Elektromechanische Systeme der
Mikrotechnik und Mechatronik
2. Auflage
Rüdiger G. Ballas • Günther Pfeifer • Roland
Werthschützky
Elektromechanische Systeme der
Mikrotechnik und Mechatronik
Dynamischer Entwurf −
Grundlagen und Anwendungen
2. Auflage
13
Dr. Rüdiger G. Ballas
KARL MAYER Textilmaschinenfabrik GmbH
Kompetenzbereich Piezoaktorik &
Antriebstechnik
Entwicklungszentrum
Bruehlstraße 25
63179 Obertshausen
rballas@karlmayer.de
Prof. Dr.-Ing. habil. Roland Werthschützky
Technische Universität Darmstadt
FB 18 ET/IT
Institut für Elektromechanische
Konstruktionen
Merckstr. 25
64283 Darmstadt
werthschuetzky@emk.tu-darmstadt.de
Prof. Dr.-Ing. habil. Günther Pfeifer
Technische Universität Dresden
Fakulät Elektrotechnik und
Informationstechnik
Institut für Halbleiter- und
Mikrosystemtechnik
Nöthnitzer Str. 64
01187 Dresden
guenther.pfeifer@tu-dresden.de
ISBN 978-3-540-89317-2
e-ISBN 978-3-540-89320-2
DOI 10.1007/978-3-540-89320-2
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detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000, 2009
Die 1. Auflage ist erschienen unter: Lenk/Pfeifer/Werthschützky: Elektromechanische Systeme
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung,
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berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der
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benutzt werden dürften.
Einbandgestaltung: eStudio Calamar S.L.
Gedruckt auf säurefreiem Papier
987654321
springer.de
Dieses Buch ist unserem Lehrer Prof. Dr.-Ing. habil. Arno Lenk
gewidmet
Vorwort
Im Prozess der technischen Informationsverarbeitung nehmen elektromechanische Systeme, bestehend aus miteinander verkoppelten elektrischen und mechanischen Funktionselementen, eine Vorrangstellung ein. Durch sie erfolgt
sowohl die Gestaltung der Schnittstelle zwischen dem Menschen und der Informationsverarbeitungseinrichtung als auch die Gestaltung der Schnittstellen
mit dem materiellen Prozess bei der messtechnischen Erfassung und aktorischen Beein ussung der Prozessgrößen. Zu den Realisierungen elektromechanischer Systeme in Form von Geräten, Baugruppen oder Bauelementen zählen:
• periphere Geräte von Informationsverarbeitungssystemen, wie Drucker,
Scanner, Laufwerke und Datenspeicher,
• elektroakustische Geräte, wie Lautsprecher, Mikrofone und Ultraschallwandler,
• Sensoren für die Medizin-, Fahrzeug- und Prozessmesstechnik,
• Aktoren in Form von Kleinantrieben und Präzisionspositioniersystemen.
Diese Aufzählung wird zunehmend durch direktgekoppelte Sensor-AktorSysteme mit integrierter Informationsverarbeitung erweitert. Damit erfolgt
ein ießender Übergang zu den noch komplexeren elektromechanischen Systemen der Mechatronik.
Die Herstellung von elektromechanischen Systemen erfolgt durch weiterentwickelte feinwerktechnische Verfahren als auch durch moderne Technologien
der Mikrotechnik und Mikrosystemtechnik. Aber auch die verwendeten Werkstoe, wie Edelstähle, Keramik, Gläser, Silizium und Quarz, unterliegen einer
stetigen Weiterentwicklung.
In der Phase der industriellen Entwicklung von elektromechanischen Systemen bildet der auf einer Lösungskonzeption beruhende Entwurfsprozess einen
VIII
Vorwort
entscheidenden Abschnitt. Hier erfolgt die Festlegung der geometrischen, elektrischen und technologischen Parameter des Systems auf der Basis eines physikalischen Modells sowie unter Berücksichtigung spezieller Entwurfskriterien
und technologischer Randbedingungen. Der geschlossene dynamische Entwurf
des Gesamtsystems wird durch die unterschiedlichen Teilsysteme mit elektronischen, mechanischen, akustischen und uidischen Elementen erschwert.
Das Hauptanliegen dieses Buches besteht daher in der Vermittlung einer
physikalisch anschaulichen Entwurfsmethode für komplexe elektromechanische Systeme. Diese Entwurfsmethode beruht auf der für Ingenieure der
Elektro- und Informationstechnik bekannten Netzwerktheorie. Mit Hilfe der
Netzwerktheorie wird das elektromechanische Gesamtsystem in Form einer gemeinsamen schaltungstechnischen Darstellung der unterschiedlichen Teilsysteme einschließlich deren Wechselwirkungen beschrieben. Den konzentrierten
bzw. verteilten Bauelementen des Netzwerks werden anschaulich physikalische
Funktionen zugeordnet.
Die Vorteile dieser Entwurfsmethode liegen in der Anwendung der übersichtlichen und anschaulichen Analyseverfahren elektrischer Netzwerke, der Möglichkeit des geschlossenen Entwurfs physikalisch unterschiedlicher Teilsysteme
und der Anwendung von vorhandener Schaltungssimulationssoftware.
Voraussetzung für die Anwendung der Netzwerktheorie ist die Strukturierung
elektromechanischer Systeme in elektrische, mechanische und akustische Elementarnetzwerke und die Einführung passiver Wandler als Vierpole, die die
verlustfreien linearen Wechselwirkungen zwischen den Teilsystemen beschreiben.
Das Buch ist für Studenten der Informationstechnik, der Mess- und Automatisierungstechnik, der Mechatronik, der Akustik sowie der Mikrosystemund Feinwerktechnik geeignet. Es ermöglicht dem mit der Netzwerktheorie
vertrauten Ingenieur der Elektrotechnik einen raschen Einstieg in die Lösung
vieler dynamischer Probleme beim Entwurf gekoppelter elektrischer, mechanischer, akustischer und uidischer Systeme. Aber auch für Ingenieure des
Maschinenbaus ist dieses Buch zur Einarbeitung in eine leistungsfähige, praxisorientierte Entwurfsmethodik für mechatronische Systeme geeignet. Die erforderlichen Grundkenntnisse zur Netzwerktheorie werden daher einführend in
einem Extrakapitel zusammenfassend dargestellt.
Das vorliegende Buch stellt in wesentlichen Teilen eine Überarbeitung und
Erweiterung unseres 2001 im Springer-Verlag erschienenen gleichnamigen Buches dar. Die Grundzüge des Buches beruhen auf der von Arno Lenk in den
60er bis 90er Jahren erarbeiteten strukturorientierten Theorie elektromechanischer Systeme. In seinen Büchern „Elektromechanische Systeme — Systeme
mit konzentrierten Parametern” [1], „Elektromechanische Systeme — Systeme
mit verteilten Parametern” [2] und „Elektromechanische Systeme — Systeme
mit Hilfsenergie” [3], die in den 70er Jahren im Verlag Technik erschienen, fasste er die Ergebnisse zusammen. Auch an der ersten Au age unseres Buches
Vorwort
IX
war er durch eigene Beiträge und kritische Begleitung maßgeblich beteiligt.
Hervorzuheben ist hier Kapitel 2, in dem er die wesentlichen Grundlagen zur
Beschreibung elektromechanischer Systeme zusammenfasst. Unserem Lehrer,
Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Arno Lenk, sind wir hierfür als auch für seine stete
Unterstützung zu großem Dank verp ichtet.
Unser Dank geht auch an die Herrn Stephan Sindlinger, Stephan Leschka und
Eric Starke, deren aktuelle Forschungsergebnisse in die Abschnitte zu den
niten Netzwerkelementen (Leschka, Abschn. 6.3.1 und Sindlinger, Abschn.
6.3.2) und der Kombination von FEM und Netzwerktheorie (Starke, Abschn.
6.4) ein ossen. Schließlich möchten wir dem Springer-Verlag für die Möglichkeit der Veröentlichung und hier besonders Frau Hestermann-Beyerle für die
sehr angenehme Zusammenarbeit und die Geduld bei der Manuskriptfertigstellung danken.
Darmstadt und Dresden, November 2008
Rüdiger G. Ballas, Günther Pfeifer, Roland Werthschützky
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =XVII
=
Teil I Gegenstand des Buchs
1
Einführung = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 3
1.1 Gegenstand des Buchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Anwendungsfelder und Beispiele elektromechanischer Systeme
6
1.3 Entwurf elektromechanischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische Systeme . . . . . . . . 11
1.4.1 Historischer Abriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Entwurfsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2
Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen = = = =
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen
Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Die Kreisfunktion als Grundbaustein für
Zeitfunktionen linearer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Mechanische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Mechanische Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Elektromechanische Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Strukturierte Netzwerkdarstellung linearer dynamischer
Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Grundgleichungen linearer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
18
18
22
27
36
39
42
47
47
49
59
61
XII
Inhaltsverzeichnis
Teil II Netzwerkdarstellung konzentrierter und verteilter Systeme
3
Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten
Parametern = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 65
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen . . . . . . 66
3.1.1 Vereinbarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.2 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.3 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.4 Zusammenschaltungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.5 Isomorphie zwischen mechanischer und elektrischer
Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.6 Darstellung des Übertragungsverhaltens von
Punktmassensystemen im Frequenzbereich
(BODE-Diagramm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.7 Netzwerkdarstellung von Punktmassensystemen . . . . . . 90
3.1.8 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen . . . . . . . . 104
3.2.1 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2.2 Bauelemente und Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.3 Isomorphie zwischen mechanischen und elektrischen
Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.4 Beispiel für ein rotatorisches Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3 Akustische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.1 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.2 Akustische Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.3 Netzwerkdarstellung akustischer Systeme . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.4 Reale akustische Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.5 Isomorphie zwischen akustischer und elektrischer
Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4
Abstraktes lineares Netzwerk = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 135
4.1 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3 Knoten- und Maschensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4 Eigenschaften des abstrakten linearen Netzwerks . . . . . . . . . . . . 138
5
Mechanische Wandler = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 143
5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.1.1 Starrer Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.1.2 Biegestab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Mechanisch-akustischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2.1 Ideale und reale mechanisch-akustische Kolbenwandler . 152
Inhaltsverzeichnis
XIII
5.2.2 Allgemeiner elastomechanisch-akustischer
Plattenwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler . . 161
6
Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten
Parametern = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 171
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale
Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1.1 Dehnwellen in einem Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.1.2 Näherungsweise Berechnung der Eingangsimpedanz . . . 178
6.1.3 Näherungsweise Abbildung einer Impedanz bei Resonanz183
6.1.4 Genäherte Vierpoldarstellung bei Resonanz . . . . . . . . . . 184
6.1.5 Biegewellen in einem Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.2 Darstellung akustischer Systeme als eindimensionale
Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei
Wandlerstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.3.1 Ultraschall-Mikroaktor mit kapazitivem
Membranwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.3.2 Flüssigkeitsgefülltes Druckübertragungssystem eines
Dierenzdrucksensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-ElementeMethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.4.1 Verbindung von Netzwerkmethoden und FiniteElemente-Methoden auf Anwenderebene . . . . . . . . . . . . . . 210
6.4.2 Kombinierte Simulation am Beispiel eines
Dipol-Bass-Lautsprechers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.4.3 Kombinierte Simulation am Beispiel eines Mikrofons
mit dünnem akustischen Dämpfungsgewebe . . . . . . . . . 222
Teil III Elektromechanische Wandler
7
Elektromechanische Wechselwirkungen = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 235
7.1 Klassikation der elektromechanischen Wechselwirkungen . . . . . 235
7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer
Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8
Magnetische Wandler = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 253
8.1 Elektrodynamischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.1.1 Ableitung Wandlervierpolschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.1.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.2 Elektromagnetischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.2.1 Ableitung des Wandlervierpolschaltbildes . . . . . . . . . . . . . 271
8.2.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
XIV
Inhaltsverzeichnis
8.3 Piezomagnetischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
8.3.1 Ableitung des Wandlervierpolschaltbildes . . . . . . . . . . . . . 289
8.3.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
9
Elektrische Wandler = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 307
9.1 Elektrostatischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
9.1.1 Elektrostatischer Plattenwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
9.1.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.1.3 Elektrostatischer Membranwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
9.1.4 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.1.5 Elektrostatische Festkörperwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.1.6 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen . . . 339
9.2.1 Modellvorstellungen zum piezoelektrischen Eekt . . . . . . 339
9.2.2 Piezoelektrische Zustandsgleichungen und Schaltbild
für die eindimensionale Längskopplung . . . . . . . . . . . . . . 343
9.2.3 Allgemeine piezoelektrische Zustandsgleichungen . . . . . . 345
9.2.4 Technisch übliche Kongurationen piezoelektrischer
Wandler und zugehörige Ersatzparameter . . . . . . . . . . . . . 348
9.2.5 Piezoelektrische Bimorph-Biegeelemente . . . . . . . . . . . . . 353
9.2.6 Piezoelektrische Werkstoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.2.7 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter . . . 365
9.3.1 Übergang von konzentrierten Bauelementen zum
Wellenleiter am Beispiel eines Beschleunigungssensors . . 366
9.3.2 Piezoelektrischer Längsschwinger als Wellenleiter . . . . . . 370
9.3.3 Piezoelektrischer Dickenschwinger als Wellenleiter . . . . . 371
9.3.4 Anwenungsbeispiele von piezoelektrischen Längs- und
Dickenschwingern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
9.3.5 Piezoelektrisches Biegeelement als Wellenleiter . . . . . . . 382
9.3.6 Anwendungsbeispiele von piezoelektrischen
Biegeelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10 Reziprozität in linearen Netzwerken = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 403
10.1 Reziprozitätsbeziehungen in Netzwerken mit nur einer
physikalischen Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
10.2 Reziprozitätsbeziehungen in allgemeinen linearen Vierpolen . . . 405
10.3 Elektromechanische Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
10.4 Mechanisch-akustische Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Teil IV Anhang
Inhaltsverzeichnis
XV
A
Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe = = = = = = = = = = = = = = = 415
A.1 Materialkennwerte von kristallinem Quarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
A.2 Piezoelektrische Konstanten von Sensor-Werkstoen . . . . . . . . . 416
A.3 Materialkennwerte metallischer Konstruktionswerkstoe . . . . . . 417
A.4 Materialkennwerte von Silizium und Passivierungsschichten . . . 418
A.5 Materialkennwerte keramischer Konstruktionswerkstoe . . . . . . 419
A.6 Materialkennwerte ausgewählter Polymere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
A.7 Materialkennwerte von Kunststoen als
Konstruktionswerkstoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
A.8 Zusammensetzung und Materialkennwerte ausgewählter Gläser 422
A.9 Materialkennwerte metallischer Lote und Glaslote . . . . . . . . . . . 423
A.10 Schallgeschwindigkeit und Wellenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . 424
B
Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen
Netzwerken = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 425
B.1 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
B.1.1 Abschätzung des Approximationsfehlers bei
numerischen Analysen von Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . 425
B.1.2 Anwendungsbeispiel zur periodischen Wiederholung
einmaliger Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
B.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
B.2.2 Ideale Stöße und ihre Systemantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
B.2.3 Die ideale Sprungfunktion und ihre Systemantwort . . . . 436
B.3 Das Faltungs-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Literatur = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 441
Index = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 445
Symbolverzeichnis
Symbol
Bedeutung
Einheit
D
A
Del
Dl
Dlm
DK
Dmech
d (w)
d
d ($) > e ($)
dl > el > fl
B
E (s)
Querschnitts äche, Pol äche
Vierpolmatrix
elektrisch wirksame Fläche
Fläche, Stabsegment äche
Vierpolmatrixelemente
Kolben äche
mechanisch wirksame Fläche
Beschleunigung
komplexe Beschleunigung (Anregung)
Koe!zienten (Fourier-Integraltransformation)
Fourierkoe!zienten
Vektor der magnetischen Induktion
komplexe Übertragungsfunktion
(Laplace-Transformation)
komplexe Übertragungsfunktion
(Fourier-Transformation)
komplexe Amplitude der Übertragungsfunktion
magnetische Induktion
Komponente der magnetischen Induktion
maximale magnetische Induktion
Sättigungsinduktion
Breite
Kapazität
Referenzkapazität
Kapazität (mechanisch festgebremst)
Kabelkapazität
Kapazitätsmatrixelemente
Spektraldichten
Koe!zient (Fourier-Integraltransformation)
m2
E ($)
E
E0
En
Emax
EV
e
F
F0
Fb
FK
Fqp
f ($)
f ($)
m2
m2
m2
m2
m s32
m s32
s
s
T
T
T
T
T
m
F
F
F
F
F
s
s
XVIII Symbolverzeichnis
Symbol
Bedeutung
Einheit
f
fl
fWl
(T)
flm
fH
lm
fK
lm
fo
fL
fs
fY
fW
G
D
G0
Gel
Gmech
Gq
glm
gml
geg
H
Wellengeschwindigkeit
komplexer Fourierkoe!zient
konjugiert komplexer Fourierkoe!zient
elastischer Koe. für T = const=
elastischer Koe. für H = 0
elastischer Koe!zient für K = 0
Dehnwellengeschwindigkeit
Schallgeschwindigkeit (Luft)
spez. Wärmekapazität für s = const=
spez. Wärmekapazität für Y = const=
Schallgeschwindigkeit (Wasser)
elektrische Verschiebungsdichte
Vektor der elektrischen Verschiebungsdichte
elektrische Referenzverschiebungsdichte
elektrisch erzeugte Verschiebungsdichte
mechanisch erzeugte Verschiebungsdichte
Komponente el. Verschiebungsdichte
piezolektrische Ladungskonstanten
piezomagnetische Flusskonstante
eektiver Abstand
E-Modul
elektrische Feldstärke
komplexer E-Modul
Vektor der elektrischen Feldstärke
elektrische Referenzfeldstärke
Koerzitivfeldstärke
Komponente elektrische Feldstärke
maximale elektrische Feldstärke
piezoelektrische Kraftkonstanten
piezomagnetische Kraftkonstanten
Einheitsvektoren
Kraft
Laplace-Transformierte
Fourier-Transformierte
komplexe Kraft
Kraftamplitude
Erregerkraft, Quellkraft
Bodenkraft
Coulomb-Kraft
Vektor der elektrischen Feldkraft
Vektor el. Feldkraft am Systempunkt q
Vektor der eingeprägten Kraft
Kurzschlusskraft
Trägheitskraft
m s31
s
s
N m31
N m32
N m32
m s31
m s31
J kg31 K31
J kg31 K31
m s31
C m32
C m32
C m32
C m32
C m32
C m32
m V31
m A31
m
N m32
V m31
N m32
V m31
V m31
V m31
V m31
V m31
N V31
N A31 m31
H
E
H0
Hc
Hp
Hmax
hqm
hmq
e{ > e| > e}
I (w)
I (s)
I ($)
I>Il
Î
I0
IB
Iel
Fel
Fel>q
Fl
IK
Ip
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
Symbolverzeichnis
Symbol
Bedeutung
Einheit
Imag
Fmag
Fmag>q
Imax
Imech
Fmech>q
Iq
Iq
Fq
Îq
Iu
Iu
Îu
IW
I{ > I| > I}
i
i ({)
i0
ig
iP
iS
J
magnetische Feldkraft
Vektor der magnetischen Feldkraft
Vektor mag. Feldkraft am Systempunkt q
maximale Kraft
mechanische Systemkraft
Vektor mech. Kraft am Systempunkt q
Federkraft
komplexe Federkraft
Kraftvektor am Systempunkt q
Amplitude der Federkraft
Reibungskraft
komplexe Reibungskraft
Amplitude der Reibungskraft
Wandlerkraft
Komponenten Kraftvektor
Frequenz
komplexe Linienlast
Resonanzfrequenz, Kennfrequenz
Grenzfrequenz
Parallelresonanzfrequenz
Serienresonanzfrequenz
Leitwert
Schubmodul
Proportionalitätsfaktor
Zweigleitwert
normierte Stoßantwort
(Gewichtsfunktion)
Enthalpie
magnetische Feldstärke
Mitgangsmatrix
Komponente der mag. Feldstärke
maximale magnetische Feldstärke
Höhe
translatorische Admittanz
komplexe Admittanz
Wellenadmittanz
Schichtdicke (Schicht l)
Mitgangsmatrixelemente
rotatorische Admittanz
axiales Flächenträgheitsmoment
Integral des Dirac-Stoßes
Gleichstrom
Speisestrom
Strom
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
Hz
N m31
Hz
Hz
Hz
Hz
S
N m32
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K
H
Kp
Kmax
k
k ($)
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kl
klm
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L
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XIX
S
1
J
A m31
A m31
A m31
m
m s31 N31
s kg31
m
J31 s31
m4
s
A
A
A
XX
Symbolverzeichnis
Symbol
Bedeutung
Einheit
ˆ~
l
l
lK
lW
M
j
K> M> N
0
Nel > Nel
0
Nmag > Nmag
Nl
()
Nnp
n
nel
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O
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P
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Ml
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PW
Pa > Pa>Sl > Pal
Pa>L
Pa>M
Pa0
pW
p
p> q
p0 > pers
Qa > Qal
Qa>iso
Qa>K
Qa>L
Qa>M
Qa>P
Stromamplitude
komplexer Strom
Summationsindex
Kurzschlussstrom
Wandlerstrom
magnetische Polarisation
imaginäre Einheit
Summationsgrenzen
Koe!zienten
Koe!zienten
Konstante
rezipr. Induktivitätskoe!zient bei = const=
Kopplungsfaktor
elektrischer Kopplungsfaktor
mechanischer Kopplungsfaktor
Kopplungsfaktor (Schicht l)
Induktivität
Referenzinduktivität
Induktivität (mechanisch festgebremst)
Länge, Hebellänge, Biegerlänge
Referenzlänge, Ruhelage
elektrisch wirksame Länge
Stabsegmentlänge
mechanisch wirksame Länge
Drehmoment
Erregermoment
Drehmomentvektor
komplexes Drehmoment
Wandlermoment
akustische Massen
akustische Masse bewegter Luft
akustische Masse einer Streifenmembran
akustische Referenzmasse
eektive Masse
Masse
Systempunkte
längenbezogene Masse
Ersatzmasse
akust. Nachgiebigkeit (adiab. Zustandsänd.)
akust. Nachgiebigkeit (isoth. Zustandsänd.)
akustische Kurzschlussnachgiebigkeit
akustische Leerlaufnachgiebigkeit
akustische Nachgiebigkeit (Membran)
akustische Nachgiebigkeit (Platte)
A
A
A
T
1
H31
1
1
1
1
H
H
H
m
m
m
m
m
Nm
Nm
Nm
Nm
Nm
kg m34
kg m34
kg m34
kg m34
kg
kg
kg m31
kg
m5 N31
m5 N31
m5 N31
m5 N31
m5 N31
m5 N31
Symbolverzeichnis
XXI
Symbol
Bedeutung
Einheit
Qa0
q
q0
q0
qC
qers
qK
akustische Referenznachgiebigkeit
mechanische Nachgiebigkeit
längenbezogene Nachgiebigkeit
translatorische Nachgiebigkeit
Feldnachgiebigkeit
Ersatznachgiebigkeit
Kurzschlussnachgiebigkeit,
Nachgiebigkeit Piezokeramik
Nachgiebigkeit (elektrischer Leerlauf)
mechanische Nachgiebigkeit
längenbezogene rotatorische Nachgiebigkeit
rotatorische Nachgiebigkeit
rotatorische Kurzschlussnachgiebigkeit
statische Nachgiebigkeit
Leistung
abgestrahlte akustische Leistung
elektrische Leistung
mechanische Leistung
Vektor der Polarisation
innere Polarisation
remanente Polarisation
komplexe Frequenz
Druck
Druckamplitude
Referenzdruck
komplexer Druck
Wandlerdruck
Ladung
Referenzladung
Resonanzgüte (Güte)
elektrisch erzeugte Ladung
Referenzpunktladung
mechanisch erzeugte Ladung
Ladung am Systempunkt q
Volumen uss
Erregervolumen uss
Wandlervolumen uss
allgemeine Gaskonstante
Radius
Widerstand
Innenwiderstand
magnetischer Widerstand
Zweigwiderstand
Reibungsimpedanz
m5 N31
m N31
N31
m N31
m N31
m N31
m N31
m N31
m N31
m N31
N31 m32
N31 m31
N31 m31
m N31
W
W
W
W
C m32
C m32
C m32
s31
Pa
Pa
Pa
Pa
Pa
C
C
1
C
C
C
C
m3 s31
m3 s31
m3 s31
J mol31 K31
m
l
l
H31
l
N s m31
qL
qmech
q0R
qR
qRK
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S
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P
Si
Su
s
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s0
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T
Tel
Tp0
Tmech
Tq
t (w)
t0
tW
U
U> u
U
Ui
Umag
Upq
u
XXII
Symbolverzeichnis
Symbol
Bedeutung
Einheit
ua
rl
uR
V
VD
Vl
Vl
Vmax
Vu
VS
v (w)
v
vH
lm
vK
lm
W
längenbezogener Reibungsbeiwert
Ortsvektor (Systempunkt l)
Drehreibungsimpedanz
mechanische Dehnung
Flächendehnung
kompl. mechanische Dehnung (Schicht l)
Komponente der mechanischen Dehnung
maximale mechanische Dehnung
remanente mechanische Dehnung
Sättigungsmagnetostriktion
normierte Sprungfunktion
elastische Konstante
elastische Materialkonstante für H = 0
elastische Materialkonstante für K = 0
mechanische Spannung
Periodendauer
Grundperiodendauer
mechanische Vorspannung
Referenztemperatur
Komponente der mechanischen Spannung
komplexe mechanische Spannung
Maxwell’sche Spannung
maximale mechanische Spannung
Zeit
Gleichspannung
Speisespannung
elektrische Spannung
Übersetzungsverhältnis
Quellspannung
komplexe Leerlaufspannung
Wandlerspannung
Volumen
Referenzvolumen
Ankervolumen
Geschwindigkeit
komplexe Geschwindigkeit
Leerlaufgeschwindigkeit
Geschwindigkeit (Sender)
Wandlergeschwindigkeit
innere Energie
elektrische Feldenergie
kinetische Energie
magnetische Feldenergie
mechanische Energie
N s m32
m
Nms
1
1
1
1
1
1
1
1
m2 N31
m2 N31
m2 N31
N m32
s
s
N m32
K
N m32
N m32
N m32
N m32
s
V
V
V
1
V
V
V
m3
m3
m3
m s31
m s31
m s31
m s31
m s31
J
J
J
J
J
W0
Wm
W
WM
Wmax
w
X
X0
x (w)
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x0
xL
xW
Y
Y0
YA
y (w)
y
yL
yS
yW
Z
Zel
Zkin
Zmag
Zmech
Symbolverzeichnis XXIII
Symbol
Bedeutung
Einheit
z
Windungszahl
Energiedichte
elektrische Feldenergiedichte
magnetische Feldenergiedichte
transformatorische Wandlerkonstante
ausbreitungsfähige Mode
komplexe Eingangsgröße
komplexe Zeitfunktionen
periodische Näherungsfunktion
konjugiert komplexe Zeitfunktion
Koordinatenachsen
Amplitude der Eingangsgröße
arithmetischer Mittelwert
Bezugslage
Koordinatenachsen
gyratorische Wandlerkonstante
imaginäre Wandlerkonstante
komplexe Ausgangsgröße
Amplitude der Ausgangsgröße
elektrische Impedanz
akustische Impedanz
akustische Reibung bewegter Luft
akustische Reibung
akustische Referenzreibung
mechanische Impedanz
Bezugswellenimpedanz
Wellenimpedanz
linearer Temperatur-Ausdehnungskoe!zient
Koe!zienten (Fourier-Integraltransformation)
abstrakte Bauelemente
Temperaturkoe!zient der Resonanzfrequenz
Fourierkoe!zienten
Wellenzahl
Ausbreitungskonstante
abstrakte Admittanz
Matrixelemente
Flächensegment
Kapazitätsänderung
Änderung d. translatorisch
festgebremsten Kapazität
Kraftänderung
magnetische Feldkraftänderung
Stromänderung
Längenänderung
1
J m33
J m33
J m33
zel
zmag
[
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˜ (w)
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pq > pq
D
F
Fb
I> Il
Imag
l
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1
1
1
1
1
1
1
m
1
1
l
N s m35
N s m35
N s m35
N s m35
kg s31
kg s31
kg s31
K31
s
K31
1
m31
m31
m2
F
F
N
N
A
m
XXIV Symbolverzeichnis
Symbol
Bedeutung
Einheit
p
q
qR
qRK
Massenelement
Federelement
rotatorische Nachgiebigkeit (Balkensegment)
rotatorische Kurzschlussnachgiebigkeit
(Balkensegment)
Druckänderung
Leistungsänderung
Ladungsänderung
äquivalent viskose Dämpfung
(dierentielles Balkenelement)
Widerstandsänderung
Zeitdierenz
Temperaturänderung
Spannungsänderung
Volumenänderung
Energieänderung
elektrische Feldenergieänderung
Stabsegmentlänge, Wegänderung
Winkeländerung
magnetische Flussänderung
Kreisfrequenzänderung
Fehler der Fourierspektraldichte
Dirac-Stoß
Permittivität
elektrische Feldkonstante
Permittivität für V = 0
Permittivität für W = 0
Dielektrizitätszahl
Verlustfaktor, Wirkungsgrad
Massenträgheitsmoment
Temperatur
Curie-Temperatur
Adiabatenexponent
Wärmeleitfähigkeit
Wellenlänge
abstrakte Flusskoordinate
Amplitude der abstrakten Flusskoordinate
Dierenzkoordinate
Permeabilität
Spannungsintegral
Zähigkeit
Amplitude der abstrakten Dierenzkoordinate
magnetische Feldkonstante
Permeabilität für K = 0
kg
N31 m31
N31 m31
N31 m31
s
S
T
u
U
w
W
x
Y
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ˆ
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lm
Pa
W
C
N s m31
l
s
K
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J
m
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s31
1
s31
F m31
F m31
F m31
1
1
kg m2
C
C
1
W m31 K31
m
1
1
1
H m31
Vs
Pa s
1
H m31
H m31
Symbolverzeichnis
XXV
Symbol
Bedeutung
Einheit
Luft
q
Wqp
r
(w)
g
max
({)
(
0
L
W
dynamische Viskosität von Luft
Dierenzkoordinate
magnetische Permeabilität bei W = 0
Permeabilitätszahl
Querdehnungszahl
Auslenkung, Verrückung
komplexe Verrückung
Grenzausschlag
maximale Auslenkung
Dichte
abstrakte Impedanz
Ladungsdichteverlauf
Unwuchtamplitude
Referenzdichte
Dichte (Luft)
Dichte (Wasser)
Leitwert
Stoßzeit
magnetischer Fluss
magnetischer Fluss im Eisenkreis
Gleich ussanteil
Phasenwinkel
Bezugswinkel
Phasenwinkel der Übertragungsfunktion
Phasenwinkel einer harmonischen
Schwingungskomponente
Phasenwinkel Federkraft
Phasenwinkel Reibungskraft
Phasenwinkel Geschwindigkeit
Phasenwinkel Eingangsgröße
Phasenwinkel Ausgangsgröße
Porosität
Winkelgeschwindigkeit
komplexe Winkelgeschwindigkeit
Erregerwinkelgeschwindigkeit
Wandlerwinkelgeschwindigkeit
Kreisfrequenz
Bezugsfrequenz
Resonanzfrequenz
Grenzkreisfrequenz
charakteristische Frequenz, Kreisfrequenz
einer harmonischen Schwingungskomponente
diskrete Kreisfrequenz
Pa s
1
H m31
1
1
m
m
m
m
kg m33
e
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*
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0
W
$
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$0
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C m33
m
kg m33
kg m33
kg m33
S
s
Wb
Wb
Wb
rad
rad
rad
rad
rad
rad
rad
rad
rad
1
s31
s31
s31
s31
s31
s31
s31
s31
s31
s31
Teil I
Gegenstand des Buchs
1
Einführung
Das vorliegende Buch wendet sich vorrangig an Ingenieure und Studenten
der Elektrotechnik und Informationstechnik, die im Rahmen der Produktentwicklung oder Forschungsarbeiten von Geräten der Mechatronik deren dynamischen Entwurf herleiten wollen. Dabei handelt es sich um technische Aufgabenstellungen, die stark mit elektronischen, mechanischen und akustischen
Funktionselementen verknüpft sind. Diese elektromechanischen Systeme enthalten viele Fragestellungen, die mit den in dem vorliegenden Buch dargestellten Verfahren und Methoden eektiv und gut strukturiert gelöst werden können. Dabei werden vorrangig die dem Elektrotechniker geläugen Verfahren
der Problembehandlung mit Netzwerkmethoden und die in der Elektrotechnik üblichen Methoden zur Behandlung dynamischer Vorgänge angewendet.
Die zwischen den elektrischen und mechanischen Teilen eines Systems wirkenden Wandlerelemente und die durchgängige Abbildung des Systems über
die Wandlerelemente hinweg bilden den Schwerpunkt der Darstellung. Besonders das funktionelle Verständnis von Rückwirkungsmechanismen, z. B. aus
mechanischen oder akustischen Systemteilen in elektrische Systemteile hinein,
wird damit ohne Schwierigkeiten ermöglicht. Gerade diese Überlegungen sind
für den Elektrotechnikstudenten im Allgemeinen nicht selbstverständlich. Die
strukturierte Darstellung gestattet einerseits eine oft hilfreiche gedankliche
Zerlegung des Systems in verknüpfte Einzelbaugruppen und gestattet andererseits eine schnelle Berechenbarkeit des dynamischen Verhaltens. Darüber
hinaus zwingt die Modellbildung den Anwender bereits zur Konzentration auf
den Kern des Systems. Die dabei erforderlichen Einschränkungen durch Annahmen und Näherungen werden in verfeinerten Modellierungsschritten nur
soweit abgebaut, wie es für die Lösung des speziellen Problems notwendig ist.
Dadurch bleibt das Modell auf einer problemorientierten optimalen Größe.
Es werden lineare oder näherungsweise linearisierbare Beziehungen zwischen
physikalischen Größen angenommen. Für Vorgänge, die vorrangig einen stark
nichtlinearen Eekt ausnutzen oder voraussetzen, sind die vorgestellten Strukturierungs- und Rechenverfahren weniger geeignet. Sie können aber als Ausgangspunkt für iterative Lösungen verwendet werden.
4
1 Einführung
1.1 Gegenstand des Buchs
Der Gegenstand dieses Buches sind Systeme — Geräte, Baugruppen und Bauelemente — der Feinwerk- und Mikrotechnik, die aus miteinander verkoppelten elektrischen, mechanischen und akustischen Funktionselementen bestehen.
Die Wechselwirkungen zwischen diesen unterschiedlichen Domänen — elektrische, mechanische und akustische Teilsysteme — erfolgt durch elektrische, magnetische oder mechanische Wandlungsmechanismen. Bemerkenswert bei diesen Wandlungsmechanismen ist die Umkehrbarkeit der Signalverarbeitungsrichtungen, also von der mechanischen auf die elektrische Seite und umgekehrt.
In Abbildung 1.1 ist die Grobstruktur der hier betrachteten elektromechanischen Systeme angegeben.
Signalverarbeitungsrichtungen
mechanische Größen
v, F, W, M, p, q
Elektromechanisches System
elektrische Größen
u, i
Sensoren
Aktoren
Grundstruktur
elektrische Teilsysteme
u, i
elektrische, magnetische Wandler
Wandlerkonstanten X, Y
translatorische und
rotatorischeTeilsysteme
v, F, W, M
akustische Teilsysteme
p, q
Abbildung 1.1. Signalverarbeitungsrichtungen und Grundstruktur elektromechanischer Systeme
Elektromechanische Systeme als Teilgebiet der Mechatronik beruhen im Entwurf und der Realisierung auf Synergien verschiedener theoretisch und technologisch geprägter Fachdisziplinen. So sind die Entwurfsverfahren durch die
Grundlagen der Signal- und Systemtheorie, der Theorie elektrischer und magnetischer Felder, der Akustik und Mechanik sowie der Netzwerktheorie geprägt. Zur Realisierung der Systeme werden Technologien der Feinwerk- und
Mikrotechnik, der Mikrosystemtechnik, der Optomechanik und Optoelektronik sowie der Halbleiterelektronik und Schaltungstechnik verwendet. Im Abschnitt 1.2 sind Anwendungsbereiche und aktuelle Produktbeispiele aufgeführt.
1.1 Gegenstand des Buchs
5
Der Schwerpunkt der Analyse und Synthese elektromechanischer Systeme
liegt im vorliegenden Buch bei der Bestimmung des Zeitverlaufs der physikalischen Größen (Koordinaten), also beim dynamischen Systementwurf , für
unterschiedliche Anregungen. Als Beschreibungsverfahren wird die aus der
Elektrotechnik bekannte Netzwerktheorie verwendet. Auswahlgründe hierfür
sind die Möglichkeit einer gut strukturierten und anschaulichen Netzwerkbeschreibung unterschiedlicher Teilsysteme, die vorhandenen ausgereiften und
komfortablen Lösungs- und Darstellungsverfahren sowie der leichte Zugang für
die Elektrotechniker. Die Grundlagen zur Netzwerkbeschreibung und Wechselwirkungen mit elektrischen und magnetischen Feldern sind im Kapitel 2
zusammengefasst.
Zunächst wird im Abschnitt 2.1 das Basiswissen zur Signalbeschreibung und
Signalübertragung in linearen Netzwerken behandelt. Diese allgemein gehaltene Darstellung wird nachfolgend auf die elektrischen (Abschn. 2.2) und
mechanischen Netzwerke (Abschn. 2.3) angewandt. Anschließend erfolgt die
Behandlung der mechanischen und elektromechanischen Wechselwirkungen
im Abschnitt 2.4. Diese Darstellungen sind bewusst allgemein gehalten, um
dem Leser mit bereits vorhandenen Kenntnissen zur Behandlung gekoppelter
elektrischer und mechanischer Systeme die Abgrenzung der in diesem Buch
verwendeten Methodik gegenüber alternativen Darstellungen aufzuzeigen. Die
Strukturierung der Netzwerkbeschreibung von elektromechanischen Systemen
erfolgt abschließend im Abschnitt 2.5.
Im Kapitel 3 wird die Netzwerkdarstellung mechanisch-translatorischer, mechanisch-rotatorischer und akustischer Teilsysteme eingeführt und an Beispielen
demonstriert. Nachfolgend wird im Kapitel 4 auf einem höheren Abstraktionsniveau das allgemeine lineare Netzwerk behandelt. Diese Ausführungen sind
auch auf lineare magnetische und thermische Netzwerke übertragbar.
Die im Kapitel 5 erörterten mechanischen Wandler kennzeichnen die Kopplungsbeziehungen zwischen translatorischen und rotatorischen mechanischen
Teilsystemen sowie zwischen mechanischen und akustischen Systemen.
Die bisherige Netzwerkanalyse erfolgte ausschließlich für Systeme mit konzentrierten Parametern. Im Kapitel 6 erfolgt die Erweiterung auf Systeme mit
verteilten, also ortsabhängigen, Parametern. Diese Erweiterung ist für höhere
Frequenzen der Dehnwellen, bei denen die Wellenlänge in die Größenordnung
der Bauelementeabmessungen gelangt, erforderlich. Die Systeme werden als
lineare Wellenleiter oder nite Netzwerkelemente beschrieben. Abschließend
wird die Erweiterung auf eine kombinierte Simulation von FEM-Berechnungen
der Bauelemente und dynamische Analyse durch Netzwerkbeschreibung vorgestellt.
Die Beschreibung der elektromechanischen Wandler erfolgt in den Kapiteln 7
bis 9. Ausgehend von den Grundlagen der elektromechanischen Wechselwirkungen im Kapitel 7 werden in den Kapiteln 8 und 9 die Wandlervierpole für
die magnetischen und elektrischen Wandler abgeleitet. Die Anwendung dieser
verlustfreien, linearen Wandlervierpole auf ausgewählte Realisierungsbeispiele
erfolgt anschließend.
6
1 Einführung
Das den linearen passiven Wandlern eigene Reziprozitätsprinzip wird abschließend im Kapitel 10 nochmals eigenständig dargestellt.
Schließlich sind im Anhang A die Materialkennwerte der für elektromechanische Systeme besonders wichtigen Werkstoe zusammengestellt. Im Anhang
B sind als Ergänzung zum Abschnitt 2.1 weiterführende Grundlagen zur Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken angegeben.
1.2 Anwendungsfelder und Beispiele
elektromechanischer Systeme
Eine Übersicht wichtiger Anwendungsbereiche elektromechanischer Systeme
mit zugeordneten Beispielen zeigt Tabelle 1.1.
Tabelle 1.1. Anwendungsbereiche und typische Beispiele elektromechanischer Systeme
Anwendungsbereiche
Verfahrenstechnik
Beispiele
Durchfluss- und Drucksensoren (Prozessmesstechnik),
elektromagnetische Stelleinrichtungen
Kfz-Technik
Silizium-Drehratensensoren, Kleinmotoren,
piezoelektrische Einspritzventile
Fahrzeugtechnik
aktive Schalldämpfer, hydraulische Koppelsysteme,
(Nutzfahrzeuge, Schienen-
Dünnfilm-Drucksensoren, optische und US-Abstands-
fahrzeuge, Schiffe, Flugzeuge
sensoren
Maschinenbau
piezoelektrische Pneumatikventile, elektrodynamische
Positioniersysteme, Schwingungsdämpfer, elektrodynamische Schwingungserreger
Kommunikationstechnik
Mikrofone, Kopfhörer, Lautsprecher, Laser-Drucker,
Festplattenlaufwerke, Tintendrucker, Beamer,
Kameraobjektive
Hausgerätetechnik
Füllstandssensoren, Kleinmotoren, Heizungsregler
Medizintechnik
Ultraschallwandler, miniaturisierte Druck- und Kraftsensoren, Mikropumpen, Prothetik
1.2 Anwendungsfelder und Beispiele elektromechanischer Systeme
7
Tabelle 1.1 zeigt, dass die Hauptanwendungen elektromechanischer Systeme
in Form von Geräten, Baugruppen und integrierten Bauelementen in der
Aktorik, z. B. Kleinmotoren und Positioniersysteme, in der Sensorik, z. B.
Einzelsensoren und Sensorsysteme, sowie in direkt gekoppelten Sensor-AktorSystemen mit integrierter Informationsverarbeitung liegen.
Mit der Ergänzung der traditionellen Feinwerktechnik durch die Mikrotechnik
und Mikrosystemtechnik erfolgte die Abmessungsreduzierung von elektromechanischen Systemen bei gleichzeitiger Erhöhung des Integrationsgrades. Die
mit diesen Technologien verbundenen typischen Strukturabmessungen sind in
Tabelle 1.2 angegeben.
Tabelle 1.2. Bauteilgröße und Strukturabmessungen wichtiger Fertigungstechnologien für elektromechanische Systeme
Fertigungstechnologie
Feinwerktechnik
Bearbeitungsverfahren
NC-Fräsen u. Drehen, Schnei-
typische
Bauteilgröße
2
kleinste Strukturabmessung
einige cm
>50 μm
2
<50 μm
2
<5 μm
den, Spritzgießen, Funkenerosion, Laser-Schweißen
Mikrotechnik
Lithographische Strukturie-
>10 mm
rung, Dünnschichttechnik durch
Bedampfen und Sputtern, Mikrogalvanik, Mikroschweißen,
dreidimensionales isotropes u.
anisotropes Ätzen
Mikrosystemtechnik
Silizium-Volumen- oder Ober-
<10 mm
flächen-Mikromechanik mit
integrierter Mikroelektronik
oder integrierter Optik
Gleichzeitig mit der Einführung der Mikrotechnik und Mikrosystemtechnik
erfolgte die Anwendung neuer Werkstoe in Sensoren und Aktoren. Hierzu zählen vor allem Silizium, Borosilikatgläser und spezielle Keramiken, wie
hochreine Aluminiumoxidkeramik und mechanisch bearbeitbare Low Temperature Cored Ceramic — LTCC. Diese Werkstoe zeichnen sich insbesondere durch ihr extrem geringes viskoelastisches und viskoplastisches Verhalten
sowie leichte Integrationsmöglichkeiten von elektrischen und optischen Komponenten aus. Die zugehörigen Realisierungen werden als Micro Electromechanical Systems — MEMS — bezeichnet. Zur Einführung in die Grundlagen
8
1 Einführung
der Mikrotechnik und Mikrosystemtechnik zur Fertigung elektromechanischer
Systeme wird auf die Ausführungen in [4—7] verwiesen.
Verbunden mit der Einführung dieser neuen Technologien und Werkstoe erfolgte in den letzten Jahren ein starker Produktwandel bei elektromechanischen Systemen in Richtung MEMS-Realisierungen. Aus Tabelle 1.3 ist erkennbar, dass sich dieser Produktwandel neben der Reduzierung der Abmessungen auch durch einen zunehmenden Funktionsumfang auszeichnet.
Tabelle 1.3. Produktwandel bei elektromechanischen Systemen durch Einsatz der
Mikrotechnik und Mikrosystemtechnik sowie neuartiger Werkstoe
Anwendung
feinwerktechnisches Gerät
Mikrotechnisches Gerät
Drucken
Nadeldruck
Tintendruckkopf
(Bubble-Jet-Prinzip)
Daten-Speicher
Magnet-Schreib-Lese-Kopf,
Dünnfilm-Schreib-Lese-Kopf
Festplattenlaufwerk
(GMR-Lese-Sensor), MikroFestplattenlaufwerk (Microdrive)
Informations-
Langspielschallplatte,
DVD-Abtastsystem,
wiedergabe
Magnetbandkassette
MP3-Player
Lichtprojektion
Beamer mit Drehspiegelsystem
Beamer mit Mikrospiegelarray
Kfz-Sensorik
Prozess-Sensorik
piezoelektrische Airbag-
hochintegrierter Silizium-
Beschleunigungssensoren,
Drehratensensor, Mikrowellen-
Widerstandstemperatursensoren,
und Ultraschallabstandssensoren,
potentiometrische Füllstands-
energieautarke Silizium-Reifen-
sensoren
drucksensoren
kraftkompensierter Differenz-
BAW-Silizium-Resonanz-
druckmessumformer, potentio-
Differenzdrucksensor, selbstüber-
metrischer Füllstandsmessum-
wachender US-Füllstandssensor
former
Schalten elek-
elektromagnetisches Relais
trischer Kreise
elektrostatisches SiliziumMikrorelais, Silizium-MikrorelaisArray
Stelleinrichtung
elektromagnetisches Regel-
Kfz-Einspritzventil mit piezo-
ventil
elektrischem Stapelaktor, elektrostatische Polymeraktoren
In den folgenden Kapiteln 3, 6, 8 und 9 werden zur Erläuterung des Entwurfsverfahrens „Netzwerkbeschreibung” sowohl traditionelle als auch neuartige
1.3 Entwurf elektromechanischer Systeme
9
MEMS-Realisierungen als Beispiele für elektromechanische Systeme verwendet.
1.3 Entwurf elektromechanischer Systeme
Zielstellung des Entwurfs ist die Berechnung der Parameter — Entwurfsparameter — der konzipierten Lösung für ein technisches Produkt. Damit nimmt die
Entwurfsphase eine zentrale Stellung innerhalb des Produktentwicklungsprozesses mechatronischer, elektromechanischer und mikroelektromechanischer
Systeme ein. Sowohl beim „V-Modell” [8] mechatronischer Systeme als auch
bei den Entwicklungsmodellen der Mikrosystemtechnik [4, 9] ist die Entwurfsphase besonders ausgeprägt.
In Tabelle 1.4 sind nach [10] die Phasen des Produktentwicklungsprozesses
eines elektromechanischen Systems als grobes Stufenmodell angegeben.
Tabelle 1.4. Einordnung des Entwurfs in den technischen Produktentwicklungsprozess
Technische Aufgabenstellung
Entwicklungsphase
Ergebnis
Klären der Aufgabenstellung
Anforderungsliste oder
Pflichtenheft
Konzipieren
Ermittlung der Teilprobleme
Aufstellen von Lösungsprinzipien
Auswahl der Teillösungen
Grobkonzept des Gesamtsystems
Entwurf
Festlegung der Entwurfsparameter
der Komponenten und der Gesamtlösung
Konstruktion
Gestaltung der Gesamtlösung
Musterbau und Test
Präzisierung Grobkonzept,
Entwurf und Konstruktion
Dokumentation
Erstellen Zeichnungssatz und
Fertigungstechnologien
Produktionsfreigabe
10
1 Einführung
Die Phase des Entwurfs schließt sich an die Konzeption der Gesamtlösung an
und bildet die Grundlage für die anschließende Erstellung der Konstruktionsunterlagen. Dem Entwurf — quantitative Festlegung der technischen Parameter
für die konzipierte Lösung — liegt ein physikalisches Modell der konzipierten
Lösung zu Grunde. Die Berechnung der Modellparameter — Entwurfsparameter — kann durch unterschiedliche Beschreibungsverfahren — Simulationsverfahren — erfolgen (Abschn. 1.4). Zielstellungen dieser Simulationen sind entweder die Absicherung fest vorgegebener Kenngrößen des elektromechanischen
Systems — Entwurfskenngrößen — oder die Erfüllung spezieller Optimierungskriterien wie minimaler Energieverbrauch, minimales Bauvolumen bzw. Masse
oder maximaler Arbeitsfrequenzbereich. Die Bewertung — Verikation — der
Simulationsergebnisse mit den Vorgaben der Anforderungsliste schließt die
Entwurfsphase in Abbildung 1.2 ab. Weicht das Ergebnis von den Zielwerten
gegenüber den vorgegebenen Schranken zu stark ab, erfolgt mit veränderten
Parametersätzen eine erneute Simulation. Lässt sich keine Konvergenz erzielen, ist eine Validierung des Modellansatzes erforderlich.
Technische Aufgabenstellung
Entwurf
Grobkonzept
Validierung }
Modellbildung
Simulation
Optimierungskriterien
(analytisches oder/und numerisches Berechnungsverfahren)
Bewertung
Präzisierung
(physikalisches Modell)
Verifikation
nicht ok
ok
Konstruktion, Bau und Test von Mustern
ok
nicht ok
Produkt
Abbildung 1.2. Entwurfsablauf bei elektromechanischen Systemen
Die Vervollkommnung des Entwurfsprozesses führt zu einer Verringerung des
experimentellen Testaufwandes zur Bewertung von Entwicklungsparametern
bei gleichzeitiger Reduzierung des Musterumfanges. Damit verbunden sind
kürzere Entwicklungszeiten und geringere Entwicklungskosten. Entscheidend
für die anzustrebende Entwurfsvervollkommnung sind der praktische Bezug,
die ingenieurmäßige Anwendbarkeit und die Beschreibungstiefe der Simulationsverfahren.
1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische Systeme
11
1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische
Systeme
1.4.1 Historischer Abriss
Die theoretischen Grundlagen für die Beschreibung mechanischer und elektrischer dynamischer Systeme waren schon in der Mitte des 19. Jahrhunderts
nahezu vollständig ausgearbeitet. Hierzu gehören die Lagrange-HamiltonMethoden zur Berechnung dynamischer Systeme einschließlich der Fluid-,
Gas- und Thermodynamik sowie die Faraday-Maxwell’sche Elektrodynamik. Zu ihrer praktischen Anwendung waren jedoch gründliche mathematische
und physikalische Kenntnisse unerlässlich. Sie waren in der damaligen handwerklichen und gewerblichen Praxis nur in geringem Umfang vorhanden.
Die sich in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts ausbildende Produktionsweise brachte jedoch Denk- und Rechenmethoden hervor, die es einer breiten
Schicht von Technikern und Ingenieuren ermöglichte, die Ergebnisse der o.g.
Theorien selbständig auf ihr reales technisches Umfeld anzuwenden.
Ein wesentlicher Schritt in dieser Richtung war die Ausarbeitung der Theorie
elektrischer Netzwerke auf der Grundlage der Arbeiten von Kirchhoff und
Helmholtz. Die praktischen Erfahrungen bei der Anwendung dieser Theorie
zeigten, dass die relevanten technischen Anforderungen und Verfahren mindestens im ersten Näherungsschritt durch lineare Relationen zwischen den
physikalischen Größen beschreibbar waren. Deshalb erfolgte die Entwicklung
der elektrischen Netzwerktheorie vorzugsweise mit dieser Linearitätsvoraussetzung. Die damit möglichen Analyse- und Syntheseverfahren sind in dem
1940 erschienenen Grundlagenwerk von Cauer [11] in weit vorausschauender
Weise dargestellt. Es erwies sich für mehrere Jahrzehnte als die zentrale Quelle
dieses Wissensgebietes. Parallel mit der Ausarbeitung einer an lineare Systeme
angepassten Signaltheorie entstand dann eine Systemtheorie von Vorgängen
in allgemeinen elektrischen Anordnungen. Sie wurde unter dem Anwendungsaspekt der elektrischen Nachrichtentechnik von Küpfmüller ausgearbeitet
und 1952 zuerst unter dieser Bezeichnung zusammenfassend dargestellt [12].
In dem oben betrachteten Zeitraum entwickelte sich die Elektrotechnik zunehmend zu einem interdisziplinären Fachgebiet. Wechselwirkungen mit dem
Maschinen- und Feingerätebau, der Mess- und Verfahrenstechnik erzeugten
eine gegenseitige Beein ussung der fachspezischen Denk- und Rechenmethoden. Dabei wurde auf zunächst heuristische Weise erkennbar, dass linearen
mechanischen Systemgleichungen isomorphe Systemgleichungen korrespondierender linearer elektrischer Netzwerke zugeordnet werden konnten. Auf diese Weise entstanden die sogenannten elektromechanischen Analogien. Ihre
Entwicklung kann von den ersten Anfängen in den Büchern von Barkhausen [13], Wagner [14], Hecht [15], Reichardt [16] und Cremer [17] verfolgt werden. Sie ermöglichten einerseits den Elektrotechnikern mechanische
Probleme mit den ihnen vertrauten Netzwerkmethoden zu behandeln. Andererseits stellten diese Analogien einen möglichen Zugang für Mechaniker dar,
12
1 Einführung
die Vorgänge in elektrischen Netzwerken zu begreifen. Der letztere Aspekt hat
eine lange Vorgeschichte. Schon Faraday und Maxwell [18] hatten versucht,
den zunächst im wörtlichen Sinne schwer begreifbaren elektrischen und magnetischen Feldern mechanische Modelle zuzuordnen. Diese Versuche mussten
scheitern, weil die elektrodynamischen Vorgänge eben keine Kopie mechanischer Vorgänge sind. Erst viel später wurde erkannt, welche Zugänge zu Vergleichen zwischen elektrodynamischen und mechanischen Systemen bestehen.
Ein möglicher Weg ist der Versuch, Lagrange-Funktionen aufzunden, die
elektrische Netzwerkgleichungen bzw. die Maxwell-Gleichungen ergeben.
Die Lösung dieser Aufgabe ist in dem abschließenden Kapitel des Buches
„Theoretische Elektrotechnik” von Simonyi zusammenfassend dargestellt
[19]. Es zeigt sich, dass eine solche Lagrange-Funktion existiert, wenn die potentielle Energie der Mechanik durch die elektrische Feldenergie und die kinetische Energie durch die magnetische Feldenergie ersetzt wird. Die Ladungen
haben dabei die Bedeutung der Lagekoordinaten, die Ströme die Bedeutung
der Impulskoordinaten und die Potentiale die Bedeutung der verallgemeinerten Kräfte.
Ein zweiter Weg besteht in einer strukturorientierten Interpretation der Lagrange-Gleichungen erster Art, die hier in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 in ihren Grundzügen skizziert wird. Diese Beschreibungsmethode basiert auf den
Arbeiten von Lenk, die er in seinen Lehrbüchern [1—3] in den 70er Jahren
ausführlich darstellte. Wesentliche Teile dieser Darstellungen sind in die 1=
Au age dieses Buches einge ossen und bilden auch die Basis für die Beschreibung linearer elektromechanischer Systeme in der vorliegenden Ausgabe.
Obwohl sie in diesem Buch nicht verwendet wird, muss im Zusammenhang mit
der Beschreibung allgemeiner dynamischer Systeme hier noch die Methode der
Zustandsdierentialgleichung erwähnt werden. Sie entstand als problemorientierte Beschreibungsweise im Zusammenhang mit der Entwicklung der Regelungstechnik in der Mitte des 19. Jahrhunderts. Sie gestattet über die vorher
genannten linearen netzwerktheoretischen Ansätze hinaus zusätzlich die Berücksichtigung nichtlinearer Systemeigenschaften und ist wegen ihrer Herkunft
aus den energieorientierten Hamilton-Jacobi’schen Dierentialgleichungen
nicht auf mechanische Systeme beschränkt.
Die Entwicklung der Rechentechnik der letzten fünfzig Jahre erönete die
Möglichkeit zur Anwendung von struktur- und netzwerkorientierten Analyseverfahren, die unter dem Oberbegri „Finite-Element-Methode” zusammengefasst werden. Sie entstanden zuerst aus Analyseaufgaben der Festkörpermechanik. Ein zu analysierender Festkörper wird in Teilvolumina — nite Elemente — mit dreieck- oder rechteckförmigen Begrenzungs ächen unterteilt, die nur
an den Eckpunkten — Knoten — miteinander verbunden sind. Die Eckpunkte
eines Teilvolumens werden als Systempunkte eines Lagrange-Punktsystems
angesehen. Wenn zunächst quasistatische Vorgänge angenommen werden, können die Gleichgewichtskräfte an den Knoten aus den Knotenverrückungen
1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische Systeme
13
oder umgekehrt bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist die Kenntnis der
Spannungs-Dehnungs-Relationen und die Annahme einer Verrückungsfunktion innerhalb des Teilvolumens, die die Knotenverrückungen interpoliert. Die
einzelnen Teilvolumina werden über Kräftebilanzen an den Knotenpunkten
und Gleichsetzung der Verrückungen der miteinander verbundenen Knotenpunkte zu einem Gesamtsystem zusammengefügt. Durch diese Koppelbedingungen können dann alle Knotenverrückungen aus den Gleichgewichtskräften
an den Knoten oder umgekehrt bestimmt werden. Dieses hier skizzierte Verfahren wurde dann sehr bald auf andere Feldprobleme, wie z. B. akustische,
elektrostatische und magnetische Felder sowie deren Kopplung untereinander
erweitert. Als Resultat dieser Entwicklung stehen heute Programmsysteme
zur Verfügung, die alle technisch relevanten Kontinuumsprobleme numerisch
zu behandeln gestatten.
In diesem Zusammenhang entsteht die Frage nach den Anwendungsgrenzen
und -vorteilen der beiden genannten strukturorientierten Beschreibungen dynamischer Systeme. Hierbei sind die folgenden Aspekte zu erkennen:
• Finite Elementmethoden (z. B. ANSYS, ABAQUS, NASTRAN, COMSOL) sind konkurrenzlos, wenn die Struktur und das Parameterfeld der
zu analysierenden oder zu optimierenden Anordnung in hinreichend engen
Grenzen bekannt sind.
• Für den Fall, dass für eine technische Aufgabe nur geringe apriori-Kenntnisse vorliegen und ein großes Feld von möglichen Strukturen und Wirkprinzipien vorhanden ist, erscheint eine Netzwerkbeschreibung im ersten
Schritt angemessen. Übersehbare analytische Lösungen sind damit in der
Regel leicht erreichbar und gestatten häug geschlossene Lösungen für
Optimierungsaufgaben oder die Au!ndung konstruktiver oder physikalischer Invarianten. Für komplexere Netzwerke sind komfortable numerische
Simulationssysteme, z. B. OrCAD CAPTURE, MICRO-CAP, vorteilhaft
anwendbar.
Den Vorteilen der größeren physikalischen Anschaulichkeit und der geschlossenen analytischen Lösbarkeit steht der Netzwerkbeschreibung der Nachteil
der eingeschränkten Modellgenauigkeit gegenüber. Ursache hierfür sind Näherungen bei den verwendeten Bauelementen und deren Netzwerkanordnung.
Die Finite-Element-Rechnung kann diese Lücke schließen. Die auf diese Weise
mögliche iterative Verbesserung eines Netzwerkmodells führt in der Regel zu
einer vertieften Einsicht in die vorhandenen Wirkmechanismen. Sie kann dabei helfen, die beim jeweiligen Anwendungsfall dominanten Systemelemente
oder Übertragungswege zu erkennen.
1.4.2 Entwurfsverfahren
Im folgenden Abschnitt wird eine Übersicht zu den gegenwärtig verfügbaren
Entwurfsverfahren für elektromechanische Systeme angegeben. Dabei wird in
14
1 Einführung
Systeme mit konzentrierten und verteilten (ortsabhängigen) Parametern unterschieden. Damit soll auch auf Alternativen zu den in beiden Gruppen anwendbaren Netzwerkbeschreibungen hingewiesen werden.
• Systeme mit konzentrierten Parametern
Statische Analyse:
Berechnung von elektrodynamischen Wechselwirkungskräften und Ausschlägen auf Basis von Energie- und Kräftebilanzen durch Algebraische
Dierentialgleichungen (DAE). Unter konkreten Anfangs- und Randbedingungen erfolgt das Lösen von Dierentialgleichungen. Die Lösungen sind
meist nichtlineare Gleichungen, die iterativ gelöst werden müssen [9, 20].
Dynamische Analyse:
Netzwerkanalyse auf Basis harmonischer Anregungen und Berechnung der
Übertragungsfunktionen (Amplituden- und Phasengang; s. Abschn. 2.1.1).
Zur Berücksichtigung von nichtlinearen elektrostatischen und elektromagnetischen Wechselwirkungskräften erfolgt mit der statischen Analyse die
Arbeitspunktberechnung und anschließende Kleinsignalbetrachtung um
den Arbeitspunkt. Dieses Verfahren steht im Mittelpunkt dieses Buches
und wird ausführlich in den Kapiteln 2 bis 10 beschrieben [21].
Methode der Zustandsdierentialgleichungen auf Basis gewöhnlicher Differentialgleichungen, die im Gegensatz zur linearen Netzwerkanalyse auch
nichtlineare Systemeigenschaften berücksichtigt. Diese Methode führt ebenfalls zu Systemübertragungsfunktionen, die auch für nicht abklingende Anregungsfunktionen denierbar sind (Laplace-Transformation; s. Abschn.
2.1.4). Dieses Verfahren wird insbesondere in der Automatisierungstechnik
zur Beschreibung allgemeiner technischer Systeme verwendet [22].
• Systeme mit verteilten Parametern
Zur Beschreibung elektromechanischer Systeme als Kontinua — ortsabhängige Spannungs- Dehnungsbeziehungen, Ausbreitung von Dehnwellen
— erfolgt die Erweiterung der Netzwerkmethode mit konzentrierten Bauelementen auf Wellenvorgänge oder die Diskretisierung in Form Finiter
Netzwerkelemente. Auch hier müssen die Wechselwirkungskräfte linearisiert werden. Diese beiden erweiterten Netzwerkmethoden werden ausführlich im Kapitel 6 beschrieben und Anwendungsbeispiele in den Kapiteln
6, 8 und 9 behandelt.
Numerische Verfahren auf Basis der Finite-Elemente-Methode (FEM) oder
der Boundary-Element-Methode (BEM) auf Basis kommerzieller Programme wie ANSYS, ABAQUS oder NASTRAN. Mit diesen Programmen sind
auch nichtlineare Wechselwirkungen zwischen mechanischen, elektrischen,
magnetischen, akustischen, uidischen und thermischen Teilsystemen beschreibbar. Wie bereits im Abschnitt 1.3 erwähnt erzielt man hiermit die
höchsten Simulationsgenauigkeiten. Nachteilig sind jedoch die geringe physikalische Anschaulichkeit und erschwerte ingenieurmäßige Interpretation
1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische Systeme
15
der Ergebnisse sowie der höhere Optimierungsaufwand.
Um die Vorteile der Netzwerkverfahren und der numerischen Verfahren
zu nutzen, wird zunehmend die Verbindung beider Verfahren als Kombinierte Simulation verwendet. So werden die statischen Bauelementeeigenschaften mit FE-Analysen berechnet und die dynamischen Eigenschaften
des Systems durch Netzwerkmodellierung dargestellt. Aber auch der umgekehrte Weg ist erfolgreich. Dabei werden aus Netzwerkstrukturen FEmodellierbare „Ersatzstrukturen” abgeleitet, in das reale FE-Modell eingearbeitet und gemeinsam gelöst. Auf diese Weise wird die Leistungsfähigkeit
vorhandener FE-Programme erweitert. Im Abschnitt 6.4 werden Beispiele
zur kombinierten Simulation vorgestellt. Eine Übersicht zu Entwurfsverfahren, speziell für Mikrosysteme, ist in [4] ausführlich angegeben.
2
Elektromechanische Netzwerke und
Wechselwirkungen
Die Netzwerkbeschreibung einer physikalischen Struktur erfordert die Denition von
•
•
•
•
•
Netzwerkkoordinaten
zweipoligen Elementarbauelementen
Koppelvierpolen
idealen Quellen und
Bilanzgleichungen der Koordinaten.
Basis der Netzwerktheorie ist die Signal- und Systemtheorie der Elektrotechnik. Daher werden einleitend die Funktionaltransformationen zwischen stationären sinusförmigen Zeitfunktionen und komplexen Amplituden eines linearen
Systems beschrieben. Mit Hilfe der Fourier-Reihen kann die Übertragung von
Kreisfunktionen durch lineare Systeme auf allgemeine periodische Funktionen
erweitert werden. Für einmalige bandbegrenzte Signale erfolgt der Übergang
zur Fourier-Transformation.
Diese Beschreibungsmethode wird anschließend auf die bekannten linearen
elektrischen Netzwerke angewandt. Der Übergang zur Anwendung dieser Methode auf mechanische und akustische Netzwerke beruht auf der übereinstimmenden Grundstruktur der hier gültigen gewöhnlichen Dierentialgleichungen. Die Herleitung der Grundlagen der Netzwerkbeschreibung für mechanische und akustische Systeme aus den Grundlagen der theoretischen Mechanik
ist im Abschnitt 2.3 aufgeführt. Die ausführliche Netzwerkbeschreibung mechanischer und akustischer Systeme erfolgt in Kapitel 3.
Zwischen den unterschiedlichen Teilsystemen bestehen Wechselwirkungen, deren Merkmale anschließend erörtert werden. Auch hier ist deren Ableitung aus
den elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen im Abschnitt
2.4 dargestellt. Die Klassizierung der elektromechanischen Wechselwirkungen und deren Netzwerkbeschreibung erfolgt ausführlich in den Kapiteln 7 bis
9.
Die Netzwerkbeschreibung der betrachteten Teilsysteme und deren Wechselwirkungen untereinander bilden abschließend die Basis für eine strukturierte
18
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Netzwerkbeschreibung komplexer elektromechanischer Systeme, so wie sie ab
Kapitel 3 im Buch behandelt wird.
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in
linearen Netzwerken
2.1.1 Die Kreisfunktion als Grundbaustein für Zeitfunktionen
linearer Netzwerke
Die dynamische Beschreibung elektrischer, mechanischer und akustischer Teilsysteme einschließlich ihrer Wechselwirkungen führt in den Abschnitten 2.2
bis 2.6 zu Systemgleichungen zwischen Flusskoordinaten und Dierenzkoordinaten. Aus diesen Systemgleichungen lassen sich Dierentialgleichungen ableiten, die die Antworten einzelner Systemkoordinaten auf die Anregung anderer
Systemkoordinaten mit bekannten Anregungszeitfunktionen zu bestimmen gestatten. Für die Lösung solcher Analyseaufgaben hat sich die Einschränkung
der Anregungszeitfunktionen auf Modellzeitfunktionen als sinnvoll erwiesen.
Diese Modelle sollten einerseits eine möglichst einfache Lösung der o.g. Aufgabe gestatten, zum anderen sollte es aber auch möglich sein, die in der Realität
vorkommenden Zeitfunktionen aus Summen solcher Modellbausteine zu erzeugen. Die Kreisfunktion
{ (w) = {
ˆ cos ($w + *{ )
(2.1)
ist aus den folgenden Gründen als Modellbaustein für die Analyse linearer
Netzwerke besonders geeignet:
• Allgemeine periodische Funktionen lassen sich mittels einer Fourier-Reihe
aus harmonischen Kreisfunktionen aufbauen.
• Der Funktionstyp Kreisfunktion ist gegen die in den Systemgleichungen linearer Netzwerke in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 vorkommenden Operationen wie Dierentiation, Addition und Multiplikation mit einer Konstanten
invariant. Die gleiche Eigenschaft besitzen auch Linearkombinationen von
Kreisfunktionen.
Daraus folgt, dass bei einer Erregung eines linearen Netzwerks mit einer Kreisfunktion nach Gl. (2.1) alle übrigen Koordinaten des Netzwerks ebenfalls
durch Kreisfunktionen der gleichen Frequenz $ beschrieben werden können.
Die Analyseaufgabe reduziert sich bei dieser speziellen Anregung auf die Bestimmung der Amplituden und Phasenwinkel der übrigen Koordinaten.
Mit dem Ansatz für die Koordinaten
¢
¡
und
(w) = ˆ cos $w + *
ˆ cos ($w + * )
(w) = (2.2)
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
m1 v (t ) vˆ cos (wt jv )
F
Fn
Fr
l1 Fn (t ) Fˆn cos (wt jn )
n
r
l2 Fr (t ) Fˆr cos (wt jr )
l3 F (t ) Fˆ cos (wt )
v (t ) n
19
d Fn
dt
1
Fr (t )
r
F (t ) Fn (t ) + Fr (t )
v (t ) Abbildung 2.1. Analyse eines Stoßdämpfers mit cos-Ansatz
ergibt sich ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Unbekannten und bei Anregung durch 0 und 0 . Abbildung 2.1 zeigt hierfür ein Beispiel.
Ausgehend von der Dierentialgleichung des Netzwerks aus Abbildung 2.1
gemäß
1
1
dIq (w)
= Iu (w) = (I (w) Iq (w))
(2.3)
q
dw
u
u
und damit
dIq (w)
+ Iq (w)
(2.4)
I (w) = uq
dw
lässt sich durch Einsetzen von Kreisfunktionen für I (w), Iq (w), Iu (w)
Î cos ($w) = uq ($) Îq sin ($w + *q ) + Îq cos ($w + *q )
/ Î cos ($w) = Îq ($qu cos *q sin *q ) sin ($w)
+Îq ($qu sin *q + cos *q ) cos ($w)
(2.5)
mit
d = $qu cos *q sin *q
und
e = $qu sin *q + cos *q
die Amplitude Îq und der Phasenwinkel *q für die gesuchte Kraft Iq (w) mit
d = 0 , $qu = tan *q
und
e=
ermitteln.
q
1
1 + tan2 *q , Îq = p
Î
1 + tan2 *q
(2.6)
(2.7)
Wegen der komplizierteren Additions- und Dierentiationsregeln für die Kreisfunktionen im Vergleich zu den Exponentialfunktionen imaginärer Argumente
ist es üblich und zweckmäßig, anstelle der reellen Zeitfunktion in Gl. (2.1) die
komplexe Zeitfunktion { (w) und davon abgeleitet die komplexe Amplitude {
zu verwenden. Die reelle Zeitfunktion in Gl. (2.1) lässt sich zu einer komplexen
Zeitfunktion der Form
20
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
{ (w) = {
ˆ [cos ($w + *{ ) + j sin ($w + *{ )] = {
ˆ ej($w+*{ )
(2.8)
umschreiben. Aus (2.8) ergibt sich die komplexe Amplitude { gemäß
ˆ ej*{ .
{={
(2.9)
Zwischen dem Zeitbereich und dem Bildbereich ergeben sich Relationen, wie
sie in Tabelle 2.1 dargestellt sind.
Tabelle 2.1. Funktionaltransformation zwischen stationären sinusförmigen Zeitfunktionen und komplexen Amplituden
Zeitbereich
z (w) = d{ (w) @dw
z (w) =
Uw
{ (w) dw
d
z (w) = {1 (w) + {2 (w)
Bildbereich
<
A
A
A
A
A
A
@
A
A
A
A
A
A
>
{ (w) = < { ej$w
Ui
{={
ˆ ej*
;
z = j${
A
A
A
A
A
?
1
{
z=
j$
A
A
A
A
A
=
z = {1 + {2
Hier entstehen jetzt bei der Einführung des Ansatzes nach Gl. (2.9) in die
Grundoperationen des Gleichungssystems der linearen Netzwerke in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 die korrespondierenden Gleichungen zwischen den komplexen Amplituden
z = j${
(2.10)
1
{
j$
(2.11)
z = {1 + {2 .
(2.12)
z=
Auf diese Weise wird eine Funktionaltransformation zwischen den Variablen
und Gleichungen des Zeitbereichs und des Bildbereichs deniert, die durch
ª
©
(2.13)
{ (w) = < { ej$w
und
ˆ ej*
{={
(2.14)
beschrieben ist. Die Anwendung dieser Funktionaltransformation auf die Systemgleichungen in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 überführt diese Dierentialgleichungssysteme in algebraische Gleichungssysteme zwischen den komplexen
Amplituden.
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
21
Abbildung 2.2 zeigt die Vereinfachung der Analyse von Abbildung 2.1 bei Verwendung der komplexen Amplituden. Einzelheiten und Beispiele sowie graphische Interpretationen zu diesem Rechenverfahren sind in Standardlehrbüchern
der Elektrotechnik enthalten [23—26].
F
1
jwnF n r F r
1
1
jwnF n (F F n )
v Fr
r
r
F Fn Fr 1
F n 1 jwnr F
v jwnF n
Fn
Fr
n
r
Abbildung 2.2. Analyse eines Stoßdämpfers mit komplexen Amplituden
Für den in Abbildung 2.2 dargestellten Stoßdämpfer lässt sich mit den beiden
Beziehungen (2.13) und (2.14) der zeitliche Verlauf der Kraft Iq (w) zu
Ã
!
Î
j$w
e
Iq (w) = <
1 + j$qu
4
3
Î
ej* ej$w D
/ Iq (w) = < C q
2
1 + ($qu)
mit
Î
/ Iq (w) = q
cos ($w arctan $qu)
1 + ($qu)2
tan * = $qu
(2.15)
(2.16)
berechnen.
Das Beispiel aus Abbildung 2.2 legt die in Abbildung 2.3 dargestellte Verallgemeinerung mit der Einführung der Übertragungsfunktion E ($) zwischen
den Ein- und Ausgangsgrößen { und | eines linearen Systems nahe.
Es ist bemerkenswert, dass die oben genannten Aussagen auch für Ansätze
der Form
(2.17)
{ (w) = {
ˆ ew cos ($w + *)
und
{ (w) = {
ˆ e(+j$)w+j*
(2.18)
gelten. Unter Verwendung von Gl. (2.18) modizieren sich die Gln. (2.10) bis
(2.13) derart, dass anstelle j$ die komplexe Frequenz s = + j$ eingeführt
werden muss. Dieser Sachverhalt hat Bedeutung für Stabilitätsanalysen und
22
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
x t x$ cos wt j x
bg
b
x x$ e jj x
g U|
V|
W
y$ B w x$
bg
bg
j b wg
R| ybtg y$ cos dwt j i
S| y y$ e
T
B w B w e jj B
yB w x
Bw
B
bg bg
y
jj y
bg
j y jx jB
Abbildung 2.3. Übertragungsfunktion eines linearen Systems
erlaubt weitreichende Folgerungen über die funktionentheoretischen Eigenschaften von Netzwerksfunktionen der komplexen Frequenz s. Einzelheiten
dazu sind in Kapitel 4 „Abstraktes lineares Netzwerk” enthalten.
2.1.2 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen
Begründung und Klassikation der Fourier-Entwicklung
Das in Abbildung 2.3 dargestellte Modell für die Übertragung von Kreisfunktionen durch lineare Systeme kann mit Hilfe der Fourier-Transformationen auf
allgemeine periodische und zeitbegrenzte („einmalige”) Funktionen erweitert
werden.
Zunächst wird in den Gln. (2.19) bis (2.22) die periodische Funktion {
˜ (w) mit
der Periode W durch Fourier-Reihen der Form
M
X
fl cos ($ l w + *l )
(2.19)
[dl cos ($ l w) + el sin ($ l w)]
(2.20)
{
˜ (w) = {
¯+
l=1
bzw.
{
˜ (w) = {
¯+
M
X
l=1
mit
{
¯=
ZW
{ (w) dw,
dl = fl cos *l ,
el = fl sin *l
(2.21)
0
w
$ l = 2 l,
W
dargestellt.
fl =
q
d2l + e2l ,
*l = arctan
el
dl
(2.22)
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
23
Wenn { (w) eine Eingangsfunktion eines linearen Systems ist, dann kann
mit den Methoden des Abschnitts 2.1.1, Abbildung 2.3 wegen der vorausgesetzten Linearität des Systems angenommen werden, dass jede harmonische Teilschwingung {l (w) das System einzeln ungestört von den anderen
Teilschwingungen durchläuft. Die am Ausgang gemäß Abbildung 2.3 entstehenden Teilantworten |l (w) summieren sich dann zur Ausgangsfunktion | (w).
Das daraus entstehende Übertragungsmodell ist in Abbildung 2.4 dargestellt.
R|
||
||
x btg
|
T |
tS
||
||
||
|T
c yi
cxi
i
b g
j bw g
B wi
bg
xi t
cxi , j xi , w i
B
b gc
j bw g j
D
c yi B w i
j xi
j yi
i
bg
yi t
c yi , j yi , w i
i
B
xi
i
Systemantwort
j yi
xi
U|
|
i|
|| ybtg
||
V|
||
||
|
i|
W
Tt
Abbildung 2.4. Allgemeines Übertragungsmodell für periodische Zeitfunktionen
Dieses elementare Systemmodell wurde zuerst von Küpfmüller zur Analyse des Übertragungsverhaltens von elektrischen Schaltungen verwendet [12].
Es bildet die Grundlage für die spektralen Analysemethoden der Signal- und
Systemtheorie. Der damit verbundene Sachverhalt begründet die zentrale Bedeutung der Fourier-Entwicklungen für dieses Wissensgebiet.
Fourier-Reihen
Die durch die Gln. (2.19) bis (2.22) gestellte Aufgabe der Au!ndung einer
Näherungsfunktion {
˜ (w) bzw. die Au!ndung der Koe!zienten fl , *l bzw. dl ,
el erfordert die Aufstellung eines geeigneten Kriteriums. Entsprechend den
Aufgaben, die mit der Näherungsgleichung gelöst werden sollen, sind zwei
Kriterien üblich:
• Die Abweichungen zwischen der Ausgangsfunktion { (w) und der Näherungsfunktionen {
˜ (w) sollen im quadratischen Mittel minimal werden. Dieses Kriterium führt zu der approximativen Form der Fourier-Reihen.
• Die Näherungsfunktion {
˜ (w) soll an einer vorgegebenen Zahl Q von äquidistanten Abtastwerten wq mit den Funktionswerten der Ausgangsfunktion
24
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
{ (wq ) übereinstimmen. Dieses Kriterium führt zu der interpolativen Form
der Fourier-Reihen.
Unter einschränkenden Bedingungen für die Funktion { (w) und die Zahl der
Abtastwerte stimmen die Näherungsfunktionen {
˜ (w) nach beiden Kriterien
überein.
Die interpolativen Fourier-Reihen und die daraus ableitbaren Fouriertransformationen sind die Grundlage der Theorie der Abtastsysteme. Sie werden in
diesem Buch nicht benutzt und deshalb hier nicht weiter betrachtet.
Die approximativen Fourier-Reihen setzen die Kenntnis der stückweise stetigen Ausgangsfunktion { (w) an allen möglichen, d. h. unendlich vielen Stellen
der unabhängigen Variablen w voraus. Sie sind deshalb vorzugsweise für die
Entwicklung analytisch gegebener Funktionen sinnvoll.
Reelle Form der approximativen Fourier-Reihe
Als Fehlermaß für die Abweichungen zweier periodischer Funktionen {1 (w)
und {2 (w) gleicher Periodendauer W voneinander ist die mittlere quadratische
Abweichung besonders zweckmäßig.
Wenn {1 (w) und {2 (w) Funktionen sind, die bei gleicher Periodendauer W und
dem gleichen Mittelwert {
¯ durch einen Ansatz der Form von Gl. (2.19) bzw.
(2.20) exakt abgebildet werden können, gelten als Folge der Orthogonalität
der Kreisfunktionen die Parseval-Gleichungen (2.23) und (2.24):
1
W
ZW
{21 (w) dw =
1X 2
d + e2l + {
¯21
2 l=1 l
ZW
{22 (w) dw =
1X 2
+ 2l + {
¯22
2 l=1 l
M
0
1
W
(2.23)
M
0
(2.24)
Daraus folgt, dass die mittlere quadratische Abweichung zweier periodischer
Funktionen voneinander, für die die o.g. Bedingungen gelten, durch die Beziehung nach Gl. (2.25)
1
W
ZW
0
M
({1 (w) {2 (w))2 dw =
1X
(dl l )2 + (el l )2
2 l=1
(2.25)
gegeben ist. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen eine abschnittsweise stetige Funktion { (w) ist und die zweite Funktion durch den Ansatz
der Gl. (2.19) bzw. (2.20) gegeben ist, ergibt sich die mittlere quadratische
Abweichung % zu
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
25
%2 = (˜
{ (w) { (w))2
!2
¶
¶
ZW Ã
M
X
1
w
w
+ el sin 2l
{ (w) dw
=
dl cos 2l
{
¯+
W
W
W
l=1
0
2
¯ = { (w) {
W
2
2
ZW
0
+
1
2
M
X
l=1
¶
¶¸
M ·
X
w
w
+ el sin 2l
dw
dl cos 2l
{ (w)
W
W
l=1
¡ 2
¢
dl + e2l .
(2.26)
Die Bedingung % $ min führt zu den Bestimmungsgleichungen (2.27) und
(2.28) für die Koe!zienten dl und el :
2
C%
=
Cdl
W
C%
2
=
Cel
W
ZW
0
ZW
0
¶
w
dw + dl $ 0
{ (w) cos 2l
W
¶
w
dw + el $ 0
{ (w) sin 2l
W
(2.27)
(2.28)
Zusammengefasst ergibt sich mit den Gln. (2.29) bis (2.32) die reelle Form
der approximativen Fourier-Reihe:
¶
¶¸
M ·
X
w
w
+ el sin 2l
dl cos 2l
{
˜ (w) = {
¯l +
W
W
l=1
¶
M
X
w
= {
¯+
fl cos 2l + *l
W
l=1
(2.29)
2
dl =
W
ZW
;l = 1 = = = M
(2.30)
0
¶
w
dw>
{ (w) cos 2l
W
2
W
ZW
¶
w
dw,
{ (w) sin 2l
W
;l = 1 = = = M
(2.31)
el =
0
{
˜ (w) $ { (w)
für
M$4
(2.32)
Oen bleibt bei den Gln. (2.29) bis (2.31) zunächst die Frage, wie der Fehler % von der Zahl M der Summanden abhängt. Eine genaue Analyse dieses
Sachverhaltes führt zu der Aussage, dass % mit wachsendem M gleichmäßig
gegen Null konvergiert. Daraus folgt die Aussage der Gl. (2.32), dass beide
26
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Funktionen in der Grenze M $ 4 übereinstimmen. Die detaillierte Analyse
der Fehlereigenschaften von { (w) ist nicht einfach. Sie ist ausführlich und in
mathematischer Strenge in der Fachliteratur beschrieben [27, 28].
Komplexe Form der approximativen Fourier-Reihe
Die Transformationsgleichungen (2.29) bis (2.32) lassen sich durch Einführung
der komplexen Zeitfunktionen nach Gl. (2.8) in eine Form bringen, in der
entsprechend dem Systemmodell aus Tabelle 2.1 die Benutzung der komplexen
Übertragungsfunktion E ($ l ) von Abbildung 2.3 möglich ist:
{
˜ (w) = {
¯+
M
X
w
fl ej*l ej2l W
(2.33)
l=1
,{
˜ (w) = < {˜
{ (w)} =
/{
˜ (w) = {
¯+
/{
˜ (w) = {
¯+
mit
fl =
M
X
1
l=1
2
1
(˜
{ (w) + {
˜ (w))
2
w
fl ej*l ej2l W +
M
X
1
l=1
M
X
1 j*l j2l w
W
fl e e
|2 {z }
l=M
l6=0
(2.34)
2
w
fl ej*l ej2l W
(2.35)
(2.36)
fl
1
1
1
fl cos * + j fl sin *l =
2 | {z }l
2 | {z } W
dl
el
ZW
w
{ (w) ej2l W dw
(2.37)
0
¯ ist, so ergibt sich schließlich
Wenn man berücksichtigt, dass f (l = 0) = {
die komplexe Form der approximierten Fourier-Reihe entsprechend den Gln.
(2.38) bis (2.42):
{
˜ (w) =
M
X
w
fl ej2l W
(2.38)
l=M
1
fl =
W
ZW
w
{ (w) e j 2l W dw
(2.39)
0
fl =
1
(dl jel ) ,
2
{
¯ = f0
fl = f (l)
{
˜ (w) $ { (w)
(2.40)
(2.41)
für
M$4
(2.42)
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
27
Wenn eine so beschriebene Zeitfunktion über ein lineares System mit der
komplexen Übertragungsfunktion E ($ l ) übertragen wird, ergeben sich entsprechend der Tabelle 2.1 und der Abbildung 2.4 folgende Relationen:
|˜ (w) =
M
X
fl{ E ($ l ) ej$l w
(2.43)
l=M
fl{
1
=
W
ZW
{ (w) ej$l w dw,
l = M = = = M
(2.44)
0
|˜ (w) $ | (w)
für
M$4
(2.45)
Beim Vergleich der Gln. (2.29) bis (2.32) mit den Gln. (2.43) bis (2.45) ist zu
beachten, dass entsprechend Gl. (2.40) |fl | mit fl @2 aus Gl. (2.29) identisch
ist.
Tabellen für die dl und el von periodischen Modellfunktionen, die für theoretische und experimentelle Probleme nützlich sind, ndet man in Lehr- und Tabellenbüchern der Elektrotechnik sowie der Signal- und Systemtheorie [29—32].
2.1.3 Fourier-Transformation
Anwendungsaspekte bei der spektralen Darstellung einmaliger
Vorgänge
In der Messtechnik und Systemanalyse ist die Bestimmung von Systemreaktionen auf einmalige zeitbegrenzte Vorgänge von gleicher Bedeutung, wie
diejenige von periodischen Vorgängen. Die Reaktion auf einen einmaligen Vorgang beinhaltet die Bedingung, dass sich das betrachtete System bei Beginn
des einmaligen Vorgangs in Ruhe bendet. Alle Energiespeicher müssen leer
sein (s. Abb. 2.5).
bg
x0 t
bg
x0 t
T0
bg
bg
x 0 t xp t
für
t
bg
B w
bg
y t
?
0 t T0
Abbildung 2.5. Übertragung eines einmaligen zeitbegrenzten Vorgangs durch ein
linares System
28
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Die Lösung dieser Aufgabe ist grundsätzlich durch die Lösung der aus den
Systemgleichungen in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 ableitbaren Dierentialgleichungen möglich. Eine geeignete Form dieser Gleichungen sind die Zustandsdierentialgleichungen, deren Anwendung in [33] ausführlich beschrieben ist.
Diese Lösungsverfahren unterliegen nicht der Einschränkung auf lineare Systeme, die bei der spektralen Betrachtungsweise gemacht werden musste.
Es erhebt sich nun die Frage, ob sich bei der Einschränkung auf die Linearität auch für einmalige Vorgänge im o.g. Sinne eine spektrale Beschreibung
nden lässt, die die große Leistungsfähigkeit der in den Abschnitten 2.1.1 und
2.1.2 dargestellten Rechenmethoden, insbesondere die Verwendung komplexer
Übertragungsfunktionen zur Systembeschreibung, möglich macht.
Die Beantwortung dieser Frage führt auf die Fourier-Integraltransformation.
Der Ausgangspunkt für ein solches Konzept ist die Praxis bei der experimentellen Systemanalyse und Messtechnik. Dort wird u.a. zur Unterdrückung von
Störungen die Erregung des Systems mit dem einmaligen Vorgang periodisch
nach hinreichend langer Zeit wiederholt. Der so entstandene Vorgang ist periodisch und gestattet die Anwendung aller Methoden, die in den Abschnitten
2.1.1 und 2.1.2 zusammengestellt sind. Untersucht werden muss nun die Frage,
ob die auf diese Weise konstruierbaren Modelle quasi-einmaliger Vorgänge in
der Grenze zu Beschreibungen führen, die den o.g. Forderungen entsprechen.
Konstruktion von Funktionenfolgen für den Übergang zur
Fourier-Integraltransformation
Die periodische Wiederholung eines zeitbegrenzten Vorgangs entsprechend
den Überlegungen des vorhergehenden Abschnitts führt zu dem in Abbildung
2.6 dargestellten Modell.
bg
xt
x0(t) mit Periode LT0 periodisch wiederholt
T0
x~ t
bg
2T0
3T0
LT0
t
aus Fourier-Reihe abgeleitete Näherungsfunktion x%(t )
T0
2T0
3T0
LT0 T
t
Abbildung 2.6. Modell einer Funktionenfolge zur spektralen Darstellung einmaliger Vorgänge
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
29
Die zeitbegrenzte Funktion {0 (w) mit der Länge W0 wird mit der Periode
W =LW0 periodisch wiederholt. Die Fourier-Reihe der so entstehenden Funktion {
˜ (w) wird bei endlicher oberer Summationsgrenze K die im Anhang B
gezeigten Fehler an den Sprung- und Knickstellen von { (w) enthalten. Es ist
aber aus den Überlegungen zu diesen Abbildungen auch bekannt, dass die
Abweichungen { (w) zwischen { (w) und {
˜ (w) außerhalb der Umgebung dieser
Stellen mit wachsendem K gegen Null gehen. Das betrit auch den Zeitab˜ (w)
schnitt zwischen W0 und LW0 . Man kann also damit rechnen, dass sich {
mit wachsendem K und L der Funktion {0 (w) aus Abbildung 2.5 annähert.
˜ (w) gemäß
Die Bestimmung von dn und en in der spektralen Darstellung von {
¶
¶
w
w
+ el sin 2l
dl cos 2l
{
˜ (w) = {
¯+
W
W
l=1
K
X
(2.46)
ist mit den Gln. (2.30) und (2.31) möglich.
Für die weiteren Betrachtungen ist es zweckmäßig, als analytische Beschreibung von {0 (w) im Bereich 0 w W0 die spektrale Beschreibung durch eine
Fourier-Reihe zu benutzen. Man erhält sie durch periodische Fortsetzung von
{0 (w) aus diesem Bereich wie in Abbildung 2.7 dargestellt.
bg
xp t x 0 t
xp
xp t xp ai cos 2 i
bg
xp t
T0
t
bg
M
F
GH
I
JK
bg
bg
bg
xt
b g |RS| x bt0g x
T
zt p
p
T
t
T0
T LT0
F
GH
I
JK
t
t
bi sin 2 i
T
T
0
0
i 1
1444444
424444444
3
zt
bg
zt
xp
0 t T0
0 t T0
T0 t T
t
T0
bg
x t
xp
b g RSx0
T
x t T0
0 t T0
p
T0 t T
T
t
Abbildung 2.7. Berücksichtigung des Gleichanteils der Funktion {s (w) bei der
Entwicklung der Funktion { (w) nach Gl. (2.46)
30
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Für die weiteren Überlegungen soll zunächst angenommen werden, dass {s (w)
bandbegrenzt ist. Die Funktion {s (w) soll also durch Gl. (2.36) mit endlichem
P fehlerfrei darstellbar sein.
Wenn der Mittelwert {
¯s von {s (w) nicht Null ist, ergeben sich bei der Entwicklung von { (w) entsprechend Gl. (2.46) Besonderheiten, die in Abbildung
2.7 näher erläutert sind.
Bei der Entwicklung periodischer Funktionen, bei denen der Mittelwert {
¯s
über eine Periode W0 von Null verschieden ist, ergibt die Bestimmung der dl
und el nach den Gln. (2.30) und (2.31) immer die Werte der mittelwertfreien
¯s , unabhängig ob { (w) oder } (w) in die o.g. GleiFunktion } (w) = {s (w) {
chungen eingesetzt wird. Hier muss die Funktion { (w) im ganzen Intervall W
in die beiden Bestandteile } (w) und { (w) zerlegt werden und diese müssen
getrennt entwickelt werden.
Das Ergebnis ist in den Gln. (2.47) und (2.48) dargestellt. Hier entstehen zusätzlich zu den Koe!zienten der Funktion } (w) noch Koe!zienten n und
n :
¶
½ ¾
½ ¾
ZW0
w
2
n
cos
2n
dw
=
{ (w)
sin
n
W
W
0
¶
¶¸!
ZW0 Ã
M ·
X
2
w
w
dn cos 2l
+ en sin 2l
=
{
¯s +
W
W0
W0
l=1
0
¶
½ ¾
w
cos
dw
(2.47)
·
2n
sin
W
¶
½ ¾
ZW0 ½ ¾ w
2
n
cos
2n
dw
={
¯s
sin
n
W
W
0
|
{z
}
5
n > n
9
¶
¶½ ¾
ZW0
P 9
X
w
w
cos
9 2
2n
dw
+
cos 2l
9dn
sin
9 W
W0
W
l=1 7
0
|
{z
}
Dln >Fln
2
+ en
W
|
ZW0
0
6
¶ :
¶½ ¾
:
w
w
cos
:
2n
dw:
sin 2l
sin
:
W0
W
8
{z
}
Gln >Eln
(2.48)
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
31
Die Ausführung der in Gl. (2.48) auftretenden Integrale Dln , Eln , Fln und
Gln sowie der n und n zeigen die Gln. (2.49) bis (2.52):
}n =
$n 1
$n
n
$n
=
=
=
L
2@W L
2@W0
$0
1 sin (2}n )
1 1 cos (2}n )
,
n = 2¯
{s
L 2}n
L
2}n
½ ¾
}n
¾
½
sin (2}n )
l
Dln
=
Eln
(}n2 l2 )
½
¾
l
¾
½
[cos (2}n ) 1]
}n
Fln
=
Gln
(}n2 l2 )
n = 2¯
{s
(2.49)
(2.50)
(2.51)
(2.52)
Damit ergeben sich insgesamt die Gln. (2.53) bis (2.55) für die gesuchten
Koe!zienten der Gl. (2.46):
P
n =
1X
(Dln dl Fln el ) + n
L l=1
n =
1X
(Gln dl Eln el ) + n
L l=1
(2.53)
P
{
¯=
{
¯s
L
(2.54)
(2.55)
Eine genauere Analyse der Dln , Eln , Fln und Gln für die Werte n = ULl
ergibt die in den Gln. (2.56) und (2.57) dargestellten Werte:
¾
½
1, U = 1
(2.56)
Dln = Eln =
0, U 6= 1
Fln = Gln = 0
(2.57)
Daraus folgt, dass die n und n an den Stellen n = lL die in Gl. (2.58)
angegebenen Werte annehmen:
½ ¾
½ ¾
1 dl
n
=
(2.58)
n
L el
Insgesamt ergibt sich für den Übergang von den dl , el zu den n , n die in
Abbildung 2.8 dargestellte Situation.
32
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
L ak
bg
a z L
ai L
ai1 L
i
i
Li
1
L
i
Li 1
L 1
L
b g
zk i 1
b g
L i 1 1 L i 1
k
L
k
Abbildung 2.8. Übergang von den dl , el zu den n , n am Beispiel eines Abschnitts
n =Ll = = =L(l + 1)
Es gilt dabei:
M
(}n ) =
1X
L l=1
M
1X
(}n ) =
L l=1
}n sin (2}n )
l [cos (2}n ) 1]
dl +
el
(}n2 l2 )
(}n2 l2 )
¶
}n [cos (2}n ) 1]
l sin (2}n )
dl +
el
2
2
(}n l )
(}n2 l2 )
+ n
¶
(2.59)
+ n (2.60)
Zwischen den dl , el entstehen durch die Operation aus Abbildung 2.7 mit der
Funktion {s (w) jeweils zusätzliche Spektrallinien, die an den Stellen n = lL bis
auf den Faktor L mit den ursprünglich vorhandenen dl , el übereinstimmen.
Die interpolierende Hüllkurve zu den n , n erhält man, wenn man in den
Gln. (2.59) und (2.60) anstelle der diskreten Variablen }n die kontinuierliche Variable } einführt. Es ist bemerkenswert für die weiteren Überlegungen,
dass die Hüllkurvenfunktionen (})L, (})L nicht von L abhängen. Weiterhin werden wegen der Stetigkeit dieser Funktionen die relativen Unterschiede
zwischen benachbarten Spektrallinien mit zunehmendem L kleiner.
Außerdem ist es bemerkenswert, dass die n , n vollständig durch die dl ,
el bestimmt sind. Daher stellen die Gln. (2.59) und (2.60) das Analogon im
Frequenzbereich zur Abtastrelation im Zeitbereich bei bandbegrenzten Zeitfunktionen dar.
Hier kann auch schon die Frage näher betrachtet werden, wie sich die bisher
abgeleiteten Relationen ändern, wenn die Funktion {s (w) nicht bandbegrenzt
ist.
Entsprechend den Betrachtungen im Abschnitt 2.1.2 muss die obere Summationsgrenze M in den Gln. (2.53) und (2.54) gegen 4 gehen. Die n , n
nehmen hier schon den Charakter eines Grenzwertes an. Es ist im Übrigen
auch aus den Gln. (2.59) und (2.60) zu erkennen, dass die n , n auch bei
bandbegrenztem {s (w) über den Wert n =ML hinaus von Null verschieden
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
33
sind. Die Summation über n in Gl. (2.46) muss deshalb ohnehin im Sinne
eines Grenzwertes gegen 4 gehen. Bei Aufgabe der Bedingung der Bandbegrenzung für {s (w) ändert sich deshalb nichts an den Grenzwerteigenschaften
von Gl. (2.46).
Übergang zur Fourier-Integraltransformation
Die Überlegungen des vorhergehenden Abschnitts legen es mit Rücksicht auf
Abbildung 2.8 für große L nahe, die Summe in Gl. (2.46) näherungsweise
durch ein Integral auszudrücken. Dies führt in Verbindung mit
L À 1 , $ n , $, }n =
$
n
2
2
,
, $0 =
, $ =
L
$0
W0
W0
zu folgenden Gleichungen:
{ (w) = {
¯+
K
1 X
[n cos ($ n w) + n sin ($ n w) $]
$
(2.61)
n=1
n , ($) ,
1
{ (w) {
¯+
n , ($)
Z$n
0
d ($) =
W
($) ,
2
¶
W
W
($) cos ($w) + ($) sin ($w) d$
2
2
e ($) =
W
($)
2
(2.62)
(2.63)
(2.64)
Die Gln. (2.30) und (2.31) gehen dann in Gl. (2.65) bzw. in die aus den Gln.
(2.51) bis (2.55) folgende Gl. (2.67) über:
½ ¾
½
¾ ZW0
cos
d ($)
($w) dw
= { (w)
sin
e ($)
(2.65)
0
{
¯={
¯s
W0
W
(2.66)
½
¾
½
¾
M
1 X
1
d ($)
($@$ 0 ) sin (2$@$ 0 )
=
dl
e ($)
2 l=1 ($@$ 0 )2 l2 ($@$ 0 ) [cos (2$@$ 0 ) 1]
½
¾
M
1 X
1
l [cos (2$@$ 0 ) 1]
el
+
l sin (2$@$ 0 )
2 l=1 ($@$ 0 )2 l2
½
¾
sin (2$@$ 0 ) @ (2$@$ 0 )
(2.67)
+¯
{s W0
[1 cos (2$@$ 0 )] @ (2$@$ 0 )
34
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Der Übergang zu den Grenzen L $ 4, K $ 4 und M $ 4 ist dann mit
Rücksicht auf die im vorhergehenden Abschnitt denierte Funktionenfolge
ohne Probleme möglich, wenn weiterhin die Bedingung der Zeitbegrenzung
¯ geht dann in der Grenze gegen
für {s (w) aufrechterhalten wird. Der Wert {
Null. Das Ergebnis ist in den Gln. (2.68) und (2.69) zusammengefasst, welche
die Fourier-Integraltransformation repräsentieren:
1
{ (w) =
Z4
[d ($) cos ($w) + e ($) sin ($w)] d$
(2.68)
0
½
¾
½ ¾
Z4
d ($)
cos
($w) dw
=
{ (w)
sin
e ($)
(2.69)
0
Z4
|{ (w)| dw $ beschränkt
(2.70)
0
Die strenge mathematische Ableitung dieser Funktionaltransformation ist in
ausgewiesenen Fachbüchern zu nden [27, 28]. Im Resultat dieser Beweisführung zeigt sich, dass die Forderung der Zeitbegrenzung für { (w) in Gl. (2.69)
nicht erforderlich ist. Allerdings muss { (w) dafür die Bedingung in Gl. (2.70)
erfüllen.
Die Relationen in den Gln. (2.68) und (2.69) können entsprechend den Gln.
(2.33) bis (2.35) auch in komplexer Form geschrieben werden. Es ergibt sich
daraus die Fourier-Integraltransformation in komplexer Form:
1
{ (w) =
2
Z4
f ($) ej$w d$
(2.71)
4
f ($) =
Z4
{ (w) hj$w dw
(2.72)
1
[d ($) je ($)]
2
(2.73)
0
f ($) =
f ($) = f ($)
(2.74)
Die Beziehungen (2.68) und (2.69) und (2.71) bis (2.74) sind nicht notwendig
auf positive Werte von w begrenzt. Bei Beachtung von Gl. (2.70) kann { (w)
Werte im Bereich 4 w 4 annehmen. Die untere Grenze in den Gln.
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
35
(2.69) und (2.72) kann deshalb auch zu 4 angenommen werden, wie das
üblicherweise bei der Denition der Fourier-Integraltransformation geschieht.
In Lehr- und Taschenbüchern der Signal- und Systemtheorie sind umfangreiche Tabellen von Korrespondenzen zwischen Zeitfunktionen und ihren Fouriertransformierten enthalten [30—32, 34].
Abschließend kann nun auch die eingangs gestellte Frage beantwortet werden, ob sich bei Einschränkung auf Linearität auch für einmalige Vorgänge
eine spektrale Beschreibung angeben lässt. Stellt man sich auf den Standpunkt eines der in Abbildung 2.6 denierten Folgeelemente, so ist darauf die
Fourier-Integraltransformation gemäß den Gln. (2.68) und (2.69) anwendbar.
Der Integrand in Gl. (2.71) hat die Bedeutung der komplexen Zeitfunktion
einer dierentiellen Teilschwingung, die sich zu { (w) summieren. Mit f ($) d$
wird die komplexe Amplitude dieser Teilschwingung bezeichnet. Der Integrand
in Gl. (2.68) stellt die entsprechenden dierentiellen Teilschwingungen in reeller Form dar. Die Koe!zienten ($) und ($) lassen sich mit den Gln. (2.61)
und (2.63) auf die diskreten Fourier-Koe!zienten eines Folgeelementes der Gl.
(2.46) zurückführen. Wenn f{ ($) d$ der dierentielle Fourierkoe!zient einer
Eingangsfunktion eines linearen Systems ist, so erhält man die entsprechenden
Koe!zienten der Ausgangsfunktion | (w) zu:
f| ($) = E ($) f{ ($)
(2.75)
Die Funktion | (w) ergibt sich dann entsprechend
1
| (w) =
2
Z4
f{ E ($) ej$w d$
(2.76)
Z4
{ (w) ej$w dw.
(2.77)
4
mit
f{ ($) =
0
Dieser Sachverhalt ist nochmals in Abbildung 2.9 veranschaulicht.
bg
yt bg
xt
bg
B w
bg
y t
1 c w B w e jwtdw
2 x
z
z bg
bg bg
c x w x t e-jwtdt
bg
b2.57g
b2.58g
0
Abbildung 2.9. Übertragung eines einmaligen Vorgangs über ein lineares Systemmit der Übertragungsfunktion E ($)
36
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
2.1.4 Laplace-Transformation
Bei der im Abschnitt 2.1.3 beschriebenen Fourier-Transformation gibt es Konvergenzprobleme bei der Transformation von Funktionen, die für w $ 4 nicht
hinreichend stark gegen Null gehen. Zur Umgehung dieser Schwierigkeiten
kann man unter Verwendung der in den Gln. (2.17) und (2.18) dargestellten Eigenschaften von exponentiell an- und abklingenden Kreisfunktionen eine Umformung der Gln. (2.71) und (2.72) vornehmen, welche die FourierTransformation in die Laplace-Transformation überführt.
Wenn man anstelle der Funktion { (w) die Funktion
x (w) = { (w) ew
(2.78)
einer Fourier-Transformation nach Gl. (2.72) unterzieht, ergibt sich
fx ($) =
Z4
{ (w) e(+j$)w dw.
(2.79)
0
Mit der komplexen Frequenz
s = + j$
folgt:
fx ($) =
Z4
(2.80)
{ (w) esw dw = L {{ (w)} = I (s)
(2.81)
0
Bei der Rücktransformation von fx mit Gl. (2.71) ergibt sich für x (w):
1
x (w) =
2
+j4
+4
Z
Z
1
j$w
fx (s) e
d$ =
I (s) ej$w ds
2j
4
(2.82)
j4
Die ursprüngliche Funktion { (w) erhält man mit Gl. (2.78):
+j4
Z
1
{ (w) =
2j
I (s) esw ds = L1 {I (s)}
(2.83)
j4
Das Gleichungspaar (2.84) und (2.85) deniert die Laplace-Transformation:
L {{ (w)} = I (s) =
Z4
{ (w) esw dw
(2.84)
0
1
{ (w) = L
1
{I (s)} =
2j
+j4
Z
I (s) esw ds
j4
(2.85)
2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken
37
Ihr Zusammenhang mit der Fourier-Transformation ist durch die Gln. (2.79)
bis (2.83) eindeutig beschrieben. Der Rückweg von dieser verhältnismäßig hohen Abstraktionsstufe über die Fourier-Transformation zu einfachen Modellen
und algebraisch und numerisch nachprüfbaren Relationen kann nützlich sein,
wenn bei der Anwendung solcher sehr leistungsfähigen Analyseverfahren Zweifel entstehen, ob die damit angestellten Operationen zulässig sind. Gerade die
Geschichte der Verwendung der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik
enthält Beispiele für solche unzulässigen Operationen und Schlussfolgerungen.
Die untere Integrationsgrenze w = 0 in Gl. (2.79) ist hier im Gegensatz zur
üblichen Denition der Fourier-Transformation sinnvoll. Mit 4 w 4
müssten sonst wegen des bei negativen w exponentiell anwachsenden Faktors
ew in Gl. (2.86)
Z4
¯
¯
¯{ (w) ew ¯ dw $ beschränkt
(2.86)
0
unnötige Forderungen an { (w) gestellt werden. Darüber hinaus ist die LaplaceTransformation als ein Werkzeug zur Berechnung von Einschaltvorgängen
konzipiert, bei denen { (w) = 0 für w 0 ist.
In Lehr- und Taschenbüchern sowie in mathematischen Formelsammlungen
sind ausführliche Tabellen der Korrespondenzen zwischen I (s) = L {{ (w)}
und { (w) für mathematisch und technisch bedeutungsvolle Funktionen enthalten [23, 30—32, 35—37].
Mit den Überlegungen, die im Zusammenhang mit Abbildung 2.9 angestellt
wurden, kann auch die Frage beantwortet werden, wie Laplace-Transformierte
durch lineare Systeme übertragen werden. Der Schlüssel dazu ist der in den
Gln. (2.17) und (2.18) dargestellte Sachverhalt, dass nicht nur Kreisfunktionen, sondern auch Produkte von Kreis- und Exponentialfunktionen ihren
Funktionstyp beim Durchgang durch lineare Systeme nicht ändern.
Die Gl. (2.79) kann analog zu Gl. (2.72) so interpretiert werden, dass die
dierentiellen komplexen Teilschwingungen
{ (w) = fx (s) esw dw
(2.87)
sich zu { (w) summieren. Wenn hier in diesem Zusammenhang von komplexen
Zeitfunktionen und Amplituden gesprochen wird, muss das in Tabelle 2.1
dargestellte Konzept auch auf den Funktionstyp
ˆ ew ej($w+*) = {
ˆ ej* esw
{ (w) = {
(2.88)
erweitert werden. Dabei bleibt die Funktionaltransformation von Tabelle 2.1
erhalten, wenn anstelle von j$ die komplexe Frequenz s eingeführt wird. Das
hat zur Folge, dass auch beim Übergang von den Netzwerk-Dierentialgleichungen in den Abschnitten 2.2 und 2.3 zu den Gleichungen mit komplexen
38
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Amplituden die modizierte Funktionaltransformation von Tabelle 2.1 vorgenommen werden muss. So ändert sich z. B. die in Abbildung 2.2 angegebene
komplexe Übertragungsfunktion I q @I zu:
E ($) $ E (s) =
1
Iq
1
=
=
I
1 + uqs
1 + uq + j$qu
(2.89)
Unter diesen Umständen kann fx (s) $ als dierentielle komplexe Amplitude { der komplexen Zeitfunktion { (w) angesehen werden. Wirkt eine so
beschriebene Zeitfunktion auf ein lineares System mit der komplexen Übertragungsfunktion E (s), so erhält man für die dierentielle komplexe Amplitude
der Ausgangsgröße |
| = fx (s) · E (s) ,
(2.90)
die sich zur Ausgangsgröße | (w) summiert:
1
| (w) =
2j
+j$
Z
fx (s) E (s) esw ds
mit
fx (s) = L {{ (w)}
(2.91)
j$
Die Anwendung der Laplace-Transformation in der Signal- und Systemtheorie
hat aus den folgenden Gründen besondere Bedeutung:
• Es entfallen die bei der Fourier-Transformation existierenden Beschränkungen bezüglich des Verhaltens von { (w) für w $ 4.
• Es ist möglich, die weitreichenden funktionentheoretischen Eigenschaften
der Übertragungsfunktionen E ($) bzw. E (s) linearer Systeme zur Systemanalyse zu benutzen.
Diese Eigenschaften sind im Anhang B.2 und B.3 zusammengestellt. Sie beruhen auf dem Umstand, dass die Übertragungsfunktionen ortsdiskreter linearer Systeme durch gebrochen-rationale Funktionen von j$ bzw. s dargestellt werden können. Sie sind durch ihre Pole und Nullstellen eindeutig bestimmt. Auf dieser Eigenschaft beruht auch die Rücktransformationsformel
von Heaviside, die eine geschlossene Lösung der Gl. (2.88) liefert, wenn die
Pole und Nullstellen von E (s) und I (s) bekannt sind. Ausführliche Darstellungen zu Eigenschaften und Anwendungen der Laplace-Tranformation sind
in zahlreichen Fach- und Lehrbüchern der Mathematik und Elektrotechnik
enthalten [30, 32, 38—40].
2.2 Elektrische Netzwerke
39
2.2 Elektrische Netzwerke
In Tabelle 2.2 sind die Netzwerkkoordinaten, Elementarbauelemente, Koppelvierpole, Quellen und Bilanzgleichungen für elektrische Netzwerke angegeben.
Die folgenden zusammenfassenden Darlegungen der für den Elektrotechniker
bekannten Zusammenhängen dienen zum besseren Verständnis der Methodik
bei der Netzwerkbeschreibung nichtelektrischer Teilsysteme.
