 4 I0 U3 3 4 1 Yг 2 Пассивная цепь 1 Yн 2 Рис. 42.13. Схема замещения усилителя с независимым источником тока ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексной передаточной функцией цепи ОС называется отношение комплексной амплитуды напряжения U 3 на выходе петли ОС к комплексной амплитуде задающего напряжения E0 независимого источника напряжения на еѐ входе (рис. 42.14) U3 (42.19) β( j ) E0 E 0 при условии, что E = 0 и Y21 = 0. В этом случае комплексная передаточная функция цепи ОС является безразмерной. Часть II. Глава 12 698 3 4 E0 U3 3 4 1 2 Пассивная цепь Yг Yн 1 2 Рис. 42.14. Схема замещения усилителя с независимым источником напряжения Найдѐм связь между возвратным отношением B(jω) и комплексной передаточной функцией цепи ОС β(jω), для чего обратимся к рис. 42.11, где воздействие I0 Y21U5 на зажимах (5—5'), а реакция — напряжение U 6 на зажимах (6—6'). Тогда согласно определениям (42.18) и (42.16) имеем: β( j ) U6 Y21U5 E 0 B( j ) , Y21 откуда B( j ) Y21β( j ) . (42.20) Аналогично для схемы замещения с зависимым источником напряжения устанавливается: B( j ) μβ( j ) . (42.21) Кроме рассмотренных функций, для усилителей с обратной связью вводится особая функция F(jω), называемая возвратной разностью (рис. 42.11): F( j ) U5 U 6 U5 1 U6 U5 1 B( j ) , (42.22) откуда ясно, что возвратная разность на единицу отличается от возвратного отношения. Модуль возвратной разности называется глубиной обратной связи усилителя: F( j ) 1 B( j ) . (42.23) Лекция 42. Основы теории усилителей 699 Глубина обратной связи, как это показано далее, характеризует изменение коэффициента усиления усилителя, обусловленное обратной связью. 42.3.2. Напряжение на входных зажимах зависимого источника Введѐнные ранее понятия помогают найти закон, по которому изменяется комплексная амплитуда напряжения U 3 на входе зависимого источника в схеме замещения усилителя, представленной на рис. 42.9, а. В этой схеме действуют два источника: независимый с комплексной амплитудой E и зависимый с комплексной амплитудой задающего тока I 0 Y21U 3 . Обозначим через U 03 напряжение на зажимах (3—3') погашенного зависимого источника (Y21 = 0). Такое же напряжение на указанных зажимах будет при непогашенном источнике и разрыве петли ОС на его выходе (или в любом сечении пассивной цепи). Согласно принципам пропорциональности (однородности) и наложения можно записать: U3 (42.24) cE dI 0 . Выясним смысл коэффициентов c и d. При I 0 0 (Y21 0) получаем c U3 E I0 0 U 03 E H1 ( jω) (42.25) комплексную частотную характеристику цепи между зажимами (3—3') и (1—1') при разомкнутой петле ОС. При E 0 получаем d U3 I0 β( jω) (42.26) E 0 комплексную передаточную функцию цепи ОС (42.18). После подстановки (42.25) и (42.26) в (42.24) имеем: U3 U03 β( jω) I 0 U03 Y21β( jω)U3 U03 B( jω)U 3 , откуда U 03 1 B ( jω) U 3 F ( jω)U 3 Часть II. Глава 12 700 и, наконец: U 03 1 B( jω) U3 U 03 . F ( jω) (42.27) Вывод из (42.27): комплексная амплитуда напряжения U 3 на входных зажимах (3—3') зависимого источника тока или напряжения равна комплексной амплитуде напряжения на тех же зажимах при погашенном зависимом источнике (или разрыве петли ОС), делѐнной на возвратную разность. 42.3.3. Комплексный коэффициент усилителя с ОС Прежде чем определять комплексный коэффициент усилителя с ОС, найдѐм выражение для сквозного комплексного коэффициента усиления KE(jω), для чего обратимся к схеме замещения (рис. 42.15), где цепь ОС для удобства разомкнута на входе зависимого источника (подобно рис. 42.12) и к зажимам (5—5') подключѐн вспомогательный источник E0 . 6(3) U6 5(3) E0 6 (3 ) Yг 1 4 Y21U 3 4 5 (3 ) 2 I1 Yн Пассивная цепь Eг 2 1 Рис. 42.15. Схема замещения усилителя при разомкнутой ОС на входе зависимого источника тока На схеме задающий ток зависимого источника тока равен: I0 Y21E0 . По определению K E ( jω) U2 , E Лекция 42. Основы теории усилителей 701 поэтому необходимо определить значение напряжения на зажимах (2—2'), представляющее собой реакцию цепи. Согласно принципам пропорциональности (однородности) и наложения напряжение U 2 представляет собой сумму: U2 aE0 bE. (42.28) Коэффициенты a и b найдѐм путѐм последовательного приравнивания нулю напряжений источников напряжений:  положим E0 0 ; это означает, что I 0 0 , т. е. зависимый источник (однонаправленный усилитель) погашен; тогда коэффициент U2 E b I0 0 H 0 ( jω) (42.29) представляет собой комплексную частотную характеристику пассивной цепи при погашенном однонаправленном усилителе;  положим E 0 ; тогда коэффициент a представляет собой отношение a U2 E0 ; E 0 с другой стороны, как видно из рис. 42.15, при E 0 можно записать комплексную частотную характеристику сопротивления цепи между зажимами (4—4') зависимого источника тока и выходными зажимами (2—2') пассивной цепи: U2 U2 a H 2 ( jω) , (42.30) I0 E 0 Y21E0 E 0 Y21 откуда следует: a Y21H2 ( jω) . (42.31) Подставляя (42.29) и (42.31) в формулу (42.28), получаем напряжение на зажимах (2—2'): U2 Y21H 2 ( jω) E0 H 0 ( jω) E. (42.32) Примем ЭДС вспомогательного источника E0 равной комплексной амплитуде напряжения U 3 , которое развивается на входе зависимого источника при замыкании петли ОС, и воспользуемся соотношением (42.27). Тогда выражение (42.32) примет вид: U2 Y21H 2 ( jω) U 03 F ( jω) H 0 ( jω) E. Часть II. Глава 12 702 Но из (42.25) следует: U03 H1 ( jω) E , поэтому U2 Y21H 2 ( jω) H1 ( jω) E F ( jω) H 0 ( jω) E. (42.33) Покажем, что числитель дроби в (42.33) представляет собой комплексную амплитуду напряжения U 02 на зажимах (2—2') при разрыве петли ОС в любом сечении пассивной цепи. Действительно, U02 H 2 ( jω) I 0 Y21H 2 ( jω)U03 Y21H1 ( jω)H 2 ( jω)E , поэтому K 0 E ( jω) U 02 E Y21H1 ( jω) H 2 ( jω). (42.34) Теперь согласно определению можно записать выражение для сквозного комплексного коэффициента усиления KE(jω): K E ( jω) U2 E K0 E ( jω) F ( jω) H 0 ( jω) . (42.35) Комплексный коэффициент усиления KU(jω) усилителя с ОС получается из (42.35) как частный случай, когда U1 E (т. е. Yг = , или Rг = 0): KU ( jω) U2 U1 K0U ( jω) F ( jω) H 0 ( jω) . (42.36) Вывод: комплексный коэффициент усиления усилителя с ОС равен сумме комплексного коэффициента усиления K0U(jω) того же усилителя с разомкнутой пассивной цепью ОС, делѐнного на возвратную разность F(jω), и комплексной частотной характеристики H0(jω) пассивной цепи. На практике непосредственная передача сигнала по пассивной цепи со входа усилителя на его выход пренебрежимо мала, поэтому в формулах (42.35) и (42.36) второе слагаемое можно опустить: K E ( jω) K0 E ( jω) F ( jω) (42.37) Лекция 42. Основы теории усилителей 703 и KU ( jω) K0U ( jω) . F ( jω) (42.38) Последние соотношения позволяют выявить влияние обратной связи на АЧХ усилителя. Например, AE ( jω) K E ( jω) K0 E ( jω) F ( jω) K 0 E ( jω) . F ( jω) Из последних соотношений можно сделать несколько выводов о влиянии глубины ОС на частотные характеристики усилителя. Выводы:  пусть на некоторой частоте ω = ω1 глубина обратной связи |F(jω1)| > 1, тогда на этой частоте значение АЧХ уменьшается, и обратная связь на этой частоте называется отрицательной;  пусть на некоторой частоте ω = ω1 глубина обратной связи |F(jω1)| < 1, тогда на этой частоте значение АЧХ увеличивается, и обратная связь на этой частоте называется положительной;  если во всей рабочей полосе частот усилителя глубина обратной связи |F(jω1)| > 1, то усилитель называют усилителем с отрицательной ОС; в противном случае — усилителем с положительной ОС;  если во всей рабочей полосе частот усилителя глубина обратной связи |F(jω1)| ≈ 1, то усилитель может рассматриваться как однонаправленный или усилитель без ОС;  если во всей рабочей полосе частот усилителя глубина обратной связи существенно превышает единицу, т. е. |F(jω1)| >> 1, то такая ОС называется глубокой; понятно, что глубокой может быть только отрицательная ОС. Полезно сравнить эти выводы с выводами, сделанными в разд. 40.3. 42.3.4. Стабильность характеристик усилителя с ОС Стабильность рассмотренных ранее характеристик усилителя зависит от стабильности собственных параметров усилительного прибора, среди которых особая роль принадлежит крутизне Y21. Оценим стабильность комплексного коэффициента усиления при условии, что отрицательная связь является глубокой, т. е. |F(jω1)| >> 1, и комплексной Часть II. Глава 12 704 частотной характеристикой H0(jω) пассивной цепи можно пренебречь. При таком условии F ( jω) 1 B( jω) B( jω) Y21β( jω). Согласно (42.37) K0 E ( jω) F ( jω) Y21H1 ( jω) H 2 ( jω) F ( jω) K E ( jω) Y21H1 ( jω) H 2 ( jω) Y21β( jω) (42.39) H1 ( jω) H 2 ( jω) . β( jω) В формулу (42.39) входят только частотные характеристики пассивных цепей, поэтому стабильность KE(jω) определяется стабильностью параметров пассивных элементов и не зависит от крутизны Y21 усилителя. Этот факт открывает возможность построения усилителей с обратной связью из нестабильных усилительных приборов. Стабильность оценивается с помощью функции относительной чувствительности коэффициента усиления усилителя к изменению крутизны Y21: SYK E KE KE Y21 Y21 lim 21 Y21 где: Y21 dK E , K E dY21 (42.40)  Y21 — относительное изменение крутизны; Y21  KE — относительное изменение коэффициента усиления. KE Найдѐм производную dK E dY21 d dK E : dY21 Y21H1H 2 1 Y21β dY21 H1H 2 1 Y21β β 1 Y21β 2 Y21H1H 2 H1H 2 1 Y21β 2 и подставим еѐ в формулу (42.40), туда же подставим значение KE(jω) из (42.37). Такая подстановка приведѐт к выражению: SYK E 21 1 1 Y21β( jω) 1 1 B( jω) 1 . F ( jω) (42.41) Лекция 42. Основы теории усилителей 705 Следовательно, при малых изменениях значения крутизны Y21 с точностью до величины второго порядка малости, имеем: KE KE Y21 Y21 F 100 %. (42.42) Таким образом, относительная нестабильность АЧХ усилителя снижается обратной связью в F ( jω) раз. Это означает, что выигрыш в стабильности коэффициента усиления относительно крутизны Y21, наиболее подверженной влиянию внешних воздействий, точно соответствует проигрышу в усилении, т. е. глубине обратной связи. Пример 42.1. Пусть Y21 Y21 8 % , а глубина ОС F 80 . Тогда относительная нестабильность коэффициента усиления составит KE 0,1 % . KE 42.3.5. Входное и выходное сопротивления усилителя с ОС Рассмотрим усилитель (рис. 42.16) с разорванной на входе (3—3') зависимого источника петлѐй ОС при условии, что к усилителю подключены два воздействия: I 01 I 01 к входным зажимам (1—1') и E0 U 5 к зажимам (3—3'). Вновь согласно принципам пропорциональности и наложения запишем уравнения для реакций U1 и U36 U5 U6 : U1 aI1 bU5 ; U 36 U5 U 6 a1I1 b1U5 . (42.43) При выключении (погашении) однонаправленного усилителя напряжения E0 U5 0 , поэтому I 0 Y21E0 0 и уравнения (42.43) принимают вид: U1 aI1; U6 a1I1. Часть II. Глава 12 706 6(3) 5(3) U 56 U6 E0 U5 6 (3 ) 4 I0 Y21E0 4 5 (3 ) I2 2 1 I1 I 01 I1 Пассивная цепь U1 1 Yн U2 2 Z вх Рис. 42.16. Схема замещения усилителя с разорванной на входе зависимого источника петлѐй ОС Обозначим через Z0вх входное сопротивление усилителя со стороны зажимов (1—1') при погашенном зависимом источнике. Это сопротивление не отличается от входного сопротивления со стороны тех же зажимов при включѐнном однонаправленном усилителе, но разорванной петле ОС в любом сечении пассивной цепи. a U1 I1 E0 0 ( I 0 0) Z0вх . (42.44) При замыкании петли ОС, когда U5 U 6 (т. е. U56 U1 0 ), из (42.43) имеем: aI1 bU5 ; 0 a1I1 b1U5 , откуда после подстановки значения U 5 из второго уравнения в первое нетрудно получить выражение для входного сопротивления через коэффициенты уравнений: Z вх U1 I1 U 5 U6 ab1 a1b . b1 (42.45) Выразим далее возвратные разности F ( jω) Z г и F ( jω) Z г 0 Лекция 42. Основы теории усилителей 707 через коэффициенты уравнений (42.43), для чего воспользуемся соотношением (42.22) и учтѐм, что условие I1 = 0 соответствует режиму ХХ, а условие U1 = 0 — режиму КЗ со стороны зажимов (1—1'): F ( jω) Z F ( jω) Z U5 U 6 U5 г г 0 b1; I1 0 U5 U 6 U5 U 1 (42.46) ab1 a1b . a 0 Теперь на основании (42.44)—(42.46) запишем отношение Zвх к Z0вх: Z вх Z 0вх ab1 a1b b1 a ab1 a1b a b1 F ( jω) Z F ( jω) Z г 0 , г откуда следует формула входного сопротивления: Z вх Z 0вх F ( jω) Z F ( jω) Z 0 г . (42.47) г Проведя аналогичные рассуждения, можно получить выходное сопротивление усилителя с ОС (входное со стороны зажимов (2—2')): Z вых Z 0вых F ( jω) Z F ( jω) Z н 0 , (42.48) н где Z0вых — выходное сопротивление усилителя с разомкнутой цепью ОС, а возвратные разности F ( jω) Z н 0 и F ( jω) Z н определены при короткозамкнутых и разомкнутых зажимах (2—2') соответственно. Таким образом, выражения (42.47) и (42.48) показывают, что:  изменение глубины обратной связи позволяет в широких пределах управ- лять входным и выходным сопротивлениями относительно их исходных значений (т. е. при погашенном зависимом источнике (Y21 = 0));  за счѐт обратной связи возможно получение комплексных сопротивлений с отрицательной вещественной составляющей; 708 Часть II. Глава 12  если возвратные отношения B(jω), входящие в формулы возвратных раз- ностей F(jω) = 1 + B(jω), по модулю существенно превышают единицу |B(jω)| >> 1, входное и выходное сопротивления перестают зависеть от крутизны Y21, т. е. стабилизируются, что возможно при больших значениях обратной связи (см. пример 42.1). 42.3.6. Устойчивость усилителя с ОС Как известно, пассивные электрические цепи всегда устойчивы, чего нельзя сказать об активных цепях, к которым принадлежит и усилитель, в том числе и усилитель с обратной связью, обеспечение устойчивости которого рассматривается как одна из важнейших инженерных задач. Для анализа устойчивости усилителей с ОС на практике применяется критерий Найквиста (см. лекцию 41), который формулируется через возвратное отношение B(jω), поскольку оно не только несложно вычисляется по формуле (42.17), но и может быть легко измерено. В теории усилителей с ОС роль коэффициента передачи разомкнутой системы A1β в (40.4) выполняет возвратное отношение B(jω), а глубине обратной связи 1 – A1β, используемой в общей теории, соответствует возвратная разность F(jω) = 1 + B(jω). Сопоставляя выражения 1 – A1β и F(jω), нетрудно сформулировать критерий Найквиста для усилителей с обратной связью: для того чтобы усилитель с обратной связью был устойчив, необходимо и достаточно, чтобы годограф возвратного отношения B(jω) = F(jω) – 1 в комплексной плоскости не охватывал точку (–1, j0) при изменении частоты ω от – до + . Наиболее типичные виды годографов возвратных отношений устойчивых и неустойчивых усилителей приведены на рис. 42.17. На рис. 42.17, а показана векторная диаграмма, связывающая три комплексные величины: F(jω), B(jω) и –1 + j0 при некоторой частоте ω. Это означает, что вектор, соединяющий на комплексной плоскости точку (–1, j0) с любой точкой годографа возвратного отношения B(jω), характеризует возвратную разность F(jω). Следует заметить, что в рассматриваемом примере с изменением частоты от ω = 0 до ω = суммарное приращение аргумента arg F(jω) равно нулю, поскольку на участке 0 ≤ ω ≤ ω1 аргумент получает положительное приращение, а на участке ω1 < ω ≤ ω2 — равное ему по абсолютной величине отрицательное приращение. По той же причине равны нулю приращения arg F(jω) и на других участках годографа, отмеченных точками. Таким образом, полином устойчив. Лекция 42. Основы теории усилителей 709 j ω ω 1 ωy ω3 0 ω1 ω5 ω4 j ω1 x y B( jω) 0 1 ω2 1 B( jω) 0 ω2 F ( jω) ω а б Рис. 42.17. Примеры годографов возвратных отношений устойчивого (а) и неустойчивого (б) усилителей Практически важной оценкой устойчивости усилителя является запас устойчивости, который можно определить по годографу. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Под запасом устойчивости понимаются допустимые расстояния, на которые годограф B(jω) может приближаться к критической точке (–1, j0). При этом разделяют запас по амплитуде x и запас по фазе y, смысл которых ясен из рис. 42.17, а. Для усилителей сигналов, применяемых в системах связи, типовые значения запасов составляют: по амплитуде x ≈ 0,6, по фазе y = 30—40 . L2 C2 1 R U вх Лекция 43 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Основы синтеза активных RC-цепей Все виды активных RC-цепей (ARC-цепей) можно разбить на три группы:  ARC-цепи с сосредоточенными параметрами, элементный базис которых составляют сосредоточенные и неизменные во времени элементы ѐмкости C, резистивные элементы R и активные приборы A;  ARC-цепи с распределѐнными параметрами;  ARC-цепи с переменными (во времени) параметрами. Методы и схемы реализации ARC-цепей связаны с типом используемых активных приборов, среди которых выделяют:  усилители с конечным усилением — управляемые источники тока и на- пряжения с ограниченным коэффициентом управления μ;  операционные усилители (ОУ) — управляемые источники тока и напря- жения с неограниченным коэффициентом управления μ;  конверторы;  инверторы (гираторы). В данной лекции изучаются только ARC-цепи с сосредоточенными параметрами. Широко известно, что активные приборы различных типов могут быть реализованы с помощью пассивных элементов и операционных усилителей (ОУ). По этой причине все известные ARC-цепи могут рассматриваться как схемы с ОУ, а все методы реализации трактоваться с единой точки зрения. После замены активных приборов эквивалентными схемами с ОУ получается совокупность ARC-схем с активными приборами одного типа. Более того, если известна схема ARC-цепи с конверторами или гираторами, можно перейти к схеме с ОУ, заменив конверторы или гираторы соответст- Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей 711 вующими эквивалентными схемами. Обратная задача — построение этой же схемы на ОУ непосредственно, без использования конверторов (гираторов), может быть неизмеримо сложнее. 43.1. Операционные усилители Основу современных активных приборов, используемых в ARC-цепях и выпускаемых в виде микросхем, составляет универсальная микросхема — операционный усилитель (ОУ), на котором строятся все необходимые активные приборы. Исторически термин "операционный усилитель" связан с разработкой и нуждами аналоговой вычислительной техники; такой усилитель предназначен для выполнения ряда математических операций, например: суммирования, умножения на постоянный коэффициент, интегрирования, дифференцирования и др. Усиление операционного усилителя оценивают вещественным коэффициентом μ, который может быть как положительным, так и отрицательным. Кроме того, коэффициент μ может иметь размерность (проводимости, сопротивления) или быть безразмерным. По этой причине коэффициент μ традиционно называют коэффициентом управления операционного усилителя. В данной лекции используется именно эта традиция. Операционный усилитель уже рассматривался в лекции 3. Напомним определение и некоторые свойства операционного усилителя. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Операционным усилителем (ОУ) называется источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) и имеющий большой (теоретически бесконечный) коэффициент усиления. Идеальный ОУ не может быть описан ни в одной из систем параметров четырѐхполюсников и характеризуется следующими свойствами:  коэффициент управления по напряжению бесконечно велик μ = зависит от частоты (0 ≤ ω < ); и не  напряжение и ток шума равны 0;  входное сопротивление бесконечно велико R0вх = ;  выходное сопротивление равно нулю R0вых = 0. Свойства реального ОУ, естественно, отличаются от идеального, что следует учитывать при проектировании ARC-цепей. Все современные ОУ выпуска- Часть II. Глава 12 712 ются с дифференциальным входом, т. е. имеют фактически два входа: инвертирующий и неинвертирующий. По инвертирующему входу коэффициент управления ОУ равен –μ, а по входу неинвертирующему +μ. Схемные условные обозначения ОУ приведены на рис. 43.1 (сравните с рис. 3.13): они отличаются обозначениями инвертирующего и неинвертирующего входов (а) и (б), наличия источника напряжения питания (в); в обобщѐнном обозначении (г) подразумевается наличие всего указанного на других рисунках. Далее в основном будет использоваться обозначение (а). Реальные ОУ представляют собой весьма сложные схемы. 1 1 2 U вх1 2 U вх1 U вых U вх2 U вых U вх2 а б E U вх1 U вх1 U вх2 U вых E U вых U вх2 в г Рис. 43.1. Варианты схемных условных обозначений ОУ 1 U вх1 1 U0 U вых 2 U вх2 μ U вх2 U вх1 а U вх1 μU 0 U0 2 U вх2 Rвх0 Rвых0 U вых μ U вх2 U вх1 μU 0 б Рис. 43.2. Схемы замещения ОУ: а) идеального, б) реального Схемы замещения идеального ОУ и одна из простейших схем замещения реального ОУ показаны на рис. 43.2. Из рис. 43.2, а следует, что идеальный ОУ представляет собой зависимый источник напряжения μU0, управляемый Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей 713 напряжением U0 (ИНУН), у которого коэффициент управления μ → , причѐм U0 = –(Uвх1 – Uвх2) = Uвх2 – Uвх1, что соответствует знаку коэффициента μ по неинвертирующему входу. В основе большинства функциональных схем, составляющих элементный базис микроэлектроники, лежат две усилительные схемы на ОУ. 43.2. Простейший усилитель без инверсии входного сигнала (неинвертирующий) Схема усилителя без инверсии входного сигнала, схема его замещения и варианты условных изображений представлены на рис. 43.3. Схема замещения получена введением схемы замещения, представленной на рис. 43.2, б. Rвх0 1 U вх U вых Z1 Z2 U вх Z2 3 U0 U3 Z1 2 Rвых0 U4 а 4 μU 0 0 U вых K в б Рис. 43.3. Усилитель без инверсии входного сигнала: а) схема усилителя, б) схема замещения, в) варианты условных изображений При дальнейшем анализе следует иметь в виду, что на рис. 43.3, б относительно схемы замещения (рис. 43.2, б) имеет место следующее:  Uвых представляет собой сумму напряжений на пассивных сопротивлениях Z1 и Z2, равную сумме напряжения на сопротивлении Rвых0 и напряжения зависимого источника μU0;  Uвх = Uвх1; U3 = Uвх2;  напряжение зависимого источника μU0 = μ(Uвх2 – Uвх1). Поставим задачу получить выражение для операторного коэффициента усиления напряжения: K ( p) U вых ( p ) , U вх ( p ) (43.1) Часть II. Глава 12 714 для чего воспользуемся методом узловых напряжений. Число уравнений Nун в системе определится по известной формуле (5.3): N ун N у 1 N ин , где, напомним:  Nу — число узлов;  Nин — число источников напряжения, имеющих один общий зажим. На схеме (рис. 43.2, б) общим является нулевой узел; всего узлов Nу = 5, число источников напряжения Nин = 2. Следовательно, число уравнений в системе равно 2. Напряжение U4(p) зависимого источника соответствует узловому напряжению (см. рис. 43.2): U 4 ( p) U0 ( p) U вх ( p ) U 3 ( p ) . При записи системы уравнений по методу узловых напряжений и в дальнейшем для удобства будем опускать оператор "p"; тогда система относительно узловых напряжений Uвых(p) и U3(p), т. е. для узлов 2 и 3, примет вид: 1 Z2 1 Rвх0 1 Rвых0 U вх U вых 1 U вых Z2 1 U3 Z2 1 Z1 1 Rвых U4 1 Z2 0; 1 Rвх0 U3 0. Подставим сюда выражение для U4(p) и после несложных преобразований оставим в левых частях уравнений только те слагаемые, которые содержат неизвестные напряжения Uвых(p) и U3(p): 1 Z2 1 Rвых0 1 U вых Z2 U вых 1 Z1 1 Z2 1 Z2 1 Rвх0 Rвых0 U3 откуда U вых ( p ) 1 , U3 U вх , Rвх0 U вх ; Rвых0 Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей 715 определитель системы: 1 Z2 1 Rвых0 1 Z2 1 Z1Z 2 и 1 1 Z1Rвых0 U вх Rвых0 U вх Rвх0 1 Z1 1 Z1 1 Z 2 Rвых0 1 Z2 Rвых0 1 Z2 1 Z2 1 1 Z2 1 Z 2 Rвх0 U вх Rвых0 1 Rвх0 1 Rвх0 Rвых0 Z1Rвых0 Z 2 Rвых0 Z 2 Rвых0 1 . Z 2 Rвх0 Rвх0 Подставляя полученные выражения в (43.1), получаем: K ( p) 1 Z1Z 2 U вых ( p) U вх ( p) Z1Rвых0 Z 2 Rвых0 1 1 1 Z1Rвых0 Z 2 Rвых0 Z 2 Rвх0 1 Z 2 Rвх0 1 Rвх0 Rвых0 (43.2) . Z 2 Rвых0 В реальных ОУ типичные значения коэффициента управления μ = 104—106, поэтому в (43.2) слагаемыми, не содержащими коэффициент μ, можно смело пренебречь; тогда операторный коэффициент усиления усилителя принимает вид: K ( p) U вых ( p ) U вх ( p ) Z1 ( p ) Rвых0 Z 2 ( p ) Rвых0 Z 2 ( p ) Rвых0 1 Z2 ( p) . Z1 ( p ) (43.3) Выражение (43.3) позволяет сделать два практически очень важных вывода:  коэффициент усиления рассмотренной схемы не зависит от нестабильного коэффициента управления ОУ и определяется только значениями и стабильностью параметров пассивных элементов Z1 и Z2, что необходимо, например, при измерениях и обработке сигналов; Часть II. Глава 12 716  стабильную цепь можно построить из нестабильных элементов; этот факт объясняется наличием глубокой отрицательной обратной связи, построенной на Z1 и Z2. Как было показано в разд. 31.6, в радиоэлектронике и в микросхемотехнике наиболее широко распространена каскадно-развязанная реализация линейных электрических цепей. Такая реализация (рис. 31.13) предполагает, что входное сопротивление любого каскада цепи должно быть бесконечно большим, а выходное — равняться нулю. Найдѐм выражения для входного Zвх и выходного Zвых сопротивлений рассматриваемого усилителя; для чего можно воспользоваться методом узловых напряжений, как это было сделано ранее, или методом контурных токов. В результате получим следующие приближѐнные формулы: Z вх ( p ) Z н Rвх0 Z1 ( p ) Z1 ( p ) Z 2 ( p ) (43.4) и Z вых ( p ) Z г 0 1 Z1 ( p ) Rвых0 Rвых0 . Rвх0 Z1 ( p ) Z 2 ( p ) Rвых0 Z1 ( p ) Z 2 ( p ) (43.5) Устремляя μ → , из (43.4) и (43.5) имеем соответственно: Zвх ( p) Z н и Zвых ( p) Z г 0, т. е. функции Zвх и Zвых отвечают условиям каскадно-развязанной реализации. На основе простейшего усилителя без инверсии входного сигнала строятся различные схемы, среди которых особое распространение получили усилитель с конечным коэффициентом усиления и повторитель напряжения (см. разд. 43.4). 43.3. Усилитель с конечным коэффициентом усиления (масштабный усилитель) Пусть в схеме (рис. 43.3, а) Z1 = R1 и Z2 = R2. Тогда коэффициент усиления (43.3) оказывается вещественным и равным: K ( p) U вых ( p) U вх ( p) K 1 R2 . R1 (43.6) Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей 717 Беря обратное преобразование Лапласа, получаем соотношение между выходным uвых(t) и входным uвх(t) напряжением: uвых (t ) 1 R2 uвх (t ). R1 (43.7) Выражение (43.7) показывает, что для получения усилителя с заданным коэффициентом (43.6), достаточно только выдержать соотношение между параметрами R2 и R1, равное: R2 R1 K 1. (43.8) Например, если требуется усилитель с коэффициентом K = 4, то необходимо, чтобы R2/R1 = 3. Усилители с конечным стабилизированным усилением (масштабные) применяются в ARC-цепях для обеспечения заданного уровня плоского усиления, а также как развязывающие. 43.4. Повторитель напряжения Повторители напряжения используются как буферные усилители для исключения влияния низкоомной нагрузки на источник с высоким выходным сопротивлением. Повторитель напряжения (рис. 43.4) не изменяет входное напряжение, т. е. его коэффициент усиления должен быть равен единице: K uвых (t ) uвх (t ) 1. Такой коэффициент будет обеспечен, если в схеме, изображѐнной на рис. 43.3, а, положить Z1 = и Z2 = 0. uвх (t ) uвых (t ) uвх (t ) Рис. 43.4. Повторитель напряжения Часть II. Глава 12 718 43.5. Простейший усилитель с инверсией входного сигнала (инвертирующий) Усилитель с инверсией входного сигнала (рис. 43.5, а), как будет показано далее, позволяет синтезировать большое разнообразие активных цепей как линейных, так и нелинейных. Для получения его коэффициента усиления K(p) рассмотрим схему замещения (рис. 43.5, б), где применена простейшая схема замещения ОУ (рис. 43.2, б). Однако в данной схеме положительный вход ОУ заземлѐн, поэтому, во-первых, Uвх2 = 0 и, во-вторых, U0 = –U3. Z1 1 Z2 U вх Z1 U3 U вх U вых Z2 3 2 Rвх0 U 0 Rвых0 4 U4 0 а U вых μU 0 б Рис. 43.5. Усилитель с инверсией входного сигнала: а) схема усилителя, б) схема замещения Как и прежде, анализ схемы проведѐм методом узловых напряжений. Число уравнений в системе также равно 2, и система, составляемая для неизвестных Uвых и U3, имеет вид: 1 U вх Z1 1 Z1 1 Z2 1 1 U3 Z2 1 Z2 1 Rвх0 Rвых0 1 U вых Z2 U3 U вых μU 0 Rвых0 0; 0. Подставляя сюда равенство U0 = –U3, получаем: 1 Z1 1 Z2 μ Rвых0 1 Rвх0 1 U3 Z2 U3 1 Z2 1 U вых Z2 1 Rвых0 U вх ; Z1 U вых (43.9) 0. Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей 719 Подобно (43.2) найдѐм коэффициент усиления K ( p) U вых ( p ) U вх ( p ) 2 U вх ( p ) , (43.10) для чего из системы (43.9) вычислим определители Δ2 и Δ при условии, что μ → : U вх 2 1 Z1Z 2 U вх , Z1Rвых0 Z1Rвых0 определитель системы: 1 Z1Z 2 1 Z1Rвых0 1 Z 2 Rвых0 1 Z 2 Rвх0 1 Rвх0 Rвых0 Z 2 Rвых0 Z 2 Rвых0 . Подставляя выражения Δ2 и Δ в (43.10), получаем коэффициент усиления усилителя с инверсией входного сигнала: U вх U вых ( p ) Z1Rвых0 Z2 2 (43.11) K ( p) . U вх ( p ) U вх ( p ) Z1 Z 2 Rвых0 Формула (43.11) позволяет относительно коэффициента усиления схемы сделать те же выводы, какие были сделаны при анализе выражения (43.3), и в частности: коэффициент усиления K(p) не зависит от μ — коэффициента управления ОУ. Сравним свойства входного Zвх и выходного Zвых сопротивлений неинвертирующего и инвертирующего усилителей при μ → . Если воспользоваться методом узловых напряжений или методом контурных токов, можно получить следующие выражения: Z вх ( p) Z Rвх0 Z1 ( p) Rвх0 Z 2 ( p) Z1 ( p) Z 2 ( p) 1 1 н Z вых ( p) Z Rвх0 Z 2 ( p) Rвх0 Z1 ( p ) Z 2 ( p) Rвх0 Z1 ( p) Rвх0 Z1 ( p ) Rвых0 Z 2 ( p) Rвх0 Z1 ( p) Z1 ( p); Rвых0 г 0 1 0, из которых видно, что выходные сопротивления неинвертирующего (43.5) и инвертирующего усилителей при μ → ведут себя одинаково, а именно: оба они стремятся к нулю. В то же время, входное сопротивление неинверти- Часть II. Глава 12 720 рующего усилителя стремится к бесконечности (43.4), а инвертирующего — стремится к Z1. Поэтому инвертирующий усилитель не отвечает требованиям каскадно-развязанной реализации. 43.5.1. Взвешивающий инвертор напряжения (инвертирующий усилитель) Полагая в схеме (рис. 43.5, а) Z1 = R1 и Z2 = R2, в результате обратного преобразования Лапласа получаем следующее соотношение между входным и выходным напряжениями: R2 uвх (t ). R1 uвых (t ) (43.12) Таким образом, над входным сигналом выполняются две операции: умножение на положительный вещественный множитель (взвешивание) R2/R1 и инвертирование (умножение на –1). При R2 = R1 выполняется только инвертирование входного сигнала. 43.5.2. Сумматор напряжения (инвертирующий) Схема сумматора и его условное обозначение показаны на рис. 43.6. uвх1 (t ) uвх2 (t ) uвх3 (t ) uвхN (t ) R1 R0 R2 uвых (t ) R3 а б RN Рис. 43.6. Сумматор напряжения (инвертирующий): а) схема, б) условное изображение Для определения реакции uвых(t) на совокупность воздействий воспользуемся свойством аддитивности линейной системы: uвых (t ) N k 1 uвыхk (t ). (43.12) Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей 721 Но реакция на k-е воздействие согласно рис. 43.6 и в соответствии с (43.12) имеет вид: uвыхk (t ) R0 uвхk (t ). Rk (43.13) Подставляя (43.13) в (43.12), получаем: uвых (t ) N k R0 uвхk (t ) R 1 k R0 N k uвхk (t ) . 1 Rk (43.14) Из (43.14) следуют два частных случая:  если R1 = R2 = R3 = … = RN, то uвых (t ) R0 N uвхk (t ); R1 k 1  если же R1 = R2 = R3 = … = RN = R0, то сигнал на выходе представляет со- бой просто инверсную сумму входных сигналов: uвых (t ) N k 1 uвхk (t ). 43.5.3. Инвертирующий интегратор Вновь обратимся к рис. 43.5, а и произведѐм замену (рис. 43.7, а): Z1 R1; Z 2 1 . pC (43.15) C R1 U вх U вых б а Рис. 43.7. Инвертирующий интегратор: а) схема, б) условное изображение Часть II. Глава 12 722 Подставим (43.15) в (43.11) K ( p) откуда 1 pC R1 U вых ( p ) U вх ( p ) 1 U вх ( p ) pR1C U вых ( p ) 1 , pR1C (43.16) 1 U вх ( p ) . R1C p (43.17) Согласно L-изображению операции интегрирования (16.23), получаем из (43.17) обратное преобразование Лапласа: L 1 U вых ( p ) 1 t uвх (t )dt. R1C 0 uвых (t ) (43.18) Из полученного соотношения следует, что данная схема фактически осуществляет три операции: интегрирование входного сигнала, его взвешивание (весовой коэффициент равен постоянной времени τ1 = R1C) и инвертирование. Практически важными являются также частотные характеристики интегратора: амплитудно-частотная и фазочастотная, которые можно получить из передаточной функции при p = jω. Как было отмечено в разд. 42.1.1, роль передаточной функции (ПФ) усилителя выполняет его операторный коэффициент передачи, который в данном случае имеет вид (43.16). После замены p на jω имеем комплексный коэффициент передачи: K ( jω) U вых ( jω) U вх ( jω) 1 . jωR1C (43.19) Умножим числитель и знаменатель (43.19) на j и запишем результат в показательной форме: K ( jω) j 1 ωR1C π j 1 e 2 ωR1C K ( jω) e j arg K ( jω) , (43.20) откуда: Aинт (ω) K ( jω) 1 , ωR1C инт (ω) π . 2 (43.21) Из (43.20) следует, что (рис. 43.8):  при ω → 0 АЧХ интегратора стремится к бесконечности Aинт →  при ω → ; АЧХ интегратора стремится к бесконечности Aинт → 0;  ФЧХ интегратора не зависит от частоты и равна π/2. Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей Aинт (ω) 723 инт (ω) π 2 а б ω 0 ω 0 Рис. 43.8. Частотные характеристики интегратора: а) АЧХ, б) ФЧХ 43.5.4. Инвертирующий интегратор-сумматор Схему инвертирующего интегратора-сумматора можно получить из схемы сумматора (рис. 43.6, а) простой заменой элемента R0 на элемент ѐмкости C. Тогда согласно (43.12) и (43.18) можно записать уравнение, связывающее сигналы на выходе и входе такой схемы: uвых (t ) N k 1 t uвхk (t )dt. 1 Rk C 0 (43.22) 43.5.5. Инвертирующий дифференциатор Обратимся к рис. 43.5, а и произведѐм замену (рис. 43.9, а): Z1 1 ; pC Z2 R2 . (43.23) Подставим (43.23) в (43.11) K ( p) U вых ( p ) U вх ( p ) R2 1 pC pR2C , (43.24) откуда Uвых ( p) pR2CUвх ( p). (43.25) Теперь, согласно L-изображению операции дифференцирования (16.19), можно записать выражение для напряжения на выходе инвертирующего дифференциатора, взяв от (43.25) обратное преобразование Лапласа: L 1 U вых ( p) uвых (t ) R2C duвх (t ) . dt (43.26) Часть II. Глава 12 724 R2 d dt C U вх б U вых а Рис. 43.9. Инвертирующий дифференциатор: а) схема, б) условное изображение Из соотношения (43.26) следует, что полученная схема фактически осуществляет три операции: дифференцирование входного сигнала, его взвешивание (весовой коэффициент равен постоянной времени τ2 = R2C) и инвертирование. Найдѐм далее частотные характеристики дифференциатора. После замены p на jω в (43.24) получаем комплексный коэффициент передачи: K ( jω) U вых ( jω) U вх ( jω) jωR2C , (43.27) который запишем в показательной форме: K ( jω) j ωR2C ωR2Ce j π 2 K ( jω) e j arg K ( jω) , (43.28) откуда получаем АЧХ и ФЧХ дифференциатора (рис. 43.10, б): Aдиф (ω) K ( jω) 1 , ωR1C диф (ω) π . 2 (43.29) Из (43.29) и (рис. 43.8) следует, что:  АЧХ дифференциатора (рис. 43.10, а) является возрастающей линейной функцией частоты;  возрастающий с ростом частоты ω характер АЧХ говорит о том, что диф- ференциатор (рис. 43.9, б) склонен к неустойчивости (самовозбуждению); по этой причине избегают, по возможности, построение широкополосных ARC-цепей на дифференциаторах; тем не менее, они используются в разнообразных устройствах управления;  ФЧХ дифференциатора (рис. 43.10, б) не зависит от частоты и равна –π/2. Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей Aдиф (ω) 725 диф (ω) ω 0 а б π 2 ω 0 Рис. 43.10. Частотные характеристики дифференциатора: а) АЧХ, б) ФЧХ 43.6. Конвертор отрицательного сопротивления Конвертором отрицательного сопротивления (КОС) называется ARC-цепь (рис. 43.11), входное сопротивление которой пропорционально сопротивлению нагрузки с отрицательным знаком. U0 1 I1 Z1 Z1 I1 Z2 I2 μU 0 а U0 1 I1 I2 2 3 Z1 Z2 U вх U вх I2 2 3 U вых U вх б 0 Z2 U вых μU 0 0 в 0 U вых Рис. 43.11. Конвертор отрицательного сопротивления: а) схема, б) схема замещения в режиме ХХ, в) схема замещения в режиме КЗ Докажем это свойство ARC-цепи, изображѐнной на рис. 43.11, а, для чего найдѐм еѐ A-параметры и рассмотрим две схемы замещения: в режиме ХХ и в режиме КЗ. Вспомним (см. пример 20.3), что обобщѐнные параметры четырѐхполюсника: A11 U вх U вых I2 0 ; A12 U вх I2 U вых 0 ; A21 I1 U вых I2 0 ; A22 I1 I2 U вых 0 Часть II. Глава 12 726 имеют следующий смысл: A11 и A22 являются безразмерными коэффициентами передачи по напряжению и по току и определяются в режиме ХХ и КЗ соответственно; параметр A12 имеет размерность сопротивления, а параметр A21 — проводимости и определяются в режиме КЗ и ХХ соответственно. В режиме ХХ (рис. 43.11, б) определим параметры A11 и A21 (ток I2 = 0). A11 U вх ; A21 U вых I1 U вых . Из схемы замещения видно, что Uвых = μU0; в свою очередь, U0 = Uвх – Uвых, поэтому U вых μ U вх U вых ; U вых μU вх , 1 μ откуда получаем: A11 U вх U вых U вх μU вх 1 μ 1 μ . μ С другой стороны, в режиме ХХ U0 = Uвх – Uвых = Z1I1 и Uвых μZ1I1, поэтому параметр A21 имеет вид: A21 I1 U вых I1 μZ1I1 1 . μZ1 Теперь в режиме КЗ (рис. 43.11, в) определим параметры A12 и A22 (напряжение U2 = 0), для чего предварительно найдѐм токи I1 и I2: I1 U вх μU0 Z1 U вых 0 1 μ U вх ; Z1 U вх μU вх Z1 I2 μU0 Z2 U вых 0 μU вх . Z2 При этом искомые параметры принимают вид: U вх I2 A12 Z2 ; μ A22 I1 I2 1 μ Z2 . μ Z1 На основании полученных соотношений запишем матрицу A-параметров: A 1 μ μ 1 μZ1 Z2 μ . 1 μ Z2 μ Z1 (43.30) Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей 727 В предположении идеальности ОУ, т. е. при μ → , матрица (43.30) принимает вид: 1 A 0 Z2 . Z1 0 (43.31) Матрица (43.31) и на практике будет точно такой же, поскольку реальный операционный усилитель в своей рабочей полосе всегда имеет коэффициент управления, значительно превосходящий единицу: μ >> 1. Согласно смыслу A-параметров отношение A11/A22 равно отношению входного сопротивления четырѐхполюсника Zвх к сопротивлению нагрузки Zн: A11 A22 U вх I 2 I1 U вых Z вх , Zн и согласно (43.31) при A11 = 1 и A22 = – Z2/Z1 получаем: Z1 Z2 Z вх , Zн откуда: Z вх Zн Z1 , Z2 (43.32) что соответствует конвертору отрицательного сопротивления. В простейшем случае, когда Z1 = Z2 = R, входное сопротивление конвертора равно сопротивлению нагрузки с отрицательным знаком: Zвх Zн . (43.33) Свойство (43.33) широко используется на практике для компенсации потерь в различных электрических цепях. 43.7. Инвертор сопротивления. Гиратор Инвертором сопротивления называется линейный ARC-четырѐхполюсник, входное сопротивление которого пропорционально проводимости нагрузки и который имеет матрицу A-параметров вида: A 0 A21 A12 . 0 (43.34) Часть II. Глава 12 728 Тогда Z вх A12 ( j ) I 2 A21 ( j ) U 2 A12 ( j ) Yн . A21 ( j ) (43.35) Если в (43.35) отношение A12/A21 является вещественным положительным числом, такой инвертор называется инвертором положительного сопротивления, или гиратором1. Заметим, что указанное вещественное отношение имеет размерность 1/G2 (см. табл. 20.1), что позволяет записать (43.35) в более удобном для анализа и практики виде: Z вх 1 2 Gг Z н Rг2 , Zн (43.36) где Gг называется проводимостью гирации, Rг — сопротивлением гирации. Эти же параметры также называются коэффициентами гирации. Из (43.36) следует чрезвычайно важный вывод: если гиратор нагрузить ѐмкостью, то его входное сопротивление оказывается индуктивным, т. е. нагруженный на ѐмкость гиратор имитирует элемент индуктивности. Действительно, если Zн = 1/jωC, то Z вх Rг2 Zн j Rг2C j L, L Rг2C. (43.37) Свойство (43.37) означает, что гиратор преобразует исходный импеданс цепи в дуальный ему: ѐмкостные цепи проявляют индуктивные свойства, фильтр НЧ ведѐт себя как фильтр ВЧ, полосовой — как режекторный и т. д. Гираторы применяются для моделирования разнообразных цепей, содержащих катушки индуктивности, но в основном они используются в микросхемах, где катушки индуктивности неприменимы. Для этого создаѐтся цепь, состоящая из конденсатора, операционного усилителя или транзисторов и резисторов. При этом гиратор с большим значением Rг и небольшой ѐмкости C позволяет имитировать большое значение индуктивности. Синтез гираторов, вообще говоря, не является простой задачей. Можно выделить два направления в получении схем гираторов: метод регулярного синтеза на основе теории четырѐхполюсников и эвристический. В последнем случае на этапе изобретения схем используются разнообразные приѐмы, а затем изучаются свойства полученных схем. 1 Гиратор как новый элемент электрической цепи впервые был предложен в 1948 году Бернардом Теллегеном (Bernard D. H. Tellegen). Лекция 43. Основы синтеза активных RC-цепей U вх 729 Z1 Z вх Г Z 2 U вых Z3 а Z4 б Z5 Рис. 43.12. Гиратор на двух операционных усилителях (а); условные обозначения гиратора (б) К настоящему времени разработаны схемы универсальных гираторов, позволяющие имитировать произвольную индуктивность. Такие схемы приводятся в специальных справочниках по синтезу ARC-цепей. На рис. 43.12, а представлена одна из возможных схем гиратора как четырѐхполюсника, построенного на двух ОУ. Можно показать, что входное сопротивление схемы описывается следующим выражением: Z вх Z1Z 3Z5 , Z2Z4 откуда при условиях: Z1 R1, Z 2 1 , Z3 jωC Z4 R, Z 5 R5 получаем: Zвх jωR1R5C jωLг , где:  Lг  Rг R1R5C Rг2C — индуктивность, имитируемая гиратором; R1R5 — сопротивление гирации. В качестве примера использования гиратора для имитации заземлѐнных катушек индуктивности на рис. 43.13 показаны лестничный фильтр 5-го порядка Часть II. Глава 12 730 и его гираторный эквивалент. Из рисунка понятно, как следует включать гиратор для замещения заземлѐнного элемента индуктивности. Во многих LC-схемах присутствуют не только заземлѐнные катушки индуктивности, но и не заземлѐнные, называемые проходными индуктивностями (плавающими, взвешенными). Например, в лестничном фильтре нижних частот (рис. 43.14, а) необходимо имитировать проходную индуктивность. Для этого индуктивность замещают двумя заземлѐнными гираторами, как показано на рис. 43.14, б. 1 U вх C1 C3 L2 C5 2 1 U вых L4 C1 C3 C5 Г U вх Г Cн2 аа 1 U вых Cн4 1 2 2 бб 2 Рис. 43.13. Лестничный ФВЧ 5 порядка: а) рассчитанная схема, б) гираторный эквивалент L2 1 2 1 2 Г U вх C1 U вх U вых C3 C1 Г Cн2 C3 U вых бб аа 1 2 1 Рис. 43.14. Лестничный ФНЧ 3 порядка: а) рассчитанная схема, б) гираторный эквивалент 2 L2 C2 1 R U вх 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Дополнение Лекция 44. Диплексоры и их применение Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров L2 C2 1 R U вх Лекция 44 1 Z вх L1 R 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R 2 Диплексоры и их применение Как было показано в ряде лекций, при построении аппаратуры связи для компенсации потерь мощности на отдельных участках необходимо, чтобы соединѐнные в каскад соседние элементы схемы (двух- и четырѐхполюсники) работали на согласованную нагрузку, т. е. входное сопротивление данного элемента должно быть равно выходному сопротивлению предыдущего элемента схемы, а выходное сопротивление — сопротивлению нагрузки. Это же относится и к усилителям, для согласования которых по входу и выходу используют обратную связь и согласующие трансформаторы. Если аппаратура работает на низких частотах и в небольшом диапазоне частот, добиться согласования нагрузок не сложно. Однако современная радиотехника характеризуется тенденцией не только к существенному расширению диапазона рабочих частот, но и к переходу в гегагерцовый диапазон при одновременном снижении мощности передаваемых сигналов. По этой причине задача согласования усилителей с источником сигнала и с нагрузкой оказывается не тривиальной, поскольку на таких высоких частотах добиться согласования указанных сопротивлений не так-то просто: в рабочей полосе появляются отклонения от согласования, которые необходимо учитывать. Особые трудности составляет задача согласования усилителя с антенным трактом, как в радиоприѐмнике, так и в радиопередатчике. Для решения задачи обеспечения хорошего согласования усилителей в широком диапазоне частот используют специальные согласующие цепи, называемые диплексорами, принципам работы и построения которых и посвящена данная лекция. Дополнение 734 44.1. Понятие о матрице рассеяния Рассмотрим усилитель как четырѐхполюсник, включѐнный между источником и нагрузкой (рис. 44.1) и работающий в диапазоне сверхвысоких частот (СВЧ). Источником может быть генератор сигнала (или антенна), а нагрузкой — антенна (или последующий за усилителем тракт приѐма). Такой усилитель можно описать с помощью падающих и отраженных волн, которые распространяются в подключенных к ним линиях передач. 1 Источник колебаний U1 (генератор) 2 U1пад Z0 U1отр Четырѐхполюсник (усилитель) S-параметры U 2отр Z0 Zн U 2пад 1 U 2 Нагрузка 2 Рис. 44.1. К определению S-параметров Действительно, пусть с генератора поступает гармонический сигнал на частоте f = 30 МГц. Длина волны этого сигнала оказывается равной λ c f 3 108 3 1010 0,01 м 1 см, что позволяет подключѐнные к усилителю линии передач рассматривать как длинные линии, а для описания происходящих в таких цепях процессов использовать теорию длинных линий и соответствующую терминологию, в частности, понятия падающих и отражѐнных волн. Связь между этими волнами описывается волновой матрицей рассеяния или матрицей S-параметров, которую получим из уравнений передачи четырѐхполюсника при условии, что последний со стороны входа и выхода нагружен на чисто резистивное сопротивление Z0 = R0 (Z0 — волновое сопротивление линии, обычно равное 50 или 75 Ом, для определѐнности положим R0 = 50 Ом): U1отр U1пад S11 U 2пад S12 ; U 2отр U1пад S21 U 2пад S22 , отсюда U1отр U 2отр S11 S12 S21 S22 U1пад U 2пад , Лекция 44. Диплексоры и их применение 735 и матрица S-параметров имеет вид: S11 S S21 U1отр U1пад S12 U 2пад 0 U 2отр U1пад S22 U 2пад 0 U1отр U 2пад U1пад 0 U 2отр U 2пад . (44.1) U1пад 0 Полученную матрицу называют матрицей рассеяния волн напряжения или просто матрицей рассеяния, а еѐ параметры — коэффициентами рассеяния. Коэффициенты рассеяния имеют ясный физический смысл:  S11 и S22 — комплексные коэффициенты отражения напряжения от входа и выхода усилителя при полном согласовании на его выходе (U2пад = 0) и входе (U1пад = 0) соответственно; эти коэффициенты характеризуют возвратные потери;  S21 и S12 — комплексные коэффициенты прямой и обратной передачи на- пряжения, определѐнные при тех же условиях; эти коэффициенты характеризуют вносимые потери. Ещѐ раз отметим, что матрица рассеяния характеризует усилитель, нагруженный на чисто резистивное сопротивление Z0 = R0. Реальный же усилитель оказывается нагруженным на сопротивления, не только не равные Z0, но в общем случае комплексные, и тогда следует вести речь об импедансах нагрузки: Zг ≠ Zн. Именно отклонения от согласования в рабочей полосе частот оцениваются коэффициентами отражения. Потери на отражение — это мера рассогласования эффективного импеданса нагрузки. По этой причине произвольно нагруженный четырѐхполюсник принято описывать параметрами матрицы рассеяния волн мощности (S'-параметрами), которые связаны с S-параметрами (44.1) ясными логарифмическими соотношениями: S S11 10lg S11 2 S12 10lg S12 2 S21 10lg S21 2 S22 10lg S22 2 (44.2) и измеряются в дБ. Заметим, что коэффициенты рассеяния дают численное представление о частотно зависимых потерях, обусловленных потерями в диэлектрике и вследствие скин-эффекта, о чѐм уже говорилось при изучении длинных линий. Дополнение 736 Кроме того, по модулю коэффициента отражения |S11| можно определить коэффициент стоячей волны (см. разд. 25.3) по напряжению: K свн p p 1 1 p S11 1 1 S11 , S11 (44.3) откуда видно, что чем меньше |S11|, тем ближе Kсвн к единице, т. е. тем лучше согласованы по нагрузке усилитель с источником. При Kсвн = 1 (|S11| = 0) имеет место режим согласованной нагрузки. 