Principios
de Finanzas
con Excel
Simon Benninga
Traducido por - Gabriel Feldman
ic editorial
Principios de
Finanzas con Excel
Simon Benninga
Traductor
Gabriel Feldman
Principios de Finanzas con Excel
© de los textos: Simon Benninga
© de la traducción: Gabriel Feldman
Copyright © Oxford University Press, Inc. 2011, 2006.
Esta traducción de Principles of Finance with Excel, Second Edition by Simon Benninga, fue publicada
originalmente en inglés, bajo acuerdo con Oxford University Press.
1ª Edición
© IC Editorial, 2015
Editado por: IC Editorial
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que pudieran ocurrir. Mediante esta publicación se pretende
proporcionar unos conocimientos precisos y acreditados
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ISBN: 978-84-16433-29-2
Depósito Legal: MA-904-2015
Impresión: PODiPrint
Impreso en Andalucía – España
Nota de la editorial: IC Editorial pertenece a Innovación y Cualificación S. L.
Índice
Prólogo 9
Capítulo 1
Introducción a las finanzas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
¿Qué son las finanzas? 15
Microsoft Excel: ¿por qué este libro y no otro? 17
Ocho principios de finanzas 19
Nota sobre Excel – Construir modelos financieros óptimos 22
Un comentario sobre las versiones de Excel 24
Agregando “GETFORMULA” a su hoja de cálculo 24
Resumen 26
Capítulo 2
El valor del dinero en el tiempo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Concepto General 29
Valor futuro 29
Valor actual 40
Valor actual neto 46
Tasa Interna de Retorno (TIR) 50
¿Qué significa la TIR? Tablas de créditos y amortización de inversiones 54
Cálculo del pago “fijo” anual de un préstamo – función PAGO de Excel 56
La función PAGO puede resolver problemas de valor futuro 58
Ahorrando para el futuro – compramos un coche para Mario
59
Resolver los problemas de ahorro de Mario – tres soluciones
61
Ahorrar para el futuro – problemas más complejos
63
¿Cuánto tiempo lleva pagar un préstamo?
67
Resumen
68
Capítulo 3
¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Concepto general 81
No crea en las tasas de interés publicadas – Tres ejemplos 82
Calcular el costo de un préstamo hipotecario 86
Préstamos hipotecarios con pagos mensuales 90
Préstamo hipotecario: un ejemplo más complejo 91
¿Adquirir o contratar un leasing? 94
Ejemplo de leasing automóvil 97
Capitalización más de una vez al año y la TEA 102
Capitalización y descuento continuos (contenido avanzado) 106
Resumen
109
|3
Capítulo 4
Introducción al presupuesto de capital
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Concepto general 121
La regla del VAN para evaluar inversiones y proyectos 121
La regla de la TIR para evaluar inversiones 123
VAN o TIR. ¿Cuál utilizar? 125
El Criterio “Sí – No”: ¿cuándo las TIR y VAN ofrecen la misma respuesta? 125
¿TIR y VAN producen el mismo ranking de proyectos? 126
Principio de presupuesto de capital: ignore los costos irrecuperables y considere
solo los flujos de fondos marginales 131
Principio de presupuesto de capital: no olvide el efecto de los impuestos.
La inversión en un condominio de Sally y Dave 131
Presupuesto de capital y valor de recupero 139
Principio de presupuesto de capital: no olvide el costo de las oportunidades perdidas
143
¿En casa o subcontratar? Un mini caso para ilustrar el costo de oportunidades perdidas
144
Amortización acelerada
147
Resumen
148
Capítulo 5
Problemas en los presupuestos de capital
1. Concepto general 161
2. Un problema con la TIR: usted no siempre puede saber qué proyectos
son buenos o malos 161
3. Múltiples tasas internas de retorno 164
4. Elegir entre proyectos con diferente vida útil 166
5. Comprar versus contratar leasing cuando los impuestos son importantes 171
6. Principio de presupuesto de capital: pensando en el descuento semianual 174
7. Inflación: tasas de interés y flujos de fondos nominales y reales 183
8. Entendiendo los TIPS 191
9. Utilizar los TIPS para predecir la inflación 195
10. Presupuesto de capital ajustado por inflación
196
11. Resumen
200
Capítulo 6
Elegir una tasa de descuento
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto general 213
Costos del financiamiento como tasa de descuento 215
Costo de capital medio ponderado como el costo de financiamiento de la empresa
219
El modelo de dividendos de Gordon: descontar los dividendos esperados para
obtener la tasa de costo del capital propio de la empresa, rE 223
Aplicar la fórmula de costo de capital propio de Gordon – Courier Corp. 227
Calcular el CCMP para Courier 232
Dos usos del CCMP 235
Resumen 242
Capítulo 7
Usar modelos financieros de planificación para valuación
1.
2.
3.
4.
5.
Concepto general 253
Estado contable inicial para un modelo de planificación financiera 254
Construyendo un modelo de planificación financiera 257
Extender el modelo a 2 años y más 263
FCF: midiendo el efectivo producido por las operaciones de la empresa 265
4|
6. Conciliar los saldos de caja. Estado consolidado de flujos de fondos 268
7. Valuar Whimsical Toenails usando un modelo de flujos de fondos
descontados (FFD) 269
8. Usando la valuación con FFD. Un resumen 274
9. Análisis de sensibilidad 278
10. Sección avanzada: la teoría por detrás del modelo de FFD
281
11. Resumen
284
Capítulo 8
¿Qué es el riesgo?
1. Concepto general 299
2. Características de riesgo de los activos financieros 300
3. Un título libre de riesgo puede ser arriesgado porque tiene un
horizonte a largo plazo 304
4. Riesgos en precios de acciones. El caso McDonald´s 308
5. Contenido avanzado: utilizar retornos con capitalización continua para calcular
las estadísticas anualizadas de los retornos 315
6. Resumen 316
Capítulo 9
Estadísticas para carteras
1. Concepto general 325
2. Estadísticas básicas para los retornos de los activos: media, desviación estándar,
covarianza y correlación 325
3. Covarianza y correlación: dos indicadores estadísticos adicionales 329
4. Media y varianza de una cartera de dos activos 333
5. Usar regresiones 335
6. Contenido avanzado: estadísticas de carteras para múltiples activos 340
7. Resumen 342
Capítulo 10
Retornos de la cartera y la frontera eficiente
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Concepto general 363
Ventajas de la diversificación. Un ejemplo simple 364
De vuelta al mundo real: Kellogg y Exxon 369
Gráficos de los retornos de la cartera 371
La frontera eficiente y la cartera de varianza mínima 376
Efecto de la correlación sobre la frontera eficiente 380
Resumen 383
Capítulo 11
El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto general 401
Resumen del capítulo 402
Portafolios de riesgo y activo libre de riesgo 407
Puntos sobre la CML. Explorar combinaciones de inversión óptimas 412
La CML: resumen 417
Sección avanzada: la Sharpe Ratio y la cartera de mercado M 417
La línea de mercado de títulos (SML) 420
Resumen 424
|5
Capítulo 12
Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el
rendimiento de las inversiones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Concepto general 439
La discusión por la inversión de Jack y Jill 440
Medir el rendimiento de la inversión en el Fondo Fidelity´s Magellan 442
Acciones agresivas versus defensivas 447
La diversificación paga 449
¿Qué dice la investigación académica de finanzas sobre el rendimiento de
las inversiones?
452
7. Otros fondos de índices 453
8. Nuevamente al caso de Jack y Jill. ¿Quién tiene razón? 453
9. Resumen 456
Capítulo 13
La línea de mercado de títulos y el costo de capital
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto general 463
Conceptos financieros tratados en este capítulo 463
El CAPM y el costo de capital de la empresa. Un ejemplo inicial 464
Utilizar la SML para calcular el costo de capital. Calcular los valores
de los parámetros 467
Un ejemplo: Hoteles Hilton 472
Calcular el CCMP utilizando ß del activo, ßactivo 477
¡No lea esta sección! 479
Resumen 480
Capítulo 14
Estructura de capital y el valor de la empresa
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Concepto general 491
El supermercado de Fair City. ¿El financiamiento afecta el precio? 491
Estructura de capital cuando hay impuestos corporativos: ABC Corp 493
Valuar ABC Corp.: el efecto del apalancamiento cuando hay impuestos
corporativos 496
Por qué la deuda es valiosa en Lower Fantasía. La adquisición de una
máquina cosechadora 501
Por qué la deuda es valiosa en Lower Fantasía. Modificar el apalancamiento
de Potfooler Inc. 505
Pregunta de examen de Potfooler, segunda parte 509
Considerar los impuestos personales y los corporativos. El caso de XYZ Corp.
511
Valuar XYZ Corp.: el efecto del apalancamiento cuando hay impuestos
corporativos y personales 517
Comprar una máquina cosechadora en Upper Fantasía
523
Reapalancar Smotfooler Inc., una empresa en Upper Fantasía 526
¿Hay realmente una ventaja de la deuda?
531
Resumen y conclusiones. United Widgets Corp.
533
Capítulo 15
La evidencia sobre la estructura de capital
1. Concepto general 547
2. Resumen de la teoría 549
3. ¿Cómo se financian las empresas? 551
6|
4.
5.
6.
7.
Calcular Beta del activo de la empresa (ßActivo) y CCMP: un ejemplo 554
Calcular Beta del activo, ßActivo, para la industria de comestibles 556
Evidencia académica 557
Resumen 558
Capítulo 16
Política de dividendos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Concepto general 561
La teoría financiera sobre dividendos 566
¡Los impuestos pueden marcar una gran diferencia! 569
Dividendos (satisfacción ahora) versus ganancias de capital (disfrutar después)
573
¿Son los dividendos una señal? 574
¿Qué piensan los ejecutivos de las empresas sobre los dividendos? 575
Resumen 576
Capítulo 17
Introducción a Excel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Concepto general 585
Para comenzar 585
Formatear los números 588
Copiar con referencia absoluta. Construir un modelo más sofisticado 589
Guardar la hoja de cálculo 594
Su primer gráfico con Excel 598
Configuración inicial 599
Usar una función 602
Imprimir 605
Resumen
606
Capítulo 18
Gráficos en Excel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto general 611
Conceptos básicos de gráficos de Excel 611
Uso creativo de las leyendas 615
Gráficos de datos no contiguos 616
Gráficos de línea con títulos en el eje X 617
¿Cuál es la diferencia entre un gráfico de línea y un gráfico de dispersión XY?
618
Títulos que se actualizan 620
Resumen 622
Capítulo 19
Funciones de Excel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto general 629
Funciones financieras 629
Funciones matemáticas 638
Funciones condicionales 645
Funciones de texto 648
Funciones estadísticas 650
Funciones Coincidir e Índice 652
Resumen 653
|7
Capítulo 20
Tablas de datos
1.
2.
3.
4.
5.
Concepto general 663
Un ejemplo simple 663
Resumen: cómo hacer una tabla de datos unidimensional 665
Algunas notas sobre tablas de datos 666
Tablas de datos bidimensionales 669
Capítulo 21
Usar Buscar objetivo y Solver
1.
2.
3.
4.
5.
Concepto general 677
Instalación de Solver 677
Usar Buscar objetivo y Solver: un ejemplo sencillo 678
¿Cuál es la diferencia entre Buscar objetivo y Solver? 681
Configurar la precisión de Solver y Buscar objetivo 683
Capítulo 22
Trabajar con fechas en Excel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Concepto general 689
Conceptos de Excel tratados en este capítulo 689
Ingresar fechas en una hoja 689
Horas en una hoja 691
Funciones de hora y fecha en Excel 693
Las funciones TIR.NO.PER y VNA.NO.PER 694
Un ejemplo más complejo – Calcular fechas de vencimiento de opciones 696
8|
Prólogo
Es para mí un gran placer dar la bienvenida a los lectores de esta traducción de Principles of Finance
with Excel al español. Finanzas es el estudio de la toma de decisiones financieras. Los individuos y las
empresas toman decisiones financieras todos los días, y es importante hacerlo con sabiduría. Principios
de Finanzas con Excel (PFE) le enseñará cómo tomar dichas decisiones financieras –tanto la teoría como
la implementación de la toma de decisiones financieras inteligentes– y cómo expresar sus decisiones
usando Excel.
Aprender Finanzas con Excel sirve para dos propósitos: le enseña una importante materia académica
y práctica (finanzas), y le enseña cómo implementar el análisis financiero utilizando la más importante
herramienta (en la mayoría de los casos, la única) para análisis financiero (Excel). Su conocimiento de
finanzas y de Excel se potenciará trabajando cuidadosamente con los ejemplos y ejercicios en cada
capítulo.
Finanzas es una disciplina muy práctica. La mayoría de los lectores de este libro estudiarán finanzas
no solo para incrementar su comprensión del proceso de valuación, sino también con el fin de obtener
respuestas a problemas prácticos. Usted descubrirá que la diversidad de cálculos requeridos en este libro
no solo le posibilitará obtener respuestas numéricas a importantes problemas (lo que ya por sí mismo
justificaría la orientación a Excel de este libro) sino también profundizará su entendimiento de los conceptos involucrados.
Los archivos que vienen con PFE incluyen los ejercicios y los ejemplos de los capítulos para todo el
libro, por lo que pueden ser fácilmente empleados para autoaprendizaje. Como referencia, los últimos
capítulos del libro tratan los conceptos fundamentales de Excel.
Pre-requisitos. ¿Qué conocimientos previos de Excel se requieren para Principios de Finanzas con Excel?
Este libro le enseñará –además de finanzas– todos los conceptos de Excel necesarios para finanzas.
Sin embargo, no debe esperar que este libro sea un texto completo de Excel. Es aconsejable que, antes
que comience con este material, sepa cómo hacer lo siguiente en Excel (en todo caso, muchos de estos
temas están tratados en el capítulo 17):
■■ Abrir
y guardar libros de Excel.
■■ Usar las funciones básicas de Excel, por ejemplo: Suma ( ) o Promedio ( )…
|9
■■ Formatear
números: A continuación un ejemplo que no está habitualmente explicado en el libro:
■■ Usar
referencia relativa y absoluta al copiar fórmulas.
■■ Construir gráficos básicos en Excel. El modelo de gráfico favorito en PFE es dispersión XY. Usted
debería conocer los aspectos fundamentales para graficar en Excel: poner nombre a los ejes, insertar títulos, formatear ejes.
Conceptos un poco más avanzados de Excel
Los capítulos 18-22 abarcan otros conceptos utilizados en PFE. Usted puede dirigirse a estos capítulos cuando los necesite:
■■ Gráficos
en Excel: Técnicas más avanzas para trabajar con gráficos son explicadas en el capítulo 18.
de Excel: La mayoría de las funciones de Excel necesarias para este material, son explicadas la primera vez que se utilizan. El capítulo 19 es un compendio de dichas explicaciones y
puede resultar útil como referencia.
■■ Tablas de datos: “Tabla de datos” es la jerga de Excel para “análisis de sensibilidad”. La técnica
de tabla de dato es un poco complicada, pero es valioso aprenderla (por algún motivo, las tablas
de datos no se utilizan habitualmente en los cursos introductorios de Excel). A pesar de que los
primeros capítulos de PFE evitan el uso de tablas de datos, su utilización es necesaria en los últimos capítulos del material. El capítulo 20 le enseñará cómo usar tabla de datos.
■■ Buscar objetivo y Solver: Las herramientas de optimización son tratadas en el capítulo 21.
■■ Fechas en Excel: Muchos cálculos en finanzas requieren el uso de fechas. Este tópico está contenido en el capítulo 22.
■■ Funciones
Material complementario de Principios de Finanzas con Excel
En la página www.iceditorial.com en la ficha del libro Principios de Finanzas con Excel, en la parte
inferior podrá encontrar un apartado con el nombre Material complementario, donde podrá descargar
en archivo comprimido tanto un documento de nombre GetFormula.pdf, que deberá leer y seguir sus
instrucciones, y dos carpetas: Excel de los capítulos, donde podrá encontrar los archivos Excel que se han
utilizado en cada uno de los capítulos del libro; y Respuestas de ejercicios, donde aparecerán los archivos
Excel que darán respuesta a los ejercicios de final de cada capítulo.
Cuando usted abre una hoja de cálculo de PFE, observará el siguiente mensaje informándole que hay
una macro adjunta.
10 |
CAP. 2 | 
Este mensaje se refiere a un pequeño programa (en la jerga de Excel: Una “macro”) que actualiza en
forma dinámica la referencia a las celdas, por lo que un resultado como el siguiente retiene automáticamente la referencia a la celda, incluso si usted mueve los valores o agrega filas:
Haciendo clic en Habilitar contenido, usted puede habilitar el contenido de la macro1.
Palabras finales
Estoy inmensamente agradecido a mi traductor, Gabriel Feldman, quien trabajó arduamente para
transformar la edición en inglés de Principles of Finance with Excel en esta edición en español. Sin su
duro trabajo, iniciativa e inteligencia, esta edición no hubiera visto la luz. También quiero agradecer a
Catherine Johnson-Gilbert de Oxford University Press por su asesoramiento. Finalmente, un gran voto de
agradecimiento a IC Editorial, que ha llevado a cabo un trabajo de alta profesionalidad.
Simon Benninga
benninga@gmail.com
1 Hay un documento (GetFormula.pdf) en el Material complementario que muestra cómo insertar dicha macro en cualquier hoja de
cálculo que usted quiera crear.
| 11
Capítulo 1
Introducción a las finanzas
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
¿Qué son las finanzas?
Microsoft Excel: ¿por qué este libro y no otro?
Ocho principios de finanzas
Nota sobre Excel – Construir modelos financieros óptimos
Un comentario sobre las versiones de Excel
Agregando “GETFORMULA” a su hoja de cálculo
Resumen
CAP. 1 | Introducción a las finanzas
1. ¿Qué son las finanzas?
Las finanzas son el estudio de la toma de decisiones financieras. Los individuos y las empresas toman
decisiones financieras todos los días y es importante hacerlo con prudencia. Principios de Finanzas con
Excel trata sobre cómo realizar dicha toma de decisiones. El libro abarca la teoría y la implementación de
decisiones financieras prudentes y cómo expresar dichas decisiones con Excel.
Aprender a tomar decisiones con Excel es útil de cara a dos objetivos: enseña una materia académica
y práctica (finanzas) y muestra cómo implementar el análisis financiero utilizando la herramienta más
importante (en muchos casos, la única) para análisis financiero (Excel).
1.1. Decisiones financieras
La gente constantemente debe tomar decisiones financieras en su vida. Mencionamos aquí ejemplos
de decisiones que examinaremos en este libro:
■■ Cuánto
debería ahorrar para alcanzar un objetivo específico en el futuro. Por ejemplo, usted está
comenzando un plan para ahorrar para su educación superior. ¿Cuánto debería agregar cada mes
para alcanzar el dinero para su objetivo?
■■ Usted está pensando en adquirir una casa y ponerla en alquiler. ¿Cómo debería evaluar dicha
decisión?
■■ Usted tiene algo de dinero ahorrado de su trabajo y quiere invertirlo. ¿Cómo debería elegir su
cartera de inversiones? Los grandes y pequeños inversores deben decidir si invertir en acciones,
bonos u otros activos tales como propiedades inmuebles, obras de arte y oro. También deben decidir cómo elegir las proporciones: qué porcentaje de su cartera de inversiones debería destinar a
acciones (y qué porcentaje en cada acción), qué porcentaje en bonos, propiedades inmuebles y
así sucesivamente.
■■ Cómo debería financiar una compra, un proyecto o cualquier actividad que emprenda. Mencionamos aquí algunos ejemplos: usted está a punto de adquirir un nuevo coche: ¿debería pedir el
dinero al banco o debería aceptar el préstamo “a tasa cero” de la agencia de coches? El inmueble
que está adquiriendo, ¿debería financiarse con hipoteca? Si es así, ¿cuán grande debería ser?
■■ ¿Cuál es el riesgo financiero y cómo debería medirse? El riesgo financiero puede medirse con
herramientas estadísticas. Este libro le mostrará qué herramientas necesita y cómo utilizarlas.
Cuando usted esté entrenado en la aplicación, estará en condiciones de comparar el riesgo de dos
activos o dos inversiones. La comparación de riesgos es crítica en la toma de decisiones financieras
óptimas.
■■ ¿Cuál es el valor razonable de acciones, bonos y otros activos financieros? Este libro le mostrará
cómo calcular el valor de acciones y bonos. También tratará el rol de los mercados financieros en la
incorporación de la información en los precios. Si los mercados financieros lo hacen correctamente, usted no necesitará determinar los valores por su cuenta: usted podrá dejar que los mercados
financieros le digan cuál debería ser el valor.
| 15
Principios de Finanzas con Excel
Con estos ejemplos se ilustra cómo el estudio de las finanzas puede beneficiarle en muchas áreas de
su vida personal, posibilitándole tomar mejores decisiones financieras.
1.2. Decisiones financieras en el ámbito empresarial
Usted solo debe encender el televisor, navegar por internet o leer un diario para tener noticia sobre las
decisiones financieras que se toman a diario en el mundo de los negocios. Algunas de estas decisiones
son enormes y drásticas, como la oferta de Kraft de $16,7 billones para adquirir Cadbury; otras son más
pequeñas, pero no menos importantes.
Las decisiones financieras drásticas como las fusiones y adquisiciones ocupan grandes titulares, pero
hay que tener en cuenta que todas las empresas, grandes o pequeñas, han de tomar decisiones en un
momento dado críticas para “su salud”. Mencionamos algunos ejemplos de decisiones típicas que toman
las empresas:
■■ Una
empresa quiere reemplazar su actual línea de producción por una nueva maquinaria mejorada. La nueva maquinaria cuesta más pero es más específica, ¿debería la empresa adquirir la nueva
máquina o dejar la anterior en funcionamiento?
■■ Una empresa precisa adquirir un tipo particular de máquina, ¿debería aceptar una más económica
con relativamente menor vida útil o una máquina más costosa con mayor durabilidad?
■■ Cuando una empresa quiere desarrollar y producir un nuevo producto, ¿cómo puede integrar los
presupuestos comerciales para el nuevo producto con los requerimientos financieros para su desarrollo y proceso de producción? ¿Cómo puede la empresa afrontar el hecho de que los mayores
costos de desarrollo y producción tendrán lugar antes de que se produzcan los ingresos por la venta
del producto?
■■ ¿Cómo pueden los gerentes financieros de la empresa planificar un nuevo negocio? La planificación financiera puede proporcionar un enfoque sistémico para la toma de muchas decisiones
financieras en un negocio nuevo o actual. Quizás usted está pensando en instalar una lavandería,
está iniciando una inversión inmobiliaria o está pensando en cómo financiar un proyecto de alta
tecnología. En todos los casos, su habilidad para obtener financiación de las entidades financieras
dependerá de su destreza para desarrollar un modelo financiero para el nuevo negocio. Este modelo financiero debe mostrar su idea sobre cómo se desarrollará el proyecto, cuánto equipamiento
necesitará adquirir, cómo financiará las ventas y lo más importante: el modelo financiero proyectará los beneficios del negocio.
■■ Todas las empresas deben decidir cómo financiar sus actividades. Esto es así tanto para conglomerados multinacionales, pequeños negocios familiares o una nueva empresa de taxis que quiera
iniciar, por ejemplo. En todos los casos, alguien debe decidir si pedir prestado el dinero a terceros
o utilizar fondos propios (capital propio, en la terminología de finanzas) para financiar la empresa.
1.3. Maximización de la riqueza y riesgo
Este libro trata principalmente sobre la toma de decisiones financieras razonables. Generalmente, una
decisión financiera razonable es una decisión financiera óptima. Y una decisión financiera óptima lo lleva
a una posición superior a cualquier otra alternativa, incluyendo no haber hecho nada. Los economistas
llaman a este tipo de decisiones financieras de maximización de riqueza. No todo caso de administración
16 |
CAP. 1 | Introducción a las finanzas
de dinero lleva a una situación de maximización de riqueza, algunas veces estaremos frente a un conjunto
de decisiones financieras razonables, acerca del cual tendrá que tomarse una decisión final.
La toma de decisiones financieras razonables o de maximización de riqueza siempre involucra dos
elementos.
■■ Definición
de los parámetros de la decisión: las decisiones financieras siempre pueden ser definidas en términos numéricos. El resultado de una decisión financiera casi siempre depende de los
parámetros de decisión, los datos que definen los resultados de la decisión final.
Ahora, un ejemplo: usted recibe de regalo $100 por su cumpleaños y decide ahorrarlo para las
próximas vacaciones de verano. Tiene dos alternativas: dejar el dinero en su cuenta corriente bancaria o poner el dinero en una caja de ahorros. Los parámetros de esta decisión son los siguientes: el monto que ahorra ($100) y la tasa de interés sobre la cuenta (supondremos que la cuenta
corriente paga 1 % de interés, mientras que la caja de ahorros paga 4 % de interés). El resultado
financiero es que en un año a partir de hoy, usted tendrá $101 si deja el dinero en su cuenta
corriente y $104 si coloca el dinero en la caja de ahorros. Tal decisión es, por supuesto, fácil de
tomar: usted preferirá siempre ganar 4 % antes que 1 % sobre su dinero1.
Este libro le ayudará a distinguir entre los parámetros de las decisiones financieras y los resultados
de las decisiones financieras.
■■ Reconocer los riesgos de las decisiones financieras: las decisiones financieras deberían realizarse
dentro de un esquema que contemple los riesgos asociados a ellas.
Volvamos al ejemplo de $100 que usted intenta ahorrar para sus vacaciones de verano. Adicionalmente a las dos alternativas (1 % en la cuenta corriente y 4 % en la caja de ahorros), su tío José le
sugiere que puede comprar acciones de su nuevo negocio de puestos de comida rápida. Los inversores anteriores en los puestos de comida rápida de José han obtenido un 40 % sobre su inversión.
Si pone su dinero en el negocio de su tío, usted podría obtener $140 a finales de año en lugar
de $104, pero si el puesto de comida rápida no funciona bien, podría perder los $100 invertidos
y quedarse sin nada. El negocio del tío José es mucho más arriesgado que una cuenta bancaria,
a pesar de que algunos inversores hayan obtenido ese 40 %, otros pueden haber perdido todo su
dinero con José. Al comparar una inversión en un negocio de comida rápida con una inversión en
una cuenta bancaria debe tenerse en cuenta la diferencia en el riesgo. Este libro le mostrará cómo
considerar los riesgos inherentes en las decisiones financieras.
2. Microsoft Excel: ¿por qué este libro y no otro?
Hay docenas de textos introductorios de finanzas y muchos de ellos son muy buenos, entonces ¿por
qué éste? en una sola palabra: Excel. Las finanzas comprenden el estudio de la toma de decisiones financieras tratándose, por lo tanto, de un tema que requiere muchos cálculos. En este libro el cálculo se
realiza e ilustra con Excel, la principal herramienta de cálculo en los negocios. Excel brinda flexibilidad
para cambiar los elementos de un ejemplo e, inmediatamente, obtener un nuevo resultado. Utilizaremos
dicha flexibilidad extensamente a lo largo de Principios de Finanzas con Excel.
Las finanzas constituyen una disciplina muy práctica. Muchos de ustedes estarán estudiando finanzas
no solo para incrementar el conocimiento del proceso de valuación, sino también para obtener respuestas
1 Por supuesto que puede haber algunas otras cuestiones a considerar: los saldos en cuenta corriente bancaria están siempre disponibles,
mientras que los saldos en su caja de ahorros quizás tengan que estar depositados por algún tiempo hasta que generen intereses.
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Principios de Finanzas con Excel
a problemas prácticos. Comprobará que los extensos cálculos que forman parte del libro, además de
ayudarle a obtener respuestas numéricas a problemas importantes (aunque ello mismo ya hubiera
justificado la orientación a Excel del libro), contribuirán a que pueda comprender mejor los conceptos
tratados.
Utilizar Excel nos permite analizar muchos más ejemplos de la vida real de lo que sería posible
mediante una calculadora. Su conocimiento de finanzas y Excel se verá enriquecido si trabaja atentamente
con los ejemplos y ejercicios de cada capítulo2.
La mayoría de los estudiantes universitarios acude a un curso de finanzas tras haber realizado algún
curso inicial sobre los aspectos básicos de Excel; en este aspecto, si usted precisa un repaso, los últimos
6 capítulos de este libro cubren los aspectos esenciales de Excel que son utilizados a lo largo del mismo.
Además, encontrará explicaciones de las funciones de Excel y sus aplicaciones a problemas financieros;
y cuando llegue a los temas más complejos usted contará con la ayuda de pequeños cuadros llamados
“Nota sobre Excel” explicando los conceptos más difíciles. Aquí se muestra un ejemplo de dicho cuadro.
Nota sobre Excel
Generalmente, la función de Excel Suma puede ser utilizada para simplificar cálculos. A continuación, un ejemplo basado
en los cálculos de un Estado de Resultados:
Las celdas B7 y B9 utilizan la función Suma para sumar múltiples celdas. Otra alternativa a utilizar Suma en B7 hubiera
sido utilizar la fórmula = B3+B4+B5+B6. Como puede ver, Suma es más conciso.
Versiones de Excel: Excel 2007 Versus Excel 2003 y Excel 2010
Principios de Finanzas con Excel ilustra todos los ejemplos utilizando Excel 2007 y Excel 2010, pero
las hojas de cálculo son totalmente compatibles tanto con Excel 2003 como con la recién llegada Excel
2013.
Un tratamiento un poco más extenso sobre compatibilidades se trata en la sección 5 de este capítulo.
2 Si usted es un estudiante universitario de finanzas, esta combinación de Excel y finanzas también ampliará sus oportunidades laborales.
En la actualidad, Excel es prácticamente la única herramienta financiera utilizada en los negocios.
18 |
CAP. 1 | Introducción a las finanzas
2.1. ¿Cuáles son los prerrequisitos de Excel para este libro?
Para utilizar este libro no se requiere ser un experto en Excel, casi todos los conceptos de Excel necesarios para trabajar en finanzas son explicados en el texto mismo. A pesar de que este libro le enseñará
dichos conceptos, conviene señalar que no se trata de un texto completo sobre Excel. Antes de comenzar
el capítulo 2, usted debería saber cómo hacer lo siguiente en Excel (todos estos aspectos son tratados
en el capítulo 17):
■■ Abrir
y guardar una hoja de cálculo en Excel.
formato a números: puede hacer que los números aparezcan de diferentes formas. En el ejemplo siguiente, el número 2313.88 se muestra de tres maneras diferentes. Usted debería saber
cómo realizar ese cambio en los formatos. En este caso, se ha elegido un formato de la lista que se
despliega de la sección Formato del menú Inicio y se ha indicado el formato adecuado.
■■ Dar
■■ Utilizar
valores absolutos y valores relativos al copiar y en las fórmulas: cuando se copia en Excel,
puede utilizarse un copiado relativo o absoluto. Como se explica en el capítulo 17, el copiado
relativo va cambiando las referencias de las celdas, mientras que el copiado absoluto las deja
firmes.
■■ Construir tablas básicas en Excel para graficar datos. Debería saber cómo asignar nombres a los
ejes, poner títulos a los gráficos, formatear ejes y así sucesivamente.
3. Ocho principios de finanzas
En esta sección veremos ocho principios de consensuados en finanzas. En este momento quizás no los
entienda o no los encuentre totalmente convincentes, pero se mencionan aquí para dar una visión general
de lo que tratan las finanzas. Serán explicados en detalle en el resto de Principios de Finanzas con Excel.
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Principios de Finanzas con Excel
Principio 1: Compre un activo que agregue valor, evite comprar activos que no lo hagan
A un nivel simple, tomar decisiones financieras óptimas tiene que ver con adquirir activos que agregan
valor y evitar aquellos que no lo hacen. Por ejemplo, usted debe decidir si continúa utilizando su fotocopiadora vieja e ineficiente o si compra una nueva más costosa que funcione más rápido, no se rompa
tan frecuentemente y utilice menos tinta y energía. La cuestión financiera sobre estas dos alternativas es
cuál (conservar la anterior o comprar la nueva) agrega mayor valor a su negocio. Para tomar una decisión
sobre cuán valiosas son las cosas (como acciones, bonos, máquinas y empresas), usted debe estar seguro
de que está comparando manzanas con manzanas y naranjas con naranjas. Esto parece un principio fácil
de seguir, sin embargo, al implementarse puede resultar sorprendentemente engañoso.
Principio 2: Los flujos de caja son los reyes
El valor de un activo está determinado por los flujos de efectivo que produce durante su vida. Los
flujos de fondos de un activo constituyen el flujo de fondos después de impuestos que produce en un
determinado momento.
A pesar de que aún es muy pronto en el libro para mostrar el concepto completo sobre la diferencia
entre flujos de caja y beneficios, podemos ofrecer un breve ejemplo introductorio. Suponga que su
pizzería vende $500 de pizzas la noche del jueves y que ese mismo día usted adquirió $300 de
ingredientes. Mirando la registradora al final de la jornada, usted espera encontrar $200, pero en lugar de
ello sorprendentemente encuentra $300. La explicación es la siguiente: de los $500 de pizzas vendidos
usted solo cobró $400, los otros $100 se vendieron en cuenta corriente a una empresa que abona a fin
de mes. De los $300 de ingredientes que compró, solo pagó $100, los otros $200 serán cobrados en
10 días.
Los flujos de caja son diferentes de los beneficios contables o cobranzas. El estado contable de ese
día para la pizzería es de $200, pero el flujo de caja es de $300 ($400 cobrados de las ventas menos
$100 pagados por lo invertido). La diferencia entre ambos es causada por el diferencial de tiempo entre
las entradas y salidas de dinero. (Por supuesto, en 10 días la pizzería tendrá una salida de caja de $200
como consecuencia del pago de los ingredientes).
En finanzas, los flujos de caja son lo único importante. La mayoría de los datos financieros son
proporcionados por los contables, quienes —a pesar de la mala fama de los últimos años— hacen
un muy buen trabajo representado la realidad económica de las actividades de la empresa. Al tomar
decisiones financieras, debemos trasladar la información contable a su equivalente en flujos de caja. En
este sentido, gran parte del trabajo que se hace en finanzas conlleva, en primera instancia, trasladar la
información contable hacia flujos de caja.
Principio 3: La dimensión temporal de las decisiones financieras es importante
Muchas decisiones financieras se relacionan al comparar flujos de caja en diferentes momentos de
tiempo. Por ejemplo, usted paga una nueva fotocopiadora hoy (una salida de caja), pero usted evita una
salida de caja en el futuro (una entrada de caja). Las finanzas están muy vinculadas con el tratamiento
adecuado de dicha dimensión temporal de los flujos de caja.
20 |
CAP. 1 | Introducción a las finanzas
Principio 4: Conozca cómo calcular el costo de las alternativas financieras
Las alternativas financieras son generalmente desconcertantes: ¿es más costoso comprar o alquilar
una fotocopiadora? Cuando su tarjeta de crédito le carga “intereses diarios”, ¿es más caro o más barato
que el banco que le cobra “intereses mensuales”? Al tomar decisiones financieras usted debe conocer
cómo calcular el costo de dos o más alternativas que compiten entre sí. Este libro le enseñará cómo
hacerlo.
Principio 5: Minimice el costo del financiamiento
Muchas decisiones financieras se relacionan con la elección de la alternativa correcta. ¿Debería financiar la fotocopiadora con un préstamo del vendedor o con un préstamo bancario? ¿Debería comprar
un coche o realizar un leasing?
Elegir la alternativa financiera correcta constituye, en muchos casos, una decisión que se toma separadamente de la decisión de inversión: usted debe decidir si comprar la fotocopiadora (la decisión de
inversión) y luego debe decidir si financiarla mediante préstamo bancario o aceptando el financiamiento
“a tasa cero” del vendedor (la decisión de financiación).
Principio 6: Tome en cuenta el riesgo
Muchas alternativas financieras no pueden compararse directamente sin tenerse en cuenta su riesgo.
¿Debería sacar el dinero del banco y colocarlo en el mercado de valores? Por un lado, quienes invierten en
el mercado de valores en promedio ganan más que quienes lo hacen en el banco; por otro lado, un depósito bancario es seguro, mientras que una inversión en acciones es mucho menos segura (más arriesgada).
Principio 7: Los mercados son eficientes e incorporan adecuadamente la información
Los mercados financieros están inundados de información. Al tomar una decisión financiera, ¿cómo
podemos conocer u obtener toda la información que precisamos para tomar una decisión adecuada? La
mala noticia es que probablemente no podamos incorporar toda la información en nuestro proceso de
toma de decisiones. La buena noticia es que quizás no necesitemos hacerlo: el esfuerzo de muchos participantes intentando hacer uso de la información disponible, hace que los mercados mismos trabajen
para eliminar las oportunidades de obtener beneficios libre de riesgo. En muchos casos, los mercados
financieros trabajan tan bien que no queda mucho por agregar a su capacidad de reunión de información.
En resumen, puede ser que la valoración que el mercado le asigne a la acción XYZ sea la correcta, dada
toda la información disponible sobre la misma. Esa eficiencia del mercado simplifica la manera en que
usted debe analizar los activos y sus precios al tomar decisiones financieras.
Principio 8: La diversificación es importante
“No ponga todos los huevos en la misma canasta”. La expresión financiera equivalente a esta trillada
frase es “diversifique sus activos”: no tenga solo una pequeña cantidad de acciones o bonos, adquiera
una cartera. Principios de Finanzas con Excel le mostrará cómo analizar carteras de activos y cómo elegir
los activos individuales para su cartera prudentemente.
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Principios de Finanzas con Excel
4. Nota sobre Excel – Construir modelos financieros óptimos
Elegimos este lugar en el capítulo para comentar brevemente los modelos financieros. Unas cuantas
reglas simples le ayudarán a crear mejores modelos en Excel.
■■ Regla
número 1: ponga todas las variables importantes (en la jerga, la expresión de moda es “indicadores de valor”) en la parte superior de la hoja de cálculo. En el ejemplo “ahorrando para la
universidad” que presentamos a continuación, los tres indicadores de valor, tasa de interés, monto
de depósito anual y costo anual de la universidad se colocan en la parte superior izquierda de la
hoja de cálculo.
■■ Regla
número 2: nunca utilice números cuando una fórmula también funcionaría. Utilizar fórmulas
en lugar de números implica que cuando se modifique un parámetro, el resto de la hoja de cálculo
se modifica adecuadamente. Por ejemplo, la celda C20 en la hoja de cálculo de arriba contiene la
fórmula =C7+VNA(B2,C8:C18). Podríamos haberlo escrito como =C7+VNA(8%,C8:C18). Pero ello
implica que si modificamos el valor de la celda B2, no se aplicará al resto del modelo.
■■ Regla número 3: evite usar columnas en blanco para acomodar efectos de formato. A continuación,
un ejemplo de un mal uso potencial.
Dado que “tasa de interés” ha excedido hacia columna B, el autor de esta hoja de cálculo decidió
poner el 6 % en la columna C. Ello origina confusión. Lo mejor es hacer más ancha la columna A
y poner el 6 % en la columna B.
22 |
CAP. 1 | Introducción a las finanzas
Es sencillo ensanchar la columna: ponga el cursor en la línea entre las columnas A y B. Haciendo
doble clic en botón izquierdo, se expandirá el ancho de la columna para acomodar la celda. También puede ensanchar la columna lo que usted quiera, manteniendo presionado el botón izquierdo
y moviendo hacia la derecha.
■■ Regla número 4: haga que Excel abra una página en cada hoja de cálculo por defecto. Excel
viene configurado para abrir por defecto tres páginas en cada archivo, pero el 99 % de las veces usted necesitará solo una. Por lo tanto, configúrelo para que se abra solo una y si necesita más siempre puede agregarlas. En Excel 2007 vaya al Botón de Office
Opciones de
Excel
Más frecuentes.
■■ Regla
número 5: deshabilite el botón que hace bajar el curso al presionar Enter. Por defecto,
Excel viene configurado para que cuando se oprima Enter, baje el cursor a la celda inferior.
¡Pero en los modelos financieros necesitamos ver lo que hemos escrito para asegurarnos de que
tenga sentido! Por lo tanto, deshabilite esta función. En el Botón de Office
Opciones de
Excel
Avanzadas:
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Principios de Finanzas con Excel
Desmarcar esta casilla
5. Un comentario sobre las versiones de Excel
Este libro utiliza Excel 2007 y Excel 2010, pero las hojas de cálculo son compatibles tanto con Excel
2003 como con la recién llegada Excel 2013. Todas las hojas de cálculo están guardadas en formato
de Excel 2007 “xlsm”. Si este formato no se abre en su PC, probablemente esté utilizando una versión
antigua de Excel y necesite descargar el conversor gratuito. El cuadro de abajo indica cómo hacerlo:
Los usuarios que utilizan una versión anterior de Excel también pueden descargar el paquete de compatibilidad de Microsoft Office para
formatos de archivos de Word, Excel y PowerPoint 2007 para instalar actualizaciones y convertidores para la versión anterior de Excel.
Esto les permite abrir, modificar y guardar un libro de Excel 2007 en la versión anterior de Excel sin tener que guardarlo en ese formato de
archivo de versión primero o sin tener que actualizar la versión anterior de Excel a Excel 2007.
Compatibilidad con Excel 2003: el texto anterior está tomado de:
http://office.microsoft.com/es-es/excel-help/abrir-un-libro-de-office-excel-2007-en-una-version-anterior-de-excel-HA010014107.aspx
Descargar el paquete de compatibilidad le permite abrir en Excel 2003 archivos de Excel 2007.
6. Agregando “GETFORMULA” a su hoja de cálculo
Las hojas de cálculo que acompañan Principios de Finanzas con Excel incluyen una pequeña macro
denominada getformula que indica el contenido de la celda. Getformula es extraordinariamente útil —
permite explicar (a mí mismo y a los lectores) lo que se realiza en el trabajo—. La macro es dinámica:
cuando usted modifica la hoja moviendo algo (por ejemplo, agregando filas o columnas), getformula
automáticamente actualiza las fórmulas.
24 |
CAP. 1 | Introducción a las finanzas
6.1. Estableciendo niveles de seguridad en Excel
Para utilizar getformula, en primer lugar debe establecer el nivel de seguridad de Excel en medio. Ello
le permite elegir abrir (o no) macros en Excel. Son necesarios dos pasos:
■■ Paso
1: en Excel 2007, en el botón de Office y luego Opciones de Excel. Clic en Centro de Confianza y luego configuración del Centro de Confianza.
■■ Paso
2: Vaya a la pestaña de Configuración de Macros y haga clic en Deshabilitar todas las macros
con notificación. Esta es una manera ambigua de decir que Excel preguntará cuando usted quiera
abrir macros.
| 25
Principios de Finanzas con Excel
Estos pasos deben hacerse una sola vez. Ahora, cuando usted abra una hoja de Principios de Finanzas con Excel, se le preguntará si abrir las macros.
7. Resumen
La combinación de conceptos de finanzas con la implementación de Excel es magnífica porque resulta de una gran utilidad y Principios de Finanzas con Excel es el único libro básico de finanzas en el
mercado que contiene dicha combinación.
¡Disfrútelo!
26 |
Capítulo 2
El valor del dinero en el tiempo
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Concepto General
Valor futuro
Valor actual
Valor actual neto
Tasa Interna de Retorno (TIR)
¿Qué significa la TIR? Tablas de créditos y amortización de inversiones
Cálculo del pago “fijo” anual de un préstamo – función PAGO de Excel
La función PAGO puede resolver problemas de valor futuro
Ahorrando para el futuro – compramos un coche para Mario
Resolver los problemas de ahorro de Mario – tres soluciones
Ahorrar para el futuro – problemas más complejos
¿Cuánto tiempo lleva pagar un préstamo?
Resumen
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
1. Concepto General
Este capítulo trata el aspecto más básico en finanzas: valor futuro, valor presente, valor actual neto
y tasa interna de retorno. Estos conceptos le dirán cuánto crecerá su dinero si lo deposita en un banco
(valor futuro); cuál es el valor hoy de promesas de pago futuras (valor actual); cuál es el valor de una
inversión (valor actual neto); y qué tasa de retorno obtiene de su inversión (tasa interna de retorno).
Los activos financieros y la planificación financiera siempre tienen una dimensión temporal. Presentamos ahora algunos ejemplos.
■■ Deposita
$100 en el banco hoy en una caja de ahorros, ¿cuánto dinero tendrá en tres años?
■■ Deposita $100 en el banco hoy en una caja de ahorros y planea agregar $100 cada año por los
próximos 10 años, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 20 años?
■■ La empresa XYZ vendió recientemente un bono a su madre por $860. El bono le pagará a ella $20
anuales durante los próximos 5 años. En 6 años obtendrá un pago de $1020. ¿Ha pagado ella un
precio justo por el bono?
■■ Vuestra tía Sara está analizando si realizar una inversión, la cual tiene un costo de $1.000 y pagará $50 mensuales cada uno de los próximos 36 meses. ¿Debería hacerla o dejar su dinero en el
banco, donde gana el 5 %?
Conceptos de finanzas tratados
■■ Valor
Futuro.
Presente.
■■ Valor Actual Neto.
■■ Tasa Interna de Retorno.
■■ Fondos de Pensión y ahorro y otros problemas de acumulación.
■■ Valor
Funciones de excel utilizadas
■■ Funciones
■■ Buscar
de Excel: VF, VA, VNA, TIR, PAGO, NPER.
Objetivo.
2. Valor futuro
El valor futuro es el valor en alguna fecha futura de un pago (o pagos) hechos con anterioridad a dicha
fecha. El valor futuro incluye el interés ganado sobre los pagos.
El valor futuro (VF) es un concepto que relaciona el valor en el futuro de una suma depositada en una
cuenta bancaria hoy y a través del tiempo y dejada en la cuenta para generar intereses. Suponga, por
ejemplo, que deposita $100 en la cuenta bancaria hoy y el banco le paga 6 % de interés al final de cada
año. Si usted deja el dinero en el banco, tendrá $106 después de 1 año; $100 del depósito original +
$6 de interés. Los $106 son el valor futuro después de 1 año del depósito inicial de $100 al 6 % anual
de interés.
Ahora, suponga que deja el dinero en la cuenta por un segundo año: al final de dicho año, usted tendrá lo siguiente:
| 29
Principios de Finanzas con Excel
$106
Saldo final de la cuenta bancaria al final del primer año
+
6 %* $106 = 6,36
Interés de dicho importe por el segundo año
= $112,36
Total en la cuenta al final de 2 años
Los $112,36 son el valor futuro tras 2 años del depósito inicial de $100 al 6 % anual de interés. Otra
manera de expresarlo es $112,36 = $100 * (1 + 6%)2:
$100
Depósito
inicial
*
1,06
*
Factor del
1er año
1,06
= $ 100 * (1,06)2 = 112,36
Factor del
2º año
Valor futuro de
$100 tras 1 año
= $100 * 1,06
Valor futuro de
$100 tras 2 años
Observe que el valor futuro utiliza el concepto de interés compuesto: el interés ganado en el primer
año ($6) también gana interés el segundo año. Resumiendo:
El valor futuro de X $ depositado hoy en una cuenta que paga r % de interés anual y dejado en la
misma por n años es: VF = X * (1 + r)n.
Notación
En este libro utilizaremos nuestra notación matemática más que la empleada por Excel. Dado que en Excel la multiplicación
se indica mediante el asterisco, “*”, algunas veces escribiremos 6 % * $106 = $106,36, aunque no sea necesario. Del
mismo modo, algunas veces escribiremos (1,10)3 como 1,10^3.
Los cálculos de valor futuro son fácilmente realizados en Excel.
30 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
Observe que el uso del carácter ^ es para indicar el exponente: en Excel (1 + 6%)2 se escribe como (1
+ B3) ^ B4, donde la celda B3 contiene la tasa de interés y la celda B4 el número de años.
Podemos utilizar Excel para construir una tabla de cómo los valores futuros crecen con los años y
luego utilizar las funciones gráficas de Excel para plasmar en una gráfica dicho crecimiento.
En la hoja de cálculo de abajo presentamos un cuadro y gráfico que muestra el valor futuro de $100
para las tres diferentes tasas de interés: 0,6 y 12 %. Como muestran las hojas, el valor futuro es muy
sensible a la tasa de interés. Observe que cuando la tasa de interés es 0 %, el valor futuro no crece.
Nota sobre Excel
Observe que la fórmula en las celdas B9:B29 en la tabla tiene signo $ en las referencias, por ejemplo, =$ B $ 2*(1+$B$3)^A9.
Este uso de referencia absoluta en Excel se explica en el capítulo 17.
| 31
Principios de Finanzas con Excel
Terminología: ¿Qué es un año? ¿Cuándo comienza?
A pesar de que esta cuestión pueda parecer obvia, no lo es. Hay mucha confusión semántica sobre
esta materia en los cursos y textos de finanzas.
A lo largo de este libro utilizaremos los siguientes sinónimos:
32 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
Para reiterar, los términos “año 0”, “hoy” y “comienzo del año 1” son sinónimos. Por ejemplo, $100
“a comienzos del año 2” es lo mismo que “$100 al final del año 1”. Si a usted le cuesta entender lo que
alguien quiere decir, pida un gráfico, o mejor aún, una hoja de Excel.
Acumulación – Planes de ahorro y valor futuro
En el ejemplo anterior usted depositó $100 y lo dejó en el banco. Suponga que intenta realizar 10
depósitos anuales de $100 cada uno, con el primer depósito en el año 0 (hoy) y cada uno de los depósitos sucesivos al final de los años 1, 2,…, 9. El valor futuro de todos esos depósitos al final del año 10
le dice cuanto tendrá acumulado en su cuenta. Si usted está ahorrando para el futuro (sea para comprar
un coche al finalizar la universidad o para financiar una pensión al finalizar su vida laboral), este es un
cálculo importante e interesante.
Entonces, ¿cuánto tendrá acumulado al final del año 10? Hay una función de Excel para calcular esta
respuesta que trataremos después. Por el momento plantearemos dicho problema en Excel y realizaremos
los cálculos detalladamente, mostrando cuánto tendremos al final de cada año.
Para clarificar, analicemos un año en particular. Al final del año 1 (celda E5) usted tiene $106 en la
cuenta. Esta es también la cantidad que habrá en la cuenta al comenzar el año 2 (celda B6). Si entonces deposita otros $100 y deja el total del dinero, $206, para generar intereses durante el año, ganará
$12,36 de interés. Usted tendrá $218,36 = (106 + 100) * 1,06 al final del año 2.
Finalmente, vemos las columnas 13 y 14: al final del año 9 (celda E13) usted tiene $1.218,08 en
la cuenta; esta es también la suma en la cuenta el comienzo del año 10 (celda B14). Entonces deposita
| 33
Principios de Finanzas con Excel
$100 y los $1.318,08 resultantes generan $79,08 de intereses durante el año, acumulando $1.397,16
al final del año 10.
La función VF de Excel
La hoja de la sección anterior ilustra paso a paso la manera en la que el dinero se acumula en un plan
típico. Para simplificar esta serie de cálculos, Excel tiene la función VF que computa el valor futuro de
cualquier serie de pagos constantes. Esta función es ilustrada en la celda C16.
La función VF y los datos necesarios pueden computarse utilizando un cuadro de diálogo —una importante característica que viene con cada función de Excel—. La nota de Excel que sigue ilustra cómo
generar el cuadro de diálogo para el cómputo de la celda C16. Si usted ya conoce cómo utilizar un cuadro
de diálogo, aquí la indicamos para este ejemplo.
La función VF requiere ingresar la Tasa de interés, el Número de períodos, Nper, y el Pago anual.
También puede indicar el Tipo, que le dice a Excel si el pago es realizado al comienzo del período (Tipo
1 como en nuestro ejemplo) o al final del período (Tipo 0)1.
1 Los ejercicios 2 y 3 al final del capítulo ilustran ambos casos.
34 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
Nota sobre Excel
Funciones y cuadros de diálogo
La celda C16 del ejemplo previo contiene la función VF (B2, A14,-100,,1). En esta nota ilustramos el uso del cuadro de
diálogo para la función VF para generar dicha función. La última parte de esta nota de Excel trata por qué el pago de $100
se ingresa en esta función como un número negativo. Esta es una particularidad de la función VF de Excel compartida por
otras tantas funciones financieras de Excel.
Avanzando por el asistente de la Función
Suponga que se encuentra en la celda C16 y desea ingresar la función para valor futuro en la misma celda. Con el cursor
en C16, mueva el ratón hacia el siguiente icono en la barra de herramientas.
Haciendo clic en el mismo icono se despliega el cuadro de diálogo que mostramos abajo. Elegimos la categoría funciones
Financieras y nos desplazamos hacia abajo en la siguiente sección para posicionar el cursor en la función VF.
Continúa en página siguiente >>
| 35
Principios de Finanzas con Excel
<< Viene de página anterior
Haciendo clic en Aceptar se despliega el cuadro de diálogo de la función VF, que puede ser completado como se ilustra abajo.
Los cuadros de diálogo en Excel dan lugar a dos tipos de variables.
\\
\\
Las indicadas en Negrita deben completarse obligatoriamente - en la función VF son la Tasa de interés, el número de
períodos, Nper, y el Pago. (siga leyendo para ver por qué hemos escrito el pago en negativo).
Las no indicadas en negrita son optativas. Por ejemplo, Tipo se refiere a cuando se realiza el pago y, por lo tanto, tiene
solo dos opciones: -1 cuando el pago se efectúa al comienzo del período y 0 cuando se realiza al final del mismo. En el
ejemplo de arriba hemos indicado un 1 para Tipo; lo que indica (como se explica en el cuadro de diálogo mismo) que
el valor futuro se calcula para pagos efectuados al comienzo del período. Si hemos omitido dicha variable o puesto 0,
Excel calcularía el valor futuro para una serie de pagos realizados al final del período; vea la subsección de la sección
2.1 titulada “Comienzos versus final del período” para una ilustración.
Observe que el cuadro de diálogo ya nos dice (aún antes de hacer clic en ACEPTAR) que el valor futuro de $100 anuales por
10 años capitalizados al 6 % es $1.397,16.
Una manera abreviada de desplegar el cuadro de diálogo
Si usted conoce el nombre de la función que quiere utilizar, puede directamente escribirla en la celda y luego hacer clic en
el siguiente icono en la barra de herramientas:
Como se ilustra abajo, usted debe escribir: = VF (
Y luego hacer clic en el mismo icono anterior - Observe que hemos escrito un signo igual, el nombre de la función y luego
hemos abierto paréntesis.
Continúa en página siguiente >>
36 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
<< Viene de página anterior
Aquí veremos cómo se ve la hoja de cálculo:
Observe en el texto que despliega Excel debajo de la celda C16: como se ilustra aquí, algunas versiones de Excel muestran
el formato de la función cuando la escribe en la celda.
Otra alternativa
¡Usted no está obligado a utilizar un cuadro de diálogo! Si conoce el formato de la función, entonces directamente escriba
los datos de sus variables y listo. En el ejemplo de la sección 2.1 podría haber escrito = VF (B2, A14, -100,, 1) en la celda.
Presionando [Enter] daría la respuesta.
¿Por qué la variable pago es un número negativo?
En el cuadro de diálogo de la función VF hemos ingresado en el parámetro Pago, un número negativo, -100. La función
VF tiene la particularidad (compartida por otras funciones financieras de Excel) de que un depósito positivo genera una
respuesta negativa. No entraremos en la (¿extraña?) lógica que produce tal razonamiento: cuando nos encontramos con
ella, directamente ingresamos un valor negativo.
Comienzos versus final del período
En el ejemplo anterior usted realizó depósitos de $100 a comienzos de cada año. En términos temporales, usted realizó los depósitos en los momentos 0, 1, 2, 3… 9. Aquí presentamos una manera esquemática de verlo, mirando el valor futuro de cada depósito al final del año 10.
| 37
Principios de Finanzas con Excel
Suponga que usted realizó 10 depósitos de $100 al final de cada año. ¿Cómo afectaría ello a la acumulación en la cuenta al final de los 10 años? El diagrama esquemático de abajo ilustra la temporalidad
y acumulación de los pagos.
La acumulación en la cuenta es menor cuando se deposita al final de cada año que en el caso previo,
en que se depositaba al comienzo de cada año. Cuando usted deposita al final de cada año, cada depósito
permanece en la cuenta 1 año menos y, en consecuencia, gana 1 año menos de interés. En una hoja, se
ve como sigue.
38 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
La celda C16 ilustra el uso de la fórmula de Excel VF para resolver el problema. Aquí presentamos el
cuadro de diálogo de la función VF de la celda C16.
Cuadro de diálogo para VF con depósitos al final del período
En el ejemplo hemos omitido toda entrada en el campo Tipo. También podríamos haber puesto un 0 en el campo Tipo y
obtenido el mismo resultado.
| 39
Principios de Finanzas con Excel
Algo de jerga financiera y la función VF de Excel
Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales realizados por un período de tiempo específico. Ejemplos de anualidades hay por todos lados:
■■ El
dinero que los padres les dan al hijo para que estudie ($1.000 mensuales durante los próximos
4 años de universidad) es una anualidad con 48 pagos.
■■ Los fondos de pensión a menudo conceden al beneficiario que se jubila un pago fijo durante el
período en el que permanezca con vida. Esto es un poco más complicado porque el número de
pagos es incierto.
■■ Ciertos tipo de créditos son pagados en cuotas fijas, periódicas (generalmente mensuales, algunas
veces anuales). Las hipotecas y créditos para estudiantes son dos ejemplos.
Una anualidad con pagos al final de cada período generalmente es denominado “anualidad regular”.
Como usted podrá haber observado en esta sección, el valor de una anualidad regular se calcula con = VF
(B2, A14, -100). Una anualidad con pagos al comienzo de cada año generalmente se denomina “anualidad adelantada” y su valor es calculado con la función de Excel = VF (B2, A14, -100,,1).
3. Valor actual
El valor actual es el valor hoy de un pago (o pagos) que serán realizados en el futuro.
Presentamos aquí un ejemplo: suponga que usted prevé recibir de su tío Miguel, cuyo compromiso es
tan válido como el de un banco, $100 en tres años. Suponga que el banco paga el 6 % de interés por los
depósitos de ahorros. ¿Cuál es el valor actual de los pagos futuros previstos? La respuesta es:
$83.96 =
100
1, 063
Si usted pone $83,96 en el banco hoy al 6 % anual de interés, entonces en 3 años tendría $100 (vea
la “prueba” en las filas 8 y 9)2. El valor de $83,96 es también llamado el valor presente o valor actual
de $100 en 3 años al 6 % de interés.
2 En realidad, 100 / (1,06)3 = 83,96193, pero hemos configurado Inicio l Celdas l Formato l Formato de Celdas l Número para mostrar
solo dos decimales.
40 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
Para sintetizar,
El valor actual de X $ que se recibirán en n años cuando la tasa apropiada de interés es r % es:
X
(1 + r )n
La tasa de interés r es también conocida como “tasa de descuento”. Podemos utilizar Excel para crear
una tabla que muestra cómo el valor actual decrece con la tasa de descuento. Como podrá ver, mayores
tasas de descuento generan menores valores presentes.
3.1. ¿Por qué el valor actual disminuye cuando la tasa de interés crece?
La tabla de Excel de arriba muestra que $100 que el tío Miguel le prometió a usted en 3 años valen
hoy $83,96 si la tasa de descuento es 6 %, pero valen solo $40,64 si la tasa de interés es 35 %. La razón
mecánica para ello es que calcular el valor actual de $100 significa dividir por un denominador menor
que calcular el valor actual al 35 %:
83, 96 =
100
100
>
= 40, 64
3
(1, 06) (1, 35)3
| 41
Principios de Finanzas con Excel
La razón económica se relaciona al valor futuro: si el banco le paga el 6 % de interés por sus ahorros,
usted tendría que depositar $83,96 hoy para ahorrar $100 en 3 años. Si el banco paga el 35 % de interés, entonces $40,64 de hoy crecerían a $100 en 3 años porque $40,64 * (1,35)3 = $100.
Lo que este breve análisis muestra es que el valor actual es inverso al valor futuro.
3.2. Valor actual de una anualidad
Recordemos que una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales. El valor actual de una anualidad le dice el valor hoy de todos los pagos futuros de la anualidad.
El valor actual de una anualidad de $ X al ser recibida al final de los años 1, 2, 3,… N cuando la tasa
apropiada de descuento es r % es:
X
X
X
X
+
+
+ ........ +
2
3
(1 + r ) ((1 + r ) (1 + r )
(1 + r )N
Ahora un ejemplo: suponga que le prometen $100 al final de cada uno de los próximos 5 años. Asumiendo que puede obtener un 6 % del banco, la promesa tiene un valor de $421,64 hoy.
42 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
El ejemplo anterior muestra tres maneras de obtener el valor actual de $421,24:
■■ Puede
sumar los valores actuales individuales. Eso se hizo en la celda C13.
■■ Puede utilizar la función VA de Excel, la cual calcula el valor actual de una anualidad (celda C14).
■■ Puede utilizar la función VNA de Excel (celda C15). Esta función calcula el valor actual de cualquier serie de pagos periódicos (ya se trate de pagos fijos, como en una anualidad, o de variables).
■■ Le dedicamos subsecciones separadas para las funciones VA y VNA.
3.3. Valor actual de una perpetuidad
Una perpetuidad es una anualidad que continúa para siempre. En el apéndice 2.1 al final de este
capítulo mostramos que:
El valor actual de una perpetuidad de X $ a ser recibidos al final de los años 1, 2, 3… cuando la tasa
apropiada de descuento es r % es:
X
X
X
X
+ ........ =
+
+
(1 + r ) (1 + r )2 (1 + r )3
r
Suponga, por ejemplo, que a usted le ofrecen un pago de $100 anuales al final de cada año 1, 2, 3…
Suponga que la tasa apropiada de interés es r = 5 %. Como la siguiente hoja muestra, el valor actual de
esta perpetuidad es $2.000.
3.4. La función VA de Excel
La función VA calcula el valor presente de una anualidad (una serie de pagos iguales). Se ve muy parecida a la función VF antes tratada y como VF, también tiene la particularidad de que los pagos positivos
dan resultados negativos (y ese es el motivo por el que se ingresa -100 en el Pago). Como en el caso de
la función VF, Tipo denota si el pago es realizado al comienzo o al final del año. Dado que al final del
año se toma por defecto, puede ingresarse 0 o deja Tipo en blanco (si el pago es al comienzo del período
debe ingresarse 1 en el cuadro Tipo).
| 43
Principios de Finanzas con Excel
Cuadro de diálogo para la función VA
El cuadro “Resultado de la fórmula” en el cuadro de diálogo muestra que el resultado es $421,24.
3.5. La función VNA de Excel
La función VNA de Excel computa el valor presente de una serie de pagos. Los pagos no necesariamente deben ser iguales, a pasar de que en el actual ejemplo lo son. La habilidad de la función VNA para tratar
con pagos no constantes la hace una de las funciones más útiles de las funciones financieras de Excel.
Haremos un uso extensivo de esta función a lo largo del libro. En el ejemplo actual, dado que los pagos
son iguales, el resultado es el mismo ($421,24) si usamos la función VA que si utilizamos la función VNA.
Cuadro de diálogo para la función VNA
La función VNA de Excel computa el valor presente de una serie de pagos. Puede ingresar los pagos separadamente (como
Valor 1, Valor 2...) o —como se ilustra arriba—puede ingresarse un rango de pagos en el cuadro Valor 1.
44 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
Nota importante sobre terminología
Los profesionales de finanzas utilizan “VNA” (o “VAN” en español) para indicar “valor actual neto”, un concepto que explicaremos en la sección siguiente. La función VNA de Excel calcula el valor presente de una serie de pagos. Casi todos los
profesionales y textos de finanzas llamarían al número calculado por la función VNA de Excel como VA. Es decir, el uso que
hace Excel de VNA difiere del estándar utilizado en finanzas, el cual es explicado en la sección 2.3.
3.6. Eligiendo una tasa de descuento
Hemos definido el valor actual de $ X a ser recibidos en n años como:
X
(1 + r )n
La tasa de interés r en el denominador de esta expresión es también conocida como “tasa de descuento”. ¿Por qué es 6 % una tasa de descuento apropiada para el dinero que le ha prometido el tío Miguel?
El principio básico es elegir una tasa de descuento que sea apropiada al riesgo y durabilidad de los flujos
de fondos que serán descontados. La promesa de $100 anuales del tío Miguel por los próximos 5 años
se asume tan buena como un banco local, que paga 6 % por los depósitos de ahorros. Por lo tanto, 6 %
es una tasa de descuento adecuada3.
3.7. El valor actual de una “no anualidad” de flujos de fondos (o sea, no constantes)
El concepto de valor actual también puede aplicarse a una corriente no constante de flujos de fondos, significando flujos de fondos que no son iguales en cada período. Suponga que, por ejemplo, su tío Juan le ha
prometido pagarle $100 al final del año 1; $200 al final del año 2; $300 al final del año 3; $400 al final del
año 4; y $500 al final del año 5. Eso no constituye una anualidad y, por lo tanto, no puede ser solucionada
con la función VA. Pero podemos hallar el valor presente de dicha promesa futura mediante la función VNA.
3 Hay más por decir sobre la selección de una tasa de descuento, pero posponemos su tratamiento hasta los capítulos 5 y 6.
| 45
Principios de Finanzas con Excel
El ejemplo muestra que el valor actual de la promesa de pago del tío Juan durante los próximos 5
años es $1.214,69:
$100 $200
$300
$400 $5500
+
+
+
+
= $1.214, 69
(1, 06) (1, 06)2 (1, 06)3 (1, 06)4 (1, 06)5
Nota de Excel
La función VNA le permite ingresar hasta 29 pagos directamente en el cuadro de diálogo de la función. Ahora, se incluye
una ilustración para el ejemplo anterior.
4. Valor actual neto
El valor actual neto (VAN) de una corriente de pagos futuros es el valor actual menos la inversión
inicial requerida para obtener los flujos de fondos futuros. El VAN = VA de los flujos de fondos futuros inversión inicial. El VAN de una inversión representa el incremento en riqueza que se obtiene si realiza
la inversión.
Presentamos un ejemplo basado en la hoja de cálculo de página anterior. ¿Pagaría usted $1.500
hoy para obtener una serie de pagos futuros como los de la serie B5: B9? Ciertamente, no —solo valen
$1.214,69—, entonces ¿por qué pagar $1.500? Si le piden pagar $1.500, el VAN de su inversión sería:
46 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
$300
$400
$500
$100 $200
VAN = −
$1.500
+ (1, 06) + (1, 06)2 + (1, 06)3 + (1, 06)4 + (1, 06)5
Costo de la inversión
Valor actual de los flujos futuros de fondos de la inversi ón a la tasa del 6%
= − $1.500 +
=−
$285
,
31
$1.214, 69
Valor Actual Neto
Si usted paga $1.500 por esa inversión, estaría pagando $285,31 de más por la inversión y se empobrecerá en dicha suma. ¡Es un mal negocio!
Por otro lado, si a usted le ofrecen el mismo flujo de fondos futuros a $1.000, usted aprovecharía la
propuesta porque estaría pagando $214,69 menos por la inversión que su valor:
VAN =
−
.000
1
.214
,
69 = $214,
, 69
1
+ $
Costo de la inversión
Valor actual de los flujos
futuros de fondos
descontados al 6%
Valor actual neto
En este caso, la inversión le haría $214,69 más rico. Como dijimos antes, el VAN de una inversión
representa el incremento en su riqueza si realiza la inversión.
En síntesis:
■■ El
valor actual neto (VAN) de una serie de flujos de fondos se utiliza para tomar decisiones de
inversión. Una inversión con VAN positivo es una buena inversión y una con VAN negativo es mala
inversión. Una inversión con VAN igual a cero es un “juego justo” —el valor futuro de los flujos de
fondos compensa exactamente el costo inicial de la inversión—.
■■ El valor actual neto es una herramienta básica de análisis financiero. Es utilizada para determinar
si una inversión en particular debe ser emprendida; en los casos en que podamos llevar adelante
solo una de entre varias alternativas, es la herramienta de decisión para elegir cuál emprender.
A continuación, otro ejemplo de VAN: usted encontró una inversión interesante —si paga $800 hoy a
una caja de créditos local, dicha empresa le promete pagarle $100 al final del año 1; $150 al final del
año 2; $200 al final el año 3; $250 al final del año 4; y $300 al final del año 5. Usted considera que
dicha caja de crédito es tan digna de su confianza como un banco, que actualmente paga 5 % de interés.
La hoja siguiente muestra el VAN de dicha inversión de $800.
| 47
Principios de Finanzas con Excel
La plantilla muestra que el valor de la inversión —el VAN de los pagos, incluyendo el pago inicial de
- $800— es $44,79:
VAN = −$800 +
$100 $150
$200
$250
$300
+
+
+
+
= $44,79
2
3
4
(1, 06
) (1, 06) (
1, 06
(1, 06) (1, 06
)5
)
el valor actual de los flujos futuros de fondos::
calculados con la función VNA de Excel = $844,79
A una tasa de descuento del 5 %, usted debería llevar a cabo la inversión, dado que su VAN es
$44,79; que es positivo.4
Nota de Excel
Como se mencionó antes, el nombre de la función VNA de Excel no se corresponde con el uso estándar de término valor
actual neto en finanzas4. En finanzas, el valor presente generalmente se refiere al valor actual de una corriente futura de
flujos de fondos, en el ejemplo anterior, el valor actual es:
$100 $150
$200
$250
$300
+
+
+
+
= $844,79
2
3
4
(1, 06) (1, 06) (1, 06) (1, 06) (1, 06)5
Los profesionales de finanzas utilizan VAN para representar el valor actual de la corriente de pagos futuros menos el costo
de la inversión inicial, en el ejemplo anterior esto es $844,79 - $800 = $44,79. En este libro utilizaremos el término VAN
para expresar su verdadero significado en finanzas. La función de Excel VNA aparecerá siempre en negrita. Esperamos que
no origine confusión.
4 Hay una larga historia sobre esta confusión y no comienza con Microsoft. La primera hoja de cálculo – —Visicalc— (por error) utilizó el
VNA en el mismo sentido en que Excel aún lo hace hoy en día, esta confusión fue copiada desde entonces por todos los demás programas
de cálculos: Quattro y Excel.
48 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
4.1. VAN depende de la tasa de descuento
Veamos el ejemplo de la caja de crédito de la página anterior y usemos Excel para crear una tabla que
muestre la relación entre tasa de descuento y VAN. Como muestra el gráfico, a mayor tasa de descuento,
menor es el VAN de la inversión.
Observe que hemos resaltado una tasa de descuento en especial: cuando la tasa de descuento es
6,6965 %, el valor actual neto de la inversión es cero. La tasa de 6,6965 % se refiere a la tasa interna de
retorno (TIR). Para tasas de descuento menores que la TIR, el VAN es positivo y para tasas de descuento
mayores que la TIR, el VAN es negativo. Trataremos la TIR con mayor detalle en la sección 2.5.
4.2. Utilizando VAN para seleccionar entre inversiones
En los ejemplos analizados hasta el momento hemos utilizado VAN solo para decidir si llevar a cabo
una inversión en particular, pero VAN también puede usarse para seleccionar entre inversiones mutuamente excluyentes. Observe la hoja de cálculo siguiente: usted dispone de $800 para invertir y le han
ofrecido elegir entre las alternativas A y B. La hoja muestra que, a una tasa del 15 %, la inversión A tiene
un VAN de $219,06 y la B tiene un VAN de $373,75. Si las inversiones no son mutuamente excluyentes,
usted querría invertir en ambas porque cada una de ellas tiene un VAN positivo. Pero si se ve forzado
| 49
Principios de Finanzas con Excel
a elegir solo una inversión, debería elegir la alternativa B porque tiene un mayor VAN. La alternativa A
incrementará su riqueza en $219,06, mientras que la alternativa B incrementará su riqueza en $373,75.
Terminología - ¿es una tasa de descuento o una tasa de interés?
En algunos de los ejemplos precedentes hemos utilizado tasa de descuento en lugar de tasa de interés para describir la
tasa usada en el cálculo de VAN. Como verá en los capítulos siguientes de este libro, la tasa que se usa en el cálculo de
VAN tiene mucho sinónimos: tasa de descuento, tasa de interés, costo de capital, costo de oportunidad; esos son solo unos
cuantos de los nombres para la tasa que aparece en el denominador del VAN:
flujo de fondos en el año 1
(1 + r )t
Tasa de Descuento
Tasa de Interés
Costo de Capital
Costo de Oportunidad
En síntesis,
Al utilizar VAN para seleccionar entre dos inversiones mutuamente excluyentes con VAN positivo,
elegimos la inversión con mayor VAN.
5. Tasa Interna de Retorno (TIR)
La tasa interna de retorno (TIR) de una serie de flujos de fondos es la tasa de descuento que hace el
valor actual neto de los flujos de fondos igual a cero.
Antes de explicar en profundidad (en la sección siguiente) la TIR, explicamos cómo calcularla. Volvamos al ejemplo anterior: si usted paga $800 hoy a una caja de crédito local, el dueño le ofrece pagarle
50 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
$100 al final del año 1; $150 al final del año 2; $200 al final del año 3; $250 al final del año 4 y $300
al final del año 5. Descontando esos flujos de fondos a la tasa r, el VAN puede escribirse como:
VAN = − $800 +
$100 $150
$200
$250
$300
+
+
+
+
2
3
4
(1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )5
En las celdas B16: B32 de la hoja de cálculo de abajo calculamos el VAN para varias tasas de descuento. Como ve, en algún lugar entre r = 6 % y r = 7 %, el VAN se torna negativo.
En la celda B13 usamos la función de Excel TIR para calcular la tasa de descuento exacta a la cual
el VAN se torna igual a cero. La respuesta es 6,6965 %; a esa tasa de descuento, el VAN de los flujos
de fondos es igual a cero (observe la celda B12). Podemos utilizar el cuadro de diálogo para la función
TIR de Excel.
| 51
Principios de Finanzas con Excel
Cuadro de diálogo para la funcion TIR de excel
Observe que no hemos utilizado la segunda opción (Estimar) para calcular nuestra TIR. Trataremos esta opción en el capítulo 5.
5.1. ¿Cuál es el significado de la TIR?
Suponga que puede obtener 6,6965 % de interés en el banco y suponga que quiere ahorrar hoy para
obtener para usted mismo el flujo futuro de fondos del ejemplo anterior:
■■ Para
obtener $100 al final del año 1, debería poner su valor presente en el banco hoy:
100
= 93,72
1, 06965
■■
Para obtener $150 al final del año 2, debería poner su valor presente en el banco hoy.
150
= 131,76
(1, 06965)2
■■ Y
así sucesivamente (vea el cuadro siguiente).
La cantidad total que debería ahorrar es $800, exactamente el costo de esta oportunidad de inversión.
Eso es lo que significa cuando decimos que:
La TIR es la tasa de interés compuesta que usted gana en una inversión.
52 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
5.2. Utilizando TIR para tomar decisiones de inversión
La TIR se utiliza generalmente para toma de decisiones de inversión. Suponga que a su tía Carmen le
ha ofrecido su bróker la siguiente inversión: por un pago de $1.000, una compañía financiera de buena
reputación le pagará a ella $300 al final de cada uno de los próximos 4 años. La tía Carmen actualmente
obtiene un 5 % en su depósito de ahorros bancario. ¿Debería ella retirar su dinero del banco para llevar
a cabo la inversión? Para responder esa pregunta, calculamos la TIR de la inversión y la comparamos con
la tasa de interés del banco:
La TIR de la inversión, 7,71 %, es mayor que el 5 % que Carmen puede obtener en su inversión alternativa (la cuenta bancaria). Por lo tanto, debería llevar a cabo la inversión.
En síntesis,
Al utilizar TIR para toma de decisiones de inversión, una inversión con TIR mayor que la tasa de interés alternativa es una buena inversión y si la tasa de interés es menor que la tasa de interés alternativa,
entonces es una mala inversión.
5.3. Utilizando TIR para elegir entre dos inversiones
Podemos también utilizar la tasa interna de retorno para seleccionar entre dos inversiones. Suponga
que a usted le han ofrecido dos inversiones. Ambas alternativas A y B con un costo de $1.000, pero con
diferentes flujos de fondos. Si usted está utilizando la TIR para toma de decisiones de inversión, entonces
elegirá la inversión con mayor TIR. Se presenta un ejemplo a continuación.
| 53
Principios de Finanzas con Excel
Deberíamos elegir la inversión A, ya que es la de mayor TIR.
En síntesis,
Al utilizar TIR para seleccionar entre dos inversiones comparables, se debe elegir la inversión que
tenga la mayor TIR. Ello asume que: (1) ambas inversiones tienen una TIR mayor que la tasa alternativa
y (2) las inversiones son de riesgo comparable.
Usando VAN y TIR para toma de decisiones de inversión
En este capítulo hemos desarrollado dos herramientas, VAN y TIR, para toma de decisiones de inversión. También hemos
tratado dos tipos de decisiones. Ahora presentamos un ejemplo:
“Sí” o “No”: decidir cuándo aceptar
una inversión
“Ranking de inversiones”: comparar
dos inversiones mutuamente
excluyentes
Criterio de VAN
La inversión debería ser aceptada si
VAN > 0
La inversión A es preferible a la
inversión B si VAN (A) > VAN(B)
Criterio de TIR
La inversión debería ser aceptada si
TIR > r, donde r es la tasa apropiada
de descuento.
La inversión A es preferible a la
inversión B si TIR (A) > TIR(B)
En el capítulo 4 trataremos en forma adicional la implementación de estas dos reglas junto a dos problemáticas de decisión.
6. ¿Qué significa la TIR? Tablas de créditos y amortización de inversiones
En la sección anterior dimos un ejemplo simple de lo que pretendemos expresar cuando decimos
que la TIR es la tasa de interés compuesta que usted gana de un activo. En esta corta oración subyace
un montón de aplicaciones financieras: cuando los profesionales de finanzas discuten sobre la “tasa de
retorno” de una inversión o la “tasa de interés efectiva” de un crédito, casi siempre se están refiriendo a
54 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
la TIR. En esta sección exploraremos algunas significaciones de la TIR. Prácticamente, el capítulo 3 al
completo se dedica a este asunto.
6.1. Un ejemplo simple
Suponga que adquiere un activo por $200 hoy y suponga que dicho activo le pagará a usted $300
en 1 año. Entonces la TIR del activo es 50 %. Para verlo, recuerde que la TIR es la tasa de interés que
hace el VAN cero. Dado que:
VAN = −200 +
300
1+ r
ello implica que el VAN será cero cuando:
1+ r =
300
= 1,5
200
Resolviendo esta ecuación obtenemos que r = 50 %.
Presentamos ahora otra manera de pensar sobre esta inversión y su TIR de 50 %:
■■ En
el momento 0 usted paga $200 por la inversión.
■■ En el momento 1, los $300 que paga la inversión cancelan los $200. Los restantes $100 representan el 50 % de retorno sobre los $200 de inversión inicial. Esta es la TIR.
La TIR es la tasa de retorno de una inversión; es la tasa que paga, a lo largo de la vida del activo, la
inversión inicial en el mismo. Y paga intereses sobre los saldos pendientes de la inversión.
6.2. Un ejemplo más complejo
Exponemos ahora un ejemplo más complicado, el cual ilustra el mismo punto. Esta vez se compra un
activo cuyo costo es $200 y su flujo de fondos es $130,91 al final del año 1 y $130,91 al final del año 2.
A continuación, nuestro análisis de la TIR sobre esta inversión.
| 55
Principios de Finanzas con Excel
■■ La
TIR de la inversión es 20 %. Observe cómo la hemos calculado —simplemente hemos introducido en la celda B2 la fórmula = TIR ({-200; 130, 91; 130, 91}) (si usted utiliza este método para
calcular la TIR en Excel, debe poner los flujos de fondos entre paréntesis).
■■ Utilizando la TIR del 20 %, $40 (= 20 % * $200) del pago del primer año es interés y los $90,91
restantes son el repago de la inversión. Otro modo de pensar en los $40 es considerar que para
adquirir el activo, usted entrega al vendedor el costo de $200. Cuando él le paga $130,91 al final
del año 1; $40 (20 % * $200) son de interés —o sea, su beneficio por haber entregado a alguien
para que use su dinero—. Los $90,91 restantes son una devolución parcial del dinero entregado.
■■ Ello deja como saldo pendiente al comienzo del segundo año $109.09. De los $130.91 que paga
la inversión al final del segundo año, $21,82 (= 20 % * 109.09) es interés y el resto, (exactamente $109,09) es repago del principal.
■■ El saldo de la inversión al comienzo del año 3 (año siguiente al que la inversión termina de ser
pagada) es cero.
Como en el primer ejemplo de esta sección, la TIR es la tasa de retorno sobre la inversión, definida
como la tasa que repaga sobre la vida del activo la inversión inicial en el mismo y los intereses sobre los
saldos pendientes de la inversión inicial.
Utilizando valor futuro, valor actual neto y tasa interna de retorno del resto del capítulo
En las restantes secciones aplicaremos los conceptos aprendidos en el capítulo para resolver varios problemas habituales:
\\
\\
\\
Secciones 2.7 – 2.9. Ahorrando para el futuro
Sección 2.10. Pagando un crédito de cuotas constantes de capital e interés
Sección 2.12. ¿Cuánto tiempo lleva cancelar un crédito?
7. Cálculo del pago “fijo” anual de un préstamo – función PAGO de Excel
Usted acaba de graduarse y tiene que pagar en 10 años un préstamo de $100.000 que pidió para sus
estudios. El préstamo tiene una tasa de interés anual de 10 % y su pago es constante, en el sentido de
que paga la misma cantidad cada año. ¿Cuánto tiempo le llevará cancelar su préstamo?
56 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
Suponga que llamamos X al monto que paga anualmente. Entonces, el X correcto se caracterizará
porque el valor actual de todos los pagos será igual al monto del préstamo:
100.000 =
X
X
X
X
+
+
+ .... +
2
3
1,1 (1,1) (1,1)
(1,1)10
Reescribiendo el lado derecho, puede ver que:
X=
100.000
1
1
1
1
+
+
+ .... +
2
3
,1
1
(1,1) (1
,1)
(1,1
)10
Esta expresión puede calcularse
utilizando la función VA de Excel
A continuación, todo esto en una hoja de Excel.
En la celda B6 utilizamos la función PAGO de Excel, que efectúa el cálculo del pago del préstamo
directamente (vea el cuadro de diálogo de abajo).
| 57
Principios de Finanzas con Excel
7.1. Tablas de amortización de préstamos
“Amortizar” significa pagar algo a través del tiempo. Una tabla de amortización de préstamo muestra
cómo el pago de un préstamo se subdivide entre interés y repago del capital inicial. A continuación, presentamos el ejemplo anterior, con la tabla de amortización adjunta (filas 9-18).
Cuando ponemos todos los pagos en una tabla de préstamos (filas 9-18 de la siguiente hoja de cálculo)
se puede ver la subdivisión de cada pago de fin de año entre interés sobre el saldo remanente del capital
al comienzo del año y repago del capital. Si usted debe efectuar pagos de impuestos, la columna D es
deducible a efectos impositivos; mientras que la columna del repago del capital no lo es (columna E).
8. La función PAGO puede resolver problemas de valor futuro
La función PAGO puede también ser utilizada para calcular el pago anual requerido para obtener
una determinada suma de dinero en el futuro. Tal como demuestra la siguiente hoja, si usted deposita
$5.087,87 anualmente al comenzar cada año durante 10 años, acumulará $100.000 al 12 % de interés.
En la celda B20 realizamos este cálculo en un solo paso, mediante la función PAGO de Excel.
58 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
El cuadro de diálogo para la celda B20 se muestra abajo.
9. Ahorrando para el futuro – compramos un coche para Mario
Mario tiene el ojo puesto en un coche que cuesta $20.000. Desea adquirirlo en 2 años. Planea abrir
una cuenta bancaria y depositar X $ hoy y X $ en 1 año. Los saldos en la cuenta ganarán un 8 %. ¿Cuánto
necesita Mario depositar para alcanzar $20.000 en 2 años? En esta sección se lo mostraremos.
Para financiar un consumo futuro con un plan de ahorro, el valor actual neto de todos los flujos de
fondos debe ser cero. En la jerga financiera, el consumo futuro planeado es totalmente financiado si el
valor actual neto de los flujos de fondos es cero.
| 59
Principios de Finanzas con Excel
Para verlo, comencemos con una representación gráfica de lo que ocurre.
En el año 2 Mario tendrá acumulado X * (1,08)2. Esto debe financiar los $20.000 del coche, por lo que:
X*
(1, 08
)
+ X
* (1, 08
)2 = 20
.000
Acumulación
Valor futuro de los
depósitos en 2 años
deseada
Ahora, reste los $20.000 de ambos lados de la ecuación y divida por (1,08)2:
20.000
X
X+
−
=0
1
08
(
,
)
(1, 08
)2
Valor actual neto de
todos los flujoos de fondos
Si usted deseara resolver esta ecuación, encontraría que X = $8.903,13. Para financiar completamente la adquisición futura del coche, Mario debe depositar $8.903,13 hoy y otros $8.903,13 en 1 año a
partir de ahora. Si él deposita eso, el VAN de sus pagos es cero:
8
13 +
.903
,
VA del depósito
hecho hoy
8.903,13
(1, 08
)
VA del depósito hecho
−
20.000
(1,
08
)2
=0
VA del costo del coche
en 1 año a partir de hoy
en 2 años
VAN de los 2 depósitos y del costo del coche en 2 años
Solución con Excel
Por supuesto, esta solución es fácilmente alcanzada utilizando Excel:
60 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
Si Mario deposita $8.903,13 en los años 0 y 1, entonces la acumulación en la cuenta al comienzo del
año 2 será exactamente $20.000 (celda B7). El VAN de todos los pagos (celda B9) es cero.
En la siguiente sección trataremos tres métodos para resolver el problema de ahorro de Mario.
10. Resolver los problemas de ahorro de Mario – tres soluciones
Podemos resolver el problema de Mario mediante cualquiera de los 3 métodos: prueba y error, usando
Buscar Objetivo de Excel o la función PAGO de Excel. Cada uno de estos tres métodos se ilustra en esta
sección.
10.1. Método 1: prueba y error
Usted puede “jugar” con la hoja de cálculo, ajustando la celda B2 hasta que la celda C9 sea igual
a cero. Por ejemplo, si pone $5.000 en la celda B2 observará que el VAN en la celda C9 es negativo,
indicando que Mario está ahorrando demasiado poco.
Si pone 10.000$ en la celda B2, la celda C9 será positiva: ello indica que la respuesta está en algún
lugar entre 5.000 y 10.000. Mediante prueba y error usted puede llegar a la respuesta correcta.
| 61
Principios de Finanzas con Excel
10.2. Método 2: usar la función Buscar Objetivo de Excel
Buscar objetivo es una función de Excel que busca un número específico en una celda ajustando el
valor de otra celda (para una revisión sobre el uso de Buscar Objetivo, vea el capítulo 21). Para resolver el
problema de Mario, podemos usar Buscar Objetivo para hacer que la celda C9 sea igual a 0. En el menú
de Excel 2007 se selecciona Datos l Herramientas de Datos l Análisis Y Si l Buscar Objetivo.
Habiendo elegido Buscar Objetivo veremos el cuadro de diálogo que aparece a continuación:
Y al hacer clic en Aceptar, Buscar Objetivo encontrará la solución de $8.903,13.
10.3. Método 3: usar la función PAGO de Excel
La función PAGO de Excel puede resolver directamente el problema de Mario, como se ilustra en la
siguiente hoja:
62 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
El cuadro de diálogo para esta función se presenta a continuación:
11. Ahorrar para el futuro – problemas más complejos
En esta sección presentamos 2 versiones más complicadas que el problema de Mario de la sección
2.8.
Comenzamos intentando determinar si los padres de una niña pequeña están ahorrando suficiente
dinero para su educación universitaria. A continuación el problema:
■■ El
día en que Nerea García cumplió 10 años sus padres decidieron depositar $4.000 en una cuenta bancaria para su hija. Ellos pretenden depositar $4.000 adicionales en la cuenta cada año el
día de su cumpleaños de 11, 12… hasta el de 17.
■■ Todos los saldos bancarios generan un 8 % de interés.
■■ El día del cumpleaños de 18, 19, 20 y 21, sus padres sacarán $20.000 para pagar la universidad.
¿Son los $4.000 anuales suficientes para cubrir los aranceles universitarios previstos? Podemos
resolver fácilmente este problema en una hoja.
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Principios de Finanzas con Excel
Observando la columna de saldo al final del año en la columna E, los $4.000 no son suficientes —
Nerea y sus padres se quedarán sin dinero en algún momento entre el cumpleaños 19 y 205—. Al final
de su carrera universitaria habrá $34.817 “en descubierto” (celda E18). Otra forma de verlo es observar
el cálculo de VAN en la celda C20: como vimos en la sección anterior, un plan que combina depósitos /
extracciones está completamente financiado cuando el VAN de todos los pagos / extracciones es cero. En
la celda C20 se comprueba que el VAN es negativo – El plan de Nerea es subfinanciado.
¿Cuánto deberán ahorrar los padres de Nerea cada año? Hay muchas maneras de responder a esta
pregunta, en las cuales se profundizará más adelante. Estos métodos son básicamente iguales que los
tratados para resolver el problema de Mario presentado en la sección anterior, pero para que quede
completo vamos a presentarlos nuevamente.
11.1. Método 1: prueba y error
Asumiendo que usted ha puesto las fórmulas correctas en la hoja, puede “jugar” con la celda B3 hasta que la celda E18 o la celda C20 sean igual a cero. Haciéndolo podemos ver que los padres de Nerea
deberían haber planeado depositar $6.227,78 anualmente.
5 Al final del cumpleaños 19 de Nerea (fila 16), hay $8.668,35 en la cuenta. Al final del año siguiente, hay un saldo negativo en la cuenta.
64 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
Note que el VAN de todos los pagos (celda C20) es cero cuando la solución es alcanzada. Los pagos
futuros son totalmente financiados cuando el VAN de todos los flujos de fondos es cero.
11.2. Método 2: usar Buscar Objetivo de Excel
Podemos usar Buscar Objetivo para hacer que la celda E18 sea cero. Tras pulsar en Datos l Herramientas de Datos l Análisis Y Si l Buscar Objetivo, se completa el cuadro de diálogo.
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Principios de Finanzas con Excel
Cuando se hace clic en Aceptar, Buscar Objetivo busca la solución. El resultado es el mismo que
antes: $6.227,78.
11.3. Método 3: usar las funciones VA y PAGO de Excel
Podemos usar VA de Excel y la función PAGO para resolver este problema directamente, como se
ilustra en la siguiente hoja.
Explicación: la celda B9 es el valor actual de los aranceles universitarios al comenzar los 18 años de
edad. La función PAGO computa el pago anual requerido tal que el valor futuro de los pagos (capitalizados al 8 % durante 8 años) sea igual a $71.541,94.
Podemos, por supuesto, integrar la función VA en la función PAGO, de modo que la solución sea aún
más simple.
11.4. Planes de pensiones
El problema de ahorro de los padres de Nerea es exactamente el mismo que el que enfrenta un individuo que pretende ahorrar para su retiro. Suponga que Joe tiene 20 años hoy y desea comenzar a ahorrar
de modo que cuando tenga 65 pueda disponer durante 20 años de $100.000 para retirar anualmente.
Adaptando la hoja previa, obtenemos lo siguiente.
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CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
En la tabla, en las filas 12-27 usted ve el poder del interés compuesto: si Joe comienza a ahorrar a
la edad de 20 años para su retiro, un depósito de $2.540,23 crecerá para proveerle de sus $100.000
necesarios de jubilación durante 20 años a partir de la edad de 65 años. Por otro lado, si comienza a
ahorrar a la edad de 35 años, necesitará $8.666,90 anuales.
12. ¿Cuánto tiempo lleva pagar un préstamo?
Usted está interesado en pedir
un préstamo de un banco al 10 %
de interés. El monto máximo que
usted puede pagar es $250 por
año. ¿Cuánto tiempo le llevará pagar
el préstamo? Hay una función de
Excel que responde a esta pregunta,
la cual le mostraremos enseguida.
Primero, vamos a desarrollarlo en
forma analítica de modo que podamos
entender la pregunta. En la hoja de
abajo vemos la tabla del préstamo
como la vista en la sección 2.5.
| 67
Principios de Finanzas con Excel
Como puede observar de la fila 12, el año 6 es el primer año en el cual el retorno del capital al final
del año es mayor que el capital al comienzo del año. Por lo tanto, en algún momento entre los años 5 y
6 usted habrá cancelado el préstamo.
La función NPER de Excel, como se ilustra en la celda B22, provee una respuesta exacta a la pregunta.
Cuadro de diálogo para la función NPER
Al igual que la funciones PAGO, VA y VF tratadas en algún lugar de este capítulo, la función NPER
requiere que el monto se ingrese en negativo para obtener una respuesta positiva.
13. Resumen
En este capítulo se han tratado los conceptos básicos del valor del dinero en el tiempo:
■■ Valor
Futuro (VF): el monto que usted acumula en alguna fecha futura por los depósitos realizados
en el presente.
■■ Valor Actual (VA): el valor hoy de flujos de fondos anticipados en el futuro.
■■ Valor Actual Neto (VAN): el valor hoy de una serie de pagos futuros, incluyendo el costo de adquirir
dichos flujos de fondos.
■■ Hemos hecho grandes esfuerzos para destacar la diferencia entre el concepto financiero de VAN y
la función de Excel VNA. La función de Excel VNA calcula el valor presente de los flujos de fondos
futuros, mientras que el concepto en finanzas de VAN computa el valor presente de los flujos de
fondos menos el flujo de fondos inicial.
■■ Tasa Interna de Retorno (TIR): la tasa de interés compuesta que paga una serie de flujos de fondos,
incluyendo el costo de su adquisición.
■■ NPER: el número de períodos para pagar una inversión.
También se han mostrado las funciones de Excel (VF, VA, VNA, TIR, y NPER) que realizan estos cálculos y analizado algunas de sus particularidades. Finalmente, le hemos indicado cómo realizar estos
cálculos mediante fórmulas.
68 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Usted ha depositado $600 en al banco y prevé dejarlos por 10 años. Si el banco le paga un 15 % de interés por año,
¿cuánto dinero tendrá usted al final de los 10 años?
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___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
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2. Su generosa abuela ha anunciado que ha abierto una cuenta bancaria para usted con un depósito de $10.000. Más
aún, ella prevé efectuar nueve regalos similares más, al final de este año, el año próximo, etc. Si la cuenta bancaria
paga un 8 % de interés, ¿cuánto dinero tendrá usted acumulado al final de 10 años (1 año después del último regalo)?
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___________________________________________________________________________________
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Sugerencia: resuelva este problema de dos maneras, como se muestra abajo: a) tome cada importe y calcule su
valor futuro en el año 10 (como se ilustra en las celdas C4:C13) y luego súmelos; b) use la función VF de Excel. Tenga
en cuenta que en este caso los importes se realizan al comienzo del año (usted deberá ingresar “1” en el campo
Tipo como se describe en la sección 2.1).
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Principios de Finanzas con Excel
3. Su tío ha anunciado que le dará $10.000 anualmente a usted, al final de cada uno de los próximos 4 años (él es
menos generoso que su abuela...). Si la tasa de interés correspondiente es del 7 %, ¿cuál es el valor actual de dicha
promesa? (Si usted va a utilizar VA para resolver este problema, tenga presente que la opción Tipo es 0 u omitida).
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___________________________________________________________________________________
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4. ¿Cuál es el valor actual de una serie de cuatro pagos, cada uno de $1.000, al ser efectuados al final de los años 1,
2, 3 y 4? Asuma que la tasa de interés es 14 %.
Sugerencia: resuelva este problema de dos maneras, como se indica en las filas 9 y 10 de abajo.
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5. Belleza y Salud Corporación (BYS) ha anunciado un título revolucionario: si usted le paga a BYS $1.000 ahora, obtendrá $150 al final de cada uno de los próximos 15 años. ¿Cuál es la TIR de dicha inversión?
Sugerencia: resuelva este problema de dos maneras: una, utilizando la función TIR de Excel y la otra, usando la
función TASA (como se ilustra abajo).
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CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
6. Tecno Comunicación (TC) tiene un título especial para vender: usted le paga $1.000 a TC y la empresa le devolverá
$100 al final del primer año, $200 al final del año 2,... $1.000 al final del año 10.
a. Calcule la TIR de esa inversión.
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b. Diseñe una tabla de amortización para la inversión.
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____________________________________________________________________________
7. Usted está pensando en comprar un bono con un valor nominal de $1.000 emitido por las autoridades de Desarrollo
Ibérico. El bono pagará $120 de interés al final de cada uno de los próximos 5 años. Al final del año 6, pagará $1.120
(esto es, $1.000 de su valor nominal más el interés). Si la tasa de interés correspondiente es 7 %, ¿cuál es el valor
actual de los pagos futuros del bono?
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8. Luisa Flores cumplió 55. Luisa planea jubilarse en 10 años y posee actualmente $500.000 en su fondo de pensión.
Basándose en el patrón de longevidad de su familia, ella asume que vivirá durante 20 años más pasada la edad de
retiro y durante cada uno de esos años ella quiere retirar $100.000 del fondo de pensión. Si la tasa de interés es
5 % anual, ¿cuándo dinero tendrá que ahorrar anualmente Luisa durante los próximos 10 años? Asuma que el primer
depósito al fondo de pensión será hoy, seguido de nueve depósitos adicionales anuales; y el retiro a partir de la edad
de 65 será al comienzo de cada año.
Utilice la hoja siguiente (los números no son correctos) y Buscar Objetivo para encontrar la respuesta.
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Principios de Finanzas con Excel
9. Resuelva el problema anterior utilizando las funciones VA y PAGO y la plantilla siguiente:
10. Si usted deposita $10.000 hoy, Union Bank le ofrece pagarle $50.000 al cabo de 10 años. ¿Cuál es la tasa de interés?
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__________________________________________________________________________________
11. Asuma que la tasa de interés es del 5 %, ¿cuál de los siguientes tiene mayor valor?
a.
b.
c.
d.
$5.000 hoy.
$10.000 al final de 10 años.
$9.000 al final de 4 años.
$300 por año a perpetuidad (lo que significa para siempre), con el primer pago al final de este año.
12. Usted recibe un bono de $15.000 por parte de su nuevo empleador y decide invertirlo durante 2 años. Su banco
le ofrece dos alternativas, ambas requieren un compromiso durante los dos años. La primera de ellas le genera
intereses por 8 % anual por año, durante ambos años. La segunda alternativa genera el 6 % para el primer año y
10 % para el segundo. El interés se capitaliza en forma anual. ¿Cuál debería usted elegir?
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__________________________________________________________________________________
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13. Su sueldo anual es de $100.000. Le ofrecen dos opciones como indemnización: la primera alternativa es un pago de
6 meses de sueldo ahora. La opción 2 consiste en un pago anual de $6.000 para usted o sus herederos a perpetuidad
(el primer pago al final de este año). Si la tasa de retorno requerida es 11 %, ¿qué opción debería elegir usted?
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72 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
14. Hoy es su cumpleaños número 40. Usted espera retirarse a la edad de 65 y las tablas actuariales sugieren que
usted vivirá hasta los 100 años. Usted planea mudarse a Canarias cuando se jubile, estima que le costará $200.000
efectuar tal traslado (al cumplir los 65) y que sus gastos anuales serán $25.000 por año a partir de entonces. Usted
espera obtener una tasa del 7 % sobre sus ahorros.
a. ¿Cuánto dinero necesitará haber ahorrado en el momento de su jubilación?
b. Usted ya cuenta con $50.000 ahorrados. ¿Cuánto necesitará ahorrar al final de cada año, durante los próximos
25 años, para estar en condiciones de afrontar el plan de jubilación previsto?
c. Si usted no cuenta con ningún ahorro en el momento y no está en condiciones de comenzar a ahorrar durante
los próximos 5 años (es decir, su primer ahorro lo efectuará al cumplir 45 años), ¿cuánto deberá ahorrar por
año a partir de entonces para estar en condiciones de afrontar el plan jubilatorio?
15. Usted ha invertido $10.000 en un nuevo fondo de inversiones que le reportan $1.500 al final de los próximos 10 años.
¿Cuál es la tasa de interés compuesta ofrecida por el fondo? (Sugerencia: resuelva este problema de dos maneras:
usando la función TIR de Excel y usando la función TASA).
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16. John cumple 13 años hoy. Su decisión en el día del cumpleaños es comenzar a ahorrar para comprar un coche
cuando tenga 18 años. El coche cuesta $15.000 hoy y espera que el precio crezca al 2 % por año.
John ha escuchado que un banco local ofrece una cuenta de ahorro que paga un interés del 5 % anual. Él planea
realizar 6 depósitos de $1.000 c/u en la cuenta (el primer depósito será efectuado hoy); y utilizará los fondos de
la cuenta el día de su cumpleaños de 18 como anticipo para la compra del automóvil, financiando el resto con la
agencia.
Él espera que la agencia le ofrezca las siguientes condiciones de financiamiento: siete pagos iguales anuales (siendo el primero de ellos un año después de tomar posesión del coche) y una tasa de interés anual de 7 %.
a. ¿Cuánto deberá financiar John con la agencia de coches?
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b. ¿Cuál será el valor de la cuota que deberá pagar anualmente a la agencia?
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17. Mary ha completado recientemente sus estudios universitarios en la Universidad Europea de Madrid y está planeando cursar un programa MBA dentro de 4 años. El coste del curso será de $20.000 por año durante los 2 años de
duración, que deben pagarse al comienzo de cada año. Además, Mary desea jubilarse dentro de 15 años a partir de
ahora y recibir una pensión de $60.000 anuales durante 20 años; siendo el primer pago dentro de 15 años a partir de
ahora. Mary puede prestar y tomar prestado todo lo que quiera a la tasa del 7 %, compuesta anual. Para financiar
sus gastos, Mary ahorrará dinero al final de los años 0-3 y al final de los años 6-14.
Calcule la cantidad constante de pesos que Mary debe tener al final de cada uno de esos años para cubrir todos sus
gastos (cuota del MBA y jubilación). (Ayuda: puede ser útil utilizar Buscar Objetivo).
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Principios de Finanzas con Excel
Nota: Solo para eliminar dudas, aquí le mostramos los flujos de fondos:
18. Usted es el gerente financiero de Termination Inc. Su empresa tiene 40 empleados y cada uno gana $40.000 por año.
Los salarios crecen a una tasa del 4 % anual. Comenzando a partir del año próximo y cada dos años desde entonces, 8 empleados se retiran y no se contrata ninguno nuevo. La empresa tiene vigente un programa de jubilaciones,
bajo el cual los empleados que se jubilan perciben una suma anual igual a su salario anual en el momento de la
jubilación. La expectativa de vida es de 20 años tras la jubilación y la pensión anual se paga a fin de año. La tasa de
rendimiento sobre las inversiones es del 10 %. ¿Cuál es el valor total de su deuda por jubilaciones?
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74 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
19. Usted tiene 30 años de edad y está considerando cursar un MBA. Acaba de cobrar su sueldo anual de $50.000 y
espera que este crezca al 3 % anual. Los graduados de MBA generalmente ganan $60.000 tras su graduación, con
salarios creciendo a la tasa del 4 % anual.
El programa MBA que usted está considerando es de jornada completa, de 2 años de duración y cuesta $20.000
anuales, los cuales se pagan al final de cada año lectivo. Usted quiere jubilarse a los 65 años de edad. La tasa de
interés aplicable es 8 %1. ¿Es conveniente para usted dejar su trabajo y cursar el MBA (ignore impuesto a las ganancias)? ¿Cuál es la tasa interna de retorno del BMA?
20. Usted tiene 55 años de edad y quiere comenzar a ahorrar para su jubilación. Estos son los parámetros:
~~ Usted pretende realizar un depósito hoy y al comienzo de cada mes, durante los próximos 19 años (es
decir, en su cumpleaños de 55, 56... 64).
~~ A partir de los 65 y hasta los 84, usted quiere retirar $50.000 al año (no tiene planes a partir de entonces).
~~ La tasa de interés es 12 %.
a. ¿Cuánto dinero debería depositar usted en cada uno de los años iniciales para financiar por completo
las extracciones?
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
b. Si usted comienza a ahorrar a la edad de 45, ¿cuál es su respuesta?
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
c. (Más difícil). Configure una fórmula para el monto de los depósitos de modo que pueda resolverlo para
varias edades de comienzo. Realice un análisis de sensibilidad que muestre la cantidad de dinero
que usted precisa ahorrar, como función de la edad a la que comienza a ahorrar.
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
21. Los padres de Nerea deciden comenzar a ahorrar para sus estudios universitarios, al cumplir ella 10 años. Depositarán $4.000 ese mismo día y así hasta su cumpleaños de 17 años.
A usted se le pide que programe la siguiente hoja: asuma que el banco le paga a los padres de Nerea el 8 % sobre
los saldos positivos en la cuenta, pero le cobra un 10 % sobre saldos negativos. Si los padres de Nerea necesitan
retirar $20.000 al año desde su cumpleaños de 18 hasta el de 21, ¿cuánto dinero adeudarán al banco al comenzar
el año 22? (el año posterior a que Nerea termine la universidad).
1 Lo que significa que el MBA es una inversión, tal como cualquier otra. Dado que en otras inversiones usted puede ganar un 8 %
por año; el MBA debe ser comparado contra dicho estándar.
| 75
Principios de Finanzas con Excel
Nota de Excel: para configurar esta hoja necesitará utilizar la función SI de Excel (si no está familiarizado con esta función, vea el capítulo correspondiente).
22. Una inversión de $10.000 está previsto que pague $250 al final de cada año a perpetuidad. ¿Cuál es la TIR de la
inversión? (No hay ninguna función de Excel que responda esta pregunta – ¡use la lógica!).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
23. En la hoja de abajo calculamos el VF de 5 depósitos de $100, siendo el primero de ellos efectuado en el momento
0. Como se indica en la primera sección de este capítulo, este cálculo también puede llevarse a cabo utilizando la
función = VF (Tasa, períodos, -pago, 1).
a. Demuestre que también puede calcularlo haciendo = VF (Tasa, períodos, -pago) * (1 + interés)
b. ¿Puede explicar por qué = VF (r, 5, -100, 1) = VF (r, 5, -100) * (1 + r)?
76 |
CAP. 2 | El valor del dinero en el tiempo
24. Abner y Maude tienen más de 80 años. Están pensando en vender sus casas por $500.000 y mudarse a un complejo
de apartamentos para la tercera edad. El apartamento les costará $50.000 al año y se pagan por adelantado.
a. Si pueden ganar el 6 % anual por el dinero producido de la venta de su casa y viven durante 10 años
más, ¿cuánto dinero podrán dejarle a sus nietos como herencia?
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____________________________________________________________________________
b. ¿Cuánto es lo máximo que pueden vivir con el dinero producido de la venta de su casa antes de quedarse
sin dinero?
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____________________________________________________________________________
25. ¿Cuál sería su respuesta a la pregunta anterior si la tasa de interés es 7 % y 5 %?
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__________________________________________________________________________________
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26. Michael está reconsiderando sus hábitos de consumo, tratando de ver la manera de ahorrar dinero. Se da cuenta
de que puede ahorrar $2 al día consumiendo café normal en lugar de uno especial en el bar. Dado que adquiere una
taza de café cada día laborable, ello representa $10 a la semana, y $520 al año.
a. Si Michael tiene 25 años de edad ahora y prevé jubilarse a los 65, ¿cuánto dinero habrá acumulado
por el ahorro en el café? Asuma que la tasa de interés anual es 4 % y que el ahorro de $520 ocurre al
final de cada año.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 77
Principios de Finanzas con Excel
b. Michael se ha asombrado por la respuesta a la parte (a) de este ejercicio. Se ha dado cuenta de que
tiene hábitos impropios y ha elaborado una lista de posibles ahorros para ver cuánto más rico podría
ser a la edad de 65. ¿Cuáles son las recompensas a la austeridad de Michael?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
78 |
Capítulo 3
¿Cuánto cuesta? TIR y el valor
del dinero en el tiempo
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Concepto general
No crea en las tasas de interés publicadas – Tres ejemplos
Calcular el costo de un préstamo hipotecario
Préstamos hipotecarios con pagos mensuales
Préstamo hipotecario: un ejemplo más complejo
¿Adquirir o contratar un leasing?
Ejemplo de leasing automóvil
Capitalización más de una vez al año y la TEA
Capitalización y descuento continuos (contenido avanzado)
Resumen
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
1. Concepto general
En el capítulo 2 hemos introducido las herramientas básicas de análisis financiero —valor presente
(VA), valor actual neto (VAN) y tasa interna de retorno (TIR) —. En los capítulos 3-7 utilizaremos estas
herramientas para contestar preguntas básicas:
■■ ¿Cuál
es su valor? Presentado con un activo —que puede ser una acción, un bono, una inversión
inmobiliaria, un ordenador, o un coche usado— querríamos saber cómo valuar este activo.
■■ Las herramientas financieras utilizadas para responder esta pregunta están mayormente relacionadas con el concepto de valor actual (VA) y valor actual neto (VAN). El principio básico es que el
valor de un activo es el valor actual de sus flujos futuros de fondos. Comparando este valor actual
con el precio del activo se comprueba si deberíamos comprarlo. En el capítulo 2 se han tratado los
conceptos de VA y VAN y regresaremos a ellos y sus aplicaciones en el capítulo 4.
■■ ¿Cuánto cuesta? Suena como una pregunta inocente. Después de todo, usted conoce generalmente
el precio de una acción, bono, bien inmueble, o coche usado que está tratando de valuar, pero muchas alternativas de financiamiento interesantes dependen del costo del interés relativo de cada
alternativa. Por ejemplo, ¿debería pagar en efectivo un vehículo o pedir prestado para pagarlo (y
de ese modo realizar una serie de pagos a través del tiempo)? ¿Debería usted contratar un leasing
por el ordenador que quiere adquirir o comprarlo directamente? ¿O quizás pedir dinero al banco
para comprarlo? Son claramente cuestiones de costo —usted querrá elegir la alternativa que le
cueste menos—.
Las herramientas utilizadas para la segunda pregunta — ¿cuánto cuesta?— se derivan en general
del concepto de tasa interna de retorno (TIR). Este concepto, introducido en el capítulo 2, mide la tasa
de interés compuesta de una serie de flujos de fondos. En este capítulo le mostraremos que la tasa de
retorno, cuando es adecuadamente utilizada, puede usarse para medir el costo de las alternativas de
financiamiento. El principal concepto presentado en este capítulo es la tasa de interés efectiva anual
(TEA), un concepto basado en la TIR anualizada que usted puede usar para comparar alternativas de
financiamiento.
Conceptos financieros tratados
■■ Tasa
de Interés efectiva anual (TEA).
interna de retorno (TIR).
■■ Tasa de rendimiento anual (TRA).
■■ Tablas de préstamos.
■■ Temas de hipotecas.
■■ Comprar o contratar leasing.
■■ Tasa
Funciones de excel utilizadas
■■ TIR.
■■ PAGO,
PAGOINT, PAGOPRIN.
■■ Tasa.
■■ VNA.
■■ VA.
■■ Exp.
| 81
Principios de Finanzas con Excel
■■ Ln.
■■ SUMA.
■■ Buscar
Objetivo.
2. No crea en las tasas de interés publicadas – Tres ejemplos
Para sentar las bases e ir aumentando la complejidad de los ejemplos expuestos a lo largo del capítulo
comenzaremos con tres ejemplos simples. Cada ejemplo muestra por qué las tasas de interés publicadas
no son necesariamente representativas del costo.
Los tres ejemplos de esta sección serán de utilidad para introducir el concepto de TEA.
La tasa de interés efectiva anual (TAE) es la tasa interna de retorno anualizada (TIR) de los flujos de
fondos de cualquier convenio de crédito o título.
2.1. Ejemplo 1: pedir prestado al banco
En finanzas, el “costo” generalmente hace referencia a una tasa de interés: “estoy pidiendo un préstamo del banco West Hampton por su baja tasa — ¡West Hampton cobra 8 % en lugar del 9 % del banco
East Hampton! —. Esto es algo que todos entendemos: el 8 % de interés conlleva menores pagos que el
9 % de interés.
Pero ahora considere las siguientes alternativas. Usted desea pedir $100 por 1 año y ha investigado
tanto en los bancos West Hampton como East Hampton:
■■ Banco
West Hampton presta al 8 % de interés. Si usted pide $100 hoy, deberá devolver $108 en
1 año.
■■ Banco East Hampton desea prestarle cualquier cantidad que usted desee al 6 %, pero tiene un
“costo de otorgamiento” del 4 %, lo que significa que por cada $100 que usted pide, recibirá solo
$96, aunque deberá pagar interés sobre los $1001.
Obviamente, el costo del préstamo del banco West Hampton es 8 %. Pero, ¿es más barato o más caro
que el del banco East Hampton? Usted razona del siguiente modo: para recibir hoy $100 en mano del
banco East Hampton, deberá pedir $104,17; después de que ellos deduzcan su costo del 4 %, le dejarán
$100 en mano, que es exactamente lo que usted precisa (96 % *104,17 = 100). Al final del año, usted
le adeudará al banco East Hampton $104,17 + 6 % de interés = $110,42. Por lo que la tasa real de
interés que le estarán cobrando (la tasa de interés efectiva anual):
TEA =
110, 42
− 1 = 10, 42%
100
1 Estos cargos son comunes en muchos tipos de préstamos bancarios, especialmente hipotecarios. Son obviamente una manera de incrementar el costo del préstamo y confundir al cliente.
82 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
Esto hace las cosas más fáciles; el préstamo al 8 % del banco West Hampton (TEA = (%) es realmente
más barato que el préstamo del banco East Hampton (TEA = 10,42 %).
Observe en este ejemplo que la TEA es solo una TIR ajustada por el costo de otorgamiento de créditos
del banco East Hampton. La TEA es siempre una tasa de interés, pero generalmente con algún tipo de
ajuste.
La lección del ejemplo 1: cuando calcule el costo de las alternativas de financiamiento, usted debe
incluir las comisiones, aun cuando el prestador (en nuestro caso el banco West Hampton) eluda el tema.
2.2. Ejemplo 2: interés mensual versus interés anual
Usted desea adquirir un ordenador por $1.000. Usted no dispone de dinero, por lo que deberá financiarlo pidiendo un préstamo de $1.000. Dispone de dos alternativas de financiamiento:
■■ Su
banco le prestará dinero al 15 % anual de interés. Cuando usted le consulta al banco qué
significa eso, ellos le contestan que le darán $1.000 hoy y le cobrarán $1.150 al cabo de 1 año.
■■ La compañía financiera Shark Loan también le prestaría $1.000. Su aviso publicitario dice
“14,4 % de interés anual (TNA) sobre una base mensual”. Cuando usted le pregunta qué significa
eso, resulta que Shark Loan carga 1,2 % mensualmente. Ellos le explican que...
14, 4%
= 1, 2%
12
Ello significa que cada mes Shark Loan suma 1,2 % al saldo pendiente del crédito al final del mes
anterior:
| 83
Principios de Finanzas con Excel
Al final del año, usted le adeudará a Shark Loan $1.153,89.
12
$1.153, 89 = $1.500 ×
 14, 4% 
 1 + 12 


El crédito de Loan Shark se "capitaliza
mensualmente". Ello significa que el 14,4%
%
anual de interés pasa a ser un 1,2% mensual
Dado que esta cantidad es mayor que los $1.150 que usted le debería al banco, sería preferible el
préstamo bancario.
La tasa de interés efectiva anual (TEA) de cada préstamo es la tasa de interés anualizada que se
cobra sobre el crédito. El banco le cobra un 15 % anualmente y el préstamo de Shark Loan le cuesta
15,39 % por año:
Las celdas C9 y C10 muestran otra forma de calcular el 15,39 % de TAE cobrada por Shark Loan.
Celda C9 computa la tasa mensual cobrada por Shark Loan de 1,2 % y la celda C10 anualiza esta tasa:
84 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
12
 14, 4% 
 1 + 12  − 1 = 15, 39%


Entonces, hay dos modos de calcular la TEA:
Pago al final del año
$1.153, 89
−1 =
Crédito tomado al comienzo del año
$1.000
Celda C6
TEA = 15,39% =
12
 14, 4% 
 1 + 12  − 1


Celda C10
La lección del ejemplo 2: la tasa nominal anual (TNA) no siempre refleja correctamente el costo del
endeudamiento. Para computar el verdadero costo, calcule la tasa de interés efectiva anual (TEA).
2.3. Ejemplo 3: un préstamo “sin interés”
Usted está adquiriendo un coche usado cuyo precio es de $2.000. Tiene dos opciones de financiamiento:
■■ La
agencia de coches le explica que si usted paga al contado obtiene un 15 % de descuento. En
tal caso pagará $1.700 por el coche hoy. Dado que ahora usted no dispone de ningún dinero, tiene
la intención de pedir los $1.700 a su tío Frank, que le cobra un 10 % de interés.
■■ Por otro lado, la agencia de coches le ofrece “financiamiento 0 %”: usted no paga nada hoy y
puede pagarle a la agencia el valor completo del coche a fin de año.
Entonces, usted tiene dos alternativas: el financiamiento 0 % de la agencia y la tasa de interés de 10 %
de su tío Frank. ¿Cuál es más barata?
Un poco de razonamiento demostrará que la agencia le está cobrando una tasa de interés efectiva
anual (TEA) de 17,65 %: su “financiamiento 0%” esencialmente implica un crédito de $1.700 con un
pago a fin de año de $2.000:
| 85
Principios de Finanzas con Excel
La TEA del tío Frank es 10 %: él le prestará $1.700 y usted deberá devolverle solo $1.870. Por lo
tanto, la mejor opción para usted es pedírselo prestado a él.
La lección del ejemplo 3: ¡los créditos gratuitos no lo son normalmente! Para calcular el costo de un
crédito “gratis”, calcule la TEA de los flujos de fondos diferenciales.
3. Calcular el costo de un préstamo hipotecario
Ahora que se han sentado las bases, procederemos con una serie de ejemplos más complejos. Comenzamos con un préstamo hipotecario. Una vivienda es generalmente el activo más valioso que tiene un
individuo. Financiar una vivienda con un crédito hipotecario es algo que casi todos los lectores de este
libro realizarán a lo largo de su vida. Calcular el costo de un crédito hipotecario es, por consiguiente, un
ejercicio muy útil. En este capítulo, el crédito hipotecario será uno de los ejemplos que usaremos para
ilustrar los problemas que se encuentran al calcular el costo de los activos financieros.
3.1. Un préstamo hipotecario simple
Comenzamos con un ejemplo simple. Su banco le aprobó un préstamo hipotecario de $100.000, a ser
pagado durante 10 años al 8 % de interés. Por simplicidad, asumimos que los pagos del préstamo son
anuales2. El banco calcula el pago anual en $14.902,95, utilizando la función PAGO de Excel.
La función PAGO calcula la anualidad (un pago periódico constante) que cancela el préstamo:
14.902, 95 14.902, 95 14.902, 95 14.902, 95
14.902, 95
=
+
+
+ ..... +
t
2
3
(1, 08)
(1, 08)
(1, 08)
(1, 08)
(1, 08)10
t=1
10
100.000 = ∑
2 En el mundo real, los pagos son probablemente mensuales; vea el ejemplo en la Sección 3.3.
86 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
Cuadro de diálogo para la función pago
El cuadro de diálogo para la función PAGO: Tasa es la tasa de interés del préstamo, Nper es el número de períodos que se
pagan y Va es el capital del préstamo. Como se vio en el capítulo 2, si el capital del préstamo se escribe como un número
positivo, Excel presenta el pago como un número negativo; para evitarlo, escribimos Va como un número negativo.
Podemos sintetizar todo ello en una plantilla de Excel:
La TEA de este préstamo hipotecario particular es simplemente la tasa interna de retorno de sus
pagos. Dado que los pagos del crédito son anuales, la TIR de la celda B20 está ya en términos anuales.
| 87
Principios de Finanzas con Excel
3.2. El banco cobra “puntos de hipoteca”
Al igual que en el ejemplo anterior, usted pidió un préstamo hipotecario de $100.000 en el banco.
Ellos se lo autorizaron y le explicaron que debería pagar $14.902,95 por año durante los próximos 10
años. Sin embargo, cuando usted llega al banco se da cuenta de que este le ha deducido “1,5 puntos” de
su préstamo, lo que significa que solo recibe $98.500 ($100.000 menos 1,5 %). Su pago, sin embargo,
continúa estando basado en el capital de $100.000. Usted se da cuenta inmediatamente de que este
préstamo hipotecario es más caro que el tratado en la subsección anterior. La pregunta es: ¿cuánto más
caro es? Calculando la TEA sobre el préstamo hipotecario podemos contestar esta pregunta. El cálculo de
abajo muestra que realmente está pagando 8,34 % de interés anualmente.
Observe que la TEA de 8,34 % es la TIR de la corriente de pagos, consistente en el capital real actual
($98.500) versus los pagos reales que está efectuando ($14.902,95). A continuación, el cálculo:
14.902, 95
14.902, 95 14.902, 95 14.902, 95 14.902, 95
=
+
+
+ ..... +
t
2
3
(1, 0834) (1, 0834)
(1, 0834)
(1, 0834)10
t=1 (1, 0834)
10
98.500 = ∑
Al final de cada año, usted debe informar a Hacienda del monto de intereses pagados sobre el préstamo hipotecario. Dado que este interés es un gasto a efectos impositivos, es importante calcularlo
correctamente. Para calcular el interés, precisamos una tabla del préstamo que distribuya cada pago
anual entre interés y repago del capital (vea la sección 2.5). Esta tabla es a veces denominada “tabla de
amortización” (“amortizar” significa pagar con una serie de pagos periódicos).
La columna D de la tabla indica el gasto por intereses a propósitos impositivos. Si usted reporta los
gastos impositivos en su declaración de impuestos, esta es la cantidad que estará autorizado a informar.
88 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
Observe que la porción de intereses del pago anual de $14.902,95 se hace cada vez menor a través de
los años, mientras que la porción de repago del capital (que no es un gasto deducible a efectos impositivos) se hace cada vez mayor.
3.3. Calculando los pagos individuales con PAGOINT y PAGOPRIN
La tabla de arriba ofrece la idea intuitiva que hay detrás de una tabla de préstamos y la asignación
entre interés y capital de cada pago. El interés y repago del capital se pueden computar directamente
usando las funciones de Excel PAGOINT y PAGOPRIN. Esto se ilustra abajo3.
3 Observe que PAGOINT y PAGOPRIN funcionan solo cuando la cuota del préstamo es constante.
| 89
Principios de Finanzas con Excel
A continuación, el cuadro de diálogo para PAGOINT de la celda D11 (la sintaxis para PAGOPRIN) es
similar. Observe que Período indica el período específico para el cual el interés es calculado:
4. Préstamos hipotecarios con pagos mensuales
Continuamos con los ejemplos de préstamos hipotecarios de la sección 2.3. Esta vez presentamos el
concepto de pagos mensuales. Suponga que usted obtiene un préstamo hipotecario de $100.000 con
un 8 % de interés, a pagar mensualmente, y suponga que usted debe cancelar el préstamo en 1 año (12
meses)4. Muchos bancos interpretan la combinación de 8 % de interés anual y “a pagar mensualmente”
como que el interés mensual sobre el préstamo es:
8%
= 0, 667%
12
A esto se le llama normalmente “interés compuesto mensual”, a pesar de que el uso de este término
no es uniforme. Para calcular el pago mensual del préstamo hipotecario utilizamos la función PAGO de
Excel:
4 La mayoría de los préstamos hipotecarios son, por supuesto, por un plazo mucho mayor. Pero 12 meses nos permiten ajustar el ejemplo cómodamente en una hoja. Más adelante consideraremos plazos más largos, pero el principio será el mismo.
90 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
La TIR del préstamo hipotecario del ejemplo se calculó usando la función TIR de Excel (celda B21).
En nuestro caso, la función TIR dará una tasa de interés mensual de 0,667 %. Ya lo sabíamos porque:
8%
= 0, 667%
12
12
 8% 
− 1 (celda B22)
Anualizándolo, da 8,30 % =  1 +
12 

5. Préstamo hipotecario: un ejemplo más complejo
Como vimos en la sección 3.1., muchos préstamos hipotecarios tienen “gastos de otorgamiento” o
“puntos de descuento” (esto último en general es conocido directamente como “puntos”). Todos estos
gastos y comisiones reducen el monto inicial que le da a usted el banco, sin reducir el monto sobre el
cual el banco computa su cuota (sueña engañoso, ¿o no?).
Como ejemplo, considere el préstamo a 12 meses de arriba con un 8 % de interés anual, a pagar mensualmente, pero con un gasto de otorgamiento de 0,5 % y 1 punto. Ello significa que realmente usted
obtiene $98.500 ($100.000 menos $500 por los gastos de otorgamiento y $1.000 por los puntos), pero
su cuota mensual sigue siendo $8.698,84:
| 91
Principios de Finanzas con Excel
La TIR mensual (celda B23) es la tasa de interés que hace el valor actual de los pagos mensuales
iguales a los $98.500 recibidos:
$98.500 =
8.698, 94
8.698, 94
8.698, 94
8.698, 94
+
+
+ ..... +
2
3
(1 + 0, 9044) (1 + 0, 9044%) (1 + 0, 9044%)
(1 + 0, 9044%)12
TEA = 11,41 % = (1 + 0,9044 %)12-1 es el costo anualizado de los pagos del préstamo hipotecario.
Como puede ver en la celda B26, la función TASA de Excel también calcula la TIR mensual que hemos obtenido en la celda B23.
92 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
Nota de excel: calculando la TIR mensual con la función tasa
La función TASA calcula la TIR de una serie de pagos constantes (en la jerga financiera es “fijos”), de modo que el valor
actual sea igual al VA indicado. Observe que en la función TASA los signos de los pagos (indicados en Pago) y el Va de
esos pagos deben ser diferentes. Esta es una característica que TASA comparte con funciones de Excel como PAGO y VA,
tratadas en el capítulo 2.
5.1. Préstamos hipotecarios de plazos más largos
Suponga que el préstamo hipotecario del ejemplo anterior tiene un plazo de 30 años (es decir: 360 =
30 * 12 cuotas). Cada cuota sería de $733,76 y la TEA sería de 8,4721 %:
Hemos utilizado PAGO para calcular la cuota y TASA, para calcular la tasa de interés mensual. La TEA
se calculó de la manera tradicional, es decir, capitalizando los pagos mensuales.
Observe que el efecto de los gastos iniciales sobre la TEA del préstamo hipotecario decrece a medida
que el plazo aumenta:
| 93
Principios de Finanzas con Excel
■■ Para
el préstamo a 1 año tratado previamente, el 1,5 % de gasto inicial incrementaba la TEA del
préstamo de 8 % a 11,41 %.
■■ Para el préstamo a 30 años, el mismo gasto inicial incrementa la TEA de 8 % a 8,4721 %.
■■ La razón por la que los gastos tienen un menor efecto para el segundo préstamo es que ellos se
distribuyen sobre un plazo mucho más largo.
6. ¿Adquirir o contratar un leasing?
Esta sección utiliza los conceptos de valor actual y tasa interna de retorno para explorar la ventaja
relativa del contrato de leasing versus la adquisición de un activo. Como usted observará, la elección
entre contratar un leasing y comprar, básicamente se reduce a seleccionar la alternativa más económica
de los dos métodos de financiamiento.
Resulta conveniente repasar la terminología: un contrato de leasing es un contrato de alquiler (o renta);
en nuestro ejemplo serán generalmente para equipamiento (trataremos un leasing de ordenadores y uno
de coches), pero el análisis para bienes inmuebles es virtualmente el mismo. La parte que recibe el activo
y lo utiliza se denomina “tomador” o “adquirente” y el dueño del activo es el “dador” o “proveedor”.
6.1. Un ejemplo simple de leasing
Usted necesita un ordenador nuevo, pero no puede decidir si comprarlo o “alquilarlo”. El ordenador
cuesta $4.000. El dador es una compañía de leasing de ordenadores vecina que le ofrece un contrato de
leasing por $1.500 anuales. Las condiciones que pone el proveedor son que usted realice cuatro pagos
de $1.500: el primer pago al comenzar el contrato (momento 0) y los pagos siguientes al final de los años
1, 2 y 3. En base a la experiencia anterior, usted sabe que mantendrá su nuevo ordenador por aproximadamente 3 años. Un dato adicional: usted puede pedir un préstamo de su banco al 15 %.
Esta es una hoja con los flujos de fondos para el leasing y para la compra:
Para decidir si es preferible “alquilar”, descontamos los flujos de fondos de ambas alternativas a la
tasa bancaria del 15 %. Escribimos los desembolsos como números positivos, de modo que el VA en fila
12 es el valor actual de los costos. Como puede ver en la celda B12, el VA de los costos del leasing es:
94 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
$4.924,84, que es una cantidad mayor que los $4.000 que cuesta adquirir el ordenador. Por ello, usted
prefiere la compra, que es menos costosa.
Hay otra manera de hacer el mismo cálculo. Calculamos la TIR de los flujos de fondos diferenciales,
substrayendo los flujos de fondos correspondientes al leasing de los flujos de fondos de la adquisición
en cada uno de los años:
El leasing del ordenador es equivalente a pagar $1.500 por el ordenador en el año 0 y tomar un préstamo por $2.500 de la compañía de leasing. El “préstamo” se abona en 3 cuotas iguales de $1.500 con
una TIR de 36,31 %. Dado que usted puede pedir dinero al banco al 15 %, usted preferirá comprar el
ordenador con dinero prestado por el banco (al 15 %) en lugar de “pedir prestado” $2.500 a la compañía
de leasing, que le cobra el 36,31 %.
En la hoja de abajo, usted puede ver otra manera de tratar el mismo punto. Si pide prestado $2.500 al
banco al 15 %, debería pagarle $1.094,94 al año durante los próximos 3 años (asumiendo que el banco
fije un esquema de cuotas constantes). Esto es sustancialmente menor que los $1.500 que el dador del
leasing le pide por el mismo préstamo.
6.2. ¿Qué hemos asumido respecto del leasing versus adquisición?
El ejemplo de leasing que hemos tratado anteriormente ilustra el espíritu del análisis comprar/alquilar.
El ejemplo contiene algunas cuestiones que vale la pena destacar:
| 95
Principios de Finanzas con Excel
■■ No
hay impuestos: cuando las empresas contratan un leasing de equipamiento, los pagos del leasing son un gasto a efectos impositivos; cuando estas empresas adquieren activos, la amortización
de los activos es un gasto a efectos impositivos. Ello añade cierta complicación al análisis; el caso
del leasing con impuestos será tratado en el capítulo 5.
■■ Equivalencia operativa entre compra y leasing: en nuestro análisis no hemos preguntado si usted
necesita el ordenador; hemos asumido que ha respondido a esta pregunta afirmativamente, de
modo que solo el método de adquisición es la incógnita. Nuestro análisis también asume que
cualquier mantenimiento o reparación que se precise efectuar sobre el ordenador será sufragado
por usted, ya compre o “alquile” el ordenador.
■■ No hay valor residual: hemos asumido que el activo (en este caso, el ordenador) no tiene ningún
valor al finalizar el término del contrato de leasing.
Exploraremos el último punto brevemente. Suponga que usted cree que el ordenador tendrá un valor
de $800 al finalizar los 3 años. Entonces —como se muestra abajo—el flujo de fondos de la adquisición
cambia, de modo que ser dueño del ordenador le da un flujo de fondos positivo de $800 en el año 35. El
costo de comprar un ordenador se reduce (el valor actual es 3.304) y la alternativa de leasing se torna
aún menos atractiva que la adquisición. Otra perspectiva es ofrecida al mirar la TIR de los flujos de fondos diferenciales, que es ahora 45,07 % (celda B23)6.
5 Observe que estamos escribiendo los flujos de fondos negativos (como el costo de adquisición del ordenador) como números positivos,
por lo que debemos escribir los flujos de fondos positivos como números negativos.
6 Una advertencia: estamos tratando al valor residual del ordenador como si tuviera la misma certidumbre que el resto de los flujos de
fondos, cuando claramente es menos cierto. La literatura financiera tiene una solución técnica para esto: buscamos el equivalente cierto
del valor residual. Por ejemplo, puede ser que esperemos que el valor residual sea de $1.200, pero que —reconociendo la incertidumbre de
obtener dicho valor— tratemos ese importe como equivalente a obtener $800 de valor residual con certeza.
96 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
7. Ejemplo de leasing automóvil
Aquí presentamos un ejemplo más realista (y complicado) sobre leasing: usted ha decidido tener un
coche nuevo. Puede tanto comprarlo como “alquilarlo” (contratar un leasing). Si decide comprarlo, puede financiarlo con un préstamo bancario al 3 %. Los datos relevantes se presentan en la hoja que sigue,
pero se resumen aquí:
■■ El
precio al público sugerido del fabricante (PPSF) para el coche es $24.550, pero usted ha podido negociar un precio de $22.490 con el agente7. En la jerga del negocio de leasing automóvil, los
$22.490 se conocen como “precio base”. A este precio deben sumársele los “gastos de envío” de
$415, de modo que usted termina pagando $22.905 si adquiere el coche. Este costo representa
el costo alternativo si decide comprar en lugar de “alquilar”.
■■ El agente le ha ofrecido las siguientes condiciones para el leasing:
 Usted
paga $1.315 al comenzar el leasing. El agente le explica que ello cubre el total de los
$415 de “gastos de envío”, más $450 de “comisiones de adquisición”, y $450 de depósito
de garantía. El depósito de garantía le será reintegrado al final del leasing.
 Usted pagará $373,43 por mes durante los próximos 24 meses. En el mes 24 usted recibe su
depósito de garantía de $450 nuevamente.
 Usted garantiza que el coche tendrá un valor residual de $13.994 al final del contrato. El
agente estimó este valor en el 57 % del PPSF. Esto significa es que si el coche vale menos de
$13.994 al final de los 24 meses, el adquirente (usted) compensa la diferencia8. El pago final
del leasing asociado a este valor residual puede escribirse como:
Pago final del leasing
13.994 – valor de mercado
Si el valor de mercado < 13.994
0
De otro modo
Otra forma de escribir este pago es: Max (13.994 – valor de mercado, 0). La notación Max (A,B)
significa que usted paga el mayor de A o B. Y, convenientemente, Max es también una función de Excel.
El valor residual resulta un factor importante en la comparación del leasing versus adquisición. Más
adelante, dedicaremos más tiempo a ello. Por el momento, asumamos que usted considera que el coche
valdrá $15.000 al final de los 2 años, por lo que su último pago del leasing es cero:
Pago final por valor residual del leasing = Max (13.994 – valor de mercado, 0) = Max (13.994
– 15.000, 0) = Max (-1.006 , 0) = 0
7 El “precio al público sugerido del fabricante” (PPSF) es el precio que el fabricante sugiere como apropiado para el coche. En realidad, es
una especie de precio ficticio oficial y constituye la base para la negociación entre el agente y el adquirente. En nuestro ejemplo, el PPSF
es utilizado en el cálculo el valor residual, pero el precio real pagado por el coche es menor.
8 Según www.edmunds.com: “los pagos finales del leasing son generalmente razonables, a menos que el coche tenga 100.000 millas y
chocolate derretido en la tapicería. Las agencias e instituciones financieras quieren que usted les compre otro coche nuevamente y pueden
ser indulgentes en relación al exceso de millas o desgaste anormal. Después de todo, si lo atosigan con un grupo de gastos falsos usted no
se mantendrá como un cliente leal, ¿o sí? Pero tenga en mente que si usted lleva su negocio a otra parte, estará recibiendo facturas por
neumáticos usados, restos de pintura, golpes en las puertas, etc.”.
| 97
Principios de Finanzas con Excel
Todos los costos se listan en la columna C de la siguiente hoja. Para evaluar estos costos mire la columna D, que muestra los costos asociados con la compra del coche. Hay solo dos: el precio de compra
inicial del coche ($22.490 + gastos de envío de $415 = $22.905) y lo que usted anticipa que será el
valor de mercado del automóvil al finalizar el contrato de leasing (en el ejemplo de abajo, usted considera
que el coche realmente valdrá $15.000). Dado que hemos usado la convención de hacer que los costos
sean números positivos, los flujos de fondos positivos de la venta del coche serán números negativos.
Este último número tiene una explicación: si usted “alquila” su pago final es:
Pago final del leasing =
renta del último mes – reintegro del depósito de garantía +
Pago final por valor residual.
= 373,43 – 450 + Max (13.994 – valor de mercado, 0)
Si su estimación es acertada y el valor de mercado real es de $15.000, entonces su ultimo “pago” es
-$76,57 (significa que usted recibirá $76,57 de reintegro de la compañía de leasing).
98 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
La columna E de la hoja resta los flujos de fondos del “alquiler” de la compra. Inicialmente, el leasing
le hace ahorrar $21.590; en los meses 1-23 el leasing le cuesta $373,43 más que la compra y al final
del mes 24 el leasing le cuesta $14.923,43 más que la compra.
La TIR mensual de los flujos de fondos diferenciales es 0,44 %, lo que da una TEA de 14,36 %
(celdas E44 y E45).
¿Debería usted comprar o “alquilar”? Depende de su costo alternativo de financiamiento. Si puede
financiar con un banco por menos del 5,39 %, entonces debería comprar el coche; de lo contrario, el
leasing es una operación apropiada. En nuestro caso, usted puede financiar mediante banco al 3 %
(celda E48), por lo que usted debería comprar el coche con un préstamo bancario en lugar de contratar
un leasing.
7.1. El rol del valor residual
El valor residual del coche es muy importante en la determinación del costo del leasing. Para ilustrarlo
utilizamos la herramienta Datos l Herramientas de Datos l Análisis Y Si l Tabla de datos de Excel (vea
capítulo 20) para desarrollar una tabla de análisis de sensibilidad que muestre la TEA y la decisión de
comprar/alquilar como función del valor residual estimado del coche:
Como muestra la tabla de datos, el leasing es preferible si usted piensa que el valor real del coche al
final del término del leasing será bajo en relación al valor residual de $13.994. El leasing está basado en
la “reventa” del coche al agente en $13.994; si usted piensa que el coche valdrá mucho más, entonces
le estará vendiendo al agente con pérdida y le resultará más beneficioso comprar el coche y venderlo por
su cuenta9. El valor de mercado de equilibrio —el valor de mercado estimado para el cual le es indiferen-
9 Algunas compañías de leasing actualmente le dan la opción de comprar el coche por el valor residual al finalizar el contrato. Ello efectivamente fija la TEA del leasing, dado que si el automóvil vale más que el valor residual, usted siempre puede comprarlo al valor residual
y revenderlo en el mercado.
| 99
Principios de Finanzas con Excel
te “alquilar” el coche o financiarlo con el banco al 3 %— se encuentra en algún punto entre $14.000 y
$14.500; en ese punto la TAE del leasing es 3 %; que es igual al costo de financiamiento alternativo10.
7.2. Financiar la compra del coche con préstamo bancario: ¿más barato o más caro?
En nuestro análisis precedente hemos concluido que el costo anual del leasing a 2 años (celda E45)
tiene una TEA de 5,39 %. Por lo tanto, es razonable que si usted puede obtener un préstamo más barato
del banco, debería pedir el préstamo y utilizar el dinero para adquirir el coche. Sin embargo, suponga que
el banco le ofrece un préstamo al 3 % (con capitalización mensual, de modo que la tasa de interés mensual es 3 % / 12 = 0,25 %) y suponga que tenemos la misma cantidad para financiar (es decir, el coche
cuesta $22.905 menos el pago inicial de $1.315). La hoja de abajo muestra que los pagos mensuales
de este préstamo bancario son mucho mayores que los del leasing:
Ahora, esto entraña cierta confusión: pedir prestado al banco al 3 % para comprar el coche implica un
pago mensual mayor ($927,96) que el pago mensual del leasing ($373,43). Recién en nuestro análisis
del leasing en la página anterior concluimos que una tasa bancaria de 3 % es preferible antes que la TEA
de 5,39 % del leasing. Para resolver esta aparente contradicción, hay que recordar que las diferencias
entre ambos—el préstamo y el leasing— es el valor residual incorporado en el contrato de leasing: este
valor residual esencialmente es una garantía que usted, el adquirente, extiende al proveedor y que reduce
sus pagos mensuales en el leasing e incrementa su participación en el valor residual del coche. Comparado con el préstamo bancario, el leasing le genera menores pagos en compensación por asumir el riesgo
de garantizar el valor residual del coche. No hay un almuerzo gratis.
Para comprobar que el préstamo es realmente más barato, asuma que pide un préstamo aparte del
banco para financiar los $15.000 de valor residual del coche en 2 años:
Valor actual del valor residual =
$15.000
 3% 
 1 + 12 


10 El valor residual exacto que a usted le resultará indiferente es $14.134.
100 |
24
= $14.127,53
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
Podemos ahora dividir el precio de compra de $22.905 en 2 partes:
22.905 + $
14.127 + $8.777, 47
$15.000
24
 3% 
 1+ 
 12 
El costo total de $8.777,47 es el costo de utilizar el coche los próximos 2 años. De esta suma, usted
debe pagar una suma inmediata de $1.315, lo que deja $7.462,47 para financiar. Si se financia esta
suma con un leasing el costo será de $373,43 al mes, mientras que financiando con el préstamo bancario costará $320,75 al mes:
El préstamo bancario es más barato. Resumimos nuestra lógica en la Figura 3.1.
| 101
Principios de Finanzas con Excel
Reflexión sobre el leasing o préstamo bancario para coches
Figura 3.1. Renta versus compra de coche
Explicación: el costo del coche es $22.905. Usted estima el valor residual del coche en $15.000 en 2 años, que tiene un
valor actual de $14.127,53. El costo de usar el coche 2 años es, por lo tanto, $8.777,47. Si usted “alquila” el automóvil
tendrá que hacer un pago inicial de $1.315.
Asuma que usted financia el costo remanente de $7.462,47 con un préstamo bancario. Este préstamo le costará a usted
$320,75 al mes, comparado con los $373,43 al mes para el leasing. Es entonces más barato financiar con préstamo del banco.
8. Capitalización más de una vez al año y la TEA
Suponga que a usted le cobran intereses sobre una base mensual pero quiere calcular el costo anual
de los intereses. A continuación, el ejemplo: el Banco XYZ dice que carga intereses con una tasa nominal
anual (TNA) de 18 % por los saldos de su tarjeta de crédito, con “intereses calculados mensualmente”.
Suponga que lo que el banco le dice es que le carga 1,5 % mensual por los saldos pendientes al comienzo del mes. Para determinar lo que ello significa en la práctica, debería consultarse a sí mismo “si tengo
un saldo pendiente de $100 durante 12 meses, ¿cuánto adeudaré al final del período de 12 meses? Si
lo planteamos en Excel, obtenemos lo siguiente:
102 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
Al finalizar los 12 meses usted debería $119,56 - los $100 de saldo inicial más $19,56 de interés.
Las celdas B19 y B20 muestran 2 maneras de calcular la tasa de interés efectiva anual:
■■ En
la celda B19, tomamos el saldo final que resulta de los $100 de saldo inicial en la tarjeta de
crédito y dividimos por el saldo inicial para calcular el interés:
TEA =
TEA =
■■ En
Saldo Final
−1
Saldo Inicial
119,56
− 1 = 19,56%
100
la celda B20 tomamos la tasa de interés mensual y la capitalizamos:
 TEA
= (1 + tasa de interés mensual)12-1
 TEA = (1,015)12-1 = 19,56 %
n
 r
Cuando la tasa de interés anual se capitaliza n veces por año, la TEA =  1 +  − 1
 n
8.1. TNA y TEA
Por ley del Congreso (“The Federal Truth in Lending Act” – “Ley de Prestamos”) quienes efectúan
préstamos están obligados a especificar la tasa nominal anual (TNA) cargada en los préstamos. Desafortunadamente, la Ley de Préstamos no indica cómo debe computarse la TNA y el uso el término por parte
de quienes otorgan préstamos no es uniforme. A pesar de que “TNA” es la denominación legal designada
para ayudar al usuario a entender el verdadero costo del endeudamiento, algunas veces la TNA es la tasa
de interés efectiva anual (TEA), pero en otros casos —como en el ejemplo de la tarjeta de crédito de esta
sección— la TNA es algo diferente. El resultado es muy confuso.
8.2. La TEA y la cantidad de períodos de capitalización por año (n)
En el ejemplo precedente, la compañía de tarjeta de crédito toma su interés “anual” de 18 % y lo
transforma en 1,5 % de interés mensual. Como vimos, la TEA resultante es 19,56 %.
En la figura 3.2. calculamos el efecto del número de períodos de capitalización sobre la TEA.
| 103
Principios de Finanzas con Excel
La TEA crece con el número de períodos de capitalización. La TEA es:
Tasa de interés nominal


TEA =  1 +

i
zaci
ó
n
por
a
ñ
o
n
ú
mero
de
per
í
odos
de
capital


número de períodos de capitalización por año
−1
Cuando lo hacemos en Excel, vemos que la TEA crece a medida que el número de períodos de capitalización se incrementa. Para una cantidad muy grande de períodos de capitalización, la TEA se aproxima
al límite de 19,722 % (celda C20 abajo en la siguiente hoja).
Hay dos cuestiones importantes que deben subrayarse sobre el cómputo de la TEA:
■■ Mientras
el número de períodos de capitalización por año (n) crece, la TEA se incrementa en:
n
 r
1 + n  − 1


■■ La
tasa a la cual la TEA crece se torna menor a medida que el número de períodos de capitalización aumenta. Hay muy poca diferencia entre la TEA cuando el interés se capitaliza 36 veces
por año (TEA = 19,668 %) y la TEA cuando capitalizamos 365 veces por año (TEA = 19,716 %).
LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA ANUAL (TEA) Y EL NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN
La tasa de interés anual es 18 %
Número de períodos de
capitalización por año
1
Fórmula de TEA
(1+18 %) – 1
TEA (%)
18
2
2 (capitalización semestral)
 18% 
1 + 2  − 1


4 (capitalización trimestral)
 18% 
1 + 4  − 1


12 (capitalización mensual)
 18% 
 1 + 12  − 1


24 (capitalización quincenal)
 18% 
 1 + 24  − 1


18,81
4
19,252
12
19,562
24
19,641
Continúa en página siguiente >>
104 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
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LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA ANUAL (TEA) Y EL NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN
La tasa de interés anual es 18 %
Número de períodos de
capitalización por año
Fórmula de TEA
TEA (%)
52
52 (capitalización semanal)
 18% 
 1 + 52  − 1


365 (capitalización diaria)
 18% 
 1 + 365 


19,685
365
−1
19,716
Figura 3.2. La TEA cuando la tasa de interés anual de 18 % se capitaliza varias veces por año.
| 105
Principios de Finanzas con Excel
9. Capitalización y descuento continuos (contenido avanzado)
En la celda C20 hemos computado el límite de la TEA cuando el número de períodos de capitalización
se torna muy elevado. Este límite se llama capitalización continua. Para n períodos de capitalización por
año:
n
 r
TEA =  1 +  − 1
 n
Cuando el número de períodos de capitalización n se torna demasiado alto, la TEA sea aproxima a
er-1. El número e = 2,7182818285904 es la base de logaritmos naturales y está incluida en la función
Exp( ) de Excel. En la jerga de finanzas, erT se denomina valor futuro con capitalización continua después
de T años a la tasa de interés anual r.
En la hoja de abajo usted podrá ver la diferencia entre el valor futuro con capitalización discreta y
valor futuro con capitalización continua.
Cuando el número de períodos de capitalización se vuelve muy elevado, la diferencia entre el interés
con capitalización discreta y continua se torna muy reducido.
9.1. El factor de capitalización continua
En el capítulo 2 vimos que el valor futuro y valor presente están estrechamente relacionados:
106 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
La siguiente hoja sintetiza estas relaciones:
9.2. Un ejemplo real de tarjeta de crédito
El interés con capitalización continua puede parecer un concepto etéreo —altamente teórico— pero
es muy útil. El ejemplo de esta subsección muestra cuán ventajoso puede ser el interés con capitalización
continua. La tarjeta de crédito de la Universidad del Estado de Columbia de la imagen siguiente carga un
interés penal anual (TNA) del 27,99 %11. El paréntesis del aviso deja en claro que la empresa realmente
carga un 0,07669 % por día sobre los saldos pendientes. Esta tasa se calcula tomando el 27,99 % y
dividiéndolo por el número de días por año:
0, 07669 % =
27, 99%
365
11 ¿Qué es una tasa de interés penal? Como el sitio web explica: “si usted paga tarde, todas las tasas pueden cambiar hacia la misma que
la tasa de interés penal”. En otras palabras, si usted demora en el pago, la tasa penal se aplica sobre todos los saldos pendientes.
| 107
Principios de Finanzas con Excel
Tasa de Interés anual (TNA) para compras
10,99 % (0,03011 %) Tasa de Interés Diaria (TID)
Otras tasas anuales
TNA para adelantos en efectivo: 14,99 % (0,04107 % TID)
Tasa Penal: 27,99 % (0,07669 TID)
Si usted mantiene un saldo de $100 a lo largo del año, usted adeudará 100 * (1,007668)365 a fin de
año12. Como la hoja demuestra, ello se traduce en 32,286 % TEA (celda B5).
Como usted puede ver en la celda B6, esencialmente el mismo interés puede ser calculado usando
capitalización continua. Desde un punto de vista de cálculo, capitalizar en forma continua es más simple
que capitalizar en forma discreta una tasa diaria de interés.
Capitalización continua en este libro
Raramente utilizamos capitalización continua en este libro. Utilizamos capitalización discreta, pero ocasionalmente puntualizamos mediante nota al pie, cómo sería el cálculo con capitalización continua de una expresión discreta.
9.3. Retornos con capitalización continua
En subsecciones pasadas hemos medido capitalización discreta versus continua. En esta sección,
mostramos cómo medir tasas de retorno discretas versus continuas. Suponga que una inversión crezca
desde X en el momento 0 a Y en el momento T. Entonces, la tasa de retorno anual capitalizada en forma
discreta sobre la inversión es:
Y
r=  
X
1
T
−1
12 Note la pequeña discrepancia entre nuestro Excel y el aviso de Visa: 27,99 % / 365 = 0,0766849 %. Por las reglas generales de redondeo, ello debería ser redondeado a 0,07668 %, pero la visa de la Universidad del Estado de Columbia agrega el extra ¡0,0001%! Como
ellos dicen: “todo ayuda un poco”.
108 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
La tasa de retorno anual con capitalización continua está dada por:
1 Y
r = Ln  
T X
En el ejemplo de abajo, una inversión de $100 crece a $200 en un período de 4 años13. La hoja calcula tanto los retornos con capitalización discreta como continua.
La tasa de retorno con capitalización discreta (celda B6) es 18,92 %; esto se prueba en la celda B10,
en que mostramos que 200=100*(1+18,92%)4. En otras palabras, a lo largo de los 4 años el valor futuro
de $100 con capitalización discreta al 18,92 % es $200.
La tasa de retorno con capitalización continua (celda B7) es 17,33 %; esto se prueba en la celda B11,
en que mostramos que 200=100*exp(17,22%*4). A lo largo de los 4 años el valor futuro de $100 con
capitalización discreta al 17,32 % es $200.
Observe que para usted será indiferente elegir un retorno anual de 18,92 % con capitalización discreta que un 17,32 % con capitalización continua. Sobre un plazo de tiempo determinado, ¡ambas tasas
hacen que una inversión inicial crezca hasta el mismo resultado final!
10. Resumen
En este capítulo hemos aplicado el valor del dinero en el tiempo (VA, VAN, y TIR) a un número de
problemas relevantes:
■■ Encontrar
la tasa de interés efectiva anual (TEA): esta es la tasa de interés compuesta anual
implícita en un activo financiero específico; desde otra perspectiva se puede decir que es la TIR
anualizada. Hemos aportado un número de ejemplos —leasing, préstamos hipotecarios, tarjetas
13 La función de Excel Ln computa el logaritmo natural de un número. Si Ln(a) = b, entonces eb=a.
| 109
Principios de Finanzas con Excel
de crédito— todos los cuales ilustran que la única manera de evaluar el costo de financiamiento
es calculando la TEA.
■■ El efecto de períodos de capitalización no anuales: muchas tasas de interés son calculadas sobre
una base mensual e incluso diaria. La TEA requiere que anualicemos esas tasas de interés de
modo que podamos compararlas. Cuando el número de períodos de capitalización se vuelve muy
elevado (como nuestro ejemplo de la Universidad el Estado de Columbia), la TEA = er, donde e=
2,7182818285904 (calculada con =Exp( ) y r es la tasa de interés publicada.
110 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Usted está evaluando comprar el último modelo de sistema estéreo. El vendedor del negocio “The stereo world” le
ofrece dos formas de pago. Usted puede pagar $10.000 ahora o puede aprovechar su oferta especial de “compre
ahora y pague dentro de un año”, en cuyo caso usted pagará $11.100 en 1 año. Calcule la tasa de interés efectiva
anual (TEA) de la propuesta del vendedor.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
2. Usted tiene dos opciones de pago para un nuevo lavavajillas: puede hace un pago de $400 hoy, o $70 durante los 6
próximos meses, siendo hoy el primer pago. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual (TEA) de la segunda opción?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
3. Su adorable esposa ha decidido regalarle una aspiradora para su cumpleaños (ella siempre apoyándolo en sus
hobbies...). Ella llamó a su mejor amigo, que es gerente de un negocio de venta de electrodomésticos y él le sugirió
las dos siguientes formas de pago: $100 hoy o 12 cuotas mensuales de $10 c/u, comenzando hoy. ¿Cuál es la TIR
mensual y la TEA de la forma de pago en cuotas?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
4. Su banco le ha ofrecido un crédito hipotecario de $100.000. No hay “puntos” que se descuenten en el otorgamiento,
ni otros gastos extra que se descuenten (lo que significa que usted recibe los $100.000 íntegros). El crédito se debe
pagar en 10 cuotas anuales, con una tasa de interés del 12 % anual.
a. Calcule los pagos anuales del crédito
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es la TEA del crédito?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
5. Su banco le ha ofrecido un crédito hipotecario a 20 años de plazo, por $100.000. El banco cobra 1,5 “puntos” y gastos administrativos de $750, descontándose ambos en el otorgamiento. Los pagos son anuales y la tasa de interés
es del 10 % anual, calculada sobre el monto total del crédito (es decir, $100.000).
a. Calcule la cuota anual del crédito.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 111
Principios de Finanzas con Excel
b. Calcule la TEA.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Diseñe una tabla de amortización del crédito que muestre el monto de interés que puede descontar de
impuestos cada año.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
6. Su banco le ha ofrecido un préstamo hipotecario de $100.000 a 10 años de plazo, con pagos mensuales. El banco le
cobra 1,5 “puntos” y gastos de administración de $750, ambos descontados en el momento del otorgamiento. Los
pagos mensuales son calculados en base a una tasa de interés anual del 12 % sobre el monto total del crédito (es
decir, $100.000).
a. Calcule los pagos mensuales del préstamo, diseñe la tabla de amortización y estime la TEA.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cambiaría la TEA del préstamo si el plazo del mismo es 6 años?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Calcule el monto total de interés pagado en cada año durante la vigencia del préstamo. Puede basarse
en su respuesta de la tabla amortización o investigar el uso de la función de Excel Pago.Int.Entre.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
7. Usted compró el primer piso de un edificio por $250.000 y planea alquilarlo a comercios. Su banco le ofrece un
crédito hipotecario con las siguientes condiciones:
~~ El crédito es por la suma total de $250.000.
~~ El crédito se pagará en cuotas mensuales iguales durante 36 meses, comenzando dentro de 1 mes.
~~ La tasa de interés anual es 8 %, compuesta en forma mensual, lo que significa:
8% 2
= % por mes
12 3
~~ Usted debe pagarle al banco un gasto de otorgamiento de $1.500 y 1 “punto”, que se descuentan al
comienzo.
a. ¿Cuál es la cuota mensual que le pagará al banco?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es la TEA del préstamo?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
112 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
c. Diseñe una tabla de amortización que muestre la cantidad de interés que puede reportar a efectos
impositivos cada mes.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
8. Su banco le ofrece un préstamo hipotecario a 5 años de plazo, por $100.000. El banco le cobra un interés de 1,5
puntos y gastos administrativos de $750; ambos descontados en el otorgamiento. Si la tasa de interés es del 12 %
compuesta mensualmente (es decir, 1 % por mes):
a. Calcule los pagos mensuales del crédito hipotecario.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule la TEA.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Diseñe una tabla de amortización que muestre el importe de interés que puede reportarse a efectos
impositivos cada mes y utilícela para calcular el monto de interés anual que se reporta impositivamente.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
9. Usted está considerando la adquisición de un activo que tiene una vida útil de 3 años y cuesta $15.000. Como alternativa a dicha compra, puede adquirirlo a través de un leasing por $4.000 al año (cuatro pagos iguales, el primero
de ellos pagadero el día en que se firma el contrato). Si usted puede pedir prestado de su banco a la tasa del 10 %,
¿debería usted contratar el leasing o comprar?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
10. Usted está evaluando adquirir un activo cuya vida útil es 3 años y cuesta $2.000. Como alternativa a su compra,
puede contratar un leasing por $600 anuales (cuatro pagos anuales, el primero de ellos hoy). Su banco le puede
prestar dinero al 15 %.
a. ¿Debería usted comprar o alquilar?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es la máxima cantidad que estaría dispuesto a pagar en concepto de leasing?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
11. Usted está evaluando comprar un activo o contratar un leasing sobre el mismo, con los siguientes flujos de fondos:
a. Calcule el valor actual de la compra versus leasing. ¿Cuál es conveniente?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 113
Principios de Finanzas con Excel
b. ¿Cuál es la máxima cantidad que estaría dispuesto a pagar en concepto de leasing?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
12. Usted prevé comprar un nuevo pc. Su precio en los negocios de electrónica es $1.800, pero su vecino le ofrece en
leasing el mismo ordenador por un pago mensual de $70 por un período de 24 meses; siendo el primer pago hoy
mismo. Asumiendo que puede vender el ordenador al final de los 2 años por $500 y la tasa de interés en el mercado
es 20 %, ¿debería usted comprar o contratar el leasing?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
13. Usted está evaluando compra o contratar leasing para un coche. Los detalles de cada método de financiación se
indican abajo. El leasing es por 24 meses. ¿Qué debería usted hacer?
14. Usted está evaluando comprar un nuevo coche, muy caro. Los detalles para un leasing por 48 meses se indican
abajo:
a. Si su costo de financiamiento alternativo es 6 %, ¿debería usted comprar o alquilar?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
114 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
b. Si usted financia la compra con un préstamo bancario al 6 %, ¿cuál debería ser el pago mensual del
préstamo?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Como su estimación del valor residual (celda B14) es mayor, ¿es más ventajosa la compra o el leasing?
Explíquelo.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
15. Usted está considerando comprar un coche lujoso. El precio de lista del automóvil es $99.000. La agencia le ha
ofrecido dos alternativas para comprarlo:
~~ Puede comprarlo por $90.000 en efectivo y obtener un descuento de $9.000.
~~ Puede comprarlo por el precio de lista de $99.000. En este caso la agencia le pide $39.000 como pago
inicial y los otros $60.000 “en un crédito a tasa cero”, a ser pagado en cuotas iguales durante 36 meses.
Como alternativa, su banco le ofrece un préstamo para la compra del coche a una tasa de interés del 10 %; capitalizable mensualmente (es decir, 10 %/12 por mes).
Decida cómo comprar el coche: préstamo bancario, préstamo a tasa cero con la agencia o pago en efectivo.
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___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
16. A usted le han ofrecido dos tarjetas de crédito:
~~ La tarjeta N°1 cobra un 19 % de interés anual, sobre una base mensual.
~~ La tarjeta N°2 cobra un 19 % de interés anual, sobre una base semanal.
~~ La tarjeta N°3 cobra un 18,9 % de interés anual, sobre una base diaria.
Haga un ranking de las tarjetas en base a la TEA.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 115
Principios de Finanzas con Excel
17. Usted planea colocar $1.000 en alguna alternativa de ahorro durante 5 años. Puede escoger entre varias alternativas. ¿Cuánto dinero dispondrán en cada alternativa al cabo de los 5 años?
a.
b.
c.
d.
Bellon Bank ofrece el 12 % de interés anual, capitalizable una vez al año.
WNC Bank ofrece el 11 % de interés anual, capitalizable dos veces al año.
Plebian Bank ofrece el 10 % de interés anual, capitalizable mensualmente.
Byfus Bank ofrece el 11,5 % de interés anual, capitalizable en forma continua.
18. Asumiendo que la tasa de interés es 5 %, capitalizable en forma semestral, ¿cuál de las siguientes alternativas es
más valiosa?
a.
b.
c.
d.
$5.000 hoy
$10.000 al final de 5 años.
$9.000 al final de 4 años.
$450 al final de cada año (a perpetuidad), comenzando en 1 año.
19. Usted planea poner $10.000 en alguna alternativa de ahorro durante 2 años. ¿Cuánto dinero tendrá al final de los
2 años en cada una de las siguientes alternativas?
a.
b.
c.
d.
Recibir un 12 % de interés anual, capitalizado en forma mensual.
Recibir un 12,5 % de interés anual, capitalizado en forma anual.
Recibir un 11,5 % de interés anual, capitalizado en forma diaria.
Recibir un 10 % de interés anual en el primer año y 15 % en el segundo año, capitalizado en forma anual.
20. Michael Smith tenía problemas: estaba desempleada y viviendo de su pensión por incapacidad mensual de $1.200.
Su deuda de tarjeta de crédito de $19.000 amenazaba con desbordar ese ingreso escaso. Cada mes que demoraba
el pago, la tarjeta de crédito le cobraba un 1,5 % sobre saldo. Su único activo era su casa, sobre la cual tenía una
deuda hipotecaria de $67.000.
Michael recibió una llamada telefónica de Uranus Financial Corporation: la compañía le ofrecía refinanciar su
hipoteca. El representante de Urano le explicó que, con el incremento en los valores de las propiedades, su casa
podía ser refinanciada por $90.000. Dicha cantidad le permitiría pagar sus deudas de tarjeta de crédito e incluso
le quedaría algo de dinero.
Algunos datos adicionales:
~~ La nueva hipoteca sería por 25 años y con una tasa de interés anual del 9,23 %. Se pagaría en cuotas
mensuales iguales durante dicho período, en base a una tasa de interés mensual de 9,23 %/12=0,7617 %.
La comisión sobre la hipoteca es de $8.000.
~~ No hay penalidades por el pago de los $67.000 de la actual hipoteca.
Responda las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál será el nuevo monto que deberá pagar Michael por la nueva hipoteca?
____________________________________________________________________________
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b. Tras pagar sus deudas de tarjeta de crédito, ¿cuánto dinero le quedará a Michael?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
116 |
CAP. 3 | ¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
c. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual (TEA) del crédito hipotecario de Uranus?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
21. Una nota impresa en el resumen de la tarjeta de crédito del dueño, incluía el siguiente párrafo:
Tasa de interés anual para adelantos en efectivo:
Su tasa de interés anual para adelantos en efectivo es la tasa Prime más 14,99 %, pero dicha tasa de adelanto en
efectivo nunca será menor que 19,99 %. El 1 de agosto de 2004, dicha TASA DE INTERÉS ANUAL PARA ADELANTOS
fue 19,99 %, que corresponde a una tasa diaria periódica de 0,0548 %. Una tasa diaria periódica es la tasa anual
correspondiente, dividida en 365.
El 1 de agosto de 2004: ¿cuál es la tasa de interés efectiva anual (TEA) cargada por la tarjeta de crédito sobre
saldos en efectivo?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
22. WindyRoad es una compañía de inversiones que posee dos fondos de pensión. El Dull Fund invierte en aburridos
bonos de empresas y el Lively Fund lo hace en compañías de “alto riesgo, alto rendimiento”. El rendimiento de
ambos fondos en el período de 5 años 2001-2005 se presenta a continuación.
a. Suponga que usted invierte $100 en cada uno de los fondos al comienzo del 2001. ¿Cuánto dinero
tendría al final del 2005?
b. ¿Cuál es la TEA pagada por cada uno de los fondos durante el período de 5 años 2001-2005?
c. ¿Hay alguna conclusión que pueda sacar de este ejemplo?
23. (Avanzado)
a. Calcule el rendimiento anual compuesto de Dull Fund y Lively Fund (del ejercicio anterior) para cada
uno de los años 2000-2005. ¿Cuál es el rendimiento promedio continuo de cada fondo según esto?
continuo
rcompuesto
| 117
Principios de Finanzas con Excel
b. Suponga que usted ha invertido $100 en cada uno de los dos fondos a comienzos del 2001. Demuestre
que la cantidad total que tendría en cada fondo (ver ejercicio 22.a) puede escribirse como:
r $100 * e
promedio
5*rcontinuo
Observe cómo así se vuelve más sencillo el cálculo.
118 |
Capítulo 4
Introducción al presupuesto
de capital
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Concepto general
La regla del VAN para evaluar inversiones y proyectos
La regla de la TIR para evaluar inversiones
VAN o TIR. ¿Cuál utilizar?
El Criterio “Sí – No”: ¿cuándo las TIR y VAN ofrecen la misma respuesta?
¿TIR y VAN producen el mismo ranking de proyectos?
Principio de presupuesto de capital: ignore los costos irrecuperables y
considere solo los flujos de fondos marginales
Principio de presupuesto de capital: no olvide el efecto de los impuestos.
La inversión en un condominio de Sally y Dave
Presupuesto de capital y valor de recupero
Principio de presupuesto de capital: no olvide el costo de las
oportunidades perdidas
¿En casa o subcontratar? Un mini caso para ilustrar el costo de
oportunidades perdidas
Amortización acelerada
Resumen
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
1. Concepto general
Presupuesto de Capital es la jerga de finanzas para el proceso de decidir si emprender un proyecto de
inversión. Dos conceptos estándares se utilizan en presupuesto de capital: valor actual neto (VAN) y tasa
interna de retorno (TIR). Tras ser presentados en el capítulo 2 ambos conceptos, este capítulo se ocupa
ahora de su aplicación a presupuesto de capital. A continuación, se indican algunos de los contenidos
tratados:
■■ ¿Debería
usted emprender un proyecto en específico? Llamamos a esto la decisión “Sí o No” y
mostramos cómo tanto VAN como TIR responden a esta pregunta.
■■ Ranking de proyectos: si usted tiene varias inversiones alternativas y solo debe elegir una, ¿cuál
sería?
■■ ¿Debería utilizar TIR o VAN? Algunas veces los criterios de TIR y VAN dan distintos resultados ante
la disyuntiva “Sí o No” y al ranking de proyectos. Veremos por qué ocurre y qué criterio debería ser
utilizado para presupuesto de capital (si hay desacuerdo).
■■ Costos irrecuperables. ¿Cómo deberíamos tratar los costos incurridos en el pasado?
■■ Los costos de oportunidades perdidas.
■■ Valor de recupero y valor final.
■■ Incorporación de impuestos en el proceso de valuación. Este tema es tratado brevemente en la
sección 4.8. Luego se profundizará más en los capítulos 7 – 9.
Conceptos financieros tratados
■■ TIR.
■■ VAN.
■■ Ranking
de proyectos utilizando VAN y TIR.
■■ Valor final.
■■ Impuestos y cálculo de flujos de fondos.
■■ Costo de oportunidades perdidas.
■■ Costos irrecuperables.
Funciones de excel utilizadas
■■ VAN.
■■ TIR.
■■ Tabla
de Datos.
2. La regla del VAN para evaluar inversiones y proyectos
En los capítulos precedentes hemos presentado los conceptos básicos de VAN y TIR y sus aplicaciones
a presupuesto de capital. Comenzamos este capítulo resumiendo cada una de esas reglas, las reglas del
VAN en esta sección y las reglas del TIR en la siguiente.
A continuación, un resumen de los criterios de decisión para inversiones implícitos en el valor actual
neto (VAN):
| 121
Principios de Finanzas con Excel
■■ Regla
para decidir si un proyecto específico es conveniente: suponga que estamos considerando
un proyecto que tiene flujos de fondos CF0, CF1,…, CFN. Suponga que la tasa apropiada de descuento para este proyecto es r. Entonces, el VAN del proyecto será:
VAN = CF0 +
N
CF1
CF2
CFN
CF
+
+ ....... +
= CF0 + ∑
1
2
N
+ r )t
(1 + r ) (1 + r )
(1 + r )
(
1
t=1
■■ Regla:
un proyecto conviene por el criterio del VAN si VAN > 0.
■■ Regla del VAN para decidir entre dos proyectos mutuamente excluyentes: suponga que intenta
decidir entre los dos proyectos A y B, cada uno de los cuales puede alcanzar el mismo objetivo.
Por ejemplo, su empresa necesita una máquina nueva y la elección es entre las máquinas A y B (o
quizás ninguna, pero lo que sabe es que no comprará ambas). En la jerga financiera estos proyectos son “mutuamente excluyentes”.
Suponga que el proyecto A tiene flujos de fondos de CF0A, CF1A,…, CFNA y del proyecto B los flujos
de fondos son de CF0B, CF1B,…, CFNB.
■■ Regla: el proyecto A es preferible al proyecto B si:
N
CFtA
CF B
>CF0B + ∑ t t = VAN(B)
t
t=1 (1 + r )
t=1 (1 + r )
N
VAN(A ) = CF0A + ∑
La lógica de la regla del VAN presentada es que el valor actual de los flujos de fondos del proyecto:
CFt
t
t=1 (1 + r )
N
VA = ∑
Es el valor económico actual del proyecto. Es decir, si hemos elegido correctamente la tasa de descuento r para el proyecto, el VA es el valor al que deberíamos poder vender el proyecto en el mercado1. El
valor actual neto es el incremento en la riqueza producido por el proyecto, por lo que VAN > 0 significa
que el proyecto agrega a nuestra riqueza:
VAN =
CF0
Flujo de fondos inicial requerido
para implementar ell Proyecto.
Es generalmente un número
negativo
+
N
CFt
∑ (1 + r)
t
t=1
Valor de mercado de los
flujos futuros de fondos
1 Esto asume que la tasa de descuento fue “correctamente elegida”, con lo que queremos decir que es apropiada para el riesgo de los
flujos de fondos del proyecto. Por el momento esquivamos la cuestión de cómo elegir la tasa de descuento, la cual será analizada en el
capítulo 6.
122 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
Un ejemplo inicial
Para dejar sentadas las bases, asumamos que usted está intentando decidir si emprender uno de los
proyectos. El proyecto A conlleva la adquisición de una máquina costosa que produce mejores productos
a menores costos. La máquina del proyecto A cuesta $1.000 y, si es adquirida, usted anticipa que el proyecto generará flujos de fondos de $500 por año durante los próximos 5 años. La máquina del proyecto B
es más barata, cuesta $800, pero produce menores flujos de fondos anuales, $420, durante los próximos
5 años. Asumiremos que la tasa de descuento correcta es 12 %.
Suponga que aplicamos el criterio del VAN para los proyectos A y B.
Ambos proyectos son convenientes porque cada uno tiene un VAN positivo. Si debemos elegir entre
ambos, el proyecto A es preferible respecto del proyecto B porque tiene un mayor VAN.
Función van de excel versus la definición en finanzas de van
Reiteramos nuestra nota de Excel del capítulo 2: la función VNA de Excel computa el VA de los flujos futuros de fondos;
ello no corresponde a la noción financiera de VAN, que incluye el flujo de fondos inicial. Para calcular el concepto de VAN
de finanzas en la hoja, debemos incluir el flujo de fondos inicial. Por lo tanto, en la celda B12, el VAN se calcula como
=B5+VNA($B$2;B6:B10) y en la celda C12este cálculo es =C5+VNA($B$2;C6:C10)
3. La regla de la TIR para evaluar inversiones
Una alternativa a la utilización del criterio del VAN para presupuesto de capital es utilizar la tasa interna de retorno (TIR). Recordemos del capítulo 2 que la TIR se define como la tasa de descuento para
la cual el VAN es igual a cero. Es la tasa de retorno compuesta que usted obtiene de una serie de flujos
de fondos.
A continuación, presentamos dos reglas de decisión para utilizar la TIR en presupuesto de capital:
■■ Regla
de la TIR para decidir si una inversión en particular es conveniente: suponga que estamos
considerando un proyecto que tiene los flujos de fondos CF0, CF1,..., CFN.
| 123
Principios de Finanzas con Excel
TIR es la tasa de interés tal que…
CF0 +
N
CF1
CF2
CFN
CF
+
+ ....... +
= CF0 + ∑
=0
1
2
N
(1 + TIR) (1 + TIR)
(1 + TIR)
(
1
+
k )t
t=1
■■ Regla:
si la tasa de descuento apropiada para el proyecto es r, usted debería aceptar el proyecto si
su TIR > r y rechazarlo si TIR < r.
La lógica que subyace en la TIR se centra en que la TIR es la tasa de retorno compuesta que usted
obtiene del proyecto. Dado que r es la tasa de retorno requerida del proyecto, se concluye que si
TIR > r, usted obtiene más de lo que requiere.
Regla para decidir entre dos proyectos que compiten entre sí: suponga que usted intenta decidir
entre dos proyectos mutuamente excluyentes, A y B (significando que ambos proyectos alcanzan
el mismo objetivo y usted elegirá como máximo uno de los proyectos). Suponga que el proyecto
A tiene flujos de fondos de CF0A, CF1A,…, CFNA y del proyecto B los flujos de fondos son de CF0B,
CF1B,…, CFNB.
■■ Regla: el proyecto A es preferible al proyecto B si TIR (A) > TIR (B).
Nuevamente la lógica es clara: dado que la TIR nos dice la tasa de retorno compuesta del proyecto,
si elegimos entre dos proyectos usando la regla de la TIR, preferiremos mayores tasas compuestas
de retorno.
Aplicando la regla de la TIR para los proyectos A y B obtenemos:
Ambos proyectos A y B son convenientes, dado que cada uno tiene una TIR > 12 %, que es nuestra
tasa de descuento relevante. Si debemos elegir entre los dos proyectos usando el criterio de la TIR, el
proyecto A es preferible, dado que tiene una mayor TIR.
124 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
4. VAN o TIR. ¿Cuál utilizar?
Podemos resumir las reglas de TIR y VAN de la siguiente manera:
“Sí o No”
Eligiendo si emprender o no un proyecto de inversión
en particular
“Ranking de Proyectos”
Comparando dos proyectos mutuamente excluyentes
Criterio del VAN
El proyecto debería ser aceptado si su VAN > 0
El proyecto A es preferible al proyecto B si VAN (A) >
VAN (B)
Criterio de la TIR
El proyecto debería ser aceptado si su TIR > r, donde r
es la tasa de descuento apropiada.
El proyecto A es preferible al proyecto B si TIR (A) >
TIR (B)
Tanto las reglas del VAN como las de la TIR son lógicas. En muchos casos su decisión de inversión
—emprender un proyecto o no, o cuál de los dos proyectos que compiten seleccionar— será la misma
tanto si utiliza VAN como TIR. Hay algunos casos, sin embargo (como los proyectos A y B ilustrados más
arriba), en que el VAN y la TIR dan respuestas diferentes. En nuestro análisis de valor actual neto el proyecto A ganó porque su VAN era mayor que el del proyecto B. En nuestro análisis con TIR de los mismos
proyectos, ganó el B porque tuvo una TIR mayor que la de A. En tales casos siempre deber ser utilizado
el VAN para decidir entre proyectos. La lógica es que si los individuos están interesados en maximizar su
riqueza, deberían utilizar el VAN, que mide el incremento en la riqueza proveniente de la implementación
del proyecto.
5. El Criterio “Sí – No”: ¿cuándo las TIR y VAN ofrecen la misma respuesta?
Considere el siguiente proyecto: el flujo de fondos inicial de -$1.000 representa el costo del proyecto
hoy y los restantes flujos de fondos de los años 1 – 6 son proyectados. La tasa de descuento es 15 %.
El VAN del proyecto es $172,13, lo cual significa que el valor actual de los flujos de fondos futuros
proyectados ($1.172,13) es mayor que los $1.000 de costo del proyecto. Por lo tanto, el proyecto es
conveniente.
| 125
Principios de Finanzas con Excel
Si se representa en una gráfica el VAN del proyecto podemos ver que la TIR —el punto en que la curva
de VAN cruza al eje x— es muy cercano a 20 %. Como puede ver en la celda B15, la TIR real es 19,71 %.
¿Aceptar o rechazar? ¿Deberíamos emprender el proyecto?
Está claro que el proyecto de arriba es conveniente:
■■ Su
VAN > 0, por lo que según el criterio del VAN debería ser aceptado.
TIR de 19,71 % > tasa de descuento del proyecto de 15 %, por lo que acorde al criterio de la
TIR el proyecto merecería ser emprendido.
■■ Su
Un principio general
Podemos inducir un principio general a partir del ejemplo:
Para proyectos convencionales, es decir, aquellos con un flujo de fondos inicial negativo y subsecuentes flujos de fondos no negativos (CF0 < 0, CF1 ≥ 0, CF2 ≥ 0,…, CFN ≥ 0), los criterios de VAN y TIR llevan
a la misma decisión “sí o no”. Si el criterio de VAN indica un “sí”, entonces lo mismo hará el criterio de
la TIR (y viceversa).
6. ¿TIR y VAN producen el mismo ranking de proyectos?
En la sección precedente vimos que para proyectos convencionales, VAN y TIR dan la misma respuesta “Sí o No” respecto de si invertir en un proyecto. En esta sección veremos que VAN y TIR no necesariamente dan el mismo ranking para los proyectos, aun cuando los mismos sean convencionales.
Suponga que tenemos dos proyectos y podemos elegir invertir solo en uno. Estos proyectos son mutuamente excluyentes: son formas de alcanzar el mismo objetivo y, por lo tanto, deberíamos escoger solo
uno. En esta sección trataremos el uso de TIR y VAN para hacer un ranking de proyectos. Para resumir
nuestros resultados antes de comenzar conviene tener presente lo siguiente:
126 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
■■ Hacer
ranking de proyectos mediante TIR y VAN puede llevar a resultados posiblemente contradictorios. Si se utiliza el criterio del VAN podemos llegar a elegir uno, mientras que con el criterio de
la TIR elegiríamos el otro proyecto.
■■ Cuando existe conflicto entre TIR y VAN, el proyecto con mayor VAN es preferible. Esto es, el
criterio del VAN es el criterio correcto a ser utilizado para presupuesto de capital. No se trata de
impugnar el criterio de la TIR, el cual es a menudo muy útil; sin embargo, VAN es preferible a TIR
porque indica el incremento de riqueza que produce el proyecto.
Un ejemplo
A continuación presentaremos los flujos de fondos para los proyectos A y B. Ambos proyectos tienen
el mismo costo inicial de $500, pero presentan diferentes patrones de flujos de fondos. La tasa de descuento relevante es 15 %.
■■ Comparando
proyectos mediante TIR: si utilizamos la regla de la TIR para elegir entre los proyectos, entonces B es preferible antes que A, dado que su TIR es mayor.
■■ Comparando proyectos mediante VAN: ahora la elección es más complicada. Cuando la tasa de
descuento es 15 % (como se ilustra arriba), el VAN del proyecto B es mayor que el del proyecto
A. En tal caso, TIR y VAN están de acuerdo: ambos indican que el proyecto B debería ser elegido.
Ahora suponga que la tasa de descuento es 8 %; en este caso el ranking que hacen VAN y TIR
están en conflicto.
| 127
Principios de Finanzas con Excel
En este caso, debemos resolver el conflicto entre el ranking basado en VAN (en que es preferible A)
y entre el ranking basado en TIR (en que es preferible B). Como dijimos en la introducción de este capítulo, la solución a este asunto es que debería elegir en base al VAN. Exploraremos los motivos para ello
después, pero primero trataremos una cuestión técnica.
6.1. ¿Por qué VAN y TIR generan rankings diferentes?
A continuación construimos una tabla y gráfico que muestran el VAN para cada proyecto como función
de la tasa de descuento.
A partir del gráfico usted puede observar por qué se producen los rankings contradictorios:
■■ El
proyecto B tiene una mayor TIR (27,38 %) que el proyecto A (19,77 %). (Recuerde que la TIR
es el punto en el cual la curva de VAN corta el eje X).
■■ Cuando la tasa de descuento es baja, el proyecto A tiene mayor VAN que el proyecto B, pero cuando la tasa de descuento es alta, el proyecto B tiene mayor VAN. Hay un punto de intersección (en
la sección subsiguiente usted verá que dicho punto es 8,51 %) que marca los rangos de acuerdo
/ desacuerdo.
■■ El VAN del proyecto A es más sensible a los cambios en la tasa de descuento que el proyecto B. La
razón para ello es que los flujos de fondos el proyecto A están más distribuidos en el tiempo que
los del proyecto B; otra forma de decir esto es que el proyecto A tiene sustancialmente mayor parte
de sus flujos de fondos en fechas más distantes que el proyecto B.
128 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
Resumiendo:
Tasa de descuento < 8,51 %
Tasa de descuento = 8,51 %
Tasa de descuento > 8,51 %
Criterio del VAN
Es preferible A:
VAN (A) > VAN (B)
Indiferente entre A y B:
VAN (A) = VAN (B)
Es preferible B:
VAN (B) > VAN (A)
Criterio de la TIR
B siempre es preferible antes
que A porque:
TIR (B) > TIR (A)
6.2. Calculando el punto de intersección
El punto de intersección —que dijimos antes que es 8,51 %— es la tasa de descuento a la cual el
VAN de los dos proyectos es igual. Un poco de manipulación de fórmulas le demostrará que el punto de
intersección es la TIR de los flujos de fondos diferenciales. Para ver lo que ello significa, considere el
siguiente ejemplo:
La columna D del ejemplo contiene los flujos de fondos diferenciales, la diferencia entre los flujos de
fondos del proyecto A y del proyecto B. En la celda D45 utilizamos la función TIR de Excel para calcular
el punto de intersección.
Un apunte de teoría (que puede ser omitida): para ver por qué el punto de intersección es la TIR de
los flujos de fondos diferenciales, suponga que para alguna tasa r, VAN (A) = VAN (B):
VAN(A ) = CF0A +
= CF0B +
CF1A
CF2A
CFNA
+
+ ....... +
1
2
(1 + r ) (1 + r )
(1 + r )N
CF1B
CF2B
CFNB
+
+
.......
+
= VAN(B)
(1 + r )1 (1 + r )2
(1 + r )N
| 129
Principios de Finanzas con Excel
Restando y reordenando se demuestra que r debe ser la TIR de los flujos de fondos diferenciales:
CF0A − CF0B +
CF1A − CF1B CF2A − CF2B
CFNA − CFNB
+
+
.......
+
=0
(1 + r )1
(1 + r )2
(1 + r )N
¿Qué usar: TIR o VAN?
Volvamos al ejemplo inicial y supongamos que la tasa de descuento es 8 %.
En este caso sabemos que hay desacuerdo entre VAN (que llevaría a elegir el proyecto A) y la TIR (por
la cual elegiríamos el proyecto B). ¿Cuál es correcto?
La respuesta a esta pregunta es que deberíamos —para el caso en que la tasa de descuento es 8 %—
elegir mediante el VAN (es decir, elegir el proyecto A). Este es solo un ejemplo del principio general tratado en la sección 3: usar el VAN es siempre preferible porque el VAN es la riqueza adicional que obtiene,
mientras que la TIR es la tasa de retorno compuesta. El supuesto económico es que los consumidores
maximizan su riqueza, no su tasa de retorno.
¿Hacia dónde va este capítulo?
Hasta ahora, en este capítulo hemos tratado principios generales de selección de proyectos utilizando los criterios de TIR y
VAN. Las secciones siguientes tratan algunos temas específicos:
\\
\\
\\
\\
130 |
Ignorar costos irrecuperables y utilizar flujos de fondos marginales (sección 4.7.)
Incorporación de impuestos y ahorro fiscal en los cálculos de presupuesto de capital (sección 4.8.)
Incorporar el costo de oportunidades perdidas (sección 4.10.)
Incorporar valor de recupero y valor final (sección 4.12.)
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
7. Principio de presupuesto de capital: ignore los costos irrecuperables y considere solo
los flujos de fondos marginales
Este es un principio general de presupuesto de capital y evaluación de proyecto: ignore los flujos de
fondos que usted no puede controlar y preste atención solo a los flujos de fondos marginales, los resultados de las decisiones financieras que usted aún puede tomar. En la jerga de finanzas, ignore los costos
irrecuperables, costos en que usted ya ha incurrido y, por lo tanto, no están afectados por las decisiones
futuras de presupuesto de capital.
A continuación, un ejemplo: usted recientemente ha comprado una parcela de tierra y construido una
casa en ella. Su intención era vender la casa inmediatamente, pero se ha dado cuenta de que la casa
está mal construida y no puede ser vendida es su estado. La casa y el terreno le costaron $100.000 y
un constructor amigo local le ha ofrecido efectuar las reparaciones necesarias por $20.000. Su asesor
inmobiliario estima que aún con estas reparaciones nunca podrá vender la casa por más de $90.000.
¿Qué debe usted hacer? Hay dos enfoques para responder esta pregunta:
■■ Mi
padre siempre decía “no tires dinero bueno sobre el malo”. Si este es su enfoque, no hará nada.
Esta actitud se tipifica en la columna B de abajo, que muestra que si efectúa las reparaciones
estará perdiendo el 25 % de su dinero.
■■ Mi madre era profesora de finanzas y decía “no llores por la leche derramada. Mira solo los costos
marginales”. Esto parece mucho más adecuado. En la columna C de abajo usted verá que efectuando las reparaciones obtendrá un 350 % de rentabilidad sobre sus $20.000.
Por supuesto que su padre se equivocaba y su madre tenía razón (algo que ocurre habitualmente): aun
cuando cometió algunos errores tremendos (en primer lugar, nunca debería haber construido la casa), lo
más sensato es que usted —a estas alturas— ignore los costos irrecuperables de $100.000 y efectúe las
reparaciones necesarias.
8. Principio de presupuesto de capital: no olvide el efecto de los impuestos. La inversión
en un condominio de Sally y Dave
En esta sección trataremos la problemática de presupuesto de capital que tienen Sally y Dave, dos
graduados de escuelas de negocios que están analizando adquirir un condominio y alquilarlo para obtener
una renta.
| 131
Principios de Finanzas con Excel
Utilizamos el condominio de Sally y Dave para enfatizar el lugar relevante que ocupan los impuestos
en el proceso de presupuesto de capital. Nadie necesita que le digan que los impuestos son muy importantes2. En el proceso de presupuesto de capital, los flujos de fondos que serán descontados son los
flujos de fondos después de impuestos. Posponemos el tratamiento completo de esta materia hasta los
capítulos 6 y 7, en que se definirá el concepto de flujos de fondos libres (free cash flow). Por el momento, nos concentramos en algunos principios obvios, que ilustramos con un ejemplo de la inversión en el
condominio de Sally y Dave.
Sally y Dave —recién salidos de la escuela de negocios con algo de dinero para gastar— están considerando construir un condominio elegante para alquilarlo. El condominio costará $100.000 y (en este
ejemplo, al menos) están planeando adquirirlo íntegramente en efectivo. A continuación, se incluyen
algunos datos adicionales:
■■ Sally
y Dave estiman que podrán alquilar el condominio por $24.000 anuales. Deberán pagar
impuestos a la propiedad por $1.500 por año y estiman gastos adicionales de $1.000 anuales.
■■ Todo el ingreso del condominio debe ser informado impositivamente en su declaración. Actualmente, Sally y Dave tienen una tasa de impuesto de 30 % y piensan que dicha proporción continuará en el futuro.
■■ Su contable les explicó que pueden amortizar el costo total del condominio en 10 años, en cada
año pueden cargar $10.000 de amortización contra el ingreso del condominio3. Esto significa que
ellos esperan pagar $3.450 de impuestos por año si compran el condominio y lo alquilan y tienen
una renta neta de $8.050 del mismo.
(=
costo del condominio
)
vida útil de 10 años
2 Will Rogers: “La diferencia entre la muerte y los impuestos es que la muerte no se torna cada vez peor en las sesiones del Congreso”.
3 Antes de continuar, quizá usted quiera leer el cuadro explicativo sobre amortización.
132 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
¿Qué es amortización?
Para calcular los impuestos que adeudan, Sally y Dave tienen que deducir los gastos de sus ingresos. Los impuestos se
calculan sobre la base de beneficios después de impuestos (= ingresos - gastos - amortización - intereses). Cuando Sally y
Dave obtienen la renta de su condominio, este es el ingreso —dinero obtenido de su activo—. Cuando Sally y Dave hacen
un pago para reparar una cañería en su condominio, esto es un —un costo de hacer negocios—.
El costo del condominio no es un ingreso ni un costo. Es una inversión de capital, dinero pagado por un activo que será
utilizado por muchos años. Las leyes impositivas indican que cada año pueden deducirse del ingreso parte de las inversiones
de capital (“gastadas”, en la jerga contable). Ello reduce el impuesto pagado por el dueño del activo y tiene en cuenta el
hecho de que el mismo tiene una vida útil limitada.
Hay muchos métodos de amortización en uso. El más simple es amortización en línea recta. En este método, la amortización
anual del activo es un porcentaje de su costo inicial. En el caso de Sally y Dave, por ejemplo, hemos especificado que el
activo se amortiza en 10 años. Ello resulta en un gasto de amortización anual de:
Amortización en línea recta =
$100.000
costo inicial del activo
= = $10.000 anuales
10
vida útil para amortización
En algunos casos, la amortización se toma sobre el valor del activo menos su valor de recupero: si usted considera que el
activo tendrá un valor de $20.000 al final de su vida (esto es el valor de recupero), entonces la amortización en línea recta
sería de $8.000:
Amortización en línea recta = con valor de recupero
costo inicial del activo - valor de recupero
vida útil para amortización
=
$100.000 − $20.000
= $8.000 anuales
10
Amortización acelerada
A pesar de que históricamente los gastos de amortización estuvieron relacionados con la vida útil del activo, en muchos
casos esta conexión se ha perdido. Bajo las leyes impositivas de EE. UU., por ejemplo, un activo cuya clasificación indica una
vida amortizable de 5 años (camiones, coches y algún equipamiento informático en esta categoría) serán amortizados en 6
años (si 6) al 20 %, 32 %, 19,2 %, 11,52 %, 11,52 % y 5,76 % en cada uno de los años 1,2,...,6. Observe que este método
acelera los gastos por amortización —más de una sexta parte de la amortización se toma anualmente en los años 1-3 y
menos después—. Dado que —como mostraremos en el texto siguiente— la amortización finalmente ahorra impuesto, ello
beneficia al dueño del activo, quien ahora puede descontar más de la amortización en los primeros años de la vida del activo.
8.1. Dos formas de calcular los flujos de fondos
En la hoja previa usted observó que el beneficio neto de Sally y Dave fue $8.050. En esta sección
usted verá que los flujos de fondos generados por el condominio son mucho mayores que ello. Todo eso
tiene que ver con la amortización: dado que la amortización es un gasto a efectos impositivos pero no
una salida de caja, los flujos de fondos de la renta del condominio son diferentes, por lo que, aun cuando
los beneficios netos del condominio sean $8,50, los flujos de fondos anuales son $18.050, usted debe
| 133
Principios de Finanzas con Excel
sumar nuevamente la amortización al beneficio neto para obtener el flujo de fondos generado por la
explotación.
En el cálculo de arriba, hemos sumado nuevamente la amortización al beneficio neto para obtener el
flujo de fondos.
El flujo de fondos de un activo (el monto de dinero generado por un activo durante un período en
particular) se computa tomando el beneficio neto (también llamado beneficio después de impuestos o
a veces solo “beneficio”) y sumando nuevamente los gastos que no generaron salida de caja como la
amortización4.
8.2. Ahorro fiscal
Hay otra manera de calcular el flujo de fondos, la cual implica el tratamiento del ahorro fiscal. El
ahorro fiscal es el ahorro generado en los impuestos por el hecho de poder reportar un gasto a propósitos
impositivos.
De manera generalizada, el ahorro fiscal directamente reduce el costo efectivo de un gasto. En el
ejemplo precedente, dado que Sally y Dave pueden descontar los $1.500 de sus impuestos a la propiedad a efectos impositivos, el costo impositivo después de impuestos de los impuestos a la propiedad es:
(1 − 30%) × $1.500 = $1.500 − 30
× 1
.500
%
= $1.050
Estos $450 son
el ahorro fisccal
El ahorro fiscal de $450 (30 % * $1.500) ha reducido el costo de los impuestos a la propiedad.
La amortización es un caso especial de gasto que no genera salida de caja, que genera ahorro fiscal.
Un poco de análisis le demostrará que los $10.000 de amortización del condominio generan $3.000 de
efectivo. Dado que la amortización reduce el reporte impositivo de Sally y Dave, cada peso de amortización les hace ahorrar $0,30 (30 centavos) de impuestos, sin costarle nada a ellos en efectivo (los $0,30
proceden de que la tasa impositiva de Sally y Dave es 30 %). Por ello, los $10.000 de amortización valen
$3.000 en efectivo. Estos $3.000 de ahorro fiscal son un flujo de fondos para Sally y Dave.
4 En el capítulo 6 presentaremos el concepto de flujo de fondos libre (free cash flow), que es una extensión del concepto de flujo de
fondos tratado aquí.
134 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
En la hoja de abajo calculamos el flujo de fondos en dos etapas:
■■ Primero
calculamos el beneficio neto de Sally y Dave ignorando la amortización (celda B29). Si
la amortización no fuera gasto a efectos fiscales, el beneficio neto de Sally y Dave sería $15.050.
■■ Luego sumamos a este valor el ahorro fiscal de $3.000. El resultado (celda B32) nos da el flujo
de fondos para el condominio.
8.3. ¿Es rentable la inversión en el condominio de Sally y Dave? Conclusión preliminar
En este punto Sally y Dave pueden llegar a una conclusión preliminar en relación al VAN y TIR de la
inversión en el condominio. Asumiendo una tasa de descuento de 12 % y asumiendo que solo tendrán el
condominio por 10 años, el VAN de la inversión en el condominio es $1.987 y su TIR, 12,48 %.
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Principios de Finanzas con Excel
8.4. ¿Es rentable la inversión en el condominio de Sally y Dave? Incorporando valor de venta final
en los cálculos
Un poco de razonamiento sobre la hoja previa revela que hemos dejado de lado un factor importante:
el valor del condominio al final del horizonte de 10 años. En finanzas, el valor de un activo al final del
horizonte de inversión es llamado su valor de venta final o valor de recupero. En la hoja anterior hemos
asumido que el valor de venta final del condominio es cero, pero tal supuesto es inverosímil.
Para efectuar un mejor cálculo sobre su inversión, Sally y Dave deberán efectuar un supuesto sobre
el valor de venta final del condominio. Suponga que asumen que al final de los 10 años podrán vender
el condominio por $80.000. La ganancia imponible relativa a la venta es la diferencia entre el precio
de venta del condominio y su valor en libros en ese mismo momento —el precio inicial menos la suma
de todas las amortizaciones desde que Sally y Dave lo adquirieron—. Dado que Sally y Dave han estado
amortizando el condominio en $10.000 por año durante el período de 10 años, su valor en libros al final
de los 10 años será cero.
En la celda E10 de abajo, usted puede ver que la venta del condominio por $80.000 generará un flujo
de fondos de $56.000.
Para computar la tasa de retorno de la inversión en el condominio de Sally y Dave, pusimos todos los
números juntos.
136 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
Asumiendo que la tasa de descuento de 12 % es la tasa correcta, la inversión en el condominio es
conveniente: su VAN es positivo y su TIR excede a la tasa de descuento5.
Valor en libros versus valor de venta final
El valor en libros de un activo es su costo de compra inicial menos la amortización acumulada. El valor de venta final de
un activo es el que se asume será su valor de mercado en el momento en que usted “deje de anotar flujos de fondos del
activo”, puede parecer una definición extraña de valor de venta final, pero habitualmente cuando efectuamos cálculos
de valor actual para un activo de larga vida útil (como el condominio de Sally y Dave o las valuaciones de empresas que
trataremos en el capítulo 6 y 7), anotamos solo una limitada cantidad de flujos de fondos.
Sally y Dave son renuentes a efectuar predicciones sobre las rentas y gastos del condominio más allá de un horizonte de
10 años. Pasado este punto, ellos dudan de la precisión de las estimaciones que puedan efectuarse, por eso anotan flujos
de fondos por 10 años y el valor de venta final es su mejor estimación sobre el valor del condominio al final del año 10.
“Analicemos la rentabilidad del condominio si lo mantenemos durante 10 años y lo vendemos”.
Esto es lo que queremos decir cuando afirmamos que “el valor de venta final es lo que valdrá el activo cuando terminemos
de anotar flujos de fondos”.
Impuestos: si Sally y Dave aciertan en su estimación del valor de venta final, ellos deberán considerar los impuestos. Las
leyes impositivas para la venta de un activo específico indican que la cuenta impositiva se calcula sobre la ganancia sobre
el valor en libros. Por ello, en el caso del ejemplo de Sally y Dave,
Valor de venta final – impuestos sobre la ganancia respecto del valor libro =
Valor de venta final – tasa de impuesto * (valor de venta final – valor libros)
= 80.000 – 30 % * (80.000 – 0) = 56.000
8.5. Hacer algunos análisis de sensibilidad (contenido avanzado)
Un análisis de sensibilidad puede mostrar cómo varía la TIR de la inversión en el condominio en
función de la renta anual y el valor de venta final. Utilizando Tabla de Datos de Excel (vea capítulo 20)
construimos un análisis de sensibilidad.
5 Cuando decimos que una tasa de descuento es “correcta”, generalmente se hace referencia a que es apropiada para el riesgo de los flujos de
fondos que están siendo descontados. En el capítulo 6 tendremos nuestra primera discusión en este libro sobre cómo determinar una tasa de
descuento correcta. Por el momento, asumamos que la tasa de descuento es apropiada para el riesgo de los flujos de fondos del condominio.
| 137
Principios de Finanzas con Excel
Los cálculos en la tabla de datos no son tan sorprendentes: para una renta dada, la TIR es mayor
cuanto mayor es el valor de venta final y para un valor de venta final dado, la TIR es mayor a mayor renta.
8.6. Construir la tabla de datos6
Aquí mostramos cómo se organiza la tabla de datos:
■■ Construimos
una tabla con los valores de ventas finales en la columna del lado izquierdo y las
rentas en la fila de arriba.
■■ En el extremo superior izquierdo de la tabla (celda B40), referenciamos al cálculo de la TIR de la
hoja del ejemplo (este cálculo se encuentra en la celda B36).
En este momento, la tabla se ve así:
Utilizando el ratón, marcamos toda la tabla. Utilizamos el comando Datos l Análisis y Sí l Tabla de
Datos.
6 Esta subsección no reemplaza el capítulo 20, pero puede ayudar a recordar lo que decimos allí.
138 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
Podemos ahora completar las referencias del ejemplo original.
El cuadro de diálogo le dice a Excel que repita el cálculo de la celda B36, haciendo variar el valor de
la renta en la celda B6 y el valor de venta final en celda E6. Presionando Aceptar se hace el resto.
9. Presupuesto de capital y valor de recupero
En el ejemplo del condominio de Sally y Dave nos hemos centrado en el efecto de los gastos que no
implican salidas de caja sobre los flujos de fondos: contables y autoridades impositivas computan los
beneficios sustrayendo cierto tipo de gastos de las ventas, aun cuando tales gastos no impliquen salidas
de caja. Para calcular los flujos de fondos, volvemos a sumar tales gastos que no implicaron salidas de
caja a los beneficios contables. Hemos demostrado que dichos gastos que no conllevan salidas de caja
generan ahorro fiscal, generan fondos ahorrando impuestos.
En el ejemplo de esta sección consideraremos un caso de presupuesto de capital en el cual una empresa vende su activo antes de que se encuentre completamente amortizado. Mostramos que el valor en
libros del activo a la fecha de venta final crea ahorro fiscal y vemos el efecto de tal ahorro fiscal en la
decisión de presupuesto de capital.
A continuación, un ejemplo. Su empresa analiza adquirir una máquina nueva. Estos son los datos:
■■ La
máquina cuesta $800.
los próximos 8 años (la vida de la máquina) la máquina generará ventas anuales de
$1.000.
■■ El costo anual de mercancía vendida (CMV) es $400 por año y otros costos; las ventas, generales
y gastos administrativos (SG&A) suponen $300 por año.
■■ La amortización de la máquina es lineal durante los 8 años (es decir, $100 por año).
■■ Al final de los 8 años, el valor de recupero de la máquina (o valor de venta final) es cero.
■■ La tasa impositiva de la firma es 40 %.
■■ La tasa de costo de descuento de la empresa para proyectos de este tipo es 15 %.
■■ Durante
| 139
Principios de Finanzas con Excel
¿Debería la empresa adquirir la máquina? A continuación, se muestra el análisis en Excel.
Observe que en primer lugar calculamos el estado de resultados (P&L) para la máquina (celdas B12:B18)
y luego convertimos dicho resultado en un cálculo de flujos de fondos (celdas B21:B23). El flujo de
fondos anual es $220. Las celdas F7:F15 muestran la tabla de flujos de fondos y la celda F17 da el VAN
del proyecto. El mismo el positivo y deberíamos por ello adquirir la máquina.
9.1. Valor de recupero – una variante del tema
Suponga que la empresa puede vender la máquina por $300 al final del año 8. Para estimar el flujo
de fondo producido por dicho valor de recupero, debemos hacer la distinción entre valor en libros y valor
de mercado.
Valor en libros
Un concepto contable: el valor en libros de una máquina es su costo inicial menos la amortización acumulada
(la suma de las amortizaciones efectuadas sobre la máquina, desde la adquisición). En nuestro ejemplo, el valor
en libros de la máquina en el año 0 es $800, en el año 1 es $700... y al final del año 8 es cero.
Valor de mercado
El valor de mercado es el precio al que la máquina puede ser vendida. En nuestro ejemplo, el valor de mercado
de la máquina al final del año 8 es $300.
Ganancia imponible
La ganancia imponible de la máquina al momento de la venta es la diferencia entre el valor de mercado y el
valor en libros. En nuestro caso, la ganancia imponible es positiva ($300), pero también puede ser negativa (vea
el ejemplo al final de este capítulo).
140 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
A continuación, el cálculo de VAN incluyendo el valor de recupero:
Preste atención al cálculo del flujo de fondos del valor de recupero (celda B30) y el cambio en el flujo
de fondos del año 8 (celda F15).
9.2. Un ejemplo más
Suponga que cambiamos el ejemplo levemente:
■■ Las
ventas anuales, SG&A, CMV y la amortización son tal como se especificaron en el ejemplo
original. La máquina también será amortizada en 8 años linealmente.
■■ Sin embargo, pensamos vender la máquina al final del año 7 a un valor estimado de recupero de
$450. Al final del año 7 el valor en libros de la máquina es $100.
Así es como se verá nuestro cálculo ahora.
| 141
Principios de Finanzas con Excel
Nótense los sutiles cambios respecto al ejemplo anterior:
■■ El
flujo de fondos del valor de recupero es
Valor de recupero-impuestos × (valor
de recupero
- valor libros)
Ganancia imponible al momento de la venta de la máquina
En nuestro ejemplo, esto es $310 (celda B30).
■■ Otra
manera de escribir el flujo de fondos del valor de recupero es esta:
Valor
de recupero ×
(1tasa de impuesto)
asa
de impuestos
× valor libros
+ t
Ingreso después de impuestos procedente de la venta
de la máquina si todo el valor de recupero estuviera
gravado.
Ahorro fiscal por el valor libros al momento
de la venta de la máquina
Utilizando este ejemplo, usted puede ver el rol que juegan los impuestos aún si vendemos la máquina
con pérdida.
Suponga que, por ejemplo, la máquina es vendida en el año 7 por $50, que es menos que su valor
en libros:
142 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
En este caso, la ganancia imponible negativa (celda B28, la jerga normalmente utilizada es “pérdida
según libros”) produce un “ahorro fiscal”, los impuestos negativos de -$20 de la celda B29. Este ahorro
fiscal es en realidad una reducción en su impuesto total, atribuible a los $50 de pérdida de la celda B28.
Se agrega al valor de mercado para producir un flujo de fondos del valor de recupero de $70 (celda B30).
Por ello, aun vendiendo un activo con pérdida, puede producir un flujo de fondos positivo.
10. Principio de presupuesto de capital: no olvide el costo de las oportunidades perdidas
Este es otro principio importante de presupuesto de capital. Un ejemplo: a usted le han ofrecido el
siguiente proyecto, que involucra la adquisición de una máquina por $300 para fabricar un producto
nuevo. Los flujos de fondos de los años 1-5 han sido calculados por su analista financiero.
| 143
Principios de Finanzas con Excel
¡Parece un buen proyecto! Pero ahora alguien recuerda que el proceso de fabricación hace uso de
algún equipamiento existente que se encuentra en desuso. ¿Debería el valor de dicho equipamiento ser
tenido en cuenta de algún modo?
La respuesta a esta pregunta tiene que ver con si el equipo tiene un uso alternativo. Por ejemplo,
suponga que si no adquiere la máquina nueva de fabricación, podría vender el viejo equipo por $200.
Entonces, el costo real en el año 0 para el proyecto es $500 y el mismo tiene un menor VAN.
A pesar de que la lógica aquí es clara, la implementación puede resultar turbia: ¿qué ocurre si la máquina está ocupando espacio en el depósito inutilizado de nuestra empresa? ¿Debería también el costo
de dicho espacio ser tenido en cuenta? Todo depende de si hay usos alternativos, ahora o en el futuro7.
11. ¿En casa o subcontratar? Un mini caso para ilustrar el costo de oportunidades perdidas
Su empresa está intentando decidir si subcontratar el servicio de fotocopiado o continuar haciéndolo
en casa. La fotocopiadora actual no hará otra cosa, debe ser vendida o reparada. A continuación, algunos
datos sobre las dos alternativas:
■■ La
tasa de impuestos de la empresa es 40 %.
las fotocopias en casa requiere una inversión de $17.000 para reparar la fotocopiadora actual. Su contador estima que esos $17.000 pueden ser registrados inmediatamente como gasto,
por lo que su costo después de impuestos es 17.000 * (1-0,40) = 10.200. Efectuada dicha inversión, la fotocopiadora funcionará por otros 5 años. Los costos anuales de copiado se estiman en
$25.000 antes de impuestos, lo que significa 25.000 * (1-0,40) = 15.000 después de impuestos.
■■ La máquina fotocopiadora consta en sus libros por $15.000, pero su valor de mercado es, de
hecho, mucho menor —podría ser vendida solo por $5.000—. Ello significa que la venta de la
fotocopiadora generará una pérdida a efectos impositivos de $10.000; a su tasa de impuestos de
40 % esta pérdida da un ahorro fiscal de $4.000. Por ello, la venta de la fotocopiadora originará
un flujo de fondos de $9.000.
■■ Si usted decide continuar haciendo las fotocopias en casa, el valor en libros remanente de la fotocopiadora se amortizará en 5 años a $3.000 por año. Dado que su tasa de impuestos es 40 %,
ello producirá un ahorro fiscal de 40 % * $3.000 = $1.200 por año.
■■ Hacer
7 Hay un buen caso de Harvard sobre esta materia: “El súper proyecto”, Harvard Business School, caso 9-112-034.
144 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
■■ Subcontratar
el fotocopiado costará $33.000 por año, $8.000 más caro que hacerlo en casa con
la fotocopiadora reparada. Por supuesto que esos $33.000 son un gasto a efectos impositivos, por
lo que el ahorro neto de hacer las fotocopias en casa es:
tasa de impuestos * costo de subcontratación = (1 – 40 %) * $33.000 = $19.800
■■ La
tasa de descuento relevante es 12 %
Le mostraremos dos maneras para analizar la decisión. El primer método evalúa cada alternativa por
separado. El segundo método solo observa los flujos de fondos diferenciales. Mientras que este produce
un set de flujos de fondos “más limpios” que tienen en cuenta explícitamente los costos de oportunidades perdidas, nosotros recomendamos el primer método —es más simple y lleva a menos errores—.
11.1. Método 1: anote los flujos de fondos de cada alternativa
Es, generalmente, la manera más simple de hacer las cosas. Si lo efectúa correctamente, este método
contempla todos los costos de oportunidades perdidas sin que usted repare en ellos. Abajo escribimos los
flujos de fondos para cada alternativa.
EN CASA
SUBCONTRATAR
Año 0
- (1-tasa impositiva) * costo reparación
= - (1 – 40 %) * 17.000 = -$10.200
Precio de venta de la máquina + tasa impositiva *
pérdida según libros
= $5.000 + 40 % * ($15.000 - $5.000) = $9.000
Flujos de Fondos
Años 1-5
- (1-tasa impositiva) * costo anual de fotocopiado en
casa + tasa impositiva * amortización
= - (1 – 40 %) * $25.000
+40 % * $3.000 = -$13.800
- (1-tasa impositiva) * costo subcontratar
= - (1 – 40 %) * $33.000
= - $19.800
Poniendo estos datos en una hoja y descontándolos a la tasa de descuento del 12 % demostramos que
es más barato hacer las fotocopias en casa. EL VAN de los flujos de fondos de la alternativa en casa es
-$59.946, mientras que el VAN de los flujos de fondos de la subcontratación es - $62,375. Nótese que
ambos VAN son negativos, pero la primera alternativa es menos negativa (significando más positiva) que
la alternativa de la subcontratación; por ello, el método de hacerlo en casa es preferible.
| 145
Principios de Finanzas con Excel
11.2. Método 2: descontar los flujos de fondos diferenciales
En este método restamos los flujos de fondos de la alternativa 2 de los de la alternativa 1.
El VAN de los flujos de fondos diferenciales es positivo, lo cual significa que la alternativa 1 (en casa)
es menor que la alternativa 2 (subcontratar):
VAN (en casa –subcontratar) = VAN (en-casa) – VAN (subcontratar) > 0
Ello implica que:
VAN (en-casa) > VAN (subcontratar)
146 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
Si observa cuidadosamente los flujos de fondos diferenciales, verá que tienen en cuenta los costos de
oportunidades perdidas.
Flujo de Fondos
diferencial
Año 0
Años 1-5
Explicación
-$19.200
Este es el costo después de impuestos de reparar la vieja fotocopiadora (-$10.200) y los costos de
oportunidad de vender la fotocopiadora (-$9.000). En otras palabras: este es el costo en el año 0 de
decidir hacer las fotocopias en casa.
$6.000
Este es el ahorro después de impuestos de hacer las fotocopias en casa: si lo hace en casa, ahorra
$8.000 antes de impuestos (=$4.800 después de impuestos) y puede tomar la amortización de la
máquina actual (= ahorro fiscal de $1.200). En comparación con hacerlo en casa; la alternativa
de subcontratación tiene el costo de oportunidad perdida de la pérdida del ahorro fiscal por la
amortización.
Si examina la redacción enrevesada de la tabla de arriba (“la alternativa de subcontratación tiene el
costo de oportunidad perdida de la pérdida del ahorro fiscal por la amortización”) estará de acuerdo en
que debería ser más simple listar los flujos de fondos de cada alternativa separadamente.
12. Amortización acelerada
Como usted sabe ahora, el valor de recupero de un activo es su valor al final de su vida; otro término
habitualmente utilizado es valor de venta final. A continuación, se expone un ejemplo de presupuesto
de capital que ilustra la importancia de la amortización acelerada en el cómputo de los flujos de fondos:
■■ Su
empresa está considerando comprar una máquina por $10.000.
la compra, la máquina producirá ahorros anuales de costos de $3.000 durante los próximos 5
años; estos flujos de fondos estarán gravados a la tasa impositiva del 40 %.
■■ La máquina se amortizará en el período de 5 años mediante el método de amortización acelerada
permitido en EE. UU. Al final del 6º año, la máquina será vieja; su estimación del valor de recupero
en tal momento es de $4.000, aun cuando a efectos contables su valor en libros sea $576 (celda
B19 abajo).
■■ Si
Usted debe decidir cuál es el VAN del proyecto, utilizando una tasa de descuento de 12 %. Aquí
presentamos los cálculos más relevantes.
| 147
Principios de Finanzas con Excel
El ahorro anual de costos después de impuestos es $1.800 = (1- 40 %) * $3.000. Los ahorros fiscales por amortización están determinados por el esquema de amortización acelerada (filas 10 – 15).
Cuando el activo es vendido al final del año 6, su valor libros es $576. Ello lleva a una ganancia imponible de $3.424 (celda B20) e impuestos de $1.370 (celda B21). El flujo de fondos neto (celda B22) de
la venta del activo al final del año 6 es su precio de venta de $4.000 menos los impuestos (celda B21).
El VAN del activo es $657 y la TIR es 14,36 % (celdas B35 y B36).
13. Resumen
En este capítulo hemos analizado los principios de presupuesto de capital utilizando TIR y VAN. Las decisiones de presupuesto de capital pueden ser tajantemente separadas entre decisiones de “sí– no” (“¿deberíamos aceptar un determinado proyecto?”) y “decisiones de ranking” (“¿cuáles de la siguiente lista de
proyectos son preferibles?”). Nos hemos concentrado en dos áreas importantes de presupuesto de capital:
■■ La
diferencia entre TIR y VAN en la toma de decisiones de presupuesto de capital. En muchos
casos estos dos criterios dan la misma respuesta a preguntas de presupuesto de capital. Sin
embargo, hay áreas —especialmente cuando hacemos ranking de proyectos— en que VAN y TIR
dan respuestas diferentes. Cuando difieren, el VAN es el criterio preferible al que hay que acudir
porque es la riqueza adicional derivada del proyecto.
■■ Toda decisión de presupuesto de capital en definitiva involucra un set de flujos de fondos proyectados, por lo que cuando usted hace presupuesto de capital, es importante que obtenga correctamente
dichos flujos de fondos. Hemos ilustrado la importancia de costos irrecuperables, impuestos, costos
de oportunidades perdidas y valor de recupero en la determinación de los flujos de fondos.
148 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Usted está considerando un proyecto de inversión con los flujos de fondos indicados abajo:
a. Calcule el valor actual de los flujos de fondos futuros del proyecto.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Calcule el valor actual neto del proyecto.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c. Calcule la tasa interna de retorno del proyecto.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
d. ¿Debería usted emprender el proyecto?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2. Su empresa está evaluando dos proyectos de inversión con los siguientes flujos de fondos:
a. Si la tasa de descuento aplicable es 12 %, elabore un ranking de los dos proyectos.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. ¿Cuál de los proyectos es preferible, si los ordena por TIR?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
| 149
Principios de Finanzas con Excel
c. Calcule al tasa de descuento r para la cual ambos proyectos tienen el mismo VAN.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
d. ¿Debería usted utilizar VAN o TIR para elegir entre los dos proyectos? Explíquelo.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3. Su tío, muy orgulloso de ello, es el dueño de un negocio de ropa de alta costura. Dado que las ventas están bajas,
está pensando en reemplazar el decaído sector de corbatas por un sector de indumentaria deportiva. Para evaluar
la rentabilidad de dicha decisión, él contrató a un asesor financiero para estimar los flujos de fondos del nuevo
departamento. Después de 6 meses de intenso trabajo, el asesor aportó los siguientes cálculos:
La tasa de descuento es 12 % y no hay impuestos adicionales. Por lo tanto, el asesor financiero calculó el VAN del
siguiente modo:
−67.000 +
7.000
= −8.667
0,12
Su tío, sorprendido, le preguntó a usted (un prometedor estudiante de finanzas) si podría revisar los cálculos. ¿Cuáles son los verdaderos valores de TIR y VAN del proyecto?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
150 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
4. Usted es el dueño de una fábrica que provee mesas y sillas a las escuelas en la Comunidad de Madrid. Vende cada
silla a $1,76 y cada mesa a $4,40 en base al siguiente cálculo:
Departamento Sillas
Departamento Mesas
No. de unidades
$100.000,00
$20.000,00
Costo del material
$80.000,00
$35.000,00
Costo de mano de obra
$40.000,00
$20.000,00
Costos fijos
$40.000,00
$25.000,00
Costo Total
$120.000,00
$55.000,00
Costo por unidad
$1,60
$4,00
Más 10 % de rentabilidad
$1.76
$4,40
Usted ha recibido una propuesta de una escuela en Alcorcón para proveerles 10.000 sillas y 20.000 mesas al precio
de $1,05 y $3,50 respectivamente. Su asesor financiero le sugiere que no acepte la propuesta porque el precio ni
siquiera cubre el costo de producción. ¿Está el asesor financiero en lo cierto?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
5. Una empresa está evaluando la adquisición de una nueva máquina para una de sus unidades. La misma tiene un
costo de $100.000. Será amortizada en línea recta durante sus 10 años de vida útil, sin valor residual. Se espera que
la máquina produzca ahorros de $50.000 anuales en la empresa, pero para operarla, la empresa debe transferir a
un empleado (con un salario anual de $40.000) de una de sus otras unidades. Un nuevo empleado (con un salario
anual de $20.000) será preciso para reemplazar al empleado transferido. ¿Cuál es el VAN de la compra de la nueva
máquina si la tasa apropiada de descuento es 8 % y la tasa de impuesto corporativa, 35 %?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. Usted está evaluando la siguiente inversión:
Año
Inversión
0
-10.500
UAII (Utilidad antes de intereses e impuestos)
1
3.000
2
3.000
3
3.000
4
2.500
5
2.500
6
2.500
7
2.500
| 151
Principios de Finanzas con Excel
La tasa de descuento es 11 % y la tasa de impuestos 34 %.
a. Calcule el VAN del proyecto utilizando amortización lineal.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. ¿Cuál sería la ganancia de la empresa si utilizara un método de amortización acelerada, presentado
a continuación?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Amortización acelerada
Año
Porcentaje
1
14,29 %
2
24,49 %
3
17,49 %
4
12,49 %
5
8,93 %
6
8,92 %
7
8,93 %
8
4,46 %
7. Una empresa está considerando la adquisición de una nueva máquina para una de sus fábricas. El costo de la misma
es $60.000 y su vida útil esperada, 5 años. La máquina le hará ahorrar el costo del salario de un trabajador, que se
estima en $22.500 al año. El valor en libros de la máquina al final de los 5 años será $10.000, pero la empresa considera que su valor de mercado será solo de $5.000. Calcule el VAN de la máquina si la tasa de descuento es 12 % y la
proporción impositiva es del 30 %. Asuma amortización en línea recta sobre los 5 años de vida de la máquina.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
8. La compañía ABD está considerando comprar una nueva máquina para una de sus fábricas. El costo de la máquina es
$100.000 y su vida útil esperada es 8 años. La máquina se espera que reduzca los costos de producción en $15.000
anualmente. El valor final de la máquina será $20.000, pero la empresa considera que solo podrá venderla por
$10.000. Si la tasa de descuento aplicable es 15 % y la tasa impositiva es del 40 %:
a. Calcule el VAN del proyecto.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Calcule la TIR del proyecto.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
152 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
9. Usted es dueño de una fábrica ubicada en una zona de clima cálido. La producción mensual de la fábrica es $100.000
excepto durante el período Junio–septiembre, en que cae a $80.000 debido al calor en la fábrica. En enero de 2010
usted recibió una oferta para instalar un sistema de aire acondicionado en su fábrica. El costo del sistema es
$150.000 y su horizonte de vida es 10 años. Si usted instala el sistema de aire acondicionado, la producción en los
meses de verano igualará la producción en los meses invernales. Sin embargo, el costo de operar el sistema es
$9.000 al mes (solo durante los 4 meses en que usted lo utiliza). Usted también deberá pagar un costo de mantenimiento de $5.000 anualmente en octubre. ¿Cuál es el VAN del sistema de aire acondicionado si la tasa de interés es
12 % y la tasa de impuestos corporativa 35 % (los costos por amortización se toman en diciembre de cada año)?
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10. La empresa “Cold & Sweet” (C&S)fabrica helados. La empresa está considerando la compra de una nueva máquina
que mejorará los helados con chocolate de óptima calidad. Su costo es de $900.000.
Amortización y valor final: la máquina será amortizada durante los 10 años de vida útil hasta un valor residual de
cero, pero la empresa prevé su utilización solo durante 5 años. Los administradores consideran que el precio de
venta al cabo de los 5 años será de $100.000.
La máquina puede producir hasta 1.000.000 de helados al año. El director comercial de D&F considera que si la
empresa invierte $30.000 en publicidad durante el primer año y otros $10.000 en cada uno de los años siguientes, la
compañía estará en condiciones de vender 400.000 helados a $1,30 cada uno. El costo de producción es de $0,50;
y otros costos relacionados a los nuevos productos suman $40.000 al año. El costo de capital de D&F es del 14 %
y la tasa impositiva, 30 %.
a. ¿Cuál es el VAN del proyecto si las estimaciones del director comercial son acertadas?
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b. ¿Cuál es el mínimo precio que la empresa debería cobrar por cada helado para que el proyecto sea
rentable? Asuma que el precio de los helados no afecta a las ventas.
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c. El subgerente comercial sugiere cancelar la campaña publicitaria. En su opinión, las ventas de la
compañía no se reducirán significativamente por la cancelación. ¿Cuál es la mínima cantidad que la
empresa necesita vender para ser rentable, si la sugerencia del subgerente es aceptada?
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d. El subgerente comercial solicita que se hagan algunos análisis de sensibilidad. Él pregunta cuál sería el
VAN del proyecto si las ventas anuales son 300.000, 350.000,..., 700.000 y si el precio unitario es $1,2;
$1,3;... $1,7. Presente las tablas de datos que responden a esta pregunta.
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| 153
Principios de Finanzas con Excel
11. La empresa “Less is More” fabrica trajes de baño y está considerando expandirse hacia el mercado de los albornoces. El plan de inversión propuesto incluye lo siguiente:
~~ Adquisición de una nueva máquina: el costo de la misma es de $150.000 y su vida útil esperada es de 5
años. El valor final de la máquina es 0, pero el economista jefe de la compañía estima que será posible
venderla por $10.000.
~~ Campaña publicitaria: el gerente comercial estima que la campaña costará $80.000 anuales.
~~ Los costos fijos del nuevo departamento serán de $40.000 al año.
~~ Los costos variables se estiman en $30 por cada albornoz, pero debido a los altos costos de mano de
obra, se prevé que los mismos crezcan a la tasa del 5 % anual.
~~ Cada albornoz se venderá a un precio de $45 durante el primer año y la empresa considera que dicho
precio crecerá en un 10 % en cada uno de los años subsiguientes.
~~ La tasa de descuento de “Less is More” es 10 % y la alícuota impositiva es del 36 %.
~~
~~
¿Cuál es el punto de equilibrio del departamento de albornoces?
Elabore un gráfico en el cual el VAN sea la variable dependiente del nivel de producción anual.
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12. La empresa “Car Clean” opera en el negocio de lavado de coches. Adquirió una máquina hace 2 años a un precio
de $60.000. El horizonte de vida de la misma es 6 años y no tiene valor de recupero; su valor de mercado actual es
$20.000. La empresa está evaluando comprar una nueva máquina. El costo de esta es $100.000, su horizonte de
vida, 4 años; y su valor final, $20.000. La nueva máquina es más rápida que la anterior, por lo que la empresa cree
que el ingreso crecerá de $1 millón anuales a $1,03 millones. Además, se espera que la nueva máquina le genere
ahorros a la compañía de $10.000 costos de agua y electricidad.
La tasa de descuento de “Car Clean” es del 15 % y la tasa de impuestos, 40 %. ¿Cuál es el VAN del reemplazo de
la vieja máquina?
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13. Una empresa está evaluando si comprar una fotocopiadora normal o color para sus oficinas. El costo de la fotocopiadora normal es $10.000; su horizonte de vida útil 5 años; y la empresa debe pagar otros $1.500 anuales de costos
de mantenimiento. El precio de la fotocopiadora a color es $30.000; su horizonte de vida útil también es 5 años y los
costos anuales de mantenimiento son $4.500. Se espera que la fotocopiadora a color incremente los ingresos de
la empresa en $8.500 anuales. Asuma que la compañía es rentable y paga una tasa de impuestos de 40 %, siendo
11 % la tasa de interés aplicable. ¿Qué fotocopiadora debería adquirir la empresa?
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154 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
14. La empresa “Coka” opera en el negocio de las bebidas gaseosas. Hasta el momento, adquiere los envases vacíos
a un proveedor externo que le cobra $0,20 por cada uno. Además, los costos de transporte son $1.000 por camión,
que transporta 10.000 unidades. La compañía “Coka” evalúa si comenzar a fabricar los envases en su planta. El
costo de la máquina para fabricación de envases es de $1.000.000, su vida útil 12 años y su valor final, $160.000.
Los costos de mantenimiento y reparación serán de $150.000 por cada 3 años. El espacio adicional le costará a la
empresa $100.000 anualmente y el costo de producir cada envase en la fábrica es de $0,17.
El costo de capital de “Coka” es 11 % y la alícuota impositiva, 40 %.
a. ¿Cuál es el mínimo número de envases que la empresa debería vender cada año para justificar la
producción propia de envases?
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b. Avanzado: utilice tabla de datos para indicar el VAN y TIR del proyecto, como función del número de
envases.
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15. La empresa ZZZ está considerando invertir en una nueva máquina para una de sus fábricas y tiene dos alternativas
para elegir:
Costo
Costo Fijo por Máquina
Costo Variable por Unidad
Producción anual
Máquina A
Máquina B
4.000.000
10.000.000
300.000
210.000
1,2
0,8
400.000
550.000
La vida útil de cada máquina es 5 años. Por otro lado ZZZ vende cada unidad de sus productos a $6, siendo la tasa
de costo de capital 12 % y la alícuota impositiva del 35 %.
a. Si la empresa fabrica 1 millón de unidades por año, ¿qué máquina debería elegir?
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b. Elabore un gráfico mostrando la rentabilidad de la inversión en cada tipo de máquina dependiendo de
la producción anual.
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| 155
Principios de Finanzas con Excel
16. La compañía Easy Sight fabrica gafas de sol. Tiene dos máquinas para hacerlo, cada una de las cuales produce
1.000 unidades al mes. El valor en libros de cada máquina vieja es $10.000 y su vida útil esperada, 5 años. Se amortizan en línea recta, sin considerar un valor final. Pero la empresa considera que puede vender una máquina hoy
(enero de 2014) a un precio de $6.000. El valor de la máquina nueva es $20.000 y su vida útil esperada, 5 años. La
nueva máquina hará ahorrar a la empresa $0,85 por cada gafa producida.
La demanda por sus productos es estacional, durante los 5 meses de verano (mayo a septiembre) la demanda
alcanza las 5.000 unidades al mes, mientras que en los meses de invierno cae a 1.000 unidades por mes.
Asuma que en virtud de los costos de seguros y almacenamiento, es antieconómico almacenar gafas de sol en la
fábrica. ¿Debería Vista Fácil reemplazar sus dos máquinas antiguas por nuevas unidades, si su tasa de descuento
es 10 % y su tasa impositiva, 40 %?
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17. Poseidón está evaluando la apertura de una línea de transporte marítimo de Atenas a Rodas. Para ello tendrá que
comprar dos barcos que cuestan 1.000 monedas de oro cada uno. La vida útil de cada barco es 10 años y Poseidón
estima que ganará 300 monedas de oro el primer año y la ganancia se incrementará al 5 % por año. El costo anual
del servicio se estima en 60 monedas de oro anuales. La tasa de interés es 8 %, y la tasa de impuestos de Zeus 50 %.
a. ¿Será rentable la nueva línea de transporte marítimo?
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b. En virtud de las buenas conexiones que Poseidón tiene en el Olimpo puede obtener una reducción
impositiva. ¿Cuál es la máxima tasa impositiva en la que el proyecto sería rentable?
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18. En la reunión de gabinete en el Olimpo, Hera trataba de convencer a Zeus de mantener en el 50 % la alícuota impositiva en virtud del déficit fiscal. Acorde a los cálculos de Hera, la línea de transporte marítimo sería más rentable si
Poseidón comprara solo una embarcación y vendiera billetes solamente a pasajeros de primera clase. Hera estima
que Poseidón tendría costos anuales de 40 monedas de oro.
a. ¿Cuál es la mínima ganancia anual promedio requerida para que la línea de transporte marítimo sea
rentable asumiendo que las ganancias son constantes a lo largo de los 10 años?
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b. Zeus, que es un dios apegado a las viejas costumbres, considera que “la sangre es más espesa que el
dinero”. Él acepta darle a Poseidón una reducción impositiva si adquiere un solo barco. Utilice tablas
de datos para mostrar la rentabilidad del proyecto, dependiendo de los ingresos anuales y de la alícuota
impositiva.
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___________________________________________________________________________
156 |
CAP. 4 | Introducción al presupuesto de capital
19. Kane Running Shoes está evaluando la fabricación de una línea especial de calzado inteligente (SWS) para competición, que indicará cuándo el atleta está corriendo (lo que ocurre cuando ninguna de las piernas del atleta está
tocando el suelo). El economista jefe de la compañía presentó el siguiente cálculo para SWS:
~~
~~
~~
~~
Investigación y desarrollo $200.000 anualmente en cada uno de los primeros 4 años.
En cuento al proyecto de fabricación propiamente dicho:
Vida útil esperada: 10 años.
Inversión en maquinaria: $250.000 (en el momento t = 4), con una vida útil esperada de cada máquina
de 10 años.
~~ Ventas anuales esperadas: 5.000 pares de calzado a un precio esperado de $150 por par.
~~ Costos fijos $300.000 anuales.
~~ Costos variables: $50 por par de calzado.
La tasa de descuento es del 12 %, la tasa impositiva 40 % y los gatos de investigación y desarrollo son deducibles
impositivamente. Asuma que al finalizar el proyecto (es decir, tras 14 años), la nueva tecnología habrá sido superada por otra nueva y, por lo tanto, no tendrá ningún valor.
a. ¿Cuál es el VAN del proyecto?
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b. El Comité Olímpico Internacional (IOC) decidió darle a Kane un préstamo sin intereses durante 6 años
para incentivar a que la compañía encarase el proyecto. El préstamo deberá ser pagado en 6 cuotas
anuales iguales. ¿Cuál es el mínimo valor del préstamo que debería darle la IOC para que el proyecto
sea rentable?
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20. La empresa “Afrodita” fabrica perfumes. Está próxima a lanzar una nueva línea de productos y el departamento de
marketing tiene que decidir si utilizar una campaña conservadora o agresiva.
CAMPAÑA AGRESIVA
~~
~~
~~
~~
Costos iniciales (producción de un aviso comercial utilizando una top model): $400.000.
Beneficios el primer mes: $20.000.
Crecimiento mensual de los beneficios (meses 2-12): 10 %.
Después de 12 meses la empresa va a lanzar una nueva línea de productos y se espera que los beneficios
mensuales de la primera sean $20.000 a perpetuidad.
CAMPAÑA CONSERVADORA
~~
~~
~~
~~
Costos iniciales (utilizando una modelo menos famosa): $150.000.
Beneficios el primer mes: $10.000.
Crecimiento mensual de los beneficios (meses 2-12): 6 %.
Beneficios mensuales (meses 13- ∞): $20.000.
a. El costo de capital anual es 7 %. Calcule el VAN de cada campaña y decida cuál de ellas debería llevar
a cabo la empresa.
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| 157
Principios de Finanzas con Excel
b. El gerente de la empresa considera que en virtud de la recesión esperada para el año próximo, las características estimadas para la campaña agresiva (tanto el beneficio del primer año como el crecimiento de los
beneficios en los meses 2-12) son demasiado optimistas. Use una tabla de datos para mostrar el VAN diferencial
de ambas campañas, como función del beneficio del primer mes y la tasa de crecimiento de la campaña agresiva.
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158 |
Capítulo 5
Problemas en los
presupuestos de capital
Contenido
1. Concepto general
2. Un problema con la TIR: usted no siempre puede saber qué proyectos
son buenos o malos
3. Múltiples tasas internas de retorno
4. Elegir entre proyectos con diferente vida útil
5. Comprar versus contratar leasing cuando los impuestos son importantes
6. Principio de presupuesto de capital: pensando en el descuento
semianual
7. Inflación: tasas de interés y flujos de fondos nominales y reales
8. Entendiendo los TIPS
9. Utilizar los TIPS para predecir la inflación
10. Presupuesto de capital ajustado por inflación
11. Resumen
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
1. Concepto general
Las decisiones de presupuesto de capital que hemos analizado en el capítulo 4 son todas objetivas
y contundentes: los criterios de TIR y VAN siempre indicaban qué inversión era conveniente para el individuo o la empresa. Sin embargo, como cabía esperar, en la vida real las decisiones de dónde y cómo
invertir el dinero no son siempre tan claras y fáciles de tomar.
En este capítulo se expandirá la discusión de presupuesto de capital iniciada en el capítulo 4 y se
examinará un número de cuestiones y problemas que generalmente ocasionan confusión.
Conceptos financieros tratados
■■ Problemas
 La
con la TIR como criterio de decisión.
TIR no puede distinguir entre prestar y tomar prestado.
TIR.
 Múltiples
■■ Eligiendo
entre proyectos con diferentes vida útil.
■■ Descontar flujos de fondos que no ocurren a fin de año (“descuento semianual”).
■■ Incorporar consideraciones impositivas en la problemática de comprar vs. leasing.
■■ Incorporar la inflación en los presupuestos de capital. Descontar flujos de fondos nominales versus
reales.
Funciones de excel utilizadas
■■ TIR,
VAN.
■■ SUMA.
■■ PAGO.
■■ Análisis y Sí.
■■ VNA.NO.PER, TIR.NO.PER.
2. Un problema con la TIR: usted no siempre puede saber qué proyectos son buenos o
malos
A veces, a partir de la TIR es difícil decidir si un proyecto será bueno o malo. A continuación, un
ejemplo simple: usted ha decidido comprar un coche; el precio de lista es $11.000 y el agente le ofrece
dos alternativas para la adquisición:
■■ Puede pagarle al agente en efectivo y obtener $1.000 de descuento, entonces pagará solo $10.000.
■■ Puede
pagar $5.000 ahora y pagar $2.000 cada uno de los próximos 3 años. El agente le llama a
esto un plan de “préstamo tasa cero”. El banco otorga préstamos bancarios al 9 % de interés, por
lo que el agente le indica que su plan es más barato.
¿Cuál es la mejor propuesta? Habiendo aprendido algo de finanzas, usted plantea la siguiente hoja
de cálculo.
| 161
Principios de Finanzas con Excel
El elemento crítico en la hoja es la columna D, que compara las salidas de caja anuales del plan de
crédito con las del plan de pago al contado. La columna D muestra que si paga con el plan de crédito en
lugar de hacerlo al contado, gastará $5.000 menos en el año 0. Por otro lado, gastará $2.000 más en
los años 1, 2 y 3. La TIR de esta columna es 9,70 %. Dado que el banco está prestando dinero al 9 %,
usted debería pedir un préstamo en lugar de utilizar el plan de financiación del agente.
Para entenderlo mejor, nótese que el patrón de flujos de fondos de la columna D es como el patrón de
flujos de fondos al recibir un préstamo. Cuando usted pide un préstamo, hay un flujo de fondos inicial
positivo (esto cuando usted lo recibe) y flujos de fondos subsecuentes negativos (los pagos de cuotas
del préstamo). Cuando usted adquiere el coche utilizando el plan de financiación del agente, el patrón
de flujos de fondos es el mismo: hay un flujo de fondos inicial positivo (el ahorro por pagar solo $5.000
en lugar de $10.000) y flujos de fondos subsecuentes negativos (los $2.000 de costo anual del plan de
crédito). Por ello, la TIR de 9,79 % representa el costo del plan de crédito del agente. Dado que el banco
presta el 9 %, es más barato pedir prestado a través del banco.
¿Qué ocurre si usted no tiene los $10.000 en efectivo para el pago al contado? Entonces debería pedir
un préstamo bancario (continúe leyendo para más detalles).
La celda B15 descuenta los flujos de fondos diferenciales de la columna D a la tasa de interés bancaria. Ello demuestra que este flujo tiene un VAN negativo, otra indicación de que no debería aceptar dicho
proyecto: usted debería optar por el plan de pago al contado.
2.1. ¿Cómo pagará el coche?
Entonces, será más ventajoso para usted pagar al agente al contado. Si no tiene los $10.000 en efectivo, debería pedir $5.000 al banco. Este plan tendrá los siguientes flujos de fondos (asumiendo pagos
anuales constantes de capital e interés, calculados utilizando la función PAGO de Excel).
162 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Los flujos de fondos de las celdas D20:D23 son una mejora respecto de aquellos de las celdas
C7:C10, los que muestra (nuevamente) que es mejor comprar el coche al contado y pedir prestado el
dinero del banco en lugar de aceptar la propuesta de financiamiento del agente.
2.2. Los flujos de fondos del agente
Para ver cuán confusa puede ser la TIR, considere los flujos de fondos del agente. Él le ha ofrecido la
elección entre pagar $10.000 en efectivo o $5.000 de anticipo y tres cuotas iguales de $2.000.
La columna D muestra que entre los dos planes, el agente tiene un flujo de fondos negativo de $5.000
en el año 0, pero tiene flujos de fondos positivos de $2.000 en cada uno de los 3 años siguientes. Efectivamente, el agente está actuando como un banco dando un préstamo y el 9,70 % representa la tasa
de interés ganada por el agente en el préstamo; si puede pedir prestado los $5.000 de la celda D8 del
banco al 9 % estará mejor, su VAN sobre el préstamo es 62,59 %.
2.3. ¿Cuál es el Punto?
La TIR del agente y del comprador (usted) son las mismas. Pero ello derivaría en que el plan de pago
es malo para usted y positivo para el agente: la TIR de los flujos de fondos del agente representa el interés
que él gana en el préstamo que le da a usted; la TIR de los flujos de fondos del comprador es el costo del
préstamo que usted está tomando. Para comprobar si usted está realizando un negocio rentable, use el
VAN de los flujos de fondos diferenciales descontados a la tasa de interés del banco; este VAN muestra
| 163
Principios de Finanzas con Excel
claramente que el plan de pagos no es beneficioso para usted (VAN negativa de $62,59), sino para el
agente (VAN positivo de $62,59).
3. Múltiples tasas internas de retorno
El proyecto tiene un “patrón de flujos de fondos convencionales” cuando todos los flujos de fondos
positivos y negativos se agrupan juntos. Si tal condición no se cumple, entonces llamaremos al patrón de
flujos de fondos “no convencionales”. A continuación, se muestran algunos ejemplos de flujos de fondos
convencionales y no convencionales.
En la sección 4.4 del capítulo 4 hemos mostrado que para proyectos con flujos de fondos convencionales, los criterios de TIR y VAN ofrecen la misma respuesta para las cuestiones de presupuesto de capital
por “sí o no” (la cuestión de si un proyecto en particular es conveniente o no). En esta sección trataremos
el tema de la TIR de proyectos con flujos de fondos no convencionales. Dichos proyectos tienen múltiples
TIR habitualmente, lo que hace que nuestro análisis de proyectos con flujos de fondos no convencionales
sea confuso. En definitiva, concluiremos que el VAN es una herramienta de decisión más adecuada.
Considere el caso de una empresa que opera en residuos patológicos. Un agujero de “residuo patológico” es básicamente una gran fosa en la tierra en la que se arroja basura hasta que se llena.
A continuación, los flujos de fondos para un nuevo agujero para residuos patológicos:
■■ El
costo inicial es $800.000: esto cubre los gastos de cavar el agujero, cercarlo y proveer el acceso
adecuado para camiones.
■■ Las entradas de dinero anuales serán $450.000. Ello representa los honorarios que la empresa
cobra por darle a las empresas de basura el derecho a tirar su basura en el agujero. Estos flujos
de fondos son netos de cualquier costo en que deba incurrir la empresa de residuos patológicos.
■■ Después de 5 años el agujero estará lleno. El costo de cerrarlo, en que se incurrirá al final del año
6, es $1.500.000. Ello incluye los costos de honorarios de varias regulaciones ecológicas, entre
otros.
164 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
En la siguiente hoja, en las celdas B3:B9 se presentan los flujos de fondos para la empresa de residuos patológicos. En las columnas E y F hemos construido una tabla que computa el valor actual neto de
dichos flujos de fondos a varias tasas de descuento. El gráfico muestra que los flujos de fondos tienen
dos tasas internas de retorno: estos son los dos puntos en los cuales el gráfico corta el eje x.
En las celdas B14 y B15 identificamos dichas TIR utilizando la función TIR de Excel. Hemos utilizado
la opción Estimar de dicha función. Esta opción le permite a usted identificar la TIR aproximada (utilizamos el gráfico para identificar dicho número); Excel luego computa la TIR cercana a esta aproximación.
En la siguiente hoja usamos 25 % como un estimador en la celda B15. La función TIR de Excel entonces
muestra que la TIR real que está cerca de ese estimador es 27,74 %.
Cuadro de diálogo para la función TIR, mostrando el uso de estimar
Nota: si usted ingresa un menor estimador (digamos 0 o 3 %), Excel encontraría la TIR de 2,68 %. Si usted no ingresa
ningún estimador, Excel busca la TIR más cercana a cero.
| 165
Principios de Finanzas con Excel
3.1. Dos TIR. ¿Qué significa eso?
¡Esta cuestión de las dos TIR es confusa! Suponga que está intentando decidir si emprender el proyecto de residuos patológicos. Como usted vio en el capítulo 4, hay dos reglas tradicionales para aceptar
o rechazar proyectos:
■■ Regla
del VAN: un proyecto es aceptable si su VAN > 0. En el caso de los residuos patológicos, la
regla del VAN dice que el proyecto es aceptable si la tasa de descuento es mayor que 2,68 % y
menor que 27,74 %.
■■ Regla del TIR: un proyecto es aceptable si su TIR > a la tasa apropiada de descuento. Dado que
hay dos TIR en este caso, la regla de la TIR es imposible de aplicar. En términos prácticos, ello
implica que cuando un proyecto tiene más de una TIR, usted debería determinar su atractivo solo
mediante la regla del VAN.
3.2. ¿Cuántas TIR hay allí?
Para un determinado set de flujos de fondos, hay potencialmente tantas TIR como cambios en los
signos de los flujos de fondos haya. El patrón de flujos de fondos de un proyecto convencional tiene un
flujo de fondos inicial negativo y desde allí solo flujos de fondos positivos; hay solo un cambio de signo
(de negativo a positivo) y, por lo tanto, solo una TIR posible. El ejemplo previo de flujos de fondos tenía
dos cambios de signos (y, por lo tanto, dos TIR posibles): de $800.000 en el año 0 a $450.000 en el
año 1, y luego nuevamente de $450.000 en el año 5 a -$1.500.000 en el año 61.
4. Elegir entre proyectos con diferente vida útil
Algunas veces nuestra decisión de presupuesto de capital conlleva proyectos con diferente vida útil.
Suponga que nuestra empresa está considerando comprar uno de entre dos camiones para acarrear líquidos de alta tecnología. La empresa está tratando de decidir entre dos alternativas:
■■ El
camión A es relativamente barato. Cuesta $100.000 y tiene una vida útil de 6 años, durante la
cual producirá un flujo de fondos anual de $150.000.
■■ El camión B es mucho más caro. Cuesta $250.000 y tiene solo 3 años de vida útil, al final de la
cual debe ser reemplazado. Sin embargo, el camión B es mucho más eficiente que el camión A y
durante cada uno de los 3 años de su vida útil generará un flujo de fondos de $300.000.
Si la tasa de descuento de su empresa es 12 %, ¿qué camión debería ser elegido? A continuación, un
modo simple (y, como resultado, engañoso) de realizar el análisis.
1 Los ejercicios 2 y 3 al final de este capítulo muestran ejemplos con tres TIR.
166 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Utilizando este análisis usted debería concluir que el camión A es preferible al camión B dado que su
VAN es mayor. Pero como los dos camiones tienen diferente vida útil, hay un problema con concluir que el
camión A es preferible al B. Para hacerlos comparables, asumimos que al final del año 3 reemplazaremos
el camión B con otro, un camión similar. Ello hace que el flujo de fondos del año 3 sea:
Flujo de fondos del año 3:
300

Flujo de fondos
del año 3 del camión
−
250

= 50
Precio de compra del
nuevo camión
Una vez que hemos reemplazado el camión en el año 3, los flujos de fondos de los años 4, 5 y 6 serán
$300. Podemos poner esto en una hoja.
Como puede ver en las celdas B13 y C13, el VAN de los dos (ahora comparables) proyectos indica
que B es preferible a A.
Hay otra manera de alcanzar esta misma conclusión. Observe los siguientes cálculos:
VAN(A ) = −100 +
150
150
150
150
150
150
+
+
+
+
+
= 516,71
2
3
4
5
(1,12) (1,12) (1,12) (1,12) (1,12) (1,12)6
| 167
Principios de Finanzas con Excel
125, 68
t
t=1 (1,12)
6
=∑
VAN(B) = −250 +
300
300
300
+
+
= 470,55
(1,12) (1,12)2 (1,12)3
195, 91
t
t=1 (1,12)
3
=∑
Lo que estos cálculos muestran es que el camión A es equivalente a obtener un flujo de fondos
constante de $125,68 por año durante los 6 años de su vida, mientras que el camión B es equivalente
a obtener un flujo de fondos constante de $195,91 en cada uno de los 3 años de su vida. Llamamos a
dicho flujo de fondos Flujo de fondos anual equivalente (EAC). Dado que si usted adquiere el camión B
obtiene $195,91 por año y si compra el camión A obtiene 125,68 por año $, está claro que el camión
B es preferible.
El EAC es fácil de calcular. Es definido como un flujo de fondos futuro constante cuyo valor actual es
igual al valor actual neto del proyecto.
N
FFt
Flujo de fondos anual equivalente (EAC)
=∑
t
(
1
)
(1 + r )t
+
r
t=1
t=1
N
VAN = CF0 + ∑
,siendo N la vida del proyecto.
Podemos reordenar esta ecuación ligeramente y utilizar la función PAGO de Excel para calcular el
EAC.
FFt
t
t=1 (1 + r )
− PAGO ( r, N períodos, VAN )
N
1
∑
t
t=1 (1 + r )
N
EAC =
VAN = CF0 + ∑
Función de Excel
Implementamos dicha fórmula en la
siguiente hoja.
168 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Un ejemplo no trivial de diferentes vidas útiles: elegir una lámpara
El tema del EAC puede parecer algo académico y teórico, pero no lo es. En esta sección presentamos
un ejemplo de la vida real que solo puede ser resuelto utilizando EAC.
Usted está barajando la posibilidad de reemplazar las lámparas en un hotel de su propiedad. Actualmente, está utilizando lámparas incandescentes de 100 vatios, que cuestan $1 cada una y tienen una
vida útil promedio de 1.000 horas. Está pensando en remplazarlas por lámparas compactas fluorescentes
de bajo consumo. Estas son mucho más caras, costando $5 cada una, pero producen la misma luminiscencia, usan solo 15 vatios y duran 10.000 horas. Estos son algunos datos adicionales:
■■ El
kilovatio de electricidad cuesta $0,10.
■■ El consumo de una lámpara suele ser de 250 horas al mes.
■■ La tasa de interés es 8 %. En los cálculos de abajo transformamos esto en una tasa de interés
mensual de 0,643 % = (1 + 8 %)1/12 -1.
¿Debería usted reemplazar las lámparas?
Lámparas estándares versus lámparas de bajo consumo
Lámpara estándar incandescente: barata de
comprar, cara de operar, corta vida útil.
Lámpara de bajo consumo fluorescente: cara
de comprar, barata para operar, larga vida.
Este problema puede ser fácilmente resuelto usando la EAC.
| 169
Principios de Finanzas con Excel
Esta hoja requiere algunas explicaciones adicionales:
■■ Una
lámpara incandescente cuesta $1 para adquirirla y $2,50 al mes, utilizarla. Como se muestra
en la celda B13, el VAN de comprar y operar una lámpara incandescente durante sus 4 meses de
vida es:
1+
2,50
2,50
2,50
2,50
+
+
+
= 10, 84
2
3
1 + 0, 0643% (1 + 0, 0643%) (1 + 0, 0643%) (1 + 0, 0643%)4
■■ Una
lámpara fluorescente cuesta $5 adquirirla y $0,38 al mes utilizarla. Como se muestra en la
celda B23, el VAN de comprar y utilizar una lámpara fluorescente durante sus 40 meses de vida
útil es:
5+
■■ Para
0, 38
0, 38
0, 38
+
+ ........ +
= 18,19
1 + 0, 0643% (1 + 0, 0643%)2
(1 + 0, 0643%)40
encontrar el flujo de fondos anual equivalente mensual (EAC) de cada lámpara, dividimos el
VAN del costo de comprar y operar la lámpara por el factor de VA apropiado:
170 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
EAC.de.lámpara.incandescente =
EAC.de.lámpara.fluorescente =
10, 84
= −PAGO(0, 0643%, 4,10.84) = 2,75 / mes
1
∑
t
t=1 (1, 00684)
4
18,19
= −PAGO(0, 0643%, 40,18.19) = 0,52 / mes
1
∑
t
t=1 (1, 00684)
40
■■ Como
usted puede ver, el flujo de fondos anual equivalente mensual (EAC) de la lámpara incandescente es $2,75, mientras que el EAC mensual de la lámpara fluorescente es $0,52. El EAC le
dice a usted que ¡es más barato cambiar a las fluorescentes!
5. Comprar versus contratar leasing cuando los impuestos son importantes
Ya se ha trabajado el leasing en la sección 3.4, pero allí hemos asumido que los impuestos no intervenían. Ello es habitualmente así para individuos, cuando usted está considerando “alquilar” un ordenador
o comprarla, en tal caso las consideraciones impositivas son secundarias, porque usted no puede deducir
de sus impuestos ni los pagos del leasing ni ninguna parte del precio de compra del ordenador.
Por otro lado, para una empresa las consideraciones impositivas son muy importantes. La empresa
puede deducir la amortización de sus beneficios antes de impuestos como un costo (como vimos en el
capítulo 4, ello implica que la amortización da lugar a ahorro fiscal). Además, las empresas que están
financiadas con deuda pueden deducir los pagos de intereses de sus beneficios antes de impuestos, el
costo después de impuesto de una tasa de interés r% pagada por una empresa con una tasa impositiva
T es (1-T) * r%.
En el ejemplo de abajo presentaremos las consideraciones impositivas en la decisión de comprar
versus leasing. Utilizaremos el mismo ejemplo presentado en el capítulo 3, pero agregamos información
adicional sobre la tasa impositiva y la política de amortización de la empresa.
Un ejemplo
Su empresa ha decidido que necesita otro ordenador. A continuación, se facilitan los datos:
■■ La
empresa tiene una tasa impositiva de 40 % y puede pedir prestado del banco al 15 %.
puede adquirir el ordenador por $4.000 y amortizarlo en línea recta en 3 años. Ello implica
amortización anual de $4.000 / 3 = $1.333. Dado que usted está gravado a la tasa del 40 %,
esta amortización le ahorrará a usted $40 * $1.333 = $533 por año en impuestos. Este ahorro
fiscal es el ahorro en efectivo de la deducción de la amortización y debe ser tenido en cuenta en
la decisión de compra vs. alquilar.
■■ Usted puede “alquilar” el ordenador por $1.500 al año, a pagar por adelantado durante 4 años.
Ello significa que si usted alquila el ordenador, pagará $1.500 hoy y $1.500 al final de los años
■■ Usted
| 171
Principios de Finanzas con Excel
1, 2 y 3. El pago de dicho alquiler es un gasto a efectos impositivos, por lo que su costo neto después de impuestos para la empresa es (1- 40 %) * 1.500 = $900.
A continuación, la hoja describe dichos flujos de fondos.
La fila 12 describe los flujos de fondos después de impuestos asociados a la compra y la fila 14, los
flujos de fondos después de impuestos del leasing. El beneficiario del leasing pierde el ahorro fiscal por
amortización que él hubiera tenido si hubiera adquirido el PC y además corre con los gastos de las cuotas
del leasing, que son $900 por año después de impuestos. La fila 16 muestra que, teniendo en cuenta
estos dos ítems, “alquilar” el ordenador es como pedir un préstamo de $3.100 con pagos de $1.433
después de impuestos en los años 1-3. La TIR de dicho “préstamo” es 18,33 % (celda B18).
¿Deberíamos comprar o alquilar? Si el banco está dispuesto a prestarle dinero al 15 % y si los pagos de intereses son gastos deducibles impositivamente, entonces el costo después de impuestos del
préstamo bancario es (1- 40 %) * 15 % = 9 %. Ello significa que el banco es una fuente más barata de
financiación que la empresa de leasing. La conclusión (celda B18): compre el ordenador.
Otra manera de obtener la conclusión de que comprar es mejor que alquilar es pensar en financiar la
máquina con un préstamo bancario de $3.100 a 3 años.
172 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Las filas 26:31 son una tabla de préstamo estándar como la analizada en el capítulo 2. Dado que el
interés es un gasto a propósitos impositivos, el costo del interés después de impuestos para la empresa
es (1- 40 %) * interés; en la fila 33 calculamos dicho costo. El costo neto después de impuestos del
préstamo para la empresa (fila 34) es la suma del interés después de impuestos (fila 33) y el pago anual
del capital (fila 30).
En las filas 37-40 calculamos los flujos de fondos totales después de impuestos de adquirir la máquina financiada con préstamo. Comparando esto con los pagos del leasing después de impuestos (fila 42
es solo una copia de la fila 14), usted puede ver que en cada año el costo de comprar la máquina con
el préstamo es menor o igual al costo de los pagos del leasing después de impuestos y es por lo cual el
préstamo es preferible al leasing.
5.1. ¿Cuál es el máximo canon del leasing que pagaríamos?
El análisis de arriba muestra que $1.500 por año es demasiado para pagar por el leasing. ¿Cuánto
estaría usted dispuesto a pagar? Para realizar este cálculo, utilizamos Buscar Objetivo de Excel para encontrar el pago del leasing para el cual la TIR de los flujos de fondos diferenciales (celda B18) es 9 %.
Para obtener la pantalla correcta en Excel 2007, haga clic en Datos l Análisis y Si l Buscar objetivo.
| 173
Principios de Finanzas con Excel
Haciendo clic en Buscar objetivo traemos el siguiente cuadro de diálogo, que hemos completado con
los datos relevantes.
La conclusión es que el pago del leasing de $1.250,72 es el máximo canon del leasing que el beneficiario estará dispuesto a pagar.
6. Principio de presupuesto de capital: pensando en el descuento semianual
Podríamos haber llamado a esta sección “pensando en el momento de los flujos de fondos”, pero
“descuento semianual” es más apropiado. Para mostrar lo que queremos decir, presentamos dos ejemplos. En nuestro primer ejemplo, una empresa está pensando en gastar $10.000 para generar flujos de
174 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
fondos anuales de $3.000 durante los próximos 5 años. Si la tasa de descuento es 15 % y los flujos de
fondos ocurren al final del año, entonces el VAN del proyecto es $56,47.
El VAN de $56,47 asume que los flujos de fondos anuales ocurren al final de cada año.
VAN = −10.000 +
3.000 3.000 3.000 3.000 3.000
+
+
+
+
= 56, 47
1,15 (1,15)2 (1,15)3 (1,15)4 (1,15)5
En muchas situaciones de presupuesto
de capital, este supuesto de flujo de fondos
que tiene lugar a fin de año no se corresponde con la realidad. Piense en una empresa
que adquiere una máquina y que obtiene
dinero por la venta de los productos producidos por dicha máquina, en este caso los
flujos de fondos se espera que se produzcan
como una corriente durante el año, en lugar
de un solo pago al final del año. Dado que
siempre es mejor obtener el dinero antes, el
VAN del proyecto será mayor que $56,47.
Para tener noción de su importancia,
suponga que el flujo de fondos de $3.000
anual es en realidad recibido como $750 al
final del cada trimestre. Entonces, como la
hoja de abajo muestra, el VAN se incrementará significativamente.
| 175
Principios de Finanzas con Excel
Note que al calcular el VAN de los flujos de fondos trimestrales (celda E30), hemos utilizado la tasa
de descuento trimestral, que es equivalente a la tasa de descuento anual de 15 % (celda B5, 3,56 %).
Esta tasa de descuento trimestral se calculo así:
(1+ tasa de descuento trimestral) = (1+ tasa de descuento anual)1/4
Hasta el momento, el mensaje de esta sección está claro y no da lugar a controversias: cuando usted
descuenta debe considerar la oportunidad de que ocurran los flujos de fondos. El problema es que en
muchos casos de problemas de presupuesto de capital nosotros proyectamos flujos de fondos anuales,
aun cuando los mismos ocurran durante el año2. En muchos casos es difícil proyectar de forma precisa la
oportunidad de los flujos de fondos a través del año, incluso cuando nuestro ejemplo muestre que dicha
temporalidad es muy importante.
6.1. Descuento a mitad de año. Una solución elegante
Por un lado, la oportunidad de ocurrencia de los flujos de fondos es importante, pero por otro lado es
difícil alejarse de las proyecciones con flujos de fondos a fin de año y proyectar el momento preciso de
cada flujo de fondos. Una solución elegante es proyectar flujos de fondos anuales pero asumir que ellos
tienen lugar a mitad de año. Así es como se ve en Excel:
La hoja muestra dos maneras de hacer el cálculo:
■■ En
las celdas C8:C12 cada flujo de fondos ha sido descontado por un factor (1+r) año-0,50. Esto es
equivalente a calcular el siguiente VAN:
VAN = −10.000 +
3.000
3.000
3.000
3.000
3.000
+
+
+
+
= 784, 36
(1,15)0,5 (1,15)1,5 (1,15)2,5 (1,15)3,5 (1,15)4,5 
CeldaB14
2 Esto tiene que ver con los ciclos contables de muchas empresas, que son anuales. (Allá vamos nuevamente – culpando a los contables).
176 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
■■ En
la celda B15 mostramos una fórmula simple de Excel que produce el mismo resultado: simplemente tome la fórmula de VAN de Excel y multiplíquela por el factor (1+r) año-0,50.
6.2. Utilizando la función VNA.NO.PER
Podemos también realizar el cálculo del VAN semianual utilizando la función VNA.NO.PER3. Para
utilizar VNA.NO.PER usted debe indicar las fechas en las cuales los flujos de fondos serán recibidos. La
hoja de abajo muestra una implementación de la función para nuestro problema.
Utilizando la función VNA.NO.PER de Excel
Como el cuadro de diálogo muestra, VNA.NO.PER requiere que usted ingrese la tasa de descuento anual, los valores a ser
descontados y las fechas en las cuales dichos valores ocurren. La función luego encuentra el VAN en la primera fecha de
la serie (en nuestro ejemplo: 1-ene-02). La función VNA.NO.PER difiere de la función VNA en un aspecto muy importante:
en el capítulo 2 hemos expresado que VNA de Excel calcula el valor actual de flujos de fondos futuros; y para calcular el
verdadero valor actual neto, usted debe sumar el flujo de fondos inicial por separado. La función VNA.NO.PER tiene todos
estos flujos de fondos como entradas de datos (incluyendo el inicial) y produce como resultado el verdadero valor actual neto.
Continúa en página siguiente >>
3 Si esta función no aparece en su lista de funciones de Excel, vaya a Opciones de Excel l Complementos l Herramientas para análisis.
| 177
Principios de Finanzas con Excel
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La función VNA.NO.PER (y su prima, la función TIR.NO.PER que analizaremos después) son partes del pack estándar de
Excel, pero deben ser instaladas por separado como un complemento. Esto es lo que usted debe hacer:
Paso 1: haga clic en el siguiente botón, de Office,
y vaya a Opciones de Excel:
Paso 2: vaya a Complementos, busque la entrada
apropiada del listado y haga clic en Ir
Continúa en página siguiente >>
178 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
<< Viene de página anterior
Paso 3: clic en Herramientas para Análisis
6.3. Calculando la TIR a Mitad de Año
¿Qué ocurre si usted quiere calcular la TIR de los flujos de fondos, teniendo en cuenta el hecho de
que ellos ocurren a mitad de año? La manera más fácil de hacerlo es usando la función TIR.NO.PER de
Excel, como se muestra abajo.
| 179
Principios de Finanzas con Excel
Nota de excel: la función TIR.NO.PER
La función TIR.NO.PER requiere que usted ponga una lista de fechas en las cuales ocurren los flujos de fondos. La sintaxis
de la función se indica en el cuadro de diálogo de abajo:
Para flujos de fondos con múltiples TIR, la función TIR.NO.PER le permite a usted utilizar una estimación (como la función
TIR de Excel analizada antes).
6.4. Aplicando flujos de fondos a mitad de año al condominio de Sally y Dave
En esta sección hemos subrayado la importancia del momento de ocurrencia de los flujos de fondos
en la determinación del VAN de un proyecto. También hemos sugerido que —en lugar de tratar de determinar el momento preciso de los flujos de fondos— puede ser aproximadamente equivalente asumir que
los flujos de fondos ocurren a mitad del período.
La implementación de esta idea simple puede ser complicada. Tomemos el condominio de Sally y
Dave, por ejemplo, que fue tratado en el capítulo 4. Recordemos que el flujo de fondos anual de $18.050
del alquiler del condominio fue calculado del siguiente modo:
■■ La
renta anual de $24.000 es un ingreso gravado impositivamente y los impuestos a la propiedad
($1.500) y los gastos de mantenimiento ($1.000) son gastos a efectos impositivos. Dado que la
tasa de impuestos de Sally y Dave es 30 %, estos tres ítems producen (1- 30 %) * ($24.0001.000-1.500) = $15.050 de ingresos después de pagar los impuestos por año.
■■ La amortización anual del condominio de $100.000 produce un ahorro fiscal de 30 % * $10.000
= $3.000 anuales. Añadiendo dicho ahorro fiscal a los $15.050 obtenemos el flujo de fondos
anual de $18.050 del condominio en los años 1-10.
■■ Sally y Dave planean vender el condominio en $100.000 tras 10 años. En tal momento el condominio estará completamente amortizado, de modo que todo el dinero que reciban de la venta será
un ingreso. Por lo tanto, el valor final después de impuestos del condominio será de (1- 30 %) *
$100.000 = $70.000. Añadiéndole esto al flujo de fondos del año 10 produce un flujo de fondos
total de $88.050 en el año 10.
Nuestro cálculo inicial nos da una TIR de 16,69 % en la inversión de Sally y Dave (celda B37 de
abajo).
180 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
6.5. Incorporando el momento de ocurrencia de los flujos de fondos
Ahora suponga que tratamos de incorporar el momento de ocurrencia de los flujos de fondos en nuestro análisis de la TIR del condominio. Haremos los siguientes supuestos:
■■ La
renta anual de $24.000 ocurre a mitad de año. Esto es una aproximación al hecho de que los
inquilinos pagan su alquiler en forma mensual.
■■ Los otros gastos también se pagan a mitad de año.
■■ Los impuestos a la propiedad e impuestos a las ganancias se pagan a fin de año.
■■ La reventa de la propiedad (que produce un flujo de fondos de $70.000) ocurre al final del año 10.
| 181
Principios de Finanzas con Excel
Estos supuestos llevan a los flujos de fondos dados en las celdas E4:E24 abajo. La TIR de estos
flujos de fondos (9,05%, celda E26) es la TIR semestral (recuerde que nuestros flujos de fondos están
expresados en forma semestral). La TIR anualizada es (1 + 9,05 %)2 – 1 = 18,91 % que es significativamente mayor que 16,69 % que habíamos calculado antes asumiendo que todos los flujos de fondos
ocurren a fin de año. Dado que la TIR es mayor cuando los flujos de fondos positivos ocurren antes, esto
no es sorprendente.
6.6. Dos notas de la realidad
Nota 1: el ejemplo del condominio de Sally y Dave demuestra que obtener las fechas de los flujos de
fondos correctamente es importante, pero también demuestra que puede ser incómodo. Por compromiso,
quizás deberíamos volver a la TIR a mitad de año. En la hoja de abajo utilizamos la función TIR.NO.PER
de Excel en la celda B37 con el supuesto de que todos los flujos de fondos ocurren a mitad de año.
182 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Nota 2: en este libro habitualmente ignoramos el descuento a mitad de año; no porque no consideremos que sea importante, sino por no añadir más dificultad al explicárselo junto a la demás miríada de
problemas de presupuesto de capital. En este caso nuestra recomendación para usted es: “haga lo que
decimos, no lo que hacemos”.
7. Inflación: tasas de interés y flujos de fondos nominales y reales
Los precios tienden a subir y, dado que lo hacen, el dinero pierde su valor a través del tiempo.
¿Qué hay de nuevo? Esta sección trata la terminología de la inflación. Cuando termine esta sección,
usted entenderá la diferencia entre tasa de interés nominal y real y flujos de fondos nominales y reales.
Ilustraremos dichos conceptos con ejemplos del “mundo real”, con los que esperamos que usted asimile
adecuadamente la idea del impacto de la inflación. En la sección 5.7 aplicamos los conceptos de esta
sección a un número de problemas de presupuesto de capital.
Primero, conviene detenerse en algunos datos. La siguiente hoja muestra el poder adquisitivo de $1
desde 1980 hasta 2009. Todos los números de la columna B están expresados en términos de dólares
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Principios de Finanzas con Excel
de 2009. Como la hoja muestra, los bienes que usted podía adquirir con $1 en 1980 le costarían $2,62
en 2009. Ajustando por inflación, $1 en 1990 valdría $1,65 en 2009.
Este es otro modo de entender este fenómeno. La tabla siguiente muestra el índice de precios al
consumo (CPI) para Estados Unidos desde 1980 hasta 20094. El índice ha sido normalizado de modo
que el CPI promedio para 1982-1984 es 100. Una canasta de bienes que costó $100 en 1984 hubiera
costado $79,31 en 1980; $87,49 en 1981 y así sucesivamente. La misma canasta hubiera costado
$207,43 en 2001.
En la columna C hemos utilizado Excel para calcular la tasa anual de inflación a partir de estos datos:
Tasa de inflación en el año t =
CPIt
−1
CPIt−1
4 El índice de precios al consumo mide los precios de mercado de una canasta estándar de bienes. Para (mucha) más información mire
la web de Bureau of Labor Statistics, http://www.bls.gov/cpi/, o Minneapolis Federal Reserve Bank, http://minneapolisfed.org/research/
data/us/calc/index.cfm.
184 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Como usted puede ver a partir del gráfico, la tasa de inflación a comienzos de los 80 era considerablemente mayor que en los 90. Sin embargo, incluso a través de la década de relativamente baja inflación
de los 90, la tasa de inflación en los Estados Unidos ha estado generalmente entre 2 y 4 % por año. A
través del período analizado, la tasa de inflación promedio (celda C33) fue 3,37 %.
Una inflación de 3,37 por año pude no parecer mucho, pero se suma. Suponga, por ejemplo, que
tuvimos una inflación de 3 % por año durante 10 años. Como muestra la hoja de Excel que sigue, ello
implica que la inflación acumulada en la década hubiera sido (1 + 3 %) 10 -1 = 34,39 %. Otro modo de
pensar sobre ello es que cada 10 años, $1 pierde 26 % de su valor, un dólar de final de la década valdría
solo 1 / (1 + 3 %)10 = 0,7441 en términos de dólares de principios de la década.
| 185
Principios de Finanzas con Excel
Podemos poner esto en una tabla:
7.1. Tasas de intereses nominales y reales
La inflación no solo afecta los precios de los bienes —también afecta las tasas de interés—. Los
economistas financieros distinguen entre tasas de interés real y nominal. La tasa de interés nominal es
la tasa publicada de un préstamo o depósito bancario y la tasa de interés real es la tasa del banco o del
préstamo en términos de poder adquisitivo (esto es, después de ajustar por inflación). En esta sección
exploraremos y definiremos los conceptos.
Suponga que usted le presta a su amiga Marta $100 con la intención de que ella se lo devuelva a
usted el año siguiente. ¿Cuánto interés debería pedirle? Marta sugiere una tasa de interés de 4 %, pero
pensando en ello, usted se da cuenta de que anticipa una inflación de 5 % para el año, lo que significa
que los bienes que cuestan $100 hoy costarán $100 * (1,05) = $105 el año siguiente cuando el dinero
sea devuelto. De modo que si Marta le devuelve $100 * (1,04) = $104, no está ni siquiera pagándole a
usted el poder adquisitivo del préstamo. En este caso,
186 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Devolución del año próximo en términos de dólares del presente año =
monto devuelto 100 * (1 + interés) 104
=
=
= 99, 048
1 + inflación
1 + inflación
1, 05
En la jerga de finanzas, la tasa de 4 % es denominada tasa de interés nominal, la palabra “nominal”
indica que el interés pagado no ha sido ajustado por los efectos de la inflación. Esta es otra manera de
decir que Marta le devolverá $104 sin tener en cuenta cuánto se incrementen los precios durante el año.
Las tasas de interés publicadas (sea en préstamos hipotecarios, tarjetas de crédito, o bonos del gobierno)
son casi siempre tasas de interés nominales (“préstame $100 hoy y te lo devolveré el año próximo con
un 10 % de interés”).
La tasa de interés real se define como la tasa de interés en términos de poder adquisitivo del dinero.
En nuestro ejemplo, usted puede ver que le prestó a Marta $100 pero recibe de vuelta (en términos de
poder adquisitivo) $99,048. Por ello, el interés real pagado por Marta es -0,952 %:
Tasa de interés real en un préstamo a un año =
Poder adquisitivo devuelto
99, 048
−1 =
− 1 = −0,9952%
Poder adquisitivo prestado
100
De la fórmula de arriba usted puede observar que:
interés real =
1 + interés nominal
1 + 4%
−1 =
− 1 = −0,9952%
1 + inflación
1 + 5%
Una manera equivalente y más sencilla de definir la tasa de interés real es:
1+ interés nominal = (1+ interés real) * (1+ tasa de inflación)
Esta ecuación es habitualmente llamada ecuación de Fisher, por el famoso economista americano
Irving Fisher (1867-1947).
| 187
Principios de Finanzas con Excel
Repaso de terminología
Inflación: nosotros casi siempre asociamos “inflación” con disminución en el poder adquisitivo de la moneda (y un crecimiento
del nivel de precios). Históricamente, también ha habido períodos de deflación —incremento en el poder adquisitivo de la
moneda causado por disminución en el nivel de precios—. Durante los 90, Japón tuvo prolongados periodos de disminución
de precios. Vea la página siguiente.
Tasa de interés nominal o flujo de fondos nominal: una tasa de interés o flujo de fondos que no ha sido ajustado por el
efecto de la inflación. Usted pide prestado $100 hoy y acuerda devolver $120 a fin de año. La tasa de interés nominal es
20 % y $120 es la devolución (la cual será en dólares del año siguiente, independientemente de la inflación en el año
siguiente) que es un pago en dólares nominales.
Tasa de interés real o flujo de fondos real: una tasa de interés o flujo de fondos ajustado por inflación. Para calcular
el flujo de fondos real, elija un año base y compute todos los flujos de fondos en unidades de ese año base. Los flujos de
fondos así calculados son flujos de fondos reales (flujos de fondos en dólares constantes) y las tasas de interés resultantes
de ellos son tasas de interés reales.
7.2. Flujos de fondos nominales y reales
En la subsección previa hemos mostrado la relación entre tasas de interés nominales y reales. La tasa
de interés nominal es la tasa de interés publicada, no ajustada por inflación y la tasa de interés real es
la tasa de interés ajustada por el cambio en el poder adquisitivo de la moneda.
En esta sección mostraremos la relación entre flujos de fondos nominales y reales. Comenzamos con
un ejemplo de 1 año: usted hace una inversión de $100 en el año 0 y recibe nuevamente $120 al final
del año 1; en este período el índice de precios al consumo crece de 131 a 138.
El flujo de fondos real del año 1 (definido en este caso como el flujo de fondos del año 1, en dólares
del año 0) es calculado como:
=
188 |
flujo de fondos del año1
120
= = 113, 913
CPIfinal del período
(138 / 131)
CPIcomienzos del período
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Para calcular el retorno real sobre la inversión,
1+retorno real sobre la inversión =
Flujo de fondos real del año 1
113, 913
−1 =
− 1 = 13, 91%
Flujo de fondos real del año 0
100
Igualmente, podemos calcular el retorno real utilizando la tasa de retorno nominal y desinflándola con
la tasa de inflación:
flujo de fondos nominal de final del período
120
1 + 20%
1 + retorno nominal
flujo de fondos nominal de comienzos del período
1 + retorno real =
= 100 − 1 =
= 1 + 13,991%
−1 =
138
CPIfinal del período
1 + 5, 34%
1 + tasa de inflación
131
CPIIcomienzos del período
7.3. Análisis de inversiones: ¿cuánto gana usted realmente?
Suponga que al final de 1995 usted invirtió $1.000 en un título que sucesivamente le pagó $150
al final de cada año desde 1996, 1997… 2004. Al final de 2005, usted vendió el título por $1.150.
Mirando hacia atrás, usted se da cuenta que el CPI se fue de 133 en 1995 a 195 en 2004. ¿Cuál fue su
tasa de retorno real? Para realizar este cálculo, transformamos cada flujo de fondos nominal en flujos de
fondos reales, utilizando la tasa de inflación acumulada.
| 189
Principios de Finanzas con Excel
Como usted puede ver, su tasa de retorno nominal de 15 % fue reducida por la inflación a una tasa
de retorno real de 10,93 % (la tasa de retorno real ajustada por cambios en el poder adquisitivo de la
moneda).
¿Los precios siempre suben?
Parece que sí, pero el ejemplo de abajo (de Japón desde 1990 a 2007) muestra que los precios también pueden bajar.
¿Es el petróleo barato o caro?
En los 61 años entre 1947 y 2009, el precio nominal del barril de petróleo en los Estados Unidos
creció de $1,93 en 1947 a $79,19 por barril en 2009. Esto es un incremento anual de 6,10 % por año:
(73,19 / 1,93)(1 / 61) - 1 = 6,14 %. El incremento de precios anual en dólares reales es mucho menor: el
poder adquisitivo, en términos de dólares de 2009, de los $1,93 que costaba un barril de petróleo en
1947 es equivalente a $15,36. El incremento de precios real durante el período fue 2,59 % por año.
Esto es menor que el incremento en el costo medio del nivel de vida de 3,46 % por año.
190 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Por supuesto que comparar dos puntos en el tiempo no nos detalla toda la historia. Aquí presentamos
un gráfico del costo nominal y real del precio del petróleo a través del período.
8. Entendiendo los TIPS
El Departamento del Tesoro de Estados Unidos emitió títulos denominados Treasury Inflation Protected Security (TIPS)5; (Títulos del Tesoro protegidos contra la inflación). Estos títulos prometen una tasa
de interés real sobre su inversión inicial ajustada por el incremento en el nivel general de precios. Aquí
presentamos un ejemplo para mostrar cómo funcionan:
■■ Usted
invierte $1.000 hoy en TIPS a 1 año que tienen una tasa de interés real de 4 %. El índice
de precios al consumidor hoy es 120.
En un año el tesoro le pagará a usted $1.000 *
CPI 1 año a partir de ahora
CPIhoy
* (1 + 4%)
5 El sitio web del Tesoro de Estados Unidos ofrece amplias explicaciones de estos títulos y precios actuales:
http://www.treasurydirect.gov/instit/annceresult/tipscpi/tipscpi.htm
| 191
Principios de Finanzas con Excel
Su inversión en TIPS está totalmente protegida contra la inflación. Para verlo, separemos el cobro de
los TIPS en dos factores:
CPI
$1.000 * 1 año a partir de ahora *
CPI hoy
Mantiene el poder adquisitivo de $1.000 hoy
(
1+ 4
%)
Retorno de la inversión inicial
ajustada por inflación MAS
Interés sobre la inversión ajustada
por inflación
Para analizar los TIPS, suponga que usted piensa que el CPI crecerá de 120 hoy a 126 en 1 año.
Como la hoja de abajo muestra, usted anticipará un cobro de $1.092.
En las filas 11-16 mostramos un análisis alternativo del cobro de TIPS de $1.092:
■■ Su
tasa de inflación esperada es:
CPI1 año desde ahora
126
−1 =
−1 = 5
CPIhoy
120
■■ Los
TIPS siempre le pagan a usted la inversión inicial, ajustada por inflación. En este caso, esto
es $1.000 * (1 + inflación esperada) = $1.000 * (1,05) = $1.050.
■■ Además, los TIPS le pagan la tasa de interés real (4 % en este caso) sobre la inversión inicial
ajustada por inflación. Como usted puede ver en la celda B13, esto es $42.
El resultado es que los TIPS mantienen el poder adquisitivo de su inversión ($1.000 * (1,05) = $1.050)
y le pagan un interés sobre la inversión ajustada por inflación (4 % * $1.050 = $42).
192 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
8.1. Entendiendo un TIPS a 10 años
Suponga que usted tiene $1.000 para ahorrar y está considerando comprar un TIPS a 10 años con
las mismas condiciones que las indicadas arriba. ¿Cuál será el pago nominal que puede usted esperar
del TIPS en 10 años? En la hoja de abajo asumimos una tasa anual de inflación de 3 %; ello da lugar
al cobro total previsto del TIPS de $1.989,32. Un poco de análisis (filas 10-16) muestra el desglose
de dicho cobro entre retorno sobre la inversión ajustada por inflación ($1.343,92) e interés ($645,41).
En las celdas B18:B19 hemos calculado el retorno anual previsto del TIPS. Como se sugirió en la
sección previa,
(1+interés nominal) = (1+ interés real) * (1+ tasa de inflación) = (1+4 %) * (1+3 %) = 1,0712
8.2. Comparando TIPS y un certificado de depósito bancario
Usted dispone de $1.000 extra de dinero que piensa que no necesitará durante los próximos 5 años.
Está considerando dos alternativas:
■■ Puede
poner el dinero en un certificado de depósito bancario. Este es un título que adquiere del
banco (en este caso por $1.000). El banco ha acordado pagarle 8 % por año, de modo que usted
anticipa recibir $1.000 * (1 + 8 %)5 = $1.469,33 en 5 años.
■■ Por otro lado, usted está considerando adquirir un TIPS de EE. UU. a 5 años. Este título cuesta
$1.000 y le promete un 3,5 % de interés anual sobre los $1.000 invertidos, ajustado por CPI.
¿Cómo debería tomar la decisión? La hoja de abajo muestra el pago nominal efectuado por el TIPS en
5 años. El gráfico compara estos pagos a los $1.469,33 que usted recibirá del certificado de depósito
| 193
Principios de Finanzas con Excel
(CD). Como puede ver de la tabla en las celdas A11:C19, si la tasa de inflación anticipada es mayor que
4,3478 %, el TIPS paga más que el CD.
8.3. Certeza del retorno nominal versus certeza del retorno real
La comparación de CD y TIPS en la hoja de arriba le muestra que mientras que el retorno nominal
del TIPS depende de la tasa de inflación, el retorno nominal del CD es constante. De alguna manera esto
podría sugerir que el CD es preferible al TIPS. ¡Pero espere! En la siguiente hoja calculamos las tasas de
retornos reales de TIPS y CD. Esta vez las tablas están invertidas: el retorno del TIPS siempre es 3,5 %
en términos reales, mientras que la tasa de retorno real del CD depende de la tasa de inflación.
194 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
8.4. TIPS o CD, ¿cuál es la respuesta?
Como toda buena pregunta de finanzas, la respuesta depende de sus supuestos. Si usted cree que la
tasa de inflación será mayor que 4,3478 % por año, entonces TIPS es preferible, de otro modo, usted
debería elegir los CD.
9. Utilizar los TIPS para predecir la inflación
Podemos utilizar la información de los intereses de TIPS y de los Bonos del Tesoro (Treasury Bills) para
derivar la predicción del mercado sobre la inflación futura. El 21 de agosto de 2009, un Bono nominal
a 5 años se vendía en el mercado para rendir una tasa de interés anual de 2,58 %. El mismo día, un
TIPS a 5 años rendía 1,22 % anual. Dado que el rendimiento del TIPS es en términos reales, podemos
conjeturar que el mercado está prediciendo una tasa de inflación de 1,36 % anual (= 2,58 % - 1,22 %)
en un horizonte de 5 años.
| 195
Principios de Finanzas con Excel
Utilizando información disponible para todos los vencimientos, aquí presentamos las predicciones del
mercado sobre las tasas de inflación para la misma fecha.
La información predice inflación negativa en un horizonte de 2 años e inflación positiva desde ahí
en adelante. En el período de dicha información, el mundo se encontraba en una crisis financiera, y las
tasas de inflación negativas son indicativas de la especulación de que dicha crisis se mantendrá por los
próximos años6.
10. Presupuesto de capital ajustado por inflación
Usted está considerando la inversión en una nueva máquina de fabricar artefactos. La misma le costará $9.500 hoy; las celdas B9:B14 dan la proyección de ventas para los años 1-6. Los artefactos se
venden actualmente a $15 cada uno (celda B3), y su precio en el futuro se espera que suba a la tasa de
inflación del 4 % (celda B2). Su tasa de descuento nominal es 12 % (celda B4).
6 Hemos tenido que efectuar algunas concesiones para derivar la curva de inflación. Vea la hoja que viene con este capítulo (en el
Material Complementario de Principios de Finanzas con Excel) para detalles sobre el cómputo y la fuente de información.
196 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
■■ Asumiendo
una tasa de descuento del 12 %, la tasa equivalente real de descuento está dada en
la celda B5. Esta tasa está calculada con la siguiente fórmula:
1 + tasa de descuento =
1 + tasa nominal
1 + 12%
−1 =
− 1 = 7, 69%
1 + tasa de inflación
1 + 4%
■■ La
columna C de la hoja muestra el precio previsto del artefacto en cada uno de los años 1-6.
Hemos calculado este precio mediante el cálculo del precio nominal del artefacto en cada uno de
los años 1-6 con la fórmula:
Precio nominal en el año t = precio hoy * (1+inflación) t
■■ La
columna D muestra los flujos de fondos nominales7. Descontado dichos flujos de fondos al
12 % obtenemos el VAN de $778,93 en la celda B17. Dado que el VAN es positivo, usted debería
invertir en la nueva máquina.
■■ Considerando que el incremento en los precios de los artefactos y el incremento en el nivel general de precios son los mismos, podemos calcular los flujos de fondos reales como se hizo en la
columna F:
Flujo de fondos real, año t= (artefactos vendidos) * precio del artefacto hoy
7 Hemos asumido que no le costará nada producir los artefactos una vez que compre la máquina. (Alternativamente, usted puede asumir
que el precio del artefacto es neto de los costos de producción).
| 197
Principios de Finanzas con Excel
La columna F en realidad muestra una fórmula diferente, que da el mismo resultado:
flujo de fondos real, año t =
valor nominal de los artefactos vendidos
(1 + tasa de inflación)t
El VAN de esos flujos de fondos nominales, calculado en la celda B18, es el mismo que los $778,93
calculados en la celda B17.
Descontando flujos de fondos nominales a la tasa de descuento nominal y descontando flujos de fondos reales a la tasa de descuento real se obtiene como resultado el mismo valor actual neto en dólares
del año 0.
10.1. Calculando TIR nominal y real
Podemos calcular las TIR nominal y real de la máquina de artefacto como sigue:
■■ Obteniendo
la TIR de los flujos de fondos nominales (celda B21) da una TIR nominal de 14,47 %.
Dado que la TIR nominal es mayor que la tasa nominal de descuento de 12 %, la máquina de artefactos es una buena inversión.
■■ Calculando la TIR de los flujos de fondos reales (celda B22) obtenemos una TIR de 10,06 %. La
decisión de inversión dada por la TIR real es la misma que la decisión de inversión dada por la
TIR nominal: dado que la TIR real es mayor que la tasa de descuento real de 7,69 %, la máquina
es una buena inversión. Observe que hemos calculado la tasa de descuento real en la celda B5
utilizando la fórmula:
tasa de descuento real =
1 + tasa nominal de descuento 1 + 12%
=
= 7, 69%
1 + tasa prevista de inflación 1 + 4%
Dos maneras de calcular la TIR real
La TIR real puede obtenerse ya sea:
\\
\\
Calculando la TIR de los flujos de fondos reales proyectados (cálculo directo de la TIR real), o
Calculando la TIR de los flujos de fondos nominales, dividir en (1+ tasa de inflación), y restar 1.
Continúa en página siguiente >>
198 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
<< Viene de página anterior
Podrá ver que estas dos formas son iguales, observe que el VAN nominal se calcula mediante:
VAN nominal = FF0 +
+
+
FF1 (real) * (1 + tasa de inflación)
+
(1 + tasa de interés real) * (1 + tasa de inflación)
FF2 (real) * (1 + tasa de inflación)2
[(1 + tasa de interés real) * (1 +
tasa de inflación)]
2
FF3 (real) * (1 + tasa de inflación)3
[(1 + tasa de interés real) * (1 +
tasa de inflación)]
3
+...
A través de esta fórmula el término (1+tasa de inflación) se cancela, de modo que:
VAN nominal = FF0 +
+
■■ La
FF1 (real)
+
(1 + tasa real de interés)
FF2 (real)
FF3 (real)
+
= VAN real
2
(1 + tasa real de interés) (1 + tasa real de interés)3
TIR real también puede calcularse con la fórmula:
TIR real =
1 + TIR nominal
1 + 14, 47%
−1 =
= 10, 06%
1 + tasa de inflación
1 + 4%
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Principios de Finanzas con Excel
10.2. Los precios de los artefactos tienen una tasa de inflación diferente que la tasa general de
inflación
En el problema anterior, el incremento esperado en el precio de los artefactos era el mismo que la tasa
de inflación. Suponga que eso no es así, en la hoja de abajo, suponemos que la inflación (entendida como
el incremento en el CPI) será 4 % por año, pero los precios de los artefactos crecerán al 8 % por año. (La
demanda de artefactos se espera que crezca fuertemente, ocasionando un gran crecimiento de precios).
El análisis para este caso se presenta abajo. A pesar de que en principio no es diferente al análisis del problema 5, los resultados son, por supuesto, distintos; haciendo de los artefactos un negocio aún más rentable.
Compare esta hoja con los cálculos que hicimos en el ejemplo previo: dado que los precios de los
artefactos se incrementan más rápidamente que la tasa de inflación, tanto los flujos de fondos nominales
como los reales son mayores cada año. Por lo tanto, el proyecto es más rentable, sea medido a través del
VAN nominal o real, o mediante TIR nominal o real.
11. Resumen
Este capítulo ha tratado una variedad de temas y problemas en el análisis de TIR y VAN. Algunas de
estas situaciones se refieren a problemas asociados con la utilización de la TIR: la TIR no siempre proporciona una respuesta explícita (puede haber múltiples TIR y flujos de fondos complicados cuyas TIR
dificulten la comprensión de si usted está prestando o tomando prestado). También hemos examinado
el problema de seleccionar entre la alternativa de activos a corto plazo y a largo plazo y volvimos a ver
nuevamente el problema de leasing/compra presentado inicialmente en el capítulo 2. Esta vez se han
incluido los impuestos en el problema y se ha discutido cómo las empresas deberían elegir entre leasing
o compra de un activo.
Finalmente, hemos analizado cómo la inflación debería ser incorporada en nuestro análisis de presupuesto de capital.
200 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Usted está evaluando construir un hotel en el norte de Alaska. Su plan es construir el hotel y luego venderlo. Le han
ofrecido un subsidio inmediato por parte las autoridades de turismo de Alaska, y usted estima que para completar el
hotel precisará una inversión el año próximo de $1.700.000. Una vez construido, usted piensa que puede vender el
hotel al final del año 2 por $1.400.000, de modo que su patrón de flujos de fondos se ve del siguiente modo:
Año
Flujo de Fondos
0
500.000
1
-1.700.000
2
1.400.000
a. Identifique las dos TIR de este proyecto.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Si la tasa de descuento es 28 %, ¿debería usted emprender el proyecto?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
2. Este es un ejemplo de un flujo de fondo con 3 cambios de signos.
a. Elabore un gráfico del VAN de los flujos de fondos usando tasas de descuento entre 0 y 100 %. Utilice
dicho gráfico para identificar aproximadamente las tres TIR.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Use la función TIR de Excel con la opción Estimar para identificar en forma precisa las tres TIR.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 201
Principios de Finanzas con Excel
c. ¿Puede usted explicar mediante algún ejemplo por qué es posible que un proyecto tenga un patrón de
flujo de fondos tan complicado?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
3. Usted está evaluando un proyecto con los siguientes flujos de fondos:
a. ¿Cuál es el VAN del proyecto cuando la tasa de descuento es 0 %?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es el VAN del proyecto cuando la tasa de descuento es infinito?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Determine todas las TIR del proyecto.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
4. Su empresa está evaluando dos proyectos con los siguientes flujos de fondos:
¿En qué rango de tasas de descuento preferirá la empresa el proyecto A, en qué rango preferirá el proyecto B, y en
qué rango de tasas la empresa preferirá no invertir?
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___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
202 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
5. Usted compró una casa en enero de 1996 por $100.000 y la vendió al final del 2002 por $185.000. El índice de precios al consumo creció en dicho período de 118 a 155.
a. ¿Cuál fue su tasa de rendimientos nominal anualizada?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule su tasa de rendimiento real anualizada.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
6. El banco le ofrece una nueva alternativa de ahorro que le da una tasa de interés del 2 % real anual. Si la tasa de inflación es 5 % al año, ¿cuánto tiempo le llevará a usted duplicar su dinero tanto en términos reales como nominales?
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___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
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7. Usted está considerando la compra de una máquina para producir pelotas de golf. El costo de la máquina es de
$100.000 y su vida útil esperada 8 años. La producción anual que tendrá la máquina es de 550.000 pelotas. El precio
actual de una pelota es de $0,20 y se espera que crezca al 10 % por año. El material utilizado para fabricar una
pelota de golf tiene un costo de $0,08 y se prevé que dicho costo crecerá al 25 por año. Para operar la máquina
usted necesitará dos trabajadores, cada uno de los cuales ganará un salario de $30.000 al año. De acuerdo a los
contratos, los salarios crecerán al 7 % por año a partir del tercero. La tasa de descuento real es 4 %, la inflación
esperada 5 % y la tasa de impuestos corporativa, 40 %.
a. Calcule el VAN del proyecto usando valores nominales.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Repita el cálculo, pero ahora con valores reales.
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8. Una empresa de bebidas gaseosas está evaluando si utilizar televisión o radio en su campaña publicitaria para una
nueva línea de productos. De acuerdo a las estimaciones de la compañía, la campaña efectuada por TV tendrá un
costo de $205.000 al inicio (t=0) y otros $100.000 anualmente. Esta campaña generará un ingreso anual de $300.000
por 3 años.
La campaña de radio costará $48.000 y un costo adicional de $20.000 al año. La campaña generará ingresos anuales
de $150.000 por 3 años. Si la tasa de descuento de la empresa es 18 % y la alícuota impositiva, 30 %:
a. Calcule el VAN de las campañas televisivas y de radio.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Repita su cálculo utilizando descuento a mitad de año, explicando las diferencias en los resultados.
____________________________________________________________________________
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| 203
Principios de Finanzas con Excel
9. Una fábrica está considerando comprar una nueva máquina. Para ello cuenta con dos alternativas:
Si la empresa elige una máquina, tendrá que seguir utilizándola para siempre. ¿Qué máquina debería la empresa
elegir si la tasa de interés es 8 % y la alícuota impositiva 30 %? Asuma amortización en línea recta hasta un valor
residual de cero durante la vida útil de cada máquina.
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10. Su empresa debe reemplazar una de sus máquinas. Uno de sus asesores financieros ha determinado que la tasa
acorde al riesgo para los flujos de fondos de la máquina es 10 %. La empresa cuenta con dos alternativas:
a. Máquina A: cuesta $400.000 y produce flujos de fondos anuales de $200.000 al final de sus 6 años de
vida útil.
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____________________________________________________________________________
b. Máquina B: cuesta $200.000 pero tiene solo 2 años de vida útil, genera $300.000 de flujos de fondos
anuales al final de cada uno de esos 2 años.
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Calcule el costo anual equivalente (CAE) y determine qué máquina es preferible.
11. Usted es el dueño de un taxi de 5 años. Su doctor le ha prescrito que de conducir debido a un problema de salud,
por lo cual usted está evaluando dos alternativas:
a. Vender el taxi por $15.000. Dado que el valor en libros es 0, usted tendrá que pagar impuestos.
b. Alquilar el taxi a un primo, quien le pagará $4.000 hoy e idéntica cantidad al comienzo de los próximos
4 años. Usted considera que al final de dicho período podrá vender el taxi por $300.
204 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
¿Cuál es la alternativa más rentable si su escala impositiva es 25 % y la tasa de descuento es 5 %?
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12. Una empresa está evaluando comprar una máquina para una de sus fábricas. La vida útil de la máquina es 4 años,
la tasa de descuento 15 % y la tasa de impuestos 35 %. El costo de la máquina es $300.000 y generará ahorros de
$100.000 anuales a la empresa.
a. Bajo las condiciones mencionadas, ¿es conveniente comprar la nueva máquina?
____________________________________________________________________________
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b. Otro proveedor de la misma máquina sugirió que en lugar de comprar la máquina, la empresa podría
alquilarla en un leasing. Si el valor anual a pagar en tal concepto es $8.000 y representa un gasto a
efectos impositivos, ¿cuál es el VAN de la propuesta?
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c. El primer proveedor sugirió prestarle a la empresa $210.000 que le serán devueltos en tres pagos iguales
sin intereses. ¿Cuál es el VAN de esta propuesta?
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13. En la sección 2 de este capítulo hemos analizado un caso de residuos sanitarios. Considere ahora un proyecto
denominado “Caso especial de residuos patológicos”, el cual tiene los siguientes flujos de fondos:
Demuestre que usted aceptaría este proyecto para una tasa de descuento suficientemente baja, o suficientemente
alta, pero no para una tasa que se encuentre en el medio. Explíquelo.
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| 205
Principios de Finanzas con Excel
14. Usted tiene una fábrica que produce lámparas. Su máquina, que es antigua, le está costando demasiado dinero en
reparaciones y está considerando reemplazarla. Para ello tiene dos propuestas:
Usted vende cada lámpara por $0,40, la tasa de descuento es 12 %, la tasa de impuestos es 40 %.
a. ¿Qué máquina preferiría comprar si su producción anual es de 1.000.000 de unidades?
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b. ¿A qué nivel de producción cambiaría su respuesta?
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15. ABC Corp. está tratando de decidir si comprar o contratar en leasing una máquina batidora industrial nueva. Los
siguientes datos son relevantes para el análisis:
~~ La máquina nueva cuesta $120.000 y será amortizada en línea recta, en un horizonte de 5 años, hasta
un valor residual de cero.
~~ La tasa impositiva de ABC Corp. es 30 %.
~~ La empresa puede contratar el leasing con una reconocida empresa, por $29.941 al año, siendo los
pagos efectuados en los años 0, 1, 2,..., 5 (en otras palabras, seis pagos).
~~ ABC Corp. cuenta con una línea de créditos en su banco local, que actualmente está ofreciendo créditos
con plazos hasta 6 años, al 12 %.
a. ¿Debería ABC Corp. contratar el leasing o comprar la máquina? Justifique su respuesta.
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b. Suponga que la empresa de leasing ofrece vender la máquina a ABC Corp. por $1 al final del contrato de
leasing. La empresa entiende que la máquina puede ser vendida por $25.000 en dicho momento. ¿Hará
esto más atractivo al contrato de leasing? (Ofrezca una respuesta cualitativa más que cuantitativa).
____________________________________________________________________________
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206 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
16. Wharton Waste Disposal (WWD) está tratando de decidir si reemplazar su antigua máquina compactadora de residuos por una nueva, más eficiente. Esta es la información relevante:
~~ La nueva compactadora cuesta $400.000. Si es adquirida, la empresa estima que la misma ocasionará
ahorros de $60.000 anualmente, calculados antes de impuestos (asuma que estos flujos de fondos
ocurren al final del año).
~~ La vieja máquina tiene un valor en libros de $100.000 y su valor de mercado es $50.000. El valor en
libros remanente es amortizado en línea recta hasta un valor residual de cero, por $20.000/año.
~~ WWD tiene una tasa impositiva de 40 % y es muy rentable. Utiliza una tasa de descuento del 15 % para
sus flujos de fondos.
~~ Las máquinas compactadoras nunca mueren, en el sentido de que tienen una vida útil infinita. Sin
embargo, la nueva compactadora será amortizada en línea recta, en un horizonte de 10 años hasta un
valor residual de cero.
~~ Para fomentar el reemplazo de las viejas máquinas, la Agencia de Cuidado del Medio Ambiente ofrece
un subsidio. Dicho subsidio es pagado 1 año después de que el equipo compactador sea puesto en uso.
¿Cuál es el mínimo subsidio que haría que el reemplazo de la vieja máquina alcance su punto de equilibrio?
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17. Hunter Hunter Brothers Inc. necesita adquirir impresoras para sus oficinas. Puede comprar impresoras láser caras
u otras de “cartuchos de tinta” que son más baratas (pero de menor vida útil). Estos son algunos datos relevantes:
~~ Una impresora láser cuesta $1.000 y una de cartucho de tinta cuesta $250.
~~ Una impresora láser tiene una vida útil estimada de 6 años, pero una de cartucho de tinta tiene una
vida útil estimada de solo 2 años. Se asume que las impresoras no tienen valor de recupero al final de
su horizonte de vida.
~~ El costo por página para una impresora láser es $0,03, mientras que el costo por página de la de cartucho de tinta es $0,10.
~~ Cada impresora adquirida se espera que imprima $10.000 páginas por año.
Si Hunter Hunter Brothers Inc. tiene una tasa de descuento de 12 % y una tasa de impuestos de cero, ¿qué impresora debería comprar? Asuma que todo el costo anual de impresión se produce a fin de año.
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18. Torreo Cofee Roaster está evaluando el reemplazo de su actual maquinaria por una nueva y más automática y
eficiente. Torre compró la máquina hace 4 años por $87.500. Está siendo amortizada en línea recta en un horizonte
de vida de 14 años. La máquina puede ser vendida hoy, 1 de enero de 2014, por $20.000.
La nueva máquina cuesta $95.000. Su horizonte de vida es 10 años con un valor final de $13.000 en términos reales.
Sin embargo, de acuerdo con el sistema impositivo, el activo será amortizado hasta cero durante los 10 años, con
el método de línea recta.
En 2013 la máquina le generó a Torre ingresos anuales de $50.000 y tuvo costos anuales de $25.000. La nueva
máquina incrementará los ingresos a $65.000 por año (en términos reales, es decir, dólares de 2013). La máquina
también aumentará los costos operativos en $3.000 por año en términos reales.
| 207
Principios de Finanzas con Excel
La tasa de descuento nominal es del 14 % anual. La tasa impositiva tanto para beneficios operativos como ganancias de capital es 40 %. La tasa de inflación anual esperada es del 5 %. Todos los flujos de fondos son libres
de riesgo y ocurren al final del año. Los impuestos también son pagados al final del año. Torre tiene actividades
rentables que pueden ser utilizadas para compensar pérdidas.
¿Debería Torreo Cofee Roaster reemplazar la vieja máquina por la nueva?
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19. One Stop Golf SL está considerando construir una planta para fabricar palos de golf para niños. El egreso inicial
(año 0) para la planta será de $5 millones. Al final del año 1 un egreso adicional de $1 millón es necesario. La planta
será construida en terreno que de otro modo sería alquilada en cualquiera de los años por $500.000, sin contar
impuestos.
La compañía prevé producir este ítem específicamente por solo 3 años, en los años 2, 3 y 4. Al final del año 4, la
compañía cerrará y venderá la planta. Espera producir y vender 500.000 palos en el año 2; 400.000 en el año 3 y
100.000 en el año 4. Cada palo puede ser vendido por $30 en el año 2 y se espera que dicho valor crezca al 6 %
por año en los años 3 y 4.
Los materiales necesarios para cada palo se espera que cuesten $15 en promedio para aquellos palos producidos
durante el año 2, e incrementarse a la tasa del 3 % por año en los años 3 y 4. El costo de mano de obra para cada
palo producido en el año 2 es $5 y se espera que aumente a la tasa del 5 % por año en los 2 años subsiguientes.
La publicidad de los nuevos palos costará $500.000 el primer año; $220.000 el año 2, y $50.000 el año 3. No son
necesarios otros insumos para la producción de los palos para niños.
La firma utiliza el sistema de amortización en línea recta y la planta tiene una vida útil amortizable de 6 años.
Comenzando al final del año 1, la compañía amortizará el costo total de la planta de $6 millones hasta un valor
final del cero. El precio de venta esperado al final de los 4 años se prevé que sea de $4 millones. La empresa puede
compensar cualquier pérdida con los otros proyectos que tiene.
La tasa de descuento apropiada para el proyecto es 12 %. Asuma que todos los flujos de fondos ocurren al final del
año. La tasa de impuestos corporativa es del 34 %.
a. Calcule los flujos de fondos incrementales del proyecto.
b. Calcule el VAN del proyecto.
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___________________________________________________________________________________
20. La abuela Helen hace memoria con su nieto Noah: “cuando me casé con el abuelo en el año 1937”, —dijo ella—,
“su salario mensual era de $300. Él tenía que afrontar los gastos y ahorrar. Ahora estamos en el 2008 y tú me dices
que en tu primer trabajo al salir de la universidad te van a pagar $4.500 al mes. ¡Esto es 50 veces más de lo que
el abuelo ganaba!”
Para comparar los dos salarios, Noah fue a la página web del Minneapolis Federal Reserve y descargó el índice de
precios al consumidor (IPC) para 1913 a 2008. ¿Qué salario era superior —en términos ajustados por inflación —
el de Noah o el del abuelo?
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208 |
CAP. 5 | Problemas en los presupuestos de capital
21. Utilizando el IPC que se proporciona, responda las siguientes preguntas:
a. En 1803 la administración del presidente Thomas Jefferson compró 800.000 millas cuadradas del territorio
Norteamericano al gobierno Francés por $15.000.000. La compra de Louisiana duplicó el tamaño de los
EE. UU. Use las series del IPC para ajustar dichos precios a dólares de 20091.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Hay 640 acres por milla cuadrada. ¿Cuál fue el precio de la compra de Louisiana por Acre en dólares
de 2009?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Algo de perspectiva: una búsqueda aleatoria en internet en 2009 reveló los siguientes valores para las tierras en la
zona de la compra de Louisiana:
~~
~~
~~
~~
755 acres en Avoyelles Parish, Louisiana: $1.661.000
106 acres en Independence Country, Arkansas: $119.900
5 acres en Pike county, Mississippi: $50.000
51 acres en Itasca County, Minnesota: $1.000.000
22. El 1 de enero de 2004, la Fluffy Finance Company realizó un préstamo de $1.000.000 a uno de sus clientes. El interés
del préstamo era del 12 %, a ser pagado mensualmente (es decir 1 % por mes) y la devolución del préstamo se
realizaría íntegramente el 1 de enero de 2005. Dado que el cliente experimentó problemas significativos de flujos de
fondos durante julio y agosto, Fluffy aceptó renunciar a los intereses durante esos meses. Utilice TIR.NO.PER para
calcular la tasa anualizada de retorno del préstamo para Fluffy.
Otro cliente de Fluffy solicitó un préstamo similar, pero solicitó que no le cobrasen los intereses durante mayo y
junio. Si Fluffy puede solo otorgar uno de estos dos préstamos, ¿cuál debería llevar a cabo?
___________________________________________________________________________________
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23. Para cada uno de los siguientes proyectos, calcule todas las TIR.
1 Para datos históricos y un mapa, vea http://gatewayno.com/history/LaPurchase.html
| 209
Principios de Finanzas con Excel
24. El Material complementario de Principios de Finanzas con Excel indica los datos de Índice de Precios al Consumo
(IPC) e inflación en Japón desde 1990 a 2007. Calcule la inflación anual durante este período en Japón y compárelo
con la tasa de inflación en EE. UU.
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210 |
Capítulo 6
Elegir una tasa de descuento
Contenido
1. Concepto general
2. Costos del financiamiento como tasa de descuento
3. Costo de capital medio ponderado como el costo de
financiamiento de la empresa
4. El modelo de dividendos de Gordon: descontar los
dividendos esperados para obtener la tasa de costo
del capital propio de la empresa, rE
5. Aplicar la fórmula de costo de capital propio de
Gordon – Courier Corp.
6. Calcular el CCMP para Courier
7. Dos usos del CCMP
8. Resumen
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
1. Concepto general
Cuando usted utiliza tanto el valor actual neto (VAN) como la tasa interna de retorno (TIR) para la toma
de decisiones de una inversión, debe elegir una tasa de descuento r. Unos apuntes solo para recordar:
■■ En
el caso del VAN, la tasa de descuento r es utilizada para descontar los flujos futuros de fondos
de la inversión. Si el VAN es positivo cuando los flujos de fondos son descontados a la tasa r, entonces la inversión es buena. Una inversión con un VAN negativo debe ser rechazada.
■■ En el caso del TIR, la tasa de descuento r es el estándar para comparación para la decisión de
inversión. Si la tasa r es menor que la TIR de la inversión, entonces es una buena inversión; y si
r >TIR, debemos rechazar la inversión1.
Como usted puede observar, ¡la elección de la tasa de descuento es muy importante! Este capítulo
trata sobre cómo elegir la tasa de descuento. Los principios más importantes que esbozamos son los
siguientes:
■■ La
tasa que usted elige debe ser apropiada para el riesgo de los flujos de fondos que son descontados. A mayor riesgo de los flujos de fondos, mayor debe ser la tasa de descuento utilizada en el
cálculo de VAN o TIR.
■■ En muchos casos el “costo del financiamiento” es una buena elección para tasa de descuento.
El costo del financiamiento es la tasa de retorno demandada por el proveedor de todos los fondos
del proyecto.
■■ En muchos casos de inversiones de la empresa, la tasa de descuento apropiada es el costo de
capital medio ponderado (CCMP o WACC). El CCMP es el costo promedio de financiamiento de
la empresa. La mayor parte de este capítulo está dedicada a definir el CCMP y mostrarle a usted
cómo utilizarlo para valuar la empresa.
La figura 6.1 resume los usos de VAN y TIR para toma de decisiones de inversión. A pesar de los extensos análisis de los capítulos 2-5, hay dos preguntas sobre VAN/TIR que no hemos contestado:
■■ ¿Cuál
es el significado de los flujos de fondos que estamos descontando en el cálculo de VAN y
TIR? Suponga que estamos considerando una inversión que cuesta $100 hoy y promete $120 en
1 año. ¿Qué significa realmente la promesa de un flujo de fondos?
 Una
posibilidad es que los $120 estén libres de riesgo: en este caso no hay duda de que los
$120 serán pagados en 1 año a partir de ahora. El flujo de fondos futuro de $120 es cierto.
Los bonos del gobierno y cuentas bancarias son dos ejemplos de inversiones que ofrecen flujos
de fondos libres de riesgo.
 Otra posibilidad es que los $120 sean un flujo de fondos esperado, pero no libre de riesgo. En
este caso, los $120 son arriesgados o inciertos. Por ejemplo, puede ser que el flujo de fondos
en 1 año a partir de ahora sea determinado por el lanzamiento de una moneda: si la moneda
sale de cara, el flujo de fondos será $140 y si sale cruz, el flujo de fondos será $100. El flujo
de fondos futuro promedio es $120, pero el flujo de fondos real es incierto.
1 Recuerde del capítulo 5 que la TIR no es siempre la regla apropiada para utilizar (por ejemplo, cuando hay múltiples TIR). En tales casos
debemos utilizar el VAN.
| 213
Principios de Finanzas con Excel
■■ ¿Cómo
elegimos la tasa de descuento r apropiada para la inversión? En los cálculos de VAN y TIR
de los capítulos 2-5, r era la tasa de retorno que requeríamos de la inversión. Una vez que usted se
da cuenta de que los flujos de fondos disimulan la incertidumbre que hay detrás de los números,
usted estará de acuerdo en que r deba ser ajustada por riesgo: a los inversores no les gusta el riesgo, por ello, a mayor incertidumbre sobre los flujos de fondos, mayor será la tasa de retorno r que
los inversores demandarán. Para volver a la inversión considerada en el punto anterior:
 Si
los $120 son un flujo de fondos libre de riesgo, entonces la tasa de descuento apropiada r
es la tasa de interés libre de riesgo. Buenos ejemplos de tasas libres de riesgo son las tasas de
interés de los bonos del gobierno o cuentas bancarias.
 Si los $120 son un flujo de fondos arriesgado, entonces el retorno que demandarán los inversores será mayor. Esto significa que la tasa de descuento apropiada r es una tasa de descuento
ajustada por riesgo (TDAR).
UTILIZANDO VAN Y TIR PARA LA TOMA DE DECISIONES DE INVERSIÓN
“Sí o no”: elegir si llevar a cabo un
proyecto
“Ranking de proyectos”: comparar dos proyectos
mutuamente excluyentes
Criterio del VAN
El proyecto debe ser emprendido si su
VAN > 0
El proyecto A es preferible al proyecto B si VAN
(A) >VAN (B)
Criterio de la TIR
El proyecto debe ser emprendido
si su TIR > r, donde r es la tasa de
descuento apropiada.
El proyecto A es preferible al proyecto B si TIR
(A) >TIR (B)
Figura 6.1. Resumiendo el uso de VAN y TIR para toma de decisiones de inversión, la cuestión crítica tratada en este capítulo es ¿cómo determinar la tasa de
descuento apropiada r?
Figura 6.2. El “numerador” y el “denominador” del VAN. El flujo de fondos del numerador es el flujo de fondos esperado de la inversión, la tasa de descuento del
denominador es ajustada por el riesgo de los flujos de fondos del numerador. Este capítulo trata sobre la determinación de la tasa de descuento.
Riesgo: más adelante en el libro (capítulos 8-13), daremos una definición más formal del riesgo y
cómo medirlo. Por el momento nos contentamos con su entendimiento intuitivo del riesgo. Usted comprenderá que invertir en un bono del gobierno es menos arriesgado que invertir en acciones, y también
que una inversión en activos inmobiliarios es más arriesgada que colocar su dinero en una cuenta bancaria (pero quizás menos temeraria que comprar un caballo de carreras).
214 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
La principal característica del riesgo de un flujo de fondos es su variabilidad futura: algunos flujos
de fondos son conocidos casi con certeza; si su banco le promete el 6 % de interés, usted puede estar
seguro de que $100 de hoy crecerán a $106 en 1 año. Otros tipo de flujos de fondos son mucho más
inciertos; la experiencia pasada muestra que $1.000 de inversión en acciones proporcionan un retorno
anual de 12 %, pero usted también conoce que en algunos años este retorno ha sido tan bajo como
-20 % y en otros años ha sido tan elevado como 35 %. En general, a mayor variabilidad de los retornos
de la inversión, mayor es su riesgo.
Terminología
La literatura de finanzas está llena de sinónimos para tasa de descuento. Aquí mencionamos algunos términos que usted
probablemente encontrará. Todos ellos son algunas veces utilizados para hacer referencia a la tasa de descuento apropiada
para una serie de flujos de fondos:
\\
\\
\\
\\
\\
Tasa de descuento
Costo de capital
Costo de oportunidad
Tasa de interés
Tasa de interés ajustada por riesgo (TIAR)
Conceptos financieros tratados
■■ Costos
del financiamiento.
del capital.
■■ Costo del capital propio, rE.
■■ Costo de la deuda, rD.
■■ Flujo de fondos libre (FCF).
■■ Modelo de dividendos de Gordon.
■■ Descuento a mitad de año.
■■ Costo
Funciones de excel utilizadas
■■ VAN.
■■ TIR.
■■ PAGO.
2. Costos del financiamiento como tasa de descuento
El costo del financiamiento es el costo de recaudar el dinero necesario para una inversión. El costo de
financiamiento es habitualmente candidato a ser utilizado como tasa de descuento. La idea que subyace
en la utilización del costo del financiamiento como tasa de descuento es que nosotros identifiquemos
el costo de los fondos utilizados y usemos dicho costo para descontar los flujos futuros de fondos de la
inversión. Comenzaremos con un ejemplo que ilustra el uso apropiado del costo del financiamiento como
tasa de descuento.
| 215
Principios de Finanzas con Excel
Ejemplo 1: extraer fondos de una cuenta de ahorro para adquirir un certificado de depósito (CD)
Usted dispone de $10.000 en una cuenta de ahorro en un banco que le rinde el 4 % anual y usted
no tiene intención de utilizar dicho dinero en un par de años. Su banco le ha ofrecido una alternativa de
inversión: un certificado de depósito a 2 años (CD) que rinde el 5 %. Este certificado es como un bono
emitido por el banco: usted le paga el banco $10.000 hoy y el CD le pagará $500 en 1 año ($500 =5 %
* $10.000) y $10.500 en 2 años.
El CD se ve como una buena inversión: en lugar de ganar 4 %, usted ganará 5 %. Otra forma de pensar
sobre esta inversión es que esta le costará a usted 4 % (la tasa de interés dejada de ganar en su caja de
ahorro) para obtener el 5 % de interés con el CD. Usando la tasa del 4 % como tasa de descuento apropiada, el VAN del CD es $188,61.
Los $188,61 son la riqueza adicional que usted ganará por sacar su dinero de la cuenta de ahorro y
colocarlo en el CD.
Cuidado: los mercados no son estúpidos, por lo que usted debe preguntarse a sí mismo por qué el
banco le está ofreciendo el 5 % sobre el CD y solo el 4 % en la cuenta de ahorro. ¿Cuáles son los riesgos
que involucra tomar su dinero de la caja de ahorro y colocarlos en el CD?
■■ Riesgo
de liquidez: el dinero colocado en el CD no estará disponible durante 2 años, mientras que
el dinero de la cuenta de ahorro está disponible todo el tiempo.
■■ Riesgo de tasa de interés: si las tasas de interés suben, el banco probablemente aumentará la tasa
de interés en la caja de ahorro (los otros bancos incrementarán el interés que pagan y la presión
competitiva probablemente fuerce a su banco a incrementar las tasas). Por otra parte, el CD es un
contrato a 2 años entre usted y el banco, durante el cual la tasa de interés no se modificará. (Por
supuesto, hay otro aspecto en el riesgo de interés: si las tasas de interés bajan, entonces el interés
de la caja de ahorro bajará, pero no el interés del CD).
■■ Riesgo de impago: es posible que el banco no pueda cumplir la promesa que hizo con el CD. La
mayoría de los CD de bancos están garantizados por el gobierno, por lo que no es un factor real
de riesgo.
La última línea de este ejemplo es que si usted considera que el riesgo de la cuenta de ahorro bancaria y el CD no es sustancialmente diferente, usted debería utilizar la tasa de interés de la cuenta de
ahorro del 4 % para descontar la inversión en el CD. El costo de financiamiento es una tasa de descuento
apropiada.
216 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
Ejemplo 2: ¿Cuándo el costo de financiamiento no es una buena tasa de descuento?
En el ejemplo previo, el riesgo de la cuenta de ahorro bancaria no es sustancialmente diferente del
riesgo de un CD. Esto hace a la tasa de interés de la cuenta de ahorro una buena tasa de descuento para
evaluar la adquisición del CD. Cuando los riesgos del financiamiento difieren sustancialmente de los
riesgos de la inversión, el costo del financiamiento no es una buena elección como tasa de descuento.
Suponga que usted está pensando en adquirir la franquicia de lápiz de labios Evelyn Wyer francesa por 1
año. Esta franquicia le permite a usted vender los prestigiosos lápices labiales Evelyn Wyer a sus compañeras de universidad durante 1 año. Estos lápices vienen en todos los colores, pero el favorito entre las
estudiantes universitarias es el amarillo. La franquicia cuesta $1.000 y vale por 1 año. Al final del año,
usted espera ganar $1.500 de la franquicia.
Si usted realiza la inversión, deberá extraer esos $1.000 de su cuenta de ahorro, que paga el 4 % de
interés. Este 4 % es entonces el costo de financiamiento para la franquicia de Evelyn Wyer.
Si usted utiliza el 4 % como tasa de descuento, entonces la franquicia de lápices labiales es una muy
buena inversión. Tiene un VAN = $442 y una TIR = 50 %:
Sin embargo, para decidir si el 4 % del costo de financiamiento es una tasa realmente apropiada,
usted debe considerar los riesgos relativos de la franquicia de lápices labiales y de la cuenta de ahorro
bancaria.
■■ Si
usted tiene certeza de que ganará $1.500 de la franquicia de lápices de labios, entonces el
4 % (el costo de financiamiento) es la tasa de descuento apropiada.
■■ Si, por el contrario, los $1.500 son inciertos y por lo tanto arriesgados, entonces el 4 % es una tasa
de descuento muy baja. En este caso, usted debe decidir si la TIR del 50 % es lo suficientemente
grande para compensarlo por el riesgo de la inversión2.
2 A estas alturas del libro utilizamos solamente un concepto intuitivo de riesgo. En los capítulos 8-13 definimos riesgo más formalmente
y mostramos cómo tasa de descuento y riesgo están relacionados.
| 217
Principios de Finanzas con Excel
Ejemplo 3: si los impuestos constituyen un factor que interviene, utilice el costo de financiamiento después
de impuestos
Su empresa precisa un nuevo ordenador. Las alternativas son adquirir el ordenador por $4.000 o contratar un leasing. Una compañía de leasing le ha ofrecido un leasing que involucra un pago de $1.500
ahora y $1.500 al final de cada uno de los años 1-3. Un método de financiamiento alternativo es pedir
prestado el dinero al banco, que cobra 15 %. Su empresa tiene una tasa de impuestos de 40 %; si adquiere el ordenador puede amortizarlo durante 3 años, resultando un ahorro fiscal por amortización anual de:
$4.000
* 40% = $533, 33
3
Si la empresa “alquila” (es decir, si contrata el leasing) en lugar de adquirirla, los $1.500 de costo
anual del leasing pueden ser descontados de su beneficio imponible. El costo anual después de impuestos del contrato de leasing es entonces (1 – 40 %) * $1.500 = $900.
A continuación, la solución que ofrecimos a este problema en el capítulo 5:
Contratar el leasing en lugar de adquirir el activo le hace ahorrar a usted $3.100 en el año 0 pero le
cuesta $1.433 adicionales en los años 1-3. La TIR de los flujos de fondos diferenciales (columna F) es
18,33 %.
Elegir una tasa de descuento: en este caso aún podemos utilizar el costo de financiamiento alternativo
como tasa de descuento. Sin embargo, debemos tener en cuenta el hecho de que la tasa de interés del
préstamo bancario es un gasto a efectos impositivos. Asumiendo que el riesgo de los flujos de fondos del
leasing y la compra son similares al riesgo del préstamo bancario, la tasa apropiada de descuento es la
tasa bancaria después de impuestos: (1 - 40 %) * 15 % = 9 %.
Ahora lo que ocurre es que deberíamos adquirir el activo en lugar del leasing porque la TIR de los
flujos de fondos del leasing menos la compra es mayor que el costo del préstamo bancario después de
218 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
impuestos. Otra forma de verlo es comparar los flujos de fondos de un préstamo bancario de $3.100 con
los flujos de fondos ahorrados por la compra. Como usted puede observar abajo, el préstamo bancario le
cuesta sustancialmente menos en cada uno de los años 1-3 que los flujos de fondos del leasing menos
la compra.
Costo del financiamiento como tasa de descuento – resumen
El ejemplo del leasing ilustra el uso del costo de financiamiento como una manera de encontrar la tasa de descuento: dado
que el financiamiento alternativo para el ordenador se realiza mediante un préstamo bancario (en lugar del leasing), hemos
utilizado el costo del préstamo bancario como tasa de descuento.
Usted debe ser cuidadoso en aplicar este método: el costo de financiamiento es solo una tasa de descuento apropiada si
los flujos de fondos que son financiados tienen el mismo riesgo que la fuente de financiamiento.
\\
\\
\\
Si utiliza un préstamo bancario para financiar un conjunto de flujos de fondos casi ciertos, entonces la tasa bancaria
puede ser la tasa de descuento. Usted sabe que pagará el préstamo y está convencido de que los flujos de fondos que
son financiados se harán efectivos con certeza. Este es el caso del leasing tratado en esta sección.
Para las empresas, el costo del préstamo bancario es un gasto a efectos impositivos, en este caso el costo de financiamiento después de impuestos debe ser utilizado como tasa de descuento.
Si utiliza un préstamo bancario para financiar la compra de un caballo de carreras, entonces el riesgo de los flujos de
fondos es mucho mayor que el de los flujos de fondos del préstamo (usted está casi seguro que pagará el préstamo,
pero tiene menos certeza sobre los flujos de fondos del caballo de carreras).
3. Costo de capital medio ponderado como el costo de financiamiento de la empresa
En la sección previa hemos ilustrado por qué el costo de financiamiento —el costo de recaudar el
dinero para un proyecto determinado— es habitualmente una buena alternativa para tasa de descuento.
El costo de financiamiento es una buena alternativa para descontar un proyecto cuando es proporcional
con el riesgo del proyecto.
El costo de financiamiento para una empresa es habitualmente llamado el Costo de Capital Medio
Ponderado (CCMP). Las empresas recaudan fondos fundamentalmente de dos maneras, sea de sus accionistas o pidiendo prestado. El CCMP se determina promediando los costos de financiamiento de estos
dos métodos:
| 219
Principios de Finanzas con Excel
Una empresa puede recaudar fondos de sus accionistas sea vendiendo acciones adicionales en el mercado de capitales, sea utilizando otros recursos para financiar nuevos proyectos en lugar de pagar dividendos a los accionistas. El costo del financiamiento procedente de recaudar dinero de los accionistas es
denominado costo del capital propio. simbolizado con rE, el costo del capital propio es la tasa de retorno
demandada o requerida por los accionistas de la empresa. En la sección 6.4 le mostramos cómo calcular rE.
Una empresa puede recaudar fondos tanto pidiendo prestado al banco como vendiendo bonos. El
costo del financiamiento de pedir prestado, simbolizado con rD, es denominado costo de la deuda y es la
tasa de interés cargada por los prestamistas, por los bancos o los compradores de bonos de la empresa.
El interés del endeudamiento empresario es un gasto a efectos fiscales; indicándose la tasa de impuestos
con TC, el costo del financiamiento después de impuestos es (1-TC)*rD.
El CCMP es el costo promedio de financiamiento de la deuda y el capital propio de la empresa. Otra
manera de decirlo es que el CCMP es el retorno promedio después de impuestos que accionistas y bonistas esperan recibir de la empresa3. La definición de CCMP es:
CCMP = rE
*
E
+ rD (1 − TC )
E+D

el porcentaje de
capital utilizado
para financiar
la empresa
*
D
E+D

el porcentaje de
de deuda usado
para financiar
la empresa
Donde
■■ rE
= costo de capital propio de la empresa – el retorno requerido por los accionistas.
■■ rD = costo de la deuda de la empresa – el retorno requerido por los tenedores de deuda.
■■ E = valor de mercado del capital propio de la empresa.
■■ D = valor de mercado de la deuda de la empresa.
■■ TC = tasa de impuestos de la empresa.
Ahora, presentamos un ejemplo simple para mostrar lo que queremos decir: Unión de Transportes SL
tiene 3 millones de acciones en circulación, la cotización de mercado de la acción es $10. La empresa
considera que sus accionistas quieren un retorno anual sobre su inversión del 20 %; este retorno del
20 % es el costo del capital propio de la empresa rE4. La empresa también ha pedido prestado $10 millones al banco a la tasa del 8 %; este es el costo de la deuda de la empresa, rD. Unión de Transportes tiene
una tasa impositiva TC = 40 %5. Para calcular el CCMP de Unión de Transportes aplicamos la fórmula:
CCMP = rE *
E
D
+ rD (1 − TC ) *
E+D
E+D
3 En finanzas, el retorno esperado, el retorno requerido, el costo de capital (sea costo de la deuda sea de capital propio) y la tasa de
retorno requerida son todos sinónimos. Todos representan la tasa ajustada por el mercado que los inversores obtienen (o demandan) en
varias inversiones o títulos.
4 ¿Cómo llegó Unión de Transportes S. L. a la conclusión de que sus accionistas pretenden el 20 % de rendimiento? Esta es el quid de la
cuestión en el cálculo del CCMP y dedicaremos gran parte de este capítulo a responderla, de modo que ¡sea paciente!
5 Utilizamos el símbolo TC para indicar la tasa de impuestos corporativa (o de la empresa).
220 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
= 20% *
30
10
+ 8% * (1 − 40%) *
= 16, 20%
30 + 10
30 + 10
■■ rE
= 20 %.
■■ rD = 8 %.
■■ E = 3.000.000 acciones cada una de las cuales vale $10 = $30.000.000.
■■ D = $10.000.000.
■■ TC = 40 %.
Estos son los cálculos en una hoja.
El cálculo del CCMP de Unión de Transportes le demuestra que el CCMP depende de cinco variables
críticas:
■■ rE,
el costo del capital propio. rE es el retorno requerido por los accionistas de la empresa. De los
cinco parámetros del cálculo del CCMP, rE es el más difícil de calcular. En la sección 6.4 se presenta un modelo para calcularlo.
■■ E, el valor de mercado del capital propio de la empresa. Habitualmente, tomaremos E igual al
número de acciones de la empresa multiplicado por el precio de mercado de la acción.
■■ rD, el costo de la deuda. rD es el costo de pedir prestado para la empresa. En la mayoría de los casos
tomaremos rD como el costo de interés marginal, la tasa de interés a la cual la empresa podría pedir
prestado fondos adicionales al banco o vender bonos. Alternativamente, algunas veces tomaremos
rD como el costo promedio de endeudamiento de la empresa en su deuda actual. En la sección 6.6
presentamos un ejemplo detallado del cálculo de rD para una empresa real.
■■ D, el valor de mercado de la deuda de la empresa. En la mayoría de los casos tomaremos D como
el valor total de las obligaciones financieras de la empresa. En la sección 6.6 presentamos un
ejemplo real de cálculo de D.
■■ TC, la tasa de impuestos de la empresa. Mayormente calculamos Tc promediando la tasa de impuesto de la empresa; vea la sección 6.6 para un ejemplo.
| 221
Principios de Finanzas con Excel
El CCMP
El costo de capital medio ponderado es la tasa media de retorno que la empresa debe pagar a sus
accionistas y prestamistas. El CCMP es el costo de financiamiento para un proyecto y es ampliamente
utilizado como una apropiada tasa de descuento ajustada por riesgo para los flujos de fondos de las inversiones de la empresa. Dos de los tres ejemplos que siguen ilustran el uso de CCMP para evaluación de
inversiones. El tercer ejemplo indica cuándo el CCMP no es una tasa de descuento apropiada para una
inversión de la empresa.
■■ White
Water Rafting Corp. está evaluando adquirir un nuevo tipo de balsa. Esta es más cara que
las actuales balsas con las que opera la compañía, pero más eficiente porque los agujeros son
automáticamente reparados por una nueva tecnología. Durante la temporada, las balsas actuales
desperdician una considerable cantidad de tiempo por pinchazos y le empresa prevé que las nuevas balsas incrementarán su rentabilidad incrementando la eficiencia y disminuyendo los costos.
Siendo la primera en adquirir esta tecnología, la empresa espera atraer clientes de las otras empresas, los clientes obviamente odian que sus viajes sean interrumpidos y cuando sepan que White
Waters tiene balsas nuevas, preferirán a esta empresa sobre sus competidores.
El analista financiero de White Waters ha preparado el conjunto de flujos de fondos esperados para
las nuevas balsas. Para completar el análisis de VAN; la empresa debe decidir una tasa apropiada
de descuento. Aquí es donde entra la CCMP: dado que el riesgo de los flujos de fondos de la nueva balsa es similar al riesgo de los flujos de fondos actuales, la CCMP es una tasa de descuento
apropiada.
■■ Gorgeous Fountain Water Company (GF) vende agua embotellada de sus manantiales naturales. La
compañía está analizando adquirir la empresa Dazzling Cascade Water Company (DC), que opera
en un área vecina dominada por (GF) y sus operaciones, ventas y flujos de fondos esperados han
sido evaluados a fondo por los analistas financieros de GF.
Para valuar DC, GF debe decidir sobre una apropiada tasa de descuento para los flujos de fondos
esperados de DC. Aquí es donde entre la tasa de costo de capital medio ponderado. La CCMP
de GF es el retorno promedio demandado por sus inversores, teniendo en cuenta el hecho que el
interés de la deuda es un gasto a para los impuestos de la empresa. Asumiendo que el riesgo de
los flujos de fondos de DC es similar al de GF, la CCMP es una tasa de descuento apropiada para
los flujos de fondos de GF. Descontando los flujos de fondos de DC a la CCMP de GF le permite a
Gorgeous Fountain establecer un precio para DC.
■■ Concluimos con un ejemplo donde la CCMP no es una tasa de descuento apropiada. Delicious
Licorice (DL) es una empresa de golosinas cuyo CCMP es:
CCMPDL = 22%
Para diversificar, DL está considerando la adquisición de Cheap Talk, una compañía de telefonía
móvil local. El flujo de fondos de la compra potencial ha sido cuidadosamente analizada por los
analistas financieros de DL. Ellos se dieron cuenta que el CCMP de DL no es la tasa de descuento
apropiada para analizar la compra de Cheap Talk; los riesgos incluidos en el costo de capital medio
ponderado de DL son totalmente distintos de los riesgos de los flujos de fondos de Cheap Talk.
Para utilizar la CCMP como tasa de descuento, esta debe ser apropiada para el riesgo de los flujos
de fondos que son evaluados.
222 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
Alguna terminología importante
Cuando hablamos de “empresas” en este libro generalmente nos referimos a corporaciones, compañías que tienen accionistas y bonistas6. Una empresa en una entidad legal autónoma, separada de sus
accionistas y bonistas; y sus beneficios están gravados a la tasa de impuestos corporativa.
Los accionistas tienen acciones de la empresa. Cuando la empresa obtiene beneficios, la administración puede decidir pagar dividendos a los accionistas, pero estos pagos de dividendos no están garantizados. Los accionistas también pueden vender sus acciones y obtener con ello un beneficio (denominado
“ganancia de capital”) o una pérdida. Como usted puede observar, los flujos de fondos para un accionista
de una empresa son inciertos. Los accionistas de la empresa tienen responsabilidad limitada; ellos no son
responsables de pagar a los bonistas si la empresa no puede hacerlo con sus flujos de fondos.
El costo del capital propio, indicado con rE, es la tasa de descuento aplicada por los accionistas a sus
flujos de fondos esperados de la empresa. No hace falta mencionar que este costo del capital propio depende del riesgo de los flujos de fondos del accionista. A mayor riesgo de los flujos de fondos esperados,
mayor será el costo del capital propio rE.
Los tenedores de deuda de la empresa son sus prestamistas. A los bonistas les prometen un retorno
determinado (interés) por su préstamo a la empresa. A pesar de que la mayoría de los préstamos sean a
una tasa de interés fija, es también común encontrar deuda con tasas de interés que periódicamente se
adecúan a las tasas de mercado o que están atadas a la tasa de inflación.
Los bonistas pueden ser bancos que han prestado dinero a la empresa o pueden ser individuos o fondos de pensión que han adquirido bonos de la empresa. Los pagos de interés a los bonistas de la empresa
son gastos a efectos impositivos. Los pagos de interés sobre la deuda de la empresa y la tasa de impuestos corporativas determinan el costo de la deuda después de impuestos, que simbolizamos con rD (1-T).
4. El modelo de dividendos de Gordon: descontar los dividendos esperados para obtener la
tasa de costo del capital propio de la empresa, rE
En esta sección presentamos una fórmula para calcular el costo de capital propio de la empresa, rE.
Esta fórmula es denominada modelo de dividendos de Gordon, en honor a Myron Gordon, que fue el primero en plantear el modelo en 19577. Este apartado consta de dos subsecciones:
■■ En
la primera subsección derivamos un modelo para calcular el valor de las acciones de la empresa
basado en sus dividendos futuros esperados.
■■ En la segunda subsección, utilizamos el modelo de valuación de la primera sección para derivar el
costo del capital propio rE.
6 Terminología equivalente para accionistas: propietarios del capital propio. Para bonistas: prestamistas, tenedores de bonos.
7 El modelo a veces es simplemente llamado modelo de Gordon; otros lo llaman el modelo de descuento de dividendos.
| 223
Principios de Finanzas con Excel
4.1. Valuar las acciones de la empresa como el valor actual de los dividendos futuros esperados
Comenzamos calculando el valor justo para una acción que paga una corriente creciente de dividendos. Presentamos aquí un ejemplo que muestra gran parte de la lógica de nuestro modelo: es el 2
de marzo del año 2000 y usted está pensando comprar una acción de la empresa XYZ Corp. Estos son
algunos datos de la empresa y sus acciones:
■■ XYZ
es una constante pagadora de dividendos; en el pasado ha pagado dividendos anualmente y
los mismos han tendido a crecer a una tasa anual del 7 %.
■■ La empresa acaba de pagar un dividendo de $10 por acción. Este dividendo ha sido pagado el 1
de marzo, fecha tradicional de pago de dividendos de la compañía.
Usted quiere valuar las acciones de XYZ descontando la corriente futura de dividendos esperados.
Para predecir los dividendos futuros de XYZ Corp., usted asume que los dividendos crecerán a una
tasa del 7 % anual. Por lo que los dividendos esperados por acción serán:
Dividendo hoy
= Div
=
$10, 00
0
Dividendo año próximo = Div1 = Div 0 (1 + g) = $10, 00 * (1 + 7%) = $10,70
Div 2 = Div1 (1 + g) = Div 0 (1 + g)2 = $10, 00 * (1 + 7%)2 = $11, 45
Div 3 = Div 2 (1 + g) = Div 0 (1 + g)3 = $10, 00 * (1 + 7%)3 = $12, 25


Div t = Div 0 (1 + g)t
Los tres puntos suspensivos (…) indican que usted piensa que la corriente de dividendos es muy larga
(cuando escribimos este modelo, asumiremos que la corriente de dividendos es a perpetuidad).
224 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
Suponga que usted considera que la tasa de descuento apropiada para la corriente de dividendos de
XYZ, es el costo del capital propio rE = 15 %. Usando rE para descontar los dividendos futuros esperados,
usted obtiene el precio justo de la acción de XYZ Corp. hoy (lo simbolizaremos con P0):
Valuando la acción de XYZ Corp.:
Precio justo de la acción hoy:
P0 =
=
Div1
Div 2
Div 3
+
+
+ ...
(1 + rE ) (1 + rE )2 (1 + rE )3
Div 0 (1 + g) Div 0 (1 + g)2 Div 0 (1 + g)3
+
+
+ ...
(1 + rE )
(1 + rE )2
(1 + rE )3
=
Div 0 (1 + g)
rE − g
La última línea de la fórmula de arriba utiliza una fórmula de valor actual de una anualidad con crecimiento constante desarrollada en el capítulo 2: el valor actual de los flujos de fondos Div0 (1+g), Div1
(1+g)2, Div0 (1+g)3… a la tasa de descuento rE es8
8
Div 0 (1 + g)t Div 0 (1 + g)
=
,donde g < rE
rE − g
(1 + rE )t
t=1
∞
P0 = ∑
Aplicando el modelo de valuación a la acción de XYZ obtenemos:
Precio justo de la acción hoy:
P0 =
10(1, 07) 10(1, 07)2 10(1, 07)3
+
+
+ ...
(1,15)
(1,15)2
(1,15)3
esto es Div0 (1+g )
10(1, 07)
=
= 133,75
− 0
0
,15
,
07
esto es rE −g
8 La condición |g|<|rE| significa que el valor absoluto de “g” es menor que el valor absoluto de “rE”. Si los dividendos de una empresa
tienen crecimiento positivo, entonces eso es lo mismo que asumir que 0<g< rE.
| 225
Principios de Finanzas con Excel
A continuación, una hoja con la implementación del modelo de dividendos de Gordon.
4.2. Usar el modelo de dividendos de Gordon para calcular el costo del capital propio, rE
En la subsección previa hemos obtenido el valor de una acción P0, basado en la corriente actual de
dividendos por acción Div0, la tasa esperada de crecimiento de dividendos g y el costo del capital propio
rE. En esta sección le damos vuelta a la fórmula: obtendremos el costo del capital propio rE, basado en el
precio actual de la acción P0, el dividendo actual por acción Div0 y la tasa esperada de crecimiento del
dividendo g.
De acuerdo al modelo de dividendos de Gordon de la sección previa, el precio de la acción está dado
por P0 = Div0 (1 + g) / (rE - g). Dando la vuelta a esta fórmula para resolver el costo del capital propio rE
obtenemos:
rE =
Div 0 (1 + g)
+g
P0
Esta es la fórmula para el costo del capital propio según el modelo de Gordon. En esta fórmula, rE
—la tasa de descuento a ser aplicada para los flujos de fondos del capital propio— es la suma de dos
términos:
Div 0 (1 + g)
P0
■■ Es
el rendimiento esperado del dividendo de la acción. Suponga que usted adquiere la acción hoy,
pagando P0. Entonces usted prevé obtener un dividendo para el período siguiente de Div0 (1+g),
donde g es la tasa futura esperada de crecimiento de los dividendos. El mismo término anterior es
el rendimiento esperado para el próximo período del dividendo.
■■ g, es la tasa de crecimiento de todos los dividendos futuros pagados a la acción.
226 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
4.3. Aplicar la fórmula de costo del capital propio del modelo de dividendo de Gordon. Un ejemplo
sencillo
Considere una empresa para la cual el precio actual de la acción es P0 = $25,00 y que acaba de pagar
un dividendo de Div0 = $3,00. Los accionistas de la empresa creen que los dividendos crecerán a una
tasa g = 8 % por año. En este caso el costo de capital propio del modelo de Gordon es rE = 20,96 %.
Observe que el costo de capital propio del modelo de Gordon rE es muy sensible a los valores de los
parámetros. Si, por ejemplo, la tasa de crecimiento del dividendo en el ejemplo de arriba es 5 %, entonces rE = 17,60 %.
5. Aplicar la fórmula de costo de capital propio de Gordon – Courier Corp.
Courier Corp. (símbolo de la acción CRRC) es una editorial que ha experimentado un rápido crecimiento de ventas y utilidades. El ciclo contable de Courier cierra el 30 de septiembre. Usamos el modelo
de dividendos de Gordon para calcular el costo del capital propio al final de septiembre de 2002.
Esta es la hoja con los datos relevantes y los cálculos.
| 227
Principios de Finanzas con Excel
Para utilizar el modelo de Gordon para calcular el costo del capital propio en la celda B14, precisamos
los siguientes supuestos:
■■ El
precio de la acción P0 es conocido. En este caso P0 es el precio de la acción en el día del cálculo
(30 de septiembre de 2002). Ese día P0 = $37,99.
■■ El dividendo corriente por acción, Div0, es conocido. Por “dividendo corriente” queremos decir el
último dividendo pagado por la empresa, que en este caso es el dividendo del año 2002 de Courier,
Div0 = $0,40 por acción.
■■ La tasa de crecimiento promedio de los dividendos, g, puede ser obtenida. La obtenemos abajo a
partir de la serie de dividendos de las celdas B3:B7. Nuestro supuesto es que la tasa de crecimiento promedio de los dividendos g, puede ser calculada a partir del siguiente supuesto:
Div1998 = 0, 2533
Div1999 = Div1998 (1 + g)
Div 2000 = Div1998 (1 + g)2
Div 2001 = Div1998 (1 + g)3
Div 2002 = Div1998 (1 + g)4 = 0, 400
228 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
Esto significa que:
g=
4
Div 2002
0, 400
−1 = 4
− 1 = 12,10%
Div1998
0, 2533
Dado este supuesto, el costo del capital propio rE de Courier esta dado por:
rE =
Div 0 (1 + g)
0, 40 * (1 + 12,1%)
+g =
+ 12,1% = 13, 28%
P0
37, 99
Este es el cálculo llevado a cabo en la celda B14.
Cálculo alternativo de la tasa de crecimiento
La implementación del modelo de Gordon ilustrado arriba utiliza la tasa de crecimiento geométrico
para calcular la g en el modelo de Gordon.
g=
4
Div 2002
–1
Div1998
Presentamos ahora dos maneras alternativas para calcular la tasa de crecimiento g:
■■ Alternativa
1: Usar un período de tiempo diferente. En el ejemplo precedente, hemos asumido que
la tasa de crecimiento futura esperada de los dividendos es predicha por los dividendos entre 1998
y 2002. Sin embargo, podríamos —tras algún análisis— decidir que precisamos un año extra de
datos y que los dividendos son mejor predichos por el período 1997-2002. En este caso la tasa de
crecimiento del dividendo es esta:
g= 5
Div 2002
0, 400
−1 = 5
− 1 = 13,75%
Div1997
0, 21
Esto modifica el costo de capital propio, dado que la tasa esperada de crecimiento del dividendo g
es mayor en esta alternativa que antes. El costo del capital propio será mayor, como se indica abajo.
rE =
Div 0 (1 + g)
+g
P0
| 229
Principios de Finanzas con Excel
■■ Alternativa
2: Ignorar los dividendos históricos por completo. Usted puede decidir que la historia
anterior de los dividendos de Courier no es indicativa de sus pagos de dividendos futuros. En este
caso, usted podría querer utilizar un número completamente diferente como tasa esperada de crecimiento g. En el ejemplo de abajo usted ha decidido que la tasa de crecimiento de los dividendos
de Courier es del 15 %. Esto arroja un costo de capital propio de 16,21 %.
Una última alternativa para calcular el costo de capital propio rE: utilizar el pago total al capital en lugar de
datos por acción
En algunos de los años 1998-2002, Courier adquirió acciones de sus accionistas en transacciones
de recompra en el mercado abierto. De algún modo, una recompra de acciones es como un dividendo
—tanto la recompra como el dividendo representan dinero abonado por la empresa a sus accionistas—.
La siguiente hoja de Excel calcula el total de los dividendos más recompra de acciones en cada uno de
los años 1998-2002 y usa dicho “pago total al capital propio” para calcular el costo del capital propio
del modelo de Gordon rE.
230 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
Los datos de la columna C son para dividendos totales pagados por Courier (dividendos totales = dividendos por acción * número de acciones); en la columna D observamos la cantidad de efectivo pagado
a los accionistas por recompra de sus acciones. La columna E brinda el pago total al capital: suma de
dividendos + recompras. En la columna F calculamos las tasas de crecimiento año por año de los pagos
totales al capital. Como usted puede ver, estos son bastante variables, especialmente cuando los comparamos con el relativamente constante crecimiento de los dividendos en efectivo (columnas B y C). En
la celda B14, hemos decidido utilizar el promedio de los últimos 2 años de las tasas de crecimiento de
pagos totales al capital, como nuestro predictor de la tasa futura de crecimiento g. Esto nos da un costo
del capital propio rE de 12,45 % (celda B16):
■■ Modelo
de dividendos de Gordon para costo del capital propio
■■ Usando pagos totales a los tenedores del capital propio:
pago total al

capital propio =


 1 +
g
dividendos totales +  
tasa de crec.



esperada de pagos
totales al capital propio
recomprra de acciones 
rE =
Valor total del capital propio hoy
=





 +g
2.086.000 * (1 + 11, 27%)
+ 11, 27% = 12, 45%
198.117.850
A pesar de que hay alguna controversia emparejada al uso de los pagos totales al capital propio para
calcular el costo del capital propio rE, consideramos que es un método correcto. En el ejemplo de Courier
Corp. que sigue, asumiremos que rE para Courier es 12,45 %.
| 231
Principios de Finanzas con Excel
¿Por qué las empresas recompran acciones?
En años recientes la recompra de acciones ha excedido los dividendos distribuidos a los accionistas. Las empresas recompran
acciones en lugar de abonar dividendos extras por varias razones:
\\
\\
\\
Las recompras son utilizadas para “absorber” dinero extra y mantener predecible la tasa de crecimiento de los dividendos. La mayoría de las empresas que pagan dividendos piensan que sus accionistas quieren ver un patrón constante
de crecimiento de dividendos. Por lo que si ellas tienen dinero extra, lo utilizarán para recomprar acciones en lugar de
incrementar los dividendos pagados a los accionistas.
La recompra ayuda a reducir los impuestos sobre el dinero pagado a los accionistas. Cuando se paga un dividendo, todos
los accionistas que reciben el dividendo pagan impuestos sobre él a su tasa ordinaria de impuestos. La recompra de
acciones es voluntaria (usted no está obligado a vender sus acciones de nuevo a la empresa). Si usted permite que sus
acciones sean recompradas, la ganancia en la mayoría de los casos está gravada a su tasa de impuestos por ganancias
de capital (menor que su tasa ordinaria de impuestos).
La recompra de acciones beneficia tanto al accionista al que rescatan como a aquel que no permite que sus acciones
sean recompradas. ¿Por qué? Cuando algunas de las acciones de la empresa son rescatadas, aquellos accionistas que
“se quedan” en la empresa obtendrán un mayor porcentaje de sus beneficios y pagos de dividendos en el futuro. Por lo
tanto, todas las partes ganan.
6. Calcular el CCMP para Courier
Hasta ahora hemos calculado el costo del capital propio de Courier rE= 12,45 %. Este es el rendimiento demandado por los accionistas de la empresa, teniendo en cuenta sus expectativas de crecimiento
de dividendos en efectivo y recompra de acciones. Ahora queremos calcular el costo de capital medio
ponderado de Courier:
CCMP = rE *
E
D
+ rD (1 − TC ) *
E+D
E+D
Antes de que podamos hacerlo, sin embargo, necesitamos calcular los valores de las siguientes variables:
■■ E:
el valor de mercado del capital propio de Courier. Como usted puede ver en las hojas precedentes, el 30 de septiembre de 2002, Courier tenía 5.215.000 de acciones con un valor de $37,99
por acción. Esto da un valor de E= 5.215.000 * $37,99 = $198.117.850.
■■ D: el valor de la deuda de Courier. El 30 de Septiembre de 2002, Courier tenía deuda por $752.000.
Esta información proviene de los reportes anuales de la compañía (vea la Figura 6.3). La deuda de
Courier incluye tanto la porción corriente de la deuda a largo plazo como la deuda a largo plazo en
sí misma9. Observe que la deuda ha decrecido significativamente desde el año anterior: la deuda
de 2001 de la empresa era: $16.577.000.
9 El cálculo del CCMP en realidad requiere el valor de mercado de la deuda de la empresa. Sin embargo, este es un número muy difícil
de calcular; en lugar de ello, es una práctica estándar usar el valor libro de la deuda como está ilustrado.
232 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
28 Septiembre, 2002
29 Septiembre, 2001
$
78.000
6.708.000
7.642.000
6.965.000
6.362.000
$
76.000
11.933.000
6.652.000
6.092.000
6.789.000
27.755.000
674.000
4.658.000
2.652.000
31.542.000
16.501.000
2.801.000
2.446.000
35.739.000
53.290.000
Pasivo y Patrimonio Neto
Pasivos Corrientes:
Vencimiento corriente de pasivo a largo plazo
Cuentas por pagar (Nota A)
Proveedores
Impuestos por pagar
Otros pasivos corrientes
Total Pasivos corrientes
Deuda a largo plazo (Notas B y D)
Impuestos diferidos (Nota C)
Otras deudas
Total pasivo
Figura 6.3. Pasivo de Courier de su Balance. Las deudas financieras han sido marcadas. La empresa canceló una cantidad significativa de deuda
durante el ejercicio financiero.
■■ rD,
el costo del endeudamiento de Courier. En teoría rD tiene que ser el costo marginal de la deuda
—la tasa de endeudamiento adicional de la empresa—. Sin embargo, esta tasa es habitualmente
difícil de obtener. Una alternativa posible es utilizar información de la tasa de endeudamiento actual de la empresa. En la Figura 6.3 usted puede ver lo que la empresa declara sobre sus deudas
y puede ver el interés pagado del Estado de Resultados de Courier (Figura 6.4). Usamos la tasa de
endeudamiento promedio de 5,54 % (la tasa aplicable a la mayoría de la deuda) como el costo de
deuda de la empresa rD.
Para el año terminado
28 Septiembre, 2002
29 Septiembre, 2001
30 Septiembre, 2000
202.184.000
(137.991.000)
211.943.000
(150.572.000)
192.226.000
(144.132.000)
64.193.000
(39.602.000)
--------(480.000)
---------
61.371.000
(39.258.000)
(1.410.000)
(1.899.000)
1.230.000
48.094.000
(31.406.000)
(596.000)
(325.000)
119.000
Utilidad antes de impuestos
Provisión para impuestos (Nota C)
24.111.000
(7.936.000)
20.034.000
(6.817.000)
15.866.000
(5.249.000)
Beneficio Neto
16.175.000
13.217.000
10.637.000
Ventas Netas (Nota A)
Costo de mercancía vendida
Utilidad neta
Gastos administrativos
Amortización de activos intangibles (Nota B)
Gastos por Intereses
Otros ingresos (Nota J)
Figura 6.4. Estado de resultados de resultados de Courier, mostrando el interés de $480.000 pagado en 2002.
| 233
Principios de Finanzas con Excel
Calculando el interés pagado sobre el promedio de deuda del año (vea figura 6.3) da:
rD =
480.000
= 5,54%
(752.000 + 16.577) / 2
Dividiendo los impuestos de la empresa para el año 2002 de $7.936.000 en su Utilidad antes de
=
TC
7.936.000
= 32, 91%
24.000.000
Impuestos, obtenemos una tasa de impuestos de:
=
TC
7.936.000
= 32, 91%
24.000.000
■■ TC,
Tasa de impuestos de Courier. Podemos calcular la tasa de impuestos de Courier a partir de su
provisión para impuestos. Para el año 2002 la provisión para impuestos es:
La utilizamos como estimador de la tasa de impuestos de la empresa TC.
Entonces ¿cuál es el CCMP de Courier?
Este es nuestro cálculo del CCMP de Courier:
234 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
7. Dos usos del CCMP
El costo de capital medio ponderado es la tasa de retorno promedio requerida por los accionistas y
bonistas de la empresa. Presumimos que dicha tasa de retorno refleja el riesgo promedio de los flujos de
fondos futuros de accionistas y bonistas. Esto es posible dado que hemos obtenido el costo del capital
propio rE a partir de pagos esperados a los accionistas y hemos obtenido el costo de la deuda rD a partir
de la tasa demandada sobre la tasa de la deuda por los prestamistas. Por lo tanto, el CCMP representa
un promedio ponderado del riesgo de los flujos de fondos de accionistas y bonistas.
Cuando el riesgo de una corriente de flujos de fondos es similar al riesgo de los flujos de fondos recibidos por accionistas y bonistas, la CCMP es la tasa de descuento ajustada apropiada. Hay dos casos
importantes en que esto es así:
■■ En
situaciones de presupuesto de capital. Cuando la empresa está considerando invertir en un
proyecto cuyo riesgo es comparable al riesgo de la empresa como un todo, en CCMP es una tasa
de descuento apropiada para los flujos de fondos del proyecto. Hemos ilustrado previamente este
uso del CCMP en el ejemplo de White Water Rafting de la sección 6.3.
■■ Para valuar una empresa como un todo, después definiremos el concepto de FCF. El valor de
Courier es el valor descontado de sus FCF esperados, donde el CCMP es la tasa de descuento. El
ejemplo de Gorgeous Fountain Water Company de la sección 6.3 presentó un tratamiento introductorio sobre este uso del CCMP.
En esta sección ilustraremos ambos usos de la CCMP para Courier.
7.1. Usar la CCMP como tasa de descuento para proyectos
La CCMP para Courier Corp. es 12,41 % —esta es la tasa de retorno promedio demandada por los
accionistas y bonistas de la empresa—. Recuerde que Courier opera en el negocio de ediciones de libros.
Suponga que la compañía está analizando invertir en un proyecto cuyo riesgo es similar al riesgo de su
negocio actual. Esto puede ser algo tan simple como otra imprenta para imprimir más libros o un depósito
para almacenarlos, pero también puede ser algo mucho más complicado —como la adquisición de otra
empresa editora.
En todos estos casos, la CCMP es el punto de partida natural como tasa de descuento. Lo que queremos decir con “punto de partida” es que —al descontar los flujos de fondos del proyecto— Courier debe
asumir que la tasa de descuento inicial es 12,41 % y luego “ajustar” un poco la tasa para considerar los
riesgos que se perciban.
Digamos que la compañía está considerando adquirir una máquina que le permitirá imprimir más
libros. Los flujos de fondos, VAN y TIR de la máquina se presentan abajo. Si el riesgo de los flujos de
fondos de la máquina es similar al riesgo general de los flujos de fondos de Courier, entonces el CCMP es
una tasa de descuento razonable. El análisis de abajo muestra que la empresa no debería emprender la
inversión, el VAN es negativo (-$11.77) y su TIR (7,8 %) es menor que el CCMP de 12,41 %:
Por supuesto, siempre hay espacio para el ajuste, dado que algunos de los supuestos que hicimos
puede que hayan resultado tan acertados como pensábamos. Suponga, por ejemplo, que los flujos de
fondos de la máquina se perciban tan poco arriesgados como los flujos de fondos de la deuda de Courier.
| 235
Principios de Finanzas con Excel
Como caso extremo podríamos considerar el caso en que los flujos de fondos de la máquina tienen solo
el mismo riesgo que la deuda. Dado que el costo de la deuda después de impuestos de la empresa es
5,54 % * (1 - 32,91 %) = 3,72 %, esta sería entonces una tasa de descuento apropiada para el proyecto
y la compañía debería aceptarlo (dado que la TIR de 7,80 % es mayor que 3,72 %).
7.2. Valuar la Corporación Courier usando su CCMP y predecir los flujos de fondos libres (FCF)
En la subsección previa usamos CCMP para evaluar un proyecto típico de la empresa. El segundo uso
importante de CCMP es valuar empresas. Una explicación completa de este uso de CCMP deberá esperar
hasta el capítulo 7, donde explicamos en detalle el uso de los flujos de fondos libres (FCF). Para nuestro
propósito en este capítulo, el FCF es la cantidad de dinero generado por la actividad del negocio de la
empresa, por sus operaciones y no por sus actividades de financiamiento. El FCF es “libre” en el sentido
que puede ser utilizado para proporcionar efectivo a accionistas y bonistas de la empresa en la forma de
dividendos y recompra de acciones (pagos a los accionistas) y pagos de intereses (a bonistas).
Para definir adecuadamente el FCF, usted necesita estar familiarizado un poco con contabilidad. Esta
es la definición de FCF:
Definiendo los flujos de fondos libres (FCF)
Beneficio después de
impuestos
Esta es la medida básica de rentabilidad el negocio, pero es una medida contable que incluye flujos
provenientes del financiamiento (como intereses), así como gastos que no son salidas de caja, como
amortización. El beneficio después de impuestos no considera los cambios en el capital de trabajo de la
empresa o adquisiciones de activos fijos, los cuales pueden representar importantes egresos de caja para
la empresa. La definición de FCF toma por separado los cambios en el capital de trabajo y adquisición de
nuevos activos fijos.
+ Amortización
El gasto que no representa salida de caja se suma nuevamente al beneficio después de impuestos.
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236 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
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Definiendo los flujos de fondos libres (FCF)
La suma de los dos ítems siguientes es el cambio en el capital de trabajo neto, habitualmente representado como ∆CTN
- Incrementos en activos
corrientes relacionados a las
operaciones de la empresa
Cuando las ventas de la empresa crecen, se necesita más inversión en inventarios, cuentas a cobrar, etc.
Este crecimiento en activos corrientes no es un gasto a efectos impositivos (y es, por lo tanto, ignorado en
el beneficio después de impuestos), pero es una salida de caja para la empresa. A efectos de calcular FCF,
el incremento en activos corrientes no incluye los cambios en disponibilidades y títulos de corto plazo.
+ Incrementos en pasivos
corrientes relacionados a las
operaciones de la empresa
Un incremento de ventas habitualmente ocasiona un crecimiento en el financiamiento relacionado a las
ventas (como cuentas por pagar o impuestos a pagar). Este crecimiento en el pasivo corriente —cuando
está relacionado con las ventas— proporciona fondos a la empresa. FCF incluye todos los ítems del pasivo
corriente relacionados con las operaciones; no incluye ítems financieros como endeudamiento a corto
plazo, la porción corriente de la deuda a largo plazo y dividendos a pagar.
- Gastos de capital
Un crecimiento de los activos fijos (activos productivos de largo plazo de la empresa) es una utilización de
fondos, que reduce el FCF de la empresa.
+ Pagos de intereses
después de impuestos
(netos)
FCF mide el efectivo producido por la actividad del negocio de la empresa. Es un flujo disponible tanto
para accionistas como bonistas y, por lo tanto, debe ser el efectivo antes de cualquier distribución a los
proveedores de financiamiento. En particular, debemos neutralizar el efecto de los intereses pagados que
están incluidos en el beneficio después de impuestos. Lo hacemos mediante:
-- Sumar nuevamente el costo de intereses de la deuda después de impuestos
(después de impuestos, porque los intereses son deducibles de impuestos).
-- Restar los intereses ganados después de impuestos por disponibilidades y títulos.
FCF = suma de los de arriba
En el 2002 Courier Corp. tuvo un FCF de $22.519.493. La celda B9 en la hoja siguiente muestra
cómo se obtiene este número usando los estados de flujos de fondos consolidados de la empresa.
| 237
Principios de Finanzas con Excel
7.3. Usas FCF y CCMP para valuar Courier
En la teoría financiera, el valor de empresa en marcha de la deuda y capital propio es el valor de sus
flujos de fondos libres descontados a su costo de capital medio ponderado:
Valor de la empresa en marcha = valor actual de los FCFs futuros, descontados a la CCMP
238 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
El valor de la empresa en marcha representa el valor actual de los flujos de fondos producidos por
las actividades del negocio de la empresa en el futuro. Suponga que usted ha llevado a cabo un análisis
cuidadoso de Courier y piensa que el crecimiento futuro de los FCF es 4 % por año. Dado que el CCMP
de Courier es 12,41 %, su valor de empresario es el siguiente:
Valor de empresa en marcha de Courier = VA (FCFs descontados a CCMP)
∞
FCFt
FCF2002 * (1 + tasa de crecimiento de FCF)t
=
∑
t
(1 + CCMP)t
t=1 (1 + CCMP )
t=1
∞
=∑
∞
=∑
t=
=1
22.519.493 * (1 + 4%)t 22.519.493 * (1 + 4%)
= 278.376.871
=
12, 41% − 4%
(1 + 12, 41%)t
Observe que dicha valuación —como el modelo de dividendo de Gordon de la sección 6.3— hace uso
de la fórmula de anualidad con crecimiento constante desarrollada en el capítulo 2:
FCF2002 * (1 + tasa de crecimiento de FCF)t FCF2002 * (1 + tasa de crecimiento de FCF)t
=
CCMP − tasa de crecimiento de FCF
(1 + CCMP)t
t=1
∞
∑
Para ir de esta valuación de la empresa en marcha a la valuación del capital propio de la empresa,
debemos realizar dos ajustes adicionales:
■■ Sumar
efectivo y valores negociables del balance, por $5.630.000 que Courier tiene en mano en
el 2002. El valor de la empresa mide el valor hoy de los futuros FCF. El efectivo y equivalentes que
la empresa tiene en mano hoy, no son parte de sus futuros FCF, pero pertenecen a la compañía,
por lo que deben ser sumados. En la celda B8 de la hoja siguiente usted puede ver que sumando
los saldos de efectivo obtenemos un valor estimado de $284.006.871.
■■ Restar la deuda de la empresa de $750.000 del 2002. En la celda B10, usted puede ver que
restando la deuda obtenemos un valor estimado del capital propio de $283.254.871.
Esta es la valuación con los dos ajustes.
| 239
Principios de Finanzas con Excel
Nuestra valuación por acción de Courier es $54,32: dado que hay 5.215.000 acciones, cada una
vale:
$283.254.871
= $54, 32
5.125.000
Esto se compara favorablemente con el valor corriente de la acción de Courier, $37,99, lo que hace a
Courier (en la jerga de los analistas bursátiles) recomendable para “compra”.
7.4. Valuar Courier usando descuento a mitad de año
Este contenido ha sido presentado en el capítulo 5. La idea es que, dado que la mayoría de los flujos
de fondos ocurren a través del año, el proceso apropiado de descuento debería descontarlos como si
tuvieran lugar a mitad de año. En términos del cálculo recién hecho para Courier, en lugar de calcular:
Valor de la empresa en marcha =
FCF2002 * (1 + tasa de crecimiento de FCF) FCF2002 * (1 + tasa de crecimiento de FCF)2
+ ...
+
(1 + CCMP)
(1 + CCMP)2
=
FCF2002 (1 + tasa de crecimiento de FCF)
CCMP − tasa de crecimieento de FCF
Deberíamos calcular el valor de la empresa en marcha con descuento a mitad de año=
FCF2002 * (1 + tasa crec FCF) FCF2002 * (1 + tasa crec FCF)2
+ ...
+
(1 + CCMP)1,5
(1 + CCMP)0,5
240 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
 FCF (1 + tasa de crec de FCF) 
0,5
=  2002
 * (1 + CCMP)
CCMP
tasa
−
de
crec
de
FCF


Como se explicó en el capítulo 5, el descuento a mitad de año eleva nuestra valuación de los flujos
de fondos, dado que cuanto antes ocurran, mayor es su valor. Si usamos descuento a mitad de año para
Courier, entonces nuestra valuación de las acciones aumenta de $54,32 a $56,45.
7.5. Una observación más: realizar análisis de sensibilidad
Ninguna valuación está completa sin realizar análisis de sensibilidad sobre los principales parámetros. Por ejemplo, ¿qué le ocurre a la valuación de la acción si el CCMP de Courier es 15 % en lugar del
12,41 % que hemos usado? ¿Qué le ocurre a la valuación de la acción si la tasa de crecimiento de Courier es 5 % en lugar de 4 % que usamos arriba? Con Tabla de Datos de Excel (capítulo 20) esto es fácil.
| 241
Principios de Finanzas con Excel
Un análisis de sensibilidad más extenso puede ser realizado usando Tablas de Datos, como se explica
en el capítulo 20. En las celdas C19:H28 de la hoja precedente usted puede ver la valuación de Courier
para varias combinaciones de CCMP y crecimientos de FCF. Las celdas resaltadas son aquellas combinaciones de CCMP y crecimiento de FCF para las cuales la valuación por acción excede el valor corriente
de la misma de $37,99.
8. Resumen
En este capítulo hemos calculado el costo de capital medio ponderado (CCMP). El CMP es la tasa
de descuento ajustada por riesgo (TDAR) para los flujos de fondos libre de la empresa (FCF). Es usada
habitualmente para valuar proyectos con riesgo similar al riesgo de las actividades actuales de la empresa
y es también usada para obtener el valor de la empresa. Ambos usos han sido ilustrados en este capítulo.
242 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
La CCMP se define como:
CCMP = rE *
E
D
+ rD (1 − TC ) *
E+D
E+D
En la tabla de abajo resumimos cómo obtenemos cada uno de los elementos de esta fórmula.
Hemos usado el modelo de Gordon para determinar el costo de capital propio:
rE =
Costo del capital propio rE
Div 0 (1 + g)
+g
P
Donde Div0 = dividendos totales + recompra de acciones el año en curso.
g= tasa de crecimiento esperada de dividendos + recompras
P0= valor del capital propio total a la fecha actual
En principio, debería ser la tasa marginal de endeudamiento de la empresa, pero esta es habitualmente
difícil de determinar. Para Courier, usamos un número representativo del costo del endeudamiento de la
empresa. Una alternativa es usar el costo promedio del endeudamiento de la empresa en el año previo:
Costo de la deuda rD
rD =
interés pagado el año corriente
deuda promedio, este año y el anterior
Valor de mercado del
capital propio E
Número de acciones en circulación hoy * precio de la acción hoy.
Valor de mercado de la
deuda D
El valor de mercado de la deuda de la empresa es difícil de calcular. Casi siempre sustituimos este número
por el valor libro de la deuda de la empresa. En el ejemplo de Courier hemos mostrado cómo determinar
este valor libro a partir de información del balance.
Tc debería ser la tasa marginal de impuesto de la empresa. En la práctica generalmente usamos cualquiera
de las siguientes:
-- Tasa promedio de impuestos de la empresa, medida por:
Tasa de impuesto de la
empresa TC
Tasa media de impuestos =
Intereses del Estado de Resultadoss
= 33, 04%
Utilidad antes de impuestos
-- La tasa regular de impuestos de la empresa. Para Courier la alícuota es 34 %. Las tasas
provinciales son 2,98 % del ingreso. Otra estimación de tasa impositiva es entonces 36,98 %.
| 243
Principios de Finanzas con Excel
8.1. Advertencia final
El cálculo de costo de capital es crítico para valuación. Dado que el cálculo de costo de capital involucra una combinación de teoría y criterio, es habitualmente controvertido. Casi todo número en los cálculos precedentes de CCMP puede ser determinado de varias maneras. En muchos casos, los profesionales
llevan a cabo intensos análisis de sensibilidad sobre los CCMP y crecimientos de FCF para establecer un
rango de precios —el rango de valores que aparentan ser razonables, dadas las variaciones en los posibles
supuestos—.
La modificación más importante que usted podría querer realizar en el cálculo de CCMP de arriba,
involucra el costo de capital propio rE. Un modelo que compite de forma importante con el modelo de
Gordon es el modelo de precios de activos de capital (CAPM). En el capítulo 13 le mostraremos cómo
usar este modelo para calcular el costo de capital propio.
244 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Calcule la tasa de costo de capital medio ponderado (CCMP) para una compañía con los siguientes datos:
~~ Valor de mercado de la deuda
$200.000
~~ Valor de mercado del capital propio
$300.000
~~ Costo de la deuda, rD7,5 %
~~ Costo del capital propio, rE13 %
~~ Tasa de impuestos, TC40 %
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
2. Calcule la tasa de costo de capital propio para una compañía con los siguientes datos:
~~ Valor de mercado de la deuda
$2.500.000
~~ Valor de mercado del capital propio
$1.00.000
~~ Costo de la deuda, rD5 %
~~ Tasa de impuestos, TC25 %
~~ CCMP10 %
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___________________________________________________________________________________
3. La acción de Aboudy Corp. cotiza actualmente a $22. La compañía ha pagado recientemente un dividendo de $0,55
por acción y los accionistas prevén que dicho dividendo crecerá en el futuro a una tasa del 6 % anual. Utilice el
modelo de Gordon para calcular la tasa de costo de capital propio de la compañía, rE.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
4. Usted desea estimar el precio por acción de Softy, su negocio de ropa interior favorito. Se sabe que mañana la
empresa pagará su dividendo anual de $1,5 por acción y usted prevé que los dividendos futuros de la compañía
crecerán a la tasa del 4 % anual. Como un inversionista experto, usted demanda una tasa de rentabilidad del 12 %
por su inversión en la compañía. ¿Cuál debería ser el precio de la acción?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
5. XYZ Corp. acaba de pagar un dividendo de $5 por acción. Usted considera que dicho dividendo crecerá al 8 % por
año.
a. Si usted piensa que la tasa apropiada de descuento para la corriente de dividendos de XYZ es 25 %,
¿cuánto estará dispuesto a pagar por la acción?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Muestre en un gráfico de Excel el precio de la acción como función de la tasa de crecimiento del dividendo (utilice tasas de crecimiento del 0, 2, 4,..., 20 %).
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
| 245
Principios de Finanzas con Excel
6. Usted acaba de comprar una acción de ABC Corp. por $28. La compañía recientemente pagó un dividendo de $2 por
acción y usted prevé que dicho dividendo crecerá a una tasa del 12 % por año. ¿Cuál es su costo implícito de capital
propio para ABC?
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___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
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7. El dividendo previsto para la compañía Gradcom para el año próximo es $1,20. Los analistas anticipan que dicho
dividendo crecerá a una tasa anual del 4 %.
a. Si el precio corriente de la acción es $30, ¿cuál es el costo de capital propio rE, de acuerdo al modelo
de Gordon?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Muestre en un gráfico de Excel el costo del capital propio como función de la tasa de crecimiento del
dividendo (considere los valores 0, 2, 4,..., 20 % para el crecimiento).
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
8. Usted está considerando comprar una acción de la compañía ABC que acaba de pagar su dividendo anual de $3 por
acción. La compañía no rescata ninguna de sus acciones. Usted prevé que los dividendos de la empresa crecerán a
la tasa del 20 % por año durante los próximos 5 años. Después de ese momento, usted piensa que el crecimiento de
los dividendos anuales bajará a un 5 % por año. Si su costo de capital propio para ABC es 10 %, ¿qué precio debería
usted estar preparado para pagar por la acción?
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___________________________________________________________________________________
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9. Asuma que Gradcom (del ejercicio 7) ha modificado su proyección de crecimiento del dividendo. El dividendo del año
1 es aún previsto en $1,2; pero la tasa de crecimiento en los siguientes 2 años se espera sean de 6 % y 4 %. Más
tarde, el crecimiento anual del dividendo se espera que sea del 3 %. Si la tasa de costo de capital propio de Gradcom
es 10 %, ¿cuál será el precio de su acción?
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___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
246 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
10. Considere la siguiente información relacionada con Cinema Company:
a. Complete los “???” en la hoja de arriba (asuma que el pago de dividendo fue anterior a la recompra
de acciones.
____________________________________________________________________________
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b. Determine el costo de capital propio rE de Cinema, utilizando el modelo de crecimiento de dividendos
de Gordon para el pago total al capital.
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___________________________________________________________________________
c. ¿Cuál hubiera sido el costo del capital propio si consideramos solo los pagos de dividendos sin la
recompra de acciones?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
11. Es el 1 de enero de 2005 y usted está interesado en determinar el costo del capital propio rE de su compañía. Tras
una búsqueda rápida ha encontrado los siguientes datos:
~~ La compañía actualmente tiene 1.600.000 acciones en circulación. El precio corriente de la acción es $3.
~~ Los beneficios de la compañía en el año 2004 fueron $2.000.000. Acaba de pagar $300.000 en dividendos
y pretende continuar con este pago del 15 % de los beneficios en el futuro.
~~ Durante el 2004 la compañía destinó $600.000 a la recompra de acciones y la intención es incrementar
dicho monto a la misma tasa de crecimiento que los dividendos.
~~ El crecimiento esperado de los beneficios es del 2 % por año.
Utilizando el modelo de Gordon para el pago total al capital, ¿cuál es el costo del capital propio, rE?
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Principios de Finanzas con Excel
12. Suponga que una empresa está financiada con 70 % de capital propio y 30 % deuda. La tasa de interés de la deuda
es 8 %, y el rendimiento esperado sobre las acciones el 17 %. La tasa impositiva es 40 %. Determine el CCMP.
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13. Su jefe le ha encargado encontrar el CCMP de “Welcome Paradise” en base a los siguientes datos:
~~
~~
~~
~~
La empresa tiene 1.600.000 acciones, que actualmente se venden a $2 por acción.
La deuda de la empresa es $2.500.000. El interés pagado el año pasado por la empresa fue $300.000.
La alícuota impositiva es 40 %.
El costo de capital requerido por los inversores es 13 %.
14. Usted está interesado en calcular el costo de capital de la Lion Company, en base al CCMP promedio de la industria,
el cual es 11 %. Usted sabe que el precio de la acción es $11 y tiene 5.500.000 acciones. El costo de la deuda es
del 9 %, el importe de la misma es $4.000.000, y la alícuota impositiva es 40 %. ¿Cuál es el costo de capital propio
de la empresa?
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15. Usted quiere calcular el CCMP de la empresa ABC. El precio de la acción es de $8, y tiene un ratio deuda/capital
propio de 1. El costo de la deuda es del 9 %, del capital propio 12 %, y la alícuota impositiva 40 %. ¿Cuál es el CCMP
de la empresa?
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___________________________________________________________________________________
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16. Asuma los siguientes datos relacionados a la compañía ZZZ y utilícelos para calcular el CCMP:
~~ La empresa tiene 2.000.000 de acciones, que actualmente se venden a $2,50 c/u.
~~ La deuda es de $3.000.000 a valor de mercado. El interés pagado el año anterior fue $250.000.
~~ Los dividendos totales pagados fueron $600.000 el año anterior, y el crecimiento esperado en los mismos
es del 3 %. Además, la compañía recompró 150.000 de sus acciones.
~~ La tasa impositiva es del 30 %.
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___________________________________________________________________________________
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248 |
CAP. 6 | Elegir una tasa de descuento
17. Usted cuenta con la siguiente información de la empresa Zion:
~~ La empresa tiene 2.500.000 acciones.
~~ La deuda de la compañía es 90 % del valor total de mercado (del capital propio). El interés pagado por
la empresa el año anterior fue 500.000.
~~ La compañía pagó dividendos totales por $800.000 el año anterior, que representan el 25 % de los
beneficios antes de impuestos y su crecimiento esperado para el año próximo es de $50.000.
~~ La compañía pagó impuestos por $950.000.
~~ El costo de capital requerido por los inversores es 13 %.
¿Cuál es el CCMP?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
18. Usted cuenta con la siguiente información de la empresa de su hermana:
~~ El valor de mercado es de $6.000.000 (del capital propio).
~~ La deuda de la compañía es 75 % del valor total de mercado (del capital propio). El interés pagado por
la empresa el año anterior fue 450.000.
~~ La compañía pagó dividendos totales por $600.000 el año anterior, que representan el 20 % de los
beneficios antes de impuestos y su crecimiento esperado para el año próximo es de $45.000.
~~ La compañía pagó impuestos por $1.200.000.
¿Cuál es el CCMP?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
19. Usted está considerando un nuevo proyecto para su empresa. Este proyecto requiere una inversión de $500.000 y
genera flujos de fondos de $70.000 durante los próximos 10 años. Usted considera que estos flujos de fondos son
completamente libres de riesgo. Se sabe que el CCMP de su compañía es 14 % y la tasa libre de riesgo 6 %. ¿Debería usted emprender el proyecto?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
¿Debería usted emprender el proyecto si su riesgo fuera comparable con el riesgo promedio de las otras actividades de la compañía?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
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Principios de Finanzas con Excel
20. Sauce, una conocida fábrica de pizzas, le ha solicitado a usted que evalúe los flujos de fondos libres (FCF) de la
fábrica. Usted estima que los FCF son $4.500.000, su CCMP es 12,5 % y el crecimiento esperado es 5 % cada año.
Si usted conoce que la deuda de Sauce es $19.000.000 y tiene 6.500.000 acciones en circulación, ¿cuál debería ser
el precio de su acción?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Repita la pregunta utilizando descuento a mitad de año.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
21. Usted cuenta con la siguiente información de Twin Inc.
Deuda de largo plazo
Rendimiento al vencimiento de la deuda (rD)
Tasa de rentabilidad esperada de las acciones, rE
Número de acciones comunes
$300.000
8%
15%
10.000
Precio por acción
$50
Valor en libros por acción
$25
a. Calcule el CCMP de Twin Inc (asumiendo que la empresa no paga impuestos)
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. ¿Cuánto cambiaría rE y CCMP si el precio de la acción de Twin Inc. Cayera a $25 en virtud de una baja
en los beneficios? Asuma que el riesgo del negocio no se ha modificado.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
250 |
Capítulo 7
Usar modelos financieros de
planificación para valuación
Contenido
1. Concepto general
2. Estado contable inicial para un modelo de planificación
financiera
3. Construyendo un modelo de planificación financiera
4. Extender el modelo a 2 años y más
5. FCF: midiendo el efectivo producido por las operaciones de la
empresa
6. Conciliar los saldos de caja. Estado consolidado de flujos de
fondos
7. Valuar Whimsical Toenails usando un modelo de flujos de fondos
descontados (FFD)
8. Usando la valuación con FFD. Un resumen
9. Análisis de sensibilidad
10. Sección avanzada: la teoría por detrás del modelo de FFD
11. Resumen
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
1. Concepto general
Este capítulo explica cómo construir modelos con hojas de cálculo que le permitan predecir la futura
actuación de la empresa. Estos modelos son llamados modelos de planificación financiera o modelos pro
forma. Recuerde que los estados contables —el estado de resultados de la empresa, su balance (o estado
de situación patrimonial), y el estado consolidado de flujos de fondos— reportan lo que le ha pasado a
la empresa en el pasado. Por otro lado, un modelo de planificación financiera predice cómo se verán los
estados contables de la empresa en el futuro. En la jerga contable algo que se ve como un estado contable pero que es visto hacia adelante es habitualmente llamado “Estado pro forma”.
Los modelos de planificación financiera tienen una diversidad de usos:
■■ Proyectar
necesidades financieras futuras de la empresa: construir un modelo de planificación
financiera le ayuda a usted si la empresa necesita financiamiento en el futuro. También le ayuda a
encajar las necesidades de financiamiento a su rendimiento futuro. Por ejemplo, ¿un incremento
en la tasa de crecimiento de las ventas genera fondos o utiliza fondos? La respuesta no siempre
es clara: más ventas producen más beneficios (y por lo tanto, generan más efectivo). Sin embargo,
un incremento en la tasa de crecimiento de las ventas puede también requerir más inversiones
de capital (maquinarias, terrenos, etc.) y puede requerir mayor capital de trabajo (inventarios,
créditos a clientes, etc.). Un modelo de planificación financiera nos puede ayudar a aclarar estas
fuerzas opuestas.
■■ Crear planes de negocios: cuando usted hace un plan de negocios (que luego presenta a los inversores para obtener financiamiento o a un banco para explicarle por qué necesita un crédito y
puede devolverlo), usted generalmente precisará construir un modelo pro forma de su empresa. El
modelo que usted cree ilustra sus supuestos sobre el ambiente financiero y comercial en que su
empresa operará en el futuro.
■■ Valuar una empresa: los modelos de planificación financiera pueden ser usados para predecir los
flujos de fondos libres (FCF), dividendos y utilidades de una empresa. Este capítulo le muestra
cómo usar la predicción pro forma de los FCF para valuar una empresa. La técnica de valuación
que emplearemos —denominada valuación con flujos de fondos descontados (FFD) — es la técnica de valuación universalmente preferida por la profesión financiera. Cuando se usa un modelo de
planificación para realizar una valuación con FFD, es también utilizado para realizar gran parte del
análisis de sensibilidad que ayuda a determinar si la valuación es razonable.
Conceptos financieros tratados
■■ Valor
actual y valor actual neto.
■■ Flujo de Fondos Libre (FCF).
■■ Modelo de Gordon.
■■ Valor final de la empresa.
■■ Valuación con descuento a mitad de año.
Funciones de excel utilizadas
■■ VAN.
■■ Suma.
■■ Y
si.
■■ Copiado
relativo versus absoluto.
| 253
Principios de Finanzas con Excel
■■ Referencias
■■ Tabla
circulares
de Datos
2. Estado contable inicial para un modelo de planificación financiera
Los modelos de planificación financiera son predicciones de cómo se verán los estados contables
y financieros futuros. Para construir tal modelo comenzamos con el presente, los estados contables y
financieros actuales.
Para ilustrar el proceso por el cual son construidos los modelos de planificación financiera, en la
próxima sección proyectaremos 5 años de estados contables para Whimsical Toenails, una empresa que
tiene una cadena de salones de pinturas de uñas. El equipo directivo y los banqueros de Whimsical
Toenails quieren proyectar la próxima actuación y nosotros le ayudaremos construyendo un modelo de
planificación financiera.
Nuestro punto de partida son los estados de resultados y balances actuales de Whimsical Toenails
para el año 2004.
ESTADO DE RESULTADO DE WHIMSICAL TOENAILS al 31 de diciembre de 2004
Ventas
10.000.000
Costo de mercancía vendida
-5.000.000
Amortización
-1.000.000
Intereses negativos sobre las deudas
-320.000
Intereses positivos del efectivo
64.000
Utilidad antes de impuestos
3.744.000
Impuestos (40 % tasa de impuesto)
-1.497.600
Utilidad después de impuestos
2.246.400
Dividendos
-898.560
Utilidades retenidas
1.347.840
BALANCE DE WHIMSICAL TOENAILS al 31 de diciembre de 2004
Activos
254 |
Efectivo
Activos corrientes
Activos fijos
Activos fijos al costo
Amort. acumulada
Activos fijos netos
Total activos
Pasivo y PN
800.000
1.500.000
Pasivos corrientes
Deuda
800.000
3.200.000
10.700.000
-3.000.000
7.700.000
Capital propio
Acciones
Ut. Retenidas acum.
4.500.000
1.500.000
10.000.000
Total pasivo y PN
10.000.000
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
2.1. El concepto de los modelos de planificación contables versus financieros
En la sección siguiente construiremos el modelo de planificación financiero de Whimsical Toenails.
Sin embargo, antes de hacerlo, es importante destacar una diferencia entre el uso de ciertos conceptos
utilizados por los contadores y su adaptación a la planificación financiera. A pesar de que la mayoría de
la terminología de este capítulo sigue la clasificación contable, son necesarios algunos cambios para acomodar la estructura de los modelos de planificación financiera. Por ejemplo, mientras que los contadores
usan “activos corrientes” para indicar tanto activos corrientes operativos (como inventarios y cuentas por
cobrar —así como facturas no pagadas por los clientes—) como activos financieros a corto plazo (como
efectivo y títulos), los modelos de planificación financiera indican como “activos corrientes” para referirse solo a activos operativos a corto plazo. Para enfatizar este punto, usamos algunas veces la terminología
“activos operativos a corto plazo”. Del mismo modo, en el esquema contable, “pasivos corrientes” se
incluyen tanto los ítems operativos (cuentas por pagar, facturas aún no abonadas por la empresa, etc.)
como los ítems financieros (deuda a corto plazo y la porción corriente de la deuda a largo plazo). Los
modelos de planificación financiera usan “pasivos corrientes” para indicar solo los ítems operativos. Para
enfatizar este punto, algunas veces usamos la terminología “pasivos corrientes operativos”.
Las siguientes dos subsecciones tratan estas diferencias entre los conceptos contables y financieros
de activos y pasivos corrientes en más detalle.
2.2. Activos corrientes. ¿Qué está incluido en los modelos de planificación financiera y qué no?
En los modelos de planificación financiera la categoría “activos corrientes” contiene solo ítems que
están relacionados con las operaciones de la empresa. Los siguientes son varios ítems típicos que deberían ser incluidos en la definición de activos corrientes de los modelos de planificación financiera.
■■ Cuentas
por cobrar: estos son pagos adeudados por clientes y son generados por las operaciones de
la empresa. Dado que las cuentas a cobrar son producidas por las ventas de la empresa, estas son
incluidas en el activo corriente operativo de los modelos de planificación financiera.
■■ Inventarios: los inventarios incluyen tanto materia prima que puede ser utilizada para producción,
como productos terminados no vendidos. Los inventarios son parte del activo corriente de los modelos de planificación financiera.
■■ Gastos pagados por adelantado: los gastos pagados por adelantado son costos que la empresa
pagó antes de recibir realmente el servicio asociado. Un ejemplo puede ser el alquiler pagado por
la empresa para períodos futuros: si la empresa paga los alquileres por adelantado (por ejemplo,
no mes por mes, sino 6 meses por adelantado), entonces dicho pago es registrado por los contadores como gasto pagado por adelantado, que es parte del activo corriente. Para nuestro modelo
de planificación financiera, asumimos que los gastos pagados por adelantado son parte del activo
corriente operativo.
Dos ejemplos importantes de activos corrientes que no son incluidos en la definición que los modelos
de planificación financiera hacen del activo corriente son el efectivo y valores negociables:
■■ Efectivo:
el ítem “efectivo” del balance se refiere al dinero que mantiene la empresa en las cuentas bancarias. Algunas veces la cuenta contable lo denomina “caja y bancos”, siendo el segundo
término indicativo de activos como certificados de depósito y cuentas de ahorro, que pueden ser
fácilmente convertidas en efectivo. El efectivo es un activo corriente operativo en el sentido de que
| 255
Principios de Finanzas con Excel
es preciso para las operaciones diarias de la empresa. En la mayoría de los casos, sin embargo, las
cuentas de efectivo del balance simplemente se refieren a activos no operativos que son mantenidos en forma líquida por la empresa.
■■ Valores negociables: el ítem del balance se refiere a los otros activos —como bonos y acciones—
adquiridos por la empresa. Los valores negociables no son necesarios para las operaciones y, por
lo tanto, no son un activo corriente operativo.
La distinción entre efectivo como un activo operativo y efectivo como reserva de valor es habitualmente obvia una vez que usted entiende el negocio de la empresa. Un conductor de taxi necesita mantener
algo de dinero en mano para dar el cambio a sus clientes y un supermercado necesita algo de dinero en
las cajas por el mismo motivo; en estos casos, al menos parte del efectivo es activo corriente operativo
(a pesar de que aún para un taxista o un supermercado, la mayor parte del dinero es posible que sea
financiero, no activo corriente operativo). Por otra parte, en marzo de 2003, Microsoft reportó tener 4,3
billones de dólares en efectivo y otros 41,9 billones en valores negociables. Seguro que casi nada de
esos 46,2 billones sea necesario para las operaciones diarias. No es un activo corriente operativo, sino
más bien un activo corriente financiero. En un modelo de planificación financiera los activos corrientes
financieros —efectivo y valores negociables no necesarios para las operaciones de la empresa— no son
incluidos en los activos corrientes.
2.3. Pasivos corrientes
Para los modelos de planificación financiera, los “pasivos corrientes” contienen solo ítems relacionados con las operaciones de la empresa. A continuación mencionamos dos ítems típicos que deben ser
incluidos en los pasivos corrientes de nuestro modelo de planificación financiera:
■■ Cuentas
por pagar: son facturas impagadas que la firma adeuda a sus proveedores. Dado que este
ítem está vinculado con las operaciones de la empresa, lo incluimos en la definición de pasivos
corrientes de los modelos de planificación financiera.
■■ Impuestos a pagar: cuando el pago de impuestos de la empresa no coincide con el ciclo contable,
los impuestos adeudados son incluidos en el balance como pasivo corriente. Por ejemplo, para el
año finalizado el 31 de diciembre de 2005, XYZ Corp., adeuda $2.000 de impuestos, pero no los
pagará hasta el 15 de enero de 2006. Los estados contables de XYZ Corp. de 2005 reportarán
impuestos por $2.000 en el estado de resultados; el balance reportará impuestos a pagar por
$2.000 en pasivos corrientes. Los impuestos a pagar están relacionados con las operaciones y son
incluidos en la definición de pasivo corriente de los modelos de planificación financiera.
Los ítems del pasivo corriente que no son incluidos en la definición de pasivo corriente de los modelos
de planificación financiera son típicamente ítems financieros. A continuación, dos ejemplos:
■■ Deuda
a corto plazo: son préstamos que pidió la empresa que debe reintegrar en menos de 1 año.
El descubierto bancario (línea de crédito sobre una cuenta corriente) es un buen ejemplo de una
deuda de corto plazo. Los contadores incluyen este ítem en los pasivos corrientes, pero los modelos
de planificación financiera los toman como deuda.
■■ Porción corriente de la deuda a largo plazo: es la parte de la deuda de la empresa que debe pagar
dentro del ejercicio corriente. Los contadores incluyen este ítem en pasivos corrientes; los modelos
de planificación incluyen la porción corriente de la deuda a largo plazo en la categoría deudas.
256 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
3. Construyendo un modelo de planificación financiera
Ahora que tenemos nuestra terminología a punto, podemos construir nuestro modelo de planificación
financiera para Whimsical Toenails. Un modelo típico de planificación financiera tiene tres componentes
principales:
■■ Los
parámetros del modelo de planificación financiera, también llamados indicadores de valor,
incluyen los principales supuestos del modelo. Por ejemplo, podríamos asumir que el parámetro de
crecimiento de ventas es 10 % por año. O podríamos asumir que el parámetro de activos corrientes
sobre ventas es del 15 % —lo que quiere decir que $1.000 de ventas requieren $150 adicionales
de activos corrientes. Normalmente, los modelos de planificación financiera están basados en las
ventas; este término significa que muchos de los indicadores de valor más importantes se asume
que son función de las ventas de la empresa.
■■ Los supuestos de política financiera. Haremos supuestos respecto de cómo la empresa se financiará a sí misma en el futuro. ¿Cuál es la combinación entre nueva deuda y capital propio a emitir?
¿El excedente de dinero generado por la empresa se destinará a pagar deuda, se distribuirá como
dividendo a accionistas, o se mantendrá en los saldos de efectivo de la compañía? Estos supuestos
tienen una importancia capital para los futuros estados financieros de la empresa.
■■ Los estados contables pro forma. Una vez que decidimos acerca de los parámetros del modelo,
construiremos los estados contables-financieros pro forma de la empresa que estamos efectuando;
el estado de resultados; el balance y el flujo de fondos libre (FCF).
Cuando hemos utilizado los parámetros del modelo y los supuestos financieros para proyectar los futuros estados contables-financieros de la empresa, podemos usar el modelo. Haciendo variar los supuestos
del modelo, podemos usar el modelo de planificación financiera para construir diferentes escenarios
acerca de cómo se comportará la empresa en el futuro. En las secciones 7.6-7.8 usamos el modelo
de planificación financiera para proyectar los futuros FCF de la empresa para su valuación. Podríamos
también querer usar el modelo para evaluar la habilidad de la empresa para pagar sus deudas (hay un
ejercicio al final del capítulo que ilustra este uso).
3.1. Los parámetros del modelo. Los indicadores de valor
El parámetro de crecimiento de ventas es habitualmente el parámetro más importante del modelo de
planificación financiera. En nuestro ejemplo de Whimsical Toenails, el nivel de ventas del año en curso
(año 0) es $10.000.000. Sobre el horizonte de 5 años del modelo de planificación financiera, la empresa
espera que sus ventas crezcan a una tasa del 10 % anual.
■■ Otros
parámetros del modelo se derivan de las siguientes relaciones de los estados contables1.
■■ Activos corrientes: asumimos que los activos corrientes a fin de año de Whimsical Toenails en el
balance serán el 15 % de las ventas anuales de la empresa.
■■ Pasivos corrientes: asumimos que los pasivos corrientes a fin de año de Whimsical Toenails en el
balance serán el 8 % de las ventas anuales de la empresa.
■■ Activos fijos netos: los activos fijos netos a fin de año se asume que serán el 77 % de las ventas
anuales.
1 En la práctica, los parámetros del modelo habitualmente se derivan de un análisis de los estados contables-financieros históricos.
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Principios de Finanzas con Excel
■■ Amortización:
el cargo anual por amortización es el 10 % del costo promedio de los activos fijos
del balance durante el año.
■■ Costo de mercancía vendida: se asume que es el 50 % de las ventas.
■■ Tasa de interés de la deuda: 10 %.
■■ Interés ganado por el efectivo: Whimsical Toenails gana el 8 % sobre los saldos promedio de efectivo.
■■ Tasa de impuestos. 40 % de las utilidades antes de impuestos.
■■ Dividendos pagados: asumimos que Whimsical Toenails paga el 40 % de sus beneficios después
de impuestos como dividendos a accionistas.
3.2. Supuestos de política financiera del modelo
El segundo componente de un modelo de planificación financiera son los supuestos de política financiera. En este modelo de planificación financiera inicial hacemos los siguientes supuestos:
■■ Deuda:
Whimsical Toenails actualmente tiene deudas por $3.200.000 en su balance. El acuerdo
de la compañía con el banco especifica que esta pagará $800.000 de su deuda en cada uno de
los próximos 4 años. Una vez que la deuda esté totalmente cancelada, la empresa pretende mantenerse libre de deudas.
■■ Acciones: la dirección de la compañía no desea nuevas emisiones de acciones ni recompra de
acciones durante los 5 años de horizonte del modelo, por lo que el ítem acciones del balance se
mantiene en su nivel de 2004 de $4.500.000.
■■ Efectivo: en nuestro modelo este ítem es el elemento equilibrador. El ítem del efectivo se define de
modo que el lado izquierdo del balance siempre sea igual al lado derecho del balance:
Efectivo = Pasivos y Patrimonio Neto total – Activos corrientes – Activos Fijos Netos
El elemento equilibrador es el ítem del balance que garantiza la igualdad entre los activos totales
futuros proyectados y la proyección de pasivos totales y patrimonio neto futuros. Todo modelo de planificación financiera tiene un elemento equilibrador y este es casi siempre el efectivo (como en este caso),
la deuda, o las acciones.
Para ver cómo este elemento equilibrador ajusta nuestro modelo, considere el balance futuro proyectado.
Supuestos del modelo para el Balance de WHIMSICAL TOENAILS
Activos
Pasivos y Patrimonio Neto
Efectivo (ELEMENTO EQUILIBRADOR)
Pasivos corrientes (8 % de las ventas)
Activos corrientes (15 % de las ventas)
Deuda (paga $800.000 al año hasta llegar a cero)
Activos fijos al costo – amort. Acum (la amort. es del 10 % del
promedio de activos). Activos fijos netos (77 % de las ventas)
Capital propio (constante)
Utilidades retenidas acumuladas (utilidades retenidas acumuladas
año anterior + utilidad retenida de este año del Estado de
Resultado)
Total activos
Total pasivo y patrimonio neto
258 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
El supuesto sobre el elemento equilibrador tiene dos significados:
■■ El
significado mecánico del elemento equilibrador: definiendo el efectivo como el que iguala el
pasivo y patrimonio neto totales menos activos corrientes menos activos fijos, garantizamos que
los activos y pasivos futuros proyectados serán siempre iguales. Esto es importante, dado que los
dos lados del balance deben siempre ser iguales. Como se mencionó previamente, el efectivo no
es el único candidato para equilibrar el modelo financiero; podemos también usar tanto acciones
o deuda (hay algunos ejemplos de esto en los ejercicios del final del capítulo). Sin embargo, sin
importar cuál sea el elemento equilibrador, su función “mecánica” es la misma: garantizar que los
dos lados del balance del modelo financiero sean iguales.
■■ El significado financiero del elemento equilibrador: Whimsical Toenails no vende acciones adicionales y está atado a un esquema de pago de la deuda. Definiendo que el elemento equilibrador
sea el efectivo, estamos también realizando una afirmación sobre cómo la empresa se financia a
sí misma. Para el caso de Whimsical Toenails, esto significa que todo el financiamiento adicional
(si es necesario) para la empresa provendrá del efectivo; esto también significa que si la empresa
tiene dinero adicional, irá a esta cuenta.
3.3. Proyectando el balance y estado de resultado para 2005
Dados los estados contables de Whimsical Toenails y nuestros supuestos, podemos ahora desarrollar
el modelo pro forma y proyectar los estados contables-financieros para 2006.
| 259
Principios de Finanzas con Excel
Nota de excel: referencias relativas versus absolutas
Los signos de dólar dentro de una fórmula indican que cuando la fórmula es copiada, las celdas que hacen referencia a
los modelos del parámetro no deben cambiar. La jerga técnica para esto en Excel es referencia absoluta, en oposición a
referencia relativa cuando las variables se indican sin el signo pesos. La distinción entre copiado relativo y absoluto es
crítica en los modelos de planificación financiera; si usted fracasa en colocar los signos pesos correctamente en el modelo,
este no copiará adecuadamente cuando usted proyecte para el año 2 y de ahí en adelante.
Dos celdas en la hoja previa han sido resaltadas para recalcar esta distinción importante:
\\
\\
Celda C15: ventas en 2005 igual a las ventas en el año previo multiplicado por (1+tasa de crecimiento de las ventas). Dado
que queremos copiar esta definición para los años subsiguientes, la fórmula de la celda C15 es = B15*(1+$B$2). “$B $2”
es el parámetro de tasa de crecimiento de las ventas, que se mantiene igual cuando copiamos el contenido de la celda.
Celda C16: costo de mercancía vendida en 2005 igual al 50 % de las ventas. El parámetro de 50 % está en la celda B6
y este permanecerá igual mientras copiemos la fórmula de la celda C16 a las celdas subsiguientes. Por ello, escribimos
la fórmula en la celda C16 como = -C15*$B$6.
El uso de referencia absoluta versus relativa se explica en el capítulo 17.
3.4. Ecuaciones del estado de resultado
Presentamos a continuación las relaciones para nuestro modelo de planificación financiera, con los
parámetros del modelo en negrita. Estas relaciones van a convertirse en las fórmulas en las celdas de
nuestro modelo en Excel.
(t) = ventas (t-1) * (1 + crecimiento de ventas)
■■ Costo de mercancía vendida = Ventas * Costo de mercancía vendida / Ventas
■■ Ventas
Asumimos que los únicos costos de Whimsical Toenails relacionados con las ventas son los costos
de mercancía vendida. La mayoría de las empresas también registran un ítem de gastos llamado Gastos
Generales de Administración de Ventas (GGAV). El ejercicio 2 al final del capítulo ilustra cómo incorporar
GGAV al modelo.
de intereses sobre las deudas = tasa de interés sobre deudas * deuda promedio durante
el año. Usamos esta fórmula para estimar los pagos de intereses de Whimsical Toenails sobre la
deuda. Por ejemplo, si la deuda de la empresa al final de 2004 es $3.200.000 y su deuda al final
de 2005 es $2.400.000, el modelo de planificación financiera estima su pago de intereses para
2005 como:
■■ Pagos
10% *
3.200.000 + 2.400.000
= 10% * 2
.
800
.000
= 280.000
2
deuda promedio
de Whiimsical en
el año 1
ganado por el efectivo = Tasa de interés sobre el efectivo * saldo promedio de efectivo durante el año. Es la misma lógica usada para los pagos de la deuda. Whimsical Toenails gana un 8 %
■■ Interés
260 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
sobre sus saldos promedio de efectivo del año. Si el saldo de efectivo al final de 2004 $800.000
y al final de 2005 es $639.871, entonces la empresa ganó $57.595 sobre sus saldos de efectivo:
8% *
800.000 + 639.871
= 8% * 719
.935 = 57.595
2
Efectivo promedio
de Whimsicall en
el año 1
= Tasa de amortización * activos fijos promedio al costo durante el año. Esto implica
que todo nuevo activo fijo es adquirido más o menos uniformemente a lo largo del año. También
asumimos que no hay eliminación de activos fijos. Observar el modelo financiero le puede ayudar a entender el cálculo de la amortización: los activos fijos al costo de Whimsical Toenails son
$10.700.000 y sus activos fijos al costo proyectados para 2005 son $12.636.842. Dado que la
tasa de amortización de la empresa es 10 %, la amortización del año 1 en el Estado de Resultados
es:
■■ Amortización
10% *
10.700.000 + 12.636.842
= 10% * 11
.668
411
.
= 1.166.842
2
Activos fijos prom
medios
al costo en el año 1
■■ Utilidad
antes de impuestos = Ventas – Costo de mercancía vendida – Pagos de intereses sobre la
deuda + Intereses ganados sobre el efectivo y valores negociables – Amortización.
■■ Impuestos = Tasa de impuestos * Utilidad antes de impuestos.
■■ Utilidad después de impuestos = Utilidad antes de impuestos - Impuestos.
■■ Dividendos = Ratio de pago de dividendos * Utilidad después de impuestos.
Whimsical Toenails tiene una política de pagar un porcentaje fijo de sus beneficios como dividendos.
En los ejercicios de este capítulo exploramos algunas políticas de dividendo alternativas.
■■ Utilidades
retenidas = Utilidad después de impuestos – Dividendos.
Ecuaciones del balance
■■ Efectivo
= Pasivos totales – Activos totales – activos fijos netos.
■■ Como se explicó antes, esta definición significa que el efectivo es el elemento equilibrador del
balance.
■■ Activos corrientes = Activos corrientes / Ventas * Ventas.
■■ Activos fijos netos = Activos fijos netos / ventas * ventas.
■■ Amortización acumulada = Amortización acumulada del año anterior + Tasa de amortización *
activos fijos promedio al costo durante el año.
■■ Activos fijos al costo = Activos fijos netos + amortización acumulada.
Observe que este modelo no distingue entre planta, propiedades y equipamiento (PP&E) y otros activos fijos, como terreno.
| 261
Principios de Finanzas con Excel
corrientes = Pasivos corrientes / Ventas * Ventas2.
■■ La deuda se asume que decrece en $800.000 por año. Esto significa que Whimsical Toenails cancelará su deuda al final del cuarto año del modelo financiero. Un modelo alternativo, que asume
que la deuda es el elemento equilibrador del balance, es objeto de uno de los ejercicios al final
del capítulo.
■■ Las acciones se asumen inalterables. Se supone que la empresa no emite nuevas acciones ni rescata ninguna de las existentes.
■■ Utilidades retenidas acumuladas = Utilidades retenidas acumuladas del año anterior + agregado
de este ejercicio a las utilidades retenidas.
■■ Pasivos
Nota de excel – resolviendo referencias circulares
Los modelos de Estados Contables-Financieros en Excel siempre implican celdas que son mutuamente dependientes. En
nuestro modelo, por ejemplo, el interés ganado por el efectivo depende de la utilidad de la empresa, pero la utilidad depende
del interés ganado por el efectivo. Otro ejemplo de dependencia mutua en nuestro modelo involucra las cuentas del activo
fijo: el activo fijo al costo es la suma del activo fijo más la amortización acumulada, pero la amortización acumulada es
una función de los activos fijos al costo.
Como resultado de estas inevitables dependencias mutuas, la solución del modelo depende de la habilidad de Excel para
resolver referencias circulares. Para estar seguros de que vuestra hoja recalcule, usted debe configurarla para permitir
cálculos iterativos (para saber cómo hacerlo, siga leyendo este cuadro). Si usted abre una hoja que involucra iteraciones y
la misma no está configurada para iteraciones, verá el siguiente mensaje de error.
Salga de este mensaje haciendo clic en Cancelar. Luego haga clic en el siguiente botón de Office:
De aquí vaya a Opciones de Excel l Fórmulas y haga clic para posibilitar cálculos iterativos.
Continúa en página siguiente >>
2 Algunos analistas prefieren modelizar los pasivos corrientes como un porcentaje del costo de mercancía vendida de la empresa (CMV).
El razonamiento aquí es que – dado que los pasivos corrientes incluyen las cuentas a pagar (que, de hecho, incluyen las facturas impagadas
de ítems de inventario y similares) – los pasivos corrientes son ampliamente dependientes del nivel de costo de mercancía vendida de la
empresa. A pesar de que es fácil incorporar este supuesto en nuestro modelo, no genera mucha diferencia: si el CMV es un porcentaje de
las ventas y los pasivos corrientes son un porcentaje de las ventas, entonces los pasivos corrientes son también un porcentaje del CMV.
262 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
<< Viene de página anterior
Observe que también hemos hecho clic en el botón de Automático – esto garantiza que la hoja recalculará cada vez que se
ingrese un dato nuevo. Si su hoja es muy grande o su ordenador algo antiguo, el cálculo automático realmente se puede
enlentecer. En este caso puede ser conveniente hacer clic en el botón Manual y recalcular la hoja manualmente, presionando
la tecla [F9] o [Shift] + [F9]. [F9] recalcula la hoja completa, y [Shift] + [F9] recalcula solo la hoja hoja activa.
4. Extender el modelo a 2 años y más
Ahora que usted ha configurado el modelo, puede extenderlo copiando las columnas.
| 263
Principios de Finanzas con Excel
El error más común en Excel en la transición entre el modelo financiero de dos columnas y este otro, es
la falta de marcar los parámetros del modelo con signos de monedas. Tratamos este punto crítico en una
nota de antes. Si usted comete este error, obtendrá ceros en los lugares en que debería haber números3.
4.1. Comprender el modelo cambiando algunos indicadores de valor
El modelo financiero que hemos creado muestra que la utilidad después de impuestos de nuestra
empresa crecerá de $2.246.400 en 2004 a $3.561.295 en 2009. Los saldos de caja crecerán de
$800.000 a $1.461.078, los activos totales crecerán a $16.277.770 y así sucesivamente…
¿Qué hubiera ocurrido si cambiáramos algunos de los indicadores de valor en el modelo? Por ejemplo,
¿qué le hubiera ocurrido a las utilidades si la tasa de crecimiento de las ventas fuera 8 % en lugar de 10 %
y si el costo de mercancía vendida fuera 55 % de las ventas en lugar del 50 % actual del modelo? Dado
nuestro modelo de Excel, simplemente tenemos que efectuar los cambios relevantes en los parámetros
en las celdas B2 y B6. Nuestra intuición es que estos cambios en la actuación harán empeorar los resultados financieros de la empresa, y esto es en realidad confirmado en el modelo, como se muestra abajo.
3 Si este párrafo le resulta misterioso, cambie el modelo poniendo los siguientes errores: En la celda C28, escriba la fórmula = C15*B3
(en lugar de la fórmula correcta =C15*$B$3). Luego copie la celda C28 a D28:G28. Ahora comprenderá la importancia de monedificar las
referencias correctas de Excel.
264 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
Si usted compara el modelo de arriba con nuestra previa versión del modelo, usted verá que el crecimiento de ventas de la empresa se ha enlentecido (de 10 % a 8 %) y que las ventas se han vuelto
más costosas (el costo de mercancía vendida es 55 % en lugar de 50 %). El resultado es que la utilidad
después de impuestos (fila 22) es más baja que antes. Los saldos de efectivo (fila 27) son también más
bajos que en la versión previa del modelo.
5. FCF: midiendo el efectivo producido por las operaciones de la empresa
En esta sección usamos nuestro modelo para medir los flujos de fondos libres (FCF) proyectados de la
empresa. Hemos tratado previamente el concepto de FCF en el capítulo 6. Una buena manera de pensar
en los FCF es que son la cantidad de dinero que la empresa produciría si no tuviera deuda alguna. Esto
es equivalente a la cantidad de dinero producido por la empresa si los accionistas tuvieran que financiar
todas las operaciones de la misma. Para resumir, diremos que FCF es una medida del dinero generado
por las operaciones de la empresa.
FCF es una medida sobre la cual basamos nuestra valuación de la empresa. Dimos un ejemplo de
ello en el capítulo (cuando usamos los FCF futuros esperados de Courier Corp. para valuar la empresa).
En la sección 7.6 volveremos a este asunto y mostraremos cómo una predicción de FCF de un modelo
financiero puede ser usada para valuar una empresa.
En esta sección meramente utilizamos el modelo de planificación financiera para proyectar los futuros
FCF de la empresa. Antes de hacerlo, sin embargo, recapitulemos la definición y terminología empleada.
La definición de flujo de fondos libre es la siguiente.
Definición de los flujos de fondos libres (FCF)
Beneficio después de
impuestos
Esta es la medida básica de rentabilidad del negocio, pero es una medida contable que incluye flujos
provenientes del financiamiento (como intereses), así como gastos que no son salidas de caja, como
amortización. El beneficio después de impuestos no considera los cambios en el capital de trabajo de la
empresa o adquisiciones de activos fijos, los cuales pueden representar importantes egresos de caja para
la empresa.
+ Amortización
El gasto que no representa salida de caja se suma nuevamente al beneficio después de impuestos.
- Incrementos en activos
corrientes relativos a las
operaciones de la empresa.
Cuando las ventas de la empresa crecen, se necesita más inversión en inventarios, cuentas a cobrar, etc.
Este crecimiento en activos corrientes no es un gasto a efectos impositivos (y es, por lo tanto, ignorado
en el beneficio después de impuestos), pero es una salida de caja para la empresa. Observe que nuestro
uso del término “activos corrientes” es levemente diferente del uso estándar en contabilidad – vea el
desarrollo en la sección 7.1.
+ Incrementos en pasivos
corrientes relativos a las
operaciones de la empresa.
Un incremento de ventas habitualmente ocasiona un crecimiento en el financiamiento relacionado con
las ventas (como cuentas por pagar o impuestos a pagar). Este crecimiento en el pasivo corriente —
cuando está relacionado con las ventas— proporciona fondos a la empresa. Dado que está directamente
relacionado con las ventas, incluimos este dinero en el cálculo del FCF. Observe que nuestro uso del
término “pasivos corrientes” es levemente diferente del uso estándar en contabilidad, vea el desarrollo en
la sección 7.1.
Continúa en página siguiente >>
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Principios de Finanzas con Excel
<< Viene de página anterior
Definición de los flujos de fondos libres (FCF)
- Incrementos en activos fijos
al costo (también llamado
“gastos de capital”).
+ Pagos de intereses
después de impuestos
(netos)
FCF = suma de los de arriba
Un crecimiento de los activos fijos (activos productivos a largo plazo de la empresa) es una utilización de
fondos que reduce el FCF de la empresa.
El FCF es un intento de medir el efectivo producido por la actividad del negocio de la empresa. Para
neutralizar el efecto de los intereses sobre las utilidades de la empresa, lo que hacemos es:
-- Sumar nuevamente el costo de intereses de la deuda después de impuestos
(después de impuestos, porque los intereses son deducibles de impuestos).
-- Restar los intereses ganados después de impuestos sobre el efectivo.
El flujo de efectivo libre mide el efectivo producido por las operaciones de la empresa.
Este es el cálculo de FCF para Whimsical Toenails. Observe que hemos regresado al modelo inicial
(crecimiento de ventas = 10 %, costo de mercancía vendida = 50 % de las ventas).
Los FCF de la fila 51 son sustancialmente menores que las utilidades después de impuestos de la
empresa de la fila 44. La principal razón para ello son los gastos de capital (fila 48), que sobrepasan el
efecto de la amortización (fila 45).
El cálculo de FCF es sensible a los supuestos del modelo. Suponga que las ventas de Whimsical Toenails
aumentan el 8 % (en lugar del 10 %) y su costo de mercancía vendida es 55 % de las ventas (en lugar de
50 %). Usted debería esperar a que estos cambios negativos en los supuestos del modelo hagan que los
FCF proyectados de Whimsical Toenails sean sustancialmente menores, y usted estará en lo cierto.
266 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
Nota de excel: ocultando y agrupando filas
En el ejemplo de arriba hemos ocultado las filas 12-40 para dejar más espacio en la pantalla. Para ocultar filas en Excel:
\\
\\
\\
Marque las filas que usted quiere ocultar
Clic derecho en el ratón y clic en Ocultar
Así es como se ve la pantalla
Marcando las filas y haciendo clic en Mostrar, deshace la acción.
Otro modo un tanto más sofisticado para alcanzar el mismo resultado es Agrupar las filas.
Para hacerlo, primero marque las filas como antes. Luego vaya a Datos l Esquema l Agrupar como se muestra abajo.
Figura 7.2. Ocultando y agrupando filas en Excel
El resultado es un marcador en el lado izquierdo de la hoja que le permite a usted ocultar o des-ocultar las filas: haciendo
clic en el en el margen se agrupan las filas incluidas. Haciendo clic en en el margen se expanden las columnas agrupadas. Usted puede también Agrupar y Desagrupar en la barra de herramientas.
| 267
Principios de Finanzas con Excel
6. Conciliar los saldos de caja. Estado consolidado de flujos de fondos
El cálculo de FCF es distinto del “Estado consolidado de flujos de fondos” que es parte de todos
los Estados Contables. El cálculo del FCF le muestra a usted cuánto efectivo es generado por las operaciones de la empresa. Por otro lado, el propósito del Estado contable de flujos de fondos es explicar el
incremento en la cuenta Efectivo del Balance, como función de los flujos de fondos de las operaciones,
inversiones y financiaciones de la empresa. Presentamos el estado consolidado de flujos de efectivo para
nuestro modelo.
268 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
La fila 77 controla que los saldos finales en las cuentas contables del efectivo obtenidas a partir
del Estado consolidado de flujos de fondos, coincida con aquellos obtenidos en la fila 27 del balance
(que usa Efectivo como elemento equilibrador). El hecho de que la fila 77 sea la misma que la fila 27
demuestra que nuestro modelo registra correctamente todas las relaciones contables. Para verlo, observe
las celdas C75, C76 y C77:
■■ C76
muestra que al final del año 0 el saldo de efectivo de la empresa era $800.000.
muestra que todo lo que la empresa hizo durante el año —ventas, costos de ventas, intereses
pagados, nuevo financiamiento a través de deuda y capital propio, todo— produjo una disminución
en el efectivo de $160.129.
■■ C77 es la suma de las dos celdas previas: si la empresa comenzó el año con $800.000 en efectivo
y si sus actividades totales produjeron -$160.129 en efectivo, entonces el saldo final de efectivo
debe ser $639.871. Y así es, este es el efectivo indicado en la celda C27. ¡Nuestro modelo tiene
en cuenta todas las actividades de la empresa!
■■ C75
6.1. ¿Qué es más útil: el estado consolidado de flujos de fondos o los flujos de fondos libres?
¿Qué es más útil: el incremento de efectivo en la fila 75 del estado consolidado de flujos de fondos o
el flujo de fondos libre que hemos obtenido en la sección 7.4? A pesar de que ambos tienen sus objetivos,
no hay duda a efectos financieros: el FCF es un número más útil y más ampliamente usado. El FCF mide
el efectivo producido por las actividades del negocio de la empresa. Es la medida financiera relevante de
la efectividad de la empresa en cumplir para lo que fue creada —producir algo y venderlo—. El incremento de efectivo en la fila 75 es también importante, sin embargo: primero, nos permite controlar que
hemos hecho nuestros cálculos correctamente, dándonos un elemento de control con la línea del efectivo
del balance. Segundo, nos muestra por qué cambió la línea del efectivo del balance.
7. Valuar Whimsical Toenails usando un modelo de flujos de fondos descontados (FFD)
Los términos “valor de la empresa” o “valor de una compañía” se utilizan indistintamente por los
profesionales de finanzas. Aun los profesionales de finanzas, sin embargo, pueden utilizar una confusa
variedad de significaciones para estos términos. En finanzas, la definición más habitualmente usada para
“valor de la empresa” es la siguiente:
Definición en finanzas para valor de la empresa
Es el valor de la empresa es el valor de mercado de su capital propio más el valor de mercado de la deuda financiera.
La definición financiera de valor de la empresa que usamos en este capítulo, no es la única definición
de valor de la empresa que está en uso. Habitualmente, cuando los individuos hablan sobre valor de la
empresa, ellos realmente quieren significar el valor de sus acciones. Es mejor usar el término valor del
capital propio para el valor de las acciones de la empresa y usar el término valor de la empresa (o valor
de la compañía) para indicar el valor de mercado del capital propio más su deuda. En nuestros cálculos
de las páginas siguientes, también le mostramos cómo calcular el valor de las acciones de una empresa.
| 269
Principios de Finanzas con Excel
Algunas veces el término valor de la empresa es usado para indicar el valor contable de la compañía.
También conocido como valor en libros, este valor está basado en el balance de la empresa. Dado que
los Estados Contables están basados en valores históricos, el gremio de finanzas generalmente prefiere
no usar esta definición. Al final de esta sección ilustramos por qué no nos convence este método de
valuación.
En esta sección ilustraremos tres métodos de calcular la definición financiera de valor de la empresa.
■■ El
método más simple de valuación es valuar el capital propio de la empresa (sus acciones) usando
el precio de las acciones en el mercado y agregar a dicho valor el de la deuda de la empresa.
■■ Un segundo método de valuación se basa en los flujos de fondos descontados (FFD). Este es el método preferido por los profesionales de finanzas; es el principal método ilustrado en esta sección.
En una valuación FFD, el valor de la empresa es igual al VA de los FCF descontados más el valor
de sus activos líquidos disponibles actualmente. La tasa de descuento es la CCMP, que hemos
analizado previamente en el capítulo 6.
■■ Un tercer método de valuar la empresa es usar el valor contable de los activos de la empresa.
7.1. El método de valuación con el precio de las acciones: valuar Whimsical Toenails usando el
valor corriente de la acción
La forma más simple de valuar Whimsical Toenails es observar el valor de su acción. Whimsical
Toenails tiene 1 millón de acciones, las cuales se comercializaban a $10 por acción el 31 de diciembre
de 2004. Por lo tanto, el valor de mercado del capital propio es $10 millones. Además, el balance
muestra que tiene deuda por 3,2 millones; usamos estos valores del balance (también llamados valor en
libros) de la deuda como una aproximación del valor de mercado de la deuda4.
Usando la cotización corriente de la acción, el valor de la empresa Whimsical Toenails es $13.200.00.
7.2. El método FFD de valuación: valuar Whimsical Toenails descontando sus flujos de fondos libres
La ventaja del método de valuación con el precio de la acción ilustrado arriba es que es muy simple:
el valor de la empresa es igual al valor de mercado de sus acciones más el valor en libros de su deuda.
4 Esta es una práctica habitual. La mayoría de las deudas de las empresas no cotizan en mercados oficiales y, por lo tanto, no hay un
valor de mercado fácilmente disponible de la deuda. Como una primera aproximación, la mayoría de los profesionales de finanzas usan el
valor en libros de la deuda de la empresa como un estimador del valor de mercado de la deuda.
270 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
Valuar la empresa a su precio corriente de $10 por acción es perfectamente aceptable para alguien que
evalúa adquirir unas cuantas acciones de la compañía, pero tiene menos sentido si Whimsical Toenails
está vendiendo un paquete de acciones que otorga control. En este caso, el adquirente probablemente
tendría que tener en cuenta las siguientes consideraciones:
■■ Si
el adquirente trata de comprar un bloque grande de acciones de Whimsical Toenails en el mercado abierto, él podría tener que ofrecer más valor corriente de la acción. A medida que él compra
más y más acciones, el precio podría subir; además, el anuncio de que alguien está tratando de
tomar el control de Whimsical Toenails podría —en muchos casos— forzar el precio a subir.
■■ Hay beneficios de controlar una compañía que no están incluidos en el precio de mercado de la acción. La cotización de mercado de la acción refleja el valor de los dividendos futuros de la empresa
para un accionista pasivo que no tiene control sobre la misma. En general, el valor de un paquete
grande de acciones que reporta control es mayor que el valor de mercado, dado que el accionista
controlador puede decidir lo que hará la compañía. Él puede también obtener considerables beneficios particulares por administrar la empresa5.
Para enfrentar estos problemas, usamos el método de valuación de los flujos de fondos descontados
(FFD) para valuar la acción. La valuación FFD es un método estándar en finanzas que define el valor de
la empresa como el valor actual de los flujos de fondos libres (FCF), descontados a la tasa de costo de
capital medio ponderado (CCMP), más el efectivo y valores negociables al inicio. La sección 7.9 trata
la teoría que hay tras este método de valuación, pero por el momento preferimos obviar toda la teoría y
presentar la fórmula simplemente:
Valor de la empresa con FFD = Valor de mercado de la deuda + valor de mercado del cap. propio
 todos los FCF futuros 
= VA 
 + Efectivo y valores negociables hoy
descontados a la CCMP 

Habituualmente llamado "valor de empresa en marcha"
Como usted puede observar en la ecuación, el valor actual de los FCF de la empresa es habitualmente
conocido como valor de empresa en marcha. Usando el modelo de planificación financiera para Whimsical
Toenails, concluimos que cuando el CCMP es 14 %, las acciones de Whimsical Toenails valen $20,11.
5 Los economistas usan el término beneficios particulares para indicar todo tipo de beneficio financiero y no financiero asociado a ser
propietario de la empresa. El gran coche con chófer que la empresa le da a su presidente es un beneficio particular vinculado a ser propietario de la empresa y también lo es el sentimiento de titularidad —un beneficio psicológico, quizás, pero también valioso—.
| 271
Principios de Finanzas con Excel
Hay algunas cosas que explicar sobre esta valuación:
■■ Hemos
usado el modelo de planificación financiera de la sección 7.4 para proyectar 5 años de futuros FCF. Al final de los 5 años, hemos proyectado un valor final para la empresa. La metodología
FFD requiere que estimemos el VA de todos los FCF proyectados:
 todos los FCFs 
VA 

 proyectados 
Sin embargo, en lugar de estimar todos los futuros FCF, nosotros estimamos 5 años de FCF y luego
estimamos el valor final, que es el valor de Whimsical Toenails al final del año 5:
 todos los FCFs

Valor de empresa en marcha = VA 

 descontados a CCMP 
=
FCF2005
FCF2006
FCF2009
valoor final
+
+ ... +
+
2
5
(1 + CCMP) (1 + CCMP)
(1 + CCMP) (1 + CCMP)5
■■ El
valor final es estimado asumiendo que el FCF de 2009 de $2.283.085 crecerá en los años
2010, 2011, etc., a una tasa a largo plazo de crecimiento de los FCF de 6 % (celda B8). Esto
significa que el valor final es:
FCF2010
FCF2011
FCF2012
 "Valor Final" al 
+
+
+ ...

=
2
final
del
2009
(
1
+
CCMP
)
+
CCMP
(
+
CCMP)3
1
1
(
)


=
FCF2009 * (1 + crec LP) FCF2009 * (1 + crec LP)2 FCF2009 * (1 + crec LP)3
+
+
+ ...
(1 + CCMP)
(1 + CCMP)2
(1 + CCMP)3
=
=
272 |
FCF2009 * (1 + crec LP)
CCMP − crec LP
$2.283.085 * (1, 06)
= $30.250.880
14% − 6%
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
La teoría que sustenta todo esto se encuentra detallada en la sección 7.9.
■■ Si
el costo de capital medio ponderado (CCMP) es 14 %, el valor de empresa en marcha —el valor
actual de los flujos de fondos libres y el valor final— es $22.512.874 (celda B10 de la hoja previa)6.
■■ Sumando los saldos corrientes de efectivo y valores negociables al valor actual de los FCF y sustrayendo
el valor de la deuda de la empresa obtenemos un valor del capital propio de $20.112.874 (celda B15).
Dado que hay 1 millón de acciones en circulación, esto valúa cada acción a $20,11 (celda B18).
■■ Por lo tanto, la conclusión de esta valuación con FFD es que la acción de Whimsical Toenails vale
$20,11; que es más del doble que su valor de mercado de $10.
7.3. Valuación usando el valor en libros de la empresa, una definición que preferimos no usar
Hay otro método de valuación que es usado a veces para valuar una empresa: la definición contable de
valor de la empresa utiliza el balance para llegar al valor de la empresa. En el caso de Whimsical Toenails,
el balance al final de 2004 se ve así:
Por definición contable, el valor de la empresa es:
Valor de la empresa, definición contable = Deuda + Capital
00 = 9.200.000
= 3
.
200
.
500
.
500
.000
+ 4
.000
+ 1
.0
Deuda
Acciones
comunes
Utilidades
retenidas
acumuladas
Valor libro del capitaal propio
La definición contable de valor de la empresa recae en el valor en libros, el valor de la deuda y capital
propio de la empresa tal como está listado en el balance. Recuerde del capítulo 3 que la definición contable, que se basa en valores históricos, es una definición que mira hacia atrás. La definición financiera
de valor de la empresa mira hacia adelante (descuenta los valores futuros esperados de flujos de fondos).
En general, la definición contable arroja una valuación inapropiada de la empresa7. En el caso de Whim-
6 Vea en los capítulos 6 y 13 dos técnicas para calcular el CCMP.
7 Esto no significa menospreciar a la contabilidad (muy importante) o a los contadores (la mayoría de los cuales estarían de acuerdo en
que el valor en libros es una aproximación inapropiada al valor de mercado).
| 273
Principios de Finanzas con Excel
sical Toenails, la valuación con FFD que mira hacia adelante es $23.312.874, mientras que la definición
contable que mira hacia atrás es $9.200.000.
8. Usando la valuación con FFD. Un resumen
La valuación con flujos de fondos descontados (FFD) de una empresa se basa en descontar los futuros
flujos de fondos libres (FCF) esperados, usando la tasa de costo de capital medio ponderado (CCMP)
como tasa de descuento. En esta sección resumimos los pasos para implementar la valuación.
8.1. Paso 1: estime la tasa CCMP
La CCMP es la tasa de descuento para los futuros FCF. Hemos analizado la CCMP en el capítulo 6 y
dimos un ejemplo de cómo estimarla8. En este capítulo no entraremos en los detalles de la estimación
de la CCMP; calcularla implica muchos supuestos y en muchos casos el cálculo en sí se convierte en un
asunto controvertido entre las partes involucradas en la valuación. Para este ejemplo, asumimos que la
CCMP es del 14 %. En la sección 7.8 desarrollamos algo de análisis de sensibilidad (usando Tablas de
Datos de Excel, presentadas en los capítulos 4 y 20) para mostrar cómo los cambios en la CCMP afectan
la valuación.
8.2. Paso 2: proyectar un número razonable de FCF
Las predicciones de FCF de un modelo financiero están basadas en el supuesto de que los parámetros
del modelo no se modificarán demasiado. La mayoría de los analistas financieros definen “razonablemente” el número medio de períodos en los cuales el supuesto básico no es demasiado ridículo9. Todos
reconocen que el medio ambiente de una empresa es dinámico y que los parámetros del modelo cambiarán a través del tiempo, un hecho que es habitualmente encarado realizando análisis de sensibilidad
(vea la sección 7.8). En nuestra valuación asumimos que podemos proyectar razonablemente los flujos
de fondos de los próximos 5 años.
8.3. Paso 3: proyectar la tasa de crecimiento de largo plazo de los FCF y el valor final
Valuar usando el método de los FCF en principio requiere que proyectemos un número infinito de FCF,
pero en un modelo de planificación financiera estándar proyectamos solo un número limitado de FCF.
Una solución a este problema es definir el valor final de la empresa como el valor de la misma al final del
año 5. La definición que usamos es ilustrada en la figura 7.3.
8 Más tarde en el libro, el capítulo 13 presenta otro enfoque para estimar la CCMP.
9 El autor define como “no demasiado ridículo” algo que él le puede explicar a su madre con cara seria.
274 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
Esquema: evaluación de la empresa con FFD
 todos los FCF futuros   efectivo y valores 
Valor de la empresa con FFD = VA 
+

 descontados a CCMP   negociables hoy 
=
FCF1
FCF2
FCF3
 efectivo y valores 
+
+
+ ... + 

2
3
(1 + CCMP) (1 + CCMP) (1 + CCMP)
 negociables hoy 
LINEA 1
Estimamos estos FCF
FCF1
FCF2
FCF3
FCF4
FCF5
=
+
+
+
+
⇐
con el modelo de planifi(1 + CCMP) (1 + CCMP)2 (1 + CCMP)3 (1 + CCMP)4 (1 + CCMP)5
cación financiera
+
LINEA 2
FCF6
FCF7
+
+
Usamos el valor final en lugar
....
(1 + CCMP)6 (1 + CCMP)7
de estos números
FCF * (1 + crec LP de los FCF)
1
* 5
CCMP
− crec
de los FC
(CCMP)5
LP
F
Este es el "Valor Final"
 + Efectivo y valores  LINEA 3


 negociables hoy
 El último término en la valuación
Figura 7.3. Evaluación de la empresa con FFD.
Como usted puede ver, hay tres partes en la valuación:
■■ La
línea 1 es el valor actual de los FCF de los 5 primeros años. Hemos proyectado estos flujos de
fondos libres uno por uno, usando nuestro modelo de planificación financiera.
■■ En vez de proyectar el valor actual de cada uno de los flujos de fondos libres de los años 6, 7, 8,...,
infinito, los hemos resumido en el valor actual del valor final. En la línea 2 esto está planteado
como:
| 275
Principios de Finanzas con Excel
FCF * (1 + crec LP de los FCF)
1
* 5
5
CCMP
de los FC
− crec
(CCMP)
LP
F
Este es el "Valor Final"
El valor final es lo que proyectamos que valdrá la empresa al final del horizonte de proyección. En
la sección 7.9 explicamos cómo obtenemos esta expresión del valor final.
■■ La línea 3 incorpora el valor del efectivo y valores negociables.
La fórmula de valor final requiere que estimemos la tasa de crecimiento de largo plazo de los FCF.
En el modelo de planificación financiera de los FCF para Whimsical Toenails, esta tasa de crecimiento a
largo plazo es distinta de la tasa de crecimiento de las ventas proyectadas de la compañía en los próximos 5 años. Como usted vio en la sección 7.2, proyectamos un crecimiento de las ventas de 10 % para
Whimsical Toenails durante el horizonte de 5 años del modelo de planificación. Nuestro criterio para
elegir la tasa de crecimiento a largo plazo de los FCF de la empresa es que los FCF de la empresa no
puedan crecer para siempre a una tasa mayor que la economía en la que opere. La tasa de crecimiento
a largo plazo de 6 % para Whimsical Toenails está destinada a representar una estimación de la tasa de
crecimiento sostenible de los FCF de la compañía.
Usando este modelo, estimamos que el FCF del año 5 de Whimsical Toenails es $2.283.085. Usando
el CCMP de 14 % y la tasa de crecimiento de largo plazo de los FCF de 6 %, el valor final de la empresa
es $30.250.880:
Valor final =
FCF5 * (1 + crec LP de los FCF) $2.283.085 * (1, 06)
=
= $30.250.880
CCMP − crec LP de los FCF
14% − 6%
8.4. Paso 4: determinar el valor de la empresa
A estas alturas están todos los elementos para la valuación de la empresa:
■■ CCMP:
la tasa de descuento para los FCF y el valor final.
■■ Cinco años de FCF proyectados a partir del modelo de planificación financiera.
■■ El valor final de la empresa.
■■ El saldo inicial (año 0) de efectivo y valores negociables.
Ahora podemos valuar la empresa.
276 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
El valor de la empresa es $23.312.874 (celda B12). En las celdas B15 y B18 hemos agregado dos
pasos más.
8.5. Paso 5: valuar el capital propio de la empresa restando el valor de la deuda del valor de la
empresa
El valor de la empresa es el valor de la deuda + capital propio. Habitualmente estamos interesados
en valuar solo el capital propio – nuestra estimación del valor del valor de mercado de las acciones de la
empresa.
Valor de la empresa = Deuda + Capital propio = $23.312.874
Esto significa que:
Capital propio = Valor de la empresa – Deuda = $23.312.874 - $3.200.000 = $20.112.874
En el análisis del mercado accionario habitualmente se usa la estimación del capital propio de la
empresa para llegar al valor de su acción. Ellos, entonces, comparan este valor estimado por acción con
el valor corriente de la acción para llegar a una recomendación de compra o venta de la misma. Dado que
Whimsical Toenails tiene 1.000.000 acciones en circulación, el valor estimado por acción es:
$20.112.874
= $20,11
1.000.000
| 277
Principios de Finanzas con Excel
Este valor de la acción es mucho más elevado que el valor corriente de la acción en el mercado de
$10. Si el análisis de valuación con FFD fuera usado para efectuar recomendaciones sobre la acción,
esperaríamos que los analistas hagan una recomendación de “compra” para las acciones de Whimsical
Toenails.
8.6. Paso 6: agregar valuación a mitad de año
En el capítulo 5 hemos tratado la valuación con flujos de fondos descontados a mitad de año. La idea
era que cuando los flujos de fondos ocurrían durante el curso del año y no al final del mismo, deberíamos tomar la fórmula estándar de valor actual y multiplicarla por (1+ CCM)0,5. Para Whimsical Toenails,
la valuación con descuento a mitad de año tiene sentido, dado que las ventas de la compañía ocurren a
través del año y no solo al final del mismo. En la hoja de abajo usted puede observar cómo el descuento a
mitad de año afecta al valor de la empresa y al valor proyectado de la acción: la celda C10 muestra que el
valor actual de los flujos de fondos y valor final de la empresa aumentan a $24 millones. En la celda B18
usted puede ver que el valor proyectado de la acción aumenta a $21,64 desde los $20,11 calculados sin
la valuación con descuento a mitad de año.
8.7. Paso 7: ¡no crea en nada! haga un análisis de sensibilidad
¡Las valuaciones están basadas en un número formidable de supuestos! Realizar un análisis de sensibilidad nos ayuda a evaluar el efecto de cambiar los valores de las principales variables que afectan al
valor de la empresa. Nuestra “arma” para análisis de sensibilidad son las Tablas de Datos de Excel (vea
el capítulo 20). En la sección siguiente mostraremos el uso del análisis de sensibilidad en la valuación
con FFD de Whimsical Toenails.
9. Análisis de sensibilidad
Dado el modelo de planificación financiera con todo en regla, hay obviamente muchos análisis de
sensibilidad que podemos realizar. A continuación, le mostramos dos tablas de datos. La primera tabla
analiza el efecto del supuesto del crecimiento de las ventas (celda B2 del modelo) sobre la valuación de
la acción. En nuestro modelo inicial hemos estimado el crecimiento de las ventas en el 10 % anual para
278 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
los próximos 5 años. En las filas 81-90, usamos Tablas de Datos de Excel para explorar el efecto de diferentes tasas de crecimiento de ventas sobre el valor de la acción de Whimsical Toenails. El supuesto del
crecimiento de ventas produce un sorprendente resultado: hasta un punto, mayores tasas de crecimiento
en ventas generan mayores valuaciones de la acción. Pero tasas de crecimiento de ventas muy elevadas
realmente hacen bajar el valor de la acción10.
10 La razón de ello es probablemente que las mayores tasas de crecimiento de ventas requieren mayores cantidades de nuevos activos
fijos. Esto reduce los FCF lo suficiente como para también reducir el valor de la acción.
| 279
Principios de Finanzas con Excel
Un segundo análisis de sensibilidad examina el efecto del costo de capital medio ponderado (CCMP)
y la tasa de crecimiento de largo plazo (celdas B55 y B56) sobre la valuación de la acción. Observe que
estos dos parámetros afectan a la valuación de dos formas:
■■ El
cálculo del valor final de la empresa en la celda G63 es:
FCF5 * (1 + crec LP de los FCF)
CCMP − crec LP de los FCF
■■ Este
cálculo es afectado tanto por los parámetros de la tasa de crecimiento de largo plazo como
por el CCMP.
■■ El cálculo de VA en la celda B66 es afectado por el CCMP.
Para examinar el efecto de estos dos parámetros, construimos una tabla de datos bi-dimensional.
Los resultados producidos por el análisis de sensibilidad no son sorprendentes:
■■ Desplazándonos
a través de las filas vemos que a medida que el CCMP crece, el valor por acción
disminuye. Dado que un mayor CCMP significa que el valor actual de los flujos futuros de fondos
es menor, esto es lo que debería esperarse.
■■ Desplazándonos hacia abajo por las columnas vemos que cuanto mayor es la tasa de crecimiento
a largo plazo esperada para Whimsical Toenails, tanto más valen las acciones. Nuevamente, esto
no es sorprendente, dado que una mayor tasa de crecimiento de largo plazo significa mayores
FCF después del horizonte de 5 años del modelo. Como se indica en el cuadro siguiente, nuestro
modelo de valor final solo funciona cuando la tasa de crecimiento de largo plazo es menor que
el CCMP. Cuando este supuesto no se cumple (significando que el crecimiento a largo plazo >
CCMP), le hemos indicado a Excel escribir “rss” (“resultado sin sentido”). La técnica para hacerlo
se explicará después.
280 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
Nota de excel/finanzas
Observe nuestro uso de la función SI en la celda B97 de la Tabla de datos precedente. La fórmula de valor final es:
Valor final =
FCF5 * (1 + crec LP de los FCF)
CCMP − crec LP de los FCF
Como se dijo en el capítulo 2, esta fórmula es válida solo cuando CCMP > crecimiento de largo plazo de FCF. Dado que
algunas de las combinaciones de crecimiento y CCMP en la tabla de datos violan esta condición, hemos utilizado la función
de Excel SI para aislarlas. Como se indica en la celda B97, esta función dice:
Si (B55 > B56,
B78
,
"rss"
)
Si CCMP > tasa de
Si el CCMP< crecimiento
crecimiento de largo plazo, de largo plazo de los FCF,
ponga en la valuación como escriba "resultado sin sentido"
indica la celda B78
10. Sección avanzada: la teoría por detrás del modelo de FFD
En esta sección explicamos algunos puntos teóricos sobre el modelo de valuación ilustrado en la
sección previa. Todo esto no es sencillo, y usted puede (comprensiblemente) querer saltar esta sección11.
10.1. ¿Por qué está el valor de la empresa relacionado con el VA de los FCF futuros?
Nuestra fórmula básica de valuación es:
Valor de la empresa = Deuda + Capital propio
FCF1
FCF2
FCF3
 efectivo y valores 
=
+
+
+ ...
+
2
3
 negociables hoy  (1 + CCMP) (1 + CCMP) (1 + CCMP)
El valor de empresa en marcha de la empresa se define como el valor de las operaciones de la misma.
En teoría financiera, el valor de empresa en marcha es el valor actual de los flujos de fondos futuros
esperados. En esta sección explicamos estos conceptos.
11 ¿Por qué habría un autor de incluir una sección como esta en este libro? Nuestra experiencia es que últimamente casi todos los profesionales de finanzas son llamados a hacer valuaciones. En algún punto en toda valuación, alguien va a cuestionarle sus técnicas y teorías.
Ese es el momento de volver a esta sección.
| 281
Principios de Finanzas con Excel
10.2. El proceso de valuación
Una forma de ver la valuación es a través del uso del paradigma contable, pero utilizando valores de
mercado. Reescribimos el balance moviendo el pasivo corriente del lado del pasivo y patrimonio neto al
lado del activo del balance.
Para valuar una empresa, proponemos:
FCFt
∑ (1 + CCMP)
Valor de la empresa = saldo de efectivo inicial +
t
t
= saldo de efectivo inicial + valor de empresa en marcha
Si estamos valuando el capital propio de la empresa, restamos el valor de la deuda:
Valor del capital propio = Valor de la empresa – Deuda
= saldo de efectivo inicial +
FCFt
∑ (1 + CCMP)
t
=
FCFt
∑ (1 + CCMP)
t
282 |
t
t
− Deuda
− (Deuda − Efectivo Inicial)
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
Observe que esto implica que podemos escribir el balance de valor de empresa en marcha de una
forma ligeramente diferente.
Podemos usar los FCF proyectados y el costo de capital para determinar el valor de empresa en marcha de la empresa. Suponga que hemos determinado que el costo de capital medio ponderado de la empresa (CCMP) es 20 %12. Entonces el valor de empresa en marcha de la compañía es el valor descontado
de los FCF proyectados de la empresa, más su valor final.
Valor empresa en marcha =
FCF1
FCF2
FCF5
Valor final en el año 5
+
+ ... +
+
2
5
(1 + CCMP) (1 + CCMP)
(1 + CCMP)
(1 + CCMP)5
En esta fórmula, el valor final en el año 5 es un aproximador del valor actual de todos los FCF a partir
del año 6 en adelante13.
10.3. Valor final
En la determinación del valor final usamos una versión del modelo de Gordon descrito en el capítulo
6. Hemos asumido que —pasado el año 5 del horizonte de proyección— el flujo de fondos crecerá a una
tasa de crecimiento de largo plazo del FCF de un 6 %. Esto hace al valor final igual a:
Valor final al término del año 5
∞
=∑
t=1
FCFt+5
(1 + CCMP )
t
∞
FCF5 * (1 + Crec. LP de FCF )
t=1
(1 + CCMP )
=∑
t
t
=
FCF5 * (1 + crec LP de los FCF)
CCMP − crec LP
La última igualdad se deriva de una manera similar a la valuación de acciones con los dividendos
(modelo de Gordon) tratada en el capítulo 6.
12 En el capítulo 6 hemos presentado el concepto de CCMP y le mostramos cómo calcularla usando el modelo de dividendos de Gordon.
En el capítulo 13 mostramos un cálculo alternativo del CCMP que usa la línea de mercado de títulos. En este capítulo simplemente asumimos un valor para la CCMP.
13 En realidad no proyectamos estos flujos de fondos. Determinamos el valor final en base al FCF del año 5.
| 283
Principios de Finanzas con Excel
11. Resumen
En este capítulo hemos usado Excel para construir modelos de planificación financiera. Estos modelos, también denominados modelos pro forma, tienen una variedad de usos en finanzas. Los modelos
de planificación financiera son el corazón de la mayoría de los planes de negocios, las proyecciones
financieras que las empresas utilizan para persuadir a los bancos para prestarles dinero y para persuadir
a los inversores para que compren sus acciones. Los modelos de planificación financiera son utilizados
para valuar empresas (vea el capítulo 8) y para construir escenarios que muestran cómo se comportará la
empresa bajo varios supuestos operativos y financieros.
Construir un modelo de planificación financiera es un ejercicio intelectual poderoso: lo obliga a usted
a combinar estados contables, los parámetros operativos de la empresa y el financiamiento de la empresa
en un modelo integrado.
Para realizar valuación con FFD usted debe entender casi todas las facetas del negocio:
■■ Cómo
funciona el negocio —esto afecta a los parámetros financieros usados en el modelo de planificación financiera—. La composición de los activos y pasivos corrientes de la empresa (es decir,
su capital de trabajo neto necesario para llevar adelante el negocio) y la cantidad de activos fijos
(edificios, terrenos y equipamiento) necesarios para el negocio, todos estos factores afectan a la
valuación de la empresa.
■■ Cómo calcular el costo de capital. El CCMP es la tasa de descuento utilizada para valuar los futuros
FCF de la empresa. En este capítulo no hemos tratado su cálculo (los capítulos 6 y 13 presentan
diferentes métodos de cálculo del CCMP).
■■ Cómo usar Excel para realizar los cálculos relevantes.
284 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
Ejercicios de repaso y autoevaluación
El archivo denominado PFE2 ejercicios 7 plantilla, que puede ser utilizado como base para casi todos los problemas
(a pesar de que usted quizás tenga que efectuar algunos cambios en la plantilla).
1. Los siguientes datos describen la actividad de su empresa en el año anterior:
~~
~~
~~
~~
~~
~~
~~
~~
~~
El saldo de caja al final del año era $105.000.
Adeuda $20.000 a los proveedores.
Compró títulos por la suma de $22.000.
El ingreso anual fue $170.000. De esa cantidad solo se cobró el 70 %.
La empresa fue obligada a pagar daños a uno de sus clientes por $40.000. Esa suma de dinero
aun no fue pagada.
El inventario de materiales asciende a $7.500 y de productos terminados a $5.000.
Debe pagarle $12.000 al banco el año siguiente.
El impuesto correspondiente fue $45.000. La mitad de esa cantidad se mantiene impagada y se
adeuda el año corriente.
Alquiló un negocio durante 3 años a comienzos del año, pagando $14.000 anuales por adelantado
para el período completo.
Calcule el importe de los activos corrientes operativos y pasivos corrientes operativos.
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2. Construya un modelo financiero en la siguiente plantilla. Asumiendo que el CCMP es 20 %, valúe el capital propio
de la empresa.
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Principios de Finanzas con Excel
3. El modelo del ejercicio 2 incluye costo de mercancía vendida, pero no gastos generales de administración y comercialización (SG&A). Suponga que la empresa tiene $200 de dichos gastos por año, independientemente del nivel
de ventas. Modifique el modelo para acomodar este nuevo supuesto. Muestre cómo queda el estado de resultados,
balance, flujo de fondos libre (FCF) y valuación.
Diseñe una tabla de datos en la cual muestre la sensibilidad del valor del capital propio respecto del nivel de SG&A.
Haga que el nivel de SG&A varíe desde 0 hasta $600 por año.
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4. Suponga que en el modelo del ejercicio 2 los activos fijos al costo en los años 1-5 son el 100 % de las ventas (en
el modelo actual son los activos fijos netos los que son función de las ventas). Modifique el modelo para reflejarlo.
Presente el estado de resultados, balance y flujo de fondos libre (FCF) para los años 1-5. (Asuma que en el año 0,
los activos fijos se comportan como en la sección 2 de este capítulo. Observe que dado que el año 0 está dado, este
corresponde a la situación actual de la empresa, mientras que los años 1-5 son predicciones para el futuro. No hay
necesidad de que las ratios del año 0 participen en la predicción de las ratios de los años 1-5).
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5. Vuelva al modelo del ejercicio 2. Suponga que los activos fijos al costo siguen la siguiente función en escalas:
si Ventas ≤ 1.200 
100%*Ventas


Activos Fijos al costo 1.200 + 90% * (ventas -1.200) si Ventas ≤ 1.400 
1.380 + 80%*(ventas-1.400) ventas ≥ 1.400



Incorpore esta función en el modelo.
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6. Considere el modelo del ejercicio 2. Efectúe 2 modificaciones en el mismo: (i) Haga que la deuda sea el plug (elemento equilibrador) y mantenga el efectivo constante en su nivel del año 0. (ii) Suponga que la empresa tiene 1.000
acciones y que decide pagar, en el año 1, un dividendo de $0,15 por acción. Además, suponga que quiere que dicho
dividendo por acción crezca en los años subsiguientes en un 12 % anual. Incorpore dichos cambios en el modelo
pro forma.
Efectúe un análisis de sensibilidad en el cual muestre el efecto sobre la ratio deuda/capital propio del incremento
en la tasa anual de crecimiento de los dividendos. Haga que dicha tasa varíe desde 0 a 18 %, es escalas de 2 %.
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CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
7. La hoja de Excel a continuación presenta el balance de una empresa y su estado de resultados.
Asuma lo siguiente:
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~~
~~
~~
~~
~~
~~
~~
La empresa espera que la tasa de crecimiento de las ventas sea 10 % por año.
Los activos corrientes al final de cada año son 20 % de las ventas anuales.
Los pasivos corrientes al final de cada año son 15 % de las ventas anuales.
Los activos fijos netos al final de cada año son 320 % de las ventas anuales.
La amortización anual es 5 % del promedio del valor de los activos fijos durante el año.
El costo de mercancía vendida es 50 % de las ventas.
El interés ganado por los títulos es 5 % del saldo promedio de “efectivo y valores negociables”.
La tasa de impuestos es 40 %.
Utilice los datos mencionados para proyectar los estados contables para el año 1.
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8. Extienda el modelo del ejercicio previo para 5 años.
El modelo del ejercicio 8.a contiene el costo de mercancía vendida pero no contiene “gastos generales de administración y comercialización (SG&A)”. Asuma que dicho costo es $2.000 en el año 0 y tiene una tasa de crecimiento
del 7,5 %. Efectúe el correspondiente ajuste para el modelo del ejercicio 8.a.
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Principios de Finanzas con Excel
9. La siguiente hoja presenta el balance y estado de resultados de una empresa.
Usted considera que dichos Estados Contables son representativos de los indicadores de valor de la empresa (por
ejemplo, si las ventas son $20.000 y los costos de mercancía vendida son $12.000, entonces el parámetro de CMV
respecto de las ventas representa el 60 %). Determine y calcule los indicadores de valor que pueden ser derivados
a partir del balance y estado de resultados de la empresa.
Utilice los siguientes datos para proyectar los estados contables para el año 1:
~~ El crecimiento de las ventas es 12 %.
~~ La amortización es 10 % del valor promedio de los activos fijos durante el año.
~~ La tasa de interés ganada durante el año sobre el efectivo y valores negociables es 5 % del saldo
promedio.
~~ Los pagos de deuda son $2.000 por año.
~~ La tasa de interés sobre la deuda es 8 %.
Presente en un gráfico el cambio en el beneficio de la empresa ante un cambio en el CMV.
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10. Extienda el proyecto del ejercicio anterior hacia 6 años.
El modelo que estamos trabajando no incluye gastos de publicidad (estos son generalmente parte de SG&A). Asuma
que dichos costos son $800 en el año 0 y 5 % de las ventas en los años 1-6. Además, asuma que la empresa debe pagar cada año por su licencia un costo fijo de $1.500. Ajuste el modelo del ejercicio 10a para estos nuevos supuestos.
Muestre en un gráfico el cambio en el beneficio neto de la empresa en relación con el cambio en el costo de la
licencia.
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CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
11. Calcule el flujo de fondos libre (FCF) para la empresa del ejercicio 8a y 10a.
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12. Elabore el Estado de Flujo de Efectivo para los modelos diseñados en los ejercicios 8a y 10a.
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13. La siguiente hoja contiene información relacionada al Balance y Estado de Resultados de Donna Company, así como
sus indicadores de valor.
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Principios de Finanzas con Excel
Usted conoce que la compañía Donna paga $6.000 de su deuda cada año y que la tasa de interés, pagada y ganada,
es sobre la deuda y valores negociables promedio y la amortización es sobre los activos fijos promedio.
Desarrolle un modelo para el balance y estado de resultado de Donna, así como la evaluación de sus flujos de fondos libres durante los siguientes 5 años.
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14. Considere los siguientes cambios en los supuestos relacionados a la Donna Company del ejercicio 13:
~~ Asuma que la deuda se mantiene en su nivel actual y el préstamo se paga solo al final del año 5.
~~ El dividendo tiene un crecimiento del 15 %, independientemente del incremento en las ventas de la
compañía.
~~ La compañía paga un bonus de 5 % de las ventas a sus empleados si las ventas son mayores a $70.000.
Combine estos cambios en el modelo pro forma y cálculo del flujo de fondos libre.
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15. ¿Cómo cambiaría su respuesta al ejercicio 13 si usted sabe que la compañía Donna pretende incrementar su deuda
en un 6 % cada año durante los próximos 5 años y que los pasivos corrientes son 25 % del CMV?
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16. La siguiente hoja presenta el Balance de su empresa:
290 |
CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
¿Cuál es el valor de la empresa según el modelo de precio de la acción, si dicho precio en el mercado es de $5,50
y hay 90.000 acciones en circulación?
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17. ¿Cuál es el valor de la acción de la empresa del ejercicio 16 usando el valor en libros? ¿Cómo explica usted la
diferencia entre esta valuación y la basada en el precio de mercado de la acción?
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18. El perfil en Yahoo de PepsiCo (PEP) se presenta a continuación. ¿Cuál es el valor de PEP siguiendo el modelo basado
en el precio por acción? ¿Cuál es el valor en libros de PEP?
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Principios de Finanzas con Excel
19. El perfil de Yahoo de Boeing (BA) se presenta continuación. ¿Cuál es el valor de BA según el modelo de precio de la
acción? ¿Cuál es el valor en libros de BA?
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CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
20. Vuelva a la empresa del ejercicio 16. En la reunión de directorio se decidió valuar la empresa utilizando el método
de flujos de fondos descontados y tras efectuarlo usted dio con los datos descritos en la hoja siguiente:
¿Cuál es el valor del capital propio, asumiendo que el costo de capital medio ponderado (CCMP) es 18 % y utilizando
el balance de la empresa? ¿Cuál es el valor del capital propio por acción?
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21. Repita el ejercicio 20, pero en lugar del utilizar el valor final de la empresa, asuma que los flujos de fondos libres de
la empresa a partir del 6º año se mantendrán constantes a perpetuidad. Utilice descuento a mitad de año.
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22. La siguiente hoja presenta el Balance e indicadores de valor de Yummy Company, que manufactura una salsa de
tomate especial.
Modelo Financiero de Yummy Company
Indicadores de Valor
Crecimiento de ventas
12%
Activos corrientes / ventas
22%
Pasivos corrientes / ventas
20%
Activos fijos netos / ventas
5%
Costo de mercancía vendida / ventas
45%
Tasa de amortización
10%
Tasa de interés sobre la deuda
8%
Interés ganado por el efectivo y valores negociables
4%
Tasa de impuestos
36%
Ratio de pago de dividendos
25%
Ventas
Costo de capital medio ponderado
Crecimiento de largo plazo
2.000.000
16%
4%
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Principios de Finanzas con Excel
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Modelo Financiero de Yummy Company
Balance
Efectivo y valores negociables
460.000
Activos corrientes operativos
440.000
Activos fijos
Al costo
4.000.000
Amortización acumulada
(500.000)
Activos fijos netos
3.500.000
Activos Totales
Pasivos corrientes
Deuda
4.400.000
400.000
3.000.000
Capital propio (1.500.000 acciones, emitidas a $0.5 c/u)
750.000
Beneficios retenidos acumulados
250.000
Total pasivo y patrimonio neto
4.400.000
Los siguientes son otros supuestos para el modelo:
~~ La evaluación del flujo de fondos libre es para un período de 5 años. Además, debe determinarse un
valor final utilizando la tasa de crecimiento de largo plazo del FCF.
~~ Los pagos del capital de la deuda son $300.000 cada año.
~~ El efectivo es el elemento equilibrador (Plug) del modelo.
Desarrolle un modelo pro forma para Yummy y calcule el valor de la empresa usando el modelo de valuación de
flujos de fondos descontados y descuento a mitad de año.
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23. Calcule lo siguiente en relación a Yummy Company del ejercicio 22:
~~ Muestre cómo el valor de la empresa y el valor de su acción cambian si utiliza descuento a mitad de año.
~~ Muestre en un gráfico la sensibilidad del valor de empresa en marcha (efectuada con descuento a final
del año) respecto del crecimiento en las ventas.
~~ Muestre en un gráfico la sensibilidad del valor de empresa en marcha (efectuada con descuento a final
del año) respecto del CCMP de la empresa.
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CAP. 7 | Usar modelos financieros de planificación para valuación
24. La siguiente hoja presenta el Balance e indicadores de valor de Pequeña India, una compañía que opera restaurantes de comida India.
Modelo Financiero para Pequeña India
Crecimiento de ventas
25%
Activos corrientes / ventas
10%
Pasivos corrientes / ventas
30%
Activos fijos netos / ventas
15%
Costo de mercancía vendida / ventas
35%
Tasa de amortización
5%
Tasa de interés sobre la deuda
8%
Interés ganado por el efectivo y valores negociables
3%
Tasa de impuestos
40%
Ratio de pago de dividendos
20%
Ventas
Costo de Capital Medio Ponderado
Tasa de crecimiento de Largo Plazo del FCF
1.100.000
12%
3%
Balance
Efectivo y valores negociables
370.000
Activos corrientes operativos
110.000
Activos fijos
Al costo
2.000.000
Amortización acumulada
(500.000)
Activos fijos netos
1.500.000
Activos Totales
Pasivos corrientes
Deuda
1.980.000
330.000
1.000.000
Capital propio (500.000 acciones, emitidas a $1 cada una)
500.000
Beneficios retenidos acumulados
150.000
Total pasivo y patrimonio neto
1.980.000
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Principios de Finanzas con Excel
Otros supuestos para el modelo son los siguientes:
~~ La evaluación del flujo de fondos libre es para un período de 5 años. Además, debe determinarse un
valor final utilizando la tasa de crecimiento de largo plazo del FCF.
~~ Los pagos del capital de la deuda son $200.000 cada año.
~~ El efectivo es el elemento equilibrador (Plug) del modelo.
Desarrolle un modelo pro forma y calcule el valor de la empresa y de su acción usando el modelo de valuación de
flujos de fondos descontados, considerando descuento a mitad de año.
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296 |
Capítulo 8
¿Qué es el riesgo?
Contenido
1. Concepto general
2. Características de riesgo de los activos financieros
3. Un título libre de riesgo puede ser arriesgado porque tiene un
horizonte a largo plazo
4. Riesgos en precios de acciones. El caso McDonald´s
5. Contenido avanzado: utilizar retornos con capitalización continua para
calcular las estadísticas anualizadas de los retornos
6. Resumen
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
1. Concepto general
Riesgo es una palabra mágica en finanzas. Cuando la gente de finanzas no puede explicar algo, tratamos de mostrarnos confiables y responder “debe ser por el riesgo”. Si quiere parecer inteligente cuando
está en una exposición de finanzas, muéstrese escéptico y diga “¿ha considerado usted el riesgo? Generalmente, esto basta para calificar algunos puntos1.
Nuestra intuición generalmente asume el riesgo financiero como la imprevisibilidad. Un activo financiero como una cuenta de ahorro no sería, por lo tanto, arriesgado, porque su valor futuro es conocido;
mientras que un activo financiero como una acción es arriesgado porque no conocemos su valor en el
futuro. Los activos financieros de distintos tipos tienen distintos grados de riesgo: nuestra intuición nos
dice que una cuenta de ahorro es menos arriesgada que una acción de una empresa y una acción de una
empresa, sobre todo en el rubro alta tecnología, es más arriesgada que una acción de una empresa con
más trayectoria.
La intuición que ata imprevisibilidad y riesgo es válida, pero puede presentar algunos aspectos sorprendentes. Por ejemplo, en la sección 8.3 mostramos que un título libre de riesgo —“T-bill” (Treasury
Bill o Bono del Tesoro emitido por el gobierno de EE. UU.) — puede en algunas ocasiones ser arriesgado,
aun cuando parezca completamente seguro. Ese título se vuelve imprudente si usted debe venderlo antes
de su vencimiento. Ilustraremos ese riesgo con un ejemplo. También veremos el riesgo de poseer una
acción y mostraremos que este puede ser cuantificado estadísticamente. Esto conforma una importante
introducción para los capítulos 9-11, en que usaremos una descripción estadística del riesgo de precio
de una acción para hablar de seleccionar carteras de acciones.
Hemos tratado de elaborar un capítulo lo menos estadístico y matemático posible, sin embargo, la
medición de riesgo involucra cálculos2 inevitablemente.
1 Le doy a mis alumnos el siguiente consejo para los exámenes de finanzas: suponga que tiene que responder una pregunta de la que
no conoce la respuesta en absoluto (“¿Cuál es la función zeta de los retornos anuales?” “¿Cómo explica la diferencia entre los retornos
anuales de la empresa XYZ a través del tiempo?”) si no sabe nada sobre la pregunta, diseñe una oración sin sentido que incluya la palabra
“riesgo” (“la función zeta de los retornos anuales se relaciona al riesgo de los retornos” o “los retornos anuales de XYZ varían a causa del
cambio en el riesgo de la empresa”). Le darán un punto o dos.
2 Los estudiantes que leen este libro generalmente han realizado un curso de estadística. Este capítulo asume alguna familiaridad con los
conceptos estadísticos básicos, y el capítulo 9 repasa estos conceptos en el contexto de activos financieros. En este sentido los capítulos
8 y 9 son idénticos.
| 299
Principios de Finanzas con Excel
Conceptos financieros tratados
■■ Rendimiento
ex ante y ex post.
■■ Retorno para un período de tenencia.
■■ Retornos de un bono del tesoro.
Funciones de excel utilizadas
■■ RAÍZ.
■■ PROMEDIO.
■■ DESVESTP.
■■ VARP.
■■ Frecuencia.
■■ CONTAR.
■■ Ln.
2. Características de riesgo de los activos financieros
En el transcurso de su vida, usted estará expuesto a muchos activos financieros. Y quizás ya lo estuvo,
aún sin saberlo cuando usted era pequeño; puede que sus padres abrieran una cuenta de ahorro para
usted en un banco local, o que sus abuelos compraran algunas acciones. Ahora que usted es estudiante,
es probable que le atosiguen con préstamos estudiantiles y cada mes usted trate de decidir si pagar los
saldos de sus tarjetas de crédito o diferirlos para el mes siguiente y pagar el interés sobre ellos. Una vez
que usted finalice la universidad, pedirá un préstamo, comprará una casa con crédito hipotecario, comprará acciones y bonos, etc.
Todos los activos financieros presentan diferentes características en horizonte, seguridad y liquidez.
Como verá, estos tres términos son en alguna medida indicativos del riesgo de los activos. En esta sección
discutiremos estos conceptos brevemente.
2.1. Horizonte
Algunos activos son de corto plazo y otros de largo plazo. El dinero depositado en una cuenta corriente
es un buen ejemplo de un activo de muy corto plazo; el dinero puede ser extraído en cualquier momento.
Por otro lado, muchas cuentas de inversión requieren que usted deposite el dinero durante un cierto período de tiempo. Mire la figura 8.1, que muestra las tasas ofrecidas por certificados de depósito (CD) por
el Discover Bank de Delaware. Un CD es un depósito a plazo en un banco que no puede ser extraído por
un cierto período de tiempo sin el pago de una penalidad. No es sorprendente que los CD a largo plazo
ofrezcan altas tasas de interés.
300 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
Figura 8.1: El Discover Bank de Delaware ofrece certificados de depósito (CD)
con diferentes vencimientos.
La diferencia entre “tasa de interés” y “porcentaje de rendimiento anualizado” (APY) surge del hecho
de que el interés que paga el Banco Discover capitaliza en forma diaria. Por ejemplo, la tasa de interés a
10 años de 3,93 % arroja un APY de:
 3, 93% 
 1 + 365 


365
− 1 = 4%
(Este tema ha sido tratado ya en el capítulo 3)
Usted no siempre está “atado” a un activo financiero con horizonte a largo plazo. Muchos activos a
largo plazo pueden ser vendidos en mercados abiertos. Suponga, por ejemplo, que usted compra un bono
del gobierno a 10 años. Usted puede “deshacerse” del bono prácticamente en cualquier momento vendiéndolo en el mercado abierto, pero vender el bono antes de su vencimiento lo expone a usted al riesgo
de un precio de mercado desconocido. Este tema será explicado en detalle en la sección 8.3.
Algunos activos tienen un horizonte de mediano y largo plazo. Una acción de una empresa es un buen
ejemplo. Poseer una acción de McDonald´s, por ejemplo, lo hace dueño de los dividendos que la compañía pague a sus accionistas por tanto tiempo como usted tenga la acción y la empresa exista. Usted
puede, por supuesto, vender la acción en la bolsa, pero ello lo expone al riesgo de fluctuación de precios.
En la sección 8.4 discutiremos cómo analizar el riesgo de la tenencia de una acción; es un asunto sobre
el que volveremos a hablar con más detalle en los capítulos 9-13.
2.2. Seguridad
Los activos financieros difieren en la certidumbre con la que usted recupera su dinero. El CD del
Banco Discover de la figura 8.1 está garantizado por la “Federal Deposit Insurance Corporation”, una
agencia del gobierno de EE. UU., hasta un límite de USD 250.000. Hasta dicho límite, el comprador
| 301
Principios de Finanzas con Excel
de un CD del Banco Discover recuperará su dinero (incluyendo intereses), incluso si el banco no puede
cumplir con sus obligaciones.
La figura 8.2 compara las tasas ofrecidas por el Banco Discover con aquellas disponibles para los
inversores en bonos emitidos por General Motors Acceptance Corporation (GMAC). Las tasas de interés
de los bonos de GMAC son mucho mayores que las del Banco. Sin embargo, hay una significativa diferencia en seguridad entre estas dos clases de activos: cuando estos datos se recabaron en Mayo de 2009,
General Motors, la empresa dueña de GMAC, estaba próxima a la quiebra y la incertidumbre asociada a
la actualización de los rendimientos de GMAC era elevada. Posteriormente, la empresa derivó en quiebra. Claramente, una inversión en bonos de GMAC es mucho menos segura que una inversión en CD del
Discover Bank.
En general, a menor seguridad de un activo, mayor será el rendimiento que el inversor demandará y
esperará de él. Por ello, por ejemplo, si el CD del Banco Discover paga un interés entre 1 y 4 %, los inversores inteligentes de acciones de McDonald´s (menos segura y más incierta que el CD) deberían esperar
un rendimiento mayor que el 1 a 4 %.
Figura 8.2. Los bonos de GMAC son mucho más arriesgados que los CD del Banco Discover. No es
sorprendente que el rendimiento de los bonos de GMAC sea mucho mayor que el de (el muy seguro) CD
del Banco Discover.
La cuestión del “rendimiento esperado” es complicada:
■■ Si
usted compra un CD del Banco Discover a 5 años, recibe un rendimiento prometido de 3,6 %
anual. Usted obtendrá ese rendimiento anual prometido con seguridad (bien, o casi con seguridad:
siempre existe la remota posibilidad de que una catástrofe prive tanto al Banco Discover como
al gobierno de EE. UU. de cumplir sus obligaciones). Para el CD del Banco Discover a 5 años, el
rendimiento esperado y el rendimiento real (con lo que queremos decir el rendimiento real obtenido) serán iguales. En la jerga económica, el rendimiento esperado es conocido normalmente como
rendimiento ex ante y el rendimiento real es conocido como rendimiento ex post (esta terminología
deriva de las palabras latinas “antes” y “después”).
■■ Si usted compra una acción de McDonald´s, usted espera obtener más de 3,6 % de rendimiento
anual. Sin embargo, en este caso la expectativa es meramente un rendimiento futuro medio esperado. En otras palabras, usted estará decepcionado pero no demasiado sorprendido si el rendimiento real obtenido en la acción después de 5 años resulta menor que el 3,6 %.
302 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
2.3. Liquidez
La facilidad con que un activo puede ser comprado o vendido es su liquidez. En general, a mayor
liquidez de un activo, más fácil es “deshacerse” de él y menor es su riesgo.
Las acciones que cotizan en bolsa de las mayores empresas de EE. UU. son muy líquidas. En los
10 años entre 1999 y 2008, el promedio diario de acciones de McDonald´s operado (esto quiere decir
acciones compradas y vendidas) en la Bolsa de Nueva York fue de 6,2 millones de acciones. Este es el
promedio, el mayor número de acciones operado diario fue casi 87 millones y el menor número de acciones fue 1,3 millones. Si usted quiere comprar o vender una acción (o unos cuantos miles de acciones),
no tendrá problema en hacerlo: la acción de McDonald´s es muy líquida.
La liquidez tiene otro aspecto que los economistas financieros denominan efecto precio. Suponga que
usted decide vender 1.000 acciones de McDonald´s que le regaló su abuela. No tendrá ningún problema
en hacerlo, pero ¿afectará su venta el precio de mercado? Para la acción de McDonald´s la respuesta es
no.
No todas las acciones son igualmente liquidas. Audiovox, que cotiza en el NASDAQ, es una empresa
mucho más pequeña que McDonald´s. En un día promedio, alrededor de 165.000 acciones de Audiovox
son compradas y vendidas, pero en los 10 años entre 1999 y 2008, ese número ha sido tan bajo como
3.600 acciones por día. Usted tendrá relativamente poco problema en comprar o vender varios miles de
acciones de Audiovox, pero su venta podría afectar a la cotización de mercado de la acción. Audiovox no
es tan líquida como McDonald´s y, consecuentemente, tiene más riesgo de liquidez.
2.4. ¿Y ahora qué?
Horizonte, seguridad y liquidez determinan el riesgo de un activo financiero. En las secciones siguientes daremos algunos ejemplos concretos. Comenzamos observando el riesgo inherente en la tenencia de
un bono del Tesoro de EE. UU. (T-Bill). Un T-Bill es completamente seguro, en el sentido de que el Tesoro
de EE. UU. cumplirá sus obligaciones de devolver el dinero que pidió. Es también muy líquido, millones
de dólares de T-Bill se compran y venden a diario en los mercados financieros. Mostraremos que el horizonte de un T-Bill implica que resulta algo temerario si usted intenta venderlo antes de su vencimiento,
ya que el precio de mercado es impredecible.
Del T-Bill nos iremos al análisis de riesgo inherente en la acción de McDonald´s. Esta acción no es
segura en el sentido de que la empresa no hace ninguna promesa respecto de dividendo o cotización de
mercado futura de la acción. Analizaremos el rendimiento de una acción de McDonald´s en la década
1990-2000 e intentaremos extraer algún sentido estadístico de ese rendimiento.
| 303
Principios de Finanzas con Excel
¿Es riesgo o incertidumbre?
Frank H Knight (1885-1972) escribió una disertación en 1921 denominada Riesgo, Incertidumbre y Beneficio. Knight utilizó
el término riesgo para referirse a variabilidad con probabilidades conocidas e incertidumbre para significar variabilidad que
no es mensurable. En finanzas la distinción entre estos dos conceptos es a menudo ambigua, y en este libro las palabras
“riesgo” e “incertidumbre” se utilizan simultáneamente.
3. Un título libre de riesgo puede ser arriesgado porque tiene un horizonte a largo plazo
La gente de finanzas utiliza la expresión “libre de riesgo” para describir un activo cuyo valor en el
futuro es conocido con certeza. Un ejemplo clásico de libro sobre un activo libre de riesgo es un depósito
bancario. Si usted deposita $100 en su banco con garantía oficial que rinde el 10 %, entonces sabe que
en 1 año a partir del depósito tendrá $110 en su cuenta. Es libre de riesgo y es seguro.
T-Bill es un ejemplo de un activo seguro, que no es libre de riesgo. T-Bill son títulos de corto plazo emitidos por el Gobierno de EE. UU. A diferencia de los CD de un banco, los T-Bill no tienen un interés explícito.
En lugar de ello, son vendidos con un descuento; un título con un Valor Nominal de $1000 que vence en
1 año debe ser vendido hoy a $953.04. En este caso, el comprador del mismo que lo mantiene hasta su
vencimiento recibirá los $1.000 de parte del Gobierno de EE. UU. y su rendimiento será entonces de:
1.000
− 1 = 4, 93%
953, 04
Los T-Bill son emitidos por el Gobierno de EE. UU. y, por lo tanto, al menos un tipo de riesgo (el de
incumplimiento) está ausente de estos instrumentos. Dado que el Gobierno tiene la máquina de emitir
dólares, puede siempre emitir algunos dólares para cumplir con sus compromisos.
Aunque los T-Bill están libres de riesgo de incumplimiento, sin embargo, ellos pueden presentar elementos de riesgo de precio. El resto de esta sección ilustra esta idea.
Suponga que el 1 de junio de 2008 usted compra un T-Bill a 1 año de $1.000 del Gobierno de EE.
UU., con la intención de mantenerlo hasta su vencimiento el 1 de junio de 2009. Como dijimos, el T-Bill
no paga interés, en lugar de ello, se compra con descuento; es decir, por menos que su valor nominal. En
este caso, suponga que usted compra el título por $977,04; dado que vence en 1 año desde la compra,
usted anticipa obtener un rendimiento de 2,35 %.
304 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
Ahora, antes que comencemos a realizar cálculos financieros, es preciso dejar en claro algo: si usted
mantiene su T-Bill desde el 1 de junio de 2008 hasta su vencimiento 1 año después, definitivamente
ganará 2,35 % de interés. Los T-Bill son títulos que el Gobierno de EE. UU. nunca dejó de pagar.
En la jerga financiera, el rendimiento ex ante (algunas veces llamado anticipado o rendimiento esperado) es el rendimiento que usted cree que obtendrá por él. El rendimiento ex post (también denominado
obtenido) es el rendimiento real que recibe al vender el título. Para el T-Bill que aquí se ilustra, el rendimiento ex ante es igual al ex post si usted mantiene el título hasta su vencimiento. Eso es siempre así
para títulos libres de riesgo.
3.1. El riesgo de precio de los T-Bill
Por curiosidad, si usted sigue las cotizaciones de los T-Bill el primer día de cada mes, obtiene lo
siguiente:
Utilizaremos estas cotizaciones mensuales para computar algunos rendimientos.
3.2. ¿Qué tasa de rendimiento ex post obtendría si vende los T-Bill antes de su vencimiento?
Suponga que usted vende los T-Bill después de 3 meses el 1 de Septiembre de 2008 a $986,27.
¿Cuánto habrá ganado? Un cálculo relativamente simple nos proporciona el resultado. El rendimiento
mensual —rendimiento ex post— estará dado por:
 precio el 1 de septiembre de 2008 
1+ tasa de rendimiento ex post= 

 precio inicial el 1 de junio de 2008 
1
3
 986, 27 
=

 977, 04 
1
3
= 1, 0031
| 305
Principios de Finanzas con Excel
El exponente 1/3 es por el intervalo de 3 meses entre junio y septiembre. Si lo elevamos a la 12ª
potencia, obtendremos el rendimiento anual de 3,83 %.
Si en lugar de ello, usted vende el título el 1 de agosto, es decir 1 mes antes, obtendría 3,56 % en
términos anuales.
Podemos realizar este ejercicio para cada uno de los meses entre julio de 2008 hasta mayo de 2009.
En la hoja de cálculo más abajo calculamos los rendimientos ex post anualizados, resultantes de la venta
del T-Bill al comienzo de cada uno de los meses de julio, agosto… mayo.
306 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
Como verá, si el T-Bill se vende antes de su vencimiento, hay una considerable cantidad de riesgo,
definida aquí como la posible variación en el rendimiento ex post. El T-Bill —un activo totalmente libre
de riesgo en el sentido de que el Tesoro de EE. UU. siempre pagará sus obligaciones— tiene un riesgo de
precio que se traslada al riesgo de los rendimientos si se vende antes de su vencimiento.
Nota de Excel
Los cálculos de tasa de interés efectuados arriba utilizan la siguiente fórmula:
1
 precio del T-Bill en el mes t  número de meses que fue mantenido
rmensual = 1 + tasa de interés mensual = 

 precio de compra del T-Bill 
ranual = 1 + tasa de interés anual = (1 + rmensual )
12
Para calcular el número de meses que ha sido mantenido el T-Bill, utilizamos la función Contar de Excel. Por ejemplo, para
ver cuántos meses hemos mantenido el T-Bill si lo hemos adquirido al comienzo de junio de 2008 y vendido al comienzo de
septiembre de 2008, usamos CONTAR($A$6:A6). Esto cuenta el número de celdas entre A6 y A4 (los meses de julio, agosto
y septiembre). El uso del signo dólar nos asegura que al copiar la fórmula comienza a contar siempre desde julio.
3.3. ¿Qué rendimiento ex ante hubiera obtenido si hubiera adquirido el T-Bill durante el año?
En el ejercicio previo hemos calculado el rendimiento ex post que hubiera obtenido si compró el título
el 1 de junio de 2008 y lo vendió antes del vencimiento el 1 de julio de 2009. Hay un segundo “juego”
que puede realizarse con los precios del T-Bill. Suponga que compró el mismo al principio de agosto por
$982,74 y que pretenda mantenerlo por 10 meses hasta julio de 2009. ¿Cuál será el rendimiento ex ante
anualizado que espera obtener? Podemos calcularlo en primer lugar estimando el rendimiento ex ante
mensual y anualizarlo de modo similar a lo realizado para el cálculo ex post que vimos antes.
1000


1+ tasa de rendimiento mensual ex ante = 

precio
inicial
el
1
de
agosto
de
2008


1
10
10
 1000 
=
 = 1, 00174
 982,75 
Rendimiento ex ante anualizado: (1,00174)12 – 1 = 2,11 %
Si realizamos esto para cada uno de los meses, veremos que a lo largo del año desde julio de 2008
hasta junio de 2009 el rendimiento ex ante del T-Bill cae.
| 307
Principios de Finanzas con Excel
3.4. ¿Cuál es el mensaje?
Este ejemplo, que ilustra el riesgo de un activo “libre de riesgo” como los T-Bill, muestra que el
riesgo financiero depende del horizonte: un activo financiero puede ser libre de riesgo en un horizonte y
arriesgado en otro. En nuestro ejemplo, comprando el T-Bill en cualquier momento durante el año y manteniéndolo hasta el vencimiento se garantiza que el rendimiento ex ante será igual que el rendimiento ex
post. Por otro lado, vender el T-Bill antes de su vencimiento implica riesgo, en este caso el retorno real
(ex post) varía.
3.5. Consideraciones finales: ¿qué ocasiona el riesgo de los T-Bill?
Hemos mostrado que mantener los T-Bill durante junio 2008 hasta junio 2009 puede ser un tanto
imprudente si usted planea vender el título antes de su vencimiento. La causa de ello fue, por supuesto,
la terrible variabilidad que hubo en los mercados financieros durante dicho lapso. Para mantener el sistema bancario en funcionamiento, la Reserva Federal inundó los mercados con dinero. Las tasas de interés
decayeron mensualmente. Los resultados son claros en nuestro ejemplo sobre los riesgos de tenencia o
compra de T-Bill.
4. Riesgos en precios de acciones. El caso McDonald´s
Un T-Bill es un título relativamente simple: el emisor es muy bien conocido y nunca ha incumplido sus
obligaciones, el rendimiento ex ante puede derivarse a partir del precio y su rendimiento está garantizado
si usted mantiene el título hasta su vencimiento. Una acción no tiene ninguna de esas características y
por eso es más arriesgada. El problema es cómo cuantificar dicho riesgo.
308 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
Presentamos aquí un ejemplo: la figura 8.3 muestra cómo los precios de McDonald´s variaron desde
31 de diciembre de 1998 hasta 31 de diciembre de 2008.
El hecho de que las cotizaciones de las acciones suban y bajen es un indicador del riesgo de la acción. Si calculamos los rendimientos diarios, vemos un tipo diferente de riesgo. Abajo calculamos los
rendimientos diarios de la tenencia de la acción de McDonald´s. Es lo que usted obtendría en porcentaje
si adquiere la acción a su cotización de cierre el día t y la vende a su cotización de cierre el día t + 1.
Rendimiento diario, en día t =
Pt+1
−1
Pt
Figura 8.3: Precio de la acción de McDonald´s entre el
31 de diciembre de 1998 y 31 de diciembre de 2008. A
lo largo de la década el precio de la acción ascendió
de $31,69 a $60,58 por acción, pero con considerable
volatilidad. La tasa de crecimiento anual compuesta de la
acción fue 6,69 % (este cálculo asume que los dividendos
fueron reinvertidos para adquirir más acciones).
Si elabora un gráfico de los rendimientos diarios para un mes, se obtiene un patrón de movimientos con muchas
puntas.
| 309
Principios de Finanzas con Excel
Si elabora un gráfico de los rendimientos diarios para los 2.515 puntos durante la década, obtiene un patrón con
mucho “ruido”.
Cada punto representa el rendimiento de la acción de McDonald´s en un día en particular. Aunque
haya puntos en todos lados, parece haber más puntos arriba del eje x que por debajo de él, indicando
que, en promedio, el rendimiento de la acción de McDonald´s fue positivo. El rendimiento diario mayor y menor están indicados con las marcas cuadradas: el 9 de julio de 1999 el precio de la acción de
McDonald´s subió un 9,68 % y el 17 de Septiembre de 2002 el precio cayó un 12,82 %.
4.1. La distribución de los rendimientos de la acción de McDonald´s
Los dos gráficos anteriores muestran los retornos de la acción de McDonald´s en cada día específico.
Estos gráficos muestran claramente que la acción es arriesgada —los retornos varían día a día— pero no
nos dan demasiada información sobre la naturaleza estadística del riesgo de la empresa. Una manera
diferente de pensar en el riesgo de la acción de McDonald´s es observar la distribución de frecuencia de
los retornos diarios: de los 2.515 retornos diarios, ¿cuántos estuvieron entre 0,5 y 1,25 %? La respuesta
es 429, que representa el 17,06 % del número total de retornos. Como otro ejemplo, 32 de los retornos
(1,27 % del total) fueron entre -4,0 % y -3,25 %. En la hoja de abajo hemos utilizado la función Frecuencia de Excel para calcular toda la distribución de frecuencia de los retornos (vea la nota de Excel
de la página siguiente para más información sobre cómo utilizar esta función). El gráfico de los retornos
aparece como una distribución normal (campana) que usted probablemente haya estudiado antes en
algún curso de estadística.
310 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
Nota de Excel
La distribución de frecuencia que dio lugar a la campana para los retornos de la acción de McDonald´s fue calculada con
la función de Excel llamada Frecuencia. Para utilizar dicha función, considere el siguiente ejemplo que genera los retornos
mensuales para la acción de IBM entre enero de 2007 y enero de 2009:
Continúa en página siguiente >>
| 311
Principios de Finanzas con Excel
<< Viene de página anterior
Cuando termina de ingresar el rango C4:C27 y F3:F22 como se muestra arriba, ¡no haga clic en Aceptar! En lugar de ello,
simultáneamente oprima las teclas [Ctrol] + [Shift ] + [Enter ] Así colocará la distribución de frecuencia en la hoja como se
muestra abajo.
Esta tabla dice que en el período enero 2007 – enero 2009:
■■ Hubo
■■ Hubo
2 meses en que la acción de IBM tuvo un retorno entre - 22 % y - 10 %.
1 mes en que la acción de IBM tuvo un retorno entre - 9 % y - 10%.
Y así sucesivamente...
312 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
4.2. Calcular la media y desviación estándar de los retornos de la acción de McDonald´s
En la hoja de abajo observamos los precios al final del año de McDonald´s entre 1999 y 2008. En
promedio, un accionista de McDonald´s obtuvo un retorno anual de 10,49 % por año en el período enero
1999 a enero 2009. La desviación estándar de los retornos anuales es 26,88 %. La desviación estándar
es una medida estadística de la variación de los retornos de la acción —a mayor desviación estándar,
mayor riesgo conlleva la acción—.
Nota de Excel
Ahondaremos en estadísticas en el capítulo 9. Le hemos recordado el significado de los términos.
\\
\\
\\
La media (también denominada promedio) de los retornos de McDonald´s se calcula bien sumando los retornos anuales
y dividiendo por 10 o bien calculando los retornos compuestos anuales en el período de 10 años. Hemos ilustrado ambas
maneras en las celdas B28 y G6. Note la inconsistencia entre B28 y G6 —esto es causado por haber utilizado en este ejemplo
retornos discretos—. En la sección 8.4 utilizaremos retornos con capitalización continua y la inconsistencia desaparece.
La varianza de los retornos anuales de McDonald´s se calculó en tres pasos: (I) reste cada retorno de la media; (II) eleve
al cuadrado los resultados; estos “desvíos de la media al cuadrado” se muestran en las celdas C17:C26; (III) promedie
la suma de los desvíos cuadráticos. Esto se ilustra en la celda B29. La celda G8 muestra que la función VARP de Excel
da el mismo resultado.
Dado que los retornos son porcentajes, la varianza está expresada en “unidades al cuadrado”. Esto es un poco difícil
de interpretar. La desviación estándar de los retornos es la raíz cuadrada de la varianza (y sus unidades están en porcentajes). Informalmente, usted puede pensar sobre la desviación estándar como representando el porcentaje medio de
variabilidad de los retornos individuales. La celda B30 utiliza la función RAÍZ para obtener la desviación estándar, y la
celda G9 usa la función DESVESTP.
| 313
Principios de Finanzas con Excel
4.3. ¿Cuánto riesgo conlleva otros activos?
Para darle alguna impresión de cuánto riesgo entrañan los activos, mostramos aquí una tabla de los
retornos anualizados y desvíos estándares de varios activos durante el mismo período del cual hemos
computado los retornos anuales de McDonald´s.
Una mirada hacia los activos financieros que se han resaltado en la hoja puede darle una mejor idea
intuitiva de la relación entre activos financieros y riesgo:
■■ El
Fondo “Vanguard Long Term Treasury”, es un fondo mutuo que invierte en títulos de largo plazo
del Tesoro de EE. UU. Como vio en la sección 8.2., la ausencia de riesgo de impago en dichos bono
no implica que sean libres de riesgo: sus precios pueden variar considerablemente y, como consecuencia, el tenedor de los Vanguard Long Term Treasury puede experimentar incertidumbre en sus
retornos. Sin embargo, nuestra intuición nos dice (acertadamente, como verá en las páginas siguientes) que dicho fondo debe ser menos arriesgado que la mayoría de las acciones. Durante la década
1999-2008, el Fondo Vanguard Long Term Treasury dio un retorno medio anual de 5,44 % y este
retorno tuvo una desviación estándar de 13,37 %.
■■ El índice Standard & Poor (S&P) 500 es un índice amplio de las 500 mayores acciones de
EE. UU. y es habitualmente utilizado como medida del rendimiento del mercado accionario de
EE. UU. Durante la década 1999-2008, el índice S&P500 tuvo un retorno medio anual de -3.22 %
y una desviación estándar de 15,28 %. Usted podría haber esperado una relación más clara entre el
Fondo Vanguard Long Term Treasury y el S&P500, pero en este caso, el S&P500 tuvo rendimiento
medio menor y riesgo mayor que el Fondo Vanguard Long Term Treasury. Por supuesto que todo ello
visto en retrospectiva: generalmente percibimos que el riesgo de S&P500 es mayor que el del Fondo
Vanguard Long Term Treasury y podemos esperar razonablemente que, hacia adelante, los retornos
ex ante (refiriéndose a los retornos futuros esperados) del S&P sean mayores que los del Vanguard3.
3 En la década previa ello fue así: el S&P tuvo un retorno medio de 15,09 % y el Fondo Vanguard Long Term Treasury un
retorno medio de 2,43 %; las desviaciones estándar de los dos fondos fueron 13,18 y 7,94 %, respectivamente.
314 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
■■ La
acción más expuesta en nuestro ejemplo fue American Airlines y fue también una de las de peor
rendimiento, con un retorno medio anual negativo de -8,04 %4.
Parece haber poca relación entre desviaciones estándar de los retornos y retornos medios. En el capítulo 10 definiremos otra medida de riesgo, llamada beta, que funciona mejor como indicador de riesgo.
5. Contenido avanzado: utilizar retornos con capitalización continua para calcular las
estadísticas anualizadas de los retornos
Hemos comentado la capitalización continua en el capítulo 3. Como se explicó, el retorno con capitalización continua se calcula utilizando la función Ln. Por razones que están fuera del alcance de este
libro, el retorno con capitalización continua es generalmente un mejor método de calcular las estadísticas
de los retornos (al decir “mejor” queremos decir dos cosas: hay una teoría detrás de los números y dicha
teoría da el mismo resultado si está calculando las estadísticas anuales a partir de datos diarios, semanales, o mensuales). En la hoja de abajo, hemos calculado las estadísticas de retornos con capitalización
continua para McDonald´s.
El retorno medio diario con capitalización continua (celda G7) es 0,026 %. Para anualizar dicho retorno, multiplicamos por 252, el número medio de días hábiles por año5. El retorno medio anualizado con
capitalización continua es 6,49 % (celda G11). De modo similar, la varianza de los retornos anualizada
es 0,0053 (celda G12) y la desviación estándar de los retornos anualizada es 7,26 % (celda G13)6.
4 En la década previa, los números de American Airlines fueron 9,26 y 29,34 %.
5 En el período de 10 años entre 1999 y 2008, hubo 2.516 días en los cuales McDonald´s tuvo transacciones. Ello da el promedio de 252
días por año.
6 Nótese que el retorno medio anualizado con capitalización continua promedia 6,49 % y es menor que el retorno medio anualizado con
capitalización discreta de 6,94 % calculado antes. Una razón para ello es que la capitalización continua acumula más rápidamente que la
capitalización discreta. Como se dijo en el capítulo 3, hay maneras alternativas para calcular los retornos. Para comparar los retornos de
dos activos, asegúrese de que la base de cálculo sea la misma.
| 315
Principios de Finanzas con Excel
6. Resumen
En este capítulo hemos intentado darle algunas ideas intuitivas sobre la naturaleza del riesgo financiero mediante una serie de ejemplos. El riesgo —la variabilidad de los retornos de un activo a través
del tiempo— depende de una serie de factores. A grandes rasgos, las características de un activo son su
horizonte, su seguridad y su liquidez. Como hemos demostrado, incluso los activos que no tienen riesgo
de insolvencia como los Treasury Bill, pueden ser arriesgados, pues su precio puede variar a lo largo del
horizonte del activo. Con nuestro ejemplo de la acción de McDonald´s hemos demostrado que puede
obtenerse algún sentido estadístico a partir de la variabilidad de los retornos a través del tiempo; usando
la función Frecuencia de Excel, hemos podido demostrar que los retornos de la acción de McDonald´s se
ven bastante parecidos a una curva en forma de campana muy familiar en estadística.
El riesgo es el concepto más importante en finanzas: la variabilidad en los retornos de los activos financieros es el principal factor en la vida de finanzas, pero dicho riesgo no es fácil de definir o medir. En
los capítulos 10-13 desarrollaremos un modelo para apreciar riesgos, esto es, un modelo que nos ayudará
a determinar la tasa de descuento ajustada por riesgo. La innovación importante de dicho modelo es que
el riesgo depende de un contexto de cartera —no son solamente los retornos del activo por sí solos los
que determinan el riesgo de todos los activos mantenidos por el inversor—.
Antes de que podamos desarrollar dicho modelo, sin embargo, usted precisa un repaso de sus habilidades en estadística. Esta es la tarea propuesta para el capítulo 9.
316 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. La profesora Smith estaba jactándose de sus habilidades como inversora en el mercado de acciones: “En el último
mes, gané el 8 % en mi portafolio”, le dijo ella a sus alumnos. “Eso no es nada especial”, comentó el Sr. Jackson.
“El último mes obtuve un 20 % en mi portafolio, sin haber estudiado 15 años en la universidad”. ¿Realmente el
Sr. Jackson superó a la profesora Smith?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
2. ¿Puede un bono de una empresa tener un menor rendimiento esperado que un bono del gobierno? ¿Puede tener un
menor rendimiento ex post?
___________________________________________________________________________________
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3. Es el 1 de enero de 2007 y usted está considerando comprar un Treasury Bill con valor nominal de $1.000 que vence
en 1 año. La tasa de interés es 7 % anual.
a. Si usted compra el T-Bill ahora, ¿cuánto deberá pagar?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Si la tasa de interés permanece al 7 % anual, ¿cuánto valdrá el bono el 1 de febrero de 2007? ¿y el 1
de marzo? ¿y el 1 de abril?... ¿y el 1 de diciembre?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
4. Diana compró un bono emitido por la empresa ZZZ, una pequeña compañía de alta tecnología. El bono no paga
cupones (cupón cero) sino solo el valor nominal de $1.000 a su vencimiento en 2 años. Diana pretende mantener el
bono hasta el vencimiento.
a. Si el precio del bono es $756,14, ¿cuál es el retorno anual esperado del bono de Diana?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Un día después de que Diana comprara el bono, la empresa ZZZ fue adquirida por la gigantesca empresa
tecnológica ABA, que tiene muy baja probabilidad de insolvencia. Los inversores demandan solo 6,5 %
de rendimiento anual por los bonos de ABA. ¿Cuál será el nuevo precio de los bonos de ZZZ y cuanto
ganará Diana por la fusión?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 317
Principios de Finanzas con Excel
5. El 15 de marzo de 2002 usted adquiere un bono del gobierno a 2 años de plazo con valor nominal de $10.000 y cupón
del 4 % (pagadero semestralmente). El precio del bono fue $9.750 y promete cupones de $200 el 15 de septiembre
de 2002; 15 de marzo de 2003; 15 de septiembre de 2003 y 15 de marzo de 2004 (este último día el bono pagará
también su valor nominal).
a. En base al siguiente cuadro, calcule la TIR anual de la compra del bono:
A
B
C
1
FECHA
FLUJO DE FONDOS
2
15/3/2002
-9.750
3
15/9/2002
200
4
15/3/2003
200
5
15/9/2003
200
6
15/3/2004
10.200
TIR SEMESTRAL
2,67 %
7
8
<….= TIR (B2:B6)
b. Inmediatamente después de recibir los $200 de interés del bono el 15 de septiembre de 2002, usted
vende el bono a $10.000. ¿Cuál fue su rendimiento ex post obtenido (en términos anuales)? ¿Cuál era
el rendimiento esperado ex ante por el adquirente del bono (también expresado en términos anuales?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
6. Durante una convención de coleccionistas de sellos el director habló acerca de la rentabilidad de invertir en estampillas raras. “El año pasado yo invertí $150.000 en sellos especiales. Esos sellos valen ahora $200.000 acorde
al catálogo, lo que significa una rentabilidad anual del 33 %. Para comparar, la rentabilidad media en el mercado
accionario en los últimos 30 años fue de solo el 16 %”. Encuentre (al menos) tres problemas en el argumento del
director.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
7. Un supuesto básico de los economistas es que los inversores son adversos al riesgo, lo que significa que si ven al
activo A como más arriesgado que el activo B, ellos demandarán un mayor rendimiento esperado.
Una “apuesta justa” es una apuesta cuyo rendimiento esperado es cero. A continuación, un ejemplo de una apuesta
justa: pago $1 para obtener $2 si al lanzar una moneda sale cara, o 0 si al lanzar la moneda sale cruz. Observe que
dicha apuesta tiene un rendimiento esperado de cero.
Flujo de fondos Esperado = 0,5
 *
Probabilidad
de salir cara
318 |
$2