Tabelle 2.2. Bauelemente und Systemgleichungen elektrischer Netzwerke
Bauelemente
Q, i
nichtlinear
C
i
u
L
i
u
R
Netzwerkkoordinaten
linear
Q Q u
bg
Q C u
m m i
bg
m Li
bg
u Ri
uu i
i
komplexe
Amplituden
dQ
du
C
dt
dt
i jwCu
dm
di
L
dt
dt
u jwLi
u
u Ri
u Ri
u
i2
i1
Koppelelement:
idealer Transformator
u2
u1
FG u IJ FG ü
H i K H0
1
1
Spannungsquelle
ideale Quellen:
i
IJ FG u IJ
K Hi K
2
i
u0
u
i0
i
um
Bilanzgleichungen:
2
Stromquelle
i0
u
u0
0
1ü
um 0
u
im
im 0
Die Festlegung von Strom und Spannung als Netzwerkkoordinaten entsteht
aus der Forderung, dass das Produkt beider Koordinaten eine Leistung darstellt. Diese Eigenschaft ist die Voraussetzung für die Gültigkeit grundlegender
Relationen linearer zeitinvarianter Netzwerke. Die zeitinvarianten Bauelemente F und O beschreiben die Fähigkeit elektromagnetischer Felder, elektrische
bzw. magnetische Feldenergie zu speichern. Bei nichtlinearen Eigenschaften
der Bauelementefunktionen führen diese Bauelementegleichungen zusammen
40
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
mit den Bilanzgleichungen zu Dierentialgleichungen für die Netzwerkskoordinaten x und l. Im linearen Fall lassen sich diese Dierentialgleichungen
unter Verwendung der im Abschnitt 2.1 erklärten komplexen Amplituden in
algebraische Gleichungen überführen. Das Bauelement U beschreibt die irreversible Umwandlung elektrischer Energie in thermische Energie.
Die allgemeinste topologische Form eines Netzwerks aus zweipoligen Bauelementen mit einer vorgesehenen Zahl N von Knoten ist in Abbildung 2.10
dargestellt.
in
G mn 1 R mn
n
un
m
im
N iN
um
0
i0 N
in
n 1
Abbildung 2.10. Allgemeine Topologie eines elektrischen Netzwerks aus zweipoligen Bauelementen
Für das in Abbildung 2.10 dargestellte allgemeine Netzwerk gelten folgende
Systemgleichungen:
xp =
N
X
pq lq
mit
pq = qp
(2.92)
qp xp
mit
qp = pq
(2.93)
q=1
und
lq =
N
X
q=1
Das Netzwerk enthält maximal
]=
(N 1) N
2
(2.94)
Bauelemente (Zweige). Es ist eine Grundaufgabe der Netzwerktheorie, abzuleiten, wie viele von den insgesamt im Netzwerk vorhandenen Strömen und
Spannungen (Koordinaten) jeweils unabhängig voneinander gewählt und wie
die restlichen Koordinaten aus dieser Menge der unabhängigen Koordinaten
bestimmt werden können. Die zur Lösung dieser Aufgabe erforderlichen Gleichungen sind die Bauelemente- und Bilanzgleichungen aus Tabelle 2.2.
Für Netzwerke mit wenigen Bauelementen ist diese Aufgabe durch heuristische
Kombination der Bauelementegleichungen mit geeigneten Bilanzgleichungen
2.2 Elektrische Netzwerke
41
lösbar. Zur Au!ndung allgemeiner Netzwerkeigenschaften oder der Analyse größerer Netzwerke mit mehreren Quellen ist jedoch eine systematische
Verfahrensweise erforderlich. Sie ist in dem schon genannten Basisbuch der
elektrischen Netzwerktheorie von Cauer [11] und der Lehrbuchliteratur der
Elektrotechnik, wie z. B. [29] und [41] enthalten.
Für lineare elektrische Grundbauelemente führt die Annahme der in Abbildung 2.10 dargestellten Knotenspannungen und Knotenströme als Netzwerksvariable zu einem begri"ich einfachen Zugang zur Lösung der o.g. Aufgaben.
Zuerst ist erkennbar, dass die N 1 Knotenspannungen xq einen Satz von
unabhängig wählbaren Koordinaten darstellen. Das Gleiche gilt für die N 1
Knotenströme lp . Bei linearen Bauelementegleichungen ist daher die Hypothese von Gl. (2.93) begründet, dass die Knotenströme durch N 1 lineare
Gleichungen mit den Knotenspannungen verbunden sind. Die Koe!zienten
qp lassen sich durch ihre Denition
qp =
lq
xp
¶
mit
xo =0
o = 1 = = = p 1> p + 1 = = = N 1
(2.95)
in Verbindung mit der Schaltung des Netzwerks als negative Zweigleitwerte
Jqp identizieren:
(2.96)
qp = Jqp
Aus dieser Überlegung folgt auch die Symmetrie der Leitwertmatrix in Gl.
(2.93). Diese Reziprozitätsbeziehung ist eine fundamentale Eigenschaft von
Netzwerken. Sie ist in Verbindung mit der vorausgesetzten Bauelementelinearität eine Struktureigenschaft des Netzwerks, und nicht, wie zuweilen behauptet wird, die Folge der Existenz einer Zustandsfunktion innerer Energie.
Sie folgt vielmehr bei der Einschränkung, dass das Netzwerk nur Kapazitäten oder nur Induktivitäten enthält, aus der Reziprozitätsbedingung von Gl.
(2.93). Die Koe!zienten pp ergeben sich entsprechend ihrer Bedeutung
pp =
lp
xp
¶
mit
xo =0
o = 1 = = = p 1> p + 1 = = = N 1
(2.97)
als Summe der vom Knoten p ausgehenden Zweigleitwerte:
pp =
N1
X
q=1
Jpq
mit
q 6= p
(2.98)
Da die Matrix (pq ) die reziproke Matrix von ( pq ) ist, folgt aus der Symmetrie der einzelnen Matrixelemente pq auch die Symmetrie der Matrixelemente pq aus Gl. (2.92). Für die pq lassen sich keine so einfachen Zuordnungen
zu den Zweigwiderständen Upq nden, wie es im Falle der Leitwertmatrix
möglich ist. Mit Hilfe der Bilanzgleichungen lassen sich in beiden Formen der
42
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Gln. (2.92) und (2.93) die unabhängigen Knotenspannungen und Knotenströme gegen Zweigspannungen und Zweigströme austauschen.
Eine weitere Modikation der Gl. (2.93) ist dadurch möglich, dass für ausgewählte Knoten die Knotenströme zu Null gesetzt werden. Damit ist die
zugehörige Knotenspannung keine unabhängige Variable mehr, und das modizierte Netzwerk besitzt nur noch N 1 Tore. Auf diese Weise können die
aus der Struktur des vollständigen Netzwerkes leicht ableitbaren Gln. (2.93)
bezüglich der vorhandenen Tore so reduziert werden, dass nur noch die für
die jeweilige Anwendung benötigten Tore verbleiben.
Bei beiden genannten Modikationen bleiben die Reziprozitätseigenschaften
der modizierten Netzwerke erhalten. Abbildung 2.11 zeigt die Reduktion einer Schaltung, die zusätzlich zum Netzwerk aus Abbildung 2.10 noch Quellen
für ausgewählte unabhängige Koordinaten enthält. Wenn aus diesem Netzwerk zwei beliebige Knoten herausgeführt werden, kann die gesamte, hinter
diesen beiden Knoten liegende Schaltung durch einen der beiden daneben stehenden aktiven Zweipole ersetzt werden.
Die Leerlaufspannung xL kann an den Klemmen q> p gemessen werden, wenn
der Strom l = 0 gesetzt wird. Der Kurzschlussstrom lK kann an den Klemmen
gemessen werden, wenn die Ausgangsspannung x = 0 gesetzt wird. Der Innenwiderstand Ul kann zwischen den Klemmen p> q gemessen werden, wenn
sämtliche inneren Spannungsquellen durch einen Kurzschluss ersetzt werden
und sämtliche inneren Stromquellen entfernt werden.
i
Systempunkt
Lineares elektrisches
Netzwerk aus
i
n
u nm
uL
Systempunkt
u
Ri i
R, L,C und Quellen
i0 ,u0
Ri
iK
Ri
uL
iK
u
m
Abbildung 2.11. Aktive elektrische Zweipole
2.3 Mechanische Netzwerke
Die Darlegungen dieses Abschnittes dienen dazu, die Herkunft der in diesem
Buch verwendeten Netzwerkbeschreibungen mechanischer Systeme aus der
Begriswelt der theoretischen Mechanik aufzuzeigen. Leser, bei denen dieser
Aspekt nicht im Vordergrund ihres Interesses steht, können diesen Abschnitt
übergehen. Im Kapitel 3 ist eine in sich geschlossene, problemorientierte Beschreibung mechanischer Netzwerke enthalten.
2.3 Mechanische Netzwerke
43
Der Ausgangspunkt für die Konstruktion einer mechanischen Netzwerktheorie
ist eine strukturorientierte Interpretation der Lagrange-Gleichungen erster
Art. Diese Gleichungen gehen von einer Menge von N + 1 Systempunkten aus.
Die Lagekoordinaten von N dieser Systempunkte (p = 1 = = = N) sind durch ihre
Position in einem kartesischen Koordinatensystem bestimmt, dessen Ursprung
mit dem nullten Systempunkt (Bezugspunkt) zusammenfällt. Im allgemeinen
Fall benden sich an den Systempunkten Massen und zwischen den Systempunkten benden sich Feder- und Reibungsbauelemente. Dadurch wird, wie
im elektrischen Netzwerk, eine mechanische Netzwerkstruktur deniert, die
durch N unabhängige Knoten (Systempunkte) und N(N 1)@2 Bauelementezweige bestimmt ist. Den N Systempunkten können 3N voneinander unabhängige Verrückungskomponenten aufgeprägt werden. Dazu sind 3N Komponenten der äußeren Gleichgewichtskräfte an den Systempunkten erforderlich,
die durch die aufgeprägten Verrückungen eindeutig bestimmt sind. Die dazu erforderlichen Systemgleichungen bestehen aus den Kräftebilanzen an den
Systempunkten, den Bauelementegleichungen und der Strukturbeschreibung
des Netzwerkes durch die Lagekoordinaten der Systempunkte bei fehlenden
äußeren Gleichgewichtskräften.
Das so beschriebene Netzwerk kann durch die Einfügung von Koppelsystemen
modiziert werden. Diese Koppelsysteme bestehen aus K Kopplungsfunktionen zwischen den Lagekoordinaten. Sie reduzieren die ursprünglich 3N unabhängigen Lagekoordinaten auf F Koordinaten. Entsprechendes gilt für die
Kraftkoordinaten.
Wenn die Verrückungen der Systempunkte untereinander sehr viel kleiner
sind als die Abstände der Systempunkte untereinander, können die Systemgleichungen in erster Näherung als linear angenommen werden. Durch den
Übergang von den Zeitfunktionen der Komponenten zu komplexen Amplituden entsprechend Abschnitt 2.1 können diese ursprünglichen Dierentialgleichungen in algebraische Gleichungen überführt werden. Von diesen Voraussetzungen ausgehend, lässt sich wie bei den elektrischen Netzwerken, ein lineares
Gleichungssystem ableiten, das den 3N unabhängig voneinander wählbaren
Verrückungskomponenten der Systempunkte die zugehörigen Gleichgewichtskräfte zuordnet:
3N
X
nl l ,
n = 1 = = = 3N
(2.99)
In =
l=1
nl = ln
(2.100)
Dabei wird von der üblichen Vereinbarung Gebrauch gemacht, dass die Komponenten sämtlicher Kraft- und Verrückungsvektoren unabhängig von ihrer
Zuordnung zu Systempunkten von 1 = = = 3N durchnummeriert werden. Die Matrizen dieses Systems sind wieder symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Ihre Koe!zienten lassen sich unter Berücksichtigung der Topologie des räumlichen
Netzwerkes auf ähnliche Weise wie beim elektrischen Netzwerk bestimmen.
44
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Die Situation ist hier jedoch deswegen komplizierter, weil in die Relation
Matrizenkoe!zienten - Bauelementeparameter zusätzlich noch Winkelinformationen zwischen den Koordinatenachsen und der Orientierung der Bauelementezweige eingehen.
Die Gl. (2.99) kann dahingehend modiziert werden, dass die Verrückungskoordinaten l durch einen neuen Satz von Koordinaten ersetzt werden, die aus
Linearkombinationen der l bestehen:
0l =
3N
X
ln n
(2.101)
n=1
Es handelt sich dabei um die im Lagrange-Formalismus enthaltene Einführung von verallgemeinerten Koordinaten unter der hier getroenen Linearitätsforderung. Die zugehörigen verallgemeinerten Kraftkoordinaten I 0p lassen sich ebenfalls als Linearkombination der ursprünglichen Kraftkoordinaten
darstellen:
3N
X
0pn I n
(2.102)
I 0p =
p=1
Die dabei entstehende Transformationsmatrix (0pn ) ist eindeutig bestimmt,
wenn man fordert, dass die Systemmatrix ( 0nl ) der aus Gl. (2.99) entstehenden
transformierten Systemgleichungen
I 0 =
3N
X
0 0
(2.103)
p=1
ebenso wie die Ausgangsmatrix ( 0nl ) symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist:
0 = 0
(2.104)
Die Matrix (0pn ) erweist sich dabei als invers zur Matrix (pn ):
(0pn ) = (pn )1
(2.105)
Die 0 ergeben sich dann zu:
0 =
XX
l
0n 0l nl
(2.106)
n
Die hier in ihren wesentlichen Ergebnissen zitierte Darstellung allgemeiner linearer mechanischer Netzwerke ermöglicht wegen der getroenen Linearitätseinschränkung eine Zuordnung von orientierten Streckenkomplexen — Graphen
— zu den beschreibenden Gleichungssystemen. Diese Eigenschaft ist im Vergleich zur wesentlich allgemeineren Lagrange-Theorie dynamischer Systeme
ein besonderer Vorteil bei der Behandlung technisch-konstruktiver Probleme.
2.3 Mechanische Netzwerke
45
Im Verlauf eines über viele Jahrzehnte dauernden Erfahrungszeitraumes hat
es sich aber als sinnvoll erwiesen, die hier skizzierte Netzwerkbeschreibung
mechanischer Systeme noch weiter zu strukturieren. Die formalen Werkzeuge
dazu sind die o.g. Einführung verallgemeinerter Koordinaten und Koppelsysteme sowie eine Reihe weiterer Einschränkungen. Der erste wesentliche Aspekt
dabei ist die Denition von elementaren Substrukturen, die in den Abbildungen 2.12 bis 2.14 dargestellt sind. Sie entstehen
• durch Einführung eindimensionaler, nur durch eine Bewegungsrichtung bestimmter Netzwerke - translatorische Systeme;
• durch Einschränkung auf Systeme, die nur Drehbewegungen um eine
Raumachse zulassen, bei gleichzeitiger Einführung der verallgemeinerten
Koordinaten Drehmoment und Winkel bzw. Winkelgeschwindigkeit - rotatorische Systeme;
• durch Einschränkung auf lineare uidische Systeme mit den verallgemeinerten Koordinaten Volumen uss und Druck - uidmechanische Systeme.
Der zweite Aspekt ist die Beschreibung von Wechselwirkungen zwischen diesen Subsystemen. Sie wird im Abschnitt 2.4.1 näher betrachtet.
Abbildung 2.12 zeigt ein translatorisches Netzwerk. Die eingezeichneten Führungen sollen die vorausgesetzte eindimensionale Bewegung sicherstellen.
Koordinaten
F
Kräfte in Verbindungsstangen
Ausschlagsdifferenzen
über Bauelementen
Abbildung 2.12. Translatorisches Netzwerk
Der Hebel im unteren Bildteil ist ein Koppelelement, das eine lineare Relation
zwischen den drei Verrückungen der Kraftangrispunkte herstellt. Die Analyseaufgabe besteht in der Bestimmung der Verrückungen bzw. Verrückungsgeschwindigkeiten der Systempunkte und der Kräfte in den als masselos und
starr angenommenen Verbindungsstangen als Funktion der Anregungskraft
I . Im Abschnitt 3.1 wird gezeigt, wie für Anordnungen dieser Art Netzwerkskoordinaten deniert werden können, welche Bilanzgleichungen für diese Koordinaten bestehen und durch welche Relationen die Netzwerkkoordinaten an
den Bauelementen verbunden sind. Die Ableitung dieser speziellen Systemgleichungen erfolgt vollständig aus den in der Mechanik gültigen Regeln, entsprechend den grundsätzlichen Überlegungen am Anfang dieses Abschnitts.
Das Ergebnis ist ein Satz von Gleichungen, der denen des elektrischen Netzwerks aus Tabelle 2.2 isomorph ist.
46
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Das bedeutet: die mechanisch abgeleiteten Systemgleichungen und ihre Zuordnung zu den sie erzeugenden Strukturen unterscheiden sich von denen
elektrischer Netzwerke nur durch die Bezeichnungen ihrer Koordinaten und
Parameter. Dieser Sachverhalt erlaubt weitreichende Folgerungen:
Zunächst können die schaltungstechnischen Strukturumformungen und die
zugehörigen Rechenregeln elektrischer Netzwerke auf translatorische mechanische Netzwerke übertragen werden. Beispielsweise gilt die Ableitung aktiver
Zweipolparameter eines Klemmenpaares elektrischer Netzwerke von Abbildung 2.11 auch für ein Paar Systempunkte des mechanischen Netzwerks.
Weiterhin gelten alle Ergebnisse der elektrischen Netzwerktheorie, wie z. B. die
Verfahren der Schaltungssynthese für vorgegebene Übertragungseigenschaften, die funktionstheoretischen Eigenschaften von allgemeinen Zweipolen und
Übertragungsfaktoren bis hin zu Netzwerkanalyseprogrammen auch für die
betrachtete Systemstruktur „Translatorisches mechanisches Netzwerk”.
Abbildung 2.13 zeigt ein rotatorisches Netzwerk. Die sich in der Bildmitte
bendlichen Systemelemente stellen ein masseloses Zahnradgetriebe dar, welches den Drehwinkel der unteren Achse mit dem der oberen Achse im Sinne
einer Kopplungsbedingung verallgemeinerter Lagekoordinaten verknüpft.
Koordinaten
Drehmomente
in Wellen
M
Winkeldifferenzen
über Bauelementen
Drehfeder
Trägheitsmoment
Abbildung 2.13. Rotatorisches Netzwerk
Im Abschnitt 3.2 werden die im Vorhergehenden genannten Überlegungen
auch für diesen Netzwerkstyp angestellt. Sie ergeben ebenfalls einen Satz von
Systemgleichungen, die denen des translatorischen und elektrischen Netzwerkes isomorph sind.
Die gleiche Situation liegt schließlich bei dem in Abbildung 2.14 dargestellten
uidmechanischen Netzwerk vor.
Wegen der vorausgesetzten Linearität sind die hier gültigen Bauelementebeschreibungen nur lineare Näherungen der im Allgemeinen stark nichtlinearen
Gleichungen der Fluiddynamik in der Umgebung eines Referenzpunkts. Die
in Abbildung 2.14 in der Mitte bendliche Medienmasse bewegt sich nur mit
kleinen Verrückungen in der Umgebung der Ruhelage mit ortsunabhängiger
Geschwindigkeit. In den beiden Volumina werden durch Zufuhr einer Medienmenge, die jeweils klein ist im Vergleich zu der im Volumen bendlichen
Medienmenge, Druckschwankungen erzeugt, die wiederum klein sind im Vergleich zum statischen Druck im Volumen bei fehlendem Medienzu uss. Die
2.4 Wechselwirkungen
masselose, inkompressible
Flüssigkeit,
47
Koordinaten
Volumenströme
in Leitungen
p1
Masse
Kompression
p2
Druckdifferenzen
über Bauelementen
Abbildung 2.14. Fluidmechanisches (akustisches) Netzwerk
Umsetzung dieser Systemeigenschaften zu einer Netzwerkbeschreibung ist in
Abschnitt 3.3 enthalten und führt ebenfalls zu Gleichungen und Strukturen,
die denen der vorher betrachteten Netzwerktypen isomorph sind.
Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass es möglich ist, aus der allgemeinen linearen Netzwerkbeschreibung dynamischer mechanischer Systeme
drei Substrukturen abzuleiten, die einen großen Teil der diesem Buch zugeordneten Applikationen zu modellieren gestattet. Die Netzwerkbeschreibung dieser Subsysteme führt zu jeweils einem Satz von Gleichungen, die untereinander
und zu elektrischen Netzwerken isomorph sind. Die Gleichungen korrespondieren eindeutig zu Netzwerkstrukturen, die der geometrisch-konstruktiven
Anordnung des zu modellierenden Systems äquivalent sind.
2.4 Wechselwirkungen
2.4.1 Mechanische Wechselwirkungen
Die in den Abschnitten 2.2 und 2.3 betrachteten Netzwerke sind nicht unabhängig voneinander. Zwischen ihnen können Wechselwirkungen bestehen.
Zwischen dem translatorischen Netzwerk in Abbildung 2.12 einerseits und
dem rotatorischen Netzwerk in Abbildung 2.13 bzw. dem akustischen Netzwerk in Abbildung 2.14 andererseits wird diese Kopplung im einfachsten Fall
durch die Annahme beschrieben, dass zwischen der Lagekoordinate { eines
translatorischen Systempunkts und den verallgemeinerten Lagekoordinaten
des jeweiligen rotatorischen bzw. akustischen Systempunkts * bzw. Y eine
lineare Relation besteht:
* = Nr {
(2.107)
Y = Na {
(2.108)
mit
* = * *0 ,
Y = Y Y0 ,
und
{ = { {0
Diese Kopplung kann der Bedingung unterworfen werden, dass die Koppelelemente keine Energie speichern und auch keine Energie in Wärme umsetzen
48
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
können. Diese Bedingung wird nur von Systemen erfüllt, die aus masselosen,
starren Körpern und reibungsfreien Führungen und Gelenken bestehen:
I { + P * = 0
(2.109)
I { + sY = 0
(2.110)
Dabei ist vorausgesetzt, dass die verallgemeinerten Kraftkoordinaten an den
betrachteten Systempunkten so deniert wurden, dass die beiden Summanden
in den Gln. (2.109) und (2.110) die Bedeutung von Energien haben, die in das
Koppelsystem ein ießen.
Aus den kinematischen Bedingungen der Gln. (2.107) und (2.108) folgen dann
mit den Energiebilanzen der Gln. (2.109) und (2.110) die Kopplungsgleichungen (2.111) und (2.112) für die verallgemeinerten Kraftkoordinaten:
I = Nr P
(2.111)
I = Na s
(2.112)
Damit ergeben sich insgesamt die beiden in Abbildung 2.15 dargestellten
Grundstrukturen für die elementaren Koppelsysteme — Wandler — zwischen
translatorischen, rotatorischen und akustischen Systemen.
translatorisch-rotatorischer Wandler
Bezugsrichtung
mechanisch-akustischer Wandler
j0
"j
Koppelsystem
M
V0
F
"x
"x
x0 x
x0 x
Koppelsystem
"V
p
x
Abbildung 2.15. Vierpoldarstellung von mechanischen Wandlern
Die einzelnen mechanischen Wandler in Abbildung 2.15 lassen sich durch folgende funktionalen Zusammenhänge beschreiben:
¶ ¶
¶ *
{
1@Nr 0
(2.113)
=
P
I
0 Nr
¶ ¶
¶
0
Na
{
Y
=
(2.114)
I
1@Na 0
s
2.4 Wechselwirkungen
49
Üblicherweise werden im Falle der Vierpoldarstellung die Netzwerkkoordinaten so gewählt, dass sie an einem der beiden Tore einen Energie uss aus dem
System heraus beschreiben. Wenn diese Vereinbarung auch auf die Koppelelemente aus Abbildung 2.15 angewendet wird, entfällt in den Gln. (2.113) und
(2.114) das Minuszeichen in den Koppelmatrizen.
Abbildung 2.16 zeigt zwei elementare Realisierungen der formell eingeführten
Koppelsysteme, die als Koppelelemente einen starren, masselosen Stab und
eine starre, masselose Platte in einem Zylinder enthalten.
j0
F
"V
l
"j
"x
M
x0
x
1
l
"V
F
p
"x
x
Kr V0
A
x0
x
Ka 1
A
Abbildung 2.16. Realisierungsbeispiele für translatorisch-rotatorische und
mechanisch-akustische Wandler
Im Kapitel 5 sind die Präzisierungen dieser Koppelelemente und ihre Anwendung bei der Darstellung konkreter Strukturen beschrieben. Es ist bemerkenswert, dass die Systemgleichungen in Form der Gln. (2.113) und (2.114) aus
Abbildung 2.15 nicht in die Form der allgemeinen Netzwerkgleichungen zu
bringen sind. Sie können lediglich im Sinne der am Anfang von Abschnitt 2.3
genannten Koppelsysteme als Systembauelemente angesehen werden, die die
Zahl der unabhängigen Lage- und Kraftkoordinaten reduzieren.
2.4.2 Elektromechanische Wechselwirkungen
Die Darlegungen dieses Abschnittes dienen dazu, den Zusammenhang der in
den Kapiteln 7 bis 9 enthaltenen problemorientierten Beschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen mit der Theorie elektrodynamischer Felder
aufzuzeigen. Leser, die dieser Aspekt nicht vordergründig interessiert, sollten
im Abschnitt 2.5 weiterlesen. Die Darlegungen in den Kapiteln 7 bis 9 stellen eine in sich geschlossene, vorwiegend energiebasierte Beschreibung dieses
Sachverhaltes dar.
Den Ausgangspunkt für die Beschreibung der Verkopplung von mechanischen
und elektrischen Netzwerkskoordinaten stellt die Berücksichtigung der experimentellen Basiserfahrungen dar, die diese Kopplung begründen. Es handelt
50
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
sich um zwei Gruppen von Relationen. Die erste Gruppe beschreibt die Gleichgewichtskräfte, die in mechanischen Systemen zusätzlich erforderlich sind,
wenn mit den Systempunkten Ladungen oder Elemente von Stromschleifen
verbunden sind. Diese Kräfte werden durch die Gleichungen von Coulomb
und Biot-Savart beschrieben, die zugleich die Ausgangspunkte für die Denition der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen sind [19].
Zur zweiten Gruppe von Relationen gehört die Abhängigkeit der Bauelementeparameter O und F elektrischer Netzwerke von ihrer Geometrie, d. h. von
den Lagekoordinaten des mechanischen Systems oder allgemeiner formuliert,
die Abhängigkeit der elektrostatischen und magnetischen Feldgrößen als Lösung eines Randwertproblems von der Geometrie dieses Problems.
Wegen der Eigenschaft der Coulomb- und Biot-Savart-Gleichungen als logische Quelle für die Feldgleichungen ist es nicht überraschend, dass enge
Bindungen zwischen diesen beiden Relationsgruppen bestehen. Weiterhin darf
nicht vergessen werden, dass zur Denition der magnetischen Feldenergie und
zum Anschluss der magnetischen Feldgrößen an die elektrische Feldstärke bzw.
Spannung noch das Induktionsgesetz als dritte unabhängige Erfahrungstatsache berücksichtigt werden muss.
Die Äquivalenz von galvanischen Strömen und Verschiebungsströmen bezüglich ihrer Kopplung mit magnetischen Feldgrößen als vierte experimentelle
Basiserfahrung wird hier nicht benutzt. Es ist deshalb möglich, die Wechselwirkungen getrennt für Systeme mit elektrischen und magnetischen Feldern
zu behandeln.
Es wird darüber hinaus noch die Annahme gemacht, dass die hier zu betrachtenden elektromechanischen Systeme nur Federelemente und alternativ
Kapazitäten bzw. Induktivitäten oder ggf. elektrische und alternativ magnetische Felder enthalten. Diese Systembegrenzung ist ohne Einschränkung der
Allgemeinheit möglich, weil die Abgrenzung von solchen Teilnetzwerken aus
den jeweiligen elektrischen und mechanischen Netzwerken aus dem Gesamtnetzwerk möglich ist.
Schließlich soll die Beschränkung auf lineare Vorgänge weiterhin gelten. Die
wesentliche Nichtlinearität der o.g. Wechselwirkungskräfte und ggf. der Geometrieabhängigkeit der Bauelementeparameter wird durch Reihenentwicklung
um einen Bezugspunkt linearisiert.
Wechselwirkungen mit elektrischen Feldern
Im Weiteren wird zuerst der Fall betrachtet, dass das zu modellierende elektromechanische System nur ein Federnetzwerk und auf elektrischen Feldern
beruhende Bauelemente enthält. Dazu wird angenommen, dass das Federnetzwerk an seinen Systempunkten q = 1 = = = N elektrische Punktladungen Tq
enthält, die gegenüber dem Bezugspunkt 0 Spannungsdierenzen aufweisen.
Zu den mechanisch verursachten Gleichgewichtskräften müssen jetzt noch die
Coulomb-Kräfte der durch Ladungen verursachten Kräfte Fel>q addiert werden:
2.4 Wechselwirkungen
Fq = Fel>q + Fmech>q
51
(2.115)
Die elektrischen Netzwerkgleichungen erweitern sich zu
N
¡
¢ X
Eqp (r1 > = = = > rq ) Tp .
xq = xq Tp > m =
(2.116)
p=1
Im Folgenden wird für die Zählung der mechanischen Kraft-, Lage-, und Verrückungskomponenten die in Gl. (2.99) getroene Festlegung benutzt, bei der
alle mechanischen Koordinaten von 1 bis 3N durchgezählt werden. Die Matrix
(Eqp ) ist die reziproke Matrix der Kapazitätsmatrix (Fqp ).
Die Reihenentwicklung der Gln. (2.115) und (2.116) nach den Lagekoordinaten und den Ladungen Tp um einen Referenzpunkt Tp0 , {m0 ergibt:
Il Il0 =
3N
X
m=1
p=1
xq xq0 =
N
X
()
Eqp
(Tp Tp0 ) +
(T)
(T)
flm m +
p=1
N
X
lp (Tp Tp0 ) ,
3N
X
0qm m ,
l = 1 = = = 3N (2.117)
q = 1 = = = N (2.118)
m=1
(T)
flm = fml
(2.119)
()
()
Eqp
= Epq
(2.120)
0qm = mq
(2.121)
Die Verrückungen m sind wie vorher durch {m {m0 deniert. Die Koe!zienten
(T)
flm sind die elastischen Koe!zienten, die bei konstant gehaltenen Ladungen
bestimmt werden können. Wegen der Abhängigkeit der elektrischen Feldkräfte
gemäß Gl. (2.115) von den Lagekoordinaten unterscheiden sie sich von denen,
die bei konstant gehaltenen Knotenspannungen gemessen werden können. Entsprechendes gilt für den Unterschied der reziproken Kapazitätskoe!zienten,
die bei verschwindender Verrückung l oder bei konstanten Kräften Il messbar sind. Die Gln. (2.115) und (2.116) können nun mit den Abkürzungen
Il Il0 = Il ,
Tp Tp0 = Tp ,
xq xq0 = xq
zur Matrizengleichung von Tabelle 2.3 zusammengefasst werden.
Mit Hilfe des Coulomb-Gesetzes und den daraus folgenden elektrostatischen
Feldgleichungen lässt sich ableiten, dass die beiden Teilmatrizen (lp ) und
(0qm ) der Symmetriebedingung von Gl. (2.119) gehorchen. In Tabelle 2.3 ist
ein solches übereinstimmendes Koe!zientenpaar 0tu und ut eingetragen.
Wegen der ohnehin symmetrischen Teilmatrizen (flm ) und (Eqp ) ist deshalb
die gesamte Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Dabei können die Variablen Il und xq zu einem verallgemeinerten Vektor und die Variablen
52
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
Tabelle 2.3. Systemmatrix eines elektromechanischen Systems mit Wechselwirkungen durch elektrostatische Felder
F "F I
GG JJ
GG M JJ
GG "F JJ
GG JJ
GG M JJ
GG JJ
GG ""Fu JJ
GG M JJ
GG "u JJ
GG "uM JJ
H K
1
i
N
1
n
M
F
GG
GG
GG
GG
GG
GG
GG
GG
GG
GG
H
FH cb g IK
Q
ij
a rq
ba g
im
da i
FH B b g IK
x
nm
nj
a qr
bQ g cbQ g
cij
ji
,
b xg
b xg
Bnm Bmn
,
I
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
K
F x I
GG JJ
GG M JJ
GG x JJ
GG JJ
GG M JJ
GG JJ
GG "xQ JJ
GG M JJ
GG "Q JJ
GG "QM JJ
H K
1
j
N 3M
N
1
m
M
a qr a rq
l und Tp zu einem verallgemeinerten Vektor zusammengefasst werden.
In Abbildung 2.17 sind für ein spezielles zweidimensionales Punktmodell mit
drei Systempunkten zwei Experimente dargestellt, die zur Bestimmung eines
solchen übereinstimmenden Koe!zientenpaares angestellt werden können.
Der Ausgangspunkt sind die Gleichgewichtskräfte Fl0 und Ladungen Tp0 an
den Systempunkten. Wird eine Ladung Tp vom Punkt 0 zum Punkt 1 gebracht, ändern sich alle Gleichgewichtskräfte. Die Änderung der vertikalen
Komponente von Fl0 als Funktion einer Verrückung 4 ergibt eine Änderung
aller Knotenspannungen xq . Die Änderung der Knotenspannung x1 in Abhängigkeit von 4 ergibt den Koe!zienten 14 . Die Identität beider Koe!zienten
kann aus dem Punktmodell von Abbildung 2.17 mit den Coulomb- und Feldgleichungen direkt nachgewiesen werden.
Der allgemeine Nachweis dieser Symmetrieeigenschaften für technisch reale
Anordnungen setzt eine umfassende Analyse der möglichen Koordinatentransformationen sowie der Einführung von Koppel- und Zwangsbedingungen in
die Elementarnetzwerke voraus, die der Systembeschreibung in Tabelle 2.3
zugrunde liegen. Damit könnten dann aus diesen Elementarnetzwerken verallgemeinerte Netzwerke mit problemangepassten, verallgemeinerten und in der
Zahl verringerten Koordinaten erzeugt werden. Die Verwendung der in den
2.4 Wechselwirkungen
F2
"F4
F1 F10 (F1 , F2 )
Q10
"Q1
1
r1
0
x4
F20 (F3 , F4 )
Q20
Q20
Q10
r2
Q30
3
r3
F3
î 2 (x 3, x4 )
F10
2
u1 "u1
F30 (F5 , F6 )
53
r1
0
r2
Q30
r3
F30
x2
x1
"F4 a 41"Q1
F2 = e1 F3 + e2 F4
a 41 a14
"u1 a14 x 4
î 2 = e1 x3 + e 2 x 4
Abbildung 2.17. Beispiel für elektromechanische Verkopplungen in elektrostatischen Feldern
Gln. (2.101) bis (2.106) erläuterten Transformationen und die Einführung von
verallgemeinerten Koppelsystemen der in den Abbildungen 2.15 und 2.16 beschriebenen Art sichern dann die Erhaltung der Symmetriebedingungen in
dem verallgemeinerten Netzwerk.
Die bei diesem direkten Ableitungsweg zu erwartenden Schwierigkeiten machen es verständlich, dass solche Überlegungen in der Literatur nur ansatzweise zu nden sind. Überdies würde auch diese Vorgehensweise in den Fällen
versagen, in denen überhaupt kein Systemmodell vorliegt. Es handelt sich dabei um alle Arten von dielektrischen Werkstoen, deren Verhalten allein durch
empirische Materialkonstanten beschrieben ist.
Als Folge des geschilderten Sachverhaltes wird in der Literatur üblicherweise
ein anderer Zugang zur Beschreibung der hier vorliegenden Wechselwirkung
gewählt. Er geht davon aus, dass elektromechanische Systeme, bei denen die
Wechselwirkung mit Hilfe elektrostatischer Felder erzeugt wird, N mechanische und M elektrische Systempunkte enthalten. Ihr Zustand wird durch N0
verallgemeinerte Lagekoordinaten und M elektrische Ladungskoordinaten an
diesen Systempunkten beschrieben. Wenn das mechanische Teilsystem außer
den vorausgesetzten Federelementen noch Koppelelemente enthält, kann sich
N0 von 3N unterscheiden. Diese Koordinaten sind in der Umgebung eines Referenzpunktes Tp0 > {l0 durch lineare Relationen der Form von Gl. (2.117) und
(2.118) verknüpft.
Ohne Kenntnis der möglicherweise diesen Gleichungen zugrunde liegenden
strukturellen Systemeigenschaften wird axiomatisch vereinbart, dass die Gesamtmatrix symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist, dass also die Gln. (2.119),
54
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
(2.120) und (2.121) gültig sind. Alle weiteren Schlussfolgerungen gelten dann
nur noch für Systeme, die diese axiomatische Voraussetzung erfüllen. Im Übrigen kann für ein vorgegebenes konkretes System die Erfüllung dieser Bedingung immer mit Hilfe der dann bekannten Struktur- und Feldbeschreibungen
nachgeprüft werden. Für den Fall, dass diese im Fall von Dielektrika auch
für das konkrete System nicht vorhanden sind, bleibt nur die experimentelle
Prüfung. Das so denierte System kann deshalb als ein (N0 M)-Tor gemäß
Abbildung 2.18 aufgefasst werden.
uM
QM
F1
Qn
x1
un
allgemeines
elektromechanisches
System
mit elektrostatischen
Feldern
Fi
xi
Q1
u1
xN FN Abbildung 2.18. Elektromechanisches System mit elektrostatischen Feldern als
3Q-Tor
Bei Kenntnis der Systemgleichungen können dem System ggf. rückwärts innere Netzwerks- und Koppelstrukturen zugewiesen werden.
Die wichtigste Schlussfolgerung aus dieser Symmetriebedingung ist die Existenz einer Zustandsfunktion innere Energie Z :
¢
¡
(2.122)
Z = Z ({m0 > Tp0 ) + Z m > Tp
Die Änderung Z der Gesamtenergie Z erfolgt durch Aufprägung von Änderungen der unabhängigen Verrückungs- und Ladungskoordinaten mit den
Werten m und Tp . Wegen der Abhängigkeiten der Il und xq von den jeweils aktuellen m und Tp ist für die Au!ndung von Z eine Addition
von Teilenergien d (Z ) in dierentiellen Schritten d m > d (Tp ) längs eines
zunächst bestimmten Weges des Zustandsvektors m > Tp im Zustandsraum
vom Anfangspunkt m = 0> Tp = 0 zum Endpunkt m > Tp erforderlich:
0
d (Z ) =
N
X
Il d l +
, Z =
xq d (T)
q=1
l=1
l
N Z
X
0
M
X
l=1 0
T
M Z q
X
Il d l +
xq d (T)
q=1 0
(2.123)
2.4 Wechselwirkungen
55
Die Ausführung dieser Integration unter Berücksichtigung der Systemgleichungen (2.117) bis (2.121) mit 3N $ N0 ergibt:
0
Z =
N
X
Il0 l +
0
xq0 Tq +
q=1
l=1
+
M
X
M
M X
X
0
N
N X
X
(T)
flm l m
l=1 m=1
0
()
Eqp
Tq Tp
+
p=1 q=1
M
N X
X
mp m Tp
(2.124)
m=1 p=1
Dieser Ausdruck ist unabhängig vom Verlauf des Weges der im Zustandsraum
vom Ausgangspunkt l = 0> Tq = 0 zum Endpunkt l > Tq führt. Dieser
grundlegende Sachverhalt liefert die Berechtigung, die Funktion Z ( l > Tq )
aus Gl. (2.122) als Zustandsfunktion der Variablen l und Tq zu bezeichnen. Er begründet ebenfalls die in der Regel vorhandene Darstellung, bei der
anstelle der Symmetrie der Systemmatrix axiomatisch die Existenz einer Zustandsfunktion innere Energie gefordert wird.
Es kann noch bemerkt werden, dass im Falle nichtlinearer Systemgleichungen
Il = i (Tp > {m )
(2.125)
xq = * (Tp > {m ) ,
(2.126)
die aus den Gln. (2.115) und (2.116) folgen, die Wegunabhängigkeit der durch
0
dZ =
Q
X
Il d{l +
P
X
xq dTq
(2.127)
q=1
l=1
(1)
(1)
defnierten Energie Z (Tq > {l ) zwischen zwei Systemzuständen Tq > {l und
(0)
(0)
einem Bezugszustand Tq > {l ebenfalls existiert. Der Bezugszustand wird
üblicherweise durch
T(0)
q = 0>
(0)
Il ({m0 ) = Il
,
xq = 0>
Z0 = 0
(2.128)
beschrieben.
Außerdem ist in diesem Zusammenhang angebracht, auf die hier benutzte Unterscheidung zwischen den sogenannten virtuellen, linearen und allgemeinen
Zustandsänderungen hinzuweisen. Es sind in Gl. (2.127) durch hinreichend
kleine d{l und dTq Zustandsänderungen denkbar, bei denen die entsprechend
den Gln. (2.125) und (2.126) allgemein von {l > Tp abhängigen Il und xq
durch ihre Werte im Referenzpunkt ersetzt werden können. Damit wird dZ
eine lineare Funktion der unabhängigen Variablen {l und Tq . Allerdings existieren diese linearen Abhängigkeiten nur für diejenigen Koordinatenpaare, bei
56
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
denen die abhängigen Koordinaten im Referenzpunkt von 0 verschieden sind.
Koordinatenpaare, für die diese Bedingungen nicht erfüllt sind, liefern keinen
Beitrag zu dZ . Solche Zustandsänderungen werden als virtuelle Zustandsänderungen bezeichnet und hier durch (==) beschrieben.
Wenn die Änderung der Tq und {l so groß sind, dass sie die Bedingung der virtuellen Zustandsänderung verletzen, kann die Energie Z bzw. dZ nur durch
Integration der Gl. (2.127) bestimmt werden, wobei auch im nichtlinearen Fall
die Wegunabhängigkeit existiert. Im Falle der linearen Systemgleichungen, bei
denen die Änderungen der Koordinaten relativ zum Bezugspunkt durch (==)
bezeichnet werden, folgt dann aber durch Integration von Gl. (2.127) ein geschlossener Ausdruck für Z entsprechend Gl. (2.124).
Wegen der Eigenschaft von Z als Zustandsfunktion bzw. der Eigenschaft von
dZ aus Gl.(2.127) als vollständiges Dierential folgt dann
¯
CZ ¯¯
(2.129)
Il =
C{l ¯{l >Tq
¯
CZ ¯¯
xq =
(2.130)
CTq ¯{l >Tq
und daraus im linearen Fall die Identität aus Gl. (2.121). Die Anwendung dieses Konzeptes wird im Kapitel 9 an einer Vielzahl von technisch realen Anordnungen demonstriert. Insbesondere wird dort der Fall näher betrachtet, dass
nur ein elektrisches mit einem mechanischen Koordinatenpaar verkoppelt ist.
Aus dieser Betrachtung entsteht dann ein, den mechanischen Koppelelementen aus Abbildung 2.15 und 2.16 entsprechendes, spezielles Koppelelement.
Es stellt den möglichen Grundbaustein der elektromechanischen Kopplung
in einer strukturierten netzwerkorientierten Darstellung linearer dynamischer
Systeme entsprechend Abbildung 2.19 dar.
Wechselwirkungen mit magnetischen Feldern
Im Fall der Verkopplung mechanischer Federnetzwerke mit magnetischen Feldelementen können die vorhergehenden Überlegungen wiederholt werden. Die
Umstände sind jedoch wesentlich komplizierter, weil das Biot-Savart-Gesetz
eine schwer übersehbare Verknüpfung der Gleichgewichtskräfte an Elementen
von Stromschleifen darstellt. Der Umstand, dass hier ein orientiertes Stromelement, also ein starrer Körper im Gleichgewicht gehalten werden muss,
schließt die Zuordnung zu einem mechanischen Systempunkt mit drei Lagekoordinaten aus. Es muss hier vielmehr der einfachste starre Körper, dessen
Lage durch fünf Lagekoordinaten bestimmt ist, verwendet werden. Darüber
hinaus muss zugelassen werden, dass sich nicht nur der gesamte Stromring
als starrer Körper bewegt, sondern entsprechend der mechanischen Kopplung
der Stromringelemente kann sich auch seine geometrische Form ändern. Diese
schwer übersehbare Vielfalt schließt die Aufstellung selbst so einfacher Modelle, wie das in Abbildung 2.17 gezeigte, aus. Es kann deshalb nur die der
2.4 Wechselwirkungen
57
Gl. (2.115) entsprechende Relation der Addition der an jedem mechanischen
Systempunkt erforderlichen Gleichgewichtskraft aus mechanischer und magnetischer Kraft angegeben werden:
Fq = Fmagn>q + Fmech>q
(2.131)
Fmagn = i (ln > r1 = = = rN )
(2.132)
Die elektrischen Netzwerkgleichungen mit den Koordinaten Spannungsintegral p und Ströme ln erweitern sich zu:
p = p (ln > r1 = = = rN ) =
M
X
Opn (r1 = = = rN ) ln
(2.133)
n=1
Für die weiteren Betrachtungen werden wieder sämtliche Komponenten der
unabhängigen Lage- und Kraftvektoren jeweils von 1===N0 durchgezählt. In der
Umgebung des Referenzpunktes {m0 > Il0 > ln0 > p0 lassen sich die Gln. (2.122)
und (2.133) wieder durch Reihenentwicklung linearisieren. Dabei wird wieder
die Verrückung m = {m {m0 eingeführt. Es soll gelten:
0
Il Il0 =
N
X
p p0 =
M
X
(l)
flm m +
p=1
m=1
n=1
M
X
lp (lp lp0 ) ,
l = 1 = = = N0 (2.134)
0
()
Opn
(ln ln0 ) +
N
X
0pm m ,
p = 1 = = = M (2.135)
m=1
Für den Fall, dass einfach übersehbare Kombinationen aus Federnetzwerken
und damit verbundenen Stromschleifen vorliegen, kann die Symmetrie der
Gesamtmatrix der Gln. (2.134) und (2.135) direkt aus den Biot-SavartKräften und den magnetischen Feldkräften bzw. den Netzwerkstrukturen der
Opn und flm abgeleitet werden. Wenn diese Strukturinformationen nicht vorliegen, bleibt nur die axiomatische Annahme, dass das durch die Gln. (2.134)
und (2.135) denierte (N0 > M) Tor wie in Abbildung 2.18 eine Zustandsfunktion innere Energie Z besitzt:
¢
¡
(2.136)
Z ({m > p ) = Z ({m0 > p ) + Z m > p
Um daraus auf die Symmetrie einer Systemmatrix zu schließen sind zwei Wege
möglich:
Anstelle der inneren Energie Z wird die Zustandsfunktion Enthalpie
K =Z M
X
p=1
p lp
(2.137)
58
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
benutzt. Analog zu dem Verfahren im elektrostatischen Fall kann damit die
Symmetrie der Gesamtmatrix der Gleichungen (2.134) und (2.135) nachgewiesen werden.
Zur Benutzung der inneren Energie als Zustandsfunktion ist es erforderlich,
das Gleichungssystem (2.134) und (2.135) so umzuformen, dass die p und
m als unabhängige Variablen erscheinen:
0
N
X
Il =
()
flm m +
ln =
elp p
(2.138)
p=1
m=1
M
X
M
X
0
()
Nnp p
+
N
X
e0pm m
(2.139)
m=1
n=1
()
(l)
Die Nnp sind die reziproken Induktivitätskoe!zienten. Die Koe!zienten flm ,
()
lp , 0pm lassen sich aus den flm , elp , e0pm bestimmen.
Mit der Bedeutung von Z analog zu Gl. (2.123)
l
N Z
X
0
Z =
l=1 0
Z p
M
X
Il d l +
lp dp
(2.140)
p=1 0
und den Gln. (2.138) und (2.139) lässt sich die Integration in Gl. (2.140)
ausführen. Mit den Symmetriebedingungen
()
()
flm = fml
()
(2.141)
()
Nnp = Npn
(2.142)
elp = e0pl
(2.143)
erweist sich Z dann als unabhängig vom Integrationsweg:
0
Z =
N
X
Il0 l +
l=1
+
M X
M
X
p=1 n=1
M
X
0
lp0 p +
p=1
()
Nnp n p +
0
N X
N
X
()
flm l m
l=1 m=1
0
N X
M
X
emp m p
(2.144)
m=1 p=1
Im Umkehrschluss ergeben sich die Systemgleichungen (2.131) bis (2.133) aus:
¯
CZ ¯¯
Il =
(2.145)
C{l ¯{l0 >p0
¯
CZ ¯¯
ln =
(2.146)
Cp ¯{l0 >p0
2.5 Strukturierte Netzwerkdarstellung linearer dynamischer Systeme
59
Die Überlegungen im Zusammenhang mit Abbildung 2.18 gelten auch hier
sinngemäß. Die Symmetriebedingungen (2.136) führen in Verbindung mit den
erwähnten Relationen zwischen den Koe!zienten der Gln. (2.134), (2.135),
(2.138) und (2.139) zu der Aussage, dass auch die Matrix der Gln. (2.134)
und (2.135) symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist. Es gelten auch dort die
Symmetriebedingungen:
(l)
(l)
flm = fml
(2.147)
Opn = Onp
()
()
(2.148)
lp = 0pm
(2.149)
In Kapitel 8 werden ausgehend von den hier beschriebenen Relationen eine
Vielzahl von realen technischen Anordnungen mit magnetischen Feldkräften
beschrieben.
2.5 Strukturierte Netzwerkdarstellung linearer
dynamischer Systeme
In den Kapiteln 3 bis 9 werden, ausgehend von den in dieser Einführung zitierten physikalischen Grundlagen, strukturierte Netzwerkbeschreibungen von
Teilbereichen entwickelt, deren Zusammenhang in Abbildung 2.19 deutlich
wird. Es entstehen drei Elementarnetzwerke, die zueinander isomorph sind
und deren topologische Strukturen den geometrisch-konstruktiven Strukturen
ihrer technischen Originale entsprechen. Die daraus ableitbaren Folgerungen
werden in Kapitel 4 ausführlich diskutiert. Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist, dass in allen Elementarnetzwerken zwei topologisch bestimmte Koordinatenarten deniert werden können.
Es handelt sich dabei einerseits um Flusskoordinaten, die an beiden Bauelementeenden übereinstimmen und zum anderen um Dierenzkoordinaten, die
zwischen den beiden Bauelementeenden deniert sind.
Zwischen diesen Elementarnetzwerken existieren Koppelelemente — Wandlervierpole. Bei ihnen lassen sich zwei bezüglich ihres Übertragungsverhaltens
unterschiedliche Gruppen erkennen. Die eine Gruppe verknüpft jeweils zwei
Flusskoordinaten und zwei Dierenzkoordinaten miteinander.
Die andere Gruppe verknüpft jeweils eine Flusskoordinate des einen Tores mit
einer Dierenzkoordinate des anderen Tores. Die eingeführten Wandlervierpole, kurz als Wandler bezeichnet, weisen Reziprozität auf. Auf die Reziprozität
in linearen Netzwerken wird ausführlich in Kapitel 10 eingegangen.
Die Elemente aus Abbildung 2.19 sind insofern unvollständig, als sie die linearen thermodynamischen Systeme mit den Bauelementen Wärmespeicher
60
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
elektrische Systeme
uN
iN
u2
un
u Z i,
i Y u
F
i
bg
i
u
i2
C
L
R
ü
in
1
X
0
u1
i1
0
v
bg
0
1
Y
u
X
magnetischer Wandler
F
Y
v
0
elektrischer Wandler
translatorische Systeme
F1
m
n
r
ü
Fn
translatorischrotat. Wandler
F1
vn
M 2 ,+ 2
v1
v2
M 1 ,+1
v1
F2
mechanischakust. Wandler
v2
bg
v h F,
bg
p1
F2
rotatorische Systeme
M1
3
nR
rR
ü
Mn
+n
bg
+ h M,
n
v
p2
akustische Systeme
+1
q1
M2
+2
bg
q2
q1 F
F z v
M z+
qn
pn
c h
q Z a p,
p1
Ma
Na
Za
q2
p2
c h
p Ya q
Abbildung 2.19. Netzwerkstrukturierung linearer dynamischer Systeme
2.6 Grundgleichungen linearer Netzwerke
61
und Wärmeleiter und die thermomechanischen (Carnot-Prozess) und thermoelektrischen (Peltierelemente) Wandlerelemente entsprechend dem Applikationsspektrum dieses Buches nicht enthalten. Ihre netzwerkorientierte Beschreibung ist mit den Koordinaten Temperaturdierenz und Entropie uss
bzw. relative Temperaturdierenz und Wärmemengen uss auf die gleiche Weise möglich, wie die der übrigen Elemente in Abbildung 2.19.
Im Übrigen darf nicht übersehen werden, dass mit den in Abbildung 2.19 dargestellten Systemelementen wesentliche Vorgänge aus dem Gültigkeitsbereich
des Lagrange-Hamilton-Formalismus nicht behandelt werden können. Zuerst muss hier die Linearitätseinschränkung genannt werden. Bei vielen realen
dynamischen Problemen stellt jedoch die lineare Näherungslösung den geeigneten Ausgangspunkt dar, von dem aus auf iterative Weise nichtlineare
Lösungen abgeleitet werden können.
Eine weitere Einschränkung stellt der Ausschluss solcher Koordinatentransformationen dar, in denen die Zeit explizit enthalten ist. Damit sind solche
Eekte wie das Auftreten von Coriolis-Kräften und alle Kreiselphänomene ausgeschlossen. Die in diesem einführenden Kapitel zitierten allgemeinen
physikalischen Grundlagen geben jedoch Hinweise, mit welchen Methoden die
aufgeführten Einschränkungen behoben werden können.
2.6 Grundgleichungen linearer Netzwerke
Die ortsdiskrete Beschreibung elektrischer und mechanischer Systeme einschließlich ihrer Wechselwirkungen untereinander gestattet die in Abbildung
2.19 dargestellte Strukturierung in Elementarnetzwerke und Wechselwirkungselemente. In Kapitel 3 wird gezeigt, wie diese Gleichungen für jedes Elementarnetzwerk aus den Eigenschaften der Bauelemente und den in jeder Elementarstruktur vorhandenen Bilanzgleichungen aufgefunden werden können. Die
Grundgleichungen linearer Netzwerke sind in den Gln. (2.150) bis (2.152) in
allgemeiner Form dargestellt:
l = l
dl
,
dw
p = p
dp
,
dw
q = q q
X
l = 0
(2.150)
Umlauf
X
m = 0
(2.151)
Knoten
(2.152)
Dabei repräsentiert die Größe eine Flusskoordinate, die Größe eine Dierenzkoordinate, die Größen , und repräsentieren Bauelemente.
Wechselwirkungen zwischen Elementarnetzwerken verschiedener physikalischer Strukturen können durch Koppelelemente der Gln. (2.153) und (2.154)
62
2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen
beschrieben werden:
¶ ¶
¶ [ 0
N
O
=
0 1@[
O
N
¶ ¶
¶ N
O
0 \
=
1@\ 0
O
N
(2.153)
(2.154)
Koppelelemente dieser Art können auch in Elementarnetzwerken einer physikalischen Struktur enthalten sein. In den Kapiteln 8 und 9 wird gezeigt, wie
die Wandlerkoe!zienten [ bzw. \ aus den jeweils vorhandenen Wechselwirkungen bestimmt werden können.
Teil II
Netzwerkdarstellung konzentrierter und
verteilter Systeme
3
Mechanische und akustische Netzwerke mit
konzentrierten Parametern
Für den Entwurf und die Konstruktion von elektromechanischen und elektroakustischen Systemen ist es erforderlich, das dynamische Verhalten schon
während der Entwurfsphase zu kennen, da bestimmte dynamische Zielparameter neben anderen Forderungen zu erfüllen sind. Aber auch die Kontrolle
eines bestehenden Systems erfordert es oft, ein Modell für das dynamische
Verhalten aufzustellen. Mit diesem Modell können dann Simulationen ausgeführt werden, deren Ergebnisse für die weiteren Entscheidungen wichtig sind.
Um zielgerichtet über eine Aufgabe nachzudenken oder mit Partnern darüber
zu diskutieren ist es ebenfalls sinnvoll, ein Modell zur Verfügung zu haben.
Hierfür sind besonders Modelle geeignet, die sich auf das Wesentliche des dynamischen Verhaltens konzentrieren.
In den folgenden Abschnitten sollen deshalb nur die mechanischen Systeme näher betrachtet werden, die sich durch die Elementarnetzwerke von Abbildung
2.19 im Abschnitt 2.5 abbilden lassen. Gegenüber den allgemeinen mechanischen Systemen ist damit zunächst die Beschränkung auf lineare Relationen
zwischen den Koordinaten verbunden. Das System kann durch lineare Dierentialgleichungen beschrieben werden.
Als einfachste Modellstufe ist es oft möglich, die Parameter dieses Systems als
räumlich konzentriert anzusehen. Die partiellen Raum-Zeit-Dierentialgleichungen, welche das physikalische System umfassend beschreiben können, reduzieren sich dadurch auf ein System gewöhnlicher zeitlicher Dierentialgleichungen. Die Beschränkung auf die o.g. Elementarnetzwerke erlaubt es, die
allgemeinen Lösungsmethoden der theoretischen Mechanik auf die Denition
mechanischer Grundbauelemente und Koordinaten sowie auf Regeln für ihre
Verknüpfung untereinander zu reduzieren. Diese Regeln haben die Bedeutung von Kräftegleichgewichten und kinematischen Verträglichkeitsbedingungen für die Lagekoordinaten. Dadurch können Koordinaten und Bauelemente
so deniert werden, dass die Voraussetzungen der linearen Netzwerktheorie erfüllt sind. Als Ergebnis können die besonders in der Elektrotechnik gebräuchlichen eektiven Rechenmethoden der linearen Systemtheorie und die vorhandenen Netzwerksimulationsprogramme ohne weitere Aufwendungen eingesetzt
66
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
werden. Auch das ist ein erklärtes Ziel der Methode. Diese Netzwerk-Methode
führt im Allgemeinen wesentlich schneller zum Ziel, als die direkte Berechnung
über Dierentialgleichungen. Durch Abstraktion von der realen physikalischen
Struktur gelangt man zu einem Schema, das nur die für die Berechnung zwischen den Koordinaten notwendigen Informationen enthält.
Wie in den Kapiteln 7, 8 und 9 noch gezeigt wird, lässt sich der elektrische, mechanische und akustische Teil eines so beschriebenen Systems durch
Wandler verkoppeln. Auf diese Weise entsteht ein geschlossenes Modell, welches komfortabel die Berechnung der dynamischen Zusammenhänge zwischen
einer Quellgröße und einer Beobachtungsgröße oder zwischen zwei Beobachtungsgrößen bei angenommener Existenz einer Quellgröße gestattet.
In den folgenden Abschnitten wird die Netzwerkbeschreibung mechanischer
und akustischer Systeme dargestellt. Die dort genannten Voraussetzungen
schränken die Problemklassen, auf die dieses Hilfsmittel angewendet werden
kann, deutlich ein. Alternativ oder ergänzend wird man auf die Rechenmethoden der Finiten Elemente und der Randelementmethoden zurückgreifen,
die allerdings einen deutlich höheren Aufwand für dynamische Analysen erfordern. Bei geeigneten Fragestellungen kann eine Mischtechnik hocheektiv
dynamische Lösungen für komplette Modelle mit elektrischen und mechanischakustischen Ein- und Ausgängen bereitstellen, die von beiden Methoden einzeln nicht zu erbringen wären (s. Abschn. 6.4).
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische
Bewegungen
3.1.1 Vereinbarungen
In diesem Abschnitt werden mechanische Systeme betrachtet, die räumlich
konzentrierte Massen, Federn und Reibungselemente besitzen. Durch Lager
wird sichergestellt, dass sich alle betrachteten Verbindungspunkte nur parallel
zu einer Geraden bewegen können (eindimensionale Bewegung). Die Verbindungspunkte werden nachfolgend auch als Systempunkte bezeichnet. Abbildung 3.1 zeigt ein Beispiel für ein derartiges System.
Wirken auf Systempunkte eines solchen Systems äußere eingeprägte Kräfte
Fl , so werden durch die Lager Zwangskräfte erzeugt, die nach Summation dazu führen, dass nur Kraftkomponenten wirksam werden, die in der möglichen
Bewegungsrichtung liegen. Die Vektordarstellung der eingeprägten Kräfte Fl
kann deshalb auf die Komponenten der Kraftvektoren in diese Richtung beschränkt werden. Das Problem lässt sich auch dadurch vereinfachen, dass
vereinbarungsgemäß nur äußere Kräfte in dieser Richtung einwirken sollen.
Alternativ zur Vektordarstellung der Kraft ist es in der Mechanik üblich, die
Kraft durch eine skalare Größe I (Koordinate) entlang einer gezeichneten
Richtung (dargestellt durch einen Pfeil) auszudrücken. Wenn die Koordinate
I positiv ist, dann hat die Kraft die Richtung des gezeichneten Pfeils. Wenn
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
67
Feder
gelagerte
Führungsstange
(masselos, starr)
bg
pt
Masse
Feder
Hebel
Kraftquelle
Abbildung 3.1. Mechanisches System mit translatorischen Bewegungen
a)
b)
ey
ex
y
x
F
F
ez
Kraftangriffspunkt
F e x Fx e y Fy e z Fz
123
F
y-Komponente
des Vektors
Richtungspfeil
(nur max. zweidimensional zeichenbar)
F
F
F
skalarer Wert der Kraft
(Koordinate Kraft)
F
F
U|
V|
W
R|
S|
T
F
F
F
Abbildung 3.2. Vektor- und Koordinatendarstellung der Kraft
a) Darstellung der Kraft durch einen Vektor
b) Kennzeichnung der Kraft durch eine Koordinate I entlang einer gezeichneten
Richtung
sie negativ ist, wirkt die Kraft in die Gegenrichtung. In beiden Fällen wirkt
die Kraft auf den Systempunkt, der am Ende des Pfeils oder vor der Pfeilspitze liegt. Die Vereinbarungen zur Darstellung der Kraft sind in Abbildung
3.2 zusammengestellt.
Für ein System nach Abbildung 3.1 kann z. B. die zu lösende Aufgabe darin
bestehen, die Zeitfunktionen der Lagekoordinaten der Verbindungspunkte als
Funktion der eingeprägten Kräfte zu berechnen. Es könnten auch die Zeit-
68
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
funktionen der Kräfte zwischen den Elementen bei bekannten Zeitfunktionen
der Lagekoordinaten gesucht sein. Statt der Lagekoordinaten können die Geschwindigkeiten oder die Beschleunigungen der Systempunkte interessieren.
Das in Abbildung 3.1 gezeigte System enthält neben den bereits erwähnten
Bauelementen Feder und Masse noch das Bauelement Hebel mit festem Drehpunkt. Wenn die Verschiebungen der Systempunkte am Hebel genügend klein
sind und die Eigenmasse des Hebels unberücksichtigt bleibt (idealer Hebel),
genügt es, nur translatorische Komponenten der Bewegungen und Kräfte zu
berücksichtigen. Der Hebel arbeitet dann als linearer Weg-Übersetzer (s. Abschn. 3.1.3).
3.1.2 Koordinaten
Im Rahmen der Mechanik werden die oben genannten Systeme durch Lagekoordinaten ausgewählter Systempunkte in einem Koordinatensystem beschrieben. Außerdem werden die an diesen Systempunkten wirkenden Kräfte betrachtet. Die mechanischen Koordinaten sind also Lagekoordinaten und
Kraftvektoren.
Wie im Abschnitt 3.1.1 ausgeführt, können sich die Verbindungspunkte im
vereinbarten Modell nur in einer Richtung bewegen. An den Verbindungsstellen (Systempunkten) der konzentrierten Elemente können von Quellmechanismen Kräfte oder Bewegungen aufgeprägt werden. Am Beispiel einer Feder
zeigt Abbildung 3.3a, wie eine Druckkraft I eine Verkürzung der Feder
hervorruft. Die Kraftpfeile einer Druckkraft zeigen auf das Bauelement bei
positivem Wert der Kraft (Koordinatendarstellung, s. auch Abb. 3.2 und Abschn. 3.1.1). Ein positiver Wert für ist als eine Verkürzung des Abstandes
zwischen den Systempunkten des Bauelementes deniert.
Unter Berücksichtigung des Zieles der nächsten Abschnitte, globale Modelle
auf Netzwerkebene aus elektrischen, mechanischen und akustischen Teilsystemen aufzubauen, ist es sinnvoll, die Anpassung an die elektrischen Systeme
bereits bei der Wahl der Koordinaten zu beginnen. Der aufzustellende Satz
von Gleichungen soll letztlich denen des elektrischen Netzwerkes aus Tabelle
2.2 isomorph sein. Das bedeutet, dass sich die mechanisch abgeleiteten Systemgleichungen und ihre Zuordnungen zu den sie erzeugenden Strukturen von
denen der elektrischen Netzwerke nur durch die Bezeichnungen ihrer Variablen und Parameter unterscheiden sollen.
Das Produkt der Koordinaten ergibt bei elektrischen Netzwerken eine Leistung. Die Bewegungskoordinate des mechanischen Netzwerkes sollte deshalb
nicht die Lage der Systempunkte auf der Translationsachse, sondern deren
zeitliche Ableitung, d. h. ihre Geschwindigkeiten beschreiben. Außerdem betrachtet man bei Netzwerken nicht die Geschwindigkeit der einzelnen Systempunkte, sondern die Dierenz der Geschwindigkeiten über den Endpunkten
des jeweiligen Bauelementes. Das ist sinnvoll, weil die auf das Element wir-
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
a) Mechanische Koordinaten
69
b) Netzwerkkoordinaten
x
+
F
l
x
F
F
l
l l x Bauelementeausschlag (Verkürzung des
Bauelements)
F ist Druckkraft auf das
Bauelement
; v
dx
dt
Vereinbarung:
Ausschlags- (Geschwindigkeits)pfeil
hat die Richtung der Koordinatenachse,
wenn eine Verkürzung vorliegt.
Kraftpfeil hat die Richtung der
Koordinatenachse, wenn in den
Verbindungsstangen ein Druckzustand vorliegt.
F F
F
x
x x
Verkürzung, Druck
Verlängerung, Zug
Abbildung 3.3. Mechanische Koordinaten und Netzwerkkoordinaten
kende Kraft I ursächlich mit dieser Geschwindigkeitsdierenz y verbunden
ist. Es werden deshalb folgende Netzwerkkoordinaten gewählt:
• Geschwindigkeitsdierenz y über dem Bauelement
• Schnittkraft I in den als starr und masselos gedachten Verbindungsstangen
Auch in der Netzwerkdarstellung werden die Richtungen der Koordinaten
durch Pfeile abgebildet. Ein Beispiel ist in Abbildung 3.3 b) gezeigt. Zur
eindeutigen Vorzeichenbestimmung sind weitere Vereinbarungen notwendig.
Dazu wird eine der beiden möglichen Bewegungsrichtungen als positive Bezugsrichtung festgelegt. Diese Bezugsrichtung wird als Bezugspfeil (Abb. 3.3
oben) dargestellt. Darauf beziehen sich folgende Richtungsvereinbarungen:
• Ein Geschwindigkeitspfeil, dessen Richtung mit der Richtung des Bezugspfeils übereinstimmt, soll dann bei positivem Zahlenwert für die Geschwindigkeit eine mit der Zeit zunehmende Verkürzung des Bauelementes kennzeichnen.
• Ein Kraftpfeil in einer Verbindungsstange, dessen Richtung mit der Bezugsrichtung übereinstimmt, soll bei positivem Zahlenwert für die Kraft
einen Druckzustand in der Verbindungsstange darstellen.
70
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Diese Vereinbarungen stimmen strukturell mit den üblichen Darstellungen in
elektrischen Netzwerken überein. Im Rahmen der Mechanik ist es üblich, an
einen Systempunkt einen Kraftpfeil zu zeichnen (s. Abb. 3.3). Das bedeutet, dass auf den Systempunkt eine äußere Kraft I einwirken soll. Anders
ausgedrückt wirkt dann eine krafterzeugende Quelle zwischen dem Koordinatenursprungspunkt auf der Translationsachse und dem Systempunkt. Die
Quelle speist ihre Kraft in den Systempunkt ein und stützt sich dabei am Koordinatenursprungspunkt ab. In der Netzwerkdarstellung wird diese Situation
durch eine äußere Quelle (aktiver Zweipol) abgebildet. Koordinatenursprungspunkt kann jeder Punkt sein, der starr mit dem Schwerpunkt des betrachteten abgeschlossenen mechanischen Systems verbunden ist oder sich höchstens
gleichförmig in diesem System bewegt. So ist es als Denkhilfe zweckmäßig,
sich um eine zu betrachtende Anordnung einen umgebenden starren Rahmen
zu denken, der fest mit einer extrem großen Masse verbunden ist. Alle Punkte
auf diesem Rahmen sind dann als Koordinatenursprungspunkt geeignet.
3.1.3 Bauelemente
Bauelemente für mechanische Netzwerke sind Federelemente, Reibungselemente, Masseelemente und Hebelelemente. Der Übergang vom realen Bauelement zum verallgemeinerten idealisierten Bauelement wird zunächst am
Beispiel von Federelementen diskutiert.
Bauelement Feder
In Abbildung 3.4 sind im linken Bildteil drei mögliche Federarten dargestellt.
Ein Vierkantstab wird durch die Kraft I , die auf die obere und untere Fläche
D einwirkt, zusammengedrückt.
Die Einwirkung der Kraft I auf die Fläche D soll so geschehen, dass sie
gleichmäßig auf die gesamte Fläche einwirkt, so dass eine ortsunabhängige mechanische Längsspannung im Druckstab entsteht. Die Krafteinleitung erfolgt
modellgemäß über eine gedachte masselose, starre Verbindungsstange. Diese
Stange mit einem Kraftangrispunkt wird symbolisch dem realen Bauelement
auf jeder Seite hinzugefügt. Auf diese Weise entstehen zwei Kraftangrispunkte am Bauelement, die den Charakter von Systempunkten tragen, an denen
eine Abstandsänderung zwischen den Punkten bei Kraftwirkung beobachtet
werden kann.
Im Fall der Stabfeder ergibt sich mit der Stablänge o und dem Elastizitätsmodul H des Stabwerkstoes die Verkürzung bei Einwirkung einer Längskraft
I zu:
o
I
(3.1)
=
HD
Das Verhältnis von @I wird Nachgiebigkeit q genannt. Sie ist der Kehrwert
der allgemein üblichen Federkonstante f. Die Zweckmäßigkeit, statt der Federkonstante f als federeigenschaftsbeschreibenden Parameter die Nachgiebigkeit
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
Feder mit
Scherschicht
Stabfeder
x
F
F
2
A
Biegefeder
F
F
2
A
2
h
l
n
x2 x
v1 dx 1
dt
v2 v v1 v2 n
1
F
F
F
x nF
1
h
1
2
x1
b
l
n
1
71
dx 2
dt
dF
dt
F
l
E A
n
h
G A
n
4 l3
E b h3
vn
dF
dt
Abbildung 3.4. Bauelement Feder — Realisierungsbeispiele und Modell
q zu verwenden, ergibt sich aus der gewünschten Strukturgleichheit mit elektrischen Netzwerken (s. a. Abschn. 2.2).
Im zweiten Beispiel in Abbildung 3.4 wird eine Schicht mit der Schichthöhe
k an den Flächen D auf Scherung belastet. Die Einwirkung der Kraft I führt
zu einer Winkeländerung der Seiten ächen der Scherschicht gegenüber den
Flächen D. Auf Grund dieser Winkeländerung kommt es zu einer Verkürzung
zwischen den Systempunkten 1 und 2, die analog zum Beispiel der Stabfeder an den Enden von gedachten starren und masselosen Anschlussstangen
deniert sein sollen. Die Nachgiebigkeit q wird durch den Schubmodul J, die
Schichthöhe k und die Fläche D bestimmt.
Genauso kann auch ein Biegefederelement betrachtet werden. In Abbildung
3.4 (Mitte) ist das eine Ende einer Biegefeder der Breite e und der Biegerhöhe
k starr mit einer gelagerten und nur in Translationsrichtung { frei beweglichen
starren Stange verbunden. An der Stange soll der Systempunkt 2 liegen. Am
anderen Ende des Biegers liegt der Systempunkt 1. Wenn eine Kraft I auf
die Systempunkte wirkt, führt das zu einer Änderung ihrer {-Koordinaten.
Wie aus den Beispielen zu erkennen ist, müssen die Mittellinien der Verbindungsstangen nicht auf einer Linie liegen. Sie müssen aber parallel zueinander
liegen und die Bewegung darf nur in der denierten Translationsrichtung {
möglich sein.
Damit die gewählten Koordinaten I und y benutzt werden können, ist es
noch erforderlich, aus der Änderung der {-Koordinaten die Geschwindigkeit
der Systempunkte und nachfolgend die Dierenz der Geschwindigkeiten zu
bilden. Die Kraft kann nun mit der Geschwindigkeit über dem Bauelement
Feder verknüpft werden.
72
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Bauelement Reibung
Reibungsbauelemente werden in einige Konstruktionen bewusst eingebaut,
um Resonanzeekte zu bedämpfen. In anderen Konstruktionen sind sie unerwünscht, aber durch das reale Verhalten von Federbauelementen vorhanden.
Bewegt man z. B. eine starren Körper langsam in einem ölgefüllten Gefäß, so
ist für diese Bewegung eine Kraft erforderlich, die in erster Linie durch die
Zähigkeitsreibung im Öl bestimmt wird. Die Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit der Bewegung. In Abbildung 3.5 ist im oberen linken Bildteil
eine solche Anordnung symbolisch neben anderen möglichen Anordnungen
dargestellt. Das Reibungselement liegt zwischen den zwei Systempunkten 1
und 2, die sich entlang der {-Achse bewegen können. Die Geschwindigkeitsdierenz y = y1 y2 der beiden Systempunkte 1 und 2 ist proportional zur
Kraft I , die auf die Systempunkte wirkt. Der Proportionalitätsfaktor u = I@y
wird Reibungsimpedanz genannt.
x
F
F
2
r
F
2
F
1
A
2
x1
v1 1
F
2
z.B. Fettschicht
dx1
dt
x2
v2 x
dx 2
dt
F r (v1 v 2 )
1
x
1
F
F rv
Abbildung 3.5. Bauelement Reibung — Realisierungsbeispiel und Modell
Das Symbol des mechanischen Bauelementes ist im rechten Bildteil von Abbildung 3.5 dargestellt. In der Realität sind solche Bauelemente natürlich auch
noch massebehaftet. Die mitbewegte Masse stellt man dann als getrenntes
Bauelement dar. Falls das reale Bauelement über innere Federelemente verfügen sollte, so müssen auch diese Elemente getrennt dargestellt werden. Das
eigentliche Reibungselement ist dann ein idealisiertes Element, welches nur
den Reibungseekt verkörpert. Von den hier dargestellten linearen Modellen
werden nur viskose Reibungseekte abgebildet.
Im Abschnitt 3.1.5 wird gezeigt, dass zwischen einer mechanischen Netzwerkabbildung und einer elektrischen Schaltung Analogiebeziehungen bestehen. Da es in der Elektrotechnik üblich ist, an das Widerstandsbauelement
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
73
den Parameter „Elektrischer Widerstand” U und nicht den elektrischen Leitwert zu schreiben, wird wegen der Darstellungsanalogie auch der Kehrwert
der Reibungsimpedanz 1@u = k (die sogenannte Reibungsadmittanz k) als
Parameter verwendet.
Bauelement Masse
Eine Kraft, die auf einen starren, beweglichen Körper einwirkt, wird den Körper beschleunigen. Der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Geschwindigkeitsänderung wird als Masse des Körpers bezeichnet.
Soll die Masse des Körpers als Bauelement in einem Netzwerk mit den Koordinaten I und y abgebildet werden, so sind dazu zwei Systempunkte erforderlich. Die Geschwindigkeitsdierenz zwischen den Systempunkten soll ausschließlich durch die Eigenschaft der Masse des Körpers und die Einwirkung
der Kraft vorzeichenrichtig bestimmt sein.
Der erste Systempunkt ist der Schwerpunkt des Körpers, auf den die Kraft
I einwirkt. Zur Wahl des zweiten Systempunktes ist zunächst eine Fallunterscheidung notwendig.
• Nimmt man eine Druckkraft in {-Richtung auf den Masseschwerpunkt an
(mechanische Darstellung: Kraftpfeil zeigt in positiver {-Richtung auf den
Masseschwerpunkt), so kann man als zweiten Systempunkt einen auf der
Translationsachse liegenden Punkt mit größerem {-Wert wählen, der starr
mit dem Ursprung des Inertialsystems verbunden ist (s. Abschn. 3.1.2).
Die Geschwindigkeitsdierenz zwischen dem Schwerpunkt und diesem Bezugspunkt ist bei Vorgabe der Beziehung = o0 o vorzeichenrichtig durch
die Trägheitsbeziehung gegeben (Abb. 3.6 links). Durch den Druckzustand
l0
l
m
F
2
1
F
m
2
1
x
x l0 l 0
vm 1
vm
bVerkürzungg
dx
dt
F m
dvm
dt
Ursprung eines Inertialsystems
Abbildung 3.6. Wahl des Bezugspunktes bei dem Bauelement Masse
74
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
der Kraft auf die Masse ergibt sich eine mit der Zeit zunehmende Verkürzung zwischen den so gewählten Systempunkten. Nach der Netzwerkdenition muss demzufolge der Geschwindigkeitspfeil am Bauelement und der
Kraftpfeil in der Verbindungsstange mit der Richtung des Bezugspfeiles
des Netzwerkes übereinstimmen (Abb. 3.6 rechts). Der Bezugspunkt wird
durch einen Strich am Massesymbol dargestellt und mit einem Anschlusspunkt als Abbildung eines Systempunktes verbunden.
• Nimmt man hingegen eine Zugkraft in {-Richtung an (mechanische Darstellung: Kraftpfeil zeigt in positiver {-Richtung vom Masseschwerpunkt
weg), so ist ein Bezugspunkt mit kleinerem {-Wert zu wählen, damit bei
gleicher Denition für = o0 o eine vorzeichenrichtige Abbildung gelingt
(Abb. 3.7 links). Es ergibt sich dadurch eine mit der Zeit zunehmende
Verlängerung zwischen den Systempunkten. Nach der Netzwerkdenition
muss demzufolge der Geschwindigkeitspfeil am Bauelement und der Kraftpfeil in der Verbindungsstange gegen die Richtung des Bezugspfeiles zeigen
(Abb. 3.7 rechts).
l
l0
m
2
F
1
2
m
F
1
1
vm
x l0 l 0
vm
bVerlängerungg
dx
dt
F m
dvm
dt
Ursprung eines Inertialsystems
Abbildung 3.7. Wahl des Bezugspunktes bei veränderter Kraftangrisseite
In der Netzwerkebene führen damit beide Überlegungen zur gleichen Darstellung, wenn der Bezugspunkt jeweils auf der dem direkten Masseanschluss
gegenüberliegenden Seite ergänzt wird. Damit ergibt sich auch die übliche
Bauelementedarstellungsform. Der zweite Anschlusspunkt der mechanischen
Masse ist also immer der Ursprungspunkt des Inertialsystems oder der Masseschwerpunkt des abgeschlossenen mechanischen Systems.
Damit ergibt sich eine einfache Vorgehensweise bei der Umwandlung einer gezeichneten realen mechanischen Struktur. Ein starrer Masseblock, dessen Systempunkt der Schwerpunkt des Blockes ist, kann durch ein Bauelement mit
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
75
zwei Anschlüssen dadurch abgebildet werden, dass man die Masseeigenschaft
des Blockes aus dem Systempunkt herauszieht. Das geschieht, indem man eine
Verbindung aus dem Systempunkt zum kreisförmigen Teil eines Massezeichens
herausführt und den anderen Anschluss des Massezeichens (Bezugsstrich) mit
dem starren Rahmen, der die gesamte Anordnung umgibt verbindet. Auf diese Art werden alle Masseelemente aus der vorliegenden Struktur von Masse-,
Feder- und Reibungsbauteilen herausgezogen und einseitig alle mit dem Koordinatenursprung (starrer Rahmen) verbunden (s. auch Abschn. 3.1.7).
Zusammenschaltung der mechanischen Bauelemente
Die Netzwerkdarstellung einer Struktur aus konzentrierten Elementen ist eingeführt worden, um mit den üblichen Rechenmethoden der Elektrotechnik
das dynamische Verhalten linearer miteinander verkoppelter mechanischer,
akustischer und elektrischer Systeme untersuchen zu können. In Netzwerkanalyseprogrammen werden die Bauelementesymbole aus dem Fachgebiet der
Elektrotechnik verwendet. Es ist deshalb zweckmäßig, die elektrischen Symbole für die mechanischen Bauelemente (und wie später ausgeführt wird auch
für die akustischen Bauelemente) zuzulassen.
Darüber hinaus ist es in der Elektrotechnik üblich, sinusförmige Quellsignale anzunehmen, um das frequenzabhängige Verhalten zu untersuchen. Dass
diese Wahl der Zeitfunktion keine Beschränkung der Allgemeinheit darstellt,
wurde in Abschnitt 2.1 gezeigt. Mit diesen Festlegungen ist es nunmehr auch
sinnvoll, das Rechenverfahren mit komplexen Amplituden (s. Abschn. 2.1)
anzuwenden. Damit sind seitens der Bauelemente die Voraussetzungen gegeben, aus dem realen mechanischen Aufbau über ein erste Abstraktionsstufe
(mechanisches Schema), eine mechanische Schaltung abzuleiten, die mit den
üblichen Verfahren der linearen Netzwerktheorie analysiert werden kann. Die
noch erforderlichen Überlegungen zu den Quellen, den Zusammenschaltungsregeln und einem weiteren Bauelement, dem Hebel, sind in den nachfolgenden
Abschnitten dargestellt.
Tabelle 3.1 enthält für die drei mechanischen (translatorisch bewegten) Bauelemente Feder, Reibung und Masse je ein Realisierungsbeispiel sowie die
Netzwerkelementdarstellung mit der jeweiligen Beziehung zwischen den komplexen Amplituden der Koordinaten am Bauelement.
Kraft- und Bewegungsquellen
Wie bereits in den vorhergehenden Abschnitten beschrieben worden ist, werden für die Erregung des Systems Quellen mit sinusförmig veränderlicher
Quellamplitude verwendet. Bewegungsquellen, die unabhängig von Belastung
und Frequenz einen bestimmten Schwingweg erzwingen, lassen sich z. B.
mit einem Kurbeltrieb realisieren (Wegquelle). Auf andere Art können auch
76
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Tabelle 3.1. Netzwerkdarstellung mechanischer Bauelemente
Dimensionierungsoder Messvorschrift
Realisierungsbeispiel
Federstab
F
A
Netzwerkelement
n
F
Nachgiebigkeit
v
Feder
bzw.
l
E-Modul
n
l
n
F
E A
v
v jwn F
F
Dämpfer
Reibungsadmittanz
F
Reibung
x1
h
F
x
v
F db x x g I
GH dt JK
h
1
bzw.
2
h
F
F
v
x2
vh F
F
Massestück
m
F
Masse
v
Masse
bzw.
F
A
F
m
m r l A
v
l
v
1
F
jwm
Geschwindigkeits- oder Beschleunigungsquellen realisiert werden. In der schaltungstechnischen Darstellung erfolgt die Abbildung mit einem Quellbauelement, an dem direkt die Quellkoordinaten I 0 oder y 0 eingetragen sind (Tabelle 3.2). Ein positiver Wert für y bedeutet eine Verlängerung des Quellbauelementes (Pfeilrichtung entgegen dem Richtungspfeil). Bei einer Quelle mit
frequenz- und lastunabhängiger Geschwindigkeit ist y 0 konstant. Bei Quellen
mit einer frequenzunabhängigen Schwingwegamplitude oder einer frequenzun-
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
77
abhängigen Beschleunigungsamplitude müssen Beziehungen für y 0 angegeben
werden, die den frequenz- und phasenabhängigen Zusammenhang beschreiben
(wie in Tabelle 3.2). Die Kraft I in der Verbindungsstange zum angeschlossenen Netzwerk hängt dann vom Netzwerk ab.
Eine Kraftquelle hingegen erzeugt unabhängig von der wirksamen Belastung
immer die gleiche Kraftamplitude I 0 . Sie kann mit einem Druckzylinder realisiert werden, der mit einem sinusförmig veränderlichen Druck konstanter
Amplitude gespeist wird. Über der Kraftquelle wird sich bei angeschlossenem
Netzwerk eine belastungsabhängige Geschwindigkeit y ergeben.
Das gilt in beiden Fällen nur innerhalb der Linearitätsgrenzen der Anordnungen. Bei der Bewegungsquelle entstehen sie durch die maximal zulässigen
Kräfte im Kurbeltrieb und bei der Kraftquelle durch den maximalen Hub des
Kolbens.
Tabelle 3.2. Bewegungs- und Kraftquellen
Bewegungsquelle
Darstellungsweise der Mechanik
Schaltungstechnische Darstellung
w
F
x1
v0 = j w x
x2
p t p$ coswt
bg
F0
F0
F0
x1
x2
x x 2 x1
0
x
x 0 x 2 x1
Kraftquelle
F
F
v
x
Bauelement Hebel
Der Hebel als Übertragungselement von Bewegungen verbindet drei Systempunkte miteinander. In Abbildung 3.8 sind an jedem Systempunkt Verrückungen und Kräfte I deniert. Alle Verrückungen sind in positiver {-Richtung
und alle Kräfte als Druckkräfte in den Verbindungsstangen deniert. Für die
78
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
nachfolgende Herleitung sei die Hebellänge vom Punkt 0 zum Punkt 1 zu o1
und die Hebellänge vom Punkt 0 zum Punkt 2 zu o2 deniert. Im rechten Teil
des Bildes sind die Verrückungen, die Kräfte- und Momentenbilanzen und die
kinematische Bedingung infolge der Drehung des starren Stabes angegeben.
x 10
x1
x1
F1
R|
|
l S
||
|
F T
x 0 x 0 x 00
R
l2 |S
|T
1
0
x1 x 1 x 10
x 2 x 2 x 20
1
x0
2
F2
x 20
0
x2
x2
x 00 x 0
Kräftebilanz:
F1 F2 F0 0
Momentenbilanz:
F1 l1 F2 l2 0
Kinematik:
x1 x0
x x0
2
l1
l2
x
Abbildung 3.8. Mechanische Koordinaten am Hebel
Werden aus den dargestellten Beziehungen die Systempunkte 1 und 2 als
Hauptanschlüsse und der Systempunkt 0 als Bezugspunkt betrachtet, so kann
man mit den Verrückungsdierenzen
10 = 1 0
20 = 2 0
und nach Übergang zu den sinusförmigen Größen mit den komplexen Geschwindigkeiten
y 2 = j$ 20
y1 = j$ 10
eine Darstellung nach Abbildung 3.9 gewinnen.
+
v1 ü v2
1
F1
v1
2
F1 1
F2
ü
0
F 0 F 2 F1
F2
v2
Abbildung 3.9. Bauelement Hebel mit Netzwerkkoordinaten
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
79
Darüber hinaus gelangt man mit dieser Abbildung ohne Umwege zu einem in
der Praxis wichtigen Sonderfall. Er ist dadurch gekennzeichnet, dass der Punkt
0 fest mit dem Koordinatenursprung verbunden ist. Aus den Beziehungen von
Abbildung 3.8 kann man aber auch den anderen Sonderfall (Punkt 2 ist Fixpunkt) ableiten. Um auch in diesem Fall zur gleichen Netzwerkdarstellung zu
gelangen, werden die Systempunktbezeichnungen, das Übersetzungsverhältnis
und die Zuordnung der Hebellängen neu gewählt. Die beiden Spezialfälle, die
sich wegen der Neuinterpretation der Ausgangssituation zur gleichen Netzwerkdarstellung nach Abbildung 3.9 führen lassen, sind in Abbildung 3.10
dargestellt.
x1
x1
F1
F1
1
1
l1
2
l1
F2
x2
ü
l2
2
x2
l1
l2
l2
F2
ü
l1
l2
Abbildung 3.10. Zwei Formen des Hebels mit festem Drehpunkt
3.1.4 Zusammenschaltungsregeln
Auch in mechanischen Netzwerken gelten die Maschen- und Knotensätze. Davon kann man sich leicht überzeugen, wenn man zwischen drei Systempunkten drei Bauelemente nach Abbildung 3.11 anordnet und die Summe der Geschwindigkeiten yl entlang eines Umlaufes bildet (Umlauf in der Masche).
Zunächst kann man feststellen, dass die Summe der Verlängerungen und der
Verkürzungen in den zwei Zweigen gleich groß sein muss. Durch das mathematische Verfahren der vollständigen Induktion kann man beweisen, dass die
Ableitung einer Summe endlich vieler dierenzierbarer Funktionen der Summe der Ableitungen der Summanden gleicht. Hieraus folgt, dass auch die Geschwindigkeiten in den zwei Zweigen gleich groß sein müssen. Daraus folgt
wiederum der Maschensatz zu:
X
yl = 0
(3.2)
Umlauf
Hierin sind die yl die vorzeichenbehafteten l Geschwindigkeiten im Umlauf.
Im unteren Teil der Abbildung 3.11 ist der Kraftverteilungsbereich aus der
80
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
x
F
x3
bg bg bg
bg bg bg
x btg x btg x btg
x1 t x 2 t x 1 t
3
x2 t x 3 t x 2 t
v2
n1
x2
2
v1
3
v3
n2
3
1
x1 x 2 x 2 x1 x3 x 2 x3 x1 x3
h
x1
F
Fh
x
v3 1
bg
dx 3 t
dt
b
d x1 x 2
dt
g
dx1 dx 2
v1 v2
dt
dt
Fn
Fh Fn F 0
1
1
F
Abbildung 3.11. Erläuterung der Gültigkeit des Maschensatzes und Knotensatzes
mechanischen Anordnung des oberen Bildteiles (Systempunkt 1) genauer dargestellt. Der Knoten ist mittels Schnittführung (1) herausgetrennt. Als Ersatz
wurden 6 Schnittkräfte angebracht. Da die Kraftvektoren laut Denition alle
parallel zur {-Richtung liegen, genügt es, wie zu Beginn des Abschnittes 3.1
dargestellt, vorzeichenbehaftete Beträge zu schreiben. Damit der herausgeschnittene Teil im Gleichgewicht bleibt, müssen sich alle Kraftkomponenten
gegenseitig aufheben. Die vorzeichenrichtige Summe aller Kräfte zum Knoten
muss damit Null ergeben. Jede der Schnittkräfte kann als komplexe Netzwerkkoordinate I l aufgefasst werden. Somit ergibt sich auch für einen Netzwerkknoten, dass die Summe der zum Knoten hin ießenden Kräfte Null ergeben
muss.
Hieraus folgt der Knotensatz :
X
Il = 0
(3.3)
Knoten
Bei mechanischen Netzwerken, die aus mehreren Elementen bestehen, entsteht
häug die Frage nach der Impedanz oder Admittanz zwischen zwei Punkten, die durch mehrere Elemente verbunden sind. Diese Aufgabe lässt sich
schrittweise lösen, wenn man die Regeln zur Berechnung von Impedanzen
oder Admittanzen von zwei hintereinander- bzw. parallelgeschalteten Elementen kennt.
Abbildung 3.12 zeigt die Regeln für die Zusammenschaltung allgemeiner komplexer Impedanzen } l bzw. Admittanzen kl . Im speziellen Fall der Reihenoder Parallelschaltung von Feder- oder Massebauelementen ergeben sich die
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
81
v
v1
F
v2
v1
v2
h1 1 z1 h 2 1 z 2
F
v1
h 1 z
v
v
h1
h2
z2
z
z1
h1
h1 h 2
z2
z1 z 2
z1 z 2
h h1 h 2
z1 z 2
F 1 h1 1 z1
F
v
F2
F
h2 1 z2
z 1 h
v
z
h
F1
1 2
F2
z 2 h1
z z1 z 2
F1
z1
h2
F
z 1 z 2 h1 h 2
h
h1 h 2
h1 h 2
Abbildung 3.12. Zusammenschaltung zweier komplexer Impedanzen bzw. Admittanzen
m1
m2
F
F m
v
F
v
n1
n2
v
m1 m2
m
m1 m2
v
n
v
n n1 n2
m1
F
F
n1
F
m
F
F
v
v
n
v
n2
m2
m m1 m2
n
n1 n2
n1 n2
Abbildung 3.13. Zusammenschaltungsregeln für Massenbauelemente und Federbauelemente
Regeln nach Abbildung 3.13. Die Reihenschaltung von Massen kann z. B.
auftreten, wenn eine Bewegungsquelle auf beiden Anschlussseiten mit einer
Masse belastet ist.
82
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
3.1.5 Isomorphie zwischen mechanischer und elektrischer
Schaltung
Die bisherigen Darstellungen zum Umgang mit mechanischen Netzwerken zeigen eine große Ähnlichkeit zur Vorgehensweise beim Umgang mit elektrischen
Schaltungen. Diese Isomorphie ist gewolltes Ziel des Ansatzes. Durch die Wahl
der Koordinaten (Kraftsummation in Knoten, Geschwindigkeitsmasche) ergibt sich eine vollständige Isomorphie zu elektrischen Netzwerken, wenn man
die in Tabelle 3.3 gezeigten Zuordnungen von Koordinaten und Bauelementen
wählt.
Tabelle 3.3. Analogie zwischen elektrischer und mechanischer Schaltung
Zuordnung zwischen Koordinaten bzw. Bauelementen
Spannung
u
v
Geschwindigkeit
Strom
i
F
Kraft
Induktivität
L
n
Nachgiebigkeit
Kapazität
C
m
Masse
Widerstand
R
h
Reibungsadmittanz
G
Leitwert
Transformator
L
ü
W1
W2
u jwLi
C
u
R
1
r
h
l
ü 1
l2
1
i
jwC
v jwnF
v
1
F
jwm
Reibungsimpedanz
Hebel
n
n
m
m
h
h
u Ri
v hF
Knoten der
Schaltungsstruktur
in 0
F n 0
Knoten des
mechan. Schemas
Masche der
Schaltungsstruktur
un 0
vn 0
Masche des
mechan. Schemas
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
83
Durch die Zuordnung des Stromes zur Kraft und der Spannung zur Geschwindigkeit wird dieses isomorphe Verhalten der beiden physikalischen Strukturen
erreicht. Es entstehen topologisch gleiche Abbildungen. Die Anwendung der
abstrakten linearen Netzwerktheorie (s. auch Kap. 4) stellt letztendlich beide
physikalischen Strukturen gleich. Trotzdem hat die Existenz der Isomorphie
einen sehr praktischen Vorteil. Ohne erneute Prüfung und ohne Änderungen
können Netzwerkanalyse- und Netzwerksyntheseprogramme, die ausschließlich
im Fachgebiet der Elektrotechnik beheimatet sind, genauso wie das gesamte
Wissen der Signalanalyse und -verarbeitung der Informationstechnik herangezogen werden.
Um die Zuordnungen auch quantitativ vorzunehmen, müssen Proportionalitätsgrößen zwischen den Koordinaten deniert werden. Es soll gelten:
x = J1 y
l=
(3.4)
1
I
J2
(3.5)
Darüber hinaus könnte noch zugelassen werden, dass sich die Frequenzen zwischen dem elektrischen und dem mechanischen Netzwerk um einen konstanten
Faktor unterscheiden. Von dieser Möglichkeit wird in der Praxis kein Gebrauch
gemacht. Sie wird deshalb im Folgenden nicht benutzt. Für die Bauelemente
folgt durch diese Festlegung:
F=
p
J1 J2
(3.6)
O = J1 J2 q
(3.7)
U = J1 J2 k
(3.8)
Die Proportionalitätsfaktoren J1 und J2 können bezüglich ihres Betrages
zunächst frei gewählt werden. Mit Rücksicht auf die Eigenarten von Netzwerkanalyseprogrammen (z. B. PSPICE) sollten jedoch die Ziernfolgen erhalten bleiben. Somit stehen nur noch die Zehnerpotenzen zur Auswahl. Um
eine gewisse Anschaulichkeit der elektrischen Schaltung für einen erfahrenen
Schaltungspraktiker zu erzielen, haben sich als Zehnerpotenz für J1 und J2
die Faktoren 103 bewährt. Damit ergeben sich:
J1 = 103 V s m1
und
J2 = 103 N A1
Werden für J1 und J2 gleiche Zahlenwerte verwendet, so entsteht eine leistungsgleiche Abbildung. Dieser Vorzug wird meist in Anspruch genommen.
Die so entstehenden Zuordnungen 1 g zu 1 nF, 1 N zu 1 mA und 1 mm s1 zu
1 V ergeben Verhältnisse, bei denen Erfahrungswerte und Vorstellungsvermögen oft noch nützlich sind.
84
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
3.1.6 Darstellung des Übertragungsverhaltens von
Punktmassensystemen im Frequenzbereich (BODE-Diagramm)
Im Abschnitt 2.1 erfolgte in den Abbildungen 2.4, 2.5 und 2.9 die Einführung der Übertragungsfunktion E ($) eines zeitinvarianten, linearen elektromechanischen Systems. Die grasche Darstellung der Übertragungsfunktion
(Frequenzgang) nach Betrag und Phase
E ($) = < {E ($)} + j= {E ($)} = |E ($)| ej*E ($)
(3.9)
erfolgt als
Amplitudenfrequenzgang
|E ($)| und
Phasenfrequenzgang
*E ($).
Zur „Stauchung” der Skalen und zum einfachen Umgang der graschen Darstellung von Amplituden- und Phasengang, wie anschließend noch gezeigt
wird, führte Bode [42] die doppellogarithmische Form der Darstellung des
Amplitudenganges und die halblogarithmische Darstellung des Phasenganges
ein. Diese Darstellungsform wird als BODE-Diagramm bezeichnet.
Der Amplitudengang wird logarithmiert (lg dekadischer Logarithmus) und
mit 20 multipliziert. Als Einheit wird das Dezibel [dB] eingeführt:
|E ($)| [dB] = 20 lg |E ($)|
(3.10)
Beim Phasengang wird * linear über der logarithmischen Frequenzachse aufgetragen. Zur Sicherung dimensionsloser Größen beim Logarithmieren ist $
auf eine charakteristische Frequenz $ l und die Amplitude auf den konstanten
Bezugswert E0 — Übertragungsfaktor — zu beziehen.
Als Beispiel ist in Abbildung 3.14 der Amplitudenfrequenzgang eines Tiefpassgliedes 1= Ordnung dargestellt. Für den Amplitudenfrequenzgang gilt:
p
|E ($)| [dB] = 20 lg |E ($)| = 20 lg <2 {E} + =2 {E}
¯ ;
¯
¯
¯
$ ¿ $1
¯ ? 0 dB,
¯
1
¯
¯
$ = $1
20 lg ¯
¯ = 3 dB,
$
¯1 + j ¯ =
20
dB
@Dekade,
$
À $1
¯
¯
$
1
Für den Phasenfrequenzgang erhält man mit
* ($) = arg {E ($)} = arctan
= {E ($)}
,
< {E ($)}
<;
A
@ ? 0 ,
1
* ($) = arg
$ A = 45 ,
A
= 1 + j > 90 ,
$1
;
A
?
den in Abbildung 3.15 dargestellten Verlauf.
$$0
$ = $1
$$4
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
85
B (w )
éëdB ùû
w = w1
0
-2
-1
0
1
2
lg
w
w1
-20
-40
Abbildung 3.14. Amplitudenfrequenzgang eines Tiefpassgliedes 1= Ordnung in
doppeltlogarithmischer Darstellung
j (w )
[ °]
0
-2
-1
0
1
2
lg
w
w1
-45
-90
Abbildung 3.15. Phasenfrequenzgang eines Tiefpassgliedes 1= Ordnung in halblogarithmischer Darstellung
86
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Im allgemeinen Fall lässt sich die Übertragungsfunktion durch eine gebrochenrationale Funktion mit Nullstellen tl und Polstellen vm in der Form
E ($) =
(j$ t1 ) (j$ t2 ) = = = (j$ tq )
(j$ v1 ) (j$ v2 ) = = = (j$ vp )
(3.11)
angeben. Durch die Einführung charakteristischer Frequenzen lassen sich Elementarfunktionen bilden und die Übertragungsfunktion lässt sich als Hintereinanderschaltung — Kettenschaltung — von Elementarfunktionen, z. B.
¶
$
$
1+j
j
===
$1 $2
¶
¶
E ($) = E0
(3.12)
$
$
$
1+j
1+j
===
j
$3
$4
$5
darstellen. Diese Elementarfunktionen haben anschauliche Bedeutung als
- Dierenzierglied:
j
$
$0
$0
Bezugsfrequenz
1
$
j 0
$
- Integrierglied:
- Hochpass 1= Ordnung: 1 + j
- Tiefpass 1= Ordnung:
$
$0
1
1+j
- Tiefpass mit Resonanz:
$
$0
1
,
$ 1 ³ $ ´2
1+j 0 $ T
$0
$0 = $0
T=
G
Resonanzfrequenz
1
Güte
2G
Dämpfung
Der frequenzunabhängige Anteil bildet den Übertragungsfaktor E0 . Die typischen Amplituden- und Phasenfrequenzgänge ausgewählter Elementarglieder
sind in Abbildung 3.16 dargestellt.
Die Kettenschaltung der Elementarglieder entspricht der Multiplikation ihrer
Einzelübertragungsfunktionen
E ($) = E 1 ($) · E 2 ($) · · · E l ($)
und kann im BODE-Diagramm als Addition der Einzelamplituden- und Phasenfrequenzgänge rasch gebildet werden.
Diesen Hauptvorteil der BODE-Darstellung soll am Beispiel des im Abschnitt
9.2.7 berechneten piezoelektrischen Beschleunigungssensors nachfolgend vertieft werden.
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
B (w )
87
Amplitudenfrequenzgänge
éëdB ùû
40
1
w
j
1 j
w
20 lg Q
20
0
-2
-1
-20
j
-40
0
w = w¢
2 lg w
w¢
1
w
w
1
1 j w w
1
-60
1 j w
-80
j (w )
90
2
Phasenfrequenzgänge
w
j
w
[°]
1 w w0 Q w0 w
w
1 j
w
w
45
0
-2
-45
-90
-1
1
w
j
0
2 lg w
w¢
1
w
1
-135
-180
1 j w
1
1 j w w
1 w w0 Q w0 2
Abbildung 3.16. Charakteristische Verläufe der Amplituden- und Phasenfrequenzgänge ausgewählter Elementarfunktionen
88
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
mechanisches
Netzwerk
piezoelektr.
Wandler
iW
FW
A
m
a 0 jwv 0
seismische
Masse
vW
B1
uW
B2
B3
u
Þ
B (w ) R
CK
R
u
u
jwB1 B 2 B 3
a0
a 0 jwv 0
Piezokeramik
a0
elektrisches
Netzwerk
nK
Abbildung 3.17. Konstruktionsprinzip und Kettenschaltung eines piezoelektrischen Beschleunigungssensors
In Abbildung 3.17 ist die Grundkonstruktion eines piezoelektrischen Kompressionsbeschleunigungssensors dargestellt. Sein Übertragungsverhalten kann mit
Hilfe einer Kettenschaltung von Einzelgliedern dargestellt werden. Das Übertragungsverhalten des mechanischen Netzwerkes wird durch einen Tiefpass
mit Resonanz
E1 =
IW
= E01
y0
1
1+j
$ 1
$0 T
$
$0
$ 20 =
¶2 ,
1
,
pqK
T=
1
,
$ 0 qK u
das des piezoelektrischen Wandlers durch die Wandlerkonstante \
E2 =
xW
= \ = E02
IW
und das des sich anschließenden elektrischen Auswertenetzwerkes durch einen
Tiefpass 1= Ordnung
E3 =
x
1
= E03
$ ,
xW
1+j
$1
$1 =
1
,
U (FK + Fq )
Fq =
1
qK
\2
beschrieben. Damit gilt für die Gesamtübertragungsfunktion
E ($) =
x
= E01 · E02 · E03
d0
1
$ 1
1+j
$0 T
$
$0
¶2 ·
1
$
$ · j$ .
1
1+j
$1
Die Konstruktion des Amplituden- und Phasenfrequenzganges von E ($) ist
in der BODE-Diagramm-Darstellung durch Addition der Einzelverläufe leicht
möglich und ist in Abbildung 3.18 angegeben.
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
89
B i (w )
Amplitudenfrequenzgang
B0
ëédB ûù
20
j
w = w1
w
w1
B (w )
0
-5
-20
-4
-3
-2
-1
w1 = 10- 4 × w0
Q = 10
1
1+ j w
ji
[°]
1 w 1 j w
w0 Q w0 lg
w
w0
2
w1
Phasenfrequenzgang
j
90
45
w
w1
jB (w )
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
-45
1 lg w
w0
1
-90
1+ j w
1
-135
1
1
w0 = 100 kHz
-40
0
w = w0
1 j w
1 w w0 Q w0 2
w1
-180
Abbildung 3.18. Amplituden- und Phasenfrequenzgang — Konstruktion des Beschleunigungssensors aus den Verläufen der Elementarglieder
Auf Grund der aufgeführten Vorteile der BODE-Darstellung wird sie im Verlaufe der weiteren Kapitel konsequent verwendet.
90
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
3.1.7 Netzwerkdarstellung von Punktmassensystemen
Bei den Vorüberlegungen ist zu beachten, dass vorerst nur Probleme modelliert werden können, bei denen sich alle Bewegungen in nur einer Achsrichtung
vollziehen. Andere Bewegungsrichtungen müssen durch geeignete Lager ausgeschlossen sein. Um ein Netzwerkmodell für eine reale technische Anordnung
zu gewinnen, ist es erforderlich, die für die betrachtete Funktion wesentlichen
Bauelemente zu ermitteln. Das geschieht durch Abstraktion und Vereinfachung gegenüber der realen technischen Anordnung, z. B. durch Weglassen
unwesentlicher Elemente. Es ist sinnvoll, starr verbundene Massen zusammenzufassen und eventuell parallel liegende Federelemente ebenfalls als ein
gemeinsames Bauelement darzustellen.
Am Beispiel eines einfachen Fundamentes mit Kraftquelle soll dies gezeigt werden. Die Fundamentmasse p liegt auf mehreren Feder- und Reibungselementen, die auf ihren anderen Bauelementeseiten mit dem festen Boden verbunden
sind. Durch Führungen wird erreicht, dass sich das Fundament nur senkrecht
bewegen kann. Der Schwerpunkt der Masse bildet einen Systempunkt. Da alle
Federelemente auf der einen Seite mit diesem Systempunkt und auf der anderen Seite mit dem Koordinatenursprung verbunden sind, also parallel liegen,
können alle Federelemente gemäß Abbildung 3.13 zusammengefasst werden.
Sie bilden nun eine gemeinsame Feder mit der Nachgiebigkeit q. Die gleichen
Überlegungen gelten für die Reibungselemente. Das neue Reibungselement
wird durch die Reibungsimpedanz u abgebildet. Es ist gleichwertig üblich,
die Reibungsadmittanz k = 1@u als Parameter an das Bauelement Reibung
zu schreiben. Auf dem Fundament bendet sich eine Kraftquelle, die sich am
Koordinatenursprung abstützen soll. Im linken Teil von Abbildung 3.19 ist die
mechanische Darstellung dieses technischen Problems abgebildet. Die Kraftquelle ist hier durch einen Kraftpfeil auf die Masse symbolisiert.
F
v,x
m
n
r
F
+
m
r
F
n
v
m
1
r
n
v
Abbildung 3.19. Mechanische Darstellung, mechanisches Schema und Netzwerkdarstellung
Der zweite Schritt auf dem Weg zu einem Netzwerkmodell ist eine Abbildungsstufe zwischen der mechanischen Darstellung und dem gewünschten Netzwerkmodell. Dieser Zwischenschritt führt zum „Mechanischen Schema”. Das me-
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
91
chanische Schema ist dadurch gekennzeichnet, dass die räumliche Ordnung
der mechanischen Darstellung erhalten bleibt, die Massestücken durch ihre
Bauelemente ersetzt, alle Verbindungen durch masselose, starre Stangen erfolgen und Netzwerkkoordinaten verwendet werden. Über den Bauelementen
gibt es damit Geschwindigkeitspfeile und in den Stangen Kraftpfeile. Dazu
gehört die globale Angabe eines positiven Richtungspfeiles. Stimmt die Richtung eines Kraftpfeiles in einer Verbindungsstange mit dem Richtungspfeil
überein, so handelt es sich wie bereits dargestellt um einen Druckzustand in
der Stange (s. Abschn. 3.1.2). Abbildung 3.19 zeigt in der mittleren Darstellung das mechanische Schema. Aus den Rechenergebnissen die letztendlich aus
dem Netzwerkmodell gewonnen werden, lassen sich im mechanischen Schema
durch die richtige räumliche Zuordnung der Systempunkte Bewegungsabläufe
der realen Mechanik analysieren.
Im dritten Schritt können Systempunkte mit gleicher Bewegung (z. B. alle Bezugspunkte am starren Rahmen) zusammengefasst werden. Außerdem werden
meist die Quellen auf der linken Seite dargestellt und die Systempunkte, die
mit dem Koordinatenursprung verbunden sind als unterste Linie gezeichnet.
Diese Regeln stammen aus der Darstellungspraxis elektrotechnischer Schaltungen. Die auf diese Weise gewonnene mechanische Netzwerkdarstellung ist
in Abbildung 3.19 gezeigt. Es hat sich als notwendig erwiesen, in diesen drei
Schritten vorzugehen, um die Rechenergebnisse sicher der realen Anordnung
zuordnen zu können.
Das dynamische Verhalten des Fundamentes bei Anregung mit einer Kraft
I kann beschrieben werden, indem der Frequenzgang der Geschwindigkeit y
oder des Schwingweges berechnet wird. Dazu nimmt man vereinbarungsgemäß eine sinusförmige Erregerkraft an. Es ist aber auch möglich, andere Systemantworten, z. B. die Antwort auf stoß- oder sprungförmige Kraftanregungen zu berechnen. Für die Berechnung des Frequenzganges wird zunächst die
Impedanz } der Parallelschaltung aus Masse, Feder und Reibung bestimmt:
} = j$p +
}=
1
+u
j$q
¢
1 ¡
1 $ 2 pq + j$qu
j$q
Mit den Kennwerten Kennfrequenz $ 0 (Resonanzfrequenz) und Resonanzgüte
T lässt sich der Frequenzgang des Schwingweges und der Schwinggeschwindigkeit in einer normierten Form angeben:
1
1
,
$ 0 qu =
$0 = s
pq
T
!
Ã
¶
¶2
1
$
$
$ 0 qu
}=
+j
1
j$q
$0
$0
92
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
;
j$q
A
A
A
$
A
A
j
?
1
y
$0
T$ 0 q
= k = = $0 q
¶2
¶
I
}
1 A
$
$
A
A
1
+j
A 1
=
$0
$0 T A
j$p
$ ¿ $0
$ = $0
(3.13)
$ À $0
In Abbildung 3.20 sind die Frequenzfunktionen dargestellt. Damit eine logarithmische Darstellung der Amplitudenfrequenzgänge erfolgen kann, war es
erforderlich, dimensionslose Größen bereitzustellen und die Beträge zu bilden.
Durch geeignete Wahl der Bezugsgrößen gelingt es, zu typisierten Frequenzabhängigkeiten zu kommen. Das Ziel der Anwendung eines Fundamentes ist es
oft, die Wechselkraft, die in den Boden eingeleitet wird, gering zu halten. So
können Störungen der Umgebung weitgehend vermieden werden. Es ist nunmehr leicht, die durch die Federn und die Reibungselemente hindurchgehende
Kraft zu berechnen. Für die Kraft I B in den Boden ergibt sich:
¶
1
$
1+j
IB
$0 T
(3.14)
=
¶2
¶
I
1
$
$
1
+j
$0
$0 T
Für große mechanische Resonanzgüten T und für Frequenzen deutlich oberhalb der Kennfrequenz $ 0 entspricht der Frequenzgang näherungsweise dem
Frequenzgang des Schwingweges (s. Abb. 3.20). In der Resonanzfrequenz wirkt
dann näherungsweise eine Kraft I B = I T auf den Boden. In diesem Frequenzbereich ist sie deutlich größer als ohne Fundament. Bei höheren Frequenzen
ist die Kraft mit Fundament zielgemäß deutlich kleiner als ohne Fundament.