44.2. Диплексоры-четырѐхполюсники 44.2.1. Применение диплексоров в усилителях Для проектирования диплексора (цепи согласования) требуется знать либо импедансы устройства, либо его коэффициенты отражения, которые, кстати, можно найти в документации на то устройство, которое требуется согласовать с источником и нагрузкой, а именно:  импеданс входа Zвх = rвх + jxвх;  коэффициент отражения от входа S11;  импеданс выхода Zвых = rвых + jxвых;  коэффициент отражения от выхода S22. Как отмечалось в разд. 44.1, коэффициенты отражения представляют собой комплексные величины; например: S11 r11e j 11 , r11 Re 2 S11 Im 2 S11 , где:  r11 = 0—1 — радиус коэффициента отражения от входа,  φ11 = –180 —180 — угол коэффициента отражения от входа. Понятно также, что коэффициенты отражения, согласно их определению, по модулю не превосходят единицы: |S11| ≤ 1 и |S22| ≤ 1. Это же относится и к коэффициенту S12. Коэффициент S21 фактически представляет собой комплексный коэффициент усиления напряжения (см. разд. 42.1.1). Наибольший практический интерес представляют коэффициент усиления S'21 (44.2), выраженный в децибелах, и коэффициент стоячей волны по напряже- Лекция 44. Диплексоры и их применение 737 нию Kсвн (44.3). Типичные частотные зависимости этих коэффициентов в реальных усилителях выглядит так, как показано на рис. 44.2 (см. также рис. 42.2, а). Из графиков видно, что с увеличением частоты в пределах рабочего диапазона происходит снижение усиления при одновременном увеличении отражений на входе. Задача состоит в том, чтобы построить такой диплексор, который в рабочем диапазоне частот усилителя выравнивал бы характеристику усиления усилителя и одновременно уменьшал коэффициент отражения. K свн S21 дБ 2,75 19 2 15 1,6 1 Рабочий диапазон частот 0 f min Рабочий диапазон частот а 0 f f max б f f max f min Рис. 44.2. Типовой вид характеристики усиления (а) и коэффициента стоячей волны (б) Z2 1 L2 1 2 R U вых Z1 1 Z вх R U вх L1 2 R 2 R R U вх C2 а C1 2 1 Z вх U вых б R Рис. 44.3. Схема диплексора (а) и модель цепи (б) На рис. 44.3 представлены наиболее часто встречающиеся на практике схема и модель диплексора, в которой R = Rн. Для решения поставленной задачи Дополнение 738 необходимо определить параметры последовательного и параллельного резонансных контуров (см. лекции 11 и 12). Выравнивание характеристики усиления означает, что на частоте fmax еѐ надо опустить, а на частоте fmin — приподнять; т. е выполнить действия, подобные выравниванию коромысла. Иначе говоря, характеристика затухания a(ω) диплексора, как характеристика пассивной согласующей цепи, в рабочей полосе усилителя должна носить инверсный характер относительно S'21. Тогда, по смыслу задачи, во-первых, последовательный контур должен иметь резонанс на частоте ωmin = 2πfmin, а параллельный — на частоте ωmax = 2πfmax; во-вторых, добротности обоих контуров на частотах резонанса должны быть одинаковы. Для нахождения параметров резонансных контуров запишем комплексную частотную характеристику диплексора: H д ( jω) U вых ( jω) U вх ( jω) RI вых ( jω) U вх ( jω) jωL2 R 1 1 1 jωC2 R U вх ( jω) R U вх ( jω) R 1 ωL2 j R 1 1 jωC2 jωL2 1 ωC2 R . Умножим числители и знаменатели стоящих в скобках дробей на ωmin, которую примем за частоту резонанса ω0 = ωmin = 2πfmin последовательного контура. Тогда полученное соотношение примет вид: H д ( jω) 1 ω ω min L2 j ω min R 1 ω min 1 ω ω minC2 R , где согласно (11.25) имеем добротность последовательного контура Q 1 ωminC2 R ωmin L2 , R которую можно вынести за скобки: H д ( jω) 1 1 ω jQ ω min ω min ω . Лекция 44. Диплексоры и их применение 739 Отсюда характеристика затухания диплексора принимает вид: a(ω) 10lg H ( jω) 1 10lg 1 ω jQ ωmin 1 10lg 2 ωmin ω 2 ωmin ω ω Q ωmin 1 2 . (44.4) С другой стороны, из (44.4) затухание диплексора на частоте ωmax определится выражением a (ω) 1 10lg 1 jQ ωmax ωmin 1 10lg 1 ω Q max ωmin ωmin ωmax 2 ωmin ωmax (44.5) a const, 2 которое подтверждает, что добротность последовательного и параллельного контуров на крайних частотах должна быть одинаковой. После несложных преобразований получаем: Q a 10 10 ω max ω min ω2max ω2min a 10 10 f max f min 2 2 f max f min 1 1 . (44.6) Знание добротности и величины сопротивления R позволяет найти значения реактивных элементов диплексора: пользуясь формулами добротности для параллельного (12.20) и последовательного (11.25) контуров, получаем выражения для расчѐта индуктивностей и ѐмкостей диплексора: L1 QR ; ω max C2 1 ; L2 ω minQR C1 1 ω2max L1 ; 1 ω2minC2 (44.7) . Пример 44.1. Рассчитать значения элементов диплексора, изображѐнного на рис. 44.3, б при условиях: fmin = 100 МГц, fmax = 400 МГц; R = 50 Ом, a = 4 дБ. Дополнение 740 Решение. Для расчѐта воспользуемся формулами (44.6) и (44.7):  найдѐм добротность: Q ≈ 0,32789;  вычислим параметры параллельного контура: QR ωmax L1 QR 2πf max R 50 Ом 2 16 0,32789 50 1 C1 2π 4 108 1 ω2max L1 4π 16 10 65 10 65[нГ]; 24[пФ]; 10  вычислим параметры последовательного контура: C2 1 1 ωmin QR L2 1 2πf min QR 2π10 0,32789 50 R 50 Ом 1 2 ωmin C2 8 1 2 16 4π 10 0,97 10 10 97[пФ]; 26[нГ]. Диплексор с рассчитанными параметрами изображѐн на рис. 44.4, где параллельно конденсатору параллельного контура подключѐн конденсатор подстройки, необходимость которого объясняется приближѐнными значениями параметров. Диплексор 26нГ 97 пФ 50 Ом 65нГ Z вх 50 Ом 24пФ Z вх 50 Ом Z вых Рис. 44.4. Четырѐхполюсник (усилитель) с диплексором, согласующим входное сопротивление усилителя с входной цепью 50 Ом Лекция 44. Диплексоры и их применение 741 Результаты измерений характеристики усиления и отражения при подключении рассчитанной схемы к входу усилителя показаны на рис. 44.5: коэффициент усиления выровнялся и незначительно колеблется относительно уровня 17 дБ во всѐм рабочем диапазоне частот, а коэффициент стоячей волны по напряжению (КСВН) улучшился и находится в границах 1 < Kсв < 2, не превышая вполне приемлемого значения, равного двум. S21 дБ S11 дБ 17 0 2 Рабочий диапазон частот f min f max а f 0 Рабочий диапазон частот f min f max б f Рис. 44.5. Характеристика усиления (а) и КСВН (б) усилителя после установки диплексора Аналогичным образом может быть рассчитан диплексор для согласования выходного сопротивления четырѐхполюсника (в данном примере — усилителя) с входным сопротивлением последующего каскада. 44.2.2. Применение диплексоров в преобразователях частоты В различных радиотехнических устройствах, например, в радиоприѐмниках, очень часто требуется осуществить сдвиг спектра сигнала по оси частот на заранее известную величину при сохранении структуры сигнала. Такой сдвиг называется преобразованием частоты. Устройство, осуществляющее преобразование частоты, является нелинейным и в радиотехнике называется смесителем, или кольцевым преобразователем. Не вдаваясь в подробности, суть процесса состоит в следующем. На смеситель (рис. 44.6, а) подаются два колебания: узкополосное от источника сигнала и гармоническое fг от вспомогательного генератора (гетеродина). Для простоты будем полагать, что входной сигнал представляет собой также гармоническое колебание fвх и fг >> fвх . В результате взаимодействия этих колебаний на выходе смесителя появятся три колебания: колебание гетеродина с частотой fг, но с уменьшенной амплитудой, и два комбинированных колебания, частота одного из которых представляет собой суммарную частоту fг + fвх, а частота другого — разностную Дополнение 742 частоту fг – fвх. Эти колебания и соответствующие им частоты называются промежуточными частотами:  верхней промежуточной fпрВ = fг + fвх и  нижней промежуточной fпрН = fг – fвх. Например, пусть fг = 10 МГц, fвх = 4 МГц; тогда верхняя промежуточная fпрВ = 14 МГц и нижняя промежуточная fпрН = 6 МГц. Смеситель (балансный модулятор) Полосовой фильтр Вход Выход Вход f прВ f вх fг f прН f прН fг Диплексор f вх fг fг f вх f прВ f прВ а f вх Выход f прВ Тракт промежуточной частоты б fг Рис. 44.6. Принцип преобразования частоты (а) и место диплексора в схеме (б) Если же входной сигнал будет представлять собой не гармоническое колебание, а сумму гармонических колебаний со своими амплитудами (такие колебания называются гармоническими составляющими сигнала, или гармониками), то каждая из гармоник также будет участвовать в формировании двух сложных комбинированных колебаний, называемых нижней и верхней боковой полосами; каждое из этих комбинированных колебаний будет занимать некоторую весьма узкую полосу частот. Для выделения одной из промежуточных частот (или одной из боковых полос) к выходу смесителя подключают полосовой фильтр с весьма узкой полосой пропускания. Как правило, радиоприѐмники имеют широкий диапазон рабочих частот. Так, коротковолновые приѐмники (КВ) работают в диапазоне 1,5—30 МГц. Это означает, что входные цепи приѐмника, в том числе и смеситель, являются широкополосными, а следующие за ними полосовой фильтр и усилитель, напротив, являются узкополосными. Кроме того, узкополосные фильтры имеют стандартное входное сопротивление R0, равное 50 Ом только в полосе пропускания, а за еѐ границами наблюдается резкое увеличение отражений, т. е. параметр S11 растѐт, и значит, возрастают нелинейные искажения, т. е. увеличиваются потери. Во избежание подобных неприятностей, нагрузка смесителя должна иметь постоянное входное сопротивление в очень широком диапазоне частот, что не совпадает с сущностью узкополосного фильтра. Лекция 44. Диплексоры и их применение 743 Таким образом, налицо противоречие: с одной стороны, смеситель является широкополосным устройством с постоянным выходным сопротивлением, а с другой стороны, его нагрузка — узкополосный фильтр — имеет постоянное входное сопротивление в очень узкой полосе частот. Разрешение противоречия достигается включением диплексора на выходе смесителя, а уже к диплексору подключают фильтр и остальные узкополосные цепи, образующие тракт промежуточной частоты (на рисунке это — тракт верхней промежуточной). Такое подключение диплексора обеспечит на промежуточной частоте fпр сопротивление в 50 Ом, а вносимые потери равными 0 дБ. На остальных частотах слева и справа от fпр сопротивление 50 Ом будет поддерживаться за счѐт расстройки параллельного и последовательного контуров, как это было показано ранее. В результате смеситель как бы "видит" на своѐм выходе постоянное сопротивление R0 = 50 Ом, благодаря чему в смесителе достигается минимум нелинейных искажений. Стандартная схема включения диплексора на выходе первого смесителя КВ-приѐмника изображена на рис. 44.7. Смеситель Диплексор 50 Ом f вх Вход 50 Ом f прН , f прВ К каскаду промежуточной частоты fг Рис. 44.7. Пример включения диплексора в КВ-приѐмнике 44.3. Диплексоры-шестиполюсники В выходных каскадах мощных радиопередатчиков КВ-диапазона применяется другой тип диплексоров — шестиполюсники. Дело в том, что выходной усилитель мощного радиопередатчика, как правило, работает в нелинейном режиме с целью достижения повышенного КПД, поэтому на выходе усилителя появляется множество гармоник основной частоты f0: 2f0, 3f0, …, k f0,…, которые являются паразитными и которые необходимо подавлять. Для этой Дополнение 744 цели, казалось бы, достаточно на выходе усилителя включить ФНЧ, подавляющий все гармоники. Но, как отмечалось ранее, ФНЧ имеет заданное входное сопротивление R0 = 50 Ом лишь в полосе пропускания 0 ≤ f ≤ fχНЧ, а в полосе задерживания отражение на входе фильтра может достигать 100 %, что приводит к дополнительным искажениям в выходном каскаде передатчика. Типовые характеристики пассивного ФНЧ (параметры рассеяния) S'21 и S'11, выраженные в децибелах (дБ), представлены на рис. 44.8, где fχНЧ — частота среза полосы пропускания ФНЧ. S21 [дБ] 0 S11 [дБ] f χНЧ f 0 f χНЧ а f б Рис. 44.8. Типовой вид характеристик S'21 (а) и S'11 (б) ФНЧ Идея выравнивания входного сопротивления во всѐм диапазоне частот состоит в том, чтобы параллельно ФНЧ подключить ФВЧ, частота среза которого равна частоте среза ФНЧ fχВЧ = fχНЧ = fχ (рис. 44.9, а), а полоса пропускания составляет fχ ≤ f < . В этом случае оба фильтра будут иметь одинаковое стабильное входное сопротивление R0 = 50 Ом в своих полосах пропускания. Тогда общее входное сопротивление (рис. 44.9, б) в бесконечной полосе частот окажется равным R0 = 50 Ом. Практически же для рассматриваемого КВ-приѐмника постоянство такого сопротивления будет обеспечено в очень широком диапазоне частот до 150 МГц, что в несколько раз превышает заданный диапазон 1,5—30 МГц. А это означает наличие предельно малых отражений на входе. Конструкция такого диплексора-шестиполюсника представлена на рис. 44.10. Диплексор состоит из двух фильтров Баттерворта: фильтра низких частот и фильтра верхних частот, подключѐнных параллельно к источнику сигнала (зажимам 1—1'). Выход фильтра нижних частот подключѐн к нагрузке (антенному тракту, зажимам 2—2'), входное сопротивление которой равно 50 Ом. Фильтр верхних частот нагружен на балластное сопротивление Rбал (зажимы 3—3'), равное сопротивлению нагрузки: Rбал = Rн = R0 = 50 Ом. Таким образом, входное сопротивление диплексора оказывается равным сопротивлению нагрузки Rн во всей области частот, т. е. имеется практически пол- Лекция 44. Диплексоры и их применение 745 ное согласование между источником сигнала (выходным каскадом мощного радиопередатчика) и антенным трактом. Фильтр нижних частот, входящий в диплексор, часто называют фильтром гармоник, поскольку такая конструкция позволяет передать в антенну основную гармонику с минимальными потерями на отражение (рис. 44.9, в) и одновременно подавить высшие гармоники на 50 дБ и более, что приводит к повышению КПД усилителя мощности. S21 [дБ] fχ f χНЧ fχ 0 f χВЧ S11 [дБ] f fχ 0 f S11ВЧ S11НЧ а в Z вх [Ом] 50 б f 0 Рис. 44.9. Типовой вид характеристик S΄21 (а), S΄21 (б) и входного сопротивления (в) диплексора-шестиполюсника Фильтр нижних частот (фильтр гармоник) 2 Rн (50 Ом) 1 2 3 Rбал 1 Фильтр верхних частот Rн 3 Рис. 44.10. Конструкция диплексора-шестиполюсника L2 C2 1 R U вх Лекция 45 1 Z вх L1 2 H ( jω) U вых ( jω) U вых U вх ( jω) C1 R R 2 Введение в теорию волновых аналоговых фильтров Теория и практика волновых аналоговых фильтров (ВАФ) основана на свойствах четверть- и полуволновых отрезков длинных линий (см. лекцию 25). ОПРЕДЕЛЕНИЕ Четверть- или полуволновым отрезком длинной линии называется такая длинная линия, электрическая длина которой равна четверти (λ/4) или половине (λ/2) длины волны λ распространяющегося в линии гармонического колебания. Напомним основные свойства отрезков длинных линий: 1. Разомкнутый, т. е. находящийся в режиме холостого хода (ХХ), четвертьволновый отрезок на резонансной частоте имеет нулевой входной импеданс; такой отрезок эквивалентен последовательному колебательному контуру, имеющему в резонансе максимум тока и минимум напряжения. 2. Замкнутый, т. е. находящийся в режиме короткого замыкания (КЗ), четвертьволновый отрезок имеет бесконечный входной импеданс; такой отрезок эквивалентен параллельному колебательному контуру, имеющему в резонансе максимум напряжения и минимум тока. 3. Полуволновый отрезок является повторителем импеданса: импеданс входа отрезка равен импедансу его выхода. Это свойство полуволнового отрезка позволяет соединять согласованные устройства с помощью любого кабеля, не обращая внимания на его импеданс, лишь бы длина кабеля была кратной половине длины волны в кабеле. 4. Разомкнутый отрезок длиной l больше четверти, но меньше половины длины волны (λ/4 < l < λ/2) обладает индуктивным входным сопротивлением (см. рис. 25.8), поэтому его подключение эквивалентно подключению индуктивности. Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 747 5. Замкнутый отрезок длиной l больше четверти, но меньше половины длины волны (λ/4 < l < λ/2) имеет ѐмкостное входное сопротивление (см. рис. 25.7). 6. Разомкнутый отрезок длиной меньше четверти длины волны (l < λ/4) обладает ѐмкостным входным сопротивлением (см. рис. 25.8), поэтому его подключение эквивалентно подключению ѐмкости. 7. Замкнутый отрезок длиной меньше четверти длины волны (l < λ/4) имеет индуктивное входное сопротивление (см. рис. 25.7). 8. Разомкнутый полуволновый отрезок обладает бесконечным входным сопротивлением и эквивалентен параллельному колебательному контуру, имеющему в резонансе максимум напряжения и минимум тока (см. рис. 25.8). 9. Замкнутый полуволновый отрезок обладает нулевым входным сопротивлением и эквивалентен последовательному колебательному контуру, имеющему в резонансе максимум тока и минимум напряжения. Свойства указанных отрезков длинных линий наводят на мысль: нельзя ли эти отрезки использовать для конструирования избирательных фильтров с распределѐнными параметрами? Оказывается, можно. И такая задача не только рассматривалась, но и соответствующие фильтры получили практическое воплощение в механических, электрических (двухпроводных), СВЧ и оптических системах. Такие фильтры были названы волновыми аналоговыми фильтрами (ВАФ), в которых четверть- и полуволновые отрезки длинной линии определѐнным образом соединяются в единую топологическую систему. 45.1. Основные понятия о волновых аналоговых фильтрах Метод конструирования волновых аналоговых фильтров состоит в замещении параллельных и последовательных контуров в фильтре с сосредоточенными параметрами замкнутыми и разомкнутыми четвертьволновыми отрезками. Эта процедура отображена на рис. 45.1. Пусть фильтр с сосредоточенными параметрами (рис. 45.1, в) содержит параллельный и последовательный колебательные контуры, в общем случае с разными частотами резонанса ω01 и ω02. Произведѐм замещение этих контуров соответственно замкнутым (рис. 45.1, а) и разомкнутым (рис. 45.1, б) четвертьволновыми отрезками с электрическими длинами, равными π/2; в результате получим фильтр, топология которого изображена на рис. 45.1, г. Такой метод конструирования ВАФ называется методом замещения. Дополнение 748 01 4 02 4 I 2 (ω) U1 (ω) ω01 0 ω01 ω01 ω02 а ω 0 ω ω02 02 ω02 в 01 4 б 4 г Рис. 45.1. К понятию волнового фильтра: а) замкнутый λ/4-отрезок и его частотная характеристика, б) разомкнутый λ/4-отрезок и его частотная характеристика, в) полосовой фильтр на сосредоточенных элементах, г) полосовой волновой фильтр Введѐнное понятие электрической длины отрезка линии является одним из фундаментальных в теории и практике длинных линий и связано с соотношениями между длиной резонансной волны λ0 (частоты резонанса отрезка f0) и длиной волны λ (частоты f) гармонического колебания, действующего на входе отрезка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Электрической длиной θ отрезка называется безразмерная величина, равная отношению длины резонансной волны λ0 отрезка к длине волны λ гармонического колебания действующего на входе отрезка, или отношению частоты действующего гармонического колебания f к резонансной частоте f0 отрезка. Понятно, что эти отношения равны друг другу: θ λ0 λ f . f0 Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 749 Ясно также, что электрическая длина θ отрезка представляет собой нормированную частоту. Электрическая длина может быть равна, больше или меньше единицы: если θ = 1, имеет место резонанс; если θ = ¼, имеем четвертьволновый отрезок, а при θ = ½ — полуволновый отрезок. В теории волновых фильтров применяется понятие волновой длины (или фазового сдвига) отрезка линии. Волновая длина (фазовый сдвиг) измеряется в радианах. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Волновой длиной, или фазовым сдвигом Θ отрезка линии называется величина, равная его электрической длине θ, умноженной на π/2: Θ 2 λ0 2λ f . 2 f0 (45.1) Физический смысл волновой длины (фазового сдвига) состоит в следующем: если длина волны λ равна длине резонансной волны отрезка λ0, то относительно волны λ волновая длина четвертьволнового отрезка составляет π/2 радиан, а полуволнового — π радиан; если же λ ≠ λ0, то относительно частоты λ < λ0 волновая длина заданного четвертьволнового отрезка будет больше, а относительно λ > λ0 — меньше. Первоначально для синтеза ВАФ использовался подобный рассмотренному метод замещения колебательных контуров и реактивных элементов L и C отрезками длинных линий (рис. 45.1). Однако, как показывает практика, такой метод позволяет конструировать только фильтры низких частот и очень узкополосные фильтры с относительной полосой пропускания не более 5 % fˆ f 0ПП 100 % 5 % , fχ f χ где: f χ и f χ — нижняя и верхняя частоты среза полосы пропускания фильт- ра соответственно, f 0ПП fχ f χ — центральная частота полосы пропускания фильтра со2 гласно применяемому в синтезе ВАФ принципу арифметической симметрии частот. Что касается синтеза широкополосных фильтров, метод прямого замещения элементов индуктивности и ѐмкости без значительного усложнения схем замещения непригоден. Дополнение 750 По этой причине в лекции рассматривается иной принцип синтеза ВАФ, использующий метод синтеза схем на фазовых контурах с применением известного тангенсного преобразования частоты: tg 2 tg πf , 4 f0 (45.2) где f0 — первая резонансная частота отрезка линии. Соотношение (45.2) обеспечивает однозначное преобразование частотных характеристик четвертьволнового отрезка-четырѐхполюсника из области частот f в частотные характеристики его модели в виде фазового контура первого порядка (ФК1) в область частоты преобразования Ω. В дальнейшем на основании тождественности матрицы передачи отрезкачетырѐхполюсника, в которой коэффициенты представлены тригонометрическими функциями аргумента Θ/2, с матрицей ФК1 делается вывод о том, что ФК1 с волновым сопротивлением ρФК является точной математической моделью λ/4-отрезка линии с тем же волновым сопротивлением ρл = ρФК. Отметим, что во избежание путаницы в данной лекции приняты следующие обозначения частот (рис. 45.2):  f — частота в системе с распределѐнными параметрами;  F и Ω — частоты, используемые для отображения частотных характери- стик фазового контура ФК1 на сосредоточенных элементах;  η — частоты в НЧ-прототипе на сосредоточенных элементах. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Фильтры, составленные исключительно из фазовых контуров первого порядка (ФК1), называются фильтрами на фазовых контурах (ФФК). Фильтры на фазовых контурах представляют собой новый класс фильтров с сосредоточенными элементами и являются своеобразным мостиком (рис. 45.2), который соединяет теорию и расчѐт фильтров с распределѐнными параметрами (ФРП) с теорией и расчѐтом фильтров на сосредоточенных элементах (ФСЭ) в единое целое. В настоящей лекции рассматривается метод математического моделирования ВАФ с помощью фазоконтурных моделей. Он позволяет решать задачи синтеза сложных ВАФ как узкополосных, так и широкополосных и обеспечивает выполнение требований к заданным АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров ФНЧ-прототип на сосредоточенных элементах (ФСЭ) Частота η Фильтр на фазовых контурах (ФФК) Частоты F и Ω 751 Фильтр с распределѐнными параметрами (ФРП, ВАФ) Частота f Рис. 45.2. Связь между классами и частотами аналоговых пассивных фильтров Сущность метода заключается в следующем: 1. Задаются требования к частотным характеристикам волнового аналогового фильтра (фильтра с распределѐнными параметрами). 2. Требования к частотным характеристикам ВАФ как распределѐнной системы последовательно с помощью точных функций преобразования частоты, включая (45.2), однозначно пересчитываются в требования к частотным характеристикам ФФК как системы с сосредоточенными элементами. 3. Требования к частотным характеристикам ФФК с помощью известных реактансных преобразований пересчитываются в требования к НЧпрототипу (см. лекцию 33), в результате расчѐта которого определяется количество элементов в схеме прототипа и их значения. 4. Значения элементов НЧ-прототипа с применением обратных преобразований частоты пересчитываются в значения вторичных параметров ВАФ, знание которых позволяет перейти к конструктивному расчѐту элементов волновых фильтров. Таким образом, задача синтеза ВАФ сводится к задаче синтеза фундаментально изученных типов LC-фильтров, а затем осуществляется обратное преобразование от LC-прототипа к волновому фильтру. Все волновые фильтры в соответствии со структурой волнового звена (рис. 45.3) подразделяются на два обширных класса: цепочечные и шлейфные. Структура волнового звена является симметричной и включает в себя три отрезка: два крайних резонатора с волновыми сопротивлениями ρ1 и ρ2 , а также соединяющую их связку с волновым сопротивлением ρсв (см. разд. 24.2.1). Структура звена определяется способом соединения резонаторов со связкой:  звено называется цепочечным, если все три отрезка являются проходными (см. разд. 20.1) четырѐхполюсниками (рис. 45.3, а, б); цепочечные звенья и фильтры будем обозначать ВАФ-Ц;  звено называется шлейфным, если резонаторы являются короткозамкну- тыми (рис. 45.3, в, г) или разомкнутыми (дуальными по отношению к ко- Дополнение 752 роткозамкнутым) (рис. 45.3, д, е) отрезками-двухполюсниками, а связка — проходным четырѐхполюсником; шлейфные звенья и фильтры будем обозначать ВАФ-Ш. 1 1 ρ1 ρсв Связка 2 ρ2 2 ρ1 1 а 1 ρсв ρ2 2 Связка 2 б Проходные четырѐхполюсники 2 1 в 2 1 1 1 2 г 2 Отрезкидвухполюсники 1 2 2 1 д Проходной четырѐхполюсник 2 е 2 1 1 Рис. 45.3. Примеры звеньев ВАФ: полосовые ВАФ-Ц (а, б), полосовые ВАФ-Ш (в, г), режекторные ВАФ-Ш (д, е) 45.2. Моделирование отрезков длинных линий без потерь Отрезок двухпроводной электрической линии, как видно из рис. 45.4, а, является обратимым проходным четырѐхполюсником. Из уравнений передачи 4-полюсника в А-параметрах (20.7) применительно к длинной линии можно получить уравнения передачи для отрезка с потерями, записываемые в матричной форме: U1 I1 ch γl sh γl Zв Zвsh γl U 2 , ch γl I2 где: l — длина отрезка линии, γ — коэффициент распространения, Zв — комплексное волновое сопротивление линии. (45.3) Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 1 I2 2 I1 U1 753 l0 4 0 1 U2 а 2 I2 2 1 I1 U2 U1 1 2 б Рис. 45.4. Эквивалентные схемы отрезка линии: а) двухпроводная линия, б) проходной четырѐхполюсник Для того чтобы цепочка из трѐх резонансных отрезков была фильтром, необходимо выполнить условие: волновые сопротивления резонаторов ρр должны существенно (в десятки и сотни раз) отличаться от волнового сопротивления связки ρсв. Степень рассогласования волновых сопротивлений связки и резонаторов определяется коэффициентом рассогласования: cв р , (45.4) который может изменяться в пределах: 0 ≤ ν ≤ 1 или 1 < ν < . Для уменьшения объѐма вычислительных преобразований при анализе характеристик симметричных трѐхэлементных звеньев схему звена разбивают на два одинаковых полузвена, характеристические сопротивления и функции затухания которых со стороны их входных зажимов не будут отличаться от соответствующих функций самого звена, а величины собственного затухания и собственного фазового сдвига каждого полузвена уменьшатся в 2 раза. Целью любого математического моделирования является установление однозначных условий, при которых существует подобие между оригиналом и моделью. Исследуемые явления в модели и оригинале считаются подобными, если они описываются одинаковыми по форме уравнениями. Дополнение 754 1 U1 l0 U2 λ0 4 1 2 ρл 1 λ0 8 L̂ 1 I2 2 I1 2 Ĉ а б 1 2 2 λ0 8 ρл в 2 1 Рис. 45.5. Четвертьволновый отрезок линии и его модели: а) λ/4-отрезок, б) модель ФК1 без потерь, в) мостовая схема λ/4-отрезка Рассмотрим уравнения передачи оригинала — электрической линии без потерь (рис. 45.5) на оси частот f распределѐнных систем. Матрица передачи для неѐ Ал, получаемая из (45.3), запишется в виде: Aл cos j sin ρ jρsin cos , (45.5) где: βl β= 2π λ πf — волновая длина отрезка линии (45.1), 2f 0 2πf — коэффициент фазы отрезка линии, λ — длина волны в линии, ν — скорость распространения волны в линии, f0 — первая резонансная частота отрезка линии при длине l0 = λ0/4, ρ — волновое сопротивление линии без потерь. В дальнейшем будут изучаться только волновые аналоговые фильтры без потерь. Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 755 Как известно, входное сопротивление четвертьволнового отрезка (l = λ/4отрезка) на резонансной частоте f0 при КЗ равно бесконечности, а при ХХ — нулю. Аналогичными свойствами в области частот Ω обладает фазовый контур (или фазовое звено) первого порядка ФК1 (рис. 45.5, б). Коэффициенты матрицы передачи такого контура выражаются через сопротивления его плеч Za и Zb (см. разд. 21.2): A ФК Za Zb Zb Zа 2Zb Za Zb Za Za Zb Zb 2 Zb 2 1 1 Za Za jρ 2 j 2 ρ1 2 1 1 2 2 1 2 , (45.6) 2 где: Ω — текущая нормированная частота фазового контура ФК1 (45.2), 1 — резонансная (при ХХ) и антирезонансная (при КЗ) круговые L̂Cˆ частоты ФК1, Z a = j Lˆ — индуктивное сопротивление продольного плеча, Ω0 Z b = j Cˆ — ѐмкостное сопротивление диагонального плеча, L̂ — нормированная индуктивность, Ĉ — нормированная ѐмкость, ρ Lˆ — нормированное волновое сопротивление ФК1 без потерь. Cˆ Однозначное соответствие между фазовым контуром (звеном) и четвертьволновым отрезком достигается только в том случае, когда их матрицы передачи (45.6) и (45.5) равны друг другу. Приравнивание этих матриц A ФК Aл 1 2 1 2 j 2 ρ1 jρ 2 2 cos j sin 2 1 1 2 1 2 ρ jρsin cos даѐт: cos 1 1 2 2 , sin 2 1 2 , (45.7) Дополнение 756 откуда получаем прямое и обратное преобразования:  частот ФК1 tg 2 tg πf 4 f0 F F0 Fˆ ; (45.8)  волновой длины отрезка линии: 2arctg . (45.9) Переходя к частотам f волнового аналогового фильтра и частотам F фазового контура, получаем пару преобразований частот: πf ; 4 f0 F F0 tg f 4 f0 F arctg , π F0 (45.10) из которых верхнее преобразование называется прямым, а нижнее — обратным. Следовательно, при изменении частоты F от 0 до фазовый контур, как модель, повторяет частотные характеристики отрезка линии, как оригинала, только на том частотном интервале, на котором частота f отрезка линии изπ2f 0 π . С другой стороны, при меняется от 0 до 2f0, при которой tg tg 4 f0 2 f = f0 имеем tg πf 0 4 f0 tg π 4 1 и F = F0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Частота F0 фазового контура ФК1, соответствующая частоте резонанса четвертьволнового отрезка f0, называется средней частотой фазового контура. Здесь уместно подчеркнуть, что указанное в определении соответствие частот, как следует из преобразования (45.10), не означает их равенства; последнее возможно только в частном случае, когда f = f0. Напомним, что при коротком замыкании ФК1 его сопротивление равно бесконечности, а в случае холостого хода — нулю. При подключении фазового контура ФК1 к электрической цепи необходимо учитывать еѐ внешние параметры, поэтому значения сопротивления нагрузки Rн и средней частоты F0 выбираются с учѐтом диапазона рабочих частот Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 757 и значения нагрузки. Тогда нормированные ( L̂ , Ĉ ) и денормированные ( L , C ) значения элементов ФК1 определяются по формулам (33.1.2): Lˆ Cˆ 2πF0 L ; L Rн 2πF0 RнC ; C ˆ LR н ; 2πF0 Cˆ 2πF0 Rн (45.11) . При коротком замыкании ФК1 получаем два одинаковых параллельных контура, включѐнных последовательно, которые могут быть свѐрнуты в один эквивалентный параллельный контур с элементами: LЭ1кз 2 L, CЭ1кз C . 2 (45.12) При холостом ходе ФК1 получаем два одинаковых последовательных контура, включѐнных параллельно, которые могут быть свѐрнуты в один эквивалентный последовательный контур с элементами: LЭ1хх L , CЭ1хх 2 2C. (45.13) 45.3. Симметричные цепочечные звенья ВАФ Изучение свойств звеньев волновых аналоговых фильтров наиболее удобно начинать с цепочечных звеньев, поскольку их топология достаточно наглядна и близка к каскадному соединению звеньев аналоговой модели. 45.3.1. Условные обозначения звеньев и полузвеньев ВАФ Основу построения фильтров, рассматриваемых в лекции, составляют следующие основные положения:  отрезки линий должны быть соразмерными, т. е. близкими к четвертьвол- новым;  резонаторы отдельных цепочечных и шлейфных звеньев всегда являются четвертьволновыми отрезками линий; при каскадном соединении двух цепочечных звеньев средний отрезок становится либо полуволновым (однородным), если волновые сопротивления соседних четвертьволновых резона- 758 Дополнение торов равны друг другу, либо ступенчатым, если волновые сопротивления не равны друг другу;  связки отдельных звеньев фильтров могут быть четвертьволновыми или полуволновыми;  связки полузвеньев цепочечных и шлейфных фильтров должны быть рав- ны либо λ/4-, либо λ/8-отрезкам. Для удобства записи и наглядности представления конструкции ВАФ будем обозначать звенья, составленных из трѐх отрезков линий, в виде простого перечисления длин волн Θ, укладывающихся в резонаторах и связках и соответствующих им резонансным частотам. Например, звено λ/4—λ/4—λ/4 означает, что волновые длины резонаторов и связки близки к величине π/2 и отличаются друг от друга не более чем на величину ΔΘ < π/8. Аналогично обозначаются полузвенья, составленные только из двух отрезков линии, например, полузвено λ/4—λ/16; тогда звено, составленное из таких полузвеньев, будет обозначаться λ/4—λ/8—λ/4, откуда видно, что длина связки в звене удваивается. Из условного обозначения звена (полузвена) видно главное — топология, которая и определяет свойства ВАФ. Топологии, а следовательно, и свойства цепочечных и шлейфных фильтров различны, поэтому их условные обозначения должны различаться, для чего в конце обозначения вводится дополнительная буква Ц или Ш: звено цепочечного фильтра λ/4—λ/4—λ/4—Ц, звено шлейфного фильтра λ/4—λ/2—λ/4—Ш. Так как в звеньях ВАФ с различными вариантами структур используются в основном четвертьволновые резонаторы, а связки могут быть как четвертьволновыми, так и полуволновыми, то окончательные условные обозначения многозвенных ВАФ с однотипными связками можно упростить и записывать в виде:  ВАФ-1-Ц — цепочечный фильтр с λ/4-связками;  ВАФ-2-Ш — шлейфный фильтр с λ/2-связками. Поскольку теория и расчѐт ВАФ основаны на методе моделирования λ/4отрезков линий фазовыми контурами первого порядка, то многие обсуждения и выводы будут проводиться на уровне фильтров на фазовых контурах (ФФК), топология которых, как будет показано далее, полностью совпадает с топологией моделируемых ВАФ. Поэтому и условные обозначения ФФК будут идентичны:  ФФК-1-Ц — цепочечный ФФК с ФК-1-связками;  ФФК-2-Ш — шлейфный ФФК с ФК-2-связками. Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 759 45.3.2. Свойства звена ВАФ-Ц с четвертьволновой связкой Трѐхэлементное симметричное звено λ/4—λ/4—λ/4-Ц изображено на рис. 45.3, а. Для определения свойств этого звена достаточно найти элементы обобщѐнной матрицы его полузвена λ/4—λ/8, так как характеристические сопротивления звена и полузвена со стороны их входов одинаковы, а постоянная передачи звена равна удвоенной постоянной передачи полузвена. Запишем обобщѐнную матрицу полузвена без потерь в виде произведения матриц каскадно-соединенных отрезка-резонатора и отрезка-полусвязки: cos A п/зв jρsin р j sin ρ cos р р jρсв sin cos п/св j sin п/св р cos ρсв п/св , п/св (45.14) где: Θп/св — волновая длина отрезка-полусвязки λ/8, Θр = 2Θп/св — волновая длина отрезка-резонатора λ/4, ρр > ρсв, ν ρсв ρр 1 — коэффициент рассогласования. После перемножения матриц получаем: A п/зв a11п/зв a12п/зв a21п/зв a22п/зв , (45.15) где: cos р cos п/св 1 sin ν j ρр sin р cos п/св ρп/св cos a11п/зв a12п/зв a21п/зв a22п/зв j sin ρ cos р cos п/св cos ρр р cos р sin п/св ; р sin р sin п/св п/св ρп/св п/св νsin р sin п/св . ; ; Дополнение 760 Вынесем из матрицы (45.15) произведение D ца примет вид: 1 Aп/зв D j 1 tg ν tg р j ρр tg р tg п/св р cos п/св D tg п/св ρп/св ρр ρп/св tg р cos 1 νtg р tg п/св п/св , тогда матри- a11 a12 . a21 a22 (45.16) Отсюда нетрудно получить выражение для характеристического сопротивления полузвена со стороны резонатора: Z ( )п/зв ρрρп/св tg a11a12 a21a22 νtg νtg р tg р 1 tg р tg ν 1 νtg р tg п/св п/св п/св 1 п/св . (45.17) Для удобства анализа (45.17) выразим функцию tg Θр через половинный аргумент Θ = Θр/2 = Θп/св, равный волновой длине отрезка-полусвязки: Z( )п/зв ρрρп/св 2 ν ν tg 2 2 ν 1 1 2ν 1 2ν tg 2 2 2 ν ν 1 2ν tg 2 tg 2 2 2 . (45.18) 2 Введѐм следующие обозначения, смысл которых ясен из разностей, стоящих в скобках числителя и знаменателя (45.20): ν 2 ν 1 1 2ν 1 2ν tg 2 tg 2 tg 2 1 ; 2 2 2 3 2 ; (45.19) ; 2 ν tg 2 4 . ν 2 Тогда (45.18) примет окончательный вид: Z( )п/зв 2 ρп/св tg tg 2 1 2 tg 2 tg 2 1 tg 2 2 tg 2 2 2 2 2 tg 2 tg 2 4 tg 2 3 tg 2 2 2 2 2 . (45.20) Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 761 Функцию затухания qп/зв(Θ) полузвена также выразим через элементы матрицы (45.16) с учѐтом соотношений (45.19). По определению функции затухания имеем: qп/зв ( ) a12a21 a11a22 tg 2 ctg 1 tg 2 2 2 tg 2 tg 2 3 tg 2 1 2 2 2 tg 2 2 tg 2 tg 2 4 tg2 2 2 2 2 tg 2 . (45.21) 2 Зависимости характеристического сопротивления Zп/зв(Θ) и функции затухания qп/зв(Θ) полузвена λ/4—λ/8 как функций волновой длины Θ представлены соответственно на рис. 45.6, а и б. Там же на оси Θ указаны значения волновых длин Θi, соответствующих границам собственных полос пропускания (ПП) и задерживания (ПЗ), а также значения Zп/зв(Θ) при волновых длинах: Θ = 0, π/2 и π, которые называются нулевыми длинами1. Собственное затухание aп/зв(Θ) и собственная фаза bп/зв(Θ) полузвена определяются по формулам: 1 q( ) , 1 q( ) a( ) 20lg b( ) 2arctg q( ), (45.22) которые, как функции волновой длины, отображены на рис. 45.6, в и г. Анализ рис. 45.6 и выражений (45.22)—(45.24) показывает следующее. Волновые длины обладают свойством арифметической симметрии: Θ1 + Θ4 = Θ2 + Θ3 = π. 1. Трѐхэлементное звено ВАФ (рис. 45.3, а) имеет в промежутке 0 ≤ Θ ≤ π три собственные полосы пропускания (ПП), в пределах которых характеристическое (волновое) сопротивление Zв(Θ) имеет резистивный характер, а функция затухания q(Θ) — мнимый; между тремя ПП имеются две собственные полосы задерживания (ПЗ), в пределах которых Zв(Θ) уже имеет мнимый характер, а функция затухания q(Θ) — вещественный. Это объясняется изменением соотношений между текущими значениями Θ и нулевыми длинами, когда разности между квадратами тангенсов в (45.22) 1 Поскольку волновая длина Θ непосредственно связана с действительными частотами f , то соответствующие частоты f называют нулевыми частотами. Дополнение 762 и (45.23) оказываются отрицательными. Для собственных ПП справедливо соотношение: Zв(Θ) = Zв(π – Θ), (45.23) Zв(Θ) = –Zв(π – Θ). (45.24) а для собственных ПЗ: Z в (Θ) ρcв Θ4 2 Θ3 tg 2 ρр tg ρcв ν Θ4 2 Θ3 tg 2 tg а 0 Θ1 Θ2 π 2 Θ3 π Θ4 Θ Полоса задерживания (ПЗ) q( ) Полоса пропускания (ПП) 1 б 0 π Θ π Θ Θ1 Θ12 Θ2 π 2 Θ3 Θ34 Θ4 ac ( ) amax 0 bc ( ) 3π ПП ПЗ Θ1 ПП Θ2 π 2 ПЗ Θ3 ПП Θ4 в 2π π 0 г Θ1 Θ2 π 2 Θ3 Θ4 π Θ Рис. 45.6. Волновые характеристики полузвена ВАФ-1-Ц: а) характеристическое сопротивление, б) функция затухания, в) собственное затухание, г) собственная фаза Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 763 2. Ширина полос пропускания и задерживания, а также максимальное в них затухание зависят от величины коэффициента рассогласования ν: чем меньше величина коэффициента рассогласования, тем ýже полосы пропускания, шире полосы задерживания и больше максимальное в них затухание и тем в большее число раз отличаются друг от друга значения характеристических сопротивлений на нулевых длинах (частотах): ρр Z в (π 2) , ν ν(2 ν) Z в (π) ρ р ; 1 2ν Z в (0) (45.25) при значениях ν < 0,01 имеем узкополосный фильтр, а при значениях 0,5 ≤ ν < 0,9 — широкополосный. Рассматриваемое цепочечное звено (рис. 45.3, а) λ/4—λ/4—λ/4, в силу симметричности его конструкции и свойств, можно эквивалентно преобразовать в мостовую структуру с характеристическими сопротивлениями плеч Zа и Zб, для чего разделим звено на два полузвена вида λ/4—λ/8 и поставим одно полузвено сначала в режим КЗ, а затем — в режим ХХ. Тогда при коротком замыкании полузвена (рис. 45.7, а) получим двухполюсник с сопротивлением Zа, а при холостом ходе — двухполюсник с сопротивлением Zб. Используя элементы матрицы (45.16) и преобразования, выполненные при выводе формул (45.20) и (45.21), можно получить выражения: для сопротивления короткозамкнутого полузвена Za ( ) a21 a22 j νρ р 1 ν tg tg 2 2 tg 2 2 2 tg 2 4 2 tg 2 2 (45.26) 2 и для сопротивления полузвена при холостом ходе Zb ( ) a11 a21 tg2 1 2 tg2 2 1 j tg tg2 3 ρр 2 ν 2 2 tg 2 . (45.27) 2 Характеристические строки сопротивлений Za и Zb изображены на рис. 45.7, б, где кружками отмечены нули, звѐздочками — полюсы сопротивлений, а знаками "+" и "–" отмечены соответственно удаляющиеся вверх от оси Θ и приближающиеся снизу к оси Θ участки волновой (частотной) зависимости сопротивлений. Дополнение 764 8 4 1 2 Za Zb 8 4 а 1 2 Θ Za б Zb Θ Рис. 45.7. Звено ВАФ-1-Ц: а) мостовая схема, б) характеристические строки сопротивлений Za и Zb 45.3.3. Свойства звена ВАФ-Ц с полуволновой связкой Для анализа трѐхэлементного цепочечного звена (рис. 45.8, а) λ/4—λ/2—λ/4 воспользуемся методикой, применѐнной в предыдущем параграфе, и найдѐм элементы обобщѐнной матрицы его полузвена λ/4—λ/4, которая получается из произведения матриц отрезка-резонатора λ/4 и отрезка-полусвязки λ/4, в отличие от отрезка-полусвязки λ/8 для (45.14): cos2 A j cos 2 1 1 ρр 1 2 tg ν 1 tg ρc j cos2 cos 2 (ρр ρc )tg 1 νtg 2 . (45.28) Характеристическое сопротивление полузвена со стороны резонатора будет равно: Z ( )п/зв a11a12 a21a22 1 2 tg ν 1 νtg2 ρрρс 1 . (45.29) Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 765 Выражая, как и ранее, функцию tg Θ через половинный аргумент Θ/2, получаем: ρрρс tg 2 Zп/зв ( ) tg 2 tg 2 1 2 2 tg 2 2 tg 2 2 tg 2 2 tg 2 4 2 3 tg 2 2 2 (45.30) , 2 где: tg tg tg 1 1 1 ν 1 ; ν 2 1 ν ν; 3 1 ν ν; 2 2 2 (45.31) 1 1 . 2 ν ν Далее без вывода приводятся выражения для функции затухания и волновых сопротивлений двухполюсников плеч мостовой схемы звена λ/4—λ/2—λ/4:  функция затухания q(Θ): 4 tg 2 1 1 ν ν q( ) 1 tg 2 2 tg 2 2 Sq (45.32) ; где Sq tg 2 1 2 tg 2 tg 2 2 tg 2 2 2 tg 2 2 tg 2 3 2 2 tg 2 4 2 tg 2 2 .  волновое сопротивление Zа(Θ): Za ( ) j 2ρр 1 ν 1 tg 2 2 2 1 tg2 tg 2 2  волновое сопротивление Zб(Θ): Zb ( ) tg 2 tg 2 j 2 2 ρр 1 1 ν 2 tg 2 2 2 tg 4 tg2 2 2 tg 3 2 tg2 1 tg 2 2 tg 2 . (45.33) . (45.34) 2 2 Дополнение 766 1 2 λ , ρр 4 λ , ρр 4 ρcв , λ 2 а 2 1 Z в (Θ) ρр ρ р ρcв ρ р ρcв ν б 0 Θ1 Θ2 Полоса задерживания (ПЗ) q( ) k π 2 Полоса пропускания (ПП) Θ3 π Θ4 Полоса задерживания (ПЗ) k 1 в 0 ac ( ) amax 0 bc ( ) 4π 3π 2π π 0 Θ Θ1 ПП Θ12 Θ2 Θ3 Θ34 ПП ПЗ Θ1 π 2 Θ2 π 2 ПП ПЗ Θ3 π Θ4 Θ4 Θ г π Θ д π Θ Рис. 45.8. Волновые характеристики полузвена полосового ВАФ-2-Ц: а) эквивалентная схема звена с полуволновой связкой, б) характеристическое сопротивление полузвена, в) функция затухания, г) собственное затухание, д) собственная фаза Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 767 На рис. 45.8 представлены следующие волновые характеристики полузвена полосового ВАФ-2-Ц (рис. 45.8, а):  характеристическое сопротивление (рис. 45.8, б);  функция затухания (рис. 45.8, в);  собственное затухание (рис. 45.8, г);  собственная фаза (рис. 45.8, д). Сравнение графиков, изображѐнных на рис. 45.6 и 45.8, позволяет выявить отличие звена λ/4—λ/2—λ/4 от звена λ/4—λ/4—λ/4 и их общие свойства:  функции затухания q(Θ) обоих звеньев ни при каких значениях аргумента Θ не могут быть равными единице, т. е. q(Θ) ≠ 1 независимо от Θ;  собственные затухания ac(Θ) обоих звеньев, рассчитываемые по формуле (45.22), в промежутке 0 ≤ Θ ≤ π не имеют полюсов (всплесков); тем не менее, полюс затухания цепочечных звеньев ВАФ существует и расположен в плоскости комплексной переменной γ лl al jΘ на оси al в точке al = 1; этот факт можно доказать, если в (45.21) и (45.32) положить jtg (Θ/2) = 1, в этом случае функции затухания обращаются в единицу;  собственная фаза звена с полуволновой связкой при Θ = π/2 (центральная частота средней полосы пропускания — ПП) составляет 2π, при этом общий набег фазы равен 4π, т. е. в два раза превышает собственную фазу звена с четвертьволновой связкой; это объяснятся наличием кратного нуля функции затухания при Θ = π/2, который порождается множителем 1 tg 2 2 в числителе (45.32). 45.3.4. Моделирование симметричных цепочечных звеньев В разд. 45.2 показано, что моделью λ/4-отрезка линии без потерь является фазовый контур первого порядка (ФК1). Отсюда модель трѐхэлементного цепочечного звена (рис. 45.9, а) можно получить, если каждый λ/4-отрезок звена заменить на ФК1, имеющий то же волновое сопротивление и центральную частоту 0 tg πf 4 f0 1. f f0 Дополнение 768 1 ρр , 1 ρс , 4 L1 4 ρр , L2 C1 а 4 L1 C2 2 C1 б 1 1 2 L1 L1 L2 L2 L1 L1 L1 2 L2 2 L1 2 2C1 2C2 2C1 1 Zа ( ) La1 1 Lb 2 в 2 La 2 Ca 2 Zб ( ) 2 2 Cb 2 Cb1 г 1 2 Рис. 45.9. Модели полосового звена ФФК1-Ц: а) эквивалентная схема, б) цепочечная модель, в) лестничная модель, г) мостовая модель Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 769 Результатом такой замены является фазоконтурная модель (рис. 45.9, б) цепочечного звена λ/4—λ/4—λ/4—Ц, для которой справедливы соотношения: ρ р (Ω) L1 C1 ρсв (Ω) L2 C2 L1C1 L2C2 ρ р ( ), (45.35) ρсв ( ), 1, где индексы "р" и "св" относятся соответственно к ФК1-резонаторам и ФК1связке. Полученную модель называют звеном цепочечного фильтра на фазовых контурах (ФФК-Ц). Схема симметричного звена ФФК-Ц может быть преобразована в лестничную, показанную на рис. 45.9, в. Наконец, с помощью ряда эквивалентных преобразований можно получить мостовую схему звена ФФК-Ц (рис. 45.9, г) с сопротивлениями плеч Za(Ω) и Zb(Ω), равными: Za ( ) Zb ( ) j ρсв 2 3 j ρсв 2 1 2 4 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 , (45.36) , где введены обозначения, которые совпадают с обозначениями (45.19) с учѐтом преобразования частоты (45.2): ν 2 ν 1 1 2ν 2 1; 2 2; 1 2ν 2 3; 2 ν ν 2 4. (45.37) Частотные зависимости характеристического сопротивления Zc(Ω), функции затухания q΄(Ω), собственного затухания a΄(Ω) и собственной фазы Дополнение 770 b΄(Ω) мостового звена, эквивалентного звену ФФК1-Ц, определяются согласно (45.36): Zc ( ) q( ) 2 ρсв Zа ( )Zа ( ) 2 1 2 Zа ( ) Zб ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 4 2 2 1 2 4 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 , 2 2 , 1 q( ) , 1 q( ) a( ) 20lg b( ) 2arctg q ( ). (45.38) (45.39) (45.40) Сравнение частотных зависимостей соответствующих параметров ФФК-Ц и ВАФ-Ц показывает следующее:  в отличие от сосредоточенных систем, имеющих относительно централь- ной частоты F0 геометрическую симметрию частот F χ Fχ F02 , распре- делѐнные системы имеют относительно f0 арифметическую симметрию частот f χ f χ 2 f0 ;  любая пара однотипных зависимостей связана между собой преобразова- ниями частоты (45.10) и (45.11) при условии: 0 ≤ Ω ≤ и 0 ≤ Θ ≤ π; отсюда простым сравнением формул (45.39)—(45.42) с формулами (45.21)—(45.24) устанавливаются равенства между параметрами модели и оригинала: Zc ( ) Z c ( ), q ( ) q( ), a ( ) a ( ), b ( ) b( ). (45.41) Вывод: основное достоинство фазоконтурной модели звена ВАФ заключается в еѐ простоте. Действительно, пусть имеем звено λ1/4—λ2/4—λ3/4-Ц, в котором резонансные частоты отрезков, на которых они становятся точно четвертьволновыми, различны; тогда для перехода к модели достаточно выбрать базовую длину волны λ0/4, которая или отличается от длин отрезков λ1/4, λ2/4, λ3/4, или совпадает с одной из них, и заменить каждый отрезок линии своим фазовым контуром Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 771 со своим волновым сопротивлением (45.35) и нормированной резонансной частотой, рассчитанной по одной из формул: 0i F0i F0 i tg tg 2 πfi 4 f0 tg πλ 0 . 4λ i (45.42) Обычно резонансная частота f0 выбирается равной средней частоте полосового волнового фильтра, поскольку такой выбор позволяет легко находить нормированные элементы фазовых контуров модели: ρi ( ) Lˆi i , (45.43) 1 . i ρi ( ) Cˆ i В качестве примера найдѐм элементы двухполюсников Za и Zb мостовой модели, изображѐнной на рис. 45.9, г. Разлагая функции (45.36) на простые дроби, в соответствии с моделью получаем: La1 Ca 2 Cb 2 2 2; ρсв La 2 2 4 ρсв 2 3 ρсв 2 3 2 1 2 2 ; 2 4 ρсв ; 2 1 Cb1 Lb 2 2 2 ρсв ρсв 2 3 2 4 ; ; 2 1 (45.44) . Заметим, что значения элементов Zb легко могут быть получены через дуальные элементы Za с тем же порядковым номером, в которых вместо ρсв и ν подставляются их обратные величины 1/ρсв и 1/ν, что видно из сопоставления формул (45.44) и соответствующих значений Ω2i согласно (45.37). Пример 45.1. Получить из La1 дуальный элемент Cb1. 1 ν 2 параметра ν на 1/ν даѐт: 1; 1 2ν ν 2 умножая найденный результат на 1/ρсв, получаем формулу для элемента Cb1. Построим цепочечную модель этого звена (рис. 45.10, б) ФФК-2-Ц со связкой ФК-2 (рис. 45.10, а). Применим к полученному звену преобразование частоты (45.8) и произведѐм замену в выражениях (45.30), (45.32), (45.33) и (45.34) Решение. Замена в формуле 2 2 Дополнение 772 функций тангенса половинных углов на значения Ω согласно (45.8), в результате получим следующие функции мостовой схемы звена:  функция затухания q΄(Ω): 2 q( ) 2 1 1 ν ν 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 4 (45.45) ; 2  характеристическое сопротивление Zc(Ω): 2 1 ρ р ρсв Zc ( ) 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 (45.46) ; 1 2 ρр , λ 4 ρсв , λ 2 ρр , λ 4 а 1 2 L1 1 L2 C1 L2 C2 L1 C2 2 C1 б 2 1 Za ( ) 1 La1 La 2 Ca1 Ca 2 Zb ( ) 1 Cb1 Lb1 Cb 2 2 Lb 2 в 2 Рис. 45.10. Модели полосового звена ФФК-2-Ц: а) эквивалентная схема, б) цепочечная модель, в) мостовая модель Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 773  волновое сопротивление Za(Ω): Za ( ) j 2ρсв 1 2 2 2 1 1 ν 2 2 3 (45.47) ; 2  волновое сопротивление Zb(Ω): jρсв Zb ( ) 2 1 2 1 ν 2 2 4 2 2 . 1 (45.48) Разлагая функции (45.47) и (45.49) на простые дроби, получаем значения элементов двухполюсников Za и Zb звена мостовой схемы ФФК-2-Ц (рис. 45.10, в): La1 Lb1 2ρс 1 1 ρс 1 2 1 1 2 2 2 4 1 ; Ca1 Ca 2 1 ; Cb1 Cb 2 1 2ρс 1 2 3 1 (45.49) 2 1 ρс 1 1 ; La 2 2 1 1 . Lb 2 45.3.5. Понятия о симметричных шлейфных звеньях волновых фильтров Свойства шлейфных звеньев волновых аналоговых фильтров (ВАФ-Ш) отличаются от цепочечных прежде всего тем, что вместо трѐх полос пропускания в ВАФ-Ц шлейфное звено имеет либо одну ПП для полосового фильтра, либо две ПП для режекторного, как и всякий полосовой и режекторный фильтр. Исследование частотных (волновых) характеристик шлейфных звеньев осуществляется по той же методике, что и исследование цепочечных звеньев. На рис. 45.3, в—е приведены четыре типа (на самом деле их больше) шлейфных фильтров с с четвертьволновыми связками (ФК1-связками), которые отличаются друг от друга типом двухполюсников-резонаторов (КЗ или ХХ) и способом их подключения к проходным четырѐхполюсникам-связкам. Эти особенности звеньев учитываются в матрицах передачи элементарных Дополнение 774 (или неполных) четырѐхполюсников (см. разд. 21.1.1), в состав которых входят короткозамкнутые или разомкнутые отрезки-резонаторы: 0 1 Z ХХ 1 , , 1 0 1 Z ХХ 1 1 1 Z КЗ 0 1 Z КЗ , . 