Fllujo de fondos
al salir cara
+ 0,5
 *
Probabilidad
de salir cruz
$2
Flujo de fondos
al salir cruz
= $1
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
Rendimieno Esperado =
$1
Flujo de fondo esperado
− 1 = = 0%
$1
Costo de la apuesta
¿Querrá un inversor adverso al riesgo aceptar una apuesta justa?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
8. Un inversor neutral al riesgo desea efectuar apuestas con un rendimiento esperado de cero. Suponga que a un inversor neutral al riesgo se le ofrece la oportunidad de participar en un juego de lanzamiento de dado. Si en el dado
sale 1 recibirá un pago de $1, si en el dado sale 2 el pago será $2... ¿Cuál es el máximo precio que el inversor neutral
al riesgo aceptará pagar para participar en este juego?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
9. En el planeta Apatía todos los inversores son indiferentes al riesgo. El rendimiento esperado de los bonos del gobierno es 5 %. ¿Implica ello que los rendimientos medios de las acciones deba ser 5 %?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
10. Una de las maneras en que Estados Unidos ayuda a los países extranjeros es garantizar sus préstamos bancarios.
Explique (brevemente) los beneficios para los países extranjeros en obtener dicha garantía (la nota al pié 1 es un
buen punto de partida para su respuesta).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
11. Durante una clase de finanzas el Profesor Johnson explicó a sus estudiantes la relación entre mayor riesgo y mayor
rendimiento esperado. Al final de la clase uno de los alumnos preguntó: “ayer leí en el periódico que el mercado
de acciones de EE. UU. obtuvo mayor rendimiento que 15 mercados de acciones de África en la década pasada.
¿Cómo es ese hecho compatible con la relación de “a mayor riesgo corresponde mayor rendimiento”? ¿De qué
modo asesoraría usted al profesor Johnson responder a sus estudiantes? (su respuesta debería incluir los términos
ex ante y ex post).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
12. El 1 de enero de 2005, el gobierno de EE. UU. emite dos series de bonos. Ambas series son completamente idénticas
excepto por el hecho de que el volumen de negocios en la primera serie se espera que sea mucho mayor que el
volumen en la segunda serie. ¿Cuál espera usted que sea la relación entre los precios de ambas series?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 319
Principios de Finanzas con Excel
13. DEF es una empresa que se negocia en NASDAQ. El 1 de enero de 2010 la compañía emitió 10.000 bonos cupón
cero. Cada bono tiene un valor nominal de $100 y vence el 1 de enero de 2015. Los bonos son la única deuda de la
empresa. Una empresa calificadora estimó el valor total de los activos de DEF al 1 de Enero de 2015 de la siguiente
manera:
Probabilidad
Valor de los activos de
DEF el 1/1/2015
0,2
2.000.000
0,3
1.750.000
0,4
1.200.000
0,1
750.000
Dos años después de la emisión del bono, es decir, el 1 de enero de 2012, la empresa calificadora reevaluó a la
empresa DEF y estimó el valor total de los activos de la empresa de la siguiente forma:
Probabilidad
Valor de los activos de
DEF el 1/1/2015
0,05
2.000.000
0,25
1.750.000
0,65
1.200.000
0,05
750.000
a. ¿Cuál será la influencia de la nueva estimación sobre el rendimiento esperado de los bonos de DEF?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál será la influencia de la nueva estimación sobre el precio de la acción de DEF?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
14. ¿Puede pensar en una explicación, basada en el riesgo, para los siguientes hallazgos? Durante los últimos 40 años
las “acciones pequeñas” —definidas como acciones de empresas con bajo valor de mercado— tuvieron mayores
rendimientos que “acciones grandes”.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
320 |
CAP. 8 | ¿Qué es el riesgo?
15. Un famoso profesor de finanzas publicó un artículo en el cual argumentó que en virtud del elevado volumen de acciones negociado en internet, él esperaba que los rendimientos de las acciones declinaran en los años venideros.
¿Cuál es la fundamentación del argumento del profesor?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
16. Al final de 1999 un inversor adquirió10.000 acciones de Yakuna Corp por ¥456 cada una en el mercado accionario
de Japón (¥ es el símbolo del Yen Japonés). En ese momento USD1 valía ¥128,35. El inversor vendió todas las acciones al comienzo de 2003 cuando la acción valía ¥448 y USD1 valía 108,33. Calcule el rendimiento anual en términos
de dólares y yenes.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
17. El 1 de enero de 2010 un inversor americano adquirió Francos Suizos (SFr) por valor de U$S 1.000.000 y los colocó
en una cuenta de ahorro por 1 año. La tasa de interés anual en Francos Suizos era 6 %. Durante dicho período la
tasa de interés en Estados Unidos era 2 %. El día de la adquisición el tipo de cambio era USD1 = 1,56SFr.
a. Un año después del comienzo del ahorro en Suiza, el tipo de cambio era SFr 1,45 por cada dólar americano. Si el inversor volvió a convertir su dinero a dólares, ¿qué tasa de rendimiento obtuvo en dólares?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál debería ser el tipo de cambio el 1 de Enero de 2011 para que la inversión en SFr sea mejor que
la inversión en dólares?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
18. El Material complementario del libro contiene cotizaciones diarias de AMD Corp desde 1994 hasta el 26 de julio de
2004.
a. Calcule los rendimientos diarios de las acciones y represéntelos en gráficos.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Utilice Frecuencia para construir una distribución de frecuencia de los rendimientos de las acciones
y grafique dicha distribución.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 321
Principios de Finanzas con Excel
19. El Material complementario del libro contiene datos de precios anuales de acciones de Ford para el período 19872004. Calcule el rendimiento medio anual y la desviación estándar de los rendimiento anuales de Ford.
20. El Material complementario del libro contiene datos anuales de acciones para Kellogg desde 1987 a 2003. Calcule
el rendimiento medio anual y la desviación estándar de los rendimientos de Kellogg.
21. Represente los rendimientos anuales de Kellogg y Ford en un mismo gráfico. ¿Es alguna de las empresas más
arriesgada que la otra? Explique su respuesta.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
322 |
Capítulo 9
Estadísticas para carteras
Contenido
1. Concepto general
2. Estadísticas básicas para los retornos de los activos: media,
desviación estándar, covarianza y correlación
3. Covarianza y correlación: dos indicadores estadísticos
adicionales
4. Media y varianza de una cartera de dos activos
5. Usar regresiones
6. Contenido avanzado: estadísticas de carteras para múltiples
activos
7. Resumen
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
1. Concepto general
Para entender y trabajar con los capítulos 10-13, usted debe conocer algo de estadística. Al igual que
muchos alumnos de finanzas, seguramente ha tenido cursos de estadística y tal vez haya olvidado gran
parte de lo que aprendió allí. Este capítulo refresca y le muestra exactamente lo que usted precisa para
los capítulos siguientes, utilizando Excel para realizar todos los cálculos. (Excel es una gran herramienta
estadística que algún día será utilizada en todos los cursos universitarios de estadística. Sin ella, usted
estaría atascado en este capítulo).
Conceptos financieros tratados
■■ Cómo
calcular los retornos de las acciones y ajustarlos por dividendos y división de acciones.
media, varianza y desviación estándar de un activo.
■■ Retorno, media y varianza de una cartera de dos activos.
■■ Regresiones.
■■ Retorno,
Funciones de excel utilizadas
■■ PROMEDIO.
■■ VAR
y VARP.
y DESVESTP.
■■ COVAR y COEF.DE.CORREL.
■■ Línea de tendencia (es el término que utiliza Excel para regresiones).
■■ PENDIENTE, INTERSECCION.EJE, COEFICIENTE.R2.
■■ DESVEST
2. Estadísticas básicas para los retornos de los activos: media, desviación estándar,
covarianza y correlación
En esta sección usted aprenderá a calcular los retornos de una acción y sus estadísticas: la media
(comúnmente llamada promedio o retorno esperado), la varianza y la desviación estándar.
2.1. La acción de Kellogg y sus retornos
La siguiente hoja muestra los datos de la Empresa Kellogg (la acción se simboliza K) durante el
período 1998-2008. Para cada año, mostramos el precio de cierre de la acción K y el dividendo que la
empresa pagó durante el año1. También calculamos el retorno anual y sus estadísticas; estos cálculos
están explicados a continuación de la tabla.
Suponga que usted adquirió una acción de Kellogg al final de diciembre de 1998 por $34,13 y la
vendió un año después, al final de diciembre 1999 por $30,81. Durante ese año, Kellogg pagó un dividendo por acción de $0,96. Su retorno de la tenencia de K durante 1990 habría sido.
1 El “precio de cierre” es el precio de la acción al final del día.
| 325
Principios de Finanzas con Excel
rK ,1999 =
PK ,1999 + DivK ,1999 − PK ,1998
PK ,1998
=
30, 81 + 0, 96 − 34,13
= −6, 89%
34,13
A continuación, varias observaciones:
■■ Usamos
rk,1999 para hacer referencia al retorno de la acción K en 1999 y usamos Divk,1999 para hacer
referencia al dividendo de K en 1999.
■■ El numerador de rk,1999 es:
Pk,1999 + DivK,1999-Pk,1998 = 30,81+0,96-34,13 = -2,35
Esta es la ganancia de la tenencia de Kellogg durante un año (en este caso es una “ganancia”
negativa: una pérdida de $2,35). El denominador de rk,1999 es la inversión inicial de la compra de
la acción de Kellogg al comienzo del año.
■■ En la celda D4 de la hoja hemos escrito rk,1999, el retorno para 1999, de un modo un tanto diferente
como: (C4+B4)/B3-1:
rK ,1999 =
326 |
PK ,1999 + DivK ,1999 − PK ,1998
PK ,1998
=
PK ,1999 + Div K ,1999
PK,1998
−1
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
Las celdas D15, D16 y D17 proporcionan las estadísticas de los retornos para Kellogg:
■■ Celda
D15: retorno medio en la década es el 6 % por año. Este número también es conocido como
el retorno promedio y es calculado con la función de Excel =PROMEDIO (D4:D13). Habitualmente,
utilizamos el retorno del pasado para predecir retornos futuros. Cuando hacemos este uso de los
datos, también llamamos a la media el retorno esperado, expresando que utilizamos el promedio
histórico de los retornos de la acción Kellogg como una predicción de lo que la acción rendirá en el
futuro. En este libro los términos media, promedio y retorno esperado se utilizarán indistintamente
y, a veces, usaremos la notación E(rk) o rk , la definición formal es:
media de los retornos de K = E(rk ) = rk =
rK ,1998 + rK ,1999 + ... + rK ,2008
10
=
Usted debería hacerse a la idea de las expresiones (media, promedio y retorno esperado) y los
símbolos E (rk) y rk , como que representan la misma idea. Los hemos presentado por conveniencia
y porque, en vuestros futuros estudios de finanzas, probablemente se utilizarán como sinónimos.
■■ Celda D16: la varianza de los retornos anuales es 0,0171. Varianza y desviación estándar son
medidas estadísticas de la variabilidad de los retornos. La varianza es calculada con la función de
Excel =VARP(D4:D13). La varianza es habitualmente representada por el símbolo griego σk (y se
pronuncia “sigma al cuadrado de Kellogg”); algunas veces se escribe como Var (rk). La definición
formal de la varianza es:
Var(rk ) = σk2 =
■■ Celda
(rK ,1999 − rk )2 + (rK ,2000 − rk )2 + ... + (rK ,2008 − rk )2
100
D17: la desviación estándar de los retornos anuales es la raíz cuadrada de la varianza:
0, 0171 = 13, 06%
■■ Excel
tiene dos funciones, DESVESTP y DESVEST, para realizar este cálculo directamente. Dado
que nosotros habitualmente utilizamos VARP para la varianza, usaremos DESVESTP para la desviación estándar. Es común utilizar la letra griega sigma para la desviación estándar, escribiendo
σk (se pronuncia “sigma de Kellogg”).
2.2. Retornos con capitalización continua (puede obviarlo en una primera lectura)
Los cálculos avanzados en finanzas habitualmente utilizan retornos con capitalización continua, tratados en la sección 3.7. Usando dicho cálculo, el retorno de la acción de Kellogg en 1999 sería:
| 327
Principios de Finanzas con Excel
P
+ DivK ,1999
rK ,1999 = Ln  K ,1999

PK ,1999


 30, 81 + 0, 96 
 = Ln 
 = −7,14%
 34,13 

2.3. Los datos descargados de fuentes comerciales están ajustados por dividendos y divisiones
Las dos fuentes de información de precios de acciones favoritas del autor son Yahoo, que es gratis, y
Center for Research and Security Prices (CRSP), que es una base de datos que se origina en la Universidad de Chicago (hay muchas universidades suscriptas a CRSP, consulte a su administrador de datos)2.
Cuando usted descarga datos de dichas fuentes, ellas automáticamente ajustan los precios para contemplar los dividendos y divisiones de acciones. Por lo tanto, usted no debe realizar el ajuste por dividendo
ilustrado para Kellogg —los precios de Yahoo y CRSP asumen que los dividendos son reinvertidos en comprar nuevas acciones3—. En general, usted puede calcular los retornos a partir de los datos de precios de
acciones que le proporciona su fuente de datos. Ellos realizan los ajustes correctamente.
Nota estadística y de excel
Excel tiene dos funciones de varianza, VARP y VAR. La primera mide la “varianza poblacional”, y la segunda mide la “varianza muestral”. De modo similar Excel tiene dos funciones para la desviación estándar, DESVESTP y DESVEST. En este
cuadro usaremos solo la función VARP y DESVESTP. Este cuadro es un recordatorio, pero no una explicación de la diferencia
entre los dos conceptos.
Si usted tiene datos de retornos racción,1, racción,2,...,racción,N, para una acción, entonces la media de los retornos es:
r acción =
1 N
∑ racción,t
N t=1
Las definiciones de las dos funciones de varianza son:
VARP (racción,1 , racción,2 ,......,racción,N ) = r acción =
1 N
∑ (rracción,j − ri )2
N j=1
Continúa en página siguiente >>
2 Para los alumnos sin dinero, Yahoo es especialmente útil. Un apéndice de este capítulo le muestra cómo descargar información financiera de Yahoo.
3 Si está todo en la información descargada, ¿por qué diablos debemos realizar todo el trabajo de esta sección? La respuesta, por supuesto, es que ayuda a entender lo que los números le están diciendo.
328 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
<< Viene de página anterior
VAR (racción,1 , racción,2 ,......,racción,N ) = r acción =
1 N
∑ (racción,j − ri )2
N − 1 j=1
Hay una larga historia sobre la diferencia entre estos dos conceptos que dejaremos para que algún profesor de estadísticas
le explique. Es suficiente con decir que en los ejemplos vistos en el libro usaremos VARP y su desviación estándar DESVESTP.
Finalmente, usted puede preguntarse por qué hay dos expresiones —la varianza y la desviación estándar— que miden
variabilidad. La respuesta tiene que ver con las unidades de dichas expresiones. Cada término de la varianza está elevado
al cuadrado para hacerlo positivo. Pero ello implica que las unidades de la varianza son “porciento al cuadrado”, lo que
es un tanto difícil de entender. La desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza, reduce los porcentajes
cuadráticos de la varianza nuevamente a “porcentajes”. De este modo, tanto la media como la desviación estándar están
expresados en las mismas unidades.
2.4. Datos de precios y retornos de Exxon
Abajo calculamos los retornos para la acción Exxon durante el período 1999-2008.
3. Covarianza y correlación: dos indicadores estadísticos adicionales
Hasta ahora hemos tratado indicadores estadísticos —media, varianza y desviación estándar— que
se relacionan a una acción individual. En esta sección examinaremos dos indicadores estadísticos —
covarianza y correlación— que se relacionan con los retornos de dos acciones entre sí. Usaremos los
datos de Kellogg y Exxon (XOM). En la siguiente hoja, hemos puesto los retornos de ambas acciones en
una hoja y calculado la covarianza y correlación (celdas B17:B19).
| 329
Principios de Finanzas con Excel
La covarianza entre dos series es una medida acerca de cuánto se mueven estas series (en nuestro
caso, los retornos de K y XOM) hacia arriba o hacia abajo juntas. La definición formal es:
Cov(rk ,rXOM ) = σk,XOM =
(
(
)(
)(
) (
)
)(
)


1  rk,1999 − rk rXOM,1999 − r XOM + rk,20000 − rk rXOM,2000 − r XOM + ... + 


10  r
−r r
− r XOM

 k,2008 k XOM,2008

La idea de fondo de esta fórmula es medir la desviación de cada dato respecto de su promedio y multiplicar dichas desviaciones. Como puede usted ver en la celda B17, Excel tiene la función COVAR que,
cuando se aplica en forma directa a los retornos de las columnas B y C, calcula la covarianza4.
Otra medida habitual sobre cómo dos series de datos se mueven hacia arriba o abajo juntas es el coeficiente de correlación. Este se encuentra siempre entre -1 y +1, lo que —como verá en la subsección
siguiente— nos posibilita ser más precisos acerca de cómo se mueven juntos los retornos. Hablando a
grandes rasgos, dos series de retornos que tienen un coeficiente de correlación de -1 varían inversamente
proporcional, con lo que queremos decir que cuando un retorno sube (o baja), podemos perfectamente
predecir cómo bajará (o subirá) el otro retorno. Un coeficiente de correlación de +1 implica que los retornos varían de manera perfectamente proporcional, con lo que queremos decir que cuando un retorno
sube (o baja), podemos predecir perfectamente cómo el otro retorno sube (o baja). Un coeficiente de
correlación entre -1 y +1 significa que las dos series de retornos varían entre sí de un modo algo menos
que perfecto.
4 La covarianza a veces se escribe como σK, XOM .Uno de los ejercicios al final de este capítulo le hace calcular la covarianza en el modo
extenso y tedioso sugerido por la fórmula. Usted verá que obtiene el mismo resultado que el que arroja Excel con la función COVAR.
330 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
El coeficiente de correlación se define como:
Corelación(rk ,rXOM ) = ρk,XOM =
Cov(rk ,rXOM )
σK × σ XOM
La letra griega ρ (pronunciada “rho”) es habitualmente utilizada como símbolo para el coeficiente de
correlación. En la hoja precedente, hemos calculado el coeficiente de correlación de dos maneras: en la
celda B18 de la hoja utilizamos la función CORREL para calcular la correlación. La celda B19 aplica la
fórmula:
Cov(rk ,rXOM )
(y por supuesto obtiene el mismo resulttado)
σK × σ XOM
3.1. Algunas cuestiones sobre covarianza y correlación
Aquí presentamos algunas cuestiones sobre covarianza y correlación. Las plantearemos sin poner
demasiada atención en elaborar explicaciones o demostraciones.
■■ PRIMERA
CUESTIÓN. La covarianza es afectada por las unidades, la correlación no. A continuación un ejemplo: en la hoja de abajo presentamos los retornos anuales como números enteros en
lugar de porcentajes (escribiendo los retornos de K en 1999 como -6,89 en lugar de -6,89 %).
La covarianza (celda B17) es ahora 74,30, lo que es 10.000 veces nuestro cálculo previo. Pero el
coeficiente de correlación (B18) permanece igual que antes: 0,3482.
| 331
Principios de Finanzas con Excel
■■ SEGUNDA
CUESTIÓN. La correlación entre Kellogg y Exxon es la misma que la correlación entre
Exxon y Kellogg. Lo mismo vale para la covarianza: Cov (rK, rXOM) = Cov (rXOM, rK). La jerga técnica para ello es que “la correlación y la covarianza son simétricas”. Para verlo en Excel, note
que las celdas B18 (=COEF.DE.CORREL(B3:B12;C3:C12)) y B 20 (=COEF.DE.CORREL(C3:C12;
B3:B12)) son iguales en la hoja de arriba.
■■ TERCERA CUESTIÓN. La correlación siempre estará entre -1 y +1. A mayor coeficiente de correlación en valor absoluto, más juntas se moverán las dos series. Si la correlación es -1 o +1,
entonces las dos series están perfectamente correlacionadas, lo que significa que conociendo una
serie le posibilita a usted predecir en forma íntegra el valor de la segunda serie. Si el coeficiente
de correlación se encuentra entre -1 y +1, entonces las dos series se mueven de modo menos que
perfectamente proporcional.
■■ CUARTA CUESTIÓN. Si el coeficiente de correlación es -1 o +1, ello quiere decir que los dos
retornos tienen una correlación lineal entre ellos. Dado que esto no es fácil de entender, lo ilustraremos con un ejemplo numérico: Adams Farm y Morgan Sausage son dos acciones que cotizan en
la Bolsa de Agricultores. Por razones difíciles de determinar, cada retorno de la acción de Morgan
Sausage es igual al 60 % del de Adams Farm más 3 %. Podemos escribir rMorgan Sausage, t = 3% + 0,6
* r Adams Farm, t. Esto implica que el retorno de Morgan Sausage es completamente predecible dado el
retorno de la acción de Adams Farm. Por lo tanto, la correlación es 1- o +1. Dado que el retorno de
Adams Farm sube cuando lo hace la acción de Morgan Sausage, la correlación es +15.
La hoja de Excel que sigue confirma que la correlación es +1.
5 La Bolsa de Agricultores tiene otras dos acciones cuyos retornos están relacionados mediante la ecuación ralimento de pollo = 50 % - 0,8 *
raves de corral. En este caso, el coeficiente negativo (-0,8) nos indica que la correlación entre las dos series de retornos es -1.
332 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
La 4ª cuestión puede ser escrita matemáticamente como sigue: suponga que las acciones 1 y 2 están
perfectamente correlacionadas (ello significa que la correlación es +1 o -1). Entonces:
racción 1,t = a + b * racción 2,t
)b<0 si la correlación = − 1
b>0 si la correlación = + 1
4. Media y varianza de una cartera de dos activos
Una cartera es un conjunto de acciones u otros activos financieros. La mayoría de la gente que tiene
acciones posee más de una sola acción: ellos poseen carteras (también llamados portafolios) de acciones,
y el riesgo al que se enfrentan se vincula al riesgo de su cartera. En el capítulo siguiente comenzaremos
el análisis económico de las carteras. En esta sección le mostraremos cómo calcular la media y varianza
de una cartera compuesta por dos acciones. Suponga que entre 1998 y 2008 usted tuvo una cartera
conformada en un 50 % por acciones de Kellogg y 50 % de Exxon. La columna E de la hoja siguiente
muestra cuál debería haber sido el retorno anual de dicha cartera. Por ejemplo, teniendo un 50 % de su
cartera en K y 50 % en XOM, hubiera tenido un retorno de 2,85 % en 1999.
2, 85% = 50
% * −
6, 89% + 50%
proporción de K
proporción de
en la cartera
retorno de la
acción K en 1999
XOM en la cartera
*
1
2, 6%
retorno de la
acción XOM en 1999
En las celdas E17: E21 calculamos las estadísticas de los retornos de la cartera del mismo modo que
hemos calculado las estadísticas de los retornos en forma individual para K y XOM:
| 333
Principios de Finanzas con Excel
Las celdas B24:B26 muestran que dichas estadísticas del portafolio pueden ser calculadas de forma
directa a partir de las estadísticas de los activos individuales. Para calcular la media de la cartera utilizando este modo rápido, precisamos primero algo de notación: llamemos xK a la proporción de Kellogg
en la cartera y xXOM a la proporción de la acción Exxon en nuestra cartera. En nuestro ejemplo xK = 0,50
y xXOM = 0,50 por lo que la media de los retornos de la cartera está dada por:
Media de los retornos de la cartera = E (rp) = xk E (rk) + xXOM E(rXOM) = xk E (rk) + (1-xk ) E(rXOM)
Observe la segunda línea de la fórmula: si solo tenemos dos activos en el portafolio, entonces la proporción del segundo activo es “uno menos” la proporción del primer activo: xXOM = 1- xK.
La fórmula para la varianza del portafolio estará dada por:
Varianza de la cartera = Var (rp ) = x k2 Var(rk ) + x 2XOM Var(rXOM ) + 2x k x XOM Cov(rk ,rXOM )
En la hoja de abajo hemos construido una tabla de las estadísticas del portafolio utilizando las fórmulas. En la tabla hacemos variar la proporción de la acción Kellogg en el portafolio de 0 a 100 % (lo que
implica, por supuesto, que la proporción de la acción Exxon va de 100 a 0 %).
El gráfico volverá a verlo (¡y muchas veces!) en los capítulos 10 y 11. Representa la desviación estándar σp en el eje x y el retorno esperado del portafolio en el eje y. La forma de parábola del gráfico es
objeto de mucho análisis en finanzas, pero este es un capítulo puramente técnico —la parte de finanzas
del tema tendrá que esperar hasta los capítulos siguientes—.
334 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
5. Usar regresiones
La regresión lineal (para llamarla más brevemente, regresión) es una técnica para trazar una línea a
un grupo de datos. Las regresiones son utilizadas en finanzas para examinar la relación entre las series
de datos. En los capítulos que siguen generalmente necesitaremos utilizar regresiones; presentamos
entonces los conceptos básicos aquí. No analizaremos la teoría estadística que hay por detrás de las
regresiones, sino que en lugar de ello le mostraremos cómo efectuar una regresión y cómo utilizarla.
Hemos dividido el análisis en 3 subsecciones: en primer lugar, vemos la mecánica de hacer correr
una regresión en Excel, luego el significado de una regresión y finalmente veremos métodos alternativos
de hacer una regresión.
5.1. La mecánica de hacer una regresión en Excel
En esta subsección veremos el ejemplo de una regresión simple y haremos muy poco por explicar
el significado económico de la regresión. En lugar de ello, nos centraremos en la mecánica de hacer la
regresión en Excel y dejaremos la interpretación económica para la siguiente subsección.
La tabla de abajo nos brinda los retornos mensuales para el índice S&P500 (su símbolo en SPX) y para
IBM (el símbolo de la acción es IBM) para 2007 y 2008. El índice S&P 500 incluye las mayores 500
acciones negociadas en la bolsa de EE. UU. y su rendimiento es aproximadamente indicativo del rendimiento del mercado de EE. UU. como un todo. Utilizaremos el análisis de regresión para ver si podemos
entender la relación entre los retornos de S&P y los retornos de IBM —es decir, si podemos entender el
efecto del mercado accionario de EE. UU. sobre el retorno de la acción de IBM—.
A continuación, los datos que examinaremos. Observe que hemos representado los datos con un gráfico de dispersión de Excel.
| 335
Principios de Finanzas con Excel
¡Los meses en el gráfico no fueron meses felices para las acciones americanas! Durante esos 2 años,
el S&P cayó casi un 43 % e IBM bajó casi un 5 %.
Queremos trazar una línea a través de los puntos de arriba y queremos que dicha línea sea la “mejor”
línea en el sentido de que sea la más cercana que pueda representarse a través de los puntos6. Hay muchas maneras para hacerlo en Excel (como siempre). Aquí mostramos cómo lo hacemos nosotros:
■■ Haga
clic en los puntos del gráfico de modo que Excel los marque a todos ellos. Si usted tiene
muchos puntos de datos, puede que Excel solo marque algunos de ellos; ignore esto y proceda con
el siguiente paso. Después, verá un gráfico como el que se muestra más abajo (observe que Excel
nos indica las coordenadas de los puntos que apuntamos con el ratón: en este caso el punto en
que el retorno del SPX es -4,4 % y el retorno de IBM es -9,1 %):
los puntos marcados, clic derecho con el ratón y elija Agregar Línea de Tendencia. Esto trae
el siguiente cuadro de diálogo, en el cual elegimos Regresión Lineal. Observe que hemos tildado
las dos casillas de abajo del cuadro: “Presentar ecuación en el gráfico” y “Presentar el valor R
cuadrado en el gráfico”.
■■ Con
6 Hay una definición estadística formal de “la mejor” o “la más cercana”, pero lo dejaremos para otro curso.
336 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
Haga clic en Cerrar para obtener el siguiente gráfico.
El cuadro con los resultados de la regresión puede ser desplazado con el ratón. El texto dentro del
cuadro puede ser formateado con la fuente y tamaño que usted desee.
5.2. ¿Qué significa la regresión?
El gráfico de arriba muestra la línea de regresión como y = 0,915x+0,020, R2=0,422. Dado que
estamos intentando comprender el efecto del índice S&P sobre la acción de IBM, podemos agregar el
siguiente significado a las variables de la línea de regresión:
■■ La
“y” de la línea de regresión indica el porcentaje de retorno mensual de IBM y la “x” indica el
porcentaje de retorno mensual del índice S&P500.
| 337
Principios de Finanzas con Excel
■■ La
pendiente de la línea de regresión es 0,915. Ello nos dice que, en promedio, un 1 % de incremento en el retorno mensual de S&P causó un 0,915 % de incremento en el retorno mensual de
IBM7. Por supuesto, esto también funciona en la otra dirección: en promedio, un 1 % de disminución en S&P500 se relaciona con un 0,915 % de disminución en los retornos de IBM.
■■ El hecho de que la pendiente de la regresión sea menor que 1 significa que IBM es algo menos
sensible al S&P que el promedio de las acciones: las variaciones (incrementos y disminuciones) en
el retorno de S&P causan menos variaciones en los retornos de IBM. Volveremos sobre este asunto
en el capítulo 11.
■■ El punto de intersección de la regresión es 0,02. La intersección nos dice que en los meses en
que el S&P500 no se “movió”, el retorno de IBM fue 2 %. Este es un punto a destacar, indica que
durante este período IBM tuvo un “retorno mensual excedente” sobre el S&P de un 2 %, el que –
capitalizado anualmente – es (1+2 %)12 -1=26,8 %.
■■ El R2 (que se pronuncia “r cuadrado”) de la línea de regresión dice que 42,2 % de la variabilidad
en los retornos de IBM están explicados por la variabilidad de los retornos de S&P500. El otro 58 %
de la variabilidad de los retornos está supuestamente explicada por factores que son propios a IBM.
Usted no debería esperar mucho más: si por alguna extraña razón el R2 fuera 100 %, ello querría
decir que todo el retorno de IBM estaría explicado por los retornos de S&P, lo que claramente no
tiene sentido.
Por lo tanto, la línea de regresión le permite hacer algunas predicciones interesantes acerca de los
retornos de IBM sobre la base de los retornos de S&P. Suponga que usted es un analista financiero y
considera que este mes el índice S&P subirá un 20 %. En base a la regresión, usted debería esperar a
que la acción de IBM crezca un 0,915 * 20 % + 0,02 = 20,3 %. Sabiendo que el R2 es aproximadamente
42 %, solo casi la mitad de la variabilidad de los retornos de la acción IBM está explicada por los retornos
de S&P y, por lo tanto, debería añadirle algún grado de escepticismo a dicha predicción.
5.3. Otras maneras de hacer regresiones en Excel
Como usted podría esperar, en Excel hay otros métodos para calcular la pendiente, intersección y
R2 de la ecuación de regresión. Excel tiene las funciones llamadas PENDIENTE, INTERSECCION.EJE y
COEFICIENTE.R2. Estas funciones están ilustradas abajo en las celdas F30, F33 y F36. Observe que en
estas funciones, los retornos de IBM vienen antes que los retornos de S&P, por lo tanto escribimos, por
ejemplo, PENDIENTE (retornos de IBM, retornos de S&P).
7 Durante el período 2007-2008, ¡la mayoría de los rendimientos disminuyeron! Por lo tanto, otra manera de entender el coeficiente de
0,915 es que una disminución de 1 % en el S&P500 fue acompañada por una disminución de 0,915 % en los retornos de la acción IBM.
338 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
■■ La
pendiente, intersección y R2 pueden también ser calculados directamente utilizando PROMEDIO, COVARIANZA, VARP y COEF. DE CORREL (celdas F31, F34 y F37 de arriba). Observe la
definición alternativa de cada una de las variables de la regresión:
■■ La pendiente de la regresión puede calcularse con la función PENDIENTE (celda F30), pero como
se muestra en la celda F31 es también igual a:
covarianza(S&P, IBM)
Var (S&P)
intersección de la regresión puede calcularse con la función INTERSECCION.EJE, pero como
se muestra en la celda F34, es también igual al Promedio (IBM) – pendiente * promedio (S&P)
■■ El R2 de la regresión puede calcularse con la función COEFICIENTE.R2, pero como se muestra en
la celda F37 es también igual a la correlación al cuadrado entre S&P e IBM:
■■ La
[Correlación(S & P,IBM)] .
2
| 339
Principios de Finanzas con Excel
6. Contenido avanzado: estadísticas de carteras para múltiples activos
Esta sección se centra en una materia un tanto más avanzada. Si lo prefiere, puede obviarla en una
primera lectura. En la sección 9.3 hemos analizado el cálculo de la media y varianza de la cartera para
una cartera de dos activos. En esta sección trataremos el cálculo para un portafolio compuesto por más
de dos activos.
Para plantear el escenario, presentaremos la notación a utilizar. Suponga que tenemos tres acciones y
que para cada acción i (i = 1, 2, 3) hemos calculado la media E (ri) y la siguiente varianza de los retornos
de la acción:
σi2 = Var(ri )
Además, suponga que para cada par de acciones i y j, hemos calculado la covarianza de los retornos
Cov (ri, rj). A continuación, el ejemplo:
Ahora suponga que formamos un portafolio compuesto de las siguientes proporciones de cada acción:
xBA=20%,xK=50% y xIBM=1-xBA-xK=30%. Las celdas G12 y G13 de la hoja de abajo le muestran el retorno
de dicho portafolio y las celdas H16:H18 calculan el retorno medio, varianza y desviación estándar del
portafolio.
340 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
Si usted observa las celdas H21:H23, verá que hay un modo directo de realizar los cálculos de retornos del portafolio, en base a las siguientes fórmulas:
Retorno medio del portafolio (Celda H21) = E(rp ) = x BA E(rBA ) + x K E(rK ) + xIBME(rIBM )
2
2
Varianza del portafolio (Celda H22) = Var(rp ) = x BA
Var(rBA ) + x K2 Var(rK ) + x IBM
Var(rIBM ) +
+ 2x BA x K Cov(rBA ,rK ) + 2x BA xIBM Cov(rBA ,rIBM ) +
2x K xIBM Cov(rK ,rIBM )
Desviación estándar del portafolio (celda H23) = varianza del portafolio (celda H22)
Estas fórmulas se generalizan para cualquier número de activos: si tenemos un portafolio compuesto
por N activos y conocemos todas las rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas, entonces:
■■ El
retorno esperado del portafolio es el promedio ponderado de los retornos de los activos individuales. Llamando a las proporciones de cada activo (x1, x2, … ,xn), el retorno esperado del portafolio es:
E(rp ) = x1E(r1 ) + x 2E(r2 ) + ........... + x NE(rN )
| 341
Principios de Finanzas con Excel
N
E(rp ) = ∑ xiE(ri )
i=1
■■ La
varianza de la rentabilidad del portafolio es la suma de las siguientes expresiones:
 La
suma de la varianza de cada activo, ponderada por la proporción de cada activo elevada al
cuadrado:
x12 Var(r1 ) + x 22 Var(r2 ) + .... + x N2 Var(rN )
 La
suma de dos veces cada covarianza, ponderada por el producto de las proporciones de cada
activo:
2x1 x 2 Cov(r1 ,r2 ) + 2x1 x 3 Cov(r1 ,r3 ) + .... + 2x1 x NCov(r1 ,rN )
+ 2x 2 x 3 Cov(r2 ,r3 ) + ... + 2x 2 x NCov(r2 ,rN )
+ ...... + 2x N−1 x NCov(rN−1 ,rN )
7. Resumen
La información sobre acciones —sus precios, dividendos y retornos— produce montañas de datos. Las
estadísticas son un modo de tratar con grandes masas de datos. Este capítulo le ha proporcionado las
técnicas estadísticas necesarias para realizar los típicos cálculos financieros relativos a acciones. Hemos
mostrado cómo calcular los retornos de las acciones a partir de datos básicos de precios de las mismas,
sus dividendos y división de acciones. También hemos mostrado cómo calcular la media de los retornos
(también llamada retorno promedio), la varianza y desviación estándar de los retornos, y la covarianza
entre los retornos de dos acciones diferentes.
Las acciones, generalmente, están combinadas en un portafolio (o cartera), y este capítulo le ha
mostrado cómo calcular la media y desviación estándar de los retornos de la cartera. También le ha presentado el análisis de regresión, el cual le posibilita relacionar los retornos de acciones unos con otros.
En los capítulos siguientes utilizaremos estas técnicas estadísticas para realizar análisis financiero de
acciones individuales y portafolios de acciones.
342 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
Apéndice 9.1. ¡Descargando datos de Yahoo!
Yahoo provee información gratuita sobre precios de acciones y otra información que puede utilizarse
para calcular rendimientos. En este apéndice explicaremos cómo acceder a la información y descargarla
en Excel.
PASO 1: ingrese en http://www.yahoo.com y luego clic en Finanzas.
Paso 2: en el “cuadro para ingreso de datos”, ponga el símbolo de la acción que quiere buscar (hemos
puesto MRK para Merck). Vea que también puede buscar símbolos o poner varios símbolos. Cuando haya
ingresado los símbolos, haga clic en “Buscar”.
Paso 3: ello le trae la siguiente pantalla. Elegimos Precios Históricos para obtener los precios históricos de Merck.
| 343
Principios de Finanzas con Excel
Paso 4: en la siguiente pantalla, indicamos el período de tiempo y frecuencia para los datos que
queremos. Yahoo le provee una tabla con los precios de las acciones, dividendos y precio de cierre modificado que tiene en cuenta dividendos y divisiones de acciones.
344 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
Paso 5: la parte de debajo de la siguiente tabla le permite descargar los datos en formato de hoja de
cálculo. En la mayoría de los navegadores la hoja de Excel se abre automáticamente (vea los resultados
en el paso 6.
Paso 6: en el navegador del autor Yahoo le ofrece guardar el archivo llamado table.cvs. Hemos cambiado el nombre del archivo a Merck.cvs y lo hemos guardado en nuestro disco rígido.
Paso 7: se genera entonces el archivo en formato de datos separados por coma. Luego hay que importar esta información para que Excel lo convierta a su formato tradicional para poder operar con los datos.
Abrimos una nueva hoja de Excel y vamos a “Datos”, “obtener datos externos”, “desde texto”, y elegimos el archivo con la información que generamos en el paso anterior.
| 345
Principios de Finanzas con Excel
Luego elegimos “importar”, tipo de archivos “delimitados”, separadores “coma” y Excel procede a
convertir los datos.
Paso 8: luego es recomendable utilizar el comando de Excel Archivo l Guardar Como y este archivo se
guarda con la extensión de Excel habitual: Merck.xlsx.
346 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
Apéndice 9.2. ¿Por qué usamos VARP en lugar de VAR?
A lo largo de PRINCIPIOS DE FINANZAS CON EXCEL hemos utilizado las funciones de Excel VARP y
DESVESTP en lugar de sus primas VAR Y DESVEST. Este apéndice trata de explicar brevemente el motivo
de esta decisión.
Recordemos que la definición de estas dos funciones indica si los datos son tomados de una muestra
o si los datos son de toda una población. Suponga que tenemos datos de retornos (r1, r2,… rN) para una
acción. Entonces VARP es la varianza poblacional y VAR es la varianza de la varianza de la muestra.
Varianza poblacional = Varp =
Varianza muestral = Varp =
( )
1 N
∑ rt − r
N t=1
( )
1 N
∑ rt − r
N-1 t=1
2
2
Hay dos motivos por los que elegimos VARP en lugar de VAR: el primer motivo es que en la mayoría
de los cursos introductorios de estadística a los alumnos se les enseña VARP (en decir, dividido en N) en
| 347
Principios de Finanzas con Excel
lugar de VAR (dividido en N-1). Por lo que la elección que hace Principios de Finanzas con Excel corresponde con lo que a los alumnos se les ha enseñado previamente.
El segundo motivo para elegir VARP es que la elección hace a la función de Excel PENDIENTE consistente con la definición de β que enseñamos:
βi =
Covarianza (rit ,rMcdo )
Varianza (rMcdo )
Para verlo, considere el siguiente ejemplo en
que hemos calculado la βMirage para Mirage a
partir de datos mensuales de Mirage y el índice
S&P.
En las celdas B28:B29 calculamos
la βIBM utilizando la función de Excel =
PENDIENTE(C3:C26;B3:B26), y la función de Excel =COVAR(C3:C26;B3:B26)/
VARP(B3:B26). Estas dos definiciones dan
la misma (y correcta) respuesta. En las celdas B31: B32 comparamos la función PENDIENTE de Excel con la respuesta dada por
=COVAR(C3:C26;B3:B26)/VAR(B3:B26). Observe que las respuestas son diferentes (la segunda respuesta es incorrecta).
Para completar el punto, calculamos βMercado
en las celdas B34:B36. La función PENDIENTE da la respuesta correcta, así como también
la definición de =COVAR(B3:B26;B3:B26)/
VARP(B3:B26). Sin embargo, usando la función VAR en la celda B36 da una respuesta incorrecta.
348 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Se presenta a continuación la información de las empresas “High Tech” y “Low Tech”:
Calcule:
a. Rendimiento anual para cada acción.
b. Rendimiento medio para el período de 10 años para cada empresa. ¿Qué acción tiene el mayor rendimiento esperado?
c. Varianza y desviación estándar de los rendimientos para el período de 10 años para cada empresa.
¿Qué acción es más arriesgada?
d. Covarianza y correlación entre los rendimientos de las empresas. Utilice dos fórmulas para calcular la
correlación: fórmula de Excel Coef.de.Correl y la definición.
Correlación (rA ,rB ) =
Cov (rA ,rB )
σ A σB
Si usted tiene que elegir entre ambas acciones, ¿cuál de ellas elegiría? Explíquelo brevemente.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 349
Principios de Finanzas con Excel
2. Se presenta a continuación la información de los precios de tres fondos mutuos:
a. Calcule el rendimiento anual de los fondos durante el período.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule media, varianza y desviación estándar de los rendimientos de los fondos.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Represente en un gráfico los rendimientos de los fondos, mencionando las fechas.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
d. Calcule las correlaciones de los rendimientos de los fondos.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
e. Si la información histórica predice correctamente los rendimientos futuros (¿es esto razonable?), ¿qué
fondo elegiría usted?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
3. Estos son los precios mensuales de Ford Corp. Y GM Corp.:
350 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
Calcule lo siguiente:
a. Rendimientos mensuales para cada empresa.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Covarianza entre los rendimientos de Ford Corp. Y GM Corp.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Correlación entre los rendimientos de Ford Corp. Y GM Corp.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
4. Usando los rendimientos de Ford y GM que usted calculó en la pregunta anterior, realice una regresión de los rendimientos de Ford versus los rendimientos de GM. Indique lo siguiente:
~~ Pendiente de la regresión
~~ Valor de la intersección
~~ El r-cuadrado de la regresión
¿Es grande o pequeño el impacto mutuo de los rendimientos de las empresas (uno respecto del otro)? Explique su
respuesta.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
5. Esta es la información de los precios de acciones y dividendos para Kellogg:
a. Calcule los rendimientos de los dividendos ajustados para cada año, su media y desviación estándar.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 351
Principios de Finanzas con Excel
b. A los analistas de acciones les agrada hablar sobre rendimiento del dividendo – el dividendo dividido
en el precio de la acción. Calcule el rendimiento del dividendo anual para Kellogg:
Dividendos durante el año
(defínalo como Precio de la acción al comienzo del año ) y calcule sus estadísticas (media y desviación estándar)
durante el período.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Si usted compró la acción de Kellogg y no tuvo intención de venderla, ¿por qué debería usted estar
interesado en el rendimiento del dividendo de la acción?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
6. Abajo encontrará los precios de acciones, dividendos y división de acciones de IBM. Calcule el rendimiento ajustado
por dividendo y división de acciones para cada uno de los años, su media y su desviación estándar.
7. Calcule la covarianza y coeficiente de correlación entre IBM y Kellogg (2 preguntas previas). ¿Hay alguna ventaja
de diversificar entre IBM y Kellogg?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
352 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
8. Estos son los precios de la acción y la información de división de acciones para HeavySteel Corp.
a. Calcule los rendimientos ajustados por división de acciones para cada año y sus estadísticas (media
y desviación estándar).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Si usted compró 100 acciones de esta empresa a comienzos de 2001 y durante un período de 10 años
nunca vendió o compró acciones adicionales, ¿cuántas acciones hubiera tenido al final del año 2010?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
9. Una división inversa es como una división, pero en sentido contrario. Por ejemplo, en un 1 por 2 división inversa,
usted recibe 1 acción por cada 2 acciones que tiene. ¿Cómo cambiaría su respuesta a la pregunta previa si usted
sabe que en 2009 la empresa hizo una división inversa 3 por 4?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
10. Aquí hay 2 empresas: Young Corp. y Mature Corp. La primera crece muy rápidamente, no paga dividendos y retiene
todos los beneficios. Mature Corp. dejó de crecer hace mucho tiempo atrás, genera importantes flujos de fondos y
paga dividendos.
| 353
Principios de Finanzas con Excel
Calcule lo siguiente:
~~ Rendimientos anuales de Young
~~ Rendimientos anuales de Mature
~~ ¿Cuál es la mejor inversión de las dos? Explíquelo brevemente.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
11. Chicken Feed y Poultry Delight son 2 acciones que cotizan en bolsa en la Bolsa de Comercio Agrícola. Un analista estadístico ha determinado que los rendimientos de las 2 acciones están relacionados por la ecuación: RFEED, T= 50%
- 0,8 * RDELIGHT, T. Muestre que la correlación entre ambos grupos de rendimientos es -1. Use la siguiente plantilla:
12. Abajo encontrará los rendimientos anuales de dos activos. Complete los espacios en blanco y represente gráficamente los rendimientos de las carteras indicadas. (Filas 13 a 27):
354 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
13. Se presentan abajo los datos de los rendimientos de General Electric, Boeing y Walmart. Calcule las celdas resaltadas:
14. Entre en http://finance.yahoo.com y baje información mensual de precios de las acciones: Oracle Corporation
(ORCL), Microsoft Corporation (MSFT), Dell Corp (DELL); e Intel Corporation (INTC) para los años 2007 y 2008.
También baje la misma información para el índice S&P500 (SPX) para el mismo período1. Conteste las siguientes
preguntas:
a. ¿Cuál es la media, varianza y desviación estándar de una cartera compuesta por las 4 acciones, si la
riqueza es destinada por igual entre cada acción?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. En promedio, ¿estará usted mejor invirtiendo en dicha cartera o en el índice S&P500, durante el período
de 2 años?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
1 Recuerde que cuando usted descarga información de Yahoo a Excel, ya está ajustada por división de acciones y dividendos.
| 355
Principios de Finanzas con Excel
15. Utilizando la información proporcionada en el ejercicio previo, desarrolle una regresión de los rendimientos del
portafolio versus los rendimientos del índice S&P500 para un período de 24 meses. Indique lo siguiente: pendiente
de la regresión, su intersección y su R-cuadrado. Explique qué le dicen a usted esos números.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
16. (¡Esta es una pregunta difícil!) En el disco que vienen con el libro, usted encontrará 4 años de información mensual
de precios de la acción AT&T Corp (Símbolo: T), ajustados y no ajustados. Calcule lo siguiente:
a. Factor de ajuste acumulado para la acción AT&T.
b. ¿Qué dos cosas interesantes ocurrieron en noviembre de 2002 y qué le ocurrió al factor de ajuste
acumulado en ese mes? (Usted tendrá que hacer una búsqueda en Internet).
356 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
17. Explique por qué cada una de las siguientes frases es correcta o incorrecta:
a. La diversificación reduce el riesgo porque los precios de las acciones habitualmente no se mueven
exactamente juntos.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. El rendimiento esperado de un portafolio es un promedio ponderado de los rendimientos esperados de
los activos individuales.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. La desviación estándar de los rendimientos de un portafolio es igual al promedio ponderado de las desviaciones estándar de los activos individuales, si dichos activos están completamente incorrelacionados.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
18. Suponga que los rendimientos anuales de dos acciones (A y B) están perfectamente correlacionados en forma
negativa y que rA= 0,05, rB= 0,15, σA=0,1 y σB=0,4. Asumiendo que no hay oportunidades de arbitraje, ¿cuál debe
ser la tasa de interés a 1 año?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
19. Asuma que un individuo puede invertir todos sus recursos en uno de los siguientes activos A o B o, alternativamente,
puede diversificar su inversión entre los dos. La distribución de los rendimientos es la siguiente:
Asuma que la correlación entre los rendimientos de los dos activos es cero.
a. Calcule el rendimiento esperado de cada activo, su varianza y desviación estándar.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule la distribución de probabilidad de los rendimientos de un portafolio combinado, compuesto
por iguales proporciones de los activos A y B. También calcule el rendimiento esperado, varianza y
desviación estándar.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Calcule el rendimiento esperado y la varianza de un portafolio combinado compuesto 75 % por el activo
A y 25 % activo B.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 357
Principios de Finanzas con Excel
20. La correlación entre los rendimientos de tres acciones A, B y C están dadas en la tabla siguiente:
Las tasas de retorno esperadas de A, B y C son 6,12 y 15 % respectivamente. Las correspondientes desviaciones
estándar de los rendimientos son 25,22 y 25 %.
a. ¿Cuál es la desviación estándar de un portafolio invertido 25 % en la acción A, 25 % en acción B y
50 % en acción C?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Usted planea invertir 50 % de su dinero en el portafolio construido en la pregunta 20a y 50 % en el
activo libre de riesgo. La tasa de interés libre de riesgo es 5 %. ¿Cuál es el rendimiento esperado de
esta inversión? ¿Cuál es la desviación estándar de los rendimientos de esta inversión?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
21. Usted considera que hay un 15 % de probabilidad que la acción A baje un 10 % y un 85 % de probabilidad que
aumente un 15 %. Por su parte, hay un 30 % de probabilidad de que la acción B baje un 18 % y un 70 % de probabilidad de que esta aumente un 22 %. La covarianza entre las dos acciones es 0,009. Calcule el rendimiento esperado,
varianza y desviación estándar de cada acción. Luego calcule el coeficiente de correlación entre sus rendimientos.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
22. La gente que hace actividades al aire libre sabe que los grillos hacen más ruido cuando la temperatura es más cálida. Alguna evidencia de ello puede encontrarse en un libro publicado en 1948 por el profesor de física de Harvard
George Pierce2. El libro de Pierce incluye la tabla de abajo, que relaciona el número medio de ruidos que hacen los
grillos por minuto con la temperatura a que fue tomada la medición. Dibuje los datos en Excel y utilice una regresión
para determinar la relación (aproximada) entre el número de ruidos por segundo y la temperatura. Si usted detecta
19 ruidos por segundo, ¿cuál estima usted que será la temperatura? ¿Y si son 22 ruidos por segundo? (Sabemos que
este problema no tiene nada que ver con finanzas, pero es interesante!)
2 Datos adicionales: El ruido de los grillos es producido por el rápido movimiento de las alas de los grillos, una sobre la otra. A
mayor temperatura, más rápido mueven sus alas los grillos. El libro de George W. Pierce se llama Los sonidos de los insectos y fue
publicado por Harvard University Press.
358 |
CAP. 9 | Estadísticas para carteras
23. Los economistas creyeron durante mucho tiempo que a mayor cantidad de dinero impresa, mayor sería la tasa
de interés a largo plazo. La evidencia para este enfoque puede encontrarse en la tabla siguiente, que brinda las
tasas de los bonos del gobierno de largo plazo para 31 países y la correspondiente tasa de crecimiento de la oferta
monetaria para cada país3.
a. Represente gráficamente los datos y use una regresión para encontrar la relación entre el crecimiento
monetario y la tasa de interés de los bonos de largo plazo.
b. Si un país tiene crecimiento monetario cero, ¿cuál es su tasa de interés de largo plazo prevista?
c. ¿Usted considera convincente la evidencia de la tabla? (Analice brevemente el R2 de la regresión).
24. Mabelberry Fruit y Sawyar’s Jam son dos empresas competidoras. Un estudiante de MBA ha efectuado cálculos y ha
descubierto que el rendimiento de la acción de Sawyer´s Jam es completamente predecible una vez que es conocido
el rendimiento de la acción de Mabelberry Fruit.:
rSawyer ’ s,T = 40% − 1,5 * rMabelberry,T
a. Dados los rendimientos de la acción de Mabelberry Fruit indicados abajo, calcule los rendimientos de
Sawyer´s Jam.
b. Haga una regresión de los rendimientos de Mabelberry Fruit con los de Sawyer´s Jam. ¿Puede usted
explicar el R2?
3 La información fue presentada por primera vez en un artículo titulado “Money and Interest Rates”, por Cyril Monnet y Warren
Weber en el Federal Reserve Bank Quaterly Review, otoño de 2001. Mi agradecimiento a los autores por proveerme de una versión
en Excel de los datos.
| 359
Capítulo 10
Retornos de la cartera
y la frontera eficiente
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Concepto general
Ventajas de la diversificación. Un ejemplo simple
De vuelta al mundo real: Kellogg y Exxon
Gráficos de los retornos de la cartera
La frontera eficiente y la cartera de varianza mínima
Efecto de la correlación sobre la frontera eficiente
Resumen
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
1. Concepto general
¿Cómo debería invertir usted su dinero? ¿Cuál es el mejor portafolio de inversión? ¿Cómo maximiza
su retorno sin perder dinero? La gente habitualmente se hace estas preguntas engorrosas y quizás usted
esté leyendo este libro para responderlas. En este capítulo y el siguiente exploramos algunas respuestas
a estas preguntas. Usted verá que —a pesar de que nadie pueda decirle exactamente cómo invertir— podemos aclarar algo sobre algunos principios importantes sobre inversiones. Podemos también mostrarle
algunas reglas de oro sobre cómo no invertir.
Volvamos a la pregunta con la que comenzamos el párrafo anterior:
■■ ¿Cómo
debería invertir su dinero? Las finanzas no pueden decirle a usted en qué invertir, pero
pueden ofrecerle algunas directrices. La más importante es esta: usted debe diversificar su inversión —desparramarla a través de muchos activos para disminuir el riesgo—. A través de ejemplos
simples con solo dos acciones, este capítulo le mostrará cómo la diversificación puede disminuir
el riesgo de la inversión.
■■ ¿Cuál es el mejor portafolio de inversión? No se sorprenda si la respuesta de las finanzas sea que
no hay un único portafolio óptimo. Todo dependerá de su intención de compensar rendimiento
con riesgo adicional1. Lo que puede que le sorprenda, sin embargo, es que podemos decir mucho
sobre cómo no invertir. En este capítulo desarrollamos el concepto de frontera eficiente —es el
conjunto de todos los portafolios que usted considera como portafolios de inversión—. Inherente
al concepto de frontera eficiente es que hay muchos portafolios que no son buenas inversiones y
esos portafolios pueden ser descritos estadísticamente.
■■ ¿Cómo maximizar su rendimiento sin perder dinero? En alguna medida, la frontera eficiente responde a esta pegunta: nos muestra qué portafolios son tan malos que usted puede mejorar tanto
el riesgo como el rendimiento. Una vez que hayamos obtenido la frontera eficiente, sin embargo,
la compensación de riesgo-rendimiento comienza a operar y mayores rendimientos significan mayores riesgos2.
Vanguard Fund
Vanguard fund es un importante Fondo administrador de bonos y acciones. En su sitio web define diversificación como:
“La estrategia de invertir en diferentes clases de activos y en títulos de muchos emisores en un intento de disminuir el
riesgo general y de evitar la posibilidad de que el rendimiento de un portafolio sea dañado por un pobre rendimiento de un
activo en particular, industria o sector.
En la mayor parte de este capítulo examinaremos el riesgo y rendimiento de portafolios compuestos
por dos activos financieros. Si se elige una combinación de dos activos, se puede alcanzar una reducción
1 Como usted aprendió en el capítulo 8, casi todas las preguntas interesantes de finanzas involucran la palabra “riesgo”. ¡La selección de
portafolios no es diferente!
2 Como el padre del autor solía decir: “es mejor ser sano y rico que pobre y enfermo”. La interpretación desde la visión de inversión de
esto es que todos querríamos tener más rendimiento y menos riesgo. La frontera eficiente representa el conjunto de difíciles decisiones de
inversión: una vez que usted está sobre la frontera eficiente, es imposible obtener más rendimiento sin asumir mayor riesgo.
| 363
Principios de Finanzas con Excel
significativa de riesgos3. Gran parte del capítulo se basa en estadísticas para carteras, lo cual se ha tratado en el capítulo anterior. Nuestro principal ejemplo, que considera las carteras de acciones de Exxon
(XOM) y Kellogg (K), es aquel que comenzamos en el capítulo 9.
A pesar de que los temas de este capítulo y el capítulo 9 se hallen vinculados, existen diferencias.
Mientras que el capítulo 9 desarrolla los conceptos estadísticos necesarios para la selección de carteras,
este capítulo trata la selección de carteras como una cuestión económica. En este capítulo desarrollamos
los conceptos que nos ayudarán a pensar con más precisión sobre carteras aceptables e inaceptables. En
el capítulo siguiente llevaremos esta línea de pensamiento más lejos.
CONCEPTOS FINANCIEROS TRATADOS
■■ Media
y desviación estándar de una cartera de dos activos.
■■ Riesgo y rendimiento de la cartera.
■■ Cartera de varianza mínima.
■■ Frontera eficiente.
■■ Cálculos de media y varianza para carteras de tres activos.
FUNCIONES DE EXCEL UTILIZADAS
■■ PROMEDIO.
■■ VARP
y DESVESTP.
■■ Regresiones.
■■ Gráficos sofisticados.
■■ Solver.
2. Ventajas de la diversificación. Un ejemplo simple
En esta sección damos un ejemplo que ilustra los beneficios de la diversificación. En la jerga financiera, diversificación significa invertir en muchos activos diferentes en contraposición a poner todo su
dinero en un solo activo. En nuestros ejemplos, usted observará cuándo la diversificación paga (y cuándo
no lo hace). Los ejemplos son mucho más simples que los del mundo real que aparecen en la siguiente
sección, pero ellos encarnan mucha de la intuición de por qué los inversores invierten en las carteras. En
particular, usted verá cómo la correlación entre los retornos de los activos es importante en la determinación de la reducción del riesgo que se puede obtener a través de la formación de carteras.
En cada uno de los siguientes ejemplos usted puede invertir en dos activos, A y B. El retorno de cada
activo es incierto y es determinado por el lanzamiento de una moneda: si la moneda sale cara, el retorno
de ambos activos A y B es 20 % y si la moneda sale cruz, el retorno de los activos es -8 %. En términos
de dólares, si usted invierte $100 en uno de estos activos, usted obtendrá $120 si la moneda sale cara
y $92 si sale cruz.
3 Por supuesto en el mundo real hay muchos activos para invertir. Utilizamos el caso de dos activos para desarrollar la intuición y pedirle
a usted que crea que el caso de multi activos es similar.
364 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Nuestro ejemplo tiene mucho que ver con la secuencia de los lanzamientos de la moneda y la conexión entre ellos. En términos de la secuencia del lanzamiento de la moneda, así es como se ven los
retornos del activo.
La moneda sale cara,
activo A rinde 20%
El lanzamiento
de una moneda
determina el retorno
del activo B
La moneda sale cara,
activo B rinde 20%
Activo A rinde 20%
Activo B rinde 20%
La moneda sale cruz,
activo B rinde -8%
Activo A rinde 20%
Activo B rinde -8%
La moneda sale cara,
activo B rinde 20%
Activo A rinde -8%
Activo B rinde 20%
La moneda sale cruz,
activo B rinde -8%
Activo A rinde -8%
Activo B rinde -8%
El lanzamiento
de una moneda
determina el retorno
del activo A
La moneda sale cruz,
activo A rinde -8%
El lanzamiento
de una moneda
determina el retorno
del activo B
Caso 1: invertir en un solo activo arriesgado
Suponga que usted decide invertir sus $100 enteramente en el activo A. Si la moneda sale cara, usted
ganará 20 % sobre su inversión y si sale cruz usted perderá 8 %. Su inversión de $100 en el activo A
tendrá el siguiente flujo de fondos patrón de rendimiento.
Observe las estadísticas de los retornos en la columna I: el activo A tiene un retorno medio de 6 % y
desviación estándar de los retornos de 14 %4.
4 Usted notará que hemos utilizado la función de Excel VARP para calcular la varianza del portafolio y no VAR. El motivo para esta
elección —que se hace a lo largo de todo el libro— fue dado en el apéndice 9.2. Del mismo modo, deberíamos utilizar DESVESTP para
calcular la desviación estándar y no DESVEST. Podemos también calcular la deviación estándar sacando la raíz cuadrada de la varianza,
lo que hemos realizado en el presente ejemplo.
| 365
Principios de Finanzas con Excel
Caso 2: el caso de la “moneda al aire”: dividir su inversión entre los activos
En el caso 1 usted invirtió solo en un activo. En los casos 2-5 usted invertirá tanto en los activos A
como B.
En el caso 2, suponga que la moneda que determina los retornos del activo A y la moneda que determina los retornos del activo B son independientes. En términos simples, usted puede pensar en una
moneda que se arroja dos veces —una para determinar los retornos del activo A y la segunda vez para
determinar los retornos del activo B—. Si el lanzamiento de la moneda es libre, entonces el resultado del
primer lanzamiento no tiene ninguna influencia en el resultado del segundo lanzamiento.
Ahora, esta es la pregunta que queremos responder: ¿debería usted invertir todo su dinero en A? ¿En
B? ¿O debería usted repartir su inversión entre ambas? La respuesta tiene que ver con los efectos de la
diversificación. Para examinar esta cuestión más de cerca, asumamos que usted ha decidido invertir $50
en cada activo. Su resultado final se muestra abajo.
Como usted puede observar, el retorno medio de la inversión en los dos activos (6 %) es el mismo que
el retorno medio del caso 1, donde invertimos solo en un activo. Note, sin embargo, que la desviación
estándar bajó de 14 % a 9,9 %, usted ganó lo mismo pero incurrió en menos riesgo.
Mensaje: la diversificación en activos no correlacionados mejora los retornos de sus inversiones.
Este mensaje —que la diversificación paga porque reduce el riesgo— puede analizarse con mayor
profundidad. En el siguiente ejemplo exploramos los retornos cuando se tienen activos correlacionados.
366 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Caso 3: el caso de la moneda falsa: una correlación de +1
Ahora suponga que usted tiene la misma intuición que arriba: solo que esta vez su moneda está falsificada. Usted no sabe si saldrá cara o cruz, pero sabe que sea cual fuere el resultado de la moneda “A”,
el resultado de la moneda “B” será el mismo. En términos estadísticos esto es una correlación de +1.
¿La diversificación mejorará sus retornos en esta situación?
Como puede observarse, el resultado de dividir su inversión entre dos activos es idéntico al resultado
de invertir en un solo activo (celdas D25:D27). Tanto el retorno medio como la desviación estándar de
los retornos son los mismos que en el caso 1, en que tiramos solo una moneda.
Mensaje: cuando los retornos de los activos están perfectamente correlacionados en forma positiva, la
diversificación no reduce el riesgo.
Caso 4: el caso de la moneda falsa: correlación de -1
Estamos aún con el mismo ejemplo y nuestra moneda sigue siendo falsa. Pero esta vez está falsificada
con una correlación perfectamente negativa (-1): si la moneda “A” sale cara, entonces la moneda “B”
saldrá cruz. En términos estadísticos, la correlación entre las dos monedas es -1. En este caso podemos
encontrar una cartera que elimina por completo todo el riesgo: dividiendo nuestra inversión entre los
activos A y B, obtenemos un 6 % de retorno esperado sin ninguna desviación estándar.
| 367
Principios de Finanzas con Excel
Mensaje: cuando los retornos de los activos están perfectamente correlacionados en forma negativa,
la diversificación puede eliminar por completo todo el riesgo.
Caso 5: la moneda parcialmente falsa (¿el mundo real?)
En el mundo real hay generalmente una conexión entre los precios de las acciones de una empresa y
los de otra. Minimizando los detalles, los precios de las acciones reflejan dos elementos:
■■ Cómo
de bien va un negocio en particular: en algunas industrias este elemento lleva a correlaciones negativas. Por ejemplo, si Procter & Gamble (un gran fabricante de pastas dentales, jabón de
lavar y otras cosas más) está ganando participación de mercado, es probable que sea a expensas
de Unilever (otra empresa en el mismo negocio). Esto no siempre es verdad, sin embargo: si a
Intel (un gran fabricante de chips de informática) le va bien, puede que sea porque la industria de
informática está en expansión y a AMD (otro jugador en la misma industria) también le vaya bien.
■■ Cómo de bien va la economía: los precios de las acciones están fuertemente afectados por el
comportamiento de la economía. Este factor tiende a llevar a correlaciones positivas: cuando el
mercado como un todo sube, la mayoría de los precios de las acciones tenderá a subir y viceversa.
Para los precios de las acciones, este factor tiende a dominar al primero: en general los precios de
las acciones se mueven juntas, a pesar de que su correlación diste de ser completa.
Observe que hemos sido cuidadosos con el lenguaje: hemos utilizado palabras como “tienden a subir”
—los precios de las acciones están solo parcialmente, no perfectamente correlacionados5—.
Para modelar correlación parcial con nuestro ejemplo de lanzamiento de moneda asumiremos que el
resultado del lanzamiento de la moneda “A” afecta el resultado de “B”, pero no completamente. Si la
moneda “A” sale cara (que ocurre con una probabilidad de 0,5), la probabilidad de que “B” salga cara
es 0,7. Si la moneda “A” sale cruz (probabilidad 0,5), la probabilidad de que la moneda “B” también
salga cruz es 0,7. A continuación, la hoja que resume los rendimientos.
5 La correlación negativa en retornos de acciones también puede ocurrir: vea el ejemplo de General Motors y Microsoft al final de este
capítulo.
368 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Mensaje: cuando los retornos de los activos están parcialmente correlacionados, la diversificación
reduce el riesgo pero no lo elimina por completo.
¿Cuál es el punto?
A pesar de los ejemplos de los dos activos, dos lanzamientos de moneda son simples e inverosímiles,
las lecciones que usted puede aprender de estos ejemplos también se aplican a los casos del “mundo
real” de diversificación de activos:
■■ Si
la correlación entre los retornos de los activos es +1, entonces la diversificación no reduce el
riesgo de la cartera.
■■ Si la correlación entre los retornos de los activos es -1, entonces podemos crear un activo libre de
riesgo —un activo sin incertidumbre sobre sus rendimientos (un depósito bancario es un ejemplo)
— utilizando una cartera de ambos activos.
■■ En el mundo real, los rendimientos de los activos casi nunca están completamente correlacionados. Cuando los retornos de los activos están parcialmente, pero no completamente correlacionados (significando que la correlación está entre -1 y +1), la diversificación puede reducir el riesgo,
a pesar de que no puede eliminarlo por completo.
3. De vuelta al mundo real: Kellogg y Exxon
En el capítulo 9 hemos calculado los datos de retornos anuales de las acciones Kellogg (K) y Exxon
(XOM) para los 10 años comprendidos entre 1999-2008. Estos son nuestros cálculos:
| 369
Principios de Finanzas con Excel
Usted puede observar que los retornos medios de la tenencia de la acción Kellogg (6 % por año) es
mucho menor que el retorno medio de la tenencia de la acción Exxon (11,71 %). Por otro lado, el riesgo
de la tenencia de XOM —medido bien a través de la varianza o de la desviación estándar de los retornos—
es mayor que el riesgo de Kellogg: esta es la compensación que deberíamos esperar —K tiene menos
retorno y menos riesgo que XOM—. Vea que los retornos de K y XOM están positivamente correlacionados
(celda B18): en promedio, un incremento en los retornos de K fue acompañado por un incremento en los
retornos de XOM. Si usted utiliza Excel para representar gráficamente los retornos de K en el eje x y XOM
en el eje y, usted puede detectar un suave patrón “sudoeste a noreste” en los rendimientos.
La línea de tendencia (que ilustra la regresión XOM y K) muestra la tendencia6.
6 Como se explicó en el capítulo 9, el R2 de la regresión indica el porcentaje de la variabilidad de los retornos de XOM explicado por la
2
variabilidad de los retornos de K. R2 es el coeficiente de correlación al cuadrado: R2=0,121 = [Correlación(RetornosXOM ,RetornosK ] = (0, 3482)2
2
A pesar de que R pueda aparecer un poco bajo, es típico para muchos pares de acciones.
370 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
4. Gráficos de los retornos de la cartera
En esta sección representaremos en un gráfico los retornos disponibles para el inversor provenientes
de una inversión en una cartera compuesta por las acciones K y XOM. Comenzamos mostrándole varias
carteras individuales y finalizamos la sección con el gráfico de la curva que representa todos los retornos
posibles del portafolio.
4.1. Derivando el riesgo. Rendimiento de una Cartera Individual
Suponga que formamos una cartera compuesta por las acciones 50 % K y 50 % XOM. Las celdas
E8:E17 de la hoja siguiente muestran los retornos anuales de esta cartera.
Como dijimos en el capítulo 9, las estadísticas de la cartera mostradas en las celdas E18:E20 pueden
derivarse utilizando las fórmulas que involucran solo información sobre los retornos de las acciones individuales, sus varianzas y covarianzas. No hay necesidad de realizar los cálculos extensos de las celdas
E7:E16:
■■ El
retorno medio de 8,85 % es un promedio ponderado de los retornos de K y XOM. Escribiendo el
porcentaje de inversión en la acción k como wk y el porcentaje en la acción XOM como wXOM; le sigue,
en consecuencia, que wXOM = 1-wk porque las proporciones del portafolio deben sumar 100 %. La
fórmula para el portafolio medio es:
Retorno medio del Portafolio, E(rp ) = wk E(rk ) + w XOME(rXOM ) = wk E(rk ) + (1 − wk )E(rXOM )
| 371
Principios de Finanzas con Excel
■■ La
varianza de los retornos del portafolio; 0,0147 es una función más complicada de las dos varianzas y las proporciones en el portafolio:
Varianza de los retornos del portafolio:
Var(rp ) = wk2 Var(rk ) + w2XOM Var(rXOM ) + 2wk w XOMCov(rk ,rXOM )
Cada proporción es elevada
al cuadrado y multiplicada
por la varianza
El deble del producto de las
proporciones por la covarianza
Utilizando estas dos fórmulas, usted evita la necesidad de cálculos extensos de los retornos del
portafolio, varianza y desviación estándar en las celdas E18:E20. En la hoja de abajo incorporamos
dichas fórmulas para la media, varianza y desviación estándar en las celdas B12:B14.
El punto aquí es que usted no precisa realizar un cálculo extenso para retornos anuales del portafolio —es suficiente con conocer las estadísticas de los retornos para cada acción, las proporciones
en el portafolio y la covarianza de los retornos de las acciones—.
372 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Otro portafolio: aumentar la proporción de XOM y disminuir la de K
Ahora suponga que representamos gráficamente otro portafolio; esta vez es un portafolio invertido
25 % en Kellogg y 75 % en Exxon.
Vea que el rendimiento del nuevo portafolio se ubica hacia el “noreste” del primer portafolio —tiene
más retorno y más desviación estándar—. El nuevo portafolio le da mayor retorno esperado, pero tiene
más riesgo. Esto es lo que usted debería esperar —mayor retorno se alcanza a costa de mayor riesgo—.
Como usted verá en la próxima subsección, puede que este no sea siempre el caso.
Hacer variar la composición del portafolio. Gráficos de todos los portafolios posibles
Suponga que variamos la composición del portafolio , haciendo que los porcentajes de K varíen desde
0 a 100 %. En las celdas G19:H29 de abajo generamos una tabla con los retornos del portafolio E(rP ) y
desviaciones estándares σ P .
| 373
Principios de Finanzas con Excel
Nota de excel: utilizar tablas de datos para simplificar los cálculos
La tabla en las celdas G19:H29 de arriba fue generada usando fórmulas para desviación estándar y retorno esperado. Cada
celda contiene una fórmula (note el uso de referencias relativas y absolutas en dichas fórmulas). Usted puede simplificar la
construcción de la tabla usando la técnica de Tablas de Datos tratada en el capítulo 20. Tabla de Datos no es una técnica
fácil de dominar, pero hace la construcción de las tablas más fácil. He aquí un ejemplo.
Continúa en página siguiente >>
374 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
<< Viene de página anterior
Usted crea la tabla de datos marcando las celdas F18:H29. El comando Datos l Análisis y Si l Tabla de Datos nos trae un
cuadro de diálogo al que usted le agrega la referencia a la celda apropiada.
Mejores portafolios… peores portafolios
Observe cuidadosamente los gráficos en la hoja anterior, donde se muestra la desviación estándar σP
de los retornos del portafolio en el eje “x” y el correspondiente retorno esperado E(rP ) en el eje y. Mirando
el gráfico es fácil observar que algunos portafolios son mejores que otros.
Considere, por ejemplo, el portafolio invertido 90 % en K y 10 % en XOM (este portafolio fue marcado
con un círculo en el gráfico de abajo). Invirtiendo en el portafolio marcado con la flecha, usted puede
mejorar el retorno esperado sin incrementar el riesgo de sus retornos. Por lo tanto, el portafolio marcado
con un círculo no es óptimo. De hecho, ninguna de las proporciones de la parte de abajo del gráfico son
óptimas: cada una es dominada por un portafolio de la parte de arriba del gráfico que tiene la misma
desviación estándar σP , y mayor retorno esperado E(rP ) .
| 375
Principios de Finanzas con Excel
Por otro lado, considere los dos portafolios de abajo marcados con un círculo.
Hay una clara compensación de riesgo —rendimiento entre estos dos portafolios— y resulta es imposible determinar si uno es mejor que otro. El portafolio con mayor retorno también tiene más desviación
estándar de los retornos. Todos los portafolios en la parte superior del gráfico tienen esa propiedad. La
parte superior del gráfico es llamada frontera eficiente. La frontera eficiente es la parte de difícil selección de portafolios —a lo largo de la frontera eficiente, los portafolios con mayores retornos esperados
requieren que usted asuma mayor riesgo—.
La pendiente de la frontera eficiente crece de izquierda a derecha, lo cual significa que la selección
entre cualesquiera dos portafolios sobre la frontera eficiente involucra una compensación entre mayor
retorno esperado E(rP ) , y mayor riesgo indicado por la desviación estándar de los retornos σP . Un inversor
que elija portafolios arriesgados elegirá solo aquellos que se ubiquen sobre la frontera eficiente.
En la sección siguiente investigamos algunas propiedades de la frontera eficiente.
5. La frontera eficiente y la cartera de varianza mínima
La frontera eficiente es el conjunto de todos los portafolios que se ubican sobre la parte de pendiente
creciente del gráfico anterior. “Pendiente creciente” significa que los portafolios sobre la frontera eficiente involucran una difícil elección —incrementar el retorno esperado del portafolio E(rP ) tiene el costo
376 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
de incrementar la desviación estándar del portafolio σP —. Si usted está seleccionando portafolios de
inversión que son una combinación de las acciones K y XOM, entonces claramente los únicos portafolios
en que estará interesado será en aquellos de la frontera eficiente. Estos portafolios son los únicos que
tienen una relación “noreste” de riesgo- rendimiento.
Para calcular la frontera eficiente, debemos encontrar su punto de partida, es decir, el portafolio con
la mínima desviación estándar de los retornos. En la jerga financiera, este portafolio es (algunas veces
confusamente) llamado portafolio de varianza mínima; solo recuerde que si el portafolio tiene varianza
mínima también tendrá desviación estándar mínima. El portafolio de varianza mínima es el portafolio en
el lado izquierdo de la frontera eficiente; el gráfico siguiente indica su ubicación aproximada.
Podemos encontrar el portafolio de varianza mínima de dos maneras, bien usando Solver bien usando
un poco de matemáticas. Ilustraremos ambos métodos.
5.1. Portafolio de varianza mínima usando Solver de Excel
Usando la función Solver (vea el capítulo 21), podemos calcular el porcentaje de Kellogg en un portafolio que tenga la mínima varianza. La pantalla de abajo muestra el cuadro de diálogo de Solver. En
este cuadro de diálogo, le hemos pedido a Solver que minimice la varianza del portafolio (celda B13)
cambiando el porcentaje de la acción Kellogg en el portafolio (celda B9).
| 377
Principios de Finanzas con Excel
Haciendo clic en Resolver obtenemos lo siguiente:
Por lo tanto, el portafolio de varianza mínima tiene 66,68 % en Kellogg y 33,32 % en Exxon7.
5.2. Portafolio de varianza mínima usando cálculos
Hay una fórmula para el portafolio de varianza mínima:
WK =
Var(rXOM ) − Cov(rK ,rXOM )
Var(rK ) + Var(rXOM ) − 2Cov(rK ,rXOM )
El uso de esta fórmula está ilustrado en la celda B16 de la hoja precedente. Utilizar esta fórmula, que
se deriva en el apéndice 10.1, es más fácil que usar Solver de Excel.
5.3. La frontera eficiente y el portafolio de varianza mínima
Ahora que conocemos el portafolio de varianza mínima, podemos elaborar un gráfico en la frontera
eficiente, el conjunto de todos los portafolios con una relación conveniente de compensación riesgorendimiento. “Relación conveniente de compensación riesgo-rendimiento” significa que a lo largo de la
frontera eficiente, un rendimiento adicional del portafolio E(rP ) se alcanza a un costo de desviación estándar adicional del portafolio σP . La frontera eficiente son todos los portafolios que se ubican a la derecha
del portafolio de varianza mínima.
7 Aunque —como se explica en el capítulo 21— Solver y Buscar Objetivo son en muchos casos intercambiables, este es un cálculo que
Solver realiza más fácilmente, pero que no puede ser realizado con Buscar Objetivo.
378 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Truco de excel
El gráfico de la frontera eficiente se muestra en un gráfico de Dispersión XY. Los datos en el eje x son los datos de sigma
de las celdas en I17:I27. Las celdas J17:J27 dan la información de los retornos esperados y las celdas K17:K27 proveen la
información de retorno esperado solo para los portafolios eficientes. Las dos series de datos, J17:J27 y K17:K27, constituyen
el eje y del gráfico de dispersión XY. Donde coinciden, Excel los sobreimprime, creando el efecto que se visualiza en el gráfico.
Para crear el gráfico, marque las tres columnas I17:K27. Luego vaya a la pestaña Insertar y elija XY Dispersión como se
muestra abajo. Proceda a partir de ahí para construir el gráfico.
| 379
Principios de Finanzas con Excel
6. Efecto de la correlación sobre la frontera eficiente
Cuando vimos el caso de la economía del “lanzamiento de la moneda” de la sección 10.1, concluimos que la correlación entre los retornos de los activos generaba una gran diferencia. En esta sección
examinaremos el efecto de la correlación de los retornos de las acciones sobre los retornos del portafolio,
repitiendo el experimento de correlación de la sección 10.1 para un ejemplo más del “mundo real”.
En primer lugar, recordemos lo que hemos concluido en la sección 10.1:
■■ Cuando
las dos monedas tienen correlación negativa perfecta de -1, podemos crear un activo
libre de riesgo utilizando combinaciones de los dos activos. En esta sección usted verá que una
conclusión similar es válida para portafolios de acciones: los retornos de acciones con correlación
perfecta negativa le permiten crear un activo libre de riesgo.
■■ Cuando las dos acciones tienen una correlación positiva perfecta de +1, es imposible diversificar
nada de riesgo. Usted verá que una conclusión similar se mantiene para portafolios de acciones.
■■ Cuando las dos monedas tienen correlaciones entre -1 y +1, parte del riesgo puede ser eliminado
a través de la diversificación. Nuevamente, esto es válido para portafolios de acciones.
En nuestro ejemplo utilizamos algunos de los mismos números empleados en el ejemplo de Kellogg
Exxon, pero dejaremos que la correlación entre los retornos de ambas acciones varíe. Comenzamos con el
siguiente ejemplo, en que el coeficiente de correlación entre K y XOM es ρK ,XOM = 0,5
Coeficiente de correlación = -1 correlación perfecta negativa
Cuando el coeficiente de correlación ρK ,XOM = −1 podemos usar nuestro portafolio para crear un activo
libre de riesgo. Este fue el mensaje en el ejemplo simple de “lanzamiento de la moneda” con el que
comenzamos este capítulo (sección 10.1) y sigue siendo verdad ahora:
La correlación perfecta negativa entre dos activos arriesgados posibilita la creación de un portafolio
que es libre de riesgo.
380 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Aquí está nuestro ejemplo en Excel.
El portafolio de varianza mínima (resaltado en las celdas G17:I17) se alcanza cuando la proporción en
Kellogg es 55,6 %. Cuando la correlación entre las dos acciones es -1, el portafolio de varianza mínima
es libre de riesgo; el retorno del portafolio de 8,53 % se alcanza con cero desvío estándar.
Un poco de matemáticas explica este resultado. La varianza del portafolio para este caso puede escribirse como:
2
Var(rP ) = WK2 Var(rK ) + WXOM
Var(rXOM ) + 2WK WXOM ρK ,XOM σK σ XOM
2
= WK2 Var(rK ) + WXOM
Var(rXOM ) − 2WK WXOM σK σ XOM
= WK2 Var(rK ) + (1 − WK )2 Var(rXOM ) − 2WK (1 − WXOM )σK σ XOM
= ( WK σK − (1 − WK ) σ XOM )
2
| 381
Principios de Finanzas con Excel
Esto significa que podemos, eligiendo las proporciones apropiadas de WK y WXOM, igualar la varianza
del portafolio a cero:
Var(rP ) = ( WK σK − (1 − WK ) σ XOM ) = 0
2
donde WK =
σ XOM
σK + σ XOM
En nuestro caso, ello significa que:
donde WK =
σ XOM
0, 0267
=
= 0,5557
σK + σ XOM 0, 0171 + 0, 0267
Este valor da la celda G18.
Coeficiente de correlación = +1. El caso de la correlación positiva perfecta
Cuando el coeficiente de correlación ρK ,XOM = +1 , la diversificación no reduce el riesgo.
Correlación perfecta positiva entre dos activos arriesgados significa que el riesgo no se reduce en un
contexto de portafolio.
Aquí presentamos nuestro ejemplo en Excel.
382 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Observe lo que queremos decir con “el portafolio no reduce el riesgo”: las combinaciones de riesgorendimiento para este caso son una línea recta. En los dos casos previos (correlación = 0,50 y correlación
= -1) la frontera del portafolio tuvo una porción “noroeste”; sobre la porción “noroeste” de la frontera,
reducimos riesgo e incrementamos rendimiento. En este caso la frontera tiene solo una porción “noreste”, no hay manera de reducir riesgo incrementando rendimiento.
Cuando la correlación entre los dos activos es +1, la desviación estándar de los retornos del portafolio
para este caso es un promedio ponderado de las desviaciones estándares de los activos. Un poco de matemáticas explica este resultado. La varianza del portafolio para este caso puede escribirse como:
2
Var(rP ) = WK2 Var(rK ) + WXOM
Var(rXOM ) + 2WK WXOM ρK ,XOM σK σ XOM
2
= WK2 Var(rK ) + WXOM
Var(rXOM ) + 2 WK WXOM σK σ XOM
El coeficiente de c orrelación
ρK, XOM =1
= ( WK σK + (1 − WK ) σ XOM )
2
Esto significa que la desviación estándar del portafolio es un promedio ponderado de las desviaciones
estándares de los activos:
σ(rP ) = WK σK + (1 − WK ) σ XOM
Por lo tanto, no hay ganancia real por diversificación.
7. Resumen
En este capítulo hemos tratado la importancia de la diversificación para los retornos del portafolio y
sus riesgos. Hemos mostrado cómo calcular la media, la varianza y la desviación estándar de los retornos
del portafolio. La frontera eficiente es el conjunto de aquellos portafolios que ofrecen el mayor retorno
esperado para una desviación estándar dada. Hemos hablado de tal frontera y cómo es afectada por la
correlación entre los retornos de los activos.
| 383
Principios de Finanzas con Excel
Apéndice 10.1.: derivar la fórmula para la cartera de varianza mínima
En este apéndice derivamos la fórmula para la cartera de varianza mínima. Recuerde la fórmula de la
varianza del portafolio:
2
Var(rP ) = WK2 Var(rK ) + WXOM
Var(rXOM ) + 2WK WXOM Cov(rK ,rXOM )
Sustituyendo en WXOM = 1-WK, esta ecuación se transforma en:
Var(rP ) = WK2 Var(rK ) + (1 − WK )2 Var(rXOM ) + 2WK (1 − WK )Cov(rK ,rXOM )
Haciendo la derivada de esta ecuación igual a cero nos dará la fórmula del portafolio de varianza
mínima:
dVar(rP )
= 2WK Var(rK ) − 2(1 − WK )Var(rXOM ) + Cov(rK ,rXOM )(2 − 4WK ) = 0
dWK
⇒ WK =
Var(rXOM ) − Cov(rK ,rXOM )
Var(rK ) + Var(rXOM ) − 2Cov(rK ,rXOM )
Apéndice 10.2.: carteras con tres y más activos
En este apéndice vemos portafolios y sus fronteras eficientes cuando hay más de dos activos. Los
principales puntos que marcamos son los siguientes:
■■ En
el contexto multiactivo podemos calcular la frontera eficiente y tiene su forma característica.
■■ Cuantos más activos arriesgados haya, más influenciada estará la varianza de la cartera por las
covarianzas entre los activos.
■■ Comenzamos considerando un problema de tres activos. Para describir tres activos, necesitamos
conocer el retorno esperado, la varianza y todos los pares de covarianzas. Estos datos se describen
abajo.
384 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Suponga que formamos un portafolio de activos riesgosos compuestos por las proporciones xA, en el
activo A, xB en el activo B y xC en el activo C. Dado que el portafolio está totalmente invertido en activos
arriesgados, se sigue que xC =1- xA-xB
Estadísticas de los retornos del portafolio: el retorno esperado del portafolio estará dado por:
E(rP ) = x A E(rA ) + x BE(rB ) + x CE(rC )
El cálculo de la varianza de los retornos del portafolio requiere tanto las varianzas como las covarianzas:
Var(rP ) = x 2A Var(rA ) + x B2 Var(rB ) + x C2 Var(rC ) +
2x A x BCov(rA ,rB ) + 2xx A x C Cov(rA ,rC ) + 2x B x C Cov(rB ,rC )
Observe que hay tres varianzas y tres covarianzas. Cuando —al final de esta sección— le mostremos
la fórmula para un problema de cuatro activos, habrá cuatro varianzas y seis covarianzas. A medida que
el número de activos crece, también lo hace el número de covarianzas (de hecho, su número crece mucho más rápidamente que el número de varianzas). Este es el significado del segundo punto indicado al
comienzo de esta sección —para problemas de multiactivos, la varianza del portafolio es crecientemente
influenciada por las covarianzas—.
A continuación, un ejemplo del cálculo de la media de los retornos y varianza para nuestro portafolio
de tres activos: las estadísticas del portafolio están calculadas en las celdas B16:B18.
| 385
Principios de Finanzas con Excel
Calcular la frontera eficiente con tres activos
Podemos utilizar Excel para calcular y representar gráficamente la frontera eficiente para este caso8.
Haremos uso de Solver de Excel.
■■ Paso
1: utilizamos Solver para hallar el portafolio de varianza mínima.
Este es el resultado.
8 El procedimiento que vamos a explicar es algo extenso —para un razonamiento más reducido aunque más complejo matemáticamente,
vea el libro Financial Modelling (3rd edición, MIT Press, 2008)—.
386 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
■■ Paso
2: ahora especificamos sigma y usamos Solver para encontrar el portafolio con el retorno
máximo. Hacemos esto en primer lugar agregando una celda (“sigma objetivo”, celda B20) a la
hoja.
Observe que —partiendo de la fila 24— hemos comenzado a construir una tabla con los resultados. La primera fila de esta tabla es el portafolio de mínimo sigma. Ahora utilizamos Solver para
agregar otra fila a esta tabla.
Lo hacemos añadiendo una restricción a Solver.
| 387
Principios de Finanzas con Excel
La restricción fue agregada haciendo clic en Agregar en la porción inferior del cuadro de diálogo de
Solver.
Aquí está el resultado.
Si repetimos este cálculo muchas veces para muchos “sigmas” objetivos, obtenemos la frontera eficiente.
388 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Cuatro Activos
Esta sección ha entrado en detalle en cómo calcular los retornos y varianzas para un portafolio de tres
activos. Si tenemos cuatro activos, podemos realizar los mismos tipos de cálculos (los dejamos como ejercicio). Lo que usted debe saber para este caso es cómo calcular los retornos del portafolio y sus varianzas.
Llamemos a los activos A, B, C y D y denotemos las proporciones del portafolio con xA, xB , xC y xD .
Las estadísticas de los retornos de la cartera: el retorno esperado de esta cartera estará dado por:
E(rP ) = x A E(rA ) + x BE(rB ) + x CE(rC ) + x DE(rD )
El cálculo de la varianza de la varianza de los retornos del portafolio requiere tanto las varianzas como
las covarianzas:
Var(rP ) = x 2A Var(rA ) + x B2 Var(rB ) + x C2 Var(rC ) + x D2 Var(rD )
2x A x BCov(rA ,rB ) + 2x A x C Cov(rA ,rC ) + 2x A x DCov(rA ,rD )
2x B x C Cov(rB ,rC ) + 2xx B x DCov(rB ,rD )
+2x C x DCov(rC ,rD )
Observe que hay cuatro varianzas y seis covarianzas.
| 389
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. La siguiente tabla presenta los precios a fin de año para las acciones de Ford y PPG para los años 1989 a 2001.
a. Calcule los siguientes indicadores estadísticos para estas 2 acciones: rendimiento medio, varianza de
los rendimientos, covarianza de los rendimientos, coeficiente de correlación.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Si usted invierte en una cartera compuesta al 50 % por cada una, ¿cuál será el rendimiento esperado
de la cartera? ¿y la desviación estándar?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Comente la siguiente afirmación: “Ford tiene menor rendimiento y mayor desviación estándar que los
rendimientos que PPG. Por lo tanto, todo inversor racional invertiría solo en PPG y dejaría Ford fuera
de su cartera.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
2. Usted invierte $500 en una acción para la cual el rendimiento es determinado por el lanzamiento de una moneda.
Si la moneda sale cara, la acción rinde 10 %; y si sale cruz el rendimiento de la acción es -10 %. ¿Cuál es el rendimiento medio, la varianza de los rendimientos, y la desviación estándar de los rendimientos de esta inversión si
usted arroja la moneda una vez?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 391
Principios de Finanzas con Excel
3. Usted tiene $500 para invertir. Decide dividirlo en dos partes. El rendimiento sobre cada $250 será determinado por
lanzamientos de una moneda y los resultados de los dos lanzamientos no están correlacionados. Si la moneda sale
cara, el inversor obtendrá un rendimiento del 10 % y si sale cruz le rendirá un -10 %. ¿Cuál es el rendimiento medio,
la varianza de los rendimientos y la desviación estándar de los rendimientos de esta inversión?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
4. La pregunta previa asume que la correlación entre los lanzamientos de la moneda es 0. Repita esta pregunta con
las siguientes correlaciones:
a. Si la primera moneda sale cara, entonces la segunda moneda saldrá cara también y viceversa (correlación de 1).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Si la primera moneda sale cara, entonces la segunda moneda saldrá cruz y viceversa (correlación de -1).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Si la primera moneda sale cara, entonces la segunda moneda saldrá cara con una probabilidad de 0,8.
Si la primera moneda sale cruz, entonces la segunda moneda saldrá cruz con una probabilidad de 0,6.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
d. ¿Qué puede usted concluir acerca de la conexión entre la varianza de los rendimientos del lanzamiento
de la moneda y la correlación entre los lanzamientos?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
5. Considere la siguiente información estadística para un portafolio compuesto por acciones e las empresas A y B.
392 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
Utilice la función Tabla de datos para obtener las estadísticas de distintas combinaciones de portafolios. Elabore un
gráfico y señale en qué posición se ubica el portafolio indicado. ¿Puede obtenerse alguna combinación de A y B con
igual desviación estándar que dicho portafolio pero mejor rendimiento esperado?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. Calcule el rendimiento medio y la varianza de un portafolio compuesto por las acciones al 30 % GM y 70 % MSFT,
usando la siguiente información:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
7. Durante la década 1990-1999, General Motors y Microsoft estuvieron negativamente correlacionadas (ver los datos
en el ejercicio anterior). Encuentre los siguientes dos portafolios:
a. El portafolio de varianza mínima.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. El portafolio eficiente que tiene un rendimiento esperado de 4 %.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 393
Principios de Finanzas con Excel
8. La siguiente hoja presenta información de las acciones A y B.
a. ¿Cuáles son los rendimientos y desviación estándar de un portafolio compuesto por 30 % de la acción
A y 70 % de la acción B?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuáles son los rendimientos y desviación estándar de un portafolio distribuido en iguales proporciones
de las acciones A y B?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
9. Suponga que las estadísticas de los rendimientos de las acciones A y B están dadas abajo. ¿Cuál es la desviación
estándar del portafolio de varianza mínima? (la respuesta requiere solo un cálculo).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
10. ABC y XYZ son dos acciones con las siguientes estadísticas de sus rendimientos:
394 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
a. Calcule el rendimiento esperado y desviación estándar de un portafolio compuesto en un 25 % por ABC
y 75 % por XYZ.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule los rendimientos de todos los portafolios que son combinaciones de ABC y XYZ con las proporciones de ABC 0,10,..., 90, 100 %. Elabore un gráfico de dichos rendimientos.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Calcule el portafolio de varianza mínima.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
11. Melissa Jones quiere invertir en un portafolio compuesto por las acciones ABC y XYZ (de la pregunta anterior), que
genere un rendimiento del 19 %. ¿Cuál es la proporción de cada acción en tal portafolio y cuál es su deviación
estándar? Responda a esta pregunta usando tanto Buscar Objetivo como Solver de Excel, así como las fórmulas
matemáticas presentadas en este capítulo.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
12. Su cliente le consulta a usted para construir un portafolio de dos activos, que tenga un rendimiento esperado del
15 y desviación estándar de los rendimientos del 12 %. El cliente indica que el portafolio contenga un 60 % de la
acción Marisa (llamada así en nombre de su amada madre) que tiene un rendimiento esperado del 13 % y desviación estándar del 10 %.
a. ¿Cuáles deberían ser las estadísticas de los rendimientos del segundo activo que se combine en el
portafolio, asumiendo que las acciones tienen correlación nula?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuáles deberían ser las estadísticas de los rendimientos del segundo activo que se combine en el
portafolio, asumiendo que las acciones tienen covarianza de 0,01?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
13. ¿Cuáles serán las proporciones, el rendimiento esperado, varianza y desviación estándar del portafolio de varianza
mínima combinando las acciones indicadas a continuación, utilizando el camino matemático?
| 395
Principios de Finanzas con Excel
14. Esta pregunta se relaciona con la anterior.
a. Calcule y represente gráficamente la frontera eficiente de los portafolios de acciones X e Y del problema
anterior.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule y represente gráficamente la frontera eficiente de los portafolios de acciones compuestos por
X e Y del problema anterior, asumiendo una correlación de -1 entre ambas acciones.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
15. Considere los datos de las acciones A y B indicadas abajo. Un portafolio compuesto el 90 % de la acción A y el
10 % de la acción B tiene un rendimiento esperado de 19,1 % y desviación estándar de 20,78 %. Encuentre otro
portafolio con la misma desviación estándar y un mayor rendimiento esperado (puede hacerlo mediante prueba y
error, pero también puede utilizar Solver).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
16. John y Mary están considerando invertir en una combinación de las acciones ABC y XYZ. El rendimiento de ABC está
determinado por el lanzamiento de una moneda: si la moneda sale cara, el rendimiento es 35 % y si la moneda sale
cruz el rendimiento de ABC es 10 %. El rendimiento de la acción XYZ es determinado de un modo similar, pero con
el lanzamiento de otra moneda.
a. Calcule media, varianza y desviación estándar de los rendimientos de ABC y XYZ.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es la correlación entre los rendimientos? (¡No hay nada que calcular aquí, solo pensar!).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. John ha decidido invertir en un portafolio compuesto al 100 % por la acción XYZ. Mary, por su parte,
está invirtiendo en un portafolio compuesto al 50 % de ABC y al 50 % de XYZ. ¿Qué portafolio es mejor?
¿Por qué?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
17. Elizabeth y Sandra están considerando invertir en una combinación de las acciones ABC y XYZ. El rendimiento de
ambas acciones está determinado por el lanzamiento de una sola moneda: si la moneda sale cara, el rendimiento
de ambas acciones será 35 % y si sale cruz el rendimiento será 10 %.
a. Calcule la media, varianza y desviación estándar de los rendimientos de ABC y XYZ.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
396 |
CAP. 10 | Retornos de la cartera y la frontera eficiente
b. ¿Cuál es la correlación de los rendimientos? (¡No hay nada que calcular aquí, solo pensar!).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Elizabeth ha decidido invertir en un portafolio compuesto al 100 % por la acción XYZ. Sandra, por su parte,
está invirtiendo en un portafolio compuesto al 50 % de ABC y al 50 % de XYZ. ¿Qué portafolio es mejor?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 397
Capítulo 11
El modelo de precios de
activos de capital y la
línea de mercado de títulos
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto general
Resumen del capítulo
Portafolios de riesgo y activo libre de riesgo
Puntos sobre la CML. Explorar combinaciones de
inversión óptimas
La CML: resumen
Sección avanzada: la Sharpe Ratio y la cartera de
mercado M
La línea de mercado de títulos (SML)
Resumen
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
1. Concepto general
En este capítulo hablaremos acerca de dos potentes resultados sobre riesgos y rendimientos en los
mercados de capitales. Un primer resultado, denominado Línea de Mercado de Capitales (CML), da al
inversor asesoramiento sobre cómo invertir. La CML dice que el mejor portafolio para cualquier inversor
es una combinación de dos activos —activo libre de riesgo como una cuenta de ahorro y activo de riesgo
que es representativo del riesgo general del mercado accionario (el índice S&P 500 es habitualmente
utilizado por ejemplo)—. La elección sobre qué proporción invertir en el activo de riesgo depende de la
propensión del inversor a enfrentar riesgos.
Un segundo resultado, denominado Línea de Mercado de Títulos (SML), vincula el retorno de cualquier activo a su riesgo de mercado (también llamado riesgo sistemático del activo). La SML dice que
el rendimiento esperado de cualquier activo depende de su sensibilidad respecto del mercado. Dicha
sensibilidad es conocida como beta y habitualmente se escribe con la letra griega β. Activos con mayores
β tienen mayores riesgos y tendrán mayores retornos esperados.
En este capítulo desarrollamos los conceptos de CML y SML. En el capítulo 10 mencionamos las
combinaciones de riesgo y rendimiento ofrecidas por una cartera de activos arriesgados. En este capítulo
agregamos el activo libre de riesgo al problema de la selección de carteras tratado en el capítulo 10. Añadiendo este activo se les da a los inversores nuevas posibilidades porque les permite adquirir un activo
que tiene retorno sin riesgo: ellos pueden invertir en acciones, en el activo libre de riesgo, o en alguna
combinación de ambas. Un portafolio compuesto por activo arriesgado y activo libre de riesgo le permite
al inversor alcanzar retornos mayores que los ofrecidos por los portafolios integrados solo por activos de
riesgo.
La suma de un activo libre de riesgo al portafolio de activos de riesgo lleva a cuatro nuevos conceptos:
■■ Cartera
de mercado (denominada con la letra M) es la mejor cartera de activos de riesgo disponible
para todos los inversores.
■■ Línea de mercado de capitales (CML) es el conjunto de todos los portafolios óptimos de inversión
disponibles para el inversor. La CML contiene un importante componente de asesoramiento en
inversiones: nos dice que cada cartera óptima de inversión debería ser una combinación del activo
libre de riesgo y cartera de mercado.
■■ Beta (β) de una acción es una medida del riesgo de mercado de la misma.
■■ Línea de mercado de títulos (SML) describe la relación entre retorno esperado de cualquier acción
y su β.
Dado que el material de este capítulo no es fácil, comenzaremos el capítulo con un resumen de sus
ideas principales. En algún punto usted querrá saltar hacia los capítulos 12 y 13 para ver cómo son usados los conceptos en la práctica.
Conceptos financieros tratados
■■ Portafolios,
activo libre de riesgo.
de Mercado de Capitales (CML).
■■ β, Línea de Mercado de Títulos (SML).
■■ Sharpe Ratio.
■■ Línea
| 401
Principios de Finanzas con Excel
Funciones de excel utilizadas
■■ VARP,
DESVESTP, RAIZ.
■■ Gráficos sofisticados.
■■ Solver.
2. Resumen del capítulo
Gran parte del material de este capítulo es técnico y un tanto más difícil que en los restantes capítulos
del libro. Para facilitar la comprensión del material del capítulo, comenzamos con un resumen de los
principales resultados del capítulo.
Los dos conceptos principales que deben extraerse del capítulo son: la línea de mercado de capitales
(CML) y la línea de mercado de títulos (SML). La CML nos dice cómo un inversor debería repartir sus
inversiones entre activos de riesgo y de no riesgo. La SML nos dice cómo la tasa de retorno esperada de
cualquier activo está relacionada con su riesgo y cómo puede medirse dicho riesgo. En las próximas dos
subsecciones daremos ejemplos del uso de la CML y SML.
Al hablar sobre la CML y la SML es útil tener en cuenta dos notaciones. Denominaremos rf al retorno
del activo libre de riesgo; usted puede pensar en él como el interés pagado por los bancos en sus cuentas de ahorro o los intereses pagados por los fondos de inversión en activos monetarios (Money Market
Fund)1. Llamaremos E ( rM ) a la rentabilidad esperada del Mercado, la tasa de rentabilidad de una cartera
de acciones que es representativa del riesgo del mercado accionario como un todo. Suponga que, por
ejemplo, la tasa libre de riesgo en Estados Unidos —una tasa representativa pagada por los bancos por
sus depósitos— es rf = 3 %. Al mismo tiempo, el consenso sobre el análisis del mercado accionario es
que en los próximos 5 años el mercado de acciones de EE. UU. obtendrá un retorno anual E ( rM ) = 8%.
En el ejemplo de abajo usaremos tanto rf = 3 % como E ( rM ) = 8 % para ilustrar la Línea de Mercado de
Capitales (CML) y la Línea de Mercado de Títulos (SML).
2.1. Línea de mercado de capitales (CML)
La CML le dice al inversor que la estrategia óptima de inversión es dividir su capital entre dos activos:
un activo libre de riesgo que gana rf y un activo arriesgado representativo del riesgo del mercado como un
todo. La CML establece que el retorno esperado de tal portafolio estará dado por la ecuación:
■■ CML
= Retorno Esperado de la Cartera Optima
■■ E ( rM )
= rf + (% invertido en el portafolio de mercado) *
E ( rM ) − rf 
Así es como usted debería utilizar la CML: suponga que su amigo Bernardo le dice: “tengo $10.000
para invertir. Tú eres un experto en finanzas. Ayúdame a elegir algunas acciones”.
1 Un Fondo de Inversión en activos monetarios (Money Market Fund) es un fondo mutuo que invierte en una cartera altamente diversificada de títulos de muy corto plazo emitidos por el Tesoro de EE. UU., o por grandes empresas de EE. UU. que tienen elevado rating
crediticio. Los bonos adquiridos por estos Fondos típicamente vencen a los 7 – 20 días, con lo que el Fondo está prestando su dinero por
un muy corto plazo en un mercado altamente líquido. El rendimiento de un Money Market Fund es representativo del rendimiento libre de
riesgo en la economía. Para una explicación más detallada, vea http://www.fool.com/savings/shortterm/03.htm
402 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
Usted debería comenzar diciéndole a Bernardo ¡que ni siquiera trate de elegir acciones! Toda la
investigación hecha en finanzas ha demostrado que es en vano escoger acciones: en promedio, ni los
experimentados “selectores de acciones” obtienen rendimientos superiores. En lugar de elegir acciones,
la CML le asesora consultarle a Bernardo qué porcentaje de su dinero quiere invertir con riesgo y qué
porcentaje precisa mantener absolutamente seguro. Hay una compensación en ello: la parte arriesgada
del portafolio ganará, en promedio, más que la parte libre de riesgo.
Suponga que Bernardo le contesta que él desea colocar 30 % de su dinero con riesgo y quiere el
70 % restante en una inversión segura. En este punto usted puede darle el siguiente buen asesoramiento,
basado en la CML:
■■ Invertir
$7.000 en un Fondo de inversión en Activos Monetarios como Fidelity Cash Reserves
Fund. Los fondos de inversión en activos monetarios invierten en bonos a muy corto plazo y ganan
interés virtualmente sin riesgo. Son muy líquidos (lo que significa que usted puede retirar sus
fondos en cualquier momento), y son muy seguros.
■■ Invertir los $3.000 que él está dispuesto a poner en riesgo, en un fondo mutuo que represente
el riesgo medio del mercado. Un fondo típico podría ser Fidelity´s Spartan 500 Index Fund. Este
Fondo invierte solo en acciones del Índice S&P500 —un índice que es ampliamente representativo
del riesgo del mercado accionario de EE. UU.2—.
■■ La CML dice que el retorno esperado del portafolio de Bernardo está relacionado con la tasa libre
de riesgo rf y con el porcentaje invertido en el mercado. Suponga que rf = 3 % y suponga que E ( rM )
= 8 %. Entonces Bernardo puede esperar un porcentaje de retorno anual de su cartera de 4,5 %:
CML: retorno esperado de la cartera óptima
E ( rP ) = rf + (% invertido en portafolio de mercado)* E ( rM ) − rf 
E ( rP ) = 3% + 30%* [8% − 3%] = 4,5%
La estrategia 70 %-30 % de Bernardo demuestra que él es bastante adverso al riesgo. Su aversión al
riesgo lo lleva a una estrategia de inversión que coloca la mayoría de su dinero en una inversión libre de
riesgo y solo una pequeña parte en una inversión arriesgada. Bernardo no colocará gran parte de su dinero
a riesgo, pero por otro lado, él ganará menos que lo que ganaría si asumiera más riesgo.
Ahora suponga que sus padres le consultan a usted cómo invertir $1.000.000 que tienen ahorrados.
Ellos le dicen que quieren invertir a largo plazo y que pueden asumir más riesgo. Dado que pueden
asumir más riesgo que Bernardo, usted podría preguntarles qué opinan de una estrategia de inversión
20 %- 80 %. Usted podría sugerirles que invirtieran $200.000 en Fidelity Cash Reserves y los $800.000
restantes en el Fondo Spartan Index 500. A largo plazo ellos ganarán más de su inversión, pero asumirán
más riesgo. La CML predice que sus padres ganarán 7 %:
2 Las URL relevantes para ambos fondos pueden encontrarse en página web de Fidelity: http//:www.fidelity.com. Observe que casi todas
las compañías de fondos mutuos tienen fondos de activos monetarios y fondos de índices, por lo que el uso del Fondo Fidelity es meramente ilustrativo.
| 403
Principios de Finanzas con Excel
CML: retorno esperado de la cartera óptima
E ( rP ) = rf + (% invertido en portafolio de mercado)* E ( rM ) − rf 
E ( rP ) = 3% + 80%* [8% − 3%] = 7%
Como usted puede observar, la CML simplifica las estrategias de inversión concentrándose solo en la
división de la inversión entre activo libre de riesgo y activo de riesgo. También predice el retorno esperado
de la cartera3. Para resumir los consejos de inversión contenidos en la CML:
■■ EL
mejor portafolio implica una simple división entre activo libre de riesgo y cartera de mercado.
Estos portafolios cuya configuración de riesgo-rendimiento están dadas por la CML son los mejores
portafolios disponibles para el inversor: por fuera de los portafolios ubicados sobre la CML, no hay
portafolios que ofrezcan una combinación superior de riesgo-rendimiento.
■■ Más allá de la simple elección por parte del inversor de la división entre activo libre de riesgo y
cartera de mercado, ¡no hay otro punto sobre el que haya que pensar! Los inversores no pueden
mejorar la performance de sus carteras de inversión en base a la selección juiciosa de acciones.
Tampoco lo pueden hacer los administradores de inversiones.
Línea de mercado de títulos (SML)
La CML trata solo la composición de portafolios óptimos de inversión. Pero hay muchos activos en la
economía, ¿qué ocurre con ellos? La SML dice que el retorno esperado de cualquier activo o portafolio
está relacionado con tres factores:
1. La tasa libre de riesgo en el mercado rf.
2. El riesgo de mercado del activo. El riesgo de un activo es medido por un número llamado beta (β)
que mide la sensibilidad de los retornos del activo con el mercado. Si el activo tiene un elevado
beta, entonces cuando el mercado suba, el activo sube aún más (y por supuesto lo contrario: cuando el mercado baja, el activo baja aún más). Los movimientos de precios de un activo de baja β
muestra menos sensibilidad a las variaciones en el mercado.
3. La rentabilidad esperada del mercado, E (rM ) .
3 Anticipando los resultados de la sección 11.3, la CML también sugiere que la desviación estándar de los retornos de la estrategia de
inversión óptima estará dado por σP= % invertido en cartera de Mercado * σM.
404 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
La SML estipula que el retorno esperado de cualquier activo está determinado por la ecuación:
= Retorno esperado de cualquier activo = E (ractivo) = rf + βactivo * E (rM ) − rf 
■■ A continuación, exponemos dos ejemplos del uso de la SML. Suponga que la tasa libre de riesgo
rf = 3 % y el retorno esperado de mercado es E (rM ) = 8 %. ¿Cuáles son los retornos esperados de
AMD y Kellogg (cuyo símbolo de la acción es K)? Mirando en Yahoo (vea la figura 11.1) vemos que
la β de AMD es βAMD = 2,16 y la β de Kellogg es βK = 0,41. Aplicando la SML se demuestra que el
mercado espera que el retorno de AMD sea 13,8 % y que el retorno de Kellogg sea 5,05 %:
■■ SML
Retorno esperado de AMD, E(rAMD ) = rf + βAMD * E ( rM ) − rf 
= 3% + 2,16 * [8% − 3%] = 13, 80%
Retorno esperado de Kellogg, E(rK ) = rf + βK * E ( rM ) − rf 
= 3% + 0, 41 * [8% − 3%] = 5, 05%
Usted debería preguntarse a sí mismo si el mayor retorno esperado de AMD significa que AMD es una
mejor inversión que Kellogg. La respuesta es que no; AMD tiene mayor retorno esperado porque es más
arriesgada que Kellogg: el mayor retorno esperado refleja el mayor riesgo.
| 405
Principios de Finanzas con Excel
Figura 11.1. Impresiones de pantalla de Yahoo! muestran las β de AMD y Kellogg. Los resultados pueden obtenerse en http://ar.finance.yahoo.com, eligiendo la acción y
luego yendo a Estadísticas claves.
¿Hacia dónde nos dirigimos ahora?
Esta sección ha sintetizado los principales resultados de este capítulo. En los dos capítulos subsiguientes trataremos los usos de estos resultados para evaluación de inversiones (capítulo 12) y para
medición del costo de capital (capítulo 13). En el resto de este capítulo, derivaremos la CML y la SML.
El tratamiento es (inevitablemente) un tanto técnico y usted puede decidir avanzar hacia los capítulos
12 y 13.
406 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
3. Portafolios de riesgo y activo libre de riesgo
Ahora que hemos revisado los principales resultados del capítulo, vamos al razonamiento de la cuestión.
Comenzamos considerando un análisis de portafolio del tipo visto en el capítulo 10. Asumiremos que hay
dos activos de riesgo. Acción A y acción B, y también un activo libre de riesgo —un activo que da un pago
de interés anual con certeza—. Puede pensar en dicho activo en que pueda ser una cuenta de ahorro de un
banco, un bono del gobierno o un fondo de inversión en activos monetarios. En los ejemplos de esta sección, supondremos que el activo libre de riesgo da un retorno anual de 2 %, y denotaremos a dicho retorno
del activo libre de riesgo con rf. Las primeras líneas de la siguiente hoja le dan todos los detalles.
La línea curva muestra la media del portafolio E ( rP ) y la desviación estándar σP (“sigma-p”) de las
combinaciones de las acciones A y B4. La línea recta muestra la media y desviación estándar de combinaciones de portafolios de activo libre de riesgo (cuyo retorno es rf = 2 %) y un portafolio específico de
activos de riesgo, señalado con el punto redondo •.
Las líneas 28-31 dan información sobre el portafolio del punto redondo •. Está compuesto al 90 %
por la acción A y al 10 % de la acción B y tiene un retorno esperado E ( rP ) de 7,8 % y desviación estándar
de los retornos σP = 7,47 %.
4 Esto fue tratado en los capítulos 8 y 10.
| 407
Principios de Finanzas con Excel
Calcular un punto sobre la línea recta
En la hoja de abajo marcamos dos puntos sobre la línea recta que conecta la tasa libre de riesgo rf y
el portafolio del punto redondo •. Cada punto representa una cartera alternativa de inversión que está
parcialmente invertida en el activo libre de riesgo y parcialmente en el portafolio •. Observe y después le
mostraremos cómo calcular la media y desviación estándar de los puntos sobre la línea.
H
K
El “portafolio del punto redondo” • está compuesto por una inversión al 90 % en A y al 10 % en B.
¿Qué hay sobre el portafolio H? H es un portafolio invertido al 60 % en el “portafolio del punto redondo” y
al 40 % en el activo libre de riesgo. Para calcular los retornos de dicho portafolio, utilizamos las siguientes
ecuaciones:
σH = 
x
σpunto−redondo = 60% * 7, 47% = 4, 48%
porcentaje en el
"portafolio del
punto redondo"
E (=
rH )
x
E ( rpunto redondo ) +

porcentaje en el
"portafolio del
punto redondo"
1− x)
(
*=
rf 60%*7,8% + 40%* 2%
=
5,48%
porcentaje invertido
en activo "libre de riesgo"
De manera similar el portafolio K —invertido al 20 % en el portafolio del punto redondo y 80 % en
activo libre de riesgo— tiene sus estadísticas:
408 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
E ( rK ) = 
x
E ( rpunto redondo ) +
porcentaje en el
"portafolio del
punto redondo"
1− x)
(
* rf = 20%* 7, 8% + 80%* 2% = 3,16%
porcentaje invertido
en activo "libre de riesgo"
σK = 
x
σpunto−redondo = 20% * 7, 47% = 1, 49%
porcentaje en el
"portafolio del
punto redondo"
Nota estadística
La ecuación utilizada en el último cálculo surge de nuestra lección de estadísticas de portafolios del capítulo 9. Suponga
que el inversor invierte un porcentaje x de su riqueza en un portafolio A de activos de riesgo que tiene un retorno esperado
E ( rA ) y una desviación estándar σ A . Suponga que invierte el resto de su riqueza 1-x en un activo libre de riesgo que tiene
un retorno esperado de rf y una desviación estándar de los retornos de 0. Por la fórmula desarrollada en el capítulo 10, el
retorno esperado del portafolio es su retorno medio ponderado:
E ( rP ) = x E ( rA ) + (1 − x ) * rf
La varianza de los retornos del portafolio es:
Var ( rP ) = x 2 Var ( rA ) + (1 − x )
2
Var(rf )
=0,dado que
el activo libre de
riesgo no tiene riesgo
¡Obvio!
+ 2 * x *(1 − x ) * Cov(A,rf )
=0,dado que
el activo libre de
riesgo no tiene riesgo
¡Obvio!
= x 2 Var(rA ) = x 2 σ2A
Esto significa que la desviación estándar de los retornos del portafolio es:
σP = Var(rP ) = xσ A
Mejorar la relación riesgo-rendimiento
Podemos elegir portafolios que tienen una mejor relación riesgo-rendimiento que aquellos sobre la
línea que conecta rf con el portafolio del punto redondo •, eligiendo otro portafolio sobre la frontera
| 409
Principios de Finanzas con Excel
eficiente. La línea que conecta el activo libre de riesgo y el portafolio del “cuadrado grande” de abajo es
una mejora en la línea de la sección previa.
Dado que la nueva línea está por encima de la anterior, todos los puntos de la línea hacia el cuadrado
grande
son mejores que los puntos de la línea hacia el círculo negro •. Para cualquier punto de la
línea del punto redondo hay siempre un punto en la línea del cuadrado grande que proporciona un mayor
retorno, pero que tiene la misma desviación estándar.
Debe haber una mejor línea que comience desde el punto 2 % en el eje y. La mejor línea, mostrada a
continuación, conecta la tasa libre de riesgo rf = 2 % con el punto de la frontera eficiente.
410 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
La línea tal como fue representada tiene muchas propiedades:
■■ Comienza
a partir de la tasa libre de riesgo (2 %) en el eje y.
hacia (y a través de) una cartera de acciones en la frontera eficiente marcada con el punto
cuadrado grande. Como puede usted observar en las celdas B34:B37, esta cartera está compuesta
por 51,81 % de la Acción A y 48,19 % de la Acción B. Tiene un retorno esperado de 10,85 % y
desviación estándar de 8,26 %. En la sección 11.4 describiremos cómo calculamos dicha cartera.
■■ Es tangente a la frontera eficiente —significa que la línea toca la frontera eficiente solo en el portafolio del punto cuadrado grande y en ningún otro lado—. Esto quiere decir que a excepción del
portafolio del punto cuadrado grande , cualquier otro portafolio de la frontera eficiente está por
debajo de la línea.
■■ Finalmente (y este es el punto más importante), dado que la línea del cuadrado grande está por
encima de la frontera eficiente (excepto en el único punto en el cual esta toca la frontera), todos
los mejores portafolios de inversión se ubican sobre la línea. Este ítem es tan importante que lo
trataremos en una subsección separada.
■■ Va
| 411
Principios de Finanzas con Excel
El portafolio del cuadrado grande es denominado portafolio de mercado. El portafolio de mercado
es el portafolio de activos de riesgo que permite a los inversores alcanzar el máximo rendimiento. La
ecuación de la línea de mercado de capitales es:
 E(r ) − r 
E(rP ) = rf + σP  M f 
 σM 
La línea de mercado de capitales
Para enfatizar la característica de óptimo, veamos de otro modo la “mejor línea del cuadrado grande”.
Observe que la línea está por encima de la frontera eficiente en todos lados (excepto en el punto de tangencia, que ahora denominamos portafolio o cartera de mercado M). Llamamos a esta línea la línea de
mercado de capitales (CML).
La CML es el conjunto de los portafolios óptimos de inversión. Cada punto de la línea es:
■■ Una
■■ Otro
combinación de algún porcentaje invertido en el activo libre de riesgo.
porcentaje invertido en la cartera de mercado M.
En la sección 11.4 mostramos cómo calcular el portafolio de mercado M. En la siguiente sección
exploramos el significado práctico de la CML.
4. Puntos sobre la CML. Explorar combinaciones de inversión óptimas
¿Cómo son los portafolios sobre la CML, la línea que conecta la tasa libre de riesgo rf con el portafolio
de mercado M? ¿Qué significa la CML para un inversor? Para tener una idea de ello, exploraremos varios
puntos sobre la CML.
Portafolio 1: invertir en el portafolio de mercado y en el activo libre de riesgo
Suponga que dispone de $1.000 para invertir. Usted puede elegir cualquier combinación de tres
activos —activo libre de riesgo, Acción A, o Acción B. En el portafolio 1, usted elige invertir $500 en el
activo libre de riesgo y $500 en el portafolio de mercado M —el portafolio compuesto por 51,81 % de la
Acción A y 48,19 % de la Acción B —.
412 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
Esto parece un poco complicado, pero es una versión real de los cálculos de portafolios que hemos
realizado en el capítulo 10. La inversión se ha dividido 50 % en activo libre de riesgo y otro 50 % en el
portafolio de mercado M, el cual tiene un retorno esperado de 10,85 % (celda B6) y desviación estándar
de 8,26 % (celda B7). Acorde a las fórmulas dadas en la sección 11.2, el retorno esperado y la desviación estándar de los retornos se calculan como:
E ( rP ) = x E ( rM ) + (1 − x ) * rf
σP = xσM
Como puede ver en las celdas B13:B14, esto da E ( rP ) = 6, 43%, σP = 4,13% . Este portafolio está indicado
en el gráfico de abajo. Observe que dicho portafolio forma parte de la ecuación de la CML del final de la
sección previa:
 E(r ) − r 
E(rP ) = rf + σP  M f 
 σM 
 10, 85% − 2% 
E(rP ) = 2% + 4,13% 
 = 6, 43%
 8, 26% 
| 413
Principios de Finanzas con Excel
Portafolio 2: pedir prestado a la tasa libre de riesgo para comprar más del portafolio de Mercado M
En el portfolio 1 usted dividió su inversión de $1.000 entre el activo libre de riesgo y el portafolio de
mercado M. En el portafolio 2 instigaremos una estrategia de inversión en la cual usted pide prestado
dinero a la tasa libre de riesgo e invierte más de $1.000 en el portafolio riesgoso M. Lo hace utilizando
dinero tomado a préstamo para incrementar su inversión en M.
Al igual que antes, usted dispone de $1.000 para invertir y, como antes, puede elegir para invertir
parte de su dinero en el activo libre de riesgo y el resto en el portafolio de mercado M, compuesto por
51,81 % de la Acción A y 48,19 % de la Acción B. Sin embargo, en el portafolio 2, usted elige pedir
prestado $500 a la tasa libre de riesgo e invertir $1.500 en el portafolio de las acciones A y B. Como
puede usted observar en las celdas B13:B14 de abajo, este es un portafolio más arriesgado (tiene desviación estándar de 12,4 %), pero también tiene mayor retorno esperado (15,28 %).
Observe que el portafolio conforma la ecuación de la CML indicada el final de la sección previa:
414 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
 E(r ) − r 
E(rP ) = rf + σP  M f 
 σM 
 10, 85% − 2% 
E(rP ) = 2% + 12, 4% 
 = 15, 28%
 8, 26% 
4.1. Comparando el Portafolio 1 con el Portafolio 2
¿Qué portafolio es mejor, el 1 o el 2? Comparando sus retornos con sus desviaciones estándares se
demuestra que ningún portafolio es mejor. El portafolio 2 tiene mucho mayor retorno esperado que el
portafolio 1, pero también tiene más riesgo. La elección entre los portafolios depende de cuánto riesgo
esté dispuesto a asumir el inversor.
Retorno Esperado E(rP)
Desvío Std. de los retornos σP
Portafolio 1
6,43 %
4,13 %
Portafolio 2
15,28 %
12,4 %
Todos los portafolios sobre la CML incorporan dicha decisión: cada portafolio sobre la CML es una
combinación de una inversión en el activo libre de riesgo rf y el portafolio de mercado M. Cualquier portafolio sobre la CML es óptimo en el sentido que puede ser una elección racional del inversor respecto
de su mejor portafolio. La figura 11.2 muestra algunos otros puntos sobre la CML y su compensación de
riesgo-rendimiento.
Proporciones del portafolio y retornos de las inversiones sobre la Línea de Mercado de Capitales (CML)
Porcentaje invertido en el
portafolio de mercado M
0 % (invierte toda la riqueza en
el activo libre de riesgo rf)
E(rP ) = % en activo libre de
riesgo * rf + % en el mercado
σP = % en el mercado * σM
*E(rM )
=
E(rP ) 100
=
% * rf 2%
σP = 0% * σM = 0
Continúa en página siguiente >>
| 415
Principios de Finanzas con Excel
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Proporciones del portafolio y retornos de las inversiones sobre la Línea de Mercado de Capitales (CML)
E(rP ) = 50% * rf + 50% * E(rM )
50 % (invierte 50 % de la
riqueza en el portafolio de
mercado M y 50 % en activo libre
de riesgo rf)
σP = 50% * σM
= 50% * 2% + 50% * 10, 85%
= 50=
% * 8, 26% 4,13%
= 6, 43%
E(rP ) = 0% * rf + 100% * E(rM )
σP = 100% * σM
100 % (invierte toda la riqueza
en el portafolio de mercado M)
= 100% * 10, 85%
= 100
=
% * 8, 26% 8, 26%
= 10, 85%
E(rP ) = −25% * rf + 125% * E(rM )
σP = 125% * σM
125 % (pide prestado 25 % de
su riqueza para incrementar la
inversión en activo de riesgo M).
= −25% * 2% + 125% * 10, 85%
= 125
=
% * 8, 26% 10, 33%
= −0,5% + 13,57% = 13, 06%
E(rP ) = −50% * rf + 150% * E(rM )
σP = 150% * σM
150 % (pide prestado 50 % de
su riqueza para incrementar la
inversión en activo de riesgo M).
= −50% * 2% + 150% * 10, 85%
= 150
=
% * 8, 26% 12, 39%
= −1% + 16, 28% = 15, 28%
Continúa en página siguiente >>
416 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
<< Viene de página anterior
Proporciones del portafolio y retornos de las inversiones sobre la Línea de Mercado de Capitales (CML)
E(rP ) = −100% * rf + 200% * E(rM )
σP = 200% * σM
200 % (pide prestado 100 % de
su riqueza para incrementar la
inversión en activo de riesgo M).
= −100% * 2% + 200% * 10, 85%
= 200
=
% * 8, 26% 16,52%
= −2% + 21,7% = 19,70%
Figura 11.2. Puntos sobre la CML. Cada punto representa una combinación diferente de inversión en el activo libre de riesgo y el portafolio
de mercado M. Mientras la proporción en activo libre de riesgo decrece, la proporción invertida en el portafolio de mercado M se incrementa.
Incrementando la proporción invertida en el portafolio de mercado, crece el retorno esperado del portafolio E(rP ) pero también crece el
riesgo del portafolio σP . El cálculo asume que E(rM ) = 10, 85%,rf = 2%, y σM = 8, 26% .
5. La CML: resumen
La CML indica que todos los portafolios de inversiones óptimos deberían estar divididos entre un
porcentaje invertido en activo libre de riesgo y un porcentaje en portafolio de mercado M. Suponga que
indicamos estos porcentajes con xM y xrf =1-xM. Entonces el portafolio del inversor tendrá:
■■ Retorno
esperado: E ( rP ) = x M E ( rM ) + (1 − x M ) * rf
estándar de los retornos: σP = x M σM
■■ Desviación
Los portafolios sobre la CML son óptimos en el sentido de que los inversores no pueden hallar combinaciones de inversiones que tengan mayor rendimiento del portafolio E(rP ) dado el riesgo del mismo σP .
6. Sección avanzada: la Sharpe Ratio y la cartera de mercado M
En esta sección le mostraremos cómo calcular el portafolio de mercado M. En el camino introduciremos un concepto llamado Sharpe Ratio —esta es una de las clásicas medidas de riesgo-rendimiento
utilizadas en los mercados de capitales—. Como podrá ver, el portafolio M es el que maximiza la Sharpe
Ratio.
Para generar un contacto intuitivo, observe la hoja de abajo. Continúe nuestro ejemplo de las Acciones
A, B y activo libre de riesgo de 2 %. En las celdas B9:B10 vemos un portafolio invertido 30 % en la Acción A y 70 % en la Acción B. El retorno esperado de este portafolio es 12,6 % y su desviación estándar
es 10,32 % (celdas B12:B13).
| 417
Principios de Finanzas con Excel
La prima por riesgo del portafolio (algunas veces denominada retorno excedente) es definida como la
diferencia entre el retorno esperado y el retorno del activo libre de riesgo:
Prima por riesgo del portafolio = Retorno esperado del portafolio – tasa libre de riesgo:
= E(rP ) − rf
= 12,6% - 2% = 10,6%
La ratio de dicha prima por riesgo respecto de la desviación estándar del portafolio es llamada Sharpe
Ratio:
Sharpe Ratio =
E(rP ) − rf 12, 6% − 2%
=
= 1, 0271
σP
10, 32%
La Sharpe Ratio, denominada así por William Sharpe, uno de los pioneros de las teorías de finanzas
modernas y ganador del premio Nobel en economía en 1990) es una ratio riesgo-rendimiento: el numerador es el retorno extra (sobre la tasa libre de riesgo) que usted obtiene de su portafolio y el denominador
es el costo de dicho retorno extra, su desviación estándar.
Si usted juega un poco con la hoja, verá que hay otros portafolios con mayores Sharpe Ratios. Aquí
presentamos un ejemplo:
418 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
Calcular el portafolio de Mercado M. El portafolio con la mayor Sharpe Ratio alcanzable
Podemos utilizar Solver de Excel (vea el capítulo 21) para calcular el portafolio que arroja la mayor
Sharpe Ratio. Este portafolio es el Portafolio de Mercado M.
| 419
Principios de Finanzas con Excel
A partir de ahora, señalaremos con una M el portafolio con la mayor Sharpe Ratio:
Dado un activo libre de riesgo y un conjunto de activos de riesgo (en el presente ejemplo hay solo dos
de estos activos), el portafolio de mercado M es el portafolio que maximiza la Sharpe Ratio:
E(rP ) − rf
σP
El portafolio M es la mejor combinación de activos de riesgo disponibles para el inversor.
7. La línea de mercado de títulos (SML)
La línea de mercado de capitales (CML) le muestra al inversor la relación de riesgo-rendimiento para
sus portafolios óptimos. La relación riesgo-rendimiento para activos individuales es descrita por una línea
denominada Línea de Mercado de Títulos (SML). La SML dice que el retorno esperado de un activo o
portafolio es determinado por el riesgo sistémico del activo (denominado β), la tasa libre de riesgo y el
portafolio que maximiza la Sharpe Ratio.
7.1. Resumiendo primero la SML (luego la explicaremos)
La SML dice que el retorno esperado de cualquier activo está relacionado con la tasa libre de riesgo y
la prima por riesgo de mercado a través de la siguiente relación:
E(ri ) =
Cov(ri ,rM )
rf
+
* [E(rM − rf ]
Var(rM ) Tasa libre de
E(rM )es el retorno
riesgo
βi
del portafolio que
maximiza el Sharpe
Ratio.
Observe que en la ecuación anterior “activo i” (representado por la letra “i”) puede ser muchas cosas:
■■ Activo
i puede ser un solo activo. E(ri ) podría ser entonces el retorno del Activo A o del Activo B.
■■ Activo i puede ser una combinación de dos activos de riesgo. E(ri ) podría ser entonces el retorno de
un portafolio tal como 60 % en Acción A y 40 % en Acción B.
■■ Activo i puede ser una combinación de activo libre de riesgo y las dos acciones, por ejemplo, un
portafolio de 25 % en activo libre de riesgo, 30 % en Acción A y 45 % en Acción B.
En síntesis, la SML define la relación de riesgo-rendimiento para todos los activos en el mercado. La
SML es una importante herramienta en administración de inversiones y en los dos capítulos siguientes
examinaremos los usos de la SML para evaluación de la actuación de los administradores de carteras
(capítulo 12) y para calcular el costo de capital para una empresa (capítulo 13). En esta sección ilustraremos por qué la SML se verifica.
420 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
Para ilustrar la SML utilizaremos algunos ejemplos.
Ejemplo 1: la SML funciona cuando el Activo i es solo la Acción A
Las líneas 3-16 de la hoja de abajo repiten los datos que ya hemos tratado. En la fila 24 calculamos
la covarianza entre el activo i (en este caso la Acción A) y el portafolio de mercado M. Utilizamos un
principio general sobre covarianza: suponga que i está compuesto por un porcentaje xiA de la Acción A y
un porcentaje xiB = 1 − xiA de la Acción B y suponga que el portafolio de mercado está compuesto por un
porcentaje x MA de la Acción A y un porcentaje x MB = 1 − x MA de la Acción B. Entonces la covarianza entre
ri y rM es:
Cov(ri ,rM ) = Cov( xiA rA + xiBrB , x MA rA + x MA rB )
= xiA x MA Var(rA ) + xiB x MB Var(rB ) + ( xiA x MB + x iB x MA ) * Cov(rA ,rB )
Ahora, suponga que x=1, de modo que i se refiere a la Acción A.
| 421
Principios de Finanzas con Excel
■■ La
■■ La
■■
celda B22 indica que E(ri ) = 7% . Este es el lado izquierdo de la SML.
celda B24 muestra que Cov(ri ,rM ) = 0, 0039.
En la celda B25 dividimos Cov(ri ,rM ) en Var(rM ) para obtener:
βi =
■■ La
Cov(ri ,rM )
= 0,5647.
Var(rM )
celda B26 muestra que rf + β * [E(rM − rf ] = 2% + 0,5647 * [10, 85% − 2%] = 7, 00%
La igualdad entre las celdas B22 y B26 demuestra que la SML funciona para el caso en que i sea
una sola Acción A.
A pesar de ser calculada de distintas maneras, las celdas B22 y B26 arrojan el mismo resultado. Esta
es la SML:
E(rA ) = rf +
βA * [E(rM − rf ]
Cov (rA ,rM )
Var (rM )
7% = 2% + 0,5647 * [12% − 2%]
SML ,
lado izquierdo.
Celda B22
SML ,
lado derecho.
Celda B26
Ejemplo 2: la SML funciona cuando Activo i es un portfolio compuesto solo por la Acción B
Podemos repetir el cálculo para el caso en que i sea la Acción B. Como usted puede observar en la
celda B25 abajo, la Acción B tiene una βB=1,4681. La igualdad de las celdas B22 y B26 significa que
la SML también funciona para la Acción B:
E(rB ) = rf +
βB * [E(rM − rf ]
Cov (rB ,rM )
Var (rM )
15% = 2% + 1, 4681 * [12% − 2%]
SML ,
lado izquierdo.
Celda B22
422 |
SML ,
lado derecho.
Celda B26
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
Ejemplo 3: la SML funciona para portafolios
En esta sección el activo i es un portafolio compuesto por 80 % de Acción A y 20 % de Acción B. Al
igual que en los ejemplos anteriores, la igualdad entre las celdas B22 y B26 significa que la SML describe correctamente la relación de riesgo-rendimiento para el activo.
A
18 "Prueba" de la SML: E(ri) = rf + β i *[E(rM ) - rf]
19 Activo i
Porcentaje en Acción A, x iA
20
21
Porcentaje en Acción B, x iB = 1- x iA
B
C
D
E
80,00%
20,00%
Retorno esperado del portafolio E(ri)=xiA*E(rA)+xiB*E(rB)
22 SML, lado izquierdo
23
24 Cov(ri ,rM)
0,0051 <-- =B20*B9*B4+B21*B10*C4+(B20*B10+B21*B9)*B6
25 Beta β i
0,7453 <-- =B24/B13
rf+β i *[E(rM)-rf]
26 SML, lado derecho
8,60% <-- =D3+B25*B16
8,60% <-- =B20*B3+B21*C3
Las betas se “suman”
Otra forma de realizar el cálculo previo es utilizar la beta del portafolio:
β del portafolio es el promedio ponderado de las βs individuales, βP = x A βA + x BβB .
Por ejemplo, suponga que queremos conocer el retorno esperado de un portafolio invertido 80 % en
la acción A y 20 % en la Acción B. Este portafolio tendrá una βP de:
βP = x A βA + x BβB = 0,8*0,5647+0,2*1,4681 = 0,7453
Y, en consecuencia, su retorno esperado debería ser determinado mediante la SML utilizando la βP .
| 423
Principios de Finanzas con Excel
8. Resumen
El modelo de precios de activos de capital (CAPM) es un modelo de formación de portafolios y determinación de precios de activos. El modelo muestra lo siguiente:
■■ Cómo
el retorno esperado y la desviación estándar de los portafolios están afectados por la composición de los mismos.
■■ Cómo el agregado de un activo libre de riesgo a las elecciones disponibles para el inversor modifica
su conjunto de oportunidades de riesgo-rendimiento.
■■ Cómo calcular el portafolio de mercado M. Este es el portafolio que maximiza la Sharpe Ratio:
E(rP ) − rf
σP
■■ Cómo
elegir un portafolio óptimo cuando usted puede invertir en activo de riesgo y libre de riesgo.
Esta es la línea de mercado de capitales (CML) que dice que todos los portafolios óptimos son una
combinación del activo libre de riesgo y portafolio de mercado.
■■ Cómo calcular beta (β) para una acción o portafolio. β es una medida de riesgo para un activo. Para
un portafolio P, βP se define como:
βP =
Cov(rP ,rM )
Var(rM )
(Recuerde que “portafolio” incluye el caso de activos individuales).
■■ Cómo el retorno esperado de cualquier portafolio está relacionado a la tasa libre de riesgo y la β
del portafolio. Esta es la línea de mercado de capitales (SML):
E(ri ) = rf + βi [E(rM ) − rf ]
En los capítulos siguientes ahondaremos en lo que este modelo implica, utilizándolo para examinar
la actuación de los administradores de carteras y para calcular el costo de capital de la empresa.
424 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Caminando por una calle de Spartanburg (su pueblo), usted se topa con dos buscavidas. John, el primero de ellos,
está jugando un juego de lanzamiento de monedas que funciona así: usted le paga $0,80 y él lanza una moneda: si
esta sale cara, le paga a usted $3 y si sale cruz usted le paga $1 a él.
a. ¿Cuál es el rendimiento esperado para usted de este juego?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es la desviación estándar de sus rendimientos al jugar este juego?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
2. Todavía en Spartanburg, usted se encuentra con otra buscavidas en la calle llamada Mary. Su juego es más complicado: previo pago de $0,80 a Mary, ella arroja un dado. Si en el dado sale un “1”, usted le paga a ella $2. Si sale un
“2” usted no le paga nada y no gana nada. Si salen “3, 4, 5, 6” Mary le paga a usted $2.
JUEGO DEL LANZAMIENTO DE DADOS DE MARY
Evento
Probabilidad
Ganancia
1
0,1667
-2
2
0,1667
0
3
0,1667
2
4
0,1667
2
5
0,1667
2
6
0,1667
2
Imagen descargada de: http://www.turbosquid.com
a. ¿Cuál es el rendimiento esperado de jugar dicho juego?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es la desviación estándar de estos rendimientos?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. ¿Cuál es el juego de más riesgo: el de lanzamiento de dados de Mary o el de monedas de John? (del
ejercicio previo).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
d. ¿A cuál preferiría usted jugar?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
3. ¿Qué tienen que ver las preguntas 1 y 2 con inversión en acciones?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 425
Principios de Finanzas con Excel
4. Considere una acción con rendimiento esperado de 13 % con desviación estándar de los rendimientos de 15 %, y
un activo libre de riesgo con rendimiento de 1 %. ¿Cuál será el rendimiento esperado y la desviación estándar de un
portafolio conformado por 20 % del activo libre de riesgo y 80 % de la acción?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
5. Usted está considerando invertir en una combinación de una acción y un activo libre de riesgo. La acción tiene
un rendimiento esperado de 17 % y desviación estándar de 11 %, mientras que el activo libre de riesgo tiene un
rendimiento del 3 %.
a. Complete la tabla de abajo y represente gráficamente el rendimiento esperado del portafolio como
función de la desviación estándar del portafolio.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Suponga que usted está invirtiendo $1.000. ¿Cuál es el significado de un portafolio invertido 150 % en
el activo de riesgo?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
6. Considere la siguiente información de las acciones X e Y, así como el activo libre de riesgo.
426 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
a. ¿Cuáles son el rendimiento y desviación estándar del portafolio de varianza mínima de las acciones X e Y?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuáles son el rendimiento y desviación estándar de un portafolio compuesto al 30 % del portafolio
de varianza mínima y 70 % del activo libre de riesgo? Repita esta pregunta con proporciones de 50 %
para el activo libre de riesgo y el portafolio de varianza mínima.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Mary Jones le consulta a usted para crear un portafolio compuesto por el activo libre de riesgo y el portafolio de varianza mínima. Mary quiere un rendimiento esperado del 9 %. ¿Cuál debe ser el porcentaje
del portafolio invertido en el activo libre de riesgo y en el portafolio de varianza mínima?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
d. Kaid Banfield quiere un portafolio compuesto por el activo libre de riesgo y el portafolio de varianza
mínima. Encuentre un portafolio para Kaid que tenga una desviación estándar de los rendimientos de 5 %.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
7. ¿Cuál es la Sharpe Ratio del portafolio de varianza mínima de la pregunta anterior? Muestre otro portafolio compuesto por las acciones X e Y que tenga una mejor Sharpe Ratio.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
8. Calcule la Sharpe Ratio para los siguientes portafolios, asumiendo que el rendimiento libre de riesgo es 4 %. ¿Cuál
es el mejor portafolio acorde a la Sharpe Ratio?
| 427
Principios de Finanzas con Excel
9. Abajo están las cotizaciones a fin de año de las acciones IBM y Coca Cola. Responda las siguientes preguntas:
a. Para los años 1991-2002 calcule las siguientes estadísticas para las dos acciones: rendimiento anual,
rendimiento medio para el período completo, varianza y desviación estándar de los rendimientos,
covarianza de los rendimientos y coeficiente de correlación.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule rendimientos y deviaciones estándar para distintos portafolios compuestos por estas dos
acciones.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Encuentre el portafolio de mercado utilizando el Sharpe Ratio, asumiendo que el rendimiento libre de
riesgo es 5 %. ¿Es este el portafolio de varianza mínima? Si no, calcule la Sharpe Ratio del portafolio
de varianza mínima también.
10. En el mercado de acciones de Golkoland cotizan solo dos acciones, Xirkind y Yirkind. La tasa libre de riesgo en Golkoland es 5 % y el portafolio de las acciones Xirkind y Yirkind que tiene la mayor Sharpe ratio se indica a continuación:
428 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
a. ¿Cuál es el portafolio de mercado, M, en Golkoland?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es la ecuación de la línea CML en Golkoland?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. ¿Qué significa la CML y por qué estamos interesados en ella?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
d. ¿Cuál es el rendimiento esperado y desviación estándar de un portafolio compuesto por 30 % de activo
libre de riesgo y 70 % de portafolio de mercado?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
e. Suponga que un inversor quiere el mismo rendimiento que el portafolio de arriba, pero invierte solo en
un portafolio compuesto por iguales proporciones de las acciones Xirkind y Yirkind. ¿Cuál sería la desviación estándar de los rendimientos de su portafolio? ¿Cómo explica la diferencia en las desviaciones
estándar entre este punto y el anterior?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
11. El portafolio de mercado de la Bolsa de valores de Tierra del Fuego tiene un rendimiento esperado E (rM) = 22 % y
desviación estándar de los rendimientos de σM = 19 %. La tasa de interés libre de riesgo es rf = 7 %.
a. ¿Cuál es la ecuación de la CML de Tierra del Fuego?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule los siguientes portafolios de la CML:
~~
~~
~~
~~
~~
~~
Un portafolio compuesto por 35 % activo libre de riesgo y 65 % portafolio de mercado.
Un portafolio compuesto por 120 % de portafolio de mercado.
Un portafolio que genera un rendimiento del 15 %.
Un portafolio que genera un rendimiento del 23 %.
Un portafolio con una desviación estándar de 35 %.
Un portafolio con desviación estándar de 5 %.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 429
Principios de Finanzas con Excel
12. Determine la ecuación de la Línea de Mercado de Capitales (CML) para un mercado de acciones que tiene solo dos
acciones. El portafolio de mercado está compuesto por 37,5 % de A y 62,5 % de Z.
13. ¿Cambiará el portafolio de mercado de la pregunta anterior si el rendimiento libre de riesgo es 3 %? Si la respuesta
es sí, explique por qué y calcule el nuevo portafolio de mercado. Responda a esta pregunta nuevamente asumiendo
que el rendimiento libre de riesgo es 0 %.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
14. Abajo están las estadísticas de los rendimientos de las acciones X e Y.
a. Calcule la Línea de Mercado de Capitales (CML) utilizando estos datos.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Encuentre la diferencia en desviación estándar entre un portafolio sobre la CML y un portafolio en la
frontera eficiente, ambos con un rendimiento esperado de 19 %. ¿Cuál será la proporción del activo
libre de riesgo en el portafolio de la CML?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
15. (Ejercicio más difícil) La Bolsa de Valores de Northern Península tiene solamente dos acciones cotizantes, Big
Mining y Shallow Mining. El portafolio de mercado está compuesto por 40 % de Big Mining y 60 % de Shallow Mining.
Utilizando los datos de abajo, encuentre β para cada una de las dos acciones.
430 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
16. Fórmula y Dormula son dos acciones cotizantes en la Bolsa de Comercio de Chitango. Sus βs son 1,8 y 2,6 respectivamente. ¿Cuál es la beta (β) de un portafolio invertido 20 % en Fórmula y 80 % en Dormula?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
17. Considere los siguientes datos:
E(rm ) = 0,18, βi = 1, 05;Rf = 0, 07
¿Cuál es el rendimiento esperado de la acción i?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
18. Considere los siguientes datos:
=
E(rm ) 0=
, 22, E(ri ) 0, 33;Rf = 0, 09
¿Cuál es β de la acción i?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
19. Considere los siguientes datos:
E(rm ) = 0, 25, βi = 0, 85;E(ri ) = 0, 22
¿Cuál es el rendimiento del activo libre de riesgo?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
20. Considere los siguientes datos:
E(rm ) = 0, 20, Cov(ri,rm ) = 0,1;rf = 0, 06; σ2M = 0,15
| 431
Principios de Finanzas con Excel
¿Cuál es el rendimiento esperado de la acción i?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
21. Considere los siguientes datos:
E(ri ) = 0,15, Cov(ri,rm ) = 0, 067;rf = 0, 02; σ2M = 0, 89
¿Cuál es el rendimiento de mercado?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
22. Considere los siguientes datos:
E(rm ) = 0, 22; Cov(ri,rm ) = 0, 27;E(ri ) = 0,14; σ2M = 0, 09
¿Cuál es el rendimiento del activo libre de riesgo?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
23. Suponga que hay solo dos acciones, la Empresa A y la Empresa B. Las estadísticas relevantes para el portafolio son
las siguientes:
Muestre que un portafolio invertido 80 % en la empresa A y 20 % en la Empresa B no es óptimo, mediante la presentación de un portafolio mejor.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
432 |
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
24. Usando los datos provistos en la pregunta anterior, calcule el portafolio de mercado M, cuando la tasa libre de
riesgo es 8 % (recuerde que el portafolio M es la proporción que maximiza el Sharpe Ratio).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
25. Con motivo de su cumpleaños, su adinerada tía Hilda le envía un cheque por $5.000, bajo la expresa condición de
que usted invierta el dinero en alguno (o todos) de los siguientes: bonos del gobierno, Hilda’s Hybrids y/o Hilda’s
Hubby. Las estadísticas relevantes de cada una de estas inversiones se indican a continuación:
a. Muestre la Línea de Mercado de Capitales (CML) (es decir, todas las combinaciones de inversiones
en el activo libre de riesgo y las dos empresas). Proporcione los resultados tanto en gráfico como en
cuadro. Asuma que el portafolio de mercado M está compuesto por iguales proporciones de los dos
activos de riesgo.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Suponiendo que usted decide invertir en las siguientes proporciones: 40 % en bonos del gobierno y
60 % en portafolio M, calcule el rendimiento esperado y la varianza de los rendimientos de este portafolio.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
26. En referencia al ejercicio anterior, usted se siente con suerte y decide emprender un portafolio más arriesgado.
Concretamente, además de sus $5.000 de regalo, usted puede pedir prestado otros $1.000 a la tasa libre de riesgo
del 10 %. Usted decide invertir ese total de $6.000 en un portafolio conteniendo una mezcla de Hilda’s Hybrids y
Hilda´s Hubby.
a. ¿En qué proporción invertirá usted sus $6.000 si su objetivo es crear la “mejor combinación” de esos
activos de riesgo?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál será el rendimiento esperado y el riesgo esperado para este portafolio más osado?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
27. Considere los datos de abajo. Calcule el rendimiento esperado y la desviación estándar de los rendimientos para
un portafolio compuesto por 75 % de Acción A y 25 % de Acción B.
| 433
Principios de Finanzas con Excel
La acción C tiene βC de 1,3 y el portafolio P compuesto por 75 % de C y 25 % de D tiene un βP = 1,8. ¿Cuál es βD
de la acción D?
28. Usted tiene $1.000 para invertir. El activo libre de riesgo rinde rf = 6 %. El portafolio de mercado tiene un rendimiento esperado E(rM) = 15 % y σM = 20 %.
a. ¿Cuál es la media y desviación estándar de su inversión si usted invierte $500 en el activo libre de riesgo
y $500 en el portafolio de mercado?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Su hermana tiene también $1.000 para invertir, pero quiere pedir prestado otros $1.000 para hacer
una inversión de $2.000 en el portafolio de mercado M. ¿Cuál será la media y desviación estándar de
los rendimientos de su portafolio?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. ¿Qué portafolio es mejor, el suyo o el de su hermana?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
29. La tabla de abajo proporciona las tasas anuales de rendimiento para ABC Corp., XYZ Corp. y el portafolio de mercado M.
a. Calcule βXYZ y βABC. Use las fórmulas:
434 |
βABC =
Covarianza (Rdtos de ABC, Rdtos del Mercado)
Varianza (Rdtos del Mercado)
βXYZ =
Covarianza (Rdtos de XYZ, Rdtos del Mercado)
Varianza (Rdtos del Mercado)
CAP. 11 | El modelo de precios de activos de capital y la línea de mercado de títulos
b. ¿Los rendimientos de qué empresa están mejor explicados por los rendimientos del mercado? Explique
corriendo una regresión de los rendimientos de cada empresa en los rendimientos del mercado.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
30. Anders Smith propone invertir en un portafolio de dos activos: X e Y. La información sobre ambas se proporciona a
continuación:
a. Complete las casillas resaltadas y calcule media y desviación estándar de cada portafolio individual.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Represente gráficamente los portafolios en un gráfico con medias y desvíos estándar.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Suponga que el Sr. Smith puede también tomar prestado y prestar a la tasa del 6 %. Analice cómo ello
altera sus oportunidades de inversión. Calcule el portafolio M que maximiza el Sharpe Ratio y explique
brevemente por qué el Sr. Smith invertirá siempre en ese portafolio.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
31. Asuma que hay solo tres acciones en el mercado y que las proporciones para una inversión óptima en cada acción
A, B y C es 1/3. También asuma que la varianza de la acción A es 10 %, la varianza de B es 8 % y la varianza de C
es 20 %. La covarianza entre la acción A y B es 0,08, la covarianza entre la acción B y C es -0,10 y la covarianza
entre la acción A y C es 0,04.
a. Calcule la covarianza entre cada acción y el portafolio de mercado.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule el riesgo sistemático, beta (β) para cada una de las tres acciones.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 435
Capítulo 12
Utilizar la Línea de Mercado
de Títulos para evaluar el
rendimiento de las inversiones
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Concepto general
La discusión por la inversión de Jack y Jill
Medir el rendimiento de la inversión en el Fondo Fidelity´s Magellan
Acciones agresivas versus defensivas
La diversificación paga
¿Qué dice la investigación académica de finanzas sobre el rendimiento
de las inversiones?
7. Otros fondos de índices
8. Nuevamente al caso de Jack y Jill. ¿Quién tiene razón?
9. Resumen
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
1. Concepto general
Este capítulo y el siguiente muestran cómo utilizar la SML que fue presentada en el capítulo 11. El
presente capítulo trata el análisis de la actuación (también llamada rendimiento) de las inversiones y el
siguiente capítulo trata el uso del modelo para calcular el costo de capital.
“El rendimiento de las inversiones” es una terminología financiera utilizada en la jerga para la pregunta “¿cómo de bien se comportó un activo, sea este una acción o un portafolio?” Generalmente, la
pregunta subyacente es “¿cómo de bien le fue a mi administrador de inversiones (o al administrador de
un fondo mutuo) en la tarea de administrar mi dinero?”. Para determinar la actuación o rendimiento de
la inversión de un activo, debemos tener en cuenta el riesgo del mismo. Dado que hemos anticipado
que activos más arriesgados deben tener rendimientos mayores para compensar su riesgo, las medidas
adecuadas de evaluación de rendimientos deben tener en cuenta los retornos que los inversores ganan en
exceso de los retornos garantizados por los riesgos del activo.
La SML nos proporciona uno de los métodos estándares de medición del rendimiento de las inversiones. Utilizando la SML para evaluar el rendimiento ajustado por riesgo, podemos determinar si un activo
en particular provee rendimientos en exceso de su riesgo (sobre-rendimiento) o no (sub-rendimiento).
En este capítulo mostramos cómo usar la SML para evaluar el rendimiento de las inversiones.
cómo calcular β (“beta”) de un título efectuando una regresión de los excesos de
retorno del título sobre los del portafolio de mercado. Habitualmente, usamos S&P500 como el
“portafolio de mercado”. β mide el riesgo del título.
■■ Mostramos cómo calcular α (“alfa”) de un título. β mide el rendimiento ajustado por riesgo de un
título.
■■ Analizaremos la diferencia entre riesgo no diversificable (también llamado riesgo de mercado) y
riesgo diversificable (también llamado idiosincrático) y mostraremos que combinando acciones en
un portafolio se reduce el riesgo diversificable.
■■ Mostramos
Conceptos financieros tratados
■■ Línea
de Mercado de Títulos (SML).
α,β,R2 .
■■ Riesgo sistémico (no diversificable, de mercado).
■■ Riesgo no sistémico (diversificable).
■■ Evaluación del rendimiento.
■■
Funciones de excel utilizadas
■■ PROMEDIO,
DESVESTP, VARP, COVAR.
PENDIENTE, COEFICIENTE.R2.
■■ Línea de Tendencia (herramienta para regresiones de Excel).
■■ INTERSECCION.EJE,
| 439
Principios de Finanzas con Excel
2. La discusión por la inversión de Jack y Jill
Para comprender la problemática que hay por detrás de la medición del rendimiento, comenzamos con la
historia de Jack y Jill. Alguna vez, en Agosto de 2003, Jack y Jill estaban discutiendo sobre sus estrategias
de inversión. Han estado juntos mucho tiempo y como muchas otras parejas habitualmente tienen la misma
discusión, la que se refiere a estrategias de inversión es una de las que ellos han tenido muchas veces.
Jill comenzó diciéndole a Jack: “yo he invertido en el NASDAQ en Mayo de 1990”. “Si tú hubieras
seguido mi asesoramiento e invertido en el NASDAQ en lugar de haberlo hecho en ese pesado Fidelity Puritan Fund, hubieras estado mucho mejor. Por cada dólar que yo puse en el NASDAQ, ahora tengo $3,60,
mientras que tú tienes solo $2,70 por cada dólar que pusiste en el Puritan. Simplemente el NASDAQ
supera con rendimiento excedente al Puritan.”
Esta línea de razonamiento enfurece a Jack. Desde que él conoció a Jill en el programa MBA del
Squash Hill College, ella insiste —en un modo imprudente— en que ella maneja mucho mejor el dinero que él. Esto suponía el riesgo de echar a perder su relación, que de otro modo sería excelente. Ella
sostenía que era capaz de elegir inversiones que superaban con rendimiento excedente al mercado, aun
cuando ella tenía problemas para definir tal concepto1.
Si usted considera el período completo desde 1999 a 2003 (Figura 12.1), a Jill, de hecho, le ha
ido mejor que a Jack. Aun cuando el NASDAQ ha estado sujeto a mayores fluctuaciones que el Puritan,
una inversora como Jill que se ha mantenido pegada al NASDAQ a través del período hubiera estado por
delante de un inversor como Jack que se mantuvo pegado al Puritan. Un inversor que ha puesto $1 en
el NASDAQ en mayo de 1990 hubiera tenido $3,60 en agosto de 2003, mientras que un inversor que
ha colocado $1 en el Puritan Fund en mayo de 1990 hubiera terminado con $2,70 en agosto de 2003.
Pero Jack también tiene un argumento válido. “Escucha querida”, le dice a Jill. “Observa qué recorrido
tan agitado tuvo el NASDAQ. ¿Recuerdas lo confiada que estabas a fines de 1999 y el manojo de nervios
que estabas hecha en el 2001? Ese montón de rendimiento excedente es una basura”. Él le demostró a
Jill las grandes oscilaciones del NASDAQ entre mayo de 1999 y mayo de 2001 (Figura 12.1.).
Figura 12.1. El crecimiento de $1
invertido en el NASDAQ y en el Puritan
Fund desde mayo de 1990 hasta agosto
de 2003. $1 invertido en el NASDAQ
creció en el período a $3,60, mientras
que $1 invertido en el Fidelity Puritan
Fund creció hasta $2,70.
1 ¡Ella no había leído este capítulo!
440 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
“También”, le recordó, “el supuesto rendimiento superior excedente del NASDAQ no siempre se
mantuvo”. Cuando nosotros recibimos nuestros aguinaldos en Diciembre de 1999, tú colocaste el tuyo en
el NASDAQ y yo —está claro que yo soy más conservador que tú— coloqué el mío en el Puritan. Luego el
mercado tuvo un giro descendente y ambos perdimos dinero, pero en la caída tú perdiste más que yo”. Él
le mostró a ella la Figura 12.1. “Por cada dólar que coloqué a fines de 1999, tengo ahora 94 centavos,
mientras que tú tienes solo 41 centavos por dólar”.
“Lo que baja siempre tiene que subir de nuevo”, dijo Jill siempre optimista2. “Te apuesto un jamón
que en algún momento en el futuro yo estaré mejor que tú”.
“Por supuesto que tú estarás mejor en un tiempo —el NASDAQ es más arriesgado que el Puritan—.
Rebota mucho más, por lo que en algún punto el rebote tuyo seguramente estará por delante. Pero mi
lema es “Lento pero seguro”. El fondo Puritan no es tan arriesgado y como yo no quiero entrar en riesgos,
estoy conforme con su bajo rendimiento. ¿Recuerdas como el profesor Simón en el Squash Hill College
estaba siempre martilleándonos con el tema de la relación entre riesgo y rendimiento?
En este punto Jill se cansó de los argumentos. Ambos, Jack y ella, habían expresado sus opiniones y
Jill se sentó a leer el Wall Street Journal.
La pregunta real
La discusión de Jack y Jill sobre riesgo, rendimiento, actuación y rendimiento excedente, es una típica
discusión que afecta a muchos inversores y que no se encamina hacia ninguna parte. Su discusión no
está bien focalizada debido a que ellos han ignorado el riesgo de sus inversiones. En finanzas consideramos que la actuación o rendimiento de las inversiones está relacionada al riesgo de los activos invertidos, aquellos activos más arriesgados deberían, en promedio, proporcionar mayores rendimientos para
compensar a los inversores por el mayor riesgo. Por eso, no estamos sorprendidos de que a Jill le haya
ido mejor con el NASDAQ (una inversión de riesgo) y que Jack deba conformarse con una menor rentabilidad con su Puritan Fund (un activo mucho menos arriesgado). La cuestión real es si los rendimientos
del NASDAQ estuvieron acordes con el riesgo del NASDAQ y si los rendimientos del Puritan estuvieron
acordes con el riesgo del Puritan.
Entonces el problema de la discusión de Jack y Jill es que ellos no están formulando la pregunta correcta. Comencemos con el argumento de Jill que dice que ella ganó más dinero que Jack desde 1990.
Ella tiene razón, por supuesto, pero un vistazo a la Figura 12.1 le mostrará a usted que el NASDAQ fue
mucho más arriesgado que el Puritan Fund, las variaciones en retornos son mucho mayores para el NASDAQ que para el Puritan. Si el NASDAQ es más arriesgado, entonces las mayores ganancias de Jill puede
que solo hayan sido la recompensa por asumir mayor riesgo.
2 Una de las lecciones de la eficiencia de mercado es que la performance o rendimiento de las acciones en el pasado no predice los
movimientos futuros de las acciones.
| 441
Principios de Finanzas con Excel
Figura 12.2. El crecimiento de $1
invertido en el NASDAQ y en el Puritan
Fund en el período desde diciembre de
1999 hasta agosto de 2003. En este
caso, “crecimiento” es un eufemismo
—ambas inversiones cayeron durante
dicho período—. $1 invertido en el
NASDAQ valía $0,41 en agosto de 2003,
y $1 en el Puritan valía $0,94.
El mismo punto puede verse en la figura 12.2. Si el NASDAQ es más arriesgado que el Puritan Fund,
no es sorprendente que en períodos en que el mercado bajó, el NASDAQ descendió más aún. Cuando Jack
dice que a él le fue mejor con el Puritan Fund en un período de caída, tampoco nos vemos sorprendidos.
Por lo tanto ni Jack ni Jill están haciendo la pregunta correcta: la pregunta real es si la performance
o rendimiento del NASDAQ es acorde o proporcional con el riesgo del NASDAQ y si la performance o
rendimiento del Puritan Fund es acorde o proporcional con el riesgo del Puritan Fund. En la jerga de del
CAPM, la pregunta es si un título tiene un rendimiento superior o inferior, ajustado por riesgo.
Este capítulo le mostrará a usted cómo responder a esta pregunta. Utilizaremos la SML para responder
preguntas sobre rendimiento versus riesgo. En la sección 12.6 volveremos al caso de Jack y Jill para
contestar a la pregunta de quién tenía razón.
3. Medir el rendimiento de la inversión en el Fondo Fidelity´s Magellan
En esta sección ilustraremos el uso de la SML para la medición del rendimiento o performance de
las inversiones, utilizándola para evaluar el rendimiento del Fondo Fidelity Magellan (cuyo símbolo de la
acción es FMAGX). Le mostraremos que durante la década 1999-2008, Magellan obtuvo rendimientos
excedentes superiores a los del mercado, sobre una base ajustada por riesgo.
Comenzamos sintetizando la SML. La SML muestra la relación entre el riesgo de un activo y su retorno
esperado. El riesgo de un activo es medido por β, que muestra cuán sensible es el retorno de un activo
a los cambios en el retorno de mercado. Cuanto mayor sea β del activo, mayor será el retorno que los
inversores esperarán del activo.
442 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
La ecuación de la SML dice que el retorno esperado E(ri ) de un activo está dado por la ecuación:
E(ri ) = rf + βi E ( rM ) − rf 
Donde:
β=
Cov(ri ,rM )
σ2M
La letra “i” es utilizada en E(ri ) para indicar que la SML es una relación riesgo-rendimiento para todos los activos de riesgo. Por lo tanto, la i puede referirse a cualquier activo, sea una acción, o bono o
portafolio. En este capítulo utilizamos i para representar tanto acciones como fondos mutuos (grandes
portafolios diversificados de acciones y bonos).
La siguiente hoja contiene la información necesaria para evaluar el rendimiento de Magellan:
■■ La
información de retornos anuales de Magellan (celdas B4:B13) y del índice S&P500 (celdas
C4:C13) para el período 1999 a 20083. Estos retornos incluyen dividendos y el retorno anual en
el año t es calculado asumiendo que el inversor adquirió la acción al final del año t-1 y la mantuvo
hasta el final del año t:
Retorno t =
Precio de la acciónt − Precio de la acciónt-1 + Dividendost
Precio de la acciónt-1
■■ Tasa
libre de riesgo anual (celdas D4:D13). Dado que estamos buscando información anual, la
tasa libre de riesgo que se tomó es la correspondiente a los U.S. Treasury Bill a 1 año de plazo4.
■■ Información sobre excesos de retornos: “Retornos excedente” es la diferencia entre el retorno del
título (sea este Magellan o el S&P) y la tasa libre de riesgo para el mismo período. Por ejemplo,
alguien que tuvo el Índice S&P500 a través de 1998 hubiera ganado 30,54 % sobre su inversión
(celda C4); en el mismo período él podría haber ganado 5,66 % teniendo un título libre de riesgo
del Gobierno de EE. UU. Por ello, durante dicho período, el S&P rindió un 24,88 % más que la
tasa libre de riesgo. Ese 24,88 % es el retorno excedente o exceso de retorno del S&P durante el
período. Como puede usted observar en las columnas F y G de la hoja, durante gran parte de dicho
período tanto Magellan como el S&P tuvieron fuertes retornos excedentes positivos.
3 La información sobre las acciones de este capítulo proviene de Yahoo. Los datos de tasa de interés están basados en una página web
soportada por la St. Louis Federal Reserve Bank (http://research.stlouisfed.org/fred2/).
4 Los investigadores de finanzas habitualmente utilizan información mensual o incluso semanal de retornos, pero la información de
retorno anual es más fácil de visualizar. Cuando volvamos al caso de Jack y Jill en la sección 12.6, utilizaremos datos mensuales.
| 443
Principios de Finanzas con Excel
Durante el período Magellan claramente tuvo mayores rendimientos que el Índice S&P500: el retorno
promedio de Magellan fue 6,80 % (B15), mientras que el retorno promedio del S&P500 fue 4,91 %
(C15). La pregunta que nos hacemos es si Magellan tuvo rendimientos excedentes ajustados por riesgo.
Pare responder dicha pregunta, efectuamos una regresión de los excesos de retorno de Magellan respecto de los excesos de retorno del S&P500. Para llevar a cabo dicha regresión, estimamos la mejor línea
que pasa a través de los puntos del gráfico5. En esencia, estamos intentando explicar el retorno excedente
de Magellan como una función lineal de los retornos excedentes del S&P:
Línea de Regresión = rMagellan,t − rf,t = α Magellan + βMagellan * (rS&P,t − rf,tt )
Exceso de retorno
de Magellan en el
período t
Exceso de retorno
del S&P500 en el
período t
5 Para mayores detalles sobre cómo efectuar una regresión en Excel, vea el análisis en la sección 4 del capítulo 9 o la nota de Excel que
sigue a esta sección.
444 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
La línea de regresión que hemos calculado en este caso es:
Exceso de retorno de Magellan =
1,89%
+
Este es el α de Magellan,
(αMagellan ) - su rendimiento
por encima del índice
S&P
* Exceso de retorno del S&P
1, 0011
Esto es beta de Magellan
(βMagellan) −su riesgo versus
el del índice S&P.
Siendo R2 = 93,3 % (el “r-cuadrado es una medida de cómo de bien el exceso de retorno de Magellan
está explicado por el exceso de retorno del S&P).
El cálculo de la regresión requiere tres estadísticos:
1, β de Magellan: βMagellan mide la sensibilidad de los excesos de retorno de Magellan
a los excesos de retorno del S&P500. β es la medida más común de riesgo relacionado con el
mercado. En la hoja βMagellan es calculada de tres maneras: en las celdas B19, B20 y en el gráfico6.
Todos los métodos dan una βMagellan = 1, 0011
β Es la medida más habitual de riesgo para una acción. La βMagellan = 1, 0011 muestra que el exceso de
retorno de Magellan fue casi igual de arriesgado que el exceso de retorno de S&P500: en promedio
un 1 % de incremento en el exceso de retorno del S&P estuvo acompañado por un 1,0011 % de
incremento en el exceso de retorno de la acción de Magellan. En el idioma de análisis de inversiones, Magellan es neutral al riesgo de mercado; moviéndose mucho en compañía del S&P. En los
mismos términos, un activo cuya β < 1 es denominado un activo defensivo y un activo cuya β > 1
es llamado activo agresivo. Daremos ejemplos de activos agresivos y defensivos luego.
■■ Estadístico 2, Alfa α Magellan : es una medida del rendimiento extra de Magellan. Alfa de Magellan,
α Magellan es 1,89 %. En la hoja α Magellan se calcula de dos maneras: en la celda B18 y en el gráfico.
Para comprender la importancia de α Magellan demos otra mirada a la línea de regresión:
■■ Estadístico
Exceso de retorno de Magellan = 1,89% + 1, 0011 * Exceso de retorno del S&P
Alfa de Magellan
(αMagellan )
Beta de Magellan
(βMagellan)
Suponga que en un año en particular el S&P rinde un 10 % en exceso respecto de la tasa libre de
riesgo. Entonces, la regresión predice que Magellan debería rendir 11,901 %:
Exceso de retorno de Magellan =
1,89%
Este es "libre". El rendimiento
anual de Magellan luego
de considerar los movimienntos
del índice S&P
+ 1, 0011 * E
xceso
de retorno
de S&P
Es 10%
10,011% es el rendimiento ajustado por riesgo de la
acción de Magellan
6 Vea la nota de Excel siguiente para una mayor explicación sobre cómo calcular β.
| 445
Principios de Finanzas con Excel
α Magellan le dice a usted que si el rendimiento de la acción de Magellan se comporta según lo previsto
por esta ecuación, usted ganará, en promedio, 1,89 % anual más que el rendimiento del mercado
ajustado por riesgo. ¡Esto significa que Magellan es un fondo que supera al mercado!7
2
■■ Estadístico 3, (R – cuadrado) R : los retornos de Magellan estuvieron altamente correlacionados
con los retorno de S&P500: 93,3 % de la variabilidad de los retornos de Magellan estuvieron
explicados por las variaciones del S&P500. Este número (conocido como R2 de la regresión) es
calculado por la función de Excel COEFICIENTE.R2 (rango de y, rango de x) en la celda B21 y
también aparece en el gráfico8. Otra interpretación del R2 es que mide el grado en que la acción
“le sigue la pista” al S&P500.
Magellan le sigue la pista al S&P fuertemente, pero la mayoría de las acciones no le siguen la pista
tan de cerca. En la sección 12.2 y 12.3 le mostraremos que el seguimiento del mercado por parte
de un portafolio diversificado es generalmente mucho mejor que el seguimiento de los componentes individuales de un portafolio.
Nota de Excel
La hoja muestra muchas maneras de calcular cada uno de los estadísticos α, β y R2:
\\
\\
\\
Usted puede utilizar un gráfico XY de Excel y luego usar la función Línea de Tendencia (vea el capítulo 9). La ecuación de
la línea de tendencia (impresa en el gráfico de Excel) es el Retorno anual de Magellan = 1,0011 * retorno anual de S&P
+ 0,0189. Siendo R2 = 0,933. 1,0011 es la beta de Magellan ( βMagellan ) y 1,89 % es llamado Alfa de Magellan α Magellan
Usted puede utilizar las funciones de Excel INTERSECCION.EJE (rango y, rango x), PENDIENTE (rango y, rango x) para
calcular α Magellan ,βMagellan y R2 respectivamente. Esto está ilustrado en las celdas B18, B19 y B21.
Puede utilizar las funciones de Excel COVAR y VARP para calcular:
βMagellan : βMagellan =
Covar (rMagellan ,rSP )
Varp(rSP )
Una pista avanzada sobre Excel
En las celdas de las fórmulas de abajo los tres estadísticos α, β y R2 se calculan directamente, sin calcular los retornos
excedentes. Por ejemplo, la expresión de Excel B3:B12 – D3:D12 puede ser escrita en las fórmulas del exceso de retorno del
S&P500. Del mismo modo, B3:B12 – D3:D12 es entendido por Excel como el retorno excedente de Magellan. Usaremos este
método en la sección siguiente.
7 O fue un gran Fondo – Estamos suponiendo aquí que el rendimiento pasado durante el período 1999-2008 predecirá el rendimiento
futuro.
8 Como usted verá en algunos de los otros ejemplos del capítulo, un R2 de 90 %, si bien no es inusual para un Fondo Mutuo diversificado,
es inusualmente alto para una regresión del tipo de SML, en que los datos en cuestión corresponden a una sola acción.
446 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
4. Acciones agresivas versus defensivas
En esta sección repetimos el análisis de la sección previa para tres acciones más. Para calcular los
estadísticos de la regresión usaremos el método ilustrado en el cuadro de Excel anterior.
Kimberly-Clark
Durante la década de 1999 a 2008, la acción Kimberly-Clark (cuyo símbolo es KMB):
al mercado con rendimientos excedentes superiores: α de KMB = 2,25 %, indicando que
sobre una base anual, KMB ganó 2,25 % más que lo que su rendimiento ajustado por riesgo hubiera garantizado.
■■ Fue una acción defensiva: β de KMB = 0,6301, indicando que un 1 % de crecimiento / disminución en el Índice S&P llevó a un incremento / disminución de 0,63 % en la acción de KMB.
■■ Superó
| 447
Principios de Finanzas con Excel
El R-cuadrado de KMB (R2= 40,15 %) indica que 40 % de las variaciones de precios de KMB fueron
causadas por los movimientos del mercado. El 60 % restante de la variabilidad fue presumiblemente
originado por variables solamente relacionadas a Kimberly-Clark. Esto es lo que usted debería esperar
para una acción promedio; la mayor parte de la variabilidad de los retornos de la acción no es sistemática
(jerga utilizada en el mercado de capitales para el riesgo de mercado) sino idiosincrática o no sistemática
(riesgo específico de la acción). Como veremos en la sección siguiente, este riesgo idiosincrático puede
ser disminuido a través de la diversificación del portafolio.
General Electric
Durante la misma década, General Electric (GE) superó con rendimientos superiores al mercado de
acciones (tuvo un α = 3,18 % anual) y fue una acción agresiva, siendo más arriesgada que el mercado accionario (βGE = 1, 3063) . Además, GE siguió muy de cerca la pista del S&P500, con un R-cuadrado de 86 %.
Dupont: ¡No todas las acciones tienen excesos de retorno!
Para que no piense que todas las acciones tienen retornos excedentes superiores al mercado, demos
una mirada a una historia un tanto menos feliz de Dupont durante la década 1999-2008.
448 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
El α de Dupont = -2,25 % indica que en ausencia de movimientos en el mercado, el retorno de Dupont es 2,25 % menor que el del S&P. Dupont fue una acción defensiva, con un β = 0, 3949 . Observando
el r-cuadrado de la regresión, vemos que solo aproximadamente el 16 % de los movimientos de Dupont
estuvieron explicados por los movimientos del mercado.
5. La diversificación paga
En la sección previa hemos evaluado la performance o rendimiento ajustado por riesgo de las tres
acciones efectuando una regresión de sus retorno excedentes con los excesos de retorno del S&P500. En
esta sección repetimos dicho ejercicio para un portafolio de acciones, efectuando una regresión de los
excesos de retorno del portafolio con aquellos del S&P500.
Hacer esto nos permite remarcar dos puntos:
■■ Primero,
podemos utilizar la regresión para medir el rendimiento excedente superior o inferior de
un portafolio (sobre-rendimiento o sub-rendimiento). Esto es similar a lo que hicimos con una sola
acción en la sección previa.
■■ Segundo, podemos utilizar la regresión para demostrar que la diversificación paga, incrementando el R2 de la regresión; esto quiere decir que hay menos riesgo no sistemático en un portafolio
diversificado: una mayor parte de los retornos están explicados por la cartera de mercado (en este
caso el S&P500).
En el ejemplo de abajo repetimos la información de retornos anuales para Kimberly-Clark, General
Electric, Dupont y S&P500. También indicamos, en las celdas B3:B5, la composición del portafolio de
estas acciones. Utilizando las funciones de Excel antes descritas, calculamos el α y β para cada acción y
el R2 de la regresión que las determina (filas 19-21). Como usted verá, uno de los beneficios de la diversificación del portafolio es que, en general, un portafolio tiene mayor R2 que los activos que los integran.
| 449
Principios de Finanzas con Excel
Ahora, suponga que formamos un portafolio compuesto por iguales proporciones de KMB, GE y
DD. Las proporciones del portafolio están descritas en las celdas B3:B5 y los retornos del portafolio aparecen en las celdas H8:H17.
En las celdas H19:H22 calculamos la regresión de retornos excedentes del portafolio respecto de
los retornos excedentes del S&P500. Los retornos del portafolio están descritos por la regresión:
Exceso de retorno del portafolio t = 0,0106 + 0,7771 * Exceso de retorno del S&P,R2 = 0,5994
Esta es α del
portaafolio αP
Estaes Beta
del portafolio (βP)
Estas son algunas claves que destacar sobre esta regresión:
αP y βP son un promedio ponderado de α y β de las acciones individuales. En la hoja β fue calculada dos veces: en la celda H20 βP se calculó utilizando la función de Excel Pendiente, y en la
celda H25 βP fue calculada usando el promedio ponderado de cada una de las βs de las acciones
individuales. Si denotamos a las proporciones del portafolio con x KMB , x GE y x DD entonces, por ejemplo,
β del portafolio (sea de la celda H20 o H25) βP estará dada por βP = x KMBβKMB + x GEβGE + x DDβDD . En el
ejemplo particular ilustrado, esta fórmula da una β del portafolio βP = 0,7771 :
βP = 0, 333
* 0, 6301 + 0, 333 * 1, 3063 + 0, 333 * 0, 3949 = 0,7771
Proporción de
Kimberly-Clark
en el portafolio
xKMB
Proporción de
General Electric
en el portafolio
x GE
Proporción de
Dupont
en el portafolio
xDD
Lo mismo ocurre para αP , que puede ser calculado tanto utilizando la función intersección.eje
(celda H19) o como un promedio de los α de las acciones individuales (celda H24).
■■ Mientras que α del portafolio ( αP ) y β del portafolio ( βP ) son un promedio ponderado de los β y
α de los activos, el R2 del portafolio es mayor que el R2 promedio. En nuestro ejemplo, R2 del
portafolio de tres activos, calculado utilizando la función coeficiente.R2 de Excel en la celda
H21 es 59,94 %, mientras que el R2 promedio ponderado de las tres acciones (celda H26) es
47,4 %. Esto es casi siempre así: R2 de un portafolio bien diversificado es mayor que el R2 promedio ponderado de los activos del portafolio. Lo que esto significa es que una parte mucho mayor de
los retornos de un portafolio bien diversificado es explicada por el retorno de mercado en el caso
del retorno de los componentes individuales del portafolio. En otras palabras, la diversificación
paga reduciendo el riesgo que no es de mercado, no sistemático o idiosincrático, asociado con el
portafolio (observe que estas tres palabras marcadas en cursiva son sinónimos; además, los términos riesgo diversificable, riesgo único y riesgo propio se utilizan para este concepto).
450 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
Resumen intermedio
Observando la regresión que hemos ilustrado en las dos secciones previas, podemos distinguir entre
dos tipos de riesgos.
■■ Riesgo
de mercado: también llamado riesgo no diversificable o sistémico. Este es el riesgo medido
por β – la sensibilidad de los retornos de un activo al retorno del portafolio de mercado. En el caso
de General Electric vimos que su βGE = 1, 3063 , significando que los retornos de la acción General
Electric fueron muy sensibles a los excesos de retorno del S&P500. El R2 = 86,35 % indica que
el 86 % de la variabilidad de los retornos de GE son causadas por la variabilidad de los retornos
de S&P500. Dado que la mayoría de las acciones están correlacionadas con el mercado (lo que
quiere decir que cuando el mercado sube, la tendencia general de la mayor parte de los retornos de
las acciones también sube y viceversa), el riesgo de mercado es casi inevitable. La relativamente
baja R2 de Kimberly-Clark significa que solo aproximadamente el 40 % del riesgo de la acción es
atribuible al riesgo de mercado (y para Dupont R2 = 15,71 % lo que quiere decir que 84 % de la
variabilidad de la acción es atribuida a factores ajenos al mercado).
■■ Riesgo idiosincrático de la acción: también llamado riesgo diversificable o no sistemático. Este es
el retorno por riesgo que no es atribuible al mercado. El riesgo idiosincrático de GE es muy bajo (el
86 % de las variaciones de sus retornos provienen del mercado), pero el riesgo idiosincrático de KMB
y DD es mucho mayor: para estas acciones individuales el R2 es bastante bajo, lo que significa que el
componente del retorno por riesgo que no es del mercado es mucho mayor. Dado que el R2 del portafolio con iguales ponderaciones de los activos es mucho mayor que el R2 promedio, el riesgo idiosincrático del portafolio es mucho menor que el riesgo idiosincrático promedio de las tres acciones
| 451
Principios de Finanzas con Excel
individuales. Este es uno de los beneficios de la diversificación; el retorno del portafolio “le sigue el
paso” mejor al retorno de mercado, lo que quiere decir que una mayor parte del retorno del portafolio
es más predecible por el mercado que en el caso de los retornos de las acciones individuales.
Lo que demuestra nuestro ejemplo de las tres acciones es que cuando usted diversifica (es decir,
invierte en un portafolio de tres acciones en lugar de una sola acción), la porción de los retornos
causada por el riesgo de mercado se incrementa y el riesgo idiosincrático del portafolio se torna
menor que aquel que corresponde a las acciones individuales. Para decirlo de otro modo, para
un portafolio bien diversificado, la beta del portafolio βP es una buena descripción del riesgo del
mismo, aun cuando las βs de las acciones individuales no describan su riesgo.
¿Cómo de grande es un portafolio bien diversificado?
Para que un portafolio de acciones sea bien diversificado, debería estar compuesto por muchas acciones con una relativamente poca participación de cada una. ¿Cuántas? Normalmente 20-30 acciones son suficientes para dar un alto R2. Cuando
el R2 es alto (digamos, más del 70 %), la mayor parte del riesgo del portafolio es riesgo de mercado.
6. ¿Qué dice la investigación académica de finanzas sobre el rendimiento de las inversiones?
La Hipótesis de Mercado Eficiente nos dice que es muy difícil hacer dinero utilizando solo información públicamente disponible. Por ello, no hay motivo para creer que los administradores de inversiones
pueden alcanzar mejores rendimientos o performances en sus inversiones que lo que usted alcanzaría
en un portafolio bien diversificado armado por cualquiera (o por usted mismo) incluso sin “pericia en inversiones”. De hecho, hay dos motivos para creer que los administradores de inversiones pueden proveer
peores resultados:
■■ Ellos
cargan comisiones (para ser justos, invertir por su cuenta también involucra el pago de comisiones de agentes, sin mencionar el costo de oportunidad del tiempo que usted precisaría para
recabar información). En el caso de los dos Fondos Fidelity que hemos investigado en este capítulo, las comisiones son 0,40 %, pero las comisiones de los Fondos Mutuos pueden ir desde un bajo
0,05 % hasta un 1,5 % o incluso 2 %).
■■ A muchos administradores de inversiones les gusta rotar sus portafolios. Esto, de hecho, implica
costos para los inversores de fondo mutuo y mejores rendimientos.
Por esta razón, muchos académicos conocidos (y muchos otros “sabios de la calle”) prefieren invertir
en fondos de índices como Vanguard 500 Index Fund, que hemos utilizado como ejemplo en este capítulo.
El enfoque de estos fondos de índices es asemejarse a la composición de un índice de mercado como el
S&P500. Estos fondos están disponibles para proporcionar un portafolio altamente diversificado con bajo
costo y una mínima interferencia en las decisiones de inversión por parte del administrador del fondo.
Una cantidad considerable de investigación académica confirma nuestra conclusión. El α promedio
de los fondos mutuos es negativo y hay poca evidencia de que los fondos mutuos sean capaces de generar
inversiones con rendimientos excedentes superiores9.
9 Para una buena referencia académica sobre este asunto, consulte “Returns from investing in Equity Mutual Funds 1971-1991”, de
Burton G Malkiel, Journal of Finance, Junio de 1995.
452 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
7. Otros fondos de índices
Con el deseo de que este capítulo no parezca un anuncio de publicidad para los Fondos Fidelity y
Vanguard, nos apresuramos a puntualizar que los inversores norteamericanos cuentan con muchos fondos
de índices disponibles. Estos son solo algunos ejemplos (una búsqueda en Yahoo proporciona, al menos,
75 de dichos fondos).
Figura 12.4 Algunos Índices S&P500 disponibles para el inversor. Todos los fondos son básicamente iguales, siguiendo al índice S&P500.
No sorprende que los mayores fondos tiendan a ser aquellos con las menores tasas de gastos.
8. Nuevamente al caso de Jack y Jill. ¿Quién tiene razón?
En las secciones precedentes hemos mostrado cómo podemos medir el sub o sobre rendimiento mediante una regresión de los excesos de retorno del activo con los excesos de retorno del mercado. Ahora
volvamos al caso de Jack y Jill. Recordemos que Jack estuvo invirtiendo en el “pesado” Puritan Fund,
mientras que Jill era una inversora “especulativa” en el NASDAQ. Durante el período 1990-2003, a Jill
le fue mejor que a Jack, pero durante el período 1999-2003 a ella le fue mucho peor.
¿A quién le fue mejor? ¿Quién tenía razón?
Repasando las regresiones de los excesos de retorno mensuales de cada portafolio sobre el S&P500
vemos que cada portafolio obtuvo rendimientos proporcionales a su riesgo. El Puritan Fund es mucho
menos arriesgado que el NASDAQ (βNASDAQ = 1, 4346;βPuritan = 0,5632) . Sin embargo, ninguna inversión tuvo una
α que fuera significativamente diferente de cero, por lo que no hubo rendimientos excedentes positivos
ni negativos.
Tanto Jack como Jill están recibiendo por lo que están pagando, el retorno adecuado ajustado por
riesgo. Esta es la naturaleza de los mercados de capitales.
| 453
Principios de Finanzas con Excel
Figura 12.5. Analizando los excesos de retorno del Puritan Fund y el NASDAQ revela que durante el período 1990-2003, el
NASDAQ es casi tres veces más arriesgado que Puritan (βNASDAQ = 1, 4346;βPuritan = 0,5632) Ninguna de las regresiones revela
αs que sean significativamente diferentes de cero. En otras palabras, tanto Jack como Jill están obteniendo rendimientos
proporcionales al riesgo que están asumiendo. No hay performance excedente en ninguna de estas inversiones. El menor R2 de
NASDAQ versus el de PURITAN (64 % vs 78 %) indica que el NASDAQ presenta algo más de riesgo idiosincrático.
454 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
Figura 12.6. Un análisis de los excesos de retorno del Puritan Fund sobre el NASDAQ durante el período 1999-2003 no revela
un cambio sustancial en nuestras conclusiones previas. Si bien hay mínimos cambios en β y α, ninguna inversión exhibe
performances o rendimientos excedentes superiores o inferiores.
Trasladando el caso de Jack y Jill a 2009
Originalmente, conocimos a Jack y Jill en 2003. Seis años después, el autor de este libro se alegra
de comunicar que ellos aún están juntos (de hecho, se han casado y tienen dos niños pequeños). Ellos
aún mantienen cuentas de inversión separadas, con Jill invirtiendo en el índice NASDAQ y Jack, más
conservador, haciéndolo en el Puritan Fund.
| 455
Principios de Finanzas con Excel
El gráfico de abajo muestra que nuestra conclusión cualitativa respecto al NASDAQ versus Puritan no
ha cambiado:
■■ Haciendo
la regresión de los retornos del NASDAQ y Puritan sobre el S&P500 muestra que el
NASDAQ se ha tornado algo menos arriesgado ( βNASDAQ ) ha bajado de 1,687 a 1,152 durante el
período 2003-2009) y el Puritan se ha vuelto un poco más arriesgado ( βPuritan ) se ha incrementado
de 0,514 a 0,706).
■■ Tampoco hay evidencia de sobre o sub performance para ninguno de los fondos: el α de la regresión no es muy distinguible de cero.
9. Resumen
En este capítulo hemos mostrado cómo averiguar el beta (β) y alfa (α) de un título y de un portafolio.
Hemos definido los conceptos de riesgo de mercado (riesgo no diversificable) e idiosincrático (riesgo
diversificable) y hemos demostrado cómo se reduce el riesgo idiosincrático formando portafolios. Utilizando α para medir la performance o rendimiento de las inversiones, hemos explorado el rendimiento de
varios fondos mutuos y hemos relacionado este tema tan importante a las comisiones de los fondos y la
hipótesis de mercado eficiente.
En el capítulo 13, mostraremos cómo la línea de mercado de títulos (SML) puede ser utilizada para
computar el costo de capital de una empresa.
456 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Encuentre el valor de βi para la acción i en base a la siguiente información: E (rM) = 15 %, E(ri) = 12 %, rf = 7 %.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
2. Suponga que para el activo i, βi =1, E (ri) = 21 %. ¿Cuál es el rendimiento de mercado E(rM)?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
3. Suponga que para el activo i, E (rM)= 21 %, βi = 0,7, E (ri)= 25 %. ¿Cuál es el rendimiento del activo libre de riesgo?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
4. Considere la siguiente información: E (rM)= 25 %, Cov(ri, rM)= 0,07, rf= 8 %, Var (rM)= 0,1. ¿Cuál es el rendimiento
esperado de la acción i, E (ri)?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
5. Considere la siguiente información: E (ri)= 15 %, Cov(ri, rM)= 0,06, Var (rM)= 0,06. ¿Cuál es el rendimiento esperado
del mercado, E (rM)?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. Considere la siguiente información: E (rM) = 10 %, Cov (ri, rM)= 0,2, E (ri)= 18 %, Var (rM)= 0,09. ¿Cuál es el rendimiento del activo libre de riesgo, rf?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 457
Principios de Finanzas con Excel
7. Considere la siguiente información relacionada al S&P500, FEDEX y el rendimiento de los USA Treasury Bill a 1 año:
a. Calcule el rendimiento excedente de S&P500 y de FEDEX.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Represente gráficamente el rendimiento excedente de FEDEX contra el de S&P500. Use Excel para
calcular la línea de regresión y R2.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. ¿Es FEDEX una acción agresiva o defensiva?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
8. Considere la siguiente información relativa a S&P500, IBM y el rendimiento de los T-Bill a 1 año de EE. UU.:
a. Calcule los rendimientos excedentes de S&P500 e IBM.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Represente gráficamente el rendimiento excedente de IBM, contra el de S&P500. Use Excel para calcular
la línea de regresión y R2.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. ¿Tuvo IBM un desempeño superior a S&P500?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
d. ¿Es IBM una acción agresiva o defensiva?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
458 |
CAP. 12 | Utilizar la Línea de Mercado de Títulos para evaluar el rendimiento de las inversiones
9. Utilizando los datos de los ejercicios 7 y 8, asuma que usted ha invertido en un portafolio compuesto al 30 % de la
acción IBM y al 70 % de FEDEX.
a. Calcule el rendimiento excedente del portafolio.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule βP del portafolio. Muestre tres maneras diferentes de calcular βP del portafolio:
Usando la función Pendiente de Excel.
Usando la fórmula βP = Cov (rP,rM) / Var (rM).
~~ Promediando β de los dos integrantes del portafolio, IBM y FEDEX.
s
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
~~
~~
c. Calcule βP del portafolio. Muestre dos maneras diferentes de calcular βP del portafolio:
Usando la función Intersección.Eje de Excel.
Calculando el promedio ponderado de βs de los dos integrantes del portafolio, IBM y FEDEX.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
~~
~~
10. Considere los datos de otra acción – 3M Corp.
| 459
Principios de Finanzas con Excel
a. ¿Tiene 3M rendimiento excedente?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Represente gráficamente los rendimientos excedentes de 3M contra los de S&P500. Use Excel para
calcular la línea de regresión y el R2.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
11. Considere la siguiente información relacionada con 10 acciones, S&P500 y tasa de rendimiento anual libre de
riesgo. Su amigo, que trabaja en un banco de inversiones le dice que un portafolio igualmente distribuido entre
esas 10 acciones genera un rendimiento excedente ajustado por riesgo, al ser comparado con el S&P500. Controle
si está en lo cierto.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
12. Considere la siguiente información relacionada al Fidelity Balanced Fund (FBALX), índice S&P500 y tasa del T-Bill.
¿El gerente superó al mercado?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
460 |
Capítulo 13
La línea de mercado de
títulos y el costo de capital
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto general
Conceptos financieros tratados en este capítulo
El CAPM y el costo de capital de la empresa. Un ejemplo inicial
Utilizar la SML para calcular el costo de capital. Calcular los valores
de los parámetros
Un ejemplo: Hoteles Hilton
Calcular el CCMP utilizando β del activo, βactivo
¡No lea esta sección!
Resumen
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
1. Concepto general
Este es el segundo de los dos capítulos que muestran el uso de la Línea de Mercado de Títulos (SML).
En el capítulo 12 vimos el uso de la LMT para medición del rendimiento o performance y en este capítulo
veremos cómo usar la LMT para calcular el costo de capital de una empresa1.
El costo de capital medio ponderado (CCMP o WACC) es el retorno mínimo que la empresa debe ganar
para satisfacer a sus accionistas y bonistas. Como dijimos en la sección 6.6, el costo de capital tiene dos
usos importantes:
■■ Utilizar
el CCMP en presupuesto de capital: cuando evaluamos un proyecto cuyo riesgo es comparable al riesgo de las actividades actuales de la empresa, el CCMP es una tasa de descuento
apropiada para los flujos de fondos del proyecto.
■■ Utilizar el CCMP para valuar la empresa: el valor de una empresa está basado en el valor actual
(VA) de sus flujos futuros de fondos (FCF) descontados a la CCMP.
En este libro hemos tratado previamente la CCMP en el capítulo 6, en que utilizamos el modelo de
Gordon para calcular el costo de capital propio. En este capítulo usaremos la LMT para calcular el costo
de capital propio. Estos dos modelos —de Gordon y la SML— son los mejores enfoques para computar el
costo de capital de una empresa.
2. Conceptos financieros tratados en este capítulo
■■ El
uso de la línea de mercado de títulos (SML) para calcular el costo de capital propio rE de una
empresa.
■■ Cálculo del costo de capital medio ponderado (CCMP) de la empresa. Observe que el cálculo del
CCMP fue también tratado en el capítulo 6, en que utilizamos el modelo de Gordon para calcular
el costo de capital propio de la empresa rE.
■■ Cálculo del valor de mercado de la deuda y capital propio de la empresa, la tasa de impuesto de la
empresa TC y el costo de la deuda rD. Nuestro tratamiento de dichos temas en este capítulo es de
alguna manera una reiteración de lo visto en el capítulo 6.
■■ El concepto de beta del activo, βactivo, y su uso como método alternativo para calcular el CCMP de
la empresa.
A través de este capítulo asumimos que usted sabe cómo calcular β de una acción (este asunto fue
tratado en el capítulo previo). De hecho, usted no necesita habitualmente calcular β de las acciones de
la empresa —la información está públicamente disponible (en este capítulo, por ejemplo, utilizamos
información provista por Yahoo) —.
Funciones de excel utilizadas
■■ VAN.
■■ PROMEDIO.
1 Si Vd. precisa echar un vistazo para aclararse sobre la SML, consulte la primera sección del capítulo 12.
| 463
Principios de Finanzas con Excel
3. El CAPM y el costo de capital de la empresa. Un ejemplo inicial
Abracadabra Inc. está evaluando un nuevo proyecto, el cual tiene los siguientes flujos de fondos libres
(FCF)2:
Para decidir si aceptar o rechazar el proyecto, la empresa necesita calcular la tasa de descuento ajustada por riesgo para estos flujos de fondos. La empresa decide que el riesgo del nuevo proyecto es muy
similar al riesgo de las actividades actuales de Abracadabra; el financiamiento del proyecto es también
similar al de la empresa. En este caso, la tasa de descuento apropiada es la tasa de costo de capital
medio ponderada (CCMP); este es el costo promedio de financiamiento de las actividades de la empresa.
DEFINIENDO LOS FLUJOS DE FONDOS LIBRES (FCF)
Beneficio después de
impuestos
Esta es la medida básica de rentabilidad el negocio, pero es una medida contable que incluye flujos
provenientes del financiamiento (como intereses), así como gastos que no son salidas de caja, como
amortización. El beneficio después de impuestos no considera los cambios en el capital de trabajo de la empresa
o adquisiciones de activos fijos, los cuales pueden representar importantes egresos de caja para la empresa.
+ Amortización
El gasto que no representa salida de caja se suma nuevamente al beneficio después de impuestos.
+ Pagos de intereses
después de impuestos
(netos)
- Incrementos en
activos corrientes
FCF es un intento de medir el efectivo producido por la actividad del negocio de la empresa y disponible tanto
para accionistas como bonistas. Para neutralizar el efecto de los intereses pagados sobre los beneficios de la
empresa, lo que hacemos es:
-- Sumar nuevamente el costo de intereses después de impuestos (después de
impuestos porque los intereses son deducibles de impuestos).
-- Restar los intereses ganados después de impuestos por disponibilidades y títulos.
Cuando las ventas de la empresa crecen, se necesita más inversión en inventarios, cuentas a cobrar, etc. Este
crecimiento en activos corrientes no es un gasto a efectos impositivos (y es, por lo tanto, ignorado en el beneficio
después de impuestos), pero es una salida de caja para la empresa.
Continúa en página siguiente >>
2 Un tratamiento extensivo de los flujos de fondos libres (FCF) se encuentra desarrollado en los capítulos 6 y 7. La figura 13.1 resume el
concepto en forma esquemática.
464 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
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DEFINIENDO LOS FLUJOS DE FONDOS LIBRES (FCF)
+ Incrementos en
pasivos corrientes
Un incremento de ventas habitualmente ocasiona un crecimiento en el financiamiento relacionado con las
ventas (como cuentas por pagar o impuestos a pagar). Este crecimiento en el pasivo corriente —cuando está
relacionado con las ventas– proporciona fondos a la empresa. Dado que está directamente relacionado con las
ventas, incluimos dichos fondos en el cálculo de FCF.
- Incrementos en
activos fijos, al costo
Un crecimiento de los activos fijos (activos productivos a largo plazo de la empresa) es una utilización de
fondos, que reduce el FCF de la empresa.
FCF = suma de los de
arriba
Figura 13.1 Los flujos de fondos libres (FCF) son el monto de fondos generados por las actividades del negocio de la empresa. Descontando los FCF al costo de capital medio ponderado
(CCMP) se obtiene el valor del negocio de la empresa. El concepto de FCF fue presentado en el capítulo 6. Aparece en otros lugares de este libro: en el contexto de modelos contables y
financieros de planificación hemos utilizado FCF en el capítulo 7 para valuar la empresa.
Abracadabra tiene tanto deuda como capital propio, la fórmula para el CCMP está dada por:
CCMP = rE *
 proporción de
 rE =
 

  la empresa
=  costo del
*
 capital propio   financiada con

 capital propio

E
D
+ rD * (1 − TC ) *
E+D
E+D
 1 − TC =   proporción de 

 
 

  rD =
 +  costo de  *  1-tasa de  *  la empresa 
  impuesto   financiada 
 

 
la
deuda
 
  corporativo   con deuda 



 
Podemos utilizar la SML para calcular el costo de capital propio de Abracadabra. Estos son nuestros
supuestos para este problema:
acción tiene un beta β = 1,4
■■ El retorno de mercado esperado es E(rM ) = 10 %
■■ La tasa libre de riesgo rf = 4 %
■■ Las acciones de Abracadabra tienen un valor de mercado E = $10.000
■■ La deuda de Abracadabra tiene un valor de mercado D = $15.000
■■ Abracadabra puede pedir prestado nuevos fondos a un costo de rD = 6 %
■■ La tasa de impuestos corporativa de Abracadabra TC = 40 %
■■ La
Los primeros tres supuestos significan que el costo de capital propio rE de Abracadabra, determinado
por la SML es 12,4 %:
rE = rf + β * E ( rM ) − rf  = 4% + 1, 4 * [10% − 4%] = 12, 4%
| 465
Principios de Finanzas con Excel
Por lo que el costo de capital medio ponderado (CCMP) de Abracadabra es:
CCMP = rE *
= 12, 4%*
E
D
+ rD * (1 − TC ) *
E+D
E+D
10.000
15.000
+ 6%* (1 − 40%)*
=77,12%
10.000 + 15.000
10.000 + 15.000
El CCMP de 7,12 % es la tasa de descuento que nosotros utilizaremos para determinar si Abracadabra
debería emprender el proyecto.
La siguiente hoja muestra nuestros cálculos del CCPM (filas 20-36) y los cálculos del VAN del proyecto (filas 2-16).
466 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
Cuando los flujos de fondos libres (FCF) del proyecto son descontados a la CCMP, el valor actual neto
es $14.424 (celda B16). Dado que el VAN es positivo, Abracadabra debería emprender el proyecto.
Comparando la SML y el modelo de Gordon para calcular el CCMP
El costo de capital medio ponderado es la tasa de descuento más ampliamente utilizada para calcular
el valor de los proyectos de las empresas y el valor de las mismas. El CCMP depende mucho del costo del
capital propio rE. En este capítulo calculamos el costo de capital propio utilizando la línea de mercado de
títulos (SML), mientras que en el capítulo 6 hemos calculado el costo de capital propio usando el modelo
de Dividendos de Gordon.
El modelo de dividendos de Gordon y la SML son solo dos formas prácticas de calcular el costo de
capital propio3. Ambos modelos tienen sus ventajas y desventajas —el modelo de Gordon es sencillo para
calcular pero es muy sensible a los supuestos sobre los pagos a los accionistas (dividendos más recompra
de acciones) —. La SML requiere relativamente más cálculos, pero es más ampliamente utilizada. La
SML también requiere que hagamos supuestos sobre el retorno esperado del mercado E ( rM ) . Este problema es analizado en la siguiente sección.
¿Entonces qué modelo debería usted utilizar en la práctica? La mejor respuesta es utilizar ambos modelos y comparar los resultados. De este modo cada modelo puede servir como “prueba de la realidad”
del otro.
4. Utilizar la SML para calcular el costo de capital. Calcular los valores de los parámetros
El ejemplo de Abracadabra de la sección previa brinda los lineamientos generales para calcular el
costo de capital utilizando la SML, pero deja una serie de preguntas sin respuesta:
■■ ¿Cómo
■■ ¿Cómo
■■ ¿Cómo
■■ ¿Cómo
■■ ¿Cómo
■■ ¿Cómo
calculamos
calculamos
calculamos
calculamos
calculamos
calculamos
el
el
la
el
el
la
valor de mercado de la empresa, E?
retorno esperado del mercado, E ( rM ) ?
tasa libre de riesgo, rf?
valor de la deuda de la empresa, D?
costo del endeudamiento, rD?
tasa de impuestos corporativa, TC?
Trataremos cada una de estas cuestiones a su debido tiempo. A pesar de que ocasionalmente brindemos una ilustración del tema, nos reservamos un ejemplo completo para la sección siguiente.
4.1. Valor de Mercado del Capital Propio, E
Esto es fácil: para una empresa cuyas acciones son vendidas en el mercado bursátil, el valor de mercado del capital propio (E en nuestra ecuación CCMP) es el número de acciones por el valor de mercado
de cada una.
3 La literatura académica de finanzas ha traído otros modelos para calcular el costo de capital propio, pero en la práctica dichos modelos
son muy difíciles de aplicar y raramente utilizados.
| 467
Principios de Finanzas con Excel
4.2. Retorno Esperado del Mercado, E(rM)
Hay dos formas de calcular el retorno esperado del mercado: (1) podemos utilizar el retorno histórico
del mercado o (2) podemos usar una versión del modelo de dividendos de Gordon para derivar la E ( rM ) a
partir de datos actuales. Ninguno de los métodos es perfecto, sin embargo, nosotros preferimos el último.
4.3. E(rM) Utilizar retornos históricos
Una técnica estándar es utilizar un índice amplio —generalmente el índice S&P500— como un
estimador del portafolio de mercado. Para hacerlo, usted necesita algo de información. Más abajo le
mostramos los retornos del Vanguard 500 Index Fund. Este es un Fondo Mutuo de Índice que invierte en
el Índice S&P5004. El retorno medio del S&P es 8,7 % para el período 1994-2008 (celda F20). Este
retorno promedio histórico es habitualmente usado como estimador del retorno esperado del mercado en
la SML. La información del Vanguard 500 Index Fund muestra el desglose de dicho retorno entre ganancias de capital (6,77 % anual) y dividendos (1,84 % anual).
4 Tratamos los Fondos Mutuos en el capítulo 12, sección 12.4
468 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
4.4. E(rM) Utilizar información actual del mercado
Esta técnica es menos ampliamente utilizada, aunque nosotros la preferimos5. La técnica está basada
en el modelo de dividendos de Gordon que proporciona el retorno esperado de una acción en función de
los pagos actuales al capital propio de la misma Div0, el valor de mercado actual de del capital propio
P0, y la tasa de crecimiento esperado de los pagos al capital propio g. Los pagos al capital propio se definen como la suma de los dividendos de la empresa y recompra de acciones (vea el capítulo 6 para una
explicación detallada):
Modelo de Dividendos de Gordon:
rE =
Div 0 (1 + g)
+g
P0
Donde:
■■ Div0=
pago actual al capital propio (dividendos totales + recompras de acciones).
■■ P0= Valor actual del mercado del capital propio.
■■ g= tasa de crecimiento esperada de pagos al capital propio.
Para utilizar el modelo de Gordon para calcular el retorno esperado del mercado, reeditamos el modelo en términos de la ratio precio-beneficio: asuma que cada año la empresa paga un porcentaje b de
sus beneficios a sus accionistas, en la forma de dividendos y recompra de acciones. Entonces podemos
reescribir la fórmula de arriba como:
rE =
Div 0 (1 + g)
b * EPS0 (1 + g)
+g =
+g
P0
P0
Donde EPS0 es la actual utilidad por acción.
Manipulando la fórmula un poco, obtenemos:
rE =
b * (1 + g)
+g
P0 / EPS0
este es el actual
ratio P/E
(precio-beneficcio)
de la empresa
5 Esta técnica fue publicada por primera vez en Corporate Finance: A Valuation Approach, de Simón Benninga y Oded Sarig, Mc Graw
Hill, 1997.
| 469
Principios de Finanzas con Excel
Ahora aplicamos esta lógica al mercado como un todo. Nos referiremos a un índice de mercado como
el S&P500 (simbolizado con la M) como una acción que tiene su propia ratio de pago b y tasa de crecimiento de los pagos al capital propio g. Entonces usamos la fórmula de arriba para calcular el retorno
de mercado E ( rM ) 6. Aquí presentamos un ejemplo utilizando información del índice S&P500 al 30 de
Septiembre de 2009. Hemos debido “adiviestimar” la tasa de crecimiento esperada de los dividendos y
la ratio de pago de dividendos. También mostramos la serie histórica de datos de precios-beneficios; el
promedio durante 1988-2009 es 19,41.
Figura 13.2 El ejemplo de Excel muestra cómo utilizar
el ratio precio-beneficio del S&P para calcular E(rM).
El gráfico (fuente:
www.marketattributes.standardandpoors.com)
muestra el P/E del S&P500 desde 1988-2009.
Fuente: www.marketattributes.standardandpoors.com
Pago de dividendos: es definido como el pago total efectuado por la empresa tanto en efectivo como
por recompra de acciones (tratamos el tema brevemente en el capítulo 6, cuando calculamos el costo
del capital propio de Courier corp., utilizando el modelo de Gordon). A pesar de que con los dividendos
en efectivo se trata de ver la evidencia, el monto de recompra es más debatible. Las estimaciones actuales son que la suma de dividendos y recompras constituyen alrededor del 50 % de los beneficios de
la empresa.
6 Un lector detallista observará que hay alguna confusión de símbolos aquí. La fórmula:
rE =
Div 0 (1 + g)
+g
P0
Utiliza rE para hacer referencia al costo del capital propio de la acción. Dado que “costo del capital propio” es sinónimo de “retorno esperado del capital propio”, cuando aplicamos la fórmula al portafolio de mercado M (en este caso, el S&P500), por lógica a este le deberíamos
haber llamado rM. En lugar de ello, usamos E(rM). Nuestra excusa es que el símbolo E(rM) es tan ampliamente usado que no podemos dejarlo.
470 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
Crecimiento del dividendo: es la predicción del crecimiento del total de dividendos (ampliamente
definido como dividendos más recompras) para el mercado en el futuro. Si asumimos que los dividendos
crecerán a la tasa de crecimiento de la economía, el 6 % es una estimación a largo plazo razonable.
Cálculo de la Tasa Libre de Riesgo, rf
La tasa libre de riesgo, rf debería ser la tasa de los Títulos del Tesoro a corto plazo. Esta tasa está disponible en una amplia gama de sitios, incluyendo Yahoo (vea el ejemplo de la sección siguiente).
Cálculo del Valor de la Deuda de la Empresa, D
En principio, D debería ser el valor de mercado de la deuda de la empresa. Sin embargo, en la práctica, este valor normalmente es difícil de calcular. La práctica estándar es utilizar el valor en libros de
la deuda de la empresa menos el valor de sus disponibilidades; nos referiremos a este concepto como
deuda neta.
Cálculo de la Tasa de Endeudamiento, rD
La tasa rD utilizada en la fórmula del CCMP debe ser la tasa de costo marginal de endeudamiento
de la empresa, la tasa a la cual esta puede pedir fondos adicionales a través de la venta de títulos o del
banco. En muchos casos, sin embargo, el costo marginal del endeudamiento es muy difícil de calcular.
Dos “soluciones rápidas” son las siguientes:
■■ Calcular
rD a partir de la tasa promedio de endeudamiento de la empresa.
■■ Calcular rD mediante una “estimación aproximada” de la tasa actual de financiamiento a partir de
la información presentada en los estados contables.
Ambos enfoques están ilustrados en la sección 13.3.
Calculando la Tasa de Impuestos, TC
La tasa de impuestos Tc utilizada en la fórmula del CCMP debe ser la tasa marginal de impuestos de
la empresa, la tasa que la empresa debería pagar por un dólar adicional de beneficio. Esta tasa es muy
difícil de determinar y dos “soluciones rápidas” comunes son:
■■ En
muchos casos la tasa promedio de impuestos de la empresa en un estimador aceptable para TC.
Este es el caso para los Hoteles Hilton de la sección 13.3.
■■ En algunos casos podríamos preferir utilizar información sobre la tasa de impuestos promedio en
la economía. Esta tasa es aproximadamente 37 %7. Para una empresa cuya tasa de impuestos
histórica propia no sea un buen predictor de su tasa de impuesto futura, este número puede ser
un sustituto aceptable.
7 La tasa Federal de impuestos en EE. UU. es 35 % (vea el capítulo 2). Dado que las empresas también pagan impuestos provinciales y
municipales, la tasa de impuestos para la mayoría de las empresas es algo intermedio entre 35 % y 40 %.
| 471
Principios de Finanzas con Excel
5. Un ejemplo: Hoteles Hilton
Ilustraremos el enfoque para calcular el CCMP utilizando información de Hoteles Hilton Corp. (símbolo HLT). Como dijimos antes, necesitamos siete parámetros para calcular el CCMP para esta (u otra)
empresa:
■■ E,
el valor de mercado del capital propio de la empresa hoy. Este es simplemente el número de
acciones multiplicado por el precio actual de la acción.
■■ D, el valor de mercado de la deuda de la empresa hoy. Utilizaremos el valor en libros (es decir, el
valor contable) de la deuda de la empresa como un estimador de este número.
■■ rE, el costo del capital propio de la empresa. En este capítulo usaremos la SML para calcular el
costo del capital propio. Utilizar la SML significa que el costo del capital propio es dependiente
de lo siguiente:
 β
del capital propio de la empresa. En el capítulo previo hemos calculado β. En la práctica,
esta es habitualmente disponible sin cálculos (como en este ejemplo; continúe leyendo).
 rf, la tasa libre de riesgo.
 E(rM), la tasa de retorno esperada del mercado.
■■ rD,
el costo de la deuda para la empresa. En principio, este debería ser el costo marginal (el costo
para la empresa de obtener más deuda). En la práctica, habitualmente usamos la tasa de costo
promedio de la deuda actual de la empresa.
■■ TC, la tasa de impuestos de la empresa. En principio, esta debería ser la tasa marginal de impuestos (la tasa por dólar adicional de beneficios). En la práctica, habitualmente utilizamos la tasa de
media de impuestos de la empresa.
Gran parte de la información está disponible en Yahoo. La figura 13.3 muestra la pantalla de Yahoo
marcando “Estadísticas Clave” de Hoteles Hilton, que aparecen en la figura 13.4.
Figura 13.3 Pantalla de Yahoo, indicando Estadísticas Clave. Esta elección brinda la información estadística actualizada para la empresa utilizada más abajo. (La
presentación de Yahoo de la información financiera cambia ocasionalmente, por lo que puede que deba buscar en otro lugar la información).
472 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
Del perfil de Yahoo, estos son algunos datos para Hilton el 21 enero de 2005:
el capital propio de Hilton βE = 0, 956
■■ El precio de la acción de Hilton es $22,49. El número de acciones en circulación es 386,03 millones. El valor de mercado del capital propio de Hilton es el producto de estos dos números, que
da E= $8,68 billones.
■■ El valor en libros de la deuda de Hilton es D=$3,743 billones. Con un poco de trabajo, este número puede ser calculado a partir de Yahoo. De acuerdo a Yahoo:
■■ Beta
 El
valor contable por acción es $6,338.
 La ratio deuda/capital de Hilton es 1,518. Esta es la ratio de valor en libros de la deuda de la
empresa sobre el valor en libros de su capital.
Dado que Hilton tiene 386,03 millones de acciones en circulación, su valor contable total del capital
propio es 386,03*6,388 = 2.466. Multiplicando este número por la ratio deuda/capital propia obtenemos el valor total de la deuda de Hilton de $3.743. De este número restamos los $219 millones en
efectivo que mantiene la empresa para obtener la deuda neta D= $3.5248.
8 El efectivo total se resta de la deuda de la empresa dado que Hilton podría, en principio, utilizar ese efectivo para cancelar parte de
su deuda.
| 473
Principios de Finanzas con Excel
Figura 13.4 El perfil de Yahoo para Hoteles Hilton. Los números resaltados son utilizados en el cálculo del CCMP de Hilton.
Aún precisamos dos parámetros relacionados con la empresa (rD, TC) y dos parámetros del mercado
(rf, E(rM ) ). Para ello, tendremos que trabajar un poco. Podemos acceder a los estados contables de Hilton
haciendo clic en Hoja de Balance en la parte inferior de la figura 13.4. El estado de resultado y balance
trimestral obtenidos se muestran a continuación:
474 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
Figura 13.5 Estado de resultados y balance de Hilton.
El costo de la deuda de Hilton es 5,55 %
Calculamos el costo de la deuda de Hilton rD tomando sus pagos de intereses y dividiéndolos por la
deuda promedio durante el trimestre y anualizándolo. Descargamos información de Yahoo sobre el balance trimestral de la empresa y su estado de resultados (figura 13.5). En el último trimestre del que hay información, la empresa pagó $53.000 de intereses. La deuda al final de dicho trimestre era $3.744.000
y la deuda al final del trimestre anterior fue $4.058.000. Esto da una tasa de interés trimestral de
1,36 % (celda B8 abajo 9) y una tasa de interés anualizada de 5,55 %:
Interés trimestral pagado =
53.000
= 1, 36%
promedio (3.744.000 y 4.05 8.000)
Tasa de Interés anualizada = rD = (1 + 1, 36%)4 − 1 = 5,55%
| 475
Principios de Finanzas con Excel
Observe que la tasa de interés ha decrecido desde el trimestre anterior, en el cual la tasa de interés
anualizada era 8,66 %. En el trimestre anterior la empresa tuvo mucha más deuda cara a corto plazo.
La tasa de impuestos de Hilton es aproximadamente 35 %
De los Estados Contables de la figura 13.5 podemos también calcular la tasa de impuestos de la
empresa. La tasa de impuestos promedio trimestral para los últimos tres trimestres es 34,93 %. Esta es
la tasa que utilizaremos para TC.
La Tasa Libre de Riesgos en la economía, rf, es 2,21 %
Obtenemos este número de Yahoo, como se muestra en la figura 13.6
Figura 13.6 Pantalla de Yahoo con tasas de interés. La rf para utilizar en la SML es la tasa de los títulos de corto plazo (Treasury Bonds), 2,21 %
476 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
La Tasa de Retorno Esperada del Mercado E(rM) es aproximadamente 10,1 %
Utilizamos el método indicado en la sección 13.2, utilizando la ratio P/B del S&P para el 30 de septiembre de 2004. Además, asumimos que el crecimiento de los pagos al capital propio es 7 % y que la
ratio de pago de dividendos más recompras es 50 %. Esto da E(rM ) = 10,1 %.
Entonces, ¿cuál es el CCMP de Hilton?
El CCMP de Hilton es 7,98 %. Los cálculos están resumidos abajo:
6. Calcular el CCMP utilizando ß del activo, ßactivo
Un enfoque un poco diferente para calcular el CCMP es utilizar el enfoque de β del activo. En este
enfoque necesitamos tanto de β del capital propio, βE, como de βD, de Hilton. Beta del activo se define
como β promedio ponderado de las βs de la deuda y del capital propio:
βActivo = βE *
E
D
+ βD * (1 − TC ) *
E+D
E+D
| 477
Principios de Finanzas con Excel
 beta   proporción 
 proporción 

 
  beta 


del   de capital en  
  1 − tasa de   de deuda en 
=
*
+  de la  * 
*

 capital   el valor de 
 impuestos   el valor de 

 
  deuda 


 propio   la empresa 
 la empresa 
Habiendo calculado βactivo , debemos ahora calcular el CCMP usando SML:
CCMP = rf + βactivo * [E(rM ) − rf ]
Para ilustrar este enfoque para Hilton, observamos que todos los cálculos necesarios han sido realizados en la sección previa —a excepción del cálculo de βD —. Calculamos esta β asumiendo que la SML
se cumple para la deuda también:
costo de la deuda = rD = rf + βD * E ( rM ) − rf 

Esta es
la beta
de la deuda
de Hilton
⇒ βD =
rD − rf
E(rM ) − rf
En la hoja de abajo usted puede observar que la β de la deuda de Hilton es 0,423 (celda B8)9. Esto
significa que su β del activo es 0,78 (celda B15), lo que da un CCMP de 8,20 % (celda B17).
9 La βD= 0,423 de Hilton puede parecer alta, especialmente cuando se la compra con su beta de la acción βE= 0,956. Claramente, el
mercado considera que la deuda de Hilton es bastante arriesgada.
478 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
7. ¡No lea esta sección!
Una cuestión final que le puede haber ocurrido a usted: ¿por qué obtenemos un costo de capital diferente utilizando el enfoque tradicional de CCMP y usando el enfoque de la β y βactivo? Vamos a contestarle
a esta pregunta en esta sección, pero le advertimos que leer esta sección puede ser malo para su salud10.
¿Aún aquí? La respuesta es que a efectos de cálculos de costo de capital, usted debería ajustar la SML
por impuestos corporativos. Además, hay dos SML —una para el capital y otra para la deuda—. Estas
son las fórmulas apropiadas:
SML del capital propio:rE = rf * (1 − TC ) + βE * E ( rM ) − rf * (1 − TC ) 
SML de la deuda:rD = rf + βD * E ( rM ) − rf * (1 − TC ) 
Observe que las dos SML tienen la misma prima de riesgo ajustada por impuesto E ( rM ) − rf * (1 − TC ) 
pero tienen diferentes intersecciones —la SML del capital propio tiene como intersección rf * (1 − TC ) ,
mientras que la SML de la deuda tiene la intersección rf11 —.
Si aplicamos este enfoque a Hilton y asumimos que el costo de la deuda es rD = 5,55 %, entonces
obtenemos la βD de la deuda como:
10 Y —con toda honestidad— la diferencia entre los dos cálculos en la sección previa del capítulo no es lo suficientemente grande como
para marcar una gran diferencia.
11 El modelo de las dos SML es obtenido en Corporate Finance: A Valuation Approach: de Simón Benninga y Oded Sarig, Mc Graw-Hill,
1997.
| 479
Principios de Finanzas con Excel
⇒ βD =
rD − rf
5,55% − 2, 21%
= 0, 3851
=
E(rM ) − rf (1 − TC ) 10,10% − 2, 21% * (1 − 34, 93%)
Ahora, como usted podrá observar en la hoja de abajo, el CCMP es el mismo, bien lo calcule con el
método o bien con la βactivo del activo.
8. Resumen
El cálculo del costo de capital medio ponderado (CCMP) es crítico para la valuación de empresas. En
este libro ya hemos visto la importancia del CCMP en el capítulo 6.
El CCMP depende de forma crítica de su estimación del costo del capital propio rE. Hay solamente
dos enfoques prácticos para cálculo del costo del capital propio —el modelo de dividendos de Gordon,
tratado en el capítulo 6, y la SML—. Este capítulo ha tratado con gran detalle la utilización de la SML
para calcular el costo de capital propio y el CCMP resultante. Hemos ilustrado el uso de βE para calcular
el costo del capital propio rE. También le hemos mostrado cómo puede utilizar una combinación de beta
de la acción, βE, beta de la deuda βD, y beta del activo βActivo, para calcular el CCMP.
Mediante el uso de un ejemplo detallado para Hoteles Hilton, hemos mostrado de dónde obtener la
información necesaria para realizar todos los cálculos.
480 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Considere la siguiente información relacionada a la empresa ASAP:
~~
~~
~~
~~
~~
Deuda, D = 500.000
Capital Propio, E = 300.000
Costo de la deuda, rD = 6 %
Costo del capital propio, rE = 11 %
Tasa de impuesto corporativa, TC = 25 %
Determine el costo de capital medio ponderado.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
2. Considere la siguiente información relacionada a la empresa Elizabeth:
~~
~~
~~
~~
~~
~~
~~
E (rM) = 21 %
Costo de la deuda, rD = 8 %
Tasa de impuesto corporativa, TC = 25 %
βacción Elizabeth = 0,7
Deuda, D = 1.000.000
Valor del Capital Propio, E = 1.000.000
Rendimiento libre de riesgo, rf = 4 %
Determine el costo de capital medio ponderado (CCMP) de la empresa.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
3. Considere la siguiente información relacionada a la empresa Abby. La acción de Abby actualmente no cotiza en
bolsa:
~~
~~
~~
~~
~~
~~
~~
~~
E (rM) = 20 %
Costo de la deuda, rD = 10 %
Tasa de impuesto corporativa, TC = 30 %
Cov (rAbby, rM) = 0,13
Valor de la Deuda, D = 1.500.000
rf = 7 %
Var (rM) = 0,11
Valor del Capital Propio, E = 3.000.000
a. Determine el CCMP de Abby.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Suponga que Abby emite acciones en una oferta pública inicial (IPO), tras lo cual la empresa tiene
3.500.000 acciones, que valen $ 2,50 cada una. ¿Cuál es su CCMP luego de la IPO?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
| 481
Principios de Finanzas con Excel
4. Considere la siguiente información relacionada a la empresa Ever-Lasting:
~~
~~
~~
~~
~~
~~
E (rM) = 18 %
Costo de la deuda, rD = 7,5 %
Tasa de impuesto corporativa, TC = 30 %
βEver-Lasting = 1
Valor de la Deuda, D = 1.250.000
Valor del Capital Propio, E = 2.000.000
Calcule el CCMP de la empresa.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
5. Considere la siguiente información:
~~
~~
~~
~~
EPS0 = $0,55
P0 = $22
g = 0,06
b = 45 % (ratio de pago de dividendos)
Encuentre la ratio precio/beneficio (P/B) y el costo del capital propio utilizando el modelo de Gordon.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
6. Considere la siguiente información:
~~
~~
~~
~~
~~
~~
~~
~~
rD = 10 %
TC = 30 %
D = 2.500.000
E = 2.000.000
EPS0 = $2,5
P0 = $16
g = 0,075
b = 55 % (ratio de pago de dividendos)
Calcule la ratio P/B y el CCMP de la empresa.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
7. Utilice la siguiente información para calcular el CCMP para Cobra Inc., en el año 2002:
~~ Cobra tiene 1.500.000 acciones. El precio de la acción al final de 2002 era $12.
~~ La deuda de Cobra al final de 2002 era $44.500.000 y la deuda al final del 2001 era $35.000.000. El monto
de interés pagado en 2002 por la compañía fue $4.323.000.
~~ La tasa de impuestos corporativa de Cobra era 36 %
~~ La tasa de interés libre de riesgo al final del 2002 era rf = 3 %.
482 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
La información del S&P500 (portafolio de mercado en este caso) y para los rendimientos de Cobra se indican abajo.
8. Use el perfil de Microsoft (MSFT) de Yahoo (indicado abajo).
a. ¿Cuál es el ratio P/B para Microsoft, su β, y su ratio deuda/capital propio? (use la ratio P/B a la zaga1).
b. Encuentre el precio reciente de la acción del MSFT, y el número de acciones y utilícelos para calcular
el valor de mercado del capital propio de MSFT. ¿Es acorde al precio calculado por Yahoo?
c. Asuma que rf = 3 % y E (rM) = 8 %. Calcule costo del capital propio de MSFT, rE.
1 La ratio P/B a la zaga (o precio/ganancia a la zaga) es la ratio del precio actual, respecto al beneficio por acción del año previo.
La ratio “P/B a plazo” es la ratio del precio actual, respecto al beneficio por acción estimado para el futuro.
| 483
Principios de Finanzas con Excel
9. Use el perfil de Tyson Foods (TSN) de Yahoo (indicado abajo). Calcule el CCMP de Tyson utilizando β de la empresa y
otra información que encuentre en el perfil. Asuma que rf = 3 % y E (rM) = 8 %.
El año pasado la empresa pagó $186.000 de impuestos sobre $523.000 de beneficios antes de impuestos. Su costo
de la deuda es rD= 7,76 %.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
484 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
10. Calcule la tasa impositiva de General Electric para 2002, 2003 y 2004 usando la información proporcionada a
continuación:
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
11. Utilice la información que se ofrece a continuación para calcular el costo de capital medio ponderado (CCMP) de
Amgen para el año 2002. Asuma que E(rM) = 8 % y rf = 4 %.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
12. Use la información del ejercicio 11 para calcular el CCPM de Amgen, utilizando βactivo de Amgen.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
| 485
Principios de Finanzas con Excel
13. Calcule el costo de capital medio ponderado (CCMP) de Boeing para el año 2002 usando la siguiente plantilla:
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
14. Utilice la información indicada anteriormente para calcular el CCMP de Boeing usando βactivo.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
15. La tasa de interés libre de riesgo actualmente es de rf = 4 % y la tasa de rentabilidad esperada del portafolio de
mercado es E (rM) = 10 %. Brandywine Corp. tiene dos divisiones con igual valor de mercado. La ratio deuda a
capital propio de la empresa es 3/7 y los bonos de la empresa son libres de riesgo. Durante los últimos años, la
división Brandy ha venido usando una tasa de descuento del 12 % en sus decisiones de presupuesto de capital,
mientras que la división Vino, una tasa de descuento del 10 %. A usted se le ha pedido que reporte si dichas tasas
de descuento están apropiadamente ajustadas por el riesgo de los proyectos de cada división.
a. ¿Cuál es la beta de los proyectos típicos implícita en las tasas de descuento usadas por las dos divisiones?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Usted estima que beta de la acción de Brandywine es β = 1,6. ¿Es ello consistente con β de la acción
implícita en las tasas de descuento utilizadas por las dos divisiones?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c. Usted estima que β de la acción de Korbell Brandy Corp. es 1,8. Korbell está íntegramente en el negocio
del brandy, su ratio deuda a capital propio es 2/3, y la β de su bono es 0,2. En base a esta información
(y su estimación de β de la acción de Brandywine), ¿qué tasa de descuento recomendaría usted para
los proyectos en las divisiones Brandy y Vino de Brandywine?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
486 |
CAP. 13 | La línea de mercado de títulos y el costo de capital
16. Sun Inc. Tiene una beta del capital propio de 0,5. Su estructura de capital consiste en iguales montos de capital
propio y deuda libre de riesgo. La deuda tiene un rendimiento antes de impuesto del 6 % y la tasa de rentabilidad
esperada del índice de mercado es 18 %. Sun inc está considerando expandirse hacia Snow Inc. Este nuevo negocio
se espera que genere una tasa de rentabilidad después de impuestos del 25 %. Vacation Inc, una empresa que
ya se encuentra en esta nueva línea de negocio; tiene una beta del capital propio de 2 y usa una combinación de
10 % deuda (libre de riesgo) y 90 % de capital propio, en su estructura de capital. Si el nuevo proyecto será financiado con 50 % de deuda, ¿debería Sun entrar en el negocio de Snow? Asuma que ambas compañías tienen una tasa
impositiva del 50 % y que el riesgo del negocio de Vacation Inc es comparable al riesgo del proyecto de Sun Inc.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
17. Una empresa debe decidir si emitir acciones para recaudar dinero para un proyecto de inversión que tiene el
mismo riesgo que el mercado y un rendimiento esperado de 15 %. Si la tasa libre de riesgo es 5 % y la rentabilidad
esperada del mercado es 12 %, la compañía debería proceder con la inversión:
a.
b.
c.
d.
Falso. La empresa no debería emprender el proyecto.
Independientemente de la β de la empresa.
A menos que la β de la empresa sea mayor que 1,25.
A menos que la de la empresa sea menor que 1,25.
18. El proyecto cuyo flujo de fondos se indica a continuación tiene una β = 1,6. Si el rendimiento de mercado E (rM) =
15% y el rendimiento libre de riesgo es rf = 7 %, ¿debería la empresa emprender el proyecto?
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
19. Una acción con β = 0,75 se vende a $50. Los inversores esperan que la acción pague un dividendo a final del año
de $3. El T-Bill rinde un 4 % y la prima por riesgo de mercado es 8 %. ¿Cuál es la expectativa de los inversores
respecto del precio de la acción a final del año?
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
20. Reconsidere la acción del ejercicio 19. Suponga que los inversores realmente creen que la acción se venderá a $54
a fin de año. ¿Es la acción una buena compra? ¿Qué harían los inversores? ¿En qué punto encontrará la acción un
equilibrio en el que nuevamente se considere que está adecuadamente valuada?
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
| 487
Capítulo 14
Estructura de capital y
el valor de la empresa
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Concepto general
El supermercado de Fair City. ¿El financiamiento afecta el precio?
Estructura de capital cuando hay impuestos corporativos: ABC Corp
Valuar ABC Corp.: el efecto del apalancamiento cuando hay
impuestos corporativos
Por qué la deuda es valiosa en Lower Fantasía. La adquisición de una
máquina cosechadora
Por qué la deuda es valiosa en Lower Fantasía. Modificar el
apalancamiento de Potfooler Inc.
Pregunta de examen de Potfooler, segunda parte
Considerar los impuestos personales y los corporativos. El caso de
XYZ Corp.
Valuar XYZ Corp.: el efecto del apalancamiento cuando hay impuestos
corporativos y personales
Comprar una máquina cosechadora en Upper Fantasía
Reapalancar Smotfooler Inc., una empresa en Upper Fantasía
¿Hay realmente una ventaja de la deuda?
Resumen y conclusiones. United Widgets Corp.
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
1. Concepto general
“Estructura de capital” es el término en la jerga financiera para indicar cómo debería estar financiada una empresa —qué mezcla de deuda y capital propio debería ser utilizada por los accionistas de
una empresa para financiar las actividades de la empresa—. Para que usted comience a pensar sobre
esta cuestión complicada, le ofrecemos el ejemplo de Mauricio y Julia, quienes compiten por comprar el
mismo supermercado.
2. El supermercado de Fair City. ¿El financiamiento afecta el precio?
Mauricio y Julia viven en Ciudad Justa. Cada uno de ellos lidera un grupo de inversores que desea adquirir un supermercado situado en el centro de la ciudad. Tanto Mauricio como Julia cuentan con buenos
antecedentes como administradores de supermercados. Como administradores del supermercado ellos
son casi iguales; esto quiere decir que el supermercado que ellos administren tendrá las mismas ventas,
costo de mercancía vendida, etc. Sin embargo, a pesar que el aspecto gerencial de Mauricio y Julia es
casi igual, hay una gran diferencia entre los dos grupos competidores: los inversores de Mauricio quieren
pedir prestado el 50 % del dinero necesario para adquirir el supermercado, mientras que los inversores
de Julia odian la deuda y han decidido poner todo el costo del supermercado sin pedir prestado un solo
centavo.
La presunta es: ¿qué grupo de inversores —los de Mauricio o los de Julia— pueden realizar la mayor
oferta por el supermercado? Esta es la pregunta que examina este capítulo. En este punto del capítulo no
ofrecemos respuesta a la pregunta, sino que meramente queremos darle una idea intuitiva sobre cómo
pueden conformarse las posibles respuestas.
Ejemplo 1: ambos grupos hacen la misma oferta
Suponga que tanto los grupos Mauricio como Julia ofrecen $1 millón por el supermercado. En este
caso el balance se vería así:
Grupo del supermercado de Mauricio con mitad de deuda (50 %) y mitad de capital propio (50 %)
Supermercado
Total activos
$1.000.000
$1.000.000
Deuda
$500.000
Capital propio
$500.000
Total pasivo y patrimonio neto
$1.000.000
Grupo del supermercado de Julia con solo capital propio (100 %)
Supermercado
Total activos
$1.000.000
$1.000.000
Deuda
$0
Capital propio
$1.000.000
Total pasivo y patrimonio neto
$1.000.000
¿Por qué haría ambos grupos la misma oferta por el supermercado? La línea de razonamiento que
debería llevar a esta conclusión es la siguiente:
| 491
Principios de Finanzas con Excel
Un supermercado es un supermercado, no importa cómo sea financiado. Si el grupo de Mauricio
piensa que el supermercado vale 1 millón, entonces lo mismo pensará el grupo de Julia (y viceversa).
El hecho de que uno de los grupos se financie con deuda y capital propio, mientras que el otro grupo se
financie solo con capital propio es irrelevante para su valuación del supermercado.
Ejemplo 2: el grupo de Mauricio ofrece más
¿Es posible que el grupo de Mauricio pueda racionalmente decidir que —debido a la mayor proporción
de deuda en el financiamiento— el supermercado vale más que lo que el grupo de Julia está dispuesto
a pagar? Uno de los inversionistas de Mauricio considera que su grupo puede permitirse ofrecer más por
el supermercado que el grupo de Julia. Este es el razonamiento que él sigue:
El hecho de que nos estemos financiando con deuda significa que es más barato para nosotros el
financiamiento del supermercado. El interés pagado sobre la deuda es un gasto a efectos impositivos, lo
que significa que la deuda es más barata que el capital propio. Además, dado que el capital propio es
más arriesgado que la deuda, los accionistas siempre pretenden un rendimiento mayor que los tenedores
de deuda. Por lo que nuestro mayor uso de deuda significa que podemos permitirnos pagar más por el
supermercado.
Si esta lógica es correcta, entonces es posible que el grupo de Mauricio pueda ofrecer $1.200.000
por el supermercado, mientras que el grupo de Julia ofrezca $1.000.000. En tal caso, los dos balances
se verían así:
Grupo del supermercado de Mauricio con mitad de deuda (50 %) y mitad de capital propio (50 %)
Supermercado
Total activos
$1.200.000
$1.200.000
Deuda
$600.000
Capital Propio
$600.000
Total pasivo y Patrimonio neto
$1.200.000
Grupo del supermercado de Julia con solo capital propio (100 %)
Supermercado
Total activos
$1.000.000
$1.000.000
Deuda
$0
Capital Propio
$1.000.000
Total pasivo y Patrimonio neto
$1.000.000
Por supuesto que no hay duda de lo que ocurriría en este caso: el vendedor del supermercado preferiría
vendérselo al grupo de Mauricio, que está ofreciendo un precio mayor.
¿Qué ejemplo es más representativo? El ejemplo 1 o el ejemplo 2
Como usted verá a lo largo del capítulo, ambos ejemplos pueden ser representativos de cómo funcionan
en realidad las cosas en el mundo real. En este capítulo nosotros planteamos la cuestión de la estructura
de capital (ejemplo 1 versus ejemplo 2) en términos de las dos siguientes preguntas:
492 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
■■ ¿Afecta
la selección del financiamiento al efectivo total que puede ser extraído de la empresa? Si
el grupo de Mauricio, con su mayor proporción de financiamiento con deuda, puede extraer más
efectivo del supermercado, entonces puede ser lógico para ellos estar dispuestos a pagar más por
el supermercado.
■■ ¿Debería la elección del financiamiento afectar a la tasa de descuento que la empresa utiliza para
evaluar sus proyectos? Aquí es donde el riesgo, la palabra mágica en finanzas, entra en juego1. En
palabras simples, ¿es diferente la tasa de descuento que usará para el supermercado el grupo de
Mauricio de la que debería ser usada por el grupo de Julia? ¿Afecta la selección de la mezcla de
financiamiento al costo de capital medio ponderado (WACC)?
Como verá en este capítulo, las respuestas a estas dos preguntas se relacionan principalmente con
el aspecto impositivo. Descubrirá que dependiendo del sistema impositivo, tanto el ejemplo 1 como el
ejemplo 2 pueden ser representativos de cómo funcionan las cosas2.
Conceptos financieros tratados
■■ Financiamiento
con deuda versus financiamiento con capital propio.
del apalancamiento sobre la valuación.
■■ Impuestos corporativos versus impuestos personales.
■■ Modelo de Modigliani-Miller.
■■ “Deuda e impuestos” de Miller.
■■ Efectos
Funciones de excel utilizadas
■■ Si.
■■ VNA.
3. Estructura de capital cuando hay impuestos corporativos: ABC Corp
Comenzamos nuestra exploración del efecto de la estructura de capital examinando la historia de ABC
Corp. Esta empresa bien reconocida se encuentra ubicada en Lower Fantasía, la cual tiene un código
tributario inusual: en Lower Fantasía las empresas están alcanzadas por sus beneficios corporativos,
mientras que los beneficios personales de los individuos no están gravados.
Nuestro héroe, Arthur ABC, está intentando determinar: (a) si comprar ABC Corp., una empresa bien
reconocida en Lower Fantasía y (b) si él compra la empresa, cómo financiar la adquisición.
Comprar ABC Corp. usando solo capital propio
Esto parece ser bastante simple. ABC tiene un FCF esperado anual de $1.000 por año; este flujo de
fondos libre (FCF) se espera que se repita, año tras año, al mismo nivel. Arthur —quien tiene un MBA de
Eastern Lower Fantasía State University (su equipo de fútbol se llama “ebfs”) — ha calculado el costo de
capital de la compra como rU= 20 %. El símbolo “U” como subíndice de la tasa de descuento rU significa
1 Recuerde las palabras iniciales del capítulo 8: “Riesgo es una palabra mágica en finanzas. Cuando la gente de finanzas no puede explicar algo, tratamos de mostrarnos confiables y responder “debe ser por el riesgo””.
2 Es aún posible que otra variante del ejemplo 2 se verifique, en al cual el grupo de Mauricio ofrezca menos que el de Julia. Esto es
bastante improbable, como usted verá en el resto del capítulo.
| 493
Principios de Finanzas con Excel
“sin deuda” (también llamada “no apalancada”) y tiene por finalidad recordarle a usted que en este caso
rU es la tasa apropiada de descuento en el caso en que Arthur comprara ABC Corp. solo con capital propio
(lo que quiere decir con su propio dinero, sin pedir prestado).
Esta rU = 20 % es un costo de capital que refleja solo el riesgo del negocio de ABC Corp. Si es comprada solo con capital propio, por lo tanto, la empresa vale entonces $1.000/ 20 % = $5.0003. En lo que
sigue utilizaremos el símbolo VU para el “valor de la empresa sin deuda”. VU es lo que vale una empresa
si es financiada solo con capital propio. En nuestro caso,
∞
FCFt
$1.000
$1.000
=
=
= $5.000
∑
t
t
20%
t=1 (1 + rU )
t=1 (1 + 20%)
∞
VU = ∑
Comprar ABC usando deuda
Arthur tiene una maravillosa fuente de financiación con deuda: su madre. Esta dama adinerada es
en realidad su socia, pero su convenio comercial esta estructurado de manera tal que ella es siempre el
prestamista y Arthur el dueño del capital propio. Hay otra característica inusual del préstamo de la dama
—ella presta a perpetuidad— sus préstamos requieren solo el pago anual del interés, pero ningún pago
del capital4. El costo de la deuda para Arthur, indicado con rD, es la tasa de interés cobrada por su madre
en el préstamo que le hace. En este caso rD= 8 %.
Conjuntamente, Arthur y su madre están analizando dos convenios alternativos de financiamiento:
■■ En
la alternativa A, Arthur compra ABC Corp. en efectivo; inmediatamente después, la empresa
pide prestado $3.000 a la madre y se lo da a Arthur (¡los tratos financieros corporativos son un
poco complicados en Lower Fantasía!). En este caso ABC Corp. es una compañía apalancada (también llamada con leverage), (“apalancamiento” en este contexto significa que la empresa tiene
deuda en su balance).
■■ En la alternativa B, Arthur pide prestado $3.000 a su madre y luego compra ABC Corp. en efectivo. En este caso, ABC Corp. es una empresa no apalancada, una empresa “de capital propio” (sin
deuda en su balance) y Arthur está apalancado.
La diferencia fundamental entre estas dos alternativas es que el código impositivo de Lower Fantasía
tiene un impuesto para los beneficios corporativos pero no grava los beneficios personales. Bajo este
código impositivo, el interés pagado por las empresas es un gasto a efectos impositivos, pero no es así
para los intereses pagados por los individuos, quienes no están alcanzados por sus ganancias personales.
3 El FCF es ya después de impuestos corporativos, y el valor de la empresa (sus FCF descontados) es por lo tanto:
∞
FCFt
∑ (1 + 20%)
t=1
t
=
FCF
20%
4 A través de este capítulo usted notará que nosotros habitualmente asumimos que los flujos de fondos tienen una duración infinita. Esto
hace más fácil la valuación, pero no afecta los principios.
494 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
En la figura 14.1 usted puede ver que el ingreso familiar total producido por la alternativa A es mayor
que el producido por la alternativa B.
Alternativa A: La empresa pide prestado a la madre de Arthur
Alternativa B: Arthur pide prestado a su Madre
ABC Corp. -- Apalancada
La empresa tiene $3,000 de deuda a perpetuidad al
8%. Tasa de impuesto corporativa,
TC = 40%.
ABC Corp. -- sin deuda
FCF = $1000 [Esto es después de impuestos
corporativos]
Ingreso del capital propio =
$1000
Ingreso del capital propio, después del pago de
intereses
= $1000 - 8% * 3,000 * (1-40%) = $856.
Pagado a Arthur ABC, único dueño
Pagado a Arthur ABC, único dueño
Arthur ABC es el único
dueño de todo el capital
propio. No paga impuestos
personales.
La madre de Arthur
recibe $240 de intereses
de ABC Corp. No paga
impuestos personales.
Ingreso anual después de
impuestos:
$856
Ingreso anual después
de impuestos:
8% * $3000 = $240:
FCF = $1000 [Esto es después de
impuestos corporativos]
Arthur ABC posee todo el
capital propio de ABC. Pidió
prestado $3000 a perpetuidad
al 8% a su madre. No paga
impuestos personales, pero
adeuda el interés a su madre.
Ingreso anual después de
impuestos:
$1,000 - 8% * $3,000 = $760
Ingreso total: Arthur + Madre
Arthur: $ 856
Madre: $ 240
Total: $ 1096
La Madre de Arthur
no paga impuestos
personales y recibe $240
de intereses de Arthur.
Ingreso anual después
de impuestos:
8%*$3000 = $240
Ingreso familiar: Arthur + Madre
Arthur: $ 760
Madre: $ 240
Total: $1000
Figura 14.1. Financiación de la compra de ABC Corp. por parte de Arthur: flujos de fondos resultantes de dos métodos de
financiamiento de la compra. El código impositivo en Lower Fantasía estipula una tasa corporativa de impuestos de TC = 40 %. No hay
impuestos sobre los beneficios personales.
Desde el punto de vista de la familia, está claro que la primera alternativa es mejor que la segunda.
En esta alternativa la familia (Arthur + Madre) tiene un ingreso anual de $1.096, contra los $1.000 de
la segunda alternativa. Un poco de razonamiento revela por qué la primera alternativa es preferible, ABC
Corp. tiene una ventaja impositiva sobre Arthur respecto del endeudamiento. Esta puede deducir sus gastos de intereses de su ganancia imponible, de modo que su costo de intereses neto será solo 8 % * 3.000
(1-40 %) = $144. Esto se compara al costo para Arthur del mismo préstamo que es 8 %* 3.000 = $240.
Para aclarar esto, nos valdremos de algunas ecuaciones:
Ingreso familiar total proveniente de ABC (Arthur + Madre)
| 495
Principios de Finanzas con Excel
= Efectivo producido por la empresa = FCF - rD * Deuda * (1 − TC ) + rD * Deuda = FCF + rD * Deuda * TC
Costo de la deuda
para ABC Corp.
Ingreso por la deuda
para la Madre
En consecuencia, el efectivo total producido por la empresa para sus bonistas y accionistas se incrementa con el monto de deuda que la empresa tenga. Observe que el efectivo total generado por la
empresa no se incrementa si es Arthur quien pide prestado el dinero de su madre5.
4. Valuar ABC Corp.: el efecto del apalancamiento cuando hay impuestos corporativos
Recordemos que dijimos en la sección 14.2 que los FCF de ABC Corp. tienen un valor de $5.000 si
la compañía no tiene apalancamiento o leverage:
VU= Valor de ABC sin leverage
=VA (FCF futuros descontados a la tasa de descuento de la empresa sin deuda).
∞
1.000 FCF anual 1.000
=
=
= 5.000
t
rU
20%
t=1 (1, 20)
=∑
De modo que, ¿cuánto vale la versión apalancada de ABC Corp. (esta es la empresa que pide prestado
$3.000 a la madre de Arthur)? Utilizamos el principio de aditividad:
VL= Valor de ABC con leverage
= Valor de ABC sin deuda + VA (CF adicionales relacionados al endeudamiento)
∞
= 5.000 + ∑
t=1
8% + 3.000 * 40%
96
= 5.000 +
t
0, 08
(1, 08)
= 5.000 + 1.200 = 6.200
El principio de aditividad en este contexto
El principio de aditividad dice que el valor de la suma de dos corrientes de flujos de fondos es la suma de sus valores. En el
contexto de este problema, las dos corrientes de flujos de fondos son: (1) la corriente de FCF que se derivan de la actividad
del negocio de la empresa y (2) la corriente de ahorros fiscales por el interés pagado por la empresa. Para valuar estas
corrientes utilizando el principio de aditividad, lo que hacemos es descontar cada uno a su tasa de descuento ajustada
por riesgo. La tasa de los FCF es rU y la tasa de los ahorros fiscales —que asumimos ser libres de riesgo— es la tasa de
interés de la deuda rD.
5 Observando la figura 14.1, está claro por qué es así; cuando Arthur pide prestado de su madre, el interés se compensa: Arthur tiene un
gasto de $240 y su madre un ingreso de $240, con un neto de $0. Cuando es la empresa la que pide prestado a la madre, la empresa tiene un
gasto por intereses de (1-40 %) * 8 % * 3.000 = $144, pero la madre tiene un ingreso por intereses de $240, lo que genera un neto de $96.
496 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
ABC Corp. vale más como empresa apalancada que como empresa sin deuda porque genera más
efectivo para sus propietarios. El efectivo adicional producido, generado por el hecho de que la empresa
puede deducir el costo de los pagos de interés en sus impuestos, mientras que Arthur no puede hacerlo
vale $1.200. En símbolos,
VL= VU + (CFs adicionales relativos al endeudamiento).