F
GG
H
x
lg F
n
I
JJ
K
lg
FG w IJ
HwK
2
0
lgQ
0
lg
0
n
w
w0
FvI
GG F JJ
GH w n JK
0
1
wm
lgQ
0
lg
wn
w
w0
0
Abbildung 3.20. Frequenzabhängigkeit des Ausschlages und der Geschwindigkeit
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
93
3.1.8 Anwendungsbeispiele
Nachdem im vorhergehenden Abschnitt das recht einfache translatorische System „Fundament” besonders unter dem Aspekt der Bearbeitungsmethodik
betrachtet wurde, sollen nun Beispiele folgen, bei denen das Ergebnis nicht so
ohne weiteres vorhersehbar ist.
Bestimmung des Verlustfaktors einer Feder
Der Zusammenhang der mechanischen Spannung W und der mechanischen
Dehnung V eines Stabes in Längsrichtung bei zugelassener Querkontraktion wird durch den E-Modul beschrieben. Es gilt dabei H = W @V. Bei einer
verlustfreien Feder beschreiben die bisher in diesem Buch dargestellten Beziehungen eine Proportionalität zwischen Kraft und Ausschlag. Zwischen den
komplexen Amplituden von Kraft und Ausschlag existiert dann keine Phasenverschiebung.
Bei fast allen realen Federn ist aber messtechnisch eine Phasenverschiebung
zu beobachten. Die Ursache liegt in den inneren Verlusten bei der Verformung
des Federwerkstoes. Es ist zweckmäßig, diese Verluste durch einen komplexen
Elastizitätsmodul zu beschreiben. Es soll gelten
H = H (1 + j) .
(3.15)
Der Realteil des komplexen E-Moduls entspricht dem o.g. E-Modul während
der Faktor die Verluste im Werksto beschreibt. Der Verlustfaktor ist im
Allgemeinen frequenzabhängig. Die Frequenzabhängigkeit des Realteiles des
E-Moduls ist meist deutlich geringer als die des Verlustfaktors.
Die schaltungstechnische Interpretation des komplexen E-Moduls gelingt
z. B. durch eine Parallelschaltung eines Reibungselementes zum eigentlichen
Federelement. Wenn der Verlustfaktor streng proportional zur Frequenz
wäre, ergäbe sich dann eine konstante (frequenzunabhängige) Reibungsimpedanz. Das trit meist so nicht zu. In einem engen Frequenzbereich, so z. B. in
der Umgebung der Arbeitsfrequenz eines Systems, kann näherungsweise von
einer konstanten Reibungsimpedanz ausgegangen werden.
Abbildung 3.21 zeigt die schaltungstechnische Abbildung einer verlustbehafteten Feder durch eine Parallelschaltung.
Die Bauelemente der Parallelschaltung ergeben sich aus folgender Überlegung:
}=
I
DW
DH (1 + j)
1
1
1
=
=
+ ¶=
+u
=
$q
y
j$oV
j$o
j$q
j$q
Für eine konstante Frequenz kann diese Parallelschaltung wegen der im Allgemeinen recht kleinen Verluste auch in eine etwa wirkungsgleiche Reihenschaltung aus Feder und Reibungselement umgerechnet werden.
94
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
A
F
xl S
F
l
n
T,S
l
E A
h
r
w n
n
r
Abbildung 3.21. Darstellung eines verlustbehafteten Federstabes
In der Praxis können bei Entwurfsarbeiten Verluste oft nur dadurch berücksichtigt werden, dass geschätzte Resonatorgüten angesetzt werden. Es ist deshalb sinnvoll, das Verlustbauelement so in der Schaltung anzuordnen, dass
diese Schätzwerte leicht in Bauelementeparameter umgerechnet werden können und diese im Arbeitsfrequenzbereich etwa konstant bleiben. Bei einer
Verizierung des Modells durch einen Musteraufbau können in einem zweiten
Schritt Korrekturen aus den gemessenen Frequenzgängen oder Ausschwingversuchen abgeleitet werden.
Vor diesem geschilderten Hintergrund ist eine Messeinrichtung zur Bestimmung von E-Modul und Verlustfaktor einer Werkstoprobe bei einer Zielfrequenz von besonderem Interesse. Auf einer schwingenden Fläche wird die zu
untersuchende Materialprobe aufgelegt und auf ihr ein Massestück voll ächig
deckend aufgesetzt. Die schwingende Fläche ist vorzugsweise die Montageäche eines Schwingtisches, mit dem eine frequenzvariable Sinusschwingung
erzeugt werden kann. Auf der Montage äche des Schwingtisches wird außer
der Probe noch ein Beschleunigungsaufnehmer befestigt, der die Beschleunigungsamplitude der Anregung d0 erfasst. Auf der Masse wird mit einem
zweiten Beschleunigungsaufnehmer die Amplitude d2 gemessen. Die Messanordnung und die mechanische Schaltung sind in Abbildung 3.22 angegeben.
u 2 Ba a 2
m
u1 Ba a 0
m
h
6
4714
8
n
a 2 jw v2
n ,r
F
n
r
r
v0
F
a 0 jw v0
RS
T
h2 m
v2
Schwingtisch
Abbildung 3.22. Messanordnung zur Bestimmung von E-Modul und Verlustfaktor
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
95
In der mechanischen Schaltung sind statt der Beschleunigungen die Geschwindigkeiten eingetragen. Das Verhältnis der Amplitudenbeträge d2 @d0 wird über
der Frequenz aufgetragen.
Die Übertragungsfunktion hat den Charakter eines Tiefpasses mit Resonanz.
Führt man die Resonanzfrequenz
1
$0 = s
pq
und die mechanische Schwinggüte
T=
1
$ 0 qu
ein, so ergibt sich für die zu bestimmenden Größen
($ 0 ) =
1
T
und
H ($ 0 ) =
op$ 20
.
D
Außer den mechanischen Maßen Probenhöhe o und Proben äche D, der Masse
p (einschließlich Beschleunigungsaufnehmermasse) sind die Resonanzfrequenz
und die mechanische Schwinggüte zu bestimmen. Liegen Werkstoproben mit
nicht zu hohen Verlusten vor, lässt sich die Resonanzfrequenz aus der Lage des
Maximums des Verhältnisses der Beschleunigungsamplituden bestimmen. Die
Schwinggüte T wird aus der Frequenzdierenz $ zwischen
s den zwei Punkten,
bei denen die Übertragungsfunktion um den Faktor 1@ 2 vom Resonanzmaximalwert abgefallen ist, ermittelt (s. Abb. 3.23). Für den Verlustfaktor gilt
dann:
$
($ 0 ) =
$0
a2
a0
Q
Q
n
2
Messergebnis
1
"w
1
w1 w 0 w0
2Q
Q
w0
w
w2 w0 1
w 20
m
w0
1
"w h w 0
b g
1
w0
2Q
Abbildung 3.23. Messung der Resonanzfrequenz $ 0 und der Schwinggüte T
96
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Für hohe Schwinggüten stimmt diese Methode der Bestimmung der Schwinggüte und der Resonanzfrequenz sehr genau. Aber selbst bei einer Güte T = 3
bleibt der Fehler für die Kennwerte unter 3% und ist für die meisten praktischen Fragestellungen damit genau genug.
Schwingungsisolation einer Maschine
Eine Maschine mit rotierenden Bauteilen, die nicht vollständig ausgewuchtet
sind, stellt eine Kraftquelle für die Stelle dar, an der sie montiert ist. Um
Störungen der Umgebung zu vermeiden, sollten die von der Maschine in die
Befestigungsstelle eingeleiteten Kräfte so klein wie möglich sein. Zu diesem
Zweck wird üblicherweise zwischen der Maschine und der Befestigungsstelle ein federndes Element angebracht. Ws soll nun untersucht werden, welche
Verminderung der in die Befestigungsstelle eingeleiteten Kraft man auf diese
Weise erzielen kann. Das Modell für die Maschine besteht aus einem Rotor der
Masse p1 , der mit einer Unwuchtamplitude ( und der Winkelgeschwindigkeit
$ in einem Ständer mit der Masse p2 rotiert. Der Ständer ist einmal unmittelbar auf einer als ruhend angenommen Fläche montiert (s. Abb. 3.24a), und
zum anderen ist eine elastische Zwischenschicht mit innerer Dämpfung zwischen Gehäuse und Befestigungs äche angebracht (s. Abb. 3.24b). Gesucht
sind nun die Kraft I 1 , die ohne Isolierung in die Befestigungsstelle eingeleitet
wird und die Verbesserung I 01 @I 1 , die durch Anbringung der elastischen Zwischenschicht entsteht. Außerdem soll gelten, dass durch die Art der Montage
nur vertikale Bewegungen zugelassen sind.
w
w
r
G
m1
m1
m2
m2
F1 = f (m1 , m2 ,G, w )
F1
f ( w)
F1
n
a)
F1
b)
F1
Abbildung 3.24. Schwingungsisolation einer Maschine mit Unwucht
Die Welle führt infolge der vorhandenen Exzentrizität ( eine Bewegung mit
einer vertikalen Geschwindigkeitskomponente y = j$( aus. Die innere Admittanz ist kl das Verhältnis von vertikaler Kraft und Geschwindigkeit bei sich
nicht drehendem Rotor. Es wird durch die Rotormasse p1 bestimmt.
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
97
Die Kurzschlusskraft erhält man formal aus I 0 = y0 @kl = m$p1 y 0 . Es handelt sich um die Kraft, die an der Welle des sich drehenden Rotors angreifen
muss, um dort eine Geschwindigkeit y = 0 zu erzwingen. Die Drehung des Rotors mit vertikal festgebremster Welle kann durch eine sinusförmige Bewegung
eines Massepunktes mit der Masse p1 und der Amplitude ( ersetzt werden.
Diese Bewegung erzeugt genau die Kraft I 0 = p1 d = p1 j$y 0 . Damit sind
die Parameter des aktiven Zweipols „Rotor” bestimmt. Es bleibt nun die Aufgabe, das mechanische Schema für die beiden in Abbildung 3.24 dargestellten
Fälle anzugeben und die mechanischen Schaltungen daraus abzuleiten. Das
ist in Abbildung 3.25 und Abbildung 3.26 geschehen.
m1
+
zi
G
Drehpunkt
F
v0
F
v
v
z i jwm1
v0 jwG
zi
F0
F
v
F 0 jwm1 j wG
Abbildung 3.25. Rotor mit Unwucht als aktiver mechanischer Zweipol
Für den Fall a) der fehlenden elastischen Unterlage ist die gesuchte Kraft I 1
mit der Quellkraft I 0 identisch. Die Masse p1 kann keine Kräfte aufnehmen,
weil sie sich nicht bewegt (y = 0). Für den Fall b) ist das nicht so einfach.
Hier muss die Aufteilung der Kraft I 0 auf die beiden Impedanzen } 1 und } 2
angesetzt werden.
Es gilt:
I 01
= I0
1
+u
j$q
1
+ u + m$(p1 + p2 )
| {z }
j$q
= I0
p
p
¯ ¯ ¯ 0¯
¯I1 ¯ ¯I1 ¯
1 + 2
¯
¯
¯
¯
, ¯ ¯ = ¯ ¯ = vÃ
u
I0
I1
¶2 !2
u
t 1 $
+ 2
$0
1
(1 + m)
j$q
1
(1 + m) + m$p
j$q
98
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Abbildung 3.26. mechanische Schema und abgeleitete Schaltungen der Anordnungen aus Abbildung 3.24
mit
1
$0 = s
pq
und
= u$q = ($ 0 )
$
.
$0
Für die elastische Unterlage soll die Annahme gemacht werden, dass ¯eine fre-¯
quenzunabhängige Reibung u vorliegt. Der Verlauf des Verhältnisses ¯I 01 @I 1 ¯
ist in Abbildung 3.27 in Abhängigkeit von der Frequenz dargestellt.
Bei tiefen Frequenzen ist sowohl 2 als auch ($@$ 0 )2 sehr viel kleiner als 1
und I 01 = I 1 = I 0 . Die federnde Unterlage ist ohne Ein uss. Für $ = $ 0
nimmt der Nenner seinen kleinsten Wert an. ($ 0 ) liegt üblicherweise in der
Größenordnung von 101 . Die Wurzel im Zähler kann noch als 1 angesehen
werden. Die im Fall der federnden Unterlage auftretende Kraft I 01 ist um den
Faktor 1@ ($0 ) größer als bei fester Ankopplung. Es tritt nicht eine Dämpfung, sondern eine Verstärkung des störenden Vorgangs auf.
Für $ A $ 0 überwiegt in der Wurzel des Nenners zunächst
¯ der ¯Ein uss des
Summanden (1 ($@$ 0 )2 )2 ($@$ 0 )4 . Das Verhältnis ¯I 01 @I 1 ¯ nimmt mit
1@$ 2 ab. Von einer bestimmten Frequenz $ 1 ab ist aber auch ($) im Zähler nicht mehr zu vernachlässigen.
Diese Frequenz ist durch
=¯ 1 bestimmt.
p
¯
Oberhalb $ 1 ist dann 1 + 2 und das Verhältnis ¯I 01 @I 1 ¯ nimmt dann
nur mit 1@$ ab.
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
w = w0
1
1 h ( w0 )
F
lg 1
F1
F 1
2
2
F1
w0 w
w0 w h ( w0 )
1
h ( w0 )
99
w w0
w0 = w = w0 h ( w0 )
w0 h ( w0 ) = w
0
:
1
w2
:
1
w
w1
0
w0
h ( w0 )
Bereich II
Bereich I
w0
w1 lg
w
w1
w0
lg
w
w0
Abbildung 3.27. Schwingungsdämpfung einer schwingungsisoliert aufgestellten
Maschine
Ein Zahlenbeispiel soll die praktisch vorkommenden Größenordnungen demonstrieren. Die Unwucht einer Maschine sei durch eine Rotormasse von
p1 = 100 kg und eine Unwuchtamplitude von ( = 0> 1 mm gekennzeichnet.
Die Betriebsdrehzahl der Maschine sei q = 3000 min1 = 50 Hz. Die Unterlage sei so beschaen, dass sie mit der Gesamtmasse p1 + p2 der Maschine eine Resonanzfrequenz i0 = 10 Hz ergibt. Ihr Verlustfaktor bei 10 Hz sei
($) = 0> 1. Die Amplitude der Kraft I 0 = I 1 ergibt sich dann zu
;
i = 50 Hz,
? 1000 N
Î0 = Î1 = $ 2 (p1 =
=
40 N
i = 10 Hz.
Für i = 50 Hz = 5i0 ist man wegen i1 = 10i0 noch im Bereich I in Abbildung
3.27. Deshalb ergibt sich für die Kraft I 01
bei
i = 50 Hz:
Î10 = Î1 (50 Hz)
bei
i = 10 Hz:
Î10 = Î1 (10 Hz)
³ $ ´2
0
$
= 40 N
1
= 400 N
($ 0 )
Gegenüber der festen Montage ergibt sich also bei der Betriebsdrehzahl eine
Kraftreduktion um den Faktor 25.
100
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Passiver Schwingungstilger
Die Überlegungen zum translatorischen System „Fundament” haben gezeigt,
dass die in den Boden eintretende Kraft nur dann gegenüber der Quellkraft
verringert ist, wenn die Betriebsfrequenz des Krafterzeugers deutlich oberhalb
der Resonanzfrequenz liegt. Im Bereich der Resonanzfrequenz hingegen ist die
Kraft in den Boden je nach Resonanzgüte T größer. Will man die Bodenkraft
bei Resonanz verringern, ist eine größere Bedämpfung erforderlich. Das erhöht
aber die Bodenkraft bei größerer Betriebsfrequenz. Der Kraft uss läuft dann
über das Dämpfungselement in den Boden.
Durch Anwendung eines zweiten Schwingsystems entstehen weitere Möglichkeiten, die gezielt genutzt werden können. Dieses Zusatzsystem ist unter dem
Begri „Schwingungstilger” bekannt. Es haben sich mehrere Anwendungsbereiche herausgestellt, bei denen eine solche Zusatzausrüstung zweckmäßig ist.
Für die in den folgenden Absätzen behandelten Fälle ist in Abbildung 3.28 ein
reales mechanisches System aus einem einfachen Resonanzfundamt mit einem
zusätzlichen Schwingsystem dargestellt. Die Reibungsverluste im Zusatzsystem entstehen sowohl in der Feder als auch im Bereich der Führungsstangen
der Masse p2 . Die Führungsstangen sind mit der Masse p1 fest verbunden.
Die viskose Reibung u2 soll bei dem Beispiel einstellbar gestaltet sein. Abbildung 3.28 zeigt ebenfalls das mechanische Schema des Systems und die
mechanische Schaltung.
Zunächst soll der Fall behandelt werden, bei dem eine Erregung des Fundamentes mit konstanter Frequenz $ in der direkten Umgebung der
Resonanzfrequenz $ 0 des Fundamentes erfolgt. In diesem Betriebsfall würden ohne Zusatzschwingsystem eine hohe Bodenkraftamplitude im Vergleich
zur Kraftanregungsamplitude und eine hohe Schwingwegamplitude auf der
Fundamentmasse auftreten. Eine deutliche Absenkung der Resonanzfrequenz
$ 0 des einfachen Resonanzfundamentes könnte ein Ausweg sein, soll aber wegen der oft begrenzten zulässigen Durchsenkung der Fundamentmasse infolge
der Erdbeschleunigung j
j
stat = 2
$0
nicht in Betracht gezogen werden. Statt dessen wird ein zweiter mechanischer
Resonator angebracht und zunächst auf die gleiche Resonanzfrequenz $ 0 dimensioniert. Die Masse p2 dieses Systems soll im Rechenbeispiel nur 20% der
Fundamentmasse betragen. Diese Ergänzung des Fundamentaufbaus ist in der
Praxis einfacher anwendbar, als die oben genannte deutliche Absenkung der
Resonanzfrequenz. Um eine nennenswerte Verringerung der Bodenkraft in der
Umgebung der Resonanzfrequenz zu erreichen, muss die Resonanzgüte des Zusatzschwingers ausreichend hoch sein (z. B. größer als 20). Für eine bequeme
analytische Berechnung ist es zweckmäßig Näherungen und Schaltungsvereinfachungen durchzuführen. So kann z. B. die Parallelschaltung aus der Feder
q2 und der Reibung u2 in eine Reihenschaltung überführt werden (s. Abb.
3.29).
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
101
Abbildung 3.28. Fundament mit Schwingungstilger
Für die Bauelemente gilt dann
u2 =
u2
³ $ ´2
0
1 + T2
$
q2 =
q2
¶2
$0
1+
T2 $
mit
T2 =
u2
.
$ 0 q2
Bei hoher Resonanzgüte T2 und nur geringer Abweichung der Frequenz von
der Resonanzfrequenz kann näherungsweise geschrieben werden:
$
1,
$0
q2 q2
und
u2 u2
(T2 )2
Nun kann das Verhältnis von Bodenkraft I zu Erregerkraft I 0 auf sehr einfache Weise berechnet werden. Die Feder q0 besitzt für die genannte Fragestellung keine Bedeutung. Zunächst werden die Bauelemente zu komplexen
Impedanzen zusammengefasst (s. Abb. 3.29).
102
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
n0
F1
n2
F
F0
m1
n1
r2
r1
m2
1
424
3
z
1442443
z1
U|
||
V| z
||
|W
2
1
h2
Abbildung 3.29. Einführung der Bodenkraft I und der Impedanzen }, } 1 und } 2
Die Parallelschaltung von q1 , p1 und u1 bildet die komplexe Impedanz } 1 . Die
Bauelemente q1 und u1 werden zu } zusammengefasst. Die Reihenschaltung
q2 , u2 und p2 ist durch die komplexe Impedanz } 2 ausgedrückt. Die Kraftverhältnisse können nunmehr mit den Impedanzen }, } 1 und } 2 beschrieben
werden zu:
}1
I
}
I1
=
und
=
I0
}1 + }2
I1
}1
Es ergibt sich:
}
} · k2
I
=
=
I0
}1 + }2
1 + } 1 k2
mit
k2 =
1
}2
Das Einsetzen der Bauelemente führt zu
¶
¶
1
1
1
j$q2 +
+ u1
+
I
j$q1
j$p2 u2
¶
¶
=
1
1
1
I0
j$q2 +
1 + j$p1 +
+ u1
+
j$q1
j$p2
u2
bzw.
¶
p2
2
(1 + j$q1 u1 ) 1 $ p2 q2 + j$
I
u2
¶ . (3.16)
=
p2
I0
2
2
2
$ p2 q1 + (1 $ p1 q1 + j$q1 u1 ) 1 $ p2 q2 + j$
u2
Mit den zweckmäßigen Normierungsgrößen (2 Kennfrequenzen und 2 Resonanzgüten)
$ 21 =
1
,
p1 q1
$ 22 =
1
,
p2 q2
1
= $ 1 q1 u1 ,
T1
1
$ 2 p2
=
T2
u2
3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen
103
folgt in normierter Schreibweise:
¶
¶
$ 1
$2
$ 1
1+j
1 2 +j
I
$ 1 T1
$2
$ T
¶ 2 2 2
¶ (3.17)
=
r
I0
$
$2
$2
$ 1
$ 1
p2 q1
1 2 +j
+ 1 2 +j
$ 1 $ 2 p1 q2
$1
$ 1 T1
$2
$ 2 T2
Unter den bereits getroenen Annahmen für Frequenz und Güte vereinfacht
sich der Ausdruck zu
¯ ¯
¯ I ¯ p1 1
¯ ¯
¯ I ¯ p2 T2 .
0
Je kleiner die Zusatzmasse gewählt wird, um so größer muss die Güte eingestellt werden, damit eine wirksame Verringerung der Bodenkraft erreicht
wird.
Zur Betrachtung in einem breiteren Frequenzgebiet wird die mechanische
Schaltung ohne die Verwendung von Näherungen berechnet. Abbildung 3.30
zeigt den Frequenzgang der Bodenkraft aus der Schaltung nach Abbildung
3.28.
Beträgt die Abweichung der Betriebsfrequenz von der gemeinsamen Resonanzfrequenz mehr als etwa 8% (bei dem angenommenen Masseverhältnis
p1 @p2 = 5 und Güten von T1 = T2 = 20) geht der Vorteil der Dämpfungswirkung verloren. Bei Abweichungen von 20% nach oben oder unten treten
Abbildung 3.30. Frequenzabhängigkeit der Bodenkraft
104
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
sogar beidseitig neue Resonanzgebiete auf. Mit kleiner werdendem Verhältnis
p1 @p2 wird das Frequenzgebiet B in Abbildung 3.30, in dem die Betriebsfrequenz von der gemeinsamen Resonanzfrequenz abweichen darf, größer. Dafür
ist allerdings der Aufwand für den Schwingungstilger höher.
Die zu erkennenden neuen Resonanzgebiete stellen beim Hochlaufen der Frequenz auf die Betriebsfrequenz nur dann ein Problem dar, wenn die Veränderung der Frequenz (Drehzahl) eines hoch- oder runterlaufenden Antriebssystems nicht schnell genug erfolgt. Die Verweilzeit im kritischen Resonanzgebiet
muss genügend kurz sein, um große Schwingamplituden zu vermeiden.
Eine völlig andere Dimensionierung muss das System erhalten, wenn es
zur Unterstützung eines schnellen Ausschwingens nach stoßförmigen oder
sprungartigen Belastungen angewendet werden soll. Ein typisches Anwendungsbeispiel ist die Beruhigung des Wägetellers einer Waage, auf der
immer etwa gleiche Massen abgewogen werden (z. B. bei der Produktionskontrolle von Lebensmitteln). Bei Anwendung des Schwingungstilgers entstehen
gegenüber der direkten Dämpfung des einfachen Feder-Masse-Systems deutliche konstruktive Vorteile. Günstig ist eine Güte für den Zusatzresonator von
T2 = 2. Bei kleineren oder größeren Güten treten länger Ausschwingvorgänge
auf. Bei diesem Anwendungsfall können meist nur Masseverhältnisse von 10
oder größer gewählt werden. Bei dem Masseverhältnis p1 @p2 = 10 und einer
Güte des Hauptschwingers von T1 = 20 erreicht man bei einer Güte des Zusatzresonators von T2 = 2 eine äquivalente Güte des Gesamtsystems von 5> 3
und erreicht damit eine deutliche Verkürzung des Ausschwingvorganges.
Das gleiche Prinzip wird ebenfalls mit gutem Erfolg angewendet, um in Systemen, die einen elektromechanischen Wandler besitzen, eine Dämpfung des
mechanischen Systems mit elektrischen Mitteln zu erreichen. Ein Beispiel ist
die Reihenschaltung eines passend gewählten Widerstandes und einer passend
gewählten Induktivität im elektrischen Kreis eines piezoelektrisch angetriebenen zusammengesetzten Längsschwingers, der im Puls- oder Kurzpulsbetrieb
arbeiten soll.
3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische
Bewegungen
Im Abschnitt 3.1 wurden für die Systempunkte eines mechanischen Systems
nur Bewegungen parallel zu einer Geraden zugelassen. Im nachfolgenden Abschnitt werden nur Rotationen um eine feste Achse erlaubt. Die Lager dieser
Achse sind mit dem Umgebungssystem starr verbunden. Das Umgebungssystem (in vorhergehenden Abschnitten mit einem „starren Rahmen” dargestellt)
darf sich höchstens gleichförmig translatorisch bewegen. Ein umgebender starrer Rahmen wird deshalb mit den Eigenschaften unendlich großer Masse und
unendlich großer Drehmasse (s. Abschn. 3.2.2) ausgerüstet. Bei dieser Annahme liegt wieder eine physikalische Struktur vor, die zu den bisher behandelten im mathematischen Sinne isomorph ist. Durch eine geeignete Koordi-
3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen
105
natenwahl stimmt auch die Topologie des Systems mit der Modelldarstellung
überein.
Systeme mit rotatorischen Bewegungen treten in der Praxis häug mit translatorischen Systemen über Wandlerelemente, z. B. Stäben an Achsen, in Wechselwirkung (s. Abschn. 5.1). Aber auch Torsionsschwingungsprobleme z. B.
bei Antriebsmaschinen, Getrieben u.ä. können mit den nachfolgend genannten Modellansätzen behandelt werden. Abbildung 3.31 zeigt ein rotatorisches
System dieser Art.
Übersetzungsräder
gelagerte Welle
(masselos, starr)
F
M
Momentenquelle
F
Drehfeder
Trägheitsmoment
Abbildung 3.31. Rotatorisches System
An einer idealen Welle (masselos und starr) greifen über zwei Stäbe Kräfte
so an, dass in die Welle ein Drehmoment eingespeist wird. Das Drehmoment
führt zur Verdrehung einer Drehfeder, die sich an einer Drehmasse abstützt.
Außerdem wird über ein Getriebe ein Drehmoment an eine weiteren Drehfeder geleitet. Wie die Welle wird auch das Getriebe als masselos und in sich
starr betrachtet. Der rechte Anschluss dieser Feder ist fest gelagert. Der Verdrehwinkel der Drehfeder ist proportional zum Drehmoment. Die Proportionalitätskonstante wird rotatorische Nachgiebigkeit qR genannt. Der Index R
wird oft weggelassen, wenn es sich um ein rein rotatorisches System (ohne
Wandlerelemente) handelt und daher Verwechslungen mit einer translatorischen Nachgiebigkeit ausgeschlossen sind.
3.2.1 Koordinaten
Für die Beschreibung eines einachsigen rotatorischen Systems genügt es,
Winkelkoordinaten *l (Zylinderkoordinatensystem) und Drehmomentvektoren Ml oder alternativ die Koordinate Drehmoment P in Verbindung mit
einem Richtungspfeil (oft als Pfeil mit Doppelspitze gezeichnet [43]) und der
Rechtsschraubenregel zu verwenden. Um aber zu einem System zu kommen,
bei dem Isomorphie zu elektrischen Netzwerken bei Beibehaltung der Topologie besteht, ist es notwendig als Koordinatenpaar das Drehmoment P und
die Winkelgeschwindigkeitsdierenz
106
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
j2
j1
2
1
M
M
M
R|
||
M
S
||
|T
F
F
M
M
bg
jt
+
dj
dt
+
Bezugsrahmen
m , 3 Abbildung 3.32. Mechanische Koordinaten am allgemeinen rotatorischen Bauelement
=
d*2
d*1
dw
dw
(Winkelgeschwindigkeit über dem Bauelement) zu verwenden. Das Produkt
der Koordinaten ergibt wie bei elektrischen und mechanisch-translatorischen
Systemen eine Leistung. Abbildung 3.32 zeigt die komplexen Netzwerkkoam Beispiel eines
ordinaten Drehmoment P und Winkelgeschwindigkeit
rotatorischen Bauelementes. Um für eine schaltungstechnische Darstellung
zur Eindeutigkeit der Vorzeichen zu gelangen, wird wie bei den translatorischen Systemen ein System-Richtungspfeil eingeführt, der die positive Richtung angibt. Die Winkelgeschwindigkeit
ist positiv für den Fall, dass der
-Netzwerkpfeil und der System-Richtungspfeil in die gleiche Richtung zeigen.
Ein Moment in Richtung des Momentenpfeils ist an der Seite der gedachten
Schnitt äche wirksam, auf die der System-Richtungspfeil weist (Systempunkt
1, positive Bauelemente äche, Drehrichtung nach Rechtsschraubenregel).
3.2.2 Bauelemente und Systemgleichungen
Je nach Art der Kopplung von Winkelgeschwindigkeit und Moment kann man
im Bereich linearer Vorgänge drei Arten von Bauelementen unterscheiden.
Die Bauelemente werden als Drehfeder, Drehreibung und Drehmasse (Trägheitsmoment) bezeichnet. Tabelle 3.4 zeigt anschauliche und schematisierte
Darstellungen rotatorischer Bauelemente und ihre Systemgleichungen. Um zu
einer schaltungstechnischen Darstellung zu gelangen, müssen die Geschwindigkeitsdierenzen über den Bauelementen eingeführt werden und die Drehmasse
3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen
107
Tabelle 3.4. Rotatorische Bauelemente - anschauliche und schematische Darstellung
Anschauliche Darstellung
Schematische Darstellung
Drehfeder
j2
j1
M
M
M
j1 j 2 nR M
j j1 j 2 n R M
zähes Medium
Drehreibung
j1
j2
M
M
R
1
Drehmasse
M rR
IJ
K
dj 2
rR +
dt
Bezugsrahmen
d 2 j1
dt
2
j2 0
2
d
j1 j 2
dt
b
g
M
M #
j
1
j1
M
M
j
M
F dj
M r G
H dt
j2
j1
M
#
j
M #
d2j
dt 2
j wird in einem Inertialsystem gemessen
muss einen zweiten Systempunkt erhalten. In Tabelle 3.5 ist der Übergang
zur schaltungstechnischen Darstellung vollzogen. Außer den drei Bauelementearten ist als „Übertrager” das Getriebe (analog zum Hebel) in den zwei
möglichen Zahnradanordnungen angegeben.
Analog zur Betrachtung translatorischer Systeme werden zwei Quellmechanismen eingeführt. Beim ersten Quellmechanismus wird von der Quelle eine
Winkeländerung erzwungen (Winkelquelle). Beim zweiten Quellmechanismus
erzeugt die Quelle ein Drehmoment, dessen Größe nicht von der eintretenden
Winkeländerung abhängt. Tabelle 3.6 zeigt die mechanische und schaltungstechnische Darstellung dieser beiden Quellarten. Mit Hilfe dieser Quellen las-
108
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Tabelle 3.5. Schaltungstechnische Darstellung rotatorischer Bauelemente
Schematische Darstellung
M
Schaltungstechnische Darstellung
j2
j1
M
M
j
1
M rR
M
j
M rR
+
M rR +
g
b
M jw j1 j 2
#
#
d2j
dt
2
r1
gr
R
M
j wird in einem Inertialsystem gemessen
M #
+
+
M jw # +
Lager
M2
M1
r2
Zahnrad
b)
+
M #
j1
rR
2
d
j1 j 2
dt
b
+
+ jw nR M
M
j
M nR
+
j1 j 2 nR M
a)
nR
M
M
j1
Getriebe
j2
M1
FG + IJ FG ü
HM K H0
1
r1
1
0
1
ü
I F+ I
JK GH M JK
2
2
M1
R|
|
üS
||
T
M2
r2
r2
r1
für a)
r
2
r
1
für b)
j2
j1 ü j 2
M1 1
M2
ü
+1
+2
M2
3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen
109
sen sich aktive rotatorische Zweipole (Quelle mit Quellimpedanz) darstellen.
Im Abschnitt 3.2.4 wird an einem Beispiel gezeigt, dass Maschen- und Knotensätze analog zu translatorischen Systemen aufgestellt werden können. Die
Zusammenschaltungsregeln des Abschnittes 3.1.4 lassen sich formal und begri"ich auch auf rotatorische Netzwerke anwenden.
Tabelle 3.6. Rotatorische Quellen
Momentenquelle
Winkelquelle
Darstellungsweise der Mechanik
Schaltungstechnische Darstellung
j
+
+0
dj
dt
F
M0
M
F
3.2.3 Isomorphie zwischen mechanischen und elektrischen
Schaltungen
Durch den Vergleich der Gleichungen, die rotatorische Netzwerke vollständig
beschreiben, mit den entsprechenden Gleichungen für die elektrischen Netzwerke erkennt man die im mathematischen Sinne vorhandene Isomorphie der
beiden physikalischen Strukturen. Die Gleichheit bezieht sich auch auf die
topologische Struktur, wenn man die elektrische Spannung der Winkelgeschwindigkeit und den elektrischen Strom dem Moment zuordnet. In Tabelle
3.7 sind die entsprechenden Zuordnungen zwischen elektrischem und rotatorischem System zusammengefasst.
Um die Zuordnungen auch quantitativ vorzunehmen, müssen Proportionalitätsgrößen zwischen den Koordinaten deniert werden. Es soll gelten:
x = J3
und
l=
1
P
J4
(3.18)
Darüber hinaus könnte noch zugelassen werden, dass sich die Frequenzen zwischen dem elektrischen und dem mechanischen Netzwerk um einen konstanten
110
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Tabelle 3.7. Isomorphiebeziehungen zwischen elektrischem und rotatorischem
Netzwerk
Zuordnung zwischen Koordinaten bzw. Bauelementen
Spannung
u
+
Winkelgeschwindigkeit
Strom
i
M
Moment
Induktivität
L
nR
Drehnachgiebigkeit
Kapazität
C
#
Drehmasse (Trägheitsmoment)
Widerstand
R
hR
Drehreibungsadmittanz
Transformator
w1
w2
ü
siehe Bild Getriebe
L
u jwLi
C
u
R
1
i
jwC
u Ri
nR
nR
#
#
hR
hR
+ jwn R M
+
1
M
jw#
+ hR M
Knoten der elektr.
Schaltungsstruktur
in 0
M n 0
Knoten des
mechan. Schemas
Masche der elektr.
Schaltungsstruktur
un 0
+n 0
Masche des
mechan. Schemas
a)
i1
+1
i2
r1
M2
M1
u1
w1
w2
u2
r2
b)
u2 w2
u
w1 1
i2 w1
i
w2 1
R|
|
üS
||
T
+1
r2
r1
für a)
r
2
r
1
für b)
+2
r1
M1
r2
+2
M2
+2 1
+ ,
ü 1
M 2 ü M1
3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen
111
Faktor unterscheiden. Von dieser Möglichkeit wird in der Praxis kein Gebrauch
gemacht. Sie wird deshalb im Folgenden nicht benutzt. Für die Bauelemente
ergibt sich durch diese Festlegung:
F=
,
J3 J4
O = J3 J4 qR
und
U = J3 J4 kR
(3.19)
Die Proportionalitätsfaktoren J3 und J4 können bezüglich ihres Betrages zunächst frei gewählt werden. Mit Rücksicht auf die Eigenarten von Netzwerkanalyseprogrammen (z. B. PSPICE) sollten jedoch die Ziernfolgen erhalten
bleiben. Somit stehen nur noch die Zehnerpotenzen zur Auswahl. Werden für
J3 und J4 gleiche Zahlenwerte verwendet, so entsteht eine leistungsgleiche
Abbildung. Dieser Vorzug wird meist in Anspruch genommen.
3.2.4 Beispiel für ein rotatorisches Netzwerk
Die Ableitung einer schaltungstechnischen Darstellung aus einer realen rotatorischen Anordnung sollte wieder in zwei Schritten geschehen. Zunächst
ist es zweckmäßig, sich bei Beibehaltung der geometrischen Anordnung eine
Darstellung aufzuzeichnen, bei der der Verzweigungsweg des Momentes erkenntlich wird. Ein Teil des auf einer Achse zugeführten Antriebsmomentes
wird von der Lagerreibung aufgenommen, ein anderer Teil wird zur Beschleunigung von Drehmassen abgezweigt. Bei der schematischen Darstellung sollte
das mit einem Momentenknoten ausgedrückt werden. Die Verzweigungsstelle
kann man sich als ein auf der Achse sitzendes Getriebe mit einer Übersetzung
von eins vorstellen (Abb. 3.33). Die neue Abtriebsachse versorgt dann die
Drehreibung oder die Drehmasse. Durch diese Auftrennung der Momentenüsse in mehrere gedachte parallele Achsen, kann man sich die Auftrennung
in Netzwerkzweige gut vorstellen.
+1
M r1
M1
M2
M r1
=
+1
M1
M2
Abbildung 3.33. Modell einer Momentenverzweigung (Knoten)
In Abbildung 3.34 ist am Beispiel einer Gasturbine ein System mit Momentenquelle, Reibungselementen, elastischem Kupplungselement und Schwingungstilger dargestellt. Am Systemausgang kann ein rotatorischer Verbraucher angeschlossen werden. Im mechanischen Schema sind die bereits genannten Abzweigungen für die Momente in die Reibungsbauelemente und die Drehmassen
112
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
zu sehen. Die elastische Kupplung ist eine Drehfeder, durch die das Drehmoment auf die Abtriebsseite hindurchgeleitet wird. Über der Kupplung kommt
es zu einer Dierenz der Winkelgeschwindigkeit. Die elastische Kupplung besitzt aber auch massebehaftete Teile. Sie sind durch die Trägheitsmomente 2
und 3 abgebildet. Der Schwingungstilger besteht aus einem Ring mit dem
Trägheitsmoment 4 , der über 4 Biegefedern mit der Hauptachse verbunden
ist. Die Biegefedern stellen in ihrer Gesamtheit die Drehfeder qR2 dar. Im mechanischen Schema sind nur rotatorische Bauelemente enthalten, so dass keine
Verwechselungsgefahr mit translatorischen Bauelementen besteht. In diesem
Fall kann der Index R entfallen. Ein angeschlossener Verbraucher ist hier als
ein allgemeines Bauelement mit einem Widerstandssymbol uL angegeben, da
der Charakter dieser Last nicht bekannt ist.
Reale Anordnung
+1
M 1 r1
M2
#1
#3
elastische
Kupplung
M0
Verbraucher
MV
4
n R2
+V
Schwingungstilger
n R2
#4
Mechanisches Schema
+
#3
r1
M 0 M1 M 2
+2
M r2
M3
#2
Turbinenläufer
+3
#4
n R1
#4
M5
n1
n2
M3
M4
+1
rL
M
+
r2
#1
#2
Mechanische Schaltung
M1
M2
M3
+1
#1
r1
#2
M
M5
n1
M0
M4
#3
n2
r2
+
rL
#4
Abbildung 3.34. Modell eines rotatorischen Systems in drei Abbildungsstufen
3.3 Akustische Netzwerke
113
Die dritte Stufe der Darstellung ist die mechanische Schaltung. Die Richtungsund Ortsbezüge können aufgelöst werden. Es gelten die Darstellungsregeln
für Netzwerke. Die Darstellung als aktiver Quellzweipol mit angeschlossenem
allgemeinen Verbraucher ist nun vollständig.
3.3 Akustische Netzwerke
Sind mehrere gasgefüllte volumenartige Hohlräume durch Kanäle, Rohre oder
einfach nur durch Löcher miteinander verbunden, so kann unter Annahme einiger Einschränkungen diese Struktur als ein akustisches Netzwerk betrachtet
werden. Auch ein einziger, mit einem Loch oder kurzem Rohrstück versehener Hohlraum ist ein häug auftretender akustischer Resonator (HelmholtzResonator), der sich als akustisches Netzwerk darstellen lässt.
Bauelemente des akustischen Netzwerkes sind die volumenartigen Hohlräume
und die kanalartigen Hohlräume. Für die Modellbildung wird vorausgesetzt,
dass das System von Hohlräumen in eine Umgebung gleichen Mediums eingebettet ist, in der ein konstanter Druck s0 herrscht, dessen Wert dem mittleren Druck in den Hohlräumen gleicht. Darüber hinaus müssen die linearen
Abmessungen dieser Hohlräume viel kleiner sein als die Wellenlänge im kompressiblen Medium, mit dem die Hohlräume gefüllt sind. Letzteres lässt sich
durch Wahl einer ausreichend niedrigen oberen Frequenzgrenze immer erfüllen. Ob die technische Fragestellung dann noch sinnvoll beantwortet werden
kann, muss im Einzelfall geprüft werden.
Reale Anordnungen eignen sich dann für eine Modellierung mit Hilfe eines
akustischen Netzwerkes, wenn die Struktur der Anordnung eine Diskretisierung derart erlaubt, dass in den kanalartigen Elementen nahezu keine Kompression, sondern nur Bewegung vorhanden ist und in den volumenartigen
Elementen nur eine Kompression, aber nahezu keine Bewegung auftritt. Aus
idealen kanalartigen Bauelementen tritt somit die gleiche Medienmenge zeitgleich aus, die in das Element hineinströmt. In volumenartigen Bauelementen
ist wegen der fehlenden Bewegung der Druck vom Ort unabhängig. Diese
Einschränkungen haben wie eingangs schon erwähnt zur Folge, dass die zu
betrachtende obere Frequenzgrenze eines dynamischen Vorganges so niedrig
gewählt werden muss, dass die akustische Wellenlänge im kompressiblen Medium groß gegenüber den linearen Abmessungen der Bauelemente ist. In Abschnitt 6.2 wird gezeigt, wie man bei kanalartigen Hohlräumen vorgehen kann,
um eine Modellierung für höhere Frequenzen zu ermöglichen.
Um die Wirkung der Nichtlinearitäten der allgemeinen Dierentialgleichungen der Gasdynamik vernachlässigen zu können, werden die in der linearen
Akustik üblichen Näherungen verwendet. Dazu wird davon ausgegangen, dass
sich die Medienelemente mit ausreichend kleiner mittlerer Geschwindigkeit
um eine Ruhelage bewegen und dass die Druckänderung ausreichend klein gegenüber dem mittleren Druck bleibt.
Bei mechanischen Netzwerken wurden die Systempunkte an den Verbindungs-
114
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
stellen der mechanischen Bauelemente deniert. Die Verbindung erfolgte mit
masselosen, starren Stangen. Analog dazu werden hier virtuelle Kanalelemente deniert, die mit einem masselosen, inkompressiblen Medium gefüllt sind.
Sie sollen die Aufgabe der Verbindung abgegrenzter akustischer Bauelemente erfüllen. Zwischen den Enden dieser Verbindungselemente gibt es keine
Druckdierenz und in diesen Elementen gibt es keine Dichteänderungen. Das
eintretende Volumen tritt unverzögert am Ende wieder aus. Durch die gedankliche Einführung dieser idealen Leitungselemente gelingt eine beliebige
örtliche Diskretisierung der realen Anordnung.
Die Modellbildung mittels akustischer Netzwerke hat sich für Mikrofone,
Kopfhörer, Bassre exboxen, Resonanzschalldämpfer, hydraulische Koppelsysteme, Schwingungsdämpfer mit Fluiden, Resonanzsysteme für raumakustische
Korrekturen und ähnliche Anordnungen bewährt.
3.3.1 Koordinaten
Abbildung 3.35 zeigt einen Ausschnitt aus einem kanalartigen Hohlraum zu
zwei Zeitpunkten. Es ist zu erkennen, dass sich die markierten Medienelemente in der Zeitdierenz w ein Stück weiter bewegt haben und so eine Volumenverschiebung Y eingetreten ist. Die Medienelemente können eine unterschiedliche Geschwindigkeit haben. Die in Abbildung 3.35 gezeigte Rechnung
verdeutlicht, dass die auf die Zeitdierenz w bezogene Volumenverschiebung
Y dem Produkt aus Querschnitts äche D und mittlerer Geschwindigkeit
der Medienelemente gleicht. Dieses Produkt wird Volumen uss t genannt und
stellt eine Koordinate akustischer Netzwerke dar. Die zweite Koordinate ist
die Druckdierenz s über dem kanalartigen Bauelement. Die Systempunkte
sind mit a und b bezeichnet. Der Volumen uss t wird analog zur Koordinate Kraft in das Anschlusselement zum Bauelement als Pfeil eingetragen. Das
Produkt der Koordinaten stellt wieder eine Leistung dar.
t0
v = e1v1 (x 2 )
b g b g "t
"V "t z v b x g dA
x x2 v1 x2
x2
1
b g
x0 x0 x x2
t0 "t
x1
"V
2
a
q
q
b
p
A
q
"V
1
A
v1 x2 dA
"t
A
144244
3
v
q Av
z
b g
p pa p b
markierte Medienelemente
Abbildung 3.35. Koordinaten Volumen uss t und Druckdierenz s im akustischen
Netzwerk
3.3 Akustische Netzwerke
115
Bei volumenartigen Bauelementen wird durch den eintretenden Volumen uss
die Kompression im Bauelement erreicht. Die Druckänderung wirkt gegenüber
dem konstanten Umgebungsdruck. Volumenartige und kanalartige Hohlräume
können somit als allgemeines Bauelement gleichartig dargestellt werden.
3.3.2 Akustische Bauelemente
Volumenartige Hohlräume zeigen einen federnden Charakter. Das wird verständlich, wenn man mit Hilfe eines Kolbens ein abgeschlossenes Gasvolumen komprimiert. Wird diese Kompression so schnell vollzogen, dass es zu
keinem Wärmeaustausch mit der Gefäßwand kommen kann (T = 0), liegt
eine adiabatische Zustandsänderung vor. Für sehr kleine Volumenänderungen
kann man eine lineare Verknüpfung zwischen Volumenänderung und Druckänderung annehmen. Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
sY = pUW
(3.20)
mit der Gaskonstante U und der absoluten Temperatur W kann unter Annahme einer konstanten Masse p im Volumen Y um einen Entwicklungspunkt
(s0 > Y0 > W0 ) wie folgt geschrieben werden:
s0 Y + Y0 s = pUW
(3.21)
Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgt unter Annahme von
T = 0 am Entwicklungspunkt
T = pfY W + s0 Y = 0,
(3.22)
wobei fY die spezische Wärme des Gases bei konstant gehaltenem Volumen
ist. Nach Einsetzen von Gl. (3.22) in Gl. (3.21) folgt
Y
=
s
Y
0
¶.
U
s0 1 +
fY
(3.23)
Mit dem Adiabatenexponenten
=1+
fs
U
=
fY
fY
(3.24)
(für Luft gilt: = 1> 4) und der Denition der akustischen Nachgiebigkeit
Qa = Y
s
(3.25)
ergibt sich:
Qa =
Y0
s0
(für adiabatische Zustandsänderungen)
(3.26)
116
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Tabelle 3.8. Volumenartiger Hohlraum, akustische Feder
grafische Darstellung
a)
"V
p
p0
adiabatisch
isotherm
"V V V0
"V V V0
"p p p0
"p p p0
"V 1 V0
"p k p0
cp
mit k cV
"V V0
"p p0
b)
p
q
p 0
0
c)
"V V ;
V 1 V0
Na
p k p0
wegen
q
Na bzw. N a,iso
q
p
p
"p p
mit
q jwV :
jwNa
Na 1 V0
k p0
"V V ;
"p p
V V0
Na,iso
p p0
wegen
q
p
mit
q jwV :
jwNa,iso
Na,iso V0
p0
In Tabelle 3.8b ist der Übergang zu komplexen Amplituden vollzogen und
in der Ansicht c der gleichen Tabelle erfolgt die Darstellung als akustische
Nachgiebigkeit, verknüpft mit den komplexen Koordinaten des akustischen
Netzwerkes und die grasche Darstellung des Bauelementes in Netzwerkform.
Kanalartige Bauelemente besitzen zwei Grenzwerte ihres Bauelementeverhaltens. Im ersten Grenzfall wirkt das bewegte Gas wie eine reine Masse. Im
zweiten Grenzfall bestimmt die Reibung das Geschehen. Der erste Fall liegt
näherungsweise bei sehr hohen Frequenzen in einem nur mit Gas gefüllten
Kanal vor. Dem Fall der überwiegenden Reibung kann man sich vorzugsweise
bei tiefen Frequenzen durch zusätzliche Füllung des Kanals mit einem porösen
Medium nähern.
Abbildung 3.36 zeigt Bauelemente mit dominierender akustischer Reibung
]a>u . Abbildung 3.37 zeigt die Verhältnisse bei einer idealen akustischen Masse Pa . Reale akustische Kanalelemente zeigen ein Verhalten, welches beide
Eigenschaften besitzt. Eine Abbildung ist durch eine Reihenschaltung beider
Bauelemente möglich. Im Abschnitt 3.3.4 werden an Bauelementen mit ein-
3.3 Akustische Netzwerke
117
fachen Geometrien die frequenzabhängigen Eigenschaften realer Bauelemente
behandelt.
l
p1
q
A
p2
p1
q
q
p2
q
A
q
q
poröses Material
a)
b)
b Schlitz
p
R
Kreis
p p1 p2 %
%
R|12 m b
S|8 m R
T
2
2
l
v A
A q
Schlitz
Kreis
p Za,r q
:
U|
V|
W
Za,r %
l
A
m K Zähigkeit des Mediums
mLuft 1,8 10 5
kg
m s
Abbildung 3.36. Bauelement Akustische Reibung
q1
F1 p1 A
q2
v1
F2 p2 A
q
q
v2
p1
r0 , m r0 l A
p
p2 A
p jw Ma q
v1 v2 q1 q2 v A
F jwm v ep
1
p A jwm
2
j
q
A
r0 l
p p p jw
q jw Ma q
1
2
A
Ma r 0
Abbildung 3.37. Bauelement Akustische Masse
l
A
118
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
3.3.3 Netzwerkdarstellung akustischer Systeme
Werden die akustischen Bauelemente mit Leitungselementen (gedachte Verbindungsleitungen mit masseloser, inkompressibler Substanz gefüllt) verbunden, so können an den Verbindungsstellen wieder Systempunkte deniert werden. Abbildung 3.38 zeigt eine mögliche Netzwerkstruktur aus drei volumenartigen Hohlräumen (akustische Nachgiebigkeiten) und vier kanalartigen Hohlräumen. Der im Zweig mit t1 liegende Hohlraum soll masseartigen Charakter
haben. Die anderen drei kanalartigen Bauelemente sollen reine Reibungsbauelemente sein. Die im linken Bildteil dargestellte Flussquelle erzeugt den Volumen uss t0 = y0 D.
masselose und inkompressible Verbindungsleitungen
Systempunkte
q2
q2
q1
q1
q4
v0
p1
q4
"p4 p1 p2
q3
p2
"p5 p2 p3
p3
"p2
"p1
p0
p0
"p3
p0
Abbildung 3.38. Volumen- und kanalartige Hohlräume (mit Leitungselementen
verbunden)
Aus dieser noch sehr realitätsnah dargestellten Struktur kann das stärker abstrahierte akustische Schema gebildet werden (Abb. 3.39). Diese Darstellung
bildet die Grundlage für die akustische Schaltung (Abb. 3.40) der Struktur.
Zur Berechnung des Netzwerkes werden wieder die Knoten- und Maschensätze
benötigt.
Es gilt für die in einen Knoten ießenden Flüsse der Knotensatz:
X
t = 0
(3.27)
Der Umlauf über alle Drücke in der Masche erfüllt den Maschensatz:
X
s = 0
(3.28)
3.3 Akustische Netzwerke
p6
q2
p4
q4
qN1
N a1
Z a3
Ma
q1
q0
119
q3
Z a1 qN 2
p1
p5
Z a2 qN 3
p2
N a2
N a3
p3
Abbildung 3.39. Akustisches Schema
q0
q2
Z a3
q1
Ma
q4
p4
q3
Z a1
N a1
p1
p5
Z a2
N a2
p2
N a3
p3
Abbildung 3.40. Akustische Schaltung
Die bisher dargestellten Eigenschaften akustischer Netzwerke zeigen wieder
eine Isomorphie zu elektrischen Netzwerken. Die im Abschnitt 3.2.2 genannten akustischen Koordinaten führen zu einer Übereinstimmung der Topologie.
Im Gegensatz zu den mechanischen Netzwerken ist die Flusskoordinate eine
Bewegungskoordinate t.
Auch akustische Netzwerke verfügen über einen Transformationsmechanismus. Er besteht aus zwei hintereinandergeschalteten Kolbenwandlern mit unterschiedlicher Fläche und starrer Verbindung zwischen den Kolben. Abbildung 3.41 zeigt den Aufbau.
3.3.4 Reale akustische Bauelemente
Die im Abschnitt 3.3.2 behandelten Bauelemente gehen von idealen Grenzfällen aus. Mögliche Energieverluste wurden vernachlässigt. Bei vielen akustischen Strukturen kann tatsächlich mit diesen Annahmen im eingeschränkten
Frequenzbereich eine ausreichend genaue Abbildung der Realität erreicht werden. Bei zu großen Abweichungen von den idealen Bauformen eignen sich die
Grenzfälle nicht mehr als Grundlage einer Berechnung. Es treten zu große
120
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
masselose, inkompressible Flüssigkeit
p
1
A1
q
q
A2
1
p
F
q
q
1
A
p 2 p
1
A1 2
p
2
1
A
q 1q
1
A2 2
2
v
F p A1 p A2 ,
1
2
v
q
1
A1
q
2
p
2
2
A2
Abbildung 3.41. Akustischer Transformator
Abweichungen zwischen Modellansatz und Realität auf.
Auf Grund der Wärmeleitfähigkeit und der Zähigkeitsreibung des Fluides
kommt es zu irreversiblen Energieumsätzen, die dazu führen, dass die Bauelemente kein reines Reaktanzverhalten zeigen. Abbildungen der Bauelemente
müssen deshalb mit dissipativen Elementen ergänzt werden. Es kann gezeigt
werden, dass die Reihenschaltung aus reaktivem und dissipativem Element
eine besonders gute Abbildung der Realität ergibt. Grund dafür ist die Eigenart der akustischen Strukturen, dass für niedriger werdende Frequenzen die in
Reihe liegende akustische Reibungsimpedanz gegen einen frequenzunabhängigen Grenzwert ]a>0 läuft [44].
Für einfache geometrische Formen wie Schlitz, Kreiszylinder und Kugel liegen
vollständige analytische Lösungen für die realen akustischen Bauelemente als
Reihenschaltung von Speicher- und Verlustelementen vor [44]. Die Lösungen
enthalten aber Zylinderfunktionen, die die praktische Arbeit bei der Optimierung einer Struktur erschweren. Um den Aufwand für die Abbildung dieser
nichtidealisierbaren, aber einfach geformten Strukturen geringer zu halten,
werden nachfolgend die Ergebnisse von gut handhabbaren Näherungsabbildungen zusammengestellt.
Reale akustische Volumenelemente
Tabelle 3.9 zeigt die Beziehungen für die Abbildung realer akustischer Nachgiebigkeiten für die beiden Bauformen spaltförmiges Volumen (kleinste Abmessung der Fläche D ist viel größer als die Spalthöhe g) und kugelförmiges
Volumen. Es wurde angenommen, dass die Wände der Volumina, die mit
idealem Gas gefüllt sind, einen ausreichend großen Wärmespeicher darstellen,
damit die Temperatur der Wände unabhängig von den im Volumen ablaufenden Vorgängen konstant bleibt. Bei tiefen Frequenzen sind die Bauelemente
]a und Qa frequenzunabhängig. Bei hohen Frequenzen bleibt die Nachgiebigkeit Qa dann auf adiabatischem Niveau Qa = Qa>0 konstant, während die
Verlustimpedanz ]a weiter sinkt.
3.3 Akustische Netzwerke
121
Tabelle 3.9. Reale akustische Volumenelemente
v0
p
q
Na
Za
q
Za p
Dichte
Wärmeleitfähigkeit
spez. Wärmekapazität
r0
l
cp
1, 3
Luft
kg
W
0, 026
mK
m3
1
Za
jw N a
Adiabatenexponent
k = c p / cV
J
1007
kg × K
1,4
Schlitz
Kugel
q
A
q
kleinste Abmessung
d
von
p
A d
V0 Ad
N a0 V0
k p0
Z a0 1
1 r 0 c p p0 d
1
12
k
l
A
wg FG
H
IJ
K
1
l
1 k2
12
r0 c p d 2 k 1
Za0 N a0
tiefe Frequenzen
Za Za0
dw 0,1 w i :
, Na k Na0
g
1
l
1 k2
15
r0 c p R 2 k 1
Za0 N a0
dw 0,1 w i :
g
, Na k Na0
dw 0,3 w i :
a
F 1 2a I
F w I GGG ww JJJ
K
GH w JK H
g
3
2
Na
1
N0
3
0,0738
IJ
K
g
w
wg
6 k2
wg FG
H
g
a
bk 1g
1
1 r 0 c p p0 1
1
20
k
l
R
Za
Z0
g
a
Z a0 hohe Frequenzen
g
3
2
Na
1
N0
p
V0
k p0
Za Za0
dw 0,3 w i :
a
F 1 2a I
F w I GGG ww JJJ
K
GH w JK H
R
N a0 tiefe Frequenzen
g
hohe Frequenzen
Za
Z0
4
V0 R 3
3
b g
Luft
a
w
wg
b g
3 k 1
a
10 k 2
3
0,0990
bLuftg
122
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
1,4
Kreiszylinder
Ma
M a0
1,3
Kugel
Na M a
,
N a0 M a0
Na
N a0
Schlitz
1
Ma
M a0
2
w
wg
1,2
Schlitz
Na
N a0
1
1
0,099
w
wg
6
w
wg
11
,
1
0,074
w
wg
1
0,01
0,1
1
w
wg
10
100
Abbildung 3.42. Frequenzabhängigkeit von akustischer Masse und akustischer
Nachgiebigkeit
Grasche Darstellungen der Funktionen sind in den Abbildungen 3.42 und
3.43 enthalten. Die angegebenen Näherungsfunktionen wurden durch intuitive
Approximation der theoretischen Lösungen gewonnen [45]. Es treten maximale Abweichungen von wenigen Prozent von der Originalfunktion auf. Bemerkenswert ist, dass der bei sinusförmiger Quellgröße auftretende Phasenwinkel
zwischen Volumen uss t und Druck s im Übergangsgebiet zwischen isothermer und adiabatischer Kompression deutlich kleiner als @2 ist. In diesem
Bereich treten Verluste auf. Wenn das akustische Volumen Bestandteil eines
akustischen Resonators ist und die technische Aufgabe eine möglichst hohe
Schwinggüte des Resonators bzw. kleine Verluste fordert, so sollte der genannte Übergangsbereich durch geeignete Dimensionierung umgangen werden.
Bei realen Kanalelementen liegen sowohl Masse- wie auch Reibungseekte vor.
Auch hier ist eine formale Abbildung durch eine Reihenschaltung eines idealen
Masseelementes und einer idealen Strömungsreibung möglich.
3.3 Akustische Netzwerke
123
1
Schlitz
Z a,r
Na
Kugel
0,1
F1 0,148 I
F w I GGG ww JJJ
K
GH w JK H
F1 F w I GGG
GH w JK H
0,074
Z a ,r
0,1
3
2
Za0
3
2
g
g
g
0,2
w
wg
I
JJ
JK
0,01
0,01
0,1
1
w
wg
10
100
Abbildung 3.43. Frequenzabhängigkeit der Reibungsimpedanz nach Tabelle 3.9
(Volumenelement)
Reale akustische Kanalelemente
Für einen schlitzförmigen und einen kreisförmigen Kanalquerschnitt, die mit
idealem Gas bekannter Dichte 0 und bekannter Zähigkeit (ermittelt bei
Annahme einer stationären laminaren Strömung) gefüllt sind, zeigt Tabelle
3.10 die Impedanzen der Bauelemente.
Auch hier gilt, dass für tiefe Frequenzen die Bauelemente frequenzunabhängig sind. Die in Tabelle 3.10 genannten Frequenzabhängigkeiten bei höheren
Frequenzen sind in den Abbildungen 3.42 und 3.44 grasch dargestellt.
Die Frequenzabhängigkeiten der Bauelementeparameter sind für eine breitbandige Simulation in Netzwerkanalyseprogrammen störend, da eine spezielle
Bauelementenachbildung durch den Nutzer programmiert werden muss. Außerdem ist nicht jedes Netzwerkanalyseprogramm in der Lage, freiprogrammierbare Bauelementemakros zu integrieren.
Um trotzdem auf einfache Weise eine breitbandige Simulation zu ermöglichen,
kann eine weitere Näherungsstufe, die zu Abbildungsfehlern bei den reaktiven
Komponenten aus Tabelle 3.11 unter 10% und bei den dissipativen Komponenten bis zu etwa 50% führt, angewendet werden. Für erste Abschätzungen
genügt diese Näherungsstufe oft. Erweist es sich als Ergebnis der Überschlagsrechnung bei bestimmten Frequenzen als wichtig, genauere Ergebnisse zu bekommen, so können für ausgewählte diskrete Frequenzen die Schaltungen nach
Tabelle 3.9 und Tabelle 3.10 verwendet werden. Für spezielle Fragestellungen
wird auch der Aufwand für die vollständige Lösung getragen werden können.
Die Näherungsmethode besteht darin, eine Schaltung aus mehreren idealen
124
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Tabelle 3.10. Reale akustische Kanalelemente
p2
p1
A
q
Dichte
q
Ma
Za
q
Z a jw M a Z a
p p 2 p1
r0 , Zähigkeit m
Schlitzquerschnitt
Kreisquerschnitt
l
b
q
q
q
M a 0 r0
wg l
,
A
Za0 Ma 6
M a0
5
dw 3 w i :
32I
w F
1+
G
J
6w G
w J
GH w JK
hohe Frequenzen
g
g
g
Ma
1+
M a0
1
w
6 wg
M a 0 r0
l
,
A
Za0 dw w i :
Za Za0
g
,
Ma 4
M a0
3
dw 3 w i :
1 I
w F
1+
4w G
GG ww JJJ
H
K
hohe Frequenzen
Za
Za0
8m l
R2 A
Za0
8m
M a 0 r0 R 2
tiefe Frequenzen
g
,
l
wg dw w i :
Za Za0
Za
Za0
12 m l
d2 A
Za0
12 m
M a 0 r0 d 2
tiefe Frequenzen
A R 2
A bd
d
q
2R
g
g
g
Ma
1+
M a0
1
w
4 wg
akustischen Bauelementen so zu denieren, dass für tiefe Frequenzen eine
richtige Abbildung entsteht. Die Dimensionierung der freien Parameter erfolgt nach Fehlerminimierungskriterien. Diese so denierten Ersatzelemente
können dann unter Inkaufnahme der o.g. Fehler in die Netzwerkschaltung
der zu untersuchenden Gesamtstruktur zur breitbandigen Analyse eingesetzt
werden. Tabelle 3.11 zeigt die Schaltungen mit frequenzunabhängigen Bauelementeparametern.
3.3 Akustische Netzwerke
10
Z a ,r
Z a ,r
F
GG
GH
w
1
4 wg
Ma
Za0
F
GG
GH
w
1
6w g
I
w J
J
w JK
1
32
w
wg
125
I
JJ
JK
g
316
,
Kreiszylinder
Schlitz
1
0,01
0,1
1
w
wg
10
100
Abbildung 3.44. Frequenzabhängigkeit der Reibungsimpedanz nach Tabelle 3.10
(Kanalelement)
Tabelle 3.11. Schaltungsabbildung realer akustischer Bauelemente
Volumenelemente nach Tabelle 3.9
Za0
Na0
FG k IJ
H k 1K
Kanalelemente nach Tabelle 3.10
gilt für:
bk 1g N
Ma0
a0
2 Za 0
2
Za 0
bk 1gM
a0
w
10
wg
Na 0 , Za 0 , w g siehe Tabelle 3.9
gilt für:
w
100
wg
Ma 0 , Za 0 , w g siehe Tabelle 3.10
3.3.5 Isomorphie zwischen akustischer und elektrischer Schaltung
Zwischen der akustischen und der elektrischen Schaltung können wegen der
vorliegenden Isomorphie und der gleichen Topologie wieder Analogiebeziehungen aufgestellt werden. Die mit der Koordinatendenition festgelegten Zuordnungen sind in Tabelle 3.12 zusammengestellt.
126
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Tabelle 3.12. Isomorphie zwischen elektrischem und akustischem Netzwerk
Zuordnung zwischen Koordinaten bzw. Bauelementen
Spannung
u
p
Druck
Strom
i
q
Volumenfluss
Induktivität
L
Ma
akustische Masse
Kapazität
C
Na
akustische Nachgiebigkeit
Widerstand
R
Z a,r
akustische Reibung
u jwLi
p jwM a q
L
C
u
R
1
i
jwC
u Ri
p
1
q
jwN a
p Z a,r q
Ma
Ma
Na
Na
Z a,r
Z a,r
Knoten der
Schaltungsstruktur
in 0
qn 0
Knotenpunkt des
akust. Netzwerks
Masche der
Schaltungsstruktur
un 0
pn 0
Masche des
akust. Netzwerks
i1
A2
i2
p
A1
1
u1
w1
w2
u2
F
q
p
q
1
2
2
v
u2 w2
u
w1 1
p2 A1
p1
A2
i2 w1
i
w2 1
q2 A2
q1
A1
Diese Beziehungen gestatten den Einsatz von Netzwerkanalyseprogrammen
der Elektrotechnik (z. B. PSPICE) für die dynamische Analyse akustischer
und hydraulicher Systeme. Um die Zuordnungen auch quantitativ vorzuneh-
3.3 Akustische Netzwerke
127
men, müssen Proportionalitätsgrößen zwischen den Koordinaten deniert werden. Es soll gelten:
1
t
(3.29)
J6
Darüber hinaus könnte noch zugelassen werden, dass sich die Frequenzen zwischen dem elektrischen und dem mechanischen Netzwerk um einen konstanten
Faktor unterscheiden. Von dieser Möglichkeit wird in der Praxis kein Gebrauch
gemacht. Sie wird deshalb im Folgenden nicht benutzt. Für die Bauelemente
folgt durch diese Festlegung:
x = J5 s
F=
Qa
,
J5 J6
und
O = J5 J6 Pa
l=
und
U = J5 J6 ]a
(3.30)
Die Proportionalitätsfaktoren J5 und J6 können bezüglich ihres Betrages zunächst frei gewählt werden. Mit Rücksicht auf die Eigenarten von Netzwerkanalyseprogrammen (z. B. PSPICE) sollten jedoch die Ziernfolgen erhalten
bleiben. Somit stehen nur noch die Zehnerpotenzen zur Auswahl. Um eine
gewisse Anschaulichkeit der elektrischen Schaltung zu erzielen, wird als Zehnerpotenz für J5 und J6 häug der Faktor 1 benutzt. Damit ergeben sich:
J5 = 1
Vm2
,
N
J6 = 1
m3
As
Werden für J5 und J6 gleiche Zahlenwerte verwendet, so entsteht eine leistungsgleiche Abbildung. Dieser Vorzug wird meist in Anspruch genommen.
3.3.6 Anwendungsbeispiele
Kleine Hohlraumsysteme, deren informationsübertragenden Eigenschaften optimiert werden müssen, liegen besonders in der Schallempfängertechnik vor.
Aber auch in Schallerzeugungssystemen (Lautsprecherboxen, Kopf- und Ohrhörer, Telefonhörkapseln, Kalibratoren, Piezophone, Hupen) und für Schalldämpfer in Abgasleitungen können akustische Netzwerke zur Modellierung
und Optimierung verwendet werden. In diesem Abschnitt werden als Beispiele
ein Pistonfon, ein Mikrofon und ein Abgasschalldämpfer mit Hilfe akustischer
Netzwerke modelliert.
Pistonfon
Für die Kalibrierung bzw. Überprüfung von Mikrofonen oder einer ganzen
Schalldruckmesskette ist eine einfaches, kleines, leichtes und zuverlässiges
Prüfgerät erforderlich. Die einfachste Ausführungsform besteht aus einem
Hohlraum, einem Schwingkolben und einer Mikrofonankopplung. In den Hohlraum wird von einem sinusförmig bewegten Kolben der Fläche DK ein Wechselvolumen uss t 0 eingespeist (Abb. 3.45). Das Mikrofon ragt in örtlich denierter Weise in das Volumen hinein. Es ist zur Umgebung abgedichtet. Ein
128
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
durch die Kolbenbewegung erzwungener Volumen uss wird einen Wechseldruck im Volumen erzeugen. Die Maße des Volumens sind dabei so klein, dass
an allen Stellen des Volumens der gleiche Druck herrscht. Ist diese Druckamplitude genau bekannt, so kann der Übertragungsfaktor des Mikrofons bei der
Betriebsfrequenz des Pistonfons überprüft werden.
reale Anordnung
2R = Bohrungsdurchmesser
mechan.
Anregung
des
Kolbens
l = Wanddicke
AK
Volumen V0
q2
Mikrofon
q0
x0
q1
akustisches Schema
q2
q0
q 0 jwx 0 AK
akustische Schaltung
Za
q0
p
q1
p
q2
q1
p
Na
Za
Na
Abbildung 3.45. Reale Anordnung, akustisches Schema und akustische Schaltung
eines Pistonfons
Um zu sichern, dass der mittlere Innendruck im Hohlraum dem Außendruck
gleicht, ist es notwendig, eine Verbindung zwischen Innenvolumen und Außenraum herzustellen. Dieser Verbindungskanal soll den Charakter einer Reibungsimpedanz zeigen. Die normale Arbeitsweise des Pistonfons darf durch
diesen Kanal nicht beeinträchtigt werden. Dazu muss die Frequenzabhängigkeit des Druckes bei Anregung mit einem amplitudenkonstanten Schwingweg
untersucht werden. Für das Verhältnis von Druck zu Volumen uss ergibt sich:
s
=
t0
1
1
j$Qa +
]a
=
1
j$Qa
1
1+
1
j$Qa ]a
(3.31)
Demnach gilt für die wegbezogene Druckamplitude
s
s
DK
= j$DK ·
=
0
t0
Qa
1
1
1
$Qa ]a
=
DK
1
Qa 1 $ g
$
(3.32)
3.3 Akustische Netzwerke
129
mit $ g = 1@ (Qa ]a ). Für eine Bewertung ist es ausreichend, die Beträge zu
diskutieren. Es folgt somit:
; $ D
$
K
A
·
,
¿1
A
A
A
$
Q
$
g
a
g
A
A
A
A
¯ ¯
A
? 1 D
¯s¯ D
$
1
K
¯ ¯
K
=1
r
=
(3.33)
¯ ¯=
³ $ ´2 A s2 · Qa ,
$
¯ 0 ¯
Qa
g
A
g
A
1+
A
A
A
$
A
A
$
DK
A
=
,
À1
Qa
$g
Die Betriebsfrequenz $ des Pistonfons sollte mindestens eine Dekade über
der Grenzfrequenz $g liegen. In Richtung höherer Frequenzen begrenzen die
Abmessungen des Volumens die Anwendbarkeit. Eine Verringerung ist mindestens in einer Richtung durch den Mikrofondurchmesser begrenzt. Alle Einzelmaße müssen deutlich unter einem Viertel der Wellenlänge in Luft bleiben.
Kondensatorplattenmikrofon mit Druckausgleich
Auf einer Stirn äche eines zylindrischen Hohlraumes ist eine dünne Platte
der Fläche D federnd aufgehangen (Abb. 3.46). Die Aufhängung soll die mechanische Nachgiebigkeit q besitzen. Die Nachgiebigkeit ist dabei so steif gewählt, dass im vorgegebenen Übertragungsfrequenzbereich keine Resonanzeffekte auftreten. Die Eigenmasse der Platte kann deshalb für die Modellbildung
vernachlässigt werden. Hinter der Platte bendet sich in sehr kurzem Abstand
{0 eine mit der Ladung T0 aufgeladene Elektrode. Die elektrische Kapazität
zwischen den Elektroden beträgt F0 . Die Ladung T0 wird durch technische
Abbildung 3.46. Einfaches Kondensatorplattenmikrofon
130
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Maßnahmen konstant gehalten. Bei Auslenkung der Platte um den Weg entsteht zwischen der Elektrode und dem Gehäuse eine Spannungsänderung.
Bei Anregung mit einem Wechseldruck s ist somit am elektrischen Ausgang
des Mikrofons eine Wechselspannung x zu beobachten, die zum Schwingweg
und damit zum Druck über der Platte proportional ist. Der Hohlraum hinter der Platte ist ein Volumenelement. Im Abbildung 3.46 ist auf der rechten
Seite eine Önung zu erkennen. Diese Bohrung verbindet das Volumen mit
dem äußeren Druck der Umgebung. Die Bohrung stellt ein Kanalelement dar.
Das Kanalelement ist mit einem porösen Sto gefüllt und soll den Charakter eines Strömungswiderstandes haben. Die gefüllte Bohrung ist erforderlich,
damit langsame Änderungen des umgebenden Druckes (durch atmosphärisch
bedingte Schwankungen des Luftdruckes oder Erwärmung des Innenvolumens)
keine Grundauslenkung der Platte erzeugen. Bei vorgegebenem Übertragungsfrequenzbereich (untere Frequenzgrenze) kann nach einer Modellierung die
erforderliche Dimensionierung des Strömungswiderstandes ]a angegeben werden.
Für die Anwendung des Mikrofons sind zwei Grenzfälle denkbar. Im ersten
Grenzfall kann das Mikrofon in ein Gehäuse so eingebaut sein, dass der Schalldruck nicht auf den äußeren Anschluss des Strömungswiderstandes einwirken
kann (s2 = 0). Im zweiten Grenzfall liegt die Mikrofonkapsel oen im Schallfeld. So kann bei tiefen Frequenzen der Schalldruck auf Platte und Strömungswiderstand einwirken (s1 = s2 ). Für beide Fälle wird nachfolgend die Übertragungsfunktion berechnet. Um die Wirkung der mechanischen Nachgiebigkeit
im akustischen Schaltbild darzustellen, ist noch eine zusätzliche Überlegung
erforderlich. Die Druckdierenz s1 sY zwischen Platte und Volumen wirkt
über die Platten äche D als Kraft auf die Feder mit der Nachgiebigkeit q.
Das führt zu einer Verrückung = qs1 D. Dabei wird eine Volumenverschiebung Y = D realisiert. Der auf Grund der Druckdierenz über der Platte
erzeugte Volumenstrom beträgt:
t=
¢
d ¡
dY
=
q (s1 sY ) D2
dw
dw
Die Platte bildet somit eine akustische Nachgiebigkeit Qa>P = qD2 . Für den
Einbau der Platte in ein akustisches Schaltbild ist zu beachten, dass die Platte
vom Volumenstrom t durch ossen wird, der in das innere Volumen durch die
Platte einströmt. Über der Platte liegt die Druckdierenz s1 sY . Sie liegt
damit mit der äußeren Druckquelle in Reihe.
Der Strömungswiderstand liegt mit der Druckquelle s2 in Reihe. Mit diesen
Feststellungen ergibt sich die Schaltung nach Abbildung 3.47 links. Trit der
zweite o.g. Grenzfall zu (Mikrofonkapsel im freien Schallfeld, also s1 = s2 ), so
vereinfacht sich die Schaltung (Abb. 3.47 rechts).
3.3 Akustische Netzwerke
131
Abbildung 3.47. Akustische Schaltungen des Kondensatorplattenmikrofons
Nun kann die Übertragungsfunktion für beide Grenzfälle leicht berechnet werden. Für den Fall des frei angeordneten Mikrofons (s1 = s2 ) gilt:
Qa>P Qa
1
=
s1
D (Qa>P + Qa ) 1 j $ 1
$
mit
$1 =
1
(Qa>P + Qa ) ]a
Für den Fall des eingebauten Mikrofons (s2 = 0) folgt:
$
1+j
Qa>P
$2
=
s1
D 1+j $
$1
mit
$2 =
1
Qa ]a
Abbildung 3.48 zeigt die berechneten Übertragungsfunktionen für die beiden
genannten Fälle. In beiden Fällen kommt es oberhalb der Grenzfrequenz $ 1
zu einem frequenzunabhängigen Übertragungsverhalten. Bei dem ersten Fall
(Kapsel im Gehäuse) kommt es zu einer Tiefenanhebung unterhalb der Grenzfrequenz $ 1 .
Das Beispiel zeigt, welche wesentlichen Änderungen im Gesamtfrequenzgang
durch die Einbauumgebung des jeweiligen Systems eintreten können.
x p
1
N a,p
A
x
p
1
1 N a, p N a
A N a, p N a
p 0
2
x
p
1
p p
1
w2
w1
2
w
Abbildung 3.48. Frequenzabhängigkeit des Plattenausschlages für zwei Grenzfälle
132
3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern
Abgasschalldämpfer
Schon ein einfacher Abgasschalldämpfer eines Kraftfahrzeuges mit zwei volumenartigen Hohlräumen kann den Schalldruck im Fernfeld um 90% verringern.
Abbildung 3.49 zeigt einen Beispiel-Schalldämpfer. Wegen des einfachen Aufbaues eignet er sich hier zur Demonstration. Zwei voneinander getrennte Hohlräume werden mit je zwei kurzen Rohrstutzen mit dem durchgehenden Hauptrohr verbunden. Um eine realistische Übertragungsfunktion zu erhalten, wurden alle akustischen Massen mit geschätzten Reibungsbauelementen ergänzt.
V 0,16 m 3
35
q
58
M a1
14
4244
3
M a2
20
200
Na
400
Abbildung 3.49. Abgasschalldämpfer
Abbildung 3.50 zeigt die akustische Schaltung der angenommenen Gesamtanordnung. Der am Rohrausgang auftretende Schall uss und der Schalldruck im
Fernfeld sind bei Annahme einer kugelwellenförmigen Abstrahlung mit der in
Abbildung 3.51 genannten Beziehung miteinander verknüpft. Die durch das
Schallfeld verursachte Impedanz ]a>r5 wurde hier näherungsweise als frequenzunabhängig und reell angenommen. Die dadurch verursachten Abbildungsfehler liegen im Bereich der übrigen Fehler durch Dämpfungsschätzungen.
Die Rechnung ist aber für den Leser leichter nachvollziehbar. Im Netzwerkanalyseprogramm PSPICE lassen sich frequenzabhängige reelle Widerstände
programmieren, so dass eine genauere Abbildung mit etwas Aufwand gelingt.
Bei dem Fall „ohne Schalldämpfer” wirkt der Schall uss t 1 als Quellgröße
einer Kugelwelle. Es fehlen sowohl der Schalldämpfer als auch das Abgasrohr.
Der Fall „Rohr als Schalldämpfer“ bewirkt durch die akustische Masse und
die Reibung im Rohr bereits eine Dämpfung des Schalldruckpegels im Fernfeld. Durch das Einbringen der Resonatorkammern entstehen je nach Anzahl
der Kammern weitere Dämpfungseekte im Fernfeld. Die Berechnung erfolgte
mit einem Netzwerkanalyseprogramm durch direkte Eingabe der Schaltung
nach Abbildung 3.50 unter Verwendung der Transformationsfaktoren J3 und
J4 aus Abschnitt 3.3.5.
3.3 Akustische Netzwerke
Motor
M ai
133
Schalldämpfer
M a2
Z a,ri
2M a2
Z a,r2
Z a,r3
M a2
Z a,r2
q1
M a1 2
M a1 2
Z a,r4
Z a,r4
Na
Na
q2
p
M ai 250 Ns 2 m 5
M a1 250 Ns m
2
5
M a 2 250 Ns 2 m 5
N a 1,25 10 6 m5N 1
Z a,ri 250 Ns m
5
Z a,r5
Z a,r3 500 Ns m 5
Z a,r4 5000 Ns m 5
Z a,r2 250 Ns m 5
Z a,r5 350 Ns m 5
für Kugelwelle:
r w
p% q%2
4p r
Abbildung 3.50. Akustische Schaltung des Abgasschalldämpfers nach Abbildung
3.49
0
~
p
L p 20 lg ~
dB
poSD
ohne SD
L p dB
10
SD als Rohr
Rohr + 2. Reson.
20
Rohr + 1. Reson.
30
Rohr + 1. u. 2. Reson.
40
1
10
100
f Hz
1000
Abbildung 3.51. Dämpfung des Schalldruckpegels für verschiedene Anordnungen
Abbildung 3.51 zeigt für die genannten Fälle die Änderungen der Schalldruckpegel im Fernfeld an einem vorgegebenen Ort.
4
Abstraktes lineares Netzwerk
Als Ergebnis der Überlegungen in den vorhergehenden Abschnitten haben sich
vier physikalische Strukturen ergeben, die sowohl hinsichtlich der Beziehungen zwischen den Koordinaten, die den Zustand des Systems beschreiben, als
auch hinsichtlich der Topologie der Schemata, die den Strukturen zugeordnet
werden können, isomorph sind.
Dieser Umstand legt die Einführung eines abstrakten linearen Netzwerkes nahe, das die Eigenschaften aller bisher behandelten Strukturen enthält. Die
Bedeutung eines solchen abstrakten Netzwerkes liegt darin, dass infolge der
eindeutigen Relationen zu den elektrischen Netzwerken alle Ergebnisse der
elektrischen Netzwerktheorie auf dieses abstrakte Netzwerk übertragen werden können. Damit ist die Gültigkeit dieser Beziehungen nicht nur für die
bisher behandelten physikalischen Strukturen gesichert, sondern auch für alle
noch auftretenden Strukturen, die sich durch die im Folgenden zusammengefassten Gleichungen beschreiben lassen. Zu diesen hier nicht behandelten
Strukturen zählen z. B. die thermischen und magnetischen Netzwerke. In diesen Gleichungen soll anstelle der bisher verwendeten imaginären Frequenz j$
jetzt die komplexe Frequenz s = j$ + geschrieben werden. Das bedeutet eine analytische Fortsetzung der Frequenzfunktion von der imaginären Achse in
die komplexe Ebene oder die Erweiterung der zugelassenen Zeitfunktionen von
den bisher betrachteten stationären sinusförmigen Vorgängen auf exponentiell
an- und abschwellende Sinusschwingungen (s. Kap. 2).
4.1 Koordinaten
Der Zustand des abstrakten Netzwerkes wird nachfolgend durch zwei verschiedene Arten von Koordinaten beschrieben.
1. Dierenzkoordinaten besitzen die Bedeutung der Dierenz zweier skalarer
Größen zwischen den Endpunkten eines Elements:
136
4 Abstraktes lineares Netzwerk
=
;
x
A
A
A
A
A
?y
Spannung
Geschwindigkeit (Schnelle)
A
s
A
A
A
A
=
Druck
Winkelgeschwindigkeit
2. Flussartige Koordinaten durchsetzen ein Element unverändert, sie besitzen den gleichen Wert an den beiden Endpunkten des Elements:
;
l
Strom
A
A
A
A
A
?I
Kraft
=
A
t
Volumen uss
A
A
A
A
=
P
Drehmoment
Das Produkt eines jeweils zusammengehörigen Koordinatenpaares ergibt eine
Leistung, die an realen Netzwerken ohne Quellen nicht negativ sein kann:
S =
¢
1¡ + 4
(4.1)
4.2 Bauelemente
Das abstrakte Netzwerk enthält drei verschiedene Arten von Bauelementen
(> > ), einen Transformationsmechanismus und zwei Arten von Quellen,
die den beiden Koordinatenarten entsprechen.
Die drei Bauelemente sind in Tabelle 4.1 dargestellt. Es sind jeweils zwei
Energiespeicherelemente und ein Element, in dem ein im thermodynamischen
Sinne irreversibler Vorgang abläuft. Dabei ist zu beachten, dass die allgemeinen Koordinaten und bzgl. der Bauelemente , und aus Tabelle 4.1
durch die komplexe Frequenz s = j$ + gemäß
= s
(4.2)
1
s
(4.3)
=
und
= miteinander verknüpft sind.
(4.4)
4.2 Bauelemente
137
Tabelle 4.1. Koordinaten und Bauelemente des abstrakten Netzwerkes
U|
|V
||
W
m pa l
m
1
l
pb
m g l
R| L
|n
aS
|| M
Tn
R| C
|m
bS
|| N
T#
R| R
|1r
gS
|| Z
T1r
l
a, b , g
m
b3.48g
p s jw
Induktivität
Nachgiebigkeit
a akustische Masse
R
Drehnachgiebigkeit
Kapazität
Masse
a akustische Nachgiebigkeit
a
Trägheitsmoment
Widerstand
Reibungsadmittanz
akustische Reibung
R Drehreibungsadmittanz
Die beiden Quellmechanismen und der Transformationsmechanismus sind in
Abbildung 4.1 zusammengefasst.
+ l
0
m
m - Quelle
An den Klemmen ist unabhängig
von der Flussgröße l 0 die
Differenzgröße m 0 vorhanden.
0
+ l0
l - Quelle
Die Quelle liefert unabhängig von
der entsprechenden Differenzgröße
m die Flussgröße l 0 .
m
l1
m
1
l2
m
2
FG m IJ FG ü
H l K H0
1
1
0
1
ü
I Fm I
JK GH l JK
2
2
Abbildung 4.1. Quellen und Kopplungsmechanismen des abstrakten linearen Netzwerks
138
4 Abstraktes lineares Netzwerk
4.3 Knoten- und Maschensätze
Die Systeme aus den im Abschnitt 4.2 genannten Elementen können durch
Schemata aus Zweigen und Knoten dargestellt werden (Abb. 4.2). Für die
jeweils in einer Masche enthaltenen Dierenzkoordinaten q und die an einem
Knoten zusammentreenden Flusskoordinaten p gelten dann die Gln. (4.5)
und (4.6). Sie werden als Knoten- und Maschensätze bezeichnet:
X
q = 0
Maschensatz:
(4.5)
M asche
X
Knotensatz:
p = 0
(4.6)
Knoten
Knoten
Masche
m 0
lm 0
Masche
m
n
n
Knoten
lm
Abbildung 4.2. Maschen- und Knotensätze
4.4 Eigenschaften des abstrakten linearen Netzwerks
Die Gln. (4.1) bis (4.6) beschreiben das abstrakte Netzwerk vollständig. Zur
Lösung sämtlicher Aufgaben, die im Zusammenhang mit einem solchen Netzwerk auftreten können, sind keine weiteren Annahmen erforderlich. Insbesondere ist mit diesen Gleichungen die Berechnung des Zustands eines Netzwerks
in Abhängigkeit von den wirkenden Quellen möglich. Kann ein Netzwerk über
N Koordinatenpaare mit der Umwelt in energetische Wechselwirkung treten,
so folgt aus den Grundgleichungen (4.2) bis (4.6), dass die N Flusskoordinaten jeweils durch die N Dierenzkoordinaten eindeutig bestimmt sind und
umgekehrt (Abb. 4.3 und Abschn. 2.2).
Die Koe!zienten der Gleichungssysteme
q =
N
X
p=1
qp p
q = 1> 2> = = = > N
(4.7)
4.4 Eigenschaften des abstrakten linearen Netzwerks
m
N
139
m
l N l1
1
m n
N
rnm l m
m 1
b3.50g
l2
a, b , g
Transformationselemente
m
2
ln g
ln
nm
r
m
nm
N
g nm mm
m 1
g
mn
r
mn
n 1,2,L, N
U|
V|
W
n 1,2,L, N
b3.51g
Umkehrbarkeit
n
Abbildung 4.3. n-Pol im abstrakten linearen Netzwerk
q =
N
X
qp p
q = 1> 2> = = = > N
(4.8)
p=1
sind verallgemeinerte Impedanzen und Admittanzen. Aus historischen Gründen ist der Sprachgebrauch bei den verschiedenen physikalischen Strukturen
jedoch unterschiedlich. Bei elektrischen und akustischen Netzwerken wird der
Quotient
Dierenzkoordinate s
x
, ,
Flusskoordinate l
t
als Impedanz und sein Reziprokwert als Admittanz bezeichnet.
Bei mechanischen Netzwerken ist jedoch die umgekehrte Festlegung üblich.
Der Quotient
I
P
Flusskoordinate ,
,
Dierenzkoordinate y
wird hier als Impedanz und sein Reziprokwert als Admittanz bezeichnet. Bei
der Impedanz steht also immer eine „kraftartige” Größe (I> P> s> x) im Zähler.
Bei Netzwerkproblemen treten zwischen den Koordinaten drei Arten von typischen Quotienten auf, die sich hinsichtlich ihres funktionentheoretischen Charakters als Funktionen der komplexen Variablen s = +j$ unterscheiden. Die
wesentlichen Eigenschaften dieser Quotienten sollen im Folgenden zusammengestellt werden. Ihre Herleitung aus den Grundgleichungen am Beispiel eines
elektrischen Netzwerkes ist in [46] enthalten.
Die Elemente der Hauptdiagonalen der Matrizen von Gln. (4.7) und (4.8)
werden als Impedanzen bzw. Admittanzen bezeichnet (Abb. 4.3). Sie kennzeichnen die Quotienten von Fluss- und Dierenzkoordinaten an jeweils einem
Punktpaar des Systems.
140
4 Abstraktes lineares Netzwerk
Diese Quotienten haben folgende Eigenschaften:
qq
qq
¾
=
½
0
0
¾
n
X
] (s)
(s s01 ) (s s02 ) · · · (s s0n )
=
= =1
00
00
00
o
(s s1 ) (s s2 ) · · · (s so )
Q (s)
X
dy s
ey s
=1
½
¾
qq
A0
qq
;
<
?o + 1@
o
n=
=
>
o1
<
d > ey A 0,
für
< {s} A 0.
(4.9)
(4.10)
(4.11)
reell
(4.12)
< {s0 > s00 } 0
qq (s ) = qq (s)
(4.13)
und
qq (s ) = qq (s)
(4.14)
Die Form der Gl. (4.9) folgt aus dem Umstand, dass die Beziehungen für
die Bauelemente Gln. (4.2) bis (4.4) in Verbindung mit den Knoten- und
Maschensätzen nur gebrochen-rationale Funktionen der Variablen s ergeben
können. Die und e sind reell und A 0, weil dies für die > > in den Gln.
(4.2) bis (4.4) vorausgesetzt wurde (reale Bauelemente). Die Gl. (4.10) enthält
die Aussage, dass bei sinusförmigen Vorgängen mit konstanter ( = 0) oder
exponentiell anklingender ( A 0) Amplitude von einem realen Bauelement
im Mittel höchstens Leistung aufgenommen, aber keine Leistung abgegeben
werden kann. Eine gleichwertige Aussage dazu stellt die Gl. (4.13) dar. Die
Realteile der Nullstellen vom Zähler- und Nennerpolynom erscheinen in der
Form ew als Faktoren in den Zeitfunktionen der möglichen freien Schwingungen in dem Netzwerk.
Die Amplituden der freien Schwingungen können höchstens konstant sein (verlustfreies passives System = 0), aber nicht zunehmen. Bei realen physikalischen Systemen ist immer eine — wenn auch sehr kleine — Dämpfung vorhanden
( ? 0), so dass die freien Schwingungen für w $ 4 verschwinden. Gl. (4.11)
folgt aus der Tatsache, dass ein Netzwerk zwischen zwei Punkten bei sehr
hohen Frequenzen nur den Charakter eines der drei Grundbauelemente annehmen kann, d. h., die qq oder qq können für s $ 4 nur konstant, s
oder 1@s sein. Die Eigenschaft der Gl. (4.14) folgt schließlich aus dem leicht
nachprüfbaren Umstand, dass diese Beziehung für jedes der drei Grundbauelemente gilt.
Die Quotienten von gleichartigen Koordinaten an verschiedenen Stellen des
4.4 Eigenschaften des abstrakten linearen Netzwerks
141
Netzwerkes werden als Übertragungsfaktoren bezeichnet. Es gilt:
W =
q <
A
A
A
A
@
p
W = q
p
A
A
A
A
>
=
½
0
0
¾
n
X
] (s)
(s s01 ) (s s02 ) · · · (s s0n )
=
= =1
00
00
00
o
(s s1 ) (s s2 ) · · · (s so )
Q (s)
X
dy s
ey s
=1
p > p Erregung,
q > q Antwort
(4.15)
d > ey = reell
(4.16)
on
(4.17)
< {s00 } 0
(4.18)
Die Gl. (4.16) folgt wie Gl. (4.12) aus dem Umstand, dass > > reell sind.
Dass die d und e hier nicht notwendig positiv sein müssen, ist leicht einzusehen, wenn man bedenkt, dass bei einem Übertragungsfaktor durchaus
eine Gegenphasigkeit von Antwort und Erregung vorkommen kann. Das war
bei Impedanzen aus energetischen Gründen nicht möglich. Gl. (4.17) enthält
die Aussage, dass sich ein Übertragungsfaktor bei sehr hohen Frequenzen
(s $ 4) höchstens einem konstanten Wert nähern, aber nicht mit s beliebig wachsen kann. Im Gegensatz zu Impedanzen und Admittanzen können
Übertragungsfaktoren aber für s $ 4 mit jeder beliebigen Potenz von s
gegen Null gehen. Beide Behauptungen kann man leicht an speziellen Beispielen verizieren. Gleichung (4.18) hat schließlich die gleiche Ursache wie
Gl. (4.13). Die Realteile der s00 erscheinen wieder in dem Faktor ew bei den
freien Schwingungen des Netzwerkes, die an den Stellen beobachtet werden
können. Sie müssen deshalb positiv oder höchstens gleich Null sein.
Als Kernimpedanzen oder —admittanzen werden die Quotienten von Flussund Dierenzkoordinaten an zwei verschiedenen Stellen des Netzwerkes bezeichnet (Abb. 4.4). Die Eigenschaften dieser Quotienten folgen sofort aus
denen der beiden vorhergenannten Gruppen, wenn man beachtet, dass eine
Kernadmittanz oder —impedanz immer als Produkt einer Admittanz bzw. Impedanz mit einem Übertragungsfaktor dargestellt werden kann.
Zum Beispiel gilt:
Ã
!
¶
¶
q
p
q
=
(4.19)
qp =
p (··· )
p
p (··· )
(··· )
qp
¡ ¢
= W pq pp
(4.20)
142
4 Abstraktes lineares Netzwerk
Bemerkenswert ist, dass die qp und qp bei hohen Frequenzen höchstens
proportional s wachsen und mit jeder beliebig hohen Potenz von s gegen Null
gehen können.
m
n
lm
e rj
r
nm
Fm I
GH l JK
l ,l
n
m
1
l m Erregung,
ln
g
e gj
nm
2 L l m 1 , l m 1 , L l N
0
m Antwort
n
Fl I
GH m JK
m ,m
n
m
1
m
2
Lm
m 1
,
m
m 1
,L m
N
m
m Erregung,
m
l n Antwort
k
R| r
S|g
T
nm
nm
U| R r U FH p p IK FH p p IKLFH p p IK a p
V| STg VW F I F I F I
W
H p p K H p p KLH p p K b p
0
0
1
1
2
k
2
l
n 1
l
n 1
an , bn reell
k l 1
n
n
n
n
Re pn 0
{ }
Abbildung 4.4. Impedanzen und Admittanzen im abstrakten linearen Netzwerk
5
Mechanische Wandler
Die im Kapitel 3 noch getrennt voneinander dargestellten mechanisch-translatorischen, mechanisch-rotatorischen und akustischen Netzwerke sind untereinander oft mit Wandlerelementen verknüpft. Das im Abschnitt 3.1.3 behandelte
Bauelement Hebel ist ein solches Wandlerelement zwischen zwei mechanischtranslatorischen Netzwerken. Die Verkopplung zwischen translatorischen und
rotatorischen Netzwerken geschieht mit dem Bauelementetyp Stab (starrer
Stab und Biegestab). Zwischen mechanischen und akustischen Netzwerken geschieht die Verkopplung mit Hilfe des Bauelementetyps Flächenelement (Kolbenwandler und Biegeplatte).
5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler
Starre und elastische Stäbe sind häug verwendete Bauelemente, die entweder
das Ziel der Kopplung zwischen Netzwerken umsetzen oder in der Konstruktion primär notwendig sind und so eine Modellierung mit beiden Netzwerktypen
erfordern. Ein typischer Fall für die letztere Überlegung ist die Anwendung
von Biegestäben als Führungsbauelemente für translatorisch bewegte Baugruppen (z. B. Parallelführung mittels Blattfedern). Hier tritt der rotatorische Teil des Netzwerkes nur im Abbildungsbereich der Biegestäbe auf. Auch
eine Baugruppe aus zwei idealen starren Stäben kann als reiner Hebel wirken
und nach außen hin keine rotatorischen Komponenten verwenden. Zunächst
werden die Verhältnisse am starren Stab und nachfolgend am Biegestab dargestellt.
5.1.1 Starrer Stab
Wird ein starrer, masseloser Stab einseitig starr mit einer Achse verbunden,
wie dies in Abbildung 5.1 gezeigt ist, so sind die rotatorischen Koordinaten
an der Achse und die translatorischen Koordinaten am freien Stabende nur
mit der Stablänge o verknüpft. Da auch in diesem Fall nur kleine Bewegungen
144
5 Mechanische Wandler
M
F
v l+
v
F v
+
1
M
l
l
F
F
l :1
+
+
v
M
M
Abbildung 5.1. Einseitig drehbar gelagerter Stab als Translations-RotationsWandler
und damit kleine Winkel als vereinbart gelten, entstehen so folgende lineare
Beziehungen zwischen den Koordinaten:
=
y
o
und
P = Io
(5.1)
Wenn man annimmt, dass die Achse mit einer rotatorischen Impedanz belastet ist, so führt eine aufgeprägte Geschwindigkeit am freien Stabende zu
einem Drehmoment, welches sich am freien Stabende als Kraft wiederspiegelt.
Am freien Stabende ist somit eine transformierte Impedanz wirksam. Der
Transformationsfaktor ist die Stablänge o. Diese Überlegung kann auch vom
rotatorischen Systempunkt aus durchgeführt werden. Auch in diesem Fall ist
der Transformationsfaktor die Stablänge o.
Im allgemeinen Fall sollten jedoch auf beiden Seiten translatorische und rotatorische Koordinaten zugelassen werden. Das lässt sich erreichen, indem auf
der freien Seite des Stabes ebenfalls eine Achse angebracht wird und die bisher
nur drehbar gelagerte Seite zum translatorisch frei beweglichen Systempunkt
wird. Nun können auf beiden Seiten beide Koordinatenpaare vereinbart werden. Die Vierpolabbildung des einseitig drehbar gelagerten Stabes muss nun
durch eine Achtpolabbildung ersetzt werden (Abb. 5.2).
Das Gleichgewicht der Momente und Kräfte am masselosen Stab und die Bewegungsbedingungen aus der Starrheit des Stabes führen zu folgenden Gleichungen:
I1 = I2 = I
1 =
2 =
(5.2)
y2 y1 = o
P 1 P 2 = oI
Abbildung 5.2 zeigt eine Achtpoldarstellung dieser Verkopplungen und damit eine Abbildung des Bauelementes „Idealer Stab” mit einer Schaltung.
Der innere Kopplungsvierpol ist wieder ein idealer Transformator mit dem
Übersetzungsverhältnis Stablänge o.
5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler
reale Anordnung
a)
b)
Kopplungsachtpol
M1
l
F1
M2
v1
M2
+1
+2
v2
+1 M 1
idealer
Stab
F1
+2
F2
145
F2
v1
v2
c) Schaltung
M1
M2
+1
+2
+
1
l
F1
v1
F2
v2
v 2 v1
Abbildung 5.2. Idealer Stab a) reale Anordnung, b) Kopplungsachtpol, c) Schaltungsdarstellung
In Abbildung 5.3 ist dargestellt, wie durch Setzung der Randbedingungen
y 1 = 0 (Kurzschluss) und P 2 = 0 (Leerlauf) das in Abbildung 5.1 gezeigte
einseitige Stabmodell aus dem idealen Stabmodell der Abbildung 5.2 hervorgeht.
M1
+1
M 1 , +1
v2
F2
v1 0
M2 0
M 1 1: l
1
l
F2
+1
F2
v2
v2
Abbildung 5.3. Einseitig drehbarer Stab, entwickelt aus dem idealen Stab
Aber auch die Herleitung der im Abschnitt 3.1.3 dargestellten Beziehungen
für den innen gelagerten Hebel gelingt durch Zusammenschaltung von zwei
idealen Stäben. Die Vorgehensweise ist in Abbildung 5.4 dargestellt. Die Koppelbedingungen für die beiden idealen Stäbe mit den Längen o1 und o2 ergeben
146
5 Mechanische Wandler
F1
v2
v1
l1
F2
l2
F1
v1
v2
v1
v2 F 1
F 2
+ 1
+2 M 1
M 2
F2
R| v |SM || + T
1
v2 0
1
M 2
1
+2 M1 0
M2 0
+1
v1
F1
5
6
1
2 l1
F1 1
1
5
7
8
3
4 l2 F 2
1
8
2
F 1 l1 : l2
6
F2
v2
v2
4 F2
+
v1
v1
+2
+
v2
7
3
F 1 l1 : l2
F2
v1
v2
Abbildung 5.4. Vierpoldarstellung des Hebels, entwickelt aus zwei Stäben
sich aus den Eigenschaften des idealen Lagers, das zwar Kräfte, aber keine
Momente aufnehmen kann.
Im Abschnitt 5.1.2 wird gezeigt, dass das Modell des Biegestabes aus idealen
Stäben und Drehfedern zusammengesetzt werden kann. In diesem Zusammenhang besitzt das Achtpol-Modell des idealen Stabes seine größte Bedeutung.
5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler
147
5.1.2 Biegestab
Biegestäbe und kreisförmige Biegeplatten (s. Abschn. 5.2) treten als Bauelemente für Federn, Führungselemente, mechanisch-akustische Wandler und in
Verbindung mit piezoelektrischen Wandlern häug auf. Eine Darstellung der
Biegetheorie (z. B. in [43]) von Stab und Platte geht jedoch über den Rahmen
des Buches hinaus. Es wird deshalb hier nur eine kurze Einführung in die
Stabbiegung mit dem speziellen Ziel der Herleitung einer Acht-Pol-Schaltung
des endlichen Biegestabes und der dazugehörigen Kettenmatrix gegeben.
Verknüpfungsgleichungen am dierentiellen Biegeelement
Als Stabbiegung sollen solche Deformationen bezeichnet werden, die durch
senkrecht zur Stabachse wirkende parallelgerichtete Momente hervorgerufen
werden. Es wird dabei angenommen, dass die Länge des Stabes groß gegen
seine Querabmessungen ist. Es sollen nur kleine Biegewinkel zugelassen werden. Des Weiteren wird angenommen, dass im Stab nur eine Längsspannung
W1 existiert, die linear von der Koordinate {2 abhängt (Abb. 5.5). Die Stelle {2 , bei der die Längsspannung W1 = 0 beträgt, wird zu {2 = 0 deniert
(Lage der neutralen Faser ). Es soll zunächst ein rechteckiger Querschnitt des
Biegestabes mit der Breite e und der Biegerhöhe k angenommen werden. Aus
diesem Stab wird für die nachfolgende Betrachtung ein kurzes Stabstück der
Länge { herausgeschnitten und es werden Schnittkräfte angebracht. Aus der
Analyse der Deformation und der Schnittkräfte lässt sich, wie nachfolgend gezeigt wird, ein nites Biegeelement herleiten, welches aus zwei kurzen Stäben
und einer dazwischenliegenden rotatorischen Nachgiebigkeit besteht.
Abbildung 5.5 zeigt die Verhältnisse am belasteten Biegerelement. Die Dehnung auf der Biegeroberseite V1 (k@2) und die Stauchung auf der Biegerunterseite sind betragsmäßig gleich. Durch die Vereinbarung sehr kleiner Biegewinkel * können die trigonometrischen Funktionen gegen ihre Argumente
genähert werden. Für isotrope Werkstoe folgt nach Abbildung 5.6 auch die
Abhängigkeit der mechanischen Längsspannung von {2 und aus der Integration über die Schnittkräfte das Gesamtmoment P . Dabei ist L das axiale
Flächenträgheitsmoment um die neutrale Faser.
Mit dem Elastizitätsmodul H (W1 = HV1 ) und dem Zusammenhang zwischen
Moment und Spannung aus Abbildung 5.6
1
P = W1 (k@2) ·
k@2
k@2
Z
{22 ed{ = W1 (k@2) ·
1
·L
k@2
(5.3)
k@2
folgt
P = H · V1 (k@2) ·
L
.
k@2
(5.4)
148
5 Mechanische Wandler
x2
M
h
2
M
"x
"j
2
"j
M
x1
S1 ( h / 2)
"j
2
M
"x
h
2
1
S1 ( h / 2) "x
2
S1 ( h / 2)
1
S ( h / 2) "x
"j 2 1
h
2
2
S1 ( x2 )
h
x2
S1 ( x2 ) S1 ( h / 2)
2
h
2
1
S1 ( h / 2) "x
2
dj
1
S1 ( h / 2)
h
dx1
2
S1 ( h / 2)
x2
h
2
Abbildung 5.5. Deformation eines kurzen Biegerelementes
x2
x2
h
2
b
"F T1 ( x2 ) "A
"x2
"x2
x1
"A b"x2
b
aus
S1 ( x2 ) S1 ( h / 2)
x2
h
2
folgt
T1 ( x2 ) T1 ( h / 2)
"M "F x2 T1 ( x2 ) x2 b"x2 T1 ( h / 2)
M T1 ( h / 2)
1
h
2
für Rechteckbieger:
h 2
z
x22 b dx2
x2
h
2
x2
x b"x2
h 2
2
(4.4)
h 2
I
b h3
12
Abbildung 5.6. Zusammenhang zwischen Moment und mechanischer Spannung
5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler
149
Unter Verwendung von Abbildung 5.5 ergibt sich:
V1 (k@2) ·
*
1
=
k@2
{
(5.5)
Mit Gl. (5.4) folgt:
{
P = qR P
(5.6)
HL
Das dierentielle Biegeelement kann also aus einer rotatorischen Nachgiebigkeit qR und zwei Stäben der Länge {@2 nachgebildet werden (Abb. 5.7).
Für den Fall, dass der Stab durch Vergrößerung der Breite in Richtung {3
zu einer Platte entartet, kann im Allgemeinen angenommen werden, dass in
dieser Richtung keine Deformationen möglich sind (V3 = 0). Für diesen Fall
gilt:
1 2
qR =
{
(5.7)
HL
* =
"nR M
M
"x
"x
2
"x
E I
ideale Stäbe
"x
2
Abbildung 5.7. Modell des dierentiellen Biegeelementes
Endlicher Biegestab und seine Achtpoldarstellungen
Für eine universelle Anwendung des Biegermodells ist es erforderlich, außer
den zwei Drehmomenten in Abbildung 5.5 auch noch Kräfte in Richtung {2
wirken lassen zu können. Die entstehende Scherbelastung verursacht dann
zusätzliche Verrückungen, die allerdings sehr viel kleiner als die durch die
Biegung bedingten Verrückungen sind. Die eintretenden Scherdehnungen sollen im Folgenden vernachlässigt werden. Dadurch ist das in Abbildung 5.5
dargestellte Modell auch für die Einwirkung von Kräften und Momenten an
beiden Seiten gültig.
Für die Modellbildung des endlich langen Biegestabes muss aus dem Modell
für ideale Stäbe (Abschn. 5.1.1) und der o.g. Drehnachgiebigkeit ein komplexes Modell zusammengestellt werden.
Abbildung 5.8 zeigt die Schaltungsabbildung des niten Biegeelementes und
eine Kettenschaltung aus niten Biegeelementen für den langen Bieger. Mit
150
5 Mechanische Wandler
dieser Abbildung ist es nun auch möglich, Bieger mit ortsveränderlichen Flächenträgheitsmomenten, örtlichen Dichteänderungen oder äußeren Druckbelastungen schaltungstechnisch richtig abzubilden. Für die üblicherweise angewendeten Netzwerkanalyseprogramme stellt die Kettenschaltung vieler Biegerachtpole keine wesentliche Erschwernis dar.
M 1 ,+1
b
"F
"x
F 1 , v1
M2
F2
v2 + 2
M 1 M ( x)
M 2 M ( x "x)
"nR +1 +( x)
F 1 F ( x)
1
"x 2
"nR
+ 2 +( x "x)
1
"x 2
F 2 F ( x "x)
" F p b "x
v1 v( x)
M1
"x
E I
"nR
v2 v( x "x)
"nR
+1
"nR
M2
+2
1
"x 2
F1
v1
"x
F2
v2
"x
Abbildung 5.8. Biegeelement und Kettenschaltung
Für quasistatische Vorgänge ohne Druckbelastung können auch lange Bieger
mit Hilfe einer modizierten, deutlich kleineren Achtpolschaltung exakt abgebildet werden, solange nur die Verknüpfungen zwischen den Koordinaten
an den beiden Biegerenden interessieren (Abb. 5.9). Diese Schaltung wurde
mit Hilfe der n-Pol-Theorie gewonnen. Sie enthält eine negative Nachgiebigkeit. Die meisten Netzwerkanalyseprogramme gestatten die Eingabe negativer
Werte für die Bauelementeparameter. Bei allen schaltungstechnischen Zusammenfassungen von Bauelementen bis zu einer realen Schnittstelle ergeben sich
aber in Verbindung mit anderen Nachgiebigkeiten stets positive Federwerte.
Eine Abbildung endlich langer Biegestäbe bezüglich ihrer Koordinaten an den
5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler
151
Stabenden ist mit Netzwerkanalyseprogrammen damit ebenfalls problemlos
möglich.
v1 , F 1
M2
M1
v2
n0
n0
2l 2
2l 2
+2
+1
M 1 ,+1
1
nR E I
l
+2
n0 nR l 3
F2
F1
v1
M2
1
l
F2
n0
6
v2
Abbildung 5.9. Modizierter Achtpol des endlichen Biegers
Gegenüber der Kettenschaltung ist ein spürbar geringerer Programmieraufwand notwendig. Für analytische Rechnungen wird die Kettenmatrix benötigt. Sie lautet:
43
4 3
4
3
y1
y2
1 o j$q0 @ (2o) j$q0 @6
FE
F E
F
E
FE
F E
F
E
E 2 F E0 1 j$q0 @o2 j$q0 @ (2o)F E 1 F
3
FE
F E
F
E
FE
F=E
F , q0 = o
E
(5.8)
FE
F E
F
E
HL
F EP 1 F
EP 2 F E0 0
1
o
FE
F E
F
E
DC
D C
D
C
0 0
0
1
I2
I1
Anwendungsbeispiel: Biegestab als Federelement
Die Anwendung der modizierten Achtpolschaltung soll an einem einfachen
Beispiel gezeigt werden. Ein einseitig fest eingespannter Bieger wird am anderen Ende mit einer Kraft belastet. Es wird nach der Auslenkung des kraftbelasteten Systempunktes und nach dem Neigungswinkel des Biegers unter
dem Krafteinleitungspunkt gefragt. Abbildung 5.10 zeigt den rechts starr eingespannten Bieger, der auf der linken Seite mit der Kraft I belastet ist. In
der Mitte des Bildes ist die mit den Randbedingungen beschaltete modizierte
Biegerschaltung dargestellt. Auf der rechten Seite der mittleren Schaltung sind
wegen der festen Einspannung die Geschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit zu Null gesetzt (Kurzschlussbrücken). Auf der linken Schaltungsseite
wirkt die Kraftquelle. Als Beobachtungsgrößen sind die Geschwindigkeit y 1
und die Winkelgeschwindigkeit 1 zugängig. Damit sind auch Auslenkung
und Neigungswinkel zugängig. Das Ergebnis der Schaltungszusammenfassung
und Schaltungsvereinfachung ist auf der rechten Seite der Abbildung 5.10 gezeigt.
152
5 Mechanische Wandler
Insgesamt entsteht die Nachgiebigkeit
q=
o3
1
.
=
I1
3HL
(5.9)
Dieses Ergebnis stimmt mit der Angabe für den Biegestab aus Formelsammlungen überein. Der Neigungswinkel *1 unter Last lässt sich aus der Geschwindigkeit
j$q0 @2
3
y = y
(5.10)
y R = o 1 =
j$q0 @2 j$q0 @6 1 2 1
ableiten. Er wird wie folgt berechnet:
*1 = 3 y1
q0
yR
o2
=
= I1 = I
j$o
2 j$o
2o
2HL 1
(5.11)
Auch deutlich kompliziertere Fragestellungen können mit dieser Methode
schnell, übersichtlich und zuverlässig berechnet werden.
n0
F1
x1
M0 0
j
2l 2
+1
n0 l3
E I
F 1 n0 2
F1
v1
vR
n0
6
v1
vR
n0
6
vR l +1
Abbildung 5.10. Einseitig eingespannter Bieger mit Kraftquelle
5.2 Mechanisch-akustischer Wandler
Die Kopplung von mechanischen und akustischen Bereichen tritt besonders bei
elektroakustischen, pneumatischen und hydraulischen Systemen auf. Kräfte
und Bewegungen sollen akustische Drücke und Volumen üsse erzeugen und
umgekehrt. Im einfachsten Fall geschieht diese Wandlung mit einem starren,
masselosen Kolben in einem Rohr. In der Praxis werden meist Membranen
und Biegeplatten für diese Aufgabe benutzt, da bei ihnen das Problem der
Randabdichtung bereits gelöst ist.
5.2.1 Ideale und reale mechanisch-akustische Kolbenwandler
In Abbildung 5.11 ist das Grundelement eines idealen Kolbenwandlers dargestellt. Ein masseloser, starrer Kolben an einer ebenfalls starren, masselosen
5.2 Mechanisch-akustischer Wandler
v
F
153
q
p
Abbildung 5.11. Idealer Kolbenwandler
Koppelstange ist ohne Spiel und ohne Reibung in einem Rohr axial beweglich
eingepasst.
Es soll zunächst angenommen werden, dass das Rohr auf der mechanischen
Seite oen bleibt, so dass eine Kolbenverschiebung dort nicht zu einem Druck
führen kann. Ist die akustische Seite aber mit einer akustischen Impedanz
abgeschlossen, so wird eine erzwungene Geschwindigkeit y den Volumen uss
t = yD und einen Druck s zur Folge haben, der auf der mechanischen Seite
eine Kraft I = sD der Bewegungsquelle entgegensetzt. Die Flusskoordinate
Kraft ist also mit der Dierenzkoordinate Druck verkoppelt.
Darüber hinaus ist die Dierenzkoordinate Geschwindigkeit mit der Flusskoordinate Volumen uss verbunden. Diese Koppelsysteme werden Gyratoren genannt. In Tabelle 5.1 sind der mechanisch-akustische Kopplungsvierpol
und seine gyratorischen Wandlereigenschaften zusammengestellt. Zum besseren Verständnis sind die Eigenschaften elektrischer Gyratoren ebenfalls aufgeführt. Es ist z. B. zu erkennen, dass ein am elektrischen Gyrator angeschalteter
Kondensator auf der anderen Gyratorseite wie eine Induktivität wirkt. Aus
einer Parallelschaltung von zwei Impedanzen auf einer Gyratorseite erscheint
auf der anderen Gyratorseite die Reihenschaltung der einzeln transformierten
Impedanzen.
Für den mechanisch-akustischen Wandler führt die gyratorische Eigenschaft
dazu, dass eine akustische Nachgiebigkeit (der genannten elektrischen Kapazität entsprechend) auf der anderen Gyratorseite als mechanische Nachgiebigkeit (der genannten elektrischen Induktivität entsprechend) wirksam wird.
Ebenso werden aus akustischen Massen nach Anwendung des Wandlers mechanische Massen.
Bei der Realisierung von Kolbenwandlern ist es schwer, eine ausreichend dichte und reibungsfreie Anordnung des Kolbens im Rohr zu erzielen. Zwischen
Kolben und Rohr wird deshalb bei Konstruktionen z.B ein federndes Dichtungselement angebracht, welches den Kolben im Rahmen der Bewegungsgrenzen des Dichtungselementes verschiebbar hält.
Außerdem muss im Allgemeinen davon ausgegangen werden, dass auch auf
der zweiten Rohrseite eine akustische Impedanz wirken kann. Das führt zu
einer Dreitor-Anordnung. Abbildung 5.12 zeigt eine derartige Variante des
mechanisch-akustischen Wandlers.
154
5 Mechanische Wandler
Tabelle 5.1. Gyratorische Wandler
Mechanisch-akustischer Wandler
q
F
F
v
v
n
v
h1 v
p
i2
u1 R0 i 2
u1
i1 u2
1
u
R0 2
F
1 1
h 2
A Za
v
i1
1
v q
A
F Ap
v
h1 Elektrischer Gyrator
v
bAg
p
Za
v
bAg
p
Na u1
m Ma A 2 v
bAg
p
M a u1
Na
A2
1
1
h2 2
A
Z2
A Z1
2
v
Z1 Z 2
bAg
p
1
1
h2 2
A Z2
A2 Z1
v
p
u2
R2
2
L1 R0 C2 u1
bR g
u2
C2
L2
bR g
u2
L2
R02
0
0
2
Ra R b
u1
R02
Ra
u1
u1
0
R0
Rb
u1
Z1 Z 2
bAg
bR g
C1 R0
Ra
2
R 02
R2
u1
R1 u1
bR g
0
R02
Rb
u2
Ra R b
u1
bR g
0
u2
Die Kraft am mechanischen Tor des Wandlers wird sowohl von der Federwirkung des Dichtungselementes bei der erzwungenen Verschiebung des Kolbens, als auch durch die auf die Kolben äche wirkende Druckdierenz zwischen rechter und linker Kolbenseite erzeugt. Der Volumen uss ist an beiden
akustischen Toren gleich groß und wird nur von der Kolben äche und ihrer
Geschwindigkeit bestimmt.
5.2 Mechanisch-akustischer Wandler
v
inkompressible, masselose
Flüssigkeit
q1
F
q2
F
q
p p
n
v
p1
p
155
1
q
p p
0
2
p2
p
0
0
0
Abbildung 5.12. Realer Kolbenwandler mit zwei akustischen Toren
Es folgt hieraus:
I =
<
1
A
+ (s2 s1 )D A
A
| {z } A
q
@
sW
y=
A
A
A
A
>
t
D
,
;
1
A
A
Ay = t
?
D
A
1
A
A
=I y = DsW
j$q
(5.12)
Die Gl. (5.12) ermöglicht nach der ausgeführten Umformung eine schaltungstechnische Interpretation, die in Abbildung 5.13 dargestellt ist. Der Umgebungsdruck s0 wirkt am gemeinsamen Anschluss der beiden akustischen Tore.
F
v
q
FW
n
1
q
A
A pW
v
FW
p2
pW
p0 0
q
p1
Abbildung 5.13. Schaltung des Kolbenwandlers nach Abbildung 5.12
5.2.2 Allgemeiner elastomechanisch-akustischer Plattenwandler
Wird der starre Kolben durch ein elastomechanisches Plattenelement ersetzt,
so wird, wie nachfolgend gezeigt, eine Wandlerschaltung ableitbar sein, die
ebenfalls durch einen einzigen Wandlerkoe!zienten und zwei Bauelemente
beschrieben werden kann. Bei der nachfolgenden Herleitung werden aber zunächst zwei Wandlerkoe!zienten erscheinen, deren Identität aber am Ende
gezeigt wird.
156
5 Mechanische Wandler
In einen mechanisch-akustischen Wandler sei ein elastomechanisches Plattenelement eingebaut. Das Plattenelement wird durch die Wirkung von Kraft
und Druck verformt. Das verschobene Volumen ergibt sich aus der eingetretenen Durchbiegung (Abb. 5.14). Da die Auslenkung vom Ort abhängt, muss
über die ganze Platten äche integriert werden, um das verschobene Volumen
Y zu bestimmen. An der Stelle des Einwirkens der Kraft I soll die Bezugsauslenkung 0 auftreten.
y
"p
x0 (r )
y
F
F
x0
V
x
r
x (r )
x
x
z
elastomechanisches Plattenelement
"p
Abbildung 5.14. Allgemeiner mechanisch-akustischer Plattenwandler
Für die nachfolgende Modellbildung und Parameterbestimmung erfolgt eine
Einschränkung auf spezielle Geometrien und Randbedingungen. Als Basisformen werden kreis- und streifenförmige Membranen und Platten mit drehbarer
und starrer Einspannung ausgewählt (Abb. 5.15).
z
z
R
y
Kreisplatte
F
F
"p
"p
y
Plattenstreifen
drehbar gelagerte
Platte
fest eingespannte
Platte
Abbildung 5.15. Ausgewählte Geometrien und Randbedingungen für Plattenwandler
Für diese elastischen Bauelemente lassen sich aus den Lehrbüchern der Elastizitätstheorie die Durchbiegungsfunktionen für Kraftbelastung in der Mitte
und die Durchbiegungsfunktionen für Druckbelastung entnehmen (z. B. [43]).
5.2 Mechanisch-akustischer Wandler
Aus den quellbezogenen Ortsfunktionen
¯
({) ¯¯
I ({)
=
und
I
I ¯s=0
können sowohl die Volumina (Abb. 5.16)
Z
YI = I ({) dD
und
als auch die Volumenübertragungsfaktoren
¯
Y ¯¯
YI
= ¯
und
I
I s=0
¯
s ({)
({) ¯¯
=
s
s ¯I =0
Ys =
Z
s ({) dD
¯
Y ¯¯
Ys
= ¯
s
s I =0
157
(5.13)
(5.14)
(5.15)
und die Punktübertragungsfaktoren am Punkt der Krafteinleitung
I 0
I
und
s0
s
(5.16)
bestimmt werden. Nunmehr kann aus den vorliegenden Quotienten der Kraftübertragungsfaktor DI und der Druckübertragungsfaktor Ds
DI =
YI
I 0
und
Ds =
Ys
s0
(5.17)
gebildet werden.
bg
xF x
F
Vp
xF0
VF
bg
xp x
x p0
"p
"p 0
Abbildung 5.16. Verdrängtes Volumen bei Kraft- und Druckbelastung
Wegen der unterschiedlichen Durchbiegungsfunktionen bei verschiedenartiger
Belastung (Kraft oder Druck) werden die Zahlenwerte für DI und Ds im
Allgemeinen unterschiedlich sein. Um die Modellbildungsüberlegungen zu erleichtern, werden folgende zwei Beziehungen bereitgestellt:
YI I 0
YI
=
= DI I 0
I
I 0 I
I
(5.18)
s0
Ys s0
Ys
=
= Ds
s
s0 s
s
(5.19)
158
5 Mechanische Wandler
Bei einem mechanisch-akustischen Wandler tritt eine Kraft- und eine Druckbelastung des elastomechanischen Plattenelementes gleichzeitig ein. Unter der
Annahme linearer Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung liefern beide
Quellen unabhängig voneinander ihren Beitrag zur Plattenverformung. Durch
die geforderte Linearität besteht also keine Rückwirkung einer eingetretenen
Deformation auf eine weitere Deformation durch die gleiche oder eine andere Ursache. Die ortsabhängige Verrückung ergibt sich wegen der vereinbarten
Druckrichtung somit zu ({) = I ({) s ({). Damit ergibt sich für den Ort
der Krafteinleitung und für das verdrängte Volumen:
0 = I 0 s0
und
Y = YI Ys
und
Y =
(5.20)
Durch Erweiterung folgt:
0 =
s0
I 0
I
s
I
s
YI
Ys
I s
I
s
(5.21)
Die Quotienten in Gl. (5.21) lassen sich physikalisch interpretieren. Das Verhältnis I 0 @I ist entsprechend der Denition die mechanische Nachgiebigkeit
des Kraftangrispunktes bei fehlendem Druck. Diese Nachgiebigkeit wird qK
genannt. Das Verhältnis Ys @s ist entsprechend der Denition eine akustische
Nachgiebigkeit, wenn keine Kraft wirkt. Diese Nachgiebigkeit wird Qa>L genannt. Somit folgt:
qK =
I 0
I
und
Qa>L =
Ys
s
(5.22)
Aus Gl. (5.22) und den Gln. (5.18) und (5.19) ergibt sich:
YI
= DI qK
I
und
s0
Qa>L
=
s
Ds
(5.23)
Die Gl. (5.21) können nun mit den Gln. (5.22) und (5.23) als Systemgleichungen wie folgt dargestellt werden:
0 = qK I Qa>L
s
Ds
Y = DI qK I Qa>L s
(5.24)
(5.25)
Um eine Schaltungsinterpretation zu ermöglichen, muss das lineare Gleichungssystem (5.24) und (5.25) in die Form I> Y = i (> s) gebracht werden.
Die Umformung ergibt:
I =
Qa>L 1
1
0 +
s
qK
qK Ds
| {z }
1@D0
(5.26)
5.2 Mechanisch-akustischer Wandler
¶
DI
Y = DI 0 Qa>L 1 s
Ds
|
{z
}
159
(5.27)
Qa>K
Die physikalische Bedeutung der Faktoren 1@D0 und Qa>K in den Gln. (5.26)
und (5.27) ist aus Abbildung 5.17 erkenntlich. Bei festgehaltenem Krafteinleitungspunkt ( 0 = 0) stellt D0 die für den Druck s eektiv wirksame Fläche
dar, um in der starren Verbindungsstange die Kurzschlusskraft IK zu erzeugen. Die akustische Nachgiebigkeit Qa>K stellt das bei 0 = 0 verdrängte
druckbezogene Volumen YK dar.
+
FK
A
p
FK
p
A
VK p Na,K
VK
Abbildung 5.17. Zur Erklärung der Parameter Qa>K und D0
Wie zu Anfang erwähnt, sind DI und D0 identisch. Das ist eine Folge der
Reziprozität mechanischer Punktsysteme. Sie folgt entweder mit der Annahme verlustfreier elastomechanischer Systeme direkt aus den zugehörigen Differentialgleichungen oder anschaulicher mit der Vorstellung, dass ein elastomechanisches Kontinuum durch hinreichend feine Diskretisierung durch ein
mechanisches Netzwerk entsprechend Abschnitt 2.3 beschrieben werden kann.
Dazu führt man in dieses Netzwerk entsprechend der Gln. (2.103) bis (2.105)
für eine bestimmte Menge von Punktkoordinaten ein Paar verallgemeinerte
Koordinaten Druck s und Volumenverschiebung Y ein.
Die Relation zwischen dem Koordinatenpaar (s> Y ) und dem Koordinatenpaar
(I> ) eines einzelnen Systempunktes lässt sich dann in der Form
I = 11 + 12 Y
(5.28)
s = 21 + 22 Y
(5.29)
mit der aus Gl. (2.104) folgenden Reziprozitätsbeziehung
21 = 12
darstellen. Durch Umstellung des Gleichungssystems I> Y = i (> Y ) in die
Form der Gln. (5.26) und (5.27) folgt dann die Identität
D0 = DI .
(5.30)
160
5 Mechanische Wandler
Für den hier angenommenen Fall eines rein elastomechanischen verlustfreien Systems ist die Gl. (5.30) mit der Existenz einer Zustandsfunktion innere
Energie verbunden, wie ausführlich im Abschnitt 2.4.2 und im Kapitel 7 erläutert ist. Dieser Sachverhalt erlaubt eine noch einfachere Interpretation der Gl.
(5.30). Dazu werden in die Gln. (5.26) und (5.27) komplexe Amplituden eingeführt. So entstehen nach Umordnung und Multiplikation mit bzw. Division
durch j$ die folgenden Gleichungen:
1
1
y = 0s
j$qK
D
(5.31)
t + j$Qa>K s = DI y
(5.32)
I
Diese beiden Gleichungen können sofort durch eine Schaltung interpretiert
werden. Die Schaltung ist in Abbildung 5.18 gezeigt.
Wenn angenommen wird, dass im Wandler keine inneren Verluste auftreten,
muss die in den Wandler ein ießende Leistung der aus ießenden Leistung
gleichen. Daraus folgt:
ŷ Î = ŝt̂
und
D0 = DI
(5.33)
Wie beim Kolbenwandler tritt für den Koppelmechanismus im elastomechanischen Plattenwandler, wie oben begründet, nur eine Größe auf. Diese Größe
DI ist bei einer ausgewählten Plattenform und einer bestimmten Randeinspannung ein fester Anteil der tatsächlichen Platten äche D. Es ist damit
sinnvoll, diese Wandlerkonstante durch die Platten äche D und einen Faktor
* auszudrücken, der immer kleiner als Eins bleibt. Es gilt damit:
DI = D*
(5.34)
Die im Schaltbild (Abb. 5.18) gezeigte mechanische Nachgiebigkeit qK trägt
den Index K als Symbol für „Kurzschluss“ des akustischen Wandlerausgangs
(s = 0). Die akustische Nachgiebigkeit Qa>K , die ihren Index ebenfalls wegen
der Randbedingung „Kurzschluss“ (y = 0) trägt, lässt sich auch auf die mechanische Seite transformieren. In dieser Darstellung wird der Wandlervierpol
nachfolgend ebenfalls verwendet.
Damit ist es gelungen, auch für den elastomechanischen Plattenwandler eine
Netzwerkdarstellung anzugeben.
Abbildung 5.18. Plattenwandlerschaltung, abgeleitet aus den Gln. (5.31) und
(5.32)
5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler
161
5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer
Wandler
In diesem Abschnitt werden die Wandlerparameter des mechanisch-akustischen
Platten- und Membranwandlers für die eingangs genannten ausgewählten Formen und Randbedingungen gemäß Abbildung 5.15 in Tabellen zusammengestellt.
Die Tabellen für den Biegestab (Tabelle 5.4), die kreisförmige Biegeplatte (Tabelle 5.7), die kreisförmige Membran (Tabelle 5.8) und die Streifenmembran
(Tabelle 5.9), mit den zwei ausgewählten Lagerungen (drehbar oder eingespannt), enthalten die Wandlerparameter qK , Qa>K , Qa>L und * entsprechend
den jeweils eingetragenen Schaltungsmodellen.
Zur Vervollständigung der Übersicht sind für den Biegestab (Tabellen 5.2 und
5.3) und die Biegeplatte (Tabellen 5.5 und 5.6) für die zwei Lastfälle und die
zwei Randbedingungen jeweils die quasistatischen Durchbiegungsfunktionen,
das verdrängte Volumen und die Bezugsgrößen angegeben.
Bei den Biegestäben (Tabellen 5.2 und 5.3) sind die Ergebnisse so dargestellt,
dass sie für den einseitig eingespannten Stab mit freier oder winkelgeführter
Krafteinleitung ebenfalls gelten. Bei den beidseitig gelagerten Stäben beträgt
die wirksame Kraft deshalb 2I .
162
5 Mechanische Wandler
Tabellen für Biegestäbe
Tabelle 5.2. Kennfunktionen und Kennwerte des Biegestabes bei Kraftbelastung
eingespannt
drehbar gelagert
bg
x* x
S0 x 0 S x
x0 S x
x * x S0
bg
b gb
h
bg
b
h
V
F
F
F
V
2F
2F
x
l
bg
xx
x
l
l
S0
F
l
F
bg
S0 x x
F
x0
V 2
bg
x0
bg
x x
bg
S0
x0
S0
V
x0 A
bg
x x
x
V 2
x
l
b g 1 FG x IJ FG 3 x IJ
lK
2H lK H
x b xg
3 F xI
1 F xI
1 G J G J
x
2H lK
2H lK
Sb xg
x
1
b g FG x IJ FG 3 2 x IJ
H lK H lK
x b xg
F xI F xI
1 3G J 2G J
H lK H lK
x
Sb xg
x
1 2
b x 0g
S
l
xx
x0
*
2
0
S x
x0
*
l
2
xx
xx
*
S0
l
2
x0
3
*
2
0
0
x0 1
n0
F 3
S0 3 h
x0 2 l2
x0
1
n0
F 12
S0
h
3 2
x0
l
V
5
x0 A 8
V
1
x0 A 2
A 2l b
A 2l b
n0 l3
12 l 3
E I E b h3
3
5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler
163
Tabelle 5.3. Kennfunktionen und Kennwerte des Biegestabes bei Druckbelastung
eingespannt
drehbar gelagert
S0
b
p
S0
b
h
p
h
bg
xx
bg
x0 V S x
l
p
bg
xx
x
l
l
bg
V 2 xx
bg
S x
x0 V
p
V 2
x
bg
xx
x
l
bg
b g 1 6 FG x IJ
x
5H lK
Sb xg
F xI
1 G J
H lK
S
xx
xx
x0
0
bg
S x
S0
x0
S0
V
x0 A
2
FG IJ
H K
1 x
5 l
4
l
2 2
b g FG1 FG x IJ IJ
x
H H lK K
Sb xg
F xI
1 3G J
H lK
S
xx
0
2
2
0
0
x0
5
n0
p A 48
A 2l b
x0
1
n0
p A 48
A 2l b
x0 5 l4 1
p 2 h3 E
x0 1 l4 1
p 2 h3 E
S0 6 h
x0 5 l2
S0
h
2 2
x0
l
V
16
x 0 A 25
V
8
x 0 A 15
A 2l b
A 2l b
n0 l3
12 l 3
E I E b h3
x
l
164
5 Mechanische Wandler
Tabelle 5.4. Biegestäbe als mechanisch-akustische Wandler
eingespannt
drehbar gelagert
2l
2l
F
v
b
b
h
h
q
Na,K
p
q
V
1
1 l3 1
n0 24
2 bh 3 E
nK
Na,K b g
Na,K 8 bl 5 1
15 h3 E
b g
Na,L 3,2
v
q
FW
1
v
q
Aj W
nK
F W Aj p
A 2l b
FVI
G J
H pK
bl 5 1
h3 E
5
8
F
l3
12 l 3
n0 E I E b h3
V
3
3 bl 5 1
2
Aj nK 125
40 h3 E
1
2
j
Na,L
p
l3 1
1
n0 2
6
bh 3 E
1
1 bl 5 1
2
Aj nK 15
30 h 3 E
Na,L N a,L
F
v
W
q
p
Na,K
Na,K
F
b Ajg
2
b g
2
Na,K Aj nK
v
nK
q
FW
F 0
vW
vW
1
q
Aj
F W Aj p
p
5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler
165
Tabellen für Biegeplatten
Tabelle 5.5. Kennfunktionen und Kennwerte von Biegeplatten bei Kraftbelastung
eingespannt
drehbar gelagert
2R
2R
V
bg
xr
F0
v
V
h
v
bg
xr
F0
h
q
q
x0
x0
r
bg
xr
x0
1
bg
Sr r
FG r IJ
H RK
2
2
ln
S0
bg
SJ r
bg
2
ln
R
r
1
R
1
r
ln
S0
FG r IJ
H RK
r
R
r
b1 ng FGH ln Rr IJK 1
L1 n FG ln R IJ 1OP
nM
N n H rK Q
Tr r
T0
bg
TJ r
T0
FG r IJ
H RK
V
R 2 x 0
1 1 1 n
5 n
2 4 3 n 4 3 n
b g
S0 S0
T0 K
h3
1
12 s11 1 n 2
e
2
R2 3 n
F0
16 K 1 n
1
4
T0
2
FG r IJ 1 n ln R
H RK 3 n r
n L1 n F R I O
G ln J 1
3 n MN n H r K PQ
1 L
b1 ng FGH ln Rr IJK 1OPQ
3 n MN
b1 ng FGH ln Rr IJK
b1 ng LMN1 11 nn ln Rr OPQ
R2
F0
16 K
x0
2
j
2h
x0
R2
FG IJ
H K
3 1
3 R
F0 2
2 h
2 h
s11 1
E
2
F0
R 2
Querkontraktionszahl
n
s12
s11
166
5 Mechanische Wandler
Tabelle 5.6. Kennfunktionen und Kennwerte von Biegeplatten bei Druckbelastung
eingespannt
drehbar gelagert
2R
2R
V
p
v
bg
xr
V
h
q
q
x0
x0
bg
1 n
r
1
5 n
R
S0
bg
S0
bg
Tr r
T0
bg
TJ r
T0
2
2
2
2
R4 5 n
p
K 1 n
R4
p
6 K
x0
V
R 2 x 0
1 1 1 n
7 n
2 6 5 n 3 5 n
1
3
b g
S0 S0
T0 T0
K
h3
1
12 s11 1 n 2
e
2
2
2
F rI
1 G J
H RK
3 n F r I
1
G J
1 n H RK
3n 1 F r I
1
G J
1 n H RK
SJ r
2
2
2
Sr r
r
LM FG IJ OP LM 5 n FG r IJ OP
MN H K PQ MN 1 n H R K PQ
3 n L
1 n F r I O
1 3
M
G JP
5 n NM
3 n H R K QP
3 n L 1 n F r I O
M1 G J P
5 n MN 3 n H R K PQ
3 n L F r I O
M1 G J P
1 n MN H R K PQ
3 n L 3n 1 F r I O
M1 3 n GH R JK PP
1 n MN
Q
F1 FG r IJ I
GH H R K JK
F rI
1 3G J
H RK
bg
bg
xr
p
x0
r
2 2
xr
v
h
j
2h
x0
R2
s11 2
FG IJ b1 ng p
H K
3 R
8 h
1
E
Querkontraktionszahl
n
s12
s11
5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler
167
Tabelle 5.7. Biegeplatten als mechanisch-akustische Wandler
eingespannt
drehbar gelagert
2R
2R
bg
xr
F
v
h
h
q
p
q
V
e
R2
! 0,22
E h3
R2
! 0,55
E h3
e
R6
! 0,045
E h3
b
R6
16 E h3
gb g b g
b g
b7 ng 43 b5 ng
b7 ngb3 ng b1 ng
2
! 0,184
R6
R6
2
,
1
n
!
0
18
16 E h3
E h3
j
1
4
*)
j
v
b gb
*)
g
q
FW
1
v
q
Aj W
nK
2
W
*)
q
p
N a,K
Na,K
Na,L Na,K Aj nK
F
n 0,3
R6
E h3
R6
R6
,
1
n
7
n
!
1
06
16 E h3
E h3
F W Aj p
*)
2
1 1 1 n
! 0,4
2 4 3 n
F
b g
*)
4 7 n 3 n
2
Aj nK
2
3
5 n
j
*)
N a,L
r
b gb g
*)
b g
e
V
R2 3 n
3 R2
1 n 3 n
16 K 1 n 4 E h3
j
1
R6
2
Aj nK 1 n2
3
64 E h 3
Na,K
p
r
R2
3 R2
1 n2
16 K 4 E h3
nK
bg
xr
F
v
v
nK
b Ajg
2
q
FW
vW
vW
1
q
Aj
F W Aj p
p
*)
168
5 Mechanische Wandler
Tabellen für Membranwandler
Tabelle 5.8. Kreismembranen als mechanisch-akustische Wandler
Kreismembran mit Ringkraft
2R
2r F
0
p
b
g
ln R r0
nK
Na,K
q
F ln R r
GG b g
GH e1 br Rg j
0
2 2
x
V
p
b
g
K
F R 1 b r Rg I
GG ln r 1 br Rg 1JJ n b Ajg
K
H
R F Fr I I
G1 G J J
8 T h H H RK K
1 1 b r Rg
2 lnb R r g
2
2
0
0
0
4
0
0
2
2
0
0
F
v
q
FW
1
v
q
Aj W
nK
F W Aj p
W
q
p
Na,K
2
Na,L Na,K Aj nK
AR
K
2
4
b g
b g
b g
V
2 T0 h
I
J
1J n b Ajg
JK
1 1 r0 R
2 ln R r0
q
ln R r0
R4
8 T0 h
N a,L
T0
h
2 T0 h
0
j
2R
2r F
0
T0
h
x
Kreismembran mit Flächenkraft
masselos,
starr
Na,K
2
F
v
nK
b Ajg
2
vW
q
FW
vW
1
q
Aj
F W Aj p
p
2
5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler
Tabelle 5.9. Streifenmembran als mechanisch-akustischer Wandler
b
F0
x0
h
p
nK
l
h
F
b
q
x
p
T0
Na,K
V
N a,L
j
l
4T0 b h
1
nK Aj
3
b g
2
1 l 3b
48 T0 h
" l 3b
12 T0 h
1
2
169
6
Mechanische und akustische Netzwerke mit
verteilten Parametern
Die bisherige Netzwerkanalyse erfolgte ausschließlich für Systeme mit konzentrierten Bauelementen. Jetzt erfolgt die Erweiterung auf Systeme mit verteilten, also ortsabhängigen, Parametern. Diese Erweiterung ist für höhere
Frequenzen der Dehnwellen, bei denen die Wellenlänge in die Größenordnung
der Bauelementeabmessungen gelangt, erforderlich. Diese mechanischen und
akustischen Systeme werden in den Abschnitten 6.1 und 6.2 als eindimensionale Wellenleiter beschrieben. Im Abschnitt 6.3 erfolgt die diskretisierte
Darstellung in Form von niten Netzwerkelementen. Schließlich wird im Abschnitt 6.4 eine Methode der kombinierten Simulation von FEM-Berechnung
und Netzwerkbeschreibung vorgestellt.
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als
eindimensionale Wellenleiter
Bei vielen technischen Anwendungen gibt es mechanische Bauelemente, deren längstes Abmaß bei der interessierenden Frequenzkomponente nicht mehr
klein gegenüber der Wellenlänge im Bauteil ist. Für stabförmige Gebilde
(auch mit variablem Querschnitt) kann eine Netzwerkdarstellung für das Bauteil angegeben werden. Die zwei Querdimensionen müssen klein gegenüber
der Wellenlänge sein. Solche Bauteile werden entsprechend den Begrien der
Leitungstheorie als eindimensionale Wellenleiter bezeichnet. Für ausgewählte
Frequenzbereiche gelingt es sogar, einen Ersatz des Wellenleiters mit wenigen
Bauelementen anzugeben. Damit steigt die Übersichtlichkeit und eine schnelle
Abschätzbarkeit für Vorentwürfe wird ermöglicht.
Im Folgenden wird ein Stab durch eine Vielzahl kurzer Stabstücke abgebildet
(s. Abb. 6.1). Mit diesem Modell lässt sich der Zusammenhang zwischen den
Koordinaten an dem einen Stabende in Abhängigkeit der Koordinaten am
anderen Stabende ermitteln. In der Schaltungsebene kann das als ein Vierpol
aufgefasst werden, der sich durch eine T- oder -Schaltung abbilden lässt.
Diese Schaltung enthält frequenzabhängige Bauelemente, die sich nicht mehr
172
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
durch einfache Feder-, Masse- oder Reibungsbauelemente ausdrücken lassen.
Allerdings kann mit diesen mathematisch beschriebenen Impedanzen problemlos gerechnet werden. Für Netzwerkanalyseprogramme stellt das kein Problem
dar, da sowohl verlustlose als auch verlustbehaftete Leitungen als Standardbauelemente enthalten sind.
Für die beiden Grenzfälle niedriger Frequenzen und in der Umgebung von Resonanzen gelingt eine näherungsweise Abbildung mit üblichen Bauelementen.
Somit ist für diese Fälle eine schaltungstechnische Vereinfachung möglich, die
es gestattet, das technische Problem auf das Wirken weniger Bauelemente als
Näherungsabbildung einzuschränken. Das erlaubt die gedankliche Konzentration auf die Kerneekte. Die Berechnungen mit den exakten Lösungen können
dann auch besser auf Plausibilität geprüft werden.
6.1.1 Dehnwellen in einem Stab
Abbildung 6.1 zeigt einen Stab mit der Länge o, der Querschnitts äche D
und dem Elastizitätsmodul H. An beiden Enden des Stabes soll die Kraft
I wirken und eine Beobachtung der Systempunkte {1 und {2 möglich sein.
Für quasistatische Kräfte kann die Stabmasse unberücksichtigt bleiben. In der
Netzwerkebene ergibt sich ein Vierpol mit einem Federbauelement q. An den
beiden Stabenden betragen die Geschwindigkeiten y 1 und y 2 , die Kraft sei an
beiden Seiten eine Druckkraft. Die Pfeilrichtung in der Netzwerkebene stimmt
mit der nach rechts zeigenden Bezugspfeilrichtung überein. Die Verkürzung der Feder beträgt (y 1 y2 ) @j$.
Der Stab kann in viele kleine Stabstücke der Länge ol zerlegt werden. Jedes
dieser Stabstücke wird ein Vierpol gleicher Art sein (s. Abb. 6.2).
Die Vierpole werden in einer Kettenschaltung miteinander verbunden. Diese
Überlegungen erlauben eine ortsabhängige Veränderung des Stabquerschnittes. Jedes Element hat nun eine andere Federnachgiebigkeit.
A
Elastizitätsmodul
F
E
v1
l
v2
x2 x
x1
E
A
F
v1
li
x1
n l EA
F
F
xi
ni li EA
F
vi
xn x
Abbildung 6.1. Zerlegung eines Stabes in nite Federelemente
vn
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
E
173
Ai
li
x1
xi
F
xn
ni li EA i
F
vi
v1
x
vn
Abbildung 6.2. Stab mit veränderlichem Querschnitt
Kann die Massenträgheit bei höheren Frequenzen nicht mehr vernachlässigt
werden und ist der Stab dünn, besteht die Möglichkeit, an jedem Verbindungsknoten zwischen den Teilfedern einen Kraftanteil zur Überwindung der
Trägheit der Teilmasse abzuzweigen (s. Abb. 6.3). Die geringe Querabmessung
des Stabes wurde vorausgesetzt, damit die Massenkräfte für die Querkontraktion so klein sind, dass sie unberücksichtigt bleiben dürfen. Im Stab existiert
dann nur ein Spannungszustand in Längsrichtung aber Dehnungszustände in
allen Richtungen.
mi rli A , ni li AE
F2
F1
E, r
x1
A
xi
F1
x
xn
mi
ni
F1
v1
li
F2
ni
F2
mi
Abbildung 6.3. Stab mit berücksichtigter Massenträgheit
v2
174
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Bei genügend feiner Teilung des Stabes ist es ohne praktische Bedeutung, ob
der Knoten vor oder nach dem Federelement zur Masseankopplung verwendet wird. Will man eine symmetrische Darstellung erreichen, so teilt man das
erste Federelement in zwei halbe Elemente auf und schließt mit der zweiten
Hälfte des Stabfederelementes am Ausgang ab.
Geht man zu sehr kurzen Elementen und im Grenzfall unendlich kurzen Elementen der Länge { über, so ergibt sich nach Abbildung 6.4 aus dem Maschensatz:
y ({) = j$qI ({) + y ({ + {)
dy
y ({ + {) y ({)
= j$q0 I ({) ,
= j$q0 I
{
d{
mit q0 = 1@DH als längenbezogene Nachgiebigkeit. Am Knoten des oberen
Massepunktes folgt mit dem Knotensatz:
I ({) = I ({ + {) + j$py ({ + {)
dI
I ({ + {) I ({)
= j$p0 y ({ + {) ,
= j$p0 y,
{
d{
wobei p0 = D die längenbezogene Masse ist. Hierin ist die Dichte des
Werkstoes.
"n bg
b
g
F b x "x g
v x "x
vx
bg
F x
A
r,E
x
x "x
"x
n "x
EA
bg
F x
bg
vx
F jw"m v
b g F bx "x g
vb x "x g
F x
x
"m rA"x m "x
Abbildung 6.4. Element des Stabes
Im Folgenden soll eine Ortsunabhängigkeit des Querschnittes D und der Werkstoeigenschaften angenommen werden, damit p0 und q0 als Konstanten betrachtet werden können. Aus den beiden Gleichungen folgen durch Dierenzieren und Einsetzen zwei Dierentialgleichungen für y ({) und I ({):
; 2
<
d I
dI
A
A
A
= j$p0 y A
+ $ 2 p0 q0 I = 0
A
A
?
@
d{
d{2
,
(6.1)
A 2
A
A
A
dy
y
d
A
A
0
=
= j$q I >
+ $ 2 p0 q0 y = 0
d{
d{2
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
175
2
Mit der Abkürzung $ 2 p0 q0 = $H = 2 und als ortsunabhängiger Wellenzahl, ergibt sich für die Geschwindigkeit die allgemeine Lösung
y ({) = F 1 ej{ +F 2 ej{ .
Wird diese Lösung in Gl. (6.1) eingesetzt, erhält man eine allgemeine Lösung
für die Kraft:
¢
j ¡
F 1 ej{ +F 2 ej{
(6.2)
I ({) = j$q0
q
s
j
p0
Der Ausdruck j$q
0 =
q0 = D H wird Wellenimpedanz }W genannt. Die
noch zu bestimmenden komplexen Amplituden F 1 und F 2 werden durch die
Randbedingungen festgelegt.
Für { = 0 folgt:
y1 = F 1 + F 2
und
Somit ergeben sich die Konstanten zu:
¶
1
I
y1 1
und
F1 =
2
}W
I 1 = }W (F 2 F 1 )
F2 =
1
2
¶
I
y1 + 1
}W
Am Stabende ({ = o) gilt y (o) = y2 und I (o) = I 2 . Der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangskoordinaten am Stab kann damit angegeben werden.
Es gilt:
1
sin (o) I 1
(6.3)
y 2 = cos (o) y 1 j
}W
und
I 2 = j}W sin (o) y 1 + cos (o) I 1
(6.4)
Für die nachfolgenden Netzwerküberlegungen ist es wünschenswert, die Eingangskoordianten als Funktion der Ausgangskoordinaten darzustellen. Durch
Koordinatentransformation ergibt sich:
3
4
¶
¶
1
y1
cos (o) j
sin (o)D y 2
=C
(6.5)
}W
I1
I2
j} sin (o) cos (o)
W
Um das physikalische Verständnis für die eingeführten Größen zu verbessern,
sollen zwei gedankliche Experimente ausgeführt werden. Wird der Ausgang
des Stabes mit der reellen Impedanz }W belastet, so ist genau diese Impedanz unabhängig von der Stablänge auch am Stabeingang wirksam. Damit
hat die Wellenimpedanz eine anschauliche Bedeutung. Erregt man diesen so
belasteten Stab mit der Frequenz $ und betrachtet die örtliche Abhängigkeit
der Geschwindigkeit y ({), so erhält man die Länge einer Periode (örtliche
Wiederkehr des gleichen Schwingungszustandes, auch Wellenlänge genannt)
entsprechend der Beziehung = 2. Damit hat die Konstante = 2@ eine
176
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
dem Kehrwert der Wellenlänge entsprechende Bedeutung. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit f des Wellenbildes auf dem Stab ergibt sich aus der Länge
der örtlichen Periode geteilt durch die Dauer W der zeitlichen Periode. Es
folgt somit:
s
$
H
= i = =
(6.6)
f=
W
Damit ist die Wellengeschwindigkeit f nur vom Werksto des Stabes abhängig. Mit Gl. (6.5) liegen die Vierpollösungen des eindimensionalen Wellenleiters vor.
Ergänzend muss noch bemerkt werden, dass auch exponentielle Abhängigkeiten der Bauelemente p0 und q0 von { mit den beschriebenen Methoden zu
einem analytischen Ausdruck der Systemgleichungen geführt werden können.
Um eine netzwerkfähige Lösung zu erhalten, werden nun die T- und Ersatzschaltungen (s. Abb. 6.5) berechnet.
F 1 h1
v1
h1 F 2
h2
h2
F1
v2
v1
h1
F2
h1
v2
Abbildung 6.5. T- und -Ersatzschaltung des endlichen Wellenleiters
In den Schaltungen sind die allgemeinen Admittanzen k eingetragen, da in
der Vierpoltheorie üblicherweise die elektrischen Widerstände (und nicht ihre
Leitwerte) angeschrieben werden. Durch Variation der Randbedingungen am
Vierpol lassen sich die Admittanzen bestimmen. Für die T-Schaltung wählt
man als Randbedingung I 2 = 0. Die Admittanzen ergeben sich zu
¶
¶
y2
y1
und
k1 + k2 =
.
k2 =
I 1 I =0
I 1 I =0
2
2
Für die -Schaltung wählt man zweckmäßigerweise y 2 = 0. Die Admittanzen
ergeben sich nun zu
¶
¶
I2
1
1
I1
1
=
und
+
=
.
k2
y1 y =0
k1 k2
y 1 y =0
2
2
Die Tabelle 6.1 zeigt die Bauelemente der Schaltungen und die für Frequenzen
o ¿ 1 abgeleiteten Näherungen und deren Schaltung. Damit ist es z. B.
sofort möglich, die mechanische Eingangsimpedanz } e eines am anderen Ende
oenen Stabes (I 2 = 0) anzugeben (Abb. 6.6).
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
177
Tabelle 6.1. Bauelemente der T- und -Schaltung eindimensionaler Wellenleiter
# - Schaltung
T - Schaltung
h2 h1 h 2 h1 j
zW
1
h 2 j sin bl
1
1
z W j sin bl
zW
FG
H
1
1
1
z W sin bl tan bl
h1 j
zW
1
1
h1 h 2
j tan bl
1
j tan bl
FG
H
IJ
K
1
1
1
zW
h1
j tan bl j sin bl
l
1
tan b
zW
2
1
l
z W j tan b
2
h1
Näherung für tiefe Frequenzen
h1 ! j
n 1
w m n l
m 2
h1 ! j w
n
2
h2 !
1
m
! jw
2
h1
1
1
m
!
h2
n j w m n l
1
jwm
h2 ! j w n
n
F1 2
v1
bl 1
1
m 1
w m n l
!j
h1
n 2
n 1
1
m j w m n l
h2 !
IJ
K
n
2
m
F2
n
F1
v2
m m l
v1
, n n l
m
2
F2
m
2
v2
l K Stablänge
Sie beträgt
}e =
1
= j}W tan (o) .
k1 + k2
(6.7)
178
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
v1
E , r, A
F1
m*
=
F1
l
v1
Abbildung 6.6. Stab als Masseabschluss
Die Eingangsimpedanz } e in den Stab ist die einer Masse, wobei der Betrag
der Masse mit der Frequenz bis zur Stabresonanzfrequenz ständig zunimmt.
Aus Gl. (6.7) folgt
$p = }W tan (o)
s
und durch beidseitige Multiplikation mit o p0 q0 ergibt sich
p = p
tan (o)
.
o
(6.8)
Die Polstelle liegt bei o = @2. Die Stablänge beträgt dabei o = @4.
Hieraus ergibt sich eine für die Praxis wichtige Konsequenz. Diese Form des
Masseabschlusses wird oft verwendet, um einen Systempunkt, der konstruktionsbedingt nicht mit einem feststehenden Punkt (z. B. Koordinatenursprung)
verbunden werden kann, bei einer festen Arbeitsfrequenz durch eine nahezu
unendlich große Masse p an einer Bewegung im eingeschwungenen Zustand
zu hindern. Die Nebenwirkungen, die während der Einschwingzeit auftreten,
müssen dabei gesondert beachtet werden.
6.1.2 Näherungsweise Berechnung der Eingangsimpedanz
Bei praktischen Aufgaben interessiert häug die Impedanz } 0 ($) an einem
ausgewählten Punkt eines komplizierteren Systems oder Kontinuums. Es wird
nachfolgend vorausgesetzt, dass dieses System nur sehr geringe innere Verluste besitzt und keine Wirkleistung nach außen abgeben kann. Oft genügt eine
Schätzung der Frequenz der zu erwartenden ersten Pol- oder Nullstelle dieser
Impedanz, damit man beurteilen kann, wie weit mit der quasistatischen Lösung gerechnet werden darf. Eine quasistatische Beschreibung des Systems ist
oft schneller anzugeben, als die Frequenzfunktion der Impedanz. Im Folgenden
soll gezeigt werden, wie aus einer bekannten quasistatischen Systembeschreibung eine Schätzung für die erste Pol- oder Nullstelle und ein einfaches Modell
der gesuchten Impedanz angegeben werden kann.
In erster Näherung kann die gesuchte Impedanz des Systems durch eine
Parallel- oder Reihenschaltung von einer Masse und einer Feder abgebildet
werden. Eine Parallelschaltung ist erforderlich, falls der Systempunkt, an dem
die Impedanzfunktion gesucht wird, bei sehr tiefen Frequenzen federnden Charakter aufweist. Hat der Systempunkt bei tiefen Frequenzen den Charakter
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
179
einer Masse, so kann die näherungsweise Abbildung des Systems durch die Reihenschaltung von Feder und Masse erfolgen. Die Werte für Feder und Masse
sind die äquivalenten Ersatzparameter pers und qers des Systems (Abb. 6.7).
Durch die Annahme vernachlässigbarer Verluste kann man davon ausgehen,
dass die gesamte kinetische Energie des Systems in der Ersatzmasse und die
gesamte potentielle Energie des Systems in der Ersatzfeder wiederzunden
sein müssen. Durch die Beschränkung auf sinusförmige Vorgänge können nun
diese Aussagen auf die Leistungen bezogen werden. Das wird nun am Beispiel
der Masse für die Parallelschaltung gezeigt.
mers
v0
F0
v0
verlustfreies
Feder-MasseSystem
F0
ners
System “federnd” für
v0
F0
w w 0
v0
verlustfreies
Feder-MasseSystem
ners
mers
F0
System “massig” für
w w 0
Abbildung 6.7. Näherungsweise Abbildung der Eingangsimpedanz
Die kinetische Energie der Ersatzmasse beträgt
Zkin = pers
y2
.
2
(6.9)
Mit y = ŷ0 sin ($w) und T (w) = dZkin @dw wird:
T (w) =
T̂ =
1 2
ŷ $pers sin (2$w)
2 0
1 2
ŷ $pers = ỹ02 $pers
2 0
Eine analoge Überlegung für die Feder liefert
T̂pot =
ỹ02
.
$qers
(6.10)
180
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
mers
Q$ kin v~0 2 w mers
v~0 2
Q$ pot w ners
v0
F0
ners
v0
ners
~2
F0
w mers
~
F0 2 w ners
Q$ kin mers
Q$ pot
F0
Abbildung 6.8. Bestimmung der Ersatzelemente
T̂ hat die Bedeutung des Spitzenwertes der pendelnden Blindleistung. Abbildung 6.8 zeigt auch für die Reihenschaltung die Beziehungen zwischen Ersatzelementen und Blindleistungen.
Wenn es gelingt, am realen System die kinetische oder potentielle Blindleistung näherungsweise zu berechnen, können dann die äquivalenten Parameter
der Schaltung angegeben werden. Ein besonders einfacher Zugang besteht darin, einen der beiden Ersatzparameter aus dem quasistatischen Verhalten direkt
zu bestimmen und den anderen aus der Blindleistung zu berechnen, die das
System bei niedrigen Frequenzen (also quasistatisch) aufnimmt. Die Ersatzparameter sind frequenzunabhängig. Die Schaltung bildet für tiefe Frequenzen
die Impedanz sehr gut ab. Die berechnete erste Resonanzfrequenz stimmt in
brauchbarer Näherung mit der tatsächlichen Resonanzfrequenz überein.
Da im vorhergehenden Abschnitt für den homogenen Stab mit konstantem
Querschnitt exakte Lösungen für die Eingangsimpedanz berechnet worden
sind, soll nachfolgend die Näherungsmethode am System Stab mit starrem
Abschluss demonstriert werden. Im Allgemeinen sind Geschwindigkeit und
Kraft entlang des Stabes vom Ort abhängig. Der Stab wird wieder in Volumenelemente zerlegt, über die zur Berechnung der Leistung integriert werden
muss.
Die in einem Stabelement der Breite d{ enthaltene kinetische Leistung beträgt
dTkin = ỹ2 ({) $Dd{.
Die Gesamtleistung im Stab beträgt
Tkin =
Zo
0
dTkin
p
= $ ỹ02
o
Zo
0
ỹ 2 ({)
d{.
ỹ02
Diese Leistung muss auch in der Ersatzmasse auftreten. Es gilt daher:
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
1
$pỹ02
o
Zo
0
181
ỹ 2 ({)
d{ = $pers ỹ02
ỹ02
Für die Ersatzmasse ergibt sich somit die Berechnungsvorschrift
pers
1
=p
o
Zo
0
ỹ 2 ({)
d{.
ỹ02
(6.11)
Für die Berechnung der potentiellen Leistung folgt mit
dTpot = Ĩ 2 ({) $
1
d{
HD
die Beziehung zur Berechnung der Ersatznachgiebigkeit
qers
1
=q
o
Zo
0
Ĩ 2 ({)
d{.
Ĩ02
(6.12)
Nun ist die Anwendung der Überlegungen auf das Beispiel Stab mit starrem
Abschluss leicht möglich. Unter Annahme der quasistatischen Abhängigkeiten
³
{´
y ({) = j$ ({) = y0 1 (konstante Dehnung)
und
o
I ({) = I 0
(ortsunabhängige Kraft)
folgt
pers
1
=p
o
Zo ³
p
{ ´2
d{ =
1
o
3
und
qers
0
1
=q
o
Zo
d{ = q.
(6.13)
0
Der Stab mit der Randbedingung „starrer Abschluss” und die Ersatzlösung
wird in Abbildung 6.9 gezeigt. Die Resonanzfrequenz des Ersatzsystems beträgt:
s s
s f
3 H
1
f
=
= 3 1> 73
$ r>ers = r
o
o
o
p
q
3
Die tatsächliche Systemresonanz beträgt:
$ r = 2
f
1f
= 1> 57
4o
o
Für eine grobe Schätzung genügt diese Übereinstimmung.
182
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
A,E, r
v0
F0
v0
!
l
1
m
3
F0
n
x
Abbildung 6.9. Berechnungsbeispiel Eingangsimpedanz des starr abgeschlossenen
Stabes
Die gleichen Zahlenwerte ergeben sich für den Stab mit „oenem Ende”. Die
Zuordnung zu Nachgiebigkeit und Masse ist nur vertauscht. Es folgt für den
freien Stab pers = p und qers = q@3.
Nimmt man für den Stab mit oenem Ende (Abb. 6.6) die Lösung für tiefe
Frequenzen aus Tabelle 6.1 (T-Schaltung), so ergibt sich mit qers = q@2 eine
etwas zu tiefe Resonanzfrequenz, deren Abweichung aber ähnlich groß ist.
In Abbildung 6.10 ist die am vorderen Stabende wirksame Masse p gemäß
Abbildung 6.6 als Funktion der Frequenz für die beiden Fälle „exakte Lösung
nach Gl. (6.8)” und „Näherung aus q@2 und p” dargestellt. Aus der Lage der
Polstellen kann die Qualität der Näherung abgeschätzt werden.
m*
Näherung
m
2
f1
2
f1
bl
f
Abbildung 6.10. Frequenzabhängigkeit der am Eingang wirksamen Masse
Vergleich von Näherung und exakter Lösung
Ein anderer Weg ist es, bei genauer Kenntnis der dynamischen Verhältnisse
die kinetischen oder potentiellen Leistungen zu berechnen und so die Ersatzelemente zu bestimmen. In diesem Fall entsteht eine gute Abbildung in der
Umgebung der für die Rechnung verwendeten Frequenz, nicht aber bei tiefen
Frequenzen.
Der wichtigste Vorteil der Blindleistungsmethode besteht aber darin, dass
das Verfahren bei Strukturen, bei denen die quasistatische Verformung aus
Tabellenwerken entnommen werden kann (z. B. Biegung von Trägern und
Platten), eine Schätzung der ersten Resonanzfrequenz ermöglicht. Bei einem
eingespannten und mit einer Kraft am Ende auf Biegung belasteten homogenen Stab gleichen Querschnitts liefert die Methode bei Annahme der quasi-
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
183
statischen Nachgiebigkeit eine Ersatzmasse pers = 0> 235p. Der exakte Wert
beträgt pers = 0> 25p.
6.1.3 Näherungsweise Abbildung einer Impedanz bei Resonanz
Besonders Filtersysteme (z. B. Signallter, Körperschalllter) und monofrequente Schallstrahler (z. B. Ultraschallwandler) arbeiten nur in der Umgebung
einer Betriebsfrequenz. Sie enthalten meist Bauelemente, die sich nicht mehr
als konzentrierte Bauelemente abgrenzen lassen. In diesen Fällen steht die Aufgabe, die zunächst als eindimensionale Wellenleiter vorliegenden Bauelemente
durch einfache Masse-Feder-Systeme zu ersetzen, die in der Umgebung der
Betriebsfrequenz eine gute Abbildung ergeben. Die Näherungsmethoden sind
auch für akustische und rotatorische Systeme von Bedeutung und werden hier
auch deshalb etwas ausführlicher dargestellt. Der Vorteil der Verwendung der
Näherungslösung besteht in der schaltungstechnischen Zusammenfassbarkeit
(s. Abschn. 3.1.4). Auf diese Weise gelingt es, die bei der Betriebsfrequenz
wirkenden Verhältnisse durch Kernstrukturen abzubilden. Diese Kernstrukturen sind vom Elektrotechniker gut zu interpretieren und die Auswirkungen
von Veränderungen schnell zu überblicken. Die exakte Berechnung unter Verwendung der vollständigen Wellenleiterstruktur wird unabhängig davon für
die letztendlich ausgewählte Parameterschar mit Netzwerkanalyseprogrammen durchgeführt. Das Funktionsverständnis entsteht aber vorrangig durch
die abgeleitete Kernstruktur. Für dieses Ziel wird sie erarbeitet.
Das nachfolgend dargestellte Verfahren in Abbildung 6.11 geht davon aus,
dass im Gebiet der Arbeitsfrequenz Nullstellen der Admittanz oder der Impedanz vorliegen, deren Umgebung durch Bauelemente nachgebildet werden
soll. Bei den eingangs genannten Aufgabenstellungen ist das meistens erfüllt.
Für die erste der beiden nachfolgenden Überlegungen wird eine analytisch
bekannte Frequenzfunktion einer komplexen Admittanz k ($) vorausgesetzt.
Für diese wird eine Reihenschaltung aus Feder und Masse gesucht, die in der
Umgebung einer ausgewählten Nullstelle der Funktion k ($) bei $ = $ eine
richtige Abbildung ergibt. Hierzu wird die Frequenzfunktion der Admittanz
in eine Taylor-Reihe um den Punkt der -ten Nullstelle entwickelt:
¶
dk
($ $ y ) + = = =
k ($) = k ($ ) +
d$ $
Unter Nutzung der Nullstelle k ($ ) = 0 und Vernachlässigung der höheren
Reihenglieder ergibt sich
¶
dk
k ($) =
($ $ y ) .
d$ $
Die Reihenschaltung der Ersatzbauelemente p und q liefert die Admittanz
¶
$
1
$
2 ($ $ )
j$ q
= j$ q
.
k ($) = j$q +
j$p
$
$
$
184
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Durch Gleichsetzung der beiden Admittanznäherungen folgt für die Ersatzbauelemente
¶
1 dk
(6.14)
q =
2j d$ $
und
p =
bg
hw
j
b g bw w g
1 dh w
j dw
1
$ 2 q
(6.15)
b g dw w i
bg
1 dz w
j dw
z w
n
wn
.
j
m
wm
bg
bg
hn w
zm w
j
j
w
w
hw
bg
z w
j
bg
j
mm
mn
nn
nm
w ! wn
bg
hw
mit:
nn FG IJ
H K
1 dh
1
, mn 2
2 j dw w
wn nn
n
mit:
mm w ! wm
bg
z w
FG IJ
H K
1 dz
1
, nm 2
2 j dw w
w m mm
m
Abbildung 6.11. Nachbildung der Admittanz/Impedanz in der Umgebung einer
Nullstelle
Die zweite Überlegung geht von Nullstellen der Impedanz bei $ = $ aus. Bei
gleichem Rechenweg folgen für eine Parallelschaltung von Feder und Masse
analoge Ergebnisse. Eine Zusammenstellung der Lösungsansätze ist in Abbildung 6.11 dargestellt. Oft benötigte Rechenergebnisse für Nullstellen und Pole
typischer Admittanzfunktionen sind in Tabelle 6.2 zusammengestellt.
6.1.4 Genäherte Vierpoldarstellung bei Resonanz
Außer der Möglichkeit, mechanische und akustische eindimensionale Wellenleiter als T- oder -Schaltung abzubilden, können Modelle für die Vierpoleigenschaften dieser Wellenleiter mit transformatorischen oder gyratorischen
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
185
Tabelle 6.2. Näherungslösungen für die Eingangsadmittanz eindimensionaler Wellenleiter
h
m1
n1
jhz tan bl
m
2
8
2
hz
jtan bl
m
2
2
jhz tan bl
hz
jtan bl
2
2
8
2
2
m
m
n
n
w1
l l1
f1
1
2 mn
1
4
1c
4l
m1
1
2
1c
2l
w ! w1
1c
2l
1c
4l
mn
n
2
mn
1
2
n
2
1
2 mn
1
4
n1
n1
m1
w ! w1
Kopplungsvierpolen gefunden werden. Lineare umkehrbare Vierpole können
grundsätzlich mit einer aus drei möglichen Schaltungsstrukturen abgebildet
werden (Abb. 6.12). Zur Bestimmung der neuen Schaltungsabbildung wird
genauso wie bei der T- oder -Schaltung (Abb 6.5) vorgegangen.
F1
v1
F2
bAg
b g
" A 1
v2
R|
||
||
||
||
S|
||
||
||
||
T
F1
h1
v1
v W1
F1
h1
v1
vW
F1
F W1
v1
h1
v W1 h F 2
F1 1
v
h W2
vW A 0 v2
F1 1
FW
A0
v1 h F W 2
F W1 1
v
h 2
h2
F2
v2
v W2
FW
F2
h2
F W2
v2
F2
h2
Abbildung 6.12. Abbildungsmöglichkeiten linearer umkehrbarer Vierpole
k Transformationsadmittanz, D0 Übersetzungsverhältnis
v2
186
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Ausgehend von der Kettenmatrix des Wellenleiters Gl. (6.5) werden die
Parameter einer Schaltung aus Abbildung 6.12 durch die Wellenparameter
}W = 1@kW und o ausgedrückt. Für die Auswahl aus den drei möglichen
Schaltungen und die Prüfung der Eignung ist eine weitere Überlegung erforderlich.
Die Abspaltung eines Transformators bzw. Gyrators hat nur Sinn, wenn deren Übersetzungsverhältnis D0 bzw. deren Transformationsadmittanz k hinreichend wenig von der Frequenz abhängt. Ergibt sich beim Versuch, eine
Abbildung durch diese Schaltungen zu erreichen, eine ausreichend geringe
Frequenzabhängigkeit für D0 oder k, so kann diese Schaltungsabbildung als
geeignet angesehen werden. Somit wäre es dann möglich, für einen eingeschränkten Frequenzbereich näherungsweise von der Frequenzunabhängigkeit
auszugehen. Für die Abbildung wären damit alle Vorzüge einer Schaltungsabbildung benutzbar. Diese Vorgehensweise wird nachfolgend in Abbildung 6.13
an einem Beispiel des @2-Wellenleiters demonstriert.
h 1K Fv I
GH F JK
v
h1K
j
jhz tan bl
1
1
2
2
0
2
FF I
GH F JK
v
2
bl ! 1
h 2L 2
Fv I
GH F JK
F
0
jhz
2
2
1
0
1
1
cos bl
1
tan bl
v1
F
GG
H
1
cos bl
0
0
I
JJ
K
F2
v2
F1
l
2
bl
m
2
F1
l!
bl
1
h 2L
j
z 2L
j
jhz tan bl
n
2
bl
cos bl
A0 m
n
2
2
2
bl
m
1 : 1
2
n
2
2
m
n
2 F 2
2
v1
v2
cos bl
hz
jtan bl
bl ! l!
l
2
Abbildung 6.13. @2-Wellenleiter mit transformatorischem Koppelelement
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
187
Es wird zunächst versuchsweise angenommen, dass ein verlustfreier Wellenleiter in der Umgebung der @2-Resonanz durch einen transformatorischen
Vierpol (Abb. 6.12 Mitte) abgebildet werden kann. Die Bildungsvorschrift für
die Parameter k1K , D0 und k2L aus Abbildung 6.13 wird auf Gl. (6.5) angewendet und liefert so die im gleichen Bild genannten Ergebnisse.
Die analytischen Ausdrücke für die Admittanzen können mit Hilfe der Ergebnisse aus Tabelle 6.2 als Schaltung abgebildet werden. Der Ausdruck
D0 = 1@ cos (o) liefert in der Umgebung von o den Wert 1. Er kann
deshalb durch das Bauelement Transformator dargestellt werden. Das Übersetzungsverhältnis ist in einem gewissen Bereich um die Resonanz nur wenig
frequenzabhängig. Somit hat es Sinn, den Wellenleiter in diesem Frequenzbereich als einfache Schaltung abzubilden.
Durch analoge Überlegungen gelangt man zu Schaltungslösungen für das Frequenzgebiet um o @2 entsprechend der Wellenleiterlänge @4. Hier führen die beiden anderen Schaltungsvarianten gleichwertig zu nahezu frequenzunabhängigen Transformationsadmittanzen im Bereich der Nutzfrequenz. Die
Wahl der anzuwendenden Lösung hängt zweckmäßigerweise von der weiteren
Schaltungsumgebung ab (Quellen und Lasten des Wellenleiters). Abbildung
6.14 zeigt die Ergebnisse.
Die Leistungsfähigkeit der vorgestellten Methoden wird nun an einem mechanischen Filterelement gezeigt. Die Reihenschaltung dreier Wellenleiter
@2 + @4 + @2 nach Abbildung 6.15 ergibt eine Bandlterstruktur, wenn
F1
hL
F0
GG
GH h1
v1
hL hK
hK
F1
F0
GG
GH h1
n
2
8
2
v2
v1
I
JJ
0J
K
F2
8
m
F 1 2 n 2
h
1
jhW tan bl
h jh W sin bl
jhW
0
W
für
h K v2
v1
bl !
F 0
GG
GH j h1
bl !
2
I
JJ
JK
m
F2
v2
l
, l
2
4
8
W
für
8
n
2
m
F 0
GG
GH j h1
h
hz
h
, hj z
j tan bl
sin bl
F1
v1
I
JJ
0J
K
hL F
2
jhW
0
I
JJ
JK
2
n
m
2 F2
v2
l
, l
2
4
Abbildung 6.14. @4-Wellenleiter mit gyratorischem Koppelelement
188
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
v1
r, c v2
E
r
F1
F2
A1
A1
A2 a A1
l
2l
2l
Abbildung 6.15. Filterstruktur
die Anregung mit einer Kraftquelle I 1 erfolgt und das Ausgangssignal aus
der Geschwindigkeit y 2 des unbelasteten dritten Wellenleiterstückes gebildet
wird.
Die Wellenleiterstücke können nun als Kettenschaltung abgebildet werden.
Abbildung 6.16 zeigt die Zusammenschaltung und die Parameterdenitionen.
F 1 m1 n1
1: 1
m2 n2 mK nK
nK mK n2 m2
F0
GG j 1
Hh
v1
z
l 2 - Schwinger
m1 n1 4
2
rlA1
l
rc 2 A1
I
J
0 J
K
n2 4
v2
mK l
2 rc 2 A1
n1 m1 F 2
jhz
l 4 - Schwinger
m2 rlA1
1: 1
nK l 2 - Schwinger
1
rlA2
2
8
l
hz 2 rc 2 A2
1
A2 rc
Abbildung 6.16. Schaltung des mechanischen Filters
Die Wellenadmittanz des mittleren Stückes ist mit k} bezeichnet. Durch
Zusammenschaltung der jeweils parallelgeschalteten Bauelemente und durch
Transformation der rechten Parallelschaltung über den Gyrator nach links gelangt man zu der Struktur nach Abbildung 6.17. Das Flächenverhältnis wurde
mit abgekürzt. Es entstehen die neuen Bauelemente pa , pb , qa und qb .
Durch die fehlende Belastung am Filterausgang und die Krafteinspeisung am
Eingang können die äußeren Reihenschaltungen unbeachtet bleiben und der
Gyrator kann durch einen Kurzschluss ersetzt werden. Ausgangsgröße ist nunmehr die Kraft durch diesen Kurzschlussbügel (Abb. 6.18).
Berücksichtigt man nun noch die für eine sinnvolle Funktion notwendigen
Verluste durch Reihen- bzw. Parallelschaltung von Reibungsadmittanzen mit
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
F 1 m1
n1
n1 m1 F 2
n b mb
ma
v1
F0
GG j 1
Hh
na
z
I
J
0 J
K
jhz
FG
H
IJ
K
FG
H
2
4
!
nb 2 1
a
1
2
na
4 a
2
IJ
K
a
v2
n1 2
a
1
4
2
na
m1
1
1
4
! 2
a
ma 2
a 1
1
2
mb
4
4
a2
2
! 2 a2
2
ma a
a 1
1
2
FG
H
189
IJ
K
A2
A1
a 1
2
!
2 1
4 a2
a 1
Abbildung 6.17. Schaltungstechnische Zusammenfassung von Abbildung 6.16
nb
F1
hb w 0n b
Q
mb
F j
ma
na
1
v
hz 2L
ha Q w 0na
1
Q
h
w0 1
ma na
1
m bn b
Abbildung 6.18. Kernstruktur des mechanischen Filters
A
A1
A0
+g
+1
+1
+g
+
Abbildung 6.19. Prinzipieller Filterfrequenzgang
wählbarem Wert für T, so liegt die gewünschte Kernstruktur des Filterbausteins vor. Abbildung 6.19 zeigt den prinzipiellen Filterfrequenzgang bei Annahme gleicher und geeignet gewählter Werte für die Güte T.
Ein praktisches Beispiel für ein mikromechanisches Filter enthält Abschnitt
9.1.2.
190
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
6.1.5 Biegewellen in einem Stab
Der im Abschnitt 6.1.1 beschriebene Wellenleiter ist dadurch bestimmt, dass
eine eindimensionale Welle durch ein Koordinatenpaar beschrieben wird.
In diesem Abschnitt wird nun ein endlicher Biegestab (s. Abschn. 5.1.2) betrachtet, an dessen Enden sowohl vertikale Kräfte und Bewegungen als auch
Drehmomente und Winkelgeschwindigkeiten wirken (Abb. 6.20 oben). Bei den
nachfolgend behandelten Biegewellen ist der Wellenvorgang somit durch zwei
Koordinatenpaare bestimmt.
Die in dem Stab entstehenden Deformationen sollen durch die Annahmen
• keine Scherdeformation sowie
• Dehnung V1 ({) und mechanische Spannung W1 ({) proportional zum Abstand von der neutralen Faser
bestimmt sein. Für dünne Biegestäbe führen diese vereinfachenden Annahmen
nur zu unwesentlichen Abweichungen von der Realität.
Für die Behandlung von dynamischen Vorgängen muss die Stabmasse berücksichtigt werden. Daher wird wie im Abschnitt 5.1.2 dargestellt von der
Schaltung eines dierentiellen Stabelementes ausgegangen, an dem nun die
A, I, G, E
M 1 , +1
+2 M 2
v2 F 2
v1 , F 1
x
+ x Mx "x
2
"x
2
"x
2
"m
x
x
x
"x
2
x
l
"x + x 2 "nR
"x F x 2 "x vx 2 x
"x
2
"x Mx 2 "x v x 2 x
"x Fx 2 "x
2
Abbildung 6.20. Koordinaten des Biegestabes und Stabelementes
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
191
zugehörige Masse in der Mitte konzentriert angeordnet wird. Die Struktur
des dierentiellen Stabelementes der Länge { besteht aus zwei idealen Stäben der Länge {@2, die durch eine Drehfeder qR { und ein drehmomentenfreies Gelenk miteinander verbunden sind. Zur Berücksichtigung des
Massenein usses wird die Masse p = (D{ an diesem Gelenk befestigt.
Die zugehörige Schaltung zeigt Abbildung 6.21.
"x Mx 2 "x + x 2 "x Mx 2 "nR
1
1
"x
2
"x
2
"x Fx 2 "x v x 2 "x + x 2 "x Fx 2 v( x )
"m
"x v x 2 Abbildung 6.21. Schaltung eines Stabelementes mit konzentrierter Masse
Auf die gleiche Weise wie in den vorhergehenden Abschnitten lassen sich aus
der oben dargestellten Schaltung Maschen- und Knotengleichungen ablesen,
die für { $ 0 letztendlich in Dierentialgleichungen übergehen. Aus den
Maschen- und Knotengleichungen folgt:
P ({ {@2) P ({ + {@2)
= {@2 [I ({ {@2) + I ({ + {@2)] {I ({) ,
({ {@2) ({ + {@2)
= j$q0R { [P ({ {@2) I ({ {@2) {@2] ,
I ({ {@2) I ({ + {@2) = j$p0 {y ({)
= j$p0 { [y ({ {@2) ({ {@2) {@2] ,
y ({ {@2) y ({ + {@2)
= [ ({ {@2) + ({ + {@2)] {@2 { ({) .
Dabei sind analog zu den vorhergehenden Abschnitten qR = q0R { und
p = p0 {.
192
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Für { $ 0 ergibt sich:
dP
= I ,
d{
dy
=
d{
d
= j$q0R P ,
d{
dI
= j$p0 y,
d{
q0R =
1
,
HL
,
p0 = (D.
Aus diesen Gleichungen lässt sich eine Dierentialgleichung für y ({) ableiten
d4 y
= $ 2 p0 q0R y = 0.
d{4
Als Lösung ergibt sich
y ({) = D1 exp ({) + D2 exp ({) + D3 exp (j{) + D4 exp (j{)
r q
r q
r
q
s
$
0
0
0
0
3
.
o = o $ p qR = $ p oqR o = $ q0 p =
$0
Im Folgenden werden die Bezugsgrößen $ 0 , qR , }0 und die Gesamtmasse p
eines Stabes der Länge o eingeführt:
q0 =
o3
,
HL
p = (oD,
1
$0 = s
,
pq0
}0 =
r
1
p
= $0p =
.
q0
$ 0 q0
Die Lösung wird nachfolgend nicht mit den Lösungsbausteinen exp (±{) bzw.
exp (±j{), sondern mit Rayleigh-Funktionen geschrieben, die als unabhängige Linearkombinationen der Lösungsbausteine exp (±{) bzw. exp (±j{)
ebenfalls ein vollständiges Lösungssystem bilden:
V ({) =
1
2
(sinh { + sin {),
F ({) =
v ({) =
1
2
(sinh { sin {),
f ({) =
1
2
1
2
(cosh { + cos {),
(cosh { cos {).
Die Funktionen V, F, v, f gehen in der genannten Reihenfolge durch Dierentiation ineinander über.
y ({) = 1 V ({) + 2 F ({) + 3 v ({) + 4 f ({)
Die übrigen Koordinaten
hervor:
(6.16)
, P und I gehen ebenfalls durch Dierentiation
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
({) =
193
[1 F ({) + 2 v ({) + 3 f ({) + 4 V ({)] (6.17)
P ({) = 2
[ v ({) + 2 f ({) + 3 V ({) + 4 F ({)] (6.18)
m$q0R 1
I ({) = 3
[ f ({) + 2 V ({) + 3 F ({) + 4 v ({)] (6.19)
m$q0R 1
Mit den beiden Randbedingungen (y> I > > P ){=0 = (y1 > I 1 > 1 > P 1 ) und
(y> I > > P ){=o = (y2 > I 2 > 2 > P 2 ) lassen sich die Konstanten 1 bis 4 bestimmen und damit die Koordinaten an der Stelle { = 0 durch diejenigen an
der Stelle { = o ausdrücken. Die daraus entstehenden Ketten-, Admittanzund Impedanzmatrizen sind in Tabelle 6.3 zusammengefasst.
Beim praktischen
p Rechnen mit diesen Matrizen sind die folgenden Beziehungen mit = $@$ 0 von Vorteil:
<
f () F () v2 () = V 2 () f () F () = 12 sinh sin , A
A
A
A
A
A
A
V () F () v () f () = 12 (sinh cos + cosh sin ), A
A
A
A
A
@
(6.20)
v () F () f () V () = 12 (sinh cos cosh sin ),
A
A
A
A
A
A
F 2 () v () V () = 12 (1 + cosh cos )
A
A
A
A
A
A
>
1
Q = f2 () v () V () = 2 (1 cosh cos )
Bei tiefen Frequenzen ( ¿ 1) ergeben sich die folgenden Näherungen einschließlich der vierten Potenzen von :
<
V () = Q = 4 @12
A
A
A
A
A
A
A
f () = 2 @2
V () F () v () f () = 5 @30 A
@
(6.21)
A
v () = 3 @6
f () F () v2 () = 6 @180 A
A
A
A
A
A
A
>
F () = 1 + 4 @24
f () V () v () F () = 3 @3
Zur Veranschaulichung der Bedeutung der Größen und }0 wird eine Lösung
y ({)
r q
r
1 $
0
0
y ({) = y0 exp (j{)
mit
= $ p qR =
o $0
betrachtet, die einer in positiver {Richtung fortschreitenden Welle entspricht.
194
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Tabelle 6.3. Achtpolmatrizen des Biegekettenleiters
Hinweis: Die Rayleighschen Funktionen sind als Funktionen von =
s
$@$0 anzusehen.
Kettenmatrix
3
4
1
v
3
3
4 E
4
j}0 F
E
F y2
y1
E
F
E
E
F E F
1 F
E
E
F E
F
V 3
F
3
fF
FE 2F
E 1F E3 v
2
j}0 o
j}0 o F E
E
F E o
F
FE
E
F=E
F
FE
E
F E
F
2
E
F
EP F E
F
o
F EP 2 F
E 1 F E j} of 3 j}0 o v
F
V
FC
C
D E 0
D
E
F
E
F I
I1
2
C
D
j}0 V 3j}0 of
v
F
o
F
o
3 V
1
f
j}0 o
Impedanzmatrix
4
3
3 (VF 3 vf) 3o fF 3 v2
V
3of
3 4
3
4
F y1
E
I1
F
E
2
E
F
FE F
E o2
E
F
FE F
E 3o fF 3 v2 3 o (fV 3 vF)
of
3 v
EP 1 F
F E 1F
E
E
F j}0 E
FE F
E
F=
FE F
E
E
F
FE F
E
Q E
2 FE
EI F
F
3V
3of
(VF
3
vf)
3o
fF
3
v
E 2F
F E y2 F
E
FC D
E
C
D
F
E
D
C
o2
o2
P2
2
of
v
3o fF 3 v2 3 (vF 3 fV)
Admittanzmatrix
31
(Fv 3 Vf)
3 4
E
y1
E
E
E F
E1 E F
E fF 3 v2
E 1F
E
o
E F
E F= j E
E F }0 Q E
E
Ey F
1
E
E 2F
v
E
C D
E
E
C
2
1
f
o
1
fF 3 v2
o
1
3 v
3f
4
F3I 4
F
FE 1F
FE
1
F
FE
f
(fv 3 FV)
V
F EP 1 F
2
2
o
o
o
F
FE
F
FE
F
F
EI F
1
2
F
2F
E
3 f
(Vf 3 Fv) fF 3 v
FC
D
o
F
F
D P2
1
3 2V
fF 3 v2 2 (FV 3 fv)
o
o
o
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
195
Die übrigen Koordinaten verlaufen dann ebenfalls wie die Geschwindigkeit:
I ({) = I 0 exp (j{) ,
({) =
0
exp (j{) , P ({) = P 0 exp (j{) .
Die Quotienten 0 @P 0 bzw. y 0 @I 0 haben dann die Bedeutung von Wellenadmittanzen im rotatorischen und translatorischen Zweig:
r
q0R 1
y0
1 1
r
r ,
=
=
=
o
(k} )T =
$
$
I0
$p0
}0
p0
$0
$0
r r
r
1
$q0R
1 q0R
$
$
(k} )R = 0 =
= 2
=
.
0
P0
o }0 $ 0
o p
$0
Der Wellenzahl kann eine Phasengeschwindigkeit fB und eine Wellenlänge
B zugeordnet werden. Beide Wellengrößen sind frequenzabhängig:
r
$ u s
= fo u$,
fB = fo
$0 o
r
fo u
,
B = 2
$
s
r
H
L
,
u=
.
fo =
(
D
Dabei ist fo die Wellengeschwindigkeit für Dehnwellen auf Stäben und L das
Flächenträgheitsmoment des Stabquerschnittes D.
Die Anwendung der dargestellten Beziehungen soll im Folgenden an zwei einfachen Beispielen erläutert werden:
Als erstes Beispiel wird ein einseitig eingespannter Stab betrachtet und es
wird nach der translatorischen Impedanz am freien Ende für momentenfreie
Anregung gefragt (s. Abb. 6.22). Die Elemente der Impedanzmatrix aus Tabelle 6.3 in der angegebenen Zuordnung zu den Kraft- und Bewegungsvektoren werden als } ln bezeichnet. Somit ergeben sich aus den Randbedingungen
P 1 = 2 = 0 die beiden folgenden Gleichungen:
I 1 = } 11 y 1 + } 12
1,
P 1 = } 21 y 1 + } 22
1
= 0,
} } } 212
I1
= } = 11 22
.
y1
} 22
196
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
M1 = 0
F1
m1 =
m GlA
v1
l
F1
+2 0
v2 = 0
m
4
v1
E, I
n n1 0, 971 0 0, 971nstat
3 Abbildung 6.22. Schaltungsabbildung der translatorischen Impedanz eines einseitig eingespannten Biegestabes am freien Ende
Unter Benutzung der Beziehungen (6.20) folgt nach einer kleinen Zwischenrechnungp
die Impedanz } als Kombination von Kreis- und Hyperbelfunktionen
mit = $@$ 0 :
1 + cosh cos } = j}0 (6.22)
sinh cos cosh sin Für ¿ 1 folgt mit Hilfe der Beziehungen (6.21)
}=
1
q0
m$
3
in Übereinstimmung mit dem Ergebnis im Abschnitt 5.1.2. Die erste Singuder Admittanz
larität ergibt sich als Nullstelle der Impedanz } bzw. Polstelle
p
k = 1@}. Die Frequenz $ 1 ist durch die Nullstelle 1 = $ 1 @$ 0 des Zählers
von Gl. (6.22) gegeben:
cosh 1 cos 1 = 1
Die kleinste Lösung dieser Gleichung liefert 1 = 1> 875. Um zu einer Schaltungsabbildung der Impedanz } zu kommen, werden die Ergebnisse der Überlegungen des Abschnittes 6.1.2 benutzt. Wegen der Nullstelle der Impedanz
} muss eine Darstellung als Parallelresonanzkreis möglich sein. Die Elemente
p1 und q1 ergeben sich nach Abschnitt 6.1.2 aus der Ableitung der Funktion
} ($) bei der Nullstelle $ 1 :
¶
¶ ¶
1 }0
1
1 1
d
d}
d}
=
= j 1 }0
=j
= j p,
d$ $1
d 1 d$ $1
21 $ 0
2 $0
2
¶
1 d}
p
p1 =
= ,
2j d$ $1
4
q1 =
4$ 20 1
4
4
12 q0
=
= 4 q0 = 4 ,
2
2
2
$1p
$1 $0 p
1
1 3
q1 = 0> 971
q0
= 0> 971qstat .
3
6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
197
Man kann sich also vorstellen, dass in der Umgebung der Resonanz nahezu die
statische Nachgiebigkeit wirkt und dass ein Viertel der gesamten Stabmasse
am Ende konzentriert gedacht werden kann. Durch Berechnung der Ersatzparameter bei den weiteren Nullstellen von Gl. (6.22) kann man die gesamte
kanonische Schaltung aufbauen. Aus der dargestellten Rechnung ist erkennbar,
dass die Ersatzmasse sämtlicher Resonatoren p@4 ist. Die Nachgiebigkeiten
berechnen sich aus den zugehörigen Resonanzfrequenzen.
Als zweites Beispiel wird die translatorische Admittanz bestimmt, die an der
Einspannstelle eines Biegestabes messbar ist (s. Abb. 6.23). Hier wird zweckmäßiger Weise von der Admittanzmatrix ausgegangen.
v1 , F 1
M 2 , F 2= 0
m GlA
m 1 = 0, 61m
n1 = 0,13 n 0
F1
+1 0
l
E, I
v1
n0 =
l3
EI
Abbildung 6.23. Schaltungsabbildung der translatorischen Admittanz eines einseitig eingespannten Biegestabes am eingespannten Ende
Mit den angegebenen Randbedingungen ergeben sich die beiden folgenden
Gleichungen:
y1 = k11 I 1 + k12 P 1 ,
1
= k21 I 1 + k22 P 1 = 0.
Daraus folgt die Admittanz
k=
y1
k k k12 k21
= 11 22
.
I1
k22
Mit den Elementen der Admittanzmatrix aus Tabelle 6.3 und mit den Beziehungen (6.20) lässt sich k durch die Kreis- und Hyperbelfunktionen ausdrücken:
1
1 + cosh cos k=
j}0 sinh cos cosh sin 198
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Für ¿ 1 ergibt sich mit den Beziehungen (6.21) die Admittanz für sehr tiefe
Frequenzen:
1
k=
j$p
Die erste Singularität entsteht wieder bei der Nullstelle des Zählers. Wegen
der Nullstelle der Admittanz muss hier das Verhalten durch einen Reihenresonanzkreis abgebildet werden können. Die Ersatzelemente q1 und p1 erhält
man analog zum vorhergehenden Beispiel aus der Ableitung dk@d$:
¶
¶ ¶
dk
d
dk
1 sinh 1 cos 1 cosh 1 sin 1 1 1
=
=
·
.
d$ $1
d 1 d$ $1
j}0 1 sinh 1 cos 1 + cosh 1 sin 1 21 $ 0
Den Faktor mit den Kreis- und Hyperbelfunktionen kann man unter Beachtung von cosh 1 cos 1 = 1 vereinfachen:
cosh 1 + 1
sinh 1 cos 1 cosh 1 sin 1
= 1> 856,
=
sinh 1 cos 1 + cosh 1 sin 1
cosh 1 1
¶
dk
1> 856 1
=j
= j 0> 264q0 = j2q1 ,
d$ $1
221 $ 0 }0
q1 = 0> 132q0 ,
p1 =
1
$ 20 1
1 1
1
1
p,
=
= 4
= 4
2
2
2
2
$ 1 q1
$ 1 $ 0 q1
1 0> 132 $ 0 q0
1 0> 132
p1 = 0> 613p.
6.2 Darstellung akustischer Systeme als eindimensionale
Wellenleiter
Bei akustischen Problemstellungen ist es häug der Fall, dass eine Abbildung
mit konzentrierten Elementen nur für einen kleinen Frequenzbereich gelingt,
da die Abmessungen der Bauteile nicht ausreichend klein gegenüber der Wellenlänge im Fluid sind. Bei kanalartigen Elementen kann diese Begrenzung in
Kanalrichtung durch die Abbildung des Kanals als eindimensionaler Wellenleiter umgangen werden, wenn nur die zwei Querdimensionen ausreichend klein
gegenüber der Wellenlänge bleiben. Das ist oft der Fall. Bei volumenartigen
Bauelementen, also Bauelementen, die bei tiefen Frequenzen als akustische
Nachgiebigkeit wirken, ist eine Abbildung bei eindimensionaler Ausdehnung
auch als Wellenleiter möglich. Die dann vorliegende Bauform des am Ende geschlossenen Rohres ist in der Praxis jedoch weniger häug anzutreen. Eine
Erweiterung der Netzwerkabbildung in die drei Raumrichtungen ist zwar ohne
grundsätzliche Schwierigkeiten möglich, allerdings gehen nahezu alle Vorteile
6.2 Darstellung akustischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter
199
der Abbildung durch konzentrierte Elemente mit Netzwerkmethoden verloren, so dass derartige Aufgabenstellungen dann sofort mit den speziellen Lösungsmethoden der Finiten Element- (FEM) bzw. der Randelement-Methode
(BEM) bearbeitet werden sollten. Auch eine Mischung der Techniken ist möglich und wird heute meist angewendet. Die Tatsache, dass sich eindimensionale Wellenleiter noch mit erheblichen Zeitvorteilen in Verbindung mit Netzwerkabbildungen analysieren lassen, liegt an dem Umstand, dass in Netzwerkanalyseprogrammen die verlustbehaftete oder die verlustlose Leitung als
Standardbauelement integriert ist und so als ein einzelnes Bauelement angesprochen werden kann.
Um zu einem eindimensionalen Wellenleiter zu gelangen, wird das Kanalelement in Längsrichtung in nite akustische Elemente zerlegt. Dazu wird ein
Volumenabschnitt mit der Scheibenbreite k als dierentielles Volumen und
als zwei dierentielle Masseelemente aufgefasst (s. Abb. 6.24). Die so denierten Bauelemente werden auf die Scheibenbreite k bezogen und mit einem
hochgestellten Stern gekennzeichnet. Aus diesen Elementen kann nun die gesamte Leitung zusammengesetzt werden, da für jedes Element die Bedingung
der Kleinheit der Abmessungen gegen die Wellenlänge erfüllt ist. Oft ist diese
aufwendige Abbildung aber nicht erforderlich. Eine Betrachtung der Schnittstellen am Anfang und Ende der Leitung und die Angabe einer verknüpfenden
Kettenmatrix führen meist schneller zum Ziel. Auch beim Vorliegen ortsveränderlicher Querschnitts ächen können auf diese Weise Lösungen gefunden
werden. Zunächst folgt die Lösung für eine konstante Querschnitts äche D.
"M a 2 "M a 2
F hI
q Gx J
H 2K
F hI
q Gx J
H 2K
A
"N a
x
"N a h
2
Ah
kp0
h
"M a r
A
x
"M a 2
"M a 2
IJ
K
q x
FG
H
q x
h
2
FG
H
bg
N a* h
2
"N a
A
kr
h
"M a
r
M a* h
A
IJ
K
bg
px
x
h
2
px
x
FG
H
q x
FG
H
h
2
p x
FG
H
IJ
K
q x
"M a 2
"M a 2
IJ
K "N
p x
h
2
FG
H
h
2
h
2
IJ
K
IJ
K
a
Abbildung 6.24. Finites Element eines eindimensionalen akustischen Wellenleiters
200
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Wie im Abschnitt 6.1.1 vorgeführt wurde, kann aus dem niten Element die
Dierentialgleichung für Druck oder Volumen uss gewonnen werden. Die Lösung der Dierentialgleichung und die Bestimmung der Konstanten aus den
Randbedingungen führt zur Kettenmatrix des eindimensionalen Wellenleiters
nach Abbildung 6.25.
dp
dx
dq
dx
U|
|V
||
W
jwM a* q
jwN a* p
d2 p
w 2 M a* N a* p 0
dx 2
p x C1e jbx C 2 e-jbx
bg
Randbedingungen:
p2
p1
q1
F p I FG cos1bl jZ sin blIJ F p I
GH q JK G j Z sin bl cos bl J GH q JK
H
K
a0
r , k , p0
A
q2
l
b w M a* N a* w
c
1
2
1
2
a0
x
, Za0 M a*
N a*
, c
1
M a* N a*
kp0
r
Abbildung 6.25. Dierentialgleichung und Kettenmatrix des eindimensionalen
akustischen Wellenleiters
Für ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt nach der Beziehung
D ({) = D1 e2p{
(6.23)
kann ebenfalls eine Kettenmatrix für den Vierpol angegeben werden. Es werden die bezogenen Parameter Pa und Qa als Ortsfunktion dargestellt. Es
gilt:
2p{
D1 2p{
e
e
und
Qa ({) =
Pa ({) =
D1
s0
Mit den in Abbildung 6.25 genannten Dierentialgleichungen des akustischen
Wellenleiters folgt nach Einsetzen
d2 s $ 2
1 dD ds
=0
+ 2s+
2
d{
f
D ({) d{ d{
mit
(6.24)
1 dD
s0
und
= 2p.
D ({) d{
Die Lösung dieser Gleichung mit einem Exponentialansatz und die Anwendung der Randbedingungen führt zur Vierpolgleichung, die Anfang und Ende
f2 =
6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen
201
dieser querschnittsveränderlichen Leitung miteinander verknüpft. Es ergibt
sich:
4
3
f $
p
3 4
3 4
j sin o
cos o sin o
s1
D2 f
F s2
E
F
C D = epo E
E
¶F C D . (6.25)
D t
C
D1
D1 $
p
t1
j sin o
cos o + sin o
2
f f
D2
Mit dieser Lösung können nun auch akustische Anpassglieder (Trichter) in
Netzwerklösungen integriert werden, wenn eine analytische Lösung angestrebt
wird. Sollen Trichter mit Netzwerkanalyseprogrammen bearbeitet werden, so
muss man den Trichter in mehrere Leitungsbauelemente unterschiedlicher
Querschnitts ächen zerlegen. Je nach Querschnittsänderung genügen 10 bis
20 Elemente. Um Störungen durch die Diskontinuitäten zu vermeiden, sollten
verlustbehaftete Leitungselemente benutzt werden.
Die Methoden der näherungsweisen Berechnung der Eingangsimpedanz von
Wellenleitern, der vereinfachten Abbildung der Impedanz in der Umgebung
einer Resonanzfrequenz und die näherungsweise Vierpoldarstellung bei Resonanz ist analog zu den Abschnitten 6.1.2 bis 6.1.4 möglich. Mit diesen Verfahren lässt sich analog zu Abbildung 6.14 zeigen, dass für monofrequente
Anwendungen auch einfache @4-Rohre als Impedanztransformatoren angewendet werden können.
Durch die Anwendung dieser Näherungsmethoden lassen sich für interessierende, meist enge Frequenzbereiche Schaltungsabbildungen angeben, die durch
ihre Einfachheit einen schnellen Einblick in das Wesentliche der Lösung gestatten. Dieser Einblick ermöglicht es auch, numerische Lösungen besser auf
Fehler und Irrtümer zu kontrollieren.
6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei
Wandlerstrukturen
Auch bei der Beschreibung von Wandlersystemen treten Zustände auf, bei
denen eine Abhängigkeit der Verkopplungen vom Ort besteht und der Übergang zu summarisch wirkenden Größen (wie z. B. Druck und Schall uss, bzw.
Strom und Spannung) nur am Wandlerein- und -ausgang gelingt. In diesen
Fällen deniert man, wie bereits in den Abschnitten 6.1 und 6.2 dargestellt,
kleine Bereiche, in denen die Vereinfachung der Ortsunabhängigkeit angenommen werden kann.
Durch strukturrichtige Zusammenschaltung der niten Netzwerkelemente entsteht dann der vollständige Wandler. Dieses Vorgehen wird an zwei Beispielen
demonstriert.
202
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
6.3.1 Ultraschall-Mikroaktor mit kapazitivem Membranwandler
Für Anwendungen, die einen gerichteten Ultraschallstrahl in ein gasförmiges Medium benötigen, eignen sich kapazitive Wandler, bei denen über einer
Elektrodenform nach Abbildung 6.26 eine metallisierte Kunststomembran
gespannt ist. Die Anregung geschieht durch eine Wechselspannung, der eine
Gleichspannung überlagert ist.
In [47] und [48] wurde diese Struktur erstmals mit Netzwerkmethoden und
neuen, bisher nicht genutzten Superpositionslösungen modelliert, berechnet
und experimentell veriziert.
500 K 1200 $m
100 K 200 $m
40 K 200 $m
Kapton-Membran
(metallisiert)
Elektrode
Spannring
Trägerring
Abbildung 6.26. Ultraschallwandler mit Streifenmembranelementen [47]
Die Membran liegt auf den Stegen auf und wird dort elektrostatisch durch
die elektrische Vorspannung xiert. Im Bereich zwischen den Stegen kann
die Membran frei schwingen. Die anregende Kraftwirkung auf die Membran
erfolgt durch das zeitveränderliche elektrische Feld zwischen Membran und
Elektrode.
Zunächst muss ein Modell einer Streifenmembran erstellt werden, welches für
jeden Kraftangrisort eine richtige Auslenkung liefert. Abbildung 6.27 zeigt
die Lösung.
Um ein geschlossenes Modell für den Einzelstreifen zu erhalten, muss auf
der abstrahlenden Fläche des Wandlers die Rückwirkung des Schallfeldes und
auf der nach innen gewandten Fläche die Wirkung des Hohlraumes zwischen
Membran und Stegelektrode richtig abgebildet werden. Das geschieht durch
Belastung des akustischen Wandlerausgangs mit einer komplexen Impedanz
]a.
Im Beispiel nach Abbildung 6.26 besteht eine starke Ortsabhängigkeit der
Anregungskraft durch das elektrische Feld infolge der Stegstruktur (inhomogenes elektrisches Feld). Außerdem muss die Membranmasse für eine richtige
6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen
Systempunkte:
1
2
x
xR
3
F2
"x 1
"x 2
"x 3
"n1
"n2
"n3
F1
F2
T konst.
b
x
"x N 1
"nN
F3
v1
"x k
FT
v3
FT T bd
mit
"nN 1
FN
v2
"nk N
d
x2
203
vN
und
k 1K N 1
Abbildung 6.27. Gespannte Streifenmembran mit Netzwerkmodell
dynamische Abbildung berücksichtigt werden. Eine geschlossene Modellbildung gelingt deshalb nur mit niten Netzwerkelementen.
Als weitere Schwierigkeit kommt hinzu, dass die Idealisierung einer Membran (keine Biegesteife) technisch kaum realisierbar ist. Die Modellbildung
soll deshalb den Plattenfall enthalten (Folie mit Membranspannung und Biegesteigkeit). Die Superposition der Modelle von Membran und Biegeplatte
ist wegen der Kraftaddition an den Modellknoten möglich. Auch hier bewährt
sich die Wahl der Flussgröße Kraft.
In Abbildung 6.28 ist die durch Zusammenschaltung gewonnene Netzwerkabbildung der gespannten Streifenplatte dargestellt.
G, E , n,T
d
"x 1
F
1
Systempunkte:
"n R,1
2/"x 1
"nT ,1
v1
"x 2
"x N
2
N
"n R,2
" +2
" +1
F
b
" +N
2/"x 2
"nT ,1
"m1
finites Element der gespannten Steifenplatte
"nT ,2
v2
"n R,i
2/"x N
"nT ,2
"nT ,N
vN
"m2
"x i
2 FT
"x i
E I
"nT ,i "n R,N
FT T bd
E E
1 n2
"nT ,N
"mN
"mi Gbd"x i
I
i 1K N
3
bd
12
Abbildung 6.28. Dynamisches Modell der gespannten Streifenplatte
204
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Untersuchungen zu den Abbildungsfehlern durch die Diskretisierung zeigen,
dass sich bereits mit 11 Teilabschnitten (Systempunkten) gute Ergebnisse erzielen lassen. Eine Berechnung mit Netzwerkanalyseprogrammen bereitet deshalb kaum zeitliche Probleme.
Auf jeden Plattenabschnitt muss nun noch der mechanisch-akustische Wandler (\ ) aufgesetzt werden. Die akustischen Wandler vereinen ihren Schall uss
bei ortsunabhängigem Druck. Auf den akustischen Ausgang wirkt die komplexe Belastung ] a durch das Schallfeld und die Belastung durch die verlustbehaftete akustische Nachgiebigkeit des Rückvolumens. Nach schaltungstechnischer Zusammenfassung von Bauelementen ergibt sich Abbildung 6.29.
Die Berechnung des Schalldruckes im Schallfeld kann dann aus der Gesamtgeometrie des mehrstreigen Wandlers mit den üblichen akustischen Lösungsmöglichkeiten erfolgen [47]. Für den Nutzer des Ultraschallwandlers war es zweckmäßig, einen Ersatzkolbenstrahler zu denieren, der im Fernfeld die gleichen
Wirkungen erzeugt.
p
q W ,b N 1g
2
q W,1
bY g
FW
"n
FW
2"n
vb N 1g
"m
F b N 1g
bY g
2
bN 1g 2
2
"m
F1
1
q W ,0
bY g
q
q W,1
bY g
q W ,b N 1g
FW
FW
2"n
2"n
v1 "m
v0 "m
F0
bY g
FW
"n
2"n
v1
1
vb N 1g
"m
F b N 1g
F1
0
2
Za
i
2
2
bN 1g 2
Abbildung 6.29. Modell nach Abbildung 6.28 mit akustischer Belastung
6.3.2 Flüssigkeitsgefülltes Druckübertragungssystem eines
Dierenzdrucksensors
Im Rahmen von Forschungsarbeiten [49, 50] wurden miniaturisierte Druckund Dierenzdrucksensoren mit piezoresistivem Silizium-Messelement entwickelt (s. Abb. 6.30). Die Druckübertragung erfolgt über eine galvanisch auf
einem Edelstahlkörper abgeschiedene Trennmembran und üssigkeitsgefüllte
Kapillarleitungen.
6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen
205
Abbildung 6.30. Aufbau der Druck- und Dierenzdrucksensoren und Zuordnung
der akustischen Bauelemente
Gegenstand des Entwurfs in [49] war die Dimensionierung des akustischen
Tiefpass-Systems bestehend aus metallischer Trennmembran und Ölfüllung.
Dabei sollte einerseits ein ausreichender Arbeitsfrequenzbereich, aber andererseits auch die erforderliche Dämpfung von Überlastdruckspitzen, die zu einer
Zerstörung des Silizium-Messelementes führen würden, gesichert werden. In
Tabelle 6.4 sind die Ausgangsgrößen für den Netzwerkentwurf zusammengefasst.
Das Netzwerkmodell der Kapillarsysteme für beide Seiten der Druckzuführung zum Silizium-Dierenzdruckmesselement ist in Abbildung 6.31 dargestellt. Die Zuordnung der Bauelemente zu den Bauteilen und Hohlräumen ist
aus Abbildung 6.30 erkennbar.
Die Berechnung der akustischen Bauelemente — akustische Nachgiebigkeit Q ,
akustische Masse P , akustische Reibung ] — erfolgt auf Basis der in Tabelle
6.4 angegebenen Werte. In Abbildung 6.32 ist das akustische Gesamtmodell
des üssigkeitsgefüllten Dierenzdrucksensors angegeben. Die Trennmembranen wurden durch die Reihenschaltung von akustischer Nachgiebigkeit Qtm ,
Masse Ptm und Reibung ]tm als konzentrierte Bauelemente abgebildet. Das
Ölfüllunterziehvolumen wird als parallel liegende Nachgiebigkeit Qbett berücksichtigt.
Mit diesem Netzwerkmodell lässt sich die Druckübertragungsfunktion
E di =
sSi
s
mit dem numerischen Schaltungsberechnungsprogramm PSPICE berechnen.
In Abbildung 6.33 ist deren Frequenzverlauf im Vergleich mit der Messkurve
angegeben. Zwar stimmt der qualitative Verlauf grob überein, quantitativ sind
jedoch sehr große Abweichungen bis zu 60 dB erkennbar. Die Ursache dieser
206
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Tabelle 6.4. Ausgangsgrößen des Dierenzdrucksensors
Bauelement
Parameter
Wert
Messelement
Kantenabmessungen
(3 x 3) mm
Höhe
1,2 mm
2
Silizium auf Borosilikatglas
Sockel
Membranträger
Trennmembran
Füllmedium
3
Silizium-Druckmessplatte
(2,4 x 2,4 x 0,04) mm
Messbereich
100 mbar
Kantenabmessungen
(25 x 12,5) mm
Höhe
1,2 mm
Werkstoff
LTC-Keramik
Durchmesser
12 mm
Höhe
5 mm
2
Durchgangsbohrung
0,8 mm
Werkstoff
Edelstahl, DIN1.4404
Durchmesser
9 mm
Dicke
0,02 mm
Höhe über Membranbett
0,035 mm
Werkstoff
galvanisch Nickel
Silikonöl
Baysilone M100
kinematische Viskosität
0,093 Pa s
dynamische Viskosität
10 m s
-4
2 -1
Abweichungen ist die Abbildung der Nachgiebigkeit des Ölvolumens zwischen
Trennmembran und Membranbett als ein konzentriertes Bauelement und die
Vernachlässigung von Reibungseekten in dem spaltförmigen Druckübertragungskanal zwischen dem Außenradius der Membran und der Membranmitte.
Daher ist es erforderlich, das System Unterziehvolumen und Trennmembran
mit verteilten Parametern zu beschreiben. Als Lösungsansatz werden nite
Netzwerkelemente verwendet.
Die Segmentierung von Trennmembran und Ölunterziehvolumen ist in Abbildung 6.34 für fünf Glieder dargestellt. Die Trennmembran und das Unterziehvolumen werden in fünf kreisringförmige Streifen unterteilt. Auf Grund der
unterschiedlichen Membranstreifennachgiebigkeiten ergeben sich trotz einheitlicher Druckanregung s unterschiedliche Drücke s11 = = = s15 in den Unterziehvolumenstreifen. Die Druckdierenzen zwischen zwei benachbarten Volumenstreifen erzeugen jeweils einen Volumenstrom t 12 = = = t 45 . Die Ausgangsgröße
6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen
207
Abbildung 6.31. Netzwerkmodelle des Kapillarsystems für die s+ - und s3 -Seite
des Dierenzdrucksensors
Abbildung 6.32. Gesamtmodell des Fluidsystems mit Trennmembranen und
Silizium-Druckmessplatte
Abbildung 6.33. Mit konzentrierten akustischen Bauelementen berechneter und
experimentell aufgenommener Übertragungsfunktionsverlauf |E dig | = i ($)
208
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Abbildung 6.34. Segmentierung der Trennmembran und des Unterziehvolumens
in fünf gleichbreite Kriesringglieder
dieses niten Netzwerkmodells ist der Druck s15 = s2 im mittleren Segment,
der die Eingangsgröße für das anschließende Kapillarsystem bildet.
Das Netzwerkmodell mit den niten Netzwerkelementen für die Trennmembran mit Unterziehvolumen ist in Abbildung 6.35 für fünf Glieder dargestellt.
Es besteht aus der Parallelschaltung der Membransegmente und der Reihenschaltung der Unterziehvolumenelemente.
Die Zusammenführung dieses niten Netzwerkmodells für Trennmembran und
Unterziehvolumen mit dem Netzwerkmodell des Kapillarsystems und SiliziumMesselement führt zu einem Gesamtmodell, das die Berechnung der Übertragungsfunktion des Dierenzdrucksensors E di ermöglicht. Das Ergebnis ist in
Abbildung 6.36 für 70 Glieder dargestellt. In sehr guter Näherung entspricht
es dem experimentell ermittelten Verlauf. Durch Variation des Unterziehvolumens und der Kapillarabmessungen kann jetzt der gewünschte Frequenzverlauf, wie in Abbildung 6.37 angegeben, eingestellt werden.
6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen
209
Abbildung 6.35. Netzwerkmodell von Trennmembran und Unterziehvolumen mit
fünf niten Netzwerkelementen
Abbildung 6.36. Verlauf der theoretisch und experimentell ermittelten Druckübertragungsfunktion des Dierenzdrucksensors |E dig |
Abbildung 6.37. Ein uss der Variation des Kapillarradius und des Unterziehvolumens des Dierenzdrucksensors auf den Übertragungsfunktionsfrequenzverlauf
|E dig |
210
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und
Finite-Elemente-Methoden
Die sich erweiternden rechentechnischen Möglichkeiten haben dazu geführt,
dass die Ansprüche an die Simulation für den Entwurf und die entwurfsbegleitende Optimierung elektromechanischer Systeme steigen. Hierbei steht
insbesondere die Forderung nach einer e!zienten Vorausberechnung hinsichtlich des notwendigen Näherungsgrads, der Schnelligkeit der Modellerstellung,
der Schnelligkeit des Entwurfs- bzw. Optimierungsprozesses und der Handhabbarkeit durch die Entwurfsingenieure im Vordergrund. Für komplexe dynamische Systeme ist dies in vielen Fällen allein mit Netzwerkmethoden nur
eingeschränkt möglich. Eine vorteilhafte Möglichkeit der e!zienten Vorausberechnung elektromechanischer System ist die Verbindung von Netzwerk- und
Finite-Elemente-Methoden (FE-Methoden) auf Anwenderebene. Bei dieser sogenannten „Kombinierten Simulation”, dieser Begri wird in diesem Buch als
Eigenname verwendet, erfolgt die Verbindung durch den Anwender auf den
programmeigenen Bedienober ächen üblicher Netzwerkprogramme (OrCAD
R
, NASTRAN,
CAPTURE, MICRO-CAP etc.) und FE-Programme (ANSYS°
ABAQUS, COMSOL etc.). Durch die Beschränkung auf die Anwenderebene
bei der Verwendung dieser beiden Methoden ist die Kombinierte Simulation im Gegensatz zur Gekoppelten Simulation [51] unabhängig von speziellen Simulationsprogrammen. Sie ist eine lehrbare Methode, bei der sowohl
Netzwerk- als auch FE-Modelle problemangepasst angewandt werden, um eine e!ziente Vorausberechnung zu ermöglichen.
In diesem Abschnitt wird zunächst die Vorgehensweise bei der Verbindung
von Netzwerkmethoden und Finite-Elemente-Methoden auf Anwenderebene
vorgestellt und anschließend an zwei Beispielen verdeutlicht.
6.4.1 Verbindung von Netzwerkmethoden und
Finite-Elemente-Methoden auf Anwenderebene
Bei der Kombinierten Simulation erfolgt eine problemangepasste Verbindung
von Netzwerkmethoden und FE-Methoden. Die Simulationsaufgabe wird dazu
in Teilaufgaben zerlegt, die mit der jeweils angepassten Methode bearbeitet
werden. Dies kann bedeuten, dass die Erstellung eines Netzwerkmodells einer
komplizierten Struktur stückweise mit FE-Methoden erfolgt [52]. Ebenso kann
ein FE-Modell durch Netzwerkmethoden vereinfacht werden. Dazu werden
die im FE-Modell nicht oder nur schwer modellierbaren Teilsysteme durch
Ersatzstrukturen auf Basis von Netzwerkmethoden dargestellt [53].
Finite-Elemente-Methoden
Die FE-Methode ist ein numerisches Verfahren für die Lösung physikalischer
Probleme in räumlich in mindestens einer Dimension ausgedehnten Strukturen
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
211
und Kontinua. Diese räumlich ausgedehnten Strukturen oder Kontinua werden dazu in kleine Teile zerlegt, die als „Finite-Elemente” bezeichnet werden.
Deren Verhalten wird durch ein mathematisches Modell des physikalischen
Problems beschrieben. Im einfachsten Fall benutzt das mathematische Modell
eine lineare Ansatzfunktion. Die Stützstellen der Lösung sind die sogenannten
Knoten, die sich je nach Ansatzfunktion an den Ecken und an den Kanten der
Finiten-Elemente benden. Weiterführende Betrachtungen zur Theorie und
zur Anwendung von FE-Methoden sind z. B. in [54] zu nden.
Ursprünglich wurden FE-Methoden nur zur Lösung strukturmechanischer
Probleme verwendet. Sie sind jedoch heute für die Lösung vieler anderer
physikalischer Probleme und Wechselwirkungen geeignet. Die Lösbarkeit eines speziellen physikalischen Problems oder einer Wechselwirkung zwischen
physikalischen Ebenen hängt dabei von der Implementierbarkeit in dem verwendeten FE-Programm ab. Für einige Simulationsaufgaben fehlen deshalb
Simulationsmöglichkeiten.
In der Praxis sind der Lösung von FE-Modellen weitere Grenzen durch die
numerische Stabilität und die Größe des mathematischen Modells gesetzt. Die
Vorausberechnung des dynamischen Verhaltens elektromechanischer Systeme
ist hierdurch in vielen Fällen nicht geschlossen möglich oder sehr zeitaufwendig.
Erstellung von Netzwerkdarstellungen mit Hilfe von FE-Methoden
Eine sehr e!ziente Erstellung von Netzwerkabbildungen gelingt in vielen
Fällen mit Hilfe von FE-Methoden. Insbesondere für räumlich ausgedehnte
Strukturen und komplizierte Geometrien erlaubt dies eine schnellere Modellerstellung und einen besseren Näherungsgrad des Netzwerkmodells. Ist die
Netzwerkstruktur einer Anordnung bereits a priori bekannt, genügen einfache
FE-Analysen zur Bestimmung der Bauteilparameter des Netzwerks. Es kann
jedoch auch die Netzwerkstruktur für eine Anordnung bestimmt werden. Dies
gelingt z. B. durch eine harmonische FE-Analyse.
Die Vorgehensweise bei der Erstellung von Netzwerkabbildungen mit Hilfe von
FE-Methoden entspricht der generellen Vorgehensweise bei der Erstellung von
Netzwerkmodellen für lineare oder näherungsweise linearisierbare elektromechanische Systeme (s. Kap. 3 bis 5). Zunächst ist die Simulationsaufgabe auf
die zur Beantwortung der jeweiligen Fragestellung notwendige Größe abzurüsten. Anschließend wird das System in Teilsysteme zerlegt und an den Schnittpunkten werden Netzwerkkoordinaten eingeführt. Für räumlich ausgedehnte
Kontinua, wie z. B. uidische Systeme, erfolgt die Zerlegung in Teilkontinua mit räumlich gemittelten Netzwerkkoordinaten an den Schnitt ächen (s.
Abschn. 3.3). Teilsysteme mit bekannter Netzwerkdarstellung werden in der
Netzwerkebene abgebildet. Unbekannte Teile des Systems werden als allgemeine N-Tore angesetzt, die mehrere physikalische Ebenen umfassen können.
Für eine zweckmäßige Netzwerkmodellierung sind die Teilsysteme quellenfrei
zu wählen, so dass passive lineare oder linearisierbare N-Tore resultieren. Das
212
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Verhalten dieser N-Tore wird durch geeignete Systemgleichungen beschrieben [55]. Die Koe!zienten dieser Systemgleichungen werden durch ein FEModell des Teilsystems bestimmt. Da sich das FE-Modell auf das Teilsystem
beschränkt ergeben sich im Allgemeinen kurze Rechenzeiten.
Abbildung 6.38 zeigt die Vorgehensweise bei der Erstellung einer Netzwerkabbildung mit Hilfe von FE-Methoden. Für das akustische Teilsystem des dargestellten piezoelektrischen Signalgebers sind sowohl die Netzwerkstruktur
als auch die Parameter der Bauelemente bekannt. Für die piezoelektrische
Unimorph-Biegeplatte lässt sich ebenfalls eine Netzwerkstruktur nden. Die
zweckmäßige Bestimmung der Bauteilparameter der Schaltung der piezoelektrischen Biegeplatte gelingt durch einfache FE-Analysen [56].
piezoelektrischer Signalgeber
i
p
u
gesucht: Netzwerkabbildung
q
piezoelektrische
UnimorphBiegeplatte
Netzwerkstruktur
bekannt
akustisches Teilsystem
FEM liefert Parameter
(CB , X , M a ,K , N a ,K )
M a ,K N a ,K q U
i
u
CB
Netzwerkstruktur
und -parameter
bekannt
(X )
p
U
q
p
M a ,R Z a ,R
U
N a ,R
U
q
p
M a ,S
Z a ,S
N a ,V
elektroakustisches Gesamt-Netzwerk
Abbildung 6.38. Netzwerkabbildung mit Hilfe von FE-Methoden am Beispiel eines piezoelektrischen Signalgebers
(Die Schaltungsdarstellung des piezoelektrischen Wandlers ist im Abschnitt 9.2 angegeben)
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
213
Für die praktisch wichtigen Fälle des Zweipols und des Zweitors für harmonische Vorgänge im eingeschwungenen Zustand werden nachfolgend wichtige
Vorgehensweisen bei der Erstellung des Netzwerks dargestellt.