1 0 1 (45.50) Z c (Θ) 2 1 2 1 бб аа 0 a(Θ) q( ) amax в в 0 π 2 1 1 π 2 2 π Θ 1 π 2 π 2 0 1 гг π 2 j Рис. 45.11. Характеристики звена ФФК-1-Ш: а) эквивалентная схема звена, б) характеристическое сопротивление, в) собственное затухание, г) функция затухания Рассмотрим четвертьволновое шлейфное звено ВАФ-λ/4-Ш, изображѐнное на рис. 45.3, в и рис. 45.11, а, в котором в качестве резонаторов используются короткозамкнутые четвертьволновые отрезки линии, подключѐнные параллельно входу и выходу четвертьволновой связки. Матрица передачи этого звена имеет вид: Aш 1 ρр jtg 0 1 cos 2 j ρсв sin 2 jρсв sin 2 . cos 2 (45.51) После перемножения матриц получаем: Aш cos 2 cos 2 j sin 2 jρ р tg ρсв jρсв sin 2 ρсв sin cos 2 ρ р tg 2 , (45.52) Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 775 или, после вынесения cos Θ/2 за скобки матрицы: cos Aш cos 2 jtg 2 ρсв 1 jρр tg 2 2 jρсв tg cos cos 2 1 2 ρсв tg 2 ρ р tg . (45.53) Характеристическое сопротивление полузвена (и звена!) со стороны резонатора равно: a11a12 a21a22 Zc ( ) jρсв tg jtg 2 ρсв 1 jρр tg 2 ρ tg 2 1 св ρр tg . Выразим функцию tg Θ через половинный аргумент Θ/2, тогда при соответствиях (45.19) получим: 2 jρ р tg Zc ( ) tg 2 tg 2 2 tg 2 1 2 tg 2 2 , tg 2 2 (45.54) 2 2 где Θ1 и Θ2 — левая и правая граничные волновые длины полосы пропускания звена (полузвена); ν = ρсв/ρр; 0 < ν < . Волновым длинам Θ1 и Θ2 соответствуют левая fχ и правая fχ частоты среза полосы пропускания. На средней волновой длине Θ0 = π/2 характеристическое сопротивление звена численно равно волновому сопротивлению связки (рис. 45.11, б): π 2 Zc ρсв . (45.55) Можно показать, что функция затухания звена ВАФ-Ш имеет вид: qш ( ) tg tg 2 2 2 tg 2 1 tg 2 2 2 2 2 tg 2 , (45.56) 2 причѐм, как показано на рис. 45.11, г, функция затухания в точках 0, π/2 и π имеет следующие значения: qш (0) tg 1 2 , qш π 2 j, qш (π) tg 2 2 . (45.57) 776 Дополнение Рассмотренное шлейфное звено λ/4—λ/4—λ/4—Ш является полосовым фильтром, поскольку характеристическое сопротивление в полосе волновых длин от Θ1 до Θ2 имеет вещественный (резистивный) характер, а в левой и правой полосах — мнимый. Заметим, что крутизна затухания ВАФ-Ш вблизи полосы пропускания меньше, чем цепочечного звена ВАФ-Ц, при одинаковой относительной ширине их полос пропускания. 45.4. Начала синтеза волновых аналоговых фильтров Синтез волновых аналоговых фильтров, рассматриваемых в лекции, базируется на методах синтеза фильтров на фазовых контурах. Ещѐ раз подчеркнѐм, что фильтры на фазовых контурах (ФФК) являются новым классом фильтров, однако они не имеют самостоятельного значения в практике реализации фильтров, а представляют собой точные математические модели фильтров на отрезках линий. По этой причине необходимо помнить об особенностях ФФК, изученных в предыдущем материале и вкратце сводимых к следующему:  схема ФФК состоит из фазовых контуров первого порядка (ФК1) в общем случае с различными волновыми сопротивлениями и с различными резонансными частотами;  всплески затухания цепочечных (ФФК-Ц) могут находиться только на оси действительных частот, а шлейфных (ФФК-Ш) — как на действительной, так и на мнимой осях комплексной частоты;  цепочечные фильтры (ФФК-Ц) являются многополосными: они имеют три собственные полосы пропускания (нижнюю, среднюю и верхнюю) и две полосы задерживания;  основной элементарной частью ВАФ является однородный четвертьвол- новый отрезок, расчѐтными параметрами которого являются волновое сопротивление и резонансная частота (т. е. вторичные параметры отрезка линии), поэтому и для ФК1, как элементарной части ФФК, основными расчѐтными параметрами будут волновое сопротивление и средняя частота ФК1, которые, при необходимости, выражаются через значения его элементов индуктивности и ѐмкости; однако чаще всего оперируют только вторичными параметрами;  характеристика затухания ФФК может быть получена с помощью частот- ных преобразований, применѐнных к схеме фильтра-прототипа нижних частот, в качестве которой может быть выбрана любая схема, реализуемая Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 777 в LC-базисе и синтезируемая при аппроксимации АЧХ методами Баттерворта, Чебышѐва или Золотарѐва-Кауэра (последняя только для ФФК-Ш). Синтез ВАФ включает в себя следующие этапы: 1. Задание требований к волновому аналоговому фильтру. 2. Пересчѐт требований к ВАФ в требования к ФФК и к ФНЧ-прототипу. 3. Расчѐт НЧ-прототипа. 4. Разбиение рассчитанного прототипа на Г-образные полузвенья и определение их вторичных параметров. 5. Расчѐт вторичных параметров элементов соответствующих полузвеньев НЧ-прототипа ФФК и ВАФ. 45.4.1. Задание требований к волновому фильтру Требования к волновому фильтру формулируются в виде требований к характеристике затухания и, по сути, ничем не отличаются от требований к фильтрам с сосредоточенными элементами, но обычно дополняются требованиями к коэффициентам отражения (см. лекцию 44). a( f ) a02 a01 a 0 f k f fχ f0 χ fk f Рис. 45.12. Требования к характеристике затухания ВАФ Тем не менее, при задании требований к ВАФ необходимо учитывать и присущие этим фильтров особенности:  граничные частоты должны отвечать арифметической симметрии f0 f i f 2 i ; (45.58) Дополнение 778  характеристика затухания выражается следующими формулами: для ПП симметричного фильтра 1 Zc a 10lg 1 4 Rн1 Rн1 Zc 2 sin 2 bc ; (45.59) cos2 bc ; (45.60) для ПП антиметричного фильтра 1 Z c1 a 10lg 1 4 Rн1 Rн1 Z c1 2 для ПЗ симметричного и антиметричного фильтров 1 Z c1 a 10lg 1 4 Rн1 Rн1 Z c1 2 sh 2 g c , (45.61) где gc = ac + jbc — характеристическая (собственная) постоянная передачи фильтра. При синтезе фильтров применяется полиномиальная аппроксимация (Баттерворта или Чебышѐва). В этом случае более удобно пользоваться следующими формулами:  при баттервортовской аппроксимации: a 10lg 1 2 2 ,  при чебышѐвской аппроксимации: a 10lg 1 2 ch 2 nArch , где 10 a 10 1. Получаемые при этом полиномиальные НЧ-прототипы называются симметричными, если порядок n — нечѐтный, и антиметричными, если порядок n — чѐтный. Для реализации фильтров используются лестничные схемы НЧ-прототипа с учѐтом дополнительных условий, которым должны удовлетворять элементы схем фильтров. Эти условия определяются тремя теоремами [12], приводимыми здесь без доказательств: Теорема 1 о величине характеристического сопротивления лестничного фильтра. Квадрат характеристического сопротивления любого лестничного LCфильтра на нулевой частоте равен отношению суммы нормированных Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 779 индуктивных элементов L̂ всех продольных ветвей к сумме нормированных ѐмкостных элементов Ĉ всех поперечных ветвей его схемы. Для ФНЧ нулевая частота равна нулю, для ФВЧ — бесконечности, для полосовых нормированных фильтров — единице, для режекторных фильтров — нулю и бесконечности. Например, характеристическое сопротивление лестничного НЧ-прототипа на нулевой частоте равно: i Z cнч (0) i Lˆi Cˆ i . Теорема 2 о внутреннем согласовании в фильтрах. Схема лестничного LC-фильтра, составленная из n реактивных ветвей, может быть разбита единственным образом на n – 1 Г-образных полузвеньев, согласованных между собой на нулевой частоте (рис. 45.13, а). Единственность разбиения схемы на согласованные на нулевой частоте полузвенья вытекает из самого определения характеристического сопротивления цепи, поскольку такая схема может существовать только в единственном случае: при согласованном включении всех полузвеньев. Z cГ η Z cГ η r0 ri Z c (0) 1 0 η1 η2 η3 η4 η5 η6 Собственные полосы пропускания звеньев разные, характеристические сопротивления одинаковые r5 Z cГi (0) r4 r3 1 r2 r1 а η 0 1 б η Собственные полосы пропускания звеньев одинаковы, характеристические сопротивления разные Рис. 45.13. Характеристические сопротивления Г-образных полузвеньев НЧ-прототипа: а) при разбиении на согласованные полузвенья, б) при разбиении на равнополосные полузвенья Дополнение 780 Теорема 3 о внутренней равнополосности в фильтрах. Схема лестничного LC-фильтра, составленная из n реактивных ветвей, может быть разбита единственным образом на n – 1 Г-образных полузвеньев, имеющих одинаковую собственную полосу пропускания (рис. 45.13, б). На рис. 45.13, при использовании нормированных частот (η = F/F0), изображены частотные зависимости характеристических сопротивлений Гобразных полузвеньев ZcГ (η) при разбиении лестничных фильтров согласно теореме 2 (рис. 45.13, а) и теореме 3 (рис. 45.13, б). 45.4.2. Расчѐтные параметры фильтров на фазовых контурах Волновые аналоговые фильтры, как распределѐнные системы, могут быть представлены своими электрическими параметрами: волновыми сопротивлениями λ/4-отрезков-резонаторов и λ/4-отрезков-связок (ρрi и ρсвi) и их волновыми длинами Θрi и Θсвi. Фильтры на фазовых контурах, как сосредоточенные системы, представляют собой точные математические модели ВАФ, также должны быть описаны через волновые сопротивления ФК1-резонаторов и ФК1-связок (ρрi и ρсвi) и их резонансные частоты Ωрi = tg Θрi/2 и Ωсвi = tg Θсвi/2. Рассмотрим простейший случай, когда выполняется условие Ωрi = Ωсвi = 1, т. е. имеем точно λ/4-отрезки; при этом из определения резонансной частоты в (45.6) имеем: Ω0 1 L̂Cˆ 1, откуда 1 . Lˆ Тогда волновые сопротивления резонаторов и связки ФК1 принимают вид: ˆ ˆ 1 и Cˆ LC ρ рi ρсвi Lˆрi Cˆ Lˆрi Lˆрi = Lˆрi , Lˆсвi Cˆ Lˆсвi Lˆсвi = Lˆсвi , рi свi (45.62) Лекция 45. Введение в теорию волновых аналоговых фильтров 781 а коэффициент рассогласования связки и резонатора i-го звена оказывается равным: ρсвi Lˆсвi νi . (45.63) ρрi Lˆрi В основу реализации ФФК положен метод сравнения характеристических параметров Г-образных полузвеньев исходных и преобразованных полузвеньев, частоты которых связаны между собой соответствующими преобразованиями, например: η → Ω — НЧ-прототип → ФФК-Ц, η → Ω — ФФК-Ш → ФФК-Ц. Условия соединения соседних преобразованных ФФК-полузвеньев диктуют выбор варианта разбиения исходной схемы НЧ-прототипа на полузвенья. В принципе, возможно бесчисленное множество вариантов эквивалентного разбиения каждого элемента схемы НЧ-прототипа на два элемента, однако лишь некоторые из них имеют практическое приложение. Рассмотрим два наиболее часто применяемых варианта. Вариант 1. Элементы НЧ-прототипа (рис. 45.14, а) разбиваются согласно теореме 1 так, чтобы обеспечивалось равенство характеристических сопротивлений ri = r0 на нулевой частоте. На рис. 45.14, б приведена эквивалентная схема НЧ-прототипа, разбитая на Г-образные полузвенья, для которых нетрудно найти значения характеристических сопротивлений на нулевой частоте и граничных частот собственных полос пропускания (рис. 45.13, а): ri Li Ci r0 , ηi 1 Li Ci . (45.64) Вариант 2. Все элементы НЧ-прототипа, кроме первого и последнего, делятся пополам: Li Li 1, i 2, 4, , n 3; Ci Ci 1, i 1, 3, , n 2. (45.65) Этот вариант обычно применяется в том случае, когда требуется реализация двух соседних ФК1-резонаторов с одинаковыми волновыми сопротивлениями, что упрощает конструкцию цепочечных ВАФ с однородными средними λ/2-резонаторами. На рис. 45.14, в и г показаны эпюры волновых сопротивлений и полусвязок ФФК1-Ц, где расположение и высоты прямоугольников соответствуют расположению ФК1-элементов в схеме фильтра и относительным (больше – меньше) Дополнение 782 величинам их волновых сопротивлений: эпюра на рис. 45.14, в соответствует первому варианту разбиения схемы ФФК1-Ц на Г-полузвенья, а эпюра на рис. 45.14, г соответствует второму варианту. 1 L1 L3 Ln L5 C2 Cn C4 2 1 а 1 1 2 L2 L1 C1 L3 L4 C3 C2 Ln 1 Cn 1 L5 Cn C4 2 2 б 2 1 ρ р1 ρ р1 ρсв1 ρсв1 ρсв2 ρ р2 ρсв2 ρ р2 ρсв4 ρ р3 ρсв3 ρ р4 ρ р5 ρ р3 ρ р5 ρ р4 ρсв3 ρсвn -2 ρ рn -1 в ρсвn -1 ρ рn -1 г ρсвn -1 ρсвn -2 ρсв4 Рис. 45.14. Варианты разбиения схемы НЧ-прототипа на Г-образные полузвенья и их реализация в схемах ВАФ-Ц: а) схема НЧ-прототипа, б) схема из Г-образных полузвеньев, в) реализация по варианту 1, г) реализация по варианту 2 З А МЕ Ч А Н И Е В теории волновых аналоговых фильтров вводится важное понятие о нулевых полузвеньях: нулевым полузвеном называют Г-образное полузвено, собственная полоса пропускания которого равна полосе пропускания звена, а характеристическое сопротивление на нулевой частоте согласно теореме 1 равно Zc0(0). Звено, составленное из двух согласованных между собой нулевых полузвеньев, называется нулевым звеном. Знание параметров нулевых полузвеньев существенно упрощает методы расчѐта соответствующих ФФК. Эти параметры можно найти в [12]. Например, для НЧ-прототипа параметрами нулевого полузвена являются: Zc0(0) = r0, η0 = 1. Литература 1. Бакалов В. П., Дмитриков В. Ф., Крук Б. Е. Основы теории цепей: Учебник для вузов/Под ред. В. П. Бакалова. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 2000. — 592 с. 2. Балабанян Н. Синтез электрических цепей/Пер. с англ. под ред. Г. И. Атабекова. — М. — Л.: Госэнергоиздат, 1961. — 416 с. 3. Белецкий А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для вузов. — М.: Связь, 1967. — 608 с. 4. Белецкий А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей: Учебник для вузов. — М.: Радио и связь, 1986. — 544 с. 5. Гоноровский. И. С., Дѐмин М. П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. пособие для вузов. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1994. — 481 с. 6. Дѐч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования/Пер. с нем. Г. А. Вольперта. — М.: Наука, 1971. — 288 с. 7. Джонсон Говард В. Высокоскоростная передача цифровых данных: курс чѐрной магии/Пер. с англ. — М.: Изд. дом "Вильямс", 2005. — 1024 с. 8. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. (Метод пространства состояний)/Под ред. Г. С. Поспелова: Пер. с англ. — М: Наука, 1970. — 704 с. 9. Зыков А. А. Основы теории графов. — М.: Наука, 1987. 10. Ланнэ А. А., Улахович Д. А. Многокритериальная оптимизация. — ВАС, 1984. — 94 с. 11. Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электронных схем. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Связь, 1978. — 336 с. 784 Литература 12. Лапшин Б. А. Новая теория и расчѐт фильтров и трансформаторов на отрезках передающих линий. — СПб.: Наука, 1998. — 180 с. 13. Основы автоматического управления/Под ред. В. С. Пугачѐва. — М.: Наука, 1974. 14. Попов В. П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. — 3-е изд., испр. — М.: Высшая школа, 2000. 15. Постников М. М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с. 16. Ред Э. Справочное пособие по высокочастотной схемотехнике. — М.: Мир, 1990. 17. Снегирѐв В. Т. Линейные радиотехнические устройства: Курс лекций. Часть II. — ВАС, ЛВВИУС, 1989. — 308 с. 18. Снегирѐв В. Т., Бабкова Л. А. Линейные радиотехнические устройства: Курс лекций. Часть I/Под ред. проф. А. А. Ланнэ. — ВАС, 1981. — 283 с. 19. Солонина А. И., Улахович Д. А., Арбузов С. М., Соловьѐва Е. Б. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. — 2-е изд., испр. и перераб. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 768 с. 20. Справочник по расчѐту и проектированию ARC-схем/Букашкин С. А., Власов В. П., Змий Б. Ф. и др./Под ред. А. А. Ланнэ. — М.: Радио и связь, 1984. — 368 с. 21. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности: Пер. с сербск. и с англ./Под ред. Цыпкина Я. З. — М.: Советское радио, 1972. 22. Фѐллингер О., Шнайдер Г. Линейные системы передачи/Пер. с нем./Под ред. акад. Б. Н. Петрова. — М.: Мир, 1964. 23. Хэммонд П. Теория обратной связи и еѐ применения: Пер. с англ. М. А. Берманта/Под ред. Я. З. Цыпкина. — М.: ГИЗ физико-математической литературы, 1961. 