Chương I. Các kiến
thức cơ sở
Bài 1.1 Tập hợp và tập số
thực
Khái niệm tập hợp:
A. Tập hợp
Khái niệm Tập hợp là một khái niệm
nguyên sơ, mà không thể định nghĩa nó
được, nhưng ta có thể mô tả.
I.
1
Ví dụ: Tập hợp là một tập gồm các phần
tử không được sắp thứ tự và có chung một
hoặc vài tính chất nào đó.
Một tập hợp được nói là chứa các phần
tử của nó. Các đối tượng trong một tập
hợp được gọi là các phần tử của tập hợp
đó.
Ví dụ: N; Z; Q; R; C, ...
Định nghĩa 2. Hai tập hợp được gọi là
bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng
các phần tử.
Ví dụ:
2
A = {1, 3, 5, 7, 9};
B = {Tập các số nguyên dương lẻ, lớn hơn
hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 9}
Tập A được biểu diễn bằng cách liệt kê
các phần tử, tập B biểu diễn bằng cách
phát biểu các thuộc tính của các phần tử
thuộc nó.
Định nghĩa 3. Tập A được gọi là tập con
của B nếu và chỉ nếu mỗi phần tử của A
đều là phần tử của B. Ký hiệu:
A B .
3
Định lý 1. Đối với tập S bất kỳ:
(i)
S
(ii)
SS
Định nghĩa 4. Cho S là một tập hợp. Nếu
có chính xác n phần tử trong S, với n là
số nguyên không âm, thì ta nói rằng S là
một tập hữu hạn và n được gọi là lực
lượng của S. Lực lượng của S được ký
hiệu là |S|.
Ví dụ: |A|=5
Định nghĩa 6. Một tập hợp được gọi là
vô hạn nếu nó không phải là hữu hạn.
Các tập vô hạn, hiện nay ta chấp nhận có
2 lực lượng:
4
- Các tập vô hạn có lực lượng đếm được
- Các tập vô hạn có lực lượng không
đếm được (hay còn gọi là lực lượng
continum)
TẬP LŨY THỪA
Định nghĩa 6. Cho S là một tập hợp. Tập
lũy thừa của S là tập bao gồm tất cả các
tập con của S.
Tập lũy thừa của S ký hiệu là P(S).
5
Định lý: Nếu số phần tử của S là n thì số
phần tử của P(S) là 2n. (Bài tập)
TÍCH ĐỀ CÁC
Định nghĩa 7. Dãy sắp thứ tự (a1; a2; ...;
an) là một tập hợp sắp thứ tự có a1 là phần
tử thứ nhất, có a2 là phần tử thứ hai, ...,
có an là phần tử thứ n.
Định nghĩa 8. Cho A và B là 2 tập hợp
khác rỗng. Tích Đề các của A và B được
ký hiệu là AxB, là tập hợp tất cả các cặp
(a, b), với a thuộc A còn b thuộc B.
AxB = (a; b) / a  A; b  B
.
6
Định nghĩa 9. Tích Đề các của các tập
A1; A2;...; An ký hiệu A1xA2x...xAn là
tập hợp các dãy sắp thứ tự (a1; a2; ...; an)
trong đó a1  A1; a2  A2 ;...; an  An . Nghĩa
là
A1 xA2 x... An = (a1;a 2 ;...;a n )/a1  A1; a2  A2 ;...
Ví dụ: R2
DÙNG KÝ HIỆU LƯỢNG TỪ VỚI
CÁC TẬP HỢP
Đôi khi chúng ta chỉ rõ không gian của
một mệnh đề ngay trong ký hiệu:
x  S P( x); x  S P( x) .
Ví dụ, Xác định ý nghĩa của các mệnh đề
2
x  R ( x  0) và x  Z ( x2 = 1) .
Bài tập
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
II. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP
HỢP
17
Định nghĩa 1. Cho A và B là 2 tập
hợp. Hợp của 2 tập A và B, được ký
hiệu là A  B , là tập chứa tất cả
các phần tử hoặc thuộc A hoặc
thuộc B hoặc thuộc cả hai.
Ví dụ:
18
A – Tập các SV Lớp GT25 hát hay
B – Tập các các nam sinh viên Lớp
GT25.
Định nghĩa 2. Cho A và B là 2 tập
hợp. Giao của 2 tập A và B, được
ký hiệu là A  B , là tập chứa các
phần tử thuộc cả A và B.
C là tập các sinh viên có điểm thi
tốt nghiệp THPT cao nhất là môn
Toán
19
D là tập các sinh viên có điểm thi
tốt nghiệp THPT cao nhất là môn
Lý
E là tập các sinh viên có điểm thi tốt
nghiệp THPT cao nhất là môn
Tiếng Anh
Định nghĩa 3. Hai tập được gọi là
rời nhau nếu giao của chúng là tập
rỗng .
Đinh nghĩa 4. Cho A và B là hai tập
hợp. Hiệu của A và B, ký hiệu là
A \ B , là tập chứa các phần tử
thuộc A nhưng không thuộc B.
20
Hiệu của A và B cũng được gọi là
phần bù của B đối với A.
Định nghĩa 5. Cho U là tập vũ trụ
(tập sinh), phần bù của A được ký
hiệu là A , là phần bù của A đối
với U. Nói cách khác, phần bù của
A chính là U \ A.
21
Các hằng đẳng thức tập hợp
22
23
Bảng tính thuộc đối với tính chất
phân phối
24
A  ( B  C ) = ( A  B)  ( A  C )
A  ( B  C ) = ( A  B)  ( A  C )
Hợp và giao tổng quát
25
26
BIỂU DIỄN CÁC TẬP HỢP
TRÊN MÁY TÍNH
27
Có nhiều cách biểu diễn các tập hợp
trên máy tính.
Cách 1. Lưu trữ các phần tử của tập
hợp theo cách không sắp thứ tự;
Cách 2. Lưu trữ các phần tử của tập
hợp bằng cách sắp thứ tự một cách
tùy ý các phần tử của tập vũ trụ.
Nhận xét:
- Cách 1 có nhược điểm là việc tính
hợp, tính giao hoặc hiệu của hai
tập hợp sẽ rất mất thời gian;
- Cách 2 giúp việc tính toán các tổ
hợp các tập hợp thuận lợi hơn.
Với cách 2 ta có thể biểu diễn các
tập con A của tập vũ trụ U như
sau:
+ Bước 1: Ta chỉ ra sự sắp các
phần tự của U, ví dụ: U là hữu hạn
28
gồm n phần tử và các phần tử của
U được sắp như sau:
a1; a2; ...; an
Khi đó tập A  U có thể được
biểu diễn bởi 1 xâu bít có độ dài
n, trong đó bit thứ i của xâu này là
1 nếu pt ai thuộc A, là 0 nếu pt ai
không thuộc A.
III. Tập số thực R và cách sắp thứ tự
của tập đó
1. Chú ý mở đầu. Trong giáo trình ở
phổ thông bạn đọc đã làm quen nhiều với
các số hữu tỉ và các tính chất của chúng.
Ngay lúc đó nhu cầu của toán học sơ cấp
đã đòi hỏi phải mở rộng phạm vi các số
đó. Thật vậy, trong các số hữu tỉ không có
29
rất nhiều căn của những số nguyên dương
chẳng hạn 2 tức không có số hữu tỉ nào
p
q , trong đó p và q là các số tự nhiên, mà
bình phương của nó lại bằng 2.
Để chứng minh điều đó ta giả thử
p
ngược lại: giả thử có một phân số q sao
2
cho
 p
  = 2
.
q
Ta có thể xem phân số đó là
tối giản tức p và q không có thừa số chung.
2
2
p
=
2q
Vì
thì p là số chẵn: p = 2r (r là
số nguyên) và thành thử q là số lẻ. Bằng
cách thay p bởi biểu thức của nó ta được
q 2 = 2r 2 do đó ta suy ra q là số chẵn. Mâu
30
thuẫn nhận được đó chứng minh điều
khẳng định của ta.
Cùng với điều đó nếu ta chỉ hạn chế
trong phạm vi các số hữu tỉ thì trong hình
học không phải đoạn thẳng nào cũng có độ
dài. Thật vậy, ta hãy xét hình vuông có
cạnh dài bằng đơn vị của độ dài. Đường
chéo của hình vuông đó không thể có độ
p
dài hữu tỉ q vì trong trường hợp trái lại
theo định lý Pitago, bình phương của độ
dài đó lại bằng 2 mà như ta đã thấy là
không thể được.
31
Trong chương này ta đặt bài toán mở
rộng phạm vi số hữu tỉ, thêm vào đó
những phần tử mới ấy là các số vô tỉ.
Trong lịch sử toán học, các số vô tỉ
thực tế đã bắt đầu xuất hiện (dưới dạng
những biểu thức chứa căn) ngay từ thời
trung cổ nhưng chúng chưa được xem là
các con số chân chính. Đế thế kỷ XVII
phương pháp toạ độ Đềcác *) lập nên, đã
đề xướng với một hiệu lực mới vấn đề
biểu diễn số bằng các đại lượng hình học.
Do ảnh hưởng của phương pháp đó, ý kiến
cho rằng các số hữu tỉ và vô tỉ là bình đẳng
ngang nhau đã trở nên chín muồi và nó
*)
**)
Rơnê Đềcac (1596 - 1650) là nhà triết học và bác học Pháp nổi tiếng.
Ixaăc Niutơn (1642 - 1727) là nhà vật lý và toán học Anh vĩ đại.
32
được phát biểu rõ ràng trong định số về số
(dương) của Niutơn **) trong tác phẩm "Số
học khái luận" (1707) của ông: "Ta hiểu
số không
phải chỉ là tập các đơn vị mà còn là cả
các hư - tỉ - số của một đại lượng bất kỳ
đối
với một đại lượng khác cùng loại mà ta
thừa nhận làm đơn vị".
Khi đó các số nguyên và phân số là các
đại lượng hữu ước với đơn vị còn các số
vô tỉ là các đại lượng vô ước với đơn vị.