Für einen Zweipol resultiert als Koe!zient der Systemgleichung die frequenzabhängige, komplexe Impedanz oder Admittanz. Diese kann in der Form bereits in Netzwerkanalyseprogrammen z. B. durch Hinterlegung in Tabellenform realisiert werden. Für ein e!zientes Netzwerkmodell, welches auch ein
Verständnis der Funktionsweise erlaubt, ist eine vollständige oder näherungsweise Darstellung der Impedanz oder Admittanz durch Elementarbauelemente
anzustreben. Sie ist aber nicht grundsätzlich möglich und erfordert oft eine
weitere Einschränkung oder Linearisierung des Modells. In vielen Fällen ist a
priori Wissen über die Netzwerkstruktur vorhanden, so dass nur die Parameter der Elementarbauelemente aus der FE-Lösung bestimmt werden müssen.
In Fällen, in denen die Netzwerkstruktur nicht bekannt ist, kann sie aus den
tabellarisch vorliegenden Ergebnissen der FE-Analyse mit den Methoden der
Netzwerkanalyse und Netzwerksynthese bestimmt werden. Für einfache Netzwerke ist meist auch eine heuristische Vorgehensweise mit stückweiser Interpretation der frequenzabhängigen Impedanz oder Admittanz durch Elementarbauelemente zielführend. Eine näherungsweise Abbildung der komplexen
Impedanz durch Elementarbauteile kann äquivalent zu der im Abschnitt 6.1
beschriebenen Vorgehensweise erfolgen.
Für ein Zweitor ergibt sich die Beschreibungsmöglichkeit durch die Impedanz-,
Admittanz-, Hybrid- oder Kettenmatrix. Die Wahl der verwendeten Zweitormatrix bestimmt die notwendigen FE-Analysen zur Berechnung der Elemente
der Matrix. Für Zweitore in einer physikalischen Ebene kann die Zweitormatrix anschließend als T-Schaltung oder -Schaltung mit komplexen Impedanzen interpretiert werden. Bei Zweitoren mit verschiedenen physikalischen Ebenen resultiert, wie in Abschnitt 6.1.4 dargestellt, eine von drei möglichen Netzwerkstrukturen mit einem idealen Wandler und zwei komplexen Impedanzen.
Die Abbildung der komplexen Impedanzen durch Zusammenschaltung von
Elementarbauteilen erfolgt analog der Vorgehensweis bei dem Zweipol. An
dieser Stelle ist anzumerken, dass bei der Wahl einer unzweckmäßigen Zweitormatrix geringe Abweichungen der FE-Lösung zu ungenauen oder falschen
Netzwerkdarstellungen führen. In Abschnitt 6.4.2 wird aus diesem Grund ein
zweiter Weg zur näherungsweisen Bestimmung der Netzwerkdarstelllung eines
Zweitors angegeben.
Erweiterung der Möglichkeiten der FE-Methode mit Hilfe von
Netzwerkmethoden
Ein zweites Anwendungsgebiet der Kombinierten Simulation ist die Erweiterung der Möglichkeiten von FE-Methoden mit Hilfe von Netzwerkmethoden. Eine geschlossene Simulation des dynamischen Verhaltens elektromechanischer Systeme in einem FE-Modell ist vielfach nicht möglich oder äußerst
zeitaufwendig. Dies liegt daran, dass die Modellierung einiger physikalischer
214
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Eekte und Wechselwirkungen nicht in dem verwendeten FE-Programm implementiert ist, oder deren Abbildung einen hohen Modellaufwand z. B. durch
ein sehr feines Netz erfordert. In vielen dieser Fälle kann mit Hilfe von Netzwerkmethoden eine eektivere Modellierung des Systems in einem FE-Modell
erfolgen. Die Netzwerkmethoden werden hierbei entweder als Zwischenschritt
bei der Erstellung des FE-Modells oder als Teil des FE-Modells angewandt.
Die Verwendung der Netzwerkmethode als Zwischenschritt bei der Modellerstellung eines FE-Modells wird im Abschnitt 6.4.3 an einem Beispiel verdeutlicht. Es basiert zum einen auf der Anwendung von in Netzwerkmethoden
a priori bekanntem Wissen. Zum anderen kann eine Netzwerkdarstellung eines Teilsystems in der Netzwerkebene in eine andere Darstellung überführt
werden, wobei das nach außen wirksame Klemmenverhalten des Netzwerks in
dem betrachteten Arbeitsbereich wirkungsgleich bleibt. Zunächst wird dazu
das Teilsystem in dem FE-Modell separiert, indem Schnittpunkte, -linien oder
- ächen zu dem verbleibenden Modell eingeführt werden. An den Schnittpunkten, -linien oder - ächen werden Netzwerkkoordinaten deniert, so dass das
Teilsystem durch ein Netzwerk beschrieben werden kann. Hierbei ndet im
Allgemeinen schon eine Modellreduktion statt. In der Netzwerkebene wird die
Netzwerkdarstellung des Teilsystems mit Hilfe der Netzwerkmethoden umgeformt. Die modizierte Netzwerkdarstellung des Teilsystems wird anschließend in eine „Ersatzstruktur” überführt, welche mit Finiten-Elementen in dem
FE-Modell abgebildet wird. Die Umformung der Netzwerkdarstellung erfolgt
dabei so, dass die resultierende Ersatzstruktur e!zient mit FE-Methoden modelliert werden kann. Das FE-Modell dieser nach außen wirkungsgleichen Ersatzstruktur kann im Inneren ein Modell für andere physikalische Zusammenhänge sein. Ein Beispiel dafür ist die in Abbildung 6.39 dargestellte Modellierung einer akustischen Reibung durch eine Ersatzstruktur mit einer mechanischen Reibung. Entsprechend der Annahmen bei der Ableitung der Ersatzstruktur wird die reale Struktur nur in einem eingeschränkten Arbeitsbereich
näherungsweise abgebildet.
Ein zweiter Weg der Erweiterung der Möglichkeiten von FE-Modellen durch
Netzwerkmethoden besteht in der Einbindung von Netzwerkdarstellungen in
das FE-Modell. Dies geschieht durch Finite-Elemente, die Netzwerk-Elementarbauteile modellieren. Ziel ist dabei, eine Teilstruktur oder ein Teilkontinuum näherungsweise durch eine Netzwerkdarstellung abzubilden, um ein schnell
berechenbares FE-Modell der Gesamtanordnung zu erhalten. Die meisten verfügbaren FE-Programme enthalten zweiknotige Finite-Elemente für mechanische und zum Teil auch für elektrische Elementarbauteile. Mit deren Hilfe
können in einem FE-Modell Teilstrukturen durch einfache Netzwerke modelliert werden. Analog zu der weiter oben beschriebenen Vorgehensweise ist dazu
das Teilsystem zu separieren. Die Berechnung des Netzwerks mit den Elementarbauteilen in FE-Darstellung erfolgt innerhalb des FE-Modells, so dass an
den Elementarbauteilen die Freiheitsgrade und Lasten entsprechend der Denition der Finiten-Elemente vorliegen. Bei der Erstellung und Auswertung des
Netzwerks ist der Unterschied zwischen diesen Freiheitsgraden und Lasten des
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
215
akustische Reibung
Netzwerkdarstellung
p
q
akustisch
wirkungsgleich
1
Za
q
rA
p
q
p
rA = Za × A 2
2
F
v
p=F
A
q = Av
Umformung
q
3
Ersatzstruktur
für FE-Modell
p
Abbildung 6.39. Ableitung einer wirkungsgleichen Ersatzstruktur mit Hilfe von
Netzwerkmethoden
FE-Modells und den Netzwerkkoordinaten des Netzwerkmodells zu beachten.
Es ist auch die Kombination der beiden vorgestellten Wege möglich, indem
eine umgeformte Netzwerkdarstellung in einem FE-Modell eingebunden wird.
So kann z. B. ein elektromechanischer Wandler mit bekannter Netzwerkdarstellung in der Netzwerkebene vollständig in die mechanische Ebene überführt
werden. Das mechanische Netzwerk wird anschließend durch Finite-Elemente
der Elementarbauteile in das FE-Modell einer mechanischen Struktur integriert. Dadurch wird die vollständige Berechnung des elektromechanischen
Systems in einem mechanischen FE-Modell möglich.
6.4.2 Kombinierte Simulation am Beispiel eines
Dipol-Bass-Lautsprechers
Lautsprecheranordnungen nach dem Dipol-Prinzip besitzen ein Gehäuse, bei
welchem sowohl die Vorder- als auch die Rückseite des Schallwandlers oen
zum Schallfeld ist. Diese Anordnung führt zu einer Richtwirkung in Form einer
Acht. Im Nutzfrequenzbereich treten im Gegensatz zum Bassre exlautsprecher keine Resonanzen im Gehäuse auf. Derartige Dipol-Anordnungen werden
auch als Dipol-Basslautsprecher zur Tieftonwiedergabe verwendet.
Aufbau und Modellansatz des Dipol-Basslautsprechers
Abbildung 6.40 zeigt den Aufbau eines Dipol-Bass-Lautsprechers. Für den
Frequenzbereich von 20 Hz bis 200 Hz soll ein Modell erstellt werden, welches
216
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
sowohl eine schnelle Simulation erlaubt als auch ein Verständnis für die Wirkungsweise dieser Anordnung fördert. Für die Wirkungsweise ist die Wechselwirkung des elektrodynamischen Lautsprechers mit den akustischen Teilsystemen „Gehäuse” und „Schallfeld” bestimmend.
Abbildung 6.40. Aufbau eines Dipol-Basslautsprechers (Breite 230 mm, Höhe
380 mm, Tiefe 360 mm)
In Abbildung 6.41 ist der Ansatz für ein Netzwerkmodell dargestellt. Dieser
besteht aus der bekannten Netzwerkdarstellung des elektrodynamischen Lautsprechers aus Abschnitt 8.1 auf der linken Seite. Für die Modellierung des
akustischen Gebiets wird dieses Gebiet zunächst in die Teilgebiete der quaderförmigen Gehäusekammern und des Schallfelds zerlegt. Dazu werden an
den Kammerönungen A1 und A2 räumlich gemittelte Netzwerkkoordinaten
s1 und s2 bzw. t 1 und t 2 eingeführt. Die Abmessungen der Kammerönungen
von maximal 38 cm sind klein im Vergleich zur Wellenlänge, so dass diese Modellvereinfachung eine gute Näherung darstellt. Da weder für die Kammern
noch für das Schallfeld Netzwerkdarstellungen bekannt sind, werden akustische Zweitore im Netzwerkmodell angesetzt. Die Modellierung des Schallfelds
als Zweitor (s. a. [16]) wird durch die zwei Önungen des Dipolgehäuses erforderlich. Beide Önungen strahlen in das Schallfeld ab und stehen gleichzeitig
über das Schallfeld in Wechselwirkung. Die Elemente der dazugehörigen Zweitormatrix können für die vorliegende Geometrie nicht a priori aus den üblichen
akustischen Näherungen gewonnen werden.
Die unbekannten Teile des Netzwerkmodells lassen sich mit Hilfe der FEMethode sehr schnell und genau bestimmen. Dafür genügen vergleichsweise
einfache FE-Modelle, welche dennoch eine sichere Abbildung funktionsrelevanter Eekte in die Netzwerkebene erlauben.
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
elektrodynamischer Lautsprecher
Gehäuse
q
217
Schallfeld
1
i RW LW
u
Fp
FW
uW = Blv
v
F
i= W
Bl
uW
v=
nW rW mW
q
q
vordere
Kammer
p
1
A p
F p = Ap
Schallfeld
p
hintere
Kammer
2
q
2
Abbildung 6.41. Ansatz eines Netzwerkmodells des Dipol-Basslautsprechers
Ableitung der Netzwerkdarstellung des Schallfelds
Aufgrund der nicht gleichphasigen Schall üsse durch die beiden Önungen
des Dipolgehäuses und der Anordnung sowie der Form der beiden Önungen
können übliche Schallfeldabbildungen hier nicht verwendet werden. Mit Hilfe
von FE-Methoden gelingt aber die Ableitung eines Netzwerkmodells mit sehr
gutem Näherungsgrad.
Das Schallfeld eines Lautsprechergehäuses, welches zwei Önungen zum Schallfeld aufweist, lässt sich durch einen akustischen Zweitor darstellen (Abb. 6.42).
Für Vorgänge im Bereich der linearen Akustik ist dies ein passiver linearer
umkehrbarer Zweitor mit der Impedanzmatrix
4 3 4
3 4 3
t1
s1
] a>S1 ] a>M
D · C D.
C D=C
s2
] a>M ] a>S2
t2
Die Elemente ] a>Sl der Hauptdiagonale stellen die Strahlungsimpedanzen der
einzelnen Kammerönungen dar. Die Nebendiagonale enthält mit unterschiedlichem Vorzeichen das Element ] a>M , welches als eine wechselseitige Strahlungsimpedanz aufgefasst werden kann. Sie berücksichtigt die Wirkung am
Punkt 2 einer Ursache am Punkt 1 und umgekehrt. Für die vorliegende Geometrie sind keine analytischen Lösungen für die Bestimmung der Elemente
Schallfeld
q
p
2
q
q
1
2
q
1
p
1
p
1
Schallfeld
q
1
2
p
2
p
1
Z a,1
Z a,2
q
2
Z a,3 p2
Abbildung 6.42. Netzwerkabbildung für das das Dipolgehäuse umgebende Schallfeld
218
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
der Impedanzmatrix vorhanden. Analytische Lösungen existieren sowohl für
Strahlungsimpedanzen als auch für wechselseitige Strahlungsimpedanzen nur
für einfache Anordnungen.
Für die Bestimmung der Strahlungsimpedanzen ] a>Sl und der wechselseitigen Strahlungsimpedanz ] a>M wird die das Dipolgehäuse umgebende Luft in
einem halbkugelförmigen FE-Modellgebiet modelliert. Auf der Halbkugelober äche benden sich akustische Fernfeldelemente. Abbildung 6.43 zeigt die
Symmetrieebene dieses Modells.
Fernfeldelemente
q
p
2
2
q
p
1
1
Fluidelemente
Abbildung 6.43. FE-Modell zur Bestimmung der Netzwerkdarstellung des Schallfelds (nur Symmetrieebene dargestellt)
Mit dem FE-Modell lassen sich zunächst die Strahlungsimpedanzen der rechteckförmigen Gehäuseönungen ermitteln. Beispielhaft ist die resultierende
Strahlungsimpedanz einer Gehäuseönung in Abbildung 6.44 dargestellt. Dafür betrachtet man jeweils nur eine Önung während die jeweils andere Önung verschlossen ist. An der betrachteten Önung wird eine starre, masselose
Platte mit mechanischen Elementen modelliert und mit einer bekannten Kraft
angeregt. Eine harmonische Analyse liefert die Auslenkung der Platte, woraus
zunächst eine mechanische Impedanz und anschließend die akustische Strahlungsimpedanz berechnet werden kann. Die Struktur der Netzwerkdarstellung
des Schallfelds ergibt sich aus der im Abschnitt 8.1.2 für den elektrodynamischen Lautsprecher angegebenen analytischen Lösung. Für tiefe Frequenzen
folgt für die Strahlungsimpedanz
] a>Sl = ]a>Sl + j$ · Pa>Sl
mit
]a>Sl = i ($) $ 2
als eine Reihenschaltung einer akustischen Masse Pa>Sl und einer frequenzabhängigen akustischen Reibung ]a>Sl (s. Abb. 6.44 rechts). Aus dem Frequenzgang der mit FE-Methoden berechneten komplexen Strahlungsimpedanz (s.
Abb. 6.44 links) lassen sich die Parameter Pa>Sl und ]a>Sl der Strahlungsimpedanz für die rechteckförmigen Gehäuseönungen ableiten.
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
219
4
10
Za / Ns/m
5
FE-Lösung
Netzwerkansatz
q M a,Si
i
3
10
p
2
Im {Z a }
10
Za,Si
i
Re {Z a }
1
10
10
100
Frequenz / Hz
1000
Abbildung 6.44. Strahlungsimpedanz einer Gehäuseönung (links) und resultierende Netzwerkdarstellung (rechts)
Zur Bestimmung der wechselseitigen Strahlungsimpedanz wird wiederum die
Fläche einer Önung mit einer starren Platte versehen und mit einer Geschwindigkeit angeregt. An der verschlossenen Fläche der anderen Önung
wird der resultierende mittlere Druck bestimmt. Die wechselseitige Strahlungsimpedanz kann anschließend berechnet werden. Für die Ableitung einer
genäherten Netzwerkdarstellung für einen weiten Frequenzbereich wird für die
wechselseitige Strahlungsimpedanz eine komplexe akustische Impedanz nach
folgendem Ansatz
0
$
j f$ geff
0
e
] a>M = j
·
f0 4 · ge
gewählt. Der Ansatz beruht auf analytischen Lösungen der wechselseitigen
Strahlungsimpedanz zweier Punktstrahler und enthält nur einen geometrieabhängigen Parameter. Dieser Parameter ist der sogenannte eektive Abstand
ge . Durch Vergleich des Ansatzes mit der Lösung des FE-Modells, lässt sich
der eektive Abstand für die vorliegende Geometrie bestimmen.
Um aus dem Zweitor für das Schallfeld ein handhabbares Netzwerkmodell zu
erhalten, kann dieser Zweitor in Form einer T-Schaltung (Abb. 6.42 rechts)
dargestellt werden. Die Bauelementeparameter der T-Schaltung
] a>1 = ] a>S1 ] a>M
j f$ geff
$
= ]a>S1 + j$ · Pa>S1 j 0
·e
f0 4 · ge
] a>2 = ] a>S2 ] a>M = ]a>S2 + j$ · Pa>S2 j
] a>2 = ] a>M = j
j f$ geff
0
$
·e
f0 4 · ge
0
j f$ geff
0
$
·e
f0 4 · ge
0
0
resultieren aus der Zweitormatrix. Diese Bauelementeparameter enthalten
hierbei komplexe Funktionen, deren Implementation in Netzwerkanalyseprogramme aber problemlos möglich ist. Mit weiteren Einschränkungen hinsichtlich des betrachteten Frequenzbereichs könnten diese Funktionen auch mit
Elementarbauelemente dargestellt werden.
220
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Ableitung der Netzwerkdarstellung der Gehäusekammern
Die ungewöhnliche Form der beiden quaderförmigen Kammern des Dipolgehäuses erfordert die Verwendung eines FE-Modells zur Ableitung der Netzwerkdarstellung. Wie bereits beschrieben, erfolgt zunächst der Netzwerkansatz
als Zweitor. Eine systematische Ableitung der Zweitorparameter ist in der
bekannten Weise durch numerische Berechnung des Klemmenverhaltens des
Zweitors bei verschiedenen Randbedingungen möglich. Es kann jedoch gezeigt
werden, dass je nach Wahl der Randbedingung numerische Fehler das Ergebnis
verfälschen und die Ableitung der richtigen Zweitorparameter erschweren. Hier
soll eine zweite, heuristische Vorgehensweise vorgestellt werden. Dazu wird eine Gehäusekammer mit der realitätsnahen Randbedingung der Abstrahlung
ins Freifeld simuliert. Für dieses in Abbildung 6.45 dargestellte Modell einer
Gehäusekammer mit Schallfeld wird die akustische Eingangsimpedanz ] a am
Ort des Lautsprechers berechnet.
Fernfeldelemente
Gehäusekammer
Schallfeld
Abbildung 6.45. FE-Modell zur Bestimmung der Netzwerkdarstellung einer Gehäusekammer (nur Symmetrieebene dargestellt)
Die resultierende Eingangsimpedanz ist in Abbildung 6.46 links dargestellt.
Für tiefe Frequenzen wirkt die Kammer nur als akustische Masse. Bei ca.
200 Hz ergibt sich eine Resonanz, über der die Gehäusekammer mit Schallfeld als akustische Nachgiebigkeit wirkt (s. Phasenfrequenzgang in Abb. 6.46
links). Im interessierenden Frequenzbereich lässt sich daraus eine Parallelschaltung einer akustischen Masse und einer akustischen Nachgiebigkeit ableiten. Mit der bekannten Strahlungsimpedanz der rechteckförmigen Kammerönung folgt die in Abbildung 6.46 auf der rechten Seite dargestellte Netzwerkstruktur für die Kammer. Die Parameter der beiden Bauelemente können
ebenfalls aus der FE-Lösung bestimmt werden, so dass sich mit dem Netzwerkmodell eine gute Näherung für den interessierenden Frequenzbereich ergibt (s.
Abb. 6.46 links).
|Za| / Ns/m5
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
221
6
10
Gehäusekammer
4
10
q
j(Za) / rad
10
100
i
M a,Vi
Schallfeld
M a,Si
1000
p
2
i
0
Za,Si
N a,Vi
FE-Lösung
Netzwerkansatz
-2
10
100
Frequenz / Hz
1000
Abbildung 6.46. Akustische Eingangsimpedanz einer Kammer des Dipol-Gehäuses
(links) und resultierende Netzwerkstruktur (rechts)
Netzwerkmodell des Dipol-Basslautsprechers
Mit Hilfe von FE-Simulationen kann nun ein Netzwerkmodell für den DipolBasslautsprecher aufgestellt werden. Abbildung 6.47 zeigt dieses Netzwerkmodell. Der resultierende Schalldruck in einer bestimmten Entfernung kann analytisch oder durch eine geeignete Netzwerkdarstellung aus den Schall üssen t 1
und t 2 bestimmt werden. Dazu wird jedoch ein weiterer Parameter benötigt,
welcher den wirksamen Abstand zwischen den als Schallquellen wirkenden Önungen des Dipolgehäuses kennzeichnet. Dieser sogenannte eektive Quellabstand entspricht nicht dem geometrischen Abstand der beiden Önungen, da
Brechungs- und Beugungseekte am Gehäuse mit berücksichtig werden müssen. Wie man zeigen kann, lässt sich dieser eektive Quellabstand in guter
Näherung durch den eektiven Abstand aus den wechselseitigen StrahlungsDipolgehäuse
M a,V1
N a,V1
i RW LW
u
uW
uW = Blv
i=
FW
Bl
FW
Fp
v
nW rW mW
v=
q
q
A
p
F p = Ap
Schallfeld
M a,S1 Za,S1
q
1
-Za,M
Za,M
N a,V 2
-Za,M
q
M a,V 2
2
M a,S2 Za,S2
Abbildung 6.47. Netzwerkmodell des Dipol-Basslautsprechers
222
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
impedanzen approximieren. Für den vorliegenden Fall ist der so ermittelte
eektive Quellabstand 1,75 mal so groß wie der geometrische Abstand.
Abbildung 6.48 links zeigt den daraus resultierenden Schalldruckpegel in 1 m
Abstand vor dem Dipol-Basslautsprecher bei einer Eingangsspannung von
x̃ = 2> 83 V. Auf der rechten Seite ist die elektrische Eingangsimpedanz des
Dipol-Basslautsprechers dargestellt Die Übereinstimmungen mit den Messergebnissen sind sowohl hinsichtlich Frequenzverlauf als auch Absolutwert sehr
gut. Dabei geht der durch das Modell simulierbare Frequenzbereich von ca.
10 Hz bis 500 Hz und ist damit deutlich breiter als angestrebt.
|ZE| / %
100
Lp / dB
90
j(ZE) / rad
0
70
60
10
50
Messung 2,83 V, 1m Entf.
Netzwerkmodell
100
Frequenz / Hz
1000
10
100
1000
100
Frequenz / Hz
1000
2
0
-2
10
Abbildung 6.48. Vergleich der Ergebnisse des Netzwerkmodells (gestrichelt) mit
den Messergebnissen (durchgezogen)
Op Schalldruckpegel, ] E Eingangsimpedanz
Die Rechenzeiten für das dargestellte Netzwerkmodell des Dipol-Basslautsprechers liegen unter einer Minute. Damit lassen sich verschiedene Varianten
e!zient simulieren. Es kann z. B. der Ein uss eines anderen elektrodynamischen Lautsprechers schnell vorausberechnet werden. Für Änderungen am
Dipolgehäuse muss abgeschätzt werden, inwieweit die abgeleiteten Netzwerkstrukturen und -parameter noch eine gute Näherung liefern, oder erneute FESimulationen nötig sind.
6.4.3 Kombinierte Simulation am Beispiel eines Mikrofons mit
dünnem akustischen Dämpfungsgewebe
In diesem Abschnitt soll die Kombinierte Simulation am Beispiel einer Mikrofonkapsel mit dünnem akustischen Dämpfungsgewebe dargestellt werden.
Akustische Dämpfungsgewebe in Form von Vliesen und Geweben werden in
Mikrofonen zu verschiedenen Zwecken, wie z. B. der Abstimmung des Amplitudenfrequenzgangs, verwendet. Eine weitere Anwendung akustischer Dämpfungsgewebe in Mikrofonen geschieht bei einfachen Mikrofonkapseln mit richtungsabhängiger Empndlichkeit.
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
223
Aufbau der vereinfachten Mikrofonkapsel
Die Vorausberechnung der akustischen Eigenschaften einer Mikrofonkapsel
mit Richtwirkung wird hier zum besseren Verständnis an einer vereinfachten
Mikrofonkapsel diskutiert. Dabei wird von einem Mikrofon mit steifer Membran, wie z. B. einem Elektret-Kondensatormikrofon, ausgegangen. Auf eine
detaillierte Abbildung der Membran und des Wandlers wird verzichtet. Das
Innere der Mikrofonkapsel wird nur als ein Hohlraum modelliert. Abbildung
6.49 zeigt den Aufbau und die Abmessungen der vereinfachten Mikrofonkapsel.
An der Vorderseite der rotationssymmetrischen Mikrofonkapsel bendet sich
die Membran, welche vereinfacht als starre Struktur modelliert wird. An der
Rückseite bendet sich eine weitere Önung zum Schallfeld, welche durch ein
dünnes akustisches Dämpfungsgewebe abgedeckt ist. Das akustische Dämpfungsgewebe soll eine Dicke von 100 m und einen Strömungswiderstand von
o = 100 Nsm3 aufweisen.
Membran (Kolben)
RM = 5 mm
t = 1mm
Gehäuse
RK = 8 mm
Volumen
Dämpfungsgewebe
h = 5mm
RA = 3,2 mm
Abbildung 6.49. Aufbau und Abmessungen der modellierten Mikrofonkapsel
Dies stellt eine typische Anordnung für ein Mikrofon mit Richtwirkung dar.
Die gewünschte Richtwirkung wird hierbei je nach Geometrie der Mikrofonkapsel durch die Dimensionierung des Volumens und des Dämpfungsgewebes
erzielt.
Wie sich zeigen lässt, wird die resultierende Richtwirkung der Mikrofonkapsel selbst für niedrige Frequenzen durch Brechung und Beugung des Schalls
am Mikrofongehäuse stark beein usst. Eine Modellierung mit Netzwerkmethoden auf Basis der Mikrofongeometrie und vereinfachter akustischer Annahmen zum Schallfeld führt hier zu falschen Ergebnissen. Um hinreichend
genaue Ergebnisse zu erhalten, ist die Modellierung der Mikrofonkapsel bzw.
des gesamten Mikrofons im Schallfeld mit numerischen Methoden wie z. B.
der FE-Methode notwendig. Die Modellierung des akustischen Dämpfungsgewebes ist jedoch zurzeit nicht in allen Standard FE-Programmen möglich. Das
R
. Durch die nachgilt auch für das hier betrachtete FE-Programm ANSYS°
folgend dargestellte Kombinierte Simulation von FE- mit Netzwerkmethoden
gelingt es dennoch ein berechenbares FE-Modell zu erstellen.
224
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
Modellierung poröser akustischer Dämpfungselemente
Akustische Dämpfungselemente in Form von Geweben und Vliesstoen, wie
sie in einer Vielzahl elektroakustischer Wandler eingesetzt werden, gehören zu
der Gruppe der oenporigen porösen Absorber. Innerhalb eines porösen Absorbers wird der Schallwelle dissipativ Energie entzogen. Dies geschieht erstens durch Reibungsverluste zwischen den schwingenden Luftteilchen und dem
Absorbergefüge. Zweitens wird die Luft innerhalb des Absorbers abwechselnd
komprimiert und dilatiert. Im Übergangsbereich dieser beiden Zustandsänderungen kommt es zu thermischen Verlusten. Ein dritter Verlustmechanismus
kann durch verlustbehaftete Schwingungen des Absorberskeletts auftreten.
Aufgrund der komplizierten Feinstruktur poröser Absorber ist es nicht zweckmäßig eine vollständige Beschreibung des Absorberskeletts zur Berechnung
der Schallausbreitung im Absorber anzustreben. Vielmehr existiert eine Anzahl von strukturell einfachen Absorbermodellen (siehe z. B. [57]), welche
auf Basis messtechnisch ermittelter Kennwerte des Absorbers eine analytische Beschreibung der Schallausbreitung im Absorber ermöglichen. Trotz der
strukturellen Vereinfachung ist mit diesen Modellen eine gute Näherung für
reale Absorber zu erhalten. Gemeinsam ist diesen analytischen Beschreibungen, dass sie von der Ausbreitung einer ebenen Welle im Absorber (s. Abb.
6.50) ausgehen, und diese Ausbreitung durch die komplexe Ausbreitungskonstante mit
s ({> w) = ŝ e{ ej$w
und den komplexen Wellenwiderstand
]W =
s ({> w)
(6.26)
y ({> w)
beschreiben.
Absorber g, ZW
y
x
vE
p
E
v (x
)
p (x
)
p
A
vA
Abbildung 6.50. Ausbreitung einer ebenen Welle in einem Rohr mit porösem
Absorber
Die Angabe eines Wellenwiderstandes ] W für den Absorber ist dabei nur ausreichend, wenn dieser senkrecht zur Schallausbreitungsrichtung räumlich über
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
225
einen Bereich gemittelt wird. Der Bereich muss dabei groß im Vergleich zu
den Strukturdimensionen des Absorbers, aber klein gegenüber der Wellenlänge sein.
Im Folgenden sollen für alle Beschreibungen die akustischen Größen Schalldruck s und Schall uss t = y · D (D. . . Querschnitts äche) verwendet werden.
Damit ergibt sich aus Gleichung (6.26) der akustische Wellenwiderstand
] a>W =
s ({> w)
t ({> w)
=
]W
.
D
Zur Lösung einer Vielzahl akustischer Aufgabenstellungen ist es nicht notwendig, die Schallausbreitung innerhalb des Absorbers vollständig zu beschreiben.
Es genügt die Kenntnis über das Verhalten der akustischen Größen an den
Grenz ächen des freien Fluids zu dem Absorber. Dazu kann der Absorber
als eindimensionaler verlustbehafteter akustischer Wellenleiter mit der komplexen Ausbreitungskonstante = + j aufgefasst werden. ist hier die
Dämpfungskonstante und die Ausbreitungskonstante. In Erweiterung des
verlustlosen eindimensionalen akustischen Wellenleiters (s. Abschn. 6.2) folgt
die Kettenmatrix des verlusbehafteten Wellenleiters
¡ ¢
¡ ¢4
3
3 4
3 4
cosh o
] a>W sinh o
sE
E
F sA
F
C D=E
¡ ¢
¡ ¢ DC D.
C 1
sinh o
cosh o
tE
tA
] a>W
Für die Modellierung der vereinfachten Mikrofonkapsel kann sich auf die Betrachtung akustisch dünner Dämpfungsgewebe beschränkt werden. Das heißt,
die Dicke o des Absorbers soll viel kleiner als die Wellenlänge A im Absorber sein. Für reale Absorber mit Dicken in der Größenordnung 100 m ist
diese Forderung im gesamten Audio-Frequenzbereich (i 20 kHz) erfüllt. Zudem wird davon ausgegangen, dass nicht die gesamte Struktur des Absorbers
mitschwingt. Als weitere Forderung soll der Schall uss durch den Absorber
hindurch ießen können, so dass Kompressionseekte innerhalb des Absorbers
vernachlässigt werden können. Der Schall uss vor dem Absorber t E und der
Schall uss hinter dem Absorber t A seien folglich nahezu gleich (t E t A ).
Mit den angeführten Randbedingungen lässt sich das akustische Verhalten
des Absorbers in guter Näherung durch die Netzwerkdarstellung in Abbildung 6.51 beschreiben.
In dieser Netzwerkdarstellung stellt der erste Term in der akustischen Masse
¶
o
= Pa>L + Pa>A
Pa = 0 + 0A
"
D
die Wirkung der im Absorber mitschwingenden Luftmasse
Pa>L = 0
o
·
" D
226
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
q
p
E
Ma
Za
q
A
p
E
A
Abbildung 6.51. Netzwerkdarstellung dünner durch ossener Absorber
dar. Hierbei ist 0 die Dichte der Luft, der Strukturfaktor, " die Porosität,
o die Dicke des Gewebes und D die Fläche des Gewebes. Für praktische Gewebe kann der Faktor @" meist mit genügender Genauigkeit gleich 1 gesetzt
werden. Zusätzlich können durch den zweiten Anteil
Pa>A = 0A
o
D
Masseanteile von innerhalb des Absorbers mitschwingenden Teilen des Absorberskeletts berücksichtigt werden. Die Größe der Ersatzdichte 0A muss dabei
für den Absorber in der jeweiligen Anordnung messtechnisch ermittelt werden.
Der akustische Widerstand
o
]a = D
repräsentiert die Reibungsverluste im Absorber. Dabei ist der längenspezische Strömungswiderstand.
Ableitung einer akustisch äquivalenten Ersatzstruktur für die
Modellierung eines akustischen Dämpfungsgewebes
Das dargestellte Netzwerkmodell für dünne akustische Dämpfungselemente ist
ein gut bekanntes und auf die Simulationsaufgabe reduziertes Modell. Für eine
akustische Modellierung dünner akustischer Absorber in dem FE-Programm
R
muss dieses Netzwerkmodell in eine FE-Darstellung abgebildet werANSYS°
den. Wie bereits beschrieben, ist die Darstellung von akustischen Dämpfungselementen in diesem FE-Programm jedoch nicht möglich.
Wie gezeigt wurde, kann ein dünnes akustisches Dämpfungsgewebe in einem
Rohr (s. Abb. 6.52 a)) mit ebenen Wellen unter bestimmten Randbedingungen
als ein einfaches akustisches Netzwerk (s. Abb. 6.52 b)) dargestellt werden.
In der Netzwerkebene lässt sich diese Schaltung beliebig umformen. Es kann
somit auch eine Darstellung gewählt werden, die sich mit dem verwendeten
FE-Programm realisieren lässt. Eine Möglichkeit ist die Transformation der
akustischen Reibung und eines Teils der akustischen Masse in die mechanische Ebene mittels eines mechanisch-akustischen Wandlers (s. Abb. 6.52 c)).
Dieses umgeformte Netzwerk wird anschließend in eine mechanisch-akustische
Ersatzstruktur überführt, die in dem FE-Programm abgebildet werden kann
(s. Abb. 6.52 d)). Die Ersatzstruktur besteht aus einer mechanischen Masse
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
227
und einer mechanischen Reibung, welche sich im FE-Modell mit Standardelementen realisieren lassen. Der mechanisch-akustische Wandler kann als starre
Modellstruktur (Kolben) mit Kopplung zu den Fluid-Elementen ausgeführt
werden. Die mitschwingende Luft im Absorber Pa>L wird je zur Hälfte durch
Fluid-Elemente vor und hinter dem Kolben abgebildet. Dadurch wird eine
Laufzeit der Schallwelle durch den Absorber von zumindest der Laufzeit der
Schallwelle durch die Luft berücksichtigt.
p
q
E
E
p
akustisch
äquivalente
Ersatzstruktur
A
q
p
q
A
p
E
q
E
Luft vor/hinter
dem Kolben (Ma,L)
Absorber (A, l, %)
Reibung rA
A
v
A
Kolben (Masse mA)
a)
d)
rA Za A 2
q
p
E
M a,L M a,A
FW
Za q A
p
E
ma M a,A A 2
v
p
W
FW
A
q
q
b)
p
E
E
A
Av
q
E
M a,L
p
W
2
M a,L
2
A
p
A
c)
Abbildung 6.52. Schrittweise Ableitung einer akustisch äquivalenten Ersatzstruktur für die Modellierung eines dünnen akustischen Dämpfungsgewebes
Unter den angeführten Randbedingungen lässt sich somit ein dünnes akustisches Dämpfungsgewebe für akustische Betrachtungen durch einen starren
schwingenden Kolben mit einer mechanischen Reibung abbilden. Für die akustischen Größen außerhalb des Dämpfungsgewebes ist diese Abbildung wirkungsgleich. Abbildung 6.52 d) zeigt somit eine akustisch äquivalente Ersatzstruktur für die Modellierung dünner akustischer Dämpfungselemente. Zu be-
228
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
achten ist, dass diese Wirkungsgleichheit nur für akustische Vorgänge gilt.
Sie gilt nicht für mechanische Eigenschaften des Absorbers oder für FluidStrömung.
Berechnung der Richtwirkung der vereinfachten Mikrofonkapsel
Mit der vorgestellten Ersatzstruktur kann nun die Modellierung der vereinfachten Mikrofonkapsel mit akustischem Dämpfungsgewebe in dem FER
erfolgen.
Programm ANSYS°
Die elektrische Ausgangsspannung des Mikrofons ir in guter Näherung als proportional zu der Schalldruckdierenz zwischen Vorder- und Rückseite der in
der Realität meist sehr steifen Membran angenommen. Für die Berechnung
der Richtwirkung folgt daraus, dass diese näherungsweise aus der Schalldruckdierenz zwischen Vorder- und Rückseite einer ideal starren Struktur an dem
Ort der Membran berechnet werden kann.
Zur Vorausberechnung der Richtwirkung des Mikrofons wird das Mikrofon
im Feld einer ebenen Welle oder einer Kugelwelle modelliert. Da mit FEMethoden nur ein begrenztes Modellgebiet realisiert werden kann, wird das
Feld der einfallenden Welle durch entsprechende Randbedingungen auf dem
Rand des Modellgebiets deniert. Das Schallfeld im Inneren ergibt sich in der
Folge aus den Zwangsbedingungen am Rand. Das begrenzte Gebiet muss so
groß gewählt werden, dass trotz der Störung durch die jeweilige Struktur im
Inneren des Modellgebiets, hier der Mikrofonanordnung, auf dem Randgebiet
in guter Näherung von einem ungestörten Schallfeld (z. B. der ebenen Welle)
ausgegangen werden kann. Eine transiente FE-Analyse ermöglicht die Einhaltung dieser Randbedingung.
Für ein zweidimensionales rotationssymmetrisches Modell muss die Rotationssymmetrie ebenso für die Welle gelten, so dass ebene Wellen nur mit einer Ausbreitungsrichtung parallel zur Symmetrieachse möglich sind. Für Kugelwellen
gilt analog, dass der Quellort auf der Symmetrieachse liegen muss. Damit ist
die Berechnung der Richtwirkung der Mikrofonanordnung für Schalleinfallswinkel von ^ = 0 und ^ = 180 möglich. Das FE-Modell der Mikrofonkapsel
mit der akustisch äquivalenten Ersatzstruktur ist in Abbildung 6.53 links dargestellt.
Die transiente Berechnung der Richtcharakteristik des Mikrofons für Winkel
ungleich ^ = 0 und ^ = 180 erfordert eine dreidimensionale Modellierung. Hierbei kann für die vorliegende Mikrofonanordnung die Spiegelsymmetrie ausgenutzt werden, so dass die Modellierung einer Hälfte des Mikrofons und eines halbkugelförmigen Luftgebiets genügt. Die Vorgehensweise bei
der Erstellung des FE-Modells ist analog zu der des zweidimensionalen Modells, weshalb an dieser Stelle auf eine detaillierte Beschreibung verzichtet
wird. Aus den Ergebnissen der dreidimensionalen transienten Analyse kann
die Richtwirkung durch die Schalldruckdierenz über der Membran der Mikrofonanordnung berechnet werden. Die entstehende Richtcharakteristik ist
als Polardiagramm für ^ = [0 ; 45 ; 90 ; 135 ; 180 ; 225 ; 270 ; 315 ] in Ab-
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
Winkel S
Randbedingungen
für Wellenfeld im
Modellgebiet
Mikrofonmodell
229
D / dB
0°
Luft
0
-12
270°
90°
Kolben
180°
Reibung rA
Abbildung 6.53. Schematische Darstellung des rotationssymmetrischen FEModells und Polardiagramm der Richtwirkung (Ergebnisse zur besseren Erkennbarkeit durch Linien verbunden)
bildung 6.53 rechts dargestellt. Die Ergebnisse im Polardiagramm zeigen eine
nierenförmige Richtcharakteristik dieser Mikrofonanordnung. Mit Hilfe der
FE-Analyse wird es jetzt auch möglich die Funktionsweise einer Mikrofonkapsel mit nierenförmiger Richtcharakteristik nachzuvollziehen. Dazu müssen die
Schalldruck-Zeit-Funktionen an den in Abbildung 6.54 denierten Positionen
vor, hinter und in der Mikrofonkapsel ausgewertet werden.
Schalldruck vor der Kapsel
Schalldruck
in der Kapsel
Schalldruck hinter der Kapsel
Abbildung 6.54. Positionen der Messpunkte für die Schalldruck-Zeit-Funktionen
Betrachtet man die Zeitfunktion der Schalldrücke bei einer senkrecht von oben
einfallenden ebenen Welle (^ = 0 ) in Abbildung 6.55 links, so ist zu erkennen,
dass zunächst der Schalldruck vor der Kapsel anliegt. Mit Verzögerung durch
die Laufzeit um das Kapselgehäuse folgt der Schalldruck hinter der Kapsel.
Der Schalldruck in der Kapsel ist durch die Anordnung von Absorber und
Volumen in der Kapsel um eine zusätzliche Zeit verzögert. Dadurch ergibt
sich eine Schalldruckdierenz mit einer vergleichsweise hohen Amplitude.
Abbildung 6.55 rechts zeigt analog die Schalldruck-Zeit-Funktionen für eine
230
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
senkrecht von unten einfallende ebene Welle (^ = 180 ). Diese trit zuerst an
der Rückseite der Membran ein. Die Verzögerungen durch die Laufzeit um die
Kapsel bzw. durch die Absorber-Volumen-Anordnung sind annähernd gleich,
so dass auch die Schalldruck-Zeit-Funktionen vor und in der Kapsel nahezu
gleich sind. In der Darstellung im Diagramm sind aus diesem Grund die beiden
Schalldruck-Zeit-Funktionen optisch nicht getrennt erkennbar. Folglich ergibt
sich für die Schalldruckdierenz über der Membran nur ein sehr geringer Wert.
Ebene Welle von hinten (180°)
Ebene Welle von vorn (0°)
Schalldruck:
hinter Kapsel
vor Kapsel
1
p / Pa
p / Pa
1
0
0
-1
-1
2
3
4
5
Zeit / ms
6
7
2
p / Pa
-1
3
4
5
Zeit / ms
6
4
5
Zeit / ms
6
7
0,04
0
2
3
Schalldruckdifferenz über Membran
Schalldruckdifferenz über Membran
1
p / Pa
in Kapsel
7
0
-0,04
2
3
4
5
Zeit / ms
6
7
Abbildung 6.55. Schalldruck-Zeit-Funktionen an der Mikrofonkapsel
Aus den Schalldruck-Zeit-Funktionen lässt sich weiterhin die Laufzeit zwischen der Vorderseite (Membran) und der Rückseite (Dämpfungsgewebe) der
Kapsel abschätzen. Diese beträgt ca. 60 s, was einem scheinbaren Abstand
von rund 20 mm entspricht. Damit ist der wirksame Abstand fast 3 mal so groß
wie die Höhe der Mikrofonkapsel von kK = 7 mm. Obwohl die Abmessungen
der Mikrofonanordnung (Durchmesser 18 mm) deutlich kleiner als die Wellenlänge ( = 344 mm) sind, ergeben sich für die Schalldrücke an der Membran
und am Absorber erheblich größere Laufzeitunterschiede als die, die durch den
geometrischen Abstand zu erwarten wären. Eine einfache analytische Betrachtung auf Basis geometrischer Abstände, wobei Druckstau- und Beugungseffekte vernachlässigt werden, würde hier keine brauchbaren Ergebnisse liefern.
Nachteil der dargestellten transienten Analyse sind hohe Rechenzeiten. Für
jeden Schalleinfallswinkel, jeden Schallquellenabstand und jede Frequenz sind
einzelne Rechnungen durchzuführen.
Eine günstige Möglichkeit der Berechnung der Richtcharakteristik eines Mikrofons ist die Anwendung der akustischen Reziprozität (s. Abschn. 10.1) bei
einer harmonischen FE-Analyse. In linearen akustischen Systemen ist das Verhältnis eines Schall usses im Punkt 1 zu dem Schalldruck im Punkt 2 gleich
6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden
231
dem Verhältnis eines Schall usses im Punkt 2 zu dem Schalldruck im Punkt
1. Um den Schalldruck s2 an der Membran des Mikrofons zu berechnen, der
von einer entfernten Schallquelle mit dem Schall uss t 1 erzeugt wird, kann
auch der Schalldruck s1 an der ursprünglichen Position der Schallquelle bei
einem Schall uss t 2 am Ort der Membran berechnet werden. Für Mikrofone
bietet das den Vorteil, dass mit einer Berechnung die Richtwirkung für alle
Winkel und Entfernungen im Modellgebiet erhalten wird. Im FE-Modell wird
dazu am Ort der Membran ein Schall uss durch einen konphas schwingenden
Kolben eingeprägt. Dies stellt eine gute Näherung zur Berechnung der Richtwirkung dar, solange der Ein uss der Schwingungsform der Membran auf die
Richtwirkung vernachlässigt werden kann.
Für die rotationssymmetrische Beispielanordnung genügt die Modellierung als
zweidimensionales FE-Modell. Als Ergebnis der harmonischen Analyse resultiert die Verteilung des Schalldruckpegels im Modellgebiet. Aus dieser Lösung
lässt sich das in Abbildung 6.56 abgebildete Polardiagramm zur Darstellung
der entstehenden Richtcharakteristik ableiten. Es zeigt sich eine sehr gute
Übereinstimmung der Ergebnisse der harmonischen und der transienten Lösungen, wodurch die Nutzung der Reziprozität bei der harmonischen Analyse
bestätigt wird.
D / dB
0°
0
-12
270°
90°
180°
FEM, harmonische Analyse
FEM, transiente Analyse
Abbildung 6.56. Polardiagramm der Mikrofonanordnung bei i = 1 kHz in 1 m
Abstand
Vergleich von Simulations- und Messergebnissen
Zur Validierung des verwendeten Modellansatzes wurde ein FE-Modell einer
realen Elektret-Mikrofonkapsel erstellt und mit Messergebnissen verglichen.
Die Modellierung erfolgte als zweidimensionales rotationssymmetrisches Modell. Dazu wurden als Ausgangsdaten für das Modell nur die Geometrie sowie
der bekannte Strömungswiderstand des Dämpfungsgewebes benutzt. Exemplarisch ist in Abbildung 6.57 ein Polardiagramm mit den Kurven für 1 kHz
und 4 kHz dargestellt.
232
6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern
D / dB
0°
0
-12
270°
90°
1 kHz
4 kHz
180°
Messung in 1m Abstand
FEM, harmonische Analyse
Abbildung 6.57. Richtcharakteristik einer Elektret-Mikrofonkapsel in 1 m Abstand, Vergleich Messung und Kombinierte Simulation
Es zeigt eine sehr gute Übereinstimmung der vorausberechneten mit der gemessenen Richtcharakteristik. Abweichungen sind vor allem bei der Rückwärtsdämpfung (^ 180 ) zu erkennen. Diese sind zum maßgeblichen Teil
in der verwendeten Messanordnung begründet. Für höhere Frequenzen treten größere Abweichungen auf, die auf die stark vereinfachte Abbildung der
Membran zurückzuführen sind. Berechnungen mit einem dreidimensionalen
transienten Modell bestätigten eine gute Übereinstimmung zwischen Modell
und Messung.
Teil III
Elektromechanische Wandler
7
Elektromechanische Wechselwirkungen
In den Kapiteln 2 und 3 wurden vier Typen von linearen Netzwerken, die elektrischen, mechanisch translatorischen, mechanisch rotatorischen und akustischen Netzwerke, beschrieben. Ausgehend von den Modikationsmöglichkeiten dieser Netzwerke sind im Kapitel 5 die Koppelelemente zwischen translatorischen und rotatorischen Netzwerken sowie translatorischen und akustischen
Netzwerken deniert worden. Oen geblieben ist die Frage nach der Verkopplung der mechanischen oder akustischen mit den elektrischen Teilsystemen.
Ausgehend von den physikalischen Grundlagen elektromechanischer Wechselwirkungen im Abschnitt 2.4.2 werden daher im Kapitel 7 die verschiedenen
Strukturen der Verkopplung zwischen den elektrischen und mechanischen Teilsystemen näher betrachtet. Das Ziel dieser Überlegungen ist die Au!ndung
und schaltungstechnische Interpretation von elementaren Kopplungselementen in Form von verlustfreien Vierpolen, die der Struktur der im Kapitel 5
abgeleiteten mechanischen Wandler entsprechen.
Wegen der im Abschnitt 2.4.2 getroenen Einschränkungen, sind die hier betrachteten Koppelsysteme ebenfalls linear und passiv, d. h. die Wandler enthalten keine inneren Energiequellen.
7.1 Klassikation der elektromechanischen
Wechselwirkungen
Bezüglich der Energieumwandlung lassen sich grundsätzlich zwei Gruppen
von Wandlern (Abb. 7.1) unterscheiden. Die elektrische Energie bei Wandlern ohne Hilfsenergie (passive Wandler ) wird ausschließlich dem mechanischen Teilsystem bzw. umgekehrt entnommen. Bei Wandlern mit Hilfsenergie
(aktive Wandler ) erfolgt die Steuerung eines elektrischen Stromkreises durch
eine mechanische Größe. Die Steuerung des elektrischen Stromkreises beruht
hier auf einer durch die mechanische Größe erzwungenen Parameteränderung
von passiven Bauelementen, vorzugsweise von resistiven, kapazitiven und in-
236
7 Elektromechanische Wechselwirkungen
Wandler ohne Hilfsenergie
(passive Wandler)
i
F
v
Wandler mit Hilfsenergie
(aktive Wandler)
F
GG
H
Kettenmatrix
X ,Y
I
JJ
K
i
F
Zi
u
v
h
u0
u
Hilfsenergiequelle
Wandlungsrichtung
Merkmale:
reversible Verkopplung zwischen
mechanischen und elektrischen
oder magnetischen Feldgrößen
mechanische Größen steuern
Leistungsfluss zwischen inneren
Hilfsenergiequellen und Ausgang
keine innere Hilfsenergiequelle
innere Hilfsenergiequelle
Signalfluss ist in beiden Richtungen
möglich
Signalfluss ist nur in einer
Richtung, von der mechanischen
zur elektrischen Seite, möglich
eingespeiste mechanische Leistung
ist gleich abgegebener elektrischer
Leistung und umgekehrt
Abbildung 7.1. Elektromechanische Wandler mit und ohne Hilfsenergie
[, \ Wandlerkonstanten
duktiven Bauelementen. Der Signal uss ist daher nur in einer Richtung, von
der mechanischen zur elektrischen Seite, möglich.
Die wichtigsten physikalischen Prinzipien der verlustfreien elektromechanischen Wandler ohne Hilfsenergie sind in Tabelle 7.1 dargestellt. Je nachdem, ob elektrische oder magnetische Größen mit den mechanischen Größen verknüpft sind, lassen sich die Wechselwirkungen in zwei Gruppen, in
die elektrischen und magnetischen Wandler, einteilen. Zur Gruppe der elektrischen Wandler zählen der elektrostatische und piezoelektrische Wandler.
Der elektromagnetische, elektrodynamische und piezomagnetische Wandler ist
der Gruppe der magnetischen Wandler zugeordnet. In Abhängigkeit von der
Wandlungsrichtung sind diese Wandler für sensorische oder aktorische Anwendungen nutzbar. Für statische Messungen sind Sensoren ohne Hilfsenergie
allerdings ungeeignet, da sie bei zeitlich unveränderter Eingangsgröße keine
elektrische Leistung abgeben und daher Energieverluste durch die Auswerteelektronik, z. B. endlicher Eingangswiderstand, nicht ausgleichen können.
Für diesen Fall werden Wandler mit Hilfsenergie angewendet. Da bei ihnen
der Signal uss nur von der mechanischen zur elektrischen Seite erfolgt, werden
sie ausschließlich als Sensoren, vor allem für quasistatische Anwendungen, eingesetzt. Sensoren mit Hilfsenergie nutzen als Messmethode vorzugsweise die
Ausschlags- oder die Kompensationsmethode.
7.1 Klassikation der elektromechanischen Wechselwirkungen
237
Tabelle 7.1. Physikalische Wirkprinzipien von elektromechanischen Wandlern ohne
Hilfsenergie
Linearisierung erfolgt durch Entwicklung um Arbeitspunkt
Elektrische Wandler
Elektrostatisches Prinzip
Piezoelektrisches Prinzip
Kraftänderung "F zwischen zwei entgegengesetzt aufgeladenen Elektroden bei
Ladungsänderung "Q oder
Spannungsänderung "u durch Auslenkung x
Ladungstrennung "Q durch Anlegen
einer Kraft "F oder
Verformung x durch Anlegen
einer Spannung "u
n
Q0
e0 ,C 0
Fel
i
Q0
x
i
F0 "F
l
e,n
Q
z. B. Wellmembran
"F Q0
1
"Q x
e0 A
n
"u Q0
1
"Q x
e0 A
C0
Q
A
u
x
l
U 0 "u A
F
Quarz, Keramik
A
ud F
l
x d un F
dK Ladungskonstante
Qe
Magnetische Wandler
Elektromagnetisches Prinzip
Elektrodynamisches Prinzip
Kraftänderung "F zwischen
zwei vom Magnetfeld B0
durchfluteten Polflächen A
bei Flussänderung ") oder
Stromänderung "i durch
Auslenkung x
Kraftänderung "F auf stromdurchflossenen Leiter im
Magnetfeld B0 bei Stromänderung "i oder
Spannungsänderung "u
durch Bewegung mit "v
F0 "F
x
Fmag
m r 1
)
"F "i B0
1
") x
n
m0
B0
w
") x
L0
w m0
Flussänderung ") durch
Anlegen einer Kraft "F
oder Verformung x durch
Anlegen eines Stromes "i
A
F
I0 "i
I0 "i
B0 , m 0
L0 ,w
Piezomagnetisches Prinzip
i
Fmag
x
i
B0 , m 0
F
u
)0 ")
x
l
w
m
1
x
n
u R i B0 l v
F B0 l i A
"i d F
l
x w d "i n F
dK piezomagn. Konstante
") m w
238
7 Elektromechanische Wechselwirkungen
Bei der Ausschlagsmethode deformiert die mechanische Messgröße einen Verformungskörper (Abb. 7.2).
Die Deformation bewirkt eine Parameteränderung eines resistiven, kapazitiven
oder induktiven Wandlerelementes, das einen elektrischen Stromkreis steuert. Bei resistiven Wandlerelementen erfolgt diese Parameteränderung nahezu
rückwirkungsfrei. Die Wechselwirkungen im elektrostatischen bzw. elektromagnetischen Feld bei kapazitiven bzw. induktiven Wandlerelementen verursachen Rückwirkungen, die jedoch für die Mehrzahl der praktischen Anwendungen vernachlässigt werden können. Als Beispiele für die Ausschlagsmethode
sind in Abbildung 7.2 die Signalverarbeitungsstrukturen für piezoresistive und
kapazitive Silizium-Drucksensoren angegeben.
Bei der Kompensationsmethode wird im Sensor eine Gegenkraft erzeugt.
p
1
p
Druckeinleitung
p
p
p
mechanischer
Wandler
2
x
T ,S
x
kapazitiv
mechanoelektrischer
Wandler
T ,S
4
Si
Ci
piezoresistiv
Ri
Si
FG
H
C i C0 1 &
"C
C
IJ
K
n-Si
FG
H
Ri R0 1 &
"C
C
elektrischer
Wandler
3
"R
R
IJ
K
"R
R
"C
Q f
C
f
u
Abbildung 7.2. Signalverarbeitungsstruktur für piezoresistive und kapazitive
Silizium-Drucksensoren nach der Ausschlagsmethode
1 Trennmembran, 2 Si-Verformungskörper, 3 dotierter Widerstand, 4 Elektroden
7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen
4
FM
239
FK
3
2
5
8
iK
pM
6
R
1
UM
7
Hilfsenergie
Abbildung 7.3. Drucksensor nach der Kompensationsmethode für Relativdruck
1 Messdruck, 2 Metall-Balg, 3 starrer Hebel, 4 Tauchspule, 5 induktiver Wegsensor,
6 Verstärker, 7 Lastwiderstand, 8 Permanentmagnet
Der Vorteil dieses Verfahrens liegt in der sehr geringen Auslenkung des
Messelements und damit in sehr kleinen Linearitätsfehlern. In Abbildung
7.3 ist das Prinzip eines Kompensationsdrucksensors mit elektrodynamischer
Gegenkrafterzeugung dargestellt.
Obwohl elektromechanische Wandler mit Hilfsenergie als Sensoren eine große
praktische Bedeutung aufweisen, werden sie im Rahmen dieses Buches nicht
weiter behandelt. Der Entwurf solcher Sensoren wird ausführlich in [3, 58—60]
beschrieben.
Anders liegen die Verhältnisse bei den zu Anfang erwähnten Wandlern ohne
Hilfsenergie. Hier werden echte physikalische Verkopplungen zwischen den verschiedenen physikalischen Strukturen ausgenutzt. Sie führen auf reelle Kopplungsvierpole, deren Einordnung in ein allgemeines lineares, dynamisches elektromechanisches System in Abbildung 7.4 dargestellt ist.
7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer
Wechselwirkungen
Auf der Grundlage und mit den Voraussetzungen von Abschnitt 2.4.2 soll in
diesem Abschnitt die Wechselwirkung zwischen einem mechanischen Koordinatenpaar I , { (Tor ) und einem elektrischen Koordinatenpaar T, x bzw. l,
an zwei ausgewählten Systempunkten betrachtet und durch ein Schaltbild
beschrieben werden. Die Ladungen bzw. Ströme und Lagekoordinaten aller
übrigen Systempunkte sollen konstant bleiben.
240
7 Elektromechanische Wechselwirkungen
elektrische Systeme
elektromechanische Wandler
F
i
1
X
0
u
0
F
i
v
X
magnetischer Wandler
u
0
1
Y
Y
v
0
elektrischer Wandler
translatorische Systeme
translatorischrotat. Wandler
mechanischakust. Wandler
rotatorische Systeme
akustische Systeme
Abbildung 7.4. Allgemeines lineares dynamisches elektromechanisches System
Elektromechanische Kopplungen
Die elektromechanische Verkopplung lässt sich dann entsprechend der Art
der wirkenden Krafterzeugung durch eines der in Abbildung 7.5 angegebenen
Modelle darstellen. Ihnen liegt die im Abschnitt 2.4.2 ausführlich erläuterte
Annahme zugrunde, dass bei der Verkopplung mit Hilfe elektrischer Felder
die Gleichgewichtskraft I am mechanischen Systempunkt sich additiv aus
der mechanischen Systemkraft Imech = * ({) und der Coulomb-Kraft Iel =
(T> {) zusammensetzt. Die Spannung x am elektrischen Systempunkt hängt
außer von der Ladung T auch noch von der Lagekoordinate { ab. Daraus folgt
der Inhalt des Modellkastens von Abbildung 7.5 unten links.
Im Falle der Verkopplung mit Hilfe von magnetischen Feldern addieren sich
die mechanische Systemkraft Imech = * ({) und die magnetische Feldkraft
Imag = (l> {) zur Gleichgewichtskraft I am mechanischen Systempunkt.
Für den Fall, dass ein lokales Modell der Stromschleife l und ihre Verbindung
mit den mechanischen Systempunkten vorliegt, kann Imag mit Hilfe des BiotSavart-Gesetzes bestimmt werden. Das Spannungsintegral am elektrischen
Systempunkt hängt außer vom Strom auch noch von der Lagekoordinate { ab.
Daraus folgt der Inhalt des Modellkastens von Abbildung 7.5 unten rechts.
Für den Fall der in der Umgebung eines Bezugspunktes linearen Systemgleichung ergeben sich für die in Abbildung 7.5 enthaltenen Relationen ihre linearen Näherungen Gln. (7.1) bis (7.4) in der Umgebung von {0 , I0 , x0 , 0 , T0 ,
l0 mit { = { {0 , I = I I0 , T = T T0 , l = l l0 , x = x x0 ,
= 0 .
7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen
elektrischer
Systempunkt
mechanischer
Systempunkt
i
F
F Fmech Fel
F
Q
z
elektromechanisches
System
x
x "x
b g
u f bQ, xg
F f1 Q, x
241
u, m udt
elektrische Felder
magnetische Felder
i
F Fmech Fmag
Q
u
b g
m f bi, xg
F f3 i, x
F
2
i
m
4
x
x "x
x
x "x
Abbildung 7.5. Modelle der elektromechanischen Verkopplung
Für die elektrische Wechselwirkung gilt für I = i1 (T> {) und x = i2 (T> {):
I = Nel T +
x =
1
{
q
1
0
T + Nel
{
Fb
(7.1)
(7.2)
Dabei ist q die mechanische Nachgiebigkeit der Einspannung der beweglichen
Elektrodenplatte. Die Kapazität zwischen den Elektrodenplatten im mechanisch festgebremsten Fall (y = 0) wird mit Fb bezeichnet.
Für die magnetische Wechselwirkung ergibt sich für I = i3 (l> {) und =
i4 (l> {):
1
{
(7.3)
I = Nmag l +
qL
0
= Ob l + Nmag
{
(7.4)
Mit qL wird die mechanische Nachgiebigkeit des jeweiligen Wandlerelementes
für elektrischen Leerlauf (l = 0) und mit Ob die Wandlerinduktivität im mechanisch festgebremsten Fall (y = 0) bezeichnet.
Für den Fall, dass einfache Strukturmodelle der zu betrachtenden Systeme
vorliegen, können mit den Coulomb-Kräften bzw. den Biot-Savart-Kräften
und den Netzwerkbauelementen mit deren Abhängigkeiten von der Geometrie die in den Gln. (7.1) bis (7.4) enthaltenen Koe!zienten bestimmt wer0
den. Dabei wird man feststellen, dass für die Koe!zienten Nel = Nel
und
242
7 Elektromechanische Wechselwirkungen
0
Nmag = Nmag
gilt. Die Begründung für diesen Sachverhalt ist im Abschnitt
2.4.2 erläutert. Es kann in diesem Fall auch zweckmäßig sein, anstelle der
Coulomb- und Biot-Savart-Gleichungen in der expliziten Form als Wechselwirkungen zwischen Ladungen bzw. Stromelementen die Gln. (7.5) und
(7.6) mit den Feldgrößen zu benutzen:
Fho = T · E
(7.5)
dFmag = l · dl × B
(7.6)
Herleitung der Wandlerkräfte aus Energiebilanzen
In den Fällen, in denen z. B. wegen des Auftretens von dielektrischen, piezoelektrischen, magnetischen oder piezomagnetischen Festkörpern ein solches
Modell nicht vorliegt, hilft die allgemeine Forderung der Reversibilität aller
im System ablaufenden Vorgänge zur Vereinfachung weiter. Formell bedeutet diese Annahme die Forderung nach der Existenz einer Zustandsfunktion
„innerer Energie” mit dem vollständigen Dierential dZ :
Elektrisches Feld:
dZ = I ({> T) d{ + x ({> T) dT (7.7)
Magnetisches Feld:
dZ = I ({> ) d{ + l ({> ) d
(7.8)
Für die Anwendung dieser axiomatischen Forderung ist es zweckmäßig, im
Falle der Verkopplung mit Hilfe magnetischer Feldgrößen, die strukturell und
physikalisch begründete Form der Systemgleichungen Gln. (7.3) und (7.4) gegen die äquivalente Form
Imag = i5 (> {)
(7.9)
l = i6 (> {)
(7.10)
zu vertauschen. Die gesamte dem System über die beiden Tore zugeführte
Energie vom Ausgangszustand {0 > T0 = 0 bis zum Zustand {1 > T1 ergibt sich
zu:
Elektrisches Feld:
Z =
R{1
{0
T
R1
I ({> T ({)) d{ +
x (T> { (T)) dT
{z
} T=0 |
{z
}
|
dZmech
dZel
(7.11)
Magnetisches Feld:
Z =
R{1
{0
R1
I ({> ({)) d{ +
l (> { ()) d
{z
} =0 |
{z
}
|
dZmech
dZmag
(7.12)
7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen
243
Die Funktionen T ({) bzw. ({) beschreiben den Weg auf dem der Zustand
{1 > T1 erreicht wird. Reversibilität bzw. Zustandsfunktion Energie bedeutet,
dass Zmech und Zel bzw. Zmag vom Weg abhängen, aber ihre Summen
Zmech + Zel@mag = Z wegunabhängig sind. Abbildung 7.6 zeigt den dabei
erforderlichen Ablauf im Falle des elektrischen Feldes für zwei verschiedene
Wege.
Qb
Q
Q1
g b xg
1
Qb
C
2
g b xg
B
Q
0
A
b g
"W x, Q
bg
"Q x
bg
x0
"Wel
"Wmech
"x Q
x
u
"Q
B
x1
x
x0 x
x "x
x
Abbildung 7.6. Dierentieller Aufbau der inneren Energie aus mechanisch und
elektrisch zugeführten Teilenergien
Die Gesamtenergie wird dem System über seine beiden Tore in dierentiellen
(virtuellen) Schritten zugeführt. In der Umgebung des aktuellen Wertes { wird
bei vorhandenem T über das mechanische Tor durch die Verrückung { eine
Teilenergie Zel = I ({> T) { zugeführt. Damit gelangt man vom Zustandspunkt A nach B. Über das elektrische Tor wird dann durch die Ladung T
eine Teilenergie Zel = x (T> {) T eingebracht. Damit gelangt man zum
Zustandspunkt C. Die Summe beider Teilenergien ergibt dann die Änderung
der inneren Energie Z . Die Reversibilität bzw. die Eigenschaft von Z als
Zustandsfunktion drückt sich im dierentiellen Bereich dadurch aus, dass der
Übergang vom Punkt A nach C auch über den Punkt B’ vor sich gehen kann
und in beiden Fällen die gleiche Änderung Z entsteht. Formell folgen aus
den Gln. (7.7) und (7.8) als vollständige Dierentiale die Gln. (7.13) bis (7.16)
I ({> T) =
CZ ({> T)
C{
(7.13)
x ({> T) =
CZ ({> T)
CT
(7.14)
I ({> ) =
CZ ({> )
C{
(7.15)
l ({> ) =
CZ ({> )
,
C
(7.16)
244
7 Elektromechanische Wechselwirkungen
aus denen dann wegen der Gleichheit der gemischten zweiten Ableitung von
Z die Gln. (7.17) und (7.18)
¯
¯
Cx ¯¯
CI ¯¯
=
(7.17)
CT ¯{>T
C{ ¯{>T
¯
¯
Cl ¯¯
CI ¯¯
=
(7.18)
C ¯{>
C{ ¯{>
folgen.
0
aus den linearisierten
Aus Gl. (7.17) folgt auch die Identität der Nel und Nel
Systemgleichungen für elektrische Felder. Um diesen Nachweis auch im magnetischen Fall führen zu können ist es zweckmäßig, die Gln. (7.3) und (7.4)
nach den Variablen und { aufzulösen. Es ergibt sich dann:
0
Nmag
1
+
{
Ob
Ob
¶
0
Nmag Nmag
Nmag
1
{
I =
+
Ob
qL
Ob
(7.19)
l =
(7.20)
0
. Die Beziehungen aus den Gln.
Mit Gl. (7.18) folgt schließlich Nmag = Nmag
(7.13) und (7.16) ermöglichen auch die Ableitungen der nichtlinearen Systemgleichungen, wenn entweder die Funktion Z ({> T) bzw. Z ({> ) oder
in Sonderfällen die virtuellen Änderungen dZ als Funktionen der virtuellen
Verrückungen d{ und/oder dT bzw. d{ und/oder d bekannt sind. In den
Kapiteln 8 und 9 sind dafür konkrete Anwendungsfälle enthalten.
Abbildung 7.7 zeigt ein Beispiel, das zur Bestimmung der nichtlinearen Feldkraft führt, wenn die folgenden Systemgleichungen mit bekannter Abhängigkeit F ({) vorliegen:
I = Iel (T> {) +
1
({ {0 )
qL
(7.21)
x = T@F ({)
(7.22)
Dazu wird die innerer Energie Z auf zwei verschiedenen Wegen erzeugt und
deren Übereinstimmung benutzt. Beim Weg 1 wird zunächst durch Aufprä(1)
gung einer Verrückung { {0 über das mechanische Tor eine Energie Zmech
und dann bei festgehaltenem { über das elektrische Tor eine elektrische Ener(1)
gie Zel aufgeprägt. Die insgesamt zugeführte Energie Z ergibt sich dann
zu:
1 1
1 1
T2
({ {0 )2 +
(7.23)
Z (1) =
2 qL
2 F ({)
(2)
Auf dem zweiten Weg wird zuerst eine elektrische Energie Zel an der Stelle
{ = {0 zugeführt und dann bei festgehaltenem T die mechanische Energie
7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen
Q
W
Wmech b
2
245
W1
g
Wel b1g
Wel b 2 g
Q1
2
1
Wmech b1g
x1
x0 , Q0
x
Abbildung 7.7. Zustandsänderung eines Systems nach Gl. (7.11) auf zwei unterschiedlichen Wegen 1 und 2
(2)
Zmech aufgeprägt. Dabei ist zu beachten, dass nach dem ersten Teilvorgang
eine elektrische Feldkraft Iel = Iel (T> {0 ) vorliegt. Daraus folgt für Z (2) :
Z
(2)
1 1
T2 +
=
2 F ({0 )
Z{
Iel (T> {0 ) d{ +
{0
1 1
2
({ {0 )
2 qL
(7.24)
Wenn jetzt die Annahme gemacht wird, dass { {0 so klein ist, dass
Iel ({> T) = Iel ({0 > T) angesehen werden kann, { {0 also eine virtuelle
Verrückung darstellt, kann das Integral in Gl. (7.11) näherungsweise durch
Iel ({0 > T) ({ {0 )
ersetzt werden. Unter der Bedingung Z1 = Z (1) = Z (2) folgt dann für die
unbekannte Kraft Iel ({0 > T):
¶
1
1
T2
({ {0 ) Iel ({0 > T) =
2
F ({0 + {) F ({0 )
¶¯
¯
1
T2 d
¯
· ({ {0 )
2 d{ F ({) ¯{={0
¶¯
¯
1
T2 d
¯
, Iel ({0 > T) =
(7.25)
2 d{ F ({) ¯{={0
Auf ähnliche Weise ist es bei Kenntnis von Teilenergien aus Kapazitäten oder
Feldverteilungen möglich, für konkrete Anordnungen Kreisprozesse zu konstruieren, die die Bestimmung von Wechselwirkungsrelationen gestatten. Diese Verfahren sind ganz analog auch für magnetische Netzwerks- oder Feldprobleme anwendbar. Weitere Beispiele hierfür sind in den Kapiteln 8 und 9
enthalten.
246
7 Elektromechanische Wechselwirkungen
Ableitung der Wandlervierpolschaltbilder
Mit Rücksicht auf die Analysemethoden der Netzwerktheorie ist es zweckmäßig, die Gln. (7.1) bis (7.4) für sinusförmige Zeitabhängigkeiten der dierentiellen Abweichungen um den Entwicklungspunkt darzustellen und dabei
komplexe Amplituden entsprechend Kapitel 2 einzuführen:
I = Î cos ($w + *I ) $ I = Î ej*I
x = x̂ cos ($w + *x )
(7.26)
$ x = x̂ ej*x
(7.27)
¢
¡
T = T̂ cos $w + *T $ T = T̂ ej*T $ l = j$T
¢
¡
= ˆ cos $w + * $ = ˆ ej*
¢
¡
= ˆ cos $w + *
$ = ˆ ej*
(7.28)
$ x = j$
(7.29)
$ y = j$
(7.30)
Mit diesen Vereinbarungen gehen die Gln. (7.1) und (7.2) in die Gln. (7.31)
und (7.32)
I =
1
1
Nel l y
j$
j$q
(7.31)
x=
1
Nel
l
y
j$F
j$
(7.32)
und durch Umformen nach l> I = i (x> y) in die Gln. (7.33) und (7.34)
l = j$Fx + Nel Fy
(7.33)
(7.34)
1
I = Nel Fx j$
¶
1
2
Nel F y
q
über.
In der gleichen Weise werden die Gln. (7.3) und (7.4) mit den Beziehungen
aus den Gln. (7.26) bis (7.30) in die Gln. (7.35) und (7.36)
1
y
j$q
(7.35)
x = j$Ol + Nmag y
(7.36)
I = Nmag l überführt.
7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen
247
Aus den Gln. (7.33) bis (7.36) folgen unter Verwendung der Wandlerkonstanten [ und \ mit
[=
1
Nmag
und
\ =
1
Nel F
die Gln. (7.37) und (7.38) für den elektrischen Wandler
l j$Fb x = lW =
I+
1
y
\
1
1
y = IW = x
j$qK
\
(7.37)
(7.38)
und für den magnetischen Wandler
x j$Ob l = xW =
I+
1
y
[
1
1
y = I W = l.
j$qL
[
(7.39)
(7.40)
Aus diesen Gleichungen können die in Abbildung 7.8 angegebenen Schaltungen abgelesen werden.
Es ist bemerkenswert, dass die Übertragungseigenschaften zwischen einem
elektrischen und einem mechanischen Koordinatenpaar (Tor) reversibler (verlustfreier) elektromechanischer Systeme durch eine der beiden Schaltungsstrukturen aus Abbildung 7.8 abgebildet werden können.
Die linke Schaltung gilt für die Verkopplung mit Hilfe elektrischer Felder. Die
rechte Schaltung gilt für Systeme, in denen die Verkopplung mit Hilfe magnetischer Felder realisiert wird. Für den Fall, dass die Systemgleichungen von
Abbildung 7.5 nichtlinear sind, gelten die Schaltungen von Abbildung 7.8 für
die lineare Näherung der Systemgleichungen in der Umgebung eines vereinbarten Entwicklungspunktes (Kleinsignalverhalten).
Wegen der Allgemeinheit der bereits vorher getroenen Annahmen gelten diese Aussagen sowohl für Anordnungen mit bekannter lokaler Struktur, wie
konzentrierte Ladungen auf Systempunkte oder Stromschleifen, als auch für
Anordnungen, deren mikroskopische lokale Struktur unbekannt ist, wie z. B.
dielektrische und magnetische Festkörper mit und ohne innere Wechselwirkungen.
Die Kopplungsvierpole ([)> (\ ) in den Schaltungen von Abbildung 7.8 erweisen sich als die beiden im Kapitel 2 (Abb. 2.19) aufgeführten allgemeinen
Koppelelemente — elektromechanische Wandler — zwischen mechanischen und
elektrischen Netzwerken. Die in den Schaltungen von Abbildung 7.8 vorhandenen Bauelemente O, F, q müssen dann den jeweiligen Netzwerken zugeordnet
werden. Unter den o.g. Voraussetzungen, lineare und verlustfreie Verkopplungen, lassen sich nun mit den in Abbildung 7.8 angegebenen Grundschaltungen
die in Tabelle 7.1 dargestellten fünf elektromechanischen Wandlungsprinzipien
248
7 Elektromechanische Wechselwirkungen
F
i
elektromechanischer
Wandler
u
v
bX ,Y g
magnetischer Wandler
elektrischer Wandler
1
v 5.21a
Y
1
u 5.21b
Y
b
b
i jwC b u i W 1
v FW
jwnK
F
g
g
1
v
X
1
i
X
u jwLb i u W F
F I
GH JK
F i I , jwn FG v IJ
jwC G J
H uKv 0
H F Ku 0
F iI
1 FFI
G J
G J
Y H u K v 0 H vK u 0
1
v FW
jwnL
b5.22ag
b5.22 bg
1
1
1
nK n
Y 2C b
b
i
u
Cb
K
iW
u Y FW
iW 1
v
Y
FW
n
Y 2 C b
L
i0
v0
i Lb
F
v
123
nK
FG u IJ , jwn FG v IJ
H i Kv 0
H F Ki 0
FFI
1 F uI
G J
G J
X H vK
HiK
jwLb u
uW
FW
F
1
uW v
X
i X FW
v
n nL
Abbildung 7.8. Ableitung der Vierpolschaltbilder für den elektrischen und magnetischen Wandler
Indizes: b mechanisch festgebremstes System, L System im elektrischen Leerlauf, K
System im elektrischen Kurzschluss
beschreiben. Die Berechnung der Bauelemente O, F, q und Wandlerkonstanten [, \ aus den Abmessungen und Materialparametern der Wandler wird
im Kapitel 8 für die magnetischen Wandler und im Kapitel 9 für die elektrischen Wandler anhand von Beispielen erläutert.
Wie bereits im Kapitel 1 erwähnt, besteht ein wesentlicher Vorteil der Beschreibung der elektromechanischen Wechselwirkungen durch Schaltungsnetzwerke in der Möglichkeit der Ableitung einer geschlossenen Lösung für das
Gesamtsystem. Diese geschlossene Lösung wird durch die Transformation der
mechanischen Bauelemente auf die elektrische Seite oder umgekehrt mit Hilfe
der Wandlermatrix ([) oder (\ ) der Kopplungsvierpole ermöglicht.
In Tabelle 7.2 sind die Transformationseigenschaften des Kopplungsvierpols
der magnetischen Wandler zusammengefasst. Hier hat der Kopplungsvierpol
7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen
249
den Charakter eines Transformators. Eine Impedanz auf der einen Seite wird
als Impedanz auf der anderen Seite und umgekehrt abgebildet. Zwischen der
elektrischen und mechanischen Seite erhält man aus Tabelle 7.2 die Zuordnungen in Tabelle 7.4.
Tabelle 7.2. Transformationseigenschaften des magnetischen Kopplungsvierpols
X Wandlerkonstante eines Transformators
~~
~~
Pel u
i Fv
Pmech
Z
Z
u
1 v
1
h
i X2 F X2
1 ' X
u 0
Z
1
X2
jwn jwL
u L
0
v
X
u
h
F
i
i
h jwn
F
i
bX g
v
n
Ln X2
h
1
jwm
X 2 jwm
1
jwC
u C
h h1 h 2
h
Z
h2
X2 X2
Z1 Z1
1
1
Z 2
z1 z 2
X z1 X 2 z 2
1
Y1 Y 2
u
bX g
v
m
C mX 2
u
Z1
Z2
i
u
F
i
i
h1
F
i
i
1
Z
Y2
Y1
u
bX g
h2
F
i
u
h1
v
bX g
z1
v
z2
In Tabelle 7.3 sind die Transformationseigenschaften des Kopplungsvierpols
der elektrischen Wandler zusammengefasst. Eine Impedanz auf der einen Seite wird als Admittanz auf der anderen Seite abgebildet und umgekehrt. Der
250
7 Elektromechanische Wechselwirkungen
Kopplungsvierpol hat damit den vierpoltheoretischen Charakter eines Gyrators. Aus Tabelle 7.3 kann man die in Tabelle 7.5 dargestellte Zuordnung
ableiten.
Tabelle 7.3. Transformationseigenschaften des elektrischen Kopplungsvierpols
Y Wandlerkonstante eines Gyrators
~~
~~
Pel u
i Fv
Pmech
Z
Z
u
F
1
Y2
Y2
i
v
h
u
Z
FG 0 Y IJ
H1 Y 0 K
Y
1
jwn jwC
u C
u
bY g
Z Y jwm
F
u L
u
bY g
L m Y2
h h1 h 2 Z 1
z1 z 2
n
2
jwL
h
v
h jwn
i
i
h
2
C n Y2
1
h
jwm
v
F
i
i
h jwn
F
i
h1 Y h 2 Y
2
u
1
Y1 Y 2
c
Z Y 2 z1 z 2
Z1 Z 2
b g
F
u
bY g
h1
v
h2
Y1
h
u
Z1
Z2
F
i
i
m
h 1 jwm
i
i Y2
1
2
v
u
bY g
z1
v
z2
Die Bezeichnungen „mechanische Impedanz” bzw. „mechanische Admittanz”
sind in der mechanischen Netzwerktheorie fest eingeführte Begrie nach der
sogenannten 1. Analogie. Sie entsprechen jedoch nicht der Vereinbarung dieses
Buches, nach dem die Impedanz als Quotient der komplexen Dierenzkoordi-
7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen
251
Tabelle 7.4. Zuordnung zwischen elektrischen und mechanischen Bauelementen
beim Transformator
Elektrik
transformatorischer Wandler
Mechanik
Induktivität
L
n
Nachgiebigkeit
Kapazität
C
m
Masse
Widerstand
R
h
Reibungsadmittanz
elektrische Impedanz
Z
h
mechanische Admittanz
Parallelschaltung
Parallelschaltung
Reihenschaltung
Reihenschaltung
Stromquelle
Kraftquelle
Tabelle 7.5. Zuordnung zwischen elektrischen und mechanischen Bauelementen
beim Gyrator
Elektrik
gyratorischer Wandler
Mechanik
Induktivität
L
m
Masse
Kapazität
C
n
Nachgiebigkeit
Widerstand
R
r
Reibungsimpedanz
elektrische Impedanz
Z
z
mechanische Impedanz
Parallelschaltung
Reihenschaltung
Reihenschaltung
Parallelschaltung
Spannungsquelle
Kraftquelle
nate zur komplexen Flusskoordinate festgelegt ist, sondern kennzeichnen den
Kehrwert. Da diese Begrie bei mechanischen Netzwerken aber eine weite Verbreitung gefunden haben, werden sie abweichend zur Koordinatenfestlegung
von Geschwindigkeit als Dierenzkoordinate und Kraft als Flusskoordinate
hier übernommen.
Eine wichtige Kenngröße elektromechanischer Wandler wird durch den Grad
der Energieumwandlung deniert. Der Kopplungsfaktor n kennzeichnet das
Verhältnis von umgewandelter Energie, d. h. am Ausgang nutzbarer Energie,
zur gesamten am Eingang zugeführten Energie. In Abbildung 7.9 ist die De-
252
7 Elektromechanische Wechselwirkungen
nition des Kopplungsfaktors für beide Wandlungsrichtungen angegeben. Da
von einem reversiblen und damit verlustfreien Wandlungsmechanismus ausgegangen wird, ist der Kopplungsfaktor größer als der Wirkungsgrad des
Wandlers.
i
F
elektromechanischer
Wandler
RS X , n , L UV
TY , n , C W
u
L
b
K
b
v
linear, verlustfrei
Wandlungsrichtung
Wel
k2 Wmech
umgewandelte Energie
zugeführte Energie
1
Wel Wmech :
2
kmech
Wmech
Wel
Aktoren
Wmech Wel :
kel2 Wel
Wmech
Sensoren
reversible Wandlung:
kel kmech
Abbildung 7.9. Elektromechanischer Kopplungsfaktor n
8
Magnetische Wandler
Die erste große Gruppe der elektromechanischen Wandler bilden die magnetischen Wandler. Zu den magnetischen Wandlern zählen elektromagnetische,
elektrodynamische und piezomagnetische Wandler [1, 2]. Beim elektrodynamischen Wandler wirkt im Luftspalt zwischen Schwingspule und xiertem
Joch eine dem Spulenstrom proportionale Magnetkraft, die Lorentz-Kraft.
Dagegen wirkt beim magnetischen Wandler die nichtlineare Magnetkraft im
Luftspalt zwischen Anker und Joch. Hier ist zur Linearisierung eine Arbeitspunkteinstellung durch ein Gleichmagnetfeld oder einen überlagerten Gleichstrom erforderlich. Durch ein Gleichmagnetfeld oder einen Gleichstrom wird
auch beim piezomagnetischen Wandler die Arbeitspunkteinstellung vorgenommen und damit näherungsweise lineares Kleinsignalverhalten gewährleistet.
Die Verknüpfung zwischen den magnetischen und mechanischen Feldgrößen
wird hier durch Zustandsgleichungen beschrieben.
Für alle drei magnetischen Wandler werden für praxisnahe Randbedingungen die mechano-elektrischen Vierpolschaltungen abgeleitet. Die Anwendung
dieser Wandler-Netzwerke beim Entwurf elektromechanischer Systeme wird
anhand von praktischen Beispielen erläutert.
8.1 Elektrodynamischer Wandler
8.1.1 Ableitung Wandlervierpolschaltbild
Beim elektrodynamischen Wandler wird als Wandlungsprinzip die Kraftwirkung — Lorentz-Kraft — auf einen stromdurch ossenen Leiter im Magnetfeld
ausgenutzt. Das durch einen Dauermagneten erzeugte magnetische Feld ist bei
diesem Wandler konstant und wird nicht durch die elektrischen und mechanischen Netzwerkkoordinaten beein usst. Aufgrund der durch das Funktionsprinzip des elektrodynamischen Wandlers bereits bedingten linearen Verknüpfung von mechanischen und elektrischen Koordinaten werden diese Wandler
254
8 Magnetische Wandler
sowohl für aktorische Anwendungen, wie Kleinmotoren, Schwingtische, Lautsprecher, Antriebe für Positioniersysteme und magnetische oder optische Abtastsysteme, als auch für sensorische Anwendungen, wie Mikrofone und Geschwindigkeitssensoren, verwendet.
Dem in Abbildung 8.1 dargestellten Grundmodell des elektrodynamischen
Wandlers liegt das Konstruktionsprinzip der Tauchspule zugrunde. Eine durch
die Feder q aufgehängte zylindrische Spule mit der Masse p und der Drahtlänge o kann sich in Richtung ihrer Achse in einem Luftspalt bewegen. Da
der ringförmige Luftspalt durch die Induktion E0 eines Dauermagnetsystems
durchsetzt ist, werden bei Strom uss in der Spule Kräfte in axialer Richtung
erzeugt. Für die Bewegung der Spule im homogenen Teil des Magnetfeldes
gelten die in Abbildung 8.1 angegebenen linearen Beziehungen für die Magnetkraft Imag und die induzierte Spannung x. Ausgehend von der Kräftebilanz auf der mechanischen Wandlerseite und der Maschengleichung auf der
elektrischen Wandlerseite lassen sich die linearen Verkopplungsgleichungen in
Abbildung 8.2 aufstellen.
Bei der Ableitung der Wandlervierpolschaltungen in Abbildung 8.2 wird der
magnetische Widerstand des Eisenkreises mit h À 1 und der Streu uss außerhalb des Ringspaltes vernachlässigt. Für die Betrachtung von Wechselgrößen werden die Beziehungen im Zeitbereich auch hier wieder durch die
Einführung komplexer Amplituden in den Frequenzbereich transformiert.
n
m F
v l
x
Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:
v 0:
B0
B0
Fmag
l
Dauermagnet
i
Fmag B0 l i
u
i
u
Bewegung des Leiters im Magnetfeld:
F 0:
F Fmag Fmech
Fmag B0 l i
Fmech 1
dv
xm
dt
n
l
B0
v
u
u B0 l v
Abbildung 8.1. Modell des elektrodynamischen Wandlers
8.1 Elektrodynamischer Wandler
255
i,x ( 0
mechanische Wandlerseite:
F
n
r
n
x,v
B0
i
F
m
F B0 l i v
Fn Fr Fm
v
n 1
r m
1
1
dv
v jwmv r v
r v F B0 l i xm
jwn
n
dt
u,x ( 0
elektrische Wandlerseite:
L
F mag
Fmag
m
i
F
r
R
i
uv
u
b g b g ddit u btg
di
ubtg R ibtg L B l vbtg
dt
u t R i t L
v
0
U|
V|
W
L
R
u
uv
u R i jwL i B0 l v
Abbildung 8.2. Verkopplungsgleichungen beim elektrodynamischen Wandler
Das Wandlerschaltbild in Abbildung 8.3 erhält man nun durch die Umstellung
der beiden Gleichungen aus Abbildung 8.2 nach der Wandlerspannung xW und
der Wandlerkraft I W :
I+
x (U + j$O) l = xW = E0 oy
(8.1)
¶
1
+ j$p + u y = I W = E0 ol
j$q
(8.2)
Der verlustfreie Wandler weist eine transformatorische Verkopplung [ =
1@E0 o auf und entspricht dem Grundschaltbild der magnetischen Wandler
nach Abbildung 7.8.
Es soll nun eine anschauliche Erläuterung der Wandlerbauelemente erfolgen:
Im mechanisch festgebremsten Zustand y = 0 wird an den elektrischen Eingangsklemmen die Eingangsimpedanz ] = U + j$Ob gemessen. Für sehr niederfrequente Anwendungen ist der Blindanteil gegenüber dem Wirkanteil zu
256
8 Magnetische Wandler
n ,r m F
v w,l
verlustfreier Wandler
hS h
B0
r
b
Lb
i R
u
uW
i
i
v
1
FW
nL
B0 l
1
v
X
i X FW
u
uW FG
H
IJ
K
w 2 2 r h m0
2 hS
1
3 h
b
hS h , l 2r w
1
nL n , m mS , r w0 Q n
Lb FW
u W B0 l v
F
m 1
v
r
U|
V| X B1 l
W
0
b g
b g
L Lb mechanisch festgebremst v 0
n nL elektrisch im Leerlauf i 0
Abbildung 8.3. Schaltbild des elektrodynamischen Wandlers
vernachlässigen. Zur Verhinderung der Spulenauslenkung ist die Kraft
I W = E0 ol =
1
l
[
(8.3)
aufzubringen. Im umgekehrten Fall, dem elektrischen Leerlauf l = 0, erhält
man durch Aufprägen der Geschwindigkeit y die Wandlerspannung
xW = E0 oy =
1
y.
[
(8.4)
Die für diesen Fall auf der mechanischen Seite messbare Nachgiebigkeit qL entspricht der Nachgiebigkeit q der Schwingspulenaufhängung. Die Schwingspulenmasse p = YS und die experimentell zu bestimmende Schwingspulenreibung u = 1@$0 Tq wurden im Schaltbild in Abbildung 8.3 bereits berücksichtigt.
Für die Transformationsbeziehungen der Bauelemente von der mechanischen
auf die elektrische Seite oder umgekehrt gelten die des Transformators ([).
Danach gilt für die unterschiedlichen Transformationsrichtungen:
mechanisch $ elektrisch
Fp = p[ 2 ,
]=
Oq =
k
1
=
[2
}[ 2
q
,
[2
Uu =
1
u[ 2
8.1 Elektrodynamischer Wandler
257
elektrisch $ mechanisch
pF =
k=
F
,
[2
qO = O[ 2 ,
uU =
1
U[ 2
1
= ][ 2
}
Elektrodynamische Wandler werden für aktorische und sensorische Anwendungen, bei denen ein möglichst lineares Übertragungsverhalten im Vordergrund steht, eingesetzt. Die erzielbaren Stellkräfte liegen im Bereich von einigen mN bis 100 N je nach Bauform und zulässigem Speisestrom. Deutlich
größere Stellkräfte lassen sich mit dem elektromagnetischen Wandler erzielen
(s. Abschn. 8.2).
Die Anwendung des elektrodynamischen Wandlers wird im folgenden Abschnitt am Beispiel eines Antriebssystems, eines Lautsprechers, eines aktiven
Schwingungsdämpfers und eines Kalibrierschwingtisches erläutert.
8.1.2 Anwendungsbeispiele
Elektrodynamisches Antriebssystem
In Abbildung 8.4 sind typische Abmessungen und Kennwerte eines elektrodynamischen Antriebssystems, wie es z. B. für Schwingtische verwendet wird,
n
m F
Vs
m2
m 100 g
v l
B0 1
10
m0
B0
10
n 0,3 10 3
lm
2
Q
i
u
Spule
196 Wdg. 0,25 CuL
l 20 m, R = 6 %
m0 4 10 7
u
R
1
, f0 30 Hz
m n
Vs
1
B0 l 20
X
m
V s
A m
FW
L
uW
1
uW v
X
i XFW
n
1
10
w 0 nr
w 20 Ersatzschaltung:
i
m
N
F
r
m
1
r
v
1
Q w0 n
r2
N s
m
Abbildung 8.4. Aufbau und Schaltung eines elektrodynamischen Antriebssystems
258
8 Magnetische Wandler
angegeben. Der Reibungsstandwert u wird dabei aus dem experimentell ermittelten Wert für die Güte T berechnet.
Zunächst wird der Eingangswiderstand des unbelasteten Systems, d. h. mechanisch im Leerlauf (I = 0), in Abhängigkeit von der Frequenz i ermittelt.
Dabei geht man von der Schaltung in Abbildung 8.4 aus, vernachlässigt wie
bereits erwähnt die Induktivität O und transformiert die mechanischen Bauelemente auf die elektrische Seite. Die durch Vernachlässigung von O vereinfachte Schaltung ist in Abbildung 8.5 mit den Ortskurven der Impedanzen
angegeben. Die linke Ortskurve zeigt den Verlauf der auf die mechanischen
Bauelemente zurückführbaren Impedanz ] m . Die rechte Ortskurve entspricht
dem Verlauf der elektrischen Eingangsimpedanz ] = x@l. Bemerkenswert
ist der durch die elektromechanischen Wechselwirkungen hervorgerufene relativ große frequenzabhängige Anteil. Dieser unerwünschte Eekt der starken
Frequenzabhängigkeit des elektrischen Eingangswiderstands wird andererseits
bei den piezoelektrischen Schwingern in Abschnitt 9.3.4 gezielt zum Entwurf
elektrischer Resonatoren mit sehr hoher Güte für Filter- und Oszillatoranwendungen genutzt.
Wird für Spannungsanregung die elektrische auf die mechanische Seite der
Schaltung aus Abbildung 8.5 transformiert, so lässt sich das Übertragungsverhalten des Antriebssystems berechnen.
i
R 6%
Ln Ln
u
Cm
Rr
Cm
120 mH
X2
m X 2 250 $F
Rr 144424443
Rm
n
1
X2 r
200 %
Ortskurve des Parallelresonanzkreises:
lq
m r
Im Z
Im Z m
f
0
f2
f
f0
Zm
m r
Re Z m
200 %
0
Z
f0
lq
Re Z
200 %
6%
f1
f1 f0 f2
f1
"f
,
2
f2 f0 "f
,
2
"f f0
3 Hz
Q
Abbildung 8.5. Ortskurven der elektrischen Impedanzen des elektrodynamischen
Antriebssystems
8.1 Elektrodynamischer Wandler
259
Ausgehend von der zugehörigen Schaltung aus Abbildung 8.6 folgt
j ($@$ 0 )
y
= $0q
,
I
1 + j ($@$ 0 ) 1@T ($@$ 0 )2
$ 20 =
1
,
pq
T=
1
.
$ 0 qu
Setzt man nun für die Wandlerkraft die Beziehung I W = x@U[ ein, so ergeben sich für die Weg-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsübertragungsfunktion die Beziehungen:
E =
q
1
=
,
x
U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T ($@$ 0 )2
Ey =
y
$0 q
$0q
m
j ($@$ 0 )
= 5> 6 · 103
·V
=
, E 0y =
x
U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T ($@$ 0 )2
U[
s
Ed =
d
$2 q
$2 q
($@$ 0 )2
m
= 0
, E 0d = 0 = 1> 1 2 · V
2
x
U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T ($@$ 0 )
U[
s
q
m
= 103
U[
V
E 0 =
Der Verlauf der Übertragungsfunktionen ist als Amplitudenfrequenzgang in
Abbildung 8.6 skizziert. Dabei ist für konstante Spannungsanregung unterhalb
der Resonanzfrequenz der Spulenausschlag und oberhalb die Spulenbeschleunigung d konstant. Daher erfolgt bei der genormten IEC-Schwingungsprüfung
von Bauelementen und Geräten die mechanische Gleitsinusanregung bis 50 Hz
mit konstantem Hub und darüber mit konstanter Beschleunigung d.
Eine weitere wichtige Kenngröße des elektrodynamischen Antriebsystems ist
die Wandlerkraft I W . Oberhalb der Resonanzfrequenz i0 des Schwingtisches
ist, da auf der mechanischen Seite nur die Masse p wirkt, die Beschleunigung
der Wandlerkraft und damit dem eingespeisten Strom gemäß
d = j$y = j$
I
IW
= W
j$p
p
frequenzunabhängig proportional.
Die Maximalkraft erhält man im festgebremsten Zustand (y = 0). Für diesen
Fall lässt sich die Kurzschlusskraft ĨW = ĨK mit
Sel = ˜~2 U
zu
2
E 2 o2
YS
ĨW
= 0 = E02 ,
Sel
U
und
ĨW = ˜~E0 o
U=
DD
,
o
YS = oDD
abschätzen (YS Volumen Schwingspule). Der Ein uss des Streufeldes und des
Kupferfüllfaktors wurde dabei vernachlässigt.
2
Dabei ist Sel die aufgenommene elektrische Leistung. Die Kenngröße ĨW
@Sel
stellt ein Qualitätsmaß für elektrodynamische Antriebssysteme dar.
260
8 Magnetische Wandler
Schaltung:
FW R X2 FW
1
r
vW X u
n
v
m
u
R X2
1
r
)
n
v
m
Übertragungsverhalten:
20 lg
FG w IJ
Hw K
B
B0
40
2
j
0
w
w0
Q B0
20
a
u
0
1
1
0
v
u
2
3
lg
w
w0
20
x
u
40
Abbildung 8.6. Übertragungsverhalten des elektrodynamischen Antriebssystems
Ausgehend von der Übereinstimmung des Flusses im Eisenkreis
Ringspalt 0
e = Em Dm = 0 = E0 2uk
e
und im
und der Anwendung des Durch utungsgesetzes
Km om =
E0
e
0
folgt
Em Km om Dm =
und schließlich
E02
2uke, Ym = om Dm , YS = 2uke, E02 YS = 0 Em Km Ym
0
2
ĨW
= 0 Em Km Ym .
Sel
Im nachfolgenden Beispiel wurde von dem hartmagnetischen Material Neodym
mit {Em Km }max = 250 kJ m3 , einem Volumen von Ym = 50 cm3 und der
8.1 Elektrodynamischer Wandler
261
Leitfähigkeit des Spulendrahtes von 1@ = 57 · 106 A V1 m1 ausgegangen.
Daraus ergibt sich als Kennwert
2
ĨW
= 895 N2 W1 .
Sel
Bei einer elektrischen Leistungsaufnahme von Sel = 10 W erhält man bei
optimaler Dimensionierung eine Kurzschlusskraft von
ĨW = ĨK = 95 N.
Dabei ist die Leistungsbegrenzung durch lmax aufgrund der zulässigen Temperaturbelastung und die maximale Flussdichte E0 max in den Flussleitstücken
zu berücksichtigen.
Gegenüber der Schwingtischanwendung weisen miniaturisierte elektrodynamische Antriebe für Autofokus-Abtastsysteme deutlich niedrigere Wandlerkräfte
im mN-Bereich auf. In Abbildung 8.7 ist die Anordnung eines elektrodynamischen Wandlers in einem Autofokus-CD-Abtastsystem als Prinzipskizze dargestellt.
CD
refl.
hin
zirkul. Polararisation
elektrodynamisches
Fokus-System
2-Achsenelement
Fotodetektor
l / 4 Platte
90°
45°
lin. Polarisation
90°
Polarisationsprisma
0°
Kollimatorlinse
Laserdiode
Abbildung 8.7. Anwendung eines elektrodynamischen Antriebssystems zur CDAbtastung für die Autofokus-Einstellung
Elektrodynamischer Lautsprecher
In Abbildung 8.8 ist das Konstruktionsprinzip und die Schaltung eines elektrodynamischen Lautsprechers einschließlich typischer Daten angegeben. Die
262
8 Magnetische Wandler
Schaltung besteht aus einem elektrischen, mechanischen und akustischen Teilnetzwerk. Zusätzlich zum elektrodynamischen Wandler erfolgt die Verknüpfung zwischen dem mechanischen und dem akustischen Netzwerk durch den
mechanisch-akustischen Wandler mit der Wandler äche D = d2 .
Konstruktionsprinzip:
typische Werte:
B0 0,8
Vs
m2
l8m
R6%
mW 30 g
L, l, RW
nW 2,1 10 3
mW
u
a 0,1 m
B0
fW 2a
i
nW
QW 1
w W mW
20
rW
m
s
kg
rL 1,2 3
m
Schaltung:
R
64748
i Ri RW L
u W B0 l v
u
uW
i
1
B0 l
Quelle
FW
U|
V|
|W
v
nW
1
v q
A
1
mW F A p
rW
p
Lautsprecher
Luft
q Ma,L Za,L
Fp
FW
20 Hz
2 nW mW
cL 343
u0
m
N
A a2
p
Schallfeld
Abbildung 8.8. Konstruktionsprinzip und Schaltbild eines elektrodynamischen
Lautsprechers
Auf der akustischen Seite wirkt die frequenzabhängige akustische Reibung
]a>L und die frequenzunabhängige mitschwingende Luftmasse Pa>L [61]:
]a>L =
1 L fL
2 d2
¶2
$
d ,
fL
Pa>L =
8 L
3 d2
für
$ ? $g =
s fL
2 .
d
Zunächst werden die akustischen Bauelemente auf die mechanische Seite
transformiert. Anschließend wird auf der elektrischen Seite die Spannungsquelle durch eine Stromquelle ersetzt. Auch hier wird die Spuleninduktivität
8.1 Elektrodynamischer Wandler
263
gegenüber dem ohmschen Widerstand vernachlässigt. Durch die Transformation der elektrischen Bauelemente auf die mechanische Seite erhält man in
Abbildung 8.9 das mechanische Schaltbild. Durch die Zusammenfassung der
Einzelbauelemente zur Gesamtmasse p und Gesamtreibung u ergibt sich für
die Übertragungsfunktion des Lautsprechers
Ey =
y
1
j$@$ 0
= E0
=
2
I0
j$p + 1@j$qW + u
1 + j$@$ 0 T ($@$ 0 )
mit
E0 =
r
i0
i0 qW
,
p
p = pW + pL ,
u = uW + uel + uL .
FW
iW
u W B0 l v
u0
uW
R
R
i
1
B0 l
FW
mW
v
nW rW
~2 r
rL Pak v
L
mL
mL Ma,L AK2 ,
rL Za,L AK2
mW
b B lg
F0
rW rL
14
4244
3
r
rel
nW
mL
1424
3
m
v
rel 2
0
R
F 0 B0 l i 0 B0 l
u0
R
Abbildung 8.9. Transformation der akustischen und elektrischen Bauelemente des
Lautsprechers auf die mechanische Seite
Die Einzelbauelemente lassen sich bei Berücksichtigung der Transformationsbeziehungen und der Zahlenwerte aus Abbildung 8.8 berechnen:
¢2
¡
8
pL = d2 Pa>L = d3 = 3> 2 g,
3
p = pL + pW = 33> 2 g
$ W pW
1
= 6> 82 N s m1 ,
uW =
= 0> 19 N s m1
U
TW
¶2
¡ 2 ¢2
$
1 2
uL ($) = d
]a>L = d L fL
d .
2
fL
2
uel = (E0 o)
Damit erhält man für i0 und T mit uO ($ 0 ) = 8 · 103 N s m1
i0 =
1
$0 (pW + pL )
p
= 0> 6.
= 19> 1 Hz iW , T =
uW + uel + uL
2 qW (pL + pW )
264
8 Magnetische Wandler
Schließlich soll noch die abgestrahlte Schalleistung Sak berechnet werden:
Für die abgestrahlte Schallleistung Sak = ỹ 2 uL erhält man
¶2 ¯ ¯
¶2
¯ y ¯
ỹ 2 2 1 2
$
d = ¯¯ ¯¯ $p · S0 ,
Sdn = 2 Ĩ0 d O fO
2
fL
I0
Ĩ0
deren Verlauf in Abbildung 8.10 dargestellt ist. Für eine Spannung x̃0 = 1 V
beträgt S0 = 83 mW.
Q 2 P0
Pak
P0
~ w4
w w0
1
Abbildung 8.10. Abgestrahlte Leistung im Fernfeld des elektrodynamischen Lautsprechers
Ein interessantes Anwendungsbeispiel für elektromechanische Wandler ist der
Einsatz von Langhublautsprechern als Antischallquelle bei der aktiven Lärmabwehr. Die Optimierung solcher Schallquellen wird ausführlich in [62] beschrieben.
Elektrodynamischer Kalibrierschwingtisch
In Abbildung 8.11 erfolgt die Kalibrierung eines Beschleunigungssensors (2)
durch Vergleich mit einem Referenzsensor (1). Zur Schwingungsanregung wird
wieder ein elektrodynamisches Antriebssystem verwendet.
Mit der Annahme, dass die Beschleunigungen d1 und d2 am zu kalibrierenden
Sensor und Referenzsensor übereinstimmen, wird aus der Ausgangsspannungsmessung xL1 und xL2 beider Sensoren und bei Kenntnis der Übertragungsfunktion E d1 des Referenzsensors die Übertragungsfunktion des Messsensors
ermittelt:
xL1 = E d1 d1 ,
E d2 =
xL2 = E d2 d2 ,
d1 = d2
xL1
E
xL2 d1
Mit Hilfe des Schaltbildes aus Abbildung 8.11 wird nun der frequenzabhängige
Verlauf der Beschleunigungen an beiden Stabenden mit folgenden Annahmen
berechnet:
8.1 Elektrodynamischer Wandler
265
Kalibrierschwingtisch:
2
mg m1
n1
n2
r, c,l
v2
uL2
i
mg m2
m1
uL1
u Al-Stab: mS ,nS
A
m2
1
v1
mS r A l
nS mg
1
l
E Al A
Schaltung:
Stab
m2 n2
v2
FW
A , r, c
l
mS ,nS
v1
m1 n1
R
vW vW
1
B0 l
uW
F W B0 l i W
iW
Näherungen:
a)
b)
mS
nS
mS 2
c)
Stab als
verlustfreier
linearer
Wellenleiter
Abbildung 8.11. Aufbau und Schaltbild eines elektrodynamischen Kalibrierschwingtisches mit Aluminiumstab
d1 = d2 : starrer Stab, Näherung a)
d1 6= d2 : Stab als Wellenleiter, Näherung b)
d1 6= d2 : Stab als Wellenleiter, exakte Lösung c)
Außerdem soll aus den berechneten Verläufen die Grenzfrequenz ig , bis zu der
die Annahme d1 = d2 mit einem zugelassenen Fehler I gültig ist, abgeleitet
werden.
Bei der Näherung a) — Stab wird als starr angesehen — wird der Schwingbolzen
im Schaltbild aus Abbildung 8.11 als Masse pS abgebildet. Durch Transformation der elektrischen Seite auf die mechanische Seite erhält man die vereinfachte Schaltung in Abbildung 8.12 mit der zusammengefassten Masse p
und Nachgiebigkeit q. Aus Abbildung 8.12 folgt für die Stabgeschwindigkeit
y=I
1
,
j$p + 1@j$q + u
266
8 Magnetische Wandler
aus der die Beschleunigung d = j$y ableitbar ist, schließlich
2
d=
E0 o
($@$ 0 )
l
p W 1 + j ($@$ 0 ) 1@T ($@$ 0 )2
mit
$ 20 =
a ,v
m2
n2
1
,
pq
mS
n
n1
1
.
$ 0 qu
1
r
m1
n1 n2
,
n1 n2
F B0 l i W
m m1 m2 mS
r K Verluste im Luftspalt und Widerstand R
a
a0
a0 1
0
T=
1
B0 ***
l iW
m
w w0
Abbildung 8.12. Schaltbild und Beschleunigungsverlauf an den Enden des
Schwingbolzens für Näherung a)
Der Verlauf von d = d1 = d2 , bezogen auf die durch das elektrodynamische
Antriebssystem erzeugte Erregung d0
d
($@$ 0 )2
=
2,
d0
1 + j ($@$ 0 ) 1@T ($@$ 0 )
d0 =
E0 o
IW
=
l
p
p W
ist ebenfalls in Abbildung 8.12 angegeben. Es ist ein typisches Hochpassverhalten mit der Resonanzfrequenz i0 erkennbar.
Betrachtet man den Schwingbolzen als Wellenleiter, dann treten Abweichungen der Beschleunigungen d1 und d2 an den Stabenden auf. Bei der Näherung
b) wird jetzt die -Schaltung des Wellenleiters für tiefe Frequenzen aus Abbildung 6.5 verwendet. Oberhalb der Resonanzfrequenz i0 kann der Ein uss der
Nachgiebigkeiten der Schwingbolzenaufhängung und der Reibung u gegenüber
der Massenwirkung vernachlässigt werden. Mit diesen Annahmen erhält man
das in Abbildung 8.13 dargestellte Schaltbild.
8.1 Elektrodynamischer Wandler
F W B0 l i W
nS
v2
m2
mS 2
mS 2
1
424
3
m1
m1
v1
nS 1
424
3
m2
a
a0
a2
1
p "a
r "a
F
"a1,2
a0
w1 1,4
2
1
a1
w1
w
w2
1 l
E A
100 %
E r l
1 2 m2 mS
w2 w1 1 wg
267
m2 mS 2
m1 mS 2
Abbildung 8.13. Schaltbild und Beschleunigungsverlauf an den Enden des
Schwingbolzens für Näherung b)
Ausgehend von der Zusammenfassung der Wandlermassen p1 , p2 und der
Stabmasse pS
p01 = p1 + pS @2,
p02 = p2 + pS @2
lassen sich die Beziehungen für die auf d0 normierten Beschleunigungsverläufe
angeben. Die Beschleunigung am Stabende (1) erhält man mit
d1 = j$y 1
und
d0 =
IW
E0 o
= 0
l
p01 + p02
p1 + p02 W
aus der aus Abbildung 8.13 ableitbaren Admittanz
y1
=
IW
1
j$p01 +
1
j$qS + 1@j$p01
=
1
+ p02 )
j$ (p01
1 $ 2 qS p02
p0 p0
1 $ 2 qS 0 1 2 0
p1 + p2
zu
2
1 ($@$ 01 )
d1
=
,
d0
1 ($@$ 02 )2
$ 02
1
1
=
,
qS p02
$ 02
2
1
=
qS p02
¶
p02
1+ 0 .
p1
In gleicher Weise erhält man die Beziehung für die Beschleunigung am Stabende (2) aus
y y
j$p01
1
y1
y1
y2
= 2 1 =
=
0
0
2
IW
y1 I W
j$qS + 1@j$p1 I W
1 $ qS p1 I W
268
8 Magnetische Wandler
zu
1
d2
=
2
d0
1 ($@$ 02 )
d2
1
=
2.
d1
1 ($@$ 01 )
bzw.
Aus den in Abbildung 8.13 angegebenen Beschleunigungsverläufen im Bereich
$ A $ 0 sind deutliche Abweichungen zwischen d1 und d2 erkennbar. Die
auf die Beschleunigungsanregung d0 bezogenen Abweichungen d1 und d2
gegenüber d1 = d2 werden durch den reduzierten Fehler I gekennzeichnet.
