CI31A – Mecá
Mecánica de Fluidos
Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis
Diná
Dinámica de los Fluidos
Aplicació
Aplicación de la Segunda Ley de Newton
al Movimiento de los Fluidos:
Teorema de la Cantidad de Movimiento
SEGUNDA LEY DE NEWTON
En forma general, la segunda ley de Newton se escribe:
r
r
F = ma
En dos dimensiones, tiene componentes según x e y:
Fx = ma x
Fy = ma y
TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Al aplicar la segunda ley de Newton a un fluido, debemos
considerar la masa por unidad de tiempo, o sea el gasto másico:
m
= G = ρQ
t
Cuando trabajamos con fluidos,
aplicamos la segunda ley de Newton
a un volumen de control.
Podemos considerar como volumen
de control a un tubo de flujo:
SECCION 1
SECCION 2
TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
El volumen de control de la figura tiene una entrada (sección 1) y una
salida (sección 2). Sobre el volumen de control actúan fuerzas
superficiales y másicas: F1, F2, F3, ……..
V1 , ρ1
En la sección 1 se tiene el flujo tiene
velocidad V1 y en la sección 2, V2.
SECCION 1
F3
F1
SECCION 2
Para el flujo permanente de un fluido
V2 , ρ2
Incompresible, la segunda ley de
Newton se escribe como:
F4
F2
r r r
r
r
F1 + F2 + F3 + ... = ρQ Vsale − Ventra
(
)
TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
r r r
r
r
F1 + F2 + F3 + ... = ρQ Vsale − Ventra
(
)
En un sistema de coordenadas (x, y):
según x:
y,
F1x + F2 x + F3x + ... = ρQ(u sale − u entra )
v
según y:
F1y + F2 y + F3 y + ... = ρQ(v sale − v entra )
x, u
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
Determinar la fuerza que resisten los pernos de la boquilla
de una tubería que descarga a la atmósfera un caudal Q.
D1
Q
D2
Lo primero que debemos hacer es definir el volumen de
control.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
Volumen de control:
y
x
Analicemos las fuerzas y flujos actuando sobre el volumen
de control. Para determinar la fuerza que están resistiendo
los pernos, nos interesa la componente según x:
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FPernos
FP1
u1
TCM según x:
FP1 – FP2 – FPernos = ρQ(u2 – u1)
FP1 = Fuerza de presión en la sección 1 = p1A1
FP2 = Fuerza de presión en la sección 2 = p2A2
Trabajando con presiones relativas: p2 = 0
FP2
u2
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FPernos
FP1
FP1 – FP2 – FPernos = ρQ(u2 – u1)
FP2
p1A1 – FPernos = ρQ(u2 – u1)
u1
u2
Debemos determinar u1, u2, p1:
Continuidad:
Q = u1A1 = u2A2
→ u1 = Q/A1 , u2 = Q/A2
Las áreas de escurrimiento están dadas por: A1 = πD12/4 , A2 = πD22/4
Luego, las velocidades son:
4Q
u1 =
πD12
,
4Q
u2 =
πD 22
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Nos falta determinar la presión p1.
Para ello, apliquemos el Bernoulli entre las secciones 1 y 2:
B1 = B 2
p1 u 12 p 2 u 22
+
=
+
γ 2g
γ 2g
 u 22 u 12  ρg 2
p1 = γ
u 2 − u 22
−  =
 2g 2g  2g
ρ 2
p1 = u 2 − u 12
2
(
(
)
)
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Reemplazando la presión p1 en la ecuación del TCM:
p1A1 – FPernos = ρQ(u2 – u1)
FPernos = FP1 − ρQ(u 2 − u 1 )
FPernos = p1A1 − ρu 1A1 (u 2 − u 1 )
ρ 2
u 2 − u 12 A1 − ρu 1A1 (u 2 − u 1 )
2
ρA1 2
FPernos =
u 2 − u 12 − 2u 1 (u 2 − u 1 )
2
ρA 1 2
FPernos =
u 2 − u 12 − 2u 1u 2 + 2u 12
2
ρA1 2
FPernos =
u 2 − 2u 1u 2 + u 12
2
πD12
4Q
4Q
ρA1
2
u1 =
, u2 =
, A1 =
FPernos =
(u 2 − u1 )
2
2
4
πD1
πD 2
2
FPernos =
(
)
((
)
)
(
)
(
)
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Un estanque de diámetro D que contiene un líquido de densidad ρ cuelga
de un cable. Determinar la tensión del cable cuando en el fondo del
estanque existe un orificio por el que sale un chorro de diámetro d.
