기초 회로이론 실험
실험 8. 정현파 정상상태
E8-A
A. 목적 및 이론
A0. 목적
이전 실험에서 회로의 응답은 과도 응답과 강제 응답으로 구성된다는 사실을 이해하였다. 그 중 과도
응답의 파형은 회로의 특성방정식에 의존하며, 입력이 실제 결정하는 것은 강제 응답의 파형이다.
그러나 대부분 과도 응답은 빠르게 0 이 되므로, 오실로스코프에서는 입력에 따라서만 달라지는
응답을 관측할 수 있다. 이처럼 과도 상태가 끝난 이후를 정상 상태라고 하며, 이때의 응답을 정상
상태 응답(steady-state response)이라고 한다.
R, L, C, 또는 op amp 로 이루어진 선형 회로에 정현파 전원이 입력되면 이와 동일한 주파수의 정현파를
정상 상태 응답으로 가지며, 이처럼 입출력이 정현파 파형을 갖는 회로를 AC 회로라고 한다. 이 경우
복소수를 이용해 임피던스를 도입하고, 저항 회로에서처럼 Ohm 의 법칙, KVL 과 KCL 에 적용하여
미분방정식보다 더욱 간편하게 정상 상태를 분석할 수 있다.
이번 실험은 이와 같이 정현파가 들어오는 선형 회로의 정상 상태 응답이 동일한 주파수의 정현파임을
이해하고, 정현파 정상 상태를 분석하는 방법을 연습하는 것에 그 목적이 있다. 또한 AC 회로에서
중요한 인자인 공진 주파수에 대해 알아보고, 정상 상태 분석을 바탕으로 회로의 공진 주파수를 직접
찾아볼 것이다.
A1. 이론
(1) 페이저와 임피던스
오일러 공식(Euler’s formula)으로부터 복소수 𝑧는
𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑗𝑟 sin 𝜃 = 𝑟𝑒 𝑗𝜃 = 𝑟∠𝜃
로 다양하게 표현된다(단, 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2 , 𝜃 = arctan(𝑏/𝑎)이다). 따라서
𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = Re{𝐴𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜃) } = Re{𝐴𝑒 𝑗𝜃 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 }
로 쓸 수 있고, 위 식에서 삼각함수의 진폭과 위상각을 나타내는 복소수 𝐴𝑒 𝑗𝜃 (또는 𝐴∠𝜃 )를
페이저(phasor, 위상자)라고 한다. 정현파 전원이 입력되는 AC 회로 내 각 소자의 전압과 전류는 모두
같은 주파수의 정현파를 띠고 있으므로, 각각의 진폭과 위상을 페이저로 나타낼 수 있다.
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기초 회로이론 실험
어떤 소자의 전압과 전류를 각각
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) ,
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
라고 하면, 이들 각각에 대응하는 페이저는
𝐕(𝜔) = 𝑉𝑚 𝑒 𝑗𝜃 = 𝑉𝑚 ∠𝜃,
𝐈(𝜔) = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜙 = 𝑉𝑚 ∠𝜙
이다. 이 소자의 임피던스(impedence) 𝐙(𝜔)는
𝐙(𝜔) =
𝐕(𝜔) 𝑉𝑚 𝑗(𝜃−𝜙) 𝑉𝑚
=
𝑒
=
∠(𝜃 − 𝜙) Ω
𝐈(𝜔) 𝐼𝑚
𝐼𝑚
로 정의되며, 이로부터 유도되는 공식
𝐕(𝜔) = 𝐙(𝜔)𝐈(𝜔)
은
AC
회로에서의
Ohm
의
법칙이라고
불린다.
한편,
임피던스의
역수는
소자의
어드미턴스(admittance)로서, 𝐘(𝜔)로 표기한다.
이를 바탕으로 R, L, C 각각의 임피던스를 유도해보자. 우선 저항은 전압과 전류의 위상이 같고 진폭의
비는 𝑅이므로, 저항의 임피던스는 저항값 𝑅과 같다.