Schließlich wird der Schwingbolzen durch die exakte Lösung eines verlustfreien, linearen Wellenleiters durch die Kettenmatrix aus Gl. 6.5 beschrieben. Bei
Vernachlässigung der Nachgiebigkeiten der Schwingbolzenaufhängung q1 , q2
und der Reibung u erhält man die Schaltung aus Abbildung 8.14. Der Schwingbolzen wird als Vierpol mit der zugehörigen Wandlermatrix des verlustfreien
Wellenleiters abgebildet.
bg
z1 w
F 2 jwmZ v 2
v2
mZ
F1
Wellenleiter
b l , hS
ES , rS
v1
FW
FG v IJ FG 1cos bl
H F K GH j h sin bl
1
mZ
1
S
jhS sin bl
cos bl
I Fv I
JJ GH F JK
K
2
2
m1 m2 mZ , b w cS w rS E S , hS nS mS ,
nS 1
,
A ES
mS A rS ,
cS ES rS
Abbildung 8.14. Schaltbild des Kalibrierschwingtisches bei Abbildung des
Schwingbolzens als verlustfreier, linearer Wellenleiter
Ausgehend von diesem Schaltbild werden jetzt die exakten Beziehungen für
die Frequenz $ 1 der Nullstelle abgeleitet:
y1 = 0
cos ( 1 o) y 2 + jkS sin ( 1 o) I 2
y1
=
=0
1
I1
j sin ( 1 o) y 2 + cos ( 1 o) I 2
kS
mit
cos ( 1 o) + jkS j$pZ sin ( 1 o) = 0
kS $pZ =
1
1 $o
pZ
$pZ =
pZ =
o
DS fS
DoS fS
pS
I 2 = j$pZ y2
8.1 Elektrodynamischer Wandler
269
pZ
$1
sin ( 1 o) = 0
mit
1 =
pS
fS
pS
1 o tan ( 1 o) =
$ $1 .
pZ
Die Polstelle des Beschleunigungsverlaufs bei der Frequenz $ 2 kann wie folgt
berechnet werden:
cos ( 1 o) 1 o
y1 $ 4
y1
= } 1 ($ 2 ) + j$ 2 pZ = 0
I1
1
sin ( 2 o) y2 + cos ( 2 o) I 2
kS
j$ 2 pZ +
=0
mit
I 2 = j$pZ y2
cos ( 2 o) y 2 + jkS sin ( 2 o) I 2
³
´
2j$ 2 pZ kS cos ( 2 o) + j sin ( 2 o) 1 ($2 pZ kS )2 = 0
j
$ 2 pZ kS =
pZ
o
pS 2
pZ
2 2 o
pS
¶2 + tan ( 2 o) = 0 $ $ 2
pZ
1 2o
pS
mit
2 =
$2
.
fS
In Tabelle 8.1 sind für das betrachtete Beispiel die Frequenzen i0 , i1 und
i2 angegeben. Bemerkenswert ist die geringe Abweichung zwischen den mit
der einfachen Näherung b) berechneten Frequenzen i10 , i20 und den exakten
Frequenzen i1 und i2 .
Abschließend soll noch die Grenzfrequenz ig berechnet werden, bis zu der die
beiden Beschleunigungsverläufe d1 und d2 lediglich um einen vorgegebenen
Fehler I abweichen.
Näherung b):
r
¯ ¯
¯ d2 ¯
1
$g
I
¯ ¯
=
2 = 1 + I $ $0 =
¯d ¯
0
1+I
1 ($ g @$ 1 )
1 $=$ g
1
exakte Lösung:
¡ ¢
¡ ¢
y 1 = cos g o y2 + mkS $ g pZ sin g o y2 ,
mit
kS $ g pZ =
¯ ¯ ¯ ¯
¯ y 1 ¯ ¯ d1 ¯
¡ ¢
¡ ¢
¯ ¯ = ¯ ¯ = 1 I = cos g o pZ g o sin g o $ $ g
¯y ¯ ¯d ¯
pS
2
2
g =
$g
.
fS
pZ
o
pS g
270
8 Magnetische Wandler
Tabelle 8.1. Zahlenwerte für die Frequenzen i0 , i1 , i2 und ij des Kalibrierschwingtisches
Beispiel:
A 4 cm 2 , l 100 mm,
ES 6,9 10
10
n1 n2 10
4
r 2,7 103 kg m 3 Al , cS 5 103 m s 1
b g
2
N mm , m1 m2 mZ 50 g, mS 108 g
m N 1 , nS 3,6 10 9 m N 1
Näherung b)
nS
mZ
f0 35 Hz
exakte Lösung c)
mZ
v2
mZ
v1
mZ
bl
hS
v2
v1
mS 2
f
der
f1 Frequenz
Nullstelle von
a1
der
f2 Frequenz
Polstelle von a1 , a 2
fg Grenzfrequenz
bei F 2 %
kHz
f
kHz
8,11
8,75
11,47
16,55
112
,
114
,
8.2 Elektromagnetischer Wandler
Aufgrund der deutlich höheren Energiedichte zmag im magnetischen Feld gegenüber der Energiedichte zel im elektrischen Feld
zmag =
1 E02
= 0> 4 · 106 W s m3 mit E = 1 V s m2 <
@
0
2 0
1
zel = %0 H02 = 4> 4 W s m3
2
mit H0 = 1 kV m1
>
zmag
105
zel
werden elektromagnetische Wandler vor allem für aktorische Anwendungen,
z. B. als Antriebselemente in elektromechanischen Relais und Stelleinrichtungen, als Zug- und Lastmagnete sowie für Klein- und Schrittmotoren verwendet.
Auf die Anwendung in Motoren wird hier nicht eingegangen und daher auf die
Ausführung in [63] und [64] verwiesen. Stelleinrichtungen, zunehmend als Aktoren bezeichnet, werden zur Beein ussung technischer Prozesse verwendet.
Neben den Sensoren und der Informationsverarbeitungseinheit stellen sie die
dritte wesentliche Komponente bei der Steuerung und Regelung technischer
Prozesse dar. Eine Übersicht zu den verschiedenen Aktor-Prinzipien ist in [22]
8.2 Elektromagnetischer Wandler
271
angegeben. Die weiteren Ausführungen konzentrieren sich auf die Linearisierung der Wandlerkennlinie, die Ableitung der Wandlervierpolschaltung und
Anwendungen in der Mikro- und Feinwerktechnik sowie in der Mechatronik.
8.2.1 Ableitung des Wandlervierpolschaltbildes
Bei der quasistatischen Beschreibung elektromagnetischer Aktoren wird bei
Vernachlässigung von Trägheits- und Reibungskraft von der in Abbildung
8.15 dargestellten Kräftebilanz I = Imag Imech unter Verwendung der in
Abbildung 8.16 abgeleiteten nichtlinearen Magnetkraft Imag ausgegangen.
a)
le
A
)
i
l0
w
u
v
l
F
me 1
uw
Fn
m
Fm
F ZL
Fn
m
i w
, l l0 "l , l0 l ) 0, F 0
Rmag
b
E
F
r
Fm
d)
, m0 4 10 7 V s A 1 m 1
dt
Randbedingungen:
n
Fmag
m0
Fmag
)
)
)
1
)
b)
"l 3 4n
2
g
me 1 , keine Magnetfeldstreuung
F Fmag Fmech
Fmech 1
d2x
dx
xm 2 r
n
dt
dt
Abbildung 8.15. Modell des elektromagnetischen Wandlers
1 Spule, 2 weichmagnetischer Kern - Joch, 3 Luftspalt, 4 weichmagnetisches Antriebselement - Anker
Der dynamische Entwurf dagegen basiert auf der Linearisierung der Wandlerkennlinie. Aus der Betrachtung des Kleinsignalverhaltens um den eingestellten Arbeitspunkt lässt sich auch für den elektromagnetischen Wandler eine
Schaltung ableiten. Sie entspricht der bereits in Abbildung 7.8 dargestellten
Grundschaltung magnetischer Wandler mit transformatorischer Verkopplung.
Gegenstand der weiteren Ausführungen ist die anschauliche Ableitung der
Vierpolschaltung des elektromagnetischen Wandlers aus dem in Abbildung
8.15 gezeigten Wandlermodell, die Erläuterung der dabei angenommenen
Randbedingungen und die experimentelle Bestimmung der Bauelemente.
272
8 Magnetische Wandler
Ausgangszustand
Zustand nach virtueller Verrückung
"l
A
wmag
wmag
Fmag
B,H
l0
m0
Fmag
B,H
l
)
durchflutete Polflächen
Wmag wmag A l0 1 B2
A l0
2 m0
"Wmag Fmag "l
Fmag Fmag
m0
Wmag "Wmag
Wmag "Wmag 1 B2
A l0 "l
2 m0
b
FG IJ
H K
)2
w i
1 B2
1
A
A m0
l
2 m0
2 m0 A 2
g
2
Fmag
~ i2
1
~
i
)
L i
B
A w A
l2
l
H B m0
dWmag
L w 2 m0 A l
wmag l l0 "l
dV A "l
dV
1 B2
2 m0
Abbildung 8.16. Berechnung der Magnetkraft aus der Energiedichte bei virtueller
Verrückung des Ankers
Durch Einspeisung des Stromes l in die Spule mit z Windungen wird der
Fluß
im Magnetkreis, der aus dem xierten Joch, dem Luftspalt o0 und
dem durch eine Feder q gehaltenen Anker mit der Masse p besteht, erzeugt.
Zwischen den beiden Trenn ächenpaaren, die den Luftspalt begrenzen, wirkt
die Magnetkraft Imag . Der Magnetkraft entgegengerichtet wirkt die durch die
Auslenkung o der Feder und die Trägheitskraft hervorgerufene mechanische
Kraft Imech . Der magnetische Widerstand der Eisenteile ist gegenüber dem
des Luftspaltes zu vernachlässigen.
Die Berechnung der magnetischen Anziehungskraft im quasistatischen Fall
erfolgt durch die Anwendung der Energiebilanz bei virtueller Verrückung o
des Ankers in Abbildung 8.16. Als Ergebnis ist die Magnetkraft
Imag
1
1 l2 O2
= D0
=
2 0 z2 D
2
zl
o
¶2
(8.5)
8.2 Elektromagnetischer Wandler
273
quadratisch vom Speisestrom l und umgekehrt quadratisch von der Luftspaltlänge o abhängig.
Wird nun die Spule mit Wechselstrom gespeist, so erhält man wegen der quadratischen Kennlinie ein mit doppelter Frequenz verzerrten Kraftverlauf:
Imag =
1 ˆ~2 O2
(1 cos (2$w))
2 0 z2 D
(8.6)
Hier kann jetzt durch die Arbeitspunkteinstellung, hervorgerufen durch einen
• zusätzlichen Gleichstromanteil L0 oder der
• Erzeugung eines Gleich ussanteils
0
durch einen Dauermagneten
und Auslenkung mit ˆ~ sin ($w) um diesen Arbeitspunkt — Kleinsignalverhalten — ein näherungsweiser linearer Zusammenhang gesichert werden. Für die
Magnetkraftänderung Imag gilt dann die Beziehung:
Imag = Imag I0 =
mit
¢
1 O2 ¡
2L0ˆ~ sin ($w) + ˆ~2 sin2 ($w)
2
2 0 z D
I0 =
(8.7)
1 O2 L02
2 0 z2 D
und dem Linearitätsfehler
Ilin =
ˆ~2 sin2 ($w)
? 102 .
2L0ˆ~ sin ($w)
Elektromagnetische Stelleinrichtungen werden im Großsignalverhalten im Stellbereich 5 bis 30 mm betrieben. Hier erfolgt eine eingeschränkte Linearisierung
(Linearitätsfehler im Arbeitsbereich ca. 5 bis 20%) durch die geometrische
Formgebung des Jochs und Ankers.
Bei der Ableitung des Kleinsignal-Wandlerschaltbildes für den dynamischen
Fall wird aufgrund des sehr geringen Linearitätsfehlers bei Arbeitspunkteinstellung des Wandlers der quadratische Anteil der Magnetkraft vernachlässigt.
Ausgehend von den zwei Wandlergrundgleichungen des Modells aus Abbildung 8.17
2
I = Imag Imech =
und
l=
20 D
1
d2 d
p 2 u
q
dw
dw
z
o
=
O
z0 D
(8.8)
(8.9)
erhält man für I und l in der Umgebung des Arbeitspunktes mit o0 als
Luftspaltlänge nach der Arbeitspunkteinstellung
274
8 Magnetische Wandler
I = I I0 =
CI
( C
mit
0 > o0 )
I0 = I (
und
l = l L0 =
le
2
0
=
20 D
0)
+
CI
(o o0 )
Co
1
(o o0 ) = 0
q
(8.11)
0)
+
Cl
(o o0 ) .
Co
(8.12)
Cl
( C
"l
A
A
F Fmag Fmech
Fmag )0 ")
i I 0 "i
l0*
w
Fmag
Dauermagnet
)0
i
F F0 "F
l
L
) )0 ")
me 1
)2
2 m0 A
A 2A v
n
u
(8.10)
) w
L
w 2 m0 A
2 l0*
x l0* l
m0
m
im Arbeitspunkt:
d
l0* l ) )0 , F F0
i
Abbildung 8.17. Modell des elektromagnetischen Wandlers mit Arbeitspunkteinstellung durch einen Gleichstrom L0 oder einen Dauermagneten 0
Für den quasistatischen Fall wird die Trägheitskraft und die Reibkraft vernachlässigt. Alle partiellen Ableitungen erfolgen an der Stelle 0 und o0 . Damit
erhält man folgende Beziehungen für die Ableitungen:
¯
¯
CI ¯¯
1
CI ¯¯
0
,
=
=
¯
¯
C
0 D
Co 0 >o
q
0 >o
0
¯
Cl ¯¯
C ¯
0
=
0 >o0
z
,
O
¯
Cl ¯¯
Co ¯
=
0 >o0
0
z0 D
Da man von einer sinusförmigen Auslenkung um den Arbeitspunkt ausgeht,
werden im nächsten Schritt komplexe Amplituden
o0 o = $ , I I0 = I $ I ,
0
= $ , l L0 = l $ l
8.2 Elektromagnetischer Wandler
275
eingeführt und man erhält für die Wandlergleichungen:
I =
l=
0
z
O
z0 D
Schließlich ergeben sich mit x = j$z
I+
1
q
0 D
+
0
(8.13)
(8.14)
und y = j$ die Wandlergleichungen:
<
1
1
0
y = IW =
xA
A
@
j$q
j$ z0 D A
A
A \ = j$
1
1
0
>
x = lW =
y A
l+
j$O
j$ z0 D
z0 D
0
Der Wandler weist eine gyratorische Verkopplung mit der imaginären Wandlerkonstante \ auf. Da das Ziel in der Sicherung einer reellen, frequenzunabhängigen Wandlerverkopplung besteht, erfolgt die Umstellung der Wandlergleichungen nach x> I = i (l> y):
x j$Ol = xW =
0z
y
o0
(8.15)
¶
1
1
0
0z
j$Ol + y y
j$ z0 D
o0
j$q
¶
2
1 1
0z
0
y = IW = l
I+
j$ q 0 Do0
o0
I =
(8.16)
Zwischen den elektrischen und mechanischen Größen besteht jetzt eine transformatorische Verkopplung mit der reellen Wandlerkonstante
[=
o0
.
0z
(8.17)
Wird nun der Maschen- und Knotensatz auf die Gln. (8.15) und (8.16) angewendet, so folgt das in Abbildung 8.18 angegebene Wandlerschaltbild.
Welche anschauliche Bedeutung weisen die Wandlerbauelemente auf?
Wird der Anker festgehalten, mechanisch festgebremster Fall (y = 0), so kann
man an den elektrischen Eingangsklemmen die Impedanz
] = U + j$Ob
mit
Ob = O (o0 ) =
z2 0 D0
o0
messen. Für diesen Fall ist zur Verhinderung der Ankerauslenkung die Kraft
I W = (1@[) l aufzubringen. Im umgekehrten Fall ergibt sich bei Aufprägung
276
8 Magnetische Wandler
R
u
Lb
i
uW
Transformator
FW
1
v
X
i X FW
nI
uW F
v
n
123
nL
Widerstand der Erregerspule:
R
Induktivität im festgebremsten Zustand:
Lb transformatorische Wandlerkonstante:
X
negative Nachgiebigkeit durch
Wirkung des Magnetfeldes:
nI X 2 Lb
Nachgiebigkeit der Feder:
n
resultierende Nachgiebigkeit im
elektrischen Leerlauf:
)02
1
1
1
1
nL n nI n m0 A l0*
w 2 m0 A l0*
l0*
)0 w
, A 1
A
2
l0*
B0 A w
Abbildung 8.18. Vierpolschaltbild des verlustfreien elektromagnetischen Wandlers
für Kleinsignalverhalten
der Geschwindigkeit y die Wandlerspannung xW = (1@[) y.
Im elektrischen Leerlauf l = 0 ist auf der mechanischen Seite die Nachgiebigkeit qL messbar. Dabei setzt sich qL aus der Nachgiebigkeit q der Feder und
einer durch das magnetische Feld erzeugten negativen Nachgiebigkeit qL zusammen. Die negative Feldnachgiebigkeit qL = [ 2 Ob ergibt sich durch die
unterstützende Wirkung des durch die Arbeitspunkteinstellung vorhandenen
magnetischen Feldes.
Im Fall des elektrischen Kurzschlusses x = 0 wird auf der mechanischen Seite bei der Vernachlässigung von U lediglich die mechanische Nachgiebigkeit
q = qK gemessen.
Die Ankermasse p = YA und die Reibung u im Luftspalt bzw. Verluste
der Feder wurden in Abbildung 8.18 zunächst nicht berücksichtigt. Bei der
dynamischen Betrachtung konkreter Anwendungsbeispiele sind diese Bauelemente auf der mechanischen Seite parallel zur Nachgiebigkeit qL einzufügen.
Außerdem wurde bei der Ableitung des Wandlermodells wegen h À 0 die
Magnetfeldstreuung vernachlässigt.
Für die Transformationsbeziehungen zwischen der elektrischen und mechanischen Netzwerkseite gelten die bereits in Tabelle 7.2 angegebenen Beziehungen. Eine nochmalige Zusammenfassung der Beziehungen für die Bauelemente
und Transformationen im Vergleich zum elektrodynamischen Wandler enthält
Tabelle 8.2.
8.2 Elektromagnetischer Wandler
277
Tabelle 8.2. Schaltbild, Bauelemente- und Transformationsbeziehungen für die verlustfreien magnetischen Wandler
elektromagnetischer Wandler
A
i
) )0
n ,r m F
m,V A
m0
l0*
w,d n,r
u
elektrodynamischer Wandler
hS h
B0
v
r
b
F
me 1
i
B0
u
Schaltbild
verlustfreier Wandler
Lb
i R
FG u IJ FG X1
H i K GH 0
W
X
l0*
B0 A w
Lb
m0 w 2
F
FW
Transformator
uW
u
nL
v w,l
IF v I
JJ G J
XK HF K
0
n
nI
W
FG
H
m0 w 2 2 r h
2 hS
1
b
3 h
l0*
nI X 2 Lb
R
IJ
K
n
r VS
1
,
w0 Q nL
rD l
,
AD
r
v
123
nL
r VA
m
1
r
1
B0 l
A
n parallel nI ,
m
w 20 1
nL m
l 2r w
Transformationsbeziehungen
mechanisch
Cm mX ,
Rr 1
r X
2
elektrisch
Ln n X
2
,
Z
h
X
2
elektrisch
mC C X ,
2
2
1
z X
2
Reihenschaltung
Parallelschaltung
rR mechanisch
nI L X 2
1
1
, h Z X 2, z 2
R X
Z X2
Reihenschaltung
Parallelschaltung
278
8 Magnetische Wandler
Beim Vergleich der maximal erzielbaren Kräfte Imax beider Wandler werden
die unterschiedlichen Anwendungen verständlich. Wird von den technischen
Grenzwerten für Flussdichte und elektrische Stromdichte
E0 = 2 V s m2 ,
M=
l
= 10 A mm2 ,
DD
typischen geometrischen Abmessungen (D Querschnitts äche des Eisenkreises,
g Durchmesser des Spulendrahtes, DG Querschnitts äche des Spulendrahtes)
D = u2 = 100 mm2 ,
g = 0> 3 mm,
DD = 0> 07 mm2
und einer Windungszahl z = 300 ausgegangen, so erhält man mit
Idyn = E0 ol,
l = MDD = 0> 7 A,
und
Imag = E02 D
o = 2uz = 10 m
1
0
die Maximalkräfte
Idyn = 15 N,
Imag = 300 N.
Daher werden für Anwendungen mit großen Stellkräften ausschließlich elektromagnetische Wandler verwendet. Dagegen werden elektrodynamische Wandler
für aktorische und sensorische Anwendungen, bei denen ein möglichst lineares
Übertragungsverhalten im Vordergrund steht, eingesetzt.
Die Ankerbewegung kann auch parallel zu den Pol ächen erfolgen. Die Vorteile
dieser Anordnung — Reluktanzprinzip — liegen im größeren Hub und bei Vernachlässigung der Magnetfeldstreuung in einer bereits ohne Arbeitspunkteinstellung linearen Kraft-Weg-Kennlinie. Das dynamische Verhalten kann ebenfalls mit dem Schaltbild aus Abbildung 8.18, allerdings mit veränderten Bauelementegleichungen, berechnet werden.
8.2.2 Anwendungsbeispiele
Als Anwendungsbeispiele des elektromagnetischen Wandlers wird anschließend der dynamische Entwurf eines elektromechanischen Relais und eines
elektromagnetischen Schwingförderers erläutert. Als drittes Beispiel wird der
Entwurf eines elektromagnetischen Stellantriebs und die Einordnung dessen
Leistungskennwerte zu alternativen Aktorprinzipien behandelt.
Elektromechanisches Relais
Der Grundaufbau eines elektromechanischen Relais und typische Kennwerte
sind in Abbildung 8.19 angegeben. Gegenüber Halbleiterschaltern sind vor allem die galvanische Trennung von Betriebs- und Schaltstromkreis, der geringe
8.2 Elektromagnetischer Wandler
Klappanker
Elektromagnet
Joch
Schließer
7
max. Schaltfrequenz:
Ansprechzeit:
Prelldauer:
Isolationswiderstand:
iB
iS
6
e10 K 10j A
Schaltspannungsbereich: e10 K 380j V
Durchgangswiderstand: b1 K 100g m%
Steuerleistung:
b70 K 4000g mW
Schaltstrombereich:
Grundaufbau:
279
Spannungsfestigkeit:
20 Hz
b1 K 30g ms
b0,5 K 10g ms
e10 K 10 j %
b0,5 K 25g kV
2
6
Abbildung 8.19. Grundaufbau und typische Kennwerte eines elektromechanischen
Relais
Durchgangswiderstand, die hohe Spannungsfestigkeit und der hohe Isolationswiderstand vorteilhaft. Der Relaisantrieb erfolgt durch einen elektromagnetischen Wandler.
Wird die Ankermasse p und die Reibung u des Relais vernachlässigt, so weist
das Relais als Übertragungsverhalten eine Tiefpasscharakteristik auf. Dieses
näherungsweise Übertragungsverhalten wird in Abbildung 8.20 aus dem vereinfachten Relaisschaltbild abgeleitet.
In Abbildung 8.21 ist das Ein- und Ausschaltverhalten im Zeitbereich dargestellt. Durch die induzierte Gegenspannung beim Schließen des Relais wird
der mit der Zeitkonstante O@U verlaufende Strom uss reduziert und es stellt
sich ein neuer Verlauf mit der Zeitkonstante O1 @U ein.
Die Weiterentwicklung der Relais verläuft in Richtung miniaturisierter Bauformen, die auch Array-Anordnungen ermöglichen. Die verstärkte Anwendung
der Silizium-Mikrotechnik stellt für die nahe Zukunft eine vielversprechende
Alternative zu den klassischen feinwerktechnischen Relais-Realisierungen dar.
Erste Prototypen mit elektrostatischem Antrieb wurden bereits mit reproduzierbaren Kennwerten erprobt [65].
Die typischen Kennwerte elektromechanischer Relais sind in Tabelle 8.3 denen
von Halbleiter-Relais gegenübergestellt. Den prinzipiellen Nachteilen, wie
• begrenzte Lebensdauer auf 107 bis 109 Schaltspiele
• größerer Ansprechzeit und
• Alterserscheinungen bei der Kontaktgabe
280
8 Magnetische Wandler
x
n
l0
i
Lb
R
i
Ln u
F
u
nK
X2
m
R, L
L Lb Ln
i
u
i
1
u R
1R
1 2R
1
w
1 j
w0
, w0 R
L
w w0
1
Abbildung 8.20. Näherungsweises Übertragungsverhalten des elektromechanischen Relais (Masse p und Reibung u vernachlässigt)
Einschalten:
u
U0
Einschaltzeitpunkt t0 :
t
i
T0 I0
i1
L1
L0 T1 R
R
t t0 :
t2 t0
t1 t2
e
b
j
g
Fmag Fmech Beginn der
Ankerbewegung
t1 t t2 :
Vergrößerung von L Zunahme
von )
induzierte Gegenspannung
Verringerung von i
t t2 :
Beendigung der Ankerbewegung
x l0 , L L1
t t2 :
Stromanstieg auf I0 U 0 R mit
neuer Zeitkonstante T1 L1 R
t
t0
U0
1 e R L0 t
R
L0 L x 0
Stromanstieg i t t1 :
t
x
l0
x0
t3 t4 t5
Ausschalten:
x l0
: Anzugsgesamtzeit
Ausschaltzeitpunkt t3 :
t1 t0
: Anzugsverzögerungszeit
t t4 :
t2 t1
: Anzugszeit
Fmech Fmag Beginn der
Ankerbewegung
t t5 :
Ende der
Ankerbewegung
Abbildung 8.21. Zeitverläufe vom Betriebsstrom l und Ankerbewegung beim
Ein- und Ausschalten eines Relais
8.2 Elektromagnetischer Wandler
281
stehen jedoch auch wesentliche Vorteile, wie
• niedriger Durchgangswiderstand
• hoher Sperrwiderstand
• hohe Belastbarkeit und
• geringe Temperaturabhängigkeit der Kennwerte
bei elektromechanischen Relais gegenüber. Diese Vorteile werden den elektromechanischen Relais auch zukünftig vielfältige Anwendungsaufgaben sichern.
Tabelle 8.3. Gegenüberstellung ausgewählter Kennwerte von elektromechanischen
Relais und Halbleiter-Relais
elektromechanisches
Halbleiter-Relais
Relais
Kennwerte
Hz
10 = = = 1000
108
mW
10 = = = 4000
5 · 1034 = = = 300
Ansprechzeit
ms
0> 5 = = = 30
1036 = = = 1
Prelldauer
ms
0> 5 = = = 10
0
Durchgangswiderstand
ml
1 = = = 200
10 = = = 105
Isolationswiderstand
zw. d. oenen Kontakten
zw. Ein- und Ausgang
Ml
Ml
102 = = = 106
102 = = = 106
1032 = = = 102
103 = = = 106
Spannungsfestigkeit
zw. d. oenen Kontakten
zw. Ein- und Ausgang
kV
kV
0> 5 = = = 25
0> 5 = = = 25
1032 = = = 1
5 · 1033 = = = 20
Schaltzahl
107 = = = 109
nicht begrenzt
max. Schaltfrequenz
Steuerleistung
Lebensdauer
Elektromagnetischer Schwingförderer
In Abbildung 8.22 ist das Konstruktionsprinzip des elektromagnetischen Antriebs eines Schwingförderers angegeben. Die Linearisierung des Wandlers erfolgt durch Arbeitspunkteinstellung mittels eines Permanentmagneten. Für
282
8 Magnetische Wandler
Auslenkungen um diesen Arbeitspunkt kann man zur Berechnung des dynamischen Übertragungsverhaltens näherungsweise die Wandlerschaltung aus
Abbildung 8.18 verwenden. Dieses Schaltbild ist für Stromspeisung unter Berücksichtigung der Schwingmasse p und Reibung u ebenfalls in Abbildung
8.22 angegeben.
n 0,3 10 4
F
n
v
10
m
1
m 40 g
m
N
A 100 mm 2
10
l0 1 mm
me 103 m0
20
10
V s
m2
V s
m0 1,257 10 6
A m
B0 0,2
30
1000 Wdg
0,35 R1 14 %
10
1000 Wdg
50
0,35 R2 14 %
me 1
Schaltbild:
R R1 R2
i
Q2
FW
Lb
uW
1
v
X
i X FW
uW nL
F
m
v
1
w0 nK
Q
1
w 20 nK m
r
r
Abbildung 8.22. Elektromagnetischer Wandler zur Krafterzeugung am Schwingförderer
Zunächst sollen die Vierpolparameter nach der Arbeitspunkteinstellung gemäß = 0 , o = o0 berechnet werden:
0
= E0 D = 2 · 105 V s,
z 0
1
= = 44 V s m1 ,
[
o0
qL =
o0 = o0 q
Ob =
qL q
= 0> 51 · 104 m N1
q + qL
2
0
0 D
= 0> 904 mm
z2 0 D
= 140 mH,
o0
U = 28
8.2 Elektromagnetischer Wandler
283
mit
qL = [ 2 Ob = 7> 2 · 105 m N1 = 2> 4q.
Als aktorische Kenngrößen werden im zweiten Schritt die Kurzschlusskraft
ÎK bei sinusförmiger Anregung mit
ÎK =
ˆ=
1 <
ˆ~ A
A
[ @
A
A
>
0
3
zu
ˆ = 1 lOb $ ˆ~max = 1
z
3
ÎK = 2> 1 N
mit
0
z
Ob
ˆ~max = 48 mA
berechnet. Die hierfür erforderliche elektrische Leistung ergibt sich zu
S = ˜~2max U = 33 mW
n o
Der Leerlaufausschlag ˆ L
max
L =
zu
1
y ,
j$ L
für
1
x̃ = s ˆ~max U = 0> 95 V.
2
ergibt sich mit
y L = j$qL I W ,
n o
ˆ
L
IW =
1
l
[
qL
ˆ~max = 0> 15 mm.
[
Für den Stabilitätsgrenzwert g gilt nach Abbildung 8.23
max
=
r
g = o0 og = o0 1 3
q
2
[ Ob
¶
= 0> 57 mm.
Für die Ruheauslenkung 0 erhält man
0 = o0 o0 = 0> 096 mm.
Damit erfüllt der maximale Leerlaufausschlag die Bedingung
{ L }max ¢
1¡
g 0 .
3
Die Stabilitätsgrenze kennzeichnet den Abstand der Pol ächen, ab der sich
der Anstieg der Kraftkennlinie in Abbildung 8.23 umkehrt. Im oberen Teilbild
aus Abbildung 8.23 ist der Verlauf der magnetischen und der mechanischen
Kraftkennlinie einschließlich der Arbeitspunkteinstellung o = o0 dargestellt.
Das untere Teilbild zeigt den Verlauf der wirkenden Gesamtkraft und den
Grenzwert og für die Stabilitätsgrenze. Die Stabilitätsgrenze og wird durch
Ableitung der Kraftkennlinie im Punkt o = og
284
8 Magnetische Wandler
Fi
Fmech
Fmag
1n
1 nI
0
l0*
l0
l
Fmag Fmech
F
d
i
l )0 , F 0 l0*
l0* l0 n
1 nL
0
)0
m0 A
x l0* l
lg
l0* l0
l
Abbildung 8.23. Arbeitspunkteinstellung und Stabilitätsgrenze des elektromagnetischen Wandlers
¯
¶3
1
o0
1
1
CI ¯¯
=
=0$ 2
= 0,
¯
Co og
qL
q [ Ob og
og
=
o0
r
3
q
[ 2 Ob
berechnet.
Schließlich sollen im dritten Schritt die dynamischen Übertragungseigenschaften des Antriebs bestimmt werden. Hierzu transformiert man im Schaltbild
aus Abbildung 8.22 die mechanischen Bauelemente auf die elektrische Seite.
Das transformierte Schaltbild und der Verlauf der Übertragungsfunktionen
y@l und @l sind in Abbildung 8.24 angegeben. Zur Sicherung der maximalen
Geschwindigkeit bzw. des maximalen Hubes wird der Schwingförderer in der
Nähe seiner Resonanz $ $0 betrieben. Der Strom im Resonanzpunkt ergibt
sich mit
ŷmax = $ 0 ˆ max = {x̂W } [ = ˆ~max Uu [
zu
$ 0 ˆ max
67
ˆ
=
mA
für
max = 0> 15 mm.
Uu [
T
Für T = 2 beträgt die hierzu erforderliche Leistung
ˆ~max =
Sel = ˜~2max (U + Uu ) = 95 mW
bei einem Wirkungsgrad von
=
Smech
Uu
= 0> 83.
=
Sel
Uu + U
8.2 Elektromagnetischer Wandler
i
r
Ln R
Lb
28 %
140 mH
nK
uW
Q
f0 2 nL m
69 % Q
112 Hz
v
X Ln w 0
i
x
i
0
1
1
r X2
u
v
X W
i
i
L
X
v
i
Ln X
Rr 21 $F
99 mH
1
1
N s
28
Q w 0 nL Q
m
v x
,
i i
Cm X 2 m
X2
285
1
j
1 j
w
w0
FG IJ
H K
w 1
w
w0 Q
w0
2
w
w0
Abbildung 8.24. Übertragungsverhalten des Schwingförderers
Elektromagnetischer Stellantrieb
Eine besonders wichtige Anwendung des elektromagnetischen Wandlers ist
sein Einsatz als Antrieb für Stelleinrichtungen zur Beein ussung von hydraulischen oder pneumatischen Fluidströmen. Vorzugsweise wird er als Kurzhubelement in der Bauform eines Topfmagneten verwendet (s. Abb. 8.25). Die
Bestromung der Erregerspule erfolgt mit Gleichstrom. Wechselstromspeisungen sind eher die Ausnahme.
Zur Sicherung einer zum Erregerstrom näherungsweise proportionalen Stellbewegung muss die Magnetkraft-Kennlinie linearisiert werden. Dies erfolgt
durch eine spezielle Formgebung der Anker-Joch-Systeme. Bei sonst gleichen
Hauptabmessungen des Gleichstrommagneten in Abbildung 8.26 wird durch
konstruktive Veränderungen der magnetische Leitwert des Luftspaltes und
damit die Kraftkennlinie verändert.
In Tabelle 8.4 werden elektromechanische Wandler hinsichtlich ihrer Eignung
als Aktoren an Hand ausgewählter Merkmale verglichen. Dabei stellt der elektromagnetische Wandler für möglichst große Kraft und Stellweg die günstigste
Antriebstechnik dar. Die Maximalkraft wird durch die zulässige thermische
Verlustleistung und die Sättigung des Magnetmaterials begrenzt.
In Abbildung 8.27 ist der typische Aufbau eines elektromagnetischen Aktors
als Kurzhubelement und dessen statische Kennlinie mit Kennlinienbeein ussung und Gegenfeder angegeben. Der verfügbare Stellbereich ist größer als
ohne Kennlinienbeein ussung.
286
8 Magnetische Wandler
Magnetkörper - Joch
Luftspalt
Erregerspule
Anker
a)
b)
c)
Abbildung 8.25. Grundbauformen von Elektromagneten für translatorische Ankerbewegungen [22, 66]
a) Topfmagnet (Tauchanker); b) U-Magnet (Flachanker); c) E-Magnet (Flachanker)
Fmag
Fmag
Fmag
lL
lL
lL
a)
lL
lL
lL
b)
c)
Abbildung 8.26. Qualitativer Verlauf der Kraft-Kennlinien für verschiedene Ankergegenstücke [63]
u
x
Fmag
i3
i
Feder n
Fmag
Fn
i2
i1
Last mL
Spule w
Anker mA
(Stößel)
Stellbereich
xmax x
Abbildung 8.27. Elektromagnetischer Aktor als Topfmagnet und statische Kennlinie im konstruktiv linearisierten Betriebsfall
8.2 Elektromagnetischer Wandler
287
Tabelle 8.4. Vergleich der elektromechanischen Wandler für Aktoranwendungen
Wandlerart
typische
Stellkräfte
Stellwege
Bauform
[N]
[mm]
Besonderheiten
-
nichtlineare Kraftkennlinie
elektromagnetische
Hubmagnet,
Aktoren
Toporm
10 - 300
1 - 30
-
Kraft von
Auslenkung abhängig
-
in Grenzen durch
Bauform kompensierbar
elektrodynamische
Aktoren
-
Tauchspule
Schwingspule (Voice
1 - 20
Kraft unabhängig
von Auslenkung
5 - 30
-
Coil Aktor)
lineare Kraftkennlinie
Hubbegrenzung durch
Streufeld
piezoelektrische
Aktoren
(Piezo-Keramiken)
Stapelaktor,
Biegeaktor
100 - 5000
0,01 - 0,20
Kamm- und Wanderelektrostatische
Aktoren
keilanordnungen,
gestapelte Polymer-
-
Hystereseverhalten
-
großes Miniaturisierungs-
Alterungserscheinungen
potential
0,02 - 2
aktoren
0,1 - 5
-
Herstellungsmöglichkeit
im Batch-Prozess
-
hohe Betriebsspannungen
Das quasistatische Schaltverhalten des elektromagnetischen Aktors ist für die
Schaltspannung und den Erregerstrom in Abbildung 8.28 dargestellt. Ähnlich wie beim elektromechanischen Relais erfolgt bedingt durch die Federkraft
und die induzierte Gegenspannung eine verzögerte Ankerbewegung. Analog
erfolgt das Abschalten trotz Abschaltspannungsspitze verzögert. Das dynamische Verhalten des elektromagnetischen Aktors lässt aus der in Abbildung
8.29 dargestellten Schaltung ermitteln. Für den niederfrequenten Bereich wurde die Spuleninduktivität gegenüber ihrem Widerstand vernachlässigt. Für die
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsübertragungsfunktion gilt:
Ey =
1
y
$ 0 qL
1
j ($@$ 0 )
, T=
=
, $ 20 =
2
x
U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T ($@$ 0 )
qL p
$ 0 qL u
E =
qL
1
=
.
x
U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T ($@$ 0 )2
Die dazugehörigen Amplitudenfrequenzgänge entsprechen den bereits in Abbildung 8.6 angegebenen Verläufen des elektrodynamischen Antriebssystems.
288
8 Magnetische Wandler
u,i
u
U0
I0
i
Ian
i
Iab
t11
t12
t1
t11 Anzugsverzug
US
.
x,x
.
xe1
x0
t1 Anzugszeit
t
t2
t22
t12 Hubzeit
t21
t2 Abfallzeit
.
x
t21 Abfallverzug
x
x
t22 Rücklaufzeit
t
US Abschaltspannungsspitze
.
x
.
-xe2
Abbildung 8.28.
Gleichstrom-Aktors
R
u
Quasistatisches Schaltverhalten des elektromagnetischen
FW
i
uW
1
×v
X
nI
i = X ×FW
FW =
F
uW =
n
m
1
r
v º
u
R ×X 2
nL
m
1
v
r
123
nL
Abbildung 8.29. Schaltung des Elektromagneten zur Berechnung des dynamischen
Übertragungsverhaltens
8.3 Piezomagnetischer Wandler
Die dritte praktisch wichtige Klasse der magnetischen Wandler bilden die piezomagnetischen Wandler. Einige ferromagnetische Stoe (Metalle und Keramiken) weisen eine ausgeprägte quadratische Verknüpfung zwischen den mechanischen und magnetischen Feldgrößen
V K2
für
W =0
E2 W
für
K =0
und
auf. Die im Magnetfeld erzeugte Längenänderung wird als Magnetostriktion
bezeichnet. Umgekehrt wird durch eine Längenänderung eines magnetostriktiven Stoes eine elektrische Spannung in der ihn umgebenden Spule induziert.
8.3 Piezomagnetischer Wandler
289
Für hohe Feldstärken tritt bei der in Abbildung 8.30 skizzierten Gestaltsänderung eine Sättigung auf, die als Sättigungsmagnetostriktion VS bezeichnet
wird.
R "R
A
bg
it
R
bg
ut
S
x
x
l
S
SS
10 5 K 10 3
l
w, L
&"H
3
ferromagnetisches
Material
2
1
0
H0
H
Abbildung 8.30. Magnetostriktion bei ferromagnetischen Werkstoen
Die Magnetostriktion beruht vor allem auf einer Richtungsänderung der magnetischen Domänen im ferromagnetischen Sto in Abhängigkeit von der Ausrichtung des äußeren Magnetfeldes — Joule-Eekt (1842). Obwohl dieser Effekt zu einer Gestaltsänderung des Stoes führt, ist er volumeninvariant.
Im Folgenden werden die nach Linearisierung gültigen Zustandsgleichungen
aufgestellt und aus ihnen die Vierpolschaltung des piezomagnetischen Wandlers abgeleitet. Ausgehend von diesem Schaltbild und den Kennwerten technisch wichtiger Werkstoe werden abschließend Anwendungen in der Mikround Feinwerktechnik erläutert.
8.3.1 Ableitung des Wandlervierpolschaltbildes
Werden die in Abbildung 8.30 angegebenen Feldgrößen — hier vereinfacht als
ortsunabhängig angenommen — durch die zugehörigen integralen Größen
= E3 D,
=
O
l,
z
I = W3 D
ersetzt, mit z als Windungszahl und O als Spuleninduktivität, so ergibt
sich im mechanisch festgebremsten Zustand die nichtlineare magnetostriktive
Kraft
¶2
2
1 1 O
1
1
2
= N
l ,
Imst = NDE = N
2
2 D
2 D z
mit N als Materialkonstante. Für quasistatische aktorische Anwendungen —
Großsignalverhalten — dieser Werkstoe stört der nichtlineare magnetostriktive Eekt oftmals nicht. Bei technischen Anwendungen als linearer Wandler
(z. B. Sensoren) wird die quadratische Abhängigkeit durch den Gleich uss
290
8 Magnetische Wandler
0 linearisiert. Für den Fall, dass die remanente Magnetisierung zu gering
ist, wird der Gleich uss 0 durch eine additive Gleichkomponente L0 zum
Signal l (w) oder durch einen zusätzlichen Permanent- oder Elektromagneten
erzeugt. Durch die linearisierende Gleichgröße entsteht im Werksto, ähnlich
wie bei den piezoelektrischen Keramiken, eine Vorzugsrichtung, die ihm im
makroskopischen Sinne die Eigenschaften eines anisotropen Körpers, z. B. eines Kristalls gibt. Analog zum piezoelektrischen Fall kann man eine lineare
magnetomechanische Verkopplungsmatrix zwischen den Feldgrößen
Eq = Wqp Kp + gqm Wm ,
q> p = 1 = = = 3 (8.18)
Vl = gpl Kp + vK
lm Wm ,
l> m = 1 = = = 6
(8.19)
angeben. Die lineare Verkopplung zwischen den mechanischen und magnetischen Feldgrößen wird als piezomagnetischer Eekt bezeichnet. Dabei sind
die Feldgrößen über die magnetischen , elastischen v und piezomagnetischen
g Materialkonstanten verknüpft.
Je nach Verknüpfung der Variablen
E> W = i (K> V) ,
(8.20)
K> V = i (E> W ) ,
(8.21)
K> W = i (E> V)
(8.22)
können noch weitere drei Gleichungssysteme, die jeweils einen Satz elastischer, piezomagnetischer und magnetischer Konstanten aufweisen, aufgestellt
werden. Allerdings sind die piezomagnetischen Koe!zienten von technisch
wichtigen Werkstoen weit weniger ausgewiesen, als das bei piezoelektrischen
Werkstoen der Fall ist. Üblicherweise wird nur die piezomagnetische Konstante g33 sowie bei Annahme der Volumeninvarianz des Eektes in grober
Näherung g31 12 g33 und g15 (g33 g31 ) angegeben.
Als Sonderfall von Gln. (8.18) und (8.19) wird in Tabelle 8.5 der direkte und
der reziproke piezomagnetische Eekt bei Übereinstimmung der Richtung des
mechanischen und magnetischen Feldes für unterschiedliche Anregungen aufgeführt.
Als technisch wichtige Werkstoe werden in [64, 67, 68] Eisen-Nickel-Legierungen, Metalloxidverbindungen mit keramischen Eigenschaften und hochmagnetostriktive metallische Spezialwerkstoe angegeben. Die wichtigsten Merkmale dieser Werkstoe sind in den Tabellen 8.6 bis 8.9 zusammengefasst.
W
Einstein’sche Summationsvereinbarung: über doppelt vorkommende Indizes ist
zu summieren
8.3 Piezomagnetischer Wandler
291
Tabelle 8.5. Direkter und reziproker piezomagnetischer Eekt in {3 -Richtung
(Längsrichtung)
A
F
i
x
B3 , H3
u
l
T3 , S3
w
3
2
1
d, m, s
direkter piezomagnetischer Effekt:
Anregung: mechanische Spannung
für
Antwort:
H3 0
T3
S3
H3 0
d
B3 33 S3 ,
s33
Dehnung
für
B3 d33 T3
mit
sensorische Anwendungen
B3 ) A ,
T3 F A
) d33 F
und
e33 S3 x l
) e33
d33
s33
folgt:
A
x
l
d, e piezomagnetische Konstanten in x3 -Richtung
reziproker piezomagnetischer Effekt:
Anregung: magnetisches Feld
für
Antwort:
T3 0
H3 für
S3 0
d
T3 33 H3 e33 H3
s33
H3
magnetisches Feld
für
S3 d33 H3
mit
H3 w i l ,
x = d33 wi
aktorische Anwendungen
S3 x l
und
T3 F A
F e33
folgt:
Aw
i
l
In Abbildung 8.31 sind für den statischen Belastungsfall die charakteristischen
Verläufe für die magnetische Polarisation M (M = E 0 K) und die Dehnung
V in Abhängigkeit von der äußeren Magnetfeldstärke K für das supermagnetostriktive Material Terfenol-D angegeben. Die typischen Arbeitsbereiche sind
grau hervorgehoben.
292
8 Magnetische Wandler
Tabelle 8.6. Eigenschaften technisch wichtiger piezomagnetischer Werkstoe
Eisen - Nickel - Legierungen
Merkmale: - Sättigungsmagnetostriktion SS f (Legierungskonzentration
und Wärmebehandlung)
- Vorzeichenwechsel von S
S
10 6
20
Ni 80 %: S
Ni 80 %: S
10
0
2000
4000
16000
10
U|
V|
W
H
A
m
20
0
20 30 40
60
80
100
Ni Gew.%
Metalloxidverbindungen mit keramischen Eigenschaften: Ferrite - Magnetit, Ferroxcube
Vacoflux 50
48
S
10 6
Zusammensetzung:
Magnetit Alfenol
-Me. O Fe 2 O 3 (Me für zweiwertiges
Metall)
32
z. B.: Magnetit ) Ferroferit
a
16
FeO Fe 2 O 3
Permalloy
f
Halbleiter mit positiver
Magnetostriktion
Vorteile:
Eisen
0
Ferroxcube 7B
- für hohe Frequenzen wegen der daher
sehr geringen Wirbelstromverluste
geeignet
Nickel
- relativ große Kopplungsfaktoren
von 0,2 bis 0,5
16
32
0
- großer spezifischer Widerstand bis 10 12 %cm
0,8
1,6
B 10
2,4
4
T
B m H
8.3 Piezomagnetischer Wandler
293
Tabelle 8.7. Eigenschaften technisch wichtiger piezomagnetischer Werkstoe
hochmagnetostriktiver Werkstoff: Terfenol-D
Tb 1 x Dy x Fe 2
Formel:
- x 0,27.
(Tb: Terbium, Fe: Eisen, nol: Naval Ordnance Laboratory, Clark 1975)
S
10 6
900
S1
600
T2 25,5 N mm 2
S2 , T2
300
S1
H1
17,6
S1
9,8
unbelastet
0
300
9,8
17,6
25,5
600
S2
900
250
150
50
0
50
150
H
kA
m
Herstellung:
- Lichtbogen-Schmelzverfahren, Schutzgas:
regellose Kristallorientierung, geringe Magnetostriktion
- Kristallzüchtungsprozess:
Terfenol-Stab nahezu monokristallines Gefüge
- oder Sinterprozess, z. B. MAGMEK 91
Sicherung des Phasengleichgewichts
Merkmale:
- sehr große Sättigungsmagnetostriktion von -1,5K 2 . 10
bei Feldstärken von 80 bis 200 kA/m
- positive Längs- und negative Quermagnetostriktion
- hoher Einsatztemperaturbereich bis 350 °C
- Magnetostriktion wird von mechanischer Längs- und Querspannung
beeinflusst
Achtung:
- nur für niedrige Zugspannungen verwendbar
- Zunahme der Magnetostriktion S mit Zunahme der Druckspannung T2
Druckspannung erforderlich
2
optimal: 7 T / N mm 12
- wegen Korrosionsgefahr Berührung mit Wasser vermeiden
Anwendung:
Aktoren
3
250
294
8 Magnetische Wandler
Tabelle 8.8. Eigenschaften technisch wichtiger piezomagnetischer Werkstoe
hochmagnetoelastischer Werkstoff: Metglas 2605 SC
Quelle: Allied Signal Corporation, Parsippang (USA)
Formel:
Fe 81B13,5Si 3,5C 2
Fe 78 B13Si 9 C 2
b2605 SCg
b2605 S - 2g
(Diagramm)
Ausgangswerkstoff: amorphe Fe-B-Si-Legierung
60
S
10 6
oberflächenkristallisiert
50
getempert im Magnetfeld
40
unbehandelt
30
20
10
kristallisiert
0
10
7,5
5,0
2,5
0
2,5
5,0
7,5
kA
H
m
Herstellung:
- Sicherung des amorphen Werkstoffzustands durch extrem hohe
Abkühlungsgeschwindigkeit von mehr als 10 5 K s
Merkmale:
- sehr kleine Magnetostriktion: SS ! 3 10 5
aber extrem großer magnetoelastischer Effekt
- draht- oder bandförmige Halbzeuge
Anwendung:
magnetoelastische Dehnungs-Messstreifen (DMS) für Sensoren
Mit Hilfe der piezomagnetischen Zustandsgleichungen ist nun die Ableitung
des Schaltbildes für den piezomagnetischen Wandler möglich. Dabei wird von
den Zustandsgleichung mit der piezomagnetischen Konstante h33 ausgegangen, um eine reelle, frequenzunabhängige Wandlerkonstante [ zu gewährleisten:
8.3 Piezomagnetischer Wandler
295
Tabelle 8.9. Eigenschaften technisch wichtiger piezomagnetischer Werkstoe
Werkstoffe
Terfenol-D
MAGMEK 91
Metglas
gesintertes
Terfenol-D
2605 SC
amorphe FeB-Si-Legierung
Kennwerte
1,5 × 10
Sättigungsmagnetostriktion SS
3
0,62 × 10
3
30 × 10
Ni
bis 50 × 10
6
BS T
1,0
0,71
1,61
0,61
Kopplungsfaktor
k
0,7K 0,75
0, 4
0,9K 0,96
0,3
relative Permeabilität
mr
mTr = 9,3
2,2 K4,1
20.000 unbehandelt
bis 300.000
getempert
380
380
370
Sättigungsinduktion
m = m0 × mr = m33
m0 = 4 × 10 7 V × s × A
1
Curie-Temperatur
×m
mSr = 4,5
1
C
358
Druckfestigkeit
N mm
2
350 K700
250
1000
Zugfestigkeit
N mm
2
28
120
(Streckgrenze)
1000
305
9,2 × 10 3
6,8 × 10 3
7,32 × 10 3
8,8 × 10 3
kg m 3
Dichte
E-Modul
N mm
2
b2,5
g
3,5 × 10 4
spez. Widerstand
× mm
6,0 × 10
Wärmeausdehnungskoeffizient
1K
12 × 10
Arbeitsbereich
J
1
T
4
1,7
2,2 × 10
5,8
Tp = 2,8 MPa
17,5 × 10
13,5 × 10
0,6
5,9 × 10
6
S
10- 3 m/m
21,5 × 10
4
0,69 × 10
13,3 × 10
6
4
4
6
Tp = 2,8 MPa
1
Tp = 34,5 MPa
50
100
150
H
kA/m
Tp = 34,5 MPa
-150 -100 -50
-1
4
Arbeitsbereich
0,5
-150 -100 -50
4
6
50
100
150
H
kA/m
Abbildung 8.31. Typische Verläufe der magnetischen Polarisation M und Dehnung
V in Abhängigkeit der Feldstärke K für Terfenol-D [64]
Wp mechanische Druckvorspannung
296
8 Magnetische Wandler
E3 = V33 K3 + h33 V3
W3 = h33 K3 + fK
33 V3
Die Materialkonstanten V33 und fK
33 werden unter den Bedingungen V = 0
(mechanisch festgebremst) und K = 0 (elektrischer Leerlauf) experimentell
ermittelt.
Durch Einführen der integralen Größen
= E3 D,
= V3 o,
x = Dz
y=
dE3
,
dw
d
,
dw
l=
o
K3 ,
z
I = W3 D
und Übergang in den Frequenzbereich
x = j$DzE,
y = j$,
I $ I und l $ l
erhält man folgende Vierpolgleichungen:
x = j$DzE = x = j$33
x = j$Ob l +
1
y = x0 + xW
[
I = W 3 D = h33
I =
Dz2
Dz
l + h33
y
o
o
(8.23)
1 f33 D
Dz
l
y
o
j$ o
1
1
l
y = I W I 0.
[
m$qL
(8.24)
Die Anwendung des Maschen- und Knotensatzes führt zu dem in Abbildung
8.32 dargestellten Schaltbild des piezomagnetischen Wandlers.
Der Wandlungsvierpol entspricht wie beim elektromagnetischen und elektrodynamischen Wandler einer transformatorischen Verkopplung. Die zugehörigen Transformationsbeziehungen wurden bereits in Tabelle 7.4 zusammengefasst.
Auf der elektrischen Seite ist dem verlustfreien Wandler der Spulenwiderstand U und auf der mechanischen Seite, der die inneren Verluste im piezomagnetischen Werksto kennzeichnende Reibungsstandwert u, hinzugefügt.
Dessen Wert wird experimentell aus der endlichen Resonanzüberhöhung mit
u = 1@$ 0 qT bestimmt.
In Tabelle 8.10 sind für ausgewählte piezomagnetische Werkstoe die mechanischen und piezomagnetischen Konstanten angegeben.
Im Zusammenhang mit dem magnetostriktiven oder piezomagnetischen Eekt
wird oft auch der magnetoelastische Eekt erwähnt. Mit diesem Begri wird
8.3 Piezomagnetischer Wandler
297
verlustfreier Wandler
Lb
R
i
FW
1
uW v
X
i XFW
u u
W
u
X
Kopplungsfaktor:
Lb = mS33
A × w2
l
H
nL = n = s33
F
F
s
1
l
l
33
,
e33 A w d33 A w
s33 1
c33
,
m33
k33 e33
c33 m33
d33
v
1
r
nL
1
c33
m m0 mr
(mechanisch festgebremst, v=0)
l
l
= H
A c33 × A
(elektrisch im Leerlauf)
Abbildung 8.32. Schaltbild des piezomagnetischen Wandlers
Tabelle 8.10. Piezomagnetische und magnetische Konstanten ausgewählter Werkstoe
= u 0 , 0 = 4 · 1037 Vsm31 A31 , Wu : W = 0, fK
33 : K = 0
Größe
(E = Erem )
Nickel
(100%)
Alfenol
Ferroxcube
(13% Al, 87% Fe) 7A2
Terfenol-D
g33 @1039 m A31 31> 5
37> 1
32> 5
15
Wr
20
58
30 = = = 45
9> 3
10
fK
N m32
33 @10
ca. 20
ca. 14
15> 1
2> 5 = = = 3> 5
n33
0> 14
0> 25 = = = 0> 31
0> 15 = = = 0> 20
0> 65 = = = 0> 75
@103 kg m33
8> 8
6> 5
5> 35
9> 25
&Curie @ C
358
ca. 500
530
380
nicht die Wechselwirkung von magnetischen und mechanischen Feldgrößen,
sondern die Abhängigkeit der relativen Permeabilität r in ferromagnetischen
Werkstoen von der mechanischen Spannung
E = r (W ) 0 K
für
r (W ) 0 K À g · W
298
8 Magnetische Wandler
bezeichnet. Besonders ausgeprägt ist dieser Eekt in ferromagnetischen Metallen, wie CoSiB und der armorphen Fe-B-Si-Legierung Metglas. Stauchkörper
und Dehnungsmessstreifen aus magnetoelastischen Werkstoen werden industriell in Kraft- und Drehmomentsensoren verwendet [59].
Für technische Anwendungen ist der Vergleich der Eigenschaften von piezoelektrischen und piezomagnetischen Wandlern interessant. Dabei wird mit
Rücksicht auf eine beginnende Depolarisation und mögliche Durchschläge von
den realen Grenzwerten
H = 1 kV mm1
und
E = 0> 1 T
ausgegangen. Als piezomagnetischer Werksto wird die Keramik Ferroxcube
7A2 und der hochmagnetostriktive Werksto Terfenol-D aus Tabelle 8.10 und
als piezoelektrischer Werksto die Keramik C-82 aus Tabelle 9.9 betrachtet.
Es ergeben sich folgende Maximalspannungen und Maximaldehnungen
Vmax = v33 Wmax ,
Wmax =
g33
(Hmax > Kmax ) ,
v33
Kmax =
Emax
,
33
die in Tabelle 8.11 angegeben sind.
Tabelle 8.11. Vergleich der maximalen Spannungs- und Dehnungswerte ausgewählter piezomagnetischer und piezoelektrischer Werkstoe
Eekt
piezomagnetisch
piezoelektrisch
Werksto
Ferroxcube 7A2
Terfenol-D
C-82
Wmax @ MPa
1> 5
4> 5
20
Vmax @1033
0> 01
0> 2
0> 3
z@ kJ m33
2===4
14 = = = 25
1
@103 kg m33
5> 35
9> 25
7> 8
&Curie @ C
530
380
160 = = = 300
Die berechneten Werte für Vmax stimmen in der Größenordnung gut mit den
in Datenblättern angegebenen Werten für die Sättigungsmagnetostriktion für
Ferroxcube 7A2 von 0> 03 · 103 und Terfenol-D von 1> 5 · 104 sowie für die
Sättigungselektrostriktion von C-82 mit 2 · 104 überein.
Durch die Anwendung des hochmagnetostriktiven Werkstos Terfenol-D können vergleichbare Maximalspannungen und -dehnungen wie bei piezoelektrischen Keramiken erzielt werden. Auch die Kopplungsfaktoren von 0> 65 bis
8.3 Piezomagnetischer Wandler
299
0> 75 sowie die Reaktionszeiten im Mikro- bis Millisekundenbereich sind vergleichbar.
Bei der Werkstoauswahl für Leistungswandler — Aktoren und US-Schwinger —
sollten folgende Unterscheidungsmerkmale gegenüber piezoelektrischen Werkstoen beachtet werden:
• Wesentlich größere Variantenvielfalt bei piezoelektrischen Keramiken. Neben dem Längseekt wird hier auch der Quer- und Schereekt genutzt.
• Bei piezoelektrischen Wandlern wird das elektrische Feld durch direkt
auf der Keramik angeordneten Elektroden erzeugt. Demgegenüber ist der
Platzbedarf der Erregerspule oder des Dauermagneten zur Erzeugung des
Magnetfeldes deutlich größer.
• Piezoelektrische Wandler benötigen zur Ansteuerung sehr hohe elektrische
Spannungen im Bereich von 100 V bis 1 kV. Sie können jedoch ihre statische Auslenkung nahezu ohne Zuführung elektrischer Energie aufrechterhalten. Piezomagnetische Wandler werden mit Stromsteuerung im Bereich
von 2 - 20 A betrieben. Zur Aufrechterhaltung der statischen Auslenkung
ist eine ständige Vormagnetisierung mit Gleichstrom oder Dauermagnet
erforderlich.
• Piezoelektrische Schwinger weisen hohe Resonanzfrequenzen im Bereich
von 100 kHz bis zu mehreren MHz auf. Wegen der zunehmenden Wirbelstromverluste liegt die Resonanzfrequenz metallischer piezomagnetischer
Schwinger mit 10 - 100 kHz deutlich niedriger.
• Die Curie-Temperatur von Terfenol-D liegt mit 380 C höher als bei piezoelektrischen Keramiken mit 160 - 300 C. Damit ergibt sich ein höherer Einsatztemperaturbereich für Terfenol-D. Außerdem erfolgt nach
Überschreiten der Curie-Temperatur im Gegensatz zur Piezokeramik eine
Rückbildung der magnetostriktiven Eigenschaften, wenn der Curie-Punkt
wieder unterschritten wird.
• Wegen der geringen Zugfestigkeit von Terfenol-D muss für Aktoranwendungen eine mechanische Vorspannung erfolgen. Damit vergrößert sich
auch gleichzeitig die Sättigungsmagnetostriktion.
Aufgrund der aufgeführten Merkmale, der großen Typenvielfalt und der fertig
montierten Ausführungen dominieren gegenwärtig piezoelektrische Wandler
als Aktoren und Sensoren. Hochmagnetostriktive und hochmagnetoelastische
Werkstoe werden dagegen nur von wenigen Lieferanten zu deutlich höheren
Preisen angeboten.
8.3.2 Anwendungsbeispiele
Als Anwendungsbeispiele werden der statische Entwurf eines magnetostriktiven Aktors und eines magnetostriktiven Wanderwellenmotors erläutert. Der
300
8 Magnetische Wandler
dynamische Entwurf wird am Beispiel eines Ultraschall-Echolots, das nach
dem Sonar-Verfahren (Sound Navigation and Ranging) arbeitet, beschrieben.
Hier erfolgt die Kennlinien-Linearisierung durch Arbeitspunkteinstellung mittels Dauermagneten. Damit ist die Schaltung des piezomagnetischen Wandlers
aus Abbildung 8.32 gültig.
Magnetostriktiver Aktor
Der in Abbildung 8.33 dargestellte Aktor wird durch einen Terfenol-Stab, der
durch Dauermagnete vormagnetisiert und über Schrauben mechanisch vorgespannt wird, betrieben. Die Flussführung erfolgt über zwei weichmagnetische
Polschuhe.
F
x
Kopfstück
Polschuh
statische Kennlinie:
F N
H max 50 10 3 A m
800
Imax 2 A
Luftspalt
Dauermagnete 600
75
Terfenol-Stab
Spule
i
Polschuh
60
Gegenlager
400
200
0
0
10
20
30
40
x $m
Vorspannfeder
Abbildung 8.33. Magnetostriktiver Wandler mit statischer Kennlinie
Edge Technologies, Ames USA
Zur näherungsweisen Berechnung der mechanischen Größen wird die Zustandsgleichung
V3 = v33 W3 + g33 K3
für den mechanisch festgebremsten Fall (V3 = 0 $ Wmax ) und für den mechanischen Leerlauf (W3 = 0 $ Vmax ) verwendet. Mit den Konstanten aus Tabelle
8.10 und Kmax = 5 · 104 A m1 ergibt sich
Wmax = g33
Kmax = 26 · 106 N m2
v33
Vmax = v33 Wmax = 7> 4 · 104 .
und
8.3 Piezomagnetischer Wandler
301
Aus den Abmessungen des Terfenol-Stabes (B 6> 4 × 50) mm folgt schließlich:
Imax = 830 N
und
max = 40 m
Magnetostriktiver Wanderwellenmotor (Inchworm Motor)
Das Funktionsprinzip des magnetostriktiven Wanderwellenmotors ist in Abbildung 8.34 dargestellt. Der diskontinuierliche Linearantrieb nutzt die durch
den magnetostriktiven Eekt hervorgerufene Längs- und Querdehnung des
Terfenol-Stabes. Der Terfenol-Stab dehnt sich im Magnetfeld und verjüngt sich
gleichzeitig wegen des näherungsweisen volumeninvarianten magnetostriktiven Eekts.
magnetostriktiver Stab
Spule
Pressrohr
(0)
(4)
x
magnetische Wanderwelle
(1)
I
(5)
aktiver Spulenteil
(2)
(6)
Bewegung
x
(3)
(7)
Abbildung 8.34. Funktionsprinzip des magnetostriktiven Wanderwellenmotors
„Kiesewetter-Motor ” während eines Iterationstaktes [68]
Ausgehend
¢ dieser Volumeninvarianz lässt sich mit dem Stabvolumen
¡ von
Y = 1@4 g2 o die magnetostriktive Querdehnung V1 = o@o aus der Längsdehnung V3 = o@o mit
Y + Y =
1
(g + g)2 (o + o) ,
4
g o
Y
2
+
= 2V1 + V3 = 0 für
Y
g
o
g
g
¶2
>
go
¿1
go
302
8 Magnetische Wandler
abschätzen.
Der Terfenol-Stab bendet sich in einem Pressrohr mit außenliegenden Spulen.
Durch die Verjüngung des Terfenol-Stabes im Bereich des Magnetfeldes wird
die Presspassung aufgehoben. Gleichzeitig kann sich jetzt der Stab in diesem
Bereich, entgegengesetzt zur Wanderungsrichtung des Magnetfeldes, ausdehnen. Dieser Vorgang wiederholt sich bei der Ansteuerung der Spulenpakete,
so dass sich im Terfenol-Stab eine Dehnwelle entgegengesetzt zur Ansteuerungrichtung der Spulenpakete ausbreitet. Nach Ansteuerung aller Spulenpakete
hat sich der Terfenol-Stab um die Schrittlänge
= g33 K3 o
mit o als Länge eines Einzelmagnetfeldes im Stab, bewegt. Anschließend erfolgt erneut die Spulenansteuerung und der Stab bewegt sich schrittförmig
entgegengesetzt zur Spulenansteuerungsrichtung. An einem Funktionsmuster
mit 6 Spulen und einem Terfenol-Stab mit 20 mm Durchmesser und 100 mm
Länge wird bei Raumtemperatur eine Schrittweite von 50 m erreicht. Für
eine Schrittfrequenz von 30 Hz ergibt sich eine Lineargeschwindigkeit des Stabes von ca. 1> 5 mm s1 [69].
Problematisch ist die Einhaltung der erforderlichen Ober ächengüte von
Pressrohr und Stab von besser als 2 m, um das einwandfreie Wechselspiel von
Press- und Spielpassung zu gewährleisten. Außerdem tritt aufgrund der unterschiedlichen Ausdehnungskoe!zienten von Stab und Pressrohr eine thermisch
induzierte Durchmesserdierenz auf, die sich mit zunehmender Umgebungstemperatur als Schrittweitenverkleinerung auswirkt. So beträgt für 20 C die
Schrittweite = 50 m, für 80 C jedoch nur noch = 20 m.
Piezomagnetischer Ultraschallsender
In Abbildung 8.35 ist das Konstruktionsprinzip eines piezomagnetischen Ultraschallsenders dargestellt. Der Ultraschallsender dient zur Ortung von stationären oder beweglichen Objekten unter der Meeresober äche nach dem
akustischen Sonar-Verfahren. Je nach gewünschter Au ösung und Reichweite
werden Ultraschallimpulse mit Trägerfrequenzen im Bereich von 20 kHz bis
zu einigen 100 kHz ausgesendet. Die Laufzeit der re ektierten Impulse gibt
die Entfernung, die Änderung der Trägerfrequenz die Geschwindigkeit des zu
ortenden Objektes an.
Der Ultraschallsender wird als @2-Schwinger betrieben, d. h. der Schwingungsknoten bendet sich in der Mitte des Elements und die Schwingungsbäuche an den Schwingerenden. Damit bildet die linke Schwingerhälfte aufgrund
ihrer durch die Resonanz vergrößerten Massenträgheit den festen Einspannpunkt für die rechte abstrahlende Schwingerhälfte.
Der gesamte US-Schwinger besteht aus sechs, im oberen Teilbild von Abbildung 8.35 gestrichelt dargestellten Strukturelementen, die elektrisch in
8.3 Piezomagnetischer Wandler
i
v
303
Strukturelement
Dauermagnet
u
3
F
Wasser
w
Nickelblechpaket
zW
v1
F1
Strukturelement:
i R
L
u
uW
FW
1
uW v
X W vW
i X FW
X
1 l
e A w
F2
m1
WellenLeiter
l, A, r, c
m2
v2
Abbildung 8.35. Piezomagnetischer Ultraschallsender für Sonargeräte und Schaltung eines Strukturelements
Reihen- und mechanisch in Parallelschaltung betrieben werden. Die Schaltung des Strukturelements ist im unteren Teilbild dargestellt. Es beruht auf
dem Schaltbild aus Abbildung 8.32, allerdings mit dem Unterschied, dass
der mit Wicklungen umgebene Steg als Wellenleiter betrachtet wird. Da der
Fluss in den Endplatten, aber auch wegen g31 12 g33 die piezomagnetische Gestaltsänderung, deutlich kleiner ist als im Steg, werden die Endplatten lediglich als diskrete Massen p01 und p02 berücksichtigt. An der Platte mit der Masse p01 erfolgt die Abstrahlung. Der Wellenwiderstand des
Wassers ]a>W = W fW 1@DS wird auf der mechanischen Seite als Reibung
}a>W = W fW DS berücksichtigt. Zur Polarisierung des Wandlers dienen die
jeweils in die Strukturelemente eingebundenen Dauermagnete.
Für die weiteren Betrachtungen werden die von den Spulen umgebenden
Schwingerelemente als Wellenleiter betrachtet. Zu deren Beschreibung wird
das -Schaltbild aus Abbildung 6.5 verwendet.
Die Bauelemente k1 und k2 werden in grober Näherung bei tiefen Frequenzen,
also k1 = p@2 und k2 = q betrachtet. Bei Berücksichtigung der Abschlussstücke p01 und p02 erhält man das in Abbildung 8.36 dargestellte Schaltbild.
304
8 Magnetische Wandler
r
267
l 29
v2
A
267
v1
r 8,8 10 3 kg m 3
r W 10 3 kg m 3
F1
43 19
AS
10
20
i
m2
u6
cW 1440 m s 1
r W , cW
w
m1
zW
X
v1
i R
u
uW
1
v
X W vW
i X FW
uW n
ns
l
A
zW r W cW AS
m1
F1
L
s l
,
d A w
Lb m
m2
A w2
l
m1 r 2 A l m1
v2
m2 r 2 A l m2
Abbildung 8.36. Näherungsschaltung eines Strukturelements des Ultraschallsenders
Mit den Abmessungen des Strukturelements aus Abbildung 8.36 und den Konstanten für Nickel aus Tabelle 8.10 erhält man folgende Bauelementewerte:
<
p01 = · 1 cm · 4> 3 cm · 26> 7 cm = 1> 01 kg A
A
A
A
@ p1 = 1> 66 kg
0
p2 = · 2 cm · 4> 3 cm · 26> 7 cm = 2> 02 kg
A
A
A p2 = 2> 67 kg
A
>
p = · 2> 9 cm · 1> 9 cm · 26> 7 cm = 1> 30 kg
q=
vo
= 2> 8 · 1011 m N1 ,
D
Ob = 0 r D
z2
= 0> 16 mH
o
}W = W fW DS = 1> 65 · 104 N s m1
für
z=6
Die Gesamtinduktivität O ergibt sich durch Parallelschaltung der Induktivität
O0 der nicht am Wandlungsvorgang beteiligten Magnetkreisteile zu Ob . Mit
O0 =
20 z2 D0
o0
sowie o0 = 6 mm und D = 5> 34 · 103 mm2 folgt für die Gesamtinduktivität
O=
Ob O0
= 0> 04 mH,
Ob + O0
O0 = 0> 052 mH.
8.3 Piezomagnetischer Wandler
305
Für die Näherungsschaltung aus Abbildung 8.36 beträgt die Resonanzfrequenz
$ 00 = r
1
= 1> 88 · 105 s1 ,
p1 p2
q
p1 + p2
i00 = 30 kHz.
Der exakte Wert der Resonanzfrequenz, der sich aus den Vierpolgleichungen
des verlustfreien Dehnungswellenleiters aus Tabelle 6.1 ergibt, beträgt i0 =
33 kHz.
Bisher wurde angenommen, dass der schwingende Steg als verlustfreie Feder
wirkt. Tatsächlich treten innere Verluste im Nickelblechpaket auf. Parallel zur
Nachgiebigkeit q muss daher der Reibungsstandwert
}p =
1
$ 0 qTL
in die Schaltung eingefügt werden. Mit dem Messwert für Güte in Luft TL =
89 beträgt um = 1> 94 · 103 N s m1 . Für die Gesamtgüte des US-Senders bei
Wasserankopplung wird experimentell der Wert T = 17> 5 ermittelt.
Für eine Gesamtspannung x̃ = 716 V und einen Strom ˜~ = 9> 5 A beträgt die
abgestrahlte akustische Leistung 5 kW. Damit ergibt sich ein Wirkungsgrad
des Ultraschallsenders von
=
Sa
= 0> 74.
Sel
9
Elektrische Wandler
Im Kapitel 7 wurde gezeigt, dass je nachdem ob elektrische oder magnetische
Größen mit mechanischen Größen verknüpft sind, die elektromechanischen
Wechselwirkungen sich durch zwei Wandlergrundtypen, den elektrischen und
den magnetischen Wandler beschreiben lassen. Zu den elektrischen Wandlern
zählt der elektrostatische und der piezoelektrische Wandler.
Beim elektrostatischen Wandler erfolgt die elektromechanische Verkopplung
zwischen beweglichen Elektroden — Platten oder Membranen — eines Kondensators mit isotropem Dielektrikum. Beim piezoelektrischen Wandler erfolgt
die Verkopplung im anisotropen Dielektrikum eines Festkörpers.
Der piezoelektrische Eekt wird hier auf der Grundlage einer vereinfachten
phänomenologischen Modellvorstellung durch lineare Zustandsgleichungen beschrieben. Für tiefe Frequenzen — quasistatischer Fall — kann man leicht von
den Feldgrößen im Innern des piezoelektrischen Werkstos zu den integralen
Größen und somit zur Schaltung mit konzentrierten Bauelementen übergehen.
Durch die Einführung niter Netzwerkelemente erhält man aber auch für die
als lineare Wellenleiter betrachteten piezoelektrischen Schwinger Näherungslösungen in Form von Schaltungen.
Der praktische Entwurf von elektrischen Wandlern wird an typischen Anwendungsbeispielen erläutert.
9.1 Elektrostatischer Wandler
9.1.1 Elektrostatischer Plattenwandler
Der für eine Vielzahl von technischen Anwendungen verwendete elektrostatische Wandler lässt sich auf die in Abbildung 7.8 bereits dargestellte Grundschaltung der elektrischen Wandler zurückführen. Im Folgenden wird auf die
Ableitung dieser Schaltung aus einem Wandlermodell, die dabei angenommenen Randbedingungen und die anschauliche Bedeutung der Bauelemente der
Schaltung eingegangen.
308
9 Elektrische Wandler
Zwei Platten eines Kondensators mit Luft als Dielektrikum % %0 stehen sich
in dem in Abbildung 9.1 dargestellten Grundmodell im Abstand o gegenüber.
Die eine der beiden Platten mit der Masse p ist beweglich und wird für T = 0
durch die Feder q in der Ruhelage mit dem Abstand o0 gehalten. Beim Aufbringen einer Ladung T auf die Kondensatorplatte wirkt die Coulomb-Kraft
Iel , die Feder wird um den Ausschlag o ausgelenkt und es stellt sich ein
Kräftegleichgewicht für einen Plattenabstand o ein.
Q0
A
e0
Fel
i
Fmech
Q0
F
Fel
l
u
n
i
)
"l
"l
n
i
Q
e0 A
u
l
F
l
u
z. B. Wellmembran
dQ
dt
l l0 "l ,
m
b
l0 l Q 0, F 0
F
m
Fel
g
F Fel Fmech
Fmech 1
d2l
"l m
n
dt 2
Abbildung 9.1. Kräftebilanz an einer beweglichen Kondensatorplatte
Die Berechnung der elektrostatischen Anziehungskraft Iel zwischen den Kondensatorplatten kann mit den zwei bereits in Abschnitt 7.2 diskutierten Methoden,
• Lösen der elektrostatischen Feldgleichungen oder
• Anwendung der Energiebilanz bei virtueller Verrückung o der beweglichen Platte,
erfolgen. Bei Kenntnis des Ladungsdichteverlaufs ({) an der Plattengrenzäche lassen sich die elektrostatischen Feldgleichungen, wie in Abbildung 9.2
dargestellt, lösen.
Das gleiche Ergebnis für die Anziehungskraft Iel erhält man durch Anwendung der Energiebilanz. Aus der Energieänderung der in Abbildung 9.3 aufgeprägten virtuellen Verrückung o der beweglichen Kondensatorplatte wird
9.1 Elektrostatischer Wandler
"Q
"Fel
bg
rx
bg
"A
x
a
r
dQ
divD
D
dV
dE
e0
dx
rx D0
e0
309
bg
E x
1
e0
bg
E x x
x
a
"Q
D0 e0 E 0
"A
0
zbg
r x dx
a
bg
f x
dFel
E x rx
dV
dV "A dx
bg
bg bg
f x x
a
0
0
"Fel
e
e
D2
dE
f x dx E x e0
dx 0 E 2 0 E 2 a 0 E 02 0
dx
2
2
2 e0
"A
a
a
zbg z
bg
bg
b g
Abbildung 9.2. Berechnung der Coulomb-Kraft aus den elektrostatischen Feldgleichungen bei Kenntnis der Ladungsdichteverteilung ({)
Q0
A
Fel
F
D,E
e0
l0
u
Wel wel A l0 "Wel F "l
l0
wel
Wel "Wel "l
1 D2
A l0 "l
2 e0
b
d b gi
u C l0
1 D2
Q2
F Fel A
2 e0
2 e0 A
2 e0 A
Fel
"Wel
l
1 D2
wel 2 e0
1 D2
A l0
2 e0
F
D,E
D
E
e0
wel
"V A "l
V A l0
Q
A
l l0 "l
D
Q0
2
g
u2 e0 A
2l 2
Fel
~ u2
~
u
1
l2
l
Abbildung 9.3. Berechnung der Coulomb-Kraft aus der Energiebilanz bei virtueller Verrückung o der beweglichen Kondensatorplatte
310
9 Elektrische Wandler
die Kraft Iel berechnet, die von der angelegten Spannung x quadratisch und
vom Plattenabstand o reziprok quadratisch
Iel =
1 x2 %0 D
T2
=
2%0 D
2 o2
(9.1)
abhängig ist.
Legt man nun an die Kondensatorplatten eine Wechselspannung
x (w) = x̂ sin ($w) ,
so wird wegen der quadratischen Kennlinie ein mit doppelter Frequenz verzerrter Kraftverlauf
Iel (w) =
x̂2 F 2
(1 cos (2$w))
4%0 D
erzeugt. Der nach Abschnitt 2.1 geforderte lineare Zusammenhang bei elektromechanischen Wandlern wird durch Addition einer Gleichspannung X0 zum
Ausgangssignal x (w) erreicht. Damit ergibt sich entsprechend Abbildung 9.4
eine Kraft Iel , die näherungsweise aus einem linear von x abhängigem Wechselanteil Iel (w)
Iel = I0 + Iel (w) ,
Iel (w) =
¢
F2 ¡
2X0 x̂ sin ($w) + x̂2 sin2 ($w) ,
2%0 D
I0 =
Fel
Q0
A
Fel
bg
F
l0
bg
ut
F0 2
u C
2e0 A
Q0
e0
it
2
Fel 0
t
FG IJ
H K
du
Q0 U 0 C l0*
e j
b
l0* l Q Q0 , F 0
Linearitätsbedingung:
Fel du
0
dF
du U
0
U0
bg
FG dF IJ
H du KU
dF
l0*
u t U 0 u$ sin wt
1 F 2 (o0 ) X02
2
%0 D
g
bg
ut
t
C2
U 02 2U 0 u$ sin wt u$ 2 sin 2 wt
2 e0 A
e
2U 0 u$ sin wt u$ 2 sin 2 wt
Abbildung 9.4. Linearisierung der Kraftkennlinie
j
9.1 Elektrostatischer Wandler
311
überlagert wird. Der quadratische Anteil wird für X0 À x̂ bei der Ableitung der Wandlerschaltung vernachlässigt. Durch die Arbeitspunkteinstellung
mit X0 verringert sich der Plattenabstand von o0 auf o0 . Die ständige Aufladung der Kondensatorplatten in Abbildung 9.5 wird durch die Polarisationsspannungsquelle X0 mit einem sehr hohen Innenwiderstand U erzeugt. Mit
U À 1@ ($F) wird gesichert, dass im Arbeitsfrequenzbereich des elektrostatischen Wandlers kein Strom über die Polarisationsspannungsquelle ießt. Bei
der Betrachtung des dynamischen Übertragungsverhaltens des Wandlers kann
daher dieser Zweig als nicht vorhanden angesehen werden.
Fmech Q0
Q0
i
Ce
Re
mit
CV
F
i
R
u
n
l0*
l0
u
U0
R 1
wC
F
Fel
v, x
F Fel Fmech
x l0* l
b
g
l0* l Q Q0 , F 0
und
C V C
folgt:
bg bg
i t i t ,
bg bg
u t u t
Abbildung 9.5. Modell des linearisierten, entkoppelten elektrostatischen Wandlers
Zur Potenzialtrennung bei der Anschaltung realer Eingangswiderstände Ue
und Kapazitäten Fe der Primärelektronik sowie zur Gewährleistung des Ladezustandes T0 der Platten im Kurzschlussfall dient der Kondensator FV , der
wesentlich größer als die Kapazität F zwischen den Wandlerplatten ist.
Auf der Grundlage des in Abbildung 9.5 dargestellten realen Wandlermodells
kann jetzt die Ableitung der quasistatischen Schaltung erfolgen. Ausgehend
von den Wandlergleichungen
I = Iho Iphfk =
1
T2
1
T2
=
+ (o o0 )
2%0 D q
2%0 D q
und x =
T
T
=
o
F (o)
%0 D
erhält man für I und x in der Umgebung des Arbeitspunktes X0 , T0 , I0 ,
o0 im quasistatischen Fall (I0 = 0)
I = I I0 =
CI
CI
(T T0 ) +
(o o0 )
CT
Co
I0 = I (T0 > o0 ) =
x = x X0 =
T20
1
(o0 o0 ) = 0
2%0 D q
Cx
Cx
(T T0 ) +
(o o0 ) .
CT
Co
312
9 Elektrische Wandler
Aufgrund der linearisierten Wandlerkennlinie werden hier nur jeweils die ersten Glieder der Taylor-Reihe betrachtet. Alle Ableitungen erfolgen an der Stelle T0 , o0 . Werden die Ableitungen an den Wandlergrundgleichungen durchgeführt, so ergeben sich folgende Beziehungen:
¯
¯
CI ¯¯
T0
1
CI ¯¯
,
=
=
¯
¯
CT T0 >o
%0 D
Co T0 >o
q
0
0
¯
¯
1
T0
Cx ¯¯
Cx ¯¯
,
=
=
¯
CT T0 >o
F (o0 )
Co ¯T0 >o
%0 D
0
0
Da, wie im Abschnitt 7.2 bereits erwähnt, sinusförmige Änderungen um den
Arbeitspunkt vorausgesetzt sind, werden für die weiteren Betrachtungen jetzt
komplexe Amplituden entsprechend Gln. (7.26) - (7.30)
(o o0 ) = $ ,
I I0 $ I ,
T T0 $ T,
x X0 $ x
eingeführt. Mit = (1@j$) · y und T = (1@j$) · l ergibt sich eine transformatorische und frequenzabhängige Verkopplung
I =
1 T0
1
l
y
j$ %0 D
j$q
x=
1
1 T0
l
y
j$F (o0 )
j$ %0 D
zwischen den Netzwerkkoordinaten. Das Auftreten einer imaginären Wandlerkonstante [ = j$ (%0 D@T0 ) lässt sich durch Umformung von I > x = i (l> y)
in l> I = i 0 (x> y) vermeiden. Damit ergibt sich:
l j$F (o0 ) x = lW =
T0
y
o0
·
¸
1 T0
T0
1
j$F (o0 ) x + y y
j$ %0 D
o0
j$q
·
¸
1 1
T0
T2
0 y = IW = y
I+
j$ q o0 %0 D
o0
(9.2)
I =
(9.3)
Die Gln. (9.2) und (9.3) enthalten jetzt eine gyratorische Verknüpfung mit
reeller Wandlerkonstante \ = o0 @T0 .
Durch Anwendung des Knotensatzes folgt aus den Gln. (9.2) und (9.3) das
in Abbildung 9.6 dargestellte Schaltbild des elektrostatischen Wandlers. Für
die Transformationsbeziehungen zwischen der mechanischen und elektrischen
Netzwerkseite bzw. umgekehrt gelten die Relationen aus Tabelle 7.3.
9.1 Elektrostatischer Wandler
iW
i
u
F u I FG 01
GH i JK H
Y
Cb
W
C b C l0* e j
e0 A
l0*
e0 8,854 10 12
Y
F
FW
Gyrator
IF v I
0 J GH F JK
K
313
Y
nC v
n
W
123
nK
l0*
l0*
Q0 U 0 C b
A s
V m
nK n nC
,
n nC
n nL
nC Y 2C b
Abbildung 9.6. Schaltbild des verlustfreien elektrostatischen Wandlers
Index N: elektrisch im Kurzschluss, Index O: elektrisch im Leerlauf, Index e: mechanisch festgebremst
Welche anschauliche Bedeutung haben die Bauelemente Fb , \ und qK ?
Wird die bewegliche Platte festgehalten (y = 0> o = o0 ), festgebremster Fall, so
ist an den elektrischen Klemmen die Kapazität
Fb = F (o0 ) =
%0 D
o0
messbar. In diesem Fall wirkt für die Gesamtkraft I nur die elektrische Kurzschlusskraft IK . Für die angenommene sinusförmige Aussteuerung um den
Arbeitspunkt gilt dann nach Abbildung 9.4
ÎK =
Fb X0
1
x̂ = x̂.
o0
\
Umgekehrt lässt sich die Wandlerkonstante auch aus dem Verhältnis einer
auf der mechanischen Seite aufgeprägten Geschwindigkeit y zu dem dadurch
erzeugten Kurzschlussstrom lK bestimmen. Aus Gl. (9.2) folgt mit x = 0
sofort
T0
1
l = lK = y = y.
o0
\
Die Nachgiebigkeit qK ist im Kurzschlussfall x = 0 auf der mechanischen Seite
messbar. Neben der mechanischen Nachgiebigkeit q ist die Rückwirkung des
elektrostatischen Feldes in Form der Feldnachgiebigkeit qC zu berücksichtigen.
Die Wirkung der Feldnachgiebigkeit lässt sich aus den aus Abbildung 9.7
ableitbaren Kräftebilanzen erläutern.
Für den festgebremsten Fall = 0 gilt:
I = Iel>0 Imech>0 = 0
Iel>0 =
X02 F 2
1
X 2 %0 D
= 0 2 = (o0 o0 )
2%0 D
3o0
q
314
9 Elektrische Wandler
Fel
n
l
x
Fel
F
Fel,0
l0*
x
l0*
l
l0* x
U0
Abbildung 9.7. Ein uss einer Verrückung der Kondensatorplatte auf die Coulomb-Kraft Iel
Wird jetzt eine Verrückung nach Abbildung 9.7 aufgeprägt, so erfolgt die
Zunahme von Iel :
X02 %0 D
Iel =
2 (o0 )2
Für die Gesamtkraft I gilt:
¶
dIel
1
I = Iel>0 Imech>0 +
d o
q
0
¶
2
1
X Fb
1
1
I = 02 = +
o0
q
qC
q
mit
mit
Iel>0 = Imech>0
1 1
1
X02 Fb
= 2
= .
o02
\ Fb
qC
Damit besteht die für eine Auslenkung der beweglichen Elektrode aufzubringende Kraft I für Kurzschluss (x = 0) aus der Teilkraft zur Verformung
der Feder abzüglich der Zunahme der durch X0 hervorgerufenen elektrischen
Anziehungskraft Iel .
Wird die bewegliche Platte in Richtung Gegenelektrode bewegt ( A 0), so
ist wegen der mit zunehmenden elektrostatischen Anziehungskraft Iel eine immer kleinere Kraft I erforderlich, um die Auslenkung zu erzeugen.
Die dierentielle Steigkeit (I ) @ aus Abbildung 9.7 wird somit zunehmend kleiner und bei einem Grenzausschlag g schließlich gleich Null.
Wenn die zur mechanischen Anregung des Systems bei diesem Experiment
verwendete Quelle eine ideale Kraftquelle ist, liegt in diesem Punkt ein labiles Gleichgewicht vor. Ein solcher Fall könnte z. B. durch die in Abbildung
9.8 dargestellte Anordnung realisiert werden, bei der diese Kraft quasistatisch
durch eine Gewichtskraft I = pj erzeugt wird. Für A g kann dann die mechanische Gegenkraft, bestehend aus Feder- und Massenkraft, die elektrische
9.1 Elektrostatischer Wandler
315
Anziehungskraft nicht mehr kompensieren. Zur Aufrechterhaltung des Kräftegleichgewichts ist eine Massenträgheitskraft erforderlich, die eine zunehmende
Beschleunigung der beweglichen Platte auf die feste Gegenelektrode bis zum
Auftreen beider Platten bedingt.
l0
x
n
Fmech
Fel Fel,0 "F
Fel,0
F
Fn n x
Fel
l
U0
m
F m g
Abbildung 9.8. Kräftegleichgewicht mit idealer Kraftquelle
In Abbildung 9.9 sind für unterschiedliche Werte q@qC die auf den Plattenruheabstand o0 normierten Grenzausschläge g @o0 angegeben. Der Grenzausschlag nimmt mit zunehmender Federsteigkeit zu.
Eine weitere Ausführung des elektrostatischen Wandlers beruht auf der in Abbildung 9.10 a) dargestellten horizontalen Plattenanordnung mit o0 = nrqvw=.
Wenn die Platten die Ladung ±T tragen, ist zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichtes eine Kraft Iel erforderlich. Die Bestimmung dieser Kraft kann wie
in Abbildung 9.3 angegeben durch eine virtuelle Verrückung der beweglichen
Platte nach rechts bei konstanter Ladung erfolgen.
Die Energiebilanz
Iel · (e) = Zel
mit
Zel = T2
2F
¶
ergibt unter Berücksichtigung von Abbildung 9.10b die Gleichgewichtskraft
2¶
T
d
Zel
1
d
T2 %0 d
2F
=
=
= x2 %0 .
Iel = e
de
2F 2 o0
2
o0
Für die Anordnung aus Abbildung 9.10a wird wieder ein Bezugspunkt deniert, der durch die Bedingung I0 > e0 = e (I = 0> X0 > T0 ) bestimmt ist.
316
9 Elektrische Wandler
l0
b
Fel F n
Fel
U 02
e0 A
b
2 l0 x
g
2
Fmech ,
1
x
n
F Fel Fmech
U0
F
F
1 n
n
l0
2 nC
g
l0 l u U 0 , F 0
x
1
FG1 x IJ
H lK
2
x
l0
1 U 02 C b
2 l02
l0
FG1 x IJ
H lK
2
l0 x
n l0
0
U 02
Cb
l02
0
1
Y 2C b
1
nC
0,4
F
n
l0
1
n
nC 4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
1
n
nC 10
x g
x g
1
n
nC 30
x x g für
0F
0
0x
0
0,2
x g
-0,6
-0,4
-0,2
0,4
x l0
Abbildung 9.9. Stabilitätsgrenzen g des elektrostatischen Wandlers
Die Abweichungen I und T von diesem Bezugszustand ergeben sich mit
der Kräftebilanz und den Bauelementegleichungen von Abbildung 9.10a zu
¶
¶
CI
CI
X0 %0 d
1
I =
(9.4)
· x +
· e =
x + Cx X0 >e
Ce X0 >e
o0
q
0
0
¶
¶
CT
CT
dFb
T =
(9.5)
· x +
· e = Fb x + X0
Cx X0 >e
Ce X0 >e
de
0
für = e e0 .
0
9.1 Elektrostatischer Wandler
317
a)
i CV
a
b
Q i
n
R
u
u
U0
F
e0 a b
l0
l0
Fmech
Fel e
0
b)
bg
Cb Fmech 1
x
n
Fel F Fmech
Q
Fel
"x
"x b b0*
Q
b
b0*
Abbildung 9.10. Wandlermodell für horizontale Plattenanordnung mit o0 = nrqvw=
Die Einführung komplexer Amplituden führt zu den Relationen zwischen den
Koordinaten x, l, I , y
I =
%0 X0 d
1
y,
x+
o0
j$q
(9.6)
%0 X0 d
y.
o0
(9.7)
l = j$Fb x +
Die Gleichungen (9.6) und (9.7) lassen sich wie die Gleichungen (9.2) und
(9.3) durch das Schaltbild aus Tabelle 9.1 interpretieren.
Die beiden Ausführungen der elektrostatischen Wandler in Tabelle 9.1 weisen für eine reelle Wandlerkonstante \ eine gyratorische Verkopplung auf.
Die Wandlerkenngrößen und Transformationsbeziehungen für die zwei Ausführungen des elektrostatischen Wandlers sind ebenfalls in Tabelle 9.1 zusammengefasst.
Die Anwendung von elektrostatischen Plattenwandlern in realen elektromechanischen Systemen und deren Dimensionierung soll im Weiteren an ausgewählten Beispielen erläutert werden.
9.1.2 Anwendungsbeispiele
Als Anwendungsbeispiele werden der dynamische Entwurf einer elektrostatischen Tastsonde, einer Biegezunge mit elektrostatischer Anregung und Abtastung sowie eines mikromechanischen Filters mit elektrostatischer Anregung
und Abtastung behandelt. Kernstück aller drei Anwendungsbeispiele ist die
Schaltung des elektrostatischen Plattenwandlers mit senkrechter bzw. paralleler Plattenanordnung aus Tabelle 9.1.
318
9 Elektrische Wandler
Tabelle 9.1. Schaltbild und Bauelemente des elektrostatischen Plattenwandlers bei
Berücksichtigung der Plattenmasse und der Verluste
A = konst.
Plattenanordnung mit
Q0
i
CV
R
u
n
m
Q0
F
e0 ,C b
Fel
i
l0*
u
Plattenanordnung mit l0 = konst.
Q0
i CV
n
u
R
F
u
l0
U0
v,x
x
b
m
i
Fel
Q0
U0
a
e0 ,C b
Aa b
b (F 0,U 0 ,Q0 )
b0*
Ersatzschaltbild
iW
i
u
FG u IJ FG 01
Hi K HY
Cb
W
F
FW
Gyrator
IF v I
0 J GH F JK
K
Y
n
m
nC
W
123
nK
r
1
r
v
1
w0 nK
Q
Wandlerkonstante und Bauelemente
Y
l0*
Q0 l0*
bU
0
Cb
g
b
be A g
Cb
0
nC
Y 2 C b
nK
n parallel nC
g
b
b0* U 0 Cb l0 e 0 a U 0
l0
n
Transformationsbeziehungen
mechanisch
elektrisch
elektrisch
mechanisch
Cn n Y 2
nC Y 2 C
Lm Y 2 m
mL L Y 2
Rr Y 2 r
rR R Y 2
Z Y2 h Y2 z
h Y2 Z ,
Reihenschaltung
Parallelschaltung
Parallelschaltung
Reihenschaltung
z Z Y2
g
9.1 Elektrostatischer Wandler
319
Elektrostatische Tastsonde
Mit Hilfe eines elektrostatischen Plattenwandlers wird der Ausschlag an der
Spitze einer einseitig eingespannten Stahlbiegefeder gemessen (Abb. 9.11). Die
zusätzlich angeschalteten Bauelemente Fa und Ua stellen die Eingangsimpedanz des elektrischen Auswertegerätes dar.
v,x
A,
F
Stahl-Schwingzunge
i
b 5 mm
R
l0
l 20 mm
u
Ca
h 0,1 mm
Ra
U0
5 mm
Ra 100 M%
A 20 mm 2
l0 0,2 mm
Ca 50 pF
R Ra
Messobjekt Tastsonde
F
v
U 0 100 V
FW
v Y iW
n
nC
E 1,96 1011 N m 2
12 l 3
n n0 3
n0 E b h3
n 0,032 m N 1
FW iW
1
u
Y
i
Cb
nC Y 2 C b 4,6
u
Ca
Ra
Cb m
N
e0 A
0,87 pF
l0
Abbildung 9.11. Ausschlagsmessung einer Schwingzunge mit Hilfe einer elektrostatischen Tastsonde
Zunächst soll die Übertragungsfunktion E = x@ der Anordnung bestimmt
werden. Dabei geht man von dem in Abbildung 9.12 dargestellten Schaltbild
aus.
Auf der mechanischen Seite wirkt die Bewegungsquelle y 0 = j$ 0 . Die mechanischen Bauelemente q und qC werden in der vereinfachten Schaltung in
Abbildung 9.12 nicht berücksichtigt, da die Kraft, die die Bewegungsquelle
aufzubringen hat, zunächst nicht interessiert. Aus Abbildung 9.12 erhält man
für die Ausgangsspannung x
x=
y0
\
x = 0
1
1
j$ (Fa + Fb ) +
Ua
=
1
\
j$
1
¶
0
¶·
Fa
1
1+
j$Fb 1 +
Fb
Ua j$ (Fa + Fb )
Fb
j ($@$ 0 )
X0
·
·
o0 Fa + Fb 1 + j ($@$ 0 )
320
9 Elektrische Wandler
iW
v 0 jwx 0
v Y iW
FW
1
u
Y
u
Ra
Ra
)
Ca C b
Ca C b
i0 u
Bx x0
Bx0
1
v
Y 0
B x0 8,6
w
w0
1
u
f0 mV
$m
1
w 0 31,2 Hz
2
Abbildung 9.12. Schaltbild zur Bestimmung der Übertragungsfunktion
mit
\ =
o0
X0 Fb
und
$0 =
1
Ua (Fa + Fb )
und damit für die Übertragungsfunktion E E =
x
X0
Fb
j ($@$ 0 )
=
·
·
0
o0 Fa + Fb 1 + j ($@$ 0 )
mit
E0 =
X0
Fb
·
,
o0 Fa + Fb
deren Verlauf in Abbildung 9.12 dargestellt ist.
Anschließend soll die zusätzliche mechanische Belastung des Messobjektes
„Biegefeder” durch die Tastsonde ermittelt werden. Dieser zusätzlichen Belastung entspricht die mechanische Impedanz }, die man rechts von der Trennlinie in Abbildung 9.13 in die Schaltung hineinmessen kann. Ausgehend von
der Schaltung aus Abbildung 9.13 erhält man für Fa À Fb eine zusätzliche
mechanische Belastung der Biegefeder durch qC = 143q. Damit ist die Nachgiebigkeit qmech , die man an der Spitze der Biegefeder unter den Bedingungen
von Abbildung 9.13 misst,
y
qqC
=
= 1> 007q
qmech =
j$I
q + qC
wegen qC ? 0 nur geringfügig größer. Durch den Ein uss der Tastelektrode
s
würde die Frequenz der freien Schwingung der Biegefeder i0 1@ q um ca.
0,5% zu niedrig gemessen.
Biegezunge mit elektrostatischer Anregung und Abtastung
Eine einseitig eingespannte Aluminium-Biegezunge wird in Abbildung 9.14 am
freien Ende durch einen elektrostatischen Wandler angeregt und auf der anderen Seite wird die entstehende Bewegung mit einem zweiten elektrostatischen
9.1 Elektrostatischer Wandler
F
iW
FW
F
v Y iW
v
nC
FW z
z
z
Ra
1
u
Y
Cb
u
)v
Y 2 Cb
nC
Y 2 Ca
Y2
1
jwY 2Cb
)
ners
1
Ra
1
1
,
=1
wRa
1 jwY Ca Cb jwRa Ca
Ca
1
1
Ca Cb jwners jwnC Ca Cb
1
jwY 2Cb
0
1
jwn
C
Ca
321
2
für
Ca 0
für
Ca = Cb , nC Y 2Cb 4,59
m
N
Abbildung 9.13. Bestimmung der mechanischen Eingangsimpedanz der Tastsonde
Wandler abgetastet. Zwischen der Anregungs- und Abtastelektrode existiert
die parasitäre Teilkapazität FS = 103 Fb . Für höhere Anregungsfrequenzen
wird jetzt die Biegezunge mit dem Schaltbild eines einseitig eingespannten
Biegewellenleiters (s. Abschn. 9.3.5, Tabelle 9.13) mit qhuv = 0> 971q0 @3 q,
phuv = p@4, k = $ 0 qT0 und T0 = 1@ abgebildet. Zur Berechnung der Übertragungsfunktion E = x2 @x1 des elektromechanischen Systems werden die
mechanischen Elemente auf eine der beiden elektrischen Seiten transformiert
(s. Abb. 9.15). Die Kettenschaltung der beiden elektrostatischen Gyratoren
ergibt einen Transformator mit dem Übersetzungsverhältnis 1. Aus der daraus
ableitbaren vereinfachten Schaltung in Abbildung 9.15 folgt für die gesuchte
Übertragungsfunktion:
1
j$O + U + 1@ (j$Fq ) 2@ (j$Fb )
1
j$Fb + j$FS +
j$O + U + 1@ (j$Fq ) 2@ (j$Fb )
;
r
FS
p
A
A
E
,
$
=
1@
q
A
0
0
A
A
FS + Fb
4
¶2
A
A
$
$ 1 A
A
A
r
1
+m
$N
$ N TN ?
Fn
E x = E0
$p $0 1 , Tp = ($ p @$ 0 ) T0
¶2
F
$ 1 A
$
b
A
A
1
+m
A
A
$P
$ p Tp A
r
A
A
F
A
A
= $ N $ 0 1 + n , TN = ($ N @$ 0 ) T0
Fb
x
Ex = 2 =
x1
j$FS +
322
9 Elektrische Wandler
CS
Anregung
Aluminium-Biegezunge
Abtastung
l0
i1 b 5 mm
i2
l 20 mm
R
u1
R
C b l0
U0
h 0,1 mm
u2
U0
r Al 2,7 103 kg m 3
1
R >>
jwC b
U 0 100 V
l0 0,3 mm
CS 10
n n0 3 93 10 3 m N 1
A 20 mm 2
5 mm
3
E Al 6,9 1010 N m 2
m 6,8 10 6 kg
12 l 3
n0 E b h3
Cb
Verlustfaktor h CS
elektrostatische
Anregung
i1
u1
i w1
u1 Y F w1
elektrostatische
Abtastung
Biegezunge
F w1
vw
Cb i 1 v
w1
w
F w2
nC
m
4
n
Y
1
10 3
Q0
nC
h
i w2 i 2
1
u
Y 2
Cb
vw Y i w2
F w2 u2
nC Y 2 C b
Abbildung 9.14. Elektrostatische Anregung und Abtastung einer AluminiumBiegezunge und zugehöriges Schaltbild
C b
2
i1
u1
Cb
R
w 20 Lm CS
m 2
Y
4
n
Cn 2
Y
R
1
w 0 Cn
Q0
1
Lm Cn
i1
u1
C b
2
Cb
F 01
GH
Y
F
I F 01 Y I
0J
K GH Y 0 JK
144444244444
3
FG 1 0IJ
H 0 1K
i2
Y
Cb
u2
CS
i2
Cn
Lm
R
Cb
u2
Abbildung 9.15. Vereinfachte Schaltung der elektrostatisch angeregten und abgetasteten Biegezunge
9.1 Elektrostatischer Wandler
Bu
B0 Q 0 1
B0Q p
"f ! 1 Hz
2
323
B0 10 3
w p ! w0
w N 0,956 w 0
Q p ! QN ! Q0 103
B0 10 3
f0 403 Hz
fN 385 Hz
18 Hz
2 B0
QN
"f ! 1 Hz
B0
QN
10 6
f
385
Hz
403
Abbildung 9.16. Amplitudenfrequenzgang der Übertragungsfunktion Ex der Biegezunge
Unter Berücksichtigung der konkreten Bauelementewerte erhält man schließlich den in Abbildung 9.16 dargestellten Frequenzverlauf von |E x |.
Mikromechanisches Filter mit elektrostatischer Anregung und
Abtastung
In Abbildung 9.17 ist das Konstruktionsprinzip eines in [70] beschriebenen elektromechanischen Filters dargestellt. Das Filter wurde in SiliziumOber ächenmikromechanik (Surface Micromechanic) hergestellt. Die Abmessungen der mechanischen Bauteile sind ebenfalls in Abbildung 9.17 angegeben. Mikromechanische Filter werden aufgrund ihrer hohen Güte und damit
kleinen Bandbreite, ihrer geringen Verluste und ihres sehr hohen Rauschabstandes zunehmende Bedeutung, vor allem in der Telekommunikationstechnik,
erlangen.
Die Anregung und Abtastung des Feder-Masse-Systems erfolgt durch jeweils
einen elektrostatischen Wandler. Die beweglichen Elektroden, die Biegeelemente der Nachgiebigkeiten und die Massenelemente können sich frei über
dem Siliziumsubstrat bewegen. Sie bestehen aus Polysilizium und weisen eine
Dicke k von 2 m auf. Die Verbindungspunkte zum Substrat sind in Abbildung
9.17 geschwärzt. Aus der Prinzipskizze kann das in Abbildung 9.18 dargestellte
Schaltbild abgeleitet werden.
Aufgrund der sehr kleinen Bauelementeabmessungen im Mikrometerbereich
können sie für den hier betrachteten Frequenzbereich in guter Näherung als
konzentrierte Bauelemente betrachtet werden. Nach der Transformation der
324
9 Elektrische Wandler
Anregung
i1
u1
m1
n1
nk
n2
h
Abtastung
m2
i W2
i W1
i2
R
R
Cb
U0
l1
lk
l2
b2
bk
Cb
u2
U0
h 2 $m , l1 l2 150 $m , b1 b2 2 $m , lk 150 $m , bk 1 $m
Abbildung 9.17. Konstruktionsprinzip und Abmessungen eines elektromechanischen Filters in Silizium-Mikromechanik (Draufsicht auf die Mikrostruktur)
CS
i1 i w1
u1
Anregung
u1 Y F w1
F w1
C b i w1 1 v1
v1
Abtastung
F w2
i w2 i 2
1
m n nCv F w 2 u 2
Y
2
Cb u2
nk
nC n m
h h
v2 Y i w 2
Y
i1
u1
C b Cn Lm
R
C b Cn Lm
bY g
Ck
Cb
i1
u1
Cb
C b Cn Lm
123
C
C b Cn Lm
R
Ck
123
C
nC Y 2 C b , h Q w 0 n , n Ck nk
Y2
, w 20 1 48
647
R
1
bY g
R
i2
Cb
i2
Cb
u2
u2
n nC
n
, Cn 2 , Lm m Y 2
n nC
Y
1
Lm C Abbildung 9.18. Ableitung der vereinfachten Schaltung des mikromechanischen
Filters
mechanischen Bauelemente auf die elektrische Seite, Multiplikation der Wandlermatrizen zu 1 und Vernachlässigung der parasitären Kapazität FS , folgt die
ebenfalls in Abbildung 9.18 dargestellte vereinfachte Schaltung.
9.1 Elektrostatischer Wandler
ungekapselt
325
gekapselt
0
0
Bu
Bu
dB
dB
-16
-4
-24
-6
-32
-8
-40
13
15
17
19
f
kHz
23
-10
23945
theoretisch
experimentell
23955
Hz
23965
f
Abbildung 9.19. Theoretischer und experimenteller Verlauf von |E| = x2 @x1 eines
ungekapselten und eines unter Vakuum gekapselten mikromechanischen Filters [70]
Die Berechnung der Übertragungsfunktion E x = x2 @x1 wurde mit Hilfe eines Netzwerksimulationsprogramms durchgeführt. In Abbildung 9.19 ist die
gemessene und berechnete Übertragungsfunktion des Filters dargestellt. Die
Mittenfrequenz liegt bei 18> 7 kHz bei einer Güte von 16, und die 3 dB Bandbreite beträgt 1> 2 kHz. Erfolgt eine Vakuumverkapselung des Filters, dann erhöht sich die Mittenfrequenz auf 24 kHz bei einer Güte von 2200, und die 3 dB
Bandbreite verringert sich auf 11 Hz. Durch Variation der mechanischen Bauelemente, d. h. weitere Reduzierung der Biegerlängen und deren Versteifung,
sind Bandpasslter bis zu einer Mittenfrequenz von ca. 1 MHz herstellbar.
9.1.3 Elektrostatischer Membranwandler
Bisher wurde die bewegliche Elektrode als starre Platte, die durch eine Feder
q in ihrer Ruhelage o0 gehalten wird, angesehen. Ersetzt man nun die federnd eingespannte starre Platte durch eine Membran, deren Nachgiebigkeit
ausschließlich durch die mechanische Vorspannung W0 und nicht durch deren
Biegesteigkeit 1@q bestimmt wird, so geht das Grundmodell des elektrostatischen Wandlers mit variablem Plattenabstand aus Abbildung 9.5 in das in
Abbildung 9.20 dargestellte Modell mit einer Kreismembran als bewegliche
Elektrode über. Die Membranauslenkung erfolgt durch die akustische Koordinate Dierenzdruck s und durch die auf die Membran äche D bezogene
Coulomb-Kraft Iel .
Die akustischen Zweipoleigenschaften einer dünnen, gespannten Kreismembran sind nach [2] in Abbildung 9.21 zusammengestellt.
326
9 Elektrische Wandler
Membran
Q
Q0
A
e0
r
u 0, p 0
R
u U0, p 0
u U 0 "u , p ( 0
l0
T0
i CV
Q0 "Q
bg
xbr g
"xbr g
x0 r
x l0
)
x
l0
u
p1
R
U0
p p1 p2
"V
Q "Q
p2
p1
V0
p2
u U 0 "u
R
z
bg
bg
Q D r 2 r dr ,
pges p pel ,
i
dQ
,
dt
pel C0 bg
D r e0 E r
0
Fel
u 2 e0
u 2 e0
Q2
!
2 l0 x
2l0
A
2 e0 A 2
b
g
e0 A
! Cb u U0
l0
b
g
Abbildung 9.20. Modell des elektrostatischen Wandlers mit einer Kreismembran
p
V T
0
R
z
bg
xr
bg
0
V 1 R4
p 8 T0 h
M a 1,33 r
r
R
V 2 r dr x r Na F FrI I
GH GH R JK JK
2
bg
x r x0 1 h
h
R2
x0 R2
p
4T0 h
Ma
Na
1
R 2 x0
2
U|
|V
||
W
q
q jwV
p
Abbildung 9.21. Zweipoleigenschaften einer dünnen mit W0 vorgespannten Kreismembran
9.1 Elektrostatischer Wandler
327
Die Ableitung des Wandlerschaltbildes erfolgt ausgehend von den Grundgleichungen für das ausgelenkte Membranvolumen Y
Y = Qa sges = Qa (s + sel ) = Qa s +
T2
Qa
2%0 D2
und die aufgeprägte Ladung T
T=
ZU
G (u) 2udu,
G (u) = %0
0
%0 D
%0 x
T=
x+ 2
o0
o0
ZU
x
x
%0
o0 o0
(u) 2udu = Fb x +
0
¶
(u)
1+
o0
%0 x
Y
o02
in gleicher Weise wie beim Plattenwandler. Zunächst erfolgt für kleine Änderungen ds, dT, dx und dY die Entwicklung von Y und T in der Umgebung
des Arbeitspunktes X0 , T0 , s = 0, 0 (u)
Y = Qa ds +
T0
Qa dT
%0 D2
T = Fb dx +
%0 X0
dY .
o02
Anschließend erfolgt auch hier die Einführung von komplexen Amplituden
dx $ x,
dT $ l
,
j$
dY $
t
,
j$
s = s1 s2 $ s
und die Umformung der Grundgleichungen auf die elektrischen und akustischen Netzwerkkoordinaten
t = j$Qa s T0
Qa l
%0 D2
l = j$Fb x %0 X0
t.
o02
Zur Gewährleistung ¡einer¢reellen Wandlerkonstante \ werden die Gleichungen
in die Form l> s = i x> t
l + j$Fb x = lW = und
%0 X0
1
t
t=
2
o0
\D
(9.8)
328
9 Elektrische Wandler
¶
1
T0
%0 X0
j$F
t
x
+
t
b
j$Qa
j$%0 D2
o02
!