Giải tích toán học hình thành vào thế
kỷ XVII và phát triển mạnh mẽ trong suốt
thế kỷ XVIII trong một thời gian lâu đã
33
thoả mãn với định nghĩa đó dù rằng định
nghĩa đó không mang tính chất số học và
còn mơ hồ về một tính chất quan trọng về
phạm vi số được mở rộng ấy là tính liên
tục của nó (xem [no 5] dưới đây). Xu
hướng phê bình trong toán học nảy ra vào
cuối thế kỷ XVIII và đầu thế kỷ XIX đã
thúc bách nhu cầu phải cho định nghĩa
chính xác về các khái niệm cơ sở của giải
tích và chứng minh chặt chẽ các tính chất
cơ bản của nó. Nhưng điều đó lại làm nảy
sinh nhu cầu phải xây dựng một cách lôgic
lý thuyết hoàn hảo các số vô tỉ dựa thuần
tuý trên định nghĩa số học. Trong những
năm bảy mươi của thế kỷ trước đã hình
34
thành một số lý thuyết như vậy, khác nhau
về hình thức, nhưng thực chất là tương
đương với nhau. Tất cả các lý thuyết đó
đều xác định số vô tỉ bằng cách đặt liên hệ
với nó một tập vô hạn này hay tập vô hạn
khác các số hữu tỉ.
2. Định nghĩa số vô tỉ. Ta sẽ trình bày
lý thuyết số vô tỉ theo Đêđơkin *). Cơ sở
của lý thuyết đó là khái niệm nhát cắt
trong phạm vi các số hữu tỉ. Ta hãy xét
một cách chia tập tất cả các số hữu tỉ thành
hai tập không rỗng (tức là chứa ít nhất một
số) A và A' ; nói cách khác ta giả thử rằng:
*)
Risa Đêđơkin (1831 - 1916) là nhà toán học Đức
35
1o. Mỗi số hữu tỉ sẽ rơi vào một và chỉ
một trong các lớp A và A'.
Ta sẽ gọi cách chia đó là một nhát cắt
nếu nó thoả mãn thêm điều kiện:
2o. Mỗi số a của tập A bé thua mỗi số
a' của tập A' .
Tập A được gọi là lớp dưới của nhát
cắt , tập A' được gọi là lớp trên. Ta sẽ ký
hiệu nhát cắt là A A' .
Từ định nghĩa của nhát cắt ta suy ra
rằng bất kỳ số hữu tỉ nào mà bé thua số a
của lớp dưới cũng sẽ thuộc lớp dưới.
Tương tự bất kỳ số hữu tỉ nào mà lớn hơn
số a' của lớp trên cũng thuộc lớp trên.
36
Thí dụ. 1) Ta xác định A là tập mọi số
hữu tỉ a thoả mãn bất đẳng thức a < 1 và
xếp vào tập A' tất cả các số a' mà a'  1.
Dễ kiểm chứng rằng như vậy ta được
một nhát cắt. Số đơn vị thuộc lớp A' và rõ
ràng là số bé nhất trong lớp đó. Mặt khác
không có số lớn nhất trong lớp A vì dù ta
lấy bất kì số a nào thuộc tập A, luôn luôn
có thể chỉ ra được một số hữu tỉ a1 nằm
giữa nó và đơn vị, thành thử lớn hơn a nên
cũng thuộc lớp A.
2) Ta xếp vào lớp dưới A tất cả các số
hữu tỉ a bé thua hay bằng đơn vị: a  1;
và xếp vào lớp trên tất cả các số hữu tỉ a,
lớn hơn đơn vị: a' > 1.
37
Đó cũng là một nhát cắt mà trong đó
lớp trên không có số bé nhất còn lớp dưới
có số lớn nhất (cụ thể là đơn vị).
3) Ta xếp vào lớp A tất cả các số hữu tỉ
2
a
 2 , số 0 và tất cả các số
dương a mà
hữu tỉ âm, còn xếp vào lớp A' tất cả các
2
a
'
 2.
số hữu tỉ dương a' mà
Dễ thấy rằng như vậy ta lại được một
nhát cắt. ở đây trong lớp A không có số
lớn nhất và trong lớp A' cũng không có số
bé nhất. Ta chứng minh chẳng hạn điều
khẳng định thứ nhất (điều khẳng định thứ
hai chứng minh tương tự).
38
Giả thử a là số dương bất kỳ của lớp A,
khi đó a  2 . Ta chứng minh rằng có thể
chọn một số nguyên dương n sao cho
2
2
1

a +   2
n

1
a+
do đó
n sẽ thuộc lớp A.
Bất đẳng thức đó tương đương với các
bất đẳng thức
2a 1
a +
+ 2 2
,
n n
2
2a 1
+ 2  2 − a2
.
n n
39
Bất đẳng thức cuối dĩ nhiên sẽ được
nghiệm đúng nếu n thoả mãn bất đẳng
thức
2a + 1
 2 − a2
n
mà muốn vậy chỉ cần lấy
2a + 1
n
2 − a2
Vậy với bất kì số dương a thuộc lớp A,
trong lớp A sẽ tìm được một số lớn hơn
nó; vì đối với các số a  0 thì điều khẳng
định đó là rõ ràng nên không có số nào của
lớp A là số lớn nhất của lớp đó.