24. Firas Mohammed Ali. Systemizing the Design of Broadband Class-A RF Power Amplifiers. High Frequency Electronics, August 2006. Предметный указатель А Адмитанс · 5, 117 Алгоритм обменный (Ремеза) · 469, 470 Альтернанс · 464, 564 Амплитуда: колебания · 104 комплексная · 5, 113 отражѐнной волны · 393 падающей волны · 393 Антенна · 355 Аппроксимация · 442 дробно-рациональная · 461 максимально плоская · 451 по Чебышѐву · 461 полиномиальная · 461 равноволновая · 465 среднеквадратичная · 455 Аргумент · 104 комплексного числа · 123 коэффициента отражения · 399 Б, В База · 635 Вебер-амперная характеристика · 38 Ветвь · 24 динамическая · 591 простая · 24 сложная · 25 Вид: настроек · 209 связи · 214 Видеоимпульс · 225, 282 Воздействие: ступенчатое · 6, 223 типовое (испытательное) · 223 Волна: отражѐнная · 374, 395 падающая · 371, 395 Волновод · 357 Волновые аналоговые фильтры (ВАФ) · 747 Волны: поверхностные акустические (ПАВ) · 600 Рэлея · 600 Вольт-амперная характеристика (ВАХ) · 37 Время: групповое 531 переходное · 134 Вычет · 483 Г Гармоники паразитные · 667, 685 Генератор · 91 Генераторы · 42 Гиратор · 728 Глубина обратной связи · 651, 663 усилителя · 698 786 Годограф · 165, 673 Граф: дерево · 26 направленный · 28 подграф · 25 сечение · 28 хорда · 26 электрической цепи · 25, 28 Д Двухполюсники 20 взаимообратные · 505, 611 лестничные · 497 реактивные · 484 Декада · 577 Делитель: напряжений · 59 токов · 59 Денормирование сопротивлений · 544 Дерево графа · 26 Децибел · 167, 168 Динамический диапазон · 684 Диплексор · 733 четырѐхполюсник · 736 шестиполюсник · 743 Дифференциатор инвертирующий · 723 Длина: волновая · 749 волны · 371 нулевая · 761 электрическая · 748 Длинные линии: классификация · 356 Добротность · 175, 739 кварцевого резонатора · 594 контура · 185, 292 параллельного · 185 последовательного · 175 Дополнение: алгебраическое · 84 дерева · 26 Предметный указатель Дробь: цепная · 495, 497 Чебышѐва · 566 Дуальность · 230, 613 Е Ёмкость · 128 динамическая · 591 погонная · 360 статическая · 590 З Задача: анализа цепи · 34 синтеза цепи · 35 Закон: Кирхгофа: второй · 32 второй в символической форме · 117 первый · 31 первый в символической форме · 117 коммутации напряжения · 41 Ома 36 в символической форме · 116 Запас устойчивости · 709 Затухание · 167, 537 контура · 176, 186, 214 линии: волновое · 381 собственное · 381 характеристическое · 381 рабочее · 612 Звено: нулевое · 782 цепочечное · 751 шлейфное · 751 Звенья фазовые · 618 Значение действующее (эффективное) · 112 Предметный указатель И Избирательность · 194 частотная · 195 Изображение · 237 констатны · 241 операции: дифференцирования · 245 интегрирования · 246 символическое · 112 Импеданс · 5, 116 Импульс: единичный · 226 прямоугольный · 223 Инверсия · 649 Инвертор · 649 напряжения взвешивающий · 720 сопротивления · 727 Индуктивность · 126 взаимная · 4, 140 динамическая · 591 линии: внешняя · 361 внутренняя · 361 отрицательная · 142 погонная · 359 проходная · 730 Интеграл: Дюамеля · 235, 259 свѐртки · 233 Интегратор: инвертирующий · 722 сумматор · 723 Интервал · 577 аппроксимации · 445, 456 Интерполяция: нелинейная · 449 полиномами · 449 Источник · 95 зависимый · 44 напряжения · 42 независимый · 42 напряжения, управляемый током (ИНУТ) · 44 787 напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) · 44 независимый · 42 тока · 43 управляемый напряжением (ИТУН) · 45 управляемый током (ИТУТ) · 45 К Кабель: витой · 356 коаксиальный · 357 оптоволоконный (волоконнооптический) · 357, 369 телефонный · 356 Карта нулей и полюсов · 264 Квадрат АЧХ · 554 Колебание · 103 аналоговое · 17 гармоническое · 103 дискретное · 17 цифровое · 17 Колебания: свободные · 269 установившиеся · 133 Комплекс полинома Гурвица · 485 Комплексный полином Гурвица · 431 Конвертор отрицательного сопротивления · 725 Континуант · 524 Контур · 25 вторичные параметры · 176, 186 вторичный · 207 параллельный · 182 первичные параметры · 172 первичный · 207 последовательный · 170 расстройка · 191 с автотрансформаторной связью · 208 с ѐмкостной связью · 208 с трансформаторной связью · 208 связанный · 206 фазовый · 750 788 Корни: вещественные кратные · 293 комплексно-сопряжѐнные · 291 Корректоры: амплитудные · 606 фазовые · 607, 617 Коэффициент: бегущей волны · 401 гармоник · 687 гирации · 728 ѐмкостный · 593 затухания · 296, 391 контура · 290 искажения группового времени · 635 мощности · 147 отражения · 378, 735 передачи · 735 разомкнутой системы · 651 усилителя · 680 полезного действия · 152 прямоугольности · 557 разложения · 249, 294 распространения · 365, 373, 391, 752 рассогласования · 753 связи · 4, 140, 207 стоячей волны · 736 управления операционного усилителя · 711, 713 усиления · 680, 691 комплексный · 689 напряжения · 342, 680 рабочий · 680 сквозной · 680, 690, 700 тока · 342, 680 фазы · 391 Критерий · 428 близости · 445 Гурвица · 428 качества · 446 максимальной плоскости · 556 минимаксный · 461 Михайлова · 435 Найквиста · 671, 675, 677, 708 оптимальности · 447 Предметный указатель Пэли-Винера · 444 Пэли-Винера обобщѐнный · 444 среднеквадратичный · 455 устойчивости · 427 чебышѐвский · 461 Крутизна · 690 асимптотическая · 577, 581 Кумулянт · 524 Л Линейный вольтметр · 409 Линия: без потерь · 390 воздушная · 356 входное сопротивление · 385 задержки · 630 микрополосковая · 357 нагруженная согласованно · 378, 380 несимметричная · 357 однородная · 355, 362 полосковая · 357 постоянная передачи · 381 симметричная · 356 М Максимум средней мощности · 149 Матрица: S-параметров · 735 контуров · 30 рассеяния · 735 соединений · 28 Межсимвольная интерференция · 285 Мера близости · 445 среднеквадратичная · 455 чебышѐвская · 461 Метод: Дарлингтона · 584 замещения · 747 Кауэра · 493 контурных токов · 75, 76 напряжений ветвей · 67 неопределѐнных коэффициентов · 252 Предметный указатель развязки связей · 141 табличный обратного преобразования · 247 токов ветвей · 65 токов элементов · 72 узловых напряжений · 69, 70, 72 Фостера · 487 Метрика · 445 Минор · 83 Многополюсники · 20 Модель: математическая · 23 цепи · 23 Модуль коэффициента отражения · 392 Мощность: активная · 145 комлексная · 147 комплексная · 145 мгновенная · 109 полная · 146 полная (кажущаяся) · 145 реактивная · 146, 147 средняя · 126, 144, 146 за период · 145 средняя (активная) · 110 Н Нагрузка: согласованная · 153, 504 сопряжѐнная · 152 Нагрузка генератора · 91 Направление отсчета встречное · 140 напряжения · 16 согласное · 140 тока · 15 Напряжение: переходное · 234 среднеквадратическое значение · 111 узловое · 69 Непер · 349 Неравномерность · 196 789 Нуль: передаточной функции · 263 сопротивления · 402 О Октава · 577 Оператор · 14, 237 дифференцирования · 247 интегрирования · 247 Лапласа · 4, 237 нормированный · 543 Операторная: передаточная проводимость · 260 проводимость: двухполюсника · 255 элемента · 254 Операторное: передаточное сопротивление · 260 сопротивление: двухполюсника · 255 элемента · 254 Операционные усилители (ОУ) · 710, 711 Определитель · 81 Гурвица · 429 Оригинал · 112, 237 Ослабление · 167, 537 Отклонение максимально допустимое · 197 Отношение возвратное · 695 Отображение · 237 Отрезок: гармонического колебания · 103 четвертьволновый · 354 Оценка по критерию · 428 Ошибка аппроксимации · 462 П Параметры: варьируемые · 464 вторичные длинной линии · 360 обобщѐнные · 311 (окончание рубрики см. на стр. 790) 790 Параметры (окончание): первичные: длинной линии · 353, 359 параллельного контура · 183 погонные длинной линии · 359 проводимости · 309 четырѐхполюсника · 310 рабочие (внешние) · 338 собственные · 311 Передаточная функция · 259 по напряжению · 260 по току · 260 Перепад · 6, 223 Переходной процесс · 234 Период: затухающих колебаний · 292 колебания · 105 Петля обратной связи · 646 Поверхностный эффект · 361 Повторитель напряжения · 717 Погрешность · 6 абсолютня · 203 комплексная относительная · 203 относительная · 203 Подграф · 25 Полином: Гурвица · 429, 484 устойчивый · 429 Чебышѐва · 466, 562 Положительная вещественная функция (ПВФ) · 481 Полоса: задерживания · 534 граничная частота · 535 мешания · 557 пропускания · 195, 298, 534 контура · 205 частота среза · 535 частот рабочая · 681 Полузвено нулевое · 782 Полюс: передаточной функции · 263 сопротивления · 402 Помехи · 532, 533 внешние · 532 внутренние · 532 Предметный указатель Порядок функции · 481 Постоянная передачи: рабочая · 612 характеристическая · 502, 611 Постоянная времени · 273, 275 Потери: вносимые · 735 возвратные · 735 однородные · 582 полуоднородные · 585 Правило нуля · 674 Преобразование: Лапласа · 236 обратное · 237 частоты · 741 Преобразования: реактансные · 545, 546 эквивалентные · 61 Преобразователь Гильберта · 642 Принцип: наложения (суперпозиции) · 63 обратной связи · 645 причинности · 443 физической возможности · 23 Проводимость: взаимная · 72 входная полная · 164 двухполюсника комплексная · 117 ѐмкостная · 128 индуктивная · 127 комплексная · 130 погонная · 359 реактивная контура · 184 резистивного элемента · 126 собственная · 72 Производная: функциональная · 662 частная · 662 Промежуток: резонансный · 593 относительный · 593 Пространственные координаты · 353 Прототип · 541 Процесс: переходный · 133, 234 Предметный указатель Путь · 25 Пучность стоячей волны · 396, 400 Пьезокерамика · 590 Пьезомодуль · 588 Пьезоэлектрики · 586 Пьезоэффект · 586 Р Рабочая: постоянная передачи · 349 фаза · 349 Рабочее: затухание · 349 усиление · 349 Рабочий коэффициент передачи · 347 Радиан · 104 Радиоимпульс · 283 Разность: возвратная · 698 фаз · 105 Расстояние между функциями · 445 Расстройка: контура · 191 абсолютная · 191 обобщѐнная · 191, 211 относительная · 191 Реакция цепи · 157 Реализация: каскадно-развязная · 521 каскадно-согласованная · 519 Рѐбра дерева · 26 Режим: апериодический · 295 бегущей волны · 393 гармонических колебаний · 133 затухающих колебаний · 292 короткого замыкания линии · 402 критический · 294 односторонней нагрузки · 341 переходных колебаний · 133 покоя · 133, 269 постоянного тока · 133 свободных колебаний · 269 791 смешанных волн · 399 стоячих волн · 394, 396 установившихся колебаний · 362 Резонанс · 173 второй · 210 напряжений · 173, 174, 180 первый · 209 полный · 211 сложный · 210 токов · 185 Решение допустимое · 446 С Свѐртка · 233 Свойства: аддитивности (суперпозиции) · 21 инвариантности · 22 линейности преобразования Лапласа · 238 однородности (пропорциональности) · 21 передаточных функций · 415 полиномов Гурвица · 429 реактансных функций · 486 функций Якоби · 571 частотные четырѐхполюсника · 158 Связь: критическая · 214, 216, 217 обратная · 645 внешняя · 648 внутренняя · 648 гибкая · 647 жѐсткая · 646 замкнутый контур · 646 отрицательная · 648, 649, 703 по напряжению · 647 по току · 647 положительная · 648, 649, 703 сильная · 214, 216, 218 слабая · 214, 216 Сдвиг: фаз · 106 фазовый · 666, 749 Селективность · 195 792 Сечение графа · 28 Cигналы электрические · 16 Симметрия: арифметическая · 193 геометрическая · 191 Синтез оптимальный · 446 Система: линейная неоднородная · 72 параметров · 311 КЗ · 314 ХХ · 314 состояние · 231 уравнений · 82 узловых · 72 Скачок единичный · 223 Скин-эффект · 47, 361 Скорость: распространения · 5, 372 фазовая · 5, 372 Смеситель · 741 Соединение: параллельное: ѐмкостей · 51 индуктивностей · 51 источников тока · 52 однотипных элементов · 49 резистивных элементов · 50 последовательное: ѐмкостей · 53 индуктивностей · 54 источников напряжения · 54 однотипных элементов · 52 резистивных элементов · 52 Сопротивление: взаимное · 78 вносимое · 209, 340 волновое · 175, 204, 212, 365, 391 длинной линии · 365, 376 резонатора · 753 связки · 753 волновое (характеристическое) · 185 входное · 209, 338 линии · 385, 401 двухполюсника комплексное · 116 ѐмкостное · 128 Предметный указатель индуктивное · 127 комплексное · 125, 129 погонное · 359 полное · 129 постоянное характеристическое · 611 потерь · 591 реактивное · 127, 128 резистивного элемента · 126 собственное · 211 собственное контура · 78 согласованное · 153, 378 усилителя: входное · 707 выходное · 707 характеристическое · 175, 502, 505 постоянное · 611 Среднеквадратичная ошибка (СКО) · 475 Стабильность: коэффициента усиления · 705 цепи · 663 Строка характеристическая · 490, 592 Сумматор напряжения инвертирующий · 720 Схема: замещения: катушки индуктивности · 48 конденсатора · 47 одноконтурная · 209 T-образная · 142 цепи · 23 интегральная · 22 каноническая · 501 реактивного двухполюсника · 501 неуравновешенная · 510 уравновешенная · 510 цепи · 14 Т Тангенс угла потерь · 361 Теорема: взаимности (обратимости) · 88, 318 запаздывания (задерживания) · 238 Предметный указатель Нортона · 94 подобия · 240 разложения · 249 свѐртки · 239 смещения · 240 об эквивалентных генераторах · 91 основные · 88 Тевенина · 92 Чебышѐва · 463 Ток: контурный · 75 переходной · 234 среднеквадратическое значение · 111 узла задающий · 72 Точка альтернанса · 464 Трансформатор без потерь: воздушный · 139 У Удлинитель · 73 Узел · 24 базисный · 30, 69 внешняя степень · 24 внутренняя степень · 24 изолированный · 24 интерполяции · 449 одноимѐнный · 140 простой (устранимый) · 24 сложный · 24 степень · 24 стоячей волны · 396 Уравнения: баланса: напряжений · 32 токов · 31 контурные · 76 передачи · 307 длинной линии · 365 линии без потерь · 392 свѐртки · 233, 258 состояния · 13 телеграфные · 364 узловые · 71 характеристические · 290 793 Усиление: логарифмическое · 167 петлевое · 695 сквозное · 688 Усилитель · 679 буферный · 717 динамический диапазон · 684 инвертирующий · 718, 720 коэффициент гармоник · 687 масштабный · 716 неинвертирующий · 713 однонаправленный · 689 идеальный · 691 операционный · 48, 711 с обратной связью · 692 с погашенным источником · 696 узкополосный · 682 широкополосный · 682 Условия: баланса мощностей · 149 безыскажѐнной передачи · 530 начальные · 231 нулевые · 231 схемной реализации · 443 устойчивости · 265 Фиалкова-Герста · 443 физической реализуемости (УФР) (возможности) · 442, 507 Устойчивость · 264, 417, 427 по Ляпунову · 669 усилителя с ОС · 708 Ф Фаза: волновая · 381 мгновенная · 104 начальная · 104 рабочая · 612, 620 собственная · 381 характеристическая · 381 Фазовращатель · 640 на π/2 · 642 Фазовыравниватели · 617 Фактор связи · 213 794 Фидер · 383 Фильтр · 533 антиметричный · 778 верхних частот (ФВЧ) · 537 волновой: цепочечный · 758 шлейфный · 758 избирательный · 534 нижних частот (ФНЧ) · 535 полосно-заграждающий (ПЗФ) · 539 полосовой (ФП) · 538 режекторный (РФ) · 539 селективный · 534 симметричный · 778 электрический · 533, 534 Фильтры: Баттерворта · 556 волновые · 746 Золотарѐва—Кауэра (эллиптические) · 568 кварцевые · 586 дискретные · 595 монолитные · 598 на фазовых контурах · 750 прототипы · 541 Чебышѐва: I рода · 562 II рода · 565 дробные · 566 Форма: каноническая · 72, 79 Кауэра: вторая · 498 первая · 494 Фостера: вторая · 491 первая · 487 Формула Крамера · 84 Функции: электрических цепей · 415 Якоби · 570 Функция: δ-функция · 226 аппроксимируемая · 442 аппроксимирующая · 442 Предметный указатель весовая · 456 входного сопротивления · 162 входной проводимости · 5, 162 Дирака · 6, 226 дробно-рациональная · 481 затухания · 761 минимально фазовая · 555 минимальной фазы · 421 нормированная · 346 передаточная · 338 полиномиальная · 513 устойчивая · 670 цепи ОС · 696 положительная вещественная · 481 правильная · 481 причинная (каузальная) · 443 реактансная · 483, 517 решѐтчатая · 17 сигнум · 419 строго устойчивая · 418 устойчивая · 417 Хэвисайда · 223, 228 целевая · 446 чувствительности · 661 Якоби эллиптическая · 570 Х Характеристика: амплитудная · 683 амплитудно-фазовая · 166 амплитудно-частотная · 161 логарифмическая · 166 нормированная · 167 группового времени · 619 затухания · 537 импульсная · 231 комплексная частотная · 160 максимально плоская · 216 ослабления · 537 переходная · 3, 233, 276 резонансная · 187 фазочастотная · 159, 161, 343 Хорда · 26 Предметный указатель Ц Цепь: аналоговая · 17 всепропускающая · 619 гибридная · 22 дискретная · 17 избирательная · 195 линейная · 21 параллельная · 59 параллельно-последовательная · 60 полиномиальная · 513 последовательная · 58 с распределѐнными параметрами · 20, 352 с сосредоточенными параметрами · 20 селективная · 195 состояние · 231 стационарная · 22 цифровая · 19 Ч Частота · 290 колебаний контура · 289 круговая · 105 нормированная · 542 нормирующая · 542 промежуточная · 742 резонанса (резонансная) · 173, 184, 191, 204, 296 собственных затухающих колебаний · 292 собственных колебаний контура · 290 средняя ФК1 · 756 среза · 196 циклическая · 105 Четырѐхполюсники · 303 автономные · 304 активные · 304 взаимные · 307 внешние характеристики · 346 795 всепропускающие · 619 Г-образные · 307 классификация · 304 комплексное входное сопротивление · 346 лестничные · 307 линейные · 304 мостовые · 307, 505 нагруженные согласованно · 504 неавтономные · 304 нелинейные · 304 несимметричные · 306 неуравновешенные · 306 обратной связи · 646 параметры · 310 проводимости · 309 пассивные · 304 П-образные · 307 постоянного характеристического сопротивления · 505 простейшие · 321 проходные · 304 прямой цепи · 646 "разорванные" · 337 симметричные · 306 симметричные мостовые · 327 Т-образные · 307 перекрытые · 307 уравнения передачи · 307 уравновешенные · 306 эквивалентные · 311 элементарные · 321 Числа: комплексносопряжѐнные · 120 комплексные · 120 Чувствительность · 660, 661 абсолютная · 661 относительная · 661 параметрическая · 661 структурная · 661 фазовая · 666 796 Ш Ширина: полосы пропускания · 195 рабочей полосы · 682 относительная · 407 Э Электрическая длина · 353 Электрическая цепь · 13 элемент · 36 пассивный · 36, 38, 40, 42 элементы цепи · 14 активные · 14 пассивные · 14 Предметный указатель Электродвижущая сила (ЭДС) · 43 контурная · 79 Элемент: активный · 42 ѐмкости · 40 индуктивности · 38 резистивного сопротивления · 36 резистивный · 125 схема замещения · 46 резистора · 46 электрической цепи · 36 Элементная база · 441 Элементный базис · 441

Основы теории линейных электрических цепей Учебное пособие (Улахович Д.А.)

Related documents

Products

Support

Основы теории линейных электрических цепей Учебное пособие (Улахович Д.А.)

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib