第 ２６ 卷第 ２ 期 ２０１３ 年 ３ 月 高等函授学报（自然科学版） Ｊ ｏｕ ｒｎａ ｌｏ ｆＨｉ ｒＣｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｅＥｄｕｃ ａ ｔ ｉ ｏｎ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌＳｃ ｉ ｅｎｃ ｅ ｓ） ｇｈｅ ｐｏｎｄｅｎｃ Ｖｏ ｌ． ２６Ｎｏ． ２ ２０１３ · 大学教学 · 从 《西游记 》看中国古代微积分思想 周海兵 （湖北经济学院 法商学院，武汉 ４３０２０５） 摘 要：中国古代数学对微积分 前 两 阶 段 做 了 出 色 工 作，其 中 许 多 都 是 微 积 分 得 以 创 立 的 关 键。中国已具备了 １７ 世纪发明微 积 分 前 夕 的 全 部 内 在 条 件，已 经 接 近 了 微 积 分 的 大 门。 本 文 就 中国的四大名著之一《西游记》进行分析，从文学作品中看中国古代的微积分思想。 关键词：西游记；无限小；无限大；无穷小量的阶；洛必达法则 中图分类号： ＤＦ７９２ 文献标识码： Ａ 微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念， 文章编号： １００６－７３５３（ ２０１３） ０２－００６６－０３ 贝颠在手中，叫“小！小！小！”即时就小做一个绣 求积的无限 小 方 法，积 分 与 微 分 的 互 逆 关 系。 这 花针儿相似，可 以 揌 在 耳 朵 里 面 藏 下。 这 一 段 话 最后一阶段 是 由 牛 顿、莱 布 尼 兹 完 成 的。 前 两 阶 包含了无限小（最 小 无 内）的 定 义 和 极 限、瞬 时 等 段的工作，欧洲的 大 批 数 学 家 一 直 追 溯 到 古 希 腊 概念。现代微积分中定义 ［２］：以 ０ 为极限的变 量， 的阿基米德都做出了各自的贡献。对于这方面的 称为无穷小量，亦即对于任意给定的正数ε，如 果 工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古 在变量ｙ 的变化过程中，总有那么一个时刻，在那 代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。 个 时刻以后，不等式 ｜ｙ｜＜ε恒成立，则称变量为 公元前 ７ 世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限 无穷小量，即ｌ ｉｍ ｙ ＝０。在这里，对任意给定的一 个小量ε：绣 花 针，其 中 “小！小！小！”是 变 量 金 箍 思想；公元前 ４ 世 纪 《墨 经》中 有 了 有 穷、无 穷、无 限小（最小无内）、无 穷 大 （最 大 无 外）的 定 义 和 极 限、瞬时等概 念。 刘 徽 公 元 ２６３ 年 首 创 的 割 圆 术 求圆 面 积 和 方 锥 体 积，求 得 圆 周 率 约 等 于 ３． １４１６，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代 极限思想的深刻体现。中国古代数学离微积分的 创立只差一步，所 以 吴 文 俊 得 出 结 论：“近 代 数 学 起源于中国数学。”本文拟就中国的四大文学名著 之一《西游记》中看中国古代的微积分思想。 棒的变化过程，总有那么一个时刻，金箍棒可以比 绣花针还小，可 以 揌 在 耳 朵 里 面 藏 下。例 如：函 数 ｌ ｉｍｙ ＝０。 ｙ ＝ ｘ，当 ｘ → ０ 时， ｘ→０ １． ２ 无限大（最大无外） “第 二 回，悟 彻 菩 提 真 妙 理，断 魔 归 本 合 元 神 ［１］”中，“这朵 云，捻 着 诀，念 动 真 言，攒 紧 了 拳， 将身一抖，跳将起来，一觔斗就有十万八千里路”， １ 《西游记》中的微积分思想 １． １ 无限小（最小无内） 孙悟空的觔斗就是一个无穷大量。十万八千里路 “第 三 回，四 海 千 山 皆 拱 伏，九 幽 十 类 尽 除 ［ １］ 名 ”中，悟空近前，舒开手，一把挝起，对众笑道： 达。现代微积分 中 定 义 ［２］：如 果 对 任 意 给 定 的 正 “那时天河镇底 神 珍 有 二 丈 多 长，斗 来 粗 细；被 我 刻，在那个时刻以后，不等式 ｜ｙ｜＞ Ｅ 恒成立，则 挝过一把，意思嫌大，他就小了许多，再教小些，他 称变量为无穷大量，或称变量ｙ 趋于无穷大，记作 又小 了 许 多；再 教 小 些，他 又 小 了 许 多；急 对 天 光 ｌ ｉｍ ｙ ＝ ∞ 。 其中金箍棒在另外一个极限过程中就是一个 看处，上有一行字，乃 ‘如 意 金 箍 棒 一 万 三 千 五 百 斤’。你都站开，等我再叫他变一变着。”他将那宝 收稿日期：２０１２－１２－１１． ６６ 不是 一 个 准 确 的 距 离，表 示 任 意 地 方，都 可 以 到 数 Ｅ，变 量 ｙ 在 其 变 化 过 程 中，总 有 那 么 一 个 时 无穷大 ［１］：猴 王 去 耳 朵 里 拿 出，托 放 掌 上 叫：“大！ 第 ２６ 卷第 ２ 期 ２０１３ 年 ３ 月 高等函授学报（自然科学版） Ｊ ｏｕ ｒｎａ ｌｏ ｆＨｉ ｒＣｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｅＥｄｕｃ ａ ｔ ｉ ｏｎ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌＳｃ ｉ ｅｎｃ ｅ ｓ） ｇｈｅ ｐｏｎｄｅｎｃ 大！大！”即又大做斗来粗细，二 丈 长 短。他 弄 到 欢 Ｖｏ ｌ． ２６Ｎｏ． ２ ２０１３ 法天象地的神通，把腰一 躬，叫 声“长！”他 就 长 的 “∞ ”，我们可以利用 中 值 定 理 推 导 出 一 个 求 未 定 ∞ 式极限的法 则 ——— 洛 必 达 法 则，去 求 解。在 这 里 高万丈，头 如 泰 山，腰 如 峻 岭，眼 如 闪 电，口 似 血 “孙悟空金箍棒”和“太子六般兵”都是无穷大，他 盆，牙如剑戟；手中那棒，上抵三十三天，下至十八 （ ｘ） ＇（ ｘ） 们比较的结 果ｌ ｉｍ ｆ（ ）＝ ｆ（ ）＝ Ａ，是 一 个 常 ｘ→ａ ｇ ｘ ＇ｘ ｇ 喜处，跳上桥，走出洞外，将宝贝攥在手中，使一个 层地狱，把 那 些 虎 豹 狼 虫，满 山 群 怪，七 十 二 洞 妖 王，都唬得磕头礼拜，战兢兢魄散魂飞。例如：对同 一个函数 ｙ ＝ ｘ，当 ｘ → ∞ 时， ｌ ｉｍｙ ＝ ∞ 。 ｘ→ ∞ １． ３ 无穷小量的阶 “第五十九回，唐 三 藏 路 阻 火 焰 山，孙 行 者 一 调芭蕉扇 ［１］”中，行者见他闭了门，却就弄个手段， 拆开 衣 领，把 定 风 丹 噙 在 口 中，摇 身 一 变，变 作 一 个蟭蟟 虫 儿，从 他 门 隙 处 钻 进。 只 见 罗 刹 叫 道： “渴了，渴了！快 拿 茶 来！”近 侍 女 童，即 将 香 茶 一 壶，沙沙的满斟一碗，冲起茶沫漕漕。行者见了欢 喜，嘤的 一 翅，飞 在 茶 沫 之 下。 公 主 腹 中 疼 痛 难 忍。现代微积分中定义 ［２］：设， β 是同一过程中的 数，旗鼓相当。 但在“第 七 回，八 卦 炉 中 逃 大 圣 五 行 山 下 定 心猿 ”中，佛祖道：“我与 你 打 个 赌 赛：你 若 有 本 ［ １］ 事，一筋斗 打 出 我 这 右 手 掌 中，算 你 赢，再 不 用 动 刀兵苦争 战，就 请 玉 帝 到 西 方 居 住，把 天 宫 让 你； 若不能打出 手 掌，你 还 下 界 为 妖，再 修 几 劫，却 来 争吵。”那大 圣 闻 言，暗 笑 道：“这 如 来 十 分 好 呆！ 我老孙一筋斗去十万八千里。他那手掌，方圆不满 一尺，如何跳 不 出 去？”却 最 终 被 佛 祖 翻 掌 一 扑， 把这猴王推出西天 门 外，将 五 指 化 作 金 木 水 火 土 五座联山，唤名“五 行 山”，轻 轻 的 把 他 压 住，再 也 无法起身。在这里：大圣心想“筋 斗”是 无 穷 大，例 两 个无穷小量。如果ｌ ｉｍ α ＝０，则称β是比α 较高 β 阶 无穷小量，记作β＝ο（ ｉｍ α ＝ｃ≠０（ ｃ α）。如果ｌ β 为 常量），则称β 与α 是同阶无穷小量，特别当ｃ＝ １ 时，称β 与α 是等价无穷小量，记作α ～β。