Dễ thấy rằng không thể có nhát cắt mà
đối với nó đồng thời trong lớp dưới có số
lớn nhất ao và trong lớp trên có số bé nhất
ao' . Thật vậy, giả thử nhát cắt như vậy tồn
tại. Khi đó ta lấy số hữu tỉ c bất kỳ nằm
40
'
'
a
a
giữa o và o , ao  c  ao . Số c không
thể thuộc lớp A vì nếu khác đi thì a không
phải là số lớn nhất trong lớp đó và vì lý do
tương tự c không thể thuộc lớp A' nhưng
điều đó mâu thuẫn với tính chất 1o của
nhát cắt.
Như vậy nhát cắt có thể chỉ là ba dạng
minh hoạ đúng như ở ví dụ 1), 2), 3):
1) hoặc trong lớp dưới A không có số
lớn nhất còn trong lớp trên A' có số
bé
nhất r.
2) hoặc trong lớp dưới A có số lớn nhất
r còn trong lớp trên A' không có số bé
nhất
o
41
3) hoặc cuối cùng trong lớp dưới
không có số lớn nhất mà trong lớp trên
cũng không có số bé nhất.
Trong hai trường hợp đầu ta nói rằng
nhát cắt sinh ra một số hữu tỉ r (mà đó là
biên giữa các lớp A và A' ) hay là nhát cắt
xác định một số hữu tỉ r. Trong các ví dụ
1), 2) số đơn vị là số r như vậy. Trong
trường hợp thứ ba số nằm trên biên không
tồn tại, nhát cắt không xác định một số
hữu tỉ nào cả. Bây giờ ta đưa ra một đối
tượng mới ấy là số vô tỉ bằng cách qui ước
nói rằng bất kỳ nhát cắt dạng 3) đều xác
định một số vô tỉ . Số  đó thay thế cho
số nằm trên biên còn khuyết, ta sẽ đặt nó
42
giữa tất cả các số a của lớp A và tất cả các
số a của lớp A' . Trong ví dụ 3) số vừa mới
lập đó như dễ dàng dàng đoán nhận ấy là
2.
Đối với các số vô tỉ ta không đưa ra
một ký hiệu nào riêng cho loại số đó *) và
ta sẽ luôn luôn gắn liền số vô tỉ  với nhát
cắt A A' trong phạm vi các số hữu tỉ mà
xác định nó.
Để cho thống nhất, đối với số hữu tỉ r
ta cũng làm như vậy. Nhưng đối với số
hữu tỉ r có hai nhát cắt xác định nó: trong
cả hai trường hợp số a < r thuộc lớp dưới
còn số a' > r thuộc lớp trên, nhưng chính
*)
ở đây là nói về các ký hiệu hữu hạn. Còn các ký hiệu loại vô hạn bạn đọc sẽ xem ở no 4. Thông thường
các số vô tỉ đã cho một cách cá biệt sẽ được ký hiệu tuỳ theo xuất xứ và vai trò cuả chúng: 2 , log5, sin10, v.v ...
43
số r có thể tuỳ ý xếp vào lớp dưới (khi đó
r là số lớn nhất) hoặc lớp trên (khi đó r là
số bé nhất). Để xác định, khi nói về nhát
cắt xác định số hữu tỉ r ta luôn luôn qui
ước rằng số đó thuộc lớp trên.Các số hữu
tỉ và vô tỉ mang tên chung là số thực. Khái
niệm về số thực là một trong những khái
niệm cơ sở của giải tích toán học cũng như
của toán học nói chung.
3. Sắp thứ tự tập số thực. Hai số vô
tỉ  và  được xác định tương ứng bởi
các nhát cắt A A' và B B' được xem là
bằng nhau trong và chỉ trong trường hợp
khi các nhát cắt đó là đồng nhất ; nhưng
thực tế chỉ cần đòi hỏi các lớp dưới A và
44
B trùng nhau mà thôi vì khi đó các lớp
trên A' và B' cũng sẽ trùng nhau. Định
nghĩa đó còn đúng cả trong trường hợp khi
các số  và  là hữu tỉ. Nói cách khác nếu
hai số hữu tỉ  và  bằng nhau thì các nhát
cắt xác định chúng sẽ trùng nhau và
ngược lại nếu các nhát cắt trùng nhau thì
các số  và  bằng nhau. Tất nhiên ở đây
ta phải lưu ý đến qui ước nói ở trên về việc
xác định số hữu tỉ bằng nhát cắt.
Bây giờ ta chuyển qua xác định khái
niệm "lớn hơn" cho các số thực. Đối với
số hữu tỉ khái niệm đó đã biết trong giáo
trình ở trường phổ thông. Đối với số hữu
tỉ r và số vô tỉ  khái niệm "lớn hơn"
45
thực ra đã được xác định trong [no 2] cụ
thể là nếu  được xác định bởi nhát cắt
A A'
thì ta sẽ xem  lớn hơn mọi số hữu tỉ
lọt vào trong lớp A và đồng thời tất cả các
số của lớp A' lớn hơn  .