L 에 전류
𝑖𝐶 (𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = Re{𝐴𝑒 𝑗𝜃 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 }
가 흐를 때, L 의 전압 𝑣𝐿 (𝑡)는
𝑣𝐿 (𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖
= −𝐿𝐴𝜔 sin(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝐿𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜃 + 90°) = Re{𝑗𝜔𝐿𝐴𝑒 𝑗𝜃 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 } A
𝑑𝑡
이다. 따라서 𝑖𝐶 (𝑡), 𝑣𝐿 (𝑡)의 페이저는 아래와 같이 표현된다:
𝐈C (𝜔) = 𝐴𝑒 𝑗𝜃 ,
𝐕L (𝜔) = 𝑗𝜔𝐿𝐴𝑒 𝑗𝜃
𝐶에 전압
𝑣𝐶 (𝑡) = 𝐵 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = Re{𝐵𝑒 𝑗𝜃 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 }
이 걸렸을 때, 𝐶의 전류 𝑖𝐶 (𝑡)는
𝑖𝐶 (𝑡) = 𝐶
𝑑𝑣
= −𝐶𝐵𝜔 sin(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝐶𝐵𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜃 + 90°) = Re{𝑗𝜔𝐶𝐵𝑒 𝑗𝜃 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 } A
𝑑𝑡
이다. 𝑣𝐶 (𝑡), 𝑖𝐶 (𝑡)의 페이저는 각각 다음과 같다.
𝐕C (𝜔) = 𝐵𝑒 𝑗𝜃 ,
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𝐈C (𝜔) = 𝑗𝜔𝐶𝐵𝑒 𝑗𝜃
기초 회로이론 실험
앞서 얻은 결과들을 바탕으로, 𝑅, 𝐿, 𝐶의 임피던스는
𝐙R (𝜔) = 𝑅,
𝐙L (𝜔) = 𝑗𝜔𝐿,
𝐙C (𝜔) =
1
𝑗𝜔𝐶
로 정리할 수 있다. 임피던스를 이용하면 저항 회로처럼 임피던스의 직∙병렬 연결, 중첩 원리, Ohm 의
법칙, KVL, KCL, 등가 회로 등의 방법을 적용하여 정현파 정상 상태의 회로를 분석할 수 있으며, 이는
미분방정식보다 훨씬 쉽고 용이하다는 장점이 있다.
한편, 회로의 임피던스 𝐙(𝜔)를 직교 좌표계 상에 표현하면
𝐙(𝜔) = 𝑅 + 𝑗𝑋
로, 여기서 𝑅은 회로의 저항, 𝑋는 회로의 리액턴스(reactance)라고 한다.
(2) 공진주파수
AC 회로의 전체 합성 임피던스는 일반적으로 복소수이며, 그 진폭이나 위상각은 주파수에 따라서
달라진다. 그러나 어떤 주파수에서는 합성 임피던스가 실수가 되면서 전압과 전류의 위상이 같아지는
경우가 있다. 이러한 주파수를 공진 주파수(resonance frequency)라고 한다.
다음과 같은 RLC 공진 회로의 공진 주파수를 찾아보자. AC
회로에 Ohm 의 법칙을 적용하면 전체 임피던스는
𝐙(𝜔) =
𝐕(𝜔)
1
1
= 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 +
= 𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 −
)
𝐈(𝜔)
𝑗𝜔𝐶
𝜔𝐶
가 된다. 따라서
𝜔=
그림 8.1 RLC 직렬 회로
1
√𝐿𝐶
일 때 회로의 리액턴스가 소거되어 회로 전체의 임피던스가 실수가 되기에, 이 주파수가 주어진 회로의
공진 주파수이다.
한편, 임피던스의 역수인 어드미턴스 𝐘(𝜔)는 진폭이
|𝐘(𝜔)| =
1
2
√𝑅2 + (𝜔𝐿 − 1 )
𝜔𝐶
이며, 공진주파수에서 그 값이 최대가 된다. 따라서 공진 주파수의 정현파 입력이 들어올 때 회로에서
가장 센 전류가 흐름을 알 수 있다.
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참고문헌
Richard C. Dorf, James A. Svoboda, "Introduction to Electric Circuits," John Wiley & Sons, 2013.
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A2. 예제
1. 교류 전원의 주파수가 ω 라고 하자. 𝑅, 𝐿, 𝐶 각각의 임피던스를 구하시오.
2. 주어진 회로에 입력되는 교류 전압원의 전압이
𝑣𝑠 = 𝑣0 cos 𝜔𝑡
이고, 이 회로를 구성하는 어떤 소자에 걸린 전압이
𝑣0
√3
cos 𝜔𝑡 +
𝑣 sin 𝜔𝑡
2
2 0
라고 하자. 전원 전압 위상을 기준으로 이 소자의 전압을 페이저로 나타내시오.
𝑣=
3. 저항 𝑅, 인덕터 𝐿, 커패시터 𝐶로 RLC 병렬 회로를 만들었다고 하자.
(1) RLC 병렬 회로 전체에서의 합성 임피던스를 구하시오
(2) RLC 병렬 회로의 공진 주파수를 구하시오.
4. 다음 그림 8.2 의 회로에 대해 물음에 답하시오.
(1) 교류 전원의 주파수가 10 Hz 일 때 합성 임피던스를 𝑅, 𝐿,
𝐶에 대한 식으로 나타내시오.
(2) 주파수가 ω [rad/s]이고 진폭이 𝑣0 인 교류 전압이 회로에
입력될 때, 각 소자에 인가되는 전압의 진폭과 위상차를 구하시오.
그림 8.2 예제 4 의 회로
5. 다음 그림 8.3 과 같은 회로가 주어져 있다. 주파수가
𝜔 [rad/s]이고 진폭이 𝑣0 인 교류 전압이 전원에서 회로에 입력될
때, 𝐶2 양단 전압의 진폭과 위상차를 구하시오.
그림 8.3 예제 5 의 회로
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기초 회로이론 실험
실험 8. 정현파 정상상태
E8-B
B. 모의 실험
B1. 설정
(1) 공진 주파수 찾기
1) 오른쪽 회로를 SPICE 프로그램으로 구현하시오.
2) 소자의 값을 다음과 같이 설정하시오:
𝑅 = 1 kΩ,
𝐿 = 100 mH,
𝐶 = 10 nF
3) 전압원에서 진폭이 1.4 V의 정현파가 입력으로 나올 수
있도록 설정하시오.
4) 시뮬레이션을 진행하시오.
그림 8.4 RLC 직렬 공진 회로
(2) Op Amp 회로의 정현파 정상상태
1) 오른쪽의 회로를 SPICE 프로그램으로 구현하시오.
2) 소자의 값을 다음과 같이 설정하시오:
𝑅1 = 1 kΩ,
𝑅2 = 10 kΩ,
𝑅3 = 470 Ω,
𝑅4 = 10 kΩ,
𝐿 = 100 mH,
𝐶 = 0.1 μF
3) 전압원에서 진폭이 1 V 인 정현파가 회로로 입력될 수
있도록 설정하시오.
4) 시뮬레이션을 진행하시오.
그림 8.5 Op amp 를 이용한
정현파 정상상태 실험 회로
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기초 회로이론 실험
B2. 모의실험 보고서
(1) 공진 주파수 찾기
1) SPICE 상에서 구현된 회로 (1)을 스크린샷으로 캡처하시오.
2) 각 소자들의 임피던스를 이용해 𝑅, 𝐿, 𝐶에 대한 회로 (1)의 공진 주파수 식을 찾으시오.
(여기에서 공진주파수는, 전압과 전류의 위상이 같아지는 주파수로 생각한다.)
3) 1)의 결과를 토대로 소자들의 설정값을 이용하여 공진 주파수를 계산하시오. 그 결과를 기술할 때
단위를 정확하게 명시하시오 (rad/s 또는 Hz 등).
4) 전압원의 주파수를 찾은 공진주파수로 설정하고 모의 실험을 진행해 전압원과 𝑅의 전압 파형을
캡처하시오.
5) 소자의 값을
𝑅 = 1 kΩ,
𝐿 = 10 mH,
𝐶 = 10 nF
𝐿 = 3.3 mH,
𝐶 = 100 nF
𝐿 = 100 mH,
𝐶 = 100 nF
로 설정하고 과정 (3), (4)를 반복하시오.
6) 소자의 값을
𝑅 = 1 kΩ,
로 설정하고 과정 (3), (4)를 반복하시오.
7) 소자의 값을
𝑅 = 1 kΩ,
로 설정하고 과정 (3), (4)를 반복하시오.
(2) Op Amp 회로의 정현파 정상상태
1) SPICE 상에서 구현된 회로 (2)를 스크린샷으로 캡처하시오.
2) 전압원이 회로에 공급하는 AC 전압이
𝑣𝑠 = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡)
일 때, 페이저를 이용하여 op amp 의 출력 전압을 표현하는 𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 , 𝑅4 , 𝐿, 𝐶에 관한 식을
찾으시오.