h
h
D
d
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Tensión del cable para el estanque sin orificio:
Para el volumen de control de la figura,
analicemos las fuerzas verticales (dirección y):
T−P = 0
T
y
x
T=P
P = mg = ρVg
π 2
D h
4
π
P = ρg D 2 h
4
π
T = ρg D 2 h
4
V=
P
⇒
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Tensión del cable para el estanque con orificio:
Para el volumen de control de la figura, apliquemos
el TCM en la dirección vertical (dirección y):
T − P = ρQ(v sale − v entra )
T
v sale
P
y
v
x
π 2
D h
4
Dirección
= −v
opuesta a y
P = mg = ρg
v entra = 0
π 2
Q=v d
4
π 2 2
T = P−ρ d v
4
Area del
chorro
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
π
T = P − ρ d2v2
4
Debemos determinar la velocidad con que sale el chorro (v).
Apliquemos Bernoulli entre (1) y (2) y trabajemos con presiones
relativas;
B1 = B 2
v2
h=
2g
(1)
h
v
(2)
v = 2gh
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
π 2 2
T = P−ρ d v
4
(1)
π 2
π 2 2
T = ρg D h − ρ d v
4
4
π
π
2
2 2
T = ρ gD h − d v = ρ gD 2 h − d 2 2gh
4
4
π
T = ρ gh D 2 − 2d 2
4
(
(2)
)
(
(
)
La tensión es menor que
cuando no sale líquido
)
APLICACIONES DEL TEOREMA
DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
1943
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
¿Cómo cambia la tensión si el estanque está cerrado y el aire está a
una presión relativa p0?
El TCM no cambia.
T − P = ρQ(v sale − v entra )
T
π 2 2
T = P − ρ d v0
4
p0
P
y
v0
x
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
π
T = P − ρ d 2 v 02
4
Cambia la velocidad con que sale el chorro (v).
Apliquemos Bernoulli entre (1) y (2) y trabajemos con presiones
relativas;
B =B
1
2
p 0 v 02
=
h+
ρ g 2g
v 0 = 2gh + 2
(1)
p0
h
v
(2)
p0
ρ
La velocidad v0 es mayor que en el caso anterior,
por lo que la tensión del cable es menor.
Incluso, el cable podría no estar tenso si p0 es lo
suficientemente grande.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
COHETE DE AGUA
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
¿Por qué usar agua y no sólo aire a presión?
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FUERZA EN UN DEFLECTOR DE CHORRO
Consideremos un chorro de velocidad v0,
ancho “e” y profundidad (perpendicular a
la hoja) igual a 1.
e
Determinar la fuerza que está resistiendo
el deflector debibo al impacto del chorro.
Es fácil ver que en este caso nos interesa
las dos componentes (x, y) del TCM.
e
Despreciar el peso del líquido.
v0
y
x
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FUERZA EN UN DEFLECTOR DE CHORRO
Lo primero que debemos hacer es definir el volumen de control
vo
e
Fx
e
v0
vo
y
x
Fy
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FUERZA EN UN DEFLECTOR DE CHORRO
Apliquemos el TCM según x al volumen de control elegido:
− Fx = ρQ(u sale − u entra )
vo
u sale = 0
Fx
vo
y
x
Fy
u entra = V0
Q = V0 ⋅ e ⋅1 = V0 e
− Fx = ρV0 e(0 − V0 ) = −ρeV02
Fx = ρeV02
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FUERZA EN UN DEFLECTOR DE CHORRO
Apliquemos el TCM según y al volumen de control elegido:
Fy = ρQ(v sale − v entra )
vo
v sale = V0
Fx
v entra = 0
Fy = ρV0 e(V0 − 0)
vo
y
Fy
Fy = ρeV02
x