Bây giờ giả thử ta có hai số vô tỉ  và
 trong đó  được xác định bởi nhát cắt
A A' còn  được xác định bởi nhát cắt
B B' . Ta sẽ xem rằng số lớn hơn là số mà
có lớp dưới lớn hơn. Nói chính xác hơn ta
sẽ xem  >  nếu lớp A chứa hoàn toàn
lớp B mà không trùng với lớp đó. (Điều
kiện đó rõ ràng tương đương với điều kiện
buộc lớp B' chứa hoàn toàn lớp A' mà
46
không trùng lớp đó). Dễ kiểm chứng rằng
định nghĩa đó còn đúng cả trong trường
hợp khi một trong các số ,  hay cả hai
đều là số hữu tỉ.
Do đó ta cũng suy ra được khái niệm
"bé thua". Cụ thể là ta nói rằng    trong
và chỉ trong trường hợp   .
Từ định nghĩa ta có thể suy ra rằng
Đối với mỗi cặp số thực  và  sẽ có
một và chỉ một trong các hệ thức :
 =, ,  .
Tiếp đó:
  .
từ    ,   
suy ra
Rõ ràng ta cũng có:
47
từ    ,    ,
thì
  .
Cuối cùng ta chứng minh hai điều
khẳng định bổ trợ mà trong phần trình bày
tiếp theo ta dùng nhiều lần.
Bổ đề 1. Với hai số thực bất kỳ  và 
trong đó  > , luôn luôn tìm được một số
thực - và đặc biệt một số hữu tỉ - r nằm
giữa hai số đó:   r   (và thành thử
có một tập vô số các số hữu tỉ như vậy).
Vì  >  thì lớp dưới A của nhát cắt
xác định số  chứa hoàn toàn lớp dưới B
của số  mà không trùng với B. Vì vậy
trong A tìm được số hữu tỉ r mà không bị
48
chứa trong B và thành thử buộc B' ; đối
với số đó
 r
(dấu bằng có thể có chỉ khi  là hữu tỉ).
Nhưng vì trong A không có số lớn nhất thì
trong trường hợp cần thiết bằng cách tăng
số r lên ta có thể bỏ dấu bằng.
Bổ đề 2. Giả thử cho hai số thực  và
. Nếu đối với số hữu tỉ e > 0 bất kì mà
các số  và  đều cùng nằm giữa các cận
hữu tỉ:
s '    s , s'    s
trong đó hiệu các cận đó bé thua e:
s '− s  e
49
thì các số  và  phải bằng nhau.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng
phản chứng. Giả thử chẳng hạn  > .
Theo bổ đề 1 giữa  và  có thể đặt hai
số hữu tỉ r và r' > r:
  r'  r  
Khi đó, đối với bất kỳ hai số s và s' mà 
và  nằm giữa chúng thì rõ ràng nghiệm
đúng bất đẳng thức.
s'  r '  r  s
do
đó
s '− s  r '−r  0 ,
nhưng như vậy hiệu
s'− s
không thể làm
bé thua chẳng hạn số e = r '− r , trái với
50
giả thiết của bổ đề. Mâu thuẫn đó chứng
minh bổ đề.
4. Biểu diễn số thực bằng phân số
thập phân vô hạn. Ta nói đến cách biểu
diễn mà có phần phân số (phần định trị) là
dương còn phần nguyên có thể dương âm,
hay bằng không.
Thoạt tiên ta giả thử số thực  đang xét
không phải là số nguyên mà cũng không
phải là số thập phân hữu hạn. Ta sẽ tìm
xấp xỉ thập phân của nó. Nếu nó xác định
nhát cắt A A' thì trước hết dễ thấy rằng
trong lớp A có thể tìm được số nguyên M
còn trong lớp A' có thể tìm được số
nguyên N  M . Bằng cách thêm vào M
51
một đơn vị ta sẽ được hai dãy số nguyên
C và C + 1 sao cho
C    C +1
ở đây C có thể dương, âm hay bằng không.
Tiếp đó nếu chia khoảng giữa C và
C + 1 thành mười phần bằng nhau bởi các
số:
C, 1 ; C, 2 ; ... ; C, 9
thì  sẽ rơi vào một (và chỉ một) khoảng
1
con đó và ta sẽ được hai số khác nhau 10
1
: C, c1 và C, c1 + 10 sao cho
C , c1    C , c1 +
1
10
52
Tiếp tục quá trình đó nữa, sau khi xác
định n - 1 số c1 , c2 ,...,cn−1 ,... là xác
định số thứ tự n , cn bởi các bất đẳng thức
1
C , c1c 2 ...c n    C , c1c 2 ...c n + n
10
.
(1)
Như vậy trong quá trình tìm xấp xỉ thập
phân của số  ta đã lập được số nguyên C
và một chuỗi vô hạn các chữ số
c1 , c2 ,...,cn ,.... Phân số thập phân lập nên
bởi chuỗi đó tức ký hiệu
C, c1c2 ...cn ...
(2)
có thể xem là một biểu diễn của số thực .
Trong trường hợp ngoại lệ khi  là số
nguyên hay nói chung là phân số thập
53
phân hữu hạn thì có thể bằng cách tương
tự xác định liên tiếp số C và các chữ số
c1 , c2 ,...,cn ,... nhưng lại xuất phát từ hệ
thức tổng quát hơn (1)
1
C , c1c 2 ...c n    C , c1c 2 ...c n + n
10
.