∞
∞
FCFt
1.000 1.000
=  VU = ∑
=
=
= 5.000
∑
t
t

20%
t=1 (1 + rU )
t=1 (1, 20)

El vallor de la empresa sin deuda es el valor actual de sus

flujjos de fondos libres descontados a la tasa de descuento
aprropiada (costo de capital de la empresa sin deuda)




∞
∞
T * Interést
8% * 3.000 * 40% 96
+  VA(ahorro fiscal) = ∑ C
=
=
= 1.200
∑
t

8%
(1 + rD )
(1, 08)t
t=1
t=1

El Ahorro fiscal creado por

la deuda es descontado a la
tasa de interés dee la deuda

= 6.200
El costo del capital propio, rE(L), y el costo de capital medio ponderado con apalancamiento
El costo del capital propio es la tasa de descuento para los flujos de fondos que les corresponden a
los accionistas. En los capítulos 6 y 13 hemos analizado la derivación del costo del capital propio, marcando su relación con el riesgo de los flujos de fondos del capital propio. En este capítulo utilizamos el
símbolo rE(L), con la “L” mostrando que el costo del capital propio está relacionado al apalancamiento
de la firma. Como usted verá, un mayor endeudamiento lleva a un mayor rE(L); la razón para ello es que
los flujos de fondos del capital propio son más arriesgados cuando los accionistas tienen comprometidos
grandes montos a los bonistas.
Procedemos ahora al cálculo de rE(L) para ABC Corp. La versión apalancada de ABC Corp. vale
$6.200, de los cuales D = $3.000 es la deuda. Por lo tanto, el capital propio vale $3.200. Indicamos el
valor de mercado del capital propio con una E. Para calcular el costo del capital propio rE(L) en primer
lugar calculamos los flujos de fondos que reciben los propietarios del capital propio:
Flujos de fondos anuales = FCF – interés después de impuestos pagado por ABC = 1.000 – 8% * 3.000 * (1- 40%) = 856
| 497
Principios de Finanzas con Excel
El valor descontado de estos flujos de fondos anuales del capital propio de $856 es el valor del capital
propio; esto define al costo del capital propio rE(L), como:
E = valor del capital propio =
∞
∑
t=1
flujos de fondos del capital propio t
(1 + rE )t
∞
856
856
=
t
rE
t=1 (1 + rE )
3.200 = ∑
⇒ rE (L ) =
856
= 26,75%
3.200
Con un poco de artificios matemáticos, podemos demostrar que:
D
rE (L ) = rU + [rU − rD ] (1 − TC )
E
=
3.000
+ 20% − 8%]
20%
(1 − 40%) = 26,75%
[
.200
3
rU es la tasa de descuento
de los FCFs, que representa
el riesgo del negocio de la
empresa.
Cuando ABC pide prestado, sus accioniestas
se ennfrentan a un riesgo financiero adicional.
El término de arriba representa la prima por
riesgo financiero para los accionistas.
Podemos ahora calcular el WACC (también utilizamos la simbología CCMP en el libro):
WACC = rE (L )
= 26,75%
498 |
E
D
+ rD (1 − TC )
E+D
E+D
3.200
3.000
+ 8%(1 − 40%)
=16,13%
3.200 + 3.000
3.200 + 3.000
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
Con un poco más de artificios matemáticos podemos demostrar que descontando los FCF al WACC se
obtiene el valor total de la empresa:
∞
FCFt
∞
1.000
∑ (1 + WACC) = ∑ (1 + 16,13%)
t=1
t
t=1
t
=
1.000
= 6.200
16,13%
Aquí presentamos todo resumido en una hoja de cálculos. Observe a partir del título de la misma que
le hemos dado un nombre a este modelo; le hemos llamado el “modelo de Modigliani-Miller solo con
impuestos corporativos”. Para conocer el porqué del nombre, remítase al cuadro “Algo de historia de las
finanzas (1)” en la página siguiente.
Completamos esta sección resaltando sus principales conclusiones. Si solo el ingreso corporativo es
gravado, el endeudamiento (leverage) incrementa el valor de la empresa. Este incremento en el valor,
representado por el valor actual del ahorro fiscal por la deuda, hace aumentar el costo del capital propio
rE y disminuir el WACC. El valor actual del ahorro fiscal le corresponde a los titulares del capital propio
de la empresa: en el ejemplo de arriba, si la tasa de impuestos corporativa fuera TC = 0 %, la deuda de
$3.000 habría hecho disminuir el valor del capital propio a $2.000. En lugar de ello, con TC = 40 %, el
valor del capital propio disminuye por el importe de la deuda pero crece por el ahorro fiscal:
Valor del capital propio de una empresa apalancada = VL – D = VU-D+TC D
| 499
Principios de Finanzas con Excel
Una tabla resumen se presenta en la Figura 14.2:
Tabla resumen. Valuación de la empresa cuando solo el ingreso corporativo está gravado
Ítem
VU = Valor de la
empresa sin deuda
Fórmula
t=1
El valor de la empresa sin deuda es el valor actual de los FCF
futuros descontados a rU, costo del capital de la empresa sin
deuda.
FCFt
∞
VU = ∑
Por qué
(1 + rU )
t
VL=VU+VA (ahorro fiscal por interés)
VL = Valor de la
empresa con deuda
N
= VU + ∑
TC * interést
(1 + rD )
t=1
t
El valor de la empresa apalancada es VU más el valor actual
de los ahorros fiscales futuros. La celda de la izquierda
contiene la fórmula para el valor de una empresa apalancada
cuando hay N pagos de intereses sobre la deuda.
VL=VU+VA (ahorro fiscal por interés)
VL = Valor de la
empresa con deuda
∞
= VU + ∑
t=1
E = Valor del capital
propio
TC * interést
(1 + rD )
t
=VU +TC *D
La celda de la izquierda contiene la fórmula para la empresa
apalancada cuando esta emite deuda a perpetuidad.
El valor del capital propio de la empresa apalancada es el
valor de la empresa apalancada menos el valor de la deuda de
la empresa:
VU – (1-TC) * D
E = VL – D = VU + D * TC – D = VU – (1-TC ) D
D = Valor de la deuda
El valor de la deuda es el valor de la deuda. (OK, ¡esto no es
muy original)!
D
El costo del capital propio rE es la tasa de descuento para
los flujos de fondos del capital propio. En una empresa
apalancada este incluye una prima por riesgo financiero:
rE(L) = costo del
capital propio de la
empresa apalancada
WACC = costo
del capital medio
ponderado
D
rE (L ) = rU + [rU − rD ] (1 − TC )
E
WACC =
FCF
VL
[rU − rD ]
D
(1 − TC )
E
Usted puede valuar adecuadamente toda la empresa
descontando sus FCF a la WACC. Este es el principio de
valuación empleado en los capítulos 6, 7 y 13.
Figura 14.2 Valor de la empresa y costo del capital cuando el ingreso corporativo está gravado a la tasa TC y no hay impuestos personales.
500 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
Algo de historia de las finanzas (1)
El modelo de valuación resumido en la figura 14.2 es habitualmente conocido como el modelo de Modigliani-Miller, por los
profesores Franco Modigliani y Merton Miller, ambos ganadores del precio Nobel de Economía. En dos artículos pioneros
publicados en 1958 y 1963, Modigliani y Miller demostraron que el valor de la empresa no estará afectado por el método
en que la empresa está financiada, excepto cuando el código impositivo implícitamente favorece una de las fuentes de
financiamiento. En el ejemplo de ABC Corp. en la sección 14.3, el código impositivo brinda a la empresa una ventaja fiscal
por el financiamiento con deuda, mientras que los individuos (que nos están gravados) no obtienen tal ventaja y es, por lo
tanto, óptimo para la empresa financiarse con más deuda y menos capital.
Los estudiantes de finanzas conocen este resultado como el “modelo MM”. Este ha sido ampliamente estudiado y más aun
mal entendido.
En la sección 14.8 consideraremos una variante del modelo de MM que tiene en cuenta no solo los impuestos corporativos
sino también los impuestos personales. A pesar de que la lógica es la misma, las conclusiones son muy diferentes. Este
modelo —menos ampliamente estudiado y aun peor entendido— es conocido como el modelo de Miller, por Merton Miller,
quien lo expuso en un famoso artículo académico que apareció en el Journal of Finance en 1977, (vea el cuadro “Algo de
historia de las finanzas (2)”.
5. Por qué la deuda es valiosa en Lower Fantasía. La adquisición de una máquina
cosechadora
Es más fácil comprender la teoría de la sección previa observando algunos ejemplos numéricos. En
esta y las dos secciones siguientes veremos muchos otros ejemplos. Cada uno de estos ejemplos marca
el hecho de que bajo el régimen impositivo de Lower Fantasía —en el cual el beneficio corporativo está
gravado a la tasa TC pero en el cual no hay impuestos personales— las empresas que se financian con
deuda pueden incrementar su valor de mercado.
El régimen impositivo en Lower Fantasía se caracteriza por el impuesto sobre el beneficio corporativo
y ningún otro impuesto. En la sección previa hemos demostrado que este código impositivo significa que
el valor de las empresas en Lower Fantasía se incrementa cuando estas se apalancan.
Comenzamos con un ejemplo que demuestra el efecto de la financiación sobre una decisión de presupuesto de capital.
Comprar una máquina
Wonderturf Corp., una empresa en Lower Fantasía, está considerando la compra de nueva máquina
cosechadora. La máquina cuesta $100.000; tiene una vida de 10 años, durante la cual se amortiza en
línea recta con un valor residual de cero. En cada uno de los 10 años de la vida útil de la máquina, esta
producirá ventas de $40.000. Dichas ventas tendrán un costo de $15.000 para producirlas. El resultado
es que la máquina tiene un flujo de fondos libre (FCF) de $19.000 por año (vea la celda B10 de abajo):
FCF anual de Wonderturf = (1-TC)*(Ventas-Gastos-Amortización) + Amortización =
(1-40%)*(40.000-15.000-10.000) + 10.000 = $19.000
| 501
Principios de Finanzas con Excel
Los asistentes financieros de Wonderturf han determinado que una tasa de descuento ajustada por
riesgo apropiada para los flujos de fondos de la máquina sería rU = 15 %. Descontando los FCF de la
máquina a esta tasa se obtiene un VAN de -$4.643 (celda B27). Por lo tanto, la conclusión es que Wonderturf no debería adquirir la máquina cosechadora.
Sin embargo, esta historia aún sigue, ¡continúe leyendo!
Wonderturf obtiene un préstamo para comprar la máquina
Habiendo escuchado que Wonderturf no va a comprar la máquina, el fabricante de la máquina cosechadora le ofrece a la compañía un préstamo de $50.000. Las condiciones del préstamo son las
siguientes:
■■ El
interés sobre el préstamo es rD = 8 %. Esta es también la tasa de interés de mercado.
pago del préstamo en los años 1-9 consiste en el interés solamente: 8 % * 50.000 = 4.000.
Este interés es un gasto a efectos impositivos para Wonderturf, por lo que el costo del interés después de impuestos para la compañía es (1-40 %) * 4.000 = $2.400.
■■ Al final del año 10, Wonderturf deber devolver el capital del préstamo. En ese año, el costo después de impuestos para la compañía es, por lo tanto, $52.400 (el capital del préstamo más el
interés después de impuestos).
■■ El
La tabla de Excel de abajo muestra que el préstamo a Wonderturf tiene un VAN positivo de $10.736.
502 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
Los asistentes financieros de Wonderturf ahora concluyen que es conveniente comprar la máquina
cosechadora si Wonderturf toma el préstamo. Su lógica es la siguiente:
Valor (máquina + financiamiento) = Valor (máquina) + Valor (financiamiento) = -$4.643 + $10.736 = $6.093
Esta es una hoja que muestra sus cálculos.
| 503
Principios de Finanzas con Excel
Como puede usted ver en la celda B29, el valor total de la combinación de la máquina + préstamo
es $6.093.
¿De dónde viene el VAN positivo del préstamo?
El análisis precedente demuestra que el préstamo a Wonderturf tiene un VAN de $10.736. Si analizamos este número, veremos que este es exactamente el VA del ahorro fiscal del interés del préstamo:
VAN(préstamo) = 50.000 -
−
(1-40%)*4.000 (1-40%)*4.000
−
− ...
1, 08
(1, 08)2
(1-40%)*4.000 (1-40%)*4.000-50.000
−
(1, 08)9
(1, 08)10
Ahora separamos esta expresión en dos partes:
VAN (préstamo) = 50.000-
+
4.000 4.000
4.000 4.000 − 50.000
−
−
− ... −
1,08 (1, 08)2
(1, 08)9
(1, 08)10
40%*4.000 40% * 4.000
40% * 4.000 40% * 4.000
+
+ ... +
+
2
1,08
(1, 08)
(1, 08)9
(1, 08)10
La primera línea de arriba tiene un valor de 0 (recuerde del capítulo 5 que un préstamo y todos sus
pagos tiene un VAN de cero cuando la tasa de descuento es la tasa del préstamo). La segunda línea de
arriba es el VA del ahorro fiscal del interés del préstamo. Su valor es $10.736:
VAN (préstamo) = 10.736 =
40%*4.000 40% * 4.000
40% * 4.000 40% * 4.000
+
+
+ ... +
2
1,08
(1, 08)
(1, 08)9
(1, 08)10
Por lo tanto, el VAN del préstamo es el valor actual de los ahorros fiscales de los pagos de interés del
préstamo.
¡El resultado de Wonderturf no es sorprendente!
Las fórmulas de arriba dicen que el valor de una empresa apalancada es la suma del valor de la empresa sin apalancamiento más el valor de los ahorros fiscales de la deuda:
504 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
VL = VU + VA (ahorros fiscales por intereses):
∞
= VU + ∑
t=1
TC * Interést
(1 + rD )t
Esto es precisamente lo que nosotros habíamos hecho con el análisis de la máquina cosechadora de
Wonderturf. Para esta máquina,
VL = el valor de la máquina cuando es adquirida con un préstamo
=
∞
T * Interést
VU + ∑ C
= -4.643 + 10.736 = 6.093
(1 + rD )t
t=1
El valor de los
flujos de fondos
de la máquina
El valor de los ahorros
fiscales provenientess
del interés del préstamo
6. Por qué la deuda es valiosa en Lower Fantasía. Modificar el apalancamiento de
Potfooler Inc.
Para nuestro segundo ejemplo del efecto del financiamiento sobre el valor de la empresa, utilizamos
una pregunta del examen final del curso de Finanzas 101 de Eastern Lower Fantasía State University.
Como usted verá es una pregunta bastante extensa, con muchas partes interrelacionadas6.
■■ Esta
es la pregunta: Potfooler Inc. es una empresa bien reconocida en Lower Fantasía. Estos son
algunos datos de la compañía:
■■ Potfooler espera obtener un flujo de fondos anual (FCF) de $2 millones al final de los años 1, 2,….
para siempre. Recuerde que FCF es la cantidad de efectivo después de impuestos que genera la
empresa por la actividad de su negocio.
■■ Potfooler tiene actualmente 100.000 acciones en circulación en la Bolsa de Lower Fantasía. El
precio de la acción de Potfooler es $100 por acción.
■■ Potfooler actualmente no tiene deuda. Sin embargo, un analista financiero ha sugerido que la compañía emita $3.000.000 de deuda a perpetuidad y utilice el dinero procedente para recomprar
acciones. El analista explica que deuda a perpetuidad es deuda que tiene solo pago de interés
anual, sin pagos del capital7. Él sugiere que esto sería valioso para la compañía, en virtud de la
relación VL = VU + TCD. La tasa de interés corriente sobre la deuda en Lower Fantasía es 8 % y los
pagos de interés sobre la deuda se efectuarán de forma anual.
Los estudiantes en el examen debían contestar las siguientes preguntas.
6 A los colegas del autor en Lower Fantasía State University les encanta esta pregunta porque es fácil de corregir. Si un estudiante
comete un error en cualquier parte de la pregunta, entonces la respuesta en las partes siguientes de la pregunta también estarán mal.
7 Estas deudas son fáciles de valuar, porque un bono con pago a perpetuidad de C vale C/r cuando la tasa de descuento es r.
| 505
Principios de Finanzas con Excel
■■ Pregunta
1: ¿Cuál es el valor de mercado de Potfooler?
Respuesta: Potfooler tiene actualmente 100.000 acciones en circulación, cada una de las cuales
tiene un valor de $100. Por consiguiente, el valor del capital propio de la empresa es $10.000.000
= $100 * 100.000. Dado que la empresa no tiene deuda, este es también su valor de mercado.
En resumen, VU = $10.000.000.
■■ Pregunta
2: Después de que Potfooler emita $3.000.000 de deuda, ¿cuál será su valor de mercado?
Respuesta: dado que Lower Fantasía tiene solo impuesto a las ganancias corporativas, se verifica
la relación VL=VU+TCD. Esto significa que después de que la empresa emita deuda, su valor de
mercado será:
VL=VU+TCD = 10.000.000 + 40 % *3.000.000 = 11.200.000
■■ Pregunta
3: Después de que la empresa emita deuda por $3.000.000 y utilice dicho dinero para
recomprar acciones, ¿cuál será el valor total del capital propio de la empresa, E?8
Respuesta: después de que Potfooler emita la deuda y recompre las acciones, el valor total de su
capital propio, E, más el valor total de su deuda, D, debe sumar el valor total de mercado de la
empresa, VL. En síntesis,
VL = E + D = 11.200.000
Pero D = $3.000.000 y, por lo tanto:
E = VL – D = 11.200.000 – 3.000.000 = 8.200.000
■■ Pregunta
4: ¿A qué precio recomprará Potfooler las acciones?
Respuesta: emitiendo 3 millones de dólares de deuda, Potfooler incrementó su valor de mercado
en $1.200.000 (de $10 millones a $11,2 millones). Este incremento pertenece a todos los accionistas. Dado que hay 100.000 acciones en circulación antes de la recompra, esto significa que el
valor de cada acción se incrementa en $1.200.000 / 100.000 = $12. Por lo tanto, la respuesta a
esta pregunta es que el precio de la acción para la recompra es $112: de esta cantidad $100 es
el precio de la acción antes de la recompra y $12 es el incremento en el valor de la acción como
resultado de la emisión de deuda.
■■ Pregunta
5: ¿Cuántas acciones recomprará Potfooler?
Respuesta: de acuerdo a la pregunta anterior, Potfooler recomprará sus acciones a $112 por acción. Dado que la empresa ha emitido $3 millones de deuda para recomprar sus acciones, esto
significa que recomprará $3.000.000 / $112 = 26.785,71.
8 Observe que hasta este punto en el examen no hemos dicho el precio al cual Potfooler recompra las acciones. Esto viene después.
506 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
■■ Pregunta
6: ¿Cuál era el costo del capital propio de Potfooler antes de la recompra de acciones?
Respuesta: Potfooler tiene un FCF anual de $2.000.000. Por lo tanto, su costo de capital propio
no apalancado es,
rE=
(U)
FCF 2.000.000
=
= 20%
VU 10.000.000
■■ Pregunta
7: ¿Cuál es el costo del capital propio de Potfooler tras la recompra de acciones en el
mercado abierto?
Respuesta: Potfooler emitió $3 millones de deuda al 8 % para recomprar acciones. Por lo que su
costo de interés anual es $8% * 3.000.000 = $240.000. Dado que el interés es un gasto a efectos
impositivos, los accionistas de la empresa tendrán un flujo de fondos esperado de:
Flujo de fondos anual para el capital propio, tras la emisión de deuda = FCF – (1-TC) * Interés
= 2.000.000-(1-40%) * 240.000 = 1.856.000
El valor del capital propio después de la recompra de acciones es $8.200.000, por lo que el costo
del capital propio apalancado de la empresa es
=
rE (L )
1.856.000
= 22, 63%
8.200.000
■■ Pregunta
8: ¿Cuál es el CCMP (recuerde que también es llamado WACC) antes de la recompra de
acciones?
Respuesta: Recuerde la definición de CCMP:
CCMP = rE *
E
D
+ rD * (1 − TC ) *
E+D
E+D
La respuesta a la pregunta 8 es fácil: dado que Potfooler, antes de la recompra de acciones, tenía
solo capital propio, su CCMP = rU = 20 %.
| 507
Principios de Finanzas con Excel
■■ Pregunta
9: ¿Cuál es el CCMP de Potfooler después de la recompra de acciones?
Respuesta:
CCMP = rE (L ) *
= 22, 63% *
■■ Pregunta
E
D
+ rD * (1 − TC ) *
E+D
E+D
8.200.000
3.000.000
+ 8% * (1 − 40%) *
= 17, 86%
8.200.000 + 3.000.000
8.200.000 + 3.000.000
10: ¿Por qué es rE (L) > rU?
Respuesta: Antes que Potfooler emitiera sus bonos, el único riesgo que soportaban los accionistas
era el riesgo del negocio inherente en los FCF de la compañía. Después de que la compañía emitiera sus bonos, los accionistas tienen que soportar dos tipos de riesgos: riesgo del negocio y riesgo
financiero. Por lo tanto, rE(L) representa una tasa de descuento para los flujos de fondos que son
más arriesgados que los flujos de fondos FCF, que se descuentan a rU. Dado que estos flujos de
fondos de más riesgo tienen mayores tasas de descuento, se concluye que rE (L) > rU.
■■ Pregunta
11: ¿Por qué se incrementa el valor de mercado de Potfooler tras la emisión de deuda y
recompra de capital propio?
Respuesta: Mediante la emisión de deuda, los accionistas de Potfooler obtienen un flujo de fondos
adicional, el ahorro fiscal por los intereses de la deuda. Este ahorro fiscal es libre de riesgo y su
valor es:
Valor actual del ahorro fiscal =
∞
∑
t=1
=
TC * pagos de interést
(1 + rD )t
TC * pagos de interés TC * rD * D
=
= TC * D
rD
rD
El VA del ahorro fiscal genera el incremento en el valor de mercado de Potfooler:
VL =
VU
+
El valor de Potfooler antes
de la emisión de deuda
508 |
TD
C El VA de los ahorros
fiscales adicionales por
interesess
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
■■ Pregunta
12: ¿Por qué el CCMP disminuye tras la recompra?
Respuesta: Después de que la compañía emite su deuda, gana un flujo de fondos adicional (el
ahorro fiscal por el interés). Este flujo de fondos es libre de riesgos. Por consiguiente, el riesgo
promedio de los flujos de fondos totales de la empresa —su FCF más el ahorro fiscal— disminuye.
Dado que el CCMP representa el riesgo promedio de la compañía, este disminuye.
7. Pregunta de examen de Potfooler, segunda parte
Habiendo respondido a la extensa pregunta de examen de la sección anterior, a los alumnos de la
Eastern Lower Fantasía State se les pedía que expusieran todos los cálculos de las preguntas 1-9 en una
hoja de Excel. Esta es la respuesta.
Esta hoja nos permite realizar algunos análisis interesantes.
| 509
Principios de Finanzas con Excel
¿Qué ocurre si la tasa de impuestos corporativa TC= 0 %?
Cuando TC = 0, el apalancamiento no cambia el valor de la empresa. Si usted pone TC = 0 % en la
celda B13 de la hoja previa, obtendrá una demostración de ello. La hoja se presenta a continuación y el
análisis le sigue a la hoja.
■■ El
valor total de la empresa no cambia (celda B14) cuando el monto de deuda (celda B11) cambia.
En una fórmula,
VL = VU +
TD
= VU
C Cuando TC =0%,
este término es cero
■■ El
capital propio de la empresa se torna más arriesgado. Esto es, rE(L) > rU. Usted puede observarlo
en la celda B28: rE(L) = 25,14 % después de que la deuda es emitida contra rU = 20 %.
■■ El precio de la acción de la empresa no cambia. Tras la emisión de deuda y la recompra de acciones, el precio sigue siendo $100 (celda B18).
510 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
■■ El
valor del WACC de Potfooler no cambia. El riesgo promedio de los flujos de fondos de la compañía sigue siendo el mismo:
WACC = rE (L )
= 25,14% *
E
D
+ rD (1 − TC )
E+D
E+D
3.000.000
7.000.000
+ 8% * (1 − 0%)
= 20% = rU
7.000.000 + 3.000.000
7.000.000 + 3.000.000
Recuerde que en esta
versión de la pregunta
TC =0%
Relacione el valor de la empresa con diferentes niveles de deuda
Haciendo una Tabla de datos (vea el capítulo 20), podemos realizar la siguiente tabla y gráfico.
8. Considerar los impuestos personales y los corporativos. El caso de XYZ Corp.
En nuestra historia de XYZ Corp. (sección 14.3), la decisión de la estructura de capital era importante porque Lower Fantasía gravaba a las empresas pero no a los individuos. El resultado era que a los
accionistas (como Arthur) les beneficiaba que las empresas se endeudaran en lugar de hacerlo por ellos
mismos.
| 511
Principios de Finanzas con Excel
En esta sección le mostraremos la historia de Upper Fantasía, un país similar a Lower Fantasía, solo
que con un sistema impositivo un poco diferente. Upper Fantasía tiene tres tipos de impuestos:
■■ Las
empresas están sujetas a una tasa de impuestos corporativa del 40 %. Indicamos esta tasa
con TC.
■■ El ingreso de los individuos generado por acciones (esto se refiere a dividendos y ganancias de
capital sobre las acciones; en la jerga del código impositivo de Upper Fantasía, esto es conocido
como “ingresos de acciones”) está sujeto a una tasa de impuestos del 10 %. La tasa sobre las
acciones se indica con TE.
■■ Todos los beneficios ordinarios (este término incluye los beneficios de los individuos derivados de
bonos; sin embargo, no incluye los ingresos por acciones”) están sujetos a la tasa impositiva del
30 %. Indicamos esta tasa de impuestos con TD. Cuando los individuos pagan interés, ellos pueden
deducir los pagos de intereses de su ingreso ordinario.
Como antes, nuestro mítico emprendedor, Arthur XYZ, está intentando descubrir cómo financiar su
compra de XYZ Corp. Su madre (¡bendita sea!) está siempre dispuesta a prestarle dinero. Las preguntas
sobre la deuda son las mismas que antes:
■■ ¿Debería
la compra de la empresa ser financiada con deuda?
■■ Si es así, ¿debería pedir prestado la empresa o Arthur?
La figura 14.3 explica los flujos de fondos.
Alternativa A: La compañía pide prestado a la Madre de Arthur
XYZ Corp. -- Apalancada
La Compañía tiene $3,000 de deuda al 8% a perpetuidad, pedida a
la Madre de Arthur. Tasa de impuestos corporativa, TC = 40%.
FCF = $1000 [Esto es después de impuestos corporativos]
Retorno del capital propio después del pago de intereses
= $1000 - 8% * 3,000 * (1-40%) = $856
Pagado a Arthur XYZ, único dueño
Arthur XYZ es el único dueño del capital propio de XYZ.
XYZ paga a Arthur $856. Impuesto personal sobre la renta
del capital propio, TE = 10%.
La Madre de Arthur recibe $240 de interés de
XYZ Corp. Impuesto personal sobre el interés
recibido, TD = 30%.
Beneficio anual después de impuestos:
$856 * (1-10%) = $770.40
Beneficio anual después de impuestos:
8% * $3000 * (1-30%) = $168
Beneficio de la Familia: Arthur + Madre
Arthur: $
Madre: $
Total: $
512 |
770.40
168.00
938.40
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
Alternativa B: Arthur pide prestado a su Mamá
XYZ Corp. -- sin deuda
Arthur XYZ es el único dueño del capital propio de XYZ. Pidió prestado
$3000 de deuda a perpetuidad a su Madre al 8%. El impuesto
personal sobre la renta del capital propio, TE = 10%. El interés es un
gasto ordinario en su renta general; la tasa impositiva general es, TD
= 30%.
FCF = $1000 [Esto es después de
impuestos corporativos]
Ingreso del capital propio = $1000
Beneficio anual después de impuestos:
=$1000*(1-10%)- 8%*3000*(1-30%)= 732.
Pagado a Arthur XYZ, único dueño
Beneficio de la familia: Arthur + Madre
Arthur: $
Madre: $
Total: $
732.00
168.00
900.00
La Madre de Arthur, obtiene $240 de interés de
Arthur. El impuesto personal sobre el ingreso
por intereses es, TD = 30%.
Beneficio anual después de impuestos:
= 8% * $3000 * (1-30%) = $168
Alternativa A: La compañía pide prestado a la Madre de Arthur
XYZ Corp. -- Apalancada
La Compañía tiene $3,000 de deuda al 8%
a perpetuidad, pedida a la Madre de
Arthur. Tasa de impuestos corporativa, TC
= 40%.
Alternativa B: Arthur pide prestado a su Mamá
XYZ Corp. -- sin deuda
FCF = $1000 [Esto es después de
impuestos corporativos]
Ingreso del capital propio = $1000
FCF = $1000 [Esto es después de
impuestos corporativos]
Pagado a Arthur XYZ, único dueño
Retorno del capital propio después del
pago de intereses
= $1000 - 8%*3,000*(1-40%) = $856
Pagado a Arthur XYZ, único dueño
Arthur XYZ es el único dueño del capital
propio de XYZ.
XYZ paga a Arthur $856. Impuesto personal
sobre la renta del capital propio, TE = 10%.
Beneficio anual después de impuestos:
$856*(1-10%) = $770.40
La Madre de Arthur recibe $240
de interés de XYZ Corp.
Impuesto personal sobre el
interés recibido, TD = 30%.
Beneficio anual después de
impuestos:
8%*$3000*(1-30%) = $168
Arthur XYZ es el único dueño del capital propio de
XYZ. Pidió prestado $3000 de deuda a perpetuidad
a su Madre al 8%. El impuesto personal sobre la
renta del capital propio, TE = 10%. El interés es un
gasto ordinario en su renta general; la tasa
impositiva general es, TD = 30%.
La Madre de Arthur, obtiene
$240 de interés de Arthur. El
impuesto personal sobre el
ingreso por intereses es, TD =
30%.
Beneficio anual después de impuestos:
=$1000*(1-10%)- 8%*3000*(1-30%)= 732.
Beneficio anual después de
impuestos:
= 8%*$3000*(1-30%) = $168
Beneficio de la Familia: Arthur +
Madre
Beneficio de la familia: Arthur +
Madre
Arthur: $
Madre: $
Total: $
Arthur: $
Madre: $
Total: $
770.40
168.00
938.40
732.00
168.00
900.00
Figura14.3 Financiando la compra de XYZ Corp. por parte de Arthur: el código en Upper Fantasía tiene una tasa de impuestos corporativa de TC = 40 %, una tasa de impuestos
personal por la renta de capital propio TE = 10 % y una tasa impositiva personal por las demás rentas de TD = 30 %.
Cuando la empresa pide prestado el dinero, el beneficio total de la familia es $938,40. Esto se comprará con el beneficio total de $900 cuando es Arthur quien pide el dinero a su madre. Por lo que es
mejor en este caso que la compañía pida el dinero.
Para comprender lo que está ocurriendo creamos una hoja de cálculos. Tendremos más que decir
sobre esta hoja (y el análisis económico) después, pero mientras tanto, mencionaremos sus principales
conclusiones:
■■ Dado
que el ingreso familiar total (combinado Arthur XYZ y su madre) es mayor cuando la empresa
pide el préstamo que cuando es Arthur quien lo pide (celda B27 versus C27), la compañía debería
apalancarse ella misma y no Arthur.
| 513
Principios de Finanzas con Excel
■■ La
ventaja del endeudamiento empresario es considerablemente menor en este caso que en el
caso anterior de ABC Corp. En el ejemplo previo el apalancamiento empresario de $3.000 añadía
$96 al flujo de fondos familiar cada año; en el caso actual agrega solo $38,40. La diferencia es,
por supuesto, el hecho de que ahora hay impuestos personales, que estaban ausentes en el caso
previo de ABC Corp.
Para comprenderlo mejor, precisamos algunas ecuaciones:
Flujo de efectivo total proporcionado por la empresa =
FCF-rD * Deuda * (1 − TC ) * (1 − TE ) + rD * Deuda * (1 − TD )
Dividendo a Arthur
Ingreso de la deuda para la Madre
Dividendo después de impuestos para Arthur
= FCF + rD * Deuda * [(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )]
Ventaja neta de la deuda corporativa
514 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
En este caso:
(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) = (1 − 30%) − (1 − 10%) * (1 − 40%) = 16%
El término que marca toda la diferencia es:
(1 − TD )
Ingreso ordinario
después de impuestos
(incluyendo intereses)
− (1 − TE )
Ingreso del
capital propio
después de
impuestos
(1 − TC )
Ingreso corporativo
después de impuestos
Ingreso personal neto después de impuestos
a partir de los flujos de fondos corporativos
antes de impuestos
Si este término es positivo, como en el ejemplo previo (vea la celda B32), entonces XYZ Corp. debería
endeudarse; si es negativo —como en el ejemplo siguiente (en el cual la tasa de impuestos corporativa
es TC = 20 %) —, entonces Arthur debería ser el que pide el préstamo y no la empresa.
| 515
Principios de Finanzas con Excel
Algo de historia de las finanzas (2)
El modelo de Modigliani-Miller data de dos artículos publicados en 1958 y 1963. En 1977, Merton Miller (uno del equipo
MM) reconsideró el problema de la estructura de capital. Él se centró en el aspecto impositivo, pero esta vez consideró el
caso en que tanto el ingreso corporativo como personal está gravado.
El razonamiento de Miller, incorporado en nuestro modelo de XYZ Corp., era que la tasa de impuestos corporativa TC le da
una ventaja a las empresas que quieren financiarse con deuda. Por otro lado, para los individuos, el ingreso por rentas de
capital es habitualmente alcanzado por una tasa impositiva menor TE que la tasa de impuestos sobre la renta por deuda
TD. La razón principal para ello es que la mayor parte de la renta de capital es recibida por accionistas como ganancias de
capital; y no solo están estas gravadas a menores tasas de impuestos, sino que también los impuestos sobre las ganancias de capital son diferibles (como accionista, usted puede decidir cuándo vender sus acciones y realizar su ganancia de
capital). Esta posibilidad de diferimiento hace disminuir la TE por debajo de la tasa oficial (vea algún análisis en el capítulo
15). Por lo tanto, Miller razonó, hay una compensación:
\\
\\
A nivel corporativo, la deducibilidad de intereses significa que las empresas producen mayores pagos personales antes
de impuestos en conjunto (entre accionistas y bonistas) cuando ellas tienen más financiamiento con deuda.
A nivel personal, dado el mayor ingreso en conjunto (accionistas y bonistas) de intereses que de renta del capital esto
significa gravarlos a mayores tasas impositivas personales.
Esta compensación es sintetizada en la expresión:
(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )
(1 − TD )
Los pagos a los bonistas estan solo
gravados a la tasaa personal de los
bonistas, dado que le empresa
realiza esttos pagos a partir de
rentas antes de impuestos
−
(1 − TE ) * (1 − TE )
La renta del capital propio esta gravada dos veeces:
una a nivel de la empresa (dado que los pagos a los
acccionistas son distribuidos a partir de beneficios
después de impuestos), y luego otra vez a nivel
personal.
Por el otro lado, TE <TD ,por lo que hay una compensación...
516 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
XYZ Corp.
Costo de la deuda después de impuestos: (1-TC)rD
Cada $ de interés antes de impuestos pagado:
1) Disminuye el ingreso del accionista en (1-TC)
2) Incrementa el pago de interés a la Madre de Arthur en $1.
Accionista Arthur
Ingreso por renta del capital gravado a TE
Cada $ de interés antes de impuestos pagado por XYZ
disminuye el ingreso de Arthur proveniente de la compañía
en
(1-TC) * (1-TE)
Bonista Madre
Ingreso por interés gravado a TD
Cada $ de interés pagado por la empresa
incrementa el ingreso de la Madre en
(1-TD)
Ingreso Familiar: Arthur + Madre
Cada $ de interés antes de impuestos pagado por XYZ incrementa el ingreso de la Madre en (1-TD)
y disminuye el de Arthur en (1-TC) * (1-TE).
Efecto neto: (1-TD) - (1-TE) * (1-TC).
Si esto es positivo, es bueno para la familia y la empresa debería incrementar su endeudamiento;
si es negativo, es malo para la familia y la empresa debería disminuir su endeudamiento.
Miller sugirió que en equilibrio
(1-TD) - (1-TE) * (1-TC) = 0
Figura 14.4. Flujos de Fondos de los ingresos de la familia Arthur + Madre. En este diagrama de flujos, Arthur es el accionista de
XYZ Corp., y la madre es la bonista de XYZ (lo que significa que ella presta dinero a la empresa). Cada $1 de ingresos por interés
pagado a la madre por parte de XYZ Corp. modifica el ingreso familiar en (1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) . Si este término es positivo,
entonces el endeudamiento por parte de XYZ le agrega al ingreso familiar; si es negativo, entonces el endeudamiento de XYZ resta
al ingreso familiar.
9. Valuar XYZ Corp.: el efecto del apalancamiento cuando hay impuestos corporativos y
personales
Volveremos a realizar los cálculos de la sección 14.3, pero esta vez utilizando todos los impuestos,
la tasa de impuestos corporativa TC, la tasa de impuesto personal por rentas del capital TE y la tasa de
impuestos personal general (incluyendo intereses) TD. Sin apalancamiento los flujos de fondos de XYZ
Corp. tienen un valor de $5.000:
VU = Valor de XYZ sin apalancamiento.
= VA (FCFs futuros descontados @ tasa de descuento sin apalancamiento).
| 517
Principios de Finanzas con Excel
∞
1.000 FCF anual 1.000
=
=
= 5.000
t
rU
20%
(
t=1 1, 20)
=∑
Utilizamos el principio de aditividad para valuar la versión de la empresa XYZ Corp. apalancada:
VL = VU + VA (FCF adicionales relacionados al endeudamiento)
∞
∞
FCF
1.000 1.000

VU = ∑ (1 + r )t = ∑ (1, 20)t = 20% = 5.000
t=1
t=1
U

= El valoor de la empresa sin apalancamiento es el valor
actual de sus flujos de fondos libres descontados a una

tasa de costoo de capital apropiada (sin apalancamiento) rU
  ahorro  ∞ [(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interést
VA 
=∑
t
(1 + (1 − TD )rD )
  fiscal  t=1

∞
8% * 3.000 * 16%
38, 40

+
= 5.685,71
=∑
=
= 685,711
t
5, 6%
t=1 (1 + 8% * (1 − 30%) )


Los ahorros fiscales creados por la deuda son desconntados


a la tasa de interés después de impuestos del consum
midor
XYZ Corp. tiene más valor como empresa apalancada que como empresa no apalancada porque produce más flujos de fondos para sus propietarios cuando está apalancada. El efectivo adicional generado,
motivado por el hecho de que la empresa tiene un menor costo de deuda que Arthur, vale $685,71; el
cual es el valor actual de los futuros ahorros fiscales por intereses:
 ahorro fiscal  ∞ [(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interés
VA 
=∑
t
 por intereses  t=1
(1 + (1 − TD )rD )
518 |
=
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interés
=
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interés
(1 − TD )rD
(1 − TD )
rD
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
=
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * D
(1 − TD )
Utilizamos la letra T para indicar el factor de valuación con deuda:
T=
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * D
(1 − TD )
T es la ventaja capitalizada de la deuda9.
¿Qué hay sobre el costo de capital - rE y CCMP con apalancamiento?
La versión apalancada de XYZ Corp. vale $5.685,71, de lo cual $3.000 es deuda. Restando el valor
de la deuda del valor total de la empresa, vemos que el capital propio de la empresa vale $2.685,71.
Para calcular el costo del capital propio de la firma rE, primero calculamos los flujos de fondos después
de impuestos que le corresponden a los propietarios del capital propio:
Flujo de fondos anuales para el capital propio después de impuestos corporativos =
= (FCF – interés después de impuestos pagado por XYZ)
= (1.000 – 8 % * 3.000 * (1-40 %)) = 856,00
El valor descontado de este flujo de fondos anual para el capital propio de $856 es el valor del capital
propio; esto define el capital propio rE:
Valor del capital propio =
Flujos de fondos para el capital propio t
(1 + rE )t
t=1
∞
∑
∞
856, 00 856, 00
=
t
rE
(
t=1 1 + rE )
2.685,71 = ∑
⇒ rE =
856, 00
= 31, 87%
2.685,71
9 Para relacionar esto al caso previo que tenía solo impuestos corporativos, observe que cuando TE= TD, T=TC.
| 519
Principios de Finanzas con Excel
Con un poco de pericia matemática, podemos demostrar que:
rE = [rU * (1 − T ) − rD * (1 − TC )]
=
D
E
3.000
= 31, 87%
20% + [20%(1 − 22, 86%) − 8%(1 − 40%)]
2
685,
71
.
rU es la tasa de
descuento para los
FCFs que representa
el riesgo del negocio
de la empresa
Cuando XYZ se endeuda, sus accionistass soportan un riesgo financiero
adicional. El término de arriba representa la prima por el riesgo financiero
para loos propietarios del capital propio
Podemos ahora calcular el CCMP:
CCMP = rE
= 31, 87%
E
D
+ rD (1 − TC )
E+D
E+D
2.685,71
3.000
+ 8%(1 − 40%)
= 17,59%
2.685,71 + 3.000
2.685,71 + 3.000
Con un poco de matemáticas podemos demostrar que descontando los FCF a la CCMP obtenemos el
valor total de la empresa:
∞
FCFt
∞
1.000
∑ (1 + CCMP) = ∑ (1 + 17,59%)
t=1
520 |
t
t=1
t
=
1.000
= 5.685,71
17,59%
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
TABLA RESUMEN – MODIFICAR EL APALANCAMIENTO CUANDO LOS BENEFICIOS CORPORATIVOS Y PERSONALES ESTÁN GRAVADOS
Símbolos: Tasa de impuestos corporativa TC, tasa de impuestos personal sobre el ingreso por
rentas de capital TE, tasa de impuestos personal por beneficios ordinarios TD
Ventaja impositiva de la deuda = (1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) ; Factor impositivo = T =
Ítem
Fórmula
VU = Valor de
la empresa sin
apalancamiento
∞
VU = ∑
t=1
Por qué
FCFt
(1 + rU )
(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )
(1 − TD )
t
El valor de la empresa no apalancada es el valor actual
de los FCF futuros descontados a rU, costo del capital de
la empresa no apalancada.
VL=VU+VA (ahorro fiscal por interés)
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interést
= VU + ∑
t
t=1
(1 + rD (1 − TD ))
N
VL = Valor de
la empresa
apalancada
Otra manera de escribir esto es VL=VU+T*D,
donde T =
(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )
1 − TD
El valor de la empresa apalancada es VU más el valor
actual de los ahorros fiscales futuros. Cuando hay
impuestos corporativos y personales, el VA del ahorro
fiscal está dado por:
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interést
t
t=1
(1 + rD (1 − TD ))
N
∑
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Principios de Finanzas con Excel
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TABLA RESUMEN – MODIFICAR EL APALANCAMIENTO CUANDO LOS BENEFICIOS CORPORATIVOS Y PERSONALES ESTÁN GRAVADOS
Símbolos: Tasa de impuestos corporativa TC, tasa de impuestos personal sobre el ingreso por
rentas de capital TE, tasa de impuestos personal por beneficios ordinarios TD
Ventaja impositiva de la deuda = (1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) ; Factor impositivo = T =
Ítem
Fórmula
Por qué
VL=VU+VA (ahorro fiscal por interés neto)
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interést
t
t=1
(1 + rD (1 − TD ))
∞
= VU + ∑
VL = Valor de
la empresa
apalancada
(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )
(1 − TD )
La celda de la izquierda contiene la fórmula para
la empresa apalancada cuando esta emite deuda a
perpetuidad. La fórmula es la misma que la fórmula
paralela de la figura 14.2 para el caso en que TE = TD
= 0.
En el caso general en que los impuestos personales no
son cero,
=VU+TC*D,
(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )
donde T =
1 − TD
T=
(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )
1 − TD
Puede ser positivo, negativo o cero.
El valor del capital propio de la empresa apalancada es:
E = Valor del
capital propio
E= VU – (1-T) * D
D = Valor de la
deuda
D
rE(L) = costo del
capital propio
de la empresa
apalancada
rE (L ) = rU + [rU (1 − T ) − rD (1 − TC )]
WACC = costo
del capital medio
ponderado
WACC =
E = VL – D = VU – (1-T) D
D
E
FCF
VL
Figura 14.5 Valor de la empresa y costo del capital cuando el beneficio de la empresa está gravado a TC, el beneficio personal ordinario está gravado a TD, y el beneficio personal por
rentas de capital está gravado a TE.
522 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
10. Comprar una máquina cosechadora en Upper Fantasía
En esta sección y la siguiente volvemos a los ejemplos de la sección 14.4 y 14.5. Esta vez desarrollamos los ejemplos para una empresa en Upper Fantasía, donde, como usted recordará, hay tres tasas
de impuestos:
■■ En
Upper Fantasía el ingreso corporativo está gravado a la tasa TC = 40 %.
ingreso personal de rentas del capital (lo que quiere decir dividendos y ganancias de capital)
está gravado a una tasa TE = 10 %.
■■ El ingreso personal proveniente de todas las demás fuentes está gravado a la tasa TD = 30 %.
■■ El
10.1. Sonderturf considera adquirir una máquina cosechadora
Sonderturf Corp., una empresa en Upper Fantasía, está analizando la adquisición de una nueva
máquina cosechadora. Esta máquina cuesta $100.000; tiene una vida de 10 años, durante la cual se
amortiza en forma lineal, sin valor de recupero. En cada uno de los 10 años de vida de la máquina, esta
producirá ventas de $40.000. Estas ventas costarán $15.000 en producirse. El resultado es que la
máquina tiene un FCF anual de $19.000 por año.
Los asistentes financieros de Sonderturf han determinado que una tasa de descuento ajustada por
riesgo apropiada para los flujos de fondos de la máquina cosechadora es rU = 15 %. Descontando los
flujos de fondos de la máquina a esta tasa se obtiene que el VAN es de -$4.643. Por lo que la conclusión es que Sonderturf no debería adquirir la máquina cosechadora (para más detalles de estos cálculos,
diríjase a la sección 14.4).
10.2. Sonderturf obtiene un préstamo para comprar la máquina
Habiendo escuchado las malas noticias de Sonderturf, el fabricante de la máquina cosechadora le
ofrece a la compañía un préstamo de $50.000. Las condiciones del préstamo son exactamente las mismas que aquellas de la sección 14.4 que fueron ofrecidas a Wonderturf en Lower Fantasía: en los años
1-9, Sonderturf pagará solo el interés ($4.000) y en el año 10 pagará el interés de $4.000, así como la
devolución del capital del préstamo.
A partir de la figura 14.5 se concluye que el valor del préstamo es:
 Préstamo en Upper Fantasia, donde hay impuestos corporativos TC



VA  impuestos personales a la renta de capital TE , e impuestos personales  =
 por la renta general T

D


[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interést
t
t=1
(1 + rD (1 − TD ))
10
VA ( ahorros fiscales por intereses ) = ∑
| 523
Principios de Finanzas con Excel
Los asistentes financieros de Sonderturf concluyen que la empresa ahora debería adquirir la máquina,
tomando el préstamo para financiar parte de la compra. Ellos calculan que:
VAN (máquina + préstamo) = VAN (máquina) + VAN (préstamo)
= VAN(máquina) + VA( ahorros
fiscales por
del ptmo)
intereses
= -$4.643 +$4.801= $158
En Upper Fantasia el ahorro fiscal toma en cuanta impuestoos
corporativos así como impuestos personales:
10
[(1−TD )−(1−TE )*(1−TC )]*Interést
∑
t =1
(1+rD (1−TD ))
t
Los cálculos se muestran en la siguiente hoja de Excel.
¡En Upper Fantasía la deuda no siempre es valiosa!
El sistema impositivo de Lower Fantasía —que tiene solo impuestos corporativos TC y no impuestos
sobre las rentas personales— siempre hace más valioso el financiamiento con deuda. Usted puede comprobarlo a partir de la siguiente fórmula deducida de la Figura 14.2, que se cumple en Lower Fantasía:
524 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
∞
VLLower Fantasía = V U + VA ( ahorros fiscales por intereses ) = VU + ∑
t =1
TC * Interést
> VU
(1 + rD )t
La misma fórmula en Upper Fantasía —con su sistema impositivo más complicado (pero más realista) que combina el impuesto corporativo TC con impuesto personal por rentas del capital TE e impuesto
personal por rentas ordinarias TD — está dada por:
[(1 − TD ) − (1 − TE )*(1 − TC )] * Interést
t
(1 + rD (1 − TD ))
t =1
N
VLUpper Fantasía = V U + VA ( ahorros fiscales por intereses ) = VU + ∑
La última expresión no siempre debe ser positiva. Por ejemplo,
∑
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interést
t
t=1
(1 + rD (1 − TD ))
> 0 si (1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) > 0
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interést
t
t=1
(1 + rD (1 − TD ))
= 0 si (1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) = 0
N
N
∑
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interést < 0
t
t=1
(1 + rD (1 − TD ))
N
∑
si (1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) < 0
La conclusión es que en Upper Fantasía, el financiamiento con deuda no necesariamente debe hacer
a un proyecto más valioso. Suponga, por ejemplo, que TC = 40 %, TE = 3 %, TD = 50 %. Luego, la hoja
de cálculos de abajo muestra que financiando la máquina cosechadora con deuda disminuye el VAN.
| 525
Principios de Finanzas con Excel
11. Reapalancar Smotfooler Inc., una empresa en Upper Fantasía
En la sección 14.5 ofrecimos una pregunta del examen de Finanzas 101 de la Eastern Lower Fantasía
State University. Esta sección ofrece una pregunta similar de un examen de Upper Fantasía University
(su equipo de fútbol se llama Ufus).
Esta es la pregunta: Smotfooler Inc. es una empresa bien reconocida en Upper Fantasía. Estos son
algunos datos de la compañía:
■■ Smotfooler
espera obtener FCF anuales de $2 millones al final de los años 1, 2, 3…a perpetuidad.
Recuerde que los FCF son la cantidad de dinero efectivo después de impuestos que la empresa
genera por las actividades operativas de su negocio.
■■ Smotfooler tiene actualmente 100.000 acciones en circulación en la Bolsa de Upper Fantasía. El
precio de la acción de Smotfooler es $100 por acción.
■■ Smotfooler actualmente no tiene deuda. Sin embargo, un analista financiero ha sugerido que la
compañía emita $3.000.000 de deuda a perpetuidad y utilice el dinero para recomprar acciones.
La tasa corriente de interés sobre deuda en Upper Fantasía es 8 %, y los pagos de intereses se
efectuarán anualmente.
■■ Las tasas en Upper Fantasía son Tc = 40 %, TD = 30 %, TE = 10 %.
Los estudiantes debían responder las siguientes preguntas en el examen de finanzas.
■■ Pregunta
1: ¿Cuál es el valor de mercado de Smotfooler?
Respuesta: Smotfooler tiene actualmente 100.000 acciones en circulación, cada una de las cuales tiene un valor de $100. Por lo que el valor del capital propio de la empresa es $10.000.000
526 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
= $100 * 100.000. Dado que la compañía no tiene deuda, este es también su valor de mercado.
En síntesis, VU = 10.000.000.
■■ Pregunta 2: Después de que Smotfooler emita $3.000.000 de deuda, ¿cuál será su valor de mercado?
Respuesta: Dado que Upper Fantasía tiene impuestos corporativos e impuestos personales, la
relación VL = VU + TD se cumple, donde:
T=
(1 − TD ) − (1 − TC ) * (1 − TE ) (1 − 30%) − (1 − 40%)(1 − 10%)
=
= 22, 86%
(1 − TD )
(1 − 30%)
(Ver también la ceda B7 de la hoja siguiente).
Esto significa que luego que la compañía emita deuda, su valor de mercado será:
VL = VU + TD = 10.000.000 + 22,86% * 3.000.000 = 10.685.714
■■ Pregunta
3: Después de que Smotfooler emita $3.000.000 de deuda y utilice el dinero procedente
para recomprar acciones, ¿cuál será el valor total del capital propio e la empresa, E?
Respuesta: Después de que Smotfooler emita deuda y recompre acciones, el valor total de su capital propio, E, más el valor total de su deuda, D, tienen que sumar el valor total de mercado de
la empresa, VL. En síntesis,
VL = 10.685.714 = E + D
Pero D = $3.000.000 y, por lo tanto:
E = 10.685.714 – 3.000.000 = 7.685.714
■■ Pregunta
4: ¿A qué precio recomprará Smotfooler sus acciones?
Respuesta: Emitiendo $3 millones de deuda, Smotfooler ha incrementado su valor total de mercado en $685.714 (de $10 millones a $10.685.714). Este incremento en el valor le pertenece
a todos los accionistas. Dado que hay 100.000 acciones en circulación antes de la recompra de
acciones, esto quiere decir que el precio de cada acción se incrementa en $685.714 /100.000 =
$6,86. Por lo tanto, la respuesta a esta pregunta es que el precio para el rescate es $106,86. De
esta suma, $100 es el precio de la acción antes de la recompra y $6,86 es el crecimiento en el
precio de la acción como resultado de la emisión de deuda.
| 527
Principios de Finanzas con Excel
■■ Pregunta
5: ¿Cuántas acciones recomprará Smotfooler?
Respuesta: De acuerdo a la pregunta anterior, Smotfooler recomprará sus acciones a $106,86 por
acción. Dado que la compañía ha emitido $3 millones de duda para recomprar sus acciones, esto
implica que podrá recomprar $3.000.000 / $106,86 = 28.074,87.
■■ Pregunta
6: ¿Cuál era el costo del capital propio antes de la recompra de acciones?
Respuesta: Smotfooler tiene un FCF de $2.000.000, por lo que su costo del capital propio sin
apalancamiento,
FCF 2.000.000
rE (U)==
rU=
= 20%
VU 10.000.000
■■ Pregunta
7: ¿Cuál es el costo del capital propio de Smotfooler después de la recompra de acciones
en el mercado abierto?
Respuesta: Smotfooler emite $3 millones de deuda al 8 % para el rescate de acciones. Por lo que
su costo anual de interés es 8 % * 3.000.000 = $240.000. Dado que el interés es un gasto a propósitos impositivos, los accionistas de la empresa tendrán un flujo de fondos esperado anual de:
Flujo de fondos anual, luego de la emisión de deuda = FCF – (1-TC) * Interés
= 2.000.000 – (1-40%) * 240.000 = 1.856.000
El valor del capital propio después de la recompra de acciones es $7.685.714, por lo que el costo
del capital propio de la empresa apalancada es:
=
rE (L )
1.856.000
= 24,15%
7.685.714
Observe en la figura 14.4 que hay otro modo de realizar este cálculo:
rE (L ) = rU + [rU (1 − T ) − rD (1 − TC )]
= 20% + 20%(1 − 22, 86%) − 8%(1 − 40%)
528 |
D
E
3.000.000
= 24,15%
7.685.714
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
■■ Pregunta
8: ¿Cuál es el CCMP de Smotfooler antes del rescate de acciones?
Respuesta: Recuerde la definición de CCMP:
CCMP = rE (L )
E
D
+ rD (1 − TC )
E+D
E+D
La respuesta a la pregunta 8 es fácil: dado que Smotfooler, antes de la recompra de acciones tiene
solo capital propio, su CCMP = rU = 20 %.
■■ Pregunta
9: ¿Cuál es el CCMP de Smotfooler después de la recompra de acciones?
Respuesta:
CCMP = rE (L )
= 24,15% *
■■ Pregunta
E
D
+ rD (1 − TC )
E+D
E+D
7.685.714
3.000.000
+ 8% * (1 − 40%)
= 18,72%
7.685.714 + 3.000.000
7.6685.714 + 3.000.000
10: ¿Por qué es rE(L) > rU?
Respuesta: Antes que Smotfooler emita sus bonos, el único riesgo soportado por los accionistas era
el riesgo del negocio inherente a los FCF de la compañía. Después de que la empresa emita sus bonos, los accionistas tienen que soportar dos tipos de riesgos: riesgo del negocio y riesgo financiero.
Por lo tanto, rE(L) representa una tasa de descuento para flujos de fondos que son más arriesgados
que los flujos de fondos que se descuentan a la tasa de descuento rU. Dado que los flujos de fondos
de más riesgo tienen mayores tasas de descuento, se concluye que rE(L) > rU.
■■ Pregunta
11: ¿Por qué se incrementa el valor de Smotfooler tras la emisión de deuda y recompra
de capital propio?
Respuesta: Al emitir deuda, Smotfooler incrementa el monto de efectivo que produce en
[(1 − TD ) − (1 − TC ) * (1 − TE )] * pago de interés , por cada año en que esta tiene deuda. Este flujo de fondos
adicional es libre de riesgo. Debido a que los poseedores de los flujos de fondos libres de riesgo
en Upper Fantasía utilizan una tasa de descuento de (1-TD) * rD para valuar sus flujos de fondos,
se concluye que:
| 529
Principios de Finanzas con Excel
Valor de los flujos de fondos adicionales relacionados al endeudamiento:
[(1 − TD ) − (1 − TC ) * (1 − TE )] * Pagos de Interést
t
t=1
(1 + rD (1 − TD ))
∞
=∑
=
=
(1 − TD ) − (1 − TC ) * (1 − TE )
* Pagos de Interés
(1 − TD )rD
(1 − TD ) − (1 − TC ) * (1 − TE )
* rDD =
(1 − TD )rD
T
*D
T=
(1−TD )−(1−TC )*(1−TE )
(1−TD )
El VA del ahorro fiscal es lo que genera el incremento en el valor de mercado de Smotfooler:
VL =
VU

El valor de Smotfooler
antes de la emisión de
deuda
■■ Pregunta
+
TD

El VA de los
flujos de fondos
adicionales
relacionados al
enddeudamiento
12: ¿Siempre el endeudamiento incrementa el valor de la empresa en Upper Fantasía?
Respuesta: No. Ello depende del valor de las tres tasas impositivas TC, TD, y TE. En el siguiente
ejemplo, hay una desventaja neta del endeudamiento, emitir deuda Smotfooler disminuye su valor
de mercado e incrementa el CCMP.
530 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
12. ¿Hay realmente una ventaja de la deuda?
En este capítulo hemos expuesto la teoría de la estructura de capital. Podemos contestar a la pregunta
sobre la importancia de la estructura de capital de varias maneras.
Método 1: ¿Cuáles son las tasas impositivas relevantes TC, TD y TE?
Como puede usted observar, el valor de XYZ Corp. depende en forma crítica de dos factores:
■■ rU,
la tasa de rendimiento ajustada por riesgo de los FCF. Esta tasa no se ve afectada por la estructura de capital, porque los FCF son flujos de fondos operativos y no dependen del financiamiento
de la firma.
■■ (1 − TD ) − (1 − TC ) * (1 − TE ) , costos relativos después de impuestos de la deuda versus del capital propio.
| 531
Principios de Finanzas con Excel
Viendo este segundo parámetro, examinamos varios casos. En el de abajo, el rendimiento esperado del
dividendo del 2 % es gravado al 40 %, mientras que las ganancias de capital esperadas del 6 % están
gravadas al 10 %. La tasa de impuestos para rentas de capital es 17,5 %, y la ventaja impositiva neta de
la deuda sobre el capital propio es 8,02 %:
Con una configuración un tanto diferente de rendimientos e impuestos, hay en realidad una desventaja neta de la deuda.
Abajo usted verá un tercer caso en el cual solo está gravado el ingreso corporativo. En este caso hay
una abrumadora ventaja para el financiamiento con deuda.
532 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
■■ Método
2: ¿Cuál es la evidencia en el comportamiento de la empresa?
En lugar de preguntar si las tasas impositivas generan una ventaja neta impositiva neta, podemos
también observar diferentes empresas. Podemos preguntar si en una industria en particular hay
un comportamiento uniforme respecto al endeudamiento. La respuesta es no, como usted verá
en el capítulo 15. Interpretamos este comportamiento “no uniforme” como evidencia a favor del
argumento de que no hay una ventaja impositiva neta de la deuda, es decir, que la política de
financiamiento de la empresa no afecta a su valor de mercado.
■■ Método
3: ¿Qué dicen los sofisticados investigadores financieros?
El capítulo 15 trata las últimas investigaciones académicas sobre la cuestión de la estructura de
capital. Nuestra opinión sobre esta investigación es que la importancia del financiamiento con
deuda respecto del financiamiento con capital propio ha sido demasiado sobre enfatizada en los
libros de finanzas. Puede haber una pequeña ventaja de la deuda sobre el capital, pero se ve abrumada por la incertidumbre general de la valuación de una empresa.
13. Resumen y conclusiones. United Widgets Corp.
United Widgets es una empresa nueva creada por John y Cindy, quienes están ponderando el efecto
de la mezcla de financiamiento entre deuda y capital propio. La pregunta que ellos tienen en mente es:
¿importa si la empresa esta financiada con acciones (capital propio) o con dinero pedido prestado de
un banco (deuda)? La compensación de riesgo–rendimiento entre las dos alternativas de financiación es
compleja:
■■ Los
proveedores de financiación con capital propio reciben la promesa de una porción de los beneficios de la empresa (si es que hay alguno). Si no hay beneficio alguno, entonces los accionistas no
obtendrán ningún dividendo; a pesar de que ellos seguramente estarán desilusionados, no pueden
utilizar el no pago de dividendos para forzar a la empresa hacia la quiebra.
■■ Los proveedores de financiación con deuda reciben la promesa de una serie de pagos fijo. Si United Widgets no puede cumplir su compromiso de realizar los pagos fijos, entonces la compañía
se volverá insolvente. La quiebra afectará a los accionistas de la empresa, privándolos de su parte
sobre United Widgets.
| 533
Principios de Finanzas con Excel
■■ El
financiamiento con deuda es generalmente más barato que el financiamiento con capital propio: el riesgo de los pagos de interés prometidos por United Widgets a sus proveedores de fondos
es menor que el riesgo de los pagos de dividendos prometidos por la compañía a sus accionistas.
Además, el interés es un gasto deducible impositivamente por United Widgets, mientras que los
dividendos deben ser pagados con utilidades después de impuestos. Los accionistas, soportando
un mayor riesgo que los prestamistas, demandarán por lo tanto una mayor tasa de retorno esperada
que los tenedores de deuda. La relativa economía de la deuda versus el capital propio aparenta
hacer la deuda preferible como mecanismo de financiamiento, ahora bien...
■■ El financiamiento con deuda hace aun más arriesgado al financiamiento con capital propio. La
corriente de riesgo de dividendos que proviene de la empresa peligra aún más cuando los accionistas prometen a los tenedores de deuda una serie de pagos futuros. Cuanto mayor sea el monto
de deuda que tenga la empresa, más arriesgado se vuelve el financiamiento con capital propio10.
Habiéndose dado cuenta de todos estos factores, John y Cindy se hacen las siguientes preguntas:
■■ ¿Afecta
la mezcla de deuda-capital propio a la cantidad de dinero efectivo que puede ser extraída
de United Widgets?
■■ ¿Afecta la mezcla de deuda-capital la tasa de descuento que United Widgets debería usar para
descontar los flujos de fondos de los proyectos? Como hemos visto en el capítulo 6, la tasa de
descuento relevante es la tasa de costo de capital media ponderada (WACC o CCMP).
■■ ¿Afecta la mezcla de deuda-capital el costo de capital propio?
Las siguientes páginas proporcionan respuestas esquemáticas a estas preguntas.
El capitulo 15 explora algunos resultados empíricos e intenta darle un enfoque sobre cómo aplicar las
respuestas teóricas desarrolladas en este capítulo.
Financiando United Widgets. La estructura de capital y sus efectos sobre el costo del capital y la valuación
de la empresa
UNITED WIDGETS
John y Cindy crearon una empresa nueva-United Widgets, Inc. Ellos decidieron comprar
una máquina porque el análisis financiero
les mostraba que el VAN de los flujos de
fondos de la máquina es positivo.
United Widgets es financiada con capital
propio (lo que significa: dinero puesto por
John y Cindy y sus amigos) y deuda (dinero
pedido prestado al banco).
¿Modifica la mezcla de financiamiento con
deuda/capital propio, la tasa de descuento
usada para evaluar las máquinas?
¿Modifica la mezcla de financiamiento con
deuda/capital propio, el dinero efectivo
total que se extrae de la compañía?
10 John y Cindy consideraron brevemente financiar la empresa solo con endeudamiento. ¡Pero esto es imposible!
534 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
Efecto de la mezcla de deuda/capital propio sobre el costo de capital medio ponderado (WACC)
1. Si no hay impuestos, la mezcla de deuda/capital propio no afecta la tasa de descuento para la
máquina.
2. Si hay solo impuestos corporativos y no impuestos personales, entonces más deuda implica que la
tasa de descuento disminuye.
3. Si los beneficios corporativos y personales están gravados, la tasa de descuento de la máquina puede
aumentar/disminuir/permanecer igual cuando la mezcla de deuda/capital propio cambia.
Efecto de la mezcla de deuda/capital propio sobre el dinero total extraído de la compañía
1. Si no hay impuestos, la mezcla de deuda/capital propio no afecta la cantidad total de dinero extraída
de la empresa
2. Si hay solo impuestos corporativos y no hay impuestos personales, entonces más deuda significa más
dinero extraído de la compañía; esto ocurre por que el sistema impositivo subsidia la deuda (el interés
es un gasto a efectos impositivos).
3. Si tanto los ingresos corporativos como personales están gravados, el dinero extraído de la compañía
puede subir o bajar: las empresas disfrutan de un subsidio fiscal por sus pagos de intereses (dado que
el interés es un gasto a propósito impositivo). Pero los accionistas pagan menores tasas de impuestos
sobre sus rentas de capital (por una más ventajosa tasa sobre las rentas de capital) que sobre la renta
por intereses de la deuda.
Efecto de la mezcla de deuda/capital propio sobre el costo del capital propio y WACC
Más deuda en la mezcla deuda/capital propio siempre hace mas arriesgado al capital propio. Los
propietarios del capital propio tienen que pagar a los tenedores de deuda antes de pagarse a si mismos
y ello incrementa su riesgo.
El efecto de la estructura de capital sobre el WACC depende de la mezcla de impuestos corporativos y
personales:
1. Si no hay impuestos, el WACC no se ve afectado por la estructura de capital: el incremento en el costo
del capital propio a medida que la mezcla deuda/capital propio crece, compensa exactamente los
ahorros de la deuda más barata.
2. Si hay solo impuestos corporativos, el WACC disminuye cuando se usa más deuda para financiar la
firma.
3. Si hay tantos impuestos corporativos como personales, WACC puede crecer/disminuir/permanecer
igual. La evidencia empírica (capítulo 15) parece indicar que ésta no se modifica mucho.
WACC = rE (L )
E
E
+ rD (1- TC )
E+D
E+D
Donde:
 rE(L)
= costo del capital propio (crece cuando el ratio deuda - capital
= costo de la deuda.
 E = Valor de mercado del capital propio.
 D = Valor de mercado de la deuda.
 TC = tasa de impuestos de la empresa.
 rD
| 535
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Vuelva al ejemplo del supermercado de comienzos del capítulo. Asuma que el beneficio operativo después de impuestos del supermercado es $120.000 por año. Si el grupo de Mauricio toma un préstamo por $500.000 al 9 % anual
de interés y su tasa de impuestos es 30 %, ¿cuál será la tasa de rentabilidad sobre el capital propio (ROE) para el
grupo de Mauricio y el grupo de Julia?
Beneficio después de impuesto 