Ã
1
1
1
1
x
s=
t
j$ Qa
\D
(\ D)2 Fb
¶
1
1
1
1
x
t = sW = s
j$ Qa Qa>C
\D
s=
(9.9)
überführt. Durch die Anwendung des Knoten- und Maschensatzes erhält man
aus den Gln. (9.8) und (9.9) das in Abbildung 9.22 dargestellte Schaltbild des
elektrostatischen Wandlers mit vorgespannter Membran.
N a,C
q
p
N a,M N a,M
R4
8 T0 h
pW
Y
iW
Transformator
F p I FG 1
GH q JK GH Y 0A
W
l0*
l0*
Q0 U 0 C b
0
Y
IFuI
JJ G J
AK H i K
Cb Cb
i
u
W
e0 A
l0*
b g
2
N a,C YA C b
Abbildung 9.22. Schaltbild des elektrostatischen Wandlers mit vorgespannter
Kreismembran
Gegenüber dem Plattenwandler weist der elektrostatische Membranwandler
eine transformatorische Verkopplung auf. Die Ursache hierfür liegt in der Ansteuerung des Wandlers durch die akustischen Koordinaten s und t im Unterschied zu den mechanischen Koordinaten y und I beim Plattenwandler.
Die Transformationsbeziehungen von der elektrischen auf die akustische Seite
und umgekehrt entsprechen den in Tabelle 7.2 dargestellten Relationen des
transformatorischen Kopplungsvierpols.
Wandler mit Kreismembranen werden für elektrostatische Mikrofone und
Lautsprecher verwendet. Ein weiterer technisch wichtiger Anwendungsfall ist
die Streifenmembran mit der akustischen Nachgiebigkeit
Qa>M =
1 o3 e
.
12 W0 k
Kommt die Membranbreite e in die Größenordnung der Membrandicke k, so
bezeichnet man die Streifenmembran als gespannte Saite. Zur Erfassung von
Kräften und Drücken mit hoher Au ösung erlangen Resonanzsensoren mit
schwingenden Saiten aus Quarz oder Silizium zunehmende Bedeutung.
9.1 Elektrostatischer Wandler
329
9.1.4 Anwendungsbeispiele
Als Anwendungsbeispiele des Membranwandlers werden der dynamische Entwurf von Kondensatormikrofonen erläutert. Der Arbeitsfrequenzbereich dieser
in sehr hohen Stückzahlen gefertigten Schalldrucksensoren liegt im ersten Fall
im Hörschallbereich und im zweiten Fall im Ultraschallbereich.
Kondensatormikrofon für den Hörschallbereich (f < 20 kHz)
In Abbildung 9.23 ist das Konstruktionsprinzip eines Kondensatormikrofons
mit vorgespannter Kreismembran und kreisringförmigem Druckausgleich angegeben. Zur Vermeidung der elektrischen Vorspannung X0 werden Kondensatormikrofone mit permanent geladenem Dielektrikum — Elektrete — verwendet
(Elektretmikrofone). Als Dielektrikum wird hier eine elektrisch aufgeladene
Te onfolie (Ladungsdichte ca. 2·104 C m2 ) mit extrem hoher Zeitkonstante
des Ladungsab usses (etwa 200 Jahre) eingesetzt. Die Berechnung der Übertragungsfunktion E s = x1 @s erfolgt getrennt für tiefe und hohe Frequenzen.
Für tiefe Frequenzen erfolgt Druckausgleich s1 = s2 = s. Außerdem kann
die akustische Membranmasse Pa>M und die akustische Masse der bewegten
Luft in der Druckausgleichsbohrung Pa>L vernachlässigt werden. Durch die
2
Transformation der Kapazität Fb auf die akustische Seite (\ D) Fb wird die
negative Nachgiebigkeit Qa>C kompensiert. Für die daraus folgende vereinfachte Schaltung aus Abbildung 9.24 ergibt sich mit
xL =
1
1 X0
1
t=
t
j$ j$Fb \ D
j$ o0 D
und
t0 =
s
1
1
1
+
+
j$Qa>V
j$Qa>M
]a>L
t = j$
Qa>M Qa>V
·
Qa>M + Qa>V
,
t=
j$Qa>M
1
j$Qa>M +
]a>L
1
1+
1
j$ (Qa>M + Qa>V ) ]a>L
schließlich für die gesuchte Übertragungsfunktion:
Es =
xL
j ($@$ 1 )
= E0
s
1 + j ($@$ 1 )
mit
E0 =
$1 =
Qa>M Qa>V X0
Qa>M + Qa>V Do0
1
]a>L (Qa>M + Qa>V )
s
t0
330
9 Elektrische Wandler
Konstruktionsprinzip:
T0
l0
h
r0 1,2 kg m 3 ; c0 343 m s 1
m0 18
, 10 5 kg m 1 s 1
p2
CV i
R 10 mm ; l0 50 $m ; h 10 $m
T0 5 107 N m 2 ; U 0 200 V
p1
R
Z a,L , M a,L
r M 2,7 103 kg m 3
R
(Druckausgleich)
u
lL 5 mm ; r 1 mm ; b 50 $m
U0
Membran
N a,M , M a,M
Druckausgleich:
b
uL
N a,V
Cb
2r
b
iW
28 Löcher
b
q M a,M N a,M N a,C Y A
g
Z a,L
pW
p1
lL
M a,L
n 28
p2
N a,V
Bauelemente:
M a,M r M
N a,M h
R2
86 kg m 4
R4
7,9 10 12 m5N 1
8 T0 h
b
N a,C Y A
g
2
Z a,L 12 m0
M a,L N a,V Cb
1
1,4 10 9 N s m-3
b 3 2 R
1 r0 lL
3,5 102 kg m 4
n AL
R 2 l0
r0 c02
, 10 13 m5N 1
11
Abbildung 9.23. Prinzipskizze und Schaltbild eines Kondensatormikrofons mit
durch W0 vorgespannter Metallmembran
Für hohe Frequenzen wirkt der Druckausgleich nicht. Die Membranimpedanz
ist jetzt durch die Massenwirkung zu ergänzen. Das vereinfachte Schaltbild
für hohe Frequenzen ist ebenfalls in Abbildung 9.24 dargestellt.
Mit
1
Qa>M Qa>V
1
s = j$
t=
¶2 s
1
1
Qa>M + Qa>V
$
j$Pa>M +
+
1
j$Qa>M j$Qa>V
$0
und
xL =
1 X0
t
j$ o0 D
9.1 Elektrostatischer Wandler
tiefe Frequenzen
hohe Frequenzen
Z a,L
q
q N a,M Z a,L
q
)
p
p
N a,V
N a,M
q N a,M M a,M
N a,V
p
Bp B p B0
b
j w w1
b
mV
Pa
1
B p B0
g
1 j w w1
N a,V
uL
p
g
Bp
B0 1,38
331
1
FG w IJ
Hw K
2
0
ohne
Druckausgleich
~
B0
FG w IJ
H wK
2
0
mit
Druckausgleich
f1 14,6 Hz
f0 52 kHz
w1
w0
w
Abbildung 9.24. Vereinfachte Schaltbilder und Verlauf der Übertragungsfunktion
eines Kondensatormikrofons für tiefe und hohe Frequenzen im Hörschallbereich
gilt für die Übertragungsfunktion:
Es =
xL
1
= E0
2
s
1 ($@$ 1 )
mit
E0 =
Qa>M Qa>V X0
Qa>M + Qa>V Do0
$ 20 =
Qa>M + Qa>V
Pa>M Qa>M Qa>V
Bei Berücksichtigung der Verluste im rückseitigen Luftvolumen und in den
Druckausgleichsbohrungen ergeben sich für praktische Realisierungen Güten
im Bereich von 0> 5 T 2.
Mikromechanisches Silizium-Mikrofon für den Ultraschallbereich
In Abbildung 9.25 ist der Aufbau und das Prinzip eines Kondensatormikrofons, bestehend aus einem Silizium-Membran-Chip und einem SiliziumGegenelektroden-Chip aus [71] dargestellt. Die Herstellung der beiden Chips
erfolgt in Volumen-Mikromechanik (Bulk Micromechanic) durch anisotropes
332
9 Elektrische Wandler
Ätzen. Als Verbindungstechnik beider Silizium-Elemente ist die Klebetechnik
geeignet. Beide Chips sind zu einem elektrostatischen Wandler mit einer Kantenabmessung von (2 × 2) mm2 und einer Höhe von ca. 0> 5 mm verklebt. Die
Membranspannung W0 wird für vorgegebene Membranabmessungen d durch
die Polarisationsspannung X0 eingestellt. Die Schaltung dieses Mikrofons und
die Werte für die akustischen Bauelemente sind ebenfalls in Abbildung 9.25
angegeben. Hervorzuheben ist die minimale Dicke der Siliziumnitrid-Membran
von nur 150 nm und der geringe Luftspaltabstand von (3 bis 5) m.
Gegenelektroden-Chip
Membran-Chip
CV
T0
U0
n-dotierte Platte
T0 6,7 108 N m 2
m
l
b
p-Substrat
a 1 mm
b 40 $m
3
uL
d 150 nm
h 5 $m
n 0 K 144
U 0 53 V
Z a,L , M a,L
V R , N aR
1 U0
q
jw h a 2
uL Cb
Schallquelle
b
q Z a,S M a,S M a,M N a,M N a,C Y A
g
Z a,L M a,L
pW
p
N a,V
Z a,S M a,S
d
h
SiO 2
2 mm
V R 5 10
N a,M , M a,M
)
Si 3N4
9
p
a
Si
R
u
N a,V
r0 a 2 w 2
2 c0
F I
GH JK
a2
8
r0
3
M a,M r M
d
a
2
N a,M a4 1
8 16 T0 d
Z a,L N a,R
1
l
12 h 4
n
h
32
b
N a,C Y A
N a,V a 2h
r0 c02
g
2
Cb
M a,L N a,R V
1
r0 R2
n
a
VR
r0 c02
Abbildung 9.25. Aufbau, Prinzipskizze und Schaltung eines Kondensatormikrofons in Silizium-Mikromechanik
Als Schallquelle wird von einer Kolbenmembran ausgegangen, deren Strahlungsimpedanz ] a>S
] a>S = ]a>S + j$Pa>S
9.1 Elektrostatischer Wandler
333
die Wechselwirkung zwischen Membran und Umgebungsmedium beschreibt.
Die Siliziumnitrid-Membran wird durch die Membranmasse Pa>M und die
Nachgiebigkeit Qa>M abgebildet. Die Nachgiebigkeiten des Luftspalt- und des
Rückvolumens werden durch Qa>V und Qa>R berücksichtigt. Der Ein uss des
Luftstromes in den q Löchern wird mit ]a>L und Pa>L beschrieben.
Die Übertragungsfunktion E s = xL @s der Schaltung wurde mit Hilfe eines Netzwerksimulationsprogramms berechnet. Die normierten Übertragungsfunktionsverläufe sind in Abbildung 9.26 für eine Variation der Membranabmessung d, der Polarisationsspannung X0 und der Löcherzahl q angegeben.
Mit abnehmender Membran äche sinkt der Übertragungsfaktor E0 des Mikrofons, der Arbeitsfrequenzbereich wird jedoch erweitert. Zur Sicherung einer
konstanten Membranspannung W0 muss bei Verringerung der Membranabmessung d die Polarisationsspannung X0 erhöht werden. Bemerkenswert ist die
Zunahme des Arbeitsfrequenzbereiches im rechten Teilbild mit steigender Löcherzahl q, also der Abnahme von ]a>L , ohne dass sich der Übertragungsfaktor
E0 spürbar verringert.
B p -30
B0 dB
B p -30
1
B0 dB
U 0 53 V , a 1 mm
2
-50
-60
-50
3
-60
4
-70
-70
-80
-80
n0
n7
n 144
-90
-90
10 102 103 104 105 Hz 107
10 102 103 104 105 Hz 107
f
f
3 a 0,5 mm,U 0 106 V
1 a 2 mm,U 0 38 V
2
a 1 mm,U 0 53 V
4
a 0,25 mm,U 0 212 V
Abbildung 9.26. Ein uss der Membranabmessung d, der Polarisationsspannung
X0 und der Löcherzahl q auf den Frequenzgang der Übertragungsfunktion E s @E0
des Silizium-Mikrofons E0 = 1 V Pa31 [71]
Dieses Beispiel zeigt, dass auch für komplexere elektromechanische Systeme
die Netzwerkdarstellung mit konzentrierten Bauelementen zweckmäßig ist.
Statt einer analytischen Berechnung des Übertragungsverhaltens ist für umfassendere Netzwerkstrukturen, wie in diesem Beispiel, die Anwendung von
Netzwerksimulationsprogrammen vorzuziehen.
334
9 Elektrische Wandler
9.1.5 Elektrostatische Festkörperwandler
Für die Wandlermodelle im Abschnitt 9.1.1 und 9.1.3 wird Luft oder Vakuum als Dielektrikum verwendet. In Abbildung 9.27 wird nun ein isotropes
Dielektrikum mit %r A 1 zwischen den Elektrodenplatten eingefügt.
a)
de
0
dS
b)
l
A
FM
TM
e0
TE
e0
1
E0 U 0
l
D e0 U 0
U0
FM FG
H
IJ
K
D
1 e
1
2 e0
e
FG
H
A
FE
FM
e
TM de
(0
dS
FE
IJ
K
2
D2
1 e
A
1
2 e0
e
e
U0
1 D 2 de
2 e dS
1 D 2 de
FE A
2 e dS
TE Abbildung 9.27. Wechselwirkungen in isotropen Dielektrika
Bei verhinderter Dehnung des Dielektrikums wird durch das elektrische Feld
H die Maxwell´sche Spannung WM im Dielektrikum und somit die Kraft IM
an den Grenz ächen erzeugt (s. Abb. 9.27a).
Weist das Dielektrikum eine dehnungsabhängige Dielektrizitätskonstante gemäß d%@dV 6= 0 auf, so entsteht zusätzlich die mechanische Spannung WE bzw.
die Kraft IE in Abbildung 9.27b. Die Gesamtspannung im Dielektrikum setzt
sich daher aus der Maxwell-Spannung und der als Elektrostriktion bezeichneten Spannung WE zusammen
¶ 2
1 G2 d%
1 %
G
.
(9.10)
1
W = WM + WE = 2 %0
%
2 % dV
Die Nutzung der Wechselwirkungen in isotropen Dielektrika ist gegenwärtig
Gegenstand intensiver Forschungsarbeiten. Im folgenden Abschnitt wird als
Anwendungsbeispiel ein elektrostatischer Polymeraktor vorgestellt.
Völlig anders ist die Situation bei anisotropen, piezoelektrischen Werkstoen,
z. B. Piezokristallen und ferroelektrischen Keramiken. Bei diesen Werkstoen
ist bereits ohne äußeres Feld H0 eine innere Polarisation Si vorhanden. Die
9.1 Elektrostatischer Wandler
335
mechanische Spannung W im Dielektrikum wird jetzt durch die vom äußeren
Feld H0 induzierte Polarisation S0 und die bereits vorhandene Polarisation Si
1
W = H0 (S0 + Si ) ,
2
S0 H0
erzeugt. Wegen der linearen Abhängigkeit der induzierten Polarisation von
der Feldstärke H0 erhält man nach Einführung der Konstanten N1 und N2
den in Gl. (9.11) angegebenen Zusammenhang
1
W = N1 H02 + N2 H0 .
2
(9.11)
Für piezoelektrische Werkstoe ist N2 À N1 H0 . Damit kann Piezoelektrizität auch als linearisierte Elektrostriktion angesehen werden. Auf die Beschreibung, Eigenschaften und Anwendung piezoelektrischer Werkstoe wird
im Abschnitt 9.2 eingegangen.
9.1.6 Anwendungsbeispiel
Elektrostatischer Polymeraktor
Elektroaktive Polymere gehören zu den aktiven Polymeren, die ihre Form
durch den Ein uss elektrischer Größen ändern. Ein im Festkörper vorhandenes elektrisches Feld bewirkt diese Formänderung. Die elektroaktiven Polymere kann man in zwei Gruppen, in die
• ionischen elektroaktiven Polymere und
• elektronischen elektroaktiven Polymere
einteilen. Bei der ersten Gruppe bewirkt ein Ionentransport eine Formänderung bereits bei geringen Betriebsspannungen von ca. 1 bis 5 V. Für den
Ionentransport wird ein Elektrolyt benötigt, z. B. eine wässrige Lösung. Neben den erforderlichen Elektrolyten ist das sehr langsame Reaktionsverhalten
mit Zeitkonstanten im Bereich von 0> 1 bis 1 s nachteilig [72].
Die zweite Gruppe wird einerseits durch die ferroelektrischen Polymere mit
piezoelektrischem Eekt, z. B. Polyvinylendi uorid (PVDF), und andererseits
durch die dielektrischen Polymere mit elektrostatischer Anregung gebildet.
Auf die anisotropen piezoelektrischen Werkstoe wird im folgenden Abschnitt
9.2 eingegangen.
Der hier betrachtete Polymeraktor beruht auf einem dielektrischen Polymer
mit isotroper Formänderung bei elektrostatischer Anregung. In Abbildung
9.28 ist das Grundprinzip eines einlagigen elektrostatischen Polymeraktors
dargestellt. Das elastische, isotrope Dielektrikum (Polymer bzw. Elastomer)
bendet sich zwischen zwei beweglichen Elektroden. Durch Zuführen elektrischer Energie erfolgt durch die entstehende Anziehungskraft der Elektroden
eine volumeninvariante Formänderung.
336
9 Elektrische Wandler
b)
a)
A "A
A
u0
u0
S2
S1
z
2
3
V0 , EPoly , er
S3
T3
E3
z "z
1
elastisches Dielektrikum
(Polymer)
T1 T2 0
nachgiebige Elektroden
T3 Fel ' A
Abbildung 9.28. Formänderung eines elastischen Dielektrikums durch die elektrostatisch erzeugte mechanische Spannung
a) ohne elektrisches Feld (H3 = 0), b) mit elektrischem Feld H3
HPoly E-Modul des Polymers
Obwohl nur die mechanische Spannung W3 generiert wird, treten drei Dehnungen V1 , V2 und V3 auf, d. h. der Elektrodenabstand } wird um } geringer
und die Elektroden äche um D größer. Aus der Volumeninvarianz der Formänderung und dem isotropen Materialverhalten des Dielektrikums lassen sich
die Dehnungen mit
Y
= V1 + V2 + V3 = 0,
Y0
V1 = V2 = Poly · V3
1
1 1
V1 = V2 = V3 = W3 ,
2
2 HPoly
W3 = s
(9.12)
berechnen. Die mechanische Druckspannung W3 ergibt sich aus der Anziehungskraft der Elektroden W3 = Iel @D. Die Anziehungskraft kann man aus
der Energiebilanz des elektrostatischen Wandlers
Z =x·T+
1 G2
· Y0
2 %
(9.13)
¢
¡
mit x·T der Energie der elektrischen Speisung und G2 @2% ·Y0 der Feldenergie
durch Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückung (s. Abb. 9.3)
Z + Z = x · T +
Z = Iel · } =
mit
Iel =
1 G2
(D + D) (} })
2 %
1 G2
(D · } } · D) ,
2 %
1 G2
}·D
2 %
D }
D
}
¶
D · } ¿ Y0
·
1
}
(9.14)
9.1 Elektrostatischer Wandler
337
berechnen. Aus der Volumeninvarianz der Formänderung folgt
Y = D · } + } · D = 0
also
}
D
=
.
(9.15)
}
D
Setzt man Gl. (9.15) in Gl. (9.14) ein, so folgt für die Anziehungskraft
Iel = G2
} 1
G2
}·D·
·
=
· D = %0 %r H 2 · D.
%
} }
%
(9.16)
Schließlich folgt für die mechanische Spannung
W3 = s =
Iel
= %0 %r H 2
D
mit
H=
x
.
}
(9.17)
Man erhält gegenüber Gl. (9.10) den doppelten Wert für die Maxwell’sche
Spannung bei Vernachlässigung der Elektrostriktion. Die Ursache hierfür liegt
in der Nichtberücksichtigung der Elektroden ächenänderung bei der Ableitung von Gl. (9.10).
Für das hier betrachtete Beispiel eines Polymeraktors wird als Dielektrikum
der Silikonkautschuk Elastosil P7670 (Fa. Wacker) verwendet. Nach [72] weist
Elastosil ein %u von ca. 3 auf. Damit erhält man für eine Schichtdicke von
} = 30 m und eine Elektrodenspannung x = 1 kV nach Gl. (9.17) einen
Druck von
s = 2> 9 · 104 Nm2 = 29 kPa.
Daraus ergibt sich mit dem H-Modul von Elastosil von ca. 3 · 105 Nm2 eine
Dehnung von
V3 = 9> 5 · 102 = 9> 5%.
Dieser Wert stimmt gut mit den in Abbildung 9.29 angegebenen experimentellen Ergebnissen überein.
Typisch sind für elektrostatische Polymeraktoren die sehr großen Dehnungen
bis ca. 20% und der hysteresebehaftete Dehnungsverlauf. Auf Grund dieser
großen Flächendehnung VD
VD =
D
= V1 + V2 = V3 = 9> 5%
D
müssen für die Polymeraktoren nachgiebige Elektroden verwendet werden.
In [73] werden hierfür Graphitelektroden vorgeschlagen.
Der in Abbildung 9.28 angegebene Polymeraktor weist bei der Dehnung von
V3 = 7% für die Schichtdicke von 30 m eine Elektrodenabstandsverringerung
von } = 2> 1 m auf.
338
9 Elektrische Wandler
S3
13%24
20
15
10
5
0
0
500
1000
1500
2000
u
13V24
Abbildung 9.29. Dehnung V3 des Dielektrikums in Abhängigkeit von der Elektrodenspannung [72]
Polymer: Elastosil P7679 (Wacker), Schichtdicke 30 m
Graphitelektrode
Silikon
Elektrodendicke:
5 μm Graphit
Dicke Dielektrikum:
30 μm Silikon
er ! 3, EPoly ! 53 105 Nm - 2
u
Schichtzahl:
100
Steuerspannung:
1000 V
Aktorlänge:
3 mm
Maximaler Hub:
ca. 300 μm
Abbildung 9.30. Elektrostatischer Stapel-Polymeraktor [72]
Zur Vergrößerung des Aktorhubes werden in [72, 73] Stapelaktoren präpariert und getestet. Die verwendeten Materialien und Abmessungen sowie der
erzielbare Hub sind in Abbildung 9.30 angegeben.
Solche Stapelaktoren können zukünftig für taktile Displays, z. B. BrailleDisplays für Blinde, verwendet werden [73]. Eine weitere Bauform ist der
Rollenaktor, ein als Voll- oder Hohlzylinder aufgerollter Polymeraktor, der
für künstliche Muskeln in Armprothesen Anwendung nden kann. Ein ande-
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
339
res Forschungsgebiet ist die Entwicklung von peristaltischen Miniaturpumpen
in der Medizintechnik mit Hilfe von Polymeraktoren [74].
In Tabelle 9.2 sind die Merkmale von dielektrischen Polymeraktoren zusammengestellt. Gegenstand der laufenden Forschungsarbeiten sind die reproduzierbare Herstellung der elastischen Elektroden und die Reduzierung der Steuerspannung.
Tabelle 9.2. Merkmale dielektrischer Polymeraktoren [72]
sehr große Dehnungen realisierbar:
bis 20%
(ca. Faktor 100 gegenüber Piezokeramik)
hohe elektrostatisch erzeugte Drücke:
bis 7 MPa
geringe Dichte:
ca. 1 g/cm3
sehr hohe Durchbruchfeldstärke:
30 V/m
(ca. Faktor 10 gegenüber Luft)
geringe Verschmutzungsgefahr:
Festkörper
Funktionsintegration möglich:
Dielektrikum, Rückstellfeder,
Elektroden
Parallelfertigung (Batch Prozess):
möglich
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten
Bauelementen
9.2.1 Modellvorstellungen zum piezoelektrischen Eekt
Die zweite praktisch bedeutungsvolle Klasse der elektrischen Wandler stellen
die piezoelektrischen Wandler dar. Die elektromechanische Verkopplung erfolgt auch hier zwischen den mechanischen und elektrischen Feldgrößen. Der
Übergang zu den integralen Größen, die an einem Punkt oder einer Fläche
räumlich konzentriert auftreten, ist zunächst nicht so einfach möglich wie bei
den elektrostatischen Wandlern. Betrachtet man jedoch zunächst tiefe Frequenzen — quasistatischer Fall — so können die piezoelektrischen Werkstoe
als praktisch masselos angesehen werden. Unter dieser Voraussetzung haben
die Feldgrößen im Innern des piezoelektrischen Werkstos an jedem Punkt den
340
9 Elektrische Wandler
gleichen Wert. Die Feldgrößen sind integrierbar und man kann zur Beschreibung mit integralen Größen und konzentrierten Bauelementen übergehen.
In einem zweiten Schritt werden einfache piezoelektrische Schwinger betrachtet, deren Masse- und Ortsabhängigkeit der Bauelementeparameter nun nicht
mehr vernachlässigt werden kann. Das Übertragungsverhalten der Schwinger
wird durch die Übernahme der Lösungen für eindimensionale Wellenleiter
und Bauelemente mit verteilten Parametern aus den Abschnitten 6.1 und 6.2
bestimmt. Zur Vertiefung wird auf die Spezialliteratur verwiesen [2, 75, 76].
Auf eine ausführliche Betrachtung der Theorie piezoelektrischer Werkstoffe wird im Rahmen dieses Buches verzichtet. Auch hier wird auf vertiefende Darstellungen in der Fachliteratur verwiesen [77—79]. Die Ableitung der
Schaltungsstruktur des quasistatischen piezoelektrischen Wandlers beruht im
Abschnitt 9.2.2 auf der phänomenologischen Beschreibung des Piezoeekts
(griech.: piezein drücken).
Beim gleichzeitigen Wirken von mechanischen und elektrischen Größen treten
in isotropen Werkstoen, wenn man wie im Abschnitt 9.1.5 die MaxwellSpannung und die Elektrostriktion vernachlässigt (Gl. 9.10), keine elektromechanischen Verkopplungen auf. Beim Einleiten einer mechanischen Spannung
W wird in Abbildung 9.31 lediglich über die elastische Konstante v eine Dehnung V bzw. beim Anlegen einer Feldstärke H über die Dielektrizitätskonstante % eine Verschiebung G hervorgerufen.
Einleiten der mechan. Spannung
T
Anlegen der Feldstärke
F T A
s
T ,S
v
U|
V| x n F ;
|W
dx
dt
l
ns
A
l
Q
E
uE l
i
F
x
l
F
T
A
e
xS l
A
Ss T
S
A
Q
l
E
n
C
dQ
dt
De E
u
Q
A
u
E
l
D
U|
V| Q C u ;
|W
Ce
A
l
Abbildung 9.31. Wirkung von mechanischen und elektrischen Größen bei isotropen Werkstoen
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
341
Ausgewählte anisotrope Werkstoe, wie Piezokristalle und Ferroelektrika, weisen dagegen eine ausgeprägte Verkopplung der mechanischen und elektrischen
Größen auf. Bei Piezokristallen, z. B. Quarz, tritt wegen der molekularen
Struktur grundsätzlich eine lineare Verkopplung zwischen den elektrischen
und mechanischen Größen auf. Bei Ferroelektrika, z. B. Piezokeramik, wird
durch Anlegen eines elektrischen Gleichfeldes (s. Abschn. 9.2.6) eine innere
Polarisation des Werkstos hervorgerufen, die nach Abschnitt 9.1.5 den quadratischen Eekt der Elektrostriktion linearisiert (Gl. 9.11).
Nach außen ist der piezoelektrische Eekt (Abb. 9.32) durch die Fähigkeit
zur Ladungsverschiebung bei mechanischer Erregung durch Kräfte oder Verformungen, oder umgekehrt durch eine Werkstodeformation bei elektrischer
Erregung durch Spannung oder Strom, gekennzeichnet. In Abbildung 9.32
ist phänomenologisch die Ladungsverschiebung beim Aufprägen einer Deformation und im zweiten Experiment die Krafterzeugung beim Anlegen einer
elektrischen Spannung bei Verhinderung der Deformation für piezoelektrische
Werkstoe dargestellt. Dabei beruht der piezoelektrische Eekt auf einer elastischen Deformation von elektrischen Dipolen in einem Kristallgitter.
1. Experiment: Aufprägen einer Deformation
für u 0
a)
x
2. Experiment: Anlegen einer Spannung
für x 0
u
a)
x0
u0
Dipole
F 0
Leiter
E0
piezoelektr.
Material
b)
F
b)
Q mech ~ S
Fel ~ E
x
l
E
u
E Q
Q
x
S
l
E
B
Q
Qmech e x
E Q
Fel e u
e K piezoelektrische Kraftkonstante
Abbildung 9.32. Phänomenologische Modellbeschreibung des piezoelektrischen Effekts
342
9 Elektrische Wandler
In Abhängigkeit von der Wirkungsrichtung in Tabelle 9.3 führt der Piezoeekt
zu einer Ladungs- oder Deformationsänderung. Technisch wird die Erzeugung
einer Ladung bei mechanischer Anregung für Sensoren zur Messung mechanischer Größen verwendet. Umgekehrt lassen sich Aktoren durch elektrische
Anregung zur Deformations- oder Krafterzeugung ableiten.
Tabelle 9.3. Grundgleichungen des piezoelektrischen Eekts für sensorische und
aktorische Anwendungen
sensorische Anwendungen
i
u
l
D,E
x
S
Anregung: Dehnung S, für
Antwort:
i
Elektrode
E0
Qe
D
D,E
Antwort:
Q
F
, T
A
A
A
u
und
A
x
l
S
l
T
Anregung: mechan. Spannung
De S
mit
F
T, für E 0
D d T
x
l
folgt:
Q d F
e K piezoelektrische Kraftkonstante
d K piezoelektrische Ladungskonstante
aktorische Anwendungen
Anregung: elektrisches Feld E , für S
0
Anregung: elektrisches Feld E , für T
Sd E
T e E
mit
F e
E
u
F
, T
l
A
A
u
l
und
S
x
l
folgt:
xd u
0
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
343
9.2.2 Piezoelektrische Zustandsgleichungen und Schaltbild für die
eindimensionale Längskopplung
Die elektromechanischen Verkopplungen in piezoelektrischen Werkstoen kann
man durch Zustandsgleichungen beschreiben. Durch zwei einfache Gedankenexperimente werden in Abbildung 9.33 unter Verwendung der piezoelektrischen Konstante h die piezoelektrischen Zustandsgleichungen aufgestellt. Neben dieser Form sind, wie im Abschnitt 9.2.3 dargestellt, noch drei andere
Formen der Zustandsgleichungen mit ihren speziellen piezoelektrischen, elastischen und dielektrischen Konstanten ableitbar.
Beim ersten Experiment wird die Spannung x angelegt und die Ladung Tel
bei verhinderter Deformation = 0 erzeugt. Anschließend wird für Kurzschluss eine Deformation eingeleitet und die Ladung Tmech ist messbar. Die
Gesamtladung ergibt sich aus der Addition der beiden Teilladungen.
x,u Q
1. Experiment:
x0
S
e
u
u0
Qel
F Q
x
e
+
=
Qel
A
u
l
Del eS E
Qel eS
A
x
l
e S
Q mech e
D mech
b
u0
eS
Fmech
Tmech
g
A
A
ue x
l
l
D eS E e S
u,x F
x0
F
cE l
u
Q Qel Qmech
A
Kapazität im festgebremsten Zustand x 0
l
2. Experiment:
nK Q mech
x
l
A
Cb eS
F
A
E A
c
( x )
l
cE S
F
Fel
x
+
x
=
u
A
u
l
Tel e E
Fel e
u
F Fmech Fel
c E
1 l
Nachgiebigkeit für elektr. Kurzschluss u 0
cE A
b
g
A
A
xe u
l
l
T cE S e E
Abbildung 9.33. Gedankenexperimente zur Denition der piezoelektrischen Konstante h und Ableitung der piezoelektrischen Zustandsgleichungen
344
9 Elektrische Wandler
Die erste Zustandsgleichung
G = %V H + hV
(9.18)
folgt nach Einsetzen der Feldgrößen in diese Beziehung.
Die zweite Zustandsgleichung erhält man mit dem zweiten Gedankenexperiment aus der Überlagerung der mechanisch und elektrisch erzeugten Teilkräfte
Imech und Iel :
(9.19)
W = fH V hH
Mit Hilfe dieser Zustandsgleichungen ist nun die Ableitung des Schaltbildes
in Abbildung 9.34 für den piezoelektrischen Wandler möglich.
Die Ausgangsgleichungen werden durch die integrale Schreibweise der Zustandsgleichungen gebildet:
T = %V
u
W
A
l
1 l
cE A
1 l
e A
eS
Y
nK
S
e
v
mit piezoelektrischer
Ladungskonstante d
für
v0
für
u0
e d cE (e
T
d2 cE
)Al
l
A
sE l
d A
d2
sE
d
sE
e2
k2
F
W
mit piezoelektrischer
Kraftkonstante e
nK
FW
FG u IJ FG 0 Y IJ FG v IJ
H i K H1 Y 0 K H F K
Cb
Cb
(9.20)
Gyrator
iW
i
D
D
x+h o
o
eS s E
cE
alternative Schaltung:
Transformator
i
u
Fj 1
GG X
H0
Cb
X
I
0
JJ
jX K
FW
nC
F
nK
v
1
, nC Y 2 C b
w Cb Y
Abbildung 9.34. Schaltbilder des piezoelektrischen Wandlers und Bauelementeparameter für den Längseekt
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
D
D
I = h x fH o
o
Auch hier geht man zu der Schreibweise mit komplexen Amplituden
T$T=
1
l,
j$
x $ x,
I $ I,
$=
345
(9.21)
1
y
j$
über und stellt die Gln. (9.20) und (9.21) nach lW und I W um:
D
D
x = lW = h y
o
o
(9.22)
1 HD
D
f
y = IW = h x
j$
o
o
(9.23)
l j$%V
I+
Die Gln. (9.22) und (9.23) entsprechen der Struktur des allgemeinen elektrischen Wandlers. Der Zahlenwert der Werkstokennwerte v, f, % ist von den
experimentellen Randbedingungen abhängig. Der jeweils zu „Null” erzwungene Randwert wird als hochgestelltes Symbol an den Kennwert geschrieben.
Die gyratorische Wandlerkonstante \ lässt sich mit
\ =
1 o
hD
(9.24)
ablesen. Das Schaltbild und die Beziehungen zur Berechnung der Bauelementeparameter aus den Werkstokennwerten h, f, % und den Wandlerabmessungen o und D sind in Abbildung 9.34 zusammengefasst. Wegen der parallelen
Wirkungsrichtung der mechanischen und elektrischen Feldgrößen wird diese
Verkopplung als piezoelektrischer Längseekt bezeichnet.
Zusätzlich zum Schaltbild mit reeller gyratorischer Verkopplung ist in Abbildung 9.34 das alternative Schaltbild mit imaginärer transformatorischer
Verkopplung angegeben. Diese alternative Schaltung wird bei der Ableitung
der Schaltung des piezoelektrischen Dickenschwingers als Wellenleiter im Abschnitt 9.3.3 verwendet.
In Abhängigkeit von der Energiewandlungsrichtung — Aktor- oder Sensorbetrieb — ergeben sich in Abbildung 9.35 unterschiedliche Vorzeichenfestlegungen
im Schaltbild aus Abbildung 9.34.
9.2.3 Allgemeine piezoelektrische Zustandsgleichungen
Bisher wurde im Abschnitt 9.2.2 lediglich ein Sonderfall der allgemeinen piezoelektrischen Verkopplungen betrachtet. Sowohl das elektrische, als auch das
mechanische Feld waren eindimensional und hatten die gleiche Wirkungsrichtung. Im allgemeinen Fall sind alle Spannungs- und Dehnungskomponenten
mit allen Feldstärke- und Verschiebungskomponenten verknüpft.
346
9 Elektrische Wandler
Pel Pmech
Aktorbetrieb:
iA
F
iA
u
u
i WA
Cb
vA
x , vA F
nK v A
1
v
Y A
i S i A
Pmech Pel
iS
iS
u
vS
i WA FW
piezoelekt.
Werkstoff
dx
dt
Sensorbetrieb:
F
u Y FW
Cb
u
F
dx
x , vS dt
vS
i WS
FW
nK
v S v A
u Y FW
i WS vS Y i WS
F
n K vS
1
v
Y S
E
FW FW
F
i WS
1
u
Y
iS
Cb
u
Abbildung 9.35. Vorzeichenfestlegung bei unterschiedlichen Übertragungsrichtungen
Nach [2, 75—77] kann man bei Verwendung der piezoelektrischen Kraftkonstante h für die lineare Verknüpfung sämtlicher elektrischer und mechanischer
Feldgrößen schreiben:
= %V11 H1 + %V12 H2 + %V13 H3 + h11 V1 + h12 V2 · · ·
= %V21 H1 + %V22 H2 + %V23 H3 + h21 V1 + h22 V2 · · ·
= %V31 H1 + %V32 H2 + %V33 H3 + h31 V1 + h32 V2 · · ·
H
= h11 H1 h21 H2 h13 H3 + fH
11 V1 + f12 V2 · · ·
..
..
.
.
G1
G2
G3
W1
h16 V6
h26 V6
h36 V6
fH
16 V6
..
.
H
H
W6 = h16 H1 h26 H2 h36 H3 + fH
61 V1 + f62 V2 · · · f66 V6
Diese Matrizenschreibweise lässt sich bei Einführung von Summationszeichen
verkürzen zu:
Gq =
3
X
%Vpq Hp +
p=1
Wl =
3
X
p=1
hpl Hp +
6
X
hqm Vm
q = 1 = = = 3, p = 1 = = = 3, m = 1 = = = 6
m=1
6
X
m=1
fH
lm Vm
l = 1 = = = 6, p = 1 = = = 3, m = 1 = = = 6
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
347
Mit Hilfe der Einstein´schen Summationsvereinbarung — über doppelt vorkommende Indizes ist zu summieren — ergibt sich schließlich die Kurzschreibweise
G> W = i (H> V):
Gq = %Vpq Hp + hqm Vm
q = 1 = = = 3, p = 1 = = = 3,
m = 1===6
(9.25)
Wl = hpl Hp + fH
lm Vm
l = 1 = = = 6, p = 1 = = = 3,
m = 1 = = = 6.
(9.26)
Die Koe!zienten %Vpq sind die dielektrischen Konstanten unter der Bedingung
V = 0, d. h. sie werden experimentell im mechanisch festgebremsten Zustand
ermittelt. Die Koe!zienten fH
lm sind elastische Konstanten unter der Bedingung H = 0, d. h. für elektrischen Kurzschluss.
Für die zweite Form der piezoelektrischen Zustandsgleichungen ergibt sich unter Verwendung der piezoelektrischen Ladungskonstante g in ähnlicher Weise
G> V = i (H> W ):
Gq = %Wpq Hp + gqm Wm
q = 1 = = = 3, p = 1 = = = 3,
m = 1===6
(9.27)
Vl = gpl Hp + vH
lm Wm
l = 1 = = = 6, p = 1 = = = 3,
m = 1 = = = 6.
(9.28)
Diesmal wurde bei der experimentellen Ermittlung der Dielektrizitätskonstanten %Wpq die mechanische Spannung W und bei den elastischen Konstanten vH
lm
die Feldstärke H gleich Null gesetzt, d. h. mechanischer Leerlauf und elektrischer Kurzschluss.
In [2], [75] und [78] werden noch die dritte und vierte Form der piezoelektrischen Zustandsgleichungen
H> V = i (G> W )
und
W> H = i (G> V)
angegeben, die aber im Rahmen dieses Buches nicht benötigt werden. Zwischen den Konstanten der Zustandsgleichungen (9.25) bis (9.28) bestehen folgende Beziehungen:
hqm = gqm fH
lm ,
flm = fml ,
gqm = hql vH
lm
vlm = vml
H
%Wqp %Vqp = hql hpm vH
lm = flm gpl gqm
348
9 Elektrische Wandler
9.2.4 Technisch übliche Kongurationen piezoelektrischer Wandler
und zugehörige Ersatzparameter
Ausgehend von den allgemeinen Zustandsgleichungen (9.25) bis (9.28) aus
Abschnitt 9.2.3 besteht jetzt die Aufgabe, für technisch wichtige Kongurationen durch Einführung elektrischer und mechanischer Randbedingungen die
Bauelementeparameter der Schaltung in Abbildung 9.34 aus den Konstantensätzen %, v, f, g, h und den geometrischen Abmessungen zu bestimmen.
Die Zusammenstellung der erforderlichen piezoelektrischen, elastischen und
dielektrischen Konstanten für technisch wichtige Werkstoe erfolgt im Abschnitt 9.2.6.
Die prinzipielle Vorgehensweise soll an zwei Beispielen erläutert werden.
Freier Dickenschwinger (Längseekt)
In Abbildung 9.36 ist die Anordnung des freien Dickenschwingers und die
dazugehörigen Randbedingungen dargestellt.
v
i
F
E1 , E 2 0
l3
D1 , D2 0
u
S3 ,T3
E 3 , D3
l2
l1
3
T1 ,T2 ,T4 K T6 0
2
1
Abbildung 9.36. Freier Dickenschwinger (Längseekt)
Im ersten Schritt erfolgt die Umformung der allgemeinen Zustandsgleichungen
G> W = i (H> V) oder G> V = i (H> W ) unter Beachtung der Randbedingungen
in zwei Gleichungen zwischen den vier verkoppelten Feldgrößen:
G3 = %W33 H3 + g33 W3 ,
V3 = g33 H3 + vH
33 W3
Diese Zustandsgleichungen werden im Folgenden in die Form G> W = i (H> V)
mit
1
g33
W3 = H V3 H H3 = fH
33 V3 h33 H3
v33
v33
und
¶
1
g33
V
H
G3 = %W33 H3 + g33
3
3
vH
vH
33
33
¶
g233
g33
W
= %33 1 W H H3 + H V3 = %W33 H3 + h33 V3
%33 v33
v33
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
349
überführt, die den Ausgangspunkt zur Ableitung der Schaltung in Abbildung
9.34 im Abschnitt 9.2.3 bildet.
Im zweiten Schritt wird, wie im Abschnitt 9.2.2 bereits vollzogen, zu den
integralen Koordinaten y, I , x und l übergegangen. Es folgt das Schaltbild
aus Abbildung 9.34. Unter Berücksichtigung der elektrisch und mechanisch
wirksamen Abmessungen
oel = omech = o3
und
Del = Dmech = o1 o2
ergibt sich nach Einsetzen von %, f, h für die Ersatzparameter schließlich:
¶
g2
o1 o2
o3
,
qK = vH
Fb = %W33 1 W 33H
33
o3
o1 o2
%33 v33
\ =
vH
33 o3
,
g33 o1 o2
2
n33
=
g233
%W33 vH
33
Im Abschnitt 9.2.7 wird ein freier Dickenschwinger aus PZT-Keramik in einem
Beschleunigungssensor verwendet.
Freier Längsschwinger (Quereekt):
Die Anordnung des freien Längsschwingers ist gemeinsam mit den Randbedingungen in Abbildung 9.37 angegeben.
i
E1 , E 2 0
l3
u
D1 , D2 0
F
S1 ,T1
E 3 , D3
l2
v
3
T2 K T6 0
2
l1
1
Abbildung 9.37. Freier Längsschwinger (Quereekt)
Auch hier erfolgt im ersten Schritt die Umformung der allgemeinen Zustandsgleichungen in zwei Gleichungen mit vier verkoppelten Feldgrößen
G3 = %W33 H3 + g31 W1 ,
V1 = g31 H3 + vH
11 W1 .
Diese Zustandsgleichungen werden wieder in die Form G> W = i (H> V) mit
den Konstanten %, f, h überführt:
W1 =
1
g31
V1 H H3 = fH
11 V1 h31 H3
H
v11
v11
350
9 Elektrische Wandler
¶
1
g31
V
H
1
3
vH
vH
11
11
¶
g231
g31
W
= %33 1 W H H3 + H V1 = %W33 H3 + h31 V1 .
%33 v11
v11
G3 = %W33 H3 + g31
Beim Quereekt sind die elektrisch und mechanisch wirksamen Abmessungen
oel = o3 ,
omech = o1
und
Del = o1 o2 ,
Dmech = o2 o3
nicht mehr identisch. Nach Einsetzen der Konstanten %, f, h und der Abmessungen in die Beziehungen aus Abbildung 9.34 erhält man für die Ersatzparameter
¶
g231
o1 o2
o1
W
Fb = %33 1 W H
,
qK = vH
11
o3
o2 o3
%33 v11
\ =
vH
11 1
,
g31 o2
2
n31
=
g231
.
W
%33 vH
11
In den Tabellen 9.4 und 9.5 sind die Randbedingungen und Kennwerte der
freien Dicken- und Längsschwinger, des geklemmten Dickenschwingers und des
Scherschwingers angegeben. Die Vorgehensweise bei der Parameterermittlung
erfolgt analog wie bei den erläuterten Beispielen.
Freie Dicken- und Biegeschwinger werden vor allem in Beschleunigungssensoren, seitlich geklemmte Dickenschwinger für Ultraschallsendeelemente, Flächenscherschwinger als Sender in der Sonartechnik sowie Dickenscherschwinger als Filterelemente und pyroeektfreie Beschleunigungssensoren verwendet.
Die typischen Arbeitsfrequenzbereiche dieser Schwinger sind in Abbildung
9.38 dargestellt.
Flächenscherschwinger
Längsschwinger
Biegeschwinger
103
104
Dickenscherschwinger
105
106
107
Hz
109
f
Abbildung 9.38. Typische Arbeitsfrequenzbereiche piezoelektrischer Schwinger
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
351
Tabelle 9.4. Ausgewählte Schwingungsformen piezoelektrischer Schwinger und zugehörige Kenngrößen
freier Dickenschwinger
geometrische
Anordnung
i
geklemmter Dickenschw.
F
v
i
u
3
l3
Längsschwinger
F
v
u
i
3
l3
1
v
u
l3
1
3
1
l2
l1
l1 l2
2
l1
2
l2
1
T1 ,T2 ,T4 K T6 0
S1 ,S2 ,S4 K S6 0
T2 K T6 0
F T3 l1 l2
F T3 l1 l2
F T1 l2 l3
v jw S 3 l3
v jw S 3 l3
v jw S 1 l1
A
Ael A mech l1 l2
E1 , E 2 0 ,
F
GH
eT33
E
s33
I
JK
2
d33
eT33
Vierpolschaltung
i
u
Cb e
Cb
Ael
lel
kt2 E
s33
iW
E
s11
F
GH
T
E
e33
1
u Y FW
iW j
2
S
E
1 e33
e33
e33
e
nK I
JK
2
d31
eT33
E
s11
A
A
1
e el e mech
Y
lmech
lel
nK v
1 lmech
c A mech
kl2 j
FW F
1
v
Y
E
s11
E
s11
2
S
E
e33
c33
e33
e
2
d31
eT33
1
E
c33
E
s33
kd2 d31
eS33
1
c
lel l3 , lmech l1
e 33
2
d33
T
E
e33
1
Ael l1 l2 , A mech l2 l3
lel lmech l3
E
s33
e
i j w D 3 l1 l2
Ael A mech l1 l2
d33
e
k
u l3 E 3 ,
lel lmech l3
l
2
1
mechan. u. elektr.
Randbedingungen
1
2
F
k2 b g 1
1 e b c eg 1 Y C
e2 c e
2
2
b
nK
352
9 Elektrische Wandler
Tabelle 9.5. Ausgewählte Schwingungsformen piezoelektrischer Schwinger und zugehörige Kenngrößen
Flächendehnungsschwinger
geometrische
Anordnung
l2
l1
v
i
i
v
u
F
i
1
l1
2
l2
3
v F
2
l3
l3 l2
3
l3
l1
1
3
3
l1 l2 l
2
T3 K T6 0, T1 T2 T 2
T1 K T4 , T6 0
F
TTl12l3l l3
T1K T4 0
F T5 l2 l3
v j w S l, S1 S2 S
F T5 l2 l3
v j w S 5 l1
v j w l1 S 5
E1 E2 0
E2 E3 0
u l3 E 3 , i jw D 3 l1l2
u l1 E1 , i jw D1l2 l3 u l2 E 2 , i jw D 2 l1l3
E1 E3 0
Ael l 2 , Amech l l3
Ael Amech l2 l3
l
lel l3 , lmech l
lel lmech l3
2 d31
e
E
s11
e
E
s12
T
e33
1 kp2
e
c
j
d25
E
s55
e
1
E
E
s11
s12
E
s55
e
i
u
Cb e
E
s11
iW
Cb
Ael
lel
lel l2 , lmech l3
E
s55
2
T
e33
Ael l1 l3 , Amech l2 l3
d15
T
e11
1 ks2
2
2 d31
2
Vierpolschaltung
u
3
A
k
Flächenscherschwinger
F 2
2
1
mechan. u. elektr.
Randbedingungen
u
F 2
v
Dickenscherschwinger
j
eT22 1 kF2
e
1
E
s55
2
d15
E
s12
j
T
e11
u Y FW
iW FW F
1
v
Y
nK nK v
1 lmech
c A mech
E
s55
2
d25
eT22
E
s55
C
e2
k2
n
e c 1 k 2 Cb
1
k
Y
1 k2
Cb
nK
j
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
353
9.2.5 Piezoelektrische Bimorph-Biegeelemente
Verklebt oder verkittet man zwei Piezokeramikelemente mit gleicher Polarisationsrichtung und betreibt sie in elektrischer Parallelschaltung oder bei entgegengesetzter Polarisationsrichtung in Reihenschaltung, so erhält man einen
Parallel- oder Serienbimorph. Neben dem Bimorph sind in Abbildung 9.39
der Monomorph und der Trimorph jeweils mit einem Träger dargestellt. Piezoelektrische Biegeelemente werden in Aktoren zur Erzeugung großer Wegamplituden bis zu 2 mm und in hochempndlichen Beschleunigungssensoren
verwendet.
Bimorph: Anordnung von zwei Längsschwingern
i
u
Parallelschaltung
F
P
i
v
P
u
P
Unimorph: Anordnung eines Längsschwingers auf Träger
Trimorph: Anordnung von zwei Längsschwingern auf Träger
i
P
F
v
P
u
Serienschaltung
i
P
u
P
Metall, Kohlefaser
Metall, Kohlefaser
Abbildung 9.39. Piezoelektrische Biegeschwinger
P Polarisationsrichtung
In Abschnitt 5.1 wird das Schaltbild des Biegeelementes abgeleitet. Ergänzt
mit dem piezoelektrischen Wandler ergibt sich das in Abbildung 9.40 angegebene Schaltbild des piezoelektrischen Biegeelementes. Der verlustfreie piezoelektrische Wandler verknüpft zunächst die elektrischen mit den mechanisch
rotatorischen Koordinaten. Durch die transformatorische Verkopplung zwischen dem rotatorischen und translatorischen mechanischen Netzwerk beim
Biegestab im Abschnitt 5.1.2 erhält man schließlich die in Abbildung 9.41
dargestellte Zehnpolschaltung des piezoelektrischen Bimorph-Biegeelementes.
Diese Schaltung gilt für tiefe Frequenzen. Im Abschnitt 9.3.5 wird auf dieses
Biegeelement als nites Netzwerkelement unter Berücksichtigung von eindimensionalen Biegewellen zurückgegrien.
354
9 Elektrische Wandler
b
u
P
E 3 , D3
P
E 3 , D3
S1 ,T1
S1 ,T1
h
l
"i
Biegeelement
2
1
D3 eT33 E 3 d31 T1
x
x 1 "x
0
3
E
d31 , s11
, eT33
S1 ,T1
x1
E
S1 d31 E 3 s11
T1
"A
u
b
+b x
g
"x g
M x 1 "x
b g
+b x g
M x1
1
"x 1
1
R| "C 4 e e1 k j b h"x
|| "n ! 12 s b"x g
S
b h
"+ |
|| 1 1 d b h
T Y 2 s "x
T
33
b
"i "i W
u
MW
u Y MW
"C b "i W
3
M
E
11
RK
"n RK
1
"+
Y
2
L
3
31
E
11
Abbildung 9.40. Schaltbild des piezoelektrischen Biegeelementes bei Verknüpfung
der elektrischen und mechanisch rotatorischen Koordinaten
i
M 1 ,+1
I
b h3
12
u
b
M2 F2
E
d31 , s11
, eT33
h
v1 , F 1
+2 v2
x 1 x 1 "x
0
BimorphBiegeelement
x
l
u
"i
"C b
bY g
b g
M x1
b g
F bx g
v bx g
"n RK
b
M x 1 "x
g
b
+ x 1 "x
+ x1
b
F 2 x 1 "x
1
1
g
2
"x
"m
2
"x
b
v x 1 "x
g
g
Abbildung 9.41. Vollständige quasistatische Zehnpolschaltung eines piezoelektrischen Bimorph-Biegeelements
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
355
Als Sonderfall ist in Abbildung 9.42 die Schaltung des häug verwendeten
einseitig eingespannten Bimorphs angegeben. Die Konstanten der Kennwerte
entsprechen denen des piezoelektrischen Längsschwingers.
u
h
i
b
S1
S1
l
E
E3
E3
u
v
iW
u Y FW
Cb
iW FW
1
v
Y
F
nK v
2
d 31
1 3 d 31 b h
2
k
,
L
E
E
Y 4 s11
l
eT33 s11
F
x
C b 4 eT33 1 kL2
e
nK j bh l
n0
l3
E
4 s11
3
b h3
Abbildung 9.42. Quasistatisches Schaltbild und Kennwerte des einseitig eingespannten piezoelektrischen Bimorphs
nO Kopplungsfaktor des Längsschwingers
9.2.6 Piezoelektrische Werkstoe
Die technisch wichtigsten piezoelektrischen Werkstoe sind
• als Einkristalle:
Quarz, Gallium Orthophosphate, Langasit, Lithiumniobat, Lithiumtantalat
• als polykristalline Ferroelektrika:
piezoelektrische Keramiken (z. B. BaTiO3 , Pb(Zr> Ti)O3 )
• als kristallin-amorpher Kunststo :
Polyvinyliden uorid PVDF
Die wichtigsten Eigenschaften dieser Werkstoe — außer den ausschließlich für
die Telekommunikation wichtigen Kristallen Lithiumniobat und Lithiumtantalat — sind in den Tabellen 9.6 bis 9.8 angegeben. Weiterführende Angaben
ndet man in entsprechender Fachliteratur [64, 79].
356
9 Elektrische Wandler
Einkristalle
Quarz als piezoelektrischer Kristall gehört zur Symmetriegruppe 32 des trigonalen Systems. Quarz zeichnet sich durch seine sehr große mechanische Güte und der großen zeitlichen Stabilität seiner Koe!zienten aus. Außerdem
weist Quarz, wie auch Gallium Orthophosphat und Langasit, keinen pyroelektrischen Eekt auf. Daher wird es für Präzisionssensoren zur dynamischen
Beschleunigungs-, Kraft- und Druckmessung verwendet. Weitere wichtige Einsatzgebiete für Quarz sind hochstabile Resonatoren und Filter. Von praktischer Bedeutung sind vor allem die X- und AT-Schnitte im Quarz-Kristall
(Tabelle 9.6).
Langasit-LGS ist ein synthetischer Kristall (L3 Ga5 SiO14 ) und gehört auch
zur Symmetriegruppe 32 des trigonalen Systems. Die industrielle Kristallzüchtung und Bereitstellung von 4 Zoll-Scheiben erfolgt seit den 90er Jahren.
Langasit wird als Basismaterial für BAW (Bulk Acoustic Wave)- und SAW
(Surface Acoustic Wave)-Resonanzsensoren zur Kraft-, Druck- und Drehmomentmessung verwendet. Gegenüber Quarz weist Langasit einen erweiterten
Temperaturbereich von mindestens bis 700 C auf.
Polykristalline Ferroelektrika
Piezoelektrische Keramiken, z. B. Blei-Zirkonat-Titanat (PZT), sind polykristalline Werkstoe, die durch Sintern keramischer Pulver hergestellt werden
(Tabelle 9.7). Diese Werkstoe sind zunächst inhomogen polarisiert, d. h. die
Richtungen der permanenten Polarisation sind zufällig verteilt und es ergibt
sich kein resultierender linearer piezoelektrischer Eekt. Die Werkstoe verhalten sich elektrostriktiv. Beim Anlegen einer hinreichend großen Feldstärke,
z. B. 2 kV mm1 , oberhalb der jeweiligen Curie-Temperatur wird die Polarisation der einzelnen Bereiche überwiegend in eine Richtung gedreht, d. h. der
Werksto wird piezoelektrisch. Die Polarisation bleibt nach Abschalten des
Feldes, sofern die Temperatur nicht über die Curie-Temperatur erhöht wird,
erhalten. In Abbildung 9.43 sind die typischen Abhängigkeiten der inneren
Polarisation S von der Feldstärke H und der Dehnung V von der von der
Feldstärke H einer polarisierten Keramik einschließlich deren Arbeitsbereiche
angegeben Durch Variation des Titan-Zirkon-Verhältnisses lassen sich eine
große Zahl von Keramikvarianten erzeugen.
Aufgrund des großen Kopplungsfaktors werden Piezokeramiken für Leistungswandler, z. B. Ultraschallsender, aber auch für Sensoren und Filterelemente
verwendet. Gegenüber Quarz weisen Piezokeramiken eine geringere Langzeitstabilität und den pyroelektrischen Eekt auf.
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
357
Tabelle 9.6. Materialeigenschaften technisch wichtiger piezoelektrischer Werkstoe
Quarz (linksdrehend)
(z) x 3
Werkstoff:
einkristalliner, hexagonaler Werkstoff;
chemisch: Kieselsäure (SiO2);
X - Schnitt
tritt in mehreren Kristallmodifikationen auf;
x1
technisch wichtig: a -Quarz ( J < 573 °C)
(x)
a -Quarz: anisotrope Werkstoff-
x2
eigenschaften;
Schnitte von
(y)
(Linksdrehend)
a-Quarz:
X - 5° oder 18,5°-Schnitt
X - Schnitt
x3
x3
AT - Schnitt
x3
x3
x3
35,5°
x2
x1
Herstellung:
x2
x2
x1
x1
x2
5° oder 18,5°
x1
x1
x2
Kristallzüchtung im Autoklaven bei 450 °C und 1000 bar
Eigenschaften:
weist eine zur mechanischen Spannung proportionale Polarisation auf
(keine Polarisation im spannungsfreien Zustand)
sehr gute Langzeitstabilität der piezoelektrischen Koeffizienten, da keine
Depolarisation möglich
sehr gute Linearität, keine Hysterese
5
2
hohe Druckfestigkeit (4 × 10 N / cm )
keine Pyroelektrizität
16
hoher Isolationswiderstand bis ca. 400 °C (10 W × cm)
3
sehr große Güte Q = 5 ×10 bis 10
aber:
6
nur kleiner Kopplungsfaktor (ca. 0,1)
Neigung zur Zwillingsbildung oberhalb 400 °C oder bei mechanischer
Überlastung
Änderung des Übertragungsverhaltens
358
9 Elektrische Wandler
Tabelle 9.7. Materialeigenschaften technisch wichtiger piezoelektrischer Werkstoe
Piezokeramik
Werkstoff:
Ferroelektrischer Werkstoff, z. B. Bariumtitanat (BaTiO3) oder
Blei-Zirkonat-Titanat (Pb(ZrTi)O3)
Herstellung:
Sintern (1200 °C), Sägen und Schleifen des polykristallinen Grundkörpers
Aufbringen der Metallelektroden
Polarisation oberhalb der Curie-Temperatur (200 bis 350) °C mit einer
Gleichfeldstärke von ca. 2 kV/mm, Einfrieren der ausgerichteten Dipole
beim Abkühlen, Polarisationsrichtung: x3-Richtung
Eigenschaften:
weist nicht wie Quarz eine spontane Polarisation auf, sondern muss
künstlich polarisiert werden
hysteresebehaftete Dehnungs-Feldstärke-Kennlinie im polarisierten Zustand
hohe mechanische Druckfestigkeit, aber nur geringe Zug- und Scherfestigkeit, mechanische Vorspannung ist daher bei Aktoranwendungen
erforderlich
deutlich größerer Kopplungsfaktor als Quarz: bis 0,7
12
hoher spezifischer Widerstand: bis 10 W × cm
Ausführungen:
- Platten, Scheiben: h = (0,1 … 2) mm
- Rohre: Ra = (1 … 10) mm, Ri = (0,5 … 9) mm
- Folien: (20 ... 100) mm (Multilayer-Technologie)
aber:
piezoelektrische Koeffizienten sind von der mechanischen Spannung
(Nichtlinearität), der mechanischen Vorgeschichte (Hysterese) und der
Frequenz (Nachwirkung) abhängig
pyroelektrischer Effekt ist zu berücksichtigen
geringere Langzeitstabilität als Quarz wegen Neigung zur Depolarisation
größere Temperaturabhängigkeit der piezoelektrischen Koeffizienten
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
P
2
C/m
0,3
Pr
äußere
Hystereseschleife
-Ec
-2
-1
-S1
innere
Hystereseschleife
Ps
S3
-3
-3
10 m/m
10 m/m
1
2
0,5
1
Arbeitsbereich
Neukurve
0,1
-0,1
1
2
Sr
E
kV/mm
Arbeitsbereich
-Ec
-2
-0,3
-Ps
359
P, E
-1
1
S3
2 E
kV/mm
S1
Abbildung 9.43. Arbeitskennlinien (S = i (H) > V = i (H)) polarisierter PZTPiezokeramik für W = 0 [64, 76]
Kristallin-amorpher Kunststo
Tabelle 9.8. Materialeigenschaften technisch wichtiger piezoelektrischer Werkstoe
PVDF - Folien (Polyvinylidenfluorid)
Werkstoff:
Ferroelektrischer Werkstoff, kristallin-amorpher Kunststoff
Herstellung:
Extrudieren und Gießen
mechanisch Verstrecken auf ca. fünffache Länge
Polarisation oberhalb der Curie-Temperatur ca. 200 °C mit einer
Gleichfeldstärke von ca. 100 kV/mm
Eigenschaften:
Herstellung sehr dünner Folien bis 5 mm Dicke
aber:
Möglichkeit des hygroskopischen Einlagerns von Wasser, Gefahr der
Depolarisation
kleiner Kopplungsfaktor, k = 0,1 ... 0,2, als Piezokeramiken
Polyvinyliden uorid (PVDF, Tabelle 9.8), ein kristallin-amorpher Kunststo, besteht aus langen Molekülketten von Kohlensto, Wassersto und
360
9 Elektrische Wandler
Fluor. Die VDF-Monomere bilden durch Polymerisation große kristalline Domänen in amorpher Umgebung. Die kristallinen Domänen liegen zunächst in
einer nicht polarisierbaren -Phase vor. Erst durch ein mechanisches Verstrecken auf fünache Länge werden die Molekülketten in eine polarisierbare
-Phase überführt. Die Polarisation erfolgt auch hier oberhalb der CurieTemperatur von ca. 200 C bei sehr hohen Feldstärken von etwa 100 kV mm1 .
Aufgrund der geringen Folienstärke bei ausgeprägten piezoelektrischen Eigenschaften nden PVDF-Folien in Sensoren, z. B. Miniaturhydrofonen und als
Folienbiegeschwinger in HiFi-Kopfhörern Anwendung.
Die Materialkonstanten und Kopplungsfaktoren von Quarz als X-Schnitt, von
ausgewählten Piezokeramiken für Sensor- und Aktoranwendungen sowie von
PVDF-Folien sind in Tabelle 9.9 zusammengefasst. Ergänzt werden die Werkstoe durch das piezoelektrische Halbleitermaterial Zinkoxid (ZnO), das in
hexagonal kristalliner Struktur vorliegt. Durch die Halbleitereigenschaften
sind Anwendungen in der Silizium-Mikromechanik, z. B. zur Erzeugung und
zum Empfang mechanischer Bulk- oder Ober ächen-Wellen in Resonanzsensoren, möglich. Die ZnO-Schichten werden in Stärken von wenigen Mikrometern
abgeschieden.
Die Piezokeramik PIC155 weist bei einem großen n-Wert eine geringe Temperaturabhängigkeit der Dielektrizitätskonstante auf. Sie eignet sich daher
besonders für US-Sender und Empfänger im Pulsbetrieb, aber auch für Beschleunigungssensoren mit breitem Temperatureinsatzbereich. Die Piezokeramik C82 eignet sich aufgrund des großen n-Wertes vor allem als Aktormaterial.
9.2.7 Anwendungsbeispiele
Die Anwendung des Schaltbildes für piezoelektrische Wandler aus Abbildung
9.34 und aus den Tabellen 9.4 und 9.5 soll unter Verwendung der Materialkonstanten aus Tabelle 9.9 am Beispiel eines Beschleunigungssensors und eines
Mikrofons erläutert werden.
Piezoelektrischer Beschleunigungssensor
Der piezoelektrische Beschleunigungssensor weist das Konstruktionsprinzip
und das Schaltbild aus Abbildung 9.44 a) auf. Die durch die seismische Masse
erzeugte Kraft I0 = pd0 wirkt auf ein piezoelektrisches Dickenelement aus
PZT-4-Keramik und bewirkt die über den Eingangswiderstand U der Sensorelektronik messbare Spannung x. Als Nachgiebigkeit wird nur die der Keramik
qK berücksichtigt, d. h. Kontaktnachgiebigkeiten zwischen Masse p und Keramik bzw. Gehäuseboden werden vernachlässigt. Zusätzlich werden noch die
Kabelkapazität FK und die mechanischen Verluste in Form der Reibungsimpedanz u berücksichtigt. Ausgehend vom Gesamtschaltbild aus Abbildung
9.44 b) wird in Abbildung 9.44 c) die Spannungsquelle durch eine Stromquelle ersetzt. Unter Anwendung der Transformationsbeziehungen des Gyrators
As
m2
11
12
(d )
(d )
11
(e )
4,68 ; -
4,52 ; -
e 11T
e 11T
;
e0
e0
3570
2655
-3
11
(k )
r kg m
0,14
~ 700
12
11
(k )
(k )
573
0,12
J Curie °C
0,1
k33
k31
6,1 ; -
6,6 ; -
33
T
T
e 33
e 33
;
e0
e0
33
6,66
5680
0,05
0,23
8,1 ; -
8,2 ; -
7,9
1,4
11
33
-4,3
8,68
9,74
(c )
- 12
10,21 ( c11 )
E
(c )
10,58 ( c )
6,9
-2
1,7
6,1
5,3
16,4
18,8
-5,4
15,8
-171
374
PZT-5a
6,4
5,1
15,6
19,7
-10,6
18,3
-165
360
PIC 155
7500
328
0,33
0,7
7500
365
0,34
0,71
190
7400
7700
0,36
0,72
3100 ; -
3400 ; -
5,9
5,2
16,9
19,2
-15,4
28,1
-260
540
C 82
345
0,35
0,69
1475 ; 730 1700 ; 830 1500 ; -
1300 ; 635 1730 ; 960 1700 ; -
8,1
6,5
12,3
15,4
-5,2
15,1
289
-123
-5,1
PZT-4
12,3
E
ü 1010
c33
ï
2
Eý
c11 þ
ïN m
~ 1400
0,45
6,16 ( d11 )
ZnO
11,35 ( s33 )
11
(d )
Langasit
(s )
4,5
Gallium
Orthophosphat
17,93 ( s11 )
-0,181 ( e12 )
0,181 ( e11 )
-2,3
2,3
Quarz
12,78 ( s11 )
ü 10
s33 ï
ý 2
s11E þ
ïm N
e33 ü
ý
e31 þ
d33 ü10- 12
ý
d31 þ m V
Konstanten
7800
165
0,39
0,74
3000 ; -
3500 ; -
6...9
16
20
-270
580
PXE52
7900
220
1790
80
0,20
0,15
> 0,6
12 ; 12
108
> 0,3
3000 ; -
-27
> 450
20
PVDF
PXE54
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
361
Tabelle 9.9. Materialeigenschaften technisch wichtiger piezoelektrischer Werkstoe
PZT Brush Clevite Comp., PIC PI Ceramic, C Fuji Ceramics, PXE Morgan Electroceramics
%0 = 8> 854 · 10312 A s V31 m31
362
9 Elektrische Wandler
iW
FW
Grundkonstruktion:
mechan.
Netzwerk
v0
A
piezoelektrischer
Wandler
vW
elektr.
Netzwerk
uW
u
m
Stahl
h 2 mm, R 5 mm, A 78,5 mm 2
R
h
m 10 g, nK 4 10 10 m N 1
u
R
CK
PZT-4
a0
nK
C K 100 pF,
a 0 jwv 0
R 100 M%
u
gesucht: B a a0
Ersatzschaltbild:
a)
b)
m
v
F
m nK
i
piezoelektrischer
Wandler
u
v0
R
v0
CK
v
v0 c)
r
Lm Y 2 m
r
F0
F 0 jwm v 0
F 01
GH
Y
I
C
0J
K
Y
R u
C C b CK
F 01
GH
Y
I
0J
K
Y
u
a 0 piezoelektrischer Wandler
j w Y 1,7 m A 1 s 1
d)
m nK
iW Cb R
FW
CK
Rr = Y 2 r Cn 1 nK
Y2
u0
C
R u
u0 Y m a0
Abbildung 9.44. Konstruktion und Schaltung eines piezoelektrischen Beschleunigungssensors mit PZT-Dickenelement
lässt sich jetzt das mechanische Teilsystem komplett auf die elektrische Seite
in Abbildung 9.44 d) transformieren.
Die weiteren Betrachtungen werden näherungsweise getrennt für sehr tiefe Frequenzen (Vernachlässigung von Op und Uu ) sowie für hohe Frequenzen (Vernachlässigung von U) durchgeführt. Die Übertragungsfunktionen für beide
Näherungen E d1 und E d2 sind in Abbildung 9.45 angegeben. Die Bauelementewerte, Frequenzwerte und Übertragungsfaktoren erhält man unter Verwendung der Materialkonstanten für PZT-4 aus Tabelle 9.9 und den Beziehungen
für den freien Dickenschwinger aus Tabelle 9.4. Der Gesamtfrequenzgang setzt
sich schließlich aus dem Hochpass für tiefe Frequenzen und dem Tiefpass mit
Resonanz bei hohen Frequenzen zusammen. Der Übertragungsfaktor E0 im
Arbeitsfrequenzbereich beträgt E0 = 2> 9 mV@ms2 . Die Resonanzfrequenz
9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen
tiefe Frequenzen
hohe Frequenzen
Cb 0,59 nF
Cn
u0
R
C
363
u
C 0,69 nF
Cn 0,14 nF
Lm
Rr
Cn
u0
u
C
Lm 28,9 mH
g
b g
jbw w g
B
1 jbw w g
B a1 b
j w w1
Cn
Y m
C Cn 1 j w w 1
B a2 B0
1
0
1
1
1 j w w0
w w0
Q
b
g
b
g
2
1
w1 1
R C Cn
b
w 20 g
B
b
g
f0 96,5 kHz
f1 1,9 Hz
20 lg
1
1 Cn C
Lm Cn
B0 2,9
B0
mV
m s
Q
20 lgQ
-2
1 Cn C
w 0 Rr Cn
40dB Dekade
0
20dB Dekade
b
lg w1 w 0
g
0
b
lg w w 0
g
Abbildung 9.45. Amplitudenfrequenzgang des piezoelektrischen Beschleunigungssensors mit PZT-Dickenelement
liegt bei i0 = 96> 5 kHz. Dieser Wert wird sich bei realen Sensoren bei Berücksichtigung der hier vernachlässigten Koppelnachgiebigkeiten verringern.
Piezoelektrische Dickenelemente werden zur Messung hoher Frequenzen und
hoher Beschleunigungsamplituden verwendet. Zur Vergrößerung des Übertragungsfaktors werden üblicherweise zwei Dickenelemente in elektrischer Parallelschaltung eingesetzt.
Piezoelektrisches Mikrofon
Als zweites Beispiel ist in Abbildung 9.46 die Grundkonstruktion und das
Schaltbild eines piezoelektrischen Mikrofons mit Bimorph-Biegeelement dargestellt. Der auf die federnd aufgehängte Platte wirkende Schalldruck wird
in eine Kraft umgeformt, die eine Auslenkung des einseitig eingespannten Bimorphs bewirkt. Zusätzlich zur Schaltung des Bimorphs aus Abbildung 9.42
einschließlich der Beziehungen für \ , Fb und qK werden mechanische und
akustische Bauelemente hinzugefügt. Als mechanische Bauelemente werden
364
9 Elektrische Wandler
q
Grundkonstruktion:
F
mechanoakustischer
Wandler
akust.
Netzwerk
p0
FW
piezoelektrischer
Wandler
mechan.
Netzwerk
v
u
*
N a2
N a1
m, A
p0
Z a1
nM
piezoelektrischer
Biegestreifen
(Bimorph)
n
gesucht:
Bp u
p0
u
Schaltung:
qW
a)
F
1
v qW
v
A
F A pW
pW
Z a1
p0
b) für elektrischen Leerlauf: u
qW
Z a1
c)
Z a1
p0
Ma N a1
Bp m
A2
v
iW
nK
iW
R
1
v Cb
Y
u
CK
1
1
iW , iW v
Y
j wC b
1
uL x
Y Cb
uL
FW
r
m
Z a2 n M nK
nC Y 2 C b
123
nB
14
4244
3
n n
n M B
n M nB
*
N a2
N a1
u YFW
uL F
1
v qW
v
A
F A pW
pW
FW
r m
*
N a2
N a1
p0
nM
r
A2
N N a*2
Na2 a
*
644744
8N a N a 2
Na n A 2
*
N a2
qW
qW
x
uL
1
1
1
p 0 Y C b p 0 j wA Y C b p 0
Abbildung 9.46. Konstruktion und Schaltbilder eines piezoelektrischen Mikrofons
mit Bimorph-Messelement
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
365
die Masse p und die Nachgiebigkeit qM der federnd aufgehängten Platte und
als akustische Bauelemente die akustische Reibung ]a>1 der Schalldruckzu
der luftgefüllten
führung und die akustischen Nachgiebigkeiten Qa>1 und Qa>2
Hohlräume vor und hinter der Platte ergänzt. Auf der elektrischen Seite werden die Kabelkapazität FK und der Eingangswiderstand U der Sensorelektronik berücksichtigt. Die mechanisch-akustische Wandlung wird durch den
Gyrator mit \ = 1@D beschrieben.
Ausgehend von der Schaltung aus Abbildung 9.46 a) wird zunächst unter der
angenommenen Randbedingung des elektrischen Leerlaufs die Kapazität Fb
auf die mechanische Seite (Abb. 9.46 b)) und anschließend werden alle mechanischen Bauelemente auf die akustische Seite (Abb. 9.46 c)) transformiert.
Zur Ermittlung der Übertragungsfunktion E s ist nun aus dieser Schaltung die
Funktion t W @s0 zu berechnen. Aus der Netzwerkanalyse von Abbildung 9.46
c) folgt:
tW
s0
j$Qa>2
=
¶Ã
¶2 !
$ 1
$
$ Qa>2 1
$ 1
1+j
+j
1+j
$ 0 T1
$ 0 T2
$0
$ 0 Qa>1 T1
mit
$ 20 =
1
,
Pa Qa>1
T1 =
1
$ 0 Qa>1 ]a>1
,
T2 =
1
$ 0 Qa>2 ]a>2
.
Die Übertragungsfunktion E s erhält man nun mit:
Es =
tW
xL
1
=
s0
j$D\ Fb s0
Unter der Annahme 1@T1 ¿ 1 lässt sich diese Beziehung weiter vereinfachen
zu
x
Qa>2
1
mit
E0 =
.
E s = L E0
¶2
s0
D\ Fb
$ 1
$
1+j
$ 0 T2
$0
Der Amplitudenfrequenzgang dieser vereinfachten Übertragungsfunktion ist
in Abbildung 9.47 angegeben. Für tiefe Frequenzen ist der Ein uss der elektrischen Bauelemente zu berücksichtigen. Wegen des endlichen Innenwiderstandes der Auswerteelektronik erfolgt wie bei allen anderen piezoelektrischen
Wandlern für tiefe Frequenzen ein zunehmender Ladungsab uss von den Elektroden, d. h. der Frequenzgang knickt für abnehmende Frequenzen ab.
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler
Wellenleiter
Für höhere Frequenzen können die mechanischen Eigenschaften des Piezoelements nicht mehr allein durch die konzentrierten Bauelemente Nachgiebigkeit
366
9 Elektrische Wandler
20 lg
Bp
B0
w 20 dB
1
M a N a2
1
w1 R C b CK
b
20 lgQ2
g
40dB Dekade
0
20dB Dekade
b
lg w1 w 0
w w1
g
0
w w0
b
lg w w 0
g
Abbildung 9.47. Näherungsweiser Frequenzgang xO @s0 des piezoelektrischen Mikrofons mit Bimorph-Messelement
q und Masse p beschrieben werden. Die sich längs zur Stabachse ausbreitenden Dehnwellen rufen jetzt ortsabhängige Massekräfte hervor. Somit erfolgt
der Übergang vom konzentrierten Bauelement Masse p zu einem Kontinuum von Masseelementen p, die jeweils durch Nachgiebigkeitselemente q
ergänzt werden. Dabei wird zur Vereinfachung des Modells von sehr kleinen
Querabmessungen des Stabes ausgegangen, so dass die durch Querdehnung
hervorgerufenen Massekräfte vernachlässigt werden können.
Im Abschnitt 6.1.1 wurde ausgehend vom Modell eines Stabes mit niten Stabelementen dessen Vierpoldarstellung als verlustfreier eindimensionaler Wellenleiter abgeleitet. Die Vierpoldarstellung und Kenngrößen des Wellenleiters
sind nochmals in Abbildung 9.48 zusammengestellt. Als Kenngrößen des Wellenleiters werden die Wellengeschwindigkeit fD , der auf dem Stab fortlaufenden Dehnwelle, die Wellenadmittanz kD , die sich unverändert durch den Stabvierpol hindurch transformiert und die Wellenzahl eingeführt. Außerdem
werden die längenbezogenen Nachgiebigkeiten q0 und Massen p0 verwendet,
die dem Induktivitätsbelag O0 bzw. dem Kapazitätsbelag F 0 einer homogenen
elektrischen Leitung entsprechen.
Für die Kettenmatrix aus Abbildung 9.48 wird im Abschnitt 6.1.1 eine schaltungstechnische Interpretation in Form der äquivalenten T- oder -Schaltung
angeben. Durch Vergleich der Elemente der Schaltung mit der Kettenmatrix
erhält man die in Abbildung 9.49 zusammengefassten Beziehungen. Für sehr
tiefe Frequenzen gehen die Admittanzen k1 und k2 in die konzentrierten Bauelemente p und q über.
9.3.1 Übergang von konzentrierten Bauelementen zum
Wellenleiter am Beispiel eines Beschleunigungssensors
Am Beispiel des piezoelektrischen Beschleunigungssensors aus Abbildung 9.44
kann man nun zur Berechnung der Resonanzfrequenz die Näherungslösung
und die exakte Lösung des eindimensionalen Wellenleiters anwenden. Beide
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
F1
F2
Stab
als
Wellenleiter
v1
longitudinal
cD
1
1
Silizium
5400
9000 111 (X-Schnitt)
Wellenzahl
Wellengeschwindigkeit
cD Wellenlänge
2
Glas Aluminium Kupfer
6420
n
1
m A
hD w
w m n cD
b
2 cD
lD f
b
2
5010
Wellenadmittanz
w
r
w
b
cD
E
E
r
cos bl
5700 5640
6000 (Pyrex)
2200
4350
IFv I
JJ GH F JK
K
jhD sin bl
D
PZT-5A PVDF Stahl
Quarz
7500 100 m
s
FG v IJ FG 1cos bl
H F K GH j h sin bl
v2
367
1
r E
Wellenimpedanz
zD =
1
hD
Abbildung 9.48. Vierpoldarstellung eines Stabes als verlustfreier eindimensionaler
Dehnwellenleiter
Index D: Dehnwelle
F1
F cos bl
GG j 1 sin bl
Hh
v1
cos bl
D
F1
v1
h1
h1
b g
jhD tan bl 2
h2
F2
F1 n 2
v1
b g
hD
jsin bl
m
h2
F2
jhD sin bl
v2
v1
h1
v2
hD
jtan bl 2
h1
b g
b l 1
n 2 F2
F1
v2
v2
F1
jhD tan bl 2
Ersatzschaltung für tiefe Frequenzen:
F2
I
JJ
K
jhD sin bl
v1
n
m2
F2
n
v2
l
A E
nl
m A l r ml
Abbildung 9.49. T- und -Schaltung des eindimensionalen Wellenleiters
o Stablänge, D Stabquerschnitt, H E-Modul des Stabes
368
9 Elektrische Wandler
Lösungen werden dem Ergebnis mit konzentrierten Bauelementen — 0. Näherung — gegenübergestellt. Zur Berechnung der Resonanzfrequenz $ 0 wird in
Abbildung 9.50 nur die mechanische Wandlerseite bei Vernachlässigung der
Reibungsimpedanz betrachtet.
Ausgehend von der Resonanzfrequenz der 0 = Näherung (konzentrierte Bauelemente)
´2
³
1
(0)
= $ 2N =
,
p = p
$0
pqK
erhält man für die 1 = Näherung für o ¿ 1 (T-Schaltung aus Abb. 9.49)
¶
´2
³
q
1
(1)
.
= $N
,
p
=
p
1
+
$0
q
2qK
1+
2qK
F2 0
v2
m (Stahl )
n (Stahl )
l 16 mm
h 2 mm
F1
v1
A 78,5 mm 2
ESt 2 1011 N m 2
EK 0,65 1011 N m 2
nK nKe 4 10 10 m N
uL
a 0 jwv 0
ESt
m rST
FW
v1
v0
nKe
l
n
nKe(PZT-4)
m*
F1
rSt 7,8 10 3 kg m 3
m
A
N
A l 10 g
10 9
F1
1
m*
a0
1 w2 nK m*
FG 0 Y IJ
H1 Y 0 K
w02 F 1 m*
1
nK m*
m* effektive Masse
v
6444444444444444714444444444444448
0. Näherung:
1. Näherung:
v1
F2 0
F1
m
v1
exakte Lösung:
n 2
n 2
m
E
F1 n 2
v1
m* m
v1
m* m (1 n / 2nK )
Wellenleiter
b l
E
cos bl
F
FG v IJ G 1
H F K GH j h sin bl
1
m
F2 0
F1
1
v2
IFv I
JJ GH F JK
K
jhD sin bl
cos bl
D
2
2
m* m tan ( bl )/ bl
Abbildung 9.50. Näherungsstufen zur Berechnung der Resonanzfrequenz des piezoelektrischen Beschleunigungssensors mit Dickenelement
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
369
Zur Berechnung der exakten Lösung geht man von dem Ansatz
$ 20 qK p = 1
aus. Die eektive Masse p folgt aus der Vierpolgleichung des Wellenleiters
r
I1
1
q0
j$p =
=j
tan (o) ,
kD =
.
y1
kD
p0
Diese Gleichung lässt sich mit den Beziehungen aus Abbildung 9.48
r
s
1 o
$
1
p0
tan
(o)
,
=
,
=
p0 q0
p = $
0
fD
fD
o fD q
fD
vereinfachen zu
p = p
tan (o)
.
o
Durch Einsetzen der eektiven Masse p in die Ausgangsgleichung erhält man
mit = $ 0 @fD
¶
$0
o
tan
fD
$ 20 qK p =
=1
$0
o
fD
und
schließlich
$0
o tan
fD
$0
o
fD
¶
q
=
,
qK
$0
$N
$0
tan
$N
r
q
qK
$0
$0
o=
fD
$N
¶
=
r
r
q
qK
q
.
qK
In Abbildung 9.51 sind die auf die 0= Näherung normierten Resonanzfrequenzverläufe in Abhängigkeit des Nachgiebigkeitsverhältnisses q@qK von seismischer Masse zur Keramik dargestellt. Gegenüber der Resonanzfrequenz $ N der
0= Näherung, bei der die seismische Masse als konzentriertes Bauelement angenommen wurde, verringert sich die exakte Resonanzfrequenz $ 0 mit zunehmender Nachgiebigkeit q der seismischen Masse. Überraschend ist die relativ
gute Übereinstimmung der Näherungslösung der vereinfachten T-Schaltung
und der exakten Lösung.
Für dieses Beispiel ergeben sich mit q@qK = 2> 5 folgende Resonanzfrequenzen:
(0)
= iN = 80 kHz
(1)
= 53 kHz
0= Näherung:
i0
1= Näherung:
i0
exakte Lösung:
i0 = 60 kHz
370
9 Elektrische Wandler
w0
wN
0. Näherung
1
exakte Lösung
0,8
n
nK
1. Näherung
0,6
0,01
0,1
1
10
Abbildung 9.51. Verlauf der normierten Resonanzfrequenzen des piezoelektrischen
Beschleunigungssensors aus Abbildung 9.50
Gegenüber der Lösung mit konzentrierten Bauelementen hat sich beim Ansatz
der seismischen Masse als Dehnwellenleiter eine deutliche Resonanzfrequenzverringerung um 25% ergeben.
Im nächsten Schritt wird die Schaltung des verlustfreien eindimensionalen
Wellenleiters direkt auf den piezoelektrischen Wandler als Längs- und Dickenschwinger angewendet und im Ergebnis die Schaltung dieser Wandlerelemente
abgeleitet.
9.3.2 Piezoelektrischer Längsschwinger als Wellenleiter
In Abbildung 9.52 ist der piezoelektrische Längsschwinger, bei dem die elektrischen Feldgrößen senkrecht zur mechanischen Schwingungsrichtung verlaufen,
als Zusammenschaltung von piezoelektrischen Wandlerelementen in Form von
niten Netzwerkelementen dargestellt.
Jedes nite Element weist den üblichen elektrischen Wandlervierpol und den
jetzt durch eine -Schaltung aus Abbildung 9.49 abgebildeten mechanischen
Teilvierpol auf. Über jedem Wandlerelement liegt die gleiche Spannung x an
und wegen der gyratorischen Verknüpfung sind auch alle Wandlerkräfte I W
der Teilelemente gleich. Daher sind die Teilelemente elektrisch parallel und
mechanisch in Reihe anzuordnen (Abb. 9.53).
Ausgehend von dieser Anordnung der Teilelemente und der Gleichheit der
Wandlerkräfte wird in Abbildung 9.53 das Schaltbild des piezoelektrischen
Längsschwingers abgeleitet. Im Unterschied zum Schaltbild des piezoelektrischen Wandlers mit konzentrierten Bauelementen aus Abbildung 9.34 wird
jetzt der mechanische Teilvierpol durch die zu einem eindimensionalen Wellenleiter zusammengeschalteten mechanischen Teilnetzwerke abgebildet. In
Abbildung 9.54 wird diese kontinuierliche Netzwerkstruktur durch die TSchaltung aus Abbildung 9.49 ersetzt. Für die Admittanzen k1 und k2 gelten
die Beziehungen aus Abbildung 9.54.
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
i
Stab:
i
b
u F1
h
F2
A mech
l
lel h, lmech l
F1
)
x3
Ael
x1
F2
d31 , e 31 , s11 , c11 ,e33
u
v2
v1
x2
i
Wandlerelement
bg
F bx g
b g
F b x "x g
F1
v2
v x "x
vx
v1
u
371
F2
"x
b
v x "x
finites Netzwerkelement:
bg
vb x g
F bx g
b
ix
u
b "x
Ael
"i
b
v x "x
b
g
F x "x
"x
"i "i W
g
g
u Y "F W
"v W
"C b "i W 1 "v W
Y
) u
b h Amech
F x "x
"F W
Y
1
e 31 b
"C b eT33
E
"n K s11
"
bg
e1 j
"
m
2
bg
d31 b
2
k31
m
2
"nK
F x
E
s11
g
vx
b "x
h
"x
, "m r b h "x
b h
Abbildung 9.52. Finites Netzwerkelement des piezoelektrischen Längsschwingers
9.3.3 Piezoelektrischer Dickenschwinger als Wellenleiter
Beim piezoelektrischen Dickenschwinger stimmen die elektrische Anregungsrichtung und die Schwingungsrichtung überein. Zunächst wird in Abbildung
9.55 das nite Netzwerkelement des Dickenschwingers abgeleitet. Im Unterschied zum Längsschwinger erhält man aus Tabelle 9.4 einen längenproportionalen Wandlerkoe!zienten
{ v33
{ 1
=
\ {,
\ =
D h33
D g33
und die Teilbauelemente
%33 D
,
Fb =
{
qK =
1 {
,
f33 D
p = D{.
Durch Anwendung der im Abschnitt 9.1.1 bei der Herleitung des Schaltbildes
des elektrostatischen Wandlers aufgezeigten Möglichkeit, eine imaginäre gyra-
372
9 Elektrische Wandler
u
i
"i
u
"C b
bg
Y
"v W
bg
bY g
Y
"F W
F1
v1
"
m
2
"nK
wegen Gleichheit der Wandlerkräfte
i
"
F2
m
2
v2
"F W F W u
aller Elemente gilt:
Y
i W "i W
C b "C b
u
u
u
u
Y
bY g
F1
u
u
Y
bY g
F 0 "nK
v1
"
bY g
FW F2
F 0
m
2
"
v2
m
2
u
2
C b eT33 1 k31
e
Y
F1
v1
1
e 31 b
j
b l
h
E
s11
d31 b
i
Cb
iW
u Y FW
iW 1
v
Y W
vW
eindimensionaler
Wellenleiter
FW
F2
v2
Abbildung 9.53. Piezoelektrischer Längsschwinger als eindimensionaler Wellenleiter
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
373
u
i
Cb
h1 j hD tan
iW
u Y FW
iW h2 1
v
Y W
vW
FW
F1
v1
h2
h1
hD
jsin b l
E
b w r s11
F2
h1
bl
2
v2
hD 1
Amech
E
s11
r
Abbildung 9.54. Schaltung des piezoelektrischen Längsschwingers
torische Verkopplung durch eine reelle transformatorische Verkopplung bzw.
umgekehrt zu ersetzen, lässt sich durch den Übergang zu einem imaginären
transformatorischen Wandlungsvierpol
[ =
1 h33
1
1
=
,
$ Fb \
$ %33
qC = \ 2 Fb
der Nachteil des längenbezogenen Wandlerkoe!zienten vermeiden. Wegen des
gleichen Stroms für jedes Teilelement erhält man im Unterschied zum Längsschwinger aus Abbildung 9.53 eine elektrische Reihenschaltung der Elemente.
Diese Reihenschaltung ist für die niten Netzwerkelemente mit imaginären
Wandlerkoe!zienten j[ in Abbildung 9.56 dargestellt. Die Teilkapazitäten
Fl lassen sich zur Reihenkapazität Fb summieren. Da auch hier die Wandlerkräfte I W wegen der mechanischen Reihenschaltung übereinstimmen, können die mechanischen Teilvierpole als Kettenschaltung eines eindimensionalen
Wellenleiters zusammengefasst werden.
Schließlich wird in Abbildung 9.57 der zusammengefasste imaginäre transformatorische Wandlervierpol durch den äquivalenten reellen gyratorischen
Vierpol ersetzt. Die sich dabei ergebende negative Feldnachgiebigkeit qC =
\ 2 Fb kann als negative Reihenkapazität Fb auf die elektrische Seite transformiert werden. Die Schaltung des Dickenschwingers unterscheidet sich daher
topologisch nur durch diese Zusatzkapazität von der des Längsschwingers.
Zusammengefasst ergibt sich sowohl für den piezoelektrischen Längs- als auch
Dickenschwinger ein gyratorischer Wandlungsvierpol, dessen Größen Fb und
\ den Abbildungen 9.54 und 9.57 entnommen werden können. Der homogene,
verlustfreie mechanische Wellenleiter kann wahlweise durch einen Sechspol
mit T- oder -Struktur abgebildet werden. Die zugehörigen Ersatzparameter
sind in Abbildung 9.49 zusammengefasst. Die jeweiligen Beziehungen für die
Wellenadmittanz kD und die Wellenzahl sind in Abbildung 9.54 und 9.57
374
9 Elektrische Wandler
l
v1
F1
R
i
A R2
)
F2
v2
F2
v2
3
l lel lmech
2
2
A Ael A mech
3
Wandlerelement
bg
F bx g
F1
1
"x
b g
F b x "x g
v x "x
vx
v1
v1
u l d33 , e 33 , s33 , c33 ,e33
1
u
A
F1
v2
F2
"u
i
u
b
v x "x
b
i
"u
F x "x
FW
"u "Y F W
"v W
"C b i W 1 "v W
"Y
g
"
iW
g
m
2
"nK
"
bg
F x
m
2
bg
vx
b
F x "x
i "C b
"u
"u W
b
v x "x
g
FW
1
"v W
"v W
"X
i j "X F W
"u W j
"nL
"nC
14243
bg
F x
"
g
m
2
"nK
"
m
2
bg
vx
Abbildung 9.55. Finites Netzwerkelement des piezoelektrischen Dickenschwingers
aufgeführt. Die elastischen und piezoelektrischen Koe!zienten sind für Quarz
und Piezokeramik der Tabelle 9.9 zu entnehmen.
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
"C b
u
375
"u W
i
bX g
bX g
bX g
"v W "F
W
F1
v1
"
m
2
"nL "
F2
m
2
"nK "nC ,
"nK "nC
v2
nK s33
l ,
nC Y 2 Cb
A
u
i
uW
Cb
1
v
X W
i jX FW
uW j
vW
F1
v1
m
"
2
eindimensionaler
Wellenleiter
FW
F2
"nL
m
"
2
v2
Abbildung 9.56. Piezoelektrischer Dickenschwinger als eindimensionaler Wellenleiter
Abbildung 9.57. Schaltung des piezoelektrischen Dickenschwingers
376
9 Elektrische Wandler
9.3.4 Anwenungsbeispiele von piezoelektrischen Längs- und
Dickenschwingern
Mit den Schaltungen aus Abbildung 9.54 und Abbildung 9.57 besitzt man
nun die Grundbausteine zur Berechnung beliebiger, verlustfreier piezoelektrischer Längs- und Dickenschwinger. Bei beidseitiger mechanischer Belastung
der Schwinger wird direkt von diesen Schaltungen ausgegangen. Die Schaltungen lassen sich jedoch noch weiter vereinfachen, wenn der Schwinger einseitig,
z. B. als Ultraschallschwinger, oder beidseitig, z. B. als Filterelement, mechanisch leer läuft. In den Tabelle 9.10 und 9.11 sind sowohl für den Längs- als
auch Dickenschwinger die vereinfachten Schaltbilder für einseitig und beidseitig frei laufende Schwinger einschließlich der Berechnungsgrundlagen für die
mechanischen und elektrischen Bauelemente zusammengestellt.
Für den einseitig freien Schwinger wird I 1 = 0 und für den beidseitig freien
Schwinger wird I 1 = I 2 = 0 gesetzt. Daraus ergeben sich die vereinfachten
Schaltungen auf der mechanischen Seite. Die Admittanzen k1 und k2 können
in der Umgebung der ersten mechanischen Resonanz näherungsweise durch die
konzentrierten Bauelemente qK , qC und p ersetzt werden. Die Basis hierfür
bilden die im Abschnitt 6.1 ausführlich behandelten näherungsweisen Vierpoldarstellungen.
Bei der Berechnung der folgenden Anwendungsbeispiele wird auf die in den
Tabellen 9.10 und 9.11 aufgeführten vereinfachten Schaltungen zurückgegriffen. Ausgehend von den in Abbildung 9.38 angegebenen technisch wichtigen
piezoelektrischen Schwingern wird als erstes Berechnungsbeispiel der beidseitig freie Quarzlängsschwinger untersucht.
Quarzlängsschwinger als Filterelement
Der in Abbildung 9.58 dargestellte beidseitig freie Quarzlängsschwinger mit
I 1 = I 2 = 0 wird unter Anwendung der Näherungsbeziehungen aus den Tabellen 9.10 und 9.11 als vereinfachte Schaltung abgebildet. Die mechanischen
Verluste werden durch die parallel geschaltete Reibungsimpedanz u berücksichtigt.
Für die Impedanz ] = x@l des Quarzschwingers ergibt sich aus Abbildung
9.58 folgende Beziehung:
¶2 ¶
1
$
$
r
1
j
1
1 Op
$0
$0 T
2
¶
]=
,
$0 =
,
T=
1
$
$
Op Fq
U Fq
2
$ Fq Fb Op
Fq + Fb $0 T
Damit weist ] zwei Resonanzstellen auf, nämlich die
• Serienresonanz iS für elektrischen Kurzschluss:
¶2
1
$
1
s
für
1 = 0,
iV =
2 Op Fq
$0
TÀ1
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
377
Tabelle 9.10. Ableitung der Schaltungen für ein- und beidseitig freie Längs- und
Dickenschwinger
beidseitig freie Schwinger
einseitig freie Schwinger
i
u
F1 0
v1
Längsschwinger
(Index L)
b
u
v1
v1
Dickenschwinger
(Index D)
F1 0
E S
e 33 , c33
, e33 , r
E T
e 31 , c11
, e33 , r
v1
i
u
l
F2
v2
F1 0
u
v2
l
i
F2
h
E T
, e33 , r
e 31 , c11
i
E S
e 33 , c33
, e33 , r
A R2
F2 0
v2
u
i
Cb
Cb *
i
Cb
)
Cb *
iW
vW
eYL,D j
FW
h2
h1
vW
F1 0
F2
h1
v2
v1
h1
h2
E
E
u
u
Cb
i
Cb *
Cb
)
iW
FW
v2
i
Cb*
eYL,D j
vW
FW
FW
h1
h1
h2
*)
v2
Cb bei Dickenschwinger ergänzen
2h 1
F2 0
h1
iW
eYL,D j
vW
)
iW
eYL,D j
v1
v2
F1 0
u
F1 0
F2 0
)
378
9 Elektrische Wandler
Tabelle 9.11. Vierpol-Schaltungen für ein- und beidseitig freie Längs- und Dickenschwinger
einseitig freie Schwinger
i
*)
iW
Cb
u
Cb
Y
u = ×FW
2
2
i W = vW
Y
m2
FW
vW
m1
1
nK , n2 = nK
8
2
1
Dickenschwinger: n1 = 2 n L , n 2 = n L
8
Längsschwinger:
n1 =
2
2
n1
F2
n2
U|
V|
W
v2
m1 =
m2 =
m
2
8
m
2
beidseitig freie Schwinger
i
u
*)
iW
Cb
Cb
Längsschwinger:
Dickenschwinger:
YL =
u =Y ×FW
iW =
1
v
Y W
n1 =
8
n1 =
8
2
2
nK
nL
F2 = 0
FW
vW
m1
U|
V|
W
n1 v 2
i
*)
Cb
Lm
u
1
m1 = m
8
Lm = Y 2 × m1
Cb
*)
Cm
Cb bei Dickenschwinger
ergänzen
Cm = 1 Y 2 × n1
1
l
, YD =
, C bL = e33 b × l , C bD = e33 A , mL = r × b × h × l ,
e 31 × b
e 33 × A
h
l
mD = r × A × l , nKL =
n ×n
1 l
1 l
, nKD =
, nL = KD C , nC = YD2 × C bD
nKD nC
c11 b × h
c33 A
und die
• Parallelresonanz iP für elektrischen Leerlauf
r
Fq
iP = iS 1 +
für
Fq + Fb $ 2 Fq Fb = 0,
Fb
T À 1.
Vorteilhaft ist der Betrieb des Quarzoszillators in der Serienresonanz, da hier
die Resonanzfrequenz nur von den sehr stabilen Materialkonstanten fH
11 und
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
E T
e 31 , c11
, e33 , r
b
i
u
i
h
) u
l
v1
v2
Y
i
Cb
u Y FW
Cb
iW FW
n1
1
v
Y
m1
r
1
b l
8
1
, C b e33
, n1 2 nK , m1 m
e 31 b
h
8
Lm m1 Y 2 u
iW
379
R w 0 Lm
m
2
b2
8 e31
1
Q
2
e31
8
Cn 2 2
Cb
e33 c11
Y
n1
U|
||
V|
||
|W
1
w 20
f0 nK m
2
1 r l2
2 c11
1 c11 r
2
l
Abbildung 9.58. Schaltbild und mechanische Resonanzfrequenz des beidseitig freien Quarzlängsschwingers
des Quarzes abhängig ist. Die Dierenz der Resonanzfrequenzen lässt sich
mit
1 Fq
iP iS
iS
2 Fb
abschätzen.
Für einen Quarz im X-Schnitt und mit den Abmessungen o = 4 mm, e =
0> 5 mm und k = 0> 1 mm ergeben sich die Bauelementewerte und Resonanzfrequenzen in Tabelle 9.12. Diese Werte sind den typischen Oszillatorwerten
des X-, 5 -X- und AT-Schnitts gegenübergestellt. Bemerkenswert ist die sehr
hohe Zeitkonstanz von Quarzoszillatoren [80]:
Kurzzeitkonstanz (WM = 1 s, & = ±1 K, temperaturkompensiert):
iS
? 1011
iS
Langzeitkonstanz (WM = 24 h, & = ±1 K):
iS
? 109
iS
Langzeitkonstanz (WM = 1 Jahr, & = ±1 K):
iS
? 106
iS
380
9 Elektrische Wandler
Temperaturkoe!zient der Resonanzfrequenz:
i = 106 bis 104 K1
Tabelle 9.12. Kennwerte von Quarzoszillatoren als Längs- und Dickenschwinger
Werte
Beispiel
typische Werte
X-Schnitt
X-Schnitt
5°-X-Schnitt
(Längsschwinger) (Längsschwinger) (Längsschwinger)
AT-Schnitt
(Dickenschwinger)
Lm / H
7,8
1,5
19,4
3,3
Cb / pF
0,8
60
7,9
5,8
Cn / pF
0,008
0,016
0,07
0,04
R/ W
3.017
60
170
5.000
fS / kHz
616
999
139
427
fP / kHz
619
1.000
140
429
Q
10
4
10
5
10
5
1.800
Als zweites Berechnungsbeispiel wird ein Ultraschallsender als @2-Dickenschwinger betrachtet.
Ultraschallsender in /2-Resonanz
Zur Abstrahlung von Ultraschallwellen in Wasser wird ein @2-Dickenschwinger aus PZT-4-Piezokeramik verwendet. Die Abmessungen des Dickenschwingers und das elektrische Schaltbild sind in Abbildung 9.59 angegeben.
Dabei wird auf das Schaltbild des einseitig freien Dickenschwingers, das mit
der Reibungsadmittanz ka des angekoppelten Wassers abgeschlossen wird, aus
den Tabellen 9.10 und 9.11 und auf die PZT-4-Materialkonstanten aus Tabelle
9.9 zurückgegrien. Die elastischen Verluste des Schwingers werden durch die
zusätzlich eingefügten Reibungsadmittanzen k1 und k2 berücksichtigt.
Für i i1 wirkt vom Serienresonanzkreis nur noch U1 . Außerdem kann für
diese Frequenz der Parallelresonanzkreis gegenüber Ua vernachlässigt werden.
Für die Berechnung der abgestrahlten Leistung Sak bei Einspeisung mit x̃ ist
daher näherungsweise nur noch U1 und Ua zu berücksichtigen:
Sak
x̃2
= a =
Ua
Ua
U1 + Ua
¶2
x̃2
Ua
1 2
x̃ =
·
= Sel
Ua
U1 + Ua U1 + Ua
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
n2
u
Wasser
PZT-4
v
A
l
A R 5 10 mm
l
l 6,7 mm !
2
~ 70 V
u
2
3
Cb
u
rW ,cW
n1 2
FG Y IJ
H 2K
2
2
h2 m2
Pak
ha
v
n1 h1 m1
nL , nL 381
nK Y 2C b
nK Y C b
2
, nK s33
l
A
1
8
m
n2 nL , m1 , m2 2 m, m r A l
8
2
1
h1 w1 n1 Q mech , h2 w 2 n2
Q mech
rW 103 kg m 3
cW 1450 m s 1
ha Q mech 560
1
r W cW A
R l
für
elektrisches Schaltbild:
1,65 nF 0,96 % 0,3 mH
u
C1 C2 L1 4,16 nF C1
Cb
4
Y
2
2
2
nL R1
8
2
L1
Y2 2
k33
Cb ,
4 1
1 2
nL k33
Cb ,
2
Y2 8
2
2
Y
Y
m1 m,
4
8
R1 0,4 mH
L2
2
1 k33
nK
2
k33 C b
C b e33
L2 1
,
Q mech C1 w1
1,02 nF
C2
A
l
2
2
Y
m2 2 Y 2 m
4
R2 Q mech
,
C2 w2
Ra U|
||
V|
||
|W
14,2 %
Ra
490 k%
R2
f1 1
2l
c33
2
1 k33
r
e
j
160 kHz
f2 1
2l
c33
r
220 kHz
2
Y
r W cW A
4
Abbildung 9.59. Schaltbild eines @2-Dickenschwingers aus PZT-4-Piezokeramik
für Ultraschallabstrahlung in Wasser
Der Wirkungsgrad ergibt sich damit zu
=
Ua
Sak
=
= 0> 94.
Sel
U1 + Ua
Für eine Einspeisung von x̃ = 70 V und damit Sel 320 W erhält man ca.
300 W abgestrahlte Ultraschallleistung. Wegen der dielektrischen Verluste, die
zu einer Erwärmung des Wandlers führen und der durch die Fertigungstechnologie der Keramik bedingten Streuung der piezoelektrischen Konstanten ergeben sich messtechnisch jedoch Dierenzen zum theoretisch möglichen Wert
in Richtung eines niedrigeren Wirkungsgrades.
382
9 Elektrische Wandler
9.3.5 Piezoelektrisches Biegeelement als Wellenleiter
Zur Erzeugung grosser Wegamplituden im Bereich von einigen Zehnteln Millimeter werden wie im Abschnitt 9.2.5 bereits ausgeführt, piezoelektrische Biegeschwinger verwendet. Ausgehend vom quasistatischen Zehnpolschaltbild in
den Abbildungen 9.41 und 9.60 des piezoelektrischen Bimorph-Biegeelementes
wird jetzt die Schaltung für höhere Frequenzen abgeleitet. Wie beim Längsschwinger erhält man sie in Abbildung 9.61 durch elektrische Parallel- und
mechanische Reihenschaltung der niten Bimorph-Biegeelemente aus Abbildung 9.60. Im Unterschied zum Längsschwinger wird jetzt die mechanische
Seite als Achtpol mit der in Abbildung 9.61 angegebenen Kettenmatrix des
Biegewellenleiters beschrieben. Der Darstellung des Biegewellenleiters liegt die
bereits im Abschnitt 5.1.2 aufgeführte Kettenschaltung mit niten Biegeelementen zugrunde.
i
M 1 ,+1
I
b h3
12
u
b
M2 F2
d31 , s E11, eT33, r
h
v1 , F 1
+2 v2
x 1 x 1 "x
0
BimorphBiegeelement
Schaltung für
Biegeelement
x
l
u
"i
"C b
bY g
b g
M x1
b g
F bx g
v bx g
"n RK
b
M x 1 "x
g
b
+ x 1 "x
+ x1
b
F 2 x 1 "x
1
1
g
2
"x
"m
2
"x
b
v x 1 "x
g
g
Abbildung 9.60. Biegeschwinger mit Schaltung für das verlustfreie Biegeelement
{
Für den technisch wichtigen Anwendungsfall des einseitig eingespannten Biegers lassen sich die Beziehungen aus Abbildung 9.61 vereinfachen. Nach [2]
sind in den Tabellen 9.13 und 9.14 für ausgewählte Frequenzverhältnisse
die vereinfachten Schaltungen und die zugehörigen Bauelemente angegeben.
Bei der Berechnung der folgenden drei Anwendungsbeispiele — piezoelektri-
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
(
u
Cb
i
u Y MW
1
+
Y W
+W M W
iW M 1 M 1
F1
v1
) l hb
2
Cb 4 e33 1 k31
iW
+1
383
h , z0
d31
1 1 d31
b h
,
Y 2 s11
e33 s11
h
w
, w0 w0
1
m n0
, z0 m
n0
3
s11 l
b h3
I
nRK h 2 ,
I
12
2
s h 1 k31
nRK 11
3 2
I
1 k31
4
3 2
1 k31
1 1
1
h2
2
4
w0 2
12 r s11 1 k31 l 4
m n0
n0 M 2 M 2
BiegewellenLeitung
2
k31
+2
F2
v2
Kettenmatrix des Biegewellenleiters:
l
S
C
h
v1 h s
C
l
+1 M 1 j z l c j z l2 s
0
0
h
F1 j z0 h S j z0 l c
1
c
j z0 l
h S
j z0 l 2
C
hs
l
Rayleigh-Funktionen:
1
(sinh h +sin h),
2
1
s (h ) = (sinh h -sin h ) ,
2
S (h ) =
1 s
j z0 h c v2 j z 0 l +2 S M 2 l
h F 2 C 1
(cosh h +cos h)
2
1
c (h ) = (cosh h -cos h )
2
C (h ) =
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Biegewellen:
cB cD r w ,
cD E
,
r
r
I
A
Biegewellenlänge:
l B 2
cD r
w
Abbildung 9.61. Schaltung und Kettenmatrix des piezoelektrischen Biegeschwingers
Index B: Biegewelle
384
9 Elektrische Wandler
scher Ausschlagssender und Ausschlagsempfänger, piezoelektrischer Beschleunigungssensor mit Biegeelement sowie piezoelektrischer Multilayer-Biegeaktor
— werden die Beziehungen aus den Tabellen 9.13 und 9.14 angewendet.
9.3.6 Anwendungsbeispiele von piezoelektrischen Biegeelementen
Ausschlagssender und -empfänger mit piezoelektrischem
Biegeschwinger
Der Ausschlagssender besteht aus einem elektrisch angesteuerten, einseitig
eingespannten piezoelektrischen Parallelbimorph (Abb. 9.62). Zur Berechnung
der Übertragungsfunktion E x = S @x verwendet man die Schaltung aus Tabelle 9.13 a).
a) Ausschlagssender
b) Ausschlagsempfänger
b
l
Parallelbimorph
h
u
u
C b
FG 1 IJ
HY K
B
FW FS
F 01
GH
Y
I
0J
K
Y
f f1
n vS
FS
u
Y
Y Y r
ve
n
F 01
GH Y
xn F n
f f1
n0
3
I
0J
K
iW
i
Y
C b
i
u
u
YB
i
ie
vS
v
bng
Fe FW
Cb Cb Cn
FS
n
n vS
i
3 d31 b h
2 s11 l
F
F
u
vS
iW
i
ve , F e
FS
i
C
ie u
ve
n
,C 2
Y
Y
ue C
u
u
1
x
C Y e
Y Y r
Abbildung 9.62. Vereinfachte Schaltung des piezoelektrischen Ausschlagssenders
und Ausschlagsempfängers
Bei Speisung aus einer ausreichend niederohmigen Spannungsquelle kann zur
Übertragungsfaktorberechnung die Kapazität Fb0 vernachlässigt werden. Man
erhält nach Transformation der elektrischen Seite auf die mechanische Seite
mit dieser Annahme die vereinfachte Schaltung aus Abbildung 9.62 a).