(1a)
ấy là vì đến một lúc nào đó số  sẽ trùng
với một đầu mút của khoảng chứa nó, mút
bên trái hay bên phải là tuỳ ý ta; bắt đầu
từ lúc đó, tương ứng trong (1a) về bên phải
hay bên trái sẽ luôn luôn có dấu bằng. Tuỳ
theo khả năng nào xảy ra mà các chữ số
tiếp theo sẽ bằng không tất cả hay bằng
chín tất cả. Như vậy khi đó số  có cách
54
biểu diễn kép: một cách có 0 tuần hoàn,
một cách có chín tuần hoàn, chẳng hạn
2,718 = 2,718000 ... = 2,717999
...,
- 2,718 = 3, 282 = 3, 282000 ...
= 3, 281999 ...
Hiệu của hai xấp xỉ thập phân
C , c1c2 ...cn và
C , c1c 2 ...c n +
1
10 n
1
mà phần trội hay hụt, bằng 10 n , khi n tăng
có thể làm bé thua số hữu tỉ e > 0 bất kỳ.
Thật vậy vì chỉ có một số hữu hạn các số
tự nhiên không vượt quá
1
e
thì bất đẳng
55
1
thức 10  e hay bất đẳng thức tương
n
1
e
n
đương với nó 10
có thể nghiệm
đúng chỉ đối với một số hữu hạn các giá
trị của n; còn đối với những số n còn lại
thì
1
e
n
.
10
Điều nhận xét đó, do bổ đề 2, cho phép
kết luận rằng số  khác số , không thể
thoả mãn tất cả những bất đẳng thức (1)
hoặc (1a) như số , và do đó  có biểu
diễn dưới dạng phân số thập phân vô hạn
khác với biểu diễn của số .
56
Do đó đặc biệt ta thấy rõ ràng biểu diễn
của một số không bằng phân số thập phân
hữu hạn nào cả sẽ không chứa số không
và không chứa số chín một cách tuần hoàn
vì rằng mỗi phân số chứa số không hoặc
số chín một cách tuần hoàn rõ ràng sẽ biểu
diễn một phân số thập phân hữu hạn.
Có thể chứng minh rằng nếu lấy tuỳ ý
một phân số vô hạn (2) thì tồn tại số thực
 mà có biểu diễn là phân số (2). Rõ
ràng chỉ cần lập số  sao cho nghiệm
đúng tất cả các bất đẳng thức (1a). Muốn
vậy bằng cách đưa các ký hiệu tắt
Cn = C, c1c2 ...cn
Cn' = C , c1c2 ...cn +
1
10 n
và
,
57
ta nhận thấy rằng, mỗi phân số Cn bé thua
'
C
mỗi phân số m (không phải chỉ với
mà
cả với m < n hoặc m > n). Bây giờ ta lập
nhát cắt trong phạm vi các số hữu tỉ, ta xếp
vào lớp trên A' những số hữu tỉ a' lớn hơn
m=n
Cm' )
mọi (chẳng hạn tất cả các số
và xếp
vào lớp dưới A tất cả các số còn lại (chẳng
Cn
hạn các số C n ). Dễ kiểm chứng rằng đó
quả thật là một nhát cắt; nó xác định một
số thực  mà ta sẽ tìm.
Thật vậy vì  là số nằm trên biên của
hai lớp thì đặc biệt suy ra:
Cn    C m' .
Vậy từ bây giờ bạn đọc có thể hình
dung các số thực như là các phân số thập
58
phân vô hạn. Trong giáo trình phổ thông
ta đã biết rằng mỗi phân số tuần hoàn vô
hạn biểu diễn một số hữu tỉ và ngược lại
mỗi số hữu tỉ đều khai triển được thành
phân số tuần hoàn. Như vậy các phân số
vô hạn không tuần hoàn có thể xem là biểu
diễn của các số vô tỉ. Biểu diễn đó có thể
xem là điểm xuất phát để lập lý thuyết số
vô tỉ.
Chú ý. Về sau ta phải dùng các số hữu
tỉ a và a' xấp xỉ số thực :
a    a'
mà hiệu của chúng bé thua một số hữu tỉ
bé tuỳ ý e > 0. Đối với số hữu tỉ  sự tồn
tại các số a và a' là rõ ràng; còn đối với số
59
vô tỉ  thì dùng làm a và a' có thể lấy
chẳng hạn các xấp xỉ thập phân C và C với
n khá lớn.
5. Tính liên tục của tập số thực. Bây
giờ ta xét đến một tính chất rất quan trọng
của tập tất cả các số thực làm cho tập số
thực khác về căn bản so với tập số hữu tỉ.
Khi xét các nhát cắt trong tập số hữu tỉ ta
đã thấy rằng có khi đối với nhát cắt trong
tập số đó không có số nằm trên biên mà
tại đó có thể xem là xảy ra nhát cắt. Chính
tính không đầy đủ đó của tập số hữu tỉ, và
những chỗ khuyết trong tập số hữu tỉ lại là
căn cứ để đưa ra các số mới ấy là các số
vô tỉ. Bây giờ ta sẽ xét các nhát cắt trong
n
'
m
60
tập tất cả các số thực. Nhát cắt đó ta sẽ
hiểu là sự chia tập đó thành hai tập không
rỗng A, A' mà:
1o. Mỗi số thực rơi vào một và chỉ một
tập A, A' và ngoài ra:
2o. Mỗi số  của tập A bé thua mỗi số
' của tập A' .