 ROE =

Capital Propio


2. Repita el ejercicio 1 con los siguientes balances (asuma que la deuda aún tiene un 9 % de interés).
Muestre en una tabla de datos y un gráfico de Excel la sensibilidad del ROE al endeudamiento.
3. Usted está interesado en comprar una bodega para su empresa. La bodega cuesta $350.000 y su uso le hará ahorrar
a la empresa $50.000 anuales a perpetuidad. La empresa puede pedir prestado cualquier suma de dinero a una tasa
del 8 % anual de interés; y toda suma solicitada es a “perpetuidad”, lo que significa que la empresa paga solo el
interés en forma anual y nunca devuelve el capital. La tasa de impuestos de la empresa es 40 %.
¿Cuál será el beneficio anual adicional de la empresa y la rentabilidad del capital propio (ROE) por la inversión, en
los siguientes cuatro casos?
a.
b.
c.
d.
La empresa financia la compra solo con capital propio.
La empresa financia la compra con 75 % de capital propio y 25 % de deuda.
La empresa financia la compra con 50 % de capital propio y 50 % de deuda.
La empresa financia la compra con 20 % de capital propio y 80 % de deuda.
| 537
Principios de Finanzas con Excel
4. Repita el ejercicio 3 y muestre el beneficio total anual recibido por los accionistas y bonistas de la empresa.
Muestre en una tabla de datos y un gráfico de Excel, el cambio en el monto total recibido por los accionistas y bonistas de la empresa, como función del capital propio invertido en el proyecto.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
5. Eddy es el único dueño de su empresa. Él quiere comprar ahora una compañía vecina por $600.000. Sus cálculos
muestran que el beneficio anual antes de impuestos de la compra será de $80.000.
Está evaluando dos alternativas de financiamiento: la primera es solicitar un préstamo personal por $300.000 y
pagar el saldo restante de sus ahorros. La segunda alternativa es financiar la compra haciendo que su empresa
tome el préstamo de $300.000. Asumiendo que la tasa de interés del préstamo es el 9 % (con un horizonte infinito) y
que la tasa impositiva corporativa es 40 %, ¿cuál será la suma de dinero recibida por los accionistas y bonistas de
la empresa en cada escenario, asumiendo que solo el interés pagado por la empresa de Eddy es un gasto a efectos
impositivos?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. Volviendo al ejercicio previo, ¿cuál es el valor de la empresa que Eddy quiere comprar, bajo las dos alternativas de
financiamiento?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
7. Annie es propietaria de una “empresa fantasma” (una empresa que está creada, pero no tiene actividad alguna).
Dicha empresa está por adquirir otra empresa por $900.000. Esta compañía que está por comprar tiene un flujo de
fondo libre (FCF) anual de $120.000 por año.
El banco quiere darle un préstamo a perpetuidad a Ana por la mitad del importe de la compra al 8 % de interés. Asumiendo que la empresa de Ana no tiene deuda y su tasa de impuesto es TC = 30 %, ¿cuál será el valor de su empresa
después de la compra en los siguientes escenarios?
~~ En caso de que financie la compra solo con capital propio.
~~ En caso de que tome el préstamo.
¿Cuál será el valor de la empresa en caso que el préstamo sea abonado en 20 cuotas iguales?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
8. La sección 3 de este capítulo muestra dos fórmulas para el costo del capital propio rE(L) para una empresa apalancada en el caso en que hay solo impuestos corporativos:
rE (L ) =
538 |
Flujo de fondos para el capital propio
Valor del capittal propio
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
D
rE (L ) = rU + [rU − rD ] (1 − TC )
E
Use ambas fórmulas para encontrar el costo de capital propio rE(L) para los siguientes casos:
a. El costo de capital propio rE(L) de la empresa que Eddy está adquiriendo en el ejercicio 5.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. El costo de capital propio rE(L) del supermercado en el ejercicio 1.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c. El costo de capital propio rE(L) de la empresa de Annie del ejercicio 7.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
9. La sección 3 de este capítulo presenta dos fórmulas para el costo de capital medio ponderado (CCMP) de una empresa apalancada, en el caso en que hay solo impuestos corporativos:
CCMP = rE (L )
E
D
+ rD (1 − TC )
E+D
E+D
CCMP =
FCF
VL
Utilice ambas fórmulas para encontrar el CCMP de los siguientes casos:
a. El CCMP de la empresa que Eddy está comprando en el ejercicio 5.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. El CCMP del supermercado del ejercicio 1.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c. El CCMP de la empresa de Annie del ejercicio 7.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
| 539
Principios de Finanzas con Excel
10. Sandy-Candy, una nueva compañía de gomas de mascar, está a la venta por $2.000.000. Enrique está interesado en
comprarla y está explorando varias alternativas de financiamiento. Él sabe que la tasa de interés sobre la deuda es
rD = 9 %, la tasa de impuesto corporativa es TC = 36 y el costo de capital de la compra es rU = 12 %. Enrique estima
que Sandy-Candy tiene un flujo de fondos libre (FCF) de $300.000 por año.
a. ¿Cuál será el valor de mercado de Sandy-Candy si Enrique no toma el préstamo?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. ¿Cuál será el valor de mercado de Sandy-Candy si Enrique toma un préstamo de $1.200.000? Asuma que
el préstamo es pagado con los beneficios de Sandy-Candy y el interés es un gasto a efectos impositivos.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c. ¿Cuál será el costo de capital propio de Sandy-Candy, rE, para los dos casos anteriores?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
d. ¿Cuál será el CCMP de Sandy-Candy para los dos casos anteriores?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
11. Debby, la dueña de Oxford Corp., ha decidido que es tiempo de efectuar algunos cambios a la estructura de capital
de la empresa. Ella estima que los FCF Oxford serán $150.000 por año y que puede esperarse que esos FCF se
repitan anualmente a perpetuidad. La compañía no tiene deuda y tiene 30.000 acciones en circulación, cada una
de las cuales tiene un valor de $50.
Debby quiere que Oxford pida prestado $600.000 a perpetuidad y lo utilice para recomprar acciones. Asumiendo
que la tasa de interés sobre la deuda es rD = 6 % y la tasa de impuesto corporativa es TC = 30 %, calcule los siguientes cambios:
a. ¿Cuál es el valor de mercado de Oxford antes de emitir deuda?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es el valor de mercado de Oxford después de emitir deuda?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c. ¿Cuál será el valor de la acción de Oxford tras la emisión de deuda?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
d. ¿Cuántas acciones serán recompradas?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
e. ¿Cuál es el valor del capital propio de Oxford después de la recompra de acciones?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
f. ¿Cuál es el costo del capital propio de Oxford antes y después de la recompra?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
540 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
g. ¿Cuál es el CCMP de Oxford antes y después de la recompra?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
12. La empresa XYZ Corp. está próxima a pedir un préstamo de $100.000. Las condiciones del crédito especifican una
devolución constante del capital durante los próximos 8 años. La tasa del préstamo es rD = 8 % y XYZ tiene una tasa
de impuesto corporativa de TC = 40 %. Si el interés del préstamo es un gasto a efectos impositivos para XYZ y si no
hay otros impuestos, ¿cuál será el incremento en el valor de mercado de XYZ?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
13. Vuelva el ejercicio desarrollado en la sección 3 del capítulo (máquina cosechadora). Repita el ejercicio asumiendo
que el préstamo es pagado en 10 pagos iguales. ¿Cuál es el VAN de la inversión ahora?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
14. Debido a una reciente reforma tributaria en Lower Fantasía, la tasa de impuestos personal sobre todo ingreso
ordinario, excepto ganancias de capital por acciones, cambió de 0 a 25 %. Las ganancias de capital estarán desde
ahora gravadas al 15 %. La tasa de impuestos corporativa en Lower Fantasía se mantiene sin cambios al 40 %.
Asumiendo que usted prevé tomar un préstamo, ¿cuál será la mejor alternativa entre las siguientes?
~~ Pedir en nombre de la empresa
~~ Pedir un préstamo personal
Muestre la ventaja neta del endeudamiento corporativo en este caso.
¿Cambiaría su respuesta en el apartado a. si la tasa de impuestos corporativa fuera 20 %?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
15. Eddy, del ejercicio 5, necesita su ayuda nuevamente. Él no compró la empresa porque el banco no le aprobó el
crédito, pero ahora su padre quiere ayudarlo y prestarle la misma suma de dinero ($300.000). Además, después
de las últimas elecciones él tiene una tasa impositiva personal del 40 % (igual a la tasa de impuestos corporativa)
y 15 % de impuestos sobre beneficios de capital. ¿Qué debería hacer: financiar la compra usando a la empresa o
tomar el préstamo en forma personal? Calcule el monto total recibido por los tenedores de títulos de la empresa
(accionistas y bonistas).
Asumiendo que Eddy compra la empresa vecina usando a su propia empresa, calcule el valor de su empresa, el
costo de capital propio y el CCMP (asuma que la tasa de descuento sin apalancamiento es 12 %).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 541
Principios de Finanzas con Excel
16. Asuma que la tasa de impuestos corporativa es TC = 30 % y la tasa de impuestos personal para rentas de capital
TE = 10 %. ¿Cuál es la tasa de impuestos personal para rentas ordinarias, TD, para la cual le resultará indiferente a
un inversor entre elegir un préstamo personal o endeudarse a través de la empresa?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
17. Repita el ejercicio 11 (Oxford Corp.) asumiendo que la tasa impositiva para rentas ordinarias TD = 34 % y la tasa
impositiva personal para rentas de capital es TE = 15 %.
Para este caso calcule la “ventaja neta del endeudamiento corporativo” y calcule la expresión:
T=
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )]
(1 − TD )
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
18. Usted está interesado en adquirir una máquina que producirá ventas por $50.000 en cada uno de los próximos 6
años. La máquina tiene un costo de $120.000 y tiene una vida útil de 6 años. Se amortizará en línea recta hasta un
valor residual de cero. Además, la utilización de la máquina cuesta $18.000 anualmente. La tasa de descuento que
usted decide utilizar para los FCF de la máquina es 12 %.
Usted está evaluando tomar un préstamo al 9 %, a 6 años, para financiar la compra de la máquina. El monto
del préstamo será $70.000. Las condiciones del crédito establecen un pago anual solo de intereses durante los
años 1-5 y el pago del capital en forma íntegra en el año 6. Asumiendo que la tasa de impuestos corporativa es
TC = 40 %, la tasa de impuestos personal (para rentas ordinarias) es TD = 22 % y la tasa para rentas de capital es
TE = 15 %, responda a las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es el FCF de la máquina?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es el VAN de la máquina si es financiada solo con capital propio?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c. Calcule la “ventaja neta el endeudamiento” corporativo, T.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
d. ¿Cuál es el VAN de la máquina si es financiada con una combinación de deuda y capital propio?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
542 |
CAP. 14 | Estructura de capital y el valor de la empresa
19. Complete la siguiente hoja de Excel:
Muestre en un gráfico el cambio en la “ventaja neta del endeudamiento corporativo” como función de la tasa de
impuesto personal.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 543
Capítulo 15
La evidencia sobre la
estructura de capital
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Concepto general
Resumen de la teoría
¿Cómo se financian las empresas?
Calcular Beta del activo de la empresa (ßActivo) y CCMP: un ejemplo
Calcular Beta del activo, ßActivo, para la industria de comestibles
Evidencia académica
Resumen
CAP. 15 | La evidencia sobre la estructura de capital
1. Concepto general
En este capítulo analizamos si la estructura de capital de una empresa —con qué mezcla de capital
propio y deuda esta se financia— afecta al costo de capital medio ponderado (CCMP) de la empresa. El
capítulo 14 desarrolló la teoría de la estructura de capital, que se ocupa del efecto del financiamiento
sobre el valor de los activos. La teoría de la estructura de capital se pregunta si empresas que tienen
mayor apalancamiento valen más que empresas con menor apalancamiento, en condiciones de igualdad
de los demás factores.
En el capitulo 14 sugerimos que la importancia de la estructura de capital depende de cómo esta
afecte a la habilidad de la empresa para extraer dinero efectivo de sus actividades operativas y financieras. Si, por medio del incremento del apalancamiento, una empresa puede aumentar la cantidad total de
dinero efectivo que le paga a sus accionistas y bonistas, entonces debería hacerlo. Si, por el otro lado,
incrementando el apalancamiento no cambia la cantidad de dinero efectivo pagado a accionistas y bonistas, entonces el aumento del apalancamiento carece de valor.
En el capítulo 14 hemos relacionado la habilidad de la empresa para extraer dinero efectivo de las
actividades de la empresa con la compensación entre tasas impositivas corporativas y personales: el
endeudamiento corporativo es deducible de impuestos (porque el interés es un gasto a efectos fiscales);
esto tiende a favorecer a empresas con mayor deuda respecto de la de menor deuda en su estructura de
capital. Por otro lado, una empresa con más deuda en su estructura de capital canaliza una mayor parte
de sus beneficios hacia los bonistas que hacia los accionistas y los bonistas tienen una mayor tasa de impuestos sobre sus beneficios por intereses que la que tienen los accionistas sobre sus rentas del capital.
Para ver por qué es importante el tratamiento del apalancamiento del capítulo 14, suponga por un momento que empresas con más deuda valen más que empresas similares pero con menos apalancamiento.
Entonces deberíamos sugerir los siguientes pasos para los administradores de las empresas:
■■ Los
administradores de las empresas deberían esforzarse por incrementar la cantidad de deuda
utilizada en el financiamiento de las actividades de la empresa. Si, por ejemplo, la empresa construye una nueva planta, entonces esta debería intentar pedir prestado la máxima cantidad posible
para construirla.
■■ Los administradores de las empresas deberían minimizar la cantidad de dinero efectivo que tienen
en sus manos (sujeto, por supuesto, a consideraciones operativas y de seguridad). Si el apalancamiento (esto es, pagar interés sobre la deuda) agrega valor, entonces disponer de efectivo (esto es,
tener un activo que gana interés) va en detrimento del valor.
■■ Los administradores de las empresas deberían incrementar los pagos de dividendos. De este modo,
los administradores disminuyen la cantidad de dinero efectivo que disponen en sus manos y, por
lo tanto, incrementan el apalancamiento efectivo de la firma.
■■ Por el mismo motivo, los administradores de las empresas deberían incrementar la recompra de
acciones, lo que hace disminuir la cantidad de dinero efectivo en mano y, por consiguiente, incrementa el apalancamiento efectivo.
Las viñetas de arriba le dicen al administrador cómo debería operar si el apalancamiento es un indicador
de valor positivo. Si, por el otro lado, el apalancamiento es un indicador de valor negativo —lo que significa
que más apalancamiento hace disminuir el valor de la empresa— entonces el administrador debería tomar
las acciones opuestas. Y si, como sugerimos en el capítulo 14, el apalancamiento es un indicador de valor
| 547
Principios de Finanzas con Excel
neutral porque los beneficios impositivos del apalancamiento corporativo son compensados por las desventajas impositivas del endeudamiento a nivel personal, entonces nada de lo de arriba importa.
Como puede usted observar, la teoría del apalancamiento puede tener consecuencias operativas significativas.
¿Cuál es la conclusión?
Para anticipar las conclusiones de este capítulo, nosotros no observamos ninguna evidencia de que el apalancamiento
agregue valor a una empresa. Tampoco encontramos evidencia significativa de que el costo de capital medio ponderado
(CCMP) de una empresa se vea afectado por su mezcla de financiamiento de deuda versus capital propio. Las conclusiones
operativas son las siguientes:
\\
\\
\\
Las empresas deberían proceder como si la mezcla de financiación de sus activos no pudiera agregar ni disminuir valor.
El CCMP no se ve afectado por el apalancamiento.
La mejor manera de medir el CCMP es tomando el CCMP promedio de la industria.
¿Qué es lo que hacemos en este capítulo?
El capítulo 14 fue ampliamente teórico. En este capítulo, por el otro lado, analizamos la evidencia del
mercado sobre la estructura de capital. Nos preguntamos si vemos —en los precios de mercado, costo de
capital y medidas de riesgo de mercado— evidencia a favor o en contra del efecto positivo de la mayor
deuda sobre el valor de las firmas. En la sección 15.1 resumimos las conclusiones del capítulo 14. El
resultado final de estas conclusiones es que los efectos del financiamiento sobre el valor dependen en
gran medida del sistema impositivo. En términos generales, si las empresas endeudándose pueden incrementar el dinero efectivo total disponible para accionistas y bonistas, entonces las empresas deberían
trasladarse hacia una estructura de capital con más apalancamiento.
Las demás secciones de este capítulo presentan alguna evidencia empírica sobre dichos efectos de
la estructura de capital sobre el costo de capital. Como usted verá, la evidencia parece indicar que hay
efecto poco significativo de la estructura de financiamiento sobre el CCMP.
Conceptos financieros tratados
■■ ¿Cuáles
son algunos hechos reales acerca de la estructura de capital (cómo se financian las em-
presas)?
la estructura de capital al valor de la empresa?
■■ ¿Afecta la estructura de capital al costo de capital?
■■ ¿Hay otras consideraciones importantes, como costos de quiebra o el control?
■■ ¿Cómo mide Ud. el costo de capital propio de la empresa no apalancada rU?
■■ ¿Cómo calcula Ud. el CCMP para una industria?
■■ ¿Afecta
548 |
CAP. 15 | La evidencia sobre la estructura de capital
Funciones de excel utilizadas
■■ Promedio.
■■ Desvest.
■■ Regresión
(línea de tendencia).
2. Resumen de la teoría
La teoría de la estructura de capital expuesta en el capítulo previo dice que el efecto de la estructura
de capital sobre el valor de la empresa es principalmente ocasionado por consideraciones impositivas. A
grandes rasgos, si las empresas gozan del beneficio de la deducibilidad impositiva de los intereses, que
no está disponible para sus accionistas, entonces las empresas deberían endeudarse e incrementar su
ratio de deuda a capital propio. Esta teoría —Modelo de Modigliani-Miller (capítulos 14, secciones 14.3
a 14.5) — debería ser contrastada con el modelo de Miller (capítulo 14, secciones 14.6 a 14.9), el cual
postula que la ventaja de la deuda corporativa es en cierta medida compensada por la ventaja impositiva
del capital propio para los inversores.
Estos son conceptos complejos que hemos ilustrado con dos ejemplos (Arthur ABC y Arthur XYZ) en
el capítulo anterior. Resumimos las conclusiones del capítulo 14.
1. El apalancamiento agrega valor a la empresa si el valor capitalizado de los ahorros fiscales por
intereses es positivo:
VL = VU + VA (valor capitalizado de los ahorros fiscales)
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Pagos de Interést
1 + (1 − TD ) rD
t=1
∞
= VA (FCFs, descontados a rU ) + ∑
Aquí,
 FCF=
flujos de efectivo libres de la empresa
 rU = costo de capital propio de la empresa no apalancada
 rD = costo de deuda de la empresa
 TC = tasa de impuestos corporativa
 TE = tasa de impuestos personal sobre rentas del capital
 TD = tasa de impuestos personal sobre rentas ordinarias (incluyendo intereses)
2. Asumiendo que una empresa está contemplando un cambio permanente ∆Deuda en su estructura de
capital, el valor de los ahorros fiscales adicionales producidos por la deuda están dados por la ecuación:
 ahorros fiscales
 ∞ [(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * Interést
VA 
=∑
t
 por intereses capitalizados  t=1
(1 + (1 − TD )rD )
| 549
Principios de Finanzas con Excel
=
=
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * rD * ∆Deuda
(1 − TD )rD
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )] * ∆Deuda = T * ∆Deuda
(1 − TD )
donde T =
[(1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC )]
(1 − TD )
3. En la teoría clásica del modelo de Modigliani-Miller, que invoca solo impuestos corporativos, T = TC,
de modo que la deuda siempre agrega valor. En el modelo más complejo de Miller, que tiene en cuenta tanto impuestos corporativos como personales, T puede ser positiva, negativa o cero, dependiendo del signo de (1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) . Miller planteó la hipótesis de que (1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) = 0 ; si
es así, entonces no habría ventaja alguna del financiamiento con deuda respecto del financiamiento
con capital propio.
4. El apalancamiento afecta tanto al CCMP como al costo del capital propio rE. En la tabla de abajo,
damos algunas fórmulas para el CCMP, el costo del capital propio rE, y el costo de capital para una
empresa no apalancada rU:
Costo del capital medio ponderado
Costo del capital propio de una
empresa apalancada, rE
Costo del capital no apalancado, rU
CCMP =
E + D * (1 − T )
* rU
E+D
rE = rU + [rU * (1 − T ) − rD * (1 − TC )]
rU =
rD * D * (1 − TC ) + rE * E
E + D * (1 − T )
Si la deuda agrega valor (es decir, T > 0), el
apalancamiento disminuye el CCMP
D
E
Más deuda siempre hace más arriesgado
el capital propio e incrementa el costo del
capital propio. La cantidad en la que el
capital propio se vuelve más arriesgado
depende de los valores relativos de T y TC
Habitualmente estimamos el costo de
capital propio de la empresa rE, esta fórmula
le deja ir hacia atrás para ver cuál sería el
costo de capital rU de la empresa si esta no
tuviera apalancamiento
5. Contrariamente a la fórmula de la conclusión 2 de arriba, el valor de los ahorros fiscales por interés no es el único factor en la determinación del efecto del cambio en la deuda sobre el valor de
la empresa. Otros tres factores prominentes tratados por académicos y prácticos son los costos
de quiebra, los costos del control financiero y los efectos de opciones asociados a la deuda. Esos
costos son difíciles de cuantificar, pero ciertamente existen:
550 |
CAP. 15 | La evidencia sobre la estructura de capital
a. Costos de insolvencia financiera (“costos de quiebra”): aumentar el apalancamiento de la
empresa hace también más probable que la empresa tenga mayores probabilidades futuras de
encontrarse en dificultades financieras. El valor actual de los costos de salir de esos problemas
(estos deberían ser llamados “costos de la insolvencia financiera”, pero son habitualmente
llamados costos de quiebra) deberían ser deducidos de los beneficios del apalancamiento
adicional1.
b. Costos del control financiero. Los prestamistas habitualmente le prestarán dinero a la empresa
solo si pueden ejercer más control. Generalmente, este control involucra convenios de deuda.
Estos son restricciones impuestas por los prestamistas de la empresa. Por ejemplo, el bono de
“The Giant Industries” tiene los siguientes convenios:
c. “El acuerdo de emisión…contiene convenios restrictivos que, entre otras cosas, limitan la
posibilidad de la compañía y sus subsidiarias para crear gravámenes, para incurrir en deuda
garantizada, para pagar dividendos, para recomprar acciones comunes de la compañía, para
vender ciertos activos, para incurrir en ciertas fusiones, para incurrir en ciertas transacciones
con empresas vinculadas o para alterar la línea actual de negocios de la compañía”.
d. Los efectos de opciones de la deuda: los accionistas de una empresa fuertemente endeudada
tienen menos que perder que aquellos en una empresa poco apalancada. Ellos pueden por esto
sentirse libres para asumir más riesgos. El incremento del apalancamiento puede entonces
afectar al riesgo de los flujos de efectivo libre (FCF). Por ejemplo, Víctor y Juan son dueños de
un inmueble similar: el valor de mercado de cada uno de esos inmuebles es $100.000. Los
inmuebles requieren reparaciones muy costosas. Víctor es propietario de su inmueble en forma
directa, mientras que Juan tiene una hipoteca de $99.000 sobre esa propiedad. Es más probable que Víctor efectúe las reparaciones porque tiene más que perder. Para Jerry, en el peor
de los casos si algo le ocurre al inmueble, no pagará su hipoteca y será el banco el que tenga
que ocuparse de los problemas2.
6. Finalmente, puede ser que las empresas estén limitadas en su endeudamiento por el tipo de activos que tengan. Si los prestamistas requieren garantías por los préstamos, entonces las empresas
con muchos activos fijos puede que estén en mejores condiciones de endeudarse que aquellas con
activos “efímeros”. Por lo tanto, aun si Modigliani y Miller están en lo cierto y las empresas quieren
pedir prestado tanto como sea posible, puede ocurrir que empresas de software (con menos activos
tangibles) sean menos capaces de pedir prestado que empresas constructoras.
3. ¿Cómo se financian las empresas?
Una forma de pensar sobre la estructura de capital es observar las estructuras de capital reales de
diferentes empresas e industrias (o sectores de la economía). Como ejemplo, considere Laboratorios
Abbott, una importante empresa farmacéutica norteamericana: el 20 de Marzo de 2002, el balance de
Abbott mostraba una deuda de aproximadamente $8,7 billones y capital propio de 10,7 billones. Utilizando estos valores en libros de deuda y capital propio, Abbott tenía una ratio a valor en libros de deuda
sobre capital propio de 0,81:
1 La investigación empírica en finanzas estima los costos de quiebra como generalmente inferiores al 10 % del valor de la deuda al
momento de la quiebra. Si se cumple el modelo de ahorro fiscal completo de Modigliani-Miller, no es probable que los costos de quiebra
de esta magnitud pudieran disminuir la propensión de la empresa hacia más apalancamiento. Un artículo reciente (Timothy Fisher y M
Jocelyn Martel, “On direct bankruptcy costs and the firm´s bankruptcy decision”. http://ssrn.com/abstract=256128) brinda información
interesante sobre los costos de quiebra y liquidación en Canadá.
2 Los prestamistas conocen todo acerca de los efectos de opciones. Estos ocasionan que restrinjan sus préstamos y que también impongan convenios a los prestatarios.
| 551
Principios de Finanzas con Excel
Lab. Abbott, ratio deuda/capital propio, a valor en libros =
Deuda
8,7
= = 0, 81
Capital Propio 10,7
El valor en libros del capital propio de Abbott subestima su valor de mercado. El 20 de marzo de
2002, Abbott tenía 1.563.436.372 acciones en circulación; el valor de mercado por acción era $51,80.
Multiplicando estos dos números obtenemos el valor de mercado del capital propio de Abbott de $81
billones, por lo que Abbott tenía una ratio de deuda/capital propio a valor de mercado de 0,108:
Lab. Abbott, ratio deuda/capital propio, a valor de mercadoo =
Deuda
8,7
= = 0,108
Capital Propio 81, 0
Los profesionales de finanzas prefieren unánimemente valores de mercado antes que valores contables, por lo que esta última es nuestra estimación para la ratio deuda/capital propio de Abbott.
La ratio deuda sobre capital propio de las empresas farmacéuticas
En la hoja de cálculo de abajo calculamos la ratio deuda/capital propia tanto a valores contables como
de mercado para las mayores compañías farmacéuticas.
Varias cuestiones quedan claras a partir de estos datos:
■■ La
ratio promedio a valor de mercado de deuda/capital propio para estas empresas es aproximadamente cero. Si hay alguna ventaja de la deuda respecto del capital propio, aparentemente las
empresas farmacéuticas no se dieron cuenta de esta ventaja.
■■ La variabilidad en la ratio deuda/capital propio a valor contable es muy grande. No parece que
estas empresas se esfuercen por posicionarse en una ratio deuda/capital propio común.
552 |
CAP. 15 | La evidencia sobre la estructura de capital
¿Podemos aprender algo a partir de estos datos para las empresas farmacéuticas? Para el autor de este
libro, al parecer no hay evidencia de que estas empresas se esfuercen por alcanzar ninguna ratio deuda/
capital propio como objetivo. Si, como demostramos en el capítulo 14 y en la sección 15.1, el hecho de
que las empresas apunten hacia una ratio deuda/capital propio depende del sistema impositivo, entonces la falta de un patrón claro en la ratio deuda/capital propio para el sector farmacéutico indica que el
efecto de los impuestos sobre la ratio deuda/capital propio es relativamente neutral. En pocas palabras,
las ratios deuda/capital propio del sector farmacéutico son consistentes con la hipótesis de Merton Miller
de que (1 − TD ) − (1 − TE ) * (1 − TC ) = 0 , por lo que no hay beneficios impositivos netos para la maximización ni
minimización de la ratio deuda/capital propio de las empresas.
La ratio deuda/capital propio de otras industrias
¿Cómo se compara la industria farmacéutica con las empresas minoristas de alimentos? Como muestra el gráfico de abajo, las cadenas de supermercados parecen tener ratios de deuda/capital propio mucho
más elevadas que las firmas farmacéuticas. Habiendo dicho esto, la variación en las ratios deuda/capital
propio para el rubro alimenticio es enorme. Sin embargo, tanto para las empresas alimenticias como para
las droguerías, no parece haber evidencia de una tendencia general.
Estos son datos similares para metalúrgicas:
| 553
Principios de Finanzas con Excel
En síntesis, como se puede observar en los datos, no parece que haya una tendencia en las ratios deuda/capital propio, ya sea medida en valores contables o de mercado. Esto es una evidencia a favor de una
neutralidad impositiva respecto a la política de deuda a capital propio y en contra de las teorías (como
la teoría de Modigliani-Miller de la estructura de capital solo con impuestos corporativos) que proclaman
que el financiamiento con deuda incrementa el valor de la empresa.
4. Calcular Beta del activo de la empresa (ßActivo) y CCMP: un ejemplo
En la sección previa llegamos a la conclusión de que hay muy poca evidencia en los patrones actuales
de financiamiento empresario para indicar una preferencia por la deuda. Esta aparente indiferencia hacia
la deuda genera dudas sobre hasta qué punto la deuda realmente genera una diferencia en el valor de la
empresa. Otra manera de medir los efectos sobre la valuación es observar la beta del activo de la empresa
y preguntar si esta βActivo es afectada por la ratio deuda/capital propio de la empresa.
En esta sección mostramos cómo medimos βActivo para Ford Motor Company. Utilizamos esta βActivo para
calcular el CCMP de Ford usando la fórmula:
CCMP = rf + βActivo * E ( rM ) − r f 
Sin embargo, nuestro principal interés en esta sección no es el CCMP. En lugar de ello, queremos mostrarle cuidadosamente cómo utilizar fuentes públicas de información (en este caso Yahoo) para calcular
β de la deuda empresaria, la ratio deuda/capital propio y beta del activo.
El costo de la deuda de Ford y Beta de deuda, ßD
Al final del tercer trimestre de 2009, Ford reportó los siguientes números para su efectivo, deuda, y
gastos de intereses netos. A partir de los números, nosotros concluimos que la tasa de interés promedio
pagada por la compañía es 6,39 %.
Yahoo informa de la beta del capital propio de Ford βE de 2,77. Para calcular beta de la deuda de
Ford βD, usamos el cálculo:
554 |
CAP. 15 | La evidencia sobre la estructura de capital
Costo de la deuda =rD = rf + βD * E ( rM ) − rf 
βD =
rD − rf
E(rM ) − rf
Esta es la LMT de la deuda. Dado que conocemos que rD = 6,39 %, podemos resolverlo para βD. En diciembre de 2009 la tasa de interés a corto plazo de los Bonos del Tesoro era rf = 0,25 % y E(rM) - rf = 8,75 %.
Por ello, la ecuación de arriba se resuelve con un BD = 0,70.
Tasa de impuestos de Ford
Los Estados Financieros del trimestre indicaban para el 30 de septiembre de 2009 beneficios antes
de impuestos por $1,22 billones e impuestos por $140 millones. Por lo que la tasa de impuestos de Ford
es 11,44 %.
Calcular la Beta del activo de Ford, ßActivo
La fórmula para beta del activo βActivo es:
βActivo = βE *
D
E
+ βD * (1 − TC )
E+D
E+D
Donde:
■■ βE
= beta del capital propio.
beta de la deuda.
■■ βD=
■■
E
D
= porcentaje de capital propio;
= porcentaje de deuda.
E+D
E+D
| 555
Principios de Finanzas con Excel
Este cálculo es implementado abajo y da una beta del activo de Ford de 1,19.
5. Calcular Beta del activo, ßActivo, para la industria de comestibles
En la sección previa hemos mostrado cómo calcular βActivo para Ford. Abajo mostramos el resultado de
nuestros cálculos para la industria de las cadenas de supermercados. La β del activo promedio para este
sector es casi 1 y no hay relación significativa entre las β del activo y el apalancamiento de las empresas.
556 |
CAP. 15 | La evidencia sobre la estructura de capital
Para la industria de los comestibles, podemos concluir que β del activo no se ve afectada por la estructura de capital. Esta es la posición de Miller:
■■ Si
los resultados de Modigliani-Miller son representativos, entonces el CCMP disminuirá cuando
el monto de la deuda crezca. El efecto sobre βActivo será que βActivo debería disminuir a medida que
el apalancamiento crezca.
■■ Si los resultados de Miller son representativos, entonces el CCMP no se verá afectado por la cantidad de deuda. El efecto sobre βActivo será que βActivo debería permanecer constante a medida que
el apalancamiento crezca.
En el evento analizado, βActivo parece no verse afectado por la ratio deuda/activo. Por lo que, al menos,
para la industria de comestibles, la teoría de Miller parece funcionar mejor que la teoría de MM para
explicar estas cuestiones.
6. Evidencia académica
En la sección previa nos hemos ceñido a un ejemplo específico —la industria alimenticia de
EE. UU.— para tratar de evaluar si la estructura de capital afecta a la beta del activo βActivo de estas empresas. Nuestra conclusión es que, para esta industria, no lo hace: la beta del activo βActivo y, por lo tanto,
el CCMP no se ven afectadas por la estructura de capital.
La investigación académica reciente parece llegar a la misma conclusión3.
■■ Cuando
Eugene Fama y Kenneth French trazaron la regresión del valor de la empresa respecto del
apalancamiento, ellos concluyeron que el apalancamiento no importaba4.
■■ John Graham, en un estudio publicado en 2001, concluye que “en el margen, los costos impositivos y beneficios impositivos (del apalancamiento) deben ser de magnitudes similares”5. Para demostrar cuán confuso es esto, Graham concluye que —utilizando otro método— el beneficio fiscal
de la deuda es aproximadamente 9 % para los años 1995-19996. Esto probablemente represente
los costos de quiebra.
■■ Ivo Welch, en un ensayo escrito en 2002, no encuentra evidencia alguna de que las empresas
busquen una estructura de capital óptima7. Él determinó que las empresas tienden a realizar pocos
cambios en su endeudamiento, de modo que su estructura de capital real (es decir, su ratio de
deuda/valor de mercado del capital) es ampliamente orientada por los precios de mercado de las
acciones de la empresa. Hay poca evidencia, de acuerdo a Welch, de alguna optimización en la
decisión de endeudamiento.
3 Le advertimos que esto es aún una controversia. ¡Todo profesor de finanzas parece tener una opinión al respecto! Si usted desea una
buena nota en el curso, esté en desacuerdo con el libro y no con su profesor.
4 “Taxes, Financing Decisions, and Firm Value“. Journal of Finance 1998, Pag 819-843.
5 “Taxes and Corporate Finance: A Review”. Review of Financial Studies, 2003.
6 Ídem, páginas 26-27.
7 Ivo Welch, “Columbus, the Real Determinants of Capital Structure”. Yale School of Management working paper, 2002.
| 557
Principios de Finanzas con Excel
7. Resumen
La teoría de estructura de capital sugiere que la decisión de estructura de capital está en gran medida
orientada por la diferencia impositiva sobre deuda y capital propio. La evidencia empírica sobre estructura de capital sugiere que esta no importa mucho en la determinación del valor de la empresa.
A efectos prácticos:
■■ Usted
puede asumir que el CCMP promedio de una empresa no varía ante cambios en la estructura
de capital.
■■ Esto significa que el CCMP de una empresa puede ser medido tomando el CCMP promedio de la
industria. Esto también significa que la beta del activo, βActivo de una industria es representativa del
riesgo general de la industria y no es una función de la estructura de capital de la misma.
■■ La mejor manera de valuar una empresa es utilizar el CCMP para descontar los FCF futuros esperados (recuerde que estos son flujos de fondos operativos y no incluyen intereses y demás factores
relacionados con el financiamiento). Hemos ilustrado este enfoque en varios capítulos de este
libro: 6, 7 y 13.
558 |
Capítulo 16
Política de dividendos
Contenido
1.
2.
3.
4.
Concepto general
La teoría financiera sobre dividendos
¡Los impuestos pueden marcar una gran diferencia!
Dividendos (satisfacción ahora) versus ganancias de capital
(disfrutar después)
5. ¿Son los dividendos una señal?
6. ¿Qué piensan los ejecutivos de las empresas sobre los
dividendos?
7. Resumen
CAP. 16 | Política de dividendos
1. Concepto general
Cuando John comenzó su curso de finanzas en la facultad en septiembre de 2004, su abuela le dio
100 acciones de General Motors (GM). “Tener acciones es la mejor manera de entender el mercado de
acciones”, le dijo ella. “Cuando tú tienes una acción, comienzas a seguir a la compañía”. Los meses
siguientes demostraron que ella estaba en lo cierto —ser propietario de acciones fue muy educativo—.
John comenzó a seguir tanto al mercado accionario como a GM. Algunos de los frutos de su aprendizaje
están en esta introducción.
El obsequio de las 100 acciones de GM fue un regalo sustancioso: en el momento en que su abuela
le dio a John las acciones, cada acción de GM se comercializaba a $41,10, por lo que el regalo tenía un
valor de $4.110. Durante los meses siguientes al regalo, el precio de la acción de GM subió hasta $43,14
el 8 de septiembre de 2004 y bajó hasta $37,04 el 25 de octubre de 2004 (Figura 16.1). John también
siguió las noticias sobre la compañía, lo cual era muy deprimente (Figura 16.2).
Luego, el 29 de octubre de 2004, John leyó que GM declaró $0,50 de dividendo por acción (Figura
16.3). Dado que él era propietario de 100 acciones, se dio cuenta de que ello significaba que pronto recibiría $50 de GM. Leyendo este anuncio, John se dio cuenta de que tenía que aprender alguna
terminología nueva:
■■ La
fecha de pago del dividendo era 10 de diciembre de 2004. Esta es la fecha en la cual el dividendo será realmente pagado a los accionistas de GM.
■■ El dividendo es pagado a los accionistas registrados al 8 de noviembre de 2004. Esto significa que
solo los accionistas que figuraban en GM en esa fecha reciben el dividendo.
■■ Dado que toma 2 días hábiles registrar un cambio de titularidad de una acción, el dividendo es en
realidad pagado a los accionistas propietarios de la acción al cierre de la jornada de negociación
del 4 de noviembre de 20041. Esta fecha es indicada como fecha ex -dividendo de la acción.
Figura 16.1. Precio de la
acción de GM, septiembre
– diciembre de 2004.
1 El 8 de noviembre de 2004 era lunes. Dos días hábiles antes de ese lunes era jueves 4 de noviembre de 2004.
| 561
Principios de Finanzas con Excel
John se pasó algo de tiempo pensando en si el dividendo era algo positivo o negativo. De repente, se
dio cuenta de que había un número considerable de factores a considerar. En las secciones siguientes le
mostramos el razonamiento de John sobre los diversos factores que afectan al dividendo.
1.1. El dividendo como información
Durante el período septiembre – diciembre 2004, las noticias sobre GM fueron incesantemente negativas (vea la Figura 16.2). Las ventas de la compañía estaban en baja, sus costos de salud fueron 10
veces más altos que los de Honda, sus bonos recibieron baja calificación y fue obligada a ofrecer enormes
descuentos e incentivos a potenciales compradores de coches.
El dividendo no hizo mucho para contrarrestar ese pesimismo sobre la compañía. Repasando en un
tiempo atrás la historia de dividendos de GM, John vio que la empresa había pagado un dividendo de
$0,50 por acción en cada mes de febrero, mayo, agosto y noviembre, revisando desde 1997. Si GM hubiera incrementado su dividendo, John quizás hubiera podido interpretar el dividendo como información
positiva sobre GM. Y si la empresa hubiera recortado su dividendo, esto podría haber sido interpretado
como una mala noticia. Pero mantener el dividendo constante difícilmente puede ser interpretado como
una señal de importancia de la compañía.
1.2. El dividendo y los impuestos a los beneficios ordinarios
El dividendo de GM sería parte del beneficio imponible de John. Como estudiante de relativamente
bajos ingresos, la tasa de impuestos de John era solo 15 %, pero aun así esto significaba que John tendría que pagar 15 % * $50 = $7,50 de impuestos por los dividendos, por lo que su ingreso neto de los
dividendos sería $42,50 en lugar de $50. John se dio cuenta de que para su abuela, cuya tasa impositiva
era 40 %, el dividendo sería mucho más costoso —si ella hubiera recibido el dividendo, este le hubiera
costado a ella $20 de impuestos, por lo que ella hubiera recibido solo $30 de dividendo neto—.
Por otro lado, John vio en Yahoo (Figura 16.4) que el 77 % de las acciones de GM era propiedad de
fondos de pensión y fondos mutuos, los cuales no pagan impuestos a las ganancias en forma directa sobre
sus ingresos por dividendos. Por ello, quizás, él razonó, la política de dividendos de GM está basada en
el supuesto de que para la mayoría de los accionistas los impuestos sobre los dividendos son irrelevantes.
1.3. El dividendo y los impuestos a las ganancias de capital: reinversión de dividendos versus
retención por parte de la empresa
John realmente planeaba reinvertir sus dividendos en acciones de GM. Esto significa que al recibir
el dividendo el 10 de diciembre de 2004, él destinaría su dividendo después de impuestos de $42,50
a la compra de nuevas acciones de GM. Dado que el precio de la acción de GM el 10 de diciembre era
$38,93, John habría adquirido $42,50 / 38,93 = 1,0917 partes de la acción de GM.
562 |
CAP. 16 | Política de dividendos
John contrastó su reinversión de dividendos con la alternativa de que GM directamente no pagara
dividendos. Si GM no hubiera pagado dividendos y retenido el beneficio, él asume que el precio de la
acción debería haber crecido en $0,50 por acción. En tal caso, esto hubiera sido beneficioso para él en,
al menos, dos sentidos:
■■ Ante
todo, si la empresa no hubiera pagado dividendos, John hubiera tenido un neto de $0,50 por
acción en lugar de los $0,425 por acción que él realmente obtiene después de impuestos a las
ganancias. La empresa le hubiera hecho ahorrar el impuesto a las ganancias sobre sus dividendos.
■■ Si GM no hubiera pagado dividendos y John hubiera vendido sus acciones de GM, la ganancia de
$0,50 por acción hubiera estado gravada como una ganancia de capital en lugar de estarlo como
un ingreso ordinario. Dado que las tasas sobre las ganancias de capital son menores que las tasas
sobre beneficios ordinarios, John se hubiera beneficiado por la retención de dividendos.
Combinando estos tres factores —información, impuestos a la renta y ganancias de capital— John
se dio cuenta de que necesitaba algo de teoría de finanzas que lo ayudara a entender el concepto de los
dividendos. El resto de este capítulo ahonda en esta teoría.
Conceptos financieros tratados
■■ Dividendos
■■ Beneficios
retenidos
■■ Ganancias de capital versus ingreso ordinario
Funciones de excel utilizadas
Utilizamos muchas hojas de Excel para poner orden a las cosas, pero a decir verdad, este capítulo no
utiliza ningún concepto sofisticado de Excel. La única función usada en Suma.
Noticias sobre general motors – una selección de titulares
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Cadillac: Ha mejorado pero no es el mejor aún, en Forbes.com (martes, Dic 14).
Los beneficios de Ford y GM con perspectivas de disminuir, en Forbes.com (lunes, Dic 13).
Proveedores en problemas por la baja producción de GM, en Forbes.com (Viernes, Dic 10).
Los bonos de GM caen por rumores de recortes laborales, MarketWach (jueves, Dic 9).
GM va a recortar 12.000 puestos de trabajo en Europa, en MarketWach (jueves, Dic 9).
GM convocando a 640 Saab 9-3 para reparación gratuita, en Forbes.com (jueves, Dic 9).
Carta al gerente financiero de GM en Realmoney, por TheStreet.com (jueves, Dic 9).
GM debería refinanciar por lo menos la mitad de sus vencimientos del 2005 y 2006 mientras las tasas se mantengan
bajas. La continuidad de la compañía se ve amenazada por cualquier incremento en los rendimientos de los bonos.
La desesperación de GM se torna más ruidosa, Montley Fool (jueves, Dic 9).
GM refuerza los incentivos luego de un pobre noviembre, Associated Press (jueves, Dic 9).
GM en Europa promete evitar el cierre de plantas, Associated Press (miércoles, Dic 8).
Ford, GM van a disminuir su producción en el 2005, Associated Press (miércoles, Dic 8).
Las ventas de GM descendieron 13,1 % en noviembre, Associated Press (miércoles, Dic 1).
Alerta sobre bonos basura en Forbes.com (lunes, Nov 29).
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Principios de Finanzas con Excel
<< Viene de página anterior
Tal como se están comercializando las cosas, creo que, al menos, alguna agencia calificadora va a degradar a los gigantes
automotrices a la categoría de basura a estas alturas del próximo año. Pero que esto no le haga dejar de adquirir bonos de
Ford y GM, con sus buenos rendimientos. ¿Qué es lo que va mal en estas dos grandes compañías automovilísticas? Casi
todo: pérdida de participación de mercado, dificultades con los gremios, restructuración, incremento de precios de materias primas, inventarios excesivos, deslucidos nuevos productos. ¿Y qué es lo que marcha bien? Son grandes compañías
automovilísticas y no van a desaparecer. Ford y GM son dos de los mayores emisores de bonos, con $168 billones y $284
billones, respectivamente, en deuda consolidada. Esto significa que casi todo fondo de pensión y fondo mutuo cuenta con
que tiene estos papeles. Una degradación a bono basura haría que no calificaran algunos de estos inversores y tuvieran
que vender eventualmente sus bonos. Pero ellos no se verán obligados a hacerlo de repente. Los precios, tras una caída,
van a rebotar. Alguien que adquiera ahora y lo mantenga por años (mejor aún, hasta su vencimiento) puede permitirse
hacer caso omiso de la degradación.
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Los fabricantes de coches americanos listos para lanzar nuevos incentivos, en FT.com (lunes, Dic 8).
GM recorta 12.000 puestos de trabajo en Europa, en FT.com (jueves, Oct. 14).
Las tasas de interés empujan a los conductores americanos hacia modelos económicos, en FT.com (domingo, Oct 3).
GM apunta a más recortes de gastos en la compañía, en FT.com (miércoles, Sept 29).
Bienvenidos a la economía de la bancarrota, en TheStreet.com (miércoles, Sept 29).
En General Motors... el costo promedio de servicios de salud y beneficios jubilatorios es de alrededor de $1.360 por
coche. Esto es más de lo que GM gasta en acero por coche. En el caso de Honda, los costos de salud y jubilación son
solo $107 por auto.
Ford, GM tienen bajos ratios de confiabilidad, en RealMoney por TheStreet.com (miércoles, Sept 15).
Difícil mes para las automovilísticas, en TheStreet.com (miércoles, Sept 1)
Figura 16.2. Algunos titulares sobre GM, durante septiembre-diciembre de 2004. Durante este período la mayoría de las
noticias sobre la compañía fueron negativas. La compañía estuvo en quiebra en Junio de 2009.
Fuente: http//finance.yahoo.com
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CAP. 16 | Política de dividendos
NOTICIAS
PARA SER COMUNICADA EN FECHA: 29-10-2004
GM Declara Dividendo Trimestral
DETROIT- General Motors Corp. (NYSE: GM) anuncia hoy el dividendo del cuarto
trimestre de $0,50 por acción para las acciones comunes de GM. El dividendo
es pagadero el 10 de diciembre de 2004, para los accionistas registrados al 8
de Noviembre de 2004. La tasa del dividendo no ha sido modificada respecto del
trimestre anterior.
General Motors, el mayor fabricante automovilístico del mundo, diseña, construye
y comercializa coches y camiones en todo el mundo, y ha sido el líder en ventas
de automóviles desde 1931. Puede encontrar más información sobre GM en www.
gm.com.
Figura 16.3. Información del comunicado de prensa del dividendo de GM.
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Principios de Finanzas con Excel
Figura 16.4. El 77 % de las acciones de GM es propiedad de los fondos de pensión y fondos mutuos, que no pagan impuestos de forma directa sobre sus
beneficios, por lo que las consideraciones impositivas en el pago de dividendos de GM pueden no ser críticas.
2. La teoría financiera sobre dividendos
Para ayudarnos a considerar puramente la teoría financiera de dividendos, analizaremos la historia
de John y Mary, los cuales son dueños de idénticas compañías de taxis que difieren únicamente en su
política de dividendos. Cada empresa cuenta con la misma cantidad de taxis y tiene los mismos ingresos
y gastos. Estos son los balances de ambas compañías.
2.1. John se paga a sí mismo un dividendo
Suponga que John quiere algo de efectivo y decide declarar un dividendo de $3.000. A continuación
le mostramos cómo se ve el balance (el balance de Mary no se modifica).
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CAP. 16 | Política de dividendos
Hay dos cambios en el balance de John:
■■ El
saldo de efectivo disminuye de $5.000 a $2.000, reflejando el pago del dividendo.
■■ Los beneficios retenidos acumulados disminuyen de $10.000 a $7.000. Esto es lo que queremos
decir con la expresión “los dividendos son pagados con los beneficios retenidos”. No nos gusta
esta expresión, porque los dividendos son pagados con el efectivo; la disminución en los beneficios
retenidos simplemente refleja el cambio, que hace que cierre el balance.
Estas son algunas preguntas que usted podría hacerse sobre esta situación:
■■ Pregunta
1: ¿Cuáles son los efectos de los dividendos sobre la valuación?
¿Ha modificado el dividendo pagado por John el valor de su negocio de taxis frente al negocio de
Mary? Obviamente no —ambos siguen teniendo la misma cantidad de taxis, y Mary solo ha mantenido su efectivo en el negocio en lugar de, como hizo John, sacarlo—. Una buena manera de verlo
es escribir el balance en términos de deuda neta, restando el efectivo de la deuda.
El lado del activo del balance sigue valiendo lo mismo, haya sido el dividendo pagado o no. Por
su parte, el lado de los pasivos y patrimonio neto del balance es diferente: John tiene más deuda
y menos capital propio que Mary.
■■ Pregunta
2: ¿Quizás es solo una cuestión de estructura de capital?
Los balances anteriores de las dos compañías muestran que a pesar de que ellas sean iguales en
el lado del activo del balance, el dividendo ha modificado la estructura de capital de las empresas.
Por lo que quizás la cuestión de los dividendos tiene relación con el problema de la estructura de
capital analizado en los capítulos 14 y 15. Si es así, ello sugiere lo siguiente:
Los dividendos pueden importar si la estructura de capital importa: una empresa después-del-dividendo (como la de John) tendrá una mayor ratio de deuda sobre capital propio que una empresa
antes-del-dividendo (como la de Mary).
Si las empresas con una mayor ratio deuda-sobre-capital-propio tienen una mayor valuación, entonces las empresas deberían pagar dividendos.
Ahora este libro asume una posición definida sobre este tema: en los capítulos previos hemos sugerido que la cuestión de la estructura de capital es en definitiva una cuestión de equilibrar los
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Principios de Finanzas con Excel
impuestos personales versus los corporativos. También hemos sugerido que la evidencia económica
indica que en promedio los impuestos se compensan, por lo que la estructura de capital no importa.
A pesar de que este argumento sugiere que el dividendo no afecta a la valuación de la compañía,
hay otro aspecto impositivo en esta cuestión: la compensación entre impuestos a los beneficios
ordinarios y los impuestos a las ganancias de capital. Lo analizaremos en la sección siguiente.
Mientras tanto, dado que las empresas de taxi de John y Mary no están gravadas y dado que Mary
y John no están gravados impositivamente de forma personal, el aspecto deuda-sobre-capital de la
decisión de dividendos no debería afectar a la valuación de sus compañías.
■■ Pregunta
3: ¿Afecta el dividendo el valor de la empresa en marcha?
Presentamos aquí otra manera de pensar en esta cuestión: suponga que tanto John como Mary
están pensando en vender sus empresas de taxi. Suponga que “la parte de los taxis” del negocio
está valuada en $40.000, que es, por supuesto, mayor que su valor en el balance y suponga que
esta valuación no incluye el saldo de efectivo de la contabilidad. John y Mary tienen estrategias
levemente diferentes acerca de cómo vender sus negocios: John pretende primero pagarse a sí
mismo un dividendo y luego vender el negocio, mientras que Mary pretende vender el negocio
primero sin tomar ningún dividendo. Estos son los cálculos.
La línea a continuación de estos dos cálculos es igual: John y Mary obtienen cada uno un total de $35.000
por la venta, por lo que no importa si se pagan a ellos mismos un dividendo2. Observe las diferencias:
■■ Mary
tiene menos deuda que cancelar (John ha sacado $3.000 en dividendos, por lo que tiene
menos dinero en efectivo en su compañía).
■■ El valor en libros del capital propio de Mary es mayor. Cuando agreguemos impuestos a las ganancias de capital (próximo ejemplo), ello implicará que Mary tiene menos beneficio imponible. Pero
con una alícuota del 0 %, ello no importa.
2 Sin embargo, para anticipar la próxima sección, el supuesto de que no hay impuestos es crítico para este argumento.
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CAP. 16 | Política de dividendos
¿A quién le importa dónde está el dinero mientras que el dinero esté ahí?
Esto es en realidad el quid de la cuestión sobre el que gira todo este tema: ¿a quién le importa si el dinero está en el negocio
de taxis o en la cuenta individual del dueño? Por supuesto que usted puede pensar en muchas respuestas a esta pregunta
que indiquen que sí importa:
\\
\\
Impuestos: si la empresa y sus dueños pagan diferentes tasas de impuestos, quizás los dividendos tengan valor. Si los
impuestos a las ganancias de capital son menores que los impuestos a las ganancias ordinarias, quizás —como se
sugirió en la introducción de este capítulo— las empresas deberían retener el dividendo y no pagarlo.
Confianza: si hay múltiples dueños de la empresa, puede que usted quiera su dinero en sus manos y no dejarlo en la
compañía. Los economistas llaman a esto “costos de agencia” —siendo el agente alguien al que usted le ha delegado
hacer su trabajo por usted (esto es, el administrador) —. El argumento de los costos de agencia para el pago de dividendos sugiere que usted y su administrador pueden tener diferentes objetivos; si el objetivo del administrador incluye
desperdiciar su dinero, entonces puede ser que usted deba quitar el dinero de sus manos pagando dividendos.
3. ¡Los impuestos pueden marcar una gran diferencia!
En la sección 16.2 vimos la política de dividendos en un mundo sin impuestos. Utilizando los negocios de taxi de John y Mary, concluimos dos puntos:
■■ El
valor de “la parte de los taxis” del negocio —el valor de empresa en marcha— no se ve afectado
por la política de dividendos del negocio de John y Mary.
■■ Los ingresos —dividendos más ganancia por la venta del negocio— para John y Mary son exactamente los mismos, independientemente de su política de dividendos.
Ahora veamos el segundo punto nuevamente y supongamos que introducimos impuestos. Asumiremos
que los dividendos están gravados a la tasa de los “ingresos ordinarios” del 30 % y que las ganancias
provenientes de la venta del negocio están alcanzadas por una tasa a las ganancias de capital del 15 %.
Comenzaremos con Mary, quien vende su compañía de taxis por $40.000. Como muestra el siguiente
cálculo, el neto para Mary por la venta de la compañía es $32.000.
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Principios de Finanzas con Excel
Ahora John: él también vende su compañía, pero primero se ha pagado a sí mismo un dividendo. El
neto resultante para él se indica a continuación:
El motivo para la diferencia entre el neto para John de $31.100 y el neto para Mary de $32.000 es
que los dividendos están gravados a una mayor tasa impositiva que las ganancias de capital. Al no pagarse a sí misma un dividendo, Mary ha ahorrado $900 = 30 % * 3.000 en impuestos sobre los dividendos3.
Este análisis sugiere que los dividendos podrían importar si hay impuestos a los dividendos e impuestos a las ganancias de capital: si la tasa sobre los dividendos es mayor que la tasa sobre las ganancias de
capital, la empresa no debería distribuir dividendos4.
¿Qué ocurre si John realmente necesita el dinero? Solución 1: pagar un plus
Suponga que por algún motivo John realmente precisa el dinero ahora. Entonces él debería pagarse
a sí mismo un plus, que es un gasto deducible de impuestos para la compañía. Cuando John se paga a
sí mismo un plus, este es una salida de efectivo, pero tiene deducibilidad impositiva. Esto es lo que le
ocurre a los saldos de efectivo.
Saldo Inicial de efectivo
$5.000
Costo después de impuestos del plus para la empresa
$1.800
Dinero en mano después del plus
$3.200
La empresa le paga a John un plus de $3.000, que es un gasto a
efectos impositivos. A la tasa de impuestos corporativa del 40 %,
el costo después de impuestos del plus es (1 - 40 %) * 3.000
3 En todo caso, tanto John como Mary van a pagar la misma tasa a las ganancias de capital. Esto es porque el dividendo, pagado en
efectivo, reduce el capital propio de la empresa e incrementa la deuda neta. El resultado, como usted puede confirmar con los ejemplos,
es que la ganancia de capital para los accionistas de la empresa es independiente del dividendo.
4 Por supuesto esto asume que usted confía en que la empresa guarde el dinero del accionista con prudencia. Si los “costos de agencia”
son muy altos, los accionistas preferirán obtener su dinero tan rápido como sea posible, aun en la forma de dividendos gravados a alícuotas
mayores.
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CAP. 16 | Política de dividendos
La Figura 16.5 muestra cómo queda el beneficio de John con el dividendo y con un plus. Hemos asumido que John paga una tasa impositiva del 25 % por los beneficios ordinarios tanto por los dividendos
como por el plus.
Figura 16.5. Flujo de fondos de John (celdas B24 y G24) con un dividendo y con un plus. Dado que los dividendos, el beneficio corporativo y las ganancias de capital
están gravadas a tasas diferentes, John está mejor pagándose a sí mismo un plus en lugar de pagarse a sí mismo un dividendo.
Este pequeño truco (la deducibilidad impositiva del plus) es realmente más rentable que la política de
Mary de no pagarse ningún dividendo del todo (compare el neto que le queda para John de $32.450 con
el que le queda a Mary de $32.000). Sin embargo, si un plus es mejor que ningún pago, esto depende de
las tasas corporativas versus las tasas sobre los beneficios ordinarios. En el ejemplo de abajo, la alícuota
sobre beneficios ordinarios para John es 45 %, que es mayor que su tasa corporativa. Con estas tasas él
hubiera estado mejor no pagándose a sí mismo un plus (o un dividendo) y vendiendo la compañía.
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Principios de Finanzas con Excel
¿Qué ocurre si John realmente necesita el dinero? Solución 2: recomprar acciones
Puede ser que John necesite el dinero pero no pueda por algún motivo pagarse a sí mismo un dividendo o un plus. En este caso, él debería —en lugar de pagarse un dividendo— hacer que la compañía
le recomprara algunas acciones. Suponga que John convence a los administradores de la empresa (¡él
mismo!) de que le recompren $3.000 en acciones. Suponga que tras esta recompra de capital propio,
John vende la empresa. Finalmente, suponga que toda la recompra de $3.000 de acciones está gravada
para John como una ganancia de capital (esto es muy improbable, lea la nota que sigue a la hoja de
cálculo). En este caso, John también estará mejor que si él se hubiera pagado a sí mismo un dividendo.
Nota: Para minimizar los impuestos, John debería consultar a su contable antes de recomprar acciones. Es muy improbable que toda la recompra esté gravada como un dividendo. Puede ser estructurado
como un pago de capital (caso en el cual no habría impuestos). El contable podría también ser capaz
de valuar la base de John en las acciones (lo que él originalmente pagó por ellas más las ganancias de
capital acumuladas). Este es un ejemplo:
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CAP. 16 | Política de dividendos
El contable razona del siguiente modo:
■■ Antes
del pago en efectivo, la compañía tiene un valor de 40.000$, lo que hace que el valor de
mercado de su capital propio sea $35.000.
■■ Pagando $3.000 en efectivo por la acción en la empresa, John ha recomprado efectivamente el
8,57 % del capital propio de la empresa. Dado que el valor en libros del capital propio de la empresa es $15.000, John tiene una ganancia de capital de $1.714 (=3.000 – 8,57%*15.000) por
la recompra. Esta ganancia de capital estará gravada al 15 % (=$257), por lo que John ganará un
neto de $2.743 por la recompra.
■■ Ahora cuando John vende la compañía por $40.000, él tiene que pagar primero su deuda neta
de $8.000 (la recompra usó $3.000 de efectivo y aumentó la deuda neta de $5.000 a $8.000).
Esto lo deja con un valor de mercado de capital propio de $32.000, que tiene un valor en libros
de $13.714 (= $15.000 – 8,57%*15.000). Esta ganancia también es gravada a la tasa para ganancias de capital de 15 %.
■■ Esto deja a John con $32.000.
4. Dividendos (satisfacción ahora) versus ganancias de capital (disfrutar después)
Hasta este punto hemos establecido que si usted va a vender su empresa, los impuestos a las ganancias ordinarias sobre los dividendos no hace aconsejable que usted se pague a sí mismo dividendos. Pero
¿y si usted no va a vender la empresa justo ahora? ¿Debería dejar el dinero en la compañía, hasta aquel
día dorado en que la venda y se beneficie por las menores tasas impositivas por las ganancias de capital?
¿O debería pagarse a usted mismo un dividendo?
Todo depende, por supuesto, del nivel de confianza que usted tenga en los administradores de su
empresa. En el caso de John y Mary, esto es fácil —ellos administran sus propias compañías, y no harán
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Principios de Finanzas con Excel
nada para perjudicarse a sí mismos—. En este caso ellos deberían dejar el dinero en la compañía, donde
pueden obtener el mismo beneficio que si lo hubieran sacado fuera.
5. ¿Son los dividendos una señal?
Las secciones 16.2 y 16.3 han desarrollado la teoría de que desde un punto de vista puramente financiero, los dividendos son innecesarios. Para los inversores, la decisión de si la empresa debería pagar dividendos es al menos neutral y —dada la brecha entre impuestos sobre los ingresos por dividendos y los impuestos sobre las ganancias corporativas— usualmente se inclina hacia el no-pago de dividendos. Hay dos
alternativas a los dividendos y ambas son financieramente más atractivas que los dividendos en sí mismos:
■■ La
compañía puede elegir simplemente no pagar dividendos. Reteniendo el beneficio en efectivo
en su contabilidad, la empresa traslada el dividendo potencial en una futura ganancia de capital
para sus inversores. Cuando en definitiva se realice para el inversor, esta ganancia de capital está
gravada a una tasa menor que los ingresos ordinarios.
■■ La compañía puede elegir utilizar el flujo de fondos potencial del dividendo para recomprar sus
propias acciones. Esto traslada el dividendo en una ganancia inmediata de efectivo para aquellos
accionistas que venden sus acciones nuevamente a la empresa (ganancias de efectivo que están
gravadas a una tasa de impuestos favorable). Los accionistas que no ofrecen sus acciones ganan
un incremento en la proporción de los beneficios futuros de la compañía.
Queda la posibilidad de que los dividendos sean una señal para los inversores sobre la salud de la
compañía. La teoría de los dividendos como señal, lleva a dos afirmaciones:
■■ Siendo
todo lo demás igual, mayores dividendos son una señal de mayor fortaleza financiera que
los bajos dividendos.
■■ Los cambios en los dividendos son indicativos de la futura fortaleza financiera de la compañía. Un
incremento en los dividendos es indicativo de que la perspectiva futura de la firma ha mejorado y
viceversa.
¿Es un incremento en los dividendos siempre una buena noticia?
Por otra parte, no todos los incrementos de dividendos parecen ser buenas noticias. Cuando Microsoft anunció el 16 de enero de 2003 que iba a distribuir dividendos, el precio de la acción cayó el día
siguiente un 7 %. De acuerdo a un artículo de Bussiness Week:
Ello puede haberse debido principalmente a que la perspectiva del management para el actual trimestre
era débil, pero también es posible que algunos inversores hayan visto el dividendo como una señal de que
Microsoft ha quedado sin opciones de crecimiento, dijo Don Luskin, oficial de inversiones jefe en un estudio
Trend Macrolytics. “El riesgo es que pagar un dividendo puede ser una señal de que la tecnología ha madurado
y no es ya el sector de gran crecimiento que alguna vez fue”, dijo Paul Shread, un analista de Internet.com5.
La investigación financiera actual indica que los cambios en los dividendos, ya se trate de aumentos o
disminuciones, tienden a ser menos informativos que los que alguna vez fueron. A pesar de que los analistas de mercados de capitales interpreten una disminución en los dividendos de las empresas como una
5 http://www.businessweek.com/technology/content/jan2003/tc20030128_1051.htm
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CAP. 16 | Política de dividendos
mala señal sobre las mismas y un incremento en los dividendos como una buena señal, el comportamiento actual de los beneficios tras un cambio en los dividendos no sigue esta interpretación de las señales6.
Coca-Cola Company incrementó el dividendo anual en un 12 %
43º Incremento Anual Consecutivo
Atlanta, 17 de Febrero de 2005 – El directorio de Coca-Cola Company ha aprobado hoy el 43º incremento consecutivo anual
en los dividendos de la compañía, aumentando el dividendo trimestral un 12 %, de 25 centavos a 28 centavos por acción
común. Esto es equivalente a un dividendo anual de $1,12 por acción, superior al $1 por acción en el 2004.
El dividendo es pagadero el 1 de Abril de 2005, para los accionistas registrados al 15 de marzo del 2005. Esto refleja la
confianza del directorio en los flujos de fondos de largo plazo de la compañía. En el 2004, la compañía generó $6 billones
en efectivo de sus operaciones —un incremento del 9 % sobre el 2003—. La compañía distribuyó más de $4 billones de
ello a los accionistas, a través de $2,4 billones en dividendos y $1,7 billones en recompra de acciones.
Coca-Cola Company es la mayor empresa de bebidas del mundo. Junto a Coca-Cola, reconocida como la marca más valiosa
del mundo, la compañía comercializa cuatro de las cinco bebidas top, incluyendo Diet Coke, Fanta y Sprite, y una amplia
gama de otras bebidas, incluyendo bebidas light, aguas, zumos, té, café, y bebidas para los deportes. A través del mejor
sistema de distribución de bebidas del mundo, los consumidores en más de 200 países disfrutan de las bebidas de la
compañía en una tasa que excede 1 billón de unidades por día. Para más información sobre Coca-Cola Company, por favor
visite el website www.coca.cola.com
Figura 16.6. Cuando Coca-Cola anunció un crecimiento en el dividendo el 17 de febrero de 2005, la compañía citó su
“confianza en sus flujos de fondos a largo plazo”. La compañía estaba utilizando los dividendos para enviar una señal
a los mercados financieros, pero esto puede no haber funcionado: al día siguiente al anuncio, el precio de la acción de
Coca-Cola cayó 26 centavos.
6. ¿Qué piensan los ejecutivos de las empresas sobre los dividendos?
Una larga línea de investigación financiera indica que las empresas son extremadamente renuentes
a modificar su política de dividendos. Los ejecutivos de las corporaciones aparentemente piensan que
cambiar la política de dividendos de la empresa es una señal importante. En un estudio reciente a 384
ejecutivos, los investigadores de Duke y Cornell hallaron que ellos calificaban la importancia del mantenimiento de la actual política de dividendos a un nivel similar al de las mayores decisiones de inversión
de sus compañías. La recompra de acciones, por otro lado, fueron vistas como que partían de flujos de
fondos residuales, después de las inversiones y los dividendos. Sin embargo, los investigadores indicaron:
“muchos administradores…favorecen las recompras porque estas son vistas como más flexibles que los
dividendos y pueden ser utilizadas en un intento por incrementar el EPS. Los ejecutivos creen que para
las instituciones son indiferentes los dividendos y recompras y que las políticas de pago tienen poco impacto en su clientela de inversores. En general, la visión de los administradores provee poco soporte para
la teoría de agencia y señal de los dividendos. Las consideraciones impositivas juegan un rol secundario7.
6 Vea Chen, Shevlin, and Tong (2004). Hay también alguna evidencia de que las compañías que pagan dividendos obtienen rendimientos superiores a aquellas que no lo hacen en mercados en baja. Vea Kathleen Fuller and Michael Goldstein, “Do dividends mean
more in declining markets?” (http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=687067). Este es analizado por Vaham Janjigian en:
http://www.forbes.com/2003/09/25/cz_vj_0925soapbox.html
7 “Payout policy in the 21st century”, Alon Brav, John Campbell, John R. Graham, and Roni Michaeli. http://papers.ssrn.com/sol3/papers.
cfm?abstract_id=358582
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Principios de Finanzas con Excel
El modo en que las empresas se refieren a sus dividendos así lo demuestra. Observe el subtítulo en el
aviso de prensa de Coca-Cola notificando al mercado un incremento en los dividendos (Figura 16.6): 43º
Incremento Anual Consecutivo”. Aquí hay dos ejemplos más:
■■ IBM
se enorgullece de haber pagado dividendos trimestrales desde 1961 (Figura 16.7). Si la
compañía fuera a modificar esta política, ello sería indicativo de un cambio significativo en IBM.
■■ GM, con el que comenzamos este capítulo, es renuente a modificar su política de pago de dividendos, aun cuando la salud financiera de la compañía no sea buena. La compañía evidentemente
entiende que una disminución en los dividendos trimestrales sería interpretado como una mala
noticia por los mercados financieros.
Figura 16.7. Las corporaciones consideran muy importante el mantenimiento de los dividendos. Cuando IBM anunció
su dividendo trimestral regular, la compañía orgullosamente remarcó que había pagado “357 dividendos trimestrales
consecutivos, comenzando en 1916”.
7. Resumen
Los dividendos tienen una función financiera y una función informativa. Si ignoramos su función
informativa, el pago de dividendos presenta un problema: dado un régimen impositivo en que los dividendos estén gravados a una tasa de beneficios ordinarios, mientras que el no-pago de dividendos o la
recompra de acciones estén gravados a tasas impositivas menores por ganancias de capital, es difícil
explicar por qué las empresas pagan dividendos. La mayoría de los accionistas estarían mejor si el dividendo fuera retenido por la empresa o desviado a recompra de acciones. Como se muestra en la figura
16.8, esta sola consideración financiera quizás explica el creciente rol de la recompra de acciones en la
política de dividendos de las empresas.
El rol informativo de los dividendos es más complicado. Las empresas son fuertemente reticentes a
modificar sus patrones de pago de dividendo —una empresa que no paga dividendos tiende a continuar
con dicha política, mientras que empresas con crecimientos moderados en los dividendos tienden a continuar con dichas tasas—. Tanto los ejecutivos de las corporaciones como los mercados financieros tienden a interpretar un cambio en el patrón de pago como portando un contenido informativo. La mayoría
de las empresas creen que los incrementos en los dividendos serán interpretados como buenas noticias
sobre la perspectiva futura y viceversa.
576 |
CAP. 16 | Política de dividendos
Sin embargo, hemos mostrado ejemplos en este capítulo en que los cambios en los dividendos tuvieron efecto contrario al esperado: cuando Microsoft implementó su dividendo, los mercados lo interpretaron como una señal negativa sobre la perspectiva futura de la compañía. Cuando Coca Cola incrementó
su dividendo, citando “confianza en su flujo de fondos de largo plazo”, el precio de la acción cayó.
Podemos concluir a partir de ello que para empresas cuyas acciones son comercializadas en mercados de capitales, la decisión de dividendo es un fenómeno complicado, no totalmente comprendido,
que combina consideraciones puramente financieras y consideraciones impositivas, junto a motivos de
señales y quizás psicológicos.
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Principios de Finanzas con Excel
La recompra de acciones como sustituto de dividendos
Por Vahan Janjigian
El retorno total de las acciones esta compuesto por dos componentes: dividendos y ganancias de capital. Desde
los 80, sin embargo, la proporción proveniente de los dividendos ha venido disminuyendo. Además, el rendimiento
de los dividendos (es decir, el dividendo por acción dividido por el precio de la acción) y las ratios de distribución
(es decir, dividendos por acción divididos por beneficios por acción) han venido cayendo sostenidamente.
Muchos inversores experimentados toman esto como evidencia prima facie de que las acciones se mantienen
sobrevaluadas a pesar de dos años de tremendas ventas.
Los inversores en valores creen en particular que un crecimiento sostenido en los dividendos es una indicación de
buena salud financiera. Dichos inversores frecuentemente evitan las acciones que carecen de una larga historia
de pagos de dividendos. Pero otros, como los inversores de crecimiento, creen que los dividendos no son tan
significativos.
Un artículo reciente en el Journal of Finance, una publicación universitaria líder, provee evidencia de que la caída
de dividendos en efectivo es solo una ilusión. Los autores, Gustavo Grullon y Roni Michaely, argumentan que
focalizarse solo en los dividendos ignora una forma de pago en efectivo al accionista crecientemente importante:
la recompra de acciones. Los dividendos en efectivo han venido creciendo a una tasa compuesta anual de solo el
6,3 % desde 1980. Sin embargo, el dinero utilizado para recompra de acciones ha venido creciendo a una tasa
mucho más veloz de 18,4 % compuesta anual. Además, el dinero invertido en recompra de acciones excede al
destinado a dividendos. Y el dinero total pagado (es decir, dividendos más recompras) como porcentaje de los
beneficios ha venido en realidad creciendo durante el período estudiado.
Nuestro código impositivo explica gran parte de dicho comportamiento. Cuando las empresas pagan dividendos,
los inversores se ven obligados a pagar impuestos. De hecho, los dividendos están gravados a la tasa que grava
los beneficios ordinarios. Pero cuando las empresas efectúan recompra de acciones, los inversores pueden evitar
los impuestos del todo si deciden no vender. Sin embargo, si ellos venden, están gravados a tasas que alcanzan
las ganancias de capital, que son mucho menores que las tasas de los beneficios ordinarios.
Este fue el caso hace treinta años también. Entonces, ¿por qué no eran las recompras de acciones tan populares
en aquel tiempo? Grullon y Michaely explican que la recompra de acciones no comenzó a crecer en popularidad sino
hasta la reforma regulatoria de 1982, que hizo menos probable que las empresas que recompren sean acusadas
por la SEC de intentar manipular los precios de sus acciones.
Hay muchas lecciones que pueden ser extraídas de este estudio. En primer lugar, aquellos que sostienen que
las acciones se mantienen sobrevaluadas simplemente porque sus dividendos sean bajos o sus ratios de pago
de dividendos sean históricamente bajas, están teniendo una visión miope. Ellos deberían, en lugar de eso,
focalizarse en los pagos totales en efectivo. En segundo lugar, no debe haber duda de que, para bien o para mal,
las reformas regulatorias afectan el comportamiento empresario. Las compañías bien administradas harán lo
que sea mejor para sus accionistas. Mientras que los dividendos en efectivo son desfavorablemente gravados,
los inversores preferirán las ganancias de capital. Mientras que la regulación lo permita, los mejores directorios
harán lo que los accionistas quieran.
Esto nos lleva a un punto muy importante. Los dividendos son pagados a partir de pesos después de impuestos.
Gravar impositivamente otra vez a los inversores por recibir dichos dividendos impone una carga muy pesada.
Los reguladores deberían eliminar esta doble imposición. Los dividendos deberían en lugar de ello ser tratados
como un gasto deducible de impuestos para las empresas, o un beneficio exento para los individuos.
Figura 16.8. Desde 1980, los dividendos en efectivo han venido creciendo a una tasa mucho menor que la recompra de acciones. La explicación está en las menores tasas
impositivas que gravan las ganancias de capital versus las que gravan los beneficios ordinarios.
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CAP. 16 | Política de dividendos
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. La siguiente hoja muestra el balance del supermercado de John, el cual es su único dueño.
a. Muestre el balance del supermercado, en términos de deuda neta.
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b. Asumiendo que John decide pagarse a sí mismo un dividendo de $250.000, indique cómo quedaría tanto
el balance original como el balance con deuda neta después del pago del dividendo.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2. John (del ejercicio 1) precisa su ayuda nuevamente. Tras pagar el dividendo de $250.000, él decide aceptar una
oferta para vender el supermercado por $1.800.000. La condición para la venta es que John conserve el efectivo de
la empresa, pero él es el responsable de pagar la deuda de la empresa.
a. Suponiendo que no hay impuestos de ningún tipo, ¿qué es lo que le quedará en neto a John, tanto de los
dividendos como de la venta de la compañía?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Si John hubiera vendido el supermercado por $1.800.000 antes del dividendo de $250.000, ¿cuál habría
sido su ganancia neta?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c. Vuelva al caso del dividendo de $250.000: ¿cuál sería la ganancia neta de John si hubiera un impuesto
del 30 % sobre los dividendos y una tasa del 20 % sobre las ganancias por la venta del supermercado?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
d. Con un 30 % de impuesto sobre los dividendos y un 20 % sobre las ganancias de capital, ¿cuál hubiera
sido la ganancia neta de John si hubiera vendido el supermercado sin haber pagado antes el dividendo
de $250.000?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
| 579
Principios de Finanzas con Excel
3. David tiene un negocio de cosméticos, que está tratando de vender por $200.000. El balance del negocio se presenta
más abajo. David tiene una tasa impositiva de 40 % sobre rentas ordinarias (incluyendo pagos de dividendos), una
tasa del 30 % sobre ganancias societarias (corporativas) y una tasa del 25 % sobre ganancias de capital. Antes de
vender el negocio, desea pagarse a sí mismo un dividendo de $55.000, que es igual a los beneficios retenidos acumulados. De acuerdo a su razonamiento: “el precio de venta será el mismo bien pague el dividendo (a mí mismo) o
bien no lo haga. Entonces, ¿por qué no pagarme primero un dividendo a mí mismo? ¡Tendré más dinero así!”.
¿Tiene razón David? Presente los cálculos tanto en el caso de que se pague el dividendo como en el caso de que no
se pague.
4. ¿Cómo cambiaría su respuesta al ejercicio 3 si en lugar de pagarse a sí mismo un dividendo, David se paga un bonus
de $55.000?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
¿Cómo cambiaría su respuesta al ejercicio 4a. si tanto la tasa de impuestos corporativa como la tasa impositiva
ordinaria fueran del 40 %?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
5. ¿Cómo cambiaría su respuesta al ejercicio 3 si en lugar de pagarse a sí mismo un dividendo, el negocio recompra
acciones de David por $55.000? (asuma que es aplicable la tasa de impuestos sobre ganancias de capital para la
recompra de acciones).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. Mallory quiere vender su pescadería. Está tratando de decidir si vender el negocio tal como está, o pagarse un
dividendo de $5.000 a ella misma en combinación con un bonus de $10.000 o recomprar $15.000 de acciones. Asumiendo que Mallory recibirá $220.000 de todos modos, ¿qué le recomendaría usted que haga?
580 |
CAP. 16 | Política de dividendos
El balance de la empresa se indica a continuación:
Alícuotas impositivas: rentas corporativas 30 %, rentas de capital 15 % y rentas ordinarias 40 %.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
7. High Tech.Com es una empresa cuyas ventas y beneficios han venido creciendo de forma constante. La compañía
nunca pagó dividendos. La dirección de la empresa está intentando decidir si utilizar su gran saldo de caja para
pagar dividendos a los accionistas o recomprar acciones. ¿Puede darles usted algún asesoramiento?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
8. Simon’s Hotel es una compañía fundada en 1.955. La empresa tiene una cadena de hoteles y hasta el momento no ha
pagado dividendos, sino que ha venido utilizando el dinero excedente para cancelar deudas contraídas para comprar los hoteles. La deuda de la compañía ha alcanzado ya niveles aceptables. ¿Podría usted asesorar a la dirección
de la empresa acerca de si debería implementar dividendos? ¿Cómo cree usted que sería interpretado el dividendo
por parte del mercado?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 581
Capítulo 17
Introducción a Excel
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Concepto general
Para comenzar
Formatear los números
Copiar con referencia absoluta. Construir un modelo
más sofisticado
Guardar la hoja de cálculo
Su primer gráfico con Excel
Configuración inicial
Usar una función
Imprimir
Resumen
CAP. 17 | Introducción a Excel
1. Concepto general
Este capítulo lo introduce a Excel y le muestra cómo realizar las operaciones iniciales más importantes. No es difícil aprender a usar Excel, siempre y cuando esté dispuesto a cometer muchos errores en el
camino y consulte ocasionalmente la Ayuda online (apretando la tecla de función [F1]).
Contenidos de este capítulo
■■ Encender
Excel.
crear un nuevo directorio.
■■ Copiar – relativo versus absoluto.
■■ Formatear números.
■■ Hacer un gráfico.
■■ Jugar con la configuración predeterminada para Excel.
■■ Usar nuevas funciones.
■■ Imprimir.
■■ Guardar,
2. Para comenzar
Usted ha encendido su ordenador y ha hecho clic en el icono
de su escritorio. Usted está viendo
una hoja en blanco y desea jugar. Vamos a escribir una hoja describiendo cómo $1.000 depositados en
el banco al 15 % crecerán a través del tiempo.
Después de que usted haya terminado de escribir en la hoja de arriba, coloque el cursor en la celda
B4. Vamos a elaborar una fórmula que describa cuánto dinero habrá en el banco al final del año 1. Cuando usted esté en la celda B4, escriba la siguiente fórmula y luego pulse [Enter] (¡sin dejar espacios, por
favor!)
= B3*(1+15%)
| 585
Principios de Finanzas con Excel
Y así es como se verá la hoja.
Si usted coloca el cursor en la celda B4 y observa la barra de fórmulas (cerca del símbolo fx), verá lo
que ha escrito en la hoja de cálculo.
Copiar la fórmula
Entonces, si usted deposita $1.000 en el banco hoy y el banco le da un 15 % de interés, usted tendrá
$1.150 al final del año 1. Si usted ha leído el capítulo 2 de este libro, sabrá que al final del año 2 tendrá
1.150 * (1 + 15 %) en el banco. En lugar de escribir esta fórmula, usaremos la habilidad para copiado
de Excel para ponerla en la celda B5:
■■ El
lado inferior derecho del marco alrededor de la celda B4 tiene un pequeño cuadrado negro, lo
llamamos el “controlador de relleno” de la celda.
“Controlador de relleno”
586 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
■■ Coloque
el cursor en el “controlador de relleno” de la celda B4. Mantenga pulsado el botón izquierdo del ratón y arrastre hacia abajo hasta alcanzar la celda B13. En ese punto su hoja de cálculo
se verá así.
Suelte el botón izquierdo del ratón.
Observe cómo Excel copió las fórmulas en las celdas:
■■ La
fórmula en la celda B4 dice: “Tome el contenido de la celda de arriba y multiplíquelo por
(1 + 15 %).”
■■ Cuando arrastramos hacia abajo la fórmula hacia B5 dice: “Tome el contenido de la celda de arriba
y multiplíquelo por (1 + 15 %).”
Este tipo de copiado es llamado copiado relativo en Excel: las fórmulas de las celdas cambian en la
dirección al copiado (es decir, en la dirección que usted arrastró el “controlador de relleno” de la celda).
Existe también el copiado absoluto, que explicaremos en la sección 17.4.
| 587
Principios de Finanzas con Excel
Pista de Excel
En lugar de arrastrar la celda B4, hay una manera aun más simple de copiar. Si usted coloca el cursor sobre el “controlador
de relleno” y hace doble clic con el botón izquierdo, la fórmula de la celda B4 será copiada hasta la última fila de la columna
adyacente llena, en este caso desde la celda B5 hasta B13.
Ingresar fórmulas marcando (una manera mejor)
Hasta ahora hemos escrito la fórmula en la celda B4. Pero habitualmente es mejor idea usar el ratón
y señalar las celdas relevantes. Marcar y hacer clic en las fórmulas evita muchos errores. En el ejemplo
anterior,
Coloque el cursor en la celda B4
Escriba “=”
Con el ratón, coloque el cursor en la
celda B3 y pulse el botón izquierdo
Escriba el resto de la fórmula *
(1 + 15%). Pulse el botón izquierdo
en cualquier lugar fuera de la celda
editada o pulse [Enter]
3. Formatear los números
La hoja de cálculo que hemos construido hasta el momento resulta simpática, pero fea. ¿Por qué
necesitamos tantos lugares decimales? ¿Qué hay sobre indicar que corresponden a cantidades de pesos?
Podemos realizar todos estos cambios utilizando las extensas facilidades de formateo de Excel.
588 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
FORMATEANDO NÚMEROS EN EXCEL
Antes: marque los números a ser formateados
Pulse el botón derecho del ratón y elija Formato de
Celdas. Esto es lo que hemos elegido nosotros
Tras formatear, así es como se ven los números
En otros capítulos usaremos el comando Formato de Celdas para cambiar la forma en que aparecen las
fechas, textos y fuentes en Excel. El tema importante a remarcar sobre este comando es que cambia la
forma en que aparecen los contenidos, pero no los contenidos reales. Por ejemplo, suponga que el contenido de su celda se lee 3287,65898992; ahora suponga que lo hace que se vea como pesos con una
coma y dos lugares decimales, de modo que la celda se lee $3.287,66. El contenido real de la celda no
ha cambiado, aún sigue habiendo 8 lugares decimales, pero solo se muestran dos de ellos.
4. Copiar con referencia absoluta. Construir un modelo más sofisticado
La hoja de la sección previa es simpática, pero no nos permite modificar la tasa de interés a la que se
acumula el dinero. Lo solucionamos escribiendo la siguiente hoja; en ella tenemos una celda separada
(B2) para indicar la tasa de interés. Cambiando dicha celda cambiará toda la acumulación.
| 589
Principios de Finanzas con Excel
Vaya a la celda B6. Escriba la fórmula “=B5*(1+$B$2)” en esta celda. Los signos de peso en $B$2
indican que cuando copie esta fórmula, la referencia en particular a esta celda no cambiará. En la jerga
de Excel: $B$2 es una referencia absoluta, mientras que B5 es una referencia relativa —esta cambiará
a B6, B7… a medida que vayamos bajando en la columna—.
Copiando como lo hicimos en la sección previa (clic en B6, ponemos el cursor en el “controlador de
relleno” y arrastramos), obtenemos lo siguiente.
Cursor
590 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
El resultado es una tabla parecida a la de la sección previa.
La diferencia entre esta hoja y la previa es que podemos cambiar la tasa de interés simplemente cambiando el contenido de la celda B2. En este ejemplo, la tasa de interés es 10 %:
Pista de Excel
¡Nunca utilice un número si puede usar una celda de referencia! Compare el ejemplo previo con este otro: si, como en la
sección previa, usted “ancló” la tasa de interés del 15 % en las celdas B6:B15, usted debe modificar cada una de estas
celdas para cambiar el supuesto de tasa de interés. Por otro lado, si usted coloca la tasa de interés en una celda (como en
el ejemplo de esta sección), usted solo debe cambiar el contenido de esta celda para recalcular toda la hoja.
¡En Excel, los números son siempre inferiores a las fórmulas!
Apuntar y usar la Tecla [F4]
Volvamos a la etapa anterior de este ejemplo donde estábamos poniendo la fórmula “=B5*(1+$B$2)”
en la celda B5. Ya le hemos sugerido que es mejor ingresar fórmulas apuntando y haciendo clic que escribiéndolas. Ahora le enseñaremos otro pequeño truco, el uso de la tecla [F4] para “pesificar” la referencia
| 591
Principios de Finanzas con Excel
a celdas, es decir, hacerlas referencias absolutas en lugar de referencias relativas. Esto es lo que usted
debe hacer:
el cursor en la celda B6. Escriba “=” y apunte a la celda B5 (la que contiene $1.000).
Puede apuntarlo con el ratón (haciendo clic cuando se encuentra en la celda B6) o puede hacerlo con las
teclas de las flechas.
■■ Coloque
■■ Ahora
escriba un asterisco, un paréntesis que se abre, un 1, y un +: *(1+. Luego apunte a la celda
B2 que contiene la tasa de interés y haga clic.
■■ Luego
pulse la tecla [F4]. Esto coloca los signos de pesos en la referencia a la celda B2 en la celda
B6.
Finalmente, cierre el paréntesis escribiendo “)”. Pulse [Enter].
Copie la celda B6 como antes.
592 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
Corregir errores, editar la celda
Suponga que usted cometió un error y olvidó “pesificar” la referencia a la celda B2, de modo que el
contenido de la celda B6 es “=B5*(1+B2)”. Esto no está bien, el contenido de la celda debería leerse
“=B5*(1+$B$2)”. Para efectuar el cambio apropiado, editamos la fórmula de la celda B6 y usamos la
tecla [F4]:
■■ Coloque
el cursor en B6 y pulse el botón izquierdo dos veces. Esto abre la fórmula para editarla.
■■ Mueva
el cursor hasta posicionarlo en algún lugar sobre el B2 de la fórmula (no importa dónde).
Pulse la tecla [F4] y su referencia de celda será “pesificada”.
■■ Ahora,
pulse [Enter] y copie como antes.
Pistas de excel sobre editado
1. Usted también puede editar el contenido colocando el cursor en la celda y presionando la tecla de función [F2].
2. Si usted no puede editar la fórmula en la celda, alguien puede haber cambiado la configuración por defecto en su hoja
de cálculo. En Excel 2010 vaya a Archivo/Opciones/Avanzadas.
Continúa en página siguiente >>
| 593
Principios de Finanzas con Excel
<< Viene de página anterior
Seleccione para permitir
editar en la celda
3. Usted siempre puede editar una fórmula de una celda en la barra de fórmulas:
Coloque el cursor
aquí y edite
5. Guardar la hoja de cálculo
¿Cuál es el próximo paso? Le sugerimos que guarde la hoja1. Un lugar apropiado para guardarla es en
el directorio Basura que usted está por crear justamente ahora.
1 Como regla de oro, le sugerimos que guarde todo el tiempo. Algún día, su ordenador se colapsará justo después de que usted haya
empleado mucho tiempo trabajando y antes que haya guardado su trabajo.
594 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
■■ Haga
clic en Archivo y luego en Guardar.
■■ Excel
probablemente le sugerirá un directorio llamado Documentos.
| 595
Principios de Finanzas con Excel
■■ Clic
en Documentos y luego clic en el icono de Nueva Carpeta que se ve así.
■■ Cuando usted hace clic en Nueva
596 |
Carpeta, tiene la oportunidad de poner nombre a su nueva carpeta.
CAP. 17 | Introducción a Excel
En el cuadro de nombre escriba “Basura”. El ordenador del autor siempre tiene un directorio llamado
“basura” —que es el directorio que contiene todos los archivos de los que usted puede deshacerse sin
pensarlo dos veces. (Un archivo llamado “basura” en el directorio basura es un doble desperdicio, ¡no
vale absolutamente nada!)—. Ahora se encuentra usted mismo en el subdirectorio basura.
Escriba algo representativo en el cuadro llamado Nombre de Archivo. Llamaremos a nuestra hoja
“Aprendiendo Excel”. Ahora usted verá el nombre de la hoja en la parte superior de la misma.
| 597
Principios de Finanzas con Excel
Cada vez que usted guarde el trabajo (ya sea a través de Archivo/Guardar o presionando [Ctrl] + [S]
o presionando el icono de Guardar con la forma de un pequeño disco
), la hoja con todos sus
cambios se guardará bajo el mismo nombre en el mismo lugar.
6. Su primer gráfico con Excel
Usted querrá elaborar un gráfico del ejemplo de interés compuesto. Tome su ratón, colóquelo sobre la
celda A5; presione el botón izquierdo y mueva hacia abajo hasta llegar a la celda B15.
Ahora vaya a Insertar/Gráfico y elija uno de los tipos de gráficos de allí. Nuestro gráfico favorito (y
mayormente usado en este libro) es Dispersión con líneas rectas y marcadores.
Presionando dicho botón, obtendrá un gráfico sobre su hoja.
598 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
Este gráfico tiene muchas características que no nos gustan, pero todas pueden arreglarse (capítulo
18 nuevamente). En lugar de arreglar las cosas, juegue con la hoja, modifique la tasa de interés y observe
qué ocurre.
7. Configuración inicial
Antes de que usted haga uso un intensivo de Excel, es importante que modifique algunas de las
configuraciones iniciales para satisfacer sus necesidades y preferencias. En esta sección le mostraremos
nuestras sugerencias (todas pueden revertirse).
| 599
Principios de Finanzas con Excel
7.1. Haga a Excel menos saltarín
La instalación por defecto de Excel hace que el cursor baje una celda cada vez que usted presiona
[Enter].
Esto es bárbaro para los contables, los cuales deben ingresar una gran cantidad de datos. Pero somos
gente de finanzas, ¡y cometemos muchos errores! Queremos quedarnos en la celda en la que acabamos de
ingresar los datos, de modo que podamos corregirla y, por lo tanto, queremos anular esta configuración.
¿Cómo hacerlo? Presione Archivo/Opciones/Avanzadas. Desmarque la casilla Después de presionar
Entrar, mover selección. En la imagen de abajo, esta opción esta aún marcada (así es como viene por
defecto).
Desmarcar esta casilla
600 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
El número de hojas en un libro
La instalación por defecto en Excel comienza cada nuevo libro de trabajo con tres hojas de cálculo2.
Esto significa que la parte inferior de su hoja se ve así.
Estas tres hojas (usted puede aún agregar más haciendo clic en la cuarta etiqueta, que se encuentra
después de la Hoja 3) pueden ser muy útiles. Pero el hecho es que la mayoría de los usuarios solo utilizan
una hoja por libro de trabajo. Le sugerimos que cambie la configuración por defecto de modo que Excel
comience un nuevo libro con solo una hoja de trabajo (usted siempre puede agregar más). Para hacerlo,
vaya a Archivo/Opciones/General y haga clic en Incluir este número de hojas:
Seleccione 1 en esta casilla
En la figura de arriba hemos cambiado el número de hojas en nuevos libros a “1”.
2 Nomenclatura: Microsoft llama archivo de Excel (lo que usted guardó como Aprendiendo Excel.xls) un libro de trabajo. Las hojas
individuales del libro de trabajo son denominadas hojas de cálculo. Como muchos usuarios de Excel, nosotros habitualmente mezclamos
dicha nomenclatura.
| 601
Principios de Finanzas con Excel
Poner nombre a una hoja
Para poner nombre a una hoja, haga doble clic sobre la etiqueta. Puede ahora escribir el nombre que
usted desee para la hoja.
Antes
Después
Agregar más hojas
Para agregar más hojas, haga clic derecho en una etiqueta, elija Insertar y luego elija Insertar una
hoja de cálculo.
Usted puede también borrar una hoja con el botón derecho sobre la etiqueta y seleccionando Eliminar.
Esta es una acción irreversible, por lo que le sugerimos que guarde su libro antes de hacerlo.
8. Usar una función
Excel contiene muchas funciones. En esta sección ilustramos algunas de ellas3. Volveremos a la hoja
de la sección 17.4. En la celda B17 calcularemos el valor promedio de las celdas B5:B15 (esto tiene
muy poco significado económico…). El producto final se verá así.
3 El análisis de esta sección es realmente preliminar y pretende darle una idea sobre cómo operan las funciones de Excel. En este libro
utilizamos muchas funciones de Excel. El capítulo 19 analiza la mayoría de las funciones usadas en el libro y el capítulo 22 trata las
funciones de fechas de Excel.
602 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
Para hacerlo, siga estos pasos:
■■ En
la celda A17 escribimos “Promedio”. Esto es “escribir en la hoja”. En español simple, es decirse a usted mismo lo que está haciendo, porque de otro modo lo olvidará.
■■ En la celda B17, escriba “=PROMEDIO(“, y luego haga clic en el símbolo fx en la barra de herramientas:
Usted verá un cuadro de diálogo de la función.
| 603
Principios de Finanzas con Excel
Su cursor se posiciona sobre un cuadro llamado Número 1. Coloque el ratón sobre la celda B5,
presione el botón izquierdo del ratón y arrastre el cursor hasta B15. Cuando usted suelte el botón
del ratón, esto es lo que verá.
Ahora presione Aceptar en el cuadro de diálogo. Este es el resultado:
604 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
Suponga que usted no quería promediar todos los números, sino solo aquellos desde los años 5 a 10.
Hay dos maneras de hacerlo:
■■ Puede hacer doble clic sobre la celda B17 y cambiar el rango en la fórmula a =PROMEDIO(B10:B15).
■■ Puede
también hacer clic sobre la celda B17, luego clic sobre el signo fx de la barra de herramientas y realizar los cambios apropiados en el cuadro de diálogo.
La práctica hace al maestro
Para ejercitarse con este capítulo practique con algunas funciones que trabajan como Promedio.
9. Imprimir
Usted ha completado su hermosa primera hoja y desea imprimirla. Vaya a Archivo/Imprimir. Esto abre
una imagen con el nombre de la impresora.
| 605
Principios de Finanzas con Excel
Excel 2010 le muestra la vista preliminar a la derecha. En la etiqueta de la hoja, usted puede elegir
imprimir la hoja con Líneas de cuadrícula y Encabezados (esta es la configuración que hemos usado para
la mayoría de las hojas de este libro).
Haciendo clic en Imprimir comienza la impresión de su hoja.
10. Resumen
En este capítulo hemos explorado aspectos preliminares de Excel: cómo preparar una hoja, guardarla,
escribir una fórmula, utilizar una función e imprimir los resultados. Los siguientes capítulos profundizan
en técnicas más avanzadas de Excel.
606 |
CAP. 17 | Introducción a Excel
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Excel tiene una función llamada Suma, que funciona como Promedio. Configure la hoja de abajo y úsela para sumar
los números en las celdas A1:A3.
2. En una hoja nueva, siga las instrucciones de abajo.
3. En otra hoja, muestre que puede utilizar la función Promedio para obtener el mismo resultado.
4. La función de Excel Contar, cuenta el número de celdas que contienen números. Utilice dicha función en la hoja de
abajo.
5. La función de Excel ContarA, cuenta el número de todas las celdas en un rango determinado. Experimente con dicha
función en la hoja de abajo.
| 607
Principios de Finanzas con Excel
6. Abajo se presentan algunas estadísticas sobre lluvia mensual en la ciudad de Dunedin, Nueva Zelanda. Use Suma y
Promedio para calcular la lluvia total y el promedio de lluvia mensual.
7. Refiriéndonos a la información de lluvia mensual de Dunedin del ejercicio previo:
a. Use la función de Excel Max para calcular la mayor lluvia mensual en cada uno de los años 1980-1999.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Calcule la mayor lluvia mensual para todos los meses de la tabla.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
8. Complete la siguiente hoja, mostrando cuánto habrá en su cuenta bancaria, si efectúa un depósito inicial (celda B2)
hoy y gana un interés anual indicado en la celda B1.
Elabore un gráfico con el resultado de la cuenta bancaria.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
608 |
Capítulo 18
Gráficos en Excel
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Concepto general
Conceptos básicos de gráficos de Excel
Uso creativo de las leyendas
Gráficos de datos no contiguos
Gráficos de línea con títulos en el eje X
¿Cuál es la diferencia entre un gráfico de línea y un gráfico de
dispersión XY?
7. Títulos que se actualizan
8. Resumen
CAP. 18 | Gráficos en Excel
1. Concepto general
En este breve capítulo, trataremos los conceptos básicos de gráficos con Excel, asumiendo que, en
general, usted ya sabe cómo elaborar un gráfico en Excel. También veremos algunas técnicas menos conocidas relacionadas con gráficos:
■■ Hacer
un gráfico con series de datos no contiguas
los parámetros de los ejes de los gráficos
■■ Hacer un gráfico en el que el título cambia cuando los datos cambian
■■ Cambiar
2. Conceptos básicos de gráficos de Excel
Todo gráfico en Excel tiene su origen en los datos de la hoja de cálculo.
Para crear un gráfico que muestre los dividendos pagados cada año, marcamos los datos relevantes y
luego vamos a Insertar/Gráficos/Dispersión.
| 611
Principios de Finanzas con Excel
Hemos elegido el gráfico de Dispersión XY que conecta los datos con líneas. Haciendo clic en esta
opción creamos nuestro gráfico.
Esto no está mal, pero queremos añadir algunos agregados y realizar correcciones:
■■ Vamos
a deshacernos de la leyenda “Series 1” simplemente haciendo clic en ella y borrando.
ajustar el eje X de modo que vaya de 1991 a 2000 y no —como en el caso de arriba—
de 1990 a 2002.
■■ Queremos agregar títulos a los ejes y un título al gráfico como un todo.
■■ Queremos
Comenzamos haciendo doble clic en el gráfico en sí mismo. Esto nos trae la barra de herramientas de
gráfico. A partir de esta barra de herramientas elegimos la opción marcada con un círculo.
612 |
CAP. 18 | Gráficos en Excel
Esto hace que el gráfico se vea así.
Usted puede hace clic en todos los títulos y cambiarlos apropiadamente (mientras lo hace, deshágase
de la leyenda Series 1).
Para cambiar el formato del eje X, haga clic en los números del eje (vea el cuadro alrededor de los números del eje en la ilustración de abajo). Luego haga clic derecho en el cuadro y elija Dar Formato a Eje.
| 613
Principios de Finanzas con Excel
Esto hace que aparezca el siguiente menú, al que ya le hemos realizado los cambios que queremos,
modificando los años de los ejes de 1991 a 2000:
614 |
CAP. 18 | Gráficos en Excel
Este es el gráfico resultante.
Hay muchas opciones que hemos dejado de lado, pero creemos que se dará cuenta de ellas por usted
mismo.
3. Uso creativo de las leyendas
Si usted construye su gráfico XY con datos que incluyen leyendas, entonces Excel generalmente las
transferirá de un modo apropiado al gráfico. Presentamos ahora un ejemplo: hemos marcado los datos
para incluir los títulos de las columnas.
| 615
Principios de Finanzas con Excel
Este es el gráfico resultante:
4. Gráficos de datos no contiguos
Suponga que usted confeccionar un gráfico con los datos de las columnas A, C y D de Merck. Para
seleccionar estas tres columnas:
■■ Seleccione
la primera columna (es decir, haga clic con el botón izquierdo del ratón y “pinte” las
celdas A3:A12).
■■ Presione la tecla [Ctrl] y marque las columnas C y D (nuevamente, haciendo clic en el botón izquierdo del ratón).
En este punto su hoja de cálculo se ve así:
Ahora puede seguir el procedimiento habitual de gráficos para crear el siguiente gráfico.
616 |
CAP. 18 | Gráficos en Excel
5. Gráficos de línea con títulos en el eje X
Excel ofrece una desconcertante variedad de tipos de gráficos. En esta sección le mostraremos el
gráfico de líneas, dejando las otras variantes para que las explore usted mismo. Utilizaremos los datos de
temperaturas promedio mínimas y máximas en la ciudad de Nueva York. Queremos crear un gráfico con
etiquetas de los nombres de los meses en el eje X.
Para construir el gráfico, primero marque los datos que quiere representar, incluyendo los datos del
eje X y los meses. Luego, vaya a Insertar/Gráficos/Línea y elija el tipo apropiado de gráfico.
| 617
Principios de Finanzas con Excel
Presionando el botón izquierdo del ratón se hace el resto.
6. ¿Cuál es la diferencia entre un gráfico de línea y un gráfico de dispersión XY?
Los gráficos de línea usan espacios iguales para las leyendas en el eje X, mientras que los gráficos XY
distribuyen los espacios de las leyendas en el eje X dependiendo de la distancia entre los puntos. Esta
explicación quizás resulte confusa, pero el siguiente ejemplo lo muestra de manera más clara:
Observe que aunque los valores del eje X estén espaciados de manera desigual (0, 6, 8, 15, 22, 97),
el gráfico de líneas los coloca a iguales intervalos sobre el eje X. Solo el gráfico XY (dispersión) asigna los
espacios de las etiquetas en el eje X acorde a sus valores.
Crear el gráfico previo
Hay dos maneras de crear el gráfico previo.
618 |
CAP. 18 | Gráficos en Excel
La manera de hacerlo con “truquito” es eliminar la “x” en la celda A2 y marcar el rango A2:B8. Luego
con Insertar/Gráficos/Línea se hace el reto.
La manera de hacerlo sin truquito es primero seleccionar solo los datos del eje Y en su rango B3:B8
y crear la línea en su forma habitual, con lo que se obtiene lo siguiente:
Ahora haga doble clic sobre el gráfico y vaya a Seleccionar datos.
| 619
Principios de Finanzas con Excel
En el cuadro de diálogo resultante, elija para editar las etiquetas del eje X, e introduzca los datos de
A3:A8.
7. Títulos que se actualizan
Esta sección un poco más avanzada hace uso de la función Texto, la cual será tratada en el capítulo
19. Usted quiere que el título del gráfico cambie cuando un parámetro de la hoja de cálculo se modifique.
Por ejemplo, en la siguiente hoja, usted quiere que el título del gráfico indique la tasa de crecimiento.
620 |
CAP. 18 | Gráficos en Excel
Una vez que hemos completado los pasos necesarios explicados abajo, un cambio en la tasa de crecimiento hará cambiar tanto el gráfico como su título.
Para hacer que los títulos del gráfico se actualicen automáticamente, siga los siguientes pasos:
■■ Construya
el gráfico que usted desee en el formato que quiera. Póngale al gráfico un “título aproximado” (no importa cuál, lo eliminará pronto). En esta etapa, su gráfico debería verse como este:
| 621
Principios de Finanzas con Excel
■■ Cree
el título que usted quiere en una celda. En el ejemplo de arriba, la celda D20 contiene la
fórmula: =»Gráfico de Flujos de Fondos Cuando el Crecimiento = «&TEXTO(B2;»0.0%»).
■■ Haga clic en el título del gráfico para seleccionarlo y luego vaya a la barra de fórmulas e inserte un
signo igual para indicar una fórmula. Después, apunte a la celda D20 con la formula y haga clic
en [Enter]. En la imagen de abajo, usted ve el título del gráfico resaltado y en la barra de fórmulas
“=›Títulos que se actualizan›!$D$20” indicando el título del gráfico. Observe que “Títulos que se
actualizan” es el nombre de la hoja de cálculos.
8. Resumen
Puede hacerse mucho más con los gráficos de Excel, pero hemos querido cubrir lo esencial. Los ejercicios de este capítulo le mostrarán algunas otras variantes.
622 |
CAP. 18 | Gráficos en Excel
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Se presentan a continuación los datos de la cadena de supermercados holandesa Ahold, desde abril 1991 a agosto
2004. Represente gráficamente los precios de modo que la hoja resultante quede como la siguiente:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
2. Utilizando los datos de Ahold del ejercicio previo, determine el rendimiento mensual de la acción y represéntelo
gráficamente. El rendimiento mensual de una acción que tiene un precio Pt en el mes t y un precio Pt-1 en el mes
t-1 es (Pt / Pt-1) – 1 (cuando usted calcule los rendimientos, tendrá información “no contigua”, por lo que tendrá
que utilizar la técnica indicada en la parte 3 de este capítulo).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 623
Principios de Finanzas con Excel
3. Se presentan los datos de Ahold y S&P500. Utilice dichos datos para producir el siguiente gráfico (ver la nota a
continuación del gráfico).
Nota: este gráfico es obviamente insatisfactorio, el precio de Ahold es tan menor que el de S&P500 que la serie de
precio de Ahold parece ser cero. Vea el ejercicio siguiente para una solución a este problema.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
4. Transforme los precios de S&P y Ahold, de modo que el precio de inicio de cada uno sea 100 y elabore un gráfico
de las series.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
624 |
CAP. 18 | Gráficos en Excel
5. Usted quiere elaborar un gráfico de la función y = ax3-2x2+x-16. La variable a puede tomar una variedad de valores
(en el ejemplo de abajo, a= 0,40). Haga un gráfico de esa función con un título que indique el valor de a, como se
ilustra abajo. (Puede que usted quiera consultar la sección 4 de este capítulo).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. La hoja que se acompaña contiene información de lluvia mensual en San Diego desde 1850 a 2008. Diseñe el gráfico
que se muestra a continuación.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
| 625
Capítulo 19
Funciones de Excel
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto general
Funciones financieras
Funciones matemáticas
Funciones condicionales
Funciones de texto
Funciones estadísticas
Funciones Coincidir e Índice
Resumen
CAP. 19 | Funciones de Excel
1. Concepto general
En este capítulo presentaremos las principales funciones de Excel que un analista financiero necesita
conocer. Hay alguna superposición entre el tratamiento que hacemos aquí y el de los otros capítulos (por
ejemplo, la función VNA es analizada en el capítulo 2). También trataremos algunas funciones que no son
utilizadas en ese libro pero, dada su gran utilidad, consideramos pertinente incluirlas como referencia.
Unos apuntes sobre nomenclatura: para diferenciar una función de Excel del texto a su alrededor, generalmente las indicamos con negrita. La mayoría de las funcione de Excel dependen de alguna variable,
pero no siempre indicamos estas variables. Por ejemplo, las variables para la función VNA son la tasa de
interés y el rango a ser descontado; cuando lo queremos hacer explícito, escribimos VNA(interés, rango).
Otra aclaración: las funciones dentro de cada clase no siempre son analizadas alfabéticamente. Cuando hay un orden lógico, lo utilizamos (por ejemplo, presentamos VNA antes que TIR).
2. Funciones financieras
VNA( )
Esta función es extensamente examinada en el capítulo 2. La definición de Excel de VNA( ) difiere un
poco de la definición estándar en finanzas. En la literatura financiera, el VAN de una secuencia de flujos
de fondos C0 , C1 ,..., Cn a una tasa de descuento r se refiere a la expresión:
n
C
∑ (1 + r)
t=0
t
C
r )t
(
1
+
t=1
n
o bien C0 + ∑
El término C0 típicamente representa el costo del activo adquirido y es, por lo tanto, negativo.
La definición de Excel de VNA ( ) siempre asume que el primer flujo de fondos ocurre después de un
período. El usuario que quiera la expresión estándar de finanzas debe, por ende, calcular VNA(r, {C1,…
,Cn})+C0. Este es un ejemplo.
| 629
Principios de Finanzas con Excel
TIR ( )
La TIR de una secuencia de flujos de fondos C0 , C1 ,..., Cn es una tasa de interés r tal que el VAN de los
flujos de fondos es igual a cero:
n
C
∑ (1 + r)
t=0
t
=0
La sintaxis de Excel para la función TIR( ) es TIR(valores, estimar). Aquí los valores representan toda
la secuencia de flujos de fondos, incluyendo el primer flujo C0, y Estimar es un punto de partida para el
algoritmo que calcula la TIR.
Primero un ejemplo simple, considere los flujos de fondos dados arriba.
Observe que Estimar no es necesario cuando hay solo una TIR. Por eso, en la celda B13 (en que no
hemos indicado un estimador) obtuvimos el mismo resultado que en la celda B12 (estimar = 0).
La elección del estimador puede, sin embargo, marcar una diferencia cuando hay más de una TIR.
Considere, por ejemplo, los siguientes flujos de fondos.
El gráfico (creado a partir de una tabla que no se muestra) indica que hay dos TIR, porque la curva
de VAN cruza el eje X dos veces. Para encontrar ambas TIR, tenemos que cambiar el estimador (a pesar
de que el valor exacto de la estimación no es crítico). En el ejemplo de abajo hemos modificado ambos
estimadores, pero aún obtenemos el mismo resultado.
630 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
NOTA: Un conjunto dado de flujos de fondos típicamente tiene más de una TIR si hay más de un
cambio de signo en los flujos de fondos; en el ejemplo de arriba, el flujo de fondos inicial es negativo, y
CF1-CF9 son positivos (esto cuenta como un cambio de signo); pero luego, CF10 es negativo, realizando
el segundo cambio de signo. Si usted sospecha que un conjunto de flujos de fondos tiene más que una
TIR, lo primero que debe hacer es usar Excel para hacer un gráfico de los VAN, como hicimos arriba. El
número de veces que el gráfico de VAN cruza el eje X identifica el número de TIR (y también sus valores
aproximados)1.
VF( )
La función VF, calcula el VF de una serie de depósitos. Más abajo examinamos varios casos de esta
función. Para un análisis desde el punto de vista de finanzas de esta función y el significado de los números que produce, debería recurrir al capítulo 2.
El valor futuro de una serie de inversiones anuales: usar VF y el parámetro tipo
Suponga que usted intenta realizar cinco depósitos anuales de $1.000 cada uno en una cuenta de
ahorro al 5 %. El primer depósito se realiza hoy. ¿Cuánto obtendrá al final de los 5 años? En la siguiente
hoja de cálculo, realizamos este cómputo de dos maneras (celdas C13 y C14).
En la tabla en las celdas A6:C11, tomamos cada depósito anual de $1.000 y calculamos su valor
futuro al final del período 5. Sumando estos valores (celda C13) obtenemos $5.801,91.
En la celda C14 utilizamos la función VF. Este es el cuadro de diálogo, con la explicación del uso de
Tipo.
1 Para más ejemplos de múltiples TIR, vea el capítulo 4.
| 631
Principios de Finanzas con Excel
Observe que en Tipo hemos indicado 1: los cinco pagos son efectuados al comienzo del período: hoy
y en cada un de los años 1, 2, 3, y 4.
La función VF le permite a Tipo ser 0 cuando los pagos son realizados al final del período. Para ilustrarlo, suponga que usted intenta realizar cinco depósitos anuales de $1.000 al 5 % en una cuenta de
ahorro, con el primer depósito a ser efectuado 1 año a partir de hoy. ¿Cuánto tendrá usted al final de los
5 años? En la hoja de abajo, realizamos nuevamente este cálculo de dos maneras (celdas C13 y C14).
Para finalizar este análisis, indicamos dos puntos más:
usted no ingresa un valor para Tipo en la función VF, Excel asume que Tipo es igual a 0 (significando que el depósito es realizado al final del período).
■■ Es fácil confundir la distinción entre “comienzo” y “final” del período y el uso a ciegas de la función VF puede conducir a errores. La manera obvia de evitar tales errores es construir una extensa
tabla en Excel como la ilustrada arriba.
■■ Si
632 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
Un comentario final: La función VF también permite un parámetro opcional Va. Este parámetro le
permite usar la función VF para calcular cuotas de préstamos. Preferimos no utilizar este parámetro; si
necesitamos calcular cuotas de préstamos, usamos la función PAGO, que se explica más adelante2.
VA( )
La función VA de Excel calcula el valor actual de una anualidad (una serie de pagos fijos periódicos).
Este es un ejemplo.
Por lo tanto,
100
t
t=0 (1,10)
10
614, 46 = ∑
Hay dos cuestiones que resaltar sobre la función VA( ):
escribir VA(B3,B4,B5) se asume que los pagos son efectuados en las momentos 1, 2,…,10. Si
los pagos son efectuados en los momentos 0, 1, 2,…, 9, usted debería escribir lo siguiente:
■■ Al
■■ Una
cuestión exasperante es que cuando los pagos son positivos como en el ejemplo de arriba, la
función VA( ) (y también la función PAGO, ver a continuación) genera un número negativo (hay una
lógica aquí, pero no es preciso explicarla). Para obtener un VA positivo en la celda B6, deberíamos
escribir -=VA(B3;B4;B5) o hacer que los pagos sean negativos escribiendo =VA(B3;B4;-B5).
2 El uso del parámetro VA de la función VF está bien explicado en una nota de Linda Johnson en el siguiente sitio web:
http://pubs.logicalexpressions.com/pub0009/LPMArticle.asp?ID=385
| 633
Principios de Finanzas con Excel
PAGO( )
Esta función calcula los pagos necesarios para cancelar un préstamo con cuotas iguales en una cantidad fija de períodos. Por ejemplo, el primer cálculo de abajo muestra que un préstamo de $1.000, a ser
cancelado en 10 años a una tasa de interés del 8 %, requerirá pagos anuales iguales de capital e interés
de $149,03. El cálculo realizado es la solución de la siguiente ecuación:
n
X
∑ (1 + r)
t=1
t
= monto inicial del préstamo
Donde X es la cuota:
Se pueden calcular tablas de préstamos utilizando la función PAGO( ). Estas tablas —explicadas en
detalle en el capítulo 2— muestran qué parte de cada cuota es interés y qué parte es devolución del
monto del préstamo. En cada período, la cuota del préstamo (calculada con PAGO( )) se divide:
■■ Primero
calculamos el interés adeudado para ese período sobre el capital remanente al comienzo
del período. En la tabla de abajo, al final del año 1, adeudamos $80 (= 8%*$1.000) de interés
sobre el monto del préstamo remanente a comienzos del año.
■■ El resto del pago (para el año 1, $69,03) va a reducir el capital remanente.
634 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
Obsérvese que la devolución del capital al final del año 10 es exactamente igual al capital remanente
a comienzos del año (es decir, el préstamo ha sido cancelado).
Usar PAGOINT y PAGOPRIN para calcular el interés y el pago de capital de la tabla de préstamo
Las columnas D y E de la tabla de préstamos del ejemplo anterior pueden ser calculadas mediante
estas dos funciones. En el siguiente ejemplo calculamos los componentes de interés y capital en el año 4.
Usar el parámetro VF de la función PAGO
La función PAGO puede también calcular el pago periódico necesario para alcanzar un determinado
VF. Presentamos un ejemplo: suponga que usted desea realizar 10 depósitos anuales en su cuenta de
ahorro de modo que tenga $10.000 en 10 años. Suponga que la tasa de interés es 6 %. ¿Cuál debería
ser su pago anual? En la hoja de abajo le mostramos dos maneras de resolver este problema.
La tabla en las celdas A6:C16 le muestra exactamente lo que está ocurriendo: usando prueba y error
o Buscar Objetivo (capítulo 21) puede usted calcular el número de la celda B2: usted precisa $715,54
depositados hoy y en cada uno de los siguientes 9 años para alcanzar su objetivo de $10.000 al final
del año 10.
| 635
Principios de Finanzas con Excel
La función PAGO en la celda C18 puede realizar el mismo cálculo. Esta es la manera en que se ve
el cuadro de diálogo para esta función. Observe el uso de Tipo=1, dado que los pagos son efectuados a
comienzos de cada año. Note también que no hemos puesto nada en el cuadro Va.
TASA( )
TASA calcula la TIR de una serie de pagos contantes. En el ejemplo de abajo TASA(B4;B5;-B3) en la
celda B6 la calcula en 10,56 %, que es la TIR:
−600 +
636 |
100
100
100
+
+ ... +
=0
(1,1056) (1,1056)2
(1, 056)10
CAP. 19 | Funciones de Excel
Como VA y PAGO, TASA da la posibilidad de especificar si los flujos de fondos ocurren al final del
período (es lo que viene por defecto) o al comienzo. Si usted observa la celda B12, TASA(B10;B11;B9;1;20%) estima en 13,7 %; esta es la TIR de una inversión inicial de $600 y 10 pagos de $100
efectuados al comienzo del período (el comienzo del período es indicado con “1” al final de la fórmula).
El 20 % en la función es una estimación como aquella que se usa también en la función TIR.
Este es el cuadro de diálogo que generó este resultado.
Piense un momento lo que esto significa para una TIR:
−600 +
100
100
100
100
+
+
100
+
+ ... +
=0
(1,1370) (1,1370)2 (1,1370)3
(1,1370)9
Primer pago efectuado
"al comienzo" del período
-lo que significa efectuado
en el momento 0.
Efectivamente, entonces TASA(B10;B11;-B9;1;20%) se refiere a una inversión inicial de $500 y 9
pagos consecutivos de $100.
TASA versus TIR
Si usted observa el ejemplo de arriba, verá (en las filas 16-28) que TIR y TASA dan los mismos resultados. Hay, por supuesto, compensaciones:
■■ TASA
es mas corta; TIR requiere que usted especifique todos los flujos de fondos.
■■ Por otro lado, TIR puede manejar flujos de fondos que varían a través del tiempo.
| 637
Principios de Finanzas con Excel
NPER( )
Esta función calcula el número de períodos para pagar un préstamo dada una suma fija. Por ejemplo,
usted pide prestado $1.000 del banco, que le cobra un 10 % anual de interés. Usted pretende pagar el
préstamo con $250 por año. ¿Cuánto tiempo le llevará cancelar el préstamo?
Como usted puede observar en la tabla de préstamo, toma en algún momento entre los años 5 y 6 para
cancelar el préstamo3. NPER(B3;B4;-B2) da el número exacto de períodos en 5,3596.
3. Funciones matemáticas
Usar Exp para calcular VF
Suponga que usted invierte $100 al 10 % por 3 años. Como se explicó en el capítulo 2, si el interés
se capitaliza anualmente, el VF tras 3 años será como se indica a continuación.
Suponga que el 10 % se capitaliza en forma semestral o semianual (significando que: usted obtiene
5 % cada medio año). Entonces habrá seis períodos de capitalización: 3 años * 2 períodos/año. Su VF
será Inversión Inicial * (1 + 5 %)6 = 134,0096.
3 ¿Por qué? Al final del año 5 (que es también el comienzo del año 6), hay aún $84,24 de capital remanente. Pero si usted paga $250 al
final del año 6, habrá pagado de más.
638 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
Simbolizamos el número de años con t, la tasa de interés con r, y el número de períodos de capitalización por año con n. A medida que el número de períodos de capitalización aumenta, el VF tiende a
100 * er * t, donde e es el número 2,718284. En Excel esto se escribe 100 * Exp(r * t). Esto se ilustra
en la tabla y gráfico de abajo.
Nomenclatura: Cuando el número de períodos de capitalización se torna infinito, se dice que la inversión es con capitalización continua. De otro modo (es decir, cuando hay un número finito de períodos de
capitalización por año), la inversión se dice que es con capitalización discreta.
Usar Exp para calcular VA
Hemos explicado antes cómo $100 crecen a 100*Exp(r*t) cuando se capitaliza en forma continua
por t años a la tasa de interés r. Suponga que usted va a recibir $100 en 3 años. ¿Cuál es el valor actual
(VA) de esos $100 si la tasa de interés aplicable es r? La respuesta depende del número de períodos de
capitalización:

n→∞ 
r
n
nt
4 En notación matemática: lim
 1 +  = e
rt
| 639
Principios de Finanzas con Excel
■■ Si
la inversión es con capitalización discreta n veces por año, entonces su VA es:
100
 r
1 + n 


■■ Si
n*t
 r
= 100 *  1 + 
 n
− n*t
la inversión se capitalizará en forma continua, entonces su VA es:
100
= 100 * exp(−r * t)
exp(r * t)
Así queda en una hoja de cálculos:
Usted puede utilizar la hoja de arriba para demostrar que cuando n se torna muy grande, los dos valores en B7 y B9 convergen.
LN
Esta función (el “logaritmo natural” para diferenciarlo del “logaritmo base 10” que usted estudió en
secundaria) es habitualmente utilizada para calcular tasas de retorno con capitalización continua.
640 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
Suponga que usted invierte en una acción que cuesta $25 y suponga que 1 año después la acción vale
$40. ¿Qué tasa de retorno ha obtenido? Si utiliza capitalización discreta, la tasa de retorno es:
r=
P1
40
− 1 = − 1 = 60%
P0
25
Ahora suponga que la otra alternativa es ganar una tasa de interés con capitalización continua r. Entonces, la tasa de retorno tiene que resolver la ecuación:
P0 exp(r ) = P1 ⇒ exp(r ) =
P1
P0
La función que resuelve esta ecuación es el logaritmo natural ln:
P 
r = ln  1 
 P0 
La siguiente hoja muestra un ejemplo usando Excel.
Cuando t≠1, el problema se ve así:
P0 exp(r * t) = Pt ⇒ exp(r * t) =
Pt
P0
Tiene solución:
P 
r = ln  1 
 P0 
| 641
Principios de Finanzas con Excel
Por ejemplo, suponga que usted invirtió en Intel el 25 de octubre de 1999, comprando la acción
a su precio de cierre de $38,6079 y suponga que la vendió al final del día, el 24 de julio de 2000, a
$64,4379. Como muestra el cálculo de abajo, usted habría obtenido un retorno con capitalización continua del 68,49 % sobre su acción.
Observe que este cálculo es más fácil que el cálculo del retorno diario anualizado, este tiene un paso
más.
Una breve nota de finanzas
No podemos resistirnos a añadir una breve nota de finanzas sobre la diferencia entre el retorno anual
con capitalización continua de 68,49 % y el retorno anual con capitalización discreta de 98,35 %.
■■ Ambos
retornos generan que $38,6079 crezcan en un período de 273 días a $64,4379. De modo
que ambos son —en un sentido económico— el mismo número.
■■ Los retornos diarios están muy cercanos. El retorno diario con capitalización continua se calcula
mediante retorno anual con capitalización continua y el retorno anual con capitalización discreta
se calcula mediante:
 Precio de la acción, el día 273 
 Precio de la acción, día 0 


■■
1
273
− 1.
Estos números son muy cercanos.
Sin embargo, cuando usted los capitaliza por 365 días, las diferencias son muy grandes.
642 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
Redondear, redondear.menos, redondear.mas, truncar
Las funciones de Excel redondear, redondear.menos y redondear.mas hacen exactamente lo que dicen. Estas tres funciones requieren que usted especifique el número de espacios decimales a los que
desea redondear el número. La función truncar corta el número luego de un de una determinada cantidad
de espacios (si usted no especifica, truncar le da la parte integral del número). Este es un ejemplo usando
la función de Excel Pi como base.
Hay una diferencia entre usar estas funciones y meramente formatear el número de modo que se vea
redondeado o truncado. Este es un ejemplo.
En la celda B18 hemos usado el botón para “disminuir decimales” (que se muestra a continuación) en
la Etiqueta Inicio para cambiar la presentación del número. Sin embargo, como usted puede observar en
la celda B21, este botón no modifica el número, mientras que redondear realmente cambia el número5.
Raíz
Esta función calcula la raíz cuadrada de un número. En este libro, hemos utilizado raíz cuadrada para
calcular la desviación estándar (vea el capítulo 12) de los retornos.
5 Excel también tiene la función redondear.mas y redondear.menos que hacen lo que sus nombres sugieren. Dejamos para que usted
explore estas funciones por su propia cuenta.
| 643
Principios de Finanzas con Excel
Observe que puede utilizar el carácter (^) como una manera equivalente de calcular la raíz cuadrada.
En notación de Excel, a^b eleva “a” a la potencia “b” (lo que significa a^b=ab). Dado que una raíz cuadrada es equivalente a la potencia ½, usted puede también usar esta notación (vea la celda B4 arriba).
Suma
La función de Excel Suma lo que hace es sumar números en un rango de celdas.
Sumar.si
Sumar.si le permite sumar solo números que cumplan con una determinada condición. Este es un
ejemplo en que hemos sumado solo aquellas puntuaciones que son mayores que 30.
La función Sumar.si también le permite tener la columna condicional en algún otro lugar. En el siguiente ejemplo, sumamos los números en D10:D14 para los cuales los correspondientes números en
E10:E14 sean mayores que 40 (resaltados aquí).
El asistente de la función realmente es una ayuda cuando usted utiliza esta función. Se lo mostramos
aquí para el ejemplo de arriba. Usted notará que Rango es la columna del criterio (“puntuación 2”) y
644 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
Rango_suma es la columna a ser sumada. Si usted no especifica Rango_suma, Excel asumirá que es la
misma que Rango.
SumaProducto
Esta función multiplica por pares las entradas en dos columnas y suma los resultados. Algunas veces
es útil en estadísticas (¿tenemos algún ejemplo?). Presentamos un ejemplo simple que calcula el retorno
esperado de una cartera. Hay cuatro activos, cada uno con diferente retorno esperado. Para calcular el
retorno esperado de la cartera, debemos multiplicar el retorno esperado de la columna B por la proporción
en la cartera de cada activo (columna C). SumaProducto lo hace muy bien.
4. Funciones condicionales
Si( ), BuscarV( ), y BuscarH( ), son tres funciones que le permiten poner expresiones condicionales.
La sintaxis de la expresión Si en Excel es Si(condición, resultado si la condición es cumplida, resultado si la condición no se cumple). En el ejemplo de abajo, si el número condicional en B3<3, entonces
el resultado deseado es 15. Si B3>3, entonces el resultado es 0.
| 645
Principios de Finanzas con Excel
Usted puede hace también que Si imprima texto, incluyendo el texto deseado entre comillas.
BuscarV y BuscarH
Dado que BuscarV( ) y BuscarH( ) tienen ambas la misma estructura, nos concentraremos en BuscarV( )
y dejamos BuscarH( ) para que lo averigüe usted mismo. BuscarV( ) es una forma de introducir una tabla de
búsqueda en su hoja. Este es un ejemplo: suponga que las tasas marginales de impuestos a las ganancias
están dadas en la tabla de abajo —para ingresos menores que $8.000, la tasa marginal de impuestos es
0 %, para ingresos mayores que $8.000, la tasa marginal de impuestos es 15 %, etc. La celda B9 ilustra
cómo es usado BuscarV para buscar la tasa marginal impositiva.
La sintaxis de esta función es BuscarV(valor_buscado,matriz, columna). La primera columna de la
tabla buscada, A3:A6, debe ser ordenada en forma ascendente (orden creciente). El valor_buscado (en
este caso el ingreso de $15.000) es utilizado para determinar la fila aplicable de la tabla. La fila es la
última fila cuyo valor<que el valor_buscado; en este caso, es la fila que comienza con 14.000. La entrada
de la columna determina a partir de qué columna de la fila aplicable se tomará la respuesta, en este caso
las tasas marginales de impuestos están en la columna 2.
Aquí está el asistente de Excel para esta función.
646 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
La primera columna de BuscarV debe estar ordenada
La primera columna de la tabla BuscarV debe estar ordenada, lo que significa que debe estar en
orden creciente (ya sea numérico o alfabético). Para ver lo que esto significa, tenemos un ejemplo un
tanto complicado: los datos en las columnas A y B de abajo fueron importados de una base de datos; la
columna A nos da las fechas y la columna B, la tasa de interés para una fecha en particular.
Si queremos darle a cada fecha un valor estándar en Excel, es decir, en lugar de “Jan.07,1991”,
querríamos escribir lo siguiente:
(La equivalencia entre fechas y números es tratada en el capítulo 22).
Para escribir los datos en el formato estándar de Excel, usamos las funciones Izquierda, Extrae y Derecha para analizar las fechas de la columna A en mes, día y año (vea la sección siguiente). Ahora debemos identificar cada mes con su número de columna (por ejemplo, Jan =1, Feb =2, etc.). Podemos usar
BuscarV para hacerlo, pero solo si la tabla de BuscarV tiene su columna izquierda en orden alfabético.
| 647
Principios de Finanzas con Excel
5. Funciones de texto
Excel distingue entre números y texto. Usted puede sumar, restar, etc. números, pero no puede hacerlo para textos. Por otro lado, Excel le permite concatenar textos (si esto le suena extraño, siga leyendo).
Concatenación: combinar textos de varias celdas
En el ejemplo de abajo, hemos escrito “doce” en la celda A2 y “vacas” en la celda B2. En la celda
A4, tratamos de escribir =A2+B2; pretendiendo obtener “docevacas”, pero Excel no lo acepta, porque
ni el contenido de la celda A2 (“doce”) ni el de B2 (“vacas”) es un número. Podemos combinar el texto
como en la celda A5, escribiendo =A2&B2.
En la celda A7, hemos agregado la palabra “grandes” más algunos espacios, poniendo los espacios y
textos adicionales entre comillas.
Texto
Ahora vea el ejemplo de abajo.
En la celda B12 queremos crear un texto que contiene el número de vacas (celda B10) y la palabra “vacas”. La función de Excel =TEXTO(B10;»0») transforma el número 1200 en un formato de texto que luego
puede ser utilizado en la fórmula de la celda B12. La segunda parte de la función Texto -donde hemos escrito
“0”- es utilizada para indicar la apariencia del texto. Las celdas B14:B16 muestran algunos otros ejemplos.
Izquierda, Derecha, Extrae, Largo
Las primeras tres funciones le permiten a usted extraer partes de los textos. En el ejemplo de abajo,
hemos utilizado estas funciones para extraer partes del texto de la celda A18.
648 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
La función =IZQUIERDA(A18;2) extrae los 2 caracteres ubicados más a la izquierda de la celda A18.
La función =EXTRAE(A18;4;14) extrae los 14 caracteres de la celda A18, comenzando por el 4to carácter. Y la función =DERECHA(A18;3), bien… usted ya se dará cuenta lo que hace.
Como se ilustra en la celda A23, la función =LARGO(A18) le dice el número de caracteres en el texto.
Usted se podría preguntar por qué un libro de finanzas necesita considerar estas funciones. La siguiente información presenta los precios de algunas opciones de General Motors y fueron descargadas del
sitio web de Chicago Board of Options Exchange. Cuando descargamos los datos, así es cómo se veían.
La información de las columnas A y C brinda las datos de la opción, incluyendo el mes y año de vencimiento, el precio de ejercicio y un ítem entre paréntesis que le muestra la acción sobre la cual se emitió
la opción, el símbolo de la opción y el mercado en el que se comercializó la opción.
Por ejemplo:
■■ GM
HN-E: una opción de compra sobre General Motors con precio de ejercicio 70, con vencimiento en agosto de 2001 y comercializada en el Chicago Board of Options Exchange.
■■ GM TL-A: es el símbolo de una opción de venta sobre General Motors con precio de ejercicio 60,
con vencimiento en agosto de 2001 y comercializada en el American Stock Exchange.
Ahora suponga que queremos separar las fechas, el símbolo de opciones y el mercado en que el cual
se comercializa la opción.
| 649
Principios de Finanzas con Excel
En el capítulo 22 —que explica cómo usar las fechas y horas en Excel—, utilizamos esta información
para diseñar una función que nos dé la fecha de vencimiento de la opción.
6. Funciones estadísticas
Muchas de las funciones estadísticas de Excel ya han sido tratadas en los capítulos previos.
Promedio
Encuentra el promedio de un rango de celdas
Capítulos 8 y 9
Covar
La covarianza de dos conjuntos de datos
Capítulo 9
Coef.de.correl
El coeficiente de correlación de dos conjuntos de datos.
Capítulo 9
Frecuencia
Una función de matriz que calcula la distribución de frecuencia
Capítulo 8
Intersección.eje, pendiente, raíz
Calcula la intersección, pendiente, y R2 de una regresión
Capítulos 9 y 12
Max, mi
El máximo y mínimo de un conjunto de datos
Capítulo 8
Desvest, desvestp
La desviación estándar
Capítulos 8 y 9
Var, Varp
La varianza
Capítulos 8 y 9
Mediana, k.esimo.mayor, jerarquía
En esta subsección examinaremos tres funciones estadísticas más: Mediana, K.esimo.mayor y Jerarquía. Lo ilustramos con el siguiente ejemplo, que contiene las notas de 11 alumnos.
650 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
La mediana es la nota que separa la lista en dos: hay cinco notas mayores que 75 y cinco menores.
La mediana es diferente del promedio (o media aritmética), como usted puede ver.
La función de Excel k.esimo.mayor le dice el “k esimo” mayor número en el grupo de notas.
La función de Excel Jerarquia le dice dónde se ubica un número en particular dentro del rango de
notas. En el ejemplo dado, la nota 72 es la séptima entre el conjunto de notas en B3:B13.
Contar, ContarA, Contar.si
Todas estas tres funciones cuentan celdas. La diferencia (que explicaremos) es que:
■■ Contar
cuenta el número de celdas que contienen valores e ignora las celdas que contienen texto.
cuenta todas las celdas no-en-blanco en un rango, ya contengan valores o texto.
■■ Contar.Si cuenta celdas que cumplen una condición particular.
■■ ContarA
| 651
Principios de Finanzas con Excel
Ahora lo ejemplificaremos.
7. Funciones Coincidir e Índice
Usamos estas funciones muy poco en el capítulo 8 para localizar las fechas específicas en las cuales
la acción de McDonald´s alcanzó su precio máximo y mínimo.
Utilizar Índice para localizar un valor en una matriz
En el ejemplo de abajo, usamos Índice para localizar el valor en la fila 5 y columna 6 de una matriz
de 8 x 8.
Utilizar Coincidir para averiguar dónde ocurre un valor específico
Los datos de abajo son los precios de Citicorp en el primer día de negociaciones de septiembre de
2007 a septiembre de 2009. El precio mínimo durante dicho período fue $1,50. Usando Coincidir(Valor_
buscado,Matriz_buscada,Tipo_de_coincidencia) podemos localizar este valor en la fila 18 del conjunto
de precios.
652 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
Combinar Coincidir e Índice
¿En qué día ocurrió el precio mínimo de Citicorp? Podemos combinar Índice y Coincidir como se
muestra en el ejemplo de arriba para determinar el 2 de febrero de 2009 como la fecha del precio mínimo para Citicorp.
8. Resumen
Excel tiene cientos de funciones. Este capítulo ha ilustrado las principales funciones usadas en este
libro (y, por lo tanto, son solo algunas). Confiamos en usted, como lector educado, para explorar el resto
por su cuenta.
| 653
CAP. 19 | Funciones de Excel
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Utilice VNA para calcular el valor actual del proyecto indicado abajo:
Suponga que el proyecto tiene un costo de $600. ¿Cuál es su valor presente?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
2. Utilice VNA para calcular el valor actual neto del siguiente proyecto:
Use tabla de datos (ver el capítulo correspondiente) para calcular el valor actual del proyecto para tasas de descuento de 0 %, 4 %,..., 48 %. Represente gráficamente los resultados y estime la TIR del proyecto.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
3. Utilice la función TIR para calcular la tasa interna de rentabilidad del proyecto del problema previo.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
4. Use la función VF en los siguientes casos:
a. ¿Cuál es el valor al final de 10 años de depositar $200 en el banco, hoy y al comienzo de cada uno de
los siguientes 9 años, a una tasa de interés anual del 3 %?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
| 655
Principios de Finanzas con Excel
b. ¿Cuál es el valor futuro al final de 10 años de depositar $200 en el banco al final de los años 1, 2, 3…,
10? Asuma una tasa de interés anual del 3 %.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
5. Usted tiene 25 años de edad y quiere ahorrar para el futuro. Pretende depositar $1.000 en el banco hoy y efectuar
similar depósito en los próximos 44 años. Si la tasa de interés es 5 % al año, ¿cuánto dinero tendrá usted cuando
alcance los 70 años de edad?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. Su madre tiene 45 años de edad y desea comenzar a separar dinero para el momento de su jubilación. Ella querría
efectuar depósitos mensuales en el banco, empezando hoy mismo y luego al comienzo de cada mes entre hoy y el
mes anterior a su retiro a los 70 años. Si la tasa de interés es 6 % anual (0,5 % por mes), ¿cuánto debería depositar
por mes para tener $200.000 el día que se retire? Utilice la función VF.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
7. Su madre tiene 45 años de edad y desea comenzar a apartar dinero para el momento de su jubilación. Ella querría
efectuar depósitos mensuales en el banco, empezando hoy mismo y luego al comienzo de cada mes entre hoy y el
mes anterior a su retiro a los 70 años. Si la tasa de interés es 6 % anual (0,5 % por mes), ¿cuánto debería depositar
por mes para tener $200.000 el día que se retire? Utilice la función PAGO.
Utilice tabla de datos (ver el capítulo correspondiente) para repetir el cálculo de arriba para tasas de interés anual
de 1 %,..., 12 %.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
8. Usted ha tomado préstamos hipotecario a 30 años para financiar la compra de una nueva casa. La hipoteca tiene
una tasa de interés del 10 % anual y requiere pagos fijos mensuales de interés y capital. Utilice la función PAGO para
calcular los pagos mensuales.
Diseñe una tabla para el préstamo que muestre que la cuota que usted calculó en la primera parte de este problema,
realmente cancela la hipoteca.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
9. Usted está evaluando adquirir un bono que paga $112,50 al final de este año y de los 10 años subsiguientes. La tasa
de interés es 12 %. Utilice la función VA par valuar el bono.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
656 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
10. Usted ha ofrecido financiar a Joe la compra de un coche de $20.000. Joe le ofrece pagarle $500 mensualmente
durante los próximos 48 meses.
a. Utilizando la función Tasa calcule la tasa de interés mensual que le está ofreciendo. Confirme la respuesta con la función TIR.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es la tasa de interés anual?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
11. Usted está tomando un préstamo de $12.000 al 6 %. Si el máximo pago anual que puede realizar es $2.000, ¿cuánto
tiempo le tomará pagar el crédito? (ayuda: use NPER). Construya una tabla del préstamo que confirme su respuesta.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
12. Un fondo de inversión (Money Market Fund) paga el 3 % de interés anual, capitalizado en forma continua.
a. Si usted deposita $100.000 en dicho Fondo hoy y la tasa de interés se mantiene durante los próximos
10 años, ¿cuánto dinero tendrá en 10 años?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es su tasa de interés efectiva anual (TEA) en el fondo? (a pesar de que no lo necesite para responder
a la pregunta, quizás usted quiera repasar lo que es la TEA en el capítulo 3).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
13. Su cuenta bancaria paga 5,2 % de interés anual, capitalizado en forma continua. Usted tiene $25.000 en su cuenta
hoy y prevé retirarlo dentro de 3 años y 4 meses. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta para entonces?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
14. Calcule el valor actual con capitalización continua de los siguientes flujos de fondos, utilizando una tasa de descuento del 15 %.
| 657
Principios de Finanzas con Excel
15. Calcule el valor actual con capitalización continua de los siguientes flujos de fondos, utilizando una tasa de descuento del 15 %. (Este problema requiere cierta práctica en el manejo de fechas en Excel; vea el capítulo correspondiente).
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
16. A usted le han ofrecido un activo financiero cuyo costo es $1.000 hoy; y le paga $1.100 en un año.
a. Calcule la tasa de rentabilidad con capitalización discreta del activo.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Calcule la tasa de rentabilidad con capitalización continua del activo.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
17. La hoja de cálculo de este ejercicio contiene los precios de la acción IBM y sus dividendos, desde febrero 1990
hasta agosto 2004. Parte de esta hoja se transcribe más abajo; observe que la columna D presenta los rendimientos de la acción para el período en que son pagados los dividendos (normalmente este período en un trimestre).
Utilice la función Sumar.Si para encontrar el total de todos los dividendos pagados durante los períodos en que el
rendimiento fue superior al 25 %.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
658 |
CAP. 19 | Funciones de Excel
18. Use la función sumaproducto para calcular el rendimiento del portafolio indicado abajo. El portafolio está compuesto por tres acciones con las proporciones indicadas.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
19. Las notas del final del semestre para el curso Finanzas 101 son las siguientes:
El profesor debe calificar con una letra a cada alumno, en base al promedio obtenido. La escala es la siguiente:
Utilice la función ConsultaV para asignar las letras a cada estudiante.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
20. El presente ejercicio está referido a las acciones que conforman el Dow Jones 30 Industrials (DJ30) y sus precios el
27 de agosto de 2004. Se presenta a continuación parte de la lista:
a. ¿Cuál es el precio promedio de las acciones del DJ30?
b. ¿Cuál es la mediana de los precios?
c. Utilice la función K.Esimo.Mayor para determinar el mayor de los precios. Haga lo mismo mediante la
función Max.
d. Utilice la función K.Esimo.Mayor para determinar el menor de los precios. Haga lo mismo mediante la
función Min.
e. Use Jerarquía para determinar la posición relativa de la acción de Microsoft entre las del DJ30.
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Principios de Finanzas con Excel
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
21. Utilizando la lista de empresas del DJ30 del ejercicio previo, determine lo siguiente:
a. Use la función ContarA para determinar el número de empresas de la lista, que están en la columna A.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Use la función ContarA para determinar el número de precios de acciones de la lista, que están en la
columna B.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
c. Use Contar.Si para determinar el número de empresas cuyos precios de acciones sea mayor o igual a $30.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
660 |
Capítulo 20
Tablas de datos
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
Concepto general
Un ejemplo simple
Resumen: cómo hacer una tabla de datos unidimensional
Algunas notas sobre tablas de datos
Tablas de datos bidimensionales
CAP. 20 | Tablas de datos
1. Concepto general
Las tablas de datos representan el modo más sofisticado de realizar análisis de sensibilidad en Excel.
Son un poco complicadas para implementar, ¡pero el esfuerzo de aprenderlas merece la pena!
2. Un ejemplo simple
Si depositamos $100 hoy y lo dejamos en un banco durante 10 años generando un 15 %, ¿cuál será
su valor futuro? Como muestra el ejemplo de abajo, la respuesta es $404,56.
Ahora suponga que queremos mostrar la sensibilidad del valor futuro a la tasa de interés. En las celdas
A10:A16 hemos puesto tasas de interés que varían de 0 a 60 %, y en la celda B9 hemos puesto =B5,
que hace referencia al cálculo inicial del valor futuro.
Para utilizar la técnica de tabla de datos marcamos el rango A9:B16 y luego usamos el comando
Datos/Análisis y si/Tabla de Datos.
| 663
Principios de Finanzas con Excel
Tras hacer clic en Tabla de datos, esta es la manera en que se ve su pantalla.
El cuadro de diálogo pregunta si el parámetro a ser modificado está en una fila o en una columna de
la tabla marcada. En nuestro caso la tasa de interés que será modificada se encuentra en la columna A
de la tabla, por lo que movemos el cursor desde celda de entrada (fila) hacia celda de entrada (columna)
e indicamos dónde se encuentra la tasa de interés en el ejemplo original.
Cuando usted hace clic en Aceptar obtiene el resultado.
664 |
CAP. 20 | Tablas de datos
3. Resumen: cómo hacer una tabla de datos unidimensional
■■ Cree
un ejemplo inicial.
■■ Configure un rango con:
 Alguna
variable en el ejemplo inicial que será modificada (como la tasa de interés en el ejemplo de arriba).
referencia al ejemplo inicial (como el =B5 en el de arriba). Observe que usted siempre
tendrá una celda en blanco al lado de esta referencia. Observe la celda en blanco cuando la
variable está en una columna.
 Una
Aquí le mostramos la celda en blanco cuando la variable está en una fila.
■■ Que
aparezca el comando Tabla de datos e indique en el cuadro de diálogo:
 Si
la variable se encuentra en una fila o en una columna.
se encuentra la variable en el ejemplo inicial.
 Dónde
| 665
Principios de Finanzas con Excel
Variable en una columna
Variable en una fila
En cualquier caso, el resultado será una tabla de sensibilidad.
4. Algunas notas sobre tablas de datos
Las tablas de datos son dinámicas
Usted puede cambiar el ejemplo inicial o las variables, y la tabla se ajustará. Aquí mostramos un
ejemplo en el que hemos cambiado las tasas de interés que queremos que varíen (compárelo con el
ejemplo previo).
Ahora otro ejemplo: hemos cambiado la función que estamos calculando, poniendo =VF(B2;B4;-B3;;1)
en la celda B5, como se explicó en el capítulo 2, esta función calcula el valor futuro de 10 depósitos
666 |
CAP. 20 | Tablas de datos
anuales de $100 comenzando hoy y acumulando interés al 15 % por 10 años1. Observe que también
hemos cambiado el texto en la celda A3 de “depósito inicial” a “depósito anual” para reflejar lo que está
ocurriendo ahora.
Cuando presionamos Aceptar, tanto el cómputo de la celda B5 como la tabla de datos se actualizan.
1 Como también explicamos en el capítulo 2 y 19, ponemos el signo menos antes de B3 porque de otro modo —por razones fuera de lógica— Excel genera un valor futuro negativo. Observe que si hubiéramos puesto =VF(B2;B4;-B3) el supuesto sería que había 10 depósitos
comenzando en 1 año a partir de ahora.
| 667
Principios de Finanzas con Excel
Usted puede borrar toda la tabla de datos pero no puede borrar solo una parte
Si trata de borrar parte de una tabla de datos, obtendrá un mensaje de error.
Usted puede ocultar la celda del título, pero no borrarla
La fórmula que se encuentra en la parte superior, en la segunda columna de la base de datos (celda
B9 en nuestro caso, conteniendo la referencia a la celda B5) es llamada “título de la columna”. Esta
fórmula controla lo que calcula la base de datos. Si usted quiere imprimir una tabla, habitualmente
querrá ocultar el título de la columna. En el ejemplo de abajo, hemos colocado el cursor en la celda B9.
Haciendo clic derecho sobre la celda, vaya al comando Formato de Celdas y luego en la etiqueta Número,
elija Personalizada. Ingresando un punto y coma en el cuadro Tipo se oculta la celda.
Este es el resultado:
668 |
CAP. 20 | Tablas de datos
5. Tablas de datos bidimensionales
En el ejemplo de abajo, volvemos al ejemplo del VF tratado anteriormente. Queremos modificar nuestro ejemplo inicial respecto tanto de las tasas de interés como del depósito inicial. La tabla de datos se
configura en las celdas B9:H15.
Esta vez indicamos en el comando Datos/Análisis y si/Tabla de datos, que hay dos variables.
Esto crea una tabla bidimensional.
| 669
CAP. 20 | Tablas de datos
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. La hoja de abajo muestra el valor de la función f(x) = x2 + 3x – 16 para x = 3. Construya la tabla de datos indicada y
utilícela para elaborar un gráfico de la función en el rango (-10, 14).
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
2. El ejemplo de abajo calcula el VAN y la TIR de una inversión.
a. Construya una tabla de datos uni-dimensional para mostrar la sensibilidad del VAN y la TIR al flujo de
fondos del año 1 (actualmente igual a $10.000). Utilice el rango de $9.000 a $12.000 en incrementos
de $500.
b. Construya una tabla de datos bi-dimensional para mostrar la sensibilidad del VAN al flujo de fondos del
año 1, y a la tasa de descuento. Utilice el mismo rango para los flujos de fondos que en el punto anterior,
y tasas de descuento de 8 a 20 % con incrementos de 2 %.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
| 671
Principios de Finanzas con Excel
3. Los flujos de fondos de los proyectos A y B se indican en la siguiente hoja. Reconstruya la tabla de datos de las celdas
A21:C37, así como su gráfico. Observe que los encabezados en las celdas B21:C21 han sido escondidos (vea en la
sección 3 de este capítulo cómo hacerlo).
¿Cuál es el punto de intersección de las dos líneas? (puede utilizar la tabla de datos para hacerlo y también puede
recurrir al capítulo 4 para una mejor explicación).
4. Los textos de finanzas siempre tienen tablas que muestran el factor de valor actual (VA) para una anualidad:
Como se ilustra abajo en Excel, estos factores de valor actual son creados con la función VA.
672 |
CAP. 20 | Tablas de datos
Use Tabla de datos para crear la tabla en la plantilla de arriba.
5. (Haga este ejercicio solo si ha estudiado los capítulos relativos a precios de opciones). El modelo de determinación
de precios de opciones de Black-Scholes, determina los precios de opciones de compra y venta en base a cinco
parámetros:
~~
~~
~~
~~
~~
S, precio de la acción hoy.
X, precio de ejercicio de la opción.
T, fecha de vencimiento de la opción.
r, tasa de interés.
α, riesgo de la acción.
Dichos inputs, así como los precios resultantes de opciones de compra y venta, están resaltados abajo.
Su tarea: use Tabla de datos para crear tablas mostrando la sensibilidad de los precios de las opciones de compra
y de venta a varios inputs. Aquí hay algunas sugerencias.
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Principios de Finanzas con Excel
a. Usando los parámetros que se muestran a continuación, ¿cuáles son los precios de las opciones de
compra y venta, dado α = 10 %, 15 %, 20 %,..., 80 %?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b. Usando los parámetros que se muestran a continuación, ¿cuáles son los precios de las opciones de
compra y venta, cuando T = 0,1; 0,2; 0,3;...; 1?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
674 |
Capítulo 21
Usar Buscar objetivo y Solver
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
Concepto general
Instalación de Solver
Usar Buscar objetivo y Solver: un ejemplo sencillo
¿Cuál es la diferencia entre Buscar objetivo y Solver?
Configurar la precisión de Solver y Buscar objetivo
CAP. 21 | Usar Buscar objetivo y Solver
1. Concepto general
Buscar Objetivo y Solver son las herramientas de Excel que producen los objetivos deseados de sus
modelos (en la jerga técnica es “calibrar su modelo”). Si esta oración le suena un poco densa, continúe
leyendo –verá que estas herramientas son extremadamente útiles—.
A pesar de que Solver es una herramienta mucho más sofisticada que Buscar Objetivo, nosotros no
usaremos muchas de sus capacidades avanzadas. Para nuestro propósito, Buscar objetivo y Solver son
ampliamente sustituibles —ambas pueden realizar la mayoría de las tareas financieras que nosotros requerimos y no son difíciles de usar—. Cuando usted haya adquirido práctica en utilizarlas, probablemente preferirá Solver, dado que esta “recuerda” sus argumentos (en esta instancia usted no comprenderá
esto, pero continúe leyendo).
2. Instalación de Solver
Tanto Buscar Objetivo como Solver vienen con el paquete estándar de Excel, pero Solver tiene que ser
instalado. Si no se encuentra en su ordenador, haga lo siguiente:
■■ Abra
Excel. Ingresando al menú Archivo, luego Opciones y luego Complementos.
hecho clic en Complementos, elija la opción Complementos de Excel de la casilla que
se despliega hacia abajo.
■■ Habiendo
| 677
Principios de Finanzas con Excel
Presionando clic sobre Complementos de Excel, hace lo siguiente:
3. Usar Buscar objetivo y Solver: un ejemplo sencillo
Comenzaremos con un ejemplo de álgebra de educación secundaria: suponga que queremos representar gráficamente la ecuación y = − x 3 + 2x 2 − 3x + 121 . Podemos hacerlo en Excel del siguiente modo.
678 |
CAP. 21 | Usar Buscar objetivo y Solver
Observe que hemos puesto la función dos veces: en las celdas B2:B3, tenemos un ejemplo simple de
la función (un valor para x y su correspondiente valor de y); en la tabla a la derecha tenemos la tabla para
el gráfico (muchos valores de x y muchos valores de y).
Ahora queremos encontrar el valor de x tal que su correspondiente valor de y es 21. Usted puede afirmar a partir de la tabla que el valor estará en algún lugar entre 5 y 6. Para resolverlo, vamos al comando
de Excel Datos/Análisis y Si/Buscar Objetivo.
Esto abre un cuadro de diálogo, que llenamos como se muestra a continuación.
Haciendo clic en Aceptar se indica que la respuesta es aproximadamente 5,166147.
Haciendo clic en Aceptar nuevamente se confirma la respuesta.
| 679
Principios de Finanzas con Excel
Hacer lo mismo con Solver
Podemos hacer el mismo cálculo con Solver. En la misma hoja, vamos al comando Datos/Solver.
Esto abre un cuadro de diálogo que llenamos como se muestra a continuación (observe que hemos
modificado la pregunta un poco, esta vez le estamos preguntando por el valor de x que da un y=-58).
Haciendo clic en Resolver nos da la respuesta.
680 |
CAP. 21 | Usar Buscar objetivo y Solver
Haciendo clic en Aceptar se confirma la respuesta.
4. ¿Cuál es la diferencia entre Buscar objetivo y Solver?
Solver y Buscar Objetivo sirven para el mismo propósito. Sin embargo, hay muchas diferencias entre
ellas.
Solver recuerda, Buscar objetivo olvida
Suponga que usted tiene otra pregunta: ¿para qué x será y=158? Si usted usa Buscar Objetivo para
responder a esta pregunta, tendrá que reingresar todos los valores en el cuadro de diálogo. Pero si usted
utiliza Solver, verá que este viene con el conjunto previo de valores, usted solo debe modificar la entrada
en el cuadro Valor de.
Esta “memoria” de Solver se mantiene incluso si usted guarda el archivo y lo reabre luego.
Solver es más flexible
Nuevamente, usamos un ejemplo de álgebra, pero esta vez usamos la función y = x 2 − 7x − 14 . Esta
función es una parábola simple.
| 681
Principios de Finanzas con Excel
Ahora, suponga que queremos encontrar el valor de x tal que y = 21. Como usted puede ver arriba,
hay dos x: una es entre -3 y -4, y la otra es entre 10 y 11. Si usted utiliza Buscar objetivo, no puede
especificar qué x encontrar.
Con Solver, sin embargo, usted puede especificar restricciones a las variables.
682 |
CAP. 21 | Usar Buscar objetivo y Solver
Aquí hemos utilizado Agregar para ingresar dos restricciones en x. Haciendo clic en Resolver obtendremos la respuesta correcta.
5. Configurar la precisión de Solver y Buscar objetivo
Ambos, Solver y Buscar objetivo realizan los cálculos con precisión para una determinada cantidad
de decimales. Usted puede modificar esta configuración en Excel yendo a Archivo/Opciones/Fórmulas/
Habilitar cálculo iterativo y modificar el Cambio máximo.
| 683
CAP. 21 | Usar Buscar objetivo y Solver
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Considere el cálculo de valor actual de un activo financiero cuyos flujos de fondos se presentan a continuación.
Utilice Buscar objetivo para hallar la tasa de descuento tal que el valor actual de los flujos de fondos sea $800.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
2. Un activo financiero cuesta $500 y produce flujos de fondos en los años 1,2,..., 5. El flujo de fondos del año 1 es $100
y los subsiguientes crecen a la tasa del 5 %. Como puede observar abajo, la tasa interna de rentabilidad (TIR) es
3,32 %.
Utilice Solver para encontrar una tasa de crecimiento tal que la TIR sea 10 %.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
3. (Este problema requiere algo de conocimiento de cálculos de portafolio, contenidos en el capítulo 9). Abajo encontrará datos de rentabilidades, E(rA) y E(rB), y deviaciones estándar, σA y σB, de las acciones A y B. El número ρ es el
coeficiente de correlación de los rendimientos de A y B.
Para un portafolio compuesto por una proporción XA de la acción A y XB de la acción B, la rentabilidad y desviación
estándar esperada del portafolio están dadas por:
Rentabilidad esperada del portafolio, E(rP ) = X A E(rA ) + X BE(rB )
| 685
Principios de Finanzas con Excel
Desviación estándar del portafolio, σP = X 2A σ2A + X B2 σB2 + 2X A X Bρσ A σB
Dado que las proporciones del portafolio deben sumar 100 %, XB = 1- XA
Un ejemplo de cálculo de rentabilidad esperada y desviación estándar se muestra en las celdas B15:B16.
a. Use Solver para calcular las proporciones XA y XB para un portafolio que tenga la mínima desviación
estándar σP
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Use Solver y las restricciones para calcular las proporciones XA y XB para un portafolio que tenga la
mínima desviación estándar σP y un rendimiento de al menos 18 %.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4. Realice las siguientes acciones:
a. Cree un gráfico con la función y = -2x2 – 2x – 14 para x = -4; -3,75; -3,50;...; 3. ¿Cuáles son los valores
aproximados de x para los cuales y = 0?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b. Usando Buscar objetivo con la función, determine el valor de x tal que y = 0. ¿Cuál de los dos valores
de x encuentra Buscar objetivo?
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c. Use Solver con las restricciones apropiadas para encontrar el segundo valor de x para el cual la función
y = -2x2 – 2x – 14 tiene un valor de 0.
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
686 |
Capítulo 22
Trabajar con fechas en Excel
Contenido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Concepto general
Conceptos de Excel tratados en este capítulo
Ingresar fechas en una hoja
Horas en una hoja
Funciones de hora y fecha en Excel
Las funciones TIR.NO.PER y VNA.NO.PER
Un ejemplo más complejo – Calcular fechas de vencimiento
de opciones
CAP. 22 | Trabajar con fechas en Excel
1. Concepto general
Una de las características más potentes de Excel es su habilidad para trabajar con fechas. En este
capítulo explicamos cómo utilizar las flechas en Excel.
2. Conceptos de Excel tratados en este capítulo
■■ Ingresar
fechas y horas en una hoja
las fechas y horas en múltiples celdas
■■ Formatear las celdas para fechas
■■ Funciones: Ahora, Hoy, Mes, TIR.NO.PER, VNA.NO.PER, Fecha, Diasem, BuscarV.
■■ Extender
3. Ingresar fechas en una hoja
Lea la cita de la ayuda de Excel en la figura 22.1 y sabrá casi todo lo que usted necesita conocer
acerca del ingreso de fechas en su hoja de cálculos. El hecho básico que debe saber es que Excel traduce
las fechas en números. Este es un ejemplo: suponga que usted decide ingresar una fecha en una celda.
Cuando usted presiona Enter, Excel decide que usted ha ingresado una fecha. Esta es la forma en
que aparece.
Observe que en la barra de fórmulas (indicada con la flecha de arriba), Excel interpreta la fecha ingresada como 02/03/20121.
Haciendo clic derecho en la celda, vaya a Formato de celdas y luego Número/General.
1 La forma en que esta aparece y es interpretada depende de la configuración regional ingresada en el Panel de Control de Windows.
Nuestra configuración en este libro sigue la práctica habitual en Argentina.
| 689
Principios de Finanzas con Excel
Usted ve que Excel interpreta esta fecha como el número 40970, el número 1 comienza el 1 de enero
de 1900.
De la ayuda de excel: sobre fechas y el sistema de fechas
Microsoft Excel almacena las fechas como números secuenciales conocidos como valores seriales. De manera predeterminada,
el 1 de enero de 1900 es el valor serial número 1, y el 1 de enero de 2008 es el valor serial 39448 porque se encuentra 39448
días después del 1 de enero de 1900. Excel almacena las horas como fracciones decimales porque la hora es considerada
una porción del día.
Dado que fechas y horas son valores, estos pueden ser sumados, restados e incluidos en otros cálculos. Usted puede ver
una fecha como un número serie y una hora como fracción decimal cambiando el formato de la celda que contiene la fecha
o la hora al formato general.
Dado que las reglas que gobiernan el modo en que los programas de cálculos interpretan las fechas son complejas, usted
debe ser tan específico como sea posible respecto de las fechas cuando las ingrese. Esto generará el mayor nivel de precisión
en sus cálculos de fechas.
Figura 22.1. Ayuda de Excel.
Las celdas de fechas pueden ser restadas: en la hoja de abajo hemos ingresado dos fechas y las hemos
sustraído para encontrar el número de días entre las fechas.
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CAP. 22 | Trabajar con fechas en Excel
(La celda C7 inicialmente mostraba una fecha, pero luego fue reformateada con Formato de Celdas/
Número/General)
Usted puede también sumar un número a una fecha para encontrar otra fecha. ¿Cuál fue, por ejemplo,
la fecha 165 días después del 16 de noviembre de 1647?)
C
11
16-nov-47
12
29-abr-48
D
E
<-- = C11+165
Extender las fechas
En las dos celdas siguientes hemos ingresado dos fechas y luego “extendido” las celdas para agregar
más fechas con la misma diferencia entre ellas.
Escriba dos fechas; marque
ambas celdas
Agarre el controlador de relleno
(marcado con la flecha en
el dibujo previo) y tire
El resultado: más fechas
sumadas con el mismo espaciado
(en este caso, 6 meses)
4. Horas en una hoja
Las horas, minutos, etc., también pueden ser ingresados en una celda. En la celda de abajo, hemos
escrito 8:22.
Cuando presionamos Enter, Excel interpreta esto como 8:22 AM.
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Principios de Finanzas con Excel
Excel reconoce el formato de 24 h y también reconoce el símbolo a para AM y p para PM.
Al ingresar
Cuando usted presiona Enter
Observe que la p está separada de la hora por un espacio
(por supuesto AM estaría representada por una a).
Excel reconoce el formato de 24 horas
Al ingresar
Cuando usted presiona Enter
Usted puede sustraer horas tal como lo hace con las fechas; la celda B5 de abajo le dice que 7 horas
y 32 minutos han pasado entre dos horarios (ignore el “AM” en B5).
Cuando usted reformatea las celdas de arriba con Formato de Celdas/Número/General, usted puede
ver que las horas están representadas en Excel como fracciones de un día.
Si usted ingresa una fecha y hora y la reformatea, también puede ver esto.
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CAP. 22 | Trabajar con fechas en Excel
Esto es lo que usted escribió
Esto es lo que aparece cuando usted presiona Enter
Si usted lo reformatea a General
5. Funciones de hora y fecha en Excel
■■ Excel
tiene un conjunto completo de funciones de fecha y hora. Presentamos aquí algunas funciones que consideramos útiles. Observe que varias de estas funciones requieren paréntesis vacíos:
■■ Ahora ( ) lee el reloj del ordenador y representa le fecha y la hora.
■■ Hoy ( ) lee el reloj del ordenador e imprime el día.
■■ Fecha (aaaa, mm, dd) devuelve la fecha ingresada.
■■ Diasem (número de serie que representa una fecha) devuelve el día de la semana.
■■ Mes (número de serie) devuelve el mes.
Estas son las tres primeras funciones en una hoja.
El uso de Diasem y Mes se explican por sí mismos.
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Principios de Finanzas con Excel
Calcular la diferencia entre dos fechas. La función SIFECHA
Esta función de Excel calcula la diferencia entre dos fechas de varias maneras útiles.
Si la fecha 1 es la fecha de nacimiento del autor y la fecha 2 es la fecha de hoy, entonces el autor
tiene actualmente 64 años y 336 días (celdas A6 y A11).
6. Las funciones TIR.NO.PER y VNA.NO.PER
Estas dos funciones calculan la TIR y VAN de una serie de flujos de fondos recibidos en fechas específicas. Son especialmente útiles para el cálculo de TIR y VAN cuando las fechas son espaciadas de forma
desigual2. Si usted no tiene estas funciones, tendrá que activar el paquete de Herramientas para análisis.
Usted puede hacerlo yendo al menú Archivo, haciendo clic en Opciones y luego en Complementos.
Después de Archivo/Opciones/Complementos, elija
Complementos de Excel del listado que se despliega
Luego elija Herramientas para análisis
(Mientras usted está aquí, también elija Solver. Como se explicó en el
capítulo 21, todo analista financiero necesita estos complementos).
2 La función TIR de Excel asume que el primer flujo de fondos ocurre hoy, el próximo flujo de fondos ocurre en un período posterior, el
siguiente flujo de fondos en un período más adelante, etc. La función VNA de Excel asume que el primer flujo de fondos ocurre dentro
de un período, el siguiente flujo de fondos dentro de dos períodos, etc. A esto lo llamamos “distribución regular de los flujos de fondos”.
Cuando este no sea el caso, usted necesitará las funciones TIR.NO.PER y VNA.NO.PER.
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CAP. 22 | Trabajar con fechas en Excel
TIR.NO.PER
A continuación, un ejemplo: usted paga $600 el 16 de febrero de 2001 por un activo que devuelve
$100 el 5 de abril de 2001; $100 el 15 de julio de 2001 y luego $100 cada 22 de septiembre de
2001 hasta el 2009. Las fechas no están distribuidas de manera regular, por lo que usted no puede usar
la función TIR. Con TIR.NO.PER (celda B16 de abajo), usted puede calcular la tasa interna de retorno
anualizada (TIR) (tasa de interés efectiva anual, TEA) como se definió en el capítulo 3).
La función TIR.NO.PER funciona descontando cada flujo de fondos a la tasa diaria. En nuestro ejemplo el primer flujo de fondos de $100 ocurre 48 días a partir de hoy, el segundo 149 días… La función
TIR.NO.PER transforma 21,97 % a una tasa diaria y la utiliza para descontar los flujos de fondos:
−600 +
100
(1,2197 )
48 /365
+
100
(1,2197 )
149/365
+ ... +
100
(1,2197 )
3140 /365
=0
VNA.NO.PER
Esta función calcula el VAN de flujos de fondos distribuidos de manera no regular. En el siguiente
ejemplo utilizamos esta función para calcular el VAN del mismo ejemplo usado para TIR.NO.PER.
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Principios de Finanzas con Excel
Observe que VNA.NO.PER requiere que usted indique todos los flujos de fondos (comenzando con el
flujo de fondos inicial), contrariamente a VNA, que comienza con el flujo de fondos del período 1.
TIR.NO.PER y VNA.NO.PER pueden dar respuestas diferentes
Las funciones TIR.NO.PER y VNA.NO.PER pueden dar respuestas ligeramente diferentes. Aquí hay
un ejemplo:
En la celda B14 hemos calculado el VAN utilizando la función VNA y en la celda B15 hicimos el
mismo cálculo usando VNA.NO.PER. ¿Por qué las respuestas son diferentes? VNA.NO.PER efectúa el
cálculo usando tasas de interés diario (1+12%)(1/365)-1=0,03105% y basado en el número de días entre
cada fecha. VNA, por su parte, usa la tasa de interés anual del 12 %. Dado que 2008 y 2012 son años
bisiestos, VNA.NO.PER es levemente menor3.
7. Un ejemplo más complejo – Calcular fechas de vencimiento de opciones
En esta sección mostramos cómo utilizar varias funciones de Excel para calcular la fecha en que vencen las opciones. La fecha real de vencimiento es el tercer viernes del mes. El calendario de abajo ilustra
lo que queremos decir, el día relevante de cada mes está resaltado.
3 Por la misma razón, TIR y TIR.NO.PER pueden dar resultados ligeramente diferentes.
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CAP. 22 | Trabajar con fechas en Excel
¿Cómo encontramos ese día? Comenzamos con la función de Excel Diasem. Esta función toma la
forma de texto del día y le dice el día de la semana. De modo similar, la función de Excel Mes le dice el
mes de una determinada fecha. Estos son algunos ejemplos:
Ahora, suponga que conocemos el mes y el año (como en la celda B5 y C5 de abajo). En la celda D5
hemos incluido una fórmula de texto que crea “1 de Nov de 2011” de la combinación del mes y del año
(las formulas de texto son tratadas en el capítulo 18 de gráficos).
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Principios de Finanzas con Excel
En la celda B5 utilizamos Diasem para indicar que nos diga que el 1 de noviembre de 2010 es lunes. Ahora, es solo cuestión de contar: si el 1 de noviembre es lunes, así serán también el 8 y el 15 de
noviembre. Por lo que el tercer viernes del mes es 19 de noviembre. La celda B8 usa BuscarV (vea el
capítulo 19) y la tabla de las celdas B12:C18 para darnos la fecha correcta.
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CAP. 22 | Trabajar con fechas en Excel
Ejercicios de repaso y autoevaluación
1. Ingrese una serie de fechas anuales en Excel, comenzando el 31 de enero de 2008 y finalizando el 31 de enero de
2015. El producto final debería verse como este:
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___________________________________________________________________________________
2. Ingrese una serie de horas en Excel, comenzando con la medianoche y finalizando con las 11AM. El producto final
debería verse como este:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
3. Realice las siguientes acciones:
a. El profesor Smith nació el 15 de Febrero de 1964. Si hoy es 18 de mayo de 2007, reste ambas fechas
para calcular la edad del profesor Smith en días.
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____________________________________________________________________________
b. Divida en 365 para estimar la edad de Smith en años.
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____________________________________________________________________________
c. Use la función Diasem para determinar el día de la semana en que nació el profesor Smith.
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____________________________________________________________________________
d. Indique el número de meses de la edad del profesor Smith.
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