如果 如幂函数 ｙ ＝ ｘ，即使无穷大的距离 ｙ ＝ｌ ｎｘ，也 ｌ ｉｍ α ＝ ∞ ，则称β 是比α 较低阶无穷小量。在这 β “ 里， 门隙”和“茶沫”是 古 人 认 为 的 小 量，悟 空 变 ２ 中国古代数学的微积分思 想 在 文 学、哲 学 方 面 成的“蟭蟟虫儿”可以“从他门隙处 钻 进”，可 以 在 “茶沫之下”不 被 发 现，说 明 行 者 在 这 一 过 程 中， 是“门隙”和“茶 沫”的 高 阶 无 穷 小 量 或 同 阶 无 穷 小量。 １． ４ 无穷大量的比较 “第 四 回，官 封 弼 马 心 何 足，名 注 齐 天 意 未 宁 ［１］”中，六臂哪吒太子，天生美石猴王，相逢真对 手，正遇本源流。苦争数合无高下，太子心中不肯 休，把那六件兵器多教变，百千万亿照头丢。猴王 不惧呵呵笑，铁棒翻腾自运筹。以一化千千化万， 满空乱舞赛 飞 虬。 三 太 子 与 悟 空 各 骋 神 威，斗 了 ｌ ｎｘ ∞ 是ｌ ｉｍ ＝０（ 型）。但不知佛法无边，“佛祖手 ｘ→ ∞ ｘ ∞ ｘ 掌”也是无穷大，例如函数 ｙ ＝ｅｘ ， ｌ ｉｍ ｘ ＝０，最 ｘ→ ∞ｅ 终被压在“五行山”下。 的反映 数学是中国 古 代 科 学 中 一 门 重 要 的 学 科，特 别是 １３ 世纪 ４０ 年代到 １４ 世纪初，在主要领域都 达到了中国 古 代 数 学 的 高 峰。 林 群 院 士 说，在 基 础研究领域，取得 重 大 突 破 或 者 产 生 原 始 性 创 新 并不是一朝一夕 的 事 情，任 何 一 个 重 大 突 破 都 是 通过长时间的积累。中国古代数学的微积分思想 必然也在文学、哲学方面的有所反映。 ２． １ 战国时期的百家争鸣 战国时期的百 家 争 鸣 促 进 了 数 学 的 发 展，尤 其是对于 正 名 和 一 些 命 题 的 争 论 直 接 与 数 学 有 关。名家提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 个三十回合。那太子六般兵，变做千千万万；孙悟 等命题。而墨家则 不 同 意 “一 尺 之 棰”的 命 题，提 空金箍棒，变作万万千千。半空中似雨点流星，不 出一个“非半”的 命 题 来 进 行 反 驳：将 一 线 段 按 一 分胜负。关于“未 定 式”，两 个 无 穷 小 量 之 比 的 极 半一半地无限分 割 下 去，就 必 将 出 现 一 个 不 能 再 限或 两 个 无 穷 大 量 之 比 的 极 限，记 作 “０ ”或 ０ 分割的“非半”，这 个 “非 半”就 是 点。 名 家 的 命 题 论述了有限长度 可 分 割 成 一 个 无 穷 序 列，墨 家 的 ６７ 第 ２６ 卷第 ２ 期 ２０１３ 年 ３ 月 高等函授学报（自然科学版） Ｊ ｏｕ ｒｎａ ｌｏ ｆＨｉ ｒＣｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｅＥｄｕｃ ａ ｔ ｉ ｏｎ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌＳｃ ｉ ｅｎｃ ｅ ｓ） ｇｈｅ ｐｏｎｄｅｎｃ Ｖｏ ｌ． ２６Ｎｏ． ２ ２０１３ 命题则指出了这种无限分割的变化和结果。 科 学 日 渐 衰 落，在 微 积 分 创 立 的 最 关 键 一 步 落 ２． 老子的《道德经》 伍了。 老子的《道德经》中，“合抱之木，生于毫末；九 上世纪 ７０ 年代初，吴文俊开始研读中国数学 层之台，起于累土；千里之行，始于足下”。《老子》 史。中国古代数学曾有过辉煌的历史，直到 １４ 世 认为，任何事物在其发展中，都要向相反的方面转 纪，在许多数学领域都保持西方望尘莫及的水平。 化，这是一个逐渐的过程，必须经过一定时间的量 但是，西方一些数 学 史 家 不 了 解 也 不 承 认 中 国 古 的积累，才能使其性质发生变化，任何事物的发展 代数学的光辉成就，将其排斥于“数学主流”之外。 都有一个从小到大的过程。这蕴含了定积分的微 吴文俊对此作了正本 清 源 的 研 究。１９７５ 年，他 撰 元法思想。 写了《中国古代数 学 对 世 界 文 化 的 伟 大 贡 献 》，文 ２． ２ 诗句 中详 细 列 举 在 代 数、几 何、三 角、解 析 几 何 和 微 积 李白的诗句“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际 分等学科的发现 和 创 立 过 程 中，中 国 传 统 数 学 所 流”来比喻极 限 的 动 态 过 程。 抽 象 的 极 限 在 这 里 起的重大作用，吴文俊认为：近代数学之所以能够 具体化了，使得人 们 感 到 一 种 由 数 学 联 想 带 来 的 发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希腊的数 愉悦。另一个有关数量变化的意境是“无界”。宋 学，决定数学历史 发 展 进 程 的 主 要 是 中 国 的 数 学 朝叶绍翁的《游园 不 值》：“春 色 满 园 关 不 住，一 枝 而非希腊的数学。 红杏出墙来”，生动且贴切地描述了无界变化的状 四、结语 态：无论园子有多大，红杏都会出墙，即至少有“一 清代诗人袁枚在 《随 园 诗 话》里 写 到 “学 如 箭 枝”红杏不能被围住。“关不住”是关键词，无界就 镞，才如弓弩，识 以 领 之，方 能 中 鹄”。与 知 识、能 是无法将数列“关住”的意思。 力相比，数学 思 想 才 是 最 重 要 的。 我 们 一 定 不 能 ３ 中国古代数学的重大作用 将数学淹没在形 式 主 义 的 海 洋 里，而 应 当 将 类 似 根据中国古代 数 学 发 展 的 特 点，可 以 分 为 五 于文中提到的一 些 数 学 与 文 学 的 素 材，加 工 成 为 个时期：萌芽、体系的形成、发展、繁荣和中西方数 数学教育的 内 容，然 后 再 传 授 给 学 生。 这 就 要 求 学的融合。中国 古 代 数 学 的 高 峰，出 现 了 现 通 称 广大教师在教学 过 程 中 采 用 适 当 的 教 学 方 法，激 贾宪三角形的“开 方 作 法 本 源 图”和 增 乘 开 方 法、 发文学爱好者学 习 数 学 的 兴 趣，提 高 数 学 爱 好 者 “正负开方术”、“大 衍 求 一 术”、“大 衍 总 数 术”（一 的文学素养，并以此来真正地加强文理渗透，实现 次同 余 式 组 解 法 ）、“垛 积 术 ”（高 阶 等 差 级 数 求 其应有的价值。 和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高 次方程一般解法）、“四 元 术”（四 元 高 次 方 程 组 解 参 考 文 献 法）、勾 股 数 学、弧 矢 割 圆 术、组 合 数 学、计 算 技 术 ［ １］ 吴承恩 ．西游记［Ｍ］．岳麓书社 ． ２０１０． 改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的 ［ ２］ 赵树嫄 ．微积分［Ｍ］．中国人民大学出版社 ． ２００９． 杰出成果，中国古 代 数 学 有 了 微 积 分 前 两 阶 段 的 ［ ３］ 吴 文 俊 ．历 史 的 启 迪———第 ２２ 届 国 际 科 学 史 大 会 出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。 中国已具备了 １７ 世 纪 发 明 微 积 分 前 夕 的 全 部 内 在条件，已经 接 近 了 微 积 分 的 大 门。 可 惜 中 国 元 朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建 统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的 ６８ 开幕式致辞［ Ｊ］．科学文化评论 ． ２００５，（ ８）． ［ ４］ 周金才，梁 兮 ．数 学 的 过 去、现 在 和 未 来 ［Ｍ］．北 京： 中国青年出版社 ． １９８２． ［ ５］ 刘 洪 元 ．从 开 圆 术 看 中 国 古 代 数 学 的 微 积 分 思 想 ［ Ｊ］．沈阳大学学报 ． ２００５，（ ４）．