Nảy ra vấn đề: Có phải đối với nhát cắt
đó - trong tập số thực - luôn luôn có số
nằm trên biên sinh ra nhát cắt đó không
hay là trong tập đó có những chỗ khuyết
(mà có thể dùng làm căn cứ để lại đưa
thêm được các số mới)?
Nhưng người ta chứng minh được rằng
những chỗ khuyết đó thực ra không có.
61
Định lý cơ bản (của Đêđơkin). Đối
với mỗi nhát cắt A/A' trong tập số thực
tồn tại một số thực  sinh ra nhát cắt đó.
Số  đó sẽ là: 1) hoặc số lớn nhất trong
lớp dưới A, 2) hoặc số bé nhất trong lớp
trên A' .
Tính chất đó của tập số thực được gọi
là tính đầy đủ của nó - còn gọi là tính
liên tục hay tính trù mật.
chứng minh. Ta ký hiệu A là tập mọi số
hữu tỉ thuộc A, còn A' là số hữu tỉ thuộc
A'. Dễ thấy rằng các tập A và A' lập nên
một nhát cắt trong tập mọi số hữu tỉ.
Nhát cắt
A A'
đó xác định một số thực .
Nó cần phải rơi vào một trong các lớp A,
62
A' ; ta giả thử rằng  rơi chẳng hạn vào
lớp dưới A và chứng minh rằng khi đó sẽ
xảy ra trường hợp 1) mà cụ thể  là lớn
nhất trong lớp A. Thật vậy, nếu không như
vậy thì sẽ tìm được một số o khác của lớp
đó mà lớn hơn . Dựa theo bổ đề 1 sẽ có
một số hữu tỉ r giữa o và :
o  r   ,
r sẽ thuộc lớp A và thành thử cũng
thuộc lớp A. Ta đi đến mâu thuẫn: số hữu
tỉ r thuộc lớp dưới của nhát cắt xác định
số  lại lớn hơn số đó! Mâu thuẫn đó
chứng minh điều ta khẳng định.
63
Lý luận tương tự sẽ chứng tỏ rằng nếu
 rơi vào trong lớp trên A' thì sẽ xảy ra
trường hợp 2).
chú ý: Không thể đồng thời trong lớp
A tồn tại số lớn nhất và trong lớp A'; tồn
tại số bé nhất; chứng minh điều đó cũng
giống như đối với nhát cắt trong phạm vi
các số hữu tỉ (nhờ bổ đề 1).
6. Cận của tập số. Ta sẽ dùng định lý
cơ bản 5 để thiết lập ở đây một số khái
niệm đóng vai trò quan trọng trong giải
tích hiện đại. Ta cần những khái niệm đó
khi xét các phép toán trên tập số thực.
64
Ta xét một tập vô hạn *) tuỳ ý các số
thực; nó có thể cho một cách bất kỳ.
Những tập như vậy chẳng hạn là tập các
số tự nhiên, tập các phân số thực sự, tập
tất cả các số thực nằm giữa 0 và 1, tập các
nghiệm của phương trình
sin x =
1
2,
v.v ...
Số bất kỳ của tập ta ký hiệu là x, vậy x
là ký hiệu điển hình cho các số của tập;
còn tập các số x ta ký hiệu là
X = x.
Nếu đối với tập x đang xét, có một
số M sao cho mọi x  M thì ta nói rằng tập
của ta là bị chặn trên (bởi số M); còn số M
trong trường hợp đó là cận trên của tập x.
*)
Tất cả những điều nói dưới đây cũng đúng cho các tập hữu hạn nhưng trường hợp đó không có gì hay
65
Chẳng hạn tập các phân số thực sự bị chặn
trên bởi số đơn vị hoặc bởi số lớn hơn đơn
vị, dãy các số tự nhiên thì không bị chặn
trên.
Tương tự nếu tìm được số m sao cho
mọi x  m thì ta nói tập x bị chặn dưới
(bởi số m) còn số m thì gọi là cận dưới của
tập x. Chẳng hạn dãy số tự nhiên bị chặn
dưới bởi số 1 hay bởi số bất kỳ bé thua 1;
tập các phân số thực sự bị chặn dưới bởi
số 0 hoặc bởi số âm bất kỳ.
Tập bị chặn trên (dưới) có thể bị chặn
dưới (trên) hoặc không. Chẳng hạn tập các
phân số thực sự bị chặn trên và dưới còn
66
dãy số tự nhiên thì bị chặn dưới nhưng
không bị chặn trên.
Nếu tập không bị chặn trên (dưới) thì
dùng làm cận trên (dưới) có thể lấy số suy
rộng + (-  ) làm cận trên (dưới). Các
dấu + và -  đọc là cộng vô cùng và trừ
vô cùng. Đối với các số suy rộng hoặc vô
cùng ta sẽ xem rằng
−   + và −     +
với bất kỳ số thực (hữu hạn) .