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
385
Tabelle 9.13. Schaltungen und Bauelemente des einseitig freien Biegeschwingers
für unterschiedliche Frequenzbereiche
u
l
b
i
iW
Cb
v F
h
u
u Y MW
i
v2 v
v1 0
F2 F
+1 0
M2 0
1
+
Y W
+W M W
iW M 1
+1 0
w
, w0 w0
h
1
M 2 M 2 0
BiegewellenLeitung
h , z0
v1 0
m n0
M 2 M W
+2 +W
F2 F
v2 v
elektrische Schaltungen:
a)
beliebig
F 01 Y I
G J
C b H Y 0 K
h 1
c)
(in der Umgebung der
ersten Biegeresonanz)
F
i
u
h h1 1875
,
b)
h
n v u
(quasistatisch)
ners F
i
Cb
F 01 Y I
GH 0 JK
Y
F
i
v u
Cb
F 01 Y I
GH 0 JK
Y
mers
Cb Cb Cn
n0
Cn g
Y 2 l2
C b ! C b
n0
ners 0,971 n0 3
n
h
3
t
Y Y r
l
r
j
h
mers m 4
Y Y r
h
l
r tan 1 0,727 l
h
2
C b ! C b
nK n0
3
2
Y Y l
3
nK v
386
9 Elektrische Wandler
Tabelle 9.14. Schaltungen und Bauelemente des einseitig freien Biegeschwingers
für unterschiedliche Frequenzbereiche.
g
FG
H
1
1 cosh h cos h
h sinh h cos h cosh h sin h
t
cosh h sin h sinh h cos h
1 cosh h cos h
j
cosh h sin h sinh h cos h
sinh h sin h
e
1
1 d31
1
b h k31 33 b h ,
2
Y 2 s11
s11
I
b h3
12
,
kB2 3 2
k31 ,
4
C b 4 e33
IJ
K
n0 b l
2
1 k31
h
e
l 3 s11
nRK h 2
I
j
Der Leerlaufausschlag L berechnet sich aus der Leerlaufgeschwindigkeit y L
zu
1
x
L = yL = q .
j$
\
Setzt man nun die Beziehungen für q und \ aus Tabelle 9.13 ein, so erhält
man
¶
sinh () sin ()
1
E x = L = Ex0 2
x
1 + cosh () cos ()
mit
Ex0
¡
¢
2
o2 1 n31
1 g31 ek
q0 = 6g31
=
2) .
2 v11 o
(1 + nB
Der Verlauf der normierten Übertragungsfunktion ist in Abbildung 9.63 a)
dargestellt. Bereits unterhalb der ersten Biegeresonanz i1 ergibt sich eine
Resonanzüberhöhung des Ausschlags. In unmittelbarer Nähe der ersten Biegeresonanz kann die Schaltung aus Tabelle 9.13 b) verwendet werden.
Als Beispiel wird ein Ausschlagssender aus PZT-4-Keramik mit den Werten
g31 = 12> 3 · 1011
berechnet. Mit
m
, o = 20 mm, k = 0> 4 mm, n31 = 0> 33, x̂ = 100 V
V
s
3
n31 = 0> 29
nB =
2
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
a) Ausschlagssender
Bx
2
Bu Bx 0
b) Ausschlagsempfänger
1
xS
Bu
u
Bu0
1,5
0,5
Bx 1
0
0
387
0,2
0,4
f
f1
0,6
0,8
0
u
xe
0,2
0,4
0,6
f
f2
0,8
1,0
1,2
Abbildung 9.63. Übertragungsfunktionsverläufe des piezoelektrischen Ausschlagssenders und Ausschlagsempfängers
folgt für den Leerlaufausschlag
ˆ = Ex0 x̂ = 150 m.
L
Für die Biegeresonanzfrequenz erhält man mit i1 = 21 · i0 , 1 = 1> 87 und der
Kennfrequenz i0 aus
$ 20 =
2
1
1
1 nB
k2
=
·
·
,
2
pq0
12v11 1 n31
o4
i0 = 153 Hz
den Wert i1 = 538 Hz. Die tatsächliche Resonanzfrequenz liegt aufgrund der
real vorhandenen zusätzlichen Nachgiebigkeiten an der Biegereinspannstelle
jedoch niedriger.
Ausschlagsender mit Biegeschwingern werden in Kopfhörern, zur Auslenkung
von Miniaturspiegeln aber auch in Linear- und Schrittmotoren eingesetzt.
Kehrt man den Wandlungseekt um, so lässt sich der piezoelektrische Biegeschwinger als Ausschlagsempfänger nach Abbildung 9.62b betreiben. Jetzt
wird mechanische Leistung eingespeist und elektrische Leistung entnommen.
Gegenüber dem Sendebetrieb sind Strom- und Kraftpfeile entgegengerichtet.
Außerdem weist jetzt die Kopplungsmatrix negative Vorzeichen auf. Zur Berechnung der Übertragungsfunktion E = x@ e wird das vereinfachte Schaltbild aus Abbildung 9.62b, das auf einer Geschwindigkeitsquelle mit vernachlässigbarer innerer Nachgiebigkeit q beruht, verwendet. Für die Übertragungsfunktion des Ausschlagsempfängers folgt aus Abbildung 9.62b
E = x
1
\
= .
=
e
F\
q
Daraus lässt sich durch Einsetzen der Beziehungen für \ und q aus Tabelle
9.13 ableiten:
¶
1 + cosh () cos ()
2
E = E0 sinh () sin ()
388
9 Elektrische Wandler
mit
v11 o 1
g31 ek q0
Unter Verwendung der Zahlenwerte des betrachteten Beispiels beträgt
E0 = 2
mV
.
m
E0 = 67
Der Verlauf der Übertragungsfunktion ist in Abbildung 9.63b angegeben. Für
2 = hat die Übertragungsfunktion eine Nullstelle. Für die zugehörige Frequenz erhält man
i2 = 2 i0 = 1> 51 kHz
mit
i0 = 153 Hz.
Piezoelektrische Bimorph-Elemente dienen als Wandlerelemente in Mikrofonen, deren Konstruktionsprinzip bereits in Abbildung 9.46 dargestellt wurde.
Wegen ihrer hohen Empndlichkeit und guten Reproduzierbarkeit der Kennlinie werden sie auch als hochau ösende Wegmesselemente, z. B. in Kraft- und
Tunnelmikroskopen, eingesetzt.
Piezoelektrischer Beschleunigungssensor mit massebehaftetem
Biegeschwinger
Zur Berechnung der Übertragungsfunktion E d = xL @d wird vom quasistatischen Schaltbild in Tabelle 9.13c des einseitig eingespannten Biegers ausgegangen. Durch die Zusatzmasse p erfolgt die Verringerung der Resonanzfrequenz
des Biegeschwingers, so dass die Bedingung ¿ 1 in ausreichender Näherung erfüllt wird. Die Schaltung des massebelasteten Biegeschwingers ist in
Abbildung 9.64b angegeben.
Transformiert man für den Leerlauall die Kapazität Fb auf die mechanische
Seite und ersetzt die Geschwindigkeitsquelle durch eine Stromquelle, so erhält
man das mechanische Netzwerk in Abbildung 9.64c. Die Leerlaufspannung
berechnet sich aus der Wandlerkraft I W mit
xL = \ I W
mit
\ =
4 v11 o
.
3 g31 ek
Durch Anwendung der Stromteilerregel lässt sich eine Beziehung für
¶
2
3 2
IW
3
1
qK
nB
2
1 nB
=
$0 =
,
qL =
¶2 ,
I0
4
pqL
3
4
$
1
$0
ableiten. Damit ergibt sich für die Leerlaufübertragungsfunktion
Ed =
xL
v11 o 2
n p
=
d
g31 ek B
1
1
$
$0
¶2 = Ed0
1
1
$
$0
¶2 ,
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
a)
b)
i
n
v, F
c)
F0 m a
F
m
FW
F 01
GH Y
n
n nK h 1
m
v
u
m
F
I
0J
K
iW
389
i
Y
u
Cb
n0
bl
2
2
, Y Y l, C b 4 e33
1 k31
h
3
3
e
j
d)
Bu
FW
nK
Bu0
Y
2
3
2
Cb
12
4 4
3
nL
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
f f0
Abbildung 9.64. Schaltung und Übertragungsfunktionsverlauf eines Beschleunigungssensors mit massebelastetem Biegeschwinger
deren Verlauf in Abbildung 9.64d angegeben ist. Für den PZT-4 Bieger erhält
man mit g31 und v11 aus Tabelle 9.9 sowie
o = 20 mm,
e = 10 mm,
k = 0> 4 mm,
nB = 0> 29,
p = 4g
den Übertragungsfaktor Ed0 = 168 mVm1 s2 und für die Resonanzfrequenz
i0 = 180 Hz. Damit liegt dieser Wert deutlich unter der ersten Biegeresonanz
von i1 = 540 Hz.
Piezoelektrischer Multilayer-Biegeaktor
Im Folgenden soll systematisch die kanonische Schaltung eines einseitig eingespannten Biegeaktors bestehend aus q Schichten abgeleitet werden (Abb.
9.65). Ausgangspunkt für diese Betrachtung stellt ein dierentielles homogenes Balkenelement dar, wie es bereits in Abschnitt 5.1.2 diskutiert wurde. An
beiden Enden des Balkenelementes greifen sowohl translatorische (Geschwindigkeit y, Kraft I ) als auch rotatorische Größen (Winkelgeschwindigkeit ,
Drehmoment P ) an.
Um eine Aussage über das dynamische Verhalten des Balkenelementes treen
zu können, werden des Weiteren seine Masse p, die auf das Balkenelement
wirkende äquivalent viskose Dämpfung u und eine von außen angreifende
kontinuierliche Linienlast i ({) in die Betrachtungen mit einbezogen. Abbildung 9.66 stellt diesen Sachverhalt anschaulich dar.
Unter der Annahme, dass man sich die Reibungskraft und die Linienlast in der
Mitte des Balkenelementes konzentriert vorstellen kann und
P unter Berücksichtigung der kinematischen und dynamischen Bedingungen l I l = j$py ({)
390
9 Elektrische Wandler
u
En
En1
P
P
Schicht n
Schicht n1
y
x
Neutrale Faser
P
P
P
Einspannung
E3
E2
E1
Schicht 3
Schicht 2
Schicht 1
z
Abbildung 9.65. Einseitig eingespannter piezoelektrischer Multilayer-Biegeaktor
"F (x ) = f (x )"x - "rv (x )
"m, s11 , I yy , A, r
v2
F 1 ,v1
y
x
"x
M 1 , +1
z
x-
"x
2
x
+2
A
F2
x+
M2
"x
2
Abbildung 9.66. Dierentielles Balkenelement unter Berücksichtigung der Masse
p, der Reibung u und einer angreifenden Linienlast i ({)
P
und l P l = 0 ergibt sich die in Abbildung 9.67 dargestellte innere Struktur
des dierentiellen Balkenelementes.
Die innere Struktur des in Abbildung 9.67 dargestellten Balkenelementes entspricht der bereits in Abbildung 9.60 vorgestellten Schaltung eines niten,
verlustfreien Biegeelementes, bei welchem jedoch eine angreifende Linienlast
i ({) und die äquivalent viskose Dämpfung u nicht berücksichtigt wurden.
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
M (x - "x / 2 )
391
M (x + "x / 2 )
"nR
+ (x - " x / 2 )
+ (x + " x / 2 )
F (x - "x / 2 )
v (x - "x / 2 )
1
v (x )
F (x + "x / 2 )
1
"x / 2
"m
"x / 2
1
f (x )
"r
v (x + "x / 2 )
Abbildung 9.67. Schaltung des dierentiellen Balkenelementes bei Berücksichtigung von Reibungskraft und Linienlast
Abbildung 9.67 zeigt, dass die translatorischen und rotatorischen Größen
durch ideale Transformatoren miteinander verknüpft werden. Die Größe qR
entspricht der rotatorischen Nachgiebigkeit eines dierentiellen Balkenelementes. Unter BerücksichtigungPder bereits oben erwähnten
P kinematischen und
dynamischen Bedingungen l I l = j$py ({) und l P l = 0 sowie der
beiden Maschen lassen sich aus der inneren Achtpolstruktur in Abbildung
9.67 die Dierenzengleichungen für die translatorischen und rotatorischen Geschwindigkeiten y und ableiten.
Aus den kinematischen und dynamischen Bedingungen und den daraus ableitbaren Dierenzengleichungen können nun mittels Grenzwertbetrachtung
({ $ 0) die Dierentialgleichungen für das dynamische Verhalten eines homogenen Biegebalkens in komplexer Form abgeleitet werden. Die Kombination dieser Dierentialgleichungen führt zur Gesamtdierentialgleichung eines
homogenen Biegebalkens in komplexer Form
$
$
d4 y ({)
y ({) + j
ua y ({) = j
i ({) .
$2
(9.29)
d{4
HL
HL
HL
Die expliziten Berechnungen sind ausführlich in [76] dargestellt. In Gl. (9.29)
entspricht die Größe HL, und ua der Biegesteigkeit des homogenen Balkens,
der längenbezogenen Masse und dem längenbezogenen Reibungsbeiwert.
Unter Berücksichtigung der ausbreitungsfähigen Moden [p eines einseitig
eingespannten Biegeschwingers und der jeweils dazugehörigen Wellenzahlen
p lässt sich die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung (9.29) herleiten:
yp
"
4
#
HL ( p o)
+ j$ + ua =
j$o4
Ro
i ({) [p d{
0
Ro
0
.
2 d{
[p
(9.30)
392
9 Elektrische Wandler
Eine detailierte Herleitung von Gl. (9.30) ist ausführlich in [76] dargestellt.
Um zu einer Darstellung von Gl. (9.30) im Rahmen der Netzwerktheorie zu
gelangen, werden die längenbezogene Drehnachgiebigkeit q0R = 1@HL und die
translatorische Bezugsnachgiebigkeit q0 = o3 @HL als Bezugsgrößen eingeführt
(s. a. Abschn. 5.1.2 und Abschn. 6.1.5). Weiterhin werden die Gesamtmasse
p = o und der Reibungsbeiwert u = ua o ebenfalls als Bezugsgrößen verwendet.
Gleichung (9.30) lässt sich unter Verwendung der Bezugsgrößen zu
yp
"
1
j$ (nq0o)4
#
o
+ j$p + u =
p
Ro
i ({) [p d{
0
Ro
(9.31)
2 d{
[p
0
umschreiben. Der Klammerausdruck auf der linken Seite von Gl. (9.31) weist
eine Analogie zur mechanischen Impedanz } eines Feder-Masse-DämpferSystems mit einem Freiheitsgrad bei Anregung mit einer harmonischen Erregerkraft I auf. Die mechanische Darstellung, das mechanische Schema und
die entsprechende Netzwerkdarstellung eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems
sind in Abbildung 3.19, Abschnitt 3.1.7 dargestellt.
Für die Beschreibung des Biegeschwingers als elektromechanisches System im
Rahmen der Netzwerktheorie erfolgt die Verknüpfung zwischen den Dierenzgrößen (y> ) und den Flussgrößen (I > P ) mittels einer Matrix, welche auch
als Mitgangsmatrix H bezeichnet wird. Die allgemeine Verknüpfungsstruktur
ist in der Matrixgleichung (9.32) aufgezeigt
43
4
3 4 3
y1
I1
k11 k12 k13 k14
FE
F
E F E
FE
F
E F E
E 1 F Ek21 k22 k23 k24 F EP 1 F
FE
F
E F E
FE
F,
E F=E
(9.32)
FE
F
E F E
E y 2 F Ek31 k32 k33 k34 F E I 2 F
FE
F
E F E
DC
D
C D C
k
k
k
k
P
2
41
42
43
44
2
{z
}
|
H
wobei folgende Randbedingungen für die Dierenz- und Flusskoordinaten deniert werden:
y ({)|{=0 = y1
a
y ({)|{=o = y2
(9.33)
I ({)|{=0 = I 1
a
I ({)|{=o = I 2
(9.34)
({)|{=0 =
a
({)|{=o =
(9.35)
1
P ({)|{=0 = P 1
a
2
P ({)|{=o = P 2
(9.36)
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
393
Die allgemeine Berechnung der einzelnen Elemente klm der Mitgangsmatrix H
in Gl. (9.32) mittels Gl. (9.31) würde den Rahmen des vorliegenden Buches
sprengen, weshalb an dieser Stelle auf [76] verwiesen wird.
Im nächsten Schritt erfolgt der Übergang von einem homogenen Biegeschwinger zum piezoelektrischen Multilayer-Biegeaktor, wie er in Abbildung 9.65
dargestellt ist. Da auch hier die einzelnen Schichten elektrisch parallel angesteuert werden, ergibt sich eine Zehnpol-Schaltung gemäß Abbildung 9.61.
Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass sich die Wandlerkonstante \
und die translatorisch festgebremste Kapazität Fb des Multilayer-Biegeaktors
aus der Kombination von geometrischen, elastischen und elektromechanischen
Werten jeder einzelnen Schicht berechnen lassen. Die detailierten Berechnungen sind [76] zu entnehmen.
¢ ¡
¢
¡
0
0
Für die Biegewellenleitung mit den Klemmenpaaren
1> P 1 ,
2 > P 2 und
(y 1 > I 1 ), (y2 > I 2 ) gilt die in (9.32) ermittelte Mitgangsmatrix H, wenn die
Momente P 1 , P 2 durch P 01 , P 02 ersetzt werden. Dabei gelten folgende Koordinatenbeziehungen:
W
=
2
1
(9.37)
P 01 = P 1 P W
(9.38)
P 02 = P 2 P W
(9.39)
Aus den bisher gewonnen Erkenntnissen wird im nächsten Schritt das elektromechanische Schaltbild eines einseitig eingespannten piezoelektrischen Vielschichtaktors entwickelt.
Ausgangspunkt hierzu stellt die Mitgangsmatrix H unter Berücksichtigung
der Koordinatenbeziehungen (9.37) - (9.39) dar.
4 3
43
4
3
y1
k11 k12 k13 k14
I1
F E
FE
F
E
F E
FE
F
E
F
F
F
E
E
E
1
F Ek21 k22 k23 k24 F EP 1 P W F
E
F=E
FE
F
E
(9.40)
F E
FE
F
E
F
F
F
E
E
E
y
k
k
k
k
I
2
31
32
33
34
2
F E
FE
F
E
D C
DC
D
C
k41 k42 k43 k44
P2 PW
W+ 1
Mit der Kenntnis der ausbreitungsfähigen Eigenmoden eines einseitig eingespannten Biegeaktors können alle Elemente klm der Mitgangsmatrix H explizit
bestimmt werden. Die am freien Ende vorhandenen Geschwindigkeiten und
Kräfte werden mit dem Index S versehen, da der Wandler in der vorliegenden Darstellung als Sender für mechanische Bewegungsgrößen wirkt (s. Abb.
9.68).
394
9 Elektrische Wandler
u
F S vS
Schicht n
Schicht n1
y
x
Neutrale Faser
Schicht 3
Schicht 2
Schicht 1
z
Abbildung 9.68. Piezoelektrischer Biegeschwinger als Erzeuger für mechanische
Bewegungsgrößen (Motor)
Externe Biegemomente treten am freien Ende des Biegers nicht auf (P 2 = 0).
Die Ansteuerung erfolgt mittels einer Erregerspannung x womit sich die Matrixgleichung (9.40) zu
4 3
43
4
3
0
0 0 0
0
I1
F E
FE
F
E
F E
FE
F
E
F
E 0 F E0 0 0
E
0 F EP 1 P W F
F E
F
E
F=E
FE
F
E
(9.41)
F E
FE
F
E
F
E y S F E0 0 k33 k34 F E
I
S
F E
FE
F
E
D C
DC
D
C
0 0 k43 k44
P W
W
vereinfacht. In Abbildung 9.69 ist dargestellt, wie der mechanische Zehnpol
mit den genannten Randbedingungen auf einen Vierpol A reduziert wird.
Aus der Mitgangsmatrix (9.41) lassen sich die translatorische Geschwindigkeit
y S und die Winkelgeschwindigkeit W in Abhängigkeit der Flussgrößen I S
und P W darstellen:
y S = k33 I S k34 P W
(9.42)
= k43 I S k44 P W
(9.43)
W
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
395
+W
a)
MW
M 1
+1 0
M 2 M W
M 2
M1 0
+2 +W
Biegewellenleitung
+2
FS
vS
v1 0
b)
i
u
iW
Cb
FS
MW
0
1
Y
Y
0 +W
(A)
vS
Abbildung 9.69. Einseitig eingespannter piezoelektrischer Biegeschwinger
a) entsprechende Zehnpoldarstellung; b) reduzierte Darstellung mit piezoelektrischem Wandler und Wandlervierpol (A)
Aus Gl. (9.42) und Gl. (9.43) gewinnt man nach einer Zwischenrechnung die
Koe!zienten des zugehörigen Vierpols A bzgl. der Matrixgleichung
3
4 3
43 4
D11 D12
yS
W
C
D=C
DC D
PW
D21 D22
IS
zu
3 k
k k 4
44
k43 44 33
E k34
k34 F
F
E
D=E
F.
D
C 1
k33
k34
k34
(9.44)
Eine schaltungstechnische Darstellung des Vierpols A erfolgt nach Abbildung
9.70 mit den Mitgängen k1 und k2 [2].
396
9 Elektrische Wandler
MW
FS
(A)
+W
FS
MW
vS
= +W
h2
h1
vS
1/ q
A11
A 21
A12 A 22 1
q
0
=
0
q h2
1
1 1 h2
h
h1
1
Abbildung 9.70. Schaltung für den mechanischen Teilvierpols eines piezoelektrischen Biegeschwingers und die dazugehörige Matrixschreibweise
Zusammen mit Gl. (9.44) können das Übersetzungsverhältnis t und die Mitgänge k1 und k2 aus der Schaltung des mechanischen Teilvierpols (s. Abb.
9.70) ermittelt werden.
Koe!zientenvergleich mit den ausmultiplizierten Teilmatrizen liefert:
t=
k34
k44
k1 = k2 =
(9.45)
k234
k44
(9.46)
k34 k43
k33
k44
(9.47)
Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass der piezoelektrische Biegeschwinger nur sehr geringen äußeren Belastungen ausgesetzt ist, womit der
Reihenmitgang k2 vernachlässigt werden kann. Die reduzierte Vierpoldarstellung des piezoelektrischen Biegeschwingers weist somit bzgl. Abbildung 9.69b
die in Abbildung 9.71 dargestellte Struktur auf.
i
u
Cb
FS
MW
iW
0
1
Y
Y
0 +W
h1
vS
1/ q
Abbildung 9.71. Elektromechanische Schaltung eines piezoelektrischen Biegeschwingers unter Berücksichtigung des Transformationsverhaltens von rotatorischen
und translatorischen Größen
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
397
Der Zusammenhang zwischen dem elektrischen Koordinatenpaar (x> lW ) und
dem mechanischen Koordinatenpaar (y S > I S ) lässt sich aus der Reihenschaltung des Gyrators und des mechanischen Teilvierpols ableiten. Dabei wird
der Gyrator mit der Wandlerkonstanten \ sowie der Transformator mit dem
Übersetzungsverhältnis 1@t zu einem neuen Gyrator Y0 mit folgender Struktur zusammengefasst:
4
3
0 t\
F
E
(9.48)
Y0 = C 1
D
0
t\
Unter Anwendung der gyratorischen Verknüpfungsmatrix (9.48) lassen sich
die elektrischen und mechanisch translatorischen Koordinaten gemäß
3
x
3
4
0
C D=E
C 1
lW
t\
43
4
1 0 3 4
y
FE
FC SD
DC 1 D
1
0
IS
k1
t\
(9.49)
miteinander verknüpfen. Die Matrixgleichung (9.49) entspricht der in Abbildung 9.72 dargestellten Schaltung eines einseitig eingespannten, piezoelektrischen Biegeschwingers.
i
u
iW
FS
0
1
qY
Cb
qY 0 vS
h1
Abbildung 9.72. Allgemeine Schaltung für einen einseitig eingespannten piezoelektrischen Biegeschwinger bei geringer externer Belastung (k2 = 0)
Um zu einer allgemeinen Schaltung eines piezoelektrischen Vielschichtaktors
unter Berücksichtigung der Nebenmoden zu gelangen, wird von der Denition
des mechanischen Mitgangs k1 in Gl. (9.46) ausgegangen. Unter Verwendung
des Übersetzungsverhältnisses 1@t gemäß Gl. (9.45) und mit der Denition
für das Matrix-Element k34 lässt sich der Mitgang k1 zu
k1 = tk34 = t
4
X
p=1
3
E
E
C
[p (o)
j$
1
q0
4
( p o)
d[p
(o)
d{ 4
F
+ j$p + uF
D
o
Zo
0
2 d{
[p
(9.50)
398
9 Elektrische Wandler
umformulieren [76]. Im Rahmen der Netzwerktheorie entspricht die Summenschreibweise in (9.50) einer Reihenschaltung von parallelgeschalteten FederMasse-Dämpfer-Elementen, woraus man die kanonische Schaltung eines piezoelektrischen Vielschichtaktors erhält, wie sie in Abbildung 9.73 dargestellt
ist.
i
u
iW
Cb
0
1
qY
qY 0 FS
m
4qX1X 1
4qX1X 1
r
4n0qX1X 1
m
4qX 2 X 2
4qX 2 X 2
r
4n0qX2 X 2
m
4qX 3 X 3
4qX 3 X 3
r
4n0qX3 X3
(b1l)4
(b2l )4
vS
(b3l )4
Abbildung 9.73. Kanonische Schaltung eines piezoelektrischen Vielschichtaktors
Im nächsten Schritt erfolgt die Transformation von der elektrischen auf die
mechanische Seite. Mit Gl. (9.51)
yS = k1 I
(9.51)
ergibt sich für die translatorische Geschwindigkeit yS unter Anwendung der
Berechnungsvorschrift (9.50) für die mechanische Admittanz k1
4
x X
3
yS =
\ p=1
E
E
C
[p (o)
j$
1
q0
( p o)4
d[p
(o)
d{ 4
F
+ j$p + uF
D
o.
Zo
(9.52)
2 d{
[p
0
Dabei tritt das Übersetzungsverhältnis 1@t nicht mehr auf. Kann sich der Biegeaktor am freien Ende ungehindert auslenken, so erhält man die in Abbildung
9.74 skizzierte schaltungstechnische Darstellung.
Um die in Abbildung 9.74 dargestellte kanonische Schaltung messtechnisch zu
verizieren, wird der Fokus auf die Ermittlung der dynamischen AuslenkungsCharakteristik in Abhängigkeit der Ansteuerspannung x gelegt. Die Untersuchungen werden mit dem in Abbildung 9.75 dargestellten Monomorph in
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
399
nC
u
Y
vS
m
4X 1X 1
4X1X 1
r
4n0 X1X1
m
4X 2 X 2
4X 2 X 2
r
4n0 X 2 X 2
m
4X 3 X 3
4X 3 X 3
r
4n0 X 3 X 3
(b1l)4
(b2l )4
(b3l )4
Abbildung 9.74. Kanonische Schaltung eines piezoelektrischen Vielschichtaktors
nach der Transformation auf die mechanische Seite
U
AgPd-Elektroden
S,T
S,T
S,T
S,T
S,T
}
Piezo-Keramik-Schichten
(M 1832)
Trägerschicht
(S2-Glas)
z (3)
Thermische Anpassschicht
(NiCo 2918)
y (2)
x (1)
Polarisationsrichtung
Abbildung 9.75. Aufbau des verwendeten Monomorphs in Multilayer-Technologie
Multilayer-Technologie durchgeführt. Die geometrischen und materialspezischen Parameter des verwendeten piezoelektrischen Biegeaktors sind in Tabelle 9.15 aufgeführt.
400
9 Elektrische Wandler
Tabelle 9.15. Geometrische und materialspezische Daten der einzelnen Schichten.
Schicht l
1
2
337
Material
NiCo 2918
S2-Glas
M 1832
ol [ mm]
20
zl [ mm]
8
100
200
5 × 48
312
vH
m2 N31 ]
11>l [·10
6> 369
17> 857
14> 144
g31>l [·10312 m V31 ]
–
–
3350
%W33>l
–
–
4500
8300
1998
8100
kl [ m]
l [ kg m33 ]
Die Messkette setzt sich aus einer Piezo-Treiberstufe, dem Biegeaktor und
einem Laser-Triangulator zusammen. Die experimentelle Anordnung ist in
Abbildung 9.76 skizziert [76].
Netzwerkanalysator
A
E1 E2
elektronische
Treiberstufe
uNetz
B1
MultilayerBiegeaktor
uPiezo
B2
LaserTriangulator
x
B3
uTri
Abbildung 9.76. Messkette zur experimentellen Verizierung der kanonischen
Schaltung eines einseitig eingespannten piezoelektrischen Multilayer-Biegeaktors
Die Messung der Auslenkung erfolgt am freien Ende des Biegeaktors ({ = o).
Die freie Einspannlänge des Aktors beträgt o = 19> 2 mm. Der untersuchte
Frequenzbereich erstreckt sich von 20 Hz bis 10 kHz. Die Spannungsamplitude
x̂Netz wird auf 500 mV eingestellt. Die Gesamtübertragungsfunktion E G der
9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter
401
Messkette setzt sich aus der Übertragungsfunktion der Piezo-Treiberstufe E 1 ,
des Biegeaktors E 2 und des Laser-Triangulators E 3 zusammen. Es ergibt sich
EG = E1 · E2 · E3.
(9.53)
Mit den in Abbildung 9.76 dargestellten Ein- und Ausgangsgrößen lässt sich
Gl. (9.53) zu
x
x
x
· Tri = Tri
(9.54)
E G = Piezo ·
xNetz xPiezo
xNetz
umschreiben. In Abbildung 9.77 sind die gemessene und analytisch berechnete Gesamtübertragungsfunktion E G in einem Frequenzbereich von 20 Hz
bis 10 kHz dargestellt. Der Reibungsbeiwert u des piezoelektrischen Biegeschwingers wurde aus dem zeitlichen Verlauf der frei gedämpften, harmonischen Schwingung bestimmt und beträgt u = 0> 078 Ns@m [76].
20
f1,an 958 Hz
20 lg uTri / uNetz 31dB 42
0
f2,an 6,00 kHz
-20
-40
-60
Gesamtübertragungsfunktion B0 - Messwerte
-80
-100
10
Gesamtübertragungsfunktion B0 - Berechnung
100
1000
10000
Frequenz f [Hz]
Abbildung 9.77. Gemessener und analytisch berechneter Gesamtfrequenzgang
|E 0 | auf Basis der kanonischen Schaltung eines einseitig eingespannten piezoelektrischen Multilayer-Biegeaktors
Die Messungen weisen eine sehr gute Übereinstimmung mit den analytischen
Berechnungen auf. Daraus kann die Schlussfolgerung gezogen werden, dass die
entwickelte Struktur des kanonischen Schaltbildes eines einseitig eingespannten piezoelektrischen Biegeaktors zu dessen netzwerktheoretischer Beschreibung herangezogen werden kann.
10
Reziprozität in linearen Netzwerken
Reziprozitätsbeziehungen sind Verknüpfungen zwischen jeweils zwei Übertragungsfaktoren bzw. Übertragungsimpedanzen oder -admittanzen eines linearen Systems. Diese Beziehungen bilden die Grundlage einer Reihe von Messverfahren und gestatten außerdem in vielen Fällen die Berechnung von Zusammenhängen, die anders nur mit großem Rechenaufwand zu erreichen wären.
In Netzwerken einer physikalischen Struktur sind sie mit der im Abschnitt 2.2
und im Kapitel 4 genannten Symmetrie der - und -Matrizen zur Hauptdiagonalen identisch. In diesem Kapitel sollen spezielle Folgerungen für Vierpole,
d. h. für die Verknüpfung von zwei Koordinatenpaaren, gezogen werden. Insbesondere wird mit Hilfe der bekannten Eigenschaften der Wandlervierpole
gezeigt, dass auch für Systeme, die verschiedene physikalische Strukturen enthalten, Reziprozitätsbeziehungen bestehen, die besondere praktische Bedeutung besitzen.
10.1 Reziprozitätsbeziehungen in Netzwerken mit nur
einer physikalischen Struktur
In Kapitel 4 war für einen abstrakten linearen q-Pol festgestellt worden, dass
die - und -Matrizen, die die - und -Vektoren einer physikalischen Struktur miteinander verknüpfen, symmetrisch zur Hauptdiagonalen sind. Diese
Eigenschaft linearer Netzwerke wird üblicherweise als Reziprozität oder Umkehrbarkeit bezeichnet. Es muss hier noch einmal darauf hingewiesen werden,
dass die Existenz solcher Verknüpfungen innerhalb einer physikalischen Struktur nichts mit Energie- oder Leistungsbetrachtungen zu tun hat, sondern allein
aus der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes in einer durch die Gln. (10.1)
bis (10.4) beschriebenen Struktur folgt. Für den speziellen Fall eines Vierpols
lauten diese Beziehungen mit den Vorzeichenregeln von Abbildung 10.1:
21 =
2L
1
=
01L
02
= 12
(10.1)
404
10 Reziprozität in linearen Netzwerken
l1
l2 l2
l2
l1 l1
er j
ik
m
1
m
b2 g
b1g
2
m b2 g
2
m
b1g
1
eg j
ik
m m
2
2
mm
1
1
Abbildung 10.1. Umkehrung des allgemeinen Vierpols
21 =
2K
0
= 1K
= 12
1
02
(10.2)
Die rechte Seite der beiden Gleichungen entspricht in Abbildung 10.1 jeweils
der Übertragung von der Seite 1 zur Seite 2 und die linke Seite der umgekehr¡
¢
ten Übertragungsrichtung. Die Indizes K und L bedeuten Kurzschluss = 0
und Leerlauf ( = 0). Die lK und lK beschreiben die Verknüpfungen zwischen den Koordinaten 1 , 2 , 1 und 2 :
¶ ¶ ¶
1
11 12
1
=
(10.3)
2
21 22
2
¶ ¶ ¶
11 12
1
1
=
(10.4)
2
21 22
2
Mit Hilfe dieser Gleichungen und den Bedingungen der Gln. (10.1) und (10.2)
kann man leicht nachprüfen, dass auch noch die folgenden beiden Reziprozitätsbeziehungen gelten, die denen der Gln. (10.1) und (10.2) gleichwertig
sind:
1L
2L
0
02K
= 1K
(10.5)
0
0 =
1
2
2
1
Die Indizes K (Kurzschluss, = 0) bzw. L (Leerlauf, = 0) beziehen sich
jeweils auf die zum gleichen Klemmenpaar gehörende Koordinate bzw. (z. B. 0lK $ 01 ). Hier entsprechen die rechten Seiten der beiden Gleichungen
wieder dem linken Teil und die linken Seiten dem rechten Teil von Abbildung
10.1.
Für die Analyse des Übertragungsverhaltens ist neben den Gln. (10.3) und
(10.4) noch eine dritte Form der Vierpolgleichungen — Kettenmatrix — üblich,
die die Eingangsgrößen mit den Ausgangsgrößen verknüpft:
¶ ¶
¶ 2
1
11 12
=
(10.6)
21 22
1
2
10.2 Reziprozitätsbeziehungen in allgemeinen linearen Vierpolen
405
Durch Umformen dieser Gleichungen in die Form von Gl. (10.3) erhält man
Gl. (10.7), aus der mit den Gln. (10.1) und (10.2) eine weitere Reziprozitätsbeziehung als Gleichung zwischen den Elementen der Kettenmatrix entnommen
werden kann:
3
() 4 ¶
11
¶
1
E
21 F 1
= C 122
(10.7)
22 D 2
2
21
21
Wenn 12 = 21 sein soll, dann muss gelten:
() = 11 22 12 21 = 1
(10.8)
Das ist die letzte der möglichen Reziprozitätsbeziehungen bei linearen Vierpolen. Die aufgeführten Reziprozitätsbeziehungen sind gleichwertig, d. h. jede
der Beziehungen in den Gln. (10.1), (10.2), (10.5) und (10.8) gestattet die
Herleitung der vier übrigen.
10.2 Reziprozitätsbeziehungen in allgemeinen linearen
Vierpolen
Mit Hilfe der in den Kapiteln 3 bis 7 behandelten Kopplungsvierpole kann
man nun q-Pole aufbauen, die am Rand Koordinatenpaare aus verschiedenen
physikalischen Strukturen enthalten. Ein Beispiel zeigt Abbildung 10.2.
u
M
+
i F
v
Abbildung 10.2. Elektromechanischer Sechspol
Solche Netzwerke müssen im Inneren wenigstens einen der in Abbildung 2.19
dargestellten Wandlervierpole enthalten. Es erhebt sich nun die Frage, ob
auch für einen solchen linearen q-Pol Reziprozitätsbeziehungen existieren und
wie sie aussehen. Eine formale Übertragung der Ergebnisse vom Abschnitt
10.1 ist sicherlich nicht zulässig. Bei der Ableitung dieser Beziehungen war
nämlich als wesentliche Voraussetzung das Superpositionsgesetz innerhalb einer physikalischen Struktur benutzt worden, das aber nur eine Überlagerung
gleichartiger Koordinaten erlaubt. Im Folgenden wird zunächst der Fall der
Vierpole betrachtet, weil sie praktisch die größte Bedeutung haben und weil
dort die wesentlichen Zusammenhänge am deutlichsten erkennbar sind. Ein
406
10 Reziprozität in linearen Netzwerken
l W1
l1
m
1
Netzwerk
der
Struktur
1
bg
"a
1
1
m
W1
R|
||
||
|
S|
||
||
||
T
l W1
m
l W2
F
GG
H
"b ag
1
W1
0
T
0
T
I
JJ
K
W2
1
W
l W1
m
m
l W2
F I m
GH JK
"b ag 1
W1
G
0
1
0
W2
G
W
l1
l W2
m
l2
Netzwerk
der
W2 Struktur
m
2
2
bg
"a
2
1
l2
m
m
1
2
b g b g b g "bag
" a " a 1" a
U|
||
||
|
V|
||
||
||
W
W
2
&1
Abbildung 10.3. Mögliche Verkopplungen von zwei physikalischen Strukturen
durch einen allgemeinen Vierpol
solcher Vierpol zwischen verschiedenen physikalischen Strukturen muss sich
durch eine Schaltung nach Abbildung 10.3 darstellen lassen.
Der Kopplungsvierpol kann nur eine der beiden Formen besitzen und damit
eine transformatorische oder gyratorische Verkopplung bewirken. Die Koe!zienten W und J können dann eine der elektromechanischen Kopplungsgrößen
[, \ , eine Stablänge o oder eine Fläche D sein. Man benutzt den Umstand,
dass sich die Kettenmatrix einer Kettenschaltung mehrerer Vierpole aus dem
Produkt der Kettenmatrizen der Einzelvierpole ergibt. Dabei gilt dann noch,
dass die Determinante der Gesamtkettenmatrix gleich dem Produkt der Determinanten der einzelnen Kettenmatrizen ist.
Für den Fall der transformatorischen Verkopplung ist somit die Kettendeterminante des gesamten Vierpols gleich 1. Damit gelten auch die miteinander
gleichwertigen Reziprozitätsbeziehungen der Gln. (10.1), (10.2), (10.5) und
(10.8).
Für den zweiten möglichen Fall, den der gyratorischen Verkopplung, ist
() = 1, und man muss untersuchen, wie dann die anderen beiden Paare
von Reziprozitätsbeziehungen [Gln. (10.1), (10.2) und (10.5)] aussehen. Das
kann sofort anhand der Gl. (10.7) und der dazu analogen, hier nicht aufgeführten -Matrix als Funktion der -Elemente entschieden werden. In den Gln.
(10.1), (10.2) und (10.5) ändert sich bei () = 1 lediglich das Vorzeichen,
10.3 Elektromechanische Wandler
407
so dass zusammenfassend für den allgemeinen linearen Vierpol die folgenden
Reziprozitätsbeziehungen gelten:
() = ±1
2L
1
2L
1
=±
=±
(10.9)
02
0
2K
= ± 1K
1
2
(10.10)
01K
02
02K
= ± 1L
1
2
(10.11)
1L
Für die Vorzeichen der Koordinaten gelten die Festlegungen von Abbildung
10.1. Bei der Umkehrung werden die Richtungen der Flusskoordinaten umgekehrt.
Damit ist also bis auf das in der Regel belanglose Vorzeichen eine Übereinstimmung der Reziprozitätsbeziehung in Netzwerken mit nur einer physikalischen
Struktur und dem allgemeinen Netzwerk erreicht. Das darf jedoch nicht darüber hinweg täuschen, dass in beiden Fällen ganz verschiedene Ursachen für
die Reziprozität vorhanden sind. Im Fall der Netzwerke einer physikalischen
Struktur war es die Gültigkeit des Superpositionsgesetzes in Verbindung mit
der Struktur des Systems, wohingegen bei den Wandlervierpolen die Übereinstimmung der Verknüpfung zwischen je einem Paar Wandlerkoordinaten aus
verschiedenen physikalischen Strukturen die Ursache für | ()| = 1 darstellt.
Diese Übereinstimmung war aber eine unmittelbare Folge der Annahme, dass
im Wandler nur umkehrbare Vorgänge im Sinne der Thermodynamik ablaufen,
bzw. dass etwa vorhandene Verluste in Form eines weiteren Netzwerkes abgetrennt werden können. Diese Gesichtspunkte müssen beachtet werden, wenn
etwa weitere physikalische Verkopplungsmechanismen, wie z. B. die elektrothermische Verkopplung, in die hier skizzierte Theorie eingefügt werden sollen.
10.3 Elektromechanische Wandler
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse des vorherigen Abschnitts auf den
konkreten Fall der elektromechanischen Wandler angewendet und ihre praktische Bedeutung an einem technischen Beispiel gezeigt.
Der Übergang von den allgemeinen Koordinaten und zu den hier vorliegenden Koordinaten x, l, y und I erfolgt nach den Überlegungen von Kapitel
4 und Abbildung 10.4:
x = 1 ,
l = 1 ,
y = 2 ,
I = 2
408
10 Reziprozität in linearen Netzwerken
i
u
v
u u ,
F
i
F
i i ,
u
v
v v ,
F F
i
i
F
u
F
u
v
v
Übertragungsrichtung von der Erregung zur Antwort
Abbildung 10.4. Vorzeichenfestlegungen bei der Umkehr eines elektromechanischen Wandlers
Es wird nachfolgend untersucht, wie die Verkopplung mit Hilfe elektrischer
oder magnetischer Felder vor sich geht. In beiden Fällen ergeben sich unterschiedliche Werte für ():
¶
0 \
Elektrische Wandler:
() =
$ () = 1
1@\ 0
¶
1@[ 0
Magnetische Wandler:
() =
$ () = +1
0 [
Daraus folgen mit den Gln. (10.1), (10.2), (10.5) und (10.8) sofort die Reziprozitätsbeziehungen:
x0
yL
= ± L0 ,
l
I
IK
l0
= ± K0 ,
x
y
yL
l0
= ± K0 ,
x
IK
I 0K
x
=± L
y
l0
(10.12)
Das positive Zeichen gehört zu den Vierpolen mit magnetischen und das negative Zeichen zu den Vierpolen mit elektrischen Wandlern.
Ein typisches Beispiel für die Anwendung dieser Beziehungen ist die Reziprozitätskalibrierung elektromechanischer Sensoren. Nachfolgend wird die Aufgabe angenommen, einen Beschleunigungssensor zu kalibrieren, ohne einen unmittelbaren elektromechanischen Standard (Kalibrierquelle für mechanische
Größe) zu benutzen. Der in der Messeinrichtung vorhandene Widerstand U
stellt indirekt dieses Normal dar, weil zur Denition von Strom- und Spannungseinheiten ein Anschluss an mechanische Größen erforderlich ist. Es wird
10.3 Elektromechanische Wandler
409
angenommen, dass man für Absolutmessungen nur Geräte für rein elektrische
und rein mechanische Größen zur Verfügung hat. Die Messanordnung besteht
aus einem elektromechanischen Wandler, von dem bekannt ist, dass er eine
Verkopplung mit Hilfe magnetischer Felder enthält, und von dem man die
mechanische Eingangsimpedanz für elektrischen Leerlauf kennt (Abb. 10.5).
i1
u1
F
vL
u2
i1
Magnetischer
Wandler
zu kalibrierender Aufnehmer
u 2 Ba a Ba jwv
v
=
u1L
F
= BR
æFö
ç ÷ = zL
è v øi =0
Abbildung 10.5. Anordnung zur Reziprozitätskalibrierung eines Beschleunigungssensors
Die Masse des Sensors betrachtet man als Teil des Wandlersystems. Die Impedanz } 1 muss also bei angebrachtem Sensor gemessen werden. Mit dieser Anordnung werden nun nacheinander die beiden folgenden Experimente
durchgeführt.
Im Experiment I wird der magnetische Wandler mit einem Strom erregt, und
I
man bestimmt die Übertragungsimpedanz (x2 @l1 ) . Diese Impedanz kann man
mit den Beziehungen von Abbildung 10.5 durch E R und E a ausdrücken:
x2
l1
¶I
= j$E a E R
(10.13)
Im Experiment II wird das mechanische System bei elektrischem Leerlauf
(l1 = 0) mit einer äußeren Kraft I II erregt und dabei das Verhältnis (x2 @x1L )II
gemessen. Auch dieses Verhältnis lässt sich auf E a , E R und } L zurückführen,
denn bei bekannter Impedanz } L ist mit der Kraft I II auch die Geschwindigkeit yII = I II @} L bekannt:
II
xII
1L = E R I ,
x1L
x2
¶II
=
II
xII
2 = j$E a y
E R I II
ER
=
j$E a y II
j$} L E a
(10.14)
Durch die Multiplikation der Gln. (10.13) und (10.14) miteinander kann man
E R eliminieren, und man erhält E a als Funktion der beiden gemessenen Verhältnisse und der Impedanz } L :
s
¶I ¶II
x1L
|} L | x2
|E a | =
(10.15)
$2
l1
x2
410
10 Reziprozität in linearen Netzwerken
Üblicherweise wird das System so dimensioniert, dass mit hinreichender Näherung } L = j$p angenommen werden kann. Die Masse p kann man durch
Wägen einfach bestimmen. Der Strom l1 wird durch einen bekannten Widerstand U0 in eine Spannung xl umgeformt. Damit erhält man für |E a | die
folgende Beziehung:
s
¶I ¶II
x1L
pU0 x2
|E a | =
$
xl
x2
10.4 Mechanisch-akustische Wandler
Der Übergang von den allgemeinen Koordinaten zum Spezialfall des mechanisch-akustischen Wandlers erfolgt hier mit der Zuordnung:
y = 1 ,
I = 1 ,
s = 2 ,
t = 2
Damit erscheint der innere Wandlervierpol nach Abschnitt 5.2 als Gyrator:
¶ ¶
¶ sW
yW
0 1@ (*D)
=
$ () = 1
*D
0
IW
tW
Die Reziprozitätsbeziehungen lauten demzufolge:
sL
I
=
y 0L
,
t0
tK
y
=
I 0K
,
s0
sL
y
=
I 0K
,
t0
t 0K
I
0
=
yL
s
(10.16)
Die Zuordnung der einzelnen Größen zur geometrischen Konguration des
Wandlers ist in Abbildung 10.6 dargestellt. Der Pfeil kennzeichnet wieder die
Übertragungsrichtung von der Erregung zur Antwort. Wegen t = j$Y und
y = j$ können in den Gln. (10.16) auch die Volumenverschiebungen Y und
Ausschläge anstelle der Koordinaten t und y eingesetzt werden.
Mit dem folgenden Beispiel soll gezeigt werden, welche Rechenerleichterungen die Anwendung der Reziprozitätsbeziehungen in manchen Fällen bringen
kann. Es besteht die Aufgabe, für eine Anordnung nach Abbildung 10.7, bei
der durch die Kraft I ein Volumenänderung Y erzeugt ³wird, den
´ Quotienten
Y @I zu bestimmen. Der Druck s soll dabei Null sein t = t K . Um diesen
Quotienten zu bestimmen, wäre zunächst die Durchbiegungsfunktion einer
Platte für die dargestellte punktförmige Belastung durch ein Kräftepaar zu
bestimmen. Das ist ein sehr kompliziertes Problem. Dann müsste aus der erhaltenen Lösung noch die Volumenänderung Y durch Integration gewonnen
werden. Der gesuchte Quotient ist jedoch in der letzten¡ Beziehung
¢ von Gl.
(10.16) enthalten. Er ist identisch mit dem Quotienten (u) @s I =0 . Der
Ausschlag (u) ist dabei an dem Radius zu messen, an dem im ersten Fall die
10.4 Mechanisch-akustische Wandler
v jwx
p
v jwx p
F F ,
v v ,
q q ,
p p
V
V
F
q jwV F
q jwV
F
F
v
v
p
411
p
Abbildung 10.6. Vorzeichenfestlegung bei der Umkehr eines mechanischakustischen Wandlers
Kräfte angreifen. Dieser zuletzt genannte Quotient ist aber aus Tabellenbüchern sehr leicht zu entnehmen.
Für eine eingespannte Platte ergibt sich z. B. nach [43]:
¶
³ u ´2 ¶2 Y ¶
(u)
U4
K
1
=
=
s
64N
U
I
s=0
I =0
Dabei ist N die Biegesteigkeit der Platte mit
N=
Hk3
.
12 (1 2 )
F
2r
v
v
v
2R
V
r
F
v
bg
x r
r
r
p
Abbildung 10.7. Bestimmung des Quotienten (Y @I )s=0 eines mechanischakustischen Wandlers mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes
412
10 Reziprozität in linearen Netzwerken
Es ist damit gelungen, mit Hilfe der Reziprozitätsbeziehung eine außerordentlich mühevolle und langwierige Rechnung zu umgehen bzw. auf eine sehr
einfache Rechnung zurückzuführen.
Teil IV
Anhang
A
Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe
A.1 Materialkennwerte von kristallinem Quarz
Tabelle A.1. Materialkennwerte von kristallinem Quarz [9]
Art
Eigenschaften
a-Quarz
Temperatur der a-b-Umwandlung
Einheit
Werte
°C
573
Dichte r
g/cm
elastische Konstanten c11 , c12, c13
c14 , c 33, c44
GPa
3
2,655
86,7
17,9
7,0
107,2
MOHS-Härte
7
lineare Ausdehnungskoeffizienten a
106 /K
aa-Achse: 13,37; ac-Achse: 7,97
Wärmeleitfähigkeiten l
W/K m
l a : 5,6...7,2;
l c : 9...13,2
% cm
1
10 ... 10 15
Waferdurchmesser (und Kantenlänge)
mm
51 (2 Zoll); 76 (3 Zoll)
Waferdicke
mm
500
spezifischer elektrischer Widerstand
Quarzwafer
(Blank)
11,9
57,9
114
416
A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe
A.2 Piezoelektrische Konstanten von Sensor-Werkstoen
Tabelle A.2. Piezoelektrische Konstanten von Sensor-Werkstoen [79]
Werkstoff
d11
d14
e 11
e 14
1 As/m2 2
3
4
11012 m/V 2
3
4
Umwandlungstemperatur
13°C24
a-Quarz
(linksdrehend)
2,3
0,67
0,171
Gallium Orthophosphat
(GaPO4)
4,5
1,9
---
Langasit
(L3Ga5SiO14)
6,16
5,36
0,45
6,677
1470
LGN
(L3Ga5,5Nb0,5O14)
6,63
5,55
0,44
6,68
1510
!0
---
Zinkoxid
(ZnO)
d33: 12,3
!0
e 33: 0,96
0,041
---
573
950
A.3 Materialkennwerte metallischer Konstruktionswerkstoe
417
A.3 Materialkennwerte metallischer
Konstruktionswerkstoe
Tabelle A.3. Materialkennwerte metallischer Konstruktionswerkstoe
Werkstoff
DIN
Zustand
100 Cr 6
90 MnCrV 8
C 60 W
X 210 CrW 12
4957
17350
17200
angelassen
Federstähle
17221 warmgewalzt
u.
weichgeglüht
E-Modul Zugfestigkeit Bruchdehn. TK-Ausdehn.
1102 2
1106 /K 2
1109 N/m2 2 1106 N/m2 2
3
4
3
4 3
4
3
4 RT
Werkzeugstähle
50 CrV 4
50 CrMo 4
korrosionsbeständige
Stähle
(Edelstähle)
11,5
12,2
220
750
750
830
470
17
215
210
390
640
36
23
200
200
200
550
600
600
36
35
30
230
560
28
210
470
17
180-220
170-220
185
196
600
550
550
400
< 60
< 52
< 40
< 45
210
19
19
17440
X 5 CrNiMo 18.11
X 10 CrNiMoTi 18.10
X 12 CrMo S 17
Warmarbeitsstähle
4390
40 NiCrMo 15
7740
210 CrW 46
geschmiedet
weichgegüht
geschmiedet
weichgegüht
Spezialwerkstoffe
Hastelloy B
Hastelloy C
Monel
Incoloy
Ni62Mo28FeS/CrMn Si
Ni57/Mo17/Cr16/FeWMn
Ni65/Cu33/Fe2
Ni32,5/Cr21/Fe
10,3
10,8
13,9
14,2
418
A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe
A.4 Materialkennwerte von Silizium und
Passivierungsschichten
Tabelle A.4. Materialkennwerte von Silizium und Passivierungsschichten [81]
Kennwerte
Einheit
Silizium
Siliziumdioxid
Siliziumnitrid
Dichte
kg/m3
2929
2200
2400
E-Module
GPa
73
290
Zugfestigkeit /
Streckgrenze *)
GPa
Bruchfestigkeit
GPa
Eigenspannung
GPa
Härte
[100]
130
[110]
169
[111]
188
Si-Wafer:
2...3
*)
14,0
kg/mm
4...6
--2
Mohshärte:
7,0
Knoophärte: 1150
Wärmeleitfähigkeit
*) 8,4
Mikrostrukturen: 0,5...1
W/K m
6
/K
Wärmeausdehnungskoeffizient
10
spezifische Wärme
Ws/kg K
0,3
1,2
---
---
2,1
19
RT
156
300°C
66
RT
100°C
200°C
300°C
600°C
2,31
3,05
3,55
3,84
4,18
0,5
0,8
RT
695
1000
170
300°C
836
Durchbruchfeldstärke
MV/cm
---
8...12
3...13
Isolationswiderstand
%/cm
---
1016
1010... 10 16
A.5 Materialkennwerte keramischer Konstruktionswerkstoe
419
A.5 Materialkennwerte keramischer
Konstruktionswerkstoe
Tabelle A.5. Materialkennwerte keramischer Konstruktionswerkstoe [9]
Kennwerte
T 300 K
Einheit
rel. Dielektrizitätskonstante
Al2O3
Al2O3
(96%) (99,5%)
AlN
BeO
BN
(99,5%)
SiC
ZrO2 Al2TiO5
9...10
9,8
10
6,9
4,1
15...45
1
3
5
2
45
500
9...33
10
10114
4 10111
10115
1011
Wärmeleitfähigkeit W/K m 21...24
35
110...170
250
25
spezifische Wärme J/kg K
795
795
738
lin. Wärmeausdeh106 /K
nungskoeffizient
6,8...8
8
3,8
7,5
!0
3,7
10
1,0
380
200
18
950
40
5,95
3,2
Dielektrischer
Verlustfaktor bei
1 Mhz
Durchschlagsfeldstärke
104
kV/mm 10...28
elektrischer Durch% cm 1012... 10 14
gangswiderstand
0,07
E-Modul
GPa
340
370
300...310 ! 300
43
Biegefestigkeit
MPa
500
380
270...360
53
°C
1700
1750
>1000
g/cm3
3,85
maximale Einsatztemperatur
Dichte
220
1
1013
90...270 2,5
2,0
>1000
420
A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe
A.6 Materialkennwerte ausgewählter Polymere
Tabelle A.6. Materialkennwerte ausgewählter Polymere [9]
Kennwerte
Einheit PVC- PMMA PVDF PTFE
hart
ABS
PFA
PUR
Polyimid
1,1...1,3
1,42
0,69
0,4...2
3,0
Dichte
g/cm3
1,38
1,18
E-Modul
GPa
2...3
3,3
2,6
Wärmeleitfähigkeit
W/K m 0,16
0,19
0,19
0,24
0,19
0,22
0,35
0,4...0,5
spezifische
Wärme
J/kg K
1000
1500
960
1040
1420
1080
1880
---
lin. Wärmeausdehnungskoeffizient
106 /K
80
80
106
100
85
°C
---
106
177
---
---
305
% cm
10115
10115
1
1018
10118
10113
1
1018
10118
10118
3
2,9
11*)
2,1
2,9...4,1
---
3,4
3,4
2
2
0,01
1...8
4,7
0,005
1,5
1,49
Glasübergangstemperatur
spezif. elektr.
Widerstand
rel. Dielektr.Konstante bei
1 MHz
tan d
Brechungsindex
*)
102
2...2,3
1,12
0,3...0,6 2,5...3,0
130...200 170...200 35...100
---
bei 100 kHz;
ABS:
PFA:
PMMA:
PTFE:
PVC:
PUR:
PVDF:
Polyacrylnitrilbutadienstyrol,
perflouriertes Alkoxy-Kopolymer des PTFE (Teflon-PFA),
Polymethylmethacrylat,
Polytetraflourethylen (Teflon),
Polyvinylchlorid,
Polyurethan,
Polyvinylidenflourid.
A.7 Materialkennwerte von Kunststoen als Konstruktionswerkstoe
421
A.7 Materialkennwerte von Kunststoen als
Konstruktionswerkstoe
Tabelle A.7. Materialkennwerte von Kunststoen als Konstruktionswerkstoe [9]
Kennwerte
Verarbeitungstemperaturbereich
Einheit Epoxidharz- Epoxidharz Siliconharz- Siliconharz Poly- Silicon**)
**)
Basis
Basis
imid kautschuk
+Ag
+Ag
°C
20...170
50...150
150
50...150
20
20
Zug-(Scher-)
festigkeit
MPa
7...75
6...15
1...7
1,3
55...70
---
spezif. elektr.
Widerstand
% cm
3 10115
2 104
10114
104
10118
10114... 10 115
Durchbruchfeldstärke
kV/mm
1,9 10 5
---
20 10 5
---
---
23 10 5
rel. Dielektr.Konstante bei
1 MHz
!4
---
! 3,5
---
3,4
2,8
dielektrischer
Verlustfaktor
bei 1 MHz
90 10 4
---
25 10 4
---
50 10 4
20 10 4
lin. Wärmeausdehnungs- 106 /K
koeffizient
20...100
! 30
20...240
95
35...70
300
0,65
0,8...3,7
0,4
4,2
1,3
0,2
Wärmeleitfähigkeit
**)
W/K m
mit Silber gefüllt
422
A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe
A.8 Zusammensetzung und Materialkennwerte
ausgewählter Gläser
Tabelle A.8. Zusammensetzung und Materialkennwerte ausgewählter Gläser [9]
Glassorte
Natron- AlkaliBoroAluminium- LithiumEinheit Quarz(Kiesel-) Kalkglas Zinksilikatglas BoroAluminiumGlas
Borosilikatglas silikatglas
silikatglas
68
65
81
50
! 70
%
16
6
4
< 0,2
! 15
Al2O3-Gehalt
%
3
4
2
11
B2O3-Gehalt
%
2
10
13
13
CaO: 6
Rest:
K2O,
BaO, MgO
K2O: 7
ZnO: 5
Rest:
TiO2
SiO2-Gehalt
%
Na2O-Gehalt
100
Sonstiges
BaO: 25
Rest:
As2O3
Rest: überwiegend
Li2O3
Dichte
g/cm3
2,2
2,47
2,51
2,23
2,76
2,37
E-Modul
GPa
78
70
74
63
68
78
0,025
0,08
0,06
820
835
Biegefestigkeit GPa
Erweichungstemperatur
spezifische
Wärme
°C
0,05
1500
696
720
J/kg K
754
879
lin. Wärmeausdehnungs- 106 /K
koeffizient
0,49
9,2
7,4
3,25
4,5
9
Wärmeleitfähigkeit
W/K m
1,4
> 0,8
> 0,8
1,15
> 0,8
1,35
spez. elektr.
Widerstand
% cm
>10 16
>10 5
>10 7
>10 7
>10 12
>10 12
3,826
6,5
6,7
4,6
5,8
6,5
rel.
Dielektrizitätskonstante bei
1 Mhz
A.9 Materialkennwerte metallischer Lote und Glaslote
423
A.9 Materialkennwerte metallischer Lote und Glaslote
Tabelle A.9. Materialkennwerte ausgewählter Lote und Glaslote [9]
Typ
Weichlote
Hartlote
Zusammensetzung
Verarbeitungstemperaturbereich
linearer
Wärmeausdehnungskoeffizient
Masse-%
°C
10 /K
Zug(Scher-)
festigkeit
%
MPa
cm
8
60 Sn; 40 Pb
65 Sn; 25 Ag; 10 Sb
25 Pb; 50 Bi; 12,5 Sn; 12,5 Cd
80 Au; 20 Sn
180...188
240...310
60,5...70
280
25,6
1,47 10
20,6
16
(4,6...6,6) 108 45...47
275
1,6 108
97 Au; 3 Si
55,4 Al; 44,6 Ge
362
424...499
12
18
(1,0...1,1) 108
84
(1...5) 108
Glaslot
kristallisierend 75...82 PbO; 7...14 ZnO; 6...12 B2O3 450...500
nicht
380
kristallisierend 75...82 PbO; <7 ZnO; >12 B2O3
Aktivlote
6
spezifischer
elektrischer
Widerstand
70 Ag; 27 Cu; 3 Ti
60 Ag; 24 Cu; 15 In; 1 Ti
850...950
700...750
25...40
120...170
424
A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe
A.10 Schallgeschwindigkeit und Wellenwiderstand
Tabelle A.10. Schallgeschwindigkeit und Wellenwiderstand [82]
Stoff
Dichte [kg/m3]
Schallgeschwindigkeit [m/s]
longitudinal
transversal
Wellenwiderstand
longitudinal
[Ns/m3]
Metalle:
Aluminium (gewalzt)
2700
6420
3040
17,3
Blei (gewalzt)
11400
2160
700
24,6
Gold
19700
3240
1200
63,8
Silber
10400
3640
1610
37,9
Kupfer (gewalzt)
8930
5010
2270
44,7
Kupfer (geglüht)
8930
4760
2325
42,5
Magnesium
1740
5770
3050
10,0
Messing
(70% Cu, 30% Zn)
8600
4700
2110
40,4
Stahl (rostfrei)
7900
5790
3100
45,7
Stahl (1% C)
7840
5940
3220
46,6
Zink (gewalzt)
7100
4210
2440
29,9
Zinn (gewalzt)
7300
3320
1670
24,2
Glas (Flintglas)
3600
4260
2552
15,3
Glas (Kronglas)
2500
5660
3391
14,2
Quarzglas
2200
5968
3764
13,1
Plexiglas
1180
2680
1100
3,16
Polyethylen
900
1950
540
1,76
Polystyrol
1060
2350
1120
2,49
Nichtmetalle:
B
Zur Signalbeschreibung und -übertragung in
linearen Netzwerken
B.1 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen
B.1.1 Abschätzung des Approximationsfehlers bei numerischen
Analysen von Fourier-Reihen
Bei numerischen Analysen ist es nicht möglich, die Summation über l von 0
bis 4 auszuführen. Da aber die dl und el erst für l $ 4 gegen Null gehen,
erzeugt eine Summation bis l = P À 1 lediglich einen Approximationsfehler ,
der mit Gl. (B.1) abgeschätzt werden kann.
M
¶
4
4
P
P 2 P
1
2
f2l
f
f
2
l
l
2
(˜
{
(w)
{
(w))
l=1
l=1
%2 =
=
= l=M
(B.1)
4
4
P
P
1
2
2
{ (w)2
f
f
l
l
2
l=1
l=1
Die durch endliche Summationsobergrenzen erzeugten Fehler können als Bandbegrenzungsfehler aufgefasst werden. Aus der Fourier-Summe der fehlerfreien
Funktion { (w) wird durch ideale Tiefpasslterung mit $ j = $ 0 · M die fehlerbehaftete Funktion {
˜ (w).
Die so erzeugten Fehler im Zeitbereich treten besonders an Sprungstellen oder
steilen Flanken der Funktion { (w) in Erscheinung. Zur Demonstration dieser
besonderen Eigenschaft der approximativen Fourier-Reihen wird die in Abbildung B.1 links dargestellte periodische Wiederholung eines Rechteckimpulses
der Breite verschiedenen Analyseoperationen unterzogen.
Die Berechnung der Fourier-Koe!zienten dl , el und fl erfolgt gemäß
dl =
2ˆ
{ sin (2l @W )
W
2l @W
(B.2)
el =
2ˆ
{ 1 cos (2l @W )
W
2l @W
(B.3)
426
B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken
x~ t
bg
bg
xt
x$
"x A
x$
A
B
t
T
t
"x B
T
t
Abbildung B.1. Periodische Impulsfunktion
und
fl =
q
2ˆ
{ sin (l @W )
.
d2l + e2l =
W
l @W
(B.4)
Die Abschätzung des Restfehlers % für eine vorgegebene Summengrenze ist
mit Gl. (B.1) möglich.
Wenn die Summation in Gl. (B.6) näherungsweise durch eine Integration ersetzt wird und der Nenner l in jedem Intervall zwischen Nullstellen von fl
durch den Anfangswert von l ersetzt wird, erhält man für den Fehler näherungsweise:
2
% =
4
P
l=M
f2l
1 4ˆ
{2 2
= 2
{
ˆ @W W 2
{ (w)2
s
2 1 1
%
3 @W M
für
sin (l @W )
l @W
¶2
M À 1.
(B.5)
(B.6)
Das bedeutet für @W = 0> 25 und P = 64 einen Fehler % von 6> 3%.
In Abbildung B.2 rechts ist die bei endlichem M auftretende Näherungszeitfunktion {
˜ (w) qualitativ dargestellt. Bei den im folgenden zitierten Operationen mit { (w) werden jeweils die in den Kästen A und B dargestellten Abweichungen { (w) zwischen { (w) und {
˜ (w) angegeben. Aus Symmetriegründen
stimmt der Fehlerverlauf in der Umgebung von w = 0 mit dem im Kasten A
und der in der Umgebung von w = W mit dem im Kasten B überein.
In Abbildung B.2 links sind die Fehler { (w) für den Sonderfall = 0> 5
für die oberen Grenzen M = 64 und 24 dargestellt. Aus Symmetriegründen
stimmen hier auch die Fehler in den Kästen A und B überein.
Aus diesen beiden Fällen kann schon abgeschätzt werden, wie sich {
˜ (w) für
sehr große M verhält. Die Zeitintervalle zwischen zwei Nullstellen der Oszillationen von {
˜ (w) in der Umgebung der Sprungstellen werden sehr klein und die
B.1 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen
0,1
t
0,5
T
0,1
t
0,5
T
"x A
0,05
M 24
"x A
0,05
fg 24 f0
M 24
0
0
M 64
M 64
mit TP
0,05
0,3
427
t T
0,5
0,05
t T
0,3
0,5
f r 24 f0 , Q 1
FourierReihe
FourierReihe
M 24; 64
M 64
bg
B w bg
B w
1
TP
wr
w
1
b
1 w wr
2
g jb w w g Q
r
Abbildung B.2. Signaloperationen mit der Modellfunktion { (w) aus Abbildung
B.1 links für = 0> 5W
Oszillationen ziehen sich bei etwa konstantem Spitzenwert an der Sprungstelle
auf eine immer kleinere Umgebung der Sprungstellen zusammen. Diese Eigenschaft der approximativen Fourier-Reihen in der Umgebung von Sprungstellen
wird als Gibb´sches Phänomen bezeichnet. Es ist eine Folge der Anwendung
der Fourier-Entwicklung auf physikalisch irreale Prozesse. Der Übertragungsfaktor realer dynamischer Systeme verschwindet für $ $ 4. Das gleiche muss
deshalb für die Fourier-Koe!zienten realer physikalischer Vorgänge gelten, da
sie ja nur durch reale Systeme erzeugt werden können.
Eine typische reale Bandbegrenzung, die auch in den folgenden Kapiteln bei
technischen Systemen häug auftritt, ist der Tiefpass mit Resonanz. In Abbildung B.2 rechts ist die Antwort eines solchen Tiefpasses der Resonanzfrequenz
$ res = 24$ 0 auf den Modellvorgang { (w) aus Abbildung B.1 rechts dargestellt.
Zum Vergleich ist in dieser Abbildung noch die Näherungsfunktion {
˜ (w) der
Impulsfunktion { (w) mit der idealen Bandbegrenzung bei Mg = 24 eingezeichnet. Man erkennt, dass die bezüglich der Grenzfrequenz in etwa äquivalente
428
B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken
reale Bandbegrenzung deutlich kleinere Abweichungen zwischen {
˜ (w) und { (w)
aufweist als eine physikalisch irreale ideale Bandbegrenzung.
Abbildung B.3 zeigt schließlich den gleichen Vergleich für eine Modellfunktion
aus Abbildung B.1 mit = 0> 25W . Hier unterscheiden sich die Fehler in den
Kästen A und B.
0,1
M 24
0,05
0
"x A
M 24
0
TP
"x B
TP
t
0,25
T
0,1
t
0,25
T
0,1
0,2
0
0,1
t T
0,2
0,3
0,3
t T
0,4
0,5
Abbildung B.3. Signaloperationen mit der Modellfunktion { (w) in Abbildung B.1
links für = 0> 25W
B.1.2 Anwendungsbeispiel zur periodischen Wiederholung
einmaliger Vorgänge
Zur anschaulichen quantitativen Interpretation der allgemeinen Überlegungen
wird im Folgenden ein Beispiel dargestellt. Dafür wird die Musterfunktion
{p (w) aus Abbildung B.4 verwendet. Sie ist zur Vereinfachung bandbegrenzt
und mittelwertfrei. Wegen der erwähnten Ausdehnung des Spektrums der n ,
n bis 4 muss man jedoch bei einer endlichen oberen Summationsgrenze K,
die bei numerischen Analysen unvermeidlich ist, mit Bandbegrenzungsfehlern
bei {
˜ (w) rechnen.
Mit dieser Musterfunktion wurde nun die in Abbildung 2.6 (Abschn. 2.1.3)
dargestellte Prozedur mit verschiedenen L ausgeführt. In Abbildung B.5 sind
die n , n mit steigendem L dargestellt. Man erkennt den schon aus den Gln.
(2.51) und (2.52) abzulesenden Sachverhalt, dass auch bei verschwindenden
dl die Koe!zienten n erscheinen.
B.1 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen
bg bg
x t , xp t
0,4
bg
xp t
für
t
0 K1, b1 0,3, b2 0,15, b3 0,1
T0
0,2
x~ t
bg
0,5
t
T0
1
0,2
A
0,4
Abbildung B.4. Musterfunktion {p (w)
a k L, b k L
0,2
b1
0,1
0,1
p
b zL
b3
2
1
1
k
3
3
2
zk b2
a zL
0,2
d~x btg x btgi
L 1
0,3
k
L
0,3
a k L, b k L
L3
0,3
b zL
0,2
b3
b1
0,1
1
4
3
2
5
6
2
1
0,1
a zL
0,2
7
8
10
9
3
k
zk k
L
b2
0,3
a k L, b k L
L7
b1
0,3
bg
0,2
b zL
0,1
10
1
5
1
0,1
0,2
0,3
bg
a zL
15
20
b3
k
2
3
b2
Fortsetzung auf der nächsten Seite
zk k
L
429
430
B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken
a k L, b k L
0,2
0,1
15
1
0,1
25
30
b3
35
20
2
1
3
k
zk k
L
b2
bg
azL
0,3
bg
b zL
10
5
0,2
L 11
b1
0,3
Abbildung B.5. Fourierkoe!zienten der mit unterschiedlichen Pausenlängen wiederholten Musterfunktion aus Abbildung B.4
Abbildung B.6 zeigt schließlich die Unterschiede { zwischen { (w) und {
˜ (w)
im Bildausschnitt A von Abbildung B.4. Hier muss beachtet werden, dass
die dargestellten Zahlenwerte mit endlichen oberen Summationsgrenzen K
berechnet wurden. Die auftretenden Abweichungen { sind nicht allein durch
die Einfügung der Pause, sondern auch durch das endliche K bedingt. Es ist
aber bemerkenswert, dass die Abweichung { für L = 7 nur während 6% der
Pausenzeit den Wert 0> 001 überschreitet.
~
x t,
bg
x t , x~ t
bg bg
~
x t,
bg
0,01
1
0,9
bg
xt
0,01
L 3,
11
,
K 30
L 7,
K 60
1,2
t
T0
0,02
Abbildung B.6. Einzelheiten zum Verlauf der Ausgleichsfunktion { (w) aus dem
Ausschnitt A von Abbildung B.4
Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass mit den Gln. (2.46) und
(2.48) für band- und zeitbegrenzte Funktionen {p (w) entsprechend Abbildung
2.6 eine Funktionenfolge mit zwei freien Parametern K, L deniert wurde, die
für unbegrenztes Wachstum beider Parameter unabhängig von ihrer Reihenfolge gegen einen Grenzwert konvergiert. Dieser Sachverhalt lässt sich durch
numerische Analysen bis zur Au ösungsgrenze der Recheneinrichtung bestätigen. Bei Aufhebung der Bandbegrenzung für {p (w) kommt ein weiterer Parameter M hinzu, ohne dass sich an den o.g. Aussagen etwas ändert.
B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen
431
B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen
B.2.1 Problemstellung
Die Beschreibung einmaliger Vorgänge durch Fourier- und Laplace-Integrale
erlaubt noch eine Abstraktion, die durch die Übertragungseigenschaften zeitbegrenzter Vorgänge kurzer Dauer W = — Stöße — durch reale lineare Systeme begründet ist. Die Erfahrung zeigt, dass ein reales lineares System bei
sehr kurzen Stößen nicht mehr erkennen kann, welchen Zeitverlauf der Stoß
innerhalb der Stoßzeit besitzt. Das System reagiert nur noch auf das Integral
über die Stoßfunktion, die Stoß äche L. Es erhebt sich die Frage, warum dieser
Sachverhalt vorliegt und was „sehr kurz“ bezogen auf die Übertragungseigenschaften des Systems bedeutet. Diese Frage soll zunächst für die erwähnten
Stoßvorgänge geklärt und anschließend auf Sprungvorgänge übertragen werden.
B.2.2 Ideale Stöße und ihre Systemantwort
Als Modell für die ideale Stoßfunktion wird eine Funktionenfolge gewählt,
die von der in Abbildung B.7 links dargestellten Funktion { (w@ ) ausgeht.
Die Bezugszeit mit der Bedeutung einer äquivalenten Impulsdauer ist so
gewählt, dass ihr Produkt mit {0 = { ( ) die Impuls äche L ergibt.
xb
b g
xt t
L
g bt
t
g
xb
L
g bt
g
b
t L x L t t
g b2.75bg
L x0
x0 T
t
t t
1
z
bg
I x t dt x 0 t
b2.75ag
1L
Ib
L
g x bL g btg dt I L x
z
0
0
t t
0
1
t
L
Abbildung B.7. Modell für eine Funktionenfolge zur Denition der idealen Stoßfunktion
Die Impuls äche L kann gemäß Abbildung B.7 links zu
L=
Z4
0
{ (w) dw = {0 (B.7)
432
B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken
bestimmt werden. Eine Reduzierung der äquivalenten Impulsdauer um den
Faktor L ermöglicht mit der Stoßfunktion
{(L) (w@ ) = L · { (L · w@ )
(B.8)
die Berechnung der Impuls äche zu
L (L) =
Z4
1
{(L) (w) dw = L = L{0 .
L
(B.9)
0
Es wird angenommen, dass { (w) eine Fourier-Transformierte besitzt, also die
Bedingung der Gl. (2.70) erfüllt ist. Weiterhin soll vorausgesetzt werden, dass
die Impuls äche L 6= 0 ist. Dann ergibt sich die Fourier-Transformierte von
{ (w) aus Gl. (2.46). Es ist schon zu erkennen, dass f (0) 6= 0 ist. Drei typische
Beispiele für impulsartige Vorgänge sind in Abbildung B.8 dargestellt.
bg
cb0g
cw
x$
t
1,00
t
C
B
x$
e
t
t
t
0,95
d 5%
t
x$
A
t
0,90
t
wt
1
0
0,315
111
,
1,48
wd t
Abbildung B.8. Fourier-Spektraldichten von typischen Impulszeitfunktionen
Die Kurvenverläufe A, B und C sind mit folgenden Spektraldichten f ($) verknüpft:
A:
B:
C:
ˆ
|f ($)| = {
sin ($ @2)
($ @2)
1
ˆ q
|f ($)| = {
2
1 + ($ )
ˆ
|f ($)| = {
sin2 ($ @4)
($ @4)2
(B.10)
(B.11)
(B.12)
B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen
433
Aus Abbildung B.8 ist zu erkennen, dass sich f ($) für die dargestellten Beispiele im Bereich $ = 0> 3 = = = 1> 5 um weniger als 5% von f (0) = L unterscheidet. Wenn ein solcher Impuls als Eingangszeitfunktion { (w) auf ein
lineares System mit der Übertragungsfunktion E ($) wirkt, ergibt sich die
Ausgangsgröße nach Gl. (2.72). Die Übertragungsfunktionen realer linearer
Systeme besitzen obere Grenzfrequenzen $ g , bei denen E ($ g ) unter die Auflösungsgrenze der verwendeten Rechen- oder Messeinrichtungen fällt. Wenn
nun die eektive Impulsdauer aus Abbildung B.7 so eingestellt wird, dass die
Fehlergrenzfrequenz $ für f ($) aus Abbildung B.8 gleich $g ist, entsteht die
in Abbildung B.9 am Beispiel eines Rechteckimpulses dargestellte Situation.
bg
cx w
b g
" c x wd
I
wd e
1
t
1t
w
bg
B w
bg
B0
wd
w
Abbildung B.9. Forderungen an die Impulsdauer bei bandbegrenzter Übertragungsfunktion.
Der Fehler in Abbildung B.9 ergibt sich zu
=
sin (%@2)
|f{ ($ )|
=1
.
f{ (0)
%@2
(B.13)
Die Spektraldichte f ($) ist innerhalb des Übertragungsbereiches von E ($) im
Rahmen des zugelassenen Fehlers unabhängig von $ und gleich der Stoß äche L. In diesem Fall kann das System nicht mehr erkennen, welche konkrete
Eingangsfunktion { (w) die Ausgangsfunktion | (w) erzeugt hat. Es reagiert nur
noch auf die Impuls äche L.
Dieser Sachverhalt legt den in Abbildung B.7 links durch Gl. (B.8) beschriebenen Übergang von { (w) über die Folge {(O) (w) zu einem idealen Stoß nahe.
Mit wachsendem L wird die eektive Impulsdauer kleiner und die Amplitude
größer. Bei dem in Gl. (B.8) beschriebenen Ansatz bleibt die Impuls äche L
konstant.
434
B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken
Die Fourier-Transformierte f ($) eines Folgenelementes nimmt dabei die folgende Form an:
f(L) ($) =
Z4
{(L) (w@ ) ej$w dw = O
0
f(L) ($) =
Z4
Z4
{ (Lw@ ) ej$w dw
(B.14)
0
0
{ (w0 @ ) ej$w @L dw,
w0 = Lw
w0 =0
f(L) ($) = f ($L)
(B.15)
Dieser Übergang ist in Abbildung B.10 dargestellt.
c , cbL g
I
bg
cbL g w
cw
bg
L w1
w1
Abbildung B.10. Übergang von f ($) zu f(L) ($)
Mit zunehmendem L erweitert sich der Bereich, in dem f ($) = L angesehen
werden kann, um den Faktor L.
Die Elemente dieser Funktionenfolge besitzen die folgenden Eigenschaften:
f (0) = L
lim f(L) ($) = 0
und
W $4
(B.16)
Der Grenzwert der Funktionenfolge {(L) (w@ ) @L für L $ 4 wird als normierte
ideale Stoßfunktion der Dirac-Stoß
(w) = lim {(L) (w) @L
L$4
(B.17)
bezeichnet. In Verbindung damit wird dann stark verkürzt auch
f { (w)} = lim f(L) (w) @L = 1
L$4
(B.18)
gesetzt und daraus schließlich auf
1
(w) =
2
Z4
4
ej$w d$
(B.19)
B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen
435
geschlossen. Genau genommen kann jedoch der Grenzübergang in Gl. (B.19)
von $ K $ 4 nur mit einem Folgeelement f(L) ($) vorgenommen werden, weil
nur diese für $ gegen Null geht. Gl. (B.19) muss deshalb ausführlich heißen:
5
6
Z$K
Z
f(L) ($) ej$w d$ 8
(B.20)
(w) = lim 7 lim
L$4
K$4
$ K
Der Grenzwert (w) kann nur mit der angegebenen Reihenfolge der beiden
Grenzübergänge bezüglich der beiden Parameter K und L ermittelt werden.
Die Antwort eines linearen Systems auf einen idealen Sprung {Stoß (w) = L (w)
kann unter Berücksichtigung von Gl. (B.19) mit Gl. (2.76) angegeben werden.
Wenn aber E ($) eine obere Grenzfrequenz $ g im Sinne von Abbildung B.9
besitzt, kann die Integration in Gl. (2.76) auf ±$ g beschränkt werden. Dann
kann auch der Grenzwert für f{ ($) aus Gl. (B.18) benutzt werden und man
erhält:
Z$g
L
E ($) ej$w d$
(B.21)
| (w) = j (w) L =
2
$ g
mit
1
j (w) =
2
Z$g
E ($) ej$w d$
(B.22)
$ g
und
E ($) =
Z4
j (w) ej$w dw
(B.23)
0
Die Funktion j (w) wird als normierte Stoßantwort eines Systems bezeichnet.
Die Rücktransformation in Gl. (B.22) zeigt, dass die Systemeigenschaften sowohl durch j (w) als auch durch E ($) vollständig beschrieben sind. Gl. (B.22)
erlaubt auch experimentell die Bestimmung von E ($) mit Hilfe eines DiracStoßes und bildet die Grundlage für zahlreiche Messverfahren.
Ein Zahlenbeispiel soll abschließend die Verhältnisse bei Anwendung eines
Rechteckimpulses bei der Bestimmung von j (w) erläutern.
Als Übertragungsfunktion E ($)
1
E ($) = ³
,
´2
2
+ m ($@$ 0 ) 1@T
1 ($@$ 0 )
mit
T = 1,
i0 = 100 Hz,
soll ein Tiefpass mit Resonanz vorliegen.
(B.24)
436
B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken
Als Grenzfrequenz erhält man hier mit der Annahme |E ($ g )| 103 den
Wert:
ig = 3 kHz
$ g 30$ 0 ,
Bei Annahme eines zugelassenen Fehlers = 0> 01 der Fourier-Spektraldichte
folgt mit Gl. (B.10):
= 102 , % = $ g = 0> 490
Daraus folgt schließlich die zugelassene Impulsdauer:
$g = $ , =
0> 49
= 26 s
30$ 0
Ein Impuls mit dieser Impulsdauer gestattet die Bestimmung der normierten
Stoßantwort j (w) mit Fehlern im %-Bereich.
B.2.3 Die ideale Sprungfunktion und ihre Systemantwort
Zur Analyse von Einschaltvorgängen von Systemen ist die in Abbildung B.11
dargestellte Sprungfunktion nützlich. Von {s (w) wird die normierte Sprungfunktion v (w) abgeleitet. {s (w) und v (w) besitzen keine Fourier-Transformierte,
weil die Bedingung der Gl. (2.70) verletzt ist.
bg
xs t
x$
x s t x$ s t
bg
bg
t
Abbildung B.11. Ideale Sprungfunktion
Für die spektrale Beschreibung dieser Funktion ist nur die Laplace-Transformation anwendbar. Nach Gl. (2.84) ergibt sich:
L {{s (w)} =
Z4
{
ˆ esw dw =
{
ˆ
s
(B.25)
0
Wirkt der Sprung {s (w) auf ein lineares System mit der Übertragungsfunktion
E (s), ergibt sich | (w) nach Gl. (2.85) zu
{
ˆ
| (w) =
2
+j$
Z
j$
1 sw
e ds = z (w) {
ˆ.
s
(B.26)
B.3 Das Faltungs-Integral
437
Die Funktion z (w) wird als normierte Sprungantwort bezeichnet. Sie kennzeichnet wie auch E (s) das Übertragungsverhalten des Systems.
Wenn eine numerische Lösung für z (w) gesucht wird, ohne das Verfahren der
Laplace-Transformation anzuwenden, kann anstelle von {s (w) eine periodische
Rechteckfunktion {p (w) mit = W @2 gemäß Abbildung B.12 verwendet werden.
bg
z t
1
x$
2
bg
xp t
x$
t
T 2
t
bg
xp t T
T 2
T
1
x$ z t
2
bg
Abbildung B.12. Periodische Rechteckfunktion als Näherungsmodell für {s (w)
Vom nullpunktfreien Anteil } (w) kann eine Fourier-Reihenentwicklung angegeben werden, die zu einer Näherungsfunktion }p (w) führt. Wenn { (w) als
Eingangsfunktion eines linearen Systems angesehen wird, ergibt sich die Ausgangsfunktion |p (w) zu:
|s (w) =
4
1
1 X
{
ˆE (0) + {
ˆ
E ($ l ) f{ ($ l ) ej$l w
2
2 l=1
(B.27)
Für reale Systeme verschwindet der zeitabhängige Anteil von |p (w) für hinreichend große w (w A Wg ). Wenn als Periode W A 2Wg gewählt wird, stimmt
|p (w) im Intervall 0 = = = W @2 mit | (w) aus der exakten Lösung von Gl. (B.26)
überein. Daraus ergibt sich bei Einhaltung dieser Bedingungen, die numerisch
leicht zu überprüfen ist, die folgende Näherungsgleichung für z (w):
4
1X
1
E ($ l ) fl{ ($ l ) ej$l w
z (w) = E (0) +
2
2 l=1
mit
fl{ = {
ˆ
1 ej$l W
j$ l W
(B.28)
B.3 Das Faltungs-Integral
Im vorhergehenden Abschnitt war mit Gl. (B.22) gezeigt worden, dass die
Systemübertragungsfunktion aus der normierten Stoßantwort j (w) bestimmt
werden kann. Damit ist es grundsätzlich möglich, die Gl. (2.76) (s. Abschn.
438
B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken
2.1.3) unter Benutzung der Gln. (2.77) und (B.22) so umzuschreiben, dass die
Systemantwort | (w) nur noch von j (w) und { (w) abhängt. Es ist zu erwarten,
dass wegen der an mehreren Stellen diskutierten Probleme über die Reihenfolge der Grenzübergänge einige Vorsicht bei den erforderlichen Umformungen
erforderlich ist. Diese Komplikationen können mit dem im Folgenden dargestellten direkten und anschaulichen Lösungsansatz umgangen werden.
Wenn die Antwort eines Systems mit bekannter Stoßantwort auf eine Eingangsfunktion { (w) gesucht wird, kann { (w) entsprechend Abbildung B.13 in
dierentielle Rechteckimpulse zerlegt werden.
bg
x t
bg
"x n t
b g
x tn
b g
x tn
"tn
"tn
tn
tn
t
bg
x t "x n btg
t
b2.92g
n bg
bg
"x n t
"yn t
bg
x t
tn
bg
y t
bg
g t
tn
t
bg b
"yn t g t tn
g x bt g "t
n
n
t
b2.93g
Abbildung B.13. Aufbau der Antwortzeitfunktion eines linearen Systems aus der
Summation von mit j (w) bewerteten Rechteckimpulsen von { (w)
Jede Teilfunktion {q (w) aus
{ (w) =
+4
X
{q (w)
(B.29)
q=4
wird entsprechend
|q (w) = j (w w0q ) { (w0q ) w0q
(B.30)
in eine Teilfunktion |q (w) überführt. Die Ausgangszeitfunktion | (w) ist die
Summe aller |q (w):
| (w) =
+4
X
q=4
j (w w0q ) { (w0q ) w0q
(B.31)
B.3 Das Faltungs-Integral
439
Diese Summe geht an der Grenze wq $ 0 in ein Integral der Form
| (w) =
Z4
w=4
j (w w0 ) { (w0 ) dw0
(B.32)
über.
Wegen j (w) = 0 für w ? 0 lässt sich diese Gleichung in die folgende Form
überführen:
Z4
0
0
w w = , | (w ) =
j ( ) { (w0 ) d
(B.33)
=0
Die Gln. (B.32) und (B.33) lösen die zu Anfang genannte Aufgabe, die Ausgangsfunktion | (w) unmittelbar aus j (w) und { (w) zu bestimmen. Sie lassen
sich aber noch in einer zweiten Form schreiben, die man formal aus der Relation
dv (w)
j (w) =
(B.34)
dw
ableiten kann. Die Ableitung dieser zweiten Variante ist aber auch mit einem
in Abbildung B.14 dargestellten einfachen Modell, ähnlich dem aus Abbildung
B.13, möglich.
bg
b
x t
"xn t tn
bg
"x n t
g
"tn
t
"xn btg
bg
t
tn
b2.98g
bg
b
"xn t "x$ n s t tn
n g
b2.99g
bg
bg
"yn t
"x n t
bg
x t
tn
n
dt
t tn
tn
x t b g "t
dx t
"x$ n bg
x t
bg
s t
bg
y t
t
tn
"yn (t ) s (t tn )
dx
dt
t
"tn
tn
Abbildung B.14. Aufbau der Antwortzeitfunktion eines linearen Systems aus der
Summation von dierentiellen Sprungfunktionen
440
B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken
Analog zu den Gln. (B.31) und (B.33) ergibt sich hier schließlich:
¯
¯
Z4
d{ ¯¯
d{ ¯¯
| (w) =
v (w wq )
·
w
,
v
(w
)
· d
q
dw ¯wq
dw ¯w=
q=4
+4
X
0
(B.35)
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Index
Abgasschalldämpfer, 132
Absorber, 224—230
abstraktes Netzwerk, 135—142
Abtastwert, 23
Abweichung
dierentielle, 246
quadratische, 24
Adiabatenexponent, 115
adiabatische Zustandsänderung, 115
Admittanz, 80
-funktion, 184
-matrix, 194
allgemeine, 80
komplexe, 80
translatorische, 197
akustische
Dämpfungselemente, 224
Masse, 117
Nachgiebigkeit, 115
Reibung, 117
Reziprozität, 230
Schaltung, 118
akustischer
Resonator, 113
Systempunkt, 47
Transformator, 120
Wellenwiderstand, 225
akustisches
Schema, 119
Teilsystem, 4, 212
Tiefpass-System, 205
allgemeine
Admittanz, 80
Impedanz, 80
Koordinaten, 136
-Quarz, 356, 357
Amplitude
dierentielle, 38
komplexe, 19, 20
Amplitudenfrequenzgang, 84
Anregungszeitfunktion, 18
Ansatzfunktion, 211
Antwortzeitfunktion, 438, 439
Approximationsfehler, 425
approximative Fourier-Reihe, 23—25,
425, 427
Arbeits
-frequenz, 93, 178, 183
-punkt, 14, 237
Ausgangs
-funktion, 23
-signal, 188, 310
-zeitfunktion, 438
Ausgleichsfunktion, 430
Ausschlags
-empfänger, 384, 387
-methode, 238
-sender, 384, 386
bandbegrenzte Zeitfunktion, 32
Bandbegrenzungsfehler, 425
Barkhausen, 11
Bauelement
akustische Feder, 116
akustische Masse, 117
akustische Reibung, 117
Drehfeder, 106—108
446
Index
Drehreibung, 106—108
Feder, 70
Hebel, 77
Masse, 73
Reibung, 72
Trägheitsmoment, 106—108
Bauelemente
abstrakte, 136, 137
konzentrierte, 65, 66
zeitinvariante, 39
zweipolige, 17, 40
Beschleunigungs
-übertragungsfunktion, 259
-amplitude, 94
-quelle, 76
Bewegungskoordinate, 68, 119
Bezugs
-frequenz, 86
-größen, 192, 392
Biege
-wellen, 190, 353
-wellenlänge, 383
-wellenleiter, 321, 382, 383
-winkel, 147
Bildbereich, 20
Bimorph, 353—355
Biot-Savart, 50
-Gesetz, 56, 240
-Kraft, 57, 241
Blindleistung
kinetische, 180
potentielle, 180
BODE-Diagramm, 84
Carnot-Prozess, 61
Cauer, 11, 41
charakteristische Frequenz, 84
Coulomb, 50
-Gesetz, 51
-Gleichungen, 50, 52, 242
-Kraft, 50, 240, 241, 308, 325
Cremer, 11
Curie-Temperatur, 356
Dämpfung, 86
Dehnung, 93, 147
Dehnwellen, 172, 195, 366
-leiter, 365—367
Dickenschwinger, 348, 349
Dielektrikum
anisotropes, 307
isotropes, 307, 334
dielektrische Polymere, 335
dierentielle
Abweichung, 246
Amplitude, 38
Teilschwingung, 35
dierentielles Biegeelement, 147—149
Dierenzdrucksensor, 205
Dierenzierglied, 86
Dierenzkoordinaten, 18, 59
Dipol-Bass-Lautsprecher, 216
Dirac-Stoß, 434
Dreh
-feder, 106—108
-masse, 106—108
-moment, 105
-reibung, 106—108
Drehreibungsadmittanz, 110
Dreitor-Anordnung, 153, 155
Druck
-übertragungsfunktion, 205
-amplitude, 128
-dierenz, 114
Durchbiegungsfunktion, 161
Durch utungsgesetz, 260
dynamischer Systementwurf, 5
E-Modul, 70
komplexer, 93
ebene Welle, 224
Eekt
magnetoelastischer, 296
magnetostriktiver, 289
piezoelektrischer, 339—342
piezomagnetischer, 290
pyroelektrischer, 356
quadratischer, 341
eindimensionaler
akustischer Wellenleiter, 225
Dehnwellenleiter, 367
Wellenleiter, 171
Eingangsfunktion, 433, 437
Eingangszeitfunktion, 433
Einstein’sche Summationsvereinbarung, 290
Einzelübertragungsfunktion, 86
elastische Materialkonstante, 290
Index
Elektret, 223, 231, 329
elektrische
Feldenergie, 12, 39
Feldkraft, 245
Feldstärke, 335, 340, 347, 356
Leistung, 236, 259
Punktladung, 50
Stromdichte, 278
elektrischer
Systempunkt, 53
Wandler, 4, 60
Widerstand, 73
elektroaktive Polymere, 335
elektroakustische Systeme, 65, 152
elektrodynamischer
Kalibrierschwingtisch, 264—270
Lautsprecher, 261—264
Wandler, 253—257
elektrodynamisches
Antriebssystem, 257—260
Autofokus-System, 261
elektromagnetischer
Schwingförderer, 281—285
Stellantrieb, 285—288
Wandler, 270—278
elektromechanischer Kopplungsfaktor,
251, 252
elektromechanisches
Relais, 278—281
System, 4, 54
elektrostatische
Feldgröße, 50
Tastsonde, 319—321
elektrostatischer
Festkörperwandler, 334, 335
Membranwandler, 325—328
Polymeraktor, 335—339
Wandler, 307
elektrostatisches Feld, 52—54
Elektrostriktion, 334
Elementar
-funktionen, 86
-netzwerke, 59, 61
Energie
innere, 41
kinetische, 179
potentielle, 179
Enthalpie, 57
Ersatz
-masse, 179
-nachgiebigkeit, 181
-parameter, 179, 180
-system, 181
Exzentrizität, 96
Faraday, 12
FE
-Analyse, 211, 212
-Methode, 210
-Modell, 210—212
Feder, 70, 71
-konstante, 70
reale, 93
verlustfreie, 93
Fehler
-grenzfrequenz, 433
-maß, 24
-verlauf, 426
numerische, 220
reduzierter, 268
zugelassener, 433
Feld
-nachgiebigkeit, 276, 313, 373
-verteilung, 245
elektrostatisches, 52—54
Feldenergie
-dichte, 270
elektrische, 12, 39
magnetische, 12, 39
Feldkraft
elektrische, 245
magnetische, 240
nichtlineare, 244
Feldstärke
elektrische, 335, 340, 347, 356
magnetische, 289, 291, 295
Fernfeld, 132, 133, 264
-elemente, 218, 220
Ferroelektrika, 341, 355, 356
ferroelektrische Polymere, 335
Filter
-frequenzgang, 189
-systeme, 183
mechanisches, 188, 189
mikromechanisches, 323—325
nites
Federelement, 172
Netzwerkelement, 201, 203
447
448
Index
Flächenträgheitsmoment, 147, 150, 195
uidmechanisches
Netzwerk, 47
System, 45
Flusskoordinaten, 59
Fourier
-Entwicklung, 22, 425
-Koe!zienten, 35, 425
-Spektraldichte, 432, 436
-Summe, 425
-Transformation, 27
Fourier-Reihe, 18, 22
approximative, 23—25, 425, 427
interpolative, 24
Frequenz, 18
-funktion, 92, 183
-grenze, 113, 130
-verlauf, 209, 323
charakteristische, 84
komplexe, 21
Funktion
mittelwertfreie, 30
periodische, 22
stetige, 24
trigonometrische, 147
zeitbegrenzte, 22, 29, 430
Funktionaltransformation, 20, 34
modizierte, 38
Funktionenfolge, 28, 430
Güte, 86
Gaskonstante, 115
Gekoppelte Simulation, 210
Gesamtübertragungsfunktion, 88, 401
Geschwindigkeit
komplexe, 78, 79
Geschwindigkeits
-dierenz, 69, 72, 73
-quelle, 76
Gleichungssystem
algebraisches, 20
lineares, 43
Grenzfrequenz, 129
Großsignalverhalten, 289
Gyrator, 153, 154, 250
Hüllkurvenfunktion, 32
Halbleiter-Relais, 279, 281
Hamilton, 11
harmonische
Analyse, 218
Kreisfunktion, 18
Hebel, 77—79
idealer, 68
Hecht, 11
Helmholtz, 11
-Resonator, 113
Hochpass, 86
Hohlräume
kanalartige, 113, 116
volumenartige, 113, 115
Hohlraumsysteme, 127
Hybridmatrix, 213
hydraulische Systeme, 152
idealer
Hebel, 68
Kolbenwandler, 153
Stab, 144—146
Transformator, 39
ideales Gas, 115
imaginäre Wandlerkonstante, 275
Impedanz, 80
-funktion, 178
-matrix, 194
allgemeine, 80
komplexe, 80
translatorische, 195
Impuls
- äche, 431
-funktion, 426
Inchworm Motor, 301, 302
Induktivität, 110
induzierte
Polarisation, 335
Spannung, 254
Inertialsystem, 73
innere
Energie, 41
Polarisation, 334
Integrierglied, 86
interpolative
Form, 24
Fourier-Reihe, 24
interpolierende Hüllkurve, 32
Isomorphie, 82
isotropes Dielektrikum, 334
Index
Küpfmüller, 11
Kalibrierschwingtisch, 264—270
kanalartige Hohlräume, 113, 116
Kanalelemente
reale akustische, 116
virtuelle, 114
kanonische Schaltung, 398
Kapazitätsmatrix, 51
kapazitiver Membranwandler, 202
Kapillarsystem, 205
kartesisches Koordinatensystem, 43
Kennfrequenz, 91
Kern
-admittanz, 141
-impedanz, 141
Ketten
-matrix, 194
-schaltung, 86
kinetische
Blindleistung, 180
Energie, 179
Kirchhoff, 11
Kleinsignal
-Wandlerschaltbild, 273
-verhalten, 247
Knoten
-satz, 80
-spannungen, 41
-ströme, 41
Kolbenwandler
idealer, 153
realer, 155
Kombinierte Simulation, 210
Kompensationsmethode, 238, 239
komplexe
Übertragungsfunktion, 26
Admittanz, 80
Amplitude, 19, 20
Ausbreitungskonstante, 224
Belastung, 204
Ebene, 135
Frequenz, 21
Geschwindigkeit, 78, 79
Impedanz, 80
Netzwerkkoordinate, 80
Strahlungsimpedanz, 217—219
Teilschwingung, 37
Zeitfunktion, 19
komplexer
E-Modul, 93
Wellenwiderstand, 224
Kondensatormikrofon, 329—331
konzentrierte
Bauelemente, 65, 66
Federn, 66
Ladung, 247
Masse, 66
Parameter, 14, 65
Reibungselemente, 66
Koordinaten
-darstellung, 67
allgemeine, 136
mechanische, 51
verallgemeinerte, 44—46
Koppelelement
gyratorisches, 187
transformatorisches, 186
Koppelsysteme, 43
verallgemeinerte, 53
Kopplungs
-achtpol, 145
-faktor, 251, 252
-funktion, 43
Kopplungsvierpol, 144
Kraft
-kennlinie, 310
-koordinaten, 44
-quelle, 77
-vektor, 57
kraftbelasteter Systempunkt, 151
Kreisfunktion, 18
Kurzschluss
-kraft, 97
strom, 42
längenbezogene
Drehnachgiebigkeit, 392
Masse, 174, 391
Nachgiebigkeit, 174
Längsschwinger, 349
Ladungsdichte, 329
-verteilung, 309
Lagekoordinaten, 43
unabhängige, 43
verallgemeinerte, 46
Lagrange, 11
-Formalismus, 44
-Funktion, 12
449
450
Index
-Gleichungen, 43
@2-Wellenleiter, 186
@4-Wellenleiter, 187
laminare Strömung, 123
Leerlauf
-übertragungsfunktion, 388
-spannung, 42
Leitwertmatrix, 41
lineares
Gleichungssystem, 43
Netzwerk, 18, 61
System, 27, 38
Linearisierung, 310
Linearitätsfehler, 273
Linearkombination, 18, 44
Lithium
-niobat, 355
-tantalat, 355
Lorentz-Kraft, 253
Magnetfeldstreuung, 276
magnetische
Abtastsysteme, 254
Feldenergie, 12, 39
Feldkraft, 240
Feldstärke, 289, 291, 295
Induktion, 254
Materialkonstante, 290
Wechselwirkung, 241
magnetischer
Fluss, 260
Wandler, 60, 240, 248
magnetoelastischer Eekt, 296
magnetostatische Feldgleichungen, 17,
50
Magnetostriktion, 288
magnetostriktiver
Aktor, 300
Eekt, 289
Wanderwellenmotor, 301
Maschensatz, 79
Masse
-schwerpunkt, 73
akustische, 117
konzentrierte, 66
längenbezogene, 174, 391
Materialkonstante
elastische, 290
magnetische, 290
piezomagnetische, 290
Maxwell, 12
-Gleichungen, 12
-Spannung, 334
mechanische
Dehnung, 93
Koordinaten, 51
Punktsysteme, 159
Schwinggüte, 95
Spannung, 93
Systemkraft, 240
Vorspannung, 325
mechanischer
Wandler, 143
Zweipol, 97
mechanisches
Filter, 188, 189
Schema, 75, 90
Teilsystem, 53, 362
Membranwandler
elektrostatischer, 325—328
kapazitiver, 202
Mikrofonkapsel, 223
mikromechanisches Filter, 323—325
Mitgangsmatrix, 392
mittelwertfreie
Funktion, 30
Mittenfrequenz, 325
mittlere quadratische Abweichung, 24
Modell
-funktion, 27, 428
-zeitfunktion, 18
modizierte
Funktionaltransformation, 38
Momentenquelle, 109
Monomorph, 353
Musterfunktion, 428—430
N-Tor, 54
Näherungs
-funktion, 23, 24, 427, 437
-zeitfunktion, 426
Nachgiebigkeit, 70
akustische, 115
längenbezogene, 174
rotatorische, 105
Netzwerk
abstraktes, 135—142
elektrisches, 39—42
Index
uidmechanisches, 47
lineares, 18, 61
rotatorisches, 46
translatorisches, 45
verallgemeinertes, 52
neutrale Faser, 147
nichtlineare Feldkraft, 244
Normierungsgrößen, 102
numerische Fehler, 220
Orthogonalität, 24
Orts
-funktion, 157, 200
-kurve, 258
Parameter
konzentrierte, 14, 65
verteilte, 14
Parseval-Gleichungen, 24
passiver
Schwingungstilger, 100—104
Wandler, 235, 236
Periodendauer, 24
periodische
Funktion, 22
Impulsfunktion, 426
Zeitfunktion, 23
Phasen
-frequenzgang, 84
-geschwindigkeit, 195
-winkel, 18
-Schaltung, 176, 177
piezoelektrische
Keramiken, 355, 356
Kraftkonstante, 346
Ladungskonstante, 347
Zustandsgleichungen, 345—347
piezoelektrischer
Beschleunigungssensor, 360, 362, 363
Biegeschwinger, 353
Dickenschwinger, 348, 349
Eekt, 339—342
Längseekt, 345
Längsschwinger, 349, 350
Multilayer-Biegeaktor, 389, 390
Quereekt, 349
Signalgeber, 212
Wandler, 236, 339
piezoelektrisches Mikrofon, 363—366
451
piezomagnetische Materialkonstante,
290
piezomagnetischer
Eekt, 290
Ultraschallsender, 302—305
Wandler, 288, 297
Pistonfon, 127—129
Plattenwandler, 155
-schaltung, 160
Polardiagramm, 229, 231, 232
Polarisation
induzierte, 335
innere, 334
Polymeraktor, 335—339
Polymere
dielektrische, 335
elektroaktive, 335
ferroelektrische, 335
Porosität, 226
potentielle
Blindleistung, 180
Energie, 179
Punktladung, 50
PVDF, 335, 355, 359
pyroelektrischer Eekt, 356
PZT, 356
quadratische
Abweichung, 24
Kennlinie, 273
quadratischer Eekt, 341
Quarz, 356, 357
quasistatische Verformung, 182
Quell
-amplitude, 75
-größe, 66, 122, 132
-koordinaten, 76
Rayleigh-Funktionen, 192
reale akustische
Kanalelemente, 116
Volumenelemente, 120, 121
reale Feder, 93
realer
Kolbenwandler, 155
Rechteckfunktion, 437
reduzierter
Fehler, 268
reelle Zeitfunktion, 19
452
Index
Reibung, 72, 73
akustische, 117
Reibungs
-admittanz, 73
-eekt, 72
-impedanz, 72
-standwert, 258
Reichardt, 11
Reihenentwicklung, 51, 57
Relais, 278—281
Reluktanzprinzip, 278
Resonanz
-frequenz, 86, 91
-güte, 91
Restfehler, 426
Reversibilität, 242
reziproke
Induktivitätskoe!zienten, 58
Kapazitätskoe!zienten, 51
Matrix, 41
Reziprozität, 403
akustische, 230
Reziprozitäts
-beziehungen, 403—407
-eigenschaften, 42
-kalibrierung, 408
Richtcharakteristik, 228
rotatorische
Nachgiebigkeit, 105
Systeme, 45, 60
rotatorischer
Systempunkt, 144
Zweipol, 109
rotatorisches
Netzwerk, 46
Teilsystem, 4
Sättigungsmagnetostriktion, 289
Schall
-druckpegel, 133
-erzeugungssysteme, 127
-leistung, 264
Schaltung
akustische, 118
kanonische, 398
Schema
akustisches, 119
mechanisches, 75, 90
Schubmodul, 71
Schwinggüte, 95
Schwingungsisolation, 96
Schwingungstilger
passiver, 100—104
Signal
- uss, 236
-geber, 212
-operationen, 427, 428
-verarbeitungsrichtung, 4
Silizium
-Messelement, 204, 205
-Mikrofon, 331—333
-Mikrotechnik, 279
-Ober ächenmikromechanik, 323
Simonyi, 12
Simulation
gekoppelte, 210
kombinierte, 210
Simulations
-systeme, 13
-verfahren, 11—15
Singularität, 196, 198
Spannung
induzierte, 254
mechanische, 93
Spannungsintegral, 57, 240
spektrale Darstellung, 27—29
Spektrallinien, 32
spezische Wärme, 115
Sprungfunktion, 436, 437
Stab
-element, 190
-resonanzfrequenz, 178
idealer, 144—146
starrer, 143—146
Stabilitätsgrenze, 283
stationäre Zeitfunktion, 17
Stoß
-dämpfer, 19
-funktion, 431
Strahlungsimpedanz, 217—219
Streifen
-membran, 202
-platte, 203
Strukturfaktor, 226
Superpositionsgesetz, 403
System
-antwort, 23
-entwurf, 5
Index
-kraft, 240
-matrix, 52
elektromechanisches, 4, 54
uidmechanisches, 45
lineares, 27, 38
trigonales, 356
Systeme
akustische, 240
elastomechanische, 159
elektroakustische, 65, 152
hydraulische, 152
rotatorische, 45, 60, 240
translatorische, 240
Systempunkt
akustischer, 47
elektrischer, 53
kraftbelasteter, 151
rotatorischer, 144
T-Schaltung, 176, 177
Tastsonde, 319—321
Tauchspule, 254
Taylor-Reihe, 183
Teilschwingung
dierentielle, 35
komplexe, 37
Teilsystem
akustisches, 4, 212
mechanisches, 53, 362
rotatorisches, 4
translatorisches, 4
Tiefpass
1= Ordnung, 86
mit Resonanz, 86
Trägheitsmoment, 106
Transformations
-admittanz, 185
-matrix, 44
Transformator
akustischer, 120
idealer, 39
Translationsachse, 70, 73
translatorische
Admittanz, 197
Bezugsnachgiebigkeit, 392
Impedanz, 195
Systeme, 240
translatorisches
Netzwerk, 45
Teilsystem, 4
Trichter, 201
trigonales System, 356
trigonometrische Funktion, 147
Trimorph, 353
Ultraschall
-Mikroaktor, 202—204
-sender, 302—305
unabhängige Lagekoordinaten, 43
Unterziehvolumen, 206
Unwuchtamplitude, 96
verallgemeinerte
Koordinaten, 44—46
Koppelsysteme, 53
Kraftkoordinaten, 44
verallgemeinerter Vektor, 51
verallgemeinertes Netzwerk, 52
Verlustfaktor, 93
verlustfreie Feder, 93
verlustfreie Vierpole, 235
Verrückung, 43
virtuelle, 244
verteilte Parameter, 14
virtuelle
Kanalelemente, 114
Verrückung, 244
Zustandsänderung, 56
viskoser Reibungseekt, 72
vollständiges
Dierential, 242
Lösungssystem, 192
Volumen
-elemente, 120, 121
- uss, 114
volumenartige Hohlräume, 113, 115
Wärmeleitfähigkeit, 120
Wagner, 11
Wanderwellenmotor, 301, 302
Wandler
-koe!zienten, 62
-matrix, 248
-vierpole, 59
elektrischer, 4, 60
elektrodynamischer, 253—257
elektromagnetischer, 270—278
elektrostatischer, 307
453
454
Index
magnetischer, 60, 240, 248
mechanischer, 143
passiver, 235, 236
piezoelektrischer, 236, 339
piezomagnetischer, 288, 297
Wandlerkonstante, 236
imaginäre, 275
Wellen
-admittanz, 366
-geschwindigkeit, 366
-impedanz, 175
-länge, 175
-zahl, 175
Wellenleiter
eindimensionaler, 171
eindimensionaler akustischer, 225
Wellenwiderstand
akustischer, 225
komplexer, 224
Widerstand, 73
Winkel
-geschwindigkeit, 45, 106
-koordinaten, 105
-quelle, 107
Zähigkeit, 123
Zehnpolschaltung, 353, 354
zeitbegrenzte
Funktion, 22, 29, 430
Vorgänge, 27
Zeitbereich, 20
Zeitfunktion
bandbegrenzte, 32
komplexe, 19
periodische, 23
reelle, 19
stationäre, 17
zeitinvariante
Bauelemente, 39
Netzwerke, 39
zugelassener Fehler, 433
Zustands
-dierentialgleichungen, 14
-funktion, 41
-gleichungen, 345—347
-raum, 54
-vektor, 54
Zustandsänderung
adiabatische, 115
virtuelle, 56
Zweig
-leitwert, 41
-spannungen, 42
-ströme, 42
-widerstände, 41
Zweipol
aktiver, 70
mechanischer, 97
rotatorischer, 109
zweipolige Bauelemente, 17, 40
Zylinderkoordinatensystem, 105