3) 전원의 주파수를 500 Hz 로 설정하고 모의 실험을 진행하여 전압원의 전압과 op amp 에서
출력하는 전압의 파형을 캡처하시오.
4) 전원의 주파수를 1 kHz로 설정하고 3)에서의 과정을 반복하시오.
5) 전원의 주파수를 2 kHz로 설정하고 3)에서의 과정을 반복하시오.
6) 전원의 주파수를 5 kHz로 설정하고 3)에서의 과정을 반복하시오.
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기초 회로이론 실험
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기초 회로이론 실험
실험 8. 정현파 정상상태
E8-C
C. 실험
C1. 설정
(1) 공진 주파수 찾기
1) 오른쪽 회로를 브레드보드에 구현하시오.
2) 소자들을 다음과 같이 설정하시오:
𝑅 = 1 kΩ,
𝐿 = 100 mH,
𝐶 = 10 nF
3) 회로의 전압원은 함수 발생기를 이용해 1.4 V의 진폭을
갖는 정현파를 입력할 수 있도록 설정하고, 출력은 OFF
상태로 두시오.
4) 전압원의 양단과 𝑅 의 양단에 각각 오실로스코프 채널
1, 2 의 프로브를 연결하시오.
그림 8.6 RLC 직렬 공진 회로
(2) Op Amp 회로의 정현파 정상상태
1) E1-C 의 내용을 바탕으로 LM317 과 가변 저항, 100 Ω
저항을 이용해 약 1.65 V 전압을 만드시오. 형성된 1.65 V
전압을 기준(𝐺𝑁𝐷)으로 하여 실험을 진행하시오.
2) 그림 8.7 의 회로를 브레드보드 상에 구현하시오. Op
amp 의 power supply 전압 𝑣 + , 𝑣 − 는 3.35 V, −1.65 V가
되도록 설정하시오.
3) 소자의 값을 다음과 같이 설정하시오: 𝑅1 = 1 kΩ, 𝑅2 =
10 kΩ, 𝑅3 = 470 Ω, 𝑅4 = 10 kΩ, 𝐿 = 100 mH, 𝐶 = 0.1 μF
4) 회로의 전압원은 함수발생기를 이용하여 진폭이 1 V 인
그림 8.7 Op amp 를 이용한
정현파가 회로로 입력될 수 있도록 설정하고, 출력은 OFF
정현파 정상상태 실험 회로
상태로 두시오.
5) 전압원의 양단과 𝑅2 의 양단에 각각 오실로스코프 채널 1,
2 의 프로브를 연결하시오.
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기초 회로이론 실험
C2. 실험 보고서: 실험 8. 정현파 정상상태
일시:_______________
학번: __________________
담당교수:__________
이름:________________
실험조:__________
(1) 공진 주파수 찾기
1) 브레드보드 상에서 구현된 회로(1)를 카메라로 촬영한다.
2) 구현한 회로의 공진주파수를 찾아 전원의 주파수로 설정하고 함수발생기를 ON 하여 실험을
수행한다. 오실로스코프의 파형을 촬영하고, 찾아낸 공진주파수를 명시하여 이론적으로
계산한 값과 비교하시오.
3) 소자들의 값을 𝑅 = 1 kΩ, 𝐿 = 10 mH, 𝐶 = 10 nF로 바꾸고 2)의 과정을 반복하시오.
4) 소자들의 값을 𝑅 = 1 kΩ, 𝐿 = 3.3 mH, 𝐶 = 100 nF로 바꾸고 2)의 과정을 반복하시오.
5) 소자들의 값을 𝑅 = 1 kΩ, 𝐿 = 100 mH, 𝐶 = 100 nF 바꾸고 2)의 과정을 반복하시오.
(2) Op Amp 회로의 정현파 정상상태
1) 브레드보드 상에서 구현된 회로 (1)을 카메라로 촬영한다.
2) 전원의 주파수를 500 Hz 로 설정하고 함수발생기를 ON 하여 실험을 수행한다. 오실로스코프에
나타난 파형을 촬영하고, Op Amp 출력 전압의 진폭, 전원 전압과의 위상차를 측정하여
이론적으로 계산한 결과와 비교하시오.
3) 전원의 주파수를 1 kHz 로 설정하고 2)의 과정을 반복하시오.
4) 전원의 주파수를 2 kHz 로 설정하고 2)의 과정을 반복하시오.
5) 전원의 주파수를 5 kHz 로 설정하고, 2)의 과정을 반복하시오.
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