Nếu tập bị chặn trên tức có cận trên
hữu hạn M thì nó sẽ có vô số cận trên (vì
chẳng hạn số bất kì lớn hơn M rõ ràng
cũng là cận trên). Trong tất cả các cận
trên, đặc biệt lý thú là cận trên bé nhất mà
67
ta gọi là cận
trên đúng. Tương tự nếu
tập bị chặn dưới thì số lớn nhất trong tất
cả các cận dưới ta sẽ gọi là
cận dưới
đúng. Chẳng hạn đối với tập tất cả phân
số thực sự, các cận dưới và trên đúng lần
lượt là 0 và 1.
Nảy ra vấn đề: phải chăng đối với mỗi
tập bị chặn trên (dưới) đều có cận trên
(dưới) đúng ? Thật vậy, vì trong trường
hợp đó có vô số cận trên mà trong tập vô
số các số không phải luôn luôn có số lớn
nhất hay bé nhất *) thành thử tồn tại một
số lớn nhất (bé nhất) trong tất cả các cận
*)
Chẳng hạn trong tất cả các phân số thực sự không có phân số lớn nhất và bé nhất.
Định lý đó được phát biểu đầu tiên vào năm 1817 (chỉ khác thuật ngữ) do nhà triết học và toán học Tiệp
Khắc Beena Bônxanô (1781 - 1848). Chứng minh chặt chẽ các định lý đó chỉ có thể làm sau khi đã chính xác hoá
khái niệm số thực.
**)
68
trên (dưới) của tập đang xét là điều cần
phải chứng minh.
Định lý. Nếu tập X = x bị chặn trên
(dưới) thì nó có cận trên (dưới) đúng**).
chứng minh. Ta lý luận cho cận trên.
Ta xét hai trường hợp:
1o. Trước hết giả thử rằng trong tất cả
các số x của tập X tìm được số lớn nhất x .
Khi đó tất cả các số của tập sẽ thoả mãn
bất đẳng thức x  x tức x sẽ là cận trên
đối với x. Mặt khác x thuộc X ; thành thử
đối với bất kỳ cận trên M đều nghiệm đúng
bất đẳng thức x  M. Do đó ta kết luận
rằng x là cận trên đúng của tập x.
69
2o. Bây giờ giả thử trong t ất cả các số
x của tập X không có số lớn nhất. Ta
hãy lập nhát cắt trong phạm vi tất cả các
số thực như sau. Ta xếp vào lớp A' tất cả
các
cận trên ' của tập X còn xếp vào lớp dưới
A tất cả các số thực  còn lại. Với cách
chia đó, tất cả các số x của tập X sẽ rơi vào
lớp A vì theo giả thiết không có số nào là
số lớn nhất. Như vậy cả hai lớp A và A'
đều không rỗng. Cách chia đó quả thật là
một nhát cắt vì tất cả các số thực được
phân thành hai lớp, và mỗi số thuộc lớp A'
lớn hơn số bất kỳ thuộc lớp A. Theo định
lý cơ bản của Đêđơkin [5] cần phải có một
70
số thực  sinh ra nhát cắt. Tất cả các số x
mà thuộc lớp A đều không vượt quá số
"nằm trên biên"  đó tức  là cận trên của
x và thành thử nó thuộc lớp A' và là số bé
nhất trong A' . Như vậy  là số bé nhất
trong tất cả các cận trên nên nó là cận trên
đúng của tập X = x.
Phần thứ hai của định lý (về sự tồn tại
của cận dưới đúng) được chứng minh
hoàn toàn tương tự.
Nếu
*
M là cận trên đúng của tập số
X = x thì đối với mọi số x ta có
x  M *.
71
Bây giờ ta lấy số  tuỳ ý bé thua M * .
Vì M * là số bé nhất trong các cận trên thì
số  quả thật không phải là cận trên của
tập X tức tìm số x' thuộc X sao cho
x'   .
Hai bất đẳng thức đó đặc trưng hoàn
*
M
toàn cận trên đúng
của tập X .
Tương tự cận dưới đúng m* của tập X
được đặc trưng bởi điều rằng đối với mọi
x
x  m*
và bất cứ số  nào lớn hơn m* đều có số x
thuộc X sao cho
x' '  
72
Đối với cận trên đúng M và cận dưới
đúng m* của tập X ta sẽ dùng ký hiệu
*
M* = sup X = supx , m* = inf X = inf x
(theo tiếng Latinh: supremum nghĩa là cái
cao nhất, infimum nghĩa là cái thấp nhất).
Ta để ý đến một kết luận hiển nhiên mà
sau này thường gặp:
Nếu tất cả các số x của một tập nào đó
thoả mãn bất đẳng thức x  M thì supx  M
.
Thật vậy, số M là một trong những cận
trên của tập và vì vậy số bé nhất trong tất
cả các cận trên không vượt quá nó.
Tương tự từ bất đẳng thức x  m ta suy
ra inf x  m .
73
Cuối cùng ta qui ước rằng nếu tập
X = x không bị chặn trên thì ta nói rằng
cận trên đúng của tập đó là + : supx =
+. Tương tự nếu tập X = x không bị
chặn dưới thì ta nói cận dưới đúng của tập
đó là - : ` inf x = - .
74